A x - Eskişehir Osmangazi Üniversitesi

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ
Mühendislik Mimarlık Fakültesi
İnşaat Mühendisliği Bölümü
E-Posta: ogu.ahmet.topcu@gmail.com
Web: http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
Bilgisayar Destekli
Nümerik Analiz
Ders notları 2014
Ahmet TOPÇU
Katsayılar matrisi
 a11
a
 21
 .

 an1
a12
a22
an 2
Özdeğer
... a1n   x1 
 x1 
x 
... a2 n   x2 
= λ 2 
 . 
.
...
 
 
... ann   xn 
 xn 
Özvektör
Ax=λx
Özvektör
25
ÖZDEĞER PROBLEMİ
Matrisin özdeğerleri ve özvektörleri
Standart özdeğer problemi
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
187
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
Mühendislik bilimlerinin hemen her dalında, özellikle dinamik ve stabilite problemlerinde
standart özdeğer problemi adı verilen
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = λx1
 a11
a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = λx 2 → a 21
 .
...

a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = λx n
a n1
... a1n   x1 
 x1 



x 
... a 2 n   x 2 
= λ 2 
 . 
.
...
 
 
... a nn   x n 
 xn 
a12
a 22
an2
Özvektör Özdeğer Özvektör
Katsayılar matrisi
Ax = λ x
(25.1)
(25.2)
tipinde denklem sistemi ile karşılaşılır. Burada Anxn gerçek sayılardan oluşan bir kare matris,
λ sabit bir sayı, x sıfırdan farklı bir vektördür. 25.1 ifadesine standart özdeğer problemi, λ
ya A nın özdeğeri, x e A nın özvektörü denir. A bilinir λ ve x bilinmez. 25.1 denklemini
sağlayan λ sabitinin ve x≠0 vektörünün hesabı istenir. Özdeğer problemi karşı tarafı da
bilinmeyen bir denklem sistemidir.
25.1 denklemi, I birim matris olmak üzere
 a11
a
A x = λ I x =  21
 .

a n1
... a1n   x1 
1 0 ... 0  x1 



0 1 ... 0  x 
... a 2 n   x 2 
 2  = 0
− λ
 . 
.
...
...   . 
 

 
... a nn   x n 
0 0 ... 1  x n 
a12
a 22
an2
 a11
a
( A − λ I ) x = (  21
 .

a n1
... a1n 
1 0 ... 0  x1 

0 1 ... 0  x 
... a 2 n 
 ) 2  = 0
− λ

.
...
...   . 


  
... a nn 
0 0 ... 1  x n 
a12
a 22
an2
Özdeğer
a11 − λ
 a
( A − λ I ) x =  21
 .

 a n1
Özvektör
a1n   x1 
a 2 n   x 2 
=0
 . 
...
 
... a nn − λ   x n 
a12
...
a 22 − λ ...
an2
Homojen denklem sistemi
(25.3)
olarak yazılabilir. Demek ki, özdeğer problemi kare katsayılı bir homojen denklem
sistemidir. Ancak, çözüm homojen denklem sisteminin çözümü kadar basit değildir. Çünkü
hem λ hem de x bilinmemektedir. Bölüm 10 da kare katsayılı bir homojen denklem
sisteminin sıfırdan farklı çözümünün olabilmesi için katsayılar matrisinin tekil, yani
determinantının sıfır olması gerektiği açıklanmıştı. O halde, 25.3 ün x≠0 çözümünün
olabilmesi için
a11 − λ
det( A − λ I ) =
a 21
.
a n1
a12
...
a1n
a 22 − λ ...
...
a 2n
an2
=0
(25.4)
... a nn − λ
olmalıdır. 25.3 ve 25.4 bağıntılarının anlamı şudur:
determinantını sıfır yapan bir sayıdır.
λ
λ
özdeğeri, katsayılar matrisi A nın
özdeğerini hesaplamak için; katsayılar matrisinin
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
187
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
λ
diyagonal elemanlarından
188
çıkartılır, oluşan matrisin determinantı hesaplanır, sıfıra
eşitlenir, λ özdeğerinin sayısal değeri bulunur. λ nın sayısal değeri 25.3 de yerine konur,
homojen denklem sistemi çözülür, özdeğer vektörü x hesaplanır.
Örnek 1: Diyagonal matrisin özdeğer problemi
2
  x1 
 x1 




A x = λ x →  − 3   x 2  = λ  x 2  , λ=?

 x3 
1  x3 
x=?
25.3 e göre:
2 − λ



  x1  0
  x  = 0 
−3−λ
 2   
1 − λ   x3  0
25.4 e göre, katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalı:
2 − λ
 2− λ

=
=0
det 
−3− λ
−3− λ


1 − λ 
1− λ
Hatırlatma: diyagonal matrisin determinantı diyagonal elemanların çarpımıdır
2−λ
−3−λ
= (2 − λ )(−3 − λ )(1 − λ ) = 0
1− λ
λ − 7λ + 6 = 0
λ1 = 2, λ 2 = −3, λ3 = 1
3
3. derece polinomunun 3 kökü vardır ≡ determinatı sıfır
yapan 3 adet λ vardır ≡ 3 adet özdeğer vardır.
Üç farklı özdeğer var, her biri katsayılar matrisi A nın determinantını sıfır yapar. 25.3 e göre
üç özdeğere karşılık üç farklı x1, x2 ve x3 özvektörü olacaktır.
λ1=2 özdeğeri homojen denklemde yerine konarak x1 hesaplanır:
x1
λ1
2 − λ1



