GEOMETR K TOPOLOJ
Transkript
GEOMETR K TOPOLOJ
GEOMETRK TOPOLOJ Prof. Dr. smet KARACA Ders Notlar çindekiler 1 2 3 MANFOLDLAR 4 1.1 Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Diferensiyellenebilir Yaplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Diferensiyellenebilir Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Tanjant Uzay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Al³trmalar 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . YÜZEYLER 11 2.1 Kulplu Yüzeyler(Handled Surfaces) . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Çapraz Yüzeyler(Cross Cap Surfaces) . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Yönlü Yüzeyler(Orientable Surfaces) 13 YÜZEYLERN SINIFLANDIRILMASI 3.1 14 Ba§ntl Toplam(Topolojik Toplam) (Connected Sum) 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Kompakt Yüzeylerin Snandrlmas . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Kompakt Yüzeylerin Üçgenle³tirilmesi . . . . . . . . . . . . . 15 3.4 Euler Karakteristi§i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.5 Yüzeyler Cebiri 22 3.6 Ekli Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.7 Al³trmalar 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TOPOLOJK GRUPLAR, GRUP HAREKET, LE GRUPLARI 26 4.1 Topolo jik Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Grup Hareketi ve Orbit Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3 Lie Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.4 Lie Cebirleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.5 Al³trmalar 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 6 7 SMPLEKSLER 41 5.1 Ane Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2 Simplisiyal Kompleksler 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SMPLSYAL HOMOLOJ GRUPLARI 55 6.1 Serbest Abel Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.2 Simplisiyal Zincir Kompleksler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.3 Simplisiyal Homolo ji Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.4 Simplisiyal Kompleksin Euler Karakteristi§i . . . . . . . . . . 70 6.5 Homoloji ve Simplisiyal Dönü³ümler . . . . . . . . . . . . . . DÜÜM TEORS 72 73 7.1 Dü§ümler, Zincirler, Diya§ramlar 7.2 Reidemeister Hareketleri 7.3 Dü§üm Renklendirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.4 Dü§üm Renklendirmesine Sistamik Yakla³m . . . . . . . . . . 83 7.5 Aynalar VE Dü§üm Kodlamas 85 7.5.1 Dü§üm Kodlamas 7.6 Alexander Polinomu 7.7 Dü§üm Toplamlar 7.8 DNA'ya Ksa Bak³ 7.9 Tangle . . . . . . . . . . . . . . . . 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.10 Tangle ³lemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.11 4-Plat 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.12 Tangle Denklemlerinin Çözümü . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.13 Özel Bölgeli Rekombimasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.14 Tangle Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.15 Örnek 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ekil Listesi 1.1 Koordinat Dönü³ümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 diferansiyellenebilir fonksiyon 7 1.3 diferensiyellenebilir fonksiyonlarn bile³keleri de diferensiyellenebilirdir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1 Küre 0-kulpludur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Tor 1-kulpludur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 2-kulplu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 g-kulplu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1-çapraz yüzeydir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 3.1 RP 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 RP 2 # RP 2 ≈ Kb 3.3 Torun iki farkl üçgenle³tirilmesi 3.4 Projektif düzlemin üçgenle³tirilmesi . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.5 Küpün üçgenle³tirilmesi 16 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kürenin üçgenle³tirilmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RP 2 # T . . . . . RP 2 # RP 2 . . . . RP 2 # RP 2 # RP 2 S 1 #S 1 . . . . . . . 3.11 Koni dönü³ümü 15 15 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.13 Silindir dönü³ümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7.1 trefoil dü§ümü- sekiz dü§ümü -kare dü§ümü . . . . . . . . . . 75 7.2 hoph zinciri- whitehead zinciri - borromean zinciri . . . . . . . 76 7.3 uygun çaprazlama-kötü çaprazlama . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.4 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.12 Süspansiyon 7.5 ve 31 Tangle Örnekleri a.Rasyonel b.A³ikar c.Asal d.Yerel Dü§ümlenmi³ 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4-plat çizimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3 Bölüm 1 MANFOLDLAR 1.1 Manifold Tanm 1.1.1. (Manifold) M bir topolojik uzay olsun. A³a§idaki ko³ullar sa§layan M topolojik uzayna "n-boyutlu topolojik manifold" denir. • M bir Haussdorf uzaydr. • M topolojik uzaynn saylabilir baz vardr. • Yerel homeomorktir: ∀p ∈ M icin ∃ Up ⊆ M açk var öyle ki 0 U, R homeomorzmdir. ( Burada ∀p ∈ M için (hp , Up ) n hp : Up −→ U 0 ⊆ Rn 'nin açk altkümesidir.) ikilisine M nin haritas ve {(hp , Up )}p∈M ailesine ise M nin atlas denir. Örnek 1.1.1. 1. Rn 'nin kendisi, n-manifolddur. Gerçekten Rn , Housdor, saylabilir baz var ve birim dönü³ümü yerel homemorzmadr. (Ba§lantl fakat kompakt de§il.) 2. S n, 3. Kb, M b, T or, RP 2 , S 2 , n-manifolddur.(Hem ba§lantl hem kompakt) 2-manifolddur. Özellikler 1.1.1. 4 1. Bir n-manifoldun açk alt kümesi bir n-manifolddur. 2. M m-manifold ve N n-manifold ise M × N (m + n)-manifolddur. 3. Bir n-manifold ya ba§lantl ya da ba§lantsz, ya kompakt ya da kompakt de§ildir. 4. Her n-manifold yerel kompakttr. 1.2 Diferensiyellenebilir Yaplar Tanm 1.2.1. (Koordinat Dönü³ümü) 0 zelge olsun öyleki U1 ∩ U2 0 x1 : U1 −→ U1 ve x2 : U2 :−→ U2 iki = U12 6= ∅ olsun. x12 = x2 ◦ x−1 1 |x1 (U12 ) M topolojik n-manifold olsun. çive ekil 1.1: Koordinat Dönü³ümü −1 x21 = x−1 12 = x1 ◦ x2 |x2 (U12 ) dönü³ümlerine koordinat donü³ümü denir. Topolojik Uzayn tüm harita dönü³ümleri diferansiyellenebilir ise manifold diferansiyellenebilirdir denir. 5 Tanm 1.2.2. (Dieomorzm) ve f −1 : V −→ U fonksiyonlar U, V ⊆ Rn açklar olmak üzere, f : U −→ V diferensiyellenebilirdir ise f 'ye dieomorzm denir. Örnek 1.2.1. 1. 2. 1.3 Sn Rn n-manifolddur. diferensiyellenebilir diferensiyellenebilir n-manifolddur. Diferensiyellenebilir Fonksiyon Tanm 1.3.1. (Diferansiyellenebilir Fonksiyon) (M, θ) ve (N, θ) diferansiyellenebilir manifoldlar olsun. p ∈ M olmak üzere f : M −→ N sürekli fonksiyon ve p ∈ U ⊆ M açk f (p) ∈ V ⊆ N açk 0 0 olmak üzere x : U −→ U ve y : V −→ V harita dönü³ümleri için 0 y ◦ x ◦ f −1 x(U ∩f −1 ) = x(U ∩ f −1 (V )) −→ V fonksiyonu x(p) noktasnda diferansiyellenebilir ise f fonksiyonuna p nokta- snda diferansiyellenebilir fonksiyon denir. diferansiyellenebilir ise , Örnek 1.3.1. f f fonksiyonu ∀p ∈ M noktasnda fonksiyonuna diferansiyellenebilir fonksiyon denir. f : R −→ R3 ransiyellenebilir olmad§ndan p 7−→ p3 f fonksiyonu x=0 noktasnda dife- fonksiyonu diferansiyellenebilir de§ildir. 6 ekil 1.2: diferansiyellenebilir fonksiyon Örnek 1.3.2. diferansiyellenebilir g : R 7−→ S 1 p 7−→ (cos p, sin p) her oldu§undan g fonksiyonu diferensiyellenebilir. • noktada y◦f ◦ 0 Y : V −→ V Uyar 1.3.1. Diferensiyelenebilirlik haritalara ba§l de§ildir. Çünkü x −1 diferensiyellenebilir ise ba³ka bir X : U −→ U 0 harita ve harita olsa Y ◦ f ◦ X −1 = (Y ◦ y −1 ) ◦ (y ◦ f ◦ x−1 ) ◦ (x ◦ X −1 ) de diferensiyellenebilirdir. f : (M, θ) :−→ (N, φ) ve g : (N, φ) −→ (P, ω) diferensiyelfonksiyon ise gof : (M, θ) −→ (P, ω) da diferensiyellenebilirdir Teorem 1.3.1. lenebilir 0 x : U −→ U x∈θ p ∈ U haritas 0 y : V −→ V y∈φ f (p) ∈ V haritas 0 z : W −→ W z∈ω gf (p) ∈ W haritas olmak üzere −1 −1 T = U ∩ f (V ∩ g (W )) alalm. −1 g◦f = h : z ◦g◦f ◦x = (z ◦ g ◦ y −1 ) ◦ (y ◦ f ◦ x−1 ) diferensiyellenebilir. spat 1.3.1. x(T ) 7 ekil 1.3: diferensiyellenebilir fonksiyonlarn bile³keleri de diferensiyellenebilirdir. 1.4 Tanjant Uzay Tanm 1.4.1. (Tanjant Uzay) M diferansiyellenebilir manifold. M} p∈M olsun. Curvesp M = {α : (−, ) −→ α, β ∈ Curvesp M ala- diferensiyellenebilir fonksiyonlarn uzay olsun. lm. α ≈p β p noktasnda tanjanttr. ⇐⇒ p ∈ U ⊆ M açk θ : U −→ U 0 hom. için 0 0 (θ ◦ α) (0) = (θ ◦ β) (0) Tp M =p M ≈p dir Buradan ; Teorem 1.4.1. Denklik snar haritalara ba§l de§ildir. α ≈p β olsun. p ∈ U ⊆ M θ : U −→ U 0 V ⊆M ψ : V −→ V iki ayr harita iseler ; 0 0 (ψ ◦ α) (0) = (ψ ◦ θ−1 ◦ θ ◦ α) (0) 0 0 = [(ψ ◦ θ−1 ) ◦ (θ ◦ α)] ◦ [(θ ◦ α) (0)] spat 1.4.1. 8 0 ve p∈ 0 0 = [(ψ ◦ θ−1 ) ◦ (θ ◦ β)] ◦ [(θ ◦ β) (0)] 0 = (ψ ◦ β) (0) ve Tp M tanjant uzayna vektör n = dim(M ) olmak üzere; (U, θ) ; yaps koyalm. p merkezli çizelge θ∗ : Tp M −→ Rn 0 [α] 7−→ (θ ◦ α) (0) dönü³ümünü tanimlayalm. • φ∗ iyi taniml ve bire-bir dir. • + : Tp M × Tp M −→ Rn ([α], [β]) 7−→ [α] + [β] = φ−1 ∗ (φ∗ [α] + φ∗ [β]) • ∗ : Rn × Tp M −→ Rn (λ, [α]) 7−→ λ ∗ [α] = φ−1 ∗ (λφ∗ [α]) i³lemleri altnda 1.5 1. (Tp M, Rn , +, ∗) vektör uzay yapsna sahiptir. Al³trmalar Rn de her U aç§ topolojik n-manifolddur. Gösteriniz. 2. Birinci sorudan hareketle bir topolojik n-manifoldun her açk altkümesi de (alt uzay topolojisine göre) topolojik n-manifold olabilir mi? Yorumlaynz. 3. S2 topolo jik 2-manifold dur . Gösteriniz. 4. S1 topolo jik 1-manifolddur . Gösteriniz. 5. X topolojik uzay kompakt, Hausdor ve yerel homeomork ise X uzaynn saylabilir baz vardr (yani X ikinci saylabilir uzaydr). Gösteriniz. Buradan hareketle I = [0, 1] kapal aral§ topolo jik 1-manifold olabilir mi? Yorumlaynz. 9 6. M bir topolojik m-manifold , N bir topolojik n- manifold ise gösteriniz ki M ×N de topolojik (m + n) - manifolddur . (Yani manifoldlarn kartezyen çarpm da manifolddur). 7. X = S1 × I silindirin topolojik 2 -manifold oldu§unu gösteriniz. (Yol gösterme : 4,5,6 nc sorulardan yararlannz.) 8. RP 2 reel projektif düzleminin topolojik 2-manifold oldu§unu gösteriniz. 9. S2 10. diferensiyellenebilir manifolddur. Gösteriniz. RP 1 ve S1 dieomork midirler? Açklaynz. (yol gösterme : θ eiθ 7−→ [ei 2 ] ) 10 Bölüm 2 YÜZEYLER Tanm 2.0.1. Kompakt, ba§lantl 2-manifolda bir yüzey denir. Örnek 2.0.1. Silindir, paraboloid,kürenin kulplar çkartlarak elde edilen yüzey. 2.1 Kulplu Yüzeyler(Handled Surfaces) ekil 2.1: Küre 0- ekil kulpludur 2.2: Tor 1- kulpludur ....... ekil 2.3: 2-kulplu ekil 2.4: g-kulplu 11 Tanm 2.1.1. 2.2 Sg ailesinin g-inci elemanna g genuslu yüzey denir. Çapraz Yüzeyler(Cross Cap Surfaces) . . . . . ekil 2.5: Tanm 2.2.1. C1 , C2 , ..., Cg RP 2 1-çapraz yüzeydir. ailesinin g-inci elemanna 12 g çapraz yüzey denir. 2.3 Yönlü Yüzeyler(Orientable Surfaces) Tanm 2.3.1. S bir yüzey olsun. 1. S ye ait her kapal e§ri yönünü koruyorsa S 2. S yüzeyi üzerinde yönü de§i³tiren en az bir kapal e§ri varsa ye yönlü yüzey denir S ye yönlü olmayan yüzey denir Örnek 2.3.1. S 2 ,T , silindir yönlü yüzeylerdir. Kb, M b, RP 2 yüzeylerdir. 1. T ≈ S 1 xS 1 2. T = {(x, y, z) ∈ R3 : [(x2 + y 2 ) 2 − 2]2 + z 2 = 1} ⊂ R3 1 13 yönlü olmayan Bölüm 3 YÜZEYLERN SINIFLANDIRILMASI 3.1 Ba§ntl Toplam(Topolo jik Toplam) (Connected Sum) Tanm 3.1.1. S1 ve S2 iki yüzey olsun. Bu iki yüzeyden birer disk çkartlsn ve çkartlan ksmda bu iki yüzeyin yap³trlmasyla elde edilen yeni yüzeye S1 ve S2 nin ba§lantl toplam denir. Örnek 3.1.1. S2 # S2 ≈ S2 ekil 3.1: Özellikler 3.1.1. 2. 1. S1 # S2 ≈ S2 # S1 (S1 # S2 ) # S3 ≈ S1 # (S2 # S3 ) 3. ki yönlü yüzeyin ba§lantl toplam yine yönlü yüzeydir. 4. S1 ve S2 herhangi biri yönlü de§ilse 14 S1 # S2 yönlü de§ildir. 3.2 Kompakt Yüzeylerin Snandrlmas Teorem 3.2.1. Bir kompakt yüzey ya küreye ya tora ya da Kb RP 2 # RP 2 ≈ ya homeomorfdur. b a a b ekil 3.2: RP 2 # RP 2 ≈ Kb π1 (Kb) = {ha, bi : aba−1 b = 1} π1 (RP 2 ) = {ha, bi : abab = 1} 3.3 Kompakt Yüzeylerin Üçgenle³tirilmesi S kompakt yüzey olsun. S nin üçgenle³tirilmesi S yi kaplayan {T0 , T1 , . . . , Tn } kapal alt kümelerinin sonlu ailesini içerir öyle ki Ti ler R2 Tanm 3.3.1. deki kapal üçgenlere homeomorfdur. Örnek 3.3.1. 1. Torun üçgenle³tirilmesi b 1 2 3 1 4 a 4 5 6 8 9 7 1 7 2 3 1 ekil 3.3: Torun iki farkl üçgenle³tirilmesi Kareyi üçgenle³tiriyoruz. Farkl ³ekillerde üçgenle³tirebiliriz. (a) ve (b) durumuda torun üçgenle³tirilmesidir. Yapt§mz üçgenle³tirme ile sadece sonraki i³lemlerimiz de§i³ecektir. 15 1 2 3 1 5 4 4 5 1 3 2 1 ekil 3.4: Projektif düzlemin üçgenle³tirilmesi 2. Projektif düzlemin herhangi bir üçgenle³tirilmesi 3. Küpün herhangi bir üçgenle³tirilmesi f a b b a f e e c d g c d g ekil 3.5: Küpün üçgenle³tirilmesi Not:Kompakt yüzeyin üçgenle³tirilmesi a³a§daki iki özellikelli§i sa§lar; (a) Üçgenle³tirmenin her kenar iki üçgenin kenardr (b) ϑ, üçgenle³tirmenin bir kö³esi olsun. ϑ kö³eli üçgenler mevcuttur öyle ki bu üçgenlerin ortak kenarlar vardr. 16 4. Kürenin herhangi bir üçgenle³tirilmesi 3 2 1 5 1 4 6 2 3 ekil 3.6: Kürenin üçgenle³tirilmesi Lemma 3.3.1. Tor ve pro jektif düzlemin ba§lantl toplam üç projektif düzlemin ba§lantl toplamna homeomorfdur. RP 2 # T ≈ RP 2 # RP 2 # RP 2 RP’2# T a c c b a b b a c c a b ekil 3.7: RP 2 # T 17 a a a a a b a b # ekil 3.8: RP 2 # RP 2 b b b a c c a a c RP2 # RP2 # RP2 ekil 3.9: 3.4 RP 2 # RP 2 # RP 2 Euler Karakteristi§i Euler karakteristi§i, kö³eleri, kenarlar ve yüzeyleri sayaral elde edilir. Bu nedenle hücre(cell) kompleksi üzerinde duraca§z. Tanm 3.4.1. n-hücreyi, içinin n-diske homeomorf olan bir topolojik nesne olarak tanmlanabilir. Örnek 3.4.1. 1. 0-hücre 2. 1-hücre (kenar), içi 3. 