Gerilmeler ve Mohr dairesi Alıştırma çözümleri - guven
Transkript
Gerilmeler ve Mohr dairesi Alıştırma çözümleri - guven
İlk yayın : 7 Kasım 2014 www.guven-kutay.ch YAPI STATİĞİ Gerilmeler ve Mohr dairesi Alıştırma çözümleri 44-04-4 M. Güven KUTAY, Muhammet ERDÖL En son durum: 7 Kasım 2014 DİKKAT: Bu çalışma iyi niyetle ve bugünün teknik imkanlarına göre yapılmıştır. Bu çalışmadaki bilgilerin yanlış kullanılmasından doğacak her türlü maddi ve manevi zarar için sorumluluk kullanana aittir. Bu çalışmadaki bilgileri kullananlara, kullandıkları yerdeki şartları iyi değerlendirip buradaki verilerin yeterli olup olmadığına karar vermeleri ve gerekirse daha detaylı hesap yapmaları önerilir. Eğer herhangi bir düzeltme, tamamlama veya bir arzunuz olursa, hiç çekinmeden bizimle temasa geçebilirsiniz. 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch İÇİNDEKİLER 1. Eğik kaynaklı plakanın gerilme analizi ..................................................................................................................... 5 2. Ölçülen değerlere göre gerilme analizi ..................................................................................................................... 7 2.1. Grafik çözüm ................................................................................................................................................... 8 Kayma zorlanmasına göre gerilme analizi .............................................................................................................. 10 3. 3.1. 3.2. Grafik çözüm ................................................................................................................................................. 10 Analitik çözüm .............................................................................................................................................. 10 Normal kuvvet zorlanmasına göre gerilme analizi.................................................................................................. 11 4. 4.1. 4.2. Grafik çözüm ................................................................................................................................................. 11 Analitik çözüm .............................................................................................................................................. 11 Bileşik zorlanmaya göre gerilme analizi ................................................................................................................. 12 5. 5.1. 5.2. Grafik çözüm ................................................................................................................................................. 12 Analitik çözüm .............................................................................................................................................. 12 Eğik kesitte gerilme analizi ..................................................................................................................................... 13 6. 6.1. 6.2. 7. Grafik çözüm ................................................................................................................................................. 13 Analitik çözüm .............................................................................................................................................. 13 Parçada esneme ve kayma analizi ........................................................................................................................... 15 7.1. için genel esneme x, y ve kayma xz ......................................................................................................... 15 7.2. = 60 için esneme x, y ve kayma xz, ....................................................................................................... 15 7.3. = 60 için asal esnemeler 1, 2 ile yönleri 1 ve 2....................................................................................... 16 7.3.1. Analitik ..................................................................................................................................................... 16 7.3.2. Grafik çözüm ............................................................................................................................................ 16 Dik dörtgen kaval profilli çıkma kirişin analizi ...................................................................................................... 17 8. 8.1. Kesit kuvvetleri.............................................................................................................................................. 17 8.2. 1. ve 2. noktalardaki gerilme durumları......................................................................................................... 18 8.2.1. 1. noktadaki toplam normal gerilme ......................................................................................................... 18 8.2.2. 1. noktadaki toplam kayma gerilmesi: ...................................................................................................... 18 8.2.3. 2. noktadaki toplam normal gerilme ......................................................................................................... 19 8.2.4. 2. noktadaki toplam kayma gerilmesi: ...................................................................................................... 19 8.3. Asal gerilmeler .............................................................................................................................................. 20 8.3.1. Analitik çözüm.......................................................................................................................................... 20 8.3.2. Grafik çözüm ............................................................................................................................................ 21 Yatık U-profilin analizi ........................................................................................................................................... 22 9. 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 10. Kesit değerleri................................................................................................................................................ 22 Kesitin çekirdeği............................................................................................................................................ 23 Verilmiş zorlamalar için nötr ekseni.............................................................................................................. 24 Verilmiş zorlamalar için max/min gerilmeler................................................................................................ 24 Yatık U-profilin analizi ...................................................................................................................................... 26 10.1. Kesitteki kesme gerilmesi.............................................................................................................................. 26 10.1.1. Kesitte idealize edilmiş kesme gerilmelerinin dağılımı ............................................................................ 27 10.1.2. Kesme gerilmelerinin gerçek dağılımı ...................................................................................................... 28 10.2. Torsiyon merkezi M ...................................................................................................................................... 29 11. Yuvarlak kaval profilli çıkma kirişin analizi ...................................................................................................... 30 11.1. Profilde kesit değerleri................................................................................................................................... 30 11.2. 1, 2 ve 3 numaralı noktalarda gerilmeler ....................................................................................................... 31 11.3. Analitik ve grafik 1, 2 ve 3 numaralı noktalarda asal gerilmeler (Mohr dairesi)........................................... 33 11.3.1. Analitik ve grafik 1 numaralı noktada asal gerilmeler .............................................................................. 33 11.3.1.1. Analitik olarak 1 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri........................................................ 33 11.3.1.2. Grafik olarak 1 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri .......................................................... 33 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch 11.3.2. Analitik ve grafik 2 numaralı noktada asal gerilmeler .............................................................................. 34 11.3.2.1. Analitik olarak 2 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri........................................................ 34 11.3.2.2. Grafik olarak 2 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri .......................................................... 34 11.3.3. Analitik ve grafik 3 numaralı noktada asal gerilmeler .............................................................................. 35 11.3.3.1. Analitik olarak 3 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri........................................................ 35 11.3.3.2. Grafik olarak 3 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri .......................................................... 35 12. Kesiti asimetrik profil......................................................................................................................................... 36 12.1. Ağırlık merkezi "S" ve torsiyon merkezi "M" nin koordinatları: .................................................................. 36 12.2. Atalet momentleri J' ve J' ile deviasyon momenti C'' :.............................................................................. 36 12.3. Ana ağırlık eksenleri y ve z vede atalet momentleri Jy ve Jz .......................................................................... 37 12.3.1. Analitik olarak .......................................................................................................................................... 37 12.3.2. Grafik olarak Mohr dairesiyle................................................................................................................... 38 12.4. Kesitin çekirdeği:........................................................................................................................................... 38 12.5. M' = 5 kNm için nötr ekseninin bulunması................................................................................................... 40 12.6. M' = 5 kNm için A, B ve C deki x gerilmeler ............................................................................................. 40 12.7. V' = 25 kN için D deki xy kayma gerilmesi ................................................................................................. 41 12.8. Akma mukavemeti fy=235 MPa için moment M' nin maksimum değeri. .................................................... 41 13. Mohr benzerliği, ortadan tek kuvvetle zorlanan klasik kirişte sehim ................................................................. 42 14. Duvarın zorlanması ............................................................................................................................................ 43 14.1. 14.2. 15. Kesit kuvvetleri.............................................................................................................................................. 43 Duvarın emniyetli en büyük yüksekliği......................................................................................................... 44 Asimetrik T-profili ............................................................................................................................................. 45 15.1. 1, 2 ve 3 numaralı noktalardaki gerilmeler .................................................................................................... 45 15.1.1. 1,2 ve 3 numaralı noktalardaki gerilmeler. ............................................................................................... 46 15.1.2. 1,2 ve 3 numaralı noktalardaki asal normal gerilmeler ve yönleri ............................................................ 47 15.2. x ve xz , yx gerilmelerinin değerleri ile dağılım diyagramları .................................................................... 48 15.2.1. Normal gerilme x in değerleri ve dağılımı .............................................................................................. 48 15.2.2. xz , yx gerilmelerinin değerleri ve dağılımı ............................................................................................. 48 16. Mohr benzerliği, çok yataklı sistem ................................................................................................................... 50 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 5 1. Eğik kaynaklı plakanın gerilme analizi Şekil 1 ile görülen plaka şu şekilde zorlanmaktadır. Bilinenler: x = 40 MPa z = 120 MPa xz = zx = 60 MPa = 38 X a Ka a x işi dik ak yn t zx n Arananlar: Grafik ve analitik olarak: Z 1 X ve Z gerilmelerinin Mohr dairesinde gösterilmesi, xz z 2 Asal gerilmeler ve yönleri ile maksimum gerilmeler, Şekil 1, Eğik kaynaklı plaka 3 Kaynak dikişindeki gerilmeler. Çözüm: Mohr dairesinin konstrüksiyonunun bitmiş hali Şekil 1-a ile görülmektedir. Kabul edilen apsisi , ordinatı olan bir koordinat sistemi ele alınır. Bilinen değerlerle X ve Z noktaları ölçekli koordinat sisteminde işaretlenir. Burada X(x, xz) = X(40, 60) ve Z(z, zx) = Z(120, 60) değerindedir. [MPa] in sen -t ek max 100 tn 80 / e/ N (n, tn ) Kutup P tn n Z (z, xz ) x-eksenine // 60 1 xz 2. ek sen 20 2(2, ) 40 40 20 20 M= n se ine 80 // zx nt T (t , nt ) nt t X 1 xz x zx xz 2 x 1 z 120 ek z 100 1 60 X x zx 80 2 40 (x, zx ) z 1(1, ) [MPa] t 60 x + z Z n- 1 . ek sen z-eksenine // n 2 40 x 2 1 2 1 tn t n nt Şekil 1-a, Eğik kaynak dikişli plaka için Mohr dairesi 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch t nt t n tn n Alıştırma Çözümleri 6 Mohr dairesi çizilir: Mohr dairesinin merkezi M z M x 2 Mohr dairesinin yarıçapı R x y 2xy R 2 M 2 40 120 40 2 M (40 ; 0) 2 40 120 2 R (60) 2 R 100,0 mm Aranan değerler Şekil 1-a dan okunur 1 140 MPa max 100 MPa n 1 MPa tn 92 MPa 2 60 MPa 1 109 t 78 MPa nt 92 MPa Bu değerler analitik olarakta hesaplanır. Asal normal gerilmeler : 1 > 2 2 x y z 2zx 1, 2 x 2 2 1 140 MPa 2 40 120 40 120 2 1, 2 (60) 2 2 2 60 MPa Asal gerilme yönü 1 tan 21 2 xz x z tan 21 2 (60) 0,75 1 = 18,4 + 90 40 120 1 108,4 Maksimum kayma gerilmesi max 2 x y 2xy max 2 2 40 120 2 max (60) 2 max 100 MPa Kaynak dikişi a-a daki gerilmeler: x = 40 MPa z = 120 MPa Önce burada 90 n için xz = zx = 60 MPa = 52 = 38 bulunur. n x cos 2 z sin 2 zx 2 sin cos n (40) cos 2 52 120 sin 2 52 (120) 2 sin 52 cos 52 n 1,136 MPa t için t x sin 2 z cos2 zx 2 sin cos t (40) sin 2 52 120 cos2 52 (60) 2 sin 52 cos 52 t 78,864 MPa tn = nt için tn nt z x sin cos zx cos 2 sin 2 tn nt 120 40 sin 52 cos 52 (60) cos 2 52 sin 2 52 tn nt 92,138 MPa 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 7 2. Ölçülen değerlere göre gerilme analizi c b d c Şekil 2 ile görülen bir düzlemde a, b, c yönlerinde ölçülen esnemelere göre gerilme analizi. b ° 90 P Bilinenler: a = 2,50 ‰ b = 0,40 ‰ c = 0,40 ‰ a a 60 90 ° ° a 0° 12 Arananlar: c b d Grafik ve analitik olarak ana esnemeler ve yönleri ile d yönündeki esneme d . Şekil 2, Ölçülen değerler Çözüm: Koordinatların transformasyonu ile (Mohr analojisine göre) burada; n n ; x x y y ; ve xy xy / 2 kabul edilir ve n x cos 2 y sin 2 xy 2 sin cos denklemine analog olarak n x cos 2 y sin 2 xy sin cos denklemi yazılır (teoriye bakınız.) Problemi şüpheye düşmeden çözmek için önce bilinenler ve bildiklerimizi çizip görelim: d c c b c = 0,4 % 0 bb b = 0,4 % 0 ° 90 P a 30° 30° dd = 2,5 %0 a=x 60 ° 90° a a a = 2,50 ‰ a = 0 b = 0,40 ‰ b = 120 c = 0,40 ‰ c = 60 cos 2 a 1 sin 2 a 0 cos2 b 0,25 sin 2 b 0,75 cos 2 c 0,25 sin 2 c 0,75 sin a cosa 0 0° 12 cc b y=d= aa sin b cosb 0,433 c d Şekil 2a, Ölçülen değerler ve bilinenler sin c cosc 0,433 Koordinatların transformasyonu üç bilinmiyen için yazalım: 2 2 a cos a sin a sin a cosa x 2 2 b cos b sin b sin b cosb y cos 2 sin 2 sin cos c c c c xy c Buraya bildiklerimizi yerleştirip x, y ve xy değerlerini bulalım. 