coulomb kümelerinin kararlılığı ve termodinamiği - KUAIS
Transkript
coulomb kümelerinin kararlılığı ve termodinamiği - KUAIS
COULOMB KÜMELERİNİN KARARLILIĞI VE TERMODİNAMİĞİ Ersin Yurtsever Koç Üniversitesi, Rumelifeneriyolu, Sarıyer 34450, İstanbul ÖZET Bu çalışmada benzer yük taşıyan parçacıkların, dış etkenlerin etkisi altında oluşturdukları yapılar ve bunların termodinamiği anlatılmaktadır. Coulomb kümeleri adı verilen bu sistemlerin değişik yapısal özellikleri ve gösterdikleri faz geçişlerine ait örnekler verildikten sonra tam çözüme ulaşmamış sorular tartışılmıştır. GİRİŞ Benzer elektrik yükü taşıyan parçacıkların normal koşullarda bir araya gelip kararlı sistemler oluşturması karşılaşılan bir durum değildir. Parçacıkların arasındaki itici kuvvetler bu sistemlerin termodinamik olarak kararlı hale gelmesine engeller. Bununla beraber 1930’lu yıllarda E.Wigner, belirli koşulların sağlandığı durumlarda yüklü parçacıkların bir arada olabileceğini önerdiği gibi, oluşturacakları kararlı yapıların da geometrisini vermiştir(1,2). Aslında o yıllar için önemli olan kaçınım enerjisi problemi için yapılan bu çalışmada, Wigner “eğer elektronların kinetik enerjisi olmasaydı, potensiyel enerjinin minimumuna karşılık gelen yüzey merkezli kübik yapıları oluşturacaklardı” demektedir. Wigner kristalleri olarak bilinen bu sistemler daha sonraları değişik deneylerde gözlenmiştir (3-5). 1986 yılında Ikezi, elektronlara göre makroskopik sayılacak sistemlerde de benzer yapılaşmanın görülebileceğini öne sürdü (6). Bu makalede hangi plazma koşullarında, yüklü parçacıkların iki-boyutlu ve dengede duran yapılar oluşturacağı tartışıldı. Kısa bir süre sonra da Ikezi’nin öngördüğü koşullarda ve başka sistemlerde de Coulomb yapıları gözlenmeye başladı. İlk deneylerden birinde (7) eksi yüklü ve 10µm çapındaki SiO2 kürecikleri plazma içerisinde tutuldu ve bir optik mikroskopu ile gözlendi. Plazma koşullarının değişmesi ile değişik geometrik yapıların oluştuğu görüldüğü gibi, rf kuvvetinin arttırılması ile düzenliliğin çok daha az olduğu “sıvı” yapılara geçiş izlendi. Benzer deneyler A.Melzer tarafından da gerçekleştirildi ve aynı boyutlardaki melaminformaldehit küreciklerin plazma içerisinde oluşturduğu tabakalar video kameralar vasıtası ile incelendi. Rf kuvvetini arttırma veya gaz basıncı düşürme yoluyla, düzenli yapılardan akışkan sistemlere geçişlerin olduğu vurgulandı. Bu gözlemlerin, iki-boyutta erime probleminin anlaşılmasına katkısı önemlidir. Parçacıkların tek tek gözlenebilmesi ve plazma koşullarının değiştirildikten sonra sistemin çabuk bir şekilde dengeye gelmesi, faz geçişini çalışmada önemli kolaylıklar getirmektedir. Bu deneyler sırasında raslanan ilginç bir olay da, halkalar halinde oluşmuş yapıların açısal bir momentum kazanımı ile dönmeye başlaması olmuştur. Sistemin katı-sıvı geçişlerinde önemli rol oynayacak bu hareketlere tekrar döneceğiz. Başka plazma deneylerinde de parçacıkların hareketlerinden doğan titreşim spektrumları homojen sistemler için incelendiği gibi (9,10) tabaka dışına yerleştirilen ek parçacıkların etkisi altında da çalışılmıştır (11). İkinci bir grup deney de paramanyetik koloidal parçacıkların değişik koşullarda asılı bir durumda dengeye getirilmesi üzerine olmuştur. Önce polisitiren kürecikler Fe2O3 eklenerek süperparamanyetik hale getirilmişlerdir. Daha sonra dışarıdan uygulanan zayıf bir manyetik alan ile bir su damlacığı üzerinde hava/su arayüzeyinde tutulmuşlardır(12). Benzer deneylerde sülfat grupları ile yüklenmiş polisitiren küreleri, iki lazer kullanarak oluşturulan ışık alanı altında sabitleştirildiği gibi (13), polimetilmetakrilat bir filmin yüzeyinde yapılan oyuklara süpermanyetik parçacıkların yığılması ve manyetik bir alanın etki etmesi ile elde edilen iki-boyutlu kristaller de çalışılmıştır(14). Bir üçüncü grup deneyde ise milimetre boyutundaki çelik bilyeler, bir elektrot yüzeyinde ve dairesel bir çerçeve içerisinde hapsedildikten sonra bir voltaj uygulanarak birbirlerini itmeleri sağlanmıştır. Sistemi çevreleyen duvarda da parçacıkları iten bir potensiyel olduğu için, denge koşullarını sağlamak mümkün olmuştur (15). Benzer bir deneyde ise altıgen bir çerçeve içerisinde hapsedilen çelik küreler incelenmiştir. Son bir grup deneyde ise Mg+ ve Ca+ iyonları doğrusal Paul tuzağında tutulmuşlardır (1720). Bu deneyde iyonlar 3-boyutlu Coulomb kristalleri oluşturmaktadırlar. İki boyutlu kümelere benzer şekilde kabuk yapıları ve faz geçişleri gözlenmiştir. Deney koşullarının değişmesi ile anizotropik yapılar da bulunmuştur. MODEL ve YÖNTEMLER Model Bütün bu deneylerin ortak yönünü, birbirini iten parçacıkların bir dış tuzak yardımı ile hapsedilip dengeye getirilmeleri oluşturmaktadır. Parabolik bir potensiyel içerisinde hapsedilen ve aynı elektrik yüküne sahip olan iki parçacık düşünelim. Birbirlerini itecekleri için potensiyel eğrisi üzerinde yukarı doğru çıkmaya çalışacaklar ve kinetik enerjileri yettiği sürece de yükseleceklerdir. Duvar ise sonsuza kadar yükseldiği için, parçacıkların yükseleceği bir en son nokta olacak ve orada belirli bir mesafede kararlı yapı oluşturacaklardır. Bu basit şemadan yola çıkarak, sistemin toplam enerjisini genel bir ifade olarak yazabiliriz: E = Σ pi2/2mi + Σ Σ qi qj / rijn e(-κ rij) + A Σ (xi2+ρyi2) (1) Bu denklemde E toplam enerji (Hamiltonyen)dir. Her parçacık kütlesi (mi), yükü (qi), momentumu (pi) ve düzlemdeki koordinatları (xi,yi) ile tanımlanır. Parçacıklar arasındaki etkileşmeler parçacıklar arası mesafenin (rij) fonksiyonu olarak ifade edilirler. Elektrik yüklü parçacıklar için n=1 ve manyetik parçacıklar için de n=3 kullanılır. Üstel terim ise parçacıkların