Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları
Transkript
Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 ÖĞRETMEN ADAYLARININ MATEMATİK ÖĞRETİMİNDE ANALOJİ KULLANIMLARI KONUSUNDAKİ GÖRÜŞ VE YETERLİLİKLERİ İbrahim Bayazit Erciyes Üniversitesi, Eğitim Fakültesi/ Kayseri, ibayazit@erciyes.edu.tr ÖZET Bu çalışmada öğretmen adaylarının matematik öğretiminde analoji kullanımları konusundaki görüş ve yeterlilikleri incelenmektedir. Nitel yöntemlerin kullanıldığı bu araştırmanın örneklem uzayı 22 tane öğretmen adayından oluşmaktadır. Kuramsal çerçeve olarak öğrenme-öğretme süreçlerinde analoji kullanımlarını ve fonksiyon kavramının doğasını inceleyen bilimsel çalışmalardan yararlanılmıştır. Sonuçlar, öğretmen adaylarının analoji kullanımlarının etkinliğine inandıklarını göstermektedir. Katılımcılar bu husustaki düşüncelerini analoji kullanımının anlamlı öğrenmenin oluşumuna katkı sağlayacağı ve öğrencilerdeki matematik korkularını gidereceği gibisinden birçok bilişsel ve psikolojik gerekçelerle desteklemişlerdir. Ancak, öğretmen adaylarının kullandıkları analojilerden birçoğunun içeriksel açıdan geçersiz olduğu görülmüştür. İçeriksel açıdan geçerli analojiler kullananlarında kaynak (analog) ile hedef kavram (fonksiyon kavramı) arasında var olan anlamsal ilişkileri izah etmede zorlandıkları görülmüştür. Anahtar kelimeler: Öğretmen adayları, matematik öğretimi, analojiler, fonksiyon kavramı. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 PROSPECTIVE TEACHERS’ VIEWS ABOUT THE ROLE OF ANALOGIES IN TEACING AND LERARNING MATHEMATICS İbrahim Bayazit Erciyes University, Education Faculty / Kayseri, ibayazit@erciyes.edu.tr ABSTRACT This paper examines prospective teachers’ views about the role of instructional analogies in teaching and learning mathematics. It explores their proficiency in using analogies to teach the functions. The study was carried out with 22 prospective high school teachers. The research employed a qualitative inquiry and used written exam and semi-structured interviews as the main source of data. Data were analysed using qualitative methods which included content and discourse analysis methods. The results indicated that the participants had strong beliefs in the effectiveness of analogy use in teaching and learning mathematical notions, and they claimed that appropriate analogies would promote meaningful learning and improve students’ attitudes towards mathematics. Nevertheless, the participants indicated lack of proficiency in using analogies to teach the concept of functions and its sub-notions. Most of the analogies that they used had no content validity. The majority of them had also difficulty in establishing structural relations between the analogues and the targeted concepts. Key words: Prospective teachers, mathematics teaching, instructional analogies, function concept. Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları… 141 GİRİŞ Eğitimciler fen ve matematik öğretiminde analoji kullanımlarının önemine vurgu yapmaktadır (Gick&Holyoak, 1980; Shulman, 1986; Dagher, 1994; Reiner, Slotta, Chi&Resnick, 2000; Podolefsky&Finkelstein, 2006). En sade şekliyle analoji iki somut veya soyut nesne arasındaki benzerliğin ifade edilmesi olarak tanımlanabilir (Dagher, 1994). Bu benzerliğin kıyaslamalar yoluyla ifade edilmesi ve varlıkların benzer yönleri arasında ilişkilendirmelerin yapılması durumunda analoji (benzetim yoluyla izah) gerçekleşmiş olur. Analoji yeni öğrenilen/öğretilen bir düşünceyi açıklamak için daha önceden bilinen bir varlığın kullanımını gerektirir. Burada, daha önceden bilinen nesne analog veya kaynak olarak adlandırılırken yeni öğrenilen/öğretilen ve bilinene benzetilerek açıklanan düşünceye hedef kavram denilmektedir (Spellman&Holyoak, 1996). Analojiler öğretmenlerin pedagojik alan bilgilerinin önemli bir bileşenini oluşturmaktadır (Shulman, 1986). Alan bilgilerini farklı bilişsel düzeylere sahip öğrencilerin anlayabileceği şekilde yeniden yapılandırıp sunabilmeleri için öğretmenlerin analoji kullanımları konusunda yeterli düzeyde bilgi ve deneyim sahibi olmaları gerekmektedir (Wilson, Shulman&Richert, 1987). Uygun analojiler yardımıyla öğretim sürecinin en önemli evresi olan açıklama (explanation) aşaması (Leinhardt, 1993) çok daha etkili bir şekilde yürütülebilir ve hedef kavramın esası ve temel özelliklerine ilişkin bilgiler daha kısa ve özlü bir şekilde öğrencilere izah edilebilir (Rattermann, 1997). Öğretmenler uygun analojiler kullanarak öğrencilerdeki eleştirel ve yaratıcı düşüncenin gelişimini destekleyebilir, adapte ederek fraklı alanlarda kullanabilecekleri türden esnek bilgiler geliştirmelerine yardımcı olabilirler (Holyoak&Thagard, 1995). Ancak, analojiler yardımıyla düşünebilme noktasında öğrencilerin ciddi sıkıntılar yaşadıkları bilinmektedir (Bayazit&Ubuz, 2008). Analojiksel düşünce olarak adlandırabileceğimiz bu zihinsel süreç analogdan hedef kavrama bilgi transferi yapmayı içerir. Dolayısıyla bu süreçte kullanılan analogun yapısını bilmenin yanı sıra analog ile hedef kavram arasındaki anlamsal ilişkilerin ve benzerliklerin anlaşılması önem arz etmektedir (English, 1997). Analojiksel düşüncenin yapılandırmacı öğrenme teorisi açısından özel bir önemi vardır (Wittrock&Alesandrini, 1990). Bu teori bilginin zihinsel bir yapı olduğu, dolayısıyla her bireyin kendi bilgisini ancak kendisinin geliştirebileceği tezini savunur (Glaser, 1991). Anlamlı öğrenmenin gerçekleşebilmesi için öğrencilerin yansıtıcı düşünceyi de işe koşarak öğrenilen kavram üzerinde aktif olarak fikir yürütmeleri gerekir. Ancak bu tarz aktif düşünme eylemleri neticesinde kavramlar arası ilişkiler kurabilir ve yeni öğrendikleri kavramı bilgi sistemlerinin anlamlı bir parçası kılabilirler. Analojiler anlamlı öğrenmenin gerçekleşmesine iki açıdan katkı sağlar. Birincisi, öğrencilerin yeni öğrendikleri bilgileri geçmiş bilgileriyle ilişkilendirerek zihinsel haritalarının bütünleşik bir parçası kılmalarına olanak verir. İkincisi, analojiler insan hafızası üzerindeki zihinsel yükü azaltır; oldukça zengin ve geniş bilgileri daha kısa kodlarla şifreleyerek Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 142 İ.Bayazit uzun süre hafızalarında tutmalarına yardımcı olur. Bu ise bilginin hatırlanması ve adapte edilerek farklı alanlarda kullanılması gibi kolaylıkları beraberinde getirir. Matematik öğretiminde analoji kullanımlarını