İskenderiyeli Diyofantus, ``Bilemeyiz``in Kanıtı, Dik Üçgenler ve 1
Transkript
İskenderiyeli Diyofantus, ``Bilemeyiz``in Kanıtı, Dik Üçgenler ve 1
İskenderiyeli Diyofantus, ‘‘Bilemeyiz’’in Kanıtı, Dik Üçgenler ve 1 Milyon Dolar Üzerine “Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie is die Königin der Mathematik.” (Matematik bilimin kraliçesi, Sayılar Teorisi de Matematik’in kraliçesidir.) Bu söz Alman Matematikçi Carl Friedrich Gauss’a ait. Antikçağ sonrası en büyük matematikçi olarak kabul edilir Gauss. Bir matematik problemine, hem de dik üçgenlerle alakalı olan bir probleme tam 1 milyon dolar paha biçildiğini biliyor muydunuz? “Bir dakika yahu” diyeceksiniz, “Dik üçgenlerle alakalı her şeyi Antik Yunan’dan beri bilmiyor muyuz ki?” Lise geometri derslerinin süper yıldızı Öklid dik üçgenlerle alakalı her soruya yanıt bulmamış mıydı ki? Matematikçilerin defalarca muhatap kaldığı bu sorunuzun benzer bir halinden bahsederek başlayalım o zaman; askerliğimden bir anekdotla. Burdur’da dövizli askerlik kapsamında yaptım askerliğimi. Her işle meşgul insanlarla beraber, dünyanın dört bir yanından… O gün Paris’te çalışmakta olan bir güruhla denk geldim. Ben de o vakit Paris’teki dünyaca ünlü IHES Matematik Enstitüsü’nde bulunuyordum; bizim çağımızın Öklidler’inden matematik öğrenebilmek için. Bana “Ne iş yaparsın?” diye sordular, “Matematikçiyim” diye cevap verdim, ama konunun burada kapanmasının imkânsız olacağının farkındaydım. ”Öğretmensin yani?!” diye sordu biri. Doğru, normal koşullarda bir işimiz de “matematik öğretmek”, ama aksilik o ya ben o sene ders vermiyordum ve o gün köyün doğrucusu olmaya kararlıydım. - Aslında bu sene ders vermiyorum. - Peki o zaman ne yapıyorsun ki? - Araştırma. Hem de dik üçgenler üzerine. Kısa bir sessizlik sonrası o küçük Parisli Türk çetesinin reisi görünümlü olanı diğerlerine dönüp “Bak işte bizim vergiler nereye gidiyor?” diyerek noktaladı sohbetimizi. Dönelim dik üçgenlere… Matematikçi ne iş yapar sorusuna bir cevap burada gizli zira. Matematikçilik, bir dik üçgene bakarak Ay’a gitmeyi, atomu parçalamayı başarmış insanoğlunun entelektine meydan okuyan bir problem ortaya atıp usanmadan asırlarca onun peşinden koşmaktır. Binlerce yıllık problemleri çözmek ve çelimsiz görünüşlerine (enine boyuna nihayetinde dik üçgen işte!) zıtlıkla yüzlerce yıllık uğraşıyı gerektirecek derinlikte bilgilere ulaşmak hevesiyle değil, bu süreçte yepyeni dünyalar keşfetmenin tutku ve keyfiyle beslenen kişidir matematikçi. Peki, bırakalım da matematik anlatsın bizlere matematikçilerin derdi neymiş, neden -Gauss’un demesiyle- kendisi bilimin kraliçesiymiş? Saymak, Ölçmek-Biçmek Derken: Keops-Thales-Pisagor-Plato Nil’in taşkınlarının çetelesini tutmak istedi eski Mısırlılar, zira bu taşkınları felaket olmaktan çıkartıp bir nimet olarak ancak bu şekilde kullanabilirlerdi: Yılın belli gün sayısından ibaret bir döngü olduğunu hesap etmişler, daha sonra bu döngünün üç mevsime (“akhet” yani sel mevsimi; “peret”, yani ekinlerin büyüme mevsimi; “shemu”, yani hasat