9-geo-3.ünite
Transkript
9-geo-3.ünite
III. BÖLÜM ÜÇGENLER ÜÇGEN ‹LE ‹LG‹L‹ TEMEL KAVRAMLAR Tan›m (Çokgen) : n > 2 olmak üzere, bir düzlemde A1, A2, A3,...,An gibi birbirinden farkl›, herhangi üçü do¤rusal olmayan n nokta verilsin. Uç noktalar› d›fl›nda kesiflmeyen [A1A2], [A2A3], [A3A4], ... , [AnA1] n›n birleflimine çokgen denir. Verilen n noktaya çokgenin köfleleri, do¤ru parçalar›na çokgenin kenarlar›, kenarlar›n oluflturdu¤u aç›lara da çokgenin aç›lar› denir. Kenarlar d›fl›nda köfleleri birlefltiren do¤ru parçalar›na çokgenin köflegenleri denir. A A A A E A B D C D D B C B E D B C C Üçgen B Dörtgen C Beflgen Tan›m : Konveks bölge oluflturan çokgenlere konveks (d›flbükey) çokgen denir. Konveks çokgende, bütün kenarlar ve köfleler her bir kenar›n ayn› taraf›nda bulunur. Tan›m : Konkav bölge oluflturan çokgenlere konkav (içbükey) çokgen denir. E D D E C A C A B B Konveks çokgen Konkav çokgen Tan›m : Üç kenarl› çokgene üçgen denir. A, B ve C do¤rusal olmayan üç nokta olsun. [AB], [BC] ve [CA] n›n birleflimine ABC üçgeni denir. A B A¿BC = [AB] ∪ [BC] ∪ [CA] fiekildeki üçgen üç köfle yan yana yaz›larak ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA gibi 6 de¤iflik flekilde adland›r›labilir. b c C a A, B ve C noktalar› üçgenin köfleleri, [AB], [BC] ve [CA] kenarlar›, |BC| = a, |AC| = b ve |AB| = c kenar uzunluklar›, BéAC, AéBC ve BéCA aç›lar› üçgenin iç aç›lar›, iç aç›lar›n komflu bütünleri olan aç›lar da d›fl aç›lar› olarak adland›r›l›r. Üçgenin kenar uzunluklar› a, b ve c ile gösterildi¤i gibi kenarlar› da k›saca a, b ve c ile gösterilebilir. E A BéAC, AéBC ve BéCA üçgenin iç aç›lar›d›r. B F C D EéAB, FéBC ve DéCA üçgenin d›fl aç›lar›d›r. 63 ÜÇGEN ÇEfi‹TLER‹ 1. Kenarlar›na Göre Üçgen Çeflitleri a. Çeflitkenar üçgen: Kenar uzunluklar› farkl› olan üçgenlere çeflitkenar üçgen denir. |AB| ≠ |BC| ≠ |AC| ise ABC üçgeni çeflitkenar üçgendir. b. ‹kizkenar üçgen: ‹ki kenar› efl olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir. Efl olan kenarlara üçgenin yan (ikiz) kenarlar›, di¤er kenara taban, taban›n karfl›s›ndaki köfleye üçgenin tepesi, köflesi tepe noktas› olan aç›ya tepe aç›s›, di¤er aç›lara da taban aç›lar› denir. |AB| = |AC| ≠ |BC| ise ABC üçgeni ikizkenar üçgendir. [AB] ve [AC] yan kenarlar›, [BC] taban›, BéAC tepe aç›s›, AéBC ve AéCB da taban aç›lar›d›r. c. Eflkenar üçgen: Bütün kenarlar› efl olan üçgenlere eflkenar üçgen denir. [AB] ≅ [BC] ≅ [AC] ise ABC üçgeni eflkenar üçgendir. A A B B A A A B C C BC B |AB| ≠ |BC| ≠ |AC| Çeflitkenar üçgen A A A B C C B B C |AB| = |AC| ≠ |BC| ‹kizkenar üçgen A B C C C |AB| = |BC| = |AC| Eflkenar üçgen 2. Aç›lar›na Göre Üçgen Çeflitleri a. Dar aç›l› üçgen: Bütün aç›lar› dar aç› olan üçgenlere dar aç›l› üçgen denir. b. Dik üçgen: Bir aç›s› dik aç› olan üçgenlere dik üçgen denir. Dik aç›n›n karfl›s›ndaki kenara hipotenüs, di¤er kenarlara da dik kenar ad› verilir. m(ëA) = 90° ise ABC üçgeni dik üçgendir. [BC] kenar› üçgenin hipotenüsü, [AB] ve [AC] kenarlar› da dik kenarlard›r. Üçgenin di¤er aç›lar› dar aç›d›r. Niçin? m(ëA) < 90°, m(ëB) < 90° ve m(ëC) < 90° ise ABC üçgeni dar aç›l› üçgendir. c. Genifl aç›l› üçgen: Bir aç›s› genifl aç› olan üçgenlere genifl aç›l› üçgen denir. m(ëA) > 90° ise ABC üçgeni genifl aç›l› üçgendir. Üçgenin di¤er aç›lar› dar aç›d›r. Niçin? C A C A B B C C A A C B C B A A Dar aç›l› üçgen Dik üçgen Genifl aç›l› üçgen m(ëA) < 90°, m(ëB) < 90° m(ëA) = 90°, m(ëB) < 90° m(ëA) > 90°, m(ëB) < 90° m(ëC) < 90° m(ëC) < 90° m(ëC) < 90° B B ÜÇGEN‹N YARDIMCI ELEMANLARI 1. Kenarortay: Bir üçgenin bir köflesini karfl› kenar›n orta noktas›na birlefltiren do¤ru parças›na o kenara ait kenarortay› denir. A A F G B D C B D E C |BD| = |DC| ⇔ [AD], [BC] kenar›na [AD] ∩ [BE] ∩ [CF] = {G} ise ait kenarortay G, ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezidir. 64 |BD| = |DC| ise |AD| = Va |EC| = |EA| ise |BE| = Vb |AF| = |FB| ise |CF| = Vc ABC üçgeninin a, b ve c kenar›na ait kenarortaylar›n›n uzunluklar› s›ras›yla Va, Vb ve Vc ile gösterilir. Bir üçgenin üç kenarortay› üçgenin içinde bir noktada kesiflirler. Bu noktaya üçgenin a¤›rl›k merkezi denir. 