Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı
Transkript
Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı
Kontrol Sistemleri Tasarımı Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Prof. Dr. Bülent E. Platin Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Kontrol Sistemlerinde Tasarım İsterleri – Zaman Yanıtı Özellik Kapalı Çevrim Sistemin Zaman Yanıtı Özellikleri AÇTF / KÇTF İsterler Kararlılık Zamanla durağanlaşan basamak yanıtı KÇK’ların tümü s–düzleminin solunda Kalıcı Rejim Sıfır ya da küçük kalıcı hata Yanıtı Kısa yerleşme zamanı Geçici rejim Yanıtı Yüksek tip numarası ve/veya büyük değerli hata katsayısı Baskın KÇK’lar sanal eksenden uzakta Baskın KÇK’lar gerçek eksenden Hızlı ilk yanıt, kısa yükselme uzakta ve/veya KÇS’ler sanal ve aşma zamanı eksene yakın Salınımsız yanıt KÇK’ların tümü gerçek eksenin üzerinde Küçük aşma Baskın KÇK’lar küçük eğimli sönümleme doğrusu üzerinde Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 1/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Kontrol Sistemlerinde Tasarım İsterleri – Zaman Yanıtı Baskın kapalı çevrim kutupları: Sanal eksene diğer kutuplardan en az 4–5 kez yakın olan ve yakınında kapalı çevrim sıfırı bulunmayan KÇK’lar. Ana Sonuç: Kalıcı rejim başarımı dışındaki zaman yanıtı özelliklerini baskın kapalı çevrim kutuplarının s–düzlemindeki konumları belirlemektedir. Dolayısıyla, – AÇTF’in tip numarası kalıcı rejim isterlerini sağlamalıdır. – KYE’nin baskın kolları s–düzleminin arzulanan bölgelerinden geçmelidir. – Bu bölgedeki baskın kol üzerindeki AÇ kazanç değerleri kalıcı rejim isterlerini sağlamalıdır. Eğer bu 3 koşulun hepsi sağlanıyorsa, çözüm uygun kazançlı bir P-kontrolcüdür. Bu koşullardan bir ya da bir kaçı sağlanmıyorsa ne yapılmalıdır? KÖK YER EĞRİSİNİN BASKIN KOLLARI KUTUP VE SIFIR EKLENEREK DEĞİŞTİRİLMELİDİR Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 2/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Kök Yer Eğrilerini Yeniden Şekillendirme Kutup Eklemenin Etkisi Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 3/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Kök Yer Eğrilerini Yeniden Şekillendirme Kutup Eklemenin Etkileri: • Kol ve asimtot sayısı artar. • Kutup-sıfır kütle merkezi eklenen kutuba doğru kayar. • Kollar sağa doğru bükülürler. • Göreceli kararlılık azalır. • Hatta sistem kararsız bile olabilir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 4/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Kök Yer Eğrilerini Yeniden Şekillendirme Sıfır Eklemenin Etkisi Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 5/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Kök Yer Eğrilerini Yeniden Şekillendirme Sıfır Eklemenin Etkileri: • Asimtot sayısı azalır. • Kutup-sıfır kütle merkezi eklenen sıfırın aksi yönüne doğru kayar. • Kollar sola doğru bükülür. • Göreceli kararlılık iyileşebilir. • Kararsız bir sistem kararlı hale getirilebilir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 6/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PD (Oransal + Türevsel) Kontrolcü Tasarımı PD-Kontrolcü: Gc (s) = K p + K ds = K p (Tds + 1) = K d (s − z) Burada Kp: Oransal kazanç Im s1 Kd: Türevsel kazanç Td: Türev zamanı z : PD-kontrolcünün sıfırı θs Re Td = Kd / Kp –Kp/Kd 0 z = – 1 / Td = – Kp / Kd PD-kontrolcü ile eklenen sıfırın açısal katkısı (θs) pozitiftir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 7/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PD (Oransal + Türevsel) Kontrolcü Tasarımı KÇ sistemin arzulanan s1 kutup konumunda, bu pozitif θz açısal katkı, kompanse edilmemiş sistemin AÇTF’nin s1 noktasındaki G(s1)H(s1) açısını açı koşulunu sağlayacak şekilde dengelemelidir. arg[Gc(s1)G(s1)H(s1)] = ±(2k+1)180° ; k = 0, 1, 2, ..... Böylece, kompanse edilmiş sistemin AÇTF’i olan Gc(s)G(s)H(s) kullanılarak oluşturulan yeni kök yer eğrisinin baskın kolu sola kayarak s1′den geçebilecektir. PD kontrolcü, kalıcı rejim açısından, tip numarasında herhangi bir değişiklik oluşturmaz. Ancak, PD-kontrolcü aracılığıyla sola kaydırılan kök yer eğrisinin baskın kolundaki tasarım noktası orijinden daha uzakta olduğu için n > m olan OLTF’ler için daha yüksek kazanç değerleri kullanılmasına izin verecektir. Bu da kalıcı rejimde daha büyük hata katsayıları yaratarak kalıcı hatanın azalmasını sağlamaktır. Kazançtaki bu iyileşmeyi genlik koşulunu kullanarak görmek mümkündür: Kp = 1 / |Tds1+1||G(s1)H(s1)| Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 8/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PD (Oransal + Türevsel) Kontrolcü Tasarımı Örnek: Transfer fonksiyonu yanda verilen birim geri beslemeli H(s) ≡ 1 bir sistemi düşünelim. 1 G(s) = s(s + 2) Birincil önceliğimiz en fazla 0.5π saniyelik tepe zamanı olsun. İkincil isterler ise 2 saniyelik %2’lik yerleşme zamanı ve ζ = 0.707’lik sönümleme oranı olsun. a) P-kontrolcü ile birincil isterlerin s1 j2 Im(s) ζ sağlanabildiğini ama ikincil isterlerin = s2 do 0.70 sağlanamadığını gösterin. K=5 ğr 7 us b) İsterlerin üçünü de sağlayan uygun u bir kontrolcü tasarlayın. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin ts = 2 π π π → = → ωd = 2 ωd 2 ωd 4 4 b) t s = → 2= → ζ ωn = 2 ζ ωn ζ ωn a) t p = doğrusu Çözüm: ωd = 2 X –2 X –1 ζωn = 2 0 Re(s) s–düzlemi Kontrol Sistemleri Tasarımı 9/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PD (Oransal + Türevsel) Kontrolcü Tasarımı Örnek: b) Arzulanan KÇ kutup yeri: –2+j2 Kompanse edilmiş sistemin yök yer eğrisinin s2’den geçebilmesi için +45°’lik bir katkıya gerek vardır. Bu da sıfırı z = –4 olan bit PD-kontrolcü ile sağlanabilir. → Kp / Kd = 4 → ωd = 2 ts = 2 Kompanse edilmemiş sistemin s2’deki toplam açısal katkısı –225°’dir. j2 Im(s) 0 s2 do .70 ğr 7 us u doğrusu Dolayısıyla, kök yer eğrisinin üst kolu arzulanan KÇ kutup noktasından geçecek şekilde sola bükülmelidir. ζ= X –2 X 0 –1 Re(s) s–düzlemi Kp = 4 Kd Ek olarak, genlik koşulu kullanılırsa: Kd|s2 + 4| = |s2||s2 +2| Gc(s) = 8 + 2s → Kd(2 2 ) = (2 2)(2) → Kd = 2 → Kp = 8 ← Daha büyük orantısal kazanç kullanımına dikkat! Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 10/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı P- ve PD-kontrolcü ile Denetlendiğinde Sistemin Systems Basamak yanıtları Step Responses of P- and PD-Controlled 1.4 P-kontrolcü 1.2 Genlik Amplitude 1 0.8 PD kontrolcü 0.6 0.4 Ek getiriler: Aşma azaldı Yükselme zamanı kısaldı 0.2 0 0 Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 1 2 3 4 Time (sec) Zaman (saniye) Prof. Dr. Bülent E. Platin 5 6 Kontrol Sistemleri Tasarımı 11/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PD (Oransal + Türevsel) Kontrolcü Tasarımı PD-kontrolcü uygulamasındaki 3 büyük sorun: 1. Türev alma işlemi anlamına gelen s-terimi içermesi nedeniyle PD-kontrolcülerin fiziksel olarak gerçekleştirilmesinde sorun vardır. Bu sorunu çözmenin 2 yolu bulunmaktadır: a) Türev alma işlemini yaklaşık gerçekleştirmek. b) Çıktının kendisinin yanında türevini de ölçerek geri besleme bilgisine dahil etmek. – Ek algılama elemanlarının kullanımını gerektirir. Örneğin, mekanik sistemlerde konum ve hız geri beslemenin birlikte kullanımı. 2. Referans girdisinde basamak değişimler olması durumunda PD-kontrolcüler sterimi nedeniyle darbeli komutlar üretirler. Bu sorunu çözmenin 3 yolu bulunmaktadır: a) Referans girdideki basamak değişiklerini dar rampalar şeklinde vermek. b) P-kontrolcünün çıkışında genlik limiti kullanmak. c) 1b 3. PD-kontrolcünün s-terimi algılayıcı gürültüsünü daha da abartılı hale getirir. Bu sorunu çözmenin 2 yolu vardır: a) Algılayıcının ürettiği gürültülü ölçme sinyalini temizlemek için alçak geçirgen süzgeç kullanmak. b) Gürültü düzeyi daha az daha iyi bir algılayıcı kullanmak. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 12/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü Tasarımı PI-Kontrolcü: K i K i (Tis + 1) K p (s − z) Gc (s) = K p + = = s s s Burada Kp: Orantısal kazanç Ki: İntegral kazanç Im s1 Ti: İntegral zamanı z : PI-kontrolcünün sıfırı θs θk Re Td = Kp / Ki -Ki/Kp z = – 1 / Ti = – Ki / Kp 0 PI-kontrolcü ile eklenen sıfırın ve kutubun net açısal katkısı (θs – θk) negatiftir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 13/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü Tasarımı KÇ sistemin arzulanan s1 kutup konumunda, bu negatif θs – θk açısal katkı, kompanse edilmemiş sistemin AÇTF’nin s1 noktasındaki G(s1)H(s1) açısını açı koşulunu sağlayacak şekilde dengelemelidir. arg[Gc(s1)G(s1)H(s1)] = ±(2k+1)180° ; k = 0, 1, 2, ..... Böylece, kompanse edilmiş sistemin AÇTF’i olan Gc(s)G(s)H(s) kullanılarak oluşturulan yeni kök yer eğrisinin baskın kolu sağa kayarak s1′den geçecektir. Baskın koldaki bu sağa yönelim istenen bir gelişme değildir. Ama, PI-kontrolcünün orijindeki kutubu aracılığıyla sistemin tip numarası artacak ve kapalı çevrim sistemin kalıcı rejim başarımı düzelecektir. Dolayısıyla, PI-kontrolcüler, kapalı çevrim sistem yanıtının geçici rejimindeki olumsuz değişikliklerin kabul edilebilir düzeyde küçük tutulması kaydıyla kalıcı rejim başarımının geliştirilmesi amacıyla kullanılabilir. Geçici rejimdeki bu olumsuz etkileri en az düzeyde tutabilmek için PI-kontrolcünün açısal katkısının küçük olması gerekmektedir. Bu da eklenen sıfırın orijine eklenen kutuba yakın konumlandırılmasıyla elde edilebilir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 14/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü Tasarımı Örnek: 1 Transfer fonksiyonu yanda verilen birim G(s) = s(s + 10) geri beslemeli H(s) ≡ 1 bir sistemi düşünelim. Kapalı çevrim sistemin rampa girdileri sıfır kalıcı rejim hatası ile izlemesi istenmektedir. → Tip 2 AÇTF gerekmekte → PI-kontrolcü kullanılmalı! İkincil ister, arzulanan kapalı çevrim kutupların –5 ± j5 olarak konumlandırılmasıdır. Eğer bu mümkün değilse, o zaman ζ = 0.707 sönümleme i) yerleşme zamanının % 5 doğrusu uzamasına izin verilebilir Im İstenen kapalı (kapalı çevrim kutuplar sanal PI-kontrolcüyle çevrim kutup j5 eksene yaklaşabilir) ama kapalı çevrim konumu kutubun yeni ii) sönümleme oranı (ζ = 0.707) s1 = –5+j5 konumu olarak sabit kalmalıdır (kapalı (K = 50) s2 = –4.75+j4.75 çevrim kutuplar ζ = 0.707 x x sönümleme doğrusu üzerinde 0 Re –10 –5 orijine doğru kaydırılmalıdır). s-düzlemi (0.05)(5)=0.25 Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 15/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü Tasarımı Örnek: Bu tür probleminin çözümünde İstenen kapalı ilk adım PI-kontrolcünün çevrim kutup sıfırının (z = –Ki/Kp) konumunu konumu bulmaktır. s1 = –5+j5 Bu işlem, arzulanan kapalı (K = 50) çevrim kutubun yeni konumu x olan s2’de açı koşulunu –10 uygulayarak gerçekleştirilir: θs θk –5 Im PI-kontrolcüyle j5 kapalı çevrim kutubun yeni konumu s2 = –4.75+j4.75 xx z 0 Re s-düzlemi arg(s2 − z) − arg(s2 + 10) − 2arg(s2 ) = 180° 14243 142 4 43 4 1 424 3 θs θk 135 ° θ s − θk = 90° Son ifade, p = –10 ve z’den s2‘ye doğru çizilen doğruların birbirine dik olduğunu işaret etmektedir. Bu genelleştirilecek bir kural olmayıp, yalnızca geri kalan kutup ve sıfırlardan s2’ye çizilecek doğruların gerçek eksenle yaptığı açıların toplamlarının 180°’den 90° kadar farklı olması durumunda geçerlidir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 16/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü Tasarımı Örnek: θk açısının bulunuşu: 4.75 θk = tan-1 10 − 4.75 4.75 θk = tan-1 5.25 İstenen kapalı çevrim kutup konumu s1 = –5+j5 (K = 50) x –10 θk = tan-1(0.90476) Im PI-kontrolcüyle j5 kapalı çevrim kutubun yeni konumu s2 = –4.75+j4.75 θs θk –5 θk = 42.14° < 45° beklendiği gibi xx z 0 Re s-düzlemi Dolayısıyla, θs açısı θs – θk = 90° den 132.14° olarak bulunur. z’nin değeri, z’den s2’ye çizilen vektörün açısı kullanılarak bulunur: tanθ s = 4.75 − 4.75 − z → z=− Ki 4.75 4.75 = −4.75 − = −4.75 + = −0.45 Kp tan(132.14 °) 1.105 144244 3 = −1.105 Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 17/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü Tasarımı Örnek: Kp’nin değeri genlik koşulu kullanılarak bulunur: 2 s2 ⋅ s2 + 10 Kp = s2 − z θz Kp = xx z 0 İstenen kapalı çevrim kutup konumu s1 = –5+j5 (K = 50) (6.72)2 6447448 64447.08 74448 θp 2 x − 4.75 + j4.75 ⋅ − 4.75 + j4.75 + 10 –10 − 4.75 + j4.75 + 0.45 1444 424444 3 Im –5 PI-kontrolcüyle j5 kapalı çevrim kutubun yeni konumu s2 = –4.75+j4.75 Re s-plane 6.41 K p = 49.9 ≅ 50 Buradan, Ki‘nin değeri Ki = (0.45)(50) = 22.5 olarak bulunur. Dolayısıyla, tasarlanan kontrolcünün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi olacaktır. 