PDF ( 3 ) - İstatistikçiler Dergisi
Transkript
PDF ( 3 ) - İstatistikçiler Dergisi
www.istatistikciler.org statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 statistikçiler Dergisi Kredibilite kuram nda panel veri modelleri ve trafik sigortas için bir uygulama Cenap Erdemir Asl han entürk Hacettepe Üniversitesi Fen Fakültesi Aktüerya Bilimleri Bölümü 06800-Beytepe, Ankara,Türkiye cenap@hacettepe.edu.tr Hacettepe Üniversitesi Fen Fakültesi Aktüerya Bilimleri Bölümü 06800-Beytepe, Ankara,Türkiye aslihans@hacettepe.edu.tr Özet Bu çal mada, kredibilite kuram ve panel veri regresyon modelleri genel hatlar yla aç klanm , kredibilite modelleri ile panel veri modelleri aras ndaki ba!lant ara t r lm t r. En fazla kesinlik kredibilite yakla m alt nda verilen Bühlmann, Bühlmann-Straub ve Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelleri, kar k do!rusal modellerin özel durumlar olarak incelenmi tir. Trafik sigortas na ili kin veri kümesi kullan larak, bu kredibilite modelleri alt nda, Türkiye’nin tüm illeri için kredibilite primleri hesaplanm t r. Anahtar sözcükler : Kredibilite kuram ; Kredibilite modelleri; Kredibilite primi; Panel veri modelleri; Kar k do!rusal modeller; En iyi do!rusal yans z önkestirici. Abstract Panel data models in credibility theory and an application for the motor third party liability insurance In this study, credibility theory and panel data regression models are explained in general terms, the link between the credibility models and panel data models is investigated. Bühlmann, Bühlmann-Straub and Jewell’s hierarchical credibility models that are given under greatest accuracy credibility approach, are examined as special cases of mixed linear models. By using data set concerning the motor third party liability insurance, the credibility premiums are calculated under these credibility models for all provinces of Turkey. Keywords: Credibility theory; Credibility models; Credibility premium; Panel data models; Mixed linear models; Best linear unbiased predictor. 1. Giri Aktüerya bilimlerinde, kredibilite kelimesi ilk olarak, aktüerin fiyatland rma yaparken, bir k s m sigortal n n deneyimine ne ölçüde güvenmesi gerekti!ini belirtmek üzere, güvenin ölçüsü olarak kullan lm t r [15]. Kredibilite kuram , geçmi hasar bilgileri bilinen, benzer risk birimlerinden olu an bir grupta, herhangi bir birimin gelecek dönemdeki beklenen hasar n n kestiriminde kullan lan yöntemleri inceler [8]. Panel, zaman içinde aral ks z olarak gözlemlenen bireylerden olu an bir grup olarak tan mlanmaktad r. Panel veri regresyon modelleri, bireyler aras ndaki heterojenlik kayna! na göre, sabit etkiler modeli ve rassal etkiler modeli olarak iki temel model alt nda incelenmektedir. Kar k do!rusal modeller (mixed linear models), sabit ve rassal etkileri ayn modelde bar nd ran esnek modellerdir. A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 18 Bu çal mada, kredibilite kuram ile panel veri modelleri aras ndaki ba!lant incelenmi tir. Kredibilite fiyatlar n n kestiriminde en iyi do!rusal yans z önkestiriciler kullan larak, Bühlmann, Bühlmann-Straub ve Jewell’in hiyerar ik kredibilite modellerinin, kar k do!rusal modellerin özel durumlar olarak gösterimine de!inilmi tir. Be inci bölümde, gerçek bir veri kümesi kullan larak, Bühlmann, BühlmannStraub ve Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelleri alt nda, veri kümesindeki tüm birimler için kredibilite primleri elde edilmi tir. 2. Kredibilite kuram Bir poliçe sahibinin hasar deneyimi, uygulanan net prim için varsay landan daha iyi ise, bu poliçe sahibinin, prim indirimi talebinde bulunma olas l ! her zaman vard r. Bir risk grubunda tüm risklerin homojen oldu!u varsay larak risk grubunun beklenen hasar hesaplan r ve bu net prim olarak gruptaki her bireye uygulan r. Oysa, risk birimleri aras nda farkl l klar n olmas do!ald r. Bu nedenle, baz poliçe sahipleri, hasar deneyimlerinin varsay landan daha iyi olmas na ra!men, daha fazla prim ödediklerini dü ünerek, prim indirimi talebinde bulunabilirler. Benzer biçimde, sigorta portföyünde, risk primi veya net prim hesab nda varsay landan daha kötü hasar deneyimine sahip poliçe sahipleri de bulunmaktad r ve adil olunmas için, bu poliçe sahiplerinin daha fazla prim ödemeleri istenmelidir. Bu durumda sigortac u soruyla kar kar yad r: Poliçe sahibinin hasar deneyimi, fiyatland rma yap l rken ne kadar güvenilirdir, ne kadar itibarl d r? Baz yakla mlar alt nda, kredibilite kestiricisi (hasar say s , hasar miktar , risk primi v.b için) C, C = Z R + (1 Z ) H (1) e itli!inden hesaplan r. E itlik (1)’deki gibi kredibilite faktörü ile a! rl kland r lm biçimde hesaplanan primler, kredibilite primi olarak adland r lmaktad r [13]. Burada, R güncel gözlemlerin ortalamas n , H ise önsel ortalamay gösterir. Z kredibilte faktörü olarak tan mlan r. Z , güncel gözlemlere verilen a! rl ! , ( 1 Z ) ise geçmi gözlemlere verilen a! rl ! gösterir [10]. Ba ka bir aç dan bak ld ! nda R, sigorta portföyündeki herhangi sigortal n n geçmi hasar bilgisi ve H, portföye ili kin bilgiye göre hesaplanan ortalama olarak da ifade edilir. Z = 1 olmas durumunda, bir sonraki döneme ili kin kestirim, tamamen sigortal n n hasar deneyimine göre yap lm olur. Sigortal ya ili kin gözlem say s az ise Z de!eri 0’a yakla r ve bu durumda, kredibilite kestirimi, tüm portföyün ortalamas na yak n olarak elde edilir. Portföy homojen ise, ki ilere yüklenecek net prim, genel ortalama olarak belirlenebilir. Di!er yandan, sigortal lar n geçmi hasar bilgisi yeterince geni ve portföy heterojen ise, sigortal n n bireysel ortalamas prim olarak belirlenebilir [4]. 