− 3 − λ1
λ1
x1
  x1  0 2 − 2
  x1  0
  x  = 0 → 
  x  = 0
−3−2
 2    
 2   
1 − λ1   x3  0 
1 − 2  x3  0
λ1=2 özdeğerine ait
özvektör
x1
0
  x1  0
 −5
  x  = 0 

 2   

− 1  x3  0
Homojen denklem sisteminde x1 serbest değişken
olmuştur, çünkü 0x1=0 eşitliği vardır. O halde x1
için herhangi bir değer seçilebilir.. Basit olması
için x1=1 seçelim. Son iki denklemden:
-5x2=0 x2=0
-1x3=0 x3=0
bulunur.
1 
x1 = 0
0
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
188
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
189
λ2=-3 özdeğeri homojen denklemde yerine konarak x2 hesaplanır:
x2
λ2
2 − λ 2



− 3 − λ2
x2
λ2
  x1  0 2 − (−3)
  x1  0
  x  = 0  → 
  x  = 0 
− 3 − (−3)
 2    
 2   
1 − λ 2   x 3  0 
1 − ( −3)  x 3  0
x2
5
  x1  0
 0   x  = 0 

 2   

4  x 3  0
Homojen denklem sisteminde x2 serbest değişken
olmuştur, çünkü 0x2=0 eşitliği vardır. O halde x2 için
herhangi bir değer seçilebilir. x2=1 seçelim. İlk ve son
denklemden:
5x1=0 x1=0
4x3=0 x3=0
bulunur.
λ2=-3 özdeğerine ait
özvektör
0 
x 2 = 1
0
λ3=1 özdeğeri homojen denklemde yerine konarak x3 hesaplanır:
x3
λ3
2 − λ3



− 3 − λ3
λ3
x3
  x1  0 2 − 1
  x1  0
  x  = 0  → 
  x  = 0 
− 3 −1
 2    
 2   
1 − λ3   x3  0 
1 − 1  x3  0
x3
1
  x1  0
 − 4   x  = 0 

 2   
0  x 3  0

Homojen denklem sisteminde x3 serbest değişken
olmuştur, çünkü 0x3=0 eşitliği vardır. O halde x3 için
herhangi bir değer seçilebilir. x3=1 seçelim.
İlk iki denklemden:
1x1=0 x1=0
-4x2=0 x2=0
bulunur.
λ3=1 özdeğerine ait
özvektör
0 
x 3 = 0
1
Kontrol: Özdeğerler A xi = λi xi bağıntısını sağlamalıdır.
2
 1
1
 2  2






A x1 = λ1 x1 →  − 3  0 = 20 → 0 = 0

0
0 0
1 0
2
 0
0   0   0 




A x 2 = λ 2 x 2 →  − 3  1 = −31 → − 3 = − 3

0  0   0 
1 0
2
 0  0 
0  0 






A x 3 = λ3 x 3 →  − 3  0 = 10 → 0 = 0

1 1
1 1 1
Görüldüğü gibi, özdeğerler ve özvektörler özdeğer problemini sağlamaktadır.
Genelleştirme:
•
Anxn diyagonal matrisinin n tane özdeğeri vardır, λi=aii dir. λi=aii nin özvektörü birim matrisin i. vektörüdür.
•
Inxn birim matrisinin özdeğerlerinin tümü aynı, λi=1 dir. λi nin özvektörü birim matrisin i. vektörüdür.
•
Onxn sıfır matrisinin özdeğerlerinin tümü sıfırdır., λi=0 dir. Özvektörleri keyfi herhangi bir vektördür.
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
189
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
190
Örnek 2: Üst üçgen matrisin özdeğer problemi
2   x1 
2 1
 x1 




U x = λ x →  − 3 − 1  x 2  = λ  x 2  , λ=?

 x3 
1   x3 
x=?
25.3 ve 25.4 e göre
2 − λ



2   x1  0
2 − λ





− 3 − λ − 1   x2  = 0 , det 

1 − λ   x3  0
2 
− 3 − λ − 1  = 0 olmalı.
1 − λ 
1
1
Üst üçgen matrisin determinantı diyagonal elemanların çarpımına eşittir:
2−λ
1
2
−3−λ
− 1 = 0 → (2 − λ )(−3 − λ )(1 − λ ) = 0
1− λ
λ3 − 7λ + 6 = 0
λ1 = 2, λ2 = −3, λ3 = 1
Üç farklı özdeğer var, her biri katsayılar matrisi A nın determinantını sıfır yapar. 25.3 e göre
üç özdeğere karşılık üç farklı x1, x2 ve x3 özvektörü olacaktır.
λ1=2 özdeğeri homojen denklemde yerine konarak x1 hesaplanır:
x1
λ1
1
2   x1  0
2 − 2

