İnfinitezimal Hesabın Metafizik Prensipleri
Transkript
İnfinitezimal Hesabın Metafizik Prensipleri
Rene Guenon İnfinitezimal Hesabın Metafizik Prensipleri Türkçesi Ali Sebetci 5 Şubat 2016 Konya İçindekiler İçindekiler ................................................................ 2 Önsöz ....................................................................... 4 1. Sonsuz ve Belirsiz ............................................... 11 2. 'Sonsuz Sayı' Çelişkisi ....................................... 20 3. Sayısı Belirlenemeyen Çokluk ........................... 24 4. Süreklinin Ölçümü ............................................. 31 5. İnfinitezimal Metottan Kaynaklanan Sorular..... 36 6. 'Sağlam İnşa Edilmiş Kurgular'.......................... 41 7. 'Sonsuzluğun Dereceleri' .................................... 47 8. 'Sonsuz Bölünme' yahut Belirsiz Bölünürlük .... 53 9. Belirsizce Artan ve Belirsizce Azalan ................ 61 10. Sonsuz ve Sürekli............................................. 67 11. ‘Süreklilik Yasası’ ............................................ 71 12. Limit Mefhumu ................................................ 76 13. Süreklilik ve Limite Geçiş ............................... 81 14. ‘Yok Olan Nicelikler’ ...................................... 86 15. Sıfır Bir Sayı Değildir ...................................... 91 16. Negatif Sayılar Gösterimi ................................ 97 17. Kuvvetlerin Dengesinin Temsili .................... 104 18. Değişken ve Sabit Nicelikler ......................... 109 19. Ardışık Türev Alma......................................... 113 20. Belirsizliğin Farklı Seviyeleri ......................... 116 2 21. Belirsiz Analitik Biçimde Tüketilemez .......... 122 22. İntegralin Sentetik Karakteri .......................... 126 23. Elea’lı Zeno’nun Argümanları ....................... 131 24. ‘Limite Geçiş’in Doğru Anlamı ..................... 135 25. Sonuç.............................................................. 138 Dizin ..................................................................... 141 3 Önsöz İlk bakışta ‘uzmanlık gerektiren’ bir yapıya sahip gibi görünse de, matematiksel sembolizmi kullanırken çeşitli nedenlerle başvurduğumuz birçok mefhumu adamakıllı netleştiren ve açığa kavuşturan bu çalışma için sıkıntı çekmeye değer ve sadece bu neden bile onu savunmaya yeter. Ancak, özellikle sorunun ‘tarihi’ vechesiyle ilgili, ikinci dereceden başka nedenler olduğunu da ekleyelim. Aslında bu ikinci dereceden nedenler, yani infinitezimal hesabın tabiatı ve değeri hakkında ortaya atılan tüm sorular, modernlerin bildiği ve hatta mümkün kabul ettiği tek bilim olan profan (dindışı) bilimi karakterize eden prensip eksikliğinin çarpıcı birer örneği olduğu sürece, bizim bakış açımızın ilgi alanının tamamen dışında değildir. Bu bilimlerin çoğunun, hâlâ bazı gerçeklere karşılık gelseler dahi, kadim ve geleneksel bilimlerin basit, değeri düşürülmüş kalıntılarından başka bir şey olmadığını daha önce birçok kez söyledik. Bu bilimlerin, prensiplerle temasını kesmiş ve dolayısıyla doğru ve orijinal değerini yitirmiş en düşük parçası, sonuçta bağımsız bir gelişime maruz kalmış ve kendi kendine yeten bir bilgi olarak görülmeye başlanmıştır. Oysa gerçekte bu yolla onun bilgi olarak kendi değeri adeta bir hiçe indirgenmiştir. Bu durum özellikle fiziksel bilimlerde görülür ama başka bir yerde açıkladığımız gibi1 sayılar ve geometri biliminin eskiler için ne anlama geldiği fark edildiğinde modern matematiğin de bu konuda bir istisna olmadığı anlaşılır. Eskiler derken ‘klasik’ antikiteyi kast ediyoruz. Pisagor’un en küçük bir çalışması ve Platon’un teorileri bugün onları yorumladığını iddia eden kimselerin fevkalade anlayışsızlığını göstermeye yeter. Bu anlayışsızlık o kadar tam olmasa, nasıl olur da birisi, örneğin, bahsettiğimiz bilimlerin ‘deneysel’ orijinine 1 Bakınız The Reign of Quantity and the Signs of the Times (Niceliğin Egemenliği ve Çağın Alametleri ismiyle Türkçeye çevrilmiştir –Çev.–). 4 inanmaya devam edebilir? Çünkü gerçekte, bu iddianın aksine, zamanda geriye doğru gittikçe bütün ‘deneyselcilik’lerden uzaklaşıldığı görülür ve bilimsel bilginin tüm diğer branşları için de bu aynı ölçüde doğrudur.2 Modern matematikçiler ve daha özelde bizim çağdaşlarımız sanki gerçekte sayının ne olduğunu önemsemez gibidir. Bununla sadece, Pisagorcular ve Kabbalacılar tarafından anlaşılan analojik ve sembolik sayı algısını kastetmiyoruz, bunlar zaten çok açık, aynı zamanda – bu tuhaf ve paradoksal gelebilir – sayının basit ve tamamen niceliksel algısını da kast ediyoruz. Hakikaten, onların bütün bilimi kelimenin en dar anlamıyla hesaplamaya3, yani sadece sebeb oldukları pratik uygulamalar nedeniyle değerli görülen az çok yapay işlemlerin sırf bir koleksiyonuna indirgenmiştir. Temelde onlar sayıyı (number) sayısal işaretle (numeral) değiştirmişlerdir. Bu ikisinin karıştırılması bugün o kadar yaygındır ki herhangi bir anda kolayca günlük dilde kullandığımız ifadelerde bulunabilir.4 Sayısal, açık konuşmak gerekirse, sayının giysisinden başka bir şey değildir. Onun bedenidir dahi demiyoruz, çünkü belli bazı bakımlardan geometrik form meşru bir biçimde sayının bedeni olarak düşünülebilir. Sayı sembolizminin ışığı altında bakıldığında, eskilerin çokgenler ve çokyüzlüler hakkındaki teorileri bunu gösterir. Ayrıca bu, tüm ‘vücut kazanma’ların (‘embodiment’) zorunlu olarak ‘mekansallaşma’yı (‘spatialization’) gerektirdiği gerçeğiyle de uyum içindedir. Ancak, sayısal işaretlerin tamamen keyfi işaretler olduğunu, formlarının bir ya da birkaç kişinin zevkine göre belirlendiğini söylemek 2 Bakınız Miscellanea, pt.3 bölüm 1, ED. Fransızca calcul kelimesi hem hesap (calculus) hem de hesaplama (calculation) anlamlarına gelmektedir. ED. 4 Konuşmak istedikleri şey hakkında çok az şey bilen belli bazı ‘psödo-esoterist’ler için de durum aynıdır. Sayının geleneksel bilimi yerine koyduklarını farz ettikleri, gerçeklikten çok uzak saçmalıklarında asla bu ikisini karıştırmadan edemezler. 3 5 istemiyoruz. Hem sayısal hem de alfabetik karakterlerin – bazı dillerde bu ikisi birbirinden ayrılmamıştır5 – her ikisine de hiyeroglif mefhumu, yani ideogram (kavram yazı) ve sembolik orijin görüşü uygulanabilir. İstisnasız tüm yazılar için bu geçerlidir ama yakın tarihli sapmalar ve değişiklikler yüzünden bazı durumlarda bu orijin gizlenmiş bulunmaktadır. Kesin olan şudur; matematikçiler gösterimlerinde artık manalarını anlamadıkları, unutulan geleneklerin kalıntılarına benzeyen semboller kullanıyorlar. Daha da ciddi olanı, kendi kendilerine sadece bu mananın ne olabileceğini sormamaları değil ayrıca bir de bu sembollerin herhangi bir anlamının olmamasını istiyor gibi görünmeleridir. Hakikaten, tüm gösterimi basit bir ‘antlaşma, âdet’ (‘convention’) gibi görme eğilimleri her geçen gün artıyor. Bununla tamamen rastgele ortaya çıkmış bir şeyleri kast ediyorlar, oysa aslında bu mümkün değil, çünkü bir neden olmadan herhangi bir antlaşma tesis edilmez ve yine bir neden olmadan başka bir şekil değil de özellikle o şekil tercih edilmez. Sadece bu akıl yürütmeyi önemsemeyenler için bir antlaşma tesadüfi olabilir, tıpkı ‘kaza’ (‘fortuitous’) gibi görünen bir olayın nedenini önemsemeyenler gibi. Gerçekten de burada, bilimin – ya da öyle 5 İbranice ve Yunanca bunun iki örneğidir. Hindistan kaynaklı sayısal işaretlerin kullanılmaya başlanmasından önce Arapça da böyle idi. Sonra bu işaretler Orta Çağda az çok değişerek Avrupa’ya geçti. Bu bağlamda ‘cipher’ (Fransızca chiffre, ‘sayısal’) kelimesinin Arapça sıfr’dan başka bir şey olmadığı not edilebilir, gerçekte bu kelime sıfırın (zero) sadece ismidir. Öte yandan, İbranice saphar’ın ‘saymak’ veya ‘numaralandırmak’ ve aynı zamanda ‘yazmak’ anlamlarına geldiği ve bu yüzden sepher’in ‘kutsal kitap’ (‘scripture’) ya da ‘kitap’ (Arapça sıfr hususi olarak bir kutsal kitabı isimlendirir), sephar’ın ‘numaralandırma’ veya ‘hesaplama’ anlamlarına geldiği de doğrudur. Kabbala’nın, ilahi sıfatlarda özümsenmiş ana ‘sayılar’ olarak Sephiroth isimlendirmesi de bu son kelimeden gelmektedir. 6 adlandırılan şeyin, çünkü bu noktada artık hiçbir açıdan o ismi hak etmemektedir – makul bütün değerini yitirmesine neden olan prensip eksikliğinin en uç sonuçlarından biri görülmektedir. Üstelik, güncel bilim anlayışının özellikle niceliksel olması münasebetiyle bu ‘antlaşmacılık’ (‘conventionalism’), zamanla matematikten fiziksel bilimlerin daha yeni teorilerine yayılmıştır. Bu durum o teorileri, açıklamaya niyet ettikleri gerçeklikten daha da uzaklaştırır. Bu noktayı başka bir çalışmamızda yeterince vurguladığımızdan burada daha fazla yorum yapmak istemiyoruz zira bu çalışmaya özel niyetimiz sırf matematikle meşgul olmak. Bu bağlamda sadece şunu ekleyeceğiz: bir gösterimin anlamı tamamen kaybedildiğinde o gösterimin makul ve geçerli kullanımından gayri meşru ve hiçbir şeye karşılık gelmeyen ve bazen tamamen mantıksız olan kullanımlarına geçmek çok kolay bir hâl alır. Mantıkla çok sıkı bağları olan matematik gibi bir bilim söz konusu olduğunda bu çok garip gelebilir. Lakin günümüzde, yaygın olarak anlaşıldıkları şekilleriyle birçok mantıksız matematiksel mefhumun bulunduğu da ortadadır. Bizim en başta ele alacağımız bu mantıksız mefhumların en dikkate değer olanı, her ne kadar yorumlarımız boyunca üstünde duracağımız sadece o olmasa da, matematiksel ya da niceliksel sonsuzluk (infinite) diye adlandırılan şeydir. Bu mefhum, infinitezimal hesaba ya da daha doğrusu infinitezimal metoda karşı yöneltilen hemen hemen tüm zorlukların kaynağıdır. Çünkü ‘antlaşmacılar, âdetciler’ (‘conventionalists’) ne düşünürse düşünsün burada, kelimenin sıradan anlamıyla basit bir ‘hesaplama’nın sınırlarını aşan bir şey vardır. ‘Limit’ mefhumunun hatalı ya da yetersiz bir biçimde anlaşılmasından kaynaklanan zorluklar hariç istisnasız diğer tüm zorlukların kaynağı bu niceliksel sonsuzluk fikridir. İnfinitezimal metodun kesinliğini savunmak ve onun basit bir yaklaşım metodundan daha fazla bir şey olduğunu göstermek için gerekli olan şey işte bu doğru limit anlayışıdır. Ayrıca ileride göreceğimiz üzere zorluklarla ilgili şu iki farklı durum söz 7 konusudur: bazen ‘sonsuz sayı’ düşüncesinde olduğu gibi sonsuz denen şey saf ve basit bir absürtlük, yani kendi kendiyle çelişen bir fikirdir, bazen de bu kelime uygun olmayan bir biçimde belirsizlik (indefinite) yerine kullanılmaktadır. Fakat, sonsuz ile belirsizin karıştırılması yalnızca bir kelime sorununa indirgenemez, çünkü sorun tam olarak bu fikirlerin kendileriyle ilgilidir. Tuhaf olan şey, bir defa giderilse bu kadar çok tartışmayı bitirecek olan bu karışıklığın, genellikle infinitezimal hesabın mucidi olarak görülen Leibnitz’in kendi yazılarında da bulunması. Biz Leibnitz’e infinitezimal hesabın ‘formüle edicisi’ demeyi tercih ediyoruz, çünkü O’nun metodu belli bazı gerçeklere karşılık gelmektedir, ancak bu gerçekler kendilerini anlayan ve az çok eksiksiz bir şekilde ifade eden kişiden bağımsız bir şekilde mevcutturlar. Matematiksel düzenin gerçekleri, diğer tüm gerçekler gibi, sadece keşf edilebilir (discovered) icad edilemezler (not invented). Aksi takdirde, matematik alanında sık sık görüldüğü gibi, insan kendisini gösterim ‘oyunu’ ile sırf bir fantazi âlemine sürüklenmiş bulduğunda sorun, işte bu ‘icad etme’ sorunudur. Fakat bazı matematikçilerin bu ayrımı anlamalarını sağlamak kesinlikle çok zordur, çünkü onlar isteyerek, kendi bilimlerinin tümünün ‘insan zihninin üretimi’nden başka bir şey olmadığını hayal etmektedirler. Eğer bu matematikçilere inanmış olsaydık onlar kendi bilimlerini gerçekten çok değersiz bir şeye indirgemiş olurlardı. Bu söylediklerimiz doğru olsa da, Leibnitz hiçbir zaman kendi hesabının prensiplerini net bir şekilde açıklayamamıştır. İşte bu durum, bu hesapta Leibnitz’i aşan bir şeylerin olduğunu, kendisinin bilincinde olmaksızın O’na empoze edilen bir şeyler olduğunu gösterir. Eğer Leibnitz bunun farkında olsaydı, hiçbir şekilde Newton ile bir ‘öncelik’ kavgasına girmezdi. Ayrıca, bu tür kavgalar tamamen boştur, çünkü fikirler doğru oldukları sürece, modern ‘bireycilik’in (‘individualism’) söylediğinin aksine, hiç kimsenin mülkü olamaz. İnsana en uygun bir şekilde atfedilebilecek tek şey hata dır. Bizi konumuzdan çok uzaklara götürecek olan bu sorunun ayrıntılarına daha fazla girmeyeceğiz. Yine de şunu açıklığa kavuşturmak belli bazı 8 bakımlardan faydasız olmayacaktır; ‘büyük adam’ denilen bazı kimselerin rolü, büyük ölçüde bir ‘alma’ (‘reception’) rolüdür, her ne kadar bu kimseler aldıkları o şeylerin kendilerine ait ‘orijinalite’ler olduğu hususunda kendi kendilerini kandıran ilk kimseler olsa da. Şu an bizi daha doğrudan ilgilendiren şey şu: Leibnitz’deki bu eksikliklere – bilhassa prensipler sorununu ilgilendiren çok ciddi eksikliklere – işaret etmemiz gerekiyorsa, her şeye rağmen Leibnitz’in kesinlikle onlardan daha üstün olduğu başka bazı modern matematikçiler ve filozoflarda bulunan eksikliklere ne demeli? O’nun üstünlüğü bir yandan, her zaman tam olarak anlamamış olsa bile, Skolastik doktirinler üzerine yaptığı çalışmalardan, öte yandan ileride bazı örneklerde göreceğimiz gibi, kendisinin belli ki çok eksik ve hatta bölük pörçük ve çok yetersiz bir şekilde uyguladığı, özellikle Rozikruziyan (Rosicrucian) kaynaklı veya ilhamlı6 belli bazı esoterik verilerden kaynaklanmaktadır. Tarihciler gibi konuşucak olursak, O’nun teorilerinde gerçekten geçerli olan hemen hemen her şeyi, açık bir şekilde, bu iki ‘kaynak’la ilişkilendirmek mümkündür. Ve bu sayede O, kusurlu bir biçimde de olsa, Dekartçılığa karşı tepki gösterebilmiştir. Dekartçılık, felsefe ve bilim alanlarında özellikle modern olan tüm kavram ve eğilimlerin bütünü anlamına gelir. Bu yorum, birkaç kelimeyle Leibnitz’in ne olduğunu anlatmaya yeter. Bu yüzden, başlangıçta ortaya koymaya değer bulduğumuz bu genel bilgi, O’nun anlaşılabilmesi için kesinlikle gözden 6 Bu kaynağın inkar edilemez işareti, Leibnitz tarafından kendi eseri De Arte Combinatoria’nın başına yerleştirilen Hermetik figürde bulunabilir: Bu figür Rota Mundi’nin bir temsilidir, elementlerin (ateş ve su, hava ve toprak) ve niteliklerin (sıcak ve soğuk, kuru ve ıslak) çift çaprazının merkezinde beş yapraklı (diğer dört elementle birlikte onların prensibi olarak esirin [ether] kendisine karşılık gelen) bir gül ile quantia essentia sembolize edilir. Doğal olarak bu ‘imza’ tüm akademik yorumcular tarafından tamamen görmezden gelinmiştir. 9 kaçırılmamalıdır. Fakat şimdi, infinitezimal hesabın gerçek değerini tespit etmemize imkan verecek incelemeye başlayabilmek için giriş mahiyetindeki bu düşünceleri bırakmamız gerekiyor. 10 1. Sonsuz ve Belirsiz Her şeyden önce, profan bilim tarzının tam aksine bir usül takip ederek ve tüm geleneksel bilimlerin değişmeyen bakış açısına uygun olarak, infinitezimal metottan doğan zorlukları bir anda çözmemizi sağlayacak prensibi ortaya koymalıyız ki bu prensipten mahrum olduklarından, o zorluklara hiçbir zaman tatmin edici ve eksiksiz bir çözüm bulamayan modern filozof ve matematikçiler gibi bitmek bilmeyen tartışmalara neden olacak yanlış bir yola sapmayalım. Bu prensip, ancak saf metafiziksel anlamıyla doğru bir şekilde anlaşılabilen Sonsuzluk düşüncesidir. Bu konuda daha önce başka bir yerde7 daha kapsamlı bir şekilde ifade ettiklerimizi burada özet olarak hatırlatacağız; 'sonlu' açıkça 'sınırlı'nın eşanlamlısı olduğuna göre Sonsuz, herhangi bir sınırı, hududu olmayan demektir. Dolayısıyla bu terim, mutlak anlamda hiçbir sınırı olmayan, bütün imkânları ve ihtimalleri içinde barındırdığından herhangi bir şey tarafından herhangi bir biçimde sınırlandırılmayan 'Âlemşümul Küll'den, ‘Evrensel Tümel’den (Universal All) başka bir şeye doğru bir biçimde uygulanamaz. Sonsuzluğun bu şekilde anlaşılması, sadece bir çelişki ima etmediğinden ve içinde negatif bir şey barındırmadığından değil aksine böyle anlaşılmadığında bir çelişki doğuracağından metafiziksel ve mantıki anlamda bir zarurettir. Dahası, sadece bir tane Sonsuz olabilir; çünkü iki ayrı sözüm ona sonsuz, birbirini sınırlayacak ve mecburen bir şekilde birbirlerini dışarıda bırakacaklardır. Sonuç olarak, 'sonsuz' teriminin bahsettiğimiz bu anlamın dışında kullanıldığı her durumda, ya metafiziksel Sonsuzluk kavramı toptan göz ardı edilmektedir ya da onun yanında bir başka sonsuzluğun varlığı kabul edilmektedir ki böyle bir kullanımın hatalı olduğundan a priori (en baştan) emin olabiliriz. 7 The Multiple States of the Being (Varlığın Mertebeleri ismiyle Türkçeye çevrilmiştir –Çev.–), bölüm 1. 11 Skolastiklerin infinitum secundum quid (belli bir açıdan sonsuz) dedikleri şeyi kabul ettikleri ve onu dikkatli bir şekilde metafiziksel Sonsuz olan infinitum absolutum’dan (mutlak sonsuz) ayırdıkları doğrudur. Fakat onların bu terminolojisinde biz sadece bir kusur görüyoruz. Çünkü bu ayrım her ne kadar doğru biçimde anlaşılan sonsuzluğun birden fazla olması çelişkisinden kaçmalarına imkân sağlamışsa da sonsuz kelimesinin iki kere kullanılmış olması kesinlikle birçok karışıklığa neden olma riski taşır. Ayrıca, bu iki anlamdan ilki tamamen hatalıdır zira bir şeyin sadece belli bir açıdan sonsuz olduğunu söylemek ki bu infinitum secundum quid ifadesinin tam anlamıdır, onun aslında hiçbir biçimde sonsuz olmadığını söylemekle aynı şeydir.8 Aslında bu hatalı kullanım, bir şey sadece belli bir anlamda veya belli bir açıdan sınırlı olmadığında, birinin meşru bir şekilde o şeyin hiçbir şekilde sınırlı olmadığı ki bu onun gerçekten sonsuz olması için gereken şeydir, sonucunu çıkarabileceğinden kaynaklanmaz. Sonsuzun bu şekilde kullanılması daha çok, belli bir açıdan sonsuz olduğu düşünülen şeyin, hem aynı anda başka açılardan sınırlı olmasından hem de tespit edilmiş ve belirlenmiş karakteri yüzünden bütün imkânları kapsamadığından, yani kendisinin dışında kalan şeyler tarafından sınırlandırılmış olduğundan hatalıdır. 'Âlemşümul Küll'ün sonsuz olması, kesin olarak onun dışında hiçbir şeyin kalmamasından kaynaklanır.9 Dolayısıyla, ne kadar genel olursa olsun, terim ne kadar genişletilirse genişletilsin bütün tespitler mecburen doğru Sonsuzluk kavramını dışlar.10 Ne olursa olsun 8 Spinoza'nın daha sonra oldukça benzer bir biçimde kullandığı 'kendi türü içinde sonsuz' ifadesi de aynı itirazın doğmasına neden olur. 9 Şunu da söylemek mümkündür: 'Âlemşümul Küll'ün dışında sadece imkânsız vardır; imkânsız olan saf hiçlik olduğundan 'Âlemşümul Küll'ü hiçbir şekilde sınırlayamaz. 10 Bu sadece basit genel tespitler için değil, tüm tespitlerin ilki olan 12 bir tespit daima bir sınırlamadır, çünkü tespitin asıl karakteri belli bir imkân kümesini geriye kalan tüm imkânlardan ayırarak tanımlamaktır. Bu yüzden Sonsuzluk fikrini verilen herhangi bir tespite, örneğin burada özellikle üzerinde duracağımız kemmiyete (niceliğe) ya da onun o veya bu biçimine uygulamak anlamsızdır. Bu çelişki çoğu kez modernlerin profan düşünce tarzından kaçmış olmasına rağmen, 'tespit edilmiş sonsuz' fikri bize daha fazla üzerinde duramayacağımız kadar çelişkili gelmektedir. Leibnitz gibi yarı-profan şeklinde adlandıra bileceklerimiz bile11 bu çelişkiyi açık bir biçimde hissedememişlerdir. Bu çelişkiyi biraz daha ortaya çıkarabilmek için temelde aynı anlama gelen ifadelerle şunu söyleyebiliriz; Sonsuzu tanımlama isteği apaçık abes bir çabadır, çünkü bir tanım, aslında bir tespit ifadesinden başka bir şey değildir, ve kelimelerin kendisi yeterince açık bir şekilde gösterir ki bir tanıma konu olan her şey ancak sonlu ya da sınırlı olabilir. Sonsuzu bir formül içine yerleştirmeye çalışmak veya onu herhangi bir forma sokmak, bilerek ya da bilmeyerek 'Âlemşümul Küll'ü kendisinin minicik bir parçasına sığdırma teşebbüsüdür ki bu tüm imkânsızlıkların en açık olanıdır. Yukarıda söylediklerimiz, en küçük bir şüpheye yer bırakmaksızın ve başka hiçbir çekinceyi doğurmaksızın, matematiksel ya da niceliksel bir sonsuzun olamayacağını ve niceliğin kendisi bir tespit olduğundan 'niceliksel sonsuz' ifadesinin herhangi bir anlamının olmadığını ispat etmeye yeter. Bazı kimselerin bu sözüm ona sonsuzluk Olma'yı, Varlığı da (Being) içine alan evrensel tespitler için de aynı ölçüde geçerlidir; fakat bu düşünce bu çalışmada ilgilendiğimiz, saf kozmolojik uygulamalara dâhil değildir. 11 'Yarı-profan' ifadesini kullanmamızdan kaynaklanabilecek muhtemel bir şaşkınlığa cevaben deriz ki bu ifade, başka bir sebeple açıkladığımız (bakınız Perspectives on Initiation [İnisiyasyona Toplu Bakışlar ismiyle Türkçeye çevrilmiştir –Çev.– ], bölüm 30) bilfiil inisiyasyon ile bilkuvve inisiyasyon arasındaki fark sayesinde hassas bir biçimde açıklanmıştır. 13 kavramını uygulamaya çalıştıkları sayı, mekân ve zaman tespit edilmiş durumlardır ve bu yüzden ancak sonlu olabilirler. Bunlar, kendilerinin yanında ve dışında başkaları da olan ve böylece sınırlanmış olan belli imkânlar veya imkân kümeleridir. Burada şunu da söylemek mümkündür; niceliksel bir sonsuzluk düşünmek yalnızca onu sınırlamak değil ayrıca onu bir artış veya azalışa da konu etmek demektir ki bu daha az abes bir şey değildir. Benzer düşüncelerle insan kolayca kendisini sadece birbirine karışmayan ya da birbirini dışlamayan değil aynı zamanda birbirinden küçük ya da büyük birçok ayrı sonsuz tasavvuruyla içiçe buluverir. Sonunda, sonsuzluk o kadar göreceli bir hâl alır ki bu şartlar altında artık yetersiz kalmaya başlar ve sonsuzdan büyük nicelikler kümesini tarif etmesi için 'sonlu üstü' (transfinite) kavramı icad edilir. Böylece iş, hiçbir hakikate karşılık gelmeyen bu tür kavramlar uydurma meselesi hâline dönüşür. Mantık ilminde uzman olduğunu iddia eden kimseler arasında dahi görülen, en basit ve en temel mantık kaidelerinin hiçe sayıldığı o kadar çok söz, o kadar abes ifade, yaşadığımız zamanın o denli büyük entelektüel kafa karışıklığının bir göstergesidir. Burada sadece 'niceliksel bir sonsuz' düşünmeyi değil aynı zamanda, kısa bir açıklama gerektiren, 'sonsuzu niceliksel metotlarla ortaya çıkarmayı' da kast ettiğimizi belirtmeliyiz. Bu ifade ile özellikle, çağdaş felsefi jargonda 'sonsuzcu' (infinitist) şeklinde adlandırılanları anlatmak istiyoruz. Gerçekten, 'sonlucular' (finitists) ile sonsuzcular arasındaki tüm tartışmalar açıkça göstermiştir ki her iki grup da metafiziksel Sonsuzluk ile matematiksel sonsuzluğun, bu ikisini yalın ve basit bir şekilde ayırt etmediklerinden, birbirine benzediği gibi tamamen yanlış bir fikre sahiptirler.12 Dolayısıyla her iki görüş de metafiziğin en 12 Karakteristik bir örnek olarak burada L. Couturat'ın tezi De l'infini mathematique verilebilir. Couturat tezinde, niyetinin bu yolla “Renouvier ve okulunun teorilerine dayanan yeni eleştirilere rağmen sonsuzcu bir metafiziğin makul olduğunu göstermek” 14 temel prensibi olan, niceliksel sonsuzluk gibi bütün hususi sonsuzlukları tamamen reddetmemizi sağlayan, doğru, metafiziksel Sonsuzluk kavramını eşit ölçüde gözardı etmiştir. Niceliksel sonsuzluk kavramıyla nerede karşılaşılırsa karşılaşılsın onun bir yanılsama olduğundan emin olabiliriz. Hakikate daha yakın bir kavramla değiştirebilmek için bu yanılgıya neyin neden olduğunu sormamız gerekiyor. Ne zaman belli bir şey, tespit edilmiş bir imkân söz konusu olsa baştan söylenebilir ki işte bu gerçek, onun tabiatının belirlenmiş olması, o şeyi sınırlandırır. Sebeb ne olursa olsun, bir şeyin sınırlarına fiilen ulaşamadığımızda dahi bu aynen böyledir. Bazı şeylerin hudutlarına ulaşmanın imkânsızlığı ve bazen onların berrak bir şekilde tasavvur edilemeyişi, en azından metafizik prensiplerden habersiz kimseler için, o şeylerin bir sınırının olmadığı yanılgısına sebeb olur. Hadi, yeniden söyleyelim: 'tespit edilmiş sonsuz' şeklindeki çelişkili savda ifade edilen, bu yanılsamadan öte bir şey değildir. Burada, bu sahte kavramı düzeltmek ya da doğru bir kavramla13 yer değiştirmek için sınırlarına fiilen ulaşamadığımız imkânların devamı ve gelişimi anlamına gelen 'belirsizlik' (‘indefinite’) mefhumunu olduğunu söyleyerek sayıların ve büyüklüklerin sonsuzluğunu ispatlamaya çalışmıştır. 13 Tam bir mantıksal hassasiyet içinde, 'sahte kavram'la (‘false notion’) (ya da bir başkasının tercih edebileceği şekliyle 'psödo kavram'la) 'hatalı kavram’ı (‘incorrect notion’) birbirinden ayırt etmek gerekir: 'hatalı kavram', belli bir ölçüye kadar gerçeğe karşılık gelse de, yeteri kadar bunu yapamayan kavramdır. Oysa, 'sahte kavram', bu örnekte olduğu gibi, çelişki doğuran bir kavramdır. Dolayısıyla, bu çelişkiyi algılayamayanlara öyle gelmese de, 'sahte kavram' gerçek bir kavram, hatta 'hatalı bir kavram' bile değildir. Çünkü, hiçlikle özdeş olan imkânsızı ifade etmek hiçbir şeye karşılık gelmez. 'Hatalı kavram' düzeltilebilir ama 'sahte kavram' ancak toptan reddedilir. 15 sunmamız gerekiyor. İşte bu yüzden, Sonsuz ile belirsiz arasındaki bu ayrımı, matematiksel sonsuzluk denilen şeyin göründüğü tüm sorunlarda temel kabul ediyoruz. Şüphesiz bu, - 'mutlak sonsuz' ve 'belli bir açıdan sonsuz' - Skolastik ayrımın yazarlarının amaçlarına denk düşer. Ne yazık ki Skolastisizmden çok şey alan Leibnitz, her ne kadar mükemmel bir formda ifade edilmiş olmasa da, metoduna yöneltilen birçok itiraza kolayca cevap vermesini sağlayacak bu ayrımı ihmal etmiş ya da farkına varamamıştır. Bunun aksine, Dekart'ın gerçekten bir ayrım kurmaya çalıştığı görülür. Fakat bu ayrımı kâfi derecede hassas ifade etmekten, hatta düşünmekten oldukça uzaktır. Çünkü O'na göre belirsiz, sınırlarını idrak edemediğimiz şeydir ve öyle olduğunu doğrulayamasak bile gerçekte sonsuz olabilir. Oysa hakikat şudur ki biz, aksine, belirsizin sonsuz olmadığını ve sınırlarının varlığı hakkında emin olabilmek için onları idrak etmemizin hiçbir şekilde gerekli olmadığını iddia edebiliriz. Aynı prensip eksikliğinden dolayı şu açıklamaların ne kadar muğlak ve karışık olduğu görülebilir. Dekart şöyle söyler: “bir takım şeyleri, sınırlarını fark edememeyeceğimiz şekilde görüyoruz14 diye sonsuz olarak addetemeyiz, onları ancak belirsiz olarak değerlendirebiliriz.”15 Ve cisimlerin uzamını (extension) ve bölünebilirliğini örnek olarak verir. Bunların sonsuz olduğunu ileri sürmez, ama bunu resmen inkâr etmek istiyor gibi de görünmez. Çünkü, bir süre sonra, “bize sınırları yokmuş gibi gelen özellikler gözlemlememize rağmen, bunun, onların doğasından değil bizim anlayışımızdaki eksiklikten kaynaklandığını görebiliriz” demiş olmasına rağmen, zorlukları kenara süpürmenin çok kolay bir yolu olarak, “sonsuzluk hakkındaki anlaşmazlıklarla başını derde sokmak” istemediğini beyan etmiştir.16 Kısacası, gayet güzel nedenlerle sonsuz 14 Bu kelimeler Skolastik secundum quid’e atıfta bulunuyor gibi gözükmektedir. Dolayısıyla bu cümlenin ana maksadı infinitum secundum quid ifadesini dolaylı olarak eleştirmek olabilir. 15 Principes de la Philosophie, 1, 26. 16 Ibid., 1, 27. 16 adını, sınırı olmayana ayırmak istemiştir ama bir yandan mutlak bir kesinlikle tüm metafiziksel bilgilerde kastedilen, sınırı olmayan şey ancak Âlemşümul Küll dür ilkesini bilmediği görülür, öte yandan, kendisinin belirsizlik kavramının çok daha hassas olması gerekir. Eğer öyle olsaydı ardından gelen bu kadar çok karışıklık şüphesiz bu kadar kolay ortaya çıkmazdı.17 İster bir uzam, ister bir süre, ister bir bölünebilirlik veya isterseniz bir başka imkân olsun, belirsiz olan sonsuz olamaz çünkü o daima belli bir tespiti ima eder. Yani, belirsiz olan ne olursa olsun ve hangi açıdan düşünülürse düşünülsün hâlâ sonludur ve ancak sonludan müteşekkildir. Şüphesiz, onun sınırları (limits) bizim ulaşabileceğimiz alanın dışına kadar genişler. İleride adamakıllı açıklayacağımız gibi, en azından 'analitik' şeklinde adlandıracağımız bir tarzda ulaşabileceğimiz alanın dışına kadar. Fakat, bu sınırlar hiçbir şekilde bu yüzden hükümsüz kalmaz. Herhangi bir şekilde, belli bir düzenin (order) sınırları hükümsüz bırakılabilse de onunla aynı tabiata sahip diğer düzenlerin sınırları var olmaya devam edecektir. Çünkü bu sınırlar, birtakım dış etkenler veya kazara oluşan koşullar yüzünden değil, o şeyin tabiatı yüzünden vardırlar. Sınırlar ne dereceye kadar genişletilirse genişletilsin her belirli şey sonludur. Bu bağlamda, matematikçilerin sonsuz dedikleri şeyi göstermek için kullandıkları ∞ işareti kapalı bir şekildir, dolayısıyla bu işaret görünür bir şekilde sonludur. Aynen bazı kimselerin çemberi, ebediyetin (eternity) (zamansızlığın –Çev.–) bir sembolü yapmak istemeleri gibi. Oysa o aslında sadece, yalnız kendi düzeninde belirsiz olan zamansal bir devrin, 17 İnfinitezimal nicelikler hesabı konusunda Leibnitz ile yazışmalarında Varignon, 'sonsuz' ile 'belirsiz' terimlerini bir fark gözetmeksizin kullanmıştır, sanki neredeyse eşanlamlılarmış veya en azından bu fark önemsizmiş ya da güya biri diğerinin yerini alabilirmiş gibi. Oysa tam aksine bu iki terimin anlamları arasındaki fark tüm bu tartışmaların esasıdır. 17 yani daimiliğin (perpetuity) bir sembolü olabilir.18 Modern batılılar arasında çok yaygın olan bu ebediyet ve daimilik karışıklığının çok yakın bir şekilde Sonsuz ve belirsiz arasındaki karışıklıkla alâkalı olduğunu görmek kolaydır. Belirsiz fikrini ve sıradan anlamıyla sonludan oluşma şeklini daha iyi anlayabilmek için sayılar dizisi örneğini düşünebiliriz: her sayıdan sonra o sayıya bir ekleyerek daima bir başka sayı elde edilebileceğinden, sayılar dizisi üzerinde belirlenmiş bir noktada durmak asla mümkün değildir. Dolayısıyla, bu belirsiz dizinin sınırlanması, belirli iki sayı arasında kalan sayılar kümesine uygulayabildiğimiz sınırlama durumundan farklı olmak zorundadır. Bu sınırlama, belli sayıların kendilerine has özelliklerinden değil, bütün genelliği içinde sayının tabiatından, esasen bu tabiatı oluşturan tespitten, yani sayıyı başka bir şey değil de sayı yapan şeyden kaynaklanır. Mesele, sayı değilde de mekân veya zaman olduğunda ve bunlar için söz konusu olabilecek herhangi bir genişleme düşünüldüğünde de insan, tamamen aynı gözlemi yapabilir.19 Böyle bir genişleme ne kadar belirsiz olursa olsun bizi hiçbir şekilde sonlunun dışına götürmez. Aslında sonlu, daha baştan, ister istemez Sonsuzun varlığını kabul eder, çünkü Sonsuz tüm imkânları kavrar ve 18 Yine şunu not etmeliyiz: başka bir yerde açıkladığımız gibi, böyle bir devir asla tam olarak kapalı olamaz ve insan onu ancak, sınırları arasında gerçekten var olan mesafeyi görmesine izin vermeyen bir perspektiften baktığı sürece kapalı gibi görür. Aynen düşey ekseni üzerine oturtulmuş bir helisin yatay düzlem üzerine yansıtılmış görüntüsünün bir çember olarak görülmesi gibi. 19 Bu yüzden örneğin mekânın, ancak kendisi de mekânsal olan bir şeyle sınırlanabileceğini söylemenin bir yararı yoktur çünkü bu, mekânın artık hiçbir şey tarafından sınırlanamayacağı anlamına gelir. Aksine mekân, kendi tabiatını oluşturan tespit tarafından sınırlanır ve mekân dışında kalan tüm mekânsız imkânlara yer bırakır. 18 sarar. Buna karşılık belirsiz, gerçekte sadece bir devamı olduğu ve bu yüzden daima ona geri dönüşebildiği sonludan kaynaklanır. Çünkü kimse sonludan, ne daha fazla bir şey ne de zaten potansiyel olarak sonluda mevcut olandan başka bir şey üretemez. Yeniden sayılar dizisini ele alacak olursak diyebiliriz ki bu dizi, ima ettiği tüm belirsizlikle beraber, kendisinin oluşum kanunu sayesinde bize verilmiştir. Onun belirsizliği, bir sayı verildiğinde o sayıya bir eklenerek bir sonraki sayının oluşması kanunuyla birlikte doğar. Dolayısıyla sayılar dizisi, birin kendisine art arda, belirsiz bir biçimde tekrarlanarak eklenmesiyle oluşur ki bu temelde sadece herhangi bir aritmetik toplam sürecinin belirsiz uzamıdır. İşte burada belirsizin sonludan başlayarak nasıl oluştuğu açıkça görülür. Ayrıca bu örnek, netliğini sayısal niceliğin ayrık karakterine borçludur. Ancak, bütün durumlara uygulanabilecek şekilde daha genel bir tarzda ele almak gerektiğinde, 'belirsiz' terimi ile ima edilen 'oluş' (‘becoming’) fikri üzerinde durmak yeterli olacaktır. İşte bu, yukarıda imkânların devamı ve gelişimi şeklinde ifade ettiğimiz, kendi içinde ve bütün seyri boyunca daima bitirilmemiş bir şeylerden oluşan ilerlemedir.20 Bu son noktanın tüm önemini ileride infinitezimal hesabla ilgili 'değişken' düşüncesi gösterecektir. 