2. Aç›ortay: Bir üçgenin bir aç›s›n›n aç›ortay›n›n karfl›s›ndaki kenar› kesti¤i nokta ile aç›n›n köflesini birlefltiren do¤ru parças›na üçgenin o aç›s›na ait aç›ortay› denir. Bir üçgenin iç aç›lar›n›n aç›ortaylar›na iç aç›ortay, d›fl aç›lar›n›n aç›ortaylar›na da d›fl aç›ortay denir. F A F |AD| = nA |BE| = nB |CF| = nC E I B E K A A C D B [AE] ⊥ [AD] D C B C [AD] ∩ [BE] ∩ [CF] = { I } [BK ∩ [CK ∩ [AK = {K} m(BéAE) = m(CéAE) ise [AE], BAC aç›s›n›n iç aç›ortay›, m(CéAD) = m(DéAF) ise [AD], BAC aç›s›n›n d›fl aç›ortay› olur. Üçgenin A, B ve C aç›lar›na ait iç aç›ortaylar›n›n uzunluklar› nA, nB ve nC ile gösterilir. Bir üçgenin üç iç aç›ortay› üçgenin içinde bir noktada kesiflir. (Bu nokta üçgenin iç te¤et çemberinin merkezidir.) Bir üçgende herhangi iki d›fl aç›ortay ile di¤er köfledeki iç aç›ortay da bir noktada kesiflir. 3. Yükseklik: Bir üçgenin bir köflesinden, karfl› kenar do¤rusuna indirilen dikmenin, karfl› kenar› kesti¤i nokta ile köfleyi birlefltiren do¤ru parças›na, üçgenin o kenar›na ait yüksekli¤i denir. A A A K L H B D C D B C [AD] ⊥ [BC] [AD] ⊥ [CB m(ëB) < 90°, m(ëC) < 90° m(ëB) > 90° C D B [AD] ∩ [BL] ∩ [CK] = {H} |AD| = ha, |BL| = hb, |CK| = hc Bir ABC üçgeninin a, b ve c kenarlar›na ait yüksekliklerinin uzunluklar› s›ras›yla ha, hb ve hc ile gösterilir. Üçgende üç yükseklik bir noktada kesiflir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi ad› verilir. ÜÇGENDE AÇILAR ARASINDAK‹ BA⁄INTILAR Teorem : Bir üçgende, bir d›fl aç›n›n ölçüsü, kendisine komflu olmayan iki iç aç›n›n ölçüleri A toplam›na eflittir. E Hipotez : ABC bir üçgen ise Hüküm : m(AéCD) = m(ëA) + m(ëB) dir. ‹spat : [CE // [AB] çizelim. B 1. m(DéCE) = m(ëB) C D 2. m(EéCA) = m(ëA) 3. m(DéCE) + m(EéCA) = m(ëB) + m(ëA) 4. m(AéCD)=m(ëA)+m(ëB) Sonuç : Bir üçgende bir d›fl aç›n›n ölçüsü, kendisine komflu olmayan iç aç›lar›n her birinin ölçüsünden daha büyüktür. 65 Teorem : Bir üçgenin iç aç›lar›n›n ölçüleri toplam› 180° dir. Hipotez : ABC bir üçgen ise A Hüküm : m(ëA) + m(ëB) + m(ëC) = 180° dir. ‹spat : [BC ›fl›n›n› çizelim. 1. m(AéCD) = m(ëA) + m(ëB) B C D 2. m(AéCD) + m(ëC) = 180° 3. m(ëA) + m(ëB) + m(ëC) = 180° Örnek : ABC üçgeninde; m(AéBC) = x, m(EéAC) = y, m(DéCA) = z ve x + y + z = 256° oldu¤una göre, x kaç derecedir? Çözüm : ABC üçgeninde; 1. y + z + 180° − x = 360° (Üçgenin d›fl aç›lar›n›n ölçüleri toplam›) 2. y + z = 180° + x 3. x + y + z = x + 180° + x = 256° ⇒ 2x = 76° ⇒ x = 38° bulunur. Örnek E A y z x B C : Yandaki flekilde; D A m(ëA) = a , m(ëB) = b a m(ëC) = c , m(ëD) = x ise x = a + b + c oldu¤unu gösteriniz. D x b c B Çözüm : [AD n› çizelim. C 1. m(BéDE) = m(ëB) + m(BéAD) 2. m(EéDC) = m(ëC) + m(CéAD) A 3. m(BéDE) + m(EéDC) = m(ëB) + m(ëC) + m(CéAD) + m(BéAD) a 4. m(BéAC) = m(CéAD) + m(BéAD) D 5. m(BéDC) = m(ëB) + m(ëC) + m(ëA) 6. x = a + b + c olur. x b c B C E Örnek : Yandaki flekilde; A, B ve C noktalar› do¤rusal E [AE] // [CD], |AE| = |AB| ve |BC| = |CD| ise D m(EéBD) kaç derecedir? Çözüm : B noktas›ndan [BF // [AE] çizelim. A 1. m(EéBF) = m(AéEB) = α C B 2. m(FéBD) = m(BéDC) = β E 3. m(AéEB) = m(AéBE) = α α F D β 4. m(BéDC) = m(DéBC) = β α 5. 2α + 2β = 180° A 6. m(EéBD) = α + β = 90° dir. 66 α B β β C Örnek : fiekildeki ABC üçgeninde; [BE] ve [CF] iç aç›ortay, A M m(KéDC) = x, m(AéEL) = y z ve m(BéFM) = z ise x + y + z = 270° oldu¤unu gösteriniz. y F E B Çözüm : Bir üçgende iç aç›ortaylar ayn› noktada kesiflti¤inden [AD], A köflesinden geçen iç aç›ortayd›r. Bundan dolay›; C D x K m(BéAD) = m(CéAD) = a, A m(AéBE) = m(CéBE) = b ve a a M m(BéCF) = m(AéCF) = c olsun. ABC üçgeninde, 2a + 2b + 2c = 180° ⇒ a + b + c = 90° ve z b DAC üçgeninde, m(KéDC) = x = 2c + a L y F I L E c c b B C D x K ABE üçgeninde, m(AéEL) = y = 2a + b BCF üçgeninde, m(MéFB) = z = 2b + c olur. x + y + z = 2c + a + 2a + b + 2b + c = 3(a + b + c) = 3.90 = 270° bulunur. Teorem Hipotez Hüküm ‹spat : : : : Bir ikizkenar üçgende tabana ait kenarortay, ayn› zamanda yükseklik ve aç›ortayd›r. ABC ikizkenar üçgeninde; |AB| = |AC| ve [AD] kenarortay ise [AD] hem yükseklik hem de aç›ortayd›r. A 1. |AB| = |AC| 2. m(ëB) = m(ëC) 3. |BD| = |DC| 4. A¿BD ≅ A¿CD B 5. m(BéAD) = m(CéAD) olur ve [AD] aç›ortayd›r. D C 6. m(BéDA) = m(CéDA) = 90° olur ve [AD] yüksekliktir. Sonuç : Bir eflkenar üçgenin bütün kenarlar›na ait kenarortay, aç›ortay ve yüksekliklerinin uzunluklar› eflittir. Teorem : Bir üçgende herhangi bir kenara ait kenarortay uzunlu¤u, ait oldu¤u kenar›n uzunlu¤unun yar›s›na eflit ise bu üçgen dik üçgendir. A Hipotez : ABC üçgeninde; |AD| = |DB| = |DC| ise Hüküm : m(ëA) = 90° dir. ‹spat B : |AG| = |GG'| olacak flekilde [AD] n› uzatal›m. Bu durumda BG'CG paralelkenar olur. 67 D C b2 = 9p 2 4 c2 AFC üçgeninde b 2 + = 9t 2 4 +_______________ c2 + ABE üçgeninde a2 = 9(p 2 + t 2 ) 4 5a 2 olur. p2 + t 2 = 36 CGG' üçgeninde kenarortay teoremine göre; 5. 