2club
Transkript
2club
Varyans Analizi n Analysis of Variance - ANOVA n n Varyans Analizi n ANOVA (Varyans Analizi) çeşitli popülasyonların ortalamaları arasındaki farkları tanımlamak için kullanılan İstatistiksel metottur ANOVA değişik davranışları temsil eden popülasyonların ortalamaları arasındaki farkları belirlemek için tasarlanmıştır. ANOVA bir birleşik testtir Çeşitli sayıda popülasyonun ortalamalarının eşitliği eş zamanlı olarak ya da birlikte test edilir. ANOVA çeşitli sayıda popülasyonun ortalamalarının eşit olup olmadığını popülasyon varyansının iki tahmincisine bakarak test eder. (bu nedenle, varyans analizi de denir). http://faculty.vassar.edu/lowry/VassarStats.html Varyans Analizi Daha önceki bölümde iki grup ortalamalarının karşılaştırılmalarında t testinden yararlanılmıştı. Fakat ikiden fazla grubun ortalamalarının karşılaştırılmasında F dağılımına dayanılarak hazırlanan varyans analizlerinden yararlanılır. (One-Way Anova) Tek Yönlü Varyans Analizi n Üç veya daha fazla grubun ortalamaları arasındaki farkın değerlendirilmesi Examples: Vardiyalardaki kaza oranı 1st, 2nd, ve 3rd 5 farklı lastik markasının ömrü n Varsayımlar n Popülasyon normal dağılıma sahip : veya MLT uygulanır n Popülasyonlar eşit varyansa sahip n Örnekleme rastsal ve bağımsız One-Way ANOVA Hipotezi n H0 : μ1 = μ2 = μ3 = L = μc n Tüm popülasyonun ortalamaları eşit n ör., no treatment effect (gruplar arası ortalamalar değişkenlik yok) One-Factor ANOVA H0 : μ1 = μ2 = μ3 = L = μc H 1 : Tüm μ i aynı değil Tüm ortalamalar eşit: H0 hipotezi doğru (No Treatment Effect) n H 1En: Tüm ortalamaları azındanpopülasyonun bir popülasyonun ortalaması farklı aynı değil n n ör., there is a treatment effect n Tüm popülasyonun ortalamaları birbirinden farklı olduğu anlamını çıkarmamak lazım (bazı çiftler aynı olabilir) μ1 = μ2 = μ3 Neden ANOVA? Gruplar arası ortalama farklılığını analiz etmek için ikişerli gruplar halinde t testi kullanılabilir. n Problem: her bir test Tip I hataya sahiptir k n Toplam Tip I hata 1 − (1 − α) , k: eşleştirilmiş grup sayısı. Örneğin, 5 adet ortalama ve α=0.05, durumunda 10 adet ikişerli karşılaştırma yapmak gerekir. Bu nedenle, toplam Tip I hata 1-(.95)10=0.59 olacaktır. Bunun anlamı, testin % 59’da H0 (ortalamalar eşit) hipotezi reddedilecektir.! n One-Factor ANOVA H0 : μ1 = μ2 = μ3 = L = μc H1: Tüm μi aynı değil En azından bir ortalama farklı: H0 hipotezi yanlış (Treatment Effect is present) veya μ1 = μ2 ≠ μ3 μ1 ≠ μ2 ≠ μ3 (devam) Değişkenliğin parçaları n Toplam değişkenlik iki kısma bölüne bilir: SST = SSA + SSW Kareler Genel Toplamı SST = SSA + SSW c nj SST = ∑∑ ( Xij − X)2 j =1 i =1 SST = Kareler genel toplamı (Toplam değişkenlik) SSA = Gruplar arası kareler toplamı (Gruplar arası değişkenlik) SSW = Grup içi kareler toplamı (Grup içi