2-hücre (yüz), içi R R2 (kö³e) bir noktadr. de bir açk aral§a homeomorftur. de bir açk diske homeomorftur. Tanm 3.4.2. Hücre Kompleksi, hücrelerin içi ikili baznda ayrk ve snrlar boyutu dü³ük olan hücrelerin birle³imi olan yani 0-hücre, 1-hücre, 2-hücre hücrelerin birle³imi olarak tanmlayabiliriz. Not 3.4.1. Bir hücre kompleks, bi kompleksine, M 'nin M yüzeyine homeomorf ise bu hücre hücre ayr³m denir. Örnek 3.4.2. A³a§da yüzeylerin hücre ayr³m verilmi³tir; Buraya ³ekil yaplacak Tanm 3.4.3. Bir M yüzeyinin v kö³esi, e kenar ve Euler karakteristi§i χ(M ) = v − e + f ³eklinde tanmlanr. 18 f yüzeyi varsa M 'nin Örnek 3.4.3. 1. S2 2 küre yüzeyinin 1 kö³esi, kenar ve 1 yüzeyi oldu§undan χ(S 2 ) = v − e + f = 2 − 1 + 1 = 2. 2. T Tor yüzeyinin 1 kö³esi, 2 kenar ve 1 yüzeyi oldu§undan χ(T ) = v − e + f = 1 − 2 + 1 = 0. 3. 2T iki Tor yüzeyinin 1 kö³esi, 4 kenar ve 1 yüzeyi oldu§undan χ(2T ) = v − e + f = 1 − 4 + 1 = −2. 4. RP 2 projektif düzlemin 1 kö³esi, 1 kenar ve 1 yüzeyi oldu§undan χ(RP 2 ) = v − e + f = 1 − 1 + 1 = 1. 5. Kb Klein isesinin 1 kö³esi, 2 kenar ve 1 yüzeyi oldu§undan χ(Kb) = v − e + f = 1 − 2 + 1 = 0. 6. Mb 1 Möbiüs ³eridinin kö³esi, 2 kenar ve 1 yüzeyi oldu§undan χ(Kb) = v − e + f = 1 − 2 + 1 = 0. Not 3.4.2. 1. χ(Kb) = 0 = χ(T ) olmasna ra§men Kb ve T homeomorf yüzeyler de§ildir. 2. Kb ≈ RP 2 # RP 2 oldu§undan χ(Kb) = χ(RP 2 # RP 2 ) dir. Teorem 3.4.1. χ(M1 #M2 ) = χ(M1 ) + χ(M2 ) − 2. spat. M1 yüzeyinin kö³e says v1 olan 2n1 -gen ile temsil edilsin. Bu durumda χ(M ) = v1 − n1 + 1. M2 yüzeyinin kö³e says v2 olan 2n2 -gen ile temsil edilsin. Bu durumda χ(M ) = v2 − n2 + 1. 19 M1 # M2 yüzeyinin kö³e says v1 + v2 − 1 2(n1 + n2 )-gen ile temsil edilir. ve kenar says n1 + n2 olan χ(M1 # M2 ) = v1 + v2 − 1 − (n1 + n2 ) + 1 = v1 − n1 + 1 + v2 − n2 + 1 − 2 = χ(M1 ) + χ(M2 ) − 2. S2 Not 3.4.3. kulpsuz yüzey oldu§undan S 2 = 0T dir. Sonuç 3.4.1. 1. n≥0 2. m≥1 için χ(nT ) = 2 − 2n. için χ(RP 2 ) = 2 − m. spat. 1. n = 0 için 0T = S 2 oldu§undan χ(S 2 ) = 2 dir. n = 1 için χ(T ) = 0 dir. n = 2 için χ(2T ) = −2. n − 1 için do§ru olsun. Yani χ((n − 1)T ) = χ(T # T # · · · # T ) = 2 − 2(n − 1) olsun. Yani χ(nT ) = χ((n − 1)T # T ) = χ((n − 1)T ) + χ(T ) − 2 = 2 − 2(n − 1) − 0 − 2 = 2 − 2n. 2. Birinci ksmda oldu§u gibi Teorem 3.4.2. M m (3.1) (3.2) üzerinde tümevarmla ispatlanr. herhangi bir yüzey olsun. χ(M ), M 'nin hücre ayr³m seçiminden ba§mszdr. Sonuç 3.4.2. A³a§daki önermeler Denktir; 1. M1 2. χ(M1 ) = χ(M2 ) ve M1 , M2 nin her ikisi oriyantel veya her ikisi oriyantel yüzeyi M2 yüzeyine homeomorftur. de§ildir. 1) ⇒ 2) : h : M1 −→ M2 homeomorzma olsun. h, M1 'in hücre ayr³mn M2 nin hücre ayr³mna ta³d§ndan χ(M1 ) = χ(M2 ) dir. Ayrca oriyantellik bir topolojik özellik oldu§undan M1 yüzeyi oriyantel ise M2 de spat. oriyanteldir. 2) ⇒ 1) : kinci önerme mevcut olsun. M1 yüzeyinin M2 yüzeyine ho- meomorf oldu§unu gösterce§iz. Bunun yüzeylerin oriyantel olma ve oriyantel olmama durumlarna göre ispatlayaca§z. 20 ve Durum 1 : M1 ve M2 nin her ikiside oriyantel M2 = n2 T dir. χ(M1 ) = χ(M2 ) oldu§undan olsun. O zaman M = n1 T 2 − 2n1 = 2 − 2n2 ⇒ n1 = n2 . M1 ≈ n1 T = n2 T ≈ M2 dir. Durum 2: M1 ve M2 nin her ikiside oriyantel olmasn. m1 RP 2 ve M2 = m2 RP 2 dir. χ(M1 ) = χ(M2 ) oldu§undan Dolasyla O zaman M = 2 − m1 = 2 − m2 ⇒ m1 = m2 . Dolasyla M1 ≈ M2 Örnek 3.4.4. dir KB # RP 2 , T # RP 2 , homeomorf olduklarn gösterelim. 21 RP 2 # RP 2 # RP 2 yüzeylerinin 3.5 Yüzeyler Cebiri Verilen kompakt yüzey kelime ile belirtilebilir. Kelime ve devir kuraln kullanarak kompakt yüzeyin düzlem modeli in³a edilir. a a a a a # a ekil 3.10: S 1 #S 1 T # Kb # Rp2 T ⊕ Kb ⊕ Rp2 :acd−1 eec−1 d−1 ba−1 b−1 Örnek 3.5.1. Teorem 3.5.1. (Pozisyon Devir Kural) Bir kompakt yüzey M kelimesi ile belirtilsin. 1. M = AB 2. M ∼ M −1 ise M ∼ BA (Çember Kural) (Flip Kural) Teorem 3.5.2. (Küre Devir Kural) A belirtsin. ( B den en az biri ve M ∼ AB dir. ve yüzeyi belirtir M = Axx−1 B bir kompakt yüzeyi bo³tan farkl) O zaman AB bu kompakt Örnek 3.5.2. Küre için; M = af g −1 e−1 b−1 bec−1 cgdd−1 f −1 a−1 ∼ af g −1 e−1 egf −1 a−1 ∼ af g −1 gf −1 a−1 ∼ af f −1 a−1 ∼ aa−1 = S 2 Teorem 3.5.3. (Silindir Devir Kural) ve −1 M = AxBCx D ise −1 M ∼ AxCBx D M bir kompakt yüzey için kelime dir. Örnek 3.5.3. M = abca−1 b−1 c−1 = a(bc)a−1 b−1 c−1 ∼ a(cb)a−1 b−1 c−1 = acba−1 b−1 c−1 = ac(ba−1 b−1 )c−1 ∼ ac(a−1 b−1 b)c−1 ∼ aca−1 c−1 = T Not: S 2 = aa−1 , T = aba−1 b−1 , Rp2 = aa, Kb = aba−1 b 22 Teorem 3.5.4. (Mobius erit Devir Kural) Bir kompakt yüzeyi belirten kelime M ve M = AxBxC M ∼ AxxB −1 C ise dir. Örnek 3.5.4. 1. M = abca−1 b−1 c ∼ abccba ∼ ccabba ∼ ccaabb = Rp2 Rp2 Rp2 = 3Rp2 2. Kb = aba−1 b ∼ abba ∼ aabb = Rp2 Rp2 = 2Rp2 3. T Rp2 = aba−1 b−1 cc ∼ a−1 b−1 (cca)b ∼ a−1 b−1 cacb ∼ a−1 b−1 cca−1 b ∼ a−1 b−1 a−1 bcc ∼ bab−1 a(cc) = KbRp2 3.6 Ekli Uzaylar Tanm 3.6.1. A, X in alt uzay ve ∀x ∈ A X in Y için x ∼ f (x) f :A→Y sürekli fonksiyon olsun. Ayrca X∪Y ba§nts tanimlansn. x∼f (x) = X ∪f Y uzayna eklenmesi denir. Örnekler: 1. X = [0, 1] = Y, A = {0, 1} f : {0, 1} → [0, 1] x → f (x) = 2. 1 2 X = [0, 1]x[0, 1] = Y, A = {0}x[0, 1] ∪ {1}x[0, 1] f :A→Y 1 (s, t) → f (s, t) = ( , t) 2 3. Koni Xx{1} XxI ekil 3.11: Koni dönü³ümü 4. Süspansiyon 23 bölüm uzayna Xx{0} Xx{1} ekil 3.12: Süspansiyon 5. Mapping Silindir XxI Y ekil 3.13: Silindir dönü³ümü 3.7 Al³trmalar 1. T ] S2 ≈ T 2. Rp2 ] Rp2 ≈ Kb 3. T ]Rp2 ≈ 3Rp2 oldu§unu ³ekille gösteriniz. oldu§unu ³ekil çizerek gösteriniz. oldu§unu uygun indirgeme kurallarnn kullanarak ispat ediniz. 4. n tane Rp2 nin ba§lantl toplam 2n kenarl poligonla temsil edilir ve bu toplamn yüzey cebiri ise a1 a1 a2 a2 · · · an an ³eklindedir. (yol gösterme : ispat n üzerinden tümevarmla yaplacaktr. ) 5. Uygun indirgeme i³lemlerinden yararlanarak abc−1 b−1 a−1 c−1 ve acb−1 a−1 c−1 b yüzeylerinin orientable yüzey olup olmadklarn inceleyiniz. 6. ] ba§lantl toplam i³lemi komutatif midir? Birle³meli midir? Birim ele- man var mdr? Ters eleman var mdr? Sonucu yorumlaynz. 24 7. b−1 a−1 c−1 c−1 ba yüzeyi ile x−1 x−1 y −1 y −1 z −1 z −1 yüzeyi ayn yüzeyin ce- birsel gösterimi olabilir mi? Açklaynz. (yol gösterme : indirgeme methodlarn kullannz.) 8. 2T ] Rp2 ≈ 5Rp2 oldu§unu gösteriniz. (yol gösterme : 3üncü sorudan yararlannz.) 9. x bir kenar ; P , Q ler de kenarlarn dizilerini temsil etsin.Uygun bir x1 kenar için ; xxP −1 Q ≈ x1 P x1 Q dir. ekil çizerek ispatlaynz. 10. x bir kenar , P , Q, R ler de kenarlarn dizilerini temsil etsin. Uygun bir x1 kenar için xP Qx−1 R ≈ x1 QP x−1 1 R dir. ekil çizerek ispatlaynz. 11. A³a§daki kelimelerin hangi yüzeyi belirtti§ini bulunuz. (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) abcba−1 c abec−1 ba−1 cd−1 ed ab−1 cedef a−1 bc−1 d−1 f aba−1 cdb−1 c−1 d−1 ab−1 c−1 a−1 cb abc−1 bca abcb−1 dc−1 d−1 a−1 25 Bölüm 4 TOPOLOJK GRUPLAR, GRUP HAREKET, LE GRUPLARI 4.1 Topolo jik Gruplar Tanm 4.1.1. (G, τ ) likellikler mevcut ise; topolo jik uzay ve (G, τ, .) (G, .) bir grup olsun. A³a§daki özel- üçlüsüne topolojik grup denir. 1. f : G × G −→ G (x, y) 7→ f (x, y) = x.y 2. g : G → G x 7→ x−1 Örnek 4.1.1. (R, τs )bir (a) 1. sürekli fonksiyon sürekli fonksiyon (R, τs , +) bir topolojik guptur. topolojik uzay ve (R, +)bir gruptur. f : R × R −→ R (x, y) 7→ f (x, y) = x + y = π1 (x, y) + π2 (x, y) zdü³üm fonksiyonlar sürekli oldu§undan toplamlar da süreklidir. (b) g : R → R x 7→ g(x) = −x = (−1).x = a.I(x) Sürekli fonksiyonun sabit bir say ile çarpm sürekli oldu§undan g süreklidir. 2. (G, .) topolo jik (a) (b) 3. G üzerinde diskret topoloji gruptur.(G, τd )bir topolojik uzaydr. bir grup olsun. alrsak (G, τd , .) bir f : G × G → G (x, y) 7→ f (x, y) = x.y g : G → G x 7→ g(x) = x−1 (G, τd ) den alnan her açk (G × G,τd xτd ) uzaynda açk olaca§ndan f ve g süreklidir. R∗ = R−{0}, (R∗ , τs , .) bir topolojik guptur. (R∗ , .) bir grup ve (R∗ , τs ), (R, τs ) nin altuzay topolojisidir. (a) f : R∗ × R∗ → R∗ (x, y) 7→ f (x, y) = x.y = π1 (x, y).π2 (x, y) 26 (b) 4. g : R∗ → R∗ x 7→ g(x) = x−1 = f ve g süreklidir. 1 x = 1 , I(x) (S 1 , τ, .) bir topolojik gruptur. τ = τs × τs , . : C (S 1 , τ ) topolo jik uzay ve (S 1 , .) bir gruptur. (a) (b) I(x) 6= 0 deki çarpma i³lemidir. f : S 1 × S 1 → S 1 (z1 , z2 ) 7→ f (z1 , z2 ) = z1 .z2 = π1 (z1 , z2 ).π2 (z1 , z2 ) z̄ g : S 1 → S 1 z 7→ g(z) = z −1 = z1 = |z| = z̄ = e−iθ = (cos θ, − sin θ) f ve g süreklidir. 5. Banach ve Hilbert uzaylar birer topolo jik gruptur. Banach uzay normlu tam vektör uzaydr. Vektör uzay oldu§undan grup yaps vardr. Norm tarafndan üretilen topolojiye sahiptir. (a) (b) 6. f : B xB → B (x, y) 7→ f (x, y) = x + y g : B → B x 7→ g(x) = −x f ve g süreklidir. C∗ = C − {(0, 0)}, (C∗ , τ, .) bir topolojik gruptur.(. : C deki çarpma) Önerme 4.1.1. ki topolojik grubun kartezyen çarpm topolo jik gruptur. (G1 , τ1 , .), (G2 , τ2 , ∗) topolo jik gruplar ise (G1 × G2 , τ1 × τ2 , o) topolo jik gruptur. spat. (G1 , τ1 , .) topolo jik grup oldu§undan f1 : G1 × G1 → G1 (x, y) 7→ f1 (x, y) = x.y ve g1 : G1 → G1 x 7→ g1 (x) = x−1 süreklidir. (G2 , τ2 , ∗) topolo jik grup oldu§undan f2 : G2 × G2 → G2 (x, y) 7→ f2 (x, y) = x ∗ y ve g2 : G2 → G2 x 7→ g2 (x) = x−1 süreklidir. f = f1 × f2 : G1 × G1 × G2 × G2 −→ G1 × G2 ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) 7→ f1 × f2 ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (x1 .y1 , x2 ∗ y2 ) f1 ve f2 sürekli oldu§undan f fonksiyonu süreklidir. 27 g = g1 × g2 : G1 × G2 −→ G1 × G2 (x1 , x2 ) 7→ g1 × g2 (x1 , x2 ) = (g1 (x1 ), g2 (x2 )) = (x1 −1 , x2 −1 ) g1 ve g2 sürekli oldu§undan Ödev: g fonksiyonu süreklidir. (G1 ×G2 , τ1 ×τ2 ) nin topolojik uzay, (G1 ×G2 , o) nin grup oldu§unu gösteriniz. Örnek 4.1.2. 1. (Rn , τ, +) 2. (T, τ, .) τ topolo jik gruptur. ( : Çarpm topolojisi) topolo jik gruptur. T ≈ S 1 xS 1 dir. (S 1 , τ1 , .) ve (S 1 , τ2 , +) to- polo jik gruplardr. 3. GL(n, R) = {A ∈ Mnxn : detA 6= 0} matris çarpmna göre grup yaps te³kil eder. 4. SL(n, R) = {A ∈ Mnxn : detA = 1} 5. O(n, R) = {A ∈ Mnxn : detA 6= 0, AT A = I = AAT } özel lineer gruptur. ortogonal grup- tur. 6. SO(n, R) = {A ∈ Mnxn : detA = 1, AT A = I = AAT } özel ortogonal gruptur. SL(n, R), O(n, R), SO(n, R), GL(n, R) Önerme 4.1.2. (G, τ, .) bir topolojik grup ve Alt uzay topolojisi ile donatlan Tanm 4.1.2. H (G, τ, .) H grubu G GL(n, R) nin H H, G nin bir alt grubu olsun. nin bir topolojik alt grubudur. bir topolo jik grup ve açk (kapal) alt küme ise Örnek 4.1.3. nin alt gruplardr. H, G nin bir alt grubu olsun. ya açk (kapal) altgrup denir. SL(n, R), O(n, R), SO(n, R) alt gruplar kapal alt gruplardr. det : Mnxn → R A 7→ detA fonksiyonu süreklidir. dan SL(n, R) {1} ⊂ R kapals için det−1 ({1}) = SL(n, R) oldu§un- kapaldr. t : Mnxn → Mnxn fonksiyonu süreklidir. I ⊂ Mnxn A 7→ t(A) = AAT = I kapals için O(n, R) kapaldr. SO(n, R) = SL(n, R) ∩ O(n, R) t−1 (I) = O(n, R) oldu§undan 28 SO(n, R) oldu§undan kapaldr. Örnek 4.1.4. (Z, τd , +), (R, τd , +) nn topolo jik alt grubudur. Uyar:Topolojik gruplarda izomorzma teoremleri a³a§daki önerme geçerli oldu§unda geçerlidir. " f :G→H homeomorzma olsun. G/Kerf ' Imf dr ⇔ f : G → Imf açk dönü³ümdür." G bir topolojik grup ve g ∈ G olsun. Lg : G → G, ∀x ∈ G için Lg (x) = g.x fonksiyonuna homeomorzmann sol öteleme fonksiyonu denir. Rg : G → G, ∀x ∈ G için Rg (x) = x.g fonksiyonuna da homeomorzmann Tanm 4.1.3. sa§ öteleme fonksiyonu denir. Teorem 4.1.1. spat. Lg ve Rg bir homeomorzmdir. Lg : G → G, ∀x ∈ G için Lg (x) = g.x fonksiyonunu ele alalm. G topolo jik grup oldu§undan f : G × G −→ G (g, x) 7→ f (g, x) = g.x fonksiyonu süreklidir. Lg (x) = f |{g}xG oldu§undan Lg fonksiyonu süreklidir. Lg (x1 ) = Lg (x2 ) ⇒ g.x1 = g.x2 ⇒ g −1 (g.x1 ) = g −1 (g.x2 ) ⇒ x1 = x2 Lg , 1 − 1 dir. ∀y ∈ G için x = g −1 .y ∈ G oldu§undan Lg (Lg ) = Lg−1 oldu§unu iddia ediyoruz. Gerçektende dolasyla örtendir. −1 Lg−1 oLg (x) = g −1 (g.x) = x = I(x) Lg oLg−1 (x) = g(g −1 .x) = x = I(x) Lg−1 : G → G, ∀x ∈ G için Lg−1 (x) = g −1 .x fonksiyonunu verilsin. (Lg )−1 = f |{g−1 ×G} oldu§undan (Lg )−1 = Lg−1 fonksiyonu süreklidir. Benzer ³ekilde Rg nin de homeomorzm oldu§u gösterilebilir. dir. Sonuç 4.1.1. G G topolo jik grup, g∈G ve U, G de açk ise Lg (U ) ve de açk alt kümelerdir. Tanm 4.1.4. A ve B, G topolo jik grubunun iki alt kümesi olsun. 1. A.B = {x.y : x ∈ A, y ∈ B} 2. x.A = {x}.A = {x.a : a ∈ A} 3. A−1 = {a−1 : a ∈ A} 4. A = A−1 ise A ya G de simetriktir denir. 29 Rg (U ), Teorem 4.1.2. bir küme, g∈G G topolo jik grup, F, U, P ⊂ G ve F kapal, U açk, P key −1 −1 olsun. F g, gF, F kapal kümelerdir. U P, P U, U açk kümelerdir. Lg : G → G, ∀x ∈ G için Lg (x) = g.x ve Rg : G → G, ∀x ∈ G Rg (x) = x.g dönü³ümleri homeomorzmdir. F kapal ise Lg (F ) = g.F ve Rg (F ) = F.g kümeleri de Lg ve Rg homeomorzma oldu§undan kapaldr. f : G → G, ∀x ∈ G için f (x) = x−1 fonksiyonu homeomorzmdir. F kapal −1 oldu§undan f (F ) = F de f homeomorzma oldu§undan kapaldr. U açk oldu§undan Lg (U ) ve Rg (U ) açktr. [ [ UP = U.g (g ∈ P ) ve PU = g.U (g ∈ P) spat. için f (U ) = U −1 kümeleri açktr. U açk oldu§undan Önerme 4.1.3. G bir topolojik grup olsun. 1. G 2. H, G nin açk topolojik alt grubu H nin topolojik alt grubu ise de açktr. ayn zamanda kapaldr. H da G nin topolo jik alt grubudur. spat. 1. H, G H = H oldu§unu göstermeliyiz. Her zaman H ⊂ H . . . (1) olur. p ∈ H olsun. p.H , p nin bir kom³ulu§u oldu§undan p.H ∩ H 6= ∅ olur. Bu durumda p.h1 = h2 olacak ³ekilde h1 , h2 ∈ H vardr. O halde p ∈ H dr. H ⊂ H . . . (2) elde edilir. (1) ve (2) den H = H olur. Bu da H n kapal oldu§unu ifade nin açk topolo jik alt grubu olsun. eder. 2. H, G nin topolo jik alt grubu olsun. oldu§unu göstermek için H için G nin topolo jik alt grubu x.y ∈ H ve ∀x ∈ H için x−1 ∈ n oldu§unu göstermeliyiz. (a) (b) H ∀x, y ∈ H H ∀x, y ∈ H olsun. W x.y nin kom³ulu§u olsun. U.V ⊂ W olacak ³ekilde x ∈ U , y ∈ V kom³uluklar vardr. x ∈ H ise U ∩ H 6= ∅ olur. Bu durumda h1 ∈ U ∩ H vardr. Benzer ³ekilde y ∈ H ise V ∩ H 6= ∅ olur. Bu durumda h2 ∈ V ∩ H vardr. h1 .h2 ∈ U.V ve h1 .h2 ∈ H ise U.V ∩ H 6= ∅ olur. Bu durumda W ∩ H 6= ∅ elde edilir. Buradan x.y ∈ H bulunur. x ∈ H olsun. x in her U kom³ulu§u için U ∩ H 6= ∅ dr. U −1 = {x−1 : x ∈ H} ve U −1 ∩ H 6= ∅ oldu§undan x−1 ∈ H olur. bir topolojik alt grupdur. 