birbirlerini perdelemesini gösterir. κ = 0 olduğu durum saf Coulomb potensiyeline karşılık gelmektedir ve uzun mesafelere kadar etki eden bir itme kuvvetini gösterir. κ arttıkça potensiyelin etki alanı düşer. Denklem 1 deki son terim ise parçacıkları bir arada tutan parabolik bir tuzaktır. A tuzağın şiddetini ve ρ da anizotropisini tanımlar. Bu modeli kullanarak, Coulomb kümelerinin iki önemli özelliği çalışılabilir. Öncelikle potensiyel enerji yüzeyinin (PEY) üzerindeki minimum enerjiye karşı gelen yapılar bulunarak sistemlerin 0 K’deki kararlı hallerinin neler olacağı hesaplanabilir. Daha sonra sıcaklığın etkisini katarak bu sistemlerin dinamik ve termodinamik özellikler çeşitli istatistik mekanik yöntemler kullanılarak hesaplanabilir. Bir önceki seksiyonda özetlenen deneysel çalışmalar ile birlikte, çok sayıda hesaplamalı çalışmalar yapılmıştır. Bu hesapların neredeyse tamamında denklem 1’de verilen enerji fonksiyonunun çeşitli varyasyonları kullanılmıştır. İki-boyutta çalışmanın, üç-boyuttaki kümelerle çalışmaya göre önemli bir avantajı gerek kararlı yapıları ve gerekse de bu yapıların uğradığı değişiklikleri sınıflandıracak ölçütlerin çeşitliliği olmuştur. Kararlı yapıların eldesi Kararlı yapılar, PEY üzerinde minimum enerjiye karşılık gelen geometrik yapılardır. Sistemin kompleksliğine göre bu yapıların sayısı bir olabildiği gibi sonlu ama 1020 gibi çok yüksek rakamlara da çıkabilir. En düşük enerjili yapıya mutlak (global) minimum diğerlerine ise yerel (local) minimumlar denir. Bu yapılar çeşitli optimizasyon teknikleri ile bulunabilirler. Optimizasyon çok eski bir problem olup, genel çözüm yöntemleri yerine, probleme bağlı sayısal tekniklerin geliştirilmesine ihtiyaç gösterir. Bu nedenle, moleküllerin, kümelerin veya makrosistemlerin kararlı hallerini bulmak için kuantum veya klasik mekanik yaklaşımlar içerisinde değişik yöntemler geliştirilmiştir. Coulomb kümelerinin, bilhassa bizim ilgilendiğimiz makroskopik kümelerin yapıları da klasik mekanik yöntemlerle çalışılmaktadır. Optimizasyon için kullanılan yöntemleri kabaca iki gruba ayırmak mümkündür. Bir grupta moleküler simülasyon yöntemlerinin değişik varyasyonları varken diğerinde genel optimizasyon yöntemlerinin bu sistemler için özelleştirilmiş şekilleri kullanılır. Optimizasyonun, tarihsel olarak çok eski bir problem olmasına rağmen genel çözümlerinin olmamasının nedenlerinin başında genel minimum noktanın bulunmasına ait hiçbir ölçütün olmaması gelir. Hangi yöntem kullanılırsa kullanılsın, belirli bir optimum noktaya (toplam türevin bir eşik değerinden küçük olması ile tanımlanan) ulaşmak olasıdır. Önemli soru, bulunan bu noktanın en kararlı (düşük enerjili) yapı olup olmadığını belirleyecek hiçbir ölçütün olmamasından kaynaklanmaktadır. Hatta, yöntemlerin bir çoğunda minimum yapıların yanında eyer noktası denilen başka optimum noktalar da elde edilir. Bu noktaların sınıflandırılması potensiyelin koordinatlara göre ikinci türevinin özdeğerlerinin incelenmesi ile yapılır. Eğer bütün özdeğerler sıfırdan büyük ise, nokta bir minimuma karşılık gelir. Sadece bir adet sıfırdan küçük özdeğer içeren sistemler ise birinci derecede eyer noktaları olup, kimyasal reaksiyon mekanizmalarında çok kullanılan geçiş halleri karşılık gelmektedirler. Bütün bu noktaların bulunması ve birbirlerine olan bağlantılarının derlenmesi ise sistemin dinamiğini açıklayan ana denklemleri (master equation) oluşturabilir. Moleküler simülasyonlardan kararlı yapıları elde etmek için kullanılan yöntemlerden biri Monte Carlo’dur (MC). Bu yöntemde ana fikir, bir başlangıç yapısından başlayıp, parçacıkların rastsal hareketleri ile kararlı yapılara yaklaşmaktır. Boltzman faktörüne bağlı bir geçiş olasılığı ile de faz uzayının enerji açısından önemli bölgelerini (düşük enerjili) taramak mümkün olur. Çok düşük sıcaklıklarda MC yavaş çalışmakla beraber minimum enerji yapılarını kullanmakta başarılı olmaktadır. Bir diğer teknik ise Moleküler Dinamik (MD) simülasyonunu esas alır. Bu simülasyonlarda, parçaçıkların zaman içerisindeki hareketleri Newton denklemleri veya onun eşdeğer formları kullanılarak hesaplanır. Hareket sırasında belirli aralıklarda kinetik enerjinin sistemden alınması ile potensiyel enerji yüzeyindeki çukurlara ulaşılabilir. “Simulated annealing” veya “quenching” algoritmaları bu mantığı taşımaktadırlar. Gerek optimizasyon gerekse de simülasyon yöntemleri iki ciddi problemle karşı karşıyadırlar. Birinci problem faz uzayının karmaşıklığından kaynaklanır. 500 parçacık içeren bir sistem, MC’de 1500 boyutlu bir uzayda hareket etmektedir. MD gibi momentumun da işin içerisine girdiği durumda bu faz uzayının boyutu 3000’e çıkmaktadır. Sonlu bir hesapta, bütün bu faz uzayının taranması, günümüz bilgisayarları ile bile çok kolay değildir. Öte yandan, potensiyel enerji yüzeyinin üzerindeki minimum yapılar birbirine geçiş halleri ile bağlıdır. Eğer bu bağlantıdaki enerji farkları (aktivasyon enerjileri) çok büyük ise, sayısal yöntemlerin bu yüksek eşiklerin üzerinden geçip faz uzayının diğer bölgelerini taramaları da çok zordur. Bu nedenlerle de mutlak minimuma ulaşılıp ulaşılmadığı her zaman ispatlanmamış bir nokta olarak kalacağı gibi, yanlış tanımlanmış minimum enerji yapılarını da bulmak olasıdır. Faz geçişleri Deneysel çalışmalarda gözlenen ilginç bir özellik de, parçacıkların hareketlerinin deney koşullarıyla değişiminden ortaya çıktı. Sıcaklığın artması ile (veya benzer parametrelerin değişimi, örneğin basıncın azalması ile) hareketin tipleri ve boyutları değişmeye başladı. Düşük sıcaklıklarda denge konumları etrafında küçük titreşimler yapan parçacıklar, daha yüksek sıcaklılarda halkalar