DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER . ÜNİTE 2. ÜNİTE 2
Transkript
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER . ÜNİTE 2. ÜNİTE 2
. ÜNİTE DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER 1. Kazanım : Gerçek sayılar kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir. 2. Kazanım : Gerçek sayılar kümesinde aralık kavramını açıklar. Açık, kapalı ve yarı açık aralık kavramları ve bunların gösterimleri incelenir. 3. Kazanım : Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur. 2. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sayıların Sınıflandırılması Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollerdir. Onluk sayma sisteminde 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamları kullanılır. Sayı: Bir çokluğu ifade edecek şekilde, rakamların tek başına ya da birlikte kullanılmasıyla oluşturulan ifadelerdir. 1 1 , – , v2 , π , e, 3 5 ifadeleri birer sayıyı gösterir. 2 , –5 , 19 , 0 , 2 3 Sayma Sayıları Kümesi (N+ ) N+ = S = {1, 2, 3, ..... } Doğal Sayılar Kümesi (N ) N = {0, 1, 2, 3, ..... } Tam Sayılar Kümesi (Z ) Z – = {..., –3, –2, –1} negatif tam sayılar kümesi, Z + = {1, 2, 3, ... } pozitif tam sayılar kümesidir. Z = Z – ∪ {0 } ∪ Z + = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } Rasyonel Sayılar Kümesi (Q ) a Q = { : a ∈ Z, b ∈ Z ve b ≠ 0 } b İrrasyonel Sayılar Kümesi (Q′) Rasyonel olmayan sayılar kümesidir. v2 , v3 , 3 5 , π , e , ..... gibi Reel (Gerçel) Sayılar Kümesi (R) Rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların birleşimine reel (gerçel) sayılar kümesi denir. ® R = Q ∪ Q′ ® N+ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ÖRNEK 1 [– 4, 5] aralığındaki; a) Sayma sayıları b) Doğal sayıları c) Tam sayıları ® Q′ ⊂ R ÖRNEK 2 Aşağıdaki sayılardan hangileri rasyonel sayıdır? a) 3 e) – 1 3 b) – 4 – f) 2, 5 c) 0 d) 0,4 g) π h) v2 Çözüm d) Pozitif tam sayıları e) Negatif tam sayıları f) Pozitif olmayan tam sayıları g) Negatif olmayan tam sayıları kümelerini bulunuz. Çözüm ÖRNEK 3 Aşağıdaki sayılardan hangileri reel sayıdır? a) 3 d) c–5 Çözüm 50 b) v2 e) 3 –6 c) 3 4 f) 4 –7 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler DOĞAL SAYILARDA İŞLEMLER Sayı ekseni üzerinde, karesi 2 ye eşit olan sayıya Sayıların Çözümlenmesi karşılık gelen bir nokta bulunduğunu ve bunun a, b, c, d birer rakam olmak üzere, rasyonel sayı olmadığını gösterelim. 0 B (abc) = 100.a + 10.b + c 1 (abcd) = 1000.a + 100.b + 10.c + d dir. a b c = a.102 + b.10 + c O –1 (ab) = 10.a + b A C 1 1 v2 100 : Birler basama¤› 2 101 : Onlar basama¤› Dik kenarları 1 birim uzunlukta ve bir dik kenarı, 102 : Yüzler basama¤› sayı ekseni üzerinde bulunan OAB dik üçgeninde, |OB|2 = |OA|2 + |AB|2 = 12 + 12 = 2 dir. ÖRNEK 4 O merkezli, |OB| yarıçaplı çemberin sayı eksenini kestiği nokta C olsun. ab ve ba iki basamaklı sayılardır. |OB| = |OC| olduğundan, C noktası, karesi 2 ye eşit ab + ba = 66 ise a + b kaçtır? olan sayıya karşılık gelen noktadır. Çözüm lim. |OB| = |OC| ye karşılık gelen sayı rasyonel p biçiminde yazabilirdik (p ve olsaydı, bu sayıyı q q aralarında asal). Bu durumda, f p q 2 p2 p =2 ⇒ q2 = 2 ⇒ p2 = 2q2 (I) olurdu. ESEN YAYINLARI Bu sayının, rasyonel sayı olmadığını göstere- ÖRNEK 5 Rakamları toplamının 3 katına eşit olan iki basamaklı sayı kaçtır? 2 2 2q çift sayı olacağından, p de çift sayı olur. Çözüm 2 p çift sayı ise p çift sayıdır. O halde, en az bir p1 ∈ Z+ için, p = 2p1 dir. Bunu (I) eşitliğinde yerine yazalım: 2 2 (2p1)2 = 2q2 ⇒ 4p 1 = 2q2 ⇒ 2p 1 = q2 olur. 2 2p 1 çift sayı olduğundan, q2 de çift sayı olur. q2 çift sayı ise, q çift sayıdır. + O halde, en az bir q1 ∈ Z için, q = 2q1 dir. p = 2p1 ve q = 2q1 ⇒ p ile q nun ortak böleni 2 dir. ⇒ p ile q aralarında asal değildir. Oysa, p ile q aralarında asal olarak seçilmişti. ÖRNEK 6 abc ve cba üç basamaklı sayılardır. abc – cba = 396 olduğuna göre, a – c kaçtır? Çözüm Dolayısıyla, varılan sonuç bir çelişkidir. Bu durumda, f p q 2 p = 2 yazılamaz. Yani karesi 2 olan sayı, rasyonel sayı değildir. 51 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler Doğal Sayılarda Toplama ve Çarpma İşleminin Özellikleri x ÖRNEK 8 Toplama işlemine göre sadeleşme özelliği: abc6 abc a=b⇔a+c=b+c x Çarpma işlemine göre sadeleştirme özelliği: 2004 a = b ⇔ a.c = b.c, (c ≠ 0) x x Toplama İşleminin değişme özelliği: Yukarıda verilen çıkarma işlemine göre, abc üç basa- a+b=b+a maklı sayısı kaçtır? Toplama işleminin birleşme özelliği: Çözüm a + (b + c) = (a + b) + c x Toplama işleminin birim elemanı: a+0=0+a=a x Çarpma işleminin birim elemanı: ESEN YAYINLARI a.1 = 1.a = a x Çarpma işleminin değişme özelliği: a.b = b.a x Çarpma işleminin birleşme özelliği: a.(b.c) = (a.b).c x Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamları kullanılarak yazılan, rakamla- dağılma özelliği: a.(b + c) = ab + ac x ÖRNEK 9 rı farklı, altı basamaklı ABCDEF sayısında, Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan A+B=C+D=E+F dağılma özelliği: (b + c).a = ba + ca olduğuna göre, bu koşulları sağlayan en küçük ÖRNEK 7 ABCDEF sayısının yüzler basamağındaki rakam A, B, C, 50 şer basamaklı sayılar ve kaçtır? A = 22.....2 , B = 66.....6 , C = 88.....8 ise Çözüm B.C çarpımının A cinsinden değeri nedir? Çözüm R ve R x R nin Geometrik Temsili Bir çizgiden oluşan ve her noktası bir gerçek sayıya karşılık gelen en temel koordinat sisteminin sayı doğrusu olduğunu biliyoruz. R nin geometrik temsili bir sayı doğrusudur. –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4… R x R kartezyen çarpımındaki her sıralı ikilinin Öklid düzlemindeki bir nokta ile birebir eşlenmesiyle oluşturulan geometrik yapıya kartezyen koordinat sistemi denir. Koordinat eksenleri x ve y eksenleri olup bunların kesiştiği nokta başlangıç noktasıdır. y ordinatlar ekseni b 0 52 A(a, b) a x apsisler ekseni II. bölge x<0 y>0 III. bölge x<0 y<0 y 0 I. bölge x>0 y>0 x IV. bölge x>0 y<0 ALIŞTIRMALAR - 1. 6. abc üç basamaklı, ab iki basamaklı sayılardır. abc – ab = 113 ise a + b + c toplamı kaçtır? a, b, c, d birer rakam olmak üzere, 0, a + 0, bb + 0, ccc = 1,928 ise a + b + c kaçtır? 7. 2. 1 Basamaklardaki rakamların sayı değerlerinin a = 2b ve b = c + 2 koşullarını sağlayan kaç farklı üç basamaklı abc sayısı yazılabilir? çarpımı 36 olan dört basamaklı en küçük doğal sayının onlar basamağındaki rakam kaçtır? 8. abc cba xy5 Üç basamaklı ab3 sayısında a ile 3 ün yerleri değiştirildiğinde sayı 297 azalıyorsa a kaçtır? 4. İki basamaklı ab sayısı rakamlarının sayısal Yukarıdaki çıkarma işleminde abc ve cba üç ESEN YAYINLARI 3. basamaklı sayılardır. Buna göre, x + y toplamı kaçtır? 9. değerlerinin toplamının x katı; iki basamaklı ba sayısı ise rakamlarının sayısal değerlerinin toplamının x – 1 katına eşit ise x kaçtır? x y y z x z m n 27 ve m < n ise y nin en küçük tam sayı değeri nedir? 5. Her biri en az üç basamaklı 4 sayının onlar basamağı ile birler basamağı 3 arttırılır, yüzler ba- 10. Rakamları farklı iki basamaklı 4 sayının toplamı samağı 2 azaltılırsa bu dört sayının toplamı ne 314 ise bu sayıların en küçük olanı en az kaçtır? kadar azalır? 53 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere, a x + b = 0 biçiminde ifade edilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem, bu denklemi sağlayan x değerine de denklemin kökü denir. a x + b = 0 denkleminde; ® a ≠ 0 iken a x + b = 0 ⇒ x = – b b olduğundan çözüm kümesi; Ç = ) – 3 dır. a a ® a = 0 ve b = 0 iken çözüm kümesi; Ç = R dir. ( R = (– ∞, ∞ ) ) ® a = 0 ve b ≠ 0 iken çözüm kümesi; Ç = Ø dir. ÖRNEK 10 ÖRNEK 13 2x – 5 = 7 (a + 1) x – x + a – 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. denkleminin çözüm kümesi { 2 } olduğuna göre, a reel Çözüm sayısı kaçtır? Çözüm ÖRNEK 11 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm ESEN YAYINLARI 2(x – 1) – (x + 1) = 5 ÖRNEK 14 ÖRNEK 12 x – 2 2x – 1 – =2 2 3 olduğuna göre, x kaçtır? Çözüm 54 5x – (3x + 1) = 2x + 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler ÖRNEK 15 ÖRNEK 18 x+2 2 – = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. x x 2(x + 1) – x + 1 = x + 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm Çözüm P(x).Q (x) = 0 ⇒ P(x) = 0 ∨ Q (x) = 0 dır. P (x) Q (x) = 0 & P(x) = 0 ∧ Q (x) ≠ 0 dır. ÖRNEK 16 ÖRNEK 19 (m + 1) x + n – 2 = 0 x .(x – 2) = x denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm ESEN YAYINLARI denkleminin çözüm kümesi, Ç = R ise (m, n) nedir? Çözüm ÖRNEK 20 2 x2 ÖRNEK 17 a.(x – 2) = 3 x – a + 1 –1 – 1 2 + =0 x –1 x+1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm denkleminde hangi a değeri için x bulunamaz? Çözüm 55 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a, b, c ∈ R ve a ≠ 0, b ≠ 0 olmak üzere, a x + by + c = 0 biçiminde ifade edilen denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir. Denklemi sağlayan (x, y) ikililerinin kümesine denklemin çözüm kümesi denir. ax + by + c = 0 dx + ey + f = 0 4 denklem sisteminin çözümü demek, geometrik olarak bu doğruların birbirine göre durumunu incelemek demektir. ® a b c = = ise doğrular çakışıktır. Sistemin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır. d e f ® a b c = ≠ ise doğrular paraleldir. Sistemin çözüm kümesi boş kümedir. d e f ® a b ≠ ise doğrular kesişir. Sistemin çözüm kümesi bir elemanlıdır. d e ∀ x , y ∈ R için a x + by = 0 eşitliği sağlanıyorsa, a = 0 ve b = 0 olmalıdır. ÖRNEK 21 2x – y = 2 ve x + 2y = 1 denklem sisteminin çözüm kümesi nedir? Çözüm: 56 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler ÖRNEK 22 2x – y = 2 ve 2y – 4x = 8 denklem sisteminin çözüm kümesini bulup analitik düzlemde yorumlayınız. Çözüm: ÖRNEK 23 x – 3y = 6 ve 6y – 2x = –12 denklem sisteminin çözüm kümesini bulup analitik düzlemde yorumlayınız. Çözüm: 57 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler ÖRNEK 24 (a – 1)x + 3y = 2 ÖRNEK 27 2 1 + =2 x y ve 2x + (b + 1)y = 1 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı ve 1 2 – =3 x y olduğuna göre, x kaçtır? ise a + b kaçtır? Çözüm Çözüm ÖRNEK 28 a.b = 6 , b.c = 3 ve a.c = 2 ÖRNEK 25 olduğuna göre, a.b.c nin pozitif değeri kaçtır? 3x – 2y = 5 ve kx + 4y = 2 Çözüm ri için boş kümedir? Çözüm ESEN YAYINLARI denklem sisteminin çözüm kümesi k nın hangi değe- ÖRNEK 29 ÖRNEK 26 x – y + 1 = 0 , x + y + 5 = 0 ve ax + y – 3 = 0 1 1 1 1 1 1 + = 3, + = 5 ve + =7 a b a c b c sisteminin çözüm kümesi bir elemanlı ise a kaçtır? denklem sistemini sağlayan a kaçtır? Çözüm Çözüm 58 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler ÖRNEK 30 x x 2 + y2 = 0 ⇒ x = 0 ve y = 0 –x + 3y – 6z = 6 x ∀x, y ∈ R için ax + by = 0 ⇒ a = 0 ve b = 0 2x + 6y – 3z = 12 olduğuna göre, x + y + z kaçtır? Çözüm ÖRNEK 32 (a + 2)2 + (a – b + 4)2 = 0 olduğuna göre, a.b kaçtır? Çözüm ÖRNEK 31 ÖRNEK 33 ( 2x + 1 ) br Yukarıdaki dikdörtgen şeklindeki bahçenin kısa kena- ESEN YAYINLARI ∀x, y ∈ R için, (a – 1). x + (a + b + 3).y = 0 ( x + 2 ) br eşitliği sağlandığına göre, b kaçtır? Çözüm rının uzunluğunun uzun kenarının uzunluğuna oranı 2 tür ( x ∈ Z ). Buna göre, 3 a. Bahçenin alanı kaç br2 dir? b. Bahçeye farklı ürünler ekmek için en büyük alanlı ÖRNEK 34 karesel bölgelere ayırmak isteyen çiftçi bahçeyi en az sayıda kaç karesel bölgeye ayırabilir? Çözüm ∀x , y ∈ R için a (x + y) + b (x – y) + 4y = 0 eşitliği sağlanıyorsa a kaçtır? Çözüm 59 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler ÖRNEK 35 ÖRNEK 37 1 2 =4 + x y+3 a ve b tam sayılar olmak üzere, 1 1 + =1 a+b–4 a–b+4 3 y +1 + =7 x y+3 ise a.b çarpımı kaçtır? Çözüm denklem sistemini sağlayan x değeri kaçtır? ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 38 ÖRNEK 36 + a a b c 10 b c a+ 1 =3 b b+ 1 =2 a olduğuna göre, 4 6 Çözüm Yukarıdaki toplama tablosunda verilenlere göre a kaçtır? Çözüm 60 a kaçtır? b ALIŞTIRMALAR - 1. 4. Aşağıdaki denklemleri sağlayan x değerlerini 2 Sol sütundaki denklemlerin çözüm kümelerini sağ sütunda bulup eşleştiriniz. bulunuz. a. 2x – 3 + x = 5x – 1 + 4 a 1 x + 4 = 3x + 4 – 2x b. c. d. x x 1 = + 2 3 6 b x x 13 +1 = + 5 15 3 c 1 1 +x=5+ x–5 x–5 5 3x – 1 = (2x – 3) 3 d x – 2 1+ x = 5 2 2 1 + =0 x –1 x 12 2 R 3 ∅ 4 1 3 e. 6 – 2 ( 2 – x ) = 3x – ( 2 – x ) f. 2. 0, 1 + 0, 3 = 0, 02 x Aşağıdaki verilen ifadelerde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz. ESEN YAYINLARI 5. 3x – 2 x – a – =1 5 2 denkleminin kökü 9 ise a reel sayısı kaçtır? 6. (a – 1)x 3 + (b + 2)x 2 + (a – b) x + 3 = 0 ifadesi birinci dereceden bir bilinmeyenli bir a. a x + b = c x + d denkleminde a = c ve denklem ise x nedir? b = d ise denklemin çözüm kümesi ........ dir. b . a x + b = c x + d denkleminde a = c ve b ≠ d ise denklemin çözüm kümesi ........ dir. 7. 3. (a – 3)x + 3b – 4 = (b – 1) x + a + 3 eşitliği ∀ x ∈ R için sağlanıyor ise Aşağıdaki denklem sistemlerinin çözüm kümele- a + b kaçtır? rini bulup, analitik düzlemde yorumlayınız. a. x + y = 1 , 2 x – 3y = 12 b. x – 3y = 2 , 9y – 3x = –6 c. 2x – 3 y = 2 , 6 y – 4 x = 5 8. 3x – 2y + 3 y–2 =0 olduğuna göre, x kaç olamaz? 61 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler REEL SAYILARDA EŞİTSİZLİK Reel sayı doğrusu üzerinde herhangi bir sayı, solunda bulunan sayıdan büyük, sağında bulunan sayıdan küçüktür. d –3 b –2 a –1 0 c 2 1 3 Buna göre; a, b den büyüktür ve a > b ile gösterilir. d, c den küçüktür ve d < c ile gösterilir. Şekle göre, d < b < 0 < a < c dir. x ve y reel sayılar olmak üzere, x ≠ y ise x ile y arasında bir eşitsizlik vardır. Bu eşitsizlik x < y veya x > y dir. REEL SAYI DOĞRUSUNDA ARALIKLAR x a < b ve b < c ⇒ a < c a ve b reel sayılar ve a < b olsun. x a<b ⇒ a+c<b+c a–c<b–c Kapalı Aralık a b x a < b ⇔ a.c < b.c , R a<b⇔ [ a, b ] = { x : a ≤ x ≤ b , x ∈ R } a b < c c , a < b ⇔ a.c > b.c , Açık Aralık a<b⇔ a b R a b > c c , ( c > 0 ise ) ( c > 0 ise ) ( c < 0 ise ) ( c < 0 ise ) ( a, b ) = { x : a < x < b , x ∈ R } Yarı Açık Aralık ® a b R [ a, b ) = { x : a ≤ x < b , x ∈ R } ® a b ESEN YAYINLARI ÖRNEK 39 4x – 5 < 2 x + 7 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı doğal sayı vardır? Çözüm R ( a, b ] = { x : a < x ≤ b , x ∈ R } Sınırsız Aralıklar ® a ÖRNEK 40 R ( a, ∞ ) = { x : x > a , x ∈ R } ® a R ( – ∞, a ] = { x : x ≤ a , x ∈ R } ® ( – ∞, ∞ ) = R 62 x + 3 < 7 < 3x – 2 eşitsizlik sisteminin en geniş çözüm aralığı nedir? Çözüm Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler ÖRNEK 41 –1 < x a.b < 0 ⇒ a ile b ters işaretlidir. 1 – 2x ≤3 4 a.b > 0 ⇒ a ile b aynı işaretlidir. olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? x a.b > 0 ve a < b ⇒ Çözüm 1 1 dir. > a b x 0 < a < b için an < bn , ( n ∈ Z+ ) x a < b < 0 için an < bn (n tek sayma sayısı ise) an > bn (n çift sayma sayısı ise) x a2 < a ⇔ 0 < a < 1 x Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir. x , y ∈ R , –1 < x < 4 ve 2 x + y – 1 = 0 olduğuna göre, y nin değerler aldığı aralık nedir? Çözüm ESEN YAYINLARI ÖRNEK 42 ÖRNEK 44 x , y ∈ R , –1 < x < 3 ve 2 < y < 5 olduğuna göre, 2 x – 3y nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? Çözüm ÖRNEK 43 x , y ∈ Z , –2 < x < 4 ve 0 < y < 5 olduğuna göre, 3 x – 2y nin alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir? Çözüm 63 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler ÖRNEK 45 ÖRNEK 48 x 3 < 0 ve x( y + 3) < x( y2 + 3) a, b ∈ R olmak üzere, 1 2 1 1 3 1 ve < < < < 5 b 3 6 a 3 olduğuna göre, y hangi aralıkta değer alır? Çözüm x 3 < 0 ⇒ x < 0 dır. ise a – b hangi aralıkta değer alır? x( y + 3) < x( y2 + 3) Çözüm eşitsizliğinin her iki tarafını x ile bölersek (x < 0 olduğundan) eşitsizlik yön değiştirir. x( y + 3) < x( y2 + 3) ⇒ y + 3 > y2 + 3 ÖRNEK 46 a2.b < 0 , b.c > 0 ve a.c < 0 olduğuna göre, a , b ve c nin işaretleri sırasıyla ESEN YAYINLARI nedir? Çözüm ÖRNEK 47 Aşağıda verilen aralıklara göre, x 2 nin değerler aldığı aralıkları bulunuz. a. 3< x <5 c. –2 < x < 6 Çözüm b . – 4 < x < –2 ÖRNEK 49 x , y, z ∈ R, x + y < 6 , x + z > 3 , y + z < 7 olduğuna göre, y nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? Çözüm 64 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler ÖRNEK 50 ÖRNEK 51 a ve b birer reel sayıdır. –2 < a < 1 ve –4 < –1 < 2a + b < 6 2 < –1 x +1 olduğuna göre, x hangi aralıkta değer alır? olduğuna göre, b hangi aralıkta değer alır? Çözüm Çözüm ETKİNLİK Yanda şeklini gördüğünüz oyun, O noktasından topun, I I, II, III veya IV nolu yollardan birine fırlatılmasıyla oy- a1 nanmaktadır. Aşağıda topların hareketine dair açıkla9m ma verilmiştir. a2 a4 I. Fırlatılan bir top önünde engel yoksa 12 m ilerler ve durur. 2m II. Bir top başka bir topa çarptığında çarpan top durur. IV Diğer top, eğer çarpan top 5 m ve 5 m den az bir mesafe aldıysa 10 m ilerler ve durur. Çarpan top 6m 7m II 4m 3m 6m O 5 m den fazla bir mesafe aldıysa 8 m ilerler ve durur. Buna göre O noktasındaki top I, II, III ve IV numaralı yollara doğru fırlatıldığında a1, a2, a3 ve a4 numaralı topların O noktasına uzaklıklarına göre sıralanışı aşa- 2m a3 III ğıdakilerden hangisidir? A ) a4 > a1 > a3 > a2 B ) a4 > a2 > a1 > a3 C) a1 > a2 > a3 > a4 D ) a1 > a4 > a3 > a2 E ) a2 > a1 > a4 > a3 Çözüm 65 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİNİN GEOMETRİK YORUMU Bir eşitsizliği sağlayan bütün noktaların koordinat düzleminde işaretlenmesiyle oluşan şekil, bu eşitsizliğin grafiğidir. y y y = ax + b b – b 0 b a 0 – x x b a y = ax + b y > ax + b eşitsizliğinin grafiği, y = ax + b doğrusunun üst bölgesindeki noktalardır. ÖRNEK 52 y ≤ 2x – 2 y < ax + b eşitsizliğinin grafiği, y = ax + b doğrusunun alt bölgesindeki noktalardır. ÖRNEK 53 y ≥ x – 2 ve y < 2x + 2 eşitsizliğinin grafiğini çiziniz. eşitsizlik sisteminin grafiğini çizelim. Çözüm Çözüm 66 ALIŞTIRMALAR - 1. 4. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş Aşağıdaki eşitsizliklerin reel sayılar kümesinde çözüm kümelerini bulunuz. kutulara “D ” yanlış olanlar için “Y ” yazınız. a < b ve c < d ise a + c < b + d a. 3x – 2 < 2x + 3 a, b, c, d ∈ R+, a < b ve c < d ise a.c < b.d b. 2x – 4 >0 5 1 1 a ve b aynı işaretli ve a < b ise > a b c. 2x – 4 x + 5 – ≤0 3 2 1 1 > a b d. x–4 > –3 –6 n ∈ N+ ve a > b > 0 ise a2n > b2n n ∈ N+ ve a < b < 0 ise a2n < b2n a ve b ters işaretli ve a < b ise 2. 3 x < 0 ve y < z e. x – 3 ≤ 2x + 1 < 7 – x olmak üzere, aşağıdaki yanlış olanlar için “Y” yazınız. x .y < x .z 1 1 < y z ESEN YAYINLARI ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara “ D ” f. x – 1 ≥ – 1 2 g. (x – 2)2 < (x + 4)2 x .y3 < x .z3 h. – 1 1 > y z 6 1 1 < <– 2 x–2 3 y3 < z3 5. 3. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş a4.b < 0 , b3.c > 0 ve a.c5 < 0 olduğuna göre, a, b, c nin işaretlerini bulunuz. kutulara “D ” yanlış olanlar için “Y ” yazınız. 2 < a < 3 ise 4 < a2 < 9 –4 < a < –2 ise 4 < a2 < 16 6. –2 < a < 3 ise 4 < a2 < 9 –3 < a < 2 ise 0 ≤ a2 < 9 x ∈ R olmak üzere, –3 < x < 5 ise x 2 + 5 in en küçük tam sayı değeri kaçtır? 67 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 2 – 3x x+1 7. 15 1 <8 a 4 12. kesri kaça eşit olamaz? eşitsizliğini sağlayan en küçük a doğal sayısı kaçtır? 8. x ve y birer reel sayıdır. –1 < x < 3 ve –2 < 2 x + y < 4 olduğuna göre, y hangi aralıkta değer alır? 13. –4 ≤ a < 6 –3 ≤ b < 8 olduğuna göre, a.b hangi aralıkta değer alır? 9. x ve y birer reel sayıdır. –2 < x < 3 ve 2 x + y = 1 olduğuna göre, y kaç farklı tam sayı değeri alabilir? ESEN YAYINLARI 14. 10. –6 < a < 5 –4 < b ≤ 4 olduğuna göre, a2 + b2 hangi aralıkta değer alır? 2ab – 4b + 6a – 3 = 0 eşitliğinde a = x için b tanımsız, b = x için a tanımsızdır. Buna göre, x + y kaçtır? 15. 11. A = ( – 4, 6 ] ve B = [ –2, 10 ) a a < , b4 < b , b.c > c 2 3 olduğuna göre a, b, c nin işaretleri sırasıyla olmak üzere aşağıdaki kümeleri bulunuz. nasıldır? a. A ∩ B b. A ∪ B c. A – B d. B – A 68 16. x–2 ≥ 3 +2 3 –2 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Yazılıya Hazırlık Soruları 1. 4. 4 1 + =1 x y bx – ay – 1 = 0 1 1 – =4 x y denklem sisteminde x = y = 1 ise b kaçtır? denklemlerini sağlayan bulunuz. x ve y değerlerini x y – =0 4 3 5. 3x + 4y = 48 denklem sistemini sağlayan x değerini bulunuz. 3. 2,6 = x + y 5 ESEN YAYINLARI 2. ax + by + 5 = 0 3 5x – 1 2 + = x – 1 x + 1 x2 – 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 6. a, b ∈ R olmak üzere, ax + 3(x – b) = a – 2b eşitliğinde x ve y 5 ten küçük birer doğal sayı denkleminin çözüm kümesi reel sayılar kümesi ise y kaçtır? ise (a, b) ikilisini bulunuz. 69 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 9. 2x – 1 x + 4 < 3 2 7. 2x – y + 3 = 0 1<y<7 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı değeri olduğuna göre, x in değer alabileceği en dar kaçtır? ESEN YAYINLARI tam sayı aralığını bulunuz. 