Üç boyutlu öklidyen ve minkowski uzayında yüzeyler
Transkript
Üç boyutlu öklidyen ve minkowski uzayında yüzeyler
V.ÇİÇEK,2015 T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ YÜZEYLER VEYSİ ÇİÇEK Şubat 2015 T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA YÜZEYLER VEYSİ ÇİÇEK Yüksek Lisans Tezi Danışman Doç. Dr. Atakan Tuğkan YAKUT Şubat 2015 Vcysi ÇİÇEK tarafından Doç. Dr. Atakan Tuğkan YAKUT danışmanlığında hazırlanan “Üç Boyutlu Öklidyen ve Minkowski Uzayında Yüzeyler” adlı bu çalışma jürimiz tarafından Niğde Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalımda Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir. Başkan : Doç. Dr. Durmuş DAĞHAN (Niğde Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü) Üye : Yrd. Doç. Dr. Murat SAVAŞ (Gazi Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü) Üye : Doç. Dr. Atakan Tuğkan YAKUT (Niğde Üniversitesi Fen-Edebiya Fakültesi Matematik Bölümü) ONAY: Bu tez, Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulunca belirlenmiş olan yukarıdaki jüri üyeleri tarafından ..../..... 120.... tarihinde uygun görülmüş ve Enstitü Yönetim Kurulu’n u n __/ __/20_tarih v e ................................ sayılı kararıyla kabul edilmiştir. ./..... / 2 0 ... Doç. Dr. Murat BARUT MÜDÜR TEZ BİLDİRİMİ Tez içindeki bütün bilgilerin bilimsel ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. Veysi ÇİÇEK ÖZET ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA YÜZEYLER ÇİÇEK, Veysi Niğde Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Atakan Tuğkan YAKUT Şubat 2015, 77sayfa Bu çalışmada üç ve dört boyutlu Öklid ve Minkowski uzayında Frenet çatıları ile üç boyutlu uzayda yüzeyler incelendi. Birinci bölümde kısa bir literatür özeti verildi. İkinci bölümde konuyla ilgili temel kavramlar verildi. Üçüncü bölümde ise üç ve dört boyutlu Öklid ve Minkowski uzayında Frenet çatıları irdelendi. Dördüncü bölümde de üç boyutlu Minkowski uzayında minimal ve öteleme yüzeyleri incelendi. Beşinci bölümde ise sonuçlar verildi. Anahtar Sözcükler: Frenet çatısı, Minkowski uzayı, Minimal yüzey, Öteleme yüzeyi. iv SUMMARY SURFACES IN THREE DIMENSIONAL EUCLIDEAN AND MINKOWSKI SPACES ÇİÇEK, Veysi Nigde University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Matematics Advisor: Assoc. Prof. Dr. Atakan Tuğkan YAKUT February 2015, 77 pages In this study, we examined Frenet frames in 3 and 4 dimensional Euclidean and Minkowskian spaces and surfaces in 3 dimensional space. In the first chapter, we give literature summary. In the second chapter we give some basic concepts. In the third chapter, the Frenet frames is given in 3 and 4 dimensional Euclidean and Minkowskian spaces. In the fourth chapter, we discussed minimal and translation surfaces in Minkowskian 3-spaces. In the last chapter, we give conclusions. Keywords: Frenet frames, Minkowski space, Minimal surface, Translation surface. v ÖN SÖZ Yüksek lisans tez çalışmamın yürütülmesi esnasında, çalışmalarıma yön veren, bilgi ve yardımlarını esirgemeyen ve bana her türlü desteği sağlayan danışman hocam, Sayın Doç.Dr. Atakan Tuğkan YAKUT' a en içten teşekkürlerimi sunarım. Yüksek lisans tez çalışmam esnasında tecrübelerine başvurduğum Doç. Dr. Serkan KADER, Doç.Dr. Durmuş DAĞHAN, Doç.Dr. Adnan TUNA ve Matematik Bölümü Öğretim Üyelerine müteşekkir olduğumu ifade etmek isterim. Bu tezin hazırlanması esnasında sık sık yardımlarına başvurduğum kıymetli arkadaşlarıma minnet ve şükran duygularımı belirtmek isterim. Bu tezi, sadece bu çalışmam boyunca değil, tüm öğrenim hayatım boyunca maddi ve manevi desteğini esirgemeyen aileme ithaf ediyorum. vi İÇİNDEKİLER ÖZET ...............................................................................................................................iv SUMMARY......................................................................................................................v ÖN SÖZ ..........................................................................................................................vi İÇİNDEKİLER DİZİNİ..................................................................................................vii ŞEKİLLER DİZİNİ .......................................................................................................viii SİMGE VE KISALTMALAR .........................................................................................xi BÖLÜM I GİRİŞ .............................................................................................................1 BÖLÜM II TEMEL KAVRAMLAR ...............................................................................5 BÖLÜM III ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA FRENET ÇATISI…………………………………………………………………………………10 3.1 Üç Boyutlu Öklid Durumu ………………………………………………………...10 3.2 Üç Boyutlu Minkowski Durumu ..............................................................................13 3.3 Dört Boyutlu Öklid Durumu.....................................................................................16 3.4 Dört Boyutlu Minkowski Durumu............................................................................21 BÖLÜM IV MİNKOWSKİ UZAYINDA MİNİMAL VE ÖTELEME YÜZEYLERİ ..................................................................................................................33 4.1 Gauss ve Ortalama Eğrilik .......................................................................................33 4.2 Minimal Yüzeyler ....................................................................................................35 4.3 Sabit Ortalama Eğrilikli Öteleme Yüzeyleri ............................................................39 BÖLÜM V SONUÇLAR ..............................................................................................74 KAYNAKLAR ...............................................................................................................75 ÖZ GEÇMİŞ ...................................................................................................................77 vii ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 4.1.Scherk yüzeyi………………………………………………………………………39 1 2 2 Şekil 4.2. z . 1 4.H 2 . x c1 c2 . y (a) 3, H 2 ve (b) 0, H 1 2.H alınarak elde edilen yüzey………………………………………………………... 50 1 2 2 Şekil 4.3 z 1 4 H 2 x c1 y (a) 0, H 1 ve 2.H (b) 1 , H 1 2 alınarak elde edilen yüzey……………………………………………...………….51 Şekil 4.4. z . 1 2 2.H 4 H 2 x c1 1 c 2 y (a) 0, H 1 ve (b) 2 1 ,H 2 2 alınarak elde edilen yüzey…………………………..…………......……….……...51 Şekil4.5. z 2 1 2.H 1 4 H 2 x c1 c 2 y (a) 3, H 2 ve (b) 2, H 2 1 2 alınarak elde edilen yüzey…………………………………………….………….…52 Şekil 4.6. g ( y) 2 1 2.H 1 4 H 2 y c1 c 2 (a) 3, H 2 ve (b) 3, H 2 1 2 alınarak elde edilen yüzey…………………………...………………….…………53 2 1 2 Şekil 4.7. g ( y ) 4 H 2 y c1 1 c 2 (a) 2, H 1 ve (b) 3, H 2 2.H alınarak elde edilen yüzey……………………...………………………...………..54 1 2 1 2 1 4 H 2 y c1 c 2 (a) 0, H 2 ve (b) , H 1 Şekil 4.8. g ( y) 2.H 2 alınarak elde edilen yüzey…………………………...…………………………….54 viii Şekil 4.9. z 1 log cosh( x) 1 log cosh( y) (a) 1 ve (b) 4 2 alınarak elde edilen yüzey……………………………………………...………….59 Şekil 4.10. x 1 log cos( y) 1 log sinh( z) (a) 2 ve (b) 1 50 alınarak elde edilen yüzey……………..………………………………………….62 Şekil 4.11. z g ( x) h( y) 1 1 log cosh( x) log sinh( y) (a) 2 ve (b) 1 50 alınarak elde edilen yüzey………………………………….…………………….64 Şekil 4.12. z g ( x) h( y) 1 log sinh( x) 1 log cosh( y) (a) 2 ve (b) 1 20 alınarak elde edilen yüzey………………………………….……………….……65 Şekil 4.13. z g ( x) h( y) 1 log sinh( x) 1 log sinh( y) (a) 1 ve (b) 1 30 alınarak elde edilen yüzey……………………………………………….……….66 1 1 1 Şekil 4.14. x g ( y) h(z) log cosh( y) log cosh( z ) (a) 1 ve (b) 30 alınarak elde edilen yüzey…………………………..…………………….............67 Şekil 4.15. x g ( y) h(z) 1 log cosh( y) 1 log cosh( z ) (a) 1 ve (b) 1 30 alınarak elde edilen yüzey…………………………………….…….……………68 Şekil 4.16. g 1 log sec c u .v c1 c2 c 4 ve 1 c alınarak elde edilen yüzey………………………………………………………………………………………...70 1 Şekil 4.17 . h log sec c c 2 1 v c1 c2 c 4 ve 2 alınarak elde edilen yüzey……………………………………………………...71 ix 1 Şekil 4.18. g log sec c u .v c1 c2 c c 4 ve 1 alınarak elde edilen yüzey…………………………………………………….…...72 1 Şekil 4.3 h log cv c1 c2 c c4 alınarak elde edilen yüzey……………………………………………...…...…….73 x SİMGE VE KISALTMALAR Simgeler Açıklamalar En n-boyutluÖkliduzayı E3 ÜçboyutluÖkliduzayı E13 ÜçboyutluMinkowskiuzayı T Teğetvektöralanı N Normal vektöralanı B Binormalvektöralanı T , N , B1 Frenet 3-ayaklısı T , N , B1 , B2 Frenet 4-ayaklısı H Ortalamaeğrilik V Vektöruzayı k1 Eğrilik k2 Burulma xi BÖLÜM I GİRİŞ Öklidyen düzlemde eğrilerin diferansiyel geometrisi üzerinde çalışan ilk bilim adamı Hollanda’lı bilim adamı Huygens’dir. O, düzlemde herhangi bir noktadaki düzlem eğrilerinin eğriliğini ortaya koymuştur. Fakat eğriyi düzlemde bir noktanın hareketi ile bir t parametresine bağlı olarak (t ) 1 (t ), 2 (t ) şeklinde ilk tanımlayan Newton olmuştur. Newton düzlemde bir eğrinin eğriliğini de tanımlamıştır. Eğri üzerinde a ve b şeklinde birbirine yakın iki nokta bunların ikisinin arasında bir p noktası göz önüne almıştır. Bu üç nokta genellikle m merkezli bir çember belirtirlimit durumunda hem a hem de b , eğrisi boyunca p ’ye yaklaştığında bu özel bir çember belirler ki bu p noktasın da ’ya teğettir. (yani p noktasın da eğrisi ile bu çember aynı teğet doğruya sahiptir). Bu çember p noktasında ’nın oskülatör çemberi olarak adlandırılır. Bu çemberin merkezi c yarıçapı r ise bu c Newton tarafından eğrilik merkezi olarak adlandırılmış eğrilik yarıçapı r olarak ifade edilmiş ve p noktasında eğrisinin eğriliği ise k1 k eğriliği k 1 şeklinde gösterilmiştir. r 1 ' 2 '' 1 '' 2 ' ' 1 2 2 ' 2 3 şeklinde ifade edilir. 2 s yay parametresi ve keyfi t için 1 ' 2 ' 1 dir. T ( s) , ’nın birim teğet 2 2 vektörü ve N ( s) , s noktasında birim normal vektörü olsun. N ( s) birim vektörü T ( s) ’e diktir ve T ( s), N ( s) R 2 de standart yönlendirilmişidir. ’nın s noktasındaki k ( s) eğriliği, T '(s) k (s) N (s) ile ifade edilir. '( s) ’in uzunluğu k (s) ''( s) olsun. '( s) ’e dik birim vektörü '( s) ve ''( s) vektörleri tarafından belirlenen dikdörtgensel bölgenin alanı k1 ( s) ’dir. det '(s), ''( s) ile ifade edilen bu alan 1 k1 ( s) 1 '( s) 1 ''( s) 1 '( s) 2 ''( s) 1 ''( s) 2 '( s) 2 '( s) 2 ''( s) şeklinde Newton tarafından ifade edilmiştir. Öklidyen hareketlere bağlı olarak verilen s değişkenli, sürekli k1 fonksiyonu için E 2 ’de s yay parametreli bir tek eğrisi vardır ve ( s) noktasında ’nın eğriliği k1 ( s) ’dir. Yani Öklidyen düzleminde dönmeler ve ötelemelere bağlı olarak E 2 de bir eğri, onun eğriliği tarafından tamamıyla karakterize edilir. E 3 ’de uzay eğrilerin diferensiyel geometrisinin çalışılması için Serret-Frenet formülleri büyük bir sıçrama tahtası olmuştur. E 3 ’de uzay eğrilerinin diferansiyel geometrileri hakkındaki çalışmalar ise 1847’de Frenet, 1851’de ise Serret tarafından birbirinden habersiz olarak yapılan çalışmalar ile ortaya çıkmıştır. Onlar, bir s yay parametresi tarafından parametrize edilen bir uzay eğrisi boyunca T , N , B Frenet çatısı olarak bilinen ortonormal çatıyı tanımlamıştır. ( s) noktasındaki eğrisinin ivme vektörü T ’ye dik olan ''( s) ivme vektörüdür. B binormal vektör alanı ise T ve N ’nin vektörel çarpımı olarak belirlenir. Serret-Frenet ayaklı formülü ise; T ' k1 N N' k1T k2 N B ' k2 N şeklinde ifade edilir. Burada k1 eğriliği, k 2 burulmayı ifade eder. Öklidyen uzay eğrilerinin temel teoremi, eğer k1 ve k 2 s ’nin sürekli iki fonksiyonu ise bu taktirde s yay uzunluğu ile parametrize edilen bir eğrisi vardır ki bu eğrinin sırasıyla eğrilik ve burulma fonksiyonları k1 ve k 2 ’dir. Bu ifade ilk defa 1876’da Aoust tarafından ifade edilmiştir. k1 eğriliğinin 1775’de Monge’de analitik olarak ifade etmiştir fakat burulmayı belirlememiştir. Burulmayı1806’da ilk kez Lancret ifade etmiştir. 1826’da Cauchy ilk kez eğrisinin ardışık türevlerini kullanarak uzay eğrilerinin çalışmasını sistematik 2 olarak ifade edilmiştir. E 3 ’deki yüzeylerin çalışmasıda böylelikle çalışılmaya başlanmıştır. Düzlemde eğrilerin teorisi bilindiğinden yüzeyin farklı düzlemlerle arakesitleri alınarak eğrilerin araştırılmasıyla yüzeylerin tanımlanması sağlanmıştır. Bu ise ilk defa 1760’da Euler sayesinde olmuştur. M R3 yüzeyi üzerinde bir p noktası boyunca bir l doğrusu düşündüğümüzde, bu doğru p noktasında M üzerindeki teğet düzleme diktir. Teğet düzlem üzerindeki her bir X birim vektörü için hem X vektörü hemde l doğrusunu içeren p boyunca bir düzlem göz önüne alınırsa M ile bu düzlemin arakesiti ( x0 ) p olmak üzere ( x) eğrisinin görüntüsüdür. ( x) yay uzunluğu ile verildiğinde '( x0 ) X dir. X ve l boyunca bütün düzlemler p noktasında M ’nin teğet düzlemine dik olan bir v p vektörü seçilerek yönlendirilebilir. Böylece X , v p ile pozitif olarak yönlendirilmiş olur. Bu taktirde X , sıfır noktasında bir işaretli eğriliğe sahiptir bu ise k1X şeklinde ifade edilir. k1X ’lerin hepsi eşit değil ise, bu taktirde x1 birim vektörü ile gösterilen bir doğrultu vardır öyleki burada k X , k1 kX1 minumum değerine ve k2 kX 2 maksimum değerine sahiptir. Bu ise X 1 ve X 2 doğrultuları diktir ve eğer X , X 1 ile açısı yapıyor ise bu taktirde k X k1 cos2 k2 sin 2 dır. Daha sonra bu konu da Gauss’un yapmış olduğu ’Disquisitiones generales circa superficies curvas’ isimli çalışması önemli yer tutmuştur. Gauss çalışmasında M yüzeyinin herhangi bir t noktasındaki teğet düzleme dik bir v p vektörü almış ve Gauss dönüşümü olarak adlandırılan dönüşümü tanımlayarak p noktasındaki M yüzeyinin K p eğriliği K p lim A p AlanV (A) AlanA şeklinde vermiştir. Buradaki A bölgesi p ’nin çok küçük bir komşuluğudur. Yüzeyler üzerinde daha sonra Riemann’ın çalışmaları önemli yer tutmaktadır. Minkowski uzayında eğrilerin diferansiyel geometrisini ilk çalışan kişi W.B.Bonner’dir. 3 Johan Walrave Doktora tezinde üç ve dört boyutlu Minkowski uzayında eğrilerin spacelike, timelike ve null olması durumlarına göre bir sınıflandırma yapmıştır. Devamında ise Minkowski uzayında yüzeylerden bahsetmiştir. Biz burada literatürde yapılmış olan çalışmaları inceledik. 4 BÖLÜM II TEMEL KAVRAMLAR Tanım 2.1 (Eğri ) I biraçık aralık olmak üzere, ( I , ) koordinat komşuluğu ile tanımlanan : I E n diferansiyellenebilir dönüşümüne E n de bir eğri denir. Buradaki I aralığına eğrisinin parametre aralığı ve t I değişkenine de eğrisinin parametresi denir(Hacısalihoğlu,1993). Tanım 2.2 (Bir eğrinin tanjant uzayı) M E n eğrisi verilsin. M eğrisinin m M noktasındaki tanjant uzayı diye, m M noktasında M ’nin hız vektörlerini içine alan TM (m) V (m) vektör uzayına denir. m M seçilmiş bir nokta olmak üzere, E n in TM (m) ile birleşen alt afin uzayına da, M eğrisinin m M noktasındaki teğet doğrusu denir(Hacısalihoğlu,1993). Tanım 2.3 ( Skaler hız fonksiyonu ve skaler hız) M E n eğrisi ( I , ) koordinat komşuluğu ile verilsin. ' :I R t ' (t ) '(t ) şeklinde tanımlı ' fonksiyonuna, M eğrisinin ( I , ) koordinat komşuluğuna göre skaler hız fonksiyonu ve '(t ) reel sayısına da M nin ( I , ) koordinat komşuluğuna göre (t ) noktasındaki skaler hızı denir(Hacısalihoğlu,1993). Tanım 2.4 ( Birim hızlı eğri) M eğrisi ( I , ) koordinat komşuluğu ile verilmiş olsun. Eğer s I için, 5 '(s) 1 ise M eğrisi ( I , ) ’ya göre birim hızlı eğridir denir. Bu durumda, eğrinin s I parametresine yay-parametresi adı verilir(Hacısalihoğlu,1993). Tanım 2.5 ( Regüler eğri) Her noktasındaki hız vektörü sıfırdan farklı olan eğriye regüler eğri denir. (Hacısalihoğlu,1993). Tanım 2.6 (Serret-Frenet r-ayaklı alanı) M E n eğrisi ( I , ) koordinat komşuluğu ile verilsin. Bu durumda ', '',... ( r ) sistemi lineer bağımsız ve ( k ) , k r , için: ( k ) Sp Olmaküzere, den elde edilen V1 ,...,Vr ortonormal sistemine, M eğrisinin SerretFrenet r-ayaklı alanı ve m M için V1 (m),...,Vr (m) ye ise m M noktasındaki Serret-Frenet r-ayaklısı denir. Her bir Vi ,1 i r , ye Serret-Frenet vektörü adı verilir. (Hacısalihoğlu,1993). Tanım 2.7 V bir reel vektör uzayı olsun. V üzerinde tanımlı g : V V dönüşümü bilineer ve simetrik ise g’ye V üzerinde simetrik bilineer form denir. Bu dönüşüm aynı zamanda non-dejenere ise g’ye V üzerinde bir skaler çarpım, bu durumda V vektör uzayına da skaler çarpım uzayı denir. Ayrıca; (i) v V ve v 0 için g (v , v ) 0 ise g simetrik bilineer formu pozitif tanımlıdır, (ii) v V ve v 0 için g (v , v ) 0 ise g simetrik bilineer formu negatif tanımlıdır, (iii) v V ve v 0 için g (v , v ) 0 ise g simetrik bilineer formu yarı- pozitif tanımlıdır, 6 (iv) v V ve v 0 için g (v , v ) 0 ise g simetrik bilineer formuna yarı-negatif tanımlıdır. Bundan başka, (a) g’nin non-dejenere dir g (v , w) 0 ve w V için v 0 dır. (b) g’nin dejenere dir g (v , w) 0 ve w V için v 0 dır(O’Neill,1983). Tanım 2.8 V bir skaler çarpım uzayı , W ’ de üzerindeki skaler çarpım negatif olacak şekilde V ’nin en büyük boyutlu alt uzayı olsun. Bu durumda W ’nin boyutuna g skaler çarpımın indeksi denir. g skaler çarpım indeksi v ise 0 v boyV dir. Ayrıca V skaler çarpım indeksi, üzerinde tanımlı g skaler çarpım indeksi olarak tanımlanır(O’Neill,1983). Tanım 2.9 V skaler çarpım uzayı olsun. V ’nin indeksi v olmak üzere v 1 ve boyV 2 ise skaler çarpım uzayına Lorentz uzayı denir(O’Neill,1983). Tanım 2. 