MUTLAK DEĞER
Transkript
MUTLAK DEĞER
MATEMATĐK’ĐM YILLAR ÖSS-YGS Mutlak Değer 2002 - 203 - 2004 - 2005 1 2006 - 2007 - 2008 1 2009 - 2010 - 2011 1/1 14) n ∈ Z + olmak üzere x n = x dır. n MUTLAK DEĞER 15) f ( x) > g ( x) ⇒ f 2 ( x) > g 2 ( x) a ε R olmak üzere; GENEL ÖRNEKLER a , a ≥ 0 ise a2 = a = - a , a < 0 ise NOT: Küçük –büyük negatif Büyük – küçük pozitif NOT: mutlak değerli sorularda ilk yapılacak olan şey, mutlak değer içinin işaretinin tespitidir. Sonrası kolay mutlak değerin içi pozitif ise olduğu gibi çıkarılır. Mutlak değerin içi negatif ise ifadenin önüne eksi bırakılarak çıkarılır. a ve b reel sayı olmak üzere; 1) a ≥ 0 dır. Eğer a = 0 ise a = 0 dır. a = −a 3) a.b = a . b 4) ÇÖZÜM: a sayısı b’den küçük olduğundan; a a , (b ≠ 0) = b b 5) a>0 , x ε R ve x < a ise -a < x < a 6) MATEMATĐK’ĐM 2) Örnek (1 ) a<0<b olduğuna göre a − b + b − 2a + 3a − 2b = ? a − b + b − 2a + 3a − 2b = { 123 1 424 3 − + − = -(a-b)+(b-2a)-(3a-2b) =-a+b+b-2a-3a+2b =4b-6a Örnek (2 ) a<0<b olduğuna göre dır. 16a 2 + 3 8a 3 + 4 b 4 − 4 a 4 = ? x > a ise x>a veya x<-a dır. ÇÖZÜM: 7) 8) a < x < b ⇒ a < x < b veya a < -x < b 16a 2 + 3 8a 3 + 4 b 4 − 4 a 4 = = 4a + 2a + b − a { { { a+b ≤ a + b − 9) 2 Örnek (3 ) 2<x<5 olmak üzere x − 5 + 3 x − 6 + − 5 − 2 −2 = ? a2 = a 12) x = y − =-4a+2a+b-(-a) =b-a olur. a − b ≤ a−b 10) a = a 2 = a 2 11) + ÇÖZÜM: x’in aralık içinde verildiği sorularda mutlak değerlerin içinin işaretini belirlemek için x’in verilen aralıktaki herhangi bir değeri kullanılabilir. Bu soruda x’in 3 olduğunu varsayarsak ⇒ x = -y ve x = y 13) x=a ise x=+a ve x= –a . www.globalders.com 1 MATEMATĐK’ĐM Mutlak Değer =x+2-[-(x-2)]+ x − x − 1 x − 5 + 3 x − 6 + −5 − 2 −2 = { 123 − =x+2+x-2+1 =2x+1 bulunur. + =-(x-5)+(3x-6)+-(-5)-( =-x+5+3x-6+5- 1 ) 4 1 4 Örnek (6 ) ( = −( x − 2 y ) + x − x − ( y − x) = −x + 2 y + x − 2x − y 123 MATEMATĐK’ĐM x<y olduğundan x-y<0 ve x-2y<0 olur. x-y<0 ise y-x>0 dır. + − + 3 . 3 − 5 = ? ( ) ( − (1 − 3 ) − ( 2 − 5 ) + 3) . − ( ( = ( 5 + 3 ) .( = ( 5) − ( 3) ) 3− 5 )( ) 3 ) (iki kare farkından) = −1 + 3 − 2 + 5 + 3 . − 3 + 5 5− 2 =5-3 =2 bulunur. Örnek( 7 ) x<0 olmak üzere 2x + x − − 2x − − x = ? ÇÖZÜM: x<0 olduğundan, -x>0 olur. 2 x + x − −2 x − − x = 2 x + x − ( −2 x ) − ( − x ) { { Örnek (5 ) 1<x<2 olmak üzere x + 2 − x − 2 + x − x −1 = ? + + = 2x + x + 2x + x = 3x + 3x { ÇÖZÜM: (x’e 1,5 değerini vererek işaretlerini bulalım) − =3x-3x =0 olur. x + 2 − x − 2 + x − x −1 = { { { − ) 2 =-x+2y+x-[-(2x-y)] =-x+2y+x+2x-y =2x+y olur. (Bu tip soruların mutlak değer içlerinin işaretleri x ve y ‘ye uygun değerler verilerek de tespit edilebilir. Siz bu soruyu birde değer vererek işaret bulma yolu ile çözmeyi deneyin. Ancak verdiğiniz değerlerin sorunun cevabını değil işaretleri bulmak için olduğunu unutmayın) + 2 2 2 1 − 3 + 2 − 5 + 3. 