ÇOK KADEMEL STOK YÖNET M ve DAĞITIM OPT M ZASYONU
Transkript
ÇOK KADEMEL STOK YÖNET M ve DAĞITIM OPT M ZASYONU
T.C. İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ İŞLETME ANABİLİM DALI ÜRETİM BİLİM DALI DOKTORA TEZİ ÇOK KADEMELİ STOK YÖNETİMİ ve DAĞITIM OPTİMİZASYONU A. Fahri Negüs 2502050249 Danışman Öğretim Üyesi Doç. Dr. Necdet Özçakar İstanbul – 2008 i TEZ ONAYI ii ÖZET Üretilen malların, dağınık bir şekilde bulunan yerel müşteri ve tüketicilere etkin bir şekilde ve en düşük maliyetle ulaştırılması, bir dağıtım ağında karşılaşılan en temel problemdir. Bu çalışmada unlu gıda maddeleri üreten ve bunların, Türkiye dahilinde 50 ildeki 10.000 civarında perakendeci ve son kullanıcıya dağıtımını yapan bir işletmenin çok kademeli stok ve taşıma maliyetleri ele alınmaktadır. Burada problem, bu ve benzeri işletmeler için, tesis edilecek bölgesel dağıtım depolarının sayısının, konumlarının, perakendeci ve son kullanıcıların hangi dağıtım depolarından ikmal edilmeleri ve stok politikalarının ne şekilde yönetilmesi gerektiğinin belirlenmesidir. Amaç, toplam stok, dağıtım ve depo işletme giderlerinin en aza indirilmesidir. Bu çalışmada problem iki alt problem olarak ele alınmaktadır. Önce taşıma ve işletme maliyetleri en az olacak şekilde bölgesel dağıtım depolarının sayısı ve konumları belirlenmekte, daha sonra her dağıtım deposu ve perakendeci için optimum sipariş periyodu hesaplanmaktadır. Burada ele alınan örnekte olduğu gibi, çok sayıda değişkenin, ayrıca doğrusallıktan sapmaların da söz konusu olduğu geniş kapsamlı dağıtım ağlarında, doğrusal programlama ve çözüm yöntemlerinin doğrudan uygulanması çoğunlukla mümkün olmamaktadır. Bu tip problemlerin çözümünde sezgisel yöntemler, esneklik, yapılabilirlik ve kısa bilgi işleme süreleri gibi, çeşitli avantajlar sağlamaktadır. Bu çalışmada da dağıtım depolarının sayısı ve konumları oluşturulan bir sezgisel yöntem kullanılarak belirlenmektedir. Son olarak, problemin karmaşıklığı da gözönüne alınarak, sipariş periyotları önce gevşek problem olarak anılan daha basit bir problemin çözümleri olarak elde edilmekte, daha sonra bu sonuçlar uygun şekilde yuvarlatılarak yapılabilir bir son çözüme ulaşılmaktadır. iii ABSTRACT The delivery of goods efficiently from supplier/s to local retailers and endusers at a minimum cost is a major problem in a distribution network. In this research, the distribution network design problem integrating multiechelon inventory and transportation costs for a company in food secteur who produces and delivers goods to more than 10.000 retailers and end-users in 50 different cities in Turkey, is studied. The trade-off between inventory cost, direct shipment to end users / retailers cost and facility operating cost is considered. The problem is to determine how many warehouses to set up, their locations, how to serve the end users / retailers through these warehouses and the optimal inventory policies for the warehouses and retailers. The objective is to minimize the total multiechelon inventory, transportation and facility operating costs. The problem is divided into two sub-problems: determining and locating the warehouses to have minimum distribution cost and then calculating the optimal order cycles for every warehouse and retailer. The linear programming algorithms available for the optimisation of the routing of shipments in multi-warehouse, multidestination systems cannot be applied directly to general and large distribution networks, due to the large number of variables and nonlinearities involved. In this research, a heuristic for locating warehouses is used. The heuristic approach offers significant advantages to solve this class of problems such as, providing flexibility for the solution, feasibility for large-scale locating problems and economical computing time. Finally, the inventory policy problem, being also too difficult to work directly, is first solved as a simpler problem called the relaxed problem, next by rounding off the relaxed problem’s solution, a feasible solution is obtained. iv ÖNSÖZ Bu çalışmada unlu gıda maddeleri üreten ve bunların, Türkiye dahilinde Doğu Anadolu ve Doğu Karadeniz bölgeleri hariç, 50 ilde yer alan 10.000 civarında market, otel, lokanta, büfe ve benzeri perakendeci ve son kullanıcıya dağıtımını yapan bir işletmenin stok ve dağıtım maliyetleri çok kademeli stok kavramı anlayışıyla ele alınmıştır. Karşılaşılan problem burada ele alınan örnek işletme ve benzeri işletmeler için, tüketicilere en etkin biçimde hizmet verecek şekilde, tesis edilecek bölgesel dağıtım depolarının sayısının, konumlarının ve bu dağıtım depolarından hangi perakendeci ve son kullanıcılara hizmet verileceğinin belirlenmesidir. Ayrıca, hizmet kalitesinin yanı sıra bir işletmenin temel amaçlarından biri olan, bu işlemlerin sipariş, stok, taşıma ve depo işletme giderleri gibi genel anlamda dağıtım maliyetini oluşturan unsurların en aza indirilmesi için, sipariş ve stok politikalarının ne şekilde yönetilmesi gerektiği irdelenmelidir. Öncelikle problemin taşıma, depo işletme maliyetleri ve stok maliyetlerini içeren toplam dağıtım maliyet formülü ortaya konulmuştur. Bu küme bölüntülemeli tamsayılı doğrusal programlama (set-partitioning integer-programming) modeli olup, kuramsal olarak bu problemin sütun üretme yöntemi ile çözülebilmesi olasıdır. Bu tarz bir çözümde sütun üretme işlemsel sürecinden kaynaklanan, fiyatlandırma alt problemi olarak adlandırılabilecek, bir tali problem ortaya çıkar; bu ise bir alt modüler fonksiyon minimizasyonu problemi şeklinde ele alınarak çözülebilir. Bununla birlikte, pratikte gerek çok sayıdaki değişken, gerek fonksiyonlardaki doğrusallıktan sapmalar sebebiyle, bu tür bir uygulama genelde yapılabilir değildir. Bu sebeplerle, aşağıdaki çalışmada problem iki ayrı problem olarak ele alınmıştır. Öncelikle taşıma ve depo işletme maliyetleri en az olacak şekilde bölgesel dağıtım depolarının sayısı ve konumları, oluşturulan bir işlemsel süreç ile belirlenmiştir. Daha sonra her dağıtım deposu ve perakendecilerin yer aldığı iller için optimum sipariş periyotları hesaplanmıştır. Burada ele alınan örnekte olduğu v gibi, çok sayıda değişkenin, ayrıca doğrusallıktan sapmaların da söz konusu olduğu geniş kapsamlı dağıtım ağlarında, doğrusal programlama ve çözüm yöntemlerinin doğrudan uygulanması çoğunlukla mümkün olmamaktadır. Bu tip problemlerin çözümünde sezgisel yöntemlerin, esneklik, yapılabilirlik ve kısa bilgi işleme süreleri gibi, sağladığı çeşitli avantajlar da düşünülerek bu çalışmada dağıtım depolarının sayısı ve konumları oluşturulan bir sezgisel yöntem kullanılarak belirlenmiştir. Sonraki aşamada stok politikası ele alınmıştır; gevşek problem olarak anılan bir problemin çözümleri olarak elde edilen sonuçlar anlamlı olabilmeleri amacıyla uygun şekilde tamsayılara yuvarlatılarak, sipariş periyotları için yapılabilir bir çözüme ulaşılmıştır. Son olarak, bu çalışmayı hazırlarken, bana manevi olarak büyük destek sağlayan ve çeşitli aşamalarda karşılaştığım sorunların çözümünde yardımlarını esirgemeyen, beni destekleyerek yüreklendiren değerli hocalarım, İstanbul Üniversitesi İşletme Fakültesi Dekan Yardımcısı ve Üretim Ana Bilim Dalı başkanı tez danışmanım Doç. Dr. Necdet Özçakar’a, tez izleme komitesi üyeleri Galatasaray Üniversitesi öğretim üyesi Prof. Dr. Mehmet Yaman Öztek’e ve İstanbul Üniversitesi öğretim üyesi Yrd. Doç. Dr. Faik Başaran’a, ayrıca İstanbul Üniversitesi öğretim üyeleri Doç. Dr. Mehpare Timor ve Yrd. Doç. Dr. Alp Baray’a içtenlikle teşekkür ederim. Yük. Müh. A. Fahri NEGÜS Aralık 2008 vi İÇİNDEKİLER TEZ ONAYI ................................................................................................ ii ÖZET.......................................................................................................... iii ABSTRACT................................................................................................ iv ÖNSÖZ.........................................................................................................v İÇİNDEKİLER .......................................................................................... vii TABLOLAR LİSTESİ ................................................................................ xi ŞEKİLLER LİSTESİ.................................................................................. xii SEMBOLLER LİSTESİ .............................................................................xiv KISALTMALAR LİSTESİ ...................................................................... xvii GİRİŞ..........................................................................................................19 1 STOK KONTROL KAVRAMI ve TALEP TAHMİNLERİ ..................22 1.1 Giriş...............................................................................................22 1.2 Talep Tahminleri............................................................................24 1.3 Talep Tahmin Yöntemleri ..............................................................25 1.4 Zaman Serileri................................................................................27 1.5 Zaman Serilerinin Bileşenlerine Ayrılması .....................................28 1.5.1 Trendin Belirlenmesi ................................................................30 1.5.1.1 Zaman serilerinde regresyon analizi ...................................30 1.5.1.2 Hareketli Ortalamalar .........................................................31 1.5.2 Mevsim Etkisinin Belirlenmesi .................................................33 1.5.3 Konjonktür ve Arızi Faktörlerin Etkilerinin Belirlenmesi..........35 1.6 Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri ..................................................36 1.6.1 Tekli Basit Üstel Düzgünleştirme Yöntemi ...............................37 1.6.2 Doğrusal Hareketli Ortalamalar Yöntemi..................................38 1.6.3 Brown’ın Tek Parametreli Doğrusal Üstel Düzgünleştirme Yöntemi .................................................................................................39 vii 1.6.4 Holt’un İki Parametreli Doğrusal Üstel Düzgünleştirme Yöntemi .................................................................................................39 1.6.5 Doğrusal ve Mevsimsel Üstel Düzgünleştirme (Winters) Yöntemi .................................................................................................40 2 1.7 Stokların Sınıflandırılması..............................................................41 1.8 Stok Kontrolünden Etkilenen Maliyet Unsurları .............................43 1.9 Stok Kontrol Yöntemleri ................................................................49 STOK KONTROL MODELLERİ .........................................................53 2.1 Giriş...............................................................................................53 2.2 Sabit Talep Durumunda Bir Kalem için Stok Kontrol Modelleri.....55 2.2.1 Ekonomik Sipariş Miktarı (ESM) Modeli .................................55 2.2.2 Sürekli Tedarik Halinde ESM Hesabı .......................................61 2.2.3 Miktar İskontosu ile ESM Hesabı .............................................64 2.2.3.1 Artımlı Miktar İskontosu Durumunda ESM Hesabı ............66 2.2.3.2 Tüm Partiye Miktar İskontosu Uygulandığında ESM Hesabı. ...........................................................................................68 2.2.4 Elde Bulundurmama Durumunda ESM Hesabı .........................70 2.2.4.1 Temel Model......................................................................70 2.2.4.2 Sipariş Bakiyesinin Kısıtlandığı Model ..............................75 2.2.4.3 Ortalama Bekleme Süresi ...................................................76 2.2.4.4 Satış Kayıpları....................................................................77 2.2.5 Hatalı Mallar Sözkonusu Olduğunda ESM Hesabı ....................78 2.2.5.1 Hatalı Malların ESM’ye Etkisi ...........................................78 2.2.5.2 Sürekli Tedarik Durumunda Hatalı Malların ESM’ye Etkisi .. ...........................................................................................80 2.2.5.3 Zamanla Bozulan Ürünlerin ESM’ye Etkisi........................80 2.2.6 Cari Değer (İskontolu Maliyet) Kriteri......................................82 2.3 Değişken Ancak Öngörülebilir Talep Durumunda Bir Kalem için Stok Kontrol Modelleri........................................................................................86 2.3.1 Değişken Talep Durumunda ESM Modeli.................................88 2.3.1.1 Değişkenliğin Küçük Olduğu Durumda ESM Modeli.........88 2.3.1.2 Değişkenliğin Hızlı Olduğu Durumda ESM Modeli ...........89 viii 2.3.1.3 Değişkenliğin Yavaş Olduğu Durumda ESM Modeli..........90 2.3.1.4 Sonlu Üretim Hızı Durumunda ESM Modeli ......................92 2.3.2 Dinamik Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli ..............................94 2.3.2.1 Doğrusal Maliyet Durumu..................................................97 2.3.2.2 Ağ Şebeke Tasarımı ve Çözümü.........................................98 2.3.2.3 Sezgisel yöntemler - Silver – Meal Sezgisel yöntemi........101 2.3.2.4 DESM Modelinin Uygulaması ile İlgili Yorumlar ............103 2.3.2.5 Temel DESM Modelinden Ayrılmalar..............................104 3 ÇOK KADEMELİ STOK KONTROL MODELLERİ ve DAĞITIM OPTİMİZASYONU..............................................................................................109 3.1 Giriş.............................................................................................109 3.2 Üretim ve Dağıtımda Çok Kademeli Stok Sistemleri ....................111 3.3 Bağımsız Unsurlar için Stok Modelleri.........................................116 3.3.1 Toplam Başarım Ölçüleri........................................................116 3.3.2 cS-wF Grafiği .........................................................................118 3.3.3 Maliyet Tahmini ve Optimizasyon ..........................................119 3.4 Kademeli Seri Sistemler için Stok Modelleri ................................122 3.4.1 Varsayımlar ............................................................................122 3.4.2 Kademeler ve Kademe Stokları Kavramı ................................124 3.4.3 Politika Özellikleri..................................................................128 3.4.4 Yapılabilir Politika Oluşturma ................................................137 3.4.4.1 Temel Periyot Kullanarak Politika Oluşturma...................138 3.4.4.2 Temel Periyot Kullanmadan Politika Oluşturma...............139 3.4.5 Yorumlar ................................................................................142 3.5 Kademeli Ağaç Sistemler için Stok Modelleri ..............................145 3.5.1 Ağ Şebeke Yapısı ve Varsayımlar...........................................145 3.5.2 Kademeler ve Kademe Stokları...............................................150 3.5.3 Politika Özellikleri..................................................................150 3.5.4 Gevşek Problem......................................................................151 3.5.5 Yapılabilir Politika Oluşturma ................................................154 3.6 Eşgüdümlü Tedarik – Kapsam Ekonomisi ....................................157 3.6.1 Birleşik İkmal Problemi..........................................................157 ix 3.7 Değişken Talep Durumunda Stok Modelleri.................................160 3.7.1 Özgün Model..........................................................................160 3.7.2 Sınırlı Kapasite Durumu .........................................................165 3.8 Malzeme İhtiyaç Planlaması.........................................................166 3.9 Dağıtım Sistemleri ve Depolama ..................................................168 3.9.1 Dağıtımın Önemi ....................................................................168 3.9.2 Depolama ...............................................................................169 3.9.3 Depo Sayısı ve Boyutları ........................................................170 3.9.4 Depo Yerinin Seçimi ..............................................................174 4 MODEL, YÖNTEM ve AMAÇ ..........................................................177 4.1 Giriş.............................................................................................177 4.2 Bir Depo Çok Perakendecili Dağıtım Problemi ............................179 4.3 Model ..........................................................................................182 4.3.1 Varsayımlar ............................................................................183 4.3.2 Kullanılan Semboller ..............................................................186 4.3.3 Amaç Fonksiyonu...................................................................188 4.3.4 Depolar – Perakendeciler Atama Problemi..............................191 4.3.5 Dağıtım Belirlenmesi Depolarının Konumlarının Sezgisel Yöntem ile ...............................................................................................193 4.4 Sezgisel Yöntemin Modele Uygulanması .....................................200 4.5 Stok Miktarları ve Sipariş Periyotları ...........................................218 SONUÇ.....................................................................................................224 KAYNAKÇA............................................................................................232 ÖZGEÇMİŞ ..............................................................................................238 x TABLOLAR LİSTESİ Tablo 4-1. Elleçlenen ürün miktarına bağlı olarak toplam depo işletme maliyetleri ......................................................................................................................201 Tablo 4-2. Dağıtım Yapılan İller Aylık Satış Payları ............................................203 Tablo 4-3. Sezgisel Model ve 0-1 Doğrusal Programlama ile Elde Edilen Sonuçların Karşılaştırılması.............................................................................................204 Tablo 4-4. Sezgisel Yöntem ile Birinci Aşamada Elde Edilen Aylık Dağıtım Maliyetinin DMAX ile Değişimi....................................................................205 Tablo 4-5. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 350 km Alarak Birinci Aşamada Elde Edilen Dağıtım Planı......................................................................................206 Tablo 4-6. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 400 km Alarak Birinci Aşamada Elde Edilen Dağıtım Planı......................................................................................206 Tablo 4-7. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 350 km Alarak İkinci Aşamada Elde Edilen Dağıtım Planı.................................................................................................207 Tablo 4-8. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 400 km Alarak İkinci Aşamada Elde Edilen Dağıtım Planı.................................................................................................207 Tablo 4-9. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 350 km Alarak Üçüncü Aşamada Elde Edilen Dağıtım Planı......................................................................................208 Tablo 4-10. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 400 km Alarak Üçüncü Aşamada Elde Edilen Dağıtım Planı......................................................................................208 Tablo 4-11. Sezgisel Yöntem ile Elde Edilen Optimum Aylık Dağıtım Maliyetinin DMAX ile Değişimi.......................................................................................209 Tablo 4-12. Sezgisel Yöntem ile Her Aşamada DMAX = 350 km Kısıtlaması Uygulanarak Elde Edilen Optimum Dağıtım Planı ........................................210 Tablo 4-13. Sezgisel Yöntem ile Her Aşamada DMAX = 400 km Kısıtlaması Uygulanarak Elde Edilen Optimum Dağıtım Planı ........................................210 Tablo 4-14. Önerilen dağıtım planına göre toplam dağıtım ve stok maliyetleri. ....220 xi ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil 1-1. Talep tahmin sisteminin genel akış şeması. .............................................25 Şekil 1-2. Sabit sipariş periyodu yöntemine göre stok kontrolünün unsurları...........50 Şekil 1-3. Sabit sipariş miktarı yöntemine göre stok kontrolünün unsurları. ............51 Şekil 2-1. Sabit sipariş miktarı yönteminde stok pozisyonu ve stok seviyesi ...........54 Şekil 2-2. Tüketim hızı sabit olan bir stok kalemi için stok miktarı .........................56 Şekil 2-3. Ekonomik sipariş miktarının TSM eğrisi yardımıyla bulunması. .............58 Şekil 2-4. Sürekli tedarik durumunda stok seviyesi .................................................61 Şekil 2-5. Tüm partiye miktar iskontosu uygulandığında TSM’nin değişimi ...........68 Şekil 2-6. Elde bulundurmama durumunda net stok seviyesinin değişimi................71 Şekil 2-7. Elde bulundurmama durumunda çevrimin iki aşaması ............................72 Şekil 2-8. r = %12,5 ve r = %25 faiz oranları için özgün ESM ve cari değer kriteri ile bulunan sipariş periyodlarının karşılaştırması...................................................85 Şekil 2-9. Talebin hızlı değiştiği durumunda stok seviyesi ......................................89 Şekil 2-10. Sabit kapasite durumunda değişken talep ..............................................93 Şekil 2-11. T = 5 için ağ şebeke modeli ve olası bir yol seçimi................................98 Şekil 2-12. Sipariş bakiyeleri durumunda DESM için ağ şebeke modeli................107 Şekil 3-1. Temel bir tedarik zinciri örneğinde işlemler ve stoklar..........................110 Şekil 3-2. Seri halde iki kademeli stok sistemi ......................................................112 Şekil 3-3. Çok kademeli bir üretim / montaj sistemi..............................................112 Şekil 3-4. Çok kademeli bir dağıtım sistemi..........................................................113 Şekil 3-5. Ağaç (a) ve genelleştirilmiş karma (b) sistemler....................................114 Şekil 3-6. Çok kademeli üretim sistemi örneğine ait ürün ağacı ............................115 Şekil 3-7. cS – wF grafiği ....................................................................................119 Şekil 3-8. J aşamalı seri sistem ............................................................................122 Şekil 3-9. 4 aşamalı bir seri sistemde kademeler ...................................................124 Şekil 3-10. Zaman içinde yerel stokların değişimi.................................................126 Şekil 3-11. Zaman içinde kademe stokların değişimi ............................................126 xii Şekil 3-12. Alt gruplar ..........................................................................................132 Şekil 3-13. Birikimli maliyet grafiği. ....................................................................134 Şekil 3-14. Dışbükeyleştirilmiş birikimli maliyet grafiği.......................................134 Şekil 3-15. u’, [1,2[ aralığında değiştiğinde u(m)’in değişimi (u* = 3,464 için).....140 Şekil 3-16. Tedarik süreli kademeli bir montaj sistemi..........................................147 Şekil 3-17. Tedarik süreli kademeli bir dağıtım sistemi.........................................147 Şekil 3-18. Tedarik süreli kademeli bir ağaç sistem...............................................148 Şekil 3-19. Tedarik süreli kademeli bir karma sistem ............................................149 Şekil 3-20. Ağaç sistemlerde gruplar ....................................................................152 Şekil 3-21. 1 depo ve 2 perakendeciden oluşan dağıtım sistemi.............................154 Şekil 3-22. 2 perakendecili dağıtım sistemi için genişletilmiş ağ şebeke................155 Şekil 3-23. Birleşik ikmal sistemine eşdeğer dağıtım sistemi ................................159 Şekil 3-24. Fiziksel tedarik ve dağıtımda depoların kullanım şekilleri...................171 Şekil 3-25. Depo sayısı ile lojistik maliyetleri arasındaki bağıntı...........................174 Şekil 4-1. Bir depo çok perakendecili doğrudan dağıtım sistemi ...........................179 Şekil 4-2. Bölgesel dağıtım merkezlerinden son tüketicilere (veya perakendecilere) dağıtım ..........................................................................................................182 Şekil 4-3. Depo işletme maliyeti fonksiyonları......................................................186 Şekil 4-4. Depo işletme maliyetinin elleçlenen ürün miktarına bağlı olarak değişimi ......................................................................................................................201 Şekil 4-5. Sezgisel yöntem ile birinci aşamada elde edilen aylık dağıtım maliyetinin DMAX ile değişimi. ......................................................................................205 Şekil 4-6. 1. Aşama dağıtım planı (DMAX = 400 km, Toplam Dağıtım Maliyeti : 475.534,90 YTL) ...........................................................................................211 Şekil 4-7. 2. ve 3. Aşamalar sonunda optimum dağıtım planı (DMAX = 400 km, Toplam Dağıtım Maliyeti : 452.693,20 YTL).................................................212 Şekil 4-8. Bursa’da bir bölgesel dağıtım deposunun daha açıldığı seçenek (DMAX = 400 km, Toplam Dağıtım Maliyeti : 456.740,70 YTL) ...................................214 xiii SEMBOLLER LİSTESİ Aw w deposunun ikmal ettiği perakendecilerin alt kümesi b Elde bulundurmama maliyeti (para birimi/birim miktar) b0,w Ana depo ile w bölgesel dağıtım deposu arasındaki birim taşıma maliyeti (Para birimi / Birim mal değeri.km) bw, j w bölgesel dağıtım deposu ile j perakendecisinin bulunduğu il arasındaki birim taşıma maliyeti (Para birimi / Birim mal değeri.km) B(t) t anındaki sipariş bakiyesi veya bekletilen siparişler (birim miktar) BW Ortalama sipariş bekleme süresi (birim zaman) c Sipariş başına değişken maliyet (para birimi/birim miktar) ci(t) i unsurunun t anındaki değişken sipariş maliyeti C Toplam sipariş maliyeti (para birimi) Cw,Aw w dağıtım deposunun Aw alt kümesindeki perakendecileri ikmal etmesi durumunda oluşacak toplam maliyet card(A) A kümesinin eleman sayısı [card(A)=|A|] cS Toplam stok yatırımı d Birim zamandaki talep miktarı - tüketim hızı (birim mal/birim zaman) d’i(t) i unsuruna t anındaki yerel talep dj j perakendecisinin aylık talebi D Birikimli talep miktarı DMAX Depolar ile bağlı iller arasındaki azami uzaklık (km) Dw w dağıtım deposundan sevkedilen aylık mal miktarı fw w deposu için aylık depo değişken işletme maliyeti katsayısı Fw w deposu için aylık toplam depo işletme maliyeti F’w w deposu için aylık sabit işletme maliyeti h Stokta bulundurma maliyeti (para birimi/birim miktar) hd Doğrudan stokta bulundurma maliyeti (para birimi/birim miktar) h’j j. inci unsur için elde bulundurma maliyeti xiv hj j. inci kademe için elde bulundurma maliyeti h’i(t) i unsurunun t anındaki yerel elde bulundurma maliyeti hr’j j perakendecisi için birim mal başına aylık elde bulundurma maliyeti hw’w w dağıtım deposu için birim mal başına aylık elde bulundurma maliyeti h’0 Ana depo için birim mal başına aylık elde bulundurma maliyeti I(w,Aw) w dağıtım deposunun Aw alt kümesindeki perakendecileri ikmal etmesi durumunda oluşacak ikmal maliyeti IL% Dağıtım yapılan il sayısı j Perakendeciler indeksi (j = 1, 2, ..... , J) k Sipariş başına sabit maliyet (para birimi) kj j. inci unsur için sabit sipariş maliyeti ki(t) i unsurunun t anındaki sabit sipariş maliyeti krj j perakendecisi için sabit sipariş maliyeti kww w dağıtım deposu için sabit sipariş maliyeti k0 Ana depo için sabit sipariş maliyeti L Tedarik süresi (birim zaman) L’ j j. inci unsur için tedarik süresi − Lj j. inci unsur için ileri kademe tedarik süresi (forward echelon leadtime) L’i j i ve j arasındaki işlemlerin süresi nw Ana deponun w dağıtım deposuna uzaklığı nw,,j w dağıtım deposunun j perakendecisine uzaklığı next(m) m‘den bir sonraki grup NS(t) t anındaki net stok seviyesi (birim miktar) Pre(j) j.inci unsurun öncellerinin kümesi prev(m) m‘den bir önceki grup q Sipariş miktarı (birim miktar) r Faiz oranı R Yeniden sipariş noktası (birim miktar) S(t) t anındaki stok seviyesi (birim miktar) S’i (t) t anındaki i.inci aşama yerel stok seviyesi Si(t) t anındaki i.inci kademe stok seviyesi xv SF Sipariş frekansı (Adet sipariş, SF = 1/u) SP(t) t anındaki stok pozisyonu (birim miktar) Suc(i) i.inci unsurun ardıllarının kümesi SW Ortalama stokta bekleme süresi (birim zaman) t Zaman indeksi T Plan ufku u Siparişler arasındaki süre, sipariş periyodu, zaman indeksi urj j perakendecisi için sipariş periyodu uww w dağıtım deposu için sipariş periyodu u0 Ana depo için sipariş periyodu w Depo indeksi, işyükü (workload) wF Toplam iş yükü x'i(t) i unsurunun t anındaki yerel stok seviyesi zi(t) i unsurunun t anındaki sipariş miktarı α Düzgünleştirme sabiti δ Hatalı mal oranı δ(.) Heaviside fonksiyonu ε (x) Hata fonksiyonu ζ Elde bulundurmama oranı ( ζ = ν q ) η Elde bulundurma maliyeti çarpanı θw,j Ana depodan w deposu yoluyla j perakendecisine gönderilen ürünler için aylık taşıma maliyeti κ Sabit sipariş maliyeti çarpanı µ Üretim hızı (birim mal/birim zaman) ξ Hatasız mal oranı ( ξ = 1 − δ ) ν Sipariş bakiyesi (bekletilen sipariş) miktarı (birim miktar) νw,j Depoların ikmal ettiği perakendecilerle ilgili ikili değişken ρ Kullanım oranı ( ρ = d µ ) τ Hazırlık süresi (birim zaman) ωw w deposu ile ilgili ikili değişken xvi KISALTMALAR LİSTESİ Dipnotlar ve kaynakçalar için kısaltmalar : a.e. Aynı eser / yer a.g.e. Adı geçen eser a.y. Yazara ait son zikredilen yer, b.a. Eserin bütününe atıf Bkz.: Bakınız Bkz.:aş. Eserin kendi içinde aşağıya atıf Bkz.:yuk. Eserin kendi içinde yukarıya atıf Çev. Çeviren Ed. Editör Haz. Yayına hazırlayan Iss. Sayı s. Sayfa / sayfalar t.y. Basım tarihi yok v.d. Çok yazarlı eserlerde ilk yazardan sonrakiler Vol. Cilt y.y. Basım yeri yok xvii Diğer kısaltmalar : A Arızi faktörlerin etkisi BDÇP Bir depo çok perakendeci DESM Dinamik ekonomik sipariş miktarı DP Doğrusal programlama DPDT Depolar–perakendeciler dağıtım ağı tasarımı ESM Ekonomik sipariş miktarı JIT Just-in-Time (Tam zamanında üretim) KTDP Karma tamsayılı doğrusal programlama K Konjonktür etkisi M Mevsim etkisi Mİ Mevsim indeksi MRP Malzeme ihtiyaç planlaması (Material requirement planning) NSD Net stok seviyesi ÜPK Üretim planlama ve kontrol SF Sipariş frekansı SP Stok pozisyonu (Stock position) SD Stok seviyesi (Stock level) T Trend TDP Tamsayılı doğrusal programlama TSM Toplam sipariş maliyeti YA Yöneylem araştırması xviii GİRİŞ İşletme, kar amacı ile oluşturulan ve mal veya hizmet üreterek, diğer bir deyişle fayda yaratarak, bu amaca ulaşmaya çalışan bir kuruluş olarak tanımlanır. Bunu gerçekleştirmek için tüm üretim unsurlarının belirli şartlar ve yöntemlerle bir araya getirilerek kullanılması gerekir. Modern üretim çok sayıda farklı elemanın bir birleşimidir. Ancak genel anlamda üretim kısaca, hammadde, işçilik ve sermaye unsurlarının birleşimi ve bunların yönetimi olarak tanımlanabilir. Tüm bu temel unsurlar arzu edilen azami faydayı sağlamak için biraraya getirilmeli, bunların eşgüdümü ve kontrolü sağlanmalıdır. Temel üretim unsurları uygun ve etkin olarak yönetilmezlerse üretim yapılsa bile bundan istenen fayda sağlanamaz. Örneğin, piyasanın talebinden fazla üretim yapılır ve bunlar satılamazsa hammadde, işgücü ve sermaye israf edilmiş olur; zaman içinde ürünlerin bozulması, piyasada çekiciliklerini yitirmeleri veya en azından stokta durmalarında dolayı eldeki sermayenin azalması sonucunda üretim bile yapılamaz hale gelinebilir.İkinci Dünya Savaşı sonrasında, özellikle de 1990’lardan sonra işletme yönetimi anlayışı devrim niteliğinde gelişme ve değişmelere sahne olmuştur. 1980’lerin ortalarına kadar işletme yönetiminde, tanımlı meslekler çerçevesinde, mamul mühendisliği, metod mühendisliği, satınalma, üretim, kalite kontrol, pazarlama ve satış, personel, nakliye, müşteri hizmetleri vb. şeklinde, işletme içindeki çeşitli bölümlerin organizasyonu, her bölümün de kendi içinde geliştirilmesi ve veriminin arttırılması şeklinde dikey bir yönetim anlayışı önde gelmiştir. Bu anlayışla özellikle ticari anlamda ve araştırma - geliştirme alanındaki evrim ve iyileştirme çalışmaları dikkat çekicidir. Bu dönemde karşılaşılan başlıca sorunlar gelişen teknolojiye bağlı olarak ürünlerin giderek karmaşıklaşması ve bunun sonucunda üretim işlemlerinin çeşitlenmesi ve sayılarının artması, diğer taraftan rekabet artışı, hatta bazı ürünlerde dünya çapındaki rekabete koşut olarak teslimat, dolayısıyla üretim sürelerinin kısaltılması gereksinimi gibi problemlerdir. Bu sorunların üstesinden gelebilmek amacıyla da, malzeme tedarik planlaması (MRP, Material Resource Planning), tam zamanında üretim 19 (JIT, Just - in - time), toplam kalite yönetimi (TQM, Total Quality Management) gibi, ancak çoğunlukla sınırlı alanları kapsayan, özellikle de üretim süreçlerinin kısaltılması ve kalitenin arttırılmasına yönelik işletme teknikleri geliştirilmiştir. Ancak, 1990’lardan itibaren, giderek artan rekabet baskısı ile iletişim ve bilgi teknolojilerindeki gelişmelerle beraber, ürünün piyasaya sunum süresi (time to market) en önemli rekabet unsuru olarak algılanmaya başlamıştır. Müşterinin istekleri ve klasik kalite anlayışının değişmesi, alışılagelmiş garanti anlayışının ötesinde verilen servisin kalitesi, stokların ve hatalı üretimin en aza indirilmesi, ürün ve müşteri taleplerinin takibi gibi hususların da rekabette oynadığı rol göz önüne alındığında, işletmeler arayışlarını hızlandırmak ve yeni teknikler geliştirmek zorunda kalmışlardır. Bunlar kısaca, üretim faaliyetlerinin entegrasyonu, üretim sistemlerinin esnekleştirilmesi, tepki sürelerinin kısaltılması, hammadde girişinden son ürüne kadar işlemlerin sürekliliği, bilgi ve iletişim potansiyelinin arttırılması gibi tedbirler olmuştur. Bu çerçevede işletmecilikte devrim niteliğindeki bu tekniklerin ve değişimlerin hepsine yönelik bir yaklaşım olarak tedarik zinciri anlayışı ön plana çıkmıştır. Günümüzün modern işletmeleri, rekabet üstünlüğü elde etmek için işletmeler arası ilişkilerin önemini anlamış ve gerek tedarikçileri, gerek müşterileriyle olan ilişkilerini karşılıklı işbirliği ve çıkar esasına bağlı olarak yeniden yapılandırmaya başlamışlardır. Özellikle, tedarikçilerle geliştirilen sıkı işbirliğinin, ürün kalitesinin arttırılması, satın alınan hammadde ve ürünlerin maliyetlerinin düşürülmesi, üretim ve dağıtım esnekliği, müşteri memnuniyetinin artırılması gibi konularda, son derece olumlu katkılar sağladığını görmüşlerdir. Tedarik zinciri kavramı, iş ortakları, tedarikçiler, imalatçılar, perakendeciler ve müşteriler arasında, iletişim, projeleri ortak bir alan üzerinden takip etmek ve yönetmek, müşteri isteklerini en etkin bir şekilde karşılayabilmek, kaynakları en yüksek verimle kullanmak, maliyetleri azaltmak, planlı, hızlı ve esnek bir tedarik, üretim ve dağıtım sistemi kurmak ve yönetmek amaçları ile ortaya çıkmış bir kavramdır. Bir işletmenin tedarik zinciri, hammadde temini, hammadde ve yarı ürünlerin işlenmiş ürüne dönüştürmesi yani üretim işlemleri ve bunun ardından bitmiş ürünlerin dağıtım kanalları aracılığıyla nihai tüketiciye kadar ulaştırılması sırasında değer yaratan bütün unsurlar olarak değerlendirilir. 20 Bugün, üreticiden nihai tüketiciye kadar herkesin beklentisi, kaliteli hizmet veren, ürünü kolay ve uygun fiyatla bulunan, verdiği sözü yerine getiren güvenilir işletmelerle çalışmaktır. Bunun yolu ise iyi düzenlenmiş bir tedarik zinciri kurmak ve başarılı bir şekilde yönetmekten geçmektedir. Tedarik zinciri yönetimi dendiğinde artık sadece üreticiden tüketiciye malı ulaştırma işi anlaşılmamaktadır; tedarik zinciri yönetimi bundan daha geniş ve karmaşık ilişkiler bütünü olarak tanımlanabilir. Bu bütünde herkes alıcı, herkes satıcı olmak ve herkes birbirinin ne yaptığını iyi bilmek, takip etmek ve işinde uzmanlaşmak durumundadır. Sonuç olarak tedarik zinciri, bir işin akışını bilgi yönetimi ve bilgi teknolojileri ile yoğurarak yine teknolojik altyapı üzerinden yönetmektir. Tüm bu sonuçlarla ortaya çıkan tedarik zinciri anlayışı, işletmeler arası bütün ilişkileri, haberleşmeyi, üretimin planlanmasını ve ürün bilgilerinin yönetilmesini, tedarikçiler ve alıcılar arasındaki eşgüdümü, iş süreçlerinden tüm üreticilerin, tedarikçilerin ve alıcıların haberdar olmasını, projelere olası durumlar karşısında yeni yönler verebilmeyi, kaynak ve zaman planlamasını sağlar. Gerek yukarıda betimlendiği gibi modern bir tedarik zinciri içinde olsun, gerek bağımsız bir işletmede olsun, hammadde temini, üretim ve ürünlerinin dağıtımında en önemli maliyet unsurlarından biri de sistemdeki stokların miktarı ve ürünlerin nihai tüketiciye ulaştırılmalarına kadar geçen süreçte yüklenilmesi gereken giderlerdir. Bu nedenle günümüz modern işletmelerinde stok kontrolü ve ürün dağıtımının en uygun şartlarla gerçekleştirilmesinin sağlanması, pazardaki fiyat rekabeti ve karlılık üzerindeki doğrudan etkilerinden dolayı titizlikle takip edilen bir unsurdur. Bu çalışmada önce, ikinci bölümde genel anlamda stok kavramı ve kontrolü, üçüncü bölümde tek bir mal için stok modelleri ve dördüncü bölümde çok kademeli stok kontrolü kavramları ve ilgili bazı stok modelleri ele alınacaktır. Daha sonra, kısa raf ömrüne (5-7 gün) sahip unlu gıda ürünleri üreten bir işletme için perakendecilere ve/veya son kullanıcılara kurulacak bölgesel dağıtım merkezlerinden sevkiyat yapılması durumunda toplam dağıtım maliyeti analiz edilecek ve dağıtım merkezlerinin optimum sayısı ve yerleri belirlenecektir. Daha sonra da gerek dağıtım depoları gerek perakendeciler için optimum sipariş periyodu hesaplanacaktır. 21 1 1.1 STOK KONTROL KAVRAMI ve TALEP TAHMİNLERİ Giriş Üretim yapan bir işletmede, ürüne dolaylı ve dolaysız olarak katılan hammadde, yardımcı maddeler, hazır parçalar gibi tüm maddi varlıklar ve bitmiş ürünün kendisi stok kavramı içinde düşünülür. Stoklar bu varlıkların miktarları ve parasal değerleri ile ölçülür.1 Siparişle çalışan bir atölyede genellikle küçük miktarda çok kullanılan bazı hammaddeler ve civata, somun gibi standart parçalar dışında stok bulundurmaya gerek yoktur, çünkü gerekli hammaddeler ve diğer malzemeler sipariş alındıktan sonra tedarik edilir, ürünler ise üretim tamamlandığında müşteriye teslim edilir. Ancak, üretim sistemi büyüyüp karmaşıklaştıkça, özellikle de ürün adedi, miktarı ve ürünü oluşturan parça sayısı arttıkça, tedarik, imalat, taşıma ve talebe ilişkin unsurlardaki belirsizlikler ile bunların arasındaki ilişkiler stok bulundurmayı gerektirir. Örneğin bazı büyük üretim şirketleri ile askeri kurumlar 500.000’den fazla farklı kalem malzeme ve yedek parça, büyük perakende satış mağazaları 100.000 civarında satışa hazır ürünü stoklarında bulundurmak zorundadırlar. Orta büyüklükte bir üretim tesisi bile stoklarında 10.000 kalem civarında hammadde, hazır parça, yardımcı malzeme ve tamamlanmış ürün bulundurmak zorundadır.2 Diğer taraftan, büyük işletmelerde üretim ve satışların birbirine koşut gitmesi de neredeyse imkansızdır. Üretimde makina kapasitelerinin mümkün olan en yüksek düzeyde kullanılması, iş yüklemesinin düzgün yapılabilmesi ve hazırlık maliyetlerinin azaltılması üretim hızının mümkün olduğunca sabit tutulması, diğer bir ifadeyle ürünlerin ekonomik miktarlarında partiler halinde üretilmesi ile gerçekleştirilebilir. 1 Bülent Kobu, Üretim Yönetimi, Genişletilmiş ve Güncelleştirilmiş 11. baskı. İstanbul Avcıol Basım Yayın, 2003, s.341 2 Edward A. Silver, David F. Pyke ve Rein Peterson. Inventory Management and Production Planning and Scheduling. 3.b. New York – USA : John Wiley & Sons, 1988, s.27 22 Ancak bu takdirde, üretimin satışların üzerinde gerçekleşmesi durumunda artan ürünün stoklanması, tersi durumda ise stoktan satış yapılması söz konusudur. İşletmede stok bulundurulması çeşitli maliyetlerin ortaya çıkmasına sebep olur. Buna karşılık üretim hızının sabit tutulması, ekonomik miktarlarda partiler halinde üretim yapılması ve müşteri isteklerinin gecikmeden karşılanabilmesi ile sağlanan avantajlar vardır. Üretim yapan bir işletmede stok tanımlaması ile ilgili genelde iki farklı görüşle karşılaşılır.3 Maliyet ve finasman ile ilgili kişiler için stoklar, para, aktif veya malzeme görünümünde nakit demektir. Bu sebeple stoklara finansal açıdan bakan yöneticiler için stok ne kadar az ise, o kadar iyidir. Üretim, satınalma ve satışla ilgili kişiler için ise stoklar, hammadde, üretim için gerekli yardımcı malzemeler, yarı ürünler ve satışa hazır ürünlerdir. Bu kişilerde ise, hem üretimi sorunsuz yürütebilmek hem de müşteri taleplerini sorunsuz karşılayabilmek açılarından, yatırımların geri dönüş hızını fazla düşünmeden, daha fazla stok daha iyidir anlayışı hakimdir. Tüm bunlar göz önüne alındığında, stok kontrolünün amacı olumlu ve olumsuz maliyet unsurları arasında işletme açısından en uygun denge noktasının belirlenmesi olarak tanımlanabilir. Bununla birlikte stok yönetimi sadece stok kontrolü olarak anlaşılmamalıdır. Geçmiş yıllara göre işletmelerin stok yönetimi kavramı oldukça değişikliğe uğramıştır. Örneğin 35-40 yıl önce stok kontrolü sadece teknik bir işlev olarak anlaşılmaktaydı. Tedarik işlevi ile ilintili teknoloji durağan, talep tamamen öngürülebilir olmasa bile, dalgalanmaların düzenli olacağı kabul edilmekte ve her ikisi de harici etkilere özellikle çevre koşullarına veya daha yüksek yönetim kademelerine ait kararlara bağlı bir işlev olarak görülmekteydi.4 Ancak zaman içinde stok teorisi ile ilgili analizler ve model oluşturma tekniklerinin gelişimi ile günümüzde stok yönetimi anlayışı sadece teknik anlamda stok kontrolünün çok ötesine geçmiş bulunmaktadır. 3 Georges W. Plossl, Production and Inventory Control Principles and Techniques. 2.b. New Jersey – USA : Prentice – Hall, 1985, s.16 4 Paul H. Zipkin, Foundations of Inventory Management, USA: Mc Graw-Hill, 2000, s.14 23 1.2 Talep Tahminleri Bir işletmede ideal bir tedarik ve stok kontrol sistemi kurulması üretilen ürünlere olan talebin özelliklerine bağlıdır. Örneğin, en başından itibaren talebin sabit olacağı veya en azından zaman içinde küçük değişmeler göstereceği biliniyorsa, tedarik ve üretim işlemleri bu sabit talebi veya öngörülebilen nitelikteki küçük değişimleri karşılayacak şekilde planlanarak önemli miktarlarda stok tutmaya gerek kalmaksızın sorunsuzca yürütülebilir. Ancak gerçekte böyle ideal bir durum sözkonusu değildir. Karşılaşılan çoğu durumda üretim ile talep miktarları birbirleri ile uyuşmazlar. İşte stok yönetiminin önemi üretim ve talep arasındaki çeşitli nedenlerle ortaya çıkan bu uyuşmazlığı dengelemek anlamında ortaya çıkar. Diğer taraftan, bir ürünün talep alındığı anda üretilerek müşteriye gönderilebilmesi de mümkün değildir. Bu ürün için gerekli hammaddelerin tedarik edilmesi, üretim süreci ve taşıma süresi gibi mal teslimatının hemen yapılamamasına sebep olacak unsurlar, müşteriden talep gelmeden önce tedarik ve üretimin gerçekleştirilmiş olmasını zorunlu kılar. Son olarak çeşitli sipariş ve üretim maliyetlerini en aza indirebilmek için de belirli bir malı sipariş üzerine tek tek üretmek yerine belirli büyüklükte partiler halinde üretmek zorunluluğu vardır. Tüm bu sebeplerden dolayı, bir işletmenin ileriye bakması ve gelecekte oluşacak talebi tahmin etmesi stok yönetimi açısından büyük önem taşır. Talep tahmini kabaca gelecek dönemlerde oluşacak ortalama talebin tahmin edilmesi olarak tanımlanabilir. Ancak, tek başına ortalamanın tahmini de yererli değildir; bunun yanı sıra bu tahminin ne kadar belirsizlik içerdiğinin de bilinmesi gerekir. Belirsizlik arttıkça doğal olarak daha büyük miktarda emniyet stoğu bulundurulması gereksinimi de artacaktır.5 Bu sebeple, tahmin hatasının da bilinmesi, örneğin tahminin ortalama mutlak sapması veya standart sapması gibi bir büyüklüğün de belirlenmesi şarttır. 5 Sven Axsäter, Inventory Control, USA Kluver Academic Publishers, 2000, s.5 24 Talep tahminleri başlı başına istatistik biliminin konusu olmakla birlikte, özellikle rassal (stochastic) stok modellerinin anlaşılabilmesi için sıkça kullanılan talep tahmin yöntem ve modellerine kısaca değinmek faydalı olacaktır. 1.3 Talep Tahmin Yöntemleri Talep tahmini geleceğin öngörülmesi demektir. Bu tahmin öncelikle geçmiş verilerin geleceğe yansıtılması ile gelecekte ortaya çıkabilecek olayların ve bunların talebe yansımalarının öngörülmesine dayanır. Bunun yanısıra promosyon kampanyalarının etkileri, rakiplerin tepkileri, genel ekonomik durum gibi pazarlama ile ilgili yargıları da içermelidir. Genel anlamda bir talep tahmin sisteminin yapısı Şekil 1-1’de gösterilmektedir.6 Geçmişe ait veriler Model seçimi Model veya parametrelerindeki olası değişiklikler Matematik model İstatistiksel tahmin Yönetici görüşleri Fiili talep Yargılar Talep tahmini Tahmin hatalarının hesaplanması Tahmin başarımı ile ilgili bilgiler Şekil 1-1. Talep tahmin sisteminin genel akış şeması. 