8. a, b ∈ R olmak üzere, –1 < a < 2 1<b<3 ise 2a – 3b ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? 70 10. x2 < x –1 < 2x + y < 3 olduğuna göre, y nin değer alabileceği en dar tam sayı aralığını bulunuz. TEST - 1. 1 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x – 3 + 5x = – x + 11 x+1 x + = x –1 2 3 5. eşitliğini sağlayan x kaçtır? A) –2 B ) –1 C) 0 D) 1 eşitliğini sağlayan x kaçtır? E) 2 A) 3 2. 2 – 3(1 – x) = 2x – (x – 2) 3 2 B) 2 3 C) 1 3 D) 1 2 A) 0 –2( 2 – x ) – 2 x = x – (2 – x ) A) 1 1 C) – 2 A) D ) –1 E) –2 8. 4. D) –3 E) – 4 1 4 B) 2 3 C) – 1 2 D) – 4 3 E) – 5 2 x –1 <2 3 lerden hangisidir? A) (– ∞, 7) eşitliğini sağlayan x kaçtır? B ) –8 C) –2 eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdaki- 1 3 2 1 – = + 2 x 3 x A) –6 B) –1 eşitliğini sağlayan x kaçtır? eşitliğini sağlayan x kaçtır? 1 B) 2 E) –6 x x+1 1– x – = 1– 2 3 2 7. 3. D) –3 eşitliğini sağlayan x kaçtır? E) 1 ESEN YAYINLARI A) C) 9 1 – 2x x – 2 – =3 5 2 6. eşitliğini sağlayan x kaçtır? B) 6 C ) –16 D ) –24 E) –30 B ) (– ∞, 6) D) (7, ∞ ) C ) (– ∞, 5) E) (5, ∞ ) 71 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 13. 2x – 3 x – 2 x –1 – =2– 5 15 3 9. –2 < a < 1 denkleminin çözüm kümesi nedir? A) {4 } B ) {10 } C ) {15 } D ) {40 } 2a – b = 5 olduğuna göre, b nin alabileceği en küçük tam E) Ø sayı değeri kaçtır? A) –8 3 10. 2– 14. 1 x D ) –5 E ) –4 (x – 3)2 + (y + 2)2 = 0 eşitliğini sağlayan x 2 – y2 kaçtır? eşitliğini sağlayan x kaçtır? B ) –1 C) 1 A) 1 D) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 13 E) 5 ESEN YAYINLARI A) –3 C ) –6 =1 2 1+ B ) –7 3 11. 2 1– x–5 B) 2 C) 3 A) 1 D ) –1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6 E) –2 16. 2 x x–2 3 + + = x x –1 x 2 12. ve (a – 2)·c = 0 olduğuna göre, b kaçtır? eşitliğini sağlayan, x kaçtır? A) 1 3a – b =0 c 15. =2 (2 – a) x + 2 = x – b denkleminin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden olması için (a, b) ikilisi ne olmalıdır? hangisidir? A) (2, 1) A) –2 72 B ) –1 C) 1 D) 2 E) 3 B) (1, 1) D) (1, –2) C) (2, –2) E) (–1, 2) TEST 1. 4 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 5. 2( x – 2 ) – 3 (x – 1 ) > –8 x 3 – 2x eşitsizliğini sağlayan kaç tane pozitif doğal sayı vardır? A) 7 2. –2 ≤ x ≤ 4 olmak üzere, ifadesinin eşiti en çok kaçtır? B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 A) 68 B) 64 C) 60 D) 56 E) 52 2a + 6b – c = 5 6. 3a + 3b – c = 2 x + 3y = 10 sisteminde a > b koşulunda b nin tam sayı ola- 4x + my = 7 rak alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden 3x + y = 6 hangisidir? A) 2 denklem sisteminin çözüm kümesi bir elemanlı B) 1 C) 0 D ) –1 E) –2 ise m aşağıdakilerden hangisidir? B) –1 C) 1 D) 2 E) 3 ESEN YAYINLARI A) –2 3. 3x + y – z = m x + 2y + 3z = n x – z = –t denklem sistemini sağlayan A) 4. 1 2 B) 1 3 C) 1 x+y+z m+n+ t D) 3 7. 4x + 3y – 2xy – 8 = 0 denkleminden kaçtır? y nin hangi değeri için hesaplanamaz? E) 6 x –1 y – 3 + =1 5 2 A) 0 8. B) 1 2 C) 1 D) 3 2 E) 2 a.b = 18 a.c = 12 x+3 y+2 + =2 5 3 b.c = 24 denklem sistemini sağlayan x + y kaçtır? olduğuna göre, a.b.c ifadesinin eşiti kaçtır? A) –5 A) 36 B ) –3 C) 4 D) 9 E) 12 B) 48 C) 72 D) 96 E) 144 77 x Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 9. 13. x·y ≠ 1 olmak üzere, 5x – y – 3z = 36 x2y – 12 = x 4x – 2y – 4z = 25 xy2 + 18 = y olduğuna göre, x + y + z ifadesinin eşiti kaçtır? A) 1 B) 5 C) 9 D ) 11 E) 15 A) – 10. 14. 2a – 3b + 2c = 5 2 3 B) – C) – 3 2 D) 1 3 E) 2 3 3d – 2b – a = –c 2c – d + b = a olduğuna göre, a + b + c ifadesinin eşiti kaçtır? B) 9 1 3 2a – b + c = d a –2b + c = 1 A) 8 x ifadesinin eşiti kaçtır? y eşitliklerini sağlayan C ) 10 D ) 11 E) 12 a+b+c d eşitliklerini sağlayan ifadesinin eşiti kaçtır? 11. 2 5 B) a b + a + b = 11 a2 b + a b2 = 28 olduğuna göre, a.b ifadesinin en büyük değeri 15. a.b = 5 , kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 16. a<b<c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) c – b > a B) a + b > c C) a.b.c > 0 D) a – c > 0 E) (a – b).( b – c) > 0 78 C) 3 D) 4 E) 5 c a2 = 2 5 ve 1 b2 c2 = 3 4 olduğuna göre, c kaçtır? E) 8 A) 12. 5 2 ESEN YAYINLARI A) 2 15 B) 2 5 C) 1 3 D) 3 5 E) 1 0<a<b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) a–b <1 a B) a–b <0 a C) b–a <1 b D) a+b <1 a E) a+b >1 a Üniversiteye Giriş Sınav Soruları 1. 1990 – ÖSS 5. x , y , z sıfırdan ve birbirinden farklı pozitif tam a= sayılardır. Buna göre, aşağıdakilerden hangisidir? denklemini sağlayan en büyük z kaçtır? B ) 33 C ) 32 10 13 7 , b= , c= 5 11 8 sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı 3 x + 2y + z = 40 A) 34 1990 – ÖSS D ) 31 A) a < c < b E) 30 B) a < b < c D) c < b < a 6. E) c < a < b 1991 – ÖSS K + L + M = 34 ve 2. 1990 – ÖSS A) 1 3. C) 0 D) 1 E) 2 ESEN YAYINLARI eşitliği her a , b için doğru ise y kaçtır? B ) –1 7. D) 6 E) 8 5 K +2 = 2 M x3 – 3x2 olduğuna göre, farkı en çok kaçtır? K nın alabileceği en küçük değer kaçtır? C ) 75 D ) 100 E) 125 A) 1 8. 4. C) 4 1991 – ÖSS 0 ≤ x ≤ 5 olmak üzere, B ) 50 B) 2 K ve M pozitif tam sayılardır. 1990 – ÖSS A) 25 K 1 L 1 = , = L 4 M 3 olduğuna göre, L kaçtır? ( 2x – y – 3 )a + (x + y )b = 0 A) –2 C) b < c < a 1990 – ÖSS B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1991 – ÖSS a , b , c pozitif tam sayılar, 2a + 3b + 4c = 9 a – b = 1 , a – c = 5 olduğuna göre, 4a + 3b + 2c = 15 a+b+c olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) – 6 A) 9 B) – 4 C) 0 D) 4 E) 6 B) 12 C) 13 D) 14 E) 17 79 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 9. 1991 – ÖYS 13. 1992 – ÖSS bc ca ab =1, =2, =3 a c b 2 – 3x x – 3 – =3 6 3 olduğuna göre, a2 + b2 + c2 kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D ) 10 olduğuna göre, x kaçtır? E) 11 A) –2 B) –1 C) – 1 2 D) – 1 3 E) – 1 4 10. 1991 – ÖYS a, b, c negatif tam sayılar, a b c = = 7 8 9 14. 1992 – ÖSS a, b ∈ N ve a2 – b2 = 11 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi olduğuna göre, a2 + b2 toplamı kaçtır? doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b B) 21 C) 25 D) 36 E) 61 E) b < a < c ESEN YAYINLARI D) c < b < a A) 18 C) c < a < b 11. 1991 – ÖYS 15. 1992 – ÖSS a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a 4 = =c –5 b 2a = 3b , 2b = c olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangi- ve a + b + c = 0 olduğuna göre, c2 kaçtır? si doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b D) c < a < b C) c < b < a A) 1 B) 2 C) 5 4 D ) v2 E) v3 E) b < a < c 12. 1992 – ÖSS 16. 1992 – ÖSS x , y, z sıfırdan büyük birer tam sayı ve b = 2a , c = 2b , d = 3c , a + b + c + d = 19 3 x + 2y + z = 97 olduğuna göre, y nin en büyük değeri kaçtır? olduğuna göre, d – a farkı kaçtır? A) 47 A) 1 80 B ) 46 C ) 45 D ) 44 E) 43 B) 8 C) 9 D) 11 E) 12 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 17. 1992 – ÖSS 21. 1993 – ÖSS a b c = = –1 –3 –2 a > 0 , b > 0 , c > 0 ve x, y gerçel sayılar ve (x – 3)2 + (3y + 48)2 = 0 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangi- olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? si doğrudur? A) a < c < b B) a < b < c D) b < c < a A) –15 C) b < a < c B) –14 C) –13 D) 14 E) 15 E) c < b < a 22. 1993 – ÖYS 18. 1993 – ÖSS + a a b c 14 13 b a–b 3 b = , 1– = c a 2 b olduğuna göre, c kaçtır? 11 A) 1 5 B) 2 5 C) 3 5 D) 4 5 E) 1 pozitif tam sayıyı göstermektedir. Buna göre, a kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 ESEN YAYINLARI Yukarıdaki toplama tablosunda a, b ve c birer 23. 1994 – ÖSS xy x > 0 , y > 0 , z > 0 ve A) y < x < z olduğuna göre, x kaçtır? C ) v2 D ) v3 xz 12 C) z < x < y E) x < z < y 24. 1995 – ÖSS m bir gerçel olmak üzere, a, b, c pozitif tam sayılar ve (m + 3) 2 – 2m (m + 3) + m 2 a.b = 12 , b.c = 60 , a.c = 80 (7 – m) – ( p – m) olduğuna göre, a kaçtır? B) 9 B) z < y < x D) x < y < z E) v5 20. 1993 – ÖSS A) 10 6 = si doğrudur? x + y + z = 6 , yx + xz = 9 B) 4 yz olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangi- 19. 1993 – ÖSS A) 3 4 = C) 8 =3 eşitliğini sağlayan p değeri kaçtır? D) 4 E) 2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 81 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 25. 1995 – ÖSS 28. 1996 – ÖYS 17 1 <7 p 7 a , b pozitif tam sayılar ve a.b = 2a + 14 eşitsizliğini sağlayan p doğal sayısının alabilece- olduğuna göre, b nin en küçük değeri almasını ği en küçük değer kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 sağlayan a aşağıdaki aralıklardan hangisindeD) 4 E) 5 dir? A) [ 13, 15 ] B) [ 10, 12 ] D) [ 4, 6] C) [ 7, 9 ] E) [ 1, 3 ] 29. 1996 – ÖYS a, b, c birer pozitif sayı ve 26. 1995 – ÖYS a+b a < +1 c c a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılar ve a + 1 = c, a + b = 8 b toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 doğrudur? nin alabileceği değerler C) 7 D ) 11 E) 15 ESEN YAYINLARI olduğuna göre, b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle A) c < b B) b < c D) b < a C) a < b E) a < c 30. 1997 – ÖSS a, b, c birer doğal sayı ve 2a = 3b , a + c = 2b 27. 1996 – ÖSS olduğuna göre, I. 3 x – 5 = 8 – x kaçtır? II. 4 x = 13 A) 2 B) 3 a+b+c c C) 4 işleminin sonucu D) 5 E) 6 D) 4 E) 2 Yukarıdaki denklemler özdeştir. II. denklemi elde etmek için I. denklem üzerinde aşağıdaki işlemlerden hangisi yapılmalıdır? A) İki yanına x + 5 eklenmelidir. B) İki yanına x – 5 eklenmelidir. C) İki yanına 5 – x eklenmelidir. 31. 1997 – ÖSS 3x + 1 41 (5x – 3) = 2 2 D) Sol yanına x , sağ yanına 5 eklenmelidir. olduğuna göre, x kaçtır? E) Sol yanına – x , sağ yanına –5 eklenmelidir. A) 10 82 B) 8 C) 6 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 32. 1997 – ÖYS 36. 1999 – ÖSS 2 1 + 0, 001 0, 002 = 3 0, 004 a= 5 k 3 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) c < b < a olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 a+b b+c >4 , <5 c b z–v=8 olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük olduğuna göre, x – 2y – 2z + v ifadesinin değeri değeri kaçtır? B ) 12 C ) 20 D ) 32 E) 40 34. 1999 – ÖSS 1– 2 2 ESEN YAYINLARI kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 38. 1999 – ÖSS x 2 a ≠ b olmak üzere, =1 2a + olduğuna göre, x kaçtır? A) 3 E) b < c < a a, b, c farklı pozitif tam sayılar ve y + z = 10 1– C) a < b < c 37. 1999 – ÖSS x – y = 22 1– B) c < a < b D) a < c < b E) 5 33. 1998 – ÖYS A) 4 10 100 1000 , b= , c= 11 111 1111 B) 1 3 3 = 2b + a b ise a.b çarpımı kaçtır? C) 0 D ) –1 E) –2 A) 1 B) 2 C) 1 2 D) 3 2 E) 5 2 35. 1999 – ÖSS 0 < a < 1 ve b > 0 39. 1999 – ÖSS olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? A) a.b < 0 öbürünün 4 katına eşittir. Bu sayılardan küçük B ) a.b > 1 D) a.b > b Toplamları 77 olan iki sayıdan birinin 3 katı, C ) a.b < b E ) a.b < a olanı kaçtır? A) 33 B) 30 C) 27 D) 24 E) 22 83 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 40. 2000 – ÖSS 44. 2002 – ÖSS c < 0 , b.a > 0 a c>0, 3a – 3b + 4c = 7 2a – 6b + 8c = 2 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlik- olduğuna göre, a kaçtır? le doğrudur? A) a + b > 0 B) b > 0 D) a > c A) 3 C) b > a B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 E) c > b 45. 2003 – ÖSS 41. 2000 – ÖSS Her x gerçel sayısı için, 1 1 a – = 3 , b – = 12 a b olduğuna göre, 1 2 B) olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? b–a oranı kaçtır? b 1 4 C) 3 4 3 5 D) A) 6 E) 42. 2001 – ÖSS olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? x–y y <0 D) B) x+y y y–x x >1 >0 E) C) x+y x x–y x <1 <1 43. 2002 – ÖSS 84 1 14 B) 5 14 E) 16 a < 0 < b olmak üzere, b–a a gerçel sayısı veriliyor. Buna göre, k sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? 4 A) – 3 B) – 2 3 C ) –1 D) 2 3 E) 4 3 x + y = –1 x aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) D) 12 47. 2004 – ÖSS 3 2 <x< 7 7 olduğuna göre, C) 10 46. 2003 – ÖSS k= 0< x <y A) B) 8 4 5 ESEN YAYINLARI A) 2x – 4 = ax(x – 1) + bx(x + 1) + c(x2 – 1) C) 5 6 D) 1 4 E) 1 2 1 1 1 + = x y 6 olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır? A) –6 B) –3 C) 1 D) 3 E) 6 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 48. 2005 – ÖSS 51. 2008 – ÖSS 34 – a, b, c gerçel sayıları için, ≤ 1 ≤ 56 – x eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı a.c = 0 a .b > 0 kaçtır? a.b < 0 A) 8 3 x 2 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < c < b B) b < a < c D) c < a < b C) b < c < a E) c < b < a 52. 2008 – ÖSS Bir x tam sayısı için x+5 > 10 2 olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır? A) 10 B) 14 C) 16 D) 17 E) 18 D) 3 E) 2 49. 2006 – ÖSS 0 < x < 1 olmak üzere ESEN YAYINLARI a= x b = x2 c= 1 x olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) b < a < c C) b < c < a E) c < b < a a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere a a.b = = a – b b B) 5 C) 4 54. 2008 – ÖSS –3 ≤ a ≤ 1 –2 ≤ b ≤ 2 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? B) 1 D) 2 1 +3 x ifadesinin değeri kaçtır? A) 6 50. 2006 – ÖSS –3 2 1 olduğuna göre, y+2 x = y + yx + 2x – D) c < a < b A) 53. 2008 – ÖSS –3 4 olduğuna göre, a2 + b3 ifadesinin değeri hangi C) 0 aralıktadır? A) [–17, 17] 2 E) 3 B) [–13, 8] D) [–7, 7] C) [–8, 17] E) [–7, 1] 85 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 55. 2009 – ÖSS 59. 2010 – YGS A+B=7 x, y ve z gerçel sayıları için B+C=9 y>0 C + D = 13 x –y>z olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her olduğuna göre, A + D toplamı kaçtır? A) 15 B ) 14 C ) 13 D ) 12 zaman doğrudur? E) 11 A) x > z B) x > y D) x > 0 C) z > y E) z > 0 56. 2009 – ÖSS a, b, c, d ve e gerçel sayıları için 60. 2012 – YGS a<c a –1 a – 5 = a–3 a–4 b<d c<e olduğuna göre, a kaçtır? b<a A) eşitsizlikleri veriliyor. 8 5 B) 13 4 C) 9 4 D) 13 3 E) 11 3 A) a B) b C) c D) d E) e ESEN YAYINLARI Buna göre, bu beş sayının en küçüğü hangisidir? 61. 2012 – YGS 57. 2009 – ÖSS x ve y gerçel sayıları için x = 2 olduğuna göre, y –2 < x < 4 olduğuna göre, 1 – x ifadesinin alabileceği en I. x sıfır olamaz. büyük tam sayı değeri kaçtır? II. x ve y nin işareti aynıdır. A) –3 B) –2 C) –1 D) 2 E) 3 D) 4 E) 7 III. x tam sayıysa y de tam sayıdır. ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B ) I ve II D ) II ve III C ) I ve III E ) I, II ve III 62. 2012 – YGS x, y ve z gerçel sayıları için x.y = 14 58. 2010 – YGS x.z = 20 1 1 – 3a = + 3b 2 8 3x + 2y + z = 24 olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, a + b kaçtır? A) 86 3 4 B) 5 6 C) 1 8 D) 5 8 E) 4 9 A) 8 3 B) 14 5 C) 3 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 63. 2012 – YGS y x z 1 + = – 2.3.5 2 2 .3 3 2 .5 10 66. 2012 – YGS Her a gerçel sayısı için a =1–a olduğuna göre, 6 x – 15y + 4z ifadesinin değeri biçiminde tanımlanıyor. kaçtır? Buna göre, x – 2 = 3 x – 1 eşitliğini sağlayan A) 9 B ) 11 C ) 12 D ) 15 E) 18 x değeri kaçtır? A) 64. 2012 – YGS olduğuna göre, ve b–c a–b I. 1+ y B) D) –2 5 C) 3 5 D) 5 7 E) 2 7 x, y birer gerçel sayı ve –1 < y < 0 < x ise ifadesinin a, b ve c tü1– x ründen eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 67. 2012 – LYS b–c y= b+c b+c a–b a–c b–c E) C) a–b a+c ESEN YAYINLARI a–b x = a+b –1 2 x +y>0 II. x – y > 1 III. x.(y + 1) > 0 ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I a+b b+c B) Yalnız III D) I ve III C) I ve II E) II ve III 65. 2012 – YGS 60 cevizin tamamı, n tane öğrenciye aşağıdaki koşullara uygun olarak dağıtılacaktır. • Her bir öğrenci eşit sayıda ceviz alacaktır. • Her bir öğrenci en az 2, en fazla 10 ceviz alacaktır. 68. 2013 – YGS x, y ve z gerçel sayıları için x+y<0<x<y+z olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? Buna göre, n nin alabileceği kaç farklı değer varA) x < y < z dır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 B) x < z < y D) y < z < x C) y < x < z E) z < y < x 87 Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 69. 2013 – YGS a= x x–y 70. 2013 – YGS Bir öğretmen; Ali, Banu, Can ve Doğa isimli dört öğrencisiyle birlikte sınıfta şöyle bir etkinlik yap- y b= x+y mıştır. • olduğuna göre, a + b – 1 ifadesinin değeri a.b sayılar sırasıyla A, B, C ve D olsun. kaçtır? A) –2 • B) –1 C) 0 D) 1 Bu öğrenciler aklından birer sayı tutuyor. Bu Her bir öğrenci kendi sayısını bir kâğıda yazıp öğretmene veriyor. E) 2 • Öğretmen de tahtada yazılı olan aşağıdaki toplama işlemlerinin sonucunu hesaplıyor ve eşitliklerin sağ tarafını dolduruyor. A+B= ESEN YAYINLARI B+D= A+B+C= Tahtada yazılanlara göre, hangi öğrenciler tek başına A, B, C ve D sayılarının dördünü de bulmak için yeterli bilgiye sahiptir? A) Ali, Banu ve Doğa B) Ali, Can ve Doğa C) Ali ve Banu D) Banu ve Can E) Can ve Doğa 88 . ÜNİTE DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE MUTLAK DEĞER 1. Kazanım : Bir gerçek sayının mutlak değerini açıklar ve mutlak değer ile ilgili özellikleri gösterir ve birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur. 2. ÜNİT MUTLAK DEĞER Sayı doğrusu üzerinde herhangi bir a noktasının başlangıç noktasına olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri denir. | –3 | = 3 –3 |3| = 3 0 3 x ∈ R için x in mutlak değeri |x| sembolü ile gösterilir ve Zx , x>0 ] ] |x| = [ 0 , x = 0 ] ] –x , x < 0 \ biçiminde tanımlanır. ® Mutlak değer içindeki ifade pozitifse, dışarıya aynen çıkar; negatifse işaret değiştirerek çıkar. ÖRNEK 1 ÖRNEK 4 Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulunuz. a . | v2 – 1| a < b < c olmak üzere, |a – b| + |c – b| – |a – c| b. | 3 – π | ifadesinin eşitini bulunuz. Çözüm ÖRNEK 2 x < 2 olduğuna göre, |x – 2| ifadesinin eşitini bulunuz. Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 5 x < 0 olduğuna göre, –2x x ÖRNEK 3 –2 < x < 1 olmak üzere, |x – 1| + |x + 2| ifadesinin eşitini bulunuz. Çözüm 90 + 3x x ifadesinin eşitini bulunuz. Çözüm Mutlak Değer |x| ≥ 0 olduğundan, |x| = |–x| ve |x – y| = |y – x| |x| ifadesinin en küçük değeri 0 dır. ÖRNEK 9 ÖRNEK 6 a +2 –a |2 x – 10| –a – 3 a ifadesini en küçük yapan x değerini bulunuz. ifadesinin eşitini bulunuz. Çözüm Çözüm ÖRNEK 7 A = |x – 3| + |x + 4| olduğuna göre, A nın en küçük değeri kaçtır? |a| + |b| = 0 ⇔ a = 0 ve b = 0 dır. ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 10 |x – y + 1| + |x + 2| = 0 olduğuna göre, y kaçtır? Çözüm ÖRNEK 8 A = |x – 1| + |x + 3| + |x – 5| olduğuna göre, A nın en küçük değeri kaçtır? Çözüm ÖRNEK 11 |a – 1| + |b + 2| + |2c – 6| = 0 denklemini sağlayan a, b, c reel sayılarının toplamı kaçtır? Çözüm 91 Mutlak Değer a ≥ 0 olmak üzere, x |a.b| = |a|.|b| |x| = a ⇔ x = a veya x = – a x a a = b b x |an | = |a| n ÖRNEK 12 |2 x – 5| = 7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm ÖRNEK 15 x =2 x –1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm ÖRNEK 13 3|x – 5| + 5 = 2 ESEN YAYINLARI denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm ÖRNEK 16 ÖRNEK 14 | | x – 2| – 3 | = 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm 92 |x 2 – 3 x + 2| – 5|x – 1| = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm Mutlak Değer ÖRNEK 17 ÖRNEK 19 |x + 1| = 3 – 2 x |x + 1| = |2 x – 1| – 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm ESEN YAYINLARI denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm ÖRNEK 18 ÖRNEK 20 |x – 1| = x + 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm x 2 – |x| – 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm |x| = 0 ⇒ x = 0 ÖRNEK 21 |x – 2| = 2 – x denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm 93 Mutlak Değer Mutlak Değerli Eşitsizlikler ÖRNEK 24 |2 x – 4| ≥ 10 m, n ∈ R+ olmak üzere, eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? x |x| < m ⇒ –m < x < m dir. Çözüm: x |x| > m ⇒ x > m veya x < – m dir. x n < |x| < m ⇒ n < x < m veya n < –x < m dir. ÖRNEK 22 |2 x – 1| < 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 23 |x – 1| < 2 x – 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 25 x, y ∈ R, | x – 2 | ≤ 1 ve | y – 1| ≤ 2 olmak üzere (x, y) sıralı ikililerinin tümünü kapsayan geometrik şekli analitik düzlemde çizip alanını hesaplayınız. Çözüm 94 Mutlak Değer ÖRNEK 26 n 2 < |x – 4| ≤ 5 xn = * eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz. x , n çift x , n tek Çözüm ÖRNEK 29 x < y olduğuna göre, x 2 – 2xy + y 2 ifadesinin eşitini bulunuz. Çözüm ÖRNEK 27 |x| ≤ 3 ve x – 2y + 4 = 0 ÖRNEK 30 koşullarını sağlayan kaç tane y tam sayısı vardır? a < 0 < b olduğuna göre, Çözüm ESEN YAYINLARI a 2 + 3 b 3 + 4 (a – b) 4 + 5 a 5 ifadesinin eşiti nedir? Çözüm ÖRNEK 28 2x – 1 – 3 x+2 +3 ≤0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır? Çözüm ÖRNEK 31 (x – 2) 2 ≤ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm 95 ALIŞTIRMALAR 1. 