değişkenlik) Değişkenliğin parçaları SST = Kareler genel toplamı c = grup sayısı (levels or treatments) nj = grup j deki gözlem sayısı Xij = grup j deki ith gözlem X = genel ortalama (tüm verilerin ortalaması) Toplam değişkenlik (devam) Toplam varyans (SST) SST = ( X11 − X)2 + ( X12 − X)2 + ... + ( Xcnc − X)2 = § § § § Gruplar arası varyans (SSA) Yaygın kullanılan isimleme: Sum of Squares Between Sum of Squares Among Sum of Squares Explained Among Groups Variation Grup içi varyans (SSW) + § § § § Response, X Yaygın kullanılan isimleme : Sum of Squares Within Sum of Squares Error Sum of Squares Unexplained Within Groups Variation X Group 1 Group 2 Group 3 Gruplar arası değişkenlik Gruplar arası değişkenlik (devam) SST = SSA + SSW SSA = n1 ( x1 − x )2 + n 2 ( x 2 − x ) 2 + ... + nc ( x c − x )2 c SSA = ∑ n j ( X j − X)2 j =1 Response, X SSA = gruplar arası kareler toplamı X3 c = grup yada popülasyon sayısı nj = grup j’nin örnek sayısı X2 X1 Xj = grup j’nin ortalaması X = Genel ortalama (tüm verilerin ortalaması) Gruplar arası değişkenlik Group 1 Group 2 Group 3 Grup içi değişkenlik (devam) SST = SSA + SSW c SSA = ∑ n j ( X j − X) 2 c j =1 Gruplar arası farklılığa bağlı değişkenlik MSA = SSA c −1 Gruplar arası ortalama kareler = SSA/ serbestlik derecesi µi µj SSW = ∑ j =1 nj ∑ i =1 ( Xij − X j )2 SSW = grup içi kareler toplamı c = grup sayısı nj = grup j’nin örnek sayısı Xj = grup j’nin ortalaması Xij = grup j deki ith gözlem X Grup içi değişkenlik Ortalama karelerin hesabı (devam) c SSW = ∑ j=1 nj ∑ i =1 ( Xij − X j )2 MSW = Her grup içerisindeki değişkenlik belirlenip tümünü toplanır SSW n−c MSA = SSA c −1 MSW = SSW n−c MST = SST n −1 Grup içi ortalama kareler = SSW/serbestlik derecesi µi One-Way ANOVA Tablosu Grup içi değişkenlik (devam) SSW = ( x11 − X1 ) + ( X12 − X 2 ) + ... + ( Xcnc − Xc ) 2 2 2 Değişkenliğin kaynakları SS df Among Groups Gruplar arası SSA c-1 MSA = Within Groups Grup içi SSW n-c MSW = Total Toplam SST = SSA+SSW n-1 Response, X X3 X1 Group 1 Group 2 X2 Group 3 MS (Varyans) SSA c-1 SSW n-c c = grup sayısı n = toplam örnek sayısı (tüm gruplar) df = serbestlik derecesi F oranı F= MSA MSW Örnek: ANOVA One-Factor ANOVA - F Testi H0: μ1= μ2 = … = μc n H1: tüm ortalamalar aynı değil n Test istatistiği F= MSA MSW A study compared the felt intensity of unrequited love among three groups: individuals who were currently experiencing unrequited love, individuals who had previously experienced unrequited love and described their experiences retrospectively, and individuals who had never experienced unrequited love but described how they thought they would feel if they were to experience it. Determine the significance of the difference among groups, using the .05 level of significance. Hiç 7 6 5 6 MSA : gruplar arası