JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT
Transkript
JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT
KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ MÜHENDĐSLĐK FAKÜLTESĐ HARĐTA MÜHENDĐSLĐĞĐ BÖLÜMÜ JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT Ders Notu KOCAELĐ Eylül, 2011 KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ MÜHENDĐSLĐK FAKÜLTESĐ HARĐTA MÜHENDĐSLĐĞĐ BÖLÜMÜ JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT Ders Notu KOCAELĐ Eylül, 2011 ĐÇĐNDEKĐLER Sayfa ĐÇĐNDEKĐLER...........................................................................................................................ii SĐMGE LĐSTESĐ ....................................................................................................................... iv KISALTMA LĐSTESĐ ................................................................................................................ v ŞEKĐL LĐSTESĐ ........................................................................................................................ vi ÇĐZELGE LĐSTESĐ ..................................................................................................................vii ÖNSÖZ....................................................................................................................................viii ÖZET .........................................................................................................................................ix ABSTRACT ............................................................................................................................... x 1. MATEMATĐK MODEL OLUŞTURMA................................................................ 1 2. MATEMATĐK MODEL TESTĐ.............................................................................. 3 2.1 2.2 Kuramsal Varyans Biliniyorsa................................................................................. 3 Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa.............................................................................. 3 3. UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTĐ ......................................................................... 4 3.1 3.2 Kuramsal Varyans Biliniyorsa................................................................................. 4 Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa.............................................................................. 4 4. PARAMETRE TESTĐ ............................................................................................. 5 4.1 4.2 4.3 Kuramsal Varyans Biliniyorsa................................................................................. 5 Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa.............................................................................. 5 Bilinmeyenlerin (Parametrelerin) Fonksiyonlarının Testi....................................... 6 5. UYGULAMALAR .................................................................................................. 7 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.2.1 5.4.2.2 5.4.2.3 5.4.3 5.4.4 Parametre Testi ile Fonksiyonel Modelin Test Edilmesi......................................... 7 Parametrelerin Anlamlılık Testi .............................................................................. 8 Uyuşumsuz Ölçüler ve Eşdeğerlik Testleri ........................................................... 11 Dönüşümlerde Uyuşumsuz Ölçüler ve Parametre Anlamlılık Testleri ................. 14 1B Dönüşümler...................................................................................................... 14 2B Dönüşümler...................................................................................................... 14 Bilineer Dönüşüm.................................................................................................. 15 Afin Dönüşümü ..................................................................................................... 16 Benzerlik (Helmert) Dönüşümü ............................................................................ 18 Matematik Modelin Oluşturulması Ve Çözümü.................................................... 20 Dönüşüm Sonuçlarının Test Edilmesi ................................................................... 20 ii 5.4.4.1 5.4.4.2 5.4.4.3 5.4.5 5.4.5.1 Matematik Model Testi.......................................................................................... 21 Uyuşumsuz Ölçüler Testi ...................................................................................... 21 Parametre Anlamlılık Testi.................................................................................... 22 Uygulama............................................................................................................... 22 Açık Afin Matematik Modelinin Değerlendirilmesi ............................................. 25 6. ÖDEVLER............................................................................................................. 38 KAYNAKLAR......................................................................................................................... 42 EKLER ..................................................................................................................................... 43 Ek 1 Normal Dağılım Tablo Değerleri ..................................................................................... 44 Ek 2 χ2-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α:Güven aralığı)........................................................ 45 Ek 3 t-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α:Güven aralığı) .......................................................... 46 Ek 4 τ-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α:Güven aralığı).......................................................... 47 Ek 5 F-Dağılımı Tablo Değerleri (α=%5)................................................................................ 48 Ek 6 F-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α=%975)..................................................................... 49 Ek 7 F-Dağılımı Tablo Değerleri (α=%1)................................................................................ 50 3 SĐMGE LĐSTESĐ A x σ2 Σ λ Bilinmeyenlerin katsayılar matrisi Bilinmeyenler vektörü Kuramsal varyans Kuramsal varyans-kovaryans matrisi Dalga boyu iv KISALTMA LĐSTESĐ GNSS HGK IERS KOÜ TKGM Global Navigation Satellite System Harita Genel Komutanlığı International Earth Rotation Service Kocaeli Üniversitesi Tapu Kadastro Genel Müdürlüğü v ŞEKĐL LĐSTESĐ Sayfa vi ÇĐZELGE LĐSTESĐ Sayfa ÇĐZELGE 1 Ölçüler ve kalibrasyon baz uzunlukları. ................................................................ 8 vi ÖNSÖZ Harita (Jeodezi ve Fotogrametri) Mühendisliği mesleğinin deneysel verileri arazide yapılan geometrik ölçmelerden oluşur. Çoğunlukla bulunmak istenen bilgiye ulaşmak için gereğinden fazla ölçü yapılır. Bu ölçülerin planlanması aşamasında; kalite ve güven ölçütlerinden yararlanılırken, değerlendirme aşamasında hipotez testlerinden yararlanılır. Jeodezik verilerin irdelenmesi dersi; yapılan ölçülerin değerlendirilmesi ve yorumlamasını aşamalarını kapsamaktadır. Bu ders kapsamında öğrencinin; • Jeodezik ölçülerin modellenmesi, • Bilinmeyenlerin ve ölçülerin EKK (En Küçük Kareler) yöntemine göre kestirlmesi, • Matematik modelin test edilmesi, • Uyuşumsuz ölçülerin test edilmesi ve ayıklanması, • Parametrelerin test edilmesi, yetilerini geliştirmesi öngörülür. Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT Eylül 2011, Kocaeli vii ÖZET Anahtar Sözcükler: Matematik Model Testi, Uyuşumsuz Ölçüler Testi, Parametre Testi. ix ABSTRACT (ANALYSIS of GEODEDIC DATA) Keywords: Mathematical Model Test, Outlier Test, Parameter Test. x 1. MATEMATĐK MODEL OLUŞTURMA Jeodezik ölçülerin EKK yöntemine göre değerlendirilmesinde kullanılan en önemli dengeleme yöntemi dolaylı ölçüler yöntemidir. Nokta koordinatlarının yada nokta yüksekliklerinin bilinmeyen seçildiği bir çok jeodezik problemin çözümünde, bilinmeyen nokta koordinatları ve yükseklikler arasındaki ilişkiler jeodezik ölçüler ile sağlanır. b Jeodezik ölçülerin ve ağın boyutu ( b=1,2,3 ) m Ölçü grubu sayısı p Nokta sayısı s Sabit nokta sayısı ( Serbest ağlarda s=0 ) n=b*m Ölçü sayısı u=n-b*(p-s) Bilinmeyen sayısı ( Serbest ağlarda u=b*p ) d Datum parametre sayısı ( Serbest ağlarda d>0 ) f=n-u+d Serbestlik derecesi σ0 Birim ölçünün karesel ortalama hatasının öncül değeri L Ölçüler v Düzeltmeler Kl Ölçülerin Varyan-Kovaryans Matrisi −1 P = σ2 K l Ölçülerin ağırlık matrisi x = x0 + x Bilinmeyenler L = L + v = Φ( x ) Fonksiyonel model L + v = Φ( x 0 ) + ∂Φ( x ) ∂x x =x0 x + K Bilinmeyenlere göre doğrusallaştırma Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (1 / 62) l = L − Φ( x 0 ) , l = l + v , A = l=Ax P Matematik model v = A x−l P Matematik model T T ∂Φ( x ) ∂ x x=x A PA x = A Pl Normal denklemler Qx Bilinmeyenlerin ters ağırlığı 0 ( A T P A ) −1 rank{A} = u ve d = 0 Q x = ( A T P A ) − rank{A} < u ve d > 0 ve x TD x D = min ( A T P A ) + rank{A} < u ve d > 0 ve x T x = min T x = Qx A P l Normal denklemlerin çözümü (dengeleme bilinmeyenleri) x = x0 + x Dengeli bilinmeyenler l =l+v Dengeli ötelenmiş gözlemler L=L+v Dengeli ölçüler T v Pv f m0 = ± Q l = A Qx A Birim ölçünün soncul duyarlığı T Qv = Q − Q l = P l Dengeli ölçülerin ters ağırlığı −1 − Ql h = ϕ( x ) dh = Bilinmeyenlerin fonksiyonları ∂ ϕ( x ) ∂x Düzeltmelerin ters ağırlığı dx = H dx x Qh = H Qx H T Bilinmeyenlerin fonksiyonunun ters ağırlığı Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (2 / 62) 2. MATEMATĐK MODEL TESTĐ Foksiyonel ve stokastik modelin her ikisinin birden testini kapsar. 