20 Başka bir yerde (The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm 3) atıfta bulunduğumuz A.K. Coomaraswamy'nin 'ölçme'nin Platonik anlamı üzerindeki düşüncelerine bakınız: 'ölçülmemiş' olan, henüz tanımlanmamış yani kısaca belirsiz olandır, aynı zamanda ve aynı sebeple zuhur (manifestation) içinde sadece eksik olarak fark edilebilmiş olandır. 19 2. 'Sonsuz Sayı' Çelişkisi İleride daha açık bir şekilde göreceğimiz gibi bazı durumlarda sonsuz diye adlandırılan kavramı belirsiz ile yer değiştirmek bütün zorlukları anında çözmek için yeterlidir. Fakat bunun mümkün olmadığı başka bazı durumlar da mevcuttur. Çünkü bazen, açıkça tespit edilmiş, yani tabiri caizse varsayım gereği sabit olan, dolayısıyla yukarıdaki düşüncelerimize göre belirsiz olarak adlandıramayacağımız durumlar söz konusudur. Örneğin, sayı dizisinin sonu belirsizdir diyebiliriz ama ne kadar büyük olursa olsun ve dizide hangi konumu işgal ederse etsin belli bir sayı belirsizdir diyemeyiz. Bir 'sonsuz sayı' fikri, 'bütün sayıların en büyüğü' veya 'tüm sayıların sayısı' ya da 'tüm birimlerin sayısı' şeklinde anlaşıldığında, 'sonsuz' kelimesinin yanlış kullanımı gözardı edilse bile, kendi kendisiyle çelişen bir fikirdir. Bir sayı ne kadar büyük olursa olsun, yukarıda belirttiğimiz oluşum yasasına göre, her zaman o sayıya bir ekleyerek daha büyük bir sayı oluşturabileceğimiz için tüm sayılardan daha büyük bir sayı olamaz. Sayı dizisi bir son terime sahip olamaz ve işte tam da bu yüzden, dizi sona ermediği için aslında belirsizdir. Sadece dizideki tüm terimlerin sayısı dizinin son terimi olabileceğinden, ileride daha kapsamlı bir şekilde döneceğimiz gibi, sayı dizisinin ‘sayısı belirlenemez’ (‘not numerable') diyebiliriz. Bir 'sonsuz sayı'nın imkânsızlığı başka birçok açıdan ortaya konabilir. En azından bunu çok açık bir şekilde fark etmiş olan Leibnitz,21 bu konuda çift sayı ve tam sayı dizilerini karşılaştırır: her sayı için kendisinin iki katına eşit olan bir başka sayı bulunabilir öyle ki insan bu iki diziyi terim terim eşleştirebilir ve sonuçta her iki dizideki terim 21 Leibnitz şöyle demiştir: “Kendi infinitezimal hesabıma rağmen, gerçek bir sonsuz sayıyı kabul etmiyorum, şeylerin çokluğunun tüm sonlu sayıları, hatta tüm sayıyı aştığını itiraf etmiş olsam da.” 20 sayısının eşit olması gerekir. Oysa, çift sayılar tam sayılar dizisinde birer atlayarak gittiklerinden, çift sayıların iki katı kadar tam sayı olması gerektiği açıktır. Dolayısıyla insan apaçık bir çelişkiyle karşılaşır. İkinin katları olan çift sayılar dizisi yerine herhangi bir sayının katları alınarak veya sayıların kareleri22 ya da daha genel anlamda herhangi bir kuvveti alınarak oluşturulacak diziler için bu tartışma genelleştirilebilir. Durum ne olursa olsun sonuç daima aynıdır; tam sayıların sadece bir kısmını içeren bir dizi, tam sayılar dizisinin terim sayısına eşit sayıda terime sahip olur. Bu, bir bütünün kendi parçasından daha büyük olmadığı anlamına gelir ki tüm sayıların sayısı gibi bir kavrama izin verildiği sürece bu çelişkiden kurtulmak imkânsızdır. Buna rağmen bazıları, belli bir sayı ile çarpılmaları veya belli kuvvetlerinin alınması mümkün olmayan sayılar olduğunu farz ederek bu çelişkiden kurtulmayı düşünmüşlerdir. Aksi takdirde bu işlemler 'sonsuz sayısı'nı aşan sonuçlar verecektir. Hatta 'sonsuzdan daha büyük' sayılar tasarlayanlar olmuştur. Cantor'un 'sonlu üstü' (transfinite) gibi yaratıcı teorileri bu yüzden mantıksal olarak geçerli değildir:23 Bir sayı gayet 'sonlu' olduğunda, yani tüm sayıların en büyüğü olmadığında, o sayıyı 'sonsuz' diye adlandırmayı insanın hayal etmesi 22 Cauchy, Galileo’ya atfettiği bu argümanı göstermiştir (Sept leçons de Physique generale, üçüncü ders). 23 Daha Leibnitz zamanında Wallis, spatia plus quam infinita (sonsuz mekândan daha fazlası) diye bir şey tahayyül etti. Bir çelişki doğurduğu Varignon tarafından ihbar edilen bu görüş, Guido Grandi'nin kitabı De Infinitis infinitorum’da (Sonsuzların Sonsuzluğu Üzerine) aynen benimsendi. Öte yandan, Jean Bernoulli, Leibnitz ile yaptığı tartışmalar sırasında şöyle yazdı: Si dantur termini infiniti, dabitur etiam terminus infinitesimus (non dico ultimus) et qui eum equuntur (Eğer sonsuzun limiti elde edilirse, infinitezimal limitler de elde edilir [mutlak limitler demiyorum]). Hiçbir zaman kendi kendine bundan daha açık bir açıklama yapmış olmasa da bu, Bernoulli'nin, sayı dizisinde 'sonsuzun ötesi'nde terimler olabileceğini düşündüğünün bir göstergesidir. 21 mâkul olabilir mi? Ayrıca, bu teoriler yüzünden bilinen hesaplama kurallarının hiçbirinin uygulanamadığı ya da kısaca, gerçekte sayı olmayan ama yalnızca alışkanlık yüzünden sayı denilen sayılar ortaya çıkar.24 Tüm sayıların en büyüğünden daha başka bir 'sonsuz sayı' arandığında bu kaçınılmaz olarak gerçekleşir. Sıradan sayılarla ortak hiçbir özellik taşımayan, birbirlerine eşit olmayan birçok 'sonsuz sayı' tahayyül edilir. Yani, bir çelişkiden kaçmak için bir başka çelişkiye düşülür. Bütün bunlar temelde sadece, hayal edilebilecek en anlamsız 'antlaşmacılığın, âdetciliğin' ürünüdür. Dolayısıyla, ne şekilde sunulursa sunulsun ve hangi isimle adlandırılırsa adlandırılsın, 'sonsuz sayı' olarak söylenen fikir her zaman çelişkili unsurlar ihtiva eder. Ayrıca, sayının belirsizliğinin gerçekten ne olduğu doğru bir şekilde anlaşıldığı andan itibaren böyle abes bir varsayıma ihtiyaç kalmaz. Dahası insan, sayının bu belirsizliğine rağmen hiçbir şekilde tüm varlığa uygulanamayacağının da farkına varır. Başka bir yerde yeterince açıkladığımız için bu nokta üzerinde burada daha fazla durmayacağız. Sayı, niceliğin sadece bir biçimidir. Niceliğin kendisi ise, Varlığın (Being) yalnızca bir kategorisi ya da özel bir biçimidir ve onunla aynı sınırları paylaşmaz. Daha dakik bir ifadeyle söylersek nicelik, evrensel varlık durumlarının tamamı içinde, sadece varlığın belli bir durumuna uygun düşen bir koşuldur. Ancak her şeyi niceliğe indirgemek isteyen ve hatta her şeyi sayısal olarak değerlendirmeye alışmış birçok modern bunu anlamakta zorlanır.25 Oysa nicelik kümesinde, süreklilik 24 Kimse bunun sayı düşüncesine benzer bir kullanım olduğunu söyleyemez, çünkü bu aslında nicelik kümesinden başka bir kümeye geçişi ima eder. Oysa bu çeşit düşünceler daima harfi harfine sırf niceliği kastetmektedir. 25 Renouvier sayının en azından idealde her şeye uygulanabileceğini, yani biz gerçekten ‘sayamasak’ da her şeyin kendi içinde 'sayılabileceğini' (numerable) düşündü. Dolayısıyla O, Leibnitz'in 22 (continuity) konusuna geldiğimizde göreceğimiz gibi, sayıdan kurtulan şeyler vardır. Sonuçta - belli bir imkân seviyesini sınırlayan, sınırladığı şeyin ötesinde ve dışındadır -26 itiraz kabul etmez gerçeğinin sadece bir uygulaması olan - sayıların çokluğu bir sayı oluşturmaz – ilkesi anlaşıldığında, insan en azından zımnen, sayının her şeye uygulanamayacağını, ayrık (discontinuous) nicelik kavramından ayrılmadan bile kabul etmek zorunda kalır. Anlaşılması gereken tek şey, ister sayılar dizisinde olduğu gibi ayrık olsun, isterse biraz sonra ele alacağımız gibi sürekli olsun, böyle bir çokluğun hiçbir surette sonsuz olarak adlandırılamayacağıdır. Buradaki mesele belirsizlik meselesinden başka bir şey değildir. Şimdi bu çokluk kavramını daha yakından inceleyelim. 'çokluk' (multitude) mefhumuna verdiği anlamı tamamıyla yanlış anladı ve çokluk ile sayı arasındaki farkın 'sonsuz sayı' çelişkisinden kurtulmaya nasıl yaradığını hiçbir zaman anlayamadı. 26 Oysa daha önce, ne olursa olsun her özel ve belirlenmiş şeyin kendi tabiatı tarafından sınırlandırılmış olduğunu söylemiştik. Burada kesinlikle hiçbir çelişki yoktur. Gerçekte şeyler tabiatlarının negatif taraflarıyla sınırlıdırlar (Spinoza'nın söylediği gibi, omnis determinatio negatio est [her tanımlama bir nefiydir]). Yani, diğer şeyleri dışlayan ve onlara kendi dışında bir yer bırakan, o şeyin tabiatıdır öyle ki sonuçta düşündüğümüz şeyi sınırlayan, gerçekten onunla birlikte var olan bu diğer şeylerdir. Bu ayrıca neden yalnızca Âlemşümul Küll'ün herhangi bir şey tarafından sınırlandırılamayacağının da sebebidir. 23 3. Sayısı Belirlenemeyen Çokluk Leibnitz’in bir 'sonsuz sayı'yı asla kabul etmediğini daha önce söylemiştik. Aksine O, her ne anlamda alınırsa alınsın bunun kesinlikle bir çelişki doğuracağını bildirmiştir. Öte yandan, en azından Skolastiklerin söylediği gibi bunun sadece bir infinitum secundum quid olabileceğini açıkça belirtmeden, 'sonsuz çokluk' diye adlandırdığı şeyi kabul etmiştir. Sayı dizisi O'nun için böyle bir çokluktur. Fakat bir başka açıdan sonsuzluk fikri O'na daima, nicelikler, hatta sürekli büyüklükler (magnitude) kümesinde muhtemel çelişkiler doğurabilecek bir şüpheli gibi görünür. Çünkü bu sonsuzluk mefhumu yeterli bir fikir olmaktan uzak, kaçınılmaz şekilde bir takım karışıklıklar doğuran bir düşüncedir. Bir fikrin tüm elemanlarını açık bir biçimde kavramadan onun bir çelişki doğurup doğurmayacağından emin olamayız.27 Bu durum, 'sembolik' – veya 'temsilci' (‘representative’) diyeceğimiz – bir karaktere neredeyse hiç izin vermez ve daha sonra göreceğimiz gibi bu yüzden Leibnitz 'sonsuz küçük'ün gerçekliği hakkında bir hüküm verme cesaretini asla gösterememiştir. Oysa bu tereddüt ve şüpheli tutum, 'sonsuz çokluk'tan bahsedilebileceğini kabul etmesine yol açan prensip eksikliğini daha iyi 27 Dekart, 'açık (clear) ve belli (distinct)' fikirlerden yalnızca söz eder. Leibnitz ise bunları şu şekilde açıklar: bir fikir belli olmadan da açık olabilir, açık fikir tanınmaya ve diğer fikirlerden tefrik edilmeye müsaittir, belli fikir ise sadece bu anlamda ‘tefrik edilen’ değil aynı zamanda kendi içinde kendi elemanları da ‘tefrik edilen’ fikirdir. Ayrıca, her fikir az ya da çok belli olabilir ama yeterli bir fikir tümüyle ve tüm elemanlarıyla belli olan fikirdir. Ancak Dekart, insanın her şey için 'açık ve belli' bir fikre sahip olabileceği düşüncesine sahipken, Leibnitz aksine sadece sayılar gibi belli elemanlardan oluşan matematiksel fikirlerin yeterli olabileceğine inanmıştır. Diğer tüm fikirler, analizi tam olarak asla tamamlanamayan bir takım elemanlar içerdiğinden, hep bir takım karışıklıklar taşırlar. 24 ortaya çıkarıyor. Burada insan şunu merak ediyor: kendisinin söylediği gibi 'sonsuz' olabilmesi için böyle bir çokluğun sadece 'sayısının belirlenemez' olması değil, ki bu çok açıktır, aynı zamanda, niceliği tüm genişliği ve bütün modlarıyla almak kaydıyla, hiçbir surette niceliksel de olmaması gerektiğini düşünmemiş midir? Bazı durumlarda bunu düşünmüş olabilir ama her zaman değil. Yine de, kendi kendine hiçbir zaman açıkça izah etmediği bir nokta hep kalmıştır. Bütün sayıları aşan, dolayısıyla bir sayı olmayan çokluk fikri, ister 'sonlucu' ister 'sonsuzcu' olsun, Leibnitz'in düşüncelerini tartışan birçok kişiyi şaşırtmışa benzer. Oysa bu fikir, genellikle öyle inanılsa da yalnız Leibnitz'e ait bir şey değildir. O, Skolastikler arasında da oldukça yaygındı.28 Bu düşünce, gerek sayı olmayan gerekse 'sayısı belirlenebilir' olmayan her şeye özellikle uygulanmıştır, yani ister niceliğin diğer modlarına ait bir mesele olsun isterse tamamen nicelik alanının dışında kalanlar olsun, ayrık nicelik alanıyla ilgili olmayan her şeye. Çünkü çokluk, 'tecrübe üstü' (transcendental) düzenle ilgili ya da nicelik gibi özel modlarının aksine, varlığın kendisiyle aynı sınırlara sahip genel modları seviyesiyle ilgili bir fikirdir.29 Bu çokluk kavramı ayrıca insanın, 28 Bu konuda diğerlerinin arasından oldukça açık olan şu metni aktaracağız: Qui diceret aliquam multitudinem esse infinitam, non diceret eam esse numerum, vel numerum habere; addit etiam numerus super multitudinem rationem mensurationis. Est enim numerus multitudo mensurata per unum ... et propter hoc numerus ponitur species quantitatis discretae, non autem multitudo, sed est de transcendentibus (Eğer birisi bir çokluğun sonsuz olduğunu söylüyorsa, bu o çokluğun bir sayı olduğunu ya da bir sayısı olduğunu söylüyor demek değildir, çünkü sayı çokluğa ölçme fikrini ilave eder. Sayı, bir ile ölçülmüş çokluk olduğundan ... ve bu yüzden sayı, ayrık niceliğin bir türü olarak sınıflandırılır, oysa çokluk böyle değildir, o tecrübe üstü [transcendental] olan şeylerden biridir) Aziz Thomas Aquinas, Physics, III, 1.8. 29 Skolastiklerin, kendi doktrinlerinin metafiziksel bölümlerinde bile 25 örneğin, ilahi sıfatların çokluğu veya meleklerin çokluğu gibi sayıya konu olmayan durumlar hakkında konuşmasına imkân sağlar. Üstelik bu kavram, belirsiz bir çokluktan müteşekkil varlık dereceleri veya olma durumları hakkında konuşmaya da izin verir, nicelik onlardan tek birinin varlığının özel bir şartı olsa da. Öte yandan çokluk fikri sayının aksine var olan her şeye uygulanabilir olduğundan, nicelik düzeyinde, özellikle sürekli nicelikler alanında çokluklar olması gerekir. Bu yüzden diyoruz ki sayının tamamını aşan 'sonsuz çokluğun' her durumda nicelik kümesinden tamamen kurtulduğunu düşünmek doğru olmaz. Ayrıca sayının kendisi, ölçülmüş olması şartıyla çokluğun bir türü olarak düşünülebilir. Aziz Thomas Aquinas'ın ifadesiyle sayı 'bir ile ölçülmüş çokluktur'. 'Sayısı belirlenemez' olan çokluğun tüm diğer çeşitleri 'ölçülmemiştir'. Bu onların sonsuz değil ancak belirsiz olmaları demektir. Bu konuda şu tuhaf gerçeği not etmek uygun olacak: Leibnitz için bir sayı olmayan bu çokluk yine de 'birimlerin bir sonucudur'.30 Bunu nasıl anlamalıyız ve buradaki birimler gerçekten nedir? Birim kelimesi tamamen iki farklı manada anlaşılabilir:31 Bir tarafta sayının ilk elemanı ve hareket noktası olan aritmetik veya niceliksel birim, diğer tarafta saf Varlığın kendisi ile tanımlanan metafizik Birlik. Bunun dışında muhtemel başka bir anlam göremiyoruz. Ancak, ne zaman birisi çoğul olarak 'birimler'den bahsetse, bu yalnız nicelik biçiminde anlaşılabilir. Öyleyse, birimlerin toplamı sayıdan başka bir şey olamaz ve hiçbir şekilde sayıyı aşamaz. Leibnitz'in 'toplam' değil de 'sonuç' dediği doğrudur, fakat asla Varlık, Olma (Being) düşüncesinin ötesine geçmediklerini biliyoruz öyle ki onlar için metafizik aslında sadece ontolojiye indirgenmişti. 30 Systeme nouveau de la nature et de la communication des substances. 31 Guenon'un kendisinin de açıkladığı gibi Fransızca unite kelimesi hem 'birim' (unit) hem de 'birlik' (unity) anlamlarına gelir. ED. 26 maksatlı olduğunu varsaysak bile bu ayrım ne yazık ki kapalı kalmıştır. Başka bir yerde O, bir sayı olmayan çokluğun sayı analojisiyle anlaşılabileceğini söyler: ”Herhangi bir sayıyla kavranabilecek olandan daha fazla şeyler olmasına rağmen” der Leibnitz, “yine de biz, analojik olarak bir sayı atfeder ve sadece bir 'söz gelimi' (modus loquendi)32 olarak onlara sonsuz deriz.” Söz konusu olan şey gerçekte hiçbir surette bir sayı olmadığından bu konuşma şekli dahi hiç doğru bir anlatım biçimi değildir. Fakat ifadelerdeki kusurlar ve neden olduğu karışıklıklar ne olursa olsun, her hâlukârda kesinlikle O'nun düşüncesinin temelinde, çokluğu bir sayı ile tanımlamanın olmadığını kabul etmek zorundayız. Leibnitz'in büyük önem atfediyor gibi göründüğü bir başka nokta da şudur: O'nun anladığı 'sonsuz' bir bütün oluşturmaz.33 O bunu, kendi sonsuzluk anlayışındaki çelişkiden kurtulmak için gerekli bir şart gibi görür. Oysa bize göre bu bir başka anlaşılması güç noktadır. Birisi pekâlâ burada nasıl bir 'bütün'den bahsedildiğini merak edebilir. Her şeyden önce başından beri söylediğimiz gibi tek doğru sonsuzluk olan ve burada hiçbir şekilde söz konusu olmayan metafiziksel Sonsuzluğun kendisi, Âlemşümul Küll kavramını tamamen bundan ayrı tutmak gerekiyor. 32 Observatio quod rationes sive proportiones non habeant locum circa quantitates nihilo minores, et de vero sensu Methodi infinitesimalis (Gittikçe Küçülen Niceliklere Uygulanamayan Hesaplar ve Orantılarla İlgili Bir Gözlem ve İnfinitezimal Metodun Doğru Anlaşılması Hakkında), Acta Eruditorum, Leipzig, 1712. 33 Aynı eserde: Infinitum continuum vel discretum proprie nec unum, nec totum, nec quantum est (Sürekli ya da ayrık sonsuz, doğrusunu isterseniz, ne tektir, ne bir bütündür, ne de bir niceliktir), Leibnitz, eğer buradaki quantum kelimesiyle, 'sonsuz sayı' gibi çelişkisini daha önce kendisinin göstermiş olduğu belli bir niceliği kastetmemişse, bu nec quantum ifadesi, O’nun 'belirsiz çokluğu' bir nicelik gibi anlamadığını gösterir. 27 Hakikaten, ister sürekli isterse ayrık olsun Leibnitz'in tahayyül ettiği 'belirsiz çokluk' ancak sınırlı ve koşullu olan kozmolojik düzeyde bir anlam taşır yoksa metafizik düzeyde değil. Ayrıca burada söz konusu olan, parçalardan oluşmuş bir bütünlüktür. Oysa başka bir yerde açıkladığımız gibi34 Âlemşümul Küll, sonsuz olduğu için ‘parçasızdır’, çünkü parçalar zorunlu olarak göreceli ve sonludurlar ve bu yüzden sonsuzla gerçekte herhangi bir bağlantıları yoktur. Başka bir deyişle sonsuzun parçası olmaz. Bu yüzden sorumuzla ilgili olarak özel bir bütünlük anlayışı içinde kalmamız gerekir. Fakat burada yine, böyle bir bütünün nasıl bir modda oluştuğu ve bu bütünün parçalarıyla nasıl bir ilişki içinde olduğu hususunda düşünmemiz gereken iki ayrı durum, aynı 'bütün' (‘whole’) kelimesinin iki farklı anlamı vardır. Bunlardan birincisi, bir aritmetik toplam şeklinde oluşan, kendi parçalarının basit toplamından daha farklı ya da daha fazla bir şey olmayan bir bütünlüktür. Leibnitz, tam olarak sayıya uygun olan bu çeşit bütünlüğün temel olduğunu söyleyerek bizim sayının ötesine giçmemize izin vermez. Oysa gerçekte bir bütünü tasavvur etmenin tek yolunu temsil etmekten çok uzak olan bu anlayış, terimin en hassas anlamıyla gerçek bir bütün bile değildir. Aslında, sadece parçalarının toplamı ya da sonucu olan, dolayısıyla onlardan sonra gelen bir bütün, bir ens rationis’den (akılda ya da zihindeki varlık) başka bir şey değildir. Çünkü o sadece bizim onu tahayyül ettiğimiz ölçü içinde 'bir' ve 'bütün'dür. Gerçekte kelimenin tam anlamıyla o yalnızca bir 'koleksiyon'dur. Tahayyül ediş şeklimizle, belli ve göreceli bir anlama kadar ona birlik ve bütünlük karakteri ihsan eden bizleriz. Bunun tam aksine, bütünlük karakterine kendi tabiatıyla sahip olan gerçek bütünlük, mantıksal olarak parçalarından önce gelmelidir ve onlardan bağımsız olmalıdır. Gerçekten var olup olmadıklarını önceden düşünmedem, keyfi bir şekilde, istediğimiz herhangi büyüklükte parçalara ayırabileceğimiz, 34 Bu konuda daha fazla bilgi için bakınız The Multiple States of the Being, bölüm 1. 28 sürekli bir küme işte böyle bir bütündür. Bu defa biz, ideal ya da etkin bir bölme sayesinde oluşan bu parçalara bir gerçeklik veririz ve bu bir önceki durumun tam tersidir. Şimdi tüm sorun Leibnitz'in, “sonsuz bir bütün değildir” derken bütünün birinci anlamının yanında ikinci anlamını da kastedip etmediği meselesidir. Öyle anlaşılıyor ki kastediyordu. Bu mümkün, çünkü bu ikinci anlam bütünün gerçekten 'bir' olabileceği tek durumdur ve O'na göre sonsuz nec unum, nec totum dur (ne bir, ne de bütündür). Bunu teyit eden bir başka şey de bu ikinci anlamın bütünlük bakış açısından düşünüldüğünde bir canlı varlığa ya da organizmaya uygulanabilmesidir. Leibnitz şöyle der: “Evren bile bir bütün değildir, ve o, kadim uygarlıklarda olduğu gibi ruhu Tanrı olan bir hayvan olarak tahayyül edilmemelidir”.35 Ancak eğer gerçekten böyle ise insan, O'nun sonsuz ve sürekli kavramlarını nasıl ilişkilendirebildiğini anlayamaz, oysa bunu sık sık yapmıştır. Zira sürekli kavramı, en azından belli bir anlamda, tam da bu ikinci bütünlük anlayışıyla bağlantılıdır. Fakat bu nokta gelecek bölümlerin ışığı altında daha iyi anlaşılacak. Her hâlükârda kesin olan şu: eğer Leibnitz, 'bütün'ün üçüncü bir anlamını tasavvur etmiş olsaydı, yani diğer ikisinin üstünde sırf metafiziksel anlam olan, ilk başta ortaya koyduğumuz Âlemşümul Küll fikrini tasavvur etmiş olsaydı, sonsuzun bütünlüğü dışladığı fikrini söyleyemezdi. Çünkü O ayrıca şunu da söylemiştir: “Gerçek sonsuz muhtemelen kendi içinde mutlaktır, 35 Jean Bernoulli'ye mektup. - Leibnitz burada aslında kadim uygarlıkların sadece bir kısmında görülen bir görüşü sebepsiz yere genele atfetmiştir. Besbelli aklında, Tanrıyı her yerde var olarak tahayyül eden ve O’nu Anima Mundi ile tanımlayan Stoacıların teorisi vardı. Ayrıca şu da gayet açık; buradaki mesele sadece zuhur etmiş âlem (manifested Universe), yani kozmos ile ilgili bir konudur, yoksa tüm imkânı yani zuhur etmiş (manifested) olanla birlikte zuhur etmiş olamayan (non-manifested) imkânı da kapsayan Âlemşümul Küll meselesi değildir. 29 parçalardan oluşmaz ama parçalara sahiptir, onları seçkin bir nedenle, kendi mükemmel derecesi yüzünden kapsar.”36 Her ne kadar sonsuzun parçalara sahip olduğunu söylemek hatalı olsa da bu hata anlayışla karşılanabilir ve bu kez istisnai bir şekilde O, 'sonsuz' kelimesini doğru anlamıyla kullandığı için burada küçük bir ışık olduğu söylenebilir. Fakat daha sonraki düşüncelerini, sanki bu fikrin önemini tam olarak yerleştirememiş gibi, yine muğlak ve kafa karıştırıcı bir biçimde ifade etmiş olması tuhaftır. Belkide bunu gerçekten hiç yapamadı. Aksi takdirde, neden çok sık bu uygun anlamdan saptığı ve sonsuzdan bahsettiğinde niyetinin bu terimi, yanlış da olsa, hassas bir biçimde ele almak mı yoksa sadece 'söz gelimi' olarak kullanmak mı olduğunu anlamanın bazen neden çok zor olduğu açıklanamaz. 36 Jean Bernoulli'ye mektup, 7 Haziran 1698. 30 4. Süreklinin Ölçümü Şimdiye kadar sayı dediğimizde yalnızca tam sayıları kastettik.37 Sayısal niceliği tam anlamıyla ayrık nicelik olarak düşündüğümüzden bu mantıksal olarak gerekliydi. Tam sayılar dizisinin ardışık iki terimi arasında daima, bu iki sayı arasındaki birim farka denk gelen belli bir aralık vardır ki tam sayılar söz konusu olduğu sürece bu fark hiçbir şekilde yok edilemez. Ayrıca, saf sayı olarak adlandırabileceğimiz gerçek sayılar aslında yalnızca bu tam sayılardır. Birden başlayan tam sayı dizisi, bir son terime varmaksızın belirsiz bir şekilde artar, çünkü bunun aksi daha önce gördüğümüz gibi bir çelişki doğurur. Dizinin tamamen tek bir yöne doğru büyüdüğü açıktır. Başka bir bakış açısından ileride göstereceğimiz gibi belirsiz bir biçimde büyüyen niceliklerle belirsiz bir biçimde küçülen nicelikler arasında belli bir ilişki ve bir çeşit simetri olmasına rağmen ters yön, yani belirsiz küçülme yönü tam sayılarla temsil edilemez. Ne var ki insanlar tam sayılarla kalmamış başka birçok çeşit sayı düşüncesine yönelmişlerdir. Genellikle bu düşüncelerin, sayı fikrinin genişletilmesi ya da genelleştirilmesi olduğu söylenir ki bu belli bir dereceye kadar doğrudur. Ancak bu genişlemeler aynı zamanda bir sapmadır. Modern matematikçilerin çok kolay bir şekilde unutmuş gözüktükleri şey işte budur. Çünkü sahip oldukları 'antlaşmacılık' bu sayıların kökenini ve sebebini yanlış anlamalarına yol açmaktadır. Gerçekten de, tam sayıların dışındaki sayılar her şeyden öte, sadece tam sayılarla yapılan aritmetikte mümkün olmayan işlemlerin sonuçlarını gösterirler. Dolayısıyla örneğin bir kesirli sayı, aslında yapılamayan yani 37 'Bütün sayılar' (whole numbers [nombres entiers]) günümüzde 'tam sayılar' (integers) terimiyle ifade edilen sayılardır. Herkes ne anlama geldiğini hemen anlasa da 'bütün sayılar' terimi deyimsel (idiomatic) değildir. Ayrıca, Guenon’un nombres entiers’den bahsettiğinde, pozitif tam sayıları ya da doğal sayıları kastettiği ortaya çıkmaktadır. ED. 31 aritmetik olarak mümkün olmayan bir bölme işleminin sonucunun temsil edilmesinden başka bir şey değildir. Alışılmış matematik terminolojiyle bu ve şu tam sayılar birbirini bölmez dendiğinde bu durum zımnen kabul edilmiş olur. Burada şunu belirtmeliyiz ki kesirli sayılara yaygın olarak verilen tanım absürttür. Kesirler söylendiği gibi 'bir bütünün parçaları' olamazlar, çünkü gerçek aritmetik birim bölünemez ve parçasız olmak zorundadır. Bu birimden meydana gelen sayıların temel ayrık karakteri işte buradan kaynaklanır. Şimdi bu absürtlüğün nereden doğduğuna bakalım. Gerçekten, sözü edilen işlemlerin basit ve saf bir biçimde imkânsız oldukları düşünülmediğinde, işlemlerin sonuçları keyfi bir biçimde ele alınamaz. Genel olarak bu, sayıdan müteşekkil ayrık niceliğin, mekânsal büyüklükler gibi sürekli nicelikler düzenine ait büyüklüklerin ölçümüne uygulanmasının bir sonucudur. Niceliğin bu iki modu arasında doğal bir fark vardır öyle ki, bunların arasında mükemmel bir tekabüliyet kurulamaz. Buna belli bir ölçüde, en azından şimdiye kadar mümkün olabildiği kadarıyla bir çözüm bulmak için, tam sayılar dizisinde oluşan ayrık aralıklar, terimler arasına sokulan başka sayılarla, ilk başta bunun dışında bir anlamı olmayacak olan kesirli sayılarla, küçültülmeye çalışılmıştır. Az önce ifade ettiğimiz kesirlerin tanımındaki absürtlüğün, aritmetik birim ile 'ölçü birimi'nin karıştırılmasından kaynaklandığını anlamak artık kolaydır. 'Ölçü birimi' sadece uzlaşılan bir birimdir ve gerçekte sayıdan farklı, bilhassa geometrik bir büyüklüktür. Örneğin uzunluk ölçü birimi, aritmetiğe yabancı nedenlerle seçilmiş yalnızca belli bir uzunluktur. Diğer bütün uzunluklar ona kıyasla ölçülsün diye, bir sayısı ona tekabül eder. Oysa birim uzunluk dahil bütün uzunluklar tabiatları gereği daima ve belirsiz bir şekilde bölünebilen sürekli büyüklüklerdir. Kendisinin tam katı olmayan başka uzunluklarla kıyaslandığında bu ölçü biriminin daha küçük parçaları düşünülür ki bu parçalar hiçbir biçimde aritmetik birimin parçaları olamaz. İşte sadece bu 32 yüzden kesirli sayı düşüncesi birbirlerine tam olarak bölünemeyen büyüklüklerin oranı şeklinde ortaya konmuştur. Aslında bir büyüklüğün ölçülmesi, kendi cinsinden ölçü ya da kıyas birimi olarak alınan başka bir büyüklüğe oranının sayısal olarak ifade edilmesinden başka bir şey değildir. İşte bu, geometrik büyüklüklerin ölçümündeki metodun neden bölmeye dayandığının sebebidir. Bu metoda rağmen sayının ayrık tabiatından süreklinin mükemmel eşdeğirini elde etmeye engel olan bir şeyler daima baki kalır. Bu aralıklar ne kadar küçültülürse küçültülsün, belirsiz bir dereceye kadar küçültülseler, önceden verilen herhangi bir değerden daha küçük hâle getirilseler dahi tamamen ortadan kaldırılamazlar. Bu noktayı biraz daha açmak için en basit geometrik sürekliliği, düz çizgiyi (sayı doğrusunu) ele alalım. Bu düz çizginin yarısını yani bir yöne doğru belirsiz bir biçimde uzayan kısmını düşünelim.38 Çizginin üstündeki her bir noktaya, o noktanın başlangıç noktası (orijin), sıfırdan uzaklığını ifade eden bir sayı karşılık gelir. Başlangıç noktasının kendisine olan uzaklığı bir hiç olduğundan ona sıfır tekabül eder. Tam sayılar, bu orijinden başlayarak art arda gelen, birbirlerine ve birim uzunluğa eşit bu parçaların uç noktalarına denk düşerler. Bu uç noktaların arasında kalan noktalar, orijine uzaklıkları birim uzunluğun tam katı olmadığından, kesirli sayılarla gösterilirler. Şüphesiz iki kesirli sayının paydaları büyüdükçe aralarındaki fark azalır ve karşılık geldikleri aralık aynı nispette küçülür. Bu şekilde aralıklar belirsiz bir şekilde, teorik olarak herhangi bir dereceye kadar küçültülebilir, çünkü kesirlerin olası paydaları belirsiz bir biçimde büyüyebilen tam sayılardır.39 Teorik olarak diyoruz çünkü 38 Sayı doğrusunun neden yarısını almak zorunda olduğumuz, ileride negatif sayıların geometrik temsili konusunda görülecektir. Daha önce söylediğimiz gibi, sayı dizisinin tek bir yöne doğru ilerliyor olması bu nedene yeterince işaret eder. 39 Negatif sayıları konuşmaya başladığımızda bu daha da açık hâle 33 gerçekte kesirli sayıların çokluğu belirsizdir ve tamamı kullanılamaz. Fakat idealde tüm kesirli sayıların, düşündüğümüz yarım düz çizgi üzerinde bir noktaya karşılık geldiğini varsayalım. Aralıkların belirsiz bir biçimde küçülmesine rağmen, bu doğru üzerinde hâlâ hiçbir sayının karşılık gelmediği noktalar kalacaktır. İlk bakışta bu garip hatta paradoksal görünebilir. Ama çok basit bir geometrik yapıyla böyle bir noktanın varlığı gösterilebilir. Bir kenarı 0 ve 1 noktaları arasında kalacak şekilde bir kare çizelim. Orijinden başlayan bir köşegen ve bu köşegeni yarıçap kabul eden, merkezi orijin olan bir çember çizelim. Bu çemberin doğrumuzu kestiği nokta hiçbir tam ya da kesirli sayıyla gösterilemez. Çünkü bu noktanın orijine uzaklığı karenin köşegenine eşittir. Köşegenin uzunluğu ise kenar ya da birim uzunluğun tam veya kesirli bir katı şeklinde ifade edilemez. Dolayısıyla, kesirli sayılar topluluğu, ne kadar küçülürlerse küçülsünler, doğrunun noktaları arasındaki aralıkları doldurmaya yetmez.40 Yani bu topluluk doğrusal sürekliliğin gerçek ve yeterli bir karşılığı değildir. Belli bazı uzunlukların ölçüsünü ifade edebilmek için, ortak-ölçülemez (incommensurable) denilen, yani birim uzunlukla ortak-ölçüsü olmayan, başka çeşit sayılar bulmak zorunda kalırız. Bunlar, tam kare olmayan sayıların karekökü gibi aritmetik olarak mümkün olmayan kök alma işlemlerinin sonucunu temsil eden irrasyonel sayılardır. Dolayısıyla biraz önceki örnekteki karenin köşegeninin kenarına oranı ve orijine köşegen kadar uzaklıktaki nokta sadece 2 irrasyonel sayısıyla temsil edilebilir. Bu sayı gerçekten de ortakölçülemez bir sayıdır çünkü karesi 2 olan hiçbir tam ya da kesirli sayı yoktur. Bu irrasyonel sayıların yanında, geometrik orijini belli, çemberin çevresinin çapına oranını temsil eden π sayısı gibi, başka ortak-ölçülemez gelecektir. 40 Noktaların doğruyu oluşturduğunu ya da terkip ettiğini söylemediğimizi not ediniz. Çünkü bu sürekliliğin doğru şekilde anlaşılmasına ihanet etmek olur. Bu konu ileride söyleyeceklerimiz sayesinde açıklığa kavuşacaktır. 34 sayılar da vardır. 'Sürekliliğin oluşumu' sorununa daha fazla girmeden şunu görebiliriz: kavram ne kadar genişletilirse genişletilsin, sayı asla sürekli olana tam olarak uygulanamaz. Sonuçta bu uygulama daima sürekli olanı ayrık olanla değiştirmek anlamına gelir. Bu sürekliliğin aralıkları çok küçük olabilir, hatta belirsiz bir şekilde tekrarlanan bölme işlemleriyle daha da küçük hâle getirilebilir. Ancak gerçekte bu bölme işlemleri, sonunda bir 'son terim'e ulaşarak bitirilemez. Çünkü sürekli bir nicelik, ne kadar küçük olursa olsun, daima belirsiz bir şekilde bölünebilir olarak kalır. Kesirli sayı düşüncesine hakkıyla karşılık gelen şey süreklinin bu bölünebilirliğidir. Ancak şunu özellikle kaydetmek gerekir ki ne kadar küçük olursa olsun bir kesir daima belirlenmiş bir niceliktir ve iki kesir arasındaki fark ne kadar minik olursa olsun bu iki sayı arasında tespit edilmiş bir aralık vardır. Sürekli büyüklükleri karakterize eden belirsiz bölünebilme özelliği, istenildiği kadar küçük elemanlar elde edilebilmesini ve bu elemanlar arasındaki aralıkların verilen herhangi bir nicelikten daha küçük hâle getirilebilmesini gerektirir. Fakat - bizim kesirli sayıları, hatta diyebiliriz ki tümüyle sayıyı yetersiz gördüğümüz yer işte burasıdır - gerçekten bir sürekliliğin olabilmesi için bu elemanlar ve bu aralıklar belirlenmiş bir şey olarak tasavvur edilmemelidir. Dolayısıyla, sürekli niceliğin en mükemmel ifadesi, az önce tartışılan sabit ve belirlenmiş büyüklükler biçiminde değil aksine değişkenler düşüncesiyle elde edilebilir. Çünkü bu değişkenliğin kendisi, sürekli bir biçimde başarılmış olacaktır. Bu nicelikler, değişkenlikleri sayesinde kendilerini iptal etmeksizin ya da bir 'minimum'a ulaşmaksızın belirsiz bir şekilde küçülme kabiliyetine sahip olmalıdırlar. Bunun aksi, bir sürekliliğin 'son bir terim'e sahip olması kadar çelişkili olur. İleride göreceğimiz gibi, infinitezimal niceliklerin doğru anlamı işte tam olarak budur. 