6 Bolum Kati Cisimler.qxd
Transkript
6 Bolum Kati Cisimler.qxd
KATI CÝSÝMLER KATI CİSİMLER YILLAR 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2001 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 ÖSS / ÖSS-I 2 2 1 1 4 2 3 1 2 3 3 4 2 ÖYS / ÖSS-II 1 2 2 1 1 3 2 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 KATI CİSİMLER BÖLÜM 6 211 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 3. Prizma Bir dikdörtgenler prizmasının x, y, z boyutları 2, 3, 4 sayıları ile doğru orantılıdır. Bu prizmanın hacmi 3000 cm³ olduğuna göre, alanı kaç cm² dir? 1. A) 1100 B) 1200 D)1400 C) 1300 E) 1500 (1996 - ÖYS) |AB| = 6 birim |BC| = 3 birim |AF| = 5 birim |HX| = |HZ| = 1 birim |HY| = 2 birim Kutunun ABCD tabanından geçemeyen bu karıncalar X, Y ve Z noktalarına kutu yüzeyinde kalarak en kısa yollardan ulaştıklarına göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A)x<y<z B)x<z<y D)y<z<x C)y<x<z E)z<y<x (2004 - ÖSS) 4. Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 1,3,5 sayıları ile orantılıdır. Bu dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni 70 cm olduğuna göre hacmi kaç cm³ tür? www.teslimozdemir.com Yukarıdaki gibi dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutunun A köşesinden harekete başlayan üç karıncadan birincisi X, ikincisi Y, üçüncüsü Z noktasına sırasıyla x, y ve z birim yol alarak ulaşmıştır. A) 120 B) 92 C) 30 2 D) 15 E) 15 6 (1981 - ÖYS) 2. Soru Tipi: 1. Soru Tipi: 5. 2. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 3,5,7 sayıları ile orantılıdır. Bu prizmanın tüm alanı 568 cm2 olduğuna göre, hacmi kaç cm³ tür? A) 440 B) 540 C) 840 D) 740 E) 640 (1979) 212 Boyu eninin iki katı uzunluğunda olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun tümü kullanılarak 16 cm3 hacminde, kare prizma şeklinde kapaksız bir kutu yapılıyor. Kare prizmasının taban kenarı, verilen kartonun enine eşit olduğuna göre, kullanılan kartonun alanı kaç cm2 dir? A) 128 B) 96 C) 64 D) 32 E) 16 (1988 - ÖYS) KATI CİSİMLER 6. Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları x, x, h cm dir. 3. Soru Tipi: 9. Bu prizmanın hacmi 75 cm3 olduğuna göre, yüzlerinin toplam alanının x cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x 2 + 300 x D) B) x 2 + 4x x2 + 4x 2 E) Bir kenar uzunluğu 16 cm olan kare şeklindeki kartonun köşelerinden bir kenar uzunluğu 3 cm olan birer kare kesilerek çıkartılıyor ve kalan karton parçası kıvrılarak şekildeki gibi üstü açık bir kutu yapılıyor. C) x 2 +75 x2 + 300x 2 (1985 - ÖYS) Bu kutunun hacmi kaç cm3 tür? A) 200 B) 240 C) 250 D) 300 E) 360 (2006 - ÖSS - I) Kare tabanlı kapalı bir dik prizmanın hacmi 30 cm3 tür. Karenin bir kenarı x cm olduğuna göre, prizmanın tüm alanını veren y=f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) y = C) y = x 2 +30 B) y = x 2x + 60 x2 x 2 + 120 x D) y = E) y = x 2 + 60 x2 2x 3 + 120 x (1998 - ÖYS) altın nokta yayınları © 7. 10. 35 30 42 Şekildeki dikdörtgenler prizmasının üç farklı yüzünün alanları türünden üzerlerine yazılmıştır. Bu prizmanın hacmi kaç tür? 8. A) 200 B) 210 C) 240 D) 260 E) 280 (2007 - ÖSS - II) Şekildeki gibi 6 bölümlü ve tabanı kare olan kapaklı bir karton kutu yapılacaktır. Bu kutunun yüksekliği 5 cm, tabanının bir kenarının uzunluğu 20 cm olacağına göre, kaç cm2 karton gereklidir? A)1000 B)1100 C)1200 D)1400 E)1500 11. 10 cm boyunda 1 cm çapında silindir biçimindeki 10 kalem, beşerli iki sıra halinde, dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutuya konulacaktır. Bu kutunun hacmi en az kaç cm3 olmalıdır? A) 300 B) 200 C) 150 D) 100 E) 50 (1984 - ÖSS) (2003 - ÖSS) 213 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 14. Kenar uzunlukları 1 er birim olan 6 küple oluşturulan aşağıdaki kürsünün tabanı hariç tüm yüzeyi, bir madalya töreni için kumaşla kaplanacaktır. Küp 12. |AB|=4 birim |FC|=x birim Şekildeki ABCD ve ADEF kareleri birbirine dik ve eşittir. AB=4 birim olduğuna göre, |FC|=x kaç birimdir? A) 2 3 B) 4 2 C) 3 5 D) 4 3 Bu kaplama işi için kaç birim kare kumaş gereklidir? E) 2 5 (1994 - ÖYS) A) 18 B)20 C)21 D) 25 E) 32 www.teslimozdemir.com (2005 - ÖSS) 13. 15. A Yukarıdaki şekilde verilen küpün bir ayrıtının uzunluğu 1 cm dir. Buna göre, D'AB' üçgeninin alanı kaç cm² dir? A) 3 3 B) 2 3 C) 3 D) 3 2 E) 3 4 (1987 - ÖYS) 214 Yukarıdaki şekilden, A ile aynı boyutlarda olan (A dahil) kaç küp elde edilir? A) 23 B) 21 C) 17 D) 14 E) 12 (1977) KATI CİSİMLER 18. Bir küpün alanı b cm2 dir. İkinci bir küpün hacmi bu küpün hacminin c katıdır. 