Akışkan hareketini kuvvetleri göz önüne almadan yerdeğiştirmeler
Transkript
Akışkan hareketini kuvvetleri göz önüne almadan yerdeğiştirmeler
3. AKIŞKANLARIN KĐNEMATĐĞĐ Kinematik: Akışkan hareketini kuvvetleri göz önüne almadan yerdeğiştirmeler, hızlar ve ivmeler cinsinden ifade eder. 3.1 Akışkan Hareketinin Matematiksel Tanımı Akışkan hareketinin matematiksel olarak tanımlanmasındaki zorluklar akışkan parçacıklarının rölatif hareketlerinin zaman göre değişiminden kaynaklanmaktadır. Akım alanı içinde her bir parçacık yere ve zamana göre değişen hız ve ivmeye sahip olabilir. Ayrıca akışkan parçacıkları bir noktadan diğer bir noktaya giderken deforme olur ve/veya dönmeye maruz kalabilir. Akışkan hareketinin tanımlanmasında iki yol mevcuttur: - Lagrange Tanımlama Yöntemi - Euler Tanımlama Yöntemi 3.1.1 Lagrange Tanımlama Yöntemi Lagrange tanımlamasına göre akım alanındaki her bir parçacığın bir zaman başlangıcındaki yer koordinatları (x0, y0, z0) belirlenir ve parçacıkların yörünge, yoğunluk, hız ve diğer karakteristikleri başlangıç koordinatları ve zamanın fonksiyonu cinsinden ifade edilir. t0 zamanında bir parçacığın başlangıç koordinatı (x0, y0, z0) olsun. Buna göre parçacığın herhangi bir t anındaki koordinatları: x = x(x0, y0, z0, t), y = y(x0, y0, z0, t) , z = z(x0, y0, z0, t) 1 3.1.2 Euler Tanımlama Yöntemi Euler tanımlamasına göre akım alanında hız, ivme ve diğer değişkenler, yerin ve zamanın fonksiyonu olarak ifade edilir. Örnek olarak hız alanının bileşenleri aşağıdaki gibi yazılır: u = u (x,y,z,t) v = v (x,y,z,t) w = w (x,y,z,t) Akışkan hareketinin tanımlanmasında Euler yöntemi daha fazla tercih edilen bir tanımlama biçimidir. Bu derste de Euler yöntemi esas alınmıştır. FARK: Lagrange bakış açısı, akışkan parçacıklarının teker teker hareketini inceliyor. Eulerde akışkan parçacığının akım alanının her noktasında hızın, basıncın yere ve zamana göre değişimini inceliyor. 3.2 Zamanla Değişen ve Zamanla Değişmeyen Akım Bir noktada akımlarla ilgili büyüklükler (hız) zamanla değişmiyorsa, bir başka noktada da yine aynı durum var ise böyle bir akıma Zamanla Değişmeyen Akım (permenant akım) denir. Eğer akımla ilgili büyüklükler zamanla değişiyorsa, böyle bir akıma da Zamanla Değişen (permanan olmayan) Akım denir. 3.3 Akım Çizgisi ve Akım Borusu Akım Çizgisi: Herhangi bir anda akışkan parçacıklarının hız vektörlerine teğet olan hayali çizgilerdir. Bu şekilde akım alanını, herhangi bir andaki akış yönünü göstermek üzere sınırsız sayıda akım çizgileri ile temsil etmek mümkündür. 