3. Aşağıdaki mutlak değerli ifadelerin eşitlerini bu- Aşağıdaki mutlak değerli ifadelerin eşitlerini lunuz. bulunuz. a. |1 – π| a. 1 < x < 2 , b. |x – 1| + |x – 2| 7 –3 + 7 b. a < b < c , |a – b| + |a – c| – |b – c| c. |– x 2 | c. 2 1 1 <x< , 3 2 |2x – 1| + |3x – 1| d . |–1 – x | d. x < 0 , e. |v3 – v2| – |1 – v3| – 1 Aşağıdaki mutlak değerli ifadelerinin en küçük değerlerini bulunuz. a. |x – 2| f. 4. b . 2|x – 1| x + 2x x e. 2 X = 13 , |x – 3| + |x – 4| + 7 ESEN YAYINLARI 2. –5x x < 0 < y , |2x – y| – |2y – x| + |–x| + |2y| Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutuya “D ” yanlış olanlar için “Y ” yazınız. | –a | = | a | c. 3|x + 1| + 2 |x| > 0 d . |x – 1| + |x + 4| –| a | ≤ a ≤ | a | | a.b | = | a | . | b | e. |2 x – 1| + |x – 2| |a + b| = |a| + |b| a + b f . |x – 1| + |x + 2| + |x – 4| 96 a+b ifadesinin en küçük değeri 1 dir. Mutlak Değer 5. 7. Sol sütundaki denklemlerin çözüm kümelerini sağ sütunda bulup eşleştiriniz. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 1 a |x + 2| = 4 {– 4, 10} 2 b |2x – 5| = 3 1 ,3 3 3 c 2|x – 1| + 4 = 2 d x+1 =2 x–1 ∅ 8. |3 – x| – 2 = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. {1, 4} {– 6, 2} Aşağıdaki denklemlerin reel sayılardaki çözüm 9. kümelerini bulunuz. |x + 1| = 5 – 2 x c. |x – 4| = 4 – x |4x – 5y| ifadesinin en küçük değeri için x kaçtır? y ESEN YAYINLARI a. x 2 + 6 |x| – 7 = 0 b. |x + 1|.|x – 2| = x + 1 4 5 e 6. |x + 2| – |x – 1| = 3 10. x ∈ R – {0 } olmak üzere, 5– 2x x ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? d . |x – 3| = |x + 2| e. |x2 – 4| – |x – 2| = 0 11. 3 2 f . |x | – |x | = 0 |a – 2| = c + 1 ve |b| = – c olduğuna göre, c hangi aralıkta değer alır? 97 Mutlak Değer 12. Sol sütundaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini 14. sağ sütunda bulup eşleştiriniz. eşitsizliğini sağlamayan kaç tane x tam sayısı vardır? 1 a |2x – 1| < 3 (–7, 3) 2 b ( –1, 2) |1 – x| ≤ 5 3 c 15. [–2, 2] 3|x – 1| + 4 < 1 |x – 3| > 1 eşitsizliğini sağlamayan 4 d x tam sayılarının toplamı kaçtır? |x – 6| ≤ 0 ∅ 5 e |x2 + 1| ≤ 5 f | 5 + | x – 2 || ≥ 9 { 6} 6 |x – 3 | + 4 ≤0 |x + 2 | – 5 [ –4, 6] 16. |3x – 2y| + x 2 – 6x + 9 = 0 13. Sol sütundaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini sağ sütunda bulup eşleştiriniz. 1 a |x + 2| > 5 R 17. |x| ≤ 2 olmak üzere, 2 b |1 – x| ≥ 3 ESEN YAYINLARI olduğuna göre, y kaçtır? ( –∞, –7) ∪ ( 3 , ∞) 2x – y = 3 eşitliğini sağlayan c 1 >3 x–2 3 değerlerinin toplamı kaçtır? [–1, 5] 4 d ( –3, 0] ∪ [2, 5) |1 – x| ≥ –2 5 e 1 ≤ |1 – x| < 4 ( –∞, –2] ∪ [ 4 , ∞) 6 f –2 ≤ |x – 2| ≤ 3 ( 5 , 7 3 3 ( – {2} 18. İnternette bir matematik sitesini ziyaret edenlerin sayısı bir günde 50 ile 80 arasında değişmektedir. Bu durumu mutlak değerli eşitsizliğe çeviriniz. 98 y nin alabileceği tam sayı Yazılıya Hazırlık Soruları 1. 2a = 4. 1 olduğuna göre, 3 5x – 4y + 8 = 0 |a + 1| – |1 – a| + |a + 2| denklemini sağlayan y tam sayılarının toplamını bulunuz. ifadesinin eşitini bulunuz. ||3x| – x| – ||3x| + x| ifadesinin eşitini bulunuz. 3. 5. x < 0 olduğuna göre, x ∈ Z olmak üzere, 10 – x <2 3 a ve b birer tam sayıdır. 2 < |a| < |b| < 8 ESEN YAYINLARI 2. |x| < 4 olmak üzere, olduğuna göre, 3a – 4b ifadesinin en büyük değeri kaçtır? 6. |2x – 3| = x + 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 99 Mutlak Değer 7. 9. |3 x – 3| – |2 x – 2| = 4 olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin a ∈ R+ olmak üzere, |4x – 4a| + |2a – 2x| = a ve x in alabileceği değerler toplamı 14 ise a kaçtır? ESEN YAYINLARI toplamı kaçtır? 8. 2 < |1 – x| + |x – 1| < 8 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? 10. –6 x+1 –4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane vardır? 100 >0 x tam sayısı TEST - 1. 1 Mutlak Değer 5. x < 0 olmak üzere, |x| + |–x| olduğuna göre, x kaçtır? ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) –2x 2. B) –x C) 0 D) x A) –2 6. |a – 2| + |a – 1| D) 1 E) 2 x, y, z birer reel sayı olmak üzere, olduğuna göre, x + y + z kaçtır? C) 2a + 1 A) 2 E) 3 – 2a B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 ESEN YAYINLARI D) 2a – 3 C) 0 |x – 2| + (y + 1)2 + (z – 3)4 = 0 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? B) 1 B) –1 E) 2x 1 < a < 2 olmak üzere, A) –1 |x – y + 1| + |x + y – 5| = 0 3. 7. a < 0 < b olmak üzere, B) –2b A) –2 < a < 0 C) –2a B) a < 0 D) a ≤ –2 E) 0 8. 4. |y| = –a doğrudur? ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? D) 2a + 2b ve olduğuna göre, a için aşağıdakilerden hangisi |a – b| + |– a| – |– b| A) 2b – 2a |x| = a + 2 a ≠ b ve |a| = |b| olduğuna göre, 3a – b 5a + 3b a.b ≠ 0 ve C) a ≥ –2 E) –2 ≤ a ≤ 0 | |a| + b | = 0 olduğuna göre, a + 2b –b ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 A) –1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 B) 0 C) 1 D) a E) b 101 Mutlak Değer 9. |2 x – 1| = 5 13. denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden denklemini sağlayan x reel sayıları için aşağıda- hangisidir? A) {–2 } 2x – 4 2x – 4 = 5 5 B) {3 } D) {2, 3 } kilerden hangisi doğrudur? C) {–2, 3 } E) ∅ A) x ≥ 5 B) x ≥ 2 D) x ≤ 5 10. C) x ≥ 5 2 E) x ≤ 2 2|x – 2| –1 = 3 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden 14. hangisidir? A) {0 } B) {2 } D) {0, 4 } |x – 3| = 3 – x denklemini sağlayan C) {4 } x aşağıdakilerden hangisi doğrudur? E) {2, 4 } A) x ≤ 3 B) x < 3 3|x +1| + 5 = 2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden 15. hangisidir? A) {–2 } B) {0 } D) {–2, 0 } C) x > 3 E) x = 3 ESEN YAYINLARI D) x ≥ 3 11. reel sayıları için |x + 2| = |x| + 2 denklemini sağlayan x reel sayıları için aşağıda- C) {1 } kilerden hangisi doğrudur? E) Ø A) x ≤ –2 B) x ≤ 0 D) x ≥ –2 C) x ≥ 0 E) –2 ≤ x ≤ 0 | 1 – |x| | = 3 12. denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 16. |a| > a ve |b| = b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesin A) {– 4, 4 } B) {–2, 2 } doğrudur? C) {0, 1 } D) {– 4, –2, 2, 4 } A) a + b > 0 E) {– 4, 0, 1, 4 } 102 B) a + b < 0 D) a – b < 0 C) a.b > 0 E) a – b > 0 TEST - 1. 3 Mutlak Değer 5. |x + 2| – |x – 3| + 5 ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük 3x + y = 6 değerlerin çarpımı kaçtır? A) –10 B ) –5 C) 0 |x – 1| < 2 sistemini sağlayan y değerleri aşağıdakilerden D) 5 E) 10 hangisinin çözüm kümesi olur? A) |y – 2| < 6 B) |y – 3| < 4 C) |y + 3| < 6 D) |y – 6| < 2 E) |y – 3| < 6 –x + 3 =3 4 2. 6. |2y – 1| = x 5 ≤ |2x – 3| ≤ 11 eşitsizliğini sağlayan kaç tane sistemini sağlayan y sayılarının toplamı kaçtır? vardır? A) –2 A) 3 C) 0 D) 1 E) 2 B) 4 C) 5 D) 6 tam sayısı E) 8 ESEN YAYINLARI B ) –1 x 7. x + |x – 3| < 5 eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdaki- 3. lerden hangisidir? |x – 3| + |x + 3| < 9 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı A) 5 D) (– ∞, 3) B) 6 C) 7 D) 8 C ) (4, ∞ ) E) (3, ∞ ) E) 9 8. 4. B ) (– ∞ , 4) A) (3, 4) vardır? |x – a| ≤ b |2x + 3| ≤ 7 |x – 1| > 0 eşitsizliğinin çözüm aralığı [ –2, 8 ] olduğuna eşitsizlik sistemini sağlayan kaç tane x tam göre, a + b kaçtır? sayısı vardır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 105 Mutlak Değer 3x –5+ 9. x 13. –1 |x2 + 2| ≤ 6 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? hangisidir? A) 1 A) [ – 4, 4] B) 3 C) 5 D) 7 E) 8 B) R – [ – 4, 4] D) [ –2, 2 ] 14. |x – 2| 2 – 3|x – 2| = 4 10. B) 1 C) 2 D) 3 E) R – [ –2, 2 ] |x + 1| + |x + 2| + y = 3 olduğuna göre, y aşağıdaki aralıkların hangisin- denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) 0 de değer alır? E) 4 A) (– ∞, –2] B ) (– ∞, –1] x–2 <0 x+1 –4 E) (– ∞, 2 ] 15. a ∈ Z olmak üzere, eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır? A) 5 C ) (– ∞, 0] ESEN YAYINLARI D) (– ∞, 1] 11. C) R |x – a| < 4 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 28 olduğuna göre, a kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 x 2 – |x| – 6 = 0 12. denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden |a2 + 4a – 22| hangisidir? A) {–2, 2 } B) {–3, 3 } D) {–2, –3 } 106 16. a ∈ Z olmak üzere, C) {2, 3 } E) {–3, –2, 2, 3 } ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 0 B) 1 C) 4 D) 22 E) 26 Üniversiteye Giriş Sınav Soruları 1. 1987 – ÖSS 5. a < |a| < a2 9 < |2x – 7| < 13 eşitsizliğinin daima sağlanabilmesi için a hangi eşitsizliğinin çözüm kümesindeki tam sayıların aralıkta bulunmalıdır? toplamı kaçtır? A) (– ∞, –1) B) (–12, 5) D) (0, 1) 2. 1989 – ÖYS A) 14 C) (–1, 0) B) 13 C) 12 E) 7 E) (–2, ∞ ) 1987 – ÖYS 6. a = |a| ve b < |b| 1992 – ÖYS x ∈ R , |x| – 1 = |x – 1| olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) ab = 1 B) ab > 1 D) ab > 0 hangisidir? C) ab ≤ 0 A) (– ∞, ∞ ) E) 0 < ab < 1 B) (– ∞, 0) D) (0, ∞ ) C) [1, ∞ ) E) (0, 1] ESEN YAYINLARI 3. D) 10 1987 – ÖYS |x2 + 1| ≤ 3 ifadesinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangi- 7. sidir? A) R B) R – [ –2, 2 ] C) [ –2, 2 ] D) R – [ – v2, v2 ] 1993 – ÖSS |x| ≤ 3 olmak üzere, –x + y – 3 = 0 E) [ – v2, v2 ] denklemini sağlayan y tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 20 4. B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 1988 – ÖYS |x| > 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 1994 – ÖYS x ∈ R olmak üzere, A) (– ∞, 1) ∪ (0, ∞ ) B) (– ∞, 0) ∪ (1, ∞ ) C) (– ∞, 0) ∪ (–1, ∞ ) D) (– ∞, –1) ∪ (1, ∞ ) E) (– ∞, –1) ∪ (0, ∞ ) 8. |4x – 10| + |2x + 5| ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 5 B) 8 C) 10 D) 15 E) 20 107 Mutlak Değer 9. 1998 – ÖSS 13. 2000 – ÖSS x <0 x + 2|x| – 4 = 0 |x| ≤ 5 denklemini sağlayan eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların çarpımı kaçtır? A) A) –10 B) –12 D) – 6 0 C) –24 4 3 B) 5 4 C) –16 3 denklemini sağlayan E) –4 5 C) 0 D ) –12 A) 2 E) –28 ESEN YAYINLARI B ) 12 11. 1999 – ÖSS x < 0 olmak üzere, değerlerinin toplamı B) 4 C) 5 D) 6 E) 10 15. 2001 – ÖSS x < 0 < y olduğuna göre, | x – |x – 8| | – 8 3. x – y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? B) –2 x D) –2 x + 16 x kaçtır? kaçtır? C) – 4x E) – 4x + 16 y+ x işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) –3 x B) –3y D) –3 12. 2000 – ÖSS C) 3 (x + y) E) 3 16. 2002 – ÖSS |x| ≤ 6 olduğuna göre y < x < 0 olmak üzere, x – 2y + 2 = 0 x 2 + 4xy + 4y 2 + y – x + koşulunu sağlayan kaç tane y tam sayısı y y2 =8 olduğuna göre, y kaçtır? vardır? 108 –8 3 |x – 4| + |x| = 8 olduğuna göre, a + 2b + 3c ifadesinin değeri A) 7 D) 14. 2001 – ÖSS |a – 2| + |b – 4| + |c – 6| = 0 A) 16 gerçel sayılarının E) –120 10. 1998 – ÖYS A) 28 x toplamı kaçtır? B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 A) –8 B) –7 C) –6 D) –5 E) –3 Mutlak Değer 17. 2002 – ÖSS 21. 2005 – ÖSS |x – 2|.|x + 5| = x – 2 eşitliğini sağlayan x Sıfırdan farklı a ve b tam sayıları için değerlerinin kümesi |b| < a aşağıdakilerden hangisidir? A) {– 4, –2 } B) {– 4, 2 } D) {2 } a < –2 b C) {–2 } olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru- E) {2, 4 } dur? A) a < 0 B) b > 0 D) a + 2b < 0 C) a.b > 0 E) a + 2b > 0 18. 2003 – ÖSS f ( x ) = |x – 2| – |x| olduğuna göre, 22. 2006 – ÖSS f ( –1) + f(0 ) + f(1 ) x = | v5 – 3| toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) – 4 B ) –2 C) 0 D) 2 y = |x – 5| E) 4 z = |y – 2| ESEN YAYINLARI olduğuna göre, z kaçtır? A) v5 B) 2 + v5 D) 10 – v5 C) 4 + v5 E) 5 – v5 19. 2003 – ÖSS |9 – x 2 | = |x – 3| olduğuna göre x 23. 2008 – ÖSS in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) –3 x < 0 olduğuna göre, |x – 1| + |x| + 3 B ) –2 C ) –1 D) 2 E) 4 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 2 B) 2 x + 2 D) 4 – 2 x C) 2 x – 2 E) 4 20. 2004 – ÖSS 24. 2008 – ÖSS x < 0 < y olmak üzere, x 2 + 2 xy + y 2 Pozitif x gerçel sayıları için |x – 1| < k olması, y–x |v x – 1| < 0,1 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? olmasını gerektiriyorsa k nin alabileceği en A) x + y büyük değer kaçtır? B) x – y D) – x – y C) – x + y E) x y A) 0,11 B) 0,19 C) 0,25 D) 0,29 E) 0,31 109 Mutlak Değer 25. 2010 – LYS 28. 2012 – YGS Verilen a, c pozitif ve b negatif gerçel sayıları için a bir gerçel sayı olmak üzere, sayı doğrusu üzerinde a nın 1 e olan uzaklığı a + 4 birimdir. a2b > abc + c2 Buna göre, |a| kaçtır? eşitsizliği sağlandığına göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) a = |b| A) B) a = c D) a < c C) c > |b| 3 2 B) 5 2 C) 7 2 D) 7 3 E) 8 3 E) c < a 29. 2012 – LYS f(x) = |2x – 5| g(x) = |x + 1| 26. 2011 – YGS fonksiyonları veriliyor. |–1 – 3| + |–2 + 4| Buna göre, ( g o f )(x) = 3 eşitliğini sağlayan x A) 8 B ) 10 C) 6 D) 4 E) 2 YINLARI işleminin sonucu kaçtır? değerlerinin toplamı kaçtır? A) –3 B) –1 C) 0 D) 2 E) 5 30. 2013 – YGS x ve y gerçel sayıları için 27. 2011 – YGS y–x=1 x bir gerçel sayı ve |x| ≤ 4 olmak üzere, 2 x + 3y = 1 eşitliğini sağlayan y tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) –1 110 y – |x – y| = 2 olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 5 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER . ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE ÜSLÜ İFADE VE DENKLEMLER 1. Kazanım : Bir gerçek sayının tam sayı kuvvetini açıklar, basit uygulamalarla hatırlatır. 2. Kazanım : Üslü ifadelerin çarpımı, bölümü ve kuvvetleri ile ilgili özellikler cebirsel olarak incelenir. 2. ÜNİT ÜSLÜ İFADE ve DENKLEMLER ÜSLÜ İFADE a ∈ R ve n ∈ Z+ olmak üzere, n tane a nın çarpımı olan an ye üslü ifade denir. an = a.a........ a n tane an ifadesinde, a ya taban, n ye üs veya kuvvet denir. Üslü İfadelerin Özelikleri ÖRNEK 2 + a, b ∈ R ve m, n ∈ Z olmak üzere, Aşağıda bazı üslü ifadeler sonuçlandırılmıştır. x a1 = a , a0 = 1 , 0n = 0 dır. x a.an + b.an – c.an = ( a + b – c ).an ® 23.25 = 23+5 = 28 x an.am = an+m ® 5 4.57.5 –2 = 5 4+7–2 = 59 x an.bn = ( a.b )n ® 3 4.5 4.16 = 3 4.5 4.24 = (3.5.2) 4 = 304 x ( an )m = an.m = ( am )n ® 12.24.35 = 22.3.24.35 = 22+4.31+5 = 26.36 x an = a n–m am ® (23 ) 4 = 23.4 = 212 x an a n =c m n b b ® 3 12 = 312–5 = 37 35 ( 00 belirsizdir. ) a –n = x Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. Pozitif sayıların ise tüm kuvvetleri pozitiftir. ESEN YAYINLARI 1 a n b –n c m c m = , b a an x İnceleyiniz. ÖRNEK 3 2.3 4 + 5.34 – 3 4 işleminin sonucu nedir? Çözüm ÖRNEK 1 Aşağıda bazı üslü ifadeler sonuçlandırılmıştır. İnceleyiniz. ® 24 = 2.2.2.2 = 16 ® –23 = (–1).23 = –1.2.2.2 = – 8 ® (–2) 4 = (–2).(–2).(–2).(–2) = 16 ® 30 = 1 ® (–3) 0 = 1 ® 0 2x = a ve 3x = b olduğuna göre, 24 x ifadesinin a ve b türünden değeri nedir? Çözüm 0 –3 = (–1).3 = (–1).1 = –1 112 ÖRNEK 4 Üslü İfade ve Denklemler ÖRNEK 5 ÖRNEK 8 25 + 25 + 25 + 25 a –2 – b –2 2 3 .2 3 a –1 – b –1 işleminin sonucunu bulunuz. ifadesini en sade biçimde yazınız. Çözüm Çözüm ÖRNEK 6 Aşağıda bazı üslü ifadeler sonuçlandırılmıştır. İnceleyiniz. ® 2 –3 = ® (–3) – 4 = –2 3 p= 2 ® f ® f– ESEN YAYINLARI ÖRNEK 9 x = 2 ve y = –1 olduğuna göre, xy + y yx – x ifadesinin sonucunu bulunuz. Çözüm –3 3 p = 4 ® (2 –2.34)–3 = ® 4 –3 – = ÖRNEK 10 ÖRNEK 7 2x – 2x – 1 2x + 2x+1 Aşağıda bazı üslü ifadeler sonuçlandırılmıştır. ifadesinin en sade biçimini bulunuz. İnceleyiniz. Çözüm ® ( – 2 3 )4 = ® ( – 2 4 )3 = ® ( – 2 3)–2 = 6 113 Üslü İfade ve Denklemler ÜSLÜ DENKLEMLER ÖRNEK 14 2m a ∉ {–1, 0, 1 } olmak üzere, ® =5 olduğuna göre, 8m an = am ⇒ n = m dir. ® – 1 – 1 ifadesinin eşiti kaçtır? Çözüm a ∉ {–1, 0, 1 } ve b ∉ {–1, 0, 1 } olmak üzere 8m – 1 = (23 )m – 1 = (2m – 1 3 ) = 53 = 125 bulunur. an = bn denkleminde; n tek ise a = b n çift ise a = ± b ÖRNEK 15 ® n a = 1 denkleminde, n = 0 dır. ( a ≠ 0 ise ) (a + 2) 4 = (6 – 2a) 4 a = 1 dir. ( n ∈ R ise ) eşitliğini sağlayan a değerlerini bulunuz. a = –1 dir. ( n çift ise ) Çözüm Verilen ifadede üsler eşit ve çift sayı olduğundan, ÖRNEK 11 22n – 1 = 64 eşitliğini sağlayan n kaçtır? Çözüm ESEN YAYINLARI 22n – 1 = 64 ⇒ 22n – 1 = 26 ⇒ 2n – 1 = 6 ÖRNEK 12 4 a+1 ÖRNEK 16 (2a – 1)3 = (a + 4)3 eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? = 32 Çözüm eşitliğini sağlayan a kaçtır? Çözüm 4a + 1 = 32 ⇒ (22)a + 1 = 25 ⇒ 22a + 2 = 25 ÖRNEK 17 (a2 + 3a)5 = (a – 1)10 ÖRNEK 13 eşitliğini sağlayan a kaç olabilir? 9 x – 2 = 27 x + 1 Çözüm eşitliğini sağlayan, x kaçtır? Çözüm 9x – 2 = 27 x 114 +1 ⇒ (32 ) x – 2 = (33 ) x +1 Üslü İfade ve Denklemler ÖRNEK 18 a ve b tam sayılar x ve y gerçel sayılar olmak (n + 3)n – 1 = 1 üzere, x ≠ y iken xa = yb ise a = b = 0 dır. eşitliğini sağlayan kaç farklı n reel sayısı vardır? Çözüm ÖRNEK 21 a ve b tam sayılar olmak üzere, 3a – 1 = 5a + b + 1 eşitliğini sağlayan a.b kaçtır? Çözüm ÖRNEK 19 (x – 8) x 2 – 4 =1 eşitliğini sağlayan kaç farklı x reel sayısı vardır? Çözüm ESEN YAYINLARI ÖRNEK 22 (x 2 – 9) x + 3 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm ÖRNEK 20 (x + 2) x 2 – 4 =1 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? Çözüm ÖRNEK 23 2a + 2a + 2a + 2a = 16 4a + 4a olduğuna göre, a kaçtır? Çözüm 115 Üslü İfade ve Denklemler ÖRNEK 24 2x + y = 3 ve 3 x olduğuna göre, – y a > 1 iken an < am ⇒ n < m dir. =4 2 2 5x – y ifadesinin değeri kaçtır? + y x – y =4 0 < a < 1 iken an < am ⇒ n > m dir. Çözüm 3x – y = 4 ⇒ (2 x ) ÖRNEK 27 32 x – 1 < 3x + 4 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x doğal sayısı vardır? Çözüm Taban 1 den büyük olduğundan, 32 x – 1 < 3x + 4 ⇒ 2 x – 1 < x + 4 ⇒ x < 5 tir. x ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 } olup x in alabileceği 5 farklı doğal sayı değeri vardır. ÖRNEK 25 ÖRNEK 28 10 (x – 2) = (2 – x) x e eşitliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? 2 x+2 2 2x – 1 <e o o 5 5 eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır? ESEN YAYINLARI Çözüm Çözüm ÖRNEK 29 e 4 n – 2 27 ≤ o 9 8 eşitsizliğini sağlayan n reel sayıları hangi aralıkta değer alabilir? ÖRNEK 26 3.2 a+2 Çözüm +2 a+3 = 80 eşitliğini sağlayan, a kaçtır? Çözüm 116 Üslü İfade ve Denklemler ÖRNEK 30 ÖRNEK 33 a = 7 – 8 , b = 7 –10 , c = 7 –12 27 a = 32 sayıları arasındaki sıralama nedir? 8 b = 81 Çözüm olduğuna göre, a.b kaçtır? Çözüm ÖRNEK 34 2 a .3 b = 108 ÖRNEK 31 a = 336 , b = 260 , c = 524 2 b .3 a = 12 sayıları arasındaki sıralama nedir? olduğuna göre, a + b kaçtır? Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm 4 ax = by au = bv 4 ⇒ x y = u v dir. ÖRNEK 35 a > 1 olmak üzere, ÖRNEK 32 3x = 4 3y = 8 Çözüm 4 olduğuna göre, x+y y–x x = (a2 )3 , y = a (2 kaçtır? 3) , z = (a3 )2 sayıları arasındaki sıralama nedir? Çözüm x = (a2 )3 = a2.3 = a6 y = a (2 3) = a8 z = (a3 )2 = a3.2 = a6 olduğundan x = z < y bulunur. 117 ALIŞTIRMALAR 1. 4. Aşağıdaki işlemler doğruysa boş kutulara “ D ” Aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz. yanlışsa “Y” yazınız. 4x + 4x + 4x 2x + 2x + 2x a. 33.34 = 312 24.34.44 = 244 b. 23.24.25 = 212 41.42.43 ...... 420 = 2420 2x + 2x+1 + 2x – 1 2x + 2x – 1 + 2x – 2 c. 2a + 2a + 2a = 23a 2a – 1.31 – a = e 2 a –1 o 3 5. a. a3.a2.a b . ( –5)2.(–5 )3.(–5 )4 Aşağıdaki eşitliklerin her birinden x değerlerini bulunuz. Aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz. ESEN YAYINLARI 2. 3 x . 3 x .3 x 27 x + 27 x + 27 x a. 2 x + 2 x – 1 + 3.2 x + 1 = 15 b. 3 x + 3 x + 1 – 3 x – 2 = 35 c. 2a3. (2a )3.4a–1 d . ( 3 + 3–1 )–1 c. 4 x .2 x – 1 81+x = 1 16 e. ( –1)1 + (–1 )2 + (–1 )3 + ... + ( –1 )145 f. –2 2 –5 d. 3 3 ( –a ) .(–a ) .(–a ) 5 2 2x + 2x – 1 – 2x+2 4x + 4x+1 =– 1 2 1 g . 16 4 + 8 3 – 64 3 6. 3. x ∈ Z ve y ∈ Z olmak üzere, x = –2 ve y = 2 olduğuna göre, xy –y yx – xy 118 ifadesinin eşiti nedir? 5x – y + 4 = 3x + y + 2 ise x+y x–y ifadesinin eşiti kaçtır? Üslü İfade ve Denklemler 7. 2 x = a ve 3 x = b ise sol sütunda verilen ifade10. lerin eşitlerini sağ sütundan bulup eşleştiriniz. 1 a 2 3 a 2 6 –x 4 d 5 (0,5)x + 1 x+y x–y oranı nedir? 5a = 8 ve 5b = 64 olduğuna göre, a+b ifadesinin eşiti kaçtır? a 12 a2b 6 f 11. 1 a 121 – x e olduğuna göre, 1 2a 4x – 1 c 4 y = 27 4 a2 4 2x – 1 b 2x = 9 (0,3 ) x 1 ab 12. 3 x – 1 = 4 ve 2 x + 2 = 20 8. Aşağıdaki işlemler doğruysa boş kutulara “ D” yanlışsa “Y” yazınız. 2.1020 sayısı 21 basamaklıdır. ESEN YAYINLARI olduğuna göre, 12 x ifadesinin eşiti kaçtır? 13. a = 2n – 1 ve b = 2 – n + 1 olduğuna göre, a nın b türünden değeri nedir? 1010 sayısı 10 basamaklıdır. 45.253 sayısı 8 basamaklıdır. 48.15.25.50 sayısı 6 basamaklıdır. 0,2.0,5.106 sayısı 6 basamaklıdır. 14. x = 2n + 1 ve y = 4n – 1 olduğuna göre, y nin x cinsinden değeri nedir? 9. e b 125 4 a o =f p 25 8 a olduğuna göre, ifadesinin eşiti kaçtır? b 15. 2.3a + 22 + b = 22 3a – 3.2b = –9 4 olduğuna göre, a.b kaçtır? 119 Üslü İfade ve Denklemler 3 x .52y = 75 16. 22. 25 x .3y = 625 olduğuna göre a, b, c yi küçükten büyüğe doğru sıralayınız. olduğuna göre, x – y ifadesinin eşiti kaçtır? 2a = 6 ve 2b = 17. 16 9 23. 24. =4 olduğuna göre, 3 –2 =1 (2x + 1)6 = 512 ifadesinin eşiti kaçtır? x a = 3 , 3b = 2 ve 2c = x 7 19. 