ELASTİSİTE TEORİSİ (Stress-Strain) Gerilme
Transkript
ELASTİSİTE TEORİSİ (Stress-Strain) Gerilme
ELASTİSİTE TEORİSİ (Stress-Strain) Gerilme-Deformasyon İlişkisi Doç.Dr. Eşref YALÇINKAYA (3. Ders) Stress - Gerilme Gerilme; birim alana düşen kuvvettir: Gerilme = kuvvet / alan burada F/A kuvvet = kütle x ivme Gerilme birimi : [(kg)(m/s2)](1/m2) = N/m2 = Pa (pascal) 1 bar = 105 Pa=106 dyne/cm2 E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 2 1 Stress - Gerilme Gerilmeye bir örnek basınçtır. Yerküre içinde hangi derinlikte basınç en büyüktür ? 24 km’de 0.6 GPa, 2900 km de ~135 GPa, yer içinin merkezinde ~ 350 GPa Derin okyanus araştırma araçları niçin küçüktür ? E.YALÇINKAYA 3 Stress - Gerilme Bir cisim gerilme altında kaldığında, buna farklı şekillerde cevap verir : Deforme olur (şekli veya hacmi değişir) – Bu çoğu kez elastik deformasyondur ve gerilme kalktığında cisim ilk haline döner. (Plastik deformasyonda, cisim orijinal haline dönemez. Akar – Bu viskoz davranış biçimidir. Gerilme kalktığında cisim ilk haline dönemez. Duktil (ductile) davranış olarak ta bilinir. Kırılır – Bu kırılgan davranış şeklidir ve sadece katı cisimlerde oluşur. Gerilme kalktığında cisim ilk haline dönemez. E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 4 2 Strain - Deformasyon Deformasyon ; uygulanan bir gerilme karşılığında cisim içinde meydana gelen şekil veya hacim değişikliğidir. Deformasyon, birimsiz ve boyutsuzdur. E.YALÇINKAYA 5 Strain - Deformasyon Örnek : 5 cm uzunluğundaki bir lastiği çekerek uzunluğunu 6 cm yapabilirsiniz. Bu durumda deformasyon: Deformasyon = 1 cm / 5 cm = 0.20 veya 20% Deformasyonun birimi yoktur. E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 6 3 Strain - Deformasyon Bazı materyaller küçük gerilmelerde çok büyük deformasyonlara uğrarken, bazıları ise büyük gerilmelerde çok küçük deformasyonlar gösterirler Bu nedenle gerilme ve deformasyon arasındaki ilişki materyalin özelliğiyle (örneğin yoğunluk) ilgilidir Bu stress-strain ilişkisi, materyalin rheology olarak tanımlanır. E.YALÇINKAYA 7 Elastik Enerji Elastik bir cisim deforme olduğunda, kendisini deforme eden enerjiyi içinde depolar. Bir fırsat verildiğinde depoladığı enerjiyi serbest bırakabilir. Depremler, faylar etrafındaki kayalar içinde depolanan büyük deformasyon enerjilerinin açığa çıkması sonucu oluşur. E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 8 4 Elastik cisim Bir kuvvetin etkisi altında deformasyona uğrayan ve kuvvet kaldırıldıktan sonra eski durumuna dönen cisme elastik cisim, böyle bir deformasyona da elastik deformasyon denir. Lineer elastisite teorisinde deformasyon gerilmenin devamı süresine bağlı değildir ve gerilme ile deformasyon arasında doğrusal bir bağıntı vardır : E Hooke Kanunu Deformasyon Elastik Parametre (Young modülü) Gerilme E.YALÇINKAYA 9 Gerilme ve Bileşenleri Bir hacim elemanı yüzeyleri üzerinde gerilme dokuz bileşeni ile tanımlanır : z zz yz xz xx xy xz yx yy yz zx zy zz zy zx yy xx yx xy y x E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 10 5 Denge durumunda, net moment sıfırdır ; xy yx yz zy xz zx Bu sebeple, daha önce