3 − 5 = kök derecesi çift ise ifade dışarı mutlak değer içinde çıkar. 1 − 3 + 2 − 5 + 3 , 3 − 5 123 123 1424 3 − − − ( 3 ≅ 1, 7 ve 5 ≅ 2, 2 olduğunu hatırlayın) ( ÇÖZÜM: − (2 − 5 ) ÇÖZÜM: Örnek (4 ) x<0<y olmak üzere x − 2y + x − x − y − x = ? x − 2y + x − x − y − x = { 123 ) 2 1− 3 + 1 4 15 olur. = 2x+ 4 = 2x+4- + . www.globalders.com 2 MATEMATĐK’ĐM Mutlak Değer Örnek( 8 ) a,b∈R olmak üzere a − 3b x 2 − x3 a + 2b ifadesinin en küçük değeri için =? b − 2a Örnek( 11 ) –1<x<0 için ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: 3 =? 2 a − 3b ifadesinin en küçük değeri 0 dır. a-3b=0 a=3b olur. a yerine 3b yazarsak a + 2b 3b + 2b 5b = = = −1 olur. b − 2a b − 2.3b −5b x2 − x3 x − −x 2 3 = = x − −x { { 2 − x +x 2 = Örnek( 9 ) x,y,z sıfırdan farklı reel sayılar ve 3 x − 4 y + 2 y − 3 z = 0 ise x/z=? 3 x 2 + x3 ( − x ) 2 − (− x )3 + 3 x 2 + x3 = 1 bulunur. Örnek( 12 ) a–3+b+2+c+5=0 ise a–2b+c=? ÇÖZÜM: 3x − 4y = 0 → 3x = 4y 3x 4 y = 3z 2 y 2y − 3z = 0 → 3z = 2y ÇÖZÜM: MATEMATĐK’ĐM Đki ifadenin toplamı sıfır ise ya bu ifadeler zıt işaretlidir(yani biri eksi biri artı), veya ikisi de sıfırdır. Mutlak değerli bir ifade eksi olamayacağına göre bu iki ifade de sıfır olmalıdır. buradan; 3x-4y=0 ve 2y-3z=0 olur. x = 2 elde edilir. z Toplamların sıfır olması için hepsinin ayrı ayrı sıfır olması gerekir. a-3 = 0 a = 3 b+2 = 0 b = -2 c+5 = 0 c = -5 o halde a-2b+c = 3-2.(-2)+(-5) = 3+4-5 = 2 olur. a=a , b= –b olmak üzerea– b+a+b=? Örnek( 10 ) x>2 olmak üzere x–2+3–2x=7 ise x=? ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: a=a ise a ≥ 0 dır. b= –b ise b ≤ 0 dır. buradan a − b + a + b = a − b + a − b = 2a − 2b dir. { { { x>2 ise (örneğin x’i 3 varsayıp işaretleri bulalım. Bu değerin x’in gerçek değeri olmadığını unutmayın) + x − 2 + 3 − 2x = 7 { 123 + − } x − x3 2 x − −x + − Örnek( 13 ) x–9=9–x ve x–5=x–5 ise kaç farklı x∈Z vardır? − x-2 –(3-2x)=7 x-2-3+2x = 7 3x = 7+5 3x = 12 x = 4 olur. ÇÖZÜM: x–9=9–x ise x-9 ≤ 0 ve x≤9 dır. x–5=x–5 ise x-5 ≥ 0 ve x ≥5 dır. buradan 5 ≤x ≤ 9 olur. x’in alabileceği değerler 5,6,7,8,9 olur. Yani 5 tane . www.globalders.com 3 MATEMATĐK’ĐM Mutlak Değer Örnek( 14 ) a<0<b<c olmak üzere c+b–a+c–b–c=? ÇÖZÜM: x+1=0 x=-1, x+3=0 x=-3, x+5=0 x=5 ÇÖZÜM: şimdi bu değerleri tek tek yazalım c+ b−a + c −b −c = c+b−a + c −b− c { { + x=-1 için -1+1+-1+3+-1+5= 6 x=-3 için -3+1+-3+3+-3+5= 4 x=-5 için -5+1+-5+3+-5+5=6 o halde en küçük değer 4 olur. + = c + b − a + −b 1 424 3 { − + =c+b-a+b = 2b+c-a olur. Örnek( 15 ) 1<x<2 olmak üzere (x )2 x2 − 4 x + 4 + x2 − 2 x + 1 + =? Örnek( 18 ) x∈R olmak üzere x–2– x+3 ifadesinin kaç farklı tamsayı değeri vardır? ÇÖZÜM: = ( x − 2) 2 + ( x − 1) 2 + ( x) ( x) = 2 = x − 2 + x −1 + x { { { − + + = -x+2+x-1+x =x+1 MATEMATĐK’ĐM x2 − 4 x + 4 + x2 − 2x + 1 + 2 ÇÖZÜM: Her bir mutlak değer içini sıfır yapan değerler bulunur. x-2=0 x=2 ve x+3=0 x=-3 A=x–2–x+3 olsun x=2 için A=2–2–2+3=-5 x=-3 için A=-3–2–-3+3=5 -3≤x≤2 için -5≤A≤5 olacağından A’nın alabileceği değerler 11 tanedir. Örnek( 16 ) x–2+x+3 ifadesinin en küçük değeri kaçtır? ÇÖZÜM: Örnek( 19 ) x∈Z olmak üzere x–4–x+1 ifadesinin kaç farklı tamsayı değeri vardır? Bu tür sorularda mutlak değer içlerini sıfır yapan değerler bulunup tüm ifadede tek tek yazılır. Hangi değer küçük çıkarsa cevap odur. ÇÖZÜM: x-2=0 x=2 ve x+3=0 x=-3 Yukarıdaki soru ile bunun arasındaki tek fark x∈Z olmasıdır. Önce her bir mutlak değer içini sıfır yapan değerler bulunur. x-4=0 x=4 ve x+1=0 x=-1 A=x–4–x+1olsun x∈Z olduğu için -1 ≤x≤4 aralığında x=-1,0,1,2,3,4 değerleri alınır ve A’da yerine yazılırsa her bir x için farklı bir A bulunur. o halde 6 farklı x için 6 farklı A vardır. x=2 için 2–2+2+3=5 x=-3 için -3–2+-3+3=5 iki değer de eşit çıktığından cevap 5 olur. Örnek( 17 ) x+1+x+3+x+5 ifadesinin en küçük değeri nedir? . www.globalders.com 4 MATEMATĐK’ĐM Mutlak Değer Örnek( 20 ) 27 ifadesinin en x −1 + x + 2 büyük tamsayı değeri nedir? x=0 ≥ -1 görüldüğü gibi x’in 0 ve -5 olmak üzere iki değeri vardır. ÇÖZÜM: Örnek( 22 ) x+2+x–1=5 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı nedir? 27 ifadesinin büyük olması için x −1 + x + 2 ÇÖZÜM: x − 1 + x + 2 ifadesinin küçük olması gerekir. Mutlak değerlerin içini sıfır yapan değerler bulunur. x+2=0 x=-2 , x-1=0 x=1 Đfadeyi mutlak değerden kurtarmak için 3 ayrı aralıkta inceleme yaparız 1) x<-2 için x + 2 + x − 1 = 5 { { x − 1 + x + 2 ifadesinin en küçük değeri için mutlak değer içleri ayrı ayrı sıfıra eşitlenip bulunan x değerleri ifadede yerine yazılıp hangisi küçük ise o alınır. x-1=0 x=1 ve x+2=0 x=-2 − NOT: x-a+x-b MATEMATĐK’ĐM x=1 için 1 − 1 + 1 + 2 =3 x=-2 için −2 − 1 + −2 + 2 =3 o halde en küçük değer 3 tür. Bu değer asıl ifadede yerine yazılır. 