2.1. Kredibilite yakla56mlar6 Kredibilite kuram nda kullan lan kredibilite yakla mlar üç temel ba l k alt nda s n fland r labilir, 1. S n rl Dalgalanmal Yakla m, 2. Bayesci Yakla m, 3. En Fazla Kesinlik Yakla m (Greatest Accuracy Approach) [10]. En fazla kesinlik yakla m nda kredibilite faktörleri, Bayesci bir modelde optimal katsay lar olarak elde edilmektedir. Bu nedenle kredibilite kuram , s n rl dalgalanmal kredibilite kuram ve en fazla kesinlik kredibilite kuram olarak iki yöntem alt nda incelenmektedir [13]. A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 19 2.1.1. Bayesci yakla56m risk parametresi ile tan mlans n fakat Belli bir risk s n f ndaki her poliçe sahibinin risk seviyesi de!eri her poliçe sahibine göre de!i sin. parametresi var oldu!u fakat gözlenemedi!i için gerçek de!erinin hiçbir zaman bilinmedi!i varsay l r. parametresi poliçe sahibine göre de!i ti!i için, bir olas l k da! l m vard r. 7’ n n olas l k fonksiyonu ( ) ile gösterilirse, 7 bir rastlant de!i keni olmak ( ) = P( üzere da! l m fonksiyonu, < ) biçiminde gösterilir. T = 1, 2,..., T , T + 1 dönemi için, Yt , bir poliçe sahibinin t zaman döneminde gözlenen hasar miktar veya hasar say s olsun ve Yt ’ ler birbirinden ba! ms z olsun. = verilmi ken, Yt ’nin ko ullu olas l k fonksiyonu fYt ( yt ) olarak gösterilsin. Yt ’ler ba! ms z olmalar na ra!men ayn da! l ma sahip olmak zorunda de!ildir. Amaç, poliçe sahibinin bir sonraki dönemdeki hasar n önkestirimi bulmakt r. ‘in da! l m ile ilgilenilir. bilinseydi fYt ( yt ) kullan labilirdi. = ko ulu alt nda YT +1 bilinmedi!inde, ayn poliçe sahibi ko ulu yerine y ko ulu getirilir ve Y=y verilmi ken için geçmi hasar bilgisi, y bilinir. Bu nedenle, YT +1 ’in ko ullu da! l m elde edilir. kesikli da! l yor ise hesaplamalar integraller yerine toplamlar ile yap l r. Yt ’ler = ko ulunda birbirinden ba! ms z oldu!u için, T ( y, ) = f ( y1 , y2 ,..., yT ) ( ) = fY , t =1 fYt (y ) ( ) t (2) yaz l r. Y ‘nin bile ik da! l m , fY ( y ) = T t =1 fYt ( y ) ( )d (3) t biçiminde elde edilir. E itlik (3)’te, T yerine T+1 yaz l rsa Y1 , Y2 ,..., YT +1 ’in bile ik da! l m elde edilir. Y=y verilmi ken, Y1, Y2, ..., YT , ’ nin bile ik da! l m ndan yararlanarak, ’ n n sonsal yo!unlu!u a a! daki biçimde elde edilir, T Y ( y) = fY , ( y , ) fY (Y ) = t =1 fYt ( yt ) ( ) fY (Y ) (4) E itlik (4) kullan larak, YT +1 ’in ko ullu yo!unlu!u, fYT +1 Y ( yT +1 y ) = = fYT +1 ( yT +1 ) Y ( y ) fY ( y ) d fY ( y ) fYT +1 ( yT +1 ) Y ( (5) y) d A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 20 biçiminde elde edilmektedir. Y=y gözlem de!erleri üzerinden YT +1 ‘in beklenen de!eri kestirilebilir. E!er biliniyorsa fYT +1 ( yT +1 ) fonksiyonundan yararlan larak, hipotetik (varsay msal) ortalama veya bireysel prim, µT +1 ( ) = ( YT +1 = ) = yT +1 fYT +1 ( yT +1 ) dyT +1 (6) biçiminde elde edilir. E itlik (6)’ da yerine yerle tirilirse hipotetik ortalaman n beklenen de!eri, µ = µT +1 = ( YT +1 ) = = ) = ( YT +1 [ µT +1 ( )] (7) biçiminde gösterilir. E itlik (7)’den görüldü!ü gibi, net prim (pure premium) veya genel prim (collective premium) hipotetik ortalamalar n beklenen de!eri olarak hesaplan r. Bu yöntem, birey hakk nda bir bilgi olmad ! nda, risk parametresi veya y bilinmedi!inde kullan lmaktad r. de!erinin bilinmemesi durumunda, YT +1 ‘in veya beklenen de!erinin kestiriminde izlenecek en iyi yol, Y=y gözlem verilerinden yararlanmakt r. Bu durumda, sigortal n n, T+1 zaman ndaki Bayesci primi, ( YT +1 Y = y ) = yT +1 fYT +1 Y ( yT +1 y ) dyT +1 (8) ( YT +1 Y = y ) = µT +1 ( ) (9) veya Y ( y)d biçiminde elde edilir [14]. 2.1.2. En fazla kesinlik yakla56m6 Bühlmann, µT +1 ( ) = E (YT +1 = ) olmak üzere, E µT +1 ( ) Y1 , Y2 ,..., YT ‘nin kestiriminde, geçmi hasar bilgisini kullanarak, hata kareler ortalamas en küçük olacak biçimde bir yakla m kullanm t r. Bayesci yakla mda verilen varsay mlar alt nda, t {1, 2,3,..., T } olmak üzere, Yt , herhangi bir poliçe sahibinin, t zaman döneminde olu an hasar miktar olsun. olsun. T 0 + Bu yakla mda, ko ulu alt nda, Yt ’ler birbirinden ba! ms z t do!rusal fonksiyonu kullan larak Yt 0, 1 ,..., T ‘lerin kestiricileri t =1 bulunmaktad r. de!erleri, a a! daki karesel hata kay p (squared error loss) fonksiyonunun beklenen de!erini en küçük yapacak de!erler almal d r, Q=E ! µT +1 ( ) 2 T (10) t Yt 0 t =1 " A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 E itlik (10)’daki fonksiyonun en küçük de!er almas n sa!layan gösterilsin. Bu kestiricilerin elde edilmesiyle birlikte olu turulan 0 + 21 de!erleri T tE t =1 (Yt ) 0, 1 ,..., T olarak fonksiyonu, kredibilite primi olarak adland r l r. Bu nedenle, kredibilite primleri, E (YT +1 Y ) Bayesci primi, YT +1 ve E (YT +1 ) için en iyi do!rusal yans z kestiricileridir. Q’ nun en küçük de!er almas için ‘lara göre türevi al n r ve s f ra e itlenir. Bir dizi i lemlerden sonra T say da e itlik elde edilir ve 0 , 1 ,..., T için çözümlenir. E (Yt ) = µ Var (Yt ) = # 2 ve ? korelasyon katsay s olmak üzere iGj için Cov (Yt , Ys ) = $# 2 varsay ls n. Bu varsay mlar alt nda, 0 = t = 0 ve t a a! daki e itliklerden elde edilir, (1 $)µ 1 $ +T$ $ 0 µ (1 $ ) (11) = $ 1 $ +T$ (12) Sonuç olarak bireyin kredibilite primi, 0 + T t Yt t =1 = (1 $)µ + 1 $ +T$ T t =1 $Yt 1 $ +T$ (13) = (1 Z ) µ + Z Y biçiminde elde edilir. E itlik (13)’te Y = T 1 T Yt biçiminde ve kredibilite faktörü, Z = T?/(1-?+ T?) biçiminde hesaplan r. Bu t =1 ko ulu alt nda Yt ’nin ortalama, varyans ve Cov (Ys , Yt ) ’nin yakla mda kredibilite primi, varsay mlar na ba!l olarak Bühlmann modeli ve Bühlmann-Straub kredibilite modeli ile hesaplanmaktad r [14]. 3. Panel veri analizi Panel verinin tan m , bireylerin gözlemlenmesinden gelmektedir. Panel, zaman içinde aral ks z olarak gözlemlenen bireylerden olu an bir gruptur. Panel veri kümesi, zaman serileri ve yatay kesitlerin (cross section) birle mesinden olu an veri kümesidir [9]. Yatay kesitsel regresyon veri kümesi gibi panel veri kümeleri de bireylerin bir yatay kesitinden olu ur ancak bu bireyler zaman üzerinde gözlemlenir. Zaman serileri verisinden farkl olarak, panel veri kümelerinde birçok birey incelenir. Bu tip veri kümeleri kullan larak, de!i kenler aras ndaki istatistiksel ili kilerin kestirilmesi yöntemine, panel veri analizi denir. Panel veri analizi ve panel veri modelleri için yeterince kaynak mevcuttur [11][1][7]. yit , t zaman döneminde i. birey için ba! ml de!i keni göstersin. Bir panel veri kümesi, her bir i = 1, 2,..., n ve t = 1, 2,..., Ti de!erleri için i. bireyin t zaman dönemlerinde olu an gözlem de!erlerinden olu ur. Ti , i. birey için gözlem say s n göstermektedir. Ti bireyden bireye de!i iyorsa, bu tip veri kümesine, dengeli olmayan (unbalanced) veri kümesi denir. Her bireyin gözlem say s n n e it oldu!u veri kümesine ise, dengeli (balanced) veri kümesi denir [7]. A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 22 3.1. Panel veri regresyon modelleri Bireyler, zaman üzerinde izlenirse bireysel davran lar modellenebilir. Birçok veri kümesinde bireyler birbirinden farkl d r bir di!er deyi le heterojendir. Bu heterojenli!in, modele dahil edilme biçimine göre modeller tan mlanmaktad r. Yatay kesitsel regresyon analizinde, yit = + xit' % + & it , t = 1, 2,..., Ti , i = 1, 2,..., n (14) modelin sabit terimini, & it hata terimini ve xit aç klay c modelleri kullan lmaktad r. Burada, de!i kenleri temsil eder. Bu modellerde, bireyler aras ndaki farklar hata terimi ile aç klanmaktad r. Panel veri, bu farkl l ! n modellenmesi imkan n vermektedir. Bireyler aras ndaki bu heterojenli!i içeren temel panel veri modeli a a! daki gibi gösterilir, yit = i + xit' % + & it , t = 1, 2,..., Ti , i = 1, 2,..., n (15) Yatay kesitsel çal malarda, Ti = 1 için bu modelin parametreleri kestirilemezken, panel veri kümesinde, 1 , 2 ,..., n ve D parametrelerinin kestiriminin yap lmas için yeterince gözlem bulunmaktad r. Modelde, i gibi bireysel (subject-specific) parametreler ile bireyler aras ndaki heterojenli!in kontrol edilmesi sa!lan r. I. II. { i} ‘ler için iki temel model kullan lmaktad r: { i } ‘lerin sabit bilinmeyen parametre olarak varsay ld ! sabit etkiler (fixed effects) modeli, { i } ‘lerin bilinmeyen bir kitleden geldi!i ve rassal oldu!unun varsay ld ! rassal etkiler (random effects) modeli [7]. 