6 Silver, Pyke ve Peterson. Inventory Management and Production Planning and Scheduling, s.75 25 Talep tahminleri kapsadıkları zaman aralığına göre çok kısa, kısa, orta ve uzun vadeli tahminler olabilir. Uzun vadeli tahminler beş yıl veya daha uzun süre için yapılan tahminler olup, yeni tesis kurulması, tesislerin genişletilmesi, yeni makina alımı gibi yatırım planlaması amaçlı tahminlerdir. Üretim planlaması ve stok yönetimini ilgilendiren talep tahminleri ilk üç sınıfa giren zaman aralıklarını kapsayan tahminlerdir. Çok kısa vadeli tahminler haftalık, hatta günlük olarak yapılır ve amaçları parça, yardımcı malzeme ve ürün stoklarının kontrolu ile üretim hattı iş programlarının hazırlanması için gerekli bilgilerin elde edilmesidir. Kısa vadeli tahminler, 3-6 aylık süreleri kapsayan, en uygun üretim parti miktarlarının, gerekli hammadde, parça vs. tedarik zamanları ve bunların sipariş büyüklüklerinin saptanması amacıyla yapılan talep tahminlerdir. Orta vadeli tahminler ise altı aydan birkaç yıla kadar zaman sürelerine yayılan ve tedarik süreleri uzun olan malzeme alımlarının, karmaşık üretim faaliyetlerinin, talebi mevsimsel dalgalanmalar gösteren ürün stoklarının planlanması amacına yönelik tahminlerdir.7 Bir talep tahmini araştırmasında öncelikle gereken, doğru bilgilerin toplanması, daha sonra toplanan bu bilgilerin uygun yöntemlerle değerlendirilmesi çok önemlidir. Kullanılan analiz yöntemi doğru olsa bile toplanan bilgiler yanlış veya eksik ise hatalı sonuç alınacağı gibi, uygun olmayan hesaplama yöntemlerinin kullanılması durumunda, doğru bilgiler dahi işe yaramaz hale gelebilir. Talep tahminlerinde başvurulabilecek ilk yöntem, bir işletmenin ilgili birimlerindeki çalışanlar ile yöneticilerin tecrübe ve sezgilerinden yararlanarak gelecekle ilgili tahminlerde bulunmak olabilir. Bu yöntem düşük maliyetli olmakla beraber tamamen kişisel tecrübe ve sezgiye dayandığından çeşitli sakıncalar taşır. Günümüz koşullarında talebi etkileyen unsurların çokluğu ve bunların aralarındaki ilişkilerin karmaşıklığı, bu yöntemi tamamiyle geçersiz olmasa bile yetersiz kıldığından, tahminlerin duyarlılığı açısından istatistik yöntemlerin kullanılması zorunlu hale gelmiştir. Son yıllarda bilgisayar teknolojisindeki hızlı gelişmeler çok sayıda stok kalemleri söz konusu olduğu durumlarda bile istatistiksel tahminlerin kolaylıkla yapılabilmesine olanak sağlamıştır. Daha önce elle hesaplanması saatler sürebilecek tahmin modelleri, bilgisaylarlar ve hazır paket programlar yardımıyla 7 Kobu, Üretim Yönetimi, s.100 26 birkaç dakika içinde çok hızlı bir şekilde çözülebilmektedir. Diğer taraftan, kişiler ne kadar tecrübeli ve sezgileri isabetli olsa da tahminlerin kapsadığı zaman aralığı arttıkça yanılma paylarının da hızla artacağı gözden uzak tutulmamalıdır. Ancak, özellikle yeni bir ürünün piyasaya çıkarılması gibi elde geçmiş dönemlere ait veriler olmadığı durumlarda bu yönteme başvurulabilir. Diğer bir yöntem ise nüfus artışı, işsizlik oranı, kişi başına milli gelir, fiyat artışları, bankalardaki mevduat hesapları gibi çok çeşitli demografik ve ekonomik göstergelerden faydalanmaktır. Bu verilerin bir veya birkaç tanesi ile işletmenin satışları arasında bir ilişki olup olmadığı regresyon ve korelasyon analizleri ile incelenerek eğer anlamlı bir ilişki olduğu görülürse bunlara dayanarak satış tahminleri yapılır. Talep tahminlerinde sıklıkla başvurulan en önemli yöntem, geçmiş dönemlere ait satış bilgilerinin analizi yoluyla gelecek hakkında tahminlerde bulunmaktır. Bu yöntemde istatistikteki zaman serileri analizi temel alınarak çeşitli talep modelleri oluşturulur ve bu modeller bilgisayarlar desteği ile de stok kontrol sistemlerinde kolaylıkla uygulanabilir. Stokların takibi için tüm mal giriş ve çıkışları zaten bilgisayara kaydedildiğinden, aynı satış bilgileri gelecek dönemlerin talep tahminlerinde de fazla çaba gerektirmeksizin kullanılır. 1.4 Zaman Serileri Bir işletmede, çeşitli amaçlı planlama çalışmalarında olduğu gibi, stok yönetimini ilgilendiren talep tahminlerinde de sıklıkla kullanılan yöntem geçmişe ait satış bilgilerinin kullanılmasıdır. Bu hususta geçerli bir teknik ortaya koyabilmek için öncelikle rassal talebin nasıl oluştuğunu betimleyen bir model ortaya koymak gereklidir. Bu ise geçmiş verilerin analizi sonucunda elde edilebilir. Ancak, böyle bir model oluşturmak için elde yeterli veri yoksa genel kabul görmüş modellerden birini kullanmak ile işe başlanır. Bu modeller istatistikteki özellikle zaman serileri analizinden yola çıkılarak oluşturulmuş modellerdir. Zaman serileri, değişkenlerin gün, hafta, ay, mevsim veya yıl gibi herhangi bir zaman birimine göre eşit aralıklarla dağılımını gösteren serilerdir. Makro ve 27 mikro ekonomik verilerin hemen hemen tamamı zaman serileri şeklinde düzenlenir. Zaman serilerinde bağımsız değişken kullanılan zaman birimi, bağımlı değişken ise bir ülkenin milli geliri, dış ticareti, tarımı, çelik üretimi gibi makro ekonomik veriler veya bir işletmenin üretim miktarları, satışları, yatırımları, fiatlar, ödenen ücretler gibi mikro ekonomik verilerdir. Zaman serileri analizinde geleceğin tahmini geçmişte elde edilen bilgilere dayanarak yapıldığından, ele alınan olayda geçmişteki davranış biçiminin gelecekte de aynı şekilde devam edeceği varsayılır. Bu sebeple istikrarsız veya beklenmedik değişimlerin olduğu ortamlarda bu yöntemin kullanılması doğru olmaz. Zaman serileri analizleri altı grupta toplanabilir8. Bunlar : 1.5 1) Zaman serilerinin bileşenlerine ayrılması yöntemi. 2) Üstel düzgünleştirme yöntemleri. 3) Otoregressif modeller. 4) Hareketli ortalama yöntemleri. 5) Bileşik otoregresif hareketli ortalama yöntemleri. 6) Eşleştirilmiş zaman serileri analizi. Zaman Serilerinin Bileşenlerine Ayrılması Zaman serilerinin bileşenlerine ayrılma yönteminde ele alınan ekonomik zaman serisi genel eğilim veya trend “T”, konjonktür “K”, mevsimsel etki “M” ve arızi faktörler “A” olarak olarak dörde ayrılarak incelenir.9 1) Trend (Genel eğilim) : Belirli bir değişkenin yeteri kadar uzun bir zaman dilimindeki davranışı olarak tanımlanır. Trendin ortaya çıkarılabilmesi için 10–15 yıllık veya 10–15 yılı kapsayan aylık veya mevsimlik veriye gereksinim vardır. Bu süre, iktisatçılarca 3–5 yıl olarak kabul edilen konjonktür dalgalanmalarından 2–3 konjonktür dalgalanmasını kapsaması 8 Neyran Orhubilge, Zaman Serileri Analizi, Tahmin ve Fiyat İndeksleri, İstanbul : Avcıol Basım Yayın, 1999, s.4 9 W. Wayne Daniel ve James C. Terrell. Business Statistics. 5.b. Boston – USA : Houghton Mifflin, 1989. s.713 28 anlamına gelir. Daha kısa bir dönemin analizi trendin değil de konjonktürün ortaya çıkarılması, daha uzun dönem alınması ise farklı trend dönemlerinin karışması gibi bir sakınca doğurur. Trendin başlatılacağı dönemin ekonominin durgun olduğu bir dönem olması, refah veya resesyon dönemlerine isabet etmemesi önerilir. 2) Mevsimsel etki : Mevsimsel etkiler aylık veya mevsimlik verilerde ortaya çıkar. Özellikle aylık veya sezonluk verilerde mevsime bağlı olarak meydana gelen değişmeler mevsimlik dalgalanmalar olarak adlandırılır. Örneğin yaz aylarında dondurma ve meşrubat satışlarındaki, sonbahar ve kış aylarında doğalgaz tüketimindeki artışlar bu tip dalgalanmalardır. Buna karşılık, temel gıda maddelerinin satışları mevsimlik dalgalanmalardan çoğunlukla etkilenmezler. 3) Konjonktür dalgalanmaları : Uzun vadede sektörlerin veya genel ekonominin refah veya resesyon dönemlerinindeki değişmelerdir. Yatırımlar, üretim, gelirler ve satışlar bir süre artar (refah dönemi), daha sonra bu göstergelerde düşüş başlar (resesyon dönemi). İktisatçılar konjonktür dalgalanmalarının uzunluğunu 3–5 yıl olarak kabul ederler. Bu dalgalanmalar mevsimsel etkiden farklı olarak daha uzun zaman sürelerinde ortaya çıkan değişimler olup, daha zor öngörülebilen değişimlerdir. Ekonomik değişkenlerin değerleri refah döneminde trendin üzerinde, resesyon döneminde ise trendin altında kalır. 4) Arızi faktörler : Doğal afetler, savaşlar, siyasi hareketler gibi sosyal ve ekonomik nedenlerle ortaya çıkan ve önceden tahmin edilmesi mümkün olmayan olaylardır. Bu olaylar ekonomik değişkenlerin değerleri üzerinde etki yaparak bazılarının artmasına, bazılarının ise azalmasına sebep olurlar. Analizlerde, bir t devresindeki belirli bir yt değeri bu dört bileşenin çarpımı olarak ifade edilirler. yt = T .K .M . A (1.1) 29 1.5.1 Trendin Belirlenmesi Bir değişkenin zaman içinde izlediği trendin belirlenmesinde kullanılan iki temel yöntem vardır. 1.5.1.1 Zaman serilerinde regresyon analizi Trendin belirlenmesinde kullanılan yöntemlerden biri ilişki analizi, diğer bir ifade ile zaman serilerinde regresyon analizidir. Basit regresyon denkleminin yazılabilmesi için izlenebilecek bir yol, verilerin grafiğini çizerek buna bir fonksiyon uydurmadır. Bu kesin sonuç veren bir yöntem olmamakla birlikte trend hakkında bir fikir veren çabuk bir yoldur. Diğer bir yol ise, basit regresyon analizinde de kullanıldığı şekliyle en küçük kareler yöntemidir (Least squares method); ancak burada bağımsız değişken hafta, ay, mevsim veya yıl gibi bir zaman birimidir. Bilindiği gibi, ölçülen değişkenin gerçek değerleri yt , hesaplanan değerleri y’t n ve tahmin hatası et olmak üzere, n ∑e = ∑( y 2 t 2 t i =1 − yt ' ) toplamının minimum olduğu i =1 fonksiyon trend fonksiyonu olarak seçilir. Basit regresyon analizi için çıkarılan sonuçlarla, duyarlılık ve uygunluk ölçüleri trend analizi için de geçerlidir. Trendin belirlenmesinde değişkenin özelliklerine göre, Düzgün model : yt = a + et → Doğrusal model : yt = a + b ⋅ t + et yt ' = a yt ' = a + b ⋅ t → Logaritmik model : yt = a + b ⋅ n t + et → yt ' = a + b ⋅ n t ve benzeri çeşitli modeller kullanılabilir. Burada yt’ belirli bit t anındaki hesaplanan talep miktarı, a ve b modelin katsayılarıdır. a ve b katsayıları n n i =1 i =1 ∑ et2 = ∑ ( yt − yt ') toplamının türevi sıfıra 2 eşitlenerek bulunur. Örneğin doğrusal model için en küçük kareler yöntemi ile a ve b katsayıları, n n ∑ yt = na + b ⋅ ∑ xt t =1 t =1 ve n n n t =1 t =1 t =1 ∑ xt ⋅ yt = a ⋅ ∑ xt + b ⋅ ∑ xt2 denklemleri çözülerek elde edilebilir. Diğer bir ifade ile de, x ve y ortalama değerler olmak üzere, 30 n n ∑( x − x) ⋅ ( y i b= −y i i =1 n ∑( xi − x i =1 ) n ∑x ⋅ y ) i veya 2 b= i n ∑ xi ⋅ ∑ yi − i =1 i =1 i =1 n n ∑ xi n 2 xi − i =1 ∑ n i =1 2 a = y −b⋅x tahminin standard hatası ise, ∑ ( y − y ') S yx = n−2 2 = ∑( y − y) 2 −b⋅∑ x − x ⋅ y − y ( )( ) n−2 şeklinde elde edilir. Buna göre, belirli bir t anındaki talep tahmin tahmin aralığı ise, 2 Yt = yt ' ± ( t veya z ) ⋅ S yx ⋅ 1 1+ + n ( x − x) ∑( x − x) 0 2 olarak hesaplanır. 1.5.1.2 Hareketli Ortalamalar Trendin belirlenmesinde kullanılan diğer bir yöntem de düzgün talep modeli ( yt = a + et ) durumunda kullanılan hareketli ortalamalar (moving averages) yöntemidir.10 Bu, geçmiş dönem verilerinden k adedinin aritmetik ortalaması alınarak elde edilen değer, ya dönemin ortasındaki (merkezi hareketli ortalamalar – centered moving averages), ya da bir sonraki döneme ait değerin (basit hareketli ortalamalar – single moving averages) tahmini olarak kullanılmasından ibaret bir yöntemdir. Merkezi hareketli ortalamalar aşağıdaki formüller yardımıyla hesaplanır :11 yt ' = 10 yt − ( k −1) 2 + … + yt −1 + yt + yt +1 + … + yt + ( k −1) 2 k (1.2) Silver, Pyke ve Peterson, Inventory Management and Production Planning and Scheduling, s.87 11 Orhubilge, Zaman Serileri Analizi, Tahmin ve Fiyat İndeksleri, s.12 31 Burada : k : Dönem uzunluğu (veya ortalamaya giren veri adedi) y’t : Değişkenin incelenen dönemin tam ortasındaki tahmini değeridir. Merkezi hareketli ortalamalar yönteminde seçilen dönem sayısı tek ise, incelenen serinin başından ve sonundan ( k − 1) 2 , çift ise k 2 tane değerin tahmini yapılamamaktadır. Kaç veri üzerinden ortalamalar alınacağına karar verilirken k ’ nın büyük olmasının kaybedilen terim sayısını arttırdığı göz önüne alınmalıdır. Merkezi hareketli ortalamalar ile incelenen dönemin sonundaki değerler tahmin edilemediğinden doğal olarak bu yöntem gelecek tahminlerinde kullanılmaz. Sadece geçmiş dönemlerin incelenmesi ile verilerin trendin etkisinden arındırılmasında uygulanabilen bir yöntemdir. Basit hareketli ortalamalar ise, incelenen döneme ait ortalamanın bu dönemden bir sonrakine ait değerin tahmininde kullanılır. k dönem için hesaplanan basit hareketli ortalama,12 y 't +1 = t yt − k +1 + yt − k + 2 + … + yt −1 + yt 1 = ⋅ ∑ yi k k i = t − k +1 (1.3) formülü ile elde edilir. Yani, t+1 inci devre değerinin ardışık k devrenin ortalamasına eşit olacağı varsayılır. Özellikle mevsim etkisi hesaba katılmadığından bu yöntem durgun serilerde uygulanabilir; aksi takdirde hatalı sonuçlar elde edilir. Diğer taraftan, yukarıdaki iki formülden de anlaşılacağı gibi hareketli ortalamalar hesaplanırken geçmiş dönem verilerinin hepsine eşit ağırlıklar verilmektedir. Bu sebeple basit hareketli ortalamalar ile yapılan tahminler genelde çok sağlıklı değildir. Özellikle geçmiş dönem verilerine gittikçe azalan ağırlık verildiği üstel düzgünleştirme yöntemlerinin geliştirilmesi ile bu yöntem uygulamada yaygınlığını kaybetmektedir. 12 Orhubilge, Zaman Serileri Analizi, Tahmin ve Fiyat İndeksleri, s.92 32 1.5.2 Mevsim Etkisinin Belirlenmesi Mevsimlik değişim kavramı ilk anda bu değişkenliğin mevsim ve iklim şartlarından kaynaklandığı fikrini akla getirir. Bu, özellikle hammadde temini mevsimlerle veya iklim şartları ile yakından bağlantılı olan salça, konserve gibi tarım ürünleri veya tüketimi iklim şartlarından etkilenen dondurma, meşrubat gibi ürünler için doğru olabilir. Bu durumlarda değişkenin yıl içindeki değişkenliği önemlidir. Ancak, örneğin bir lokanta işletmesi için satışların hafta içinde günlere göre değişiminin bilinmesi önemlidir; bu durumda artık kelime anlamı ile bir mevsim etkisi değil, haftalık olarak gün temelinde bir etkilenme söz konusudur. Kısaca, bir mevsimsel döngü, bir değişkenin değerinin zaman içindeki konumuna göre değişikliğe uğradığı zaman periyotları takımı olarak tanımlanabilir.13 Mevsimlik dalgalanmaların incelenmesinin kısa dönemdeki dalgalanmaların açıklanması, kısa dönem tahminlerinin yapılabilmesi ve zaman serilerinin mevsim etkisinden arınıdırılabilmesi olarak sayılabilecek üç önemli nedeni vardır. Mevsim etkisini ortaya çıkarmak için mevsim indeksi adı verilen indeksler düzenlenir. Mevsim indeksinin oluşturulması için değişkenlere ait verilerin en az 6–7 yıllık, ay veya mevsim bazında olması gereklidir. Mevsim indeksinin hesaplanmasında kullanılan en önemli yöntem hareketli ortalamalar oran yöntemidir. Yönteme aylık verilerde 12’şerli, mevsimlik verilerde 4’erli merkezi hareketli ortalamaların hesaplanması ile başlanır. Trend, konjonktür, mevsim ve arızi faktörlerden oluşan zaman serisi verilerinde bu yolla trend ve konjonktür bileşenleri elde edilir. Gözlem verilerinin hesaplanan hareketli ortalamalara oranlanması ile mevsimlik ve arızi faktörlerin etkisi ortaya çıkarılır. Aylık verilerle çalışıldığında bu işlem aşağıdaki şekilde gösterilebilir.14 yt T ⋅K ⋅M ⋅ A ⋅ 100 = ⋅ 100 = M ⋅ A ⋅ 100 yt ' T ⋅K yt : Aylık gözlem değerleri yt ' : 12’şerli hareketli ortalamalardır. 13 Daniel ve Terrell. Business Statistics. s. 742 14 Orhubilge. Zaman Serileri Analizi, Tahmin ve Fiyat İndeksleri, s.65-66 (1.4) 33 12’şerli hareketli ortalamalar hesaplanırken kullanılan veri sayısı çift olduğundan birbirini takip eden iki yılın aynı aylarının değerlerinin yarısı ile diğer 11 ayın değerlerinin toplamı 12’ye bölünerek tam ortaya düşen ayın 12’şerli hareketli ortalaması bulunur. y 't + 6 = yt / 2 + yt +1 + yt + 2 + … + yt +12 / 2 12 yt ⋅ 100 işlemi ile gözlem değerleri trend ve konjonktürün etkisinden yt ' arındırılarak mevsimlik ve arızi faktörlerin etkisi ortaya çıkarılır. Bu işlem her ay için yapılarak (n–1) adet yüzdenin aritmetik ortalamaları alınarak mevsim indeksi oluşturulur. 12 aylık mevsim indeksinin toplamı 1200 (mevsimlik analizlerde 400) olması gerekir. Ancak her seferinde bu toplama ulaşmak mümkün olmadığından aşağıdaki şekilde bir düzeltme işlemi yapılır. Düzeltilmiş mevsim indeksi : Mİ ⋅ 1200 12 ∑ Mİ (1.5) t =1 12 Burada ∑ Mİ , elde edilen 12 aylık mevsim indeksleri toplamıdır. t =1 Mevsim indekslerinde, indeksin 100 veya civarında olduğu aylarda veya dönemlerde mevsim etkisi yok demektir. Mevsim indeksinin 100’den küçük olduğu devrelerde mevsim etkisi ile azalma, 100’den büyük olduğu devrelerde ise mevsim etkisi ile artış olduğu anlaşılır. Aylık veya dönemlik veriler mevsim indeksine bölünerek, isteniyorsa mevsimlik etkiden arındırılır. Belirli bir devredeki değerin tahmini istendiğinde ise trend ile tahmin edilen değer mevsim indeksi ile çarpılarak o devreye ait mevsim etkisini de kapsayan değer bulunur. ( y t = yt '⋅ M ) 34 1.5.3 Konjonktür ve Arızi Faktörlerin Etkilerinin Belirlenmesi Konjonktür dalgalanmaları ve arızi faktörler zaman serilerinin diğer önemli bileşenleridir. Konjonktür dalgalanmaları, işletmenin kontrolü dışında oluşan genel ekonomik gelişmelerden kaynaklanan değişimlerdir. Ekonomideki hızlı büyüme (refah) dönemlerini ekonomide yavaşlama (resesyon) dönemleri takip eder.15 Bu hareketlerin saptanması işletmelerde sektörün, ekonomide ise sektörlerin hangi yönde hareket ettiğinin, kısa dönemde işletmelerin veya sektörün değerlendirmesi ve planlamasında kullanılan kısa dönem tahminlerinin yapılmasına olanak verir. Bir konjonktür dalgalanmasının uzunluğunu bulmak için iki refah veya iki resesyon dönemi arasındaki fark alınır. Yıllık zaman serileri söz konusu olduğunda, konjonktür ve arızi faktörlerin etkisi aşağıdaki şekilde hesaplanır. yt T ⋅K ⋅A ⋅ 100 = ⋅ 100 = K ⋅ A ⋅ 100 yt ' T (1.6) Aylık veya devrelik zaman serileri söz konusu olduğunda ise, konjonktür ve arızi faktörlerin etkisi, mevsim etkisi de göz önüne alınarak, yt T ⋅K ⋅M ⋅ A ⋅ 100 = ⋅ 100 = K ⋅ A ⋅ 100 yt '⋅ M T ⋅M (1.7) şeklinde hesaplanır. 15 Daniel ve Terrell. Business Statistics. s. 751 35 1.6 Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri Zaman serilerinin rassal dalgalanmalardan arındırılması ve serilerin içindeki gizli eğilimlerin ortaya çıkarılması amacıyla düzgünleştirme adı verilen bir takım yöntemler kullanılır. Bunlardan birincisi yukarıda ele alınmış olan basit hareketli ortalamalar yöntemidir. Zaman serilerinde kullanılan diğer bir düzgünleştirme yöntemi de üstel düzgünleştirmedir. Bu yöntemin basit hareketli ortalamalardan en önemli farkı, geçmiş dönem verilerine eşit değil azalan ağırlıklar verilmesi, diğer bir anlatımla tahminlerde kullanılan geçmiş dönem verilerinin daha yakın geçmişte gerçekleşenlerinin yüksek, veriler eskidikçe de üstel olarak azalan ağırlıklarla hesaba dahil edilmeleridir. Sıkça kullanılan üstel düzgünleştirme yöntemleri : 1) Tekli basit üstel düzgünleştirme. 2) Brown’ın tek parametreli doğrusal üstel düzgünleştirme yöntemi. 3) Holt’un iki parametreli doğrusal üstel düzgünleştirme yöntemi. 4) Brown’ın ikinci dereceden üstel düzgünleştirme yöntemi. 5) Doğrusal ve mevsimsel üstel düzgünleştirme – Winters yöntemidir. 6) Chow’un uyarlanabilir kontrol yöntemi. 7) Brown’ın tek parametreli uyarlanabilir yöntemi. 8) Box – Jenkins üç parametreli düzgünleştirme yöntemi. 9) Harrison’un harmonik düzgünleştirme yöntemi. 10) Winters’in çarpım modeli. 11) Uyarlanabilir tepki oranlı basit üstel düzgünleştirme yöntemi. gibi yöntemler sayılabilir. 6 – 11 grubundaki yöntemler çok uzun hesaplamalar gerektirdiklerinden yaygın olarak kullanılmazlar ve burada ele alınmayacaklardır. 36 1.6.1 Tekli Basit Üstel Düzgünleştirme Yöntemi Brown’ın basit üstel düzgünleştirme yöntemi olarak da bilinir. Bu yöntemin uygulanması aşağıda açıklanmıştır. Belirgin bir trendi olmayan ve mevsimlik dalgalanmaların olmadığı zaman serilerinde kullanılır. y1, y2, .... , yn belirgin bir trendi ve mevsimlik dalgalanması olmayan örneğin aylık bir zaman serisi olsun (doğal olarak aynı şekilde haftalık, günlük vs. serilere de uygulanabilir). t ayının tahmini değeri, y 't = α ⋅ yt −1 + (1 − α ) ⋅ y 't −1 olarak ifade edilir. Burada yt – 1 , t–1 ayının gözlem değeri, y’t – 1 , t–1 ayının tahmini değeri ve α düzgünleştirme sabitidir. α sabiti 0 ile 1 arasında değerler almak üzere n n ∑e = ∑( y i =1 2 t t − yt ' ) 2 toplamını minimum yapacak şekilde seçilir. Uygulamada α i =1 düzgünleştirme sabiti için 0,01–0,30 değerlerinin genellikle uygun olduğu görülmüştür.16 y 't = α ⋅ yt −1 + (1 − α ) ⋅ y 't −1 (1.8) Burada y’t–1 bir önceki ayın verileri ile y 't −1 = α ⋅ yt − 2 + (1 − α ) ⋅ y 't − 2 şeklinde yazılıp yerine konursa : y 't = α ⋅ yt −1 + (1 − α ) ⋅ α ⋅ yt − 2 + (1 − α ) ⋅ y 't − 2 2 y 't = α ⋅ yt −1 + α ⋅ (1 − α ) ⋅ yt − 2 + (1 − α ) ⋅ y 't − 2 (1.9) Benzer şekilde y’t–2 açılarak yerine konursa : 2 y 't = α ⋅ yt −1 + α ⋅ (1 − α ) ⋅ yt − 2 + (1 − α ) ⋅ α ⋅ yt − 3 + (1 − α ) ⋅ y 't − 3 2 3 y 't = α ⋅ yt −1 + α ⋅ (1 − α ) ⋅ yt − 2 + α ⋅ (1 − α ) ⋅ yt − 3 + (1 − α ) ⋅ y 't − 3 (1.10) Böyle devam edilerek n ay için tahmini değer hesaplanırsa : n y 't = α ⋅ ∑ (1 − α ) i −1 ⋅ yt − i + (1 − α ) n ⋅ y 't − n (1.11) i =1 0 ≤ α ≤ 1 olduğu hatırlanırsa (1.10) ve (1.11) denklemlerinden görüleceği gibi eski ayların verilerine üstel olarak azalan ağırlıklar verilmektedir.17 16 Orhubilge, Zaman Serileri Analizi, Tahmin ve Fiyat İndeksleri, s.96 17 Daniel ve Terrell. Business Statistics. s. 725 37 Diğer taraftan, (1.8) denklemi aşağıdaki şekilde de yazılabilir. y 't = y 't −1 + α ⋅ ( yt −1 − y 't −1 ) = y 't −1 + α ⋅ et −1 (1.12) Bu eşitlikten de anlaşılacağı gibi t ayının y’t tahmini değeri, bir önceki ayın tahminine o ayın tahmin hatası α ağırlıkla eklenmek suretiyle bulunur. Bu şekilde, daha önceki aylarda yapılan tahmin hataları yeni dönem tahminlerinin düzeltilmesinde kullanılmaktadır. İncelenen dönemin ilk ayının tahmini yapılırken genellikle bir önceki ayın tahmini değeri yerine gözlem değeri kullanılır ( y 't −1 → yt −1 ⇒ y 't = yt −1 ). Bir diğer yol da birkaç dönemin gözlem değerlerinin ortalamasının alınarak y 't −1 yerine kullanılmasıdır. 1.6.2 Doğrusal Hareketli Ortalamalar Yöntemi Belirgin bir trendi olan verilere hareketli ortalamalar uygulandığında tahminlerin daima gerçek değerlerden düşük oldukları gözlemlenmiştir. Bu sistematik hatayı ortadan kaldırmak için doğrusal hareketli ortalamalar (Linear moving averages) adı verilen yöntem geliştirilmiştir.18 Yöntemin esası ikinci kez hareketli ortalamalar hesaplamak, diğer bir deyişle gözlenen verilerle elde edilen hareketli ortalamaların bir kez daha hareketli ortalamalarını hesaplamaktır. k dönem için basit hareketli ortalamalar : y 't +1 = yt − k +1 + yt − k + 2 + … + yt −1 + yt k İkinci hareketli ortalamalar ise : y "t +1 = y 't − k +1 + y 't − k + 2 + … + y 't −1 + y 't k Buna göre t + m inci devre tahmini y t + m = at + bt ⋅ m (1.13) aşağıdaki denklemle yapılır. Burada, at = y 't + ( y 't − y "t ) = 2 y 't − y "t 18 ve bt = 2 ⋅ ( y 't − y "t ) k −1 (1.14) Orhubilge, Zaman Serileri Analizi, Tahmin ve Fiyat İndeksleri, s.100 38 1.6.3 Brown’ın Tek Parametreli Doğrusal Üstel Düzgünleştirme Yöntemi Doğrusal hareketli ortalamalara benzeyen bir yöntemdir. Trendi olan ve mevsim etkisi taşımayan serilere uygundur. t devresindeki tahmini değerin denkleminin y 't = at + bt ⋅ t + et olduğu düşünülsün. Birinci basit üstel düzgünleştirilmiş değer : y 't = α ⋅ yt + (1 − α ) ⋅ y 't −1 İkinci basit üstel düzgünleştirilmiş değer : y "t = α ⋅ y 't + (1 − α ) ⋅ y "t −1 y't ve y”t değerleri hesaplanırken bilinmeyen y't – 1 ve y”t – 1 değerleri yerine yt veya birkaç gözlem değerinin ortalaması kullanılır. Uygulamada düzgünleştirme sabitinin 0,1–0,2 değerlerinin genellikle uygun olduğu görülmüştür.19 Buna göre t + m inci devre tahmini (1.13) denklemindeki gibi aşağıdaki y = a + b ⋅ m denklemi ile yapılır. t t t +m Burada, at = y 't + ( y 't − y "t ) = 2 y 't − y "t ve bt = α ⋅ ( y 't − y "t ) 1−α (1.15) 1.6.4 Holt’un İki Parametreli Doğrusal Üstel Düzgünleştirme Yöntemi Bu yöntem Brown’ın doğrusal düzgünleştirme yöntemine benzemekle birlikte burada ikinci düzgünleştirme formülü kullanılmaz. Bunun yerine doğrudan trend değerleri düzgünleştirilmektedir. Bu yöntemde tahminler yine 0–1 arasında değerler alabilen α ve β gibi iki düzgünleştirme sabiti ile yapılır. Şöyle ki, t + m inci devre tahmini : y t + m = y 't − bt ⋅ m Burada : y 't = α ⋅ yt + (1 − α ) ⋅ ( y 't −1 + bt −1 ) bt = β ⋅ ( y 't − y 't −1 ) + (1 − β ) ⋅ bt −1 (1.16) (1.17) α ve β sabitleri, tahmin hataları kareler toplamını minimum yapacak şekilde çeşitli değerler denenerek seçilir. 19 Orhubilge, Zaman Serileri Analizi, Tahmin ve Fiyat İndeksleri, s.104 39 1.6.5 Doğrusal ve Mevsimsel Üstel Düzgünleştirme (Winters) Yöntemi Üstel düzgünleştirme kavramı mevsim etkisini içeren modellere de uygulanabilir. Mevsim etkisini de içeren modelin bit t devresi için genel ifadesi, Mt bu devreye ait mevsimsel etki çarpanı olmak üzere y 't = ( a + b ⋅ t ) ⋅ M t + et olarak yazılır. Belirli bir dönem boyunca bir t devresine ait verilerin bilindiği varsayılsın. Bir sonraki t+1 devresine ve t+m devrelerine ait tahmin değerleri sırasıyla aşağıdaki gibi elde edilir :20 y 't +1 = ( at + bt ) ⋅ M t − L +1 (1.18) y 't + m = ( at + bt ⋅ m ) ⋅ M t − L + m (1.19) Buradaki at ve bt parametreleri, t devresi için a ve b’nin tahmin edilen değerleri, L mevsim uzunluğu, örneğin bir yıl içindeki ay veya mevsim sayısıdır. Winters yönteminin denklemleri ise : at = α ⋅ yt + (1 − α ) ⋅ ( at −1 + bt −1 ) Mt−L bt = β ⋅ ( at − at −1 ) + (1 − β ) ⋅ bt −1 Mt = γ ⋅ (1.20) yt + (1 − γ ) ⋅ M t − L at Bu denklemlerdeki α , β ve γ düzgünleştirme sabitleridir. Yukarıdaki düzgünleştirme yöntemlerinde olduğu gibi bu sabitler tahmin hataları kareler toplamını minimum yapacak şekilde seçileceklerdir. Ancak üç sabit belirleneceğinden çok sayıdaki kombinasyonların denenmesi oldukça zaman alıcıdır. 20 Daniel ve Terrell. Business Statistics. s. 767 40 1.7 Stokların Sınıflandırılması Talep tahminleri hakkında bu bilgilerden sonra stok kavramı ele alınsın. Üretim yapan bir işletmenin stokları göz önüne alınırsa, stoklanan varlıkların arasında cins, değer, kullanım yeri, stoklama şekli gibi çeşitli farklılıklar olduğu görülür. Genel bir stok tanımı yerine, bunları istenen amaca uygun olarak sınıflandırmak ve bu şekilde incelemek yerinde olur. Örneğin ÜPK, tedarik, satış ve maliyet muhasebesi bölümleri açısından uygun olan aşağıdaki şekilde genel bir sınıflandırma yapılabilir.21 1) Hammaddeler : Bir işletmede üretime giren ve üzerinde belirli işlemler yapılarak bir fayda yaratılan tüm varlıklar hammaddedir. Hammadde tanımı işletmeye göre değişebilir; örneğin bir çelik tel çekme tesisinde çelik kütük hammadde, tel üründür, oysa bir araba lastiği üreticisi için çelik tel hammadde olarak kabul edilir. 2) Yarı ürünler : Üzerinde yapılacak işlemler sona ermemiş bulunan ve iş istasyonları arasındaki ara depolarda biriken malzemelerdir. Bunlar üretim sürecindeki stoklar (WIP = Work-in-process) olarak da adlandırılır ve görecekleri işlemler tamamlandığında ürüne dönüşürler. Atölyeye teslim edilmiş hammadde ve hazır parçalar da, son ürüne dönüşünceye kadar bu kapsamda kabul edilebilirler.22 Üretim sürecinde bu tip stokların oluşmasının, bir sonraki işlem için sıraya girilmesi, üretime devam edilmesi için kalite kontrol sonuçlarının veya iş emirlerinin beklenmesi, bu parçaların ürüne dönüşebilmesi için eksik parçaların sözkonusu olması gibi çeşitli nedenleri vardır. Yarı ürünler bir işletmenin aynı üretim tesisinde ürüne dönüşecekler ise üretim sürecindeki stok olarak, başka bir tesiste ürüne dönüşecekler ise bitmiş ürün olarak addedilirler. 21 22 Kobu, Üretim Yönetimi, s.342-343 Ronald G. Askin ve Jeffrey B.Goldberg, Design and Analysis of a Lean Production Systems, New York – USA : Wiley, 2002, s.29-30 41 3) Ürünler : Fabrika içindeki yapılacak tüm işlemler tamamlanmış ve müşterilere teslim edilmeye hazır olarak depolanan varlıklardır. Ürünler tüm üretim aşamalarını tamamlayıp belirli yerlerde durduklarından sayma, değerleme ve kontrol açılarından problem teşkil etmezler. Buna karşılık hammaddeler, özellikle de yarı ürünlerde belirsizlik göreceli olarak fazla olduğundan bunların değerlendirilmeleri daha güçtür. 4) Hazır parçalar : Ürünün bir kısmını oluşturan ve işletme dışından tedarik edilen varlıklardır. Bunlar civata, somun, vida, kayış vs. basit parçalar olabilecekleri gibi elektrik motoru, dişli kutusu, pompa, kompresör gibi daha karmaşık ürünler de olabilir. 5) Yardımcı malzemeler : Ürün içinde doğrudan yer almayan ancak onlarsız üretim yapılamayacak yedek parçalar, kesme sıvıları, makina yağı gibi tüketim malzemeleridir. Bu genel sınıflandırma işletmenin yapısına göre daha farklı biçimlerde ve sayıda yapılabilir veya amaca göre yukarıdaki sınıflardan ilgili olanlara alt sınıflar eklenebilir. Örneğin, stoklanma amaçlarına göre aşağıdaki gibi farklı bir sınıflandırma yapılabilir :23 1) Çevrim Stokları : İkmal işleminden kaynaklanan stoklardır. Bir işletmede bir ürün için talep hızı ve teslimat süreleri kesin olarak biliniyorsa, belirli bir süre boyunca talebi karşılayacak miktar stokta tutulur ve stoktaki ürün miktarı sıfıra düştüğünde teslim alınacak şekilde sipariş verilir. Bu durumda emniyet vs. başkaca bir stok tutmaya gerek yoktur. 2) Transit Stokları : Bir ürünün üretim kaynağından tüketiciye ulaştırılması için geçen zamanı ve taşınan miktarı karşılamak için oluşturulan dağıtım amaçlı stoklardır. Çevrim stoklarının bir parçası olarak düşünülebilir. Stok maliyetlerini hesaplama açısından, varış yerine kadar geçen sürede satış veya kullanıma hazır olmadıklarından çıkış noktasındaki bir stok olarak ele alınır. 23 James R. Stock, Douglas M. Lambert, Strategic Logistics Management, 4.b. Singapore: Mc Graw-Hill, 2001, s.232 42 3) Emniyet veya Tampon Stokları : Talep hızı veya teslimat süresinin belirsiz olduğu durumlarda, çevrim stoklarına ilave olarak beklenmedik aşırı talebi veya teslimattaki gecikmeleri karşılamak amacıyla oluşturulan stoklardır. 4) Spekülatif Amaçlı Stoklar : Ekonomik miktarlarda üretim yapılmasından, sipariş ve elde bulundurma maliyetleri toplamını en aza indirmek için ekonomik sipariş miktarı kadar veya iskontolardan yararlanmak amacıyla gereğinden fazla satınalma yapılmasından kaynaklanan stoklardır. Ayrıca bir ürünün fiyatının gelecekte artacağı, arzın azalacağı öngörüldüğünde veya olası bir greve karşı işletmeyi korumak amacıyla da gereğinden fazla stok tutma yoluna gidilebilir. 5) Mevsimsel Stoklar : Talepteki dalgalanmaları (özellikle mevsimsel dalgalanmaları) karşılamak amacıyla tutulan stoklardır. 6) Ölü Stok : Modasının geçmiş veya özelliklerini yitirmiş olduğundan talebin kalmadığı ürünlerdir. Bir mal için, işletmenin satış yaptığı tüm bölgelerde olabileceği gibi, sadece belirli bir bölgede talep sona ermiş olabilir. İkinci durumda ölü stoklar talebin devam ettiği bölgelere sevkedilerek değerlendirilir. 1.8 Stok Kontrolünden Etkilenen Maliyet Unsurları Stoklar tek başına, çoğu işletme için mevcut mal varlıklarının önemli kalemlerinden birini oluşturur. Son yıllardaki artan rekabet ortamı, gelen talepleri anında karşılayarak pazarın çeşitli kesimlerindeki müşterilerinin memnuniyetini artırmak amacıyla, işletmeleri daha fazla miktarda stok tutmaya yönlendirmektedir. Buna koşut olarak, özellikle bazı sektörlerde, müşteriler de, istedikleri miktarda ürünü en kısa zamanda elde edebilme alışkanlığı edinmişlerdir. Bunun işletmeler için doğal sonucu ise stoklarının artma eğilimi göstermesi olmuştur. Üretici işletmelerde stokların değeri tipik olarak mevcut mal varlıklarının % 10’u civarında olup bazı durumlarda % 20’lere kadar çıkabilmektedir. Toptancı ve perakendeciler için ise bu oran % 20 - 50 arasındadır.24 Stokların işletmelerin mal varlıkları içinde bu kadar 24 Stock ve M. Lambert, Strategic Logistics Management, s.188 43 büyük bir paya sahip olması, işletmelerde daha gerçeğe yakın ve sağlıklı bir stok kontrolüne verilen önemi artırmıştır. Aşağı yukarı tüm işletme problemlerinde olduğu gibi stok kontrol probleminde de bir kararın maliyet açısından olumlu ve olumsuz yönde etkileri vardır. Burada da çeşitli maliyet unsurları arasında bir denge durumunun araştırılması söz konusudur. Stok kontrol yöntemlerinin daha iyi anlaşılabilmeleri için öncelikle bu maliyet unsurlarının ele alınması yararlı olacaktır. Stok kontrolü politikalarından etkilenen başlıca maliyet unsurları aşağıdaki gibi tanımlanabilir.25 1) Miktar iskontoları : Tedarikçiler üretim programlarını düzgünleştirmek, aynı zamanda stoklarını da düşük tutmak amaçlarıyla müşterilerini daha büyük miktarlarda mal satınalmaya özendirmek isterler. Bu düşünceyle sipariş miktarı artıkça sattıkları malın birim fiyatında belirli oranda indirim yapabilirler. Müşteri konumundaki bir işletme açısından, dış tedarikçilerden satınalınan hammadde, parça ve malzemelerin bir defalık sipariş miktarları büyüdükçe birim fiyatta miktar iskontosu denen bir indirim sözkonusu olabilir. Buna karşı ihtiyaçtan fazla miktarda alınan mallar gereksiz stokların ortaya çıkmasına sebep olur. İşletmenin miktar iskontosu ile sağlayacağı yararlar gereğinden fazla stok tutma maliyetleri ile karşılaştırılarak bir defada sipariş edilecek mal miktarları belirlenir. 2) Sipariş maliyetleri : İşletme içinden veya dışından verilen siparişlerde sadece yeni bir sipariş verilmesi nedeni ile yapılan masraflar sipariş maliyeti olarak adlandırılır. Örneğin dış tedarikçiden alınacak mallarda talep formlarının hazırlanması, ilgili bölümlerden onay alınması, tedarikçiler arasında fiyat araştırması yapılması, mal kabulünün yürütülmesi, finansman giderleri, ithal mallarda sabit akreditif masrafları gibi maliyetler vardır. Benzer şekilde işletme içinde imalata alınacak ürünler için de birimler arası yazışmalar, iş emirlerinin düzenlenmesi ve üretim hattında kalıp, takım, aparat değişimi gibi kayıp zamanlardan kaynaklanan sipariş maliyetleri vardır. Bu maliyetler ile sık sipariş vermenin getireceği avantajlar karşılaştırılarak karar verilir. 25 Kobu, Üretim Yönetimi, s.346-349 44 3) Doğrudan malzeme maliyetleri : Genel anlamda, doğrudan kullanılan hammadde ve malzeme miktarları üretilen ürün miktarları ile doğru orantılıdır ve sipariş miktarının buna bir etkisi yoktur. Ancak rulo sacların galvanizlenmesi, boru üretimi gibi bazı durumlarda, üretimin başlangıcı ve sonunda kaybedilen malzeme, tezgah ayar süreleri ve işçilerin yeni bir ürüne adaptasyonundan kaynaklanan hatalı imalat ve ıskarta oranlarının artması gibi malzeme kayıpları olabilir. Böyle durumlarda parti hacmi büyüdükçe birim ürün başına düşen kayıp malzeme miktarı azalır. 4) Doğrudan işçilik maliyeti : Doğrudan malzeme maliyetinde olduğu gibi doğrudan işçilik maliyeti de üretilen mal miktarı ile doğru orantılıdır. Ancak burada da öğrenme süreleri ve işe adaptasyon süresi, özellikle emek yoğun ürünlerde işçilik kaybına sebebiyet vererek birim ürün başına düşen doğrudan işçilik maliyetini arttırabilir. Bu durumda stokları bir miktar yüksek tutup, doğrudan işçilik maliyetini azaltmak avantajlı olabilir. 5) Fazla mesai veya vardiya maliyetleri : Satışlardaki mevsimsel dalgalanmalar veya aşırı talep sebebiyle piyasadaki talep miktarının üretim kapasitesini aştığı dönemlerde artan talep, fazla mesai yaptırılarak veya vardiyalı çalışma düzenine geçilerek karşılanmaya çalışılır. Ancak fazla mesailerde işçilere normalden daha fazla ücret ödenir veya vardiyalı çalışmada üretim veriminin düşük olması gibi çeşitli ek maliyetler oluşur. Talebin düşük olduğu dönemlerde stok yapmak ve artan dönemsel talep artışını bu stoklardan karşılamak fazla mesai veya vardiyalı çalışmaya göre daha az maliyetli ise bu yol tercih edilebilir. 6) Yeni işçi alma, eğitme ve işten çıkarma maliyetleri : Talebin yüksek olduğu dönemlerde, işçiye fazla mesai yaptırmak veya vardiyalı çalıştırmak yerine yeni veya mevsimsel işçi almak da düşünülebilir. Ancak bu durumda yeni işçi alma ve işten çıkartma ile bunların eğitilmesi için harcanacak kaynakların maliyetleri göz önüne alınmalıdır. 7) Fazla kapasite maliyetleri : Talebin arttığı dönemlerde üretim miktarını arttırmak için baş vurulabilecek diğer bir yöntem de elde fazla sayıda makina bulundurmak ve gerektiğinde bu makinalardan yararlanmaktır. 45 Ancak talebin düşük olduğu dönemlerde bu makinalar boş kalacaktır. Makina kapasitesinin bu şekilde yüksek tutulması daha fazla yatırım, amortisman, tamir ve bakım masrafı demektir. Bu sebeplerden birim ürün maliyetinde meydana gelecek sabit ve değişken masraflardaki artışın stok tutma maliyetinden fazla olmadığı kontrol edilerek bir karar alınır. 8) Müşteri kaçırılması maliyeti : Ürün yokluğu nedeniyle isteği karşılanamayan müşteri başka bir firmanın malına yönlenirse, gelecekte bu müşteriyi geri kazanmak için ilave harcamalar ve fedakarlıklar yapılması gerekebilir. Bazı durumlarda bu müşteri tamamen de kaybedilebilir. Bu maliyeti değerlendirmek çok zor olmakla beraber uzun vadede işletmenin pazar payındaki değişmeler incelenerek bir değerlendirme yapılabilir. Müşteri talebini zamanında karşılayamamanın ve müşteriyi kaybetmenin çok önemli olduğu durumlarda maliyetlere fazla bakılmadan stok tutma yoluna gidilir. Diğer taraftan, bir işletmede üretim için gerekli hammadde, parça veya yardımcı malzemelerin gereken zaman ve miktarda hazır bulunmaması da üretim programında aksamalara, makina ve işçilerin boş kalmalarına dolayısıyla verim düşüklüğüne, ayrıca müşteri siparişlerinin tesliminde aksamalara sebep olarak istenen faydanın elde edilememesine ve işletmenin prestij yitirmesine yol açar. 9) Yıpranma ve eskime maliyetleri : Stokta tutulan malların zamanla bozulabilir nitelikte olması da stok miktarlarını belirleyen bir unsurdur. Örneğin pastorize süt gibi kısa zamanda bozulabilen ürünlerin stoklanmasının hiçbir anlamı yoktur. Ayrıca, teknolojik gelişmeler veya ürünün modasının geçmesi yüzünden stokta tutulan varlıkların değerlerinin düşmesi, hatta hiç bir değerlerinin kalmaması da sözkonusu olabilir. Stok miktarları belirlenirken bu durumların da göz önüne alınması gerekir. 10) Fiyat değişiklikleri : Fiyatların çok hızlı değiştiği şartlarda stok politikalarının doğruluğu büyük önem taşır. Stoklardaki malın fiyatının artması ek kazanç sağlıyor olsa da finansman maliyetlerinin yüksek olması durumu tamamen tersine döndürebilir. Diğer taraftan çelik, aluminyum, buğday gibi temel hammaddelerde, dünya piyasa fiyatlarının yakından 46 takip edilerek işletmenin yanlış alımlardan dolayı zarar etmesine engel olunmalıdır. 11) Vergiler ve faiz giderleri : Ülkede geçerli vergi yasaları, uygulanan muhasebe sistemi veya döviz kurlarındaki hareketlilik, stokta bulunan mallardan dolayı işletmenin vergi yükünün artmasına sebep olabilir. Bu durumda mali yıl sonunda işletmenin stoklarının yüksek olmamasına dikkat etmek gereklidir. Ayrıca stokta bulunan malların parasal değeri atıl sermaye demek olduğundan işletmenin uğradığı finansman maliyetini de değerlendirmek ve buna göre bir stok politikası izlemek gereklidir. Stokta gereğinden fazla mal bulunması işletmenin finansal yapısının zayıflamasına, hatta üretim yapamaz duruma gelmesine bile yol açabilir. 12) Depolama maliyetleri : Stok seviyeleri belirlenirken stokların korunduğu binaların kira, emlak vergisi, sigorta primleri, ayrıca depoların yatırım, bakım, işletme maliyetleri de hesaba katılmalıdır. Ayrıca kısıtlı bir depo alanında çok fazla stok tutulduğunda böyle sıkışık bir ortamda hem aranan mallara kolayca erişme imkanı azalacağından, hem de taşımalarda yer darlığından kaynaklanan sorunlar ortaya çıkacağından, uygun verimlilikle çalışmak mümkün olmayacak, bu da işçilik ve zaman kayıplarının ortaya çıkmasına sebep olacaktır. Bu sebeple stok miktarının belirlenmesinde depo kapasitesi de gözden uzak tutulmamalıdır. 13) Taşıma maliyetleri : Üretim kaynağından depoya, depodan müşteriye taşımada, özellikle taşıma uzaklıkları fazla ise, sevkedilen mal belirli bir miktarın altına indiğinde birim taşıma maliyeti artar. Örneğin yarı dolu bir kamyonla sevkiyat yapıldığında birim taşıma maliyeti aracın tam dolu olması durumuna oranla iki katına çıkacaktır. Satınalınacak mallar için de birim taşıma maliyetlerinin analiz edilerek en uygun sipariş miktarları ve zamanları belirlenmelidir. 47 Buraya kadar sayılan tüm maliyet unsurlarının ayrı ayrı hesaba katılması sistemin modellenmesi açısından pratik olmaz. Bu sebeple uygulamada stok maliyetleri üç ana grupta toplanır ve tüm maliyet unsurları bu üç gruptan uygun olan birine dahil edilir. 1) Sipariş maliyetleri : Yeni bir sipariş verileceği zaman ortaya çıkan tüm maliyet unsurlarıdır. Miktar iskontoları, taşıma maliyetleri, satınalınacak malın fiyat değişiklikleri, tedarikçi araştırması, hazırlık maliyetleri, doğrudan malzeme ve işçilik maliyetleri gibi unsurlar bu gruba dahil edilebilir. 2) Stok bulundurma maliyetleri : Elde bulundurma maliyetleri olarak da bilinirler. Bir malın stokta tutulmasının yaratacağı maliyetlerdir. Fazla mesai maliyetleri, vergi ve faiz giderleri, yıpranma ve eskime maliyetleri, depolama maliyetleri bu grup kapsamında düşünülebilir. 3) Stokta bulundurmama maliyetleri : Elde bulundurmama maliyeti olarak da adlandırılır. Bir malın stokta bulunmaması veya gerekenden az miktarda bulunması sonucunda ortaya çıkan maliyetlerdir. Elde bulundurmamanın sonuçları ve buna bağlı maliyetler iki şekilde ele alınabilir. Müşteriden sipariş alındığında istenen mal stokta mevcut değilse alıcı gereksinimini başka firmalardan temin etme yoluna gidebilir. Buna müşteri kaçırma maliyeti adı verilir ve bu maliyeti tam olarak değerlendirmek çok zordur. İstediği mal veya hizmeti alamayan müşteri, mal hazır oluncaya kadar bekleme yolunu da seçebilir. Bu durumda istenen malı teslim edebilmek için alım siparişlerinin değiştirilmesi, malı normalden daha kısa sürede teslim edebilmek için fazla mesai yapılması, gecikmeden dolayı ceza ödenmesi veya müşteriyi memnun etmek için fiyat iskontosu yapılması gibi ek maliyetler oluşur. 48 1.9 Stok Kontrol Yöntemleri Stok kontrolünün amacı belirli bir malın istenen zamanda, istenen miktarda ve istenen yerde hazır bulundurulması ve bu işlemin de mümkün olan en az maliyetle gerçekleştirilmesidir. Sözkonusu mal hammadde, hazır parça ve yardımcı malzemeler gibi üretim girdileri veya bitmiş ürün olabilir. İşletmeler büyüklüklerine, yönetim politikalarına, mali olanaklarına, üretim şekillerine, kayıt ve personel durumlarına uygun olarak çeşitli stok kontrol yöntemleri uygularlar. Bu yöntemler ana hatları ile beş grupta incelenebilir. 1) Gözle kontrol yöntemi : Stokların belirli zaman aralıkları ile bir ambar görevlisi tarafından gözden geçirilmesinden ibaret pratik ve ucuz bir yöntemdir. Ambar görevlisinin tecrübe ve yargısına dayanarak belirli bir miktarın altına düşmüş stok kalemleri sipariş edilir. Bu yöntem az sayıda stok kalemine sahip küçük işletmelerde, perakende satış mağazalarında uygulanabilir. Gözden geçirme periyodu, yeniden sipariş seviyesi, sipariş miktarı kişisel yargılara dayandığından, ayrıca stok kalemlerinin sayısı arttığında hata olasılığı fazladır. Diğer taraftan tüketim hızı, tedarik süresi gibi faktörler değiştiğinde gerekli önlemlerin alınmasında geç kalınabilir. 2) Sabit sipariş periyodu yöntemi : Her stok kalemi önceden saptanmış bir süre (tS) sonunda sayılır ve bu maldan belirli bir maksimum stok seviyesine ulaşacak miktarda sipariş verilir. (Bkz.: Şekil 1-2) Her sayım periyodunda tüketim hızı farklı olabileceğinden sipariş edilen q1, q2, q3, ... parti miktarları da farklı olacaktır. Çok sayıda stok kalemi bulunan işletmelerde her kalem için farklı sipariş periyotları belirlenmesi ve bu sürelerde kontrolların yapılması bilgisayar kullanılsa bile zor ve zaman alıcı bir iştir. Ayrıca her parti miktarı farklı olacağından satınalma güçlükleri ile karşılaşma ve miktar iskontolarından yararlanamama gibi sakıncaları vardır. 49 Miktar Maksimum stok seviyesi q2 q1 q4 q3 tS tS tS Zaman Şekil 1-2. Sabit sipariş periyodu yöntemine göre stok kontrolünün unsurları. 3) Sabit sipariş miktarı yöntemi : (R,q) yöntemi olarak da anılır. Stoklar sürekli olarak izlenir ve stok miktarı daha önceden belirlenmiş olan bir R seviyesine indiğinde, toplam sipariş maliyeti minimum olacak şekilde yine daha önceden belirlenmiş olan bir q miktarında sipariş verilir. R, yeniden sipariş seviyesi ve q ekonomik sipariş miktarı olarak adlandırılır. Sipariş noktası seviyesi belli olduğundan, her periyotta sipariş süresi tS ve tedarik süresi tr farklıdır. (Bkz.: Şekil 1-3) Oysa ki tedarik süresi belirli bir stok kalemi için çoğunlukla sabittir. Burada, bulunan tr değerlerinin en küçüğünün, stok kaleminin gerçek tedarik süresinden (L) az olmamasına özellikle dikkat edilmelidir. Sipariş miktarının sabit olmasına karşılık sipariş periyotlarının değişken olması, tüketim hızının sabit olmadığı durumlarda izlemede bazı sorunlar yaratır. Ancak stok kayıtlarının bilgisayarda tutulduğu sistemlerde, herhangi bir stok kaleminin miktarı sipariş seviyesinin altına düştüğünde ilgili kişiyi uyaracak şekilde bir düzenleme yapılarak bu zorluk aşılabilir. 50 Miktar Maksimum stok seviyesi q q q Sipariş seviyesi (R) Minimum stok seviyesi tr tS tr tS Zaman Şekil 1-3. Sabit sipariş miktarı yöntemine göre stok kontrolünün unsurları. 4) Bu temel yöntemlerden hareketle daha başka alternatif stok kontrol sistemleri oluşturulması mümkündür. Örneğin, çift kutu yöntemi olarak anılan yöntemde herhangi bir stok kalemi iki gözlü bir kutuda depolanır. Birinci gözdeki malzeme tükendiğinde daha önce belirlenmiş q miktarda sipariş verilir. Sipariş teslim alınıncaya kadar ikinci gözdeki malzeme ile gereksinim karşılanır. Gözle kontrol yöntemi gibi pratik ve ucuz bir yöntemdir, ancak aynı sakıncalar burada da sözkonusudur. Bu yöntem sabit sipariş miktarı yönteminin daha basit bir uyarlamasıdır. Kanban yöntemi de yine sabit sipariş miktarı yöntemine benzer bir uygulamadır. Burada da her biri q adet parça içeren kaplar söz konusudur. Bir kaptaki malzeme tükeniğinde bu kap üzerine Kanban adı verilen bir sipariş kartı iliştirilerek ilgili birime gönderilir. Üretim veya satınalma birimi bu miktarda üretim veya satınalma yaparak dolu kabı gönderildiği iş istasyonuna geri gönderir. 51 5) ABC yöntemi : Stok kalemlerinin toplam stok içindeki değer olarak kümülatif yüzdelerine göre sınıflandırılmasından ibaret bir stratejidir. Bu yöntemde stoklar genellikle üç grup olarak ele alınırlar. Toplam stok değerinin % 75 - 80’ini, miktarının % 15 - 20’sini oluşturan varlıklar A grubu stok kalemleri, toplam değerin % 10 - 15’ini, miktarın % 30 - 40’ını oluşturan kalemler B grubu stok kalemleri ve toplam değerin % 5 10’unu, miktarın % 40 - 50’sini oluşturan kalemler C grubu stok kalemleri olarak ele alınırlar.26 Bı sınıflandırma işletmenin stok yapısına göre daha farklı şekillerde de yapılabilir. ABC yöntemi uygulanmasında öncelikle iki kural uygulanır. Düşük değerli kalemlerden herhangi bir aksaklık karşısında işletmeyi zora sokmayacak şekilde ve miktar iskontosu vb. satınalma avantajları göz önüne alınarak bol miktarda bulundurulur, yüksek değerli stok kalemlerinin miktarı düşük tutulup, stok kontrolu sıkılaştırılır. A grubu stok kalemleri için ayrıntılı stok kayıt sistemleri düzenlenmesi, bunların kontrol sorumluluğunun daha deneyimli personele verilmesi, stokların gözden geçirilme periyodunun kısaltılması, tedarik işlemlerinin yakından takip edilmesi gibi çarelerle sıkı bir stok kontrolü sağlanır. C grubundaki stok kalemleri için bu hususlara mümkün olan en alt seviyede dikkat harcanır. Kontrol, sipariş ve kayıt işlemleri daha basitçe yapılır. Stok miktarları yüksek tutulduğundan sık sık gözden geçirme ve sipariş vermeye gerek kalmaz. B grubundaki kalemler için ise ikisi arası bir yol izlenir. 