30 Önerme 4.1.4. 1. V G nin G bir topolojik grup olsun. de açk (kapal) olmas için gerek ve yeter ³art V −1 'in G de açk (kapal) omlasdr. 2. e∈U U , G de açk olsun. V = V −1 kümesi vardr ve e ∈ V dir olmak üzere ³ekilde V açk ve V ·V ⊂ U olacak spat. 1. f : G −→ G g 7→ f (g) = g −1 dönü³ümü homeomorzm ve f ◦ f = 1G oldu§unda sonuç kolayca elde edilir. 2. p : G × G −→ G dönü³ümü sürekli oldu§undan p−1 (U ), G × G de açk −1 ve (e, e) ∈ p (U ) dir. Dolasyla, V1 · V2 ⊂ U olacak ³ekilde V1 ve V2 −1 açklar var ve e ∈ V1 , e ∈ V2 dir. Bir önceki ksmdan, V1 , V2−1 −1 açktr. Böylece V = V1 ∩ V2 ∩ V1 ∩ V2−1 ayn zamanda açktr. e ∈ V −1 ve V = V , V · V ⊂ V1 · V2 ⊂ U dir. G bir topolojik grup olsun. G nin Housdor olmas için gerek {e} nin kapal olasdr. Lemma 4.1.1. ve yeter ³art spat. {e} (⇒) G Housdor olsun. Her tek noktal küme kapal oldu§undan kapaldr. (⇐) {e} Lg ({e}) = g kapaldr. e 6= g nin ayrk e ∈ U ve gU olacak ³ekilde bir U açk −1 vardr. Bir önceki önermenin ikinci bölümünden, V = V ve V · V ⊂ U olacak ³ekilde V açk kümesi vardr ve e ∈ V dir. imdi g ∈ gV dir. V ∩ gV nin bo³ oldu§unu iddia ediyoruz. h ∈ V ∩ gV oldu§unu varsyalm. O zaman h = gh1 , h1 ∈ V dir. Dolasyla, g = hh−1 ∈ V · V ⊂ U olur. Bu bir kapal olsun. Her g için açklarnn var oldu§unu gösterecegiz. çeli³kidir. Teorem 4.1.3. G bir topolo jik grup olmak üzere a³a§dakiler denktir: 1. G, T0 -uzaydr. 2. G, T1 -uzaydr. 3. G, T2 -uzaydr. Teorem 4.1.4. G topolo jik grubu regülerdir. 31 spat. A³a§daki aksiyomu sa§layan X topolo jik uzayna regüler uzay denir; ∃x ⊂ V açk : U ∩ V = ∅." F kapal ve e ∈ / F olsun. Bu durumda e ∈ G/F dir. G topolo jik grup −1 oldu§undan V V ⊂ G/F olacak ³ekilde e nin V kom³ulu§u vardr. V −1 V ∩ F = ∅ ⇒ V ∩ V.F = ∅. Böylece U = V.F dir ve sonuçta G regülerdir. " F ⊂X kapal, x∈ / F için ∃F ⊂ U açk, Not 4.1.1. Bir topolo jik grubun bölüm grubu topolojik grup olmak zorunda de§ildir. Normal alt grup ise topolojik gruptur. Teorem 4.1.5. 1. G bir topolo jik grup, ϕ : G → G/N sürekli N, G nin normal alt grubu olsun. ve açk homomorzmadr. 2. Bölüm topolo jisi ile donatlan G/N topolo jik gruptur. spat. 1. ϕ : G → G/N bölüm dönü³ümü oldu§undan süreklidir. U ⊂ G açk ϕ(U ) açk olsun. ϕ−1 (ϕ(U )) = {x : x ∈ U N = U } = U N açktr. ϕ sürekli oldu§undan oldu§undan 2. ϕ ϕ(U ) da açktr. U açk iken açk dönü³ümdür. ψ : G/N × G/N → G/N (x, y) 7→ x.y −1 dönü³ümü sürekli midir? x.y −1 elemannn açk kom³ulu§u W olsun. ϕ−1 (W ), G de açktr ve x.y −1 ∈ ϕ−1 (W ) dur. G topolo jik grup oldu§undan x.y −1 ∈ U V −1 ⊂ ϕ−1 (W ) olacak ³ekilde x ∈ U, y ∈ V kom³uluklar vardr. x.y −1 ∈ ϕ(U )[ϕ(V )]−1 ⊂ ϕ(ϕ−1 (W )) = W dr. ϕ açk dönü³üm oldu§undan ϕ(U ) ve [ϕ−1 (V )]−1 = ϕ(V −1 ) de açk- tr. ψ −1 (W ) = {(x, y) : x ∈ ϕ(U ), y ∈ ϕ(V −1 )}, ψ süreklidir. Tanm 4.1.5. G ve K f : G −→ K dön³ümü G ve K Topolojik olarak iki topolo jik grup olsun. hem grup izmorzmi hemde homeomorzme ise izomorftur denir. Böyle dön³üme de topolo jik izomorzma denir. 32 Örnek 4.1.5. G = K = (R, +) üzerinde diskrit topolo ji olsun. grup ve K üzerinde standart topolo ji ve G 1 : (R, +, τd ) −→ (R, +, τs ) birim dön³ümü sürekli, izomorzmdir fakat tersi sürekli olmad§ndan bu dön³üm topolo jik izomorzma de§ildir. G herhangibir topolo jik grup ve g ∈ G olmak üzere π : G −→ G h 7→ π(h) = ghg −1 dönü³ümü bir topolo jik izomorzmadr. Örnek 4.1.6. K Housdor olmak üzere π : G −→ K Ker(π) G'nin kapal, normal altgrubudur. Not 4.1.2. π : G −→ K Önerme 4.1.5. homorzmas e sürekli homomorzma ise de sürekli ise π süreklidir. π : G −→ K homorzmas e de sürekli olsun O zaman K daki e π −1 (U ), G de açktr. −1 imdi W , K da açk olsun. π(U ) ∩ W bo³ küme ise π (W ) bo³ küme olcaktr ve dolasyla açktr. Bu nedenle π(g) = k olacak ³ekilde g ∈ G bir −1 elemann var oldu§unu varsayalm. Böylece k W , K daki e nin bir açk kom−1 −1 ³ulu§udur. Dolasyla π (k W ) açktr. Bu nedenle π −1 (W ) = gπ −1 (k −1 W ) spat. nin U aç§ için açktr. Önerme 4.1.6. π : G/H −→ K π sürekli homomorzma ve H = Kerπ olsun. bir sürekli homomorzmadr. Önerme 4.1.7. olsun. π : G −→ K bir açk π : G −→ K sürekli örten homomorzma ve H = Kerπ dönü³üm ise π : G/H −→ K bir topolojik izomorzmadr. spat. π nn tersnin sürekli oldu§unu göstermemiz yeterli olacaktr. Buda π nn açk olmasna denktir. U nun G/H da açk olmas için gerek ve yeter ³art V = q −1 (U ), G de açk olmasdr. Böylece U , G/H açk ise π(U ) = π(V ), K da açktr. π(R, +) −→ S 1 t 7→ π(t) = e2πit ³eklinde tanml dönü³üm sü1 rekli homomorzma ve Kerπ = Z . Önermeden, π : R/Z −→ S bir topolojik Örnek 4.1.7. izomorzmadr. Teorem 4.1.6. GL(n) bir topolojik gruptur. spat. M , nxn tipindeki reel de§i³kenli 2 M ⊂ Rn , A = (aij ) olarak alalm. A = (aij ) matrislerin kümesi olsun. matrisini 2 (a11 , a12 , . . . , a1n , a21 , . . . , a2n , . . . , an1 , an2 , . . . , ann ) ∈ Rn formunda dü³ünebiliriz. f :M ×M →M (A, B) 7→ f (A, B) = A.B 33 A ∈ f fonksiyonu süreklidir. Çünkü A = (aij ), B = (bij ) P ij−inci bile³eni nk=1 aik bkj = cij dir. ³eklinde tanimlanan f (A, B) = A.B nin ise πij : M → R (a1n , . . . , ann ) 7→ πij (a1n , . . . , ann ) = aij fonksiyonu süreklidir. f ve πij fonksiyonlar sürekli oldu§undan πij of : M × M → R (A, B) 7→ πij of (A, B) = cij fonksiyonu süreklidir. turulur. πij ve πij of GL(n) ⊂ M alalm. GL(n) için altuzay topolojisi olu³- dönü³ümleri sürekli oldu§undan f : GL(n) × GL(n) −→ GL(n) (A, B) 7→ f (A, B) = A.B dönü³ümü süreklidir. Adj(A) ve detA dönü³ümleri sürekli oldu§undan g : GL(n) → GL(n) A 7→ g(A) = A−1 = dönü³ümü süreklidir. Burada 1 .Adjoint(A) detA Adjoint(A), A matrisinin aij elemann silip Aij kofaktörünü yazp ve elde edilen matrisin transpozesinialmak suretiyle elde edilen matristir. Özellikler 4.1.1. 1. GL(n) kompakt de§ildir. f : M → R, f (A) = detA fonksiyonu süreklidir. {0} ⊂ R de 2 R − {0} ⊂ R de açk f −1 (R − {0}) = GL(n) ⊂ Rn açktr. n Henri-Borel teoremine göre A ⊂ R nin kompakt olmas için gerek ve yeter ³art A nn snrl ve kapal olmasdr. Bu durumda GL(n) kompakt spat. kapal, de§ildir. 2. GL(n) ba§lantl de§ildir. K = {A ∈ GL(n) : detA > 0}, L = {A ∈ GL(n) : detA < 0}, f : M → R için f −1 ((0, ∞)) = K , f −1 ((−∞, 0)) = L dir. GL(n) = K ∪ L, K ∩ L = ∅ dir. Bu durumda GL(n) ba§lantl de§ildir. spat. 3. O(n) ve SO(n) kapal alt gruplar GL(n) nin kompakt alt gruplardr. Pn A ∈ O(n) için A.AT P = I , 1 ≤ i, k ≤ n, j=1 aij akj = δik n ve fik : M → R, fik (A) = a a = δ olsun. {0}, {1} ⊂ R ik j=1 ij kj −1 −1 kapallar için f ik ({0}) ve fii ({1}) 1 ≤ i ≤ n kümeleri kapaldr. Bu kümelerin arakesiti O(n) yi verir. Buradan da O(n) nin kapal oldu§unu spat. söyleyebiliriz. A.AT = I ⇒ det(A.AT ) = detI = 1 ⇒ detA.detAT = 1 34 ⇒ (detA)2 = 1 ⇒ |aij | < 1. O(n) O halde snrldr. O(n) kapal ve snrl oldu§undan O(n) kom- pakttr. SO(n), O(n) in kapal alt kümesidir. Kompakt uzaylarn kapal alt SO(n) uzaylar da kompakt oldu§undan 4. SO(2) ≈ S 1 dir. 1 a −b ∀ ∈ SO(2) b a f : SO(2) → S , a −b f = a + ib ∈ S 1 b a spat. Teorem 4.1.7. bijektif ise O halde 4.2 f f kompakttr. X olsun. kompakt, Y f, için 1-1 ve örtendir. Hausdor uzay olmak üzere f :X→Y homeomorzmadr." homeomorzmdir. Grup Hareketi ve Orbit Uzaylar G bir topolojik grup ve X bir topolojik uzay olsun. ise G, X üzerinde (soldan) hareket ediyor denir. Tanm 4.2.1. kiler mevcut 1. GxX → X A³a§da- dönü³ümü süreklidir. (g, x) → gx 2. ∀g, h ∈ G, ∀x ∈ X 3. e∈G ve ∀x ∈ X için hg(x) = h(g(x)) ex = x için dir. dir. Tanm 4.2.2. 1. O(x) = {gx : g ∈ G} 2. Gx = {g ∈ G | gx = x} 3. Herhangi x, y ∈ X kümesine için x elemann orbiti denir. kümesine gx = y x elemann stablizer grubu denir. olacak ³ekilde bir g∈G varsa G'nin X üzerindeki harakete transitiidir denir 4. Bir x için gx = x iken g = e oluyorsa, G'nin X üzerindeki harakete serbest (yada yar-regüler) denir. 5. G'nin X üzerindeki haraketi hem transitii hemde serbest ise bu hara- kete regülerdir denir 35 Örnek 4.2.1. 1. Z × R → R (n, x) 7→ n + x O(x) = {n + x : n ∈ Z} = R/Z ≈ S 1 ⇒ O(x) = S 1 2. Z2 × S 1 → S 1 (−1, x) 7→ −x (1, x) 7→ x O(x) = {−x, x} = S n /Z2 ≈ Rpn ⇒ O(x) = Rpn 3. α : R × R −→ R (x, y) 7→ (x + 1, y) β : R × R −→ R (x, y) 7→ (1 − x, y + 1) olmak üzere 2 R α ve β dönü³üm³eri tatafndan üretilen grup G olsun. G, üzerinde hareket etmektedir. Yani G × R2 −→ R2 (α, z) 7→ α(z) (β, z) 7→ β(z). Dolasyla orbit uzay 4. Z×Z grubu, R×R O(x) = R2 /G ≈ Kb üzerinde hareket eder. Z2 × R2 −→ R2 (m, z) 7→ m + z. Dolasyla orbit uzay 5. O(x) = R2 /Z2 ≈ S 1 × S 1 ≈ T (x − 3)2 + z 2 = 1 çemberinin z -ekseni yüzey T torudur. α1 : R3 −→ R3 etrafnda dönmesiyle elde edilen (x, y, z) 7→ (x, −y, −z) olmak üzere G1 grubu α1 olmak üzere G2 grubu α2 olmak üzere G3 grubu α3 tarafndan üretilen bir grup olsun. α2 : R3 −→ R3 (x, y, z) 7→ (−x, −y, z) tarafndan üretilen bir grup olsun. α3 : R3 −→ R3 (x, y, z) 7→ (−x, −y, −z) tarafndan üretilen bir grup olsun. i = 1, 2, 3 için Gi gruplarnn R3 üzerinde hareketleri 3 2 uzaylar R /G1 ≈ S , R3 /G2 ≈ T R3 /G1 ≈ Kb Her 36 vardr. Orbit Teorem 4.2.1. Kompakt topolo jik grup rinde hareket etsin. Gx , x G, Housdor topoljik uzay X üze- elemanndaki stablizer grubunu göstermek üzere φ : G/Gx −→ O(x) gGx 7→ gx ³eklinde tanmlanan dönü³üm bir homeomorzmadr. spat. Dönü³ümün sadece bijektif oldu§unu göstermemiz yeterlidir. φ(g1 Gx ) = φ(g2 G) olsun. Bu durumda g1 x = g2 x ve böylece g1−1 g2 ∈ Gx dir. Dolasyla g1 Gx = g2 G yani 4.3 φ injektiftir. sürjektiik kolayca gösterilece§inden ödevdir. Lie Gruplar Tanm 4.3.1. Rn M Hausdor topolojik uzayna ait her noktann kom³ulu§u ye homeomorf ise Tanm 4.3.2. M M ye n-topolo jik manifold denir. Hausdor ve 2. saylabilir topolojik uzay olsun. A³a§daki özellikelliklere sahip dönü³ümler koleksiyonu ile birlikte M uzayna smooth n-manifold (diferansiyellenebilir n-manifold) denir. 1. U ⊂ M , V ⊂ Rn açk kümeler olmak üzere φ : U → V dönü³ümü homeomorzmdir. (Bu dönü³ümlere harita denir. 2. 3. x ∈ M, φ nin tanim kümesinde olmaldr. φ : U → U 0 ve ψ : V → V 0 haritalar için φ ∩ ψ −1 : ψ(U ∩ V ) → φ(U ∩ V ), C ∞ snfndadr. (Bu dönü³üm her mertebeden sürekli ksmi türevlere sahiptir. 4. Harita koleksiyonu maksimal olacaktr. Tanm 4.3.3. ve N M ve N üzerindeki harita M üzerindeki harita ϕ f : M → N dönü³ümüne iki smooth n-manifold olsun. ψ için −1 ψ of oφ smooth ise smooth dönü³üm denir. Tanm 4.3.4. G diferensiyellenebilir manifold ve G bir grup olsun. E§er αG : G × G → G (g, h) 7→ αG (g, h) = g.h−1 dönü³ümü diferensiyellenebilir ise G ye lie grup denir. 37 Not 4.3.1. Baz kitaplarda bu tanim ³u ³ekilde verilir; manifold ve G G diferensiyellenebilir bir grup olsun. 1. G × G −→ G (g, h) 7→ g.h diferensiyellenebilir 2. G −→ G g 7→ g −1 diferensiyellenebilir ise G ve ye lie grup denir. Örnek 4.3.1. 1. Rn bir lie gruptur. Çünkü Rn bir diferensiyellenebilir manifold ve dön- ü³ümü αRn : Rn × Rn −→ Rn (x, y) 7→ αRn (x, y) = x − y diferensiyellenebilirdir. 2. GL(n, R), SL(n, R), SO(n, R), O(n, R) 3. nxn tipindeki üst üçgen matrislerin kümesi bir lie gruptur. 4. Exceptional lie gruplar: 5. birer lie gruptur. S 0, S 1, S 3 G2 , F4 , E6 , E7 , E8 dir. bunun üzerine bölüm yaps olu³turuyoruz. öyle ki mutlak de§eri 1 olan reel saylar, kompleks saylar, quaternion ... S 0 = RN, S 1 = R2 N, S 3 = R4 N sadece bunlar lie gruplardr. 6. Heisenberg gruplar lie gruptur. 7. Lorentz gruplar lie gruptur. 8. U (1)xSU (2)xSU (3) lie gruptur. 9. Metaplectic grup bir lie gruptur. Lemma 4.3.1. 1. ki lie grubunun çarpm da lie gruptur. 2. Lie grubunun kapal alt grubu lie gruptur. 3. Lie grubunun kapal normal alt grubu ile olu³turulan bölüm grubu bir lie gruptur. 4. Ba§lantl lie grubunun evrensel örtüsü lie gruptur. Lie Gruplarnn Snandrlmas: 1. Cebirsel özellik (Basit, Yar basit, Çözülür, Nilpotent, Abel) 2. Ba§lantllk 3. Kompaktlk 38 4.4 Lie Cebirleri Tanm 4.4.1. k karakteristi§i sfr olan bir cisim olmak üzere A bu cisim üzerinde bir vektör uzay olsun. A³a§daki özellikleri sa§layan i³lem [, ] : A × A −→ A (x, y) 7→ [x, y] ile birlikte A vektör uzayna Lie Cebiri denir; 1. ∀x ∈ A 2. ∀x, y, z ∈ A [x, x] = 0. için, Örnek 4.4.1. için, [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0. [A, B] = 0 1. Rn bir Lie GL(n, R) bir Lie olmak üzere bu i³lem ile birlikte cebiridir. 2. [A, B] = AB − BA olmak üzere bu i³lem ile birlikte cebiridir. 3. X , M üzereinde tanml sun. [X, Y ] = XY − Y X Tanm 4.4.2. li§ini sa§layan 4.5 diferansiyellenebilir fonksiyonlarn kümesi oli³lemine göre bu küme bir Lie cebiridir. A ve B Lie cebirleri olamk üzere ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)] ϕ : A −→ B morzmine Lie cebir morzmi denir özel- Al³trmalar 1. G indiskret topoloji ile donatlm³ bir grup ise gösteriniz ki G bir topolo jik gruptur. 2. Bir G topolojik grubunun alt uzay topolo jisi ile donatlm³ tüm altgruplar da topolojik grup olur mu? Açklaynz. 3. G = (Z2 , +) toplamsal grubunun üzerinde τG = {∅, {0}, G} topolo jisi tanmlanm³ olsun. G bir topolojik grup olur mu? Açklaynz. 4. G topolo jik grup ve Rg (h) = hg g ∈ G olsun. Rg : G −→ G ve ∀h ∈ G için Rg dönü³ümünün bir homeomorzm oldu- ³eklinde tanml §unu gösteriniz. 5. G bir topolojik grup ve f (h) = ghg −1 g ∈ G olsun. f : G −→ G ve ∀h ∈ G için bir topolo jik izomorzmdir. Gösteriniz. (yol gösterme : f nin bir grup homomorzmas ve homeomorzm oldu§unu görünüz.) 