tanımladığımız 9 gerilme bileşeninden sadece altısı birbirinden bağımsızdır. xx xy xz xy yy yz xz yz zz E.YALÇINKAYA zz 11 z yz xz zy xy yy yy xy xz zy y yz x zz Yüzeye dik olan bileşenler :Normal gerilmeler ( xx , yy , zz) Yüzeye paralel olan bileşenler :Kayma gerilmeleri ( xy , xz , yx , yz , zx , zy) E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 12 6 z z zz zz yy yy y xx xx x x Normal gerilmeler pozitif ise; Çekme (tension) gerilmeleri Normal gerilmeler negatif ise; Basınç (compression) gerilmeleri E.YALÇINKAYA xx y yy 13 İzotropik gerilme zz Gerilmeler negatif ise; hidrostatik basınç hacimsel daralma Gerilmeler pozitif ise; hacimsel genleşme xx yy zz Anizotropik gerilme Şekil değişimi E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 14 7 Deformasyon (Strain) ve Bileşenleri Deformasyon ; uygulanan bir gerilme karşılığında cisim içinde meydana gelen şekil veya hacim değişikliğidir. E.YALÇINKAYA x O M x+u O O noktasında sabitlenmiş bir elastik ip x yönünde gerilirse L noktası u kadar yer değiştirip L’ noktasına; M noktası ise u+ u kadar yer değiştirip M’ noktasına gelir. x L x+ u L’ M’ x yönündeki deformasyon xx = xx xx ; LM uzunluğundaki değişim orijinal LM uzunluğu L M LM LM x → 0 durumunda ; xx x u x E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 15 u x x u x 16 8 u u x xx x → 0 durumunda ; u x xx x v y w z yy zz E.YALÇINKAYA 17 Kayma (shear) deformasyonu; u xz 2 z tan 1 w tan x 1 1 2 xz xz 1 ( 2 1 2 2 1 2 w x u z 1 2 2 (çok küçük açıçılar ) (çok küçük açıçılar ) ) boyutlar → 0 durumunda ; xz E.YALÇINKAYA 1 w ( 2 x u ) z E.YALÇINKAYA 18 9 E.YALÇINKAYA 19 Dönme deformasyonları ; z C’ x y z v z u z v x w y w x u y C B’ 1 2 B D’ x y A E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 1 2 D x 20 10 Böylece, bir nokta için u u u v v v w w w , , , , , , , , x y z x y z x y z gibi dokuz büyüklük bilinirse komşu noktaların rölatif yerdeğiştirmeleri hesaplanabilir. Strain katsayıları aşağıdaki gibi tanımlayalım : E.YALÇINKAYA u x 1 2 1 2 v x w x xx xy xz yx yy yz zx zy zz 1 2 u y u z u y v x v y 1 2 w y E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 21 v z 1 2 1 2 u z v z w x w y w z 22 11 Tek eksenli genleşme 3 0 0 u x 0 0 0 0 0 0 0 Tek eksenli sıkışma u x 3 0 0 0 E.YALÇINKAYA 0 0 0 0 0 0 23 Basit kayma u y 0 Pure kayma u y E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA v x 0 24 12 Dönme u y E.YALÇINKAYA v x 0 25 Bu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma ( xx, yy, 2. Şekil değişimi ( xy, yx, xz, zx, yz, zy) 3. Dönme ( x, y, z) E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA zz) 26 13 Dilatasyon Dilatasyon; birim hacime tekabül eden hacim artmasıdır; lim V 0 xx yy zz u x v y w z V V E.YALÇINKAYA STRESS 27 STRAIN xx xy xz xx xy xz yx yy yz yx yy yz zx zy zz zx zy zz E Hooke Kanunu Orantı sabiti E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 28 14 Gerilme – Deformasyon Bağıntıları Elastik cisimlerde gerilme ile deformasyon arasındaki ilişki Hook Kanunu ile tanımlanır. Hook kanununa göre deformasyon uygulanan gerilme ile doğru orantılıdır ; ij E ij , i, j x, y, z Buna göre, elastik