2–x eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? a olduğuna göre, a.b.c ifadesinin eşiti kaçtır? ESEN YAYINLARI 18. (x + 1) x eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? olduğuna göre, 2a + b ifadesinin eşiti kaçtır? a –1 12 a a = 224 , b = 316 ve c = 512 25. (2x – 8)6 = (8x – 2)6 olduğuna göre, x in alabileceği en büyük değer nedir? 2a = 10 , 3b = 75 , 5c = 350 20. olduğuna göre, a, b, c yi küçükten büyüğe 26. doğru sıralayınız. f x–4 2 p 3 <f x+1 9 p 4 eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam sayısı kaçtır? 3a = 32 21. 5b = 26 7c = 14 olduğuna göre, a, b ve c yi sıralayınız. 120 27. 2a ≤ 1 ve 3a > 1 90 eşitsizliklerini sağlayan kaç tane a tam sayısı vardır? Yazılıya Hazırlık Soruları 1. x = 2 ve y = –1 olduğuna göre, 1 4. xy + y 3 x +1 = 5 olduğuna göre, 25 x ifadesinin eşiti kaçtır? yx – x ifadesinin sonucunu bulunuz. (– a – 2) – 3 . (– a 2) – 2 . (a –1) 4 – a – 3 . (– a) –1 ifadesinin eşitini bulunuz. 3. 5. A = 2 x + 1 ve B = 5 x – 1 olmak üzere, A.B = 400 ise x kaçtır? ESEN YAYINLARI 2. 3 n + 1 . 4 3n 3n – 1 8n+3 = 72 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 6. 2 2 .2 2 .2 2 22 + 22 + 22 = 3x+3 2x olduğuna göre, x kaçtır? 121 Üslü İfade ve Denklemler 3x – y = 4x 7. 16x – y = 3y 9. olduğuna göre, 6 x y x olduğuna göre, ifadesinin eşiti kaçtır? + y x olduğuna göre, x – y ifadesinin eşiti kaçtır? 122 +1 ifadesinin a ve b cinsin- den değeri nedir? ESEN YAYINLARI 3x – 3y 1 = 3x + 3y 2 8. 2 x = a ve 3–x = b 10. (2x + a)2 = (b – x)2 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı 4 olduğuna göre, a2 – b2 kaçtır? TEST 1. 1 Üslü İfade ve Denklemler 2–1 + 20 + 2 5. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) 5 2 C) 7 2 D) 9 2 ifadesinin yarısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 410 E) 8 6. 2. 810 e– 221 – 220 B ) 22 D ) 211 D ) 25 E ) 229 1 3 o . (–2 4) 2 E) 220 A) –2 B) – 1 2 C) 1 D) 2 E) 1 2 ESEN YAYINLARI C ) 210 C ) 45 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 B ) 85 3. 7. ( –a)5·(–a4 ) e çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir? bölme işleminin sonucu aşağıdakilerden hangi- A) – a9 sidir? B ) a9 C ) a–9 D ) a–1 E) a A) 24 4. 1 2 1 6 o :e – o 2 2 2a+1 8. 2a – 1 B) 3x – 3 = 1 23 C) – 1 23 eşitliğini sağlayan x kaçtır? A ) 2a A) 1 C ) 2–a D) 2 E) 4 E ) –24 D) 4 E) 5 1 9 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? B ) 22a D ) –23 B) 2 C) 3 123 Üslü İfade ve Denklemler 9. 13. a pozitif bir sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi negatiftir? –2 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? 3 B ) – ( –a ) A) a 42.84.163 = 2 x D) a–1 C) –a –3 A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29 E ) (–a )2 14. 3a = 4 olduğuna göre, a x – 1 = 3 ve ay + 1 = 9 10. 9a – 1 $ f olduğuna göre, 2 x – y kaçtır? A) –2 B ) –1 C) 1 D) 2 2 3 p 4 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? E) 3 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4 ESEN YAYINLARI A) –1 n+1 11. 6 =3 olduğuna göre, 2n ifadesinin eşiti kaçtır? A) 2 B) 3 C) 1 3 D) 1 2 E) ifadesinin sadeleşmiş şekli nedir? 3 2 a = 2 x –1 ve b = 4 x –1 12. 2x+y+3 – 2x+3 2x+y – 2x 15. n+2 A) 8 16. f olduğuna göre, b nin a cinsinden değeri nedir? A) a2 B) a2 + a D) a + 1 124 C ) a2 + 2a E) a + 2 B) 4 C) 2 D) 2 x E) 2x + y D) –1 E) –3 1 1 – 1 p: f x + 1 p = 2 9x 3 olduğuna göre x kaçtır? A) 3 B) 1 3 C) – 1 3 TEST - 4 Üslü İfade ve Denklemler 3a = 2 , 2b = 5 ve 5c = 312 1. 5. (–a)7.(–a4 ).(–a)–2 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaça eşittir? ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 A) –a11 B) 6 C ) 12 D ) 24 E) 60 B ) a11 D) –a9 C ) a9 E ) a7 3 x = 5 ve 3y = 45 2. 2x 6. olduğuna göre, 5 y – 2 ifadesinin eşiti kaçtır? A) 1 25 B) 1 5 C) 1 D) 5 3a + 3–a = p olduğuna göre, 9a + 9–a ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? E) 25 A) p2 + 2 B) p2 E) 2p ESEN YAYINLARI D) 2p – 2 C ) p2 – 2 f 3. –2x + 5 81 p 16 =f 3x + 10 2 p 3 7. olduğuna göre, x reel sayısı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 1– ax 1 – a –x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? E) 6 A) –a–x 2a – 1 = 5 x ve 4. olduğuna göre, a b–2 b–1 B) D) 2 + 2b C ) a–x D) 1 E ) –a x b = 1 – 5–x nın b cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) ax 2–b 2 – 2b 8. 2 x + 3 – 2 x + 2 + 2 x + 1 – 2 x = 20 olduğuna göre, 9 x ifadesinin eşiti aşağıdakiler- C ) 2 – 2b E ) 2b – 1 den hangisidir? A) 81 B) 9 C) 3 D) 1 3 E) 129 1 9 Üslü İfade ve Denklemler 25 10 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 25 B ) 20 4 3 . (–2) –2 10. (–a2 )3.(–a–3 )–1.(a–2 )3 13. 2.5 22 – 9.5 21 9. 63 : C ) 15 D ) 10 (–3) 2 . (–1) –1 olduğuna göre, 1 D) 6 A) 1 E) 4 7 3 B) x+y x–y 7 4 ifadesinin değeri kaçtır? C) 7 D) – 7 4 E) – 7 3 ESEN YAYINLARI 1 C) 8 E ) a3 5 x = 4 ve 25y = 8 14. (–2) 3 1 B) 10 D ) a4 E) 5 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 1 A) 12 B) –a–3 C ) –a4 A) 1 2 11. 1 – y.x –1 – B) 0 C) 1 D) 2 E) A) 36 130 B) 2 C) 3 D) 4 B) 68 3x+1 16. olduğuna göre, 2a – b ifadesinin eşiti kaçtır? A) 1 ax – bx = 5 C) 72 D) 108 E) 144 D) 1 E) 2 x y 9 2a = 3 ve 2b = 8 12. ve olduğuna göre, ( ab) x ifadesinin değeri kaçtır? x.y –1 – 1 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) –2 a2x + b2x = 169 15. 2 E) 5 (0, 1) x = 81 27 x olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 2 B) 3 2 C) 2 3 Üniversiteye Giriş Sınav Soruları 1. 1988 – ÖSS 2 x +1 5. x + 6. ( 2 ) + 4. ( 2 x –1 x – a = 2 olduğuna göre ) = 80 (x2a – 1 )–1 denkleminin çözümü nedir? A) 1 B) 2 C) 3 1992 – ÖYS D) 4 ifadesinin x türünden değeri nedir? E) 5 A) x 2. B ) 2x –1 E ) 5x D) 3 E) 9 3 H 6. 1992 – ÖSS 1 a =3 b ifadesinin kısaltılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? 1 B) 23 1 1 C) 23 26 D ) –2 3 E) 2 1990 – ÖSS 2 3 1 9 A) – 7. 3 2 5 3( a ) – 2 (a ) – a hangisidir? B ) a6 D) a6 – 2a5 C ) a6 – a5 8. C ) –1 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 1 5 E) 1 1993 – ÖSS 3 2 + (–2) 3 1, 2.10 – 4 (–1) 4 + 2 2 işleminin sonucu kaçtır? B ) 10–1 D) 10 1 3 1992 – ÖYS A) 4 0, 9.10 – 3 + 0, 03.10 – 2 B) – olduğuna göre a kaçtır? E ) 2a6 – 3a5 1992 – ÖSS A) 10–2 ve n ve a sıfırdan farklı birer gerçel sayı ve J Nn 1 K O 12 n .n = K 2a.n n O K O L P ifadesinin kısaltılmış biçimi aşağıdakilerden A) 0 b n e o = 27 a olduğuna göre n kaçtır? 3 ESEN YAYINLARI A) – 4. D ) 4x 1989 – ÖSS >f – 1 p 2 3. C ) 3x C) 1 E ) 102 işleminin sonucu kaçtır? A) – 1 5 B ) –1 C) 17 5 D) 131 Üslü İfade ve Denklemler 9. 1993 – ÖSS 2 93 – 13. 1994 – ÖYS 2 92 x 2 – y2 = 15 ve 2 94 işleminin sonucu kaçtır? 1 A) 4 1 B) 8 4x – y = 16 4y – x olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? 1 C) 16 1 D) 32 1 E) 64 A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 10. 1993 – ÖSS 14. 1994 – ÖSS 5 x = 4 olduğuna göre 6x + 1 = 3x + 2 ( 125 ) x + 5 x + 2 olduğuna göre 2 x + 1 ifadesinin değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? B ) 116 C ) 104 D ) 84 A) 1 E) 24 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 ESEN YAYINLARI A) 164 11. 1994 – ÖSS 15. 1995 – ÖSS 4.10 –3 + 3.10 – 4 10 – 4 5 (0, 027) 3 .10 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,43 B ) 4,3 D) 430 C ) 43 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 3–3 E ) 4300 5 B ) 35 D) 34.10 C ) 33.10 E) 34.102 12. 1994 – ÖSS m , n birer tam sayı ve e m 1 o = 8 olduğuna n 99 sayısının göre m + n toplamı kaçtır? A) –1 132 B ) –2 C ) –3 16. 1995 – ÖSS D ) –4 E) –5 A) 319 1 ü aşağıdakilerden hangisidir? 3 B ) 317 C ) 36 D ) 35 E ) 33 Üslü İfade ve Denklemler 17. 1995 – ÖSS a – 1 2 21. 1996 – ÖYS 4 x = (23 )4 , y = 2 (3 ) , z = (212 )3 =4 olduğuna göre 4a – 1 ifadesinin değeri kaçtır? olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi A) 8 doğrudur? B ) 16 C ) 32 D ) 64 E) 128 A) z < x < y B) z < y < x D) x < y < z 18. 1996 – ÖSS f 0, 018 0, 006 = (27) 1– a (2 –1 + 20 ) –2.32 işleminin sonucu kaçtır? olduğuna göre a kaçtır? B ) –3 C) 1 2 D) 1 3 E) A) 2 1 4 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 D) 14 E) 12 D) 5 E) 6 ESEN YAYINLARI A) –4 E) x < z < y 22. 1997 – ÖSS a+1 p C) y < x < z 19. 1996 – ÖSS 23. 1997 – ÖSS 2 x = a ve 3 x = b olduğuna göre, 72 x 3n+1 + 3n ifadesinin a ve b türün- den değeri aşağıdakilerden hangisidir? 3 3 3 2 A) a b 2 2 D) a b 2n – 2n – 1 2n – 2 işleminin sonucu kaçtır? 2 3 B) a b 2.3 n – 2 + C) a b A) 20 B) 18 C) 16 E ) ab 20. 1996 – ÖYS 24. 1998 – ÖYS 2 4 .10 3 14 a + 14 a = 32 7a + 7a + 7a + 7a 6 + 3.2 – 4 + 5.2 – 4 + 3.2 –1 işleminin sonucu kaçtır? A) 1600 B ) 2000 D) 4000 C ) 2500 E ) 8000 olduğuna göre a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 133 Üslü İfade ve Denklemler 25. 1999 – ÖSS a= b 3 29. 2001 – ÖSS x > 0 ve a = 2 x olduğuna göre ve ab = 224 4x+1 – 4 olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır? A) 12 B ) 24 C ) 36 D ) 48 2x+1 – 2 E) 60 ifadesinin a türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2(a + 1) B) 2a + 3 D) 3a – 2 C) 3(a – 2) E) 3(a + 2) 26. 1999 – ÖSS 3.2 x + 2 + 4.2 x = 8 olduğuna göre x kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 30. 2002 – ÖSS D ) –1 a = 9 x + 5 ve b = 3 – 3 x E) –2 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi a ya eşittir? B) b2 – 3b ESEN YAYINLARI A) 3 – b 27. 2001 – ÖSS –3 >f – 1 p 2 H 2 işleminin sonucu kaçtır? A) – 1 1 B) – C ) 16 32 16 D) b2 – 6b + 7 C) b2 + 4 E) b2 – 6b + 14 31. 2003 – ÖSS D ) 32 E) 64 48 4 – 4 x + 3 x .4 x + 1 = 12 1– x olduğuna göre x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 28. 2001 – ÖSS 3m = a 32. 2004 – ÖSS 7m = b olduğuna göre ( 147 )m nin a ve b türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 2 a .b 3 D) ab 134 C ) a2b2 B ) ab 2 2 E) a b 2 1 – e– o 3 8 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 4 B) 2 C) 3 16 D) – 1 1 E) – 12 4 Üslü İfade ve Denklemler 33. 2004 – ÖSS 37. 2006 – ÖSS 4 2m – 1 > f x ≠ 1 olmak üzere, 22x + y – 2 x + y + 1 – 2 x + 2 = 0 olduğuna göre, x ile y eşitsizliğini sağlayan en küçük m tam sayısı arasındaki bağıntı kaçtır? aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 x + y = 0 B) 2x – y = 0 D) x – y = 0 m+7 1 p 16 A) – 4 C ) x + 2y = 0 B) –3 C) –2 D) 1 E) 2 E) x + y = 0 38. 2007 – ÖSS 1 den farklı a ve b pozitif gerçel sayıları için ab = ab 34. 2005 – ÖSS a = a2b b 2 12 + 2 13 2 14 – 2 15 olduğuna göre, b kaçtır? 3 2 4 B) C) A) 5 4 3 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 3 4 B) – 4 3 C) – 3 2 D) 2 3 E) 3 4 ESEN YAYINLARI A) – 35. 2005 – ÖSS D) 5 6 E) 6 7 39. 2009 – ÖSS 3m = 2 olduğuna göre a, b, c gerçel sayıları için 32m + 1 2a = 3 ifadesinin değeri kaçtır? b 3 =4 A) 5 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18 4c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 40. 2009 – ÖSS x, y, z ve t sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, 3 x = 5y 3z = 5t 36. 2006 – ÖSS 3 20 – 3 10 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? _ 3 5 + 1 i_ 3 5 – 1 i işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 9 C ) 35 D ) 310 E) 315 A) x + y = z + t B) x – y = z – t C) x – z = t + y D) x y = zt E) x t = yz 135 Üslü İfade ve Denklemler 41. 2010 – YGS 3n ( 16) 45. 2011 – LYS 3 – (0, 25) –2 0, 2 5 =8 olduğuna göre, n kaçtır? 3 A) 2 3 C) 5 4 B) 3 5 D) 4 işleminin sonucu kaçtır? 5 E) 6 A) C) 1 15 D) –1 E) –3 3 –2 – 2.3 –3 işleminin sonucu kaçtır? A) 1515 B) 1514 işleminin sonucu kaçtır? C ) 14.1513 A) E) 1613 ESEN YAYINLARI D) 10.1613 43. 2011 – YGS 1 B) 2 3 C) 1 4 D) 2 9 E) 4 9 47. 2012 – YGS 2 x – 2 – y (2 x + y – 2) –1 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? işleminin sonucu kaçtır? B) 6 1 3 x ve y birer gerçel sayı olmak üzere, 4 2 + (– 8) 3 – 1 A) 2 3 10 6 –2 – 4.6 –3 1513 + 6.1513 + 8.1513 2 B) 46. 2012 – YGS 42. 2010 – YGS 1 –2 5 C ) –1 D) 0 E) –2 A) 2x + 1 B ) 2y – x D) 2 – 2y C) 2 – y + 1 E ) 22y – 1 44. 2011 – YGS 12a = 2 48. 2012 – LYS 3x 6b = 3 olduğuna göre, 12 (1 – a)2b ifadesinin değeri kaçtır? A) 15 136 2 2x = 1 5 1 olduğuna göre, 5 x ifadesinin değeri kaçtır? B ) 16 C) 9 D) 8 E) 4 A) 3 2 B) 4 3 C) 9 4 D) 9 5 E) 5 6 Üslü İfade ve Denklemler 49. 2013 – YGS 2 –2 4 –1 + 1–1 m = 13 –1 olduğuna göre, m kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 50. 2013 – YGS 2.(0,2)3 + (0,4)3 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,06 B) 0,08 E) 0,14 ESEN YAYINLARI D) 0,12 C) 0,1 51. 2013 – YGS x ve y gerçel sayıları için, 2x = 6x + y – 1 olduğuna göre, 3x in y türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 31–y B) 61–y D) 9–y C) 6y E) 91+y 137 ESEN YAYINLARI Üslü İfade ve Denklemler 138 . ÜNİTE DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE KÖKLÜ İFADELER 1. Kazanım : Kareköklü ifadeleri açıklar, özelliklerini belirtir ve uygulamalar yapar. 2. Kazanım : Bir gerçek sayının rasyonel sayı kuvvetini örneklerle açıklar, köklü ifadelere ait işlemlerin özelliklerini üslü ifadelerin özelliklerinden yararlanarak gösterir ve uygulamalar yapar. 2. ÜNİT KÖKLÜ İFADELER n. Dereceden Kök n , 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere, x n = a denklemini sağlayan x sayısına, a nın n. dereceden kökü denir ve x = n a şeklinde gösterilir. Zn ] a ® x =a ⇒ x = [ ] !n a \ , n tek n ® x 2 a = a 2. dereceden ( kare) kök a x 3 a 3. dereceden ( küp) kök a x 4 a 4. dereceden kök a diye okunur. ∀ n ∈ Z+ ve a ∈ R+ için 3, Örneğin, ® 3 5, 4 n 1 , 2 a ∈ R dir. 5 0, 07 sayıları birer reel (gerçel) sayıdır. n pozitif tek tam sayı ve b ∈ R– için Örneğin, ® , a ≥ 0 ve n çift 3 –2 , 3 –4 , 7 –2 , 4 –3 , b ∈ R dir. – 0, 5 sayıları birer reel (gerçel) sayıdır. n pozitif çift tam sayı ve c ∈ R– için Örneğin, n – 0, 1 , 6 n c ∉ R dir. –7 sayıları birer reel (gerçel) sayı değildir. ÖRNEK 1 A= ÖRNEK 2 x –2 +3 x+5 +4 5– x A= x+4 +4 6– x olmak üzere A bir reel sayı ise x in değerler aldığı olmak üzere A bir reel sayı ise x in aldığı tam sayı aralığı bulunuz. değerlerinin toplamını bulunuz. Çözüm Çözüm 140 Köklü İfadeler Köklü İfadelerin Özellikleri ÖRNEK 3 A= 2 – x + 3. x – 2 3 x+1 x 1 n a = an n a olmak üzere A bir reel sayı ise x kaçtır? x Çözüm x x ÖRNEK 4 m m =an an = * n a , n tek ise a , n çift ise ^ n a hm = n a m a m = n.k a m.k , ( k ∈ Z + ) x n x a. n b = n a n .b , ( n çift ise a > 0 olmalıdır. ) x n x . n y = n x.y n x n y Aşağıdaki denklemlerin, reel sayılarda çözüm küme- 2 3 a. x = 3 b. x = 5 c . x 4 = 10 d . x 3 = –7 e . x 2 = –5 f. x 6 = –2 Çözüm ESEN YAYINLARI lerini bulunuz. x x x =n x , (y≠0) y x. n a + y. n a – z. n a = (x + y – z) . n a n m a = n.m a ÖRNEK 5 Aşağıda yapılan işlemleri inceleyiniz. 4 5 = ® ® 5 a 10 = 2 ® 23 = ® 32 = 1 141 Köklü İfadeler ÖRNEK 6 a ≥ 0 olmak üzere, Aşağıda yapılan işlemleri inceleyiniz. n a n = a dır. 1 ® 10 2 = ® 4= ÖRNEK 9 22 = 2 = 2 Aşağıda bazı köklü ifadeler sonuçlandırılmıştır. İnceleyiniz. (–2) 2 = –2 = 2 ® 25 = ® 8= 52 = 5 ® 3 ® 4 (–5) 4 = –5 = 5 ® 4 81 = 4 3 4 = 3 ® 5 64 = 5 2 5 .2 = 2. 5 2 ® 4 48 = 4 2 4 .3 = 2 4 3 6 x 8 = 2.3 x 2.4 = 3 x 4 ® (–2) 3 = –2 ® 2 2 .2 = 2 2 ÖRNEK 10 ÖRNEK 7 12 + 27 – 48 işleminin sonucu bulunuz. ESEN YAYINLARI 14 + 1 + 9 işleminin sonucunu bulunuz. Çözüm Çözüm ÖRNEK 11 a < 0 < b olduğuna göre, 4 ÖRNEK 8 0, 09 + 1, 21 – 142 (a – b) 2 + b 2 ifadesinin eşitini bulunuz. 0, 64 işleminin sonucu bulunuz. Çözüm a4 – Çözüm 4 a4 = | a | = – a Köklü İfadeler ÖRNEK 12 ÖRNEK 14 0, 49 – 1 < x < 2 olduğuna göre, 0, 16 + 1, 44 işleminin sonucunu bulunuz. x 2 – 2x + 1 + x 2 – 4x + 4 Çözüm işleminin sonucunu bulunuz. Çözüm ÖRNEK 15 ÖRNEK 13 ( 5 – 3) 2 + 3 ( 3 – 2) 3 + 4 ( 5 – 2) 4 işleminin sonucunu bulunuz. Çözüm ESEN YAYINLARI 2+ 7 + 9 7+ 1 9 işleminin sonucunu bulunuz. Çözüm v5 < v9 ⇒ v5 < 3 ⇒ v5 – 3 < 0 olacağından ÖRNEK 16 x 2 – 6x + 9 = 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm 143 Köklü İfadeler ÖRNEK 17 ÖRNEK 19 Aşağıda yapılan işlemleri inceleyiniz. Aşağıda yapılan işlemleri inceleyiniz. ® ® 3 2 . 3 4 = 3 2.4 = 3 8 = 3 2 3 = 2 27 ® 3 3 ® = 2. 3 = 3.2 2 2 .2 = 2.2 2 2 .2 = 4 8 2 2 = 3 24 2 =3 4 3 52 4 5 = 3 4 2 4 .2 = 3.4 2 4 .2 = 12 32 5 2.4 .5 = 3.4 5 8 .5 4 3 2 2 = 2 . 3 5 = 6 2 . 3.2 5 1.2 ESEN YAYINLARI 6 5 = 3.2 5 = 6 5 2 1.2 . 2.3 3 1.3 ® ® 3 ® ® ® 2 = 2.2 2 = 4 2 ® 12 . 3 = 12.3 = 36 = 6 ® ÖRNEK 20 a = 2, b = 3 3, c=6 6 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. ® 4 3 3 4 Çözüm = ÖRNEK 18 (2 + 3 ) (4 – 3) işleminin sonucunu bulunuz. Çözüm ÖRNEK 21 a = 3 ve b = 5 ise 180 ifadesinin a ve b türünden değeri nedir? Çözüm 144 Köklü İfadeler Paydanın Rasyonel Yapılması ÖRNEK 22 Çarpımları rasyonel sayı olan iki reel sayıdan her x + 1 + – (x – 3) 2 – 2x birine diğerinin eşleniği denir. ifadesi bir reel sayıya eşit olduğuna göre, bu sayıyı bulunuz. ( va – v b).( va + v b) = a – b olduğundan Çözüm va – v b ile va + v b eşlenik ifadelerdir. Aşağıdaki tabloda sıklıkla kullanacağımız bazı ifadeler ve eşlenikleri verilmiştir. İnceleyiniz. x m m an a+ b y x.y am–n a a– b a–b 3 a + 3 b 3 a2 – 3 a.b + 3 b2 a+b 3 a – 3 b 3 a2 + 3 a.b + 3 b2 a–b ÖRNEK 23 bulunuz. Çözüm ESEN YAYINLARI 6v3 sayısının bulunduğu en dar tam sayı aralığını ÖRNEK 25 Aşağıda verilen bazı köklü ifadelerin paydaları rasyonel yapılmıştır. İnceleyiniz. 1 ® 3 = ÖRNEK 24 47.51 + 4 işleminin sonucunu bulunuz. 6 ® 2 = Çözüm 5 ® ® 3 2 4 = 5 8 = 145 Köklü İfadeler ÖRNEK 26 ÖRNEK 29 2 6 Aşağıda verilen bazı köklü ifadelerin paydaları rasyonel yapılmıştır. İnceleyiniz. ® ® ® 1 5+ 3 2 7 –2 ifadesinin paydasını rasyonel yapınız. = 1 3– 2+ 3+ 5 2 Çözüm = = ÖRNEK 27 1 3+ 2 + 1 ÖRNEK 30 2 –3 Aşağıdaki ifadelerin paydasını rasyonel yapınız. ESEN YAYINLARI ifadesinin sonucu kaçtır? Çözüm ÖRNEK 28 1 6 + 11 ifadesinin paydasını rasyonel yapınız. Çözüm 146 a. 1 4 Çözüm 3 +1 b. 2 3 3 –1 Köklü İfadeler ÖRNEK 34 a + 2 b veya m+n = a m.n = b a – 2 b ifadeleri için, 9–4 5 – 4 olacak şekilde m, n ∈ R varsa + 5 işleminin sonucunu bulunuz. Çözüm a+2 b = a–2 b = m+ n m– n eşitliklerini yazabiliriz. ÖRNEK 31 5+2 6 ifadesinin eşitini bulunuz. Çözüm ÖRNEK 35 3+ 5 ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 32 8– 60 ifadesinin eşitini bulunuz. ESEN YAYINLARI Çözüm Çözüm ÖRNEK 36 4 ÖRNEK 33 4+2 3 + 4–2 3 işleminin sonucunu bulunuz. 49 – 20 6 ifadesinin eşitini bulunuz. Çözüm Çözüm 147 Köklü İfadeler Sonsuz Kökler ® ® ÖRNEK 39 n x n x n x… = n – 1 x n x: n x: n x: … = n + 1 x 56 + 56 + 56 + … işleminin sonucunu bulunuz. Çözüm ® x. (x + 1) + x. (x + 1) + ... = x + 1 ® x. (x + 1) – x. (x + 1) – ... = x ÖRNEK 37 Aşağıdaki sonsuz köklerin eşitini bulunuz. 5 a. 5 5... b. 3 7 3 7 3 7… Çözüm Bu tür sonsuz kök işlemlerinde, verilen formüllerESEN YAYINLARI den yararlanmak mümkündür. Ancak bazı soru tiplerinde o formüller yetersiz kalabilir. ÖRNEK 40 a2 + 3 – a 2 – 3 = 5 olduğuna göre, a2 + 3 + a2 – 3 ifadesinin eşitini bulunuz. Çözüm ÖRNEK 38 a+ a+ a+… = 5 olduğuna göre, a kaçtır? Çözüm 148 ALIŞTIRMALAR 1. 4. Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanları için boş Aşağıdaki ifadelerin sonuçlarını bulunuz. kutulara “D ” yanlış olanları için “Y ” yazınız. a < 2 ise a 2 – 4a + 4 = 2 – a 1 < a ise a 2 – 2a + 1 = 1 – a a < b ise a 2 – 2ab + b 2 = b – a 2. 3 27 b. 23 + –3 + 47 + 4 c. ( 3 – 1 ) 2 + 3 ( 3 – 1) 3 a 2 . b 2 = a.b a < 0 < b ise a < 0 ise 3 + 75 – 4 a. a3 = – a d. e. Aşağıdaki tabloda x ve y birbirinin eşleniğidir. 3 3– 17 . 3 3 + 17 1 2+ 3 – 2 3 – 2 3 x y x.y 3 2– 3 ESEN YAYINLARI Buna göre tablodaki boş yerleri doldurunuz. f. g. 3 +1 h. 2– 5 3 2 –2 3 3. 3 2 5 8 3 2+1 3 3 –2 ı. 3 6– 3 3– 2 5 +2 – : 0, 48 – 2 5– 3 + 5 5 5 –2 3+ 2 0, 45 0, 2 + 1, 25 1 1 + 64 36 i. (–5) 2 + 3 (–3) 3 j. 7 + 4 + 15 + 1 k. 4+ 7 + 4– l. 9x 2 + 36 + 4x 2 + 16 7 a – 2b + 2b – a + ab a2 – b2 ifadesinin reel sayılardaki eşiti nedir? 149 Köklü İfadeler 5. Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanları için boş 8. 4 kutulara “ D ” yanlış olanları için “Y” yazınız. x + 4 y = 5 ve x– y =5 olduğuna göre, x + y kaçtır? (a + b) 2 3 = a+b (a – b) 3 = a – b a.b = a . b 9. a 2 .b 2 = a.b Aşağıdaki işlemlerin herbirini sonuçlandırınız. 3999.4003 + 4 a. a2 + b2 = a + b 35 + 5 – b. Aşağıdaki sol sütünda verilen ifadelerin eşitini sağ sütundan bulup eşleştiriniz. 3 2 8 2 2 2 128 3 c 3 d ab 2 . 3 a.b 2 a 13 .b 16 4 ^ 3 a 2 .b 4 h 2 a 4 b 5 . 3 ab 3+2 2 d. 9 16 8 + – 25 81 15 a. 6 4 + 12 7 4 a= 3 x+ 1+ 9 = 2 2 +1 g 5– 10. Aşağıdaki sorularının herbirinde x değerlerini 3 –1 f 3 +1 24 b. a + 1 + a = 4 ve a+1 – c. 2+ x – d. x+ x+ x+ . . . = 4 e. x+ x+ x+ . . . = x+4 8 28 – 16 3 3, b = 3 3– 5 ve c = 6 2 2– x =1 30 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 150 9.10.11.12 + 1 bulunuz. 5 e 7. c. 2 2 2 b h 7 +1 1 a ESEN YAYINLARI 6. 7 –1 a =x Yazılıya Hazırlık Soruları 1. 0 < x < –y olmak üzere, 3 –x 3 + 4 y 4 – 4. 1 x 2 + 2xy + y 2 A+B 2 olduğuna göre, e o A–B ifadesinin sonucunu bulunuz. 2. 