− 3 − 2 - 1   x 2  = 0


1 − 2  x3  0
λ1=2 özdeğerine ait
özvektör
x1
2   x1  0
0 1
 − 5 - 1   x  = 0 

 2   

− 1  x3  0
Son iki denklemden:
-1x3=0 x3=0
-5x2-1x3=0 x2=0
bulunur. Birinci denklemde 0x1+1x2+2x3=0 dır.
x2= x3=0 yerine konulunca: 0x1=0 olur. O halde x1
serbest değişkendir. Her değer seçilebilir: x1=1
1
x 1 = 0
0
λ2=-3 özdeğeri homojen denklemde yerine konarak x2 hesaplanır:
x2
λ2
1
2   x1  0
2 − (−3)

− 3 − (−3)
- 1   x 2  = 0


1 − (−3)  x3  0
x2
5 1 2   x1  0
 0 - 1  x  = 0

 2   

4   x3  0
λ2=-3 özdeğerine ait
özvektör
Son denklemden:
4x3=0 x3=0
İkinci denklemde 0x2-1x3=0 dır. x3=0 yerine
konulunca 0x2=0 olur. O halde x2 serbest değişkendir,
her değer seçilebilir, x2=1 seçelim.
Birinci denklemden: 5x1+1x2+2x3=0. x2 ve x3 değerleri
.
.
- 0.2
x 2 =  1 
 0 
yerine konarak 5x1+1 1+2 0=0 dan x1=-1/5=-0.2
bulunur.
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
190
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
191
λ3=1 özdeğeri homojen denklemde yerine konarak x3 hesaplanır:
λ3
x3
1
2   x1  0
2 − 1

− 3 − 1 - 1   x 2  = 0


1 − 1  x3  0
x3
1 1 2   x1  0
 − 4 - 1  x  = 0

 2   

0   x3  0
Son denklemde:
0x3=0 dır. O halde x3 serbest değişkendir,
her değer seçilebilir, x3=1 seçelim.
2. ve 3. denklemden:
x2=(0-(-1).1)/(-4)= - 0.25
x1=(0-2.1-1. (-0.25))/1= - 1.75
λ3=1özdeğerine
ait özvektör
 - 1.75 
x 3 = - 0.25
 1 
Kontrol: Özdeğerler A xi = λi xi bağıntısını sağlamalıdır.
2  1 
2 1
1 2 2




U x 1 = λ1 x 1 →  − 3 − 1 0 = 2 0 → 0 = 0

0 0 0
1  0
2  - 0.2
2 1
- 0.2 0.6 0.6




U x 2 = λ 2 x 3 →  − 3 − 1  1  = −3 1  →  3  =  3 

 0   0   0 
1   0 
2  - 1.75 - 1.75
2 1
- 1.75 - 1.75






U x 3 = λ3 x 3 →  − 3 − 1  - 025  = 1 - 025  →  - 025  =  - 025 

 1   1 
1   1   1 
Özdeğerler ve özvektörler özdeğer problemini sağlamaktadır.
Genelleştirme: nxn boyutlu alt veya üst üçgen matrisin özdeğerleri diyagonal elemanlarına eişittir.
Örnek 3: 2x2 matrisin özdeğer problemi
x 
− 7 − 2  x1 
Ax = λ x → 
= λ  1  , λ=?



 2 − 2  x 2 
 x2 
x=?
4.3 ve 4.4 e göre
− 2   x1  0
− 7 − λ
− 7 − λ
=   , det 


 2

− 2 − λ   x 2  0

 2
−2 
= 0 olmalı.
− 2 − λ 
Hatırlatma: 2x2 matrisin determinantı=Diyagonal elemanların çarpımı - diğer diyagonal elemanların çarpımıdır.
−7−λ
−2
2
−2−λ
= 0 → (−7 − λ )(−2 − λ ) − 2 ⋅ (−2) = 0 → λ2 + 9λ + 18 = 0 → λ1 = −6, λ2 = −3
İki farklı özdeğer var, her biri katsayılar matrisi A nın determinantını sıfır yapar. 25.3 e göre
iki özdeğere karşılık iki farklı x1 ve x2 özvektörü olacaktır.
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
191
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
192
λ1=-6 özdeğeri homojen denklemde yerine konarak x1 hesaplanır:
x1
λ1
x1
− 2   x1  0
− 7 − (−6)
− 1 − 2  x1  0
− 1 − 2  x1  0
= →
=   → basit GAUSS → 
=







2
− 2 − (−6)  x2  0
4   x 2  0 
0   x 2  0

2
0
− 1 − 2  x1  0
=
0
0   x2  0

Son denklemde:
0x2=0 x2 serbest değişkendir, her değer
seçilebilir, x2=1 seçelim.
Birinci denklemden:
-1x1-2x2=0 dır -1x1-2.1=0
x1=-2 olur.
λ1=-6 özdeğerine ait
özvektör
- 2 
x1 =  
1
λ2=-3 özdeğeri homojen denklemde yerine konarak x2 hesaplanır:
x2
λ2
x2
− 2   x1  0 − 4 − 2  x1  0
− 7 − (−3)
− 4 − 2  x1  0
= →
=   → basit GAUSS → 
=