2.1 Kuramsal Varyans Biliniyorsa Kuramsal varyans bilinmesi deneyimlere dayanabilir yada yönetmelikte verilen bir değer kuramsal varyans olarak seçilir. { } Sıfır hipotezi { } Seçenek hipotezi H 0 : E m 02 = σ 02 H S : E m 02 ≠ σ 02 T= 2.2 T m 02 v Pv χ2 = f 2 2 ~ ( f ,1−α ) σ0 σ0 Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa Kuramsal varyans bilinmiyorsa, denetlenmiş benzer bir problemin sonuçları yada kendi problemimizden yararlanarak elde edebileceğim bir değer (örneğin Ferrero bağıntısı) model testi yapılabilir. { } { } Sıfır hipotezi { } { } Seçenek hipotezi H 0 : E m 02 = E m 02 = σ 02 H S : E m 02 ≠ E m 02 T= m 02 ~ F(f ,f ,1−α ) m 02 2 2 ( m0 > m 0 ) T= m 02 ~ F(f ,f ,1−α ) m 02 2 2 ( m0 < m0 ) Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (3 / 62) 3. UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTĐ Model testi geçersiz ise uyuşumsuz ölçüler araştırılır. i. ölçü grubunun kaba hata kestirim değeri ve onun ters ağırlığı, ∆ i = (Q ∆ P v ) i b boyutlu i. ölçü grubu Q ∆ = (P Q v P) ii−1 b boyutlu i. ölçü grubunun ters ağırlığı i ile bulunur. i. ölçü grubunun soncul varyansa etkisi aşağıdaki bağıntı ile gösterilir. −1 R i = (P v ) iT (P Q v P) ii−1 (P v) i = ∆ i Q ∆ ∆ i T i ∆1 ∆ 2 = Q P v = ∆ ∆ L n×1 ∆ m (P Q v P)11 (P Q P) 21 v , P Qv P = L n×n (P Q v P) m1 (P v)1 ( P v) 2 = , Pv L n×1 ( P v ) m (P Q v P)12 (P Q v P) 22 L (P Q v P) m 2 L (P Q v P)1m L (P Q v P) 2 m L L L (P Q v P) mm Sıfır hipotezi ve seçenek hipotezi aşağıdaki şekilde kurulur. H 0 : E{∆ i } = 0 Sıfır hipotezi H S : E{∆ i } ≠ 0 Seçenek hipotezi Kuramsal varyansın bilinmesine ve bilinmemesine göre test aşağıdaki dağılımlarla gerçekleştirilir. Yanılma olasılığı α ise α0=α/n>0.001 olarak bulunursa α0=0.001 alınabilir. 3.1 Kuramsal Varyans Biliniyorsa Kuramsal varyans bilinmesi deneyimlere dayanabilir yada yönetmelikte verilen bir değer kuramsal varyans olarak seçilir. T= 3.2 Ri χ2 σ 02 ~ ( b ,1−α0 ) Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa Dengeleme sonunda ede edilen soncul varyanstan yararlanarak uyuşumsuz ölçü testi aşağıdaki gibi yapılır. T= Ri F( b ,f ,1−α0 ) b m 02 ~ Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (4 / 62) 4. PARAMETRE TESTĐ Parametre testi; bilinmeyenler yada bilinmeyenlerin bir fonksiyonunun (örneğin deformasyon analizinde) anlamlık testi şeklinde olmak üzere, kuramsal varyansın bilinmesi yada bilinmesine göre aşağıdaki şekilde gerçekleştirilir. T x i = ( Q x A P l )i b boyutlu i. parametre grubu Q x = (Q xx ) ii b boyutlu i. ölçü grubunun ters ağırlığı i ile bulunur. i. ölçü grubunun soncul varyansa etkisi aşağıdaki bağıntı ile gösterilir. T x1 x 2 T x = Qx A P l = L u×1 x p −1 R i = xi Qx xi i (Q x )11 ( Q ) x 21 Q = , x L u×u (Q x ) p1 (Q x )12 L (Q x )1p (Q x ) 22 L (Q x ) 2 p L L L (Q x ) p 2 L (Q x ) pp Sıfır hipotezi ve seçenek hipotezi aşağıdaki şekilde kurulur. H 0 : E{x i } = 0 Sıfır hipotezi H S : E{x i } ≠ 0 Seçenek hipotezi Kuramsal varyansın bilinmesine ve bilinmemesine göre test aşağıdaki dağılımlarla gerçekleştirilir. 4.1 Kuramsal Varyans Biliniyorsa Kuramsal varyans bilinmesi deneyimlere dayanabilir yada yönetmelikte verilen bir değer kuramsal varyans olarak seçil T= 4.2 Ri 2 2 ~ χ ( b ,1−α ) σ0 Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa Dengeleme sonunda ede edilen soncul varyanstan yararlanarak uyuşumsuz ölçü testi aşağıdaki gibi yapılır. T= Ri F( b ,f ,1−α ) b m 02 ~ Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (5 / 62) 4.3 Bilinmeyenlerin (Parametrelerin) Fonksiyonlarının Testi Bilinmeyenlerin (parametrelerin) fonksiyonlarından oluşan vektör h = ϕ( x ) biliniyor ise bu fonksiyon grubunun anlamlılığı aşağıdaki şekilde test edilir. h = ϕ( x ) Bilinmeyenlerin (parametrelerin) fonksiyonu Qh = H Qx H T Fonksiyonların ters ağırlık matrisi r = rank{Q h } T −1 R = h Qh h Fonksiyonların modele etkisi Kuramsal varyans bilinmesi deneyimlere dayanabilir yada yönetmelikte verilen bir değer kuramsal varyans olarak seçilir. T= R 2 σ 02 ~ χ ( r ,1−α ) Kuramsal varyans biliniyorsa T= R r m 02 ~ F( r , f ,1−α ) Kuramsal varyans bilinmiyorsa Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (6 / 62) 5. 5.1 UYGULAMALAR Parametre Testi ile Fonksiyonel Modelin Test Edilmesi SV11 numaralı uydunun bir güne ait uydu saat hataları 2 saat aralıklı olarak belirlenmiştir. Verilenlerden yararlanarak; uydu saat hatası için kurulacak olan modeli belirleyiniz. Aşağıda verilen modellerden hangisi uygundur. Bulunuz. Saat hatalarının -102.000µ µs ötelenmiş değerleri kulanılmıştır. i ti [h] δi [µ µs] δi [ns] 1 0 -0.755 -755 2 2 -0.775 -775 3 4 -0.794 -794 4 6 -0.814 -814 5 8 -0.834 -834 6 10 -0.854 -854 7 12 -0.873 -873 8 14 -0.893 -893 9 16 -0.913 -913 10 18 -0.933 -933 11 20 -0.953 -953 12 22 -0.973 -973 13 23.75 -0.990 -990 A x b 1.00 0.00 0.00 a0 -755 1.00 2.00 4.00 a1 -775 1.00 4.00 16.00 a2 -794 1.00 6.00 36.00 -814 1.00 8.00 64.00 -834 1.00 10.00 100.00 -854 1.00 12.00 144.00 -873 = 1.00 14.00 196.00 -893 1.00 16.00 256.00 -913 1.00 18.00 324.00 -933 1.00 20.00 400.00 -953 1.00 22.00 484.00 -973 1.00 23.75 564.06 -990 vTv= 0.773410 ns2 bTb–bTx=0.773410 ns2 T AA A Tb 13.00 155.75 2588.06 -11354.00 m0= 0.278 ns 155.75 2588.06 48244.48 -143180.50 2588.06 48244.48 957750.50 -2431197.88 v [ns] -0.052 0.301 -0.375 -0.080 0.185 0.421 -0.372 -0.194 -0.046 0.073 0.163 0.223 -0.248 Bütün parametreler %95 güvenle ANLAMLI bulunmuştur. Đkinci derece model uygundur. Qxx 0.51943 -0.08352 -0.08352 0.01976 0.00280 -0.00077 0.00280 -0.00077 0.00003 x -755.052 -9.816 -0.004 mx Tx 0.20 3767.10 0.04 251.07 0.00 2.32 KARAR ANLAMLI ANLAMLI ANLAMLI t > 2.23 Açıklama: Parametre grubunun test edilen boyutu b=1 dir. Yukarıda tanımlanan test büyüklüğü T= x iT q −x1i x i b m 02 = xi x i2 F(1,f ,1−α ) yada Tx = T = t = F(1,f ,1−α ) ~ 2 m 0 q x i ~ (f ,1−α ) m 0 q xi Eğer kuramsal varyans bilinseydi aşağıdaki bağıntılar kullanılacaktı. T= x iT q −x1i x i σ 02 = xi x i2 χ (21,1−α ) yada Tx = T = Z (1−α / 2 ) = χ (21,1−α ) ~ ~ 2 σ q σ 0 q xi 0 xi Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (7 / 62) 5.2 Parametrelerin Anlamlılık Testi Alet Reflektör a1 a2 a1 a2 ŞEKĐL 1 Elektronik uzunluk ölçerlerde (EUÖ) kalibrasyon. Sik : Ölçülen Uzunluk a=a1+a2 : Ek sabite (Sıfır Noktası Eki) AD xik : Verilen ya da gerçek uzunluk b : Ölçek düzeltmesi : Alet düzeltmesi I. Gerçek Uzunlukları Bilinen Kalibrasyon Bazlarında Ek Sabitenin (Sıfır noktası Ekinin) ve Ölçek Düzeltmesinin Belirlenmesi: Sayısal Uygulama : 5 noktalı bir EUÖ kalibrasyon bazında ölçülmüş olan kenarlar, gerçek değerleri ile birlikte aşağıda verilmiştir. Ölçü yapılan aletin, alet düzeltmesini bulunuz. ÇĐZELGE 1 Ölçüler ve kalibrasyon baz uzunlukları. j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i-k 1-2 1-3 1-4 1-5 2-3 2-4 2-5 3-4 3-5 4-5 Sik (m) 30.0235 100.0121 180.0029 300.0033 69.9931 149.9844 269.9823 79.9959 199.9959 120.0060 vTv = I II xik (m) vik (mm) vik (mm) 30.0191 0.40 0.77 100.0073 0.25 0.00 179.9986 0.68 -0.16 299.9971 -0.42 -0.61 69.9882 0.05 0.01 149.9795 0.34 -0.64 269.9780 1.37 1.40 79.9913 0.38 0.03 199.9898 -0.68 -0.02 119.9985 -2.37 -0.77 9.1045 3.9672 Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (8 / 62) Çözüm : n = 10 Ölçü sayısı u=2 Bilinmeyen sayısı a = a0 + da Sik = a b a0 = 0 + b xik = b0 + db xik = -(a/b) + (1/b) Sik b0 = 1 Gerçek Uzunluk Sik + vik = (a0 + da) + (b0 + db) xik vik = da + xik db – (Sik – a0 - b0 xik) v=Ax-l 1 1 1 1 1 v = 1 1 1 1 1 ATA x = ATl 0.0300191 0.1000073 0.0799986 0.2999971 0.0699882 0.1499795 0.2699780 0.0799913 0.1999898 0.1199985 4.4 4.8 4.3 6.2 4.9 da db − 4.9 4.3 4.6 6.1 7.5 [mm ] 10.0000 1.3999 1.3999 .2684 da 52.0000 db = 7.5427 x = (ATA)-1 ATl .3707 - 1.9339 52.0000 4.6914 [mm ] da = db = - 1.9339 13.8141 7.5427 3.6331 [mm / km ] a= a0 + da = 4.69 b = b0 S + db = 1.00000363 = a + b x = 4.69 mm + 1.00000363 x x = -4.69mm + 0.99999637 S Gerçek uzunluk AD = -4.69mm – 3.63 (S[m]/1000)= -4.69mm – 3.63ppm Alet düzeltmesi Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (9 / 62) II. Gerçek Uzunlukları Bilinmeyen Kalibrasyon Bazlarında Ek Sabitenin (Sıfır noktası Ekinin) Belirlenmesi: Çözüm : n=10 u = 5 (Bir ek sabite + 4 adet baz uzunluğu) a0 = 0 x1(0) = S12 x2(0) = S13 x3(0) = S14 x4(0) = S15 Sik + vik = (a0 + da) + (x(k-1)(0)+ dx(k-1)) vik = da + dx(k-1) – (Sik – a0 – x(k-1)(0)) v=Ax-l 1 1 1 1 1 v = 1 1 1 1 1 10 − 2 0 2 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 -1 1 0 -1 0 1 -1 0 0 0 -1 1 0 -1 0 0 0 -1 − 2 0 4 − 1 − − 1 4 − − 1 − 1 − 1 − 1 − 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0.0 0.0 0.0 da 0.0 dx 1 4.5 dx2 − 5.0 dx3 2.5 dx 4 5.1 4.7 5.6 [mm ] 2 4 da 27.4 − 12.0 1 − 1 dx1 1 − 1 dx2 = − 5.3 4 − 1 dx3 4.5 12.8 1 4 dx4 x = (ATA)-1 ATl da 0.50 − 0.20 − 0.40 − 0.60 − 0.80 27.4 5.280 dx − 0.20 − 4.512 0.48 0.36 0.44 0.52 − 12.0 1 dx2 = − 0.40 0.36 0.72 0.68 0.84 − 5.3 = − 5.284 0.44 0.68 1.12 1.16 4.5 dx3 − 0.60 − 5.436 dx4 − 0.80 − 5.888 0.52 0.84 1.16 1.68 12.8 m0 = ± 0.89 mm a = a0 + da = 5.28 mm xik = (-0.00528 + Sik)[m] Gerçek uzunluk Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (10 / 62) 5.3 Uyuşumsuz Ölçüler ve Eşdeğerlik Testleri Şekildeki nivelman ağında 1, 2, 3 numaralı noktaların yükseklikleri bilinmektedir. Nokta yükseklikleri ve ölçü değerleri verilen bu ağda; a) Ölçüler uyuşumlu mudur, b) Dayanak noktaları ağ ile uyumlu mudur, c) 4, 5 noktalarının yüksekliklerini bulunuz. 