lisans öğrencilerinin normal dağılım kavramına ilişkin işlemsel ve
Transkript
lisans öğrencilerinin normal dağılım kavramına ilişkin işlemsel ve
LĠSANS ÖĞRENCĠLERĠNĠN NORMAL DAĞILIM KAVRAMINA ĠLĠġKĠN ĠġLEMSEL VE KAVRAMSAL ANLAMALARININ ĠNCELENMESĠ Bülent GÜVEN1 Buket Özüm ÇABAKÇOR2 AyĢegül SERBEST3 1 Doç. Dr. Karadeniz Teknik Üniversitesi, OFMAE, Matematik Eğitimi 2 Karadeniz Teknik Üniversitesi, OFMAE, Matematik Eğitimi 3 Karadeniz Teknik Üniversitesi, Ġlköğretim Bölümü, Matematik Eğitimi Özet İstatistiksel muhakeme ve istatistiksel bilginin toplum için önemi oldukça fazladır. Bu bağlamda günlük hayatta karşılaştığımız birçok veri görsel, yazılı, grafik, tablo şeklinde istatistik ile ilişkilendirilmiştir. Bu verilerin bir çoğunun normal dağılım göstermesi, verilerin normal dağılım eğrisinin istatistiksel okuryazarlıktaki önemli bir yerinin olduğuna işaret etmektedir. Ancak normal dağılımın uygulama alanları artmış olmasına rağmen, öğrencilerin normal dağılımı anlamalarına yönelik çalışmalara çok az rastlanması ve normal dağılımın tam olarak anlaşılamaması nedeniyle birçok problem yaşamaları araştırmanın gerekliliğini ortaya koymaktadır. Bu bağlamda araştırmanın amacı öğretmen adaylarının normal dağılımı anlamalarını karakterize etmektir. Çalışma Karadeniz Teknik Üniversitesi‟nde öğrenim gören 36 Fen Bilgisi Öğretmeni adayı ile yürütülmüştür. Öğretmen adaylarına normal dağılım ile ilgili 4 işlemsel ve 7 kavramsal sorudan oluşan açık uçlu testler uygulanmıştır. Çalışmanın sonucunda öğretmen adaylarının kavramsal sorulardaki performanslarının işlemsel sorulardaki performanslarından daha yüksek olduğu görülmüştür. Ayrıca öğretmen adayları normal dağılım eğrisinin parametreleri olan ortalama ve varyansın, normal dağılım eğrisinin grafiği üzerindeki etkisini birbiri ile karıştırmaktadırlar. Anahtar Kelimeler: Normal dağılım, anlama seviyeleri 1. GĠRĠġ Toplumsal hayatta baş döndürücü bir hızla gerçekleşen gelişme ve değişmeler, bireylerden beklenen nitelikleri de değiştirmiştir. Bu niteliklerdeki değişim ülkelerin öğretim programları üzerinde de önemli etkiler yapmaktadır. Matematik öğretim programındaki değişmelerin en önemlilerinden biri de istatistik konularına giderek artan bir şekilde önem verilmeye başlanmasıdır. Öğretim programlarında yer alan istatistik konuları ile öğrencilere; verilerden hareketle muhakeme yapabilme öğrencilerin istatistiksel okuryazarlığı artırabilme, teknolojiyi etkin kullanabilme ve istatistik öğretimi konusunda araştırma yapabilme becerilerinin kazandırılması amaçlanmaktadır. İstatistik eğitiminde yoğun olarak bilimsel bilgi elde etme sürecinde istatistikten yararlanmak, öğrencilerin muhakeme yapma, verileri toplama-organize etme ve yorumlama becerilerine vurgu yapılmaktadır. Cobb & Moore (1997) istatistiği, belirli bir amaç için veri toplayarak bu verileri tablo ve grafiklerle özetleme, sonuçları yorumlama, çeşitli konularda geleceğe ilişkin tahmin yapmayı sağlayan bir bilim olarak tanımlamaktadır. Wallman (1993) ise istatistik eğitiminin hayatta karşılaştığımız belirli tip problemlerin çözümünde yardımcı olacağını bu bağlamda bireyler için istatistiksel anlamanın oldukça önemli olduğunu vurgulamaktadır. İstatistik eğitimi alanında yapılan çalışmalar, öğrencilerin istatistiği anlamada bazı güçlüklerle karşılaştığını göstermiştir. McAlevey & Sullivan (2009), istatistik eğitiminde, öğrencilerin istatistiksel düşünme, yorumlama ve sonuç çıkarma becerileri üzerinde yeterince durulmadığını belirtmiştir. Bu durum öğrencilerde kavramsal bir anlamanın oluşmadığı öğrenme oluşturduğu anlamına gelmektedir. Benzer şekilde Cobb & More (1997) istatistik ve öğretimi üzerine yayınlamış olduğu bir çalışmasında istatistik öğretiminde matematiksel kuralların yerine öğretmenlerin formül ve kurallardan çok istatistiksel fikirlere odaklanması gerektiğini önermiştir. İstatistiğe girişte sunulan