2
− 2 − (−3)  x 2  0  2
1   x 2  0
0   x 2  0

 0
− 4 − 2  x1  0
=
0
0   x 2  0

Son denklemde:
0x2=0 x2 serbest değişkendir, her değer
seçilebilir, x2=1 seçelim.
Birinci denklemden:
-4x1-2x2=0 dır -4x1-2.1=0
x1=-0.5 olur.
λ2=-3 özdeğerine ait
özvektör
- 0.5
x2 = 

 1 
Kontrol:
− 7 − 2 − 2
− 2
 12   12 
A x1 = λ1 x1 → 
= −6   →   =  



 2 − 2  1 
1 
 − 6  − 6
 − 7 − 2   − 0 .5 
 − 0 .5 
1.5  1.5 
A x 2 = λ2 x 2 → 
= − 3
→ = 




 2 − 2  1 
 1 
− 3 − 3
Örnek 4: Sanal özdeğerler
x 
− 2 − 2  x1 
Ax = λ x → 
= λ  1  , λ=?



 2 − 2  x 2 
 x2 
x=?
4.3 ve 4.4 e göre
− 2   x1   x1 
− 2 − λ
− 2 − λ
=   , det 


 2

− 2 − λ   x2   x2 

 2
−2 
= 0 olmalı.
− 2 − λ 
Hatırlatma: 2x2 matrisin determinantı=Diyagonal elemanların çarpımı - diğer diyagonal elemanların çarpımıdır.
−2−λ
−2
2
−2−λ
Hatırlatma:
= 0 → (−2 − λ )(−2 − λ ) − 2 ⋅ (−2) = 0 → λ2 + 4λ + 8 = 0 → λ1 = −2 − 2i, λ 2 = −2 + 2i
i = − 1, i 2 = −1 dır.
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
192
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
193
İki farklı sanal özdeğer var, her biri katsayılar matrisi A nın determinantını sıfır yapar. 25.3 e
göre her iki özdeğere karşılık iki farklı x1 ve x2 özvektörü olacaktır.
λ1=-2-2i özdeğeri homojen denklemde yerine konarak x1 hesaplanır:
λ1
x1
GAUSS’u kolayca uygulamak
için satırlar değiştirildi
x1
−2
− 2 − (−2 − 2i)
  x1  0
2i − 2  x1  0
 2 2i   x1  0
= →
= →







  =  
2
− 2 − (−2 − 2i)  x 2  0

 2 2i   x 2  0
2i − 2  x 2  0
Basit GAUSS
uygulandıktan sonra
2 2i   x1  0
 0 0   x  = 0 

 2   
λ1=-2-2i özdeğerine
ait özvektör
Son denklemde:
0x2=0 x2 serbest değişkendir, her değer
seçilebilir, x2=1 seçelim.
Birinci denklemden:
2x1+2ix2=0 dır 2x1+2.i. 1=0
-i 
x1 =  
1 
x1=-i olur.
λ2=-2+2i özdeğeri homojen denklemde yerine konarak x2 hesaplanır:
λ2
x2
x2
GAUSS’u kolayca uygulamak
için satırlar değiştirildi
−2
 2 − 2i   x1  0
− 2 − (−2 + 2i )
  x1  0
− 2i − 2   x1  0
= →
= →







  =  
2
− 2 − (−2 + 2i)  x 2  0

 2 − 2i   x 2  0
− 2i − 2   x 2  0
Basit GAUSS
uygulandıktan sonra
2 − 2i   x1  0
 0 0   x  = 0 

 2   
Son denklemde:
0x2=0 x2 serbest değişkendir, her değer
seçilebilir, x2=1 seçelim.
Birinci denklemden:
2x1-2ix2=0 dır 2x1-2.i. 1=0
x1=i olur.
λ2=-2+2i özdeğerine ait
özvektör
i 
x2 =  
1
Kontrol:
 − 2 − 2 − i 
− i 
 2i − 2   2i − 2 
= ( −2 − 2i )   → 
A x 1 = λ1 x1 → 



=

 2 − 2  1 
1
− 2i − 2 − 2i − 2
 − 2 − 2  i 
i 
− 2i − 2 − 2i − 2
A x 2 = λ2 x 2 → 
= (−2 + 2i )   → 



=

 2 − 2 1
1
 2i − 2   2i − 2 
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
193
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
194
Özdeterminant ve özdenklem
25.4 bağıntısı ile verilen
a11 − λ
a 21
det( A − λ I ) =
a12
...
a 22 − λ ...
.
a n1
a1n
a 2n
...
... a nn − λ
an2
=0
Determinantına özdeterminat veya karakteristik determinant denir. Sayısal örneklerden de
anlaşıldığı gibi, bu determinant hesaplandığında λ ya bağlı n. derece bir polinom elde edilir:
det( A − λ I ) = λn + a1λn −1 + a 2 λn − 2 + ... + a n −1λ + a n = 0
(25.5)
Bu polinoma özdenklem veya özpolinom veya karakteristik denklem denir. n. Dereceden
olan özdenklemin n tane kökü vardır. Dolayısıyla A nın determinantını sıfır yapan n tane
özdeğer vardır: λ1 , λ2 ,..., λn . Her bir özdeğere karşılık gelen n tane de özvektör x1, x2, …, xn
vardır.
Özdeğerler matrisi ve özvektörler matrisi
Her bir
λi ve xi çifti 25.1 özdeğer problemini sağlar:
Ax 1 = λ1 x 1
Ax 2 = λ2 x 2
A[x 1
...
... x n ] = [λ1 x1
x2
Ax n = λ n x n
λ 2 x 2 ... λ n x n ] → A X = X Λ
XΛ
X
AX = X Λ
Burada
Λ
 λ1