5 h5 4 h7 h8 h4 1 h6 h1 h2 3 h3 2 ŞEKĐL 2 Nivelman ağının kanavası. i 1 2 3 Hi [m] 5.316 11.295 5.172 j 1 2 3 4 5 6 7 8 hj [m] 0.247 5.984 6.220 0.369 0.122 0.730 0.480 0.618 Sj[km] 0.8 0.9 1.2 0.6 0.5 0.4 1.0 1.1 ÇÖZÜM : a) Serbest Dengeleme ve Uyuşumsuz Ölçüler Testi : v v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 = = A x − 1 -1 0 -1 0 0 -1 0 δH1 δH2 δH3 δH4 δH5 [mm] 0 1 1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 -1 0 0 1 − l -103 -5 -97 0 -11 -106 0 -105 P [mm] boşk 1.25 0 1.11 0 0 0.83 0 0 0 1.67 0 0 0 0 2.00 0 0 0 0 0 2.50 0 0 0 0 0 0 1.00 0 0 0 0 0 0 0 0.91 [] Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (11 / 62) 5.03 N=ATP A -1.11 -1.25 -1.00 1.94 -0.83 0.00 5.49 -2.50 5.50 -1.67 0.00 -0.91 -2.00 4.58 Qx=(N+G G )− −G G -0.04 -0.03 -0.03 0.36 -0.07 -0.12 0.13 0.00 0.14 T 0.13 x 1 δH1 δH2 δH3 δH4 δH5 T -0.02 -0.13 -0.03 0.01 0.17 n=ATP l -123.19 -86.39 = 570.04 -287.00 -73.46 x=Qx n [ ] -19.36 -20.31 boşluk 82.09 -24.80 -17.63 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 G GT 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 [mm] v = A+x − l , Qv = P-1 − A Qx AT v [mm] 1.55 4.05 -5.40 1.73 3.83 -0.89 -5.44 5.27 τ-Dağılımı (Qv)ii mv τ{αα;f} [ ] [mm] 0.48 4.06 0.38 0.33 3.34 1.21 0.58 4.46 1.21 0.27 3.03 0.57 0.21 2.65 1.45 0.14 2.18 0.41 0.66 4.75 1.15 0.75 5.07 1.04 t-Dağılımı s0 sv T t{αα;f−−1} [mm] [mm] [ ] 1.76 6.63 4.60 0.34 3.18 5.37 3.07 1.32 5.37 4.10 1.32 6.47 3.36 0.51 4.66 2.11 1.82 6.61 2.47 0.36 5.53 4.49 1.21 5.77 5.00 1.05 T 2 v Pv = 136.77 mm m0 = 5.85 mm Uyuşumsuz Ölçü Yoktur b) Dayanak Noktalarının Testi : QD 0.13 -0.04 -0.03 0.36 -0.07 0.13 xD[mm] -19.36 -20.31 82.09 i 1 2 3 Global Test Lokal Test T -1 T -1 xQ x T [ ] F{3f} xi Qi xi Ti [ ] F{1f} 56107.9 546.98 6.59 2915.06 85.25 7.7086 1153.04 33.72 53890.11 1576.07 * Yaklaşık yükseklikler ve ötelenmiş gözlemler tekrar belirlenerek, ağ tekrar serbest olarak dengelenir. n= m= u= i 1 2 3 4 5 8 5 5 Hi [m] 5.316 11.295 5.075 5.796 5.685 d= f= j 1 2 3 4 5 1 6 4 7 8 hj [m] 0.247 5.984 6.220 0.369 0.122 0.730 0.480 0.618 Sj[km] 0.8 0.9 1.2 0.6 0.5 0.4 1.0 1.1 pj [ ] 1.25 1.11 0.83 1.67 2.00 2.50 1.00 0.91 l [mm] -6 -5 0 0 -11 -9 0 -8 * Serbest ağ dengeleme sonuçları datumdan bağımsız olduğundan serbest ağ dengelemesi ve uyuşumsuz ölçü sonuçları değişmez. Yeni dayanak noktaları, en son belirlenen serbest ağ datumuna göre test edilir. vTPv = 136.77 mm2 m0 = 5.85 mm Uyuşumsuz Ölçü Yoktur Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (12 / 62) QD 0.13 -0.04 0.36 xD[mm] 0.04 -0.91 Global Test Lokal Test T -1 T -1 xQ x T [ ] F{23f} xi Qi xi Ti [ ] F{21f} 2.34 0.03 6.94 0.01 0.0004 7.7086 2.30 0.0672 i 1 2 1 ve 2 dayanak noktaları serbest ağ sonuçları ile uyumludur c) Dayalı Dengeleme : v 1.32 5.00 -4.68 1.83 3.87 -0.98 -5.30 5.15 = = -1 0 -1 0 0 A 0 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 x -1 0 -1 1 1 0 0 0 1 δH3 δH4 δH5 [mm] − l -6 -5 0 0 11 -9 0 -8 [mm] boşlu 1.25 0 1.11 0 0 0.83 P 0 0 0 1.67 0 0 0 0 2.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.50 0 1.00 0 0 0.91 [] vTPv = 138.34 mm2 m0 = 5.88 mm Dengeli Yükseklikler ve Duyarlıkları 0.29 Qx 0.18 0.33 T 0.14 0.18 0.32 AP l 37.27 -44.5 14.73 = x [mm] 4.68 -5.30 1.83 boşluk i 1 2 3 4 5 Hi [m] 5.316 11.295 5.075 5.796 5.685 Hi [m] 5.316 11.295 5.07968 5.79070 5.68683 mHi[mm] 0.00 0.00 3.14 3.37 7.96 Fark[m] 0.000 0.000 -0.092 Dengeli Ölçüler ve Duyarlıkları 0.29 0.00 0.00 Qh 0.29 -0.14 -0.04 0.00 0.00 0.00 0.29 -0.14 -0.04 0.32 -0.14 0.29 j h+v [m] mh 0.11 -0.18 0.15 1 0.24832 0.00 0.00 0.00 2 5.98900 0.11 -0.18 0.15 3 6.21532 0.04 0.18 0.19 boşluk 4 0.37083 0.11 0.15 -0.19 5 0.12587 0.26 0.15 0.15 6 0.72902 0.33 0.00 7 0.47470 0.34 8 0.62315 [mm] 3.14 0.00 3.14 3.35 3.19 2.98 3.37 3.43 Ödev: Bu ağı, yönetmelikte istenilen soncul KOH ±5mm/km değerine eşdeğer olmalı koşuluna göre değerlendiriniz. Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (13 / 62) 5.4 Dönüşümlerde Uyuşumsuz Ölçüler ve Parametre Anlamlılık Testleri 5.4.1 1B Dönüşümler 5.4.2 2B Dönüşümler Uygulamada yaygın olarak kullanılan 2B benzerlik (Helmert) ve afin dönüşüm modelleri her bir koordinat çifti için yazılan polinomsal fonksiyonun özel halleridir. Dönüştürülen koordinatlar (xy) ve dönüşen koordinatlar (XY) olacak şekilde gösterilirse, polinomsal model aşağıdaki gibi yazılır (ŞEKĐL 2). d d X k = ∑ ∑ aij xki ykj (3a) j =0 i =0 d d Yk = ∑ ∑ bij xki ykj (3b) j =0 i = 0 (3) bağıntılarındaki d polinomun derecesini göstermektedir. Bu bağıntılarda d=1 alınırsa, bilineer dönüşüm modeli, ek olarak i+j≤d koşulu eklenirse afin dönüşüm modeli ve bunlara ek olarak a10=b01 ve –a01=b10 alınırsa benzerlik (Helmert) dönüşüm modeli elde edilir. X x yk xk β α (xk ,yk ) (Xk ,Yk ) Xk a00 y b00 Y Yk ŞEKĐL 2 Afin (α≠β, kx≠ky, a11=b11=0) ve benzerlik (α=β, kx=ky, a11=b11=0) dönüşümü. Yukarıda genel şekli verilen ve özetlenen 2B dönüşümlerin fonksiyonel modelleri, ayrı başlıklar altında ayrıntılı olarak incelenecektir (ŞEKĐL 2). Ayrıca bu dönüşüm modellerinin geometrik yapısı, ÇĐZELGE 1’de verilen ve kenarı 5 birim olan bir karenin kenarları üzerindeki yer alan nokta koordinatları üzerinden incelenecektir. Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (14 / 62) ÇĐZELGE 1 Bir karenin kenarlarına ait nokta koordinatları. x 1 1 1 1 1 NN A y 1 2 3 4 5 NN B x 1 2 3 4 5 y 6 6 6 6 6 x 6 6 6 6 6 NN C y 6 5 4 3 2 x 6 5 4 3 2 NN D y 1 1 1 1 1 5.4.2.1 Bilineer Dönüşüm Bilineer dönüşüm modelinin kapalı bağıntıları olan (3) bağıntılarında d=1 alınarak doğrudan elde edilir. Nokta sayısı n olmak üzere, bilineer dönüşüm modelinin açık bağıntılar aşağıdaki şekilde verilir. X k = a00 + a10 xk + a01 y k + a11 xk y k (4a) Yk = b00 + b10 xk + b01 y k + b11 xk y k (4b) k = 1,2,K , n Sözgelimi a00=2, a10=0.8019, a01=−0.3812, a11=0.2 ve b00=1, b10=0.4086, b01=0.5871, b11=0.1 olan bir bilineer dönüşümü ÇĐZELGE 1’de verilen kare koordinatlarını ŞEKĐL 3’de verilen herhangi bir dörtgene dönüştürür. 13 x 12 C 11 10 9 8 7 D D 6 C 5 4 A 3 B 2 1 0 y B A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ŞEKĐL 3 Karenin bilineer dönüşümü. Bilineer dönüşümün geometrisinin anlaşılabilmesi için, ŞEKĐL 3 de uygulanan bilineer dönüşüm parametreleri abartılı olarak seçilmiştir. Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (15 / 62) Uygulamada bilineer dönüşüm parametreleri n adet ortak noktadan yararlanarak dengelemeli olarak elde edilir. u=8 bilinmeyen parametreli olan bilineer dönüşümde tek anlamlı çözüm için en az 4 ortak noktaya ihtiyaç duyulur (n≥4 olmalı). Tek bir nokta için fonksiyonel model aşağıdaki şekilde kurulur. x k v X v = 0 Y k 0 a X − x k b Y k xTk = [1 xk yk (5a) xk y k ] , aT = [a00 vk = Aka − lk a10 a01 a11 ] , bT = [b00 b10 b01 k = 1,2,K , n b11 ] (5b) Bilineer dönüşümde a11 ve b11 parametreleri sırasıyla x ve y yönlerindeki koordinatların sünmelerine neden olurken; diğer parametrelerin öteleme, ölçek ve dönüklükle ilişkileri vardır. Bu ilişkiler afin ve benzerlik dönüşümlerinde gösterilecektir. 5.4.2.2 Afin Dönüşümü Afin dönüşümünde temel özelliği paralelliği korumasıdır. Afin modeli (3) kapalı bağıntısında d=1 ve i+j≤d koşulu ile yada (4) bağıntılarından a11=b11=0 alınarak elde edilir. Nokta sayısı n olmak üzere, afin dönüşüm modelinin açık bağıntılar aşağıdaki şekilde yazılır. X k = a00 + a10 xk + a01 y k = a00 + λ cos α xk − µ sin β y k (6a) Yk = b00 + b10 xk + b01 y k = b00 + λ sin α xk + µ cos β y k (6b) k = 1,2,K , n Ayrıca (6) bağıntılarında polinomsal katsayıların dönüşümün geometrisi ile ilgili bağıntıları da verilmiştir (ŞEKĐL 2). (6) bağıntılarında λ ve α parametreleri sırasıyla x-X eksenleri arasındaki ölçek ve dönüklüğü, µ ve β parametreleri de sırasıyla y-Y eksenleri arasındaki ölçek ve dönüklüğü göstermektedir. λ, µ, α, β biliniyorken a10, a01, b10, b01 polinom katsayıları (6) bağıntılarından hesaplanır. Polinom katsayıları biliniyorken, ölçek ve dönüklük parametereleri aşağıdaki bağıntılardan bulunur. 2 2 2 2 λ = a10 + b10 , µ = a01 + b01 (7a) Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (16 / 62) b10 − a01 , β = arctan a10 b01 α = arctan (7b) Sözgelimi a00=2, a10=0.8019, a01=−0.3812 ve b00=1, b10=0.4086, b01=0.5871 (bilineer dönüşümden farkı a11=b11=0) olan bir afin dönüşümü ÇĐZELGE 1’de verilen kare koordinatlarını ŞEKĐL 4’de verilen bir paralel kenara dönüştürür. 7 x D D 6 C 5 C 4 3 A 2 1 A B B y 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ŞEKĐL 4 Karenin afin dönüşümü. Örnekte verilen polinomsal katsayılar (7) bağıntıları yardımı ile ölçek ve dönüklük parametrelerine dönüştürülür. Hesaplanan bu parametreler ve ötelemeler ile dönüşüm bağıntıları Xk=2+0.9cos27°xk−0.7sin33°yk ve Yk=1+0.9sin27°xk+0.7cos33°yk olarak elde edilir. Uygulamada afin dönüşüm parametreleri n adet ortak noktadan yararlanarak dengelemeli olarak elde edilir. u=6 bilinmeyen parametreli olan afin dönüşümde tek anlamlı çözüm için en az 3 ortak noktaya ihtiyaç duyulur (n≥3 olmalı). Tek bir nokta için fonksiyonel model aşağıdaki şekilde kurulur. x k v X v = 0 Y k 0 x k a X b − Y k x Tk = [1 x k vk = Aka − lk (8a) y k ] , a T = [a00 a10 a01 ] , b T = [b00 k = 1,2,K , n b10 b01 ] (8b) Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (17 / 62) (8) bağıntısı ile elde edilen polinomsal katsayılar, istenirse (7) bağıntıları yardımıyla ölçek ve dönüklük parametrelerine kolayca dönüştürülebilir. 5.4.2.3 Benzerlik (Helmert) Dönüşümü Benzerlik dönüşümü afin dönüşümün özel bir halidir. Benzerlik dönüşümü hem paralelliği hem de dikliği korur. Dönüşüm sonucunda geometrik şeklin ötelenmişi, ölçeklendirilmişi ve döndürülmüşü elde edilirken benzerliği korunur. Afin dönüşümünde a10 = b01 ve a01 = −b10 alınarak benzerlik dönüşüm modeli elde edilir. X k = a00 + a10 x k − b10 y k = a00 + λ cos α x k − λ sin α y k (9a) Yk = b00 + b10 x k + a10 y k = b00 + λ sin α x k + λ cos α y k (9b) k = 1,2,K , n Ayrıca (9) bağıntılarında polinomsal katsayıların dönüşümün geometrisi (λ=µ ve α=β) ile ilgili bağıntıları da verilmiştir (ŞEKĐL 2). (9) bağıntılarında λ ve α parametreleri sırasıyla her iki eksen yönündeki ölçek ve dönüklüğü, göstermektedir. λ, α biliniyorken a10, b10 polinom katsayıları (9) bağıntılarından hesaplanır. Polinom katsayıları biliniyorken, ölçek ve dönüklük parametereleri aşağıdaki bağıntılardan bulunur. 2 2 λ = a10 + b10 b10 a10 α = arctan (10a) (10b) Sözgelimi a00=2, a10=0.6928 ve b00=1, b10=0.4000 (afin dönüşümden farkı a01=b10 ve b01=a10) olan bir benzerlik dönüşümü ÇĐZELGE 1’de verilen kare koordinatlarını ŞEKĐL 4’de verilen bir kareye dönüştürür. Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (18 / 62) 7 x D 6 C D 5 4 C 3 A 2 1 B A y B 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ŞEKĐL 5 Karenin benzerlik dönüşümü. Örnekte verilen polinomsal katsayılar (10) bağıntıları yardımı ile ölçek ve dönüklük parametrelerine dönüştürülür. Hesaplanan bu parametreler ve ötelemeler ile dönüşüm bağıntıları Xk=2+0.8cos30°xk−0.8sin30°yk ve Yk=1+0.8sin30°xk+0.8cos30°yk olarak elde edilir. Uygulamada benzerlik dönüşüm parametreleri n adet ortak noktadan yararlanarak dengelemeli olarak elde edilir. u=4 bilinmeyen parametreli olan afin dönüşümde tek anlamlı çözüm için en az 2 ortak noktaya ihtiyaç duyulur (n≥2 olmalı). Tek bir nokta için fonksiyonel model aşağıdaki şekilde kurulur. v X 1 v = 0 Y k vk = Aka − lk xk yk a00 0 − y k a10 X − 1 x k b00 Y k b10 (11a) k = 1,2,K , n (11b) (11) bağıntısı ile elde edilen polinomsal katsayılar, istenirse (10) bağıntıları yardımıyla ölçek ve dönüklük parametrelerine kolayca dönüştürülebilir. Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (19 / 62) 5.4.3 Matematik Modelin Oluşturulması Ve Çözümü Yukarıda ilgili başlıklar altında verilen bilineer, afin ve benzerlik dönüşüm modellerinin fonksiyonel modeller (5), (8) ve (11) bağıntıları ile verilmiştir. Uygulamada her bir nokta çifti için eşit ağırlıklı ve korelasyonsuz alındığından stokastik model P=I matris olur. Bu koşullar altında bütün dönüşüm modelleri için genel matematik model aşağıdaki bağıntı ile verilir. v = Ax−l P=I (12) Bilinmeyen sayısından fazla olan denklemler arasındaki tutarsızlıkları gidermek için EKK (En Küçük Kareler) amaç fonksiyonuna yararlanılarak bilinmeyenlerin ve istenen diğer parametrelerin (sözgelimi düzeltmeler, bilinmeyenlerin fonksiyonları vb.) en olasılıklı değerleri hesaplanır. x = ( A T A ) −1 A T l (13) Bilinmeyenler hesaplandıktan sonra (12) bağıntısından düzeltmeler elde edilir. Düzeltmeler ve istenen parametrelerin ters ağırlıklarından yararlanarak duyarlık hesapları yapılır. Bir koordinatın karesel ortalama hatası, bilinmeyenlerin ters ağırlığı ve düzeltmelerin ters ağırlıkları aşağıdaki bağıntılarla hesaplanır. m0 = ± vT v f f = 2n − u (14a) Q x = ( A T A) −1 (14b) Q v = I − A Q AT (14c) Bilinmeyenlerin fonksiyonlarının ters ağırlıkları hata yayılma kuralı ile elde edilir. f = Φ( x) Q f = F Q x FT (15a) F= ∂Φ(x) ∂x (15b) (15) bağıntıları polinomsal dönüşüm katsayılarından ölçek, dönüklük parametreleri ve bu parametrelerin ters ağırlıklarına ulaşabilmek için kullanılır. 5.4.4 Dönüşüm Sonuçlarının Test Edilmesi Dönüşüm sonuçları kuramsal varyansın bilinip bilinmemesine göre farklılık gösterir. Matematik model, uyuşumsuz ölçüler ve parametre anlamlılık testleri kuramsal varyansa Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (20 / 62) bağımlı olarakbu durumlara göre değişmektedir.irme çalışmasında seçilen örnek uygulamada üç dönüşüm modeli incelenmiştir. Bu dönüşüm modelleri üzerinde uyuşumsuz ölçüler testi ve parametre testi gerçekleştirilmiş ve genelde deneysel birim ölçünün soncul değeri kullanılmıştır. 5.4.4.1 Matematik Model Testi Kuramsal varyansın biliniyorsa, bilinen birim ölçünün kuramsal varyans ile istatistiksel eşdeğeri deneysel varyans karşılaştırlır. T= vT P v σ 02 =f m02 σ 02 ~ χ {21−α , f } = F{1−α , f , ∞} (16a) Aynı türden deneysel iki sonucun karşılaştırılmasında kullanılır. T= 2 m10 ~ F{1−α , f 1 , f 2 } 2 m20 ( Tk ≥ 1 olmalı) (16b) Test büyüklükleri (T), ilgili dağılımın sınır değerinden küçük ise matematik model 1-α güvenle geçersiz sayılamaz. T sınır değerden büyük ise önce stokastik model gözden geçirilir, hala geçersiz ise uyuşumsuz ölçü testi yapılır. 5.4.4.2 Uyuşumsuz Ölçüler Testi Çalışmanın temel konusunu oluşturan dönüşüm modellerinde bir noktaya ait koordinat çiftleri kullanılmaktadır. Bir noktanın üretilmesinde yapılan hata iki koordinatı birlikte etkileyeceğinden, uyuşumsuz ölçüler testi koordinat çiftlerini birlikte test edebileceğimiz, koordinat çiftlerinde uyuşumsuz ölçüler testi şeklinde gerçekleştirilmiştir. Tek bir koordinat çifti için uyuşumsuz ölçüler test büyüklüğü aşağıdaki bağıntı ile elde edilir. Tk = Tk = v Tk Pvk v k σ 2 0 vTk Pvk v k r m02 ~ χ {21−α0 , f } (17a) ~ F{1−α 0 , r , f } (17b) k = 1,2,K , n , vTk = [v X vY ]k , Pvk = (Q v ) −k 1 , α 0 = α n , r = rank{Pv k } (16) bağıntısında; α yanılma olasılığı, α0 tek bir nokta çiftinin yanılma olasılığı, vk ve Pvk k’ıncı noktaya ait koordinatların düzeltmeler vektörü ve bu düzeltmeler vektörünün 2×2 Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (21 / 62) boyutlu ağırlık matrisi, r test edilen düzeltme grubunun boyutu ve F{1−α 0 , r , f } Fisher dağılımının sınır değeridir. α0≈0 ise α0≈0.01 alınabilir. Çalışmada iki boyutlu dönüşümler incelendiğinden daima r=2’dir. 5.4.4.3 Parametre Anlamlılık Testi Parametre testi, tek bir parametre yada bir grup parametrenin testi şeklinde olabileceğinden aşağıdaki test büyüklüğü genellenerek verilmiştir. Bir grup parametrenin anlamlılık testi aşağıdaki bağıntı ile elde edilir. Tk = Tk = xTk Px k x k σ 2 0 x Tk Pxk x k r m02 ~ χ {21−α ,r } = F{1−α , r , ∞} (18a) ~ F{1−α , r , f } (18b) Pxk = (Q x ) k−1 , r = rank{Px k } (17) bağıntısında; xk ve Pxk k’ıncı grup parametre ve bu parametrelerin ağırlık matrisi, r test edilen parametre grubunun boyutu, χ {21−α ,r } Ki-kare ve F{1−α , r , f } Fisher dağılımının sınır değerleridir. Genellikle α=0.05 alınır. 5.4.5 Uygulama Aşağıda ortak nokta koordinatları verilen iki farklı sistem arasındaki uygun dönüşüm modelini belirleyiniz. == i == 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 == ==== NN ==== 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ==== KOORDINATLAR =========== =========== x [m] y [m] =========== =========== 22644.3300 18214.3000 12910.4900 18011.6900 18047.3900 16776.6700 15932.9400 15231.9600 18350.3400 11587.6400 16048.4600 25654.1800 10586.0300 6135.8000 25220.8000 19608.8700 16048.6200 22850.6500 12295.5400 15852.5900 =========== =========== =========== X [m] =========== 13802.9000 4823.4300 10055.0500 8655.6300 12242.4800 4935.5500 7022.7200 15687.2500 5965.2400 5044.3900 =========== =========== Y [m] =========== 26549.3700 22786.1300 23523.9400 21310.5900 18808.6400 31047.2200 10886.0700 28792.7400 28439.5900 20552.0100 =========== Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (22 / 62) a) Bilineer Dönüşüm modeli: Qx 21.862 -0.00152276 -0.0012461 8.5177e-08 0 0 0 0 -0.00152276 1.12167e-07 8.62397e-08 -6.22635e-12 0 0 0 0 -0.0012461 8.62397e-08 7.7431e-08 -5.1745e-12 0 0 0 0 0 0 0 0 8.5177e-08 -6.22635e-12 -5.1745e-12 3.65831e-16 0 0 0 0 21.862 -0.00152276 -0.0012461 8.5177e-08 0 0 0 0 -0.00152276 1.12167e-07 8.62397e-08 -6.22635e-12 0 0 0 0 -0.0012461 8.62397e-08 7.7431e-08 -5.1745e-12 0 0 0 0 8.5177e-08 -6.22635e-12 -5.1745e-12 3.65831e-16 x= a00 a10 a01 a11 b00 b10 b01 b11 = -570.468 0.930145 -0.367245 -4.83107e-11 1290.88 0.367272 0.930165 -1.04962e-09 UYUSUM TESTI ====== ============== ====== ====== ====== v'Q^v v'Q^v ====== v[cm] (Qvv)ii mv[cm] Tv[] Tau [m2] 2m0^2 F ====== ============== ====== ====== ====== ====== ====== ====== 0.58 0.7069 -0.0000 1.36 0.43 0.0002 0.33 0.94 -0.0000 0.7069 1.36 0.69 -----------------------------------------------------------------------------------2 2 1.37 0.7564 -0.0000 1.40 0.98 0.0005 0.90 1.29 -0.0000 0.7564 1.40 0.92 -----------------------------------------------------------------------------------3 3 0.45 0.8606 -0.0000 1.50 0.30 0.0001 0.11 -0.52 -0.0000 0.8606 1.50 0.35 -----------------------------------------------------------------------------------4 4 -3.01 0.8427 -0.0000 1.48 2.03 1.92 0.0011 2.13 -0.55 -0.0000 0.8427 1.48 0.37 -----------------------------------------------------------------------------------5 5 1.03 0.3850 -0.0000 1.00 1.03 0.0003 0.53 -0.11 -0.0000 0.3850 1.00 0.11 -----------------------------------------------------------------------------------6 6 -1.38 0.5276 -0.0000 1.17 1.17 0.0004 0.70 0.14 -0.0000 0.5276 1.17 0.12 -----------------------------------------------------------------------------------7 7 0.65 0.0598 -0.0000 0.39 1.65 0.0007 1.36 -0.01 -0.0000 0.0598 0.39 0.03 -----------------------------------------------------------------------------------8 8 -0.72 0.3551 -0.0000 0.96 0.75 0.0002 0.29 -0.15 -0.0000 0.3551 0.96 0.16 -----------------------------------------------------------------------------------9 9 2.90 0.7309 -0.0000 1.38 2.10 1.92 0.0013 2.41 -0.89 -0.0000 0.7309 1.38 0.64 -----------------------------------------------------------------------------------10 10 -1.87 0.7750 -0.0000 1.42 1.32 0.0005 0.87 -0.12 -0.0000 0.7750 1.42 0.09 -----------------------------------------------------------------------------------t(0.025,11)=2.2016 Tau(0.025,12)=1.9158 F(0.050,2,12)=3.8976 vv= 0.0031 m2 f=12 m0= 1.61 cm ==== SN ==== 1 ====== NN ====== 1 *****Bilineerlik Katsayilari***** Qf f 3.65831e-016 0 -4.83107e-011 0 3.65831e-016 -1.04962e-009 Bilineerlik Testi : R= 30.1789 cm2 T= 5.7993 ~ F(0.978,2,12)= 5.8082 Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (23 / 62) b) Afin Dönüşüm modeli: *****Donusum Parametreleri***** 2.03011 -7.30687e-05 -4.13089e-05 0 0 0 -7.30687e-05 6.19617e-09 -1.82903e-09 0 0 0 -4.13089e-05 -1.82903e-09 4.24024e-09 0 0 0 0 0 0 2.03011 -7.30687e-05 -4.13089e-05 0 0 0 -7.30687e-05 6.19617e-09 -1.82903e-09 0 0 0 -4.13089e-05 -1.82903e-09 4.24024e-09 a00 a10 a01 b00 b10 b01 x= = -570.457 0.930144 -0.367245 1291.12 0.367254 0.93015 -570.457 0.930144 -0.367245 1291.12 0.367254 0.93015 UYUSUM TESTI ====== ============== ====== ====== ====== v'Q^v v'Q^v ====== v[cm] (Qvv)ii mv[cm] Tv[] Tau [m2] 2m0^2 F ====== ============== ====== ====== ====== ====== ====== ====== 0.59 0.7087 -0.0000 1.76 0.33 0.0002 0.28 1.17 -0.0000 0.7087 1.76 0.67 -----------------------------------------------------------------------------------2 2 1.33 0.7869 -0.0000 1.86 0.71 0.0002 0.27 0.33 -0.0000 0.7869 1.86 0.18 -----------------------------------------------------------------------------------3 3 0.41 0.8893 -0.0000 1.97 0.21 0.0003 0.29 -1.45 -0.0000 0.8893 1.97 0.74 -----------------------------------------------------------------------------------4 4 -3.06 0.8877 -0.0000 1.97 1.55 0.0014 1.58 -1.72 -0.0000 0.8877 1.97 0.87 -----------------------------------------------------------------------------------5 5 0.88 0.7309 -0.0000 1.79 0.49 0.0016 1.86 -3.34 -0.0000 0.7309 1.79 1.87 -----------------------------------------------------------------------------------6 6 -1.33 0.5542 -0.0000 1.56 0.86 0.0005 0.59 1.03 -0.0000 0.5542 1.56 0.66 -----------------------------------------------------------------------------------7 7 0.80 0.4074 -0.0000 1.34 0.60 0.0027 3.09 3.22 -0.0000 0.4074 1.34 2.41 1.92 -----------------------------------------------------------------------------------8 8 -0.62 0.5130 -0.0000 1.50 0.41 0.0009 1.00 2.03 -0.0000 0.5130 1.50 1.35 -----------------------------------------------------------------------------------9 9 2.91 0.7346 -0.0000 1.79 1.62 0.0012 1.36 -0.55 -0.0000 