içerisinde dönmeye başlıyorlar ve sıcaklık arttıkça halkalar arasında parçacık alışverişi (kimyasal terminolojideki izomerizasyon) gerçekleşiyordu. Bu hareketlilik katı-sıvı faz geçişine andıran bir özellik sergilemekteydi. Her ne kadar sonlu sistemlerde faz geçişinden bahsetmek tartışılabilecek bir kavram ise de, kümeleri çalışan pek çok bilimci bu özelliğe “erime” adını vermekte çok tereddüt etmemektedirler. Sonlu sistemlerde faz geçişlerinin güzel bir tartışması D.J.Wales’in kitabında verilmektedir (21). İki faz arasındaki denge sabitine bakacak olursak: K= exp(-N ∆µ / kT ) (2) Bu ifadede N parçacık sayısı, ∆µ iki faz arasındaki serbest enerji farkı, k Boltzmann sabiti ve T de sıcaklıktır. N çok büyük ise, denge sabiti K ya 0 ya da sonsuz olur ki bu da tek faza karşılık gelir. Öte yandan kümelerde olduğu üzere sonlu ve küçük N durumlarında, belirli bir sıcaklık aralığında K sabit kalır. Bunun anlamı çok keskin olmayan bir geçiş olduğu kadar, her iki fazda bulunan parçacık sayılarının karşılaştırılabilir olması anlamına da gelir. İki fazın aynı anda bulunabilmesi (phase coexistence) kümelerde sayısal yöntemlerle gözlenmiş bir olaydır ve fiziksel açıdan ise bir kümenin değişik sürelerde katı veya sıvı davranışı göstermesi olarak tanımlanabildiği gibi bazı parçacıkların sıvı diğerlerinin de katı olması şeklinde de yorumlanabilir. Lennard-Jones kümelerinde N=7 den itibaren hem erime gözlenmiş hem de her iki fazın da beraberce bulunduğu haller ortaya çıkmıştır. Faz geçişlerin incelemenin en standart yöntemi MD simülasyonlarıdır. En çok kullanılan mikrokanonik sistemde parçacık sayısı, hacim ve toplam enerji sabit (N,V,E) tutulur. Parçacıklar arası etkileşme potensiyelleri tanımlanır ve her parçacık üzerinde etki eden kuvvet, bu potensiyelin negatif türevinden hesaplanır. Zaman içerisindeki hareket ise Newton veya Hamilton denklemlerinin sayısal çözümlerinden elde edilir. Trajektöri olarak adlandırılan zaman serisi ise her parçacığın konumunu ve momentumunu zamana bağlı bir fonksiyon olarak saklar. Bu serilerin istatistiksel analizi de istenen termodinamik özelikleri verir. Erime olayını takip etmek için değişik özellikler kullanılabilir. En çok kullanılan ifade Lindemann indisidir. Bağ uzaklılıklarının dalgalanması olarak da isimlendirilen bu terim: δ = ΣΣij ( <rij2> - <rij>2) ½ / <rij> (3) 0,1’in altında ise katı, üzerinde ise sıvı faza karşılık gelir. rij i ve j parçacıkları arasındaki mesafedir ve <> bütün zaman üzerinden ortalamayı gösterir. Toplam enerjinin veya sıcaklığın fonksiyonu olarak Lindemann indisinin değişiminden faz geçişinin varlığı ve karşılık geldiği sıcaklığın bulunması olasıdır. Gene dinamik ikinci bir ölçüt ise maximum Lyapunov üstelidir. Kaos teorilerinden gelen bu ölçütte, birbirine çok yakın mesafede başlayan iki sistemin, zaman içerisinde uzaklaşmalarının ne kadar üstsel bir ifade oluşturduğu hesaplanır. lim t→∞ d(t)/d(0) = exp(-λ t) (4) d(t) iki seri arasındaki uzaklık, t zaman ve λ da Lyapunov üstelidir. λ =0 ise, iki seri benzerliklerini korur ve toplam dinamik sistem düzenli olarak tanımlanır. λ >0 olduğu durumlarda, benzer koşullarda başlayan sistemler birbirinden çok farklı şekiller gidebilirler. Kaotik olarak tanımlanan bu sistemlerin içgüdüsel olarak sıvı hale karşılık gelecekleri ve λ >0 a geçiş bölgesinin erime sıcaklığını vereceği düşünülebilir. Erimeyi verecek son bir ölçütte ısı kapasiteleridir. Katı ve sıvı fazların ısı kapasiteleri birbirinden farklıdır ve sistemin ısı kapasitesi sıcaklığın bir fonksiyonu olarak incelendiği zaman, erime sıcaklığında bir tekillik gösterir. MC simülasyonları ile sabit hacımdaki ısı kapasitelerini (Cv) hesaplamak mümkündür. MC adımları sırasında bulunan potensiyel enerji değerleri bir histogram altında toplanır. Değişik sıcaklıklardaki histogramların birbiriyle uyumlu hale getirilmesi (22) ile yoğunluk fonksiyonu (density of states) ve oradan da enerji ile onun sıcaklığa göre türevi hesaplanabilir. Kararlı yapılar bulmada karşılaşılan ve konfigürasyon uzayının karmaşıklığından dolayı ortaya çıkan sayısal sorunlar burada da kendini gösterirler. Faz uzayını kısıtlı bir şekilde tarayan sistemlerden hatalı sonuçların çıkması da olasıdır. SAYISAL DENEYLER VE SONUÇLARI Kümeleri en ilginç kılan özellik, gerek termodinamik gerekse de dinamik özelliklerin parçacık sayısına kuvvetli bir bağımlılık göstermeleridir. Herhangi bir fiziksel ölçümü, örneğin enerji, erime sıcaklığı, yüzey enerjisi, iyonlaşma enerjisi veya kristallik gibi, parçacık sayısına göre çizersek kabaca Şek.1’deki şemayı elde ederiz. Şekil.1. Fiziksel özellikler ve parçacık sayısı arasındaki ilişkinin şematik gösterimi β bölgesinde sistemin P özelliği artık parçacık sayısından bağımsızdır ve termodinamik faz oluşmuştur. Buna karşılık α bölgesinde ise parçacık sayısı arttıkça, P özelliğinin ne şekilde gelişeceğini kestirmek mümkün olmamaktadır. Bu parçacık sayısı ile değişen davranış büyük ölçüde nanobilimlere de gözlenmektedir. Aslında kümeleri, nanoparçacıkların atası saymak da çok yanlış olmayacaktır. Bu çalışmada, Coulomb kümelerinin değişik davranışlarının parçacık sayısı ile ilişkisi anlatılacaktır. Yapısal özellikler Coulomb kümelerinin deneysel olarak gözlenmeleri ile beraber, sayısal yöntemlerle de kararlı yapıları bulunmaya başladı. Bu çalışmalarda daha çok iki-boyutlu (23-25) ve üç boyutlu (27-30) kümelerin mutlak minimum yapıları verildi ama bazı yarı-kararlı yerel konfigürasyonlar (25) da tartışıldı. Oluşan yapılarda bilhassa az sayıdaki parçacıklı sistemlerde belirgin bir kabuk yapısı gözlendi. Bu yapıda, merkezden dışarı doğru iç içe halkalar oluşmaktadır. Halkaların sayısı veya her