16. İkinci küpün alanı kaç cm2 dir? (1981 - ÖSS) ABCDEFGH küp 19. Kenarları 3 cm, 6 cm ve 12 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmine, eşit hacimde olan küpün bir kenarı kaç cm dir? AKLMTSRN küp |AB|=a cm a |AK|= cm 3 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 Bir kenarı a cm olan içi dolu tahta bir küpün E) 6 (1995 - ÖSS) a köşesinden, bir kenarı cm olan bir küp kesi3 lerek çıkartılıyor. A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 (2002 - ÖSS) altın nokta yayınları © Geriye kalan büyük küp parçasının alanının, küçük küpün alanına oranı kaçtır? 20. Tabanının boyutları 6 cm ve 8 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kapta bir miktar su vardır. Bir ayrıtının uzunluğu 5 cm olan kapalı bir küp, tabanı kapın tabanına değecek biçimde suya batırılınca su seviyesi küpün yarısına kadar yükseliyor. Buna göre, suyun ilk yüksekliği kaç cm dir? A) 115 96 B) D) 113 94 109 90 C) E) 111 92 103 90 (1997 - ÖSS) 17. PİRAMİT Küp biçimindeki tahtabir bloktan küçük birküp alınmıştır. Kalan tahtanın hacmi 208 cm3 olduğuna göre, |BC| kaç cm dir? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 (1989 - ÖYS) 21. Tabanının bir kenarı 8 cm, yüksekliği 3 cm olan düzgün kare piramidin bütün alanı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 224 cm2 B) 144 cm2 D) 80 cm2 C) 112 cm2 E) 64 cm2 (1969) 215 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 25. Bir piramidin yüksekliğinin ortasından tabana paralel bir düzlemde kesiliyor. 22. Küçük piramidin hacminin büyük piramidin hacmine oranı nedir? A) 1 7 B) 2 7 C) 1 8 D) 3 8 E) 1 5 (1972) Taban kenarı 10 cm olan bir düzgün kare piramidin bütün alanı 360 cm2 dir. Buna göre, piramidin yüksekliği kaç cm dir? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 23. Hacmi 28 cm3 olan bir kesik piramidin alt tabanının alanı 12 cm2, üst tabanının alanı 3 cm2 olduğuna göre yüksekliği kaç cm dir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 www.teslimozdemir.com (1987 - ÖYS) 26. (1967) 24. Tabanı 12 cm2, yüksekliği 6 cm olan bir piramit tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Düzlem tepeden 2 cm uzaktadır. Kesit alanı aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 cm2 B) 3/2 cm2 D) 4/3 cm2 C) 2/3 cm2 E) 3 cm2 büyük piramidin taban kenarlarından biri kaç cm dir? A) 9 (1970) 216 Yukarıdaki şekilde, kare tabanlı dik piramidin içine yerleştirilmiş küp görülmektedir. Küpün alt yüzü piramidin tabanı ile aynı düzlemde olup üst köşeleri ayrıtlar üzerindedir. Üstte kalan küçük piramidin yüksekliği 3 cm, hacmi 9 cm3 olduğuna göre B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 (1986 - ÖSS) KATI CİSİMLER 29. 27. ABCD kare tabanlı ABCDA'B'C'D' dikdörtgenler prizmasında D' noktası A ve B ile, D noktası da B ile birleştirilirse, hacmi 300 cm3 olan (D',ABD) piramidi elde ediliyor. Yukarıdaki ABCDEF üçgen tabanlı dik prizması ile, köşeleri bu prizmanın ayrıtları üzerinde olan MLEK piramidi verilmiştir. [ML // [DF], ABCDA'B'C'D' prizmasının yüksekliği 15 cm olduğuna göre, tabanının bir kenarı kaç cm dir? ME 1 EK 1 = , = olduğuna göre, DE 3 EB 3 A) Hacim(MLEK) oranı kaçtır? Hacim(ABCDEF) 1 81 B) 1 64 C) 1 49 D) B) 2 15 D) 2 30 1 36 E) C) 3 15 E) 3 30 (1998 - ÖSS) 1 27 (2001 - ÖSS) altın nokta yayınları © A) 15 DÖRTYÜZLÜ 30. Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alanı 256 3 birim karedir. Bu dörtyüzlünün yanal yüz yüksekliği kaç birimdir? A) 6 3 28. B) 7 3 D) 9 3 C) 8 3 E) 10 3 (1995 - ÖYS) Şekildeki kare dik piramidin bir yan yüzü, taban düzlemi ile 60° lik açı yapmaktadır. Piramidin hacmi 288 3 cm3 olduğuna göre, tabanının bir kenarı kaç cm dir? A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 (1996 - ÖYS) 31. Bir kenarı a = 2 2 cm olan bir düzgün dörtyüzlünün hacmi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 2 cm 3 3 D) B) 8 3 cm 3 3 2 2 cm 3 E) C) 3 3 cm 8 8 3 3 cm 3 (1971) 217 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 32. 34. Bir kenarı a= 3 cm olan bir düzgün sekizyüzlünün hacmi aşağıdakilerden hangisidir? A) 8 2 B) 8 3 D) 16 2 3 C) 11 2 2 E) 9 2 (1972) Şekildeki ABCD dörtyüzlüsünün ABC yüzü bir kenarının uzunluğu a olan eşkenar üçgen, BDC yüzü ise D açısı dik olan bir üçgendir. AD ayrıtı BDC düzlemine dik olduğuna göre, bu dörtyüzlünün hacmi ne kadardır? A) a3 24 B) D) a3 2 24 a3 6 24 C) E) a3 3 24 a3 3 48 www.teslimozdemir.com (1980) 33. Eşkenar olan ABC ve SBC üçgenlerinin |BC|=a kenarı ortak olup düzlemlerinin ölçek açısı x dir. x ve a nın fonksiyonu olarak SABC dörtyüzlüsünün hacmi aşağıdakilerden hangisidir? A) V = πa3 3 D) V = B) V = π 3 a 3 4π 2 a 3 E) V = C) V = a3 sin x 8 π a.sin x 3 35. Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 24p cm olan dik silindir biçimindeki bir kutunun alt tabanı üzerindeki A noktası ile üst tabanı üzerindeki B noktası aynı düşey doğru üzerindedir. Şekildeki gibi, A dan hareket edip kutunun yalnızca yanal yüzeyi üzerinde tek bir dolanım yaparak en kısa yoldan B ye giden bir karıncanın aldığı yol kaç cm dir? A) 26 π B) 25 π D) 25 3 (1970) 218 SİLİNDİR C) 24 2 π E) 25 2 (2000 - ÖSS) KATI CİSİMLER 36. 39. Yüksekliği 10 cm olan dik silidir biçimindeki bir su bardağı tümüyle su doludur. Suyun 25 cm3 ü boşaltıldığında, su yüksekliği 2 cm azalmaktadır. Buna göre, tümüyle dolu bardakta kaç cm3 su bulunmaktadır? A) 125 B) 135 C) 150 D) 225 E) 250 (2005 - ÖSS) Şekildeki dik silindirde [AB] anadoğru, [BD] doğru parçası taban çapıdır. C taban çevresi üzerinde bir nokta, |AB|=8 cm |BD|=10 c |CD|=8 cm Yukarıdaki verilere göre, ACD üçgeninin alanı kaç cm2 dir? A) 32 B) 36 C) 40 D) 44 40. Hacimleri eşit iki silindirin yanal alanları arasındaki oran aşağıdakilerden hangisidir? E) 48 A) (1982 - ÖYS) h h' B) r r' C) r r' D) r'2 r E) h2 h' 37. Kenarları 60 cm ve 80 cm olan dikdörtgen biçimindeki karton, bükülerek dik silindir biçiminde boru haline getirilecektir. Bükme işlemi uzun ve kısa kenar üzerine yapıldığında elde edilecek iki farklı boru silindirin, yan alanları oranı kaçtır? A) 1 B) 1 2 C) 2 3 3 4 D) E) altın nokta yayınları © (1967) 41. Bir silindirin yanal alanı 20π ve yüksekliği 10 birim olduğuna göre, hacmi kaç birimdir? A) 2π B) 20π C) 10π D) 40π E) 200π (1976) 4 5 (1995 - ÖSS) 38. Yüksekliği 60 cm ve taban kenar uzunluğu a cm olan kare prizma su ile doludur. Yarıçapı a cm olan bir silindirin prizmadaki suyun tamamını alabilmesi için yüksekliği en az kaç cm olmalıdır? (π=3 alınız.) A) 22 B) 20 C) 18 D) 16 E) 15 (1987 - ÖSS) 42. Kenarları a ve b olan bir dikdörtgenin a kenarı etrafında dönmesinden meydana gelen silindir ile b kenarı etrafında dönmesinden meydana gelen silindirin hacimleri arasındaki oran nedir? A) 1 π B) 1 C) b a D) b2 a 2 E) b3 a3 (1966) 219 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 43. Eksenden geçen, kesiti kare olan bir dik silindirin hacmi 169,56 cm olduğuna göre, 46. bu dik silindirin taban yarıçapı aşağıdakilerden hangisidir? (π = 3,14) A) 3 cm B) 6 cm C) 2 cm D) 4 cm E) 9 cm (1973) 44. Yukarıdaki I. şekil taban çapı 4 cm, yük-sekliği 10 cm olan bir silindirdir. Bu silin-dirdeki suyun yüksekliği h dir. Bu kap II. şekilde görüldüğü gibi yatayla 45 lik açı yapacak biçimde eğildiğinde su düzeyi şekildeki gibi kabın ağzına dayanmaktadır. Buna göre, h kaç cm dir? A) 9 Bu kaba su konmaya başladıktan 2 saniye sonra, suyun yüksekliği 8 cm olduğuna göre, 3 sn sonra (beşinci saniye sonunda) suyun yüksekliği kaç cm olur? A) 32 B) 23 C) 19 D) 17 E) 14 (1981 - ÖSS) B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 (1982 - ÖYS) www.teslimozdemir.com Taban çapı 2R=20 cm olan silindir biçimindeki bir kapta, başlangıçta 200 π cm3 su vardır. Bu kaba yeniden su konmakta ve kaptaki suyun h yüksekliği, t zamanına göre, h=at+b bağıntısı ile değişmektedir. 47. 45. 10 cm 20 cm Yukarıdaki düzenekte, dikey doğrultudaki kalın silindirik boruların kesitleri s, sağ kola eklenmiş olan ince silindirik borunun kesiti ise s tür. 4 Piston 20 cm aşağı indirildiğinde, öteki kolda su yüzeyi kaç cm yükselir? A) 52 B) 50 C) 46 D) 42 E) 38 (1982 - ÖSS) 220 İç içe geçirilmiş ve yükseklikleri eşit, dik silindir biçimindeki iki kaptan dıştakinin çapı içtekinin çapının iki katıdır. İçteki kap ağzına kadar su ile dolu iken tabanına çok yakın bir delik açılırsa, ikisi arasındaki boşlukta su hangi yüksekliğe çıkar? (İçteki kabın kalınlığı önemsenmeyecektir.) A) h 2 B) h 4 C) h 3 D) 2h 3 E) 3h 4 (1983 - ÖSS) KATI CİSİMLER 51. KONİ 48. Taban alanı S olan yandaki dik konide alanları S1, S2 olan tabana paralel iki kesit ve bu kesitlerin merkezleri verilmiştir. Yukarıdaki şekil, ana doğrusunun uzunluğu a cm olan bir dik koninin açılımıdır. Dik koninin hacmi ∧ 96π cm3 ve m(AOB)=216° olduğuna göre, |TC|=2 cm |OA|=|OB|=a kaç cm dir? |TA|=1 cm A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 S=S1+S2 E) 12 olduğuna göre, |AB| kaç cm dir? (1998 - ÖYS) 49. Taban yarıçapı r = 6 cm ve yüksekliği h = 8 cm olan dönel koninin açılımında yanal yüzeyinin meydana getirdiği daire parçasının merkez açısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 π 3 B) D) 7 π 4 4 π 3 C) E) 6 π 5 7 π 2 (1972) 50. altın nokta yayınları © (1990 - ÖYS) 52. 