anahtar fikirlerin altında yatan matematiksel terimleri, işlemleri anlamak önemlidir. İstatistik eğitiminde temelde matematik formüllerinden çok istatistiksel kavramların önce sezgisel yönüne vurgu yapılmalı, anlam üzerine odaklanılmalı ve matematiksel gösterimler ve ilkeler en son tercih edilmelidir (Cobb & More, 1997). İstatistik eğitimi alanındaki sorunların yansımaları bilimsel çalışmalarda da kendini gösterir. Sayın (2010) bilimsel araştırmalarda yapılan istatistiksel ve yöntembilimsel hataları incelemeye yönelik 1999-2006 yılları arasında yapılan çalışmaları derlemiştir. Bu derleme sonucunda istatistiksel kavramların doğru kullanılmadığı, amacına uygun grafik hazırlanamadığı, tablo oluşturmada sorunlar yaşadığı, baüımlı ve bağımsız t testinin hangi durumlarda uygulanabildiği ve hipotezlerin hangi koşullar altında kabul/red edilmesi gerektiğinin bilinmediğini ortaya çıkarmıştır. Matematik eğitimi alanında da olduğu gibi eğitimde de öğrencilerin anlamaları işlemsel ve kavramsal olarak ikiye ayrılabilir. İşlemsel öğrenme de öğrenci kuralların nereden geldiğine bakmaksızın, tanımı veya ilişkiyi aklında tutmaya çalışır. İşlem bilgisinde nedenler araştırılmayıp kuralları ezber niteliğinde kazanıldığından, öğretimde kavramlardan çok işlemlere önem verilir. Kavramsal öğrenmede ise, öğrenci kavramlara odaklanarak, problem çözmede ve matematiksel bilgi üretmede kendi yaratıcılığını, sezgilerini ve yeteneklerini kullanabilen iyi bir problem çözücüdür (Baki, 2008). Dolayısıyla istatistikte öğrencilerin verilen tanımları ve formülleri ezberleyip anlamlarına düşünmeden uygulamaları işlemsel öğrenmeye girerken, verileri organize ederek, istatistiki işlemlerden geçirdikten sonra yorumlayıp, onlara anlam katabilme becerisi kavramsal boyutta öğrenmeye girmektedir. Bu kapsamda üniversite düzeyinde bir öğrencinin, kavramsal boyutta öğrenmeye sahip olması beklenmektedir. Üniversite düzeyinde iyi bir istatistiksel okuryazar birey olabilmek için normal dağılımı anlama önemli bir role sahiptir. Söz konusu normal dağılım; birçok neden-sonuç ilişkisini, muhakeme gücüyle öğrenmekte kullanılan bir modeldir. Birçok fiziksel, biyolojik ve psikolojik fenomenler, fiziksel ölçümler, test sonuçları ve ölçüm hataları bu dağılımla akla uygun bir şekilde modellenebilir (Ben-Zvi & Garfield;2004). Buradaki normal dağılım (Gauss dağılımı), varyans ve ortalama ile tanımlanarak istatistikte ve olasılıksal düşünmede büyük öneme sahiptir (Barndorff-Nielsen, 1997). Normal dağılımın birçok uygulama alanı olmasına rağmen, öğrencilerin normal dağılımı anlamalarını araştıran sınırlı sayıda araştırmaya rastlanmaktadır ve yapılan bu çalışmalar da pür matematik bilgilerine dayanmaktadır (Batanero, Tauber & Sanchez, 2004). Öğrencilerin normal dağılımları anlamaları üzerine yapılan ilk çalışma çocukların olasılıksal yaklaşım fikirlerinin anlık, rastlantısal, gelişigüzel gelişimi hakkında çalışan Piaget ve Inhelder (1951) tarafından yapılmıştır. Yapılan bu çalışmada, çocukların küçük bir delikten akan tüm olasılıklı kum yollarının simetrisini kavramamına ihtiyaç duyduklarını göz önünde bulundurarak, simetrik yörünge arasındaki olasılıklı eşitlik ile onlar normal dağılım eğrisinin çan şeklindeki bir eğri olduğunu algılaya bileyeceklerini belirtilmiştir. Bu kavrama için öğrencilerin 13-14 yaşlarında olması gerektiğini vurgulanmıştır. Jackman (2001) ise öğrencilere grafik hesaplamalarını kullanarak normal dağılımı anlatmış. Bu şekilde uygulanmış sınıf ortamının ,öğrencilerin anlamasını kolaylaştırdığı, onları tartışma ortamına yönlendirdiği ve cesaretlendirdiği sonucuna ulaşmıştır. Huck, Cross ve Clark (1986) üniversite öğrencilerinin standart normal dağılımla ilgili iki tane kavram yanılgısı keşfetmiştir. Bunlardan birincisi, üniversite öğrencilerinin normal dağılım eğrisi altında kalan alanın -3<z<3 aralığında değişeceğini düşünmeleridir. Huck