Λ=



ve
(25.6)
X
matrisleri


 , X = [x
1


λn 
λ2
.
x2
... x n ]
Özdeğer ve özvektörlerin bir araya toplandığı matrislerdir. Çoğu kez Λ matrisine spektral
matris X matrisine de modal matris adı verilir. Herhangi bir özdeğer sıfır olabileceğinden
Λ
−1
özdeğerler matrisi tekil olabilir, Λ her zaman tanımlı olmayabilir. Özvektörler 25.3 homojen
denklem sisteminin temel çözüm kümesidir ve doğrusal bağımsızdırlar. Dolayısıyla nxn
−1
boyutlu X modal matrisi tekil değildir, yani tersi X vardır.
Bu özellik nedeniyle, 25.6 ifadesi
X
−1
AX = X
−1
olduğu görülür.
AX X
−1
XΛ→ X
X
= X ΛX
−1
−1
−1
X
−1
ile soldan çarpılırsa
AX = Λ
(25.7)
ile sağdan çarpılırsa
→ A = X ΛX
−1
olur. Son özellik kullanılarak A nın n. Kuvveti için:
−1
−1
−1
−1
A = A A A... A A = X Λ X X Λ X X Λ X .... X Λ X X Λ X
n
A = XΛ X
n
n
−1
→ X Λ Λ Λ...Λ Λ X
−1
−1
Özvektörlerin doğrusal birleşimi:
yazılabilir.
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
194
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
195
xi özvektörünün herhangi bir gerçek ci sayısı ile çarpılması veya bölünmesi sonucunda elde
edilen yeni vektör de bir özvektördür. Çünkü cixi ile de
A(ci x i ) = λi (ci x i )
(25.8)
sağlanır. Bu önemli özellik nedeniyle, istenirse, ci herhangi bir gerçek sayı seçilebilir.
Özvektörlerin
~
x = c1 x 1 + c 2 x 2 + ... + c n x n
doğrusal birleştirilmesi ile oluşan yeni ~
x de bir özvektördür ve 25.1 i sağlar. Bu
açıklamalardan şu sonuca varılır: Herhangi bir Anxn matrisinin n tane özdeğeri, n tane temel
özvektörü, fakat sonsuz özvektörü vardır.
Normalleştirilmiş özvektör
25.8 deki ci katsayısının seçiminde uygulamada farklı yaklaşımlar vardır:
1. Basitliği nedeniyle, xi özvektörünün hesabı sırasında serbest değişken genellikle 1 alınır.
Bu ci=1 anlamındadır. ci=1 alınarak hesaplanan özvektör temel özvektördür. Yukarıdaki
sayısal örneklerin tümünde serbest değişkenler 1 seçilmişti.
2. Bazı uygulamalarda özvektörün en büyük elemanının 1 olması istenir. Bunun için, xi
temel özvektörü hesaplandıktan sonra, xi nin elemanlarından mutlak değeri en büyük
olan sayı ci olarak alınır, xi nin tüm elemanları ci ye bölünür. Oluşan yeni özvektörün en
büyük elemanı 1 olur. Bu yolla hesaplanan özvektöre normalleştirilmiş özvektör denir.
Önceki sayfalarda verilen örnek 2 den:
Normalleştirilmiş özvektör
Temel özvektör
1
 - 1.75 
 - 1.75  

1 




~
x 3 = - 0.25 → c 3 = −1.75 → x 3 =
- 0.25 =  0.142857 
− 1.75 
 1 
 1  - 0.571429
Hem
x3
hem de
~
x 3 örnek 2 deki
özdeğer problemini sağlarlar.
3. Bazı uygulamalarda xi temel özvektörü hesaplandıktan sonra xi nin uzunluğunun 1 olması
istenir. Genel olarak; herhangi bir x= [x1
x2
…
xn]T vektörünün uzunluğu
T
x = x x = x12 + x 22 + ... + x n2 ile tanımlanır. x vektörünün uzunluğunu 1 yapmak için sabit
bir c sayısı ile çarpmak gerekir:
x = c( x )(c x) = c 2 ( x12 + x 22 + ... + x n2 ) = 1 → c x12 + x 22 + ... + x n2 = 1 → c =
1
T
x + x + ... + x n2
2
1
2
2
dir. ~
x = c x ile hesaplanacak yeni vektörün uzunluğu 1 olacaktır:
~
x=
 x1 
x 
1
 2
2
2
2  . 
x1 + x 2 + ... + x n
 