mevsimi) bölerek hayatlarını ona göre düzenlemişler. Nil taşkınlarının zamanını hesap etmek için su seviyesinin çetelesini tutmaları gerekmiş, buna uygun hesap sistemleri geliştirmişler. İster inanın ister inanmayın, Mısır’ı diğer medeniyetlerin bu derece önüne geçiren temel başarı, Mısırlıların doğa ile mücadelelerinde kullanmak üzere keşfettikleri matematiksel sistemlerdir. Sayılarla ilişkimiz çok kabaca işte buna benzer bir hikâyeyle başlamış: günleri ya da başka nicelikleri sayarak. O nedenle {1, 2, 3, ....} kümesine sayma sayıları kümesi deriz. İnsanlık hayatta kalma mücadelesinde tarım devrimi sayesinde kısmen galebe çalmasının ardından gözünü sonsuzluğa çevirmiş, sonsuzluğu aramıştır. Neticede kendilerinin yeryüzündeki izleri olarak ebediyete kadar yaşayacak abideler inşa etmeye koyulmuşlar. Bu süreçte daha kapsamlı hesaplar gerekmiş, insan saymaktan bir adım öteye geçip geometri ile ilgilenmeye başlamışlar. Başlangıçta matematik temel ihtiyaçlara cevap aramak için bir araçken, matematiksel yapılarla insanoğlu entelektüel birikimini bir düzene koyabileceğini, hatta matematik vasıtasıyla estetik tatmin bulabileceğini fark etmiş. Keops piramidinin taban çevresinin yüksekliğine oranının, birim çemberin çevresi olan 2π sayısına binde iki yakınlıkta olması (ki böyle devasa bir yapı için, 5000 yıl öncesinin koşulları göz önüne alınırsa korkunç bir yakınlıktır bu) böyle bir kaygının neticesi olabilir mi dersiniz? Ünlü Macar matematikçi Paul Erdös, "Sayıların cazibesi nereden gelir? Bu, ‘Beethoven’ın 9. Senfonisi neden güzeldir?’ diye sormaya benzer. Nedenini kendin göremiyorsan, sana kimse anlatamaz da bunu. Ben sayıların güzelliğini biliyorum. Sayılar güzel değilse, hiçbir şey değildir." diyerek bu hisleri dile getiriyor. Geometri demiştik tam da, şu satırların sahibi muhatabınız geveze matematikçi bendeniz matematiğin güzelliğini ballandıra ballandıra anlatmaya başlamadan! Hani ondan bahisle okulunun kapısına ”Geometri bilmeyen giremez!“ yazmış Plato (Eflatun); işte o geometri. Antik Yunan döneminde matematik, Plato’dan çok evvel toprakdaşlarımız Thales ve Pisagor tarafından deneme-yanılma yöntemlerinden çok mantıksal/aksiyomatik çıkarımsal metodların hükmettiği bir alana evrimleştirilmeye başlanmıştır esasında. Plato’ya ise, geometriyi mühendisliğin üstünkörülüğünden arındırıp soyutsal temellerine oturtan kişi demek hata olmaz herhalde. Plato, cetvel ve açı ölçer kullanmaya tenezzül edenlerin yalnızca hamal olacaklarını, gerçek bilgelerin yalnızca pergel ve çizgelik (Cetvelden farklı olarak üzerinde hiçbir ölçüm birimi bulunmayan, sadece iki nokta arasında bir doğru çizmekte kullanılan alet) ile problemlere cevap arayacağını ifade etmiştir. Bu mütalaa, cetvel ve pergel kullanılarak hangi geometrik şekiller çizilebilir problemine götürmüştür insanoğlunu; kendilerine 19. yüzyılda, insanın 2200 senelik tecrübe ve çabaları üzerine inşa edilen derin yöntemlerle yanıt bulabilen Antik Yunan’ın üç temel “imkânsızlık” problemine: Sadece cetvel ve pergel kullanarak, bazı açıları