10 V bir Lorentz uzay olsun. v için (i) g (v , v ) 0 veya v 0 ise v ’ye spacelike vektör, (ii) g (v , v ) 0 ise v ’ye timelike vektör, 1 (iii) g (v , v ) 0 veya v 0 ise v ’ye null(lightlike) vektör ve v g (v , v ) 2 sayısına da v vektörünün normu denir. V Lorentz uzayında tüm timelike vektörlerin cümlesi olsun. u için C (u) v g (u , v ) 0 kümesine u vektörünü kapsayan V Lorentz uzayının timekonisi denir(O’Neill,1983). Tanım 2.11 Rvn yarı-öklidyen uzayında v 1 ve n 2 ise Rvn yarı-öklidyen uzayına Minkowski n-uzay denir(O’Neill,1983). Tanım 2.12 M bir yarı Riemann manifoldu ve : M 7 diferansiyellenebilir bir eğri olsun. eğrisinin teğet vektör alanı (t) T olmak üzere i) T , T 0 ise eğrisine spacelike eğri ii) T , T 0 ise eğrisine null eğri iii) T , T 0 ise eğrisine timelike eğri denir(O’Neill,1983). Tanım 2.13 f : E 2 bir fonksiyon olmak üzere : E 2 E3 (u, v) (u, v, f (u, v)) şeklinde tanımlanan yüzey Monge yüzeyi adını alır( Hacısalihoğlu, 1994). Tanım 2.14 Monge yüzeyinde f (u, v) h(u) g (v) biçiminde ise bu yüzeyi (u, v) (u, v, h(u ) g (v)) (u, v) (u, 0, h(u )) (0, v, g (v)) ve ya (u, v) (u) (v) şeklinde yazabiliriz. Bu durumda yüzey öteleme yüzeyi adını alır(Hacısalihoğlu,1994). Ayrıca E 3 ya da E13 de bir S yüzeyi z g ( x) h( y) şeklinde yazılabiliyorsa S yüzeyi yine öteleme yüzeyi adını alır. Tanım 2.15 (inclussion) M M diferensiyellenebilir iki manifold olmak üzere i : M M dönüşümü i( x) x şeklinde ise i ’ye inclussion(sokma) fonksiyonu denir(Hacısalihoğlu,1994). Tanım 2.16 (immersion) M ve M birer iki manifold olsun. f : M M , fonksiyonu olmak üzere f ’nin f Jakobiyen matrisi p M noktasında regular ise f dönüşümüne M ’den M içine bir immersion denir. Yani Rankf BoyM ise f bir immersiyondur. (Hacısalihoğlu,1994). 8 Tanım 2.17 (embedding) Tanım (2.16) da f tek değişkenli ise f ’ye embedding denir. (Hacısalihoğlu,1994). Tanım 2.18 (yüzey) U 2 düzlemsel bir bölge olmak üzere :U E 3 u, v u, v f u , v , g u , v , h u , v şeklinde ifade edilen dönüşümüne E 3 de bir yüzey denir. Bu yüzeyin parametrik gösterimidir(Hacısalihoğlu,1994). 9 BÖLÜM III ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA FRENET ÇATISI 3.1 Üç Boyutlu Öklid Durumu I , : I E 3 eğrisi ve s yay parametresi olmak üzere (s) (1 ( s), 2 ( s), 3 ( s)) şeklinde tanımlanan eğri ve g dx12 dx22 dx32 E 3 ’ de bir metrik olmak üzere g( ', ') 1dir. T , ' ’nün birim teğet yada hız vektör alanıdır. Eğer ''(s) 0 ise; ''(s) , T ( s) ’e ( s) noktasında dik olan ivme vektörüdür. N , ''(s) ’in normalleştirilmiş esas vektör alanıdır. B , binormal vektör alanı ise T ve N ’nin vektörel çarpımı olarak ifade edilir. Bu durumda Frenet 3-ayaklısı, T ' k1 N N' k1T k2 N B ' k2 N ya da T ' 0 N ' k1 B' 0 k1 0 k1 0 T k2 N 0 B (3.1) şeklindedir. Burada k1 ve k 2 , ’nın birinci ve ikinci eğriliği yada k1 eğrilik, k 2 burulma olarak adlandırılır. İspat: N , N T , T B, B 1ve N , T T , B B, N 0 olmak üzere T ' k1 N olduğundan N ' aT bN cB yazılabilir. Her iki tarafın T ile iç çarpımı alınırsa N ', T a T , T b N , T c B, T a1 b0 c0 a 10 N , T 0 N ', T N , T ' 0 olup buradan N ', T N , T ' N , k1N k1 elde edilir. O halde a k1 olur. Benzer şekilde N ' aT bN cB yazılabilir. Bu eşitliğin N ile iç çarpımı alınırsa N ', N a T , N b N , N c B, N a0 b1 c0 b elde edilir ve N , N 1 N ', N N , N ' 0 N ', N 0 olduğundan b 0 bulunur. Aynı şekilde N ' aT bN cB ifadesinin, B ile iç çarpımı alınırsa N ', B a T , B b N , B c B, B a0 b0 c1 c. N , B 0 N ', B N , B ' 0 N ', B N , B ' (k2 ) k2 olur. Dolayısıyla c k2 bulunur. O halde N ' k1T k2 B dır. B ' aT bN cB olsun. T ile iç çarpımı alınırsa B ', T a T , T b N , T c B, T a1 b0 c0 a. ve B, T 0 B ', T B, T ' 0 B ', T B, T ' B, k1N 0 ve a 0 bulunur. B ' aT bN cB ifadesi N ile iç çarpımı alınırsa B ', N a T , N b N , N c B, N a0 b1 c0 b. B, N 0 B ', N B, N ' 0 B ', N B, N ' B, k1T k2 B k2 11 olur ve b k2 bulunur. B ' aT bN cB ifadesi B ile iç çarpım uygulanırsa B ', B a T , B b N , B c B, B a0 b0 c1 c. ve B, B 1 B ', B B, B ' 0 B ', B 0 olduğundan c 0 dır. Bu durumda B ' k2 N bulunur. O halde Frenet 3-ayaklısı T ' 0 N ' k1 B' 0 k1 0 k2 0 T k2 N 0 B şeklindedir. Teorem 3.1 (Denklik Teoremi): , : I E 3 birim hızlı eğri öyle ki k1 k1 0 (3.2) ve k2 k2 (3.3) ise ve eğrilerine denktir denir. Bazı özel eğrilerin durumlarına göre özellikleri aşağıda verilmiştir. Özellik 3.1 k1 0 ancak ve ancak eğrisi bir doğruya karşılık gelir. k2 0 ancak ve ancak düzlemsel eğrisidir, k2 0 ve k1 0 sabittir ancak ve ancak çemberdir, k2 0 sabit ve k1 0 sabittir ancak ve ancak dairesel helisdir. (H.Hacısalihoğlu,1993). 12 3.2 Üç Boyutlu Minkowski Durumu Bu bölümde Minkowski uzayında Frenet ayaklısı ve formülleri verilmiştir. g dx12 dx22 dx32 metriği ile tanımlanan : I R : 3 1 3 öklidyen uzayına Minkowski uzayı denir. 3 1 ile gösterilir. eğrisi (s) 1 , 2 , 3 verildiğinde (i) g ( ', ') 0 ise spacelike eğri (ii) g ( ', ') 0 ise null eğri (iii) g ( ', ') 0 ise timelike eğri denir. Bu ise ’nın casual karakterleri olarak adlandırılır. (Walrave, J.,1995) Bu durumda T , N , B . Frenet 3-ayaklısı aşağıda incelenmiştir. Durum 1 spacelike eğri s ’nın yay parametresi öyle ki g( '(s), '(s)) 1 dir. T (s) ’ de , (s) ’ in birim teğet vektör alanıdır. ''(s) 0 durumunda ''( s) , T ( s) ’e diktir. Öyle ki N (s) ''( s) , R ve 0 dir. ''( s) casual karakterinin durumları aşağıdadır. Durum 1.1 g( ''(s), ''( s)) 0 N ( s) normal vektör alanı ''( s) ’in normalleştirilmiş halidir. B( s) binormal vektör alanı T (s), N (s) spacelike düzlemine ( s) ’in her s noktasında dik olan tek timelike vektördür. Bu durumda E13 ’deki Frenet 3-ayaklısı T ' 0 N ' k1 B' 0 k1 0 k2 0 T k2 N 0 B (3.4) şeklindedir. 13 Durum 1.2 g( ''(s), ''(s)) 0 N ( s) , ''( s) ’in normalleştirilmiş timelike vektör alanıdır. B( s) binormal vektör alanı T (s), N (s) timelike yüzeyine ( s) ’in her s noktasında dik olan tek spacelike vektördür. Bu durumda Frenet 3-ayaklısı T ' 0 k1 N ' k1 0 B' 0 k 2 0 T k2 N 0 B (3.5) şeklindedir. Durum 1.3 g( ''(s), ''( s)) 0 Farz edelim ki ''(s) 0 olsun. N ( s) , ''( s) normal vektör alanıdır. B( s) binormal vektör alanı T ( s) ’e dik tek null vektördür ve ( s) ’in her noktasın da N , B 1 dir. Bu durum da Frenet 3-ayaklısı T ' 0 N ' 0 B ' k 1 k1 k2 0 0 T 0 N k2 B (3.6) şeklindedir. Burada k1 eğriliği sadece iki değer alır. ’nın doğru olduğunda 0, diğer durumlarda ise 1 dir. Eğer ( s) doğru ise ''(s) 0 T '( s) dir. Bunun anlamı ise k1 0 dır. Eğer ( s) doğru değil ise, bir ''(s) 0 olacak şekilde bir I aralığı vardır ve N (s) ''(s) T '(s) dir. Böylece k1 1 dir. T , N , B ise E13 ’de pseudo-ortonormaldir. Bunun anlamı ise N ' a1T b1 N c1B B ' a2T b2 N c2 B öyle ki N , N N , T B, B 0 dır. Buradan c1 a1 b2 dır. 14 N , B 1 ve T , B 0 ifadeleri göz önüne alınırsa N ', B N , B ' 0 ve B ', T B, T ' 0 ve dolayısıyla b1 c2 ve a2 k1 1 elde edilir. Bu ise b1 k2 olacak şekilde tek bir eğrinin olduğunu gösterir. Durum 2 time-like eğri s I yay parametresi olmak üzere g( '(s), '(s)) 1 olsun. T ( s) , ’nın birim teğet timelike vektör alanıdır. ''( s) , T ( s) ’e diktir ve N ( s) , ''( s) ’in normalleştirilmiş spacelike vektör alanıdır. Binormal vektör alanı B( s) , T ( s), N ( s) timelike yüzeyine ( s) ’in her noktasında dik olan tek spacelike birim vektör alanıdır. Bu durumda T , N , B ile E13 ’ün yönü aynıdır. Bu durum da Frenet 3-ayaklısı T ' 0 N ' k1 B' 0 k1 0 k2 0 T k2 N 0 B (3.7) şeklindedir. Durum 3 null eğri g( '(s), '(s)) 0 ise null eğridir ve '(s) T (s) null vektör alanıdır. Bu durumda ''(s) 0 olmak üzere '' T ’ye dik spacelike vektör alanıdır. null doğru değil ise, g( ''(s), ''(s)) 1 alınır ve N, '' ’nün her s noktasında birim vektör alanıdır. Bu durumda B( s) vektör alanı ’nın her ( s) noktasında N ( s) ’e dik tek null vektör alanıdır. T , T B, B N , B 0 T, B N, N 1 olmak üzere, Frenet 3-ayaklısı 15 T ' 0 N ' k2 B' 0 k1 0 k2 0 T k1 N 0 B (3.8) şeklindedir. Burada k1 eğriliği bir null doğru olduğunda 0, diğer durumlarda 1 dir. Eğer ( s) bir null doğru ise ''(s) 0 T '( s) dir. Bunun anlamı ise k1 0 olmasıdır. Eğer ( s) doğru değil ise, bir ''(s) 0 olacak şekilde bir N (s) ''(s) T '(s) şeklinde tanımlanır ve k1 1 dir. T , N , B I aralığı vardır, ise E13 ’de pseudo- ortonormal bir bazdır. Bunun anlamı N ' a1T b1 N c1B B ' a2T b2 N c2 B olmasıdır. Burada N , N B, T 1 ve B, B 0 dır. Buradan b1 c1 a2 0 dir. N , T 0 ve N , B 0 olduğundan T ', N T , N ' 0 ve N ', B N , B ' 0 dır. O halde c1 k1 1 ve a1 b2 elde edilir. Bu durum da a1 k2 olacak şekilde tek bir eğri vardır. 3.3 Dört Boyutlu Öklid Durumu s I yay parametresi ve bu parametreye bağlı eğrimiz (s) (1 (s), 2 (s), 3 (s), 4 (s)) olsun ve her s için g( '(s), '( s)) 1 olmak üzeredört boyutlu Öklid uzayında g dx12 dx22 dx32 dx42 metriği verilsin. eğrisi boyunca Frenet çatısı T , N , B1 , B2 şeklinde ifade edilir. Bu çatı aşağıdaki şekilde belirlenir. T , ’nın birim teget vektör alanı veya hız vektörü olsun. Eğer ''(s) 0 ise ''( s) ivme vektörü ( s) noktasında T ( s) ’e diktir. N normal vektör alanı ''( s) ‘in normalleştirilmiş ivme vektör alanıdır. B1 birim vektör alanı, N ' ’nün iki bileşene ayrılması ile belirlenir. Bunlardan bir tanesi T ’nin doğrultusundaki 16 teğet vektör alanıdır diğeri ise B1 doğrultusundaki normal vektör alanıdır. B2 vektör alanı ise birim T , N , B1 üç boyutlu alt uzayına dik bir tek vektör alanıdır. Öyle ki T , N , B1, B2 çatısının yönü E 4 ’ün yönü ile aynıdır. Bu duruma karşılık gelen Frenet formülleri T ' k1.N N ' k1T k2 B1 (3.9) B1 ' k2 N k3 B2 B2 ' k3 B1 ya da T' 0 N ' k1 B1 ' 0 B2 ' 0 k1 0 k2 0 0 k2 0 k3 0 T 0 N k3 B1 0 B2 (3.10) şeklinde ifade edilir. İspat: T ' k1 N olduğundan N ' aT bN cB1 dB2 yazılabilir. T ile iç çarpımı alınırsa N ', T a T , T b N , T c B1 , T d B2 , T a1 b0 c0 d 0 a. ve N , T 0 N ', T N , T ' 0 N ', T N , T ' N , k1N k1 ve a k1 olur. N ' aT bN cB1 dB2 ifadesi N ile iç çarpım alınırsa N ', N a T , N b N , N c B1 , N d B2 , N a0 b1 c0 d 0 b. elde edilir ve N , N 1 N ', N N , N ' 0 N ', N 0 Olduğundan b 0 bulunur. N ' aT bN cB1 dB2 17 ifadesi B1 ile iç çarpım uygulanırsa N ', B1 a T , B1 b N , B1 c B1 , B1 d B2 , B1 a0 b0 c1 c. ve N , B 0 N ', B N , B ' 0 N ', B N , B ' (k2 ) k2 olup c k2 bulunur. Aynı şekilde N ' aT bN cB1 dB2 ifadesi B2 ile iç çarpım uygulanırsa N ', B2 a T , B2 b N , B2 c B1 , B2 d B2 , B2 a0 b0 c0 d1 d. ve N , B2 0 N ', B2 N , B2 ' 0 N ', B2 0 dır. Buradan d 0 olur. O halde N ' k1T k2 B1 bulunur. B1 ' aT bN cB1 dB2 ifadesi T ile iç çarpımı alınırsa B1 ', T a T , T b N , T c B1 , T d B2 , T a1 b0 c0 d 0 a. B1 , T 0 B1 ', T B1 , T ' 0 B1 ', T B1 , T ' B1 , k1 N 0 olur ve a 0 bulunur. B1 ' aT bN cB1 dB2 ifadesi N ile iç çarpım uygulanırsa B1 ', N a T , N b N , N c B1 , N d B2 , B1 a0 b1 c0 d 0 b. ve B1 , N 0 B1 ', N B1 , N ' 0 B1 ', N B1 , N ' B1 , k1T k2 B1 k2 dolayısıyla b k2 bulunur. B1 ' aT bN cB1 dB2 şeklinde olup B1 ile iç çarpımı alınırsa 18 B1 ', B1 a T , B1 b N , B1 c B1 , B1 d B2 , B1 a0 b0 c1 d 0 c. ve B1 , B1 1 B1 ', B1 B1 , B1 ' 0 B1 ', B1 0 olduğundan c 0 bulunur. B1 ' aT bN cB1 dB2 ifadesi B2 ile iç çarpım uygulanırsa B1 ', B2 a T , B2 b N , B2 c B1 , B2 d B2 , B2 a0 b0 c0 d1 d. B1 , B2 0 B1 ', N B1 , B2 ' 0 B1 ', B2 B1 , B2 ' k3 ve d k3 bulunur. O halde B1 ' k2 N k3 B2 bulunur. Şimdi de B2 ' aT bN cB1 dB2 olsun. Her iki tarafın T ile iç çarpımı alınırsa B2 ', T a T , T b N , T c B1 , T d B2 , T a1 b0 c0 d 0 a. ve B2 , T 0 B2 ', T B2 , T ' 0 B2 ', T B2 , T ' B2 , k1 N 0 olur ve a 0 bulunur. B2 ' aT bN cB1 dB2 ifadesi N ile iç çarpım uygulanırsa B2 ', N a T , N b N , N c B1 , N d B2 , B1 a0 b1 c0 d 0 b. ve B2 , N 0 B2 ', N B2 , N ' 0 B2 ', N B2 , N ' B2 , k1T k2 B1 0 olup b 0 bulunur. B2 ' aT bN cB1 dB2 ifadesi B1 ile iç çarpımı alınırsa 19 B2 ', B1 a T , B1 b N , B1 c B1 , B1 d B2 , B1 a0 b0 c1 d 0 c. ve B2 , B1 0 B2 ', B1 B1 , B2 ' 0 B2 ', B1 B2 , B1 ' k3 ve buradan c k3 bulunur. B2 ' aT bN cB1 dB2 yazılabilir. Bu eşitliğin B2 ile iç çarpımı alınırsa B2 ', B2 a T , B2 b N , B2 c B1 , B2 d B2 , B2 a0 b0 c0 d1 d. ve B2 , B2 1 B2 ', B2 B2 , B2 ' 0 2 B2 ', B2 0 Buradan da d 0 bulunur. O halde B2 ' k3 B1 dır. O halde Frenet 4-ayaklısı T' 0 N ' k1 B1 ' 0 B2 ' 0 k1 0 k2 0 0 k2 0 k3 0 T 0 N k3 B1 0 B2 şeklindedir. k1 , k2 , k3 ’nın birinci, ikinci ve üçüncü eğrisidir. E 4 ’dede Öklid deki gibi benzer değerler alır. Bazı özel eğrilerin karakterleri k1 0 ancak ve ancak bir doğru belirtir, k2 0 ancak ve ancak planar(düzlemsel) eğri, k3 0 ancak ve ancak , E 4 ’de üç boyutlu alt uzayda yatar, k2 0 ve k1 0 sabittir ancak ve ancak çember, k3 0 ve k2 c2 , k1 c1 c1 , c2 R0 ancak ve ancak dairesel helis’dir, 20 k3 c3 k2 c2 k1 c1 c1 , c2 , c3 R0 ancak ve ancak ( s) 1 1 sin(1 s)V1 1 1 cos(1 s)V2 1 2 sin(2 s)V 3 1 2 sin(2 s)V4 K c12 c22 c32 , 12 K K 2 4c12c32 2 (3.11) (3.12) , 22 K K 2 4c12c32 2 (3.13) dır. Vi , V1 ,V1 V2 ,V2 ve V3 ,V3 V4 ,V4 ortogonal ve sürekli ve bu eşitlikleri sağlar. doğrusu 1 yarıçaplı kürededir. c3 3.4 Dört Boyutlu Minkowski Durumu Dört boyutlu Minkowski uzayında bir eğrinin Frenet ayaklıları ve bunlara bağlı eğrilik formülleri hakkında temel kavramlar verilmiştir. 4 ’de g dx12 dx22 dx32 dx42 metriği verilsin. E14 ’de ( s) eğrisinin spacelike, null ve timelike olma durumlarına göre T , N , B1 , B2 Frenet çatısının durumlarına bakılacaktır. Durum 1 spacelike eğri s parametresine bağlı yay uzunluğu g( '(s), '(s)) 1 olsun, T , nın birim teğet vektör alanıdır. Eğer ''(s) 0 ise '' , T ’ye diktir öyleki N , '' nün doğrultusundadır. '' ’nün casual karakterlerine göre durumlarını verelim. Durum 1.1 g( ''(s), ''(s)) 0 N asli normal vektör alanı, '' ’ne karşılık gelen normalleştirilmiş vektör alanıdır. B1 vektör alanı T , N düzlemine göre N ' ’nün C normal bileşeninin doğrultusundadır. Aşağıda B1 ’in bütün casual karakterleri verilmiştir. 21 Durum 1.1.1 g(C , C ) 0 Bu durumda B1 vektör alanı C normalleştirilmiş vektör alanıdır ve B2 vektör alanı üç boyutlu T , N , B1 T , N , B1, B2 çatısının alt uzayına dik tek timelike birim vektör alanıdır öyle ki yönü E14 ’uzayının yönü ile aynıdır. Bu durum da Frenet 4- ayaklısı T' 0 N ' k1 B1 ' 0 B2 ' 0 k1 0 k2 0 0 k2 0 k3 0 T 0 N k3 B1 0 B2 (3.14) şeklindedir. İspat: B1 , T B1 , N B2 , T N , T B2 , N B1 , B2 0 T , T N , N B1 , B1 1 B2 , B2 1 T ' k1 N olduğundan N ' aT bN cB1 dB2 yazılabilir. Bu eşitliğin her iki yanını T ile iç çarpım uygulanırsa N ', T a T , T b N , T c B1 , T d B2 , T a1 b0 c0 d 0 a. ve N , T 0 N ', T N , T ' 0 N ', T N , T ' N , k1N k1 olduğundan a k1 olur. N ' aT bN cB1 dB2 ifadesi N ile iç çarpım uygulanırsa 22 N ', N a T , N b N , N c B1 , N d B2 , N a0 b1 c0 d 0 b. ve N , N 1 N ', N N , N ' 0 N ', N 0 dır. Dolayısıyla b 0 bulunur. N ' aT bN cB1 dB2 ifadesi B1 ile iç çarpımı alınırsa N ', B1 a T , B1 b N , B1 c B1 , B1 d B2 , B1 a0 b0 c1 c. ve N , B 0 N ', B N , B ' 0 N ', B N , B ' (k2 ) k2 olup c k2 bulunur. N ' aT bN cB1 dB2 ifadesi B2 ile iç çarpım uygulanırsa N ', B2 a T , B2 b N , B2 c B1 , B2 d B2 , B2 a0 b0 c0 d (1) d . N , B2 0 N ', B2 N , B2 ' 0 N ', B2 0 dır. Buradan d 0 olur. O halde N ' k1T k2 B1 bulunur. Şimdi de B1 ' aT bN cB1 dB2 olsun. Her iki tarafı T ile iç çarpım uygulanırsa B1 ', T a T , T b N , T c B1 , T d B2 , T a1 b0 c0 d 0 a. ve B1 , T 0 B1 ', T B1 , T ' 0 B1 ', T B1 , T ' B1 , k1 N 0 olur. Dolayısıyla a 0 bulunur. B1 ' aT bN cB1 dB2 23 ifadesi N ile iç çarpımı alınırsa B1 ', N a T , N b N , N c B1 , N d B2 , B1 a0 b1 c0 d 0 b. ve B1 , N 0 B1 ', N B1 , N ' 0 B1 ', N B1 , N ' B1 , k1T k2 B1 k2 Buradan b k2 bulunur. B1 ' aT bN cB1 dB2 ifadesi B1 ile iç çarpımı alınırsa B1 ', B1 a T , B1 b N , B1 c B1 , B1 d B2 , B1 a0 b0 c1 d 0 c. ve B1 , B1 1 B1 ', B1 B1 , B1 ' 0 B1 ', B1 0 olduğundan c 0 bulunur. B1 ' aT bN cB1 dB2 ifadesi B2 ile iç çarpım uygulanırsa B1 ', B2 a T , B2 b N , B2 c B1 , B2 d B2 , B2 a0 b0 c0 d (1) d . ve B1 , B2 0 B1 ', N B1 , B2 ' 0 B1 ', B2 B1 , B2 ' k3 O halde d k3 bulunur. Buradan B1 ' k2 N k3 B2 bulunur. Benzer şekilde B2 ' aT bN cB1 dB2 olsun. Eşitliğin T ile iç çarpımı alınırsa B2 ', T a T , T b N , T c B1 , T d B2 , T a1 b0 c0 d 0 a. ve B2 , T 0 B2 ', T B2 , T ' 0 B2 ', T B2 , T ' B2 , k1 N 0 24 dan a 0 bulunur. B2 ' aT bN cB1 dB2 ifadesi N ile iç çarpım uygulanırsa B2 ', N a T , N b N , N c B1 , N d B2 , B1 a0 b1 c0 d 0 b. ve B2 , N 0 B2 ', N B2 , N ' 0 B2 ', N B2 , N ' B2 , k1T k2 B1 0 Buradan b 0 bulunur. B2 ' aT bN cB1 dB2 nin B1 ile iç çarpımı alınırsa B2 ', B1 a T , B1 b N , B1 c B1 , B1 d B2 , B1 a0 b0 c1 d 0 c. ve B2 , B1 0 B2 ', B1 B1 , B2 ' 0 B2 ', B1 B2 , B1 ' k3 olduğundan c k3 bulunur. B2 ' aT bN cB1 dB2 ifadesi B2 ile iç çarpım uygulanırsa B2 ', B2 a T , B2 b N , B2 c B1 , B2 d B2 , B2 a0 b0 c0 d (1) d . ve B2 , B2 1 B2 ', B2 B2 , B2 ' 0 2 B2 ', B2 0 Buradan da d 0 bulunur. O halde B2 ' k3 B1 dır. Sonuç olarak Frenet 4-ayaklısı T' 0 N ' k1 B1 ' 0 B2 ' 0 k1 0 k2 0 0 k2 0 k3 0 T 0 N k3 B1 0 B2 şeklindedir. 