3 12 Şekildeki gibi, koni biçiminde bir gövdeden oluşan kapaklı bir cisim yapılacaktır. Kapak koninin yanal ayrıtı 3 cm, yanal alanı 24 cm2 dir. Gövde koninin yanal ayrıtı 12 cm olduğuna göre yanal alanı kaç cm2 dir? A) 96 B) 108 C) 116 D) 150 E) 384 (2003 - ÖSS) T dik koninin tepesi |AB| koni tabanının bir çapı |AO|=|OB|=1 km 53. Tabanın yarıçapı 5 cm, olan bir eğik koninin yüksekliği 6 cm dir. |TB|= 3 km Yukarıdaki şekil, dik koni biçiminde idealleştirilmiş birdağı, A ve B noktaları ise bu dağ eteğindeki iki köyü temsil etmektedir. Tepeden 2 cm aşağıdan tabana paralel olarak alınan kesitin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir? Bu iki köyü birleştiren, dağ yüzeyi üzerindeki en kısa yol kaç km dir? A) A) π 3 B) 2π 3 C) π D) 3 E) 3 25 3 B) 25 7 C) 25 9 D) 25 2 E) 25 4 (1971) (2002 ÖSS) 221 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 54. Taban yarıçapı 8 cm, yanal yüzeyinin alanı 96π cm2 olan bir dönel koninin yüksekliğinin bir ana doğrusuna oranı kaçtır? A) 6 4 B) 5 3 C) 3 4 D) 2 3 E) 58. 1 2 (1995 - ÖSS) Şekildeki gibi, taban yarıçapı 1 metre, yüksekliği 2 metre olan dik koni biçimindeki bir su deposuna bir musluktan sabit hızla su akıtılıyor. Depoda biriken suyun derinliği x metre olduğunda, depoda biriken suyun hacmi x türünden kaç metreküp olur? 55. Taban yarıçapları 1 ve 2, yüksekliği 3 olan kesik koninin hacmi nedir? A) 5π B) 6π C) 7π D) 8π E) 9π A) (1966) πx 3 12 B) 56. Yanal alanı 135π cm2 olan bir dik koninin taban yarıçapı 9 cm dir. Bu koninin hacmi kaç cm³ tür? A) 282π B) 292π D) 312π www.teslimozdemir.com D) πx 3 9 πx 3 4 C) E) πx 3 6 πx 3 3 (2006 - ÖSS - I) 59. C) 302π E) 324π (1998 - ÖSS) Şekildeki dik koni, tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Meydana gelen kesik koninin yüksekliği, başlangıçtaki dik koninin yüksekliğinin 57. Bir dönel koni, tabana paralel üç düzlemle kesilerek, yükseklikleri eşit olan dört parçaya ayrılıyor. Tepeden birinci parçanın hacminin ikinci parçanın hacmine oranı nedir? A) 1 7 B) 1 6 C) 1 4 D) 1 3 E) 1 2 (1978) 222 2 3 katı ol- duğuna göre, başlangıçtaki dik koninin hacmi, kesik koninin kaç katıdır? A) 64 27 B) D) 9 4 27 26 C) E) 27 8 3 2 (2004 - ÖSS) KATI CİSİMLER 60. Bir dik kenarı (a) olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü etrafında dönmesinden meydana gelen cismin hacmini bulunuz. A) πa2 2 4 B) πa 3 3 6 πa3 2 6 D) C) E) 64. Güneş yarıçapı yer yarıçapının 108 katıdır. Bu iki cismin hacimleri oranı aşağıdakilerden hangisidir? πa 3 2 8 A) 1083/2 B) 1083/3 D) 1083 πa 3 2 12 C) 109,212 E) 2083 (1970) (1970) 65. Bir kürenin merkezinden 4 cm uzaklıktaki kesitlinin çevresi 6π olduğuna göre bu kürenin yarıçapı kaç cm dir? 61. Dik kenarları x,y olan bir dik üçgen, önce x dik kenarı, sonra y dik kenarı etrafında döndürülürse elde edilen konilerin hacimleri oranı aşağıdakilerden hangisidir? A) x y B) 3x y C) x 3y D) y x E) A) 5 B) 22 C) 6 D) 52 E) 8 (1977) πx y (1974) 62. Denklemi −x y + = 1 olan doğru ve koordinat 3 a eksenleriyle sınırlı bölgenin x-ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan koninin hacmi 16π birim küptür. Buna göre, a nın değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) −3 B) −2 C) 0 D) 2 E) 4 altın nokta yayınları © R 66. Yarıçapı R olan bir küre, merkezinden uzak 3 lıkta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen kesitin alanı kaç πR2 dir? A) 8 9 B) 2 C) 4 3 D) 4 9 E) 8 3 (1982 - ÖYS) (1999 - ÖSS) KÜRE + KONİ + SİLİNDİR + KÜP 67. KÜRE 63. Çapı d olan kürenin hacmi çap cinsinden yazılsa, aşağıdakilerden hangisi elde edilir? A) v = 4 3 πd 3 D) v = B) v = 1 3 πd 3 2 3 πd 3 E) v = C) v = 1 3 πd 6 1 3 πd 2 Yukarıdaki şekilde küre içine yerleştirilmiş silindirin yüksekliği 8 cm ve hacmi 72π cm3 olduğuna göre, kürenin yarıçapı kaç cm di? A) 7 (1968) B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 (1983 - ÖSS) 223 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 68. Yarıçapı 3 cm olan O merkezli küre içine, ekseni küre merkezinden geçen 1 cm yarıçaplı dik dairesel silindir aşağıdaki gibi yerleştiriliyor. 70. Şekilde, taban yarıçapı 6 cm olan bir dik koninin tepe noktası ve taban çemberi, O merkezli kürenin yüzeyindedir. Bu silindirin hacmi kaç cm3 tür? A) 3π 2 B) 3 π D) 4 2 π Dik koninin hacmi 216π cm3 olduğuna göre, kürenin yarıçapı kaç cm dir? C) 3 3 π A) 9 E) 9 π B) 10 C) 12 E) 15 (1999 - ÖSS - iptal) www.teslimozdemir.com (2008 - ÖSS - II) 69. D) 13 71. Ayrıtlarının biri s uzunluğunda olan bir küpün içine, teğet bir küre çiziliyor. Küpün bir köşesinin kürenin yüzüne olan uzaklığı aşağıdakilerden hangisidir? A) s( 3 − 1) 2 D) B) s( 3 + 3) 3 s 2 2 C) 3 s +1 E) s 3 2 (1974) Yukarıdaki şekilde P düzlemi üzerine konmuş kürenin çapı 10 cm, tabanı P üzerinde bulunan dik dönel koninin taban çapı da 16 cm dir. P düzleminden 8 cm uzaklıktaki bir Q düzleminin küre ve koni