piezo elektrik malzemelerin bünye denklemleri
Transkript
piezo elektrik malzemelerin bünye denklemleri
PİEZOELEKTRİK MALZEMELERİN BÜNYE DENKLEMLERİ SEMİH DOĞRUKOL Yüksek Lisans Tezi MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALI ISPARTA 2002 T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ PİEZOELEKTRİK MALZEMELERİN BÜNYE DENKLEMLERİ SEMİH DOĞRUKOL YÜKSEK LİSANS TEZİ MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALI ISPARTA, 2002 Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğüne Bu çalışma jürimiz tarafından MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALI’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Başkan : ............................................................. Üye : ............................................................. Üye : ............................................................. ONAY Bu tez ..../....../ 2002 tarihinde Enstitü Yönetim Kurulunca belirlenen yukarıdaki jüri üyeleri tarafından kabul edilmiştir. ...../....../ 2002 S.D.Ü. FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRÜ Adı Soyadı : Prof. Dr. Orhan AYDEMİR İmza : i İÇİNDEKİLER Sayfa İÇİNDEKİLER..................................................................................................... ÖZET.................................................................................................................... ABSTRACT......................................................................................................... ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR...................................................................................... SİMGELER DİZİNİ............................................................................................. ŞEKİLLER DİZİNİ.............................................................................................. ÇİZELGELER DİZİNİ......................................................................................... 1. GİRİŞ................................................................................................................ 1.1. Piezoelektrik ve Piroelektrik......................................................................... 1.1.1. Elektriksel, mekanik ve termal sistemler arası etkileşim prosesleri........... 1.2. Elektromekanik Etkileşim ve Piezoelektrik İlişkilerin Termodinamik Yönleri........................................................................................................... 1.2.1 Lineer bağlı bir sistemde yapısal ilişki ve bağlama katsayısının genel tanımı.......................................................................................................... 1.2.2. Fiziksel büyüklüklerin tansörel açıklaması................................................ 1.2.3. Bağlı sistemdeki fiziksel sabitler................................................................ 1.2.4. Bağlı sistemdeki termodinamik fonksiyonlar............................................. 1.2.4.1. Yapısal ilişkinin termodinamik türetimi.................................................. 1.2.4.2. Farklı durumlar için fiziksel sabitler arasındaki ilişki............................. 1.2.5. Temel piezoelektrik ilişkiler....................................................................... 1.2.5.1. (S,P) tipi ilişki.......................................................................................... 1.2.5.2. Çeşitli bağımsız değişken kümeleri için temel ilişkiler........................... 1.2.6. Elektromekanik bağlantı katsayısı.............................................................. 1.2.6.1. Bağlantı katsayısı tanımları..................................................................... 1.2.6.2. Bağlantı katsayısı ve enerji iletim katsayısı............................................ 1.2.7. Elastik sabitlerde depolarize alan etkisi...................................................... 1.2.8. Daha yüksek dereceli elektromekaniksel etkileşimler................................ 1.2.8.1. Elektrostriksiyon...................................................................................... 1.2.8.2. Diğer nonlineer efektler........................................................................... 1.3. Kristal Simetri ve Fiziksel Sabitler................................................................ 1.3.1. Kristollagrafik eksenler ve dörtgensel koordinatlar................................... 1.3.2. Kristollagrafik nokta grupları ve limitleme grupları.................................. 1.3.3. Fiziksel özelliklerin simetrisi...................................................................... 1.3.4. Tansör index kısaltmaları........................................................................... 1.3.5. Tansörlerin geometrik simetrisi.................................................................. 1.3.6. Kristal oryantasyon ve piezoelektrik işaret................................................ 1.3.6.1. Kristal kesim dizaynı............................................................................... 1.3.6.2. Piezoelektrik işaret.................................................................................. 2. KAYNAK BİLGİSİ.......................................................................................... 3. MATERYAL ve METOD................................................................................ 3.1. Materyal......................................................................................................... 3.1.1. Elektromagnetizma..................................................................................... i iii iv v vi viii ix 1 7 10 11 12 15 18 21 21 25 26 26 28 31 31 36 41 47 47 48 49 49 51 53 55 58 61 61 64 65 69 69 69 ii 3.1.2. Enerji balansı.............................................................................................. 3.2. Metod............................................................................................................. 3.2.1. Bünye bağıntıları........................................................................................ 3.2.2. Piezoelektrik diferansiyel denklemler........................................................ 3.2.3. Yeni notasyonda piezoelektrik denklemler ve bağıntılar........................... 4. BULGULAR.................................................................................................... 5. SONUÇLAR..................................................................................................... 6. KAYNAKLAR................................................................................................. ÖZGEÇMİŞ.......................................................................................................... 75 81 81 84 86 94 105 107 110 iii ÖZET Son zamanlarda ve özellikle de günümüzde, mekanik ve malzeme bilimindeki ilerlemeler ve eşzamanlı olarak ortaya çıkan dizayn ve imalat teknolojilerindeki gelişmeler çok sayıda yeni ve ileri derecede mühendislik malzemesi üretti. Bu fonksiyonel malzemeler, mekanik, elektrik, magnetik alan veya ısınma gibi bir dış fiziksel olayın etkisinde kaldığı zaman şeklini ve maddesel özelliklerini değiştirme konusunda farklı özellikler ve kapasiteler sergiler. Akıllı bir malzeme kendi içerisindeki ve çevresindeki değişikliklere reaksiyon gösterebilen verilen bir görevi tüm kullanım süresi boyunca optimum şekilde yerine getirebilen malzemedir. En çok bilinen akıllı malzemeler piezolektrik ve magnetostriktif malzemeler, şekil hafızalı alaşımlar, elektro ve magneto reolojik akışkanlar ve polimer hidrojeller olarak sınıflandırılabilir. Akıllı maddesel sistemler ve fonksiyonel malzemeler yaygın bir şekilde yeni teknolojik alanlarda kullanılmaktadır. Bu teknolojik alanlar; genel ve yapısal alanda insan sağlığını takip eden tıbbi cihazlar, akıllı imalat sistemleri, aktif çatlak kontrolü, titreşim ve deformasyon kontrolü, sensör-uyarıcı sistemler için çok fonksiyonlu malzeme geliştirme, astronot ve havacılık uygulamaları, biyoteknoloji, esnek yapı teknolojileri, mikro elektromekanik sistemler, nano teknoloji, cerrahi cihazlar ve bilgisayar destekli cerrahi operasyonlar, iklimlendirme, gürültü kontrolü, sonar cihazlar, hidrofonlar, infrared dedektörler, savaş alanında askerlerin yaşam belirtilerini algılayabilen monitör ve cihazlar. Bu çalışma, modern algılama ve uyarma uygulamaları için gittikçe önem kazanan piezolektrik malzemelerin yapısal davranışları ile ilgili bir incelemedir. Önce bu malzemelerin temel özellikleri bağımsız bir değişkenler cümlesi ve değişik sabitler cinsinden ele alınmıştır. Daha sonra lineer olarak bağlantılı bir sistemde bünye bağıntısı ve kapling katsayısı termodinamik şartlar ve fenomolojik yaklaşımlar çerçevesinde belirlenmiştir. Çalışmanın devamında, fiziksel özelliklere ait simetriler, tansör index kısaltmaları ve tansörlerin geometrik simetrileri açıklanmıştır. Elektromagnetizmanın temel denklemleri, enerji balansı ve piezoelektrik malzemenin diferansiyel denklemleri yeni bir notasyonla açıklanmış gerektiğinde bu denklemlere ait matris formlara da yer verilmiştir. Son olarak teorinin uygulanabilirliğini göstermek amacıyla sonlu elemanlar metodunu (ANSYS 5.7 programı ile) kullanarak bir piezoelektrik malzeme olan PZT4 için yer değiştirme gerilme ve potansiyel farkı dağılımları elde edilmiştir. Kısa devre rezonans durumu ve açık devre anti-rezonans durumu için doğal frekans modları belirlenmiştir. Anahtar Kelimeler: Akıllı malzemeler, Birleşme katsayısı, Bünye bağıntısı, Doğal frekans, Piezolektrik malzemeler,Sonlu elemanlar metodu. iv ABSTRACT In recent years and specially in our days, progress in mechanical and material scienses simultaneously developments in design and manufacturing technologies have produced a number of new advanced engineering materials. These functional materials also called smart or intelligent materials because these non-traditional materials offer the distinct features and capacity of changing shape or material properties when loaded to an external pyhsical phenomenon, such as mechanic, electric, magnetic field or heating. An intelligent material is a material which is able to react to changes within it self and its environment and perform a given task to an optimum degree over its entire lifetime. The wel-known intelligent materials are piezoelectric and magnetostrictive materials, shape memory alloys, electro and magneto rheological fluids and polymer hidrogels. Intelligent materials system and functional materials have been used extensively in the new technologies such as: structural helth monitoring, smart manufacturing, active fracture control, vibration and deformation control, multifunctional material development, for sensory actuators, astronautical and aeronautical applications, biotechnology, flexible manufacturing, micro electronic machine systems, nanofabrication, surgical instruments, computer asisted surgery operations, to control climate, noise attenuation, sonar arrays, hydrophones, infrared dedectors, to monitör vital signs for soldiers on the battlefield. The study deals with the constitutive modeling og piezoelectric materials which are of gaining importance for modern sensing and actuation applications. First the basic properties of these material will be discussed in terms of their various independent variable sets and various constant. Then contitutive relation and cupling coefficient in a linearly coupled system is looked at, considering thermodynamic considerations and phenomemological approchs. Next, symmetry of pysical properties, tensor index abbreviations and geometrical symmetry of tensors have been explained. Basic equations of electromagnetism, energy balance and differential equations of piezolectricity are demonstrated by using a new notation and required matrix formz finally, to demonstrate the applicability of the theory, numerical calcultions by finite element method (using ANSYS 5.7) are performed to give the displacement, stresses, potential ditrubitions etc., for piezoelectric material PZT4. The first two coupled mode natural frequencies for the shor circuit (resonance) case and open circuit (antiresonance) case have been determined. Key Words: Coupling coefficent, Constitutive relation, Finite element method, Functional materials, Naturel frequency, Piezolectric materials, Smart or Intelligent materials, Stress. v ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR Son yıllarda dünya endüstrisinde hızla yaygınlaşarak kullanılan akıllı malzemeler gelecekteki yaşamda bugün kullanılan bir çok malzemenin yerini alacaktır. Bunlar özellikle şekil hafızalı alaşımlar, polimer hidrojeller, magnetostriktif materyaller, elektro ve magneto reolojik akışkanlar, piezoelektrik malzemeler olarak sıralanabilir. Özellikle piezoelektrik malzemeler, kompozit malzemelerin ve yapıların deformasyon , titreşim ve hasar mekanizmalarını kontrol etmek için kullanılan zeki maddesel sistemlerde önemli bir unsurdur. Piezoelektrik malzemeler günümüzde otomotiv teknolojisinde, biyoteknolojide, uzay teknolojisinde ve savunma teknolojisinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Ülkemizde ise; piezoelektrik malzemeler konusunda yeterli sayıda çalışma yapılamamıştır. Bunun en önemli nedeni, konu ile ilgili özellikle Türkçe kaynak bulunamamasıdır. Bu çalışmanın piezoelektrik konusunda çalışma yapacak olan araştırmacılara az da olsa yardımcı olmasını dilerim. Böyle bir konuda çalışmamı öneren ve çalışmamın her safhasında çeşitli kaynak, bilgi ve teşvikleri ile yardımlarını esirgemeyen kıymetli danışman hocam Yrd.Doç Dr. M.Reşir USAL’ a şükranlarımı sunarım. Bugünlere gelmemde desteğini esirgemeyen eşime ve mesai arkadaşlarıma teşekkürlerimle. vi SİMGELER (KISALTMALAR) DİZİNİ CE Katılık katsayısı E Piezoelektrik sabit k Kapling katsayısı β,ε Dielektrik sabit λ Enerji transmisyon katsayısı εijk Rotasyon tansörü C Özgül ısı S Gerinme T Gerilme σ Entropi Θ Sıcaklık p Yoğunluk c Elastik katılık sabiti s Elastik uygunluk sabiti E Elektrik alan D Elektrik akı yoğunluğu U İç enerji T Piroelektrik katsayı E P Ters piroelektrik katsayı H Entalpi P Polarizasyon Uelas Elastik enerji Uint Etkileşim enerjisi Uelec Elektrik enerjisi α Sıcaklık genişleme katsayısı βθ İzoterminol sıkıştırılabilirlik T Basınç µ Lame katsayısı δ Entalpi P vii [a ij] Dönüşüm matrisi W Enerji, iş F Kuvvet V Voltaj I Elektrik akımı CKL , CKL-1 Green ve Piola deformasyon tansörleri ckl , ckl-1 Cauchy ve Finger deformasyon tansörleri G Gibbs serbest enerjisi δα Adyabatik Sabit δβ İzoterm sabit ∇ Gradyan operatörü X K , x k (K, k = 1, 2, 3) Maddesel ve uzaysal koordinatlar η Birim kütle başına entropi yoğunluğu εK LM , εklm Maddesel ve uzaysal koordinatlarda permütasyon tansörleri Ikl İkinci dereceden birim tansör bileşenleri viii ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 1.1. Elektrik mekanik ve termal sistemler arasındaki etkileşimler.............. Şekil 1.2. Baskı altındaki piezoelektrik gövde de depolarize alan etkisi.............. Şekil 1.3. Elektromekanik eşleşme sabitinin baskı-gerilme döngüsünün tanımı. Şekil 1.4. Kristollagrafik eksenlere göre dörtgensel kooordinat sistemi.............. Şekil 1.5. Sınırlama gruplarının simetrisini gösteren katılar................................ Şekil 1.6. GT- kristal kesimi................................................................................. Şekil 1.7. Kristaldeki dikdörtgensel koordinat sistemi......................................... Şekil 4.1. Geometrik boyutlar............................................................................... Şekil 4.2. Kirişin mesh yapılmış hali.................................................................... Şekil 4.3. Serbetlik derecelerinin kaldırılması ve yükün uygulanması................. Şekil 4.4. Toplam deformasyonlar........................................................................ Şekil 4.5. Toplam potansiyel fark......................................................................... Şekil 4.6. Toplam elektrik akı yoğunluğu............................................................. Şekil 4.7. Elektrik potansiyel değişiminin farklı açılardan ifadesi....................... Şekil 4.8. Elektrik akı yoğunluğunun değişik tarzda görüntüleri......................... Şekil 4.9. Elektrik alandaki değişim..................................................................... Şekil 4.10. Gerilme dağılımı................................................................................. Şekil 4.11. Gerinme dağılımı................................................................................ Şekil 4.12. 10. moda ait toplam deformasyonlar.................................................. Şekil 4.13. Potansiyel farkının değişimi............................................................... Şekil 4.14. Toplam yer değiştirme (anti-rezonans)............................................... Şekil 4.15. Elektrik potansiyel dağılımı................................................................ 11 44 46 50 52 62 63 95 95 96 97 97 98 98 99 99 100 100 102 102 103 104 ix ÇİZELGELER DİZİNİ Sayfa Çizelge 1.1. Temel pizoelektrik ilişki tipleri........................................................ Çizelge 1.2. Çeşitli sabitler arasındaki ilişki......................................................... Çizelge 1.3. Kristallerin simetrisi sınırlama grupları............................................ Çizelge 1.4. Sınırlama grupları............................................................................. Çizelge 1.5. 1.Rank polar tensörlerin simetrisi..................................................... Çizelge 1.6. 2.Rank polar tensörlerin simetrisi..................................................... Çizelge 1.7. 3.Rank polar tensörlerin simetrisi..................................................... 