 xn 
Demek ki bir vektörün uzunluğunun 1 olması istenirse o vektörün elemanlarını o vektörün
uzunluğuna bölmek gerekir. Önceki sayfalarda verilen örnek 2 den:
 - 1.75 
x3 özvektörünün uzunluğu
x 3 = - 0.25 → x 3 = 1.75 2 + 0.25 2 + 12 = 2.031010
 1 
 - 1.75  - 0.861640
~
1
- 0.25 =  - 0.123091 Hem x 3 hem de x 3 örnek 2 deki özdeğer
~
x3 =
 
 problemini sağlarlar.
2.031010 
 1   0.492366 
x3 ün uzunluğu
x3
Uzunluğu 1 olan
yeni özvektör
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
195
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
196
T
~
x = ~
x3 ~
x = 0.8616402 + 0.1230912 + 0.4923662 = 0.999999 ≈ 1
Kontrol:
Özdeğer ve özvektörlerin bazı önemli özellikleri
1.
Özdeğer problemi sadece kare matrisler için tanımlıdır.
2.
Anxn matrisinin daima n tane özdeğeri,
3.
λi
4.
Her λi özdeğerine karşılık gelen bir xi özvektörü vardır.
λ1 , λ2 ,..., λn vardır.
özdeğeri A matrisinin determinantını sıfır yapar.
λi ve
xi çifti beraber
( A − λi I ) x i = 0
bağıntısını
sağlar.
5.
Özdeğerler pozitif, negatif, sıfır gerçek sayıları olabildiği gibi sanal sayılar da olabilir.
6.
Özvektörlerin elemanları gerçek ve sanal sayılardan oluşabilir.
7.
Elemanları gerçek sayılardan oluşan A simetrik (AT=A) ise, tüm özdeğerler de gerçek sayılardan oluşur.
Simetrik matrisin özvektörleri ortogonaldır: XTX=I
8.
A simetrik (AT=A) ve pozitif tanımlı ise tüm özdeğerler de pozitiftir.
9.
Bazı özdeğerler birbirine eşit olabilir. Fakat Eşit özdeğerlerin özvektörleri mutlaka farklıdır. Çünkü
özvektörler doğrusal bağımsızdır. Örneğin
1

 1 



1
birim matrisinde
λ1 = λ2 = λ3 = 1
ve özvektörler
1 
0 
0 




,
,
x1 = 0 x 2 = 1 x 3 = 0
0
0
1
dır. Görüldüğü gibi, özdeğerler birbirine eşit fakat özvektörler birbirinden farklıdır.
10. xi özvektörünün herhangi bir gerçek c sayısı ile çarpılması veya bölünmesi sonucunda elde edilen yeni
vektör de bir özvektördür. Yanı yeni vektör cxi ile de
( A − λi I )(c x i ) = 0 sağlanır.
Bu önemli özellik
nedeniyle, istenirse, c herhangi bir gerçek sayı seçilebilir.
11. A ve AT aynı özdeğerlere sahiptir, fakat özvektörleri genelde farklıdır.
12. Anxn ve Bnxn kare matrisler olmak üzere A B ve B A matrisleri aynı özdeğerlere sahiptir.
13. A nın özdeğeri
λi
ise A -1 in özdeğeri
1 λi
dir.
λi = 0
durumunda
1 λi
tanımsızdır, bu ise A nın tekil ve
A-1 in olmadığı anlamındadır.
14. Anxn matrisinin izi özdeğerlerin toplamına eşittir:
İz A=a11+ a22+…+ ann= λ1
+ λ 2 + ... + λ n .
15. Anxn matrisinin determinantı özdeğerlerin çarpımına eşittir:
det A= λ
1
⋅ λ2 ⋅ ... ⋅ λn .
Dolayısıyla, özdeğerlerden herhangi biri sıfırsa,
λi = 0
, det A=0 dır ve A-1 tanımsızdır.
Özdeğer ve özvektörün geometrik yorumu
A x=λx bağıntısından hesaplan λ özdeğeri ve x özvektörü şu şekilde yorumlanabilir: A matrisi x vektörünü λ
kadar büyütmekte veya küçültmektedir. x vektörünün doğrultusu değişmemekte fakat yönü değişebilmektedir.
λ pozitif ise x ve λx aynı yönde, aksi hale ters yöndedirler.
x
x
x
x
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
196
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
197
Örnek 5: 3x3 matrisin özdeğer problemi
 3 −1 0 
A = − 1 2 − 1 verildiğine göre ( A − λ I ) x = 0 özdeğer problemini çözünüz.
 0 − 1 3 
Bu şu anlama gelmektedir: A nın determinantını sıfır yapan λ1 , λ2 , λ3 özdeğerlerini ve her bir
özdeğere ait x1 , x 2 , x 3 vektörlerini, ( A − λi I ) x i = 0 bağıntısını sağlayacak şekilde, bulunuz.
Özdeğerlerin hesabı:
0   x1  0
3 − λ − 1
 − 1 2 − λ − 1   x  = 0 