kareler ortalaması MSW : grup içi kareler ortalaması n Serbestlik derecesi n n df1 = c – 1 df2 = n – c F= n n 8 10 12 10 MSA MSW Örnek: ANOVA n Kural: eğer F > Fk , H0 Ret diğer durumlarda H0 kabul Araştırma hipotezi. n Oran her zaman pozitif df1 = c -1 genelde küçük df2 = n - c genelde büyük n n Şuan (c = grup sayısı) (n = tüm grupların örnek sayılarının toplamı) One-Factor ANOVA F istatistiğinin yorumu n Geçmişte 12 8 9 11 α = .05 0 Kişilerin karşılıksız aşk konusundaki hisleri; şu anda karşılıksız aşk yaşıyor olmaları, geçmişte karşılıksız aşk yaşamış olmaları ve hiç karşılıksız aşk yaşamamış olmaları durumunda farlılık gösterir mi? İstatistiksel hipotez. H 0 : µ1 = µ2 = µ3 H A : H0 yanlış. H0 Kabul H0 Ret Fk Serbestlik derecesi n Gruplar arası: df1 = grup sayısı - 1 n Grup içi: df 2 = n1 − 1 + n2 − 1 + n3 − 1... df 2 = Toplam eleman sayısı - toplam grup sayısı Örnek: ANOVA n Karar kuralı. Örnek: ANOVA n Karar kuralı. α = 0.05 α = 0.05 df1 = grup sayısı − 1 = 3 − 1 = 2 df1 = 2 df 2 = ( n1 − 1) + ( n2 − 1) + ( n3 − 1) = (4 − 1) + (4 − 1) + (4 − 1) = 9 df 2 = 9 Fk = 4.26 Tablo değeri Örnek: ANOVA n Örnek: ANOVA Test değerinin hesaplanması. X2 Hiç F= X2 Geçmişte Şuan X2 7 49 12 144 8 64 6 36 8 64 10 100 5 25 9 81 12 144 6 36 11 121 10 100 T:24 146 T:40 410 T:40 408 2 T SSw = ΣX 2 − Σ n MS A = SS A 42.67 = = 21.34 df1 2 MSW = SSW 20 = = 2.22 df 2 9 F= Genel Toplam: 104 MS A MSW MS A 21.34 = = 9.61 MSW 2.22 242 402 402 SS w = 146 + 410 + 408 − + + = 964 − [144 + 400 + 400] = 20 4 4 4 Örnek: ANOVA n Örnek: ANOVA n Bulunan sonucun önemliliğini test et. n Sonucu yorumla. Test değerinin hesaplanması. X Hiç 2 X Geçmişte 2 n Şuan X 2 n 7 49 12 144 8 64 6 36 8 64 10 100 5 25 9 81 12 144 6 36 11 121 10 100 T:40 410 T:40 408 T:24 146 SS A = Σ SS A = 2 Genel Toplam: 104 2 T G − n N 2 2 2 2 24 40 40 (104) + + − = 144 + 400 + 400 − 901.33 = 42.67 4 4 4 12 n Ret H0, 9.61>4.26 (Ftest>Fk) Karşılıksız aşk konusunda hissedilen düşüncelerde gruplar arasında önemli farklılıklar mevcuttur (yaşanan tecrübeler fark yaratır). ANOVA özet tablosu Source (Kaynaklar) df SS MS F Between Groups (G. arası) 2 42.67 21.34 9.61 Within Groups (G. içi) 9 20 2.22 Total (Toplam) 11 62.67 RGui-One Way Anova y<-c(7, 6,5,6) x<-c(12,8,9,11) 1 z<-c(8, 10,12,10) 2 ask<-data.frame(cbind(y, x, z)) ask 3 attach(ask) 4 dats <- stack(ask) names(dats) <- c("Puan", "Tecrübe") dats ask.aov <- aov(Puan~Tecrübe, dats) summary(ask.aov) y x z 7 12 8 6 8 10 5 9 12 6 11 10 Puan Tecrübe 1 7 y 2 6 y 3 5 y 4 6 y 5 12 x 6 8 x 7 9 x 8 11 x 9 8 z 10 10 z 11 12 z 12 10 z Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Tecrübe (GA) 2 42.667 21.333 9.6 0.005861 ** Residuals (Gİ) 9 20.000 2.222 --Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 One-Factor ANOVA Örnek: Scatter Diagram Club 1 