vd. bu öğrencilerin kavram yanılgısını gidermek amacı ile değişkenliğin oranıyla birlikte standart normal eğrinin ya tablosunu ya da grafiği kullandırarak öğrencilerde kavramsal boyutta bir öğrenme sağlamıştır. Pek çok çalışma öğrencilerin özel istatistiksel kavramları anlamalarına yoğunlaşmaktadır ancak çok az çalışma öğretmenlerin istatistiksel algıları üzerinde durmuştur (Makar & Confrey, 2002; Mickelson & Heaton, 2004). İstatistiksel okuryazar bireylerin yetiştirilmesinde normal dağılım konusunun önemlidir. Ancak normal dağılımın uygulama alanları artmış olmasına rağmen, öğrencilerin normal dağılımı anlama düzeylerine yönelik çalışmalara çok az rastlanmaktadır. Buna binaen üniversite sıralarında, öğretmen adaylarının günlük hayatta çok sık rastladıkları normal dağılıma yönelik bilgilerinin hangi boyutta olduğu, onların gelecekteki öğrencilerine kavramsal boyutta öğretim gerçekleştirmesi bakımından önemlidir. Bu çalışmada ülkemizdeki üniversitelerin birçok farklı bölümlerinde okutulan istatistik derslerinde öğrencilerde oluşan normal dağılım anlayışının bir resminin çekilmesi amaçlanmıştır. 2. YÖNTEM Bu çalışma öğretmen adaylarının normal dağılım eğrilerini anlamalarını resmetmeye yönelik olarak yapılmış betimsel bir çalışmadır. Öğretmen adaylarından elde edilen verileri karakterize etmede nitel verilerden yararlanılmıştır. 2.1 ÇalıĢma Grubu Çalışmanın örneklemini 2011-2012 eğitim-öğretim yılında Karadeniz Teknik Üniversitesi Fen Bilgisi Öğretmenliği üçüncü sınıfta okuyan olan toplam 36 öğretmen adayı oluşturmaktadır. Öğretmen adayları daha önce Genel Matematik-1, Genel Matematik-2 dersini almış olup şu anda da İstatistik dersini almaktadır. Çalışmamızda öğretmen adaylarımızın matematik alanında önceki deneyimleri ve istatistiğe ilişkin önbilgilerinin varlığı göz önünde bulundurulmuştur. 2.2 Veri Toplama Aracı Öğretmen adaylarının normal dağılımla ilgili kavramsal ve işlemsel anlamalarını soruların oluşturulmasını resmedebilmek için 7‟si kavramsal bilgiyi, 4‟ü işlemsel bilgiyi ölçen toplam 11 açık uçlu soru kullanılmıştır. Çalışmada kullanılan veri toplama araçlarında uzman görüşü alınarak ve literatür taraması yapılarak elde edilen sorular kullanılarak geçerlik ve güvenirlik arttırılmaya çalışılmıştır. Hazırlanan sorular bu alanda uzman kişiler tarafından seviye, kapsam, içerik ve dil açısından kontrol edilmiştir. İlk bölümde yer alan kavramsal sorular; “öğretmen adaylarının normal dağılım eğrileri parametrelerini anlaması, parametrelerin normal dağılım eğrileriyle ilişkilendirilmesi, normal dağılım eğrileri altındaki alanları anlama, değişkenlerden parametreyi yorumlama” boyutlarından oluşmaktadır. İkinci bölüm sorularında öğretmen adaylarına z tablosu verilerek onlardan ekte, tablo2‟de yer alan işlemsel test sorularını çözmeleri istenilmiştir. İkinci bölümdeki sorular ise işlemsel öğrenmeye yönelik sorular olup, “normal dağılım eğrisinin altındaki alanları yorumlama” ya yöneliktir. Madden (2008) tarafından geliştirilen başarı testi, normal dağılıma yönelik işlemsel ve kavramsal düzeydeki başarı testleri öğretmen adaylarına uygulanmadan önce uzman görüşü alınmıştır. Daha sonra pilot çalışması olarak 60 İlköğretim Fen Bilgisi Öğretmen adayına uygulanmış ve bu bağlamda testler son şeklini almıştır. 2.3 Verilerin Analizi Verilerin analiz aşamasında öğretmen adaylarının sorulara verdiği doğru, yanlış, kısmen doğru ve boş şeklinde kodlamalar yapılmıştır. Öğretmen adaylarının soruları hem doğru yapıp hem de sebebini açıklaması “Doğru” olarak, soruları doğru yapıp sebebini açıklayamamaları kısmen doğru, hem yanlış hem de yanlış açıklamalar yapması ise yanlış olarak kodlanmıştır. Bu kodlamaların yüzde ve frekansları alınmış ve öğretmen adaylarının cevapları ayrı ayrı incelenmiştir. İncelenen bu cevaplar, kavramsal ve işlemsel sorularda yer alan boyutlara göre ayrı ayrı analiz edilmiştir. 