22.5 50(s + 0.45) 22.5(2.22s + 1) Gc (s) = 50 + = = s s s Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 18/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı –0.497’deki 3. KÇ kutubun sistem üzerindeki etkisi –0.45’teki KÇ sıfırı nedeniyle ihmal edilebilir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 19/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı P- ve PI-kontrolcü ile Denetlendiğinde Sistemin Rampa yanıtları Ramp Responses of P- and PI- Controlled Systems 4 Input Girdi 3 P Genlik Amplitude PI 2 1 0 0 Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 1 2 Time (sec) Zaman (saniye) Prof. Dr. Bülent E. Platin 3 4 Kontrol Sistemleri Tasarımı 20/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü Tasarımı İntegral Birikim/Kurma (Windup): PI-Kontrolcü uygulamasındaki başlıca sorundur. Özellikle referans değerlerindeki ani değişimler sonucu kontrolcü girişindeki hata bilgisindeki artış, bu hatanın integralinin alınması ile kontrolcü çıktısının çok büyük değerlere erişmesine ve bu çıktının kumanda bilgisi olarak kullanıldığı eyleyicileri ve bunların sürücülerinin doyma değerlerine erişmesine ve sistemin doğrusal olmayan davranışlar (genellikle aşırı aşmalar) sergilemesine neden olur. İki integral birikim önleyici (anti-windup) düzenleme örneği: Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 21/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PID (Oransal + İntegral + Türevsel) Kontrolcü Tasarımı PID-Kontrolcü: K ds 2 + K p s + K i K d (s − z1 )(s − z 2 ) Ki Gc (s) = K p + + K ds = = s s s Burada, Im Kp: Oransal kazanç Kd: Türevsel Kazanç Ki: İntegral Kazanç o z1 o z2 x 0 Re s-düzlemi z1,z2: PID-kontrolcünün sıfırları Im o z1 x o z2 Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin 0 Re s-düzlemi Kontrol Sistemleri Tasarımı 22/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PID (Oransal + İntegral + Türevsel) Kontrolcü Tasarımı PID-Kontrolcü: Bu kontrolcü, sistemin hem sürekli rejim hem de geçici rejim davranışını iyileştirmek için kullanılır. Kp, Ki, ve Kd, parametreleri bu kontrolcünün tasarımında 3 farklı başarım isterinin sağlanması için gerekli serbestlik derecesini sağlar. Orijindeki kutup ve sıfırlardan biri kontrolcünün PI kısmını, diğer sıfır ise PD kısmını oluşturur. Kontrolcünün PI etkisiyle ilgili sıfır, kök yer eğrilerinin baskın kolunu sağa çok fazla kaydırmamak için orijine yakın seçilir. Kontrolcünün ikinci sıfırı ise, kök yer eğrisinin baskın kolunu PD etkisiyle yeterince sola bükmek amacıyla o kolun solunda bir konuma yerleştirilir. PID kontrolcünün bir başka amaçlı kullanımı, sanal eksene istenmedik şekilde yakın karmaşık kutupları olan sistemlerde, bu kutupların sistem üzerindeki etkilerini bastırmak içindir. Bu amaçla, PID-kontrolcünün sıfırları bu kutuplara olabildiğince yakın yerleştirilir. Böylece, aralarında kısa ama baskın olmayan bir kök yer eğrisi kolu oluşturulur. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 23/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PID Kontrolcülerin Analitik Tasarımı Buradaki amaç, PID-kontrolcünün Kp, Ki ve Kd parametrelerini ayarlayarak AÇTF’si G(s)H(s) olan kompanse edilmemiş bir sistemin kapalı çevrim baskın kutuplarının istenen bir konuma s1 yerleştirilmesidir. Aşağıdaki tanımları kullanarak, Gp (s1 )H(s1 ) = Gp (s1 )H(s1 ) e jψ s1 = s1 e jβ ve tasarım denklemleri aşağıdaki şekilde yazılabilir: Kp = − sin(β + ψ) 2K icosβ − s1 Gp (s1 )H(s1 ) sinβ Kd = sinψ K + i2 s1 Gp (s1 )H(s1 ) sinβ s1 Bu denklemler, uygun kazançları sıfırlayarak PI ve PD-kontrolcülerin tasarımında da kullanılabilir: PD-kontrolcü için Kd = 0 PI-kontrolcü için Ki = 0 Bu denklemler, PID ile kontrol edilmiş bir sistemin dominant KÇ kutubunun arzulanan s1 noktasından geçmesi için gerekli koşullar kullanılarak türetilmiştir. Bu iki denklem içinde 3 adet bilinmeyen (Kp,Ki,Kd kazançları) olduğu için bu kazançlardan birisi ek bir tasarım koşulunu (kalıcı rejim başarımı gibi) sağlamak üzere seçilebilir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 24/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PID Kontrolcülerin Analitik Tasarımı Eğer s1 noktası negatif gerçek eksen üzerinde seçilmişse, tasarım denklemleri aşağıdaki genlik koşulunu ifade eden tek denkleme indirgenir: K ds12 + K p s1 + K i = s1 Gp (s1 )H(s1 ) Örnek: AÇTF aşağıdaki gibi olan bir sistem için 1 G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2) hedeflenen kapalı çevrim kutup konumu s1,2 = –4 ± j 4 şeklinde tanımlanmıştır. Bu istere ek olarak, basamak girişi için sıfır kalıcı hata ve rampa girişi için %10 dinamik hata oluşması istenmektedir. Sıfır kalıcı hata için kompanse edilmiş sistemin tip numarası “1” olmalıdır. Tüm bu koşulları sağlamak üzere uygun bir PID-kontrolcü kullanılmalıdır. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 25/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PID Kontrolcülerin Analitik Tasarımı Örnek: s1 = s1 e jβ = −4 + j4 = 4 2e j135 ° s1 = 4 2 and β = 135° 1 1 Gp (s1 )H(s1 ) = Gp (s1 )H(s1 ) e jψ = = e − j243.4° ( −3 + j4)( −2 + j4) 10 5 1 → Gp (s1 )H(s1 ) = = 0.0447 and ψ = −243.4° 10 5 Dolayısıyla, tasarım denklemleri aşağıdaki gibi yazılır. − sin(135 ° − 243.4 °) 2K icos135 ° Kp = − = 30.01 + 0.25K i (1/10 5 )sin135 ° 4 2 sin( −243.4°) Ki Kd = + = 4.999 + 0.0313K i 2 4 2 (1/10 5)sin135° (4 2 ) → % 10 dinamik hata koşulu kullanılırsa, 1 1 = → Ki = 20 → Kp = 35 and Kd = 5.63 K i /2 10 20 5.63s 2 + 35s + 20 5.63(s + 0.637)(s + 5.58) Gc (s) = 35 + 5.63s + = = s s s Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 26/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı PID Kontrolcülerin Analitik Tasarımı Örnek: 20 5.63s 2 + 35s + 20 5.63(s + 0.637)(s + 5.58) Gc (s) = 35 + 5.63s + = = s s s Bu PID kontrolcü sisteme aşağıdaki AÇ (ve KÇ) sıfırları ekler. z1 = –0.637 PI etkisiyle ilgili sıfır z2 = –5.58 PD etkisiyle ilgili sıfır Bu sıfırlar kapalı çevrim transfer fonksiyonunun da sıfırları olur. Kapalı çevrim kutupları p1,2 = –4 ± j4 ve p3 = –0.625 olarak elde edilir. p3 = –0.625 kutubu ilk görünüşte rahatsızlık verici olabilir. Ama, bu kutubun sistem yanıtındaki etkisi –0.637’deki sıfır nedeniyle çok önemli değildir. Sistemin P-kontrolcüyle ve PID kontrolcüyle kontrol edilmiş durumlarına karşılık gelen basamak yanıtları bir sonraki yansıda verilmiştir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 27/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Basamak YanitiYanıtı Basamak 1.2 1 Çıktı Çikti 0.8 PID PID kontrolcüyle Kontrolcü ilekompanse denetim Kompanse edilmemis sistem P Kontrolcü ile denetim 0.6 0.4 0.2 0 0 Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 1 2 3 4 Zaman Zaman(saniye) (saniye) Prof. Dr. Bülent E. Platin 5 6 Kontrol Sistemleri Tasarımı 28/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı İlerlemeli Kontrolcü Tasarımı İlerlemeli Kontrolcü: Gc (s) = K c 1+ Ts K c s − z z − 1/T = ⋅ ; 0<α= = <1 1+ αTs α s − p p − 1 / αT Bu kontrolcünün sıfırı orijine kutubundan daha yakındır. Im s1 Dolayısıyla, ilerlemeli kontrolcünün açısal net katkısı (θs – θk) pozitiftir. Bu nedenle, bu kontrolcünün etkisi PDkontrolcüye benzerdir. Sistemin geçici rejim davranışını düzeltmek üzere baskın kapalı çevrim kutuplarını sola doğru kaydırır. θs θk p z 0 Re PD-kontrolcüde belirlenecek 2 katsayı varken, bu kontrolcüde belirlenecek 3 katsayı (Kc, T, α) vardır. Bu da daha fazla serbestlik derecenin olduğu anlamına gelir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 29/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı İlerlemeli Kontrolcü Tasarımı İlerlemeli Kontrolcü Tasarım Adımları: 1. P-kontrolcü kullanılmış sistem için kök yer eğrisi çizilir. 