35 5. İnfinitezimal Metottan Kaynaklanan Sorular Leibnitz, infinitezimal metodu ilk sunuşunda41 ve sonraki birçok çalışmasında,42 uygulamalarına bilimden daha çok önem veren modern eğilime uygun olarak, yeni hesabın özellikle kullanımı ve uygulanması üzerinde durmuştur. Bu gerçekten Leibnitz'de var olan bir eğilim miydi yoksa kendi metodunu bu şekilde takdim etmesi O'nun için sadece bir taviz miydi, söylemek zor. Ne olursa olsun, bir metodu savunmak için o metodun daha önce kabul edilmiş diğer metotlara göre avantajlarını ya da özellikle hesaplamalarda sağlayacayı kolaylıkları, hatta verdiği sonuçları göstermek kesinlikle yeterli değildir. İnfinitezimal metodun muhalifleri bunu kullanmakta başarısız değillerdi ve onların bu itirazları yüzünden Leibnitz, metodunun prensiplerini ve hatta kaynağını açıklamaya ikna oldu. Yoksa O, metodunun kaynağı hakkında hiç konuşmaya da bilirdi. Ama sonuçta bunun fazlaca bir önemi yoktur, çünkü nadiren bir keşfe neden olan şartlar, genellikle oldukça önemsiz durumlardır. Yine de, bu konu hakkında yazdıkları43 arasında bizi ilgilendiren tek şey şu gerçektir: O, sayılar arasında bir değer 'atanabilen' (‘assignable’) farklar görüşünden, geometrik büyüklüklerde görülen süreklilikler yüzünden bir 41 Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus (En Büyük ve En Küçük Niceliklerle Birlikte Teğetler İçin Kesirli ya da İrrasyonel Değerler İçermeyen Yeni Bir Metot ve Özgün Bir Hesap), Acta Eruditorum, Leipzig, 1684. 42 De Geometria recondita et Analysi indivisibilium atque infinitorum (Bölünemeyen ve Sonsuz Niceliklerin Gizli Geometrisi ve Analizi Hakkında), 1686. Sonraki çalışmalarının hepsi belli bazı problemlerin çözümleriyle ilgilidir. 43 İlk olarak mektuplarında, sonra Historia et origo Calculi differentialis’de (Türev Hesabının Tarihi ve Orijini), 1714. 36 değer 'atanamayan' (‘unassignable’) farklar görüşüne geçmiştir ve bu görüşe deyim yerindeyse, 'varlıkların tabiatının isteği' gerekçesiyle büyük önem atfetmiştir. Dolayısıyla O'nun için infinitezimal nicelikler doğal olarak bize doğrudan görünmezler, ancak ayrık niceliğin değişkenliğinden sürekli niceliğin değişkenliğine geçişte ya da birincisi ikincinin ölçümüne uygulandığında görünürler. Leibnitz'in ne olduklarını tanımlamadan kullandığı için ayıplandığı bu infinitezimal nicelikler tam olarak ne anlama gelir ve bu anlam O'nun hesabını mutlak bir biçimde kesinliştirir mi yoksa sadece yaklaşık bir metot mu yapar? Bu iki soruya cevap vermek, O'na yöneltilmiş itirazların en önemlilerini halletmek olacaktır. Fakat ne yazık ki kendisi bunlara asla çok açık bir şekilde cevap verememiştir. Hatta vermeye çalıştığı çeşitli cevaplar her zaman birbirleriyle tam uyum içinde değildir. Bu bağlamda şunu kaydetmek gerekir: Leibnitz genellikle aynı şeyi hitap ettiği dinleyiciye göre farklı biçimlerde açıklama alışkanlığına sahipti. Elbette biz O'na karşı, sistematik zihinleri tahrik eden bu tutumu benimsemeyeceğiz. Çünkü prensipte O sadece herkesle kendi diliyle konuşmayı münasip gören bir öğretinin, özellikle Rozikruziyan (Rosicrucian) tarikatının talimatını yerine getiriyordu. Bazen bu talimatı çok başarısız bir şekilde uyguladı. Sahiden, eğer aynı gerçeği farklı ifadelerle söylemek mümkün ise bunun, yanlış kavramlar doğuracak söz gelişlerinden kaçınarak çok dikkatli bir şekilde, o gerçeği bozmadan ya da eksiltmeden yapılması gerekmez mi? Leibnitz bu konuda birçok yerde başarısız olmuştur.44 'Uzlaşma' düşüncesini, kendi metodunu sadece yaklaşık bir hesap olarak görmek isteyenleri savunuyor görünecek bir 44 Birisi Ruzikruziyan bir dil kullanarak şunu söyleyebilir: bu durum, O’nun characteristica universalis projesinin başarısızlığı kadar hatta ondan daha fazla, 'dil yeteneği'nin doğası hakkında teorik bir fikre sahip olmasına rağmen bu yeteneğe kendisinin yeterince sahip olmadığını ispatlar. 37 noktaya kadar getirmiştir. Çünkü bir zamanlar kendi metodunu hesaplara yardımcı olarak kullandığını, bunun sadece eskilerin 'tüketme metodu'nun kısa bir şekli olduğunu ve eğer kesin bir delil isteniyorsa öteki metotla doğrulanması gerektiğini söylüyordu. Yine de şu kesindir ki O'nun temelde düşündüğü şey bu değildi. Gerçekte O bunda, hesapları kısaltma basit çıkarından çok daha fazlasını görüyordu. Leibnitz sık sık infinitezimal niceliklerin 'kıyaslanamaz' (‘incomparable’) olduklarını belirtmiştir. Fakat bu kelime tam olarak bu anlamda anlaşıldığında, sadece tatmin edici olmaktan uzak kalmıyor aynı zamanda oldukça üzücü bir açıklama yapmış olmasına neden oluyordu. Çünkü bu, muhaliflerine yararlanabilecekleri bir fırsat sunuyordu. Burada O yine kesinlikle gerçekten düşündüğü şeyi ifade etmemiştir. Bir öncekinden daha ciddi bir örnek olarak şu aşırı 'uzlaşmacı' sözlerde, hatalı görüşlerin 'adapte' edilmiş ifadelerle nasıl da hakikatin yerine konduğunu görebiliriz: Burada sonsuz, çok sıkı bir şekilde ele alınmamalıdır, sadece optikte olduğu gibi güneşten gelen ışınların sonsuz bir uzaklıktan geldiğini ve dolayısıyla paralel kabul edilebileceğini söylememiz gibi ele alınmalıdır. Sonsuzun veya sonsuz küçüğün birçok derecesi vardır: yerküreyi sabit yıldızların uzaklığına kıyasla bir nokta gibi düşünürken elimize aldığımız bir topu da yerin yarıçapına oranla bir nokta gibi değerlendirebiliriz. Böylece sabit yıldızların uzaklığı topun çapına göre sonsuz kadar sonsuz olur. Sonsuzun veya sonsuz küçüğün yerine, hatanın verilen herhangi bir değerden daha küçük olması için, nicelikleri istediğimiz kadar büyük ya da istediğimiz kadar küçük alabiliriz. İcad etme sanatına daha doğrudan ve daha uygun olan bizim bu 38 metodumuz, Arşimed’in tarzından sadece söylemde farklılık gösterir.45 Yerküre göklere kıyasla ya da bir kum tanesi yerküreye kıyasla ne kadar küçük olursa olsun, bunların her şeye rağmen tespit edilmiş ve sabit nicelikler olduğu ve eğer bunlardan birisi diğerine oranla pratikte ihmal edilebiliyorsa bunun sadece basit bir yaklaşım olduğu Leibnitz'e her defasında ihtar edilmiştir. O, cevaben sadece 'inceliklerden kaçınmak' istediğini ve 'mantığının herkesce anlaşılabilir olmasını' istediğini söylemiştir46 ki bu tamamen bizim yorumumuzu doğrular ve ayrıca modern bilim adamlarının 'popüler hâle getirme' eğilimlerinin bir tezahürüdür. En garip olanı ise ardından şunları yazabilmesidir: “Her ne olursa olsun, benim gerçekten de çok küçük ama daima sabit ve belirli bir niceliği kast ettiğimi düşündürecek en küçük bir şey yoktur.” Sonra ekler: “Bununla birlikte, birkaç yıl önce Groningen'li Bernoulli'ye yazdığım gibi sonsuzlar ve sonsuz küçükler, sanal kökler47 gibi hesaplarımıza zarar vermeyen birer kurgu (fiction) olarak alınabilirler; faydalı ve gerçekte var olan kurgular olarak.”48 Ayrıca, yaklaşık on yıl sonra aynı ifadelerle bunu bir daha söylediğinden bu karşılaştırmanın ne açıdan hatalı olduğunu hiç anlamadığı görülür.49 Fakat her hâlükârda, niyetinin infinitezimal nicelikleri belirlenmiş nicelikler olarak sunmak olmadığını kesin bir ifadeyle belirttiği için, bu karşılaştırmanın O'nun için şu anlama geldiği sonucuna varmamız gerekiyor: bir kum tanesi, sonsuz küçük olmasa bile, hissedilir bir dezavantajı olmaksızın, dünyaya göre öyleymiş gibi 45 'Memoire de M.G.G. Leibnitz touchant son sentiment sur le Calcul differentiel', Journal de Trevoux, 1701. 46 Verignon'a mektup, 2 Şubat 1702. 47 Sanal kökler negatif sayıların kökleridir. Negatif sayı problemi ve neden olduğu mantıksal zorlukları ileride konuşacağız. 48 Verignon'a mektup, 14 Nisan 1702. 49 Yukarıda atıf yapılan Memoire, Acta Eruditorum, Leipzig, 1712. 39 düşünülebilir ve bu yüzden sonsuz küçüğü 'sıkı' bir şekilde (rigorously) anlamak gerekmez, hatta o eğer istenirse sırf bir kurgu olarak dahi görülebilir. Oysa, nasıl alınırsa alınsın, Leibnitz'in kendi gözünde bile kesinlikle yetersiz kalacak olan bu düşünce, infinitezimal hesaba basit bir yaklaşımdan daha başka bir anlam vermek için hiç uygun değildir. 40 6. 'Sağlam İnşa Edilmiş Kurgular' Her defasında aynı kuvvetle iddia ediyor olmamasına ve nadiren de olsa kategorik bir hüküm biçiminde söylemek istemiyor gibi görünmesine rağmen Leibnitz'in en karakteristik düşüncesi, esasen sonsuzun ve sonsuz küçük niceliklerin sadece bir kurgu olmalarıdır. Fakat, bunların 'sağlam inşa edilmiş kurgular' olduğunu ekler, ve bununla onların yalnızca hesaplama50 için, hatta 'gerçek doğruları bulmak' için faydalı olduğunu kastetmez. Bazen bu faydanın üstünde ısrarla durmasına rağmen sürekli bu kurguların 'gerçeğe dayandığını, gerçekte var olduğunu' tekrar eder durur, öyle ki onlar fundamentum in re’dir (zihinde değil kendinde şeylerdir –Çev.–). Oysa bu apaçık yalnız fayda sağlayan bir değerden fazlasını ima eder, dolayısıyla her şeyden öte bu değerin kendisi, bu kurguların gerçek kökeni tarafından açıklanabilmelidir. Her hâlükârda Leibnitz, metodunun güvenilir olması için sonsuzun ve sonsuz küçük niceliklerin – bu ifadelerin kesin anlamları ile değil, çünkü o anlamlar herhangi bir gerçekliğe karşılık gelmez – sadece ne kadar isteniyorsa o kadar büyük ya da küçük olabilen veya belirlenen herhangi bir değerden daha küçük bir hata verebilen nicelikler şeklinde düşünülmesinin yeterli olduğuna inanır. Yine de kendisinin belirttiği gibi, bu yolla o hatanın sıfır olup olmayacağı, yani infinitezimal hesabın bu şekilde tasarlanmasının ona mükemmel kesinlikte bir temel sağlayıp sağlamayacağı incelenmelidir. Bu soruya biz ileride geri döneceğiz. Bu son noktayla ilgili olarak, sonsuz ve sonsuz küçük niceliklerle ilgili ifadeler, O'na göre sadece toleranter verae (oldukça doğru) ya da 'tolere edilebilir' iddialar kategorisine girerler. Negatif niceliklerin 'sıfırdan daha 50 Carnot, işte bu pratik yararlılık düşüncesinde yeterli bir gerekçe bulduğuna inandı. Leibnitz'in zamanından O'na kadar modern bilimin 'pragmatist' eğiliminin çok daha belirgin bir hâle geldiği meydandadır. 41 az' nicelikler olarak algılandığı veya geometri dilinin 'tasviri (figurative) ve şifreli (cryptic) bir konuşma biçimi'51 ima ettiği birçok durumda olduğu gibi, bu ifadeler de bir açıklama ile 'düzeltilmelidir'. 'Şifreli' kelimesi, geometrinin sembolik ve derin anlamına bir gönderme gibi görülebilir fakat Leibnitz'in aklında olan hiç de bu değildi. Belki de, birçok kez olduğu gibi, O'nun aklında yeterince anlaşılmamış bir takım esoterik kavramlar kalmıştı. Leibnitz, infinitezimal niceliklerin 'sağlam inşa edilmiş kurgular' olmasının şu şekilde anlaşılabileceğini belirtir: “sonsuza ve sonsuz küçüğe, geometri dünyasında ve hatta tabiatta sanki gerçekten mevcutlarmış gibi davranılabilir”.52 Hakikaten, O’nun için tabiatta var olan her şey bir şekilde sonsuz düşüncesini ya da en azından öyle adlandırılabileceğine inandığı şeyi içerir. Şöyle söyler: “bir takım sonsuzluklar içeren transandantal (doğaüstü) analizin veya geometrinin mükemmelliği, sahip olduğu tüm sonsuzluğu bize sunan tabiata uygulandığında kuşkusuz çok daha önemli olacaktır”53. Fakat bu belki de biz sadece onlar hakkında yeterli bir fikre sahip olmadığımız ve tabiat sürekli tam bir açıklıkla kavrayamadığımız elementler içerdiği için böyledir. Eğer öyle ise, örneğin şunun gibi bazı ifadeleri harfi harfine almak uygun olmaz: “Bizim metodumuz, genel matematiğin sonsuz ile ilgilenen bölümü olduğundan matematik fiziğe uygulanırken ona büyük ihtiyaç duyulur, çünkü sonsuz-Yazarın karakteri, bir kural olarak tabiatın işleyişine dahil olmaktadır”.54 Fakat bununla Leibnitz sadece, tabiî şeylerin karmaşıklığının, açık algının sınırlarının ötesine geçtiğini 51 Yukarıda atıf yapılan Memoire, Acta Eruditorum, Leipzig, 1712. 52 Yukarıda atıf yapılan Verignon'a mektup, 2 Şubat 1702. 53 Marquis de l’Hospital’e mektup, 1694. 54 'Considerations sur la difference qu’il y a entre l’Analyse ordinaire et le nouveau Calcul des transcendantes', Journal des Sçavans, 1694. 42 söylemek istiyor olsa da, sonsuz ve sonsuz küçük nicelikler yine de kendi fundamentum in re’lerine sahip olmak zorunda kalırlar. İşte bu dayanağı, en azından O’nun tahayyül ettiği şekliyle, şeylerin tabiatında ve biraz sonra sorgulayacağımız, kendisinin 'süreklilik yasası' dediği şeyde buldu. O bu süreklilik yasasını, doğru ya da yanlış, kesin bir 'adalet kanunu'nun özel bir durumu olarak değerlendirdi. Adalet kanunu nihayetinde düzen (order) ve uyum (harmony) fikirleriyle ilgilidir. Bu adalet kanununun uygulanabildiği her durumda, örneğin kombinasyonlar ve permutasyonlarda olduğu gibi, belli bir simetri gözlenmelidir. Şimdi, eğer sonsuz ve sonsuz küçük nicelikler yalnızca bir kurgu ise, ve hatta onlar gerçekten 'sağlam inşa edilmiş kurgular'sa, kendimize şunu sormalıyız: toleranter verae şeklinde değerlendirilmelerine rağmen böyle ifadeler kullanmak neden doğru değildir? Bu noktada, modern bilimin ‘antlaşmacılık’ şeklinde adlandırılabileceğimiz özelliği daha baştan sezilebilir; şu belirgin farkla ki modern bilim artık, başvurduğu bu kurguların ‘sağlam inşa edilmiş’ olup olmadıkları, veya Leibnitz’in başka bir ifadesine göre sano sensu (akla yatkın bir biçimde) yorumlanıp yorumlanamayacakları, hatta herhangi bir anlamının olup olmadığı konusunda hiçbir kaygı taşımamaktadır. Ayrıca bu mantığa göre, bu hayali nicelikler olmadan da yapılabileceğine ve onların yerine birinin istediği kadar küçültüp, büyütebileceği nicelikler konabileceğine ve böylece onların belirsiz büyüklük ya da küçüklükte oldukları söylenebileceğine göre, bunu en başında yapmak ve bu sayede fundamentum in re’leri ne olursa olsun hem hesaplamada hem de infinitezimal metotta sonuçta pratik bir kullanımı olmayan bu kurgulardan daha başta kaçınmak şüphesiz çok daha iyi olurdu. ‘Belirsiz bir biçimde büyük’ ve ‘belirsiz bir biçimde küçük’ ifadeleri ya da aynı anlama gelen ama belki daha hassas olan ‘belirsiz bir biçimde artan’ ve ‘belirsiz bir biçimde azalan’ deyimleri yalnız kati olan tek ifade olma avantajına sahip değillerdir, onlar ayrıca şunu da açıkça gösterirler: bu 43 deyimlerin uygulandığı nicelikler ancak değişken nicelikler olabilir, saptanmış nicelikler olamazlar. Bir matematikçinin haklı olarak söylediği gibi “sonsuz küçük, gerçekten tespit edilebilecek bir değere sahip çok küçük bir nicelik değildir. Onun karakteri tamamıyla değişken olması ve birisinin ona atamak istediği herhangi bir değerden daha küçük başka bir değer alabilmesidir. Onu belirsiz bir biçimde küçük şeklinde isimlendirmek çok daha uygun olacaktır.”55 Eğer bu son terimler kullanılmış olsaydı birçok zorluk ve tartışma önlenmiş olurdu. Bunda şaşılacak bir şey yoktur, çünkü bu sadece bir kelime meselesi değil, yanlış bir fikrin doğru olanla, kurgunun gerçekle değiştirilmesi meselesidir. Bu terimler özellikle infinitezimal niceliklerin sabit ve belirlenmiş nicelikler olarak algılanmasını önlemiş olurdu. Çünkü yukarıda söylediğimiz gibi ‘belirsiz’ kelimesi daima ‘oluş’ (‘becoming’) fikrini, dolayısıyla değişim düşüncesini veya niceliklerle ilgili bir şey olduğunda değişebilirlik düşüncesini taşır. Leibnitz bu terimleri kullanma alışkanlığına sahip olsaydı, şüphesiz talihsiz bir şekilde ve kolayca kum taneleri karşılaştırmasına çekilmekten kendini alıkoyabilirdi. Dahası, infinite parva ad indefinite parve (sonsuz küçüğün belirsiz küçüğe) indirgenmesi ad incomparabiliter parva (kıyaslanamaz küçüğe) indirgenmesinden çok daha açık olur ve bu sayede doğruluktan hiçbir şey kaybedilmeden hassasiyet elde edilmiş olurdu. İnfinitezimal nicelikler elbette sıradan niceliklerle ‘kıyaslanamazlar’. Fakat bunu 55 Charles de Freycinet, De l’Analyse infinitesimale, s. 21-22. Yazar ekler: ‘Fakat kullanımı yürürlükte olan sonsuz küçük ifadesinin korunması gerektiğine inanıyoruz.’ Bu kesinlikle aşırı bir çekingenliktir, çünkü öyle kullanılıyor olması dildeki uygunsuzlukların ve hataların gerekçelendirilmesinde yeterli bir neden olamaz. Ve eğer biri kendisini hiçbir zaman bu çeşit kötüye kullanmaların üstüne çıkarma cüretini göstermezse, terimlere mevcut kullanımlarında taşıdıklarından çok daha fazla bir hassasiyet ve kesinlik kazandırmayı asla deneyemez bile. 44 değişik şekillerde anlamak mümkündür ve aslında sık sık kastedilen anlamının dışında anlaşılmıştır. Leibnitz’in bir başka ifadesini kullanarak onlara bir değer ‘atanamayan’ (‘unassignable’) demek daha doğru olacaktır, çünkü bu terim tam olarak sadece herhangi birinin istediği kadar küçük olabilen, yani verilen herhangi bir değerden daha küçük olabilen, dolayısıyla ne kadar küçük olursa olsun birinin saptanmış bir değer ‘atayamayacağı’ nicelikler şeklinde anlaşılabilir, ve bu gerçek indefinite parve (belirsiz küçüklük) algısıdır. Neyazık ki, Leibnitz’in düşüncesinde ‘kıyaslanamaz’ ile ‘atanamaz’ın hakikaten ve tamamen eşanlamlı olup olmadığını bilmek mümkün değil. Fakat her hâlükârda en azından şu kesin: gerçekten bir değer ‘atanamayan’ bir nicelik, ima ettiği belirsizce azalma imkânı yüzünden verilmiş herhangi bir nicelikle ‘kıyaslanamaz’. Bu fikir infinitezimal niceliklerin farklı seviyelerine genişletilebilir: ilişki içinde olduğu niceliğe nispetle belirsizce azalan bir nicelik, ilişki içinde olduğu o nicelikle kıyaslanamaz, yeter ki bu nicelik ötekine göre izafi bir sabitliğe sahip olsun. Prensiplerin derinliklerine inmeden herkesin üstünde kolayca anlaşabileceği bir nokta varsa o da şudur: belirsiz küçüklük algısı, en azından saf matematiksel bakış açısından infinitezimal analiz için tamamen yeterlidir, ve ‘sonsuzcular’ bunu büyük bir zorluk olmaksızın görürler.56 Bu bağlamda Carnot’ın verdiği şu tanımla yetinebiliriz: ‘Matematikteki sonsuz küçük nicelik nedir? Kıyaslandıkları nicelikleri değişmeye zorlamaksızın birinin istediği kadar küçük hâle getirebileceği 56 Özellikle L. Couturat, De l’infini mathematique, s. 265’e bakınız, Not: ‘Birisi infinitezimal hesabı mantıksal olarak sadece belirsiz kavramı üzerine kurabilir ...’ Buradaki ‘mantıksal’ kelimesinin bir çekince ima ettiği doğrudur, çünkü yazar için bu, oldukça ilginç bir terminoloji olarak, ‘rasyonel’in karşıtıdır. Yine de bu kabul, akılda tutacak kadar ilginçtir. 45 nicelikten başka bir şey değil.’57 Fakat infinitezimal niceliklerin gerçek önemi için tüm konu bununla sınırlı değildir. İnfinitezimal niceliklerin sadece bir kurgu olması, hesaplamayı pek az ilgilendirir, zira onlar mantıksal bir zorlukla karşılaşılmadan belirsiz küçüklüklerle değiştirilebilir. Ancak en başta ortaya koyduğumuz metafiziksel nedenler yüzünden bizim, ister sonsuz büyük ister sonsuz küçük olsun,58 niceliksel bir sonsuzu kabul etmemiz ya da aslında saptanmış ve göreceli herhangi bir düzenin sonsuzluğunu kabul etmemiz mümkün değildir. Şu çok açıktır ki bu mefhumlar sadece bir kurgu olabilirler, başka bir şey değil. Doğru ya da yanlış, bu kurgular başlangıçta infinitezimal hesaba katılmışsa bunun nedeni, ne kadar yanlış ifade etmiş olursa olsun, Leibnitz’in onları her şeye rağmen bir şeylere karşılık getirme niyetidir. Biz burada sırf bir hesaplama yöntemiyle değil de (bu bizim ilgimizi çekmemektedir) prensiplerle ilgilendiğimiz için sırf mantık açısından değil özellikle ontolojik açıdan bu kurguların tam olarak değerinin ne olduğunu sormamız gerekiyor. Leibnitz’in inandığı gibi ‘sağlam inşa edilmiş’ olup olmadıklarını, ve O’nun gibi bizim de söyleyebileceğimiz şekilde toleranter verae olup olmadıklarını, en azından modo sano sensu intelligantur (makul bir biçimde anlaşılabilir) kabul edilip edilemeyeceklerini sormamız gerekiyor. Bu soruları cevaplayabilmek için Leibnitz’in ‘süreklilik yasası’ anlayışını daha yakından incelememiz gerekiyor, çünkü O sonsuz küçüğün fundamentum in re’sini burada bulduğunu düşünüyordu. 57 Reflexions sur la Metaphysique du Calcul infinitesimal, s. 7, not; bakınız aynı eser s. 20. Gerçekte içinde metafizik düzen fikriyle ilgili bir şey bulunmadığından bu çalışmanın başlığını haklı çıkarmak oldukça güçtür. 58 Pascal’ın aşırı meşhur olmuş ‘iki sonsuzluk’ anlayışı metafiziksel açıdan absürttür, ve bu yine sadece artan ve azalan büyüklüklerin iki zıt yönde alınan sonsuzluğunun belirsizlikle karıştırılmasının bir sonucudur. 46 7. 'Sonsuzluğun Dereceleri' Sonsuzluk fikri, tek doğru ve uygun şekli olan metafizik anlamıyla alınmadığında kaçınılmaz olarak karşılaşılan karışıklıkların tümünü önceki sayfalarda henüz görmedik. Özellikle Leibnitz’in Jean Bernoulli ile yaptığı, sonsuzun ve sonsuz küçük niceliklerin gerçekliği hakkındaki uzun ama asla kesin bir sonuca ulaşamamış tartışmada bu konuda birden fazla örnek bulunabilir. Aslında bu tartışma bir sonuca ulaşılamazdı. Her iki tarafdaki sürekli kafa karışıklığı ve bu karışıklığı doğuran prensip eksiklikleri yüzünden kesin bir sonuca ulaşmak mümkün değildi. Ayrıca, bir sorudaki fikirlerin seviyesi ne olursa olsun, nihayetinde problemi çözümsüz bırakan, daima bu prensiplerin eksikliğidir. İnsan, diğerlerinin yanında şunu da öğrendiğinde şaşırır: Leibnitz ‘sonsuz’ ile ‘bitmez’ kavramlarını birbirinden ayırmıştır, ve açıkça çelişkili olsa da ‘biten bir sonsuz’ fikrini mutlak anlamda reddetmemiştir ve kendi kendine ‘örneğin, her iki ucunda da biten ama yine de sonsuz olan bir doğru parçasının mümkün olup olamayacağını’ soracak kadar ileri gitmiştir.59 Bu ihtimali kabul etmedeki isteksizliğinde şüphe yoktur. Başka bir yerde şöyle der: “bana öyle geliyor ki sonsuz, titiz bir biçimde düşünüldüğünde, kaynağını bitirilemez oluşundan almak zorundadır, bu kaynak olmaksızın sonsuzu sonludan ayırmanın uygun bir temelini göremiyorum.”60 Fakat biri bunu daha keskince söylese (O böyle yapmadı) ve “sonsuzun kaynağı bitirilemezliktir” dese bile, yine de bunlar mutlak anlamda özdeş olarak alınamazlar. Belli derecede birbirlerinden ayrılırlar ve öyle olduğu sürece insan kendisini tuhaf ve çelişkili fikirler kalabalığını onaylar şekilde bulur. Leibnitz’in, “şüphe götürmez kanıtların zorlaması” olmadan başlangıçta bu fikirleri kabul etmek istemediğini ifade ettiği doğrudur. Fakat onlara belli bir önem 59 Jean Bernoulli’ye mektup, 18 Kasım 1698. 60 Daha önce atıf yapılan, Varignon’a mektup, 2 Şubat 1702. 47 atfetmesi ve hatta onları saf imkânsızlıktan farklı bir şey olarak düşünebilmesi bile zaten yeterince ciddi bir şeydir. Bu bağlamda öne sürdüklerine bir örnek olarak, O’nun bir çeşit ‘biten ebediyet’ fikrine baktığımızda ebediyet ile daimi süre (zaman) algılarının karıştırıldığını görüyoruz ki bu karıştırma metafizik açıdan tamamen yersizdir. Şunu gönülden kabul ediyoruz: içinde cismani hayatlarımızı geçirdiğimiz zaman gerçekten belirsizdir ama bu onun ‘her iki ucunda da bitiyor olmasıyla’ hiçbir şekilde uyuşmaz değildir. Geleneksel çevrimsel (dairesel) anlayışla uyum içinde zamanın hem bir başlangıcı hem de bir sonu vardır. Ayrıca Skolastiklerin aevum dedikleri gibi sürenin (zamanın) başka modlarının olduğunu da kabul ediyoruz. Bunun belirsizliği, eğer biri böyle ifade etmek isterse, önceki zamanın belirsizliğinden belirsiz bir biçimde büyüktür. Fakat bütün mümkün genişlemelere rağmen tüm bu modlar yine de sadece belirsizdirler. Çünkü bu daima varlığın şu ya da bu durumuna uyan özel şartlar meselesidir ve bunların hepsi kesinlikle bir çeşit süre olduğundan – bu birbirini izlemeyi gerektirir – hiçbiri ebediyet ile tanımlanamaz veya benzeştirilemez. Bunlar ile ebediyet arasında, modu ne olursa olsun, sonlunun gerçek Sonsuzla arasındaki bağlantıdan daha fazla bir şey yoktur, zira izafi ebediyet algısının izafi sonsuzdan daha fazla bir anlamı yoktur. Tüm bu düşüncelerde, biraz sonra daha açıkça görüleceği üzere, sadece belirsizliğin çeşitli seviyelerine sahip oluruz. Oysa Leibnitz, gerekli ve esas ayrımları yapmış olmayı istemesine rağmen, her şeyden önce kendisini yanlış yola sapmaktan tek başına alı koyacak olan prensibi ortaya koyamadığından, Bernoulli’nin görüşlerini reddetme konusunda başarısız oldu. Gerçekten Leibnitz’in cevapları o kadar muğlak ve çekingendi ki sonunda Bernoulli O’nu ‘âlemlerin sonsuzluğu’ ve ‘sonsuzluğun farklı dereceleri’ konularında kendi sahip olduğu düşüncelerin çok yakınlarına getirdi. ‘Sonsuzluğun dereceleri’ düşüncesi kısaca, bizim dünyamızdan kıyaslanamaz derecede büyük ve kıyaslanamaz derecede küçük başka 48 dünyalar varsaymak demektir. Bu farklı dünyaların sakinleri, bizim sonsuz dediklerimize kendi dünyalarında ne karşılık geliyorsa onlara sonsuz diyeceklerdir, çünkü bu farklı dünyaların birbirine denk düşen parçaları aynı orana sahip olurlar. Amaç için bir şey ifade etmeyen bu düşünce biçiminin absürtlüğü sonsuz fikrini ortaya koymadan a priori (baştan) anlaşılmaz, zira bu dünyalar ne kadar büyük olurlarsa olsunlar her biri sonuçta yine de sınırlı olacaktır. Öyleyse nasıl sonsuz olarak adlandırılabilirler? Gerçek şu ki bu dünyaların hiçbiri aslında sonsuz değildir. Eğer mesele sadece farklı dünyaların tahayyül edilmesiyse bu bizi yeniden birden çok sonsuzluk çelişkisine götürür. Yok eğer mesele bu dünyaların bazılarının ya da çoğunun bizim dünyamızı sonsuz görmeleri ise, bu iddianın da kabul edilebilir hiçbir yanı yoktur. Ayrıca, insan onların gerçekten farklı dünyalar mı yoksa sadece aynı dünyanın az çok genişletilmiş hâlleri mi olduğunu merak edebilir. Çünkü hipotez gereği hepsi, sadece genişletilmiş ya da küçültülmüş bir ölçekte ama yine de aynı varlık şartlarına – özellikle mekansal şartlara – tabidirler. Doğru bir biçimde tamamen farklı bir anlamda başka dünyaların sonsuzluğundan değil de belirsizliğinden bahsedilebilir. Çünkü elverişli oldukları tüm genişlemelerle birlikte mekan ve zaman gibi bizim dünyamıza has varlık durumlarından farklı, ama onlar kadar mümkün olan belirsiz çoklukta başka varlık durumları vardır. Dolayısıyla, bir dünya ya da kısaca bir varlık durumu, konusu olduğu şartların toplamıyla tanımlanır. Fakat daima şartlı olacağı gerçeği yüzünden, yani belirlenmiş ve sınırlanmış olduğundan ve bu yüzden tüm imkânları barındıramayacağından, asla sonsuz olarak değerlendirilemez, ancak belirsiz olabilir.61 Temelde, Bernoulli’nin anladığı şekliyle, birbirinden kıyaslanamaz derecede büyük veya kıyaslanamaz derecede küçük ‘dünyalar’ düşüncesi, Leibnitz’in şu karşılaştırmaları yaptığı sırada 61 Bu konu için The Multiple States of the Being’e bakınız. 49 başvurduğu düşünceden çok farklı değildir: “yere kıyasla gök kubbe (firmament), kum tanesine kıyasla yer ve mercekten geçen bir manyetik parçacığa kıyasla bir kum tanesi”. Leibnitz sadece burada, gradus infinitatis’den (sonsuzluğun dereceleri) sıkı bir şekilde bahsetmez. Aksine hiçbir mantıksal itirazın yapılamayacağı ‘kıyaslanamaz’ düşüncesiyle tatmin olarak ‘birinin sonsuzu kesin bir biçimde alması gerekmediğini’ göstermeye çalışır. O’nun karşılaştırmalarının kusurlu tarafı tamamen başka bir düzene aittir ve daha önce söylediğimiz gibi bu kusur hesaplamalarda yer aldıkları şekliyle infinitezimal niceliklerin tam olmayan, hatta tamamen yanlış olan tasarımlarından kaynaklanır. İleride bu yanlış anlayışın yerine doğrusunu, gerek artan gerekse azalan yönde ‘farklı belirsizlik dereceleri’ kavramını koyacak fırsat bulacağımızdan burada bu konu üzerinde daha fazla durmayacağız. Kısacası, Bernoulli ile Leibnitz arasındaki fark şudur: birincisi için sorun tam olarak, her ne kadar infinitezimal nicelikleri muhtemel bir varsayım biçiminde almış olsa da, ‘sonsuzluğun dereceleri’ sorunudur, ikincisi ise kendisini, onların muhtemel ve hatta mümkün olup olmadıklarından emin olmadan, ‘sonsuzluğun derecelerini’ ‘kıyaslanamazlığın dereceleriyle’ değiştirmekle sınırlı tutmuştur. Bu farkla birlikte, kesinlikle son derece önemli olan bir şey daha vardır; her ikisi de farklı ölçeklerde olan ama birbirleriyle benzeşen dünyalar dizisi görüşünü paylaşırlar. Bu düşüncenin, o dönemde mikroskop ile yapılan keşiflerle ve bu keşiflerden kaynaklanan ‘embriyoların sandıklanması’ (canlıların kendi minyatürlerini kendi spermlerinde taşıyor oldukları – Çev.–) teorisi gibi bazı görüşlerle doğal bir bağı yok değildir, her ne kadar sonraki gözlemler bu teorileri desteklemese de. Şimdi biliyoruz ki canlı varlığın her bir parçasının hakikaten ve fiziksel olarak önceden embriyoda olduğu doğru değildir ve bir hücrenin yapısı, parçası olduğu vücudun tamamına hiç benzemez. Bernoulli’nin düşüncesinin asıl kaynağının bu olduğuna dair bir şüphe yok gibidir. Gerçekten de bu 50 konuda kayda değer diğer şeylerin yanında O, vücudun parçalarının bütünün içinde şu şekilde bulunduğunu söyler: “Harvey ve diğerleriyle aynı fikirde fakat Leeuwenhoeck’a katılmayarak diyoruz ki bir hayvanda sayısız yumurtacık vardır. Her bir yumurtacığın içinde bir ya da birkaç mikroskobik hayvancık vardır. Her mikroskobik hayvancığın içerisinde yine sayısız yumurtacık vardır ve bu sonsuza kadar böyle devam eder gider”.62 Leibnitz’in hareket noktası muhtemelen tamamen farklıydı. Görebildiğimiz tüm yıldızların, kıyaslanamaz bir biçimde büyük olan bir varlığın parçaları olduğu fikri, Kabbalistik ‘Büyük Adam’ (‘Great Man’) kavramını hatırlatan bir fikirdir, ancak geleneksel sembolizmin gerçek analojik değerinden habersiz olarak özellikle maddileştirilmiş ve ‘mekansallaştırılmış’ bir fikir. Benzer şekilde ‘can’ (‘anima’) fikri, yani öldükten sonra minyatür bir biçimde bedensel olarak yaşamaya devam eden şey fikri, belli ki Yahudilere ait geleneksel luz veya ‘ölümsüzlük çekirdeği‘ kavramından mülhemdir.63 Leibnitz, “Canları öldükten sonra böyle dünyalara geçmekten hiçbir şey alı koyamaz. Gerçekten ölümün canın daralmasından başka bir şey olmadığını düşünüyorum, tıpkı neslin canın evriminden başka bir şey olmaması gibi”64 demiş ve bu luz kavramını, bizim dünyamızdan kıyaslanamaz biçimde küçük dünyalarla ilişkilendirerek çarpıtmıştır. Buradaki evrim kelimesi etimolojik anlamı olan gelişme biçimde kullanılmıştır. Bütün bunlar aslında, geleneksel mefhumların profan bilim bakışıyla bağdaştırılmak istendiğinde, ki bu ancak öncekinin zararına olabilir, ortaya çıkan tehlikelerin birer örneğidir. Bu mefhumlar açık bir biçimde mikroskobik gözlemlerle gelen teorilerden bağımsızdır ve Leibnitz bunları kıyaslayarak ve karıştırarak, daha sonra böyle haksız karşılaştırmalar yapmaktan mutluluk duyan okkultistler gibi davranmıştır. Ayrıca, farklı düzenlerin ‘kıyaslanamaz’ bir 62 23 Temmuz 1698 tarihli mektup. 63 The King of the World, bölüm 7’ye bakınız. 64 18 Kasım 1968 tarihinde Bernoulli’ye yazılmış daha önce bahsedilen mektup. 51 biçimde üst üste konması O’na, kendisinin ‘en mükemmel dünya’ düşüncesiyle uyum içinde gibi göründü. Bu düşünce kendi tanımından alıntılarsak, “mümkün olduğu ölçüde var veya gerçek olan” o dünyayı araştırma için bir imkân sağlıyordu. Başka bir yerde daha önce işaret ettiğimiz gibi,65 bu ‘en mükemmel dünya’ fikri bile başka bir geleneksel doktrinin, Pisagorcuların sembolik geometrisinden ödünç alınan doktrinin yanlış bir uygulamasından gelmektedir. Bu geometriye göre, eşit uzunluktaki tüm çizgiler arasında en büyük alanı çevreleyen hat bir çemberin çevresidir, ve benzer şekilde eşit yüzey alanına sahip tüm cisimler arasında en geniş hacime sahip olan cisim bir küredir. İşte bunlar, çember ve kürenin en mükemmel şekiller olarak kabul edilmesinin nedenlerinden biridir. Ancak, her ne kadar burada bir en büyük varsa da bir en küçük yoktur, yani diğer hepsinden daha küçük alan veya daha küçük hacim kaplayan bir şekil yoktur. İşte bu Leibnitz’i şu düşünceye sevk etmiştir: ‘dünyaların en mükemmeli’ olsa bile ‘dünyaların en kötüsü’, yani mümkün herhangi bir dünyadan daha az varlık içeren bir dünya yoktur. Ayrıca, ‘kıyaslanamazlar’ mefhumu gibi ‘en mükemmel dünya’ mefhumu da ‘bitkilerle dolu bahçeyi’ ve ‘balıklarla dolu gölü’ içeren, iyi bilinen karşılaştırmalarla ilgilidir. Bu karşılaştırmalarda ‘bitkinin her bir dalı, hayvanın her bir parçası, suyun her bir damlası yine aynen öyle bir bahçe veya öyle bir göldür’;66 bu doğal olarak bizi başka ama ilgili bir soruya götürür, ‘maddenin sonsuz kez bölünmesi’ sorusuna. 65 The Symbolism of the Cross (Yatay ve Dikey Yönlerin Sembolizmi ismiyle Türkçeye çevrilmiştir –Çev.