3. BULGULAR Çalışmanın bu kısmında öğretmen adaylarına yöneltilen normal dağılımla ilgili soruların işlemsel ve kavramsal boyutta bulgularına yer verilmiştir. Kavramsal Testteki Soruların Değerlendirilmesi Kavramsal testte yer alan bulgular; öğretmen adaylarının normal dağılım eğrileri parametrelerini anlaması, parametrelerin normal dağılım eğrileriyle ilişkilendirilmesi, normal dağılım eğrileri altındaki alanları anlama, değişkenlerden parametreyi yorumlama alt başlıklarına göre verilmiştir. 3.1 3.1.1. Öğretmen Adaylarının Normal Dağılım Eğrileri Parametlerini Anlaması Kavramsal testte yer alan ilk soru “Normal dağılım eğrisinin şeklini belirleyen parametreler hangileridir? Açıklayınız” şeklindedir. Bu soru öğretmen adaylarının normal dağılım parametrelerini anlaması boyutunda incelenmiş olup Tablo 1‟de öğretmen adaylarının soruya verdiği cevapların frekansları verilmiştir. Tablo 1: Öğretmen adaylarının kavramsal testteki 1. Soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları 1.soru f % Doğru 6 17 Kısmen Doğru 18 50 YanlıĢ 12 33 BoĢ - Tablo 1 incelendiğinde öğretmen adaylarının %17‟si 1. Soruyu doğru, %50‟si kısmen doğru, %33‟ü yanlış cevaplandırmıştır. Yüzdelere bakıldığında öğretmen adaylarının yarısının soruyu kısmen doğru cevaplandırdığı, geriye kalan büyük çoğunluğun ise yanlış cevap verdiği görülmektedir. Öğretmen adaylarının birinci soruya verdiği cevaplardan bazıları: Ö1: Ortalama, Standart Sapma (D) Ö4: Z tablosu ve güven aralıkları (Y) Ö14: Ortalama, Standart sapma, Mod, Medyan, Varyans (K) şeklindedir. Ö1 kodlu öğretmen adayı bu soruya ortalama ve standart sapma cevabını vererek doğru, Ö4 kodlu öğretmen adayı bu soruya yanlış cevabı vermiştir. Ö14 kodlu öğretmen adayı ise normal dağılımın parametreleri olarak ortalama ve standart sapmanın yanında medyan ve mod gibi değişkenlik ölçülerini de yazmıştır. 3.1.2. Parametrelerin Normal Dağılım Eğrileriyle ĠliĢkilendirilmesi Kavramsal testte yer alan 2., 3., 4. ve 6. sorular parametrelerin normal dağılım eğrisi ile ilişkilendirilmesine yöneliktir. Bu soruları incelediğimizde 2. Soruda öğretmen adaylarına 3 tane eğri verilmiş ve bu eğrilerden hangisi veya hangilerinin normal dağılıma sahip olabileceği gerekçeleri ile birlikte sorulmaktadır. Tablo 2: Öğretmen adaylarının kavramsal testteki 2. Soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları Doğru Kısmen Doğru YanlıĢ BoĢ 9 11 15 1 f 2.soru 26 30 41 3 % Tablo 2 incelendiğinde öğretmen adaylarının %41‟i 2. Soruyu yanlış, %30‟u kısmen doğru, %26‟sı ise doğru cevaplandırmıştır. Yüzdelere bakıldığında öğretmen adaylarının çoğunun bu soruyu yanlış cevaplandırdığı, kısmen doğru ve doğru cevaplayanların yüzdelerinin ise birbirine yakın olduğu görülmüştür. Öğretmen adaylarının ikinci soruya verdiği cevaplardan bazılarını inceleyecek olursak: Ö17: C normal dağılım eğrisi, A ve B değildir. Normal dağılım eğrisinin simetrik olması gerekir. A ve B simetrik olmadığı için normal dağılım eğrisi değildir. (Y) Ö14: A,B,C üçü de olabilir. Çünkü ortadan ikiye böldüğümüz zaman simetri oluyor. (K) Ö4: A ve C grafikleri normal dağılımdır. Çünkü homojen bölünür, simetrik dağılımdır, ekseni kesmez. (D) Kavram testinde yer alan 3. soru iki şıktan oluşmakta ve parametrelerin normal dağılım eğrisi ile ilişkilendirilmesine yöneliktir. 3. Sorunun ilk şıkkında normal dağılım eğrisinin parametresi olan σ‟nın değişiminin, normal dağılım eğrisinin grafiğine nasıl bir etki yapacağına yöneliktir. b şıkkı ise normal dağılım eğrisinin parametresi olan µ‟nün değişiminin normal dağılım eğrisinin grafiğine nasıl bir etki yapacağına yöneliktir. Öğretmen adaylarından değişen normal dağılım parametrelerine göre grafikleri çizmeleri istenmiştir. Tablo 3: Öğretmen adaylarının kavramsal testteki 3. Soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları Doğru Kısmen Doğru YanlıĢ BoĢ 2 1 21 12 f a 6 3 58 33 % 3.soru 6 1 17 12 f b 17 3 