ile arakesit dairelerinin eşit olduğuna göre, koninin yüksekliği kaç cm dir? A) 32 B) 24 C) 20 D) 16 E) 12 (1984 - ÖYS) 224 72. Tam küre şeklindeki bir kapalı cisim, birbirine dik üç kesit alınarak sekiz eşit parçaya bölünmüştür. Elde edilen sekizde birlik parçaların her birinde, bir koniye yanal yüzey olabilecek kaç yüzey vardır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 (1975) KATI CİSİMLER 77. YORUM SORULARI 73. Eğik dikdörtgenler prizması şeklindeki bir cisim, herhangi bir yüzeyine paralel kesitler alınarak parçalara ayrılsa her bir parçanın şekli ne olur? A) Düzgün dikdörtgenler prizması B) Eğik prizma Şekildeki küplerin yalnız çizimde görünen yüzleri boyalı olduğuna göre, dört yüzü boyasız diğer yüzleri boyalı olan kaç küp vardır? C) Düzgün kare prizma D) Üçgen prizma E) Küp A) 5 (1975) B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 (1977) 74. Bütün yüzleri boyalı ve boyutları 1x2x5 cm olan düzgün kapalı prizma şeklindeki bir tahta parçası, kenarı 1 cm olan küplere bölünmüştür. Elde edilen küpler içinde yalnız dört yüzü boyalı olan kaç tane verdır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10 altın nokta yayınları © (1975) 75. Bir kenarı 10 cm ve birbirine bitişik iki yüzü boyalı bir küp, kenarları 2'şer cm olan küplere bölünmüştür. Bu işlemden sonra, hiç bir yüzü boyalı olmayan kaç küp elde edilir? A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100 78. (1976) 1 2 76. D C Yeþil Mavi F K K Sarý C B Mavi F A B C B D A F E Yukarıdaki değişik konumları verilmiş olan küpün bir yüzü de beyazdır. Beyaz yüz, hangi renkteki yüzün karşısındadır? A) Mavi B) Kırmızı D) Yeşil 6 Yeþil Siyah L 5 A E D 4 Mavi Yeþil Kýrmýzý L 3 C) Siyah E) Sarı (1977) Yukarıda açılımı verilmiş ve yüzleri numaralanmış küp kapalı duruma getirildiğinde, ikişerli olarak birbirinin karşısına gelen dört yüz aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 − 5 B) 2 − 4 C) 3 − 6 1−6 3−6 3−5 D) 1 − 6 E) 1 − 4 2−5 3−5 (1978) 225 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 79. Birbirinin ayrıtı 3 cm olan yukarıdaki küp, şekilde görüldüğü gibi sıra ile 6 kez kesilerek 27 eşit parçaya ayrılacaktır. Bu işlem yapılırken dördüncü kesim sonunda birbirine eşit kaç parça elde edilmiş olur? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 www.teslimozdemir.com (1980) 80. Yarıçapı r olan bir küre, bir kenarı 2r olan bir küpün içine yerleştirilmiştir. Bu küp, bir yüzünün köşegeni boyunca kesildiğinde meydana gelen kesitin görünüşü aşağıdakilerden hangisi gibi olur? A) B) D) C) E) (1976) 226 KATI CİSİMLER 3. 6. BÖLÜMÜN ÇÖZÜMLERİ x=2 k y=3 k z=4 k 1. E V=2k.3k.4k=3000 ⇒ k3=125 ⇒ k=5 H x A=2. (2k.3k+2k.4k+3k.4k)=52.k2 E x y F A=52.52=1300 cm2 H y z G H z y C A C B Üst kapak yukarı ve yan kapak sağa doğru açılarak ABHE ve ACHF düzlemleri oluşturulmalıdır. 3 x=1 k x1 H y=3 k z=5 k 2 Cisim köşegeni = k 2 + (3k)2 + (5k)2 = 70 y x y 1 F y 5 2 1 G 5 H 1 z z 4 A 6 B C 3 AEX dik üçgeninde x2=82+52 ⇒ x = 89 cm ABY dik üçgeninde y2=62+62 ⇒ y = 72 cm ⇒ z = 97 cm ACZ dik üçgeninde Ayrıtları x, y, z olsun z2=92+42 küçükten büyüğe sıralanış y<x<z altın nokta yayınları © E 5 4. 5. 4x 4x x x x x 8x Taralı olan bölge kutunun tabanı, taban ayrıtı 4x olan kare prizmanın yan yüzeylerinin ayrıtları 4x ve x birim olur. 2. Ayrıtları x, y, z olsun x=3k y=5k z=7k 4x x 4x A=2.(3k.5k+3k.7k+5k.7k)=142 k2 142 k2=568 ⇒ k2=4 ⇒ k=2 V=4x.4x.x=16 ⇒ x=1 cm V=3k. 5k. 7k=105 k3=105.8=840 cm3 Kartonun alanı=8x.4x=32.x2=32 cm2 227 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 6. Hacim = x.x.4 = 75 ⇒ h = 75 9. x2 Alan = 2.(x. x + x.h + h. x) ⇒ 3 Taralı olan yer bu kutunun tabanıdır ve taban alanı 3 = 2x.(x + 2h) = 2x 2 + 4x.h ⇒ 75 300 = 2x 2 + 4x ⋅ 2 = 2x 2 + x x 102=100 cm2 dir. 10 3 10 3 3 3 Kutunun yüksekliği 3 cm 10 x Taban ayrıtı=x ve yüksekliği=h olsun V = x 2.h = 30 ⇒ h = 30 2 x Alaný = y = f(x) = 2.(x.x + x.h + hx) 30 y = 2x 2 + 4xh = 2x 2 + 4x ⋅ 2 x 2x 3 + 120 ⇒ y= x 10. Ayrıtları a, b ve c olsun yüzey alanları : www.teslimozdemir.com 7. olacağından Hacim=100.3=300 cm3 a . b = 35cm 2 a . c = 30cm 2 b . c = 42cm 2 x 2 a .b 2.c 2 = 35.30.42 ⇒ a. b. c = 7.5.6.5.7.6 ⇒ a. b. c = Hacim = 7.5.6 = 210cm 3 10 cm 11. 8. Verilen kutunun toplam alanı=2.(20.20+20.5+5.20) =1200 cm2 Bölmeleri oluşturan 3 adet kartonun alanları toplamı=3.(5.20)=300 cm2 Toplam=1200+300=1500 228 cm2 5 cm 2 cm Şekildeki 10 adet dik kare prizmaların içine 10 adet kalem 2 sıra halinde konabilir. Büyük kutunun hacmi=5.2.10=100 cm3 KATI CİSİMLER 12. 15. Verilen şeklin 5 katlı olduğu görülmektedir. E 1. katta = 2.5.1 = 10 küp ABC ve FAC birer diküçgendir. F 2. ve 3. katta = 2.2.2 = 8 küp 4. katta = 2.1.1 = 2 küp x 5. katta = 1.1.1 = 1 küp 4 C D Toplam = 21 adet küp elde edilir. 4 4 A 4 B 2 AC = 4 2 + 4 2 ⇒ AC = 4 2 cm x 2 = 4 2 + (4 2) 2 ⇒ x = 4 3 cm 13. Verilen şekilde : D'B' = 2 cm (yüzey köşegeni) AB' = 2 cm (yüzey köşegeni) D'AB' üçgeni bir eşkenar üçgen olduğu görülür. 2 2 ⋅ 3 3 = cm 2 4 2 14. Verilen şekli beş farklı yönden bakarsak önden görünen 6 kare arkadan görünen de 6 kare sağdan görünen 3 kare soldan görünen de 3 kare üstten görünen 3 kare Toplam 21 adet kare kumaşla kaplanacaktır. Bir kare 1 br2 olduğuna göre toplam 21 br2 kumaş gerekir. altın nokta yayınları © D' A = 2 cm (yüzey köşegeni) Alan (D' AB ') = a cm ayrıtlı çıkartılan küp önceki küpün 3 alanını değiştrimez. 16. Köşesinden Büyük küpün alanı = 6.a2 ⎛ a⎞ Küçük küpün alanı = 6 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ Oranı = 6 olur. 2 17. Küpün bir ayrıtı a olsun kalan hacim a3−(a−4)3=208 cm3 şıklardan giderek a'nın kaç olduğunu bulmak daha kolaydır. a=6 için 63=216 cm3 çıkarılan küpün bir ayrıtı 2 cm ve hacmi 23=8 cm3 farkı 216−8=208 cm3 229 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 21. 18. 1. küpün bir ayrıtı x ve T 2. küpün bir ayrıtı y olsun ⇒ 1. küpün alanı = 6.x2=b 1. küpün hacmi = x3 2. küpün hacmi = y3=c.x3 C D 2. küpün alanı = 6.y2 = ? 4 Yukarıdaki eşitliklerden x= b ve y = x ⋅ 3 c 6 ( 6 ⋅ y2 = 6 ⋅ x ⋅ 3 c ) = 6 ⋅x 2 E H 4 2 3 ⋅ c2 ⇒ A ⎛ b⎞ 3 2 b 3 2 ⇒ 6⋅⎜ ⎟ ⋅ c =6⋅6⋅ c ⇒ ⎝ 6⎠ 3 ⇒ b ⋅ c2 B 8 2 ABCD tabanı kare |AB|=8 cm |TH|=3 cm HE = 8 = 4 cm 2 THE dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanırsa |TE|2=32+42 ⇒ |TE|=5 cm www.teslimozdemir.com Alanı=Taban alan + Yanal alanlar 19. Küpün bir ayrıtı a olsun a3 = 3 ⋅ 6 ⋅ 12 ⇒ a = 3 3 ⋅ 6 ⋅12 ⇒ a = 3 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 3 3 3 ⋅ 2 3 = 6 cm A lan = 8 2 + 8.5 ⋅ 4 = 144 cm 2 2 22. T TH = h HE = 20. 10 = 5 cm 2 5 C D 5 x 5 53 Vsu = 6 ⋅ 8 ⋅ x ve Vsu = 6 ⋅ 8 ⋅ − 2 2 5 53 6 ⋅ 8 ⋅ x = 6 ⋅8 ⋅ − buradan 2 2 115 x= cm dir. 96 230 5 2 E H A 10 5 B Alan=Taban alan + Yanal alanlar 10. TE 360 = 10 2 + ⋅ 4 ⇒ TE = 13 cm 2 THE dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanırsa 132=52+h2 ⇒ h=12 cm KATI CİSİMLER 23. 25. Tam ortasından kesildiği için üstteki piramitin yüksekliği T F D h cm olur. 2 h 2 1 Benzerlik oranı = = olur. h 2 C 3 1 ⎛ 1⎞ Hacimler oranı = ⎜ ⎟ = dir. ⎝ 2⎠ 8 E A B Verilen kesik piramiti üçgen piramit varsayalım. (TıDCF) piramitinin yüksekliği x olsun (TıABE) piramitinin yüksekliği y olsun 26. Üstte kalan piramitin tabanı kare ve yüksekliği 3 cm dir. x = benzerlik oranı y a2 ⋅ 3 ⇒ a = 3cm 3 Büyük piramitin yüksekliği üstteki piramitin yüksekliği ile küpün bir ayrının toplamıdır Hacim = 9 = 2 ⎛ x⎞ ⎜⎝ y ⎟⎠ = Alanlarının oranıdır. 2 ⎛ x⎞ Alan(DFC) ⎜⎝ y ⎟⎠ = Alan(ABE) yani 3+3=6 cm dir. Üstteki piramit ile büyük piramit benzer olduğuna göre h a 3 3 = ⇒ = ⇒ h1 a1 6 a1 ⇒ a1 = 6cm bulunur. 2 Kesik piramitin hacmi = v 12.y 3.x − = 28 ⇒ v= 3 3 12.2x 3.x − = 28 ⇒ x = 4 cm 3 3 kesik piramitin yüksekliği = y−x olacağından 8−4 = 4 cm dir. 24. altın nokta yayınları © ⎛ x⎞ 3 ⎜⎝ y ⎟⎠ = 12 ⇒ y = 2x olur. 27. F D Üçgen prizmanın üstten görünümü ME 1 (benzerlik = oranı) DE 3 L M E T 2 1 ⎛ 1⎞ = (Alanlar oran ý) ⎝⎜ 3 ⎠⎟ 9 Alan(MEL) = 1a ⇒ Alan(DEF) = 9a d ýr. EK = y olursa EB = 3y olur. F D C E A D 9a B Verilen piramitin üçgen piramit olduğunu varsayalım Alan (ABE)=12 cm2 F 3y E y K 1a ⋅ y ay V1 = = 3 3 (TıDCF) piramitinin yüksekliği = 2 cm (TıABE) piramitinin yüksekliği = 6 cm 2 L 1a E Alan (DCF)=? Alan(DCF) ⎛ 2⎞ = ⇒ ⎝⎜ 6 ⎠⎟ 12 4 Alan(DCF) = cm 2 dir. 3 M B V = 9a ⋅ 3y = 27ay ay V1 1 = 3 = V 27ay 81 231 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ E 28. 31. Bir kenarı a olan düzgün dörtyüzlünün T hacmi = A (2 2)3 ⋅ 2 8 = cm3 12 3 D x 60° F H B a3 ⋅ 2 12 x C 2x EHF dik üçgeni 30°−60°−90° üçgeni olur. BC = x olsun 2 HF = x ise EH = x 3 olur. A 32. HF = a 2 (2x) ⋅ x 3 = 288 3 ⇒ 3 3 3 4 ⋅ x = 3 ⋅ 288 ⇒ x = 216 ⇒ x = 6cm BC = 2x ⇒ BC = 12 cm Hacim = a a 3 2 B x D a 2 H a 2 C 29. www.teslimozdemir.com Temel diklik teoremine göre, D' 15 D x A x B (D',ABD) piramidi ayrıca çizilirse |DıD|=15 cm ve |AD|=|AB| olacağından [AD] ⊥ [DH] olur. Üç dikme teoremine göre, [AD] ⊥ [DH] ve [AH] ⊥ [BC] o halde [DH ⊥ [BC] olur. a DH = (süper üçlü) 2 ADH dik üçgeninde pisagor teoremine yapılırsa 2 2 ⎛a 3⎞ a 2 2 ⎛a⎞ ⎜ 2 ⎟ = x + ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⇒ x = 2 cm ⎝ ⎠ Hacim = BC ⋅ DH x ⋅ ⇒ 2 3 a 3 2⋅a 2⋅1 = a ⋅ 2 ⇒ 2 2 3 24 a⋅ x ⋅ x 15 ⋅ = 300 ⇒ x 2 = 120 2 3 x = 2 30 cm dir. Hacim = 33. Sorudaki şekle göre: SN = a 3 2 SHN dik üçgeninde h = 30. Düzgün dört yüzlünün bir ayrıtı a olsun. Alan ý = a 2 ⋅ 3 = 256 3 ⇒ a = 16 cm Bir yan yüzü eşkenar üçgen olduğuna göre bu üçgenin a⋅ 3 yüksekliği = 2 16 ⋅ 3 = 8 3 cm dir. 2 232 a 3 ⋅ sin x 2 Alan(ABC) ⋅h Hacim = = 3 a3 Hacim = ⋅ sin x 8 a2 ⋅ 3 a 3 ⋅ sin x 4 2 3 KATI CİSİMLER 34. Düzgün sekiz yüzlünün bir kenarı a ise 37. a3 ⋅ 2 33 ⋅ 2 Hacmi = olur = 9 2 cm 3 3 3 D C 60 cm A 80 cm B Uzun kenar ve kısa kenar etrafında bükülerek yapılan borunun yanal yüzeyi ABCD dikdörtgen levhadır. 35. B O halde yanal alanlar aynı olduğuna göre oranı da 1 olur. B 24π A 2.π.5=10π A Dik silindirin yanal yüzeyinin açılımı bir dikdörtgendir. Taban çevresi diktörtgenin taban kenarını oluşturur. A dan B ye en kısa yol |AB| uzunluğunu oluşturacağından |AB|2=(10 π)2+(24 π)2 altın nokta yayınları © (5−12−13 üçgeninin 2π katıdır) |AB|=26π cm dir. A 36. 38. Kare prizmanın hacmi = a2.60 cm3 Silindirin hacmi = π.a2.h cm3 hacimler eşit olmalıdır. a2.60=3.a2.h ⇒ h=20 cm |AB| = 8 cm |DC| = 8 cm |BD| = 10 cm 8 D B 39. 25 cm3 C 2 Şekilde [BD] taban dairesinin çapı olduğu için ∧ m(BCD)=90° olur. 10 Temel diklik teoremine göre ∧ 8 ∧ m(ABD)= m(ABC)=90° dir. Üç dikme teoremine göre, [AB] ⊥ [BC] ve [BC] ⊥ [DC] olduğu için [AC] ⊥ [DC] olur yani ACD bir dik üçgen dir. BCD ve ABC dik üçgenlerin de pisagor teoremi yapılırsa |AC|=10 cm bulunur. 10 ⋅ 8 Alan(ACD) = = 40 cm 2 dir. 2 2 cm yükseklikte 25 cm3 su 10 cm yükseklikte x cm3 su 2 25 = ⇒ x = 125 cm 3 10 x 233 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 43. 40. 1. Silindirin yarıçapı = r yüksekliği = h r 2. Silindirin yarıçapı = r' yüksekliği = h1 r 2r V = V1 ⇒ π ⋅ r 2 ⋅ h = π ⋅ r '2⋅ h1 ⇒ r ⋅h r' r 2 ⋅ h = r '2 ⋅ hý ⇒ = r '⋅ hý r Yanal alanların oranı 2⋅ π⋅r ⋅h r ⋅h = buradan 2 ⋅ π ⋅ r '⋅ hý r '⋅ hý r' r veya oraný bulunur. r r' Hacim = (3,14) . r2.2r = 169,56 www.teslimozdemir.com 2r2 = 54 ⇒ r3=27 ⇒ r=3 cm 41. Silindirin yarıçapı = r yüksekliği = 10 birim Yanal alanı = 20π = 2πr.10 ⇒ r=1 Hacim = 2.12.10=10π birim küp 44. x 6 h 8 42. h=2 a a V=10 10 b b 200π = π.102.h h=2 cm 2.sn sonucunda akan su miktarı 2 200 ⋅ π = ⇒ V = 600 π cm 3 6 V 1 sn de akan su 300π cm3 V1 = π ⋅ a 2 ⋅ b V2 = π ⋅b 2 ⋅a V1 π ⋅ a2 ⋅ b a b = = veya V2 π ⋅ b2 ⋅ a b a 3sn de akan su 900π cm3 600 π 6 = ⇒ x = 9 cm 900 π x beşinci saniye sonunda h=2 cm + 6 cm + 9 cm = 17 cm dir. 234 KATI CİSİMLER 45. 48. 40 cm s 4 a h 10 cm s 20 cm r 216 = ⇒ a 360 r 3 = a 5 r s r=3k ve a=5k olur. Pisagor bağıntısından a2=h2+r2 (5k) 2 = (3k) 2 + h 2 ⇒ h = 4k π ⋅ (3k) 2 ⋅ 4k = 96 π ⇒ k = 2 3 a=5k olduğuna göre a=10 cm Hacim = Piston 20 cm aşağı inerse s.20 cm3 suyu yukarı iter. Kalın borunun boş kısmı s.10 cm3 20s−10s=10s cm3 su ise ince borunun içinde yükselir. S ⋅ h = 10s ⇒ h = 40cm 4 46. x 4 4 45 x 10 h 4 45 6 6 4 45 4 Şekilde eğdirilmiş dik silindir içerisinde 6 cm yüksekliğine kadar tam dolu 4 cm yüksekliğinde ise yarım dolu su vardır. 4 h = 6 + = 8 cm dir. 2 altın nokta yayınları © Su yüzeyi ilk konumundan ikinci konumuna gelince 10+40=50 cm yükselir. 49. Dik koninin : r=6 cm, h=8 cm a2=r2+h2 ⇒ a2=62+82 ⇒ a=10 cm α 6 α 6 6 = ⇒ = ⇒α= π 360 10 2 π 10 5 50. T α 60° 60° 3 47. 3 60° A a=3 km A 60° h B x v R=2r Vsu = π ⋅ r 2 ⋅ h ve V su = π ⋅ (2r) 2 ⋅ x h πr 2 ⋅ h = π ⋅ 4r 2 ⋅ x ⇒ x = 4 α 1 = ⇒ α = 120° 360 3 2r Dik koninin yanal yüzeyinin açık hali yukarıdaki daire dilimidir. |AB|=kaç km olduğu soruluyor TAB bir eşkenar üçgen olduğuna göre |AB|=3 km dir. 235 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 54. 51. 1 =12 S2 A h 8 S1 B Yanal alanı=π.r.A = π.8.A= 96π ⇒ A=12 cm S C Pisagor bağıntısından=122=82+h2 ⇒h=4 5 TA|=1 cm, |TC|=2 cm, |TB|=x cm olsun h 4 5 5 = = A 12 3 S=S1+S2 Temel benzerlik yapılırsa 1:2:x (benzerlik oranları) 12 : 2 2 : x 2 (Alanların oranları) S2 = 1 k, S1 = x2.k ve S=4 k 55. 4k = 1k + x 2 ⋅ k ⇒ x = 3 x AB = 3 − 1 cm 52. Dik koninin yanal alanı=π.r.A Kapak koninin A=3 cm r=? π.r.3 = 24 ⇒ π.r = 8 cm2 Gövde koninin yarıçapı yine aynı Aı=12 cm Gövde koninin yanal alanı=π.r.12 ⇒ 8.12=96 cm2 dir. www.teslimozdemir.com 1 3 2 1 x = ⇒ x = 3 cm 2 x +3 π ⋅ 22 ⋅ 6 π ⋅ 12 ⋅ 3 − = 7 π cm 3 V kesik koni = 3 3 56. 53. 2 =15 h r 6 9 5 Yanal alanı=π.9.A = 135.π ⇒ Temel benzerlik yapılırsa 2 r 5 = ⇒ r = cm 6 5 3 ⇒ A=15 cm Piasgor bağıntısından=152=92+h2 ⇒ 2 25 ⎛ 5⎞ Kesit alaný = π ⋅ r 2 = π ⋅ ⎜ ⎟ = π cm2 ⎝ 3⎠ 9 236 ⇒ h=12 cm V koni = π ⋅ 92 ⋅ 12 = 324 ⋅ π cm 3 3 KATI CİSİMLER 57. 60. r = h olur. a 2 2 a 2 h= 2 a a V1 x r= r x 45° V2 h 45° x x benzerlik oranı 2 adet dik koni oluşur. ⎛ π ⋅ r2 ⋅ h⎞ 2⋅⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ x 1 = 2x 2 2 ⎛ ⎛ ⎞ a 2⎞ a 2 ⎜π⋅⎜ ⎟ ⋅ ⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⇒2⋅⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ π ⋅ 2a2 a 2 1 ⎞ π ⋅ a 3 ⋅ 2 ⇒ 2⋅⎜ ⋅ ⋅ ⎟ = 2 3⎠ 6 ⎝ 4 3 V1 ⎛ 1⎞ ⇒ V2 = 7.V1 ⎜⎝ ⎟⎠ = 2 V1 + V2 V1 1 = V2 7 π ⋅ 12 ⋅ 2 2 π 3 = m 3 3 Su dolu olan koni ile depo benzer konilerdir x benzerlik oranı 2 61. 