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch Alıştırma Çözümleri 8 0 0 x 2,5 1 0,40 0,25 0,75 0,433 y 0,40 0,25 0,75 0,433 xy x 2,500 ‰ y 0,833 ‰ Bu denklemle: xy 0,924 ‰ bulunur. Burada deformasyon tensörü: x yx 2 xy 2 2,500 0,462 0,462 0,833 y 2.1. Grafik çözüm Ordinatı /2 [‰] ve apsisi [‰] olan Mohr dairesinin koordinat sistemimizi çizelim ve X(x,yx/2) ile Y(y,xy/2) noktalarını işaretleyelim. Bu noktaları birleştirince apsisi kestiği nokta Mohr dairesinin merkezidir ve dairenin yarı çapı MX kadardır. (% 0) 2 y, bb ) B ( b bb 0,895 1 2,56 X ( x yx ) ) A ( a aa dd, a 1 0,833 1 Y ( y xy ) ) D ( d dd 1 1 30° 0,462 2 1 ( 1 ) 7,75° x, 2 2 ( 2 ) 1 aa, d 2 3 (% 0) P 30° Kutup ) 2 C ( c cc cc Şekil 2b, Mohr dairesi X ve Y noktalarından ordinat ve apsise çizilen paralellerin Mohr dairesi ile ortak kesiştikleri nokta kutup noktası P dir. Şekil 2b den okunanlar: 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc 1 2,56 ‰ , 2 0,895 ‰ , 1 , d 0,833 ‰ , d-d/2 0,462 ‰ www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 9 Analitik çözüm: 1 > 2 Ana esnemeler: 1,2 x y 2 2 x y xy 2 2 2 2 2,5 0,833 2,5 0,833 0,924 1,2 2 2 2 2 1 2,563 ‰ 2 0,896 ‰ Ana esneme yönü 1 : x ve 1 eksenleri arasında saat zönü + pozitif olarak. tan 21 xy x y 0,924 0,277 2,5 0,833 d-d yönünde esneme: 1 7,75 x ve d eksenleri arasındaki açı d = 90 dir. d x cos 2 d y sin 2 d xy sin d cos d y Burada kontrolü yaparsak: d d y x 2 sin d cos d xy cos 2 d sin 2 d xy 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc d 0,833 ‰ www.guven-kutay.ch d d 0,924 ‰ Alıştırma Çözümleri 10 3. Kayma zorlanmasına göre gerilme analizi x Şekil 3 ile görülen cisim parçasının gerilme analizi. xz z Bilinenler: zx = xz = 30 MPa zx Arananlar: Grafik ve analitik olarak kutup noktası, asal gerilmeler ve yönleri. Şekil 3, Cisim parçasının zorlanması 3.1. Grafik çözüm x () 1 =135° 2 z 1 SYT xz zx Z Pol 30 // 1 2 2 () SY //x 1 =135° // 2 1 30 30 1 X 30 1 =135° 2 2 1 = 30 2 = 30 1 1 1 1 //z 2 2 Şekil 3 a, Grafik çözüm, SY = saat yönü, SYT = saat yönünün tersine 3.2. Analitik çözüm Bilinen değerler : zx xz 30MPa x z 0 2 Asal gerilmeler: z z 2 1,2 x x zx 2 2 1 30 MPa 1, 2 zx 30 2 30 MPa Asal gerilme yönü 1 : tan 21 2 zx 2 (30) x z 0 2. 1 = 90° 1 = 45° Analitik olarak asal gerilme yönü açısı 1 in değeri tam olarak hesaplanamaz. Hakiki açı büyüklüğü buradada görüldüğü gibi grafik çözümde görülür. 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 11 4. Normal kuvvet zorlanmasına göre gerilme analizi x Z Şekil 4 ile görülen cisim parçasının gerilme analizi. z z = x = 30 MPa Bilinenler: X Arananlar: Grafik ve analitik olarak kutup noktası, asal gerilmeler ve yönleri. Şekil 4, Cisim parçasının zorlanması 4.1. Grafik çözüm x Z z X 0 X 1Z 2 30 0 1 = 30 2 = 30 1 = 0° Şekil 4 a, Grafik çözüm 4.2. Analitik çözüm Bilinen değerler : x z 30 N / mm 2 xz zx 0 2 Asal gerilmeler: 1,2 x z z 2 x zx 2 2 1, 2 2 30 30 30 30 0 2 2 1 30 N/mm2 1,2 30 2 30 N/mm2 Asal gerilme yönü 1 : tan 21 2 zx 20 x z 30 30 2. 1 = 0° 1 = 0° Burada tipik "hidrostatik durum" var. Mohr dairesi burada bir nokta olarak görülür, daire diye bir şey yoktur. Cisim nasıl döndürülürse döndürülsün gerilmeler değişmez sabit kalır. 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch Alıştırma Çözümleri 12 5. Bileşik zorlanmaya göre gerilme analizi Z x Şekil 5 ile görülen cisim parçasının gerilme analizi. z = 20 Mpa x = 20 Mpa zx = xz = 10 MPa Bilinenler: xz X z Arananlar: zx Grafik ve analitik olarak kutup noktası, asal gerilmeler ve yönleri. Şekil 5, Cisim parçasının zorlanması 5.1. Grafik çözüm Z x 1 13,28° 2 1 1 xz X 2 z 1 2 1 //z 2 max 1 1 2 2 10 2 Z //x 22,36 13,2 8° X 1 1 13,28° 1 zx 22,36 Pol 1 = 22,36 2 = 22,36 1 = 13,28° Şekil 5 a, Grafik çözüm 5.2. Analitik çözüm Bilinen değerler: x 20 MPa ; z 20 MPa ; 2 z z 2 Asal gerilmeler: 1,2 x x zx 2 2 xz zx 10 MPa 2 20 20 20 20 2 1, 2 10 2 2 1 22,36 MPa 500 22,36 2 22,36 MPa Asal gerilme yönü 1 : tan 21 2 zx 2 10 0,5 x z 20 20 1 = 13,283° 2.1 = 26,565° 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc 2. 1 = arctan 0,5 www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 13 6. Eğik kesitte gerilme analizi 28° 300 a b N N x 300 c y c Şekil 6 ile görülen çekmeye zorlanan tahta kiriş b-b kesitinde yapıştırılarak birleştirilecektir. Bilinenler: z = 20 Mpa x = 20 Mpa zx = xz = 10 MPa b Arananlar: analitik ve grafik olarak: 1. a-a kesitinde gerilmelerin durumu, 2. b-b kesitinde gerilmelerin durumu, 3. Yapıştırıcının çekme mukavemeti EM = 1 MPa ise c-c kesitinin açısı nın değeri. a z Şekil 6, Çekmeye zorlanan tahta kiriş 6.1. Grafik çözüm 28° y n = 28° u1 c b a z z u2 v1 t m /mm N/m 6 N ,237 1 3 6 , = =3 n tn B 3,316 C1 2,645 Z // x C1 h2= 2 h1= 1 C2 max 6,237 X = Pol // b-b =28° h2= 2 C2 2 /mm 6N 1 3 , 2 =3 nt /mm N 7 ,23 =6 t //z tn 2 2 N x N x v2 300 a b // x min 300 c =0 zx X= =0 xz =0 Z 2 8 N/mm 2 = 2, C164=51N/mm 2 m 2 N/m 645 N/mm , 2 =1 = tn C2 N/m 2 m Şekil 6 a, Grafik çözüm 6.2. Analitik çözüm Bilinen değerler: N = 720 kN ve Şekil 6 ile verilmiş olan ölçüler. a) a-a kesitinde gerilme durumu A 300 300 90 10 3 mm 2 Gerilme: x 720 10 3 / 90 10 3 8 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch x 8 N/mm 2 Alıştırma Çözümleri 14 b) b-b kesitinde gerilme durumu açısı biliniyor ve değeri: = 28° XBZ üçgeninden; x h1 tan(90 ) und x x h1 tan x h1 nt tn tan tab(90 ) B h1= 1 Z X x x 1 nt 3,31615 MPa n , t x x nt tan t 6,23677 MPa Şekil 6 b, Grafik çözüm Eğiklik açısı: 28 Ana gerilme: t 6,24 MPa Kayma gerilmesi: nt 3,32 MPa c) c-c kesitinde yapıştırma malzemesinin çekme mukavemet değerini (ft = 1 MPa) aşmayan açısının değeri XC1Z üçgeninden; C1 f t h 2 tan ve x f t h 2 tan(90 ) h2= 2 Z 1 8 f x t ft x X arctan ft 1 arctan x f t 7 1 69,295189 = min Şekil 6 c, Grafik çözüm Şekil 6 dan 2 180 1 2 110,704811 = max Emniyetli " açısı iu değerlerin arasındadır: max f t 1 N/mm2 Maksimum ana gerilme: Kayma gerilmesi: 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc ( max ) 1 69,3 < < 2 110,7 ft 1 tan(90 1 ) tan(90 69,295189) www.guven-kutay.ch ( max ) 2,645 N/mm2 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 15 7. Parçada esneme ve kayma analizi a x Bilinenler: Kare şekilli alanın kenarı "a" kadardır. x-yönünde esneme büyüklüğü u = .cos . (y/a) , y-yönünde esneme büyüklüğü v = .sin . (y/a) dır. a dy dx v(y=a) Şekil 7 ile görülen düzlem alanın esneme değerlerinin analitik ve grafik bulunması. y u(y=a) Şekil 7, Esneyen düzlem parçası Arananlar: analitik ve grafik olarak: 1. için genel esneme x, y ve kayma xz, 2. = 60 için esneme x, y ve kayma xz, 3. = 60 için asal esnemeler 1, 2 ile yönleri 1 ve 2. Çözüm: sin 60 Genel olarak 3 0,866 2 cos 60 1 0,5 2 değerindedir. 