2 xyz uzayında akım çizgilerinin denklemi : dx dy dz = = u v w Akım alanındaki sınır yüzeyler birer akım çizgisidir. Akım Yolu (Yörünge): Akım alanı içinde bir akışkan parçacığının belirli bir zaman aralığında takip ettiği yoldur. Aşağıdaki şekilde akışkanın A’dan B’ye giderken üzerinden geçtiği yörüngedir. Yörünge denklemi: u = dy dx dz ,v= ,w= dt dt dt 3 Akım çizgisi ile yörünge çakışır mı? Bu akımın zamanla değişip değişmemesine bağlıdır. - Eğer akım permanant ise akım çizgisi ile yörünge üst üste düşer. - Zamanla değişen akım durumunda bunlar farklı farklı şeylerdir. Akım Borusu (akım tüpü): akımda kapalı bir eğri üzerinden geçen akım çizgilerinin oluşturduğu borudur. Akım çizgileri hız vektörlerine teğettir. O halde bu yüzeyde dışarıdan içeriye, içeriden dışarıya geçiş yoktur. Bu borunun çeperi akım çizgilerinden oluşmuştur. Sonsuz küçük kesitli bir akım borusu bir akım çizgisi gibi düşünülebilir. 4 3.4 Bir, Đki ve Üç Boyutlu Akımlar Bir boyutlu akımda hız, basınç vb. akım özellikleri, akım borusunun kesiti içinde konumdan konuma değişmez; değişiklik ancak tek boyutta, yani akım borusu boyunca olur. Akım özelliklerinin değişimi bir boyutta olduğu için, bu akımlara bir boyutlu akımlar denir. Sonsuz küçük kesitli bir akım borusu içerisindeki akım, tam anlamı ile bir boyutlu akımdır. Akım borusunun kesit alanı o kadar küçüktür ki hız, basınç vb. akım özelliklerinin kesit içerisindeki değişimi ihmal edilebilir. Hidrolikte herhangi bir boru hattındaki hız dağılımında ortalama hız kullanılır. Đki boyutlu akımlarda hız, basınç gibi akım özellikleri, şekil düzlemi üzerinde konumdan konuma değişir. Akım özellikleri sadece iki boyutta değiştiği için bu akımlara iki boyutlu akımlar denir. Üç boyutlu akımda hız basınç gibi akım özellikleri uzay içerisinde konumdan konuma üç boyutta değişir. 5 4. BĐR BOYUTLU AKIMLARIN TEMEL DENKLEMLERĐ 4.1 Süreklilik Denklemi Kabuller: 1. Sıkışmayan akışkan (ρ=sbt) 2. Permanan hareket (hız zamanla değişmiyor) 3. Akım borusu sonsuz küçük (akım ipçiği) Akım borusunun 1-1 kesitindeki kesit alanı dA1, 2-2 kesitindeki kesit alanı dA2 olsun. Kesit alanı sonsuz küçük ise hız ve basınç gibi akım özelliklerinin kesit içerisindeki değişimi ihmal edilebilir, dolayısı ile akım borusunun bir kesiti için, bir tek hızdan ve bir tek basınçtan söz edilir. Akım borusunun 1-1 kesiti için hız u1, basınç p1 ve 2-2 kesiti için hız u2, basınç p2 olsun. Hareket sırasında, bir t anında 1221 hacmini işgal eden akışkan t+dt anında 1’2’2’1’ hacmini işgal edecektir. 6 Kütlenin korunumu ifadesine göre; t anındaki akışkanın kütlesi = (t+dt) anındaki akışkanın kütlesi (4.1) m11’ + m1’2 = m1’2 + m2’2 (4.2) ρ.dA1.ds1 = ρ.dA2.ds2 (4.3) ds1 = u1.dt ve ds2 = u2.dt ise u1.dA1.dt = u2.dA2.dt u1.dA1 = u2.dA2 (4.4) Bu denklem sıkışmayan akışkanlar için süreklilik denklemidir. 