–), bölüm 6. ‘En mükemmel dünya’ düşüncesinin daha ötede dayandığı ‘mümkünler’ ve ‘birlikte mümkünler’ arasındaki fark için The Multiple States of the Being, bölüm 2’ye bakınız. 66 Monadologie, 67; daha önce bahsi geçen eser., 74. 52 8. 'Sonsuz Bölünme' yahut Belirsiz Bölünürlük Leibnitz için sadece madde bölünebilir değildir aynı zamanda maddenin tüm parçaları da “hakikaten sonsuza kadar bölünmüştür, ... her parça yeni parçalara, her biri kendine ait bazı işlemlere sahip olarak”;67 ve son olarak açıkladığımız kavramı teorik olarak desteklemek için bu nokta üzerinde durur: “Hakiki bölümün sonucunda şu ortaya çıkar: ne kadar küçük olursa olsun maddenin her bir parçasında sayısız yaratıklardan oluşan bir dünya var gibidir.”68 Benzer şekilde Bernoulli maddenin bu hakiki bölümünü in partes numero infinitas (sonsuz parçacıklara bölüm) şeklinde düşünür. Fakat O buradan Leibnitz’in kabul etmediği sonuçlar çıkarır: “Eğer sonlu bir cisim” der “sonsuz sayıda parçaya sahipse, her zaman inandığım gibi, bu parçaların en küçüğü bütüne göre tayini mümkün olmayan veya sonsuz derecede küçük bir orana sahip olmak zorundadır”69; Leibnitz buna şöyle cevap verir: “Biri maddenin hakikaten bölünmemiş herhangi bir parçasının olmadığını kabul edebilir, ancak insan bölünemez elemanlara ulaşamaz ya da diğer tüm parçalardan daha küçük parçalara veya sonsuz küçük parçalara ulaşamaz. Sadece sıradan niceliklere kıyasla daha küçük parçalara ulaşabilir. Tıpkı sıradan niceliklerden daha büyük niceliklere ulaşılan çoğalmada olduğu gibi.”70 Dolayısıyla Leibnitz’in itiraz ettiği bu minimae portiones (en küçük parçalar) veya ‘son elemanlar’ın varlığıdır. Aksine, Bernoulli için hakiki bölünebilirliğin, tartışılan elemanların hepsinin aynı anda var olmalarını gerektirdiği açıktır, tıpkı ‘sonsuz’ bir dizi verildiğinde diziyi oluşturan terimlerin tamamının aynı anda verilmesi gerektiği gibi. 67 Monadologie, 65. 68 Jean Bernoulli’ye mektup, 12-22 Temmuz 1698. 69 23 Temmuz 1698 tarihli, daha önce sözü edilen mektup. 70 29 Temmuz 1698 tarihli mektup. 53 Bu bir terminus infinitesimus’un (infinitezimal limit) varlığını ima eder. Oysa Leibnitz için böyle bir limitin varlığı ‘sonsuz sayı’ çelişkisi kadar tutarsızdır, ve en küçük sayı veya fractio omnium infima (en küçük parça) mefhumu en büyük sayı mefhumu kadar absürttür. O’nun bir dizide ‘sonsuz’ olarak düşündüğü şey, son bir terime ulaşmanın imkânsızlığı ile karakterize edilir, ve maddenin bölünmesi tamamlansa ve bir ‘son eleman’ ile bitse, sonsuz kez bölünememiş olur. Bu sadece Bernoulli’nin kabul etmek zorunda kaldığı gibi son elemanlara ulaşamama meselesi değildir. Aslında tabiatta böyle elemanların hiç var olmadığı meselesidir. Bölünemez cismani (corporeal) elemanlar veya kelimenin uygun anlamıyla ‘atomlar’ yoktur, sayı düzeninde kendinden küçük oranlar üretemeyecek bölünemez oranların olmaması gibi ya da geometride kendinden küçük elemanlara bölünemeyecek doğrusal elemanların olmaması gibi. Bunların tümünde Leibnitz ‘sonsuz’ kelimesini tam olarak ‘sonsuz çokluk’tan bahsederken kullandığı anlamda kullanmaktadır. O’nun için, tam sayılar dizisi de dahil olmak üzere herhangi bir dizinin sonsuz olması o dizinin bir terminus infinitemus’a veya ‘sonsuz sayı’ya gelmesi demek değildir, aksine bir son teriminin olmaması demektir. Çünkü bu dizinin terimleri plus quam numero designari possint’dir (numaralandırılabilecek olandan çoktur), yani bu terimler tüm sayıları aşan bir çokluk oluştururlar. Benzer şekilde, biri madde sonsuz kez bölünebilir dediğinde bu onun ne kadar küçük olursa olsun herhangi bir parçasının daima böyle bir çokluğu içermesindendir. Başka bir değişle, maddenin partes minimae’si (en küçük parçası) veya basit elemanları yoktur. O esasen bir bileşikdir (composite): “Bir araya toplanma ile oluşmayan, basit cevherlerin (substances) gerçekten bölünemez oldukları doğrudur, fakat bunlar maddi değillerdir ve sadece eylemin 54 prensibidirler”.71 Sonsuz diye adlandırılan fikir, sayısı belirlenemez çokluk anlamında – ki bu Leibnitz’in en çok kullandığı anlamdır – maddeye, geometrik uzama ve genel olarak kendi oluşumuyla ilişkisi bakımından sürekliye, uygulanabilir. Ayrıca, bu anlam sadece infinitum continuum’a (sürekli sonsuz) has değildir. Tüm sayıların çokluğu ve ‘sonsuz dizi’ örneklerinde gördüğümüz gibi infinitum discretum’a (ayrık sonsuz) da uzanır. Çokluk ‘bitip tükenmez’ (‘inexhaustible’) oldukça Leibnitz ona sonsuz dedi. Bu şu anlama geliyordu: “biri, bir büyüklüğü her zaman ne kadar istiyorsa o kadar küçük hâle getirebilir” ve “örneğin, " " " " " " $ % & "' + + + + + " ($ + " '% + ⋯ serisi payları 1, paydaları 2 nin geometrik katları şeklinde artan kesirlerden oluşan sonsuz bir seridir. Bu seride sadece sıradan sayılar kullanılmıştır, yani herhangi bir sonsuz küçük kesir ya da paydası sonsuz olan bir kesir kullanılmamıştır ve serinin toplamının 2 olduğu doğrudur.”72 Dahası yukarıda söylenenler, Leibnitz’in kendi anladığı şekliyle sonsuzun bir bütün olmadığını iddia ederken nasıl olup da bu fikri yine de sürekliye uygulayabildiğini anlamamızı sağlar. Verilen herhangi bir cisim gibi sürekli bir küme aslında bir bütün oluşturur, hatta yukarıda dediğimiz gibi mantıksal olarak parçalarından önce gelen ve onlardan bağımsız olan gerçek bir bütünü oluşturur. Fakat o bu hâliyle daima ve açıkça sonludur. Dolayısıyla Leibnitz’in sonsuz olarak adlandırabildiği, onun bu bütün yönü değil bölünebileceği parçaları yönüdür ve sadece bu parçaların çokluğu etkin bir biçimde tespit edilebilir herhangi bir sayıyı aştığı sürece böyledir. Buna analitik sonsuzluk kavramı diyebiliriz, çünkü gerçekte buradaki çokluk, biraz sonra açıklayacağımız gibi, sadece analitik olarak bitip tüketilemez. Şimdi ‘sonsuz bölünme’ düşüncesinin değerini sorgulayacağımız 71 Varignon’a mektup, 20 Haziran 1702. 72 Daha önce atıf yapılan, Varignon’a mektup, 2 Şubat 1702. 55 için şunu itiraf etmek istiyoruz: ifade ediliş biçimi eleştirilebilir olmasına rağmen, ‘sonsuz çokluk’ gibi bu fikir de hakikatin belli bir kısmına karşılık gelir. İlk olarak, buraya kadar yaptığımız açıklamaların tümüyle uyum içinde, bunun yine bir sonsuz sayıda bölünme meselesi değil belirsiz sayıda bölünme meselesi olduğunu söylemeliyiz. Öte yandan bu düşüncenin genel olarak maddeye değil, zira bunun hiçbir anlamı olmaz, cisimlere veya bu mefhumun aşırı muğlaklığı ve ortaya çıkardığı ikircikliğe rağmen illa ‘madde’den söz etmek isteniyorsa cismani maddeye uygulanması gerekir.73 Aslında, bölünebilirliğe uygun olan uzamdır, hangi anlamda anlaşılırsa anlaşılsın madde değil ve bu ikisi ancak Kartezyen görüş benimsendiğinde karıştırılabilir. Kartezyen görüş cisimlerin tabiatının temelde ve sadece uzamdan meydana geldiğini söyler. Leibnitz bu düşünceyi kabul etmemiştir. Eğer tüm cisimler zorunlu olarak bölünebiliyorlarsa bunun nedeni uzama sahip olmalarıdır, maddi olmaları değil. Şimdi yeniden hatırlayalım: uzam, tespit edilmiş bir şey olduğundan sonsuz olamaz. Bu yüzden açıktır ki kendinden daha fazla bir sonsuzluğu ima edemez. Fakat bölünebilirlik uzamın doğasında var olan bir nitelik olduğundan, onun sınırı ancak bu tabiatın kendinden gelebilir. Uzam oldukça bölünebilirlik de hep olacaktır ve dolayısıyla biri onun bölünebilirliğinin tamamen belirsiz bir biçimde olduğunu düşünecektir. Dahası bu belirsizlik uzamın belirsizliğine bağlıdır. Sonuç olarak, bu şekilde var olan uzamlar bölünemez elemanlardan oluşamazlar, zira bu elemanların gerçekten bölünemez olabilmeleri için uzamlarının olmaması gerekir ve uzamları olmayan elemanların toplamı, sıfırların toplamı ne kadar bir sayı oluşturabilirse o kadar bir uzam oluşturur. İşte bu, başka bir yerde açıkladığımız gibi74 neden noktaların, doğruların elemanı ya da parçası olmadığının sebebidir. Gerçek doğrusal elemanlar her zaman 73 Bu konuda The Reign of Quantity and the Signs of the Times’a bakınız. 74 The Symbolism of the Cross, bölüm 16. 56 noktalar arasındaki uzunluklardır. Noktalar uzunlukların sadece sınırıdır. Ayrıca, Leibnitz’in kendisi de şeyleri bu şekilde tasavvur etmiştir ve O’na göre bu, kendi infinitezimal hesabı ile Cavalieri’nin ‘bölünemezler metodu’ arasındaki temel farkı oluşturur. Yani O, bir doğrunun noktalardan, bir yüzeyin doğrulardan, bir hacmin de yüzeylerden meydana geldiğini düşünmez. Bu noktalar, doğrular ve yüzeyler sadece limitler veya sınırlardır, oluşturan elemanlar değil. Gerçekten de herhangi bir nicelikle çarpılan bir nokta, bir uzunluk vermez. Çünkü titiz bir şekilde söylersek noktalar uzunluğa göre bir hiçtir. Bir büyüklüğün gerçek elemanı her zaman büyüklükle aynı tabiata sahip olmak zorundadır, ondan kıyaslanamaz bir şekilde küçük olsa bile. Bu durum, ‘bölünemezler’ düşüncesine hiç yer bırakmaz. Ayrıca bu, infinitezimal hesabın türdeşlik kuralını görmemizi sağlar. Bu kurala göre çeşitli düzenlerin sıradan nicelikleriyle infinitezimal nicelikleri, her ne kadar kendi aralarında kıyaslanamaz olsalar da, aynı cins büyüklükler olmalıdır. Bu bakış açısından şu da söylenebilir: aritmetik toplamada olduğu gibi bütünün yeniden kendi parçalarından inşa edilebileceği düşünüldüğü sürece ne olursa olsun bir parça her zaman bütünün doğasıyla türdeşliği ve uyumu korumak zorundadır. Dahası bu, gerçekte hiçbir basit şeyin olmadığı anlamına gelmez, çünkü bileşikler, kendi elemanlarından başlayarak bundan tamamen farklı bir biçimde oluşturulabilirler. Ancak doğrusunu söylemek gerekirse bu elemanlar artık tam anlamıyla bir ‘parça’ değillerdir ve Leibnitz’in farkettiği gibi onlar hiçbir şekilde cismani düzen içinde olamazlar. Aslında kesin olan şudur: biri uzam özel şartından ayrılmadan basit, yani bölünemez elemanlara ulaşamaz. Uzama son vermeden şeyler bölünemez elemanlara indirgenemezler. Bu durum derhâl şu sonucu doğurur: bölünemez cismani eleman diye bir şey yoktur, zira bu mefhum bir çelişki ima eder. Gerçekten, bu elemanların uzamsız olması gerekir ve bu yüzden cismani değillerdir, çünkü cisimlerin tabiatlarının tamamı bu olmasa dahi ‘cismani’ kelimesi tanım gereği 57 uzamı icap ettirir. Dolayısıyla, diğer yönlerden koymak zorunda olduğumuz tüm çekincelere rağmen Leibnitz, en azından atomculuğa karşı aldığı pozisyon açısından tamamen haklıdır. Fakat şu ana kadar sadece bölünebilirlik hakkında konuştuk, yani bölünme imkânı hakkında. Daha ileri giderek Leibnitz gibi ‘hakiki bölünme’yi kabul etmeli miyiz? Bu düşünce de çelişkiden muaf değildir, zira tamamen gerçekleşmiş bir belirsizliği varsaymaktadır ve bu varsayım belirsizliğin doğasıyla çelişir. Daha önce söylediğimiz gibi belirsizlik sürekli bir gelişim imkânıdır. Bu yüzden esasında bitmemiş bir şeyi ima eder, tamamen gerçekleşmiş bir şeyi değil. Üstelik, gerçekte böyle bir varsayımda bulunmak için bir neden yoktur, çünkü sürekli olan bize bir küme olarak sunulduğunda bölünebileceği parçalar olarak değil bir bütün olarak verilmiştir. Biz, eğer yeterince devam edersek, bu bütünü verilen herhangi bir büyüklükten daha küçük parçalara kadar bölebileceğimizi düşünürüz. Aslında sonuçta parçaların farkında olan, bölme işlemini icra ettiğimiz oranda bizleriz. Dolayısıyla, ‘hakiki bölünme’ varsayımından bizi muaf tutan şey, bir bütünü tasavvur etmenin farklı yolları konusunda daha önce ortaya koyduğumuz ayrımdır. Sürekli bir küme, kendilerine bölünebileceği parçaların bir sonucu değildir, aksine onlardan bağımsızdır. Dolayısıyla, böyle bir şeyin bize bir bütün olarak verilmiş olması gerçeği hiçbir şekilde onun parçalarının hakiki varlığını gerektirmez. Benzer şekilde, başka bir bakış açısından ve sürekli olmayan nicelikler düşüncesine geçerek söyleyebiliriz ki belirsiz bir sayı dizisi verildiğinde bu hiçbir şekilde o dizinin tüm terimlerinin ayrı ayrı verildiği anlamına gelmez. Dizi belirsiz olduğu müddetçe bu tamamen imkânsızdır. Gerçekte, böyle bir diziyi vermek, sadece dizide belli herhangi bir pozisyonu işgal eden terimi hesaplamaya yarayan kuralı 58 vermek demektir.75 Eğer Leibnitz, Bernoulli’ye bu cevabı vermiş olsaydı, terminus infinitesimus’un varlığı hakkındaki tartışmaları hemen bir sonuca ulaşırdı. Ancak, niceliğin sürekli ve sürekli olmayan modları arasında birbirlerini etkileyen karşılıklı ilişkiyi tamamen reddetmedikçe, mantıksal bir yol gösterme olmaksızın kendi ‘hakiki bölünme’ fikrini terketmesi mümkün değildi. Sürekli nicelik söz konusu olduğunda, Leibnitz’in anladığı biçimde bir sonsuz fikrinin kökenlerini biz tam olarak süreklinin parçalarının ‘ayırt edilemezliği’nde görüyoruz, çünkü daha önce söylediğimiz gibi bu düşünce daima belli bir kafa karışıklığı taşıyor. Oysa bu ‘ayırt edilemezlik’, gerçekleşmiş bir bölünmeyi varsaymaktan uzaktır. Hatta aksine az önce not ettiğimiz tamamen belirleyici nedenlerden ayrı olarak onu dışlama eğilimindedir. Bu yüzden, Leibnitz’in teorisi atomculuğa karşı olması bakımından doğru olsa bile hakikate tam olarak denk gelebilmesi için diğer yönlerden düzeltilmelidir. ‘Maddenin sonsuz bölümü’ ‘uzamın belirsiz bölünebilirliği’ ile değiştirilmelidir. Şimdiye kadar ortaya koyduğumuz düşüncelerin önderlik ettiği sonucun en kısa ve 75 Bakınız L. Couturat, De l’infini mathematique, s. 467: ‘Diğer bütün sonsuz diziler ve serilerde olduğu gibi doğal sayılar dizisi de tamamen kendi oluşum yasası tarafından verilmiştir. Genel olarak, bunları tamamen tanımlamak için bir yenileme formülü yeterlidir, öyle ki onların limiti ya da toplamı (varsa) bu sayede tam olarak tespit edilebilir... Doğal sayıların bu oluşum yasası sayesinde her bir tam sayı için bir fikrimiz vardır ve bu anlamda onlar tümüyle bu yasa tarafından verilmişlerdir.’ Gerçekten de biri, dizinin n’inci terimini ifade eden genel formülün fiilen ve açıkça olmasa bile potansiyel ve örtülü olarak dizinin tüm terimlerini içerdiğini söyleyebilir, çünkü terimlerden herhangi biri, o terimin dizideki pozisyonuna karşılık gelen n değerinin formülde yerine konmasıyla üretilebilir. Fakat Couturat’ın düşüncesinin aksine Leibnitz, ‘doğal sayılar dizisinin hakiki sonsuzluğunu korurken’ kesinlikle bunu kastetmemiştir. 59 en kesin ifadesi işte budur. 60 9. Belirsizce Artan ve Belirsizce Azalan Sürekliyle ilgili soruları incelemeye devam etmeden önce yukarıda fractio omnium infima’nın var olmadığıyla ilgili söze geri dönelim. Bu bizim, belirsizce artan ve belirsizce azalan nicelikler arasındaki belli bazı ilişkilerin veya simetrinin sayısal bir biçimde nasıl sunulabileceğini görmemizi sağlar. Sürekli olmayan nicelikler alanında söz konusu olan ve düşünülmesi gereken tam sayılar dizisi olduğundan bu sayılar, birden başlayarak belirsizce artan sayılar biçiminde düşünülmelidir ve o birim esasen bölünemez olduğundan belirsizce azalan şeklinde bir mesele olmamalıdır. Sayılar azalan yönde düşünüldüğünde, kendimizi mecburen birde durmuş olarak buluruz, öyle ki belirsizin tam sayılarla temsili tek yönle, belirsizce artış yönüyle sınırlı kalır. Öte yandan, sürekli bir niceliğin belirsizce artması gibi belirsizce azalması da söz konusudur. Bu imkânı ifade etmek için kesirli sayılar düşüncesi ortaya konduğunda aynı şey sürekli olmayan nicelikler için de geçerli olur. Gerçekten insan, belirsiz bir biçimde azalan bir kesirler dizisi tasavvur edebilir. Yani, bir kesir ne kadar küçük olursa olsun daha küçüğü her zaman oluşturulabilir ve bu azalma, tam sayılardaki artışın bir numerus maximus’a (en büyük sayı) ulaşamaması gibi bir fractio minima’ya (en küçük kesir) ulaşamaz. Belirsizce artan ile belirsizce azalan arasındaki ilişkiyi sayısal bir biçimde göstermek istersek tam sayılar dizisi ile bunların tersleri dizisini düşünmek yeterli olacaktır. İki sayının çarpımı bire eşit olduğunda bu iki sayı birbirinin tersidir denir. Bu yüzden n sayısının tersi 1/n ile gösterilir. Tam sayılar dizisi birden başlayarak belirsizce artarken onların terslerinden oluşan dizi de aynı birden başlayarak belirsizce azalır. Birin tersi yine bir, yani kendisidir. Bu yüzden o, her iki dizinin de ortak başlangıç noktasıdır. Bu dizilerin birindeki herhangi bir sayıya diğer 61 dizide tersi olan sayı karşılık gelir, öyle ki bu iki dizi ters yönlerde olsalar da eşit şekilde ve tamamen aynı biçimde belirsizdirler. Bir sayı ne kadar büyükse tersi de o kadar küçüktür, çünkü çarpımları daima bir sabittir. n sayısı ne kadar büyük olursa olsun, tam sayıların belirsiz dizisini oluşturma yasası gereği n+1 sayısı daha büyük olacaktır ve benzer şekilde 1/n sayısı ne kadar küçük olursa olsun 1/(n+1) sayısı daha küçük olacaktır. Bu açıkça ‘tüm sayıların en küçüğü’ diye bir sayı olamayacağını ispat eder. Bu mefhum, ‘tüm sayıların en büyüğü’ mefhumundan daha az çelişkili değildir. Çünkü, eğer artış yönünde belli bir sayıda durmak mümkün değilse azalış yönünde de belli bir sayıda durmak mümkün değildir. Ayrıca, sayısal süreksizlikte bulunan bu karşılıklı ilişki her şeyden önce süreksiz olan sayının sürekli niceliklere uygulanmasının bir sonucu olarak ortaya çıkar. Daha önce kesirli sayılarla ilgili olarak söylediğimiz gibi sürekli niceliklerin kendi içindeki belirsizce artma ve belirsizce azalma ilişkisini bu sayılar ancak sayı olmanın şartları içinde temsil edebilirler. Dolayısıyla, ne zaman sürekli niceliklerin, birinin istediği kadar büyük ya da küçük olabileceği düşünülse, yani tespit edilmiş herhangi bir nicelikten daha büyük veya daha küçük olabileceği düşünülse, daima bir simetri, tabiri caizse bu iki ters değişkenle temsil edilen bir paralellik gözlenir. Bu konuya dikkat etmek daha sonra, infinitezimal niceliklerin farklı seviyelerini daha iyi anlamamızda bize yardımcı olacaktır. Şunu belirtmeliyiz: 1/n sembolü kesirli sayılar fikrini çağrıştırmasına ve inkar edilemez biçimde ondan türetilmiş olmasına rağmen, burada tam sayıların tersi bu şekilde tanımlanmak zorunda değildir. Bu tanım, tamamen aritmetik bakış açısından, yani kesirli sayıların sıradan anlamıyla ‘bir birimin parçaları’ olarak düşünülmesinden kaynaklanır. Aslında, bu iki dizinin sırasıyla bir birimden büyük ve bir birimden küçük sayılardan oluştuğunu düşünmek yeterlidir. Yani, ortak sınırları aynı birim olan, ve aynı zamanda her ikisi 62 de gerçekten tüm sayıların ilk kaynağı olan bu birimden doğan bir büyüklüğün iki düzeni olarak düşünmek. Dahası, eğer biri bu iki belirsiz diziyi tek bir dizi olarak düşünmek isterse, bu birim o tek dizinin tam da orta noktasını işgal eder, çünkü gördüğümüz gibi bunlardan birindeki terim sayısı diğerindeki terim sayısıyla tam tamına aynıdır. Ayrıca, sadece tam sayılar dizisi ve bu sayıların terslerini düşünmek yerine eğer daha genel bir şekilde tüm kesirli sayılar düşünülürse, artan ve azalan nicelikler bakımından bir şey değişmeyecektir. Bir tarafta birden büyük tüm kesirli sayılar, diğer tarafta birden küçük tüm kesirli sayılar yer alır. Burada yine a/b > 1 olan her sayı için diğer grupta b/a < 1 olan bir sayı karşılık gelir, öyle ki (a/b)(b/a) = 1 olur, tıpkı daha önce (n)(1/n) = 1 olması gibi. Dolayısıyla, bir tarafından ayrılan bu sayısı belirsiz iki grupta tam olarak aynı sayıda terim mevcuttur. Ayrıca şunu da not etmeliyiz: ‘aynı sayıda terim’ dediğimiz vakit, biz sadece bu iki büyüklüğün terim terim eşleştirilebileceğini kastediyoruz, onların çokluğunun ‘sayılabilir’ olduklarını değil. Birbirinin tersi olan herhangi iki sayı çarpıldığında daima yeniden kendisinden türedikleri bir sonucunu verirler. Daha ileri giderek denebilir ki bu iki grubun ortasında bulunan ve her iki gruba da aynı anda ait olarak düşünülebilecek tek sayı olan bir,76 – aslında ona bu grupları ayırıyor demektense bu grupları birleştiriyer demek daha doğrudur – mükemmel denge durumuna karşılık gelir. Bir kendi içinde tüm sayıları içerir, çünkü diğer sayıların hepsi çiftler hâlinde birbirlerinin tersi ya da tamamlayıcısı olarak birden kaynaklanırlar. Bu tamamlayıcılık sayesinde her bir çift kendi ayrılmaz ikiliğinde izafi bir birlik oluşturur.77 Ancak bu son noktaya ve onun ima ettiklerine bir süre sonra yeniden 76 Ters sayıların tanımına göre bir birim, önce 1 şeklinde görünür, sonra 1/1 şeklinde, öyle ki (1)(1/1) = 1 olur; fakat öte yandan 1/1 = 1 olduğundan, iki farklı şekilde sunulan şey de aynı bir birimdir ve dolayısıyla yukarıda dediğimiz gibi o kendisinin tersidir. 77 Ayrılmaz diyoruz, çünkü ne zaman bu çiftleri oluşturan sayılardan birisi var olsa diğeri de var olmak zorunda kalır. 63 döneceğiz. Tam sayı dizisinin belirsiz bir şekilde arttığını ve tam sayıların terslerinden oluşan dizinin belirsizce azaldığını söylemek yerine, bununla aynı anlama gelecek şekilde biri bu sayıların bir yönde belirsiz büyüklüğe, diğer yönde ise belirsiz küçüklüğe doğru yaklaştığını söyleyebilir. Ancak belirsiz büyüklük ve küçüklük ifadelerinden bu sayıların oluşturdukları kümenin hakiki limitlerini anlamak şartıyla, zira değişen bir nicelik bir limite ancak yaklaşabilir. Burada sayısal nicelik kümesi mümkün olan her türlü genişlemeyle birlikte ele alınmıştır.78 Nicelik kümesinin limiti, ne kadar büyük veya ne kadar küçük olursa olsun şu ya da bu sayı tarafından belirlenmez. Bu sınır sayı olma tabiatı tarafından belirlenir. Tanımlanmış diğer tüm şeylerde olduğu gibi sayı, sayı olmayan her şeyi dışladığından kendisi için sonsuzluk diye bir şey söz konusu olamaz. Ayrıca, biraz önce söylediğimiz gibi, her ne kadar kendisi hiçbir biçimde sayı dizisinin bir terminus ultimus’u (nihayi terimi) olmasa da, belirsizce büyük olanın bir limitinin olduğu kaçınılmaz olarak düşünülmelidir. Bu bağlamda biri, matematikçiler tarafından ‘belirsizce büyüme’ anlamında sıkça kullanılan ‘sonsuza meyletme’ ifadesinin absürtlüğüne işaret edebilir. Çünkü sonsuz açıkça herhangi bir limitin olmamasını gerektirir ve bu yüzden onun yaklaşabileceği bir şey yoktur. Dikkat çekici bir başka şey ise belli bazı matematikçilerin ‘sonsuza meyletme’ ifadesindeki hata ve uygunsuzluğu görmekle birlikte, ‘belirsizce küçülme’ anlamında ‘sıfıra meyletme’ ifadesini kullanmakta 78 Büyüklük olarak aynı birimle ölçülemeyen (incommensurable) sayılar (irrasyonel sayılar –Çev.–), birden büyük ya da küçük olmalarına göre ya tam sayı ya da kesirli sayı olan sıradan sayıların arasına zorunlu olarak serpiştirilmiştir. Bu, daha önce işaret ettiğimiz geometrik karşılıkla birlikte bu tam ya da kesirli sayıların ortak limitleri oldukları iki yakınsak, aynı ölçekli (commensurable) sayı dizisi ile tanımlanabileceğini de gösterir. 64 hiçbir tereddüt göstermemeleridir. Oysa artan niceliklere kıyasla ‘niceliksel sonsuzluk’ ne ise, azalan niceliklere kıyasla sıfır ya da ‘boş değer niceliği’ odur. Fakat bu sorunlara ileride özellikle sıfır ve farklı anlamları konusuna geldiğimizde yine döneceğiz. Kendi bütünlüğü içinde sayı dizisi, verilen herhangi bir sayı ile ‘sonlanmadığından’, ne kadar büyük olursa olsun az önce anlaşılan anlamıyla belirsizce büyük bir sayı tanımlanamaz. Doğal olarak bu belirsizce küçük sayı için de doğrudur. İnsan bir sayıyı, bir kelime ya da yazı ile ifade edemediği zaman onun pratik olarak tanımsız olduğunu söyler. Bu durum sayıların artışı ve azalışı sürdüğünde kaçınılmaz olarak ortaya çıkar. Bu noktada basit bir ‘bakış açısı’ meselesiyle karşı karşıyayız. Fakat neticede bu düşünce, limitlerin alabileceği değerden başka bir şey olmadığı sürece, belirsizin karakterini koruyor olsa da şeylerin doğasına aykırı bir biçimde sorunu ortadan kaldırmaz, sadece gözden tamamen kaybolacak kadar uzağa iter. Bu bağlamda bazı ilginç sorular dikkate alınmalıdır: Çincede tanımsızın sembolik olarak neden on bin sayısı ile temsil edildiği sorulabilir. Bu dilde örneğin ‘on bin varlık’ ifadesi, tüm varlıklar anlamına gelir ki bu gerçekten tanımsız ya da ‘sayılamaz’ çokluk demektir. Yunancada da aynı şeyin olması çok dikkat çekicidir. Orada da tek bir kelime, ikincil bir ayrıntı olarak ve şüphesiz kullanırken iki anlam arasındaki farkı ortaya koyma ihtiyacından, vurguda yapılan basit bir farkla: µνριοι (on bin), µνρι’οι (belirsizlik) kelimesi her iki düşünceyi de ifade etmek için kullanılır. Bunun asıl nedeni on bin sayısının onun dördüncü kuvveti olmasıdır. Tao Te Ching formülasyonuna göre ‘bir ikiyi, iki üçü, üç ise tüm sayıları üretmiştir’. Bu, üçten hemen sonra gelen dördün bir şekilde tüm sayılar kümesine denk olduğunu ima eder. Çünkü biri dörtlüğe sahip olduğunda, ilk dört sayıyı birbirine ekleyerek: 1+2+3+4=10, tamamlanmış sayısal bir çevirimi temsil eden onluğa da sahip olur. Başka yerlerde ifade ettiğimiz gibi bu Pisagorcu Tetraktys’in sayısal formülüdür. Ayrıca sayısal 65 belirsizliğin bu şekilde temsil edilişinin mekansal bir karşılığı da vardır: bir sayının kuvvetinin artırılması ona yeni bir boyutun eklenmesi anlamına gelir. Bizim uzayımızın üç boyutu vardır. Üçüncü kuvvetin ötesine gidildiğinde uzayımızın sınırları aşkın hâle gelir, başka bir ifadeyle dördüncü kuvvete yükselmek onun belirsizliğini işaret eder, çünkü dördüncü boyuta çıkıldığında insan bizim uzayımızdan ayrılır ve başka imkânlar seviyesine geçer. 66 10. Sonsuz ve Sürekli Asla unutmayalım ki Leibnitz’in genellikle anladığı şekliyle tüm sayıları aşan çokluk biçimindeki sonsuzluk fikri, bazen sonsuz sayı dizisi durumunda olduğu gibi ‘sürekli olmayan sonsuzluk’ biçiminde görünür. Fakat bu fikrin en alışılagelmiş yönü ve infinitezimal hesabın değeri düşünüldüğünde en önemli yönü ‘sürekli sonsuzluk’ yönüdür. Bu anlamda şunu hatırlamak faydalı olacaktır: Leibnitz sayı dizileriyle çalışırken ilkin, kendi söylediğine göre metodunu keşfetmesine yol açacak olan ‘sonlu’ farkları düşündü, kelimenin sıradan anlamıyla ‘sonlu’ farkları. İnfinitezimal farklar O’na sadece sayısal süreksizliğin mekansal sürekliliğe uygulanması sorununda göründü. Niceliğin bu iki moduna ait değişkenler arasında gözlenen benzerlik gerekçesiyle diferansiyeller öne sürüldü. Ancak, onların infinitezimal karakteri uygulandıkları büyüklüklerin sürekliliğinden kaynaklanıyordu. Bu yüzden Leibnitz için ‘sonsuz küçük’ düşüncesi ile ‘sürekliliğin oluşumu’ düşüncesi çok yakın bir ilişkiye sahipti. Kesin bir biçimde alındığında ‘sonsuz küçük’, Bernoulli’nin düşündüğü gibi süreklinin partes minimae’sidir. Oysa sürekli açıkça, sürekli kaldığı sürece, daima bölünebilir demektir, ve bu yüzden partes minimae’ye sahip olamaz. ‘Bölünemezler’in, kendilerine göre bölünemez oldukları şeylerin parçası oldukları dahi söylenemez. Buradaki ‘minimum’ sadece bir limit ya da bir sınır (extremity) şeklinde anlaşılabilir, yoksa bir eleman şeklinde değil. “Bir çizgi bir yüzeyden sadece az değildir” der Leibnitz, “o yüzeyin bir parçası bile değildir, sadece onun bir minimumu veya sınırıdır”.79 O’nun bu bakış açısından 79 Meditatio nova de natura anguli contactus et osculi, horumque usu in practica Mathesi ad figuras faciliores succedaneas difficilioribus substituendas (Kontak ve Teğet Açıların Doğası Üzerine Yeni 67 ekstremum ile minimum arasındaki asimilasyon, ileride göreceğimiz gibi O’na göre ‘limite geçişe’ izin veren ‘süreklilik yasası’ ile gerekçelendirilebilir. Daha önce söylediğimiz gibi, aynı şey bir çizgiye kıyasla bir nokta için ve bir hacime kıyasla bir yüzey için de geçerlidir. Öte yandan, infinitezimal elemanlar, o olmadan bir nicelik dahi olamayacakları bir süreklinin parçası olmalıdırlar. Onlar ancak gerçekten ‘sonsuz küçük’ olmama şartıyla bir süreklinin parçası olabilirler, aksi takdirde partes minimae’den (en küçük parçalar) veya ‘son elemanlar’dan başka bir şey olmazlar ki bu süreklilikle bir çelişki doğurur. Bu yüzden sürekliliğin oluşumu, sonsuz küçük niceliklerin basit kurgulardan başka bir şey olmalarına izin vermez. Fakat başka bir bakış açısından, en azından Leibnitz’in gözünde, tam da işte bu süreklilik onları ‘iyi temellenmiş kurgular’ yapar. ‘Geometri dünyasında onlara tamamen gerçek muamelesi gösterilmesinin’ nedeni, geometrinin nesnesi olan uzamın sürekli olmasıdır. Tabii âlemde onlara tamamen gerçek muamelesi gösterilmesinin nedeni cisimlerin benzer şekilde sürekli olmasıdır. Ayrıca mekaniğin ve fiziğin nesneleri olan bu cisimlerin hareketleri gibi tüm fenomenlerin de sürekli olmasıdır. Dahası, eğer cisimler sürekliyse bunun nedeni bir uzama sahip oldukları ve uzamın doğasına iştirak etmeleridir. Benzer şekilde hareketin sürekliliği ve az çok onunla ilişkili olan birçok olayın sürekliliği temelde onun mekansal karakterinden kaynaklanır. Dolayısıyla, cismani (corporeal) doğada gözlemlenen diğer tüm sürekliliklerin asıl temeli sonuçta uzamın sürekliliğidir. Leibnitz’in bu anlamda yapmadığı bu önemli ayrımı, gerçekte ‘belirsizce bölünebilirlik’ özelliğini ‘madde’ye değil uzama atfetme gerekliliğini biz belirtiyoruz. Burada süreklinin mekansal formundan bağımsız diğer muhtemel Düşünceler ve Bunların Pratik Matematikte Zor Figürleri Kolaylarıyla Değiştirmede Kullanılması), Leipzig’in Acta Eruditorum’unda, 1686. 68 formlarını incelemek zorunda değiliz. Aslında, biri büyüklükleri ele aldığında daima bu mekansal sürekliliğe dönmek zorunda kalır. Dolayısıyla bu biçim, infinitezimal ile alakalı her şey için yeterli olacaktır. Ancak, Dekart’ın bu konudaki tuhaf fikrinin aksine, bizim ona, zamanın sürekliliğini de eklememiz gerekiyor. Zaman bizatihi özünde süreklidir, yalnızca onu ölçmek için kullandığımız mekansal hareket temsili içinde değil.80 Bu bağlamda biri diyebilir ki hareket hem mekansal hem de zamansal şart yüzünden çifte süreklilik içerir. Eğer biri sürekli diğeri süreksiz olsaydı mekanın ve zamanın hareketi doğuran bu birleşimi mümkün olmazdı. Bu düşünce, örneğin organik gelişmenin herhangi bir sürecinde olduğu gibi her ikisinde de görülse bile, sürekliliğin, doğal fenomenlerin mekandan çok zamanla daha dolaysız ilgili olan, çeşitli kategorilerine uygulanmasına izin verir. Mekansal sürekliliğin oluşumu için söylenen her şey zamansal sürekliliğin oluşumu için tekrar edilebilir. Zaman ve mekan arasında belli bir açıdan var olan bu simetri sayesinde insan tam anlamıyla benzer sonuçlara ulaşacaktır. Burada, Leibnitz’in de fark ettiği gibi Skolastiklerin oldukça aşina oldukları bir görüşe sahibiz: Bölünemez olarak algılanan anlar sürenin parçası değillerdir, noktaların uzamın parçası olmadıkları gibi. Kısacası tüm sürekliliklerin genel karakteri şudur: sürekliliğin tabiatı ‘son elemanları’ imkansız hâle getirir. Buraya kadar söylediğimiz her şey şunu yeterince gösteriyor: Leibnitz’in bakış açısından sürekli, zorunlu olarak sonsuzu kapsar. Fakat elbette biz, sanki bir bütün verildiğinde tüm olası parçalar da hakikaten verilmiş gibi bir ‘fiili sonsuzluk’ (‘actual infinity’) durumu düşünemeyiz. Ayrıca bir gerçek Sonsuzluk durumu da düşünemeyiz zira ne olursa olsun herhangi bir tanımlama gerçek Sonsuzu dışlayacak ve sonuçta belli herhangi bir şey düşüncesi sonsuzu ima edemeyecektir. Eğer insan, sonsuz denileni belirsiz ile değiştirirse ve eğer basitce tüm sürekliliklerin 80 The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm 5. 69 kendi elemanlarına kıyasla belli bir belirsizliği kapsadığını söylerse, işte o zaman gerçek metafizik sonsuzdan farklı olan, ancak kendi içinde saf ve basit bir absürtlükten başka bir şey olmayan sözde sonsuz fikrinin sürekli ortaya çıkardığı tüm çelişkiler ve mantıksal zorluklar orada yok olur. Sonsuz ve belirsiz arasındaki bu temel ayrım yapılmadığından bazı kimseler yanlış bir biçimde sürekliyi toptan reddetmeden ve onu süreksizle değiştirmeden belirlenmiş bir sonsuz çelişkisinden kurtulmanın mümkün olmadığına inanmaktadır. Dolayısıyla, haklı olarak matematiksel sonsuzluğu reddeden ancak metafiziksel Sonsuzluk fikrine tamamen yabancı olan Renouvier bu ‘sonluculuk’ mantığı yüzünden atomculuğu kabul etmek zorunda olduğuna inandı ve böylece daha önce gördüğümüz gibi kaçınmak istediği bir durumdan daha az çelişik olmayan bir başka duruma düştü. 