7.1. için genel esneme x, y ve kayma xz x u x u = .cos . (y/a) olduğundan x-yönünde u = sabit değerdir ve y v y v = .sin . (y/a) dır. xy v u x y v y değeri y sin y ay xy 0 0,5 a y dır. sin a dır. v = .sin . (y/a) olduğundan x-yönünde v = sabit değerdir ve u cos y y ay x 0 v 0 y dır. u cos y a xy dır. cos a dır. 7.2. = 60 için esneme x, y ve kayma xz, = 60 için x-yönünde esneme x 0 = 60 için y-yönünde esneme y 0,866 = 60 için kayma açısı xy 0,5 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch a a Alıştırma Çözümleri 16 7.3. = 60 için asal esnemeler 1, 2 ile yönleri 1 ve 2. 7.3.1. Analitik 1,2 2 2 2 2xy 0 0,866 / a x y 0 0,866 / a 4 2 2 4a 2 x y 2 a 1 32 a 4 1 0,933 2 32 a 4 2 0,067 tan 21 xy x y 0,5 / a 0 0,866 / a 1x 15 tan 21 1 3 a 1 1 1x a tan 3 2 1 75 1 90 15 Bu durum grafik çözümde daha belirli gözükür. 7.3.2. Grafik çözüm (% 0) 0,4 X ( x yx ) P Kutup 0,2 1 = 75° 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) M 0,2 0,2 0,4 1-eksenine 2 =0,0669 0,6 2-eksenine Y ( y xy ) 0,4 Şekil 7-01, Grafikten okunanlar (çizim programıyla): a ; 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc 1,0 1 = 0,9329 0,2 1 0,9329 0,8 (% 0) 2 0,0669 a ; 1 75 www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 17 8. Dik dörtgen kaval profilli çıkma kirişin analizi B b t2 A B t1 1 y2 z1 1 2 y h0 z2 x y h 2 Tt H Qx x A0 Qz L1 D z C z b0 Şekil 8, Dik dörtgen kaval profilli kiriş Şekil 8 ile şekli ve ölçüleri verilen dik dörtgen kaval profilin analizi. Bilinenler: Kesit değerleri: B = 2000 mm H = 2800 mm z1 = 1200 mm Q = 5 MN ; T = 20 MNm ; b = 1600 mm ; t2 = 200 mm ; h = 2000 mm ; t1 = 400 mm ; z2 = 500 mm ; y2 = 900 mm Arananlar: 1. Kesit kuvvetleri 2. 1. ve 2. noktalardaki gerilme durumları, 3. Grafik ve analitik olarak 1. ve 2. noktalardaki asal gerilmeler ve yönleri. Kabuller: Kesit ince cidarlı kabul edilecek, Burulma (Wölbtorsion) torsiyonu dikkate alınmayacak, Bredt formülü kullanılabilecek. Çözüm: 8.1. Kesit kuvvetleri T Ah= Q MA= Q.L Q Bağlantı kesitinde gerilmeler T Av = Q SCD Q N-Dağılımı + V-Dağılımı + T-Dağılımı + + + + + M-Dağılımı Şekil 8 a, Kesitte dağılımlar 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch Alıştırma Çözümleri 18 8.2. 1. ve 2. noktalardaki gerilme durumları 8.2.1. 1. noktadaki toplam normal gerilme 1. noktadaki çekme gerilmesi: A P Bp H p b p h p z1 t1 1 h H Kesitin alanı: B b t2 Nx1 2 y Nx Ap Nx1 2,083 MPa 1. noktadaki eğilme gerilmesi: x Bağlantı kesitindeki eğilme momenti: M y N x L1 Şekil 8 b, 1. noktadaki normal gerilme Jy z1 0,5 h p t1 Jy Bağlantı kesitinin atalet momenti: My M y 20 MNm 1. noktanın ağırlık merkezine mesafesi: z My1 A P 2400 mm2 z1 1,2 m Bp H3p b p h 3p J y 2,592 m 4 12 My1 9,259 MPa z1 1. noktadaki toplam normal gerilme: x1 11,343 MPa x1 Nx1 My1 h H z1S 1 y Sz1 x z Statik moment alanı ağırlık merkezinin z mesafesi: z1S 0,5 h P 0,75 t1 z1S 1,3 m Statik moment alanının Vz kuvvetine dik genişliği: Şekil 8 c, 1. noktadaki kayma gerilmesi h1S 0,5 t1 Syz1 z1S A1S h1S t1 8.2.2. 1. noktadaki toplam kayma gerilmesi: 1. noktadaki kesme gerilmesi: Vz Syz1 B xz1 b1S b1S J y t2 b y-eksenine göre statik moment: h1S 0,2 m b1S Bp t 2 b1S 1,8 m A1S b1S h1S A1S 0,36 m 2 Bu değerlerle y-eksenine göre statik moment: Syz1 1,3 0,36 Syz1 0,468 m3 5 103 0,468 xz1 1,8 2,592 xz1 0,502 MPa Bredt kesit alanı: 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 19 A0 4,32 mm2 A 0 h 0 b0 2,4 1,8 t1 1. noktadaki torsiyon gerilmesi: T 20 109 2 A0 t1 2 4,32 106 400 t1 5,787 MPa 1. noktadaki toplam kayma gerilmesi: 1x 5,809 MPa 1x 2xz1 2t1 Kayma gerilmeleri birbirlerine dik. Hesaplar için torsiyon momenti "1 = t1" i kabul edelim. 1 5,787 MPa 8.2.3. 2. noktadaki toplam normal gerilme t2 t1 z2 h Nx 2 1 2 H 2. noktadaki çekme gerilmesi: B b Nx Ap Nx 2 2,083 MPa 2. noktadaki eğilme gerilmesi: 2. noktanın ağırlık merkezine mesafesi belli: y2 z 2 500 mm y x My 2 My My 2 3,858 MPa z2 Jy 2. noktadaki toplam normal gerilme: x 2 5,941 MPa x 2 Nx 2 My 2 z Şekil 8 d, 2. noktadaki normal gerilme 8.2.4. 2. noktadaki toplam kayma gerilmesi: 2. noktadaki kesme gerilmesi: Vz Syz2 B xz 2 b1S bt 2 J y t2 b y-eksenine göre statik moment: y x St m Flm z2S h H t1 S yz2 z F1m A F1 zStm ASt z Şekil 8 e, 2. noktadaki kayma gerilmesi z F1m 0,5 h P t1 z F1m 1,2 m A F1 t1 B p A F1 0,80 m 2 zStm 0,5 0,5 h p z 2S ASt 2 t 2 0,5 h p z 2S b t 2 2 t 2 2 0,2 zStm 0,750 m ASt 0,20 m 2 b t 2 0,4 m Bu değerlerle y-eksenine göre 2. nokta için statik moment: Syz 2 1,110 m3 Syz 2 1,2 0,8 0,75 0,2 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch Alıştırma Çözümleri 20 zy 2 5 103 1,11 0,4 2,592 zy 2 0,502 MPa t 2 2. noktadaki torsiyon gerilmesi: T 2 A0 t 2 t 2 11,574 MPa 2. noktadaki toplam kayma gerilmesi: 2 16,927 MPa 2 2zy 2 2t 2 8.3. Asal gerilmeler 8.3.1. Analitik çözüm Yukarıda hesaplanan değerlere göre 1. noktadaki asal gerilmeler ve yönü: y1 0 MPa x1 11,343 MPa 1 / 1,2 x1 y1 2 1 5,787 MPa 2 2 x1 y1 11,343 0 11,343 0 12 5,787 2 2 2 2 11 13,774 MPa 1. noktadaki asal gerilmeler: Asal gerilme yönü 11 : 2. 11 = 0,795 tan 211 2 1 2 5,787 x1 y1 13,774 2,431 12 2,431 MPa 2. 1 = arctan 1,020 11 = 22,789° 11 = 0,3977 rad Yukarıda hesaplanan değerlere göre 2. noktadaki asal gerilmeler ve yönü: y 2 0 MPa x 2 5,941 MPa 2 / 1,2 x 2 y2 2 2 2 x 2 y2 5,941 0 5,941 0 2 22 16,927 2 2 2 2. noktadaki asal gerilmeler: Asal gerilme yönü 21: 2. 21 = 1,397 2 16,927 MPa tan 221 21 20,156 MPa 2 2 2 16,927 x 2 y 2 20,156 14,215 2. 21 = arctan 5,698 21 = 40,023° 21 = 0,699 rad 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc 22 14,215 MPa www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 21 8.3.2. Grafik çözüm 1. noktadaki asal gerilmeler ve yönü: // z 1 2 max x 1 x1 11,343 MPa x1 zx y1 0 MPa X(x1, 1 ) 1 = 6,289 z 1 5,787 MPa // 2 // 1 2 1 2 = 2,797 1 1 1 // z-Achse 2 Bu değerlerle Mohr dairesi çizilir ve şu değerler okunur: x1= 11,343 1 = 14,139 10 1 M=5,6715 1 1 = 23,977° xz // x-Achse // x 11 11,777 MPa 1 P Kutup 1 Z 12 2,431 MPa 2 1 x 2 1 1 11 22,789 1 z 2 Şekil 8 f, 1. nokta için Mohr dairesi 2. noktadaki asal gerilmeler ve yönü: // z 1 2 x 2 5,941 MPa x2 x y 2 0 MPa zx 2 = 16,927 max 1 z X(x2, 2 ) 2 16,927 MPa 10 2 Bu değerlerle Mohr dairesi çizilir ve şu değerler okunur: // 2 1 // 1 2 2 = 14,215 2 2 1 = 40,03° xz // x x2= 5,94 20 2 M = 2,97 // z-Achse 10 2 22 14,215 MPa 2 1 1 Z // x-Achse 21 20,156 MPa 1 1 = 20,156 21 40,03 x P Kutup 2 z 1 2 1 1 Şekil 8 g, 2. nokta için Mohr dairesi Grafik çözüm elektronik beyinle çizildiğinden sonuçlar analitik sonuçlar kadar doğrudur. 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch Alıştırma Çözümleri 22 9. Yatık U-profilin analizi Şekil 9 ile ölçüleri verilen yatık U-profilin analizi. 2000 1800 200 Bilinenler: 400 y 2000 2800 Kesit değerleri: Nx = 8 MN ; My = MNm ; Mz = MNm Arananlar: 400 1. Kesit değerleri: Kesit alanı A, Ağırlık merkezi O, Ana atalet momentleri Iy ve Iz , 2. Kesitin çekirdeği, 3. Nötr çizgisi (Nötr ekseni) 4. Nx ; My ; Mz ye göre max ve min gerilmeler. Şekil 9, Yatık U-profil Çözüm: 9.1. Kesit değerleri Kesit alanı A: 2000 y' A 2 A1 A 2 2 2000 400 2000 200 200 S1 x' A1 400 1800 A 2 106 mm2 S2 S x y a2 z'S A2 A1 y'S a1 z z'i Ai Ai Burada parça simetrik olduğundan; z'S 1400 mm 400 S1 2000 2800 Ağırlık merkezi "S": y'S z' y'i Ai 2 1000 2000 400 100 2000 200 Ai 2 106 y'S 820 mm Şekil 9-01, Kesit değerleri Ağırlık merkezinin koordinatları S (y'S , z'S) = S (820 , 1400) Atalet momentleri "Jy ve Jz": Jy B H3 b h 3 2000 28003 1800 20003 12 12 12 12 Steiner' e göre: J z J zi0 a i2 Ai 400 20003 2000 2003 Jz 2 1802 2000 400 7202 2000 200 12 12 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc J y 2,459 1012 mm4 www.guven-kutay.ch J z 0,794 1012 mm4 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 23 9.2. Kesitin çekirdeği z 1 2A z iy Ana koordinat eksenlerine için nötr ekseni x 0 Ana atalet radyusları: i 2y Jy A 2,459 1012 