3.1.1. Kar656k doErusal modeller Kar k do!rusal modeller, hem rastgele etki hem de sabit etkiyi ayn modelde bar nd ran esnek modellerdir. Panel veri modeli, yit = xit % + zit i + & it (16) biçiminde verilsin. i = 1, 2,..., n ve Ti ( T (maksimum zaman dönemi say s ) olmak üzere i bireyi Ti zamanda gözlensin. xit = ( xit ,1 , xit ,2 ,..., xit , K ) 1xK boyutlu gözlenen aç klay c de!i kenlerin sat r vektörü ve % = ( %1 , % 2 ,..., % K )' bunlara kar l k gelen bireysel olmayan parametrelerdir. zit = ( zit ,1 , zit ,2 ,..., zit , q ) , 1xq boyutlu di!er aç klay c de!i kenler, bir di!er ad yla göstermelik de!i kenlerin sat r vektörü ve ' i = i1, i2 , ... , iq , bunlara kar l k gelen bireysel parametrelerdir. & it , modelin hata terimidir. ( ) Bireyler aras nda ba! ml de!i kenler birbirinden ba! ms zd r fakat aralar nda özili ki de olabilir. i. birey için hata terimlerinin ortalamas , E ( & i ) = 01xTi biçiminde ve varyans kovaryans matrisi, Var ( & i ) = Ri biçiminde gösterilsin. Bireysel etki, { i } ‘ler birbirlerinden ba! ms zd r ve 0 ortalama, Dqxq ile gösterilen pozitif tan ml varyans kovaryans matrisi ile ayn da! l r. Bireysel etkiler ile hata terimleri aras nda ili ki olmad ! varsay l r :{tüm i, j, r ve t de!erleri için Cov jr , & it = 0 }. Bu varsay mlar alt nda i. bireyin ( ) varyans kovaryans matrisi a a! daki gibi elde edilir, Var ( yi ) = Z i D Z i' + Ri = Vi (17) A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 23 Vi matrisinin tüm i de!erleri için tersi al nabilir oldu!u varsay l r. Bu matris, varyans bile enleri olarak adland r lan ) parametreler vektörüne ba!l oldu!u için Vi () ) gösterimi kullan l r. Varyans bile enlerinin bilindi!i varsay m alt nda, D’n n genelle tirilmi en küçük kareler (GEKK) kestiricisi, bGEKK * =, . n X i'Vi 1 i =1 + Xi / 1 n X i'Vi 1 yi (18) i =1 e itli!i ile verilir [7]. Önkestirim Bir rastlant de!i keninin alaca! de!erin kestirimine, önkestirim denilmektedir. Sabit etkili do!rusal modellerde varyans kovaryans matrisinin bilindi!i varsay m alt nda genelle tirilmi en küçük kareler (GEKK) yöntemi kullan lmaktad r. Ancak, kar k do!rusal modellerde rastgele etkiler bulunmaktad r ve bu etkilerin kestirimi, genelle tirilmi en küçük kareler yöntemi ile elde edilememektedir. Bu sorun, en iyi do!rusal yans z önkestirici (EDYÖ) ile çözülebilmektedir. E( )=0 ve 0 ' bilinen bir matris olarak tan mlans n. 0 '% kestirilebilir bir fonksiyon olmak üzere % ve ’y birlikte içeren bir rastlant vektörü, w = 0 ' % + biçiminde tan mlans n. w rastlant de!i keni de hem rastgele etkiyi hem sabit etkiyi içerdi!i için w için yap lan kestirime, önkestirim denir. ŵ , w ’nun en iyi do!rusal yans z önkestiricisi ise a a! daki özellikleri sa!lamal d r: En Qyi: ŵ , E ( wˆ w )' ( wˆ w ) hata kareler ortalamas n en küçük yapan de!er olmal d r. Do!rusal: ŵ , y’nin do!rusal bir fonksiyonu olmal d r. Yans z: ŵ , E ( wˆ w ) = 0 ’ sa!layan bir de!er olmal d r [16]. E itlik (16)’deki kar k do!rusal modelde, i bireysel etkilerinin önkestirimi yap lmak istenirse, w = c' i ’nin do!rusal kombinasyonlar dü ünülmelidir. Bu durumda, E ( w ) = 0 oldu!u için 0 = 0 olur. Çe itli varsay mlar alt nda ve genel do!rusal önkestirimden yola ç k larak, w rastlant de!i keninin en iyi do!rusal yans z önkestiricisi a a! daki e itlikten elde edilir, wEDYÖ = c'D Z i'Vi 1 ( yi X i bGEKK ) Yukar daki e itlik tüm c' sabit vektörleri için geçerli oldu!undan, edilir [5], i , EDYÖ = D Z i'Vi 1 ( yi X i bGEKK ) (19) i ‘nin EDYÖ’sü a a! daki gibi elde (20) Varyans bile5enlerinin kestirimi Kar k do!rusal modellerde parametrelerin önkestiriminde en iyi do!rusal yans z önkestirici e itli!inden yararlan lmaktad r. Ancak bu e itli!in kullan lmas için her bireyin varyans kovaryans matrisinin (Vi) bilinmesi gerekmektedir. Vi bilinmiyor ise Vi = Z i D Z i' + Ri e itli!indeki D ve Ri ‘nin kestirilmesi gerekir. Bu iki matrisinin kestirimine varyans bile enlerinin kestirimi denir. Varyans bile enlerinin kestiriminde bir tak m yöntemler uygulanmaktad r. Bu yöntemlerden bir k sm normallik varsay m n gerektirirken, bir k sm gerektirmez. Normallik varsay m gerektirmeyen yöntemler, varyans analizi yöntemi (analysis of variance, ANOVA), en küçük normlu karesel yans z kestirim yöntemi (minimum norm quadratic unbiased estimation, MINQUE) ve Henderson’n n yöntemleridir. Normallik varsay m gerektiren yöntemler ise, en çok olabilirlik yöntemi (maximum likelihood, ML) ve s n rland r lm en çok olabilirlik (restricted A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 24 maximum likelihood, REML) yöntemidir. Her iki yöntemde de bir olabilirlik fonksiyonu maksimize edilmekte ve bu yöntemler, hem dengeli hem dengeli olmayan veri kümeleri için kullan lmaktad r. ANOVA yöntemi ise dengeli veri kümeleri için s kl kla kullan l rken, dengeli olmayan veri kümeleri için tercih edilen bir yöntem de!ildir. Çünkü, ANOVA yöntemi, dengeli veri kümesi için yans z ve en küçük varyansl kestirimler verirken, dengeli olmayan veri kümeleri için ayn sonuçlar veremeyebilir [16]. 