254 263 241 237 251 Club 2 234 218 235 227 216 Club 3 200 222 197 206 204 260 250 240 • •• • • X1 230 220 •• • •• X2 210 x 1 = 249.2 x 2 = 226.0 x 3 = 205.8 200 x = 227.0 190 • •• •• 1 One-Factor ANOVA F Testi Örnek You want to see if three Club 1 different golf clubs yield 254 different distances. You 263 randomly select five 241 measurements from trials on 237 an automated driving 251 machine for each club. At the .05 significance level, is there a difference in mean distance? Club 2 234 218 235 227 216 Mesafe 270 X X3 2 3 Club (sopa) One-Factor ANOVA Örnek Hesaplama Club 3 200 222 197 206 204 Club 1 254 263 241 237 251 Club 2 234 218 235 227 216 SSA = 5 (249.2 – Club 3 200 222 197 206 204 227)2 + 5 (226 – X1 = 249.2 n1 = 5 X2 = 226.0 n2 = 5 X3 = 205.8 n3 = 5 X = 227.0 n = 15 c=3 227)2 + 5 (205.8 – 227)2 = 4716.4 SSW = (254 – 249.2)2 + (263 – 249.2)2 +…+ (204 – 205.8)2 = 1119.6 MSA = 4716.4 / (3-1) = 2358.2 MSW = 1119.6 / (15-3) = 93.3 F= 2358.2 = 25.275 93.3 One-Factor ANOVA Örnek Çözüm Test İstatistiği: H 0: μ 1 = μ 2 = μ 3 H1: μi eşit değil α = .05 df1= 2 df2 = 12 F= Fk = 3.89 Ret H0 MSA 2358.2 = = 25.275 MSW 93.3 En az bir μi’nın diğerlerinden farklı olduğu konusunda kanıtlar var F = 25.275 Fk = 3.89 F testinin sonucu gruplar arasında farkın önemli olduğunu ortaya koyduğunda; hangi gruplar arasında fark olduğunu belirlemek için ilave testler yapılabilir. Bu testlerle ikili gruplar arası kıyaslamalar yaparak hangi gruplar arası farkın önemli olduğu belirlenmeye çalışılır. Sonuç: α = .05 H0 kabul n Karar: Ret H0 @ α = 0.05 Kritik değer: 0 F testinden sonra ANOVA - Single Factor: Excel Çıktısı Tukey-Kramer Yöntemi EXCEL: tools | data analysis | ANOVA: single factor SUMMARY Groups n Count Sum Average Variance Club 1 5 1246 249.2 108.2 Club 2 5 1130 226 77.5 Club 3 5 1029 205.8 94.2 n ANOVA Source of Variation SS df MS Between Groups 4716.4 2 2358.2 Within Groups 1119.6 12 93.3 Total 5836.0 14 F 25.275 P-değeri 4.99E-05 Fk Hangi kitle ortalamasında anlamlı bir fark olduğunu belirtir. n Ör.: μ1 = μ2 ≠ μ3 n ANOVA’da H0 reddedildikten sonra yapılır Eşleştirilmiş kıyaslamalara izin verir n Ortalama farklarının mutlak değerinin kritik bölge ile kıyaslamasını yapar 3.89 μ1= μ2 μ3 x Tukey-Kramer Yöntemi: Örnek Club 1 254 263 241 237 251 Club 2 234 218 235 227 216 PHStat ile Tukey-Kramer testi 1. Ortalama farkların mutlak değerlerini kıyasla: Club 3 200 222 197 206 204 x1 − x 2 = 249.2 − 226.0 = 23.2 x1 − x 3 = 249.2 − 205.8 = 43.4 x 2 − x 3 = 226.0 − 205.8 = 20.2 2. Tablodan c = 3, n – c = 15 – 3 = 12 serbestlik derecesi için istenilen α (α = .05) anlamlılık düzeyinde QU bul. Q = 3.77 U ANOVA çıktısından MSW (Gİ) bul. The Tukey-Kramer Procedure: Example (continued) 3. Kritik bölgeyi belirle: Kritik bölge = QU MSW 1 1 93.3 1 1 + = 16.285 + = 3.77 2 n j n j' 2 5 5 4. Kıyasla: 5. Ortalama farkların mutlak değerlerinin hepsi kritik değerden büyük. Bu nedenle %5 anlamlılık düzeyinde her eşleşme için anlamlı bir fark mevcuttur. x1 − x 2 = 23.2 x1 − x 3 = 43.4 x 2 − x 3 = 20.2 Örnek Rasgele seçilen müşteri gruplarına ayrı çeşitlerde kahve ikram edilmiş ve içtikleri kahveye 0 ile 100 arasında bir not vermeleri istenmiştir: 21 kişiye sade Brezilya Kahvesi, 20 kişiye sade Kolombiya Kahvesi ve 22 kişiye sade Afrika Kahvesi ikram edilmiştir. Sonuç test istatistiği F = 2.02 bulunmuştur. Two-Way ANOVA Değişkenliğin kaynakları İki Yönlü Varyans Analizi n n n n n Bir iki yönlü ANOVA’da, iki faktörün etkileri eşanlı olarak incelenebilir. İki yönlü ANOVA aynı zamanda, her faktörün tek başına ve iki faktörün bir arada etkilerinin incelenmesine imkan vermektedir. Popülasyon ortalaması üzerindeki her faktörün tek başına olduğu düzeylere bağlanabilecek etkiye temel etki denir. İki faktör arasındaki etkileşim etkisi herhangi iki faktör çiftinin toplam etkisi iki temel etkinin toplamından önemli ölçüde farklılaştığında ortaya çıkar. Etkileşimde bulunmayan faktörler toplanabilir olarak adlandırılır. İki yönlü ANOVA ile cevaplanabilecek üç soru: n A faktörünün herhangi bir temel etkisi var mı? n B faktörünün herhangi bir temel etkisi var mı? n A ve B faktörleri arasında herhangi bir etkileşim var mı? Örneğin, tatilcilerin oyları üzerindeki etkileri beş farklı resort(Faktör A)a ve dört değişik resort niteliği(Faktör B) bakarak araştırabiliriz. Beş A faktörü temel düzeyi ve 4 B faktörü temel düzeyine ek olarak (5*4=20) etkileşim düzeyi bulunmaktadır. İlgilenilen iki faktör: A ve B r = A faktöründeki seviye sayısı c = B faktöründeki seviye sayısı n’ = etkileşim sayısı (number of replications for each cell) n = tüm örnek sayılarının toplamı Xijk = A faktörünün i seviyesindeki ve B faktörünün j seviyesindeki kth gözleminin değeri Two-Way ANOVA Sources of Variation Two-Way ANOVA (devam) n Varsayımlar n Popülasyon normal dağılıma sahip : veya MLT uygulanır n Popülasyonlar eşit varyansa sahip n Örnekleme rastsal ve bağımsız SST = SSA + SSB + SSAB + SSE SSA A Faktörünün değişkenliği SST Total Variation SSB B Faktörünün değişkenliği SSAB n-1 (devam) Serbestlik derecesi: r–1 c–1 A ve B’nin etkileşimi sonucu oluşan değişkenlik (r – 1)(c – 1) SSE rc(n’ – 1) Rastsal değişkenlik (Hata) Two Factor ANOVA Eşitlikler Two Factor ANOVA Eşitlikler r Toplam değişkenlik: r i =1 j =1 k =1 SST = ∑∑∑ ( Xijk − X)2 i=1 j=1 k =1 A faktörünün değişkenliği: r SSA = cn′∑ ( Xi.. − X )2 i =1 B faktörünün değişkenliği : SSB = rn′∑ ( X. j. − X ) X= = Genel ortalama rcn′ X ijk ∑∑ j =1 k =1 = = A faktörünün i th seviyesindeki ortalaması ′ cn (i = 1, 2, ..., r) n′ r X . j. = ∑∑ X i =1 k =1 rn′ n′ c 2 X ij . = ∑ k =1 j =1 ijk