 2   
 0
− 1 3 − λ   x3  0
( A − λ I )x = 0
x≠0 çözümü arandığından,
determinantı sıfır olmalıdır:
3 − λ
f (λ ) = det  − 1
 0
bu
bağıntının
Özdeğer problemi
sağlanabilmesi
için,
katsayılar
matrisinin
−1
0 
2 − λ − 1  = 0
− 1 3 − λ 
Laplace açılımı(1.kolona göre):
f (λ ) = (−1) (1+1) (3 − λ )
2−λ
−1
+ (−1) (1+ 2 ) (−1)
−1 3 − λ
f (λ ) = (3 − λ )[(2 − λ )(3 − λ ) − 1] + (−3 + λ ) = 0
f (λ ) = −λ3 + 8λ2 − 19λ + 12 = 0
Son
terimin
−1
0
−1 3 − λ
=0
Özdenklemin MÜLLER programı ile bulunan
kökleri(Bak: Bölüm 36, sayfa 294)
özdenklem
1.3.4=12
çarpanlarından
kökler λ1 = 1, λ2 = 3, λ3 = 4 bulunur.
Bunlar
A
nın
özdeğerleridir, A nın determinantını sıfır yaparlar. Özdenklemin kökleri uygun bir programla
da bulunabilir, derecesi 5 ve yukarı olan problemlerde zaten başka çare yoktur(kök bulma
programları için bak: bölüm 36).
Özvektörlerin hesabı:
x i özvektöleri ( A − λi I ) x i = 0 homojen denkleminden hesaplanır. En uygun yöntem GAUSS
indirgeme metodudur. İndirgeme sonucunda A − λi I katsayılar matrisi eşdeğer bir üst üçgen
matrise dönüşür. Üçgen matrisin diyagonal elemanı sıfır olur. Bu determinantın sıfır olduğu
anlamındadır. Sıfır diyagonale ve karşı tarafa herhangi bir sabit ci sayısı yazılır. Bu
özvektörün ci katının da bir özvektör olduğu özelliğinden yararlandığımız anlamına gelir.
Basitliği nedeniyle çoğu kez ci=1 tercih edilir. Yukarı doğru hesap yapılarak özvektörün tüm
terimleri belirlenir.
λ1 = 1 için özvektörün hesabı:
3 − λ
 −1

 0
−1
2−λ
−1
0   x1  0
− 1   x2  = 0
3 − λ   x3  0
{
λ = λ1 = 1 alınır.
.
x1
0   x1  0 
3 − 1 − 1
 − 1 2 − 1 − 1   x  = 0

 2   
 0
− 1 3 − 1  x3  0 
{
x1
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
197
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
 2 − 1 0   x1  0
− 1 1 − 1  x  = 0

 2   
 0 − 1 2   x3  0
 x1  1 
x1 =  x2  =  2 
 x3  1 
Homojen denklem sistemi
GAUSS ile indirgenir.
2 − 1 0   x1  0
0 0.5 − 1  x  = 0

 2   
0 0
0   x3  0
λ1 = 1
1   0 . 5 
1   
~
x 1 = 2 =  1 
2
1  0.5
3.diyagonal sıfırdır. x3 serbest
değişkendir. Diyagonale ve karşı
tarafa 1 yazılır: 1.x3=1
2 − 1 0   x1  0
0 0.5 − 1  x  = 0

 2   
0 0
1   x3   1 
198
e ait temel özvektör
Normalleştirilmiş özvektör
(en büyük terim=1)
Normalleştirilmiş özvektör
(uzunluğu=1)
1  0.408248 
2 = 0.816497 


2
2
2  
1 + 2 + 1 1  0.408248 
  

1
~
x1 =
Yukarı doğru hesap ile tüm
bilinmeyenler belirlenir
λ2 = 3 için özvektörün hesabı:
3 − λ
 −1

 0
−1
2−λ
−1
0   x1  0
− 1   x 2  = 0
3 − λ   x3  0
0   x1  0
3 − 3 − 1
 − 1 2 − 3 − 1   x  = 0 

 2   
 0
− 1 3 − 3  x 3  0
{
 0 − 1 0   x1  0
− 1 − 1 − 1  x  = 0

 2   
 0 − 1 0   x3  0
Homojen denklem
sistemi GAUSS ile
indirgenir.
x2
GAUSS ile:
− 1 − 1 − 1  x1  0
 0 − 1 0   x  = 0 

 2   
 0 − 1 0   x3  0
− 1 − 1 − 1  x1  0
 0 − 1 0   x  = 0

 2   
 0 0 0   x3  0
− 1 − 1 − 1  x1  0
 0 − 1 0   x  = 0 

 2   
1   x3   1 
 0 0
Normalleştirilmiş özvektör
(en büyük terim=1)
λ2 = 3 e ait
− 1  1 
 x1  − 1 temel özvektör
1    




~
x 2 = x2  =  0 
x2 =
0 = 0
−1   
 1  − 1
 x 3   1 
~
x2 =
3.diyagonal sıfırdır. x3 serbest
değişkendir. Diyagonale ve karşı
tarafa 1 yazılır: 1.x3=1. Yukarı
doğru hesap ile tüm bilinmeyenler
belirlenir.
Normalleştirilmiş özvektör
(uzunluğu=1)
− 1 − 0.707108
0=

