Lineer Optiğin Süper Pozisyonu (Üst
Transkript
Lineer Optiğin Süper Pozisyonu (Üst
Lineer Optiğin Süper Pozisyonu (Üst-Üste Binme) İlkesi Uzayı belirli bir noktasında iki ışık kaynağı tarafından oluşturulan alan vektörü 𝐸, bu kaynaklardan her birinin ayrı ayrı o noktasındaki alan vektörlerinin toplamına eşittir. 1.Kaynak 𝐸1 𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 2.Kaynak 𝐸2 Süper pozisyon ilkesi, ışık dalgalarının bir cins lineer denklemlerle (Maxwell denklemleri) ve lineer maddesel denklemlerle ( 𝐷 = 𝜀𝐸, 𝐵 = 𝜇𝐻 ) tasvir olunmasının sonucudur. Süper pozisyon lineer optiğin temelidir. Genlikleri ve frekansları aynı fakat farklı dalga vektörlü ve farklı fazlı iki dalga ele alalım. Bu dalgalar: 𝐸1 = 𝐸0 𝑒 𝑖(𝑘1∙𝑟−𝜔𝑡+Ф1) 𝐸2 = 𝐸0 𝑒 𝑖(𝑘2∙𝑟−𝜔𝑡+Ф2) 𝑘1 ve 𝑘2 vektörleri şekildeki gibi paralel ve normal birleşenlere ayrılabilir. 𝑘1 𝑘1𝑛 𝑘1 = 𝑘1𝑝 + 𝑘1𝑛 𝑘2 = 𝑘2𝑝 + 𝑘2𝑛 𝑘2𝑛 𝑘2 𝑘1𝑝 = 𝑘2𝑝 = 𝑘 𝑘1𝑛 = −𝑘2𝑛 = 𝑘 ′ 𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 = 𝐸0 𝑒 𝑖(𝑘1𝑝 ∙𝑟+𝑘1𝑛 ∙𝑟−𝜔𝑡+Ф1 ) + 𝐸0 𝑒 𝑖(𝑘2𝑝∙𝑟+𝑘2𝑛∙𝑟−𝜔𝑡+Ф2 ) Ф1 = Ф+ ∆Ф Ф2 = Ф - ∆Ф olsun. 𝐸 = 𝐸0 𝑒 𝑖(𝑘∙𝑟 +𝑘 ′ ∙𝑟−𝜔𝑡+Ф+∆Ф) = 𝐸0 𝑒 𝑖(𝑘∙𝑟−𝜔𝑡+Ф) [𝑒 + 𝐸0 𝑒 𝑖(𝑘 ′ ∙𝑟+∆Ф) 𝑖(𝑘∙𝑟 +𝑘 ′ ∙𝑟−𝜔𝑡+Ф−∆Ф) +𝑒 𝑖(𝑘 ′ ∙𝑟−∆Ф) ] 2cos(𝑘 ′ ∙𝑟 +∆Ф) 𝐸 = 2𝐸0 cos(𝑘 ′ ∙ 𝑟 + ∆Ф)𝑒 𝑖(𝑘∙𝑟−𝜔𝑡+Ф) Genliğin konuma bağımlılığı. 𝑘′ 𝜋 (2𝑛 2 ∙ 𝑟 + ∆Ф = + 1) 𝑛 = 0, 1, 2, … . Bileşke genlik minumum (Karanlık saçak) 𝑘 ′ ∙ 𝑟 + ∆Ф = 𝑛𝜋 𝑛 = 0, 1, 2, … . Bileşke genlik maksimum ( Aydınlık saçak) Girişim bölgesi nasıl görünür ? Bir ekran girişim bölgesine konursa, ekranda aydınlık ve karanlık çizgiler oluşur. Ekrandaki görüntü. Girişim bölgesi olarak adlandırılan süper pozisyonun yer aldığı, bu bölge sinosidal şeklindedir. Genlik zamandan bağımsızdır. Girişim bölgesinde genlik fonksiyonu. Işığın enerjisi: 𝑢𝐸 = 𝜀 2 𝐸 2 = 𝜀 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘 ′ 2 ∙ 𝑟 + ∆Ф) Işık dalgalarında kararlı bir girişim gözleyebilmek için şu koşullar sağlanmalıdır: 1. Kaynak uyumlu yani koherent (eş fazlı) olmalıdır. Yani, Ф2 − Ф1 = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 olmalıdır. 2. Kaynak tek dalgaboylu olmalıdır. 3. Süper pozisyon ilkesi uygulanabilmelidir. ENERJİ ve Momentum Elektromanyetik dalgaların en önemli özelliklerinden bir tanesi enerji taşımasıdır. Uzayın bir bölgesinde bir elektromanyetik alan varsa birim hacimdeki ışıma enerjisini veya enerji yoğunluğu (u) göz önüne alınabilir. Bir elektrik alan için enerji yoğunluğu (bir kondansör levha): 𝑢𝐸 = 𝜀0 2 𝐸 2 Bir manyetik alan için enerji yoğunluğu (toroid): 𝑢𝐵 = 1 𝐵2 2𝜇0 𝑢𝐸 ile 𝑢𝐵 arasındaki ilişkiye bakalım. 𝐸 = 𝑐𝐵 2 2 𝐸 =𝑐 𝐵 ve 2 → 1 𝜇0𝜀0 𝑐= 2𝑢𝐸 𝜀0 = 1 2𝜇0 𝑢𝐵 𝜇0 𝜀 0 ↔ 𝑢𝐵 = 𝑢𝐸 Bir elektromanyetik dalga biçiminde uzayda akan enerji, elektrik ve manyetik alan bileşenleri arasında bölüşür. 