halkadaki atom sayısını önceden tahmin etmeyi sağlayacak bir formül bulunamadığı gibi, bu sayıların neden kararlı yapılar oluşturduklarına dair bir teori de bulunmamaktadır. Şekil 2’de bazı N (parçacık sayısı) değerleri için en kararlı yapılar verilmektedir. Bu yapılar genelde (1,7,13) şeklinde bir gösterim ile verilmektedir ve örnek de N=20 için merkezde bir parçacık ve etrafında 7 ve 13 parçacık içeren iki halkadan oluştuğunu simgelemektedir. Çalışmalarımızda mutlak kararlı halin yanında, mümkün olduğu sürece bütün minimum enerji geometrilerini de bulmak istediğimiz için daha önce ikili Lennard-Jones kümeleri için geliştirdiğimiz bir Monte Carlo – optimizasyon yöntemi olan “Basin hopping Monte Carlo” kullandık (31). Scherega (32) tarafından öne sürülen bu yöntem temelinde Monte Carlo ile optimizasyonu arka arkaya kullanmaya dayanır. MC sırasında periyodik aralıklarla kümenin veya molekülün o andaki yapısı alınır ve bir optimizasyona tabi tutulur. Böylelikle elde edilen yapıdaki parçacıkların koordinatları, rastsal olarak seçilen ve göreceli olarak büyük adımlar içeren bir MC sürecinden geçer. Amaç, kümenin düştüğü minimumdan, geçiş enerjileri yüksek bile olsa çıkabilmektir. Bu MC yapılmadığı takdirde, huni olarak adlandırılan ve benzer pek çok minimumu içeren bölgelerden çıkmam mümkün olmayacak ve faz uzayının diğer kısımlarını da denemek olasılığı ortadan kalacaktır. Dönüşümlü olarak MC-optimizasyon adımlarından geçtikten sonra bulunmuş yapılardan bir veri tabanı oluşturulur. İsimdeki “basin hopping” de, içinde bulunulan vadiden çıkmayı tarif etmektedir. Coulomb kümelerinde mutlak minimumu bulmak için 300 civarında optimizasyon içeren bir hesap yapmak yeterli olmaktadır. Bu tarz sistemlerin kendi içerisinde de bir optimizasyon gerekebilir. Örneğin MC adımlarının büyüklüğü, optimizasyonlar arasındaki MC adım sayısı ve sıcaklık doğal olarak sonuçların ne kadar çabuk elde edildiğini etkilemektedir. Bizim yöntemimizde “conjugate gradient” optimizasyon yöntemi olarak kullanılmaktadır. Bu sistemin bir sorunu, minimum enerjileri yanında eyer noktalarının da bulunmasıdır. Yöntemin bu iki tip optimum noktayı ayıramaması nedeniyle, oluşturulan veritabanındaki her yapı, tekrardan küçük bir tedirginliğe uğratılıp optimize edilmiştir. Daha sonra Hessian özdeğerlerinin hepsinin pozitif olması koşulunu sağlamayanları atarak son liste oluşturulmuştur. Bütün izomerlerin eldesi için N=50 durumunda değişik rastsal yapılardan başlayan 200 MC hesabı yeterli olmaktaysa da, N=100 için 1500 hesap hala tam bir sonuç vermeyebilmektedir (33). Şekil 2.de bazı kümelerin en kararlı hallerinin geometrik yapıları verilmiştir. Küçük N değerleri için, halka yapıları açık bir şekilde görülmektedir ama sayı arttıkça, bu tanımlama ancak kümenin dış kısımlarında geçerli olmaktadır. Wigner’in öngördüğü yapılar (1,2) N=50 için, kümenin orta kısımlarında açık olarak görülmektedir. Şekil 2. Parabolik tuzak altında hapsedilmiş bazı kümelerin (N≤50) mutlak minimum enerji yapıları Denklem 1 deki modelde iki zıt kuvvet bulunmaktadır. Coulomb formulü ile tanımlanan itici kuvvet parçacıkları bir örgü üzerinde tutmaya çalışmaktadır. Diğer yandan parabolik tuzak ise halkalar oluşturmaya çalışmaktadır. Kümenin dışında tuzak etkili iken iç kısımlarında ise Coulomb kuvvetleri sistemi belirlemektedir. Bu iki bölge arasında kalan arayüzeyler ise topolojik bozukluklar olarak tanımlanır (34-38). Şekil 3. N=500 için en kararlı yapıdaki parçacıkların topolojik dağılımı Şekil 3’de N=500 için mutlak minimum enerji yapısının bir şeması verilmiştir. Bu şemanın oluşturulmasında beyazdan siyaha giden bir gri renk rampası kullanılmıştır. Eğer yapı bir Wigner kristali gibi olsaydı, her parçacığın etrafında 6 eşdeğer komşudan oluşacak bir altıgen yapı bulunacaktı. Biz, her parçacığın en yakın 6 komşusunun aralarındaki açıyı, daha doğrusu bu açı ile 600 arasındaki farkı, kristalinite ölçütü olarak kullandık. Açık renkler mükemmele yakın bir altıgen yapıyı tanımlamaktadır. Doğal olarak en dıştaki halka bir sınır oluşturmakta ve hiçbir şekilde bir hekzagonal yapıyı gerçekleştiremeyeceği için siyah renktedir. İki faz arasındaki geçiş bölgelerinde ise en belirgin özellik ise bir düzenin olmamasıdır. Diğer kararlı yapılara da bakıldığı zaman bu düzensizliğin Coulomb kümelerinin genel bir özelliği olduğunu görüyoruz. Bu ara bölgelerin, kümelerin erimesinde önemli bir rol oynadığı düşünülse de, henüz ne oluşmalarındaki sistematik ne de erimeye olan etkilerini derleyen bir teori henüz geliştirilememiştir. Kümelerin kararlılığı Kümelerin toplam enerjilerinin parçacık sayısına bağımlılığı kabaca üstel bir dağılım göstermektedirler. Bununla beraber bu dağılımın içerisindeki küçük oynamalar göreceli olarak daha kararlı durumları veriyor olabilir. Lennard-Jones kümelerinde bu tarz normalden farklı bir kararlılık gösteren büyüklükler bulunmuş ve bunlara sihirli sayılar adı verilmiştir. Benzer şekilde çok bilinen örnek ise 60 karbon içeren fulleren olmuştur. Kütle spektrometresi ölçümlerinde 60 ve 70 karbon atomu içeren kümeler, diğerlerine göre çok daha fazla bulunmakta ve özel bir termodinamik kararlılığa işaret etmektedirler. Coulomb yığınlarında ise üstel dağılımın içindeki farklılıkları yakalamak için değişik ölçütler denedik. Enerjinin kendisi veya parçacık sayısına göre birinci türevinin değişimi bu konuda bir fikir vermemektedir. Enerjinin ikinci türevi ise, ki E(N+1)-E(N-1)-2E(N) olarak yaklaşık bir şekilde hesaplanabilir, bu kararlılık için kullanılabilir. Daha önce bu ölçütü hem 3-boyutlu Coulomb kümeleri için (39) hem de Helyum damlacıkları içerisindeki K+ iyonları (40) için kullandık. Şekil 