inceleyen çok sayıda çalışma bulunmaktadır (Alexander, White&Daugherty, 1997; Kathy, Rod&Tom, 1999; Richland, Holyoak&Stigler, 2004). Fast (1999) yapmış olduğu çalışma neticesinde uygun analojiler kullanılarak öğrencilerin olasılık kavramı hakkındaki bilgilerini yeniden yapılandırmalarına yardımcı olunabileceğini göstermiştir. Kathy v.d. (1999) kesirler konusunun öğretim ve öğrenim sürecinde analoji kullanımlarının sağladığı katkıları deneysel bir çalışmayla incelemiş ve bu süreçte yedi çeşit somut analog kullanmıştır. Araştırmacılar kullanılan analogları reel geçerlilik ve paylaşım kolaylığı kriterleri çerçevesinde değerlendirmiştir. Reel geçerlilik kullanılan analogların kesir kavramıyla alakalı bilgileri açıklamak için ne ölçüde gerçekçi bir ortam sağladığı hususuyla alakalı iken paylaşım kolaylığı analogların fiziksel olarak eş parçalara bölünebilmesi özelliğiyle ilgili bir olgudur. Çalışmanın sonuçları analoglarda var olan reel geçerlilik ve paylaşım kolaylığı kriterlerinin öğrencilerin kesir kavramıyla alakalı gerekli soyutlamaları yapabilmeleri için önemli olduğunu göstermiştir. Araştırmacılar reel geçerlilik özelliğini sağlamak koşuluyla kesir şeritlerini andıran ince ve uzun yapıdaki analogların, diğerlerine kıyasla (daire ve üçgen modelindeki analoglar, v.s.), kesir kavramının öğrenim ve öğretiminde çok daha etkili olduğunu belirtmektedir. Buraya kadar sunulan bilgilerden hareketle analoji kullanımının matematiksel kavramların öğrenim ve öğretimini kolaylaştıracağını söyleyebiliriz. Ancak, bu husustaki başarının içeriksel açıdan uygun analog kullanmanın yanı sıra analogtan hedef kavrama bilgi transferi sürecinin iyi işletilmesine bağlı olduğu unutulmamalıdır (English, 1997). Bu sebeple, öğretmenlerin analoji seçim ve kullanımları konusunda yeterli düzeyde bilgi ve deneyim sahibi olmaları gerekmektedir. Eldeki çalışmada ortaöğretim matematik öğretmen adaylarının analoji kullanımlarının yararlarına ilişkin düşünceleri ve analoji kullanımları konusundaki yeterlilikleri araştırılmaktadır. Bu amaçla aşağıdaki araştırma problemlerine yanıt aranmıştır: 1. Öğretmen adayları matematik öğretiminde analoji kullanımının faydalı olacağına inanıyorlar mı? Eğer inanıyorlarsa, analoji kullanımının öğrencilere ne tür katkılar sağlayacağını düşünüyorlar? 2. Öğretmen adayları fonksiyonlar konusunun öğretimi için ne tür analojiler kullanmayı tercih ediyorlar? Söz konusu analojileri hangi amaçlar için kullanıyorlar, analojilerin seçim ve kullanımı sürecindeki yeterlilikleri ne düzeydedir? Araştırma yöntemine geçmeden önce çalışmanın kuramsal çerçevesinden ve fonksiyon kavramının doğasından kısaca bahsedilecektir. Sunulacak bilgiler araştırma bulgularının anlaşılması noktasında teorik alt yapıyı sağlayacağı için önem arz etmektedir. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları… 143 Kuramsal çerçeve Günümüz matematik kitapları incelendiğinde içeriksel açıdan oldukça yakın ancak aralarında birtakım farklılıkların bulunduğu iki tür fonksiyon düşüncesi göze çarpmaktadır. Bunlardan birincisi fonksiyonun iki değişken arasındaki ilişki (x bağımsız değişkenindeki artma veya azalmaya karşın y bağımlı değişkeninde meydana gelen değişim) olduğu düşüncesidir. Ağırlıklı olarak reel değişkenli fonksiyon düşüncesini içeren bu anlayış fonksiyon kavramını cebir ve geometri (grafik) alanına kısıtlamaktadır. İkinci algı türü ise fonksiyonun iki kümenin elemanları arasında eşleme yapan özel bir bağıntı olduğu fikrini içermektedir. Bu ikinci yaklaşım fonksiyonu tanım ve değer kümelerinden bağımsız tek bir matematiksel varlık olduğu düşüncesini içermekte, tanım ve değer kümelerinin ise fonksiyonun ayrılmaz parçaları olduğunu kabul etmektedir. Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki özelliği sağlaması şartını koşmaktadır. Birincisi (univalence condition) ‘tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir elemana eşlenmesi’ kuralıdır. İkincisi ise (arbitrariness condition) ‘bir fonksiyonun eşleme işlemini aritmetiksel veya cebirsel bir kural aracılığıyla yapmak zorunda olmadığı, bu eşlemeyi tamamen gelişigüzel bir şekilde yapabileceği’ düşüncesini içermekte, tanım ve değer kümesinin elemanlarının da her türlü varlıklar olabileceği açılımını getirmektedir (Malik, 1980). Yukarda bahsedilen algı türlerinin yanı sıra en genel manasıyla fonksiyon girdileri çıktılara dönüştüren dinamik bir süreç (process) olarak düşünülebilir (Sfard, 1992). Toplanılan verilerin analizinde fonksiyon kavramının epistemolojisini ve bu kavrama ilişkin algı türlerini inceleyen çalışmalardan faydalanılmıştır (Sfard, 1992; Dubinsky&Harel, 1992). Bunun yanı sıra matematik ve fen bilimleri konularının öğretiminde analoji kullanımlarını inceleyen araştırmalardan kuramsal çerçeve oluşturmak adına yararlanılmıştır (Fast, 1999; Kathy v.d., 1999; Podolefsky&Finkelstein, 2006). Bu bağlamda, araştırmada kullanılan 2. sorunun üretmiş olduğu verilerin analizinde iki temel düşünceden yararlanılmıştır: analojilerin kullanım amaçları (purpose of use) ve analojilerin içeriksel açıdan geçerliliği (content valididty) (Bayazit&Ubuz, 2008). Kullanım amacı, analojilerin fonksiyon kavramını açıklamak için mi, yoksa fonksiyon düşüncesiyle alakalı işlemsel bilgilerin izahı için mi kullanıldığıyla alakalı bir durumdur. Analojilerin geçerliliği ise iki açıdan değerlendirilmiştir. Birincisi, kullanılan analogların hedef kavramı temsil yeteneğine sahip olup olmadığıyla alakalı bir durumdur ki bu tespiti yapabilmek için kullanılan analogların karakteristik özellikleri fonksiyon kavramının doğasına atıfla incelenmiştir. İkinci olarak, analogtan hedef kavrama bilgi transfer süreci incelenmiş ve öğretmen adaylarının bu iki yapı arasında var olan anlamsal ilişkileri nasıl ve ne ölçüde izah ettikleri tespit edilmeye çalışılmıştır. Fonksiyonların alt kavramlarını açıklamak için kullanılan analojilerin incelenmesinde de aynı yöntem ve yaklaşımlar sergilenmiştir. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 144 İ.Bayazit YÖNTEM Araştırma yöntemi Çalışma konusuyla alakalı gerçekçi ve zengin bilgilerin üretilmesi, mevcut durumun daha bütüncül bir yaklaşımla incelenmesi için eldeki çalışmada nitel araştırma metotlarından örnek olay (Yin, 2003) yöntemi kullanılmıştır. Çalışmanın örneklem uzayı matematik eğitimi alanında Tezsiz Yüksek Lisans yapan toplam 22 öğretmen adayından oluşmaktadır. Çalışmanın yapıldığı tarih itibariyle katılımcılar mesleğe yönelik bilgi ve beceri geliştirmeleri için önemli olan Özel Öğretim Yöntemleri I-II ve Öğretmenlik Uygulaması gibi alan eğitimi derslerinin tamamını almış bulunmaktaydılar. Veriler yazılı sınav ve mülakat teknikleri kullanılarak toplanmıştır. Öğretmen adaylarına toplam iki tane açık uçlu soru içeren yazılı sınav uygulanmış, daha sonrada üç adayla yarı-yapılandırılmış mülakatlar gerçekleştirilmiştir. Mülakata katılanlar sınav kâğıtlarının ön analiz sonuçları göz önünde bulundurularak belirlenmiş ve her başarı grubundan (başarılı, orta düzeyde başarılı ve az başarılı) bir öğrenciyle mülakat yapılmıştır. Mülakatta yazılı sınavda kullanılan sorular öğretmen adaylarına teker teker yöneltilmiş, konuyla alakalı görüş düşüncelerini açıklamaları istenmiştir. Klinik mülakat (Gingsburg, 1981) yönteminin öngörülerinden faydalanılmış, verdikleri yanıtlara göre yeni sorular yöneltilerek katılımcıların konuyla alakalı bilgi ve düşüncelerinin bütün boyutlarıyla ortaya çıkarılması hedeflenmiştir. Mülakatlar ses kayıt cihazları kullanılarak kaydedilmiştir; buna ilaveten önemli noktalar araştırmacı tarafından yazılı olarak ta not edilmiştir. Veri toplama araçları Yazılı sınav ve mülakat kapsamında kullanılan sorularla en temelde analoji kullanımının öğrencilere sağlayacağı katkılar ve analojilerin kullanım sürecinde dikkat edilmesi gereken pedagojiksel prensiplere ilişkin öğretmen adaylarının görüş ve düşüncelerinin ortaya çıkarılması amaçlanmıştır. Analoji kavramının ne olduğu konusunda fikir birliği oluşturmak için sınav kâğıdında şu açıklamaya yer verilmiştir: Bir matematiksel kavramı açıklamak için matematik disiplininden veya dışarıdan verilen her türlü örneğe ANALOG denir. ANALOJİ ise matematiksel kavramaların bu örnekler üzerinden benzetim yoluyla açıklanmasıdır. Benzer açıklamalar mülakata katılan adaylara da yapılmıştır. Veri toplama araçlarının güvenilirlik ve geçerliliğini artırmak için kullanılan soruların hedefe uygunluğu ve geçerliliği matematik eğitimcileriyle tartışılmıştır. Araştırmada kullanılan sorular şu şekildedir: S1. Geleceğin öğretmenleri olarak matematik öğretiminde analoji kullanımının faydalarına inanıyor musunuz? Yanıtınız ‘EVET’ ise sizce analoji kullanımı niçin önemlidir, öğrencilere ne tür katkılar sağlar? Açıklayınız. S2. Fonksiyonlar konusunun öğretiminde kullanabileceğiniz analojiler nelerdir, yazınız. Fonksiyon kavramını ve bu düşüncenin alt kavramlarını (sabit fonksiyon, parçalı fonksiyon, v.b.) açıklamak için bu analojileri nasıl Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları… 145 kullanırsınız; kullandığınız analojilerin etkin olabilmesi için bu süreçte nelere dikkat edersiniz? Açıklayınız. Veri analizi Toplanılan veriler daha önce açıklanmış olan kuramsal çerçeve ışığında yürütülmüştür. Verilerin analizinde içerik (content) ve diskur (discourse) (Miles&Huberman, 1994) analizi yöntemleri kullanılmış, bununla katılımcıların yazılı ve sözlü ifadelerindeki manalara ulaşılması hedeflenmiştir (Philips&Hardy, 2002). Araştırmacıdan kaynaklanması muhtemel sınırlılıkların önüne geçmek için üye kontrolü metodundan (Miles&Huberman, 1994) yararlanılmış, üretilen kodlar ve kategoriler konunun uzmanı eğitimcilerle tartışılmıştır. Analizin ilk aşamasında sınav kâğıtları satır satır incelenmiş ve öne çıkan düşüncelerin kısa özetleri yazılmıştır. İkinci aşamada öğretmen adaylarının yanıtlarındaki manaların incelenmesine devam edilmiş ve yazılan özetler kısa kodlarla ifade edilmiştir. Sınavda kullanılan I. soruyla alakalı üretilen kodlardan bazıları şunlardır: BİL-KAL. (Bilginin kalıcılığını artırır), BİL-SOM. (Bilgiyi somutlaştırır), MATSEV. (Matematiği sevdirir), GÜD-MOT. (Güdüler-motive eder), HAT-KOL. (Hatırlamayı kolaylaştırır). Sınavda kullanılan II. sorunun ürettiği verilerin analizi kendi içerisinde çok yönlü ve katmanlı olarak yürütülmüştür. İlk olarak kullanılan analogların ve hedef kavramların tespiti yapılmıştır. Daha sonra, analojilerin kavramlarımı yoksa işlemsel bilgilerimi açıklamak için verildiği, kullanılan analojilerin dönüştürme ve eşleme mantığını esas alan fonksiyon düşüncelerinden hangisini vurguladığı, analojilerin geçerliliği (analogların hedef kavramı temsil yeteneğine sahip olup olmadığı ve analog-hedef kavram ilişkisinin kurulup kurulmadığı) konuları incelenmiştir. Bütün bu hususlara ilişkin yapılan tespitler kısa kodlarla ifade edilmiştir. Analiz işleminin son aşamasında ise üretilmiş olan kodlar bir bütün olarak değerlendirilmiş ve içeriksel açıdan aynı temalara sahip olanlar genel kategoriler altında toplanmıştır. Yazılı sınav verilerinin analizinde takip edilen yöntem ve yaklaşımlar mülakat verilerinin analizinde de tekrarlanmıştır. Ses kayıt cihazlarına depolanmış olan veriler çözümlenerek analiz işlemleri bu dokümanlar üzerinden yürütülmüştür. İlk olarak katılımcıların yanıtları dikkatlice incelenmiş ve edinilen manaların kısa özeti yazılmıştır. Bir sonraki aşamada yazılan bu özetler kısa kodlarla ifade edilmiştir. Analizin son aşamasında ise üretilmiş olan kodlar bir bütün olarak değerlendirilmiş ve aynı temaya sahip olan düşünceler daha genel kategoriler altında toplanmıştır. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 146 İ.Bayazit BULGULAR Sonuçlar öğretmen adaylarının analoji kullanımının yararlarına inandıklarını ancak fonksiyon kavramıyla alakalı düşüncelerin izahı için kullandıkları analojilerden önemli bir kısmının içeriksel açıdan geçersiz olduğunu göstermektedir. Çok sayıda öğretmen adayının ise fonksiyonlarla alakalı kavramları değil, işlemsel bilgileri açıklamak için analojiler kullandıkları görülmüştür. Bu kısımda, ilk olarak analoji kullanımlarının sağlayacağı katkılara ilişkin öğretmen adaylarının görüş ve düşünceleri ele alınacak, daha sonrada fonksiyonlar konusunun öğretimi için kullandıkları analoji türleri ve bunları nasıl kullandıklarıyla alakalı bulgular paylaşılacaktır. Çalışma konusuyla alakalı daha kapsamlı bilgiler verebilmek amacıyla yazılı sınav ve mülakat sonuçları bütünleşik olarak sunulacaktır. Katılımcıların 1. soruya verdiği yanıtlar analojilerin öğrencilere üç temel alanda katkı sağlayacağına inandıklarını göstermektedir: bilişsel, sosyal-psikolojik ve matematik-güncel yaşam ilişkisi (katılımcıların verdiği yanıtların özeti Tablo 1 de sunulmuştur). Tabloda görüldüğü üzere katılımcıların neredeyse tamamı bilişsel kazanımlara