4. Bühlmann, Bühlmann-Straub ve Jewell’in hiyerar ik kredibilite modellerinin panel veri modelleri ile yorumlanmas Kredibilite kuram nda ilgilenilen, geçmi gözlem de!erlerinden yararlan larak, gözlenemeyen risk de!i keninin, L ko ulunda bir sonraki dönemdeki beklenen hasar n n, µT +1 ( ) = E (YT +1 = ) kestirilmesiydi. Dannenburg [4], kredibilite modellerinin, aç klamas zor olan risk parametresi L ko ulunda olu turulmas durumunda, gruplar veya bireyler aras nda birden fazla risk parametresi olmas nedeniyle analizin zorla aca! n , bunun yerine risk de!i kenlerinin birbirinden ba! ms z varyans bile enlerine ayr lmas n n kolayl k sa!layaca! n belirtmi tir. Bir hasar, E ( yit i ) = zit i + xit % biçiminde rastgele bile enler ve sabit parametrelerin do!rusal kombinasyonu olarak ifade ediliyorsa, kredibilite kestiricileri, en iyi do!rusal yans z önkestiricilere e ittir [6]. Çal man n bu bölümünde, en fazla kesinlik kredibilite yakla m alt nda incelenen Bühlmann, Bühlmann-Straub ve Jewell’in hiyerar ik kredibilite modellerinin, kar k do!rusal modellerin özel durumlar olarak gösterimine de!inilecek ve bu modellerde, w = E yi ,Ti +1 i = xi ,Ti +1 % + zi ,Ti +1 i için en ( ) iyi do!rusal yans z önkestiricinin elde edilmesi aç klanacakt r. Bu k s mda kredibilite modelleri E itlik (16)’daki kar k do!rusal modeller türünden ifade edilmi tir. i=1,2,..,n olmak üzere i. birey Ti zaman üzerinde gözlensin. Kredibilite kuram nda, i. bireyin Ti+1. dönemde beklenen hasar n n kestirimi ile ilgilenilir. Panel veri ba!lam nda ise, w = E yi ,Ti +1 i = xi ,Ti +1 % + zi ,Ti +1 i ’nin kestirimi ile ilgilenilmektedir. Bu durumda, 0 ' = xi ,Ti +1 olur ve ( ) w’nin en iyi do!rusal yans z önkestiricisi, wEDYÖ = xi ,Ti +1 bGEKK + zi ,Ti +1 k s mda ilgilenilen modellerde xit = zit = 1 oldu!u için i , EDYÖ biçiminde elde edilir [5]. Bu wEDYÖ = bGEKK + i , EDYÖ biçiminde elde edilmektedir. 4.1. Bülmann kredibilite modeli yit ’ler t zaman döneminde i. bireyin ortalama hasar miktar , hasar oran veya poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar n göstersin. E itlik (16)’daki kar k do!rusal modelde, K=q=1, xit = zit = 1 ve %1 = µ de!erlerini ald ! nda a a! daki model elde edilir, yit = µ + i + & it , i = 1, 2,..., n ve t = 1, 2,..., Ti (21) E itlik (21)’de, . µ , portföydeki herhangi bir poliçe sahibinin ortalama hasar bir di!er deyi le genel ortalamad r. i , i. birey için ortalamadan sapma miktar olarak bireyler aras ndaki fark gösterir. & it ’ler, t zaman dönemi için ortalamadan sapmay gösterir. E ( boyutlu birim matris olmak üzere, Ri = Var ( & i ) = # 2 ITi Dannenburg [4], yit = µ + i + & it , dalgalanmalar n içeren yi ,Ti +1 = µ + ) = E (& it ) = 0 ’d r. Varyans bile enleri, IT , ve D = Var ( i ) = # 2 biçiminde gösterilir. i i = 1, 2,..., n ve t = 1, 2,..., Ti i i Ti xTi modelinde, i. birey için, & i ,Ti +1 + & i ,T +1 ’nin önkestiriminin yap lmas yerine, ayn sonucu verecek A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 ( biçimde risk primi olarak adland r lan ko ullu ortalama, E yi ,Ti +1 i 25 )=µ+ i ’nin kestirimi ile ilgilenmi tir. E itlik (21)’deki model, sabit etkiler modeli ise genel ortalama N, aç k biçimde yaz lmay p i ’nin içerisinde modele girer. Bu nedenle, i. bireyin ortalamas i dir. i ’nin en iyi do!rusal yans z kestiricisi yi ’ dir. Model, rassal etkiler modeli ise y , µ’nün, yi y ise i ‘nin istenen özellikleri sa!layan kestiricileridir. Bu durumda, yi , µ + i ’nin yans z kestiricisi olmas na ra!men etkin bir kestirici de!ildir. Bu kestirici, hata kareler ortalamas n en küçük yapan kestirici olmad ! için, daha küçük hatay veren kestirici, yi ve y ’nin do!rusal kombinasyonu olarak, c1 yi + c2 y biçiminde dü ünülebilir. Burada, c1 ve c2 sabit de!erlerdir ve yans zl ! n sa!lanmas için c2 = 1 c1 varsay l r. Hata kareler ortalamas n en küçük yapan c1, c1 = Ti # 2 # 2 + Ti# 2 (22) biçiminde elde edilir. E itlik (22)’de # 2 ve # 2 s ras yla i ve & it ’nin varyans d r. µ + önkestiricisi c1 = zi kredibilite faktörü olmak üzere, ( µ + i ) EDYÖ = zi yi + (1 i ’nin en iyi do!rusal yans z zi ) y (23) biçiminde elde edilir [7]. Bu e itlik, risk priminin Bühlmann kredibilite kestiricisini vermektedir. E!er, bireylerin gözlem say s de!i iklik gösteriyorsa, E itlik (23)’te y ’nin yerine, µ ’nün GEKK kestiricisi, n µˆGEKK = zi yi i =1 n yerle tirilir. zi i =1 4.2. Bülmann-Straub kredibilite modeli Bülmann&Straub [3], riske maruz kalan birim say lar n n bireylere göre farkl l k göstermesi durumunu dikkate alarak, Bühlmann kredibilite modelini geni letmi tir. Bühlmann modelinde oldu!u gibi, E itlik (16)’da verilen kar k do!rusal modelde K=q=1, xit = zit = 1 ve %1 = µ olsun. Bu varsay mlar alt nda, i. bireyin t zaman dönemindeki hasar deneyimi a a! daki gibi gösterilsin, yit = µ + i + & it , i = 1, 2,..., n t = 1,2,.., Ti (24) Bu modelde, yit ’ler, ortalama hasar miktar , hasar oran veya poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar olarak tan mlanabilir. yit , wit say da rastgele de!i kenin ortalamas olarak tan mlan r. Hata terimlerinin ortalamas , E ( & i ) = 01xTi ( ve varyans kovaryans matrisi, Ri = Var ( & i ) = # 2 kö5egen 1 / wi1 ,...,1 / wiTi biçiminde gösterilsin. Bireysel etki { varyans ile ayn da! l ma sahiptir. i i } ‘ler birbirlerinden ba! ms zd r ve 0 ortalama, D = Var ( i ) =# ) 2 ve & it ‘lerin birbirlerinden ba! ms z olduklar varsay l r. µ, # 2 ve # 2 parametreleri, portföyün risk yap s n karakterize etmeleri nedeniyle yap sal parametrelerdir [5]. A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 26 Bühlmann-Straub modelinde, simgesel olarak kolayl k sa!lanmas aç s ndan bireyler için zaman dönemlerinin e it oldu!u ve en yüksek de!erin T oldu!u varsay ls n. Kullan lacak olan kredibilite faktörü ve a! rl kl ortalamalara ili kin notasyonlar a a! da verilmektedir [4]: wi1 = T t =1 zi = T t =1 (25) wi1 i =1 # 2 wi1 , # 2 + # 2 wi1 yiw = n w11 = wit , wit yit , wi1 z1 = n (26) zi i =1 yww = n i =1 wi1 yiw , w11 y zw = n i =1 zi yiw z1 (27) E itlik (27)’de, yiw ’ ler a! rl kl bireysel ortalamalard r. Bu notasyonlar kullan larak, i. birey için Bühlmann Straub kredibilite kestiricisi, zi yiw + (1 zi ) µˆ (28) biçiminde elde edilir. µˆ = y zw , µ’nün GEKK kestiricisidir. Bu kestirici kullan larak, i ’nin EDYÖ’sü zi ( yiw y zw ) olarak elde edilir. Böylece, Bühlmann-Straub modelinde µ + i risk priminin kredibilite kestiricisi a a! daki biçmde elde edilir [5], µˆ GEKK + i , EDYÖ = zi yiw + (1 zi ) y zw (29) 4.3. Jewell’in hiyerar5ik kredibilite modeli Jewell [12], kredibilite kuram nda iki a amal hiyerar ik model ile çal m t r. Bir portföyün, i indisi ile gösterilen n sektöre ayr ld ! varsay ls n. Her sektörde de, j indisi ile gösterilen toplam J i hücre olsun. ( i, j ) hücresinde t indisi ile gösterilen Tij gözlem olsun. i. sektörde, j. bireyin t zaman döneminde gözlenen riski, yi jt = % + µi + 2 i j + & i j t , i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., J i , t = 1, 2,..., Ti j (30) biçiminde gösterilsin. Bu modelde, µi ve 2 ij ’lerin birbirinden ba! ms z oldu!u varsay l r. µi , i. sektördeki bireyler için, % ’dan sapma miktar n , 2 ij , i. sektördeki j. bireyin, ko ullu beklenen hasardan sapma miktar n ve & i j t , yi jt gözlem de!erinin % + µi + 2 i j ’den sapma miktar n gösterir. Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelinin E itlik (16)’da verilen kar k do!rusal model cinsinden gösterimine geçildi!inde, sektörlerdeki birey say s n n en fazla q = max ( J1 , J 2 ,..., J n ) oldu!u dü ünülsün. i. sektör için toplam zaman dönemi say s Ti = Ji Ti j dir. Yeni bir de!i ken, j =1 ij = µi + 2 i j tan mlans n ve i = ( i1 , i 2 ,..., iq )' biçiminde gösterilsin. Bu modelde aç klay c de!i ken olmad ! için X i = 1 , Ti x1 boyutlu bir (1) say s ndan olu an vektör olur. ek, k. eleman 1 olup, di!er elemanlar s f r (0) say s ndan olu an sütun vektörü ve 1rxs, r x s A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 27 ( boyutlu 1 say lar ndan olu an matris olmak üzere, Z i1 = e1 11xTi1 , e2 11xTi 2 ,..., eJi 11xTiJ i )' biçimimde tan mlans n. Bu tan ma göre, Z i = ( Z i1 0 ) olur. Burada 0, Ti x ( q J i ) boyutlu 0 say s ndan olu an ( Ri = Var ( & i ) = # 2 kö5egen 1 / wi jt matristir. tan mland ! nda, D = Var ( i ) ) = # µ2 1qxq + # 22 I q ‘dir. Var ( µi ) = # µ2 ve ( ) Var 2 ij = # 22 olarak biçiminde elde edilir [5]. Bühlmann-Straub modeline benzer olarak a! rl klar a a! daki gibi elde edilir, wi j1 = Tij wi11 = wi j t , t =1 Ji w111 = wi j1 , j =1 n wi 11 (31) i =1 (i,j) hücresi ve i. sektör seviyesinde kredibilite faktörleri s ras yla a a! daki gibi elde edilir ([4];[5]), zi j = zi = # 22 wi j1 (32) # 22 wi j1 + # 2 # µ2 zi1 (33) # µ2 zi1 + # 22 Poliçeler veya bireyler için a! rl kl ortalama ve kredibilite faktörü ile a! l kland r lm sektör ortalamas a a! daki biçimde hesaplan r, Ti j yi j w = yi z w = wi j t t =1 wi j1 Ji zi j j =1 zi1 (34) yi j t (35) yi j w Bu gösterimler kullan larak D parametresinin GEKK kestiricisi, n %ˆGEKK = y z zw = i =1 zi yi z w z1 (36) biçiminde elde edilir. Yukar da verilen notasyon ve kestiriciler kullan larak, µi ve 2 i j ’nin en iyi do!rusal yans z önkestiricileri, µi , EDYÖ = zi ( yizw 2 i j , EDYÖ = zi j ( yi jw y zzw ) zi yizw (37) (1 zi ) y z zw ) (38) biçimlerinde elde edilir. E itlik (37) ve (38) kullan larak, i. sektör ve (i,j) hücresi için risk priminin kredibilite kestiricileri s ras yla a a! daki gibi elde edilmektedir [5], %GEKK + µi , EDYÖ = zi yi zw + (1 zi ) y z z w (39) %GEKK + µi , EDYÖ + 2 i j , EDYÖ = zi j yi jw + (1 zi j ) zi yizw + (1 zi ) y z zw (40) A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 28 5. Uygulama Çal mada kullan lan veri kümesi, Trafik Sigortalar Bilgi Merkezinden (TRAMER) al nan, Karayollar Motorlu Araçlar Zorunlu Mali Sorumluluk Sigortas alt nda otomobil araç grubuna ili kin veri kümesidir. Yap lan hesaplamalarda, 2006, 2007, 2008 ve 2009 y llar nda, Türkiye’nin 81 ilinde ödenen hasar miktar , muallak hasar miktar ve yürürlükteki (meri) poliçe say lar ndan yararlan lm t r. yit = µ + i + & it , i = 1, 2,..., n ve t = 1, 2,..., Ti modeli dü ünüldü!ünde, i indisi ile gösterilen birimler/bireyler, illeri temsil etmektedir. Qller otomobil plaka kodlar na göre s ralanm t r. i. ilin t y l ndaki gözlem de!eri olan yit’ler, t y l nda ödenen hasar miktar ile muallak hasar miktar toplam n n, aylara göre verilen yürürlükteki poliçe say lar n n ortalamas na bölünmesiyle elde edilmi tir. Hesaplanan ortalama poliçe say lar , o y lda riske maruz kalan birim say lar olarak varsay lm t r. Bu poliçe say lar , Bühlmann-Straub ve Jewell’in hiyerar ik kredibilite modellerinde a! rl klar olu turmaktad r. Böylece, veri kümesi, otomobil araç grubu için, 2006, 2007, 2008 ve 2009 y llar nda, 81 ilin y ll k poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar ve a! rl klar temsil eden ortalama poliçe say lar ndan olu mu tur. Veri kümesinde, tüm illere ili kin bilgiler, dört y ll k zaman dönemi için elde edilmi tir. Tüm iller için zaman dönemi e it oldu!undan, veri kümesi dengeli bir veri kümesidir. Bireylerin ortalamalar ayn ise; genel ortalaman n kestirimi tüm bireylere prim olarak yüklenir. Bu nedenle, bireylerin grup ortalamalar n n ( µi = µ + i ) birbirine e it olup olmad ! test edilmelidir. Tek yönlü varyans analizi, iki veya ikiden fazla say da ba! ms z gruba ili kin ortalamalar n birbirine e it olup olmad ! n n test edilmesinde kullan lan bir yöntemdir. Verilen normal da! ld ! varsay m alt nda bu testte hipotezler öyledir [4]: H 0 = µ1 = µ2 = ... = µ n H1 = En az bir µi farkl6. Bu test için gruplar aras kareler toplam (GAKT) ve grup içi kareler toplam (GQKT) hesaplan r. Bu kareler toplam , serbestlik derecelerine bölündü!ünde gruplar aras ve grup içi ortalama elde edilmi olur. H0 hipotezinin test edilmesi için F istatisti!i a a! daki gibi hesaplan r, n 1 F= GAO = GQO ( n 1) i =1 1 n (T 1) n T ( yi T i =1 t =1 ( yit y) 2 yi ) 2 F istatisti!i, (n-1) ve n(T-1) serbestlik derecesi ile F da! l m na sahiptir. Bu veri kümesinde n=81 ve T=4 tür. Yap lan test sonucunda F istatisti!i 4,743 bulunmu tur. %95 güven düzeyinde kritik de!er 1,333 tür. Hesaplanan F de!eri, F-tablo de!erinden büyük oldu!u için, H0 hipotezi, %5 yan lma düzeyinde reddedilir. Sonuç olarak, tüm illerin grup ortalamas birbirine e it de!ildir, denilebilir. Bu durumda, illerin etkisinin rassal oldu!u varsay larak, modelde bireysel etkiler ( i ) göz önüne al nabilir. Dört y ll k toplam poliçe say lar dikkate al nd ! nda, en yüksek say da poliçe kesilen ilk on ilin s ras yla; Qstanbul (34), Ankara (6), Qzmir (35), Antalya (7), Bursa (16), Konya (42), Adana (1), Qçel (33), Kayseri (38) ve Mu!la (48) oldu!u görülmü tür. Son on il ise sondan ba layarak; Tunceli (62), Ardahan (75), Hakkari (30), rnak (73), Bayburt (69), I!d r (76), Bingöl (12), Kilis (79), Siirt (56) ve Gümü hane (29)’dir. yit = µ + i E yi ,Ti +1 i ( + & it , )=µ+ i = 1, 2,..., n ve t = 1, 2,..., Ti i modelinde, risk primi olarak adland r lan, ’nin kestirimi ile ilgilenilmektedir. Herhangi bir dönemdeki risk primi genel olarak; A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 29 o döneme ili kin hasar s kl k oran n n (toplam hasar say s / riske maruz kalan birim say s ), ortalama hasar miktar (toplam hasar miktar / toplam hasar say s ) ile çarp lmas ndan elde edilmektedir. Bu çal mada, 2006, 2007, 2008 ve 2009 y llar için her ilde olu an toplam hasar miktar , ortalama poliçe say lar na bölünerek poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar bulunmu tur. R 2.9.2 aç k yaz l m sistemi kullan larak s ras yla, Bühlmann, Bühlmann-Straub ve Jewell’in hiyerar ik modellerinde, her il için, 2010 y l risk primi olarak varsay lan poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar n n kredibilite kestirimleri (kredibilite primi) elde edilmi tir. 5.1. Bühlmann kredibilite modelinde risk priminin kestirimi yit = µ + i + & it , i = 1, 2,...,81, t = 2006,..., 2009 modelinde yit ’ler, i. ilde t y l nda poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar n temsil ederler. 