26 Kobu, Üretim Yönetimi, s.354 52 2 2.1 STOK KONTROL MODELLERİ Giriş Stok kontrolünün amacı hatırlanırsa, stok yönetiminde temel problem bir üründen ne zaman ve ne miktarda satınalınacağının veya üretileceğinin belirlenmesi olduğu kolayca anlaşılır. Bu karar verilirken stok pozisyonu, talep tahminleri ve yukarıdaki bölümde sıralanan çeşitli maliyet unsurları göz önüne alınmalıdır. Bu unsurlar ise stok kontrolünü oldukça karmaşık bir problem haline getirmektedir. Böyle karmaşık ve belirsizlikler içeren problemleri çözmek için başvurulan yöntemlerden biri de sözkonusu sistemin modellenmesidir. Modellemede temel ilke gerçek bir olayın benzerini bir model üzerinde yaratıp çeşitli durumlarda ortaya çıkan sonuçları görmekten ibarettir. Modelleme mühendislikte kullanıldığı şekliyle benzetim (simülasyon) tekniklerinden yararlanarak örneğin bir geminin modelinin oluşturup bunu su kanalında denemek ve oluşacak etkileri görmek olabileceği gibi, sistemi özelliklerini matematik denklemlerle betimleyerek karşılaşılan problemi çözmek şeklinde de olabilir. Benzetim teknikleri sosyal bilimlerde, özellikle de işletmecilik alanında da sıkça başvurulan bir yöntemdir. Ancak şimdilik benzetim bir kenara bırakılarak, öncelikle stok kontrol problemlerinin matematiksel modeller şeklinde ifade edilmeleri ve çözümleri ele alınacaktır. Matematiksel modeller temel bilim, mühendislik ve sosyal bilimler gibi bir çok alanda kullanılabilir. Örneğin fizikte kullanılan bir matematiksel model ilgili olduğu sistemi, konu hakkındaki tüm ayrıntıları içerecek şekilde betimleyen bir modeldir. Oysa burada konu edilecek işletmecilik ve yöneylem araştırmasında (YA) kullanılan modeller, çözümleri kolaylaştırabilmek amacıyla olaya etki eden ancak çok önemli görülmeyen unsurlardan bazılarının ihmal edildiği, çeşitli varsayımlar içeren daha kaba modellerdir. Stok kontrolünde kullanılan modeller ele alınmadan önce bazı kavramların tanımlanması faydalı olacaktır. 53 Stok pozisyonu denilince öncelikle stoktaki varlıklar akla gelir. Bununla birlikte, sipariş hazırlanırken eldeki mevcut stoğun yanı sıra daha önce sipariş edilmiş ancak henüz teslim alınmamış mallar ile talep gelmiş ancak stokta bulunmadığından dolayı müşteriye teslim edilmemiş sipariş bakiyeleri de hesaba katılmalıdır. Buna göre, stok kontrolü probleminde, “Stok Pozisyonu (SP) = Eldeki Mevcut Stok + Teslim Alınmamış Siparişler – Sevkedilememiş Satışlar” şeklinde düşünülmelidir. Ayrıca, müşteriler daha ileri tarihlerde teslim edilmek üzere rezervasyon yaptırabiliyorlarsa, teslimat tarihinin çok ileri bir tarih olmaması durumunda bu tip müşteri siparişleri de stok pozisyonundan düşülmelidir. Sipariş verme kararı stok pozisyonu ile ilgili olmakla beraber, elde bulundurma ve bulundurmama maliyetleri hesaplanırken stok seviyesi temel alınır. Bu miktar ise “Stok Seviyesi (S) = Eldeki Mevcut Stok – Sevkedilememiş Satışlar” şeklinde bulunur.27 Bu kavramlar, örneğin sabit sipariş miktarı yöntemi (R,q) ile stok kontrolü yapılan bir mal için gösterilmek istenirse (Bkz.: Şekil 2-1) S (Miktar) Stok pozisyonu (SP) R+q Sipariş seviyesi (R) R Stok seviyesi L L Zaman Şekil 2-1. Sabit sipariş miktarı yönteminde stok pozisyonu ve stok seviyesi 27 Axsäter, Inventory Control, s.27 54 2.2 Sabit Talep Durumunda Bir Kalem için Stok Kontrol Modelleri Stok yönetiminde kullanılan en basit stok kontrol modelleri, üretimde kullanılan bir malzeme için tüketim veya bitmiş ürün için müşterilerin talep miktarının belirli ve göz önüne alınan belirli bir dönem boyunca zaman içinde sabit olduğu bir kalem için stok kontrol modelleridir. Bu model için incelenen dönem planlama dönemi veya plan ufku (planning horizon) olarak adlandırılır. Bu ürünün tüketim veya talep miktarı birim zamanda d birim (birim miktar/birim zaman), diğer bir ifade ile tüketim hızı sabit ve d olsun. 2.2.1 Ekonomik Sipariş Miktarı (ESM) Modeli En temel stok kontrol modeli, talebin sabit olduğu herhangi bir mal kalemi için ekonomik sipariş miktarı (ESM) modelidir. Bu model ne kadar zaman aralıkları ile ve ne miktarda sipariş verileceğinin belirlenmesini amaçlayan bir sabit sipariş miktarı (R,q) yapılmaktadır : modelidir. Bu model oluşturulurken aşağıdaki varsayımlar 28 1) Talep miktarı belirli, talep sabit ve incelenen dönem içinde süreklidir. 2) Malın birim fiyatı sabittir, yani miktar iskontosu uygulanmamaktadır. 3) Sipariş verme maliyeti her sipariş için sabittir. 4) Elde bulundurma maliyeti ortalama stok seviyesi esas alınarak hesaplanır. 5) Tedarikçi istenen miktarda malın tamamını siparişin verilmesinden itibaren L zaman sonunda teslim eder. 6) Her siparişin miktarı q sabittir ve bu miktar sınırsız kabul edilmektedir. 7) Stok seviyesinin sıfırın altına düşmesine izin verilmez. 8) Plan ufku çok uzundur, yani tüm parametrelerin yeteri kadar uzun bir süre boyunca aynı değerlerde kaldıkları varsayılmaktadır. 28 Silver, Pyke ve Peterson, Inventory Management and Production Planning and Scheduling, s.150 55 Bu model, üreticiden mal alarak müşterilerine satan bir perakende satış mağazasında sıkça karşılaşılan bir durumdur. Burada tedarik süresi (L), sipariş hazırlama ve sevkiyat sürelerini kapsar. Aynı senaryo, üretim yapan bir işletme için de uygulanabilir. Bu durumda sipariş, istenen mal için üretim emridir; L ise gerekli hammadde ve malzemelerin tedarik, hazırlık ve üretim sürelerinin toplamıdır. Zaman içinde satış yapıldıkça veya mal tüketildikçe stoktaki mal miktarı –d eğimli bir doğru boyunca azalacaktır. (Bkz.: Şekil 2-2) Stok seviyesinin R miktara düştüğü belirli bir t anında q miktarda sipariş verildiğinde stok pozisyonu R + q seviyesine çıkar, buna karşılık stok seviyesi L zamanı boyunca –d eğimli doğru boyunca azalmaya devam ederek L süresi sonunda sıfıra düşer. t + L anında sipariş teslim alınır ve stok seviyesi yeniden q miktara çıkar. Bu problemde amaç belirli bir zaman süresini kapsayan bir dönem boyunca (örneğin yıllık olarak) kaç kez ve ne miktarlarda sipariş verilmesi gerektiğinin hesaplanmasıdır. Stok seviyesi R+q SP(t) q q Sipariş seviyesi (R) R Eğim d S(t) L L Zaman (t) u Şekil 2-2. Tüketim hızı sabit olan bir stok kalemi için stok miktarı Peşpeşe iki sipariş arasındaki süre, yani sipariş periyodu u ile gösterilsin. u süresinin uzunluğu u = q d ve bir dönem boyunca sipariş adedi veya diğer bir ifade 56 ile sipariş frekansı SF = 1 u = d q olacaktır. u süresince ortalama stok seviyesi ise S = q 2 dir. Sipariş başına sabit maliyet k (para birimi/sipariş), değişken maliyet c (para birimi/birim miktar) olsun. Diğer taraftan, birim malın elde bulundurma maliyetinin ana hatları ile iki tip maliyetten oluştuğu söylenebilir. Bunlardan birincisi depo kirası, elleçleme maliyeti, soğutma, iklimlendirme, sigorta gibi bir malın stokta bulundurulmasından kaynaklanan tüm doğrudan maliyetlerdir; bu hd ile gösterilsin. Diğeri maliyet unsuru da finansman maliyetidir; r faiz oranı olmak üzere finansman maliyeti birim mal için r.c olacaktır. Dolayısıyla toplam elde bulundurma maliyeti h = hd + r ⋅ c (para birimi/birim miktar/birim zaman) olarak ifade edilebilir. Buna göre toplam sipariş maliyeti,29 C ( q ) = ( k + c ⋅ q ) ⋅ SF + h ⋅ S = ( k + c ⋅ q ) ⋅ C (q) = c ⋅ d + k ⋅d h⋅q + q 2 d q + h⋅ q 2 ( q > 0) (2.1) Bu genel bir formül olup, buradaki tüm parametrelerin amaca uygun olarak aynı birimlere dönüştürülmesi gerekir. Örneğin d (kg/hafta), h (paket/ay), q (ton/yıl) gibi birimler ile verilmişse bunların hepsi aynı birimlere dönüştürülmelidir. Bu problemde amaç hatırlanacağı gibi TSM’ni minimum yapan q değerini bulmaktır. (2.1) ifadesinin birinci terim q’den bağımsızdır; ikinci terim bir hiperbol, üçüncü terimin ise bir doğruyu göstermektedir. Bu ifadedeki terimlerin temsil ettiği eğriler (Şekil 2-3)’de gösterilmektedir. Burada hiperbol ile doğrunun kesiştikleri nokta TSM’ni minimum olduğu ekonomik sipariş miktarı q* değerini verecektir. Buna göre : k ⋅d h⋅q = q 2 29 ⇒ q* = 2⋅k ⋅d h Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.35 57 400 350 300 C (q) = c ⋅ d + 250 k ⋅d h⋅q + q 2 200 150 h⋅q 2 100 50 k ⋅d q 0 0 10 20 q* 30 40 50 60 Şekil 2-3. Ekonomik sipariş miktarının TSM eğrisi yardımıyla bulunması. Aynı sonuç, (2.1) ifadesinin q’ye göre türevini alıp, türev sıfıra eşitlenerek te bulunabilir. d C (q) k ⋅d h =− 2 + =0 dq q 2 Ekonomik sipariş miktarı (ESM) : q* = 2⋅k ⋅d h (2.2) Bu değerden hareketle, optimum sipariş periyodu da aşağıdaki şekilde bulunur. u* = q* = d 2⋅k h⋅d (2.3) 58 Ekonomik sipariş miktarına karşı gelen TSM ise, (2.1) bağıntısında q yerine q* konularak aşağıdaki şekilde elde edilir : C * = C ( q *) = c ⋅ d + k ⋅d h⋅q* + q* 2 C* = C ( q *) = c ⋅ d + k2 ⋅ d2 ⋅ h 2 ⋅ k ⋅ d ⋅ h2 + 2⋅k ⋅d 4⋅h C* = C ( q *) = c ⋅ d + k ⋅d ⋅h k ⋅d ⋅h k ⋅d ⋅h + = c⋅d + 2⋅ 2 2 2 C* = c ⋅ d + 2⋅k ⋅d ⋅h (2.4) Yukarıda sayılan varsayımlarda da belirtildiği gibi ESM modelinde en önemli parametrelerden olan talep hızı d, sabit sipariş maliyeti k ve elde bulundurma maliyeti h sabit kabul edilmektedir. Ancak çoğu durumda bu değerler önceden bilinmez ve bunların olasılık dağılımlarının belirlemek ya çok zor, ya da imkansızdır. Bu aşağıda sayılan ortamlarda sıkça karşılaşılan bir durumdur.30 1) Stok maliyetlerinin henüz kesin olarak bilinmediği yeni tesis edilmiş stok sistemlerinde. Piyasaya ilk defa çıkan yeni bir ürün sözkonusu olduğunda talep hızı, sabit 2) sipariş ve elde bulundurma maliyetleri bilinmez. 3) Rekabetin fazla olduğu ürünler için rakiplerin hareketlerine koşut olarak talep hızındaki değişmeler fazladır. 4) İthal ve ihraç mallarında döviz kurlarının değişimi, devletin ekonomi politikalarının değişmesi, vergilerdeki değişimler stok maliyetlerini etkiler. ESM yukarıda izah edildiği şekilde belirlendikten sonra, q* ’ın talep hızındaki değişimlerden nasıl etkilendiği araştırılmak istenebilir. Talep hızı d, d’ olarak değiştiğinde (2.2) bağıntısından faydalanarak kolayca, yeni ESM değeri q*’ için, q *' = q* 30 d' d (2.5) Gang Yu, “Robust Economic Order Quantity Models”, European Journal of Operational Reserch, 1997, s.482-493 59 bağıntısı yazılabilir; yani, talep hızı değiştiğinde ESM değeri talep hızının karekökü ile orantılı olarak değişir. Örneğin talep % 50 arttığında, q* sadece % 22,5 artar. Diğer bir ifade ile, “talep miktarındaki değişimlere göre q* güçlüdür.” denir.31 Bu önemli bir özelliktir ve ESM modelinin, içerdiği cüretkar varsayımlara rağmen yaygın bir şekilde kullanılmasının en önemli sebeplerinden biridir. Özellikle talep hızı tahminlere dayandığından çoğu durumda bu ESM modeli bir miktar hata içerir; bu hata çok büyük olmadığı sürece tahminlere dayanarak hesaplanan q* değeri gerçek değerlere yakın çıkacağından çok önemli bir hata yapılmamış olacaktır. Diğer taraftan, Şekil 2-3’de görüldüğü gibi ESM’nin bulunmasında c.d terimi q’den bağımsızdır. Bir an için bu terim hariç tutulursa, (2.1) ve (2.4) bağıntılarından,32 C (q) k ⋅d h⋅q = + C* q⋅ 2⋅k ⋅d ⋅h 2⋅ 2⋅k ⋅d ⋅h C (q) 2⋅k ⋅d q⋅ h = + C* 2⋅q⋅ h 2⋅ 2⋅k ⋅d C (q) 1 q * q = ⋅ + elde edilir. C* 2 q q* (2.6) Buna göre, örneğin q q* = 5 4 olduğunda, yani ESM değeri % 25 aşıldığında, TSM’ndeki artış C ( q ) C * = 41 40 = 1,025 , yani % 2,5 olmaktadır. Tersine örneğin q q* = 9 10 olduğunda, yani ESM değerinden % 10 daha az bir sipariş miktarı için TSM’ndeki artış C ( q ) C * = 181 180 = 1,005 , yani yaklaşık ‰ 5,6 olmaktadır. Bu özellik tam zamanında tedarik (JIT = Just-in-Time) yaklaşımının önemli unsurlarından birini oluşturmaktadır; böylece ekonomik sipariş miktarı q* değeri daha küçük tutularak TSM’deki küçük artışlara karşılık elde bulundurma maliyetinin düşürülmesi amaçlanmaktadır. TSM’ni azaltmak için diğer bir yol da, personeli eğiterek k, yani sabit sipariş miktarını düşürmek olabilir. 31 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.38 32 Axsäter, Inventory Control, s.32 60 2.2.2 Sürekli Tedarik Halinde ESM Hesabı Daha önce de belirtildiği gibi ESM modeli, üretim yapan bir işletmede de uygulanabilir. Bir önceki bölümde ele alınan ESM modelinde L tedarik süresi sonunda bir parti malın anında üretildiği ve tek bir seferde stoğa atıldığı varsayılmaktadır. Oysa ki, üretim yapan bir tesiste tüm parti tamamlanmadan, hazır olan malların peyderpey ilgili birimlere gönderilmesi gerçeğe daha yakın bir durumdur. Özellikle üretim miktarının çok fazla olduğu durumlarda bir siparişin tamamlanması günler, hatta haftalar sürebilir. Böyle durumlarda ilgili stoklama noktalarına sevkiyat yapmak için tüm partinin tamamlanması beklenmeyip, daha küçük miktarlarda, hatta sürekli olarak üretimi tamamlanan malın ilgili birime gönderilmesi gibi uygulamalar sözkonusu olabilir. Şimdi, bir parti tamamlanıncaya kadar üretimden çıkan malların sürekli bir akış halinde ilgili birimlere sevkedildiği bir durum varsayılsın. Üretim hızı µ (birim mal/birim zaman) ile gösterilsin ve üretim hızı tüketim hızından fazla olsun (µ > d). µ < d ise talep hiçbir zaman karşılanamayacak, µ = d olduğunda ise üretim bir kez başladığında her üretilen birim anında tüketilecek demektir ki bu durum bile pratikte mümkün değildir. ρ = d µ oranı kullanım oranı olarak adlandırılır.33 Stok seviyesi q (1 –ρ).q O ρu u Zaman Şekil 2-4. Sürekli tedarik durumunda stok seviyesi 33 Plossl, Production and Inventory Control Principles and Techniques, s.47 61 Üretilen parti büyüklüğü q ile gösterilsin. Stok miktarı sıfır olduğunda (veya izlenen politikaya göre emniyet stoğu miktarına eşit olduğunda), üretim başlar. Her çevrim bir üretim periyodu ile başlar (aktif periyot), q miktarda üretim yapıldıktan sonra üretim durdurulur (pasif periyot). (Bkz.: Şekil 2-4) Bir çevrim süresi yine u = q d ve bir dönem boyunca sipariş adedi SF = 1 u = d q olacaktır. µ hızıyla q miktarda üretim yapıldığı aktif periyot uzunluğu q µ = ρ ⋅ u olur; pasif periyot uzunluğu ise u − ρ ⋅ u = (1 − ρ ) ⋅ u olacaktır. Aktif periyot sonunda stok seviyesi aşağıdaki maksimum değerine ulaşır.34 S max = q − d ⋅ q µ = (1 − ρ ) ⋅ q Bir çevrim süresince ortalama stok miktarı bu değerin yarısına eşittir. S= 1 ⋅ (1 − ρ ) ⋅ q 2 Buna göre toplam sipariş maliyeti : C (q) = c ⋅ d + k ⋅ d h ⋅ (1 − ρ ) ⋅ q + q 2 q>0 (2.7) ESM ise bu ifadenin q’ye göre türevi sıfıra eşitlenerek veya elde edilir. − k ⋅ d h ⋅ (1 − ρ ) + =0 q2 2 q* = 2⋅k ⋅d h ⋅ (1 − ρ ) (2.8) Ekonomik sipariş miktarına karşı gelen TSM ise, (2.7) bağıntısında q yerine q* konularak aşağıdaki şekilde elde edilir : C* = c ⋅ d + 2 ⋅ k ⋅ d ⋅ h ⋅ (1 − ρ ) (2.9) Görüleceği gibi burada elde edilen q* değeri, bir önceki ESM modelindekinden küçüktür. Bunun sebebi, üretilen miktarın bir kısmı kullanılmakta olduğundan ortalama stok miktarının daha az olmasıdır. Aslında, bir önceki ESM 34 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.50-51 62 modeli, buradaki q* ‘ın ρ = 0 veya µ → ∞ iken hesaplanan özel bir halidir. Talepteki değişimin q* ‘a etkisi burada da ESM modelindekine benzerdir. Talep miktarı d, d’ olarak değişirse : q*' = q* d' ⋅ d 1− ρ 1− ρ ' (2.10) Üretim sözkonusu olduğunda bu modele τ (zaman birimi) ile gösterilecek bir hazırlık zamanı da dahil etmek gereklidir. Hazırlık zamanı her parti üretime başlamadan önce tezgahların ayarı, takım veya kalıp değişimi, kalıpların ısıtılması vs. işlemlerin yapıldığı süre olarak tanımlanabilir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta hazırlık zamanı ile tedarik süresi L’nin karıştırılmamasıdır. Örneğin sac parçaların üretildiği bir pres düşünülsün. İşlenen parçadan bir başkasına geçildiğinde prese yeni kalıbın bağlanması, ayarlanması, kalıbın üretime başlanmadan ısıtılması gibi işlemlerin yapılabilmesi için bir süreye ihtiyaç vardır. Bu işlemler ise bir önceki kalıp tezgahtan sökülmediği sürece yapılamayacaktır. Oysa, tedarik süresinin bir parçası olan hammadde temini bir önceki parçanın üretimi sürerken de yapılabilir. Diğer bir ifade ile, farklı parçalar için tedarik süreleri örtüşebilir, oysa ki, hazırlık sürelerinin üst üste binmesi, mümkün değildir. Bu soruna Toyota, JIT yaklaşımı ile, kalıpların ayar sürelerini kısaltmak, tezgaha bağlamadan önce ısıtmak gibi bir takım önlemler ile (SMED, Single Minute Exchange of Die programı) bir ölçüde çözüm getirmiştir.35 Hazırlık zamanı ESM’yi doğrudan etkileyen bir unsurdur. Hatırlanacağı gibi kullanım oranı ρ = d µ , q’den bağımsızdır. Bir çevrimdeki hazırlık süresi oranı τ u = τ ⋅ d q ise q’ye bağlıdır. Hazırlık süresi de düşünüldüğünde toplam kullanım oranı τ ⋅ d q + ρ olur. Bu oran, birden fazla olamayacağından q aşağıdaki kısıtı sağlamalıdır :36 q≥ 35 τ ⋅d 1− ρ (2.11) Silver, Pyke ve Peterson, Inventory Management and Production Planning and Scheduling, s.635 36 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.53 63 Bu eşitsizlik sağlandığı sürece TSM hazırlık süresinden etkilenmeyecektir; sadece Şekil 2-4’deki stok grafiği τ kadar sağa kayacaktır. Hazırlık süresi k değerini arttıracak, ancak k ne olursa olsun, ortalama hazırlık maliyeti k ⋅ d q olarak kalacaktır. Bununla birlikte, gerektiğinde mal bulunmaması gibi bir durumla karşılaşmamak için yeniden sipariş verme noktası R = d ⋅ ( L + τ ) olmalıdır. Buraya kadar, üretimden çıkan her parçanın anında tüketilmeye başlandığı, dolayısıyla da stok sıfıra düştüğünde yeni üretime başlandığı varsayılmaktadır. Ancak, kolayca anlaşılacağı gibi çoğu fiili durumda bu mümkün olmamaktadır; parçaların bir ara depoya sevkedilme gerekliliği, soğuma veya kurumalarının beklenmesi gibi sebeplerden tüm parti üretimi tamamlanıncaya kadar tüketimin başlamaması durumu ile sıkça karşılaşılır. O halde, stok seviyesi tüm partinin üretimi süresince yetecek bir miktara indiğinde üretimin başlaması gereklidir. Üretim süresi yine q µ ve bu sürede talep d ⋅ ( q µ ) = ρ ⋅ q dir. Bu miktar aynı zamanda her çevrim süresince eldeki minimum stoktur. Maksimum stok ise, bir parti tamamlandığı andaki miktar olup, q’ye eşittir. Çevrim süresince ortalama stok ise, S= q ⋅ (1 + ρ ) dir. 2 Buna göre, (2.11) şartı da göz önüne alınarak, q* için aşağıdaki değer elde edilir : τ ⋅ d 2 ⋅ k ⋅ d , q* = max. h ⋅ (1 + ρ ) 1 − ρ (2.12) 2.2.3 Miktar İskontosu ile ESM Hesabı 2.2.1 bölümünde ele alınan temel ESM modelinde değişken maliyet c (para birimi/birim miktar) sabit kabul edilmektedir. Oysa uygulamada, tedarikçilerin müşterilerini daha büyük partiler halinde mal alımına özendirmek için, sipariş miktarı arttıkça malın birim fiatında iskonto yapmaları sıkça karşılaşılan bir durumdur. Bu bölümde miktar iskontosu söz konusu olduğunda ESM modelinin ne şekilde uygulanacağı incelenecektir. 64 Miktar iskontosu uygulandığı durumlarla ilgili belli başlı özellikler şunlardır:37 1) İskontodan faydalanmak için gereğinden daha büyük miktarlarda alım yapılır. Bu ise stokta bulundurma maliyetinin artmasına sebep olur. 2) Bir seferde daha fazla miktarda sipariş verilerek bir dönem (örneğin bir yıl) içindeki sipariş sayısı azaltılacağından (genelde bu toplam maliyeti çok fazla etkilememekle birlikte) sabit sipariş maliyeti düşecektir. Bunun yanısıra, stokta ortalama olarak fazla miktarda mal bulunacağından siparişlerin karşılanamaması gibi bir durumla karşılaşmak olasılığı azalır, dolayısıyla emniyet stokları ihtiyacı ortadan kalkar. 3) Malın birim alış fiyatı düşeceğinden, bu toplam maliyeti önemli ölçüde azaltabilir. Miktar iskontosu iki şekilde uygulanabilir. Bunlardan birincisi, artımlı veya kademeli iskonto olarak da tanımlanabilecek, sadece belirli bir miktarın üzerindeki mallar için iskonto uygulamasıdır. Burada bir χ miktarına kadar malın birim fiyatı c0 ise, χ miktardan sonraki mallar için c1 < c0 bir birim fiyat uygulanır. Sipariş maliyeti k + c ( q ) olmak üzere bu iskonto aşağıdaki iki farklı şekilde formüle edilir :38 c(q) = c0 ⋅ q c0 ⋅ χ + c1 ⋅ ( q − χ ) 0 < q ≤ χ ise q > χ ise veya, k0 = k ve k1 = k + ( c0 − c1 ) ⋅ χ olmak üzere, sipariş maliyeti, k + c(q) = k0 + c0 ⋅ q 0<q≤χ k1 + c1 ⋅ q q>χ ise ise 37 Plossl, Production and Inventory Control Principles and Techniques, s.51 38 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.55 65 Fiyat kategorileri ikiden fazla sayıda da olabilir. Örneğin m sayıda birim fiyat kategorisi varsa,39 c(q) = 0 < q ≤ χ1 ise c1 ⋅ q a −1 χ1 < q ≤ χ m −1 ise i =2 a = 2,……, ( m − 1) c1 ⋅ χ1 + ∑ ci ⋅ ( χ i − χi −1 ) + ca ⋅ ( q − χ m −1 ) m −1 c1 ⋅ χ1 + ∑ ci ⋅ ( χ i − χi −1 ) + cm ⋅ ( q − χ m −1 ) q > χ m −1 ise i =2 İkinci tip miktar iskontosunda ise, bir χ miktarına kadar malın birim fiatı c0 ise, χ miktarıdan fazla alımlar için tüm partiye c1 < c0 birim fiyat uygulanır. Bu durumda değişken maliyet, c(q) = c0 ⋅ q 0<q< χ c1 ⋅ q q≥χ ise ise şeklinde ifade edilir. Burada da ikiden fazla fiyat kategorisi belirlemek mümkündür. 2.2.3.1 Artımlı Miktar İskontosu Durumunda ESM Hesabı Kolaylık açısından iki kademeli iskontu uygulandığı durum ele alınsın. Bu durumda da sipariş maliyeti ESM modeline benzer şekilde hesaplanmakla birlikte elde bulundurma maliyetinde, doğrudan stokta bulundurma maliyeti veya elleçleme ile finansman giderleri ayrı ayrı ele alınmalıdır. r faiz oranını, c(q) ortalama değişken maliyeti göstermek üzere, birim faiz gideri r ⋅ c ( q ) / q olur. hd birim doğrudan elde bulundurma maliyeti olmak üzere TSM,40 C ( q ) = k + c ( q ) ⋅ r ⋅ c(q) d q + ⋅ hd + q 2 q (2.13) olur. Burada amaç TSM olan C(q) değerini minimum yapmaktır. C ( q ) = min {C0 ( q ) , C1 ( q )} 39 Askin ve Goldberg, Design and Analysis of a Lean Production Systems, s.177 40 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.55 66 Buna göre, 0 < q ≤ χ ise : c ( q ) = c0 ⋅ q ve k + c ( q ) = k0 + c0 ⋅ q olacağından, C0 ( q ) = ( k0 + c0 ⋅ q ) ⋅ d q r ⋅ c0 ⋅ q + ⋅ hd + q 2 2 k0 ⋅ d q + ⋅ ( hd + r ⋅ c0 ) q 2 C0 ( q ) = c0 ⋅ d + (2.14) q > χ ise : c ( q ) = c0 ⋅ χ + c1 ⋅ ( q − χ ) ve k + c ( q ) = k1 + c1 ⋅ q olacağından, C1 ( q ) = ( k1 + c1 ⋅ q ) ⋅ C1 ( q ) = c1 ⋅ d + r ⋅ c0 ⋅ χ + r ⋅ c1 ⋅ ( q − χ ) d q + ⋅ hd + q 2 2 k1 ⋅ d q r⋅χ + ⋅ ( hd + r ⋅ c1 ) + ⋅ ( c0 − c1 ) q 2 2 (2.15) elde edilir. (2.14) ve (2.15) ifadelerinin q’ye göre türevleri alınıp sıfıra eşitlenirse, bu değerleri minimum yapan q miktarları elde edilecektir. C0 ' ( q ) = − k0 ⋅ d 1 + ⋅ ( hd + r ⋅ c0 ) = 0 ⇒ q0 * = q2 2 C1 ' ( q ) = − k1 ⋅ d 1 + ⋅ ( hd + r ⋅ c1 ) = 0 ⇒ q1* = q2 2 2 ⋅ k0 ⋅ d h ( d + r ⋅ c0 ) 2 ⋅ k1 ⋅ d ( hd + r ⋅ c1 ) (2.16) (2.17) k1 > k0 ve c1 < c0 olduğundan q1* > q0* olduğu açıktır. Burada üç olası durum vardır : 1) q0 * < q1* ≤ χ 2) q0 * < χ < q1 * 3) χ ≤ q0 * < q1 * Birinci durumda, q ≥ χ olursa, C ( q ) = C1 ( q ) ≥ C1 ( χ ) = C0 ( χ ) > C0 ( q0 *) dir ve q0* en ekonomik sipariş miktardır. Benzer şekilde üçüncü durumda da q1* ‘ın en ekonomik sipariş miktarı olduğu görülür. Sadece ikinci durum şüphelidir. Bu durumda C0 ( q0 *) ve C1 ( q1 *) hesaplanarak bunlardan hangisi daha küçükse buna karşılık gelen sipariş miktarının ESM olduğuna karar verilir. 67 2.2.3.2 Tüm Partiye Miktar İskontosu Uygulandığında ESM Hesabı Belirli bir χ miktarından fazla sipariş verildiğinde tüm partiye iskontolu fiyat uygulandığı durumda TSM aşağıdaki gibi olacaktır : Ci ( q ) = ci ⋅ d + k ⋅d q + ⋅ ( hd + r ⋅ ci ) q 2 (2.18) Örneğin iki fiyat kategorisi uygulanan bir durum için : q<χ için, C0 ( q ) = c0 ⋅ d + k ⋅d q + ⋅ ( hd + r ⋅ c0 ) q 2 (2.19) q≥χ için : C1 ( q ) = c1 ⋅ d + k ⋅d q + ⋅ ( hd + r ⋅ c1 ) q 2 (2.20) Bu fonksiyona ait örnek bir grafik Şekil 2-5’de gösterilmektedir. 34000 q<χ 33000 32000 31000 q≥χ 30000 29000 28000 0 50 χ =100 100 150 200 250 Şekil 2-5. Tüm partiye miktar iskontosu uygulandığında TSM’nin değişimi 68 • c1 < c0 olduğundan önce (2.20) ifadesinden iskontolu durumda ESM için q1* değeri hesaplanır.41 q1* = 2⋅k ⋅d hd + r ⋅ c1 Eğer q1* ≥ χ ise, en iyi çözüm q1* değeridir. Buna karşılık gelen TSM, (2.4) ifadesine benzer şekilde, C1* = d ⋅ c1 + • 2kd ⋅ ( hd + r ⋅ c1 ) dir. (2.21) Eğer q1* < χ ise, (2.19) ifadesinden hareketle, q0* değeri ve buna karşılık gelen TSM sırasıyla aşağıdaki gibi hesaplanır : q0 * = 2⋅k ⋅d hd + r ⋅ c0 C0 * = d ⋅ c0 + 2kd ⋅ ( hd + r ⋅ c0 ) (2.22) c1 < c0 olduğundan q0 * < q1* ≤ χ dir. Diğer taraftan (2.20) fonksiyonu çukur (konveks) bir fonksiyon olduğundan iskontolu fiyat uygulandığında en düşük TSM, q = χ için gerçekleşeceğinden, iskontolu fiyat için, (TSM )min → C1 ( χ ) = c1 ⋅ d + k ⋅d χ + χ 2 ⋅ ( hd + r ⋅ c1 ) (2.23) (2.22) ve (2.23) ifadeleri karşılaştırılarak bunlardan küçük olan maliyet değeri aranan minimum TSM, dolayısıyla ESM değerini verir. Diğer bir ifade ile, C0 * < C1 ( χ ) ise q = q0* , C1 ( χ ) < C0 * ise q = χ en uygun sipariş miktarıdır. 41 Axsäter, Inventory Control, s.37-38 69 2.2.4 Elde Bulundurmama Durumunda ESM Hesabı Bir işletmenin, özellikle de üretim yapan bir işletmenin, karlılığının artırmak için üç ana amacı vardır; azami müşteri memnuniyeti, asgari stok yatırımı ve kaynakların (veya üretim olanaklarının) en etkin şekilde kullanılması. Müşteri memnuniyeti, diğer bir deyişle müşteri hizmet seviyesinin (customer service) arttırılması çoğu zaman stok seviyesinin yüksek tutulmasını gerektirir.42 Bazı durumlarda, özellikle de sipariş üzerine imalat yapan işletmelerde stokta müşteriden gelen talebi anında karşılayacak miktarda ürün olmayabilir. 2.2.4.1 Temel Model Şimdi, tüm siparişlerin anında stoklardan karşılanmasının zorunlu olmadığı bir durum göz önüne alınsın. Bu durumda belirli bir mal, stok mevcudu olduğu sürece sipariş geldikçe müşterilere teslim edilecek, mal stoğu tükendiğinde ise daha sonra teslim edilmek üzere sipariş almaya devam edilecektir. Bu şekilde daha ileri bir tarihte teslim edilmek üzere alınan siparişler sipariş bakiyeleri veya bekletilen siparişler (backorders) olarak adlandırılır. Burada müşterilerin geç teslimatları kabul edecekleri, üreticinin de istenen teslimatı yapmayı taahhüt ettiği varsayılmaktadır. Diğer bir senaryo ise müşterilerin gecikmeli teslimatları kabul etmedikleri ve bundan dolayı satış olanağının tamamen kaybedilmesinin sözkonusu olduğu durumdur. Böyle durumlarda gecikmeden dolayı müşterilere bir iskonto yapılması, gecikme cezası ödenmesi veya müşteri kaybı gibi sebeplerden dolayı bir elde bulundurmama maliyeti ortaya çıkacaktır. Böyle bir modelde bir t anındaki sipariş bakiyesi miktarı B(t) olsun. Tüketim yine sabit kabul edildiğinden, iki alım siparişi arasında stok seviyesi –d eğimi ile değişecektir. Daha önceki modellerden farklı olarak stok seviyesi sıfırın altına düştüğünde de stok seviyesi azalmaya devam edecektir; diğer bir deyişle sipariş bakiyesinin sözkonusu olduğu bölgede eksi stok sözkonusudur. Herhangi bir t anında net stok seviyesi NS(t) ile gösterilirse, 42 Plossl, Production and Inventory Control Principles and Techniques, s.331 70 NS ( t ) = S (t ) NS ( t ) ≥ 0 ise − B ( t ) NS ( t ) < 0 ise dir. Bu şekilde bir NS(t) tanımı, sipariş bakiyelerinin eksi stok seviyesi olarak gösterilmesine olanak tanır. Stok seviyesi bir R değerine düştüğünde q miktar için alım siparişi verilecek ve stok pozisyonu R+q miktara çıkacaktır. Net stok seviyesi azalmaya devam edecek, sipariş teslim alındığında NSD yeniden q – B(t) miktara çıkacaktır. (Bkz.: Şekil 2-6) Net stok seviyesi q q Yeniden R seviyesi O ν sipariş Zaman L L u Şekil 2-6. Elde bulundurmama durumunda net stok seviyesinin değişimi Sipariş bakiyesi miktarının en fazla ν olması isteniyorsa, ν = R − d ⋅ L yazılır. Buna göre siparişlerin karşılanamadığı süre ise y = ν d olacaktır. 71 Net stok seviyesi q −ν R y O u–y Zaman −ν Şekil 2-7. Elde bulundurmama durumunda çevrimin iki aşaması Şekil 2-7’da benzer üçgenlerden q q −ν ν = = yazılabilir. Buradan, elde u u−y y bulundurmama süresinin tam çevrim süresine oranı ζ = süresinin çevrim süresine oranı y ν = ve stokta bulundurma u q u − y q −ν = bulunur. Buna göre, u q Ortalama stok miktarı : S = q −ν q q −ν ⋅ 2 Ortalama sipariş bakiyesi miktarı : B = ( q −ν ) = 2⋅q ν ν ⋅ q 2 = 2 ν2 2⋅q SF = 1 u = d q olduğu da hatırlanırsa ve elde bulundurmama maliyeti b (para birimi/birim miktar) olmak üzere, toplam sipariş maliyeti, 2 ( q −ν ) + b ⋅ ν 2 d C (ν , q ) = ( k + c ⋅ q ) ⋅ SF + h ⋅ S + b ⋅ B = ( k + c ⋅ q ) ⋅ + h ⋅ q 2⋅q 2⋅q 72 2 ( q − ν ) + b ⋅ ν 2 olur. k ⋅d C (ν , q ) = c ⋅ d + + h⋅ q 2⋅q 2⋅q (2.24) İki değişkenli bu fonksiyonun bir ekstremumu olması için gerek şart kısmi türevlerin sıfır olmasıdır. Kısmi türevler alınırsa, h ⋅ ( q − ν ) b ⋅ν ∂C =− + =0 ∂ν q q 2 4 ⋅ q ⋅ ( q − ν ) − 2 ⋅ ( q − ν ) b ⋅ν 2 k ⋅d ∂C = − 2 + h⋅ − =0 ∂q q 4 ⋅ q2 2 ⋅ q2 2 2 ∂C k ⋅ d h ⋅ ( q − ν ) b ⋅ν 2 =− 2 + − =0 ∂q q 2 ⋅ q2 2 ⋅ q2 Birinci eşitlikten ν = h⋅q elde edilir. b+h İkinci eşitlikten, ( ) −2 ⋅ k ⋅ d + h ⋅ q 2 − ν 2 − b ⋅ν 2 = 0 h ⋅ q 2 − 2 ⋅ k ⋅ d = ( b + h ) ⋅ν 2 = h2 ⋅ q 2 b+h h h ⋅ q 2 ⋅ 1 − = 2⋅k ⋅d b+h ω= q* = b konursa, ekonomik sipariş miktarı aşağıdaki gibi elde edilir. b+h 2⋅k ⋅d h ⋅ω (2.25) Buna göre, En uygun sipariş bakiyesi miktarı : ν * = (1 − ω ) ⋅ q * (2.26) En uygun yeniden sipariş seviyesi : R* = d ⋅ L − ν * (2.27) En uygun çevrim süresi : u* = q* = d Elde bulundurmama oranı : ζ * = ν* q* 2⋅k ⋅d h ⋅ d ⋅ω =1− ω (2.28) (2.29) q* ’ye karşılık gelen minimum TSM ise, (2.24) ifadesinde q yerine q* ve ν yerine ν * değerleri konularak : 73 2 ( q * −ν *) + b ⋅ ν *2 k ⋅d C* = C (ν *, q *) = c ⋅ d + + h⋅ q* 2⋅q* 2⋅q* 2 q *2 ⋅ 1 − (1 − ω ) q *2 ⋅ (1 − ω ) k ⋅d C* = c ⋅ d + + h⋅ +b⋅ q* 2⋅q* 2⋅q* 2 Gerekli işlemler yapılırsa, C* = c ⋅ d + k ⋅ d h ⋅ω ⋅ q * k2 ⋅ d 2 ⋅ h ⋅ω 2 ⋅ k ⋅ d ⋅ h2 ⋅ ω 2 + = c⋅d + + q* 2 2⋅k ⋅d 4 ⋅ h ⋅ω C* = C (ν *, q *) = c ⋅ d + 2 ⋅ k ⋅ d ⋅ h ⋅ω bulunur. (2.30) Elde edilen bu değer, ilk ESM modeli için hesaplanan (2.4) deki ile çok benzerdir. Sadece ikinci terim ω ile çarpılmaktadır. 0 < ω < 1 olduğundan, burada bulunan optimum TSM, özgün ESM modelindekinden daha düşüktür. Aynı şekilde buradaki q* değeri de özgün ESM modelindeki q* değeri ω ile bölümüne eşit olduğundan, daha büyüktür. Burada da duyarlılık analizi özgün ESM modeline benzer şekilde yapılır. q* ve C* değerleri, karekök işlemlerinden dolayı d ve k’daki değişimlerden az etkilenir. Benzer şekilde ω ve h’ın q* ve C* üzerindeki etkisi de zayıftır. Diğer taraftan, (2.24) ifadesinde ν = (1 − ω ) ⋅ q konulursa, C (q) = c ⋅ d + k ⋅ d h ⋅ω ⋅ q + q 2 (2.31) elde edilir. Burada özgün ESM modelindeki gibi bir analiz yapılırsa, q’deki q* ‘dan küçük sapmaların TSM üzerindeki etkisinin de yine, C (q) 1 q * q = ⋅ + C* 2 q q* bağıntısına uygun şekilde küçük olacağı görülür. 74 2.2.4.2 Sipariş Bakiyesinin Kısıtlandığı Model Bir malın stokta bulundurulmamasının arzu edilemeyen çeşitli sonuçları vardır. Bunlar daha önce de bahsedildiği gibi, sipariş teslimatındaki gecikmelerden etkilenen müşterilerin memnuniyetsizliklerini gidermek için iskontolu fiyat uygulanması, gecikme cezaları, üretim hattında yeterli miktarda parça veya hammadde bulunmamasından kaynaklanan üretimdeki aksamalardan, müşterilerin kaybına kadar uzanan çeşitli sonuçlardır. Tüm bu olumsuz etkiler b ile gösterilen elde bulundurmama maliyeti ile modellere dahil edilir; ancak bu maliyetleri, içlerinde soyut unsurlar da barındırdıklarından, tam anlamıyla değerlendirmek, diğer bir ifade ile b katsayısını tam doğru belirlemek çok zordur. Hem bu belirsizlikler sebebiyle, hem de müşteri memnuniyetini arttırmak amacıyla, sipariş bakiyeleri çeşitli yollarla kontrol altında tutulmalıdır. Bunun için alternatif yaklaşımlardan biri de stokta bulundurmama oranı ζ = ν q veya stokta bulundurma oranı olan 1 − x ‘in kısıtlanmasıdır. Bu amaçla örneğin 0 < ωS < 1 olacak şekilde bir hizmet katsayısı tanımlanarak stokta bulundurmama süresinin toplam çevrim süresine oranı için ζ ≤ 1 − ωS şeklinde bir üst sınır konulsun.43 Bu kısıtlamanın etkisini görmek için bir an için q sabit, ν değişken kabul edilsin. Toplam sipariş maliyetinin C = c ⋅ d + k ⋅ SF + h ⋅ S olduğu düşünülürse, buradaki bir dönemdeki sipariş adedi 1 u = d q , ν ’den bağımsız, S ise ν ’ye bağlıdır. ν arttıkça ζ artacak, S ise azalacaktır. ( q −ν ) S= 2 2⋅q göre, C ( q ) = c ⋅ d + ifadesinde, ν = q ⋅ (1 − ωS ) konursa, S = ωS2 ⋅ q 2 elde edilir. Buna k ⋅ d h ⋅ ωS2 ⋅ q + olur. Bu ifade (2.31) ile karşılaştırılırsa, ω q 2 yerine ωS2 gelmek üzere iki ifadenin de aynı olduğu görülür. (2.25)’de de ω yerine ωS2 koyarak ESM, q* = 43 2⋅k ⋅d olarak bulunur. h ⋅ ωS2 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.46 75 Özetlemek gerekirse, ωS hizmet katsayısının kullanıldığı model ile ω = b ( b + h ) maliyet çarpanı kullanılması arasında temelde bir fark yoktur. Teknik olarak, bu model h katsayısının aynı, sabit sipariş maliyetinin k/ωS olduğu temel modele eşdeğerdir; buna göre b katsayısı da ω = b ( b + h ) = ωS2 bağıntısını sağlayacak şekilde seçilecektir. Bazı durumlarda b yerine ωS büyüklüğünü kullanmak daha uygun olabilir. 2.2.4.3 Ortalama Bekleme Süresi ζ ve B büyüklükleri bekletilen siparişlerle ilgili büyüklüklerdir, dolayısıyla müşterilere verilen hizmetin kalitesini de gösterirler. Ancak servis kalitesini daha doğrudan gösterebilecek ortalama sipariş bekleme süresi gibi bir büyüklüğün de ayrıca tanımlanması faydalı olacaktır. Şekil 2-7’da görüleceği gibi stok seviyesi sıfıra düşünceye kadar siparişlerin tesliminde bir bekleme söz konusu değildir. Stok seviyesi eksiye düştükten sonra ise ortalama bekleme süresi y 2 = ν 2d dir. Tüm çevrim süresi göz önüne alındığında ise, ortalama sipariş bekleme süresi, BW = ν ⋅ ν q 2⋅d = ν2 2⋅q⋅d = B dir. d Bu bağıntıdan da görüleceği üzere, “Bir sipariş için ortalama bekleme süresi, ortalama sipariş bakiyesi miktarı ile doğru orantılıdır.”44 Benzer şekilde ortalama stok seviyesi ile bağıntılı olarak, bir fiziksel varlığın bir biriminin teslim alınıp depoya girmesinden kullanılmasına veya satılmasına kadar geçen ortalama süreyi gösteren, ortalama stokta bekleme süresi ( SW ) şeklinde bir büyüklük de tanımlanabilir. Kolayca anlaşılabileceği gibi SW = S d dir. Bu büyüklüğün tersi, yani 1 SW = d S , stok devir hızı olarak adlandırılır. Bu şekilde ortalama sipariş bakiyesi ve ortalama stok seviyesi gibi iki fiziksel miktar birimi zaman birimine dönüştürülmüş olur. 44 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.47 76 2.2.4.4 Satış Kayıpları Buraya kadar zamanında teslim edilmeyen siparişler için müşterilerin beklemeyi kabullendikleri durumlar incelenmiştir. Ancak, stoklarda yeterli mal olmadığında müşterilerin siparişlerini iptal etmeleri ve gereksinimlerini başka tedarikçilerden temin etme yolunu seçmeleri de söz konusu olabilir. Bu durumda stok mevcudu olmayan mallar satılamayacaktır. (R,q) modelinde olduğu gibi tedarikçiden u zaman aralıklarıyla q miktarlarda alım yapılmaktadır. Bir çevrim süresince talep miktarı q ' = d ⋅ u ve kaybedilen satışların miktarı ν' ile gösterilsin. Dolayısıyla, q = q '− ν ' , sipariş frekansı SF = 1 u = d q ' , bekletilen sipariş oranı ζ = ν ' q ' , bir çevrim süresince ortala stok seviyesi S = ( q '− ν ' ) 2 ⋅ q ' ve ortalama satış kaybı ζ ⋅ d olacaktır. Bu durumda da model ν ve q yerine ν ' ve q’ koymak şartıyla temel elde bulundurmama modeli ile aynıdır. Sipariş maliyeti k + c ⋅ q = k + c ⋅ ( q '− ν ') ve satış kayıplarının birim maliyeti b olmak üzere TSM, C (ν ', q ') = k + c ⋅ ( q '− ν ' ) ⋅ SF + h ⋅ S + b ⋅ x ⋅ d ζ = ν' q' ve SF = 1 d olduğundan, = u q' C (ν ', q ') = ( k + c ⋅ q ') ⋅ SF + h ⋅ S + ζ ⋅ d ⋅ ( b − c ) (2.32) bulunur. 77 2.2.5 Hatalı Mallar Sözkonusu Olduğunda ESM Hesabı Şimdiye kadar incelenen modellerde, tedarikçilerden teslim alınan malların hatasız oldukları ve bu malların alıcılara teslim edilinceye kadar kalitelerinde bir değişme olmadığı varsayılmıştır. Oysa ki, gerçekte teslim alınan malların bazılarının hatalı olması genellikle karşılaşılan bir durumdur. Modeli kolaylaştırmak bakımından ürünlerin kalite bakımından ya hatasız, ya da kullanılamayacak kadar hatalı oldukları varsayılacak, tamir edilerek kullanılma durumu ele alınmayacaktır. Satınalınan mallar veya ürünlerde hatalar çeşitli şekillerde ortaya çıkabilir. Hatalar, uygun olmayan hammadde kullanımı veya doğrudan üretimden kaynaklanabildiği gibi, ürünlerin zaman içinde bozulabilir olmalarından da ortaya çıkabilir. Yine sözkonusu hatalar hemen veya gecikmeli olarak ileri aşamalarda farkedilebilir. Diğer taraftan hatalı mallar için tedarikçiye hiç ödeme yapılmaması veya hatalı mallar için yapılan ödemenin daha sonra geri alınması durumları sözkonusu olabilir. Tüm bu durumların ESM modeline etkisi aşağıda ayrı ayrı ele alınacaktır. 2.2.5.1 Hatalı Malların ESM’ye Etkisi Tedarikçiden teslim alınan malların belirli ve sabit bir oranında hatalı olduğu varsayılsın ve her partideki hatalı mal oranı δ, hatasız oranı ξ = 1 − δ ile gösterilsin. Burada aşağıdaki dört durum ele alınacaktır :45 1) Durum 1 : (Hatalar anında farkedilmekte ve hatalı mallar için ödeme yapılmamaktadır). Hatalı malların teslimat anında farkedildikleri ve iade edildikleri veya bunlar için tedarikçiye ödeme yapılmadığı kabul edilsin. Bu durumda ESM modeli sipariş miktarı q değil, ξ ⋅ q imiş gibi uygulanır. Dolayısıyla, ESM q* miktarı yerine q * ξ olur. C* sipariş maliyeti hatalı oranından bağımsızdır. 2) Durum 2 : (Hatalar anında farkedilmekte ancak hatalı mallar için de ödeme yapılmaktadır). Bazı durumlarda hatalı mallar kabul anında farkedilmiş olsalar da, çeşitli sebeplerden tüm parti için ödeme yapılır. 45 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.59-60 78 Hatalı parça oranı hesaba katılarak q ξ miktarda sipariş verilir; sipariş maliyeti k + ( c ξ ) ⋅ q olur. Diğer bir deyişle, birim fiyat 1 ξ kadar artmış olur. Hatırlanacağı üzere, birim fiyat ESM’yi doğrudan etkilemese de, elde bulundurma maliyeti h dolayısıyla q* değişir. Faiz oranı r olmak üzere, finansman maliyeti r.c ve doğrudan stokta bulundurma maliyeti hd olmak üzere, elde bulundurma maliyeti, h = hd + r ⋅ ( c ξ ) olur. Dolayısıyla, q* normalden az olmalıdır. Ancak hatalı malları karşılamak için q* yerine q* ξ miktarda sipariş verilmelidir. Bu durumda C* değeri de ( C* = c ⋅ d + 2 ⋅ k ⋅ d ⋅ h ) hem h’daki artıştan, hem de c’nin c ξ olarak artışından dolayı artacaktır. 3) Durum 3 : (Hatalar geç farkedilmekte ve hatalı mallar için de ödeme yapılmaktadır). Çeşitli sebeplerden, hatalı malların kabul anında farkedilememiş oldukları, ancak daha sonra müşteriye teslimatta veya üretim sırasında hataların ortaya çıkarıldığı durumlar olabilir. Bu durumlarda ESM modelinde, sadece sağlam parçalar ortalama stok seviyesi olarak kabul edilir. Doğrudan elde bulundurma maliyeti hd ξ , birim fiyat c ξ ve toplam elde bulundurma maliyeti h = ( hd + r ⋅ c ) ξ olur. Bu durumda ikinci duruma göre q* daha da azalmış, C* değeri ise daha da fazla artmış olur. 4) Durum 4 : (Hatalar geç farkedilmekte ancak hatalı malların bedeli tedarikçiden tazmin edilmektedir). Bu durum üçüncü durumla aynı olmakla birlikte, hatalı parçaların bedeli gecikmeli de olsa tazmin edildiğinden birim fiyat c olarak kalacağından C* değerindeki artış üçüncü duruma göre daha az olacaktır. 79 2.2.5.2 Sürekli Tedarik Durumunda Hatalı Malların ESM’ye Etkisi 2.2.2 bölümünde olduğu gibi µ hızı ile üretim yapılan ve hazırlık süresinin olmadığı ( τ = 0 ) bir sistem düşünülsün. Üretimden çıkan hatalı ve hatasız oranları sırasıyla δ ve ξ = 1 − δ ise, birim zamandaki hatalı ürün miktarı δ ⋅ µ , hatasız ürün miktarı ξ ⋅ µ olacaktır. Hatalı ürünlerin kabulde farkedildiği ve bunlar için ödeme yapılmadığı durumda (üretimin tedarikçi tarafından yapıldığı varsayılarak) model, µ → ξ ⋅ µ koyarak ilgili bölümde irdelenen ile aynı olacaktır. Bu durumda ρ = d µ kullanım oranı da ρ ξ ’ye dönüşecektir. Buna göre, üretimden çıkan mallar anında tüketiliyor ise, q* = 2⋅k ⋅d h ⋅ (1 − ρ ξ ) (2.33) üretimden çıkan mallar partiler halinde tüketiliyor ise, q* = 2⋅k ⋅d h ⋅ (1 + ρ ξ ) (2.34) olur. τ ≠ 0 olduğunda ise, q* için τ ⋅ d (1 − ρ ξ ) şeklinde bir alt limit vardır. 2.2.5.3 Zamanla Bozulan Ürünlerin ESM’ye Etkisi Zamanla bozulabilen ürünler iki sınıfa ayrılabilir; belirli ömrü olanlar ve rassal olarak bozulanlar.46 Özellikle gıda ürünleri, ilaçlar, bazı kimyasal maddeler gibi mallar belirli sürelerden uzun stokta tutulduklarında özelliklerini yitirir ve kullanılamaz hale gelirler. Böyle bozulabilir ürünler için azami stokta tutulma süreleri önceden belirlenmeli ve bu süreler ESM hesabında dikkate alınmalıdır. Örneğin böyle bir ürün için stokta tutulma süresi u+ olarak belirlenmiş olsun. Bu süre u çevrim süresi için bir üst limit teşkil eder. u ≤ u+ , dolayısıyla da sipariş miktarı 46 Silver, Pyke ve Peterson, Inventory Management and Production Planning and Scheduling, s.403 80 q ≤ d ⋅ u + olmalıdır. Buraya kadar ele alınan modellerden uygun biri ile hesaplanan q* bu şartı gerçekliyorsa q*, aksi takdirde q* = d ⋅ u + miktarda sipariş verilmelidir. Diğer taraftan, belirli bir ömrü olmamakla beraber, zaman içinde depoda hasar görme, su alma, sıcaktan etkilenme gibi çeşitli sebeplerden dolayı da bir ürün kullanılamaz hale gelebilir. Bu gibi durumlar için özel bir hasar modeli oluşturmak gerekir. Rassal ömürlü ürünler üzerinde çalışan çoğu araştırmacıya göre eldeki stokta sabit bir hızda bozulma görülür. Örneğin en basit model olarak stoktaki bir ürünün δ oranındaki kısmının düzenli bir şekilde kullanılamaz hale geldiği düşünülsün; bu durumda stoktaki ürün zaman içinde δ ⋅ S ( t ) olarak hatalı hale gelecektir. Özgün ESM modelinde olduğu gibi bu ürünün stok seviyesi sıfıra düştüğünde stoklara girecek şekilde q miktarda sipariş edildiği varsayılsın. Ürünün depoya girdiği an çevrimin başlangıcı olarak düşünülürse S ( 0 ) = q , çevrim sonunda S ( u ) = 0 olacaktır. Yani, herhangi bir t anındaki stok seviyesini gösteren S(t) periyodik bir fonksiyondur. Bir çevrim içinde talep ve ıskarta göz önüne alınırsa, S ' ( t ) = −δ ⋅ S ( t ) − d yazılabilir. Bu ise, başlangıç şartı S ( 0 ) = q olan, birinci dereceden basit bir diferansiyel denklem ve çözümü, S ( t ) = q ⋅ e −δ t − d δ ⋅ (1 − e −δ t ) (2.35) dir. Çözümdeki e −δ t teriminden dolayı, bu hasarlı ürün modeli üstel bozulma modeli olarak isimlendirilir. u çevrim sonunda S(u) = 0 olacağından, u karar değişkeni olarak kullanılarak, q = d δ ⋅ (1 − e −δ u ) ve buradan da çevrim süresince ortalama stok seviyesi, d S=δ ( ) ⋅ e −δ u − δ ⋅ u − 1 δ ⋅u (2.36) olarak elde edilir. Sipariş maliyeti ise,47 47 Rau, Hsin ; Mei-Ying Wu ve Hui-Ming Wee. “Integrated Inventory Model for Deteriorating Items Under a Multi-Echelon Supply Chain Environment.” International Journal of Production Economics, 86 (2003), s.162 81 C ( q ) = ( k + c ⋅ q ) ⋅ SF + hd ⋅ S + C (u ) = k +c⋅ d δ ( ⋅ 1 − e−δ u u ) r ⋅c⋅q den 2 d + hd ⋅ δ ( ) ⋅ e−δ u − δ ⋅ u − 1 δ ⋅u + 1 d ⋅ r ⋅ c ⋅ ⋅ 1 − e −δ u δ 2 ( ) (2.37) olarak elde edilir. Bu fonksiyonu minimum yapan u* değerini bulmak için C ( u *) = 0 denkleminin çözümü aranmalıdır. Buradan u* değerini bulmak oldukça karmaşık işlemler gerektirdiğinden, çözüm bilgisayarlar yardımıyla sayısal olarak elde edilir. Bununla birlikte, bozulmanın etkisi yaklaşık bir hesapla, küçük δ değerleri için, 48 q* ≈ 2⋅k ⋅d hd + r ⋅ c + δ ⋅ c olur. (2.38) 2.2.6 Cari Değer (İskontolu Maliyet) Kriteri Buraya kadar incelenen ESM modellerinin temel amacı birim zamandaki ortalama toplam sipariş maliyetinin belirlenmesidir. İzlenen işletme politikaları zaman içinde maliyetleri etkilediğinden, ESM modelinin gerçekten izlenen polikaların etkilerini yansıtıp yansıtmadığını çeşitli bakış açılarından ele alarak değerlendirmek gerekir. Bu bakış açılarından biri de cari değer (present value) veya iskontolu maliyet (discounted cost) olarak adlandırılan kavramdır; bu bölümde bu yeni bakış açısı ile öncelikle özgün ESM modelinin bir değerlendirmesi yapılacaktır. “Bir işletmenin finansal yükü, harcamaların satınalınması ile gelirlerin satılması arasındaki zaman farkından kaynaklanır.”49 Bu zaman farkını karşılayabilmek için işletmeler kredi kullanır ve faiz öderler. ESM modellerinde, satınalınmış ancak henüz satılmamış bir mal veya hizmetin faiz ürettiği varsayılır. Oysa ki, bedeli yapılan diğer satışların getirisi ile daha önce ödenmiş olabileceğinden, stoktaki bir malın doğrudan faiz üretmesi varsayımı çok kaba bir 48 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.62 49 a.e., s.62 82 yaklaşımdır; işte, cari değer kavramı ile finansal maliyetler, gerçekleştikleri şekilde hesaba katılırlar. Cari değer kavramını anlayabilmek için öncelikle finans teorisinin ana hatları ele alınmalıdır. Hatırlanacağı üzere t = 0 anındaki 1 birimlik bir yatırım, r faiz oranı ile t anında e r ⋅t değerine erişir. Bunu tersine olarak t anında 1 birimlik bir değer elde etmek için t = 0 anındaki yatırım e− r ⋅t olmalıdır. Benzer şekilde t anında A birimlik bir değer elde etmek için t = 0 anında A ⋅ e − r ⋅t yatırım yapılmalıdır. Bu şekilde A’yı e− r ⋅t ile çarpmak iskonto olarak adlandırılır. Cari değer kriterinin iskontolu maliyet olarak da adlandırılması bundan kaynaklanmaktadır. Borçlanma ve yatırım faiz oranları aynı olmamakla birlikte, basitlik için bir işletmenin aynı r faiz oranı ile kredi kullanabildiği de varsayılsın. Bugün (t = 0), A kadar bir ödeme yapılacak ise, t anında A ⋅ e r ⋅t ödemek üzere A miktar kadar borç alınır. Benzer şekilde t anında A ödeme yapılacak ise, bugün A ⋅ e − r ⋅t borçlanılılır; bu değer iskontolu maliyet olarak adlandırılır. Bir işletmenin ti anlarında Ai miktarlarda bir nakit akışı olduğu varsayılsın. Ai değerlerinin bazıları pozitif (satışlar), bazıları ise negatif (borçlar) olacaktır. Bu akışın bugünkü cari değeri yukarıdaki gibi hesaplanarak, her kalem için Ai ⋅ e − r ⋅ti , tüm nakit akışının net cari değeri ise, ∑A ⋅e i r ⋅ti olacaktır. i Bu yeni bakış açısı ile özgün ESM modeli ele alınsın. Basitlik için doğrudan stokta bulundurma maliyeti ve teslimat süresi olmadığı (hd=0 , L=0) varsayılsın. Daha önce olduğu gibi sipariş miktarları (q) ve çevrim süreleri (u) sabittir. Sipariş maliyeti yine k + c ⋅ q = k + c ⋅ d ⋅ u dir. Ürünler p birim fiyattan satılmakta, dolayısıyla sabit p.d gelir elde edilmektedir. S ( 0− ) = 0 , yani ilk sipariş alınmadan önce mal stoğunun sıfır olduğu kabul edilsin. t = 0, u , 2u ,… anlarında sipariş verildiğine göre, toplam sipariş maliyeti, aşağıdaki gibi olacaktır.50 ∞ C ( u ) = ∑ ( k + c ⋅ d ⋅ u ) ⋅ e − r ⋅ n ⋅u = n=0 50 k + c ⋅d ⋅u 1 − e − r ⋅u (2.39) Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.63-64 83 C(u) çukur (konveks) bir fonksiyon olduğundan, C’(u)=0 için C(u) minimum ( ) − r ⋅u − r ⋅ e − r ⋅u ⋅ ( k + c ⋅ d ⋅ u ) d C (u ) (c ⋅ d ) ⋅ 1 − e olur. C ' ( u ) = = =0 2 du 1 − e − r ⋅u ( ) c ⋅ d − c ⋅ d ⋅ e − r ⋅u − k ⋅ r ⋅ e − r ⋅u − c ⋅ d ⋅ u ⋅ r ⋅ e − r ⋅u = 0 Bu eşitliğin her iki tarafı e r ⋅u ( c ⋅ d ⋅ r ) ile çarpılırsa (c, d, r ≠ 0) : e r ⋅u 1 k u⋅r − − − =0 ⇒ r r c⋅d r f ( x ) = e x − x − 1 veya k e r ⋅u − r ⋅ u − 1 = c⋅d r f ( r ⋅ u ) = e r ⋅u − r ⋅ u − 1 olmak üzere, f (r ⋅ u) k = bulunur. r c⋅d (2.40) Bu denklemin bir çözümü yoktur; bununla birlikte, bilgisayarlar yardımıyla sayısal olarak çözülebilir. ∞ Diğer taraftan ∑ n =0 ∞ xn xn = e x olduğu hatırlanırsa, f ( x ) = ∑ yazılabilir. n! n = 2 n! Faiz oranı r ve k c ⋅ d oranının küçük olduğu varsayılırsa, (2.40) denkleminden elde edilen x = r ⋅ u değerlerinin de küçük olacağı görülebilir. Bu sebeple uygun değerler için f ( x ) fonksiyonunun sadece birinci terimi alınarak 2 yaklaşık olarak, f ( r ⋅ u ) ≈ ( r ⋅ u ) 2 yazılabilir. Bu yaklaşım ile, u* = 2⋅k r ⋅c⋅d ve q* = 2⋅k ⋅d r ⋅c (2.41) bulunur. Bu değer ise h = r.c (hd = 0) olduğu düşünülürse, özgün ESM modelinde (2.2) bağıntısı yardımıyla hesaplanan q* değeri ile aynıdır. Doğrudan elde bulundurma maliyeti hd ≠ 0 olduğu durumda ise, C (u ) = k + c ⋅d ⋅u h⋅ d r ⋅ t ⋅ e − r ⋅u + ⋅ r ⋅ u − 1 + ( ) 1 − e − r ⋅u r2 1 − e − r ⋅u ( ) f (r ⋅ u) r ⋅k = şeklinde olur.51 r d ⋅ ( r ⋅ c + hd ) 51 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.71 84 xn n! ∞ Bulunan bu u* değeri (2.40) denkleminde yerine konursa, f ( x ) = ∑ n=2 açılımındaki n > 3 pozitif terimler ihmal edilmiş olduğundan, denklemin sol tarafı daha büyüktür. Ayrıca u arttıkça denklemin sol tarafı artar. Dolayısıyla bu denklemin gerçek çözümü u* ‘dan küçüktür. Diğer bir ifadeyle, burada bulunan u* ve benzer şekilde q* değerleri özgün ESM modelindekinden küçüktür. Hem daha önce bulunmuş olması, hem de çözümünün kolay olması sebebiyle özgün ESM modeli çok daha fazla kullanılagelmektedir. Bununla birlikte, cari değer kriterinin finans akışını daha gerçekçi olarak temsil ettiği de açıktır. Özgün ESM modeli kullanıldığında yapılan hatanın mertebesini belirlemek için bir karşılaştırma yapmak faydalı olacaktır. Şekil 2-8‘de r = % 12,5 ve r = % 25 faiz oranları ile özgün ESM ve cari değer kriteri ile hesaplanan sipariş periyodlarının bir karşılaştırılması yapılmaktadır. Burada Ox ekseni k/c.d, Oy ekseni yıl olarak sipariş periyodlarını göstermektedir. T(yıllar) 6 5 4 3 2 CD(%25) CD(%12,5) ESM(%12,5) 1 ESM(%25) k/cd 0 0 0,5 1 1,5 2 Şekil 2-8. r = %12,5 ve r = %25 faiz oranları için özgün ESM ve cari değer kriteri ile bulunan sipariş periyodlarının karşılaştırması 85 2.3 Değişken Ancak Öngörülebilir Talep Durumunda Bir Kalem için Stok Kontrol Modelleri Buraya kadar bir ürüne olan talebin ve sipariş maliyetinin zaman içinde sabit kaldığı varsayılmıştır. Oysa ki, çoğunlukla mevsimsel etkiler, büyüyen veya daralan pazar şartları veya değişen genel ekonomik şartların etkisi altında gerek talep miktarı, gerek sipariş maliyetleri sabit kalmaz. Bu bölümde talebin ve sipariş maliyetlerinin zamanla değiştiği durumlar ele alınacaktır. Ancak, talep değişken olmakla birlikte değişimin tümüyle öngörülebilir olduğu varsayılacaktır. Talep zaman içinde değişken olduğunda, bazı seyrek durumlar dışında sabit tedarik miktarları varsayımının en iyi çözüm olmayacağı açıktır. Diğer taraftan, sabit sipariş miktarları varsayımı kullanılsa bile stok miktarı – zaman grafiği Şekil 2-2’deki gibi düzgün bir testere dişi şeklinde olmayacağından, kesin bir analiz yapmak çok karmaşıklaşacaktır; bu ise, özgün ESM modelinde varsayıldığı gibi bir dönem içinde sipariş maliyetinin sabit kaldığı kabulünü geçersiz kılacaktır. Bunun yerine, en uygun sipariş miktarlarını belirlemek için, bulunulan zamandan başlayan sonlu bir dönem süresince gelecek talep bilgileri esas alınacaktır. Bu dönem, daha önce de belirtildiği gibi planlama dönemi veya plan ufku olarak adlandırlır. Plan ufkunun uzunluğunun seçilen stok stratejisi ile ilgili toplam maliyet üzerinde önemli bir etkisi olacaktır. Talep tahminlerinin kapsayacağı gelecek uzadıkça tahminlerin kesinliği azalacağından, planlama dönemi mümkün olduğunca kısa tutulmalıdır. Fiili uygulamada şöyle bir yöntem kullanılabilir. Bir plan dönemi için tüm sipariş miktarları hesaplanır, bununla birlikte bunlardan sadece yakın geleceğe ait kararlar uygulanır. Bir sonraki karar anında ise, planlama döneminin uzunluğu aynı kalacak şekilde, güncelleştirilmiş talep tahminleri kullanılarak yeni bir planlama yapılır. Diğer taraftan, talep zaman içinde sürekli olabilidiği gibi sabit ve belirli aralıklarla kesikli olarak da oluşabilir. Birinci durumda zaman içinde sürekli küçük miktarlarda satışlar, diğerinde ise belirli aralıklarla (örneğin haftalık, aylık vs.) daha büyük miktarda sevkiyatlar sözkonusudur. Diğer bir karar değişkeni ise, siparişlerin belirli sabit aralıklarla mı, yoksa zaman içinde herhangi bir anda mı verileceğidir. 86 Talebin zaman içinde değişken ancak öngörülebilir olduğu durumlar için üç temel yaklaşım vardır :52 1) Özgün ESM modeli : Bu en basit modeldir. Bu yaklaşımda, planlama dönemi boyunca ortalama talep esas alınarak hesaplanan sabit q miktarlarda, gerek olduğu zamanlarda sipariş verilir. Kolayca anlaşılabileceği gibi bu model, talepteki değişimin az olduğu durumlarda uygulanabilir. 2) Karşılaşılan duruma en uygun matematik modelin kullanılması : Dinamik ESM modeli veya Wagner – Within algoritması olarak adlandırılan ve belirli bir duruma özel varsayımların kullanılması ile toplam sipariş maliyetinin minimum yapılmasını hedefleyen bir modeldir. 3) Yaklaşık veya sezgisel (heuristic) modeller : Deneme – yanılma ile zaman içindeki değişkenliğin yakalanarak kullanıldığı modellerdir. Aksi belirtilmedikçe her üç yaklaşım için de kullanılacak varsayımlar aşağıdaki şekilde özetlenebilir :53 1) Talep miktarı zamana bağlı olup d(t) dir. Kesikli talep sözkonusu olduğunda, bir dönemde n periyot olmak üzere, talep miktarları d(j), (j = 1, 2, ..... , n) ile gösterilir. 2) Her periyotta sipariş edilen mallar o periyodun başında stoklara girmektedir. 3) Miktar iskontosu uygulanmamaktadır, yani birim fiyat sipariş miktarına bağlı değildir. 4) Sipariş maliyeti zaman içinde sabittir. 5) Sipariş teslim süresi belirlidir. Bu sayede sipariş verilme zamanı mallar periyotun başında stoklara girecek şekilde belirlenebilmektedir. 6) Stok seviyesinin sıfırın altına düşmesine izin verilmez. 7) Tüm sipariş bir seferde stoklara girer. 52 Silver, Pyke ve Peterson, Inventory Management and Production Planning and Scheduling, s. 200 53 a.e., s.201 87 8) Basitlik amacıyla, stokta bulundurma maliyeti, bir periyottan diğerine aktarılan stoklar için hesaplanır. Her üç yaklaşımda da bir periyot içindeki stokta bulundurma maliyetlerini hesaplamak mümkündür; ancak tamamen basitlik sağlamak için gerektiğinde yukarıda belirtilen şekilde hesaplama yapılacaktır. 2.3.1 Değişken Talep Durumunda ESM Modeli Özgün ESM modeline benzer ancak bu defa talebin sabit değil zaman içinde değişken olduğu bir durum göz önüne alınsın. Yani, tüm maliyet unsurları aynı kalmak üzere talep, d(t) şeklinde zamanın fonksiyonu olsun. Böyle bir modelin çözümü oldukça karmaşık olmakla birlikte bazı özel varsayımlar ile problemin çözümü, en azından yaklaşık çözümler bulunarak, basitleştirilebilir. 2.3.1.1 Değişkenliğin Küçük Olduğu Durumda ESM Modeli Öncelikle talebin zaman içinde çok küçük değişimler gösterdiği bir durum sözkonusu olsun. Diğer bir deyişle göz önüne alınan dönem içinde talebin ortalama değeri d olmak üzere, d(t) talebinin d civarında küçük değişimler gösterdiği varsayılsın. (Buradaki küçük kavramı göreceli olup kesin bir mertebe vermek uygun değildir; maliyet hesaplanırken öngörülen duyarlılığa göre değişkenliğin mertebesini belirlemek uygun olacaktır.) Bu durumda, talep d(t) = d olarak sabit kabul edilebilir. Diğer taraftan, ESM modeli irdelenirken, talepteki değişimler karşısında maliyetin güçlü olduğu gösterilmiştir. Dolayısıyla, talepteki küçük değişimlerin maliyet üzerindeki etkisi önemsiz olacağından, sabit sipariş miktarı kullanıldığında C(q), sabit sipariş periyodu kullanıldığında ise C(u) maliyetleri çok az etkileceğinden, özgün ESM modeli olduğu şekliyle kullanılabilir. 88 2.3.1.2 Değişkenliğin Hızlı Olduğu Durumda ESM Modeli Bir önceki bölümdeki varsayım değişimin genliği ile ilgilidir. Bundan sonraki iki varsayım ise değişimin frekansı ile ilgilidir. Öncelikle, d(t) talebinin d dönem ortalaması etrafında kısa aralıklarla değiştiği varsayılsın. Bu durumda her t anı için, t civarında ortalama talep d ( t ) olarak gösterilsin. Eğer d ( t ) sabit ve yaklaşık olarak d’ye eşit ise, değişimlerin hızlı olduğu kabul edilebilir.54 Diğer bir deyişle, değişimler büyük olabilir, ancak o derece hızlıdırlar ki, zaman içinde ortalamalarının d’ye eşit olduğu varsayılabilir. (Bkz.: Şekil 2-9) Örneğin, u* = 2 ⋅ k / h ⋅ d formülünden hareketle, [t , t + u * / 4] aralığında d ( t ) ≈ d ise, değişimler hızlı olarak kabul edilebilir. Bu gibi durumlarda d talebi yaklaşık olarak sabit kabul edilebileceğinden özgün ESM modeli olduğu şekliyle kullanılabilir. S(t) t Şekil 2-9. Talebin hızlı değiştiği durumunda stok seviyesi 54 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.74 89 2.3.1.3 Değişkenliğin Yavaş Olduğu Durumda ESM Modeli Bir önceki durumun aksine bu sefer de d(t) talebinin zaman içinde çok yavaş olarak değiştiği, diğer bir ifade ile makul bir sipariş periyodu boyunca sabit kaldığı varsayılsın. Örneğin mevcut d(t) sabit kalıyormuş gibi her t anı için hesaplanmış en uygun sipariş periyodu, u (t ) = 2⋅k h ⋅ d (t ) (2.42) olarak tanımlansın. Değişimin yavaş olmasının bir ölçüsü olarak, d(t)‘nin her t için t , t + u ( t ) zaman aralığında çok az değişmesi olarak kabul edilebilir. Burada uygulanabilecek uygun strateji, stoğun tükeneceği bir t anında, q (t ) = 2 ⋅ k ⋅ d (t ) h (2.43) miktarda sipariş vermektir. Bu ise özgün ESM formülüdür. Diğer bir yaklaşım ise, t + u(t) anına kadar yetecek miktarda sipariş vermek olabilir. Bu aşamada, deneme yanılma ile elde edilen q(t) miktarının gerçekten en düşük toplam sipariş maliyetine karşı gelip gelmediği sorusu akla gelebilir. d(t) dolayısıyla da q(t) değerlerinin fazla değişmediği (yaklaşık sabit kaldığı) birkaç sipariş periyodunu kapsayan bir ara dönem ele alınırsa, bu dönemde TSM’yi minimum yapan sipariş miktarı, talebin sabit olduğu özgün ESM modeli ile hesaplanan q* olacaktır. d(t)‘nin küçük miktarlarda değiştiği bir dönem boyunca, hesaplanacak her q(t) değeri de q* ’a yakın değerler olacağından toplam sipariş maliyeti de aşağı yukarı minimum olacaktır. Aynı yaklaşım benzer çeşitli ara dönemler boyunca da doğru olacağından, bu şekilde bir strateji ile tüm planlama dönemi boyunca TSM’ni yaklaşık olarak minimum düzeyde tutmak mümkün olabilecektir. Sezgisel anlamdaki böyle bir kanıtlama çok yeterli olmamakla beraber buradaki temel kavram, talepte önemli bir değişmenin ancak uzak gelecekte olacağı ve güncel sipariş periyotlarında bu değişimin hiç göz önüne alınmamakta olduğudur. 90 Aynı mantıkla, (2.4) formülüne benzer şekilde t anı için optimum sipariş maliyeti, C * (t ) = c ⋅ d (t ) + 2 ⋅ k ⋅ h ⋅ d (t ) (2.44) ve SF = 1/ u sipariş frekansı olmak üzere, plan dönemi boyunca optimum sipariş maliyeti, C* = lim T ⋅ SF →∞ SF ∫ 0 C * ( t ) ⋅ dt olur. Özet olarak, talepteki değişmeler küçük ve/veya hızlı ise, anlık talep değişimleri ihmal edilerek uzun vadedeki ortalama talep değeri d göz önüne alınmalıdır. Tersine, d(t) yavaş değişiyorsa uzun vadeli talep hesaba katılmaksızın anlık talep üzerinde yoğunlaşılmalıdır. Her üç durumda da bu şartlar dikkate alınarak, oldukça iyi bir yaklaşıklıkla ESM modeli kullanılabilir. Bu özel varsayımların ötesinde bu üç durumun beraberce oluştuğu durumlar da olabilir. Örneğin d(t) talep fonksiyonunun küçük, hızlı ve yavaş değişimleri temsil eden üç fonksiyonun toplamından oluştuğu varsayılsın; yani, küçük ve hızlı değişimler için bölgesel talep ortalamaları d ( t ) ’lerin zaman içinde yavaş olarak değiştiği düşünülsün. Yukarıdaki düşüncelere koşut olarak (2.43) bağıntısında d(t) yerine d ( t ) değerleri konularak q(t) sipariş miktarları hesaplanabilir.55 Diğer taraftan, d(t) talebinin ne hızlı ne de yavaş olmamak üzere önemli ülçüde, ancak belirli bir aralıkta değiştiği durumlarda da aralık uç değerleri ile ESM hesaplanarak, sipariş miktarları bu uç değerler arasında kalacak şekilde düzenlenebilir. Bununla birlikte, talebin çok fazla değiştiği durumlarda bu aralık çok artacağından daha duyarlı sonuçlara gereksinildiğinde ileride incelenecek dinamik modellere başvurulmalıdır. 55 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.76 91 2.3.1.4 Sonlu Üretim Hızı Durumunda ESM Modeli Son olarak yukarıdaki üç durumda varsayılanın aksine üretim hızının sonlu bir µ değerinde olduğu durum ele alınsın. Küçük veya hızlı değişimlerin ortalama talep, dolayısıyla model üzerindeki etkileri ihmal edilebileceğinden sadece talebin yavaş değiştiği duruma bakmak yeterlidir. Her t anı için d ( t ) < µ kaldığında, ρ ( t ) = d ( t ) µ olmak üzere, yukarıdaki ile aynı mantıkla sipariş miktarı sonlu tedarik hızı ile ESM modelinde kullanılan bağıntıya benzer şekilde, q (t ) = 2 ⋅ k ⋅ d (t ) h ⋅ 1 − ρ ( t ) (2.45) bulunur. Burada da, tedarik edilen ürün hemen kullanılmayıp, partiler halinde teslimat yapıldığında bu formülde 1 − ρ (t ) yerine 1 + ρ (t ) geleceği unutulmamalıdır. Bu yaklaşım d ( t ) > µ olduğunda geçerli olmamaktadır. Şekil 2-10’de görüldüğü gibi bazı t anlarında talep arzın üzerine çıkabilmektedir. Birikimli talep t D (t ) = ∫ d ( s ) ⋅ ds ile gösterilirse, her t için D ( t ) ≤ µ ⋅ t olmalıdır. 0 Şekilde görüldüğü gibi t > t+ iken d(t) < µ olduğu sonlu bit t+ anı olduğu varsayılsın. t = t+ anından sonra talep kapasitenin altındadır ve talebi karşılama problemi yoktur; (2.45) bağıntısı uygulanarak en uygun sipariş miktarı belirlenir. ( ) ( ) Ancak t+ anından hemen önce d(t) > µ ve D t + − D ( t ) > µ ⋅ t + − t dir. t daha da azaltılırsa bu eşitsizlik bir süre daha, d(t) < µ olduğunda bile geçerliliğini korumaya devam eder. Ancak öyle bir t = t – anı vardır ki, burada birikimli talep D ( t + ) − D ( t ) = µ ⋅ ( t + − t ) olur. Eğer t – anına stoksuz gelinmiş ise t + anına kadar sürekli üretim yapılmalıdır. Şekil 2-10’de düşey taranmış bölge t + anından önce talebin kapasitenin üzerinde seyrettiği süreci temsil etmektedir. Bu kapasite eksiği t – anından itibaren yapılan fazla imalat ile karşılanmaktadır ve t – düşey ve eğik taranmış alanların birbirlerine eşitlendikleri andır. t < t – dan önce ise kapasite talebin üzerindedir ve t + anına kadar (2.45) bağıntısı yine uygulanabilir. 92 Miktar Üretim kapasitesi Talep eğrisi t– t t+ Zaman Şekil 2-10. Sabit kapasite durumunda değişken talep Görüldüğü gibi [t – , t + ] zaman aralığı hariç sınırlı kapasite altında ESM hesabı uygulanarak sipariş miktarları belirlenir. [t – , t + ] aralığında ise yukarıdaki açıklandığı süre tam kapasite üretim yapılarak talep fazlası karşılanarak aşırı stok bulundurma külfetinden kurtulunmuş olunur. 93 2.3.2 Dinamik Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli Talebin çok fazla ve herhangi bir şekilde değiştiği, ayrıca birim fiyat, sipariş verme maliyetinin de zaman içinde sabit olmadığı durumlarda ESM modelinin yukarıdaki sayılan varsayımlar ile uyarlanması yapılan hataları arttırır. Böyle genel durumlar için farklı dinamik modeller oluşturulması gerekliliği kaçınılmaz olagelmiştir. Bu gibi durumlar için Wagner ve Within 1958’de bu bölümün başında sayılan varsayımlar geçerli olmak üzere, toplam sipariş maliyetini minimum yapacak optimum sipariş miktarlarını belirlemek için bir işlemsel süreç (algoritma) geliştirmişlerdir. Bu modeli oluşturmak için öncelikle yeni bir zaman kavramı tanımlanmalıdır. Şimdiye kadar kullanılandan farklı olarak, zaman artık sürekli değil, birbirini izleyen kesikli anlar (zaman içinde noktalar) olarak ele alınır; belirli anlar arasındaki zaman süreleri ise zaman periyotları olarak tanımlanır. Wagner ve Within’in ortaya koyduğu aşağıdaki iki temel özellik sayesinde problemin biçemlendirilmesi (formülasyonu) önemli derecede sadeleştirilebilir. Bunlar :56 1) Malzeme ikmali stok seviyesi sıfıra düştüğünde yapılır. 2) Bir j periyodunun d(j) gereksiniminin bu periyottan ne kadar önce sipariş miktarına yansıtılacağının bir üst sınırı vardır. Diğer bir deyişle bir j periyoduna ait gereksinimin birçok periyot öncesinden sipariş edilmesi o kadar yüksek bir stokta bulundurma maliyetine yola açacaktır ki, bunun yerine bu miktarı j periyodunun başında sipariş etmek daha ucuza mal olacaktır. Diğer bir ifade ile talep oluştuğunda karşılanmalıdır, sipariş bakiyesi veya satış kaybına izin verilmez. Her an sipariş verilebilir veya imalat yapılabilir ve stok bir periyottan bir sonrakine aktarılabilir. İkmal kararı anında sonuçlandırıldığı, yani teslimat süresi olmadığı varsayılır. Amaç tüm periyotlar göz önüne alındığında toplam stok maliyetini minimum yapacak bir sipariş planının oluşturulmasıdır. 56 Silver, Pyke ve Peterson, Inventory Management and Production Planning and Scheduling, s. 205 94 Problemin biçemlendirilmesinde aşağıdaki simgelem kullanılacaktır : T : Plan (zaman) ufku. T sonludur. t : Zaman noktaları (anlar) için indis. t = 0, 1, 2, .......... , T. t.inci zaman periyodu t anından t + 1 anının hemen öncesine kadar olan süreçtir. d(t) : t anındaki talep miktarı. x(t) : t anındaki stok. z(t) : t anındaki sipariş miktarı. x(t) ve z(t) karar değişkenleri ve d(t) negatif değerler alamazlar. t = 0 anındaki başlangıç stoğu x(0) = x0 bilinmektedir. Her t < T anı için x(t) stok seviyesine bakılır ve z(t) miktarda sipariş verme kararı alınır. t periyodu içinde herhangi bir anda z(t) siparişi stoğa girer ve d(t) talebi oluşur. Bu olayların t periyodunun sonunda, t + 1 anından hemen önce neticelenmiş olmak kaydıyla periyot içinde hangi anda oluştukları dikkate alınmadan periyot başında gerçekleştikleri varsayılır. Bu şekilde t + 1 anında x (t + 1) stok seviyesi bellidir. Bu süreç T periyodu sonuna kadar devam eder, son stok seviyesi x(T) dir ve bundan sonra sipariş veya talep olmayacağı kabul edilir. Maliyet parametreleri ise : k(t) : t anındaki sabit sipariş maliyeti. c(t) : t anındaki değişken sipariş maliyeti. h(t) : t anındaki stokta bulundurma maliyetidir. z > 0 için δ(z) = 1, z ≤ 0 için δ(z) = 0 [δ(.) – Heaviside fonksiyonu] olmak üzere, bir t anındaki toplam sipariş maliyeti k ( t ) ⋅ δ z ( t ) + c ( t ) ⋅ z ( t ) , stokta bulundurma maliyeti h ( 0 ) ⋅ x ( 0 ) = h ( 0 ) ⋅ x0 ise h (t ) ⋅ x (t ) dir. Dönem başlangıcındaki stokta bulundurma maliyeti yok sayılır, ancak dönem sonundaki h (T ) ⋅ x (T ) stokta bulundurma maliyeti hesaba dahil edilir. 95 Tüm bu sayılanlara göre problemin biçemi : Başlangıç şartları : x ( 0 ) = x0 (2.46) Problemin dinamiği : x ( t + 1) = x ( t ) + z ( t ) − d ( t ) t = 0, 1, 2, … , T − 1 (2.47) Kısıtlar : x (t ) ≥ 0 t = 1, 2, … , T z (t ) ≥ 0 t = 0, 1, 2, … , T − 1 (2.48) Amaç fonksiyonu : min. T −1 ∑{ t =0 T } ∑ h (t ) ⋅ x (t ) k ( t ) ⋅ δ z ( t ) + c ( t ) ⋅ z ( t ) + t =1 (2.49) Bu optimizasyon problemi dinamik ekonomik sipariş miktarı (DESM) modeli ve mucitlerinden dolayı da Wagner–Within işlemsel süreci (Wagner– Within algoritması) olarak adlandırılır.57 Kesikli zaman değişkeninin daha esnek olarak ele alındığı benzer başka modeller de mevcuttur. Örneğin ileride 2.3.2.5 bölümünde ele alındığı şekliyle, göz önüne alınan dönem boyunca elde bulundurma maliyetinin biriktiği bir model oluşturulabilir. t D(t) : t anına kadar birikimli talep. D ( t ) = ∑ d ( s ) s =0 D[ t,u [ : t ’den u–1 anına kadar talep. D [t , u[ = D ( u − 1) − D ( t − 1) , t ≤ u c [t , u[ : Bir birim için t anında sipariş verip u anına kadar stokta tutmaktan kaynaklanan değişken maliyet. c [t , u[ = c ( t ) + u ∑ h(s) , t ≤u s = t +1 Başlangıç şartı : u = t için c [t , u[ = c ( t ) 57 Axsäter, Inventory Control, s.43 96 DESM modeli δ(t) fonksiyonu yerine iki tabanında bir v(t) fonksiyonu koyarak amaç fonksiyonu doğrusal hale getirilebilir. v(t), t anında sipariş verilirse 1, aksi takdirde 0 değerini alacaktır. (2.48) kısıtlarına ilave olarak, v ( t ) ∈ {0,1} z ( t ) ≤ D [t , T [ ⋅ v ( t ) (2.50) t = 1, 2, … , T − 1 kısıtları ilave edilmelidir. Buna göre amaç fonksiyonu doğrusal hale gelir. min. T −1 ∑ {k ( t ) ⋅ v ( t ) + c (t ) ⋅ z ( t )} t =0 T + ∑ h (t ) ⋅ x (t ) t =1 (2.51) Bu şekilde DESM modeli tamsayılı doğrusal program olarak ifade edilebilir. 2.3.2.1 Doğrusal Maliyet Durumu Tüm sabit sipariş maliyeti k(t) lerin sıfır olduğu durumda modelin basit bir çözümü vardır. Önce değişken maliyetin sabit, yani c(t) = c > 0 olduğu durum göz önüne alınsın. Burada çözüm açıktır : x0 = 0 kabulu ile, z(t) = d(t) ve x(t) = 0. x0 > 0 ise eldeki stok tükeninceye kadar sipariş verilmez, daha sonra x(t) ≥ 0 olacak şekilde en az miktarda sipariş verilmelidir. Genelde, mümkün olduğu kadar geç ve en az miktarda sipariş verilir. Bu durum ideal düzgün mal akışının kesikli zamana uyarlanmasından başka bir şey değildir. Değişken maliyetin sabit olmadığı durumda temel amaç satınalma ve elde bulundurma maliyetlerinin dengelenmesidir. x0 = 0 kabulu ile s ≤ t olmak üzere bir s anında sipariş verildiğinde toplam maliyet, satınalma maliyeti c(t) ve s anından t ‘ye kadar elde bulundurma maliyeti toplamına eşit olup bu maliyet minimum yapılmalıdır. { c [ s*, t [ = min s c [ s, t [ : 0 ≤ s ≤ t } (2.52) Bu maliyeti minimum yapan s değeri s ( t ) ile gösterilirse, problem t periyotlarındaki d(t) taleplerini karşılayacak en uygun s ( t ) sipariş zamanlarının belirlenmesidir. 97 c [ s*,0[ = c ( 0 ) { (2.53) } c [ s*, t + 1[ = min c [ s, t [ + h ( t + 1) , c ( t + 1) Burada eğer birinci terim küçükse s ( t + 1) = s ( t ) , ikinci terim küçük ise s ( t + 1) = t + 1 olur. s ( t ) < t ise, bunun anlamı s ( t ) anından t anına kadar geçecek sürede değişken maliyette elde bulundurma maliyetinden daha fazla bir artış beklendiğine işaret eder (spekülatif niyet). 2.3.2.2 Ağ Şebeke Tasarımı ve Çözümü DESM modelinin çözümünde öncelikli problem sipariş zamanlarının seçimidir. Örneğin x0 = 0 durumu ele alınırsa, sipariş zamanlarının seçimi problemi bir şebeke problemi olarak çözülebilir. Burada düğümler t = 0, 1, 2, ....., T zaman noktalarını göstermek ve t < u olmak üzere, t anından u anına kadar olan süreçler (t,u) düğüm çiftleri arasında çizilen doğru parçaları ile temsil edilir. Bu şebekede O‘dan T’ye kadar olası yollar arasından seçilen en uygunu üzerindeki düğümler sipariş zamanlarını verir. Şekil 2-11’de T = 5 için bir DESM modeli örneğine ait ağ şebeke ve seçilebilecek olası yollardan biri gösterilmektedir. Buna göre 0, 1 ve 3 anlarında sipariş verilmelidir. DESM modeli için tüm olası yollar 0 5 4 1 2 0 3 5 DESM modelinde olası yollardan biri 4 1 2 3 Şekil 2-11. T = 5 için ağ şebeke modeli ve olası bir yol seçimi 98 En genel durumda, örneğin bir (t,u) yolu seçildiğinde, bu t anında sipariş verileceği ve sipariş miktarının da t ’den u – 1 zamanına kadar olan talebi karşılayacak şekilde seçilmesi gerektiği anlamına gelir. Böyle bir karar için toplam sipariş maliyeti c [t , u[ ile gösterilirse modelin dinamiği gereği, z ( t ) = D [t , u[ , x ( t + 1) = z ( t ) − d ( t ) = D [t + 1, u[ x ( s + 1) = x ( s ) − d ( s ) = D [ s + 1, u[ , t < s < u Dolayısıyla, (t,u) yolu için toplam sipariş maliyeti,58 k [t , u[ = k ( t ) + c ( t ) ⋅ z ( t ) + u ∑ h(s) ⋅ x(s) s = t +1 k [t , u[ = k ( t ) + c ( t ) ⋅ D [t , u[ + u ∑ h ( s ) ⋅ D [ s , u[ s = t +1 u −1 k [t , u[ = k ( t ) + ∑ c [t , s[ ⋅ d ( s ) (2.54) s =t olarak elde edilir. Bu şekilde 0 – T arasındaki tüm olası (t,u) yolları için c [t , u[ maliyetleri hesaplanır. Her yol için bu maliyetler toplanırsa, seçilen yol için 0 – T arasındaki toplam sipariş maliyeti elde edilecektir. Bu yolların içinde en düşük toplam sipariş maliyetini veren yol en uygun çözümü yani optimum sipariş zamanlarını verecektir. Bu şekilde DESM modeli en kısa yol problemine indirgenmiş olur. Bu problemin çeşitli çözüm yolları vardır. Bu yollardan biri ileri özyineleme (forward recursion) yöntemidir. Burada ana fikir 0 düğümünden hareketle, t = 1 ‘den başlayarak, t = 2 , ….. , t = T düğümüne kadar tüm yollar içinde en düşük maliyetli olanın hesaplanmasıdır. Bu yöntemde, her t için adım adım t düğümüne kadar olan (t ufuklu) en düşük maliyetli yol bulunur. t düğümüne kadar olan olası yollar içinde en düşük maliyet V*(t) ile gösterilsin. t inci adımın amacı t ufku için, s*(t) ile gösterilen son sipariş anının belirlenmesidir. Ancak, s < t için s*(t) = s varsayımı ile daha önceki sipariş zamanları s ufuklu problemin optimum çözümüne göre seçilmelidir. Dolayısıyla, 58 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.84 99 toplam sipariş maliyeti V * ( s ) + c [ s, t [ ≡ V * ( s, t ) olacaktır. En uygun s’in bulunması için ise, V*(s,t) ‘lerin en küçüğü hesaplanmalıdır. Bu yol aşağıdaki işlemsel süreçte özetlenmektedir :59 V*(0) = 0 Her t = 1, 2, …… , T için, V * ( s, t ) = V * ( s ) + c [ s , t [ 0≤s<t V * ( t ) = min s {V * ( s, t ) : 0 ≤ s < t} s*(t) = Bu ifadeyi minimum yapan en büyük s değeri olacaktır. Bu çözüm yönteminde T yineleme ve her t inci adım için t adet hesaplama T yapılmalıdır; dolayısıyla, toplam işlem sayısı ∑i = i =1 T ⋅ (T + 1) olacaktır. Elle 2 hesaplama yapıldığında bu çözümün uzun zaman alacağı açıktır. Bununla birlikte, eldeki bilgisayarlar ve programlar ile çözüm süresinin saniyeler mertebesine indirilmesi mümkündür. Wagner – Within işlemsel sürecinin talebin değişken olduğu durumlarda ESM modelinden daha iyi sonuç verdiği ve belirli bir planlama ufku için toplam sipariş maliyetini minimum yapacak ikmal miktarlarını verdiği tartışmasızdır. Bu modelin çözümü için çeşitli hesap tabloları (spreadsheet) ve yollar geliştirilmiştir. Bununla birlikte bu yöntem pratikte çok sınırlı bir kabul görmüştür. Bunun başlıca sebepleri aşağıdaki şekilde sayılabilir :60 1) Bu yöntemin oldukça karmaşık yapısından dolayı pratikte anlaşılması zor olmaktadır. 2) Yöntemin mantığına bağlı olarak talep tahmin ve planlama döneminin belirli bir sonu olmalı ve bu son noktaya ait tüm bilgilerin başlangıçtan itibaren, ilk sipariş miktarını belirlerken dahi bilinmelidir. Bu ise yakın gelecekte talebin bitmeyeceği bir ürün için sanal bir durum olacaktır. İlk 59 60 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.86 Silver, Pyke ve Peterson, Inventory Management and Production Planning and Scheduling, s. 209 100 en uygun ikmal miktarının doğruluğunu garanti edecek plan ufkunu belirlemek öteden beri yoğun araştırmalara konu olmuştur. 3) Diğer bir husus ise, bu modelin sıklıkla MRP yazılımları ile bağlantılı olarak kullanılmasıdır. Ancak MRP yazılımları devinen bir süreç için tasarlanmış olduklarından ikmal miktarları, gelecek talep bilgileri elde edildikçe, değişmemelidir. Wagner – Within yaklaşımı ise buna izin vermemektedir. Baker bu durumu tecrit özelliği olarak tanımlar. 4) Wagner – Within yöntemi ikmalin belirli zamanlarda (her periyodun başlangıcında) yapıldığını varsayar. Periyotlar bölünerek bu varsayımın etkisi yumuşatılabilir; ancak, periyot sayısı arttıkça hesap süresinin uzayacağı da gözden uzak tutulmamalıdır. 2.3.2.3 Sezgisel yöntemler - Silver – Meal Sezgisel yöntemi Mevcut bilgi – işlem olanakları kullanıldığında DESM modelinin çözümü kolaylaşmış olmakla birlikte, yukarıda sıralanan sakıncalar sebebiyle daha kolayca sonuca ulaştıran çeşitli sezgisel yöntemler de (heuristics) geliştirilmiştir. Diğer taraftan, daha önce ele alındığı gibi zaman içinde talepteki değişimlerin az olması durumunda ESM modeli ile kolayca ve etkili şekilde sonuç alınabilir. Ancak, önemli ölçüde değişimlerin söz konusu olduğu durumlarda ESM modeli yetersiz kalacağından dinamik modellere veya daha basit çözümler için sezgisel yöntemlere başvurmak gerekli olacaktır. Genelde benzer anlayışa sahip olmakla beraber bunlardan en gözde olan ve en iyi bilineni 1973’de Silver ve Meal tarafından ortaya konan yöntemdir. Bu yöntemin ana fikri, tüm bir planlama dönemini ele almak yerine, gelecekteki kısıtlı sayıda dönemi göz önüne alarak, bir anlamda deneme – yanılma yoluyla toplam stok maliyetini en az yapacak sayıda dönem gereksinimini karşılayacak sipariş miktarının belirlenmesi olarak özetlenebilir.61 Başlangıçtaki stok seviyesinin x0 = 0 olduğu varsayılsın. Örneğin, sadece gelecekteki ilk dönem gereksinimi d(0)’ı karşılayacak kadar sipariş verilmesi 61 Axsäter, Inventory Control, s.45 101 durumunda z(0) = d(0) ve birikimli talep D [ 0,1[ = d (0) veya iki dönem için D [ 0, 2[ = d (0) + d (1) veya üç dönem için D [ 0,3[ = d (0) + d (1) + d ( 2 ) , .... şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde gelecekteki u döneme kadar birikimli talep D [ 0, u[ = d (0) + d (1) + d ( 2 ) + … + d ( u ) , bu zaman sürecindeki toplam sipariş maliyeti C [ 0, u[ ve dönem başına ortalama toplam sipariş maliyeti C [ 0, u[ u olur.62 Yöntemin amacı bu ortalama maliyeti en aza indirmektir. Bu amaçla u = 1 ‘den başlayarak, ortalama maliyet azaldığı sürece u değeri birer arttırılarak devam edilir. Bu şekilde devam edilirken u’daki artış sonunda ortalama maliyetin arttığı noktada işleme son verilir; maliyetin azaldığı en son u değeri, ortalama maliyetin en az olması için, siparişin kapsayacağı dönem sayısını verir. Bu işlem aşağıdaki gibi formüle edilebilir :63 u k + h ⋅ ∑ ( t − 1) ⋅ D [ 0, u[ Maliyet Dönem = t =1 (2.55) u Burada, u +1 u k + h ⋅ ∑ ( t − 1) ⋅ D [ 0, u[ t =1 u +1 k + h ⋅ ∑ ( t − 1) ⋅ D [ 0, u[ < t =1 u (2.56) olacak şekilde en küçük u değeri seçilir. “Maliyetler açısından bu yaklaşım ne derecede etkilidir?” sorusunu cevaplayabilmek için, öncelikle bu yöntemin sabit maliyet unsurları için tasarlanmış olduğu düşünülmelidir; bu sebeple maliyet unsurlarının hızlı değiştiği durumlarda elde edilecek sonuçlar da yetersiz olacaktır. İlave olarak talebin sabit ve T ‘nin sonsuz olduğu durumda bu yöntem en uygun çözümü verir. Ayrıca, talebin çok yavaş hatta orta hızda değiştiği durumlarda da model oldukça iyi iş görür. Buna karşı, hızlı değişen talep modelin başarımını zayıflatır.64 O halde, mevcut bilgi işlem olanakları ile doğrudan işlemsel süreçlerin hızlı bir şekilde çözülebildiği göz önüne alındığında, sezgisel yöntemlere gerek kalmadığı 62 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.90 63 Askin ve Goldberg, Design and Analysis of a Lean Production Systems, s.208 64 Axsäter, Inventory Control, s.47 102 düşünülebilir. Ancak, sezgisel yöntemler hala hem daha yalın, hem de daha hızlı olduklarından halen bunlara baş vurulmaktadır. Bununla birlikte, günümüz bilgi işlem hızları ve bilgisayar kullanım olanakları göz önüne alındığında hız büyük bir avantaj olarak kalmayıp, kesin çözüm yöntemleri ile de yeteri kadar hızlı bir şekilde sonuç alınabilmektedir. Hız üstünlüğü ötesinde sezgisel yöntemleri kullanımı ile ilgili olarak göz önüne alınması gereken başka hususlar da vardır. 2.3.2.4 DESM Modelinin Uygulaması ile İlgili Yorumlar DESM modeli halen yaygın olarak kullanılmaktadır. Tüm matematik modellerde olduğu gibi DESM modeli için de, uygulamada karşılaşılan hemen her durumda kurulan model ile gerçek şartlar arasında, talep tahminlerinden sapmalar, maliyetlerin tahmini olması gibi hususlardan kaynaklanan önemli farklılıklar vardır. Tipik bir DESM modeli, ortaya çıkan değişimler doğrultusunda gerekli güncellemeler yapılmak suretiyle zaman içinde tekrar tekrar model oluşturularak uygulanır. Diğer bir deyişle planlama ufku T sabittir, ancak başlangıç zamanı sürekli yenilenerek gider. Bu durum hareketli ufuk senaryosu olarak adlandırılır. Bu yolla model ile gerçek durum arasındaki farklılıklar azaltılmaya çalışılır. DESM modeli ile ilgili önemli bir husus da modelin çözümünde kullanılan yöntemdir. Yukarıda da ele alındığı gibi Silver-Meal yöntemi ile elde edilen çözüm çoğu durumda optimum çözüme yakın olmakla birlikte, bazı durumlarda önemli ölçüde farklı sonuçlar verebilir. Sezgisel yöntemlerde göreceli olarak uzak gelecekteki parametreler hesaba katılmadan çözüme ulaşılır; buna karşılık, optimum çözümde toplam maliyeti etkileyebileceği düşünülen tüm parametreler modele dahil edilir. Ancak, parametreler tahmini değerler olduklarından ve özellikle uzak gelecekle ilgili tahminlerin de ne derecede sağlıklı oldukları kesin olarak bilinemeyeceğinden, bunun gerçekten en düşük stok maliyetini vereceği de açık değildir. Burada sorun yöntemden ziyade parametrelerin ne derece sağlıklı olarak tahmin edilebilecekleridir. Dolayısıyla, şu veya bu çözüm yönteminin en doğru sonucu vereceği, en azından bugün bilinen yöntemler düşünüldüğünde, kesin olarak iddia edilemez; optimum çözüm yöntemi olsun, sezgisel yöntemler olsun, çözüme ulaşmada herbirinin yeri ayrıdır. 103 Uygulamada kullanılan diğer bir seçenek emniyet stokları ilavesi ile elde edilen DESM’i düzeltmektir. Bunun matematiksel anlamı kısıtlamalarda alt sınırı 0 olan x(t) miktarının her periyot veya bazı periyotlar için arttırılmasıdır. Ancak burada da sorun bu miktarların en uygun şekilde nasıl belirleneceğidir. Bu amaçla, rassal modellerden faydalanmak söz konusudur. Diğer bir konu da modelin duyarlılığıdır. Bunun anlamı parametrelerdeki küçük değişikliklere modelin ne oranda tepki vereceğidir. Genelde, optimum çözümün Silver-Meal yöntemine oranla daha hassas olduğu görülmektedir. Ayrıca, sabit maliyet k(t) arttıkça modelin duyarlılığı da artmaktadır. 2.3.2.5 Temel DESM Modelinden Ayrılmalar Temel DESM modelinde bazı şartların değiştirilmesi veya ilavesi ile farklı modeller oluşturulabilir. Bunlardan bazıları temel modelde basit değişiklikler yapılarak elde edilebileceği gibi, bazıları için önemli analizler yapılması gerekebilir. Aşağıda uygulamada sıkça karşılaşılan farklı durumların temel DESM modeline ne şekilde dahil edilebilecekleri özet olarak ele alınmıştır.65 Teslimat Süresi : DESM modelinde teslimat süreleri göz önüne alınmamış olmakla beraber, bu unsur basitçe modele dahil edilebilir. Ürünün teslimat süresi L (sabit, pozitif bir tam sayı) ile gösterilsin. Buna göre bir t anında verilen sipariş t + L – 1 periyodunun sonunda veya t + L periyodunun başında stoğa girecektir. (Özgün DESM modelinde teslimat süresi 1 olarak kabul edilmektedir.) Buna göre t – L + 1 anında verilen bir sipariş miktarı z(t), bu siparişin sabit ve değişken maliyetleri ise sırasıyla k(t) ve c(t) ile gösterilecektir. z(t) miktarda sipariş yine t +1 periyodundan hemen önce stoğa gireceğinden (2.47) ‘deki bağıntı yine geçerli olacaktır. Buna karşılık başlangıç şartlarında değişiklik yapmak gerekecektir. t < L – 1 için z(t) ve t < L için x(t) değerleri t = 0 anından önce belirlenmiş değerler olup, sabit olarak ele alınacaklardır. 65 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.94 104 Burada zaman yerine fiziksel stok öne çıkarılarak oluşturulabilecek benzer ancak farklı bir yaklaşım daha mevcuttur. Bu modelde z(t) yine t anındaki sipariş miktarı olsun. Sırasıyla x(t) ve x0 ile t ve başlangıç anındaki stok pozisyonları, x ( t ) ile de t anındaki gerçek stok gösterilsin. Buna göre x ( t + L ) = x ( t ) − D [t , t + L[ yazılabilir. (2.46) ve (2.47) ‘deki bağıntılar geçerli olmak üzere, (2.48) kısıtları ve (2.49) amaç fonksiyonunda x(t) yerine x ( t ) koyularak ve daha sonra yukarıdaki bağıntı yardımıyla x ( t ) yok edilerek özgün DESM modelinin yeni şekli elde edilir. Bu durumda kısıtlarda x ( t ) ≥ 0 yerine D [t , t + L[ > 0 gelecektir. Cari Değer Kriteri : DESM modeli, 2.2.6 bölümünde ele alınan cari değer veya iskontolu maliyet kriterini kapsayacak şekilde kolayca düzenlenebilir. Bir periyottaki faiz oranı, periyot uzunluğuna bakılmaksızın, r ile gösterilirse γ = 1 (1 + r ) iskonto çarpanı olmak üzere, bir t anındaki birim nakit akışının cari değeri γ t olacaktır. DESM modelinin amaç fonksiyonunda fiili maliyet unsurları c ( t ) → γ t ⋅ c ( t ) , k ( t ) → γ t ⋅ k ( t ) ve h ( t ) → γ t ⋅ h ( t ) yerine, şeklinde iskontolu yazılırsa değerleri amaç fonksiyonu iskontolu toplam maliyeti verecektir. Burada dikkat edilmesi gereken h(t) ile yine sadece fiziki elde bulundurma maliyetinin temsil edileceği ve buna finansal maliyetlerin dahil olmadığı hususudur. Biriken Maliyet Kavramı : DESM modelinde, gerçekte sürekli bir değişken olan zamanı kesikli bir değişken şeklinde kabul edilerek bir yaklaşım sağlanmaktadır. Oysa ki, gerçek durumda talepler sürekli olarak oluşur ve elde bulundurma maliyeti de zaman içinde birikerek gider. Oysa modelde, belirli bir periyot içinde talep anları, her anlık elde bulundurma maliyeti ve siparişlerin stoğa girdiği belirgin değildir. Periyotların uzunlukları gerektiği kadar kısa alınırsa d(t) ve h(t+1) parametrelerinin t ile t + 1 periyotları arasında sabit kaldıkları varsayılabilir. Ayrıca z(t) miktarda siparişin de 105 periyodun başlangıcında stoğa girdiği varsayılırsa, t ve t + 1 noktaları arasındaki bir s anında : Stok seviyesi, x ( s ) = x ( t ) + z ( t ) − ( s − t ) ⋅ d ( t ) Elde bulundurma maliyeti, t +1 h ( t + 1) ⋅ ∫ t x ( s ) ⋅ ds = h ( t + 1) ⋅ x ( t ) + z ( t ) − t +1 ∫ ( s − t ) ⋅ d ( t ) ⋅ ds t d (t ) d (t ) = h ( t + 1) ⋅ x ( t ) + z ( t ) − = h ( t + 1) ⋅ x ( t + 1) + olur. 2 2 Amaç fonksiyonu ise, 1 ⋅ ∑ t h ( t + 1) ⋅ d ( t ) teriminin ilavesi ile biriken elde 2 bulundurma maliyetini de içerir duruma gelir. Sipariş Bakiyeleri : Özgün DESM modelinde sipariş bakiyesine izin verilmez. Şimdi, modelde sipariş bakiyelerine de izin verildiği durum ele alınsın. x(t) değişkeni, x+(t) stok miktarı ve x– (t) sipariş bakiyesini göstermek üzere x ( t ) = x + ( t ) − x − ( t ) şeklinde yeniden tanımlansın. Kısıtlarda, x(t) ≥ 0 kısıtı kaldırılıp, z(t) ≥ 0 kısıtı korunarak, x+(t) ≥ 0 ve x– (t) ≥ 0 kısıtları da eklensin. Amaç fonksiyonundaki h ( t ) ⋅ x ( t ) terimi ise, b(t) birim elde bulundurmama maliyeti olmak üzere, t , x ( t ) = h ( t ) ⋅ x + ( t ) + b ( t ) ⋅ x − ( t ) şeklinde değiştirilsin. C Özgün DESM modelinde her sipariş o ve takip eden periyotlardaki talepleri karşılamaktadır. Sipariş bakiyesi söz konusu olduğunda da durum aynıdır. Ancak, burada özgün modeldekinden farklı olarak bir periyotta verilen sipariş, o ve sonraki periyotların yanısıra daha önceki periyotlara ait siparişleri de karşılayacak şekilde düşünülmelidir. Bu şekilde değişiklikler yapıldıktan sonra, problem yine ağ şebeke yaklaşımı ile çözülebilir. Şöyle ki, t = T periyodu için, T– olarak işaretlenmiş bir düğüm, t < T için ise t+ ve t – olarak işaretlenmiş ikişer düğüm olan bir ağ şebeke sistemi oluşturulur. Burada ara yollar artı düğümleri eksilere ve eksileri artılarla 106 ilişkilendirir. Her t ≤ u için bir (t –, u+) ve her t < u için bir (t +, u–) yolu vardır. ( Şekil 2-12 ) 0– 1– 0+ 2– 1+ 3– 2+ Şekil 2-12. Sipariş bakiyeleri durumunda DESM için ağ şebeke modeli 0– – T– arasındaki bir yol boyunca t+ düğümleri sipariş zamanlarını, t – düğümleri ise sipariş miktarlarını temsil eder. Bu yol üzerinde bulunan, s ≤ t < u olmak üzere, (s –, t+) ve (t +, u–) bağlarının anlamı, t anında verilen bir siparişin s’den u – 1 ‘e kadar olan zaman sürecindeki talebi karşılayacağı anlamındadır. Bu şekilde oluşturulan tüm bağlantılar için maliyetler hesaplanır ve bu maliyetlerin toplamının en küçük olduğu yol, en düşük maliyetli çözümü verir. Sınırlı Kapasite Durumu : Özgün modelde z(t) sipariş miktarının sınırsız olduğu varsayılmıştır. Ancak, uygulamada üretim veya sipariş miktarının bir üst sınırı vardır; bu üst sınır z+(t) ile temsil edilsin. Bu durumda özgün modeldeki kısıtlara, z (t ) ≤ z + (t ) t = 0,…, T − 1 (2.57) şartı eklenmelidir. Ayrıca, yapılabilirlik açısından, üretim kapasitesi veya sipariş edilebilecek miktarın başlangıç ile t periyodu arasındaki her t için talepten fazla t t olduğu da ∑ z + ( s ) ≥ ∑ d ( s ) kabul edilsin. Kapasitedeki bu sınırlama, ileride s =0 s=0 oluşabilecek aşırı talebe hazırlıklı olmak amacıyla önceden daha fazla üretim yapmak (veya fazla sipariş vermek), dolayısıyla da daha fazla stok tutmak sonucunu 107 doğurur. Bu durumu matematiksel olarak ifade edebilmek için bu fazla stok x+(t) ile gösterilsin. Buna göre, t anından ilerideki zaman için fazla talep, x+ (T ) = 0 x+ ( t ) = d ( t ) − z + ( t ) + x+ ( t + 1) + 0≤t <T (2.58) olacaktır. Her olanaklı çözüm için, x(t) ≥ x+(t) olması gerektiği açıktır. Bu şekilde oluşturulabilecek yeni modelin çözümü bazı özel durumlar haricinde oldukça zordur. Kapasite unsurunun katıldığı başkaca modeller de oluşturulmuştur, ancak özel durumlar hariç tutulursa, benzer zorluklar bu modeller için de mevcuttur. Miktar İskontoları : Eğer tedarikçi miktar iskontosu uyguluyorsa, bu iskonto da modele dahil edilmelidir. Örneğin tedarikçinin kademeli bir iskonto uyguladığı varsayılsın; t anında z adet alım yapıldığında fiyat, yani toplam değişken sipariş maliyeti c(t,z) olsun. Özgün DESM modelinde değişken sipariş maliyeti doğrusal bir büyüklüktür, oysa, c(t,z) doğrusal değildir. Ancak bu da c[t,z(t)] şeklinde yazılarak doğrusal hale getirilebilir. Buna göre, modelin amaç fonksiyonunda c ( t ) ⋅ z ( t ) → c t , z ( t ) koyularak uygun çözümler elde edilebilir. 108 3 ÇOK KADEMELİ STOK KONTROL MODELLERİ ve DAĞITIM OPTİMİZASYONU 3.1 Giriş Buraya kadar tek bir ürünün veya malın, tek bir yerde depolanması durumunda ortaya çıkan maliyetler ve bu maliyetlerin toplamının en düşük seviyede tutulabilmesi için ne sıklıkla ve ne miktarda sipariş verilmesi gerektiği teorik olarak ele elınmıştır. Ancak gerek üretim, gerek dağıtım yapan veya her iki faaliyetin birarada yürütüldüğü bir işletmede veya bir tedarik zincirinde durum çok daha karmaşıktır. Mal veya ürün sayısı birden çok daha fazla, tedarik ve dağıtım noktaları çok sayıda ve coğrafi olarak dağınık olabilir. Böyle sistemlerde stokların en uygun şekilde konuşlanması ve işlemlerin en yalın ve düşük stoklar ile yürütülmesi, hem gerekli işletme finansmanının düşük tutulması, hem de satışları ve müşteri memnuniyetini arttırma açılarından hayati bir önem taşır. Üretim ve dağıtım yapan bir işletmede veya bir tedarik zincirinde yürütülen işlemler ve stoklar Şekil 3-1‘de özetlendiği gibi en temel olarak üç aşamada ele alınabilir.66 Tedarik zincirinin başlangıcında dışarıdan temin edilen hammadde ve parçalar vardır. Bunlardan bir kısmı geldikleri anda doğrudan imalata gidebilecekleri gibi, diğerleri talep edildiği zaman gönderilmek üzere hammadde ve parça depolarında bekletilirler. Üretim aşamasında farklı evreler söz konusudur; bazı ürünler tamamlanıp satılmak üzere sevkedilebilecekleri gibi, bazı ara ürünler ve ara montajlı parçalar son ürün montajında kullanılmak üzere ara aşamalarda bekletilmekte olabilirler. Daha sonra tamamlanmış ürünler, buradan doğrudan müşterilere veya ara depolara sevkedilmek üzere ürün ana deposuna alınırlar. Ana depoya iki işlev atfedilebilir. Öncelikle ana ürün deposu bir ana dağıtım merkezi 66 Langenhoff, L.J.G. ve Zijm, W.H.M. “An Analytical Theory of Multi-Echelon Production / Distributin Systems”, Statistica Neerlandica, 1990, nr.3 s.150 109 olarak işlev görür; ayrıca, üretimden çıkar çıkmaz sevkedilemeyecek ürünler daha sonra ilgili noktalara gönderilmek üzere burada stoklanırlar. Son olarak da, yerel ürün depoları, nihai müşterilere sevkedilecek malların tutulduğu, üretici ile pazar arasındaki arayüzler olarak görülebilir. Böyle bir zincirdeki malzeme akışında, iki ana amaç arasında bir denge oluşturulmaya çalışılır : Müşteri memnuniyeti (servis kalite seviyesi) ve en düşük dağıtım ve stok maliyeti. Tedarik Üretim Dağıtım Hammadde ve Ara ürün Ürün ana Yerel ürün parça depoları depoları deposu depoları Şekil 3-1. Temel bir tedarik zinciri örneğinde işlemler ve stoklar Bu amaçları gerçekleştirebilmek için, pratikte birden fazla tesis veya işlevin birbirleri ile bağlantılı olduğu durumlarda çok kademeli stoklama sistemleri sıklıkla başvurulan bir yapıdır. Örneğin, geniş bir coğrafyada dağıtım yapan işletmelerde üretim tesisine yakın bir ana depo ile çeşitli bölgelerdeki müşterilere yakın konumlarda olan bir veya birden fazla sayıda yerel stoklama noktası/ları şeklinde bir yapı dahilinde çalışması sıkça karşılaşılan bir durumdur. Sadece üretim yapan bir işletmede de hammaddeler, hazır parçalar, yarı ürünler ve bitmiş ürünler arasında sıkı bir ilinti söz konusudur. Tüm bu stokların etkin olarak yönetilebilmesini sağlamak amacıyla, buralarda da çeşitli unsurlar arasındaki ilişkileri hesaba katacak şekilde özel yöntemler kullanılması zorunludur. Diğer taraftan, bir tedarik zincirinde 110 genellikle birden fazla işletmenin, malzeme akışını iyileştirmek amacıyla birlikte çalışmaları ve ortak kararlar almaları sözkonusudur. Günümüz bilişim ve iletişim teknolojileri, elektronik veri alış verişi, uydu haberleşme imkanları ile böyle büyük ve karmaşık yapılarda eşgüdüm olanaklarını arttırarak, bunların yönetilmesinde yeni yöntem ve anlayışlar geliştirilebilmesinin önünü açmıştır. 3.2 Üretim ve Dağıtımda Çok Kademeli Stok Sistemleri Öncelikle şunu vurgulamak gerekir ki, çok kademeli stok sistemlerini gerek üretim, gerek dağıtımla ilgili problemlerin çözümünde bir ayrım yapılmaksızın kullanmak olasıdır; diğer bir ifade ile aynı stok modeli ve analiz teknikleri hem birden fazla mal, hem de birden fazla konum sözkonusu olduğunda hiçbir değişikliğe gerek kalmaksızın oldukları gibi kullanılabilirler. Bu koşutluk aslında doğaldır; gerek üretim, gerek nakliye ayrıntılarda farklılıklar olmakla birlikte, stok yönetimi açısından sonuçta her ikisi de zaman ve para gerektiren fiziksel dönüşümlerdir. Bu koşutluk göz önüne alınarak bundan sonra modellerde ürün veya konum yerine sadece o sınıfa ait bir varlığı betimlemek amacıyla unsur sözcüğü kullanılacaktır. Buna göre çok unsurlu olarak adlandırılacak bir model farklı ürünlerin veya farklı coğrafi konumların veya her ikisinin birden mevcut olduğu bir model olarak anlaşılacaktır. Çok kademeli stok sistemleri, unsurların düğüm noktaları (nodes), bunlar arasındaki bağıntıların (arcs) da oklarla gösterildiği yönlendirilmiş bir ağ şebeke sistemi oluşturur. Amaca uygun olarak farklı stok sistemleri oluşturmak mümkündür. En genel hatları ile çok kademeli stok sistemleri beş ana gruba ayrılabilir.67 1) Seri sistemler. 2) Üretim sistemleri. 3) Dağıtım sistemleri. 4) Ağaç sistemler. 5) Genelleştirilmiş karma sistemler. 