0
  

12 + 0 + 12   
 1   0.707108 
1
λ3 = 4 için özvektörün hesabı:
3 − λ
 −1

 0
−1
2−λ
−1
0   x1  0
− 1   x 2  = 0
3 − λ   x3  0
0   x1  0
3 − 4 − 1
 − 1 2 − 4 − 1   x  = 0 

 2   
 0
− 1 3 − 4  x 3  0
{
− 1 − 1 0   x1  0
− 1 − 2 − 1  x  = 0

 2   
 0 − 1 − 1  x3  0
Homojen denklem
sistemi GAUSS ile
indirgenir.
x3
GAUSS ile:
− 1 − 1 0   x1  0
 0 − 1 − 1  x  = 0

 2   
 0 − 1 − 1  x3  0
λ3 = 4
− 1 − 1 0   x1  0
 0 − 1 − 1  x  = 0

 2   
 0 0 0   x 3  0
e ait
Normalleştirilmiş özvektör
(en büyük terim=1)
temel özvektör
 x1   1 
x 3 =  x 2  = − 1
 x 3   1 
− 1 − 1 0   x1  0
 0 − 1 − 1  x  = 0

 2   
 0 0
1   x 3   1 
1 1
1   
~
x 3 =  − 1 =  − 1
1
 1   1 
~
x3 =
3.diyagonal sıfırdır. x3 serbest
değişkendir. Diyagonale ve karşı
tarafa 1 yazılır: 1.x3=1. Yukarı
doğru hesap ile tüm bilinmeyenler
belirlenir.
Normalleştirilmiş özvektör
(uzunluğu=1)
 1   0.577350 
 − 1 =  − 0.577350
  

12 + 12 + 12  1   0.577350 
  

1
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
198
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
199
Özdeğerler matrisi ve temel özvektörler matrisi:
Özdeğerler matrisi
1 − 1 1 
X = 2 0 − 1
1 1
1 
1


Λ =  3  ,

4
Normalleştirilmiş modal
matris(en büyük eleman=1)
Modal matris
(temel özvektörler)
Normalleştirilmiş modal matris
(her vektörün uzunluğu=1)
0.408248 − 0.707108 0.577350 
~ 
X = 0.816497
0
− 0.577350
0.408248 − 0.707108 0.577350 
1
 0. 5 1
~ 
X = 1
0 − 1 ,
0.5 − 1 1 
~
~
Kontrol: A X = X Λ ve A X = X Λ ile çözümler kontrol edilebilir.
Özdeğer problemi çözüm metotları
Özdeğer problemi, sayfa 158 de açıklandığı gibi, 1. determinant hesabı 2. homojen denklem
sistemi çözümünden ibarettir. Çözümün yükü ve zorluğu özdeğerlerin belirlenmesindedir.
Çözüm için direkt ve iterasyon metotları kullanılmaktadır.
Direkt metotlar bir takım işlemler sonrası 25.5 bağıntısında verilen özdenklemi kurar ve
çözerler. Büyük denklem sistemleri için uygun değildirler. Çünkü n. derece olan
özdenklem≡özpolinomun n tane kökünün bulunması büyük nümerik sorunlar yaratır. Çok
basit bir örnek ile açıklayalım:
Özdeğerler
Özvektörler
100

1

 x1 
100
  x1 


 1

x 

x 
110
110




 2

 2 




120
1
 x3 

  x3 
120
A=
, X = 

  = λ   → Λ = 
130
1
x
x
130




 4

 4 



 x5 

  x5 
140
1 
140




 

 
150
1

150  x6 


 x6 
Diyagonal katsayılı özdeğer probleminin 6 adet özdeğeri,
elemanlarına eşittir. Özvektörleri de birim matristir. Özdenklem
bilindiği
gibi,
diyagonal
100 − λ
110 − λ
det( A − λ I ) =
120 − λ
130 − λ
140 − λ
150 − λ
det( A − λ I ) = (100 − λ )(110 − λ )((120 − λ )(130 − λ )(140 − λ )(150 − λ ) = 0
λ 6 − 750 λ 5 + 233500 λ 4 − 38625000 λ 3 + 3580240000 λ 2 − 176310000000 λ + 3603600000000 = 0
dır. Görüldüğü gibi, bu çok basit ve çok küçük problemde bile polinomun katsayıları çok
büyüktür. 6 adet λi özdeğerlerinin bu polinomdan hesaplanması yuvarlama hatalarının çok
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
199
25. STANDART ÖZDEĞER PROBLEMİ
200
büyük olacağı anlamındadır. Çok büyük özdeğer problemlerinde sayı taşması kaçınılmazdır.
Bu nedenle, büyük boyutlu özdeğer problemlerinde, iterasyon yöntemleri tercih edilir.
Çok sayıdaki iterasyon yöntemlerinden determinant arama, power(MISES), invers power,
JACOBI, ARNOLDI, LANCZOS, QR, HOUSEHOLDER, GIVENS gibi metotlarının adı verilebilir.
İterasyon yöntemleri el hesapları için fazlasıyla karmaşıktır. Bu nedenle adı, geçen
yöntemlerin teorisi yerine sadece bazı yöntemlerin programları verilecektir(Bak: bölüm 27)
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
200