2,0 10 yA i 2z y0 i 2y 1,229 106 mm2 6 J z 0,794 1012 A 2,0 106 Ana eksenlere paralel nötr eksenleri: i z2 0,397 106 mm2 i 2z 4 3 1 1 z'A(2) A2 A3 y z'A(1) A4 A1 2 2 y'A(3) y'A(4) z 4 3 Şekil 9-02, Kesit çekirdeği y-eksenine paralel nötr ekseni y-ekseni ile kesişme noktası: z-ekseni ile kesişme noktası: P (yP = , 0) Q (0 , zQ) z-eksenine paralel nötr ekseni i2 yA z 0 yP zA P (yP , 0) i 2y Q (0 , zQ = ) zQ i2 yA z yP zA i 2y zQ 0 Nötr eksenlerinin noktalarının koordinatları: 1-1 kenarı için: P (yP , 0) = ( , 0) Q (0 , zQ) = (0 , -1400) 2-2 kenarı için: P (yP , 0) = ( , 0) Q (0 , zQ) = (0 , 1400) 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc yA (1) i 2z 0,397 106 0 yP i 2y z A (1) 1,229 106 878mm zQ 1400 yA(2) i 2z 0,397 106 0 yP z A ( 2) www.guven-kutay.ch i 2y 1,229 106 878mm zQ 1400 Alıştırma Çözümleri 24 3-3 kenarı için: P (yP , 0) = (-820 , 0) Q (0 , zQ) = (0 , ) 4-4 kenarı için: P (yP , 0) = (1180 , 0) Q (0 , zQ) = (0 , ) i2 0,397 106 y A ( 3) z 484mm yP 820 z A ( 3) i2 0,397 106 yA(4) z 336mm yP 1180 z A ( 4) i 2y zQ i 2y zQ 1,229 106 0 1,229 106 0 Eğer Nx (1) de etkiliyse, nötr ekseni (sıfır çizgisi) üst kesit kenarı 1-1 de dir, v.b.. 9.3. Verilmiş zorlamalar için nötr ekseni Verilmiş zorlamalar Nx = 8 MN ; My = MNm ; Mz = MNm için nötr ekseni (sıfır çizgisi); x Nx My M z z y 0 formülünü ele alıp değerleri yerleştirelim: A Jy Jz 12 109 2 109 z y 0 2 106 2,459 1012 0,794 1012 buradan nötr ekseni (sıfır çizgisi) nin formülü bulunur. x 8 106 4 4,880 103 z 2,519 103 y 0 Burada: y = 0 olursa z = 820 mm, z = 0 olursa y = 1588 mm olur. 9.4. Verilmiş zorlamalar için max/min gerilmeler Burada önce normal kuvvet "Nx" in koordinatlarını bulalım M y N x z Nx 250 1588 MP a min= 12, 9 Nx x 820 M y+ My 12 109 N x 8 106 z Nx 1500 mm M z N x yAger y Nx 1400 S ıf ı nöt r çizg r ek isi sen i Mz n y 1500 1400 Pü z Nx + Pa eşitliğinden eşitliğinden Mz 2 109 Nx 8 106 y Nx 250 mm bulunur. n = 820 ma 5, x 8M Pa z 1180 Şekil 9-03, Nötr ekseni ve gerilmeler 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc Verilmiş zorlamaları, nötr ekseni (sıfır çizgisi) ni ve Nx i çizelim, Şekil 9-03. Nötr eksenine en uzak noktaların koordinatları: Pa (1180 , 1400) ve Pü (820 , 1400) www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 25 Bu noktalardaki normal gerilmeler: x ( Pa ) Nx M y M z Pa z y Pa 4 4,880 103 1400 2,519 103 1180 A Jy Jz x ( Pa ) 5,8 MPa x ( Pü ) Nx M y M z Pü z yPü 4 4,880 103 1400 2,519 103 820 A Jy Jz x ( Pü ) 12,9 MPa 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch Alıştırma Çözümleri 26 Yatık U-profilin analizi 10. 2000 1800 Şekil 10 ile ölçüleri verilen tahtadan yatık U-profilin analizi. 200 900 400 y 1 Bilinenler: 2000 2800 Kesit değerleri: Vz = 0,3 MN Arananlar: 400 Vz nin zorlamasından oluşan: 1 2 3 4 z Şekil 10, Yatık U-profil Kesitteki kesme gerilmesi, 1 numaralı noktada oluşan kesme gerilmesi, Sıfır çizgisi (Nötr ekseni) Nx ; My ; Mz ye göre max ve min gerilmeleri. Çözüm: 10.1. Kesitteki kesme gerilmesi Kesitteki kesme gerilmesi Vz SyPi t Ku J y Burada y-eksenine göre atalet momenti: Jy B H3 b h 3 2000 28003 1800 20003 12 12 12 12 J y 2,459 1012 mm4 Hesapları kolaylaştırmak için kesiti ince cidarlı kabul edelim. y-eksenine göre statik moment: zP SyPi z b Pi dz zO Alt kuşakta kesme gerilmesi: zO = 0 ise y-eksenine göre statik momentin maksimum olduğunu her zaman hatırlayalım: 2000 Sy,max Sy( z O 0) Şekil 10-01 ile alt kuşakta kesme gerilmesinin statik momentinin nasıl hesaplanacağı görülür. O x A (y) P z t Ku Statik moment y değeri ile orantılıdır ve y nin maksimum değeri dikmenin ortasına kadardır. zO= 1200 y Sy A ( y) zO t Ku y zO P1 y Smax t Ku y max zO ymax=1900 Şekil 10-01, Alt kuşakta kesme gerilmesi 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc Burada b ve zS sabit olduğundan ve z lineer arttığı için yx de lineer olarak dağılır. www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i zO 1200 mm t Ku 400 mm ; ; 27 y max 1900 mm SP1 max 400 1900 1200 0,912 109 mm3 V S P1 max z P1 max t Ku J y P1 max 0,3 106 0,912 109 400 2,459 1012 SP1 min 400 0 1200 0 0,278 MPa V S P1 min z P1 min t Ku J y P1 min 0 Burada tKu ve zO sabit olduğundan kesme gerilmesi doğrusal olarak büyür.bkz Şekil 10-04. Üst kuşaktada dağılım simetriden dolayı aynıdır. 10.1.1. Kesitte idealize edilmiş kesme gerilmelerinin dağılımı P2 noktasında kesme gerilmesi, P2 noktası dikmede kabul edilirse: bU SP 2 A P 2 z P 2 t Ku b Ku z P 2 z P 2 1200 mm ; t Ku 400 mm t z 200 mm y O x A P2 SP 2 400 1900 1200 0,912 109 mm3 tz V S z P2 tz Jy z P2 z t Ku P2 bKu P 2 zx min Şekil 10-02, P2 noktasında kesme gerilmesi 0,3 106 0,912 109 200 2,459 1012 0,556 MPa P3 noktasında kesme gerilmesi: bU SP3 A1 z1 A 2 z 2 t Ku b U z1 t z h 2 z 2 SP1 400 2000 1200 200 1000 500 SP1 1,060 109 mm3 P3 h2 A1 tz z A2 V S z P3 tz Jy z1 O x z2 y t Ku P3 zx max bU Şekil 10-03, P3 noktasında kesme gerilmesi 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch 0,3 106 1,060 109 200 2,459 1012 0,647 MPa Alıştırma Çözümleri 28 0,278 MPa 0,278 MPa yx yx 0,556 MPa 0,059 MPa 0,586 MPa 0,631 MPa y O x zx 0,631 MPa O x zx y zx max 0,647 MPa + zx max 0,647 MPa + z z yx 0,586 MPa yx 0,556 MPa 0,059 MPa + + 0,278 MPa 0,278 MPa a) İdealize edilmiş kesme gerilmesinin dağılımı b) Kesme gerilmelerinin gerçek dağılımı Şekil 10-04, Kesitte kesme gerilmelerinin dağılımı Kesme gerilmesi pozitif, eğer düzlem dikmesi ve eksenin pozitif yönünde ise. 10.1.2. Kesme gerilmelerinin gerçek dağılımı P4 noktasında kesme gerilmesi: bU SP 4 A P 4 z P 4 t Ku b U z P 4 z P 4 1400 mm y t Ku 0 mm t z 2000 mm O x A P4 SP 4 0 2000 1200 0 mm3 z P4 z V S P 4 zx z P 4 tz Jy t Ku P4 bU ; P 4 zx 0 MPa Şekil 10-05, P4 noktasında kesme gerilmesi P5 noktasında kesme gerilmesi, P5 noktası dikmede kabul edilirse: SP5 A P5 z P5 t Ku b U z P5 bU z P5 1200 mm ; t Ku 400 mm t z 200 mm O x SP5 400 2000 1200 0,960 109 mm3 tz A P5 z P5 y z V S z P5 tz Jy P5 t Ku bU Şekil 10-06, P4 noktasında kesme gerilmesi 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc P 4 zx www.guven-kutay.ch 0,3 106 0,960 109 200 2,459 1012 0,586 MPa G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 29 P6 noktasında kesme gerilmesi, P6 noktası kuşakta kabul edilirse: SP 6 A P 6 z P6 t Ku b U z P 6 bU z P6 1200 mm ; t Ku 400 mm t z b U 2000 mm O x y SP 6 400 2000 1200 0,960 109 mm3 z P6 A P6 z V S z P6 bU J y P6 t Ku b U= t z Şekil 10-07, P6 noktasında kesme gerilmesi P6 zx 0,3 106 0,960 109 2000 2,459 1012 0,0586 MPa P7 noktasında kesme gerilmesi: SP 7 A1 z1 A 2 z 2 t Ku b U z1 t z h 7 z 2 z1 1200 mm t Ku 400 mm ; bU t Ku A1 O x y b U 2000 mm z 7 h7 z2 z1 A2 ; t z 200 mm z 2 750 mm ; SP 7 400 2000 1200 200 500 750 h 7 500 mm P7 tz SP 7 1,035 109 mm3 V S z P7 tz Jy z Şekil 10-08, P7 noktasında kesme gerilmesi P7 zx 0,3 106 1,035 109 200 2,459 1012 0,631 MPa 10.2. Torsiyon merkezi M Torsiyon merkezi M den geçen RM kuvveti, RK ve RD kuvvetlerinin toplamına eşit karşı koyma kuvvetidir. Kuşaktaki kesme gerilmesi için topla kuvvet: R K 0,5 yx max b Ku t Ku bU h = 2400 RK RM O x y z RD M RK 720 m Şekil 10-09, Torsiyon merkezi M m 0,1057 106 2400 0,3 10 6 3 R K 0,5 0,278 1900 400 105,7 10 N yx in doğrusal büyümesine göre. Dikmedeki kuvveti, dikme alanının integrasyonunu yapmadan, doğrudan profili etkiliyen çapraz kuvvet olarak kabul ederiz. M noktasında momentlerin toplamı sıfır olmalıdır. R h M(M) 0 R D m R K h 0 m K RD m 846 mm bulunur. Torsiyon merkezi M(y,z)=M(-1566,0) Torsiyon merkezinin yeri yorlayan kuvvetlerle değil, profilin ölçüleriyle bağıntılıdır. 