2006, 2007, 2008 ve 2009 y llar için poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar verilmi ken, risk priminin ( E ( yi ,T +1 i ) = µ + i ) kredibilite kestiricisi a a! daki gibi elde edilmektedir, ( µ + i ) EDYÖ = z yi + (1 z) y Çizelge 1’de, iller baz nda bireysel ortalama, kredibilite faktörü ve kredibilite primi verilmektedir. Çizelge 1. Bühlmann kredibilite modelinde iller baz nda; bireysel ortalama, kredibilite faktörü ve kredibilite primi. Araç plaka koduna göre iller Bireysel ortalama Kredibilite faktörü Kredibilite primi (TL.) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 88,063 76,512 69,282 100,153 68,939 127,489 92,742 82,244 66,380 67,623 82,727 144,465 99,242 64,083 47,255 112,144 65,519 85,012 86,691 82,056 128,693 63,104 85,488 72,401 107,022 87,746 96,218 105,147 90,729 75,800 69,284 68,258 82,171 154,468 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 87,152 78,036 72,331 96,693 72,060 118,265 90,845 82,560 70,041 71,022 82,941 131,661 95,974 68,228 54,949 106,155 69,361 84,744 86,069 82,412 119,215 67,455 85,120 74,792 102,114 86,902 93,587 100,634 89,256 77,475 72,333 71,523 82,502 139,555 ( yi ) ( z) A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 108,887 68,925 53,121 90,880 49,621 71,429 121,058 76,250 57,910 88,426 61,925 75,778 88,757 71,503 106,903 61,110 69,671 106,351 95,159 99,674 100,688 128,293 62,327 83,301 79,127 69,972 98,221 60,674 82,028 71,164 100,031 84,505 76,957 71,721 71,413 53,681 79,543 119,060 96,900 53,389 65,134 97,441 93,549 70,641 35,862 60,223 98,811 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 0,78914 30 103,585 72,050 59,578 89,375 56,816 74,026 113,190 77,830 63,357 87,439 66,525 77,457 87,699 74,084 102,020 65,882 72,638 101,584 92,752 96,315 97,115 118,900 66,843 83,394 80,100 72,875 95,168 65,538 82,390 73,817 96,596 84,345 78,388 74,256 74,013 60,020 80,429 111,613 94,125 59,789 69,058 94,553 91,481 73,403 45,958 65,183 95,634 Bühlmann kredibilite modelinde genel ortalaman n kestirimi, y = 83.74 TL olarak elde edilmi tir. Veri kümesi dengeli oldu!u için kredibilite faktörleri tüm iller için ayn d r. Çizelge 1’e bak ld ! nda, bireysel ortalamas genel ortalaman n kestiriminden dü ük olan illerin kredibilite primleri, bireysel ortalamalar na göre art göstermi ; bireysel ortalamas genel ortalaman n kestiriminden yüksek olan illerin kredibilite primleri ise bireysel ortalamalar na göre azal göstermi tir. Bu durum, ne tam homojen ne de tam heterojen olacak kadar geni hasar deneyimine sahip olmayan birimlerden olu an bir portföyde, kredibilite primlerinin hesaplanmas na örnek te kil etmektedir. Veri kümesine bak ld ! nda, baz illerin y ll k poliçe ba na dü en ortalama hasar miktarlar n n yüksek olmas nedeniyle bireysel ortalamalar n n da yüksek oldu!u görülmektedir. Bu iller genellikle trafik yo!unlu!unun ve poliçe say s n n yüksek oldu!u, büyük nüfusa sahip illerdir (Qstanbul (34), Ankara (6), Qzmir (35) v.b). Bu illerin d nda, Batman (72), Bingöl (12), Siirt (56) gibi trafik yo!unlu!unun ve poliçe A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 31 say s n n dü ük oldu!u, az nüfusa sahip baz illerde y ll k poliçe ba na dü en ortalama hasar miktarlar n n yüksek oldu!u ve dolay s yla kredibilite primlerinin de yüksek de!erlerde oldu!u görülmü tür. Bu durum hakk nda, bu illerde poliçe say s n n dü ük olmas ve gerçekle en yüksek miktarlardaki hasarlar n az say da poliçeye yay lmas yorumu yap labilir. 5.2. Bühlmann-Straub kredibilite modelinde risk priminin kestirimi Bu modelde, gözlem de!erleri, yit ’lerin, wit say da rastlant de!i keninin ortalamas oldu!u varsay lmakta olu turmaktad r. ve ortalama poliçe say lar , modelde a! rl klar (wit) yit = µ + i + & it , i = 1, 2,...,81, t = 2006,..., 2009 modelinde, yit , i. ilde t y l nda poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar d r. 2006, 2007, 2008 ve 2009 y llar için poliçe ba na dü en ortalama hasar miktarlar ve a! rl klar verilmi ken, risk priminin ( E ( yi ,T +1 i ) = µ + i ) kredibilite kestiricisi a a! daki gibi elde edilmektedir, ( µ + i ) EDYÖ = zi yiw + (1 zi ) y zw Çizelgede 2’de iller baz nda; a! rl kl ortalama, toplam poliçe say s (a! rl k), kredibilite faktörü ve kredibilite primi verilmektedir. Çizelge 2. Bühlmann-Straub kredibilite modelinde iller baz nda; a! rl kl ortalama, a! rl k, kredibilite faktörü ve kredibilite primi. Araç plaka koduna göre iller A! rl kl ortalama ( yiw ) A! rl k ( wit ) Kredibilite faktörü ( zi ) Kredibilite primi (TL) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 88,398 77,020 70,207 100,933 70,069 128,593 93,475 82,115 66,733 68,587 83,598 146,116 98,897 64,768 47,862 112,995 66,184 87,793 88,375 82,531 129,835 63,572 86,260 73,329 107,466 88,401 96,449 106,370 92,925 78,133 69,107 69,362 82,787 612.825 81.205 156.203 24.852 96.771 3.051.415 925.219 28.869 337.967 378.195 54.420 13.010 18.613 93.171 109.321 891.707 148.687 24.107 149.728 378.494 104.133 124.436 119.261 52.055 117.433 326.284 357.191 67.178 16.586 8.254 335.413 163.268 465.650 0,95251 0,72663 0,83641 0,44857 0,76005 0,99009 0,96804 0,48585 0,91710 0,92526 0,64046 0,29866 0,37860 0,75307 0,78158 0,96687 0,82955 0,44105 0,83053 0,92531 0,77317 0,80288 0,79607 0,63016 0,79355 0,91438 0,92121 0,68739 0,35187 0,21270 0,91652 0,84237 0,93843 88,223 79,128 72,583 91,998 73,587 128,158 93,195 83,459 68,225 69,793 84,005 103,063 90,094 69,697 55,914 112,058 69,345 86,081 87,757 82,695 119,603 67,743 85,948 77,546 102,772 88,086 95,526 99,605 87,614 83,327 70,411 71,785 82,907 A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 155,088 109,471 69,554 54,150 92,012 50,326 72,080 122,657 77,065 58,421 89,171 62,372 77,062 89,024 71,858 106,898 61,693 70,342 107,167 96,091 100,768 101,566 128,396 63,294 84,421 80,187 70,115 98,868 62,811 81,879 71,857 100,592 87,094 77,434 72,844 72,060 55,017 81,849 122,058 96,463 54,498 67,730 97,643 95,183 71,063 36,215 61,205 100,463 6.256.944 1.647.497 23.158 110.818 451.183 101.091 63.637 373.496 642.993 209.143 