27 27 = = 9 bulunur. x −1 + x + 2 3 Örnek( 21 ) x+1+x+4=5 eşitliğini sağlayan kaç x tamsayı değeri vardır? ÇÖZÜM: Mutlak değerlerin içini sıfır yapan değerler bulunur. X+1=0 x=-1 , x+4=0 x=-4 Đfadeyi mutlak değerden kurtarmak için 3 ayrı aralıkta inceleme yaparız 1) x<-4 için x + 1 + x + 4 = 5 { { − + − x+2-x+1=5 3≠5 3) x ≥ 1 için x + 2 + x − 1 = 5 { { + + x+2+x-1=5 2x=4 x=2 ≥ 1 o halde x’in aldığı değerler toplamı -3+2=-1 dir. a2 − (a.b )2 ifadesinin alabileceği farklı a değerler toplamı nedir? ÇÖZÜM: a.b<0 ise a ve b zıt işaretlidir. -x-1-x-4=5 2x = -10 x=-5 < -4 2) -4≤ x <-1 için x + 1 + x + 4 = 5 { { 1) a>0 ve b<0 ise + (a.b ) a − 2 2 -x-1+x+4=5 3≠5 3) x ≥ -1 için x + 1 + x + 4 = 5 { { + 2) -2≤ x <1 için x + 2 + x − 1 = 5 { { Örnek( 23 ) a,b∈R ve a.b<0 ise − − − -x-2-x+1=5 2x = -6 x=-3 < -2 a = + − } } a − a.b a { + a + a.b = a + x+1+x+4=5 2x=5-5 . www.globalders.com 5 MATEMATĐK’ĐM Mutlak Değer a (1 + b) a =b+1 2x-1≥5 2x ≥6 x ≥3 = 3, 4, 5, 6, 7 2) a<0 ve b>0 ise (a.b )2 a2 − 2x-1≤-5 2x≤-4 x ≤-2 = a −7 , −6 , −5 , −4 , −3 , −2 o halde cevap -2 olur. − − } } a − a.b a { 1 1 1 1 + + − =1 x y x y ise y’nin en küçük tamsayı değeri nedir? Örnek( 27 ) 0<x<y ve − − a + a.b −a − a (1 − b) = −a =1-b o halde b+1+1-b=2 olur. x<y ise Örnek( 24 ) 2+x–2-x–2=? 2 = 1 ⇒ x = 2 olur. Bu durumda y en az 3 olur. x = MATEMATĐK’ĐM ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: 2+x–2>0 olduğundan 2+x–2=2+x–2 Örnek( 28 ) x–3+6–2x=9 ise x’in alabileceği değerler toplamı nedir? ÇÖZÜM: x–3+23–x=9 özellikleri hatırlarsak x–3=3-x olduğu anlaşılır. Buradan x–3+2x-3=9 3x–3=9 x–3=3 x-3=3 ve x-3=-3 buradan x=6 ve x=0 bulunur. o halde 0+6=6 dır. 2+x–2+x–2=2+ x − 2 - x − 2 =2 Örnek( 25 ) 1 1 > dir bu durumda x y 3x = 83 ise x–4+x–6=? ÇÖZÜM: Örnek( 29 ) x+1.x+4=x+1 eşitliğini sağlayan değerler toplamı nedir? 3 = 83 ise x=4 için 3 =81 , x=5 için 3 =243 81<83<243 olduğundan 4<x<5 olur. Buradan x − 4 + x − 6 =x-4-(x-6)=x-4-x+6=2 bulunur. { { x x + x ÇÖZÜM: − x+1.x+4= x+1 mutlak değer kurallarını uygularsak Örnek( 26 ) 2x–1≥5 eşitsizliğini sağlayan x∈Z’lerin toplamı nedir? x+4= 1 x+1= 0 x+4= 1 x+4= -1 x+1= 0 x = -3 x = -5 x = -1 o halde cevap -3-5-1=-9 olur. Örnek( 30 ) x+y+1+x–y–5 ifadesinin en küçük değeri için x/y=? ÇÖZÜM: 2x–1≥5 ise 2x-1≥5 ve 2x-1≤-5 eşitsizliklerini çözelim . www.globalders.com 6 MATEMATĐK’ĐM Mutlak Değer Özellikleri hatırlarsak x–5<9 -9 < x-5 < 9 -9+5<x-5+5<9+5 -4 < x < 14 x’in değerleri -3,-2,…….,13 dir bu değerlerin toplamı(ardışık sayılar toplamından ) 17 (−3 + 13). = 85 olur. 2 ÇÖZÜM: x+y+1+x–y–5 ifadesinin en küçük değeri sıfırdır. Bu da x+y+1=0 ve x–y– 5=0 demektir. x+y+1=0 x–y–5=0 x+y+1=0 x-y-5=0 x+y = -1 x-y = 5 Örnek( 33 ) 2x–1=x+7 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı nedir? bu iki denklem ortak çözülürse x+y = -1 x-y = 5 2x = 4 x=2 ÇÖZÜM: 2x–1=x+7 ise x 2 = olur. y −3 Örnek( 31 ) 2x+3+5x–2 ifadesinin alabileceği en küçük değeri nedir? ÇÖZÜM: Her iki mutlak değerin içini sıfır yapan değerleri bulup ifadede yerine yazar bakarız hangi değer küçük ise cevap odur. 2x+3=0 2x=-3 x=-3/2 5x-2=0 5x=2 x= 2/5 x=-3/2 için −3 2 + 3 + 224 3 14 2x-1=x+7 2x-x = 7+1 x=8 MATEMATĐK’ĐM o halde x+y=-1 2+y=-1 y=-3 2x-1=-x-7 2x+x = -7+1 3x = -6 x=-2 bu değerlerin toplamı -2+8= 6 olur. Örnek( 34 ) +3<2x+5<7 eşitsizliğini sağlayan x tamsayı değerleri kaç tanedir? ÇÖZÜM: +3<2x+5<7 ise −15 −19 19 −3 5 − 2 = −2 = = 2 2 2 2 +3<2x+5<7 3-5 < 2x+5-5 < 7-5 -2 < 2x < 2 -1 < x < 1 0 x=2/5 için 4 19 19 2 2 2 + 3 + 5 − 2 = + 3 = = 5 5 5 5 5 1424 3 x=0 +3<-(2x+5)<7 3 < -2x-5 < 7 3+5 < -2x-5+5 < 7+5 8 < -2x < 12 -4 > x > -6 x = -5 0 o halde x’in iki farklı değeri var 19 19 19 < olduğundan cevap olur. 5 2 5 Örnek( 35 ) 2x+4=12 denkleminin Ç.K=? Örnek( 32 ) x–5<9 eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: . www.globalders.com 7 MATEMATĐK’ĐM Mutlak Değer 2x+4=12 ise 2x+4=12 2x = 8 x=4 Mutlak değer özelliklerinden; x–4=2x+5 ise 2x+4= -12 2x = -16 x = -8 x–4=2x+5 -4-5 = 2x – x x = -9 x–4= - 2x-5 x+2x = -5+4 3x = -1 x = -1/3 ε Z o halde sadece -9 alınır. Yani cevap -9 dur. Çözüm kümesi : {-8,4} Örnek( 36 ) –4<x+3<5 eşitsizliğini sağlayan x tamsayıları kaç tanedir? ÇÖZÜM: Örnek( 40 ) x<2 ise x–2– 2x+4+5=0 ise x=? Mutlak değerli bir ifade daima negatif bir sayıdan büyük olduğundan eşitsizliğin sol tarafı dikkate alınmaz ÇÖZÜM: x+3<5 -5 < x+3 < 5 -5-3 < x+3-3 < 5-3 -8 < x < 2 x’ler : -7-6,….0,1 yani 9 tane değer vardır. x<2 ise -2<x<2 dir. x − 2 − 2x + 4 + 5 = 0 { 123 Örnek( 37 ) x–4+3=0 denkleminin Ç.K=? ÇÖZÜM: x–4+3=0 x–4= -3 mutlak değerli bir ifade hiçbir zaman negatif bir sayıya eşit olamayacağından çözüm kümesi boş kümedir. MATEMATĐK’ĐM − Örnek( 41 ) x≤3 ise y+x–5=0 için kaç y tamsayı değeri vardır? Örnek( 38 ) 3+x+5=7 denklemini sağlayan x∈Z ‘lerin toplamı nedir? ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: x≤3 ise -3 ≤ x ≤ 3 y+x-5=0 x = 5-y bu değer x’in belirtilen aralığında yerine yazılırsa 3+x+5=7 ifadesinde 3+x+5>0 olduğundan ; 3+x+5= 3+x+5=7 x+5= 4 x+5= 4 x = -1 + -(x-2)-(2x+4)+5=0 -x+2-2x-4+5=0 -3x +3=0 3x = 3 x=1 bulunur. -3 ≤ x ≤ 3 -3 ≤ 5-y ≤ 3 -3-5 ≤ 5-y-5 ≤ 3-5 -8 ≤ -y ≤ -2 her taraf (-) ile çarpılısa 8≥y≥2 y’ler 2,3,4,5,6,7,8 yani 7 tane dir. x+5 = - 4 x = -9 