58. Deponun hacmi = 59. x 3 V1 x altın nokta yayınları © 3 Vsu x 3 3V ⎛ x⎞ = ⎜⎝ ⎟⎠ = 2π ⇒ 2 8 2π 3 π ⋅ x3 3 Vsu = m olur. 12 x x y y V1 = π ⋅ y2 ⋅ x 3 πy 2 ⋅ x V1 y 3 = = V2 π ⋅ x 2 ⋅ y x 3 62. −x y + =1 3 a a 3 -3 Üstteki koni ile tüm koni benzerdir ve benzerlik oranı x 3 = 1 olur. x 3 V1 ⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ V1 + V2 ⎝ 3 ⎠ π ⋅ x2 ⋅ y 3 y V2 2x 3 V2 = 3 V2 = 26.V1 kesik koninin hacmi=26.V1 başlangıçtaki koninin hacmi=27.V1 27 ⋅ V1 = k ⋅ 26 ⋅ V1 ⇒ k = x a -a Eksenlerle oluşan bölge bir üçgendir bu üçgenin x ekseni etrafında döndürükmesiyle oluşan cisim bir dik konidir. Hacim = π ⋅ a2 ⋅ 3 = 16 ⋅ π ⇒ a = 4 3 27 olur. 26 237 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 63. Çapı d ise yarıçapı d olur. 2 66. r 3 4 4 ⎛d⎞ ⋅ π ⋅r 3 ⇒ ⋅ π ⋅ ⎜ ⎟ ⇒ ⎝2⎠ 3 3 1 3 Hacim = ⋅ π ⋅ d olur. 6 Hacim = R 3 R O 2 8 ⎛ R⎞ R 2 = ⎜ ⎟ + r 2 ⇒ r 2 = ⋅R 2 ve ⎝ 3⎠ 9 8 2 2 Kesit yüzeyin alanı= π ⋅ r = π ⋅ R olur. 9 64. Güneş ve dünyayı birer küre olarak kabul edersek tüm küreler benzerdir. Benzerlik oranının küpü hacimler oranına eşit olur. Dünyanın yarıçapı r ise güneşin yarıçapı 108.r olur. 108r = benzerlik oranı r 65. r www.teslimozdemir.com 3 ⎛ 108 ⎞ 3 ⎜⎝ ⎟ = hacimler oranı = 108 1 ⎠ 67. 4 R o 4 r V silindir = π.r2.8=72π ⇒ r=3 cm R2=42+r2 ⇒ R2=42+32 ⇒ R=5 cm 68. r 4 1 R x 3 O O x Kesit çevresi = 2.π2r = 6π ⇒ r=3 cm R2=42+r2 ⇒ R2=42+32 R=5 cm 32 = x 2 + 12 ⇒ x = 2 2 cm Silindirin yüksekliği 4 2 cm dir. V silindir = π ⋅ r 2 ⋅ h = π ⋅1 2 ⋅ 4 2 cm 3 = 4 2 π cm 3 olur. 238 KATI CİSİMLER 69. 71. Q r r 3 P K T x 5 8 5 S 8 r O 8 P 10 = 5 cm Kürenin yarıçapı = 2 16 = 8 cm Koninin taban yarıçapı = 2 2 2 2 5 =3 +r ⇒ r=4 cm A s olur. 2 AK = s ⋅ 3 (cisim köşegeni) 2r = s ⇒ r = temel benzerlik uygulanırsa x r x 4 = ⇒ = ⇒ x = 8cm dir. x+8 8 x +8 8 PT = 2r = s AP = KT = Koninin yüksekliği=x+8=8+8=16 cm s 3 −s s ⋅ ( 3 − 1) ⇒ 2 2 altın nokta yayınları © 72. A A F B D B O E E C 1 lik parçadan üç tane 8 yan yüzeylerde oluşan çeyrek daire dilimleri vardır. (Dik koninin yanal yüzeyinin açılımı her zaman bir daire dilimi oluşturur.) Şekildeki küreden çıkartılan 70. O halde 3 adet koninin yanal yüzeyi olabilecek yüzey vardır. r r 73. 18-r 6 h V koni = π ⋅ r2 ⋅ h = 216 ⋅ π 3 π ⋅ 62 ⋅ h = 216 ⋅ π ⇒ h = 18 cm 3 Pisagor bağıntısından r2=(18−r)2+62 buradan r=10 için 6−8−10 üçgeni oluşur. h Yukarıdaki şekil eğik dikdörtgenler prizmasıdır. Taralı olan yüzeyler birer dikdörtgen ve taban yüzeyleridir. Bu durumda taban yüzeylerine paralel olan kesitler alınacak olursa yine bir eğik prizma elde edilir. 239 DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 74. Yandaki şekil 1x2x5 cm olan bu dikdörtgenler prizmasıdır. 1 77. Ayrıtları 1 cm olan küplere ayrılırsa yalnız dört yüzü boyalı olan köşelerdeki küpler olur. Bu küplerin üç yan yüzü ile bir taban yüzü boyalıdır. 5 6 5 2 3 1 4 Bu küpler numaralandırılırsa görülüyorki 4 ve 5 numaralı küplerin yalnız iki yüzü görülmektedir demekki kalan dört yüzü boyasızdır. Bu durumda yalnız dört yüzü boyalı olan sadece 4 küp vardır. 2 78. 4 5 ne S Yukarıdaki şekil bir yan yüzü ile üst yüzü bitişik iki yüzey 5 tane boyalıdır. Bir ayrıtı 10 cm olan küp, bir ayrıtı 2 cm olan küplere ayrılırsa 5 tane ta 5 tane 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 125 tane 2x2x2 cm olan küplerden 2⋅2⋅2 oluşur.Bu küçük küplerin en az bir yüzü boyalı olan 5.5+5.4=45 tane olduğuna göre 125−45=80 tane hiç bir yüzü boyalı değildir. 3 1 6 www.teslimozdemir.com 75. 2 2 nolu yüzeyi taban yüzeyi olarak sabitlersek 2'nin sağ yüzeyi 3 üst yüzeyi 4 ve sol yüzeyi 5 olur. 6 ve 1 numaralar ise ön ve arka yüzeyleri oluşturur. (2−4), (3−5) ve (1−6) karşılıklı yüzeylerdir. 79. 7 8 6 1 5 2 9 4 Dördüncü kesim sonunda şekilde görüldüğü gibi 9 tane kare dik prizmalar elde edilir. 3 4 L Sarý C D Yeþil Mavi B Mavi F A I I. II. B C D A Yeþil Siyah F E D II A 2 B Mavi Yeþil C 1 F K K Kýrmýzý 76. L III E konumdan II. konuma gelirken küp sola doğru yatırılmış. konumdan III. konuma gelirken küp arkaya doğru yatırılmış. 80. EFKL yüzeyi ABCD yüzeyinin karşısında kaldığına göre Mavi yüzeyin karşısı Beyaz olur. Küpün üst yüzey köşegeni boyunca kesilirse kesit yüzey bir dikdörtgen ve bir de daire oluşturur. 2r 2r 2r 2r Dikdörtgenin uzun kenarı 2r 2 olacağından bu daire yan kenarlara teğet olamaz. 2r Bu durmda görülmeyen EFKL yüzeyi kaldı demekki bu yüzeyi Beyazmış. 240 3 2r r r 2r