ünite 8
Transkript
ünite 8
Hipotez testleri-Oran testi Oran Testi Herhangi bir oranın belli bir değere eşit olmadığını test etmek için kullanılır. Örnek: Yüz defa atılan bir para 34 defa yazı gelmiştir. Paranın yazı gelme olasılığının % 50 olduğu bilindiğine göre bu oranın % 50’den küçük olup olmadığını test ediniz ve sonucu yorumlayınız. Çözüm: Ho: p=0.5 Hı : p<0.5 α=0.01 bilinenler p = 0.5 q = 1 − p = 1 − 0.5 = 0.5 pˆ = 0.34 Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Oran testi pˆ − p 0.34 − 0.5 − 0.16 = −3.2 z= = = 0.05 pq 0.5 * 0.5 n 100 0.49 H0 hipotezi RED edilir. Parada yazı gelme oranı % 50’nin altındadır, para hilelidir. 0.01 -3.2 -2.33 0 Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Oran testi Örnek: bir fabrika tarafından üretilen malların % 15 inin kusurlu olduğu bilinmektedir. Bu mallar arasından rasgele seçilen 120 parçadan 15 inin kusurlu olduğu saptanmıştır. Buna göre %5 önem seviyesinde fabrikanın ürettiği malların %15 in altında kusurlu olduğunu söylenebilir mi? Test ediniz ve yorumlayınız? Çözüm: H0:p=0.15 H1:p<0.15 pˆ − p 0 . 125 − 0 . 15 − 0 . 025 z = = = = − 0 . 767 0 . 0326 pq 0 . 15 * 0 . 85 n 120 pˆ = n A 15 = = 0.125 N 120 Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Oran testi 0.45 0.05 -1.645 -0.767 H0 hipotezi RED edilmez. Fabrikaların iddia ettiği gibi mallardaki kusurluların oranı % 15’den farklı değildir. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Oran testi Örnek: Bir ayçiçeği çeşidinden tohumların çimlenme gücünün % 70 olduğu bildirilmektedir. Bir araştırıcı bu tohumlardan 200 tanesiyle yapmış olduğu denemede 165 tanesinin çimlendiğini gözlemiştir. Buna göre bu tohumların çimlenme gücünün % 70 olup olmadığını test ediniz ve sonucu yorumlayınız. Örnek: Bir ilde yapılacak belediye başkanı seçimlerinde A şahsının kazanma olasılığının % 30 olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı test için 400 kişi ile yapılan ankette 185 kişinin A şahsını desteklediği görülmüştür. Buna göre yukarıdaki iddianın doğru olup olmadığını test ediniz ve sonucu yorumlayınız. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-iki grubun mukayesesi İki grubun mukayesesi yöntemi Bu yöntemde ortalamaları karşılaştırılacak iki örneğin ya bir populasyondan birbirinden bağımsız olarak rastgele alınan iki örnek yada varyansları aynı olan iki farklı populasyondan ayrı ayrı alınmış iki örnek olduğu varsayılır. Pop 1 Örn1 Pop 1 σ 12 = σ 22 Pop 2 Örn2 Örn 1 Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Örn 2 Hipotez testleri-iki grubun mukayesesi Hipotezler; Ho : μ A − μ B = 0 ⇒ μ A = μ B Hı : μ A − μ B ≠ 0 ⇒ μ A ≠ μ B Ho : μ A − μ B = 0 ⇒ μ A = μ B Hı : μ A − μ B < 0 ⇒ μ A < μ B Çift yönlü Tek yönlü Ho : μ A − μ B = 0 ⇒ μ A = μ B Hı : μ A − μ B > 0 ⇒ μ A > μ B Tek yönlü Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-iki grubun mukayesesi Kullanılacak test istatistiğinin seçimi için populasyon varyansına ve örnek genişliğine bakılır.