2 a (2k)2 (2t) + (2p) = 2. + 2 2 2 2 A a 2 4k 2 4.(t 2 + p 2 ) = 2. + 4 2 5a 2 a 2 2 4. = + 2k 36 2 5a 2 a 2 − = 2k 2 9 2 10a 2 − 9a 2 = 2k 2 18 a 2 = 36k 2 b 2 c 2 F 2k t E b 2 p G 2t c 2 2p C k a 2 D a 2 B a = 6k a = 3k olur. 2 2p k 2t G′ Yani, |AD| = |DB| = |DC| bulunur. Teorem : Bir dar aç›s›n›n ölçüsü 30° olan dik üçgende bu aç› karfl›s›ndaki dik kenar›n uzunlu¤u hipotenüsün uzunlu¤unun yar›s›na eflittir. A Hipotez : ABC dik üçgeninde; m(ëA) = 90° ve m(ëB) = 30° ise AC = Hüküm : BC 30° dir. 2 : [AD] kenarortay›n› çizelim. |AD| = |DB| = |DC| ve ‹spat D B m(ëC) = 60° oldu¤undan ACD eflkenar üçgendir. Buradan, AC = CD = uzunlu¤u, di¤er dik kenar uzunlu¤unun ñ3 kat›d›r. Niçin? Siz bulunuz. Örnek : Yandaki ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC], m(AéBC) = 30°, |BC| = 4 cm ise |AC| ve |AB| nu bulunuz. Çözüm : ABC dik üçgeninde; 2 BC bulunur. 2 : Bir dik üçgende dar aç›lardan birisi 60° ise bu aç›n›n karfl›s›ndaki dik kenar Sonuç AC = C BC 2 = 2 A 30° B 4 4 = 2 cm olur. Bu üçgende Pisagor teoreminden de 2 BC = AB + AC 2 2 2 ⇒ 4 2 = AB + 22 ⇒ AB = 16 − 4 = 12 ⇒ AB = 2 3 cm bulunur. |AB| = |AC| . ñ3 oldu¤una dikkat ettiniz mi? 68 C UYGULAMALAR Örnek : Yandaki flekilde; |AB| = |AC| |CE| = |CD|, |BD| = |BC| A D ve m(AéBD) = 25° ise E m(DéCE) kaç derecedir? 25° B C Çözüm : m(DéBC) = x olsun. m(AéBC) = m(AéCB) = x + 25° (|AB| = |AC|) m(BéDC) = m(BéCD) = m(DéEC)= 90° – A x 2 D E m(DéCE) = x x 25° x x m(BéCD) = 90° – = x + 25° + x 2 25°+x B C ⇒ x = 26° dir. Örnek A : fiekildeki ABC üçgeninde; m(AéBC) = 45° ve m(AéCB) = 15° ise AC BC 45° B oran›n› bulunuz. 15° C Çözüm : [CH] yüksekli¤ini çizelim. H x m(HéAC) = 45°+15° = 60° ve m(AéCH) = 30° olur. A AHC dik üçgeninde, |AC| = 2x ise |HC| = ñ3x ve BHC ikizkenar dik üçgeninde de BC = 2x 6x = 2 6 = 2x 30° 45° |BC| = ñ2.|HC| = ñ6x dir. AC ñ3x 60° 15° ñ6x B C 6 bulunur. 3 A Örnek : Yandaki flekilde; [AD] ⊥ [BC], |BD| = |EA| = |EC| ve E m(EéBC) = 26° ise DAC aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz. F 26° Çözüm : [DE] n› çizelim. |DE| = |EA| = |EC| |BD| = |DE| ve B D C A BDE üçgeninde; m(EéBD) = m(DéEB) = 26° m(AéDE) = 90° − (26° + 26°) = 38° olup E F ADE ikizkenar üçgeninde, m(DéAE) = m(AéDE) = 38° bulunur. 26° 26° B 69 D C Örnek ve BE = : Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [BC], |AD| = |DC| AE = A DE ise 3 2 AED aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz. D E C B Çözüm : [DF] ⊥ [AB] çizelim. |BE| = x olsun. |AE| = 3x, |DE| = 2x ve |AB| = 4x dir. AF = FB = A 2x AB = 2x 2 EFD dik üçgeninde |DE| = 2.|EF| oldu¤undan D F x E x m(EéDF) = 30° ve m(FéED) = 60° bulunur. 2x C B Örnek : Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [AC], |BD| < |DC|, A 15° |BC| = 2.|AD| ve m(BéAD) = 15° ise ACB aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz. B C D Çözüm : ABC dik üçgeninin [AE] kenarortay›n› çizelim. EC = AE = BC 2 = AD d›r. A α 15° AEC ikizkenar üçgeninde, m(AéCE) = m(EéAC) = α 90°–α |AD| = |AE| ve m(AéDE) = m(AéED) = 2α ve 2α 2α ABC dik üçgeninde, m(AéBC) = 90° − α olur. ABD üçgeninde; B D α C E m(AéDE) = m(BéAD) + m(AéBC) ⇒ 2α = 15° + 90° − α ⇒ 3α = 105° ⇒ α = 35° bulunur. Örnek : Yandaki ABC üçgeninde; |BD| = |DC|, |AB| = |EC|, [ED] ⊥ [BC] ve A 125° m(AéED) = 125° ise ABC aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz. B E C D Çözüm : [BE] n› çizelim. |BD| = |DC|, [ED] ⊥ [BC] verildi¤inden |EB| = |EC| = |AB| olup BEC ve BAE ikizkenar üçgenlerdir. A 2α 2α E 90°–α m(EéBC) = m(EéCB) = α m(BéED) = 90° − α ve m(BéAE) = m(BéEA) = 2α ve B m(AéED) = 2α + 90° − α = 90° + α = 125° ⇒ α = 35° olur. ABC üçgeninde, m(AéBC) = 180° − 3α = 180° − 3.35° = 75° bulunur. 70 α α D C Örnek : Yandaki flekilde; m(CéAB) = 60° [DC] ⊥ [AC], [DB] ⊥ [AB], |DB| = 7 cm ve |DC| = 4 cm ise |AB| nu bulunuz. C 4 D 7 60° A B Çözüm : [BD ve [AC ›fl›nlar› E noktas›nda kesiflsin. E ECD ve EBA üçgenlerinde m(ëE) = 30° olur. |ED| = 2.|CD| = 2.4 = 8 cm ve AB = EB 3 = 15 3 8 30° C 4 = 5 3 cm bulunur. D 7 60° A B C A Örnek : Yandaki flekilde, P noktas›n›n [OA ve [OB ›fl›nlar›na göre simetrikleri P s›ras›yla C ve D noktalar› ve m(CéPD) = 150° ise OCD üçgeninin eflkenar oldu¤unu gösteriniz. 