5 A = v5 + 1 ve B = v5 – 1 ifadesinin sonucu nedir? 16. 3 x = 2. 3 2 5. olduğuna göre, x kaçtır? 2 a a a… – 3 a 3 a 3 a… = 6 ESEN YAYINLARI olduğuna göre, a pozitif reel sayısı kaçtır? 3. 6 2– 3 + 3 3+2 3 – işleminin sonucu nedir? 192 6. –4 < x < –3 olmak üzere, x 2 + 9x + 19 + x 2 + 6x + 9 ifadesinin sonucunu bulunuz. 151 Köklü İfadeler 7. 2 + 3 + 4 + … + 25 = a – 1 olmak üzere, 9. 4 + 8 + 12 + … + 100 olduğuna göre, x in alabileceği değerler çarpımı kaçtır? x+1+2 x – x + y + 4xy = –3 eşitliğini sağlayan y kaçtır? ESEN YAYINLARI ifadesinin a türünden değeri nedir? 8. 1 . 2 . 3 . ... . x 2 – 1 = 2 30 10. 1 < a < 2 olmak üzere, a + 1– 2 a + a – 2 a – 1 = eşitliğini sağlayan a kaçtır? 152 1 2 TEST - 1+ 1. 7 – 9 1 2+ Köklü İfadeler 1 4 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 1 A) 3 1 B) 6 0, 04 – 2. 1 C) – 2 1 D) – 3 0, 16 + 0, 36 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 1 E) – 6 A) 5 2 B) 2 5 C) 3 10 D) 10 3 E) 5 3 0, 16 + 0, 81 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 0,5 0, 01 + 0, 04 5. B ) 0,6 C ) 0,7 D ) 0,8 6. E) 0,9 0, 008 : 5 25 5 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? B) 0,1 C) 0,2 D) 0,4 E) 0,6 ESEN YAYINLARI A) 1 3. 3 8 – 4 32 + 5 128 7. 0, 04 + 3 0, 008 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? toplamının sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) v2 A) 0,5 B) 5v2 D) 20v2 C ) 10v2 8. E) 0,1 B ) 0,6 C) 3 E ) 3v2 (– 4) 2 (– 2) 2 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? D) 6 D) 0,2 x 2 = |x| şeklinde tanımlandığına göre, – (– 2) 2 + 4 – 0, 16 + 0, 36 A) 0,3 C) 0,3 E ) 30v2 2 . 18 4. B) 0,4 işleminin sonucu kaçtır? A) – 4 B) – 2 C) 1 D) 2 E) 4 153 Köklü İfadeler 9. 1< 3 13. a < 0 < b olmak üzere, x <2 koşulunu sağlayan x (a – b) 2 + a 2 – sayılarının kaç tanesi işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? asal sayıdır? A) 1 b2 B) 2 C) 3 D) 4 A) 2a E) 5 B) –2a D) –2b a + ab. b b. 10. 1 ab 1 14. 2– işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? E) 1 2+ 3 B) 4 + 2v3 A) 4 – 2v3 2 ab D) 4 C) 2 E) 6 ESEN YAYINLARI D) 2cab E) 2a – 2b işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? C ) cab B) bva A) avb 3 + C) 2b 3 11. 27 – 27 – 15. x = 1 + v3 ve y = 1 – v3 olmak üzere, 3 x 4 y + xy 4 3 x 2 y + xy 2 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? B ) 2v3 A) 3v3 D) –2v3 ifadesinin sayısal değeri kaçtır? C ) – v3 A) 1 E ) –3v3 12. –8 – 4 (– 2) 4 154 B) 2 C) 0 C) 6 D) 9 E) 12 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 4 5+2 6 + 5–2 6 16. 3 – xy D ) –2 E) –4 B) v3 A) v2 D) 2v3 C ) 2v2 E) 2v3 – 2v2 TEST - 4 Köklü İfadeler 16 + 252 1. 4 2x – 1 5. 3 sayısının karekökü aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 + v7 B ) 3 – v7 D) 4 + v7 8x – 2 eşitliğini sağlayan x aşağıdakilerden hangisi- C ) 4 + 2v7 dir? E ) 2 + v7 A) 3 2. 48 – 15 + 2 3 olduğuna göre +2 B) 2 D) v3 C) 1 4 D) –1 5 , c= a, b, c 3 E) –2 3 arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir? işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A ) 2v3 B) 2 a = v2 , b = 6. 20 – 8 = 16 A) a < b < c C) –2 B) a < c < b D) c < b < a C) b < c < a E) c < a < b ESEN YAYINLARI E ) 2v3 + 2 2 = x 3 7. olduğuna göre, v6 reel sayısının x türünden 16 – 8 3 – 3. 16 + 8 3 eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 B) 4 D) 4v3 A) 3x C) – 4 B) x 3 C ) 2x D) x 2 E ) 6x E ) –2v3 2+ 2 8. reel sayısının çarpmaya göre tersi aşağıdakilerden hangisidir? 4. A) 1≤ 3 x < 6 koşulunu sağlayan x tam sayılarının kaç tanesi B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 2 B) 4–2 2 2 2 D) 2 +1 C) 1– E) 2 –1 asal sayıdır? A) 9 4– 159 Köklü İfadeler 13. v2 + v3 = a olduğuna göre, 4x + 2 + 2x – 1 9. 1– 1 – 2x 3 +1 + ifadesinin alabileceği reel sayı değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 3 –1 sayısının a türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? a A) va B) 2a C) av2 D) c2a E) 2 E) 5 10. a > 0 olmak üzere; 2+ a + 1+ a = A 2+ a – 14. 1+ a = B B) D) 2 A 1– A 2 A) 55 C) 1 – A E) 1+A 2 x–y 12. C) 65 D) 70 E) 75 eşitliğini sağlayan a reel sayısı için, y a – 5va – 2 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ifadesinin eşiti nedir? A) v2 B) 60 a a +8 =3 a–4 15. 11. x + y + 2c x y = 12 olduğuna göre, x– x +4 y = 5 ESEN YAYINLARI 1 A 4 olduğuna göre, x – y ifadesinin eşiti kaçtır? olduğuna göre, B nin A cinsinden değeri nedir? A) v x – vy = 5 ve B ) v3 C ) v6 hangisidir? D ) 2v3 A) –6 E) 3v2 B) –8 C) –10 D) –12 E) –14 a2 + b2 = 6 olduğuna göre, ab a + b 16. b a denklemini sağlayan a ve b tam sayıların farkı ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 160 B ) v6 3a + b = av3 + bv3 + 6 C ) 2v2 D) 3 E) 2v3 aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 6 Üniversiteye Giriş Sınav Soruları 1. 1989 – ÖYS 5. a = 2 + 2 ve b= 2+ olduğuna göre, a – b kaçtır? A) v2 2. 3 3 . 12 0, 16 + 0, 36 8 B) 2 D) 2 – v2 işleminin sonucu kaçtır? C ) 2v2 A) 0,6 E) 4 6. C ) –8 x 0, 4 = 1 olduğuna göre, x kaçtır? D) 0 E) 8 1990 – ÖSS 1 3–2 2 A) 5 + 7. 1 5 2 B) 5 3 C) D) 5 4 E) 5 6 1991 – ÖYS 3+2 2 x+ x + x – işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) 3 D) 3 + v2 C) 2 A) E ) 3 – v2 1 3 D) 1 4 3 C) 1 D) 2 E ) v2 1992 – ÖSS 4–2 3 – (–3) 2 + 9 – (–9) 2 (–3) 2 ifadesinin değeri kaçtır? A) 2 – v2 B) a 2 = |a| şeklinde tanımlandığına göre, 1990 – ÖYS 4+2 3 – x =2 olduğuna göre, x kaçtır? 8. 4. E) 2v3 ESEN YAYINLARI 3. B ) –16 C) 6 1991 – ÖYS 4 2 – (–2) 3 işleminin sonucu kaçtır? A) –24 B) 0,9 D) 9 1990 – ÖSS (– 4) 2 – 1991 – ÖSS 2a . 4 a 2 B ) v2 C ) v3 E) 2 işleminin sonucu kaçtır? A) –9 B) –3 C) –1 D) 3 E) 9 161 Köklü İfadeler 9. 1992 – ÖYS a + b 13. 1995 – ÖYS b a = 6 – 2 5 ve ab sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır? olduğuna göre, b nin a türünden ifadesi A) 6 B) 12 aşağıdakilerden hangisidir? a A) a –1 a B) 1– a D) 6+2 5 a –1 a D) v6 a C) a+1 E) C) v5 E) 6 + v6 a+1 a –1 14. 1996 – ÖSS 0,09 un karekökü kaçtır? 10. 1994 – ÖSS A) 0,0081 a = v6 + 1 ve b = v6 – 1 A) 2 D) 0,3 C) 0,81 E) 0,03 a b + toplamı kaçtır? b a B) 3 C) 4 D) 14 5 E) 29 7 ESEN YAYINLARI olduğuna göre, B) 0,081 15. 1996 – ÖSS 0, 48 – 1, 47 11. 1994 – ÖYS işleminin sonucu kaçtır? 0, 16 + 0, 04 0, 36 – 0, 04 A) işleminin sonucu kaçtır? A) 3 2 B) 0, 27 3 4 C) 1 D) 2 1 7 B) 2 7 C) 1 D ) v3 E) 2v3 D) 16 E) 18 E) 3 16. 1996 – ÖSS 12. 1995 – ÖSS 9 + ( – 4) 2 – 3 3+2 2 (–5) 2 162 B) 1 C) 2 3 3–2 2 işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 0 + D ) 10 E) 11 A) 6 B) 9 C) 12 Köklü İfadeler 17. 1997 – ÖSS 21. 1998 – ÖYS 40 . 18 x < 0 olduğuna göre, 80 x2 x işleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) 2 işleminin sonucu kaçtır? C) 1 D) 4v5 A) –x E ) 2v5 D) 1 E) x D) 12 E) 14 ( – 4) 2 – 3 (–3) 3 + 25 0, 0256 . 3 (0, 008) –1 işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? B) 2 C) 1 D ) –1 A) –10 E) – 4 B) –2 C) 10 ESEN YAYINLARI A) 4 C) 0 22. 1999 – ÖSS 18. 1997 – ÖSS 4 B ) –1 23. 1999 – ÖSS 19. 1998 – ÖSS 3 a > 0 , b < 0 olduğuna göre, 1 –1 e o 27 (b – a) 2 – ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ifadesinin değeri kaçtır? A) –3 B) – 1 3 C) (2a – b) 2 1 3 D) 1 9 E) 3 A) 2a + 3b B) 2b – 3a D) –2a C) 2b – a E) –a 20. 1998 – ÖSS 1 1 – 5 –1 5 +1 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 5 B) 5 2 C) 24. 2000 – ÖSS 3 1 5 D) 1 2 2 5 x = 3 2 .5 3 olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? E) 2 A) 33 B ) 34 C ) 36 D ) 27 E ) 28 163 Köklü İfadeler 25. 2001 – ÖSS 2– 2+ 29. 2005 – ÖSS 1 1 24 3 – 6 (24 2 1 işleminin sonucu kaçtır? 2 A) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 3 1 –1 3) + 9 3 B) v2 C ) 2v2 D) 0 3 B ) 2. 3 3 3 C ) 3. 3 3 D) 3 E) 1 30. 2007 – ÖSS 3 – 1 2 . 27 işleminin sonucu kaçtır? 26. 2003 – ÖSS a = v2 + 1 olduğuna göre, A) 3 C) v3 B) 9 a( a – 1 )(a – 2 ) D) 3v3 A) v2 B ) – v2 D) 3 + 2v2 C ) 3 – 2v2 E) 1 E) 3 3 ESEN YAYINLARI çarpımının sonucu kaçtır? 31. 2007 – ÖSS (v2 – v5)2 + 2c10 + 3 27. 2003 – ÖSS işleminin sonucu kaçtır? 10 ^ 6, 4 + 0, 4 h A) c10 işleminin sonucu kaçtır? A) 3, 8 B) D) 10 68 D) 8 32. 2008 – ÖSS 3v8 + 2v2 – (v8 + v2) işleminin sonucu kaçtır? 111 A) v2 işleminin sonucu kaçtır? 164 E) 13 E ) 10 4, 44 + 9, 99 B ) 0,1 C) 5v2 C) 6 28. 2005 – ÖSS A) 0,05 B) 2v5 C ) 0,5 D) 1 E) 5 B) 2v2 D) 4v2 C) 3v2 E) 5v2 E) 9 Köklü İfadeler 33. 2009 – ÖSS 1 2 +1 37. 2011 – LYS 1 – v2 < x < v3 2 –1 olduğuna göre, işleminin sonucu kaçtır? A) –2 B ) –1 D ) v2 C) 0 E) 2v2 A) 3 3 +1 işleminin sonucu kaçtır? A) v3 C) 4 3 3 2 Aşağıdakilerden hangisi bir rasyonel sayıdır? B ) 2v2 – 1 2 +1 12 – 8 b= 27 + 18 D) B) 3 3 D) 5 35. 2010 – YGS 2 a= A) 4 2 E ) 2v3 – 1 ESEN YAYINLARI D) v3 + 1 D) B) 7 4 E) 6 5 E) 7 5 olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? C ) v3 – 1 B ) 2v3 A) v2 + 1 1 2 38. 2012 – YGS 2 – aşağıdakilerden hangisi olabilir? 34. 2010 – YGS 6 x E) C) 39. 2012 – YGS 2 2 –2 3 2 –3 1 1 1 – p= x x2 2 x. f 1 2 C) 4 E) 6 olduğuna göre, x kaçtır? A) 3 2 B) 5 4 C) 9 4 D) 6 5 36. 2011 – YGS x = 3 4 y= 4 8 z= 5 16 40. 2012 – LYS x = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangi- 5 olduğuna göre, (x2 – 2)–1 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? si doğrudur? A) x < y < z 4 B) x < z < y D) z < x < y C) y < x < z E) z < y < x A) 1 + 4 5 D) 2 + B) 2 + 5 4 5 C) 1 + E) 1 + 2 5 165 5 Köklü İfadeler 41. 2012 – LYS x bir gerçel sayı olmak üzere, ^ 7 + 3 hx = 4 olduğuna göre, ^ 7 – 3h x ifadesi aşağıdaki- lerden hangisine eşittir? A) 2 – x B) 2 – x + 1 D) 4 x – 1 C) 4x E) 4 x + 1 42. 2013 – YGS olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 2 166 B) 3 2 C) 1 4 D) 1 9 E) 4 9 ESEN YAYINLARI 1+ a – a = 5 1– a 3 1– a . ÜNİTE DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE ORAN ve ORANTI 1. Kazanım : Oran ve orantıyı açıklar. 2. Kazanım : Orantıya ait özellikleri gösterir ve günlük hayatla ilgili problemler çözer. 2. ÜNİT ORAN ve ORANTI ORAN ORANTI Birimleri aynı olan iki çokluğun bölümüne ( karşılaştı- İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. rılmasına) oran denir. En az biri sıfırdan farklı olan a a c = veya a : b = c : d ikili orantısında b d ve b büyüklükleri verildiğinde a nın b ye oranı b ve c ye içler, a ve d ye dışlar denir. a biçiminde gösterilir. a : b veya b Oran bir sayı belirtmekte olup birimi yoktur. Kesirlerde de olduğu gibi oranın payı ve paydası sıfırdan farklı bir sayı ile genişletilebilir veya sadeleştirilebilir. x a a.n = b b.n ve a a: n = b b: n x 3 kilogramın 5 ‹çler a c = = k orantısında k orantı sabitidir. x b d a c e = = = k biçimindeki üçlü orantı x b d f dir. _ n ! 0 i x 5 metrenin 2 metreye oranı, x 240 ¨ nin 360 ¨ ye oranı, d›fllar a:b = c:d 5m 5 = dir. 2m 2 240 360 = a : c : e = b : d : f biçiminde de gösterilebilir. 1 44 2 4 43 \ paylar a ile b, c ile d ve e ile f doğru orantılıdır. 2 tür. 3 ye oranı şeklinde bir ifade söz 3 kg ifadesi bir oran belirt5 mez. Çünkü birimleri farklıdır. 1 kg ayran ile 5 gr tuz karıştırılarak tuzlu ayran yapılıyor. Bu karışımdaki tuzun ayrana oranı nedir? Çözüm ESEN YAYINLARI konusu olamaz. Yani, ÖRNEK 1 paydalar x a c = + b.c = a.d b d x a c a b a c d c = + = ve = + = c d b d b d b a ÖRNEK 3 a 3 a+b = olduğuna göre, kaçtır? b 2 a–b Çözüm ÖRNEK 2 Ali 1994 yılında doğmuştur. 2015 yılında Ali’nin ya7 şının Barış’ın yaşına oranı olacağına göre, Barış 6 hangi yıl doğmuştur? Çözüm 168 ÖRNEK 4 a+b 3 a = olduğuna göre, kaçtır? a–b 4 b Çözüm Oran ve Orantı ÖRNEK 5 a c e = = = k ⇒ a = b.k , c = d.k , e = f.k b d f a 3 2b = olduğuna göre, kaçtır? a+b 2 a–b Çözüm ÖRNEK 8 2a – b a b c = = olduğuna göre, kaçtır? 3 2 4 b+c Çözüm ÖRNEK 6 a c 2 a–b . c+d = = olduğuna göre, f o pe c b d 3 b ÖRNEK 9 x y z = = 3 4 6 ifadesinin eşiti kaçtır? ve 2 x – y + 3z = 40 olduğuna göre, y kaçtır? Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 10 ÖRNEK 7 2a = 5b ve a2 + b2 = 116 ise a.b kaçtır? Çözüm A, B, C sıvılarından, A 2 B 5 = = ve oranlarında B 3 C 4 alınarak 740 litrelik bir karışım elde ediliyor. Oluşan bu karışımda, kaç litre A sıvısı vardır? Çözüm 169 Oran ve Orantı x a c m.a + n.c = =k + = k d›r. b d m.b + n.d x m.a + n.c + p.e a c e = = =k + = k d›r. b d f m.b + n.d + p.f x a c an + cn = =k ⇒ n = k n dir. (n ∈ N+) b d b + dn Doğru Orantı Herhangi bir şekilde birbirlerine bağlı olan iki büyüklükten birisi değiştirildiğinde, ikisindeki değişme oranı da aynı ise bu iki büyüklüğe doğru orantılıdır ya da kısaca orantılıdır denir. Doğru orantılı iki büyüklükten biri artarken diğeri de orantılı olarak artar veya biri azalırken diğeri de orantılı olarak azalır. k > 0 olmak üzere, y = k veya y = kx ise x ÖRNEK 11 a. x = b.y = c.z = 2 1 1 1 + + =4 a b c ve olduğuna göre, x + y + z ifadesinin eşiti kaçtır? Çözüm x ile y doğru orantılıdır. y y y = kx 3k 2k k ÖRNEK 12 a c 3a + 2c = = k orantısından = k oranı elde edilb d 3b + n diğine göre, n nin değeri nedir? Çözüm ESEN YAYINLARI 1 2 3 x x , y, z sayıları sırası ile a, b, c sayıları ile doğru x y z orantılı ise = = = k dir. a b c ÖRNEK 14 Bir ekmeğin 30 kuruş olduğunu düşünelim. 1 ekmek alırsak 30 kuruş, 2 ekmek alırsak 2.30 = 60 kuruş, 3 ekmek alırsak 3.30 = 90 kuruş öderiz. Burada görüldüğü gibi, ekmek sayısı arttıkça ödeyeceğimiz para da orantılı olarak artmaktadır. Yani, ekmek sayısı ile ödenecek para doğru orantılıdır. ÖRNEK 15 ÖRNEK 13 Bir sınıftaki erkek ve kız öğrencilerin sayıları sırası ile 2,7 ve 3,3 sayıları ile orantılıdır. Buna göre, sınıf mevcudu en az kaçtır? Çözüm 170 3 usta bir günde 96 m2 duvar boyuyor ise aynı nitelikte 4 usta bir günde kaç m2 duvar boyar? Çözüm Oran ve Orantı ÖRNEK 16 ÖRNEK 19 26 şeker üç çocuğa 3, 4 ve 6 sayıları ile doğru oran- x ile y doğru orantılıdır. x = 6 iken y = 2 ise x = 9 tılı olarak paylaştırılırsa en az şeker alan çocuk kaç iken y kaçtır? şeker alır? Çözüm: Çözüm ÖRNEK 17 a 3 = b 4 ve b 5 = c 2 olduğuna göre a, b, c sayıları sırasıyla hangi sayılarESEN YAYINLARI la orantılı olabilir? Çözüm ÖRNEK 20 A α θ B C Şekildeki üçgenin iç açılarının ölçüleri 5, 4 ve 3 ile doğru orantılı olduğuna göre, en küçük açısının ölçüsü kaç derecedir? ÖRNEK 18 x + 2 ile y – 1 doğru orantılıdır. x = 4 iken y = 3 ise y = 2 iken β x kaçtır? Çözüm Çözüm 171 Oran ve Orantı Ters Orantı ÖRNEK 22 x ve y herhangi iki büyüklük olsun. Eğer x ile 1 y x ile y + 2 ters orantılıdır. x = 3 iken y = 4 ise doğru orantılı ise x ile y ters orantılıdır denir. y = 7 iken k ∈ R+ olmak üzere; x ile y ters orantılı ise Çözüm x . y = k veya y = x kaçtır? k dir. x Ters orantılı iki büyüklükten biri arttıkça diğeri azalır. y= k ters orantı denkleminin grafiği: x y ÖRNEK 23 Bir işi 3 işçi 12 günde bitirirse, 4 işçi aynı işi kaç günde bitirir? k Çözüm y= k x 1 2 x x , y, z sayıları sırası ile a, b, c sayıları ile ters orantılı ise a. x = b.y = c.z = k dır. ÖRNEK 21 ESEN YAYINLARI k 2 ÖRNEK 24 x , y , z sayıları sırası ile 3, 4, 6 sayıları ile ters oran- Bir üçgenin kenarları 2, 3 ve 4 ile orantılı ise bu tılıdır. x – y + 2z = 15 ise x kaçtır? kenarlara ait yükseklikler sırasıyla hangi sayılarla Çözüm 172 orantılıdır? Çözüm Oran ve Orantı Bileşik Orantı ÖRNEK 27 Bir orantının içinde hem doğru hem de ters orantı 4 işçi, 12 günde, 32 parça iş yapabildiğine göre, aynı varsa bu orantıya bileşik orantı denir. x nitelitke 6 işçi, 8 parça işi kaç günde yapar? ile y doğru orantılı, x ile z ters orantılı ise Çözüm x.z = k dır. y ÖRNEK 25 x sayısı y + 1 ile ters ve z – 1 ile doğru orantılıdır. x = 2 iken y = 3 ve z = 5 tir. x = 4 ve y = 5 iken z kaçtır? ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 26 420 2 ve 3 ile doğru, 4 ile ters orantılı olacak şekilde üç kişi arasında paylaştırılırsa, payı en çok olan kişi kaç Çözüm ÖRNEK 28 alır? Bir kampta 40 kişiye 45 gün yetecek erzak vardır. 15 gün sonra kamptan 10 kişi ayrılır ise kalan erzak kalan kişilere kaç gün yeter? Çözüm 173 ALIŞTIRMALAR - 1. 6. 1 civert bilyelerin sayısının sarı bilyelerin sayısına x, y ve z pozitif tam sayılardır. y x z = = 0, 5 0, 6 0, 7 oranı kaçtır? olduğuna göre, x + y + z nin en küçük değeri Bir torbada sarı ve lacivert bilyeler vardır. Torbadaki bilyelerin % 65 i sarı olduğuna göre, la- kaçtır? x+y 2. x–y = 5 2 7. x kaçtır? olduğuna göre, y 3. x =3 olduğuna göre, x+y y kaçtır? a c e 3 = = = b d f 2 4. olduğuna göre, a.f 2 .c 3 b.e 2 .d 3 ve x + y – z = 14 olduğuna göre, x kaçtır? ESEN YAYINLARI x+y x = 2y = 3z 8. 9. y 3 x 3 = ve = y 2 z 4 x+y olduğuna göre, kaçtır? z a, b ve c den oluşan 190 gramlık bir karışımda a 3 b 3 = ve = c 2 b 2 oranı kaçtır? bağıntıları vardır. Buna göre, bu karışımda kaç gram a maddesi vardır? a b c = = 2 3 4 5. ve 2a + 3b – 4c = 24 olduğuna göre, a kaçtır? 174 10. a c a + xc = = k ve =k b d b+2 olduğuna göre, x in d cinsinden eşiti nedir? Oran ve Orantı 11. x y z 5 = = = olmak üzere, a b c 4 16. x, y, z pozitif gerçel sayılardır. x y z = = ve x 2 + y2 + z2 = 200 3 4 5 6 x + 2y – 3z = 60 ve 2a – c = 6 olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? ise b kaçtır? 12. x – 3 ile y + 2 doğru orantılıdır. 17. 6 terzi, günde 8 saat çalışarak 5 günde 320 x = 5 iken y = 3 ise y = 2 için x kaçtır? gömlek dikebilmektedir. Buna göre, aynı nitelikteki 18 terzi, günde 10 saat çalışarak 3 günde 13. x + 1 ile y – 2 ters orantılıdır. x = 2 iken y = 3 ise y = 4 için x kaçtır? ESEN YAYINLARI kaç tane gömlek dikebilirler? 18. 300 ¨ iki kardeşe 2 ve 3 sayıları ile doğru orantılı olacak biçimde paylaştırılacaktır. Payı az olan kardeş kaç ¨ almıştır? 14. x sayısı, y + 1 ile doğru ve z – 1 ile ters orantılıdır. x = 3 , y = 4 için z = 2 olduğuna göre, x = 5 ve y = 2 için z kaçtır? 19. Bir musluk, boş bir depoyu 12 saatte doldurmaktadır. Bu musluktan birim zamanda akan su miktarı % 20 azaltılırsa, aynı depoyu kaç saatte doldurabilir? 20. 42 kg ağırlığındaki bir çuval pirinç 3 ile doğru, 15. 3a = 4b = 6c olduğuna göre, a : b : c nedir? 2 ile ters orantılı olarak iki poşete dolduruluyor. Buna göre, poşetlerdeki ağırlık farkı kaç kg dır? 175 Oran ve Orantı ARİTMETİK ORTALAMA ÖRNEK 32 a1, a2, a3 ...... an reel sayılar olmak üzere, A= Bir öğrenci, matematik sınavlarının ilk ikisinden 5 ve 9 almıştır. Bu öğrenci 3. sınavdan kaç almalı ki not ortalaması 8 olsun? a 1 + a 2 + a 3 + .... + a n n Çözüm sayısına a1, a2, a3 .......an sayılarının aritmetik ortalaması ya da kısaca ortalaması denir. a ve b nin aritmetik ortalaması : a+b dir. 2 a, b ve c nin aritmetik ortalaması : a+b+c tür. 3 ÖRNEK 33 12 sayının aritmetik ortalaması 30 dur. Toplamları ÖRNEK 29 30 olan 2 sayı çıkarılınca kalan sayıların ortalaması 4, 10 ve 13 sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır? kaç olur? Çözüm a, 4, 7 ve 10 sayılarının aritmetik ortalaması 8 olduğuna göre, a kaçtır? Çözüm ESEN YAYINLARI ÖRNEK 30 Çözüm ÖRNEK 34 x ile y nin aritmetik ortalaması 9, y ile z nin aritmetik ortalaması 15, x ile z nin aritmetik ortalaması 24 ise x , y ve z nin aritmetik ortalaması kaçtır? ÖRNEK 31 Bir okuldaki 4 bayan öğretmenin yaş ortalaması 26 ve 8 erkek öğretmenin yaş ortalaması 35 tir. Buna göre, bu 12 öğretmenin yaş ortalaması kaçtır? Çözüm 176 Çözüm Oran ve Orantı ÖRNEK 35 ÖRNEK 38 Toplamları 210 olan 16 tane sayma sayısının bir kısmının ortalaması 15, diğerlerinin ortalaması ise 12 dir. Buna göre, ortalaması 15 olan sayılar kaç tanedir? 2 – v3 , 2 + v3 ve 8 sayılarının geometrik ortalaması kaçtır? Çözüm Çözüm ÖRNEK 39 x ile y nin aritmetik ortalaması 5 ve geometrik ortalaması 6 ise x 2 + y2 kaçtır? ÖRNEK 36 A¤ırlık (kg) 48 50 52 56 60 Ö¤renci say›s› 5 2 3 4 1 Çözüm ve bu öğrencilerin sayılarını göstermektedir. Buna göre, bu sınıftaki öğrencilerin ağırlıklarının ortalaması kaçtır? Çözüm ESEN YAYINLARI Yukarıdaki tablo bir sınıftaki öğrencilerin ağırlıklarını ÖRNEK 40 x ile y nin geometrik ortalaması 2, x ile z nin geometrik ortalaması 1 ve y ile z nin geometrik ortalaması v2 ise x , y ve z nin geometrik ortalaması kaçtır? GEOMETRİK ORTALAMA a1, a2, a3, ...., an gibi n tane pozitif sayının geometrik Çözüm ortalaması; G = n a 1 .a 2 .a 3 ....a n dir. a ile b nin geometrik ortası a, b ve c nin geometrik ortası a.b 3 a.b.c dir. ÖRNEK 37 3 ve 12 sayılarının geometrik ortalaması (orta orantısı) kaçtır? Çözüm 177 ALIŞTIRMALAR - 1. 5. 5 tane sayının aritmetik ortalaması 12 ise bu sayıların toplamı kaçtır? 3x 2 +1 ve 9x –1 sayılarının aritmetik ortalaması ile geometrik ortalaması birbirine eşit olduğuna göre, x kaçtır? 5 + 2 6 ile 2. 5–2 6 sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır? 6. 15 tane sayının aritmetik ortalaması 20 dir. Bu sayılara toplamları 140 olan kaç sayı daha c14 + v5 ile c14 – v5 3. sayılarının geometrik ortalaması kaçtır? ESEN YAYINLARI eklenirse yeni ortalama 22 olur? 7. Bir gruptaki kişilerin şimdiki yaşlarının aritmetik ortalaması 30 dur. Bu grubun 1 yıl sonraki yaşlarının toplamı 155 olacağına göre, bu grupta kaç kişi vardır? 