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch Alıştırma Çözümleri 30 11. Yuvarlak kaval profilli çıkma kirişin analizi 1 3 T 2 y x x y Q t z z L D Şekil 11, Yuvarlak kaval profilli çıkma kiriş Şekil 11 ile görülen yuvarlak borunun analizi. Bilinenler: Yuvarlak boru: Kesit değerleri: Boru boyu: Uçta zorlamalar: 219,1/6,3 (D=219,1; t=6,3) Çelik S235 (Akma mukavemeti Re=235 MPa) Iy= 23,86.106 mm4 A = 4,21.103 mm2 Smax = 142,6.103 mm3 L=2m Q = 20 kN T = 20 kNm Arananlar: 1. Profilde kesit değerleri (kendi ağırlığı dikkate alınmayacak), 2. 1, 2 ve 3 numaralı noktalarda gerilmeler, 3. Analitik ve grafik 1, 2 ve 3 numaralı noktalarda asal gerilmeler (Mohr dairesi) Çözüm: 11.1. Profilde kesit değerleri MA= Q.L T SCD T Q Av = Q + + M-Dağılımı V-Dağılımı T-Dağılımı Şekil 1101, Kesitte dağılımlar 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 31 11.2. 1, 2 ve 3 numaralı noktalarda gerilmeler Bağlantı kesitinde normal gerilme: Şekil 1101 ile görülen kesitte dağılımlara bakınca Nx, Mz, Vy değerlerinin sıfır olduğu ve bağlantı kesitinde Q dan ötürü eğilme gerilmesinin oluşacağı bilinir. x-yönünde normal gerilme formülü: x eg1 1 2, 3 1 numaralı noktada: Nx ve Mz sıfır ve z = 219,1/2 olduğundan: x1 x y Nx My M z z y A Jy Jz My Jy z 40 106 219,1 2 23,86 106 x1 183,7 MPa eg 2 ve 3 numaralı noktada, z = 0 olduğundan: z x 2 0 x 3 0 olur ve Şekil 1102, Eğilme gerilmesi Bağlantı kesitinde kayma gerilmesi: 1 1 .t xz, max zP Q 3 zP 2 x za 2, 3 y x za y x t z z z Şekil 1103, Kesme gerilmesi Bisquit formülü ile kesitteki kesme gerilmesini buluruz. V Szs xz zs z bzs J y Ödevin bilinenleri: Çapraz kuvvet: Maksimum statik moment 1 numaralı noktada: z = 219,1/2 olduğundan xz 2 2 6,3 23,86 106 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc xz 0 S1 =0 olur ve 2 ve 3 numaralı noktadalarda 20 103 142,6 103 zS = 0 Smax = 142,6 . 103 mm3 z = 0 olduğundan 9,5 MPa ve Vz = 20.103 N Smax = 142,6 . 103 mm3 xz 3 20 103 142,6 103 2 6,3 23,86 106 www.guven-kutay.ch 9,5 MPa olur ve: olur. Alıştırma Çözümleri 32 Bağlantı kesitinde torsiyon gerilmesi: Bilinenler ve kabuller: St.Venant-dönme torsiyonu, t/D küçük ince cidarlı kaval profil, T den oluşan cidar ortasında ve cidara eşit yayılmış, Normal gerilme x yok, Kayma gerilmesi akım .t sabit, Bredt formülü geçerli. 1 1 .t 2 x y 3 x x za 2, 3 A0 T y zP T y t z z z Şekil 1104, Torsiyon gerilmesi St.Venant-dönme torsiyonu: T T Wt Bredt e göre Wt 2 A0 t 2 Bredt alanı: T T 2 A0 t 2 Dt 219,1 6,3 3 2 A0 35,566 10 mm 2 2 1 numaralı noktada: 2 numaralı noktada: T1 T 2 y 20 106 3 2 35,566 10 6,3 20 106 2 35,566 103 6,3 44,6 MPa T1 44,6 MPa x T2 x T3 x z 3 numaralı noktada: T 3 20 106 2 35,566 103 6,3 44,6 MPa z 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 33 11.3. Analitik ve grafik 1, 2 ve 3 numaralı noktalarda asal gerilmeler (Mohr dairesi) 11.3.1. Analitik ve grafik 1 numaralı noktada asal gerilmeler 1 numaralı noktada değerler ve elemanda gösterilmesi: xy = 44,6 MPa x x1 = 183,7 MPa x = 183,7 MPa yx = 44,6 MPa x = 183,7 MPa y y1 = 0 yx = xy = T = 44,6 MPa yx = 44,6 MPa xy = 44,6 MPa Şekil 1105, 1 numaralı noktada değerler 11.3.1.1.Analitik olarak 1 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri 1, 2 x y 2 2 2 x y 183,7 183,7 2 2 xy 44,6 2 2 2 1 194,0 MPa 2 10,3 MPa 2 xy tan 21 x y 2 44,6 0,486 183,7 1 12,95 11.3.1.2.Grafik olarak 1 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri y-eksenine // [MPa] x yx 100 1 2. eksene // X (183,7;44,6) 2 xy x-eksenine // 1 R= 1 02, 1(1, ) M = 91,9 40 1 [MPa] 1 194 MPa Y(0;44,6) 2 10 MPa P Kutup 2 1 1 12,95 x 1 2 2 y Şekil 1106, 1 numaralı nokta için Mohr dairesi 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc Şekil 1106 dan okunanlar: 200 5° 2(2, ) 100 12,9 1. eks ene // 40 www.guven-kutay.ch 1 1 Alıştırma Çözümleri 34 11.3.2. Analitik ve grafik 2 numaralı noktada asal gerilmeler 2 numaralı noktada değerler ve elemanda gösterilmesi: xz = 54,1 MPa x x2 = 0 z y2 = 0 zx = 54,1 MPa zx = 54,1 MPa zx = xz = xz(V) + T = 9,5 + 44,6 = 54,1 MPa xz = 54,1 MPa Şekil 1107, 2 numaralı noktada değerler 11.3.2.1.Analitik olarak 2 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri 1,2 x y 2 2 x y 2xy 0 0 54,12 2 1 54,1 MPa 2 54,1 MPa tan 21 2 xy x y 2 54,1 0 1 45 11.3.2.2.Grafik olarak 2 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri [MPa] 1 2 60 1. s ek 2. eksene // e en 40 // [MPa] 2(2, ) xz 1 Şekil 1106 dan okunanlar: 1(1, ) 1 54,1 MPa 40 60 x-eksenine // z-eksenine // Z (0;54,1) P Kutup 2 54,1 MPa 1 zx 2 x 2 1 2 z Şekil 1108, 2 numaralı nokta için Mohr dairesi 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc www.guven-kutay.ch 1 1 1 45 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 35 11.3.3. Analitik ve grafik 3 numaralı noktada asal gerilmeler 3 numaralı noktada değerler ve elemanda gösterilmesi: xz = 35,1 MPa x x3 = 0 zx = 35,1 MPa z y3 = 0 zx = 35,1 MPa zx = xz = xz(V) + T = 9,5 44,6 = 35,1 MPa xz = 35,1 MPa Şekil 1109, 3 numaralı noktada değerler 11.3.3.1.Analitik olarak 3 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri 1,2 x y 2 2 x y 2xy 0 0 35,12 2 1 35,1 MPa 2 35,1 MPa tan 21 2 xy x y 2 35,1 0 1 45 11.3.3.2.Grafik olarak 3 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri 60 (0;,1) Z P Kutup 1 40 20 2 x-eksenine // (2, ) 40 1(1, ) 20 xz 20 40 Şekil 1106 dan okunanlar: 20 2 40 // ne se ek 1. z-eksenine // X 1 35,1 MPa (0;,1) zx 2 35,1 MPa 2. eksene // 1 2 1 1 1 45 1 x 2 z 1 Şekil 110, 3 numaralı nokta için Mohr dairesi 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch 2 Alıştırma Çözümleri 36 12. Kesiti asimetrik profil B Şekil 12 ile ölçüleri verilen kesiti asimetrik profilin analizi. A Arananlar: 130 8 1. ve eksenlerine göre ağırlık merkezi "S" ve torsiyon merkezi "M" nin yerleri, 2. ve eksenlerine paralel ' ve ' eksenlerine göre J' ve J' atalet momentleri ile deviasyon momenti C'' , 3. Analitik ve grafik olarak ana ağırlık eksenleri y ve z ile bunlara göre atalet momentleri Jy ve Jz nin hesabı (atalet momentleri Mohr dairesi ile), 4. Kesitin çekirdeği, 5. M' = 5 kNm için nötr ekseninin bulunması, 6. M' = 5 kNm için A, B ve C deki x gerilmeler, 7. V' = 25 kN için D deki xy kayma gerilmesi, 8. Akma mukavemeti fy=235 MPa için moment M' nin maksimum değeri. 32,5 D C 8 65 Şekil 12, Kesiti asimetrik profil Çözüm: 12.1. Ağırlık merkezi "S" ve torsiyon merkezi "M" nin koordinatları: Ağırlık merkezi "S" nin koordinatları: A B ' 8 46,8 M Kesit alanı: 83,6 130 S A 8 130 57 1496 mm2 32,5 D C S 8 130 4 8 57 36,5 1496 S 13,9 mm S 8 130 65 8 57 4 1496 S 46,4 mm 8 13,9 Ağırlık merkezi "S" nin koordinatları: ' Böylece ağırlık merkezi "S" nin koordinatları: 51,1 65 S ( ; ) S (13,9 ; 46,4) Şekil 12-01, Asimetrik profil olarak bulunur Şekil 12-01. Torsiyon merkezi "M" nin koordinatları: L-profillerinde torsiyon merkezi kenar eksenlerinin kesiştiği noktadır, Şekil 12-01. M ( ; ) M (4 ; 4) 12.2. Atalet momentleri J' ve J' ile deviasyon momenti C'' : Atalet momentleri için gereken değerler, Şekil 12-02. A1 57 8 456 mm2 J1 ; '1 65 13,9 28,5 22,6 b h 3 57 83 2432 mm4 12 12 A 2 130 8 1040 mm2 ; 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc J1 ; '1 46,4 4 42,4 h b3 8 573 123462 mm4 12 12 '2 13,9 4 9,9 www.guven-kutay.ch ; '2 65 46,4 18,6 G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i J 2 b h 3 8 1303 1464667 mm4 12 12 130 J ' '12 A1 J1 '22 A 2 J 2 8 J ' '2 dA J ' 42,42 456 2432 18,62 1040 1464667 '2 = 18,6 A2 '1 = 42,4 '1 = 22,6 S h b3 130 83 5547 mm4 12 12 Steiner'e göre: 57 A1 ' J 2 J ' 2,647 106 mm4 J ' '2 dA J ' '12 A1 J1 '22 A 2 J 2 8 '2 = 9,9 J ' 22,6 2 456 123462 9,9 2 1040 5547 ' J ' 0,464 10 6 mm 4 Şekil 12-02, Gerekli değerler Deviasyon momenti C'' : C' ' ' 'dA C' ' '1 '1A1 '2 '2 A 2 C' ' 22,6 42,4 456 9,9 18,6 1040 C' ' 0,628 106 mm4 12.3. Ana ağırlık eksenleri y ve z vede atalet momentleri Jy ve Jz 12.3.1. Analitik olarak J y, z J ' J ' 2 2 J ' J ' C2'' 2 6 2,647 0,464 J y,z 10 Buradan tan 2 tan 2 2 burada değerleri yerleştirelim. 