üç eşit parçaya bölmek de, hacmi verilen bir küpün hacminin iki katı olan bir başka küpü inşa etmek de, alanı verilen bir dairenin alanına eşit olan bir kareyi çizmek de İMKÂNSIZDIR! Evet, bunu sizin de, sizin torunlarınızın da başaramayacağını kanıtlayabiliyoruz; yani zahmete dahi girmeyin! Ne yazık ki, bunu bir-iki sayfada lise düzeyinde anlatmak mümkün değil, ciddi bir lisans eğitimi gerekli bunun için… Matematikçiler bu kadar derine indi diye burada pes etmeyeceğiz elbette. En azından hani şu 1 milyon dolarlık problemin hikâyesi bahsetmeye ve belki de azıcık baş döndürücü teknik güçlüğe göğüs germeye değebilir. O vakit sıkı durun: Yazımızın masal evresinden birazcık daha ciddi kısmına geçiyoruz! Denk Sayı Problemi Birazdan sizlere takdim edeceğim matematik problemi 2000 yıllık değil, yalnızca (!) 1000 yaşında; lakin hâlâ dimdik ayakta! Bu soruyu ilk soranlar 10. yüzyılda altın çağını yaşamakta olan Arap medeniyetinin matematikçileri. İlk kez ortaya atılmasından sekiz yüzyıl sonra, 18. yüzyılda Alman Kralı Friedrich İtalyan matematikçi Fibonacci’yi payitahtına davet ederek bu problemi çözmesini ister: Hangi n pozitif tamsayıları, tüm kenar uzunlukları rasyonel sayılar olan bir dik üçgenin alanı olabilir? Böyle bir dik üçgen bulunabiliyorsa n tamsayısına bir denk sayı diyeceğiz. Cebirsel olarak bu problemi şu şekilde de ifade edebiliriz: Şayet (*) a2+b2=c2 ve ab/2=n olacak şekilde a, b, c rasyonel sayıları var ise, n tamsayısına bir denk sayı diyeceğiz. Aslen bir hukukçu olan Pierre Fermat, n=1 sayısının denk olmadığını, yani alanı 1 olup da tüm kenarları rasyonel sayılar olan bir dik üçgenin olmadığını kanıtlamıştır. Fermat’nın ispatı oldukça estetik ve matematiğe azıcık dahi ilgi duyan her lise öğrencisinin anlayabileceği düzeydedir. Teoremin kanıtındaki en mühim adım sonsuz inişler yöntemi olarak adlandırılır: Fermat kanıtlar ki, eğer alanı 1 olan bir dik üçgen varsa, ki bunun hipotenüsü c=m/n rasyonel sayısı olsun (burada m ve n iki pozitif tamsayıdır), o zaman hipotenüsünün payı c’nin payı m’den daha küçük olan bir dik üçgen vardır. Bu ise imkânsızdır zira bize üstü kapalı olarak, verilen her hangi bir pozitif tamsayıdan daha küçük bir başka pozitif tamsayı bulabileceğimizi söylemektedir. Bu çelişki gösterir ki, ilk önkabulümüz, yani alanı 1 olan bir dik üçgenin varlığı kabulü hatalı olmalıdır. Peki genel durumda ne yapabiliriz? Dik Üçgenler ve Diyofant Denklemleri Denk sayılarla ilgili basit bir gözlemle başlıyoruz. İlk bakışta son derece beyhude bir adım gibi gözükse de, matematikçiler bu kadarcık bir adımı alıp nereye taşımışlar göreceksiniz! Gözlem 1: Şu iki küme arasında birebir örtüşen bir eşleme vardır: Bir başka deyişle, bir n pozitif tamsayısının denk sayı olması için gerek ve yeter koşul, En: y2=x3-n2x Diyofant Denklemi’nin (0,0), (0,n) ve (0,-n)’den başka bir çözümünü bulunabilmesidir. Diyofant Denklemi de ne ola ki? Bunlar, İskenderiyeli matematikçi Diyofantus’un üzerinde çalıştığı denklem türleridir. En kaba ifade ile, F(x1,..., xn) katsayıları rasyonel