cismin içinde herhangi bir noktada gerilmenin bağımsız altı bileşeninden herbiri strain’nin altı bileşeninin bir fonksiyonudur ; E.YALÇINKAYA 29 c11 xx c12 yy c13 zz c14 yz c15 zx c16 yy c21 xx c22 yy c23 zz c24 yz c25 zx c26 xy zz c31 xx c32 yy c33 zz c34 yz c35 zx c36 xy yz c41 xx c42 yy c43 zz c44 yz c45 zx c46 xy zx c51 xx c52 yy c53 zz c54 yz c55 zx c56 xy xy c61 xx c62 yy c63 zz c64 yz c65 zx c66 xy xx xy Cmn katsayılarına malzemenin elastik sabitleri denir. İzotrop, yani elastik davranışı istikamete bağlı olmayan bir elastik cisim için bağımsız elastik sabitlerin sayısı ikiye iner ; , . Lame sabitleri olarak adlandırılan bu iki bağımsız elastik sabit kullanılarak gerilme-deformasyon ilişkileri tekrar E.YALÇINKAYA 30 yazılırsa; E.YALÇINKAYA 15 xx ( 2 ) yy xx zz xx yz yz zx zx xy xy yy zz 2 xx yy zz 2 yy zz 2 zz xx ( 2 ) yy ( 2 ) Yukarıda verilen ilişkiler ileride sismik dalgaları tanımlarken kullanılacaktır. Aynı zamanda, sismik dalga hızlarının elastik sabitlere bağlı olduğunu göreceğiz. İzotrop bir ortam içinde sismik dalga hızları yayıldıkları yöne bağımlı değildir. E.YALÇINKAYA 31 ; “rijidite (katılık)” veya “kayma modülü”; elastik izotrop bir cismin kayma gerilmesine ( ör. xy) karşı direnci olarak tanımlanabilir. xy xy Yüksek değerine sahip bir cisim uygulanan kayma gerilmesine çok küçük bir kayma deformasyonu ile karşılık verir. Sıfır rijidite değeri kayma gerilmelerinin oluşmadığı sıvı ortamlara karşılık gelir. Yerkabuğu için rijidite değeri yaklaşık ; 3 x 1011 dyne/cm2 dir. Çelik için ise ; 8 x 1011 dyne/cm2 dir.32 E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 16 Diğer bir elastik sabit “sıkışmazlık” veya “bulk modülü - k” dür. k P 2 3 Bir cismin hacim değişikliğine karşı direnci olarak tanımlanabilir. Uygulanan bir basınç altında büyük k değeri daha küçük bir hacim değişikliğine işaret eder. Sıvı içinde k= dir. K G 1.7 x 1011Pa 0.8 1.33 0.5 0.98 0.7 0.3 0.47 0.073 0.025 Demir Bakır Silikon Kuvars Buz E.YALÇINKAYA 33 “Poisson oranı – v ” bir cisim üzerinde enine daralmanın boyuna uzamaya oranı olarak tanımlanır. v yy xx 2( ) 0 ile 0.5 arasında değişir. Hiç sıkışmayan ve tam sıkışan sırasıyla. Sünger çok küçük bir poisson oranına sahip iken metal bir silindir yüksek poisson oranına sahiptir. Düşük poisson oranı aynı zamanda malzemenin yüksek oranda potansiyel enerji depolayabildiğinin göstergesidir. Bazalt=0.25, Kireçtaşı=0.32 Cam=0.24, Sünger=0.10 .. E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 34 17 “Young modülü – E ” bir cisim üzerinde boyuna gerilmenin boyuna deformasyona oranı olarak tanımlanır. Kabuk kayaları için E ≈ 1011 pascal. (3 xx E 2 ) xx Elastik sabitler E, v ve k basit deneylerle kolayca ölçülebilmeleri nedeniyle mühendislikte sık kullanılan sabitlerdir. Sismik dalga yayılımı için ise ve , bazen de k daha yaygındır. Çoğu sismolojik problem = kabul edilerek basitleştirilir. Böyle bir cisim Poisson katısı olarak bilinir ve yerküre için uygun bir yaklaşımdır. Bu durumda Poisson oranı 0.25 değerine, Young modülü E = (5/2) , bulk modülü k = (5/3) ‘e eşit olur. E.YALÇINKAYA 35 L+ L L b- b b v xx E xx F/A L/ L b/b L/ L yy xx V F P F V- V xy k P V /V xy E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA F/A 36 18 Stress ve strain’e göre elastik davranış; E Uzama deformasyonu Shear Stress’e göre elastik davranış; G S Kayma deformasyonu Hacim değişimindeki orantı sabiti ise; K (V V0 ) / V0 Hacimsel deformasyonu E.YALÇINKAYA 37 3 Boyutlu Dalga Denklemleri 2 u ( x, t ) x2 2 1 2 u ( x, t ) t2 1/ 2 ( / ) u( x, t ) f (x vt ) E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA Bir Boyutlu Dalga denklemi ve çözümü 38 19 z ma F xx 2 u t2 dxdydz xy dz xx x ( xy y ( xz z y dx dy xy xy y x xx xx x xx ( xy xz dx)dydz xx dydz dy )dxdz xy dz )dxdy xz dxdz dxdy dy dx Üç Boyutlu Dalga denklemleri E.YALÇINKAYA 2 u t 2 2 v t 2 xx x w t 2 xz y yx x 2 xy z yy yz y zx x z zy zz y z 39 Bu denklemeler gerilme-deformasyon ve deformasyonyerdeğiştirme ilişkileri kullanılarak yerdeğiştirmelere göre yazılabilir : 2 u t2 2 v t2 2 w t2 ( ) ( ) ( ) 2 x u 2 y 2 z 2 2 2 x2 y2 z2 v w 2 Laplace operatörü E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA Üç Boyutlu Dalga denklemleri (yerdeğiştirmelere göre) xx yy zz u x v y w z Dilatasyon 40 20 Bu denklemeler, izotrop, tam elastik bir katı içinde üç boyutlu hareket denklemlerini temsil ederler. Bu denklemeler ortam içerisinde iki tür dalga yayılımını belirlerler. Bunlar gerekli işlemlerden sonra ; 2 t 2 2 2 2 t E.YALÇINKAYA x 2 2 x Bu denklem dilatasyonunun ( +2 / )1/2 hızı ile ortam içerisinde yayıldığını gösterir ki bu P dalgası yayılma hızıdır. ; kayma ve rotasyonun (dönme) olmadığı hacimsel bir deformasyonu tanımlar. Bu denklem ortam içerisinde x ekseni boyunca x rotasyonunun ( / )1/2 hızı ile yayıldığını gösterir ki bu S dalgası yayılma hızıdır. Tanecik hareketi dalga yayılım yönüne dik bir düzlem içinde sınırlıdır. x deformasyonunu hatırlayınız. E.YALÇINKAYA 41 E.YALÇINKAYA 42 21 İki farklı dalga türünün yayılması düzlem dalga hali gözönüne alınarak basitçe gösterilebilir. Dalganın x yönünde yayıldığını düşünürsek u, v, ve w yerdeğiştirmeleri ; 2 t u 2 2 v t2 2 t w 2 ( 2 2 ) 2 v ( ) 2 x 2 ( ) w x2 u x2 Görüldüğü gibi x yayılma doğrultusundaki yerdeğiştirme VP hızı ile, buna dik yöndeki yerdeğiştirmeler ise VS hızı ile yayılırlar. E.YALÇINKAYA 43 Z 2 S P 1/ 2 P dalgası X 1/ 2 Y S dalgası Sıvı içinde = 0 ve k = olduğu için sadece dilatasyon dalgası (P dalgası) VP = (k/ )1/2 hızı ile yayılır. E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 44 22 Üç boyutlu dalga denkleminin çözümü Üç boyutlu bir ortamda düzlemsel yayılan dalga durumunda denklem çözümü : u ( x, t ) f1 ( x ct ) f 2 ( x ct ) Üç boyutlu bir ortamda bir O merkezinden küresel yayılan dalga durumunda (küresel koordinatlarda) denklem çözümü : 1 f1 (r r u (r , t ) ct ) 1 f 2 (r r ct ) Küresel yayılan dalgalarda görüldüğü gibi dalga genliği r-1 ile orantılı olarak azalır. E.YALÇINKAYA 45 Bir eksene göre simetrik yayılan, yani silindirik olarak yayılan dalga durumunda çözüm : u (r , t ) 1 r 1/ 2 f1 (r ct ) 1 r 1/ 2 f 2 (r ct ) Silindirik dalga için dalga cephesi r ile orantılı genişlerken dalga genliği r-1/2 ile orantılı olarak azalır. E.YALÇINKAYA E.YALÇINKAYA 46 23