47 33 % Tablo 3 incelendiğinde 3. Sorunun a şıkkına öğretmen adaylarının %58‟i yanlış cevabı, %6‟sı doğru cevabı ve % 3‟ü ise kısmen doğru cevabı vermişlerdir. Ayrıca öğretmen adaylarının %33‟ü bu soruda yorumsuz kalarak, soruyu boş bırakmıştır. Öğretmen adayları, σ‟nın normal dağılım eğrisinin grafiğine etkisinin incelendiği bu soruda genellikle ortalama ile varyans değerlerinin grafik üzerine etkisini karıştırdığı görülmüştür. Öğretmen adaylarının üçüncü sorunun a şıkkına verdiği cevaplardan bazılarını inceleyecek olursak: Şekil 1: Ö8 ve Ö1 kodlu öğretmen adaylarının 3. Sorunun a şıkkına verdiği cevaplar Şekil 1‟de Ö8 ve Ö1 kodlu öğretmen adaylarının 3. Sorunun a şıkkına verdiği cevaplar verilmiştir. Ö8 öğretmen adayı, normal dağılım parametresi olan σ‟nın değişiminin grafiğe etkisi ile µ‟nün değişiminin grafiğe etkisini karıştırarak yanlış cevap vermiştir. Ö1 öğretmen adayı ise σ‟nın büyüklüğü ile normal dağılım eğrisinin kavisli olma özelliği arasında doğru orantı olduğunu düşünerek yanlış sonuca ulaşmıştır. Ö1 öğretmen adayı ortalamanın değerini frekans değeri ile karıştırmakta ve ortalama büyüdükçe grafiğin uzunluğunun artacağını düşünmektedir. Tablo 3 incelendiğinde 3. Sorunun b şıkkına öğretmen adaylarının %47‟si yanlış cevabı, %17‟si doğru cevabı ve % 3‟ü ise kısmen doğru cevabı vermişlerdir. Ayrıca öğretmen adaylarının %33‟ü bu soruda yorumsuz kalarak, soruyu boş bırakmıştır. Öğretmen adayları a şıkkına benzer şekilde yanılgılara varmıştır. Bunları inceleyecek olursak: Şekil 2: Ö9 ve Ö10 kodlu öğretmen adaylarının 3. Sorunun a şıkkına verdiği cevaplar Şekil 2‟de Ö9 kodlu öğretmen adayı, grafiği doğru çizmiştir. Ancak açıklaması alanları aynı fakat yerleri farklı şeklinde genel bir açıklama yapması ve grafiğin üzerindeki değerlerin verilen verinin hangisine ait olduğunu belirtmemesi gerekçesi ile kısmen doğru sayılmıştır. Ö10 kodlu öğretmen adayı ise µ‟nün grafiğe etkisini doğru çizmiştir. Kavram testinde yer alan 4. soru iki şıktan oluşmakta ve parametrelerin normal dağılım eğrisi ile ilişkilendirilmesine yöneliktir. Soruda σ ve µ „nün karşılaştırmalarının yapılabileceği şekilde grafikler yapılandırılmış şekilde verilmiştir. Bu soru da 3. Soruya benzer şekilde σ ve µ‟nün normal dağılım eğrisinin grafiği üzerindeki etkisine yönelik bir sorudur. Tablo 4‟de öğretmen adaylarının bu soruya verdiği cevapların doğru, kısmen doğru, yanlış ve boş olması durumundaki yüzde ve frekansları verilmiştir. Tablo 4: Öğretmen adaylarının kavramsal testteki 4. Soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları Doğru Kısmen Doğru YanlıĢ BoĢ 4 10 17 5 f a 11 28 47 14 % 4.soru 1 16 14 5 f b 3 44 39 14 % Tablo 4 incelendiğinde 4. Sorunun a şıkkına öğretmen adaylarının %47‟si yanlış cevabı, %11‟i doğru cevabı ve % 28‟i ise kısmen doğru cevabı vermişlerdir. Ayrıca öğretmen adaylarının %14‟ü bu soruda yorumsuz kalarak, soruyu boş bırakmıştır. Öğretmen adayları bu soruda normal dağılım eğrisinin parametreleri µ ve σ‟nın eğri üzerindeki karşılaştırmasını genelleştirerek ifade etmiştir. Şekil 3: Ö4 kodlu öğretmen adaylarının 3. Sorunun a şıkkına verdiği cevap Şekil 3‟teki Ö4 kodlu öğretmen adayının cevabı incelendiğinde, ortalamaların farklı standart sapmaların aynı olduğunu ifade ettiği görülmektedir. Bu soruda asıl istenen normal dağılım eğrilerindeki ortalama ve standart sapmaları arasında sıralama yapılmasıdır. Ö4 kodlu öğretmen adayı bu sıralamayı yapmadığı ancak genel de olsa ifadesinin doğru olması dolayısıyla, cevabı kısmen doğru kabul edilmiştir. Kavram testinde yer alan 6. Soru tek şıklı olup, yine normal dağılım eğrisi ile ortalama ve standart sapma arasındaki ilişkiyi ortaya koymaya yönelik bir sorudur. Tablo 5: Fen Bilgisi Öğretmen adaylarının kavramsal testteki 6. Soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları 6.soru f % Doğru 3 9 Kısmen Doğru 12 33 YanlıĢ 13 36 BoĢ 8 22 Tablo 5 