x”lerin toplamı -1-9= -10 olur. 3 1 > eşitsizliğini x−2 4 sağlayan kaç x∈ N + var? ÇÖZÜM: Örnek( 39 ) x∈Z olmak üzere x–4=2x+5 denkleminin kökler toplamı nedir? ÇÖZÜM: Örnek( 42 ) . www.globalders.com 8 MATEMATĐK’ĐM Mutlak Değer 3 1 x−2 4 > ⇒ < x−2 4 3 1 x−2 ⇒ <4 3 Örnek( 45 ) yapan x=? ÇÖZÜM: ⇒ x − 2 < 12 -12 < x-2 < 12 -12+2 < x -2+2< 12+2 -10 < x < 14 + x∈ N olduğundan 0 < x < 14 aralığında 13 terim var ancak bunların içinde x=2 değeri asıl ifadeyi negatif yaptığından 13-1=12 tane x vardır. x−4 + 2 ifadesinin en küçük değeri 0 3 olduğundan; x−4 x−4 +2 =0 ⇒ +2=0 3 3 x−4 ⇒ = −2 3 ⇒ x − 4 = −6 ⇒ x = −6 + 4 ⇒ x = −2 bulunur. (2 x + 3) ≥ 4 eşitsizliğini Örnek( 43 ) sağlayan x’lerin toplamı nedir? 2 ÇÖZÜM: Örnek( 46 ) 2<x+1–3<5 eşitsizliğini sağlayan x∈Z ‘lerin toplamı kaçtır? ≥ 4 2 x + 3 ≥ 4 ise 2x+3 ≥4 2x ≥ 1 x ≥ 1/2 2x+3 ≤ -4 2x ≤ -7 x ≤ -7/2 x’lerin toplamı …-7,-6,-5,-4,1,2,3,4,5,6,7… 4 ve 4 ten sonrası yok olacağından 1+2+3=6 olur. Örnek( 44 ) a+3=b ise 2 a − b + 5b − 5a 7 MATEMATĐK’ĐM (2 x + 3)2 −3 = ? 2 a −b +5 b−a 7 a − b = b − a olduğundan = 7 2<x+1–3<5 ise 1) 2<x+1–3<5 2+3<x+1–3+3<5+3 5<x+1<8 5< -x-1<8 5+1<-x-1+1<8+1 6 < -x < 9 -6 > x > -9 x’ler -7,-8 2) 2< -x+1+3<5 2-3 < -x+1+3-3 < 5-3 -1 < -x+1 < 2 1 > x+1>-2 mutlak değer daima negatif sayılardan büyük olduğundan sağ taraf dikkate alınmaz 1 > x+1 x+1<1 a+3=b b-a = 3 olur. −3 = ÇÖZÜM: 5<x+1<8 5-1<x+1-1<8-1 4<x<7 x’ler 5 ve 6 ÇÖZÜM: 2 a − b + 5b − 5a x−4 + 2 ifadesini en küçük 3 −3 7 b−a −3 7 = b−a −3 -1 < x+1 < 1 -1-1 < x+1-1 < 1-1 -2 < x < 0 x’ler -1 o halde tüm x’lerin toplamı 5+6-7-8-1=-5 olur. = 3 −3 = 3-3 = 0 olur. . www.globalders.com 9 MATEMATĐK’ĐM Mutlak Değer Örnek( 47 ) x–1+2+2–2x+3=11 eşitsizliğini sağlayan x∈Z ‘lerin çarpımı nedir? Örnek( 49 ) x≤5≤x+3 eşitsizliğini sağlayan x∈Z ‘lerin toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: x–1+2 daima pozitif olduğundan x–1+2=x–1+2 x≤5≤x+3 ifadesi iki ayrı eşitsizlik şeklinde çözülür. i)x≤5 ii) 5≤x+3 2–2x+3 daima pozitif olduğundan 2–2x+3=2–2x+3 i)x≤5 -5 ≤ x ≤5 o halde ifade x–1+2+2–2x+3=11 dönüşür. Buradan ii) 5≤x+3 x+3≥ 5 (x–1=1-x) x–1+2+2x-1+3=11 3x-1+5 = 11 3x-1 = 11-5 3 x −1 6 = 3 3 x-1 = 2 x-1 = 2 x-1 = -2 x = 2+1 x =-2+1 x=3 x = -1 x’lerin çarpımı 3.