39 6. G = (R, τdisk , +) ve K = (R, τs , +) olsun. G ve K nn birer topolojik grup oldu§unu gösterin. Bu iki uzay topolo jik olarak izomork olur mu? Açklaynz. (S 1 , τS 1 , ·) nin bir to1 polo jik grup oldu§unu gösterin. f : (R, τS , +) −→ (S , τS 1 , ·) dönü³ümü (R,+) ∼ 2πit ∀t ∈ R için f (t) = e ³eklinde tanml³ansn. = S 1 , · topolo jik Z · 7. " " kompleks saylarda çarpma i³lemini göstersin. izomorzm oldu§unu gösteriniz. (yol gösterme : Kerf = Z oldu§unu görünüz ve birinci izomorzma teoremini gerçekleyiniz.) 40 Bölüm 5 SMPLEKSLER 5.1 Ane Uzaylar A Tanm 5.1.1. oluyorsa A'ya ve y ∀x, y ∈ A, t ∈ [0, 1] için (1 − t)x + ty ∈ A konveks küme denir. Tanm 5.1.2. x bir küme olsun. A, Euclid uzaynn bir alt kümesi olsun. tarafndan olu³turulan do§ru A'da bulunuyorsa ∀ farkl x, y ∈ A için A' ya ane alt küme denir. Not 5.1.1. 1. Ane alt kümeler konvekstir. 2. Bo³ küme ve tek noktal kümeler ane kümelerdir. Tanm 5.1.3. A bir küme ve V, F cismi üzerinde bir vektör uzay olsun. A³a§daki özellikleri sa§layan + : V × A −→ A (v, a) 7−→ v + a i³lemi ile birlikte A kümesine ane uzay denir; 1. V −→ A v 7−→ v + a 2. v1 , v2 ∈ V Teorem 5.1.1. zaman T j∈J Xj ve a∈A dönü³ümü bijeksiyondur. için (v1 + v2 ) + a = v1 + (v2 + a). {Xj }j∈J , Rn 'e ait konveks (ane) alt kümeler ailesi olsun. o konveks alt uzaydr. spat. x, y ∈ \ Xj (x 6= y) j∈J ∀j ∈ J için x, y ∈ Xj 'dir. ∀j ∈ J için Xj ler konveks altTküme oldu§un∀j ∈ J için (1−t)x+ty ∈ Xj 'dir. O halde (1−t)x+ty ∈ j∈J Xj 'dir. olsun. dan; 41 X, Rn 'in bir alt kümesi olsun. X 'i içeren Rn 'e ait tüm konveks arakesitine X 'in konveks hull'u denir. Tanm 5.1.4. kümelerin Tanm 5.1.5. • p0 , p1 , . . . , pm , Rn 'de noktalar olsun. p0 , . . . , p m noktalarnn ane kom- binasyonu x = t0 p0 + t1 p1 + · · · + tm pm ; m X ti = 1 i=1 ³eklinde tanmlanr. • p0 , p1 , . . . , pm noktalarnn konveks kombinasyonu an kombinasyonudur öyleki ti ≥ 0, i = 0, . . . m'dir. Yani m X t0 p0 + t1 p1 + · · · + tm pm ; ti = 1 ve ti ≥ 0, i = 0, . . . , m. i=1 Örnek 5.1.1. x, y noktalarnn konveks kombinasyonu (1 − t)x + ty, t ∈ [0, 1] formundadr. Teorem 5.1.2. rafndan gerilen p0 , p1 , . . . , pm , Rn 'de noktalar olsun. p0 , . . . , pm noktalar ta[p0 , . . . , pm ] konveks küme, p0 , . . . , pm noktalarnn konveks kombinasyonlarn kümesidir. spat. S, tüm konveks kombinasyonlarn kümesini göstersin. S = [p0 , p1 , . . . , pm ] e³itli§ini göstermemiz gerekir. lk önce [p0 , p1 , . . . , pm ] ⊂ S oldu§unu gösterelim. Bunun için S 'nin p0 , . . . , pm noktalarn içeren konveks küme oldu§unu göstermemiz yeterli olacaktr. • tj = 1 ve di§eleri için tj = 0 olsun. Bu durumda; t0 p0 + · · · + tj pj + · · · + tm pm ; m X ti = 1, ti ≥ 0, i = 0, ..., m i=0 ve dolasyla ⇒ ∀j için pj ∈ S . • α= m X i=0 ai p i , β= m X bi p i ∈ S (ai , bi ≥ 0; i=0 42 X ai = 1; X bi = 1) olsun. (1 − t)α + tβ ∈ S oldu§unu iddia ediyoruz. (1 − t)α + tβ = (1 − t) m X ai p i + t m X i=0 m X b i pi = ((1 − t)ai + tbi )pi ∈ S i=0 i=0 çünkü m X (1 − t)ai + tbi = (1 − t) i=0 m X bi = 1, i=1 Bunun sonucunda [p0 , p1 , . . . , pm ] ⊂ S . S ⊂ [p0 , p1 , . . . , pm ] ba§ntsn gösterelim. X , p0 , . . . , pm noktalarn içeren bir konveks tümevarm ile S ⊂ X oldu§unu gösterelim. • m=0 (1 − t)ai + tbi ≥ 0. için küme ise m≥0 üzerinde S = p0 'dr. Pm Pm t = 1 ise p = • m > 0 olsun. ti ≥ 0 ve i i=0 ti pi X e ait olup i=0 olmad§n görelim. t0 6= 1 oldu§unu varsayabiliriz. Aksi halde p = p0 olabilir ve bir üstteki ko³ul içine dü³er. Tümevarm hipotezinden q= ve böylece t2 tm t1 p1 + p2 + · · · + pm ∈ X 1 − t0 1 − t0 1 − t0 p = t0 p0 + (1 − t0 )q ∈ X çünkü X konvekstir. Dolasyla S ⊂ X 'dir. Sonuç olarak Sonuç 5.1.1. S = [p0 , . . . , pm ] e³itli§ini elde ederiz. {p0 , p1 , . . . , pm }, Rn 'de noktalar olsun. {p0 , ..., pm } noktalar- nn gerdi§i an küme bu noktalarn an kombinasyonunu içerir. Rn 'de {p0 , . . . , pm } noktalarnn sral kümesini ele alalm. {p1 − p0 , p2 − p0 , . . . , pm − p0 } kümesi Rn vektör uzaynn lineer ba§msz alt uzay ise {p0 , p1 , . . . , pm } sral kümesine an ba§mszdr denir. Tanm 5.1.6. Not 5.1.2. 1. Rn 'nin lineer ba§msz alt kümesi an ba§msz kümedir. Tersi do§ru de§ildir çünkü orijin ile birlikte lineer ba§msz küme ane ba§mszdr. 2. Tek noktal küme {p0 } an ba§mszdr çünkü i 6= 0 olmak üzere pi − p0 φ bo³ kümesi lineer ba§mszdr. formunda noktalar yok ve 43 3. p1 − p0 6= 0 4. {p0 , p1 , p2 , } olmas durumunda {p0 , p1 } kümesi an ba§mszdr . noktalar ayn do§ru üzerinde de§ilse {p0 , p1 , p2 } an ba- §mszdr. 5. {p0 , p1 , p2 , p3 } noktalar ayn düzlem üzerinde de§ilse {p0 , p1 , p2 , p3 } an ba§mszdr. Teorem 5.1.3. {p0 , . . . , pm }, Rn 'de sral küme olsun. A³a§dakiler denktir: 1. {p0 , . . . , pm } 2. {s0 , . . . , sm } ⊂ R an ba§mszdr. kümesi m X m X si pi = 0 ve i=0 e³itsizliklerini do§ruluyor ise 3. A, {p0 , . . . , pm } si = 0 i=0 s1 = s2 = · · · = sm = 0 dr. tarafndan gerilen an küme olmak üzere ∀x ∈ A ele- man an kombinasyonu olarak tektürlü ifade edilir, yani x= m X ti pi m X ve i=0 spat 5.1.1. ti = 1. i=0 1) ⇒ 2) : {p0 , p1 , ..., pm } an ba§msz olsun. {s0 , ..., sm } ⊂ R kümesi m X m X si pi = 0 ve i=0 si = 0 i=0 e³itsizliklerini sa§lasn. m X si pi = i=0 m X m m X X si pi − ( si )p0 = si (pi − p0 ) = 0 i=0 i=0 i=0 i = 1, . . . , m için pi − p0 lineer ba§msz s1 = s2 = · · · = sm = 0'dr. çünkü {p0 , . . . , pm } an ba§msz. O halde; m X si = 0 i=0 s0 = 0'dr. 2) ⇒ 3) : x ∈ A alalm. oldu§undan Sonuç 5.1.1 den dolay kombinasyon olarak ifade edilir. Böylece x ∈ A edildi§ni gösterelim. x= m X m X ti pi , i=0 i=0 44 ti = 1 x ∈ A eleman ane elemann tek türlü ifade ve x= m X m X t0i pi , i=0 t0i = 1 i=0 oldu§unu varsayalm. m X m X ti pi = i=0 t0i pi i=0 3) ⇒ 1) : ⇒ m X (ti − t0i )pi = 0 ⇒ ∀i, ti − t0i = 0 ⇒ ∀i, ti = t0i . i=0 ∀x ∈ A eleman {p0 , p1 , ..., pm } noktalarnn an kombinasyonu {po , . . . , pm } kümesinin an {p1 − p0 , p2 − p0 , . . . , pm − p0 } lineer olarak tek türlü ifade edildi§ini varsayalm. Yani ba§msz oldu§unu göstermeliyiz. Yani; ba§msz oldu§unu göstermeliyiz. Varsayalm ki {p1 − p0 , . . . , pm − p0 } m X lineer ba§ml olsun. O halde; ri (pi − p0 ) = o i=0 ri (hepsi pj ∈ A ise iken rj 6= 0 sfr de§il) vardr. pj = − X olsun. alalm. pj = 1.pj X ri + 1)p0 ri pi + ( i6=j i6=j pj rj = 1 iki türlü ifade edilemeyece§inden çeli³ki. O halde {p1 − p0 , . . . , pm − p0 } Sonuç 5.1.2. {p0 , . . . , pm } lineer ba§mszdr. sral küme olsun. An ba§mszlk bu kümenin bir özellikelli§idir. Tanm 5.1.7. {a1 , . . . , ak }, Rn 'de bir küme olsun. Bu kümenin eleman an ba§msz küme olu³turuyorsa, {a1 , . . . , ak } (n + 1) kümesi genel pozis- yondadr denir. Not 5.1.3. Genel pozisyonda olma özellikelli§i {a1 , a2 , . . . , ak }, R • n = 1 için n n saysna ba§ldr. 'de genel pozisyon olsun. {ai , aj } an ba§msz olmaldr. Yani tüm noktalar farkl olmal. • n=2 için üç nokta kolineer olmamaldr. • n=3 için dört nokta kodüzlem olmamaldr. 45 Teorem 5.1.4. ∀k ≥ 0 için Rn Euclid uzay genel pozisyonda k tane noktas vardr. {p0 , p1 , . . . , pm }, Rn 'de an ba§msz alt küme olsun. A'da bu tarafndan gerilen bir an küme olsun. x ∈ A ise Teorem 5.1.3'den Tanm 5.1.8. alt küme x= m X ti pi , m X i=0 ti = 1. i=0 (t0 , t1 , . . . , tm ), (m + 1)-bile³enine x elemannn bary-centric koordinat de- nir. p0 p1 t0 = t1 = 1 2 p2 JJ J t0 "J b b " " J "b b b J "" b J " b p0 = t1 = t2 = 31 , x = 13 (p0 + p1 + p2 ) p1 p3 p2 " " " "" "" " p0 Genel hali: Tanm 5.1.9. x = 41 (p0 + p1 + p2 + pj ) p1 1 (p m+1 0 + · · · + pm ) = x {p0 , p1 , . . . , pm }, Rn 'de an ba§msz alt küme olsun. Bu alt küme tarafndan gerilen konveks kümeye pi 'ler ile gösterilir ( Teorem 5.1.5. m-simpleksinin m-simpleks denir. [p0 , p1 , . . . , pm ] kö³eler olarak adlandrlr). {p0 , p1 , . . . , pm } an ba§msz olsun. Bu durumda [p0 , . . . , pm ] x eleman; her x= m X ti pi , i=0 m X ti = 1, ti ≥ 0, i = 0, . . . , m i=0 formunda tek türlü yazlr. Tanm 5.1.10. {p0 , p1 , . . . , pm } an ba§msz olsun. [p0 , . . . , pm ] m-simpleksinin baricentrik koordinat; 1 (p0 + p1 + · · · + pm ). m+1 46 (t0 = t1 = · · · = tm = 1 ) m+1 Not 5.1.4. Barisentrik sözcü§ü a§rlk anlamanda barys yunanca kelimesinde gelmektedir. Dolasyla barisentrik, a§rlk merkezi anlamndadr Örnek 5.1.2. • [p0 ] barisentrik'i kendisidir. • [p0 , p1 ] 1-simpleksinin barisentrik'i • [p0 , p1 , p2 ] 2-simpleksinin 1 (p 2 0 barisentrik'i • ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rn+1 ba§mszdr. [e0 , e1 , . . . , en ], x= n X + p1 )'dir. 1 (p 3 0 + p1 + p2 )'dir. olmak üzere {e0 , e1 , . . . , en } an ti ei i=0 formundaki tüm konveks kombinasyonu içerir. [e0 , e1 , . . . , en ]'in bari- (t0 , t1 , . . . , tn )'dir. p0 = (1, 0, 0, 0, 0 . . . ) = e0 , p1 = (0, 1, 0, 0, 0 . . . ) = e1 , p2 = (0, 0, 1, 0, 0 . . . ) = e2 , p3 = (0, 0, 0, 1, 0, . . . ) = e3 , ...... sentrik koordinat 6 v a aa aa v v Tanm 5.1.11. [p0 , p1 , . . . , pm ] m-simpleks m X [p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pm ] = { tj pj j=0 47 | olsun. m X j=0 pi noktasnn ters yüzü tj = 1, tj ≥ 0}. [p0 , p1 , . . . , pm ] m-simpleksinin snr bu ters yüzlerin birle³imi ³eklinde tan- mlanr. s 0-simplekste p0 'in tersyüzü kendisi p0 1-simplekste p1 'in p0 tersyüzü p0 'dr. p1 p2 @ @ @ @ 2-simplekste p2 'nin p1 ters yüzü p0 p1 @ p23-simplekste p0 'nin ters yüzü [p1 , p2 , p3 ] 2-simplekstir @ p0 do§ru parças p3 @ @ @ @ p0 H H HH H p1 Not 5.1.5. 2. 1. Bir [p0 , p1 , . . . , pm ] k -simplekstir. Teorem 5.1.6. i. ii. iii. u, v ∈ S m-simpleksin m + 1 simpleksinin tane yüzü vardr. k -yüzü, k + 1 S n-simpleksi, [p0 , p1 , . . . , pn ] ise kö³e tarafndan gerilen bir ile gösterilsin. ku − vk ≤ Sup ku − pi k. diamS = Sup kpi − pj k. b, S 'nin i. barisentrik'i ise v= n X i=0 ti pi , kb − pi k ≤ n X ti = 1, i=0 48 n n+1 (diamS). ti ≥ 0, i = 0, . . . , n olsun. ku − vk = ku − n X ti pi k = k( i=0 =k n X ti (u − pi )k ≤ i=0 n X i=0 n X ti )u − n X ti pi k (5.1) i=0 kti (u − pi )k = i=0 n X ti ku − pi k (5.2) i=0 n X ≤( ti )Sup ku − pi k = Sup ku − pi k (5.3) i=0 ku − pi k ≤ Sup kpj − pi k0 dir. ii. çap tanimndan; diamS = Sup kpi − pj k n iii. 1 X pj b= n + 1 j=0 olmak üzere; n kb − pi k = k 1 X pj − pi k n + 1 j=0 n 1 X 1 X =k pj − j = 0n pi k n + 1 j=0 n+1 n 1 X =k (pj − pi )k n + 1 j=0 n 1 X ≤ Sup kpj − pi k n + 1 j=0 (i = j, kpj − pi k) n n Sup kpj − pi k = diamS = n+1 n+1 Tanm 5.1.12. {p0 , . . . , pm } kümesi an ba§msz ve A, bu noktalarn gerdi§i an küme olsun. T : A −→ Rk m X ti pi 7−→ T ( i=0 T 'nin S = [p0 , . . . , pm ]'ye m X i=0 ti pi ) = m X ti T (pi ). i=0 kstlan³ yine bir an dönü³ümdür. 49 Not 5.1.6. 1. An dönü³üm, an kombinasyonu ve konveks kombinas- yonu korur. 2. An dönü³üm, an ba§msz küme üzerinde ald§ de§erle belirlenebilir. 3. p0 , . . . , p m noktalarnn bary centric koordinatn tekli§i bu tür T dön- ü³ümlerin varl§n gösterir. [p0 , . . . , pm ] m-simpleks, [q0 , . . . , qn ] n simpleks ve f : {p0 , . . . , p0 } −→ [q0 , . . . , qn ] bir fonksiyon olsun. T (Pi ) = f (pi ) ³ekilde bir tek T : [p0 , . . . , pm ] −→ [q0 , . . . , qn ] dönü³ümü mevcuttur. P Pm Y.G: T( m i=0 ti pi ) = i=0 tf (pi ) Teorem 5.1.7. 50 olacak 5.2 Simplisiyal Kompleksler S = [v0 , v1 , . . . , vq ] q-simpleks olsun. V er(S) = {v0 , . . . , vq } ile gösterilsin. Tanm 5.2.1. S Bu simplekslerin kö³elerinin kümesi V er(S 0 ) ⊂ V er(S) ise S 0 ne S V er(S ) ( V er(S) ise S 0 ne S simpleksinin bir simpleks olsun. E§er simpleksinin yüzü denir. E§er 0 has yüzü denir. Tanm 5.2.2. Sonlu simplisiyal kompleks K a³a§daki özellikellikleri sa§la- yan simplekslerin kolleksiyonudur. i. ii. s∈K ise s, t ∈ K s nin yüzü de K ya aittir. ise bu iki simpleksin arakesiti ya bo³tur ya da bu iki simpleksin ortak yüzüdür. Örnek 5.2.1. v5 v2 [v1 , v2 ] ∩ [v3 , v5 ] = [v3 ] → v3 JJ v 3 JH J HH H H J → v0 v1 v2 v0 simplisiyal kompleks de§il. v4 → v5 JJ v J3 J J v1J JJ ortak yüz de§ildir. simplisiyal kompleks de§il. v1 , v3 ortak yüz de§il. v4 Tanm 5.2.3. 1. K bir simplisiyal kompleks olsun. K 'nn underlying uzay [ s | K |= s∈K K, Rn 'in ³eklinde tanimlanr. ( 2. alt uzay) X topolo jik uzay verilsin. E§er K simplisiyal kompleks ve h :| K |→ X homeomorzma varsa X 'e polyhedron denir. (K, h) sine X 'in üçgenle³tirilmesi denir. Not 5.2.1. • (K), Euclid uzaynn kompakt alt uzaydr. 51 ikili- • s, K 'da bir simpleks ise | s |= s'dir. Örnek 5.2.2. 2 X 42 = { ti vi | 2 X i=0 ti = 1, ti ≥ 0, i = 0, 1, 2} i=0 2-simpleks (42 ⊂ Rn ) K = 42 standart 2-simpleksindeki 0-simpleks ve tüm 1-simplekslerin kolleksiyonu olsun. standart tüm v2 K = {[v0 ], [v1 ], [v2 ], [v0 , v1 ], [v0 , v2 ], [v1 , v2 ]} @ @ @ @ @ v0 v1 2 − simpleks K K simplisiyal komplekslerin kolleksiyonu iki ko³ulu da sa§lar. underlying uzay üçgen olacaktr. v2 L : |K| = v0 @ −→ @ X = S1 v1 homeorzmas var. O halde çember polyhedrondur. K Tanm 5.2.4. talar, K 'da L ve {p0 , p1 , . . . , pq } nok{ϕ(p0 ), ϕ(p1 ), . . . , ϕ(pq )} noktalar L'de tanimlanan ϕ : K → L fonksiyona simplisiyal iki simplisiyal kompleks olsun. bir simpleksi gererken bir simpleksi gerecek ³ekilde dönü³üm denir. Tanm 5.2.5. K K daki kö³eler ile ve L bir izmorzm denir. L iki simplisiyal kompleks olmak üzere deki kö³eler arasnda bijektif ise K ve L ϕ' ye K ϕ : K −→ L, ve L arasbda ye de izmork simplisiyal kompleksler denir. Önerme 5.2.1. Simplisiyal dönü³ümlerin birle³imide simplisiyal dönü³ümdür. spat 5.2.1. spat okuyucuya ödev olarak biraklm³tr Tanm 5.2.6. ∀i için leksin alt kümesine ti > 0 P 'nin olacak ³ekilde içi denir. P◦ 52 Pm i=1 ti pi noktalrna ait ile gösterilir. P simp- 0-simpleksin içi kendisidir. Ayrca bir dijital m-simpleks açk Örnegin, bir simplekslerin ayrk birle³imi oldu§u gözlenmelidir. Tanm 5.2.7. p K bir m-simplisiyal kompleks ve p ∈ V er(K) olsun. O zaman nin yldz st(p) = ∪P ◦ ³eklinde tanmlanr. Burada Tanm 5.2.8. K P ∈K p ∈ V er(K). ve bir simplisiyal kompleks olsun. dimK = sup{dim(s)}. s∈K Teorem 5.2.1. K homeomorzm ise Tanm 5.2.9. K L iki simplisiyal dimK = dimL'dir. ve ve L simplisiyal dönü³üm ve kö³esi p kompleks olsun. E§er f : |K| → |L| ϕ : K −→ L olsun. K nn her iki simplisiyal kompleks olmak üzere f : |K| −→ |L| sürekli dönü³üm için f (st(p)) ⊂ st(φ(p)) ise ϕ dönü³ümü Önerme 5.2.2. f 'ye ϕ simplisiyal yakla³yor denir. simplisiyal dönü³ümünün yakla³m • f süreklidir. • f homeomorzm olmas için gerek ve yeter ³art f ϕ olsun. izomorzmdir. • f1 : |K| −→ |L| fonksiyonu ϕ1 : K −→ L dönü³ümünün yakla³m ve f2 : |L| −→ |K| fonksiyonu ϕ2 : L −→ M simplisiyal dönü³ümün yakla³m ise f2 ◦ f1 : |K| −→ |M |, ϕ2 ◦ ϕ1 'in simplisiyal yakla³m fonksiyonudur. spat 5.2.2. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr. Örnek 5.2.3. p0 = (0, 0, 0), p1 = (1, 0, 0), p2 = (1, 2, 0), p3 = (2, 3, 4) p3 6 p0 @ R @ @ @ p2 p1 Bu üçgen prizmann snrlar bir simplisiyal kompleks olu³turur. 53 ~ 0-simpleksler: σ10 = p0 , σ20 = p1 , σ30 = p2 , σ40 = p3 ~ 1-simpleksler: σ11 = (p0 , p1 ), σ21 =< p0 , p2 >), σ31 =< p0 , p3 >, σ51 =< p1 , p3 >, σ61 =< p2 , p3 > ~ 2-simpleksler: σ12 =< p0 , p1 , p2 >, σ42 =< p0 , p1 , p3 > σ22 =< P1 , P2 , P3 >, 54 σ41 =< p1 , p2 >, σ32 =< p0 , p2 , p3 >, Bölüm 6 SMPLSYAL HOMOLOJ GRUPLARI 6.1 Serbest Abel Gruplar Tanm 6.1.1. B, F abel grubunun alt kümesi olsun. Her devirli altgrubu sonsuz ve F = ⊕b∈B < b > ise F ye B b∈B için <b> bazl serbest abel grup denir. Dolasyla bir serbest abel grup Z gruplarnn direkt toplamlardr. F ser- best abel grubun tipik eleman x= X formunda tek türlü ifade edilir. Burada sfrdr (tümü fakat Not 6.1.1. • mb mb b mb ∈ Z ve mb nin hemen hemen hepsi nin sonlu sayda olmas) Serbest abel grubun bazlar, vektör uzaynn bazlar gibi hareket ederler(davranrlar). • Bu abel grubun bazlar üzerinde çak³an iki homomorzma e³it olmaldr. Yani bir kümesi üzerinde bir tek homomorzm tanmlanr. Teorem 6.1.1. 1. F, B bazl serbest abel grup olsun. G serbest abel grup ve ϕ : B −→ G bir fonksiyon ise Her b ∈ B için, ϕ̃ ◦ i(b) = ϕ(b) olcak ³ekilde bir tek homomorzmas ϕ : F −→ G 55 F @ @ i ϕ̄ @ @ ? ϕ B R @ - G vardr. 2. F serbest abel grup olmak üzere her abel grup G, F/R bölüm grubuna izomorftur. spat 6.1.1. i) F serbest abel grubuna ait her elemenn x= X mb b yazlabildi§ini biliyoruz. O zaman ϕ̄ : F −→ G x 7−→ ϕ̄(x) = ³eklinde tanmlansn. x X mb ϕ(x) elemann tek türlü ifade edilmesinden homomorzmadr. Bir önceki notun ikinci ksmndan ii) Her x ∈ G çelim. Dolasyla bx olan Zx sonlu B = {bx | x ∈ G} bazl X F = Zx için, üreteci ϕ̄ ϕ̄ iyi-tanml tektir. olmayan devirli grubunu se- x∈G serbest abel gruptur. ϕ : B −→ G bx 7−→ ϕ(bx ) = x ϕ sürjektif oldu§undan ϕ̄ homomorzmas ∼ teoreminden G = F/Ker ϕ̄. ³eklinde fonksiyonu tanmlayalm. sürjektir. Birinci izomorzma Teorem 6.1.2. Verilen grup F T kümesi için, T yi baz kabul eden bir serbest sbel vardr. t ∈ T için elemanlar mt olan Zt toplamsal grubunu tanmlarz. Zt nin üreteci t olan bir sonsuz devirli grup oldu§u kolayca görülebilir. Dolasyla F = ⊕t∈T Zt grubu t inci koordinat sfrdan farkl olmak üzere bt tbaz elemanlarndan olu³an bir serbest spat 6.1.2. T = φ ise F = 0 dir. Aksi halde her abel grupttur. 56 F Teorem 6.1.3. serbest abel grubun her hangi iki bazn kardinalitisi e³ittir. spat 6.1.3. Okuyucuya braklm³tr. Tanm 6.1.2. F, B bazl serbest abel grup ise F nin rank B nin kardina- tisine e³ittir. imdi herhangi bir abel grubun rankn tanmlayabiliriz; Tanm 6.1.3. G nin bir F G bir abel grup olsun. A³a§daki özellikleri sa§layacak ³ekilde G nin rank r dir denir; abel alt grubu varsa 1. rank F = r; 2. G/F 6.2 burulmal(torsiyon). Simplisiyal Zincir Kompleksler Tanm 6.2.1. üzere Cq (K) K orianted (yönlü) simplisiyal kompleks olsun. q≥0 olmak a³a§daki özellikelliklere sahip abel gruptur. * Üreteçler: pi ∈ V erK olmak üzere (p0 , p1 , . . . , pq ) noktalarndan {p0 , p1 , . . . , pq }, K 'daki bir simpleksi germesi gerekir. olu³acak öyleki * Ba§ntlar: (p0 , p1 , . . . , pq ) = 0'dr. (p0 , p1 , . . . , pq ) = Sgn(π)(pπ(0) , pπ(1),...,pπ(q) ) i. E§er bir kenar tekrarlarsa ii. Cq (K)'nn elemann Lemma 6.2.1. Cq (K), q>m bazlar ise < p0 , p1 , . . . , pq > K m-boyutlu ile gösterece§iz. simplisiyal kompleks olsun. < p0 , p1 , . . . , pn > olan serbest abel gruptur. Cq (K) = 0'dr. Tanm 6.2.2. ∂q : Cq (K) −→ Cq−1 (K) < p0 , p1 , . . . , pq >7→ ∂q (< p0 , . . . , pq >) q X = (−1)i < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pn > i=0 Örnek olarak; ∂2 (< p0 , p1 , p2 >) = 2 X (−1)i < P0 , p̂i , p2 > i=1 = < p1 , p2 > − < p0 , p2 > + < p0 , p1 > 57 < p1 , p2 >, < p0 , p1 >, < p0 , p2 >∈ C1 (K) Böylelikle baz elemanlarn lineer birle³imi ifade edilmi³ oldu. Teorem 6.2.1. K m-boyutlu simplisiyal kompleks olsun. O zaman; ∂m−1 ∂ m Cm−1 (K) −→ . . . −→ C0 (K) −→ 0 0 −→ Cm (K) −→ bir zincir komplekstir. Tanm 6.2.3. K ve simplisiyal dönü³ümü (∂m−1 ◦ ∂m = 0) L iki simplisiyal kompleks olmak üzere φ : K −→ L φ∗ : Cq (K) −→ Cq (L) a³a§daki gibi lineer dönü³üm indirger; ϕ∗ ({p0 , . . . , pq }) = {ϕ(p0 ), . . . , ϕ(pq )}, {ϕ(p0 ), . . . , ϕ(pq )} L 0, {ϕ(p0 ), . . . , ϕ(pq )} L deki bir simpleksi gerer deki bir simpleksi germez Tanmdan A³a§daki önermeyi verebiliriz; Önerme 6.2.1. ψ ◦ ϕ : K −→ M ϕ : K −→ L ve ψ : L −→ M iki simplisiyal dönü³üm olsun. bile³kesi (ψ ◦ ϕ)∗ = ψ∗ ◦ ϕ∗ e³itli§ini gerçekleyen (ψ ◦ ϕ)∗ : Cq (K) −→ Cq (M ) dönü³ümünü üretir. Simplisiyal dönü³üm ile snr homomorzmas arasndaki ili³ki ³öyledir; Önerme 6.2.2. ϕ : K −→ L simplisiyal dön³üm ise ∂ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ∂ : Cq (K) −→ Cq−1 (L). spat 6.2.1. {p0 , . . . , pq }, K da bir q -simpleksi gersin. O zaman ∂ ◦ ϕ∗ ({p0 , . . . , pq }) = ∂({ϕ(p0 ), . . . , ϕ(pq )}) q X = (−1)i {ϕ(p0 ), . . . , ϕ̂(pi ), . . . ϕ(pq )} i=0 q = X (−1)i ϕ∗ ({p0 , . . . , p̂i , . . . pq }) i=0 q X = ϕ∗ ( (−1)i {p0 , . . . , p̂i , . . . pq }) i=0 = ϕ∗ ◦ ∂({p0 , . . . , p̂i , . . . pq }) 58 6.3 Simplisiyal Homolo ji Gruplar Tanm 6.3.1. K oriented simplisiyal kompleks olsun. • Zq (K) = Ker∂q = {< p0 , p1 , . . . , pq >∈ Cq (K) | ∂q (< p0 , . . . , pq >) = 0} grubuna q-devir grubu denir. • Bq (K) = Im∂q+1 = {< p0 , p1 , . . . , pq >∈ Cq (K) | ∂q+1 (< p0 , . . . , pq+1 >) =< p0 , p1 , . . . , pq >} grubuna q-snr grubu denir. Lemma 6.3.1. Tanm 6.3.2. Bq (K) ⊂ Zq (K) ⊂ Cq (K)'dr. Hq (K) = Zq (K) grubuna q. boyutta simplisiyal homoloji grubu Bq (K) denir. Klein i³esi 1 tane 0-simpleks 3 tane 1-simpleks 2 tane 2-simpleks Ve q≥3 için [v] var. O halde C0 (Kb) ∼ =Z [a], [b], [c] var. O halde C1 (Kb) ∼ =Z⊕Z⊕Z ∼ [U ], [L] var. O halde C2 (Kb) = Z ⊕ Z Cq (Kb) ∼ = {0} dir. 0 −→ C2 (Kb) −→ C1 (Kb) −→ C0 (Kb) −→ 0 Buradan; Ker∂0 = C0 (Kb) ∼ =Z ve Im∂3 = {0} 59 dir. ∂2 : C2 (Kb) −→ C1 (Kb) homomorzmasn ele alalm. ∀ p U + q L ∈ C2 (Kb) için ∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L) = p (−a − b + c) + q (−c − a + b) = −(p + q) a + (q − p) (b − c) (−a − b + c) + (−c − a + b) = 2a olur. O halde dir. Buradan; Im∂2 ∼ = 2Z ⊕ Z dir. üreteçlerimiz 2a ve b−a−c ∂2 nin çekirde§ini hesaplayalm. ∂2 (pU + qL) = 0 olsun. O zaman −(p + q) a + (q − p) (b − c) = 0 ⇐⇒ p = q = 0 dir. O halde Ker∂2 ∼ = {0} dir. imdi ∂1 : C1 (Kb) −→ C0 (Kb) homomorzmasn ele alalm. ∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (Kb) için ∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c) = r1 (v − v) + r2 (v − v) + r3 (v − v) = 0 elde edilir. O zaman; Ker∂1 ∼ = Z ⊕ Z ⊕ Z ve Im∂1 ∼ = {0} dir. Artk Klein i³esinin homolo ji gruplarn hesaplayabiliriz. H0 (Kb) = H1 (Kb) = Ker∂0 Im∂1 Ker∂1 Im∂2 H2 (Kb) = ∼ = Ker∂2 Im∂3 Hq (Kb) = {0} 60 ∼ = Z {0} Z⊕Z⊕Z 2Z⊕Z ∼ = {0} {0} =Z = Z2 ⊕ Z = {0} q≥3 dir. Tor [v] var. O halde C0 (Kb) ∼ =Z [a], [b], [c] var. O halde C1 (Kb) ∼ =Z⊕Z⊕Z ∼ [U ], [L] var. O halde C2 (Kb) = Z ⊕ Z 1 tane 0-simpleks 3 tane 1-simpleks 2 tane 2-simpleks Ve q≥3 için Cq (Kb) ∼ = {0} dir. 0 −→ C2 (T ) −→ C1 (T ) −→ C0 (T ) −→ 0 Buradan; Ker∂0 = C0 (T ) ∼ =Z ve Im∂3 = {0} dir. ∂2 : C2 (T ) −→ C1 (T ) homomorzmasn ele alalm. ∀pU + qL ∈ C2 (T ) için ∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L) = p (−a − b + c) + q (a + b − c) = p (−a − b + c) + q (a + b − c) = (p − q) (c − a − b) O halde Im∂2 ∼ = Z olur. ∂2 nin çekirde§ini hesaplayalm. ∂2 (pU + qL) = 0 olsun. O zaman (p − q) (c − a − b) = 0 =⇒ p = q ∼ halde Ker∂2 = Z dir. imdi O ∂1 : C1 (T ) −→ C0 (T ) homomorzmasn ele alalm. ∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (T ) 61 için dir. ∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c) = r1 (v − v) + r2 (v − v) + r3 (v − v) = 0 elde edilir. O zaman; Ker∂1 = C1 (T ) ∼ = Z ⊕ Z ⊕ Z ve Im∂1 ∼ = {0} dir. Artk Tor un homolo ji gruplarn hesaplayabiliriz. H0 (T ) = H1 (T ) = Ker∂0 Im∂1 Ker∂1 Im∂2 H2 (T ) = ∼ = 62 Z {0} Z⊕Z⊕Z Z Ker∂2 Im∂3 Hq (T ) = {0} ∼ = ∼ = =Z =Z⊕Z Z {0} q≥3 =Z dir. Reel Projektif Düzlem [v], [w] var. O halde C0 (RP 2 ) ∼ =Z⊕Z [a], [b], [c] var. O halde C1 (RP 2 ) ∼ =Z⊕Z⊕Z [U ], [L] var. O halde C2 (RP 2 ) ∼ =Z⊕Z 2 tane 0-simpleks 3 tane 1-simpleks 2 tane 2-simpleks Ve q≥3 için Cq (RP 2 ) ∼ = {0} dir. 0 −→ C2 (RP 2 ) −→ C1 (RP 2 ) −→ C0 (RP 2 ) −→ 0 Buradan; Ker∂0 = C0 (RP 2 ) ∼ =Z⊕Z ve Im∂3 = {0} dir. ∂2 : C2 (RP 2 ) −→ C1 (RP 2 ) homomorzmasn ele alalm. ∀pU + qL ∈ C2 (RP 2 ) için ∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L) = p (−a + b + c) + q (−a + b − c) = −a (p + q) + b (p + q) + c (p − q) = (p + q) (b − a) + (p − q) c −a + b + c − a − c + b = 2(b − a) olur. O halde −a − c + b dir. Buradan Im∂2 ∼ = 2Z ⊕ Z dir. üreteçlerimiz 2(b − a) ∂2 nin çekirde§ini hesaplayalm. ∂2 (pU + qL) = 0 olsun. O zaman (p + q) (b − a) + (p − q) c = 0 p = q = 0 dir. O halde Ker∂2 = {0} dir. ve imdi ∂1 : C1 (RP 2 ) −→ C0 (RP 2 ) 63 ⇐⇒ homomorzmasn ele alalm. ∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (T ) için ∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c) = r1 (w − v) + r2 (w − v) + r3 (v − v) = (w − v) (r1 + r2 ) dir. O zaman üreteç bir tanedir. Buradan Im∂1 ∼ = Z olur. ∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = 0 olsun. O zaman (w − v) (r1 − r2 ) = 0 =⇒ r1 = −r2 dir. Buradan Ker∂1 ∼ = Z ⊕ Z olur. Reel Pro jektif Düzlemin homoloji gruplarn hesaplayabiliriz. H0 (RP 2 ) = Ker∂0 Im∂1 ∼ = Z⊕Z Z =Z = Z2 H1 (RP 2 ) = Ker∂1 Im∂2 ∼ = Z⊕Z 2Z⊕Z H2 (RP 2 ) = Ker∂2 Im∂3 ∼ = {0} {0} Hq (RP 2 ) = {0} 64 = {0} q≥3 dir. Küre [v], [w] var. O halde C0 (S 2 ) ∼ =Z⊕Z 2 ∼ [a], [b], [c] var. O halde C1 (S ) = Z ⊕ Z ⊕ Z [U ], [L] var. O halde C2 (S 2 ) ∼ =Z⊕Z 2 tane 0-simpleks 3 tane 1-simpleks 2 tane 2-simpleks Ve q≥3 için Cq (S 2 ) ∼ = {0} dir. 0 −→ C2 (S 2 ) −→ C1 (S 2 ) −→ C0 (S 2 ) −→ 0 Buradan; Ker∂0 = C0 (S 2 ) ∼ =Z⊕Z ve Im∂3 = {0} dir. ∂2 : C2 (S 2 ) −→ C1 (S 2 ) homomorzmasn ele alalm. ∀pU + qL ∈ C2 (S 2 ) için ∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L) = p (−b + b + c) + q (−a + a − c) = c(p − q) O halde üretecimiz " c " bir tanedir. Buradan Im∂2 ∼ =Z ∂2 nin çekirde§ini hesaplayalm. ∂2 (pU + qL) = 0 olsun. O zaman c(p − q) = 0 =⇒ p = q bir tane oldu§undan Ker∂2 = Z dir. dir. imdi 65 dir. Üretecimiz ∂1 : C1 (S 2 ) −→ C0 (S 2 ) homomorzmasn ele alalm. ∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (T ) için ∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c) = r1 (w − v) + r2 (w − v) + r3 (v − v) = (w − v) (r1 − r2 ) dir. O zaman üreteç bir tanedir. Buradan Im∂1 ∼ = Z olur. ∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = 0 olsun. O zaman (w − v) (r1 − r2 ) = 0 =⇒ r1 = r2 dir. Buradan Ker∂1 ∼ = Z olur. Kürenin homolo ji gruplarn hesaplayabiliriz. H0 (S 2 ) = Ker∂0 Im∂1 ∼ = Z⊕Z Z H1 (S 2 ) = Ker∂1 Im∂2 ∼ = Z Z H2 (S 2 ) = Ker∂2 Im∂3 ∼ = Z {0} Hq (S 2 ) = {0} =Z = {0} =Z q≥3 dir. Teorem 6.3.1. 1. K=∅ 2. K = {x0 } ise H0 (K) = 0'dir. bir 0-simpleks ise H0 (K) = 0, i≥1 spat 6.3.1. 