4’de bu kararlılık ölçütünün parçacık sayısı ile değişimi verilmiştir. Şekil.4 Parçacık sayısı ile mutla minimumdaki kümenin kararlığının değişimi Kullanılan bu ölçüte göre, bazı büyüklükler örneğin N=7,11,13,18,20,34,37 ve 45 daha kararlı yapılar oluşturmaktadır. Bu kararlı yapıların kabuk sayıları veya kabuklardaki parçacık sayıları, kararlılığın nedenlerine ait bir ışık tutmamaktadırlar. O nedenle iki ayrı yorumda bulunmak mümkün olabilir. Birincisi yapısal özelliklerin, bir diğer deyişle parçacık sayılarının dağılımının kararlılığa bir etkisi olmadığıdır. Diğer bir yorum ise kararlılığı daha doğru belirleyen ölçütlerin gerekliliğidir. Ne yazık ki, atomik kümelerin incelenmesinde kullanılan ve değişik sayılarda atom içeren kümelerin bulunma olasılıklarını ölçen kütle spektrometresi gibi bir deney bu sistemler için bulunmamaktadır. Sayısal olarak kullanılan ölçütler ise farklı özelliklere odaklanmaktadırlar. Örneğin, enerjilerle bu enerjilere uydurulan bir parametrik fonksiyon arasındaki fark kararlılık ölçütü olarak da kullanılmıştır (41). Ama bu ölçüt Coulomb kümelerindeki ince farklılıkları verecek duyarlılıkta bulunmamıştır. Tarafımızdan denenen başka bir ölçütte mutlak minimum ile buna en yakın enerjideki yapının arasındaki enerji farkını kullanmak olmuştur. Termodinamik kararlılık (bir şekilde Boltzmann dağılımları) ile benzer olacağını düşündüğümüz bu ölçüt ise, Şekil.4’de verilen davranışa bazı bölgelerde çok benzemekte ama diğer yerlerde ise farklılıklar göstermektedir. Aslında bu ölçütün daha iyi çalışabilir hale gelmesi için, bir sonraki kısımda tartışılacak olan eyer noktaları ve onlarla bağlantısının da belirlenmiş olması gerekmektedir. Bir başka deyişle termodinamik kararlılık ile geçiş olasılıklarını da içeren kinetik kararlılığın bir arada kullanılması daha kapsamlı bir sonucu ortaya çıkarır. Bu konuda henüz yayınlanmış bir çalışma bulunmamaktadır. Potensiyel enerji yüzeyinin topolojisi PEY topolojisinden, yüzey üzerindeki minimum noktaları, birinci derecede eyer noktaları ve bunları birbirine bağlayan şemalar anlaşılmaktadır (42). Bu bağlantıların oluşturulması ile eldeki sistemin camsı yapılar oluşturma (glass former) veya belirli bir yapıya yönelme (structure seeker) özelliklerinden hangisinin olduğunu anlamak mümkün olur. Ayrıca PEYnin farklı karakterlerdeki bölgelerinin tanımlanması, sistemin bütün dinamiğinin kaba bir şekilde incelenmesini sağlayabilir. Bu farklı karakterdeki bölgelerden edilen bilgi bir araya getirilerek termodinamik özellikler bulunabileceği gibi, bölgeler arası geçişlere bakarak da dinamik özellikler hesaplanabilir. Çalışmalarımızda henüz eyer noktalarının genel bir veritabanını oluşturmadığımız için, sadece minimum yapılar elde edilmeye çalışılmıştır. Topolojik açıdan en çok çalışılan sistemler Lennard-Jones kümeleri olmuştur. Bu yapılarda yerel minimum sayısı parçacık sayısı ile üstel olarak artmaktadır. Nispeten eski bir çalışmada N=10-13 için 64,152,464 ve 1328 farklı kararlı yapı bulunmuştur (43). Birinci derecede eyer noktaları ise N=13 için 9000’e yaklaşmaktadır. Bu karmaşık yapıya karşılık, Coulomb kümeleri çok daha sade bir görünüm çizmektedirler. 30 dan az Şekil 5. Toplam izomer sayısının parçacık sayısı ile değişimi. parçacıklarda beşi geçmeyen izomer sayısı N=50 de bile 22 olmaktadır. N=100 için 360 farklı izomer bulunmuş ve bu sayının yapılan MC hesabına göre değişiminden, doğru limitin 370 civarında olacağını öngörmekteyiz (44). Yapısal bozuklukların etkisi Yukarıda belirtilen koşullarda hazırlanan kümeler, doğal olarak içlerinde bulunacak safsızlıklardan etkilenecektir. Bu durumları çalışabilmek için değişik modeller kullandık. İlk olarak parçacık yüklerinin homojen olmadığı sistemleri inceledik. İki değişik yükten oluşan sistemlerin en kararlı yapılarında genel olarak, yükü küçük olan parçacıkların merkeze daha yakın, diğerlerinin ise dışarıda olduğu ve gene halka yapılarını korudukları gözledik. Bu beklenen sonuç nedeniyle, küme içerisinde hapsedilmiş nötr veya farklı yüklerde parçacıkları içeren sistemlerin optimizasyonu için bazı önlemler almak gerekti. Eğer, bir kümenin içerisine daha fazla yükte bir parçacık koyarsanız, Coulomb itmeleri bu parçacığı kümenin dışına atar. O nedenle, tuzağın merkezine göre bağıl pozisyonu belirlenmiş ve sabit kalan safsızlıklar kullandık. Nötr parçacıklar için ise üstel bir itme kuvveti kullandık. Ayrıca doğrusal bozukluklar için de gene üstel bir itme içeren bölgeler tanımlandı. Bu sistemlerin optimizasyon sonuçlarına örnekler Şekil 6’da verilmektedir. Bu tarz bozuklukların temel etkisi, halka yapısındaki değişiklikler olmaktadır. Şekil.6. Safsızlık ile yapının değişmesi. Sol üst köşeden itibaren saat yönünde. Saf küme, merkezde nokta safsızlık ve asimetrik ile simetrik çizgi safsızlıklar. Bilhassa çizgi halindeki safsızlıklar, kümenin yapısındaki simetriyi büyük ölçüde bozmaktadır. Buna karşılık kümenin dış çeperlerini oluşturan dairesel yapılar karakterlerini korumaktadırlar. Ortaya çıkan değişikliklerin etkisi daha çok sistemin dinamiğinde görülmektedir. Sınır koşulları ve yapı ilişkileri Bazı deneylerde parçacıkları bir arada tutmak için kullanılan alanlar, sistemin etrafına itici bir çerçeve koyarak oluşturulmaktadır. Bu tarz deneylerin simülasyonu için kare şeklinde ve parçacıkları içeri doğru iten bir duvar oluşturduk. Böyle bir modelde optimizasyon, sorunlu bir sayısal problem olarak karşımıza çıktı. Parçacık ve duvar arasındaki kuvveti Coulomb veya nötr bir üstel bir fonksiyon olarak tanımlayabiliriz. Kullanılan optimizasyon tekniklerinin tamamında, belirli bir zamanda (adımda) parçacıklar üzerinde etki eden kuvveti hesaplayıp, bu kuvvet ile parçacık konumlarını düzeltme esası vardır. Bu düzeltme de kesikli adımlarla gerçekleşir. Bu kısımda açıklanan modelde, konumlar üzerinde yapılan düzeltmeler bazen parçacığın duvarların dışarı çıkmasına ve oradan da deney koşullarını terk etmesine yol açmaktadır. Bu durumu önlemek için suni olarak, kutunun dışına ek olarak üstel bir kuvvet eklemek gerekti. Bu sistemlerde, tuzak kuvveti ve etki mesafesini optimize ederek, standart kümelere nazaran daha düzenli yapılar oluşturmayı planlamıştık. Bununla beraber, bu işlem öngördüğümüzden daha zor bir problem olarak karşımıza çıktı. Çoğunlukla, parçacıklar duvarların yakınında Şekil 7. Kare şeklinde tuzak altında oluşan kararlı yapılar. Sol üst köşeden başlamak üzere saat yönünde N=100, 300, 500 ve 800. toplanmaya başlıyorlar. Şekil 7 de 100, 300, 500 ve 800 parçacığın aynı büyüklükteki kare bir alana hapsedildiği zaman oluşturdukları yapılar verilmiştir. N=100 için bile, parabolik tuzak için görülen üçgen yapılar neredeyse tamamen kaybolmuş durumdadır. O nedenle, bu sistemlerin erime davranışlarının, iki-boyutlu sistemlerin erimesi hakkında önemli bilgiler vermesi söz konusudur. Anizotropik tuzaklar Bilhassa 3-boyutlu kümelerde kullanılan tuzağın izotropisini değiştirmek mümkün olmaktadır(45,46). Denklem 1 deki ρ parametresini (üç boyut için) değiştirerek doğrusal zincirlerden, disklere veya 3-boyutlu küresel yapılara gitmek olasıdır. Fig.8. N=100, yukarıdan aşağı ρ=1, 0.003 ve 9 için kararlı yapılar Anizotropi parametresi ρ ve parçacık sayısı N’i kullanarak oluşturduğumuz faz diyagramı daha önce yayınlanmıştır (39). Bu diyagramda 1,2 veya 3 boyutlu yapılar birbirlerlerinden doğrusal faz sınırları ile oldukça belirgin bir şekilde ayrılmaktadır. Şekil 9. Anizotropi parametresi ve parçacık sayısı arasındaki faz diyagramı. Faz geçişleri Her ne kadar faz geçişleri sonsuz sistemler için tanımlanmış olsalar da, sonlu sistemlerde de faz geçişlerine benzer davranışlar gözlenmektedir. Kümelerde bilhassa katı-sıvı geçişine analojik olan ve erime olarak da adlandırılan geçişler gözlenmektedir. Bu konudaki çalışmaları özetlemek bu makale çerçevesinde mümkün değildir. Ama deneysel olarak küçük kümelerin ısı kapasitesindeki değişiklikleri ölçerek bu geçişlere ait deneysel bulgular bulunduğu gibi, sayısal simülasyonlarla da erime olarak tanımlanabilecek değişiklikler gözlenmiştir. Bu konuda H.Haberland ve R.S.Berry gruplarının çalışmalarını takip ederek detaylı bilgi alınabilir. Coulomb kümelerinde de benzer şekilde faz geçişleri gözlenmiştir. Deneysel olarak parçacıkların hareketlerini gözlemek mümkün olduğu içim erimeye benzer davranış farklılıkları doğrudan ölçülebilmektedir (8,11,13,14,16,47). Sayısal yöntemler ise bu konuda çok daha zengin veri sunabilmektedir (23,33,39,44,48-57). Genellikle Newton denklemlerinin sayısal çözümlerine dayanan moleküler dinamik simülasyon yöntemleri, bu faz geçişlerini incelemek için kullanılmaktadır. dri/dt = pi/m ve dpi/dt = fi = -∂V/∂ri (5) Bu denklemlerde, ri ve pi, i numaralı parçacığın koordinat ve momentum vektörlerini ve m de kütlesini tanımlar. V toplam potensiyel enerjidir. Başlangıç koşulları belirlendikten sonra, her parçacık üzerine etki eden kuvvet tarafından hareket ettirilir. Yukarıda verilen bağıl denklemler ise sayısal yöntemlerle, küçük zaman adımları için oldukça hassas olarak çözülebilmektedir. Bu çözümlerden elde edilen zaman serileri (hem koordinat hem de momentum uzayında), sistemin hareketinin sınıflandırılmasını ve dolayısı ile faz geçiş bölgelerinin tanımlanmasını sağlar. Sonlu sistemlerde doğal olarak, faz geçişlerinin özelliği olan süreksiz bölgeler yerine daha düzgün bir geçiş gözlenmektedir. Yığınların en önemli özelliklerinin, parçacık sayısına kuvvetle bağlı fiziksel özellikler olduğundan bahsetmiştik. Erime olayı da benzer şekilde parçacık sayısına göre farklı mekanizmalar göstermektedir. Şekil 10. Farklı büyüklükteki kümelerde, Lindemann indisinin sıcaklıkla değişimi Şekil 10’da N=10,20,40 ve 50 için Lindeman indisinin, ortalama sıcaklığa göre değişimi verilmiştir. Bütün fiziksel büyüklükler m, q ve A’nın bir olarak alındığı genel birim sistemindedir. MD simülasyonlarını sabit enerji koşullarında gerçekleştirdiğimiz için, her enerji için önce 105 adımlık bir süreçte kümeyi dengeye getirmek gerekmektedir. Daha sonra ise 106 adımlık bir zaman serisi oluşturularak hem δ hem de ortalama sıcaklık T bu seri üzerinden hesaplanmıştır. Ampirik bir kural olarak, δ’nın 0.1’i geçtiği bölge erime sıcaklığı olarak tanımlanır. Bu şekilde değişik erime mekanizmaları gösterilmektedir. N=10 net olarak iki adımlı bir erime (önerime) göstermekte iken, N=20 de ise çok düşük sıcaklıklarda bile yüksek δ değerleri gözlenmektedir. N=40 ve 50 ise gittikçe keskinleşen ve tek adımda gerçekleşen faz geçişlerine sahiptirler. Bu değişik mekanizmalar arasındaki farklar, tek bir ölçüte indirilememektedir. Şekil 11. Maksimum Lyapunov üstelinin sıcaklık ile değişimi. Koyu çizgi N=50, noktalı çizgi N=10. Kaotik davranışın boyutlarını belirleyen Lyapunov üsteli de N=10 ve 50 için, Lindemann indisine benzer davranış göstermektedir. Her iki ölçüt de aynı yerde bir erimenin varlığına işaret etmektedir. Ayrıca N=10 da önerimenin işaretleri de bulunmaktadır. Bütün bu farklı mekanizmaların altında iki önemli kavram yatmaktadır. Bunların birincisi, iki ayrı kristalimsi yapının arayüzeylerinde oluşan topolojik bozukluklardır. Bu bozuklukların erime için bir başlangıç bölgesi oluşturdukları düşünülmekte ise de, kanımca bu konuda yeterli analiz yapılmamıştır. Bu bölgelerin hem oluşumundaki düzensizlikler hem de erime sırasındaki değişiklikleri, erimenin nasıl parçacık sayısı ile değiştiğini açıklamada önemli rolü vardır. Bir diğer nokta ise, düşük sıcaklıklarda başlayan hareketin tanımlanmasında yatmaktadır. Öncelikle parçacıklar denge konumları etrafında küçük hareketler yaparlar. Sıcaklık arttıkça bu hareketin boyutlar artar ve bir noktadan sonra içerideki halkalarda öncelik olmak üzere halkaların dönmesi başlar. Bu durumda bir hareket olduğu için Lindemann indisi veya maksimum Lyapunov üsteli gibi dinamik ölçütler artık sıfırdan büyük değerleri alırlar. Buna karşılık halkalar arasında parçacık değişimi (izomerizasyon) henüz başlamamıştır. Halbuki hakiki anlamda erime, sistemin faz uzayında değişik minimum enerji bölgelerini taraması ile oluşacaktır. Tabii bu durumun gerçekleşmesinde minimum yapıları birbirine bağlayan geçiş yapılarının yarattığı enerji engellerinin yükseklikleri de önemli olmaktadır. Nitekim, ısı kapasitelerinin ölçümlerindeki ( ki bu ölçümler dönme hareketlerinden nispeten az etkilenirler) erime sıcaklıkları, Lindeman indislerinin ilk olarak 0,1 civarına geldiği sıcaklıklardan çok daha yüksek çıkmaktadırlar. Bu farklılığın detaylı bir tartışması Ref.33’de verilmiştir. Önceki kısımlarda verilen yapısal bozukluklar ve değişen sınır koşullarının etkileri, erime mekanizmaları için önemli olacaktır. Örneğin, halka yapısındaki bozukluklar (Şekil 6) dinamik ölçütlerden bulunan erime sıcaklıklarını arttırmaktadırlar. Aynı zamanda düzgün kümelerde gözüken ve iç dönmelerden kaynaklandığını düşündüğümüz önerimeler de kaybolmaktadır. SONUÇLAR ve TARTIŞMA Kümeler bir anlamda atomlardan nano parçacıklara gidişte bir köprü oluşturmaktadır. Coulomb kümeleri ise atomik düzeyde olduğu kadar makro boyutta oluşabilmeleri nedeniyle ilginç bir problem olarak karşımıza çıkmaktadırlar. Bu sistemlerin modellenmesi nispeten kolay olduğu gibi, bilhassa iki boyutta incelenmesi kolay yapılar göstermektedirler. Buna karşılık, gerek termodinamik kararlılıkları gerekse de faz geçişleri gibi dinamik özellikleri kolaylıkla basit kurallara indirgenemeyecek kadar karmaşıktır. Bu yazıda Coulomb kümelerinde yapılan çalışmaların bir değerlendirmesi kadar, anlaşılmasına ihtiyaç duyulan problemler de verilmeye calışılmıştır. Bu problemler arasında a) geçiş hallerinin bulunup, potensiyel enerji yüzeylerinin topolojik haritalarının çıkarılması, b) topolojik bozuklukların erimeyi nasıl etkilediği, c) yapıların ne kadar hekzagonal kristale benzediğinin belirlenmesi, d) sınır koşulları ile yapı arasındaki ilişkiler ve e) dinamik ve termodinamik erime ölçümleri arasındaki ilişkilerin belirlenmesi sayılabilir. Bu çalışmaları beraber yürüttüğümüz Dr.Florent Calvo’ya, desteği için de Türkiye Bilimler Akademisi ve Koç Üniversitesi’ne teşekkürü bir borç bilirim. REFERANSLAR 1) Wigner, E. (1934) On the interaction of electrons in metals. Phys.Rev. 46, 1002-1011 2) Wigner, E. (1938) Effects of the electron interaction on the energy levels of electrons in metals, Trans.Faraday Soc. 34, 678-685 3) Leiderer, P. (1992) Electrons at the surfaces of quantum systems. J.Low Temp.Physics, 87, 247-278 4) Sikorski, C. & Merkt, U. (1989) Spectroscopy of electronic states in InSb quantum dots. Phys.Rev.Lett. 62, 2164-2168 5) Ashoori,R, Stormer, H.L., Weiner, J.S., Pfeiffer, L.N., Pearton, S.J., Baldwin, K.W. & West, K.W. Single electron capacitance spectroscopy of discrete quantum levels, Phys.Rev.Lett. 68, 3088-3093 6) Ikezi, H. Coulomb solid of small particles in plasmas. (1986) Phys.Fluids, 29, 17641766 7) Chu, J.H. & I,L. (1994) Direct observation of Coulomb crystals and liquids in strongly coupled rf dusty plasmas, Phys.Rev.Lett. 73, 4009-4012 8) Melzer, A., Homann, A. & Piel, A. (1996) Experimental investigation of the melting transition of the plasma crystal. Phys.Rev.E, 53, 2757-2766 9) Wang, Y-C, Juan, W-T & I, L. (2000) Self-organized oscillations of strongly coupled dust Coulomb clusters in plasma traps, Phys.Rev.E 62, 5667-5671 10) Melzer, A. (2003) Mode spectra of thermally excited two-dimensional dust Coulomb clusters, Phys.Rev.E, 67, 016411 1-10 11) Ichiki, R., Ivanov, Y., Wolter, M. Kawai, Y. & Melzer, A. (2004) Melting and heating of two-dimensional Coulomb clusters in dusty plasmas, Phys.Rev.E, 70, 066404 1-4 12) Zahn, K., Mendez-Alcaraz, J.M.& Maret, G (1997) Hydrodynamic interactions may enhance the self-diffusion of colloidal particles, Phys.Rev.Lett. 79, 175-178 13) Wei, Q-H., Bechinger, C., Rudhardt,D. & Leiderer, P. (1998) Experimental study of laser-induced melting in two-dimensional colloids, Phys.Rev.Lett. 81, 2606-2609 14) Bubeck, R., Bechinger, C., Neser, S & Leiderer, P.(1999) Melting and reentrant freezing of two-dimensional colloidal crystals in confined geometry, Phys.Rev.Lett. 82, 3364-3367 15) Saint Jean, M., Even, C & Guthmann, C. (2001) Macroscopic 2D Wigner islands, Europhys.Lett. 55, 45-51 16) Zheng,X.H.& Grieve, R. (2006) Melting behavior of single two-dimensional crystal, Phys.Rev.B, 73, 064205 1-10 17) Kjargaard, M. And Drewsen, M. (2003) Observation of a structural transition for Coulomb crystals in a linear Paul trap, Phys.Rev.Lett. 91, 95002 1-4 18) Drewsen,M., Jensen, I.S., Kjargaard, N., Lindballe, J., Mortensen, A., Molhave, K & Voigt, D. (2003) Non-stationary Coulomb crystals in linear Paul traps, J.Phys.B.At.Mol.Opt.Phys. 36, 525-532 19) Drewsen,M., Mortensen, A., Lindballe, J., Molhave, K. & Kjargaard, N. (2004) Dynamically excited single-component ion Coulomb crystals in linear Paul traps, Nucl.Inst.Meth.Phys.Res. A532, 237-240 20) Mortensen, A., Nielsen, E. Matthey,T. & Drewsen,M. (2006) Observation of threedimensional long-range order in small ion Coulomb crystals in an rf trap, Phys.Rev.Lett. 96, 103001 1-4 21) Wales, D.J. (2003) Energy Ladnscapes, Cambridge University Press., Cambdridge 22) A.M.Ferrenberg & R.H.Swendsen (1988) New Monte Carlo technique for studying phase transitions, Phys.Rev.Lett. 61, 2635-2638 23) Bedanov, V.M. & Peeters, F.M. (1994) Ordering and phase transitions of charged particles in a classical finite two-dimensional system. Phys.Rev.B 49, 2667-2676 24) Partoens, B. & Peeters, F.M. (1997) Classical artificial two-dimensional atoms. The Thomson model. J.Phys.Condens.Matter. 9, 5383-5393 25) Kong, M., Partoens, B. & Peeters, F.M. (2002) Transition between ground and metastable states in classical two-dimensional atoms. Phys.Rev.E 65, 46602 1-13 26) Kong. M, Partoens, B, Matulis A. & Peeters, F.M. (2004) Structure and spectrum of two-dimensional clusters confined in a hard wall potential. Phys.Rev.E 69, 036412 1-10 27) Wales, D.J. & Lee, A.M. (1993) Structure and rearrangements of small trapped-ion clusters, Phys.Rev.A 47, 380-393 28) Beekman, R.A., Roussel, M.R. & Wilson, P.J. (1999) Equilibrium configurations of systems of trapped ions. Phys.Rev.A 59, 503-511 29) Ludwig, P., Kosse, S. & Bonitz,M. (2005) Structure of spherical three-dimensional Coulomb crystals. Phys.Rev.E 71, 046403 1-5 30) Bontiz,M, Block,D., Arp,O., Golubnychiy, Baumgartner,H., Ludwig,P., Piel,A. & Filinov, A. (2006) Structural properties of screened Coulomb balls. Phys.Rev.Lett. 96, 75001 1-4 31) Calvo, F. & Yurtsever, E. (2004) Composition-induced structural transitions in mixed rare-gas clusters, Phys.Rev.B. 70, 45423 1-11 32) Li,Z. & Scheraga, H.A. (1988) Monte Carlo minimization approach to the multiple minima problem in protein folding. Proc.Natl.Acad.Sci.U.S.A. 84, 6611-6615 33) Yurtsever, E., Calvo,F. & Wales, D.J. (2005) Finite-size effects in the dynamics and thermodynamics of two-dimensional Coulomb clusters, Phys.rev.E 72, 026110 1-10 34) Cockayne, E. & Esler, V. (1991) Energetics of point defects in the two-dimensional Wigner crystal. Phys.Rev.B 43, 623-629 35) Price, R. & Platzman, P.M. (1991) Defect configurations in a two-dimensional classical Wigner crystal. Phys.Rev.B, 44, 2356-2357 36) Lai, Y-J. & I, L. (1999) Packings and defects of strongly coupled two-dimensional Coulomb clusters: Numerical simulation, Phys.Rev.E. 60, 4743-4753 37) Candido, L., Phillips, P. & Ceperley, D.M. (2001) Single and paired point defects in 2D Wigner crystal, Phys.Rev.Lett. 86, 492-495 38) Totsuji,H., Kishimoto,T., Totsuji, C. & Tsuruta K. (2002) Competition between two forms of ordering in finite Coulomb clusters, Phys.Rev.Lett. 88, 125002 1-4 39) Calvo, F. & Yurtsever (2007) Non-monotonic size effects on the structure and thermodynamics of Coulomb clusters in three-dimensional traps, Eur.Phys.J.D, 44, 81-91 40) Yurtsever, E., Yıldırım, E., Yurtsever M., Bodo E. & Gianturco, F.A. (2007) Solvation of K+ in Helium droplets”, Eur.Phys.J.D. 43, 105 41) Cheng, L. & Yang, J. (2007) Global minimum structures of Morse clusters as a function of the range of the potential: 81 ≤ N ≤ 160. J.Phys.Chem.A 111, 5287-5293 42) Despa, F., Wales, D.J. & Berry, R.S. (2005) Archetypal energy landscapes: Dynamical diagnosis, J.Chem.Phys. 122, 24103 1-8 43) Tsai, C.J. & Jordan, K.D. (1993) Use of an eigenvalue method to locate the stationary points on the potential energy surfaces of selected Argon and water clusters. J.Phys.Chem. 97, 11227-11237 44) Yurtsever, E. & Calvo, F. Effects of the range of the potential on the structure and dynamics of two-dimensional Coulomb clusters. (Basıma yollandı) 45) Drewsen, M., Jensen, I.S., Kjargaard, N., Lindballe, J, Mortensen, A, Molhave, K. & Voigt,D. (2003) Non-stationary Coulomb crystals in linear Paul traps, J.Phys.B. 36, 525523 46) Drewsen, M., Mortensen A., Lindballe, J. , Molhave, K. &., Kjargaard, N. (2004) Dynamically excited single-component ion Coulomb crystals in linear Paul traps, Nucl.Inst.Met.Phys.Res.A, 532, 237-240 47) Ivanov, Y. & Melzer, A. (2005) Melting dynamics of finite clusters in dusty plasmas, Phys.Plasmas, 12 072110 1-11 48) Combs, J.A. (1988) Three-stage melting in two dimensions initiated by the formation of grain boundaries: A molecular dynamics study, Phys.Rev.B 38, 6751-6760 49) Schweigert, V.A., Schweigert, I.V., Melzer, A., Homann, A. & Piel, A. (1998) Plasma crystal melting: A nonequilibrium phase transition, Phys.Rev.Lett. 80, 5345-5348 50) Schweigert, I.V., Schweigert, V.A. & Petters, F.M. (1999) Melting of the classical bilayer Wigner crystal: Influence of lattice symmetry, Phys.Rev.Lett. 82, 5293-5296 51) Schiffer, J.P. (2002) Melting of crystalline confined plasmas, Phys.Rev.Lett. 88, 205003 1-4 52) Lai, Y-J. And I,L. (2001) Defects and particle motions in the nonuniform melting of a two-dimensional Coulomb cluster. Phys.Rev.E 64, 015601 1-4 53) Kong, M., Partoens, B. And Peeters, F.M. (2003) Topological defects and nonhomogeneous melting of large two-dimensional Coulomb clusters, Phys.Rev.E 67, 021608 1-8 54) Drocco, J.A., Olson-Reichardt, C.J., Reichardt, C. & Janko, B. (2003) Structure and melting of two-species charged clusters in a parabolic trap, Phys.Rev.E 68, 060401 1-4 55) Apolinario, S.W.S., Partoens, B. & Peeters, F.M. (2006) Inhomogeneous melting in anisotropically confined two-dimensional clusters, Phys.Rev.E 74, 031107 1-11 56) Ghazali, A. & Levy J-C.S. (2006) Solid-liquid transition in 2D dipolar systems, Europhys.Lett. 74, 355-361 57) Jevy, J-C.S. & Ghazali, A. (2006) Monte Carlo simulations of solid state and melting of 2D confined magnetic particles under perpendicular field, Phys.Stat.Sol.(b) 243, 188192