~ Eğer populasyon varyansı σ2 biliniyorsa; z= ( x A − xB ) − ( μ A − μ B ) σx A − xB Eğer populasyon varyansı σ2 bilinmiyorsa; nA≥30 ve nB≥30 Z= ( x A − xB ) − ( μ A − μ B ) ~ Zα S x A − xB Burada S x A − xB 1 1 = S ( + ) n A nB 2 ort , t= nA<30 ve nB<30 ( x A − xB ) − ( μ A − μ B ) ~ t n A + nB − 2,α S x A − xB 2 S ort (n A − 1) S A2 + (nB − 1) S B2 = n A + nB − 2 Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-iki grubun mukayesesi Örnek: İki farklı gübrenin domates verimine etkisi araştırılıyor. Buna göre iki gübre arasında verime etkileri bakımından fark var mıdır? Test ediniz ve sonucu yorumlayınız. Amonyum Sülfat (A) 8 12 15 9 12 Üre (B) 8 10 7 6 9 10 ∑x A = 66 x A = 11 S A2 = 6.4 ∑x B = 40 xB = 8 S B2 = 2.5 Çözüm: Ho : μ A − μ B = 0 ⇒ μ A = μ B Hı : μ A − μ B ≠ 0 ⇒ μ A ≠ μ B Populasyon varyansı σ2 bilinmiyor ve nA<30 ve nB<30 olduğundan, t= 2 S ort ( x A − xB ) − ( μ A − μ B ) = S x A − xB (11 − 8) − 0 3 3 = = = 2.29 1.31 1 1 1 1 2 4.67( + ) S ort ( + ) 6 5 n A nB (n A − 1) S A2 + (nB − 1) S B2 (6 − 1) * 6.4 + (5 − 1) * 2.5 42 = = = = 4.67 6+5−2 9 n A + nB − 2 Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-iki grubun mukayesesi α=0.05/2=0.025 alınırsa t n A + nB − 2,α / 2 = t6+5− 2,0.05 / 2 = t9,0.025 = 2.262 -2.262 2.262 2.29 H0 hipotezi RED edilir. İki gübre arasında domates verimine etkileri bakımından istatistik olarak önemli fark vardır (P<0.05). Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-iki grubun mukayesesi Örnek: 4 ve 5 yaşlı ağaçların meyve verimi ile ilgili olarak aşağıdaki bilgiler mevcuttur. Buna göre 4 ve 5 yaşlı ağaçlar arasında meyve verimi bakımından fark var mıdır? Test ediniz ve sonucu yorumlayınız. n x ± Sx 4 yaş 4 3.85±0.646 5 yaş 5 4.15±0.842 Örnek: Tütün yapraklarına uygulanan iki ayrı ilacın yapraklarda oluşturduğu leke miktarları aşağıdaki gibidir. Buna göre iki ilacın birbirlerinden farklı olup olmadığını test ediniz ve sonucu yorumlayınız. A 19 12 14 13 B 13 11 10 12 14 Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER 12 Hipotez testleri-Eş yapma yöntemi Eş-Yapma Yöntemi Deneme üniteleri çifti tesadüfi olmaktan ziyade doğal olarak eş durumunda ise uygulanacak yöntem eşli karşılaştırma yöntemidir. Bu yöntem deneysel hatayı küçültmek için uygulanır. Eş yapma yönteminde aynı birey üzerinden değişik şartlarda alınan ölçümler veya doğal olarak eş durumunda olan bireylerden elde edilen iki değer karşılaştırılır. Örnek: -Bir öğrencinin sınavdan önceki ve sınavdan sonraki nabzının ölçülmesi -Tek yumurta ikizlerinin farklı muamelelere tabii tutulması Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Eş yapma yöntemi Hipotezler Gözlem no A B di=(A-B) 1 x1 y1 d1=x1-y1 2 x2 y2 d2=x2-y2 . . . . . . . . . . . . n xn yn dn=xn-yn Toplam ∑x ∑y i d −δ t= ~ t n -1,α Sd , i ∑d i d ∑ d= i , n Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Ho : δ = 0 Çift yönlü Hı : δ ≠ 0 Ho : δ = 0 Tek yönlü Hı : δ < 0 Ho : δ = 0 Tek yönlü Hı : δ > 0 S d = S d2 Hipotez testleri-Eş yapma yöntemi Örnek: 10 adet ikiz kuzu besi denemesine alınıyor. İkizlerden birisine