BÖLÜM 5: AĞIRLIK MERKEZI
Transkript
BÖLÜM 5: AĞIRLIK MERKEZI
BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ BÖLÜM 5: AĞIRLIK MERKEZI-ATALET MOMENTİ 5.1. AĞIRLIK MERKEZİ HESABI [ALANIN BİRİNCİ MOMENTİ] Ağırlık, bir cisme uygulanan kütle çekim kuvvetidir. Dinamometre ile ölçülür. Dünya'da bir cismi ele alırsak yükseğe çıkıldıkça ağırlık azalır, kutuplara gidildikçe ağırlık fazlalaşır, ekvatora gittikçe ağırlık azalır, dünyanın merkezine inildikçe ağırlık azalır. Ağırlık birimi newton'dur ve kısaca N ile gösterilir. Yatay bir taban üzerine konan bir cismin, o taban üzerine yaptığı basınca ya da bir noktaya asılı bir cismin, o noktaya uyguladığı yer çekimi kuvvetine verilen ad. Bu bakımdan, ağırlığın yönü, yer çekimi kuvvetinin yönündedir. Bu da, cismin kütlesine ve o yerin ivmesine bağlıdır. İvme, yeryüzünde cismin bulunduğu yere göre değişebildiğine göre, kütlesi sabit olan bir cismin mutlak ağırlığı, küre üzerinde bulunduğu yere göre değişebilir. Ağırlık Merkezi; Bir cismin parçacıkları üzerine etki eden yerçekimleri bileşkesinin uygulama noktasına verilen ad. Boşluğa bırakılan her cisim, yerçekiminin etkisi altında kalarak düşer. Yerçekimi, cismin yere düşmesini, dolayısıyla bir ağırlığı olmasını sağlar. Yerçekimi kuvveti, kütlesi (m) olan bir nokta gibi tasarlanan cismin parçacıklarına ayrı ayrı etki yapar. Bir cismin ağırlık merkezi, o cismin meydana gelmesini sağlayan noktalar sisteminin, o noktada toplanmış ve yerçekimi kuvveti o noktaya etki ediyormuş gibi olan halidir. A: Alanın ağırlık merkezi: Statik; hareketsiz haldeki cisimlerin dengesini inceleyen mekaniğin bir bölümüdür. Buna göre cisimlerin denge denklemlerini elde etmek için ağırlık merkezlerini bilmek gerekir. Çünkü bazı cisim ve sistemlerin dengesi ancak sistemin ağırlık merkezinin bilinmesiyle mümkün olabilir. Örneğin düzgün olmayan bir yayılı yüklü kirişin denge denklemlerini yazabilmek için yayılı yükün bileşkesini dolaysıyla ağırlık merkezinin bilmekle mümkün olur. Ağırlık merkezi cisimlerin durumlarına göre, 1. 2. 3. 4. 5. Alanın [kalınlığı ihmal edilebilir] Telin Hacmin Kütlenin Yukarıdakilerin karışımı olarak hesaplanır. Yukarıdakilerin her birinin kendine göre özellikleri mevcuttur. Düzgün olmayan eşit kalınlıklı ve homojen bir levha şekildeki gibi alınarak üzerinde bir elementer parça alınır. y A t x dx x dA=dx.dy dy y y A A-A kesiti x 144 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Küçük parçacığın kütlesi=dV γ =dA t γ = dx dy t γ = ∆Gi [γγ=birim hacim ağırlığı] Cismin tamamının bu şekilde [dA=dx dy] n adet küçük parçaya ayrıldığı düşünülürse, n x = xg = ∑ [dx dy t γ ] x i = ∆Gi x i = x ∑ Gi i=1 t γ ∑ dx dy x i ∑ dx dy x i ∑ x i dA = = t γ ∑ dx dy ∑ dx dy ∑ dA y = yg = t γ ∑ dx dy yi ∑ dx dy yi ∑ yi dA = = t γ ∑ dx dy ∑ dx dy ∑ dA Cisim geometrisi bilinmeyen bir şekilde olması halinde yani fonksiyonel ise; x = xg = ∫ x dA ∫ dA ∫ y dA ∫ dA y = yg = Bağıntıları ile hesaplanır. F1 B: Kuvvetlerin ağırlık merkezi y x1 F4 F3 F2 y1 ∑F = F1 + F2 + F3 + F4 +........FN x ∑ xF =x1F1 + x 2 F2 + x 3 F3 + x 4 F4 + ........ x n FN x = xg = ∑ yF =y1F1 + y 2 F2 + y 3 F3 + y 4 F4 + ........ y n FN y = yg = ∑ xF ∑F ∑ yF ∑F Bağıntıları ile hesaplanır. C: Eğrinin [ TEL: boyu>>>genişlik ] ağırlık merkezi; eğrilerin eşit kalınlıklarında olmalarından dolayı boyları etkilidir. Eğer eğriler eşit kalınlıkt olmayı değişik kalınlıkta olmaları durumunda aşağıdaki bağıntılar geçerli değildir. ∑L = L1 + L 2 + L 3 + L 4 +........LN ∑ xL =x1L1 + x 2 L 2 + x 3 L 3 + x 4 L 4 + ........ xn LN x = xg = ∑ yL =y1L1 + y 2 L 2 + y 3 L 3 + y 4 L 4 + ........ yn LN y = yg = ∑ xL ∑L ∑ yL ∑L y ➃ a ➀ ➁ 3a 2a a ➂ x a 145 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Bağıntıları ile hesaplanır. D: Hacmin ağırlık merkezi x = xg = ∑ xV ∑V y = yg = ∑ yV ∑V ∑ zV ∑V z = zg = V1 V2 V3 Birimlerin FONSİYONEL olması durumunda ağırlık merkezi. Alan Kuvvet ∫ xdA ∫ dA x = xg = x = xg = ∫ ydA ∫ dA y = yg = ∫ xdF y = yg = ∫ dF z = zg = ∫ ydF z = zg = ∫ dF ∫ zdA ∫ dA ∫ zdF ∫ dF x = xg = ∫ xdL ∫ dL y = yg = ∫ ydL ∫ dL z = zg = ∫ zdL ∫ dL Hacim x = x g = ∫ xdv ∫ dv y = yg = ∫ ydv ∫ dv z = zg = ∫ zdv ∫ dv Kütle x = x g = ∫ xdm ∫ dm y = yg = ∫ ydm ∫ dm Eğri z = zg = ∫ zdm ∫ dm ÖRNEK 5.1. Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarının [ x = ? y = ?] bulunması. y y y dA=[h/b]xdx h h h ⊗ x y=[1/2][h/b]x x b x dx 146 1 h 3 b 1 b 3 x BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ y b h x3 h b h 2 x x dx x dx ∫ 0∫ b b 3 0 2 ∫ x dA 0 b = x = xg = = b = = b b bh h 3 ∫ dA h x2 ∫ x dx ∫ x dx 0b 0b b 2 0 b dA=b[h-y]/h]dx h 2 3 1 h h 1 h x b x x dx ∫ ∫ y dA 0 2 b b = 2 b 3 = 1 h y = yg = = b bh 3 ∫ dA h x2 ∫ x dx 0b b 2 0 b x dy y h veya x [h − y ] = b h x= b[h − y ] h y = yg = ∫ y dA ∫ dA = x b b[h − y ] dy h ∫ y 0 h b[h − y ] dy h 0 = ∫ 1 h 3 ÖRNEK 5.7. Şekilde verilen taralı alanın ağırlık merkezinin hesaplanması. y 2 y=kx x =a k = b y =b a2 y= x= b 2 x a2 a b 0.5 dA = y dx y =k x2 y 0.5 x a a a a a 4 b 2 a2 b x x dx b x ∫ 2 2 x dA a 4 a ∫ 0 0 0 0 4 3 x = xg = = = = = = = a a a a a a b 4 3 dA b 2 b ∫ x ∫ y dx ∫ y dx ∫ a2 x dx 2 3 3 a 0 0 0 0 ∫ x dA ∫ x y dx y 2 y=kx dA=ydx b y a y 2 a a x5 2 1 b 2 a b2 x dx b ∫ 2 4 20a 2 a 5 0 10 3 0 y = yg = = = = = = b a a a b 10 3 a b ∫ dA x ∫ y dx ∫ y dx a 2 3 3 0 0 0 ∫ y dA ∫ y 2 dx x y/2 a b 2 2 1 2 a y a+ x 1 2 a y − [ a − x ] dy dy a − y dy ∫ 2 ∫ 2 2b 0 3 x dA 0∫ 2 2 0 b ∫ 0 x = xg = = = = = = a b b b 4 [ay −] ∫ dA ∫ [ a − x ]dy ∫ [ a − x ]dy ∫ [ a − x ]dy b b 0 a2 − x2 0 b a2 0 x dx y 2 y=kx b dA=[a-x]dy x dy [a+x]/2 b b ∫ y [ a − x ] dy y = yg = ∫ y dA = 0 ∫ dA a ∫ y dy 0 = a ∫ y a − b1/2 y1/2 dy 0 a ∫ ydx 0 b a 2 ∫ ay b1/2 y 3/2 dy a b 10 3 0 = = = b a a b 10 3 bx a 2 3 3 0 147 y a x BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ ÖRNEK 5.8. x=y -9 fonksiyonun [ x = ? y = ?] ağırlık merkezinin koordinatlarının hesabı. 2 Yatay bir dilim alınarak sınırlar şekildeki gibi x=0 ise y=3 y=0 ise x=9 yazılır y y 3 x=y2-9 x=y2-9 x x/2 dy y x x 9 Alınan parçanın (dilimin) alanı dA = x dy x= ∫ x dA ∫ dA = ∫ x xdy ∫ x dy = 13 2 2 ∫ [y − 9] dy 20 3 ∫ [y 2 13 4 2 ∫ [y − 18y + 81]dy 20 = 3 − 9] dy ∫ [y 0 2 = 1 y5 18y3 + 81y − 2 5 3 y − 9y 3 3 − 9] dy 0 3 0 3 1 243 81 + 243 − 2 5 2 = = 3.6 [9 − 27] 0 3 y 4 9 y 2 81 81 [ y 3 − 9 y ] dy − ∫ 2 0 4 + 2 y dA ∫ y [ xdy ] 0 4 ∫ 0 y= = = = = = =1.125 3 [9 − 27] ∫ dA ∫ x dy 3 [ y 2 − 9 ]dy 3 [ y 2 − 9 ]dy y 3 ∫ ∫ − 9 y 0 0 3 0 x=y2-9 3 ∫ y [ y 2 − 9 ] dy 3 y 3 x y y/2 Alınan parçanın (dilimin) alanı dA= y dx x 9 9 9 y 5 18 y 3 81y 243 243 + + 81] dy − 6 2 0 10 + 2 − 81 10 = = = 3.6 3 9 3 [9 − 27] y 2 ∫ [ y − 9 ]dy − 9 y 0 3 0 9 [ x( x − 9 )] dx ∫ x dA ∫ x y dx 0∫ ∫ 0 x= = = = 9 dA x dy ∫ ∫ ∫ [ y 2 − 9 ]dy dx [ y4 0 −18 y 2 ÖRNEK 5.9. Şekildeki alanın ağırlık merkezinin koordinatlarının [ x = ? y = ?] hesabı. y y 4 y=4-x 2 y=4-x 2 y x y/2 x dx 148 x 2 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Alınan parçanın (dilimin) alanı dA = y dx 2 2 x= ∫ x dA ∫ dA = ∫ x y dx ∫ x dx = ∫ x [4 − x ]dx 2 2 0 2 ∫ [4 − x ]dx = ∫ [4x − x ]dx 0 2 0 y= ∫ y dA ∫ dA y = ∫ y 2 dx ∫ y dx = 3 2 ∫ [4 − x ]dx = 2 x4 2x − 4 0 0 12 [4 − x 2 ]2 dx 2 0∫ 2 = 12 [16 − 8x 2 + x 4 ] dx 2 0∫ 2 2 x 4x − 3 0 3 2 = 12 16 2 = 3 1 8x x5 + 16x − 2 3 5 0 2 128 15 = 8 = 5 16 3 x3 4x − 0 0 3 0 ÖRNEK 5.10. İki fonksiyon arasındaki alanın ağırlık merkezinin [xg yg] hesaplanması. y y ∫ [4 − x ]dx ∫ [4 − x ]dx 2 2 [1,1] y1=x y1=x P1[x,y] y2=x 2 y2=x 2 y2-y1 P2[x,y] x y=[x+x2]/2 x dx 1 1 1 x2 x3 1 dA = ∫ [y1 − y 2 ]dx = ∫ [x − x 2 ]dx = − = 0 0 3 0 6 2 x 3 x 4 1 − 1 x dA 1 x [x − x 2 ] 1 [x 2 − x 3 ] 4 0 1 3 i i x=∫ =∫ dx = ∫ dx = = 2 2 3 1 0 dA i 0 [y1 − y 2 ] 0 [x − x ] 2 x − x 2 3 0 x 3 x 5 1 x2 − x4 − 1 y dA 1 [[x + x 2 ] / 2][x − x 2 ] 1 6 10 0 2 2 y=∫ =∫ dx = ∫ dx = = 2 2 2 3 1 0 dA 0 0 [x − x ] 5 [x − x ] x x − 2 3 0 149 x BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ ÖRNEK 5.11. Şekildeki iki fonksiyon [y2=x, 8y=-x2] arasında kalan alanın ağırlık merkezinin koordinatlarının hesaplanması. x x y= 1 x2 x− 2 8 x 2 y =x [4-2] dx 2 -8y=x2 y =x y y 4 dA = ∫ x − 8 0 x2 -8y=x2 x2 24 x x− 1 x dA 4 8 5 9 x=∫ =∫ dx = = 8 5 x2 0 dA 0 x − 8 3 dx = 8 3 y=∫ 0 1 x2 − x 2 8 − 12 5 9 =∫ dx = =− dA 0 8 10 x2 x − 8 3 4 y dA 4 ÖRNEK 5.12. İki fonksiyon arasındaki alanın ağırlık merkezinin hesaplanması. y y x dy 2 y =2ax b b2 , b 2a b 2 y =2ax x y x b b y2 b3 dA = ∫ xdy = ∫ dy = 6a 0 0 2a 2 x2 1 y2 b5 b x dA b [ x / 2 ] [ xdy ] b 2 b 2 4a 2 3b 2 x=∫ =∫ =∫ dy = ∫ dy = 40a = 2 2 dA 20a b3 0 dA 0 0 y 0 y 6a 2a 2a b y dA b y[ xdy ] =∫ 2 0 dA 0 y 2a y= ∫ y2 b 4 y b 2a 6a = ∫ = 3 =b 2 0 y b 2a 6a 150 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ ÖRNEK 5.2. Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarının [ x = ? y = ?] bulunması. Çözüm: verilen şekil geometrisi bilinen 2 şekle aşağıdak şekilde ayrılır. y y y Cisim geometrisi 6 bilinen parçalara ayrılır. 1 1 4 4 x 9 x = xg = y = yg = ∑ x i dA ∑ dA ∑ y i dA ∑ dA = = ∑ [ x 1A 1 + x 2 A 2 ] ∑ [ A1 + A 2 ] ∑ [ y 1A 1 + y 2 A 2 ] ∑ [A1 + A2 ] 4 2 6 = = xg yg x 3 2 3 6 ∑ [3 x 6 x 4 + [6 + (1 / 3) x3] 3 x 0.5 x 4 ] ∑ [ 6 x 4 + 3 x 0.5 x 4 ] ∑ [2 x 6 x 4 + (4 x 1/ 3) x3 x 0.5 x 4 ] ∑ [ 6 x 4 + 3 x 0.5 x 4 ] x = 3.80 = 1.86 ÖRNEK 5.3. Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarının [ x = ? y = ?] bulunması. y 6m 8m 14m ① ② 12m 12m 8m x 8m Çözüm: Şekil geometrisi bilinen bir dikdörtgen ve bir üçgene ayrılarak aşağıdaki bağıntılarla ağırlık merkezinin koordinatları hesaplanır. x = xg = ∑ x i dA ∑ [ x 1A 1 + x 2 A 2 ] ∑ [ 4 x 8 x 12 + [(1 / 3) x 6 + 8] x 0.5 x 6 x 12] = = = 5.64 ∑ dA ∑ [ 8 x 12 + 6 x 12 x 0.5 ] ∑ [ A1 + A 2 ] y = yg = ∑ yi dA ∑ [ y 1A 1 + y 2 A 2 ] ∑ [6 x 8 x 12 + [(2 / 3) x 12] x 0.5 x 6 x 12] = = = 6.55 ∑ dA ∑ [ 8 x 12 + 6 x 12 x 0.5 ] ∑ [A1 + A2 ] 151 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ ÖRNEK 5.3.1. Şekilde verilen alanın ağırlık merkezi koordinatlarının hesaplanması. y y y ① 15 15 15 ② [b] 50 [a] 50 ➄ 30 ➃ x 15 15 30 25 30 yg x x 15 15 ➅ 20 xg 30 ➂ 25 50 [c] 15 25 20 30 15 20 30 Çözüm: Şekil geometrisi bilinen şekillere [b] ayrılarak tablo halinde aşağıdaki şekilde hesaplanır. Parça No Ai 600 1200 375 ➀ ➁ ➂ ➃ ➄ ➅ 900 [30x30 kare] -706 [1/4 daire] 1350 3719 Toplam xi -5 7.5 -8.33 30 32.26 20 yi 87.5 40 10 15 17.26 -7.5 Ai xi -3000 9000 -3124 27000 -22776 27000 34100 Ai yi 52500 48000 3750 13500 -12186 -10125 95439 Ağırlık merkezinin koordinatları [xg yg] xg yg ∑ A i x iAi 34100 xi xg = x = = = 9.17 ➀ -5 ∑ A i600 3719 ➁ 1200 7.5 ➂ 375 -8.33 ➃ 900 [30x30 kare] 30 ➄ -706 [1/4 daire] 32.26 ➅ 1350 20 Parça No Toplam yygi = y = 87.5 40 10 15 17.26 -7.5 3719 ∑ A i yA i i xi 95439 i yi = .66 = 25A 52500 ∑ A i-30003719 9000 48000 -3124 3750 27000 13500 -22776 -12186 27000 -10125 34100 95439 Ağırlık merkezinin koordinatları [xg yg] xg xg = x = ∑ Ai xi ∑ Ai = yg 34100 = 9.17 3719 yg = y = ∑ Ai yi ∑ Ai = 95439 = 25.66 3719 ÖRNEK 5.3.2. Şekilde verilen alanın ağırlık merkezinin koordinatlarının hesaplanması. y y y 2.5 5 5 1.5 1 1 152 2.5 3 2 1.5 1.5 4 2 3 2.5 xg=0.36 4 2 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Parça 1 2 3 4 5 6 7 Σ Ai 8x6=48 16 -3.14 -3.14 -3 4 6.28 65 Ağırlık merkezinin koordinatları xi 0 0 -3.15 3.15 0 -2.67 -2 xg = Ai xi 0 0 9.89 -9.89 0 -10.68 -12.56 -23.24 ∑ A i x i −23.24 = = −0.36 65 ∑ Ai yi Ai yi (6/2)+4=7 48x7=336 2 4.85 4.85 9.5 1.33 -0.85 32 -15.23 -15.23 -28.5 5.32 -5.33 309.03 yg = ∑ A i yi 309.03 = = 4.75 65 ∑ Ai ÖRNEK 5.3.3. Şekilde verilen alanın, [dairenin yarıçapı r=2] 1. 2. 3. Verilen x ve y eksenlerine göre atalet momentleri [Ix Iy] Ağırlık merkezinin koordinatları [xg yg] Ağırlık merkezinden geçen eksenlerine göre atalet momentlerinin [Ix Iy] hesabı. y y 8 8 3 x x 4 4 5 5 4 Ai 24 xi 1.33 1 2 5 4 8 Ağırlık merkezinin koordinatları Parça 1 4 Ai xi -31.92 8 y [xg yg] yi 0 Ai yi 0 153 8 4 5 3 xg 1 yg 4 G 2 5 x BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ 2 3 4 5 Σ 32 50.24 -6.28 30 129.96 xg = ∑ A i x i 349.22 = 2.69 = 129 .96 ∑ Ai 128 170.82 -37.68 120 349.22 4 3.4 6 4 -2 3.4 -0.85 -5.67 yg = -64 170.82 5.34 -170.1 -57.94 ∑ Aiyi −57.94 = −0.45 = 129 .96 ∑ Ai Cisim Tel Gibi Sabit Bir Kalınlıkta Çubuk Şeklinde olması durumunda y A A n ∑ [dL] x i A-A kesiti x ∑ x i dL ∫ x dL = ∑ dL ∫ dL x = xg = y dL x = x ∑ dL i =1 y = yg = y ∑ y i dL ∫ y dL = ∑ dL ∫ dL x ÖRNEK 5.4. Yarım dairenin x ekseni ile olan ağırlık merkezinin hesaplanması. π/2 y ∫ dL = ∫ r y −π / 2 dL=rdθ θ π/ 2 ∑ xidL = x = xg = ∑ dL dθ r θ x /2 dθ = [rθ ] π −π / 2 = π r x ∫ x dL −π / 2 π/2 π/2 = ∫ [r cos θ]rdθ −π / 2 π/2 ∫ rdθ ∫ dL −π / 2 −π / 2 x=rcosθ x = xg = [r 2 sin]π−π/ 2/ 2 2r = π/2 [rθ]−π / 2 π ÖRNEK 5.5. Şekildeki daire parçasının x ekseni ile ağırlık merkezinin hesaplanması. y ∫ y dL=rdθ θ α dL = ∫ r dθ = [rθ ]α− α = 2α r α ∫ x dL ∑ xidL = −α x = xg = = 2αr ∑ dL dθ r −α α α ∫ [r cos θ]rdθ −α 2αr [r 2 sin]α−α r sin α = = 2αr α 2 α θ x x=rcosθ ÖRNEK 5.6. y=x fonksiyonunun [1,1] noktasına kadar olan kısmın ağırlık merkezinin hesabı. 154 x BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ 2 dy dy dL = dx + dy = 1 + dx = 2x dL = 1 + 4 x dx dx dx 2 2 y x=0 y ise y=0 x=0.5 ise y=0.25 Toplam boy L 2 y=x 2 y=x dL x=1 1 0 1 0 1 ∫ x dL ∫ x dy x = xg = dx x ise y=1 1 x = ∫ dL ∫ 0 0 1 + 4 x dx = 0.574 1 + 4 x dx ÖRNEK 5.13. Şekildeki gibi 5 parçadan oluşan telin ağırlık merkezinin hesaplanması. y L3 r=10 2r/π r L4 6 L2 r 2r/π 2r/π L1 L5 x 45o Eleman 1 2 3 4 5 r r 12 y 30o x ELEMANLARIN L x [17/2]cos45=6.01 17cos45=12.02 17cos45+10=22.02 17cos45+20=32.02 24/2cos30+20+17cos45=42.41 L1=17 L2=6 L3=31.42 L4=6 L5=24 x= SİSTEMİN y= y [17/2]sin45=6.01 17sin45+3=15.02 17sin45+6+2r/π π=24.39 17sin45+3=15.02 24/2sin30=6 L i x i 17 x 6.01 + 6 x 12.02 + 31.42 x 22.02 + 6 x 32.02 + 24 x 42.41 = = 24.59 17 + 6 + 31.42 + 6 + 24 ∑ Li L i yi 17 x 6.01 + 6 x15.02 + 31.42 x 24.39 + 6 x 15.02 + 24 x 6 = = 14.13 17 + 6 + 31.42 + 6 + 24 ∑ Li 5.2. PAPPUS-GULDINUS TEOREMLERİ 155 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Paul Guldin, 1577-1643, İsviçreli Matematik, Astronomi Guldin kuraları (dönel simetrik cisimlerin manto alanı ve hacminin basit hesabı). Not: Guldin kuralı MS 300 yıllarında İskenderiyeli Pappus(Pappos) tarafından verilmiştir. Bu nedenle Pappus veya Pappus-Guldin kuralları olarak da anılır. Guldin kuraları: 1.Kural: Bir düzlem eğrinin bir eksen etrafında dönmesi sonucu oluşan cismin manto(yüzey) alanı aşağıdaki basit yolla hesaplanır. Amanto=2 π L d1 L: eğrinin uzunluğu d1 :Eğrinin ağırlık merkezinin eksene mesafesi 2.Kural: Bir düzlem