150° O B D Çözüm : [OP] n› çizelim. C A m(AéOB) = 180° − m(CéPD) = 180° − 150° = 30° |OP| = |OC| = |OD| m(DéOB) = m(BéOP) = α ve m(AéOC) = m(AéOP) = 30° − α olur. P α α O 150° B m(CéOD) = 2.m(BéOP) + 2.m(AéOP) = 2α + 2.(30° − α) = 60° bulunur ve COD ikizkenar üçgeninin eflkenar oldu¤u görülür. D F Örnek : Yandaki flekilde; |AB| = |AC|, P ∈ [BC] B, A, F do¤rusal, P, E, F do¤rusal, [PF] ⊥ [BC] ve [AH] ⊥ [BC] ise |PE| + |PF| = 2.|AH| oldu¤unu gösteriniz. A E B H C P Çözüm : m(ëB) = m(ëC) = α olsun. BPF üçgeninde, m(ëF) = 90° − α F 90°–α A EPC üçgeninde, m(PéEC) = 90° − α = m(AéEF) m(ëF) = m(AéEF) ve |AE| = |AF| olur. [AK] ⊥ [EF] çizelim. |FK| = |KE| ve |AH| = |PK| d›r. 2.|AH| = 2.|PK| = 2.|PE| + 2.|EK| = |PE| + (|PE| + |EK| + |KF|) 2.|AH| = |PE| + |PF| bulunur. 71 K 90°–α E 90°–α α B α H P C ALIfiTIRMALAR A 1. Yandaki flekilde; E, B ve C noktalar› ile E, F ve D noktalar› do¤rusal, y D m(ëA) = y, m(ëE) = x, m(ëB) = z ve m(ëD) = a oldu¤una göre a = y + z − x oldu¤unu gösteriniz. a F x E z C B A 80° 2. Yandaki flekilde; [AB] // [CD], D 35° [AD] // [BC], m(ëD) = 80°, m(BéAE) = 35° ve E m(BéCE) = 25° oldu¤una göre m(AéEC) kaç derecedir? 25° B c C C 3. Yandaki flekilde verilenlere göre b + c + d − a = 360° oldu¤unu gösteriniz. F B b a D d E A A 4. Yandaki flekilde; [BE], ABD aç›s›n›n [CE], ACD aç›s›n›n aç›ortaylar›d›r. z E x D m(ëA) = z, m(ëE) = x ve m(ëD) = y oldu¤una göre 2x = y + z ba¤›nt›s›n›n do¤rulu¤unu gösteriniz. y B C C D 5. Yandaki flekilde; m(ëE) = 100° m(ëA) = a, m(ëB) = b, m(ëC) = c m(ëD) = d oldu¤una göre a + b + c + d toplam› kaç derecedir? 100° A E B A 6. Yandaki ABC üçgeninde; [BD] ve [CE] E aç›ortaylar, m(AéEC) = 72° ve m(AéDB) = 60° oldu¤una göre A aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? 72° 60° C B A 7. Yandaki ABC üçgeninde; [BD] ve [CD] iç aç›ortaylard›r. A, D, E ve F noktalar› do¤rusal, m(BéDE) = 80° ve m(EéDC) = 70° oldu¤una göre BEF aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? D 80° 70° B 72 D E C F A 8. Yandaki ABC üçgeninde; [BE ve [CI] iç aç›ortay, [CE d›fl aç›ortayd›r. E 25° m(CéEB) = 25° oldu¤una göre m(BéIC) kaç derecedir? I B C A 9. Yandaki ABC üçgeninde [AD] aç›ortay ve |AB| > |AC| ise ) − m(B ) m(C m(AéDB) = 90° + oldu¤unu gösteriniz. 2 B C D A 10. Yandaki ABC üçgeninde; [BK ve [CK d›fl aç›ortaylard›r. x B m(BéKC) = 40° oldu¤una göre m(BéAK) = x kaç derecedir? C K A 11. Yandaki ABC üçgeninde; [BD] ⊥ [AC] ve [CE] ⊥ [AB] dir. [BF] ve [CF], HBC üçgeninin iç 70° D E H aç›ortaylar› ve m(BéAC) = 70° ise BFC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? F B C A 12. Yandaki ABC üçgeninde; |AB| = |AC|, F 40° m(ëA) = 40° ve [DF] ⊥ [AB] oldu¤una göre E m(ëD) kaç derecedir? B D C B 13. Yandaki flekilde; A, C ve D noktalar› do¤rusald›r. [DA ⊥ [DE], [CB ⊥ [CE] ve x m(ëE) = 44° ise m(AéCB) = x kaç derecedir? D C A 44° E A 14. Yandaki ABC üçgeninde; [AD] ⊥ [BC] ve [CE] ⊥ [AB] E F ve m(BéCE) = 40° oldu¤una göre m(BéAD) + m(AéFC) kaç derecedir? B 73 40° D C 15. Bir ABC üçgeninin iç aç›lar›n›n ölçüleri 3, 4 ve 8 ile do¤ru orant›l›d›r. Bu üçgenin aç›lar›n›n ölçülerini hesaplay›n›z. A 16. Yandaki ABC üçgeninde; [AD] aç›ortay ve m(ëB) − m(ëC) = 24° oldu¤una göre m(AéDC) kaç derecedir? B D C D 17. Yandaki fleklin A, B, C, D ve E köflelerindeki aç›lar›n ölçüleri toplam›n›n 180° oldu¤unu gösteriniz. E C B A D 18. Yandaki flekilde; m(AéCD) = m(DéCE), z m(BéAC) = x, m(DéBE) = y, m(BéDC) = z ve x − y = 80° oldu¤una göre z kaç derecedir? A x y B C E A E 19. Yandaki flekilde; [AE ⊥ [BE, [BC ⊥ [AC, m(PéAE) = m(PéAC) ve m(PéBE) = m(PéBC) oldu¤una göre P m(AéPB) kaç derecedir? B C D 20. Yandaki flekilde; m(AéDF) = m(DéFE), m(AéBE) = m(BéEF) ve m(DéAB) = 80° E C oldu¤una göre, m(BéCD) kaç derecedir? 80° F B A 21. Yandaki ABC üçgeninde; [AD] ve [CD] iç aç›ortaylar, [AE ve [CE d›fl aç›ortaylard›r. E A m(AéDC) = 3x + 50° ve m(AéEC) = x − 10° ise m(AéEC) kaç derecedir? D B 74 C A 22. ABC üçgeninde; [AD] ve [CF] iç aç›ortaylar, F E 85° m(AéDC) = 100° ve m(AéEB) = 85° ise CFB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? 100° D B C E A 23. Yandaki ABC üçgeninde; [AD] ve [BD] aç›ortaylar ve D m(AéCD) = 40° ise ADB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? 40° B C A 24. Yandaki ABC üçgeninde; [AD] ve [BD] aç›ortaylar ve D m(AéDB) = 7.m(BéCD) ise ADB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? B C A 25. Yandaki ABC üçgeninde; [BD] ve [CE] aç›ortaylar [AK] ⊥ [BD] ve [AL] ⊥ [CE] dir. α D E K L m(KéAL) = α ise BAC aç›s›n›n ölçüsünü α cinsinden bulunuz. I B C A 26. Yandaki ABC üçgeninde; [BD] aç›ortay, D m(BéAC) = 2.m(BéDC) ve m(AéCD) = 50° ise ACB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? 50° B C A 27. Yandaki ABC üçgeninde; m(AéBE) = m(CéBE), m(BéCF) = m(EéCF), E m(EéFC) = m(BéAC) ve m(CéDK) = 70° ise AFB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? F B D 70° K C 28. Bir ABC üçgeninin d›fl aç›lar›n›n ölçüleri 3, 4 ve 6 ile ters orant›l›d›r. Bu üçgenin en küçük iç aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz. 75 A F 29. Yandaki ABC üçgeninde; |BF| = |BD|, E |EC| = |CD| ve m(FéDE) = 50° ise A aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz. 50° D B C A 30. Yandaki ABC üçgeninde; |AC| = |BC| ve |AB| = |AD| = |DC| oldu¤una göre m(ëC) kaç derecedir? B C D A 31. Yandaki ABC üçgeninde; |AB| = |BC|, |AC| = |DC| ve 24° m(BéAD) = 24° oldu¤una göre m(ëB) kaç derecedir? D B C A 32. Yandaki ABC üçgeninde; m(DéAE) = x, |AD| = |DB| ve |AE| = |EC| oldu¤una göre BAC aç›s›n›n ölçüsünü x cinsinden hesaplay›n›z. x B D E C A 33. Yandaki ABC eflkenar üçgeninde; [AH] ⊥ [EC], |AD| = |DC| ve |AH| = |EB| oldu¤una göre m(ëE) kaç derecedir? D E B C H B‹R ÜÇGEN‹N AÇILARI ‹LE KENARLARI ARASINDAK‹ BA⁄INTILAR Teorem : Bir üçgenin iki kenar› efl de¤ilse, bunlar›n karfl›lar›ndaki aç›lar da efl de¤ildir ve daha uzun olan kenar karfl›s›ndaki aç› daha büyüktür. A Hipotez : ABC üçgeninde; |AC| > |AB| ise Hüküm : m(AéBC) > m(AéCB) dir. ‹spat : [AC] do¤ru parças› üzerinde |AB| = |AD| olacak flekilde bir D noktas› alal›m. 1. m(AéBD) = m(AéDB) (ikizkenar üçgen özelli¤i) D B 2. m(AéBD) + m(DéBC) = m(AéBC) 3. m(AéBC) > m(AéBD) 4. m(AéDB) = m(ëC) + m(DéBC) 5. m(AéDB) > m(ëC) 6. m(AéBC) > m(AéBD) > m(ëC) olur. Sonuç : 1.Bir ABC üçgeninde; a < b <c ⇔ m(ëA) < m(ëB) < m(ëC) olur. 2. Bir ABC üçgeninde; A, B ve köflelerindeki d›fl aç›lar› A1, B1 ve C1 ise a < b < c ⇔ m(ëA1) > m(ëB1) > m(ëC1) olur. 76 C Örnek : ABC üçgeninde; |AB| = 10 cm, |AC| = 12 cm ve |BC| = 9 cm ise iç aç›lar›n›n ölçüleri aras›ndaki s›ralamay› bulunuz. A 9 12 Çözüm : 9< 10 < 12 ⇒ |BC| < |AB| < |AC| oldu¤undan yukar›daki C 10 B sonuç 1 gere¤ince; m(ëA) < m(ëC) < m(ëB) bulunur. Örnek : Yandaki ABC üçgeninde; m(BéAD) = m(EéAC) = 26°, A m(AéBD) = 36° ve m(AéCE) = 32° ise ADE üçgeninin kenarlar›n›n uzunluklar› aras›ndaki s›ralamay› bulunuz. 26° 26° Çözüm : m(AéDE) = m(AéBD) + m(BéAD) = 36° + 26° = 62° m(AéED) = m(AéCE) + m(CéAE) = 32° + 26° = 58° m(DéAE) = 180°−[m(AéDE)+m(AéED)] = 180°−(62° + 58°) = 60° bulunur. O hâlde ADE üçgeninin kenar uzunluklar› aras›ndaki s›ralama |AD| < |DE| < |AE| olur. 36° 32° E D B C ÜÇGEN Efi‹TS‹ZL‹⁄‹ Teorem : Bir üçgenin herhangi iki kenar›n›n uzunluklar› toplam›, üçüncü kenar›n uzunlu¤undan büyüktür. D Hipotez : ABC bir üçgen ise Hüküm : |AC| + |AB| > |BC| olur. A : [CA] n›n uzant›s›nda |AD| = |AB| olacak flekilde bir D noktas› alal›m. ‹spat B 1. m(AéDB) = m(AéBD) C 2. m(CéBD) = m(AéBD) + m(AéBC) 3. m(CéBD) > m(AéBD) = m(AéDB) 4. |DC| > |BC| 5. |DC| = |AD| + |AC| 6. |AD| + |AC| > |BC| 7. |AB| + |AC| > |BC| olur. Kenar uzunluklar› a, b ve c olan ABC üçgeninde; Teorem den b < a + c ⇒ a > b − c ve a < b + c ⇒ b > a − c veya c > a − b ba¤›nt›lar› yaz›labilir. O hâlde bir ABC üçgeninin kenar uzunluklar› aras›nda; A b c B a C 1. |b − c| < a < b + c 2. |a − c| < b < a + c 3. |a − b| < c < a + b eflitsizlikleri vard›r. Sonuç : Bir üçgende herhangi bir kenar›n uzunlu¤u, di¤er iki kenar›n uzunluklar› toplam›ndan küçük, fark›n›n mutlak de¤erinden büyüktür. (üçgen eflitsizli¤i) 77 Örnek : Yandaki dörtgende; |AB| = 12 cm, |BC| = 7 cm, |CD| = 8 cm ve |DA| = 6 cm ise |AC| nun alabilece¤i de¤erleri bulunuz. Çözüm : ABC üçgeninde üçgen eflitsizli¤inden; 12 − 7 < |AC| < 12 + 7 ⇒ 5 < |AC| < 19 ve DAC üçgeninde üçgen eflitsizli¤inden; 8 − 6 < |AC| < 8 + 6 ⇒ 2 < |AC| < 14 olur. Buradan 5 < |AC| < 14 bulunur. D 8 6 A C 12 7 B Örnek : Yandaki ABC üçgeninde; |BC| = 12 cm, |AB| = 2x + 3 cm, |AC| = x + 6 cm oldu¤una göre, x in alabilece¤i kaç tam say› de¤eri vard›r? A x+6 2x + 3 Çözüm : ABC üçgeninde üçgen eflitsizli¤inden; B 2x + 3 − (x + 6) < 12 < 2x + 3 + (x + 6) ⇒ x − 3 < 12 < 3x + 9 ⇒ x < 15 ∧ x > 1 ⇒ 1 < x < 15 olur. O hâlde x in alabilece¤i 13 tam say› de¤eri vard›r. 12 C ALIfiTIRMALAR A 1. Yandaki flekildeki A¿BC nde; |BD| = |AD|, |AE| = |EC| m(AéBD) = 32° ve m(AéCE) = 30° ise A¿DE nin kenarlar›n› küçükten büyü¤e do¤ru s›ralay›n›z. 30° 32° B D E C A 60° 63° a B d D e m(BéCA) = 58° ve m(AéCD) = 59° ise a, b, c, d ve e uzunluklar› aras›ndaki s›ralamay› yap›n›z. c b 2. Yandaki flekilde; m(BéAC) = 60°, m(CéAD) = 63° 58° 59° C A 3. Yandaki flekildeki A¿BC nde; m(ëA) < 90° |AB| = 7 cm ve |AC| = 9 cm ise |BC| = a n›n alaca¤› tam say› de¤erlerini bulunuz. B A 5 6 C B 7 10 A 5. Yandaki flekildeki; |AB| = 4 cm, |AD| = 5 cm ve |DC| = 6 cm ise |BD| nun alabilece¤i en küçük tam say› de¤erini karfl›l›k |BC| = x in alabilece¤i en büyük tam say› de¤eri nedir? D 6 x C 6. Yandaki A¿BC nde; |AB| = 3x cm, |AC| = 5x cm ve |BC| = 14 cm ise x in alabilece¤i tam say› de¤erlerini bulunuz. 5x 14 5 4 B A B a 4. Yandaki flekildeki; m(ëA) >90° |AB| = 5 cm, |AC| = 6 cm, |BD| = 7 cm ve |DC| = 10 cm ise |BC| nun alabilece¤i tam say› de¤erlerinin toplam›n› bulunuz. D 3x 9 7 C 78 C TEST A C 1. Yandaki flekilde; D, B ve C noktalar› do¤rusald›r. 18° 2|AD| = |BC|, m(BéAC) = 90° ve m(DéAB) = 18° ise m(AéBC) = α kaç derecedir? A) 45 B) 46 C) 56 D) 65 α E) 66 D B D A 80° 2. Yandaki flekilde; [BE ile [CE aç›ortaylar, |CE| = |CD| ve E m(BéAC) = 80° ise m(CéDE) kaç derecedir? A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70 B C A E 3. Yandaki flekilde; |AB| = |BE|, [AC] aç›ortay 108° m(AéBC) = 90° ve m(AéDB) = 108° ise m(DéBC) kaç derecedir? A) 46 B) 48 C) 50 D) 52 E) 54 D B C A 4. Yandaki flekilde; |AB| = |AE|, |BD| = |DC| ve m(EéBC) = 18° ise m(AéBD) = x kaç derecedir? A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 D E x E) 38 18° B C A 5. Yandaki flekilde; [DF], BDE aç›s›n›n aç›ortay› [DE] // [AB], |AB| = |BD| ve m(BéCA) = 34° ise m(DéFE) = x kaç derecedir? A) 66 B) 64 C) 62 D) 56 D x E) 54 F B 34° E C A 6. Yandaki flekildeki; m(BéED) = 80°, m(DéFC) = 50° x y F m(EéBD) = m(BéAD) = x ve m(DéAC) = m(DéCF) = y ise m(BéAC) kaç derecedir? A) 50 B) 45 C) 40 D) 35 50° E E) 30 x 80° y D B C F 7. Yandaki flekilde; |AB| = |AC|, [AH] ⊥ [BC] [AH] // [FD], |ED| = 5 cm ve |EF| = 8 cm ise |AH| kaç cm dir? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 A 8 E 5 B 79 H D C A 6 8. fiekildeki ABC eflkenar üçgeninde; [DE] ⊥ [AC] 2|EC| = 3|BD| ve |AD| = 6 cm ise ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir? A) 27 B) 30 C) 33 D) 36 E) 39 E D B C A 9. Yandaki flekilde; m(FéCA) = 60°, [DF] ⊥ [AC] [AB] ⊥ [FC], |AE| = 3 cm ve |EF| = 5 cm oldu¤una göre, A) CD BF y 3 D E oran› kaçt›r? 5 3 16 3184163 4 13 1318 4 13 416131816 18 3 4 133 16 18 B) C) D) E) 2 2 3 15 3 15 15 13 2 2 3 15 15 13 315151315 13 2 3 15 15 13 60° F C B A 10. Yandaki flekilde; m(ëA) = 90°, m(ëC) = 30° [NH] ⊥ [BC], [BN] aç›ortay ve |BC| = 18 cm oldu¤una göre, |NH| = x kaç cm dir? A) 3 B) 4 C) 3ñ3 D) 6 N x E) 4ñ3 30° B H A C 25° 11. fiekildeki ABC üçgeninde; |AB| = |AC| E |DB| = |DC|, [BE] ⊥ [AC] ve m(CéAD) = 25° oldu¤una göre, m(BéDE) kaç derecedir? A) 115 B) 120 C) 125 D) 130 E) 135 B D C A 5 7 12. Yandaki flekilde; |AB| = 7 cm, |AD| = 5 cm ve |BC| = 6 cm dir. |BD| nun en küçük tam say› de¤eri için |CD| = x in alabilece¤i en büyük tam say› de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 D B x 6 C 1-E 2-E 3-E 4-D 5-D 6-D 7-B 80 8-D 9-D 10-C 11-D 12-B TEST 1. Yandaki flekilde; m(AéBL) = m(DéBL) A m(AéCK) = m(EéCK), [BL] ⊥ [AL] 80° L [CK] ⊥ [AK] ve m(BéAC) = 80° oldu¤una göre LAK aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 115 B) 120 C) 125 D) 130 E) 135 K B D 2. Yandaki flekilde; |FC| = |AC| − |AB|, C A |BD| = |DC|, [ED] ⊥ [BC] ve m(AéBE) = 30° ise FBC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 E F 30° B C D 3. Yandaki ABC dik üçgeninde; [AB] ⊥ [AC], |BD| = |DC| ve |AB| = |AE| = E A E EC oldu¤una göre 2 DEC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60 B D C A 4. fiekildeki ABC dik üçgeninde; [AB] ⊥ [BC] m(BéAD) = m(DéAC) ve |DC| = |EC| ise ADE aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 25 B) 30 C) 40 D) 45 E) 60 E D B C E 5. fiekilde, C noktas›n›n [OA ve [OB ›fl›nlar›na göre dik simetrikleri s›ras›yla D ve E dir. B m(EéCD) = 130° oldu¤una göre OED aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 C 130° A O D 6. fiekildeki ABC ikizkenar üçgeninde; [AD] ⊥ [AC], |AB| = |AC| ve |BD| = |AD| ise A) ñ2 B)2 3 2 AC BD A oran› kaçt›r? 3C) ñ3 5 B D) 2 C D E) ñ5 A 7. Yandaki flekilde; ABC eflkenar üçgen, [DE] ⊥ [AB], |AE| = 7 cm ve |DC| = 3 cm ise |AC| = x kaç cm dir? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 7 x E B 81 D 3 C A 8. Yandaki flekilde; ABC eflkenar üçgen, 15° m(CéAD) = 15° ve |AD| = ñ6 cm ise |BC| = x kaç cm dir? B) ñ2 A) 1 C) ñ3 ñ6 E) ñ5 D) 2 B x D C A 9. Yandaki flekilde; ABC eflkenar üçgen, [DH] ⊥ [AC], [EK] ⊥ [AC], |AE| = |EB| ve |DB| = 2|DC| ise A) 3 7 B) 3 5 K E AK KH oran› kaçt›r? C) H 1 3 D) 4 7 E) B 5 7 C D A 10. Yandaki flekilde; [DE] ⊥ [BC] [BD] ve [AD] aç›ortay, |AB| = 9 cm, |BE| = 5 cm ve |EC| = 8 cm ise |AC| = x kaç cm dir? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 9 x D B 5 E C 8 A 11. Yandaki flekilde; |AH| = |HB| |AK| = |KC|, [DH] ⊥ [AB] [KE] ⊥ [AC] ve |BC| = 10 cm ise ADE üçgeninin çevresi kaç cm dir? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 K H E) 11 B C D E E 12. Yandaki A¿BC nde; |DB| = |DF|, A |AF| = |AE| ve m(AéCB) = 48°, E, F ve D noktalar› do¤rusal ise ABC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 36 B) 38 C) 40 D) 42 E) 44 F 48° B C D A 13. Yandaki A¿DC nde; |AB| = |AC| |DA| = |BC| ve [AB] ⊥ [AC] ise BAD aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 1-D 2-B 3-C 4-D 5-E D E) 24 6-C 7-B 82 8-D 9-A C B 10-B 11-D 12-E 13-B D‹K ÜÇGENDE METR‹K BA⁄INTILAR Teorem : Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, üçgeni birbirine ve kendisine benzer iki üçgene ay›r›r. A Hipotez : ABC üçgeninde m(ëA) = 90° ve [AH] ⊥ [BC] ise Hüküm : A¿BH ~ C¿AH ~ C¿BA dir. ‹spat B : 1. m(ëB) = m(ëB) C H 2. m(BéAC) = m(BéHA) = 90° (Hipotezden) 3. A¿BH ~ C¿BA olur. (1, 2. ve A.A. benzerlik teoreminden) 4. m(ëC) = m(ëC) 5. m(CéHA) = m(CéAB) = 90° (Hipotezden) 6. C¿AH ~ C¿BA (4, 5. ve A.A. benzerlik teoreminden) 7. A¿BH ~ C¿AH ~ C¿BA (3. ve 6. dan) ÖKL‹D TEOREMLER‹ Teorem : Bir dik üçgende; hipotenüse ait yüksekli¤in uzunlu¤u, hipotenüsten ay›rd›¤› do¤ru parçalar›n›n uzunluklar›n›n geometrik ortas›d›r. A Hipotez : ABC üçgeninde m(ëA) = 90° ve [AH] ⊥ [BC] ise h 2 Hüküm : |AH| = |BH|.|HC| dir. ‹spat BH = : A¿BH ~ C¿AH AH B p H C k 2 ⇒ AH = BH . HC bulunur. AH CH ABC üçgeninde |AH| = h, |BH| = p ve |HC| = k ile gösterilirse h2 = p.k yaz›l›r. Teorem : Bir dik üçgende, bir dik kenar›n uzunlu¤u, hipotenüsün uzunlu¤u ile hipotenüse ait yüksekli¤in hipotenüsten ay›rd›¤› parçalardan kendisi taraf›nda kalan parças›n›n uzunlu¤unun geometrik ortas›d›r. A Hipotez : ABC üçgeninde m(ëA) = 90° ve [AH] ⊥ [BC] ise 2 c 2 Hüküm : |AB| = |BC|.|BH| ve |AC| = |BC|.|HC| dur. ‹spat : Teoremden; A¿BH ~ C¿BA BH BA = AB CB B 2 p H ⇒ AB = BC . BH ve C¿AH~C¿BA ⇒ Sonuç b CA = CH 2 ⇒ AC = BC . CH olur. CB CA : ABC üçgeninde; |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c, |BH| = p ve |HC| = k ise c2 = p.a ve b2 = k.a ⇒ b2 k = olur. c2 p 83 k C Örnek : Yandaki flekilde; ABC dik üçgen [AB] ⊥ [AC], [AD] ⊥ [BC], |BD| = 2 cm, |DC| = 6 cm oldu¤una göre, [AB], [AD] ve [AC] n›n uzunluklar›n› bulunuz. A B 2 D C 6 2 Çözüm : |AD| = ha ⇒ ha = |BD| . |DC| 2 ha = 2 . 6 = 12 ha = 2 12 = 2 3 cm bulunur. 2 |AB| = |BD| . |BC| |AC| = b2 = 6.8 c2 = 2.8 = 16 b= 48 |AB| = c = 4 cm bulunur. |AC| = b = 4 3 cm bulunur. A Örnek : Yandaki ABC dik üçgeninde; m(ëA) = 90°, [AH] ⊥ [BC], |AB| = 12 cm ve |HC| = 7 cm oldu¤una göre, |BH|, |AC| ve |AH| uzunluklar›n› bulunuz. b 12 B h p H C 7 Çözüm : ABC üçgeninde Öklid ba¤›nt›lar›ndan; 2 |AB| = |BC|.|BH| ⇒ 122 = p.(p+7) ⇒ p2 + 7p − 144 = 0 ⇒ p = 9 cm, 2 |AC| = |BC|.|CH| ⇒ b2 = 7.16 ⇒ b = 4ñ7 cm ve 2 |AH| = |BH|.|HC| ⇒ h2 = 9.7 ⇒ h = 3ñ7 cm bulunur. Örnek : Bir dik üçgende; 1. Dik kenarlar›n uzunluklar› çarp›m›, hipotenüs uzunlu¤u ile hipotenüse ait yüksekli¤in uzunlu¤u çarp›m›na eflit, 2. Hipotenüse ait yüksekli¤in uzunlu¤unun karesinin tersi, dik kenarlar›n uzunluklar›n›n karelerinin tersleri toplam›na eflit oldu¤unu gösteriniz. Çözüm : ABC dik üçgeninde (m(ëA) = 90°) ve [AH] ⊥ [BC] ise 1. |AB|.|AC| = |BC|.|AH| veya b.c = a.h 2. 1 AH 2 = 1 AC 2 + 1 AB 2 veya 1 1 1 = 2+ 2 2 h b c A c B p b h H 7 oldu¤unu gösterelim. C¿AH ~ C¿BA dir. CA 1. 