70 11. ‘Süreklilik Yasası’ Ne zaman sürekli bir şey söz konusu olsa, Leibnitz gibi biz de, o şeyin doğasında sürekli bir şeylerin olduğunu veya tüm bu süreklilik karakterini ortaya çıkaran belli bir ‘süreklilik yasası’nın uygulandığını söyleyebiliriz. Ancak yeterince açık olan bu durum, O’nun iddia ettiği gibi bu yasanın mutlak olarak her şeye uygulanabileceği anlamına gelmez. Çünkü nicelik alanında bile süreklilikle birlikte süreksizlik de mevcuttur.81 Sayı esasen süreksizdir ve niceliğin ilk ve temel modu sayının bu sürekli olmayan ayrık modudur. Bir başka yerde ifade ettiğimiz gibi birinin doğru bir biçimde saf nicelik olarak adlandırabileceği mod.82 Ayrıca, saf niceliğin dışındaki her yerde bir çeşit sürekliliğin olduğunu a priori kabul etmemiz için bir neden yoktur. Gerçeği söylemek gerekirse, mümkün olan her şeyin içinde sadece sayının özünde ayrık bir özelliğe sahip olması çok şaşırtıcı olurdu. Fakat bizim buradaki niyetimiz, ‘süreklilik yasasının’ doğru bir şekilde uygulanabileceği alanın sınırlarını tespit etmek ya da en genel anlamda anlaşılan biçimiyle nicelik alanının ötesine geçen şeylere hangi sınırlamaların getirilmesi gerektiğini tespit etmek değil. Kendimizi, doğal fenomenler dünyasındaki süreksizlikler içinden basit bir örnekle sınırlandıracağız: Bir ipi koparmak için belli bir kuvvet gerekir ve eğer ipe bundan biraz daha az bir kuvvet uygulanırsa 81 L. Couturant, De l’infini mathematique, p.140: ‘Genel olarak, süreklilik prensibinin cebirde bir yeri yoktur ve sayıların cebirsel olarak genelleştirilmesinde bu prensibe başvurulamaz. Süreklilik yalnızca genel aritmetik alanındaki spekülasyonlar için gereksiz değildir o aynı zamanda bilimin ruhuna ve sayının doğasına da aykırıdır. Esasen sayı neredeyse tüm aritmetik özellikleri gibi süreksizdir... Dolayısıyla ne kadar karmaşık olurlarsa olsunlar cebirsel fonksiyonlara süreklilik yüklenemez, çünkü bu fonksiyonların elemanlarını sağlayan tam sayılar süreksizdir, herhangi bir geçiş olmadan bir değerden ötekine atlarlar.’ 82 The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm 11. 71 kısmi bir kopma, yani ipi oluşturan liflerin bir kısmının kopması değil gerilme, yani kopmadan tamamen farklı bir şey olur. Kuvvet sürekli bir biçimde artırılırsa gerilme de sürekli olarak artar, fakat sonra kopmanın gerçekleşeceği bir an gelir ve birden doğası çok farklı bir etki meydana gelir ki bu açıkça süreksizliği ima eder. Bu yüzden, hiçbir sınırlama koymadan genel olarak natura non facit saltus (tabiat sıçrama yapmaz) demek doğru değildir. Oysa, geometrik büyüklüklerin sürekli olması için ki gerçekten de öyledirler, onlardan istediğimiz kadar küçük elemanlar alabilmemiz yeterlidir. Bu elemanlar, atanabilir herhangi bir büyüklükten daha küçük olma kabiliyetine sahiptirler. Leibnitz’in dediği gibi “infinitezimal hesabın kesin ispatı şüphesiz bu noktadan oluşmaktadır”, işte bu geometrik büyüklüklere uygulanmasından. Dolayısıyla ‘süreklilik yasası’ bu kurguların, yani infinitezimal niceliklerin ve diğer sanal köklerin (çünkü Leibnitz bunları bu bağlamda birbirleriyle ilişkilendirmiştir) fundamentum in re’si görevini görür. Ancak, Leibnitz’in muhtemelen yapmak istediği gibi bu yasayı ‘tüm gerçekliğin mihenk taşı’ olarak görmemiz gerekmez. Ayrıca, alanı hakkında belli sınırlamalarla birlikte bir ‘süreklilik yasası’ ve bu yasanın infinitezimal hesabın temeli olduğu kabul edilse bile, modo sano sensu intelligantur, bu yasanın tam olarak Leibnitz’in anladığı gibi anlaşılması ya da Leibnitz’in ondan çıkardığı tüm sonuçların kabul edilmesi gerekmez. Şimdi bu anlam ve sonuçları biraz daha yakından incelememiz gerekiyor. En genel biçiminde bu yasa, Leibnitz’in değişik terimlerle birçok kez ifade ettiği ama sonuçta daima aynı temel anlamı taşıyan şu noktaya çıkar: her zaman, başlangıç noktası olarak alınan seviyeye izafeten başka bir seviyeyi oluşturan prensiplerden çıkartılan sonuçlara karşılık gelen bir başka seviye vardır. Daha önce işaret ettiğimiz gibi bu sadece ‘evrensel akledilebilirliği’ varsayan ‘adalet yasasının’ ya da düzen yasasının özel 72 bir durumudur. Dolayısıyla, Leibnitz için temelde bu, özellikle kombinasyonlara ve değişen niceliklere uygulanan ‘yeterli neden prensibinin’ bir sonucu veya bir uygulamasıdır. O’nun dediği gibi “süreklilik ideal bir şeydir [bu ifade yeterince açık değildir], ancak gerçek ideal ya da soyut tarafından yönetilir ... zira her şey akıl tarafından yönetilir”.83 Elbette şeylerin belli bir düzeni vardır, sorguladığımız bu değil, ancak bu düzen Leibnitz’in anladığından çok farklı bir biçimde anlaşılabilir. Zira bu bağlamda O’nun fikirleri daima ‘en iyi prensibi’ diye bilinen kendi düşüncesinden az ya da çok etkilenmiştir. Mümkün olan ile gerçek olanın metafiziksel özdeşliği anlaşılır anlaşılmaz bu prensip tüm anlamını yitirir.84 Üstelik, sıkı bir Kartezyen rasyonalizm savunucusu olduğu ilan edilmiş olmasına rağmen, kendisinin ‘evrensel akledilebilirlik’ kavramı ele alındığında O, ‘akledilebilir’ ile ‘rasyonel’ olanı çabucak karıştırmakla suçlanabilir. Fakat ele aldığımız konudan bizi uzaklaştıracağı için bu nokta üzerinde daha fazla durmadan sadece şunu söyleyeceğiz: “matematiksel analiz, metafiziksel tartışmalara dayanmak zorunda değildir” dedikten sonra - ki bu yargı gayet tartışılabilir bir yargıdır zira bu, saf profan bakış açısına uygun bir biçimde matematiği kendi prensiplerinden habersiz hâle getirmek demektir, üstelik metafizik alanında sadece idrak eksikliği ihtilaf doğurabilir – işte bu savdan sonra Leibnitz’in kendisinin matematiksel analizi bağladığı kendi ‘nedensellik yasasını’ desteklemek için sonuçta aslında metafiziksel değil tamamen teolojik olan ve birçok tartışmaya yol açan bir argümana başvurmuş olması gayet şaşırtıcıdır. Leibnitz şöyle söylüyor: “Bu, her şey nedensel akılla (reason) yönetildiğinden böyledir ve aksi olsaydı ne bilim ne de kurallar olurdu ki o durum hükmeden prensibin tabiatına uygun olmazdı”.85 Bu argümana şu şekilde karşılık verilebilir: gerçekte nedensel 83 Daha önce atıfta bulunulan Varignon’a mektup, 2 Şubat 1702. Bakınız The Multiple States of the Being, bölüm 11. 85 Varignon’a yazılan aynı mektuptan. – ‘Süreklilik yasası’ ilk kez bahsettiğimiz bu bakış açısıyla temmuz 1687 de Nouvelles de la 84 73 akıl (reason) sadece kişisel düzene ait olan insani bir fakültedir ve ‘hükmeden prensibe’ kadar gitmeye gerek kalmadan, saf ve aşkın akıl (intellect) olarak en evrensel anlamda akıl (intelligence), nedensel akıldan (reason) tamamen farklı bir şeydir ve hiçbir şekilde onunla özdeş görülemez. Öyle ki hiçbir şeyin ‘irrasyonel’ olmadığı doğru olsa bile ‘rasyonelin üstünde’ (‘supra-rational’) olan ancak daha az ‘akledilebilir’ (‘intelligible’) olmayan birçok şey vardır. Şimdi ‘süreklilik yasasının’ çok daha hassas bir biçimde ifade ediliş şekline, öncekinden çok daha direkt olarak infinitezimal hesabıyla ilgili biçimine geçelim: “Eğer bir durum, kendi aldığı değerler sayesinde bir başka duruma sürekli bir biçimde yaklaşıyorsa ve sonuçta onun içinde görünmez oluyorsa, bu şu anlama gelir: bu iki durumun sonuçları aynı oranda sürekli bir biçimde istenen çözüme yaklaşır ve sonuçta karşılıklı olarak birlikte son bulurlar.”86 Burada birbirinden ayrılması gereken iki şey vardır: ilki, eğer iki durum arasındaki fark, atanabilir herhangi bir in datis (verilmiş) büyüklükten daha az olana kadar küçülüyorsa, aynı şey in quaesitis (aranan) büyüklük için de geçerli olacaktır, bu yalnızca daha genel ifadenin bir uygulamasıdır. Yasanın bu kısmı sürekli değişkenlerin Republique des Lettres’da şu dikkat çekici başlık altında izah edilmiştir: Principium quoddam generale non in Mathematicis tantum sed et Physicis utile, cujus ope ex consideratione Sapientiae Divinae examinantur Naturae Leges, qua occasione nata cum R.P. Mallebranchio controversia explicatur, et quidam Cartesianorum errores notantur (Sadece Matematikte değil Fizikte de Yararlı Olan, İlahi Hikmete Göre Tabiat Kanunlarının İncelenmesini Sağlayan ve R.P. Mallebranche’ın Başlattığı Tartışmayı Açıklayan ve Bazı Kartezyen Hatalara İşaret Eden Kesin Bir Genel Prensip). 86 Specimen Dynamicus pro admirandis Naturae Legibus circa corporum vires et mutuas actiones detegendis et ad suas causas revocandis (Cisimler Arası Kuvvetleri İlgilendiren, Etkileşimleri Ortaya Çıkaran ve Nedenleri İzleyen Tabiat Kanunları İçin Dinamik Bir Model), Bölüm II. 74 varlığı kabul edildiğinde herhangi bir itiraza neden olmaz. İnfinitezimal hesap tam olarak böyle değişkenlerin etkilendiği alana, yani geometri alanına, doğru bir biçimde bağlanmıştır. Ancak, casus in casum tandem evanescat (bir durumun sonuçta öteki içinde görünmez olmasının) ve dolayısıyla eventus casuum tandem in se invicem desinant (iki durumun çıktılarının nihayetinde birbirlerinde sonlanmasının) da kabul edilmesi gerekir mi? Başka bir değişle, iki durum arasındaki fark sürekli ve belirsiz azalışlarının sonucu olarak tam anlamıyla bir hiç hâline gelecek midir? Ya da belirsiz bile olsalar onların bu azalışları bir sona ulaşacak mıdır? Bu, temelde sürekli bir değişkenin bir limite ulaşıp ulaşamayacağı sorunudur. Bu noktada biz her şeyden önce şunu belirtiyoruz: süreklilik bunu gerektirdiği sürece belirsiz olan daima tüketilemez bir şeyleri içerdiği hâlde ve Leibnitz süreklinin bölünerek bir son terime ulaşacağını asla düşünmediği, hatta böyle bir son terimin gerçekten var olduğunu dahi düşünmediği hâlde, O’nun hâlâ sürekli bir değişimin per infinitos gradus intermedios (sonsuz ara adımlarla)87 kendi limitine ulaşabileceği düşüncesini sürdürmesi tam olarak mantıksal ve tutarlı mıdır? Bu, kesinlikle böyle bir limite ulaşmanın hiçbir yolunun olmadığını söylemek değildir, zira öyle söylemek infinitezimal hesabı basit bir yaklaşım metoduna indirgemek olur. Ancak eğer limite hakikaten ulaşılıyorsa, bu sürekli değişimin kendi içinde ya da gradus mutationis (değişim derecelerinin) belirsiz dizisinin son terimi şeklinde olmamalıdır. Buna rağmen Leibnitz ‘limite geçisi’ gerekçelendiren şeyin bu ‘süreklilik yasası’ olduğunu iddia etmiştir. Bu iddia, O’nun metodunun doğurduğu mantıksal zorlukların en önemsizi değildir ve tam da burası O’nun çıkardığı sonuçların tamamen kabuledilemez hâle geldiği noktadır. Ancak, sorunun bu yönünü tümüyle anlaşılır hâle getirmek için matematiksel limit mefhumunun kendisini açıklamaya başlamamız gerekiyor. 87 Schulenburg’a mektup, 29 Mart 1698. 75 12. Limit Mefhumu Limit mefhumu, infinitezimal hesabın kıymetini değerlendirmek için, en azından bu hesabın kesinliği söz konusu olduğunda burada incelememiz gereken en önemli düşüncelerden biridir. Onun değeri tamamen bu nosyona dayanır. Hatta daha ileri giderek diyebiliriz ki sonuçta ‘tüm infinitezimal algoritma sadece limit mefhumu üzerinde durur, çünkü infinitezimal hesabın bütün sembollerini ve formüllerini tanımlamaya ve haklı çıkarmaya hizmet eden tamamen bu kesin nosyondur’.88 Gerçekten bu hesabın konusu “oranların veya toplamların limitlerini hesaplamak yani verilen bir yasaya göre belirsizce azalarak değişen niceliklerin oranlarının veya toplamlarının yaklaştığı sabit değerleri bulmak demektir”.89 Daha kesin olması için şöyle söyleyelim: infinitezimal hesabın bölünebileceği iki branştan biri olan diferansiyel (türev) hesap, iki terimi de belirsizce azalan oranların limitinin bulunması demektir. Bu terimler aynı anda belli bir yasayı izlediklerinden bu oranlar sonlu ve tespit edilmiş değerlerdir. İkincisi ise elemanların toplamlarının limitini hesaplamak olan integral hesabıdır. Toplanan bu elemanların çoklukları belirsizce artarken büyüklükleri belirsiz bir şekilde azalır. Toplamın limitinin sonlu ve tespit edilmiş bir nicelik olması için bu iki şartın daima birlikte sağlanması gerekir. Dolayısıyla daha genel bir biçimde şu söylenebilir: değişen bir niceliğin limiti, sabit olarak düşünülen bir başka niceliktir. Değişen niceliğin art arda aldığı değerlerle bu limite yaklaştığı varsayılır. Bu yaklaşma, limit ile değişkenin değeri arasındaki fark birinin istediği kadar küçük olana kadar ya da başka bir deyişle bu fark tespit edilebilir herhangi bir değerden daha küçük olana kadar devam eder. İleride söyleyeceklerimizin daha iyi anlaşılabilmesi için en çok vurgulamamız gereken nokta, limitin esasen sabit ve tespit 88 89 L. Couturat, De l’infini mathematique, giriş, s. 23. Charles de Freycinet, De l’Analyse infinitesimale, önsöz, s. 8. 76 edilmiş bir nicelik olarak algılanması meselesidir. Problemin şartları tarafından verilmiş olmasa dahi, biri her zaman onu belirlenmiş bir değer olarak düşünmeye başlamalı ve hesabın sonuna kadar sabit tutmalıdır. Fakat limit kavramının kendisi bir şeyken, ‘limite geçişin’ mantıksal olarak savunulması oldukça başka bir şeydir. Leibnitz şuna inanmıştır: Genel olarak ‘limite geçişi’ haklı kılan şey, değişim sürekliyken çeşitli değişken büyüklükler arasındaki ilişkinin sabit limitleri arasında da mevcut olmasıdır, çünkü böylece onlar gerçekten kendi limitlerine ulaşırlar; bu süreklilik prensibini ortaya koymanın başka bir yoludur.90 Fakat tüm sorun, limitin tanımına göre sabit bir limite belirsiz bir biçimde yaklaşan, dolayısıyla o limitle arasındaki fark birinin istediği kadar küçük olabilen değişken bir niceliğin, bu değişkenliğin bir sonucu olarak o limite fiilen ulaşıp ulaşamayacağını bilmektir. Yani, bir limit sürekli bir değişimin son terimi olarak algılanabilir mi? Gerçekte bu çözümün kabul edilemez olduğunu göreceğiz. Fakat ileride dönmek üzere bu sorunu bir kenara koyarak şimdilik sadece şunu söyleyeceğiz: sürekliliğin doğru anlamı, infinitezimal niceliklerin sıfıra eşit olarak düşünülmesine izin vermez, çünkü öyle olsaydı nicelik olmaları son bulurdu. Leibnitz’in kendisi de ortadan yok olacak kadar küçülseler bile infinitezimal niceliklerin daima gerçek bir niceliğin karakterini koruması gerektiğini söylemiştir. Dolayısıyla infinitezimal bir fark asla tam olarak 90 L. Couturat, De l’infini mathematique, s. 268. – Bu, özellikle Justification du Calcul des infinitesimales par celui de l’Algebra ordinaire’de ifade edilmiş olan bakış açısıdır. 77 bir hiç olmaz. Bu yüzden, bir değişken bu şekilde anlaşıldığı sürece daima kendi limitinden farklı olacak ve değişken karakterini kaybetmediği sürece o limite ulaşamayacaktır. Bu noktada küçük bir çekincenin yanında daha önce atıfta bulunduğumuz bir matematikçinin şu ifadelerle ortaya koyduğu düşünceleri tamamen kabul edebiliriz: Tanımladığımız biçimiyle bir limiti karakterize eden şey değişkenin ona asla tam olarak ulaşamadan birinin isteyebileceği kadar yaklaşabilmesidir. Çünkü değişkenin gerçekten limite ulaşması belli bir sonsuzluğun gerçekleştirilmesi olacaktır ki bu zorunlu olarak mümkün değildir... Biri ayrıca daha büyük bir yaklaşım olarak belirsiz fikrini de aklında tutmalıdır.91 Bizim için hiçbir anlamı olmayan ‘belli bir sonsuzluğun gerçekleştirilmesi’ ifadesi yerine biz olsak şöyle söylerdik: belli bir belirsizlik bitip tüketilemez olmasına rağmen o belirsizlik tamamen bitip tüketilmek zorunda kalacaktır. Fakat aynı zamanda bu belirsizlikte kapsanan imkânlar istenen ölçüde yaklaşmaya izin verir, öyle ki Leibnitz’in ifadelerinden birine göre ut error fiat minor dato (hata verilen herhangi bir hatadan daha küçük hâle gelir). Onun için bu sonuç elde edilir edilmez ‘metot kesinleşir’. Limitin ayırt edici özelliği ve değişkenin tam olarak ona ulaşmasına engel olan şey, onun tanımının değişkenin tanımından farklı olmasıdır. Değişken limite her defasında daha da yaklaşır ancak asla ona ulaşamaz, 91 Charles de Freycinet, De l’Analyse infinitesimale, s. 18. 78 çünkü kendi orijinal tanımını karşılamayı sonlandıramaz, limitten farklı olduğunu söylediğimiz tanımını. Limit ve değişkenin tanımları arasındaki gerekli farka her yerde rastlanır... Bu iki tanımın mantıksal olarak farklı olmalarına rağmen tanımladıkları nesneler birbirlerine yaklaşabilir.92 Bu, ilk bakışta tuhaf gelen şeyi açıklar; yani birinin farkı yok edebilmek için ifade edilebilir olanın ötesine çıkana kadar onu küçültmek zorunda olmasını gerektiren iki niceliği aynı yapmanın imkânsızlığını.93 Her şeyi münhasıran niceliğe indirgeme modern eğilimi yüzünden bazı insanlar limitin bu şekilde anlaşılmasında bir hata buldular, çünkü bu kavram nicelik bilimine niteliksel bir fark getiriyordu. Ancak eğer nitelik bu yüzden çöpe atılacaksa, benzer şekilde daha önce başka bir yerde açıkladığımız gibi şekillerin sadece formlarıyla ilgilenen, onları büyüklüklerinden soyutlayan, dolayısıyla tamamen niteliksel olan benzerlik düşüncesinin de geometriden tamamen çıkarılması gerekir. Bu bağlamda şunu not etmek de yerinde olacaktır: diferansiyel hesabın başlıca kullanım alanlarından birisi, bir eğrinin her bir noktasında ona teğet olan doğrunun yönünün belirlenmesidir. Bunların tamamı eğrinin şeklini tanımlar. Mekansal düzende yön ve şekil esasen niteliksel karakterli elemanlardır.94 Ayrıca, hesabı o sonuca doğru itmeyi 92 Onlardan birinin diğerine git gide yaklaştığını söylemek daha dakik olacaktır, çünkü biri değişken iken diğeri esasen sabittir. Dolayısıyla bir araya gelmeleri, tam olarak limitin tanımı gereği hiçbir şekilde birbirlerinin yerine geçebilecekleri karşılıklı bir ilişki oluşturmaz. Ayrıca bu birbirlerinin yerine geçememe, aralarındaki farkın nitelik seviyesinde olduğunu ima eder. 93 Aynı eserde, s. 19. 94 The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm 4’e bakınız. 79 engellemeksizin matematikçinin limite geçişten vazgeçmesi bir çözüm değildir. Bu doğru olabilir, fakat önemli olan şudur: bu şartlar altında biri bu hesabın hangi dereceye kadar sağlam akıl yürütmelere dayandığını düşünebilir ve eğer ‘bu metot kesinse’ bu sadece basit bir yaklaşım olduğundan olmayacak mıdır? Biri bizim burada açıkladığımız kavramın ‘limite geçişi’ imkânsız hâle getirdiği itirazında bulunabilir. Çünkü bu limitin karakteri asla erişilmesine izin vermez. Ancak bu sadece belli bir bakımdan ve değişken nicelikler bu şekilde düşünüldüğünde doğrudur, zira biz limitin hiçbir biçimde erişilemez olduğunu söylemedik. Ona ancak – bunu açığa kavuşturmak çok önemlidir – değişimin içinde ve değişkenin bir terimi olarak ulaşılamaz. Tek gerçek imkânsızlık sürekli bir değişimin sonucunda oluşan ‘limite geçiş’ mefhumudur. Bu yüzden o mefhumu bir başkasıyla değiştirmemiz gerekir. İlerideki bölümlerde bunu daha açık bir biçimde yapacağız. 80 13. Süreklilik ve Limite Geçiş Şimdi ‘süreklilik yasasını’ tartışmaya ya da daha kesin bir ifadeyle bu yasanın katılmadığımız yönünü tartışmaya geri dönebiliriz. Leibnitz, yasanın tam da bu yönü sayesinde ‘limite geçişin’in mümkün olduğuna inanmıştı. O’nun için bu yasayı takip eden sonuç şudur: Sürekli niceliklerle dışarıda tutulan ekstrem duruma, tabiatı tamamen farklı olsa da sanki diğer durumların genel yasasında içerilen gizli bir durum gibi içeride muamelesi yapılabilir.95 Leibnitz’in kendisi bundan şüphelenmiş gibi gözükmese de O’nun süreklilik kavramındaki temel mantıksal hata tam da burada yatmaktadır. Herhangi biri bu hatayı, O’nun bu kavramdan çıkardığı sonuçlarda ve kavramı uygulayış biçiminde kolayca farkedebilir. İşte birkaç örnek: Benim süreklilik yasama göre birisi hareketsizliği, sonsuz küçük hareket gibi düşünebilir, yani, kendi karşıt türüne denk bir şey gibi, ve çakışmayı sonsuz küçük mesafe, eşitliği eşitsizliklerin sonuncusu gibi, ve saire.96 Tüm ani değişiklikleri dışlayan bu süreklilik yasasına göre hareketsizlik hâli hareketin özel bir durumu gibi 95 Epistola ad V.Cl. Christianum Wolfıum, Professorem Matheseos Halensem, circa Scientiam Infiniti (Halensem matematik profesörü V.Cl. Christian’a sonsuzun bilimi üzerine mektup), Leipzig’in Acta Eruditorum’unda, 1713. 96 Daha önce atıfta bulunulmuş olan Varignon’a mektup, 2 Şubat 1702. 81 düşünülebilir, yani gözden kaybolan bir hareket veya en küçük bir hareket gibi ve eşitlik gittikçe yok olan bir eşitsizlik hâli gibi düşünülebilir. Dolayısıyla, hareket kanunları dengedeki ve hareketsiz cisimlere özel kurallar gerektirmeyecek bir biçimde oluşturulmalıdır. Aksine bu cisimlerin kuralları, dengede olmayan ve hareketli cisimlerin kurallarından çıkarılmalıdır. Ya da eğer biri hareketsizlik ve denge için özel yasalar öne sürmek isterse bu yasaların, hareketsizliğin henüz başlamakta olan bir hareket veya eşitliğin, eşitsizliğin sonuncusu olduğu hipoteziyle uyuşmasına dikkat etmesi gerekir.97 Hadi konu hakkında mantıksal açıdan daha az itiraz edilebilir olmayan ama öncekilerden bir şekilde farklı olan bir alıntı daha ekleyelim: Tıpkı çemberin, düzgün bir çokgenin bir türü olmaması gibi hareketsizliğin, hareketin bir türü olduğu veya eşitliğin, eşitsizliğin bir türü olduğu tam olarak doğru olmasa da biri yine de diyebilir ki hareketsizlik, eşitlik ve çember hareketin, eşitsizliğin ve düzgün çokgenin bitmesidir. Sonrakiler gittikçe küçülen sürekli bir değişimle öncekilere ulaşırlar. Ve çemberi, sonsuz sayıda kenarı olan düzgün bir çokgen olarak alan sonsuzluk ve sonsuz küçüklük diline uygun olarak bu sonlanmalar harici olsa da, yani tam olarak sınırlandırdıkları çeşitlere dahil olmasalar da, o çeşitlere dahil olduklarında sahip olacakları özelliklere yine de sahiptirler. Aksi takdirde süreklilik kanunu ihlâl edilmiş olur. Çünkü herhangi bir 97 Yukarıda daha önce atıfta bulunulmuş olan Specimen Dynamicum. 82 ara olmadan sürekli bir değişimle çokgenden çembere geçilirken çokgenin özelliklerinden çemberin 98 özelliklerine geçişte de bir fasıla olmamalıdır. Şuna işaret etmek gerekir ki yukarıda alıntıladığımız son pasajın başında söylendiği gibi Leibnitz, bu iddiaları sadece toleranter verae cinsinden savlar olarak düşünmektedir. Başka bir yerde şöyle demektedir: Bence, kurgusal ve farazi şeyler içerseler de ki bunlar bir hata oluşturmamaları için kolayca olağan ifadelere dönüştürülerek düzeltilebilirler, her şeyin üstünde keşif sanatı görev yapmaktadır.99 Ama bunlar zaten gerçekte saf ve basit çelişkiler içermekte değil midir? Leibnitz’in, ekstrem durumun veya ultimus casus’un harici oluşunu fark etmiş olmasında bir şüphe yoktur. Ekstrem durumun harici olması açıkça onun, genel yasayla doğal olarak kapsanan durumların oluşturduğu dizinin dışında kalmasını gerektirir. Fakat buna rağmen sonra hangi hakla o bu yasaya dahil edilebilir ve ona sanki dizide içerilen tek özel durummuş gibi ut inclusivum (dahil) muamelesi gösterilebilir? Kenar sayısı belirsiz bir biçimde artan düzgün çokgenin limitinin çember olduğu doğrudur. Ancak onun tanımı özünde çokgenin tanımından farklıdır. Ve böyle bir örnekte açıkça daha önce söylediğimiz, limitin kendisi ile sınırlandırdığı şey arasındaki niteliksel fark görülebilir. Ne hareketsizlik 98 Justification du Calcul des infinitesimales par celui de l’Algebre ordinaire, Varignon’dan Leibnitz’e gönderilen mektuba eklenen not 23 Mayıs 1702. Bu notta Leibnitz’in notu Journal de Trevoux’a eklenmesi için gönderdiği söylenmektedir. Leibnitz, ‘continual’ kelimesini ‘continuous’ anlamında kullanmaktadır. 99 Yukarıda daha önce atıfta bulunulmuş olan ‘Epistola ad V.Cl. Christianum Wolfium’. 83 bir şekilde hareketin özel bir durumudur, ne eşitlik, eşitsizliğin özel bir durumu, ne çakışma, mesafenin özel bir durumu, ne de paralellik, aynı noktaya kavuşmanın özel bir durumudur. Ayrıca, Leibnitz bunların kesin bir biçimde böyle olduklarını farz etmemekte fakat yine de ‘tür, karşı sözde-türle son bulur’ ve bir şey ‘kendi karşı türüne eşit olabilir’ sonuçlarıyla birlikte bir şekilde öyle olduklarının düşünülebileceğini söylemeye devam etmektedir.100 Bununla birlikte sırası gelmişken Leibnitz’in ‘sanallık’ mefhumunun buna benzer fikirlerle bağlantılı olduğunu not edelim, zira O, sanallığa (virtuality) imkânın (potentiality) yeni başlayan hakiki gerçekliği (actuality) biçiminde özel bir anlam vermektedir101 ki bu yine daha önce belirttiğimiz çelişkilerden daha az çelişkili bir şey değildir. Hangi bakış açısından bakılırsa bakılsın belli bir tür, karşı tür ya da cinsin ‘sınır durumu’ olabilir, çünkü buradaki karşıtlık, bu şeylerin birbirlerini biri artarken diğeri azalacak şekilde sınırlamaları biçiminde değil kesinlikle tam tersine birbirlerini dışlayarak sınırlama biçimindedir ve bir çelişkinin bir başkasına indirgenmesi mümkün değildir. Örneğin, eşitsizliğin, eşitliğin tersi ve inkarı olması dışında bir anlamı olabilir mi? Biz kesinlikle bunun gibi önermelerin toleranter verae dahi olduklarını söyleyemeyiz. Çünkü birbirlerinden mutlak bir biçimde ayrılmış türlerin varlığı kabul edilmese dahi, şu yine de doğrudur: bu şekilde tanımlanan herhangi bir tür aynı şekilde tanımlanan bir başka türün asla bütünleyici 100 Initia Rerum Mathematicarum Metaphysics (Matematiksellerin Metafizik Prensipleri) . Leibnitz’in kendi kelimeleri şunlardır: genus in quasi-speciem oppositam desinit, ve ‘sözde-tür’ tekil ifadesinin kullanılması en azından böyle bir cümleye daha makul bir görünüm vermedeki zorluğa işaret ediyor gibi görünmektedir. 101 Buradaki ‘ hakiki gerçeklik’ (actuality) ve ‘imkân’ (potentiality) kelimeleri elbette bunların Aristocu ve Skolastik anlamlarında kullanılmıştır. 84 bir parçası olamaz, zira bu ikincisinin tanımı, çelişkilerde olduğu gibi resmen dışlamasa dahi birincisini içermemektedir. Eğer farklı türler arasında bir ilişki kurulacaksa bu, onların hakiki farklılıkları aracılığıyla değil fakat ancak her ikisini de içeren bir üst tür meziyetiyle kurulmalıdır. İki türü daha üst ya da daha genel bir türe indirgemeden, bir türden ötekine doğrudan geçişe izin vererek, sadece tüm ayrımları değil ayrıca tüm etkili farkları da ortadan kaldıran böyle bir süreklilik anlayışı, gerçekte doğru tüm mantıksal prensiplerin bir inkarıdır. Ve bu noktadan sonra Hegel’in ‘çelişik olanların özdeşliği’ bildirisine kolayca atılacak tek bir adım kalmış olacaktır. 85 14. ‘Yok Olan Nicelikler’ Sonuçta Leibnitz için ‘limite geçişin’ gerekçesi şu gerçekten müteşekkildir: kendisinin söylediği gibi, ‘gittikçe yok olan niceliklerin’ özel durumu süreklilik meziyetiyle belli bir biçimde genel kuralın içinde kalır. Ayrıca bu gittikçe yok olan nicelikler ‘mutlak hiçlikler’ veya saf sıfırlar olarak düşünülemezler. Çünkü aynı süreklilik yüzünden yok oldukları esnada kendi içlerinde tespit edilmiş oranlar olarak – genellikle birden farklı oranlar olarak – kalırlar. Bu da her ne kadar olağan niceliklere kıyasla ‘tayini mümkün olmasalar’ bile hâlâ gerçek (real) nicelikler oldukları anlamına gelir.102 Ancak, bu gittikçe yok olan nicelikler – veya aynı anlama gelen infinitezimal nicelikler– ‘mutlak hiçlik’ değillerse de, bir üst seviyenin türevi olduklarında ‘izafi hiçlikler’ olarak düşünülürler. Bu şu anlama gelir: gerçek nicelik karakterlerini korumalarına rağmen olağan niceliklerle ‘kıyaslanamaz’ olduklarından ihmal edilmelidirler.103 Fakat bunlar, ‘sonsuz’ ile veya olağan niceliklerden kıyaslanamaz bir şekilde büyük niceliklerle çarpılarak yeniden olağan nicelikler üretirler. Eğer onlar mutlak anlamda bir hiç olsalardı bu mümkün olmazdı. Daha önceki tanımların ışığı altında arz etmiştik: gittikçe küçülen (yok olan) fakat hâlâ tespit edilmiş bulunan niceliklerin oranı düşüncesi türev hesabını gösterirken, bu niceliklerin ‘sonsuz’ niceliklerle çarpımından elde edilen olağan nicelikler düşüncesi integral hesabına karşılık gelir. Buradaki tüm zorluk, mutlak anlamda bir 102 Leibnitz’e göre 0/0 = 1 dir. Çünkü, kendisinin söylediği üzere ‘bir hiçlik ötekinin aynısıdır’. Ancak (0)(n) = 0 olduğundan n in herhangi bir değeri için 0/0 = n de denebilir. İşte bu 0/0’ın genellikle ‘tespit edilmemiş formun’ temsilcisi olarak düşünülmesinin nedenidir. 103 Bununla kum tanesi kıyası arasındaki fark şu dur: ‘Gittikçe yok olan nicelikler’ konuşulurken söz konusu olan zorunlu olarak değişken niceliklerdir, ne kadar küçük olursa olsun sabit ve belirlenmiş nicelikler değil. 86 hiç olmayan niceliklere sanki öylelermiş gibi davranılıyor olduğunun kabul edilmesidir. Bu durum, bu hesaba basit bir yaklaşım izlenimi verme riski taşır. Bu anlamda Leibnitz bazen ‘sınır durumunu’ genel kuralın içine alan ‘süreklilik yasasına’ başvuruyor gibi görünür, sanki metodu için gerekli olan tek varsayım buymuş gibi. Oysa bu argüman hiç açık değildir ve hesabın sonunda kalan infinitezimalin elenmesine gerekçe olması için kendisinin sık sık yaptığı gibi ‘kıyaslanamazlar’ mefhumuna dönmeyi gerektirir. Aslında Leibnitz yalnız aralarındaki farkın hiç (null) olduğu nicelikleri eşit olarak düşünmez, aralarındaki fark niceliklerin kendileriyle kıyaslanamaz olduğunda da nicelikleri eşit kabul eder. O’nun için bu ‘kıyaslanamazlar’ mefhumu sadece olağan niceliklerin yanında infinitezimalin elenmesi için değil, ayrıca infinitezimal ya da diferansiyel niceliklerin farklı seviyeleri için de bir temel oluşturur. İlk seviyenin niceliklerinin olağan niceliklerle kıyaslanamaz olması gibi diğer her bir seviyenin nicelikleri de bir önceki seviyedekilerle kıyaslanamaz. Ancak bu nicelikler (hangi seviyede olurlarsa olsunlar –Çev.–) hiçbir zaman ‘mutlak hiçliğe’ ulaşmazlar. Leibnitz şöyle söylemektedir: “Bir büyüklük nasıl olursa olsun sonlu bir sayı ile çarpıldığında diğerini geçemiyorsa bu iki büyüklüğe kıyaslanamaz diyorum, tıpkı Euclid’in beşinci kitabındaki beşinci tanımda yaptığı gibi.”104 Ancak, burada bu tanımın sabit ve tespit edilmiş nicelikler için mi yoksa değişken nicelikler için mi anlaşılması gerektiğini gösteren bir şey yoktur. Fakat genel olarak her iki durum için de uygulanması gerektiği kabul edilebilir. Bu durumda tüm soru, büyüklük ölçekleri ne kadar farklı olursa olsun iki sabit niceliğin gerçekten ‘kıyaslanamaz’ olarak mı görüleceği yoksa onların sadece kullandığımız ölçüm araçlarına izafi olarak mı böyle olduklarının düşünüleceğidir. Fakat bu nokta üzerinde daha fazla durmayacağız, çünkü 104 Marquis de l’Hospital’ e mektup, 14-24 Haziran 1695. 87 Leibnitz kendisi başka bir yerde diferansiyeller için durumun böyle olmadığını (elimizdeki ölçüm araçlarına izafeten öyle olmadığını –Çev.– ) bildirmiştir.105 Buradan şu sonucu çıkarmak gerekir: kum tanesi kıyaslaması açıkça sadece kendi içinde hatalı değildir, bu kıyas ayrıca O’nun kendi düşüncesi içinde en azından infinitezimal niceliklere uygulanırken dahi, ‘kıyaslanamazlar’ın doğru mefhumuna temelde bir cevap vermez. Buna rağmen bazı kimseler sadece infinitezimal nicelikler bir hiç olarak düşünüldüğünde, infinitezimal hesabının mükemmel bir kesinlik kazanacağına inanmışlardır. Bunlar aynı zamanda yanlış bir biçimde bir hatanın da biri o hatayı istediği kadar küçültebildiği sürece bir hiç olduğunu düşünmüşlerdir. Yanlış diyoruz çünkü bu bir değişkenin kendi limitine ulaşabileceğini kabul etmekle aynı şeydir. Carnot bu konuda şunları söylemiştir: İnfinitezimal analizin prensibini şu mantıkla yeterli bir biçimde tesis ettiklerine inanan kimseler vardır: derler ki infinitezimal analiz yönteminin sonunda çıkan hatanın her zaman birinin istediği kadar küçültebileceği açık ve genel kabul görmüş bir şeydir. Birinin istediği kadar küçültebileceği bir hata ise bir hiç dir. Çünkü birinin istediği kadar küçüktebileceği bir hata sıfır gibi düşünülebilir. Bu yüzden infinitezimal analizin sonuçları tam ve kesindir. İlk bakışta makul gelen bu argüman aslında geçerli değildir. Çünkü birinin istediği kadar küçültebildiği bir hatayı mutlak bir hiç gibi görmek yanlıştır... Burada şu iki alternatifle karşılaşılır: ya ne 105 Daha önce atıfta bulunulmuş olan Varignon’a mektup, 2 Şubat 1702. 88 kadar küçük olursa olsun bir hata olduğunu kabul etmek ya da hiçbir şey söylemeyen bir formüle geri dönmek. İşte tam da burası, infinitezimal analizdeki zorluğun düğüm noktasıdır.106 Bir oranın 0/0 şeklinde göründüğü herhangi bir formülün ‘bir şey söylemediği’ kesindir ve hatta bu oranın özünde bir anlamının olmadığı söylenebilir. 