sayılar olan bir (n-değişkenli) polinom olmak üzere, F(x1,..., xn)=0 denkleminin x1,..., xn rasyonel değerler alırken çözümü var mıdır yok mudur, varsa çözüm kümesini betimlemek mümkün müdür sorularına yanıt arar Diyofantus. Bu masum görünümlü (yoksa değil mi?) problemin ardında muazzam bir canavar yatmaktadır, hadi onu açığa çıkartalım! Örnek 1: Az evvel karşımıza çıkan y2-(x3-n2x)=0 denklemi bir Diyofant Denklemi’dir mesela. Örnek 2: x3+y3+z3=29 denkleminin tamsayılar kümesinde bir çözümünü hızlıca keşfetmek çok zor olmasa gerek: (3,1,1). Hatta biraz daha dikkatle bakıldığında (4,-3,-2) üçlüsünün de bir çözüm olduğunu görebilirsiniz. Örnek 3: x3+y3+z3=30 denklemine göz atalım bir de. Bu denklemin bilinen en küçük tamsayı çözümleri (2220422932, -2218888517, -283059965) üçlüsüdür ve bu üçlü ancak 1970’lerde ilk hesap makineleri yardımıyla keşfedilmiştir! Burada canavar dişini göstermeye başladı sanki, haksız mıyım? Örnek 4: Hazır başlamışken x3+y3+z3=31 ve x3+y3+z3=32 denklemlerini de bir düşünelim. Bu denklemlerin çözümü yok ve kanıtı için lise düzeyinde matematik bilgisi yeterli. Zira, her hangi bir tamsayının küpünü 9’a böldüğümüzde, kalan 0,1 yahut 8 olabilir. Bu bilgi ve azıcık modüler aritmetiğe el yatkınlığı bu problemin hakkından gelmek için kâfi. Canavar mı demiştiniz? Örnek 5: Peki son olarak x3+y3+z3=33 denklemini düşünelim. Sıkı durun: Bu denklemin tamsayılar kümesinde çözümü var mı yok mu kimse ama kimse bilmiyor! Evet, kimse ne bu denklemin çözümü olamayacağını kanıtlayabiliyor ne de bir tek çözüm bulabiliyor. Ay’ı fethetmiş insanoğlu için utandırıcı gerçekten! Bu durum bizi şu soruya sürüklüyor: Madem insanın kabiliyetlerinden çok daha ötede hesap kitap yapabilen bilgisayarlarımız var, neden bir algoritma yazıp bu denklem mümkün mü değil mi hesap ettirmiyoruz? İşte bu problem Hilbert’in 10. Problemi olarak bilinen, 20. yüzyılın en önemli matematikçilerinden David Hilbert’in 1900 yılında Uluslararası Matematik Kongresi’nde yaptığı konuşmada, “Yeni yüzyılda çözülmesi öncelikli olmalıdır” dediği 23 problemlik listesindeki problemlerden biridir. Hilbert’in 10. Problemi: Öyle bir algoritma var mıdır ki, girdi olarak rasyonel katsayılı bir Diyofant Denklemi’ni alsın, çıktı olarak bize ya bu denklemin rasyonel sayı çözümü VARDIR, ya da bu denklemin rasyonel sayı çözümü YOKTUR desin. Hilbert’in kendisi bu soruya pozitif bir cevap tahmin etmiş olacak ki ‘”In der Mathematik giebt es Ignorabimus” (Matematikte bilemeyiz olmaz!) demiştir. Fakat Hilbert’in tahmininde hatalı olduğu 1970 yılında kanıtlandı: Matiyasevich: “Diyofant denklemlerinin çözülebilirliği HÜKÜMSÜZDÜR. Bir başka deyişle, rastgele bir Diyofant denkleminin çözümünün olup olmadığı hükmüne varabilecek bir algoritma BULUNAMAZ!” bilip dik üçgenlere geri dönelim iyisi mi! Yani bilemeyeceğimizi kanıtlıyor Matiyesevich! Herhalde bir canavarla karşılaştığımızı kabul edersiniz, kaçma vakti, haddimizi Dik üçgenler ve Eliptik Eğriler Nerede kalmıştık hatırlayalım: Alanı n pozitif tamsayısı ve kenar uzunlukları