𝑢 = 𝑢𝐸 + 𝑢𝐵 = 𝜀0 𝐸 2 veya u= 1 2 𝐵 𝜇0 olur. Elektromanyetik enerji iletimini ifade edebilmek için birim yüzeyden birim zamanda iletilen enerjiyi simgeleyen S niceliği kullanılır. SI: S W/m2 A yüzeyinden c hızıyla geçen bir elektromanyetik dalgayı göz önüne alalım. | c ∆t | A ∆t zaman aralığında silindirin hacminde bulunan enerji A yüzeyinden geçecektir: u(c ∆tA) O zaman, 𝑢𝑐∆𝑡𝐴 𝑐 2 1 𝑆= = 𝑢𝑐 = 𝐵 = 𝐸𝐵 𝑒𝑙𝑑𝑒 𝑒𝑑𝑖𝑙𝑖𝑟. 𝐴∆𝑡 𝜇0 𝜇0 Enerjinin izotropik (eş doğrusal) ortamlarda dalganın yayılma doğrultusunda aktığı varsayımı ile S ‘ye karşılık gelen 𝑆 vektörü: 𝑆= 1 𝐸 𝜇0 × 𝐵 = 𝑐 2 𝜀0 𝐸 × 𝐵 𝑆 : Poynting vektörü Poynting vektörü boş uzayda 𝑘 doğrultusunda ilerleyen doğrusal bir düzlem dalgaya uygulandığında, 𝐸 = 𝐸0 cos(𝑘 ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡) 𝐵 = 𝐵0 cos(𝑘 ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡) 𝑆 = 𝑐 2 𝜀0 𝐸0 × 𝐵0 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘 ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡) Optiksel frekanslarda, 𝑆 zamanla son derece hızlı değişen fonksiyondur. Isık algılayıcılar (dedektörler), ışıgın frekansı çok yüksek olduğu için (f =1015 Hz) bu hıza ayak uyduramazlar. Gerçekte dedektörlerin algıladığı, ışığın zaman ortalamasıdır. Bunun için ortalama işlemli bir yöntemin kullanılması gerekir. Poynting vektörünün büyüklüğü zamana göre ortalama değeri, <S> ile gösterilen ve ışıma şiddeti (veya parlaklık) denilen önemli bir niceliktir. 1 2 < 𝑐𝑜𝑠 𝑘 ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 = 2 𝑐 2 𝜀0 < 𝑆 >= |𝐸0 × 𝐵0 |, 𝐸0 = 𝑐𝐵0 2 veya I≡<𝑆 >= 𝑐 2 𝜀0 2 𝐸0 2 Buna göre ışıma şiddeti, elektrik alanın genliğinin karesi ile orantılıdır. Işıma şiddeti iki şekilde belirtilir: I= ve 𝑐 𝜇0 < 𝐵2 > I = 𝜀0 𝑐 < 𝐸 2 > Doğrusal, homojen ve eş doğrultusal bir dielektrikteki ışıma şiddeti: I = 𝜀𝑣 < 𝐸 2 > Yükler üzerine kuvvet uygulamada ve iş yapmada 𝐸, 𝐵 den daha etkin olduğundan optik alan olarak 𝐸 alınır ve hemen her zaman I = 𝜀0 𝑐 < 𝐸 2 > bağıntısı kullanılır. Işıma enerji akısının zamanla değişim hızı güç veya ışıma akısıdır. Eğer ışıma akısı, girdiği veya çıktığı yüzeyin yüzölçümüne bölünürse, ışıma akı yoğunluğu bulunur. Ф= 𝐼 𝐴 , Ф: Işıma akı yoğunluğu Fotoçoğaltıcı gibi foton sayıcı olarak görev yapan, dedektörler vadır. E=hf . f frekanslı tek renkli düzgün bir demet için I/hf niceliği, demete dik birim zamanda birim yüzeyden geçen ortalama foton sayısıdır, yani foton akı yoğunluğudur. A yüzölçümlü bir sayaca böyle bir demet girdiğinde AI/hf gelen foton akısı, yani sayaca birim zamanda ulaşan ortalama foton sayısıdır. Işıma Basıncı ve Momentum Dalgaların