67 Zipkin Foundations of Inventory Management, s.109-110 111 Bu sistemlerin en yalını Şekil 3-2‘de gösterilen seri sistemlerdir. Burada müşteri talepleri B stok noktasından karşılanmakta, B noktası A’dan ve son olarak A da sistem dışındaki bir tedarikçiden ikmal edilmektedir. Böyle bir sistem dağıtım amaçlı ise, A işletmenin üretim tesisine yakın bir noktadaki ana ürün deposunu, B ise müşterilerin bulunduğu daha uzak bir bölgedeki yerel dağıtım deposunu betimler. B için tedarik süresi, A ile B arasındaki sevkiyat süresine eşittir. Üretim amaçlı benzer bir sistemde ise örneğin B son ürün stoku, A ise bunun üretilmesi için gerekli bir yarı ürün stoku olarak düşünülebilir. Bu durumda B için tedarik süresi ağırlıklı olarak üretim (veya montaj) süresine eşittir. Her iki sistemde de B, A’nın müşterisi, A ise B’nin tedarikçisi olarak ele alınır. A B Şekil 3-2. Seri halde iki kademeli stok sistemi 4 2 5 3 1 6 7 Şekil 3-3. Çok kademeli bir üretim / montaj sistemi Seri sistemin biraz daha gelişmişi üretim (montaj) sistemidir. Bu sistemler isimden de anlaşılacağı gibi daha çok üretim işlevleri ile ilgilidir. Ağ şebeke tamamlanmış ürünü temsil eden bir düğüm ile sona erer. Dış kaynaklardan tedarik 112 edilen birden fazla kalem hammadde, parça vs. çeşitli işlemlerden geçirilerek, birleştirilerek ara ürünlere, daha sonra bu ara ürünler de yeniden montajlanarak son ürüne dönüştürülür. Şebekedeki oklar çeşitli üretim istasyonları arasındaki malzeme, parça, ara ürün taşımalarını betimler. (Şekil 3-3) Dağıtım sistemi, bir anlamda üretim sisteminin geriye doğru yürüyeni gibi olup, ıraksak bir sistemdir. Üretim amaçlı olarak tek bir hammaddeden hareketle çeşitli ürünler elde edildiği durumlarda da (örneğin, sütü işleyerek pastorize süt, yağ, süttozu üretimi) kullanılır. Dağıtım amaçlı olarak ele alındıklarında ise şebekenin başlangıç düğümü merkez (ana) depo, son düğümleri ise perakendeciler veya nihai tüketicilerdir; ara düğümler ise bölgesel dağıtım depoları gibi ara stoklama birimlerine karşılık gelirler. (Şekil 3-4) Bu sistemde her düğüm noktasının en fazla bir tane önceli vardır. Merkez depo Perakendeciler Şekil 3-4. Çok kademeli bir dağıtım sistemi Dağıtım amaçlı bir sistemde, farklı bölgelerdeki hizmet seviyesini yüksek tutabilmek için ilgili perakendeciler için stok tutma gereksinimi vardır. Perakendeciler ise merkezi depo veya ara depolardan ikmal edilmektedir. Merkezi ve ara depolardaki stok seviyesi yüksek tutularak teslimat süreleri daha kısa ve daha az değişken hale getirelebilir; bu da perakendecilere stoklarını düşük tutma imkanı sağlar. Sistem içindeki toplam stok miktarının dağılımı sistemin yapısına, talepteki 113 değişimlere, sevkiyat sürelerine ve birim maliyetlere bağlıdır. Merkez depoda çok miktarda stok tutulmasını gerektiren durumlar olmakla birlikte, çoğu zaman toplam stok miktarı beklenenden de oldukça düşük seviyede kalmaktadır.68 Ağaç sistemler, üretim ve dağıtım sistemlerin beraberce bulunduğu, genelleştirilmiş karma sistemler ise daha da karmaşık ilişkiler içeren sistemlerdir. (Şekil 3-5) Bu sistemlerde her düğümün birden fazla öncel ve ardılı bulunabilmektedir. Bu sebeple böyle sistemler için optimum çözümün elde edilmesi oldukça zahmetli olabilmektedir. (a) (b) Şekil 3-5. Ağaç (a) ve genelleştirilmiş karma (b) sistemler Özellikle üretim amaçlı çok kademeli stok sistemlerinde malzeme siparişi ve stoklamada kullanılan bir başka yaklaşım da malzeme listesi veya ürün ağacı olarak isimlendirilebilecek kavramdır. Bir mal üretilirken birden fazla sayıda parça ve bu parçaların da birden fazla sayıda kullanılması üretimde sıkça karşılaşılan bir durumdur. Örneğin Şekil 3-3‘deki 1 no.lu ürün 2, 3 ve 7 no.lu parçalardan, 2 no.lu parça 4 no.lu parçadan ve 3 no.lu ara ürün 5, 6 ve 7 no.lu parçalardan oluşmaktadır. Bu durum bir ürün ağacı ile Şekil 3-6‘de gösterilmektedir. Ayrıca, 1 no.lu ürün için 2, 3 ve 7 no.lu parçalardan sırasıyla 2, 2 ve 6 adet, 3 no.lu ara ürün için 5, 6 ve 7 no.lu parçalardan sırasıyla 3, 4 ve 2 adet kullanıldığını ve 2 no.lu ara ürünün de 3 68 Lim Wei-Shi , Ou Jihong ve Teo Chung-Piaw. “Inventory Cost Effect of Consolidating Several One-Warehouse Multiretailer Systems.”, Operations Research, Vol. 51, No.4, July-August 2003, s.668 114 adet 4 no.lu parçadan oluştuğu varsayılsın. Bu adetler de ürün ağacında parantez içinde gösterilerek her parça için ihtiyaç duyulan miktarlar kolayca elde edilebilir. 1 2 3 (2) (2) 4 5 6 7 7 (3) (3) (4) (2) (6) Şekil 3-6. Çok kademeli üretim sistemi örneğine ait ürün ağacı Ürün ağacından hareketle, bu örnekteki 1 no.lu üründen 1 adet üretebilmek için, 4 no.lu parçadan 6 adet, 5 no.lu parça 6 adet, 6 no.lu parçadan 8 adet ve 7 no.lu parçadan 10 adet tedarik edilmesi gerektiği hesaplanır. 115 3.3 Bağımsız Unsurlar için Stok Modelleri 3.3.1 Toplam Başarım Ölçüleri Bir perakende mağazası veya bir yedek parça ambarında sıkça karşılaşılan bir durum olan, çok unsurlu ve her unsurun özgün ESM modelinin hipotezlerini gerçeklediği, ayrıca unsurlar arasında arz-talep ilişkisinin bulunmadığı ve talep ile tedarik işlemlerinin ayrık olduğu bir sistem göz önüne alınsın. Unsurların birbirlerinden bağımsız oldukları böyle bir ortamda ilk akla gelebilecek çözüm, her unsur için uygun bir ESM modeli oluşturarak ayrı ayrı en uygun çözümlerin elde edilmesi olabilir. Esas olarak çoğu hazır stok kontrol programının yaptığı da budur. Ancak binlerce stok kaleminin olduğu bir işletmede bu işlem bilgisayarlar yardımıyla yapılsa da usandırıcı bir çalışma olduğu gibi, işletmenin toplam başarımı hakkında da genel bir bilgi vermez. Unsurların tek tek değerlendirilmesi muhakkak çok önemlidir. Bununla birlikte, özellikle üst yönetim ayrıntılardan ziyade işletme kaynaklarının toplamda nasıl kullanıldığı ile ilgilidir. Bu amaçla stoklarla ilgili toplam kaynak kullanımının değerlendirilmesi için toplam başarım ölçüsü (aggragate performance measures) olarak adlandırılan, toplam stok yönetiminin etkinliğinin değerlendirilebilmesini sağlayacak böyle bir ölçü tanımlamak faydalı olacaktır. Modelde kullanılacak parametreler aşağıdaki gibi tanımlansın : j : ilgili unsurun numarası. (j = 1, 2, ....., J) dj : j. inci unsura olan talep. cj : j. inci unsur için değişken satınlama maliyeti. wj : j. inci unsurun sipariş maliyeti. qj : j. inci unsurun sipariş miktarı. cj katsayısı bir malın elde bulundurulması ile ilgili tüm maliyetleri kapsamaktadır. Bir malın stokta bulundurulması bu malın değeri kadar bir anaparanın bağlanmasının yanısıra, depolama masrafları, işgücü ve enerji gibi maliyetleri de içerdiği unutulmamalıdır. wj katsayısının ise sipariş verme ile teslim alma sırasında oluşan tüm sabit giderleri kapsadığı varsayılmaktadır. 116 Parametreler belirtildikten sonra öncelikle, ilerideki hesaplamalarda J kullanılmak üzere, üç büyüklük tarif edilecektir. Bunlardan birincisi cd = ∑ c j ⋅ d j j =1 şeklinde ifade edilen toplam satınalma maliyetidir. Burada, cd ‘nin birimi para birimi J J j =1 j =1 / birim zaman dır. Diğer bir şekilde, bu büyüklük d = ∑ d j ve c = ∑ dj d ⋅ cj (cj’lerin talebe göre ağırlıklı ortalaması) olmak üzere cd çarpımı olarak ifade edilebilir. Ancak bu ikinci tanımlamanın, dj’lerin birimleri aynı ise bir anlam ifade edeceği açıktır. J c ⋅d İkinci büyüklük, w = ∑ j j ⋅ w j talep ağırlıklı iş yükü (workload) j =1 cd J veya sipariş maliyetidir. Buna göre, w ⋅ cd = ∑ w j ⋅ c j ⋅ d j olur. j =1 Son olarak, J ∑ wj ⋅ c j ⋅ d j j =1 J* = w ⋅ cd 2 büyüklüğü çeşit indeksi olarak tanımlanır. 1 ≤ J* ≤ J olduğu kolayca ispatlanabilir. J* , wj.cj.dj.’lerin dağılımının, diğer bir deyişle unsur sayısının toplam başarımı ne şekilde etkilediğinin ölçüsüdür. Bunların dağılımı çok farklıysa J* küçük, birbirlerine yakınsa J* büyüktür. Bu ifade ters bir tanım olarak görülebilir; farklı wj.cj.dj.’ler daha az çeşit, benzer wj.cj.dj.’ler daha fazla çeşit olduğuna işaret eder. j. inci unsurun ortalama stok seviyesi S j = q j 2 , sipariş frekansı SFj = d j q j olmak üzere, toplam başarım ölçüleri,69 J J j =1 j =1 Ortalama toplam stok yatırımı : cS = ∑ c j ⋅ S j = ∑ c j ⋅ J J dj j =1 j =1 qj Toplam ortalama iş yükü : wF = ∑ w j ⋅ SFj = ∑ w j ⋅ qj 2 (3.1) (3.2) şeklinde tanımlanır. 69 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.114 117 3.3.2 cS-wF Grafiği Bu iki değer qj büyüklüğünün fonksiyonlarıdır. Bir an için toplam stok yatırımının belirli olduğu varsayılsın. Bu durumda problem, bu ödeneğin unsurlar arasında en uygun ne şekilde dağıtılacağıdır. Bu ise wF değerinin minimum olacağı qj miktarlarının belirleneceği bir optimizasyon problemidir. Diğer bir ifade ile, J cS = ∑ c j ⋅ j =1 qj 2 J kısıtlaması ile, ∑w j =1 j ⋅ dj qj amaç fonksiyonu minimum olmalıdır. J λ Lagrange çarpanı kullanarak, f ( q j ) = ∑ w j ⋅ j =1 wj ⋅ d j f '( q j ) = 0 ⇒ q 2 ⋅ wj ⋅ d j qj = λ ⋅ cj 2 j = J q + λ ⋅ ∑ c j ⋅ j − cS qj 2 j =1 dj 1 ⋅ λ ⋅ cj 2 (3.3) j = 1, 2, …, J Bu sonuç özgün ESM modelinden elde edilene çok benzemektedir. Bu değerler kısıt denkleminde yerine konularak λ çözülür; elde edilen λ değeri kullanılarak (3.3) bağıntısından en uygun qj* değerleri hesaplanır. Bu değerler de amaç fonksiyonunda yerleştirilerek sonuçta, wF = J * ⋅ ( w ⋅ cd ) denklemi elde edilir. 2 ⋅ cS (3.4) Bu denklem yardımıyla, wF ile cS arasındaki bağıntının grafiği çizilebilir (Inventory-workload tradeoff curve). Böyle bir grafik örneği Şekil 3-7 görülmektedir. Bu grafik, belirli bir cS değeri için elde edilebilecek en küçük wF değerini verir. Grafik tersine de kullanılabilir; yani, belirli bir wF değeri için elde edilebilecek en küçük cS değeri de grafik yardımıyla elde edilebilir. Bununla birlikte, bu eğri tek başına en uygun çözümü veremez, bunun için daha ayrıntılı maliyet bilgilerine gerek vardır. Ancak, yine de bu eğri bir hayli kullanışlıdır. Öncelikle, durum tespiti için kullanılabilir; örneğin fiilen uygulanmakta olan qj kombinasyonlarının gerçekten uygun olup olmadıklarına test edilebilir. Ayrıca, neyin mümkün neyin imkansız olacağına karar vermeyi kolaylaştırır. Örneğin finansal veya rekabet amaçlarıyla stoklar düşük tutulmak istendiğinde, buna karşılık wF değerinin ne kadar artacağını, 118 dolayısıyla bu artışın tolere edilebilir olup olmadığı kararının tartışmaya gerek kalmadan alınabilmesine olanak tanır. wF cS Şekil 3-7. cS – wF grafiği 3.3.3 Maliyet Tahmini ve Optimizasyon Şimdi, siparişteki toplam kaynak kullanımını ifade eden wF‘in para birimi başına maliyet payını belirten bir κ > 0 katsayısı ile toplam stok maliyetinin para birimi başına etkisini ifade eden bir η > 0 katsayısı tanımlanabileceği varsayılsın (kredi faiz oranı maliyetin bir bileşeni olduğundan η hem faiz oranını hem de cS ile orantılı tüm maliyetlerin etkisini içerecektir). Bu katsayılar kullanılarak, wF-cS eğrisi üzerinde uygun bir noktayı belirleme problemi, (3.4) denklemi ile kısıtlı olmak üzere κ ⋅ wF + η ⋅ cS fonksiyonunun optimizasyonu problemine indirgenir. Bunun çözümü ise grafik olarak wF-cS eğrisi üzerinde eğimi –η/κ olan noktanın belirlenmesinden ibarettir. Diğer bir eşdeğer yaklaşım da, η ve κ katsayıları belli iken ESM modeli için gerekli maliyet parametrelerini doğrudan, k j = κ ⋅ w j ve h j = η ⋅ c j bağıntıları ile tahmin etmek ve daha sonra, bu değerleri her unsur için ayrı ayrı ESM modelinde kullanarak, q*j = 2 ⋅ (κ ⋅ w j ) ⋅ d j η ⋅ cj j = 1, 2, …, J (3.5) 119 sipariş miktarlarını hesaplamaktır. Bu sonuç (3.3) ile karşılaştırıldığında η/κ oranının λ Lagrange çarpanı ile aynı olduğu görülür. Bulunan bu q*j değerleri, (3.1) ve (3.2) ’de yerlerine konursa, wF = 1 η ( w ⋅ cd ⋅ J* ) ⋅ 2 κ ve cS = 1 κ ( w ⋅ cd ⋅ J* ) ⋅ 2 η (3.6) bağıntıları elde edilir. Bu ikisi çarpılırsa κ ne η yokedilip, (3.4) denklemi elde edilir; yani, bulunan nokta wF-cS eğrisi üzerindedir. κ ve η değerleri belli ise, optimum ortalama toplam maliyet ise, C * = cd + κ ⋅ wF + η ⋅ cS = cd + 2 ⋅ κ ⋅η ⋅ ( w ⋅ cd ) ⋅ J * (3.7) olarak elde edilir. Hesaplanan maliyet tahminlerinin sağlıklı olması κ ve η katsayılarının gerçeğe olduğunca yakın olarak seçilmelerine bağlıdır. Bazı durumlarda maliyet faktörlerini tek bir κ ve η katsayısı ile doğru olarak yansıtmak mümkün olmayabilir. Örneğin, toplam stok yatırımının η1 ile η2 gibi iki katsayı ve cj1 ile cj2 gibi iki ayrı değer kullanarak daha doğru yansıtılabileceği düşünülüyorsa, bu h j = η1 ⋅ c j1 + η 2 ⋅ c j 2 yazarak gerçekleştirilebilir. Yukarıdaki maliyet formülü incelendiğinde, tüm diğer özellikler aynı kalmak üzere J* arttıkça toplam maliyetin de artacağı açık olarak görülür. Bunun anlamı ise daha yüksek miktarlarda daha az çeşit üretmenin, küçük miktarlarda çok sayıda çeşit üretmeye kıyasla daha az maliyetli olacağıdır. Diğer taraftan pazarlama açısından çoğu işletme için hem satışları arttırmak hem de rekabet amaçlarıyla, ürün sayısının fazla olması avantajlıdır. Bu da göz önüne alındığında işletmenin etkinliğini arttırmak amacıyla, ürün çeşidini azaltarak stok maliyetini düşürmenin her zaman geçerli bir strateji olmayıp, her iki unsurun da değerlendirilerek en uygun ürün sayısının belirlenmesinin en iyi çözüm olacağı göz önüne alınmalıdır. Diğer bir konu da, toplam talep değiştiğinde stok miktarının nasıl değişeceğinin bilinmesidir. Örneğin, toplam talep iki kat arttığında ürün sayısı (J) sabit kalmak üzere, ESM modeline benzer şekilde qj*’ler 2 ile çarpılacaktır; buna koşut olarak ortalama stok değerleri S j , dolayısıyla cS değeri de 2 ile çarpılmış olacaktır. Buna karşılık, her ürüne olan talep miktarlarının aynı kaldığı, ancak ürün 120 sayısının iki katı olduğunda S j ’ler sabit kalacak ancak toplam ortalama stok iki katı olacak, bağlı olarak cS değeri de iki katı olacaktır. Buradan da anlaşılacağı gibi toplam stok maliyetinin değişimini bilmek için talepteki değişimin yanı sıra bu değişimin unsurlar arasında nasıl dağıldığının da bilinmesi gereklidir. Maliyeti etkileyen diğer iki değişken, w ve J* dır. Genellikle wj’ler hemen hemen sabittir ve talep değişimlerinde w‘nin çok az değiştiği kabul edilebilir. Dolayısıyla talep değişimlerinin işletme başarımına etkisinde J* yine önemli bir öğe olarak değerlendirilmelidir. Toplam başarım duyarlılığını değerlendirmek için kullanılabilecek bir ölçek te stok devir hızıdır. Tek bir kalem için devir hızı, hatırlanacağı gibi d / S şeklinde tanımlanır. Burada da benzer büyüklükler cinsinden toplam stok devir hızı (cd)/(cS) olarak ifade edilir. Buna göre J* sabit iken doğal olarak cd arttığında devir hızı da artacaktır; ancak genel olarak J* sabit kalmadığından, devir hızı artışının etkisini tam olarak tespit edebilmek için hem cd, hem de J*‘nindeğişimi bilinmelidir. Stok devir hızı farklı şekilde de tanımlanabilir. Örneğin, toplam gelir J pd = ∑ p j ⋅ d j olmak üzere, (pd)/(cS) , yani, satış gelirlerinin stok yatırımına oranı j =1 şeklinde tanımlanabilir. Bu tanıma (pd)/(cd) brüt kar oranı katılarak, stok devir hızı pd pd cd = ⋅ şeklinde yazılır. İkinci terim özgün devir hızıdır. Birinci oran cS cd cS arttırılarak, yani kar marjı yüksek ürünlere tercih edilerek ikinci terim sabit kalsa bile, parasal olarak stok devir hızını arttırmak olasıdır. 121 3.4 Kademeli Seri Sistemler için Stok Modelleri 3.4.1 Varsayımlar Başlangıç düğümünden itibaren j = 1, 2, ...... , J şeklinde numaralandırılmış, Şekil 3-8‘deki gibi J aşamalı seri bir sistem düşünülsün. Böyle bir sistemde unsurlar ardışık üretim istasyonlarından çıkan ürünleri veya bir tedarik zincirinde depolama noktalarını betimlemektedir. Burada J numaralı unsur için, sabit d hızı ile talep oluşmakta ve bir dış kaynaktan 1 noktasına ikmal yapılmaktadır; bunlar dışındaki tüm tedarik, sistem içinde (örneğin bir tedarik zinciri) gerçekleşmektedir. Bu modelde unsur terimine karşılık gelmek üzere aşama terimi de kullanılacaktır. Bu sebeple böyle seri sistemler, çok aşamalı sistemler olarak da isimlendirilir. 1 2 J Şekil 3-8. J aşamalı seri sistem ESM modelinde olduğu gibi stoklar belirli miktarda kümeler, partiler olarak hareket etmektedirler. Bir kümenin herhangi bir aşamaya gönderilme kararı sipariş olarak adlandırılır. Aşamaların kendi başlarına karar vermedikleri, bilgilerin bir merkezde toplandıkları ve kararların da bir merkezden verildiği kabul edilmektedir (ileride böyle bir merkeze gereksinim olmadan da işlemlerin yönetilebileceği görülecektir). 1 düğümüne ikmal yapan dış kaynağın daima istendiği kadar stoğa sahip olduğu varsayılmaktadır; ayrıca, her aşamanın talebi karşılanmakta, istenen malın stokta bulunmamasına izin verilmemektedir. Her sipariş için, ESM modelinde olduğu gibi sabit ve elde bulundurma maliyetleri oluşmaktadır. j.inci unsurun sipariş verme maliyeti kj, elde bulundurma maliyeti h’j ve t anındaki stok miktarı S’j(t) ile gösterilecektir. 122 Her aşama kendi ürününden bir birim üretmek için öncelinden bir birim ürün talep etmektedir. Eğer herhangi bir aşamada bir üründen birden fazla veya az birime gereksinim duyuluyorsa, j.inci aşamadaki ürün birimi yeniden tanımlanır (j = J için birim 1 olmalıdır). Örneğin J.inci aşamada bir adet üretebilmek için j = J – 1 inci kademedeki üründen 2 adedine gereksinim varsa, J – 1 inci aşamadaki ürünün birimi 2 adet olarak tanımlanır ve h’j – 1 de başta hesaplananın iki katı olarak alınır. Benzer şekilde J – 1 inci maldan bir adet üretebilmek için J – 2 inci üründen 3 adedine gereksinim varsa, J – 2 inci aşamadaki ürünün birimi 6 adet olarak tanımlanır ve h’j–2 de başta hesaplananın altı katı olarak alınır. Diğer taraftan, j.inci aşama siparişleri için sabit bir L’j tedarik süresi gerektiği ve aşamalar arasındaki mal akışının sürekli olduğu (kapasite kısıtlaması olmadığı) varsayılsın. j.inci noktadan (j + 1) .inci noktaya sevkedilen her mal için, j.inci unsurun stok tutması söz konusu olduğundan, h’j birim elde bulundurma maliyeti oluşur (Dış kaynaktan 1 numaralı aşamaya mal girişinde bu maliyet yoktur). Sevkedilecek mal miktarı da d.L’j+1 olacağından, tüm zincir içinde sevkedilen mal J −1 için toplam elde bulundurma maliyeti d ⋅ ∑ h ' j ⋅ L ' j +1 olacaktır. d sabit ise, bu j =1 toplam da sabittir ve bu maliyet bundan sonra gerekli düzenlemelerle ihmal edilebilir. Benzer şekilde, farklı aşamalar arasındaki sevkiyatlarda değişken maliyetler ve taşıma maliyetleri de sabit olduklarından ihmal edilebilirler. Ayrıca, ESM modelinde olduğu gibi siparişleri gerektiği kadar önceden verilebilecekleri, yani zaman içinde uygun şekilde kaydırılabilecekleri düşünülerek, kolaylık için tedarik süreleri sıfırlanabilir. Böylece dış tedarikçiden mal alındığı anda bunun son kademeye aktarılabildiği kabul edilir. Son olarak, sistemin boş stokla başladığı, yani her j için S’j(0) = 0 olduğu varsayılacaktır. 123 3.4.2 Kademeler ve Kademe Stokları Kavramı Şekil 3-9‘daki gibi dört aşamalı seri bir sistem düşünülsün. Bu sistemde örneğin 1 no.lu parçanın stok seviyesi düşmüşse bu parça için sipariş kararı alınmalıdır. Ancak, bu sırada 2 ve 3 no.lu parçaların stokları fazla ise, 4 no.lu ürünü yapabilmek için 1 no.lu parçaya acil gereksinim olmayacağı ve hemen ikmal yapmanın gerekli olmadığı açıktır. Kademe stokları değerlendirebilmek için ortaya atılmış bir yaklaşımdır. bu gibi durumları 70 Tanım gereği bir j.inci aşamanın kademesi (veya kısaca j.inci kademe), j.inci aşama ile j’den sonra gelen tüm aşamaları kapsar. Dört aşamalı seri bir sistemin kademeleri Şekil 3-9‘da dikdörtgenler şeklinde gösterilmiştir. Buna göre dördüncü aşamanın kademesi kendisidir. 1 no.lu parçanın satın alındığı dış tedarikçi ile dörtten önceki aşamaların tümü dördüncü aşamanın tedarikçileri olarak düşünülürler. Üçüncü aşamanın kademesi üçüncü ve dördüncü aşamaları kapsar. Dış tedarikçi ile birinci ve ikinci aşamalar üçüncü kademenin tedarikçileri olarak ele alınırlar. Bu şekilde devam edilerek tüm sistem birbirleri içine yerleştirilmiş alt sistemlerin silsilesi olarak tanımlanır.71 1 2 3 4 Şekil 3-9. 4 aşamalı bir seri sistemde kademeler Örneğin, 1. aşamada hammaddeden başlayarak çeşitli işlemler sonucunda J.inci aşamada son ürünün elde edildiği bir işletme düşünülsün. Böyle bir üretim sisteminde, i > j inci kademelerdeki her bir birim ürün, j.inci kademede üretilen üründen bir birim içerecektir. Bu gerçek göz önüne alındığında, bir t anında j 70 Axsäter, Inventory Control, s.120 71 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.121 124 ürününün sistem içindeki toplam stoku, S’j(t)‘ye ilave olarak j’den sonra gelen ürünlerin stoklarını da kapsayacaktır. Bu durumu analizlere dahil etmek amacıyla bir t anında j.inci ürünün sistem içindeki toplam stok miktarı Sj(t) ile gösterilecek ve kademe stoku olarak adlandırılacaktır; buna göre bir j ürünü için kademe stoku J S j ( t ) = ∑ S 'i ( t ) olacaktır. Her bir aşamadaki S’j(t) stokları ise, bundan sonra yerel i= j stoklar veya tesis stokları olarak adlandırılacaktır.72 Ayrıca, h0 = 0 başlangıç şartıyla, j.inci kademe için elde bulundurma maliyeti h j = h ' j − h ' j −1 olsun. Diğer taraftan, h’j’lerin sadece finansal giderlerden oluştukları varsayılırsa, r faiz oranı ve cj değişken maliyetler olmak üzere, j.inci unsur için elde j bulundurma maliyeti h ' j = r ⋅ ∑ ci ve j.inci kademe için elde bulundurma maliyeti i =1 h j = r ⋅ c j olur. hj terimi j.inci aşamadaki katma değeri yansıtır; cj > 0 olduğundan hj > 0 dir. Diğer taraftan, h’j’ler fiziksel elleçleme maliyetleri de içeriyorlarsa, bu maliyetler de kademeler arttıkça artacak veya en azından çok hızlı olarak azalmayacaklardır.73 Buna göre, tüm sistemdeki için elde bulundurma maliyeti, J ∑ j =1 J h ' j ⋅ S ' j ( t ) = ∑ h j ⋅ S j ( t ) olacaktır. (3.8) j =1 İki aşamalı seri bir sistem için yerel stokların değişimi Şekil 3-10’da gösterilmektedir. Burada görüldüğü gibi, S’2(t) stoğu tek unsurlu bir sisteminkine benzer şekilde, sipariş teslim alındığında sipariş miktarı kadar ani olarak artmakta, diğer zamanlarda d sabit talep hızı ile azalmaktadır. S’1(t) stoğu ise basamaklı bir fonksiyon şeklindedir. Bu sisteme ait kademe stokları ise Şekil 3-11’de gösterilmektedir. Doğal olarak S2 ( t ) = S '2 ( t ) dir; birinci unsurun kademe stoğu ise S1 ( t ) = S '1 ( t ) + S '2 ( t ) şeklindedir. (Kesikli çizgiler S’1(t) stoğunu göstermektedir.) Burada da S1(t) stoğu, yine tek unsurlu bir sisteminkine benzer şekildedir ve ani 72 73 Langenhoff, L.J.G. ve Zijm, Statistica Neerlandica, 1990, nr.3 s.152 Tetsuo Iida, “The infinite horizon non-stationary stochastic multi-echelon inventory problem and near-myopic policies”, European Journal of Operational Research, 2001, nr.134, s.527 125 artışlar sadece birinci kademeye sipariş girişleri sırasında oluşmakta, ikinci kademeye sipariş girdiğinde fakat birinci kademeye giriş olmadığında stok yine d talep hızı ile doğrusal olarak azalmaya devam etmektedir. S’1(t) Zaman (t) S’2(t) Zaman (t) Şekil 3-10. Zaman içinde yerel stokların değişimi S1(t) Zaman (t) S2(t) Şekil 3-11. Zaman içinde kademe stokların değişimi Zaman (t) 126 Bu durum, “Her j için Sj(t) stoğu, (j – 1).inci aşamaya sipariş girişleri olduğu anlarda ani olarak artar, bunların dışında d talep hızı ile azalır.” şeklinde genelleştirilebilir. Bu şekilde, kademe stokları ile işlem yaparak stok maliyetlerinin hesaplanmasında göreceli bir basitlik sağlanır.74 Bu sonuçlara göre kademe stoklarının sistemdeki hem stokları hem de bunların elde bulundurma maliyetlerini yerel stoklar kadar iyi bir şekilde temsil eder. − Tedarik süreleri açısından da benzer analizler yapılabilir. L j , j.inci unsur için ileri doğru kademe tedarik süresi (forward echelon leadtime) olsun. Tanım olarak bu değer j.inci unsurun müşteriye kadar ulaştırılması için geçeceği tüm − aşamalar için gerekli minimum süredir ( L j = J ∑ L' i − ve L J = 0 ). Gerçek tedarik i = j +1 süreli bir sistemde, sıfır tedarik süreli yapılabilir bir politika oluşturmak için sipariş anları zaman içinde tedarik süreleri kadar geri çekilmelidir. Şöyle ki, j.inci unsura − giren tüm siparişlerin zamanları L j kadar geri çekilmelidir. Buna koşut olarak, j.inci − unsura yapılan tüm sevkiyatların zamanları da L j = L ' j + L j kadar geri çekilecektir. Bu işlem, sistemde başlangıç anındaki stokların sıfır olması için gereklidir. Alternatif olarak, tedarik sürelerinin sıfır olarak alındığı bir modelde bunun tersi yapılacak ve − son ürün müşteriye L J kadar gecikmeli olarak teslim edilecektir. 74 Clark, Andrew J. ve Herbert Scarf. “Optimal Policies for a Multi-Echelon Inventory Problem.” Management Science, Vol.50, No.12 Supplement, Dec. 2004, s.1784 127 3.4.3 Politika Özellikleri Analiz kolaylığı açısından mümkün olduğunca basit politikalara yönelmek daima tercih edilmelidir. Tanım olarak, her j için, j.inci aşamada stoğa sipariş girişi (j+1).inci aşamada da stoğa girişi tetikliyorsa, bu politikaya yuvalanmış stok politikası (nested policy) adı verilir. Buna göre, seri sistemde herhangi bir aşamadaki sipariş girişi kendinden sonra gelen aşamalara da sipariş girişi olmasına yol açacaktır. Buna göre, yuvalanmış bir sistemde tüm aşamalarda en az sipariş girişi birinci aşamada, en çok sipariş girişi ise J.inci aşamada olacaktır. Teorem 1 : Her yuvalanmamış stok politikasından daha iyi bir yuvalanmış stok politikası 75 vardır. (Yuvalanmış politikada stoklar daha düşüktür.) Teorem, “Her yerel stok ikmal noktası politikasından daha iyi bir kademe stoğu ikmal noktası politikası vardır”, şeklinde de ifade edilebilir.76 İspat : İspat iki aşamalı bir sistem için yapılacaktır. Yuvalanmamış bir politika düşünülsün. Bir t anında 1.inci kademenin sipariş verdiği ve 2. kademenin bundan sonra en erken u anında sipariş verdiği varsayılsın. Dolayısıyla 1.inci kademeye t anında giren sipariş burada u anına kadar bekleyecektir. Şimdi 1.inci kademeye sipariş girişinin u’ya kadar geciktirildiği alternatif bir politika düşünülsün. t’den önce ve u’dan sonrası için iki politikanın bir farkı olmayacağı açıktır. t ≤ s < u olmak üzere, S’2(s) her iki politika için de aynıdır; ancak, S’1(s) alternatif politika için daha düşüktür. Yani, alternatif politika birincisinden iyidir. 75 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.124 76 Axsäter, Inventory Control, s.123 128 Teorem 2 : Sıfır stoklu bir politika, her sıfırdan farklı stoklu politikadan daha iyidir.77 İspat : Seri bir sistemde, hala stok mevcut iken bir u anında j numaralı unsur için yeniden sipariş verildiği düşünülsün. j böyle bir unsurun alabileceği en büyük değer ve t bu unsurun bir önceki sipariş anı olsun. Diğer taraftan, j için t anındaki sipariş miktarının mümkün olduğunca azaltıldığı ve bu miktarın u anındaki siparişe kaydırıldığı ikinci bir politika oluşturulsun. Bu durumda S’j(u–) stoğu azalacağından bu yeni politika açık olarak birincisinden iyi olacaktır. Ayrıca, j.inci unsurun sipariş sayısı değişmeyecek ve diğer unsurlar da etkilenmeyecektir; t ≤ s < u ve i ≠ j olmak üzere, Si(s) ler değişmeyecek, ancak Sj(s) stoğu daha düşük olacaktır. Buna göre, yuvalanmış ve sıfır stoklu bir politikada j.inci unsur için, bunun kademe stoğu Sj(t) sıfır olduğunda, sipariş verilecektir. Bu iki özellik göz önüne alınırsa, analiz kolaylığı açısından kademe stoklarının dikkate alındığı yuvalanmış, sıfır stoklu politikalar üzerinde yoğunlaşmanın yeterli olacağı açıktır. Şimdi, yuvalanmış, sıfır stoklu, ayrıca siparişler arasındaki zamanın sabit olduğu bir stok politikası gözönüne alınsın. Burada j.inci unsurun sipariş periyodu uj ve u = (uj)j vektörü olsun. Dolayısıyla, ESM modeline benzer şekilde toplam sipariş maliyeti, J k 1 C (u ) = ∑ j + ⋅ hj ⋅ d ⋅ u j j =1 uj 2 (3.9) dir ve amaç fonksiyonu, Min. C ( u ) Kısıtlar : u j = ξ j ⋅ u j +1 (ξ j ∈ ve j < J ) (3.10) Bu, doğrusal olmayan – karma tamsayılı bir problem olup doğrudan çözümü oldukça zordur. Ayrıca, gerçekten kullanılabilir optimum bir çözümün mevcut olduğu da kesin değildir. İlkesel olarak, bu problemin en iyi çözüme ulaşılmaksızın da olsa, izlenen bir plan dahilinde adım adım daha iyiye gidecek şekilde bir dizi çözümü bulunabilir. Bu amaç doğrultusunda öncelikle, gevşek çözüm adı verilen 77 Lap Mui Ann Chan ve David Simchi-Levi, “Probabilistic Analysis and Algorithms for Three-level Distribution Systems”, Management Science, Vol.44 No.11, Nov. 1998, s.1564 129 basit bir çözümü bulunur. Burada elde edilen optimum maliyet gerçek en düşük maliyet için bir üst sınır teşkil eder. Daha sonra, gevşek problemin çözümü yuvarlatılarak yapılabilir bir çözüm bulunur. Bu yapılabilir çözümün bir üst sınırı hesaplanır; bu maliyet değeri gerçek en düşük maliyetin üst sınırını oluşturur. Bu iki sınır birbirlerine çok yakın olup aralarında yüzde birkaç mertebesinde fark vardır. Dolayısıyla, bu yapılabilir çözüm iyi bir çözüm olarak kabul edilir; alt sınır ise optimum maliyet için oldukça duyarlı bir tahmini değerdir.78 Gevşek Problem : Yukarıdaki problemde her olası u vektörü, u j ≥ u j +1 eşitsizliğini sağlar. Buna göre, gevşek problem adı verilen ve amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanan bir problem elde edilir : C − = min. C ( u ) Kısıtlar : u j ≥ u j +1 ( j < J) (3.11) Bu probleme gevşek problem adı verilmesinin sebebi, buradaki kısıtların (3.10) problemindeki kısıt bağıntılarının daha yumuşatılmış bir şekli olmasındandır. C– değeri minimum maliyet problemi için bir alt sınır olacaktır. Teorem 3 : Gevşek problemden elde edilen optimum C– değeri, tüm yapılabilir politikalardan elde edilecek ortalama maliyetlerin bir alt sınırdır. İspat : Herhangi bir sıfır stoklu yapılabilir çözüm için, bir j unsurunun ] 0 , t [ zaman aralığındaki sipariş adedi SFj(t) ve toplam maliyet C(t) olsun. J C (t ) = ∑ j =1 t k j ⋅ SFj ( t ) + h j ⋅ ∫ S j ( s ) ⋅ ds 0 Sipariş aralıkları sabit ve eşit ise, buradaki integralin değeri minimum ve t ∫ S j ( s ) ⋅ ds = 0 78 d t ⋅ ⋅t 2 SFj ( t ) olacaktır. Buna göre, Robin Roundy, “98% Effective Integer-Ratio Lot-Sizing for One Warehouse Multi- Retailer Systems”, Management Science, 1985, Vol. 31 nr.11, s.1419 130 J d ⋅ hj C ( t ) ≥ ∑ k j ⋅ SFj ( t ) + 2 j =1 t ⋅ ⋅ t olur. SFj ( t ) Ayrıca, u j = t SFj ( t ) yazılabileceğinden, J k 1 C ( t ) ≥ t ⋅ ∑ j + ⋅ d ⋅ h j ⋅ u j = t ⋅ C ( u ) elde edilir. j =1 uj 2 Diğer taraftan, bu politika SFj ( t ) ≤ SFj +1 ( t ) ⇒ u j ≥ u j +1 yuvalanmış bir politika olduğundan, olacak ve u j ≥ u j +1 şartı da yerine gelecektir. Dolayısıyla, C ( t ) t ≥ C ( u ) = C − olur, yani her sonlu t süresi için C– değeri, tüm yapılabilir çözümlerden elde edilecek ortalama maliyetlerden küçüktür. Ayrıca, bu özellik t →∞ için de geçerlidir. Gevşek problem özgün problemden daha kolay çözülebilir. Tüm değişkenler sürekli, kısıt bağıntıları doğrusal eşitsizlikler, amaç fonksiyonu da daima içbükey olan bir fonksiyondur ve u* gibi tek bir optimum çözümü vardır. Sonuç olarak, bu sistem, standart doğrusal olmayan bir problem şeklinde çözülebilir. Bununla birlikte problemi başka şekillerde çözmek de olasıdır. Bu çözümlerden en bilineni Luenberger tarafından önerilen etkin dizi (active set) yönteminin bir uyarlamasıdır. Burada ana fikir, optimum çözümün araştırılmasında kısıt bağıntılarından hangilerinin bağlayıcı olduklarının (active), hangilerinin olmadıklarının (inactive) ayrımını yapmaktır. Bağlayıcı olmayan kısıtlar yoksayılacaktır.79 Unsurlar N = {1, 2, ....., J} ile, kısıtlar A = {1, 2, ....., J – 1} olarak numaralandırılsın. Her Au ⊆ A alt kümeleri için, gevşek problemin bir uyarlaması yazılabilir. Min. C ( u ) Kısıtlar : u j = u j +1 ( j ∈ Au ) (3.12) Problemi herhangi bir Au alt kümesi için çözmek daha kolaydır. Bu sistemin çözümünden elde edilen u* ve buna karşılık gelen Au * = { j ∈ A | u *j = u *j +1} alt 79 Luenberger, Linear and Nonlinear Programming, Massachusetts – USA : Kluwer Academic Publisher, 2003, s. 326-330 131 kümesi, aynı zamanda (3.11) sisteminin de çözümü olacaktır. Dolayısıyla, problemin çözümü optimum Au* alt kümesinin belirlenmesine indirgenmiş olmaktadır. Her Au alt kümesi N’yi, uj sipariş aralıklarının eşit olan gruplara, kümelere (clusters) ayırır. m, o gruptaki j’lerin en büyüğüne eşit olmak üzere, Nm herhangi böyle bir grubu göstersin. Her gruptaki unsurların numaraları birbirlerini takip ederler ve gruplar da indislerine göre sıralanırlar. (Şekil 3-12)’de böyle bir gruplama gösterilmektedir; burada elipsler gruplara işaret etmektedir. Bu grupların yığını N = { N m , m ∈ N − Au } şeklinde bir bölüntü (partition) oluşturur. prev(m) ile m‘den bir önceki ve next(m) ile m‘den bir sonraki grup betimlensin. Bu durumda next(J) = 0, en küçük m indisi için ise prev(m) = 0 olacaktır. N3 1 2 N4 3 N6 4 5 6 N8 7 8 Şekil 3-12. Alt gruplar Buna göre, (3.12) sistemi ile her grup için bir tane olmak üzere card(N) tane tali problem tanımlanacaktır. Örneğin Nm grubu için, Min. ∑ kj 1 + ⋅ d ⋅ hj ⋅ u j u j 2 j∈ N m Kısıtlar : u j = u j +1 ( j ∈ Nm , (3.13) j < m) veya u = uj ve gj = d.hj koymak suretiyle, Min. kj ∑ u j∈ N m 1 ⋅ g j ⋅ u 2 + (3.14) ( j ∈ Nm ) Kısıtlar : u j = u Diğer taraftan, k ( Nm ) = ∑k j∈N m j , g ( Nm ) = ∑g j∈ N m j ve π ( N m ) = k ( Nm ) g ( Nm ) 132 koyarak amaç fonksiyonu Cm ( u ) = k ( Nm ) 1 + ⋅ u ⋅ g ( N m ) olarak yazılır. Bu ise ESM u 2 modelinin maliyet fonksiyonu ile aynıdır ve maliyetin minimum olduğu değer u = u ( m) = 2 ⋅ k ( Nm ) = g ( Nm ) u (m) = 2 ⋅ π ( Nm ) u j = u ( m) 2 ⋅ π ( N m ) dir. Dolayısıyla, (3.12) sisteminin çözümü, m ∈ N − Au j ∈ Nm (3.15) Bu çözüm aynı zamanda (3.11) sistemi için de yapılabilir olmalıdır. Bunun için gerek şart, π (Nm) oranlarının doğru sırada seçilmiş olmaları, yani, π ( N m ) ≥ π N next ( m ) m< J (3.16) olmasıdır. Ayrıca bu çözüm optimum çözüm olmalıdır. Bunun için j’nin bulunduğu Nm grubu (Nm–, Nm+) olarak grup çiftine ayrılır. Burada, N m− = { prev ( m ) + 1, … , j} ve N m+ = { j + 1, … , m} dir. Çözümün optimum olması için şart, ∀j , π ( N m− ) ≤ π ( N m+ ) (3.17) dır. Bu son iki şart, (3.15) sisteminden elde edilen u değerinin (3.11) için de en uygun çözüm olması için gerek ve yeter şartlardır. Buradan elde edilen optimum çözüm u* tek olmakla birlikte, bölüntüler her zaman tek olmayabilir. Örneğin, N bölüntüsünün bu iki şartı sağladığı ve (3.16)’daki eşitsizliklerden birinin π ( N m ) = π N next ( m ) şeklinde gerçekleştiği varsayılsın. Nm ile Nnext(m) kademeleri de birleştirilerek yeni bir bölüntü oluşturulduğunda, bu yeni bölüntü de her iki eşitsizliği sağlar ve çözüm yine u* dır. Benzer şekilde (3.17) eşitsizliklerden birinin π ( N m− ) = π ( N m+ ) olarak sağladığı varsayılsın. Bu sefer de Nm kademesi Nm– ve Nm+ şeklinde iki kademeye bölünürse elde edilen yeni bölüntü için de her iki şart sağlanır ve çözüm bu durumda da u* dır.80 Optimum şartlar grafik olarak da elde edilebilir. N j = {1, ... , j} , j = 1, ... , J şeklinde gösterilen alt kümeler oluşturulsun. (0,0)‘dan başlayıp [ g(N j) , k(N j) ] veri çiftlerini dik eksen takımına taşıyarak, birikimli sabit maliyetlerin birikimli elde 80 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.127 133 bulundurma maliyetlerinin fonksiyonu olarak değişimini gösteren Şekil 3-13’deki gibi bir grafik elde edilir. k 8 6 4 7 5 3 2 1 g = d.h Şekil 3-13. Birikimli maliyet grafiği. k 8 6 4 ● 7 ● 5 3 ●2 g = d.h 1 Şekil 3-14. Dışbükeyleştirilmiş birikimli maliyet grafiği. 134 Bu grafik kesikli doğrusal ve artan bir fonksiyonun grafiğidir. Şimdi, bu grafik dışbükeyleştirilsin; bunun anlamı, özgün fonksiyonun zarfı olacak şekilde en küçük değerli dışbükey fonksiyonun bulunmasıdır. Şekil 3-14’de görüldüğü gibi, bu yine kesikli doğrusal ve artan bir grafiktir. Özgün verilere karşılık gelen noktaların bazıları bu grafik üzerinde yeralmakta, diğerleri ise altında bulunmaktadır. Yeni grafiğin üzerinde kalan noktalar, (0,0) noktası hariç, Nm kademelerinin m indislerine karşılık gelmektedir. Bu grafiğin doğrusal parçalarının eğimleri π ( N m ) oranına eşittirler ve grafiğin dışbükey olması sebebiyle bu eğimler daima azalan bir seyir izlerler. Diğer bir ifade ile, π ( N m ) ≥ π N next ( m ) olduğundan, bu şekilde elde edilen N bölüntüsü optimum çözüm için gerek şartı sağlamaktadır. Diğer taraftan, herhangi bir Nm kademesini grafik üzerinde temsil eden doğru parçasını bölmek demek bu doğru parçasını Şekil 3-14’de kesikli çizgilerle belirtildiği şekilde iki doğru parçasının toplamı şekilinde ifade etmek anlamındadır. Şekilde işaret edilen nokta dışbükey grafiğin altında bulunduğundan buradaki her iki doğru parçasının eğimleri azalmayacaktır. Bunun anlamı ise, π ( N m− ) ≤ π ( N m+ ) olması yani optimum çözümle ilgili ikinci şartın da yerine gelmesidir. Sonuç olarak, dışbükey fonksiyondan elde edilen optimum N bölüntüsü optimum çözüm için gerek ve yeter şartları sağlamaktadır. Bir fonksiyonu dışbükeyleştirmek için çeşitli farklı yöntemler kullanılabilir. Örneğin aşağıdaki işlemsel süreç (algoritma) ile bu işlemi yapmak mümkündür :81 “ Set Nj = {j} [ j = 1, 2, .... , J ] For j = 1, 2, .... , J While prev(j) ≠ 0 and π N prev ( j ) ≤ π ( N j ) ; Reset N j = N prev ( j ) ∪ N j “ Başlangıçta her pre(j) = j – 1 ve π ( N j ) = k j g j alınır. Reset işlemi ise, ( ) ( ) k ( N j ) = k N prev ( j ) + k ( N j ) , g ( N j ) = g N prev ( j ) + g ( N j ) ve π ( N j ) = k ( N j ) g ( N j ) hesaplanmasını gerçekleştirecektir. 81 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.129 135 Bu işlem küçük bir örnek üzerinde incelenirse,82 J = 4, d = 1, her hj = 1 ve k1 = 4, k2 = 8, k3 = 2, k4 = 2 olsun. Yukarıdaki işlemsel süreç elle uygulanırsa : Başlangıç şartları : N1 = {1} ; N2 = {2} ; N3 = {3} ; N4 = {4} Her gj = hj . d = 1 π ( N1 ) = k ( N1 ) 4 = =4 g ( N1 ) 1 π ( N2 ) = k ( N2 ) 8 = =8 g ( N2 ) 1 π ( N3 ) = k ( N3 ) 2 = =2 g ( N3 ) 1 π ( N4 ) = k ( N4 ) 2 = =2 g ( N4 ) 1 j = 1 için : prev(1) = 0 → Değişiklik yok. j = 2 için : prev(2) = 1 ≠ 0 ; π(N1) = 4 < π(N2) = 8 → N2 = {1,2} olarak düzenle. ( g(N ) = g(N ) ( ) ) + g (N ) = g (N ) + g (N ) =1+1 = 2 k ( N 2 ) = k N prev ( 2) + k ( N 2 ) = k ( N1 ) + k ( N 2 ) = 4 + 8 = 12 2 π ( N2 ) = prev 2 2 1 2 k ( N 2 ) 12 = =6 g ( N2 ) 2 Bu işlemden sonra : prev(2) = 0 → Değişiklik yok. j = 3 için : prev(3) = 2 ≠ 0 ; π(N2) = 6 > π(N3) = 2 → Değişiklik yok. j = 4 için : prev(4) = 3 ≠ 0 ; π(N3) = 2 = π(N4) = 2 → N4 = {3,4} olarak düzenle. 82 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.129-130 136 k ( N 4 ) = k ( N3 ) + k ( N 4 ) = 2 + 2 = 4 g ( N 4 ) = g ( N3 ) + g ( N 4 ) = 1 + 1 = 2 π ( N4 ) = k ( N4 ) 4 = =2 g ( N4 ) 2 Bu işlemden sonra : prev(4) = 2 ≠ 0 ve π(N2) = 6 > π(N4) = 2 → Değişiklik yok. Buna göre optimum bölüntü, N2 = {1,2} ve N4 = {3,4} olmak üzere, N* = { N2 , N4 } olur. Gevşek problemin çözümleri ise : u1* = u2 * = u * ( 2 ) = 2 ⋅ π ( Nm ) = 2 ⋅ 6 = 3, 464 u3 * = u4 * = u * ( 4 ) = 2 ⋅ π ( Nm ) = 2 ⋅ 2 = 2 olarak bulunur. k 1 Buna göre C − = ∑ j∈N j + ⋅ d ⋅ h j ⋅ u j bağıntısından : m u j 2 C− = 12 2 ⋅ 1 ⋅ 3, 464 4 2 ⋅ 1 ⋅ 2 + + + = 10,928 olur. 3, 464 2 2 2 3.4.4 Yapılabilir Politika Oluşturma Gevşek problem için yukarıda elde edilen çözümden hareketle düşük maliyetli, yapılabilir politikalar oluşturulabilir. Ancak, talebin sabit olduğu durumda bile çok kademeli stok problemlerinin çözümü oldukça karmaşıktır. Bununla birlikte problemin en uygun çözümü elde edilemese de, bazı yaklaşık çözüm yolları kullanarak daha basit bir şekilde ve yeteri kadar iyi sonuçlar veren modeller oluşturmak mümkün olabilir. Roundy 1985’de optimum çözüme (min. toplam sipariş maliyetli) % 94-98 yaklaşıklıkla böyle çözümler önermiştir.83 83 Robin Roundy, “98% Effective Integer-Ratio Lot-Sizing for One Warehouse Multi- Retailer Systems”, Management Science, 1985, Vol. 31 nr.11, s.1416 137 3.4.4.1 Temel Periyot Kullanarak Politika Oluşturma Öncelikle bir gün, bir hafta gibi u’ ile gösterilen sabit bir temel periyot belirlenir. Oluşturulacak politikada her uj değeri u’, 2 u’, 4 u’, u’/2, u’/4 vs. şeklinde, temel periyodun ikinin tamsayı kuvvetlerinin katları olacaktır. Buna göre, aşağıdaki gibi bir yol takip edilerek yapılabilir bir politika için u+ elde edilir :84 u * (m) n ( m ) = En yakın tamsayı Log 2 (Çoğunlukla aşağıya yuvarlanır) u' u + ( m ) = 2n ( m ) ⋅ u ' u +j = u + ( m ) u + = ( u +j ) m ∈ N − Au j ∈ Nm j Bu yapılabilir bir politikadır; u*(m), n(m) ve u+(m) ler m ile azalan, dolayısıyla uj+‘lar da j ile azalandır. Bu politikaya ikinin kuvvetleri politikası denir. Şimdi bu politikanın en düşük maliyetli politika olup olmadığı araştırılmalıdır. Bu politika ile karşılaşılan maliyetin C+ = C(u+) ile gösterilsin. Optimum bölüntü Cm u * ( m ) = ε ( x) = N* ve buna karşılık gelen maliyet de 2 ⋅ k ( N m ) ⋅ g ( N m ) ise, ESM hesabında kullanılan hata fonksiyonu 1 1 ⋅ x + burada da kullanılarak, 2 x Cm u + ( m ) u+ ( m) u+ (m) + =ε ⇒ C u m = ε ( ) ⋅ m u * ( m ) * u m Cm u * ( m ) ( ) 2 ⋅ k ( Nm ) ⋅ g ( Nm ) bulunur. Diğer taraftan, n(m)’nin tanımından, 1 1 − u+ (m) 1 1 − ≤ n ( m ) + og 2 ( u ') − og 2 u * ( m ) ≤ ⇒ 2 2≤ ≤ 2 2 elde edilir. Bu 2 2 u * ( m) aralık içinde x’in alabileceği en büyük değer 2 ve ε(x)’in alabileceği en büyük değer ise ≈ 1,06 dır. Dolayısıyla, C+ ≤ ε 84 ( 2)⋅C m u * ( m ) veya C + ≤ 1,06 ⋅ Cm u * ( m ) (3.18) Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.131 138 olur, yani bu politika izlendiğinde karşılaşılan toplam maliyet, olası en düşük maliyetten en fazla % 6 fazladır.85 Bir önceki bölümdeki örnek için u’ = 1 alınarak, 3, 464 + 2 n ( 2 ) = Int og 2 = Int (1,792 ) = 2 → u ( 2 ) = 2 = 4 1 2 n ( 4 ) = Int og 2 = Int (1) = 1 → u + ( 4 ) = 21 = 2 1 k 1 C + = C ( u + ) = ∑ j∈N +j + ⋅ d ⋅ h j ⋅ u + bağıntısından, m 2 u 12 2 ⋅ 1 ⋅ 4 4 2 ⋅ 1 ⋅ 2 + + = 11 bulunur. Burada görüldüğü gibi, C+ = + 2 2 2 4 C + C − = 11 10,928 ≈ 1,007 olup, bu öngörülen maksimum hatadan çok daha iyi bir yaklaşımdır. 3.4.4.2 Temel Periyot Kullanmadan Politika Oluşturma Yukarıdaki yöntemi temel bir periyot almadan da kullanmak düşünülebilir. Bu durumda, C+ maliyeti u’ büyüklüğünün fonksiyonu olacak ve C+(u’) fonksiyonunu minimum yapan u’ değerini belirlemek gerekecektir. u’ büyüklüğüne [1,2[ aralığında değerler verildiği düşünülsün. Öncelikle, bu aralıkta herhangi bir sabit u’ değeri ele alınarak başlansın; u’, 2 ile çarpılırsa n(m) 1 azalacak, 2 ile bölünürse n(m) 1 artacaktır. Her iki durumda da u+(m) değişmeyecektir. Diğer taraftan, u’ [1,2[ aralığında değiştiğinde n(m) bir süre sabit kalacak, dolayısıyla u+(m) doğrusal olarak artacaktır; u’ belirli bir değere geldiğinde n(m) 1 azalacak ve buna koşut olarak u+(m) de aniden düşecektir. Daha sonra u+(m) yeniden doğrusal olarak artmaya devam edecektir. [1,2[ aralığında daima bu şekilde bir kırılma noktası olacak ve bu aralıkta u+(m) iki doğrusal parçadan oluşacaktır. (Şekil 3-15) 85 Robin Roundy, “98% Effective Integer-Ratio Lot-Sizing for One Warehouse Multi- Retailer Systems”, Management Science, 1985, Vol. 31 nr.11, s.1422 139 u(m) 5 4 3 2 1 ≈ 1,225 2 u' Şekil 3-15. u’, [1,2[ aralığında değiştiğinde u(m)’in değişimi (u* = 3,464 için) Benzer şekilde her m için bir kırılma noktası vardır. Burada da u+ vektörü u’ büyüklüğünün card(N) +1 parçalı doğrusal bir fonksiyonudur. Her parça için C+(u’) ESM modeline benzer bir fonksiyondur ve u’ değişkenine göre türev alınıp sıfıra eşitlenerek optimum u’ değeri elde edilir. Bu modelde elde edilen optimum çözüm C+* olsun. C+* değeri [1,2[ aralığında C+(u’)‘lerin en küçüğüdür. Bir f ( u ') = 1 fonksiyonu tanımlansın. n 2 ⋅ u ' 2 ∫ f (u ') ⋅ du ' = 1 olup, f(u’), [1,2[ aralığında bir olasılık fonksiyonudur. 1 2 + Buna göre, C * ≤ ∫ f ( u ') ⋅ C (u ') ⋅ du ' + ve Cm+ ( u ') = Cm u + ( m ) olmak 1 üzere C + ( u ' ) = ∑ m Cm+ ( u ' ) yazılabilir. Buradan, C + * ≤ ∑ m 2 ∫ f ( u ') ⋅ C ( u ') ⋅ du ' + m 1 ve C + * ≤ ∑ m 2 2 ⋅ k ( Nm ) ⋅ g ( Nm ) ⋅ ∫ 1 u+ (m) f ( u ') ⋅ ε ⋅ du ' elde edilir. u * ( m ) 140 ν m ν(m), og 2 u * ( m ) − 1 2 ’nin kesirli kısmı olmak üzere, χ ( m ) = 2 ( ) , [1,2[ aralığındaki kırılma noktasıdır. u+(m) fonksiyonu parçalı olarak yazılırsa, u+(m) = 2 ∫ 1 21 2 u * (m) ⋅ ⋅u' χ ( m) 1 ≤ u ' < χ (m) 2−1 2 u * (m) ⋅ ⋅u' χ ( m) χ ( m) ≤ u ' < 2 u + ( m) 1 f ( u ' ) ⋅ ε ⋅ ⋅ du ' = n 2 u * ( m) Birinci integral x = χ ( m) ∫ 1 değiştirmeleri yapılarak çözülürse, ∫ 2−1 2 ∫ 1 u+ ( m) f ( u ') ⋅ ε ⋅ du ' = u * ( m ) C +* ≤ 1 ⋅ C− 2 ⋅ n 2 2 ∫ χ ( m) 2 −1 2 du ' ⋅ u ' χ ( m ) u ' ε 21 2 2−1 2 ⋅ u ' ve ikinci integral x = ⋅ u ' değişken χ (m) χ ( m) 21 2 2 21 2 du ' ⋅ u ' + χ ( m) u ' ε ε ( x) x ⋅ dx = 1 ve tüm integralin değeri 2 1 olarak elde edilir. Buna göre, 2 ⋅ n 2 veya C + * ≤≈ 1,02 ⋅ C − (3.19) bulunur, yani bu politika izlendiğinde karşılaşılan toplam maliyet, olası en düşük maliyetten en çok % 2 daha fazladır.86 Yukarıdaki aynı örnek için uygulanacak olursa, ν ( 2) : og2 u * ( 2) − 1 2 = og2 [3,464] − 1 2 ≈ 1,2924 → ν ( 2) = 0,2924 χ ( 2 ) = 2ν ( 2) = 20,2924 ≈ 1, 225 ν ( 4 ) : og 2 u * ( 4 ) − 1 2 = og 2 [ 2] − 1 2 = 0,5 → ν ( 2 ) = 0,5 χ ( 4 ) = 2ν ( 4) = 20,5 = 2 86 Robin Roundy, “98% Effective Integer-Ratio Lot-Sizing for One Warehouse Multi- Retailer Systems”, Management Science, 1985, Vol. 31 nr.11, s.1426 141 + u (2) = + u (4) = 21 2 3, 464 ⋅ ⋅ u ' = 4u ' 1, 225 1 ≤ u ' < χ ( 2 ) = 1, 225 2−1 2 3, 464 ⋅ ⋅ u ' = 2u ' 1, 225 χ ( 2 ) = 1, 225 ≤ u ' < 2 21 2 2⋅ ⋅ u ' = 2u ' 2 1 ≤ u ' < χ ( 4) = 2 2−1 2 2⋅ ⋅u' = u' 2 χ ( 4) = 2 ≤ u ' < 2 C+(u’) maliyetinin [ 1 , χ(2) [ , [ χ(2) , χ(4) [ ve [ χ(4) , 2 [ aralıklarında değerleri hesaplanmalıdır. Örneğin üçüncü aralıktan : 12 2 ⋅ 2u ' 4 2u ' 10 C + ( u ') = + + + = + 3u ' 2 u ' 2 u ' 2u ' u’ e göre türev alınıp sıfıra eşitlenirse, − 10 + 3 = 0 ⇒ u' = u '2 10 ≈ 1,826 3 elde edilir. Yani en uygun sipariş periyodu (u’)* = 1,826 ve buna karşılık gelen maliyet değeri C + * = C + ( u '*) = sonuç gevşek problemde 10 10 + 3u ' = + 3 ⋅ 1,826 = 10,954 elde edilir. Bu u' 1,826 elde C + * C − = 10,954 10,928 ≈ 1,002 edilen optimum sonuçla karşılaştırılırsa, oranının öngörülen maksimum % 98 hata payından çok daha iyi bir sonuç elde edildiği görülür. 3.4.5 Yorumlar Sonuç olarak, kademeli seri sistemlerde optimum çözümün doğrudan elde edilmesi oldukça zor olduğundan, sistem önce gevşek problem şeklinde çözülür, daha sonra da çözümler yuvarlatılarak optimum çözüm olmasa da, oldukça yakın bir çözüm elde edilebilir. Bu yolla elde edilen çözüm en kötü durumda bile, temel periyot kullanımı ile % 6, temel periyot kullanılmadığı durumda ise % 2 gibi kabul edilebilir bir hata içerir. Bu politikanın, şimdiye kadar ele alındığı şekliyle merkezi bir denetim ve eşgüdüm ile yürütülmesi gerektiği öngörülmektedir; tüm sistemde gerçekleştirilen etkinlikler zamanlama açısından eşgüdümle yürütülmelidir. Aynı kademe içindeki 142 tüm aşamalar için siparişler aynı anda verilmelidir, ayrıca kademelerle ilgili siparişler de hepsi birden olmasa da eşzamanlı olarak ve eşit aralıklarla verilmelidir. Bununla birlikte, politikanın merkezi kontrol minimum olacak şekilde yönetilmesi de olasıdır. Gruplar içindeki tüm aşamalar için siparişler aynı anda verildiklerinden, aynı grup içindeki tüm aşamaların anında işlenerek bir sonraki aşamaya gönderildiği varsayıldığından her grubun sadece son aşamasında stok oluştuğu kabul edilir. Bu sebeple sadece gruplar arasındaki mal akışının denetlenmesi yeterlidir. Her grubun kendi stokları için ESM benzeri bir politika izlediği düşünülürse, son NJ grubu u+(J) aralıklarla q+(J) = d. u+(J) miktarda sipariş vermekte ve bu siparişi bir önceki Nprev(J) grubuna iletmektedir. Nprev(J) grubu da sanki bu harici bir siparişmiş gibi bunu NJ grubuna ileterek aynı zamanda da öncelleri Npev(prev(J)) gruplarına sipariş verir. Nprev(J) grupları gerçek anlamda q+(prev(J)) = d. u+(prev(J)) miktarda sipariş vermelidir. Sistem içindeki q + ( prev ( J ) ) q+ ( J ) = birimler u + ( prev ( J ) ) u+ ( J ) cinsinden ise Nprev(J) bu miktarı tamsayısı şeklinde yorumlar ve tek kalemli ESM modeline benzer şekilde işlem gerçekleştirir. Tüm diğer gruplar da aynı şekilde davranacaklardır. Sonuçta, her grup kendi stokları için bu şekilde hareket ederek, gerçek anlamda merkezi bir kontrola gereksinim kalmadan tüm sistem içindeki işlemler gerçekleştirilebilecektir. Politika, ESM modelindeki gibi, kullanma kolaylığı açısından bazı durumlarda miktar, bazı durumlarda sipariş periyotları cinsinden belirlenebilir. Modelin duyarlılığına gelince, gevşek problemden elde edilen C– sipariş maliyeti, N* optimum bölüntü olmak üzere, C− = ∑ 2 ⋅ k ( N m ) ⋅ g ( N m ) dir. (3.20) m (3.16) ve (3.17) şartları incelenirse, d talebi değiştiğinde N*‘ın değişmeyeceği anlaşılır. Sadece C– maliyet tahminindeki terimler, dolayısıyla C–‘nin kendisi de d ile orantılı olarak değişecektir. Benzer şekilde u*(m), 1 d orantılı olarak değişir; u * (m) oranı ise u * ( next ( m ) ) talep değişiminden bağımsızdır. Buna bağlı olarak, tam olmasa da u+(m) yaklaşık 143 olarak 1 d ile orantılıdır; dolayısıyla, u+ ( m) oranı sabit kalmamakla u + ( next ( m ) ) birlikte değişimi oldukça sınırlıdır. Maliyet parametrelerinin değişimi de doğal olarak C– ‘yi etkileyecektir. Bunlar, bağımsız unsurlarda olduğu gibi k j = κ ⋅ w j ve h j = η ⋅ c j şeklinde değişiyorlarsa, wj ve cj’in sabit kaldığı, sadece κ ve η’nın değiştiği durumlarda C–, κ ⋅η ile orantılı olacaktır. Bu durumda yine cS–wF grafiğinden yararlanmak mümkündür. Gevşek problem için w ( N m ) = ∑ j∈N w j m ve c ( N m ) = ∑ j∈N c j m olmak üzere w ve c büyüklükleri, cd = ∑ m d ⋅ c ( N m ) = d ⋅ ∑ j c j c ( Nm ) ⋅ d w = ∑m ⋅ w ( N m ) cd ∑ m J* = w( Nm ) ⋅ c ( Nm ) ⋅ d w ⋅ cd 2 olarak yeniden tanımlanır. 144 3.5 Kademeli Ağaç Sistemler için Stok Modelleri 3.5.1 Ağ Şebeke Yapısı ve Varsayımlar Kademeli montaj, dağıtım, ağaç ve karma modeller seri sistemlere kıyasla daha karmaşık sistemlerdir. Bununla birlikte, seri sistemler için oluşturulan çözüm yöntemleri, bazı düzenlemelerle montaj, dağıtım ve ağaç sistemler için de kullanılabilir. Ancak, karma sistemler için daha katı bir takım sınırlamalar, daha karmaşık analiz yöntemleri ve simgelem gerekeceğinden bu bölümde esas olarak montaj ve dağıtım amaçlı kademeli sistemler ile ağaç sistemler ele alınacaktır. Öncelikle kademeli sistemler (N,A) sıralı ikilileri ile betimlenen yönlendirilmiş diyagramlar şeklinde gösterilecektir. Bu diyagramlarda N düğümleri unsurları, A okları tedarik–talep veya giriş–çıkış ilişkilerini gösterecektir. i'den j’ye giden ve ( i, j ) ∈ A sıralı ikilisi ile gösterilen bir ok, i unsurunun bir kısmının j unsurunun tedarikinde veya onu üretmek için kullanıldığı anlamındadır. Farklı i ler için gösterilen ( i, j ) ∈ A bağıntıları ise j’nin tedarikinde bu i unsurlarının tamamı kullanılıyor anlamındadır. Diyagramdaki unsurlar daima birbirleri ile bağıntılıdır, herhangi bir unsur veya grup birbirlerinden bağımsız olamaz ve bir unsur dolaylı veya dolaysız olarak kendinin yapılması için kullanılmaz. ( i, j ) ∈ A sıralı ikililerinde i, j’nin önceli ve j, i’nin ardılı olarak adlandırılır. Pre(j) = j’nin öncelerinin kümesi Suc(i) = i’nin ardıllarının kümesi Başlangıç unsuru önceli, son unsur ise ardılı olmayan bir unsurdur. Bir montaj sisteminde J ile gösterilen bir tek son unsur ve her i < J unsurunun bir tek ardılı vardır; bir unsurun birden fazla önceli olabilir. Bir dağıtım sisteminde ise 1 ile gösterilen bir tek başlangıç unsuru ve her j > 1 unsurunun bir tek önceli vardır; bir unsurun birden fazla ardılı olabilir. Ağaç sistemlerin yapısı biraz daha karmaşıktır : İki düğüm noktasını birleştiren bir tek ok yani bağıntı vardır, bir unsurun birden fazla önceli ve ardılı olabilir. 145 Seri sistemlerde olduğu gibi burada da sabit sipariş maliyetleri kj, elde bulundurma maliyetleri h’j ve bir t anındaki yerel stoklar S’j(t) ile gösterilecektir. Bir j.inci unsura olan talep d’j olarak ifade edilecektir. Sadece son unsur için d’j > 0 olabilir. Eğer herhangi başka bir unsur için d’j > 0 ise, ağ şebekeye sanal bir j” unsuru eklenir; bu unsur için sıralı ikili ( j , j ") ∈ A , kj” = 0, h’j” = h’j ve d’j = 0 yapacak şekilde d’j” = d’j olacaktır. Diğer önemli bir parametre de tedarik süreleridir. Gerçek durumda, montaj sistemlerinde üretim, montaj, iş istasyonları arasında taşıma, partiler halinde imalat gibi faaliyetler için geçen süreler, dağıtım sistemlerinde depolar arasındaki nakliye süreleri gibi nedenlerden farklı aşamalar arasında anında mal teslimatı yapılamaz. Bir model oluştururken bu sürelerin de dikkate alınması gereklidir. Genel anlamda bir kademeli sistemde iki düğüm arasındaki her (i, j) bağıntısı için L’i j, ve her başlangıç unsuru için de L’j ile gösterilen ve pozitif büyüklükler olan tedarik süreleri söz konusudur. Buna göre, bir t anında tamamlanması istenen bir parti j unsuru için gerekli miktarda i unsurunun t – L’ij anında sevkedilmesi gerekir. Eğer j’nin öncelleri birden fazla ise her i ∈ Pre ( j ) için böyle olmalıdır; L’ij’ler farklı olduğunda ise her j unsuru için değişik unsurların farklı zamanlarda sipariş edilmesi fiilen fazla anlamlı olamayacaktır. Sipariş zamanlarından ziyade sipariş edilmiş olan unsurların giriş ve çıkış anlarını bilmek, S’j(t) de buna bağlı olduğundan, daha önemlidir. Hatta daha da elverişlisi tedarik sürelerinin sıfır olacağı eşdeğer bir sistemin bulunmasıdır. Bu ağaç sistemler için gerçekleştirilebilir bir durumdur. Örneğin bir montaj sistemi için, seri sistemlerdeki ileri doğru kademe tedarik − süresi kavramına benzer şekilde Li , i unsurundan J’ye kadar olan aşamalar için − tedarik süresi olsun. Dışarıya tedarik süresinin sıfır ( L J = 0 ) olduğu bir sistemde − i.inci unsurla ilgili her siparişin giriş ve çıkış zamanları Li kadar geriye kaydırmak yeterli olacaktır. Bu durum, Şekil 3-16‘deki gibi bir diyagram çizilerek daha açıkça görülebilir. Burada yatay ve L’i j tedarik süresi ile orantılı olarak tüm (i, j) okları − çizilir. Bu diyagramda i unsurundan J’ye kadar olan uzunluk Li süresini verir. Buna göre, örneğin 5 no.lu unsurun t anında teslim edilmesi isteniyorsa, 3 no.lu unsurla 146 − − ilgili olaylar t − L3 anında ( L3 = L '35 ) gerçekleştirilmelidir. 2 no.lu unsur için ise, − − L 2 = L '24 + L '45 olup, bu unsurla ilgili olaylar t − L 2 anında yerine getirilmelidirler. 3 L’35 5 2 L’24 4 1 L’45 L’14 Şekil 3-16. Tedarik süreli kademeli bir montaj sistemi 6 L’36 3 5 L’13 L’35 2 L’12 4 1 L’14 Şekil 3-17. Tedarik süreli kademeli bir dağıtım sistemi Kademeli dağıtım sistemleri de benzer şekilde ele alınabilir. Şekil 3-17’da 6 aşamalı bir dağıtım sistemi için diyagram örneği verilmiştir. Yukarıdakine benzer şekilde, ancak bu sefer L−j , 1’den j’ye kadar oklarla gösterilen tedarik süreleri olsun. 147 Bu durumda unsurlar, J no.lu unsur en büyük L−j değerini alacak şekilde − numaralandırılırsa, j’den J’ye geçen süre L j = L−J − L−j olacak ve j’ye ilgilendiren tüm etkinlikler zaman içinde L−j kadar geri çekilecektir. Benzer yöntem kademeli ağaç sistemler için de uygulanabilir. Burada zaman kaymalarının hesabı daha karmaşık olmakla birlikte ana kavram yine aynıdır. Şekil 3-18‘de 6 aşamalı böyle bir sisteme ait diyagram örneği verilmektedir. 6 L’36 3 L’35 5 2 L’24 L’45 4 1 L’14 Şekil 3-18. Tedarik süreli kademeli bir ağaç sistem Ancak, bu yaklaşım genelleştirilmiş karma sistemler için kullanılamaz. Örneğin, Şekil 3-19’deki gibi bir sistemde 1 ile 5 arasında farklı iki yol mevcuttur ve bunların toplam süreleri birbirlerinden farklıdır (Şekilde kesik çizgiler ile gösterilen kısım). Böyle bir sistemde daha uzun tedarik süresine ait 1-4-5 yolu seçilebilir; ancak, bu durumda 3 düğümünü ikmal etmek için sipariş edilen unsur 1 düğümünde birikecektir. Bu ise, sıfır stoklu modele kıyasla daha fazla elde bulundurma maliyeti anlamına geldiğinden, böyle bir sistem için toplam maliyet daha fazla olacaktır. Yukarıda açıklanan yöntem, pratikte gerçekleşmesi çok ender olmakla birlikte, ancak tedarik sürelerinin dengelenmiş olduğu, dğer bir deyişle örneğin şekildeki sistemde L '13 + L '35 = L '14 + L '45 olduğu durumlarda kullanılabilir. 148 6 L’36 3 L’13 L’35 5 2 L’24 L’45 4 1 L’14 Şekil 3-19. Tedarik süreli kademeli bir karma sistem Buraya kadar izlenen yöntemde bir j unsurunu yapmak için hangi Pre(j) unsurlarının kullanıldığı tayin edilmekte, ancak bunların miktarları gözönüne alınmamakta daha doğrusu hem ürün hem bileşenleri bir birimmiş gibi kabul edilmektedirler. Buna uygun olarak, 3.4.1 varsayımlar bölümünde söylendiği şekilde, bir ağaç sistem de bir birim j unsurunun yapılması için her i ∈ Pr e ( j ) unsurundan bir birim kullanıldığı bir modele dönüştürülebilir. Bu amaçla, J unsurundan başlanarak geriye doğru giderek kullanılan miktarlarla uyumlu birim tanımları yapılır ve bunlara koşut olarak h’j ile d’j parametreleri de düzeltilerek bire bir model oluşturulabilir.87 Genel sistemlerde ise, yine unsurlar arasında farklı yollar olduğu için, bu tarz bir sadeleştirme yapılamaz; oluşturulacak modelde kullanılan unsurların miktarlarının açık olarak belirtilme zorunluluğu vardır. Tedarik süreleri ve bileşen miktarları için yukarıda izah edilen şekilde sadeleştirmeler yapıldıktan sonra artık tüm L 'ij ve L ' j tedarik süreleri sıfır, miktarlar da bire bir alınarak analize devam edilebilir. 87 Langenhoff, L.G.J. ve Zijm, W.H.M. “An Analytical Theory of Multi-Echelon Production / Distribution Systems” Statistica Neerlandica, 44 (1990) Nr.3, s.149-174. 149 3.5.2 Kademeler ve Kademe Stokları Bir i kademesi, i unsuru ile i unsurunun yapımlarına doğrudan veya dolaylı olarak katıldığı ardılları ve onların da ardılları şeklinde tanımlanır. Buna göre bir i unsurunun stoğu i.inci kademenin tüm stoğu ve talep miktarı i.inci kademedeki tüm unsurlara olan talep şeklinde ele alınır. i.inci kademe stoğu : Si ( t ) = S 'i ( t ) + ∑ j∈Suc ( i ) S j ( t ) i.inci kademe talebi : d i = d 'i + ∑ j∈Suc ( i ) d j j.inci kademe elde bulundurma maliyeti : h j = h ' j − ∑ i∈Pre( j ) h 'i Seri sistemlerde görüldüğü gibi kademe stokları ile işlem yapmak yerel stokları kullanmaktan daha kolaydır. Burada da, sipariş girişleri hariç Sj(t) doğrusal olarak dj eğimi ile azalmakta ve bir t anında toplam elde bulundurma maliyeti J J ∑ h ' ⋅ S ' (t ) = ∑ h j j =1 j j ⋅ S j ( t ) olacaktır. j =1 3.5.3 Politika Özellikleri Ağaç sistemler için sıfır stoklu politikalar yine baskındır. Buna karşılık sabit sipariş aralıklı politikalar mutlaka en iyi çözümü vermeyebilirler. Bununla birlikte, elde edilen çözümler yeterince tatminkar olduklarından yine de kullanılabilirler. Diğer taraftan daha önce de tanımlandığı gibi, yuvalanmış politika bir i.inci elemana ait siparişin i’nin ardıllarının siparişlerini tetikleyen bir politika olarak tanımlanır. Seri sistemlere benzer şekilde, kademeli montaj sistemi için, yuvalanmış politika diğer tüm politikalardan iyidir. Ancak, diğer ağaç sistemler için her zaman böyle değildir. Örneğin 1 numaralı ana depodan 2 perakendeciye (2 ve 3 numaralı) sevkiyat yapılan en basit dağıtım sistemi ele alınsın. Burada d2 = d3, elde bulundurma maliyetleri eşit ve k1 = k2 << k3 olduğu varsayılsın. Bu durumda 1 ve 2 unsurlarını sıkça ancak 3 no.lu unsuru daha uzun aralıklarla sipariş etmek daha doğru olacağından politika yuvalanmış değildir. Eğer yuvalanmış bir politika izlenseydi, ya sık sipariş vermekten dolayı göreceli olarak yüksek olan k3 daha sık oluşacak, ya da daha uzun aralıklı sipariş vermekten dolayı 1 ve 2 için elde bulundurma maliyeti 150 artacağından yuvalanmış politika bu durumda optimum çözümü veremeyecekti. Bununla birlikte bazı durumlarda, sadece uygulanması daha kolay olduğu için, yuvalanmış politikaları tercih etme zorunluluğu ortaya çıkar. Şimdi yuvalanmış bir ağaç sistem gözönüne alınsın. Bir u politikası için ortalama sipariş maliyeti J k J k 1 1 C (u ) = ∑ j + ⋅ hj ⋅ d j ⋅ u j = ∑ j + ⋅ g j ⋅ u j j =1 uj 2 j =1 u j 2 olacaktır. En uygun politikayı belirleme problemi ise daha öncekilere benzer şekilde aşağıdaki gibi yazılacaktır : Min. C ( u ) Kısıtlar : ui = ξij ⋅ u j ( i, j ) ∈ A ve ξij ∈ (3.21) 3.5.4 Gevşek Problem Seri sistemlere benzer şekilde gevşek problem şöyle tanımlanabilir : C − = Min C ( u ) Kısıtlar : ui > u j ( i, j ) ∈ A (3.22) C– en düşük maliyetli yuvalanmış politikadır. ui = uj olacak şekilde Au, A’nın bir alt kümesi olmak üzere, gevşek problem aşağıdaki gibi yazılabilir : Min C ( u ) Kısıtlar : ui = u j ( i, j ) ∈ Au (3.23) Şimdi amaç, en uygun Au alt kümesinin belirlenmesidir. Bu problemin çözümü aynı zamanda (3.22)’in de çözümü olacaktır. Burada da, her Au alt kümesi N’nin bir N bölüntüsünü betimler. Ağ şebekedeki Au alt kümesine ait olanlar hariç diğer oklar kaldırılırsa elde edilen alt şebekedeki düğümler Nm grupları oluşturur; bunları birbirlerine bağlayan oklar da Am ile temsil edilsin. Bu durum Şekil 3-20‘da gösterilmektedir. Oluşturulan her (Nm, Am) alt şebekesi kendi içinde, ana sistem ile aynı karakterli bir ağaç sistemdir. Gruplar da bir gruplar ağı oluştururlar. N düğümleri grupların indisleri (m), A okları da ( i, j ) ∈ A | i ∈ N m ∧ j ∈ N n şeklinde (m,n) sıralı ikilileridir. Bu (i, j) ikilileri diğer bir ifade ile A – Au kümesi olup, her ( m, n ) ∈ A için Nm’yi Nn’ye bağlayan bir tane özgün (i, j) oku vardır. 151 N3 N1 1 2 3 N6 4 5 6 7 N7 Şekil 3-20. Ağaç sistemlerde gruplar (3.23)’ün çözümü seri sistemlere benzer şekilde, u (m) = u j = u ( m) 2 ⋅ π ( Nm ) m∈ N j ∈ Nm dir. (3.24) Yapılabilirlik şartı ise yine, π ( N m ) ≥ π ( N n ) ( m, n ) ∈ A (3.25) Bir grubu ikiye ayırmak ise, ilgili alt şebekedeki bazı okları veya Au’dan bir (i, j) okunu kaldırmak demektir. Bu işlem ile i ve j unsurlarını içeren bir Nm grubu (Nm– , Nm+) ikililerine ayrılır; (i, j) ikilisi ise Nm– ‘den Nm+ ‘ya yoluna işaret eder. Optimumluk şartı burada da, π ( N m− ) ≤ π ( N m+ ) dır. (3.26) Bu iki şart, elde edilen çözümün optimum olması için gerek ve yeter şartlardır. İkinci şart farklı bir şekilde, γ ( N , N − m + m ( ) ) = π ( N ) − h ( N ) ⋅ d ( N ) olarak k N m+ + m + m m da yazılabilir. γ ( N m− , N m+ ) terimi (Nm– , Nm+) kesitinin net kapasitesi olarak adlandırılır.88 Optimum bölüntüyü elde etmek için çeşitli yöntemler vardır. Bunlardan biri aşağıda verilmiştir. İşleme tüm unsurlar tek bir grup olarak ele alınarak başlanır, yani N = {N} dir. Daha sonra bu grup, (3.26) bağıntısı ile uyuşmayan kesitler alınarak, 88 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.146 152 daha küçük gruplara ayrılır. Örneğin M olası bir grup ve B bunun unsurlarını birleştiren bağıntılar olsun; yani, (M,B), (N,A)’nın bir alt ağaç şebekesi olacaktır.89 “ Procedure Tree_Relaxed (M,B) If M = 1 ( yani, B = ∅) Set γ * = 0 and STOP Else, ( ) {( Set γ * = γ M *− , M *+ = min γ M − , M + )} If γ * < 0, Call Procedure Tree_Relaxed (M*–, B*–) Call Procedure Tree_Relaxed (M*+, B*+) “ Algoritma bu işlemi (M,B) = (N,A) oluncaya kadar sürdürür. Elde edilen son bölüntü (N*), γ* ≥ 0 olan M gruplarından oluşur. İşlem (3.25) yapılabilirlik şartını gerçeklemek amacıyla minimum net kapasiteli kesitleri kullanır. Gevşek problemin çözümü elde edildikten sonra, artık seri sistemlerde kullanılan yuvarlatma yöntemleri ile yapılabilir bir politika oluşturulur. (3.18) ve (3.19)’daki hata sınırları burada da aynen geçerlidir. Bu yolla, yuvalanmış sistemlerin çözümü için gerekli tüm bilgiler elde mevcuttur ve montaj sistemleri de yuvalanmış sistemler olduklarından bunların çözümleri için kabul edilebilir sınırlar dahilinde uygun çözümler bulunabilir. 89 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.146 153 3.5.5 Yapılabilir Politika Oluşturma Gevşek problemin çözümü elde edildikten sonra, seri sistemlerde yapıldığı gibi bu çözümler yuvarlatılarak yapılabilir çözümler elde edilir. Özellikle montaj sistemleri yuvalanmış sistemler olduklarından elde edilmiş olan analiz yöntemleri bunlar için kullanılabilir. Dağıtım sistemleri ve genel anlamda ağaç sistemler ise yuvalanmamış sistemler olduklarından bu yöntemler doğrudan uygulanamaz. Bunlarla ilgili izlenmesi gereken yol Şekil 3-21’de gösterilen 1 depo ve 2 perakendeciden oluşan en basit dağıtım sistemi için ele alınarak belirlenmeye çalışılacaktır. 2 1 3 Şekil 3-21. 1 depo ve 2 perakendeciden oluşan dağıtım sistemi Sıfır stoklu, sabit sipariş aralıklı ve yuvalanmamış böyle bir sistem gözönüne alınsın. Burada sabit sipariş maliyetleri ile 2 ve 3 numaralı unsurlar için elde bulundurma kademe maliyeti terimleri, daha önce tanımlanmış olan C(u) ortalama maliyet fonksiyonunda yeralanlarla aynıdır. Ancak, 1 unsuru için elde bulundurma maliyeti biraz farklı olacaktır. 1 unsurunda stok hareketleri düşünülürse, 1 unsurundaki her birimin ya 2, ya da 3 düğümüne gideceği açıktır. 1 unsurundaki birimlerin hangi perakendecilere gideceklerine bu unsurlar stoğa girdikleri an karar verildiği ve bunların gidecekleri perakendecilere göre iki farklı depoda tutulduğu varsayılsın. Bu stokların hesabını izlemek için 1 düğümünün Şekil 3-22‘de gösterildiği gibi 12 ve 13 şeklinde iki sanal düğüme (depoya) bölündüğü kabul edilsin. Bu sistem genişletilmiş ağ şebeke sistemi olarak adlandırılır. 154 12 2 1 13 3 Şekil 3-22. 2 perakendecili dağıtım sistemi için genişletilmiş ağ şebeke Elde edilen bu yeni durum bir ağaç sistemdir. Bu durum genelleştirilerek, j = 1,2, ..., J düğümlü bir sistem için 1 unsurunda her j düğümü için tahsis edilmiş birimlerin stoklandığı 1j sanal düğümleri oluşturulsun. İzlenen politika sabit sipariş aralıklı olduğundan tüm sevkiyatlar da düzenli aralıklarla (u1j) yapılacaktır. Ayrıca, j düğümü için tahsis edilmiş birimlerin sanal 1j düğümüne sevkedilmesi 1j’den j düğümüne sevkiyatı tetikleyecektir. Bu şekliyle sistem tanım gereği yuvalanmış bir politikadır. Dolayısıyla, u1j değeri uj’nin tam katı ve u1j unsurunun ortalama kademe stoğu S 1 j = d1 j ⋅ u1 j 2 = d j ⋅ u1 j 2 olur. 1.inci unsurun özgün kademe stoğu bu stokların toplamı olacaktır. S 1 = S 12 + S 13 = S1 = 1 J ⋅ ∑ ( d j ⋅ u1 j ) 2 j=2 dir. 1 1 ⋅ ( d 2 ⋅ u12 + d3 ⋅ u13 ) veya genelleştirilmiş hali ile 2 unsuru için elde bulundurma maliyeti ise, 1 1 ⋅ ( h12 ⋅ d12 ⋅ u12 + h13 ⋅ d13 ⋅ u13 ) = ⋅ ( h1 ⋅ d 2 ⋅ u12 + h1 ⋅ d3 ⋅ u13 ) veya genelleştirilmiş hali 2 2 ile 1 J ⋅ ∑ ( h1 ⋅ d j ⋅ u1 j ) dir. Bu maliyet C(u) ifadesindeki ile aynı yapıdadır. 2 j =2 Diğer taraftan, 12, 13 düğümleri veya her ikisine birden sipariş girişi olduğunda bir k1 sabit sipariş maliyeti oluşur. Eğer doğrudan k1j = k1 alınırsa aynı anda her iki sanal depoya giriş olduğunda sabit sipariş maliyeti gerçeğin iki katı olarak hesaba katılmış olur. Bunun yerine tüm k1j = 0 alınır ve sadece 1 no.lu depoya mal girişleri dikkate alınarak sabit sipariş maliyeti k1 / u1 olarak hesaba dahil edilir. Stok hareketleri ve elde bulundurma maliyetlerinin hesabında zaten d1j veya dj 155 kullanılmış olduklarından d1 = 0 olmalı, yani 1 düğümüne yapılan sevkiyatlar sadece mantıksal sevkiyatlar olarak değerlendirilmelidir. Sonuç olarak, genişletilmiş ağ şebeke (yuvalanmış) özgün şebekeye tam anlamıyla eşdeğerdir. Özgün sistem yuvalanmamış olsa da, bu yaklaşımla yuvalanmış sistemler için oluşturulan maliyet ve çözüm yöntemleri olduğu gibi, hata oranları da aynı kalmak üzere burada da kullanılabilir. Benzer yaklaşım ağaç ağ şebekeler için de yapılabilir. Sonuçta, özgün sistem için sabit sipariş aralıklı bir politika elde edilir. Ancak özgün sistem yuvalanmamış olduğundan sipariş miktarlarının sabit olması gerekmez. Örneğin yukarıdaki iki perakendecili sistemde u2+ = u1+ ve u3+ = 2.u1+ olduğu varsayılırsa, 1 no.lu unsurun sipariş miktarları bir seferinde d2. u2+, diğer siparişte d2. u2+ + d3. u3+ olacaktır. Sistemin eşgüdümü için seri sistemler hakkında 3.4.5 bölümünde yapılan yorumlar burada da geçerlidir. Montaj sistemlerinde her grup kendi içinde daha küçük bir montaj sistemi şeklindedir ve her grubun son aşamasında stok tutulur. Ayrıca, her grup ESM benzeri bir model doğrultusunda işlem yapar ve gruplar arasındaki iletişim de her grubun gerektiğinde öncellerine sipariş vermek ve ürettiklerini de ardılı grupların ilgili aşamalarına sevketmek şeklinde, yine en az merkezi kontrolla yürümesi şeklinde sağlanır. Ağaç sistemlerde işlem biraz daha karmaşık olmakla birlikte, yine benzer şekilde yerel kontrollarla yürüyebilecek, oldukça yalın politikalar oluşturulabilir. Sistemin duyarlılığı konusunda da, seri sistemlerde olduğu gibi maliyet parametreleri k j = κ ⋅ w j ve h j = η ⋅ c j şeklinde ifade edilebildiklerinde, optimum N* bölüntüsü κ ve η katsayılarından bağımsız olup, burada da cS–wF eğrisi kullanılabilir. Toplam maliyet burada da, g j = d j ⋅ h j olmak üzere optimum N* bölüntüsü için, C − = ∑ 2 ⋅ k ( N m ) ⋅ g ( N m ) şeklindedir ve C– yine d ile m orantılıdır. 156 3.6 Eşgüdümlü Tedarik – Kapsam Ekonomisi 3.6.1 Birleşik İkmal Problemi Şimdi de, bir cins ürünün farklı noktalarda kullanılması veya aynı yerde kullanılan çeşitli ürünlerin tedariki gibi, farklı unsurların tedarik açısından birbirleri ile ilişkili olabildikleri bir yapı ele alınsın. Bir ürün farklı noktalarda kullanılıyorsa, her kullanım noktasının ayrı ayrı sipariş vermesi yerine bu siparişler birleştirilebilir. Özellikle aradaki uzaklıklar fazla olduğunda en azından yolun bir bölümü için siparişlerin birleştirilmesi nakliye ücretlerinin kısılması, tedarikçinin miktar iskontosu uyguladığı durumlarda siparişleri birleştirerek birim fiyatlarda iyileşme elde edilmesi veya sabit sipariş maliyetinin yüksek olduğu durumlarda sipariş maliyetlerinin düşürülmesi gibi avantajlar sağlayabilir. Diğer taraftan aynı noktaya gelecek farklı ürünler için de, her ürün için ayrı ayrı sipariş vermektense, satınalınacak ürünlerin birleştirilerek tek bir sipariş verilmesi benzer avantajları vardır. Örneğin birbirlerine yakın ancak değişik noktalardan satınalınan ürünler o bölge civarındaki bir noktada birleştirilerek sevkedildiğinde veya farklı ürünleri değişik araçlarla dağıtmaktansa bunları birleştirerek dağıtım yapılması durumunda taşıma giderlerinde önemli tasarruf sağlanabilir. Bu durumlar, birleşik tedarik işlemi kapsam ekonomisi (economies of scope) sağlar şeklinde adlandırılır. Ölçek ekonomisi (economies of scale) bir üründen çok miktarda sipariş verilerek bir fayda sağlama şeklinde izah edilebilir; kapsam ekonomisi ise, burada çeşitli unsurların beraber siparişi gibi, farklı etkinliklerden ortak bir fayda sağlamaya işaret eder. Diğer taraftan birleşik sipariş işleminin ortalama stokların artması, kontrol giderlerinin yükselmesi, olağanüstü durumlarda esnekliğin azalması gibi sakıncaları da vardır.90 Bu tip bir sistem basit olarak şöyle modellenebilir : Sabit sipariş maliyetinin, tek veya birleştirilmiş olsun, her sipariş için aynı olan k0 gibi bir maliyet ile bir j.inci 90 Silver, Pyke ve Peterson, Inventory Management and Production Planning and Scheduling, s. 424 157 unsur için buna özel bir kj maliyetinden oluştuğu varsayılsın. Örneğin 2 farklı ürün için, 1 ve 2 ürünleri ayrı ayrı sipariş verildiğinde sabit sipariş maliyeti 2k0 + k1 + k2 oluyorsa, bu iki ürün birlikte sipariş edildiğinde k0 + k1 + k2 olacaktır. k0 ana sabit sipariş maliyeti, kj tali sabit sipariş maliyeti ve bu model de birleşik ikmal problemi (joint replenishment problem) olarak adlandırılır.91 Tüm unsurlar beraber sipariş edildiğinde her unsur için sipariş aralığı u ve bu J durumda toplam sabit sipariş maliyeti k = k0 + ∑ k j , j.inci unsur için elde j =1 bulundurma maliyeti g j = hj ⋅ d j ve toplam elde bulundurma maliyeti ise J g = ∑ h j ⋅ d j olacaktır. Buna göre, belirli bir u için ortalama toplam sipariş maliyeti j =1 C (u ) = k g ⋅u + dir. Bu ise özgün ESM modelindeki maliyet fonksiyonu olup, en u 2 uygun sipariş periyodu u* = çözümün optimum olduğunu 2 ⋅ k g kolayca elde edilir. Bununla birlikte, bu söyleyebilmek mümkün değildir. Siparişler birleştirilmek suretiyle tüm unsurlar için eşit sipariş periyodu kullanarak her unsurun optimizasyonu esnekliğinden vazgeçilmektedir; özellikle k0‘ın kj ‘lere oranla küçük olduğu durumlarda siparişlerin birleştirilmesinin fazla anlamlı olmayacağı açıktır. Bir başka yaklaşım tüm unsurları birleştirmek yerine benzer unsurları (örneğin kj / gj oranları aynı veya yakın olan unsurlar) gruplandırarak, farklı gruplar için ayrı ayrı sipariş vermek olabilir. Bu yolla grup içinde kapsam ekonomisine sadık kalınarak, en azından gruplar arasında bir esneklik sağlanabilir. Grupların sipariş periyotlarının hesaplanmasında ise DESM modelinde kullanılan işlemsel süreçlerden yararlanmak mümkündür. Ayrıca, burada ortaya çıkabilecek bazı fırsatların da gözden uzak tutulmaması gerekir. Örneğin iki grup halinde sipariş verildiği ve ikinci grup için sipariş periyodunun birincinin 2,1 katı olarak hesaplandığı düşünülsün. Bu durumda ikinci gruptaki unsurların sipariş periyodu birinci grubun iki katı olarak yuvarlanarak, birinci grubun her iki siparişinden biri, ikinci grup ile birleştirilerek iki kez k0 ödemekten kurtulmak mümkün olur. Ancak, çok fazla grup varsa bunun 91 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.150 158 sistemli olarak uygulanması kolay değildir. Bunun gerçekleştirilmesi için birleşik tedarik sistemini, eşdeğer bir dağıtım sistemi ile temsil etmek ve buraya kadar ele alınan çözüm yöntemlerinden yararlanmak düşünülebilir. Şimdi, birleştirilen siparişlerin önce k0 maliyetle bir merkez depoya (0 olarak adlandırılsın), buradan da bekletilmeden her bir j noktası için kj maliyetle olmak üzere ayrı ayrı son varış noktalarına sevkedildikleri, iki aşamalı bir taşıma senaryosu düşünülsün. Bu sistem, sonuçta Şekil 3-23’de gösterilen iki aşamalı bir dağıtım sisteminden başka bir şey değildir; tek fark 0 noktasında hiç stok tutulmamasıdır. Pratikte bu tip yerler aktarma merkezi (trans-shipment center) olarak adlandırılır. 0 noktasında stok tutulmaması, ancak herhangi bir j son varış noktası sipariş verdiğinde 0 noktasının da sipariş vermesi ile gerçekleşebilir; diğer bir ifade ile, model ters–yuvalanmış (anti–nested) bir politikadır. Bu modelde dj, hj ve kj parametreleri oldukları gibi kullanılacak, 0 unsuru için ise d’0 = 0, sabit maliyet k0 ve stok tutulmadığı için elde bulundurme maliyeti de h’0 = h0 = 0 olacaktır. 1 2 0 J Şekil 3-23. Birleşik ikmal sistemine eşdeğer dağıtım sistemi Şekil 3-23’deki eşdeğer sistem parametreler aynı kalmak üzere tersine çevrilirse elde edilen bu sefer bir montaj sisteminden başka bir şey olmayacaktır. Dolayısıyla, özgün ters–yuvalanmış sistem, yuvalanmış bir montaj sistemine benzer hale dönüştürülmüş olacaktır. Bu sistem ise yukarıda bahsedildiği şekilde yuvalanmış bir montaj sistemi için oluşturulmuş yöntemlerle analiz edilebilir. Ayrıca, özgün sistemde tedarik süreleri sözkonusuysa, dağıtım sistemlerinde 159 yapıldığı gibi zaman içinde geriye doğru kaydırmalarla sıfır tedarik süreli bir sisteme dönüştürülerek çözülür. Bu durumda N* optimum bölüntüsü oldukça basit bir şekilde elde edilir : Özgün unsurlar, π ({ j}) = k j g j oranı j ile artacak şekilde numaralandırılır. j ≤ j* unsurları 0 unsuru ile gruplandırılır ve j > j* unsurları da kendi gruplarını oluşturur. Sonra, gevşek problem işlemsel süreci uygulanır. N0, 0 unsurunu içeren grup olmak üzere, önce J daha sonra J – 1 vs. unsurları ayrılarak π ( N 0 − { j}) < π ({ j}) kaldığı sürece kesit almaya devam edilir. Bu şartın gerçekleşmediği ilk j = j* değerinde işlem sona erdirilir. Yuvarlama işlemini takiben izlenecek politika elde edilir : j ≤ j* unsurları beraberce u+(0) periyotla, diğer unsurlar ise u+(0)’ın tam katları periyotlarla daha büyük partiler halinde sipariş edilmelidirler. 3.7 Değişken Talep Durumunda Stok Modelleri 3.7.1 Özgün Model Bu bölümde talebin zamanla değiştiği kademeli sistemlerde optimum maliyet için ne şekilde çözümler üretilebileceği üzerinde durulacaktır. Öncelikle talebin çok hızlı veya yavaş olarak değiştiği özel durumlar ele alıncak, daha sonra da DESM modeline benzer şekilde kesikli zaman varsayımı ile çözümler bulunmaya çalışılacaktır. Talebin d(t) şeklinde zamanın fonksiyonu olduğu seri kademeli bir sistem düşünülsün. Bölüm 3.4.5’de sabit talep için ele alındığı gibi optimum N* bölüntüsü talepten bağımsızdır. Dolayısıyla, değişken talep için aynı bölüntünün kullanılması uygun olacaktır; diğer bir deyişle her Nm grubunda tüm unsurlar yine beraber sipariş vereceklerdir. Eğer talep zaman içinde çok az ve / veya çok hızlı değişiyorsa, tek ürün için ESM modelinde olduğu gibi talep dalgalanmaları ihmal edilebilir. Dolayısıyla, ortalama d talep miktarı esas alınarak ya u+(m) eşit aralıklarıyla, ya da d.u+(m) eşit miktarları şeklinde sipariş verilmelidir. d(t) talebinin zaman içinde çok yavaş olarak değiştiği durumda ise uzun vadeli dalgalanmalar gözönüne alınmadan mevcut d(t) değeri kullanılarak model oluşturulur. Örneğin, yuvalanmış, sıfır stoklu 160 bir model kullanılıyorsa N1 grubu her sipariş vereceğinde o anki d(t) talebi N1 grubunun bir sonraki siparişine kadar sabit gibi kabul edilerek u+(m) eşit aralıklarıyla, ya da d(t).u+(m) eşit miktarları olarak sipariş verilir. Bu işlem N1 grubunun sipariş verdiği her dönem için tekrarlanarak her seferinde d(t) esas alınarak yapılabilir politikalar oluşturulur. Benzer yaklaşımlar ağaç sistemler için de genelleştirilebilir. Talebin çok az veya çok hızlı olduğu durumlarda talep dalgalanmaları ihmal edilir. Değişim çok yavaş olduğunda ise durum biraz farklı ele alınır. Örneğin her j unsuru için talebin d’j0 gibi sabit bir temel sayı ile d(t)’nin çarpımı ile d ' j ( t ) = d ' j 0 ⋅ d ( t ) ifade edilebileceği varsayılabilir. Seri sistemlerde olduğu gibi N* bölüntüsü yine talepten bağımsız olacaktır; sipariş periyotları veya miktarları ise seri sistemlere benzer şekilde dönemsel olarak hesaplanarak yapılabilir politika oluşturma yoluna gidilir. Bu özel durumlar dışında talebin herhangi bir şekilde değiştiği ancak değişimin bilindiği durumlarda problem DESM modeline benzer şekilde çözülür. Yine, her aşama için bir birim ürün çıktısı elde edebilmek için bir birim hammadde veya ara ürün girdisinin gerekli olduğu genel bir kademeli sistem gözönüne alınsın. Burada DESM modelinde olduğu gibi kesikli bir zaman tanımı yapılsın. Modelde kullanılacak simgeler :92 T : Plan ufku t : Zaman noktaları indeksi (t = 0, 1, ......, T) d’i(t) : i unsuruna t anındaki yerel talep ki(t) : i unsurunun t anındaki sabit sipariş maliyeti ci(t) : i unsurunun t anındaki değişken sipariş maliyeti h’i(t) : i unsurunun t anındaki yerel elde bulundurma maliyeti ki(t) : i unsurunun t anındaki sabit sipariş maliyeti xi0 : i unsurunun başlangıçtaki yerel stok seviyesi Karar değişkenleri : x'i(t) : i unsurunun t anındaki yerel stok seviyesi zi(t) : i unsurunun t anındaki sipariş miktarı 92 Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.159 161 ve δ(.) Heaviside fonksiyonu olmak üzere model şöyle olacaktır : Başlangıç şartları : x 'i ( 0 ) = x 'i 0 i = 1, 2, … , J (3.27) x 'i ( t + 1) = x 'i ( t ) + zi ( t ) − d 'i ( t ) − ∑ j∈Suc ( i ) z j ( t ) (3.28) Problemin dinamiği : t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J Kısıtlar : x 'i ( t ) ≥ 0 t = 0, 1, … , T zi ( t ) ≥ 0 ; i = 1, 2, … , J (3.29) t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J Amaç fonksiyonu : J Min. T −1 J T ∑ ∑ {k ( t ) ⋅ δ z (t ) + c ( t ) ⋅ z ( t )} + ∑ ∑ h ' ( t ) ⋅ x ' (t ) i i i i i i =1 t = 0 i (3.30) i =1 t = 0 (3.28) eşitliği hariç model DESM modeli ile aynıdır. Amaç fonksiyonu, ν i ( t ) = 1 , zi ( t ) > 0 ise ν i ( t ) = 0 , zi ( t ) = 0 ise şeklinde ikili değişkeni kullanılarak doğrusal hale getirilebilir. Ayrıca, Di [ t , T [ ile i.inci unsur için t’den sonraki birikimli talep betimlenirse, kısıt fonksiyonunun yeni şekli, ν i ( t ) ∈ {0,1} zi ( t ) ≤ Di [t , T [ ⋅ν i ( t ) t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J (3.31) ve amaç fonksiyonu, J Min. T −1 J T ∑ ∑ k ( t ) ⋅ν ( t ) + c ( t ) ⋅ z (t ) + ∑ ∑ h ' (t ) ⋅ x ' ( t ) i i =1 t = 0 i i i i i (3.32) i =1 t = 0 şeklinde düzenlenerek, problem tamsayılı doğrusal bir programa dönüştürülür. Optimum veya yakın çözümler elde etmek için problem tamsayılı doğrusal programlama yöntemi kullanılarak çözülmelidir. Optimum çözümün sıfır stoklu çözüm olduğu Veinott tarafından 1969’da gösterilmiştir. Ayrıca, Crowston ve Wagner, Afentakis, Rossling, Zangwill ve Love gibi araştırmacılar tamsayılı doğrusal programlama çözümleri için yöntem ve işlemsel süreçler üzerinde çalışmışlardır. Bunun yanısıra bazı sezgisel yöntemler de mevcuttur. MRP (Material Requirement Planning) için uygulanan yöntem bunlardan biridir. Ayrıca Graves 162 (1981), Blackburn ve Millen (1982), Heinrich ve Schneeweiss (1986) ile Roundy (1993) bazı alternatif sezgisel yöntemler önermişlerdir. Bunlardan özellikle Roundy tarafından önerilen bir model oldukça ilginçtir. Burada sabit talepli ve parametreli model için optimum N* bölüntüsü ile gruplar elde edilmekte, değişken talep modeli için de aynı gruplardaki unsurları da beraber sipariş vermeye zorlamaktadır. Böylece modelde artık aşamaların yerini gruplar almaktadır. Daha sonra bu grupların seri olarak yer aldıkları benzer bir sistem elde ederek aşağıda açıklanan işlemsel süreç kullanılarak çözüm elde edilmektedir. Roundy bu şekilde elde edilen modelde maliyetin, optimum çözümün maliyetinden maksimum % 44 daha fazla olacağını ispatlamıştır; bununla birlikte, uygulamada elde edilen sonuçların bundan çok daha iyi oldukları gözlenmiştir. Seri sistemler için uygulanacak işlemsel sürecin ana fikri kademe elde bulundurma maliyetleri hi ( t ) = h 'i ( t ) − h 'i −1 ( t ) ve birikimli kademe talepleri Di [t , u[ = DJ [t , u[ büyüklüklerini kullanarak her j için k J [t , u[ maliyetlerini ESM için bulunan (2.54) bağıntısını kullanarak hesaplamak olarak özetlenebilir. j’den J’ye kadar aşamalar için ve s anından t ufkuna kadar (0 ≤ s < t ≤ T) sistemin optimum maliyeti Vj (s,t) ile gösterilsin. Bu değerler, j = J ‘den başlayıp geriye doğru gidilerek özyinelemeli olarak, VJ +1 ( s, t ) = 0 olmak üzere ve V j +1 ( s, t ) ’ler belli iken, k +j [t , u[ = k j [t , u[ + V j +1 ( t , u ) şeklinde hesaplanır. Şekil 2-11’deki gibi bir ağ şebeke diyagramı çizilip, s < t olmak üzere tüm olası (s,t) yolları için Vj (s,t) minimum maliyetler belirlenir. Bu yollardan en düşük maliyetli olanlar izlenerek 1’den T’ye gidildiğinde geçilen düğümler optimum sipariş zamanlarını verir. Bu şekilde, j = 1 için V1 (0,T), j = 2 için V2 (0,T) vs. değerleri belirlenir. Burada temel fikir kademe maliyetini hesaplamaktır : j.inci aşama için bir (t,u) okunun seçilmesinin anlamı, t’den (u – 1)‘e kadar zaman süresini kapsayacak bir periyot için t anında sipariş vermek demektir. Örneğin kj[ t , u [ maliyeti, j + 1 veya bunun ötesindeki aşamalarda ne olduğunu gözönüne almadan, ilgili sabit sipariş maliyeti ile j.inci kademenin elde bulundurma maliyetini kapsayacaktır. V j +1 ( t , u ) , aynı zaman aralığında, yuvalanmış bir politika kullanarak ileri aşamalar için 163 takınılması gereken en uygun davranışı temsil eder. Dolayısıyla k +j [t , u[ da (t,u) bağıntısını seçmenin toplam maliyetinin ölçüsüdür. Diğer taraftan, gerçek sistemler için, örneğin i.inci unsuru j ∈ Suc ( i ) ’ye aktarmak için L’ij > 0 tedarik süresine gereksinim olduğu düşünülsün. Bu durumda j unsurunu t anında oluşturmak için her i unsurunun stoğunu t – L’ij kadar geri çekmek gerekir. Ayrıca, başlangıç unsuru için de L’j tedarik süresi sözkonusudur; özgün modelde bu süre L’ij = 1 ve L’j = 1 dir. Bu tedarik sürelerini modele dahil etmenin çeşitli yolları vardır. zi(t) siparişinin (t+1) anından önce stoğa girdiği varsayılsın. (3.28) bağıntısı, x 'i ( t + 1) = x 'i ( t ) + zi ( t ) − d 'i ( t ) − ∑ j∈Suc ( i ) z j ( t + L 'ij − 1) (3.33) t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J şeklinde yazılır. Başlangıç şartı da uygun olarak düzenlenir. Örneğin iki aşamalı seri bir sistem için L’1 = 3, L’12 = 2 olsun. Başlangıç şartları z1(t) için t < L’1 – 1 = 2 ve z2(t) için t < L’2 – 1 = 1, t = 0 anından önce belirlenmiş ve sabit değerlerdir. Dolayısıyla, başlangıç şartları, z1(0) = z1,0 , z2(0) = z2,0 , z1(1) = z1,1 şeklinde belirli değerlerdir. Yukarıdaki bağıntıda i = 1 ve t = T –1 için z2(T) gibi modelde yer almayan bir değişken vardır. Bu değişken ya hiç dikkate alınmayabilir, ya z2(T) = 0 olarak son şart olarak konulabilir, ya da plan ufku sadece ikinci aşama için (T + 1)‘e kadar uzatılır. Son olarak, unsurlar arasındaki transit stoklarının elde bulundurma maliyeti için bir düzenleme yapılmalıdır. Bir i.inci unsurun j.inci unsur haline gelmesi için zamanın fonksiyonu olan h’i(t) maliyeti oluştuğu varsayılsın. Bu terim amaç fonksiyonuna h 'i ( t ) ⋅ z j ( u ) , j ∈ Suc ( i ) , t ≤ u < t + L!ij − 1 olarak eklenmelidir. Yani, her cj(t) terimine ∑ t i∈Pr ev ( j ) ∑ … + 2 ⋅ h 'i ( s ) eklenmelidir. Eğer h’i(t) zamanın s = t − L 'ij fonksiyonu değil h’i gibi bir sabit ise, cj(t)‘deki ilave terim ∑ i∈Prev ( j ) ( L ' − 1) ⋅ h ' ’den ij i ibaret olacaktır. 164 3.7.2 Sınırlı Kapasite Durumu Birden fazla mal üreten ve üretim kapasitesi bunlar arasında paylaştırılmış bir işletme düşünülsün. Bir t anında toplam üretim kapasitesi z+(t) ve i ürününe ayrılan kapasite ai ile gösterilsin. x'i(t), i unsurunun t anındaki yerel stok seviyesi olmak üzere ve özgün model ile aynı simgelem kullanılarak, böyle bir üretim sisteminin modeli şöyle yazılabilir : Başlangıç şartları : xi ( 0 ) = xi 0 i = 1, 2, … , J (3.34) Problemin dinamiği : xi ( t + 1) = xi ( t ) + zi ( t ) − di ( t ) (3.35) t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J Kısıtlar : xi ( t ) ≥ 0 zi ( t ) ≥ 0 ν i ( t ) ∈ {0,1} (3.36) zi ( t ) ≤ Di [t , T [ ⋅ν i ( t ) t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J J ∑ a ⋅ z (t ) ≤ z (t ) i i + t = 0, 1, … , T − 1 i =1 Amaç fonksiyonu : J T −1 ∑∑ Min. J T ki ( t ) ⋅ν i ( t ) + ci ( t ) ⋅ zi ( t ) + ∑∑ hi ( t ) ⋅ xi ( t ) i =1 t = 0 (3.37) i =1 t =1 Bu model yine tamsayılı programlama şeklinde çözülür. Ayrıca probleme makina, işgücü gibi çeşitli kaynaklar için sınırlama getirmek de mümkündür. Bu kaynaklar r = 1, ..., R ile indekslenerek, toplam kaynak kapasiteleri z+r(t) ve r kaynağından i ürününe ayrılan kapasite air ile gösterilirse son kısıt bağıntısı, J ∑a ir ⋅ zi ( t ) ≤ z+ r ( t ) t = 0, 1, … , T − 1 ; r = 1, 2, … , R (3.38) i =1 olarak yazılmalıdır. Bu modeli çözmek için farklı sezgisel yöntemler de ortaya koyulmuştur. Bunlardan biri, modelin iki aşamada çözüldüğü hiyerarşik planlama (hierarchical planning) yöntemidir. Bu yöntemde önce, sabit sipariş maliyetleri dikkate alınmaksızın ve unsurlar gruplara ayrılarak, toplam model olarak adlandırılan ilk 165 aşamada problemin görece basit bir çözümü bulunur. İkinci aşamada gruplar için ayrı ayrı, her grubun üretim miktarları kendi içlerindeki özgün unsurlara dağıtılarak problemin özgün bir çözümü elde edilir. Her iki durumda da sınırlı kapasite durumunda problemin çözümünün zorluğu sabit sipariş maliyetlerinden kaynaklanır. Eğer ki(t) = 0 alınırsa, problem doğrusal programa dönüşür. Bu durumda da problem oldukça geniş olmakla birlikte çözümü daha kolaydır. Esasen, hiyerarşik planlama aşamasında toplam model kavramı ile yapılmış olan da budur. 3.8 Malzeme İhtiyaç Planlaması Malzeme ihtiyaç planlaması (MRP, Material Requirements Planning) terimi ile, hem işletmecilik faaliyetlerine geniş görüşlü bir yaklaşım, hem de bu yaklaşımı destekleyen bir bilgisayar programı betimlenir. MRP özellikle A.B.D.’de üretim planlama ve kontrol konularında standart yaklaşımdır denilebilir. Malzeme ihtiyaç planlaması MRP I olarak anılır; MRP I, finansal, pazarlama ve satınalma öğelerinin de ilavesi ile zaman içinde daha geliştirilerek MRP II (Manufacturing Resource Planning) olarak anılan üretim kaynak planlaması sistemi oluşturulmuştur.93 Burada ele alınacağı şekliyle, MRP model olarak adlandırılmakta olsa da tam anlamıyla bir model olmayıp, bir önceki bölümde konu edilen modelin sezgisel çözüm yollarınından biri demek daha doğrudur. Burada model aşağıdaki gibidir : Başlangıç şartları : x 'i ( 0 ) = x 'i 0 i = 1, 2, … , J (3.39) Modelin dinamiği : x 'i ( t + 1) = x 'i ( t ) + zi ( t ) − d 'i ( t ) − ∑ j∈Suc ( i ) z j ( t + L 'ij − 1) t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J (3.40) Kısıtlar : x 'i ( t ) ≥ 0 zi ( t ) ≥ 0 93 t = 0, 1, … , T ; i = 1, 2, … , J t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J (3.41) Stock ve M. Lambert, Strategic Logistics Management, s.294 166 Amaç fonksiyonu : J Min. T −1 J T ∑ ∑ {k ( t ) ⋅ δ z (t ) + c ( t ) ⋅ z ( t )} + ∑ ∑ h ' ( t ) ⋅ x ' (t ) i i i i i =1 t = 0 i i (3.42) i =1 t = 0 MRP, en son unsurdan başlayıp başa doğru giderek belirli bir unsur için belirli bir zamandaki çözümü veren bir ayrıştırma tekniğidir. Burada J.inci unsurdan başlanır. J.inci unsurun bir ardılı olmadığından modelin dinamiğini veren bağıntıdaki toplam ortadan kalkar. J diğer unsurlarla dinamik olarak bağıntılıdır, ancak MRP bu ilişkileri ihmal eder, dikkate almaz. Dolayısıyla, problem tek unsurlu bir DESM modeline indirgenmiş olur ve bu model bilinen yöntemlerden biri ile çözülerek J.inci unsur için çözüm elde edilir. Buradan elde edilen sipariş miktarı zJ,0(t) ile gösterilsin. Bir sonraki aşamada (J – 1).inci unsur ele alınır; (J – 1).inci unsurun da artık ardılı olmayacağından MRP, (J – 1)’in daha önce gelen unsurlarla olan bağıntılarını yine ihmal etmek yoluyla bunu da J.inci unsur gibi ele alarak benzer şekilde çözer. Diğer bir şekilde de (J – 1).inci unsurun tek ardılı J ele alınır; zJ(t) = zJ,0(t) belirli olduğu düşünülürse, problemin dinamiğinden, x 'J −1 ( t + 1) = x 'J −1 ( t ) + z J −1 ( t ) − d ' J −1 ( t ) − z J ,0 ( t + L 'J −1, J − 1) ( t = 0, … ,T − 1) veya d J −1,0 ( t ) = d 'J −1 ( t ) + z J ,0 ( t + L 'J −1, J − 1) koyarak, x 'J −1 ( t + 1) = x 'J −1 ( t ) + z J −1 ( t ) − d J −1,0 ( t ) elde edilir. Yine öncelleri ile olan ilişkiler ihmal edilerek, (J – 1).inci unsur tek başına, dJ–1,0 talebi gözönüne alınarak çözüm bulunur. (J – 1).inci unsur için bulunan sipariş miktarı zJ–1,0(t) ile gösterilsin. Bu şekilde devam edilirse, bir i.inci unsur için tüm zj,0 [ j ∈ Suc ( i ) ] değerlerinin belirlenmiş olduğu da d i ,0 ( t ) = d 'i ( t ) + ∑ j∈Suc ( i ) z j ,0 ⋅ ( t + L 'ij − 1) x 'i ( t + 1) = x 'i ( t ) + + zi ( t ) − d i ,0 ( t ) gözönüne alınarak, talep miktarı olarak yazılırsa, problemin dinamiği, ( t = 0, … ,T − 1) olarak ifade edilebilir. DESM modeli ile buradan da i.inci unsur için zi,0(t) değeri bulunur. Böylece tüm unsurlar için uygun sipariş miktarları hesaplanarak sistemin yapılabilir bir çözümü elde edilir. 167 3.9 Dağıtım Sistemleri ve Depolama 3.9.1 Dağıtımın Önemi Bir ürünün değeri, ürün son tüketicisinin eline kullanılabilir şartlarda ve istenen zamanda ulaştığında oluşur. Bu açıdan istenen faydanın sağlanabilmesi için, bir işletmenin dağıtım sisteminin gerekli şartlarla uyumlu olması çok önemlidir. Dağıtım işi genelde zaman alan ve pahalı bir işlemdir. Bir tedarik zincirinde hammaddeden başlayarak son ürüne kadar geçen aşamalardaki taşıma ve depolama işlemlerinde oluşan birikimli maliyet düşünüldüğünde, taşıma ve dağıtım maliyetleri son ürünün maliyet fiyatının yaklaşık % 50’sini oluşturabilir.94 Bu kapsamda son ürünün tüketiciye beklenen hizmet kalitesinde ve en düşük maliyetle ulaştırılmasında dağıtım sisteminin ve çeşitli noktalardaki stok seviyelerinin önemi kolayca anlaşılabilir. Dağıtım sistemleri ıraksak sistemlerdir. Has bir dağıtım sisteminde, her stok noktasının en fazla bir tane vasıtasız önceli vardır. Şekil 4-1’de fabrika merkez deposundan son tüketiciler (veya perakendecilere) doğrudan sevkiyat yapılan iki aşamalı bir dağıtım sistemi gösterilmektedir. Böyle bir sistemde ana depo tüm perakendecilerin gereksinimlerini doğrudan karşılayacağından, ana depoda ne kadar fazla stok varsa perakendecilere o kadar kısa sürelerde ve düzenli teslimat yapılabilir, dolayısıyla perakendecilere daha düşük stokla çalışma imkanı sağlanır. Ancak böyle bir uygulama tüm sistemdeki stokların aşırı kabarması gibi bir tehlikeyi de beraberinde getirir. Stokların tüm sistemdeki dağılımı, sistemin yapısına, talep dalgalanmalarına ve sevkiyat sürelerine bağlıdır. Dağıtım sisteminin gereği gibi analizi ile tahmin ilk ayakta öngörülenden çok daha az toplam stokla işler halde tutulmasının mümkün olduğu sıkça karşılaşılan bir durumdur. Hizmet kalitesini yükseltmek için başvurulabilecek diğer bir yöntem de ürünlerin son tüketicilerin bulunduğu yerlere yakın bölgelerde depolanması ve bu yolla sevkiyat sürelerinin kısaltılmasıdır. 94 Askin ve Goldberg, Design and Analysis of a Lean Production Systems, s.10 168 3.9.2 Depolama Depolama lojistik zincirinin her safhasında malların muhafazası ve stoklanması amacıyla kullanılır. Depolama kapsamında en sade anlatımla iki ana stok kalemi olduğu söylenebilir : Fiziksel tedarik veya içe yönelik (inbound) depolama kapsamında hammadde, yardımcı malzemeler ve yedek parçalar ile fiziksel dağıtım veya dışa yönelik (outbound) depolama kapsamında bitmiş ürünlerin depolanması. Depolar Şekil 3-24’de gösterildiği gibi, amaçlarına göre aşağıdaki şekilde gruplandırılabilirler :95 1) Üretimi destekleme amaçlı depolama : Bu tür depolamada ambarlar çeşitli üreticilerden gelen mallların birleştirilmesi (inbound consolidation) amaçlı kullanılırlar. İşletmenin çeşitli üreticilere sipariş verdiği ve tedarikçilerin orta büyüklükte veya büyük partiler halinde sevkettikleri hammadde, yedek parça ve malzemeler, önce fabrika yakınındaki veya içindeki bir depoda toplanır. Burada gerekli kontrollar ve malların kabulü yapılarak daha sonra bu mallar istenen miktarlarda depodan fabrikaya/üretime gönderilir. İçe yönelik lojistikte depolamanın diğer bir şekli de uzak mesafelerden küçük partiler halinde tedarik edilen hammadde veya malzemelerin belirli bir bölgeyi kapsayan, üreticilere yakın merkezlerde (toplama merkezleri, örneğin süt toplama merkezleri) depolanarak daha büyük partiler halinde ana fabrika veya üretim merkezine sevkedilmesi amacıyla yapılan depolamadır. Burada ana amaç nakliye masraflarından tasarruf sağlamaktır. 2) Ürün karışımı amaçlı depolama (Product mixing) : Burada birden fazla fabrikada üretilen malların müşterilere istenen miktarlarda ve karışımda sevkedilebilmeleri için ürünlerin bir ana depoda toplanması amaçlanır. Örneğin farklı yerlerdeki A, B ve C fabrikalarında üretilen A, B ve C ürünleri veya yarı ürünleri orta büyüklükte veya büyük partiler halinde bir merkez depoya sevkedilir. Bu depoda çeşitli müşterilerin istedikler ürün cinsleri, istenen miktarlarda karışımlar oluşturularak çeşitli büyüklükte partiler halinde müşterilere gönderilir. 