2 2,647 0,464 2 6 6 0,628 1,555 10 1,259 10 2 J y 1,555 106 1,259 106 J y 2,815 106 mm4 J z 1,555 106 1,259 106 J z 0,296 106 mm4 - 2 C '' J ' J ' burada değerleri yerleştirelim. - 2 0,628 0,5758 2,647 0,464 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc 37 buradanda www.guven-kutay.ch 14,97 15 Alıştırma Çözümleri 38 12.3.2. Grafik olarak Mohr dairesiyle Arananları çizimle bulmak için koordinat eksenleri; x-ekseni olarak atalet momenti J ve y-ekseni olarak deviasyon momenti C olan koordinatlar sistemini 100 mm = 1.106 mm4 ölçekli olarak çizelim, Şekil 12-03. Buraya ' ve ' noktalarını taşıyalım. Bu noktalardan geçen Mohr dairesini çizelim. C [106 mm4 ] 1,0 264,67 46,4 ' (J' ; C '') Kutup II ' 62,8 15° 0,5 Y ( J y; 0) Z ( J z; 0) 1,0 1,5 2,0 2,5 J [106 mm4 ] II y 62,8 0,5 0,5 IIz 29,62 '(J ' ; C '') y 281,45 1,0 ' II ' S z ' Şekil 12-03, Mohr dairesiyle atalet momentleri ' ve ' noktalarındanj J ve C eksenlerine paraleller çizersek bu paralellerin Mohr dairesini kestiği nokta bize kutup noktasını verir. Mohr dairesinin J eksenini kestiği noktalar bize y ve z eksenlerine göre ataler momentlerini verir, Y (Jy ; 0) ve Z (Jz ; 0). Kutup noktasını Y ve Z noktalarıyla birleştirirsek y ve z eksenlerini buluruz. Burada aradığımız değerleri ölçerek bulabiliriz. Atalet momenti açısı Jy 2,815 . 106 mm4 Jz 0,296 . 106 mm4 15 12.4. Kesitin çekirdeği: Çekirdek noktalarını hesaplayan formülleri hatırlayalım: a) n-n nötr ekseni ' eksenine paralel ise: 'A P ('P = , 0) ve Q (0 , ’Q) için C' ' 'Q A ; 'A ; 'A J ' 'Q A b) n-n nötr ekseni ' eksenine paralel ise: P ('P , 0) ve Q (0, ’Q=) için 'A J ' 'P A C' ' 'P A Burada şunu tekrar hatırlayalım: 'A ve 'A çekirdek kenar noktaları, ' ve ' nötrekseni noktalarıdır. 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 39 Nötr ekseni üst kenar P ('P , 0) = ( , 0) boyunca, eksen 1-1 Q (0 , ’Q) = (0 , 46,4) C' ' 0,628 106 'A1 'A1 'Q A 46,4 1496 'A1 Nötr ekseni alt kenar boyunca, eksen 2-2 J ' 'Q A 'A1 'A1 9,1 mm 2,647 106 46,4 1496 'A1 38,1 mm P ('P , 0) = ( , 0) Q (0 , ’Q) = (0 , 83,6) C' ' 0,628 106 'A 2 'A 2 'Q A 83,6 1496 J ' 'A 2 'Q A 'A 2 'A 2 5,0 mm 2,647 106 83,6 1496 'A 2 21,2 mm Nötr ekseni sol kenar P ('P , 0) = (13,9 , 0) boyunca, eksen 3-3 Q (0 , ’Q) = (0 , ) J' 0,464 106 'A3 'A3 'P A 13,9 1496 'A3 Nötr ekseni sağ kenar boyunca, eksen 4-4 C' ' 'P A 'A3 'A3 22,3 mm 0,628 106 13,9 1496 'A3 30,2 mm P ('P , 0) = (51,1 , 0) Q (0 , ’Q) = (0 , ) J ' 0,464 106 'A 4 'A 4 'P A 51,1 1496 C' ' 'A 4 'P A 'A 4 'A 4 6,1 mm 0,628 106 51,1 1496 'A 4 8,2 mm Nötr ekseni C ve E noktalarını birleştiren doğru, eksen 5-5 C (5,9 ; 83,6) ve E (51,1 ; 38,4) Nötr ekseninin denklemi, eksen 5-5: P : ('P , 0) = (33,14 ; 0) ve ' 2,1404 '70,9405 Q (0 , ’Q) = (0 ; 70,94) Nötr ekseninin genel formülü: 'A J ' 'A C' ' 'A J ' 'A C' ' J ' J ' C2 ' ' 'P A J ' J ' C2 ' ' 'Q A 'A5 2,647 'A5 0,628 'A50,464 'A5 0,628 2,647 0,464 0,6282 103 33,14 1,496 2,647 0,464 0,6282 103 70,94 1,496 Buradan: 2,647 'A5 0,628 'A5 16,7934 0,628 'A5 0,464 'A5 7,8461 denklemleri bulunur. Değerleri hesaplarsak: 'A5 3,4 mm 'A5 12,3 mm ve bulunur. 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch Alıştırma Çözümleri 40 y n A B 1 A2 A5 ' Koordinatlar: 4 5 3 1 B (13,9 ; 46,4) E A3 4 S A4 A (51,1 ; 46,4) C (5,9 ; 83,6) E (51,1 ; 38,4) A1 n 2 A1 (9,1 ; 38,1) C z 5 3 A2 (5,0 ; 21,2) 2 A3 (22,3 ; 30,2) ' A4 (,1 ; 8,2) Şekil 12-04, Kesit çekirdeği A5 (,4 ; 12,3) 12.5. M' = 5 kNm için nötr ekseninin bulunması Genel gerilme formülünü yazalım. 'J ' 'C' ' 'J ' 'C' ' x M' M ' J ' J ' C2 ' ' J ' J ' C2 ' ' burada sx = 0 ise formülümüz nötr ekseni formülü olur. Diğer taraftan M' = 5 kNm ise, M' = 0 olur. Böylece nötr ekseni formülü şu şekli alır. 'J ' 'C' ' x M ' 0 burada eşitlik 'J ' 'C' ' 0 olursa sağlanır. Bu düşünce ile J ' J ' C2 ' ' ' C' ' J ' ' değerleri 106 kısaltılmasıyla yerleştirirsek ' 0,628 ' ' 1,355 ' bulunur. 0,464 12.6. M' = 5 kNm için A, B ve C deki x gerilmeler Yukarıda bulduğumuz x M ' A (51,09 ; 46,41) 'J ' 'C' ' J ' J ' C2 ' ' A 5 106 formülünü ele alıp değerleri yerleştirelim: 0,464 46,4 0,628 51,1 106 2 2,647 0,464 106 0,628 106 A 63,5 MPa M' = 5 kNm momentin A noktasında oluşturduğu normal gerilme A 63,5 MPa dır. B (13,91 ; 46,41) B 5 106 0,464 46,4 0,628 13,91 106 2 2,647 0,464 106 0,628 106 B 181,8 MPa M' = 5 kNm momentin B noktasında oluşturduğu normal gerilme B 181,8 MPa dır. C (5,91 ; ,59) B 5 106 0,464 83,59 0,628 5,91 106 2 2,647 0,464 106 0,628 106 C 210,5 MPa M' = 5 kNm momentin C noktasında oluşturduğu normal gerilme C 210,5 MPa dır. 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 41 12.7. V' = 25 kN için D deki xy kayma gerilmesi Kayma gerilmesinin genel formülünü ele alalım. V ' J ' S' C' ' S ' t J ' J ' C2 ' ' Statik momentler S' ve S' : S ' S' 'AD A D 'AD 'AD 83,6 16,25 67,35mm A D 32,5 8 260mm 2 D hD S' 'AD A D 67,35 260 17,511 103 mm3 AD S ' 'AD A D ' t 'AD 13,9 4 9,9mm S ' 'AD A D 9,9 260 2,574 103 mm3 D 'AD Şekil 12-05, D noktası şeması V ' J ' S' C' ' S ' 25 103 0,464 106 17,511 103 0,628 106 2,574 103 2 t 8 J ' J ' C2 ' ' 2,647 106 0,464 106 0,628 106 D 24,393MPa 12.8. Akma mukavemeti fy=235 MPa için moment M' nin maksimum değeri. Normal gerilmenin Navier'e göre genel formülünden M' değerini ele alalım. x M ' J ' 'C' ' ' J ' J ' C2 ' ' fy n A B Buradan; M ' f y J ' J ' C2 ' ' 'A= 46,4 mm 'B= 13,9 mm 'B= 46,4 mm 'C= 'C= 83,6 mm M 'A f y M 'B f y M 'C f y n C ' Şekil 12-06, M' nın maksimum değeri J ' J ' C2 ' ' M 'A 18,554 kNm J ' 'A C' ' 'A J ' J ' C2 ' ' M 'B 6,476 kNm J ' 'B C' ' 'B J ' J ' C2 ' ' M 'C 5,585 kNm J ' 'C C' ' 'C Burada C noktası bizim için alınacak değerdir. 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc S J ' 'C' ' ' 'A= 51,1 mm 5,9 mm M ' ' www.guven-kutay.ch Alıştırma Çözümleri 42 13. Mohr benzerliği, ortadan tek kuvvetle zorlanan klasik kirişte sehim Verilenler: Q A B L/2 Şekil 13 ile verilen sistem. L/2 Arananlar: L Şekil 13, Klasik kirişte sehim Maksimum sehim formülü. Çözüm: + wmax Şekil 13-01, Q nun sehimi, kalitatif çizimi Sistemde bilinen ve analog kiriş: Q.L /4 Şekil 13-02, Q dan oluşan moment dağılımı Q Q Q/2 w=0 w' =/ 0 Q/2 wm=/ 0 w'm = 0 w=0 w' =/ 0 M* = 0 V* =/ 0 Şekil 13-03, Bilinen kiriş Analog kirişin momentle zorlanması: M*m =/ 0 V*m = 0 M* = 0 V* =/ 0 Şekil 13-04, Analog kiriş q*=M/EJ AÜ M = Q.L/4 M*m FÜ FA= q*.L/4 L/3 L/6 V* m L/2 Şekil 13-05, Analog kirişte zorlama q* M EJ QL q 4EJ * M QL 4 QL L FA 4E J 4 Şekil 13-06, Analog kirişte moment A ü Fü FA q* FA L 1 2 2 Q L2 L L w M* FA 16 E J 2 6 Fü FA q* L 4 w FA L 3 Maksimum moment maksimum sehime eşittir: w max Q L2 L 16 E J 3 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc w max www.guven-kutay.ch Q L3 48 E J G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 43 Duvarın zorlanması 14. Bilinenler: Şekil 14 ile görülen duvarın boyu sonsuz uzun; Hesaplarda duvar boyu LDu = 1 m, Eni bDu = 1 m, Yoğunluğu Du = 12 kN/m3 , Yer/duvar emniyetli basıncı bEM = 0,1 MPa Yerin (toprağın) yoğunluğu Y = 20 kN/m3 dir. h Arananlar: Yerin duvara emniyetli basıncı aşılmadan ve duvarın yerden kalkmaması için duvarın en büyük yüksekliği. Kabuller: b Çapraz kuvvet V dikkate alınmayacaktır. Duvar altındaki toprak basıncının dağılımı 1 eTo Y h kN / m 2 dir. 3 Şekil 14, Duvarın zorlanması Çözüm: 14.1. Kesit kuvvetleri Şekil 14 ile verilmiş olan duvarın şemasını ve serbest cisim diyagramını çizelim. SCD: h Du Fh MB AV B b MA h/3 A Fh Rh BV e Şekil 14 a, Duvarın zorlanması ve SCD N -Dağılımı Basma Basma gerilmesi M eğ -Dağılımı Eğilme momenti Şekil 14 b, Kesitte mukavemet dağılımları 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch eğ -Dağılımı Eğilme gerilmesi Çekme Alıştırma Çözümleri 44 14.2. Duvarın emniyetli en büyük yüksekliği Bu hesap için şu iki denklemin sağlanması gerekir: I btop eg N bEM duvarın zemini çökertmemesi için. II çtop eg N bEM duvarın zeminden kalkmaması için M eg Eğilme gerilmesi eğ Duvar tabanının karşı koyma momenti: L b2 Weg Du Du 6 Duvarı etkileyen yatay kuvvet: Fh Eğilme momenti h M eg Fh h Fh Fh Du 3 1 M eg Y L Du h 3Du 18 Eğilme gerilmesi eğ 1 Y L Du h 3Du 18 Weg Normal gerilme N G Du A Du Duvarın ağırlık kuvveti: G Du A Du h Du Du Normal gerilme N btop eg N bEM 1 Y L Du h 3Du 18 Weg h Du Du bEM 1 Y L Du h 3Du 18 Weg h Du Du bEM çtop eg N bEM + Weg 1 Y h 2Du L Du 6 A Du h Du Du A Du N h Du Du 2 Y L Du h 3Du 2 bEM 18 Weg Bu formülden duvarın zemini çökertmemesi için gereken max. duvar yüksekliği "hDu" bulunur. h Du 3 18 Weg bEM h Du 2,466 m Y L Du II. formülün eg N 0 kısmından duvarın zeminden kalkmaması için gereken max. duvar yüksekliği "hDu" bulunur. h Du 18 Weg bEM h Du 1,342 m Y L Du Böylece bütün şartları yerine getiren duvar yüksekliği h Du 1,342 m olarak bulunur. 