0.7346 1.79 0.31 -----------------------------------------------------------------------------------10 10 -1.90 0.7871 -0.0000 1.86 1.02 0.0005 0.60 -0.72 -0.0000 0.7871 1.86 0.39 -----------------------------------------------------------------------------------t(0.025,13)=2.1609 Tau(0.025,14)=1.9235 F(0.050,2,14)=3.7819 vv= 0.0061 m2 f=14 m0= 2.09 cm ==== SN ==== 1 ====== NN ====== 1 *****Afinlik Parametreleri***** Qf 1.04364e-008 -1.03398e-024 -1.03398e-024 1.04364e-008 f -6.69273e-006 8.43903e-006 Afinlik Testi : R= 111.1587 cm2 T= 12.6724 ~ F(0.990,2,14)= 7.8371 Afin Donusum Parametreleri L= 1.000021 M= 1.315427 A= 23.939859 g B= 23.939203 g Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (24 / 62) c) Benzerlik Dönüşüm modeli: *****Donusum Parametreleri***** 1.35503 -3.69269e-005 1.14904e-015 3.7331e-005 -3.69269e-005 2.19692e-009 -3.7331e-005 3.48563e-025 9.38817e-016 -3.7331e-005 1.35503 -3.69269e-005 3.7331e-005 9.3906e-027 -3.69269e-005 2.19692e-009 -570.47 0.930149 1291.21 0.36725 UYUSUM TESTI ====== ============== ====== ====== ====== v'Q^v v'Q^v ====== v[cm] (Qvv)ii mv[cm] Tv[] Tau [m2] 2m0^2 F ====== ============== ====== ====== ====== ====== ====== ====== 3.21 0.8219 0.0000 2.98 1.08 0.0014 0.66 -1.22 0.0000 0.8219 2.98 0.41 -----------------------------------------------------------------------------------2 2 -1.27 0.8643 0.0000 3.05 0.42 0.0005 0.24 1.70 0.0000 0.8643 3.05 0.56 -----------------------------------------------------------------------------------3 3 1.18 0.8965 -0.0000 3.11 0.38 0.0006 0.26 -1.90 -0.0000 0.8965 3.11 0.61 -----------------------------------------------------------------------------------4 4 -2.73 0.8915 -0.0000 3.10 0.88 0.0010 0.46 -1.16 -0.0000 0.8915 3.10 0.38 -----------------------------------------------------------------------------------5 5 4.21 0.8306 -0.0000 2.99 1.41 0.0034 1.58 -3.26 -0.0000 0.8306 2.99 1.09 -----------------------------------------------------------------------------------6 6 -5.73 0.7339 0.0000 2.81 2.04 1.93 0.0045 2.08 0.25 0.0000 0.7339 2.81 0.09 -----------------------------------------------------------------------------------7 7 2.40 0.5560 -0.0000 2.45 0.98 0.0097 4.52 3.70 6.96 -0.0000 0.5560 2.45 2.84 1.93 -----------------------------------------------------------------------------------8 8 2.76 0.7295 -0.0000 2.80 0.99 0.0014 0.63 -1.53 -0.0000 0.7295 2.80 0.54 -----------------------------------------------------------------------------------9 9 -0.20 0.8233 0.0000 2.98 0.07 0.0001 0.06 -0.99 0.0000 0.8233 2.98 0.33 -----------------------------------------------------------------------------------10 10 -3.83 0.8524 0.0000 3.03 1.26 0.0019 0.87 1.15 0.0000 0.8524 3.03 0.38 -----------------------------------------------------------------------------------t(0.025,15)=2.1320 Tau(0.025,16)=1.9290 F(0.050,2,16)=3.6970 vv= 0.0173 m2 f=16 m0= 3.28 cm ==== SN ==== 1 ====== NN ====== 1 Benzerlik Donusum Parametreleri L= 1.000025 A= 23.939505 g 5.4.5.1 Açık Afin Matematik Modelinin Değerlendirilmesi Đki koordinat sistemi arasındaki afin dönüşüm parametrelerinin, dönüşüm parametrelerine göre doğrudan kurulan modele göre hesaplanması ve sonuçların test edilmesi. Afin dönüşüm modeli X a cos α = + Y b sin α Bilinmeyenlerin Kesin değerleri aˆ a0 δa ˆ = b + δb b 0 − sin β λ cos β µ αˆ α 0 δα ˆ = β + β 0 δβ x y λˆ λ0 δλ = + µˆ µ 0 δµ Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (25 / 62) Matematik Model − λ 0 sin α 0 x [ cm ] [ cm ] v X 1 0 δa ρ [c] = + v 0 1 δb λ cos α x 0 0 Y [c] ρ [cmcc ] cm ppm − µ 0 cos β 0 y [ cc ] cos α 0 x δα [c] 4 ρ + 10 − µ 0 sin β 0 y δβ sin α 0 x 10 4 ρ [c] − sin β 0 y [ ppm] [ cm ] δλ l X 4 10 = cos β 0 y δµ l Y 10 4 [ cm ] l X 10 2 {X − (a + λ0 cos α 0 x − µ 0 sin β 0 y )} l = 2 Y 10 {Y − (b + λ0 sin α 0 x + µ 0 cos β 0 y )} 1 0 P=I= 0 1 UYGULAMA: NN 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 x [m] 14225.86 13052.18 21332.87 18092.88 12052.39 3189.38 22587.71 13925.94 8324.06 13245.95 y [m] 3828.95 10671.37 21561.02 13925.07 18338.34 14178.25 7634.80 13476.90 16999.09 28633.85 X [m] 8126.42 3389.21 4332.73 5816.39 -1655.32 -6779.90 13026.50 2579.40 -4036.58 -6309.45 Y [m] 7171.86 12246.98 25895.26 17733.84 18106.78 9763.83 14943.57 15071.73 14940.50 27367.77 ÇÖZÜM: ********************** Yaklasik Degerler ************************ a0 = -454.3133 m b0 = -4011.1127 m α0 = 40.791973 g β0 = 40.791973 g λ0 = 1.00000000 µ0 = 1.00000000 ************************ 1. Itersayon *************************** Qx ================================================ 1.3857 -0.0000 0.1963 0.1927 -0.4134 0.2257 1.3857 -0.2632 0.1437 -0.3083 -0.3027 0.1371 0.0000 0.0000 0.0179 0.0918 -0.0179 0.0000 0.3383 -0.0000 0.2266 ================================================ m0 = 2.96 cm f = 14 a = -1662.5363 m b = -3838.3308 m α = 36.997780 g β = 36.996217 g λ = 0.99824359 µ = 0.99824259 x ============ -120822.3029 17278.1850 -37941.9271 -37957.5544 -1756.4091 -1757.4145 ============ δa δb δα δβ δλ δµ [cm] [cm] [cc] [cc] [ppm] [ppm] ************************ 2. Itersayon *************************** Qx ================================================ 1.3857 0.0000 0.1806 0.2013 -0.4311 0.2073 1.3857 -0.2749 0.1322 -0.2831 -0.3156 0.1376 0.0000 -0.0000 0.0179 0.0922 -0.0179 -0.0000 0.3383 0.0000 0.2266 ================================================ m0 = 2.96 cm f = 14 a = -1662.5363 m b = -3838.3308 m α = 36.995607 g β = 36.994043 g λ = 1.00002116 µ = 1.00002162 x ============ -0.0000 -0.0000 -21.7324 -21.7425 1777.5644 1779.0295 ============ Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (26 / 62) ************************ 3. Itersayon *************************** Qx x ================================================ ============ 1.3857 -0.0000 0.1802 0.2009 -0.4311 0.2073 -0.0000 1.3857 -0.2744 0.1319 -0.2831 -0.3156 -0.0000 0.1371 0.0000 0.0000 0.0179 0.0386 0.0918 -0.0179 -0.0000 0.0387 0.3383 0.0000 0.0006 0.2266 0.0006 ================================================ ============ m0 = 2.96 cm f = 14 a = -1662.5363 m b = -3838.3308 m α = 36.995611 g β = 36.994047 g λ = 1.00002116 µ = 1.00002162 ************************ 4. Itersayon *************************** Qx x ================================================ ============ 1.3857 -0.0000 0.1802 0.2009 -0.4311 0.2073 0.0000 1.3857 -0.2744 0.1319 -0.2831 -0.3156 -0.0000 0.1371 0.0000 0.0000 0.0179 0.0000 0.0918 -0.0179 0.0000 -0.0000 0.3383 0.0000 0.0000 0.2266 0.0000 ================================================ ============ m0 = 2.96 cm f = 14 a = -1662.5363 m b = -3838.3308 m α = 36.995611 g β = 36.994047 g λ = 1.00002116 µ = 1.00002162 UYUSUM TESTI ====== ====== ====== ====== v'Q^v ====== v[cm] mv[cm] Tv[] Tau 2m0^2 F ====== ====== ====== ====== ====== ====== -1.49 2.33 0.64 0.24 0.67 2.33 0.29 -----------------------------------------------------------2 02 -3.16 2.73 1.15 0.85 -1.65 2.73 0.60 -----------------------------------------------------------3 03 2.55 2.27 1.12 0.87 1.56 2.27 0.69 -----------------------------------------------------------4 04 -1.73 2.72 0.64 1.46 4.31 2.72 1.59 -----------------------------------------------------------5 05 -2.21 2.75 0.81 1.18 -3.60 2.75 1.31 -----------------------------------------------------------6 06 0.52 2.09 0.25 0.05 0.46 2.09 0.22 -----------------------------------------------------------7 07 1.91 2.22 0.86 0.77 -2.00 2.22 0.90 -----------------------------------------------------------8 08 0.80 2.80 0.29 0.19 -1.52 2.80 0.54 -----------------------------------------------------------9 09 5.52 2.63 2.10 1.92 2.83 2.94 2.63 1.12 -----------------------------------------------------------10 10 -2.70 2.05 1.32 1.03 -1.16 2.05 0.57 -----------------------------------------------------------Tau(0.975, 14) = 1.92 F(0.950, 2, 14)= 3.78 ==== SN ==== 1 ====== NN ====== 01 Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (27 / 62) 5.4.5.2 3B Benzerlik Dönüşümünün Afin Matematik Modelinin Değerlendirilmesi 3B benzerlik dönüşümü genellikle yersel datumlar arasında uygulanır. Bu tür datumlar arasındaki dönüşümlerde sırasıyla X, Y ve Z eksenleri etrafındaki dönüklükler α≈β≈γ≈0 ve ölçek katsayısı k≈1 dir. Şekil 3B Dönüşümlerin Geometrik Yapısı [ uj = uj vj [ t = tx ty xj =t+λ R uj [ ] , xj = xj tz ] 1 , R = − γ β T T [ yj zj γ 1 −α ]T , j ∈ {1,2, K , n} −β α , λ = 1 + ∆ 1 Bursa-Wolf α =[α x j −uj = I Dj wj uj ] t α ∆ β γ ] T 0 , D j = wj − v j − wj 0 uj vj −uj 0 Bursa-Wolf Çözüm Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (28 / 62) x j = t0 + λ R u j Molodensky-Badekas 0 u j = u j − u s , x j = x j − x s , t0 = t0 − u s , D j = w j − v j [ x j −u j = I Dj [ x j −uj = I Dj uj uj [ 0 uj vj −uj 0 ] t0 α ∆ Molodensky-Badekas 1. Çözüm { t = u s + t 0 − λ R u s } ] t0 α ∆ Molodensky-Badekas 2. Çözüm { t = t 0 − λ R u s } x j = ts + λ R u j xj −uj = I Dj − wj Merkeze Ötelenmiş Model { t s ≈ 0 } uj ] ts α ∆ Merkeze Ötelenmiş Çözüm { t = x s + t s − λ R u s } R = R 1 (α ) R 2 ( β ) R 3 (γ ) cosβ cosγ R = sinα sinβ cosγ − cosα sinγ cosα sinβ cosγ + sinα sinγ χs = 1 n ∑χ j n j =1 cosβ sinγ − sinβ sinα sinβ sinγ + cosα cosγ cosα sinβ sinγ − sinα cosγ sinα cosβ cosα cosβ χ ∈ {x, y, z, u , v, w} x=t+λ Ru 3B benzerlik dönüşüm bağıntısı x = t + λ R 1 (α ) R 2 ( β ) R 3 (γ ) u 3B benzerlik dönüşüm bağıntısı α ≈ β ≈ γ ≈ 0 olduğundan bu açıların kosinüsleri ~1, sinüsleri de açıların raydan değerlerine eşit ve α β ≈ α γβ ≈ β γ ≈ 0 olur. Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (29 / 62) 0 1 1 R = R 1 (α ) R 2 ( β ) R 3 (γ ) = 0 0 − α 1 R = − γ β γ 1 −α 0 α 1 0 −β 1 0 0 1 1 0 β 1 − γ 0 γ 1 0 0 0 1 −β α 1 Yukarıdaki kapalı 3B-benzerlik dönüşüm bağıntısı açık olarak yazılırsa aşağıdaki bağıntı elde edilir. X t X Y = t + λ Y Z t Z 1 −γ β X j 1 0 0 Y j = 0 1 0 Z j 0 0 1 γ 1 −α 0 Wj −Vj −β α 1 −W j 0 Uj U V W Vj −U j 0 Uj Vj W j t X t Y tz α β γ λ Yukarıdaki model her bir datum parametre grubunun (ötelemeler, dönüklükler ve ölçek) katsayılar matrisleri modelin katsayılar matrislerinin alt matrisleri şeklinde yeniden düzenlenirse aşağıdaki bağıntılar elde edilir. t x = [ I D u ] α = t + D α + u λ λ Bu modelde λ = 1 + ∆ olarak alınırsa x = t + D α + u (1 + ∆ ) olarak elde edilir. Denklem birimlere göre yeniden düzenlenerek; X j U j 1 0 0 Y j − V j = 0 1 0 Z j W j 0 0 1 0 − W j / ρ cc W j / ρ cc 0 − U j / ρ cc U j / ρ cc 0 − V j / ρ cc V j / ρ cc tX t Y 6 U j / 10 t Z cc V j / 10 6 α cc W j / 10 6 β cc γ ∆ ppm Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (30 / 62) modeli elde edilir. Bu model hem ilk koordinatlara göre yazılmış ve hem de yuvarlatma hatalarının hesaplanan parametrelerdeki etkileri azaltılmış olur. Ağırlık merkezine ötelenmiş koordinatlar kullanılırsa, orijinal modele göre korelasyon kayıpları olmasına rağmen, yuvarlatma hatalarının etkilerinin daha da azaltılmasına yardımcı olacağı açıktır. Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (31 / 62) Uygulama: Beş adet eşlenik noktadan yararlanarak, Bursa-Wolf dönüşüm katsayılarını, bunların duyarlıklarını ve uyuşumsuz nokta testi için gerekli olan test büyüklüklerini hesaplayınız (Yönetmelikte istenen birim ölçünün soncul değer σ0=± ±3cm‘dir). NN N1 N2 N3 N4 N5 U [m] 4242664.7158 4241932.2373 4240592.4087 4237589.8400 4239778.5272 WGS84 V [m] 2445911.5376 2466461.2238 2446096.5011 2451171.9849 2435273.7728 W [m] 4072699.6496 4061241.3849 4074739.9490 4074848.9157 4081959.4385 X [m] 4242741.4383 4242009.1742 4240669.1224 4237666.6161 4239855.1148 ITRF08 Y [m] 2445896.7885 2466446.4146 2446081.6574 2451157.2501 2435259.0062 Z [m] 4072677.1848 4061218.6811 4074717.5254 4074826.4581 4081937.1407 ÇÖZÜM Bursa-Wolf x j = t + λ R uj X j U j 1 0 0 Y j − V j = 0 1 0 Z j W j 0 0 1 X j t X 1 Y j = tY + (1 + ∆ ) − γ Z j tZ β 0 − W j / ρ cc W j / ρ cc 0 − V j / ρ cc γ 1 −α V j / ρ cc − U j / ρ cc U j / ρ cc 0 −β α 1 U j Vj W j U j / 10 6 V j / 10 6 W j / 10 6 tX tY tZ cc α β cc cc γ ∆ ppm Düzeltme Denklemleri y [m] 76.72 -14.75 -22.46 76.94 -14.81 -22.70 76.71 -14.84 _=_ -22.42 76.78 -14.73 -22.46 76.59 -14.77 -22.30 A 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 [] 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 6.3974 -3.8420 0 6.3794 -3.8743 0 6.4006 -3.8423 0 6.4008 -3.8503 0 6.4119 -3.8253 x [m/cc] -6.3974 0 6.6644 -6.3794 0 6.6632 -6.4006 0 6.6611 -6.4008 0 6.6564 -6.4119 0 6.6598 3.8420 -6.6644 0 3.8743 -6.6632 0 3.8423 -6.6611 0 3.8503 -6.6564 0 3.8253 -6.6598 0 [m/ppm] 4.2427 tX [m] 2.4459 tY 4.0727 tZ 4.2419 __ α [cc] 2.4665 β 4.0612 γ 4.2406 ∆ [ppm] 2.4461 4.0747 4.2376 2.4512 4.0748 4.2398 2.4353 4.0820 Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (32 / 62) Normal Denklemler 0.00 5.00 0.00 5.00 0.00 0.00 0.00 31.99 -31.99 0.00 19.23 -33.30 21.20 12.24 0.00 0.00 5.00 -19.23 33.30 0.00 20.37 ATA 0.00 -31.99 31.99 0.00 -19.23 33.30 278.67 -128.12 -128.12 426.52 -213.08 -123.06 0.00 0.00 19.23 -33.30 0.00 -213.08 -123.06 295.84 0.00 21.20 12.24 20.37 0.00 0.00 0.00 202.85 x tX tY tZ α = β γ ∆ ATy 383.74 -73.90 -112.35 -40.64 -3203.49 1968.46 988.65 Bilinmeyenlerin Ters Ağırlık Matrisi 908593.67 -451715.34 -618527.32 5449.01 99431.74 -64641.49 -5603.60 -451715.34 293641.08 325961.62 -6424.92 -50667.62 36722.65 -3236.19 -618527.32 325961.62 501573.77 -1809.94 -73054.30 45218.62 -5382.37 T -1 Q= (A A) = 5449.01 -6424.92 -1809.94 580.68 607.08 -406.81 0.00 99431.74 -50667.62 -73054.30 607.08 11318.10 -7023.52 0.00 -64641.49 36722.65 45218.62 -406.81 -7023.52 5122.35 0.00 -5603.60 -3236.19 -5382.37 0.00 0.00 0.00 1321.44 Bilinmeyenler ve Duyarlıkları tX tY tZ α β γ ∆ qX x Birim 14.7350 908593.67 -13.6289 m 293641.08 -13.0108 501573.77 5.6676 580.68 -1.4872 cc 11318.10 7.6252 5122.35 5.4626 ppm 1321.44 mX 35.51 20.19 26.38 0.90 3.96 2.67 1.35 Düzeltmeler ve Uyuşumsuz Ölçüler Testi v [m] -0.0011 -0.0777 0.0154 -0.0001 0.0014 0.0106 0.0034 0.0609 -0.0114 -0.0144 0.0167 -0.0150 0.0123 -0.0013 0.0004 0.6278 -0.0882 -0.1487 0.1931 -0.0083 -0.0140 0.7837 -0.0011 -0.0018 0.5097 -0.1526 -0.2575 0.4416 -0.0032 -0.0053 Qv [ ] -0.0882 0.7304 -0.0856 -0.0083 0.2032 -0.0079 -0.0011 0.7848 -0.0011 -0.1526 0.6917 -0.1463 -0.0032 0.4454 -0.0030 R [m2] -0.1487 -0.0856 0.6370 -0.0140 -0.0079 0.1946 -0.0018 -0.0011 0.7836 -0.2575 -0.1463 0.5315 -0.0053 -0.0030 0.4421 T[] 0.0085 F{r,f,αα} [ ] P(F{T,1,f}) 4.07 95.00% 2.03 81.21% 0.0006 0.14 6.88% 0.0049 1.18 62.29% 0.0016 0.39 23.96% 0.0003 0.08 3.24% Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (33 / 62) Model Testi vTv= 0.0111 [m2] m0= 0.0373 [m] σ0= 0.0300 [m] Test Tablo 12.34 15.51 T= P(T)= 86.32% 95.00% Bursa-Wolf Dönüşüm Parametreleri xj = t + λ R uj 14.7350 1 1.19776E-05 2.33605E-06 Xj 1 8.90271E-06 Yj = -13.6289 + 1.000005463 -1.19776E-05 -13.0108 -2.33605E-06 -8.90271E-06 1 Zj Uj Vj Wj Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (34 / 62) Uygulama: Beş adet eşlenik noktadan yararlanarak, Moledensky-Badekas dönüşüm katsayılarını, bunların duyarlıklarını ve uyuşumsuz nokta testi için gerekli olan test büyüklüklerini hesaplayınız ±3cm‘dir) (Yönetmelikte istenen birim ölçünün soncul değer σ0=± NN N1 N2 N3 N4 N5 u 4242664.7158 4241932.2373 4240592.4087 4237589.8400 4239778.5272 WGS84 v 2445911.5376 2466461.2238 2446096.5011 2451171.9849 2435273.7728 w 4072699.6496 4061241.3849 4074739.9490 4074848.9157 4081959.4385 x 4242741.4383 4242009.1742 4240669.1224 4237666.6161 4239855.1148 ITRF08 y 2445896.7885 2466446.4146 2446081.6574 2451157.2501 2435259.0062 z 4072677.1848 4061218.6811 4074717.5254 4074826.4581 4081937.1407 Dönüştürülen Sistemin (WGS84) Ağırlık Merkezi Koordinatları NN vS wS uS S 4240511.5458 2448983.0040 4073097.8675 Dönüştürülen Sistemin (WGS84) Ağırlık Merkezine Ötelenmiş Koordinatları NN u-uS v-vS w-wS 2153.1700 -3071.4664 -398.2179 N1 1420.6915 17478.2198 -11856.4826 N2 80.8629 -2886.5029 1642.0815 N3 -2921.7058 2188.9809 1751.0482 N4 -733.0186 -13709.2312 8861.5710 N5 ÇÖZÜM [ x j −u j = I Dj uj ] t0 α ∆ Molodensky-Badekas 1. Çözüm { t = u s + t 0 − λ R u s } U j = U j − U S , V j = V j − V S , W j = W j − WS t 0 = t 0 − u s ; Modelden Kestirilen Ötelemeler t = u s + t 0 − λ R u s (Kurt, 2015). X j U j 1 0 0 Y j − V j = 0 1 0 Z j W j 0 0 1 0 − W j / ρ cc W j / ρ cc 0 − U j / ρ cc U j / ρ cc 0 − V j / ρ cc V j / ρ cc t0 x t 0y 6 U j / 10 t0 z cc V j / 10 6 α cc W j / 10 6 β cc γ ∆ ppm Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (35 / 62) Düzeltme Denklemleri A y [cm] [] [cm/cc] [cm/ppm] 7672.25 1 0 0 0 0.0626 -0.4825 0.2153 -1474.91 0 1 0 -0.0626 0 -0.3382 -0.3071 -2246.48 0 0 1 0.4825 0.3382 -0.0398 0 7693.69 1 0 0 0.1421 0 1.8624 2.7455 -1480.92 0 1 0 -1.8624 0 -0.2232 1.7478 -2270.38 0 0 1 -2.7455 0.2232 -1.1856 0 7671.37 1 0 0 0 -0.2579 -0.4534 0.0081 -1484.37 = 0 1 0 0.2579 0 -0.0127 -0.2887 -2242.36 0 0 1 0.4534 0.0127 0.1642 0 7677.61 1 0 0 0 -0.2751 0.3438 -0.2922 -1473.48 0 1 0 0.2751 0.2189 0 0.4589 -2245.76 0 0 1 -0.3438 -0.4589 0.1751 0 7658.76 1 0 0 0 -1.3920 -2.1534 -0.0733 -1476.66 0 1 0 1.3920 0 0.1151 -1.3709 -2229.78 0 0 1 2.1534 -0.1151 0.8862 0 x t0x [cm] t0y t0z α [cc] β γ ∆ [ppm] Dönüşüm Parametreleri ve Ters Ağırlık Matrisi x 7674.7360 -1478.0680 -2246.9520 -5.6676 1.4872 -7.6252 5.4626 Q 0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0.0581 0.0607 -0.0407 0 0 0 0 0.0607 1.1318 -0.7024 0 0 0 0 -0.0407 -0.7024 0.5122 0 0 0 0 0 0 0 0.1321 Dönüşüm Parametreleri, Duyarlıkları ve Anlamlılık testleri x x ± mX [cm] R [cm2] T [] t0x [cm] 7674.7360 1.67 294507863.35 21220069.41 t0y -1478.0680 1.67 10923425.06 787061.63 t0z -2246.9520 1.67 25243966.45 1818894.46 α 5.6676 0.90 553.18 39.86 β [cc] -1.4872 3.96 1.95 0.14 γ 7.6252 2.67 113.51 8.18 ∆ [ppm] 5.4626 1.35 225.82 16.27 F{1-αα,1,f} P(F{T,1,f}) P(F{F,1,f}) [] [] 5.32 100.00% 100.00% 100.00% 99.98% 28.28% 97.88% 99.62% Karar 95.00% Anlamlı Anlamlı Anlamlı Anlamlı Anlamsız Anlamlı Anlamlı Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (36 / 62) NN N1 N2 N3 N4 N5 v [cm] -0.11 -7.77 1.54 -0.01 0.14 1.06 0.34 6.09 -1.14 -1.44 1.67 -1.50 1.23 -0.13 0.04 Düzeltmeler ve Uyuşumsuz Ölçü Testi Qv R T 2 [] [cm ] [] 0.6278 -0.0882 -0.1487 -0.0882 0.7304 -0.0856 84.64 2.03 -0.1487 -0.0856 0.6370 0.1931 -0.0083 -0.0140 -0.0083 0.2032 -0.0079 5.96 0.14 -0.0140 -0.0079 0.1946 0.7837 -0.0011 -0.0018 -0.0011 0.7848 -0.0011 49.06 1.18 -0.0018 -0.0011 0.7836 0.5097 -0.1526 -0.2575 -0.1526 0.6917 -0.1463 16.44 0.39 -0.2575 -0.1463 0.5315 0.4416 -0.0032 -0.0053 -0.0032 0.4454 -0.0030 3.44 0.08 -0.0053 -0.0030 0.4421 F{r,f,a} P(F{T,1,f}) [] [] 4.07 95.00% 81.21% 6.88% 62.29% 23.96% 3.24% vTv= 111.03 [cm2] 3.73 [cm] m0= 3.00 [cm] σ0= Model Testi T= P(T)= Test 12.34 Tablo 15.51 86.32% 95.00% Bursa-Wolf Ötelemeleri (t) λ= 1.00000546 76.7474 -14.7807 -22.4695 m t0 = 14.7348 m t=us+t0-λ R us = R= 1 -1.19776E-05 -2.33605E-06 us = 1.19776E-05 1 -8.90271E-06 2.33605E-06 8.90271E-06 1 4240511.5458 m 2448983.0040 4073097.8675 -13.6288 -13.0106 Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (37 / 62) 6. ÖDEVLER Aşağıda, konuların pekiştirilebilmesine katkı sağlayacak ödevler yer almaktadır. Ödev 1: Bir noktanın 3B (üç boyutlu) kartezyen koordinatlarını belirlemek için, 3 sabit noktaya dayalı olarak 3 adet baz ölçüsü yapılmıştır. Bilinmeyen nokta koordinatlarını hesaplamak için kurulan matematik model ile oluşturulan normal denklemler T T ( A P A x = A P l ) ve düzeltmelerin kareleri toplamı aşağıda verildiğine göre; (a) kurulan matematik modeli şartnamede istenen σ0=± ±15mm değerine göre test ediniz, (b) hesaplayacağınız dengeleme bilinmeyenlerinin ve (c) dengeleme bilinmeyenlerinin fonksiyonlarının u=x− −y+z ve w=2x+3y− −z/2 anlamlı olup olmadıklarını irdeleyiniz. 30,2 Sim. -8,2 29,5 16,2 -6,8 40,4 x y z = 56,0 48,0 15,0 mm α=%5 alınız. vTP v = 4526,00 mm2 Ödev 2: Ölçü sayısı 8 ve bilinmeyen nokta sayısı 2 olan, 2B (iki boyutlu) bir ağ dengelemesi T T sırasında oluşturulan normal denklemler ( A P A x = A P l ) aşağıda verilmiştir; (a) kurulan matematik modeli şartnamede istenen σ0=± ±15mm değerine göre test ediniz, (b) her bir noktaya ait koordinat çiftlerinin anlamlılıklarını şartnameye göre test ediniz, (c) her bir noktanın konum değişiminin {δ δsk=(δ δxk2+δ δyk2)1/2,k=1,2} anlamlılığını test ediniz. 