29 31 51 53 59 60 60 1 1. GİRİŞ Son on yıl içerisinde malzeme bilimindeki gelişmeler kaliteyi ve güvenilirliği arttıran, maliyeti azaltan çok sayıda yeni ve ileri düzeyde malzemeler üretti. İleri malzeme teknolojisinin etkileri malzeme seçimi ve modellemesi ile uğraşan dizayn mühendislerinin de bakış açısını değiştirdi. Dizayn proseslerini yoğun bir şekilde etkileyen yeni bir malzeme sınıfı ortaya çıktı ve fonksiyonel malzemeler olarak adlandırıldı. Bu malzemeler, elektrik alan, magnetik alan veya ısınma gibi belirli fiziksel olayların etkisinde kaldıkları zaman şeklini ve maddesel özelliklerini değiştirme konusunda benzersiz ve olağan üstü kapasitelere sahiptir. Şekil hafızalı alaşımlar ve plastikler, magnetostriktif ve piezoelektrik malzemeler ve elektroreolojik akışkanlar fonksiyonel malzemelerin tipik örneklerini oluşturur. Aynı zamanda, akıllı veya zeki malzemeler (intelligent or smart materials) şeklinde de adlandırılan fonksiyonel malzemeler bir dizayn mühendisi için çok geniş kapsamlı teknolojik fırsatların oluşturulabileceği ortamlar teşkil eder. Sensörler, optik fiberler ve sinir ağları ile birlikte küçük tetikleyicilerden oluşmuş bir mekanizma fiziksel şartları incelenen yapının kendine has özelliklerini çok rahat takip edebilir (Tani ve Takogi 1998). Çok sayıda uygulamalar için büyük potansiyellerin varlığı literatürde özetlenirken bu fırsatlardan bazıları günümüzde oldukça başarılı bir şekilde insanlığın hizmetinde kullanılmaktadır. Fonksiyonel malzemelerin en çarpıcı özelliği kuvvet ve konum kontrolünde çok basit ve anlaşılır düzeyde kullanım kolaylığı göstermeleridir (Burman, 2000). Genellikle uygulanan etki tersinirdir yani malzeme üzerindeki fiziksel etki kaldırıldığında malzeme orijinal durumuna dönecektir. Konvensiyonel mühendislik malzemeleri genellikle destekleme, katılık sağlama, bağlama v.b. gibi pasif yapısal fonksiyonlar üretme yeteneğine sahiptir. Başarılı bir şekilde standardize edilmiş malzeme özelliklerini dikkate alarak konvensiyonel mühendislik malzemelerinin seçimi az veya çok alışılmış ve bilinen bir prosedür çerçevesinde gerçekleştirilir. Diğer taraftan, fonksiyonel bir malzeme seçiminde dizayn mühendisi oldukça kompleks problemlerle karşı karşıya gelir. Pasif fonksiyonlara ilave olarak şeklini ve maddesel özelliklerini değiştirme gibi aktif fonksiyonlar da üreten bu malzemeler bir mekanik bileşenler topluğunun üstleneceği 2 görevleri de yapabilmelidir (Wang, 1992). Fonksiyonel malzemenin dizayncı tarafından önerilen fonksiyonlara katkıda bulunup bulunamayacağını araştırmak için gerekli olan malzeme özelliklerini belirleyecek olan kavramsal dizayn fazına (aşamasına) önemli kaynaklar ayrılmalıdır. Aktif fonksiyonu yerine getirecek yetenekleri tanımlayan malzeme özellikleri lineer değildir ve genellikle de zamana bağlıdır (Daros ve Antes, 1999). Sonuç olarak, standardize hale getirilmiş malzeme özellikleri ile birlikte fonksiyonel malzemelerin kullanılma ihtimali zayıftır, ve gerçek dizayn problemi ile ilgili bilgi azdır, bazı durumlarda güvenilmez durumdadır. Bu yüzden bir kavramın çalışma ilkesini tanımlamak ve doğrulamak için dizayn mühendisine gerekli olan bilgi günümüzde neredeyse yalnızca deneysel araştırmalarla sağlanabilmektedir. Bu kompleks seçim prosesinin bir sonucu olarak fonksiyonel malzemeleri kullanan bir çok dizayn projesi kavramsal dizayn aşamasından öteye geçememektedir. Dizayn metodolojisi çerçevesinde önemli araştırma aktiviteleri mühendislik dizayn proseslerinin alışılagelmiş modellerini elde etmek veya dizayn prosesinde kısalık sağlamak için çok fazla sayıda teşebbüsleri gerçekleştirmişlerdir. Sıkı kurallar koyan dizayn prosedürü modellerinin geliştirilmesindeki asıl amaç teklif edilen metotla dizayn problemine nasıl yaklaşılacağına, ne kadar etkili olunacağına ve en iyi sonuçların nasıl elde edileceğine ait bir teori geliştirmektir. Böyle bir modele dayanarak dizayn prosedürünün yani dizayn fazının ana amaçlarını belirlemek ve eğer gerekiyorsa, dizayn metotlarını ve dizayn tekniklerini geliştirmek için bu fazları temel aktivitelere ayrıştırmak mümkündür. Belirli bir dizayn görevine adapte olunduğu zaman, dizayn prosedürü modelleri dizayncının neyi ne zaman yapacağını planlamasına yardımcı olmakla kalmaz aynı zamanda dizayn işlemini nasıl gerçekleştirmesi konusunda da rehberlik eder. Açıkça söylemek gerekirse dizayn prosedürü modelleri dizayncının verilen görevi nasıl gerçekleştireceğini belirleyen esnek, subjektif ve kesinleşmemiş bir tabloyu dizayn mühendisinin görüşlerine sunar. Nitekim bu modeller ana iskeletin oluşturulmasına ve dizayn prosesine mükemmel bir temel yaklaşım ve öngörü sunduğu için, 3 mühendislik dizaynında fonksiyonel malzemelerin karmaşası ortaya çıktığı zaman çok daha fazla önem arz etmektedir. Modelin kendi kalitesinden başka bu dizayn prosedürü modelleri, ürünün geliştirilmesi amacıyla teknik açıdan tercih edilmiş ve yönlendirilmiş fonksiyonel malzemeler üzerine önemli bir bakış açısı getirdiği için temel referans prosedürleri olarak göz önüne alınmalıdır. Mühendislik dizaynında fonksiyonel malzemeleri tartışırken bir alternatif olarak zeki veya akıllı malzemeler gibi terimlerde göz önüne alınmalıdır. Genel anlamda akıllı bir malzeme kendi içerisindeki ve çevresindeki değişikliklere reaksiyon gösterebilen ve verilen bir görevi tüm yaşamı süresince optimum şekilde yerine getiren bir malzeme olarak tanımlanmaktadır (Craig ve Shankar, 1994). Zeki veya akıllı malzemeler terimi malzeme biliminin belli alanlarında kabul görmesine rağmen bu terimler çok dikkatli kullanılmalıdır. Çünkü bu malzemeler biyolojik malzemelerin karakteristik özeliklerini göstermezler. Üstelik, dizayn prosesinde dizayncı için önemli bir görev de malzemenin hangi fonksiyonlara katkıda bulunacağını belirlemektir. Bu sebepten ve incelenen malzemenin hem aktif hem de pasif özelliklere sahip olmasından dolayı bu gruptaki malzemeler daha öncede belirtildiği gibi fonksiyonel malzemeler olarak isimlendirilmiştir. Bu kelimenin içerisinde fonksiyonel malzeme kullanımının çok daha basit bir dizayn sağladığı görüşü de yer almaktadır. Örneğin, fonksiyonel bir malzeme kullanan tetikleyicilerdeki mekanik bileşenlerin sayısı aynı amacı yerine getiren elektromekanik tetikleyicilere yardımcı olan mekanik bileşenlerin sayısından oldukça azdır (Ding ve Gou, 1999). Young modülü, akma mukavemeti ve elektriksel direnç gibi yapısal malzeme özellikleri konvensiyonel mühendislik uygulamalarında sabit değerler olarak göz önüne alınmaktadır. Fonksiyonel malzemelerde, aktif fonksiyonu yerine getirmek için malzemenin yeteneğini tanımlayan özellikleri de bünyesinde barındıran bu özellikler operasyonel bir aralık üzerinde önemli ölçüde değişiklik gösterir. Kompleks malzeme davranışına ve fonksiyonel malzemeleri kullanan dizayncının hangi zorluklarla karşı karşıya geldiğini ifade edebilmek için yaygın olarak kullanılan üç farklı malzemenin karakteristikleri ve dizayn prosedürü ile ilgili özellikleri bazı detayları ile birlikte aşağıda verilmeye çalışılmıştır. Bunlar ; şekil hafızalı alaşımlar, piezoelektrik malzemeler ve magnetostriktif malzemelerdir. 4 Difüzyonun yer almadığı martenzitik transformasyonlarla üretilirler. Şekil hafızalı alaşımlar (shape memory alloys - SMA) belirli bir sıcaklık değişimine maruz kaldıkları zaman önceden tanımlanmış bir şekil veya ölçüye dönmek yeteneğine sahip malzemelerdir. Şekil hafızalı alaşımlar çok yüksek gerinme ve gerilme değerleri gösterebilirler, ve tetikleyicilerde, tek çevrimli kaplinglerde ve bağlama elemanlarında olduğu gibi nispeten büyük miktarlarda işi yerine getirmek için uygulamalarda büyük potansiyellere sahip malzemelerdir. Tipik uygulamalarda, şekil hafızalı alaşımlar nispeten düşük sıcaklıklarda deforme olurlar belirli bir sıcaklık artışının etkisinde kaldıkları zaman orijinal şekillerine geri dönebilirler. Bu etkinin kullanılmasını içeren bir dizayn görevinde başarılı olmak için ilk adımlardan biri , transformasyonun oluştuğu sıcaklıklar ile transformasyon tarafından oluşturulan gerilme ve gerinme gibi şekil hafıza özelliklerinin belirlenmesini gerektirir. Zamanla ve gerçekleştirilen transformasyonların sayısı ile değişmekle birlikte, termomekanik çevrimden dolayı oluşan histerisis yüzünden bu özellikler birbirleri ile etkileşim halindedir. Sonuç olarak, bir dizayn mühendisinin ana görevi zamanın ve termomekanik çevrimlerin bir fonksiyonu olarak gerilme, -gerinme- ve sıcaklık eksenleri boyunca histerisisin şeklini, büyüklüğünü ve yerini önceden tahmin edebilmektir. Piezoelektrik özellik malzemenin kristal yapı yöneliminin bir sonucudur. Bu özellik, mekanik gerilmelerin etkisinde kaldığı zaman bir elektrik alanı üretebilen veya tersine elektrik alana sokulduğu zaman deforme olabilen belirli kristal yapıdaki malzemelerin bir yeteneği olarak ta tanımlanabilir (Tani ve Takogi, 1998). Piezoelektrik malzemeler, gösterdikleri hızlı davranıştan dolayı titreşim kontrolü ve aktif yapısal akustik kontrol gibi küçük strokların gerekli olduğu yüksek frekans uygulamalarında tercihli bir şekilde kullanılmaktadırlar. Bir tetikleyicide veya sensörde kullanılan piezoelektrik davranış bir elektrik alanın sebep olduğu gerinmeyi hesaplayarak önceden tahmin edilebilir, veya bu prosesin terside kullanılabilir. Genellikle, gerinme ve elektrik alan arasındaki bağıntı non-lineerdir ve çevrim esnasında gerinme-elektrik alan düzleminde bir histerisis olarak gözlenir (Xiao ve Bai, 1998). Bu bağıntıyı tesis etmek için, dizayncı zamanla, sürtünme etkisiyle, 5 yaşlanma ve piezoelektrik etkinin azalması ile değişen malzeme özelliklerini belirlemek zorunda kalacaktır. Magnetostriktif malzemeler, magnetik alanın etkisinde kaldığı zaman boyutsal değişiklik gösterme yeteneğine sahip malzemeler şeklinde ifade edilebilir. Magnetostriktif malzemeler, uygulanan alanla sıraya sokulduklarında mekanik bir harekete neden olan, rast gele yönlenmiş kuzey-güney kutuplara sahip magnetik domenlerden oluşmuş bir malzeme olarakta düşünülebilir (Pelrine ve Kornbluh, 1999). Magnetostriktif malzemeler şekil hafızalı alaşımlara göre çok daha küçük stroklar gösterir ve mekanik davranışları piezoelektrik malzemelerden daha yavaştır. Onların uygulama alanları transduser cihazlar ve ultrasonik ses üretim sistemleridir (Suresh, 1999). Bu malzemelerde de gerinme ve magnetik alan arasındaki ilişki lineer değildir. Histerisis karakteristiklerinden anlaşıldığı kadarıyla, bu tip malzemeler kullanıldığında ortaya çıkan asıl dizayn problemleri homojen olmayan magnetik alanların ve kenar (eddy) akımlarının üretilmesidir. Bu yan etkiler daha sonra mekanik dalgaların ilerlemesine neden olabilir. Fonksiyonel malzemelerin non-lineer ve zamana bağlı değişimlerinden, dizaynda yapısal değişikliklerle birlikte kendi yapılarında da değişiklikler gösteren aktif fonksiyonlara sahip bu malzemelerin asıl kullanım amaçlarından dolayı mühendislik dizaynında bu malzemeleri kullanan bir dizayncının yeni problemlerle karşılaşabileceği açıkça gözükmektedir. Fonksiyonel malzeme kullanan veya bu malzemelerden oluşan elemanların çalışma ilkelerini belirlemeye çalışan bir mühendis için asıl görev kavramsal dizayn fazını başarıyla yerine getirmektir (Kögl ve Gaul, 2000). Fonksiyonel malzemelerin davranışı ile ilgili olan dizayn ilkeleri bu aşamada malzeme özelliklerinin doğru bir şekilde belirlenmesi sayesinde önceden tahmin edilebilir. Bilindiği gibi çalışan sistemlerin , doğru çalışma peryodlarını sürdürebilmeleri için dış parametrelerin değişimlerini en çabuk şekilde ve doğru algılayabilmeleri 6 gereklidir. Bu algılama sırasında kullanılan ve parametre değişikliklerini sisteme uyarlayan elemanlara genel olarak algılayıcı ve tetikleyiciler adı verilir. Dış parametrelerde meydana gelebilecek değişiklikleri ; algıladığı özelliğin dışında başka bir özellikle sisteme aktarmak gerekliliği doğabilir. Örneğin mekaniksel bir hareketin algılanarak elektriksel bir uyarıya dönüştürülmesi veya ısıl bir değişim algılanarak elektriksel bir uyarıya dönüştürülmesi veya elektriksel bir uyarı algılanarak mekanik bir uyarı oluşturulması gibi. Tüm bu ve benzeri işlevleri yerine getirmek amacıyla akıllı maddesel sistemler kullanılmaktadır (Haojing, ve Weigiu, 1997). Akıllı maddesel sistemler (İntelligent Material Systems), bünyesinde barındırdıkları ; algılayıcı, uyarıcı ve kontrol edici mekanizmaların özelliklerini kullanarak canlı sistemlerinkine benzer uygulamalar ile dış veya iç parametrelerin değişmelerine göre davranışlarını ayarlayabilen yapılardır (Kallenbach ve Kube, 1999). Piezoelektrik malzemeler elektrik enerjisini mekanik enerjiye mekanik enerjiyi elektrik enerjisine çevirme yeteneğine sahip malzemelerdir (Xu ve Rajapakse, 1999). Bu özelliklerden faydanılarak algılayıcı (sensör) ve tetikleyici (actuator) olarak sıkça kullanılmaktadır. Elektrodlar yardımı ile bir gerilim uygulandığında mekanik bir hareketle cevap vermesi veya mekanik bir baskı sonucunda bünyesine bağlanan elektrodlardan gerilim elde edilmesi bu sert malzemelerin öncelikli olarak yapısal sistemlerin üzerine araştırma yapılmasını ortaya çıkarmıştır (He ve Ng, 2000). Yapısal olarak incelemeye başlandığında , bir piezoelektrik malzemenin Gerilme (T) Gerinme (S) tansörleri ile Elektrik alan (E) ve Elektrik deplasman (D) vektörlerindeki değişimler ilk olarak ele alınması gereken değerlerdir. Bu değerler arasındaki ilişki aşağıdaki bünye denklemi ile tanımlanabilir. { T }= [C E ] {S} - [e ]T { E } { D }= [ e ]{S}+ [ε S ] { E } 7 denklemlerde kullanılan [C E ],[e] ve [ε S ] sırasıyla katılık katsayısı , piezoelektrik sabit , dielektrik sabittir. Mekanik özellikleri ile dikkat çeken piezoelektrik malzemelerin yanısıra termal (ısı) özellikleri ile önplana çıkan piroelektrik malzemeler de kontrol sistemlerinde kullanılmaktadır. Bu çalışmada mekanik ve elektrik etkileşimlerin sonucu olan piezoelektrik özelliğin malzemede nasıl ortaya çıktığı bünye denklemleri yardımı ile ifade edilmektedir. Ayrıca birbirinden farklı sistemler arasında etkileşimin oluşturulması açısından bakıldığında birbiri ile bağlanan sistemler arasındaki enerji etkileşimi ve bağlantı katsayısı denklemleri ortaya konmaktadır. 1.1. Piezoelektrik ve Piroelektrik 1824’te Brewster çeşitli türdeki kristallerin etkisini gözlemlemiş ve “Piroelektrik” terimini bulmuştur. Lord Kelvin piroelektriğin sürekli kutuplaşmaya dayandığını kaydetmiştir. Bu teoriye göre, Piroelektrik etki, bu kutuplaşmanın sıcaklık kat sayısının basit bir görünümüdür. Dolayısıyla, bu etki elektriksel ve ısıl sistemlerin arasındaki etkileşim olarak bilinir. Piezoelektrik etki 1880’de Pierre ve Jacgues Curie tarafından keşfedilmiş, ve önemsiz bir keşif gibi görünmüştür. Pierre Curie önceleri Piroelektrik ve kristal simetrisi arasındaki ilgi üzerine çalışmıştır. Bu çalışma, kardeşleri sadece basınçtan meydana gelen elektriklenmeyi aramak zorunda bırakmış, fakat tahmini olarak basıncın ne yönde uygulanabileceği ve kristal sınıflarının etkisi açıklanmıştır. Aynı fenomen (olay), turmalin ve Rochelle tuzu gibi birçok diğer kristalde de bulunmuştur. Hankel “piezoelektrik” ismini önermiştir. Piezoelektrik elektriksel ve mekanik sistemler arasındaki bir etkileşimdir. Doğrudan (direkt) piezoelektrik etki mekanik gerilme tarafından üretilen elektrik kutuplanmasıdır. Bununla ilgili olarak, 8 bir elektrik alan uygulandığında ters etki vasıtasıyla kristal şekil değiştirmektedir (genleşmektedir). Her iki etki de kristalin aynı temel özelliğinin yansımasıdır. Doğrudan etkinin keşfini izleyen yılda, Lippmann ters etkinin varlığının termodinamik temellerden kaynaklandığını tahmin etti. Onun tahmini 1881’in sonunda önce Curie’ler tarafından doğrulandı. Sonrada kuvarsın piezoelektrik katsayısının hem ters hem de doğrudan etki için aynı değere sahip olduğunu gösterdiler. Piro ve piezoelektrik arasındaki ilişki çok tartışıldı ve Woldemar Voight doğru ve ters Piroelektrik arasında bir ayrım olmasına işaret etti. Piezoelektriğin fenomensel teorisi, Lord Kelvin tarafından termodinamik prensiplere dayanarak bildirdi. Piezoelektriğin formülasyonu Pierre Puhem ve F. Pockels tarafından daha fazla detayla tamamlandı, fakat Voight bu alanda en etkili kişi olduğunu kanıtladı. Kristal fizikte bugün kullandığımız formülasyonu 1910’da çıkan, Voight’in anıtsal eseri Lehrbucholer Kristallphysic’e borçluyuz. Bir kafes – dinamiksel teori de Max Born tarafından 1920’de verildi ve kuvars’da piezoelektrik kutuplanmanın nitel açıklamalı bir atom modeli, 1925’te Bragg ve Gibbs’in çalıştığı X – ışın analizi yardımıyla gösterildi. 1917’de Robert A Millikan liderliğinde Ulusal Araştırma Konsülü sponsorluğunda bir konferans toplandı. Cady konferansa ilgi alanı olan ultrasonik dalgalar yardımıyla denizaltı tespiti konusundan dolayı davet edildi, Paul Langevin, kuvars – çelik sandviç transdüserler yardımıyla ultrasonik dalgaları oluşturduğunu bildirdi. Bu Langevin – tipi transdüser olarak adlandırıldı ve ultrasonik mühendislikte orijinal uygulamaya dönüştü. Toplantı, Cady’nin ilgisini piezoelektriğe döndürdü. İlk olarak bir General Electric grubu ile işbirliği yaparak kuvars ve Rochelle tuz kristalleri üzerinde çalıştı. 1921’de piezoelektrik kuvars rezonatörünün bir frekans standardı veya bir filtre olarak kullanabileceğini gösterdi. 9 Jaffe 1935’te Birleşik Devletlere gitti ve Cady’ye Rochelle tuzunu araştırmada yardım etti. Bu çaba bir kristali kuvars gibi kararlı, sağlam ve Rochelle tuzu gibi güçlü piezoelektrik yapmaya adaydı. ADP kristali bir cevap olarak bulundu. Rochelle tuzu ferroelektrik kristallerin ilkiydi. Birçok yeni ferroelektrik kristal başarıyla keşfedildi, örneğin KDP ve BaTiO 3 çoğu ferroelektrik kristal kuvvetli olarak Piroelektrik ve piezoelektriktir. Yeni piezoelektrik malzemeler sık sık meydana çıkmaktadır. Bunların tümü, Warren P. Mason tarafından başkanlık edilen Bell Telefon Laboratuarları Grubunun aktivitesi olarak tüm niteliğiyle kaydedilebilmektedir. Suda çözünen kristallere bakıldığında kuvars yerini keşfedilen EDT, DKT, vs’e bırakmıştır. Diğer elden, hidrotermal yetiştirme (büyütme) tekniği kullanılarak kuvars kristallerin üretimini arttırmak için çok fazla çaba sarf olunmuştur. Bugün, sentetik kuvars imalatı kendi alanında bir endüstri olmuştur. BaTiO3’ün ferrolektirk seramikleri piezoelektrik malzemeler alanı dışında İkinci Dünya Savaşı’ndan sonra gelişmiştir. Yeni seramik malzemeler incelenmiş ve PbO3 ve ilgili malzemelerin gelişmesine yol açmıştır. Yüzey-akustik-dalgalı cihazlarda kullanılan en önemli kristaller LiNbO 3 ve LiTaO3’tür. Piezoelektrik yarı iletken film transdüserler ve piezoelektrik polimler de ultrasonik elektriğinde hayati rol oynamaktadırlar. Ön sayfada ifade edildiği üzere, bu çalışmanın amacı, piezoelektrik ve ilgili konulardaki çalışmalar için makraskobik ve kristallografik metodolojiyi (metotları) sunmaktır. Atomik yaklaşımlar, yukarıda kısaca özetlendiği üzere, bu çalışmanın alanı dışındadır. 10 1.1.1. Elektriksel mekanik ve termal (ısıl) sistemler arasındaki etkileşim prosesleri Piezoelektrik, elektriksel ve mekanik sistemler arasındaki, Piroelektrik elektriksel ve ısıl sistemlerin arasındaki bir lineer etkileşimdir. Etkileşimli prosesler Şekil 1.1’de gösterildiği üzere elektriksel, mekanik ve ısıl gibi iki veya üç sistem arasında mümkündür. Benzer diyagramlar kristal fizikle ilgili birçok kitapta bulunabilir. Dıştaki üçgendeki büyüklükler yoğun değişkenleri, içteki çizgiler daha esnek kendine özgü sistemleri göstermektedir. Bir çizgi her bir göstergeyi kendine özgü değişkenlerle bağlamakta, burada asıl olmayan semboller doğrudan (direkt) etkiyi ve asıl olanlar ise ters etkiyi göstermektedir. Bu diyagramda gösterilen etkileşimli prosesler herhangi iki sistem arasındaki doğrusal etkileşimlerdir. Buradan çeşitli kavramlar yapısal ilişkiler, kapling katsayıları, sabitlerdeki durum spesifikasyonları, v.s. sıklıkla bu çalışmada görülebilir, herhangi bir etkileşimli proseste yaygın olarak uygulanabilirliği vardır. Bu çalışma bu konuların piezoelektrikle nasıl ilgili olduğunu göstermenin yanında, lineer etkileşimli proseslerin genel olarak anlaşılmasına da, piezoelektrik etkileşiminin bir çalışması olarak liderlik edebilir. 