vurgu yapmaktadır ki bu durum analojilerin sağlayacağı bilişsel katkıları önemsediklerini göstermektedir. Belirtilen bilişsel kazanımlar kendi içerisinde çeşitlilik arz etse de yapılan yorumlar en temelde analojilerin soyut matematiksel kavramları somutlaştıracağı, dolayısıyla hedef kavramın anlamlı bir şekilde öğrenilmesini kolaylaştıracağı noktasında birleşmektedir. Bu hususa ilişkin örnek bir yanıt şu şekildedir: … Kavramaların öğrenciler tarafından daha iyi anlaşılmasını sağlar. Çünkü matematiksel ifadeler [kavramlar] öğrencilere soyut geliyor, analojilerle bunlar somutlaştırıldığı için daha iyi anlaşılıyor, ezber olmaktan çıkıyor ve uzun süre hatırlanıyor [11]1. Tablo 1: Matematik öğretiminde analoji kullanımının öğrencilere sağlayacağı kazanımlar konusundaki yazılı sınav bulgularının özeti. Kazanımlar Gerekçeler Öğr. sayısı • Hedef kavramı somutlaştırır, anlamayı kolaylaştırır. • Öğrenme süreci kısalır. • Ezbercilikten kurtarır, anlamlı öğrenmenin gerçekleşmesine olanak sağlar. • Bilgiler arası ilişkilerin kurulmasına fırsat verir. • Bilginin daha sağlıklı bir şekilde kodlanarak bellekte uzun Bilişsel 21 süre tutulmasına yardımcı olur. kazanımlar • Bilginin hatırlanmasını kolaylaştırır. • Yaparak ve yaşayarak öğrenmenin önünü açar. • Eleştirel ve yaratıcı düşüncenin gelişimine katkı sağlar. • Bilginin kullanımını kolaylaştırır. • Hazır bulunuşluluğu artırır. 1 [11]: Yazılı sınava katılan 11 numaralı öğrenciyi temsil etmektedir. Yazılı sınav kâğıtlarından yapılan alıntılarda bu sunum şekli kullanılacaktır. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları… Sosyal & psikolojik kazanımlar Mat.–güncel yaşam ilişkisi • Derse katılımı artırır. • Matematiği sevdirir. • Dikkat çeker, ilgi uyandırır. • Öğrencileri motive eder. • Korku ve kaygıları giderir. • Matematiğin günlük yaşamın bir parçası olduğu düşüncesini kazandırır. 147 7 4 Öğretmen adaylarından 7 tanesi analoji kullanımlarının derse karşı ilgi uyandıracağı, matematiği sevdirip korku ve kaygıları gidereceği, öğrencileri motive edeceği ve derse katılımı artıracağı yorumunda bulunmuştur. Verdikleri yanıtlardan sosyal-psikolojik alanlardaki kazanımların neticede bilgi ve düşünce gelişiminin önünü açacağına inandıkları anlaşılmaktadır. Bu hususla alakalı örnek bir yanıt şu şekildedir: … Şöyle ki, öğrencilerin büyük kısmı matematikten korkar; tanımlar onlar için sıkıntı teşkil eder. Günlük hayattan örnekler [analojiler] verdiğimiz zaman öğrencilerde güdüleme oluşur ki buda konunun daha iyi kavranmasında yardımcı olur.…. [16]. Katılımcılardan dört tanesi matematiğin güncel yaşamın bir parçası olduğu fikrinin öğrencilere kazandırılması için analoji kullanımının önemli olduğunu belirtmiştir. Mülakatlar yazılı sınav sonuçlarıyla oldukça benzer bulgular üretmiştir (bakınız Tablo 2). Mülakata katılanlar ağırlıklı olarak analoji kullanımının sağlayacağı bilişsel katkılara vurgu yapmış, bunun yanı sıra sosyal-psikolojik kazanımlardan da bahsetmiştir. Tablo 2: Analojilerin öğrencilere sağlayacağı kazanımlar konusundaki mülakat bulgularının özeti. Ayhan Gökçe Kazanımlar İlker2 • Bilgiyi • Bilgiyi somutlaştırır. • Hazır bulunuşluluğu somutlaştırır. artırır. • Ezbercilikten kurtarır, Bilişsel • Anlamlı ve kalıcı • Bilginin anlamlı öğrenmenin kazanımlar öğrenmeye imkân anlamlandırılmasına gerçekleşmesine olanak verir. yardımcı olur. sağlar. • Bilginin • Bilgiler arası ilişkilerin • Bilginin hatırlanmasını hatırlanmasını kolaylaştırır. kurulmasına fırsat verir. kolaylaştırır. • Hatırda tutmaya • Bilginin kafada yardımcı olur. canlanmasını sağlar, • Düşüncenin gelişimine bilginin kullanımını katkı sağlar. kolaylaştırır. • Dikkat çeker, ilgi • Öğrencileri güdüler. • Motivasyonu artırır. Sosyal uyandırır. • Matematiği korkulu bir • Öğrencilerin &psikolojik • Öğrencileri motive ders olmaktan çıkarır. matematiğe bakış açısını kazanımlar eder. düzeltir. • İlgilerini çeker, dersi • Korku ve kaygıları • İlgi uyandırır, derse sevdirir. giderir. severek katılırlar. 2 Bilimsel etik gereği öğrencilerin gerçek isimleri yerine kod adları kullanılmıştır. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 148 İ.Bayazit Her üç katılımcıda analojileri yardımcı unsur olarak gördüklerini ve analojilerin özellikle dersin giriş ve açıklama aşamalarında kullanılmasının yararlı olacağını belirtmiştir. Aşağıda İlker isimli öğrenciyle yapılan mülakattan bir alıntı sunulmuştur (Diyalog 1): İlker: … Her şeyden önce öğrencilerin ilgisini çeker. Düşünsenize matematiksel bir kavram güncel yaşamdan bir örnekle izah ediliyor…öğrenciye çok ilginç gelir. Öğrenci matematiğin korkulacak bir şey olmadığını anlar ve dersi sevemeye başlar… Araştırmacı: Öğreniciye bilişsel katkılarının olacağını düşünüyor musun? Bu konuda ne dersin? İlker: Bilişsel katkı derken? Araştırmacı: Öğrenme açısından sağlayacağı kazanımları kastediyorum. İlker: … Elbette, biraz önce dediğim gibi dersi sevmesini sağlar, dersi seven öğrenci daha bir istekli olarak matematiği öğrenmeye çalışır… Verilen örnekler konuyu somutlaştırır, örnek sayesinde öğrenci bilgiyi kafasında canlandırır…yani daha anlamlı bir şekilde öğrenir. … Birde analojiler hatırlamaya katkı sağlar. Araştırmacı: Hatırlamaya katkı sağlar derken neyi kastediyorsun? Bunu biraz açar mısın? İlker: … Tanım gibi, teorem gibi şeyleri öğrencilerin akılda tutması zordur… Bizde bunları hep unuturduk. Ama günlük yaşamdan verilen örnekler hep kalıcı olur…demek istediğim bu örnekler sayesinde öğrenciler o konuyu hatırlarında daha iyi tutarlar. … Sınavlarda falan o konuyla alakalı bir soruyla karşılaşırsa hemen aklına günlük hayattan verilen o örnek gelir. Bu sayede [analoji üzerinden] o bilgileri de hatırlamış olurlar. … İlker, öğrencilerin motive edilmesi, kaygı ve korkularının giderilmesi için analojilerin uygun araçlar olduğunu düşünmektedir. Bu psikolojik kazanımların neticede bilişsel kazanımları getireceğine inanmaktadır. Bilişsel kazanımlar bağlamında da analojilerin bilgiyi somutlaştırmak, daha anlaşılır kılmak, bilginin kodlanarak bellekte tutulmasına yardımcı olmak ve hatırlamayı kolaylaştırmak gibi birçok katkısından bahsetmektedir. Araştırmada kullanılan 2. sorunun üretmiş olduğu verilerin analizi neticesinde 22 katılımcıdan 14 tanesinin fonksiyon kavramını açıklamak için analojiler kullandığı görülmüştür (bakınız Tablo 3). Tablo 3: Fonksiyon kavramını açıklamak için kullanılan analojilerin geçerlilik kriterine göre dağılımı. Öğr. sayısı Kullanılan analojiler Kullanıcı sayısı Geçerlilik 1.İller-bölgeler ilişkisi 1 Eşleme 2.Anne-çocuk ilişkisi 5 mantığını 10 Geçerli 3.Mektup-adres ilişkisi 3 esas alan 4.Kişiler ve gidecekleri analojiler 1 yerler arasındaki ilişki Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları… Dönüştürme mantığını esas alan analojiler 4 149 1.Çamaşır makinesi 1 2.Mesaj iletim sistemleri 1 3.Torna makinesi 4.Fabrika 1 1 Kısmen geçerli Kısmen geçerli Geçerli Geçerli Bu analojilerden 10 tanesi eşleme mantığını 4 tanesi ise fonksiyonun dönüştürme yapan bir süreç olduğu fikrini içermektedir. Yapılan incelemeler eşleme mantığını esas alan analojilerin tamamının içeriksel açıdan geçerli olduğunu göstermiştir. Öğrenciler, bu analojiler üzerinden fonksiyonun iki kümenin elemanları arasında eşleme yapan bir bağıntı olduğu düşüncesini ve fonksiyon olma şartlarından ‘tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir elemana eşlenmesi’ kuralını açıklamışlardır. Eşleme mantığını esas alan analojilerin nasıl kullanıldığına ilişkin örnek bir yanıt şu şekildedir: Fonksiyon kavramını açıklamak için hepimizin çok sık kullandığı anne-çocuk ilişkisini verebiliriz…yani fonksiyonu, çocukları annelerine eşleyen bir bağıntı olarak tanımlayabiliriz. … [Bu durumda] tanım kümesinin elemanları çocuklar, değer kümesinin elemanları da anneler olur. …her çocuğun bir tane annesi olacağı için ancak bir anneye eşlenecektir. Her çocuğun mutlaka annesi olacağı için tanım kümesinde açıkta eleman da kalmaz. … Ayrıca bir annenin birden çok çocuğu olabilir, yani tanım kümesindeki birden fazla çocuk tek bir anneye eşlenebilir…[14]. Fonksiyonun girdileri çıktılara dönüştüren bir süreç olduğu fikrini içeren analojilerden iki tanesinin (fabrika ve torna tezgâhı örnekleri) içeriksel açıdan geçerli, diğer ikisinin ise kısmen geçerli olduğu tespit edilmiştir. Bu konuda geçerli bir analoji örneği şu şekildedir: Örneğin, fonksiyonu bir fabrikaya benzetebiliriz. Fabrikaya giren ürünler ve üretim sonucu çıkan ürünler olacaktır. Aynen bunun gibi bir fonksiyonda girdileri çıktılara dönüştürür; örneğin bir f fonksiyonu x hammaddesini alır, işler ve daha sonrada y gibi bir ürün verir [3]. ... Kısmen geçerli olan analojilerin yüzeysel kıyaslamalar içerdiği, ancak girdi, dönüştürme süreci ve çıktı üçlüsü ekseninde analog ile hedef kavram arasında ilişkiler kurmadığı anlaşılmıştır: … İşte fonksiyon çamaşır makinesi gibi bir şeydir. Çamaşır makinesi kirli çamaşırları temizler. Makinenin bir programı vardır, çamaşırlarınız beyaz ise ona göre veya renkli ise ona göre programı kurarsınız, deterjan falan koyarsınız ve makine çamaşırları temizleyerek size verir. … Fonksiyonu böyle bir örnekle açıklarsak daha kolay anlaşılır [7]. Bu alıntıda çamaşır makinesinin işlevi açıklanmakta, ancak bunun fonksiyon kavramıyla ilişkisi izah edilmemektedir. Bu ilişkinin kurulmamış olması olayın Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 150 İ.Bayazit anlaşılmasını zorlaştırmaktadır; örneğin, verilen örnekte girdilerin çamaşırlar mı yoksa deterjan mı olduğu belli değildir. Çok sayıda analojinin kullanıldığı bir diğer alan ise fonksiyonların alt kavramlarını içermektedir (bakınız Tablo 4). Tablo 4: Fonksiyonların alt kavramlarını açıklamak için kullanılan analojilerin kullanım amacı ve geçerlilik kriterine göre dağılımı. Öğrenci Kullanılan analojiler Kullanıcı Kullanım Geçerlilik sayısı sayısı amacı 1. Devlet başkanları 1 Geçersiz 2.Fabrika örneği 1 Geçerli 3.Geri dönüşüm fabrikası 1 Geçerli 4.Ekmek fırını 1 Geçersiz 5.Öğrenci-sınıf ilişkisi 1 Geçersiz 6.Çocuk-anne ilişkisi 5 Geçerli 7.Hoca-öğrenci ilişkisi 1 Geçersiz Sabit Kavram 19 fonksiyon 8.Seyahat örneği 2 Geçersiz 9.Ses-eşik şiddeti ilişkisi 1 Geçersiz 10.Kanalizasyon sistemi 1 Geçersiz 11.Öğrenci-bölüm ilişkisi 1 Geçersiz 12.Gezegen-güneş ilişkisi 1 Geçersiz 13.Ortak anten örneği 1 Geçersiz 14.Cumhurbaşkanı örneği Geçersiz 1-1&örten 1.Birey-yaş ilişkisi Kavram Geçerli 1 1 fonksiyon 1.Çiftler arası evlilik Ters Kavram Geçerli 1 ilişkisi 1 fonksiyon 1.Şehirlerarası yolculuk 1 İşlem Geçersiz 2.Hava sıcaklığı-giyilen 1 İşlem Geçersiz elbise 3.Alınan notlar1 Kavram Geçerli yerleştirilen bölüm 4.Müzik aleti-ses şiddeti 1 İşlem Geçersiz 5.İnsan hayatının evreleri 1 İşlem Geçersiz 6.Sosyal gelir grupları 1 İşlem Geçersiz Parçalı 11 fonksiyon 7.Ders geçme sistemi 1 İşlem Geçersiz 8.Miras ve boşanma 1 İşlem Geçersiz davaları 9.Benzin istasyonu-alınan 1 İşlem Geçersiz yakıt türleri 10.TV programları-reyting 1 İşlem Geçersiz zamanları 11.Öğrenci-bölüm ilişkisi 1 İşlem Geçersiz 1 Birim 1 1. Fabrika örneği Kavram Geçerli fonksiyon 1 Bileşke 1 1. Döviz bürosu Kavram Geçerli fonksiyon Bu bağlamda en fazla analoji sabit fonksiyon kavramını açıklamak için kullanılmıştır. Bu analojilerden sadece 3 tanesinin (toplam 7 öğrenci tarafından kullanılmış) geçerli olduğu anlaşılmıştır ki bunlar fabrika, geri dönüşüm fabrikası ve çocuk-anne ilişkisi örneklerini içermektedir. Geçerli olarak kabul edilen analojilerden iki tanesi şu şekildedir: Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları… 151 … Geri dönüşüm fabrikasına giden tüm kâğıtlar hamur olarak çıkar. … Sabit fonksiyonda tüm değerleri [girdileri] tek bir değere eşler [11]. … Tanım kümesindeki beş çocuğun beşi de değer kümesinde aynı anneye eşlenir. Sabit fonksiyon işte böyle bir şeydir; bütün elemanları tek bir elemana eşler. …[15]. Geçersiz olarak kabul edilen bir analoji ise şu şekildedir: … Önce [sabit fonksiyonun] tanımı hatırlayalım, her elemanı sabit bir sayıya [tek bir elemana] götüren fonksiyondur. … Avrupa ülkelerinin devlet başkanlarını bir konferansta toplayalım… Bu konferanstan kimi seçersek seçelim seçtiğimiz kişi kesinlikle başkandır [1]. Öğrenci sabit fonksiyonun tanımını hatırlatarak açıklamalarına başlamaktadır ki bu durum analog ile hedef kavram arasında içeriksel açıdan uyumun olması gerektiğine inandığının açık bir göstergesidir. Ancak yaptığı açıklamalardan tanım ve değer kümesinin elemanları ve bunlar arasındaki eşlemenin nasıl yapıldığına ilişkin bir çıkarımda bulunmak mümkün gözükmemektedir. Devlet başkanlarının tanım kümesinin elemanları olarak kabul edilmesi halinde ise bunlardan sadece bir tanesi seçildiği için diğerleri açıkta kalmaktadır ki buda fonksiyon olma şartlarına aykırıdır. Çok sayıda analojinin kullanıldığı bir diğer alt alan ise parçalı fonksiyon kavramını içermektedir. Ancak, bir tanesi hariç kullanılan analojilerin tamamı parçalı fonksiyon kavramıyla alakalı işlemsel bilgileri (hangi aralıkta hangi kuralın kullanılacağı düşüncesi) ve yüzeysel özellikleri (bir parçalı fonksiyonun farklı aralıklarda farklı kuralla tanımlandığı gerçeği) açıklamak için kullanılmıştır. Bu konuda örnek bir analoji şu şekildedir: Mahkeme davalarını örnek verebiliriz. … Boşanmak isteyen kişiler boşanma davalarına, miras konusunda da miras davalarına bakan mahkemeye gider; bunu parçalı fonksiyona örnek olarak verebiliriz [17]. Ters fonksiyon, birim fonksiyon, 1-1 ve örten fonksiyon kavramlarını açıklamak için birer tane analoji kullanılmış ve bunların tamamının geçerli olduğu anlaşılmıştır. Örneğin, ters fonksiyon kavramını açıklamak için kullanılmış olan çiftler arası evlilik ilişkisi analojisi şu şekildedir: … Tanım kümesini erkeler ve değer kümesini de bayanlar oluştursun… Bu bağıntıya tersinden baktığımızda her kadının bir erkekle eşleştiğini görürüz….buna da karı-koca ilişkisi diyelim. Buda yine bir fonksiyondur, çünkü ilk başta tanımladığımız çiftler arsındaki evlilik bağıntısı 1-1 ve örtendi de onun içim [22]. Bu analojinin ters fonksiyon kavramıyla alakalı temel düşünceleri – 1-1 ve örtenlik şartı ile ters fonksiyon, fonksiyonun yaptığı işlemleri tersinden (sondan başa doğru) çözümler – açıkça vurguladığı görülmektedir. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 152 İ.Bayazit Mülakata katılan adaylardan iki tanesi (Ayhan ve Gökçe) eşleme mantığını bir tanesi de (İlker) hem eşleme hem de dönüştürme mantığını esas alan analojiler kullanmıştır (bakınız Tablo 5). Tablo 5: Mülakatta kullanılan analojilerin kullanım amacı ve geçerlilik kriterine göre dağılımı. Kullanılan analojiler İller-bölgeler ilişkisi İlker Nakil aracı Minibüs yolculuğu Çocuk-anne ilişkisi Ayhan Gökçe Kullanım amacı Fonksiyon kavramı ve özellikleri Tam değer fonksiyonu ile alakalı işlemsel bilgiler Fonksiyon kavramı ve özellikleri Geçerlilik Geçerli Geçersiz Geçersiz Geçerli Milletvekilleri arasından bir kişinin seçim işlemi Sabit fonksiyon kavramı Geçersiz Türkiye-Amerika yolculuğu Parçalı fonksiyonlarla alakalı işlemsel bilgiler Geçersiz Her ilden bir vekilin seçim işlemi 1-1 fonksiyon kavramı Geçersiz Çocuk-anne ilişkisi Fonksiyon kavramı ve özellikleri Geçerli Gezegen-güneş ilişkisi Sabit fonksiyon kavramı Geçersiz Futbol ve basketbol takımlarına öğrenci seçimleri Parçalı fonksiyonlarla alakalı işlemsel bilgiler Geçersiz Her üç öğretmen adayının da çocuk-anne ilişkisi gibi belli türdeki analojileri başarılı bir şekilde kullandıkları görülmüştür. Aşağıda Ayhan’ın kullandığı çocuk-anne ilişkisi analojisinden bir alıntı sunulmuştur (Diyalog 2): Ayhan: [Fonksiyonun tanımını veriyor]…bu tanımdaki bilgileri şöyle öğretirim; her çocuğun bir tane annesi vardır… Burada tanım kümesini çocuklar değer kümesini anneler oluşturuyor…[Tanım kümesi çocuklar, değer kümesi annelerden oluşan bir bağıntı yazıyor]. … Alinin annesi Ayşe olsun; Mehmet’inki Fatma olsun; Hasan’ınki Mehtap [çocukları annelerine eşliyor]. Zehra açıkta kalsın; Mehtabın çocuğu olmayabilir, ama bu fonksiyon şartını bozmaz, yani değer kümesinde açıkta eleman kalabilir… Ama kesinlikle tanım kümesinde açıkta eleman kalamaz çünkü her çocuğun mutlaka bir annesi vardır… Araştırmacı: Devam edelim; açıklamak istediğin başka özellik var mı? Ayhan: …birde şunu belirtmeliyiz, mesela Ali’nin annesi hem Ayşe hem Fatma olamaz. … Öyleyse tanım kümesindeki bir eleman değer kümesinde iki elemana gidemez… Ancak, farklı analojiler kullanmaları istendiğinde katılımcıların uygun örnekler bulmakta zorlandıkları ya da analog-hedef kavram ilişkisini kurmada sıkıntı yaşadıkları görülmüştür. Aşağıda buna ilişkin bir alıntı sunulmuştur (Diyalog 3): Araştırmacı: Fonksiyon kavramını farklı bir analojiyle daha açıklamak ister misin? Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları… 153 İlker: … Fonksiyon bir yerden bir yere götüren şey anlamında; işte belli bir kural. Araştırmacı: Kuraldan kastın nedir? İlker: Kuraldan kastım işte kelime manasından geliyor, dönüştürme yapan mekanizma lazım… Araştırmacı: Nedir bu mekanizma; cebirsel veya aritmetiksel işlemler zincirini mi kastediyorsun? İlker: Evet, cebirsel kuralları kastediyorum? Araştırmacı: Biraz önce verdiğin örnekteki eşlemeyi yapan cebirsel kural nedir? İlker: Yok, burada kesinlikle öyle bir kural yok… Araştırmacı: Bir fonksiyonun illaki cebirsel bir kuralla mı ifade edilmesi gerekiyor? İlker: [sessizlik] Hayır diyeceğim; hayır, değil… Araştırmacı: Fonksiyonu dönüştürme yapan bir mekanizma olarak tarif etmiştin. Bu düşünceyi açıklamak için kafanda bir analoji var mı? Zaman kısıtlamamız yok, istediğin kadar düşünebilirsin. İlker: … [Sessizlik] … Şu anda yok, aklıma gelmiyor. Diyalogdan İlkerin fonksiyonu dönüştürme yapan bir mekanizma olarak tanımlarken tamamen cebirsel kuralları kastettiği anlaşılıyor. Araştırmacının yönelttiği sorular karşısında bu düşüncesinin hatalı olduğunu anlamış olsa da dönüştürme mantığını esas alan ve içeriksel açıdan çok daha uygun bir analoji üretemediği görülmektedir. Katılımcıların fonksiyonların alt kavramlarını açıklamak için analoji kullanırken çok daha fazla zorlandıkları görülmüştür. Bu alandaki analojilerin büyük çoğunluğu işlemsel bilgilerin izahı için kullanılmıştır. Örneğin, Gökçe parçalı fonksiyon kavramını açıklamak için ‘basketbol ve hentbol takımlarına öğrenci seçim işlemi’ örneği üzerinden şu açıklamayı yapmıştır: … Bir grup öğrenci arasından spor takımları oluşturalım. Boyu 180 ve üzeri olanlar basketbol, 180 den küçük olanlar hentbol takımına seçilsin. Buda bir parçalı fonksiyon [örneği] olur. Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanmış olsa da parçalı fonksiyon esas itibariyle iki kümenin elemanları arasında eşlemeler yapar. Ancak, Gökçenin açıklamalarında bu hususa hiç değinilmemekte, yapılacak işlemlerin beli bir kriter çerçevesinde nasıl yürütüleceğine ilişkin işlemsel bilgiler ima yoluyla izah edilmektedir. Ayhan sabit fonksiyon kavramını açıklamak için ‘milletvekilleri arasından bir temsilcinin seçimi’ örneğini kullanmış ve aşağıdaki açıklamaları vermiştir (Diyalog 4): Ayhan: … Meclisi düşünelim; cumhurbaşkanı bunlar arasından kimi seçersen seçsin bu kişi milletvekilidir… Sabit fonksiyonu bu örnekle açıklarız; oda böyle bir şeydir işte. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 154 İ.Bayazit Araştırmacı: Bu örnekle sabit fonksiyon arasında nasıl bir ilişki var? Varsayalım ki öğrencilerin anlamdı, bu ilişkiyi öğrencilerine nasıl anlatırsın? Ayhan: … Önce sabit fonksiyonu tanımlayalım sabit fonksiyon neydi; f(x)=c idi yani…umm…milletvekilleri tanım kümesi olsun, seçimi yapan cumhurbaşkanı f fonksiyonu olsun; işte tek bir kişi seçiyor bunlar arasından ve bu kişi hala milletvekilidir… Yani cinsiyeti rengi ne olursa olsun bu kişi milletvekilidir. Diyalogun son kısmında Ayhan analog ile hedef kavram arasında ilişki kurmaya çalışmakta, milletvekillerini tanım kümesinin elemanları, seçimi yapan cumhurbaşkanlığı makamını da fonksiyon olarak tanımlamaktadır. Ancak, seçilen vekil ile tanım kümesindeki diğer vekiller arasındaki ilişki belirsizliğini korumaktadır. Bu ise seçilen kişi hariç geri kalan vekillerin tanım kümesinde açıkta kaldığını, dolayısıyla da verilen bağıntının fonksiyon olamayacağı düşüncesini uyandırmaktadır. TARTIŞMA VE SONUÇ Bu çalışma matematik öğretiminde analoji kullanımının faydaları ve bu süreçte dikkat edilmesi gereken prensipler bağlamında önemli bulgular ortaya koymuştur. Sonuçlar öğretmen adaylarının analoji kullanımının sağlayacağı kazanımlar konusunda pozitif düşüncelere sahip olduğunu göstermektedir. Bu kazanımlar sosyal-psikolojik ve bilişsel kazanım alanlarını içermektedir. Öğretmen adayları, öğrencilerin motive edilmesi, derse karşı olumlu tutum ve davranış geliştirmeleri, muhtemel korku ve kaygılarının giderilmesi ve bunların sonucu olarak ta derse aktif katılımlarının sağlanması konularında analojilerin olumlu rol oynayacağına inanmaktadır. Verdileri yanıtlardan sosyal-psikolojik kazanımları ayrık olarak değerlendirmedikleri, bilişsel kazanımların edinilmesi adına uygun öğrenme-öğretme ortamlarının oluşturulması için sosyal-psikolojik kazanımları önemsedikleri anlaşılmaktadır. Bu düşünceler sosyal çevrenin bilgi gelişimi üzerindeki etkilerine dikkat çeken, ne denli zengin ve iletişime açık bir çevrede öğrenim görürlerse o denli kalıcı bilgiler edinilebileceği tezini savunan sosyo-kültürel teorinin (Daniels, 2001) öngörüleriyle uyumluluk göstermektedir. Öğretmen adayları bilişsel kazanımlar konusunda çok daha kapsamlı yorumlar yapmıştır (bakınız Tablo 1). Yakından incelendiğinde bu yorumların yapılandırmacı öğrenme teorisi (constructivism) (Noddings, 1990) ve bilgi-işlem teorisinin (information-processing theory) (Rattermann, 1997) öngörüleriyle paralellik arz ettiği görülmektedir. Katılımcıların büyük çoğunluğu analoji kullanımlarının soyut matematiksel düşünceleri somutlaştıracağı, dolayısıyla da anlamlı öğrenmeyi kolaylaştıracağına inanmaktadır. Öğrencilerin hedef kavram üzerinde daha rahat soyutlamalar yaparak zengin ve doğru bilgiler geliştirmelerine yardımcı olacağını düşünmektedir. Kimi katılımcılar ise analojilerin bilgiler arası ilişkiler kurmayı kolaylaştıracağını savunmaktadır ki bu tez kavramsal bilgi (Hiebert&Lefevre, 1986) – içeriksel açıdan zengin ve diğer kavramlarla ilişkilendirilmiş bilgi demektir – geliştirme sürecinde analojilerin oynayabileceği pozitif role inandıklarını göstermektedir. Bazı öğretmen adayları ise (örneğin, bakınız Diyalog 1) analojilerin matematiksel bilgilerin kodlanarak Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları… 155 uzun süre bellekte tutulmasına yardımcı olacağını ve bilginin hatırlanmasını kolaylaştıracağını dile getirmiştir. Bu görüşler yine yapılandırmacı kuramın takipçisi olan matematik eğitimcilerinin (Gray, Pinto, Pitta & Tall, 1999) fikirleriyle paralellik arz etmektedir. Bu eğitimciler insan aklının soyut matematiksel düşünceleri tutmakta zorlanacağını, bireylerin bu düşünceleri semboller – cebirsel simgeler, grafikler, şekil ve şemalar, analojiler, v.b. – gibi zihinsel araçlar yardımıyla kodlayarak belleklerinde muhafaza edebileceğini belirmektedir. Analojilerin yararları konusunda güçlü inançlara sahip olmalarına karşın öğretmen adaylarının bu araçları kullanırken birtakım sıkıntılar yaşadıkları görülmektedir. Yazılı sınava katılan 22 öğretmen adayından 14 tanesi fonksiyon kavramını açıklamak için analoji kullanmıştır (bakınız Tablo 3). Bu analojilerden 12 tanesinin geçerlilik kriterini sağladığı, 2 tanesinin de kısmen geçerli olduğu anlaşılmıştır. Eşleme mantığını esas alan analojiler kullanan öğrencilerin bu örnekler üzerinden fonksiyonun özel bir bağıntı olduğu düşüncesinin yanı sıra fonksiyon olma koşullarını da izah ettikleri görülmektedir. Yaptıkları açıklamalar analojiksel düşüncenin en kritik aşaması olan analogtan hedef kavrama bilgi transferini (English, 1997) başarıyla yürüttüklerini göstermektedir. Lise-I ders kitaplarında (MEB, 2006) fonksiyon kavramının özel bir bağıntı şeklinde tanımlandığı düşünülecek olursa eşleme mantığını içeren analojiler kullanan öğretmen adaylarının analoji-müfredat uyumluluğunu gözettikleri anlaşılmaktadır. Katılımcıların en büyük sıkıntıyı fonksiyonların alt kavramlarını açıklamak için analoji kullanımlarında yaşadıkları anlaşılmaktadır. Bu amaç için kullandıkları analojilerin büyük çoğunluğunun içeriksel açıdan geçersiz olduğu görülmüştür (bakınız Tablo 4). Geçersizlik durumu kendini iki şekilde göstermektedir. Birincisi, hedef kavramın doğasıyla uyumlu analogların kullanılmamış olması; ikincisi ise uygun örnekler kullanıldığı durumlarda analog-hedef kavram ilişkisinin kurulamamış olmasıdır (örneğin, bakınız Diyalog 4). Çalışmanın bir diğer sonucu ise fonksiyonların alt kavramlarıyla alakalı kullanılan analojilerin büyük bölümünün kavramı değil o kavramla alakalı işlemsel bilgileri açıklamak için kullanılmış olmasıdır. İşlemsel bilgilerin açıklanması amacıyla analoji kullanımlarına itirazımızın olamayacağını belirtmek isteriz. Ancak, bu hususta aşırıya kaçmanın öğrencilerin dikkatlerini işlemlere odaklayacağını, dolayısıyla da öğrencilerin kavram algılarını ilgili işlemlere kısıtlamak gibi bir sınırlılığa sebep olabileceğini belirtmek isteriz. Çalışmanın bir diğer önemli sonucu ise öğretmen adaylarının anne-çocuk ilişkisi ve mektup-adres ilişkisi türündeki analojileri başarılı bir şekilde kullandıkları gerçeğidir. Bu analojilerin çok sayıda katılımcı tarafından kullanılmış olması (bakınız Tablo 3) ve kimi öğrencilerinde bunlardan ‘çok kullanılan’ örnekler olarak bahsetmesi söz konusu analojilerin kullanımına ilişkin daha önceden bilgi sahibi olduklarını göstermektedir. Buradan hareketle