incelendiğinde 6. soruya öğretmen adaylarının %36‟sı yanlış cevabı, %9‟u doğru cevabı ve % 33‟ü ise kısmen doğru cevabı vermişlerdir. Ayrıca öğretmen adaylarının %22‟si bu soruda yorumsuz kalarak, soruyu boş bırakmıştır. Bazı öğretmen adaylarının cevapları: Ö8: Ortalama değerden daha büyük olacağından K>L>M (Y) Ö3: K nın ortalaması L ve M ye göre daha küçük, L ve M’nin ortalaması birbirine eşit. (K) Ö8 kodlu öğretmen adayı, normal dağılım eğrisinin tepe noktası arttıkça ortalaması da artacaktır gibi bir yanılgıya sahiptir. Dolayısıyla bu öğretmen adayı soruya yanlış cevabı vermiştir. Ö 3 numaralı öğretmen adayı ise genel bir şekilde ortalamalar arasındaki ilişkiyi ifade edip, standart sapmalar arasında yorum yapmadığından kısmen doğru kabul edilmiştir. 3.1.3 Normal Dağılım Eğrileri Altındaki Alanları Anlama Kavramsal testte yer alan 5. soru öğretmen adaylarının normal dağılım eğrileri altındaki alanları anlamayıp anlayamadıklarıyla ilgilidir. Bunun için öğretmen adaylarına ortalaması 3, standart sapması 2 olan normal dağılım eğrisinin P(3<X<6) arasında kalan alanın değeri 0.4332 olarak verilmiş ve bu alandan yola çıkılarak sorunun a ve b şıklarındaki alanları yorumlamaları istenmiştir. Tablo 6: Öğretmen adaylarının kavramsal testteki 5. soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları Kısmen Doğru YanlıĢ BoĢ Doğru 1 21 14 f a) 3 58 39 % 5.soru 9 8 19 f b) 25 22 53 % Tablo 6 incelendiğinde 5.sorunun a şıkkına öğretmen adaylarının %3‟ü doğru, %58‟i yanlış ve %39‟u boş olarak cevaplamıştır. Yüzdelere bakıldığında öğretmen adaylarının yarısından çoğunun soruyu yanlış cevaplandırdığı, geriye kalan büyük çoğunluğun ise boş bıraktığı görülmektedir. Kavram testinin 5. Sorusunun b şıkkı da sorunun a şıkkında olduğu gibi normal eğri altındaki alanları anlamayla ilgilidir. Sorunun b şıkkında öğretmen adaylarının %25‟i kısmen doğru, %22‟si yanlış ve %53‟ü boş olarak cevaplamıştır. Yüzdelere bakıldığında öğretmen adaylarının yarısından çoğunun soruyu boş bıraktığı, geriye kalan büyük çoğunluğun ise yanlış cevapladığı görülmektedir. 3.1.4 DeğiĢkenlerden Parametreleri Yorumlama Kavramsal testte yer alan yedinci soru “değişkenlerden parametreleri yorumlama” teması altında olup verilerde yapılan değişimlerin normal dağılım parametreleri olan ortalama ve standart sapma üzerinde ne gibi etkilerinin olduğunun yorumlanması istenmiştir. Tablo 7: Öğretmen adaylarının kavramsal testteki 7. soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları Kısmen Doğru YanlıĢ BoĢ Doğru 6 8 10 12 f a) 17 22 28 33 % 7.soru 9 7 6 14 f b) 25 19 17 39 % Tablodan öğretmen adaylarının yedinci soruya verdikleri cevaplar görülmektedir. Yedinci sorunun a şıkkına öğretmen adaylarının %17‟si doğru, %22‟si kısmen doğru, %28‟i yanlış ve %33‟ü boş olarak cevaplamıştır. Sorunun b şıkkına ise öğretmen adaylarının %25‟i doğru, %19‟u kısmen doğru, %17‟si yanlış yanıtlamış ve %39‟u soruyu boş bırakmıştır. Sorunun a şıkkında „her bir veriye 3 eklersek ortalama ve standart sapmanın nasıl değişeceği‟ sorulmuştur. Verilen öğretmen adaylarının cevaplarına bakacak olursak; Ö14: Ö4: Ö11: Ortalama : Artar. Standart sapma: Değişmez. (sabit hata çünkü). (D) Ortalama: Büyür. Standart sapma: Büyür. (K) Ortalama: Değişmez. Standart sapma: Artar. (Y) Sorunun b şıkkında „her bir veriyi 2 ile çarparsak ortalama ve standart sapmanın nasıl değişeceği‟ sorulmuştur. Verilen öğretmen adaylarının cevaplarına bakacak olursak; Ö6: Ö5: Ö2: Ortalama : Ortalama artar.Standart sapma: SS‟de artar.(D) Ortalama : Artar. Standart sapma: Azalır.(K) Ortalama : Değişim gözlenir.Standart sapma: Sabit kalır.(Y) şeklinde cevaplar verilmiştir. Öğretmen adaylarından veriler işleme tabi tutulduğunda değişimin ortalama ve standart sapmalar üzerindeki etkilerini yorumlayamamaktadır. ĠĢlemsel Testteki Soruların Değerlendirilmesi İşlemsel testte yer alan ilk soruda öğretmen adaylarından ortalaması 5, standart sapması 2 olan bir normal dağılım eğrisinde P(5<x<7) arasında kalan alanı bulmaları istenmektedir. Soruda normal dağılım eğrisi çizilmiş olarak verilmiş öğretmen adaylarına sadece işlem yaparak alanın bulunup bulunamayacağı sorulmuştur. 