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 15. 45 Asimetrik T-profili Şekil 15 ile verilen kesiti asimetrik T-profili Nx = -2000 kN, Vz = 750 kN ve My = 750 kNm ile zorlanmaktadır. B t1 t3 My y 3 hü h = 550 mm ; ha = 301 mm ; hü = 189 mm B = 400 mm ; b = 200 mm t1 = t2 = 30 mm ; t3 = 20 mm x,N x h Arananlar: 1. Analitik olarak 1,2 ve 3 numaralı noktalardaki gerilmeler ve asal gerilmelerin analitik olarak hesabı, Vz ha 1 2 2. x ve xz , yx gerilmelerinin değerleri ile dağılım diyagramları. t2 z Kolaylık için veriler: b y-eksenine göre ana atalet momenti: Şekil 15, Asimetrik T-profili Jy = 1327.106 mm4 dür. Çözüm: Kesitin toplam alanı: A I Top B t1 b t 2 (h a h ü ) t 3 A DI Top 278 cm 2 A I Top 400 30 200 30 550 20 Kesitin ağırlık merkezi: 0,5 t 22 b 0,5 h t 2 t 3 h B t1 h 0,5 t1 hS A I Top z1 = hS-t2 = 331 – 30 = 301 mm z1 = hS = 331 mm h S 331 mm z3 = 0 15.1. 1, 2 ve 3 numaralı noktalardaki gerilmeler My y 3 x Nx x 3 3 3 3 Vz 1 1 2 z z 2 1 2 1 2 1 2 . Şekil 15-01, Kesitte gerilmelerin dağılımı Şekil 15-01 ile kesitte gerilmelerin dağılımı görülmektedir. Normal gerilmelerin genel formülü ile x 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc N My M z z y A Jy Jz www.guven-kutay.ch Alıştırma Çözümleri 46 Problemimizde Mz = 0 olduğundan formülümüz: x N My z A Jy olur. Kayma gerilmesi için Bisquit formülünü ele alalım: V Szs xz zs z bzs J y ve noktalardaki aranan gerilmeleri hesaplayalım. 15.1.1. 1,2 ve 3 numaralı noktalardaki gerilmeler. 1 numaralı noktalardaki gerilmeler: Nx My 2000 750 103 x1 z1 301 AI Jy 278 127 106 x1 98,24 MPa 1 numaralı noktada statik moment: S1 b t 2 h a 0,5 t 2 200 30 301 0,5 30 S1 1,896 106 mm3 750 103 1,896 106 V S xz1 z 1 t3 J y 20 1,327 109 xz1 53,58 MPa 2 numaralı noktalardaki gerilmeler: x 2 Nx M y 2000 750 103 z2 331 AI Jy 278 127 106 x 2 115,20 MPa 2 numaralı noktada statik moment: S2 0 750 103 0 Vz S2 xz 2 t 2 J y 30 1,327 109 xz 2 0 3 numaralı noktalardaki gerilmeler: x3 Nx M y 2000 750 103 z3 0 AI Jy 278 127 106 x 3 71,88 MPa 3 numaralı noktada statik moment: S3 b t 2 h a 0,5 t 2 0,5 h a2 t 3 200 30 301 0,5 30 0,5 3012 20 S3 2,802 106 mm3 750 103 2,802 106 V S xz 3 z 3 t3 J y 20 1,327 109 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc xz3 79,183 MPa www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 47 15.1.2. 1,2 ve 3 numaralı noktalardaki asal normal gerilmeler ve yönleri Asal normal gerilmeler: x - y x + y 1,2 = 2 2 Asal normal gerilmelerin yönü: tan 21 = 2 + 2 2 xy x y 1 numaralı noktadaki gerilmeler: M y1 0 olduğundan 2 2 11 = x1 x1 + 2xz1 2 2 12 = 98,24 98,24 x1 2 x1 + 2xz1 = + 53,58 2 2 2 2 = 98,24 98,24 2 + 53,58 2 2 2 tan 211 = 2 xz1 x1 2 2 53,58 11 0,5 a tan 98,24 11 121,8 MPa 12 23,6 MPa 11 23,743 2 numaralı noktadaki gerilmeler: M y 2 0 olduğundan 2 2 21 = x 2 x 2 + 2xz 2 2 2 22 = 115,2 115,2 x 2 x 2 + 2xz 2 = +0 2 2 2 2 = 115,2 115,2 +0 2 2 2 tan 221 = 2 20 21 0,5 a tan 0 115,2 2 xz 2 x 2 21 115,2 MPa 22 0 21 0 3 numaralı noktadaki gerilmeler: M y3 0 olduğundan 2 2 71,88 71,88 2 + 79,183 2 2 31 = x3 x 3 + 2xz 2 2 32 = 71,88 71,88 x3 2 x 3 + 2xz 3 = + 79,183 2 2 2 2 tan 231 = = 2 2 xz 3 x3 2 2 79,183 31 0,5 a tan 71,88 31 90 32,794 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc www.guven-kutay.ch 31 51,0 MPa 32 122,9 MPa 31x 32,794 31 57,203 Alıştırma Çözümleri 48 15.2. x ve xz , yx gerilmelerinin değerleri ile dağılım diyagramları 15.2.1. Normal gerilme x in değerleri ve dağılımı -195,718 MPa -187,240 MPa z ü 219,0 mm z üm h ü 0,5 t1 x y z ü h ü t1 z üm 204,0 mm xü 106,656 MPa 115,134 MPa z Şekil 15-02, Kesitte normal gerilmelerin dağılımı ve değerleri Nx My zü AI Jy 2000 750 103 xü 219 278 127 106 xü 195,718 MPa Nx M y 2000 750 103 xüm z üm 204 AI Jy 278 127 106 za h a t 2 xüm 187,240 MPa z am h a 0,5 t 2 zam 316,0 mm xa Nx My 2000 750 103 za 331 AI Jy 278 127 106 xam z a 331,0 mm xa 115,134 MPa Nx My 2000 750 103 zam 316 AI Jy 278 127 106 xam 106,656 MPa 15.2.2. xz , yx gerilmelerinin değerleri ve dağılımı A noktasında statik moment: B 1' A1' AA h A h ü 0,5 t1 189 0,5 30 204mm t1 A hA SA 0,5 B t1 h A 0,5 400 30 204 = SA 1,224 106 mm3 hü x y B noktasında statik moment: h t3 hB AB ha h B h a 0,5 t 2 301 0,5 30 316mm SB 0,5 b t 2 h B 0,5 200 30 316 = SB 0,948 106 mm3 B z t2 b 1' noktasında statik moment: S1' B t1 h A 400 30 204 = S1' 2,448 106 mm3 Şekil 15-03, Statik momentler 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc www.guven-kutay.ch G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 49 Bu değerler ve Bisquit formülüyle idealize edilmiş kayma gerilmesi dağılımını hesaplar ve diyagramını Şekil 15-04 ile görüldüğü gibi çizebiliriz. 23,06 MPa yx A zx 23,06 MPa A 1' İdealize edilmiş dağılım 69,179 MPa 1'. Nokta V S yxA z A t1 J y yxA 750 103 1,224 106 30 1,327 109 yxA 23,060 MPa 3 x y 3. Nokta 79,183 MPa V S yxB z B t2 Jy z B 1 yx 17,86 MPa B 1. Nokta 53,58 MPa yxB 750 103 0,948 106 30 1,327 109 yxB 17,860 MPa 17,86 MPa Şekil 15-04, xz , yx gerilmelerinin değerleri ve dağılımı 750 103 2,448 106 V S zx1' z 1' t3 J y 20 1,327 109 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc zx1' 69,179 MPa www.guven-kutay.ch Alıştırma Çözümleri 50 16. Mohr benzerliği, çok yataklı sistem Verilenler: A B C L D L Q E L Şekil 16 ile verilen sistem. Arananlar: L A, B, C, D ve E noktalarında değerleri ile sehim çizgisi. Şekil 16, Çok yataklı sistem Çözüm: Q.L Q.L Q.L Şekil 16-01, Sehimin kalitatif dağılımı Şekil 16-02, Moment dağılımı Sistemde bilinen ve analog kiriş: A C B L D L wA =/ 0 w'A =/ 0 E L wB = 0 w'BL = / w'BR Q L wC =/ 0 w'CL = / w'CR wA = 0 w'DL = / w'DR wE =/ 0 w'E =/ 0 Şekil 16-03, Sistemin bilinen kirişi A C B L D L E L L M* =/ 0 A M*B = 0 M*C =/ 0 M*D = 0 M*A =/ 0 V* =/ 0 A V* = V* BL BR V* CL = V* CR V* = V* DL DR V* =/ 0 A Şekil 16-04, Sistemin analog kirişi L/2 L/2 L/3 2L/3 2L/3 F* 3 q* q* A L/3 2L/3 F* 4 D B C q* F* 2 F* 1 Şekil 16-05, Analog kirişte zorlama 44_04_4_alistirma-cözümleri.doc L/3 www.guven-kutay.ch E G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i 51 Şekil 16-05 ile sehimi aranan noktalardaki moment hesaplanarak sehimleri bulunur. M EJ M QL q* F1* q*A L F2* q*B 2 * QL F1 Q L2 * F2 EJ q*A L 2 QL EJ F3* q*D L 2 Q L2 * F3 2E J 2EJ q*B QL EJ F4* q*D q*D QL EJ L 2 Q L2 * F4 2EJ Temel değerleri bulduktan sonra sehimleri kolayca hesaplarız: M*B w A M*A 0 M*C 0 wC M*C 2 3L F1* 2 2L F2* 3 M*A 0 Q L3 wA 2EJ Q L2 3L Q L2 2L Q L3 * MC EJ 2 2E J Q L3 3 2 1 EJ 2 3 2 wC 2EJ 4 Q L3 3 E J 7L 8L 4L 2L F2* F3* F4* 0 2 3 3 3 Q L3 4 Q L3 Q L2 7L Q L2 4L Q L2 4L Q L2 2L M*E 2 E J 3 E J EJ 3 EJ 3 2EJ 3 EJ 3 Q L3 1 4 7 4 4 2 EJ 2 3 2 3 3 3 w: 3 M*A M*CB M*E F1* M*E 0 wE Q L2 L wA EJ 2 L F1* 2 Q L3 wE EJ 3 Q.L E.J 4/3 A 1/2 B C Şekil 16-06, Sehimin değerleriyle dağılımı 44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc E D www.guven-kutay.ch 2