11 Şekil.1.1. Elektrik mekanik ve termal sistemler arasındaki etkileşimler (Ikeda, 1990) 1.2. Elektro Mekanik Etkileşim ve Piezoelektrik İlişkilerin Termodinamik Yönleri Bu bölümde bir lineer bağlı sistemde, yapısal ilişki ve bağlantı katsayısı öncelikle tartışılmıştır. Piezoelektrik etkileşim için kristal fiziğinin formülasyonu olan temel piezoelektrik ilişki, termodinamik değerlerden türemiştir. Elektromekanik bağlantı katsayısı ve kutupsallığı bozulmuş (depolarize) alan etkisi detayla dikkate alınmıştır, çünkü bir piezoelektrik ortamda elektro mekanik proseslerde ses ve titreşimin ele alınmasında bunlar önemlidir. 12 1.2.1. Lineer (doğrusal) bağlı bir sistemde yapısal ilişki ve bağlama katsayısının genel tanımı Lineer bir sistemin, iki farklı lineer bağlı fenomeni için değişkenlerin tek olduğunu düşünürüz.. Bu iki fenomen arasındaki enerji dönüşümü fiziksel durum değişkenlerindeki bir çeşitlilik vasıtasıyla üretilebilir. Bu etkileşimli proses, enerji dönüşüm formunun bir yarı – statik dönüşüm sınıflamasının kategorisi altında meydana gelir. Sistemdeki serbest enerji “F” tek olarak, iki bağlı sistemlerin durum değişkenlerine tahsis edilmiş iki parametre ile açıkça belirtilir. Eğer bu değişkenleri η ve x ile gösterirsek F homojen kuadratik (karesel) ifade 1 1 F (η , x ) = a11 η 2 + a12 η x + a 22 x 2 2 2 (1.1) ile verilir. Burada η = x = 0 durumu bir eşitliktir. Bu F(0,0) = 0 olarak farz edilir. Burada η ve x’in her ikisi de esnek değişkenlerdir. Genelleştirilmiş kuvvetleri yoğun değişkenler η ve x ile bağlandığında H ve X ile gösterilir, sırayla kesin diferansiyelleri , dF = Hdη + Xdx. (1.2a) ile verilir. Buna göre; H = ∂F / ∂η and X = ∂F / ∂ x (1.2b) 13 ile diferansiyeli alınırsa yapısal ilişkiye neden olur ve aşağıdaki gibi iki lineer eşitlikle kurularak verilir. H = a11 η + a12 x ve X = a12 η + a22 x. (1.3) İlişkinin alternatif bir türetilmesi ise H ve X’in sırayla η ve x üzerine Taylor açılımı ile mümkündür. Böylece ikinci eşitlikteki η terimi katsayısı X için a 21 şeklinde yazılabilir. Bununla birlikte a 21 = a 12 olduğu bilinir ve yukarıdaki termodinamik argümanla kolayca ispat edilir. Başka bir deyişle, bu kesin diferansiyelin varlığının sonucudur. a 12 = a 21 ilişkisi karşıtlık kanununu gösterir. a 11 ve a 22 katsayıları sıraylaη ve x sistemlerinin ana sabitleridir. Hiçbir bağlantı olmadığında, örneğin a 12 = 0 olduğunda söylenebilir ki her bir katsayı bir ters hassasiyet veya bir sağlamlıktadır. Bağlı sistemde bununla birlikte ana sabitler ayrı olarak belirtilmez, her bir engelleyici, sistemde durumların tarifi altında belirlenmelidir. Yukarıdaki ilişkide sabit X (veya x=0) ve sabit η (veya η = 0) durumları için sırayla a 11 x a 11 ve a 22 tespit edilmiştir. bu nedenle onları η ve a 22 olarak göstermek tercih olunur, burada x ve η üsleri ana sabitleri ölçerken sabitlerin büyüklüklerini sabit tutmaya yarar. Bağlantı magnitütünü göstermek için kapling katsayısı k tanımlanır. Bu k 2 2 = a 12 / a 11 a 22. (1.4) ile belirlenir. Bağlantı katsayısı bununla birlikte bir dönüşüm verimini göstermez. Yarı – statik enerji dönüşüm şeklinde prensipte net verim, eğer sistemden herhangi bir kayba müsaade yoksa % 100’ dür (Zhu, 2000). Enerji çevirimi tamamlandığında dönüştürülenden daha fazla enerji sağlamak gereklidir. Çevrim tamamlandığında 14 fazla enerji kaynağa geri döner. Buna göre k, enerjinin kullanılmayan veya verimsiz kısmın küçüklüğünün bir ölçüsüdür. Bir an için η sisteminden x sistemine enerji dönüşümünü düşünelim. Çıkış enerjisi Ex’in giriş enerjisine oranının gösterimi λ = − E x / H η , maksimum değeri kolayca 2 λ max 1 1 2 2 1 1 1 1 = − 2 − 1 = + 2 − 1 k k k k −2 . (1.5) olarak bulunur. Bu bir enerji transmisyon katsayısı olarak adlandırılır. Eşitlik (1.3) de verilen yapısal ilişki η ve x bağımsız değişkenleri ile açıklanır. Parantez içinde açıkça belirtilerek bu bağımsız değişken grubunu ( η ,x) tipi olarak adlandıralım. Farklı değişken gruplarının seçimi diğer tipleri verir : ( η ,x) , (H,X ). İlk seçim ( η ,x) η ve x eksen değişkenlerinde en basit tipi olarak düşünülebilir ki ,bu durum değişkenler için en uygunudur. Böylece a 11 x η ve a 22 sırayla η ve x için asal sabitler olarak düşünülebilir. (H,X ) tipi ilişki (1.3) eşitliğinin yeniden düzenlenmesiyle kolayca bulunur : η= a 1 H − 12x x ve x a11 a11 X= η a12 2 a12 a22 − x x H + x a11 a11 (1.6) İkinci eşitlikteki x teriminin katsayısı, sabit – H ( veya H = 0 ) durumu için x sisteminin katılığıdır, a 22 H η x x H ile gösterilir. Böylece η ( ) a 22 = a 22 − a12 / a11 = a 22 1 − k 2 . olur. (1.7) 15 Özetle, lineer etkileşimli prosesin önemli özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir: 1. Açıkça bağlı bir yada iki sistemin ana sistem sabitinin (Örn.Katılık) belirlenmesine karşılık, diğer sistemin durumunun hal olarak kesinlikle belirtilmesi gerekir. 2. Hiçbir bağlantı yok iken bir ara sabit, asal sabitten daha büyük olamaz. Başka bir deyişle, ortamda hiçbir etkileşimli proses olamaz. 3. Sabit, esnek değişkenlerin durumu için diğer sistemin asal sabiti bağlantı katsayısı olarak kullanılan 1 - k 2 değişkeni ile ilişkilidir. Bu anlatım oldukça genel olmasına rağmen ana kısımlar tam olarak dikkatlice belirtilmiştir. Esnek değişkenler, bağlı bir sistemin iç durumunu açıklamak için en uygun durum değişkenleri olarak düşünülür: bu, ( η , x) tipinin temel form olarak alınmasıyla var olan bir ilişkidir. (H, X) tipi gibi yoğun tiple başlarsak, benzer bir arguman mümkündür. Ana sabitler esnek olanlar veya hassas olanlardan sonradır. Bu durumda sabit η için eksen olan sabit, sabit H için olandan daha küçüktür. Bu sonuca yukarıdaki 2. madde ile aynıdır. Bununla birlikte sonraki tartışmalar maddelerden orijinal görüntü tabanlıdır, örneğin hangi sabitlerin ve değişkenlerin temel olarak alınacağına karar vermek gibi. Böylece bir esnek değişken grubunu belirlemek, ölçümü göz önünde tutmaya başlamaktır. 1.2.2. Fiziksel büyüklüklerin tansörel açıklaması Fiziksel değişkenler ve sabitler genellikle tansörlerle ifade edilir. Bu nedenle, tansör cebrinin temelleri aşağıda kısaca açıklanmıştır. Tansörler bir koordinat sisteminin dönüşüm ilişkisi ile belirtilebilir. Bir kartezyen sisteminin lineer dönüşümü; 16 0 − x1 x 2 x3 ′ ′ ′ ′ den 0 − x1 x 2 x3 ’ne xi = aij x j (i, j = 1,2,3) (1.8) ile ifade edilir. [ ] aij , dönüşümün matrisi aij ’nin elemanlarıdır. Einstein toplama uzlaşımı izlenirse, 1’den 3’e kadar olan toplam terimdeki tekrarlanan indislerden alınır. n. rankın bir kutupsal tansörü n’in alt indis olarak verildiği ′ Wij Κ n = aip a jq Λ a nt W pq Κ t (1.9) ile belirtilir. Bir skaler değer sıfırıncı rankın bir tansörüdür. Bir kutupsal vektör ′ Pi = aij Pj (1.10) benzetilerek dönüştürülen birinci ranktan tansördür. Koordinat dönüşümü için bu [ ] (1.8) eşitliği ile aynı formdadır.Eğer dönüşüm matrisi aij ’nin determinantına A dersek, onun özellikleri ; +1 A = det aij = − 1 [ ] (1.11) olabilir +1 durumunda eşitliğin her iki tarafı değişebilir –1 durumunda her iki tarafı değişmez. “Eşitsizlik ” terimi, soldan sağa ve sağdan sola koordinat sistemini belirtir. Eksenel bir tansör; 17 ~ ′ V ij Κ m = A aip a jp Λ amt V pq Κ t . (1.12) ile verilir. Böylece eksenel bir vektör; ~ ~ q = A aij q j . (1.13) ile ifade edilebilir. Bu, bir ters işlem (xi ) → (− xi ) altında işaret değiştirilmez. İki vektörün sonucu için, p = ( pi ) ve q = (q j ) söylenebilir, üç çeşit bilinir: bir direkt sonuç Vij ; bir skaler (iç) sonuç S, ve bir vektör (dış) sonuç ri bunlar aşağıdaki gibi belirlidir: ~ vij = p i q j , s = pi q i , r = ε ijk p j qk . Rotasyon (döndürme) tansörü ε ε ijk (1.14) ijk + 1 1, 2, 3 indislerinin çift permütasyonları için = − 1 1, 2, 3 indislerinin tek permütasyonları için 0 iki veya daha fazla indis esitse (1.15) Levicıvata rotasyonuyla belirlidir. ~ Sıradan vektör cebirinde s ve r i s = p . q veya ( p , q ), r = p x q veya [ p , q ]. ~ (1.16) 18 olarak açılabilir. Kutupsal ve eksenel tansörlerin belirtilmesiyle, tüm tansör çeşitleri için vektörler de dahil aşağıdaki şekilde açıklanabilir; Kutupsal x Kutupsal = Kutupsal, Eksenel x Eksenel = Kutupsal, Kutupsal x Eksenel = Ekseneldir. ε ijk üçüncü rank eksenel tansör olduğundan, iki kutupsal vektörün bir vektör sonucu ekseneldir. Görüntünün başka bir noktasından bir vektör sonucunun bileşenleri, bir antisimetrik ikinci ranktan kutupsal tansörün çapraz olmayan bileşenlerine eşittir. Vij = − pi q j + p j qi , işareti indislerin kendi aralarında değiştiği, (1.17) ij → ji için değişir. 1.2.3. Bağlı sistemdeki fiziksel sabitler Bağlı sistemin yapısal ilişkisini tartışmadan önce başka bir sistemle bağlantısı olmayan her bir sistemin durum denklemi gözden geçirilmelidir. Isıl sistemde, entropi σ (birim hacmindeki) esnek değişken farz edilmeli, ve sıcaklık Θ yoğun değişken olarak alınmalıdır (Li ve Dunn, 1998). Eğer sırayla δ σ ve δ Θ diferansiyelleri gösterilirse, ilişki δ σ = ( p C / Θ )δ Θ olarak açıklanır, burada C birim kütledeki özgül ısı ve p yoğunluktur. (1.18) 19 Mekanik sistemdeki değişkenler olan gerinme S ij ve gerilme Tij , her ikisi de ikinci ranktan kutupsal tansörlerdir. Şekil değiştirme tansörü bileşenleri; S ij = 1 ∂u j ∂u i + 2 ∂xi ∂x j (1.19) ile ifade edilir, burada (u i ) bir yer değiştirme vektörüdür. Buradaki yer değiştirme mühendislikteki yer değiştirmeden farklı olarak, genellikle bu tansörel yer değiştirme ile aynı olmayan, elastik tayf (sürem) mekaniğinde kullanılan yer değiştirme olup bu daha sonra tartışılmıştır elastik ilişki; Tij = cijkl S kl veya S ij = sijkl Tkl (1.20) ile verilir. c sabiti elastik katılık sabiti ve s elastik uygunluk katsayısıdır. Her ikisi de döndürücü rank’tan tansörlerdir. Elektriksel sistemde, yoğun değişken genellikle elektrik alan Ei ’dir, burada esnek değişken tam elektrik akı yoğunluğu (veya elektrik yer değiştirmesi) Di veya kutuplaşma Pi ’dir. Kutuplaşma teorik işlem için uygundur, fakat Di pratik analizde daha uygun ve kullanışlıdır. Böylece yapısal ilişki; Di = ε ij Ej veya E j = β ij D j (1.21) olur, burada ε ve β dielektrik sabitlerdir ve dielektrik geçirmezlik, sırasıyla her ikisinin ikinci ranktan tansörleridir. Etkileşimli proseste yapısal ilişki üzerinden hareket edilirse, söylenebilir ki ısıl ve mekanik sistemler arasında bir termomekanik etkileşim varsa, özgül ısı ve elastiste bağımsız değildir. Yapısal ilişki bağlama terimlerini de içeren grup aşağıdaki eşitliklerle verilir. 20 ( ) δ σ = pC T / Θ δ Θ + α kl′ Tkl (1.22a) Θ S ij = α ij δ Θ + s ijkl Tkl (1.22b) burada α ısıl genleşme katsayısı ve α ′ ters etkiyi ifade eder. Zaten α ve α ′ arasındaki eşitlik genel olarak ters kabul edilir. Spesifik ısı C T sabit T durumunu ifade eder, örneğin bir serbest kristal için. s Θ ise sabit Θ içindir, örneğin bir izoterm. Bu ilişki (δ Θ , T ) tipinindir. Eğer (δ Θ , S ) tipi ilişkisi olarak yeniden düzenlenirse, sabit S için veya sıkıştırılmış kristal için spesifik ısı C S ’i buluruz. Bir gaz için uygun spesifik sıcaklıklar C p ve C v ’dir; bunlar bir gaz içerisinde çok büyük hacim değişiklikleri olduğunda ayrıca kullanılırlar. C p ve C v arasındaki fark ihmal CT edilemez. ve C S arasındaki düzenlendiğinde kolayca belirlenebilir. C S = C T ilişki ( −k ) formüller yeniden ile verilir, burada k termomekanik etki için kapling katsayısıdır ve k 2 = Θ α i j α k′ l p C s − 1 θ i j k l T (1.23) [ ] , [s] tansörünün bir tersidir. Böylece [c] tansörüyle aynı ile verilir, burada s −1 olur. Elektriksel ve ısıl sistemler arasındaki etkileşim hem elektrokalorik hem de piroelektriktir (Kalpakidis, 1992). Elektromekanik etkileşim piezoelektriktir. Bu etkiler gelecek bölümlerde incelenecektir. 21 1.2.4. Bağlı sistem termodinamik fonksiyonları 1.2.4.1. Yapısal ilişkinin termodinamik türetimi Şimdi ısıl, mekanik ve elektriksel sistemler arasında etkileşimli prosesler olduğunu varsayalım. Yoğun değişkenler grubundan δ Θ , T ve E ilk farz edilen bağımsız değişkenlerdir. İlgili termodinamik fonksiyon birim hacmindeki Gibss serbest enerji G (Θ , T , E ) ’dir. Bu G = U − Θσ − Tij S ij − En Dn (1.24) ile ifade edilir, burada U iç enerjidir ve σ , S ve D’nin bir fonksiyonudur. Kesin diferansiyelden; d G = − σ d Θ − S ij d Tij − Dn d E n (1.25a) olur ve ∂G ∂G ∂G σ = , S ij = − , Dn = − . ∂Θ T .E ∂Θ Θ. E ∂Θ Θ.T (1.25b) elde edilir. G fonksiyonu sırayla δ Θ , Tij ve E n ile lineer etkileşimlerin sahası ile genişletilirse, G= 1 ∂ ∂ ∂ δΘ + Tij + En 2 ∂Θ ∂Tij ∂E n δ Θ ∂ + Tkl ∂ + E m ∂ ∂Θ ∂Tkl ∂E m elde edilir. Sonra aşağıdaki sabitler belirlenir. G. (1.26) 22 S ijkl ε nm E ,Θ T ,Θ ∂ 2G ∂S ij = − = , ∂Tij ∂Tkl E ,Θ ∂Tkl E ,Θ ∂ 2G ∂Dn = − = ∂E n ∂E m T , E ∂E m T ,Θ (1.27a) (1.27b) ∂ 2G pC T ∂σ = − 2 = , Θ ∂Θ T , E ∂Θ T , E (1.27c) ∂ 2G ∂Dn ∂S ij Θ d nij = − = = , ∂Tij ∂E n Θ ∂Tij E ,Θ ∂E n T ,Θ (1.27d) ∂ 2G ∂α ∂S ij E α ij = − = = , ∂Tij ∂Θ E ∂Θ T , E ∂Tij E ,Θ (1.27e) ∂ 2G ∂α ∂Dn T = pn = − = . ∂Θ ∂En T ∂Θ T , E ∂En T ,Θ (1.27f) S ,ε , C ve α sabitleri daha önceden belirtildiği anlamları taşırken, d bir piezoelektrik sabit ve P bir Piroelektrik katsayısıdır. Bunların ilk üçü sıralı kendine özgü sistemlerde ana sabitlerdir; sonraki üçü ise iki sistem arasındaki kapling sabitleridir. G fonksiyonu eşitlik (1.25b)’e uygun diferansiyel edilirse ve yukarıdaki sabitler kullanılırsa aşağıdaki denklemler bulunur: ( ) E T δσ = pC T , E / Θ δ Θ + α ij Tij + p m E m , (1.28a) E ,Θ (1.28b) E S ij = α ij δ Θ + sijkl Θ Tkl + d mij Em , 23 T Θ Dn = pn δ Θ + d nkl Tkl + ε T ,Θ nm Em . (1.28c) Bu üç eşitlik grubu kapıl sistemde bünye bağıntısını ifade eder. Burada daha önceden ifade edilen dizayn esasları takip edilerek (δ Θ , T , E ) tipi ilişki olarak adlandırılır, bunu izleyen şekillendirme Bölüm 1.2.1’de verilmiştir. Kapling sabitleri d , α ve p sırayla elektromekanik, termomekanik ve termoelektrik etkilere uyar. Fiziksel sabitler ilgili termodinamik fonksiyonun ikinci türevi olarak tanıtılmıştır. Her bir kapling sabiti iki farklı değişkene göre ikinci dereceden bir türevidir ve böylece türevin sırası değiştiği zaman kupling sabitlerin farklı anlamlar taşıdığı düşünülebilir. Örneğin (1.27b) eşitliğinin tanımından iki çeşit piezoelektrik sabit ∂D Θ d nij = n ∂ Tij E ,Θ ve d nij ′Θ ∂S ij = , ∂ E n T ,Θ (1.29) türetilir. İlk bahsedilen d birim gerilmeye karşı gelen elektrik akı yoğunluğunu gösterir, sonraki d ise birim elektrik alana karşılık gerinmeyi gösterir. Bu sırayla uygun direkt ve ters piezoelektrik etkilere dönüşür. Eşitlik (1.28c)’deki piezoelektrik bağlantı terimi direkt etkiyi gösterirken; (1.28b) eşitliğindeki ters etkiyi ifade eder. Böylece ters ve direkt etkilerin eşitliği kendince bellidir. Prosedür, Bölüm 1.1’in genel argümanının içeriğidir. α ve p sabitleri için benzer gerçekler bulunmuştur. (1.28a) eşitliğindeki pE terimi, elektrokalorik etki olarak adlandırılan ters Piroelektrik etkiyi ifade eder. Yukarıdaki ilişki başka bir yolla türetilebilir. Bağımlı değişkenler δ σ , S ve D basitçe aynı bağımsız değişkenlerle genişletilebilir. Bu durumda direkt ve ters etkilerin eşitliği aynı termodinamik ilke üzerinde araştırılır. 24 Bu diğer yapısal ilişkilerle de mümkündür. Farklı bir grup bağımsız değişken için, başka bir ilgili termodinamik fonksiyon seçilmek zorundadır. Örneğin, entalpi H (α , T , E ) , bir (δ α , T , E ) tipi ilişkiye yol açar. Şöyleki ( δ Θ = Θ / pC T ,E )δ E E ,σ T σ S ij = aij δ σ + sijkl E T + a kl T kl + b m E m , σ Tkl + d mij Em , Dn = bn δ σ + d nkl Tkl + ε T ,σ nm Em . (1.30a) (1.30b) (1.30c) Çeşitli tiplerdeki yapısal ilişkilerin tümü burada lineer düşünülmüştür; bununla birlikte bir bağıntının transformasyonu bir diğer bağıntıya rehberlik eder. Böylece, çeşitli sabitlerin arasındaki ilişkiler belirlenebilir. (1.28) ve (1.30) eşitliklerindeki sabitler için E E aij = Θα ij / pC T ,E , T (1.31a) T bn = Θp n / pC T ,E , s ijkl E ,σ σ = s ijkl E ,Θ Θ (1.31b) E E − Θα ij α kl / pC T , E T E d nij = d nij − Θp n α ij / pC T ,E , ε nm T ,σ = ε nm T ,Θ T T − Θp n p m / pC T , E . (1.31c) (1.31d) (1.31e) 25 1.2.4.2. Farklı durumlar için fiziksel sabitler arasındaki ilişki Üç sistem arasındaki lineer etkileşim hakkındaki daha önceki tartışmalar dikkatleri diğer sistemler için alt indisle gösterilen durumların iki türüne çeker. Herhangi iki sistem arasında bir kapling sabiti bir üst indis ile gösterilirken, her bir sistemin asal sabiti iki üs ile gösterilir. Örneğin iki üs E ve Θ elastik sabit s’e mekanik sistemdeki bir ana sabite elektriksel ve ısıl sistemlerdeki durumları göstermesi için eşitlik (1.27a)’da görüldüğü üzere sırayla eklenir. Eşitlik ( 1.31c)’de farklı ısıl durumlar için uygun sabitler arsındaki ilişkiler, örneğin sabit σ (adyabatik) ve sabit Θ (izoterm) için, verilmiştir. E indisi formüldeki tüm sabitler için ortaktır. Sıralı sabitler arasındaki fark mekanikten ısıla etkileşim için bağlantı sabiti olan, ısıl genleşme α ile verilmiştir. Böylece elektriksel sistem sadece indirekt ilişkili değil, bilindiği kadarıyla bu bağlantıyla ilişkilidir. Diğer bir deyişle üçüncü sistemden başka bir şey değildir. Eğer S α / S Θ = 1 – A oluşturulur ve A’yı aşağıdaki gibi ifade edersek sorun kalmaz A = ( Direkt bağlı iki sistem arasındaki kapling katsayısı k ) 2 = (kapling sabiti) 2 /[(bir sistemin asal sabiti)x(karşı sistemin asal sabiti)] (1.32) Diğer taraftan piezoelektrik sabit d denklem (1.27d)’de Θ üst indis ile belirtilmiştir. Eşitlik (1.31d)’deki ilişki sabit σ ve sabit Θ için geçerli olan durmlar arasındaki farkı ifade eder. Elektriksel mekanik kapling ifade eden bu sabit d faktörüdür, üçüncü sistemle ilişkili olan temel şartı ise ya σ yada Θ sağlar. Eğer d σ / d Θ = 1 – B ise, o zaman; B =[( Bir sistem ve üçüncü sistem arasındaki kapling sabiti ) x (zıt sistem ve üçüncü sistem arasındaki kapling sabiti)] / (ilk sistem ve zıt sistem arasındaki kapling sabiti ) (1.33) B’nin işareti belli olmadığı halde, A daima pozitiftir. Üçüncü sisteme olan bağlantılar araştırılmadan B’nin ne işaretini ne de büyüklüğünü tahmin edemeyiz. 26 Başka iyi bir örnek piroelektrikte görülür. Elektriksel Gibss fonksiyonu G2 (Θ , S , E ) ile başladığında özgül ısı C S , E ve piroelektrik katsayısı p n bulunduğunda (δσ , T , E ) S T tipi yapısal ilişki elde edilir. Bunlar yukarıda C T , E ve pn ile sırayla aşağıdaki gibi ilişkilidir. E E E [ ] pC T , E / Θ − pC S , E / Θ = α ij λij = α ij s −1 T S E Θ E [ ] p n − p n = α kl λnkl = α kl s −1 E ,Θ klij ijkl E ,Θ E α kl , Θ d nij , (1.34a) (1.34b) İlk bahsedilen termomekanik kapling α dikkate alınarak elde edilen 1 – A formunda bir bağıntıdır. Sonraki ise 1 – B formundadır. Piroelektrik ilişki bir termoelektrik kapling olup (1.34b) denklemi verilen fark üçüncü mekanik sistemden dolayı ortaya çıkmıştır. P S büyüklüğü olayın asıl tabiatından kaynaklanır ve birincil veya doğru piro elektrik etki olarak adlandırılır. Aksine P T termal gerinme tarafından indüklenen piezoelektrik yükten doğan bir katkı olup ikincil veya ters piroelektrik etki adını alır. Termomekanik bilgiye sahip olmadıkça, P T veya’nin hangisinin daha büyük olduğunu ilk anda anlamamız imkansızdır. 1.2.5. Temel piezoelektrik ilişkiler 1.2.5.1. (S,P) Tipi ilişki Şimdiki tartışmamızı bir elektromekanik bağlı sistem üzerine odaklayalım. Daha önceki bölümde ısıl sistemin, üçüncü bir sistem olarak az veya çok derecede, elastik, dielektrik ve piezoelektrik sabitlere etkilerini incelemiştik. Bununla birlikte, termal şartın örneğin izoterm mi veya adyabatik mi olduğunu belirlemek gereklidir. Tüm elektromekanik ölçümler bir alternatif alan veya gerilim altında yapıldığında, gözlemlenen sabitler adyabatiktir. Diğer taraftan, katı hal fiziğinde faz dönüşümü tartışması izoterm sabitler bilgisini gerektirir. Gerçekte, izoterm ve adyabatik sabitler arasındaki ayırım nadir olarak verilir, çünkü elektrikselden ısıla ve mekanikten ısıla bağlantılar çok az özel durum dışında oldukça zayıftır. 27 İç enerjiyle U (σ , S , P ) ile başlandığında, termodinamikten adyabatik sabitleri (sabit -σ için) türetiriz bununla birlikte, Helmholtz serbest enerjisi F ( Θ ,S,P) yi incelediğimizde, sabitler izotermdir (sabit- Θ için). Eğer dikkatle sadece mekanik ve elektriksel sistemler üzerine odaklanırsak, sonuçlar temel olarak, sırayla S ve P ye göre aynıdır. Bu nedenler izoterm sabitler üzerine konsantre olabilir ve Θ indisini ihmal edebiliriz. İlgili termodinamik fonksiyon bir bağımsız değişken kümesinin seçimine bağlıdır. F (S , P) ile başlayalım. Yukarıdaki argümanı izlediğimizde, F (S , P ) = 1 1 P S cijkl S ij S kl − a nij Pn S ij + χ mn Pm Pn , 2 2 (1.35) gibi açık ifadeleri bulmak mümkündür. Burada kapling teriminin negatif işareti d ve e ile işaret tutarlılığı sağlamak içim gereklidir. F’nin kesin diferansiyeli ise dF = Tij dS ij + E n dPn . (1.36a) ile verilir. ∂F Tij = ∂ S ij p ve ∂F En = , ∂ Pn S (1.36b) ifadeleri temel alınarak,(1.37a) denklemi yazılmıştır.Bünye bağıntısının bir kapıl denklemler cümlesinden oluştuğunu tespit etmek kolaydır. P Tij = cijkl S kl − a mij Pm ve S En = χ nm Pm − a nkl S kl . (1.37a,b) 28 Bu ilişki bağımsız değişkenler S ve P terimleriyle açıklanır. Eşitliklerde görünen piezoelektrik sabit α ’dır, piezoelektrik sabit a ile gösterilecektir (1.37a) ve (1.37b) eşitlikleri kümesi ile açılarak ilişki (S,P) tipi (a formunda)’nin temel piezoelektrik ilişkisi olarak adlandırılır. Değişik bağımsız değişken kümelerinin çeşitli seçimleri için benzer ilişkiler bulunur. Diğer formlar (şekiller) aşağıda anlatılmıştır. 1.2.5.2. Değişik bağımsız değişken kümeleri için temel ilişkiler Mekanik değişkenler genellikle gerinme S ve gerilme T’dir. Elektriksel değişkenler olarak intensif değişken daima elektrik alan E olmasına rağmen ekstensif değişken olarak ya polarizasyon P ya da akı yoğunluğu D seçilebilir. Teorik olarak, P en çok tercih edilen seçimdir, bununla birlikte, ses ve titreşimin pratik analizleri düşünüldüğünde D daha çok tercih sebebidir. Hem P’yi hem de D’yi temel ilişkilerin serisinin geliştirilmesi için kullanabiliriz. Böylece bu ilişkiler iki tipe bölünebilir: bir kutuplaşma şeması ve bir elektrik akı yoğunluğu şeması. Bundan sonra, bunlar sırayla P – şeması ve D – şeması olarak anılacaktır. Temel Bağıntıların sınıflandırılması Çizelge 1.1’de gösterilmiştir. Tüm eşitlikler gerçekten tansörelken, kısalığı sağlamak amacıyla indisler ihmal edilmiştir. 29 Çizelge 1.1. Temel Piezoelektrik bağıntı tipleri (a) Polarizasyon Şeması ________________________________________________________ Bağımsız Piezoelektrik Bağıntı Termodinamik Fonksiyon Değişken ________________________________________________________ S,P T = c P S − aP S E = − aS + χ P T,E S = s E T − dE T P = dT + k E T,P S = s P T − bP T E = − bT + χ P Elastik Gibss Enerjisi 1 1 G1 = s P T 2 − bTP + χ T P 2 2 2 S,E T = c E S − λE S P = − λS + k E Elektrik Gibss Enerjisi 1 1 G2 = c E S 2 − λSE − k S E 2 2 2 Helmholtz Serbest Enerjisi 1 1 F = c P S 2 − aSP + χ S P 2 2 2 Gibss Serbest Enerjisi 1 1 G = − s E T 2 − dTE + k T E 2 2 2 ________________________________________________________ G = F – TS – EP, G1 = TS, G2 = F – EP 30 (b) Elektrik Akı Yoğunluğu Şeması (Elektrik Yer değiştirme Şeması ) __________________________________________________________ Bağımsız Tipi Piezoelektrik Bağıntısı Form (Şekil) Değişken __________________________________________________________ S,D Esnek T = c D S − hD E = − hS + β S D h – Formu T,E Yoğun S = s E T + dE D = dT + ε T E d – Formu Karışık S = s D T + gD E = − gT + β T D g – Formu Karışık T = c E S − λE D = λS + ε S E e – Formu T,D S,E __________________________________________________________ Her bir tip ilişki kendine ait termodinamik fonksiyondan başlanarak, çizelgedaki P – şemasında gösterildiği gibi türetilebilir. Bununla birlikte, farklı prosedürlerde mümkündür. Örneğin elastik Gibss fonksiyonu G1 ; G1 = F − Tij S ij olduğunda F’ten türetilir. Bu yaklaşımın sonucu (T,P) tipi bir ilişkidir. Formüllerin bir alternatif türetilmesi sadece bağıntının bir tipinden diğer bir tipine transformasyonu ile sağlanır.Bununla birlikte, uygun eşitliğin yeniden düzenlenmesinde dikkatli olunmalıdır; eşitlik bir katsayı ile bölünemeyebilir. Çünkü ifade tansöreldir. Bu durumda bu katsayıya karşılık gelen tansörün tansörü ile çarpılması gereklidir. Farklı bağıntılar arasındaki bunun gibi dönüşüm denemeleri ile çeşitli sabitler arasındaki bağıntılar bulunmuştur. Bu gibi denemelerin sonuçları Çizelge 1.2’de gösterilmiştir. Her bir bağıntının birinci ve ikinci denklemlerindeki kapling terimlerinin işareti ekstensif ve intensif değişkenlerden ibaret olan karma tipteki terimlerin işaretine terstir. Ancak onlar ya ekstensif ya da intensif küme için aynıdır. 31 Adyabatik sabitler hakkında kısa birkaç kelime söyleyelim. Başlangıçları öncelikle termodinamik fonksiyonları gerektirir, Θ yerine ısıl bağımsız değişken σ ’yı içerirler. U , H , H 1 ve H 2 , sırayla F , G , G1 ve G2 için kullanılırlar, burada U iç enerji U = F + Θα , H entalpi H = G + Θα vb. Çizelge 1.2. Çeşitli sabitler arasındaki ilişki __________________________________________________________ T d nij = ε nm g mij = λnkl s klij β np ε pm = δ nm s T λnij = ε nm hmij = d nkl c klij ε nm − ε nm = d nkl λ mkl T s g nij = β nm d mij = hnkl s klij cijpq s pqkl = δ (ij )(kl ) hnij = β nm d mij = g nkl c klij β np − β nm = g nkl hmkl D E E D E T E T D s D cijkl − cijkl = λ mij hmkl s ijkl − sijkl = d mij g mkl (c = (s λµ ) = (− 1) −1 λµ k nl χ lm = δ nm , µ +λ s ∆ µλ / ∆s ) k nm = ε nm − ε 0 P E S d nij = k nm bmij E P T λ nij = k nm a mij cijkl − cijkl = a nij k nm a mkl s ijkl − sijkl = bnij k nm bmkl T S __________________________________________________________ 1.2.6. Elektromekanik kapling katsayısı 1.2.6.1. Kapling katsayısı tanımları Bağlantı katsayısı Bölüm 1.2.1’de kısaca tanıtılmıştır. Bu bir lineer etkileşimli sistemde efektif enerji dönüşümünün varlığını ifade eder. Burada, piezoelektrik transdüserin elektromekanik bağlantı katsayısı (sık sık bağlantı faktörü olarak adlandırılır) dikkate alınmaktadır. 32 Kapling katsayısını belirlemek için, kristal yönlenmeleri, giriş ve çıkış üzerine düzenlemeler hakkında gerekli bilginin mevcut olduğu kabul edilmiştir.Transdüserin statik limitinde ( W → O ) titreşim moduna karşılık gelen modda bu katsayı tanımlanmıştır. Kapling katsayısı k pek çok durumda yüzdelerle ölçülür. Bununla birlikte onu enerji oranını gösteren karesi k 2 ile ele almak daha mantıklıdır. Elektromekanik kapling katsayısının fiziksel anlamını açıklamak için katsayıyı tanımlamanın değişik yollarını araştırmak yeterlidir. Bizim ilgimiz sadece ortak fikirsel yönler üzerinedir, çeşitli transdüserlerin gerçek detayları burada gerekli değildir. Uygulamada kullanılan pratik örnekler genellikle ses ve titreşim analizleri için dikkat çekicidir. Tanımlar: 1. Aşağıdaki tanım Mason tarafından ileri sürülmüştür: k 2 =(depolanan mekanik enerji)/(sağlanan elektrik enerjisi) (1.38a) veya k 2 = (depolanan elektrik enerjisi)/(sağlanan mekanik enerji ) (1. 38b) 2. Elastik, elektrik ve etkileşimli enerjilerin artışının sırayla U elas , U elec ve 2U int ile gösterilmesiyle, toplam artış U = U elas + 2U int + U elec ile verilir. Kapling katsayısı 2 k 2 = U int / U elasU elec . (1.39) ile tanımlanır. Bu tanım IRE standardıdır (1958). U formülündeki terimler eşitlik (1.1)’deki sıralı terimlere uyar, netice olarak bu tanımın sonucu eşitlik (1.4)’ün aynıdır. 33 3. Farklı elektriksel koşullar için elastik sabitler veya değişkenler, Bölüm 1.2.1’de açıklandığı üzere her biri diğerine 1 - k 2 faktörü ile doğru ilişkilendirilmiştir. Bu aynı zamanda dielektrik sabitler veya geçirmezlik durumu da için geçerlidir. Bu yaklaşımla, katsayıları aşağıdaki gibi tanımlamak mümkündür. 1 − k 2 = c E / c D , s D / s E , ε S / ε T , veya β T / β S . (1.40) 4 . Temel piezoelektrik ilişkisi bağımsız değişken terimler olarak açıklanan iki eşitlik kümesi ile açıklanır. İlgili terimlerin katsayılarına dikkat edildiği zaman kapling katsayısı aşağıdaki gibi tanımlanabilir, k 2 = (etkileşim teriminin katsayısının karesi ) / [asal (diagonal) terimlerin katsayılarının çarpımı] (1.41) Bu çok basit bir metot olmasına rağmen, ilgili temel bağınıtıyı seçerken dikkatli olunmalıdır. Karma tipte bir bağıntı bu tanıma uymaz. 5. Bir transdüserün gerçek düzenlenmesi verildiğinde dört uçlu bir ağ için, temel ilişki integral formda bulunabilir. Benzer olarak, bir piezoelektrik birim için temel bağıntı bir eşitlik kümesi olarak ; x = c11 F + c12 E ve q = c12 F + c 22 E (1.42) gibi verilir, bu durum limit W → O için geçerlidir. Burada x ve F sırayla mekanik sınırındaki yer değiştirme ve kuvvet q ve E elektriksel sınırdaki yük ve alandır. Kapling katsayısı aşağıdaki ifade ile tanımlanmıştır; 2 k 2 = c12 / c11c 22 . (1.43) 34 Bu durumda şunu vurgulamakta fayda vardır. (1.42) bağıntısı F matrisine benzer bir ifadeye dönüştürülürse; E = AF + B(− x ) ve q = CF + D(− x ), (1.44) yazılabilir. Hesaptaki AD – BC = 1 olduğu dikkate alınarak; k 2 = 1 / AD, (1.45) bulunur. 6. Piezoelektrik transdüserün analizi aşağıdaki gibi ifade edilen dört uçlu ifade ortaya çıkarır. I = y11V + y12 F veya v = y12V + y 22 F , (1.46) burada I,V,v ve F sırasıyla elektrik akı, voltaj, yer değiştirme hızı ve kuvvettir. Eğer tanım 4 entegre edilmiş bağlantıya uygulanırsa, bir tip kapling katsayısı; 2 2 k v = y12 / y11 y 22 . (1.47) den bulunabilir. Düşük frekanslı limitini düşündüğümüzde 2 2 k v = lim k v , w→0 (1.48) transdüserün kapling katsayısı belirlenebilir. I = jwQ ve v = jwx göz önüne alınırsa, denklem (1.46) Jw sapması ile bölündüğünde, W → O benzer bir form ortaya çıkar. iken denklem (1.42) ile 35 [ ] Admittans matrisi yij temelli olan ifade (1.46) temel ilişkinin intensif tipine uyar. Eğer I ve v bağımsız değişkenler olarak seçilirse ekstensif tiple bileşke empedans – matris bağıntısı k’ya benzer bir tanım için kullanılır. Tersine şebeke bağlantısı için kullanışlı olan F-matris bağıntısı tanım-4’e göre k’yı tanımlamak için uygun değildir. 7. Piezoelektrik üzerine yeni bir standart IEEE (1978) tarafından sunulmuştur. IEEE Standardı Tanım 2’de gösterilen etkileşim enerjisi U int temelli kapling katsayısını terk etmiştir. Maddesel kapling faktörleri tanımlanmıştır çünkü bu faktörler bir tek rezonans elemanı gibi kullanılan piezoelektrik bir katının elektriksel olarak tahrik edilen titreşimleri için analitik çözümlerde doğal olarak kendiliğinden ortaya çıkar. Diğer taraftan piezoelektrik bir katı statik olarak büyük bir rezonans yapının bir kısmı gibi kullanıldığı zaman, kapling faktörü önceden tanımlanan gerinme-gerilme çevriminde ortaya çıkan büyüklükler cinsinden tanımlanan bir oran üzerine oturtulmuş olur, burada ideal elektrik yükü çevrimi tanımlamak için devreye sokulmaktadır. Eğer uygulanan mekanik enerji ve yükleme esnasında kaybolan elektrik enerjisi sırasıyla W ve W1 ile gösterilirse kapling faktörü aşağıdaki şekilde tanımlanır; k 2 = W1 / W (1.49) Bir elektromekanik bağlantı katsayısı fikri, bir transformatördeki indükif bağlantının derecesini gösteren faktörden gelmiş gibidir. Bu, k T = M / (L1 L2 ) 1 2 faktörü M’nın giriş indüktansı L1 ve çıkış indüktansı L2 ’ye karşı ortak M endüktansının performansının bir ölçüsüdür. Bir transformatör bir dört uçlu şebekeye basit bir 2 örnektir ve açıklaması Tanım 6’daki k T ’ye uyar. Kapling katsayılarının pek çok tanımlaması araştırılmıştır. Bunlardan, Tanım 5 ve Tanım 6’da dört – uçlu şebeke ifadesinde integre edilmiş eşitlikler temel alınmıştır. Herhangi bir pratik transdüserün analizi genel olarak bir entegre edilmiş eşitlik gibi sunulacaktır. Eğer bu, herhangi bir sebepsiz tahmin veya yaklaşıma hiçbir yere başvurmadan varıyorsa, Tanım 5 veya 6 k 2 ’nin bulunması için en anlamlı 36 tanımlardır. Diğer taraftan, Tanım 3 ve 4 diferansiyel formunda temel piezoelektrik ilişki ile ilgilidir. Transduser boyutlarını herhangi bir şekilde dikkate almadıkları için onlar k 2 ’yi bir malzeme sabiti olarak tatışıldığı ortamlar için daha uygundur. Gerçek titreşim analizlerinde, Tanım 7’de önerildiği gibi, ardışık tranformasyon denklemleri ile ilgili olarak doğal bir şekilde k 2 terimi ilgili denklemlerde yerini alır. Buna göre tanım-3 de görüldüğü gibi 1 - k 2 ifadesi belirli bir şart için gerekli olan asal sabiti bir diğer şartın asal sabiti ile irtibatlandıran diferansiyel bir taban gibi davranmasında yatmaktadır. Tüm tanımlar yakın olarak birbiriyle bağlı olmasına rağmen, her bir tanımın kendi özel niteliği vardır. Bu nedenle, verilen bir transdüserün işleyişine uygun kabul edilen bir tanım k 2 ile başlayabilir. Bununla birlikte, diferansiyel formundaki bir ilişki temel alınan tanım daha tercih ediliyor gibi görünebilir, çünkü tartışma boyunca k 2 ’nin tanımı göz önüne alınmıştır. Böylece burada, ana olarak Tanım 3 veya 4’ü izleyeceğiz. 1.2.6.2. Bağlantı katsayısı ve enerji iletim katsayısı Bağlantı katsayısı bir transdüserün performansı için bir çeşit karakteristik indeks veya onun malzemesinin yararıdır. Gerçekte, k’nın yüksek bir değeri piezoelektrik malzemenin uygulanabilirliğini önerir; k 2 değeri transdüser bant genişliğinin büyüklüğünün bir ölçüsüdür. Enerji dönüşümünü dikkate almakla birlikte, dönüşüm verimliliğinin doğrudan ölçümü gerekli değildir. Verimlilik sağlanan giriş enerjisine oranı ile ölçülür. Bu oranın maksimumu genellikle Bölüm 1.2.1’de tanıtıldığı gibi λ max ile verilir. bir enerji dönüşüm sisteminin performansı k 2 ’den ziyade, λ max k 2 ile bire – bir uygun olduğunda, λ max ile açıklanır. k 2 ’nin anlamını, λ max ’la ilişki içerisinde açıklamak için, IEEE Standardı (1978) tarafından verilen Tanım 7’yi deneriz. Tavsiye edilen gerilme – yer değiştirme çevrimi aşağıdaki gibidir. Mekanik iş W, elektrik şartı E = O altında uygulanan 37 gerilim ile sağlanır. Gerilme daha sonra farklı bir durum D = O altında kaldırılır. Kalan yer değiştirme ideal elektrik yüküne bağlantı ile giderilir. (elimine edilir). Böylece, çevrim tamamlanır. Eğer dağıtılan enerji W1 ile gösterilirse; k 2 , k2 = W1 / W ile tanımlanır. Bu son prosedürün gerekliliği, E = O ve D = O için sabitlerin farklılığından meydana gelir. Gerilme – yer değiştirme çevrimi örneğinde, W1 , mekanik enerjinin W tarafından sağlanan kısmı olan, depolanan elektrik enerjisidir. Bununla birlikte W1 , çevrim tamamlanmadan önce bilinmektedir, W1 sadece bu çevirimin sonucundan sonra gözlemlenebilir. Yukarıda söylendiği üzere IEEE Standardı (1978) Tanım 2’yi, U int ’ in gözlemlenebilir olmasından sonra terk etmiştir. Benzer bir duruma Tanım 1 ile de rastlanır. Bir tür enerji (mekanik) sağlandığı anda, giriş enerjisinin hangi kısmının başka bir enerji (elektrik) formundan depolandığına daima söyleyemeyiz. Tanım 1, gerçek bir transdüserün k 2 değerini belirlemekte, bağlantı katsayısının bir fikirsel resmine sahip olmasına rağmen etkili değildir ancak kullanışlıdır. Yukarıdaki argüman termodinamikteki Carnot çevrimini hatırlatan gerilme – yer değiştirme çevrimini içermektedir. Bununla birlikte, λ max veya k 2 kavramları bir termik makinenin veriminden farklıdır. Sonraki ise termodinamiğin ikinci kanunu ile yakın olarak ilgilidir. Karşıt olarak ,doğrusal etkileşim işlemi için λmax veya k2 sabitesi ortaya bağımlıdır . Örnek olarak gazdan oluşmuş bir termomekanik çevirme sistemi göz önüne alalım. Termal değişkenler şimdi δθ ve δσ mekanik değişkenler de δp ve δv yarı-durgun dönüşme işlemi sırasında, değişim hafif olmasına rağmen, değişkenlerin denge değerleri ilk değerden değiştirilmiştir. Bu değişimle beraber olarak sıcaklık sisteme akarsa, giriş termal enerjisinin bir kesri, çıkış mekanik enerjisi olacaktır. λmax’ ın bilgisi, net enerjinin ne kadarlık kesrinin uygun olduğunu tanımlamak için gereklidir. Enerjiler burada -δθ δσ ve -δpδv olarak anılacaktır. 38 Bu yönde enerji çevrimi ele almak için maddeyi yapı denkleminin terimleri şeklinde tartışmak daha uygun olacaktır , örnek olarak gazın yapı denklemi bu birim hacim için aşağıdaki denklemlerle verilir. δν/ν=βθ(-δp)+αδθ, (1.50a) δσ=α(−δp)+(pcp/θ)δθ, (1.50b) βθ izoterminol sıkıştırılabilirlik , cp sabit basınçta birim kütleye verilen sıcaklık ve α da hacim sıcaklık genişleme katsayısıdır. Bu eşitlikler katılar için verilen eşitlik (1.22b) ve (1.22a )‘ ya paraleldir. Bu sebepten λmax –e k2 sistemin fiziksel sabitleridir. Örnek olarak k2=α2/(βθδcp/θ) (1.51) denklemi yukarıdaki bağıntıdaki sabitler kullanılarak bulunur. Tabi ki bu bağıntı cv/cp=βσ/βθ=1−k2 (1.52) cv için bulunur ki sabit hacimdeki belirli sıcaklıktır ve β ’ da ısısız sıkıştırılabilirliktir. Eğer bağıntıyı δσ bazında vereceksek eşitlik şu şekilde değişir δσ/ν=α(−δp)+(Cp/νθ)δθ, (1.50c) Burada Cp sabit basınçtaki molar özgül sıcaklıktır ve ν ’ de molar hacimdir. 1 mol ideal gaz ve ısısız işlem için; pν=Rθ , Cp/Cv=γ , ve pvγ= sabit ( 1.53) 39 Her bir sabitte şöyle verilir: βθ=1/p= v/ Rθ , α=1/θ=R/pv (1.54) Cp=Rγ/(γ -1) , Cv=R/(γ-1). Eşleme sabitesi şöyle bulunur; k2=α2/(βθCp/νθ)=R/Cp=(γ-1)/γ (1.55) Eş olarak, eğer gaz molekülündeki serbestlerin derecesinin sayısı n ile işlemlenirse (n= 3,5 veya 6) , o zaman γ=(n+2)/n ve sonuç olarak k2 = 2/ (n+2) elde edilir. Sabitler λmax ve k2 ilişkilendirildiği sürece, termodinamiğin ikinci kanunu etki etmez. Bunlar durumdaki uygun denklemlerin içerisindeki sabitler yardımıyla tanımlanır. Bu durum her doğrusal etkileşim işleminde aynıdır. Her bir bağımsız değişken setindeki eşleme sabiti uygunluğu gerçek transdüserde titreşim modu tanımlandığında, koordinat sisteminin doğru tercihi, titreşim işleyişini, bağımsız değişkenler olan mekanik kısmı ve elektriksel kısmı ile sağlar. Bu durumda Çizelge (1.2) ‘de listelenen bağıntılardan bizim bağımsız değişken setimize uygun bir ana denklem seçebiliriz. Misal olarak , bir çubuğun uzama modunu ele alalım. (Titreşim detaylarına burada ihtiyaç yoktur çünkü amaç her k2 tanımlarının özelliklerini incelemektir) Uygun ana denklem şimdi (T,E) tipleri ve (d-form) dan biridir. S=sET+dE ve D=dT+εTE. (1.57) 40 İlk önce tanımlama 4’ ü uygulayarak k2=d2/εTsE (1.58) T=0 (Basınç-serbest) durumda elektrik alan E uygulanırsa tanımlama 1 ½(dE)²/sE k²= ½εTE² şeklinde bir sonuç verir ki bu üstekiyle aynıdır. Eğer değişkenlerden biri, E veya T elenirse diğer ana sabitler bulunur. SD=SE -d²/ εT ve εs=εT-d²/sE (1.59a) Tanım 3’ü uygulayarak: 1-k²=SD/SE=εS/ε (1.59b) aynı k² ile sonuçlanır. Sonuç farklı bir tip bağıntı (Örnek (S.D) tip) ile başlarsak aynı olacaktır. Her nasılsa bazı istisnalar vardır. Şimdi (S,E) tip bir bağıntıyla başlayalım. T=cES-eE ve D=eS+εsE (1.60) Tanım 4 bir eşleme sabitesi önerir. ke²=cD/cE=εT/εs, bu eşitlik (1.61) (1.58)’den farklıdır. CE/Cp ve εS/εT oranları Tanım 4 de bulunup kullanılırsa farklı bir bağıntı karşımıza çıkar. 41 1+ke²=cD/CE=εT/εs, (1.62) Bu aynı zamanda (T,D) tip bağıntıdan besleme durumudur. Görüldüğü üzere istisna, kullanılan bağıntı karışık tipse açığa çıkıyor. Derin veya yüzeysel tiple başlamak, sebepli sonuçların ortaya çıkmasına yarar. Bağıntının diğer tipini alarak, o tipe uygun olan değişik eşleşme sabitlerini buluruz. Sonuçlar Şekil 1.2’de gösterilmiştir. Karışık tip için eşleşme sabitesi “expediend= uygun” anlamına gelen “e” ile gösterilmiştir. Şekildeki oklar, değişik durumlar (elektriksel, mekanik) için ana değişkenler arasındaki bağıntıyı gösterir, okun kuyruğunda bulunan sabite okun üzerindeki faktör ile çarpıldığında ok’ un ucundaki değer bulunur. Anlaşılır ki uygun eşleşme kat sayısının terimlerinde çarpım faktörü 1+ ke²’ dir. Aynı ok fakat ters durumdaki faktör 1-k² dir. O halde bağıntı : ke²=k²/(1-k²) (1.63) halindedir.Tanımlama 3’de anlatılan uygun eşleşme kat sayısı asıl durum için doğru bir eşleşme kat sayı değildir. Mason’un kitabındaki açıklamadan sonra (Bechmann ,1955) de göstermiştir ki eşleşme kat sayısı: kmixed²=khomog²/(1-khomog²), burada khomog derin veya yüzeysel değişken setinden elde edilmiştir. Bu parametreler khomog ve kmixed sırayla k ve ke’ye eşdeğerdir. 1.2.7. Elastik sabitlerde depolarize-alan etkisi Ana elastik sabitteki elektriksel durum Sabit – D veya Sabit – E ile tanımlanır. Bu nedenle elektriksel durumdaki fark depolarize alandakine uyacaktır. Depolarize–alan etkisi piezoelektrik fenomeninde en önemli özelliktir. 42 İlk önce, transduser ayarlamasıyla ilgili düşüncelerin verilmediği, elektriksel durumun Sabit “– E” veya Sabit “– D” ile olduğu, mekanik bir durum göz önüne alalım. Bu durum eşitlik (1.57) ile verilen (T,E) tipini ana bağıntısı üzerine kurulmuştur. Baskı T E= 0 olduğunda uygulanmıştır, gerilim artar. σ=sET (1.64) Sonra yukarıdaki durumla D= 0 durumların gerilmesini karşılaştıralım.İlk deneyde, D= dT , D=0 durumunu anlamak için yeni bir ters akış yolunu ilavesi ile (D∋=-dt ) akım yoğunluğu yok edilmelidir ki bu yeni gerilmeye artış katan yeni bir elektriksel alan olan E∋=(1/eT) D∋ nü oluşturur. σ∋=dE∋=-(d²/εT)T. (1.65) Sonuç olarak son gerilim (D =0 için) S= σ + σ∋=(sE-d²/εT)T (1.66) ile verilmiştir. Son durum aşağıdaki şemayla gösterilmiştir. (E=0) sE σ D=0 T -d D’ σ’ E’ 1/εT S (1.67) d Yeni durumdaki uyulacak olan sD değeridir ve denklem (1.66)’ yı kullanarak sD=sE-d² / εT (1.68) 43 bulunur. Orta halin her evresinde bu durum değişmesi homojen olarak sürecektir. Bu yüzden değişik formdaki bir bağıntı üzerindeki yorumlama bu durum içinde uygun olacaktır. Depolarize alanı görsellemek için, sonlu transdüserdeki yüzey yük dağılımı gözlemek yerinde bir karar olacaktır . Şekil 1.2a’da gösterilen iki yüzü elektrotlu olan X-kesimli ve uzunluğu Y doğrultusunda olan quartz çubuğu alalım. Kısa devre durumunda (E=0) yayılmış bir T boşluğu uygulandığında yayılmış gerilme σ artar ve polarizasyon P Şekil (1.2b)’ deki gibi kalınlık yönünde indüklenir. Polarızasyon sarjı (-p/ε0)’dan dolayı olusan alan ile kompanze edilir çünkü E=D/ε0-P=0’dır.toplam alan veya depolarize olmuş alan bu sartlar altında belirir. Açık devre Durumunda (D=0), herhangi bir gerçek yük elektrot üzerinde görülmez,alan yüzey sarjından dolayıdır. Bu sebepten depolarize olmuş alan E =-p/ε0 bulunmaz (şekil 1.2 c). Sonuç gerilimi σ+σ’ dır. Buna bağlı olarak D=0 durumu –P /ε0 depolarize olmuş alanına bir artış verir fakat E =0 durumu bir depolarize olmuş alanla beraber değildir. Elektriksel durum Maxwell denklemlerinin temeline dayanmaktadır. Yukarıda gösterilen şemadaki yük davranışı da aynıdır çünkü bu şema, gerçek ve serbest yükler cinsinden Maxwell denklemlerinin sonuçlarının ifadesidir. Yukarıda ,biz ilk önce durum b ve durum c ‘yi ele aldık bu toplam gerilmede σ ve σ∋ ‘nın oynadığı rollerin görülmesini kolaylaştırmıştır. Gerçek olarak,baskı devam ederken durum b ‘de elektrodlar açık devre hale getirilmiş olsalar da durum c fark edilememektedir. Baskı D=0 durumunda uygulandığında ve elektrodlar kısa devre edildiğinde durum c ve durum b basarıyla gözlemlemiştir. 44 (T=0) (a) E=0 T (b) D P T (c) E P Y x b (d) c a Şekil 1.2. Baskı altında Piezoelektrik gövdedeki depolarize alan etkisi (Ikeda, 1990) 45 Şekil 1.2d’deki baskı gerilme diyagramında gösterilmiştir ki burada oklar a→c→b rotasını gösterir. T çıkarıldığında durum, ilk durum olan a’ya döner. ac ve ab gradientleri sD ve sE ye duyarlılık vermektedir. İşlem c ab joule ısı dağlımı ile eş gitmektedir.T baskısı ile toplam mekaniksel işi yarı miktarı getirir ki bu acb üçgeninin alanıdır . Bu örnekleme, depolarize olmuş alan etkisinin değişik elektriksel durumla ve benzer şekilde sD ve sE ‘nin farkıyla bağıntılı olduğunu göstermektedir. Diğer bir durumda önceki bölümlerde açıklandığı gibi değişik durumlar için elastik sabitler eşlerine eşleşme katsayısı ile bağlantılıdır. sD/sE=cE/cD=1-k² (1.69) bu yüzden depolarize olmuş akım etkisi eşleşme katsayısına ilişkilenmiştir. Tekrar IEEE standardı (1978) ile ileri sürülmüş Tanım 7 deki baskı-gerilme döngüsünü ele alalım. Yukarıdaki bu örneği kullanarak 0→A→B→0 Şekil 1.3 rotayla gösterilen döngü ile gösterilir. 0→A işlemi E=0 durumunda takip edilmekte, bu yüzden A Şekil 1.2d’deki b ile eşleşmektedir. Uygulanan mekanik iş W dir. Baskının çıkarılmasından önce, elektrotlar açık devre edilmiştir, o halde A→B işlemi D=0 durumunda takip edilmektedir. Durum B de bir alan meydana getirilmektedir ve artık gerilim OB oluşmaktadır. Bunlar bir ideal elektrik yükü kullanılarak elde edilir, dağıtılmış elektrik enerjisi W1 dir ki bu OAB üçgenin alanına eşittir. Elektriksel durum şekilde konulan çizimle gösterilmiştir. OA ve AB işlemleri herhangi bir elektriksel işe ilişkilendirilmemiştir. Fakat BO işlemi W1 ile olmaktadır eşleşme kat sayısı k2 =W1/W olarak tanım veri dayanağıyla tanımlanmıştır. 46 A D S SE B A B O E O Şekil 1.3. Elektromekanik eşleşme sabitinin baskı gerilme döngüsünün tanımı (Ikeda, 1990). Şekil 1.3 (T,E) tipi ilişkiye dayandırılmıştır. Benzer davranış diğer tip bağıntılar içinde mümkündür, fakat bağımsız değişkenler gibi geniş değerleri içeren bağıntılarla başlamak biraz güç olabilecektir çünkü dış büyüklükleri kontrol etmek bayağı zor olacaktır. Her nasılsa (S-P) tipi bağıntı üzerine kurulan tartışma bazen kullanışlıdır bilhassa teorik tartışmalarda (S-P) tipi şema aşağıda gösterilmiştir. (P=0) cP τ E=0 S → E’ → P ’→ τ’ a 1/χs T, (2.70) -a Burada τ ve τ’ baskılardır ve E’ = - E = aS bu yüzden T=τ+τ’(cp-a²/χs)S=cES (2.71) 47 E=0 durumu için ortaya çıkar. 1.2.8. Daha yüksek dereceli elektromekaniksel etkileşimler 1.2.8.1. Elektrostriksiyon Pieozelektrik mekanik ve elektriksel değişkenler arasında çift çizgili bir eşleşmedir. elektrostriksiyon yüksek dereceli elektromekanik eşleşmenin en yaygın olanıdır. Pieozelektrik olmayan maddelerde, elektrik alanla arttırılan gerilmenin alan kuvvetinin karesiyle orantılı olduğu biliniyordu. Bu elektromagnetik teorideki dielektrik sabitinin gerilme bağımsızlığından açıklanmıştır. Elektrostriktive sabiti 4. derece tansördur ve bu yüzden izotropik ortamda bile bulunur. Elektostriksiyon, kristal fiziğinde, bir enerji ifadesindeki elektrik değişkenlerinin quadratik ürünleri ve mekanik bir değişkenler arasındaki terimlerin eşleşmesiyle ortaya çıkarılır. Pieozelektrikle beraber, değişik elektrostriktif sabitler, bağımsız değişken setlerinin seçimine bağımlı olarak oluşturulmuştur. (S-P) tipi setle elektrosriktif enerji terimi δijmnSijPmPn (1.72) dir. Ve bağımsız enerjiye ilave edilir. Burada sabit δ isotermaldir. Fakat son θ, piezoelektrik sabitlerden olduğu için ihmal edilir. G1, G2 ve G ilişkili termodinamik fonksiyonlar olarak seçilirse enerji terimleri toplanarak -QijmnTijPmPn, -dijmnSijEmEn, -qijmnTijEmEn, (1.73) haline gelir. Elektrostriktif sabitlerin sembolleri piezoelektrik sabitler kadar çok bilinen değildir. Piezoelektrik olmayan bir madde ki temel elektrostriktif bağıntı ilişkili termodinamik fonksiyonun diferansiyelinden elde edilebilir, piezoelektrik bağıntılarda da durum aynıydı örneğin; (S-P) tipi için elektrostriktif bağıntı şu eşitliklerle verilir. 48 Tij=CijkiPSkl+δijmnPmPn , (1.74a) En=XnmSPm+2δklmnSklPm (1.74b) İkinci denklemdeki 2 nin sebebi aynı eşitliğin diferansiyelinin alınmasıyla denklemde iki defa yer almasıdır. 1.2.8.2. Diğer nonlineer efektler Elektrostriksiyon mekanik değişkenle lineer değiştiği halde elektriksel değişkenle quadratiktir. Mekanik olarak yüksek derecede bir etki göz önüne alındığında sonsuz gerilme Sij yerine sonlu bir gerilme olan σij yerine alınmalıdır. Bu yüzden (G,P) tip bağıntı için serbest enerji şu şekilde verilir: F=1/2 CijklPσijσkl+1/6CijklrsPσijσklσrs+⋅⋅⋅ +1/2χmnσPmPn+1/6χmnpσ PmPnPp+⋅⋅⋅ -anijPnσij+1/2δijmnσijPmPn+1/2ϕnijklPnσijσkl+⋅⋅⋅ Burada cijklp , χmnσ , anij ve (1.75) δijmn öncekiyle aynı anlamdadır fakat Xmnpσ dielektirk nonlinear sabite Cijklrsp göre nonlineerlik 3.derece piezoelektirik sabit ϕnijkl dir. Sonlu bir gerilme şöyle açıklanır. Materyal nokta (ai)→(xi) ye deformasyon sonucu değiştiğinde yer değiştirme şöyle olacaktır . ui=xi-ai (1.76) Burada ai Eulerian kordinaati ,xi de lagrangian kordinatıdır. Gerilme σ∋ şöyle tanımlanır. Dxidxi-daidai=2σjkdaidak (1.77) 49 Bunda dolayı ; σ jk = 1 2 ∂u k ∂u ∂u ∂ui + + i ∂a j ∂ak ∂a j ∂ak (1.78a) Denklemi sonlu gerilme tansörunu verir. 3. terim ihmal edilirse σ→S haline dönüşür.şu şekilde yazarsak ; 1 ∂x ∂xi σ jk = i − δ jk 2 ∂a j ∂ak (1.78b) Nonlineer gerilme efektlerinin sabitlerini tanımlamak gerekirse, ses hızları değişik yönlerdeki tek eksenli vurgular şeklinde ölçülür. Sonlu büyüklükteki ses yayılması sesin 2. harmoniğine artış verir. 1.3. Kristal simetri ve fiziksel sabitler Etkileşim yöntemlerinin makroskopik çalışmaları için, simetri gruplarının (nokta ve limit grupları) anlaşılması ve tansör cebrinin öğrenilmesi gereklidir. Bu konuda, kristal fiziğin temellerini ve bununla alakalı konuları açıklayacağız. Bu açıklama kristal grafik kordinatları, tansörel fiziksel özelliklerin geometrik simetrisini ve kristal yönelmeleri içermektedir. 1.3.1. Kristallografik eksenler Fiziksel büyüklükler ve sabitler her zaman tansörler yardımıyla belirtilir. Tansörler koordinat sistem çevriminin temeliyle açıklanır. Buna göre kristal-fiziksel özelliklerin ele alınması için dörtgensel korezyen koordinat sistemi temel olarak tanımlanmalıdır. Koordinat sistemi, her bir kristal sistemindeki kristallografik eksenler için IRZ standartları (1961) ve IEEE standartları (1978-1987) ile gösterilir. 50 1. Triclinic sistem: Kristallografik a,b ve c eksenleriyle kartezyen koordinat x,y,z eksenleri arasındaki bağıntı Şekil (1.4)’ de canlandırılmış ve tanımlanmıştır. z ekseni c ye paraleldir ve y eksenide ac düzleminin normalidir. X ekseni ac düzleminde c’ ye diktir. Tabiki eksenler sağ el sistemine göredir. 2. Monoclinic sistem: Tek eksenin iki misli veya ayna düzlemini normal olan eksen b ekseni olarak alınır. A ve c eksenleri b eksenine diktir ve eksen açısı β geniş açıdır. (β > 90) eksenlerce b x ve y olarak alınır ve x sağ el sistemine göre alınır. Bu yüzden pozitif x ac düzleminde β açısıyla uzanır. 3. Orthorombic Sistem: Kristollografik eksenler dörtgenseldir. c<a<b prensibine göre alınır. a,b,c eksenleri sıra ile x,y,z olarak alınır. 4. Tetragonol Sistem: 4 misli eksen c’ dir ve b biribirine eşit ve c’ ye diktir.a,b,c eksenleri x,y,z olarak alınır. 5. Trigonal (rhombohedral) Sistem: 3 misli eksen c olarak alınır. Olusan kafes hexagonaldır. 6. Hexagonal Sistem: 6 kat eksen c’ dır.c’ ye diktır.düzlemde birbirleriyle 120° ile bulunan a1,a2,a3 eş eksenleri vardır.a1,a2,a3 den biri x seçilir ,c ekseni z dir,y de sağ el sistemine göre alınır . 7. Kübik Sistem: Eş a, b ve c eksenleri x,y,z olarak alınır. β a α γ b Şekil 1.4. Kristallografik eksenlere göre dörtgensel koordinat sistemi (Ikeda, 1990) 51 Tam olarak olarak sağ el kuralı benimsense de kristallografık eksen yönelmesi kendi basına tanımlanamaz. Bir pozitif yönelme, kendi piezoelektirik sabitini pozitif yapmak için seçilir. 1.3.2. Kristallografik nokta grupları ve limitleme grupları 32 nokta gurubu kristal sınıflar, simetri elementlerin terimleri cinsinden kristal simetrinin sınıflandırılmasıyla türetilir. Bunlar: Rotasyon ters çevirme, yansıma ve bunların birleşimidir. Detaylar genelde kristallografi hatlarında verildiği için burada daha fazla açıklama yapılmadan, sonuçlar Çizelge 1.3’de listelenmiştir. Çizelge 1.3. Kristallerin simetrisi (Nokta grubu) Nokta Grubu Kristal Sistemi Schoenfli Hermann-mauguin Elementler Piezoelektrik Piroelektrik es Triclinic Monoclinic Optik Enantiomor Aktivite phism C1 1 1 1 + + + + Ci,S2 Ī Ī 2 - - - - Cs,Ch m=2 m 2 + + + - C2 2 2 2 + + + + C2h 2/m 2/m 4 - - - - C2v 2mm,m2m mm2 4 + + + - mm2 D2,V 222 222 4 + - + + D2h,Vh 2/m,2/m,2 mmm 8 - - - - Orthorombic Tetragonal /m S4 4 4 4 + - + - C4 4 4 4 + + + + C4h 4/m 4/m 8 - - - - D2d,Vd 42m,4m2 42m 8 + - + - C4v 4mm 4mm 8 + + - - D4 422 422 8 + - + + D4h 4/m,2/m,2 4/mmm 16 - - - - /m C3 3 3 3 + + + + C3i,S6 3 3 6 - - - - 52 Nokta grupları. Genelde çizelgede gösterildiği üzere Schoenfies veya HermannMauguin sembolleri ile gösterilir. Aşağıdaki dört sütun fiziksel özellikleri işaretler, artı işareti bu özellikte kristalin aktif olduğunu, eksi işaret ise aktif olmadığını gösterir. Piezoelektrik, piroelektrik ve optik aktiviteler, 3. dercede polar tansör, polar vektör ve ikinci derece axial tansör görünmediği için tanımlanmıştır. Enantiomorfizm, ters çevirme ve ayna simetrilerin bulunmadığı sınıfta yer alır. Centrosimetrik sınıflar piezoelektrikliği her zaman aktif olmayan gruptadır. Enantiomorfus sınıflar her zaman optik olarak aktiftir. Optik olarak aktif olan 4 sınıf vardır. Fakat bunlar enantiomorfus değildir: m, mm2, 4 ve 42m.herbir sınıf ayna düzleminin dışında 2 zıt optik aktif eksen ihtiva eder. ∞2 ∞ ∞/∞2 ∞/m ∞/mmm ∞mm ∞/∞/mmm Şekil 1.5. Sınırlama gruplarının simetrisini gösteren katılar (Ikeda, 1990). 53 Nokta gruplarının, fiziksel özellikleri simetrisi tartışılırken yeterli olmadığı açıkça belirgin hale gelir. Her bir tansörun simetrisi ele almak için, dış hareket veya izotropik gövde gibi nokta grup elemanlarından başka simetri elemanları da gereklidir. Currie’nin sonsuz rotasyon simetrisi, sınıflandırıcı grubuna dikkat çekmiştir. Sınırlama grubunda 7 tane sınıf olduğu bilinmektedir. ∞ , ∞mm, ∞/mmm, ∞/∞2, ∞/∞/mmm herbir sınıfın simetrisi, Şekil 1.5’deki yaklaşık diyagramla gösterilmiştir, fiziksel özellikteki aktiflerde Çizelge 1.4’de listelenmiştir. Yarısınırlayıcı gruplarının 5 tane daha sınıfı vardır. Fakat bunlar sadece sınırlama grubu aH gruplarıdır. Bu yüzden bunların açıklanmasına gerek görülmemiştir. Zheludev (1976)’ in kitabı daha ince detaylar için tavsiye edilmektedir. Sınırlama gruplarının makroskobik metodolojideki faydaları açıklanmıştır. Çizelge 1.4. Sınırlama grupları Sınırlama grubu Katı Piezoelektricity Piroelectricity Optik Enantiomorphism Aktivite ∞ Dönen Koni + + + + ∞mm Sabit koni + + - - ∞2 Bükülmüş Silindir + - + + ∞/m Dönen Silindir - - - - ∞/mmm Sabit Silindir - - - - ∞/∞2 Simetri düzleminde - - + + - - - - dönen küre ∞/∞/mmm Simetri düzlemi küresi 1.3.3. Fiziksel özelliklerin simetrisi Neumann ‘ ın ilkelerine göre, herhangi bir fiziksel özelliğin simetri elemanları, kristal nokta grubunun simetri elemanlarını içermektedir. Diğer bir değişle, fiziksel özellik çevirisi, kristalin kendi simetrisine her zaman eşit veya bu simetriden büyük olmalıdır . 54 Her bir fiziksel özellik bir tansör vasıtasıyla temsil edilir. Simetri özelliği, bu yüzden, karşılık gelen tansörun simetrisidir. Tansör simetrisiyle ilişkili iki nokta vardır. Birincisi indislerin değiş tokuşuyla ilgilenir ki bu kendi tansörü ile verilen fiziksel özelliğin doğruluğuna bağlıdır. Bu gerçek (asal) simetri olarak adlandırılır. Diğeri ise nokta veya sınırlama grubu simetrisi ile ilgili olan özellik tansör simetrisidir ki bu, malzemenin ait olduğu nokta veya sınırlama grubunun simetri elemanı işlemi altında tansör bileşen değişimi demektir. Bu geometrik simetri olarak isimlendirilir. Gerçek simetrinin gerilme ile alakalı bir örneği gösterilmiştir. Sij deki i ve j indisleri, materyal simetrisini değiş tokuş önemsizliğidir. Bu ij ifadesiyle gösterilir. Bu çalışmadaki örneklerde termal genişleme (ij), dielektirik özellikler (mn) piezoelektirik özellikler n(ij),lineer elektrooptik özellikler (ij)n, elastik özellikler ((ij)(kl)), elektrostriksiyon (ij)(kl) ve magnetik anizotropik (ijkl) olarak alınmıştır . Herhangi fiziksel özellik tansörunun ele alınmasında IEEE standartlarına uyan eksenlere dörtgensel koordinat sisteme uydurularak kullanılmıştır. Her nasılsa ,tansör simetrisi aslında tansör özelliğidir ve koordinat sitemine bağımlı değildir. Eğer her hangi bir koordinat alırsak ,karşılık gelen tansörü sonuç matrisi durumdan duruma farklılık gösterecektir. Bu da gereksiz bir karmaşıklığa sebep olur. Bu yüzden uygun koordinat sistemi yerleşimi yapılmalıdır. İkinci derce Wij tansöru her zaman simetrik bir Sij= 1/2 ( Wij+Wji) tansöru ve anti simetrik bir aij=1/2( Wij - Wji) tansörünün toplamıyla verilir. Her bir aij tansörünün 3∗3 lük matrisi incelenerek Sij için dört ve aij için bir tane form bulunur keyfi bir simetrik ikinci derece tansör, uygun koordinat çevrimi ile köşegenleştirilebilir. Sij nin dört formunda her biri bu köşegen matrislerin her birine karşılık gelir. Tansör Wij nin simetrik kısmı köşegenleştildiğinde bu matris formuna tansör kanonik formu denir. Bu yüzden ikinci dereceye tansörlar kendi kanonik formlarında sınıflandırılır. 55 Her nasılsa IEEE standart koordinat sistemleri her zaman ikinci derece tansörler konanik formda ifade edemez. 1.3.4. Tansör index kısaltmaları Değiş tokuş edebilen indexler bir set halinde meydana getirebildiği halde tansör gösterimleri index kısaltmaları ile basit matris ifadelerine dönüştürülebilir. i ve j indisleri değiş tokuş edilebilir olduğundan (ij) λ = 1- 6 olacak şekilde λ’ ya kısaltılabilir. Şöyle ki 11→1,22→ 2, 33→3, 23→4, 31→5, 12→6 (1.78) veya λ=½(i+j)δij+[9−(i+j)](1−δij) (1.78b) Kısaltma sembolleri tanımında ,eş tansör bileşenleri sembol bileşenleri halinde düzenlenir. Bu yüzden karşılık gelen tansör bileşeni bir, tarihsel durumu ve pratik adetler gözönüne alınarak şeçilir. Bu yüzden kısaltılmış bileşen her zaman karşılık gelen tansör bileşeni ile uyuşmadığı için dikkat gösterilmelidir (Mikata, 1999). Mesela mühendislik kurma gerilmesi s4 , s5veya s6 tansör gerilmesi olan s23,s31 ve s12 ile uyuşmaz fakat sonucunun iki katıdır. Önemli sembollere karşılık gelen tansörlerle aşağıda ki gibi eşleştirilir. Vurgu: Tij+Tλ Gerilme : Sij→Sλ for i=j(λ=1−3) ve 2Sij→Sλ for i≠j(λ=4−6) Elektrostriktif sabite : genelde Qijkl→Qλµ (M=1-3 ve ,2Qijhl→Qλµ ve µ=4−6) λ ve µ elektiriksel ve mekanik büyüklüklere karşılık gelir ve değiş tokuş edilemezler . Bazı 56 bilimciler her koşulda Qijkl→Qλµ sağlarlar. Bu yüzden tanımlamada bahsedilmesi ve hangi durumun gözönüne alınacağı gösterilmektedir. Elastik sertlik sabitesi : Cijkl→Cλµ Elastik duyarlılık sabitesi : Sijkl→Sλµ for i=j ve k=l(λ,µ=1−3) 2Sijkl→Sλµ for i=j ve k≠l veya vice versa (λ=1−3 ve µ=4−6 veya vice versa) ve 4Sijkl→Sλµ for i≠j ve k≠l (λ,µ=4−6) koordinat transfer hesaplama işlemine ayrıca bir dikkat gösterilmesi gerekmektedir. Kısaltmanın her zaman bir tansörü temsil etmediğini düşünüldüğünde, kısaltma tansör cebrinde her zaman transfer kurallarına uyamayacaktır. Çevrilmiş kristal kesit için kısaltma bileşenlerini bulmak ilk önce tansör kurallarına göre karşılık gelen tansör bileşenleri bulmak ve daha sonra uygun katsayıları kullanarak onları yeni sembol bileşenlerine uydurmak gereklidir. Önceki konuda belirtildiği gibi kısaltmalar termodinamik enerji ifadeleri basitleştirmek içinde kullanılmıştır. Örneğin Gibbs fonksiyonu veya serbest enerji cinsinden elastik enerji terimleri şöyle gösterilir. 1/2CijklSijSkl→1/2CλµSλSµ veya 1/2SijklTijTkl→1/2SλµTλTµ sonuç olarak oluşturulan bağıntı sadeleştirilmiş halde elde edilir örnek olarak eşitlik (1.37a) ve (1.37b) ile verilen ana denklem Tλ=CλµpSµ−amλPm (1.80a) En=XnmsPm−anµSµ (1.80b) Haline gelir ilk eşitlik λ=1−6 için ve ikinci n=1−3 içindir. Bu yüzden bağıntı 9 eşitlikten oluşur. Kısaltmaların en fazla etkisi matris hesabı uygulamalarında göz 57 önüne gelir. Kısaltmaların çoğu değişiklikler için iki indisle belirtilir. ij, iλ veya λµ (i,j=1-3,ve λµ=1-6). Bu yüzden kazancın tüm değişken ve sabitleri 1x3, 3x1, 3x3, 1x6, 6x1, 3x6, 6x3 veya 6x6 matrisle ile ifade edilir. Buna bağlı olarak oluşturulan bağıntı matris eşitlikleriyle verilir. Örneğin, (δθ,T,E)- tipi bağıntı gözönüne alınsın. Kısaltmaların kullanım durumuna göre tek eşitlik (1.28a), 6 eşitlik (1.28b), 3 eşitlik (1.28c) şeklinde verilebilir. Matris ifadeleri kullanılırken oluşturulacak bağıntıyı vermek için aşağıdaki 3 eşitlik yeterlidir. δσ=(ρCT,E/θ)δθ+atE+ptTE, (1.81a) S=aEδθ+aE,θT+dtθE, (1.81b) D=pTδθ+dθT+εT,θE, (1.81c) D= S= D1 E1 D2 E= E2 D3 E3 ε11 ε12 ε13 P1 P= P2 ε= ε21 ε22 ε23 ε31 ε32 ε33 P3 S1 T1 α1 S2 T2 α2 S3 , T= T3 α= , α3 S4 T4 α4 S5 T5 α5 S6 T6 α6 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S12 S22 S23 S24 S25 S26 S= S13 S23 S33 S34 S35 S36 S14 S23 S34 S44 S45 S46 d11 d12 d13 d14 d15 d16 d= d21 d22 d23 d24 d25 d26 d31 d32 d33 d34 d35 d36 S15 S25 S35 S45 S55 S56 S16 S26 S36 S46 S56 S66 ( 1.82) 58 Üst indis t matrisin transpozesi demektir. Bu yüzden form ve sabitler matris cebri kullanılarak çevrilebilir. Örneğin s-1 matrisinin soldan çarpımı denklemde T’ yi verir. Bu matris s matrisinin tersi veya karşıt matrisidir ve c‘ ye eşittir. O halde c=s –1 dir. Bileşenler cinsinden yazılırsa; cλµ = ( -1) µ+λ∆µλs/∆s, (1.83) ki burada ∆ssµλ nin determinantı ∆µλs da s matrisinden µ . cü satır ve λ . sutun çıkarılarak elde edilen minör matrisidir. 1.3.5. Tansörlerin geometrik simetrisi Özel tansörlerin geometrik simetrisi, nokta ve sınırlama gruplarının simetri elemanı işlemleri altında tansör bileşenlerinin değişimi gözlenerek denetlenmiştir. Gözlemin değişik metodları vardır: direkt hesaba alma, analitik ve kuram grubu. Simetri eleman işleminin iki ayrı metodu vardır. Birinde koordinat sisteminde bir gözlemciyi bir simetri işlemine göre çevrilen kristal sabit dururken koordinat sisteminde bulunan gözleyiciyi döndürülerek inceleme yapar. Koordinat sistemleri durumuna uygun düştüğü için bu çalışmada sonucu gözlem açıklanacaktır. Analitik denetim şu şekilde olur. Her bir simetri işlemine karşılıklı gelen bir aij transfer matrisi tanımlanır. Tansör transfer kuralına göre çevrilen koordinat sistemine uyan yeni bileşenler hesaplanır. Simetri işlemi değişmezliği yeni ve esas tansör bileşenlerinin komple eşitliğine gerek duyar. Benzer prosedürler baz alınan kristaldeki tüm nokta grup simetri elamanları için tekrarlanır. Sonuç olarak bazı bileşenler kaybolur, yani daha az bileşen arasında bir bağıntı ortaya çıkar. Bazı özel tensorlerdeki geometrik simetri Çizelge 1.5 ve Çizelge 1.6 da gösterilmiştir. Sonuçlar yukarıda anlatılan denetleme metotlarına bağımlı değildir. 59 Bu çizelgeler çeşitli özel tansörların ders kitaplarındaki formları cinsinden matrislerin kısaltmalarıyla listeler. Çizelge 1.5, 1.6 ve 1.7’de axial tansörlar cinsinden gösterimini verir. Piezoelektrik sabiti için, çizelge bağımsız olarak sonuçları diλ ve eiλ cinsinden gösterir. Bunun sebebi bu sabitlerde çarpım faktörlerinin kısaltmalarında değişiklik göstermesidir. Örnek olarak, 32. nokta grubunda e sabiti için e26=-e11 olduğu bilinmektedir. Fakat d sabiti için d26=-2d11 ‘ dir. Elastik sabiti için c ve s ayrı olarak gösterilmiştir. Bu buluşa göre, kitaplarda çok çeşitli göstergeler kullanılmıştır, örnek olarak bazıları d ve s’i kullanılır fakat bazıları da e ve c’ yi kullanır. Bazı kişiler ise d ve e veya s ve c’ yi aynı çizelgelarda kullanılmaktadır. Bu çalışmalarda ayrık göstergeler kullanılmasının sebebi karmaşayı azaltmasıdır. İzotropik maddelerin elastik sabitelerinde bir nokta daha not edilmelidir. İzotropik bir ortam dolu ses ve titreşim tartışmaları her zaman c veya s sabitlerini kullanmaz aşağıdaki sabitlerin herhangi ikisi kullanmak yeterlidir. Young modülü E(=1/s11), sertlik modülü G(=1/s44) , Poisson oranı σ(= - s12/s11), hacim modülü: B(=c11+2c12), (1.84a) Veya lame katsayıları aşağıdaki gibi oluşur. λ(=c12), µ[=c44=1/2(c11c12)]. (1.84b) Çizelge 1.5 1.Rank Polar tansörlerin simetrisi • . Pn : 1 • , 2 • , m • . • ⋅ • 4, 4mm, mm2 • • • • 3, 3m, • • 6, 6mm, . . , diğerleri=0 • 60 Çizelge 1.6 2. Rank Polar tansörlerin simetrisi • • • 2 ε mn :1/1 • • , 2m • 2/m • . • • . , • mm2 222 mmm • . . • . • 3,3’,4,4’,4/m,6,6’,6/m • . . • . • 32,3m,3’m,422,4mm,4’2m,4/mmm 622,6mmm,6’m2,6/mmm • . . • . • 23, m2, 4’3m, 432, m3m Çizelge 1.7 3. Rank polar tansörlerin simetrisi • • • • • • eiλ :1 • • • • • • , • • • • • • ⋅ ⋅ ⋅ • ⋅ • 2 • • • ⋅ • ⋅ , ⋅ ⋅ ⋅ • ⋅ • • • • ⋅ • ⋅ m ⋅ ⋅ ⋅ • ⋅ • • • • ⋅ • ⋅ ∞mm ∞2 ~ d iλ : ∞/m ⋅ ⋅ ⋅ • ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ο ⋅ , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∞ / mmm ∞ ⋅ ⋅ ⋅ • • ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ • ο ⋅ , diğerleri = 0 • • • ⋅ ⋅ ⋅ 61 1.3.6. Kristal oryantasyon ve piezoelektrik işaret 1.3.6.1. Kristal kesim dizaynı Kristal kesim oryantasyonunun dizaynı için gerekli bilgiler IEEE (1978,1987), standartlarında verilmiştir. İlk olarak x,y,z eksenlerine paralel olacak şekilde bir dikdörtgenler prizması referans alınarak çizilir. Bu çizim değişik yörüngeler üzerinde çevirilerek son oryantasyona ulaşılmaya çalışılır. Dizayn şu prosedürlerin tanımlanmasından gelmektedir. Birinci olarak elimizdeki düzlemin kalınlığı ve uzama yönleri x,y,z harfleri kullanılarak tanımlanır. Daha sonra başarılı dönüş yönünün eksenleri l,w ve t olarak belirtilir (uzunluk, genişlik, kalınlık). Bu harfler parantezler içerisinde yazılır.daha sonra, dönüş açıları sırasıyla yazılır. Genelde üç dönüş yaptıktan sonra son oryantasyona ulaşılır. Bu yüzden notasyon ikiden beşe kadar parantez içi harflerden ve de sıfırdan üçe kadar açıdan oluşmaktadır. Orijinden bakıldığı zaman eğer dönüş yönü saat yönünün tersi ise (sol el kuralı) açının işareti pozitif olacaktır. Bu yüzden; (YXlwt) Φ / Θ / Ψ eşitliği dönüşü tam olarak temsil etmektedir. Bu demektir ki: kendi kalınlığı y ekseni üzerinde ve uzun kenarı x ekseni üzerinde bulunan bir dikdörtgenler prizması l ekseni üzerinde Φ açısıyla çevrilmesi, daha sonra w ekseni üzerinde Θ açısıyla çevrilmesi ve t ekseninde Ψ açısıyla çevrilmesidir. Bu prosedürlerde Eulerian açılarının tanımlanmasındakine benzer uygulamalar kullanılmıştır. Fakat Eulerian açılarında kullanılan dönüş prosedürleri tam olarak bunlara uymamaktadır. 62 Şekil 1.6. GT- kristali kesimi (Ikeda, 1990) Bir dizayn örneği olarak Şekil 1.6’da GT–kesim bir kristali gösterilmiştir. Hipotetihal kesim YX düzlemindedir ve l ve t eksenleri +x ve +y ile uyum sağlayacak şekilde seçilmiştir. Düzlem l1 ekseni etrafında –510 çevrilmiştir ve daha sonra t ekseni üzerinde 450 çevrilmiştir. Bu yüzden dizayn (Y*lt)-510/450 şeklinde tanımlanmştır. Eğer kesim 2X ekseninde yapılacak olsaydı gösterim (2Xlt) 390/-450 olması gerekirdi. Şimdiye kadar kullanışlı kesimler değişik adlarla isimlendirilmiştir. Bizim metodumuzdaki şöyle özetlenebilir. X-kesim Y-çizgi (XY) kristalin AT kesimi (YXl) -35.250 veya (YZw)-35.250 63 (a) (b) Şekil 1.7. Kristaldeki dikdörtgensel koordinat sistemi. (a) Sol (b) Sağ (Ikeda, 1990) 64 1.3.6.2. Piezoelektrik işaret Piezoelektrik sabit işareti, pozitif bir baskı altında, pozitif eksen yönünde, pozitif bir şarj durumunda pozitif olarak alınmaktadır. Bu aynı zamanda kesim bileşeninin durumudur. Mesela pozitif baskı T6 (.XOY açısını dar açı yapan) +Z yönünde pozitif bir şarj yaparsa d36>0 tanımlanabilir. Bazen kristollografik eksen hassasiyeti tabiri kullanılır bu tabir kullanıldığında piezoelektrik sabit pozitiftir. Enantiomorfus kristal sınıflarında piezoelektrik işarete daha fazla dikkat edilmelidir. Eğer sağ el kuralına göre koordinat sistemini sağ kristal, sol el kuralına göre koordinat sistemini sol kristal için kullanıyorsak kristal fiziğinde yapılan tanımayla aynı tanımlama yapmış olunur. Şekil 1.7’de görüldüğü üzere sağ kristalde –a ekseni X ekseni olarak, sol kristalde +a ekseni X ekseni olarak alınmıştır ve burada sağ el koordinat sistemi kullanılmıştır. X ekseni üzerindeki bir baskı sağ kristalde +X yönünde pozitif şarjı gösterir. Bu sebeple d11,e11 ve e14 pozitif, d14‘ de negatif sağ kristal işaretleri olur. 65 2. KAYNAK BİLGİSİ Eringen (1963)., elektroelastostatiğin temelleri üzerine yaptığı çalışmada mekanik ve elektrostatik balans denklemleri üzerinde durmuş ve dielektrik malzemelere ait bünye denklemlerini sürekli ortamlar mekaniği çerçevesinde incelemiştir. Geliştirdiği teoriyi örnek bir problem üzerinde açıklayan Eringen, gerilme ve polarizasyona ait bünye denklemleri üzerinde oldukça kapsamlı ve doyurucu açıklamalarda bulunmaktadır. Bu konuda İkeda (1990) ve Kalpakidis(1999)’ in çalışmaları da oldukça dikkat çekici ve önemlidir. Ding v.d., (2000)’ nin “ Transvers izotropik piezoelektrik malzemelerin piezo-termoelastisitesi için genel bir çözüm ve uygulamaları ” konulu çalışması dinamik piezotermo-elastik problemler için genel çözümler üzerinde durmaktadır. Atalet terimleri göz ardı edilecek olursa genel çözüm yarı-statik problemlerin çözümlerine indirgenmiş olur. Çalışmanın sonunda nümerik bir çözüm gerçekleştirilmiştir. Bu çalışmanın sonunda; diferansiyel operatörlere ait cebirsel operasyonlar kullanılarak 6mm sınıfına ait kristal yapıların piezo-termo-elastisitesi için genel çözüm üretilmiştir. Ayrıca, farklı karakteristik kökler durumunda ortaya çıkacak olan genel çözüm de verilmiştir. Çok katlı karakteristik kökler durumu da benzer bir genel çözüm prosedürü ile elde edilebilmektedir. Nümerik örnekte Cadmiyum selenide ait gerçek değerler kullanılmıştır. Heterojen piezoelektrik katılarda mikroyapısal alanların analizi konusunda Li ve Dunn (1999) önemli bir araştırma yapmış ve bir teori geliştirmişlerdir. Bu teoride, dış yükleme ve alanlardan kaynaklanan iç alanların ortalama değerleri ve değişimleri için elde edilen ifadeler kullanılmaktadır. Elde edilen genel teori çok kristalli seramiklere ve matris tabanlı kompozitlere de uygulanabilmektedir. Teori aynı zamanda çok fazlı matris tabanlı kompozitlere de uygulanmış ve iki fazlı kompozitler için kesin bağıntılar elde edilmiştir. Efektif termal özellikler ve efektif elastisite modülü arasındaki kesin ilişkiler tesis edilmiş ve bu bağıntıların daha önceki benzer çalışmalarla tutarlı olduğu kaydedilmiştir. Aynı zamanda, heterojen katılar için depolanan entalpi efektif termo-elektro-elastik özelliklerin kesin bir fonksiyonu 66 olarak ifade edilmiştir. Sonuç olarak, teorinin uygulanabilirliğini göstermek amacıyla, polimer bir matrise gömülü olan sürekli piezoelektrik fiberlerden oluşmuş iki fazlı bir kompozit için ortalama alanlar ve alan değişimleri için sayısal sonuçlar sunulmuştur. Uyarlanabilen kompozit yapıların modellenmesi ve dizaynı konusunda Correia v.d., (2000)’ nin yaptığı incelemede; piezoelektrik tetikleyici ve sensörlerin dağılı vaziyette yer aldığı adaptif kompozit yapılardaki en son gelişmeler verilmiş ve araştırma gruplarının dikkati, kompozit piezoelektriklerden faydalanarak, ticari kullanımı çok fazla olan titreşim sönümleme, gürültüyü azaltma, şekil kontrolü ve kesin konum belirleme gibi konulara çekilmiştir. Adaptif tabakalı kompozitlerin dizayn ve fabrikasyonundaki karmaşıklık onların maddesel özelliklerini ve mekanik davranışlarını incelemek için güvenilir ve hassas modeller geliştirmek ihtiyacından kaynaklanmaktadır. Bu aşamada, gömülü ve /veya bağlı piezoelektrik tetikleyiciler ve sensörler içeren uygun kompozit yapıların mekaniğini incelemek için yüksek dereceden sonlu elemanlar formülasyonu ve kapalı analitik çözümler geliştirilmeye çalışılmaktadır. Adaptif kompozit yapıların optimizasyonu da tetikleyici performansını maksimize etmek için önemli bir dizayn faktörü olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu çalışmada, tabaka kalınlığı, tetikleyicinin ölçüsü/büyüklüğü ve yerinin dizayn değişkeni olarak seçildiği iki optimizasyon şeması göz önüne alınmıştır. Önerilen modellerin geçerliliğini, faydasını ve verimliliğini açıklamak için birkaç açıklayıcı örnek sunulmuş ve tartışılmıştır. Bu çalışmada, bazı piezoelektrik malzemelere ait veriler sunulmakta ve sonlu eleman çözümleri ifade edilmektedir. Piezoelektrik kompozitlerde birleşik etkilerin incelenmesi bir birim hücre modeline dayandırılarak Pettermann ve Suresh (2000) tarafından verilmiştir. Bu makalede, sürekli fiberlerin periyodik olarak sıralanmış vaziyette yer aldığı kompozitler için herhangi bir yükleme durumu sonlu eleman birim hücre modeli ile incelenmiştir. Mekanik ve elektriksel yüklemeden kaynaklanan genel deformasyonun bütün modlarının simülasyonuna imkan tanıyan sınır şartlarının formülasyonu üzerine oturtulmuş özel örnekler verilmiştir. Bu çalışmada kurulan model genel elastik, dielektrik ve piezoelektrik kompozit malzemelere uygulanmıştır. Piezoelektrik 67 seramikler ve piezoelektrik fiberlerle takviye edilmiş polimer matrisli kompozitler arasındaki farklar ve fiber düzenlemelerinin etkileri incelenmiştir. Wu (2000), boşluklar içeren piezoelektrik malzemelerin elektro-elastik özelliklerini mikro mekanik metodlarla incelemeye çalışmıştır. Boşluklar sıfır elastisite modülüne sahip küresel şekiller olarak modele dahil edilmiştir. Boşlukları çevreleyen malzemenin lineer piezoelastik ve transvers izotropik yapıda olduğu kabul edilmiştir. Küresel boşluklar için elektroelastik Eshelby tansörleri faklı açılardan sayısal olarak işlemlere dahil edilmiştir. Boşluklar ve matris yapı arasındaki etkileşimi dikkate almak için Mori-Tanaka ortalama alan teorisi kullanılmış ve malzemelerin efektif elektroelastik özellikleri elde edilmiştir. Sayısal örnekler de PZT-5H ve BaTiO3 kullanılmıştır. Malzeme özellikleri üzerinde boşlukların oranı ve hacımsal yüzdeleri incelenmiştir. Malzemenin piezoelastik kapling etkisi özellikle vurgulanmaktadır. Her iki malzeme için piezoelastik kapling malzemeler üzerinde katılaşma etkisi sağlamakta, boşluk hacmı arttığında ve boşluk oranı azaldığında kaplingin etkisi çok belirgin bir şekilde ortaya çıkmaktadır. Holmes v.d., (2000) sensör uygulamaları için yeni piezoelektrik yapılar hakkında ilginç araştırmalarda bulunmuşlardır. Bu araştırmalarda piezoelektrik seramik cihazlar helisel bir yay şeklinde sinterlenmiş bir seramik tüp formunda oluşturulmuş, tüpün iç ve dış yüzeyleri üzerine elektrodlar yerleştirilmiştir. Bu yapılar düşük elastik uygunluk ve düşük doğal rezonans frekanslarına sahiptir. Cihazların rezonans frekanslarını önceden belirleyebilen denklemler geliştirilmiş, bu denklemlerden elde edilen sonuçların ölçülen değerlerle uyum içerisinde olduğu görülmüştür. İncelenen cihazın frekans davranışı belirlenmiş ve klasik elektromagnetik jeofonlarla kıyaslanmıştır. Klasik piezoelektrik sensörler piezoelektrik malzemeden yapılmış bloklar veya diskler şeklindedir, hidrofonlarda veya ivme ölçerlerde basınç dalgalarının ölçülmesi amacıyla kullanılırlar. Bu incelemenin asıl amacı sensör uygulamaları için seramiklerin kesin şekli veya formu üzerinde bir inceleme yapmak bu formların avantajlarını net bir şekilde belirlemektir. Kullanılan malzeme PZT cinsinden bir piezoelektrik malzemedir. 68 Cohen (2000), Ferroelektriklerin teorisi üzerine bir inceleme yapmış ve gelecekte bilim dünyasına ferroelektriklerden beklentilerini temel fiziksel kavramlar çerçevesinde açıklamaya çalışmıştır. Bu çalışmada faz diyagramları, elektromekanik ve elastik özellikler, kusurlar ve yüzeylerin özelliklerinin sayısal metodlarla belirlenmesinin gereği vurgulanmaktadır. Dielektriklerde polarizasyonun anlaşılması için geliştirilen yeni tekniklerden bahsedilmektedir. Bir literatür çalışması şeklinde yapılan bu incelemede toplam enerji ve elektronik yapı kafes dinamiğinin lineer davranışlarına ait ilkeler, periyodik sınır şartlarına polarizasyon yoğunluğu teorisi piezoelektriklik, kusurlar, alan sınırları ve yüzeyler, relaksör sistemler yeni piezoelektrik malzemeler ve dizayn ilkeleri hakkında yapılan çalışmalar özetlenmektedir. Tauchert v.d., (2000), akıllı kompozit yapılarla ilgili termo-piezo-elastisite teorisindeki gelişmeler hakkında teorik incelemeleri gözden geçirmişlerdir. Piezotermo-elastik ortamın lineer davranışını yöneten denklemler belirlenmiş, potansiyel fonksiyonlara dayalı bir genel çözüm prosedürü tanımlanmıştır. Önceden belirlenen termal yükler ve elektriksel potansiyel dağılımlarının sonucunda sensör uygulamalarının sonuçları belirlenmiş kiriş, plak ve kabuk gibi kompozit yapıların piezoelektrik tetikleyicilerle nasıl kontrol edileceği anlatılmıştır. Burny v.d., (2000), akıllı ortopedik implantlara ait dizayn, fabrikasyon ilkelerini ve bu konudaki ilginç kavramları açıklayan bir çalışma yapmışlardır. Weston köprüsü ile irtibatlandırılmış gerinme ölçen cihazların ortopedik implantların dizaynında yaygın bir şekilde kullanıldığı belirtilmektedir. İmplantların deformasyonları direnici gerinme ölçüm cihazları ile belirlenmekte imalat prosesleri için kişisel bilgisayarlara sinyal bilgisi şeklinde aktarılmaktadır. Bu çalışmada implantların mekanik karakterizasyonu, levhalar üzerinde statik eğilme testleri, kritik ara yüzeylerde korozyon direncinin elektron mikroskopisi, spektroskopi ve atomik absorbsiyon spektroskopisi ile nasıl belirlendiği detaylı bir şekilde açıklanmaktadır. Bu konuda yapılan ilginç klinik uygulamalar ve proje çalışmaları, bu makalenin sonunda özetlenmektedir. 69 3. MATERYAL VE METOT 3.1. Materyal 3.1.1. Elektromagnetizma Quartz, Turmalin, Seignette tuzu gibi belirli kristaller gerilmenin etkisi altında kaldığı zaman elektriksel olarak polarize olurlar. Bu basit piezoelektrik etkidir. Tersine, bir dış elektromagnetik alan pizoelektrik bir kristalde deformasyon üretir. Bu ters piezoelektrik etki H.G. Lippmann tarafından termodinamik şartlara dayanarak belirlenmiş ve 1881 yılında J. ve P. Currie kardeşler tarafından deneysel olarak doğrulanmıştır. Piezoelektrik malzemelerin lineer teorisi ise W. Voigt tarafından oluşturulmuştur. Piezoelektrik etkilerin en çok bilinen pratik uygulamaları ultrasonik dalgaların üretilmesi, elektromagnetik enerjinin mekanik enerjiye dönüştürülmesi veya tersi işlemlerin yapılması şeklinde ifade edilebilir. Problemin elektromagnetik temellerini aşağıdaki gibi ifade edebiliriz: rot H= ∂D +J , ∂t (3.1) ∂B , ∂t (3.2) rot E = - Burada, H Magnetik alan vektörü, E Elektrik alan vektörü, B Magnetik indüksiyon vektörü, D Elektriksel yer değiştirme vektörü, J İletim akımı vektörü olarak verilmektedir. Bir katıda alan vektörleri için aşağıdaki bünye bağıntılarının varlığı Elektromagnetik teoriden çok iyi bilinmektedir. 70 D = ε0 E + P , (3.3) B = µ 0 (H + M). (3.4) P Elektriksel polarizasyon vektörü, M Magnetizasyon vektörü, ε 0 , µ 0 sırasıyla sabit elektriksel ve magnetik permeabiliteleri göstermektedir. (3.1) ve (3.2) denklemleri aşağıda verilen div D = ρ e (3.5) , ve div B = 0. (3.6) Gauss denklemi ile tamamlanmak zorundadır. Burada, ρ e elektriksel yükleri tanımlar. (3.1) ve (3.5) denklemleri birlikte aşağıda ifade edilen elektriksel yüklerin korunum denklemini verir. ∂ρ λ + divJ = 0 . ∂t (3.7) İncelediğimiz Piezoelektrik malzemenin herhangi bir B bölgesini göz önüne alalım, bu bölge ∂ B yüzeyi ile sınılandırılmış olsun. B bölgesinin iç kısımlarında B elektromagnetik alanının varlığını kabu edelim. Bu elektromagnetik alan Elektrik akımları ve Joule ısısı üretmektedir. (3.1) denklemini E ile, (3.2) denklemini H ile çarparak birbirinden çıkartıp elde edilen ifadenin B bölgesi üzerinde integrasyonunu gerçekleştirirsek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz. ∫ B ( E rot H – H rot E ) dv= ∫ B ⋅ ⋅ ( E D + HB )div + ∫ E J dv . B (3.8) 71 Vektör cebirinden faydalanarak E rot H rotE = - div(E × H) , eşitliğini yazarız. Gauss transformasyonunu kullanarak (3.8) denkleminden aşağıdaki ifadeyi elde ederiz. ⋅ ⋅ - ∫ n•h da = ∫ ( E D + HB )dv + ∫ E J dv ∂B B B (3.9) Burada Poynting vektörü olarak adlandırılan vektörü h=E × H . formunda yazabiliriz. Denklem (3.9) Maxwell denklemlerinin matematiksel bir sonucudur ve fiziksel olarak elektromagnetik enerji balansı şeklinde yorumlanabilir. Böylece, n•h terimi ∂ B yüzeyi boyunca cisimden çevreye elektromagnetik enerji akısını ifade eder. ⋅ ⋅ E D + H B terimi ise Υ e elektromagnetik enerjinin zamana göre değişimini gösterir. Sonuç olarak E J terimi ise Joule ısısını temsil eder. Bu durumda (3.9) denklemi aşağıdaki formda yazılabilir. ∂ ∂t ∫ Υ e dv = - B ∫ n • h da - ∂B ∫ E•J dv ( 3.10 ) B Yukarıda verilen (3.10) enerji balansı denklemine göre elektromagnetik enerjinin zamana göre değişimi ∂ B yüzeyinden geçen enerji miktarı ile ısıya dönüşerek kaybolan elektromagnetik enerjinin toplamına eşittir. Denklem elektromagnetik alan için enerjini korunumu yasasının global ifadesidir. (3.10) 72 İleride cismin deformasyonunu da dikkate alarak genelleştirilmiş enerji balasını yeniden ifade edeceğiz. Maxwell denklemlerine geri dönelim. Denklem (3.6) uyarınca B vektörü solenoidal bir vektördür bu yüzden, A0 vektörünün rotasyonu cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilebilir. B = rot A0 (3.11) Ancak (3.11) eşitliği A0 vektörünü benzersiz ve tek bir şekilde ifade etmeye yetmez. Bu yüzden aşağıda verilen ifadeleri A = A0 – grad ψ B = rot A , (3.12) (3.2) numaralı denkleme taşıyarak . rot (E + A 0) = 0 , . rot (E + A ) = 0 , (3.13) eşitliklerini elde ederiz. Bu ifadelerden faydalanarak . E = - A 0– grad ϕ 0 . E = - A - grad ϕ , Bağıntılarını yazabiliriz. Bu bağıntılarda yer alan ϕ , ϕ 0 , ψ (3.14) ı aşağıda verilen eşitlikle birbirleri ile irtibatlıdır. ϕ - ϕ0= ∂ψ . ∂t (3.15) Yukarıda verilen (3.12) ve (3.14) eşitlikleri dikkate alınarak Maxwell denklemlerini vektörel potansiyel A ve skaler potansiyel ϕ cinsinden aşağıda verilen denklemlerle ifade edebiliriz. . rot H = D + J, (3.16) 73 B = rot A , (3.17) . E = - grad ϕ - A (3.18) (3.3), (3.4) bünye bağıntıları ve Gauss denklemi değişmeden kalacaktır. h Poynting vektörü A ve ϕ potansiyelleri cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilebilir. . . h = E × H = ϕ (J + D ) - A × H . (3.19) Şimdi dielektrik malzeme olarak da ifade edilebilen piezoelektrik cisimleri göz önüne alalım. Genellikle bu cisimler elektriksel olarak dengede olup, aynı miktarda pozitif ve negatif yüklere sahip olduklarından akım iletmezler. Dielektrik bir malzemenin elektromagnetik bir alana yerleştirilmesi durumu daha sonra incelenecektir. Sonuç olarak E ve D vektörler paralel değildir ve polarizasyon vektörü P kadar birbirlerinden fark gösterirler. Piezoelektrik malzemeleri magnetize olamayan dielektrikler gibi düşünerek bazı basitleştirmeleri aşağıdaki eşitlikler şeklinde yazabiliriz J = 0 , ρe = 0 , M = 0 . (3.20) Bu kabuller altında (3.16) ve (3.18) Maxwell denklemleri aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir. rot H =D (3.21) B = rot A , (3.22) . E = - grad ϕ - A . (3.23) 74 (3.3) nolu bünye bağıntısı değişmeden aynen kalır oysa (3.4) bağıntısı şimdi aşağıdaki formda ifade edilmelidir. B = µ0 H (3.24) Serbest yükün bulunmadığı ρ e = 0 gerçeğini dikkate alırsak (3.6) denklemi homojen bir denklem olup div D = 0 . (3.25) şeklinde ifade edilir. Bu durumda Poynting vektörü daha basit formda . . h = ϕ D -A × H . (3.26) şeklinde yazılır. Daha ileri derecede bir basitleştirme (3.23) denklemindeki magnetik terimi ihmal ederek (A=0) yapılabilir. Böylece aşağıdaki bağıntıya ulaşmış oluruz. E = - grad ϕ (3.27) Bu basitleştirmeler dielektrik yer değiştirmenin diverjansının sıfır olduğunu ortaya çıkarır. div D = 0 , (3.28) Bu durumda bünye bağıntısı aşağıdaki formda yazılır. D = ε0 E + P . (3.29) Poynting vektörü ifadesinde magnetik terimi ihmal ettiğimiz zaman . h= ϕ D . (3.30) 75 eşitliğini yazabiliriz. Bu basitleştirmelerin doğruluğu deneysel olarak kanıtlanmış olup Tiersten tarafından yayınlanan ilginç bir makalede takdim edilmiştir. Bu basitleştirmeler elastik dalgalarla etkileşim halinde olmayan elektromagnetik dalgalar için geçerlidir ve dalga uzunluklarının elastik dalgaların uzunluğuna çok yakın olduğunu kabul ediyoruz (aynı frekanslı elektromagnetik dalgalardan çok daha kısa olanlarını da dikkate almak mümkündür) . Denklem (3.10) için verilen enerji balasına geri dönersek piezoelektrikler için B = 0 , J = 0 olduğunu dikkate alarak ve (3.30) daki poynting vektörü ifadesini de hesaba katarak, ∂ ∂t ∫ Υ e dv = - . ∫ nί D ί ϕ da ∂B B yazabiliriz. Bu eşitliğin sağ tarafına Gauss transformasyonu uygulanarak aşağıdaki ifade elde edilebilir. ∂ ∂t ∫ B . Υ e dv = - ∫ ϕ ,i D ίdv (3.31) B Sonuç olarak aşağıdaki ifade yazılır. ∂ ∂t ∫ B Υ e dv = ∫ . Eί D ίdv (3.32) B Şimdi ise enerji balansında cismin deformasyonunu göz önüne alacağız. 3.1.2. Enerji balansı Zamanla değişen dış yükler ve elektromagnetik alandan dolayı cismin deformasyona uğradığı kabul edelim aynı zamanda cismin içinde ısı kaynağı bulunmadığını ve 76 kondüksiyon vasıtasıyla ısı iletimi olmadığını kabul edelim. ∂ B yüzeyi ile sınırlandırılmış cismin herhangi bir B bölgesine enerjinin korunumu ilkesi uygulanırsa; ∂ ∂t ∫ ( B 1 ρ vίvί+ Υ ) dv = ∫ xίvί dv + 2 B ∫ pίvίda + ∂B ∫ . Eί D ίdv , (3.33) B Burada K= 1 2 ∫ ρ vίvίdv . (3.34) B Kinetik enerjiyi, Υ iç (mekanik ve elektromagnetik ) enerjiyi ifade derken; L = ∫ xίvί dv + B ∫ pίvίda (3.35) ∂B Mekanik gücü temsil etmektedir. Denklem (3.33) deki son integral ∂ B yüzeyi boyunca elektromagnetik enerji akışını ifade eder. D= - ∫ ∂B . ϕ D ί nίda = ∫ . Eί D ίdv . (3.36) B Enerjinin korunumu ilkesine göre kinetik ve iç enerjilerin zamana göre değişimi dış kuvvetlerin ve ∂ B yüzeyi boyunca akan elektromagnetik enerjinin gücüne eşittir. Bu durumda denklem (3.33) aşağıdaki formda yazılabilir. d (K + U ) = L + D , dt U = ∫ Υ dv , (3.37) B Denklem (3.33) deki yüzey integralini bir hacim integraline dönüştürelim, bu dönüşümü yaparken aşağıdaki bağıntıyı kullanalım, 77 p= σ ji ni (3.38) Burada ni yüzeyden dışarıya doğru yönlenmiş birim normal vektörü göstermektedir. Gauss tranformasyonunu da kullanırsak aşağıdaki denkleme ulaşırız. . ∫ U dv = B ∫ [ . . ( σ ji ,j + xi - ρ v i) vί + σ ji vί,j + Eί D ί ] dv , (3.39) B Bu denklem cismin her kısmı için sağlanmak zorunda olan global korunum denklemidir böylece enerjinin lokal korunum denklemini (3.39) denkleminden istifade ederek aşağıdaki gibi yazabiliriz. . . . U =σ ji vί,j + ( σ ji ,j + xi - ρ v i ) vί + Eί D ί (3.40) (3.40) denkleminin cismin rijit hareketler altında invaryant kalacağını düşünerek ilk önce öteleme hareketini aşağıdaki gibi göz önüne alalım. vί → vί + bi (3.41) Burada bi herhangi bir sabit vektördür. ρ , Υ , Xi , σ ji , Eί büyüklüklerinin sabit kaldığını kabul ediyoruz. (3.41) denklemini (3.40) denkleminde kullanacak olursak . U =( vί + bi )( . σ ji ,j + Xi - ρ v i . ) + σ ji vί,j + Eί D ί , (3.42) denklemini yazabiliriz. (3.42) denkleminden (3.41) denklemini çıkarırsak aşağıdaki bağıntıyı elde ederiz. bi ( . σ ji ,j + Xi - ρ v i )=0 78 Bu bağıntı herhangi bir bi vektörü için sağlanmak zorundadır. Böylece aşağıda verilen hareket denklemine ulaşmış oluruz. σ . ji ,j + Xi = ρ v i . (3.43) Bu denklem basitçe enerji balansını aşağıdaki gibi ifade etmemize yardımcı olur. . . U =σ ji vί,j + Eί D ί . (3.44) Kabullerimiz uyarınca (3.44) ifadesi herhangi bir rijit rotasyona göre invaryant olmak zorundadır. Böylece aşağıdaki transformasyonu göz önüne alarak vί → vί ε ikl Xk Ω l , vi,j → vi,j- ε ikl Ω l , Ω = const . (3.45) ve bu transformasyonu (3.44) ifadesinde kullanarak . U =σ ( ji vί,j - ε ikl Ω l ) . + Eί D ί denklemini yazarız. (3.46) denkleminde (3.44) ifadesini çıkarak ve Υ , σ (3.46) ji , Eί büyüklüklerinin invaryant olduğunu düşünerek aşağıdaki ifadeyi yazarız Ω l ε ikl σ jk = 0, (3.47) Bu sonuç gerilme tansörünün aşağıda görüldüğü gibi simetrik olduğunu ifade eder. ε ijk σ jk = 0 , σ ji = σ ij . (3.48) Sonuç olarak, . . U = σ ji vi,j + Eί D ί . (3.49) 79 eşitliği yazılır. Ayrıca şimdi gerilme tansörünün simetrik bir tansör olduğunu da biliyoruz. Elastisitedeki tanımlardan faydalanarak ε ij = 1 ( 2 ui,j + uj,i ), ω ij = 1 2 ( ui,j - uj,i ) (3.50) yazarız. Bu durumda, . . ε ij + ω ij vi,j = yazılabilir. Burada ε i j ve wi j sırasıyla simetrik gerinme ve antisimetrik rotasyon tansörlerini ifade eder. Böylece σ ij ω ij = 0 yazabiliriz. Yukarıda verilen enerji balansı (3.49) şimdi aşağıdaki formu alır. . . Υ = σ ij ε ij + Eί D ί (3.51) Bu ifadeden görüleceği üzere sistemin enerjisi Υ = Υ ( ε ij , Di ) şeklinde gerinme tansörünün ve elektriksel yer değiştirmenin fonksiyonudur. Bu fonksiyonun türevini alırsak . U= ∂Υ . ∂Υ . ε ij + Dί . ∂ ε ij ∂ Di (3.52) elde ederiz. Böylece (3.51) ve (3.52) denklemleri dikkate alınarak aşağıdaki ifade yazılabilir. ( σ ij - ∂Υ ∂ ε ij . ) ε ij + ( Eί - ∂Υ ∂ Di . ) Dί= 0 (3.53) 80 Bu denklem ε i j , D&i nin herhangi bir değeri için geçerli olmalıdır. Bu mantıkla (3.53) nolu denklemden faydalanarak aşağıdaki eşitlikler yazılabilir. σ ij = ∂Υ ∂Υ , Eί= ∂Di ∂ε ij (3.54) σ i j ve Di büyüklüklerinin ε ij , Eί büyüklüklerine bağlı olarak ifade edilen bünye bağıntılarını kullanmak uygun bir yaklaşımdır. Elektriksel entalpiyi H = Υ - Eί Di . (3.55) Eşitliği ile tanımlarız. (3.51) ve (3.55) ifadelerinden U& terimini elimine edersek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz. . . H = σ ij ε ij - Di E i (3.56) (3.56) ifadesinden H ≡ H ( ε ij , Eί . H= ) olduğunu görüyoruz. ∂H ∂H . ε ij + Ei ∂ε i ∂Ei (3.57) olduğundan (3.56) ve (3.57) denklemleri aşağıdaki ifadeyi yazmamıza imkan tanır. ( σ ij - ∂H ∂ε ij ) ε ij ( - Di + ∂H ∂Ei ) Ei . =0 , (3.58) . Denklem (3.58) ε ij , E i nin herhangi bir değeri için sağlanmak zorunda olduğundan σ ij = ∂H , ∂ε ij Di = - ∂H ∂Ei . (3.59) 81 eşitliklerini yazarız. Bu bağıntılar daha sonra bünye denklemlerinin türetilmesinde kullanılacaktır. 3.2. Metot 3.2.1. Bünye bağıntıları Elektriksel entalpi H ( ε ij , Eί ) nin doğal durum ( ε ij , Eί = 0 , Eί = 0) civarında bir Mac Laurin serisine açılabildiğini ve ikinci dereceden daha yüksek terimlerin ihmal edildiğini kabul edecek olursak homojen anizotropik bir cisim için aşağıdaki açılımı yazabiliriz. H ( ε ij , Eί ) = 1 1 Cijkl ε ij ε kl - ekij ε ij Ek - ε ij Eί Ej 2 2 (3.60) Bu açılımda cisim içerisinde başlangıçta gerilme ve elektrik alanın bulunmadığını kabul ediyoruz. σ ij = ∂H ∂ε ij , Di = - ∂H ∂Ei , (3.61) Bağıntıları bizi aşağıdaki bünye denklemlerine götürür. σ ij = Cijkl ε kl - ekij Ek , (3.62) Di = eikl ε kl + ε ik Ek , (3.63) Burada Ci j k l = CiEj k l elastik katılık tansörünün bileşenlerini, piezoelektrik sabitleri ve ε ij permitivite sabitlerini Eί=sabit, ekij ε kl = sabit için göstermektedir. (3.60) ve (3.61) ifadelerini göz önüne alarak aşağıdaki bağıntıları yazabiliriz. 82 ∂2H ∂2H = ∂ε i ∂ε j ∂ε kl ∂ε ij veya ∂2H ∂2H = ∂Ei ∂E j ∂E j ∂Ei veya ∂σ ij ∂ε kl = ∂σ kl ∂ε ij ∂D j ∂Di = ∂E j ∂Eij , (3.64) . yukarıdaki bağıntılar Cijkl = C klij , ε ij = ε ji . (3.65) eşitliklerinin yazılmasına yol açar. σ ij , ε ij tansörlerinin simetrisini de dikkate alacak olursak, Cijkl = C jikl Cijkl , = Cijlk ,e= ekji kij (3.66) yazabiliriz. ε ij tansörü ve ekij polar tansörü j ve i indislerine göre simetriktir. Triclinic kristal yapının genel durumunda Cijkl matrisine ait elastik sabitlerin sayısı 21, Piezoelektrik matris ekij nin sabitlerinin sayısı 18 ve permitivite sabitlerinin ε ij sayısı 6 dır. Bir simetri merkezine sahip olmayan malzemelerde de piezoelektrik etkinin oluşabileceği bilinmektedir ele alınan cisimde bir simetri merkezinin varlığı kabul edildiğinde polar bir tansör olan ε kij nin etkisi yok olur, dolayısıyla bu terim denklemlerde gözükmez. İzotropik bir cismin özel bir durumunu göz önüne alalım. İzotropik tansörler için aşağıdaki bağıntıların yazılabileceğini klasik tansör cebrinden biliyoruz: Cijkl µ ( δ ik δ jl + δ il δ jk ) + λ δ ij δ kl , = ekij = ε ki e , ε ijl = δ ij ∈ . (3.67) 83 Burada ε kij antisimetrik Ricci tansörüdür. Yukarıda verilen (3.67) ifadelerini (3.62) ve (3.63) denklemlerine taşıyacak olursak , σ ij = 2 µ ε ij + λε kk - e ε kij E , (3.68) Di = ikle ε kl + δ ij Ek , (3.69) Denklemleri elde edilir. σ i j , ε i j tansörleri simetrik ek i j tansörü antisimetrik olduğundan (3.68) ve (3.69) denklemlerindeki piezoelektrik terim ortadan kalkar. Böylece, σ ij = 2 µε ij + λδ ij ε kk , Di = ε Ei . ifadelerini yazabiliriz. Şimdi tekrar elektriksel entalpi H = Υ - Ei Di (3.70) ifadesine dönelim ve bu ifadeyi Υ = H + Di Ei . (3.71) şeklinde göz önüne alalım. (3.60) ve (3.63) numaralı denklemlerden faydalanarak Di ifadesini uygun şekilde bu denklemlerde yerine yazarak aşağıda verilen denklemi elde ederiz. Υ= 1 1 Cijkl ε ij ε kl + ε ij Ei E j 2 2 (3.72) U ifadesi negatif olmayan skaler bir değer olduğundan (3.72) denkleminin sağ tarafı pozitif tanımlı quadratik bir form olmak zorundadır, ancak bu şart sağlanırsa çözümün kararlılığı garanti edilir. 84 3.2.2. Piezoelektriklerin diferansiyel denklemleri Piezeelektrik malzemelere ait denklemleri ve bağıntıları bir araya getirecek olursak, hareket denklemlerini ve elektrik alan denklemini σ ji, j + X i =ρ üi , (3.73) Di ,i = 0 . (3.74) formunda ifade ederiz. Bu ifadeleri bünye denklemleri ile tamamlayacak olursak, σ ij = Cijkl ε kl - ekijEk (3.75) , Di = ρ ikl ε kl + ε ik Ek , E k = − ϕ ,k , (3.76) eşitliklerine ulaşırız. Yukarıdaki bağıntılarda yer alan gerinme tansörü aşağıdaki gibi tanımlanmıştır. 1 ε ik = ( Υ i, j + Υ j,i ) . 2 (3.77) (3.75) ve (3.76) bağıntılarını (3.73) ve (3.74) diferansiyel denklemlerinde yerine yazıp (3.77) ifadesi ile verilen tanımı kullanacak olursak, Ui yer değiştirme vektörü ve ϕ potansiyelini bilinmeyen olarak kabul eden 4 adet skaler denklem elde ederiz. Cijkl Uk,lj + ekij ϕ ,ki + X i =ρ üi (3.78) eiklUk,li- ε ik ϕ ,ki = 0 . (3.79) 85 Bu diferansiyel denklemler başlangıç ve sınır şartları ile tamamlanmak zorundadır. Eğer cismin ∂B1 kısmı üzerinde yer değiştirmeler, ∂B2 tamamlayıcı kısmı üzerinde gerilme vektörleri pi ler belirlenmişse ui = Υ i (x , t) on ∂B1 , pi = σ ji n j = pi (x, t) on ∂B2 , ∂B1 Υ ∂B2 = ∂B (3.80) ifadelerini yazabiliriz. ∂ B3 üzerinde elektriksel potansiyel ve ∂B4 üzerinde yüzey yükleri aşağıdaki gibi verilmiş olsun. ϕ = Φ (x , t) on ∂ B3 , Dknk = - σ on ∂B4 , ∂ B3 ∪ ∂B4 = ∂B . (3.81) Eğer (3.78)-(3.79) denklem sisteminin çözümünü (ui, ϕ ) biliyorsak , Ek parametresini Ek = ϕ ,k formülünden başarılı bir şekilde belirleyebiliriz, (3.77) de verilen tanımı kullanarak (3.75) ve (3.76) bünye bağıntılarından faydalanarak gerilme ve elektriksel yer değiştirme de bulunabilir. Ei ve Di fonksiyonları hakkında elde edilen bilgiler elektriksel polarizasyonu Pi = Di - ε 0 Ei , (3.82) İfadesinden faydalanarak belirlememizi sağlar. Burada ε 0 boşluğun permitivitesidir. Piezoelektrik etkinin mevcut olmadığı durumda (3.78) numaralı denklem aşağıdaki formu alır. cijkl u kli ρ üi . = (3.83) Diğer taraftan piezeelektrik etki mevcut fakat deformasyon ihmal edilmişse (3.79) denklemi aşağıdaki forma indirgenmiş olur. ε ij ϕ ,ij = 0 . (3.84) 86 (3.83) numaralı denklem (3.80) ifadesinde verilen sınır şartları ile (3.84) numaralı denklem ise, (3.81) da verilen sınır şartları ile tamamlanmıştır. 