(-1) = -3 olur. Örnek( 48 ) 2x + 3 − 7 x+2 +3 x+3≥5 ve x+3 ≤ -5 x ≥ 5-3 x ≤ -5-3 x ≥ 2 x ≤ -8 her iki durumdan ortaya çıkan tabloya bakılırsa MATEMATĐK’ĐM x–1+2+21–x+3=11 < 0 eşitsizliğini x+2 +3 -8 -5 2 5 +∞ i ii görüldüğü gibi ortak aralık 2≤x≤5 aralığıdır. Bu aralıktaki x’lerin toplamı 2+3+4+5=14 olur. sağlayan x∈Z ‘lerin toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: 2x + 3 − 7 -∞ Örnek( 50 ) 5 − 2 x − 7 ∈R ise kaç x∈Z vardır? < 0 ifadesinde payda yani ÇÖZÜM: x + 2 + 3 daima pozitif olduğundan eşitsizliğin sağlanması için 2 x + 3 − 7 ifadesinin negatif olması gerekir. Buradan 2x + 3 − 7 < 0 5 − 2 x − 7 ise 5 − 2 x − 7 ≥ 0 omalıdır. Buradan ; 2x − 7 ≤ 5 -5 ≤2x-7 ≤5 -5+7 ≤2x ≤ 5+7 +2 ≤2x ≤ 12 2 2 x 12 ≤ ≤ 2 2 2 1 ≤ x ≤6 x’ler 1,2,3,4,5,6 yani 6 tanedir. 2x + 3 < 7 −7 < 2 x + 3 < 7 -7-3 < 2x < 7-3 -10 < 2x < 4 −10 2 x 4 < < 2 2 2 -5 < x < 2 x’lerin toplamı -4-3-2-1+0-1 = -9 olur. . www.globalders.com 10 MATEMATĐK’ĐM Mutlak Değer Örnek( 51 ) x+2≤x–7 ise Ç.K=? ÇÖZÜM: x +2 ÇÖZÜM: x Özelliklerden hatırlayalım x+2≤x–7 ( x + 2) 2 ≤ ( x − 7) x +2 =5 ⇒ x =5 2 x + 2 pozitif olduğundan x² + 4x + 4 ≤ x² − 14x + 49 4x+14x ≤ 49-4 18x ≤ 45 45 x≤ 18 5 x≤ olur. 2 x +2 = x +2 ⇒ x +2 x =5 ⇒ x + 2= 5 x ⇒5 x − x =2 ⇒ Örnek( 52 ) x 2 − 4 x + 4 = 0 denklemini sağlayan x’lerin çarpımı kaçtır? 4 x 4 ⇒ x = = 2 4 1 2 1 1 ve x = − 2 2 1 1 x’lerin toplamı + − = 0 olur. 2 2 ÇÖZÜM: x 2 − 4 x + 4 = 0 denkleminde x’in farklı iki durumu vardır. MATEMATĐK’ĐM x= i) x≥0 için x = x olur. Buradan; A) x5 B) − x 5 C) x 6 + 3 D) − (− x ) E) x–3 5 x − 4x + 4 = 0 (x-2)² = 0 x-2=0 x=2 ≥ 0 2 ÇÖZÜM: x= –x ise x ≤ 0 dır. x=0 olabileceğinden A,B,D şıkları sıfır olabileceğinden elenir. x=0 için C şıkkı da pozitif çıkar. Bu durumda cevap E şıkkıdır. E şıkkı x=0 için de x<0 için de negatif oluyor. ii)x <0 için x = − x olur. Buradan; x2 + 4x + 4 = 0 (x+2)² = 0 x+2=0 x = -2<0 Örnek( 55 ) x–y≤x–y , y=y ise x+y–x+y+x–y=? x’lerin çarpımı -2.2 = -4 olur. Örnek( 53 ) x +2 x Örnek( 54 ) x= –x ise aşağıdakilerden hangisi daima negatiftir? ÇÖZÜM: x–y≤ x–y ise x-y ≥0 olmalı buda x≥y demektir. y=y olduğu için y≥0 dır.bu durumda x’de pozitif olmalıdır. o halde bu soru için mutlak değerlerin bir anlamı kalmadı. Mutlak değerleri kaldırırsak ; x+y–x+y+x–y= x+y – x + y + x – y = x+y olur. = 5 denkleminin kökler toplamı nedir? . www.globalders.com 11 MATEMATĐK’ĐM Mutlak Değer Örnek( 58 ) x<y<0<z için aşağıdakilerden hangisi yanlış olabilir? x−7 ≤ 0 eşitsizliğini x − 2 . 3x − 9 Örnek( 60 ) sağlayan kaç x∈N vardır? C) –y.z= –y.z A) x–z>y–z D) x–y=y–z B) x.y=x.y E) y+z= y+z ÇÖZÜM: x−7 ≤ 0 eşitsizliğinde x − 2 . 3 x − 9 x − 2 . 