3.2 Tablo 8: Öğretmen adaylarının işlemsel testteki 1. soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları Doğru 1.soru f % 4 11 Kısmen Doğru 2 6 YanlıĢ BoĢ 13 36 17 47 İşlemsel testteki 1.soruya verilen cevaplara bakıldığında öğretmen adayları bu sorunun %11‟ini doğru, %6‟sını kısmen doğru, %36‟sını yanlış yapmışlar ve %47‟sini boş bırakmışlardır. “X~ N(µ=3 ve σ2=4) normal dağılımına sahipse, X in 3 ile 5 arasında bulunma olasılığı nedir?” sorusunun sorulduğu diğer soruda öğretmen adaylarının z tablosundan yararlanarak normal dağılım eğrileri altındaki alanları bulmaları beklenmektedir. Bu soruya öğretmen adaylarının %8‟i doğru, %8‟i yanlış ve %84‟ü boş olarak cevap vermişlerdir. Tablo 10: Öğretmen adaylarının işlemsel testteki 3. soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları Doğru 3.soru f % 3 8 Kısmen Doğru - YanlıĢ BoĢ 3 8 30 84 Ö11 kodlu öğretmen adayının doğru yanıtı aşağıdaki gibidir. Burada doğru cevaba ulaşmak için öğretmen adayımız hem grafik üzerinde soruyu anlamlandırmış hem de işlemi formülize ederek soruyu çözmüştür. İşlemsel testin son sorusu, normal dağılımda Z tablosunu kullanarak istenen olasılıkları hesaplamaya yönelik idi. Öğretmen adaylarının 4. Soruya verdiği cevaplar Tablo 11‟de yer almaktadır. Tablo 11: Öğretmen adaylarının işlemsel testteki 4. soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları Kısmen Doğru YanlıĢ BoĢ Doğru 6 30 f a) 17 83 % 6 30 f b) 17 83 % 4.soru 4 32 f c) 11 89 % 1 4 31 f d) 3 11 86 % Bu soruların a ve b şıklarına %17 öğretmen adayı yanlış cevap vermiş. %83 öğretmen adayı ise soruyu boş bırakmıştır. Sorunun c şıkkında %11 yanlış, %89 boş cevap alınmıştır. Sorunun d şıkkında ise öğretmen adaylarının %3‟ü doğru cevap verirken %11‟i yanlış, %86‟sı boş cevap vermiştir. 4. TARTIġMA ve SONUÇLAR Bu çalışmada öğretmen adaylarının normal dağılımlarını anlamalarını karakterize etmek amaçlanmıştır. Bu bağlamda öğretmen adaylarına normal dağılım ile ilgili işlemsel ve kavramsal boyutta sorular sorulmuştur. Öğretmen adaylarının genel olarak kavramsal boyuttaki sorulara verdiği doğru cevaplar işlemsel sorulara verdiği doğru cevaplardan daha fazladır. Bunun sebebi Fen Bilgisi öğretmen adaylarına normal dağılım anlatılırken, normal dağılımın matematiksel anlamından bahsedilmemiş olmasından kaynaklanabilir. Yani öğretmen adayları normal dağılımın grafikleri ile ilgili yorum yapabilmesine rağmen, normal dağılım eğrisinin formülünü bilmemekte ve bu formül içinde yer alan değişkenler hakkında yorum yapamamaktadır. Madden (2008)‟nin çalışmasında bu durum farklı yöndedir. Madden lise öğretmenleri ile yaptığı çalışmasında, öğretmenlerin istatistiksel dağılımlarını algılayışlarını analiz etmiştir. Çalışmasının bir kısmında normal dağılımını da analiz eden Madden, lise öğretmenlerinin işlemsel seviyedeki soruları doğru cevaplandırabildiği sonucuna ulaşmıştır. Yine öğretmen adayları normal dağılım eğrilerinin grafiklerinin karşılaştırmasını yaparken, büyük çoğunluğu ortalama ve standart sapmanın grafik üzerindeki etkisini karıştırmaktadır. Yani öğretmen adaylarının bir takım bilgileri ezberleyerek bu aşamaya kadar geldiklerini söyleyebiliriz. Çünkü kavramsal boyutta yer alan sorularda öğretmen adaylarından yaptığı sorulara açıklama getirmesi istenmesine rağmen 2. Soru haricinde diğer bütün sorulara ait açıklamalar bulunmamaktadır. Bu bağlamda öğretmen adayları normal dağılım ile ilgili bazı şeyleri bilmesine rağmen, ortalama ve standart sapmanın aslında gerçek örneklerde ne anlama geldiğini açıklayamamıştır. Batanero, Tauber ve Sanchez (2004) üniversite öğrencilerinin normal dağılımı anlama