0/0 ifadesine ancak gerekçelendirilmiş bir ortak kabul sayesinde belirsizliğin bir sembölü biçiminde bir anlam verilebilir.107 Fakat bu belirsizlik bir yandan bu oranın herhangi bir şeye eşit olabileceği anlamına gelirken öte yandan aksine her hususi durumda tespit edilmiş bir değer alması gerekir. Leibnitz’in öne sürdüğü işte bu belirli değerin varlığıdır108 ve bu argüman özünde tamamen tartışılamazdır.109 Ancak ‘gittikçe yok olan nicelikler’ mefhumunun, Lagrange’ın ifadesini kullanırsak, nicelikleri “deyim yerindeyse nicelik olmaya son verdikleri bir durumda düşünen muazzam bir kusuru olduğunu” fark etmek çok önemlidir. Oysa Leibnitz’in düşüncesinin aksine onları tam yok olacakları bir anda düşünmek ya da gerçekten yok olacaklarını varsaymak dahi gerekmez, çünkü bu durumda bir nicelik olmaya son vermiş olurlar. Ayrıca, bu temelde tam olarak ‘sonsuz küçük’ bir niceliğin olmadığını varsaymak demektir. Çünkü bu ‘sonsuz küçük’ nicelik – ya da en azından Leibnitz’in dilinde öyle söylenen şey – ancak sıfır olabilir, tıpkı aynı biçimde düşünülen ‘sonsuz büyük’ niceliğin sadece bir ‘sonsuz sayı’ 106 Reflexions sur la Metaphysique du Calcul infinitesimal, s. 36. Bu konuda bir önceki nota bakınız. 108 Daha önce söylediğimiz gibi O’nun için 0/0 oranı belirsiz değil daima 1’e eşittir. Oysa gerçekte bu değer her bir durumda farklıdır. 109 Bakınız Charles de Freycinet, De l’Analyse infinitesimale, s. 45-46: ‘Eğer artışlar saf sıfır durumuna indirgenirse onların artık bir anlamı kalmayacaktır. Onların özellikleri tam olarak bir hiç olmamalarıdır, bir değişken asla kendi limitiyle çakışamaz genel prensibine uygun olarak sıfırla asla karıştırılmadan belirsiz bir biçimde küçülmeleridir.’ 107 89 olabileceği gibi. Oysa hakikatte sıfır bir sayı değildir ve ‘hiç nicelikler’, ‘sonsuz nicelikler’den daha fazla bir varlığa sahip değildirler. Matematiksel sıfır, en azından niceliksel yönü düşünüldüğünde tam ve kesin anlamıyla bir olumsuzlamadır ve niceliğin yokluğunun kendisi, bir nicelik oluşturur denilemez. Sonuçlarını daha eksiksiz bir biçimde geliştirmek için bu noktaya kısaca tekrar döneceğiz. Kısacası, ‘gittikçe yok olan nicelikler’ ifadesi her şeyden öte bir kelime oyunu olma kusuruna sahiptir. Bu kelime oyunu, infinitezimal niceliklerin etkin bir şekilde ortadan kaldırılabilen nicelikler olduğu inancına yol açar. Çünkü bir nicelik söz konusu olduğunda bu kelimelerin anlamını değiştirmeden nasıl olup da ortadan kaldırmanın, yok olmaktan farklı bir şey olacağını anlamak zordur. Gerçekte, belirsiz bir biçimde azalan şeklinde anlaşılan bu infinitezimal nicelikler ki bu onların asıl özelliğidir, kelimenin doğru anlamında asla ‘yok olan’ şeklinde adlandırılamazlar. Temelde Leibnitz’in süreklilik algısıyla ilgili olduğundan ve bu şekliyle kaçınılmaz olarak bu algının özündeki mantıksal çelişkinin aynısını barındırdığından, bu mefhumun hiç sunulmamış olması kesinlikle çok daha tercih edilirdi. Şimdi, eğer bir hata, birisinin istediği kadar küçülebilecek dahi olsa, asla mutlak olarak yok olamıyorsa, infinitezimal hesap nasıl olur da gerçekten kesin bir hesaplama olur? Ve eğer hata aslında sadece pratikte ihmal edilebilir bir hata ise, bu durumda hesabın basit bir yaklaşım metoduna ya da en azından Carnot’un söylediği gibi ‘telafi’ metoduna indirgenmiş olduğu sonucu çıkmaz mı? İşte bu sorun ilerideki bölümlerde çözümlemek zorunda olduğumuz sorundur. Ancak bu bölümde sıfırdan ve ‘hiç nicelik’ (‘null quantity’) şeklinde adlandırılan şeyden söz etmek durumunda kaldığımız için biraz sonra göreceğimiz gibi önemi ihmal edilemeyecek olan bu konuya daha önce değinmek yararlı olacaktır. 90 15. Sıfır Bir Sayı Değildir Sayıların belirsiz bir şekilde azalması ne kadar bir ‘hiç (null) sayı’sında sonuçlanırsa, belirsiz bir şekilde artması da o kadar bir ‘sonsuz sayı’da sonuçlanır. Ve yine aynı nedenden, bu sayılar ötekilerin tersi olmak zorunda olduklarından, daha önce ters sayılar konusunda söylenenlere uygun olarak bu iki kümenin her biri – artan ve azalan –, gerçekten de her ikisinin ortak hareket noktası olan birden eşit uzaklıktadırlar. Üstelik bunların birindeki terimlerin çokluğu ötekindekine eşit olduğundan, son terimleri – yani ‘sonsuz sayı’ ve ‘hiç sayısı’ – eğer bunlar gerçekse, birden eşit uzaklıkta bulunurlar ve dolayısıyla birbirlerinin tersidirler.110 Bu şartlar altında, eğer ∞ işareti gerçekte sadece belirsiz bir şekilde artan niceliğin bir sembolü ise mantıksal olarak 0 işareti de bu ikisi arasında var olduğunu daha önce söylediğimiz simetrinin simgesel ifadesi için benzer şekilde belirsiz bir şekilde azalan niceliğin bir sembolü olarak alınabilir. Ancak ne yazık ki bu 0 işareti zaten çok başka bir anlama sahiptir. Çünkü o aslen niceliğin tam bir yokluğunu işaret etmek için kullanılmıştır. Bununla birlikte ∞ işaretinin yukarıda söylediğimiz anlama denk geldiğine dair gerçek bir his yoktur. Burada ‘gittikçe yok olan nicelikler’le birlikte bir başka karışıklık nedenine sahibiz. Bu karışıklıktan kurtulmak için belirsizce azalan niceliklere sıfırdan farklı bir sembol bulmak gerekir, zira bu nicelikler nasıl bir değişiklik geçirirlerse geçirsinler asla tamamen yok 110 Olağan gösterimde bu (0)(∞) = 1 formülü ile belirtilir. Ancak gerçekte (0)(∞) formu da 0/0 gibi ‘belirsiz bir form’dur ve birisi, n herhangi bir sayı olmak üzere (0)(∞) = n diyebilir. Aslında bu 0 ve ∞’un tespit edilmiş sayıları temsil ediyormuş gibi düşünülemeyeceklerini gösterir. Bu noktaya tekrar döneceğiz. Bir başka açıdan türev hesabındaki ‘oranların limiti’ için 0/0 ne ise integral hesabındaki ‘toplamaların limiti’ için (0)(∞)’un o olduğu söylenebilir. 91 edilememeleri özelliğiyle karakterize edilmişlerdir. Matematikçilerin hâlen kullandıkları simgelerle karışıklıkların önlenmesi imkânsız gibi görünmektedir. Sıfır, niceliğin tam bir yokluğunu temsil ettiği müddetçe – belli bir takım tartışmalarla hiç karşılaşmamış bazılarına bu çok açık gelse de – onun bir sayı olmadığı ve bir sayı gibi düşünülemeyeceği gerçeği üzerinde vurgu yapmamızın nedeni şudur: ‘tüm sayıların en küçüğü’ olması gereken ‘hiç sayı’sının varlığı kabul edilir edilmez karşılıklı ilişki yoluyla onun tersi olan ‘tüm sayıların en büyüğü’ anlamında bir ‘sonsuz sayı’nın varlığına da kaçınılmaz olarak inanılır. Bu yüzden eğer sıfırın bir sayı olduğu faraziyesi kabul edilirse ‘sonsuz sayı’ lehindeki argümanlar mükemmel bir mantık silsilesini takip eder.111 Ancak tam da bu faraziye bizim reddetmemiz gereken şeydir, çünkü eğer onun doğurduğu sonuçlar çelişkiliyse – bir ‘sonsuz sayı’nın varlığının gerçekten bir çelişki olduğunu gördük – faraziyenin kendisi de çelişik olmalıdır. Gerçekte niceliğin inkarı hiçbir şekilde özel bir nicelikle asimile edilemez. Sayının ya da büyüklüğün inkarı, hiçbir anlamda ve hiçbir derecede bir sayı ya da büyüklük türü oluşturamaz. Aksini iddia etmek, Leibnitz’in ifadesiyle bir şeyin ‘kendi karşıt türüne eşit olabileceği’ iddiasını sürdürmek demektir. Ve bu doğrudan doğruya mantığın inkarının kendisinin mantık olduğunu söylemek olur. Bu yüzden sıfırı bir sayı gibi söylemek veya ‘sıfır büyüklüğü’ hâlâ bir büyüklük zannetmek tutarsızlıkdır. ‘Sıfır büyüklük’, bir büyüklük olarak alındığında kaçınılmaz olarak farklı büyüklük çeşitleri kadar farklı sıfırlar düşünülmüş olur. Gerçekte saf ve basit olan, tasarlanan modu ne olursa olsun niceliğin reddinden başka bir şey olmayan tek bir sıfır 111 Gerçekten de L. Couturat’ın tezi De l’infini mathematique’deki argümanların çoğu bu faraziyeye dayanmaktadır. 92 vardır.112 Bu düşünce, aritmetik sıfırın doğru anlamı olarak kabul edilirse, özenle bakıldığında, onun belirsizce azalan niceliklerle hiçbir ortak yanının olmadığı çok açık bir hâl alır, zira onlar daima niceliktirler. Belirsizce azalan nicelikler asla ne niceliğin olmaması ne de sıfır ile nicelik arası bir şey değildirler. Çünkü bu sıfır ile nicelik arası bir şey kavramı tamamen anlamsızdır ve kendi düzeyinde daha önce bahsettiğimiz Leibnitzci ‘sanallık’ kavramını çağrıştırır. Bahsettiğimiz karışıklıklara nasıl neden olduğunu görmek için şimdi sıfırın mevcut yaygın gösterimde sahip olduğu diğer anlama geri dönebiliriz. Daha önce söylediğimiz gibi bir sayı bizim için belirgin herhangi bir yolla temsil edilemez ya da ifade edilemez olduğunda o sayı, pratikte belirsiz olarak kabul edilebilir. Ne olursa olsun artarak büyüyen böyle bir sayı, ∞ işareti ancak belirsiz bir büyüklüğü temsil ettiği sürece, ∞ işaretiyle sembolize edilebilir. Dolayısıyla buradaki mesele tespit edilmiş bir sayı meselesi değil, bütün bir alan (domain) meselesidir. Bu durum ayrıca, belirsizliğin içinde eşitsizlikler ve hatta farklı büyüklük seviyeleri tahayyül etmenin mümkün olabilmesi için gereklidir. Matematiksel gösterimde, belirsiz küçüklükler alanı şeklinde adlandırılabilecek olan, azalan yöne karşılık gelen alanda bir sembol eksikliği vardır. Ancak bu alana ait bir sayı, hesaplarda ihmal edilebilir 112 Bundan şu sonuç da çıkar: sıfır, kelimenin matematiksel anlamıyla bir limit olarak düşünülemez çünkü gerçek bir limit tanım gereği bir niceliktir. Ayrıca, belirsizce azalan bir niceliğin, belirsizce artan bir nicelikten daha fazla bir limite sahip olmadığı ortadadır. Veya en azından, bunlardan hiçbirinin zorunlu olarak niceliğin tabiatından kaynaklanandan başka bir limite sahip olamayacakları ortadadır. İlerde göstereceğimiz gibi bu iki anlam arasında her ne kadar belli bir bağlantı olsa da, burada ‘limit’ kelimesi oldukça farklı bir anlamda kullanılmıştır. Matematiksel olarak belirsizce artan veya belirsizce azalan iki niceliğin sadece oranları için bir limitten söz edilebilir, yoksa bu niceliklerin kendileri için bir limitten söz edilemez. 93 olduğundan pratikte adet olduğu üzere bir hiçmiş gibi düşünülür. Oysa bu sadece bizim ifade ve ölçme imkânlarımızın kaçınılmaz yetersizliğinden kaynaklanan basit bir yaklaşımdır. Şüphesiz işte bu yüzden bu sayılar niceliğin tam bir yokluğunu da temsil eden 0 işaretiyle temsil edilir olmuşlardır. Ancak bu anlamda, 0 işareti ∞ işaretine bir biçimde simetrik hâle gelir. Bu ikisi daha önce söylediğimiz tam sayıların ve terslerinin artan ve azalan biçimde iki zıt yönde belirsizce genişledikleri serinin iki ucuna yerleştirilebilir. Bu seri kendisini şu şekilde ortaya koyacaktır: 0 ... 1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4 ... ∞. Ancak 0 ve ∞’un seriyi her iki yönde sonlandıran, tespit edilmiş sayıları temsil etmediğini hatırlamak konusunda dikkatli olmalıyız. Bunlar aksine kesinlikle belirsiz oldukları için içlerinde hiçbir son terimin olmadığı iki belirsiz alanı temsil etmektedirler. Ayrıca, yine şu apaçıktır ki buradaki sıfır ne serinin azalan yönündeki son terimi olabilecek bir ‘hiç sayı’sıdır ne de niceliğin reddi anlamındaki sıfırdır, zira öyle olsa bu sayısal nicelik serisinde kendine bir yer bulamazdı. Daha önce açıkladığımız gibi, bu seride merkezi bire eşit uzaklıktaki iki sayı, birbirinin tersi ya da birbirinin tamamlayıcısıdır. Dolayısıyla birbirleriyle çarpıldıklarında bir sonucunu verirler: (1/n)(n) = 1, öyle ki iki ekstrem birbiriyle çarpıldığında (0)(∞) = 1 de yazılabilir. Ancak, bu çarpımın iki faktörü 0 ve ∞ tespit edilmiş (belli) sayıları temsil etmediklerinden (0)(∞) ifadesinin kendisi de belirsizliğin bir sembolünü oluşturur ya da başka bir ifadeyle bir ‘belirsiz form’ oluşturur. Bu yüzden n herhangi bir sayı olmak üzere (0)(∞) = n yazılmalıdır.113 Bu iki zıt belirsizlik bir bakıma birbirlerinin etkisini yok ederek bizi her hâlükârda tekrar olağan sonluluğa getirmektedir. Yine burada şu açıkça görülmektedir ki ∞ sembölü Sonsuzu temsil etmemektedir. Çünkü doğru anlamda kullanılan Sonsuzun ne zıddı ne de tamamlayıcısı vardır. Bu 113 Bu konuda bir önceki nota bakınız. 94 Sonsuz herhangi bir şeyle, hangi anlamda anlaşılırsa anlaşılsın sıfırla, birle ya da başka bir sayıyla veya niceliksel ya da değil hangi seviyeden olursa olsun herhangi belli bir şeyle karşılıklı bir ilişkiye (correlation) girmez. Mutlak ve Âlemşümul Küll olarak O, Varlığı da (Being) Varlık Ötesini de (Non-Being) kapsar, öyle ki sıfırın kendisi dâhi saf hiçlik (nothing) anlamında kullanılmadığında zorunlu olarak Sonsuzun içinde kalır. Varlık Ötesine (Non-Being) değinerek burada sıfırın az önce söylediğimizden çok farklı, metafizik sembolizm açısından en önemli anlamına temas ettik. Ancak bu anlamda sembol ile temsil ettiği şey arasındaki karışıklıkların tümünü izale temek için şunu açıkça söylemek gerekir: Varlık (Being) olan metafiziksel Bir’in aritmetik bir olmaması gibi Varlık Ötesi (Non-Being) olan metafiziksel Sıfır da niceliğin sıfırı değildir. Dolayısıyla bu terimlerle tasarlanan şey sadece kıyas yoluyla aktarımdır. Çünkü insan kendini Evrensel olanın içine yerleştirdiğinde tabii ki nicelik gibi her özel alanın ötesine geçmiş olur. Ayrıca sıfır bu aktarım yoluyla, belirsiz küçüklüğü temsil ettiği sürece Varlık Ötesinin (Non-Being) sembolü olarak alınamaz. Ancak en sıkı matematiksel kullanımına uygun olarak, niceliğin olmayışını temsil ettiği müddetçe, aslında kendi düzeninde zuhur etmeme (non-manifestation) imkânını sembolize eden Varlık Ötesinin (Non-Being) bir sembolü olarak alınabilir, tıpkı birin tüm zuhurun (manifestation) prensibi olması gibi. Çünkü sayıların belirsiz çokluğunun başladığı nokta olarak bir, Varlığın (Being) zuhur etme imkânını sembolize eder.114 Bu bizi, nasıl düşünülürse düşünülsün sıfırın hiçbir durumda saf hiçlik (pure nothingness) olarak alınamayacağına götürür. Saf hiçlik metafiziksel anlamda yalnızca imkânsıza karşılık gelir ve bu imkânsızlık 114 Bu konuda The Multiple States of the Being bölüm 3’e bakınız. 95 mantıksal olarak herhangi bir şeyle temsil edilemez. Tüm bunlar belirsiz küçüklükler söz konusu olduğunda çok açıktır. Tamamen herhangi bir nicelik olmama anlamının bir türevi olarak, bizim için ihmal edilebilir niceliklerin asimilasyonu biçiminde bu doğrudur. Ancak bir nicelik olmama durumu söz konusu olduğunda, bu bağlamdaki hiçlik (null) başka bir açıdan, nokta örneğinde görüldüğü gibi, kesinlikle öyle olmayabilir: bölünemeyen nokta herhangi bir uzamı (extension) olmadığından uzaysal olarak bir hiçtir,115 ancak bununla birlikte o başka bir yerde açıkladığımız gibi tüm uzamın asıl prensibidir.116 Ayrıca matematikçilerin sıfırı, belirsiz bir imkân (potentiality) ile donatılmış olarak düşünmemeleri imkânsız olmasına rağmen, saf hiçlik gibi tasavvur etme eğilimi göstermeleri çok ilginçtir. Çünkü ‘anlamlı’ (‘significant’) şeklinde terimlendirilen bir başka basamağın sağına konulduğunda sıfır, bir sayının temsiline katkıda bulunur ve bu aynı sıfırın tekrarıyla sayı belirsiz bir biçimde büyütülebilir, örneğin on sayısı ve bu sayının ardışık kuvvetlerinde olduğu gibi. Eğer sıfır gerçekten sadece saf hiçlik olsaydı bu böyle olamazdı ve etkin değerinden mahrum bırakılmış kullanışsız bir işaret olurdu. Burada, modern matematikçilerin daha önce işaret etme fırsatı bulduğumuz tutarsız kavramlar listesine bir yenisini eklemiş oluyoruz. 115 İşte bu daha önce söylediğimiz gibi neden noktanın, bir uzunluğun bir parçasını oluşturan bir eleman olarak düşünülemeyeceğinin sebebidir. 116 The Symbolism of the Cross bölüm 16’ya bakınız. 96 16. Negatif Sayılar Gösterimi Şimdi sıfırın ikinci ve daha önemli olan matematiksel anlamına, yani belirsiz küçüklükleri temsil ettiği anlamına dönüyoruz, çünkü çifte belirsiz sayı serisinde bu ikinci alan belli bir yöndeki hesaplama imkânlarımızdan kurtulan her şeyi kapsar, tıpkı aynı sayı serisindeki belirsiz büyüklükler alanının, öteki yöndeki hesaplama imkânlarımızdan kurtulan her şeyi kapsaması gibi. Bu böyle olduğuna göre, ‘sıfırdan küçük’ sayılardan söz etmek, ‘belirsizden büyük’ sayılardan söz etmekten daha uygun değildir. Ve sıfır saf ve basit bir şekilde bir nicelik olmama durumunu temsil ettiği diğer anlamında alındığında, bu tamamen kabul edilemez olur, çünkü hiçten (nothing) daha küçük bir nicelik tamamen akıl dışı bir şeydir. Ancak, negatif sayılar olarak adlandırılan düşüncenin matematiğe alınmasıyla yapılan şey belli bir anlamda tam da budur. Bu sayıların başlangıçta, büyük bir sayıyı küçükten çıkarmak şeklindeki gerçekte imkânsız çıkarma işleminin sonucunu göstermenin bir yolundan başka bir şey olmadığı, modern ‘antlaşmacılığın’ bir sonucu olarak unutulmuştur. Ayrıca, daha önce işaret ettiğimiz üzere, sayı fikrinin tüm genelleme ve uzamları sadece, saf aritmetik bakış açısına göre mümkün olmayan işlemlerin düşünülmesinden doğmaktadır. Ancak bu negatif sayılar kavramı ve yol açtığı sonuçlar bir miktar daha açıklamayı gerektirmektedir. Daha önce söylediğimiz gibi tam sayılar serisi sıfırdan değil birden başlayarak oluşturulmuştur. Gerçekten de tüm sayı serisi bu sabit bire atıfta bulunur, öyle ki serinin zaten baştan, birdeki bu prensip117 117 Benzer şekilde, kıyas yoluyla aktarım sayesinde, zuhurun (manifestation) tüm imkânlarının belirsiz çokluğu, prensip olarak ‘fazlasıyla’ (‘eminently’) saf Varlıkta (Being) ya da metafizik Birlikte (Unit) içerilmektedir. 97 tarafından imâ edildiği ve onda içerildiği söylenebilir. Oysa sıfırdan hiçbir sayının türetilemeyeceği açıktır. Sıfırdan bire geçiş, birden diğer sayılara ya da verilen bir sayıdan bir sonrakine geçiş gibi yapılamaz ve sıfırdan bire geçişi mümkün görmek zımnen zaten birin varlığını kabul etmek demektir.118 Son olarak, sıfırı sanki sayı serisinin ilk terimiymiş gibi serinin başına koymak ancak şu iki şeyden birisi anlamına gelir: ya daha önce söylenmiş olanların tersine sıfırın bir sayı olduğunu, dolayısıyla diğer sayılara oranının bu sayıların kendi aralarındaki oranlarla aynı seviyede olduğunu kabul etmek – ancak sıfır bir sayıyla çarpıldığında veya bir sayıya bölündüğünde daima sıfır çıktığından durum bu değildir – , ya da bunun gösterim için basit bir araç olduğunu düşünmek ki bu sadece o ya da bu ölçüde girift karışıklıklara yol açar. Aslında bu aracın kullanımı, negatif sayılar gösterimine izin verilmesinin dışında asla haklı çıkarılamaz. Bu gösterim, hesapların kolaylığı için şüphesiz bazı avantajlar sunsa da – burada bahis konusu olmayan ve bizim bakış açımızdan herhangi bir öneme sahip olmayan tamamen ‘faydacı’ (‘pragmatic’) bir anlayış – onun mantıksal zorluklar mezarlığından âzâde olmadığını görmek kolaydır. Bu zorlukların ilki kesinlikle negatif niceliklerin ‘sıfırdan küçük’ nicelikler olarak düşünülmesidir. Bu, Leibnitz’in yalnızca bir toleranter verae şeklinde sıraladığı düşüncelerden birisidir. Oysa gerçekte bu, az önce söylediğimiz gibi tamamen herhangi bir anlamdan mahrumdur. “Sıfırdan küçük, izole edilmiş negatif bir nicelik ileri sürmek” der Carnot, “berraklık ilmi olması gereken matematik biliminin, nüfuz edilemez bir bulutla perdelenmesi ve insanın kendisini her biri diğerinden daha tuhaf paradokslar labirentine saplaması demektir.”119 Bu konunda biz O’nun şüphe götürmez ve kesinlikle abartılı olmayan hükmünü takip edebiliriz. Ayrıca, bu negatif 118 Sayı serisini oluşturan genel kuralla uyum içinde bu geçiş şu formülle sunulduğunda 0 + 1 = 1, bu tamamen açıkça ortaya çıkar. 119 Reflexions sur la Metaphysique du Calcul infinitesimal’ın sonunda yer alan ‘Note sur les quantites negatives’, s. 173. 98 sayılar gösterimini kullanan birisi asla bunun basit bir antlaşmadan başka bir şey olmadığını unutmamalıdır. Bu antlaşmanın nedeni şu dur: verilen bir çıkarma aritmetik olarak mümkün olmadığında, bu çıkarmaya konu olan büyüklükler birbirine zıt iki yönle bağlantılı iseler sonuç yine de anlamdan yoksun olmaz. Örneğin, bir çizgi üzerinde ölçülen mesafeler veya sabit bir nokta etrafında dönerken oluşan açılar ya da belli bir andan geçmişe veya geleceğe doğru giden süreler bu şekildedir. Bu nedenle geometrik gösterim negatif sayılara âdet olduğu üzere razı olmuştur. Sadece bir değil, daha önce olduğu gibi, her iki yönde de ucu belirsiz olan doğrusal bir çizginin tamamı ele alındığında çizgi üzerindeki mesafeler, gösterdikleri yöne göre pozitif veya negatif olarak düşünülürler. Ve başlangıç noktası olarak görev yapması için bir nokta seçilir. Noktanın bir tarafındaki mesafeler pozitif, diğer tarafındaki mesafeler negatif olur. Çizgi üzerindeki her bir nokta için, o noktanın başlangıç noktasına olan mesafesinin ölçümünü gösteren bir sayı vardır. Kullandığımız dili basitleştirmek için bu sayıya biz katsayı diyebiliriz. Başlangıç noktası kendi katsayısı için doğal olarak sıfıra sahip olacaktır. Çizgi üzerindeki diğer tüm noktaların katsayıları + ve – işaretleriyle düzeltilmiş sayılar olacaktır. Bu işaretler gerçekte sadece o noktanın başlangıç noktasının ne tarafına düştüğünü gösterir. Benzer şekilde bir çember üzerinde pozitif ve negatif dönme yönleri tayin edilebilir. Yarıçap için seçilen belli bir pozisyona göre pozitif ve negatif açılar tespit edilebilir. Ancak doğrusal çizgi örneğinde kalırsak, başlangıç noktasından eşit mesafede bulunan iki nokta, aynı katsayı fakat zıt işaretlere sahiptirler. Her durumda, başlangıç noktasından daha uzak mesafede bulunan bir noktanın katsayısı diğerinden büyüktür. Dolayısıyla eğer bir n sayısı m sayısından büyükse, genellikle yapıldığı gibi -n sayısının -m sayısından küçük olduğunu söylemek absürttür. Çünkü aksine o daha büyük bir mesafeyi temsil eder. Ayrıca, bir sayının önüne konan bir işaret nicelik anlamında o sayıyı 99 gerçekten değiştiremez. Çünkü o işaretin, mesafenin ölçümünün kendisi açısından bir anlamı yoktur. Ancak o mesafenin kat edileceği yön olarak bir anlamı vardır. Aslında yön, niceliksel değil niteliksel düzenin bir elementidir.120 Üstelik, doğru her iki taraftan da belirsiz olduğundan sırasıyla ∞ ve -∞ işaretleriyle temsil edilen, genellikle ‘büyük sonsuzluk’ ve ‘küçük sonsuzluk’ absürt ifadeleriyle belirtilen pozitif ve negatif belirsizlikler tasavvur edilebilir. İnsan pekâlâ negatif bir sonsuzluğun ne olduğunu sorabilir ya da bir şeyden, hatta sıfırdan, sonsuz bir miktar çıkarıldığında ne kaldığını, zira matematikçiler sıfırı bir hiç gibi görmektedirler. Bunların nasıl da bir anlamdan yoksun olduklarını anında görmek için sadece birisinin bu meseleleri açık bir dille ortaya koyması gerekir. Ayrıca şunu da eklemek zorundayız: özellikle fonksiyonların değişimi çalışılırken negatif ve pozitif belirsizliklerin birleştiklerine inanılır, öyle ki başlangıç noktasından çıkıp pozitif yöne doğru giden bir hareketli bu yönde uzaklaşır, uzaklaşır ve sonunda negatif taraftan gelerek tekrar başlangıç noktasına ulaşır ya da bunun tam tersi olur. Eğer hareket belirsizce uzun bir süre devam ederse, düz çizgi ya da öyle olduğu varsayılan şey her ne kadar belirsiz olsa da aslında kapalı bir çizgiye dönüşür. Ayrıca, bir düzlemdeki doğrusal çizginin özelliklerinin tamamen, büyük bir çemberin ya da bir küre yüzeyindeki çapsal çemberin özelliklerine benzediği gösterilebilecektir. Düzlem ve doğrusal çizgi sırasıyla, belirsizce büyük yarıçapları sayesinde belirsizce küçük eğrilikleri olan küre ve çembere bağlanmış olacaktır. Böylece düzlem 120 The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm 4’e bakınız. İnsan bir çeşit şuursuz hafızanın bulunup bulunmadığını merak ediyor. Çünkü matematikçiler hâlâ bazen ‘nitelenmiş sayılar’ (‘qualified numbers’) adı altında bu ifadeye başka hiçbir açık anlam yüklemeden ‘işaretlenmiş’ yani pozitif veya negatif olarak düşünülmüş sayılar tanımlıyorlar. 100 üzerindeki sıradan çemberler, küre üzerindeki küçük çemberlerle kıyaslanabilir olur. Bu kıyasın dakik olabilmesi için ‘limite geçiş’in farz edilmesi zorunludur, çünkü belirsiz bir artış yoluyla bir yarıçap ne kadar büyük bir hâle gelirse gelsin onun daima bir düzlemi değil bir küreyi tanımlayacağı açıktır. Kürenin düzleme ve onun büyük çemberinin (veya yarıçapının) çizgiye dönüşmesi ancak kendi limitleri olan düzlem ve çizgiye geçmeleri demektir, aynen çemberin, kenar sayısı belirsizce artan düzgün çokgenin limiti olması gibi. Bu meseleyi daha da ileriye götürmeksizin sadece şunu belirtmek istiyoruz: bu tarz mülahazalar vasıtasıyla insan uzaysal belirsizliğin kesin limitini doğrudan doğruya kavrayacak gibidir. O zaman birazcık mantıklı olmak isteyen birisi nasıl olur da hâlâ tüm bunlarda bir sonsuzluktan bahsedebilir? Az önce yaptığımız gibi pozitif ve negatif sayıları ele aldığımızda sayı dizisi şu formu alır: -∞ ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ... +∞. Bu sayıların sırası, çizgi üzerinde denk geldikleri noktaların sırasıyla aynıdır. Yani oluşan bu serinin gerçek kaynağını, katsayıları bu sayılar olan noktalar işaret ederler. Bu seri her iki yönde de aynı oranda belirsiz olmasına rağmen daha önce tasarladığımız tam sayılar ve terslerinden oluşan seriden tamamen farklıdır. Bu seri bire göre değil, mesafelerin başlangıç noktası olan sıfıra göre simetriktir. Bu kez merkezi terimden eşit uzaklıkta bulunan iki sayı merkeze, ters sayıların durumunda olduğu gibi çarpma yoluyla değil ‘cebirsel’ toplama yoluyla döner. Aritmetik dille söylersek işaretler hesaba katıldığında bu toplama bir çıkarma anlamına gelir. Ayrıca, hiçbir biçimde bu yeni serinin bir öncekinde olduğu gibi bir yönde belirsizce arttığını diğer yönde belirsizce azaldığını söyleyemeyiz. Eğer birisi öyle olduğunu iddia ederse bu ancak ‘sıfırdan küçük’ sayılar tasavvur etmek gibi çok yanlış bir ‘konuşma tarzı’ olacaktır. Aslında bu seri her iki yönde de belirsizce artmaktadır, çünkü merkezi sıfırın her iki yanında da aynı tam sayılar serisi ihtiva edilmektedir. Bir başka tuhaf ifade olarak ‘mutlak değer’ şeklinde adlandırılan şey ancak sırf nicelik 101 açısından dikkate alınmalıdır. Pozitif ve negatif işaretleri bu anlamda hiçbir şeyi değiştirmezler, çünkü az önce açıkladığımız gibi gerçekte onlar mevki farkından başka bir şey ifade etmezler. Dolayısıyla eksi belirsizlik hiçbir şekilde belirsiz küçüklükle kıyaslanamaz. Aksine o, artı belirsizlik gibi belirsiz büyüklüğe aittir. Nicelik düzenine ait olmayan tek fark onun diğer yöne ilerlemesidir. Mekansal ya da zamansal büyüklükler söz konusu olduğunda bu mükemmel bir şekilde anlaşılabilir. Fakat aritmetik büyüklükler için onun hiçbir anlamı yoktur zira böyle bir ilerleme zorunlu olarak tektir. Çünkü bu ilerleme tam sayılar serisinden başka bir şey olamaz. Negatif sayılar gösteriminin mantıksız veya garip sonuçları arasında yukardakilere ilaveten, cebirsel eşitliklerin çözümünde takdim edilen ve daha önce gördüğümüz gibi Leibnitz’in ‘sağlam inşa edilmiş kurgular’ şeklinde sınıflandırdığı ve infinitezimal niceliklerle aynı durumda olduğunu söylediği ‘sanal’ (‘imaginary’) nicelikler biçimde isimlendirilen düşünceye dikkat çekeceğiz. Gerçekte saf ve basit bir imkânsızlığa denk gelmesine rağmen bu nicelikler ya da öyle adlandırılan şeyler negatif sayıların kare kökleri olarak sunulurlar. Çünkü cebirsel çarpım kuralı gereğince, pozitif de olsa negatif de olsa bir sayının karesi zorunlu olarak daima pozitifdir. Birisi gerçek bir şeylere denk getirmek süretiyle – burada sınamayacağımız bir ihtimal – bu ‘sanal’ niceliklere başka bir anlam vermeyi başarsa bile en azından şu oldukça kesindir: çağdaş matematikçilerin sunduğu şekliyle ‘sanal’ sayılar teorisi ve analitik geometriye uygulanması, açıkça çelişkili önermelerin önünde dahi geri çekilmeyen, aşırı ve tamamen yapay genellemeler ihtiyacının bir ürünü olarak, karışıklıkların hatta absürtlüklerin gerçek bir ağından başka bir şey değildir. Örneğin ‘çemberin asimtotları’yla ilgilenen bazı teoremler bu yorumun bir abartı olmadığını fazlasıyla ispatlar. Aslında 102 bunun artık geometriyle ilgili olmadığı fakat uzayın ‘dördüncü boyutu’121 mülahazalarında olduğu gibi sadece cebirin geometri diline çevrilmesiyle ilgili olduğu söylenebilir. Ancak tam da bu çevirmenin ve tersinin bir dereceye kadar mümkün ve yasal olması yüzünden bazı kimseler onu daha fazla hiçbir anlam taşımayacağı durumlara kadar genişletmek istemektedirler. Bu gerçekten çok ciddi bir şeydir. Çünkü bu olağanüstü fikir karışıklıklarının bir göstergesi olduğu gibi bazı kimselerin tüm gerçeklik algısını yitirmelerine neden olan ‘antlaşmacılığın’ en uç sonucudur. 121 Bakınız The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm 18 ve 23. 103 17. Kuvvetlerin Dengesinin Temsili Negatif sayılar bağlamında şimdi, çalışmamızın esas konusuna nazaran sadece bir arasöz olarak, bu sayıların kullanımının mekanik bakış açısından doğurduğu tartışmalı sonuçlardan söz edeceğiz. Konusu gereği mekanik alan gerçekten fiziksel bir bilim olduğundan, günümüz biliminin sırf nicelik bakış açısının bir sonucu olarak, ona matematiğin tamamlayıcı bir parçası gibi muamele ediliyor olması, bazı tuhaf çarpıklıkların doğmasına neden olmuştur. Modern matematikçilerin bu bilimi üzerine kurmak istedikleri sözde ‘prensipler’, onların anladığı biçimiyle ancak kelimenin tamamen bir kötüye kullanımı anlamında ‘prensipler’ olarak anılabilir. Çünkü bunlar aslında sadece az ya da çok sağlam temelli varsayımlar ya da en iyi durumda bile bir dereceye kadar genel olan, belki başka bazı kurallardan biraz daha genel olan, bazı basit yasalardır ama gerçek evrensel prensiplerle ortak hiçbir yanları yoktur. Geleneksel bakış açısına göre oluşturulmuş bir bilimde mekanik yasaları, bu gerçek evrensel prensiplerin daha özel bir alana uygulanmasından başka bir şey olamaz. Çok uzun açıklamalara girmeden birinci örnek olarak hiçbir şeyin savunamayacağı ‘eylemsizlik prensibi’ (‘principle of inertia’) denilen şeyden bahsedelim: Ne deneyim, eylemsizliğin tabiatta bir rolü olduğunu gösterir, ne de sırf tüm özelliklerin tam bir yokluğundan oluşan bu eylemsizliği kavrayamayan anlayış onu savunabilir. Böyle bir terim meşru bir biçimde ancak evrensel cevherin (substance) saf imkânına (potentiality) ya da Skolastiklerin materia prima’sına uygulanabilir. Ayrıca işte bu nedenle o tam anlamıyla ‘anlaşılamaz’ (‘unintelligible’) dır. Ancak bu materia prima kesinlikle fizikçilerin ‘madde’sinden (‘matter’) tamamen farklı bir şeydir.122 İkinci örneğimiz, doğal kuvvetlerin dengesi genel yasasından hemen çıkarılabilecek çok küçük bir prensip olan ‘etki122 Bakınız The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm 2. 104 tepki eşitliği prensibi’dir. Ne zaman bu doğal kuvvetlerin dengesi rahatsız edilse derhâl denge kendisini yeniden kurmak ister ve bu yüzden kendisini tahrik eden etkiye eş şiddetli bir tepki oluşturur. Dolayısıyla bu, Uzak Doğu geleneğinin ‘ahenkli etkiler ve tepkiler’ prensibinin sadece özel bir durumudur. Bu prensip, mekanik yasalarında olduğu gibi yalnız cismani (corporeal) dünyayla ilgili değil, gerçekten tüm mod ve durumlarında zuhurun (manifestation) tamamıyla ilgilidir. Geçici bir ara vermeye değecek kadar önemli olduğundan bir süreliğine bu denge sorunu ve onun matematiksel temsili üzerinde durmak istiyoruz. Denge durumundaki iki kuvvet genellikle zıt iki ‘vektör’ ile gösterilmektedir, yani eşit uzunlukta ama zıt yönleri gösteren iki doğru parçasıyla. Aynı şiddete sahip ve aynı doğru üzerinde bulunan ama zıt yönleri gösteren iki kuvvet aynı noktaya uygulandığında dengededirler. Uygulandıkları noktada bir eylemleri olmaz. Hatta genellikle birbirlerini iptal ettikleri söylenir. Oysa kuvvetlerden birisi bastırıldığında diğerinin hemen eyleme geçmesi, bunların aslında önceden birbirlerini iptal etmediklerini ispatlar. Kuvvetler şiddetleriyle doğru orantılı olan sayısal katsayılarla karakterize edilirler. Zıt yönleri gösteren kuvvetlerin birinin katsayısının işareti pozitif, diğerinin işareti negatifdir, yani kuvvetlerden biri f ise diğeri -f’ olacaktır. Az önce düşündüğümüz gibi kuvvetlerin şiddetinin eşit olduğu durumda, onları karakterize eden katsayıların ‘mutlak değerleri’ eşit olmalıdır. Dolayısıyla, f = f’ elde edilir. Buradan denge şartı olarak f - f’ = 0 çıkarılır. Bu da, dengedeki iki kuvvetin ya da onları temsil eden iki ‘vektör’ün cebirsel toplamının bir hiç (null) olduğu anlamına gelir. Böylece denge sıfır ile tanımlanmış olur. Daha önce söylediğimiz gibi sıfır, matematikçiler tarafından yanlış bir biçimde hiçliğin (nothingness) bir sembolü olarak görüldüğünden – sanki hiçlik (nothingness) herhangi bir şeyle sembolize edilebilirmiş gibi – bu sonuç, dengenin bir var olmama (non-existence) durumu olduğu gibi görünür ki bu gerçekten tuhaf bir neticedir. Bu yüzden, çok temel bir gözlem yoluyla 105 ortaya koyduğumuz gibi, dengedeki iki kuvvetin birbirlerinin tesirlerini etkisiz hâle getireceklerinin söylenmesi daha doğru olacaktır. Bunun yerine bu kuvvetlerin birbirlerini iptal ettiklerinin söylenmesi gerçeğe zıddır. Doğru denge mefhumu tamamen farklı bir şeydir. Bunu anlamak için, sadece çok özel bir durumdan daha fazlası olmayan mekanik kuvvetlerin değil tüm doğal kuvvetlerin, cismani düzenin (order) kuvvetleri gibi hemen göze çarpmayan (subtle) düzenin kuvvetlerinin de ya çekici ya da itici olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Çekici kuvvetler sıkıştırıcı veya daraltıcı (kabz edici –Çev.