2. Geçici rejim isterleri kullanılarak kapalı çevrim sistemin baskın kutubunun sdüzlemindeki istenen s1 konumu P-kontrolcü kullanılmış sistemin baskın kolunun solunda olacak şekilde seçilir. 3. P-kontrolcü kullanılmış sistemin s = s1’deki 180°’den olan açı farklılığı Φ = 180° – arg[G(s1)H(s1)] > 0 olarak hesaplanır. Bu fark ilerlemeli kontrolcü tarafından sağlanacaktır. 4. İlerlemeli kontrolcünün kutup ve sıfırının konumları (ya da T ve α), s1’de bu açı farkını kapatacak şekilde seçilir. Eğer bu Φ açısı çok büyükse, birden fazla ilerlemeli kontrolcü kullanılabilir. Verilen bir Φ açısını kapatmak üzere ilerlemeli kontrolcünün kutup ve sıfırının konumları için bir çok seçenek vardır. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 30/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı İlerlemeli Kontrolcü Tasarımı İlerlemeli Kontrolcü Tasarım Adımları: Bu kontrolcünün kurup ve sıfırlarının konumları için bir çok seçenek arasında α (dolayısıyla Kc) için en büyük (1’e en yakın) değer verenini bulmak üzere aşağıdaki geometrik yapı kullanılır. Im Şekilde, PA gerçek eksene paralel ve PB de PA ve PO arasındaki β A açısının açı ortayıdır. P (s1) Bu şekilde sinüs teoremi kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilir: 1 sin[(β − φ)/2] = OD = s1 T sin[(β + φ)/2] φ/2 C B β φ/2 D 0 Re 1 sin[(β + φ)/2] = OC = s1 αT sin[(β − φ)/2] Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 31/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı İlerlemeli Kontrolcü Tasarımı Örnek: İleri besleme yolundaki transfer fonksiyonu aşağıda verilen birim geri beslemeli, H(s) ≡ 1, bir kontrol sistemini düşünelim. 1 G(s) = s(s + 1)(s + 5) Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtında % 20 aşma (Mp) ve 4 saniye %2’lik yerleşme zamanı (ts) hedeflenmektedir. Bu isterler kullanılarak, 1 1 ζ= = = 0.456 → β = 180 o − cos −1(0.456) = 117.1o 2 2 1 + (π/Mp ) 1+ (π/0.2 ) 4 4 1 ts = = 4 → ζωn = = 1 → ωn = = 2.193 = s1 ζωn 4 0.456 Dolayısıyla, baskın kapalı çevrim kutup konumları aşağıdaki gibi bulunur. s1 = 2.193 ej117,1° = –1 + j1.952 180°’den olan açı farkı: Φ = 180° – arg[Gp(s1)H(s1)] = 180° – 126.9° = 53.1° Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 32/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı İlerlemeli Kontrolcü Tasarımı Örnek: Tasarım denklemleri aracılığıyla T ve α bulunur. 1 sin[(117.1° − 53.1°)/2] = 2.193 = 1.166 → T sin[(117.1° + 53.1°)/2] 1 sin[(117.1° + 53.1°)/2] = 2.193 = 4.123 → αT sin[(117.1° − 53.1°)/2] Genlik koşulu yardımıyla Kc bulunur. s s + 1 s1 + 5 s1 + 4.123 K c = 0.283 ⋅ 1 1 = 10.14 s1 + 1.166 T = 0.858 αT = 0.243 → α = 0.283 Böylece ilerlemeli kontrolcünün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır. Gc (s) = 10.14 1 + 0.858s s + 1.166 = 35.83 1 + 0.243s s + 4.123 Bu kontrolcüyle, kapalı çevrim kutuplar: p1,2 = –1 ± j1.952, p3 = –1.27, p4 = –6.86 Bu kontrolcüyle elde edilen kök yer eğrileri bir sonraki yansıda verilmiştir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 33/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı 4 Root LocusDenetlenmiş of Lead Compensated İlerlemeli Kontrolcüyle Sistemin YerSystem Kök Eğrisi 0.78 0.66 0.52 0.36 0.18 3 X: -0.9998 Y: 1.952 Sanal Eksen Imag Axis 2 KÇ baskın kutuplar 1 7 6 0 5 4 3 2 X: -6.857 Y: 0 1 X: -1.266 Y: 0 -1 -2 X: -0.9998 Y: -1.952 -3 -4 -7 0.78 -6 Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 -5 0.66 -4 0.52 -3 -2 Real Axis Gerçek Eksen Prof. Dr. Bülent E. Platin 0.36 0.18 -1 0 1 Kontrol Sistemleri Tasarımı 34/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Gecikmeli Kontrolcü Tasarımı Gecikmeli Kontrolcü: Gc (s) = K c 1+ Ts K c s − z z − 1/T = ⋅ ; α= = >1 1+ αTs α s − p p − 1 / αT Bu kontrolcünün kutubu orijine sıfırından daha yakındır. Im s1 Dolayısıyla, gecikmeli kontrolcünün açısal net katkısı (θs – θk) negatiftir. Bu kontrolcü PI-kontrolcünün daha esnek bir sürümü olarak düşünülebilir; çünkü, kontrolcü kutubu orijin gibi sabit bir nokta yerine istenen bir yere yerleştirilebilmektedir. θk θs z p 0 Re Gecikmeli kontrolcü, kapalı çevrim bir sistemin sürekli rejim performansını tip numarasını yükseltmeden iyileştirmek istenen durumlarda kullanılmaktadır. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 35/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Gecikmeli Kontrolcü Tasarımı Gecikmeli Kontrolcü: Gecikmeli kontrolcünün kök yer eğrisi üzerinde önemli değişikler yapmasını önlemek için bu kontrolcünün açısal katkısının kısıtlı (en fazla 5°-6°) olması istenir. Bunu sağlamak için bu kontrolcünün kutup ve sıfırı orijin civarında birbirine yakın olarak yerleştirilir. Bu sayede, kapalı çevrim kutupları kendi özgün konumlarından çok az yer değiştirirler. Böylece, kapalı çevrim sistemin geçici davranışı temel olarak aynı kalır. Bu şekilde yerleştirilmiş kutup ve sıfır olması durumunda, gecikmeli kontrolcünün baskın kapalı çevrim kutup noktasındaki (s1) genliği aşağıdaki gibi yazılır. K c s1 − z K c Gc (s1 ) = ⋅ ≅ α s1 − p α Bu ifade, Kc kazancının sistemin geçici rejim karakteristiğini değiştirmeden α (>1) kat arttırılabileceği anlamına gelir. Dolayısıyla, Kc kazancındaki her artış ilgili hata katsayısında benzer bir artış ve sonunda kalıcı rejim hatasında benzer oranda bir azalış sağlayacaktır; yani, kalıcı rejim davranışında bir iyileşme olacaktır. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 36/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Gecikmeli Kontrolcü Tasarımı Gecikmeli Kontrolcü Tasarım Adımları: 1. P-kontrolcü kullanılmış sistem için kök yer eğrisi çizilir. 2. Geçici rejim isterleri kullanılarak kapalı çevrim sistemin baskın kutubunun sdüzlemindeki s1 konumu kök yer eğrisinin baskın kolunun üstünde seçilir. 3. s = s1’deki genlik koşulunu kullanarak açık çevrim kazancı bulunur ve ilgili hata katsayısı hesaplanır. 4. Kalıcı hata isteri kullanılarak bu hata katsayısında yapılması gerekli olan arttırma saptanır ve α bu değer olarak alınır. 5. Gecikmeli kontrolcü sıfırının konumu sanal eksene s1’den en az 5 kat daha yakın olacak şekilde seçilir. 6. Gecikmeli kontrolcü kutubunun konumu sanal eksene sıfırından α kat daha yakın olacak şekilde seçilir. 7. Gecikmeli kontrolcü kullanılan sistemin kök yer eğrisi çizilir. 8. Hedeflenen baskın kapalı çevrim kutup bu yeni KYE eğrisi üzerinde bulunur. 9. Kc değeri bu yeni baskın kapalı çevrim kutupta genlik koşulu kullanılarak bulunur. 10. Eğer bulunan Kc değeri yeterince büyük bir hata katsayısı vermiyorsa, 6 numaralı adıma daha büyük bir α değeriyle gidilir. → Birden çok iterasyon gerekebilir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 37/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Gecikmeli Kontrolcü Tasarımı Örnek: İleri besleme yolundaki transfer fonksiyonu aşağıda verilen birim geri beslemeli, H(s) ≡ 1, bir kontrol sistemini düşünelim: 1 G(s) = s(s + 1)(s + 5) Geçici rejim isteri ζ = 0.45 şeklinde verilmiş olsun. Buna karşı gelen baskın kapalı çevrim kutubu aşağıdaki gibi bulunur. Bulunuşu basit bir işlem değil! s1 = –0.4039+j0.8016 = 0.8976 ej116,74° P-kontrolcü kullanıldığında, bu noktaya karşın gelen kazanç genlik koşulu kullanılarak aşağıdaki gibi bulunur. K = s1 s1 + 1 s1 + 5 K = − 0.4039 + j0.8016 − 0.4039 + j0.8016 + 1 − 0.4039 + j0.8016 + 5 K = 4.183 Kalıcı rejim isteri ilgili (hız) hata katsayısının 10 kat artırılmasını gerektiriyor olsun. Bu ister, α = 10 olmasını gerektirmektedir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 38/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı P-kontrolcü ile Denetlenen Sistemin Yer Kök Eğrisi ζ = 0.45 Sanal Eksen j2.24 (K = 30) 63.26° İstenen baskın KÇ kutup konumu –0.4039+j0.8016 (K = 4.183) (K = 0.107) Gerçek Eksen Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 39/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Gecikmeli