1. K=∅ olsun. C0 (K) = 0, ∂ C1 (K) = 0, C2 (K) = 0; ∂ ∂ Ci (K) = 0 i ≥ 3 ∂ 0 →4 C3 (K) →3 C2 (K) →2 C1 (K) →1 C0 (K) → 0 Z0 (K) = Ker∂0 = 0 Dolasyla 2. K = {x0 } H0 (K) = B0 (K) = Im∂1 = 0. Z0 (K) {0}. B0 (K) olsun. C0 (K) =< x0 >' Z, 66 Ci (K) = {0} i ≥ 1 ∂ ∂ 0 →1 C0 (K) →0 0 Z0 (K) = Ker∂0 = C0 (K) ' Z, Böylece B0 (K) = Im∂1 = {0}. H0 (K) ' Z . Örnek 6.3.1. p0 = (0, 0, 0), p1 = (1, 0, 0), p2 = (1, 2, 0), p3 = (2, 3, 4) P3 6 P0 @ R @ @ @ P2 P1 σ10 =< p0 >, σ20 =< p1 >, σ40 =< p3 > σ30 =< p2 >, σ11 =< p0 , p1 >, σ21 =< p0 , p2 >, σ51 =< p1 , p3 >, σ61 =< p2 , p3 > σ31 =< p0 , p3 >, σ22 =< p1 , p2 , p3 >, σ12 =< p0 , p1 , p2 >, σ42 =< p0 , p1 , p3 > σ41 =< p1 , p2 > σ32 =< p0 , p2 , p3 > C0 (K) =< σ10 > ⊕ < σ20 > ⊕ < σ30 > ⊕ < σ40 >' Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z ' Z 4 C1 (K) =< σ11 > ⊕ < σ21 > ⊕ < σ31 > ⊕ < σ41 > ⊕ < σ51 > ⊕ < σ61 >' Z 6 C2 (K) =< σ12 > ⊕ < σ22 > ⊕ < σ32 > ⊕ < σ42 >' Z 4 Ci (K) = 0 i ≥ 3 ∂ ∂ ∂ ∂ 3 2 1 0 0 −→ C2 (K) −→ C1 (K) −→ C0 (K) −→ 0 ∂ ∂ ∂ ∂ 3 2 1 0 0 −→ Z 4 −→ Z 6 −→ Z 4 −→ 0 67 Z0 (K) = Ker∂0 = C0 (K) ' Z 4 B0 (K) = Im∂1 = {a1 < σ10 > +a2 < σ20 > +a3 < σ30 > +a4 < σ40 >| a1 + a2 + a3 + a4 = 0} ≈ Z 3 (Üreteç says 3) H0 (K) = Z0 (K) B0 (K) ≈ Z4 Z2 ≈Z Hatrlatma: m X ∂i (< p0 , p1 , . . . , pm >) = (−1)i < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pm > i=0 ∂1 (σ11 ) = p1 − p0 ∂1 (σ21 ) = p2 − p0 ∂1 (σ31 ) = p3 − p0 ∂1 (σ41 ) = p2 − p1 ∂1 (σ51 ) = p3 − p1 ∂1 (σ61 ) = p3 − p2 ∂1 snr homomorzmasnn matrisi; −1 −1 −1 0 0 0 1 0 0 −1 −1 0 0 1 0 1 0 −1 0 0 1 0 1 1 ∂2 (σ12 ) =< p1 , p2 ∂2 (σ22 ) =< p2 , p3 ∂2 (σ32 ) =< p2 , p3 ∂2 (σ42 ) =< p1 , p3 ∂2 > − < p0 , p2 > − < p1 , p3 > − < p0 , p3 > − < p0 , p3 > + < p0 , p1 > + < p1 , p2 > + < p0 , p2 > + < p0 , p1 snr homomorzmasnn matrisi; ⇒ 1 0 0 1 −1 0 1 0 0 0 −1 −1 1 1 0 0 0 −1 0 1 0 1 1 0 68 > > > > H1 (K) = Z1 (K) B1 (K) ≈ Z3 Z3 = {0} H2 (K) = Z2 (K) B2 (K) ≈ Z {0} ≈Z Z2 (K) = {a < σ12 > −a < σ22 > +a < σ32 > −a < σ42 > |a ∈ Z} ≈ Z Hi (K) = 0, i≥3 Teorem 6.3.2. f :X→Y homeomorf ise fx : Hi (X) → Hi (Y ) izomorftur. spat 6.3.2. Okuyucuya braklm³tr. Teorem 6.3.3. spat 6.3.3. σ =< p0 , p1 , . . . , pn >, n-simpleks σ =< p0 , p1 , . . . , pn >, n-simpleks ise, ∂n−1 ◦ ∂n (σ) = 0'dr. olsun. ∂n−1 ◦ ∂n (σ) = ∂n−1 (∂n (σ)) = ∂n−1 (∂n < p0 , p1 , . . . , pn ) n X = ∂n−1 ( (−1)i < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pn >) i=0 = + n X i (−1) [ i=0 n X i−1 X (−1)j < p0 , p1 , . . . , pˆj , . . . , p̂i , . . . , pn > j=0 (−1)j−1 < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pˆj , . . . , pn >] j=i+1 = X (−1)i+j < p0 , p1 , . . . , pˆj , . . . , p̂i , . . . , pn > j<i≤n + X (−1)i+j−1 < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pˆj , . . . , pn > i<j≤n = X ((−1)i+j + (−1)i+j−1 ) < p0 , p1 , . . . , pˆj , . . . , p̂i , . . . , pn >= 0. j6=i 69 6.4 Simplisiyal Kompleksin Euler Karakteris- ti§i (K, f ), S 2 kürenin bir üçgenle³tirilmi³i olsun. V , kö³eler(0-simpleksler) saysn, E kenarlar(1-simpleksler) saysn ve F yüzeyler(2-simpleksler) saysn göstersin. Bu durumda Euler formulü V −E+F =2 oldu§unu biliyoruz. imdi bunu genelle³tirelim; Tanm 6.4.1. K 'daki K, m-boyutlu simplisiyal kompleks olsun. q-simplisiyal komplekslerin says olsun. Euler karakteristi§i: χ(K) = m X K q ≥ 0 için αq , simplisiyal kompleksinin (−1)q αq q=0 ³eklinde tanmlanr. K, Teorem 6.4.1. m-boyutlu oriyantal simplisiyal kompleks olsun. χ(K) = m X (−1)q rank(Hq (K)). q=0 spat 6.4.1. A³a§dak zincir kompleksini ele alalm; ∂m+1 ∂m−1 ∂ ∂ ∂ m 1 0 0 −→ Cm (K) −→ Cm−1 (K) −→ · · · −→ C0 (K) −→ 0. Her q için Cq (K) rank αq olan serbest abel grupttur. Hq (K) = Zq (K) Bq (K) oldu§undan rankHq (K) = rankZq (K) − rankBq (K) Im∂m+1 = 0 oldu§undan Bm (K) = 0 dir. Her q≥0 için ∂q 0 −→ Zq (K) −→ Cq (K) −→ Bq−1 (K) −→ 0 tam dizisi vardr. αq = rank Cq (K) = rank Zq (K) + rank Bq−1 (K) m m X X q χ(K) = (−1) αq (K) = (−1)q (rank Zq (K) + rank Bq−1 (K)) = q=0 m X q=0 q (−1) rank Zq (K) + q=0 m X q=0 70 (−1)q rank Bq−1 (K)) B−1 (K) = 0 = Bm (K) oldu§undan m m X X q χ(K) = (−1) rank Zq (K) + (−1)q+1 rank Bq (K) = = q=0 m X q=0 m X q=0 (−1)q (rank Zq (K) − rank Bq (K)) (−1)q rank Hq (K). q=0 Örnek 6.4.1. 2 Hi (S ) = Z, i = 0, 2 0, i = 6 0, 2 Hi (D ) = i = 0, 2 Z,L Z Z, i = 1 Hi (T ) = 0, i 6= 0, 1, 2 1 Hi (M b) = Z, i = 0 0, i = 6 0 Hi (S ) = i=0 Z,L Z Z2 , i = 1 Hi (Kb) = 0, i 6= 0, 1 2 1 Hi (S × I) = Z, i = 0, 1 0, i = 6 0, 1 Z, i = 0, 1 0, i = 6 0, 1 Z, i = 0 2 Z2 , i = 1 Hi (RP ) = 0, i 6= 0, 1 Z, i = 0, 1 0, i = 6 0, 1 Yukardaki Teorem kullanarak Euler karakteristi§ini hesaplayabiliriz; χ(S 2 ) = ∞ X (−1)i rank Hq (S 2 ) q=0 = (−1)0 rank S 2 (T ) + (−1)1 rank H1 (S 2 ) + (−1)2 rank H2 (S 2 ) + . . . = 1 − 0 + 1 + 0 + 0 + ... = 2 ∞ X χ(T ) = (−1)q rank Hq (T ) q=0 = (−1)0 rank H0 (T ) + (−1)1 rank H1 (T ) + (−1)2 rank H2 (T )) + . . . = 1 + (−1).2 + 1 = 0 71 6.5 Homolo ji ve Simplisiyal Dönü³ümler ϕ : K −→ L simplisiyal dönü³üm olsun. ϕ, ∂ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ∂ e³itli§ini do§rulayan ϕ : Cq (K) −→ Cq (L) lineer dön³ümü üretti§ini biliyoruz. [c] = c+Bq (K), Hq (K) bir eleman göstersin. Dolasyla c ∈ Zq (K) dir yani ∂(c) = 0 ve böylece ∂ ◦ ϕ∗ (c) = ϕ∗ ◦ ∂(c) = 0 oldu§undan ϕ∗ (c) ∈ Zq (L) dir. c − c0 ∈ Bq (K) ise bir u ∈ Cq+1 (K) için ϕ∗ (c − c0 ) = ϕ∗ ((u)) = ∂(ϕ∗ (u)) 0 dir. Yani ϕ∗ (c) + Bq (L) = ϕ∗ (c ) + Bq (L). Dolasyla H(ϕ) : Hq (K) −→ Hq (L) c+Bq (K) 7−→ H(ϕ)(c+Bq (K)) = ϕ∗ (c)+Bq (L). ϕ, ψ : K −→ L Tanm 6.5.1. iki simplisiyal dönü³üm olsun. Her q için ∂q+1 ◦ h + h ◦ ∂q = ϕ∗ − ψ∗ e³itli§ini do§rulayan h : Cq (K) −→ Cq+1 (L) lineer dön³ümü varsa ϕ ve ψ dönü³ümleri zincir homotoptur denir. Teorem 6.5.1. ϕ ve ψ arasnda bir zincir homotopi varsa H(ϕ) = H(ψ). spat 6.5.1. [c] = c + Bq (K) ∈ Hq (K) olsun. ∂q+1 ◦ h(c) + h ◦ ∂q (c) = ϕ∗ (c) − ψ∗ (c). ∂q (c) = 0 oldu§undan ϕ∗ (c) − ψ∗ (c) = ∂ ◦ h(c) ∈ Bq (L). Yani ϕ∗ (c) + Bq (L) = ψ∗ (c) + Bq (L) ve H(ϕ)([c]) = H(ψ)([c]). ϕ, ψ : K −→ L iki simplisiyal dönü³üm olsun. Herhangi σ ∈ K simpleksi için, ϕ(σ) ∪ ψ(σ) L de bir simpleks oluyorsa ϕ, ψ Tanm 6.5.2. bir dönü³ümleri kontgious dur denir Sonuç 6.5.1. ise tüm q için ϕ, ψ : K −→ L iki simplisiyal Hq (ϕ) = Hq (ψ) dir. spat 6.5.2. Okuyucuya braklm³tr. 72 dönü³üm ve ϕ, ψ ye kontgious Bölüm 7 DÜÜM TEORS Elimize küp ³eklinde bir kutu alalm ve kutunun etrafna be³ metre uzunlu§unda bir ipi hediye paketlermi³iz gibi ba§layp uclarini yapi³tiralim. Daha sonra bu ipi yava³ça kutunun etrafndan çkaralm. Elde etti§imiz ³ekil bir trefoil (yonca yapra§) olacaktr. Ayn i³lemi be³ metre de§ilde yirmi metre uzunlu§unda ve daha kaln bir iple yapsaydk yine bir trefoil elde etmi³ olacaktk. Yani dü§üm teorisinin topolojinn bir alt dal olarak incelenmesinin sebebi de budur. Dü§üm teorisinin tarihinin ba³langc tam olarak bilinmesede ilk olarak Gauss'un ilgilendigi dü³ünülmektedir ancak bu konuyla ciddi manada ilk olarak ilgilenen Amerikali ünlü matematikci Alexandar olmustur. Alexander dü§üm teorisinin 3-boyutlu topolojide ne kadar önemli oldu§unu göstermi³tir.Daha sonra Alman matematikçi Seifert 1920 de çal³t§ bu konunun önemini pekçok ki³inin anlamasn sa§lam³tr. Ayrca cebirsel geometri ile dü§üm teorisinin ili³kisi bu dönemde Almanya'da yaplan çal³malarda ortaya konulmu³tur. 73 Asl büyük ilerlemeler ikinci dünya sava³ srasnda Amerika'da yaplan ara³trmalarla sa§lanm³tr. Amerika'daki bu geli³melerin etkisi zamanla Japonya'ya da sçram³ ve burada da dü§üm teorisi ile ilgili büyük atlmlar gerçekle³tirilmi³tir. 1970 de ise periyodik dönü³ümlerle alakal Smith tahmininin çözümünden dolay dü§üm teorisinin cebirsel say teorisi ile ba§lantsnn olabilece§i farkedildi. 1980 lere gelindi§inde ise Jones'un epochal dü§ümlerini ke³ ile dü§üm teorisi topolo ji ba³l§ altndan çkp matematiksel zi§e ta³nm³tr. dü§üm teorisi devaml olarak geli³ti§i içinde pekçok bilimdal ile olan ili³kisi zamanla ortaya çkacaktr. Matematiksel biyoloji, mekanik ve kimyann da pekçok alanndaki i³levselli§i zamanla ortaya konulmu³tur. Günümüzde ise dü§üm graf dü§üm teorisinin uygulamalarnda oldukça önemli bir yer tutar. Özellikle dü§üm teorisinin kimyaya uygulamalarnda dü§üm graar önemli bir araçtr. Spatial (uzaysal)graar olarak adlandrlan ve düzlemsel graardan biraz farkl olan bu graf kavram bu alanda önemli bir araçtr. Bu yüzyln ba³ndan beri ise bu alanda çal³an baz kimyaclar dü§üm veya halkalar içeren yap formülü ile suni molekül sentezlemeye ilgi göstermi³lerdir. Frisch ve Wassermann (1961) bir halkay (Hopf Halkas) ihtiva eden yap formülü ile bir molekülü sentezlemeyi ba³ardlar (Murasugi 1996). Bir dü§ümün yapsal formülü ile bir molekülü sentezleme i³lemi baz kimyaclar tarafndan sürdürülmü³tür ve moleküller bu ilginç yap formülü ile sentezlenmi³tir. Walba (1985) molekülün yapsal formülünü elde etmek için kullanlan i³lemde, yapsal formül olarak bir dü§ümün yapsn kullanr, Mobiüs merd- M3 -graf ) ivenli ( bir molekül sentezlemeyi ba³arr (Murasugi 1996). Bu olay molekül topolojisinin do§masna yol açm³tr. Bir molekülün yapsal formülü,moleküldeki atomlara kar³lk gelen ve kenarlar,kö³eler, kovalent ba§lar yardmyla atomlar arasndaki veri kombinasyonunu ifade eden bir graf olarak tanmlanabilir. 7.1 Dü§ümler, Zincirler, Diya§ramlar Dü§ümü formel olarak tanmlarken smooth(düzgün) dü§üm ve poligonal dü§üm olarak ikiye ayrabiliriz. Tanm 7.1.1. (Dü§üm ve Zincir) 1. Birim çembere homeomorf olan 3 boyutlu uzayn alt kümesine dü§üm denir. 2. Birçok ayrk (kesi³meyen) dü§ümlerin birle³imine zincir denir. 74 3. ki zincir 3 boyutlu uzayda izotopik ise bu iki zincir denktir denir. ekil 7.1: trefoil dü§ümü- sekiz dü§ümü -kare dü§ümü Tanm 7.1.2. 1. Birim çembere denk olan dü§üme dü§ümsüz denir. 2. Bir zincir {(x, y, i)|x2 + y 2 = 1i = 1, 2, ..., n} n-bile³enli zincir olmayan denir. 75 kümesine denk ise bu zincire ekil 7.2: hoph zinciri- whitehead zinciri - borromean zinciri ki dü§üm ya da iki zincir düzlemde ayn diyagrama sahip iseler bunlar denktir. ekil 7.3: uygun çaprazlama-kötü çaprazlama Tanm 7.1.3. R3 de kendini kesmeyen poligonal do§rulara poligonal dü§üm denir. Tanm 7.1.4. Diferansiyeli sfra e³it olmayan sonsuz bir diferansiyellenebilir gömülme altnda, R3 deki çemberin görüntüsü olarak tanmlanan dü§ümlere ise smooth 76 dü§üm denir. Biz genel olarak dü§ümün smooth tanmn kullanaca§z. ekil 7.4: Tanm 7.1.5. Ki ler dü§üm ve i 3 ⊂R olacak ³ekildeki L 41 6= j için Ki ve T 31 Kj = ∅ iken L = K1 S K2 S ... S alt uzayna zincir denir. Tanm 7.1.6. n bile³enli bir L zincirinin bile³en saysn comp(L)=n ile gös- terilir. comp(L)=1 olan bir zincir ise bir dü§üme kar³lk gelir. Tanm 7.1.7. Zincirler diyagramlar yardmyla incelenir. R3 deki zincirlerin regüler diyagramn elde etmek için R2 ={(x1 , x2 , 0) ∈ R3 | xi ∈ R} deki görüntü resmi alnr. i³te bu diyagramla- rn ³u ³ekilde ifade edilir. R2 deki bir diyagram yaylarn ve çaprazlamalarn says tarafndan gösterilir. Bir çaprazlamada bir yay yukardan geçerken di§er iki yay a³a§dan geçer. Bir diyagramda a³a§daki çaprazlama hareketlerinin yaplmasna izin verilmez. Tanm 7.1.8. Yönlü bir zincir herbir bile³en boyunca bir yön seçerek zincire kar³lk gelen diyagramda oklarla göstererek elde edilir. Böylelikle iki çe³it çaprazlama elde etmi³ oluruz: 77 Kn Tanm 7.1.9. Yönlü bir diyagramn kvrm ³u ³ekilde bulunur: P ω(D)= caprazlamalar çaprazlama i³aretleri Tüm yönleri de§i³tirmek kvrm de§i³tirmez yani yönlü olmayan bir dü§üm diyagramnn kvrm iyi tanmldr. Tanm 7.1.10. Yönlü bir D diyagramnn bile³enlerinin C1 , C2 , . . . , Cn ol- du§unu varsayalm. i 6= j olmak ko³ulu ile Ci ile Cj nin zincirlenme says a³a§daki ³ekilde tan- mlanr: lk(Ci , Cj ) = 1 2 P Ci ileCj nincaprazlamalari çaprazlama i³aretleri D nin zincirlenme says ise: lk(D) = P 0≤i≤j≤n lk(Ci , Cj ) 78 79 7.2 Reidemeister Hareketleri Tanm 7.2.1. Reidemeister hareketi bir dü§üm diyagram üzerinde herhangi bir de§i³ikli§e sebep olmadan yaplan hareketlerdir. R0 : Diyagramn homotopisi yay ve çaprazlamalarn in³asn de§i³tirir yani örne§in yaylar büzer ya da açar fakat yönünü de§i³tirmez: Diyagramn etkilenen ksmlar yalnzca a³a§daki hareketlerle meydana gelir R1 : R2 : R3 : Bir dü§ümü isimlendirirken iki sayya ihtiyaç duyaca§z. Bunlar dü§ümün çaprazlanma says ve bir dü§ümün çözülmesi için yaplmas gereken hareketlerin saysdr. Yani 31 trefoil dü§ümü için 3 dü§ümün çaprazlanma saylar, 1 ise dü§ümün çözülmesi için yaplma için gereken i³aret de§i³imi hareketidir. 80 Tanm 7.2.2. D ve D' diyagramlar izotopiktir. i≤3 ⇐⇒ D diyagram Ri , 0 ≤ hareketlerinin yardmyla D' diyagramndan elde edilebilir. E§er D ve D' R1 hareketi kulanlmakszn birbirine izotopik klnabiliyorsa D ve D' ye regüler izotopik denir. Teorem 7.2.1. (Reidemeister(1932) ) 1. Herhangi bir 2. Verilen L L0 , L1 zinciri diyagram olan bir zincire izotopiktir. zincirlerinin diyagramlar srasyla zincirleri izotopiktir ancak ve ancak D0 ve D1 D0 ve D1 olsun. L0 ve L1 diyagramlar izotopiktir. Hopf zinciri Whitehead zincirine izotopik de§ildir. 7.3 Dü§üm Renklendirme Tanm 7.3.1. Bir L zincirinin ylarla gösterilebiliyorsa, a + c = 2b mod n yani üst geçi³ = alt L D diyagram a³a§da gösterildi§i gibi tamsa- zincirine modn e göre renklendirilebilir denir. geçi³lerin ortalamas modn e göre düz bir renklendirme yapmamalyz. Yani modn e göre bütün yaylar ayn renkte olmamal. Yani dü§üm renklendirme srasnda özellikle a³a§daki iki kurala dikkat etmeliyiz: 1. En azndan iki renk kullanlmaldr. 2. Herbir kesi³imde ya üç farkl renk ya da tümü ayn renk olacak ³ekilde renklendirme yaplmaldr. Teorem 7.3.1. E§er bir L zinciri mod n de renklendirilebiliyorsa, L n de renklendirilebilir. bütün diyagramlarda mod 81 nin 1 bile³enden daha fazla bile³ene sahip herhengi bir zincir mod2 de renk- lendirilebilir. Bundan hareketle hiçbir dü§üm mod2 de renklendirilemez. Tanm 7.3.2. Bir zincir ya da diyagram x1 < 0 bölgesinde ve x1 > 0 bölges- inde olacak ³ekilde iki parçadan meydana geliyorsa bu zincir ya da diyagrama ayrlabilir denir. E§er bir zincir ayrlabilirse o zaman bu zincir herhangi bir modn de renklendirilebilirdir. n 6= 1 için Borromean halkalar ayrlabilir de§ildir. Lemma 7.3.1. Herhangi bir diyagram santranç tahtas ³eklinde gösterilebilir. Tanm 7.3.3. Bir diyagramn alt geçi³ ve üst geçi³ bilgilerini gözard ederek çizilen zincir diyagramna gölge denir. S deki bile³enleri ba§land§ yerdeki tümleyenlerine yani Snin ayrd§ ksmlara bölge denir. E§er her çaprazlamada dört farkl bölhe varsa diyagrama indirgenmi³ diyag- ram denir. Teorem 7.3.2. (Schönics ) 2 h : R −→ R 2 ve h(C) = S 1 R2 deki herhangi bir C kapal e§risi için ³eklinde bir homeomorzm vardr. Lemma 7.3.2. Bölgeler yol ba§lantldr. L bir zincir olsun. L nin bir indirgenmi³ diyagram vardr. 82 7.4 Dü§üm Renklendirmesine Sistamik Yakla³m Varsayalm ki diyagramlar ba§lantl, indirgenmi³ ve kapakl e§rilerden yoksun olsun. Örne§imizin tamsay çözümlerini ara³tralm: 2x0 − x5 − x6 = nb0 2x6 − x0 − x1 = nb1 2x4 − x1 − x1 = nb2 . . . . . . . . . . . . 