4.2 Enerji Denklemi t anında 1221 hacmini işgal eden akışkanın yüzeylerine etkiyen gerilmeler: - dA1 ve dA2 kesitlerine etkiyen p1 ve p2 basınç gerilmeleri - akım borusunun yanal yüzeylerine etkiyen sürtünme gerilmeleridir. t anında 1221 konumunda bulunan akışkan, t+dt anındaki 1’2’2’1’ konumuna gelirken, bu gerilmeler birer iş yapacaktır. Enerjinin korunumu ilkesine göre, t anında + dt zaman aralığında sistemin enerjisi Et = yapılan iş (t+dt) anında sistemin enerjisi + Basınç gerilmelerinin + Sürtünme gerilmelerinin = Et+dt yaptığı iş yaptığı iş dB: dt zaman zarfında basınç gerilmelerinin yaptığı iş dS: Sürtünme gerilmelerinin yaptığı iş Et + dB - E11’ + E1’2 + dB - dS dS = Et+dt = E1’2 + E2’2 (4.5) (4.6) 2 u E 11′ = ρds1dA 1 1 + ρds1dA 1 gz 1 1 424 3 2 1 424 3 m m 142 4 43 4 142 43 Kinetik Enerji (4.7) Potansiyel Enerji (4.8) dB = ρ1dA1ds1 2 u E 22' = ρds 2 dA 2 2 + ρds 2 dA 2 gz 2 1 424 3 2 1 424 3 m 244 m 14 4 3 142 4 43 4 Kinetik Enerji (4.9) Potansiyel Enerji 7 2 ρds1dA 1 2 u1 u + ρds1dA 1gz 1 + p1dA 1ds1 = ρds 2 dA 2 2 + ρds 2 dA 2 gz 2 + p 2 dA 2 ds 2 + dS (4.10) 2 2 Bütün terimler γdt’ye bölünürse: γdt = ρ.g.dt 2 u 1dA1 2 u1 p u p dS + u 1dA1 z 1 + u 1dA1 1 = u 2 dA 2 2 + u 2 dA 2 z 2 + u 2 dA 2 2 + 2g γ 2g γ γdt (4.11) Bu ifadedeki bütün terimlerde u.dA’ya bölünürse: 2 2 u1 p u p dS + z1 + 1 = 2 + z 2 + 2 + 2g γ 2g γ udA.γ .dt ENERJĐ DENKLEMĐ (4.12) Enerji kaybı (ısıya harcanan enerji) 2 2 u1 u 2 : 1 ve 2 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın kinetik enerjisi , 2g 2g z1, z2 : 1 ve 2 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın potansiyel enerjisi p1 γ , p2 γ : 1 ve 2 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın basınç enerjisi 4.3 Đmpuls – Momentum Denklemi Momentumun korunumu denklemi (Newton’un ikinci denklemi): r d r ΣF = (mv) dt (4.13) Momentumda birim zamandaki değişim dış kuvvetlere eşittir. r ΣF : m kütlesine etkiyen kuvvetlerin toplamı r v : m kütlesinin hızı r mv : momentum r ΣF dt : impuls 8 t anındaki sistemin momentumu = t + dt anındaki sistemin momentumu r r r r = (4.14) M 11' + M 1' 2 M 1' 2 + M 22' r r = (4.15) ρds1dA 1 u 1 ρds 2 dA 2 u 2 r r r (4.16) Momentumdaki değişim : dM = ρds 2 dA 2 u 2 - ρds1dA 1 u 1 Bu ifadenin zamana göre değişimi dış kuvvetleri verir. r r dM r r = ρu 2 dA 2 u 2 - ρu 1dA 1 u 1 ΣF = dt ĐMPULS – MOMENTUM DENKLEMĐ (4.17) 9 5. ĐDEAL AKIŞKANLARIN BĐR BOYUTLU AKIMLARI Đdeal Akışkan : Sürtünmesiz akışkan, dolayısı ile viskozitesi sıfırdır(µ=0), kayma gerilmeleri (τ=0) oluşmaz. “Mükemmel akışkan” da denir. Hız enkesit içinde değişmiyor, sabittir. (du/dy= 0) Kabuller: 1. Sonlu kestili