rasyonel sayılar olan dik üçgenler ile En: y2=x3-n2x denkleminin belirlediği eğrinin üzerinde (0,0), (0,n) ve (0,-n)’den başka rasyonel koordinatlı bir nokta bulunmasıdır. E_n’yi belirleyen türde denklemlerin çözüm kümeleri olan eğrilere eliptik eğri diyoruz. Son derece özel bir türde denklemle ilgileniyoruz, kimin umurunda deyip hafife almayın! Matematiğn belki de en mühim problemlerinden biri olan ve Clay Matematik Enstitüsü’nün çözümüne 1 milyon dolar değer biçtiği Birch ve Swinnerton-Syer sanısı bu objelerin aritmetik özelliklerini anlamaya yönelik bir problemdir. Bu noktaya zaten geri döneceğiz. Bunun ötesinde, İngiliz matematikçi Sir Andrew Wiles’ın, Fermat’nın Son Teoremi olarak bilinen ve 350 yıl kadar kanıt beklemiş tahminine verdiği ispatın merkezinde de eliptik eğrilerin temel özelliklerini anlamak yatmaktadır. Hâlâ ikna olmadıysanız: Eliptik eğriler açık anahtarlı şifreleme sistemleri dizaynında kullanılırlar. Banka hesaplarımızın güvenliği matematik dünyasının bu masum öğeleri üzerine kurulmuştur! Hesaplarımızı güvene almakla yetinmeyeceğiz elbette. Denk sayı problemini çözmek istiyorsak yapmamız gereken o halde En kümesini betimlemek. Problem: En eğrisinin üzerindeki rasyonel koordinatlı noktalar kümesi Kümesini betimleyin. En(Q)={(x,y) ∈QxQ: y2=x3-n2 x} Bir defa daha En(Q) kümesinin adi elemanları alt kümesi {(0,0), (0,n), (0,-n)} hatırlayalım. Artık lise ve hatta lisans matematiği seviyesini aşacağımız vakit geldi! Böyle dediğime bakmayın, birazdan ifade edeceğim teoremi lise öğrencisi dahi anlayabilir; lakin kanıtı oldukça ciddi matematik birikimi gerektiriyor: Teorem (Mordell, 1922): Eğer En(Q) kümesinin adi olmayan tek bir elemanı dahi var ise, o halde En(Q) kümesi sonsuz elemanlıdır. Bu kanıtın ana girdisi bir nevi matematiksel simya. Elbette böyle bir ucube yöntem yok; temel fikir eliptik eğrilerin noktaları alıp üzerinde toplama çıkarma işlemi yapabileceğimiz bir objeye dönüştürmek. Biz üzerinde böyle bir işlem tanımlanmış objelere “gurup” ismini veriyoruz. Örneğin, tam sayılar kümesi ve bilindik toplama işlemimiz bize bir gurup verirler. Yahut 0’dan farklı rasyonel sayılar kümesi üzerindeki çarpma işlemi de. Bir eliptik eğrinin üzerinde tanımlanan toplama işlemini yandaki şemamızda betimliyoruz. Mordell’in asıl genel teoremi der ki, bu özel toplama işlemi altında En(Q) gurubu yapısal olarak, kabaca tamsayılar kümesine benzer. Bu teoremi temel lisans cebiri almış okuyucular için matematiksel dilde yeniden ifade ediyorum: Üstteki şemada betimlenen işlem altında En(Q) sonlu türeteçli bir abelyen gruptur. Bu grubun sonlu mertebeli elemanları sadece ve yalnızca adi elemanlarıdır. Peki, Mordell’in teoremi sayesinde ciddi bir adım atmış olduk: n sayısının denk sayı olması için gerek ve yeter koşul En(Q) kümesinin sonsuz sayıda elemanı bulunabilmesidir. Dolayısıyla denk sayı problemimiz şuna dönüştü: Hangi n pozitif tamsayıları için En: y2=x3-n2 x eliptik eğrisinin üzerinde sonsuz sayıda rasyonel koordinatlı nokta bulunabilir? İşte tam bu noktada, yukarıda da