4. a = 2b, 4b = 5c ve c.d = 2 olduğuna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. a ile b doğru orantılıdır. II. a ile c doğru orantılıdır. 8. İki basamaklı ab ve ba sayılarının geometrik III. b ile d ters orantılıdır. ortalaması 11 olduğuna göre, aritmetik ortala- IV. a ile d ters orantılıdır. ması kaçtır? 178 Yazılıya Hazırlık Soruları 1. a+b = 4 olduğuna göre, a a+b b ifadesinin 4. değeri kaçtır? a+ 1 =2 b b+ 1 =4 a b olduğuna göre, ifadesinin eşiti kaçtır? a 3. a c a+b c+d = = 2 olduğuna göre, f o pe c b d b 5. x y z = = 3 4 5 2x – 3y + z = –2 ESEN YAYINLARI 2. 2xy x = 3 olduğuna göre, ifadesinin eşiti y x2 + y2 kaçtır? sistemini sağlayan y değeri kaçtır? 6. a, b, c sayıları sırasıyla 13, 12, 5 sayıları ile orantılıdır. b + c – a = 8 olduğuna göre, a kaçtır? ifadesinin eşiti kaçtır? 179 Oran ve Orantı 7. 9. y sayısı (x + 1 ) ile doğru, (2 x – 1 ) ile ters 15 kız, 25 erkek öğrencinin katıldığı bir sınavda orantılıdır. x = 1 için y = 4 olduğuna göre, x kız öğrencilerin puanlarının ortalaması 32 ve ile y arasındaki bağıntı nedir? erkek öğrencilerin puanlarının ortalaması 30 olduğuna göre, tüm öğrencilerin puan ortalaması 8. Bir öğrenci üç sınava girmiştir. İlk iki sınavın ortalaması 7 dir. Üç sınavdan aldığı notların ortalaması 8 olduğuna göre, bu öğrenci son sınavdan kaç almıştır? ESEN YAYINLARI kaçtır? 10. Bir ressam yeşil ( Y), kırmızı (K), mavi (M) boyaları Y 1 K 1 = ve = K 3 M 2 oranında karıştırarak 500 gr lık bir karışım elde etmek istiyor. Kırmızı boyadan kaç gr alması gerekir? 180 TEST - 1. 1 Oran ve Orantı 2a = 3b olduğuna göre, kaçtır? A) 9 2. a + 3b ifadesinin eşiti a–b 5. a+b a2 + b2 = 3 olduğuna göre, ifadesinin 2a ab eşiti kaçtır? B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 A) 26 5 B) 27 5 C) 6 D) 32 5 E) 7 a c 2 = = olduğuna göre, b d 3 f a+b c–d pf p b d 6. ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 5 8 B) – 5 9 C) – 4 7 D) 4 7 E) 5 9 b 2 = c 3 ve a + b + c = 46 olduğuna göre, a kaçtır? A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20 ESEN YAYINLARI A) – 3a = 4b , 3. a, b ve c sayıları sırasıyla 2, 3 ve 6 ile doğru orantılıdır. Bu sayıların ters orantılı olduğu en küçük sayma sayıları sırasıyla aşağıdakilerden 7. hangisidir? A) 3 : 1 : 2 B) 1 : 2 : 3 D) 6 : 3 : 2 4. a – 1, b + 1 ve c sayıları sırasıyla 2, 4 ve 5 sayıları ile doğru orantılıdır. a + b + c = 33 ise C) 2 : 6 : 3 b kaçtır? E) 3 : 2 : 1 A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 Bir üçgenin a, b, c kenarları sırasıyla 2, 3 ve 4 sayıları ile orantılıdır. Bu üçgenin ha, hb ve hc yükseklikleri sırasıyla hangi sayılarla doğru orantılıdır? A) 3 : 4 : 6 B) 4 : 3 : 2 D) 6 : 4 : 3 C) 2 : 3 : 4 E) 2 : 4 : 6 8. 62 metre uzunluğundaki bir tel 2 ve 3 ile doğru 6 ile ters orantılı 3 parçaya ayrılırsa en büyük parça kaç m olur? A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 38 181 Oran ve Orantı 9. 13. a + 1 sayısı b – 2 ile doğru orantılı iken a = 4 için b = 12 oluyorsa, b = 1 için a kaç olur? A) – 1 2 B) –1 3 C) – 2 D ) –2 2a = 3b, 4b = 5c, c.d = 3 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlış- 5 E) – 2 tır? A) a ile c doğru orantılıdır. B) c ile d ters orantılıdır. C) a ile d ters orantılıdır. D) b ile d doğru orantılıdır. E) b ile c doğru orantılıdır. 10. a. x = b.y = c.z = 6 ve 1 1 1 + + =4 a b c olduğuna göre, x + y + z kaçtır? 3 2 B) 3 C) 9 D ) 12 E) 24 14. Bir torbadaki; sarı, mavi ve beyaz bilyelerin sa3 3 ve 1,8 sayıları ile orantılıdır. yısı sırasıyla , 5 2 Bu torbadaki bilye sayısı en az kaçtır? ESEN YAYINLARI A) 11. a c e = = = 2, 2a – c + 3e = 4 ve 3f – d = 4 b d f B ) –1 C) 0 D) 1 E) 2 3a – d a + c + 3 2b – 2a + c = = =2 a–c 2c – a a+b 12. 182 B) 2 C) 3 C) 18 D) 27 E) 39 15. a ile b nin aritmetik ortalaması 4, geometrik A) 44 B) 45 C) 46 D) 47 E) 48 16. Aritmetik ortalaması 4 olan 6 sayıya, aritmetik ortalaması 5 olan 4 sayı ilave ediliyor. Bu 10 sayının aritmetik ortalaması kaç olur? olduğuna göre, d kaçtır? A) 1 B) 13 ortalaması 3 ise a2 + b2 kaçtır? olduğuna göre, b kaçtır? A) –2 A) 11 D) 4 E) 5 A) 4 B) 4,2 C) 4,4 D) 5 E) 5,2 TEST - 1. 3 Oran ve Orantı 5. 2 x + 3 ifadesi 3y + 5 ifadesiyle doğru orantılıdır. x = 5 iken y = 3 olduğuna göre, x = 2 iken işçi aynı duvarı kaç günde örer? y kaçtır? A) 8 A) 1 B) 11 13 C) 13 14 D) 2 E) a+3 b+2 = = c+1 3 2 2. C) 12 x, y, z doğal sayıları sırasıyla en küçük değeri kaçtır? nedir? A) 12 C) 1 D) 2 a, b, c pozitif rasyonel sayılardır. a.b = 2 1 2 , a.c = ve b.c = 5 5 9 B) a < c < b göre a = 2 ve b = 6 iken c nedir? B) 150 D) 13 120 19 C) 22 D) 28 E) 36 1 4 B) b+d ifadesinin eşiti kaçtır? d 1 2 C) 1 D) 3 2 E) 2 E) c < b < a orantılıdır. a = 1 iken b = 3 ve c = 5 olduğuna 143 15 A) C) b < a < c 2a + 1 ifadesi 3b – 1 ile ters, 3c + 1 ile doğru A) B) 18 olduğuna göre, si doğrudur? D) b < c < a 9 6 7 , ve sayıla5 5 5 a c a2 + b2 1 = = ve b d c2 + d2 4 7. olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangi- A) a < b < c E) 16 E) 3 ESEN YAYINLARI B) 0 D) 15 rı ile orantılıdır. Buna göre, x + y + z toplamının orantısında, a + b + c = 6 olduğuna göre, c A) –1 4. B) 10 14 15 6. 3. 8 işçi bir duvarı 20 günde örerse, aynı güçte 10 C) 167 E) 9 130 11 8. x, y, z birer negatif tam sayıdır. y x z = = 0, 4 0, 5 0, 6 olduğuna göre, x + y + z toplamının en büyük değeri kaçtır? A) –15 B) –10 C) –9 D) –6 E) –5 185 Oran ve Orantı 9. Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c dir. 13. + a, b, c ∈ Z olmak üzere, kilerden hangisidir? ise üçgenin çevresi en az kaçtır? B ) 36 ve b – c = a olduğuna göre, b2 + c2 ifadesinin eşiti aşağıda- a b c = = 3, 6 4, 8 5, 2 A) 34 a c = 2b 3a C ) 40 A) 2a D ) 42 B) 2a2 D) 3a2 C) 3a E ) 4a2 E) 68 14. Bir torbadaki sarı ve mavi bilyelerin sayıları 10. x z = = 3 olduğuna göre, y t sırasıyla 2,4 ve 1,8 ile orantılıdır. Torbada 24 tane mavi bilye varsa, kaç tane sarı bilye vardır? y+t A) 16 x+y+z+t B) 18 C) 24 D) 30 E) 32 A) 1 6 B) 1 5 C) 1 4 D) 1 3 E) 1 2 ESEN YAYINLARI ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 15. 16 kişilik bir sınıfın yaş ortalaması 17,5 tır. Sınıfa 4 kişi daha katılırsa, sınıfın yaş ortalaması 18,2 oluyor. Buna göre, sınıfa katılan 4 kişinin yaş ortalaması kaçtır? 11. Kilogramı 25 ve 30 olan iki cins fındık A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 karıştırılarak 50 kg lık bir karışım elde ediliyor. Karışımın kilogramı 28 30 olduğuna göre, lik fındıktan kaç kg alınmıştır? A) 15 B ) 18 C ) 20 D ) 24 E) 30 16. a, b, c, d ∈ R+ olmak üzere a b c = 2, = 3, =4 c b d 5 = 2 ve a–b 12. 4 1 x+b–a– 2 = 1 2 ise aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? olduğuna göre, x kaçtır? A) 9 186 B ) 10 C ) 11 D ) 12 E) 13 A) d < c < b < a B) a < b < c < d C) b < c < d < a D) d < a < b < c E) d < b < c < a Üniversiteye Giriş Sınav Soruları 1. 1986 – ÖSS 4. 1988 – ÖSS Üç arkadaşın paralarının birbirine oranı bi- Yandaki tablo bir iş Yafl linmektedir. Buna ek olarak aşağıdakilerden yerinde 20 4 hangisi verildiğinde, her birinin kaç lirası olduğu sayısı 21 9 hesaplanamaz? göstermektedir. 22 16 A) Herhangi ikisinin paraları farkı çalışanların ile yaşlarını Kifli say›s› Bu iş yerinden seçilen 16 kişinin yaş ortalaması B) Herhangi ikisinin paraları toplamı 21 olduğuna göre, geriye kalanlardan kaçı 22 C) Paraların karelerinin birbirine oranı yaşındadır? D) İkisinin paraları toplamından üçüncünün far- A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 kı 2. 1988 – ÖSS 1 1 , sayıları ile 2 3 orantılı olacak şekilde paylaştırılıyor. Payı en az 330 ceviz üç kişi arasında 1, ESEN YAYINLARI E) Üçünün paraları toplamı 5. y 2 x 3 ve = = y 4 z 3 olduğuna göre, x, y, z sırasıyla hangi sayılarla olan kaç ceviz almıştır? A) 40 3. orantılıdır? B ) 45 D) 55 1989 – ÖSS C) 50 A) 5, 6, 10 E) 60 B) 4, 5, 6 D) 3, 4, 10 C) 4, 6, 10 E) 3, 4, 6 1988 – ÖSS a ile b sayılarının aritmetik ortalaması 15, a 6. 1989 – ÖYS ile c sayılarının aritmetik ortalaması 17, b ile 2x = 3y = 4z c sayılarının aritmetik ortalaması 23 olduğuna B ) 27 1 1 1 + + =1 x y z olduğuna göre, y kaçtır? göre, c kaçtır? A) 28 ve C ) 26 D ) 25 E) 24 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 187 Oran ve Orantı 7. 1989 – ÖYS 11. 1992 – ÖSS a ile b nin aritmetik ortalaması 15 tir. Bir öğrencinin matematik dersindeki üç sınav- a ile geometrik ortalaması 6c30, b ile geometrik dan aldığı puanların ortalaması 7 dir. Bu öğ- ortalaması 6c10 olan sayı nedir? renci üçüncü sınavdan 8 puan aldığına göre, ilk A) 27 iki sınavdan aldığı puanların ortalaması kaçtır? B ) 30 C ) 33 D ) 36 E) 48 A) 5 8. a c e = = =2 b d f B) 3 D) 6,5 E) 7 5 , farkı ise 12 kg 7 İki çocuğun ağırlıkları oranı olduğuna göre, bu çocukların ağırlıkları toplamı a.c.f ifadesinin eşiti kaçtır? b.d.e C) 4 D) 6 kaç kg dır? E) 8 A) 36 B) 48 C) 60 D) 64 E) 72 ESEN YAYINLARI A) 2 C) 6 12. 1992 – ÖSS 1990 – ÖYS olduğuna göre, B) 5,5 9. 13. 1992 – ÖYS 1991 – ÖSS K + L + M = 34 ve K 1 = ve L 4 L 1 = M 3 olduğuna göre, L kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 a.c. f = 1, b d k olduğuna göre, D) 6 E) 8 A) 1 2 B) 1 3 d =2 , f k =3 a b ifadesinin eşiti kaçtır? c C) 1 6 D) 3 E) 6 14. 1993 – ÖSS 10. 1991 – ÖYS a, b, c pozitif tam sayılar ve a b c = = ve 3a – b + c = 8 4 2 6 olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır? olduğuna göre, c kaçtır? A) 1 188 B) 2 C) 3 a b 2 = 5, = c 3 b D) 4 E) 5 A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 45 Oran ve Orantı 15. 1993 – ÖSS 19. 1994 – ÖSS a sayısı b ile doğru, c ile ters orantılıdır. x > 0, y > 0, z > 0 ve x y z = = , x 2 + y2 + z2 = 200 3 4 5 b = 5 , c = 16 ise a = 9 dur. Buna göre, b = 25, c = 144 ise a kaçtır? A) 20 B ) 15 C ) 12 D) 8 olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? E) 5 A) 18 C) 24 D) 27 E) 30 20. 1994 – ÖYS 16. 1993 – ÖSS Toplamları 166 olan 28 sayma sayısı vardır. Bir musluk boş bir havuzu 12 saatte doldurmak- Bunlardan bir kısmının ortalaması 7, ötekilerin tadır. Musluktan birim zamanda akan su miktarı ortalaması ise 5 tir. % 20 azaltılırsa boş havuz kaç saatte dolar? A) 15 B) 21 B ) 16 C ) 17 D ) 18 Buna göre, ortalaması 7 olan sayılar kaç ta- E) 20 nedir? B) 16 C) 15 D) 14 E) 13 ESEN YAYINLARI A) 17 17. 1993 – ÖYS 21. 1995 – ÖSS 3 2 = , 2a + b = 24 a b 15 tane sayının ortalaması 25 tir. Bu sayılara toplamı 300 olan 10 sayı daha ekleniyor. Buna olduğuna göre, b kaçtır? A) 14 B ) 12 C ) 10 D) 8 E) 6 göre, yeni ortalama kaçtır? A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 27 18. 1994 – ÖSS Toplamları 24 olan x , y ve z sayıları sırasıyla 1, 3 ve 4 sayılarıyla orantılıdır. Buna göre, x2 + z2 y2 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 11 7 B) 17 9 C) 2 D) 3 E) 4 22. 1995 – ÖYS a d 1 b+c olduğuna göre, ifadesinin eşiti = = b c 2 a+d kaçtır? A) 1 2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 189 Oran ve Orantı 23. 1995 – ÖYS 27. 1997 – ÖYS Bir kitaplıktaki İngilizce kitap sayısının Türkçe kitap sayısına oranı 5 dir. İngilizce kitap sayısı 11 Puan 1 2 3 4 5 Ö¤renci say›s› 1 5 10 13 3 400 den fazla olduğuna göre, bu kitaplıkta en az Yukarıdaki tablo bir sınıftaki öğrencilerin ma- kaç kitap vardır? tematik sınavında aldığı puanların dağılımını A) 1094 B ) 1195 D) 1296 göstermektedir. Buna göre, sınıfın bu sınavdaki C) 1204 puanlarının ortalaması kaçtır? E) 1397 A) 3 B) 4 C) 29 6 D) 29 7 E) 27 8 24. 1996 – ÖYS 485 m2 lik bir arazi 9 ile doğru orantılı, 2 ve 5 ile 28. 1998 – ÖSS ters orantılı olarak 3 parçaya ayrılmıştır. Buna A) 450 B) 400 D) 300 dir? Bir miktar parayı K, L, M kişileri sırasıyla 2 ve 4 C) 350 E) 200 sayıları ile doğru, 6 ile ters orantılı olarak payESEN YAYINLARI göre, en büyük parça kaç m 2 laşıyorlar. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) L, K nın iki katı para alır. B) M, K nın üç katı para alır. C) K, L nin iki katı para alır. D) En çok parayı M alır. 25. 1997 – ÖSS E) En az parayı K alır. a c = = 5 ve 2a + 4c = 100 b d olduğuna göre, b + 2d işleminin sonucu kaçtır? A) 30 B ) 20 C ) 15 D ) 10 E) 5 29. 1999 – ÖSS Etiket numaraları 1, 2, 3, 4 olan dört kutuya etiket numaralarının kareleriyle orantılı miktarda para 26. 1997 – ÖSS 7 sayının aritmetik ortalaması 19 dur. Bunlardan, aritmetik ortalaması 15 olan 3 sayı çıkarılıyor. Geriye kalan 4 sayının toplamı kaçtır? A) 66 190 B) 68 C ) 76 D ) 78 E ) 88 konuyor. Kutulardaki toplam para 30.000.000 TL olduğuna göre 2 numaralı kutuya kaç TL konmuştur? A) 1.000.000 B) 2.000.000 D) 4.000.000 C) 3.000.000 E) 9.000.000 Oran ve Orantı 30. 2000 – ÖSS 34. 2003 – ÖSS k tane işçinin günde 12 saat çalışmasıyla 20 Bir sınıfta matematik sınavında aldığı puan günde bitirilebilen bir iş, işçi sayısı artırılarak ve 2, 3 ve 4 olan öğrencilerden 8 kişilik bir grup günde 10 saat çalışarak 10 günde bitiriliyor. Bu- oluşturulmuştur. Grupta bu üç puandan her birini na göre, k aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 11 B ) 10 C) 9 D) 8 alan en az bir öğrenci bulunmaktadır ve grubun E) 7 25 dir. Bu grupta puanı 3 olan 8 en çok kaç öğrenci bulunabilir? puan ortalaması A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 31. 2002 – ÖSS a tanesi b TL den satılan kalemlerden c 35. 2005 – ÖSS tane satın alınarak d TL ödeniyor. Buna göre, Birbirinden farklı üç pozitif tam sayının aritmetik aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? A) ab = cd B) ac = bd D) a2b = cd2 ortalaması 45 tir. Bu sayıların en küçüğü, diğer C) ad = bc ikisinin ortalamasından 15 eksiktir. E) a2d = bc2 Buna göre en küçük sayı kaçtır? B) 30 C) 35 D) 36 E) 40 ESEN YAYINLARI A) 24 32. 2003 – ÖSS 36. 2008 – ÖSS Tek tür mal üreten bir atölyede makinelerden biri a saatte b birim mal üretiyor. Aynı süre içinde bu makinenin c katı mal üreten başka bir makine, b birim malı kaç saatte üretir? A) a b B) a c C) b c D) a.b c E) b.c a Terimleri birbirinden farklı birer doğal sayı ve artan olan bir dizinin ilk yedi terimi 5, 6, 10, a, 12, b, c dir. Bu sayıların aritmetik ortalaması 11 olduğuna göre, a + b toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 25 33. 2003 – ÖSS Bir gruptaki kız sporcuların yaş ortalaması 15, erkek sporcuların yaş ortalaması 24 tür. Kızların sayısı erkeklerin sayısının 2 katı olduğuna göre, B ) 17 C ) 18 D ) 20 C) 28 D) 32 E) 34 37. 2009 – ÖSS Bir grup işçi, bir işi 3 günde bitiriyor. İşçi sayısı % 50 azaltılır, günlük çalışma süresi % 20 artırılırsa aynı iş kaç günde biter? bu grubun yaş ortalaması kaçtır? A) 16 B) 27 E) 22 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 191 Oran ve Orantı 38. 2012 – YGS 39. 2012 – YGS Bir lokantaya giden Ahmet’in 40 TL si, Burak’ın Bir yabancı dil kursunda A, B ve C sınıflarındaki 30 TL si ve Cenk’in 20 TL si vardır. Bu üç öğrencilerin yaş ortalaması sırasıyla 20, 26 arkadaş, gelen 63 TL lik hesabı paralarıyla ve 29 dur. A ile B sınıflarındaki öğrencilerin doğru orantılı paylaşırsa Ahmet kaç TL öder? birlikte yaş ortalaması 23, B ile C sınıflarındaki A) 21 öğrencilerin birlikte yaş ortalaması ise 28 dir. B ) 24 C ) 25 D ) 27 E) 28 Buna göre, bu üç sınıftaki öğrencilerin tümünün yaş ortalaması kaçtır? ESEN YAYINLARI A) 25,5 192 B) 26 C) 26,5 D) 27 E) 27,5 . ÜNİTE DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE PROBLEMLER 1. Kazanım: Günlük hayat durumları ile ilgili aşağıda alt başlıklarla ifade edilmiş problemleri çözer ve kurar. ® Sayı Problemleri ® Kesir Problemleri ® İşçi – Havuz Problemleri ® Yüzde, Faiz, Kâr – Zarar Problemleri ® Karışım Problemleri ® Hareket Problemleri ® Yaş Problemleri 2. ÜNİT DENKLEM KURMA PROBLEMLERİ DENKLEM KURMA Bu konuyu sayı, kesir, yaş, işçi-havuz, yüzde, karışım ve hareket problemleri gibi alt başlıklar altında örneklerle inceleyeceğiz. Bir problemi çözebilmek için, verilen ifadenin matematiksel olarak yazılmasına denklem kurma denir. Semboller kullanılarak kurulan denklemlerin çözülmesi ile problemde istenen bulunur. Örneğin; herhangi bir sayı x olsun. ® Bir sayının 5 fazlası : x +5 ® Bir sayının 3 katının karesi : (3x)2 ® Bir sayının üç katı : 3x ® Bir sayının 2 katının 1 eksiği : 2x – 1 ® Bir sayının üçte ikisi : 2x 3 ® Bir sayının 2 eksiğinin ® Bir sayının karesi : x2 ® Bir sayının karesinin 3 eksiğinin yarısı: ® Bir sayının karesinin üç katı : 3 x 2 ® İki sayının toplamı 5 ise bu sayılar: x ve 5 – x ® İki sayıdan birinin 2 katı diğerinin 3 katına eşitse bu sayılar sırasıyla, 3 x ve 2x tir. ® Bir sayının karesinin 6 eksiği kendisine eşitse, x 2 – 6 = x şeklinde denklemler kurulur. SAYI PROBLEMLERİ 3 ü 4 : (x – 2). 3 4 x2 – 3 2 ÖRNEK 3 ÖRNEK 1 Bir sayının 3 katının 20 eksiği, sayının yarısına eşit ise bu sayı kaçtır? Çözüm ÖRNEK 2 Toplamları 72 olan iki sayıdan biri diğerinin 3 katına eşit ise bu sayılardan büyük olanı kaçtır? Çözüm 194 Kilogramı 10 ¨ olan zeytinden 400 gram alan bir kişi kaç ¨ öder? Çözüm Denklem Kurma Problemleri ÖRNEK 4 ÖRNEK 7 24 kişilik bir sınıfta her öğrencinin 2 veya 3 kalemi Bir sınıftaki öğrenciler sıralara 2 şer kişi oturunca 8 kişi ayakta kalıyor. Eğer sıralara 3 er kişi otururlarsa 5 sıra boş kalıyor. Buna göre, sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır? vardır. Toplam kalem sayısı 63 olduğuna göre, 3 kalemi olan kaç öğrenci vardır? Çözüm Çözüm ÖRNEK 5 Aybars’ın parası Duru’nun parasının 5 katıdır. Aybars, Duru’ya 300 lira verirse, Aybars’ın parası Duru’nun parasının 4 katı oluyor. Buna göre, Aybars’ın başlangıçtaki parası kaç liradır? ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 8 Bilet gişesindeki kuyrukta, Duygu baştan onuncu, Özge sondan onikincidir. Duygu ile Özge arasında 3 kişi bulunduğuna göre, a. Bu kuyrukta en az kaç kişi vardır? b. Bu kuyrukta en çok kaç kişi vardır? Çözüm ÖRNEK 6 Çağrı sınıf listesinde baştan n. sırada, sondan (2n – 1). sıradadır. Sınıf mevcudu 40 kişi olduğuna göre, Çağrı baştan kaçıncı kişidir? Çözüm 195 ALIŞTIRMALAR - 1. 6. Toplamları 60 olan iki sayıdan biri diğerinin 2 1 Damla, bir merdivenin basamaklarını üçer üçer katından 6 fazladır. Bu sayılardan büyük olan çıkıp, ikişer ikişer iniyor. İnerken attığı adım sa- kaçtır? yısı çıkarken attığından 4 fazla olduğuna göre, bu merdiven kaç basamaklıdır? 2. Bir toplulukta 24 erkek, 18 bayan vardır. Bu topluluktan kaç evli çift ayrılırsa erkeklerin sayısı bayanların sayısının 2 katı olur? 7. Öykü ile Betül’ün paraları toplamı 140 ¨ dir. Öykü, Betül’e 20 ¨ verirse paraları eşit olacağına göre, başlangıçta Öykü’nün kaç ¨ si vardı? 3. Bir kumbarada bulunan 25 kuruş ve 50 kuruşduğuna göre, 50 kuruşlukların sayısı kaçtır? 4. ESEN YAYINLARI lukların toplam sayısı 15 olup tutarı 5 lira ol8. 4 yanlışın bir doğruyu götürdüğü 50 soruluk bir sınavda tüm soruları cevaplandıran birinin 37,5 neti olduğuna göre, kaç soruyu yanlış cevaplamıştır? 26 kişinin bulunduğu bilet kuyruğunda Suat baştan 12. sırada, Seçkin ise sondan 18. sıradadır. Seçkin gişeye Suat’tan daha yakın olduğuna göre, ikisinin arasında kaç kişi vardır? 9. Barış elindeki cevizleri arkadaşlarına eşit olarak paylaştırdığında her birine 10 ceviz düşüyor. Her arkadaşına 7 şer ceviz verince kendine 18 ceviz kalıyor. Barış’ın kaç cevizi vardır? 5. Bir grup öğrenci sıralara 2 şerli oturunca 7 öğrenci ayakta kalıyor. 3 erli otururlarsa 2 sıra 10. Önce 6 adım ileri sonra 2 adım geri giderek iler- boş kalıyor. Buna göre, sınıfta kaç öğrenci var- leyen bir robot en az kaç adım atarsa başladığı dır? noktadan 45 adım uzaklaşmış olur? 196 Denklem Kurma Problemleri KESİR PROBLEMLERİ ÖRNEK 11 Su dolu bir bidonun ağırlığı 48 kg dır. Bu bidondaki ÖRNEK 9 Bir top kumaşın önce suyun 2 2 i, sonra kalanının ü satı5 3 2 i kullanılınca ağırlığı 32 kg olduğuna göre, 5 boş bidonun ağırlığı kaç kg dır? Çözüm lıyor. Geriye 12 metre kumaş kaldığına göre, kumaşın tamamı kaç metredir? ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 12 ÖRNEK 10 Değeri 3 olan bir kesrin payından 3, paydasından 7 5 çıkarılınca kesrin değeri ilk kesrin paydası kaçtır? Çözüm 2 e eşit oluyor. Buna göre, 3 2 Bir atlet, belli bir yolun ini koştuktan sonra, 50 5 metre daha koşarak yolun yarısına gelmiş oluyor. Buna göre, bu yolun tamamı kaç metredir? Çözüm 197 Denklem Kurma Problemleri ÖRNEK 13 Bir çubuğun ÖRNEK 15 1 i kesilince orta noktası 6 cm kayıyor. 5 Farklı iki mumdan uzun olanı 4 saatte, kısa olanı 6 saatte eriyip bitmektedir. Bu iki mum aynı anda yakıldıktan 2 saat sonra boyları birbirine eşit olduğuna göre, mumların yanmadan önceki boyları oranı nedir? Buna göre, çubuğun kesilen parçası kaç cm dir? Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 14 Bir oyun sırasında 4 adım ileri ve 1 adım geri gidiliyor. Bu şekilde ileri ve geri giderek toplam 104 adım atıldığına göre, başlangıç noktasından kaç adım ilerlenmiş olur? Çözüm ÖRNEK 16 90 cm yükseklikten bırakılan bir top, her seferinde bir 2 önceki yüksekliğinin ü kadar zıplamaktadır. Top 3. 3 kez yere değdiğinde toplam kaç cm yol alır? Çözüm 198 ALIŞTIRMALAR - 1. Payı paydasından 6 fazla olan bir kesrin payına 6. 3, paydasına 2 eklenirse kesrin değeri 2 oluyor. Buna göre, ilk kesrin payı ile paydasının kareleri toplamı kaçtır? 2. 3 i boş olan bir su deposunun içinde 40 litre su 5 vardır. Buna göre, deponun tamamı kaç litre su 7. alır? 2 1 i ile parfüm, kalan parasının Fatma parasının 5 1 ü ile ayakkabı alıyor. Geriye 80 si kaldığına 3 göre, Fatma ayakkabıya kaç vermiştir? 2 ini ev kirasına, kalan para5 1 sının ünü mutfak masraflarına ayırıyor. Son 3 durumda işçinin elinde 300 si kaldığına göre, Bir işçi maaşının maaşı kaç 2 ünü 36 bilyesi bulunan Can bilyelerinin 3 1 ünü Gökhan’a veriyor. Buna göre, Korhan’a, 4 Can’ın geriye kaç bilyesi kalır? 8. ESEN YAYINLARI 3. dir? 1 Bir manav elindeki limonların ilk gün ünü, ikin4 1 ci gün kalan limonların ünü, üçüncü gün ise 3 3 kalan limonların ünü satıyor. Manavın üçün4 cü gün sattığı limonların sayısı, birinci gün sattığı limonların sayısından 12 fazla olduğuna göre, üçüncü günün sonunda elinde kaç tane limon 4. kalmıştır? 1 1 ünü Ömer, ünü Mehmet 4 3 yemiştir. Mehmet’in yediği gofret sayısı Ömer’in Bir miktar gofretin yediği gofret sayısından 6 fazla olduğuna göre, Ömer kaç gofret yemiştir? 9. Bir öğrenci her gün bir önceki çözdüğü soru sa1 ü kadar daha fazla soru çözüyor. Bu yısının 4 öğrenci yalnız 3. günde 100 soru çözdüğüne göre, ilk gün kaç soru çözmüştür? 5. 1 ünü sonra Bir otomobil gideceği yolun önce 4 2 kalan yolun ünü gidiyor. Otomobilin gitmesi 3 gereken 6 km lik yolu kaldığına göre, bu yolun tamamı kaç km dir? 10. 1 2 i erkek, ü kadın ve kalanların da çocuk ol5 3 duğu bir toplulukta, erkekler kadınlardan 6 kişi fazladır.Buna göre, bu topluluktaki çocukların sayısı kaçtır? 199 Denklem Kurma Problemleri YAŞ PROBLEMLERİ ÖRNEK 19 Bir kişinin şimdiki yaşını x alırsak, Bir babanın yaşı, iki çocuğunun yaşları toplamından k yıl önceki yaşı : x –k 20 büyüktür. 4 yıl sonra babanın yaşı, çocuklarının k yıl sonraki yaşı : x + k olur. yaşları toplamının 2 katı olacağına göre, baba bugün kaç yaşındadır? İki kişinin yaşları arasındaki fark sabittir. Çözüm ÖRNEK 17 Ecem ve Gizem’in bugünkü yaşları toplamı 26 olduğuna göre, kaç yıl sonraki yaşları toplamı 42 olur? ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 20 ÖRNEK 18 Bir anne ile oğlunun yaşları oranı 7 tür. Oğlu doğ3 duğunda anne 20 yaşında olduğuna göre, annenin bugünkü yaşı kaçtır? Çözüm 200 Aysun ile İldeniz’in bugünkü yaşları toplamı 27 dir. Aysun, İldeniz’in bugünkü yaşında iken İldeniz 3 yaşında idi. Buna göre, Aysun’un şimdiki yaşı kaçtır? Çözüm Denklem Kurma Problemleri ÖRNEK 21 ÖRNEK 23 1 , Berk’in ya2 2 şının Can’ın yaşına oranı tür. Ali, Berk’in yaşına 3 geldiğinde Can 32 yaşında olacağına göre, Berk’in Ali’nin yaşının Berk’in yaşına oranı şimdiki yaşı kaçtır? Çözüm Bir annenin yaşı, iki çocuğunun yaşları farkının 3 katından 4 fazladır. 5 yıl önce, annenin yaşı çocukların yaşları farkının 2 katından 6 fazla ise annenin bugünkü yaşı kaçtır? ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 24 Baba x yılında, kızı y yılında doğmuştur. Babanın yaşı kızının yaşının 2 katı olduğunda, ikisinin yaşları toplamı kaç olur? ÖRNEK 22 Çözüm Fatma 4 yıl sonra, Deniz 3 yıl önce doğmuş olsalardı yaşları eşit olacaktı. Fatma ile Deniz’in 5 yıl önceki yaşları toplamı 35 olduğuna göre, Fatma’nın bugünkü yaşı kaçtır? Çözüm 201 ALIŞTIRMALAR - 1. 6. Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı, yaşları farkının 4 katından 2 eksiktir. Oğlu babasının ya- Bir babanın yaşı, üç çocuğunun yaşları toplamına eşittir. 12 yıl sonra, babanın yaşı çocukların 2 katı olacağına göre, babayaşları toplamının 3 nın bugünkü yaşı kaçtır? şına geldiğinde yaşları farkı 24 olacağına göre, babanın şimdiki yaşı kaçtır? 2. 3 Anne 39, kızı 4 yaşındadır. Kaç yıl sonra anne7. nin yaşı kızının yaşının 6 katı olur? Bir annenin yaşı, iki çocuğunun yaşları farkının 8 katıdır. 6 yıl sonra annenin yaşı, çocukların yaşları farkının 6 katının 24 fazlasına eşit olacaktır. Buna göre, annenin bugünkü yaşı kaçtır? 3. Bir baba ile kızının yaşları oranı 3 tür. 5 yıl önce kaç yaşında idi? 4. 5 katıdır. Ca3 nan Büşra’nın yaşına geldiğinde yaşları toplamı Büşra’nın yaşı Canan’ın yaşının 48 oluyor. Buna göre, Büşra’nın bugünkü yaşı ESEN YAYINLARI bu oran 4 olduğuna göre, kızı doğduğunda baba 8. 8 tane öğrencinin bugünkü yaşları toplamı 120 dir. Buna göre, 6 yıl sonra bu 8 öğrencinin yaş ortalaması kaç olur? 9. 1996 yılında Ayşe 12, 2004 yılında Fatma 10 yaşındaydı. Buna göre, 2010 yılında Ayşe ile Fatma’nın yaş ortalaması kaçtır? kaçtır? 10. Duru ile Sude’nin yaşları toplamı 30 dur. Duru, 5. Yasin, Lütfi ve Turan’ın bugünkü yaşları toplamı 36 dır. Buna göre, kaç yıl sonra yaşları toplamı 96 olur? 202 Sude’nin yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 42 olacağına göre, Duru’nun şimdiki yaşı kaçtır? Denklem Kurma Problemleri İŞÇİ VE HAVUZ PROBLEMLERİ ÖRNEK 27 İşçi ve havuz problemlerinde birim zamanda yapılan A makinesi, B makinesinin 3 katı iş gücündedir. İki iş üzerinden işlem yapılır. makine birlikte çalıştırılarak bir iş 5 günde bitirilebi- Örneğin; bir işçi bir işi a günde, ikinci işçi b günde ve liyorsa, B makinesi ile bu iş kaç günde bitirilebilirdi? ikisi birlikte x günde yapıyorlarsa, Çözüm 1 1 1 bağıntısı yazılır. + = a b x Havuz problemleri de işçi problemleri gibi yorumlanarak çözülür. Örneğin; birinci musluk bir havuzu a saatte dolduruyor, ikinci musluk b saatte boşaltıyor ve ikisi birlikte x saatte dolduruyorsa, 1 1 1 bağıntısı yazılır. – = a b x ÖRNEK 28 ÖRNEK 25 bilmektedir. İkisi beraber çalışırsa aynı işi kaç günde bitirirler? Çözüm ESEN YAYINLARI Bir işi Gökhan 10 günde, aynı işi Ali 15 günde bitire- Bir işi, eş güçteki 4 usta 3 günde, 3 çırak 6 günde yapabiliyor. Bu işi 1 usta ile 1 çırak birlikte çalışarak kaç günde yaparlar? ÖRNEK 26 Çözüm Bir işi Duygu 24 günde bitirebilmektedir. Aynı işi Duygu ve Doğa birlikte 6 günde bitirebildiklerine göre, Doğa tek başına bu işi kaç günde bitirir? Çözüm 203 Denklem Kurma Problemleri ÖRNEK 29 A ÖRNEK 31 B 4 Mehmet ile Ahmet bir işi birlikte 15 günde bitiriyorlar. 6 gün beraber çalıştıktan sonra Mehmet işi bırakıyor. Geri kalan işi Ahmet 24 günde tamamlıyor. Buna göre, Mehmet hiç çalışmamış olsaydı Ahmet bu işi kaç günde bitirirdi? 6 C 3 Boş bir havuzu A musluğu 4 saatte, B musluğu 6 Çözüm saatte dolduruyor. Havuzun dibindeki C musluğu ise dolu havuzu 3 saatte boşaltıyor. Üç musluk aynı anda açılırsa boş havuz kaç saatte dolar? ÖRNEK 30 Boş bir havuz, A ve B muslukları açıkken 4 saatte, A ve C muslukları açıkken 6 saatte, B ve C muslukları açıkken 3 saatte dolduğuna göre, üç musluk aynı anda açılırsa boş havuz kaç saatte dolar? Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 32 A 12 B 15 A musluğu boş bir havuzu tek başına 12 saatte doldurabilmektedir. Havuzun ortasında bulunan B musluğu ise boşaltabileceği kısmı tek başına 15 saatte boşaltabilmektedir. Buna göre, iki musluk birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar? Çözüm 204 ALIŞTIRMALAR - 1. 6. Zeynep bir işin yarısını 6 günde bitirirken Fatma 4 Şekildeki havuzu A mus- aynı işin tamamını 6 günde bitiriyor. İkisi beraber luğu 8 saatte doldurabi- bu işi kaç günde bitirir? liyor. Havuzun ortasın- A B da bulunan B musluğu ise dolu havuzun yarısını 6 saatte boşaltıyor. Havuz boşken A ve B muslukları birlikte açılıyor. 2. Bir halıyı Mukaddes 6 günde, Öykü 4 günde do- Buna göre, boş havuz kaç saatte dolar? kuyabiliyor. İkisi birlikte aynı nitelikteki 5 halıyı kaç günde dokurlar? 7. 3. 30 saatte, B musluğu Bir öğrenci 2 saatte 45 soru, bir başka öğrenci 4. B (30) (20) mektedir. C musluğu C ise dolu havuzu x saat- ESEN YAYINLARI çalışmaları gerekir? A 20 saatte doldurabil- 4 saatte 60 soru çözebilmektedir. Aynı nitelikte 300 soruyu çözebilmeleri için birlikte kaç saat Boş havuzu A musluğu te boşaltabilmektedir. (x) Muslukların üçü birlikte açıldığında boş havuz 15 saatte dolduğuna göre, x kaçtır? Bir işi A işçisi 6, B işçisi 8 ve C işçisi 12 saatte bitirebiliyorlar. Üçü birlikte 2 saat çalıştıktan sonra B işçisi işi bırakıyor. Kalan işi A ve C işçileri kaç saatte bitirebilirler? 8. Boş bir havuzu A musluğu 6 saatte, B musluğu 12 saatte doldurmaktadır. A musluğu açılıp 3 saat sonra kapatılırsa, kalan kısmı B musluğu kaç saatte doldurur? 5. Üç işçi bir işi beraber 2 günde bitiriyor. İşçilerden 9. Her biri boş bir havuzu 8 saatte dolduran 3 mus- biri aynı işi tek başına 4 günde, diğeri 6 günde luktan biri açılıyor. Bundan sonra her saat başı bitirdiğine göre, üçüncü işçi aynı işi kaç günde bir musluk daha açılıyor. Buna göre, 3 saatin so- bitirir? nunda havuzun yüzde kaçı dolmuş olur? 205 Denklem Kurma Problemleri ÖRNEK 35 YÜZDE VE KÂR-ZARAR PROBLEMLERİ % 25 zararla satılan bir malın alış fiyatının, satış fiyatına oranı nedir? Yüzde deyimi, paydası 100 olan kesirler için kulla21 ifadesi 21 bölü 100 ya da yüzde 100 21 olarak okunur ve % 21 biçiminde de gösterilebilir. nılır. Örneğin; Çözüm Bir malın satışındaki kâr-zarar durumu alış (maliyet) fiyatı üzerinden hesaplanır. Zam ya da indirim ise satış fiyatı üzerinden hesaplanır. Kâr = Satış fiyatı – Alış fiyatı Zarar = Alış fiyatı – Satış fiyatı ÖRNEK 36 % 35 kârla 270 liraya satılan bir maldan kaç lira kâr edilmiştir? ÖRNEK 33 % 4 ü 7 olan sayı kaçtır? Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 34 A sayısı önce % 40 artırılıyor. Bulunan sayı da % 20 artırıldığında A sayısı yüzde kaç artmış olur? Çözüm 206 ÖRNEK 37 % 10 zararla 360 ¨ ye satılan bir mal % 25 kârla kaç ¨ ye satılır? Çözüm Denklem Kurma Problemleri ÖRNEK 38 ÖRNEK 40 Alış fiyatı x lira olan bir mal, y = 2 x – 105 liraya satılırsa % 30 kâr elde ediliyor. Buna göre, bu malın satış fiyatı kaç liradır? Çözüm Bir satıcı 12 tanesini A liraya aldığı limonların tanesiA liraya satıyor. Buna göre, satıcının kârı yüzde 8 kaçtır? ni ÖRNEK 39 ESEN YAYINLARI Çözüm Bir mağaza % 20 indirim yaptığında satışları % 60 artıyorsa bu mağazanın günlük cirosundaki artış yüzde kaçtır? Çözüm ÖRNEK 41 Yıllık % 25 faiz oranı ile bankaya yatırılan 360 ¨ 8 ay sonunda kaç ¨ faiz geliri getirir? Çözüm 207 ALIŞTIRMALAR - 1. 50 ¨ ye alınan bir mal 65 ¨ ye satılıyor. Bu malın 6. 5 Bir mala satış fiyatı üzerinden önce % 20 lik sonra da % 5 lik indirim yapılarak 380 ¨ ye satılıyor. satışından yüzde kaç kâr edilmiştir? Bu malın ilk satış fiyatı kaç ¨ dir? 3. Yıllık % 8 faiz ile bir bankaya yatırılan para, kaç 1 ay sonra kendisinin i kadar faiz getirir? 15 7. 1 ünü % 10 3 zararla satmıştır. Bütün elmalardan % 40 kâr Bir manav 90 ¨ ye aldığı elmaların edebilmesi için kalan elmaları % kaç kârla satılmalıdır? 8. Bir mağaza mallarını % 20 kârla satarken, satış fiyatı üzerinden % 50 indirim yaptığında, yüzde kaç zarar eder? 5. Bir satıcı 36 ¨ ye sattığı bir maldan alış fiyatının 1 i kadar kâr ediyor. Buna göre, bu malın alış 5 fiyatı kaç ¨ dir? 208 Bir ürün % 24 kârla satılmaktadır. Bu ürün % 20 daha ucuza alınıp aynı satış fiyatı ile satılsaydı kâr oranı % kaç olurdu? 9. 4. a ¨ ye alınan bir gömlek % 10 kârla b ¨ ye, c ¨ ye alınan bir ayakkabı % 20 zararla b ¨ ye satılıa oranı kaçtır? yor. Buna göre, c ESEN YAYINLARI 2. 50 ¨ lik bir mala önce % 20 zam yapılıyor. Daha sonra satışların azalması üzerine zamlı fiyat üzerinden % 10 indirim yapılıyor. Buna göre, malın son fiyatı kaç ¨ dir? 10. Bir yatırımcı parasının % 60 ını borsaya, kalanını ise dövize yatırıyor. Yatırımcı borsadan % 50 zarar, dövizden % 60 kâr ettiğine göre, toplam % kaç kâr veya zarar etmiştir? Denklem Kurma Problemleri KARIŞIM PROBLEMLERİ ÖRNEK 44 Şeker oranı % 40 olan 90 gram şekerli suya, kaç gram şeker ilave edilirse şeker oranı % 60 olur? Çözüm Karıflım oranı = aL %x + bL %y saf madde toplam karıflım = (a+b) L %z y x z a. + b. = (a + b) . 100 100 100 ÖRNEK 45 Tuz oranı % 12 olan 30 litre tuzlu suya, kaç litre saf su ilave edilirse tuz oranı % 5 e düşer? Tuz oranı % 30 olan 70 litre tuzlu suyun içinde kaç litre tuz vardır? Çözüm ÖRNEK 43 Tuz oranı % 40 olan 20 litre tuzlu su ile tuz oranı % 60 olan 30 litre tuzlu su karıştırılıyor. Elde edilen karışımın tuz oranı yüzde kaçtır? Çözüm ESEN YAYINLARI ÖRNEK 42 Çözüm ÖRNEK 46 Şeker oranı % 18 olan 150 litre çözeltiden kaç litre su buharlaştırılırsa kalan çözeltinin şeker oranı % 30 olur? Çözüm 209 ALIŞTIRMALAR - 1. 6. 10 litre süt ile 15 litre su birleştirilirse oluşan karışımın süt oranı yüzde kaç olur? 6 Boş bir havuzu, A musluğu % 40 tuzlu su akıtarak 5 saatte, B musluğu saf su akıtarak 3 saatte doldurabiliyor. İki musluk birlikte açılarak havuz doldurulduğunda havuzdaki tuzlu suyun tuz oranı yüzde kaç olur? 2. 60 litre tuzlu sudaki tuz oranını % 10 dan % 60 a çıkarmak için kaç litre su buharlaştırılmalıdır? 7. 1 ü alınarak 4 yerine aynı miktarda tuz ilave ediliyor. Yeni karıTuz oranı % 40 olan bir karışımın şımın tuz oranı yüzde kaç olur? Ağırlıkça % 20 si şeker olan 60 gramlık un-şeker karışımına 20 gram şeker ve 20 gram un eklenirun (g) oranı kaç olur? se, yeni karışımın fle ker (g) 4. Şeker oranı % 25 olan 6 litre şekerli su ile şeker oranı % 50 olan 4 litre şekerli su karıştırılıyor. Buna göre, oluşan yeni karışımın şeker oranı yüzde kaçtır? ESEN YAYINLARI 3. 8. 80 litre alkollü suyun alkol oranını % 30 dan % 20 ye düşürmek için kaç litre su eklenmelidir? 9. Tuz (kg) A B 3 2 3 7 Un (kg) Yukarıdaki grafikte A ve B kaplarında bulunan un-tuz karışımlarındaki un ve tuz miktarları verilmiştir. A kabındaki karışımdan 20 kg, B kabın5. Tuz oranı % 20 olan 180 gramlık bir karışıma kaç gram tuz ilave edilirse tuz oranı % 25 olur? 210 daki karışımdan 30 kg alınarak elde edilen yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır? Denklem Kurma Problemleri HAREKET PROBLEMLERİ ÖRNEK 49 Yol = Hız.Zaman Bir araç A dan B ye doğru saatte 100 km hızla gidip, Yol = x , Hız = V , Zaman = t ⇒ x = V.t Ortalama Hız = hiç durmadan saatte 80 km hızla geri dönüyor. Gidiş- Toplam Yol dönüş toplam 18 saat sürdüğüne göre, |AB| kaç km Toplam Zaman dir? Çözüm ÖRNEK 47 Bir araç 5 saatte gittiği yolu 6 saatte geri dönüyor. Gidiş hızı geliş hızından saatte 20 km fazla ise yol kaç km dir? ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 48 ÖRNEK 50 Aralarında 70 km uzaklık bulunan iki otomobil aynı anda aynı yönde hareket ediyorlar. Arkadakinin hızı 90 km / h, öndekinin hızı 80 km / h olduğuna göre, arkadaki otomobil öndekine kaç saat sonra yetişir? 80 km/h 60 km/h A B Çözüm C İki hareketli A ve B noktalarından aynı anda, aynı yönde hareket ediyorlar. A dan hareket edenin hızı 80 km / h ve B den hareket edenin hızı 60 km / h dir. A dan hareket eden 4 saat sonra C noktasında diğerine yetiştiğine göre |AB| kaç km dir? Çözüm 211 Denklem Kurma Problemleri ÖRNEK 51 ÖRNEK 53 1 ünü saatte 60 km lik hızla, 3 kalan yolu da saatte 80 km lik hızla gittiğine göre, bu aracın tüm yol boyunca ortalama hızı saatte kaç km dir? Bir araç gideceği yolun Çözüm A ve B kentleri arası 630 km dir. A kentinden hızları 70 ve 90 km / h olan iki araç aynı anda B kentine doğru yola çıkıyor. Hızlı araç B kentine vardığında yavaş giden aracın daha kaç km yolu kalmıştır? ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 54 50 metre uzunluğundaki bir tren sabit hızla I. tüneli 20 saniyede, 100 metre uzunluğundaki II. tüneli 30 ÖRNEK 52 Çevresi 990 m olan çembersel bir pistin bir A noktasından dakikadaki hızları 15 m ve 18 m olan iki hareketli aynı anda ve ters yönde hareket ediyorlar. Buna göre, kaç dakika sonra ilk kez karşılaşırlar? Çözüm 212 saniyede geçtiğine göre, I. tünelin uzunluğu kaç metredir? Çözüm 7 ALIŞTIRMALAR - 1. 5. Bir otomobil iki şehir arasını V hızıyla 2 x saat- Bir hareketli iki nokta arasını a saatte gidiyor. te alıyor. Diğer bir otomobil aynı yolu 3V hızıyla Eğer hareketli ortalama hızını saatte 5 km artı- kaç saatte alır? rırsa aynı yolu b saatte gidiyor. Buna göre, bu iki nokta arası uzaklık kaç kilometredir? 2. İki araç aynı noktadan, zıt yönlerde hareke6. te başlıyorlar. Araçların hızları 75 km /h ve 85 40 metre uzunluğundaki bir tren işaretli bir nok- km / h olduğuna göre, hareketlerinden kaç saat tayı 4 saniyede geçmektedir. Buna göre, aynı sonra aralarındaki uzaklık 400 km olur? hızla 60 metre uzunluğundaki bir tüneli kaç sani- 3. 1 olan iki araç, aynı noktadan ve 3 aynı yönde harekete başlıyorlar. 4 saat sonra Hızları oranı aralarındaki mesafe 320 km olduğuna göre, ya- ESEN YAYINLARI ESEN YAYINLARI yede geçer? 7. kalanını 80 km/h hızla gidip hiç durmadan 75 km/h hızla geri dönüyor. Gidiş, dönüşten 1 saat fazla sürdüğüne göre, bu araç 80 km/h hızla vaş giden aracın saatteki hızı kaç km dir? kaç saat gitmiştir? 8. 4. A B 2V 3V Bir araç 600 km lik yolun bir kısmını 60 km/h, A 150 km 90 km/h B C 60 km/h A ve B kentlerinden şekilde verilen hızlarla iki İki otomobil A ve B kentlerinden şekilde veri- otomobil aynı anda C ye doğru harekete başlı- len hızlarla aynı anda birbirlerine doğru hareket yorlar. |AB| = 150 km olduğuna göre, A dan ha- ediyorlar. Bu iki otomobil yolun ortasından 60 km reket eden araç B den hareket eden araca kaç uzakta karşılaştığına göre, |AB| kaç km dir? saat sonra yetişir? 213 Denklem Kurma Problemleri 9. 12. Zaman (saat) 8 A B O 8 B A 6 2 0 O merkezli dairesel pistin çevresi 144 metredir. A ve B noktalarından dakikadaki hızları sırasıyla Yukarıda aynı anda ve aynı yönde hareket eden 8 metre ve 6 metre olan iki hareketli aynı anda A ve B araçlarının yol-zaman grafiği verilmiş- verilen yönlerde harekete başlıyorlar. Buna gö- tir. A aracı ile B aracı arasındaki mesafe 8 saat re, hızlı olan hareketli diğerine yetiştiğinde kaç sonra 120 km olduğuna göre, x kaçtır? metre yol almış olur? 13. A B 60 km/h 40 km/h C Saatteki hızları 60 km ve 40 km olan iki araç sırasıyla A ve B noktalarından aynı anda C ye doğru harekete başlıyorlar. Arkadaki araç öndeAB oranı kine C noktasında yetiştiğine göre, BC kaçtır? Zaman (saat) ESEN YAYINLARI 10. Yol (km) x 4 3 1 0 90 240 360 Yol (km) Yukarıdaki şekilde bir aracın yol-zaman grafiği verilmiştir. Buna göre, bu aracın ortalama hızı kaç km/h dir? 14. Bir bisikletli saatte ortalama 30 km hızla yol al11. Bir yüzücü dalgalara karşı dakikada 10 metre, maktadır. Her yarım saatte bir 10 dakika dinlen- dalga yönünde ise dakikada 16 metre yüzebil- diğine göre, bu bisikletli 4 saatte kaç metre yol mektedir. Bu yüzücü 52 dakika suda kaldığına alır? göre, sahilden en çok kaç metre açılmıştır? 214 Yazılıya Hazırlık Soruları 1. Ali ile Barış’ın paraları toplamı 450 Barış’a 25 4. dir. Ali, verirse Barış’ın parası Ali’nin Buna göre, ilk durumda Ali’nin parası kaç Bir satıcı bir malı % 10 kârla 99 yıl önceki yaşı ile babasının 4 oranı nedir? dir? 5. ye, başka bir Bir karışımdaki tuz oranını % 30 dan % 25 e indirmek için kullanılan su miktarının, aynı karı- bu iki alışveriş sonucundaki kâr-zarar durumu şımın tuz oranını % 30 dan % 40 a çıkarmak nedir? için kullanılan tuz miktarına oranı nedir? Satış fiyatı üzerinden % 16 indirim yapılınca ESEN YAYINLARI ye satıyor. Satıcının malı da % 10 zararla 99 3. 4 bugünkü yaşının babasının 2 yıl önceki yaşına parasının 2 katı olacaktır. 2. Ahmet’in yıl sonraki yaşının çarpımı 31 ise, Ahmet’in 6. A dan 2a km/h, B den 3a km/h hızlarla kârı % 12 ye inen bir malda indirimli fiyattan iki taşıt karşılıklı olarak aynı anda harekete önceki kârı yüzde kaç olarak hesaplanmıştır? geçtiklerinden 4 saat sonra karşılaşıyorlar. Karşılaştıkları nokta yolun orta noktasından 20 km uzakta olduğuna göre, A ile B kentleri arası kaç km dir? 215 Denklem Kurma Problemleri 7. Bir çırak 3 günde 4 masa, bir usta 2 günde 5 9. Bir işçi çalıştığı iş yerinden yılda 4000 ¨ para masa ve bir kalfa 5 günde 8 masa yapabiliyor. ile bir takım elbise almaktadır. 8 ay çalışan Üçü birlikte çalışarak 163 masayı kaç günde bu işçi bir takım elbise ile 2500 ¨ para alarak yapabilirler? ayrıldığına göre, bir takım elbisenin değeri kaç ¨ 8. 3 si kesilirse, telin orta noktası 7 9 cm kayıyor. Buna göre, telin tamamı kaç cm Bir telin ucundan dir? ESEN YAYINLARI dir? 10. Dolu bir tüpgaz 20 kg gelmektedir. Bu tüpgaz bir eve 24 gün yetmektedir. 8 gün sonra bu tüp tartıldığında 16 kg gelmiştir. Buna göre, boş tüpün ağırlığı kaç kg dır? 216 TEST 1. 