3x − 9 ÇÖZÜM: daima pozitif veya sıfır olduğundan x-7 ≤0 olmalıdır. x-7 ≤ 0 x ≤ 7 olur. Şimdilik 8 tane x var. Ancak bunların içinden paydayı sıfır yapan değerler elenmelidir. Şimdi paydayı sıfır yapan değerleri bulalım A,B,C şıkları kesin doğru, D şıkkı da kesin yanlıştır. Bu durumda E şıkkı yanlış olabilir. (Örneğin y = -2 ve z = 5 seçilirse doğru, y = -5 ve z = 2 seçilirse yanlış oluyor.) x-2= 0 x=2 ve 3x-9 = 0 x = 3 bu iki değer de çıkarılırsa 8-2=6 tane x∈N değeri kalır. ÇÖZÜM: 1) x-2 ≥ 0 ise x≥2 olur. Bu durumda x.(x-2) = 3 tür. Buradan x²-2x-3 = 0 olur. Đfade çarpanlarına ayrılırsa x²-2x-3 = 0 MATEMATĐK’ĐM Örnek( 59 ) x.x–2=3 eşitsizliğini sağlayan x∈R ‘lerin toplamı kaçtır? Örnek( 61 ) a=a ve b>b ise A.H. kesinlikle doğrudur? A) a.b<0 B) a.b>0 D) a+b<0 x x -3 1 E) C) b–a<0 a >0 b ÇÖZÜM: a=a ise a ≥ 0 dır. b>b ise b <0 dır. bu şartlar altında a=0 düşünüldüğünde A,B ve E şıkları yanlış olur.D şıkkı a ve b ‘ye verilecek değerlere göre doğru veya yanlış olur. C şıkkı ise kesin doğrudur. Çünkü b-a<0 ise b<a dır ki bu da ilk bulunan bilgilerle tamamen uyuşuyor. O halde cevap C şıkkı olur. (x-3)(x+1)=0 x-3=0 x= 3 ve x+1=0 x = -1 olur. Ancak -1 değeri x≥2 şartına uymadığından alınmaz 2) x-2 < 0 ise x<2 olur. Bu durumda x.(-x+2) = 3 tür. Buradan -x²+2x-3 = 0 olur. Đfade çarpanlarına ayrılmadığından ( ∆ <0) kök bulunmaz Örnek( 62 ) a,b∈R ve n ∈ Z + için A.H.K.Doğrudur? A) a–b=b–a n C) a n = a bu durumda cevap sadece 3 olur. B) –a=a D) a n < b n E) b=b . www.globalders.com 12 MATEMATĐK’ĐM Mutlak Değer olduğuna göre , z kaçtır? ÇÖZÜM: A) A,B,D ve E şıkları a ve b’nin alacağı değerlere göre doğru veya yanlış olabilirler. O yüzden cevap C şıkkıdır. Kuvvetin tek veya çift olması ifadenin işaretini etkiler, ancak mutlak değer zaten her halukarda pozitif olduğundan sonuç değişmeyecektir.(bakınız özellikler.) B) 2+ D) 10 – 5 5 E) 5 – C) 4+ 5 5 ÇÖZÜM: x= 5 −3 = 3− 5 y = x −5 = 3− 5 −5 = − 5 − 2 = 5 + 2 z = y−2 = Örnek( 63 ) x,y,z∈R için aşağıdakilerden kaç tanesi daima doğrudur? I. x–y=y–x II. x+y≥x+y x x III. = , y ≠ 0 y y 5 5 +2−2 = 5 = 5 cevap A şıkkı olur. IV. x.y=x.y V. x.y=x.y VI. HAZIRLAYAN ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU x2 = x Matematik Öğretmeni www.globalders.com I,II,IV ve VI zaten özelliklerde var olduğu için doğrudur.III ve V şıklarında x ve y’nin zıt işaretli değerleri için sağlanmaz bu yüzden kesin doğru değildirler. O halde 4 tane doğru şık vardır. Örnek( 64 ) (ÖSS-2008) MATEMATĐK’ĐM ÇÖZÜM: x<0 olduğuna göre , x −1 + x + 3 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x+2 B) 2x+2 C) 2x – 2 D) 4 – 2x E) 4 ÇÖZÜM: x − 1 + x + 3 = −( x − 1) − ( x) + 3 { { − − =-x+1-x+3 = -2x+4 bulunur. Örnek( 65 ) x= (ÖSS-2006) 5 −3 y = x −5 z = y−2 . www.globalders.com 13