25 Durum 1.1.2 g(C , C ) 0 Bu durum da B1 vektör alanı C normalleştirilmiş timelike vektör alanıdır ve B2 ise T , N , B1 üç boyutlu alt uzaya dik tek birim spacelike vektör alanıdır öyle ki T , N , B1, B2 çatısının yönü E14 ’ün yönü ile aynıdır. Bu durum da Frenet 4-ayaklısı T' 0 N ' k1 B1 ' 0 B2 ' 0 k1 0 k2 0 0 k2 0 k3 0 T 0 N k3 B1 0 B2 (3.15) şeklindedir. Durum 1.1.3: g(C , C ) 0 B1 , C vektör alanı olduğundan ve B2 , T , N düzlemine dik tek null vektör alanıdır öyle ki B1 , B2 1 . Bu durum da Frenet 4-ayaklısı T' 0 N ' k1 B1 ' 0 B2 ' 0 k1 0 0 k2 0 k2 k3 0 0 T 0 N 0 B1 k3 B2 (3.16) dır. Böyle bir eğrisine kısmi null eğrisi denir ve yukarıdaki Frenet formüllerinden, bu eğrinin üç boyutlu alt uzayda yattığı kolaylıkla görülür. Bir null dönme yapılarak, yani; bir null tetratdan diğer null tetrata dönüşüm yapılarak T ve N ’yi sabitlenir. k3 0 alındığında B1 sabit bir null vektördür. Bu durumu görebilmek için aşağıdaki null dönme yapılabilir. 26 1 T' 0 N ' B1 ' 0 B2 ' 0 0 0 1 0 1 a 0 0 0 k1 k1 , k2 ak2 ve 0 T 0 N 0 B1 B a 2 a ' k3 k3 . a (3.17) olup, bu durum da Frenet 4-ayaklısı T '' 0 N ' k1 B1' 0 B2' 0 k1 0 0 k2 0 k3 k2 0 0 T 0 N 0 B1 k 3 B2 (3.18) şeklindedir. Böylece ( s) ’ de k 3 0 seçilebilir. Bunun anlamı B1 0 olmasıdır. Diğer bir deyişle B1 sabit null vektördür. Bu durum da sadece iki eğrilik vardır, ikinci eğrilik sadece sabit bir çarpana göre belirlenir. Kısmi null eğri, kısmi özel bir null belirtir. Yani k1 , k 2 sabitleri sıfırdan farklı olmak üzere eğri yukarıdaki Frenet formüllerini sağlar. Bu eğri ( s) cs, 1 1 cos(k1s), sin(k1s), cs k1 k1 (3.19) şeklinde olup c 0 sabit ve bir null eksenli dairesel helisdir. Durum 1.2 g( ''(s), ''(s)) 0 N , ''( s) ’in normalleştirilmiş timelike vektör alanıdır. B1 birim vektör alanı ise N ' ’nünnormal bileşeni doğrultusundaki spacelike vektör alanıdır. B2 de T , N , B1 ’ e dik tek birim spacelike vektör alanıdır öyle ki T , N , B1 , B2 çatısının yönü E14 ’ ün yönü ile aynıdır. Bu durumda Frenet 4-ayaklısı 27 T' 0 N ' k1 B1 ' 0 B2 ' 0 k1 0 k2 0 0 k2 0 k3 0 T 0 N k3 B1 0 B2 (3.20) şeklindedir. Durum 1.3 g( ''(s), ''(s)) 0 pseudo null eğri olsun. Eğer ''(s) 0 ise N ''(s) dir. '''(s) spacelike ya da null vektör alanı olabilir. Eğer '''( s) spacelike ise, bu taktirde B1 de '''( s) ’nün normalleştirilmiş vektör alanıdır. B2 , T , B1 alt uzayına dik tek null vektör alanıdır öyle ki N , B2 1 ve Frenet4-ayaklısı ise T' 0 N' 0 B1 ' 0 B2 ' k1 k1 0 k3 0 0 k2 0 k3 0 T 0 N k2 B1 0 B2 (3.21) şeklinde olup k1 eğriliği sadece iki değer alır, null doğru olduğunda eğrilik 0, diğer durumlarda 1 değerini alır. Eğer ''' null vektör alanı ise (s) f (s), s,0, f (s) (3.22) şeklinde ifade edilen pseudo-null eğridir ve iki boyutlu dejenere yüzeyde yatar. Burada f , s ’nin keyfi bir fonksiyonudur. Durum 2: timelike eğri eğrisi s parametresine bağlı ve yay uzunluğu g( '(s), '(s)) 1 olsun. T , ' ’nın oluşturduğu birim teğet vektör alanıdır. '' , T ’ye diktir öyle ki N , '' nün normalleştirilmiş spacelike vektör alanıdır. B1 birim spacelike vektör alanı T , N düzlemine göre N ' nün normal bileşeni doğrultusundadır. B2 , T , N , B1 ’e dik olan tek birim spacelike vektör alanıdır. Bu T , N , B1 , B2 ’nin yönü E14 ’ün yönü ile aynıdır. Bu durum da Frenet 4-ayaklısı 28 T' 0 N ' k1 B1 ' 0 B2 ' 0 k1 0 k2 0 0 k2 0 k3 0 T 0 N k3 B1 0 B2 (3.23) şeklindedir. Durum 3: null eğri T ' null vektör alanı olsun. Doğrular hariç için s pseudo-yay uzunluğu kullanılırsa, g( ''(s), ''(s)) 1 dir. Böylece N '' ve B1 , T , N düzlemine göre ''' 'nün normal bileşeni olsun. g( '(s), '''( s)) 1 ve g( ''(s), '''( s)) 0 olduğundan B1 , B1 0 olmak zorundadır ve B1 ise T , B1 1 ifadesinden tamamen belirlenebilir. B2 , T , N , B1 üç boyutlu alt uzayına dik tek spacelike birim vektör alanıdır ve T , N , B1 ile E14 ’ün yönü aynıdır. Bu durum da Frenet formülasyonu T' 0 N ' k2 B1 ' 0 B2 ' k3 k1 0 k2 0 0 k1 0 0 0 T 0 N k3 B1 0 B2 (3.24) şeklindedir. k1 eğriliği sadece iki değer alır. null doğru olduğun da 0, diğer durumlarda 1 dir. T , N , B1, B2 dörtlüsünull eğriler için Cartan dörtlüsü olarak bilinir. Diğer dörtlüler ise kanonik ve screw dörtlülerdir(Bonner, W.B.,1969). Bir null eğrisi esasen sadece k 2 ve k3 eğriliklerine sahiptir. k3 , E 4 ’de bir eğrinin üçüncü eğriliğine benzer bir role sahiptir. Bunun anlamı null eğrisi E14 ’ün üç boyutlu alt uzayında yatar ancak ve ancak k3 0 . k 2 ’nin geometrik anlamı ise belirli değildir. 29 k2 0 olacak şekilde null helisler vardır. Eğer tek bir eğri varsa k2 k3 0 olacak şekilde null kübiktir. Bundan dolayı sadece sabit eğrilikli null eğriler çalışılmıştır. Durum 1. k2 k3 0 ise; Frenet eşitliklerinden '''' 0 . Böylece A, B, C, D 4 olmak üzere (s) As3 Bs 2 Cs D, (3.25) ve '(s) 3 As 2 2Bs C, (3.26) ''(s) 6 As 2B, (3.27) '''(s) 6 A, (3.28) B1 , B1 0 '''', '''' olduğundan A, sabit bir null vektördür. Pseudo yay parametresi s olmak üzere g ( ''(s), ''(s)) 1 ve null eğrisi ise g ( '(s), '(s)) 0 . A, B, C, D vektörleri üzerinde aşağıdaki şartlar belirlenebilir. A, A C, C A, B B, C 0 , A, C 1 1 , B, B 6 4 Örneğin s s s2 ( s) s3 , s3 , ,0 12 12 2 (3.29) ifadesi null kübiğin parametrizasyonudur. 30 Durum 2. k2 , k3 her ikisinde sıfır olmayan sabitler olsun. Durum 2.1 k3 0 ise; d 4T d 2T 2 k k32T 0 2 4 2 ds ds (3.30) diferensiyel denklemi çözülürse ( s) 1 1 sinh(1s)V cosh(1s)W Z , Z W ,W Y , Y V ,V 1 k22 k32 k2 , 2 1 2 sinh(2 s)Z cosh(2 s)Y 1 22 2 1 k22 k32 k2 (3.31) (3.32) (3.33) bulunur. Bu ise bir dairesel silindir üzerinde yatan null helis’in parametrizasyonudur. Burada k 2 ’nin eğrisinin null helis olması ile ilgili bir rolü yoktur. k2 0 alınarak da null helis olduğu görülebilir. Durum 2.2 k3 0 ise; Eğriler üç boyutlu alt uzayda yatar. Frenet eşitliklerinden ve d 4T dT 2k 2 4 ds ds (3.34) diferensiyel denkleminin çözümünden iki farklı durumdan söz edilebilir. (i) k2 0 ise, ( s) 1 sinh 2k2 s, cosh 2k2 s, 2k2 s, 0 , 2k 2 31 (3.35) (ii) k2 0 ise, ( s) 1 0, 2k2 s,sinh 2k2 s, cosh 2k2 s , 2k2 32 (3.36) BÖLÜM IV MİNKOWSKİ UZAYINDA MİNİMAL VE ÖTELEME YÜZEYLERİ 4.1Gauss ve Ortalama eğrilik E u , u F u , v G v , v L M N 1 EG F 2 1 EG F 2 1 EG F 2 det(u , v , uu ) det(u , v , uv ) det(u , v , vv ) ve Edu 2 2Fdudv Gdv2 Ldu 2 2Mdudv Ndv2 olmak üzere, kn L 2 2M N E 2 2 F G eşitliği yüzeyin normal eğriliği olarak tanımlanır. Bu oran yardımıyla F (kn , ) ( L kn E) 2 2(M kn F ) ( N knG) 0 diferensiyel denklemi yazılır. Bu denklemin ’ya göre türevi alınırsa 33 (4.1) F (kn , ) 2( L kn E) 2(M kn F ) 0 (4.2) ( L kn E) (M kn F ) 0 elde edilir. (4.1) denklemi düzenlenirse ( L kn E) (M kn F ) (M kn F ) ( N knG) 0 elde edilir. (4.2) ifadesinden yararlanılırsa ( L kn E) (M kn F ) 0 (M kn F ) ( N knG) 0 eşitlikleri elde edilir. O halde ( L kn E ) (M kn F ) 0 (M kn F ) ( N knG) 0 şeklindedir. Bu denklemler için L kn E det M kn F M kn F 0 N knG bulunur. Buradan ( EG F 2 )kn 2 ( EN 2FM GL)kn LN M 2 0 elde edilir. Bu ikinci derece denklemin kökleri k1 ve k 2 olmak üzere yüzeyin H ve K eğrilikleri sırasıyla 2H EN 2MF GL EG F 2 ve K LN M 2 EG F 2 şeklindedir. 34 4.2Minimal Yüzeyler Tanım 4.1 S 2H 3 bir yüzey olsun. EN 2MF GL EG F 2 ortalama eğrilik olmak üzere H 0 olması durumunda S yüzeyi minimal yüzey adını alır.(Aksoy, 2005). Tanım 4.2 x x1 , x2 , x3 olmak üzere X : M bir Riemann yüzeyinin 3 3 içine izometrik immersiyonu olsun. Eğer her bir i için xi , M üzerinde bir harmonik fonksiyon oluyorsa X ’e minimaldir denir. Yani, , M üzerindeki Riemanian Laplace operatörü olmak üzere X i 0 olmalıdır. Bir M Riemann yüzeyi ile onun izometrik embedding altındaki görüntüsünü özdeşlemek oldukça faydalıdır. Harmoniklik lokal bir kavram olduğundan minimallik kavramı da M 3 immerse edilmiş yüzeyine de uygulanabilir(inclusion dönüşümü ile indirgenmiş Riemann yapısı yardımıyla). H , X ’in ortalama eğrilik fonksiyonu olsun ve N : M S2 3 dönüşümü de X ’in Gauss dönüşümü veya onun birim normali olsun. X :M 3 izometrik immersiyonu için X 2HN vektör değerli formülü geçerlidir. Bu durum ise minimalliğin aşağıdaki tanımına denktir. (Meeks vePerez,2011). Tanım 4.3 M 3 yüzeyi minimaldir Onun ortalama eğriliği sıfıra eşittir. u u x, y fonksiyonun grapfı olarak M 3 regüler yüzeyini lokal olarak belirlenebilir. 