95 Stock ve M. Lambert, Strategic Logistics Management, s.391-394 169 3) Birleştirme amaçlı depolama (outbound consolidation) : Burada farklı yerlerdeki fabrikalarda üretilen bir ürün merkezi bir depoda toplanarak orta ve büyük partiler halinde çeşitli müşterilere sevkedilir. 4) Dağıtım amaçlı depolama (Break bulk) : Bu tür depolamada ürünler bir fabrikadan büyük partiler halinde nihai tüketicilerin yakınındaki bir depoya, daha sonra buradan da küçük partiler halinde müşterilere sevkedilir. Bu sınıflandırmadan da anlaşılacağı gibi birinci tip depolama içe yönelik diğer üçü ise dışa yönelik depolama kapsamındadır. 3.9.3 Depo Sayısı ve Boyutları Daha önce de değinildiği gibi gerek hizmet kalitesini yükseltmek, diğer bir deyişle perakendecilere veya son tüketicilere daha kısa sürelerde ve düzenli teslimat yapabilmek için fabrika ana deposunda yüksek miktarlarda stok tutmak yerine başvurulabilecek diğer bir yöntem de ürünlerin son tüketicilere yakın bölgelerde depolanması ve bu yolla teslimat sürelerinin kısaltılmasıdır. Böyle bir yapılanma oluşturulurken alınması gereken en önemli kararlar bölgesel depoların veya dağıtım merkezlerinin sayılarının, boyutlarının ve yerlerinin belirlenmesidir. Depo sayısı ve boyutları birbirleri ile ters orantılı büyüklüklerdir; diğer bir deyişle depo sayısı arttıkça ortalama depo boyutları küçülmelidir. İşletmelerin dağıtım sistemlerinde genel eğilim az sayıda fakat büyük boyutlarda depolar kullanmak yönündedir.96 Depo boyutlarını irdeleyebilmek için öncelikle boyutların hangi birimlerle ölçüleceğinin belirlenmesi gerekir. Depo boyutları çoğunlukla depo taban alanı olarak ifade edilmektedir. Ancak, bu durumda dikey depolama kapasitesi gözönüne alınmamaktadır. Ayrıca, sıvı depolama veya soğuk depolama gibi bazı özel durumlarda taban alanının, birincisi için hiç bir anlamı olmayacağından, ikinci durumda ise soğutma yükünün hesaplanması açısından hacim gerekli bir büyüklük olduğundan depo boyutlarının hacim olarak ifade edilmesi faydalı olacaktır. 96 Stock ve M. Lambert, Strategic Logistics Management, s.405 170 A – Üretimi destekleme amaçlı depolama : 1. Tedarikçi 2. Tedarikçi 3. Tedarikçi 4. Tedarikçi OP veya BP OP veya BP Depo OP veya BP Fabrika OP veya BP B – Ürün karışımı amaçlı depolama (Product mixing) : KP, OP veya BP 1. Müşteri A A Fabrikası B Fabrikası C Fabrikası OP veya BP KP, OP veya BP B 2. Müşteri A OP veya BP Depo OP veya BP KP, OP veya BP B C 3. Müşteri A KP, OP veya BP C C 4. Müşteri A B C – Birleştirme amaçlı depolama (Consolidation) : A Fabrikası B Fabrikası C Fabrikası OP veya BP OP veya BP KP veya OP Depo OP veya BP KP veya OP KP D – Dağıtım depoları (Breakbulk) : Fabrika KP veya OP Dağıtım Merkezi KP KP 1. Müşteri 2. Müşteri 3. Müşteri 1. Müşteri 2. Müşteri 3. Müşteri BP : Büyük parti (car load) ; OP : Orta büyüklükte parti (truck load) ; KP : Küçük parti (less than truck load) Şekil 3-24. Fiziksel tedarik ve dağıtımda depoların kullanım şekilleri Kaynak : James R. Stock, Douglas M. Lambert, Strategic Logistics Management, 4.b. Singapore: Mc Graw-Hill, 2001, s.392 171 Bir deponun boyutlarını etkileyen çeşitli unsurlar vardır. Bunların başlıcaları aşağıdaki şekilde sayılabilir : • Hizmet kalitesi ve pazarın hacmi. • Ürün sayısı. • Talep yapısı. • Stok devir sayısı. • Tedarik süreleri. • Ürünün fiziksel özellikleri. • Kullanılan elleçleme yöntemleri. • Kullanılan raf sistemleri. • Ofis alanları gereksinimi ve boyutları. Bir işletmenin hizmet kalitesi arttıkça elde bulundurması gereken stok miktarı artacağından depo boyutları büyüyecektir. Benzer şekilde bir deponun ikmal yaptığı perakendeci veya son tüketici sayısı arttıkça ve/veya pazar hacmi genişledikçe depo boyutlarının artacağı açıktır. Diğer taraftan, ürün sayısı fazlalaştıkça her üründen mümkün olan en az miktarda stok tutuluyor olsa bile stok kalemi sayısı artacağından daha fazla depolama kapasitesine gereksinim olacaktır. Depo boyutlarının belirlenmesinde talep yapısının da gözönünde tutulması gerekir. Telebin çok değişken olduğu ve değişimin öngörülemediği durumlarda arzulanan hizmet kalitesini koruyabilmek için elde bulundurulması gereken emniyet stoklarının miktarları artacağından gerekli depo kapasitesi yine artacaktır. Planlama açısından depo boyutlarını etkileyen bir unsur da stok devir sayısıdır; stok devir sayısı veya müşteriler doğrudan teslimat olanakları arttıkça birim zaman periyodunda elde bulundurulması gereken stok miktarı azalacağından depo boyutları daraltılabilir. Son olarak, tedarik süreleri uzadıkça yine emniyet stoklarının miktarları artacağından daha büyük depoya gereksinimi ortaya çıkacaktır. Ürünlerin fiziksel özellikleri depo boyutlarını etkileyen bir diğer unsurdur. Ürünler ağırlaşıp boyutları büyüdükçe forklift vb. yardımcı makinalar kullanımı, buna koşut olarak da depo alanı içindeki koridorların daha geniş tutulmaları gerekeceğinden depodaki faydalı alan oran olarak azalacak, dolayısıyla toplam depo boyutlarının arttırılması gerekecektir. Diğer taraftan ürünler, yapıları, ağırlıkları, 172 ambalajları veya havalanma gereksinimleri gibi sebeplerden üstüste konulamayabilirler veya ürünlerin bulundukları rafların aralarında belirli uzaklıklar olması istenebilir. Bu durumda da faydalı hacmin toplam depo hacmine oranı azalacağından toplam depo boyutlarının daha geniş olarak projelendirilmesi ile karşı karşıya kalınacaktır. Depo sayısının belirlenmesinde başlıca dört önemli unsur gözönüne alınmalıdır. Bunlar, satış kayıpları, stok bulundurma, depolama ve taşıma maliyetleridir. Satış kayıpları bir işletme için önemli bir anlam taşıyor olsa da, bunların hesaplanmaları ve tahmin edilmeleri oldukça zordur ve hem sektör hem de işletme bazında çok farklı olabilirler. Diğer üçü ise nispeten daha belirgin ve öngörülebilir olduklarından bunlar esas alınarak bir karar vermek daha doğru ve anlamlıdır. Bir işletmede genelde, üretimdeki aksamaları veya beklenmeyen talepleri karşılamak için her depoda emniyet veya tampon stokları bulundurulur. Depo sayısı arttıkça tüm sistem içinde bu stokların miktarı da artacağından buna koşut olarak stok maliyeti de artar. Diğer taraftan, depo sayısı arttıkça, daha fazla depolama tesisi satınalınması, kiralanması, ayrıca buralarda istihdam edilecek personel sayısının da artması gibi sebeplerden depolama giderleri de artar. Bu genelde azalan bir artış şeklindedir. Son olarak, taşıma masrafları depo sayısı arttıkça önce azalır, ancak belirli bir depo sayısından sonra yeniden artma trendine girer. Bunun başlıca sebebi depo sayısı arttıkça her depoya sevkedilecek mal miktarının azalması, buna bağlı olarak nakil aracının tüm kapasitesinin kullanılamaması dolayısıyla da birim taşıma maliyetlerinin artmasıdır. Bir işletme için önemli olan toplam maliyetin depo sayısından nasıl etkileneceğinin bilinmesidir. Bu amaçla, satış kayıpları hariç tutularak diğer lojistik maliyetler için Şekil 3-25’deki gibi toplam maliyet eğrisi elde edilebilir.97 Buradan da anlaşılacağı gibi az sayıda depo ile çalışmak daima daha az masraflıdır. Bununla birlikte, işletme için hizmet kalitesinin yüksek tutulması rekabet açısından önemli ise veya satış kayıpları çok fazla ise, bu ve benzeri nedenlerle kaçınılmaz olarak depo sayısının arttırılması yoluna gidilir. Ayrıca, sık ve küçük miktarlarda alım yapmak 97 Stock ve M. Lambert, Strategic Logistics Management, s.409 173 gibi müşterilerin satınalma davranışları, özellikle de rekabet fazla ise depo sayısının arttırılmasını gerektirebilir. Maliyet Toplam maliyet Stok maliyeti Depolama maliyeti Taşıma maliyeti Depo sayısı Şekil 3-25. Depo sayısı ile lojistik maliyetleri arasındaki bağıntı 3.9.4 Depo Yerinin Seçimi Depo yerlerinin seçiminde makro ve mikro düzeyde analizler yapılmalıdır. Makro düzeyde depoların yerleri, içe dönük tedarikte mal ve hammadde temininin kolaylığı, dağıtım amaçlı depolamada pazara yakınlık gibi maliyet azaltıcı ve/veya hizmet kalitesini arttırıcı hususlar gözönüne alınarak önce coğrafi olarak belirlenir. Mikro düzeyde ise daha ayrıntılı analizlerle seçilen coğrafi bölge içinde kesin yer saptamaları yapılır. 174 Makro yaklaşımla Edgar Hoover depo yeri seçimi için, pazar konumlu, üretim konumlu, ara konumlu olmak üzere üç tip strateji önermektedir.98 Pazar konumlu stratejide dağıtım depoları son tüketicilere yakın noktalarda konuşlandırılır. Böylece, hem hizmet kalitesi arttırılır, hem de bu dağıtım depolarına büyük partiler halinde sevkiyat yapılarak taşıma giderleri azaltılmış olur. Burada taşıma maliyetleri, siparişlerin teslimat süreleri, miktarları, yerel taşıma olanakları gibi unsurlar yer seçiminde etkilidir. Üretim konumlu stratejide depolar kullanılan hammadde ve tedarik kaynaklarına yakın bölgelerde tesis edilir. Bu depolar toplama ve karışım amaçlı depolardır. Üretim bölgesine yakın yer seçiminde ürün veya hammaddenin bozulabilir olması, üretimde çok sayıda farklı parça kullanılması, müşteri siparişlerinin çeşitliliği, birleştirme oranları gibi etkenler rol oynar. Ara konumlu stratejide ise, depolar üretim tesisleri ile pazarın arasında bir orta noktada konumlandırılır. İşletmenin ürün çeşidi fazla ancak aynı zamanda da hizmet kalitesi yüksek tutulması gerekiyorsa depo yerleri bu şekilde seçilir. Bu durumda doğal olarak hizmet seviyesi üretim konumlu stratejiden iyi, Pazar konumludan daha kötüdür. Benzer bir sınıflama, ürün yönelimli, pazar yönelimli ve genel amaçlı depolama stratejisi şeklinde yapılabilir. Ürün yönelimli stratejide bir depoda bir tek ürün veya ürün grubu stoklanır. Az çeşitli ancak çok yüksek hızda devreden ürünler sözkonusu olduğunda, ürünlerin boyut, ağırlık gibi özellikleri dolayısıyla elleçleme ile taşıma şartları ve maliyetlerinin farklı olduğu durumlarda tercih edilir. Pazar yönelimli stratejide dağıtım depolarında işletmenin tüm ürün çeşitlerinden stok tutulur. Böylece müşteriler tek bir noktadan tüm çeşitleri sipariş verebilirler; içecek, gıda, kağıt ürünleri, cam, kimyasal ve mobilya sanayileri bu stratejiyi yeğlerler.99 Bunlardan başka, Von Thunen, Weber, Hoover, Greenhut vb. araştırmacılar tarafından maliyet minimizasyonuna dayalı çeşitli coğrafi modeller geliştirilmiştir. Depoların coğrafi konumları kabaca belirlendikten sonra, mikro düzeyde daha noktasal yer seçimi yapılmalıdır. Mikro düzeyde gözönüne alınması gereken 98 Edgar Malone Hoover, La Localisation des Activités Economiques. Paris – France : Les éditions ouvrières, 1955 s.11 99 Stock ve M. Lambert, Strategic Logistics Management, s.412-413 175 unsurlar, seçilen yerin hava, deniz, kara ulaşım yollarına yakınlığı, kalifiye işgücüne imkanları, işçilik ücretleri, arsa ve arazi fiyatları, inşaat olanakları ve maliyetleri, yerel yönetim birimlerinin tutumu, vergi ve teşvik şartları, genişleme olanakları, kamu hizmetlerinin kalitesi, finansman maliyeti şeklinde sıralanabilir. 176 4 4.1 MODEL, YÖNTEM ve AMAÇ Giriş Günümüzün keskin rekabet şartlarında bir işletmenin dağıtım ağı, hizmet kalitesi hedeflerini en düşük maliyetle gerçekleştirecek şekilde tasarlanmalıdır. Bu amaçla tüm müşteri ve perakendecilerinin stok ikmalini gerçekleştirmek için oluşturulan ideal bir dağıtım şebekesi, en uygun sayıda, boyutlarda ve yerlerde dağıtım depolarına sahip olmalı ve buralarda uygun miktarlarda stok bulundurmalıdır. Gerek stok, gerek taşıma maliyeti problemleri üzerinde yapılan çalışmalar çoğu durumda, daha önceden belirlenmiş bir dağıtım sistemi üzerinde yürütülür. Oysa ki, dağıtım ağı tasarımı problemlerinde amaç dağıtım depolarının yerlerinin, hangi perakendecilerin hangi depolardan ikmal edileceklerinin belirlenmesi ve bu tahsislerin de tüm sistem için dağıtım maliyeti minimum olacak şekilde tasarlanmasıdır. Dağıtım ağının yapısı sayısal olarak ifade edilemeyen bir çok unsurdan da etkilenebilmektedir; ancak, bu problem ile ilgili çalışmalar genellikle stok, taşıma ve depolama maliyetlerinin beraberce ele alınarak analizinden oluşmaktadır. Karmaşık yapısından dolayı dağıtım ağı problemleri genellikle, depolama yerlerinin seçimi ile ilgili unsurların iki tabanlı kesikli değişkenler, malların akışı ile ilgili büyüklüklerin ise sürekli değişkenlerle temsil edildiği karma tamsayılı programlama (KTP) modelleri olarak ortaya konur. Bu konudaki araştırmalar literatüre ilk kez 1958’de doğrusal olmayan bir depo konumlama modelinin işlemsel süreç ile çözülmesi şeklinde Baumol ile başlamıştır. 1998’de Chan ve Simchi Levi tarafından oluşturulan stokastik talep modeli hariç tutulursa, kullanılan modeller çoğunlukla sınırlı bir plan ufku dahilinde talep miktarlarının belirli olduğu modellerdir. Bu konudaki son araştırmalardan önemli biri ise Erlebacheer ve Meller’in toplam dağıtım maliyetini minimize eden analitik modelidir. 177 Bu çalışmada unlu ürünler (ekmek, tost ekmeği ve sandviç) üretimi ve bunların dağıtımını yapan bir işletme ele alınacaktır. İşletmenin dağıtımını yaptığı ürünlerin raf ömrü 5 – 7 gündür. İşletme mevcut durumu ile İstanbul’daki fabrikasında ürettiği ekmek ve sandviç çeşitleri ile birlikte 80 civarında ürünü yaklaşık 30 ildeki bölge teşkilatları aracılığıyla Doğu Anadolu ve Doğu Karadeniz bölgeleri dışında 50 ilde 10.000 civarında perakende satış noktasına ve otel, lokanta, büfe gibi son kullanıcılara günlük sevkiyatlar şeklinde ulaştırmaktadır. Bu çalışmada bu işletme için bölgesel dağıtım merkezlerinin sayıları ile en uygun konumları ve buralarda tutulması gereken stok miktarlarını belirlemek amacıyla sistem için bir dağıtım maliyeti modeli oluşturulacaktır. İşletmenin satışlarının yaklaşık % 80 – 85’i ekmek ve sandviç çeşitlerinden oluştuğundan modelde sadece bu ürünler dikkate alınacaktır. Bu modelden hareketle stok, depolama ve nakliye giderlerini, diğer bir deyişle toplam dağıtım maliyetini minimum yapmak için bölgesel dağıtım merkezlerinin optimum sayısı ve yerleri belirlenecek, gerek dağıtım merkezlerine, gerek perakendeci ve son kullanıcılara ne aralıklarla sevkiyat yapılması gerektiği ve bu işlem için tutulması gerekli stok miktarları hesaplanacaktır. Bu problem kısaca depolar–perakendeciler dağıtım ağı tasarımı (DPDT, WRND = warehouse–retailer distribution network design problem) olarak adlandırılır. 178 4.2 Bir Depo Çok Perakendecili Dağıtım Problemi Çok sayıda depo ve perakendeciden oluşan bir dağıtım sistemine geçmeden önce bir depo çok perakendecili dağıtım probleminin incelenmesi yararlı olacaktır. Bir depodan, doğrudan J tane perakendecinin ikmal edildiği, her perakendecinin talebinin sabit olduğu, bu talebin sonsuz bir plan ufku dahilinde, oluştuğu anda karşılandığı ve sipariş bakiyelerine izin verilmediği bir sistem göz önüne alınsın. Ayrıca, perakendecilerin siparişlerinin depoda oluşturduğu talebin depo tarafından harici bir tedarikçiden temin edildiği, depo ve perakendecilerin stokları için birim zamanda, birim mal için bir elde bulundurma maliyeti ile her siparişte depo ve perakendeciler için sabit bir sipariş maliyeti oluştuğu düşünülsün. Talep miktarları, sipariş verme ve elde bulundurma maliyetlerinin her unsur için sabit olduğu ve tedarik sürelerinin de olmadığı varsayılsın. Amaç tüm sistemdeki toplam dağıtım maliyetinin minimum olacağı bir ikmal politikası oluşturulmasıdır. Bu problem bir depo çok perakendecili (BDÇP veya OWMR = one warehouse multiretailer) dağıtım problemi olarak adlandırılır. Bu problemin, sürekli zaman için veya kesikli polinom zaman yaklaşımı ile sınırlı bir plan ufkunda bilinen bir çözüm yöntemi yoktur.100 1 0 j Fabrika ana deposu J Perakendeciler Şekil 4-1. Bir depo çok perakendecili doğrudan dağıtım sistemi 100 Robin Roundy, “98% Effective Integer-Ratio Lot-Sizing for One Warehouse Multi- Retailer Systems”, Management Science, 1985, Vol. 31 nr.11, s.1416 179 Bilgisayar yardımıyla sayısal olarak çözülebilseler de optimum politikaların belirlenmesi oldukça karmaşıktır; ayrıca optimum politikalar için sabit olmayan sipariş miktarları ve periyotları söz konusu olabileceğinden kullanılmaları pratik de değildir. Bu sebeplerden, optimum çözümlerin araştırılması yerine, daha basit ancak yeteri kadar da etkili olduğu ispat edilebilen politikaların belirlenmesi yeğlenecektir. Bölüm 3.4.4’de ele alınmış olan temel sipariş periyodu kullanarak veya kullanmadan ikinin kuvvetleri politikaları sırasıyla en az % 94 ve % 98 yaklaşıklıkla istenen amaca uygun politikalardır. Şekil 4-1’de gösterilen bir ana depo ve bunun ikmal ettiği J tane perakendeciden oluşan bir dağıtım sistemi düşünülsün. Ana depo 0 indisi ile gösterilsin ve ana depo için sabit sipariş maliyeti k0 ve elde bulundurma maliyeti h0 olsun. Benzer şekilde, bir j perakendecisi (j = 1, 2, ... ,J) için sabit sipariş maliyeti kj, yerel elde bulundurma maliyeti h’j, kademe elde bulundurma maliyeti hj ve talep miktarı dj ile gösterilsin. Şart olmamakla birlikte sadece hesaplarda kolaylık açısından hj = h’j – h0 > 0 olsun.101 u0 ana depo, uj de j perakendecisi için sipariş periyodu olmak üzere ve sipariş periyodu tamsayı katları (integer–ratio) özelliği hatırlanarak, Roundy’nin % 98 yaklaşıklıkla çözümü sipariş periyotları açısından aşağıdaki şekilde iki önerme şeklinde özetlenebilir : 1) Önerme 1 : J k k 1 J 1 J Min. 0 + ∑ j + ⋅ ∑ h ' j ⋅ d j ⋅ u j + ⋅ ∑ d j ⋅ h0 ⋅ max.( u0 , u j ) − u j 2 j =1 u0 j =1 u j 2 j =1 (4.1) içbükey optimizasyon probleminin temel sipariş periyodu kullanmadan ikinin katları politikası ile elde edilen çözümü, tüm yapılabilir politikaların maliyetlerinin bir alt sınırıdır ve olası en düşük toplam maliyetten en kötü durumda % 2 fazladır.102 101 Robin Roundy, “98% Effective Integer-Ratio Lot-Sizing for One Warehouse Multi- Retailer Systems”, Management Science, 1985, Vol. 31 nr.11, s.1419 102 Chung-Piaw Teo ve Shu Jia. “Warehouse-Retailer Network Design Problem”. Operations Research. Vol. 52, No.3, May-June 2004, s.396-408 180 2) Önerme 2 : Optimizasyon probleminin çözümleri doğrultusunda perakendeciler sipariş periyotlarına göre G, L ve E olarak üç gruba ayrılabilirler. Buna göre, sabit olan k0/u0 terimi hariç tutulursa amaç fonksiyonunun kısmi türevleri alınarak sipariş periyotları aşağıdaki şekilde bulunabilir :103 • G grubu : uj > u0 2⋅ kj uj = • h'j⋅ d j (h 0 + hj ) ⋅ d j > u0 L grubu : uj < u0 2⋅ kj uj = (h' − h ) ⋅ d j • 2⋅kj = 0 = j 2⋅kj hj ⋅ d j < u0 E grubu : uj = u0 2⋅ uj = ∑ k 0 + ∑ j∈ E k j j∈ E d j ⋅ h ' j + ∑ j∈L d j ⋅ h0 = u0 veya, 2⋅ kj (h 0 103 + hj ) ⋅ d j ≤ u0 ≤ 2⋅kj hj ⋅ d j Lim, Wei-Shi, Ou, Jihong ve Teo, Chung-Piaw. “Inventory Cost Effect of Consolidating Several One-Warehouse Multiretailer Systems.”, Operations Research, Vol. 51, No.4, July-August 2003, s.669 181 4.3 Model Ele alınacak sistem, anılan işletmenin ana deposundan bölgesel dağıtım merkezlerine, buralardan da perakendecilere ve/veya son kullanıcılara doğrudan sevkiyat yapılan bir dağıtım sistemidir. (Şekil 4-2) 1 2 1 j Aw 0 w altkümesi Fabrika ana deposu W J Bölgesel dağıtım Son tüketiciler / merkezleri Perakendeciler Şekil 4-2. Bölgesel dağıtım merkezlerinden son tüketicilere (veya perakendecilere) dağıtım 182 4.3.1 Varsayımlar Bu çalışmada KTDP yöntemi kullanılarak bir aylık bir plan ufkunda optimum dağıtım ağı oluşturulmaya çalışılacaktır. Yapılacak varsayımlar aşağıdaki şekilde özetlenebilir : 1) Fabrika ana deposu kısaca ana depo olarak adlandırılacak ve 0 indisi ile gösterilecektir. Ana depoda stok tutulmamakta ve ana depodan bölgesel dağıtım depolarına doğrudan sevkiyat yapılmaktadır. Ayrıca ana depo hem gerçek anlamda bir ana depo olarak, hem de bir dağıtım deposu olarak işlev görecektir. 2) Bölgesel dağıtım depolarından da perakendeci ve/veya son kullanıcılara doğrudan sevkiyat yapılmakta ve her perakendeci ve/veya son kullanıcı, tüm ürün gruplarını tek bir dağıtım deposundan temin etmektedir. 3) Olası dağıtım depoları w indeksi ile ve bunların kümesi ile gösterilecektir. = { w | w = 1, 2, ..... , W } 4) Perakendeci ve/veya son kullanıcılar j indeksi ile ve bunların kümesi ile gösterilecektir ( = { j | j = 1, 2, ..... , J } ). Ancak problemin çözümünü kolaylaştırmak ve hesaplama sürelerini kısaltmak amacıyla, perakendecilerin / son kullanıcıların bulundukları her il bir talep merkezi olarak kabul edilecek ve perakendecilerin sayısı bunların bulundukları illerin sayısı olarak ele alınacaktır. Her kamyonun bir il içindeki yol güzergahı baştan belirlenmiştir. Bu şekilde her il içindeki perakendecilere / son kullanıcılara ürün dağıtımının maliyeti belirli olduğundan, bu maliyet dağıtım depolarının sayısı ve konumlarından etkilenmeyecek, dolayısıyla bu yaklaşım bölgesel dağıtım depolarının yerlerinin belirlenmesinde hataya sebep olmayacaktır.104 5) Her ilin çeşitli ürünler için aylık talep miktarları bilindiği varsayılmaktadır. Ancak, araştırmaya konu işletmeden bu bilgiler elde 104 Alfred A. Kuehn ve Michael J. Hamburger. “A Heuristic Program for Locating Warehouses.”, Management Science, 9, 1963, s. 652 183 edilemediğinden, illerin aylık talep miktarları bunların nüfusları ve yıllık ortalama gelirler esas alınarak, tahmin edilmiştir. 6) Her w dağıtım deposu için, ana depoya verdiği sipariş başına kww kadar bir sabit sipariş maliyeti oluşmaktadır. Bu değer sevkedilen mal miktarından bağımsızdır. w deposunda, birim mal başına aylık hw’w kadar da bir elde bulundurma maliyeti söz konusudur. Ayrıca her w dağıtım deposu için ana depodan w deposuna sevkiyatta bir taşıma maliyeti ortaya çıkmaktadır. b0,w (Para birimi / Birim mal değeri.km) ana depo ile dağıtım deposu arasında birim taşıma maliyeti ve nw ana deponun w dağıtım deposuna uzaklığı olmak üzere, birim mal için taşıma maliyeti b0, w ⋅ nw olacaktır. Ana depodan bölgesel dağıtım depolarına sevkiyat TIR’larla yapılmakta ve araç hızı ortalama 70 km/saat alınmaktadır. 7) Benzer şekilde her j perakendeci ve/veya son kullanıcı için, dağıtım deposuna verdiği sipariş başına sevkedilen mal miktarından bağımsız krj kadar bir sabit sipariş maliyeti oluşmaktadır. j perakendecisinde, birim mal başına aylık hr’i kadar bir elde bulundurma maliyeti söz konusudur. Yine her j perakendeci ve/veya son kullanıcısı için, w deposundan j perakendecisine sevkiyatta bir taşıma maliyeti ortaya çıkmaktadır. bw,j (Para birimi / Birim mal değeri.km), w dağıtım deposu ile j perakendecisi arasında birim taşıma maliyeti ve nw,j dağıtım deposunun j perakendecisine uzaklığı olmak üzere, birim mal için taşıma maliyeti bw, j ⋅ nw, j olacaktır. Bölgesel dağıtım depolarından perakendecilere sevkiyat tek dingil kamyonlarla yapılmakta ve araç hızı ortalama 70 km/saat alınmaktadır. 8) Gerek bölgesel dağıtım depolarına, gerek perakendecilere ürünleri sevkeden araçlar teslimatı yaptıktan sonra boş olarak dönecekleri varsayıldığından uzaklıklar gerçek taşıma uzaklıklarının iki katı olarak alınacaktır. 9) Ürün sayısının çok fazla olması sebebiyle taşıma maliyeti hesabında, satışlar içinde % 78 – 89 arasında paya sahip olan ekmek, hamburger ve sandviç ürün grupları esas alınmıştır. Bu anlamda, kamyon ve TIR’lar % 70 dolu olarak sevkiyat yapıldığı varsayılacaktır. Kalan % 15–20’lik kısım 184 diğer ürünler, % 10–15 ’lik kısım ise sevkiyatta esneklik amacıyla öngörülmektedir. 10) Her w deposu için aylık depo işletme maliyeti Fw dir. Bu maliyet işyeri kirası ve işgücü maliyetinden oluşmaktadır. İşyeri kirası için öncelikle deponun bulunduğu yerdeki m2 kira bedellerinin bilinmesi gerekir. Ancak bu bilgi ile işçilik maliyetlerinin kesin değerleri elde edilememiştir. Bu sebeple bir w deposu aylık işletme maliyetinin, sabit bir maliyet ile o depodan sevkedilen mal miktarının karekökü ile orantılı değişken bir maliyetten oluştuğu varsayılmıştır. Fw = F 'w + f w ⋅ Dw Öncelikle bu son kabule bir açıklık getirmek gereklidir. 1958’de yayınladıkları bir makalede, Baumol ve Wolfe dağıtım depoları konumlarının belirlenmesi ile ilgili örnek bir problem çözümünde, depo işletme maliyetinin tam olarak belirlenemediği durumlarda bu maliyetin depoda elleçlenen ürün miktarının kare kökü ile orantılı olacağı yaklaşımını ortaya koymuşlardır.105 Konu ile ilgili literatürde genellikle iki tip depolama maliyet fonksiyonu önerilir (Şekil 4-3) . Bunlardan birincisi Balinski ve Mills’in önerdiği 106 modele benzer parçalı doğrusal bir fonksiyondur. Diğeri ise, Baumol ve Wolfe’un yaklaşımına paralel olarak dışbükey bir fonksiyon yaklaşımıdır. Bu varsayım ilerleyen bölümlerde yine irdelenecektir. 105 William J. Baumol ve Philip Wolfe. “A Warehouse Location Problem”, Operations Research, Vol. 6, March -April 1958, s.260 106 Balinski M.L. ve Mills H. “A Warehouse Location Problem”, Veterans Administration Mathematica, Princeton, New Jersey, April 1960 185 Maliyet Maliyet Elleçlenen Ürün Miktarı Elleçlenen Ürün Miktarı Şekil 4-3. Depo işletme maliyeti fonksiyonları Problem, optimum dağıtım deposu sayısı, perakendecilerin bu depolara atanmaları ile depolar ve perakendeciler için optimum ikmal politikasının nasıl olması gerektiğinin belirlenmesidir. Bu doğrultuda, amaç tüm sistem için stok, taşıma ve depolama maliyetlerini minimum yapan çözümü bulmaktır. 4.3.2 Kullanılan Semboller Modelde kullanılacak simgelem (notasyon) aşağıdaki gibidir : Aw w dağıtım deposunun ikmal ettiği perakendecilerin alt kümesi b0,w Ana depo dağıtım deposu arasında birim taşıma maliyeti (Para birimi / Birim mal değeri.km) bw,j Dağıtım deposu perakendeci arasında birim taşıma maliyeti (Para birimi / Birim mal değeri.km) C w,Aw w dağıtım deposunun Aw alt kümesindeki perakendecileri ikmal etmesi durumunda oluşacak toplam maliyet dj j perakendecisinin aylık talebi DMAX Depolar ile bağlı iller arasındaki azami uzaklık (km) Dw w dağıtım deposundan sevkedilen aylık mal miktarı ( Dw = ∑d j ) j∈ Aw fw w deposu için aylık depo değişken işletme maliyeti katsayısı 186 Fw w deposu için aylık toplam depo işletme maliyeti F’w w deposu için aylık sabit işletme maliyeti hr’j j perakendecisi için birim mal başına aylık elde bulundurma maliyeti hw’w w dağıtım deposu için birim mal başına aylık elde bulundurma maliyeti h’0 Ana depo için birim mal başına aylık elde bulundurma maliyeti I(w,Aw) w dağıtım deposunun Aw alt kümesindeki perakendecileri ikmal etmesi durumunda oluşacak ikmal maliyeti IL% Dağıtım yapılan il sayısı j Perakendeciler indeksi (j = 1, 2, ..... , J) krj j perakendecisi için sabit sipariş maliyeti kww w dağıtım deposu için sabit sipariş maliyeti k0 Ana depo için sabit sipariş maliyeti nw Ana deponun w dağıtım deposuna uzaklığı nw,,j w dağıtım deposunun j perakendecisine uzaklığı urj j perakendecisi için sipariş periyodu uww w dağıtım deposu için sipariş periyodu u0 Ana depo için sipariş periyodu w Dağıtım deposu indeksi (w = 1, 2, ..... , W) θw,j Ana depodan w deposu yoluyla j perakendecisine gönderilen ürünler için aylık taşıma maliyeti νw,j Depoların ikmal ettiği perakendecilerle ilgili ikili değişken ωw w deposu ile ilgili ikili değişken 187 4.3.3 Amaç Fonksiyonu Dağıtım ağı tasarım problemi, maliyet fonksiyonunun oldukça karmaşık olduğu bir atama problemi olarak ele alınabilir. Burada amaç yukarıda da belirtildiği gibi en düşük dağıtım maliyeti ile perakendecileri dağıtım depolarına atamaktır. Belirli bir atama oluşturulduktan sonra, ikmal maliyeti ve politikası bir dizi BDÇP probleminin çözümü sonucunda elde edilebilir. w bir dağıtım deposu ve Aw, perakendeciler kümesinin bir alt kümesi olsun. 1, w deposu j perakendecisini ikmal ediyorsa ( j ∈ Aw ) 0, w deposu j perakendecisini ikmal etmiyorsa ( j ∉ Aw ) νw,j = olacak şekilde bir νw,j ikili değişkeni tanımlansın. w dağıtım deposunun Aw alt kümesindeki perakendecileri ikmal etmesi durumunda oluşacak toplam maliyet Cw,Aw ile gösterilsin. Bu maliyet aşağıdaki 3 unsurun toplamından oluşacaktır : • w dağıtım deposunun Aw alt kümesindeki perakendecileri ikmal etmesi durumunda oluşacak aylık ikmal maliyeti I(w,Aw) : kr 1 kww 1 + ∑ j∈A j + ⋅ ∑ j∈A d j ⋅ hr ' j ⋅ urj + ⋅ ∑ j∈A d j ⋅ hww ⋅ max.( uww, urj ) − urj w w w uww urj 2 2 • Aylık toplam taşıma maliyeti : Burada ∑ j ∈ Aw ∑ j∈ Aw d j ⋅ b0, w ⋅ 2nw ∑ j ∈ Aw d j ⋅ b0, w ⋅ 2nw + ∑ j∈ A d j ⋅ bw, j ⋅ 2nw, j w terimi ana depodan w dağıtım deposuna, d j ⋅ bw, j ⋅ 2nw, j terimi ise w dağıtım deposundan j perakendecisine aylık taşıma maliyetleridir. θ w, j = 2 ⋅ d j ⋅ ( b0, w ⋅ nw + bw, j ⋅ nw, j ) olarak gösterilirse, ana depodan w deposu yoluyla j ∈ Aw perakendecilerine gönderilen ürünler için aylık toplam taşıma maliyeti • ∑ j ∈ Aw θ w, j olur. w deposu için aylık depo işletme maliyeti Fw . Özetle, w dağıtım deposunun Aw alt kümesindeki perakendecileri ikmal etmesi durumunda toplam maliyet Cw, Aw = I ( w, Aw ) + ∑ j∈ A θ w, j + Fw dir. w 188 Buna göre, depolar–perakendeciler dağıtım ağı tasarımı (DPDT) problemi, ( w1,…, w ) dağıtım depoları ile buralardan ikmal edilen ( A1,…, A ) perakendecilerini, aşağıdaki şekilde minimum maliyetli bölüntüleme (partitionning) KTP probleminden ibaret olacaktır :107 W Min. ∑ w =1 ∑ Cw, Aw ⋅ν w, Aw Aw ⊆ ℑ (4.2) W ∑∑ Kısıtlar : w =1 Aw ⊆ ℑ, j∈ Aw ν w, A = 1 , ∀j ∈ w ν w, A ∈ {0,1} w Gerek amaç fonksiyonu, gerek kısıtlar doğrusal fonksiyonlar olarak görünmekle birlikte, çok sayıdaki değişken (W.2J ) olması, ayrıca Cw,Aw değerlerindeki uj değişkeni ile taşıma maliyeti ifadesindeki uzaklıklar ve talep miktarlarına bağımlılıktan kaynaklanan doğrusallıktan sapmalar dolayısıyla, bu modeli doğrudan standart bir KTDP şeklinde çözmek mümkün değildir. Bu problemi ancak, sütun üretme–ayrıştırma yöntemi kullanılarak çözmek mümkündür. Bu ise sütun üretme işleminin herhangi bir aşamasında hesaplanan bir dual çözümleri kullanarak toplam maliyeti düşürecek yeni bir sütunun olup olmadığını araştırarak mümkün olur.108 Bunun için, öncelikle fiyatlandırma tali problemi (pricing subproblem) olarak adlandırılan bir problem tanımlanmalı ve öncelikle bu problem çözülmelidir. J = card ( ) ve sütun üretme sürecinin belirli bir evresinde elde edilen dual problemin çözümü (y1, y2, ... , yj , ... , yJ) olsun. Dual problemin çözümü primal amaç fonksiyonu için bir üst sınır oluşturur. Buna göre, her (w,A) sütunu için, Cw, Aw − ∑ j∈ A y j = I ( w, Aw ) + Fw + ∑ j∈ A θ w, j − ∑ j∈ A y j w 107 w (4.3) w Chung-Piaw Teo ve Shu Jia. “Warehouse-Retailer Network Design Problem”. Operations Research. Vol. 52, No.3, May-June 2004, s.396-408 108 Marco E. Lübbecke ve Jacques Desrosiers Jacques, “Selected Topics in Column Generation”, Operations Research, Vol. 53, No.6, November-December 2005, p.1009 189 indirgenmiş maliyetinin negatif olup olmadığının, diğer bir ifade ile de w sabit Min . I ( w, Aw ) + Fw + ∑ j∈ A θ w, j − ∑ j∈ A y j < 0 w w Aw ⊆ ℑ tutulursa, olmadığı olup araştırılmalıdır. Tanım olarak, sonlu bir V kümesinde tanımlı f fonksiyonu, V’nin tüm alt ∀X , Y ⊆ V , f ( X ) + f (Y ) ≥ f ( X ∩ Y ) + f ( X ∪ Y ) kümelerinde bağıntısını sağlıyorsa f fonksiyonuna alt modüler (submodular) fonksiyon denir.109 Buna göre, f ( Aw ) = I ( w, Aw ) + ∑ j∈ A θ w, j − ∑ j∈ A y j = I ( w, Aw ) − ∑ j∈ A ( y j − θ w, j ) w w olarak w tanımlanan f(Aw) fonksiyonu altmodüler bir fonksiyondur.110 Diğer bir ifadeyle, fiyatlandırma tali problemi sütun üretme aşamasında bir altmodüler fonksiyon minimizasyon problemidir. Altmodüler fonksiyonların minimizasyonu probleminin çözümü için 1993’de Grotschel, Lovász ve Schrijver eliptik işlemsel süreçler yoluyla polinom zamanda, daha sonra da Iwata ve Schrijver birbirlerinden bağımsız olarak polinom yapıda birleştirmeci işlemsel süreçler (combinatorial algorithms) geliştirmişlerdir. Burada da benzer şekilde bir çözüm üretilebilir. Teorik olarak, bu problem yukarıda açıklandığı şekilde doğrusal programlama olarak çözülebilir. Bununla birlikte, pratikte çok sayıda depo ve perakendecinin sözkonusu olduğu durumlarda, buraya kadar da tanımlandığı şekliyle dağıtım ağı tasarım problemini, maliyet fonksiyonu oldukça karmaşık bir atama problemi olması ile doğrusallıktan sapmalar nedenleriyle, doğrusal programlama şeklinde çözmek çoğunlukla yapılabilir değildir. Modelin doğrudan çözümü yerine burada iki aşamalı bir model oluşturulacaktır. Şöyle ki, önce dağıtım depolarının sayısı ile yerleri belirlenerek en düşük dağıtım maliyeti oluşacak şekilde, perakendecilerin bulundukları illerin bölgesel depolara atamaları yapılacak, daha sonra hem dağıtım depoları hem de perakendeciler için optimum sipariş periyotları belirlenecektir. Bu işlemlerden sonra ise atama aşamasında yapılan dolu kamyon varsayımının geçerliliği, sipariş periyotları ile karşılaştırılarak kontrolu yapılacaktır. 109 Alexander Schrijver. “A Combinatorial Algorithm Minimizing Submodular Functions in Strongly Polynomial Time”. Journal of Combinatorial Theory. Series B 80, 2000, s. 346-355 110 Chung-Piaw Teo ve Shu Jia. “Warehouse-Retailer Network Design Problem”. Operations Research. Vol. 52, No.3, May-June 2004, s.400 190 4.3.4 Depolar – Perakendeciler Atama Problemi Daha önce bahis edildiği gibi perakendecilere ve/veya son kullanıcılara bir tek noktadan sevkiyat yapmak yerine, bunlara göreceli olarak daha yakın konumlarda tesis edilecek dağıtım depoları aracılığıyla sevkiyat yapmanın getirdiği avantajlar vardır. karşılık, Buna doğal olarak bölgesel bir deponun işletmesinden kaynaklanacak bir takım masraflar sözkonusu olacaktır. Bu durumda karşılaşılan problem, yeni bir bölgesel depo açılması sonucunda oluşacak marjinal giderler ile dağıtım giderlerinde sağlanacak tasarruf ve daha kısa sürede teslimat olanağının getireceği artı değer karşılaştırıldığında, kurulacak bölgesel depoların coğrafi konumlarının, işletme için en karlı seçeneği oluşturacak şekilde belirlenmesi olarak özetlenebilir. Bu analizi yapabilmek için öncelikle depo konumu probleminin bir matematiksel modeli oluşturulmalıdır. w bir dağıtım deposu ve Aw, perakendeciler kümesinin (bu çalışmada ele alınacağı durumda daha doğru bir ifade ile bunların bulundukları illerin) bir alt kümesi olsun. 1, w deposu j ilindeki perakendecileri ikmal ediyorsa ( j ∈ Aw ) 0, w deposu j ilindeki perakendecileri ikmal etmiyorsa ( j ∉ Aw ) 1, w deposu mevcut ise 0, w deposu mevcut değil ise νw,j = ve ωw = olacak şekilde νw,j ve ωw ikili değişkenleri tanımlansın. w dağıtım deposu yoluyla j perakendecisine taşımanın aylık maliyeti, W adet bölgesel depo ve J adet il için, W J w =1 j =1 ∑ ∑ν w, j ⋅ d j ⋅ ( b0, w ⋅ 2nw + bw, j ⋅ 2nw, j ) ile depoların W işletme maliyeti ∑ω w ⋅ Fw olmak üzere, toplam dağıtım maliyetinin minimum w =1 olması istenmektedir. Bu 4.3.2 bölümünde belirtilen simgelem ile sıfır-bir doğrusal programlama şeklinde ifade edilirse : 191 W Min. ∑ w =1 J W j =1 w =1 ∑ ν w, j ⋅ d j ⋅ ( b0, w ⋅ 2nw + bw, j ⋅ 2nw, j ) + ∑ ωw ⋅ Fw (4.4) W ∑ν Kısıtlar : w, j =1 , j ∈ w =1 ν w, j ≤ ω w , j ∈ ℑ , w ∈ ν w, j , ωw ∈ {0,1} Burada, • Depo işletme maliyeti, Dw = ∑d j olmak üzere, Fw = F 'w + f w ⋅ Dw j∈ Aw şeklinde F’w gibi sabit bir maliyet ile o depodan sevkedilen mal miktarının karekökü ile orantılı değişken bir maliyet unsurlarından oluştuğu varsayılmaktadır. • Birinci kısıt her ilin talebinin sadece bir bölgesel dağıtım deposundan karşılanması şartını sağlar. • İkinci kısıt açılmamış olan bir depodan mal sevkiyatını engeller. Eğer P tane farklı ürün veya ürün grubu sözkonusu ise, amaç fonksiyonu, W Min. ∑ w =1 J P ∑∑ j =1 p =1 W d j , p ⋅ν w, j ⋅ ( b0, w ⋅ 2nw + bw, j ⋅ 2nw, j ) + ∑ ωw ⋅ Fw w =1 şeklinde olacaktır. Burada dj,p , j perakendecisinin / son kullanıcısının p ürününe olan dönemlik talebini göstermektedir. Ancak burada ele alınan durumda toplam talep ürün gruplarına göre ağırlıklı olarak hesaplanarak modele katıldığından, model tek bir kalem için çözülecektir. Birden fazla noktadan çok sayıdaki noktaya taşıma ve aktarmalı taşıma problemlerini çözmek için geliştirilmiş doğrusal programlama ile ilgili işlemsel süreçleri, pratikte büyük hacimli dağıtım ağlarına ait genel problemlere uygulamak, gerek değişkenlerin fazlalığı, gerek modellerdeki olası doğrusallıktan ayrılmalar dolayısıyla her zaman mümkün ve yapılabilir değildir. Bu çalışmada sözkonusu atama problemi için bir sezgisel yöntem geliştirilmeye çalışılmıştır. 192 4.3.5 Dağıtım Depolarının Konumlarının Sezgisel Yöntem ile Belirlenmesi Sezgisel yöntemlerle ilgili olarak öteden beri, “problem çözmeye yardımcı kurallar dizisi”, “bir problemin çözümünü kısaltmak için geliştirilmiş taslak”, “hesaplama için sistematik bir yöntem” gibi bir çok tanım yapılagelmiştir. H.A. Simon 1961’de Modelling Human Mental Processes adlı eserinde sezgisel yöntemler (heuristics) ile işlemsel süreçler (algorithms) arasında bir ayrım ortaya koyarak, sadece işlemsel süreçler ile istenen doğrulukta çözümler elde edilebileceğini iddia etmiştir. Ancak bu yargı tam olarak doğru değildir : işlemsel süreç olarak anılan bazı yöntemlerle istenen doğrulukta çözümler elde edilemediği gibi bazı sezgisel yöntemler ile optimum çözümün alt ve üst sınırları daha tutarlı bir şekilde elde edilebilmektedir. Sezgisel yöntem kısaca “optimum çözümü elde etmek yerine optimum çözüme doğru bir yol izlemek” olarak tanımlanabilir.111 Burada kullanılacak sezgisel yöntemde aşağıdaki gibi iki adımdan oluşacaktır: 1) Başlangıçta dağıtım depolarının tesis edilmesi gerekli olan iller belirlenecektir. Şöyle ki, fabrika ana deposundan başlamak üzere aylık dağıtım maliyetindeki tasarruf en fazla olacak şekilde birer birer, aylık taşıma maliyetinin depo aylık sabit işletme maliyetinden büyük olduğu illerde dağıtım depoları kurulacak ve bu dağıtım depolarının DMAX km çevresindeki uygun iller de bu depolara atanacaktır. Diğer bir deyişle, ilk adımda fabrika ana deposunun DMAX km çevresindeki, dağıtım deposu kurulması durumunda toplam dağıtım maliyetinin artacağı iller, fabrika ana deposuna atanacaktır. Bu işlem tamamlandığında kalan iller içinden, aylık dağıtım maliyetindeki tasarrufu en fazla yapacak il seçilerek ikinci dağıtım deposu olarak belirlenecek ve bu deponun yine DMAX km çevresindeki uygun nitelikteki iller bu depoya atanacaktır. Bu şekilde devam edilerek açılması gereken tüm bölgesel dağıtım depoları ve bunların ikmal edeceği iller belirlenmiş olacaktır. 111 Alfred A. Kuehn ve Michael J. Hamburger. “A Heuristic Program for Locating Warehouses.”, Management Science, 9, 1963, s. 643-666 193 2) Bu yöntemle ilk aşamada belirlenen depolara atanan illerden bazılarının bir sonraki aşamada açılacak bir başka depodan ikmal edilmeleri durumunda toplam dağıtım maliyetinin azalması sözkonusu olabilir. Bu amaçla, bir sonraki aşamada programın ikinci adımı olarak, toplam dağıtım maliyetini azaltacak şekilde, dağıtım ağındaki atamalarda değişiklik yapmanın gerekli olup olmadığı kontrol edilerek, gerekli görülen durumlarda atama değişiklikleri yapılacaktır. Bu işlem sırasında kapanan depolar olabileceği gibi önce belirlenmiş depo konumları da değiştirilebilecektir. 3) Son aşamada, daha önceki aşamalarda bölgesel dağıtım deposu olarak öngörülmüş, ancak sadece bulunduğu ile dağıtım yapılan depolar belirlenir. Bu depoların kapatılarak, bunların bulunduğu illere uygun başka depolardan sevkiyat yapılması durumunda dağıtım maliyetinin değişimi hesaplanır. Eğer böyle bir yol izlenerek ağdaki toplam dağıtım maliyeti azaltılabilecek ise, bu depolar kapatılarak bunlar en uygun diğer açık depolara atanacaktır. Buraya kadar açıklandığı şekilde bir yol izleyerek dağıtım depolarının konum ve bunlara atanacak iller için bir bilgisayar programı oluşturulmuştur. Bu programın akışı aşağıda belirtildiği şekilde olacaktır : I) VERİLERİN OKUNMASI : 1) Perakendecilerin bulundukları il sayılarını oku. 2) DMAX değerini oku. 3) Birim taşıma maliyetlerini oku. 4) Depo aylık sabit işletme maliyeti ve değişken işletme maliyeti katsayısını oku. 5) İller arası uzaklıkları oku. 6) İllerin talep miktarlarını oku. 194 II) OLASI DAĞITIM DEPOLARININ BELİRLENMESİ ve BUNLARA UYGUN İLLERİN ATANMASI (Birinci Optimizasyon) : 1) Fabrika ana deposunu birinci dağıtım deposu olarak belirle. ω(1) = 1 2) Fabrika ana deposundan ikmal edilecek DMAX km içindeki uygun illeri belirle. 3) Aylık dağıtım maliyetindeki tasarrufu en fazla yapacak ili belirle. 4) Bu ilin DMAX km çevresindeki uygun nitelikteki illeri bu depoya ata. 5) Üçüncü adıma dönerek tüm iller bitinceye kadar işlemi tekrarla. 6) Bu plan için toplam dağıtım maliyetini belirle. III) ATAMALARIN YENİLENMESİ (İkinci Optimizasyon) : 1) j = 2’den başlayarak her ili açık olan bir başka bir depoya ata. 2) Yeni durum için dağıtım maliyetini hesapla. 3) Toplam dağıtım maliyeti azalıyorsa atamayı koru, birinci adıma dön. 4) Toplam dağıtım maliyeti artıyorsa atamayı geri al, birinci adıma dön. 5) Tüm iller tamamlandığında en uygun atama planını belirle. 6) Bu plan için toplam dağıtım maliyetini belirle. IV) DAĞITIM MALİYETİNİ ARTTIRAN DEPOLARIN KAPATILMASI (Üçüncü Optimizasyon) : 1) w = 2’den başlayarak card (Aw) = 1 olan depoyu bir başka depoya ata. 2) Toplam dağıtım maliyeti azalıyorsa depoyu kapa, atamayı koruyarak birinci adıma dön. 3) Toplam dağıtım maliyeti artıyorsa atamayı geri al, birinci adıma dön. 4) Tüm iller tamamlandığında en uygun atama planını belirle. 5) Bu plan için toplam dağıtım maliyetini belirle. Bu işlemler için kullanılacak programın akım çizelgesi ve depolara perakendeci atama altprogramı aşağıda verilmiştir. 195 Olası dağıtım depolarının belirlenmesi ve ikmal edilecek illerin belirlenmesi : Tüm ω(w) ve ν(w,j) katsayılarını sıfırla. w = 1’den (IL%+1)’e kadar w = (IL%+1) Doğru Yanlış Doğru ω(w)=DEPO% Yanlış w AltPr1 CSMAX = 0 i = 1’den IL%’ye kadar Doğru ν(w,i) = 1 Yanlış CSAVE = d i ⋅ 2nw,i ⋅ ( bw, j − b0, w ) CSAVE > CMAX ⇒ CMAX = CSAVE ∧ DEPO% = i i w ω(DEPO%)=1 196 Atamaların Yenilenmesi (İkinci Optimizasyon) : j = 1’den IL%’ye kadar w = 1’den IL%’ye kadar DEPO2% = w Doğru ν(w,j) = 0 wj = 1’den IL%’ye kadar Doğru ω(wj) = 0 ν ( DEPO 2%, j ) = 0 :ν ( wj, j ) = 1 AltPr2 Doğru COST<COSTMIN ν ( DEPO 2%, j ) = 1:ν ( wj, j ) = 0 COSTMIN=COST:DEPO2%=WJ wj w j 197 Uygun Olmayan Depoların Kapatılması (Üçüncü Optimizasyon) : w = 1’den IL%’ye kadar Doğru ω(w) = 0 card (Aw) card (Aw)>1 wj = 1’den IL%’ye kadar Doğru ω(wj) = 0 ν ( w, w ) = 0 :ν ( wj, w ) = 1 AltPr2 Doğru COST<COSTMIN ν ( w, w ) = 1:ν ( wj, w ) = 0 COSTMIN=COST : ω(W)=0 AltPr2 COSTMIN=COST wj w 198 Dağıtım depolarına uygun nitelikteki illeri atayan alt program (AltPr1): j = 1’den IL%’ye kadar Doğru ν(w,j) = 1 Yanlış nw, j < DMAX % ∧ d j ⋅ 2nw, j ⋅ ( bw, j − b0, w ) < Fw ⇒ ν ( w, j ) = 1 j Dağıtım maliyetini hesaplayan altprogram (AltPr2): wa = 1’den IL%’ye Doğru ω(w) = 0 ja = 1’den IL%’ye Doğru ν(wa,ja) = 0 Taşıma Maliyeti Hesaplanması COST = COST + d j ⋅ ( b0, w ⋅ 2nw + bw, j ⋅ 2nw, j ) ja Toplam Dağıtım Maliyetinin Hesaplanması COST = COST + F 'w + f w ⋅ Dw wa 199 4.4 Sezgisel Yöntemin Modele Uygulanması Bu bölümde yukarıda tanımlanan sezgisel yöntem, örnek olarak ele alınan unlu ürünler imalat ve dağıtımı yapan işletme modeline uygulanacaktır ve elde edilen sonuçlar irdelenecektir. Bu örnek için dağıtım yapılan illerdeki gerçek satış miktarları sözkonusu işletmeden tam olarak elde edilemediği için bu bilgiler adı geçen illerin, Türkiye İstatistik Kurumu istatistiklerinden verilerine hareketle dayanarak, tahmin nüfusları edilmiştir. Bu ve yıllık değerler brüt kazanç Tablo 4-2.‘de gösterilmiştir. Burada Adana ilinin satışları Adana ile Osmaniye ve Konya ilinin satışları Konya ile Karaman illerinin satışları birleştirilerek elde edilmiştir. Ayrıca, dağıtım yapılan illerin, gerek fabrika ve ana deponun da bulunduğu İstanbul iline gerek birbirlerine olan uzaklıkları T.C. Karayolları Genel Müdürlüğü’nün 1.1.2008 tarihli “İller Arası Mesafe Cetveli” esas alınarak belirlenmiştir. Birim taşıma maliyeti bir aracın yılda ortalama 100.000 km yol yapması ve bir TIR’ın 44.800,00 YTL, bir kamyonun 9.500,00 YTL değerinde ürün taşıması varsayımıyla, Amortisman (TL/yıl) Sigorta (TL / yıl) Bakım - onarım giderleri (TL/yıl) Aylık Personel Gideri (TL-Maliyet) Yakıt Tüketimi (lt/100km - 70km/h ortalama hızda ve % 2 eğimli yolda) Kamyonlar için 6.455,00 2.630,00 4.150,00 1.450,00 16,4 TIR’lar için 19.800,00 8.250,00 9.000,00 2.100,00 30,0 olmak üzere, amortisman, sigorta, bakım-onarım, personel ve yakıt giderleri dahil olmak üzere TIR’lar için 1,575 YTL/km, kamyonlar için 0,795 YTL/km olarak hesaplanmıştır. Buna koşut olarak taşıma maliyeti parametreleri İstanbul ana deposundan bölgesel dağıtım depolarına TIR ile taşımada birim taşıma maliyeti b0,w = 3,5.10–5 YTL/km.YTL ürün, dağıtım depolarından perakendecilerin bulunduğu illere kamyon ile taşımada birim taşıma maliyeti bw,j = 8,4.10–5 YTL/km.YTL ürün olarak hesaplanacaktır. 200 Bölgesel dağıtım depolarının bulundukları illerdeki işyeri m2 kira bedelleri ve işçilik ücretleri tam olarak elde edilmemiştir. Bununla birlikte ürünlerin depolanması ve elleçlenmesi için gerekli depo alanının tahmini kira bedeli, kira stopajı, elektrik, su, ısınma vb. giderler, bekçi ve personel giderleri toplamı, farklı elleçlenen ürün miktarlarına bağlı olarak aşağıdaki şekilde tahmin edilmiştir. Tablo 4-1. Elleçlenen ürün miktarına bağlı olarak toplam depo işletme maliyetleri Elleçlenen Ürün Miktarı (YTL) 0,00 150.000,00 300.000,00 450.000,00 600.000,00 750.000,00 900.000,00 1050.000,00 1200.000,00 1350.000,00 1500.000,00 Toplam Aylık Depo İşletme Gideri (YTL) 5.000,00 12.500,00 16.000,00 18.500,00 20.500,00 22.500,00 24.000,00 25.500,00 27.000,00 28.000,00 29.000,00 Bu beklendiği gibi kesikli doğrusal bir fonksiyondur ve bunun grafiği Şekil 4-4‘deki gibi olacaktır. 25000 20000 15000 10000 5000 0 0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 Şekil 4-4. Depo işletme maliyetinin elleçlenen ürün miktarına bağlı olarak değişimi 201 Hesaplamalarda, w dağıtım deposu işletme maliyetinin sürekli bir fonksiyon olarak ifade edilebilmesi amacıyla bu verilere SPSS 13 paket programı ile bir eğri uydurulmaya (curve estimation) çalışılmıştır. Elde edilen en iyi sonuç y = a + b ⋅ x şeklinde bir model Fw = 5054 + 19,87 ⋅ Dw olmaktadır. Burada ∑ e = 362826 olmak üzere dışbükey fonksiyonu elde edilmiştir. Bu katsayılar yuvarlanarak, modelin çözümünde, w deposunda elleçlenen aylık ürün tutarı Dw (YTL) olmak üzere, toplam aylık depo işletme maliyeti, Fw = 5000 + 20 ⋅ Dw olarak hesaplanacaktır. Diğer taraftan, sözkonusu işletme için modelin çözümüne geçmeden önce 7 ve 10 ile dağıtım yapılan iki örnek durum için modelin önerilen sezgisel yöntem ve 0-1 doğrusal programlama ile çözümünden elde edilen dağıtım planları ve bunların maliyetleri karşılaştırılmıştır. 0-1 doğrusal programlama ile çözüm Mathematica 5-1 paket programı yardımıyla elde edilmiştir. Bu karşılaştırma sonuçlarının özeti Tablo 4-3‘de verilmektedir. 