158.132 375.387 196.584 41.558 388.174 17.978 82.721 68.576 130.614 56.236 233.852 311.250 14.878 52.506 144.686 188.481 138.797 169.282 5.253 192.409 119.488 73.197 82.250 201.593 96.800 11.486 68.610 51.834 33.813 11.023 52.435 6.155 12.773 48.041 84.733 14.664 120.574 82.894 0,99514 0,98179 0,43118 0,78389 0,93658 0,76792 0,67564 0,92439 0,95464 0,87254 0,83808 0,92474 0,86549 0,57632 0,92704 0,37046 0,73029 0,69180 0,81044 0,64798 0,88445 0,91062 0,32750 0,63217 0,82566 0,86052 0,81960 0,84712 0,14671 0,86298 0,79638 0,70553 0,72916 0,86840 0,76010 0,27323 0,69190 0,62917 0,52534 0,26515 0,63185 0,16769 0,29482 0,61127 0,73499 0,32431 0,79784 0,73070 32 154,747 109,020 78,186 60,759 91,550 58,310 76,183 119,790 77,413 61,774 88,452 64,055 78,094 87,204 72,798 92,942 67,907 74,777 102,914 92,092 98,914 100,061 99,031 71,179 84,475 80,820 72,752 96,706 81,514 82,270 74,478 95,921 86,454 78,394 75,696 81,268 64,172 82,917 104,340 87,841 65,628 81,879 88,537 91,119 74,685 68,996 65,961 96,226 Bühlmann-Straub kredibilite modelinde genel ortalaman n kestirimi, µˆGEKK = y zw =84,73 TL olarak elde edilmi tir. Bu modelde illerin kredibilite primlerine bak ld ! nda yine poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar ve poliçe say s yüksek olan illerin kredibilite primlerinin di!er illere göre yüksek ç kt ! görülmektedir. Bühlmann modelinin sonuçlar ile kar la t r ld ! nda, trafik yo!unlu!u ve nüfusu az olup, poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar yüksek olan illerin kredibilite primlerinin bu modelde daha makul seviyelere geriledi!i, genel ortalaman n kestirimine daha çok yakla t ! görülmü tür. Bu durum, a! rl klar n modele etkisinin bir sonucu olarak yorumlanabilir. A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 33 5.3. Jewell’in hiyerar5ik kredibilite modelinde risk priminin kestirimi Bu modelde iller, Türkiye’deki co!rafi bölgelere göre ayr lm t r. i. co!rafi bölgede, j. ilin t y l ndaki a! rl ! n ( wijt ) ortalama poliçe say lar temsil etmektedir. yi jt , i. co!rafi bölgede, j. ilin t y l nda poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar n temsil etmektedir. Türkiye’de yedi adet co!rafi bölge oldu!u için hiyerar ik model a a! daki gibi ifade edilir, yi jt = % + µi + 2 i j + & i j t , i = 1, 2,...,7, j = 1, 2,..., J i , t = 2006,...,2009 i. co!rafi bölge ve i. co!rafi bölgedeki j. il için risk priminin kredibilite kestiricileri s ras yla, ( % + µi ) EDYÖ = zi yi zw + (1 (% + µ +2 ) i i j EDYÖ zi ) y z z w ( = zi j yi jw + 1 zi j )(% + µ ) i EDYÖ ( = zi j yi jw + 1 zi j ) zi yizw + (1 zi ) y z zw biçiminde elde edilmektedir. Co!rafi bölgeler, Çizelge 3’te gösterildi!i gibi numaraland r lm t r. Çizelge 3. Türkiye’nin co!rafi bölgeleri ve numaralar . Numara Co!rafi Bölge 1 2 3 4 5 6 7 Marmara Ege Akdeniz Qç Anadolu Do!u Anadolu Güneydo!u Anadolu Karadeniz Çizelge 4’te Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelinde bölgeler baz nda elde edilen; a! rl kl ortalama, kredibilite faktörü ve kredibilite primi verilmektedir. Çizelge 4. Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelinde bölgeler baz nda; a! rl kl ortalama, kredibilite faktörü ve kredibilite primi. Co!rafi Bölge A! rl kl Ortalama ( yizw ) Kredibilite Faktörü ( zi ) Kredibilite Primi (TL) 3 6 2 5 7 4 1 95,145 75,293 75,620 84,700 93,296 96,338 82,732 0,02738 0,02245 0,02178 0,02795 0,01522 0,01361 0,03276 85,600 85,106 85,120 85,314 85,452 85,481 85,246 Bölgelerin kredibilite primlerinin birbirine yak n ç kmas n n nedeni olarak, farkl bölgeler aras ndaki heterojenli!in ölçüsü olan varyans bile eninin ( #ˆ µ2 ) kestiriminin 1,6315 gibi küçük bir say olarak elde edilmesi; bölgeler baz nda kredibilite faktörlerinin dü ük ç kmas ve kredibilite primlerinin kestiriminde, büyük a! rl ! n genel ortalaman n kestirimine verilmesi gösterilebilir. Çizelgede 5’te co!rafi bölgelere göre ayr lan iller baz nda; a! rl kl ortalama, a! rl k, kredibilite faktörü ve kredibilite primi verilmektedir. A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 34 Çizelge 5. Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelinde co!rafi bölgelere göre ayr lan iller baz nda; a! rl kl ortalama, a! rl k, kredibilite faktörü ve kredibilite primi. Co!rafi bölge 3 6 2 5 7 4 3 7 2 1 1 5 5 7 3 1 1 4 7 2 6 1 5 5 5 4 6 7 7 5 3 3 3 1 2 5 7 4 1 4 1 4 2 5 2 3 6 2 5 4 4 7 7 1 7 6 7 Araç plaka koduna göre iller 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 A! rl kl ( ortalama yi jw 88,398 77,020 70,207 100,933 70,069 128,593 93,475 82,115 66,733 68,587 83,598 146,116 98,897 64,768 47,862 112,995 66,184 87,793 88,375 82,531 129,835 63,572 86,260 73,329 107,466 88,401 96,449 106,370 92,925 78,133 69,107 69,362 82,787 155,088 109,471 69,554 54,150 92,012 50,326 72,080 122,657 77,065 58,421 89,171 62,372 77,062 89,024 71,858 106,898 61,693 70,342 107,167 96,091 100,768 101,566 128,396 63,294 ) ( A! rl k wi jt 612.825 81.205 156.203 24.852 96.771 3.051.415 925.219 28.869 337.967 378.195 54.420 13.010 18.613 93.171 109.321 891.707 148.687 24.107 149.728 378.494 104.133 124.436 119.261 52.055 117.433 326.284 357.191 67.178 16.586 8.254 335.413 163.268 465.650 6.256.944 1.647.497 23.158 110.818 451.183 101.091 63.637 373.496 642.993 209.143 158.132 375.387 196.584 41.558 388.174 17.978 82.721 68.576 130.614 56.236 233.852 311.250 14.878 52.506 ) Kredibilite ( ) faktörü zi j 0,89264 0,52421 0,67942 0,25216 0,56766 0,97642 0,92622 0,28145 0,82096 0,83690 0,42475 0,15003 0,20162 0,55833 0,59730 0,92366 0,66858 0,24647 0,67013 0,83701 0,58555 0,62802 0,61805 0,41393 0,61439 0,81574 0,82895 0,47684 0,18370 0,10071 0,81985 0,68898 0,86335 0,98836 0,95718 0,23908 0,60057 0,85958 0,57834 0,46335 0,83519 0,89716 0,73942 0,68209 0,83588 0,72731 0,36055 0,84043 0,19609 0,52882 0,48198 0,63927 0,43278 0,76036 0,80854 0,16796 0,41602 Kredibilite primi (TL) 88,046 81,046 74,984 89,356 76,631 127,572 92,859 84,365 70,022 71,362 84,750 94,554 88,163 73,813 62,865 110,903 72,619 85,925 87,343 82,951 111,452 71,766 85,952 80,434 98,977 87,832 94,573 95,319 86,657 84,715 71,992 74,263 83,106 154,279 108,428 81,651 66,571 91,071 65,200 79,182 116,550 77,914 65,374 87,989 66,103 79,259 86,758 73,972 89,658 72,823 78,098 99,259 89,940 97,133 98,441 92,689 76,113 A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 4 1 7 7 5 6 2 5 4 7 4 7 4 4 6 6 7 5 5 1 7 6 3 7 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 84,421 80,187 70,115 98,868 62,811 81,879 71,857 100,592 87,094 77,434 