2. CB = AH BA ⇒ AB . AC = BC . AH veya b.c = a.h olur. (Üçgenin benzerli¤inden) 1 1 k+p a 1 1 1 1 olur. (Öklid ba¤›nt›lar›ndan) + = + = = = = b 2 c 2 p.a k.a k.p.a k.p.a k.p h2 84 C Örnek : ABC üçgeninde; [AB] ⊥ [BC], [BH] ⊥ [AC], A H |AB| = 2ñ5 cm ve |BC| = 4ñ5 cm ise |BH|, |AH| ve |HC| uzunluklar›n› bulunuz. 2ñ5 B 1 Çözüm : 1. BH 2 1 = AB 2 1 + BC 2 1 ⇒ BH 2 = C 4ñ5 1 1 1 + = ⇒ BH = 4 cm, 20 80 16 2. AB . BC = BH . AC ⇒ 2 5.4 5 = 4. AC ⇒ AC = 10 cm, 2 3. AB = AH . AC ⇒ 20 = AH .10 ⇒ AH = 2 cm, 2 4. BC = CH . AC ⇒ 80 = CH .10 ⇒ CH = 8 cm bulunur. P‹SAGOR TEOREM‹ Teorem : Bir dik üçgende; hipotenüsün uzunlu¤unun karesi, dik kenarlar›n uzunluklar›n›n kareleri toplam›na eflittir. A Hipotez : ABC üçgeninde; [AB] ⊥ [AC] ise 2 2 2 Hüküm : |BC| = |AC| + |AB| dir. ‹spat : [AH] ⊥ [BC] çizelim. 2 1. |AC| = |CH|.|CB| 2 2. |AB| = |BH|.|BC| 2 2 2 2 B C H (Öklid ba¤›nt›s›ndan) (Öklid ba¤›nt›s›ndan) 3. |AC| + |AB| = |CH|.|CB| + |BH|.|BC| (1. ve 2. den) 2 4. |AC| + |AB| = (|CH|+|BH|).|BC| = |BC|.|BC| = |BC| olur. A Örnek : fiekildeki ABC üçgeninde; [AH] ⊥ [BC], |AB| = 10 cm, |BH| = 6 cm ve |HC| = 15 cm ise |AC| uzunlu¤unu bulunuz. Çözüm : ABH dik üçgeninde Pisagor teoreminden; 2 2 2 2 2 2 2 10 B 6 H 2 |AB| = |BH| + |AH| ⇒ 102 = 62 + |AH| ⇒ |AH| = 64 ⇒ |AH| = 8 cm dir. AHC dik üçgeninde Pisagor teoreminden; 2 2 |AC| = |AH| + |HC| ⇒ |AC| = 82 + 152 ⇒ |AC| = 289 ⇒ |AC| = 17 cm bulunur. 85 15 C F B Örnek d1 : Yandaki flekilde; d1 // d2 m(FéBP) = m(AéBP), m(EéAP) = m(BéAP) |AB| = 10 cm ve |AP| = 4ñ5 cm ise d1 ve d2 do¤rular› aras›ndaki uzakl›k kaç cm dir? 10 P 4ñ5 E A Çözüm : P noktas›ndan [PH] ⊥ [AB] [PD] ⊥ [AE] ve [PK] ⊥ [BF] dikmelerini çizelim. [BP] ve [AP] aç›ortay oldu¤undan d2 F B d1 H |PH| = |PD| = |PK| ve m(BéPA) = 90° olur. APB dik üçgeninde; P 4ñ5 2 PB = 102 − (4 5)2 = 100 − 80 = 20 ⇒ PB = 2 5 cm E A d2 ve AB . PH = PA . PB ⇒ 10. PH = 4 5.2 5 ⇒ PH = 4 cm bulunur. d1 ve d2, do¤rular› aras›ndaki uzakl›k; |KD| = |PD| + |PK| = 2.|PH| = 2.4 = 8 cm dir. Örnek : Yandaki ABC üçgeninde; [AB] ⊥ [AC] [DE] ⊥ [BC], |AD| = |DB|, |BE| = 5 cm ve |EC| = 13 cm ise |AC| uzunlu¤u kaç cm dir? A D Çözüm : DEB ve DEC üçgenlerinde Pisagor teoreminden; 2 2 2 2 |DE| = |BD| − |BE| = |DC| − |EC| 2 B 5E 13 C 2 2 ⇒ |DC| − |BD| = 132 − 52 = 144 olur. DAC dik üçgeninde Pisagor teoreminden de; 2 2 2 2 2 |AC| = |DC| − |DA| = |DC| − |BD| = 144 ⇒ |AC| = 12 cm dir. ALIfiTIRMALAR A 1. Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [AC], [AH] ⊥ [BC] 3ò13 2ò13 |AB| = 2ò13 cm ve |AC| = 3ò13 cm oldu¤una göre, |AH| uzunlu¤u kaç cm dir? B C H A 2. Yandaki ABC dik üçgeninde; [AD] kenarortayd›r. [AH] ⊥ [BC] ve AH AD = AB 4 oldu¤una göre kaçt›r? AC 5 B 86 H D C A 3. Yandaki ABC dik üçgeninde; m(ëA) = 90°, 2ñ5 [AH] ⊥ [BC], |AB| = 2ñ5 cm ve |HC| = 8 cm oldu¤una göre |BH|, |AH| ve |AC| nu bulunuz. B C 8 H A 4. fiekildeki ABC üçgeninde; [AB] ⊥ [BC] |AD| = |DC| = 5 cm, |BE| = 1 cm ve |EA| = 7 cm ise BED aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? 5 7 D 5 E 1 C B TEST A 1. Yandaki flekilde; [AD] ⊥ [BC] |AB| = |DC|, |BD| = 1 cm ve |AC| = 7 cm ise |AB| kaç cm dir? A) 4 B) 9 11 C) 5 2 2 9 11 D) 2 2 7 E) 6 B D 1 C A 2. Yandaki flekilde; [EF] // [BC] [BD] ve [CD] aç›ortay, |AB| = 20 cm, |BC| = 16 cm ve |AC| = 28 cm ise |EF| kaç cm dir? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 28 20 E) 13 D E B F C 16 A 3. Yandaki flekilde; |AB| = |AC| |BC| = |BD|, |AB| = 9 cm ve |AD| = 5 cm ise BCD üçgeninin çevresi kaç cm dir? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 5 D 9 C B A 4. Yandaki flekilde; |AB| = |AC| m(AéDB) = 60°, |AD| = 6 cm ve |DC| = 7 cm ise |BD| = x kaç cm dir? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 6 60° B 87 x D 7 C A 5. Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [AC] m(AéDB) = 45°, |AD| = 6ñ2 cm ve |CD| = 2 cm ise |BC| = x kaç cm dir? A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 6ñ2 B x C 45° 2 D E) 11 A 6. Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [AC] |AB| = |AD| = 15 cm ve |BD| = 18 cm ise |AC| = x kaç cm dir? A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 15 x 15 B E) 24 18 C D A 7. Yandaki flekilde; m(AéBD) = m(AéDB) |AC| = 9 cm ve |BD| = |DC| = 4 cm ise |AB| = x kaç cm dir? 13 15 13 15 A) 6 B) C) 7 D) 2 2 2 2 x 9 E) 8 B 4 D 4 C A 8. Yandaki flekilde; |AB| = |AC| m(AéDB) = 60°, |BD| = 8 cm ve |AD| = 5 cm ise |DC| = x kaç cm dir? 5 7 5 7 A) 1 B) 2 C) D) 3 E) 2 2 2 2 5 60° B 1-C 2-D 3-B 4-E 5-C 88 8 6-A D x 7-C C 8-E