2x4 − x0 − x7 = nb7 yukardaki denklem sisteminin çözüm kümesi Yani A+ = nb+ nn çözümüdür. öyle ki; b0 b1 b+ = .. . b7 83 n∈Z ve b tamsay vektörüdür. A+ = Burada 2 0 0 0 0 −1 −1 0 −1 −1 0 0 0 0 2 0 0 −1 −1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 −1 −1 0 0 2 0 −1 −1 0 0 0 0 −1 −1 0 2 0 0 0 0 0 −1 −1 0 2 0 −1 0 0 0 2 0 0 −1 A+ matrisinin satrlar yay numaralarna sütunlar ise çaprazlamalara kar³lk gelir. Lemma 7.4.1. A+ bir kare matristir. spat Diyagramda bir yön seçti§imizde her yay bir çaprazlamada sona erdi§inden dolay yay says çaprazlama saysna e³ittir, buradan da yaylar ile çaprazlamalar arasnda bir bijeksiyon olu³turulabilir. Biz daha önceki önermelerimizden verilen herhangi bir denkli§in di§erlerinin i³aretli toplam oldu§unu bleri istedi§imiz gibi seçmekte özgürüz.) Ve ba³ka bir teoremden de verilen herhangi bir x1 in sfr olbilece§ini biliyoruz. Böylece A+ nn i. satr ve j. sütununu yok ederek A matrisini elde ederiz ve Ax = nb yi çözeriz ki burada hangi satr ve sütunun yok edildi§i önemli de§ildir, ayrca b+ nn da i. elemann yok ederek b yi elde ederiz. x0 yerine 0 koyalm ve A+ da 0. satr ve sütunu yok edelim. biliyoruz. (yani Durum1 det(A) = 0 Varsayalm ki; n=0 olsun, o zaman Q da a³ikar olmayan bir çözüm oldu- §undan xi = pi /qi ∈ Q 1 ≤ i ≤ m için deriz. q = q1 · . . . qm oldu§u yerde y 0 = 0 , y 1 = x1 q , y 2 = x2 q , . . . , y m = xm q alarak (y0 , y1 , . . . , ym ) renklendir- mesini yapalm. Böylece 0 bir renklendirme sayusudr ve buradan herhangi bir bir renklendirme saysdr. Durum2 84 n 6= 1 de§eri det(A) 6= 0 Cramer kural 1≤k≤m Q da bize bir tek çözüm verir: için xk = n = |detA| x0 = 0 a11 . . . nb1 . . . a1m .. . . . . . . . am1 . . . nbm . . . amm detA olarak alrsak bir çözüm elde ederiz: a11 . . . nb1 . . . xk = . . . a1m . . . . . . am1 . . . nbm . . . amm 1≤k≤m Ax = nb n(−b) detA>0 detA<0 (b1 , . . . , bm ) = (1, 0, . . . , 0) olarak alalm. Böylece X0 = 0, xk = (−1)k+1 1 ≤ k ≤ m için, ve detA = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1m xm ve dikkat etmeliyiz ki; det(A) 6= 0 oldu§undan xi 6= 0 ve sabit olmayan bir çözüm elde ederiz ki bu modn de sabit de§ildir yani n tarafndan bölünemeyen xi lerden olu³ur. Tanm 7.4.1. Bir L zincirinin determinant Teorem 7.4.1. Herhangi bir saysdr ancak ve ancak n ve det(L) = |det(A)| n 6= 1 says bir L zinciri için bir detL bir ortak çarpana sahiptir. dr. renklendirme Ve sonuç olarak ³unlar da söyleyebiliriz 1. E§er detL = 1 ise L nin renklendirme says yoktur. 2. E§er diyagram ba§lantl de§il ise 7.5 det(L) = 0. Aynalar VE Dü§üm Kodlamas L bir zincir ve M ⊂ R3 bir an düzlemi M deki yansmasndan elde edilir. 85 olsun. L nin ayna görüntüsü, m(L), Ayna i³lemi izotopi snar üzerinde etkilidir ve aynann seçimine ba§l de§ildir. mL nin diyagram L nin diyagramndaki tüm çaprazlamalar de§i³tirilerek bulunur. Tanm 7.5.1. E§er bir zincir aynadaki yansmasna denk ise achiral dir denir. Aksi halde ise chiral olarak adlandrlr. Dü§üm tablosundaki achiraller 41 , 63 , 83 , 89 , 812 , 817 , 818 dir. 31 ise chiraldir. K yönlü bir dü§üm olsun ve r(K) da K nn belirlenmi³ yönünü K ve r(K) izotopik ise K tersinirdir. tersinir olmayan tek dü§üm 817 dir. Tanm 7.5.2. göstersin. E§er Tabloda 7.5.1 Dü§üm Kodlamas Bir gölgenin bir zincire ait çaprazlama bilgileri ele alnmadan çizilen diyagram oldu§unu hatrlyoruz Tek bile³enli bir gölge, yönsüz de§i³en(alternating) bir tek dü§üm belirtir. ispat Gölge etrafnda çaprazlama bilgilerine uyarak a³a§, yukar, a³a§, . . . ³eklinde yürüyelim. Bunu i³e yarad§n görebilmek içinbir satranç tahtas seçelim ve yürümeye ba³larken siyah ksmn solumuza alalm siyah-beyaz ³eklinde yürümeye devam ettikçe yukar, a³a§ yürüdü§ümüzü görece§iz. sadece son üç eleman de§i³meyendir (not alrternating). Bunlar; Tablonun 819 , 820 , 821 dir. Bir gölge verilsin ve bunun etrafnda ard³k olarak çaprazlama numaralarn yürüyelim. imdi ³öyle bir fonksiyon elde ederiz; f de§i³meli ise; f : teksayilar → cif tsayilar burada tek saylar alt kesi³imlere, çift saylar ise üst kesi³imlere kar³lk gelir. f (1), f (2), f (3), . . . dizisi bize gölgeyi verir. Örne§in; 31 dü§ümü 4, 6, 2 dizisi tarafndan belirlenir. Ayn dizinin farkl gölgeleri farkl diziler verir. 86 7.6 Alexander Polinomu Z deki modn renklendirmesini daha önce gördük. imdi bunu Z yerine Z[t, t−1 ] halkasn alarak (t tek de§i³ken, negatif üz alabiliyoruz ) genelleyelim ve polinomlar yardmyla yönlendirilen zincirler bir polinom modunda renklendirilebilsin. Bu durumda çaprazlama ba§nts c − te = b − tb veya c = ta + (1 − t)b olur. Dikkat edelim ki t = −1 ko- 4L (t) determinantna göre 4L (t) polinomu L nin Alexander Alexander polinomunu 4L (t) çizerken yarsak eski çaprazlama ba§ntmz elde ederiz. Z[t, t−1 ] de bir renklendirme elde ederiz ve Polinomudur. Bir K dü§ümünün 1. Dü§ümümüze istedi§imiz ³ekilde bir yön veririz. 2. yaylar ve çaprazlamalar ayr ayr numaralandrrz. 3. n =çaprazlama says olmak üzere a³a§daki ko³ullar ³§nda (n × n) lik bir matris tanmlarz: (a) E§er diyagrammzn olmak üzere −1 x x satrnn i ve bu satrn k çaprazlamas pozitif yönlü ve yay isimleride i sütununa sütununa yi girelim ve bu satrn j sütununa yi girelim x satrnn i sütununa 1 − t yi girelim j sütununa t de§erini ve k sütununa da t de§erini girelim geri (b) E§er diyagrammzn x t 1−t i, j, k çaprazlamas negatif yönlü ise kalan bile³enler yerinede 0 de§erlerini girelim. Bu satr ya da sütunlardan herhangi birini yok ederek (n − 1) × (n − 1) K dü§ümünün lik bir matris elde ederiz. ³te bu matrisin determinant bize Akexander Polinomunu verir. A³agdaki örne§imizi inceleyelim: 87 −1 1 − t 0 t 0 t −1 1 − t t −1 1 − t 0 1−t 0 −1 t −1 1 − t 0 =⇒ −0 t −1 t −1 1 − t =⇒ 1−2t+2(t2 )|∆K (−1)| = 5 Alexander polinomu ile ilgili a³a§daki özellikleri verebiliriz: 1. |4L (−1)| = det(L) 2. 4rL (tL−1 ) = 4L (t) = 4mL (t−1 ) |4L (−1)| 3. E§er n says E§er L ayrlabilir ise 7.7 K1 ve bölüyorsa dü§üm n renklendirilebilirdir. 4L (t) = 0 Dü§üm Toplamlar K2 gibi iki dü§ümün ba§lantl toplam her iki dü§ümden birer küçük daire dilimi çkarlup meydana gelen dört bitim noktas birbirini kesmeyen iki yeni e§ri parças ile birle³tirilerek elde edilir, sonuç olarak K = K1 ]K2 ³eklinde bir çift dü§ümdür. Tanm 7.7.1. E§er a³ikar olmayan de§il ise K L ve M dü§ümleri için K , L]M izomorf ya asal dü§üm denir. Dü§üm tablosu yalnzca asal dü§ümleri gösterir. Tanm 7.7.2. Bir D dü§ümünün diyagramnda üst geçi³lere köprü bunlarn saysnada köprü says n verir. 88 Tanm 7.7.3. Bir K dü§ümünün köprü says b(K) K ya ait diyagramlarda elde edilen köprü saylarnn minimumuna e³ittir. E§er K bir unknot ise b(K) = 1 olur. 85 , 810 , 815 hariç olmak üzere dü§üm tablosundaki tüm dü§ümler 2-köprülü dü§ümlerdir. Bu hariç olan dü§ümler 3-köprülü dü§ümlerdir. Ancak 3-köprülü dü§ümler tam olarak snandrlamam³tr. 7.8 DNA'ya Ksa Bak³ Son yllarda moleküler biyolojide pekçok geli³meler meydana gelmi³tir. Bu geli³melerin bir ksmda matemati§in moleküler biyolo jiye uygulanmas ile gerçekle³mi³tir. Özellikle dü§üm teorisi DNA rekombinasyonu için oldukça güzel bir yol verir. DNA ile matemati§n ili³kisi 1950 lerde dublex DNA nn sarmal Crick-Watson yapsn ke³ ile ba³lam³tr. Bir matematik modeli olan Özel-Bölgeli Rekombinasyon Tangel Modeli ilk olarak De Witt Sumners tarafndan tantlm³tr. Bu ksmda ise asl amacmz dü§üm teorisinin DNA rekombinasyonuna uygulanmasnn detaylarn vermek olacaktr. DNA nn hücre çekirde§i içerisinde bulunan çok uzun ve ince moleküller oldu§unu biliyoruz. Bu moleküller canlnn hayati özelliklerini ta³yan ve biyolojik bilginin nesilden nesile aktarlmasn sa§layan DNA molekülü bulunur. nsan DNA s 3.2 milyar yap ta³ndan olu³an bir bilgi hazinesi, bir kitaptr. Bu kitaptaki hareri yan yana dizecek olursak, biner sayfalk 10.000 kitaptaki bilgiye denk gelir. 89 Bir insann trilyonlara yakn hücrelerinin hepsinin çekirdi§inde bulunan DNA çok sk bir ³ekilde kendi etrafnda dolanm³tr ve bu ³ekliyle bir yuma§ andrr . DNA molekülü yumak halinden çkarlp bir ipli§e dönü³türüldü§ünde, bu DNA nn uzunlu§u binbe³yüz cm ye yakndr. Bu 1.5 metrelik ³erit 10−6 metre çekirdek içinde bulunur. Bu da DNA nn neden çekirdek içinde karma³k ve dü§ümlenmi³ bir ³ekilde bulunu§unu bize açklamaktadr. DNA'y gözümüzde canlandrrsak çok uzun iki ³eridin milyonlarca kez birbirine geçmi³, dü§ümlenmi³ ve ardarda pekçok kez sarmalanm³ bir halde oldu§unu dü³ünebiliriz. Ancak replikasyon ve translasyon i³lemlerinin uygulanmas e§er DNA dü§ümlenmi³ ve karma³k olmasndansa, düzenli bir ³ekilde sralanm³ ise daha kolaydr. Enzimler ise dü§ümleri ince ³eritler ³eklinde böler ve bunlar daha düzgün bir hale gelecek ³ekilde ³eritleri tekrar ba§lar. Topolojik ilkeleri kullanarak DNA nn dü§üm çözme i³lemini daha iyi anlayabiliriz. Çünkü DNA replikasyon ve translasyon i³lemlerini gerçekle³tirebilmek için hzlca kendi dü§ümlü yapsn çözmelidir. Ve bu aslnda topolo jik bir problemdir. Dü§üm teorisi ara³trmaclara DNA paketlemesi ile ilgili olarak nitel bir tahminden çok nicel bir de§er verir ve dü§üm teorisi sayesinde bilimadamlar DNA nn bu dü§üm çözülme i³lemleri srasnda hangi enzimlerin kullanld§n anlamasn sa§lar. ³te bu noktada DNA nn ifadesinde oldukça önemli olan tangle kavram devreye girecektir. 7.9 B bir Tangle 3 küre, t ise B içine gömülmü³ yönsüz yay çifti olsun. Bu yay çiftle- rinin dört bitim noktas ise kürenin ekvator noktalarndadr (KB, KD, GB, GD).Bir tangle, (B, t) çiftidir. Bir tangle diyagram 90 ise tangle n ekvator düzlemine yanstlmas ile elde edilir. Diyagram üzerindeki bitim noktalarn KB, KD, GB, GD olarak i³aretleyece§iz. Rasyonel tangle ise bitim noktalarnn kaydrlmas ile a³ikar tangle a dönü³türülebilen tangle lardr. Rasyonel tangle lar DNA larn yaps ile benzerlik gösterir ve bu sebeple bizim asl odak noktamz olacaktr. VE bu yolla dönü³türülemeyen tangle lar da vardr bunlarda asal tangle ve yerel dü§ümlenmi³ tangle yaplardr. ekil 7.5: Tangle Örnekleri a.Rasyonel b.A³ikar c.Asal d.Yerel Dü§ümlenmi³ Her rasyonel tangle (a1 , a2 , . . . , an ), ai ∈ Z, ∀i vektörü tarafndan olu³tu- rulur. Ve biz bu vektör yardmyla tangle diyagramn çizebiliriz: lk olarak KB, KD, GB, GD noktalar i³aretlenmi³ bir çember ile ba³layalm ve yaylar ³ekilde görüldü§ü gibi çizelim. E§er n çift ise alt ksmdan ba³larz(GB a1 says kadar yarm kaydrma yaparz (e§er a1 pozitif ise sa§-el kaydrmas, a1 negatif ise sol-el kaydrmas yaparz.).Daha sonra diyagramn KB-KD ksmnda a − 2 kadar yarm kaydrma yaparz. Daha sonra tekrar alt ve GD) ve ksma dönüp ayn i³lemleri yapmaya devam ederiz. E§er n tek say ise sa§ taraftan ba³lar ve i³lemi daha önceki gibi uygulamaya devam ederiz. Örne§in (2, 1, 2) rasyonel tangle diyagramn a³a§daki gibi çizeriz. Her tamsayl vektör β rasyonel saysna e³it olan sürekli bir kesir ³eklinde α ifade edilebilir. E§er T tangle (a1 , a2 , . . . , an ) vektörleri tarafndan ifade ediliyorsa sürekli kesir an + 1 an−1 + 1 an−2 +...+ a1 = β α 1 ³eklinde bulunur. β rasyonel says T tangle nn kesri olarak adlandrlr. α 91 Teorem 7.9.1. ki tangle izotopiktir ancak ve ancak ayn kesirlere sahiplerse. E§er iki tangledan biri e§er bitim noktalar hareket edilmeksizin herhangi bir ³erit koparlmadan ya da bir ³erit di§erinin üzerinden geçmeden di§erine dönü³türülebiliyorsa bunlar denk olur. Ve bu teorem sayesinde aslnda tangle kesrinin tanglen özelliklerini belirlemede ne kadar önemli oldu§unu anlayabiliyoruz. Yukarda bir vektörden tangle kesrinin nasl elde edildi§ini görmü³tük benzer ³ekilde tangle kesri sayesinde vektörü de elde edebiliriz: 1 β = an + 1 α an−1 + an−2 +...+ 1 a1 Tabiki bu yolla farkl vektörlerde elde edebiliriz. Örne§in; (2, 2, 1) vektörlerinin her ikisi de (3, −2, 2) ve 7 kesrini verir. Fakat burada iki vekörde ayn 5 tangle' belirtir. Ayrca tüm rasyonel tangle Conway sembolü olarak adlan- (a1 , a2 , . . . , an ) |a1 | > 1, ai 6= 0 ve tüm drlan bir tek kanonik vektör tarafndan ifade edilebilir. Bir vektörü kanonik formda ise her 1 ≤ i ≤ n−1 için sfrdan farkl ifadeler ayn i³arete sahiptir. Yukardaki örne§imizin Conway sembolü (2, 2, 1) Teorem 7.9.2. dir. β α ∈ Q∪ 1 0 = ∞ (α ∈ N ∪ 0, β ∈ Z ve obeb(α, β) = 1) kesri 1 − 1 e³leme vardr.Tangle kesirleri ve ile rasyonel tangle'lar kümesi arasnda vektör notasyonlarna ek olarak tangle'lar matris olarak da ifade edilebilirler. Bu tangle'lar β α = 23 17 2 × 2lik matrisler cinsinden ifade edilir, ³öyleki: u v0 1 a2k 1 0 1 0 = ... v u0 0 1 a2k−1 1 a1 1 = 1+ 1 2+ 1 1+ 1 5 1 1 0 1 = (5, 1, 2, 1) nin matris olarak ifadesi a³a§daki ³ekildedir 7.10 u v0 v u0 = 1 0 2 1 1 1 0 1 1 0 5 1 = 23 4 17 3 Tangle ³lemleri Tanm 7.10.1. A ve B tangle'lar verilsin bu iki tangle'n toplam A+B bir tangle'n KD ve GD bitim noktalarnn di§er tangle'n KB ve GB bitim noktalarna srasyla eklenmesi ile elde edilir. 92 Tanm 7.10.2. Bir T tangle'nn pay kapanmas olarak bilinen, N (T ), i³lemi KB ve KD bitim noktalarnn birle³tirilmesi ve GB ve GD bitim noktalarnn birle³tirilmesi ile elde edilir. Tanm 7.10.3. Bir T tangle'nn payda kapanmas olarak bilinen, D(T ), i³lemi KB ve GB bitim noktalar birle³tirilmesi ve KD ve GD bitim noktalarnn birle³tirilmesi sonucu elde edilir. N ((2, 0) + (1)) = h3i i³lemi sonucu elde edilen dü§üm trefoil yani 31 dir. Buradaki (2, 0) ise Hopf zinciridir. Tangle i³lemleri birlikte de kullanlabilir. 93 Yani bu N (A + B) = K i³lemi sonucunda elde edilen K bir dü§ümdür. Ayrca iki rasyonel tangle'n toplam her zaman bir rasyonel tangle verme- yebilir. ³te tam bu noktada i³lemi nasl yürüyece§ini dü³ünebiliriz; fakat iki rasyonel tangle'n toplamnn pay kapanmas 4-plat isimli bir dü§üm verir ve bu DNA modellemesinde oldukça önemli bir konudur. 7.11 4-Plat Bir 4-plat dört ³eridin örülmesi ve bitim noktalarnn a³a§daki ³ekilde gösterildi§i gibi ba§lanmas ile elde edilen dü§ümdür. 4-plat ler genelde 2-köprülü yasa rasyonel dü§ümler olarak bilinir. Sekizden daha az çaprazlamas olan tüm asal dü§ümler ve yediden daha az çaprazlamal iki bile³enli asal zincirler 4-plattir. 4-plat dü§ümler tpk rasyonel tangle'lar gibi tamsayl vektörlerce ifade edilebilir. 4-plat vektörü tek sayda bile³eni olan vektörlerdir ³öyle ki; hc1 , . . . , c2k+1 i her i için ci ≥ 1 dir ve ve buradaki her tamsay bile³eni ³er- itler bir yarm kaydrmay temsil eder. Yani rasyonel tangle'lara oldu§u gibi vektörler 4-plat diyagram çizmek için de kullanlabilir. Bunu yaparken ³u yolu izleriz: dört ³eritle ba³larz ardndan ortadaki lifde drma yaparz ardndan en üstteki iki lifde c2 c1 kadar yarm kay- kadar yarm kaydrma yaparz daha sonra da yine ortadaki iki ³erite ayn i³lemi uygularz ve bu i³leme vektördeki tüm tamsayl bile³enleri bitirinceye kadar devam ederiz. Son olarak bitim noktalarn ³ekilde gösterildi§i gibi birle³tirelim. 