18.2 -8.2 10.2 27.5 -26.8 36.4 Sim. 9.1 -15.6 21.1 29.6 [ ] 51.0 δ x1 δy1 = 45.0 32.0 δ x2 27.0 δ y2 [mm] α=%5 alınız. vTP v = 1476.00 mm2 Ödev 3: Aşağıda şekli verilen kalibrasyon bazının 1,2,3,4 noktaları arasındaki gerçek uzunlukları bilinmektedir. Kalibre edilmek istenen bir EUÖ (Elektronik Uzunluk Ölçer) ile bu kalibrasyon bazında ölçüler yapılmış, gerçek uzunlukları ile birlikte aşağıdaki tabloda verilmiştir. Ölçülen uzunluklar ile gerçek uzunluklar arasında xik=a+bSik şeklinde kurulacak olan doğrusal ilişki katsayılarında anlamlı bir değişim olmuş mudur? (E{a}=0, E{b}=1 midir?) (Not:llik=xik−Sik=a+bSik, modelini a[mm] ve b[mm/km] olacak şekilde kurunuz). 1 2 3 4 i-k 1-2 1-3 1-4 2-3 2-4 3-4 xik 30.020 100.005 180.000 69.985 149.980 79.995 Sik 30.030 100.019 180.028 69.998 149.984 80.011 Ödev 4: Ölçü sayısı 15 ve bilinmeyen nokta sayısı 2 olan 3B (Üç Boyutlu) bir ağın Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (38 / 62) T T dengelemesi sırasında oluşturulan normal denklemler ( A P A x = A P l ) aşağıda verilmiştir; (a) kurulan matematik modeli, (b) her bir noktaya ait koordinat üçlülerinin anlamlılıklarını, (c) her bir noktanın konum değişiminin {δ δsk=(δ δxk2+δ δyk2+δ δzk2)1/2,k=1,2} anlamlılığını şartnameye göre test ediniz. (Şartnamede: Dengeleme sonucunda elde edilen birim ölçünün duyarlığı σ0=± ±10mm olmalı. Sonuçları 1/100 mm’ye kadar yazınız.) 15 -8 9 4 -3 5 -8 27 3 3 -2 9 9 3 24 10 8 6 4 3 1 35 21 10 -3 -2 8 21 48… -9 5 9 6 10 -9 37 [ ] 23 δ x1 51 δ y1 -36 δ z1 = -48 δ x2 15 δ y2 -36 δ z2 [mm] α=%10 alınız. vTP v = 1687,00 mm2 Ödev 5: Başlangıçları aynı (ötelemeleri sıfır) olan iki koordinat sistemi arasında öngörülen AFĐN dönüşümü için kurulan matematik model aşağıda verildiğine göre; (a) Matematik model testini, (b) uyuşumsuz nokta çiftleri testini, (c) E{a}=E{d} ve E{b}=E{c} olup olmadığını, şartnameye göre test ediniz. (Şartnamede: Dönüşüm sonucunda birim ölçünün soncul duyarlığı σ0=± ±4cm olmalı.) [m] [km] [m/km] vXj vYj xk 0 -yk 0 0 xk 0 yk a vX1 vY1 vX2 vY2 vX3 vY3 5.763 0 22.031 0 11.824 0 -13.153 0 15.632 0 2.419 0 0 5.763 0 22.031 0 11.824 0 13.153 0 15.632 0 2.419 a b c d = [m] - - Xk Yk α=%10 7131.21 12463.65 23570.82 13196.43 12014.49 1146.36 Çözüm: A [km] ================================ 5.763 -13.153 0.000 0.000 0.000 0.000 5.763 13.153 22.031 -15.632 0.000 0.000 0.000 0.000 22.031 15.632 11.824 -2.419 0.000 0.000 0.000 0.000 11.824 2.419 ================================ L [m] ========= 7131.21 12463.65 23570.82 13196.43 12014.49 1146.36 ========= Qx [] ================================ 0.0055 0.0058 0.0000 0.0000 0.0085 0.0000 0.0000 0.0055 -0.0058 0.0085 ================================ x [m/km] ========== 994.3191 -106.5112 -106.4567 994.2311 ========== a b c d Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (39 / 62) Qv [] ================================================ 0.2241 -0.0000 -0.2412 -0.0000 0.3401 -0.0000 0.2241 -0.0000 -0.2412 -0.0000 0.3401 0.2596 -0.0000 -0.3661 -0.0000 0.2596 -0.0000 -0.3661 0.5164 -0.0000 0.5164 ================================================ (a) p' = [ s0= T= 4.00 cm 4.38 m0= 5.92 cm X2(0.95,2) = 5.99 994.3191 -106.5112 -106.4567 f= v [m] ========== -0.0069 -0.0390 0.0074 0.0420 -0.0104 -0.0592 ========== 2 α=0.10, 1-α/2=0.95 GECERLI 994.2311 ] m/km (b) NN | v[cm] Pv[] vTPvv[cm2] vTPvv/σ σo2 χ2{0.95,2} KARAR ==== | ======= ============ ======= ======= ====== ========= -0.69 4.46 0.00 70.05 4.38 5.99 ANLAMSIZ 1 | | -3.90 0.00 4.46 ----------------------------------------------------------------2 | 0.74 3.85 0.00 70.05 4.38 ANLAMSIZ 4.20 0.00 3.85 | ----------------------------------------------------------------3 | -1.04 1.94 0.00 70.05 4.38 ANLAMSIZ | -5.92 0.00 1.94 ----------------------------------------------------------------(c) Ho ===== |a-d| |b-c| | f[cm/km] σf[cm/km] | ======== ========== | 8.80 0.4734 | 5.45 0.4734 Tf[] ======= 18.60 11.52 Z(0.95) ======= 1.6450 KARAR ======== ANLAMLI ANLAMLI Ödev 6: Bir nirengi ağındaki açılardan biri 30 kez ölçülmüştür ve aşağıdaki değerler elde edilmiştir. Ölçülerin normal dağılımlı olup olmadığını MANN-WALLD uyum testi ile belirleyiniz ve verilerin histogramını çiziniz (30). x [g] = 64,76 135g 139 124 131 141 132 133 124 133 138 118 135 134 142 145 126 132 102 129 137 122 127 133 137 133 131 129 136 158 134 Ödev 7: Yukarıdaki tabloda verilen verilerin ortalama değerinin ve ortalama değerin standart sapmasının s=%90 a karşılık gelen güven bölgelerini belirleyiniz. Ödev 8: Yukarıdaki verilerin normal dağılımlı olup olmadığını, Çarpıklık ve Basıklık testi ile irdeleyiniz. Ödev 9: Bir vadinin iki yamacında bulunan A ve B noktaları arasındaki uzunluk aynı aletle, aynı atmosfer koşullarında, aynı ölçme ekibince t1 zamanda 6 kez, t2 zamanda 8 kez ölçülmüştür. Đki zaman arasında geçen süre içinde bölgede anlamlı bir deformasyon oluşup Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (40 / 62) oluşmadığını irdeleyiniz. t1 i Si[m] 1 1023 2 3 4 5 6 ,5242 ,5240 ,5223 ,5250 ,5263 ,5233 t2 i Si[m] 1 1023 2 3 4 5 6 ,5162 ,5175 ,5137 ,5153 ,5146 ,5137 ,5128 ,5152 Ödev 10: Bir noktanın 3B (üç boyutlu) kartezyen koordinatlarını belirlemek için, 3 sabit noktaya dayalı olarak 3 adet baz ölçüsü yapılmıştır. Bilinmeyen nokta koordinatlarını hesaplamak için kurulan matematik model ile oluşturulan normal denklemler ve düzeltmelerin kareleri toplamı aşağıda verildiğine göre; kurulan matematik modeli şartnamede istenen σ0=±15mm değerine göre test ediniz ve hesaplayacağınız dengeleme bilinmeyenlerinin anlamlı olup olmadıklarını irdeleyiniz. 12,2 -8,2 16,2 -8,2 21,5 -26,8 16,2 -26,8 35,4 x y z = 51,2 43,7 34,8 mm vTP v = 4289,00 mm2 Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (41 / 62) KAYNAKLAR RÜEGER, J., M. (1990), Electronic Distance Measurment, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Germany. KOCH, Karl-Rudolf (1999), Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models, Springer-Verlag Berlin Heidelberg Newyork, ISBN-540-65257-4. ÖZTÜRK, Ergün ve ŞERBETÇĐ, Muzaffer (1992), Dengeleme Hesabı Cilt 3, KTÜ-MMF, Genel Yay No:144, Trabzon. ULSOY, Ekrem (1974), Dengeleme Hesabı, En Küçük kareler Metodu, ĐDMMA yayınları, Sayı: 87, Đstanbul. ULSOY, Ekrem (1980), Pratik Matris Hesabı, ĐDMMA yayınları, Sayı: 91, Đstanbul. Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (42 / 62) EKLER Ek 1 Ek 2 Ek 3 Ek 4 Ek 5 Ek 6 Ek 7 Normal dağılım tablo değerleri. χ2-Dağılımı tablo değerleri. t-Dağılımı tablo değerleri. τ-Dağılımı tablo değerleri. F-Dağılımı tablo değerleri (α=%5). F-Dağılımı tablo değerleri (α=%2.5). F-Dağılımı tablo değerleri (α=%1). Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (43 / 62) Ek 1 Normal Dağılım Tablo Değerleri z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 3.00 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000 44 Ek 2 χ2-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α α:Güven aralığı) s s 0.005 0.010 0.025 0.050 0.950 0.975 0.990 0.995 1 2 3 4 5 0.0000 0.0100 0.0717 0.2070 0.4118 0.0002 0.0201 0.1148 0.2971 0.5543 0.0010 0.0506 0.2158 0.4844 0.8312 0.0039 0.1026 0.3518 0.7107 1.1455 3.8415 5.9915 7.8147 9.4877 11.0705 5.0239 7.3778 9.3484 11.1433 12.8325 6.6349 9.2104 11.3449 13.2767 15.0863 7.8794 10.5965 12.8381 14.8602 16.7496 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.6757 0.9893 1.3444 1.7349 2.1558 0.8721 1.2390 1.6465 2.0879 2.5582 1.2373 1.6899 2.1797 2.7004 3.2470 1.6354 2.1673 2.7326 3.3251 3.9403 12.5916 14.0671 15.5073 16.9190 18.3070 14.4494 16.0128 17.5345 19.0228 20.4832 16.8119 18.4753 20.0902 21.6660 23.2093 18.5475 20.2777 21.9549 23.5893 25.1881 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.6032 3.0738 3.5650 4.0747 4.6009 3.0535 3.5706 4.1069 4.6604 5.2294 3.8157 4.4038 5.0087 5.6287 6.2621 4.5748 5.2260 5.8919 6.5706 7.2609 19.6752 21.0261 22.3620 23.6848 24.9958 21.9200 23.3367 24.7356 26.1189 27.4884 24.7250 26.2170 27.6882 29.1412 30.5780 26.7569 28.2997 29.8193 31.3194 32.8015 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.1422 5.6973 6.2648 6.8439 7.4338 5.8122 6.4077 7.0149 7.6327 8.2604 6.9077 7.9616 7.5642 8.6718 8.2307 9.3904 8.9065 10.1170 9.5908 10.8508 26.2962 27.5871 28.8693 30.1435 31.4104 28.8453 30.1910 31.5264 32.8523 34.1696 31.9999 33.4087 34.8052 36.1908 37.5663 34.2671 35.7184 37.1564 38.5821 39.9969 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 8.0336 8.8972 10.2829 11.5913 8.6427 9.5425 10.9823 12.3380 9.2604 10.1957 11.6885 13.0905 9.8862 10.8563 12.4011 13.8484 10.5196 11.5240 13.1197 14.6114 32.6706 33.9245 35.1725 36.4150 37.6525 35.4789 36.7807 38.0756 39.3641 40.6465 38.9322 40.2894 41.6383 42.9798 44.3140 41.4009 42.7957 44.1814 45.5584 46.9280 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 11.1602 11.8077 12.4613 13.1211 13.7867 12.1982 12.8785 13.5647 14.2564 14.9535 13.8439 14.5734 15.3079 16.0471 16.7908 15.3792 16.1514 16.9279 17.7084 18.4927 38.8851 40.1133 41.3372 42.5569 43.7730 41.9231 43.1945 44.4608 45.7223 46.9792 45.6416 46.9628 48.2782 49.5878 50.8922 48.2898 49.6450 50.9936 52.3355 53.6719 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 20.7066 27.9908 35.5344 43.2753 51.1719 59.1963 67.3275 22.1642 29.7067 37.4848 45.4417 53.5400 61.7540 70.0650 24.4331 32.3574 40.4817 48.7575 57.1532 65.6466 74.2219 26.5093 55.7585 59.3417 63.6908 34.7642 67.5048 71.4202 76.1538 43.1880 79.0820 83.2977 88.3794 51.7393 90.5313 95.0231 100.4251 60.3915 101.8795 106.6285 112.3288 69.1260 113.1452 118.1359 124.1162 77.9294 124.3421 129.5613 135.8069 f f 66.7660 40 79.4898 50 91.9518 60 104.2148 70 116.3209 80 128.2987 90 140.1697 100 Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (45 / 62) Ek 3 t-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α α:Güven aralığı) s 0.005 0.010 0.025 1 2 3 4 5 0.0079 0.0071 0.0068 0.0067 0.0066 0.0157 0.0141 0.0136 0.0133 0.0132 6 7 8 9 10 0.0065 0.0065 0.0065 0.0064 0.0064 11 12 13 14 15 0.050 0.990 0.995 s 0.950 0.975 0.0393 0.0354 0.0340 0.0333 0.0329 0.0787 12.7062 0.0708 4.3027 0.0681 3.1824 0.0667 2.7765 0.0659 2.5706 25.4519 6.2054 4.1765 3.4954 3.1634 0.0131 0.0130 0.0129 0.0129 0.0129 0.0327 0.0325 0.0323 0.0322 0.0321 0.0654 0.0650 0.0647 0.0645 0.0643 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.9687 2.8412 2.7515 2.6850 2.6338 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 