n′ c X i .. (devam) n′ ∑∑∑ X n′ c c ijk = B faktörünün jthseviyesindeki ortalaması (j = 1, 2, ..., c) X ijk = ij hücresinin ortalaması n′ r = A faktöründeki seviye sayısı c = B faktöründeki seviye sayısı n’ = etkileşim sayısı Two Factor ANOVA Eşitlikler Ortalama karelerin hesabı (devam) SSA r −1 SSB MSB = B faktörü için ortalama kareler = c −1 SSAB MSAB = Etkileşim için ortalama kareler = ( r − 1)( c − 1) MSA = A faktörü için ortalama kareler = Etkileşim değişkenliği: r c SSAB = n′∑∑ ( Xij. − Xi.. − X. j. + X)2 i =1 j =1 Hata kareler toplamı: r c n′ SSE = ∑∑∑ ( Xijk − Xij. )2 i=1 j=1 k =1 MSE = Hata kareleri ortalaması = SSE rc( n '− 1) Two-Way ANOVA: F Testi İstatistiği Two-Way ANOVA Özet Tablo (With Replication) A faktörü etkisi için F Testi H0: μ1.. = μ2.. = μ3.. = • • • F= H1: tüm μi.. Eşit değil MSA MSE Ret H0 eğer F > Fk Source of Variation Sum of Squares Degrees of Freedom Factor A SSA r–1 MSB F= MSE H1: tüm μi. Eşit değil Ret H0 eğer F > Fk Factor B SSB c–1 SSAB (r – 1)(c – 1) Error SSE rc(n’ – 1) Total SST n–1 AB (Interaction) Etkileşim etkisi için F Testi H0: A ve B etkileşim sıfıra eşit H1: A ve B etkileşim sıfırdan farklı MSAB F= MSE Ret H0 eğer F > Fk Two-Way ANOVA Özet Tablo (Without Replication) Degrees of Freedom Sum of Square s Mean Squares F Statistic Rows Factor A r–1 SSA MSA MSA/ MSE f (FA) Columns Factor B c–1 SSB MSB MSB/ MSE f (FB) Total (r-1)(c-1) SSE r•c–1 SST MSE MSA MSA MSE MSB = SSB /(c – 1) MSAB = SSAB / (r – 1)(c – 1) MSE = SSE/rc(n’ – 1) Two-Way ANOVA F Testinin özellikleri Source of Variation Error F Statistic = SSA /(r – 1) B faktörü etkisi için F Testi H0: μ.1. = μ.2. = μ.3. = • • • Mean Squares n p-value Serbestlik derecesi n n-1 = rc(n’-1) + (r-1) + (c-1) + (r-1)(c-1) n Toplam = hata + A faktörü + B faktörü + etkileşim n F Testinde payda her zaman aynı pay farklıdır. n Kareler toplamı (her zaman) n SST = SSE + SSA + SSB + SSAB n Toplam = hata + A faktörü + B faktörü + etkileşim MSB MSE MSAB MSE Örnek: Etkileşim vs. Etkileşimsizlik n n Etkileşim yok : Etkileşim mevcut: Factor A Levels Ortalama tepki Ortalama tepki Factor B Level 2 Source of Degrees of Sum of Variation Freedom Rows Factor B Level 1 Factor B Level 3 Anova Özet Tablo Factor B Level 1 Factor B Level 2 Factor B Level 3 Üretim müdürü tesiste kullanılmakta olan üç makine ile doldurulmakta olan 5 farklı kutunun 0.05 anlamlılık düzeyinde makineler arası ve kutular arası ortalama doldurma zamanları arası fark var mıdır? F P-Value Squares Square 5-1=4 2.6507 .6627 .6309 .6543 3-1=2 47.164 23.582 22.4525 .0005 1.0503 (Boxes) Columns (Machines) Error (5-1)(3-1) = 8 8.4025 Total (3·5)-1 = 14 58.2172 Factor A Levels Two-Factor ANOVA With Replication Two-Factor ANOVA Without Replication n Mean Box Machine1 Machine2 Machine3 1 25.40 23.40 20.00 