A rasyonu diğerine ise A rasyonu+A vit. Uygulanıyor. Her iki gruptaki kuzuların canlı ağırlık artışı tablodaki gibi bulunuyor. Buna göre canlı ağırlık kazandırma açısından her iki yem arasında farklılık olup olmadığını test ediniz? Sonuçlarını yorumlayınız? A B (A Rasy.) (A Ras+Avit) d=(A-B) 12.9 12.5 0.4 13.5 13.4 0.1 12.4 12.6 -0.2 13.2 13.8 -0.6 9.5 9.8 -0.3 11.4 11.3 0.1 13.3 13.7 -0.4 12.1 12.3 -0.2 11.6 11.5 0.1 14.2 14.6 -0.4 Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Eş yapma yöntemi Hipotezler H0 :δ = 0 H1 : δ ≠ 0 1 .4 d =− = − 0 . 14 10 d − (∑ d ) ∑ = 2 2 S 2 d n −1 /n 1.04 − (−1.4) 2 / 10 = = 0.094 9 d − δ − 0.14 − 0 = = −1.44 t= Sd 0.094 10 H0 hipotezi RED edilmez. Canlı ağırlık kazandırma açısından her iki yem arasında farklılık yoktur. −2.262 Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER t10 −1,α / 2 = t 9, 0.025 = 2.262 Hipotez testleri-Eş yapma yöntemi Örnek: İki ayrı mikroorganizma türünün tütün yapraklarında oluşturdukları çürümeleri karşılaştırmak amacıyla yapılan bir denemede tütün yaprakları ortadan iki kısma ayrılmış ve her bir kısma farklı türdeki mikroorganizma aşılanmıştır. Belirli bir süre sonra 7 yaprakta ölçülen mikroorganizma koloni sayısı tablodaki gibi bulunmuştur. I. Tür II.Tür d 61 58 3 59 67 -8 62 61 1 65 56 9 60 60 0 71 70 1 61 68 -7 Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Eş yapma yöntemi d − (∑ d ) ∑ = 2 2 S 2 d n −1 /n = 34.14 d − δ − 0.14 − 0 t= = = −0.065 Sd 34.14 7 H0 RED edilmez. Mikroorganizmalar arasında tütün yapraklarında oluşturdukları çürümeler bakımından fark yoktur. − 2.447 Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER t6 , 0.025 = 2.447 Hipotez testleri-Ki kare testi Kİ KARE TESTİ Kalitatif karakterleri analiz etmek için kullanılan bir testtir. Ki kare dağılışı Z dağılışından türetilmiş bir dağılıştır. Standart z değerlerinin kareleri ki kare dağılışı gösterir. 2 ⎛X −μ⎞ ⎟⎟ ~ χ 12 z 2 = ⎜⎜ ⎝ σ ⎠ 2 ⎛ X −μ⎞ ⎟⎟ ~ χ n2 σ ⎠ i =1 ⎝ n χ n2 = ∑ ⎜⎜ 1 serbestlik dereceli ki kare dağılışı gösterir n tane z2 dağılışının toplamı n inci serbestlik derecesinde ki kare dağılışını gösteriyor. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Ki kare testi Ki Kare Dağılışı v=2 v=5 Dağılışın grafiği sağa çarpık bir görüntü oluşturur. Serbestlik derecesi azaldıkça çarpıklık artar. Serbestlik derecesi arttıkça grafik simetrikleşir ve normal dağılışa yakın bir dağılış gösterir. Bu nedenle ki kare testinde hipotez tek yönlü kurulur. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Ki kare testi Dağılışın yoğunluk fonksiyonu f ( χ 2 ) = k ( χ 2 )1 / 2 ( n − 2 ) .e − x2 2 Şeklindedir. Burada k: eğrinin altında kalan alanı 1 e eşitlemeye yarayan bir sabit sayıdır. Ki Kare Test Değerinin Hesaplanması 2 ⎡ ⎤ ( ) − Gözlenen Beklenen 2 2 χ = ∑⎢ ~ χ ⎥ k −1,α Beklenen i =1 ⎣ ⎦ k Şeklindedir. Burada k sınıf sayısını göstermektedir. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Ki kare testi Uyum Testi (Beklenen ile gözlenen frekanslar arasındaki uyum) Örnek: Bir para denemesinde para 100 kez atılmış ve aşağıdaki sonuçlar bulunmuştur. Bu sonuçlara göre para hilelimidir? Test ediniz. Yazı Tura Toplam Gözlenen 70 30 100 Beklenen 50 50 100 Çözüm: H0:py=pt=0.5 para hilesizdir. H1:py≠pt=0.5 para hilelidir. H0 hipotezini doğru sayarak beklenen değerler hesaplanırz. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Ki kare testi Beklenen değerlerin hesaplanması By = p y * n Bt = pt * n B y = 1 / 2 *100 = 50 Bt = 1 / 2 * 100 = 50 2 2 ( ) ( ) 70 − 50 30 − 50 χ2 = + 50 Cetvel değeri 50 = 16 > 3.841 χ 22−1,0.05 = 3.841 H0 hipotezi RED edilir. Para Hilelidir. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Ki kare testi Örnek 2: Aşağıda tabloda verilen F2 lerin mendel 9:3:3:1 açılımına uygunluğunu test ediniz. F2 Gözlenen Beklenen 126 145.7 Uzun Basit 66 48.6 Yuv. Bileşik 63 48.6 Uzun Bileşik 4 16.1 Yuvarlak basit Beklenen değerlerin hesaplanması 9 * 259 = 145.7 16 3 B2 = * 259 = 48.6 16 B1 = 3 * 259 = 48.6 16 1 B4 = * 259 = 16.1 16 B3 = Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Ki kare testi 2 2 2 ⎡ ⎤ ( ) G B ( − ) ( 126 − 145 . 7 ) 4 − 16 . 1 i χ2 = ∑⎢ i + ... + = 22.34 ⎥= Bi 145.7 16.1 i =1 ⎣ ⎦ 4 Cetvel değeri χ42−1,0.05 = 7.81 Hesap değerinden küçük olduğu için H0 hipotezi RED edilir. Bu sonuca göre F2 lerin açılımları 9:3:3:1 açılımına Uygun değildir. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Ki kare testi İki Yönlü Tablolar İçin Uyumluluk Testi B B1 B2 . . . Bs A1 g11 g21 . . . gs1 g.1 A2 g12 g22 . . . gs2 g.2 A A3 g13 g23 . . . gs3 g.3 Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER . . . Ac g1c g2c . . . gsc g.c g1. g2. gs. g.. Hipotez testleri-Ki kare testi Hipotezler, H0: A ve B karakterleri birbirinden bağımsızdır H1: Her iki karakter birbirine bağımlıdır. Beklenen Değerlerin Hesaplanması Bij = g i. * g . j g.. Ki kare hesap değerinin bulunuşu 2 ⎡ ( Gi − Bi ) ⎤ 2 2 χ = ∑∑ ⎢ ~ χ ⎥ ( s −1)( c −1),α Bi i =1 j =1 ⎣ ⎦ s c şeklindedir. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Ki kare testi ***2 satır ve 2 sütun olduğunda serbestlik derecesi 1 olduğu için dağılış ki kare dağılışına yaklaşmıyor. Bu durumda bir düzeltme katsayısı kullanılır. 2 ⎡ ⎤ ( ) 0 . 5 G B − − i i 2 2 χ = ∑∑ ⎢ ⎥ ~ χ ( s −1)( c −1),α B i =1 j =1 ⎢ ⎥⎦ i ⎣ s c Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Hipotez testleri-Ki kare testi Örnek: Bir alanda iki ağaç çeşidinden karınca istilasına uğrama bakımından dağılım aşağıdaki gibi bulunmuştur. Bu gözlemlere göre karınca istilasına uğrama olayı ağaç çeşidine bağlımıdır test ediniz sonuçlarını yorumlayınız. Uğramış Uğramamış Toplam A 2 3.8 6 4.2 8 B 17 15.2 15 16.8 32 Toplam 19 21 40 32 *19 32 * 21 19 * 8 8 * 21 B = = 15 . 2 ; B = = 16.8 B11 = = 3.8; B12 = = 4. 2 21 22 40 40 40 40 2 2 2 ⎤ ⎡ ( ) ( ) ( ) 2 − 3.8 − 0.5 15 − 16.8 − 0.5 G − Bi − 0.5 χ 2 = ∑∑ ⎢ i + ... + = 2.03 ⎥= 3.8 16.8 Bi i =1 j =1 ⎢ ⎥⎦ ⎣ s c Cetvel değeri χ12,0.05 = 3.84 H0 hipotezi RED EDİLMEZ. İki karakter birbirinden bağımsızdır. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER