—1 — SOYUT CEB˙IR ÇALISMA SORULARI HALKALAR I Soru 1
Transkript
—1 — SOYUT CEB˙IR ÇALISMA SORULARI HALKALAR I Soru 1
–1 – SOYUT CEBI·R ÇALIŞMA SORULARI HALKALAR I Soru 1 Standart toplama ve :a b = 0 olarak tan¬mlanan işlemler alt¬nda (Z; +; ) nin bir halka yap¬s¬oluşturup oluşturmad¬¼g¬n¬inceleyiniz. Soru 2 a; b 2 Z , b tek say¬ olmak üzere (a; b) = 1 ve A = f ab : a; b 2 Zg biçimnde yaz¬lan tüm rasyonel say¬lar¬n oluşturdu¼gu kümenin bilinen toplama ve çarpma işlemleri alt¬nda bir halka yap¬s¬oluşturup oluşturmad¬¼g¬n¬inceleyiniz. Soru 3 Z+ kümesi bilinen toplama ve çarpma işlemleri alt¬nda bir halka yap¬s¬ oluşturur mu? Soru 4 2Z Z kümesi toplama ve çarpma işlemleri alt¬nda bir halka yap¬s¬oluşturur mu? Soru 5 H kümesi üzerinde \ + " ve \ " ikili işlemleri tan¬ml¬ve (H; +) bir grup ve (H; ) birimli yar¬grup (yani sadece G1 özelli¼gi geçerli) ve her x; y; z 2 H için x (y + z) = x y + x z ve (x + y) z = x z + y z ise bu durumda (H; +; ) n¬n bir halka oldu¼gunu gösteriniz. (Yol: (a + b)(1 + 1) i sa¼gdan ve soldan da¼g¬lma özelli¼gini kullanarak her iki durumda hesaplay¬n¬z.) Soru 6 X bir küme ve P (X) nin bütün altkümelerin bir ailesi olsun. P (X) kümesinin A + B = (A [ B) (A \ B) ve A B = A \ B işlemlerine göre bir halka oldu¼gunu gösteriniz. –2 – b) Bir H halkas¬n¬nda her x 2 H için x2 = x ise H ya bir Boolean halkas¬denir. a) da verilen P (X) halkas¬n¬n bir Boolean halkas¬oldu¼gunu gösteriniz. c) Z2 ve Z2 Z2 halkalar¬n Boolean halkas¬oldu¼gunu gösteriniz. Soru 7 (H; +) bir Abel grubu olsun. Her a; b 2 H için ab = 0 ise (H; +; ) n¬n bir halka oldu¼gunu gösteriniz. Soru 8 Aşa¼g¬daki kümeler, C nin birer althalkas¬m¬d¬r? a) f0 + ib : b 2 Rg b) fa + ib : a; b 2 Qg c) fz 2 C : jzj 1g Soru 9 Aşa¼g¬daki kümeler, M at2 2 (Z) nin birer althalkas¬m¬d¬r? Neden? 80 9 1 < = a a+b A : a; b 2 Z a) @ : a+b ; b 9 80 1 = < a a b A : a; b 2 Z b) @ ; : a b b 80 9 1 < a a = @ A c) : a; b 2 Z : : b b ; Soru 10 H bir halka ve X H olsun. M (X) = fa 2 H : her x 2 X için ax = xag kümesine X nin H halkas¬ndaki merkezi denir. a) M (X) kümesinin H n¬n bir althalkas¬oldu¼gunu gösteriniz. –3 – b) H = M at2 2 (R) ve 9 80 1 = < x y A : x; y 2 R X= @ ; : 0 0 ise M (X) i hesaplay¬n¬z. Soru 11 H bir de¼gişmeli halka ve X H olsun. S(X) = fa 2 H : her x 2 X için ax = 0g kümesine X nin H halkas¬ndaki s¬f¬rlay¬c¬s¬denir. a) S(X) kümesinin H n¬n bir althalkas¬oldu¼gunu gösteriniz. b)H = M at2 2 (R) ve ise S(X) i hesaplay¬n¬z. Soru 12 ; 2 C ve , 9 80 1 = < x y A : x; y 2 R X= @ ; : 0 0 n¬n eşleni¼gi olmak üzere 80 1 < A: ; H= @ : 9 = 2C ; kümesinin M at2 2 (C) halkas¬n¬n bir alt halkas¬ oldu¼gunu gösteriniz. Bu halkaya quaterniyonlar halkas¬denir. Soru 13 Althalkalar¬n birleşiminin althalka olmad¬¼g¬n¬gösteriniz. Soru 14 Birimli bir halkan¬n, birimi farkl¬alt halkas¬olabilece¼gine örnek veriniz. Soru 15 Aşa¼g¬da verilen halkalar¬n tersinerlerini hesaplay¬n¬z. a) Z5 b) Z Q Z c) Z4 –4 – Soru 16 H birimli halka olsun. Z H kümesi üzerine (m; x) + (n; y) = (m + n; x + y); (m; x) (n; y) = (mn; nx + my + xy); işlemlerini tan¬mlayal¬m. a) (Z H; +; ) üçlüsünün bir halka oldu¼gunu gösteriniz. b) Z H nin birim eleman¬n¬bulunuz. c) Z H n¬n de¼gişmeli olmas¬için gerek ve yeter şart H n¬n de¼gişmeli olmas¬gerekti¼gini ispatlay¬n¬z. Soru 17 (H; +) de¼gişmeli grup olsun. Her x; y 2 H için x y = x oldu¼guna göre (H; +; ) üçlüsünün bir halka olup olmad¬¼g¬n¬inceleyiniz. Soru 18 Birimli bir halkada terslenebilir bir eleman¬n tersi tek midir? Soru 19 Birimli bir halkan¬n althalkas¬da birimli midir? Soru 20 R halkas¬n¬n iki alt halkas¬A ve B olsun, bu durumda A \ B ninde R nin bir alt halkas¬oldu¼gunu gösteriniz. Soru 21 f : H ! K bir halka homomor…zmi ise f (H) n¬n K n¬n alt halkas¬ oldu¼gunu gösteriniz. Soru 22 f : H ! K bir homomor…zm ve H de¼gişmeli ise f (H)n¬n da de¼gişmeli oldu¼gunu gösteriniz. –5 – Soru 23 f : H ! K bir homomor…zm olsun.f nin 1 1 olmas¬için gerek ve yeter şart¬n çekf = 0H oldu¼gunu gösteriniz. Soru 24 H birimli halka f : H ! K bir örten homomor…zm ve h 2 H terslenebilir olsun.f (h) 2 K n¬n da terslenebilmesi için gerek ve yeter şart¬n h 2çekf = oldu¼gunu gösteriniz. Soru 25 f1 : H ! K1 ve f2 : H ! K2 halka homomor…zmi olsun. Her x 2 H için; f: H ! K1 K2 x ! (f1 (x); f2 (x)) fonksiyonunun bir halka homomor…zmi oldu¼gunu gösteriniz. Soru 26 Aşa¼g¬daki kümelerden herbirinin, tan¬mlanan işlemlerle birlikte halka olup olmad¬¼g¬n¬gösteriniz. p a) a + b 5 : a; b 2 Z b) Determinant¬s¬f¬r olan 2 2 tipinde olan bütün matrislerin kümesi c) (Z; +; ) ; + bilinen toplama işlemi ve her a; b 2 Z için a b = 0 dir d) (Z; +; ) ; + bilinen toplama işlemi ve her a; b 2 Z için a b = 1 dir e) Q rasyonel say¬lar kümesi üzerinde; a; b 2 Q olmak üzere birinci işlem ab ve ikinci işlem a + b şeklinde tan¬mlanmaktad¬r. Soru 27 H bir halka olsun. H H kümesi üzerinde (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) (a; b) (c; d) = (ac; ad + bc) –6 – işlemlerini tan¬mlayal¬m. a) (H H; +; ) üçlüsünün bir halka oldu¼gunu gösteriniz. b) f: H H (a; b) ! 7! M at2 2 (H) 0 1 a b @ A 0 a fonksiyonunun bir halka homomor…zmi oldu¼gunu gösteriniz. Soru 28 (H; +; ) birimli halka olsun. H üzerinde x y = x + y + 1 ve x y =x y+x+y işlemlerini tan¬mlayal¬m. (H; ; ) nin birimli halka oldu¼gunu gösteriniz. (H; ; ) n¬n birim eleman¬ve s¬f¬r eleman¬nedir? Soru 29 X bir elemanl¬bir küme ise P (X) = Z2 oldu¼gunu ispatlay¬n¬z. Soru 30 Z ve 2Z halkalar¬n¬n izomorf olmad¬klar¬n¬gösteriniz.