4.3168 4.0294 3.8325 3.6896 3.5814 6 7 8 9 10 0.0064 0.0064 0.0064 0.0064 0.0064 0.0128 0.0128 0.0128 0.0128 0.0127 0.0321 0.0320 0.0319 0.0319 0.0319 0.0642 0.0640 0.0639 0.0638 0.0638 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.5931 2.5600 2.5326 2.5096 2.4899 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 3.4966 3.4284 3.3725 3.3257 3.2860 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.0064 0.0064 0.0064 0.0063 0.0063 0.0127 0.0127 0.0127 0.0127 0.0127 0.0318 0.0318 0.0318 0.0318 0.0317 0.0637 0.0636 0.0636 0.0635 0.0635 2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860 2.4729 2.4581 2.4450 2.4334 2.4231 2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453 3.2520 3.2224 3.1966 3.1737 3.1534 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0.0063 0.0063 0.0063 0.0063 0.0063 0.0127 0.0127 0.0127 0.0127 0.0127 0.0317 0.0317 0.0317 0.0317 0.0317 0.0635 0.0634 0.0634 0.0634 0.0633 2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595 2.4138 2.4055 2.3979 2.3910 2.3846 2.8314 2.8188 2.8073 2.7970 2.7874 3.1352 3.1188 3.1040 3.0905 3.0782 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.0063 0.0063 0.0063 0.0063 0.0063 0.0127 0.0126 0.0126 0.0126 0.0126 0.0316 0.0316 0.0316 0.0316 0.0316 0.0633 0.0633 0.0633 0.0633 0.0632 2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423 2.3788 2.3734 2.3685 2.3638 2.3596 2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.7500 3.0669 3.0565 3.0470 3.0380 3.0298 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 0.0063 0.0063 0.0063 0.0063 0.0063 0.0063 0.0063 0.0126 0.0126 0.0126 0.0126 0.0126 0.0126 0.0126 0.0315 0.0315 0.0315 0.0315 0.0314 0.0314 0.0314 0.0631 0.0630 0.0630 0.0629 0.0629 0.0629 0.0629 2.0211 2.0086 2.0003 1.9944 1.9901 1.9867 1.9840 2.3289 2.3109 2.2990 2.2906 2.2844 2.2795 2.2757 2.7045 2.6778 2.6603 2.6479 2.6387 2.6316 2.6259 2.9712 40 2.9370 50 2.9146 60 2.8987 70 2.8870 80 2.8779 90 2.8707 100 f 63.6559 127.3211 9.9250 14.0892 5.8408 7.4532 4.6041 5.5975 4.0321 4.7733 f 1 2 3 4 5 Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (46 / 62) Ek 4 τ-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α α:Güven aralığı) s s 0.005 0.010 0.025 0.050 0.950 0.975 0.990 0.995 2 3 4 5 0.0111 0.0087 0.0079 0.0075 0.0222 0.0173 0.0157 0.0149 0.0555 0.0433 0.0393 0.0373 0.1110 0.0866 0.0786 0.0746 1.4099 1.6454 1.7567 1.8143 1.4140 1.7147 1.9175 2.0509 1.4140 1.7147 1.9175 2.0509 1.4142 1.7234 1.9481 2.1057 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0072 0.0071 0.0069 0.0069 0.0068 0.0144 0.0141 0.0139 0.0137 0.0136 0.0361 0.0353 0.0347 0.0343 0.0340 0.0722 0.0706 0.0695 0.0686 0.0679 1.8481 1.8698 1.8848 1.8957 1.9039 2.1421 2.2075 2.2562 2.2938 2.3236 2.1421 2.2075 2.2562 2.2938 2.3236 2.2182 2.3011 2.3643 2.4138 2.4536 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0.0067 0.0067 0.0067 0.0066 0.0066 0.0135 0.0134 0.0133 0.0133 0.0132 0.0337 0.0335 0.0333 0.0332 0.0330 0.0674 0.0670 0.0666 0.0663 0.0661 1.9103 1.9155 1.9196 1.9231 1.9261 2.3478 2.3678 2.3846 2.3989 2.4113 2.3478 2.3678 2.3846 2.3989 2.4113 2.4862 2.5133 2.5363 2.5560 2.5730 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.0066 0.0066 0.0065 0.0065 0.0065 0.0132 0.0131 0.0131 0.0131 0.0130 0.0329 0.0328 0.0327 0.0326 0.0326 0.0658 0.0656 0.0655 0.0653 0.0652 1.9286 1.9308 1.9327 1.9343 1.9358 2.4220 2.4315 2.4398 2.4472 2.4539 2.4220 2.4315 2.4398 2.4472 2.4539 2.5879 2.6010 2.6126 2.6230 2.6323 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0.0065 0.0065 0.0065 0.0065 0.0065 0.0130 0.0130 0.0130 0.0129 0.0129 0.0325 0.0325 0.0324 0.0324 0.0323 0.0651 0.0649 0.0648 0.0648 0.0647 1.9371 1.9383 1.9394 1.9403 1.9412 2.4599 2.4654 2.4703 2.4749 2.4790 2.4599 2.4654 2.4703 2.4749 2.4790 2.6408 2.6485 2.6555 2.6619 2.6678 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.0065 0.0064 0.0064 0.0064 0.0064 0.0129 0.0129 0.0129 0.0129 0.0129 0.0323 0.0322 0.0322 0.0322 0.0321 0.0646 0.0645 0.0644 0.0644 0.0643 1.9420 1.9428 1.9434 1.9441 1.9447 2.4829 2.4864 2.4897 2.4928 2.4956 2.4829 2.4864 2.4897 2.4928 2.4956 2.6732 2.6782 2.6829 2.6872 2.6912 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 0.0064 0.0064 0.0063 0.0063 0.0063 0.0063 0.0063 0.0128 0.0127 0.0127 0.0127 0.0127 0.0126 0.0126 0.0319 0.0318 0.0317 0.0317 0.0316 0.0316 0.0316 0.0639 0.0637 0.0635 0.0634 0.0633 0.0632 0.0632 1.9488 1.9512 1.9527 1.9538 1.9546 1.9552 1.9557 2.5161 2.5282 2.5363 2.5420 2.5462 2.5496 2.5522 2.5161 2.5282 2.5363 2.5420 2.5462 2.5496 2.5522 2.7205 2.7379 2.7495 2.7578 2.7640 2.7688 2.7726 40 50 60 70 80 90 100 f f Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (47 / 62) Ek 5 F-Dağılımı Tablo Değerleri (α α=%5) P(T≤F{f1f20.95})=%95 f2 f1 1 5 10 15 20 25 30 40 70 100 1 161.4462 6.6079 4.9646 4.5431 4.3513 4.2417 4.1709 4.0847 3.9778 3.9362 5 230.1604 5.0503 3.3258 2.9013 2.7109 2.6030 2.5336 2.4495 2.3456 2.3053 10 241.8819 4.7351 2.9782 2.5437 2.3479 2.2365 2.1646 2.0773 1.9689 1.9267 15 245.9492 4.6188 2.8450 2.4034 2.2033 2.0889 2.0148 1.9245 1.8117 1.7675 20 248.0156 4.5581 2.7740 2.3275 2.1242 2.0075 1.9317 1.8389 1.7223 1.6764 25 249.2598 4.5209 2.7298 2.2797 2.0739 1.9554 1.8782 1.7835 1.6638 1.6163 30 250.0965 4.4957 2.6996 2.2468 2.0391 1.9192 1.8409 1.7444 1.6220 1.5733 40 251.1442 4.4638 2.6609 2.2043 1.9938 1.8718 1.7918 1.6928 1.5661 1.5151 70 252.4976 4.4220 2.6095 2.1472 1.9323 1.8069 1.7240 1.6205 1.4857 1.4303 100 253.0433 4.4051 2.5884 2.1234 1.9066 1.7794 1.6950 1.5892 1.4498 1.3917 P(T≤F{f1f20.05})=%5 f2 1 5 10 15 20 25 30 40 70 100 1 0.0062 0.0043 0.0041 0.0041 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 5 0.1513 0.1980 0.2112 0.2165 0.2194 0.2212 0.2224 0.2240 0.2261 0.2270 10 0.2014 0.3007 0.3358 0.3515 0.3605 0.3663 0.3704 0.3758 0.3832 0.3863 15 0.2201 0.3447 0.3931 0.4161 0.4296 0.4386 0.4451 0.4537 0.4657 0.4709 20 0.2298 0.3689 0.4259 0.4539 0.4708 0.4822 0.4904 0.5015 0.5175 0.5245 25 0.2358 0.3842 0.4471 0.4787 0.4981 0.5114 0.5211 0.5342 0.5534 0.5620 30 0.2398 0.3947 0.4620 0.4963 0.5177 0.5324 0.5432 0.5581 0.5801 0.5900 40 0.2448 0.4083 0.4814 0.5196 0.5438 0.5607 0.5733 0.5907 0.6171 0.6292 70 0.2514 0.4263 0.5079 0.5520 0.5806 0.6010 0.6165 0.6385 0.6731 0.6897 100 0.2541 0.4338 0.5190 0.5658 0.5965 0.6187 0.6356 0.6600 0.6992 0.7185 f1 Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (48 / 62) Ek 6 F-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α α=%975) P(T≤F{f1f20.975})=%97.5 f2 f1 1 5 10 15 20 25 30 40 70 100 1 647.7931 10.0069 6.9367 6.1995 5.8715 5.6864 5.5675 5.4239 5.2470 5.1786 5 921.8347 7.1464 4.2361 3.5764 3.2891 3.1287 3.0265 2.9037 2.7537 2.6961 10 968.6337 6.6192 3.7168 3.0602 2.7737 2.6135 2.5112 2.3882 2.2374 2.1793 15 984.8736 6.4277 3.5217 2.8621 2.5731 2.4110 2.3072 2.1819 2.0277 1.9679 20 993.0809 6.3285 3.4185 2.7559 2.4645 2.3005 2.1952 2.0677 1.9100 1.8486 25 998.0868 6.2678 3.3546 2.6894 2.3959 2.2303 2.1237 1.9943 1.8334 1.7705 30 1001.4046 6.2269 3.3110 2.6437 2.3486 2.1816 2.0739 1.9429 1.7792 1.7148 40 1005.5955 6.1751 3.2554 2.5850 2.2873 2.1183 2.0089 1.8752 1.7069 1.6401 70 1011.0089 6.1074 3.1819 2.5064 2.2045 2.0319 1.9195 1.7810 1.6038 1.5320 100 1013.1625 6.0800 3.1517 2.4739 2.1699 1.9955 1.8816 1.7405 1.5581 1.4833 P(T≤F{f1f20.025})=%2.5 f2 1 5 10 15 20 25 30 40 70 100 1 0.0015 0.0011 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 5 0.0999 0.1399 0.1511 0.1556 0.1580 0.1595 0.1606 0.1619 0.1637 0.1645 10 0.1442 0.2361 0.2690 0.2840 0.2925 0.2981 0.3020 0.3072 0.3143 0.3173 15 0.1613 0.2796 0.3268 0.3494 0.3629 0.3718 0.3783 0.3868 0.3990 0.4042 20 0.1703 0.3040 0.3605 0.3886 0.4058 0.4174 0.4258 0.4372 0.4536 0.4608 25 0.1759 0.3196 0.3826 0.4148 0.4347 0.4484 0.4584 0.4721 0.4921 0.5011 30 0.1796 0.3304 0.3982 0.4334 0.4555 0.4709 0.4822 0.4978 0.5210 0.5315 40 0.1844 0.3444 0.4187 0.4583 0.4836 0.5014 0.5147 0.5333 0.5615 0.5745 70 0.1906 0.3631 0.4470 0.4932 0.5236 0.5454 0.5620 0.5859 0.6235 0.6418 100 0.1931 0.3709 0.4589 0.5081 0.5410 0.5648 0.5831 0.6097 0.6527 0.6742 f1 Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (49 / 62) Ek 7 F-Dağılımı Tablo Değerleri (α α=%1) P(T≤F{f1f20.99})=%99 f2 f1 1 5 10 15 20 25 30 40 70 100 1 4052.1845 16.2581 10.0442 8.6832 8.0960 7.7698 7.5624 7.3142 7.0114 6.8953 5 5763.9554 10.9671 5.6364 4.5556 4.1027 3.8550 3.6990 3.5138 3.2907 3.2059 10 6055.9250 10.0511 4.8491 3.8049 3.3682 3.1294 2.9791 2.8005 2.5852 2.5033 15 6156.9735 9.7223 4.5582 3.5222 3.0880 2.8502 2.7002 2.5216 2.3055 2.2230 20 6208.6619 9.5527 4.4054 3.3719 2.9377 2.6993 2.5487 2.3689 2.1504 2.0666 25 6239.8612 9.4492 4.3111 3.2782 2.8434 2.6041 2.4526 2.2714 2.0503 1.9651 30 6260.3503 9.3794 4.2469 3.2141 2.7785 2.5383 2.3860 2.2034 1.9797 1.8933 40 6286.4274 9.2912 4.1653 3.1319 2.6947 2.4530 2.2992 2.1142 1.8861 1.7972 70 6320.8863 9.1763 4.0577 3.0224 2.5822 2.3373 2.1808 1.9911 1.7537 1.6594 100 6333.9248 9.1300 4.0137 2.9772 2.5353 2.2888 2.1307 1.9383 1.6954 1.5977 P(T≤F{f1f20.01})=%1 f2 1 5 10 15 20 25 30 40 70 100 1 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 5 0.0615 0.0912 0.0995 0.1029 0.1047 0.1058 0.1066 0.1076 0.1090 0.1095 10 0.0996 0.1774 0.2062 0.2194 0.2270 0.2320 0.2355 0.2401 0.2464 0.2491 15 0.1152 0.2195 0.2628 0.2839 0.2966 0.3050 0.3111 0.3193 0.3309 0.3359 20 0.1235 0.2437 0.2969 0.3238 0.3404 0.3517 0.3599 0.3711 0.3873 0.3944 25 0.1287 0.2594 0.3195 0.3509 0.3705 0.3840 0.3940 0.4077 0.4278 0.4369 30 0.1322 0.2703 0.3357 0.3703 0.3924 0.4077 0.4191 0.4349 0.4586 0.4693 40 0.1367 0.2846 0.3571 0.3966 0.4221 0.4403 0.4538 0.4730 0.5022 0.5159 70 0.1426 0.3039 0.3868 0.4337 0.4650 0.4877 0.5051 0.5302 0.5702 0.5898 100 0.1450 0.3119 0.3995 0.4498 0.4839 0.5089 0.5282 0.5564 0.6026 0.6259 f1 Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (50 / 62) ÖZGEÇMĐŞ Doğum tarihi 14.02.1967 Doğum yeri Đstanbul Lise 1981-1984 Vakfıkebir Lisesi Lisans 1987-1991 KTÜ Mühendislik Fakültesi Jeodezi ve Fotog. Mühendisliği Bölümü Akademik ve Mesleki Deneyimler 1996-2004 ZKÜ-Müh.Fak.-Jeodezi ve Fotog.Müh.Bölümü 2004-Devam KOÜ-Müh.Fak.-Harita.Müh.Bölümü Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (51 / 62)