4-plat'in bu ³eklinde ifade edilmesine Conway sembolü denir ve 4-plat'in minimal diyagramna denk gelir. Teorem 7.11.1. ki 4-plat e³ittir ancak ve ancak ayn conway sembollerine sahiplerdir ya da e§er biri di§erinin tam olarak tersi olan bir Conway sembolüne sahipse yani birinin Conway sembolü Conway sembolü hc2k+1 , . . . , c1 i ³eklinde olur. 94 hc1 , . . . , c2k+1 i iken di§erinin ekil 7.6: 4-plat çizimi Conway sembolü 0<β<α masnda kullanlr. ³eklinde hesaplanr.4-plat olmak üzere β rasyonel saysnn hesaplanα 1 β = 1 α c1 + c2 +... β says α b(α, β) olarak gösterilir. b(α, β) ve b(α, β) denktir ancak ve ancak α = α β ±1 ≡ β(modα) Örne§in; b(17, 5),b(17, 7) 4-plat'leri incelersek b(17, 5) (3, 2, 2)e, b(17, 7) de (2, 23)e kar³lk gelir. Sonuç olarak bu iki 4-plat'in denk olduklar görülür. −1 Zaten 17 = 17 ve 5 ≡ 7(mod17) olmasndan da denk olduklar kolayca Teorem 7.11.2. ki 4-plat ve görülebilir. Rasyonel saylarn kullanm bakmndan rasyonel tangle ve 4-plat ler oldukça benzerdir. E§er verilen β rasyonel says α 0< β α < 1 aral§nda ise β rasα b(α, β) 4-plat'ini verir ve e§er verilen αβ says β ≥ 1 aral§nda ise αβ rasyonel tangle'nn pay kapan³ ise b(β, −α) 4-plat'ini α verir. Herhangi bir x tamsays için D((d1 , . . . , d2k+1 , x)) = hd1 , . . . , d2k+1 i ve N ((d1 , . . . , d2k+1 , x, 0)) = h−d1 , . . . , −d2k+1 i olur. Daha öncede bahsetti§miz yonel tangel'nn payda kapan³ gibi iki rasyonel tangle'n toplamnn pay kapan³ bir 4-plat idi. Bir sonraki teoremimiz ise rasyonel tangle'larn pay kapan³ ile elde edilen rasyonel dü§ümlerin denkli§i ile ilgili bilgi verecek. p p0 ve 0 indirgenmi³ kesirleri ile verilen iki rasyonel tangle q q p p0 alalm. E§er N ( ) ve N ( 0 ) tangle'larn pay kapanmas sonucu elde edilen q q Teorem 7.11.3. rasyonel dü§ümler olmak üzere bu dü§ümler birbirlerine kar³lk geliyorsa 0 N ( pq ) ve N ( pq0 ) topolo jik q 0 (modp) oluyorsa. olarak denktir ancak ve ancak 95 p = p0 ve q ±1 ≡ 7.12 Tangle Denklemlerinin Çözümü Daha önceki bölümlerde de gördü§ümüz gibi tangle denklemleri da zincir, A ve B tangle olmak üzere N (A + B) = K K dü§üm ya ³eklindeki denklemlerdi. ³te bu demklemlerin çözümü enzim mekanizmalarn daha iyi anlamamz için yardmc olacaktr. Lemma 7.12.1. ki rasyonel tangle i³lemi b(α, β) A1 = A2 = αβ22 verilsin. N (A1 +A2 ) α = |α1 β2 + α2 β1 | olur ve β β1 ve α1 ³eklinde bir 4-plat tanmlar ve a³a§daki gibi tanmlanr: 1. α=0 ise β = 1; 2. α=1 ise β = 1; 3. α > 1 ise β ³u ³ekilde elde edilir: 0 < β < α ve σ = sign(α1 β2 + α2 β1 ) ve α20 ve β20 nin αβ22 tangle'nn 2. sütunun bile³enleri oldu§u yerde β ≡ σ(α1 α20 + β1 β20 )(modα) ³eklinde bulunur. 23 A1 = 2 ve A2 = 17 olarak alalm. α = |1×23+17×2| = 57 olur. Örnek8.1 23 = 17 tangle'nn matrisini bulmu³tuk ve a³a§daki gibiydi: 1 1 1 0 1 1 1 0 23 4 u v0 = = v u0 0 1 2 1 0 1 5 1 17 3 β de α α20 ve β20 de§erlerini bulabiliriz. β = (1×4+2×3)(mod57) = 10 olarak hesaplanr. Sonuç olarak i³lemin sonucu N (A1 + A2 ) = b(57, 10) bulunur. buradan A = αβ = (a1 , . . . , a2n ) bir rasyonel tangle ve K = hc1 , c2 , . . . , c2k+1 i bir 4-plat olsun. N (X + A) = K 6= h0i denkleminin rasyonel tangle çözümü: r herhangi bir tamsay olmak üzere X = (c1 , . . . , c2k+1 , r, −a1 , . . . , −a2n ) ya da X = (c2k+1 , . . . , c1 , r, −a1 , . . . , −a2n ) olur. E§er K = h0i ise X = (−a1 , −a2 , . . . , −a2n ) tek çözümdür. Teorem 7.12.1. A1 ve A2 iki farkl rasyonel tangle ve K1 ve K2 de 4-plat olsun. N (X + A1 ) = K1 ve N (X + A2 ) = K2 denklemlerinin en fazla iki farkl rasyonel tangle çözümü vardr. spat X = uv , A1 = αβ11 , A2 = αβ22 , K1 = b(α, β) ve K2 = b(α0 , β 0 ) olsun. Lemma11.1 0 den α = |vβ1 + α1 u| ve α = |vβ2 + α2 u| olarak bulunur. (u, v)-düzleminde u bu denklemler iki paralel çifti belirtir. = −u oldu§undan bu dört nokta v −v 96 bu denklem sistemi için en fazla iki farkl rasyonel tangle belirtir. A2 = 5 ,K1 17 = b(5, 3) ve K2 = b(29, 17) A1 = 1 , 3 olsun. |v + 3u| = 5 |5v + 17u| = 29 Bu denklem sisteminin çözümü: v + 3u = 5 5v + 17u = −29 buradan 27 X = − 86 çözümünü elde ederiz. Bir di§er çözüm de: v + 3u = 5 5v + 17u = −29 buradan da 7.13 27 X = − 86 bulunur. Özel Bölgeli Rekombimasyon Deoksiribonükleik asit (DNA) hücre çekirde§i içinde skca paketlenmi³ uzun ve ince moleküllerdir. Dubleks DNA iki ³eritten meydan gelir. Ve bu ikili ³erit iki ³eker fosfat zinciri molekülün d³ ksmn olu³tururken, hidro jen ba§l yass baz çiftleribunlar ba§lar. DNA yapsndaki dört baz A-adenin, G-guanin, C-sitozin ve T-timin dir. Ve bunlar birbirine hidrojen ba§larla ba§lanr. A yalnzca T ile, C ise yalnzca G ile ba§lanr. ³te bu yapya DNA'nn ikili sarmal yaps denir. Bir satrdaki hareri okuyarak di§er satra gelecek olan hareri tahmin edebiliriz. ³te okunan bu tek ³eride DNA'nn genetik dizisi denir. DNA sarmal ³ekilde sa§-el kuralna göre yarm kvrlma yapar. Bu her yarm kvrlmaya supercoil denir. Daha öncede bahsetti§miz gibi DNA birtakm hayati enzim aksiyonlar sayesinde topolo jik olarak i³letilir. Bu enzimatik aksiyonlardan biriside Spesik-Bölgeli Rekombinasyondur. Spesik-Bölgeli Rekombinasyon bir DNA blo§unun molekül üzerinde bir pozisyondan di§erine ta³nmasdr. Rekombinasyon ise yeniden düzenleme, gen regülasyonu, kontrol numarasnn kopyalanmas ve genin tedavisi için kullanlr. Bu uygulama recombinase asl enzim tarafndan yaplr. DNA'nn genetik dizisinin küçük bir parças recombinase tarafndan etkilenmi³ olursa bu parçaya rekombinasyon bölgesi denir. Ayn moplekül ya da farkl molekül üzerindeki bölge çifti bir enzim tarafndan ba§lanr. Bu reaksiyon a³amasna sinapsis denir. DNA molekülleri ve enzim ise sinaptik kompleks tir. Rekombinasyondan önceki DNA molekülüne substrat ve rekombinasyondan sonra ise 97 product denir. Enzim DNA'ya ba§land§nda DNA'nn iki tarafn da krar ve son ksmlarn farkl ³ekilde birbiriyle rekombine eder. Rekombinasyon bölgeleri DNA ³eridindeki bazlara göre yön alrlar. Enzim DNA'ya ba§lanrken rekombinasyon olay birden fazla kez gerçekle³ebilir. 7.14 Tangle Modeli 1980 de DeWitt Sumners tarafndan tantlan tangle modelin amac rekombinasyon srasnda olan olaylarn matematiksel olarak ifade edilmesidir. Bu sayede, DNA ürün ve substratnn topolo jik ve geometrik olarak enzimin neler yapt§n ifade edebiliriz. Elektron mikrograarnda DNA lierinin birbiri etrafnda doland§ görülebilir. 4-plat ve rasyonel tangle'lar kvrlan ³eritlerden meydana geldi§inden bunlar DNA modellemesi için oldukça uygun adaylardr. Tangle'n tanmn hatrlarsak t'nin yönsüz yay çifti ve B nin 3- (B, t) küre oldu§u yerde B içine gömülmü³ çifti idi. Bir tangle enzim-DNA kompleksinin modellemesinde kullanlabilir ³öyle ki; enzim 3-küre ve iki rekombinasyon bölgesi de iki ³erit olacak ³ekilde. Rekombinasyon olaynn en çok gözlenen ürünü ise 4-plattir, bu oldukça akla yatkndr çünkü 4-plat ile enzim-DNA kompleksini modelleyebilir ve de§i³iklikleri tangle denklemleri ile ifade edebiliriz. Ancak enzim mekanizmasn tangle model ile ifade etmeden önce bir kaç varsaym yapmalyz. lk varsaymmz enzim-DNA kompleksini tangle'larn toplam olarak ifade edece§iz. E enzim, Ob DNA nn enzime ba§lanan ksm ve P de reaksiyon srasnda de§i³en ksm olsun. O nedenle enzim-DNA kompleksini E = Ob +P ³eklinde ifade edebiliriz. Tabii ki ayn za- manda enzime ba§l olmayan bir DNA'ya da ihtiyacmz olacak. ³te DNA'nn bu ³eklinin de tangle ile ifadesi de Of olacak. imdi ise N (Of + Ob + P ) = K0 tangle denklemini l-elde ederiz ve bu bize substrat molekülünü verir. kinci varsaymmz ise rekombinasyon P bölge tangle'nn rekombinasyon tarafndan döndürüldükten sonra ki halini ise R recombinant tangle' ile ifade edelim. Bu varsaym ile bir rekombinasyon ile P bölge tangle' R recombinant tangle'na dönü³ür. A³a§da ise rekombinasyon dönü³ünden sonraki modeli ifade edelim: N (Of + Ob + P ) = K0 N (Of + Ob + R) = K1 (substrat) (product) Ayrca ³unu da unutmamalyz ki; rekombinasyon mekanizmas sabittir, substrat geometrisi ve topolojisinden ba§mszdr. Bu demektir ki; e§re tüm substrat molekülleri ayn dü§üm tipinde ise Of , Ob , P ve R tangle'lar bir olaydan 98 di§erine de§i³mez. E§er substrat molekülleri farkl tipte dü§ümler ise yalnzca Of tangle' de§i³ir. Yalnz bu durumda göz önünde bulundurmamz gereken tek istisna bölge yönlendirmesidir. Son varsaymmz tangle denklem sistemini tarafndan verilen processive rekombinasyon modeli: O = Of + Ob ve O,P ve R bilinmiyorsa N (O + P ) = K0 (substrat) N (O + R) = K1 (birinci dönü³ sonucu ortaya çkan ürün) . . . . . . N (O + nR) = Kn (n. dönü³ sonucu ortaya çkan ürün) ortaya çkar. 7.15 Örnek 2002 ylnda Mariel Vazquez ve De Witt Sumners Gin spesik-bölgeli rekombiinasyonu analiz edebilmek için tangle modeli kullandlar. Bu böl§mde onlarn bulu³larndan bahsedece§iz. Bu tangle modelin spesik-bölgeli rekombinasyon için kullanld§ yalnzca bir örnektir. Gin,Mu adl bir bakteriyofaj tarafndan kodlanan bir spesik-bölgeli rekombinasyon i³lemidir. Bakteriyofaj, bakterileri etkileyen virüslerdir. Faj genomu gix L ve gix R olarak adlandrlan iki rekombinasyon bölgesine sahiptir. Biri DNA'ya ba§lanr ve Gin her iki taraf da krar, bitim noktalarn yönlendirir ve bunlar birle³tirir. Gin, çift ba§lanma srasnda birden daha fazla rekombinasyon meydana getiren processive rekombinassyon ile etki gerçekle³tirir. Gin rekombinasyonun dü§ümsüz substrat molekülü üzerindeki tangle analizinin sonuçlar ters olarak gix bölgelerinde a³a§daki gibi tekrar edilir: K0 = h1i (dü§ümsüz) K1 = h1i (dü§ümsüz) K2 = h3i = 31 (trefoil dü§ümü) K3 = h2, 1, 1i = 41 (8-gür dü§ümü) K4 = h2, 2, 1i (5-twist dü§ümü) 2004 ylnda De Witt Sumners ve Mariel Vazquez yukardaki dört denklemin çözümünü veren bir sonuç ke³fetti ve tam olarak be³inci denklemi tahmin ettiler. Teorem 7.15.1. A³a§daki denklem sisteminin O,P,R tangel'lar için çözümü olan 1. (O, R) N (O + P ) = h1i =dü§ümsüz 99 2. N (O + R) = h1i = 3. N (O + R + R) = h3i =trefoil dü§ümü ya ((−2, 0), 1) ya da ((4,1),(-1))dir. Ayrca 4. dü§ümsüz N (O + R + R + R) = h2, 1, 1i =8-gür ise (O, R) = ((−2, 0), (1)) e§er dü§ümü ³eklinde bir tek çözüm vardr. Biz burada O ve R nin rasyonelli§ini kontrol etmedik bunun yerine tangle denkleminin nasl çözüldü§ünü inceledik.Daha önce verilen bir lemmada β1 ve α1 A1 = β2 gibi iki rasyonel tangle verildi§inde α2 A2 = α = |α1 β2 + α2 β1 | alnN (A1 + A2 ) ³eklinde ve b(α, β) 4-plat'in e³it oldu§unu bulmu³tuk. Yukarda verilen (2) ve (3) denklemlerinden a³a§daki sistemi elde edebiliriz: d§nda |u + rv| = 1 |yu + 2rv| = 3 u,r,v bilinmeyen de§erlerdir. ( uv , r) sral ikilisi için on farkl çözüm elde edeb- (O, R) tangle çifti için on farkl çözüm elde ederiz. Bu çözümler ((−2, 0), (1), ((1), (−2)), ((5), (−4)), ((−2, −2), (2)), ((4, 1), (−1)) ve bunlarn iliriz. Böylece ayna yansmalardr. Bir sonraki teorem yardmyla bu sonuçlarn bir ksmn eleyebiliriz. Teorem 7.15.2. Bir sonraki teoremde verilen (1), (2), (3) denklemlerinde verilen tangle'lar ters olarak tekrar edilen bölgeli Gin rekombinasyonundan gelirler. Ve bunlar a³a§da verdi§imiz özellikleri sa§lar: O ≈ (0, 0), R ≈ (1), P ≈ (0). O ≈ (0, 0) oldu§undan ve integral tangle (0),(1) ile e³li§i oldu§undan O integral tangle' için elde edilen sonuçlar yok sayabiliriz. Ek olarak, e§er R ≈ (1) ise integral tangle'lar (0) e³li§ine sahip olmasndan dolay R = (2) çözümünden de kurtulabiliriz. Ayn zamanda (3) denkleminin dü§üm ürünü chiral oldu§undan ayna yansmalarn da yok sayabiliriz. Böylece yalnzca iki çözümümüz kalr ve bunlardan da yalnz birisi (4) denklemini sa§lar. Bu tangle analizinin ³§nda Sumners ve Vazquez Gin gix bölgeleri ile bir substrata etki etti§inde herbir rekombinasyona kar³lk gelen dönü³te enzim mekanizmas substrata bir pozitif çaprazlama ekler. Teorem 7.15.3. A³a§daki denklem sisteminin O,P,R tangel'lar için çözümü olan (O, R) 1. N (O + P ) = h1i =dü§ümsüz 2. N (O + R) = h3i =trefoil dü§ümü 100 3. 4. N (O + R + R) = h1, 2, 2h=(-5)twist dü§ümü ya ((−2, 0), (2)) yada ((2, 1, 1, 2), (−2)) olur Bunna N (O + R + R + R) = h1, 4, 2i =(-7)twist ise (O, R) = ((−2, 0), (2)) olur ve 5. her n≥4 içi N (O + nR) =-(2n+1)twist ek olarak e§er dü§ümü dü§ümü olur. Bu örnekte tangle model Gin mekanizmasnn yapsnn matematiksel olarak gösterimi için kullanld. Ve sonuç olarak bu bize gösterir ki; ters olarak tekrarlanan rekombinasyon bölgeleri tangle'a R = (+1) (1) ekler ba³ka bir deyi³le olur. Direk olarak tekrarlanan bölgelerde ise 101 R = (+2) olur. Kaynakça [1] Colin C. Adams, The Knot Book: An Elemantery Inroduction to Mat- hematical Theory of Knots, American Mathematical Society, 2004. [2] Colin Adams and Robert Franzosa, Introduction to Topology, Pearson Prentice Hall Inc., 2008. [3] Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer-Verlag, New York, 1993. [4] Stephan C. Carlson, Topology of Surfaces, Knots, and Manifolds, John Wiley Sons, Inc, 2001 [5] Fred H. Croom, Baisc Concepts of Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York, 1978. [6] Sue E. Goodman, Beginning Topology, American Mathematical Society, 2009. [7] William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, SpringerVerlag, New York, 1991. [8] John McCleary A First Course in Topology, American Mathematical Society, 2006. [9] Robert Messer and Philip Stran, Topology Now!, The Mathematical Association of America, 2006. [10] James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York, 1984. [11] Joseph J. Rotman An Introduction to Algebraic Topology, SpringerVerlag, New York, 1998. [12] Brian Sanderson, Lecture Notes (Knot Theory MA3F2), 2006. [13] Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, Springer-Verlag, New York 2008. 102