gerçekte basınç uyguladığını teorik olarak 1873 de ortaya koyarak yeniden canlandıran Maxwell olmuştur. Maxwell ‘ dalgaların yayıldığı bir ortamda, dalgalara dik doğrultuda ve sayısal olarak birim hacimdeki enerjiye eşit olan bir basınç vardır’ diye yazmıştır. Bir elektromanyetik dalga bir maddesel yüzeye çarptığında yüklerle etkileşir. Dalga ister kısmen soğrulsun, isterse yansısın, bu yükler üzerine bir kuvvet uygular. Örneğin, iyi bir iletkende dalganın elektrik alanı akımlar oluşturur ve manyetik alanı da bu akımlar üzerinde kuvvetler meydana getirir. Ortaya çıkan 𝑑𝑝 teorinin Newton’un ikinci yasasına göre (𝐹 = ) 𝑑𝑡 dalganın kendisi momentum taşır. Boş uzayda; P = 𝑢 = 𝑢𝐸 + 𝑢𝐵 = 𝜀0 2 1 2 𝐸 + 𝐵 2 𝜇0 S = uc kullanarak basınç Poyting vektörünün büyüklüğü cinsinden; 𝑃= 𝑆 𝑐 𝐸 ve 𝐵 alanları hızlı değiştiğinden S de hızlı olarak değişir. Bu nedenle, < 𝑃 >= <𝑆> 𝑐 = 𝐼 𝑐 SI birim sisteminde < 𝑃 > → N/m2 olur. p momentumlu bir ışık demetinin soğurucu yüzeye uyguladığı kuvvet: 𝐹= ∆𝑝 ∆𝑡 𝐴 | ∆𝑝 ∆𝑡 c∆t | 𝐴𝑃= 𝑝 = 𝑝𝑣 (𝑐∆𝑡𝐴) 𝑝𝑣 : Işınımın birim hacimdeki momentumu ∆p kadar bir momentum her ∆t süresinde A ‘ya aktarılır. AP = 𝑝𝑣 (𝑐∆𝑡𝐴) ∆𝑡 Böylece, hacimsel yoğunluğu; 𝑝𝑣 = = 𝑆 𝐴 𝑐 elektromanyetik momentum 𝑆 𝑐2 Aydınlatılan yüzey tamamen yansıtıcı olduğunda +c hızıyla gelen demet –c hızıyla geri döner. Bu soğurmadaki momentum değişimini iki katına karşılık gelir. Böylece yansıtıcı bir yüzeyde; <𝑃 >= <𝑆> 2 𝑐 = 2𝐼 𝑐 olur. Örneğin, güneşten dünya atmosferinin yüzeyine dik çarpan elektromanyetik enerjinin ortalama akı yoğınluğu (I) 1,4 kW/m2 dir. Buna karşılık gelen bir tamamen soğurucu yüzeydeki ortalama basınç; 𝐼 𝑐 <𝑃 >= = 1400 3×108 = 4,7 × 10−6 Pa Yansıtıcı bir yüzeydeki ortalama basınç; <𝑃 >= 2𝐼 𝑐 = 2×1400 3×108 = 9,4 × 10−6 Pa Bunlar çok küçük basınç olmalarına rağman (̴ 10-10 atm) hassas cihazlarla ölçülebilir. 1 atm ≈ 105 Pa Dünya güneş ışınım basıncı çok küçük olmakla birlikte yeryüzünün tümüne etkiyen 10 tonluk bir kuvvete neden olur. Güneş yüzeyinin çok yakınında bile ışınım basıncı oldukça küçüktür. Işıma basıncı parlak büyük bir yıldızın akkor gövdesinde önemli olup kütlesel çekime karşı yıldızın çöküşünü önlemede önemli rol oynar. Güneş akı yoğunluğu normal süre etkilediğinde sonuçlar meydana getirir. Günümüzde lazerin kullanılmasıyla ışık, yaklaşık bir dalgaboyu yarıçaplı teorik sınıra yaklaşan büyüklükteki bir noktaya kadar odaklanabilmektedir. Ortaya çıkan ışıma şiddeti ve basınç birkaç wattlık bir lazerle bile oldukça fazladır. Bu nedenle izotopları ayırma, parçacıkları hızlandırma ve hatta optiksel olarak küçük cisimleri kaldırma gibi çok çeşitli uygulamalar için ışıma basıncından yararlanılmaktadır.