1776’da Meusnier ortalama eğriliğin özdeş olarak sıfır olma şartını quasilineer ikinci mertebeden eliptik kısmı diferansiyel denklem olarak belirlemiştir. Bu denklem 1762’de Langrange tarafından 1 u .u 2 x yy 2ux .u y .uxy 1 u y2 uxx 0 (4.3.1) şekilde bulunmuştur(Meeks ve Perez, 2011). 35 Tanım 4.4 M 3 minimaldir M ,(4.3.1) denkleminin bir çözümünün grafiği olarak lokal anlamda belirlenebilir. , bir M 3 yüzeyinde kompakt, kapalı, yönlendirilebilir bir alt bölge olsun. Eğer, üzerindeki inclussion dönüşümü u C0 fonksiyonu ile kompakt olarak ifade edilirse bu taktirde x t.u.N yine bir immersiyondur. M ’nin H ortalama eğrilik fonksiyonu A t Alan x t.u.N alan ifadesiyle ilişkilidir. Burada A 0 2 u.HdA ve dA , M ’nin alan elementidir. Bu varyasyonel ifade ile minimalliğin aşağıdaki tanımına denktir. (Meeks ve Perez, 2011). Tanım 4.5 M 3 minimaldir bu alan fonksiyonelinin kritik bir noktasıdır. (Meeks ve Perez, 2011). Tanım 4.6 M 3 minimaldir p M noktası çok küçük alanlı bir komşuluğa sahiptir, bu ise onun sınırına bağlıdır. A, alan fonksiyonelinin yanı sıra varyasyonların calculusteki iyi bilinen bir diğer fonksiyoneli ise, 2 E X .dA Dirichlet enerji fonksiyonelidir. Burada X : M R3 bir izometrik immersiyon ise kompakt kapalı bir alt bölgesidir. Bu fonksiyoneller arasında E 2. A eşitsizliği vardır. E 2. A olması için X : M 3 İmmersiyonu konformal olmalıdır. (Meeks ve Perez, 2011). Tanım 4.7 M 3 minimaldir g : M stereografik izdüşümü Riemann yüzeyi yapısı altında meromorfiktir(bu stereografik izdüşüm dönüşümü Gauss dönüşümüdür). (Meeks ve Perez, 2011). Yukarıda minimalliğin yedi tanımı verilmiştir. Minimalliğin ve minimal yüzey ifadelerinin bu denk tanımları minimal yüzey teorisi ile kompleks analiz arasında ileri derecede bir bağıntı olduğunu göstermiştir. Bu çalışmaların yapıldığı dönem klasik minimal yüzey teorisinin birinci altın çağı olarak adlandırılmıştır. Bu dönemde 36 Beltrami, Bonnet, Catalan, Darboux, Enneper, Lie, Riemann, Schoenflies, Schwarz, Serret, Weierstrass vs.gibi matematikçiler bu alanda oldukça kayda değer çalışmalar yapmışlardır. Birinci altın çağ 1885-1890 tarihleri arasını kapsamaktadır. 1930-1940 aralığında klasik minimal yüzey teorisinin ikinci altınçağı yaşanmış, bu dönemde öne çıkan matematikçiler ise, Courant, Douglas, Morrey, Morse, Rudo ve Shiffman olmuştur. Bu dönemdeki en büyük başarı ise Douglas’ ın Plateau Problemi’ni çözmesidir. Pek çok geometrici 1980’lerin başından beri klasik minimal yüzey teorisinin üçüncü altın çağının yaşandığına inanmaktadır. Günümüzde bu alanda interdisipliner bir çalışma alanı oluşmuş, matematiğin diğer branşları fizik ve bilgisayar teknolojisinde kullanılarak oldukça başarılı çalışmalar yapılmaktadır. Lemma 4.1 Genel olarak bir u, v u, v, h(u, v) Monge yüzeyi bir minimal yüzeydir 1 hv 2 huu 2hu hv huv 1 hu 2 hvv 0 dır. Burada h ’nin özel seçimi ile minimal yüzeylerin ilginç bir örneğini bulabiliriz. 1835’te Scherk u, v u, v, h(u, v) formunun, yani öteleme yüzeyinin minimal olma şartı saptanmıştır. Bu, aşağıdaki teoremle verilecektir. (Liu,1999). Teorem 4.1 Eğer Monge yüzeyi X : U M h(u, v) f (u) g (v) minimal öteleme yüzeyi ise M ya bir düzlem parçasıdır ya da 0 olmak üzere f (u ) 1 h(u, v) log(cos( u )) ve g (v) 1 log(cos( v)) cos v log cos u 1 dır. (Liu,1999). İspat: h(u, v) f (u) g (v) huu f ''(u ) huv 0 hvv g ''(v) 37 1 h h 2 v uu 2hu hv huv 1 hu 2 hvv 0 1 g '(v) f ''(u) 1 f '(u) g ''(v) 0 2 2 dan f ''(u ) g ''(v) 2 1 f '(u ) 1 g '(v) 2 bulunur. f ''(u ) g ''(v) , 2 1 f '(u ) 1 g '(v) 2 f ' p f '' p ' ise p' 1 p2 olup. O halde p' 1 p 2 dp du den arctan( p) u c1 dır. Buradan p tan(u c1 ) f ' p df tan(u c1 ) du df tan(u c1 )du f (u ) sin(u c1 ) du cos(u c1 ) f (u ) 1 f (u ) 1 log(cos(u ) c1 ) , c1 0 log(cos(u )) elde edilir. Benzer şekilde g ''(v) 1 g '(v) 2 38 eşitliğinden g (v ) 1 log(cos(v)) bulunur. Böylece h(u, v) cos v log elde edilmiş olur. cos u 1 Bulunan bu yüzey Scherk yüzeyi adını alır ve 1 cos v Scherk u, v u, v, log cos u şekilde ifade edilir. Bu durumda Scherk yüzeyi öteleme yüzeyleri içinde minimal olan tek yüzeydir ve . Şekil 4.1 Scherk yüzeyi şekilde görüldüğü gibidir. 4.3 Sabit Ortalama Eğrilikli Öteleme Yüzeyleri Bu bölümde E 3 ve E13 de sabit ortalama eğrilik ya da sabit Gauss eğrilikli öteleme yüzeyleri konusunda bir sınıflandırma yapılacaktır. Keyfi spacetime’daki spacelike ortalama eğrilik li hiperyüzeylerin relativite teorisiyle ilgisi vardır. E 3 3-boyutlu Öklid 2 2 2 uzayı .,. dx dy dz 39 metriği ile E13 de 3-boyutlu Lorentz uzayı da .,. dx2 dy 2 dz 2 metriği ile verilsin. E 3 deki ya da E13 deki bir S yüzeyi de (u, v) 1 (u, v), 2 (u, v), 3 (u, v) ile gösterilirse, S yüzeyinin birinci esas formu Edu 2 2Fdudv Gdv2 şeklinde ifade edilir. Burada E u , u F u , v G v , v u r (u, v) r (u, v) v u v dır. E 3 deki yüzey için EG F 2 0 E13 deki spacelike yüzey için EG F 2 0 E13 deki timelike yüzey için EG F 2 0 dir. I.temel formun ispatı aşağıdaki şekildedir. M yarı-Riemann manifoldu olarak 3-boyutlu R13 Minkowski uzayı ve M yarı-Riemann hiperyüzey olarak da (U , ) parametrizasyonu ile verilen :U 2 3 1 (u, v) (u, v) (1 (u, v), 2 (u, v), 3 (u, v)) (u ) yüzeyi göz önüne alınırsa, d d * du , * dv lineer bağımsız olmak üzere yüzeyin vektör alanının bir bazı d d * du , * dv d d dir. * ve * yerine sırasıyla u ve v alınırsa o zaman du dv 40 yüzeyin normali N u xv olur.. Ayrıca N , N u xv , u xv dir. Lagrange özdeşliğinden dolayı N , N u , v u , u v , v yazılırsa ve E u , u F u , v G v , v katsayıları kullanılırsa N , N F 2 EG elde edilir. Şimdi yüzeyin birinci temel formunu hesaplayalım. ’nin tam diferansiyeli dir. u v ds , 2 , du 2 2 , dudv , dv 2 dir. u u u v v v Buradan da Edu 2 2Fdudv Gdv2 elde edilir. S yüzeyinin ikinci esas formu Ldu 2 2Mdudv Ndv2 şeklinde tanımlanır. Burada; L M 1 EG F 2 1 EG F 2 det(u , v , uu ) det(u , v , uv ) 41 N 1 EG F 2 det(u , v , vv ) şeklindedir. Şimdi II. temel formun ispatını verelim. X , Y (M ) için yüzeyin esas formu S ( X ) dN olmak üzere X , Y S ( X ), Y şeklindedir. Ayrıca N , Y 0 denkleminde türev alınırsa N ', Y N , Y ' 0 yani, N ', Y N , Y ' bulunur. X , Y N ', Y N , Y ' yazılabilir. Buradan Y ' ifadesini hesaplanırsa du dv Y ' ' v u ' 2 2 2 2 2 du 2 dudv 2 dv uv v u şeklindedir. Bu ifade ikinci temel form tanımında yerine yazılırsa 2 2 2 N , Y ' , N du 2 , N dudv , N dv 2 2 2 u uv v ve X , Y Ldu 2 2Mdudv Ndv 2 42 elde edilir. Teorem 4.2 S, 3-boyutlu Öklid uzayı E 3 de ya da 3-boyutlu Lorentz uzayı E13 de K sabit Gauss eğrilikli bir öteleme yüzeyi olsun. Bu durumda S bir silindir ve dolayısıyla K 0 dır (Liu 1999). İspat: E 3 Öklid uzayında, S öteleme yüzeyi z g ( x) h( y) (4.1) dönüşümü ile verilsin. Bu durumda S’nin Gauss eğriliği K hesaplanırsa yapılırsa, ( x, y) x, y, g ( x) h( y) x 1,0, g '( x) y 0,1, h '( y) xy 0,0,0 xx 0,0, g ''( x) yy 0,0, h ''( y) E x , x 1, 0, g '( x) , 1, 0, g '( x) 1 g '( x) 2 F x , y 1, 0, g '( x) , 1, 0, h '( y) h '( y).g '( x) G x , x 0,1, h '( y) , 0,1, h '( y) 1 h '( y) 2 E.G F 2 1 g '( x)2 1 h '( y)2 h '( y) g '( x) 1 h '( y) 2 g '( x) 2 2 1 0 g '( x) 1 0 g '( x) 1 0 g '( x) det x , y , xx 0 1 h '( y ) g ''( x) 0 0 g ''( x) det x , y , xy 0 1 h '( y) 0 0 0 0 det x , y , yy 0 1 h '( y) h ''( y ) 0 0 h ''( y ) 43 L M N K 1 E.G F 2 1 E.G F 2 1 E.G F 2 det x , y , xx 1 1 h '( y)2 g '( x) 2 det x , y , xy g ''( x) 1 1 h '( y)2 g '( x) 2 det x , y , yy 00 1 1 h '( y)2 g '( x) 2 h ''( y ) LN M 2 EG F 2 eşitliğinden K g ''( x)h ''( y ) 1 h '( y) 2 g '( x) 2 (4.2) 2 elde edilir. Eğer K sabit ise, g ''( x) 0 olduğu kabul edelip her iki tarafın y’ye göre türevi alınırsa h ''( y) 1 h '( y)2 g '( x)2 4h '( y)h ''( y) 2 0 elde edilir. h ''( y) 0 olduğu kabul edelirse ve her iki tarafın y’ye göre türevi alınırsa g ''( y) 1 h '( y)2 g '( x)2 4 g '( y) g ''( y) 2 0 bulunur. Burada g ''( x) 0 yada h ''( y) 0 dır. g ''( x) 0 ise a, b R olmak üzere g ( x) ax b olarak elde edilir. Dolayısıyla ( x, y) ( x, y, ax b h( y)) (0, y, b h( y)) x.