2 26.31 21.80 22.20 3 24.10 23.50 19.75 4 23.74 22.75 20.60 5 25.10 21.60 20.40 As production manager, you want to see if 3 filling machines have different mean filling times when used with 5 types of boxes. At the .05 level, is there a difference in machines, in boxes? Is there an interaction? n Box Machine1 Machine2 Machine3 1 25.40 23.40 20.00 26.40 24.40 21.00 2 26.31 21.80 22.20 25.90 23.00 22.00 3 24.10 23.50 19.75 24.40 22.40 19.00 4 23.74 22.75 20.60 25.40 23.40 20.00 5 25.10 21.60 20.40 26.20 22.90 21.90 Tukey-Kramer Yöntemi: With Replication Factor B Summary Table Source of Variation Sample Degrees of Sum of Mean Freedom Squares Square 5-1=4 (Boxes) Columns (Machines) 7.4714 F 1.8678 P-Value kritik bölge = Qc , rc ( n' −1) .0277 1. Formülle hesaplanır 3.6868 2. ANOVA çıktısından MSW (Gİ) 3-1=2 Interaction (5-1)(3-1) = 8 106.298 53.149 104.908 1.52E-09 9.7032 1.2129 7.5994 .5066 Within (Error) 5·3·(2-1)=15 Total 3·5·2 -1 = 29 131.0720 2.3941 .0690 3. α = .05 veya .01 anlamlılık düzeyi için tablodan Q c : B deki seviye sayısı r : A daki seviye sayısı n’ : etkileşim sayısı rc(n’-1) (down the table) Tukey-Kramer Yöntemi: With Replication Factor A kritik bölge = Qr ,rc ( n' −1) MSW cn ' 1. Formülle hesaplanır 2. ANOVA çıktısından MSW (Gİ) 3. MSW rn ' α = .05 veya .01 anlamlılık düzeyi için tablodan Q r : A daki seviye sayısı c : B deki seviye sayısı n’ : etkileşim sayısı rc(n’-1) (down the table) COPE Oranı ve Etkileşim n n n “COPE oranı” meclisteki oy oranı. Yüksek COPE oranı “bir şeye karşı” oy oranı Her gözlem meclisin bir üyesi. COPE Oranı ve Etkileşim n n n COPE Oranı ve Etkileşim COPE oranının siyasi parti ve bölgeye bağlı değişkenliğinin belirlenmesi Parti ve Bölge arası etkileşimin testi. İki değişkenin olduğunu varsayalım: PARTİ & BÖLGE Two Way ANOVA: Hipotezler H0: her partinin Ortalama “Cope oranı” eşit H1: tüm µi . Eşit değil H0: her bölgenin ortalama “cope oranı” eşit H1: Tüm µi eşit değil H0: partinin etkisi bölgeye bağlı değil (veya tersi) H1: partinin etkisi bölgeye bağlı (veya tersi) COPE Oranı ve Etkileşim Anova: Two-Factor With Replication Excel Çıktısı Bölge Etkisi Parti Etkisi Hata Anova: Two-Factor With Replication SUMMARY North Count Sum Average Variance Democrat Republican Total 20.0 2000.0 100.0 1783.9 20.0 1600.0 80.0 2628.6 40.0 3600.0 90.0 2252.3 South Count Sum Average Variance 20.0 400.0 20.0 782.2 20.0 600.0 30.0 994.9 40.0 1000.0 25.0 891.4 West Count Sum Average Variance 20.0 1800.0 90.0 1510.9 20.0 800.0 40.0 1292.9 40.0 2600.0 65.0 2007.0 Genel toplam Etkileşim Etkisi Graph of Interaction Effects ANOVA in Microbiology P<α (0.05) olduğu için H0 reddedilir. Gıda hazırlama esnasında kullanılan temizlik bezinin türü ve bezin durulanıp durulanmaması gıdaya geçen bakteri miktarını etkilemektedir.