alanın bir eksen etrafında dönmesi sonucu oluşan cismin hacmi aşağıdaki basit yolla hesaplanır. V=2 π A d2 A: düzlem cismin alanı d2 : alanın ağırlık merkezinin eksene mesafesi Örnek: Yarım çemberin eksen etrafında dönmesi ile küre oluşur: d Bir çember veya dairenin eksen etrafında dönmesi ile torus oluşur: R L=π r (yarım çember uzunluğu) d=d1=2r/π (çemberin ağırlık merkezinin eksene mesafesi) 2 Ayüzey =2π (π r) (2 r/π) =4π r (kürenin yüzeyi) Yarım dairenin eksen etrafında dönmesi ile küre oluşur: 2 A=πr /2 (yarım dairenin alanı) d=d2=4r/3/π (yarım dairenin ağırlık merkezinin eksene mesafesi) 2 3 V=2π (πr /2) (4r/3/π) =4π r /3 (kürenin hacmi) Ayüzey = 2π Ld1=2π (2πr) (R)= 4 π r R (Torus yüzey alanı) 2 2 2 2 V=2π (πrr ) (R) =2π r R (Torus hacmi) 1. Bir eğrinin kendi düzlemi içinde ve kendini kesmeyen bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin alanı, eğrinin uzunluğu ile dönme esnasında eğrinin ağırlık merkezinin kat ettiği uzunluğun çarpımına eşittir. [A= L . açı (radyan) . yg] 156 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ L G L yg G yg x x yg x yg yg L boylu bir eğrinin şekildeki dönmesi halinde oluşan alan o 90 dönüş A=L x 0.5π x yg o 180 dönüş A=L x π x yg o 270 dönüş A=L x 1.5π x yg o 360 dönüş A=L x 2π x yg Profilden görünüş 2. Bir yüzeyin [alanın] kendi düzlemi içinde ve kendini kesmeyen bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin hacmi, yüzeyin alanı ile dönme esnasında alanın ağırlık merkezinin katettiği uzunluğun [0-2π π] çarpımına eşittir. [V= A . açı (radyan) . yg] 3. Verilen bir alanın bir eksene göre hacminin hesaplanması, a. Verilen alanın ağırlık merkezi koordinatı bilinen bir yöntem ile hesaplanır. b. Ağırlık merkezi ile eksen arasındaki mesafe bulunur. [y=yg+x”] c. Bu durumda bakış yönü çok önemlidir. Üstten bakış Önden bakış x A G A xx A x G A yg x’ x x x x” x’ Verilen alana üstten ve profilden bakış görüntüleri verilerek hacmin nasıl hesaplandığı aşağıdaki şekil üzerinde anlatılmıştır [yg aralık olarak alınmalı] A alanlı bir düzlemin şekildeki gibi G A o [270 -1.5π] dönmesi ile oluşan hacim G yg x yg x yg yg yg Profilden bakış o Dönüş ekseni 90 dönüş V=A x 0.5π π x yg 180 dönüş V=A x π x yg o yg 270 dönüş V=A x 1.5π π x yg G 360 dönüş V=A x 2π π x yg x o o 180o dönüş NOT: Pappus-Guldinus teoremleri bazı geometrik şekillerin ağırlık merkezlerinin bulunmasında da uygun bir yöntemdir. 157 x BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ ÖRNEK 5.14. Şekildeki dörtte bir daire çemberinin ağırlık merkezinin koordinatlarının bulunması. y y r y r G yg x G y x x x-x ekseni boyunca Pappus-Guldinus teoremi gereği alan, A=2π π . L . yg=2π π . (2π πr/4) . yg=π π2 r yg Şeklin x-x ekseni etrafında dönmesi sonucu yarım küre oluşur ve bunun alanı A=2π πr2 dir. y 2 π r 2 = 2 π . L. y g 2 π r 2 = 2π [0.5 π r ] y g ise yg = 2r π G xg x y-y ekseni boyunca Pappus-Guldinus teoremi gereği alan, 2 πr 2 = 2π [ 0.5 πr ] x g A=2π π . L . yg=π π2 r yg xg = ise 2r π ÖRNEK 5.15. Şekildeki yarım daire çemberinin ağırlık merkezinin koordinatlarının bulunması. y y G r yg r x x r Pappus-Guldinus teoremi gereği alan, A=2π π . L . yg Şeklin x-x ekseni etrafında dönmesi sonucu küre oluşur ve bu kürenin alanı A=4π πr2 dir. 2r 4 π r 2 = 2π [ π r ] y g ise y g = π y-y ekseni boyunca dönmesi sonucu dörtte bir dairenin aynısı olur. Pappus-Guldinus teoremi gereği alan, A=2π π . L . yg 2π πr2 =2π πL . yg y 2πr 2 = 2 π [0.5 π r ] x g ise xg 2r = π r x 158 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ ÖRNEK 5.16. Şekilde verilen yarım daire alanın x-x ekseni etrafından dönmesinden yararlanarak yarım dairenin ağırlık merkezi koordinatının [yg] hesabı. y y G r yg r x V=A x 2π π x yg x r V=A yg= 2π π [πr2/2] . yg =2π π[0.5 π r2] yg A=π πr /2 2 Yarım dairenin x-x ekseni etrafında dönmesi sonucunda küre oluşur. Kürenin hacmi 4 πr3 4 πr3 = 2 π x 0 .5 π r 2 y g 3 3 xg yi bulmak için V=A yg= 2π π[0.5 π r2] xg V= yg = 4r 3π Yarım dairenin y-y ekseni etrafında dönmesi simetrik olması sonucu dörtte bir dairenin [A=0.25π πr ] dönmesine eşit olur ve bunun sonucunda yarım küre oluşur. Yarım kürenin hacmi 2 V= 2 πr3 3 2 πr3 = 2 π x 0.25 π r 2 x g 3 xg = 4r 3π y Veya yarım dairenin alanı A=0.5π πr2 G Yarım daire π kadar dönerse yarım küre tamamlanır. Buna göre xg, V= 2 πr3 3 2πr3 = π x 0 .5 π r 2 x g 3 xg = xg x 4r 3π ÖRNEK 5.17. Şekilde verilen eğrinin, a. Verilen eksenlere göre ağırlık merkezini [a=12 cm] o b. c-c ve y-y ekseni etrafında [360 ] dönmesi ile oluşan yüzeyin alanının hesaplanması y c c a ➀ 2.83a ➁ 3a x ➄ ➂ a 4a a 2a ➃ 159 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Parça ➀ ➁ ➂ ➃ ➄ ∑ Li a 3a πa/2 2π πa xi 0 1.5a 3a+2a/π π 6a Li xi 0 2 4.5a 2 5.7a 2 37.6a 2a 2 7a 19.8a yi a/2 0 -[a-2a/π π] -[a+4a/π π] 2 Li yi 2 a /2 0 [aπ π/2][-a-4a/π π] [2aπ π][-a-4a/π π] 0 0 2 a πa − 2 2 67.6a2 14.98a 2 + π 2a 2 − π2a 2 − 8a 2 2π a=12 cm için 67.7 a 2 67.6 [12 ]2 = 54.15 cm = = 14.67 a 14.98 [12 ] xg a2 πa2 π2a2 − + − π2a2 − 8a2 2 2 2 π yg = = −12.12 cm 14.98 a c-c ekseni A=2π x 14.98a x (a+1.01a)=2π x 14.98 [12] x 2.01[12]=27242.71 cm 2 y-y ekseni A=2π x 14.98a x 4.51a=2π x 14.98 [12] x 4.51[12]=61095.68 cm 2 y c c a ➀ 2.83a ➁ 3a 1.01a+a=2.01a x yg=1.01a ➄ ➂ a a 4a 54.15/12=4.512a ÖRNEK 5.18. Şekilde verilen madenlerin kütle merkezinin 2ahesaplanması. y m ➃ 2 m 2 Çelik [800 kN/m3] 4 m 4 2 m m Kurşun [980 kN/m3] 1 2 m Altın [600 kN/m3] 1 m 4 x 160 m m BÖLÜM4 Eleman Çelik Kurşun Altın Σ SİSTEMİN AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ ELEMANLARIN m kütlesi [kN] x 1 2x2x4x800=12800 2x1x4x980=7840 [2+2]=4 1x2x4x600=4800 [2+4+1]=7 25080 x= mi x i ∑ mi x= xm 12800 31360 33600 77760 77760 = 3.10 m 25080 161 y 2 1 0.5 y= ym 25600 7840 2400 35840 35840 = 1.43 m 25080 z 1 0.5 2 z= zm 12800 3920 9600 26320 26320 = 1.05 m 25080 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ y x x y I [ağırlık merkezine göre] πr 2 4 4r 3π 4r 3π π 4 Ix = Iy = r − 16 9 π r y O Alan O x 2 πr 2 0 πab 4 4a 3π 4r 3π 4 π 8 Ix = r 4 − 8 9π Iy = Polar Jo = πr 4 8 Jo = πr 4 4 Jo = πr 4 2 Jo = πab [ 4 πr 4 8 y x G 4b 3π Ix = I y = πr 4 4 y b G a Ix = x πab 3 4 Iy = πb 3 4 5.3. STATİK MOMENT [ALANIN BİRİNCİ MOMENTİ] Yapı elemanlarının şekil değiştirmelerinin hesabında özellikle kesme kuvvetinden dolayı oluşan kayma gerilmelerinin hesaplanmasında kullanılan, S x = ∫ y dA S y = ∫ x dA y x dA ρ y x bağıntısıyla hesaplanan değere alanın birinci statik momenti denir. Verilen bağıntıda V:kesitteki kesme kuvveti, I:atalet momenti ve b:kesit genişliği olmak üzere bir kesitin kayma gerilmesi [ττ] aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır. τ= V Sx V [ y A] = Ib Ib h b 162 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Verilen şekilde m noktasındaki kayma gerilmesi için gerekli olan Sx alanın statik momenti, A Gm m m Sx = y A y h h G Gm: m noktası üzerinde kalan alanın ağırlık merkezi G:Şeklin tamamının ağırlık merkezi b b olarak hesaplanır. Sistemin ağırlık merkezindeki statik momenti SIFIRDIR [çünkü y=0]. ÖRNEK 5.19. Verilen şeklin, a. x-x ve y-y eksenlerine göre statik momentlerinin [Sx Sy] b. m noktasındaki kayma gerilmesine esas olan statik momentin hesabı. y y 14m 8m 6m ② m 8 ① 12m 12m m x 8m x 8m Çözüm a: Önce eksenlere göre statik momentler hesaplanır. S x = ∑ x i dA = ∑ [ x 1A 1 + x 2 A 2 ] = ∑ [ 4 x 8 x 12 + [(1 / 3) x 6 + 8 ] x 0.5 x 6 x 12] = 744.48 m 3 S y = ∑ y i dA = ∑ [ y 1A 1 + y 2 A 2 ] = ∑ [6 x 8 x 12 + [(2 / 3) x 12] x 0.5 x 6 x 12] = 864.60 m 3 Çözüm b: Sistemin ağırlık merkezi koordinatları hesaplanır. Bu şeklin ağırlık merkezi koordinatları y = y g = 6.55 olarak hesaplanmıştı. yukarıda x = x g = 5.64 6m ② ① G2 G1 12m 3.67 2.275 8m G 6.55 m 8m S x = ∑ x i dA = ∑ [ x 1A 1 + x 2 A 2 ] = ∑ [5.45 x 8 x 2.275 + [(2x8 + 4x8x0.5) x3.67] = 216.63 m 3 163 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ 5.4. ATALET MOMENTİ [ALANIN İKİNCİ MOMENTİ (I)] Eylemsizlik kuvveti, cisimlere etkiyen kuvvet. Eylemsizlik kuvveti sistemin ivmesiyle zıt yönde oluşur. Eylemsizlik kuvveti yoktan var edilemez. Var olan enerjiyi cisim yine kendi halini yani hareketsiz haline dönmek için kendi hareket yönüne zıt bir kuvvet oluşturup kullanır... evrende madde her zaman ilk hareketlerini korumak ister, yani duruyorsa durmak hareket halindeyse o hızda hareke devam etmek ister. Cisme bir kuvvet uygulandığında cisim harekete ters yönde cevap vererek ilk halini korumak isteyecektir. işte bu kuvvet eylemsizlik kuvvetidir. Bir cisme uygulanan hiçbir kuvvet yoksa ya da cisme uygulana kuvvetlerin bileşkesi 0 ise cisim ya hareketsiz kalır ya da düzgün doğrusal hareket yapar. Örneğin sıra üzerinde duran bir kitaba dışarıdan bir kuvvet uygulanmadıkça sonsuza kadar bırakıldığı yerde kalır. Başka bir cisme eşit büyüklükte zıt yönde iki kuvvet uygulanırsa kuvvetler birbirini yok edeceğinden cisim hareket etmez. Sürtünmesiz bir ortamda bir misketi harekete geçirdiğimizde misket düzgün doğrusal hareket yapar. Duran bir otobüste ayaktaki yolcuların haberi olmadan otobüs aniden hareket ederse yolcular arkaya doğru itilir. Hareket halindeki bir otobüsün aniden fren yapması sonunda ayaktaki ve oturan yolcuların öne fırlamaları yolcuların bulundukların durumları korumak istemelerinden kaynaklanır. Trafik kazalarında arabaların ön koltuklarında oturanların ani fren sonunda kafalarını cama çarpmamaları için emniyet kemeri takmaları zorunludur. Duran bir cismi herhangi bir kuvvet etkilemedikçe sürekli durur. Hareket halindeki bir cismi hareketini engelleyecek bir kuvvet etki etmedikçe hareketine devam eder. Bu özelliğe eylemsizlik denir. Eylemsizlik Momenti; veya atalet momenti (SI birimi kilogram metrekare - kg m²), dönme hareketi yapan bir cismin dönme eylemsizliğidir. Yapı elemanlarının, 1. Eğilme 2. Burulma hesabında 3. Kesitlerde My 3.1. Gerilme σ = I 5 qL4 3.2. Deplasman y = 384 EI 1 qL3 3.3. Dönüş φ = 48 EI I 3.4. Diğer R = A Hesaplarında kullanılan ve Ii ile gösterilen matematik bağıntıya alanın ikinci momenti veya atalet momenti denir. Mühendislikte olmazsa olmaz özelliklerden biridir. Ix = ∫y 2 y dA x dA = dx dy Ix = y x ∫y=0 ∫x =0 ∫ dA y 2 dxdy = xy 3 3 ρ y x 164 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Bundan dolayı atalet momentine alanın 2. momenti denir. y y’ ∫ I x = y 2 dA x eksenine göre atalet momenti dx G ∫ I y = x dA y eksenine göre atalet momenti 2 x’ dρ dy ∫ I xy = xy dA Çarpım atalet momenti x 0 J = ρ 2 dA = [ x 2 + y 2 ]dA = I x + I y Polar atalet momenti ÖRNEK 5.20. Şekilde verilen dikdörtgenin, a. Tabandan geçen eksene göre b. Ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momentinin bulunması. y b dA=b dy h/2 dy y h x x x x dA=b dy h/2 dy x y x y x x b/2 Tabandan geçen eksene göre [x-x] h I x = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 b dy = 0 bh3 3 b b/2 Ağırlık merkezinden geçen eksene göre h/2 I x = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 b dy = −h / 2 Tabandan geçen eksene göre[y-y] bh3 12 Ağırlık merkezinden geçen eksene göre [şerit h’ya paralel alınır] b Iy = ∫ x 2 dA = ∫ 0 x 2 hdx = hb3 3 b/2 Iy = ∫ x 2 dA = ∫ y 2 h dx = −b / 2 165 hb3 12 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ ÖRNEK 5.21. Şekilde verilen üçgenin atalet momentinin, a. Tabandan [Ix] b. Ağırlık merkezinden geçen eksene [Ix’] göre bulunması y y y dA=xdy dy h h G dy x y x b x [a] Tabandan geçen eksene göre atalet momenti [a] dIx = y 2 dA 2h 3 x y x’ 1 h 3 x b [b] dA = x dy x h− y h− y = ise x = b b h h dA = b h− y dy h h h h h− y b b by3 y 4 bh3 dy = ∫ [hy 2 − y3 ]dy = − = Ix = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 b h h0 h 3 4 12 0 0 Ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti [b] dI x = y 2 dA dA = x dy [2 / 3 ]h − y x [2 / 3 ]h − y ise x = b = b h h I x′ = ∫ y 2 dA = dA = b [2 / 3 ]h − y dy h b 2 / 3h bh 3 [2 / 3 ]h − y 2 3 dy = [[ 2 / 3 ] hy − y ] dy = ∫ h h −h / 3 36 2 / 3h 2 ∫ y b −h / 3 2 ÖRNEK 5.22. y=kx fonksiyonun x eksenine göre atalet momentinin hesaplanması. y 2 y=kx dA=ydx x =a k = b y =b a2 b y x y/2 a dx x 166 b 2 x a2 y =k x2 a 0.5 x= y b 0.5 y= 1 dA = y dx 3 A= ab 3 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ 3 3 1 bx 2 y dI x = y dA = y ydx = dx = dx 3 3 a 2 3 21 2 a 1 bx 2 ∫ dI x = ∫ 03 2 a a 3 1 b3 x 7 1 a b3 x 6 dx = ∫ 6 dx = 6 3 0 a 3 a 7 0 Ix = ab 3 21 2 1 bx 2 1 x y dI y = x 2 dA = x 2 ydx = dx = x dx 3 3 a 2 3 1 bx 4 ∫ dI y = ∫ 2 0 3 a a dx a 1 bx 5 = 3 a 2 5 0 Iy = ba 3 5 ÖRNEK 5.23. Şekilde verilen fonksiyonun y eksenine göre atalet momentinin [Iy] ve jirasyon [atalet] yarıçapının [R] hesaplanması. y y y=16-x2 y 16 16 y=16-x2 y=16-x2 y dy x 4 x 4 x dx dA = y dx Iy = 4 x 4 4 4 4 4 −4 −4 −4 0 ∫ x 2 dA = ∫ x 2 [ ydx ] = ∫ x 2 [16 − x 2 ] dx = [ 2 ] ∫ x 2 [16 − x 2 ] dx = 273.07 Bir dikdörtgen alanın bir kenara göre atalet momenti, dikdörtgenin alanı ile diğer kenarının uzunluğunun karesi çarpımın 1/3’e eşittir. h Tabandan geçen bir eksene göre atalet momenti I x = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 b dy = 0 dA = x dy 16 16 16 9 1 2 2 x4 Iy = 2 ∫ x 2 dA = 2 ∫ x 2 [ xdy ] = ∫ x 3 dy = = 273.07 3 30 3 4 0 0 0 A = 2x[ 4 x9 ][ 2/ 3 ] = 48 mm 2 cm 2 m 2 R= Ix 273.07 = = 2.39 mm 2 cm2 m 2 A 48 167 bh3 3 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ 5.5. PARALEL EKSEN TEOREMİ x eksenine göre atalet momenti I x = I xg + A d 2y I x = I x′ + A d 2y y eksenine göre atalet momenti I y = I yg + A d 2x I y = I y' + A d 2x Çarpım atalet momenti I xy = I x g I yg + A d x d y Polar atalet momenti J o = J 'o + Ad ρ2 y yg I xy = I x′ I y′ + A d x d y yg y A x’ x A [alanı] dA y’ dx ⊗ G [ağırlık merkezi] xg ⊗ xg G y dρ dy x x Ağırlık merkezinden xg ve yg geçen eksene göre ağırlık merkezi koordinatları, ∫ x' dA x' = x g = ∫ y' dA y' = y g = A ∫ dA A A ∫ dA A x’ ve y’ değerlerin sistemin tamamını dikkate alınca “sıfır” olur. Buna göre xg ve yg eksenlerine göre ağırlık merkezi koordinatları, ∫ x' dA x' = x g = A ∫ dA A ∫ "0" dA = A ∫ dA ∫ y' dA 0 = =0 A y' = y g = A A ∫ dA A olur. Verilen alanın x ve y eksenlerine göre atalet momenti, 168 ∫ "0" dA = A ∫ dA A = 0 =0 A BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ I x = ∫ y 2 dA I y = ∫ x 2 dA A A y = [ y'+ dy ] x = [ x'+ dx ] I x = ∫ [ y'+ dy ]2 dA I y = ∫ [ x '+ dx ]2 dA A A I x = ∫ y' 2 dA + 2dy ∫ y' dA + dy 2 ∫ dA A A I y = ∫ x' 2 dA + 2dx ∫ x' dA + dx 2 ∫ dA A A I x = ∫ y' 2 dA + 000 + dy 2 ∫ dA A A A I y = ∫ x' 2 dA + 000 + dx 2 ∫ dA A A I x = I x ' + Ady 2 A I y = I y' + Adx 2 olarak bulunur. Aşağıdaki şekilde özet olarak verilmiştir. y y’ y’ y x’ x’ + = dy x I + x′ = 2 d A y I x ÖRNEK 5.24. Şekilde ağırlık merkezi ile birlikte verilen dikdörtgenin tabandan geçen eksene göre atalet momentinin paralel eksen teoreminden yararlanarak bulunması. y’ h/2 x G x G h/2 x’ h/4 b Yukarıda ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti I x′ = 2 Buna göre, I x = I x′ + A d 2y = bh 3 bh3 h + bh = olarak bulunur. 12 3 4 169 bh 3 olduğu bulunmuştu. 12 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ ÖRNEK 5.25. Üçgenin tepesinden geçen eksene göre atalet momentinin hesabı. y y dy x h h y z z b b bh 3 olarak 36 bulunmuştu. Üçgenin alanı A=bh/2 ve ağırlık merkezinin z-z eksenine mesafesi d=2h/3 olduğuna göre üçgenin z-z eksenine göre atalet momenti, Çözüm: Üçgenin ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti, Iz = 2 I z = I xg + A d 2 = bh 3 2 bh bh 3 = + h x 36 2 4 3 olarak bulunur. ÖRNEK 5.26. Şekilde verilen birleşik kesitin ağırlık merkezine göre atalet momentinin [Ix] ve jirasyon [atalet] yarıçapının [R] hesaplanması. yg 8 ⊗ ① 2 2 3 3 8 ⊗ 6 xg G y y ② ⊗ 2 x ③ 2 x 11 Çözüm: Şekil üç tane dikdörtgen elemana ayrılarak işlemler tablo halinde aşağıda yapılmıştır. Parça 1 2 3 A xi A xi yi A yi xg yg 16 12 22 1 1 5.5 16 12 121 9 5 1 144 60 22 ∑ Ax i = 149 = 2.98 50 ∑A ∑ Ay i = 226 = 4.52 50 ∑A ∑50 ∑149 ∑226 170 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ I x = I x1 + I x 2 + I x 3 = 8 x 2 3 2 x 6 3 11 x 2 3 + + + 16 x 4 . 48 2 + 12 x 0 . 48 2 + 22 x 3 . 52 2 12 12 12 I x = 645 . 144 mm 4 cm 4 m 4 I y = I y1 + I y 2 + I y 3 = 2 x 8 3 6 x 2 3 2 x 11 3 + + + 16 x 1 . 98 2 + 12 x 1 . 98 2 + 22 x 2 .52 2 12 12 12 I y = 583 . 59 mm 4 cm 4 m 4 R = Ix = A 645 . 144 = 3 . 59 mm 2 cm 2 m 2 50 Jirasyon yarıçapı [R] Ix = AR 2 R = Iy Ix Iz Iy = AR 2 R = Iz = AR 2 R = A A A ÖRNEK 5.27. Şekilde verilen koninin xg ağırlık hesaplanması. merkezinin koordinatının y 2 r x dx kalınlığındaki kısmın hacmi dV = π dx h y dV z h x z dx h r x r x y rx/h r x x dx h 2 x 4r 2 rx ∫ xdV ∫ x π h dx 4h 2 0 3h 0 xg = V = = = 2 h h 4 ∫ dV rx π x 3r 2 V ∫ π dx 2 0 h 3h 0 h 171 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ ÖRNEK 5.28. Kütlesi verilen çubuğun atalet momentinin hesaplanması aşağıdaki örnek üzerinde yapılmıştır [M=çubuğun toplam kütlesi] r r dm 2 L/2 M I x = ∫ r 2 dm dm = 0 L/2 I = ∫ r2 −L / 2 L/2 M M dr L I x = ∫ r 2 dm 0 M dr L L L 2 M M r 3 2 ML2 I = ∫ r 2 dr = = L L 3 −L 12 −L / 2 L/2 M M r ML dr = = L L 3 −L 12 3 dm = 2 2 2 Ağırlık merkezinden geçen eksene göre Tabandan geçen eksene göre 2 ML2 ML2 L Ib = I a + M x = + M = 3 3 2 Paralel eksen teoremi ile tabandan geçen eksene göre Paralel eksen teoremi 2 b a x=L/2 dm 2 L/2 L/2 ÖRNEK 5.29. Şekilde verilen alanın, a. Ağırlık merkezinin koordinatlarını [xg yg] b. Bu alanın x ekseni etrafında 2π π kadar dönmesiyle oluşan hacmi bulunuz. y y y 40 40 40 ① ① xg ② ② ➂ ➂ 75 75 75 yg [a] 40 x x x 40 [c] [b] 40 40 40 40 Çözüm: Şekil geometrisi bilinen şekillere [b] ayrılarak tablo halinde aşağıdaki şekilde yapılır. 172 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Parça No ➀ ➁ ➂ Toplam Ai xi yi Ai xi Ai yi 2513 3000 1500 7013 40 20 53.33 91.97 37.50 50 100520 60000 79995 240515 231121 112500 75000 418621 Ağırlık merkezinin koordinatları [xg yg] xg xg = x = yg ∑ A i x i 240515 = 34.29 = 7013 ∑ Ai PAPUS-GOLDEN TEOREMİ yg = y = ∑ A i y i 418621 = 59.69 = 7013 ∑ Ai Vx = 2π A y g = 2 π x 7013 x 59.69 = 2630179 cm 3 m 3 ÖRNEK 5.30. Şekilde verilen dairenin eksenel atalet momentinin hesaplanması. y y dy dA x y x x r r Çözüm: Daire üzerinde alınan bir dA diliminin alınır. Ix = ∫ y 2 dA dA = 2x dy r r Ix = 2 ∫ y 2 [2x dy] = 4 ∫ y 2 r 2 − y 2 dy = 0 0 πr4 4 Tam daire için Ix = Iy = πr4 4 ÖRNEK 5.31. Şekilde verilen silindirin, a. Yoğunluğunun homojen olması durumunda silindirin, 1. Kütlesini [m=?] 2. Ağırlık merkezi koordinatını [xg=?] y b. Yoğunluğunun homojen olmayıp ρ = ρ x [1 + x / L ] olması durumunda silindirin, y 1. Kütlesinin[m=?] 2. Ağırlık merkezi koordinatını [xg=?] z hesaplanması. dV z A L y x x dx x x L x 173 dx BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Silindirin hacmi V = A L dx parçacığının hacmi dV = A dx L L [a.1.] Silindirin, yoğunluğu homojen ise kütlesi m = ∫ ρ dV = ∫ ρ A dx =ρ A x 0 =ρ AL V 0 L ∫ x ρ dV ∫ x ρ A dx xg = [a.2.] Silindirin, yoğunluğu homojen ise = V ∫ ρ dV 0 L = ∫ ρ A dx V L 2 0 L [b.1.] Silindirin, yoğunluğu homojen değil ise kütlesi m = ∫ ρ dV = ∫ [ ρ x (1+ x /L )]A dx = V 0 3 ρ x AL 2 [b.2.] Silindirin, yoğunluğu homojen değil ise ağırlık merkezi koordinatı L ∫ ∫ x[ ρ x (1 + x / L)] A dx x ρ dV Silindirin kütlesi x g = V ∫ ρ dV = = 0 L ∫ [ ρ x (1 + x / L)] A dx V 9L 5 0 ÖRNEK 5.32. Verilen şeklin 1. x ve y eksenlerine göre [ 2. Ağırlık merkezinden geçen eksene göre x = x g = 5.64 y = y g = 6.55 atalet momentlerinin ve atalet yarıçapının bulunması. y y 14m 8m ] 6m ② ① 12m 12m x 8m 8m x Ix − x = Ix 1 + Ix 2 = 8 x123 6 x123 6 x12 2 bh3 bh3 + + Ad22 = + + 8 = 7200m 4 3 36 3 36 2 Iy − y = Iy 1 + Iy 2 = 12x8 3 12x 6 3 6 x12 2 bh3 bh3 + + Ad22 = + + 10 = 5720m 4 3 36 3 36 2 Çözüm 1. Polar Ip = Ix − x + Iy − y = 7200 + 5720 = 12920m4 Atalet yarıçapı R = 174 12920 = 9.89m [12 x 8 + 12 x 6 / 2] BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Ix =Ix 1 + Ix 2 == Çözüm 2. Iy =Iy 1 + Iy 2 = R= 8 x123 12 + 6 x123 + [12x8]x 0.55 2 + [12x6 x0.5 ]x1.45 2 =1544.73 cm4 36 12x8 3 12x6 3 + + [12x8]x1.64 2 + [12x6 x0.5 ]x 4.36 2 =1526.55cm 4 12 36 Ix 1544.73 = = 3.42 mm2 cm2 m2 A 132 ÖRNEK 5.33. Verilen şeklin x eksenine göre atalet momentlerinin ve atalet yarıçapının bulunması. ① r=15 x x r=15 x x ② 25cm I x − x = I x1 − I x 2 = 25cm 50 x 25 3 π x 15 4 bh3 πr 4 = 90447 c m 4 − = 2 − 12 4 12 4 Atalet yarıçapı R = Ix−x = A 90447 [50 x 25 − π x 15 2 ] = 12.90 cm ÖRNEK 5.34. a: Verilen şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarının bulunması [xg, yg] b: Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerinin bulunması [Ixg, Iyg] c: x eksenine göre atalet momentleri ve yarıçapının bulunması. y y cm 5 9.00 cm 5 ➂ cm cm ➃ r=2 1 4.67 ② cm 3 cm 1 x cm 1 cm 5 ① cm 5 cm 5 175 cm 5 3 r=2 cm 1 x BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Çözüm a: Kolaylık olması ve karışmaması için sistem parçalara ayrılarak tablo şeklinde hesap yapılmıştır. Parça A xi A xi yi A yi 1 2 3 4 25 18 15 -6.28 2.5 8 9 8 62.5 144 135 -50.24 -2.5 1.5 4.67 0.85 -62.5 27 70.05 -5.34 ∑51.72 ∑291.26 xg ∑ Axi = 291.26 = 5.63 cm xg = 51.72 ∑A yg = ∑29.21 ∑ Ayi ∑A = 29.21 = 0.56cm 51.72 y cm 5 ➂ ② cm 3 ➃ 5.63 r=2 0.56 cm cm 1 ① 1 x cm 5 cm 5 Çözüm b: Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentleri aşağıdaki şekilde tablo üzerinde hesaplanmıştır. Parça Ix 3 Ad 2 2 1 2 5x5 /12 3 6x3 /12 + + 5x5x(3.06) 2 6x3x(0.94) 3 4 6x5 /36 2 ((π π/8)-(8/9π π) 3 + - 6x5x0.5x(4.11) 2 2 (π πx2 /2)x(0.29) 4 2 = = Ixg 286.17 29.40 = = 274.22 -2.25 ∑587.51 y 9-5.63=3.37 (5+6x2/3)=9 cm 5 ➂ (3-0.56)+(5/3)=4.11 ② cm ➃ 5.63 0.56 cm r=2 cm 1 ① 3 1 cm 5 cm 5 176 x BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Parça Iy 3 Ad 2 2 1 2 5x5 /12 3 3x6 /12 + + 5x5x(3.13) 2 6x3x(2.37) 3 4 5x6 /36 4 (π πx2 /8 3 + - 6x5x0.5x(3.37) 2 2 (π πx2 /2)x(2.37) 2 = = Iyg 297.01 155.10 = = 200.35 -41.55 ∑610.91 Çözüm c: Verilen şeklin x eksenine göre atalet momentleri ve yarıçapının bulunması. y y cm 5 cm ② cm 3 1 cm ➃ r=2 cm cm 1 x 3 r=2 cm 1 cm ① 5 cm 5 cm 5 cm 5 Ix−x = Ix1 + Ix2 + Ix3 − Ix4 = πr 4 bh3 bh3 bh3 + Ad23 − + + 3 3 8 36 X-X Ix−x = 2 5 x 53 6 x 33 6 x 53 6 x 5 5 π x 24 3 + − + + + = 603.55 cm4 36 2 3 3 3 8 Iy−y = Iy1 + Iy2 + Iy3 − Iy4 = Y-Y Iy−y = 5 ➂ bh3 bh3 bh3 πr 4 + + Ad22 + Ad22 + + Ad22 3 12 36 8 5 x 53 3 x 63 5 x 63 6 x 5 2 π x 2 4 π x 22 2 + 5x5x2.52 + + [3 x 6 x 82 ] + + 9 − + 8 2 8 3 12 36 2 Iy−y = 208.33 + 1206 + 1245 − 408.2 = 2251.13 cm4 177 cm 1 x BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ ÖRNEK 5.35. a: Verilen şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarının bulunması [xg, yg] b: Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerinin bulunması [Ixg, Iyg] c: x eksenine göre atalet momentleri ve yarıçapının bulunması. y y 30cm 30cm ① 20cm 20cm r=20cm ➁ ➂ ➃ r=20 4cm cm x 16cm 4 cm 16cm Çözüm a: Kolaylık olması ve karışmaması için sistem parçalara ayrılarak tablo şeklinde hesap yapılmıştır. Parça A xi A xi yi A yi 1 2 30x24/2=360 2880 5760 30 10 10800 4800 3 -314.16 -2667.22 8.49 -2667.22 4 320 ∑845.84 8 12 8.4 9 32 10240 ∑16212.78 10 3200 ∑16132.78 480 xg ∑ Axi ∑A Ayi ∑ yg = ∑A xg = = 16212.78 = 19.17 cm 845.84 = 16132.78 = 19.07cm 1474.16 y cm 30 ① 19.17 cm 20 r=20 ➁ ➂ ➃ 19.07 cm cm x cm 4 16 Çözüm b: Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentleri aşağıdaki şekilde tablo üzerinde hesaplanmıştır. Parça Ix Ad 3 2 24x30 /36 3 24x20 /12 + + 24x30x0.5(10+0.93) 2 20x24x(19.07-10) 3 4 -(π πx20 /16) 3 16x20 /12 + + -(π πx20 /4) x (19.07-(4x20)/3π π) 2 16x20 x(19.07-10) 4 Ixg 2 1 2 2 2 = = 61007.36 54487.15 = = -66593.30 62324.77 ∑111225.98 178 x BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Parça Iy Ad 3 2 Iyg 2 1 2 30x24 /36 3 20x24 /12 + + 24x30x0.5(19.17-10) 2 20x24x(19.17-10) 3 4 (π πx20 /16) 3 20x16 /12 + + -(π πx20 /4) x (19.17-(4x20)/3π π) 2 16x20 x(32-19.17) 4 2 2 = = 41792.00 63402.67 = = -67261.43 59501.52 ∑97434.76 Çözüm c: Verilen şeklin x eksenine göre atalet momentleri ve yarıçapının bulunması. Ix−x = Ix1 + Ix2 − Ix3 + Ix4 = Ix−x = 24 x 303 24 x 30 2 24 x 203 π x 20 4 16 x 203 + 30 + − + = 417250.74 cm4 36 3 16 3 2 Iy−y = Iy1 + Iy2 − Iy3 + Iy4 = Iy−y = bh3 bh3 πr 4 bh3 + Ad22 + − + 36 3 16 3 bh3 bh3 πr 4 bh3 + − + + Ad22 12 3 16 12 30 x 243 20 x 243 π x 20 4 20 x 163 + − + + 20 x 16 x 322 = 429810.74 cm4 12 3 16 12 ÖRNEK 5.36. Taralı alanın a: O noktasına göre kutupsal atalet momentini bulunuz b: Ağırlık merkezinden geçen eksene göre [Ixg=? Iyg=?] 1m 1. Yol: 1 m yarıçaplı daire için Jo = 0.6m 0.6 m yarıçaplı daire için Jo = Jc + Ad = 2 πr 4 π14 = = 1.5708m4 2 2 π (0.6)4 + π (0.6)2 (0.3)2 = 0.3054 m4 2 0.3m Taralı alanın atalet momenti Jo = 1.5708 − 0.3054 = 1.2654m4 4 Jo = Ix + Iy = 1.2654 m 4 4 4 4 πr πr π (1) π (0.6) − − Ad2 = − − π (0.6)2 (0.3)2 = 0.5818m4 Iy = 4 4 4 4 IX = 2. YOL: π r4 π r4 π (1)4 π (0.6)4 − = − = 0.6836m4 4 4 4 4 xg = Ağırlık merkezine göre b: Ixg = Iyg = π (1)2 x 0 − π (0.6)2 x 0.3 π (1)2 − π (0.6)2 = −0.1688 yg = 0 π (1)4 π (0.6)4 − = 0.6836 m4 4 4 π (1)4 π (0.6)4 + π (1)2 (0.1688)2 − − π (0.6)2 (0.3 + 0.1688)2 = 0.5246 m4 4 4 179 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ ÖRNEK 5.37. Şekilde verilen alanın, a. Ağırlık merkezinin koordinatlarını b. Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre [ Ix=? Iy=? ] atalet momentlerinin hesaplanması y y 5 1.5 1.5 1 2.5 Çözüm: Şekil geometri özelliği bilinen basit geometrik şekillere ayrılır. 2 2.5 4 3 2 2 4 4 6 x x 7 2 2 Parça 1 2 3 4 5 6 7 Σ 2 2 2 Ai 48 16 -3.14 -3.14 -3 4 6.28 65 xi 0 0 -3.15 3.15 0 -2.67 -2 xg = Ai xi 0 0 9.89 -9.89 0 -10.68 -12.56 -23.24 ∑ A i x i −23.24 = = −0.36 65 ∑ Ai 2 2 yi 7 2 4.85 4.85 9.5 1.33 -0.85 yg = 2 2 2 Ai yi 336 32 -15.23 -15.23 -28.5 5.32 -5.33 309.03 ∑ A i yi 309.03 = = 4.75 65 ∑ Ai Parça Ai d =[xg-xi] Ix 1 48 2.25 2 16 4.75-2=[2.75] 3 -3.14 [4r/3π+4-4.75=0.1 π 4 + 3.14x0.12 = −0.91 − r 4 − 16 9π 4 -3.14 [4r/3π+4-4.75=0.1 π 4 + 3.14x0.12 = −0.91 − r 4 − 16 9π 5 -3 [1+4.5-0.75]=4.75 6 4 [4x1/3-4.75]=3.42 7 6.28 [4r/3π+4.75]=5.60 Σ 65 8x63 + 48x2.252 = 387.00 12 2 44 + 16 x2.75 2 = 142.33 12 2 4x1.53 − + 3x4.752 = −68.06 36 2 2x43 2 36 + 4x3.42 = 50.34 2 π 8 + 6.28x5.62 = 198.70 r4 − 8 9π 2 708.49 180 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ 2 Parça Ai d =[xg-xi] 1 48 0.36 2 16 0.36 2 Iy 6x8 3 + 48 x0.36 2 = 262.22 12 2 44 + 16 x0.36 2 = 23.41 12 2 3 -3.14 [r-4r/3π+[2-0.36]]2 π 4 + 3.14x2.792 = −25.32 − r 4 − 16 9π 4 -3.14 [r-4r/3π+[2-0.36]]2 π 4 + 3.14x2.792 = −25.32 − r 4 − 16 9π 1.5 x 4 3 − + 3 x0.36 2 = −2.39 48 3 4x2 2 36 + 4x2.31 = 22.23 2 5 -3 0.36 6 4 [2-0.36+[2/3]] 7 6.28 [r-0.36] Σ 65 2 π2 4 2 + 6.28 x1.64 = 23.17 8 278.00 2 ÖRNEK 5.37. Şekilde verilen alanın, [dairenin yarıçapı r=2] 1. Verilen x ve y eksenlerine göre atalet momentleri [Ix Iy] 2. Ağırlık merkezinin koordinatları [xg yg] o 3. Şeklin m-m ve n-n ekseni etrafında 180 dönmesi sonucu oluşan hacmin 4. Ağırlık merkezinden geçen eksenlerine göre atalet momentlerinin [Ix Iy] hesabı. y y n 8 8 12 0 x 4 m Çözüm: Şekil geometri özelliği bilinen basit geometrik şekillere ayrılır. 3 x 4 4 1 2 m 5 n 4 No 5 5 8 Ai 4 Verilen x ve y eksenlerine göre atalet momentleri [Ix Iy] Ix d2=[xg-xi]2 Iy = 192 12x 4 3 = 64 12 0 8x 4 3 = 170 .67 3 4 x8 3 = 682 .67 3 50.24 0 π8 4 = 804 .25 16 π8 4 = 804 .25 16 4 -6.28 0 π x 24 = −6.28 8 − 6.28x62 = −232.36 5 30 [4+5/3]=5.67 12x53 + 30x5.672 = 1006.13 36 5x123 + 30x42 = 720 36 Σ 129.96 2166.77 2038.56 1 24 0 2 32 3 4 x12 36 − 181 3 8 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Ağırlık merkezinin koordinatları [xg yg] Parça 1 2 3 4 5 Σ Ai 24 32 50.24 -6.28 30 xi 1.33 4 3.4 6 4 129.96 Ai xi -31.92 128 170.82 -37.68 120 yi 0 -2 3.4 -0.85 -5.67 y Ai yi 0 -64 170.82 5.34 -170.1 349.22 8 3 xg 4 1 yg G 2 -57.94 5 5 ∑ Aixi = 349.22 = 2.69 xg = ∑ Ai 129.96 x 4 ∑ Ai yi = −57.94 = −0.45 yg = 129.96 ∑ Ai 4 8 Vm−m = π A yg = π x129.96 x 0.45 = 183.73mm3 cm3m3 PAPUS-GOLDEN TEOREMİ Vn−n = π A x g = π x 129.96 x [12 + 2.69] = 5993.57 cm3m3 Ağırlık merkezinden geçen eksenlerine göre atalet momentleri [Ix Iy] d =[xg-xi]2 Ix Iy 2 No Ai 1 24 0.45 2 32 1.55 3 50.24 3.85 4 -6.28 0.4 5 30 5.22 4x123 + 24x0.452 = 196.86 36 12 x 43 + 24 x 4.022 = 409.18 36 8x43 + 32x1.552 = 119.55 12 r4 π 4 2 8 16 − 9 π + 50.24x3.85 = 969.47 r4 π 8 + 6.28x0.4 2 = −2.76 − − 2 8 9π 4x83 + 32x1.312 = 225.58 12 r4 π 4 2 8 16 − 9π + 50.24x0.71 = 249.78 π x 24 − + 6.28x3.312 = −75.09 8 12x5 3 + 30x5.222 = 859.12 36 5x123 + 30x1.312 = 291.48 36 2142.24 1100.93 2 2 2 2 2 Σ 129.96 y x r y O O x Alan x y I [ağırlık merkezine göre] πr 2 4 4r 3π 4r 3π 4 π Ix = Iy = r 4 − 16 9 π πr 2 2 0 πab 4 4a 3π 4r π 8 Ix = r 4 − 3π 8 9π Iy = Polar πr 4 8 Jo = πr 4 8 Jo = πr 4 4 Jo = πr 4 2 y G x 182 4b 3π Ix = I y = πr 4 4 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ ÖRNEK 5.38. Değişik metallerden oluşan şeklin kütle merkezi koordinatlarının hesaplanması. y y 3 Çap 40 ∅4 ∅4 5 40 50 30 ∅2 6 ∅2 40 30 x 20 z x 4 z 80 60 8 2 5 10 1 80 Ağırlık merkezinin koordinatları [xg yg] Parça 1 2 3 4 5 6 Σ B.ağırlık [N/cm3] mi xi mi xi yi mi yi zi mi z i 0.008 0.004 0.004 0.004 0.008 0.008 192 204,8 20,11 -10,05 4,02 1,01 30 -4 -4 -4 20 60 5760 -819,2 -80,44 40,21 80,42 60,29 -47,5 -10 -34,24 -10 30 30 -9120 -2048 -688,57 100,5 120,6 30,30 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -1920 -2048 -201,1 100,5 -40,2 -10,1 411.89 5041.28 -11605.2 ∑ mixi = 5041.28 = 12.24 xg = 411.89 ∑ mi -4118.9 ∑ mixi = −11605.2 = −28.18 yg == 411.89 ∑ mi ∑ mixi = −4118.9 = −10 411.89 ∑ mi Örnek: Verilen şeklin ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momentlerinin [Ixg, Iyg] bulunuz. zg = y y Üçgen 2x2 Üçgen 2x2 2 2 4 5 2 Yarıçap r=1 3 2 Yarıçap r=1 Üçgen 2x2 Üçgen 2x2 2 2 6 r=1 r=1 2 1 r=1 r=1 x 6 x 6 183 2 2 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ 6 x 8 x 3− xg = 6 x 8 x 4− yg = Ixg = − πx22 4x2 πx12 4x1 2x2 2 2x2 2 − 6− − 6− − − π(1)2 (1 + 1) 114.295 4 3π 2 3π 2 3 2 3 = = 3.16 36.149 πx22 πx12 2x2 2x2 2 6x8− − − − − π(1) 4 2 2 2 πx22 4x2 πx12 2x2 2x2 2 − 6 + 2 − π(1)2 (4) (1) − ( 4) − 152.529 4 3π 2 2 2 3 = = 4.219 2 2 36.149 πx2 πx1 2x2 2x2 6x8− − − − − π(1)2 4 2 2 2 6x83 4 πx22 π + 6x8x(4.219 − 4)2 − (2)4 − − 4 12 16 9 π 2 4x2 2x23 2x2 4.219 − − − (4.219 − 4)2 3π 36 2 πx14 πx12 2x23 2x2 1 πx14 − (4.219 − 1)2 − − (3.781 − 2 )2 − − πx12 (4.219 − 4)2 = 196.924 8 2 36 2 3 4 Iyg = 8x63 4 πx22 π + 6x8x(3.16 − 3)2 − (2)4 − − 4 12 16 9 π 2 2 4x2 8 4 π 3.16 − −1 − 3π 8 9π 2 2 πx12 πx14 4x1 2x23 2x2 1 2x23 2x2 1 − − − − 2.84 − 2.84 − 2 − 3.16 − 2 − (3.16 − 2)2 = 100.036 2 3π 36 2 3 36 2 3 4 5.6. ÇARPIM ATALET MOMENTİ Çarpım atalet momenti, a. Alanı A olan bir elemanın [A] [Şekil 8a] b. Bu A alanı çok küçük dA parçalarına ayrılsın [dA] c. Bu küçük dA alanının eksenlere olan uzaklıkları olan x ve y çarpılsın [xy dA] d. c’deki çarpım işlemi A alanın tüm dA parçaları için integre ederek Ixy = ∫ xy dA A bağıntısıyla bulunan atalet momentine çarpım atalet momenti denir. Bu şeklin dışındaki bir eksene göre çarpım atalet momenti [Şekil 8b] aşağıdaki bağıntılarla bulunur. y y y’ [a] x [b] x x’ x dA dA y’ G y x’ y O x A A x 184 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ I xy = ∫ xy dA = ∫ [ x'+ x ] [ y'+ y ] dA = ∫ x' y' dA + y ∫ x' dA +x ∫ y' dA + x y ∫ dA A A G ağırlık merkezine göre atalet momentinde x' = 0 y' = 0 I xy = ∫ x' y' dA + y ∫ x' dA +x ∫ y' dA + x y ∫ dA = 0I x ' y' + 0 x I x + 0 x I y + x y dA = xy dA NOT: Buna göre bir düzlemin ağırlık merkezine [xg yg] göre çarpım atalet momenti [Ix’y’=0] sıfırdır. ÖRNEK 5.39. Şeklin çarpım atalet momentinin [Ixy=?] hesabı. y y dA=[h/b]xdx h h x [1/2][h/b]x x b x dx Çözüm: Şekildeki gibi genişliği dx olan bir dilim alınır. Ixy = ∫ xydA = [ h/b ] x ∫ b [ h/b ] x 0 0 xydxdy = ∫ xdx 0 ∫ y 2 ydy = ∫ xdx 0 2 b [ h/b ] x b b 2 3 2 4 h2 b 2 = ∫ h x dx = h x = bulunur. 2 2 8 8b 0 2b [ ] ÖRNEK 5.40. I x = 1544.73 cm 4 I y = 1526.55 cm 4 ve x = 5.64 y = 6.55 ise, a. I xy = ? b. Imax=? Imin=? hesaplanması. y 14m y 8m 6m ② ① 12m 12m x 8m x 8m 2 4 4 arça dx [m] dy [m] A [m ] Ix’y’ [m ] dx.dy.A[m ] 1 1.64 0.55 96 0 86.59 2 4.36 1.45 36 0 227.59 tan 2θ = − 2I xy Ix − Iy 2I xy 2 x 314.18 −1 2θ = tan −1 = 88.34 o = tan 1544.73 − 1526.55 I x − I y Asal atalet momentleri, 185 ΣIxy [m ] 4 314.18 θ = 44.17 o BÖLÜM4 Imax,min = AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ 2 Ix + Iy 2 Ix −Iy 1544.73 +1526.55 ± 1544.73 −1526.55 + 314.18 2 = I 2 4 4 ± max = 1849.95m Imin = 1221.33 m +Ixy = 2 2 2 2 Özellik 1: Verilen sistemin [elemanın] eksenlerden herhangi biri veya her ikisi de simetrik ise yani x=0 veya y=0 ise çarpım atalet momenti sıfır [Ixy=0] olur. y y y x x x Her iki eksene göre simetrik y eksenine göre simetrik x eksenine göre simetrik Özellik 2: Verilen sistemin [elemanın] eksenlerine göre çarpım atalet momenti negatif veya pozitif olabilir. y y +Ixy x x -Ixy 186 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ 5.7. ASAL EKSEN VE ATALET MOMENTİ Bir A alanının x-y eksenlerine göre atalet momentleri [Ix, Iy, Ixy] daha önce hesaplanmıştı. Şimdi bu atalet momentlerini [Ix, Iy, Ixy] kullanarak x’-y’ eksenine göre atalet momentinin hesaplanması düşünülmektedir. Bunun için aşağıdaki sistem çizilir. y y’ A dA x’ x’ y’ y sinθ x cosθ y θ x O x x-y eksenlerine göre x’-y’ eksenlerine göre x eksenine göre atalet momenti I x = ∫ y dA x’ eksenine göre atalet momenti y eksenine göre atalet momenti I y = ∫ x 2 dA y’ eksenine göre atalet momenti Çarpım atalet momenti I xy = ∫ xy dA Çarpım atalet momenti Polar atalet momenti J = ∫ ρ 2 dA Polar atalet momenti 2 ? ? ? ? x-y ile x’-y’ eksenleri arasındaki açı θ kadar olduğuna göre dA parçacığını 1. x-y ile x’-y’ eksenleri arasındaki açı θ olsun 2. dA parçacığının y’ eksenine olan dik uzaklığı x’=x cosθ + y sinθ 3. dA parçacığının x’ eksenine olan dik uzaklığı y’=y cosθ - x sinθ 2 4. x’ ekseni için Ix′ = ∫ x′ dA bağıntısında değerler yerine yazılırsa Ix ′ = ∫ [ y cos θ − x sin θ ]2 dA = cos2 θ ∫ y2dA − 2 sin θ cos θ ∫ xy dA + sin2 θ ∫ x 2dA Ix ′ = Ix cos2 θ − 2Ixy sin θ cos θ + Iy sin2 θ 5. y’ ekseni için Iy′ = ∫ y′ 2 dA bağıntısında değerler yerine yazılırsa Iy′ = Ix sin2 θ − 2Ixy sin θ cos θ + Iy cos2 θ 6. Çarpım atalet momenti için Ix ' y' = ∫ x' y' dA bağıntısında yerine yazılırsa Ix ' y' = Ix cos θ sin θ + Ixy [cos2 θ − sin2 θ ] − Iy cos θ sin θ olur. 187 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ [I x + I y ] = [I x ' + I y' ] şartından dolayı 7. x-y ve x’-y’ eksenlerine göre atalet momentleri Ix' = Iy' = Ix + Iy 2 + Ix − Iy 2 cos2 θ−Ixy sin2 θ Ix + Iy Ix − Iy − cos2 θ+ Ixy sin2 θ 2 2 Ix'y' = Ix − Iy 2 [sin2θ=2sinθcosθ cos2θ=cos θ- sin θ=12 2 sin2 θ+ Ixy cos2 θ 2sin θ=2cos2θ-1] 2 Ix' = Ix + Iy 2 + 2 Ix − Iy Ix + Iy Ix −Iy cos2 θ−Ixy sin2 θ Ix' − cos2 θ−Ixy sin2 θ = 2 2 2 2 8. Ix − Iy 2 Ix −Iy sin2 θ+ Ixy cos2 θ Ix'y' 2 = 2 2 9. 8. maddedeki değerleri taraf tarafa toplanırsa [θ açısından bağımsız değerler elde edilmiş olur] Ix'y' = sin2 θ+ Ixy cos2 θ 2 2 Ix + Iy Ix − Iy 2 2 I x ' − + I x ' y' = + I xy 2 2 2 2 Ix + Iy Ix − Iy 2 2 I x ' − + I x ' y' = + I xy 2 2 [sin θ+ cos θ=1] 2 2 ⇒⇒ [I x ' − Iort ]2 + I2x ' y' = R 2 x 2 + y2 = R 2 bu bağıntı orjini “O” Iort ve çapı R olan bir dairenin denklemidir. Bu daireyi elde etmek için verilen sistemin ağırlık merkezine göre Ix ve Iy atalet momentleri ile çarpım atalet momentinin [Ixy] bilinmesi durumunda aşağıdaki adımlar izlenerek elde edilir. a. Yatay ekseni Ix- Iy ve düşey ekseni Ixy olan eksen sistemi çizilir [Şekil 7a]. b. Koordinatları Ix ve Ixy olan P[ Ix , Ixy] noktası işaretlenir [Şekil 7a]. c. Koordinatları Iy ve -Ixy olan R[ Iy , -Ixy] noktası işaretlenir [Şekil 7a]. d. P ve R noktaları birleştirilerek yatay ekseni [Ix] kestiği “O” noktası bulunur. “O” noktası merkez olmak üzere Ixy= OP=OR yarıçaplı daire çizilir [Şekil 7b]. Bu daireye bulan kişinin adıyla MOHR [Alman-Otto Mohr 1835-1918] dairesi denir e. Çizilen dairenin yatay ekseni [Ix] kestiği, A noktasına maksimum asal atalet momenti [Imax], B noktasına minimum asal atalet momenti [Imin] denir. 2 Ix − I y 2 f. Bu Mohr dairesinin yarıçapı, R = + I xy 2 188 olarak da bulunur. BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ g. “O” noktasının yeri Iort = Ix + Iy 2 h. θ açısını bulmak için I x 'y' = tan 2θ = − 2I xy Ix − Iy Ix − Iy sin 2θ + I xy cos 2θ bağıntısı sıfıra eşitlenirse, 2 o olarak bulunur. Bu bağıntı birbirinden 180 farklı 2θ değerini tanımlar ve iki θ değerleri birbirinden 90 farklı olduğunu gösterir. Birinci değer Imax ve ikinci değer o Imin olup “0” noktasından geçen ve asal eksen denen düşey eksene göre asal atalet momentlerini tanımlar. Buna göre, Imax=Iort+R Imin=Iort –R olur. Burada çarpım atalet momenti sıfırdır. ı. Bir alanın asal atalet momentinin maksimum ve minimum değerleri hesap yolu ile, Imax,min = 2 Ix + Iy Ix − Iy 2 ± + I xy 2 2 bağıntısıyla bulunur. Ixy Ix Ix [a] A [b] A P[Ix,Ixy] P[Ix,Ixy] R Ix’y’ Ix-y -Ixy Imin A Ixy 2θ θ O B Ix − I y -Ixy 2 Iy Iy R[Iy,Ixy] R[Iy,Ixy] Imax NOT: Mohr dairesi asal atalet momentlerinin çizim yoluyla bulunmasını sağlar. ÖRNEK 5.41. Şekildeki kesitin ağırlık merkezi x g = 2.98 m y g = 4.52 m olduğuna göre, [ ] a. Çarpım atalet momentini [Ixy] b. Asal atalet momentini hesap yöntemiyle c. Çizim yöntemiyle [Mohr dairesinde] yapılması. yg 8 2 ⊗ ① 2 3 3 8 ⊗ 6 xg G y y ② 2 x 11 189 ⊗ ③ 2 x BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Çözüm a: Parça dx [m] dy [m] 1 2 3 -1.98 -1.98 2.52 4.48 0.48 -3.52 Çözüm b: Imax,min = tan2 θ=− 2Ixy Ix − Iy Ix + Iy 2 Çarpım atalet momenti, Ixy = Ixy+dxdyA A [m2] dx.dy.A [m4] Ix’y’ [m4] 16 12 22 0 0 0 -141.93 -11.40 -195.15 2 2( −348.48 ) 645.14 − 583.59 =11.323 ⇒ 2 θ= 84 o .95 ⇒ θ= 42o .48 Imax = 645.14 + 583.59 + 2 645.14 − 583.59 2 + 348.482 = 964.201cm4 2 Imin = 645.14 + 583.59 − 2 645.14 − 583.59 2 + 348.482 = 264.529 cm4 2 Çözüm c: -348.48 Ix − Iy 2 ± + Ixy 2 ; tan2 θ= − Ixy Ixy=-348.48 cm 4 Iy=583.59 cm Iy=583.59cm4 4 Ixy=348.48cm4 R 4 Imin=264.53cm O A Imax − I2θ min θ=84o.95 2 B Ix Iy Ixy=-348.48 cm4 IX=645.14 cm 4 Ixy=-348.48 cm 4 IX=645.14 cm Imax=964.20cm4 190 ΣIxy [m4] 4 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Ixy Iy=583.59cm Ixy=-348.48 cm 4 Iy=583.59 cm 4 4 Ixy=348.48cm4 R 4 Imin=264.53cm O A Imax − Imin 2θ θ=84o.95 2 B Ix Iy Ixy=-348.48 cm4 IX=645.14 cm 4 Ixy=-348.48 cm 4 IX=645.14 cm Imax=964.20cm4 191 4 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Örnek: Şekilde verilen sistemin, a. Ağırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz. b. Ağırlık merkezinin geçen eksenlere göre atalet momentini bulunuz. c. a-b eksenine göre atalet momentini bulunuz. y a y 2 1 1 3 2 1 1 3 3.5 3.5 5 2 9 9 10 10 3 9 9 1 3.5 3.5 4 4 4 2 1.5 5 3 2 3 2 1 5 b 2 1.5 1 2 2 x x Ağırlık merkezinin koordinatları (x-y eksenlerine göre) Ai 12.5x10 -14 -14 -15 -13.5 -13.5 55 Parça TÜM 1 2 3 4 5 Σ xi 12.5/2+2=8.25 5 5 7.75 10.5 12.5 xg = Ağırlık merkezinin koordinatları ∑ A i xi ∑ Ai Ai xi 1031.25 -70 -70 -116.25 -141.75 -168.75 464.50 = yi 5+2=7 4.75 9.25 7 5 9 464.5 = 8.45 55 yg = Ai yi 875 -66.50 -129.50 -105 -67.5 -121.50 385 ∑ A i yi ∑ Ai = 385 = 7.00 55 Ağirlik merkezinden geçen eksene göre atalet momenti x-x (yg=7.00 için geçerli) y-y (xg=8.45 için geçerli) 1 2 3 4 5 - 2 10x12.5x0 =000 2 -3.5x4x2.25 =-70.875 -3.5x4x2.252=-70.875 -1.5x10x02=0.000 -9x3x0.5x22=-54.00 -9x3x0.5x22=-54.00 -249.75 516.84 ∑ ∑ Axd hb3 /12 2 12.5 ⋅10 3 /12 = 1041.67 - 4 ⋅3.5 3 /12 = −14.29 - 4 ⋅3.5 3 /12 = −14.29 - 1.5 ⋅10 3 /12 = −125 - 3 ⋅9 3 /36 = −60.75 - 3 ⋅9 3 /36 = −60.75 766.59 TÜM Boşluklar “ “ Axd bh3 /12 Parça 10 ⋅12.5 3 /12 = 1627.604 - 3.5 ⋅ 4 3 /12 = −18.67 - 3.5 ⋅ 4 3 /12 = −18.67 - 10 ⋅1.5 3 /12 = −2.81 - 9 ⋅3 3 /36 = −6.75 - 9 ⋅3 3 /36 = −6.75 1573.957 Parça TÜM - Boşluklar “ “ 1 2 3 4 5 ∑ ∑ Axd /12 12.5 ⋅10 3 /12 = 1041.67 - 4 ⋅3.5 3 /12 = −14.29 2 10x12.5x6 =4500 -613.788 b-b hb3 2 10x12.5x0.22=5.00 -3.5x4x3.452=-166.635 -3.5x4x3.452=-166.635 -1.5x10x0.72=-7.35 -9x3x0.5x2.052=-56.734 -9x3x0.5x4.052=-221.434 960.169 a ve b eksenlerine göre atalet momenti a-a bh3 2 Axd /12 10 ⋅12.5 3 /12 = 1627.60 2 2 10x12.5x7.25 =6570.31 2 - 3.5 ⋅ 4 3 /12 = −18.67 -3.5x4x10.52=-1543.50 2 -3.5x4x8.25 =-952.875 - 4 ⋅3.5 3 /12 = −14.29 -3.5x4x3.75 =-196.875 - 3.5 ⋅ 4 3 /12 = −18.67 -3.5x4x10.52=-1543.50 - 1.5 ⋅10 3 /12 = −125 -1.5x10x62=-540 - 10 ⋅1.5 3 /12 = −2.81 -1.5x10x7.752=-900.94 - 3 ⋅9 3 /36 = −60.75 -9x3x0.5x82=-864 - 9 ⋅3 3 /36 = −6.75 -9x3x0.5x52=-337.5 -9x3x0.5x4 =-216 - 9 ⋅3 3 /36 = −6.75 -9x3x0.5x32=-121.5 1730.25 1573.95 - 3 ⋅9 3 /36 = −60.75 2 766.59 2496.84 2123.37 3697.32 192 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Örnek: Verilen şekillerin ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerini bulunuz. 58 16 30 30 10 2 25 40 40 10 30 3 30 25 25 40 KÜÇÜK Ai 1 Aixi yi Aiyi 65 726700 43 480740 1 130x86=11180 15 -11250 2 -25x30= -750 33.33 -4166,67 3 -10x25x0.5=- 125 25x30=-750 117.5 -88125 15 -11250 10x25x0.5=-125 121.67 -15208,33 33.33 -4166,67 4 5 2 -25x30= -750 12.5 -9375 3 -10x25x0.5=- 125 8.33 -1041,67 4 5 6 65x16=-1040 97.5 -101400 8390 xg = 78 511550 -81120 Ai 3 3 Aixi yi 65 726700 43 480740 12.5 -9375 15 -11250 8.33 -1041,67 25x30=-750 117.5 -88125 10x25x0.5=-125 121.67 -15208,33 Aiyi 33.33 -4166,67 15 -11250 33.33 -4166,67 65x16=-1040 97.5 -101400 78 368786,7 7 42x65=2730(ek) 32.5 88725 107 292110 xg = -81120 600275 660896.7 = 53.98 y g = = 59.43 11120 11120 Ağırlık merkezinden geçen eksene göre I KÜÇÜK 2 bhd xi 6 600275 660896.7 = 53.98 y g = = 59.43 11120 11120 bh /12 25 BÜYÜK xi 130x86=11180 40 Ağırlık merkezinden geçen eksene göre I 3 I bh /12 2 BÜYÜK 2 bhd I 3 2 3 2 1 13x8.6 /12=689.06 13x8.6x0.096 =1.03 690,09 13x8.6 /12=689.06 13x8.6x1.643 =301.80 990,86 2 2x2.5x33/12=11.25 2x2.5x3x2.8962=125.80 -137,05 2x2.5x33/12=11.25 2x2.5x3x4.4432=296.10 -307,35 3 2 2x2.5x1 /36=0.14 2x2.5x1x.5x2.61 =17.03 -17,17 3 2x2.5x13/36=0.14 2x2.5x1x.5x1.062=2.809 -2,949 3 2 3 2 4 6.5x1.6 /12=2.22 6.5x1.6x3.404 =120.51 -122,73 6.5x1.6 /12=2.22 6.5x1.6x1.857 =35.86 -38,08 ∑I427,361 6.5x4.2 /12=40.131 6.5x4.2x4.757 =617.77 657,90 ∑I 193 1286,16 BÖLÜM4 AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ Örnek: Verilen şekillerin mukavemet ve atalet momentlerinin hesaplanması. 350 3.nolu ek 2.nolu ek 1.nolu ek 150x150x15 15 1100 1124 1100 1124 150x150x15 15 150x150x15 12 150x150x15 350 12 1.nolu ek 2.nolu ek 3.nolu ek 350 Weksiz = A i ⋅ x i =15 ⋅ 550 ⋅ ( 550 / 2 )⋅ 2adet + 12 ⋅ 350 ⋅ 556 ⋅ 2adet + 15 ⋅150 ⋅ ( 550 − 75 ) ⋅ 4 adet + 15 ⋅135 ⋅( 550 − 7.5 ) ⋅ 4adet =17877150mm3 W1. ek = A i ⋅ x i =15 ⋅ 550 ⋅ ( 550 / 2 ) ⋅ 2adet + 12 ⋅ 350 ⋅ 556 ⋅ 2adet + 15 ⋅150 ⋅ ( 550 − 75 ) ⋅ 4 adet + 15 ⋅135 ⋅( 550 − 7.5 ) ⋅ 4adet + 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 6 ) ⋅ 2adet = 22648350mm3 Mukavemet momenti (x-x) W2. ek = A i ⋅ x i =15 ⋅ 550 ⋅( 550 / 2 ) ⋅ 2adet + 12 ⋅ 350 ⋅ 556 ⋅ 2adet + 15 ⋅150 ⋅ ( 550 − 75 ) ⋅ 4 adet + 15 ⋅135 ⋅( 550 − 7.5 ) ⋅ 4adet + 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 6 ) ⋅ 2adet + 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 12 + 6 )⋅ 2adet = 27520350mm3 W3. ek = A i ⋅ x i =15 ⋅ 550 ⋅ ( 550 / 2 )⋅ 2adet + 12 ⋅ 350 ⋅ 556 ⋅ 2adet + 15 ⋅150 ⋅ ( 550 − 75 ) ⋅ 4 adet + 15 ⋅135 ⋅( 550 − 7.5 ) ⋅ 4adet + 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 6 ) ⋅ 2a det + 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 12 + 6 )⋅ 2adet + 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 12 + 12 + 6 ) ⋅ 2adet = 32493150mm3 Ieksiz = Atalet momenti (x-x) 350 ⋅1124 3 135 ⋅10703 15 ⋅800 3 − 2adet − 2adet =1.2571010 mm 4 12 12 12 350 ⋅123 I1. ek =Ieksiz + 2adet + 350 ⋅12 ⋅568 2 =1.5281010 mm 4 12 350 ⋅123 I2. ek =I1. ek + 2adet + 350 ⋅12 ⋅580 2 =1.81061010 mm 4 12 350 ⋅123 I3. ek =I2. ek + 2adet + 350 ⋅12 ⋅5922 = 2.1051010 mm 4 12 194