(1,0, a) bir silindir yüzeyidir. E13 Lorentz uzayında S öteleme yüzeyi z g ( x) h( y) ( 4.3) x g ( y) h( z ) (4.4) dönüşümleriyle verilebilir. S’nin K Gauss eğriliği, yukarıdaki benzer hesaplamalar yapılarak sırasıyla 44 K g ''( x)h ''( y ) 2 (4.5) 2 (4.6) 1 h '( y)2 g '( x)2 yada K g ''( y )h ''( z ) h '( z) 2 g '( y ) 1 2 şeklinde elde edilir. K sabitse g '' 0 ya da h '' 0 olup yüzey bir silindir yüzeyidir. Teorem 4.3 (I) S, 3-boyutlu Öklid uzayı E 3 de sabit ortalama eğriliği H 0 olan bir öteleme yüzeyi olsun. Bu durumda S, E 3 de aşağıdaki gibi bir yüzey yada yüzeyin parçasıdır. z 1 2 1 4H 2 x2 y 2H (4.7) (II) S, 3-boyutlu Lorentz uzayı E13 de sabit ortalama eğriliği H 0 olan bir öteleme yüzeyi olsun. Bu durumda; (i) Eğer S spacelike bir yüzey ise bu taktirde; S aşağıdaki gibi bir yüzey ya da bu yüzeyin bir parçası olur; z 1 2 1 4 H 2 x 2 y 1 2H x y 1 2 2H (4.8) 4H 2 z 2 1 (4.9) veya x 2 1 2H 1 4 H 2 y 2 z 1 (4.10) dir. 45 (ii) Eğer S timelike bir yüzey ise bu durumda; S aşağıdaki gibi bir yüzey ya da yüzeyin bir parçası olur. 1 2 z 2H 4 H 2 x 2 1 y 1 (4.11) 2 1 1 4 H 2 x 2 y 1 (4.12) z 2H x y x 1 2 1 4H 2 z 2 2H (4.13) 2 1 4 H 2 y 2 1 z 1 2H (4.14) ya da, x 1 2 2H 1 4 H 2 y 2 z 1 (4.15) (Liu, 1999). İspat: (I) S, E 3 Öklid uzayında, sabit ortalama eğriliği H 0 olan bir yüzey olsun. z g ( x) h( y) den H hesaplanırsa H g ''( x). 1 h '( y ) 2 h ''( y ). 1 g '( x) 2 2. 1 h '( y ) g '( x) 2 (4.16) 3 2 2 şeklinde elde edilir. Bu son eşitlikte x’e göre türev alınırsa g ''' 1 h ' 2 g ' g '' h '' 1 g ' h ' 2 2 2 3 2 5 3g ' g '' g '' 1 h '2 h '' 1 g '2 1 g '2 h '2 2 0 3 g ''' 1 h '2 2 g ' g '' h '' 1 g '2 h '2 2 6 Hg ' g '' 1 g '2 h '2 0 1 46 g ''' 1 h ' 2 g ' g '' h '' 1 g ' h ' 2 2 2 1 2 6 Hg ' g '' elde edilir. y ye göre türev alınırsa 2h ' h '' g '' 2 g ' g '' h ''' 1 g ' 2 h' 2 1 2 h ' h '' g ''' 1 h ' 2 g ' g '' h '' 1 g ' h ' 2 2 2 3 2 0 denklemi bulunur. Bu denklemi H ’ye göre düzenlenirse; 2h ' h '' g '' 2 g ' g '' h ''' 1 g ' 2 h' 2h ' h '' g '' 2 g ' g '' h ''' 1 g ' 2 2 h' 1 2 6Hg ' g '' h ' h '' 1 g '2 h '2 0 1 2 2 1 6Hg ' g '' h ' h '' 0 elde edilir. g ''( x) 0 ve h ''( y) 0 olduğu kabul edilirse, 1 g ''' h ''' 2 2 2 3H 1 g ' h ' g ' g '' h ' h '' bulunur. Burada x’e göre türev alınır ve tekrar düzenlenirse, 3 g ''' 2 2 2 1 g ' h ' 3Hg ' g '' 0 g ' g '' eşitliğini elde edilir. g ''( x) 0 ve h ''( y) 0 olduğundan H 0 bulunur. Bu da H 0 ile çelişir. O halde, g '' 0 veya h '' 0 olmalıdır. h '' 0 olursa, h( y) . y c seklinde (4.16) denkleminde yerine yazılırsa, 3 g ''( x) 1 2 2 H 1 g '2 h '2 2 (4.17) elde edilir. Bu denklem çözülürse; g ' p ve g '' p dp dg değişken değiştirmesiyle, 47 1 2 p 3 dp 2 H 1 2 p 2 2 dg 1 p 2 1 2 p dp 2 Hdg 3 2 2 1 2 p2 u 2. p.dp du 1 du 2Hdg 2 3 2 u2 1 du 2 2 u 3 2 2Hdg 1 1 2 u 2 2 Hg c1 2 1 2 1 2 1 2 p 1 2 1 2 2 2 Hg c1 1 2 Hg c1 1 2 p 2 2 bu ifade düzenlenirse, 1 2 2 2Hg c1 2 1 2 p2 1 2 2 p2 2Hg c1 1 2 1 1 2Hg c 2 2 p 2 2 1 2 Hg c1 2 2Hg c1 .dg 1 2 1 2 2Hg c1 2 1 1 2 2 Hg c1 1 2 2Hg c1 2 2 dg dx dx dg dx 48 2.H .g c1 v elde edilir. Türev alınırak 2.H .dg dv dg dv 2.H 1 1 1 2H v 1 v 2 2 dv dx 2 1 2 v2 t 2.v.dv dt 1 1 2 . 1 1 dt . . dx 2.H 2 12 t elde edilir. Tekrar integral alınırsa, 1 2 1 t x c2 4H 1 1 2 2 1 t 2 2H 1 2 x c2 t 4H 2 1 2 x c2 2 1 2 v2 4H 2 1 2 x c2 1 4H 1 x c 2 2 2 2 2 1 1 4H x c v 2 2 2 2 v2 2 2 v 1 2 1 4 H 2 x c2 2 Buradan da v 2Hg c1 2 Hg c1 1 2 1 4 H 2 x c2 g 2 1 2 1 2 1 4 H 2 x c2 c1 . 2.H c1 ve c2 sabitleri yeniden düzenlenirse; g 1 2 1 2 1 4 H 2 x c1 c2 . 2.H 49 elde edilir. Yüzey z g ( x) h( y) şeklinde olduğu için z 1 2 2 1 4 H 2 x c1 c2 y şeklindedir. 2.H a b Şekil 4.2 Öteleme yüzey (a) 3, H 2 ve ( b) 0, H 1 (II) S, E 3 Lorentz uzayında, sabit ortalama eğriliği H 0 olan bir yüzey olsun. z g ( x) h( y) den H için, H g ''( x) 1 h '( y )2 h ''( y ) 1 g '( x) 2 2 1 h '( y) g '( x) 2 (4.18) 3 2 2 ve x g ( y) h( z ) için, H g ''( y ) h '( z ) 2 1 h ''( z ) 1 g '( y ) 2 2 h '( z ) g '( y ) 1 2 2 (4.19) 3 2 şeklindedir. (I).dekine benzer hesaplamalarla z g ( x) h( y) eşitliğinden 1 2 z 2.H 1 4 H 2 x c1 y 2 50 elde edilir. Buda ispatı tamamlar. a b Şekil 4.3 Öteleme yüzey (a) 0, H 1 ve (b) 1 , H 1 2 Şimdi de, g ''( x) 1 2 2 H g '( x) 1 2 3 2 diferensiyel denklemi çözülürse, (I).dekine benzer hesaplamalarla; z g ( x) h( y) eşitliğinden z 1 2 2.H 4 H 2 x c1 1 c 2 y elde edilir. 2 a b Şekil 4.4 Öteleme yüzey (a) 0, H 1 ve 51 (b) 1 ,H 2 2 3 1 ise g ''( x) 2 1 2 H 2 1 g '( x)2 2 diferensiyel denklemi yine I.deki gibi çözülürse, z g ( x) h( y) eşitliğinden z 2 1 1 4 H 2 x c1 c 2 y 2 2.H elde edilir. a b Şekil 4.5 Öteleme yüzey (a) 3, H 2 ve (b) 2, H (4.4) deki yüzey için g '' 0 olduğunda E13 de bir öteleme olarak, g ( y) . y c yazılabilir. (4.18) den, x g ( y) h( z ) için, h ''( z ) 1 2 2H h '( z) 2 2H 2 1 2 3 2 ya da h ''( z ) 1 2 1 h '( z ) 3 2 2 diferensiyel denklemi bulunur. Bu denklemler sırayla çözülürse, 52 1 2 h( z ) 1 2 2.H 4 H 2 z c1 1 c 2 c1 , c2 R 2 (4.19) ve h( z ) 1 2 2.H 4 H 2 z c1 1 c 2 c1 , c2 R 2 (4.20) elde edilir. h '' 0 olduğundan, h( z ) .z olduğunu farz edilirse (4.19) dan, 3 g ''( y) 2 1 2 H 2 1 g '( y) 2 2 (4.21) ve g ''( y) 1 2 H g '( y) 1 2 2 3 2 2 (4.22) denklemlerine ulaşılır. (4.19) un çözümünden; c1 , c2 R, 1 olmak üzere g ( y) 2 1 2.H 1 4 H 2 y c1 c 2 2 spacelike yüzeyi elde edilir. a b Şekil 4.6 Öteleme yüzey (a) 3, H 2 ve (b) 3, H 53 1 2 (4.22) denkleminin çözümünden, g ( y) 2 1 2 4 H 2 y c1 1 c 2 c1 , c2 R, 1 2.H timelike yüzeyi bulunur. a b Şekil 4.7 Öteleme yüzey (a) 2, H 1 ve (b) 3, H 2 g ( y) 1 2 2 1 4 H 2 y c1 c 2 c1 , c2 R, 1 2.H timelike yüzeyi elde edilir. a b Şekil 4.8 Öteleme yüzey (a) 0, H 2 ve (b) 54 1 , H 1 2 olarak elde edilir. Bunlar da Teorem 4.3 nin ispatını tamamlar. Teorem 4.4 (I) S, 3-boyutlu Öklid uzayı E 3 de sıfır ortalama eğrilikli bir öteleme yüzeyi olsun. Bu durum da S, E 3 de aşağıdaki gibi bir yüzey veya bu yüzeyin bir parçası olur. z 1 log cos( x) 1 log cos( y) 0, R (II) S, 3-boyutlu Lorentz uzayı E13 de sıfır ortalama eğrilikli bir öteleme yüzeyi olsun. Bu durumda; (i) Eğer S, spacelike yüzey ise E13 uzayında bulunan aşağıdaki yüzeyin bir spacelike parçasına eşit olur. z x 1 1 log cosh( x) log cos( y) 1 1 log cosh( y) (4.23) log sinh( z) (4.24) (ii)Eğer S, timelike yüzey ise (4.21) ve (4.22) eşitliklerinin timelike kısımlarına ya da aşağıdaki gibi E13 ün bir parçasına eşit olur. z z z 1 1 1 log sinh( x) log cosh( x) log sinh( x) 1 1 1 log cosh( y) (4.25) log sinh( y) (4.26) log sinh( y) (4.27) ya da, 55 x 1 log cosh( y) 1 log cosh( z ) (4.28) (Liu, 1999). İspat: (1) 3-boyutlu E 3 Öklid uzayında sıfır ortalama eğrilikli S yüzeyini ele alalım. z g ( x) h( y) olsun. H g ''( x) 1 h '( y ) 2 h ''( y ) 1 g '( x) 2 2 1 g '( y ) h '( z ) 2 3 2 2 0 alınırsa g ''( x) 1 h '( y)2 h ''( y) 1 g '( x) 2 0 g ''( x) 1 h '( y)2 h ''( y) 1 g '( x) 2 olur. Her iki tarafı 1 h '( y)2 1 g '( x)2 ile bölünürse; g ''( x) 1 h '( y )2 h ''( y ) 1 g '( x)2 1 h '( y) 1 g '( x) 1 h '( y) 1 g '( x) 2 2 2 2 den g ''( x) h ''( y ) 2 1 g '( x) 1 h '( y) 2 elde edilir. Bu ifade sabitine eşitlenerek çözülürse; z g ( x) h( y) olduğundan, z 1 log cos( x) 1 log cos( y) olarak bulunur. Buda ispatı tamamlar. (2) 3-boyutlu E13 Lorentz uzayında sıfır ortalama eğrilikli S yüzeyini ele alınırsa: (i) S spacelike olsun. E.G F 2 0 (a) z g ( x) h( y) 56 ve (b) x g ( y) h( z ) olsun. Bu durum da z g ( x) h( y) den H g ''( x) 1 h '( y ) 2 h ''( y ) 1 g '( x) 2 2 1 g '( x) h '( y ) 2 3 2 2 , (4.29) , (4.30) ve x g ( y) h( z ) H g ''( y ) h '( z ) 2 1 h ''( z ) 1 g '( y ) 2 2 h '( z ) g '( y ) 1 2 2 3 2 dir. (4.14) da H 0 için g ''( x) 1 h '( y)2 h ''( y) 1 g '( x)2 0 g ''( x) 1 h '( y)2 h ''( y) 1 g '( x) 2 g ''( x) h ''( y) . 2 1 g '( x) 1 h '( y) 2 olur. İlk olarak g ''( x) 1 g '( x) 2 denklemi ele alınırsa, g' p dg dx g '' p ' dp dx değişken değiştirmesiyle dp dx 1 p2 1 dp .dx olur. 1 p2 Buradan integral alınırsa, 1 1 p 2 .dp .dx 57 1 1 1 dp dx 2 1 p 1 p 1 1 1 p 1 p dp 2 .dx ln 1 p ln 1 p 2 x ln c1 1 p ln 2 x ln c1 1 p 1 p c1e2 x 1 p 1 p c1e2 x 1 p 1 p c1e2 x c1e2 x p p 1 c1e2 x c1e2 x 1 p c1e2 x 1 1 c1e2 x p g' c1e2 x 1 c1e2 x 1 dg c1e2 x 1 dx c1e2 x 1 g c1e2 x 1 dx c1e2 x 1 c1 1 g e2 x 1 dx e2 x 1 g tanh( x)dx g ( x) 1 sinh( x) .dx cosh( x) log cosh( x) elde edilir. Benzer şekilde, h ''( y) 1 h '( y) 2 denklemi çözülürse, 58 h( y ) 1 log cosh( y) bulunur. z g ( x) h( y) olduğundan, z 1 log cosh( x) 1 log cosh( y) yüzeyi elde edilir. a b Şekil 4.9 Minimal yüzey (a) (b) x g ( y) h( z ) H g ''(y) h '(z)2 1 h ''( y ) 1 g '(y) 2 2 h '(z) g '(y) 1 2 2 3 2 0 den, g ''( y). h '( z )2 1 h ''( z ). 1 g '( y) 2 0 g ''( y). h '( z )2 1 h ''( z ). 