muhakemeleri üzerine yaptığı çalışmasında benzer sonuçlara rastlanmıştır. Batanero vd. yaptığı bu çalışmada bilgisayar destekli ve görsel olarak yürütülen dersteki öğrencilerin normal dağılım hakkında kavramsal boyutta bilgiye sahip olurken, geleneksel işlenen ders ortamında öğrencilerin normal dağılım hakkında ezbere dayalı, işlemsel boyutta bilgi sahibi olduğunu göstermiştir. Blanco ve Ginovart (2009) ise mühendislik eğitiminde normal dağılımı anlama seviyesini artırmaya yönelik sınıf içi yaptığı çalışmada tarihsel yöntemler kullanmıştır ve bu yöntemlerin öğrencilerin kavramsal boyutta anlamasına olumlu etki yaptığını göstermiştir. 5. ÖNERĠLER Öğretmen adaylarının normal dağılım eğrisinin doğasını anlayarak hem kavramsal boyutta hem de işlemsel boyuttaki sorularına cevap verebilmesi için, almış oldukları istatistik derslerinde normal dağılım eğrisinin formülünün de verilerek bu formül üzerinde yorumlar yapılması önerilebilir. Ayrıca sınıf ortamında bilgisayar destekli olarak grafikler yorumlattırılır ise, öğretmen adayları normal dağılım eğrisinin parametreleri olan standart sapma ve ortalamanın grafik üzerindeki etkisini karıştırmamış olacaktır. Gelecekte bu yönde yapılacak çalışmalarda uygulattırılacak kavramsal test ve işlemsel test arasında en az bir haftalık bir süre olursa, örneklemden daha verimli sonuçlar elde edilebilir. Bu çalışmada her iki testin ardı ardına uygulanması araştırmanın sınırlılığını oluşturmaktadır. KAYNAKLAR Baki, A. (2008). Kuramdan Uygulamaya Matematik Eğitimi (Genişletilmiş Dördüncü Basım) Ankara: Harf Eğitim Yayıncılığı. Batanero, C., Tauber, L., & Sánchez, V. (2004). Significado y comprensión de la distribución normal en un curso introductorio de análisis de datos (Meaning and understanding of normal distributions in an introductory data analysis course). Quadrante, 10(1), 59–92. Ben-Zvi, D., Garfield,J. (2004). Research on Statıstıcal Literacy, Reasonıng, and Thinking: Issues, Challenges and Implications. The Challenge of Developing Statistical Literacy, Reasoning and Thinking, 397–409. Cobb,G.ve Moore,S.D.(1997). Mathematics, Statistics, and Teaching. The American Mathematical Monthly. 104(9), 801-823. Huck, S., Cross, T. L., & Clark, S. B. (1986). Overcoming misconceptions about z-scores. Teaching Statistics, 8(2), 38–40. Madden, S. R. (2008). High school mathematics teachers‟ evolving understanding of comparing distributions. Published Doctorate Thesis: Michigan, Western Michigan University. UMI Number: 3340192. Madden, S. R. (2008). High school mathematics teachers’ evolving understanding of comparing distributations. Degree of Doctor of Philosophy Department of Mathematics. Western Michigan University, Kalamazco, Michigan. Makar, K. ve Confrey, J. (2002). Comparing two distributions: Investigating secondary teachers‟ statistical thinking. Paper presented at the Sixth International Conference on Teaching Statistics (ICOTS-6), Cape Town, South Africa. McAleveya,L. ve Sullivan, C. (2009). Statistical Literacy and Sample Survey Results. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 41(7). 911–920. Mickelson, W. T. ve Heaton, R. M. (2004). Primary teachers‟ statistical reasoning about data. In D. Ben-Zvi & J Garfield (Eds.), The challenge of developing statistical literacy, reasoning and thinking (pp. 327-352). Boston: Kluwer Academic. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standarts for school mathematics. Reston:VA Piaget, J., & Inhelder, B. (1951). La génese de l'idée de hasard chez l'enfant. Paris: Presses Universitaires de France. Sayın, S. (2010). Bilimsel araştırmalarda yapılan istatistiksel ve yöntembilimsel hatalar –II: Grafik, tablo ve gösterim hataları. Türk Eğitim Bilimleri Dergisi, 8 (1), 117-143. Wallman, K. K. (1993). Enhancing statistical literacy: Enriching our society. Journal of the American Statistical Association, 88(421), 1–8.