bahsi geçen Clay Matematik Enstitüsü’nün çözümüne 1 milyon dolar değer biçtiği Birch ve Swinnerton-Syer sanısı resme girer. Bu sanı bizi bu problemin hesaplanabilir bir çözümüne götürür. Birch ve Swinnerton-Dyer Sanısı (1964) Her p asal sayısı için, Np ile y2=x3-n2 x mod p denkliğinin çözüm sayısını gösterelim. Bu durumda, En(Q) kümesinin sonsuz sayıda elemanı olması için gerek ve yeter koşul PROD_{p: asal} p/Np sonsuz çarpımının 0’a yakınsamasıdır. Bu problemin çözümüyle uğraşan onca matematikçinin senelik maaşları toplamı zaten milyon doları kat be kat geride bırakır; evet biz matematikçiler görece ucuz işçiler konumunda olmamıza rağmen vaziyet böyle. Demek istediğim, aslında bu problemin çözümüne konulmuş ödül tutarı, ederini yansıtmıyor; 1 milyon dolar yatırımla ulaşmak mümkün gözükmüyor bu sanının kanıtına. 1000 yıldır çözüm bekleyen denk sayı problemine son darbeyi indireceğimiz an geldi ve çattı: Teorem (Tunnell, 1982): Birch ve Swinnerton-Dyer sanısı doğru ise olmak üzere, (a) n bir tek tamsayı ise, n’nin denk sayı olması için gerek ve yeter koşul 2An=Bn olmasıdır. (b) n bir çift tamsayı ise, n’nin denk sayı olması için gerek ve yeter koşul 2C_n=D_n olmasıdır. Bu ifade size karmaşık mı geldi? Hadi o zaman Tunnell’ın bu teoreminin gücünü bir örnek üzerinde gözlemleyelim. Birch ve Swinnerton-Dyer sanısın doğruluğunu kabul etmeye devam ediyoruz. Örnek: n tamsayısı 8 ile bölündüğünde 7 kalanını veriyorsa bir denk sayıdır. Örneğin, alanı 81726749401007 olan ve kenarları rasyonel sayılar olan bir dik üçgen bulunabilir. Zira, Tunnell’ın teoreminin ifadesinde geçen An ve Bn sayılarının her birinin, , n tamsayısı 8’e bölündüğünde 7 kalanını veriyorsa 0 olduğunu bir lise öğrencisi rahatlıkla görebilir. Dolayısıyla, bu özel durumda gerçekten 0=2An = Bn = 0’dır ve Tunnell’ın teoremi sayesinde n gerçekten bir denk sayı olmalıdır. Hikâyenin geri kalanı kalburüstü üniversitelerin matematik bölümlerinin doktora programlarında anlatılıyor. Ne yazık ki, biz burada bu hikâyeyi sonlandırmak durumundayız. Devamını merak ederseniz, mesela sizden bu yazıda gizlediğim 1 milyon dolar ödüllü problemin yarı sına Kazuya Kato’nun 10 yıl kadar önce verdiği kanıta dair bir şeyler öğrenmek isterseniz adresimiz belli, zira asıl anlatmayı sevdiğim hikâye de tam burada başlıyor! İngiliz filozof ve matematikçi Bertrand Russell’dan bir alıntı ile son noktayı koyalım: ‘‘Matematiğe hakkını vererek bakabilirseniz matematiğin sadece gerçekleri değil, aynı zamanda en yüce güzellikleri barındırdığını da göreceksiniz - soğuk ve sade bir güzelliği, aynı bir heykel gibi, benliğimizdeki hiçbir zayıflığa ihtiyaç duymayan, resim ve müzik sanatı gibi harikulade kapanları olmayan, görkemli bir süssüzlükte bir güzellik, en muhteşem sanat yapıtlarının aksettirebileceği mükemmelliyet hissini yansıtabilen bir güzellik. Şiirin barındırdığı, yücelik ve mükemmeliğin mihenk taşı insandan fazlası olabilme algısı matematikte de bulunabilir.’’ Kazım Büyükboduk Doç. Dr., Koç Üniversitesi Matematik Bölümü Çeviri: Canberk İrimağzı