1 g '( y) 2 g ''( y) h ''( z ) 2 1 g '( y) h '( y) 2 1 eşitliği çözülürse öncelikle g ''( y ) 1 g '( y )2 denklemi ele alınırsa ve 59 1 ve (b) 4 2 dg dx g' p g '' p ' dp dx değişken değiştirmesi yapılırsa dp dy 1 p2 1 dp dy 1 p2 olur. Buradan integral alınırsa 1 1 p dp dy 2 arctan( p) y c1 p tan( y c1 ) dg tan( y c1 ) dy g' p dg tan( y c1 )dy elde edilir. Tekrar iki tarafın integralı alınırsa, g ( y) g ( y) 1 sin( y c1 ) dy cos( y c1 ) log cos( y c1 ) c1 0 g ( y) 1 log cos( y) bulunur. Benzer şekilde, h ''( z ) h '( y) 2 1 denklemi ele alınırsa h' p dh dz h '' p ' dp dz 60 alınarak, dp dz p2 1 1 dp .dz p 1 2 elde edilir. Tekrar integral alınırsa, p 1 dp dz 1 2 1 1 1 dp dz 2 1 p 1 p 1 1 p 1 1 p dp 2 dz ln p 1 ln p 1 2 z ln c1 p 1 ln 2 z ln c1 p 1 p 1 c1e2 z p 1 p 1 c1e2 z p 1 p 1 c1e2 z p c1e2 z p 1 c1e2 z c1e2 z 1 p 1 c1e2 z 1 c1e2 z 1 c1e2 z p h' 1 c1e2 z dh 1 c1e2 z dz 1 c1e2 z h 1 c1e2 z dz 1 c1e2 z c1 1 h 1 e2 z dz 1 e2 z 61 h coth( z )dz h( z ) 1 cosh( z ) dz sinh( z ) log sinh( z ) bulunur. Böylece, x g ( y) h( z ) için, x 1 log cos( y) 1 log sinh( z) . yüzeyi elde edilir. a b Şekil 4.10 Minimal yüzey (a) 2 ve (b) (ii) S bir timelike yüzey olsun. E.G F 2 0 z g ( x) h( y) için, H g ''( x) 1 h '( y ) 2 h ''( y ) 1 g '( x) 2 2 1 g '( x) 2 h '( y ) 2 3 2 dir. H 0 için, g ''( x) 1 h '( y)2 h ''( y) 1 g '( x)2 0 g ''( x) 1 h '( y)2 h ''( y) 1 g '( x) 2 62 1 50 g ''( x) h ''( y ) 2 1 g '( y) 1 h '( y)2 elde edilir. Timelike olması yani, 1 g '( x)2 h '( y)2 0 olması durumu incelememiz için bakmamız gereken dört farklı durum vardır. 1.Durum g '( x) 1 ve h '( y) 1 ise g ''( x) h ''( y ) 2 1 g '( x) 1 h '( y)2 denkleminin çözümünden, g ( x) 1 log cosh( x) . ve h( y ) 1 log cosh( y) . olur. Buradan z g ( x) h( y) 1 log cosh( x) 1 log cosh( y) . elde edilir. 2.Durum g '( x) 1 ve h '( y) 1 ise g ''( x) h ''( y ) 2 1 g '( x) h '( y)2 1 denkleminin çözümünden, g ( x) 1 log cosh( x) . ve h( y ) 1 log sinh( y) . olup z g ( x) h( y) 1 log cosh( x) 1 log sinh( y) . 63 yüzeyi elde edilir. a b Şekil 4.11 Minimal yüzey (a) 2 ve (b) 1 50 Bu yüzey 2.Çesit Scherk Yüzeyiolarak adlandırılmıştır(Woestjne,W.D.I.,1990). 3.Durum g '( x) 1 ve h '( y) 1 ise g ''( x) h ''( y ) g '( x)2 1 1 h '( y)2 denkleminin çözümünden, g ( x) h( y ) 1 1 log sinh( x) . .log cosh(. y) . dır. O halde z g ( x ) h( y ) 1 log sinh( x) 1 log cosh( y) . yüzeyi elde edilir. 64 a b Şekil 4.12 Minimal yüzey (a) 2 ve (b) 1 20 Bu yüzey 3.Çesit Scherk Yüzeyi olarak adlandırılır(Woestjne,W.D.I.,1990). 4.Durum g '( x) 1 ve h '( y) 1 ise g ''( x) h ''( y ) 2 g '( x) 1 h '( y)2 1 denkleminin çözümünden, g ( x) h( y ) 1 1 log sinh( x) . log sinh( y) . bulunur. Buradan z g ( x ) h( y ) 1 log sinh( x) 1 log sinh( y) . yüzeyi elde edilir. 65 a b Şekil 4.13 Minimal yüzey (a) 1 ve (b) 1 30 x g ( y) h( z ) için, H g ''( y ) h '( z ) 2 1 h ''( z ) 1 g '( y ) 2 3 2 h '( z )2 g '( y )2 1 2 olur. H 0 için, g ''( y) h '( z )2 1 h ''( z ) 1 g '( y) 2 0 g ''( y) h '( z )2 1 h ''( z ) 1 g '( y) 2 g ''( y ) h ''( z ) 2 1 g '( y) h '( z)2 1 elde edilir. Burada da h '( z )2 nin 1 den küçük ve 1 den büyük olması durumları vardır. (a) h '( z )2 1 ise g ''( y ) h ''( z ) 2 1 g '( y) h '( z)2 1 denkleminin çözümünden, 1 g ( y) log cos( y) . ve 66 1 h( z ) log cosh( z ) . olur. Dolayısıyla 1 1 x g ( y) h(z) log cosh( y) log cosh( z ) . yüzeyi elde edilir. a b Şekil 4.14 Minimal yüzey (a) 1 ve (b) 1 30 Bu yüzey 2.Çesit Scherk Yüzeyi olarak adlandırılır(Woestjne,W.D.I.,1990). (b) h '( z )2 1 ise g ''( y ) h ''( z ) 2 1 g '( y) h '( z)2 1 denkleminin çözümünden, g ( y) h( z ) 1 1 log cos( y ) . log sinh( z ) . olup, x g ( y) h(z) 1 log cos( y) 1 log sinh( z ) . yüzeyi elde edilir 67 a b Şekil 4.15 Minimal yüzey (a) 1 ve (b) 1 30 Bu da Teorem 4. 4' ün ispatını tamamlar. E13 Minkowski uzayında spacelike, timelike ve ligthlike doğrultulara göre öteleme yüzeyleri altı çeşit olarak göz önüne alınabilir. 1.Çeşit spacelike doğrultu boyunca ve spacelike doğrultuda, 2.Çeşit spacelike doğrultu boyunca ve timelike doğrultuda, 3.Çeşit ligthlike doğrultu boyunca ve ligthlike doğrultuda, 4.Çeşit ligthlike doğrultu boyunca ve spacelike doğrultuda, 5.Çeşit timelike doğrultu boyunca ve ligthlike doğrultuda, 6.Çeşit timelike doğrultu boyunca ve timelike doğrultuda, 5. ve 6. Çeşit öteleme yüzeyi S (u, v) 1 (u, v), 2 (u, v), 3 (u, v) g (u v) h(v), u, v i) 1 yüzey 5.çeşittir. ii) 1 yüzey 6.çeşittir. u (u, v) (u, v) , v u v olmak üzere, S ’nin 1.temel formu I E.du 2 2.F.du.dv G.dv2 68 E u , u gu 2 1 F u , v gu (.gv hv ) G v , v (.gu hv )2 1 şeklinde ifade edilir. E13 de spacelike ve timelike yüzey için sırasıyla E.G F 2 0 ve E.G F 2 0 Olmak üzere S yüzeyinin II. temel formunun katsayıları guu L gv hv g v2 1 2 guv M gv hv 2 gv2 1 2 gvv N gv hv 2 gv2 1 olmak üzere, II L.du 2 2.M .du.dv N.dv2 şeklindedir. Bu durumda S yüzeyinin Gauss ve Ortalama eğrilikleri K H guu 2 gvv hvv 2 guv2 (4.31) gv hv gu2 1 gv hv gu2 1 g 2 2 u 2 1 2 gvv hvv 2 gu guu g v hv guu g v hv 1 2 gv hv g 1 2 2 u gv hv şeklindedir. 69 2 2 g 1 2 u (4.32) Sonuç: y u .v ve z v dönüşümü ile ( y, z ) 0 u, v ve (4.31) ve (4.32) den ve 1 olmak üzere K H g yy hzz 2 g y hz g y2 1 2 2 hzz g y2 1 g yy 4 1 hz2 2 g y hz g 1 2 2 2 y 3 2 şeklindedir. Teorem 4.5 S , E13 de 6.çeşit öteleme yüzeyi olsun. Bu taktirde eğer S minimal ise S bir düzleme özdeştir ya da g ve h fonksiyonları c1 , c2 , c sabit ve c 0 olmak üzere g 1 log sec c u .v c1 c2 c Şekil 4.16 Minimal yüzey c 4 ve 1 70 1 h log sec c c 2 1 v c1 c2 Şekil 4.17 Minimal yüzey c 4 ve 2 şeklindedir(Yuan ve Lıu, 2011). Teorem 4. 6 S 6. çeşit öteleme yüzeyi ve H 0 ise bu taktirde; (i) S spacelike ise aşağıdaki yüzeylerin birine ya da bunların açık bir parçasına denktir. (a) c (u, v) olmak üzere 1 c2 2H 4 H 2u 2 1 2cv c u v (b) (u, v) c2 4 1 2H 4 1 4.H 2 2cu 4 3 1 2 u 1 cv 4 1 4 1 4 1 şeklindedir. 71 (ii) S timelike ise aşağıdaki yüzeylerin birine ya da bunların açık bir parçasına denktir. (c) 1 c2 (u, v) 2H 4 H 2u 2 1 2cv c u v (d) (u, v) c2 4 1 2H 4 1 4H 2 2cu 4 3 1 2 u 1 4 1 4 1 cv 4 1 şeklindedir(Yuan ve Lıu, 2011). Teorem 4.7 K 0 ise 5. ve 6. Çeşit öteleme yüzeyi yoktur(Yuan ve Lıu, 2011). Teorem 4.8 u, v g u v h(u), u, v bir öteleme yüzeyi olsun. Bu yüzey 5. Çeşit minimal yüzeydir c1 , c2 , c sabit ve c 0 olmak üzere yüzey bir düzlemdir, h ve g fonksiyonu 1 g log sec c u .v c1 c2 c Şekil 4.18 Minimal yüzey c 4 ve 1 72 1 h log cv c1 c2 c Şekil 4.19 Minimal yüzey c 4 şeklindedir(Yuan ve Lıu, 2011). 73 BÖLÜM V SONUÇLAR 1995 yılında Johan Walrave doktora tezinde 3 ve 4 boyutlu Minkowski uzayında eğriler ve yüzeyleri incelemiş ve bir sınıflama yapmıştır. Bu çalışmada ise eğriler ve yüzey eğrileri üzerine kurulan Frenet çatıları verilmiş ve 3 boyutlu Minkowski uzayında minimal ve öteleme yüzeyleri incelenmiştir. 74 KAYNAKLAR Walrave, J., Curves and Surfaces in Minkowski Space, Doktora Tezi, K.U.Leuven Üniversitesi, Faculteit Der Wetenschappen, 1995. Bonner, W.B.,Null Curves in a Minkowski Spacetime,Tensör, 1969. O’Neill, B., Semi-Riemannian Geometry, Academic Pres, New-York, 1983. Hacısalihoğlu, H.H., Diferensiyel Geometri, Cilt I, Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi Yayınları, 1993. Hacısalihoğlu, H.H., Diferensiyel Geometri, Cilt II, Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi Yayınları, 2000. Woestijne, V.I.D., Minimal Surfaces of the 3-dimentional Minkowski space, World Scientific Publishing, Singapore, 1990. Liu, H.L., Translation surfaces with dependent Gauss and mean curvature in 3-space J.Northeast Üviversty Tech, 14, 88-93., 1993. Verstraelen, L. Walrave, J.and Yaprak, Ş., The minimal translation surfacesin Euclidean space, Soochow Journal of Mathematics, 20, 77-82., 1994. Liu, H.L., Translation surfaces with constant mean curvature in 3-space J.Geom, 64, 141-149., 1999. Dede, M., 3-boyutlu Minkowski uzayında Minimal Regle yüzeyler, Yüksek Lisans Tezi, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Eskişehir, 2006. Aksoy, Ö., Öteleme Yüzeyleri Üzerine, Ankara Üniversitesi, Yüksek Lisans Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 2005. 75 Meeks, W. H.andPerez J., The classical theory of minimal surfaces, 2011, Preprint,available,at http://www.ugr.es/local/jperez/papers/papers.html Yuan, Y and Lıu, H.L., Some Translation Surfaces in 3-Mminkowski Space, Journal of Matematical Resarch Exposition., Vol. 31, 1123-1128, 2011. 76 ÖZ GEÇMİŞ Veysi ÇİÇEK, 01.05.1986 tarihinde Hizan/Bitlis’de doğdu. İlköğretim ve lise öğretimini Mersin’de tamamladı. 2006 yılında girdiği Niğde Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünden Ağustos 2010’da mezun oldu ve aynı yıl Niğde Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Bölümünde yüksek lisans öğrenimine başladı. 77