bir akım borusu 2. Đdeal akışkan 5.1 Süreklilik Denklemi u1.dA1 = u2.dA2 (sonsuz küçük kesitli akım borusu) ∫ u dA 1 A1 1 = ∫ u dA 2 (5.1) 2 A2 1-1 kesitin de u1 = v1 = sabit (ideal akışkan, sürtünme yok) 2-2 kesitin de u2 = v2 = sabit (5.2) (5.3) bu ifadeler (5.1) bağıntısında yerine konursa v1 ∫ dA1 = v 2 ∫ dA2 A1 A2 10 v1.A1 = v2.A2 (5.4) Debi Tanımı: 1-1 kesitinden birim zamanda geçen akışkanın hacmi Q = A1ds1 = A1(v1.1) = v1.A1 (5.5) (5.4) ve (5.5) denklemelerinden Q = v1.A1 = v2.A2 (5.6) Debi, bir kesitten birim zamanda geçen akışkan hacmidir. 5.2 Enerji Denklemi 5.2.1 Denklem (Bernoulli Denklemi) Sonsuz küçük kesitli akım borusu için enerji denklemi 2 u 1dA 1 2 u1 p u p dS + u 1dA 1 z 1 + u 1dA 1 1 = u 2 dA 2 2 + u 2 dA 2 z 2 + u 2 dA 2 2 + 2g γ 2g γ γdt ideal akışkan, sürtünme yok, (dS/γdt) = 0, enerji kaybı yoktur. Buna göre enerji denklemi u 2 p u 1dA 1 1 + z1 + 1 γ 2g u 2 p = u 2 dA 2 2 + z 2 + 2 2g γ (5.7) u1.dA1 = u2.dA2 olduğuna göre u12 p1 2g + γ + z 1 u22 p2 = 2g + γ + z 2 (5.8) Đdeal akışkanda hız kesit içerisinde değişmez. Yani; 1-1 kesitinde u1 = v1 =sabit (5.9) 2-2 kesitinde u2 = v2 =sabit (5.10) Bu değerler (5.8) bağıntısında yerine konursa 11 v1 2 p1 2g + γ + z1 = v22 p2 + + z 2 2g γ BERNOULLĐ DENKLEMĐ (5.11) Bu (5.11) bağıntısına denir. Akışkan ideal, ρ= sabit (sıkışmayan akışkan) Akım permanan Sonlu kesitli akım borusu - v1 2 p1 + + z1 2g γ = Bu koşullar altında elde edilen enerji denklemine BERNOULLĐ DENKLEMĐ denir. v22 p2 + + z 2 2g γ Bernoulli denkleminde görülen her bir terim uzunluk boyutundadır. 2 2 v1 v , 2 : hız yüksekliği 2g 2g p1 γ , p2 γ BERNOULLĐ DENKLEMĐNĐN : basınç yüksekliği GEOMETRĐK ANLAMI z1, z2 : geometrik kot adı verilir. Bernoulli Denkleminin FĐZĐKSEL ANLAMI; 2 2 v1 v , 2 : bir kesitten birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın KĐNETĐK enerjisi 2g 2g p1 γ , p2 γ : bir kesitten birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın BASINÇ enerjisi z1, z2 : bir kesitten birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın POTANSĐYEL enerjisi 12 2 v p H 1 = 1 + 1 + z1 2g γ (5.12) H1 : 1-1 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın toplam enerjisi H2: 2-2 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın toplam enerjisidir. 5.2.2 Bernoulli Denkleminin Pratikteki Uygulamaları 5.2.2.1 Venturi Ölçeği (Venturimetre) Venturi ölçeği, bir boru içerisindeki akımın debisini ölçmeye yarayan bir sistemdir. Çalışma ilkesi Bernoulli Denklemine dayanır. -1-1 ve 2-2 kesitleri birbirine çok yakın, sürtünmeler ve enerji kaybı ihmal, ideal akışkan 13 1-1 ve 2-2 kesitleri arasında Bernoulli Denklemi 2 2 v1 p v p + 1 = 2 + 2 (kıyas düzlemi boru ekseni seçildiği için z1 = z2 = 0) 2g γ 2g γ (5.13) Manometre ve hortum bağlantıları için akışkanlar statiği kanunları geçerlidir. p1 = γ (h+z) , p2 = γ z ⇒ p 2 − p1 γ Süreklilik denklemi : Q = v1.A1 = v2.A2 ⇒ v1 = =−h Q Q , v2 = A1 A2 (5.14) (5.15) (5.14) ve (5.15) ifadeleri(5.13)’de yerine konacak olursa: Q = A1 2 gh A1 A2 (5.16) 2 − 1 bağıntısı elde edilir.A1 ve A2 belli, h ölçülür. Gerçek akışkanda enerji kaybı meydana geleceğinden debi Cd (debi) katsayısı ile çarpılarak bulunur. Q = C d A1 2 gh A1 A2 2 − 1 (5.17) Cd katsayısı 1’e çok yakın fakat 1’den küçük bir sayıdır. 5.2.2.2 Bir Kabın Dibindeki Delikten Akış - kab su seviyesi sabit - Enerji kaybı ihmal, ideal akışkan 1-1 ve 2-2 kesitleri arasında Bernoulli Denklemi 2 2 v1 p v p + 1 + z1 = 2 + 2 + z 2 2g γ 2g γ (5.18) 1-1 ve 2-2 kesitleri atmosfere açık p1 = p2 = p0 = Atmosfer Basıncı , z1 – z2 = h, v1 = 0 (çünkü su seviyesi sabit)’dır. Bu değerler (5.18) ifadesinde yerine konursa 14 v 2 = 2gh (5.19) bağıntısı elde edilir. Bu (5.19) bağıntısı Toricelli Bağıntısı olarak bilinir. Gerçekte sürtünme etkisi dolayısı ile φ < 1 olmak üzere v 2 = φ 2gh şeklindedir. 5.2.2.3 Kabarma Basıncı Bir akım içerisine bir cisim konursa, cismin burnunda ikiye ayrılan akım çizgisi görülür. 1 ve 2 noktası akım çizgisi üzerinde iki nokta olsun. 1 noktası 2 noktasına oldukça yakın bir noktadır. Dolayısı ile bu iki nokta arasında meydana gelen enerji kaybı ihmal edilebilir. O halde Bernoulli Denklemi: 2 2 v1 p v p + 1 = 2 + 2 (kıyas düzlemi boru ekseni seçildiği için z1 = z2 = 0) 2g γ 2g γ (5.20) Tam 2 noktasında hız sıfırdır (v2 = 0) O halde (5.20) denklemi p 2 = p1 + ρv 1 2 2 (5.21) Bağıntısına dönüşür. Bu bağıntıya göre 2 noktasındaki basınç 1’e göre (ρv12/2) kadar yükselmiştir. Buna kabarma basıncı denir. 2 noktasına kabarma noktası denir. 5.2.2.4 Pitot Borusu Akımı değiştirmemesi için iki tane çok ince boru akım ortamına daldırılıyor. I.borunun ağzı : akıma dik II.borunun ağzı : akıma paralel Pitot borusunun burnu bir kabarma noktasıdır. Buradaki basınç kabarma basıncına eşittir. Yani p + II.boruda I.boruda v=0⇒ ρv 2 ’e eşittir. 2 v2 =0 2g v≠0 su P.Ç’ne kadar yükselecek E.Ç = P.Ç Su enerji çizgisine kadar yükselecek 15 Akışkanlar statiğinde biliyoruz ki bir nivo yüzeyi üzerinde basınç sabittir. p+ ρv 2 = γ(h + z) 2 p = γ.z ρv 2 = γh 2 (5.22) (5.23) ⇒ v = 2gh (5.24) Bu bağıntıdan yararlanarak manometre borularındaki seviye farkı, yani h ölçmke sureti ile bir noktadaki v hesaplanır. Pitot borusu, laboratuarda gerek su gerek hava akımlarında, noktasal hızları ölçmek amacı ile kullanılan bir araçtır. 5.2.2.5 Bir Borunun Muhtelif Noktalarındaki Basınç 16