72,844 72,060 55,017 81,849 122,058 96,463 54,498 67,730 97,643 95,183 71,063 36,215 61,205 100,463 144.686 188.481 138.797 169.282 5.253 192.409 119.488 73.197 82.250 201.593 96.800 11.486 68.610 51.834 33.813 11.023 52.435 6.155 12.773 48.041 84.733 14.664 120.574 82.894 0,66251 0,71889 0,65316 0,69667 0,06653 0,72304 0,61850 0,49827 0,52740 0,73228 0,56773 0,13483 0,48210 0,41289 0,31449 0,13010 0,41569 0,07708 0,14770 0,39461 0,53481 0,16594 0,62063 0,52934 35 84,722 81,708 75,363 94,736 83,946 82,877 76,912 92,996 86,253 79,526 78,234 83,468 70,708 83,883 96,984 86,910 72,464 84,086 87,253 89,381 77,661 77,306 70,278 93,301 Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelinde genel ortalaman n kestirimi, %ˆGEKK = y z zw = 85,33 TL olarak elde edilmi tir. Çizelge 5’ten, bölgelere göre ayr lm illerin kredibilite primlerine bak ld ! nda ayn ekilde, toplam poliçe say s ve poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar yüksek olan Qstanbul, Ankara gibi büyük ehirlerin kredibilite primlerinin di!er illere oranla daha yüksek ç kt ! görülmektedir. Ayr ca, daha önce de de!inilen poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar yüksek olup, ortalama poliçe say s dü ük olan Bingöl, Batman gibi illerin kredibilite primlerinin Bühlmann-Straub modeline k yasla daha da geriledi!i, daha makul seviyelere dü tü!ü görülmektedir. Burada, illerin, co!rafi bölgelere göre ayr lmas n n etkisi görülmü tür. 6. Sonuç ve öneriler Bu çal mada, kredibilite modelleri ile panel veri modelleri aras ndaki ba!lant incelenmi , kredibilite modelleri, panel veri modelleri ba!lam nda yorumlanm t r. En fazla kesinlik kredibilite yakla m alt nda verilen Bühlmann, Bühlmann-Straub ve Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelleri, kar k do!rusal modellerin özel durumlar olarak incelenmi tir. Gerçek bir veri kümesi kullan larak yap lan uygulama ile, Bühlmann, Bühlmann-Straub ve Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelleri alt nda, veri kümesindeki her birim için 2010 y l kredibilite primleri elde edilmi tir. Kullan lan veri kümesi, Karayollar Motorlu Araçlar Zorunlu Mali Sorumluluk Sigortas alt nda otomobil araç grubuna ili kin veri kümesidir. Gözlem birimleri, Türkiye’deki 81 ildir. Qllerin, 2006, 2007, 2008 ve 2009 y llar nda poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar ve ortalama poliçe say lar na ili kin bilgilerden yararlan lm t r. Öncelikle tüm illere ili kin grup ortalamalar n n birbirine e it olup olmad ! tek yönlü varyans analizi ile test edilmi tir. Bu test sonucunda, tüm illerin grup ortalamalar n n birbirine e it oldu!una dair yokluk hipotezi %5 yan lma düzeyinde reddedilmi tir. Qller baz nda, risk priminin kredibilite kestirimlerinin elde edilmesi amac yla kullan lan modellerde illerin etkisinin rassal oldu!u varsay lm ve Bühlmann, Bühlmann-Straub kredibilite modelleri alt nda, her il için kredibilite primi hesaplanm t r. Ayr ca, Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelinde, iller, co!rafi bölgelere ayr lm , hem bölgeler baz nda hem bölgelere ayr lan iller baz nda kredibilite primleri elde edilmi tir. A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36 36 Kestirim sonuçlar na göre, kredibilite primlerinin, poliçe ba na dü en ortalama hasar miktarlar n n yüksek oldu!u illerde yüksek, poliçe ba na dü en ortalama hasar miktarlar n n dü ük oldu!u illerde ise daha dü ük oldu!u görülmü tür. Qllerin kredibilite primlerinin beklendi!i gibi, bireysel ortalama veya a! rl kl bireysel ortalamalar ile genel ortalaman n kestirimi aras nda bir de!er ald ! gözlenmi tir. Di!er iller ile kar la t r ld ! nda ortalama poliçe say lar n n dü ük oldu!u baz illerde, y ll k poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar n n yüksek oldu!u ve dolay s yla kredibilite primlerinin yüksek ç kt ! görülmü tür. Bu sorunun giderilmesi için, iller, co!rafi bölgeler yerine hasar s kl klar ve trafik yo!unluklar na göre grupland r labilir ve bu gruplara göre prim fiyatland rmas yap labilir. Uygulamada verilen modeller dü ünüldü!ünde, kullan lan veri kümesinde aç klay c de!i ken bulunmamas nedeniyle sadece ba! ml de!i kenle ilgili bilgiden yararlan lm t r. Bu sebeple, sigorta portföyüne ili kin aç klay c de!i kenlerin de bulundu!u bir panel veri kümesi kullan larak uygun modelin olu turulmas ve kredibilite kestirimlerinin elde edilmesi için yeni bir çal man n yap lmas ara t rmac lara önerilebilir [17]. Kaynaklar [1] B. H. Baltagi, (2001) Econometric Analaysis of Panel Data, Second Edition, Wiley, New York. [2] H. Bühlmann, (1967), Experience Rating and Credibility, ASTIN Bulletin, 4:199-207. [3] H. Bühlmann, E. Straub, (1970), Glaubwürdigkeit für Schadensätze, Mitteilungen der Vereinigung, Schweizerischer Versicherungsmathematiker, 70 (1):111-133. [4] D. R. Dannenburg, R. Kaas, M. J. Goovaerts, (1996), Practical Actuarial Credibility Models, Institute of Actuarial Science and Econometrics, University of Amsterdam, The Netherlands. [5] E. W. Frees, V. R. Young, Y. Lou, (1999), A Longitudinal Data Analysis Interpretation of Credibility Models, Insurance: Mathematics and Economics, 24: 229-247. [6] E. W. Frees, V. R. Young, Y. Lou, (2001), Case Studies Using Panel Data Models, North American Actuarial Journal. [7] E. W. Fress, (2004), Longitudinal and Panel Data: Analysis and the Applications in the Social Sciences, Cambridge University Press, U.K. [8] E. W. Frees, P. Wang, (2005), Credibility Using Copulas, North American Actuarial Journal, 9 (2), pp.31–48. [9] W. H.Greene, (2003), Econometric Analysis, New York University. [10] T. L. Herzog, (1999), Introduction to Credibility Theory, third adition, ACTEX. Abington. [11] C. Hsiao, (2002), Analysis of Panel Data, Second Edition, Cambridge University Press. [12] W.S. Jewell, (1975), The Use of Collateral Data in Credibility Theory: a Hierarchical Model, Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari, 38, 1-16. [13] R. Kaas, M. Goovaerts, J. Dhaene, M. Denuit (2001), Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, The Netherlands. [14] S. Klugman, H. Panjer, G. Willmot, (2004), Loss Models from Data to Decisions. Willey, New York. [15] L.H. Longley-Cook, (1962), An Introduction to Credibility Theory, Proceeding of the Casualty Actuarial Society 49, 194-221. [16] S.R. Searle, G. Casella, C. E. McCulloch, (1992), Variance Components, New York. [17] A. entürk, (2010), Kredibilite Teorisinde Panel Veri Modelleri, Yüksek Lisans Tezi, Hacettepe Üniversitesi, Ankara.