7 perakendecili model için sırasıyla İstanbul, Eskişehir, Ankara, Kocaeli, Sakarya, Bursa ve Kayseri, 10 perakendecili model için İstanbul, Ankara, İzmir, Bursa, Muğla, Kütahya, Kastamonu, Konya, Sakarya, Eskişehir illerinin verileri temel alınmıştır. Burada da görüleceği gibi her iki çözüm yöntemi ile elde edilen optimum dağıtım planı dolayısıyla toplam dağıtım maliyetleri de tamamen eşit olarak bulunmuştur. 202 Tablo 4-2. Dağıtım Yapılan İller Aylık Satış Payları İl No. İl Adı 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 İstanbul Tekirdağ Kırklareli Edirne Kocaeli Yalova Bursa Balıkesir Çanakkale Sakarya Düzce Zonguldak Kastamonu Karabük Samsun Ordu Giresun Trabzon Kütahya Manisa İzmir Uşak Denizli Aydın Muğla Aylık Satış (YTL) 1.763.812,00 71.772,00 32.837,00 39.065,00 174.618,00 22.072,00 296.292,00 110.192,00 46.915,00 101.427,00 39.264,00 75.511,00 44.183,00 26.785,00 150.677,00 66.584,00 38.858,00 68.925,00 61.980,00 140.104,00 396.917,00 35.465,00 96.309,00 100.517,00 81.324,00 İl No. İl Adı 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Burdur Antalya İçel Adana&Osmaniye Hatay Bilecik Bolu Afyon Isparta Eskişehir Ankara Konya&Karaman Kırıkkale Nevşehir Aksaray Niğde Kayseri Sivas Çorum Yozgat Amasya Tokat K.Maraş Malatya Gaziantep Toplam Aylık Satış (YTL) 28.010,00 199.533,00 177.971,00 274.274,00 154.585,00 24.746,00 32.839,00 74.469,00 46.819,00 88.024,00 502.178,00 245.665,00 28.125,00 28.108,00 36.744,00 33.289,00 116.933,00 64.079,00 67.412,00 49.392,00 40.297,00 76.104,00 112.007,00 76.105,00 137.554,00 6.797.667,00 203 Tablo 4-3. Sezgisel Model ve 0-1 Doğrusal Programlama ile Elde Edilen Sonuçların Karşılaştırılması Perakendeci Sayısı : 7 Dağıtım Deposu Sayısı 1. Depoya Atanan Perakendeciler 2. Depoya Atanan Perakendeciler 3. Depoya Atanan Perakendeciler Toplam Dağıtım Maliyeti Perakendeci Sayısı: 10 0-1 D.P. S.M. 0-1 D.P. S.M. 2 2 3 3 1-2-4-56 1-2-4-56 1-4-6-910 1-4-6-910 3-7 3-7 2-7-8 2-7-8 – – 3-5 3-5 105.548,60 105.548,60 159.775,00 159.775,00 Önerilen sezgisel çözüm yönteminin tanımlanmasında da açıklandığı gibi birinci aşamada bölgesel dağıtım depolarının belirlenmesi ve perakendecilerin bunlara atanmasında depolar ile perakendeciler arasındaki azami uzaklık (DMAX) esas alınmaktadır. Buna bağlı olarak, son aşamada farklılaşma daha az olmakla birlikte, ilk aşamada elde edilen optimum depo sayıları çok farklı olabilmektedir. Birinci aşamada elde edilen depo sayısı ve aylık dağıtım maliyetinin depolar ile perakendeciler arasındaki maksimum uzaklık ile değişimi Tablo 4-4 ve Şekil 4-5‘de gösterilmiştir. Buna göre, ilk aşamada minimum maliyetin elde edildiği DMAX değeri 350 km dir. Bununla birlikte daha aşağıda irdeleneceği üzere DMAX = 400 km almak toplam dağıtım maliyetinin düşürülmesi açısından daha uygun olacaktır. Takip eden bölümde, Tablo 4-4 ‘den Tablo 4-10’a kadar sezgisel yöntemin her üç aşaması için DMAX = 350 km ve DMAX = 400 km değerlerine karşılık gelen dağıtım maliyetleri karşılaştırılmaktadır. 204 Tablo 4-4. Sezgisel Yöntem ile Birinci Aşamada Elde Edilen Aylık Dağıtım Maliyetinin DMAX ile Değişimi Depo – Perakendeci Max. Uzaklık (km) 200 250 300 350 400 450 500 550 600 Depo Sayısı 19 13 11 7 6 5 5 5 5 1. Aşama Aylık Dağıtım Maliyeti (YTL) 549.198,90 506.605,20 494.611,70 471.246,50 475.534,90 483.819,50 492.386,30 496.628.70 511.267,50 Dağıtım Maliyeti (YTL) 560.000 550.000 540.000 530.000 520.000 510.000 500.000 490.000 480.000 470.000 460.000 0 100 200 300 400 500 600 700 Max. Uzaklık (km) Şekil 4-5. Sezgisel yöntem ile birinci aşamada elde edilen aylık dağıtım maliyetinin DMAX ile değişimi. 205 Tablo 4-5. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 350 km Alarak Birinci Aşamada Elde Edilen Dağıtım Planı (Toplam Dağıtım Maliyeti YTL 471.246,50) Depo No. Deponun Bulunduğu İl 1 İstanbul (1) 2 Adana (29) 3 İzmir (21) 4 5 6 7 Ankara (36) Antalya (27) Samsun (15) Malatya (49) İkmal Edilen İl No.ları 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 9 - 10 - 11 12 - 31 - 32 - 35 28 - 29 - 30 - 39 - 40 - 41 - 42 - 48 50 8 - 19 - 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 33 13 - 36 - 37 - 38 - 44 - 45 - 46 26 - 27 - 34 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 43 - 47 49 İl Sayısı 14 9 9 7 3 7 1 Tablo 4-6. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 400 km Alarak Birinci Aşamada Elde Edilen Dağıtım Planı (Toplam Dağıtım Maliyeti YTL 475.534,90) Depo No. Deponun Bulunduğu İl 1 İstanbul (1) 2 Adana (29) 3 İzmir (21) 4 5 6 Ankara (36) Antalya (27) Samsun (15) İkmal Edilen İl No.ları 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 11 - 12 - 14 - 19 - 31 - 32 - 35 28 - 29 - 30 - 37 - 39 - 40 - 41 - 42 48 - 49 - 50 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 33 34 13 - 36 - 38 - 44 - 45 - 46 - 47 27 15 - 16 - 17 - 18 - 43 İl Sayısı 17 11 9 7 1 5 206 Tablo 4-7. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 350 km Alarak İkinci Aşamada Elde Edilen Dağıtım Planı (Toplam Dağıtım Maliyeti YTL 457.791,00) Depo No. Deponun Bulunduğu İl 1 İstanbul (1) 2 3 4 5 6 Samsun (15) İzmir (21) Antalya (27) Adana (29) Ankara (36) 7 Malatya (49) İkmal Edilen İl No.ları 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 11 - 12 - 14 - 19 - 31 - 32 - 33 - 35 15 - 16 - 17 - 18 - 46 - 47 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 26 - 27 - 34 28 - 29 - 30 - 48 - 50 13 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 - 42 43 - 44 – 45 49 İl Sayısı 18 6 6 3 5 11 1 Tablo 4-8. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 400 km Alarak İkinci Aşamada Elde Edilen Dağıtım Planı (Toplam Dağıtım Maliyeti YTL 452.119,80) Depo No. Deponun Bulunduğu İl 1 İstanbul (1) 2 3 4 5 6 Samsun (15) İzmir (21) Antalya (27) Adana (29) Ankara (36) İkmal Edilen İl No.ları 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 11 - 12 - 14 - 19 - 31 - 32 - 33 - 35 15 - 16 - 17 - 18 - 46 - 47 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 26 - 27 - 34 28 - 29 - 30 - 48 - 49 - 50 13 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 - 42 43 - 44 – 45 İl Sayısı 18 6 6 3 6 11 207 Tablo 4-9. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 350 km Alarak Üçüncü Aşamada Elde Edilen Dağıtım Planı (Toplam Dağıtım Maliyeti YTL 452.119,80) Depo No. Deponun Bulunduğu İl 1 İstanbul (1) 2 3 4 5 6 Samsun (15) İzmir (21) Antalya (27) Adana (29) Ankara (36) İkmal Edilen İl No.ları 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 11 - 12 - 14 - 19 - 31 - 32 - 33 - 35 15 - 16 - 17 - 18 - 46 - 47 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 26 - 27 - 34 28 - 29 - 30 - 48 - 49 - 50 13 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 - 42 43 - 44 – 45 İl Sayısı 18 6 6 3 6 11 Tablo 4-10. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 400 km Alarak Üçüncü Aşamada Elde Edilen Dağıtım Planı (Toplam Dağıtım Maliyeti YTL 452.119,80) Depo No. Deponun Bulunduğu İl 1 İstanbul (1) 2 3 4 5 6 Samsun (15) İzmir (21) Antalya (27) Adana (29) Ankara (36) İkmal Edilen İl No.ları 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 11 - 12 - 14 - 19 - 31 - 32 - 33 - 35 15 - 16 - 17 - 18 - 46 - 47 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 26 - 27 - 34 28 - 29 - 30 - 48 - 49 - 50 13 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 - 42 43 - 44 - 45 İl Sayısı 18 6 6 3 6 11 208 Yukarıdaki karşılaştırmadan da görüleceği üzere sezgisel yöntemin ilk aşamalarında farklılıklar olsa da son optimizasyonda her iki DMAX = 350 km ve DMAX = 400 km değeri için toplam dağıtım maliyeti eşit bulunmaktadır. Aşağıdaki Tablo 4-11 tablosunda çeşitli DMAX değerleri için hesaplanan optimum depo sayıları ve dağıtım maliyetleri verilmektedir. Tablo 4-11. Sezgisel Yöntem ile Elde Edilen Optimum Aylık Dağıtım Maliyetinin DMAX ile Değişimi Depo – Perakendeci Max. Uzaklık (km) 200 250 300 350 400 450 500 550 600 Depo Sayısı 9 8 8 6 6 5 5 5 5 Toplam Dağıtım Maliyeti (YTL) 471.781,60 464.863,30 464.863,30 452.119,80 452.119,80 460.307,10 460.307,10 460.307,10 460.307,10 Son olarak, buraya kadar yapılan hesaplamalarda DMAX değeri sadece sezgisel yöntemin birinci aşamasında (dağıtım depolarının konumlarının ilk hesaplanmasında) karar değişkeni olarak kullanılmış, daha sonraki aşamalar sırasındaki perakendeci atamalarında gözönüne alınmamıştır. Bu şekilde dağıtım depolarına atanan perakendecilerin durumları incelendiğinde özellikle İstanbul – Afyon (1 – 33) ve Ankara – Sivas (36 – 43) uzaklıkları sırasıyla 460 ve 442 km olarak, eğer DMAX = 400 km kabul edilirse, öngörülenden fazla olacaktır. Bu kısıtlama diğer optimizasyon aşamalarına yansıtılırsa Tablo 4-12. ve Tablo 4-13.‘den görüleceği gibi toplam dağıtım maliyetini arttırmaktadır; buna karşılık olasıdır ki, servis kalitesi iyileşecektir. 209 Tablo 4-12. Sezgisel Yöntem ile Her Aşamada DMAX = 350 km Kısıtlaması Uygulanarak Elde Edilen Optimum Dağıtım Planı (Toplam Dağıtım Maliyeti YTL 455.717,00) Depo No. Deponun Bulunduğu İl 1 İstanbul (1) 2 3 4 5 6 Samsun (15) İzmir (21) Antalya (27) Adana (29) Ankara (36) İkmal Edilen İl No.ları 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 9 - 10 - 11 12 - 31 - 32 - 35 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 43 - 46 - 47 8 - 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 26 - 27 - 34 28 - 29 - 30 - 48 - 49 - 50 13 - 19 - 33 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 41 - 42 - 44 - 45 İl Sayısı 14 8 7 3 6 12 Tablo 4-13. Sezgisel Yöntem ile Her Aşamada DMAX = 400 km Kısıtlaması Uygulanarak Elde Edilen Optimum Dağıtım Planı (Toplam Dağıtım Maliyeti YTL 452.693,20) Depo No. Deponun Bulunduğu İl 1 İstanbul (1) 2 3 4 5 6 Samsun (15) İzmir (21) Antalya (27) Adana (29) Ankara (36) İkmal Edilen İl No.ları 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 11 - 12 - 14 - 19 - 31 - 32 - 35 15 - 16 - 17 - 18 - 43 - 46 - 47 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 26 - 27 - 34 28 - 29 - 30 - 48 - 49 - 50 13 - 33 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 42 - 44 - 45 İl Sayısı 17 7 6 3 6 11 210 Kırklareli Edirne Zonguldak Kastamonu Istanbul Samsun Karabük Tekirdağ Çanakkale Yalova Kocaeli Sakarya Bursa Bilecik Balıkesir Düzce Bolu Ordu Çorum Kırıkkale Trabzon Giresun Amasya Sivas Eskişehir Kütahya Manisa Nevşehir Afyon Kayseri Malatya İzmir Aksaray Konya Isparta Aydın Niğde Denizli Burdur Muğla K.Maraş Antalya Gaziantep İçel Hatay Şekil 4-6. 1. Aşama dağıtım planı (DMAX = 400 km, Toplam Dağıtım Maliyeti : 475.534,90 YTL) 211 Kırklareli Zonguldak Edirne İstanbul Tekirdağ Karabük Düzce Bolu Kocaeli Sakarya Yalova Samsun Kastamonu Ordu Çorum Trabzon Giresun Amasya Tokat Çanakkale Bursa Bilecik Kırıkkale Balıkesir Yozgat Eskişehir Sivas Kütahya Manisa Nevşehir Afyon Uşak Malatya Kayseri İzmir Aksaray Konya Isparta Aydın Niğde Denizli K.Maraş Burdur Adana Muğla Antalya Gaziantep İçel Hatay Şekil 4-7. 2. ve 3. Aşamalar sonunda optimum dağıtım planı (DMAX = 400 km, Toplam Dağıtım Maliyeti : 452.693,20 YTL) 212 Yukarıdaki iki tablodan görüleceği gibi, dağıtım depoları ile perakendeciler arasındaki uzaklık 350 km ile sınırlandığında toplam aylık dağıtım maliyetinde 3.592,20 YTL (‰ 8), 400 km ile sınırlandığında ise toplam aylık dağıtım maliyetinde 573,40 YTL (‰ 1,3) tutarında bir artış öngörülmektedir. Bu değerler ise sırasıyla yıllık 43.106,40 YTL ve 6.880,80 YTL fazla maliyet anlamına gelmektedir. Bu değişikliklerden etkilenecek illlere aylık toplam satış tutarı sırasıyla 337.505,00 YTL ve 138.548,00 YTL olup, maliyet artışının toplam satışlara oranı da sırasıyla %1,06 ve % 0,41 olacaktır. Bir başka seçenek de hem İstanbul ana deposunun iş yükünü azaltmak, hem de servis kalitesini daha iyileştirmek amacıyla Bursa’da bir bölgesel dağıtım deposu daha açmaktır. (Şekil 4-8) Ancak bu durumda dağıtım maliyeti daha da artarak 456.740,70 YTL olmaktadır. Burada işletme, servis kalitesinde elde edilecek iyileşmenin bu maliyet artışına değip değmeyeceği kararını vermelidir. 213 Kırklareli Zonguldak Edirne İstanbul Samsun Karabük Tekirdağ Yalova Kastamonu Düzce Kocaeli Çorum Bolu Giresun Amasya Sakarya Çanakkale Bilecik Tokat Trabzon Ordu Kırıkkale Yozgat Balıkesir Eskişehir Sivas Kütahya Manisa Nevşehir Uşak İzmir Afyon Malatya Kayseri Aksaray Isparta Aydın Konya Niğde K.Maraş Denizli Burdur Adana Muğla Gaziantep Antalya İçel Hatay Şekil 4-8. Bursa’da bir bölgesel dağıtım deposunun daha açıldığı seçenek (DMAX = 400 km, Toplam Dağıtım Maliyeti : 456.740,70 YTL) 214 Bu çalışmada buradan sonra DMAX = 400 km olarak alınacaktır. Tüm bu hesaplamalara göre dağıtım planı aşağıdaki şekilde olacaktır : Depo 1 : İstanbul (1) Sıra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 İl No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 19 31 32 35 İl No. 15 16 17 18 43 46 47 Ana Depoya Uzaklık (km) 0 132 211 230 111 176 243 390 320 148 217 331 396 360 250 262 330 Taşıma Maliyeti (YTL) 0,00 1.591,62 1.164,01 1.509,47 3.256,28 652,62 12.095,82 7.219,78 2.522,15 2.521,88 1.431,41 4.199,02 1.781,95 3.748,55 1.039,33 1.445,44 4.880,05 İl Adı İstanbul Tekirdağ Kırklareli Edirne Kocaeli Yalova Bursa Balikesir Çanakkale Sakarya Düzce Zonguldak Karabük Kütahya Bilecik Bolu Eskişehir Talep (YTL) 1.763.812,00 71.772,00 32.837,00 39.065,00 174.618,00 22.072,00 296.292,00 110.192,00 46.915,00 101.427,00 39.264,00 75.511,00 26.785,00 61.980,00 24.746,00 32.839,00 88.024,00 Toplam 3.008.151,00 51.059,38 Depo İşlet. Maliyeti 39.688,04 Toplam Maliyet 90.747,42 Depo 2 : Samsun (15) Sıra 1 2 3 4 5 6 7 Ana Depoya Uzaklık : 0 km Ana Depoya Uzaklık : 737 km Ana Depoya Uzaklık (km) 0 152 196 333 339 131 231 Taşıma Maliyeti (YTL) 7.773,43 5.135,36 3.284,20 7.411,78 6.955,26 2.965,78 6.879,65 İl Adı Samsun Ordu Giresun Trabzon Sivas Amasya Tokat Talep (YTL) 150.677,00 66.584,00 38.858,00 68.925,00 64.079,00 40.297,00 76.104,00 Toplam 505.524,00 40.405,46 Depo İşlet. Maliyeti 19.220,04 Toplam Maliyet 59.625,50 215 Depo 3 : İzmir (21) Sıra 1 2 3 4 5 6 İl No. 20 21 22 23 24 25 İl No. 26 27 34 İl No. 28 29 30 48 49 50 Taşıma Maliyeti (YTL) 6.349,23 15.586,93 2.649,87 7.406,35 6.142,59 6.322,29 Talep (YTL) 140.104,00 396.917,00 35.465,00 96.309,00 100.517,00 81.324,00 Toplam 850.636,00 44.457,26 Depo İşlet. Maliyeti 23.445,99 Toplam Maliyet 67.903,25 Ana Depoya Uzaklık : 724 km Ana Depoya Uzaklık (km) 122 0 130 Taşıma Maliyeti (YTL) 1.993,64 10.112,33 3.395,31 İl Adı Burdur Antalya Isparta Talep (YTL) 28.010,00 199.533,00 46.819,00 Toplam 274.362,00 15.501,28 Depo İşlet. Maliyeti 15.475,92 Toplam Maliyet 30.977,20 Depo 5 : Adana (29) Sıra 1 2 3 4 5 6 Ana Depoya Uzaklık (km) 36 0 211 224 130 229 İl Adı Manisa İzmir Uşak Denizli Aydın Muğla Depo 4 : Antalya (27) Sıra 1 2 3 Ana Depoya Uzaklık : 561 km İl Adı İçel Adana Hatay K.Maraş Malatya Gaziantep Toplam Ana Depoya Uzaklık : 939 km Talep (YTL) 177.971,00 274.274,00 154.585,00 112.007,00 76.105,00 137.554,00 Ana Depoya Uzaklık (km) 69 0 191 186 389 206 Taşıma Maliyeti (YTL) 13.761,07 18.028,03 15.121,20 10.862,21 9.976,00 13.801,89 932.496,00 81.550,40 Depo İşlet. Maliyeti 24.312,68 Toplam Maliyet 105.863,08 216 Depo 6 : Ankara (36) Sıra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 İl No. 13 33 36 37 38 39 40 41 42 44 45 Ana Depoya Uzaklık : 453 km Ana Depoya Uzaklık (km) 245 256 0 258 77 277 225 348 320 244 218 Taşıma Maliyeti (YTL) 3.219,62 5.564,17 15.924,06 18.438,14 1.255,67 2.199,34 2.554,08 3.001,80 9.994,26 4.900,99 3.375,15 İl Adı Kastamonu Afyon Ankara Konya Kırıkkale Nevşehir Aksaray Niğde Kayseri Çorum Yozgat Talep (YTL) 44.183,00 74.469,00 502.178,00 245.665,00 28.125,00 28.108,00 36.744,00 33.289,00 116.933,00 67.412,00 49.392,00 Toplam 1.226.498,00 70.427,28 Depo İşlet. Maliyeti 27.149,47 Toplam Maliyet 97.576,75 Bu plana göre iller dahilindeki dağıtım giderleri hariç, toplam dağıtım maliyeti 452.693,20 YTL dir. 217 4.5 Stok Miktarları ve Sipariş Periyotları Dağıtım depolarının sayısı ve konumları belirlendikten sonra sipariş periyotlarının belirlenmesi çok daha yalın bir problem olarak ele alınabilir. Bunun için öncelikle maliyet parametrelerinin belirlenmesi gereklidir. Bu konuda örnek işletmeden her konuda ayrıntılı ve kesin veriler elde edilememiş olmakla birlikte eldeki verilerden hareketle bir dizi değer tahmin edilmiştir. Öncelikle depo sabit sipariş maliyetleri, İstanbul ana deposu için sipariş başına 500 YTL, diğer depolar için 200 YTL değeri kullanılacaktır. Depolardaki değişken sipariş maliyeti hesabında bu giderin depo aylık işletme maliyeti ve finansman giderlerinden oluştuğu kabul edilmiştir. Finansman maliyetinin aylık % 2 olduğu varsayımıyla ve bir önceki bölüm sonunda belirlenmiş dağıtım planı çerçevesinde bölgesel dağıtım depoları için elde bulundurma birim maliyetleri YTL/Ay.YTL satış olarak İstanbul ana deposu için hw1 = 0,0332 ve sırasıyla Samsun, İzmir, Antalya, Adana ve Ankara dağıtım depoları için, hw2 = 0,0580, hw3 = 0,0476, hw4 = 0,0764, hw5 = 0,0461 ve hw6 = 0,0421 olarak hesaplanmıştır. Perakendecilerin bulunduğu iller için ise sabit sipariş maliyeti İstanbul için 250 YTL/sipariş, diğerleri için 50 YTL/sipariş ve değişken sipariş maliyeti hrj = 0,02 olarak alınmıştır. Maliyet parametreleri belirlendikten sonra, problem daha önce 3.4 ve 3.5 bölümlerinde ayrıntıları açıklanan gevşek problem olarak ele alınmıştır. Yine bu bölümlerde değinilen kademelendirme yaklaşımı kullanılarak sipariş periyotları, en yakın tamsayı değerlere yuvarlatılmış olarak elde edilmiştir. Daha sonra bunlara karşılık gelen maliyetler hesaplanmıştır. Burada temel periyot yaklaşımının kullanılmamış olduğu özellikle vurgulanmalıdır. Bu amaçla önce kademeleri belirlemek için her dağıtım deposu ve ikmal ettiği perakendeciler π ( Nm ) = için, Microsoft Excel programından yararlanarak, k ( Nm ) değerleri hesaplanmış ve π ( N m ) ile π N next ( m ) değerleri g ( Nm ) karşılaştırılarak kademeler belirlenmiştir. Burada k ( Nm ) = ∑k j ve j∈N m 218 ∑d g ( Nm ) = j ⋅ h j dir. Hatırlanacağı gibi çözümün optimum olması için gerek şart j∈ N m π ( N m ) ≥ π N next ( m ) olmasıdır. Bu gerçekleşmediği sürece dağıtım deposu ile perakendecileri yeni bir küme (cluster) oluşturacaklardır. Bu şekilde elde edilen her küme için optimum sipariş periyotu u = u ( m ) = 2 ⋅ π ( N m ) olarak hesaplanmış ve elde edilen değer anlamlı olması amacıyla, gün bazında (Bir ay 30 gün olarak alınmıştır) en yakın tamsayıya yuvarlanarak optimum sipariş periyotları belirlenmiştir. Toplam stok ve dağıtım maliyeti de Cw, Aw = I ( w, Aw ) + ∑ j∈ A θ w, j + Fw w bağıntısı ile elde edilir. Burada, I(w,Aw) ‘nin ifadesi aşağıdaki gibidir : kr 1 kww 1 + ∑ j∈A j + ⋅ ∑ j∈A d j ⋅ hr ' j ⋅ urj + ⋅ ∑ j∈A d j ⋅ hww ⋅ max.( uww , urj ) − urj w w w uww urj 2 2 Diğer taraftan, maliyet bağıntısındaki Fw değeri hesaplamalarda depolama maliyeti çarpanı şeklinde kullanıldığından maliyete ayrıca ilave edilememiştir. Burada elde edilen minimum dağıtım ve stok maliyeti, sipariş periyotları ilk hesaplandıkları şekilde pozitif gerçel sayılar olarak alındığında, 527.349,30 YTL olarak elde edilmektedir. Ancak, gün ölçeğinin gerçel sayı olarak bir anlam ifade etmeyeceği düşünülerek sipariş periyotları en yakın doğal sayılara yuvarlatılarak bir sipariş planı belirlenmiştir. Elde edilen tüm sonuçlar aşağıda ayrıntılı tablolar şeklinde aşağıda verilemektedir. 219 Tablo 4-14. Önerilen dağıtım planına göre toplam dağıtım ve stok maliyetleri. Depo No. 1 : İstanbul (1) Optimum Sipariş Periyodu : 3 gün Sıra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 İl No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 19 31 32 35 kww/u = 5.000,00 YTL S. Periyodu (gün) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 T. Maliyet Cw,Aw (YTL) 30.462,59 3.229,45 2.184,59 2.628,78 6.524,58 1.502,54 17.293,09 9.466,71 3.765,91 4.629,86 2.553,88 5.896,13 2.706,59 5.231,15 1.931,64 2.466,05 6.775,53 İl Adı İstanbul Tekirdağ Kırklareli Edirne Kocaeli Yalova Bursa Balikesir Çanakkale Sakarya Düzce Zonguldak Karabük Kütahya Bilecik Bolu Eskişehir Talep (YTL) 1.763.812,00 71.772,00 32.837,00 39.065,00 174.618,00 22.072,00 296.292,00 110.192,00 46.915,00 101.427,00 39.264,00 75.511,00 26.785,00 61.980,00 24.746,00 32.839,00 88.024,00 Toplam 3.008.151,00 109.249,07 kww/u 5.000,00 Toplam Maliyet 114.249,07 220 Depo No. 2 : Samsun (15) Optimum Sipariş Periyodu : 4 gün Sıra 1 2 3 4 5 6 7 İl No. 15 16 17 18 43 46 47 kww/u = 1.500,00 YTL S. Periyodu (gün) 3 3 3 3 3 3 3 T. Maliyet Cw,Aw (YTL) 14.735,46 8.490,93 5.450,69 10.867,75 10.203,40 5.193,98 10.643,50 İl Adı Samsun Ordu Giresun Trabzon Sivas Amasya Tokat Talep (YTL) 150.677,00 66.584,00 38.858,00 68.925,00 64.079,00 40.297,00 76.104,00 Toplam 505.524,00 65.585,71 kww/u 1.500,00 Toplam Maliyet 67.085,71 Depo No. 3 : İzmir (21) Optimum Sipariş Periyodu : 3 gün Sıra 1 2 3 4 5 6 İl No. 20 21 22 23 24 25 kww/u = 652,92 YTL S. Periyodu (gün) 3 3 3 3 3 3 T. Maliyet Cw,Aw (YTL) 11.872,41 30.317,69 4.421,41 11.359,33 10.246,45 9.738,01 İl Adı Manisa İzmir Uşak Denizli Aydın Muğla Talep (YTL) 140.104,00 396.917,00 35.465,00 96.309,00 100.517,00 81.324,00 Toplam 850.636,00 77.955,30 kww/u 652,92 Toplam Maliyet 78.608,22 221 Depo No. 4 : Antalya (15) Optimum Sipariş Periyodu : 4 gün Sıra 1 2 3 İl No. 26 27 34 kww/u = 1.500,00 YTL S. Periyodu (gün) 4 4 4 T. Maliyet Cw,Aw (YTL) 4.128,61 23.024,71 6.712,12 İl Adı Burdur Antalya Isparta Talep (YTL) 28.010,00 199.533,00 46.819,00 Toplam 274.362,00 33.865,44 kww/u 1.500,00 Toplam Maliyet 35.365,44 Depo No. 5 : Adana (29) Optimum Sipariş Periyodu : 3 gün Sıra 1 2 3 4 5 6 İl No. 28 29 30 48 49 50 İl Adı İçel Adana Hatay K.Maraş Malatya Gaziantep Toplam kww/u = 2.000,00 YTL Talep (YTL) 177.971,00 274.274,00 154.585,00 112.007,00 76.105,00 137.554,00 S. Periyodu (gün) 3 3 3 3 3 3 T. Maliyet Cw,Aw (YTL) 19.489,44 26.585,57 20.162,55 14.652,71 12.711,79 18.342,91 932.496,00 111.944.97 kww/u 2.000,00 Toplam Maliyet 113.944,97 222 Depo No. 6 : Ankara (36) Optimum Sipariş Periyodu : 3 gün Sıra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 İl No. 13 33 36 37 38 39 40 41 42 44 45 kww/u = 426,03 YTL S. Periyodu (gün) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T. Maliyet Cw,Aw (YTL) 5.413,71 8.748,14 33.087,43 27.217,54 2.924,92 3.868,03 4.505,04 4.839,83 14.566,14 7.854,31 5.739,50 İl Adı Kastamonu Afyon Ankara Konya Kırıkkale Nevşehir Aksaray Niğde Kayseri Çorum Yozgat Talep (YTL) 44.183,00 74.469,00 502.178,00 245.665,00 28.125,00 28.108,00 36.744,00 33.289,00 116.933,00 67.412,00 49.392,00 Toplam 1.226.498,00 118.764,59 kww/u 426,03 Toplam Maliyet 119.190,62 Bu plana göre il dahilindeki dağıtım giderleri hariç toplam dağıtım ve stok bulundurma maliyeti aylık 528.444,03 YTL olarak hesaplanmaktadır. Diğer taraftan, dağıtım deposu ve perakendecileri arasında sipariş periyotları farklı olan depolar için periyotlar ikinin katları olarak düzenlenirse, yani bu plan için Ankara ana deposunun sipariş periyodu 4 güne çıkarılırsa toplam maliyet % 0,74 artarak 532.377,58 olacaktır. Depo sipariş periyotları ile perakendecilerin sipariş periyotları eşitlendiği durumda ise bu maliyet daha iyileşerek aylık 525.396,46 YTL’ye inecektir. 223 SONUÇ Bu çalışmada İstanbul’da kurulu fabrikasında unlu gıda maddeleri üreten ve bunların dağıtımını yapan bir işletme ele alınmıştır. Bu işletmenin, toplam dağıtım maliyetini en düşük seviyede tutmak için, kaç adet ve hangi illerde bölgesel dağıtım depoları açması gerektiği ile gerek ana depodan dağıtım depolarına, gerek bu depolardan perakendeci ve son kullanıcıların bulundukları illere ne aralıklarla sevkiyat yapılmasının uygun olduğunun, yani kısaca izlemesi gereken stok politikalarının belirlenmesi amaçlanmıştır. Araştırma konusu işletme Doğu Anadolu ve Doğu Karadeniz bölgeleri hariç Türkiye genelinde 50 ilde 10000 civarında perakendeci ve son tüketiciye hizmet vermektedir. Bu çalışmada işletmenin depoları arasında araç rotalama, sevkiyat ve stok politikaları ile ilgili bir çözüm önerilmiş, iller dahilindeki dağıtım planı, depo düzeni, kısmen de hizmet düzeyi gibi operasyonel konular çalışma kapsamı dışında bırakılmıştır. Bunun sebebi ticari sır niteliği taşımasından dolayı perakendecilerin ve otel, lokanta, büfe gibi son tüketicilerin ayrıntılı konumlarının ve satış paylarının elde edilememesidir. Bununla birlikte, herhangi bir ile mal ikmali nereden yapılırsa yapılsın, bu durum il içindeki araç rotalamasını, dolayısıyla il sınırları içindeki talep noktalarına dağıtım maliyetini etkilemeyeceğinden, depo sayı ve konumlarının bulunmasında belirleyici olmayacaktır. Diğer taraftan, illerin teker teker talepleri de elde mevcut olmadığından toplam satışlar, varsayımlar bölümünde de vurgulandığı gibi illerin aylık talep miktarları, Türkiye İstatistik Kurumu’nun açıklamış olduğu, illerin nüfusları ve yıllık ortalama gelirler esas alınarak, tahmin edilmiştir. Ayrıca, kullanılan satış değerleri güncel değil geçmiş yıllara ait bilgilerdir. Araç fiyatları, taşıma kapasiteleri, boyutları, birim yakıt tüketimleri gibi bilgiler ise ilgili üreticilerin belirttiği araç teknik özelliklerine uygun olarak taşıma maliyeti hesaplarına dahil edilmiştir. Model oluşturulurken, önce problemin taşıma, depo işletme maliyetleri ve stok maliyetlerini içeren toplam dağıtım maliyet formülü betimlenmiştir. Bu 224 problemin kuramsal olarak küme bölüntülemeli, tamsayılı doğrusal programlama (set-partitioning integer-programming) modeli şeklinde, sütun üretme yöntemi ile çözülebilmesi olasıdır. Burada karşılabilecek temel zorluklardan biri, küme bölüntüleme yönteminde üretilecek sütunların perakendeci sayısı ile üstel olarak artmasıdır. Ayrıca kullanılan maliyet fonksiyonlarında doğrusallıktan sapmalar da sözkonusu olduğundan bu tür bir uygulama pratikte yapılabilir değildir. Bu sebeplerle problem, dağıtım depolarının konumlarının bulunması ile izlenmesi gereken stok politikasının belirlenmesi olarak tanımlanacak iki farklı tali problem olarak ele alınmıştır. Diğer taraftan, problemin bu şekilde ele alınmasının çok önemli bir avantajı da depo yerlerinin doğru seçiminin bir dağıtım sistemindeki önemidir. Talebin zaman içinde değişken olması çok doğaldır. Bu değişkenliği karşılamak için stok politikalarının değiştirilmesi, politikaların yeniden düzenlenmesinden ve gerekiyorsa depo kapasitelerinin arttırılmasından ibaret kolay ve oldukça masrafsız bir iştir. Oysa, yanlış yer seçimi veya eksik depo sayısı ileride yeni depolar açılması veya mevcut olanların konumunun değiştirilmesi gibi katlanılması gereken önemli maliyetler ortaya çıkaracaktır. Bu sebeple depo yer seçiminin izlenecek stok politikasından çok fazla ve doğrudan etkilenmemesinde daima fayda vardır. Tesis edilmesi gereken bölgesel dağıtım depolarının sayı ve konumlarının belirlenmesi, klasik bir depolar–perakendeciler dağıtım ağı tasarım (DPDT) problemidir. Tasarım aşamasında alınacak bu tip kararlar bir tedarik zincirinin tüm yapısını ve verimliliğini derinden etkileyeceğinden, uzun zamandır bir çok araştırmacı tarafından çeşitli şekillerde ele alınmıştır. Gomory bu problemi tamsayılı bir doğrusal programlama yaklaşımı olarak ele almıştır. Ancak, problemin boyutu ve doğrusallıktan sapmalar sebebiyle uygulamada çoğu zaman bu yolla çözüme ulaşmak mümkün olmamaktadır. Baumol ve Wolfe probleme toplam taşıma maliyetini en aza indirgeyecek çözümlerin araştırılması şeklinde bakmışlardır. Sevkiyatlardaki gecikmelerden kaynaklanan başka maliyetlerin doğrudan maliyete eklenmesi gerektiği açık olmakla beraber, bu etki Baumol-Wolfe’ün yaklaşımında probleme herhangi bir şekilde dahil edilmemiştir. Diğer taraftan model, depo sabit işletme giderlerini içermez, depo giderleri sadece depo elleçleme hacminin kare kökü ile orantılı dışbükey bir fonksiyon şeklinde hesaplanır. Baumol – Wolfe modeli sabit bir ürün karışımıyla ilgilenir ve modelde ürün çeşitlerini belirten bir üçüncü alt simge 225 kullanılmaz. Balinski ve Mills modelinde depo konumlama problemine yaklaşım da Baumol – Wolfe modeline benzer, ancak bu modelde depo işletme maliyeti parçalı doğrusal fonksiyonlar şeklinde modele dahil edilir. Ayrıca, Balinski ve Mills algoritması tek bir fabrikadan (veya depodan) dağıtım ve tek bir ürün ile sınırlandılmıştır. Shycon ve Maffei ise 1960’da depo konumlarını saptamak için bir benzetim (simulasyon) tekniği önermişlerdir. Burada kısaca özetlenen klasik yöntemlerin yanı sıra günümüze kadar daha birçok işlemsel süreçler, genetik algoritma gibi modern sezgisel yöntemler ve benzetim teknikleri geliştirilmiştir. Bu çalışmada, taşıma yapılacak iller arasındaki uzaklıkları kısıtlayan, dolayısıyla sevkiyat sürelerinin bir ölçüde de olsa modele katıldığı ve bu şartlarla dağıtım maliyetlerini en az yapacak şekilde, bir program yazılarak en uygun depo konumları belirlenmeye çalışılmıştır. Problemin ikinci aşaması veya diğer deyişle ikinci tali problem, depo konumları belirlendikten sonra, maliyet en az olacak şekilde, ana depodan dağıtım depolarına ve buralardan da perakendecilerin ve son tüketicilerin bulundukları illere ne sıklıkla sevkiyat yapılması gerektiğinin hesaplanmasıdır. Bu konuda da çeşitli çalışmalar yapılmış olmakla birlikte çıkış ve varış konumları bilindiğinde, problem çok daha yalın olarak çözülebilmektedir. Burada kademeli stok kavramı temel alınarak gevşek problem olarak anılan bir problem oluşturmak suretiyle çözümlere varmak amaçlanmıştır. İlgili bölümlerde ayrıntılı olarak açıklandığı gibi temel periyot kullanılmadığı zaman, buradan elde edilecek çözüme karşılık gelen maliyet, olası en düşük maliyetten en fazla % 2 daha yüksek olacaktır. Buraya kadar kısaca açıklanan yöntemle ulaşılan çözümler sonunda, söz konusu işletme için önerilen dağıtım planını bir kez daha ayrıntılı olarak irdelemek yerinde olacaktır. Modele göre depo konumlarının ilk belirlenmesi safhasında, depolara atanan perakendecilerin bunlara olan uzaklıkları bir DMAX değeri ile kısıtlanmıştır. Önceki aşamalarda yapılan analizler sonunda bu uzaklık dağıtım maliyetinin optimum olduğu değer olarak hesaplanmıştır. Bu değer, araç ortalama hızlarının 70 km/saat olarak alındığı hatırlanırsa, nakliye sürelerini 6 saatle sınırlandırmak için de uygun düşmektedir. Bu kısıtlama kullanılan programdaki parametreler yardımıyla bu ilk aşama ile sınırlı tutulabileceği gibi her aşama için de kalıcı kılınabilir. DMAX değeri, sadece birinci aşamada (dağıtım depolarının 226 konumlarının ilk hesaplanmasında) karar değişkeni olarak kullanıldığında elde edilen maliyet 452.119,80 YTL dir. Dağıtım depolarına bu şekilde atanan perakendecilerin durumları incelendiğinde, İstanbul – Afyon (1 – 33) ve Ankara – Sivas (36 – 43) uzaklıkları sırasıyla 460 ve 442 km olarak, eğer çıkış ve varış noktaları arasındaki azami uzaklık önerilen plandaki gibi 400 km kabul edilirse, öngörülenden fazla olacaktır. Eğer bu kısıtlama tüm aşamalara yansıtılırsa maliyet sadece ‰ 1,3 artışla 452.693,20 YTL’ye çıkacaktır. Buna karşılık DMAX = 400 km kısıtlaması korunmuş, diğer bir deyişle hedeflenen azami ulaşım süresi garantiye alınmış olacaktır. Bu durumda depolarda elleçlenecek ürün miktarları aşağıdaki tabloda gösterildiği gibidir : Önerilen Dağıtım Planında Depolarda Elleçlenecek Ürün Miktarları Depo No. 1 2 3 4 5 6 İl No. İl Adı 1 15 21 27 29 36 İstanbul Samsun İzmir Antalya Adana Ankara Elleçlenecek Ürün Miktarı (YTL) 3.008.151,00 505.524,00 850.636,00 274.362,00 932.496,00 1.226.498,00 % 44,25 7,44 12,51 4,04 13,72 18,04 Bu planda İstanbul ana deposunun iş yükü çok fazladır. Bu yükü biraz olsun azlatmak için diğer bir olasılık, “Sezgisel yöntemin modele uygulanması” başlıklı bölümünde önerilen Bursa ilinde bir dağıtım deposu açmaktır. Bu durumda elleçlenen ürün miktarı aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi olacaktır. Ancak toplam dağıtım maliyeti 456.740,70 YTL’ye (‰ 8,94) yükselecektir. Bursa’da Bir Depo Açıldığında Depolarda Elleçlenecek Ürün Miktarları Depo No. 1 3 3 4 5 6 7 İl No. İl Adı 1 7 15 21 27 29 36 İstanbul Bursa Samsun İzmir Antalya Adana Ankara Elleçlenecek Ürün Miktarı (YTL) 2.426.917,00 691.168,00 505.524,00 815.171,00 274.362,00 932.496,00 1.152.029,00 % 35,70 10,16 7,44 12,00 4,04 13,72 16,94 227 Bursa’da yeni bir depo açılması kararı dağıtım maliyetinde göreceli olarak önemli bir artışa sebep olduğundan bu karar işletme üst yönetimine bırakılmalıdır. Ancak böyle davranılarak depo yükleri aşırı olan illerin yüklerinin bir ölçüde dengelenebileceği gözardı edilmemelidir. Diğer önemli bir konu da illerin talepleri değiştiğinde depo sayı ve konumlarının bu durumdan etkilenip etkilenmeyeceğinin irdelenmesidir. Bu amaçla işletmenin bir yıllık satışları ve optimum depo konumları incelendiğinde, önerilen 6 depolu plan için, gerek bölgesel depo konumlarının, gerek bu depolardan ikmal edilen illerin bundan etkilenmediği görülmüştür. Bu inceleme sonunda elde edilen dağıtım maliyetlerinin değişimi ile toplam satışa oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir. İşletmenin Bir Yıllık Satış Değerleri ve Dağıtım Maliyetleri (YTL) Aylar Satış Tutarı (YTL) Dağ. Maliyeti (YTL) % Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran Temmuz Ağustos Eylül Ekim Kasım Aralık 5.151.837,00 4.738.400,00 6.003.887,00 6.064.451,00 6.423.386,00 6.080.271,00 6.184.514,00 6.797.667,00 6.380.530,00 5.600.312,00 6.105.464,00 6.728.059,00 ------------------ 363.793,83 341.086,75 410.083,23 413.350,29 432.657,17 414.203,21 419.819,02 452.693,20 430.356,99 388.236,76 415.561,31 448.974,10 --------------- 7,06 7,20 6,83 6,82 6,74 6,81 6,79 6,66 6,74 6,93 6,81 6,67 Toplam 72.258.778,00 4.930.815,86 6,82 Diğer taraftan, illerin talebi değiştikçe sipariş periyotlarının ne şekilde etkileneceği de araştırılması gereken bir konudur. Önerilen depo planı esas alınarak satışların bir yıl içindeki değişimi incelendiğinde sipariş periyotlarının değişimi ile tekabül eden toplam dağıtım ve stok maliyetleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir. 228 Sipariş Periyotlarının Satış Değişikliklerinden Etkilenmesi (Önerilen Yıllık Plan) İstanbul (1) Aylar Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran Temmuz Ağustos Eylül Ekim Kasım Aralık Toplam Notlar : P 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 P’ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Samsun (15) P 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 P’ 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 İzmir (21) P 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 P’ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 Antalya (27) P 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 P’ 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Adana (29) P 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Ankara (36) P’ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 P 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 P’ 3 3 3* 3* 2 3** 3** 2 2 3*** 3** 2 Toplam Dağıtım ve Stok Maliyeti (YTL) 429.011,77 403.393,18 479.718,31 483.296,02 506.510,62 484.459,83 490.578,73 528.444,03 504.000,82 455.662,97 485.922,63 524.382,36 5.775.381,27 ● P ve P’ sırasıyla dağıtım deposu ve bağlı illerin gün olarak sipariş periyotlarıdır. * Ankara içi ve Konya’ya 2 günde bir sevkiyat yapılacak. ** Ankara içi, Konya ve Kayseri’ye 2 günde bir sevkiyat yapılacak. *** Ankara içine 2 günde bir sevkiyat yapılacak. 229 Bu tabloda verilen plana uygun bir dağıtım uygulandığında toplam dağıtım ve stok maliyeti 5.775.381,27 YTL olmaktadır. Bu maliyet ise toplam satışların % 8’ini oluşturmaktadır. Bu plandaki farklı sipariş periyotları olan depo ile bunlara bağlı illerin sipariş periyotları eşitlendiğinde ise toplam yıllık dağıtım ve stok maliyeti ‰ 3 (binde 3) azalarak YTL 5.757.954,82 olmaktadır. Son olarak gözden geçirilmesi gereken bir unsur da sevkiyat yapan kamyonların doluluk durumudur. Varsayımlar bölümünde vurgulandığı gibi, kamyon ve TIR’lar için % 10 – 15 civarında bir emniyet payı ile daima dolu araçla sevkiyat yapılacağı öngörülmektedir. Bu amaçla önce TIR ile yapılan sevkiyatlar gözönüne alınırsa talebin en düşük olduğu Şubat ayında Samsun ve Ankara için bir problem yoktur. Ancak, İzmir, Antalya ve Adana için sırasıyla her siparişte 1,3 , 0,7 ve 1,45 TIR mal gönderilmesi gerekir. Bu durumda İzmir için raf ömrü yüksek olan ve hesaplara dahil edilmemiş olan ürünler her iki sevkiyatta bir gönderilerek veya bunlar ayrı araçlarla sevkedilerek sorun çözülebilir. Diğer taraftan, Adana veya Antalya’ya gönderilen her iki TIR’dan biri de doğrudan sevkiyat yerine, örneğin İstanbul – Antalya – Adana güzergahını izleyerek her iki dağıtım deposuna birden hizmet vererek bu durumun üstesinden gelinebilir. Talebin en yüksek olduğu Ağustos ayı için ise sadece Samsun için her sevkiyatta 1,5 TIR mal gönderilmesi gerekir. Bu sorun ise Ankara’ya sevkiyat yapan her üç TIR’dan birini (her araçta yaklaşık % 15 – 20 arası boş yer vardır ve sipariş periyotları da düşünülürse) Samsun’dan geçirerek çözülebilir. Böyle bir güzergah izlenerek katedilecek ek yol 703 km olup, bu İstanbul – Samsun uzaklığı olan 737 km’ye çok yakın olup, modelle karşılaştırıldığında her sefer için 54 YTL cıvarında bir maliyet artışına sebep olacaktır. Benzer durum kamyonlar için de ortaya çıkar. Örneğin, talebin düşük olması sebebiyle, en kritik noktalardan biri olan Yalova’ya yapılan sevkiyatlarda ortaya çıkan problem (her sevkiyat yaklaşık ¼ dolu araca karşılık gelir) Bursa’ya giden bir araçla birleştirilerek aşılabilir. Ayrıca, örnek olarak Tekirdağ ve Kırklareli gibi birbirlerine yakın olan illere olan sevkiyatlar sürekli olarak birleştirilerek yapılabilir. Akla gelebilecek bir diğer çözüm yolu ise sorunlu noktalara yapılacak sevkiyatlarda dışarıdan bir lojistik firmasını kullanmaktır; ancak, önerilen sistem ayrıntılı olarak incelendiğinde buna gerek kalmayacağı görülebilir. 230 Diğer taraftan, her ne kadar önerilen dağıtım sistemi için böyle bir durum öngörülmemekle birlikte, bazı illerdeki düşük talep nedeniyle, o iller dahilindeki dağıtım maliyeti de eklendiğinde, toplam dağıtım maliyetinin sözkonusu ilde yapılan satışlar içindeki payı çok fazla olabilir. Böyle bir durumda veya daha başka rekabet şartlarından dolayı araştırma konusu işletme gelecekte bu ile veya illere satış yapmaktan vazgeçebilir. Ancak, tüm bu ve benzer kararlar bu çalışmada ele alınan temel konu dışında kalan hususlardır ve işletmenin genel satış ve pazarlama politikaları kapsamında üst yönetimin alacağı kararlardır. Bu çalışmada işletmenin mevcut durumu ve halen dağıtım yapmakta olduğu iller gözönüne alınarak, en uygun dağıtım ağı ve yapılabilir bir stok politikası ortaya konulmuştur. Böyle bir plan uygulandığında işletmenin dağıtım ve stok giderlerinin toplam satışlar içindeki payının % 8 olması öngörülmektedir. 231 KAYNAKÇA KİTAPLAR Askin, Ronald G. ve Goldberg, Jeffrey B. Design and Analysis of a Lean Production Systems, New York – USA, Wiley, 2002. Axsäter, Sven. Inventory Control, Massachusetts – USA, Kluwer Academic Publishers, 2000. Daniel, W. Wayne ve Terrell, James C. Business Statistics, 5.b. Boston – USA, Houghton Mifflin, 1989. Hoover, Edgar Malone. La Localisation des Activités Economiques, Paris – France, Les éditions ouvrières, 1955. Kobu, Bülent. Üretim Yönetimi, Genişletilmiş ve güncelleştirilmiş 11. baskı. İstanbul, Avcıol Basım Yayın, 2003. Luenberger, David G. Linear and Nonlinear Programming, 2. b. Massachusetts – USA, Kluwer Academic Publishers, 2003. Orhubilge, Neyran. Uygulamalı Regresyon ve Korelasyon Analizi, Gözden geçirilmiş 2. baskı. İstanbul, İ.Ü. Basım ve Yayınevi, 2002. Orhubilge, Neyran. Zaman Serileri Analizi, Tahmin ve Fiyat İndeksleri, İstanbul, Avcıol Basım Yayın, 1999. Plossl, George W. Production and Inventory Control Principles and Techniques, 2.b. New Jersey – USA, Prentice – Hall, 1985. Sherbrooke, Craig C. Optimal Inventory Modelling of Systems – Multi-Echelon Techniques, USA, John Wiley & Sons, 1992. Silver Edward A., Pyke David F. ve Peterson Rein. Inventory Management and Production Planning and Scheduling, 3.b. New York – USA, John Wiley & Sons, 1998. Stock, James R. ve Douglas M. Lambert. Strategic Logistics Management, 4. b. Singapore, Mc Graw-Hill, 2001. 232 Zipkin, Paul H. Foundations of Inventory Management, USA: Mc Graw-Hill, 2000. 233 MAKALELER Axsäter, Sven. “A Framework for Decentralized Multi-Echelon Inventory Control.” IIE Transactions, Vol.33, Iss.2, Feb. 2001, s.91-97. Axsäter, Sven. “Scaling down Multi-echelon Inventory Problems.” International Journal of Production Economics, 71 (2001), s.255-261. Baumol William J. ve Wolfe Philip. “A Warehouse Location Problem”, Operations Research, Vol. 6, March -April 1958, s.252-263 Chan, Lap Mui Ann ve David Simchi-Levi, “Probabilistic Analysis and Algorithms for Three-level Distribution Systems”, Management Science, Vol.44 No.11, Nov. 1998, s.1564. Clark, Andrew J. ve Herbert Scarf. “Optimal Policies for a Multi-Echelon Inventory Problem.” Management Science, Vol.50, No.12 Supplement, Dec. 2004, s.1782-1790. Iida, Tetsuo. “The Infinite Horizon Non-Stationary Stochastic Multi-Echelon Inventory Problem and Near-Myopic Policies” European Journal of Operational Research, 134 (2001) s.525-539. Kuehn, Alfred A. ve Hamburger, Michael J. “A Heuristic Program for Locating Warehouses.”, Management Science, 9, 1963, s. 643-666 Langenhoff, L.G.J. ve Zijm, W.H.M. “An Analytical Theory of Multi-Echelon Production / Distribution Systems” Statistica Neerlandica, 44 (1990) Nr.3, s.149-174. Lau, Amy Hing Ling ve Hon-Shiang Lau. “Effects of a Demand Curve Shape on the Optimal Solutions of a Multi-Echelon Inventory / Pricing Model.” European Journal of Operational Research, 147 (2003) s. 530-548. Lim, Wei-Shi, Ou, Jihong ve Teo, Chung-Piaw. “Inventory Cost Effect of Consolidating Several One-Warehouse Multiretailer Systems.”, Operations Research, Vol. 51, No.4, July-August 2003, s.668-672. Lübbecke, Marco E. ve Desrosiers Jacques, “Selected Topics in Column Generation”, Operations Research, Vol. 53, No.6, November-December 2005, s.1007-1023. 234 Mitra, Subrata ve A.K. Chatterjee. “Leveraging Information in Multi-Echelon Inventory Systems.” European Journal of Operational Research, 152 (2004), s. 263-280. Moinzadeh, Kamran. “Multi-Echelon Inventory System with Information Exchange.” Management Science, Vol.48, No.3, March 2002, s.414-426. Rau, Hsin ; Mei-Ying Wu ve Hui-Ming Wee. “Integrated Inventory Model for Deteriorating Items Under a Multi-Echelon Supply Chain Environment.” International Journal of Production Economics, 86 (2003) s. 155-168. Roundy, Robin. “98% Effective Integer-Ratio Lot-Sizing for One Warehouse MultiRetailer Systems”, Management Science, 1985, Vol. 31 nr.11, s.1416-1430. Scarf, Herbert. “Comments on ‘Optimal Policies for a Multi-Echelon Inventory Problem’.” Management Science, Vol.50, No.12 Supplement, Dec. 2004, s.1791-1793. Seo Yongwon. “Controlling General Multi-Echelon Distribution Supply Chains with Improved Reorder Decision Policy Utilizing Real-Time Shared Stock Information”. Computer and Industrial Engineering, 51 (2006) s. 229-246. Schrijver, Alexander. “A Combinatorial Algorithm Minimizing Submodular Functions in Strongly Polynomial Time” Journal of Combinatorial Theory, Series B 80, 2000, s. 346-355. Tee, Yeu-San ve Manuel D. Rossetti. “A Robustness Study of a Multi-Echelon Inventory Model via Simulation.” International Journal of Production Economics, 80 (2002), s.265-277. Teo, Chung-Piaw ve Jia, Shu. “Warehouse-Retailer Network Design Problem.” Operations Research, Vol. 52, No.3, May-June 2004, p.396-408 Tsiakis P., Shah N. ve Pantelides C. “Design of Multi-echelon Supply Chain Networks under Demand Uncertainty” Industrial & Engineering Chemistry Research Journal, 40 (2001), 18/7/2001, s. 3585-3604. Van der Heijden, Matthieu C. “Multi-Echelon Inventory Control in Divergent Systems with Shipping Frequencies.” European Journal of Operational Research, 116 (1999), s.331-351. Wang, Fong-Fan ve Chao-Ton Su. “Performance Evaluation of Multi-Echelon Production, Transportation and Distribution System: A Matrix Analytical 235 Approach.” European Journal of Operational Research, 176 (2007), s.1066-1083. Wortham, A.W. ve Mayyasi, A.M. “Learning Considerations with Economic Order Quantity” AIIE Transactions, (1972) Vol.4 No.1, s.69-70. Yu Gang, “Robust Economic Order Quantity Models”, European Journal of Operational Reserch, 1997, s.482-493. 236 ELEKTRONİK KAYNAKLAR Karayolları Genel Müdürlüğü, “İller Arası Mesafe Cetveli”, www.kgm.gov.tr\ Lee, Calvin B., “Multi-Echelon Inventory Optimization”, www.stanford.edu/group/ scforum/Welcome/White%20Papers/MultiEchelon%20Inventory%20Optimiz a... / dtd. 2003. Türk Dil Kurumu, “Sözlükler”. http://www.tdk.gov.tr/TR/BelgeGoster.aspx?F6E10F8892433CFFAAF6AA8 49816B2EF07B4BDB15D6B60D5 Türkiye İstatistik Kurumu, www.tuik.gov.tr Yıldız Teknik Üniversitesi, “Bilim ve Mühendislik Terimleri Sözlüğü”, http://sozluk.yildiz.edu.tr 237 ÖZGEÇMİŞ A. Fahri Negüs 1956 yılında İstanbul’da doğmuştur. İlköğrenimini Kadıköy Moda İlkokulu’nda, orta öğrenimini Kadıköy Saint Joseph Fransız Lisesi’nde tamamladıktan sonra, 1975 yılında İ.T.Ü. Makina Fakültesi – Genel Makina Mühendisliği bölümüne girmiştir. Stajlarını T.C. Denizcilik Bankası Haliç Tersanesi ve Electricité de France kuruluşunun Grenoble bölge teşkilatında “Hidroelektrik Santrallarda Termodinamik Metotla Verim Tayini” konusunda yaparak, buradan 1980 yılında iyi derece ile mezun olmuş ve aynı yıl İ.T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü’nde enerji konusunda yüksek lisans çalışmasına başlamıştır. “İçten Yanmalı Motorlarda Hidrojen Kullanımı” isimli tezi de hazırlayarak 1981 yılında pekiyi derece ile Yüksek Mühendis ünvanı almaya hak kazanmıştır. 1981-1983 yıllarında Türk Otomotiv Endüstrileri A.Ş.’de proses mühendisi, 1984-1987 yıllarında Gülüm Süt/Disütaş Damızlık İnek ve Süt Ürünleri Tic. A.Ş.’de yardımcı tesisler daire başkanı, 1987-1988 arasında Minex Dış Ticaret Ltd.’de demir-çelik ürünleri ithalat, ihracatı konusunda satış temsilcisi olarak görev yapmıştır. Daha sonra profesyonel yaşamına 1988-1999 yıllarında Mast Dış Ticaret Ltd. Şti.’de genel müdür yardımcısı olarak ve 2000-2003 yılları arasında Sanpaş A.Ş.’de İstanbul Bölge Müdürü olarak devam etmiştir. Halen T.C. Galatasaray Üniversitesi – İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi’nde öğretim görevlisi olarak analiz ve istatistik dersleri vermektedir. Evli ve bir erkek çocuk babası olan A. Fahri Negüs, çok iyi derecede Fransızca ve iyi derecede İngilizce bilmektedir. 238