–), itici kuvvetlerse genişletici ya da açıcı (bast edici –Çev.–) kuvvetler olarak düşünülebilir.123 Esasında bu, temel kozmik ikiliğin (duality) kendisinin özel bir alandaki ifadesinden başka bir şey değildir. Başlangıçta homojen olan bir ortam verildiğinde, nasıl her sıkıştırma noktasına eş bir genişleme noktasının zorunlu olarak denk geldiği ve nasıl biri olmadan diğerinin olamayacağı, iki kuvvet merkezinin birbirine bağlı olarak nasıl tasavvur edildiği kolayca anlaşılır. İşte bu, birçok değişik formda, doğal fenomenlerin hepsine uygulanabilen kutupluluk yasasıdır (law of polarity). Zira bu yasa, tüm zuhuru (manifestation) kontrol eden prensiplerin ikiliğinden ileri gelir. Fiziğin kapladığı bu özel alanda bu 123 Merkezcil ve merkezkaç kuvvetlerin sıradan anlamı düşünüldüğünde ilkinin sıkıştırıcı, ikincisinin ise genişletici kuvvetler kategorisine düştüğü kolayca görülür. Benzer şekilde sürtünme kuvveti genişletici kuvvetler arasına konabilir, çünkü uygulama noktasından dışarıya doğrudur. İtme veya vurma kuvvetleri sıkıştırıcı kuvvetler arasında düşünülebilir, zira bu kuvvetler aksine uygulama noktasının içine doğrudur. Ancak eğer meseleye yayılma nokta-i nazarından bakılırsa tersi doğru olur ve ayrıca bu kutupluluk yasasının (law of polarity) istediği bir şeydir. Başka bir alanda, Hermetik ‘pıhtılaşma’ (‘coagulation’) ve ‘çözülme’ (‘solution’) sırasıyla sıkışmaya ve genişlemeye denk gelir. 106 yasa bilhassa elektrik ve manyetik olaylarda belirgindir. Ancak hiçbir şekilde bu olaylarla sınırlı değildir. Şimdi, biri sıkıştırıcı diğeri genişletici iki kuvvet aynı noktaya etki ederse bu kuvvetlerin dengede olması için ya da tesirlerinin etkisiz hâle getmesi için gereken şart, sağlandığında ne sıkışmanın ne de genişlemenin olmayacağı şart, şiddetlerinin denk (equivalent) olmasıdır. Eşit (equal) olması demiyoruz, çünkü bu kuvvetler farklı türdendirler ve ayrıca bu fark basit bir nicelik farkı meselesi değil gerçek bir nitelik farkı meselesidir (bu ‘kuvvetlerin’ fiziksel boyutlarının birbirlerinin tersi olacağı biraz sonra anlaşılacaktır –Çev.–). Kuvvetler, meydana getirecekleri sıkışma ve genişlemelerle doğru orantılı olan katsayılarla karakterize edilebilirler, öyle ki sıkıştırıcı bir kuvvetle genişletici bir kuvvet birlikte düşünüldüklerinde birincisi n > 1, diğeri n’ < 1 şeklinde katsayılara sahip olurlar. Bu katsayıların her biri, mevzu bahis olan noktayı kuşatan uzayın, etki eden kuvvet altındaki yoğunluğunun, aynı uzayın orijinal yoğunluğuna oranı olacaktır. Burada yeterli neden prensibinin basit bir uygulaması marifetiyle herhangi bir kuvvete maruz kalmayan uzay homojen olarak alınır.124 Ne sıkışma ne de genleşme meydana gelmediğinde uzayın yoğunluğu değişmediğinden oran, zorunlu olarak bire eşit olur. Aynı noktaya etti eden iki kuvvetin dengede olabilmesi için bu iki kuvvetin bileşkesinin (resultant) katsayısının bir olması gerekir. Bu bileşke kuvvetin katsayısının, alışılagelmiş görüşte olduğu gibi söz konusu iki kuvvetin katsayılarının toplamı değil çarpımları olduğunu görmek kolaydır. Dolayısıyla, bu iki katsayı n ve n’ birbirlerinin tersi olmalıdır: n’ = 1/n. Böylece denge şartı olarak (n)(n’) = 1’e sahip oluruz ve denge artık sıfırla değil birle tanımlanmış olur.125 124 Yeterli neden prensibinden (principle of sufficient reason) söz ettiğimizde aklımızda olan tabii ki Leibnitz’in veya başkalarının ona vermek istedikleri özel ve az ya da çok itiraz edilebilir formlardan farklı olarak sadece prensibin kendisidir. 125 Bu formül, Uzak Doğu kozmolojisindeki birbirlerini tamamlayan 107 Dengenin bire göre olan bu tanımı – onun tek gerçek tanımı – birin, tam sayılarla terslerinden oluşan çifte belirsiz serinin tam orta noktasında bulunduğu gerçeğiyle örtüşmektedir. Oysa bu merkezi pozisyon pozitif ve negatif sayıların yapay serisinde sıfır tarafından gasp edilmiştir. Var olmama durumundan çok farklı bir şey olarak denge aksine, kendisinin ikincil ve çoklu zuhurundan bağımsız biçimde bizatihi mevcuttur. Ayrıca o kesinlikle kelimenin metafizik anlamında bir Varlık Ötesi (Non-Being) değildir, çünkü varlık (existence) bu en eski (primordial) ve farklılaşmamış durumda bile hâlâ ayrışmış tüm zuhurun başlama noktasıdır, tıpkı birin, sayıların tüm çokluğunun başlama noktası olması gibi. Az önce söylediğimiz şekilde, içinde dengenin ikamet ettiği bu birlik, Uzak Doğu geleneğinin ‘Değişmez Orta’ dediği şeydir. Ve bu geleneğe göre bu denge ya da ahenk, varlığın tüm modlarının ve tüm durumlarının merkezinde bulunan ‘Göklerin Aktivitesi’nin (‘Activity of Heaven’) bir yansımasıdır. yang ve yin prensiplerinin dengesi anlayışına tam olarak uymaktadır. 108 18. Değişken ve Sabit Nicelikler Şimdi infinitezimal hesabın kesinliğinin gerekçelen-dirilmesi sorununa geri dönelim. Leibnitz’in, iki niceliğin farkı tam olarak bir hiç (null) olmasa dahi bu fark, niceliklerin kendileriyle kıyaslanamaz olduğunda, bu nicelikleri eşit kabul ettiğini daha önce gördük. Başka bir deyişle O’nun için, infinitezimal nicelikler nihila absoluta (mutlak hiçlikler) olmasa da nihila respectiva (bir açıdan hiçlik) dir ve böyle olduklarından, olağan niceliklere kıyasla ihmal edilebilirler. Ne yazık ki bu ‘kıyaslanamazlık’ argümanı, infinitezimal hesabın kesin karakterini tam olarak sadece onun üstüne inşa etmek için yeterince dakik değildir. Bu bakış açısıyla hesap kısaca, bir belirsiz yaklaşım metodu olarak görülür ve biz Leibnitz gibi “bu bir defa ileri sürüldüğünde, hata yalnızca sonsuz küçük olmaz, aynı zamanda bir hiç olur” diyemeyiz.126 Oysa bu sonuca ulaşmanın daha kesin bir yolu yok mudur? En azından hesabımızdaki hatanın istenildiği kadar küçük hâle getirilebileceğini kabul etmemiz gerekir ki bu zaten çok şey demektir. Fakat hesabın sadece seyri değil de sonucu düşünüldüğünde, hatanın tam da bu infinitezimal karakteri, onu tamamen ortadan kaldırmaz mı? Bir infinitezimal fark, yani sonu belli olmadan küçülen fark, yalnız iki değişken niceliğin farkı olabilir, çünkü iki sabit niceliğin farkının ancak sabit bir nicelik olabileceği açıktır. Bu yüzden, iki sabit nicelik arasındaki infinitezimal farktan söz etmek anlamsız olur. Dolayısıyla, şunu söylemeye hakkımız var: iki sabit nicelik “aralarındaki fark birisinin istediği kadar küçük olduğunda tamamen eşittirler.”127 Şimdi, “olağan hesap gibi infinitezimal hesap da gerçekten görünürde 126 127 26 Mart 1676’ya tarihlenen bir parça. Carnot, Reflexions sur la Metaphysique du Calcul infinitesimal, s. 29. 109 sadece sabit ve tespit edilmiş niceliklere sahiptir.”128 Kısacası bu hesaplama, değişken niceliği yalnız, sırf geçici karaktere sahip bir yardımcı olarak işin içine sokar. Bu değişkenler, yalnızca sabit niceliklerin oranını ifade edebilen hesabın sonunda ortadan kaybolmalıdır. Dolayısıyla bu sonuçları elde edebilmek için değişken nicelikler düşüncesinden sabit nicelikler düşüncesine geçmek gerekir. Bu geçişin sonucu tam olarak, esasen değişken olan ve ancak değişken niceliklerin farkları şeklinde görünebilen infinitezimal niceliklerin elenmesidir. Şimdi niçin daha önce aktardığımız tanımda Carnot’ın, hesaplamada çalıştırılan infinitezimal niceliklerin “kıyaslandıkları nicelikleri değişmeye zorlamaksızın”, birinin istediği kadar küçük hâle getirebileceği nicelikler oldukları konusunda ısrar ettiğini anlamak kolay olacaktır. Çünkü bu ikinci nicelikler gerçekte sabit nicelikler olmalıdır. Hesapta onların, değişken niceliklerin limiti şeklinde düşünüldükleri doğrudur. Fakat bu sonrakiler sadece basit yardımcılar rolünü oynarlar, tıpkı yanlarında getirdikleri infinitezimal niceliklerin yaptığı gibi. İnfinitezimal hesabın kesinliğini doğrulayan esas nokta sonuçta sadece sabit niceliklerin yer alması gerektiğidir. Dolayısıyla hesaplama açısından eninde sonunda değişken niceliklerden sabit niceliklere geçmek bir zorunluluktur. Ve bu gerçekte bir ‘limite geçiştir’. Fakat Leibnitz’in düşündüğü gibi değil, çünkü değişkenin kendisinde bir sonuç ya da ‘son terim’ yoktur. Şimdi, – ve işte bu gerçekten önemli olan şeydir – infinitezimal nicelikler bu geçişte kendilerini, çok basit bir şekilde, değişken niceliklerin yerine sabit niceliklerin konulması nedeniyle, ortadan kaldırırlar.129 128 Bakınız Charles de Freycinet, De l’Analyse infinitesimale, önsöz, s viii. 129 Bakınız Charles de Freycinet, aynı eser s. 220: “Carnot’ın ‘kusurlu’ (‘imperfect’) dediği denklemler aslında karşılanmamış (unfulfilled) 110 Fakat Carnot’un söyleyebileceği gibi onların ortadan kalkması yalnızca ‘hataların telafi edilmesi’nin bir sonucu mudur? Biz öyle olduğunu düşünmüyoruz. Hakikaten öyle görünüyor ki değişken ve sabit nicelikler birbirinden ayırt edilir edilmez, aralarında şüphesiz bir ilişki ve benzerlik olan – her ne kadar böyle bir geçiş etkilenecek olsa da birinden ötekine geçebilmek için bu gereklidir – iki ayrı alan oluşturdukları gözlenebilir. Fakat bunların gerçek oranları herhangi bir içiçe geçme, hatta bir süreklilik bile tesis etmezler. Ayrıca bu, limit mefhumu hakkında daha önce söylenenlere uygun bir biçimde, niceliğin iki çeşiti arasında esasen niteliksel bir farkın mevcut olduğunu imâ eder. Leibnitz bu ayrımı asla açıkça yapmamıştır. Şüphesiz O’nun evrensel bir biçimde uygulanabilen süreklilik anlayışı bunu yapmasına engel olmuştur. O, ‘limite geçiş’in aslında bir süreksizliği imâ ettiğini göremedi, çünkü O’nun için süreksizlik diye bir şey yoktu. Oysa tek başına bu ayrım, şu önermeyi formüle etmemize izin vermektedir: eğer iki değişken nicelik arasındaki fark birinin istediği kadar küçük hâle gelebiliyorsa, bu değişkenlerin limiti olan sabitler kesin bir şekilde eşittirler. Dolayısıyla, infinitezimal bir fark asla bir hiç hâline gelemez. Fakat böyle bir fark yalnız değişkenler arasında var olabilir. Bu değişkenlere karşılık gelen sabit nicelikler arasındaki fark gerçekten bir hiç olmalıdır. Bu yüzden, değişken nicelikler alanında (tam olarak bu niceliklerin karakteri yüzünden belirsiz yaklaşımdan başka bir sorunun olamayacağı alan) birinin istediği kadar küçük hâle gelebilen bir hata, sabit nicelikler denklemler ya da geçiş denklemleridir. Bunlar sadece limit hesaplarında kullanıldıkları sürece kesindirler. Öte yandan bu denklemler limitleri fiilen bulamadıklarında tümüyle hatalı olurlar. Geçilen oranların değeri hakkında bir şüphenin oluşmaması için hesabın fiili hedefinin akılda tutulması yeterli olur. Her bir oranda, oranın o an için ne ifade ettiğine değil, limiti alındıktan sonra ne ifade edeceğine bakılmalıdır.” 111 alanında zorunlu olarak kesinlikle bir hiç olan hataya karşı gelir. İnfinitezimal hesabın kesinliğinin doğru gerekçesi özü itibariyle işte yalnız bu düşüncede oturmaktadır, ne olurlarsa olsun daima az ya da çok sorunun çevresinde kalan diğer düşüncelerde değil. 112 19. Ardışık Türev Alma Şimdiye kadar söylediklerimiz hâlâ infinitezimal niceliğin farklı seviyeleri düşüncesiyle ilgili bir zorluk bırakmaktadır: bir nicelik nasıl sadece olağan niceliklere göre değil aynı zamanda kendileri de infinitezimal olan başka niceliklere göre bile infinitezimal olabilir? Leibnitz burada yine ‘kıyaslanamazlar’ mefhumuna başvurmaktadır. Fakat bu bizi tatmin edemeyecek kadar müphemdir ve ardışık türev alma imkânını yeterli bir biçimde açıklayamaz. Mekanikten bir örnek ya da kıyasla bu imkân şüphesiz çok iyi anlaşılabilir: “Ağırlık Conatus’u (kuvveti) veya merkezkaç eğilimi sürat için ne ise ddx de dx için o dur.”130 Leibnitz bu düşüncesini Hollandalı matematikçi Nieuwentijt’in itirazlarına verdiği cevapta geliştirmiştir. Nieuwentijt, birinci dereceden diferansiyelleri (infinitezimal farkları) kabul ederken daha üst dereceden olanların sadece bir hiç (null) olduklarını iddia ediyordu. Olağan nicelik, ilk infinitezimal veya diferansiyel nicelik ve ikinci infinitezimal ya da diferenzo-diferansiyel nicelik birbirlerine göre hareket (yer değiştirme –Çev.–), sürat ve hareketin bir elemanı olan istem (solicitation)131 dirler. Hareket bir çizgiyi tanımlar, sürat çizginin bir elemanını ve istem elemanın bir elemanını.132 130 Huygens’e mektup, 1-11 Ekim 1693. ‘İstem’ (‘solicitation’) ile kast edilen, yaygın olarak ‘ivme’ terimi ile belirtilen şeydir. 132 Responsio ad nonnullas difficultates a Dn. Bernardo Nieuwentijt circa Methodum differentialem seu infinitesimalem notas (Diferansiyel veya İnfinitezimal Metot Hakkında Bay Bernard Nieuwentijt Tarafından Ortaya Konan Bazı Zorluklara Cevaplar) Leipzig’in Acta Eruditorum’unda, 1695. 131 113 Fakat burada biz, bir savunmaya değil açıkçası yalnız basit bir ‘illüstrasyon’ şeklinde hizmet eden özel bir örneğe veya duruma sahibiz. Bu örneğin zımnen içerdiği delili daha genel bir seviyeden göstermek gerekir. Gerçekten de, birinci dereceden differensiyeller artışları – ya da daha doğrusu değişimleri, çünkü duruma göre artış yönünde olabilecekleri gibi kolayca azalış yönünde de olabilirler – gösterirler. Bu artış ve azalışlar her an olağan nicelikler tarafından ulaşılır; belli bir harekette kaplanan uzaya (alınan yola –Çev.–) nispetle sürat gibi. Aynı şekilde, belli bir seviyeden diferansiyeller bir önceki seviyenin diferansiyellerinin anlık değişimlerini gösterirler. Bu değişimler dönüşte, belli bir aralıkta var olan büyüklükler olarak alınır; sürate nispetle ivme gibi. Dolayısıyla infinitezimal niceliklerin farklı seviyeleri arasındaki ayrım gerçekte kıyaslanamaz büyüklükler düşüncesinden çok; değişimin farklı dereceleri düşüncesine dayanmaktadır. Bunu, tam olarak anlaşılması gerektiği şekle sokabilmek için şu açıklamayı yapalım: daha önce sabit ve değişken nicelikler için yapılan ayrımın benzeri, değişkenlerin kendisi içinde de yapılabilir. Bu şartlarda Carnot’ın tanımına yeniden dönersek bir niceliğin diğerlerine oranla infinitezimal olduğunu söyleyebilmek için o niceliğin ‘kıyaslandığı nicelikleri değişmeye zorlamaksızın’ birinin istediği kadar küçük hâle gelebiliyor olması gerekir. Gerçekten bu, mutlak anlamda sabit olmayan ya da hatta esasen değişken olan bir niceliğin – derecesi ne olursa olsun infinitezimal niceliklerde olduğu gibi – sanki sabit ve tespit edilmiş bir nicelik gibi dikkate alınabilmesinden, yani belli başka değişkenlere göre sabit nicelik rolü oynayabilmesindendir. Ancak bu şartlar altında bir değişken nicelik bir başka değişkenin limiti olarak görülebilir. Limit terimi tanımı gereği, en azından belli bir açıdan, yani limiti olduğu şeye nazaran, bir sabit olarak varsayılır. Bir nicelik yalnız kendi kendine veya 114 mutlak sabit niceliklerle aynı görülen şeylere göre değişken olmanın aksine aynı zamanda izafi olarak sabit görülen diğer değişkenlere göre de değişken olur. Bu bağlamda az önce yaptığımız gibi değişimin derecelerinden söz etmek yerine, nihayetinde tamamen aynı şey olan, sadece bir parça başka bir bakış açısından düşünülen, belirsizliğin derecelerinden de söz edilebilir. Tabiatı gereği tespit edilmemiş bir nicelik dahi, aynı anda diğer niceliklerin belirsizliğini sürdürmesine izin veren belli bazı varsayımlar yoluyla, izafi bir anlamda tespit edilebilir. Dolayısıyla bu ikinci nicelikler öncekilerden tabiri caizse daha fazla ya da daha büyük derecede belirsiz olacaklardır. Bu yüzden, bunlar diğerleriyle, belirsiz niceliklerle gerçekten tespit edilmiş nicelikler arasındaki ilişkiye benzer bir ilişki kuracaklardır. Ne kadar özet olursa olsun bu konu hakkında kendimizi buradaki açıklamalarla sınırlayacağız. İnanıyoruz ki bu mülahaza, çeşitli ve ardışık diferansiyellerin mümkün olduğuna yeterli bir açıklamadır. Fakat bu sorunla ilgili olarak bize, farklı belirsizlik dereceleri düşüncesinde gerçekten hiçbir mantıksal zorluk olmadığını daha açık bir şekilde göstermek kalıyor. Hem infinitezimal niceliklerin ve diferansiyellerin ait olduğu, küçülen nicelikler düzeninde, hem de ardışık türev almanın simetriği olan farklı seviyeden integrallerin ait olduğu büyüyen nicelikler düzeninde göstermek. Daha önce açıkladığımız gibi bu, belirsizce artan ile belirsizce azalan arasındaki karşılıklı ilişkiyle uyum içindedir. Tabii ki buradaki bütün mesele, belirsizliğin dereceleri meselesidir, yoksa Jean Bernoulli’nin anladığı şekliyle ‘sonsuzluğun dereceleri’ meselesi değil. Leibnitz, Bernoulli’nin bu düşüncesini bu anlamda tümüyle ne kabul etmeye ne de ret etmeye cüret edememiştir. Ve burada biz yine, sonsuzluk diye adlandırılan şey yerine belirsizlik kavramını koyduğumuzda tüm zorlukların anında çözüleceği bir başka durumla karşı karşıyayız. 115 20. Belirsizliğin Farklı Seviyeleri Birbirlerinden farklı olan, hatta tamamen farklı seviyelere ait olan ‘sonsuz büyük’ veya ‘sonsuz küçük’ nicelikleri düşündüklerinde matematikçilerin karşılaştıkları mantıksal zorluklar ve hatta çelişkiler yalnızca belirsiz olana sonsuz itibarı göstermelerinden kaynaklanmaktadır. Genellikle onların bu zorluklardan pek endişe duymadıkları doğrudur. Ancak bu zorluklar ve çelişkiler mevcuttur ve sanki matematik bilimi mantıksızlıklarla (illogicalities) ya da ‘mantığa aykırılıklarla’ (‘para-logicalities’) doluymuş gibi bir görünüme sebep olduklarından gayet ciddidir. Böyle bir bilim, kelimelerle aldatılmalarına izin vermeyen kimselerin gözünde tüm gerçek değer ve önemini yitirir. Sonsuz büyüklüklerin varlığına izin verenlerin, bu mefhumu geometrik büyüklüklere uyguladıklarında oluşturdukları çelişkilerin bazılarına şu örnekler verilebilir: Bir düz çizgi sonsuz kabul edildiğinde onun sonsuzluğunun düzlem gibi bir yüzeyin sonsuzluğundan daha az, hatta sonsuz kez daha az olması gerekir. Çünkü o düzlemin içinde hem bu düz çizgi hem de sonsuz sayıda başka çizgiler vardır. Düzlemin sonsuzluğu da üç boyutlu uzayın sonsuzluğundan sonsuz kez az olacaktır. Bazıları aynı bazıları farklı derecelere kadar sonsuz oldukları varsayılan tüm bu sözde sonsuzlukların birlikte var olma imkânı, metafizik seviyeye daha uygun başka hiçbir düşünceye girmeden, onların hiçbirinin gerçekten sonsuz olmadığını ispatlamaya yeter. Bu hakikatlerin önemini gerçekten yeterince belirtemeyeceğimizden bir kez daha söyleyelim: eğer birisi ayrı ayrı sonsuzlukların çokluğunu farz ederse, bunlardan her birinin diğeri tarafından sınırlandırılacağı, bunun, birinin diğerini dışladığı anlamına geleceği açıktır. Ayrıca doğruyu söylemek gerekirse, ‘sonsuzlukların sonsuzluğu’ sözlü birikiminin bir çeşit ‘akıl sarhoşluğu’ oluşturduğu ‘sonsuzcular’ bu çelişkiler karşısında geriye çekilmezler. Çünkü, daha önce söylendiği gibi, başka başka sonsuz sayıların var olduğunu iddia 116 etme hususunda ve dolayısıyla bir sonsuzun diğerinden büyük ya da küçük olabileceği hususunda herhangi bir zorluk görmezler. Ancak bu sözlerin absürtlüğü gerçekten çok açıktır. Bunların çağdaş matematikte ortak olarak kullanılıyor olması hiçbir şeyi değiştirmez. Fakat bu durum günümüzde en basit mantık hissinin hangi noktalara kadar kaybedildiğini gösterir. Önceki kadar bariz bir başka çelişki de kapalı, dolayısıyla belli ki ve görünüyor ki sonlu olan bir yüzeyde sonsuz sayıda çizgi olduğunun söylenmesidir; örneğin bir kürenin sonsuz sayıda çember içermesi gibi. Leibnitz’in yaptığı şekilde birisi sürekli bir kümenin elemanlarının ‘hakiki sonsuzluğunu’ iddia ettiğinde olduğu gibi burada da içeriği sonsuz olan sonlu bir kabımız vardır. Oysa, farklı seviyelerde belirsiz büyüklüklerin aynı anda var olmalarına izin vermenin doğurduğu herhangi bir çelişki yoktur. Böylece, tek boyutta belirsiz olan bir çizginin bu bağlamda birinci dereceden basit bir belirsizlik oluşturduğu düşünülebilir. Belirsiz sayıda belirsiz çizgiler kapsayan, iki boyutta belirsiz olan bir yüzey ise ikinci dereceden bir belirsizlik oluşturur. Benzer şekilde belirsiz sayıda belirsiz yüzeyleri kapsayan üç boyutlu uzay, üçüncü dereceden bir belirsizliktir. Tıpkı bir çizginin noktalardan oluşmadığı, ancak onların belirsiz bir çokluğunu kapsadığı gibi, burada yüzeyin belirsiz sayıda çizgiyi kapsadığını söylediğimizi ama belirsiz sayıda çizgiden oluştuğunu söylemediğimizi bir kez daha hatırlatmak oldukça önemlidir. Yüzeylerine nazaran bir hacim de böyledir. Üç boyutlu uzayın kendisi belirsiz bir hacimden başka bir şey değildir. Ayrıca bu temelde, ‘bölünemezler’ ve ‘sürekliliğin oluşumu’ konularında yukarıda söylediğimiz şeydir. İşte tamamen bu çeşit sorunların karmaşıklığı yüzünden kesin bir dile ihtiyaç vardır. Bu bağlamda şunu da eklememize izin verilsin: eğer biri belli bir bakış açısından meşru bir şekilde çizginin noktadan, yüzeyin çizgiden, hacmin yüzeyden üretildiğini düşünürse, bu esasen nokta, çizgi veya yüzeyin, ardışık pozisyonların belirsizliğini kapsayan sürekli bir hareket yoluyla 117 yer değiştirdiğini farz etmek şeklinde olur. Ve bu, söz konusu pozisyonların her birinin bir diğerinden izole edilmiş olarak düşünülmesinden tamamen farklı bir şeydir. Yani, noktaları, çizgileri ve yüzeyleri sabit ve tespit edilmiş olarak ele almaktan ve bunların sırasıyla çizginin, yüzeyin ve hacmin parçası veya elemanı olduklarını düşünmekten tamamen farklı. Hakeza, tersinden söylenirse, bir yüzey iki hacmin arakesiti, bir çizgi iki yüzeyin arakesiti ve bir nokta iki çizginin kesişimi biçiminde düşünüldüğünde, bu arakesitler, tabii ki, hacimlerin, yüzeylerin ve çizgilerin ortak parçaları olarak asla tasavvur edilmemelidir. Onlar Leibnitz’in dediği gibi sadece diğerlerinin limiti yahut ekstremiteleridir. Az önce söylediğimiz şeye göre her bir boyut uzaya eklenen yeni bir belirsizliktir, yani uzamın belirsiz artışına konu olan mekansal sürekliliğe eklenen yeni bir belirsizlik. Böylece, belirsizliğin ardışık kuvvetleri şeklinde adlandırılan şey elde edilir.133 Belli bir seviyedeki yahut kuvvetteki belirsiz niceliğin, daha alt seviyeki veya daha düşük kuvvetteki belirsiz niceliklerden belirsiz çoklukta içerdiği söylenebilir. Tüm bunlarda mesele sadece belirsizlik meselesi olduğu müddetçe, bu ve benzeri tüm mülahazalar mükemmel bir şekilde kabul edilebilir olarak kalırlar. Çünkü farklı ve çok sayıda belirsiz nicelik arasında mantıksal bir tutarsızlık yoktur. Belirsizliklerine rağmen onlar esasında yine de sonlu bir tabiata sahiptirler. Dolayısıyla diğer tüm özel ve tespit edilmiş imkânlar gibi onlar da toplam İmkânın içinde kusursuzca birlikte var olabilirler. Âlemşümul Küll’e özdeş olduğundan tek gerçek sonsuzluk bu toplam İmkândır.134 Bu mülahazalar belirsiz ile sonsuz birbirine karıştırıldığında imkânsız ve absürt bir hâl alır ve bu yüzden, ‘sonsuz çokluk’ mefhumunda olduğu gibi bir kez daha, tespit edilmiş sonsuzluk 133 134 Bakınız The Symbolism of the Cross, bölüm 12. Bakınız The Multiple States of the Being, bölüm 1. 118 ifadesindeki içkin çelişkinin gizlendiği, kendi içinde çelişkili olmamasına rağmen neredeyse tanınmaz hâle getirerek bir başka fikre dönüştüren bir duruma düşmüş oluruz. Az önce büyüme yönünde alınan niceliklerle ilgili farklı belirsizlik derecelerinden bahsettik. Aynı mefhumu, küçülme yönünde uygulayarak farklı derecelerdeki infinitezimal nicelikler düşüncesini yukarıda zaten açıkladık. Bu infinitezimal nicelik imkânı, daha önce not ettiğimiz, belirsizce artan ve belirsizce azalan nicelikler arasındaki ilişkinin ışığı altında daha anlaşılır olmaktadır. Belirsiz niceliklerin çeşitli seviyeleri, olağan niceliklere göre olduğu gibi bir önceki seviyedekilere göre de daima belirsiz olacaklardır. Tersinden söylersek, çeşitli seviyelerdeki infinitezimal niceliklerden her bir seviyeyi sadece olağan niceliklere göre değil kendinden bir önceki seviyenin infinitezimal niceliklerine göre de infinitezimal olarak görmek meşrudur.135 Belirsiz niceliklerle olağan nicelikler arasında mutlak bir heterojenlik yoktur. Ve yine infinitezimal niceliklerle olağan nicelikler arasında da mutlak bir heterojenlik yoktur. Kısacası bu, bir tür farkı meselesi değil, sadece bir 135 ‘İnfinitezimal’ adını, kolaylık olsun diye sadece ‘belirsiz’ şeklinde isimlendirebileceğimiz belirsizce artan niceliklerden ayırmak için, genel kullanıma uygun olarak, belirsizce azalan nicelikler için kullandık. Sadece ortak kullanıma aykırı bir biçimde değil aynı zamanda kelimenin açık kökenine de aykırı olarak Carnot’ın her ikisine de ‘infinitezimal’ demesi gerçekten ilginçtir. Biz ‘infinitezimal’ kelimesini burada verilen anlamında kullanmaya devam ederken, bu terimin ciddi bir kusurunun olduğunu, yani ‘sonsuz’ kelimesinden türetildiğini işaret etmekten geri duramayız. Terim gerçekten ifade ettiği anlamı güç bela vermektedir. Bu terimin sorunsuz bir şekilde kullanılabilmesi için tabiri caizse kökeninin unutulması ya da sadece Leibnitz’in ‘sağlam inşa edilmiş kurgular’ kavramından neşet eden ‘tarihsel’ bir karakteri olduğunun düşünülmesi gerekir. (Guenon’un bahsettiği infinitezimal teriminin kusurunun indefinitezimal terimiyle giderilebileceğini düşünüyoruz –Çev.–). 119 derece farkı meselesidir. Çünkü gerçekte derecesi ne olursa olsun belirsizlik düşüncesi bizi sonlu olanın dışına asla çıkarmaz. Yine söylüyoruz, niceliğin değişik seviyeleri arasında görülen, esasında tamamen anlaşılmaz olan radikal farklılıklar, yanlış sonsuzluk kavramı tarafından getirilmektedir. Bu farklılıklar ber taraf edilerek, Leibnitz’in değişkenler ile limitleri arasında kurmaya çalıştığından çok farklı bir tür süreklilik inşa edilmiş olur. O’nun inandığının aksine gerçekte değişken ve sabit nicelikler arasındaki fark tabiatlarından gelen bir farktır. Bu şartlar altında olağan niceliklere, en azından değişkenlerle meşgul olurken, belirsizce artan niceliklere göre infinitezimal muamelesi gösterilebilir. Çünkü, bir nicelik bir başkasına kıyasla birinin istediği kadar büyük hâle gelebiliyorsa, karşı bakış açısından ikincisi birincisine göre istenilen kadar küçük olabiliyor demektir. Bunun değişkenlerle ilgili bir şey olduğunu söyledik, zira infinitezimal nicelik her zaman asli bir değişken olarak düşünülmelidir. Bu kısıtlama onun doğasından gelir. Ayrıca, farklı belirsizlik seviyelerine ait nicelikler kaçınılmaz surette birbirlerine göre değişkendir ve bu izafi ve ters (reciprocal) değişkenlik özelliği mükemmel bir biçimde simetriktir. Çünkü az önce söylenene uyum içinde, bir niceliği diğerine göre belirsizce artar şekilde ya da ötekini berikine göre belirsizce azalır şekilde tasavvur etmek aynı anlama gelir. Bu izafi değişkenlik olmaksızın ne belirsiz artış ne de belirsiz azalış olabilir, sadece bu iki nicelik arasında belli ve tespit edilmiş oranlar olabilir. Aynı şekilde, A ve B cisimlerine göre ne zaman bir pozisyon değişimi olsa, A cismi B’ye göre hareket etmektedir demek ile tersinden söyleyerek B cismi A’ya göre hareket etmektedir demek, en azından değişim sırf zatında düşünüldüğünde, aynı anlama gelir. Bu bağlamda izafi hareket mefhumu az önce sözünü ettiğimiz izafi değişkenlik kadar simetriktir. Bunu tüm doğal fenomenleri açıklayan fiziksel bir teori olarak 120 Kartezyen mekanizminin yetersizliğini göstermek için kullanan Leibnitz’e göre bu, neden yalnızca pozisyonların değişimi düşünüldüğünde hareket durumu ile hareketsizlik durumunun ayırt edilemeyeceğinin sebebidir. Bu ayrımın yapılabilmesi için kuvvet mefhumu gibi başka seviyeden bir şeyin göz önüne alınması gerekir. Kuvvet bu değişikliklerin en yakın sebebidir ve tek başına bu cisme değil de şu cisme atfedilebilir. Çünkü kuvvet bir cisimde ve yalnız o cisimde bulunan değişimin gerçek sebebine imkân verir.136 136 Bakınız Leibnitz, Discours de Metaphysique, bölüm 18; Bakınız The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm 14. 121 21. Belirsiz Analitik Biçimde Tüketilemez Az önce, belirsizce artan ve belirsizce azalan şeklinde iki durumda ele aldığımız belli bir seviyeden bir nicelik, her biri tek başına toplama göre infinitezimal bir nicelik olan, belirsiz sayıda elementin toplamı şeklinde düşünülebilir. İnfinitezimal niceliklerden bahsedebilmek için bunların ayrıca, toplamlarına göre tespit edilmemiş nicelikler olması gerekir. Gerçekten ne zaman toplam, elemanlarına göre belirsiz olsa durum budur. Belirsizliğin kendi öz karakteri yüzünden böyle olur zira o, daha önce söylediğimiz gibi, açıkça ‘oluş’ (‘becoming’) fikrini ve dolayısıyla belli bir belirsizlik durumunu ima eder. Elbette bu belirsizliğin sadece izafi bir belirsizlik olduğu ve belli bir bakış açısına göre var olduğu ya da onun belli bir şeye göre belirsiz olduğu anlaşılmaktadır. Örneğin, olağan bir nicelik olan ve bu yüzden bizatihi belirsiz olmayan toplamın sadece kendi infinitezimal elemanlarına göre belirsiz olması gibi. Herhangi bir şekilde aksi olsaydı ve bu belirsizlik kavramı öne sürülmüş olmasaydı, dünyaya nispeten kum tanesi ve göklere nispeten dünya kaba algısıyla yorumlanan ‘kıyaslanamazlar’ kavramına mecbur kalınırdı. Söz konusu toplam, aritmetik tarzdaki toplamdan hiçbir surette etkilenmez, çünkü öyle olması için ardışık toplama işlemlerinden oluşan belirsiz bir serinin bitirilmesi gerekir ki bu bir çelişkidir. Toplamın sıradan ve tespit edilmiş bir nicelik olduğu durumda, daha önce integral hesabın tanımını ortaya koyarken söylediğimiz gibi, elemanların sayısı ya da daha doğrusu çokluğu belirsizce artarken büyüklükleri belirsizce azalır ve bu anlamda bu elemanların belirsizlikleri gerçekten bitip tüketilemez. Toplam, çok sayıda ayrık ve ardışık işlemin bir sonucu olma biçimindeki yoldan etkilenmez ama diğer yandan integral alma denilen tek bir işlemin 122 bir defade çıkardığı sonuç olarak anlaşılabilir.137 Burada sahip olduğumuz şey türev alma işleminin tersidir, çünkü kendi infinitezimal elemanlarından başlayarak toplamı yeniden oluşturur. Türev alma ise tersine, verilen ifadedeki niceliğin anlık değişimi için bir kural formüle ederek, toplamdan elemanlara doğru gider. Dolayısıyla ne zaman bir belirsizlik söz konusu olsa, aritmetik toplama mefhumu artık uygulanamaz olur ve infinitezimal elemanların sayılmasının imkânsızlığını telafi etmek için integral alma yöntemine başvurmak zorunda kalırız. Bu imkânsızlık bizim tarafımızdaki bir kusurdan değil, elbette bu elemanların tabiatlarından kaynaklanmaktadır. Sırası gelmişken söyleyelim: bu, geometrik büyüklüklere uygulanması sırasında görüldüğü üzere (bu uygulama sonuçta infinitezimal hesabın gerçek raison d’etre’si [var olma nedeni] dir), daha önce ‘ölçme birimleri’ konusunda söylediğimiz, büyüklüğün belli parçalara bölünmesine dayanan olağan ölçme metodundan tamamen farklı bir ölçme metodudur. Özetle söylersek, ikincisi daima toplamı, birimle138 aynı büyüklükteki muhtelif parçalara bölürek sürekli olanın süreksiz olanla değiştirilmesi şeklinde olur. Böylece elde edilen sayı, sürekli niceliklerin ölçülmesinde doğrudan uygulanmış olur. Ancak bu uygulama, ölçülen büyüklüğün sürekli tabiatını, ayrık tabiatlı sayıda fiilen asimile etmeden mümkün 137 Yürürlükte olan ‘integral’ ve ‘integral alma’ terimleri Leibnitz’in değil Jean Bernoulli’nin terimleridir. Bunların yerine Leibnitz, bu kullanımın söz konusu işlemle aritmetik toplam arasında bir benzerlik ima eder gibi bir sakıncayla, sadece ‘toplam’ ve ‘toplama’ kelimelerini kullanmıştır. Bu iki işlem arasındaki temel farkın Leibnitz’in dikkatinden kaçamayacağı çok bariz olduğundan, sadece ima eder gibi diyoruz. 138 Veya birimin bir kesriyle. Ama bu pek önemli değildir, çünkü bölüm ilk birimle tam olarak alınamadığında bu ikinci daha küçük birim birincisinin yerine geçer. Kesin ya da daha kesin bir sonuç elde etmek için bu kesir kullanılır. 