Kontrolcü Tasarımı Örnek: Kontrolcü sıfırının konumunu seçelim: z ≈ Re(s1 )/5 = −0.4039/5 ≅ −0.08 → T = 12.5 Buradan kontrolcünün kutup konumunu bulalım: p = z/α = –0.08/10 = –0.008 → αT = 125 Dolayısıyla, gecikmeli kontrolcünün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır: 1 + 12.5s K c s + 0.08 Gc (s) = K c = ⋅ 1 + 125s 10 s + 0.008 Geçici rejim isteri olan ζ = 0.45’i sağlamak için baskın kapalı çevrim kutup konumu ζ = 0.45 sönümleme doğrusu üzerinde ve yeni açık çevrim transfer fonksiyonu Gc(s)G(s) için açı koşulunu sağlayan s2 = –0.371+j0.737 (ωn = 0.825 < 0.8976) olarak, diğer iki kapalı çevrim kutupları ise –5.18 ve –0.0881 olarak bulunur. Orijine çok yakın olan –0.0881’deki kapalı çevrim kutubunun sistem davranışı üzerindeki etkisi, gecikmeli kontrolcü tarafından –0.08 konumuna eklenen sıfır nedeniyle, ihmal edilebilir düzeydedir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 40/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Gecikmeli Kontrolcü Tasarımı Örnek: Sanal Eksen Sanal Eksen Gecikmeli Kontrolcü ile Denetlenmiş Sistemin Kök Yer Eğrisi Gerçek eksen Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Gerçek eksen Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 41/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Gecikmeli Kontrolcü Tasarımı Örnek: Gecikmeli kontrolcünün kazanç Kc değeri genlik koşulu kullanılarak aşağıdaki şekilde bulunur. K c = 10 s 2 s 2 + 1 s 2 + 5 s 2 + 0.008 / s 2 + 0.08 = 38.85 Dolayısıyla, kazançtaki gerçek artma Kc/K = 38.85/4.183 = 9.29 dır. Bu da istenen 10 kat’dan % 7.1 daha azdır. Problemin α için 10’dan daha büyük (10.7 ?) bir değer seçerek yeniden çözümü için itetratif bir sürecin ilk adımıdır. Çünkü böyle bir seçim, kazancın 10 kat yükselmesini garanti etmeyecektir ve çözümün tekrarlanması gerekecektir. Bu problemi, aşağıdaki tasarım isterleri için analitik tasarım denklemlerini kullanarak çözelim. • Hız hata katsayısındaki artma tamı-tamına 10 olsun. → Kc = 41.83 • Baskın kapalı çevrim kutup konumu s3 = –0.390+j0.774 olsun. Bu konumda ζ = 0.45 sağlanmaktadır. Ayrıca, |s3| = ωn = 0.867 konumu s1 (ωn = 0.898) noktasına s2 (ωn = 0.825) noktasından daha yakın olduğundan sağlanması daha zor bir isterdir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 42/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı Gecikmeli Kontrolcü Tasarımı Örnek: Çözüm: s3 = −0.390 + j0.774 = 0.867e j116.75 o ⇒ s3 = 0.867 & β = 116.75 o K c Gp (s3 )H(s3 ) = 41.83/s 3 (s3 + 1)(s3 + 5) = 10.48e − j178.03 → K c Gp (s3 )H(s3 ) = 10.48 & o ψ = −178.03 o Bu değerler analitik tasarım denklerinde kullanılırsa: sinβ + K c Gp (s3 )H(s3 ) sin(β − ψ) sin(116.75 o ) + 10.48sin(116.75 o + 178.03 o ) T= = = 27.6 o (0.867)(10.48)sin( −178.03 ) s3 K c Gp (s3 )H(s3 ) sinψ sin(β + ψ) + K c Gp (s3 )H(s3 ) sinβ sin(116.75 o − 178.03 o ) + 10.48sin(1 16.75 o ) αT = = = 284.6 o − s3 sinψ − 0.867sin( −178.03 ) α = 10.31 ve Gc (s) = 41.83 1+ 27.6s s + 0.0362 = 4.06 1 + 284.6s s + 0.00351 Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 43/45 Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı İlerlemeli-Gecikmeli Kontrolcü Tasarımı Eğer kapalı çevrim sistemin hem geçici rejim hem de kalıcı rejim yanıtında bazı iyileştirmeler isteniyorsa, hem ilerlemeli hem de gecikmeli kontrolcü beraber kullanılmalıdır. Bu tür bir kontrolcünün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir. 1+ T1s 1+ T2s Gc (s) = K c ⋅ , 0 < α <1 , β>1 1+ αT1s 1+ βT2 s • α ve T1 parametreleri kontrolcünün ilerlemeli kısmıyla ilgilidir ve sistemin istenen bir dominant kapalı çevrim kutup noktasında geçici rejim yanıtıyla ilgili isterleri karşılamak üzere seçilir. • β ve T2 parametreleri ise, kontrolcünün gecikmeli kısmıyla ilgilidir ve Kc ile birlikte sistemin kalıcı rejim yanıtıyla ilgili isteri sağlamak üzere seçilir. Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 44/45 Sorularınız Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sistemleri Tasarımı 45/45