3.2.3. Yeni notasyonda piezoelektrik denklemler ve bağıntılar Uygulamaya yönelik bir çok problemde indis karmaşasından kurtulmak ve daha kullanışlı ifadeler elde etmek için; ij ve kl indisleri yerine, p ve q indislerini kullanacağız. Burada i, j, k ve l indisleri 1, 2, 3 değerlerini alırken; p ve q indisleri ise sırasıyla 1 den 6 ya kadar değerler alacaktır. Bu yaklaşıma göre Cijkl = C pq , eikl =eiq σ ij, = Ti = T p . (3.85) eşitliklerini yazarız. Bu durumda daha önce verilen bünye denklemleri aşağıdaki gibi yeniden ifade edilebilir. T p =C pq S q Di = eiq S q -ekp Ek +ε ik Ek (3.86) , i,k = 1,2,3, p,q = 1,2,....,6 (3.87) Burada ; eij = S p eğer i= j , p= 1,2,3 ise (3.88) 2 eij =S p eğer i ≠ j , p= 4,5,6 ise bu kısaltılmış notasyon kullanıldığında bünye bağıntılarında ortaya çıkan gerilme bileşenleri aşağıdaki gibi ifade edilir. T1 = T11 = σ 11 , T2 = T22 = σ 22 , T3 = T33 = σ 33 , T4 = T23 σ 23 = σ 32 = 87 T5 = T31 = σ 31 = σ 13 , T6 = T12 = σ 12 = σ 31 şimdi, daha önce verilen bünye bağıntıları matris formda ifade edilebilir. T1 C11 T 2 C12 T3 C13 = T4 C14 T5 C 15 T6 C16 C12 C13 C14 C15 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 23 C33 C34 C35 C36 C 24 C34 C 44 C 45 C 46 C 25 C35 C 45 C55 C56 C16 C 26 C36 C 46 C56 C66 S1 e11 S e 2 12 S 3 e13 - S 4 e14 S 5 e15 S 6 e16 e21 e22 e23 e24 e25 e26 e31 e32 e33 e34 e35 e36 E1 E2 E3 (3.89) ve D1 e11 e12 D = e 2 21 e22 D3 e31 e32 (3.89) ve (3.90) e13 e23 e33 e14 e24 e34 e15 e25 e35 e16 e26 e36 S1 S 2 S3 + S 4 S5 S 6 ε 11 ε 12 ε 21 ε 22 ε 31 ε 32 ε 13 ε 23 ε 33 E1 E 2 E3 (3.90) grubunda yer alan ilk bağıntılar açıkça ifade edilecek olursa aşağıdaki eşitlikler yazılır. T1 = σ 11 =c11 u1,1 + c12u2,2 + c13u3,3 + c14(u2,3+u3,2) + c15(u3,1+u1,3) + c16(u1,2+u2,1) + e11 ϕ ,1 + e21 ϕ , 2 + e31 ϕ ,3 , Ek = - ϕ ,k (3.91) T2 = . . . . D1 = e11 u1,1 + e12u2,2 + e13u3,3 + e14(u2,3+u3,2) + e15(u3,1+u1,3) + e16(u1,2+u2,1) - ε11 ϕ ,1 - ε 12 ϕ , 2 - ε 13 ϕ ,3 , (3.92) 88 D2 = . . . . En genel anizotropik malzeme durumunda Cpq = Cqp , ε ik = ε ki yazılabilir. Böylece, Cpq elastik sabitleri için 21 adet, ε ik dielektrik sabitler için 6 adet, Ekp piezoelektrik sabitler için 18 adet bağımsız sabit parametre söz konusudur. Bunların toplamı olan 45 adet bağımsız maddesel sabitin belirlenmesi ancak deneysel metodlarla mümkündür. Kristal yapı n inci mertebeden bir simetri eksenine sahip olduğu zaman bu sayı daha da küçülür. X1 ekseninin diagonal eksen olarak alındığı monoklinik kristal durumunda bünye denklemlerini matris formu aşağıdaki gibidir. T1 T 2 T3 = T4 T5 T6 D1 D2 = D3 C11 C12 C 13 C14 0 0 C12 C13 C14 0 C 22 C 23 C 24 0 0 C 23 C33 C34 0 0 C 24 C34 C 44 0 0 0 0 0 C55 C56 e11 e12 0 0 0 0 e13 0 0 e14 0 0 0 e25 e35 0 0 0 0 C56 C66 0 e26 e36 S1 e11 S e 2 12 S 3 e13 - S 4 e14 S5 0 S 6 0 S1 S 2 ε S 3 11 + 0 S 4 0 S5 S 6 0 0 0 0 e25 e26 0 ε 22 ε 32 0 0 0 0 e35 e36 0 ε 23 ε 33 E1 E 2 E3 E1 E 2 E3 (3.93) (3.94) Bu konunun detaylarına girmeden gerek duyulan bilgileri J.F. Nye’nin meşhur monografını referans veriyoruz. Şimdi yalnızca piezoelektrik malzemelerde yaygın bir şekilde kullanılan (6mm) ve (622) hexagonal kristal sınıfı için bünye bağıntılarını aşağıdaki gibi ifade etmekle yetiniyoruz 89 T1 T 2 T3 = T4 T5 T6 C11 C12 C 13 C14 0 0 D1 0 D = 0 2 D3 e31 C66= C12 C13 C14 0 C 22 C 23 C 24 0 0 C 23 C33 C34 0 0 C 24 C34 C 44 0 0 0 0 0 C55 0 0 0 e32 0 0 e33 0 e15 0 0 0 0 e15 0 0 0 S1 0 0 S 2 0 0 S3 0 - 0 S 4 0 0 S 5 e15 C66 S 6 0 S1 S 2 ε S 3 11 + 0 S 4 0 S5 S 6 0 ε 22 ε 32 0 0 0 e15 0 0 0 ε 23 ε 33 e31 e32 e33 0 0 0 E1 E2 E3 (3.95) E1 E , 2 E3 1 (C11-C12) 2 (3.96) Beş elastik sabit, üç piezoelektrik sabit ve iki dielektrik sabit olmak üzere toplam 10 bağımsız sabitten oluşan bu sistem polarize olmuş seramik ferro elektrikler için karakteristik bir yapı oluşturur. Bu tip malzemeler güçlü piezoelektrik kuplinge sahip malzemelerdir. (622) kristal sınıfı için bünye bağıntıları aşağıdaki formda yazılır. T1 C11 T 2 C12 T3 C13 = T4 0 T5 0 T6 0 C66 = C12 C13 0 0 C11 C13 0 0 0 C13 C33 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 C55 0 1 (C11-C12) 2 0 0 0 0 0 C66 S1 0 S 0 2 S3 0 - S 4 e14 S5 0 S 6 0 0 0 0 0 − e14 0 0 0 0 0 0 0 E1 E2 , E3 (3.97) 90 D1 0 0 0 e14 D2 = 0 0 0 0 D3 0 0 0 0 0 0 0 0 − e14 0 S1 S 2 ε 0 S 3 11 + 0 ε 22 S 4 0 0 S5 S 6 0 E1 0 E2 ε 33 E3 (3.98) Burada da beş elastik sabit Cpq , yalnızca bir piezoelektrik sabit eip ve iki dielektrik sabit ε ij söz konusudur. Yani toplam sekiz bağımsız maddesel sabit vardır. (6mm) malzeme sınıfı için geçerli olan (3.95) ve (3.96) bünye bağıntılarını Tji,j = ρ üij Di,j = 0 . Şeklinde ifade edilen piezoelektrik denklemlere taşımaya çalışalım. Bu durumda aşağıda ifade edilen dört denklemden oluşmuş bir skaler denklem sistemine ulaşırız. C66 ∇ 21 u1 + (C66+ C12)(u1,11+u2,12) + C44u1,33 + +( C13+ C44) u3,13 + (e31 + e15) ϕ ,13 = ∇ ü1 , (3.99) C66 ∇ 21 u2 + (C66+ C12)(u1,12+u2,22) + C44u2,33 + +( C13+ C44) u2,23 + (e15 + e31) ϕ , 23 = ∇ ü2 , (3.100) C44 ∇ 21 u3 + C33u3,33 +(C13+ C44)(u1,31+u2,32) + e15 ∇ 2 1 ϕ + e33 ϕ ,33 = ∇ ü3 , (3.101) e15(u3,11 + u3,22 + u1,31 + u2,32 ) + e31(u1,13 + u2,23) + + e15 u3,33 – ( ε 11 ρ 2 1 ϕ + ε 33 ϕ ,33 ) = 0 . Burada 2 2 ∇12 = ∂1 + ∂ 2 , C66 = 1 ( C11- C12 ) 2 (3.102) 91 Şeklinde ifade edilmektedir. Monoklinik bir ortamda bir düzlem dalgayı göz önüne alalım yer değiştirme ve elektriksel potansiyelin yalnızca X2 ve t değişkenlerine bağlı olduğunu kabul ederek aşağıdaki dört denklemi yazabiliriz. C66 u1,31 + e31 ϕ 2, 2 = ρ ü1 (3.103) C22 u1,31 + C24 u3,22 = ρ ü2 (3.104) C24 u2,22 + C44 u3,22 = ρ ü3 (3.105) C26 u1,22 - ∈ ϕ (3.106) =0 . Bu durumda yalnızca yer değiştirme u1 ve potansiyel ϕ kapıl durumda görünecektir. u2=u3=0 olduğunu kabul ederek (3.103) ve (3.106) denklemlerine yoğunlaşmamız gereklidir. İlk önce, sabit bir c hızıyla X2 yönünde hareket eden bir düzlem dalgayı göz önüne alalım. (3.103) (3.106) denklemlerinde bu şartları kullanırsak u1 = U0 e ik ( x2 −ct ) , ϕ = Φ 0 e ik ( x2 −ct ) (3.107) ifadelerini ve aşağıdaki denklemi elde ederiz. U 0 ( k cˆ66 − ρ ω 2 ) = 0 2 c66 = c66 + 2 e26 ε 22 (3.108) Burada aşağıdaki eşitliklerde kullanılmıştır. 1/ 2 c C = 66 ρ , C= ω . k (3.109) Şimdi 2h kalınlığında bir tabakayı göz önüne alalım ve sınırlarda uygulanan bir potansiyelden dolayı zorlanmış titreşimlerin gerçekleştiğini düşünelim. 92 ϕ = ± ϕ 0 e −iwt , x2 = ± h için (3.110) x2 = ± h sınırlarında gerilme vektörlerinin serbest olduğunu kabul ediyoruz. Böylece σ 21 = T21 = (C66 u1 + e26 ϕ ), 2 = 0 . x2 = ± h için (3.111) (3.103) ve (3.106) denklemlerinde u1 = U1(x2) e −iwt , ϕ = φ (x2) e −iwt , (3.112) ifadelerini kullanacak olursak, aşağıda görülen eω 2 n2 = C66 ( ∂ 22 + n 2 ) U 1= 0 . (3.113) ve ∂ 22 ( U 1 ε 22 e26 Φ )=0. (3.114) denklemleri elde edilir. (3.113) ve (3.114) denklemlerinin çözümü U1 = A cos η Φ = e26 ε 22 η = U1 + C + x2D (3.115) formunda ortaya çıkacaktır. (3.110) da verilen sınır şartları Φ (x2) fonksiyonunun antisimetrik olduğuna işaret eder, böylece A=C=0 olur. (3.110) da verilen sınır şartı aynı zamanda X2=h için aşağıdaki bağıntıyı ortaya çıkarır. 93 ϕ0 = e26 ε 22 B sin n h + Dh . (3.116) (3.111) de verilen sınır şartını dikkate alacak olursak aşağıdaki denklemi elde ederiz. C66 η e26 η (3.117) (3.116) ve (3.117) denklemlerinden D sabitini elimine edecek olursak 2 e26 sin λ B C66 λ cos λ − ε 22 ϕ 0 e26 , λ = η Bağıntısına ulaşırız. (3.116) nolu ifade == - (3.118) D sabitinin belirlenmesine hizmet eder. Böylece çözüm tamamlanmış olur. Rezonans durumunda, tg λ = C66 ε 22 2 e26 (3.119) olacaktır. Serbest ve zorlanmış titreşimleri ilgilendiren bazı problemler H.F. Tiersten tarafından çözülmüş olup, Rayleigh yüzey dalgalarının ilerlemesi literatürde çok yoğun bir şekilde araştırılmıştır. 94 4. BULGULAR PZT-4 türünden bir piezoelektrik malzeme için şekli aşağıda görülen 100 mm uzunluğunda ve 20X20 kesitinde bir kiriş eleman sol tarafındaki yüzeyinden ankastre olarak mesnetlenmiş olup sağ tarafındaki yüzeyinin üst sınırında yer alan çizgisel eleman üzerine – 50000 N’ lık mekanik yükle yüklenmiştir. Bu malzemeye ait dielektrik matrise ait veriler her bir eleman için X10-9 F/m biriminde : 0 0 7.124 0 7.124 0 0 0 7.124 piezoelektrik matrise ait elemanlar ise C/m2 biriminde ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10,5 10,5 0 − 4,1 − 4,1 14,1 0 0 0 Katılık matrisine ait elemanlar da 10-10 N/m2 birimlerinde olmak üzere; 0 0 0 13.2 7.1 7.3 13.2 7.3 0 0 0 11.5 0 0 0 3.0 0 0 2.6 0 2.6 formunda verilmektedir. 95 İncelenen kiriş ANSYS sonlu elemanlar paket programının kütüphanesinde yer alan ve katı model türündeki elemanları modellemek için kullanılan SOLID98 türünden bir elemanla mesh jenerasyonuna tabi tutulmuştur. Kirişin geometrik ölçüleri ve mesh yapılmış şekli aşağıda yer alan iki şekilde verilmektedir. Şekil 4.1 Geometrik boyutlar Şekil 4.2 Kirişin mesh yapılmış hali 96 Buraya kadar yapılan işlemler PREPROCESSİNG fazında yer alan işlemler olup, yükleme işlemi SOLUTION modunda ele alınmaktadır. Yüklemenin yapıldığı durum ise aşağıda gösterilmektedir. Şekil 4.3. Serbestlik derecelerinin kısıtlanması ve mekanik yükün uygulanması çözüm gerçekleştirildikten sonra ortaya çıkan yer değiştirmeler, potansiyel farkları, elektrik alan değişimleri, gerilmeler ve gerinmeler aşağıda yer alan şekillerde gösterilmektedir. 97 Şekil 4.4 Toplam deformasyonlar Şekil 4.5. Toplam potansiyel farkı (volt) 98 Şekil 4.6. Toplam elektrik akı yoğunluğu Şekil 4.7 Elektriksel potansiyeldeki değişimin simetrisi farklı açılardan ifade edilmeye çalışılmaktadır. 99 Şekil 4.8 Elektrik akı yoğunluğunun değişik tarzda görünümleri Şekil 4.9 Elektrik alandaki değişim 100 Şekil 4.10 Gerilme dağılımı( Von-Mises gerilmeleri) Şekil 4.11 Gerinme ( Von-Mises) dağılımı 101 Aynı özelliklere sahip malzemenin her iki ucuna 1 voltluk bir gerilim uygulandıktan sonra 10 doğal titreşim modunda yani rezonas halinde ki durumları incelenmiştir. ANSYS programı bu modları aşağıdaki gibi belirlemiştir: INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE ***** SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 1 0.72603E-05 1 1 1 2 0.11603E-04 1 2 2 3 0.14715E-04 1 3 3 4 0.17275E-04 1 4 4 5 0.19502E-04 1 5 5 6 0.21500E-04 1 6 6 7 6.0903 1 7 7 8 6.3020 1 8 8 9 9.2182 1 9 9 10 14.472 1 10 10 En ilginç olan modlardan 10. moda ait deformasyon durumu aşağıda görülmektedir: 102 Şekil: 4.12 10. moda ait toplam deformasyonlar Şekil 4.13 Potansiyel farkının dağılımı 103 Daha sonra bir uçtaki 1 voltluk gerilim kaldırıldı ve anti rezonans durumuna ait kritik modlardan 7.’ ye ait olan sonuçlardan toplam yer değiştirme ve potansiyel dağılımı aşağıdaki gibi elde edildi. Şekil 4.14 Toplam yer değiştirme (anti-rezonans) 104 Şekil 4.15 Elektriksel potansiyel dağılımı 105 5. SONUÇLAR Bu tez çalışmasında, teknolojide yaygın olarak kullanılmaya başlanan akıllı veya zeki maddesel sistemlerin önemli bir sınıfını teşkil eden piezoelektrik malzemeler incelenmektedir. Tezin akışı içerisinde de bahsedildiği gibi Elektro-mekanik etkileşim ve piezoelektrik ilişkilerin termodinamik yönleri ele alınmış ve lineer bağlı bir sistemde yapısal ilişki ve kuplaj katsayısının genel tanımı verilmiştir. Bu bağlamda, lineer etkileşimli proseslerin önemli özellikleri açıkça ifade edilmiştir. Temel piezoelektrik ilişki tipleri ve çeşitli sabitler arasındaki bağıntılar tablo halinde sunulmuştur. Bağlantı katsayıları ile birlikte enerji iletim katsayıları tanımlanmış ve Elastik sabitlerde depolarize alan etkisi açıklanmıştır. Yüksek mertebeden elektromekanik etkileşim olan Elektrostriksiyon ve diğer non-lineer etkiler hakkında bilgi verilmiştir. Kristal simetrisi , kristallografik eksenler, kristallografik nokta grupları, tensörlerin fiziksel simetrisi ve piezoelektrik işaret detaylı bir şekilde ifade edilmiştir. Elektromagnetizmanın temel ilkeleri ve enerji balansı ifade edildikten sonra, gerilme ve elektriksel yer değiştirmeye ait bünye bağıntıları verilmiştir. Piezoelektrik malzemelere ait diferansiyel denklemler ve gerekli görülen matris formlar yazılmıştır. Tezin bulgular kısmı teorinin uygulanabilirliğini göstermek amacıyla hazırlanmış bir bölüm olup, temelde sonlu elemanlar yöntemini kullanan bir paket program olan ANSYS 5.7 den faydalanılmıştır. Piezoelektrik bir malzeme olan PZT-4 türünde ve belli geometriye sahip bir malzeme seçilmiş, şekillerde gösterildiği gibi negatif yekseni doğrultusunda 50.000 N lık bir yükle yüklenmiştir. Bu malzemey ait katılık, dielektrik ve piezoelektrik sabitler matris formda ifade edildiği haliyle programa tanıtılmıştır. Mesh jenerasyonu yapabilmek için kapıl sistemlerde çözüm üretme yeteneğine sahip ve özellikle piezoelektrik malzemeler için geliştirilen eleman ailesinden olan SOLID98 kullanılmıştır. 106 Elde edilen sonuçlar grafik ortamda sunulmaktadır. Bu şekillerde, mekanik yüklemeden kaynaklanan toplam deformasyon , toplam potansiyel farkı ve toplam elektrik akı yoğunluğu açıkça ifade edilmektedir. Toplam elektrik akı yoğunluğu bir anlamda polarizasyon etkisini de ifade ettiğinden değişik açılardan ifade edilmiştir. Elektrik akı yoğunluğu simetrik bir şekilde mesnetlenmiş bölgeye yakın yerlerde maksimuma ulaşmaktadır. Elektrik alandaki değişim de ilginç bir görünüm arz etmekte ve doğal olarak antisimetrik bir form sergilemektedir. Ayrıca, mekanik yükleme halinde piezoelektrik malzemede ortaya çıkan ortalama gerilme ve gerinme dağılımları Von-Mises gerilme ve gerinmeleri şeklinde ifade edilmiştir. Son olarak, özellikleri daha önce belirtilen piezoelektrik malzeme üzerindeki bütün mekanik yükler ve kısıtlamalar kaldırılarak, kiriş iki ucundan 1 voltluk potansiyelle yüklenmiş ve 10 tane doğal titreşim modundaki durumu incelenmiştir. Bu doğal frekanslar tablo halinde verilmiş ve ilginç olan modlara ait çıktılar grafik halinde sunulmuştur. Daha sonra bir uçtaki gerilim kaldırılarak anti rezonans durumuna ait sonuçlar elde edilmiştir. Gerek teorisi ve gerekse uygulamaları açısından ilginç bir konu olan piezoelektrik malzemeler günümüzdeki ileri teknolojinin bir çok alanında kullanıldığı için daha ileri boyutlarda araştırılması gerekmektedir. Bu çalışma piezoelektrik malzemeleri bazı detayları ile ele alarak daha kapsamlı çalışmalara ışık tutmak amacını taşımaktadır. Piezoelektrik malzemeler gösterdikleri mekanik ve elektriksel davranış ile özellikle tetikleyici ve uyarıcı olarak rahatlıkla kullanılabilirler. Sayısal örnekten de anlaşılacağı üzere gösterdikleri deformasyon, gerilme ve polarizasyon alanları mikro-elektro-mekanik cihazlar içinde uygun görülmektedir. 107 6. KAYNAKLAR Arafa, M., ve Baz, A., 2000. Dynamics of Active Piezoelectric Damping Composites. Composites, 31, 255-264. Burman, A., 2000. On the Infulance of Functional Materials on Engineering Design. Research in Engineering Design,12, 39-47. Burny, F., ve Dankerwolcke, M., 2000. Concept, Design and Fabrication of Smart Orthopedic İmplants. Medical Engineering & Physics, 22,469-479. Cohen, R. E., 2000. Theory of Femoelectrics: A Vision for the Next. Decade and Beyond. Journal of Physics and Chemistry of Solid, 61,139-146. Correia,V. M. ve Gomes, M.A., 1999. Modelling and Design of Adaptive Composite Structures. Comput. Methods Appl.Mech.Eng.,185,325-346 Craig, L. H., ve Shankar, N., 1994. A finite Element Method for Electrostrictive Ceramic Devices. Journal of the European Ceramic Society, 0020, 7683. Daros, C. H., ve Antes, H., 1999. On Strong Ellipticity Conditions for Piezoelectric Materials Crystal Clasess 6 MM and 622. WaveMotion, 31, 237-253. Ding, H. J., Hou, P. F., ve Gou, F., 1999. The Elastic and Electric Field for Three Dimensional Contact for TransVersely İsotropic Piezoelectric Materials. Solid and Structure, 37, 3201-3229. Ding, H. J., ve Hou, P. F., 1999. A General Solution for Piezothermoelasticity. International Journal of Engineering Science, 38, 1415-1440. Eringen, A. C., 1963. On the Fondations of Electroelastostatics. Int. J. Engng, 1, 127-153. Haojing, D., ve Weigiu, C., 1997. A Boundary Integrel Formulation and 2D Fundamental Solution for Piezoelectric Media. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 158, 65-80 He, X.A. ve Ng, T.Y., 2000. Active Control of FGM Plates with Integrated Piezoelectric Sensor and Actuators. Solids and Structures, 38, 1641-1655. Holmes, J. E., 2000. Novel Piezoelectric Structures for Sensor Applications. Journal of the European Ceramic Society, 20-2701. Ikeda, J., 1990. Fundamental of Piezoelectricity. Oxford University Prees, 257 p, Tokyo. Kallenbach, E., ve Kube, H., 1999. New Polarized Electromagnetics Actuators as Integrated Mechatronic Components Design and Application. Mechatronics, 9, 769-784. 108 Kalpakidis, V.K., 1992. Theory of Thermoelectroelasticity: an Extension. Int. J. Engng, 31, 157-164. Kögl, M., ve Gaul, L., 2000. A Boundary Element Method for Transient Piezoelectric Analysis. Engineering Analysis with Boundary Element, 24, 591,-598. Li, J.Y., ve Dunn, M.L., 1998. Analysis of Microstructural Field in Heterogeneous Piezoelectric Solids. Int. Journal of Engineering Science, 37, 665-685. Mikata, Y., 1999. Determination of Piezoelectric Eshelby Tensor in Transversely Isotropic Piezoelectric Solid. Int. Journal of Engineering Science, 38, 605-641. Peery, A., ve Bowen, C.R., 1999. Finite Element Modelling of 3-3 Piezocomposites. Scripta, 41, 1001-1007. Pelrine, R., ve Kornbluh, R., 1999. High Field Deformation of Elastometric Dielectrics for Actuators. Materials Siciences and Engineering, 11, 89-100. Petterman, H. E., ve Suresh, S., 1999. A Comprenshive Unitcell Model: A study of Compled Effect in Piezoelectric 1-3 Composites. Solid and Structure, 37, 5447-5464. Shafer, R., 2000. Dowain in Extremely Soft Magnetics Materials. Journal of Magnetism and Magnetics Materials, 215-216, 652-663. Suresh, S., 1999. Theory of Indetation of Piezoelectric Materials. Acta Mat., 47, 7, 21532164. Tani, J., ve Takogi T., 1998. Intelligent Materials System: Application of Materials. ASME, 51, 8. Functional Tauchert, T.R., 1999. Developments in Thermopiezo Elasticity with Relevance to Smart Composite Structure. Composite Structures, 48, 31-38. Tiersten, H.F., 1971. On the Nonlinear Equtions of Thermo Electroelasticity. Int. J. Engng, 9, 587-604. Usal, M.R., 1994. Fiber Takviyeli Elastik Dielektrik Ortamların Elektro Termomekanik Davranışlarına ait Matematiksel Bir Model. Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Doktora Tezi, 108s, Kayseri. Wang, B., 1992. Effective Behavior of Piezoelectrics Composites. Solid and Structures, 29, 293. Wu, T., 1999. Micromechanics Determination of Electroelastic Properties of Piezoelectric Materials Containing Voids. Materials Science and Engineering, A280, 320-327. 109 Xiao, Z. M., ve Bai, J., 1998. On Piezoelectric Inhomogenity Related Problem Part II: A Close from Solution for the Stress Field Antside A circular Piezoelectric in Homogenity. Int. Journal of Engineering Science, 37, 945-959. Xu, X.L., ve Rajapakse, R.K., 1999. On Signalatuties in Composite Piezoelectric Wedges and Junctions. Solid and Structures, 37, 3253-3275. Zhu, X., 2000. Microdisplacement Characteristics and Microstructures of Fuctionally Graded Piezoelectric Ceramic Actuator. Material and Design, 21, 561-566. ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Semih DOĞRUKOL Doğum Yeri : Eskişehir Doğum Yılı : 09.07.1971 Medeni Hali : Evli Eğitim ve Akademik Durumu : Lise : 1985-1988 Eskişehir Atatürk End.Mes.Lisesi Lisans : 1988-1992 Gazi Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi Elektrik-Elektronik Eğitimi Bölümü Yabancı Dil : İngilizce İş Deneyimi : 1992-1996 Milli Eğitim Bakanlığı (Öğretmen) 1996-........ Süleyman Demirel Üniversitesi Uluborlu M.Y.O (Öğretim Görevlisi)