123 olmaz. Öteki metot, aksine, sürekliliğin gerçek karakterini mümkün olduğu kadar gözetir. Sabit ve tespit edilmiş ölçümü, esasen değişken olan ve bu sayede atanabilen herhangi bir değerden daha küçük hâle gelebilen elemanların bir toplamı olarak görür. Dolayısıyla bu metot, mekansal niceliğin, sözü edilen elemanların limitleri arasında birinin istediği kadar küçülebilmesine izin verir. İşte bu yüzden o, her şeye rağmen değiştirilemeyen sayının tabiatını hesaba kattığı için, sürekli değişimin olabilecek en az kusurlu temsilidir. Bu gözlem, başlangıçta yaptığımız gibi, hangi anlamda belirsizin limitlerine herhangi bir analitik yöntemle ulaşılamayacağını veya başka bir deyişle, belirsizin mutlak anlamda ve her yönden tüketilemez olmasa da en azından analitik olarak tüketilemez olduğunu anlamamıza imkân verecektir. Bu bağlamda doğal olarak bir bütünü oluşturmak için o bütünün elemanlarını ayrı ayrı ve ardışık bir şekilde ele alan, aritmetik toplamı oluşturan yöntem gibi analitik yöntemleri düşünmemiz gerekir. İşte bu yöntem tam da bu temel anlamda integral almadan farklıdır. Bizim bakış açımızdan bu özellikle ilginçtir, çünkü burada analiz ile sentez arasındaki gerçek ilişki çok açık bir şekilde görülür. Analizi, senteze bir hazırlık gibi ya da senteze yol açan bir şey gibi gören, o kadar ki orda durmaya niyeti olmasa dahi her şeye mutlaka analizle başlanması gerektiğini düşünen mevcut görüşün aksine gerçek şudur: senteze analiz yoluyla asla hakikaten ulaşılamaz. Kelimenin gerçek anlamında tüm sentezler tabiri caizse derhâl olan şeylerdir, kendinden önce herhangi bir analiz ile olan şeyler değil. Ve analizden tamamen bağımsız şeylerdir. Aritmetik toplamanın elemanlarıyla kıyaslanabilir elemanları olduğunun düşünülmesi hiçbir biçimde mümkün olmayan, bir defada alınan integraller gibi. Aritmetik toplam, belirsize ulaşmak ya da onu tüketmek için herhangi bir araç sağlamadığından, bu diğeri her alanda, tabiatı gereği analize direnen ve sadece sentez yoluyla bilinebilen şeylerden biri 124 olmalıdır.139 139 Şu anlaşılmalıdır ki burada ve gelecek bölümlerde ‘analiz’ ve ‘sentez’ terimlerini doğru ve orijinal anlamlarıyla kullanıyoruz. Bu anlamın, tamamen farklı ve hiç uygun olmayan bir şekilde hâlen kullanılan ‘matematiksel analiz’ algısından ayrıldığına dikkat edilmelidir. Matematiksel analiz düşüncesinde, integralin kendisi özündeki sentetik karaktere rağmen ‘infinitezimal analiz’ denen şeyin bir parçası olarak düşünülür. Bu yüzden bu son ifade yerine böyle karışıklıklara yol açmayan ‘infinitezimal hesap’ ve ‘infinitezimal metot’ ifadelerinden yararlanıyoruz. 125 22. İntegralin Sentetik Karakteri Az önce söylediğimiz gibi tam anlamıyla analitik bir karaktere sahip olan aritmetik toplamın oluşumunun aksine, integral alma özünde sentetik bir işlem olarak düşünülmelidir. O, toplamın hesaplanacak tüm elemanlarını, bir sürekliliğin parçalarının ‘ayırt edilemezliğini’ (‘indistinction’) koruyarak, aynı anda kucaklar. Çünkü sürekliliğin tabiatı gereği bu parçalar sabit ve tespit edilmiş şeyler olamaz. Ayrıca, ne zaman belirsiz bir serinin ayrık elemanlarının toplamı hesaplanmak istense bu ‘ayırt edilemezlik’in, biraz farklı bir nedenle de olsa, benzer şekilde korunması gerekir. Çünkü her bir elemanın büyüklüğü tespit edilmiş olsa bile, toplam eleman sayısı tespit edilmiş değildir. Hatta daha kesin bir şekilde diyebiliriz ki bu elemanların çokluğu tüm sayıları aşar. Bu çokluk belirsizce artmasına rağmen, bazı durumlarda serinin elemanlarının toplamı belli bir limite doğru gider. Bu tarz bir söylem ilk bakışta biraz garip gelse de, böyle bir ayrık serinin ‘dış değer bulma yoluyla’ (‘by extrapolation’) belirsiz, sürekli bir kümeninse ‘iç değer bulma yoluyla’ (‘by interpolation’) belirsiz olduğu söylenebilir. Bununla kast edilen şudur: ayrık serinin herhangi iki terimiyle sınırlanan belli bir bölümü alındığında bu bölüm hiçbir şekilde belirsiz olamaz, çünkü hem bir bütün olarak hem de terim terim tespit edilmiş demektir. Serinin belirsizliği, herhangi bir son terime ulaşmaksızın bu parçanın dışına uzanmasında yatar. Öte yandan, sürekli bir kümenin belirsizliği tam olarak onun içinde bulunur, çünkü elemanları tespit edilmiş değildir ve bir son parçası olmadığından sürekli olan her zaman bölünebilir. Bu anlamda bu iki durum birbirinin tersidir. Terimler tek tek ele alındığında belirsiz bir sayı serisinin toplamı asla tamamlanamaz, zira serinin biteceği bir son terim yoktur. Böyle bir toplam ancak belirsizliği kendi bütünlüğü içinde ele alan sentetik bir yöntemin, toplamı tek bir defada yakalamamıza izin vermesiyle mümkün olabilir. Bu yöntemde elemanlar ayrı ayrı 126 düşünülmez, çünkü belirsiz bir çokluk oluşturduklarından bu imkânsızdır. Benzer şekilde belirsiz bir dizi bize, tam sayılar dizisinde olduğu gibi, oluşma kuralıyla örtülü olarak verildiğinde, tamamen sentetik bir biçimde verildiğini ve başka türlü verilemeyeceği söyleyebiliriz. Gerçekten bunu analitik olarak yapmak için her terimi tek tek yerleştirmek gerekir ki bu mümkün değildir. Dolayısıyla, ister bir sürekli küme isterse bir ayrık dizi olsun ne zaman bir belirsizlik verilirse, limite ulaşabilmek için daima sentetik bir işleme ihtiyaç olacaktır. Derece derece ilerleme burada işimize yaramaz ve bizi amacımıza asla ulaştırmaz. Çünkü böyle bir ilerleme son terime ancak şu iki şartın sağlanması durumunda ulaşabilir: hem bu son terim hem de ona ulaşmak için kapsanması gereken derece sayısı tespit edilmiş olmalıdır. İşte bu yüzden, hiçbir şekilde belirsizin limitine ulaşılamaz demiyoruz, zira bu, limitin olduğu durumlar için doğru olmaz, fakat sadece limite analitik olarak ulaşılamaz diyoruz. Belirsizlik derecelerle tüketilemez ama aşkın bir işlemle, kendi bütünlüğü içinde kapsanabilir. Matematik alanında integral alma işlemi bunun klasik bir örneğidir. Bu derece derece ilerleme, ayrık seri durumunda doğrudan, sürekli değişim durumunda sayının ayrık tabiatının izin verdiği ölçüde, niceliğin değişimine karşılık gelmektedir. Öte yandan sentetik işlemler, yukarıda söylediğimiz şekilde ‘limite geçişin’ hakikaten gerçekleşebilmesi için bizi aniden değişim alanının dışına ve ötesine götürmektedir. Başka bir deyişle, analiz aslında sadece değişimleri süresince değişkenlerle, sentez ise yalnız bunların limitlerine ulaşmakla alakalıdır. Değişkenin limiti kesin ve gerçekten değerli olan tek sonuçtur, çünkü bir sonuçtan bahsedebilmek için özellikle sabit ve tespit edilmiş niceliklerle ilgili bir şeylere ulaşmak gerekir. Ayrıca, imkânın belirsizce gelişmesi fikri niceliğin dışındaki şeylere de uygulanabileceğinden, sentetik işlemlerin benzerleri nicelik 127 alanının dışında da bulunabilir. Yani, ister kozmozun tümüne göre isterse belli bir varlığa göre düşünülsün, ne olursa olsun herhangi bir durumda zuhur etmiş bir varlık ve bu duruma konu olan şartlar için, ister makrokozmik, isterse mikrokozmik bakış açısından benzer sentetik işlemler bulunabilir.140 Bu durumda ‘limite geçiş’, zuhurun sonuçlarının prensipler seviyesinde (principle order) kesin bir şekilde sabitlenmesine denk gelmektedir. Sonuçta varlık, sadece bu şekilde, tüm zuhurun tabiatında zorunlu olarak var olan değişim ve ‘oluş’tan (‘becoming’) kurtulabilir. Böylece, bu saptamanın hiçbir şekilde zuhurun gelişiminin bir ‘son terimi’ olmadığı, fakat esasında bu gelişimin dışında ve ötesinde olduğu görülür. Çünkü o gerçekliğin başka bir seviyesine, zuhuru ve oluşu aşan bir seviyeye aittir. Bu anlamda, zuhurat seviyesi (manifested order) ile prensipler seviyesi (principle order) arasındaki fark, benzerlik yoluyla, değişkenler alanı ile sabitler alanı arasında kurduğumuz farka denk gelir. Sabit nicelikler söz konusu olduğunda herhangi bir işlemle değişiklik yapılamayacağı açıktır. Dolayısıyla bu alanda ‘limite geçiş’ bir şey üretmez. Bize sadece onun bilgisini verir. Benzer şekilde, değişmez (immutable) olan prensipler seviyesine ulaşmak, daha önce var olmayan bir şeyi ‘etkilemek’ değil, olanın kalıcı ve mutlak anlamda farkına varmak demektir. Bu çalışmanın konusu gereği, özellikle nicelik alanıyla ilgili şeyleri düşünmemiz gerekiyordu. Daha önce gördüğümüz gibi nicelik alanında imkânların gelişimi, gerek belirsizce büyüme gerekse belirsizce küçülme yönünde olsun, değişim düşüncesiyle tercüme edildi. Ancak, burada söylediğimiz bu birkaç söz, uygun bir benzetme yoluyla, bunların görünürde sahip olduğu anlamlardan kıyaslanamaz derecede daha önemli anlamlar alabileceklerini göstermektedir. Çünkü integral alma ve onunla aynı cins işlemler hakikaten, metafizik ‘gerçekleşme’nin (‘realization’) sembolleri gibi görünmektedir. 140 İntegral alma yöntemini andıran uygulamalar için bakınız The Symbolism of the Cross, bölüm 18 ve 20. 128 Bu tip düşüncelere imkân veren geleneksel bilimle, modernlerin profan bilimi arasındaki büyük fark bu örnekte görülmektedir. Bu bağlamda, analitik bilgi ile sentetik bilginin farklılığıyla ilgili bir başka yorum yapabiliriz. Gerçekten profan bilim özü itibariyle yalnızca analitiktir. Prensipleri asla dikkate almaz. Kendisini fenomenlerin ayrıntısı içinde kaybeder. Bu fenomenlerin belirsizliği ve belirsizce değişen çokluğu tüketilemez olduğundan, bilgi anlamında gerçek ve kesin bir sonuca asla ulaşamaz. Sadece fenomenlerin kendilerine yani dış görünüşlere bağlı kalır. Leibnitz’in bu yüzden Kartezyen mekanizmini ayıplaması gibi şeylerin kalplerine ulaşmaya kabiliyetli değildir. Ayrıca bu, modern ‘agnostisizm’in (‘bilinemezcilik’) nedenlerinden biridir. Çünkü sırf analitik yolla ilerleyen kimseler, ancak sentetik yolla bilinebilecek şeyleri ‘bilinemez’ olarak ilan ederler, zira onlar analitik yolla gerçekten bilinemezler. Tıpkı, belirsize analitik bakış açısından bakmayı sürdürerek onun belirsizliğinin mutlak anlamda tüketilemez olduğuna inanan kimse gibi. Oysa gerçekte belirsizlik sadece analitik yolla tüketilemez. Sürekli bir kümenin veya belirsiz bir serinin elemanları tek tek gözler önüne serilemeyeceği için sentetik bilgi, ‘küresel’ bilgi olarak da isimlendirilebilir. Ancak, nihayetinde gerçekten önemli olan bu bilgi olmasına rağmen – prensipte her şey onda içerildiğinden – biri her zaman ondan istediği kadar aşağıya, detaya inerek özel şeyler düşünebilir. Örneğin, oluşum yasasıyla bir belirsiz seri sentetik olarak verildiğinde serinin herhangi bir terimi, istendiğinde hesaplanır. Oysa, eğer başlama noktası olarak bu özel şeyler alınırsa, bütün bu belirsiz ayrıntılar içinde insan asla prensipler seviyesine yükselemez. Başta söylediğimiz gibi, nasıl sentez analizin tersi ise, geleneksel bilimin metodu ve bakış açısı da işte bu anlamda profan bilimin tersidir. Burada yaptığımız şey aslında şu apaçık hakikatin bir uygulamasından başka bir şey değildir: ‘daha küçük’ (‘lesser’) olan ‘daha büyük’ (‘greater’) olandan neşet edebilir ama ‘daha büyük’ olan ‘daha küçük’ olandan asla doğamaz. Oysa modern bilimin 129 mekanik ve materyalist kavramlarla ve sırf niceliksel bakış açısıyla yaptığını iddia ettiği şey tam da budur. Ne var ki bu bilim işte bu yüzden gerçekte hiçbir şeyin doğru açıklamasını verme yeteneğine sahip değildir. 130 23. Elea’lı Zeno’nun Argümanları Buraya kadar söylediklerimiz, Elea’lı Zeno’nun hareket imkânına karşı dile getirdiği meşhur argümanlardaki tüm problemlerin çözümü için, ya da en azından, bu argümanların genellikle sunuluş biçiminde problem gibi gözüken şeylerin çözümü için zımnen bir cevap içermektedir. Aslında bunun o argümanların gerçek değeri olup olmadığından pekâlâ şüphe edilebilir. Zeno’nun geçekten hareketi reddetmiş olması çok uzak bir ihtimaldir. Daha muhtemel olan O’nun sadece hareket düşüncesiyle, atomcuların kabul ettiği, şeylerin doğasında var olan indirgenemez (irreducible) çokluk varsayımı arasındaki tutarsızlığı göstermek istemesidir. Dolayısıyla, bu argümanlar aslında söz konusu çokluğa karşı yöneltilmiş argümanlardır. Her tür çokluğa karşı olduğunu söylemiyoruz, çünkü her değişim gibi hareket de zorunlu olarak çokluğu gerektirdiğinden harekette çokluk mevcuttur. Fakat, geçici ve anlık değişim karakteriyle hareket, kendi kendine yeten bir şey değildir ve eğer o Aristo’nun ‘hareketsiz hareket ettirici’si gibi kendisini aşan üst bir prensibe bağlanmazsa yalnızca bir yanılsama olur. Dolayısıyla çokluk, sayı dizisinin oluşumunda matematiksel olarak yansıtıldığı gibi, sadece kendisine indirgenirse ve birlikten getirilmezse gerçekten var olamaz. Üstelik indirgenemez çokluk varsayımı, kaçınılmaz olarak şeylerin elemanları arasındaki tüm gerçek ilişkileri, dolayısıyla bu ilişkilerin sadece belirli bir durumu veya özel bir formu olan tüm sürekliliği de dışlar. Yukarıda daha önce söylediğimiz gibi, atomculuk zorunlu olarak her şeyin ayrık (süreksiz) olduğunu ima eder. Gerçekten de sonuçta hareket bu süreksizlikle bağdaşmaz ve aslında Zeno’nun argümanlarının gösterdiği şey işte budur. Örneğin şu argümanı ele alalım: hareket hâlindeki bir nesne bir konumdan bir diğerine geçemez, çünkü bu iki konum arasında daima 131 sonsuz sayıda başka konum vardır. Hareket esnasında ardışık olarak birinden diğerine geçilen konumlar ne kadar yakın olursa olsun ve bu geçişleri tamamlamak için geçen süre ne kadar çok olursa olsun bu sonsuzluk asla tüketilemez. Elbette genellikle söylendiği gibi bu bir sonsuzluk meselesi değildir, çünkü öyle olsa bunun gerçek bir anlamı olmazdı. Fakat, alınan her bir aralık için hareket eden nesnenin belirsiz sayıda konumu olacaktır ve bu konumlar ayrık bir dizinin terimlerinin tek tek ele alınması gibi analitik bir biçimde, her konum tek tek işgal edilerek tüketilemez. Hatalı olan şey hareketin işte bu şekilde tasavvur edilmesidir, yani kısacası, cisimlerin atomlardan oluşması gibi, süreklinin noktalardan veya nihayi, bölünemez elemanlardan oluştuğunun düşünülmesidir. Bu gerçekte hiçbir sürekliliğin olmaması demektir, çünkü ister nokta ister atom olsun bu son elemanlar ancak süreksiz (ayrık) olabilirler. Ayrıca süreklilik olmaksızın hareketin olamayacağı doğrudur ve argümanın ispatladığı şey de işte budur. Aynı durum, uçmakta olan ama yine de hareketsiz kalan ok argümanı için de geçerlidir. Çünkü her bir an ancak bir konum görünür. Her konum kendi içinde sabit ve tespit edilmiş olduğundan ardışık konumlar ayrık bir seri oluşturur. Sonra şunu görmek gerekir, hareketli bir nesne sabit bir konumu işgal ediyor gibi düşünülemez. Tam aksine hareket yeterince hızlı olduğunda nesne ayırt edilmiş bir cisim şeklinde görünmez, sadece kendisinin sürekli yerdeğiştirmesinin yolu görünür. Dolayısıyla alevli bir kor parçası hızlı bir şekilde döndürülürken korun kendi şekli artık görünmez olur, onun yerine ateşten bir çember görünür. Ayrıca bunun, fizyologların yaptığı gibi ister retinadaki etkinin devamı şeklinde, isterseniz buna benzer başka bir şekilde açıklanmasının pek bir önemi yoktur. Çünkü bu durumların hepsinde hareketin sürekliliği doğrudan ve algılanır bir biçimde kavranır. Üstelik, birisi böyle argümanları formüle ederken ‘her bir an’ ifadesini kullandığında zamanın, her birine nesnenin tespit edilmiş bir konumunun denk geleceği, bölünemez anlardan meydana geldiğini ima etmiş olur. Oysa gerçekte mekansal sürekliliğin noktalardan oluşmaması gibi 132 zamansal süreklilik de anlardan oluşmaz. Daha önce işaret ettiğimiz gibi hareket imkânı, hem zamansal hem de mekansal sürekliliğin birliğini ya da tercihen birleşimini farz eder. Verilen bir mesafenin katedilmesi için önce yarısının, sonra kalan kısmın yarısının, sonra kalanın yarısının ve böyle belirsizce devam eden141 mesafelerin katedilmesi gerektiği, öyle ki bu şekilde tasarlandığında gerçekten daima tüketilemez bir belirsizlikle karşılaşılacağı da tartışılmıştır. Buna hemen hemen denk bir başka argümansa şudur: Hareketli iki nesne arasında belli bir mesafe olduğunda, geride olan diğerinden daha hızlı bile olsa önde olana hiçbir zaman yetişemez, çünkü gerideki öndekinin ilk konumuna ulaştığında öndeki bir miktar daha ilerlemiş olacaktır, gerideki bu yeni konuma ulaştığında öndeki daha küçük de olsa yine bir miktar daha ilerlemiştir, bu belirsiz bir biçimde devam eder. Dolayısıyla iki nesne arasındaki mesafe daima küçülmesine rağmen hiçbir zaman tamamen ortadan kalkmaz. Öncekilerde olduğu gibi bu iki argümandaki temel problem, belli bir son noktaya ulaşmak için aradaki tüm derecelerin ayrı ayrı ve ardışık olarak katedilmesi gerektiğinin varsayılmasıdır. Burada şu iki sonuçtan birini çıkarmalıyız: ya sorguladığımız hareket gerçekten süreklidir, dolayısıyla bu şekilde parçalanamaz, çünkü süreklinin bir indirgenemez elemanı yoktur, ya da hareket yürüyen bir insanın adımlarında olduğu gibi,142 her birinin büyüklüğü belli, ardışık, ayrık aralıklardan oluşmaktadır veya en 141 Bu, Leibnitz’in yukarıda atıfta bulunduğumuz pasajlardan birinde örnek olarak kullandığı 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2 belirsiz serisinin ardışık terimlerine karşılık gelir. 142 Gerçekte diğer tüm hareketler gibi yürüyüşü oluşturan hareketler de süreklidir. Fakat yere dokunulan noktalar ayrık bir seri oluştururlar, öyle ki her bir adım belli bir aralığı işaretler. Böylece kat edilen mesafe bu aralıklara bölünebilir. Adımların arasında herhangi bir noktada yere basmak gerekmez. 133 azından öyle olduğu düşünülebilir. Ancak bu ikinci durumda düşünülen aralıklar açıkça arada mümkün olan tüm pozisyonları fiilen alınması gerekmeyen bir çok adım olarak göz ardı eder. Bununla beraber, sürekli bir değişimin gerçek hâli olan ilk durumda, tanım gereği sabit olan son noktaya, değişimin kendi içinde erişilemez. Onun fiilen erişilmesi niteliksel bir farklılaşmayı gerektirir ki bu gerçek bir süreksizlik oluşturur. Bu durumda o süreksizlik, hareket hâlinden durgun hâle geçişle temsil edilmektedir. Bu bizi, hâlâ doğru anlamının açıklanması gereken ‘limite geçiş’ sorununa götürür. 134 24. ‘Limite Geçiş’in Doğru Anlamı Yukarıda bahsettiğimiz ‘limite geçiş’ düşüncesi infinitezimal metodun pratik uygulamaları için değilse de bu metodun teorik savunması için gereklidir. Bizi burada ilgilendiren tek şey işte bu savunmadır, çünkü tam olarak nedenini bilmeden ‘deneysel’ tarzda başarılan hesapların basit pratik kuralları bizim bakış açımızdan hiçbir ilgi uyandırmaz. Şüphesiz, hesapları gerçekleştirmek ve sonuna kadar takip edebilmek için değişkenin limitine ulaşıp ulaşmadığının ya da bunu nasıl yaptığının sorulması gerekmez. Ama eğer o limite ulaşmamışsa böyle bir hesap yalnızca basit bir yaklaşım hesabı olma değeri taşır. Burada belirsiz bir yaklaşımla uğraştığımız doğrudur, zira infinitezimal niceliklerin tabiatı, tamamen ortadan kalkmaksızın, birinin istediği kadar küçük hâle gelebilmeye izin verir ve belirsiz küçülmeye rağmen bu infinitezimal nicelikler asla bir hiç olmazlar. Pratik bir konuşma diliyle bu hesabın, kusursuz kesinlikte bir hesaba denk olduğu söylenebilir. Ancak, bizi ilgilendirdiği için sorduğumuz bir şey olmamakla beraber, eğer değişkenler arzu edilen sonuçlara nispetle sabit ve tespit edilmiş nicelikler olarak düşünülürse belirsiz yaklaşımın kendisinin herhangi bir anlamı kalır mı? Bu şartlar altında sonuçlar söz konusu olduğunda şu alternatiflerin birinden kaçış mümkün değildir: ya limite ulaşılmamıştır, bu durumda infinitezimal hesap çeşitli yaklaşım hesapları arasında en ince olanıdır, ya da limite ulaşılmıştır ve dolayısıyla uğraştığımız metot gerçekten kesin bir yöntemdir. Fakat gördük ki limitler, tanımları gereği, değişkenler tarafıntan asla tam olarak ulaşılamazlar. O zaman nasıl oluyor da yine de onlara ulaşıldığını söyleyebiliyoruz? Bu, hesap sırasında değil tam olarak sonuçta gerçekleşir, çünkü limitin kendisi gibi yalnız sabit ve tespit edilmiş nicelikler orada arz-ı endam edebilir, değişkenler artık orada görünmezler. Dolayısıyla, değişken ve sabit nicelikler arasındaki tamamen niteliksel bu fark, daha önce söylediğimiz gibi, infinitezimal 135 hesabın kesinliğinin tek doğru gerekçesidir. Bir daha tekrarlayalım: limite, değişim içinde ve onun bir terimi olarak ulaşılamaz. Limit, değişkenin aldığı bir son değer değildir. Bir ‘son değere’ veya bir ‘son duruma’ ulaşan sürekli değişim fikri, belirsiz bir serinin bir ‘son terime’ ulaşması ya da sürekliliğin bölünerek bir ‘son elemana’ ulaşması gibi akıl almaz ve çelişkili olacaktır. Dolayısıyla limit, değişkenin aldığı ardışık değerler dizisine ait değildir, bu dizinin dışında kalır. İşte bu yüzden biz ‘limite geçiş’in esasen bir süreksizliği ima ettiğini söylüyoruz. Diğer türlü olsaydı, analitik olarak tüketilebilecek bir belirsizlikle karşı karşıya gelirdik ki bu asla olamaz. Bu anlamda daha önce ortaya koyduğumuz fark burada tüm anlamını gösterir, çünkü kendimizi, daha önce kullandığımız bir ifade olarak, verilen belirsiz bir niceliğin limitine erişme meselesi içinde buluruz. Bu yüzden aynı ‘limit’ kelimesinin yeniden, fakat başka bir anlamda, şimdi göreceğimiz belli durumdaki daha özel anlamıyla ortaya çıkması nedensiz değildir. Bir değişkenin limiti, bu değişkenin tanımıyla kapsanan belirsiz durumlar ve imkânlara, kelimenin genel anlamıyla bir had koymalıdır. İşte tam da bu yüzden o, zorunlu olarak sınırladığı şeyin dışına yerleştirilmiştir. Bu belirsizliğin, kendisini oluşturan değişim içinde tüketilmesi söz konusu olamaz. Gerçekte mesele, limitin içerilmediği bu değişim alanının ötesine geçme meselesidir. Ve sonuç, analitik yolla, derece derece değil, bir defada gerçekleşen, değişkenlerden sabit niceliklere geçişin ürettiği süreksizliğe karşılık gelen bir ‘aniden’lik biçiminde, sentetik bir yolla elde edilir.143 Limitler esasen sabit nicelikler alanına aittir. Bu yüzden ‘limite geçiş’ mantıksal olarak niceliğin iki türünün üst üste getirilmesini talep 143 Bu ‘ani’ ya da ‘anlık’ karakter, tabii fenomenler seviyesinde, yukarıda verdiğimiz gergin ipin kopması örneğiyle karşılaştırılabilir. Kopmanın kendisi gerginliğin bir limitidir ama derecesi ne olursa olsun bir gerginlikle kıyaslanamaz. 136 eder. ‘Limite geçiş’ niceliğin yüksek türüne geçişten başka bir şey değildir. Niceliğin yüksek türünde olan şey sadece, düşük türün kendisine meylettiği durumdur. Aristo’nun terimlerini kullanırsak bu, imkândan (potentiality) hakiki gerçekliğe (actuality) geçiştir. Bunun, Carnot’un aklındaki basit ‘hataların telafi’ edilmesi düşüncesiyle hiçbir ortak yanı yoktur. Matematiksel limit mefhumu tanımı gereği, devamlı ve belirli şeylere uygulanabilen kararlılık ve denge karakterini ima eder. Bu karakter, niceliğin iki türünden düşük olanla, özü itibariyle değişken olanla gerçekleştirilemez. Bu yüzden limite asla kademeli olarak ulaşılamaz, ancak bir türden ötekine ani bir geçiş şeklinde ulaşılabilir. Sadece bu anilik, aradaki tüm aşamaların atlanmasına imkân verir, çünkü o, onların belirsizliğinin tümünü sentetik olarak içerir ve kapsar. Bu şekilde, değişimde var olabilen tek şey olan meyil, gerçek ve belirli bir sonuçta beyan edilmiş ve sabitlenmiş olur. Yoksa ‘limite geçiş’ her zaman saf ve basit bir mantıksızlık olurdu, çünkü değişkenler alanında kalındığı sürece limitlere uygun olan sabitliğin elde edilemeyeceği aksi takdirde daha önce değişken olarak düşünülen niceliğin geçici ve mümkün (contingent) karakterini kaybedeceği açıktır. Değişken niceliklerin durumu gerçekten son derece geçici ve kusurludur, çünkü onlar, değişim durumuyla yakından ilgili olan belirsizlik fikrinin kökünde bulduğumuz gibi sadece ‘oluşun’ (‘becoming’) ifadeleridir. Dolayısıyla hesaplama yalnızca, içinde değişken ya da belirsiz bir şey kalmamış olan, sadece sabit ve tespit edilmiş niceliklerden oluşan sonuçlara ulaşıldığında kusursuz veya gerçekten tamamlanmış olur. Ve bunun benzerlik yöntemiyle, nicelik seviyesinin ötesine – niceliğin sembolik anlamından başka bir anlamın kalmayacağı alana – nasıl uygulanabileceğini ve nasıl varlığın metafiziksel ‘gerçekleşimi’ (‘realization’) düşüncesine kadar genişletilebileceğini zaten gördük. 137 25. Sonuç Bu çalışma boyunca incelenen konular, infinitezimal metotla ilgili gerek onun gerçek önemi gerekse kesinliği açısından ortaya konan tüm problemlere bir çözüm içerdiklerinden tamamen matematiksel bir bakış açısı ile sunulmuştur. Bu çözüme ulaşmanın gerek ve yeter şartı, doğru prensiplerin sıkı bir biçimde uygulanmasından başka bir şey değildir. Ancak bu prensipler, bütün diğer profan (kutsala karşı saygısız) aydınlar gibi modern matematikçilerin de tamamen habersiz oldukları ilkelerdir. Nihayetinde bu bilgisizlik, ‘sonlucular’ ile ‘sonsuzcular’ arasındaki kavganın çok güzel bir şekilde gösterdiği gibi, bir sonuca ulaşmak yerine aksine problemi daha da karmaşık hâle getiren ve karışıklıkları katlayarak devam ettiren birçok tartışmanın tek sebebidir. Doğru metafizik Sonsuzluk kavramı ve Sonsuz ile belirsiz arasındaki temel fark en baştan açıkça ortaya konmuş olsaydı, bütün bu tartışmalar çok kısa bir sürede kolaylıkla sonuçlanmış olurdu. Bu konuda Leibnitz’in kendisi sık sık, bazı sorularla açıkça yüzleşme erdemini gösterdiği için daha sonra gelenlere benzememesine rağmen, birçok modern filozofun sıradan spekülasyonuna benzer bir biçimde, neredeyse hiç metafiziksel olmayan, hatta bazen açıkça metafizik karşıtı şeyler söyler. Onu rakiplerine karşı tatmin edici ve kesin cevaplar vermekten alıkoyan ve sonuçta devam eden bütün bu tartışmalar için açık bir kapı bırakan şey yine aynı metafizik prensiplerden mahrum oluşudur. Şüphesiz herhangi biri Carnot gibi şunu söyleyebilir: ‘Leibnitz yanılıyorsa sadece kendi analizinin kesinliği hakkında kendisinin sahip olduğu şüpheler yüzünden yanılıyordur’.144 Ancak sonuçta yanılmamış olsa bile yine de, onun kesinliğini tam olarak gösterememiştir, çünkü ne metafiziksel ne de mantıklı olan süreklilik kavramı, gerekli ayrımları yapmasına ve dolayısıyla limit mefhumunun tam bir tanımını yapmasına engel 144 Reflexions sur la Metaphysique du Calcul infinitesimal, s. 33. 138 olmuştur. Gösterdiğimiz üzere bu tanım, infinitezimal metodun temeli için başlıca öneme sahiptir. Bütün bunlardan, o bilimin desteğiyle bu prensiplerin anında uygulanabileceği izafi ve mümkün alanın ötesine geçme niyeti olmasa bile, prensiplerin özel bir bilimde ne kadar önemli olduğu görülebilir. Şüphesiz, modernlerin tamamen yanlış anladıkları işte budur; profan bilim anlayışlarıyla canı gönülden övünerek yaptıkları, bilimi metafizikten ve ilahiyattan bağımsız hâle getirmektir.145 Oysa gerçek şu ki böyle yaparak onlar sadece bilgiyi gerçek değerinden tam anlamıyla mahrum bırakıyorlar. Ayrıca, bilimin yeniden prensiplere bağlanması gerekliliği bir kez anlaşılınca, o noktada durmak için bir neden kalmayacak, doğal olarak, ne olursa olsun herhangi özel bir bilimin kendisinin ne olduğundan çok, onun daha üst bir bilgi seviyesine yükseltici bir ‘destek’ olarak kullanılabilme ihtimalini daha değerli gören geleneksel görüşe geri dönülecektir.146 Bizim buradaki amacımız, profan görüşler tarafından sakatlanan ve saptırılan bilimin gerçek değer ve kapsamını, hem doğrudan sunduğu göreceli bilgi seviyesi hem de yol açabileceği yüksek bilgi seviyesi açısından, yeniden inşa etmek için en azından belli bazı durumlarda tam olarak ne yapılabileceğini karakteristik bir örnekle göstermekti. Bu anlamda, bilhassa integral alma ve ‘limite geçiş’ gibi kavramlardan neler çıkarılabileceğini görebiliyoruz. Dahası, metafiziksel hakikatlerin ifadesinde, bizim diğer çalışmalarımızdan haberdar olanların bildiği gibi, bu hakikatler ifade edilebilir olduğu ölçüde, matematiğin diğer bilimlerden çok daha uygun bir sembolizm 145 Örneğin bir yerde, Orta Çağ zamanında Teslisten üçgen geometrisi ile ilişkili bir şekilde bahsedilmesine kızan çağdaş bir ‘bilim adamı’ gördüğümüzü hatırlıyoruz; o kişi muhtemelen bunun bugün hâlâ ‘Compagnonnage’ sembolizminde geçerli olduğundan habersizdi. 146 Bu konuda bir örnek için bakınız, The Esoterism of Dante, bölüm 2, Orta Çağ ‘liberal sanatlar’ının esoterik veya inisiyatik yönleri. 139 sunduğu söylenmelidir. Bu, gerek genelde geleneksel bakış açısından, gerekse özelde inisiyatik bakış açısından neden matematiksel sembolizmin çok sık kullanıldığının sebebidir.147 Ancak, bunun gerçekleşebilmesi için her şeyden önce bu bilimlerin, modernlerin yanlış düşüncelerinden kaynaklanan birçok hata ve karışıklıktan temizlenmesi gerekir. Eğer bu çalışma bu amaca bir şekilde en azından bir katkıda bulunabildiyse mutlu oluruz. 147 Matematiğin sayısal ve geometrik sembolizminin çok özel değeri için özellikle The Reign of Quantity and the Signs of the Times’daki açıklamalara bakılabilir. 140 Dizin Compagnonnage · 139 Couturat, L. · 14, 45, 59, 76, 77, 92 A A" lemşü mul Kü ll · 11, 12, 13, 17, 23, 27, 28, 29, 95, 118 algoritma · 76 Anima Mundi · 29 Aquinas, Aziz Thomas · 25, 26 Aristo · 131, 137 Aristocu · 84 aritmetik · 19, 26, 28, 32, 34, 57, 62, 71, 93, 95, 97, 99, 102, 122, 123, 124, 126 Arşimed · 39 atom · 54, 132 atomculuk · 58, 59, 70, 131 Avrupa · 6 D Dekart · 16, 24, 69 Dekartçılık · 9 denge · 63, 82, 105, 106, 108, 137 E Elea’lı Zeno · 131 Euclid · 87 Evrensel Tü mel · Bkn. A" lemşü mul Kü ll evrim · 51 B F Bernoulli, Jean · 21, 29, 30, 47, 53, 115, 123 bireycilik · 8 Bü yü k Adam (Kabbalistik) · 51 Fizik(sel) · 4, 7, 50, 74, 104, 107, 120 fizikçi · 104 fizyolog · 132 Freycinet, Ch. de · 44, 76, 78, 89, 110 C Cantor · 21 Carnot · 41, 45, 88, 90, 98, 109, 110, 111, 114, 119, 137, 138 Cauchy · 21 Cavalieri · 57 cebir · 71, 103 cebirsel · 71, 101, 102, 105 G Galileo · 21 geometri · 4, 36, 42, 52, 54, 68, 75, 79, 102, 139 141 geometrik · 5, 32, 33, 34, 36, 55, 64, 72, 99, 116, 123, 140 Grandi, Guido · 21 47, 49, 50, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 67, 69, 71, 72, 75, 77, 78, 81, 83, 84, 86, 87, 89, 90, 92, 98, 102, 107, 109, 110, 111, 113, 115, 117, 118, 119, 120, 121, 123, 129, 133, 138 luz · 51 H Harvey · 51 Hegel · 85 helis · 18 Hermetik · 9, 106 hiçlik · 12, 15, 86, 95, 96, 105, 109 Hindistan · 6 Huygens · 113 M Mallebranche · 74 Marquis de l’Hospital · 42, 87 matematik · 7, 8, 24, 32, 42, 45, 68, 74, 81, 84, 98, 116, 117, 127 matematikçi · 5, 6, 8, 9, 11, 17, 31, 44, 64, 78, 80, 92, 96, 100, 102, 104, 105, 113, 116, 138 matematiksel · 7, 45, 95, 97, 105, 131, 138 analiz · 73, 125 dü zen · 8 gö sterim · 93 limit · 75, 93, 137 sembolizm · 4, 140 sıfır · 90 sonsuzluk · 13, 14, 16, 70 metafizik · 26, 28, 47, 48, 73, 116, 138, 139 dü zen · 46 metafiziksel · 11, 17, 29, 46, 73, 138 Birlik · 26, 95, 97 gerçekleşme · 128, 137 hakikat · 139 imkâ nsızlık · 95 ö zdeşlik · 73 prensipler · 15, 84, 138 sembolizm · 95 sıfır · 95 I ilahiyat · 139 K Kabbala · 6 Kabbalacı · 5 Kabbalistik · 51 Kartezyen · 56, 73, 74, 121, 129 kesir · 123 kozmos · 128 kozmik · 106 L Lagrange · 89 Leeuwenhoeck · 51 Leibnitz · 8, 9, 13, 16, 17, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 29, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 142 Sonsuzluk · 11, 12, 14, 15, 27, 70, 138 Varlık Oatesi (Non-‐‑Being) · 95, 108 ontoloji(k) · 26, 46 Orta Çağ · 139 ortak-‐‑ölçü lemez (incommensurable) · 34, 64 tam · 20, 21, 31, 59, 64 Schulenburg · 75 Sephiroth · 6 sıfır · 6, 33, 41, 56, 65, 77, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 95, 96, 97, 99, 101, 107 Skolastik · 9, 12, 16, 24, 25, 48, 69, 104 Sonsuzluk · 7, 12, 13, 14, 15, 16, 24, 27, 46, 47, 49, 55, 64, 65, 67, 69, 82, 100, 115, 118, 120, 132 Spinoza · 12, 23 Stoacı · 29 P T Pascal · 46 Pisagor(cu) · 4, 5, 52, 65 Platon(ik) · 4, 19 Tao Te Ching · 65 Teslis · 139 Tetraktys · 65 R U Renouvier · 14, 22, 70 Rota Mundi · 9 Rozikruziyan (Rosicrucian) · 9, 37 Uzak Doğ u geleneğ i · 105, 108 kozmolojisi · 107 N Newton · 8 Nieuwentijt · 113 O V S Varignon · 47, 55, 73, 81, 88 Varlık (Being) · 26, 95, 97 Varlık (existence) · 108 sayı kesirli · 31, 32, 33, 34, 35, 36, 55, 61, 62, 63, 64 ortak-‐‑ölçü lebilir (commensurable) · 64 143 W Y Wallis · 21 Wolf, V. Cl. Christian · 81, 83 yang · 108 yin · 108 yıldızlar · 38, 51 Yunanca · 6, 65 144