lisans eğitimi ve hizmet içi eğitim kursları kapsamında analoji seçim ve kullanımları konusunda yapılacak Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 156 İ.Bayazit bilgilendirme çalışmalarının öğretmenlerin bu alandaki yeterliliklerini artırmak adına yararlı olacağını belirmek isteriz. Ayrıca, bu alandaki ihtiyaçlara cevap vermek adına öğretmen kılavuz kitaplarında analoji örekelerine yer verilebilir ve var olanlar geliştirilerek öğretmenlerin kullanımına sunulabilir. Son olarak, pratik bazı sebeplerden ötürü az sayıda katılımcıyla yapılmış olması eldeki çalışmanın bir sınırlılığı olarak düşünülebilir. Araştırmanın nitel karakterli olmasının bu sınırlılığı belli ölçüde de olsa tolere ettiği kanaatini taşımaktayız. Ayrıca, araştırmanın nitel karakterli olması sebebiyle bu makalede sunulan bulguların katılımcılar dışındaki bir gruba genellenemeyeceğini belirtmek isteriz. Daha büyük bir örneklem grubuyla yapılacak benzer çalışmaların analoji kullanımları konusunda çok daha aydınlatıcı bilgiler üreteceği muhakkaktır. Özellikle analoji kullanımlarını içeren öğretim yaklaşımlarının öğrencilerin bilişsel ve psikolojik gelişimleri üzerindeki etkilerini konu edinen çalışmalara öncelik verilmesinin yararlı olacağını düşünmekteyiz. KAYNAKÇA Alexander, P. A., White, C. S., & Daugherty, M. (1997).Analogical Reasoning and Early Mathematical Learning. In L. D. English (Ed.), Mathematical Reasoning: Analogies, Metaphors, and Images (p. 117-147). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., Publisher. Bayazit, I.,&Ubuz, B. (2008). Instructional Analogies and Student Learning: The Concept of Function. Proceeding of the 32rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2(145-153). Dagher, Z. R. (1994). Does the Use of Analogies Contribute to Conceptual Change?.Science Education, 76(6), 601-616. Daniels, H. (2001). Vygotsky and Pedagogy.RoutledgeFalmer: New York. Dubinsky, Ed.,&Harel, G. (1992).The Nature of the Process Conception of Function. In G. Harel& Ed. Dubinsky (Eds.), The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy (p. 85-107). United States of America: Mathematical Association of America. English, L. D. (1997). Analogies, Metaphors, and Images: Vehicles for Mathematical Reasoning. In L. D. English (Ed.), Mathematical Reasoning: Analogies, Metaphors, and Images(p. 3-18). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates Inc. Fast, G. R. (1999).Analogies and Reconstruction Knowledge.School Science and Mathematics, 99(5), 230-240. of Probability Gick, M. L., &Holyoak, K. J. (1980).Analogical Problem Solving.Cognitive Psychology, 12, 306-355. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları… 157 Gingsburg, H. (1981). The Clinical Interview in Psychological Research on Mathematical Thinking: Aims, Rationales, Techniques. For the Learning of Mathematics, 1(3), 57-64. Glaser, R. (1991). The Maturing of the Relationship between the Science of Learning and Cognition and Educational Practice.Learning and Instruction, 1(2), 129-144. Gray, E., Pinto, M., Pitta, D., & Tall, D. (1999).Knowledge construction and diverging thinking in elementary and advanced mathematics.Educational Studies in Mathematics, 38(1), 111-133. Heibert, J., &Lefevre, P. (1986).Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of Mathematics. New Jersey: Lawrence Erlbaum Assocıates Inc. Holyoak, K. J., &Thagard, P. (1995).Mental Leaps: Analogy in Creative Thought. Cambridge, MA: MIT Press. Kathy, C., Rod, N., & Tom, C. (1999).Mathematical Analogs and the Teaching of Fractions.Paper Presented at the Annual Meeting of the Australian Association for Research in Education and the New Zealand Association for Research in Education. Australia: Melbourne. Leinhardt, G. (1993). On Teaching. In R. Glaser (Ed.), Advances in Instructional Psychology (4, 1-54). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Malik, M. A. (1980). Historical and Pedagogical Aspects of the Definition of Function.International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 11(4), 489-492. MEB. (2006). OrtaöğretimMatematik: 9. Sınıf. MilliEğitimBakanlığıYayınları: Ankara. Miles, M. B., &Huberman, A. M. (1994).Qualitative Data Analysis:An Expanded Sourcebook. London: Sage Publications Noddings, N. (1990). Constructivism in Mathematics Education. In R. B. Davis, C. A. Maher, and N. Noddings (Eds.), Constructivist Views On The Teaching and Learning of Mathematics (p. 7-19). NCTM: Virginia. Phillips, N. & Hardy, C. (2002).Discourse Analysis: Investigating Processes of Social Construction. United Kingdom: Sage Publications Inc. Podolefsky, N. P., & Finkelstein, N. D. (2006).Use of Analogy in Learning Physics.Physics Education Research, 2 (2), 101-110. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011 158 İ.Bayazit Rattermann, M. J. (1997). Commentary: Mathematical Reasoning and Analogy. In L. D. English (Ed.), Mathematical Reasoning: Analogies, Metaphors, and Images (pp. 247-264). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates Inc. Reiner, M., Slotta, J. D., Chi, M. T. H., &Resnick, L. B. (2000). Naive Physics Reasoning: A Commitment Substance-Based Conceptions. Cognition and Instruction, 18, 1-34. Richland, L. E., Holyoak, K. J., & Stigler, J. W. (2004).Analogy Use in EightGrade Mathematics.Cognition and Instruction, 22(1), 37-60. Sfard, A. (1992). Operational Origins of Mathematical Objects and the Quandary of Reification-The Case of Function. In Harel& Ed. Dubinsky (Eds.), The Concept of Function Aspects of Epistemology and Pedagogy (p. 59-85). United States of America: Mathematical Association of America. Shulman, L. (1986). Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching. Educational Researcher, 15, 4-14. Spellman, B. A.,&Holyoak, K. J. (1996).Pragmatics Mapping.Cognitive Psychology, 31, 307-346. in Analogical Wilson, S. M., Shulman, L. S., &Richert, A. E. (1987). “150 Different Ways” of Knowing: Representations of Knowledge in Teaching. In J. Calderhead (Ed.), Exploring Teachers’ Thinking (p. 104-124). London: Cassel Education Ltd. Wittrock, M. C., &Alesandrini, K. (1990).Generation of Summaries and Analogies and Analytic and Holistic Abilities.American Educational Research Journal, 27(3), 489-502. Yin, R. K. (2003).Case Study Research: Design and Methods. United Kingdom: Sage Publications Ltd. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011