1 Sayı Problemleri 5. Yarısı kendisinden 18 eksik olan sayı nedir? A) 36 B ) 45 C ) 54 D ) 60 Bir sayının 4 fazlasının 3 te 2 si, bu sayının 5 katının 1 fazlasının 6 da birine eşittir. Bu sayı E) 72 nedir? A) 15 2. 6. Bir sayının 5 te birinin 5 eksiği 6 da birine eşittir. B ) 100 C ) 125 D ) 150 C) 20 D) 22 E) 26 Bir miktar para 12 kişiye eşit olarak paylaştırılacaktır. Paylaşmaya 4 kişi katılmaz ise Bu sayı nedir? A) 75 B) 18 katılanların herbiri 40 lira fazla alacağına göre, E) 175 paylaştırılacak para kaç liradır? B) 800 C) 840 D) 900 E) 960 ESEN YAYINLARI A) 760 3. Bir sayının 4 te birinin 5 fazlası, 3 te birinin 3 eksiğine eşittir. Bu sayı nedir? A) 76 B ) 80 C ) 84 D ) 92 E) 96 7. Bir torbada 6 sarı, 5 kırmızı ve 8 beyaz bilye vardır. Torbadan en az kaç bilye alınmalıdırki iki tanesi kesinlikle beyaz olsun? A) 10 8. 4. B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 Bir torbada 60 sarı, 60 kırmızı bilye vardır. Bu Bir sayının 5 te biri ile 8 de birinin toplamı, torbadan en az kaç bilye alınırsa kesinlikle iki yarısından 14 eksiktir. Bu sayı nedir? tanesi aynı renk olur? A) 120 B ) 100 C ) 80 D ) 60 E) 40 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 217 Denklem Kurma Problemleri 9. Bir öğrenci elindeki parasıyla, 10 kalem ile 4 silgi 13. Bir kuzu bir çayırın ortasındaki kazığa 2 m’lik ya da sadece 12 kalem alabiliyor. Öğrenci, bu bir iple bağlanıyor. Kuzu bu alandaki otları 2 parayla kaç tane silgi alabilir? günde yiyebiliyor. Kuzuya 8 gün yetecek kadar B ) 18 A) 16 C ) 20 D ) 24 bir otlama alanı ayırmak için, ip kaç metre daha E) 30 uzun bağlanmalıdır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 10. Bir grup çocuk aralarında yazı-tura oyunu oynuyorlar. Oyunun kuralı şöyledir. “O ynayan çocuk yazı atarsa 2 bilye kaybediyor, tura gelirse 1 14. Bir otobüs kuyruğunda Ayşe baştan 12 inci, bilye kazanıyor ” . Oyuna 8 bilye ile katılan bir Fatma ise sondan 12 inci sıradadır. Ayşe ile çocuğun üçüncü atış sonrasında toplam bilye Fatma arasında 3 kişi olduğuna göre, otobüs sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? kuyruğunda en az kaç kişi vardır? B) 8 C) 7 D) 5 11. Bir çiftlikte bulunan tavukların ayak sayısı ineklerin ayak sayısından 6 fazladır. Çiftlikteki tavuk ve ineklerin sayıları toplamı 15 olduğuna göre, kaç B) 20 C) 22 D) 24 E) 27 15. Gizem elindeki kalemleri 10 arlı paket yapmak yerine 12 şerli paket yapınca paket sayısı 4 tavuk vardır? B) 8 A) 7 A) 19 E) 2 ESEN YAYINLARI A) 11 C) 9 D ) 10 E) 11 azalıyor. Buna göre Gizem’in kaç kalemi vardır? A) 240 B) 200 C) 180 D) 160 E) 120 12. Bir sınıftaki erkek öğrencilerin sayısı, kızların sayısının a katıdır. Bu sınıftan 2 erkek, 16. Bir lokantada 240 ¨ lik hesap 4 kişi arasında şu 2 kız çıkartıldığında erkeklerin sayısı kızların şekilde paylaştırılıyor. 1. kişi diğerlerinin ödedi- sayısının b katı oluyor. Buna göre, sınıftaki kız ği toplam paranın yarısını, 2. kişi diğerlerinin 1 ini, 3. kişi diğerlerinin ödediği toplam paranın 4 1 ini ödüyor. ödediği toplam paranın 3 öğrencilerin sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 (1 – b) a–b D) 218 B) 2 (1 + b) a+b a–b a+b C) E) a+b b+1 2a + b 2 (a + b) Buna göre, 4. kişi kaç ¨ ödemiştir? A) 48 B) 50 C) 52 D) 58 E) 60 TEST 1. 2 Kesir Problemleri Bir kesrin payı paydasından 3 fazladır. Bu kesrin 5. payına 3 eklenir ve paydasından 1 çıkarılırsa, değeri 2 oluyor. Bu kesrin payı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D ) 10 1 ünü harcadıktan sonra; 4 80 ¨ daha harcayınca tüm parasının yarısını Özlem parasının harcamış oluyor. Buna göre, Özlem’in harcadığı E) 11 toplam para kaç liradır? A) 160 2. Fatma parasının yarısı ile kitap, 6. C ) 15 D ) 20 E) 30 1 ünü sonra geriye kala3 A) 350 B) 400 C) 450 D) 500 E) 600 Paydası payının 2 katının 1 fazlasına eşit olan bir kesrin payına 2 eklenir paydasından 5 çıkarılırsa kesrin değeri 1 e eşit oluyor. Bu kesrin paydası 7. kaçtır? A) 11 B ) 12 C ) 13 D ) 14 2 u kesilince orta nokta 3 cm 9 kayıyor. Buna göre, çubuğun kesilen parçası Bir çubuğun kaç cm dir? E) 15 A) 3 4. E) 240 nın da ESEN YAYINLARI 3. Özge parasının önce D) 220 1 sını harcayınca 250 ¨ parası kalıyor. 6 Tüm parası kaç liradır? liraya almıştır? B ) 10 C) 200 1 ü ile defter 4 alıyor. Geriye 10 lirası kaldığına göre, kitabı kaç A) 5 B) 180 Bir kesrin payı paydasının 2 katının 5 fazlasına eşittir. Kesrin değeri A) 18 B ) 27 9 ise kesrin payı kaçtır? 4 C ) 36 D ) 45 E) 54 8. B) 4 C) 6 D) 8 E) 9 Bir demir çubuk 7 eşit parçaya bölünmüştür. Eğer parçalar 5 cm daha kısa olsaydı 12 eşit parçaya bölünecekti. Çubuğun boyu kaç cm dir? A) 72 B) 76 C) 80 D) 84 E) 90 219 Denklem Kurma Problemleri 9. Bir çubuğun yarısı 7 eş parçaya, diğer yarısı 5 13. Bir bayii elindeki biletlerin birinci gün 12 tanesini, eş parçaya bölünüyor. Uzun ve kısa parçalar ikinci gün 15 tanesini, üçüncü gün 18 tanesini 2 ü kalıyor. Başsatıyor. Geriye tüm biletlerin 3 langıçtaki bilet sayısı kaçtır? arasındaki fark 6 cm ise çubuk kaç cm dir? A) 105 B ) 135 C ) 165 D ) 180 E) 210 A) 90 10. Bir sınıftaki kızların sayısının erkeklerin sayısına 3 dir. Kızlardan 3, erkeklerden 5 kişi sınıforanı 7 2 oluyor. Başlangıçta sıtan ayrılınca bu oran 5 nıfta kaç kişi vardır? B ) 50 C ) 40 D ) 30 C) 120 D) 135 E) 150 14. Bir postacı uğradığı her sokakta elindeki mektup1 inden 4 fazlasını dağıtmaktadır. Üçüncü 2 sokağa uğradıktan sonra elinde 5 mektup kaldıların ğına göre, postacı kaç mektup dağıtmıştır? E) 20 A) 86 B) 91 C) 95 D) 96 E) 104 ESEN YAYINLARI A) 60 B) 105 11. 9 bin lirayı A ile B paylaşıyor. A nın payının yarısı, B nin payının 2 i dir. A kaç bin lira 5 almıştır? A) 2 15. Bir sınıftaki erkek öğrencilerin sayısı, kız öğrencilerin sayısının iki katının üç eksiğidir. Sınıfa 6 erkek, 5 kız öğrenci daha katılınca, erkeklerin 3 i olmaktadır. sayısı, sınıftaki öğrenci sayısının 5 Buna göre, son durumda sınıfta kaç öğrenci vardır? B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 35 B) 38 C) 40 D) 42 E) 45 16. A sınıfının beşte ikisi B sınıfına geçince A ve 12. Bir sınıftaki öğrencilerin 1 ü sarışın ve sarışın 3 B sınıflarının mevcutları eşit oluyor. Buna göre, A sınıfının mevcudu B sınıfının mevcudunun olmayanların sayısı 12 ise sınıf mevcudu kaçtır? kaç katıdır? A) 15 A) 220 B ) 18 C ) 20 D ) 22 E) 24 5 2 B) 5 3 C) 5 4 D) 5 E) 6 TEST 1. 3 Yaş Problemleri 5. Duygu ve Doğa’nın bugünkü yaşları toplamı 26 Mustafa babasının yaşına geldiği zaman babası- olduğuna göre, 6 yıl sonraki yaşları toplamı kaç nın yaşı Mustafa’nın yaşının 3 katından 43 eksik olur? olacaktır. Mustafa ile babasının şimdiki yaşları A) 32 B ) 36 C ) 38 D ) 40 toplamı kaçtır? E) 42 A) 43 2. Bir babanın yaşı iki kızının yaşları toplamından 6. 6 fazladır. Kaç yıl sonra babanın yaşı kızlarının C ) 10 D ) 12 D) 49 E) 51 Bugünkü yaşları 2 ve 3 ile orantılı olan iki kargöre, küçüğünün bugünkü yaşı kaçtır? E) 14 A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 ESEN YAYINLARI B) 8 C) 47 deşin, 5 yıl sonraki yaşları toplamı 35 olacağına yaşları toplamından 4 yaş küçük olur? A) 6 B) 45 7. 3. Gökhan ve Ali’nin yaşları farkı 5 dir. 3 yıl önce orantılıdır. 3 yıl sonra yaşları toplamı 36 olacağı- Gökhan’ın yaşı Ali’nin yaşının 2 katı olduğuna na göre, en küçük çocuğun bugünkü yaşı kaçtır? göre, Gökhan’ın bugünkü yaşı kaçtır? A) 3 A) 8 4. Üç çocuğun yaşları sıra ile 2 , 3 ve 4 sayılarıyla B) 9 C ) 10 D ) 13 1 ve 3 toplamı 24 ise büyüğü kaç yaşındadır? B ) 16 C ) 18 D ) 20 C) 6 D) 9 E) 12 E) 15 İki kardeşin yaşlarının birbirine oranı A) 14 B) 4 8. Bir annenin yaşı 43, iki çocuğunun yaşları toplamı 14 tür. Kaç yıl sonra annenin yaşı çocukların yaşları toplamının 2 katı olur? E) 22 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 221 Denklem Kurma Problemleri 9. Doğa ile annesinin yaşlarının toplamı 48 dir. 13. Yaşları toplamı, yaşları farkının 3 katına eşit 2 yıl önce annesinin yaşı Doğa’nın yaşının 3 katı olan iki kardeşin a yıl sonraki yaşları farkı 9 olduğuna göre, Doğa şimdi kaç kaşındadır? olduğuna göre, büyük kardeşin bugünkü yaşı A) 12 B ) 13 C ) 14 D ) 15 nedir? E) 16 A) 27 B) 18 C) 12 D) 9 E) 6 10. Bugünkü yaşları toplamı 378 olan bir grubun 14. 43 yaşındaki bir babanın 3 çocuğu vardır. iki yıl önceki yaş ortalaması 16 dır. Buna göre, Çocuklarının ikisi ikizdir. Büyük olan çocuk grupta kaç kişi vardır? ikizlerden 4 yaş daha büyüktür. 3 yıl sonra A) 18 B ) 19 C ) 20 D ) 21 çocuklarının yaşları toplamı babanın yaşına eşit E) 22 olacağına göre, büyük çocuğun bugünkü yaşı kaçtır? B) 15 C) 18 D) 20 E) 21 ESEN YAYINLARI A) 14 11. Yaşları 4 ten büyük olan 3 kardeşin bugünkü yaşları toplamı 28 olduğuna göre, 4 yıl önceki yaşları toplamı kaçtı? A) 8 B ) 12 C ) 16 D ) 20 E) 24 15. Bir annenin yaşı büyük kızının yaşının 2 katı, küçük kızının yaşının 3 katından 5 eksiktir. Anne ve kızlarının yaşları toplamı 64 olduğuna göre, annenin yaşı kaçtır? A) 32 B) 34 C) 36 D) 38 E) 42 16. Bir annenin yaşı, büyük oğlunun yaşının 3 katı, küçük oğlunun yaşının 5 katıdır. Büyük oğlu 12. Fuat ve Soner’in bugünkü yaşları toplamı 48 şimdiki yaşının iki katı olduğu zaman annenin dir. Fuat 3 yıl önce, Soner 1 yıl sonra doğmuş yaşı küçük oğlunun yaşının 3 katından 8 eksiktir. olsaydı, 2 yıl sonraki yaşları toplamı kaç olurdu? Annenin bugünkü yaşı nedir? A) 51 222 B ) 52 C ) 53 D ) 54 E) 55 A) 36 B) 32 C) 30 D) 27 E) 26 TEST 1. İşçi – Havuz Problemleri 5. Gökhan ve Doğa bir işi birlikte 8 günde biti- Aynı işi Doğa tek başına 24 günde bitirebiliyor. bitirdiğine göre, Doğa tek başına kaç günde Ali ile Gökhan işe başladıktan 3 gün sonra işi bı- bitirir? rakırlarsa, kalan işi Doğa kaç günde tamamlar? B ) 12 C ) 14 D ) 16 E) 18 A) 9 6. Bir işi Barış 12 günde, Savaş 18 günde bitiriyor. C ) 30 D ) 32 Bir usta 3 saatte 5 gömlek, çırağı ise 4 saatte E) 18 A nın bir günde yaptığı iş B nin bir günde yaptığı günde bitirir? A) 9 7. B) 8 C) 6 D) 9 2 E) 3 2 gömlek dikiyorlar. Kaç saat birlikte çalışmışlar- A ve B işçileri beraber bir işi 12 günde yapıyorlar. 1 A işçisi 2 gün, B işçisi 3 gün çalışırsa işin ini 5 dır? yapıyorlar. A tek başına bu işi kaç günde bitirir? 2 gömlek dikebiliyor. İkisi birlikte çalışarak 26 A) 8 4. D) 15 işi 1 günde bitiriyorlar. Bu işi A tek başına kaç E) 36 ESEN YAYINLARI B ) 24 C) 12 bir günde yaptığı işin üçte biridir. Üçü birlikte bir rine göre, Zafer tek başına kaç günde bitirir? A) 20 B) 10 işin yarısıdır. B nin bir günde yaptığı iş ise C nin Aynı işi Barış, Savaş ve Zafer 6 günde bitirdikle- 3. Ali ile Gökhan bir işi birlikte 8 günde yapabiliyor. riyorlar. Bu işi Gökhan tek başına 24 günde A) 10 2. 4 B) 9 C ) 10 D ) 12 E) 15 x günde bi3 tiriyor. Aynı işi, birlikte 5 günde bitirdiklerine Mehmet bir işi x günde, İbrahim ise A) 30 8. B) 20 C) 18 işçi günlük çalışma saatini 3 saat artırırsa işi 10 günde bitirebilecektir. Buna göre, işçinin günlük çalışma süresi kaç saattir? A) 10 A) 8 C ) 20 D ) 25 E) 30 E) 12 Bir işçi bir işi 15 günde bitirebilmektedir. Eğer bu göre, Mehmet tek başına kaç günde bitirir? B ) 15 D) 15 B) 7,5 C) 7 D) 6 E) 5 223 Denklem Kurma Problemleri 9. A, B ve C üç işçidir. A, B’nin yarısı, B’de C’nin üç 13. Bir A musluğunun 6 saatte doldurduğu havuzu katı hızla çalışıyor. A ile B birlikte bir işi 24 günde B musluğu 9 saatte boşaltıyor. Havuz boş iken yapmaktadır. B ile C birlikte aynı işi kaç günde önce A musluğu, 3 saat sonrada B musluğu yaparlar? açılıyor. B musluğunun açıldığı andan 2 saat A) 8 B ) 14 C ) 16 D ) 27 sonra havuzun kaçta kaçı boştur? E) 36 A) 2 3 ünü bitiriyorlar. Kalan işi Ömer tek başına 6 10. Ali ile Ömer 8 gün birlikte çalışarak bir işin 1 9 C) 1 18 D) 11 18 E) 5 6 Havuzun altındaki B musluğu ise dolu havuzu 8 saatte boşaltıyor. Musluklar aynı anda açılırsa, kaç günde bitirir? boş havuz kaç saatte dolar? C ) 18 D ) 24 E) 36 A) 24 ESEN YAYINLARI B ) 16 B) 14. Boş bir havuzu A musluğu 6 saatte dolduruyor. günde bitiriyor. İşin tamamını Ali yalnız çalışarak A) 12 7 18 B) 30 C) 36 D) 42 E) 48 15. İki boru, bir su deposunu birlikte açıldıklarından 11. Boş bir havuzu A ve B muslukları 12 saatte 12 saat sonra dolduruyorlar. Borulardan birincisi dolduruyor. A musluğu havuzu B musluğunun boş depoyu yalnız başına 20 saatte doldurdu- doldurma zamanının üçte biri kadar daha fazla ğuna göre, ikinci boru boş depoyu yalnız başına zamanda doldurduğuna göre, A musluğu havu- kaç saatte doldurur? zu kaç saatte doldurur? A) 21 B ) 24 C ) 25 A) 20 D ) 28 12. Boş bir havuzu A musluğu 4 saatte, B musluğu ise 3 saatte dolduruyor. İki musluk birlikte 1 saat akarsa, havuzun doluluk oranı ne olur? A) 224 3 7 B) 4 7 C) 1 4 D) 1 3 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 E) 42 E) 7 12 16. Boş bir havuzu iki musluktan birincisi 10 saatte, 4 si ikincisi 14 saatte doldurmaktadır. Havuzun 7 dolu iken musluklar birlikte açılıyor. Havuz kaç saatte dolar? A) 2 B) 2,5 C) 3 D) 3,5 E) 4 TEST 1. 6 Karışım Problemleri 5. % 80 i alkol olan 9 litre karışımın alkol oranını suyuna kaç gram su ilave edilirse şeker oranı % katılmalıdır? 5 olur? A) 1 B ) 1,5 C) 2 D ) 2,5 E) 3 A) 600 6. 2. Şeker oranı % 15 olan 400 gramlık meyve % 60 a düşürmek için bu karışıma kaç litre su B) 700 C) 750 D) 800 E) 900 Şeker oranı % 10 olan 80 litre meyve suyu ile Tuz oranı % 45 olan 60 kg lık tuzlu sudan kaç kg şeker oranı % 15 olan kaç litre meyve suyu su buharlaştırılmalıdır ki tuz oranı % 50 olsun? karıştırılırsa elde edilen karışımın şeker oranı A) 4 % 13 olur? B) 6 C) 7 D) 8 E) 10 B) 100 C) 110 D) 120 E) 130 ESEN YAYINLARI A) 90 3. Alkol oranı % 40 olan 10 litre karışıma kaç litre saf alkol ilave edilirse, yeni karışımın alkol oranı 7. % 60 olur? A) 4 4. B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Tuz oranı % 20 olan 20 kg karışıma 5 kg saf tuz x gram tuz katılırsa, karışımın 4 tuz oranı yüzde kaç olur? x gram saf suya A) 10 8. B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 180 gram tuzlu su karışımında su oranı % 75 tir. ilave edilirse, yeni karışımın tuz oranı yüzde kaç Bu karışımın su oranını % 60 a düşürmek için olur? kaç gram tuz ilave edilmelidir? A) 25 B ) 28 C ) 30 D ) 33 E) 36 A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50 227 Denklem Kurma Problemleri 9. 13. % 45 bakır içeren 12 kg lık bir bakır çinko % 25 lik 30 kg şeker çözeltisine % 40 lık kaç kg karışımına kaç kg çinko eklenmelidir ki elde şeker çözeltisi katarsak karışım % 35 lik olur? A) 50 B ) 60 C ) 70 D ) 80 edilen yeni karışım % 40 bakır içersin? E) 100 A) 7,5 B) 6 C) 4,5 D) 3 E) 1,5 Elde edilen karışımın tuz oranı yüzde kaçtır? 1 i tuz olan 60 kg tuzlu suya kaç kg saf tuz ka5 3 tılmalıdır ki elde edilecek yeni tuzlu suyun ü 4 döküldüğünde kalanın % 60 ı tuz olsun? A) 40 A) 20 10. % 40 ı su olan tuzlu suyun 1 ü boşaltılıyor ve 4 14. aynı miktarda % 60 ı tuz olan su ilave ediliyor. C ) 50 D ) 55 E) 60 ESEN YAYINLARI B ) 45 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 15. Aynı miktarda % 30 luk A karışımı ile % 70 lik 11. % 20 lik 2 x kg karışım, % 40 lık 3x kg karışım B karışımı vardır. A nın % 70 i ile B nin % 30 ve % 60 lık 5 x kg karışım karıştırıldığında yeni u karıştırılınca elde edilen yeni karışım yüzde karışımın oranı yüzde kaç olur? kaçlık olur? A) 32 B ) 35 C ) 40 D ) 46 E) 52 A) 28 B) 34 C) 35 D) 42 E) 56 16. Tuz oranı % 20 olan 150 litre tuzlu su ile, 50 litre 12. % 20 lik 90 kg tuzlu suyun % 20 si dökülerek tuzlu su karıştırılıyor. Karışımın tuz oranı % 25 yerine su konuyor. Yeni karışımın tuz oranı olduğuna göre, ikinci karışımın tuz oranı yüzde yüzde kaç olur? kaçtır? A) 14 228 B ) 15 C ) 16 D ) 18 E) 24 A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55 TEST 1. 7 Hareket Problemleri 5. A’dan B’ye gidecek bir sürücü otomobilinin Bir bisikletli 48 km lik yolu saatte 8 km hızla gi- hızını 10 km/h artırırsa yolu 5 saatte, 10 km/h dip, durmadan saatte 12 km hızla geri dönüyor. azaltırsa yolu 6 saatte gideceğini hesaplıyor. A Bisikletlinin gidiş-dönüşteki ortalama hızı saatte ve B arası kaç km dir? kaç km dir? A) 600 B ) 550 C ) 500 D ) 450 E) 440 A) 9 6. B) 9,4 C) 9,6 D) 10 E) 10,4 Aralarındaki uzaklık 480 km olan iki noktadan aynı anda karşılıklı olarak yola çıkan iki araçtan 2. Bir sürücü A kentinden B kentine saatte 60 km birinin saatteki hızı diğerininkinin 3 katıdır. Araç- hızla gidip, 70 km hızla geri dönmüştür. lar hareketlerinden 2 saat sonra karşılaştıklarına Gidiş 1 saat daha uzun sürdüğüne göre, kentler göre, yavaş giden aracın saatteki hızı kaç km arası kaç km dir? dir? B ) 420 C ) 440 D ) 480 A) 50 E) 500 ESEN YAYINLARI A) 400 B) 60 7. C) 70 D) 80 60 E) 90 40 C A B Hızı saatte 60 km olan bir hareketli A noktasın3. dan, hızı saatte 40 km olan diğer bir hareketli B Bir hareketlinin A’dan B’ye gidip, tekrar A’ya noktasından birbirine doğru aynı anda hareket dönmesi için geçen zaman 9 saattir. Dönüş hızı, ediyorlar ve C gibi bir noktada karşılaşıyorlar. gidiş hızının 2 katı olduğuna göre, bu hareketli A’dan hareket eden, karşılaştıklarından 2 saat A’dan B’ye kaç saatte gitmiştir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 sonra B noktasına vardığına göre, A ile B arası E) 7 kaç km dir? A) 300 8. B) 320 C) 360 D) 400 E) 480 A kentinden B kentine saatteki hızı 50 km olan bir kamyon hareket ediyor. Bundan iki saat 4. Hızları saatte 80 km ve 90 km olan iki hareketli, sonra saatteki hızı 80 km olan bir otobüs de A kentinden B kentine doğru aynı anda hareket A dan B’ye hareket ediyor. Otobüs B kentine ediyor. Hızlı giden B kentine yarım saat erken kamyondan 1 saat önce vardığına göre, A ile B vardığına göre, A ve B kentleri arası kaç km dir? arası kaç km dir? A) 320 B ) 340 C ) 350 D ) 360 E) 380 A) 360 B) 400 C) 460 D) 480 E) 520 229 Denklem Kurma Problemleri 9. 13. Bir araç 180 km lik yolun tamamını 5 saatte 1 ünü 2 saatte gittiğine göre, yolu gidiyor. Yolun 3 zamanında bitirebilmesi için kalan yoldaki hızı Bir araç A ile B arasını 5 saatte gidebiliyor. Eğer hızını saatte 20 km artırsaydı, araç A ve B arasını 3 saatte gidebilecekti. Buna göre, A ve B arası kaç km dir? A) 150 B ) 140 C ) 130 D ) 120 öncekinden kaç kilometre fazla olmalıdır? E) 100 A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 20 10. A kentinde aynı yerden, aynı yönde birer saat ara ile yola çıkan üç aracın hızları sırayla 45, 14. Bir araba iki kent arasındaki yolu 5 saatte alıyor. 60 ve V km/h dir. Üç araç B kentine aynı anda Eğer hızını 20 km/h azaltırsa aynı yolu 7 saatte vardıklarına göre, V kaçtır? B ) 75 C ) 80 D ) 85 alıyor. Bu iki kent arası kaç km dir? E) 90 A) 350 11. A ve B kentleri arası 360 km dir. A’dan B’ye doğru aynı anda hareket eden iki arabanın hız- ESEN YAYINLARI A) 70 B) 300 15. Saatteki hızları C) 250 60 km D) 200 ve E) 150 80 km olan iki kamyon aynı anda A kentinden B kentine ları farkı 15 km /h dir. Hızlı olan B’ye vardığında hareket ediyorlar ve durmadan geri dönüyorlar. diğerinin varmasına 60 km vardır. Yavaş olan B Hareketlerinden 6 saat sonra karşılaştıklarına ye kaç saatte varmıştır? göre, A ile B kentleri arası kaç km dir? A) 3,6 B ) 3,8 C) 4 12. O merkezli çemberde hız- D ) 4,2 V1 A) 350 E) 4,8 B) 400 C) 380 16. Bir traktörün arka tekerleğinin çevresi, ön te• iki hareketli oklar yönünde O harekete başladıktan 28 sn B V2 sonra 2. kez karşılaşıyor- kerleğin çevresinin 3 katıdır. Traktör 390 m yol aldığında arka tekerlek, ön tekerlekten 120 az dönüş yapıyor. Traktör 520 m yol alırsa arka lar. Buna göre çemberin çevresi kaç m dir? tekerlek kaç dönüş yapar? A) 704 A) 60 230 C ) 528 E) 420 A ları toplamı 44 m/s n olan B ) 616 D) 440 D ) 512 E) 480 B) 80 C) 85 D) 90 E) 100 Üniversiteye Giriş Sınav Soruları 1. 2000 – ÖSS 5. 1 tür. 3 3 5 yıl sonra bu oran olacağına göre, Murat ile 7 annesinin bugünkü yaşları toplamı kaçtır? Su ile dolu bir sürahinin ağırlığı a gramdır. Su1 ü boşaltılınca, sürahinin ağırlığı b gram yun 3 olmaktadır. Buna göre, boş sürahinin ağırlığı kaç Murat ve annesinin bugünkü yaşları oranı gramdır? A) a – 2b B ) 2a – b D) 3b – 2a 2. A) 60 C ) 2b – a 2000 – ÖSS 6. C) 50 D) 45 E) 40 2000 – ÖSS Bir bilgi yarışmasında, kurallara göre, yarışma- a sayısı b sayısının % 16 sı, b sayısı da c cılar her doğru cevaptan 40 puan kazanıyor, her sayısının % 25 idir. Buna göre, a sayısı c sa- yanlış cevaptan 50 puan kaybediyor. 30 soruya yısının yüzde kaçıdır? A) 8 A) 18 B ) 20 C ) 22 D ) 24 E) 26 7. 2000 – ÖSS B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 ESEN YAYINLARI göre, doğru cevapların sayısı kaçtır? 2000 – ÖSS Ali bir bilet kuyruğunda baştan n. sırada, sondan Bir gezi grubundaki bayanların sayısı erkeklerin ( 2n – 2 ). sıradadır. Kuyrukta 81 kişi olduğuna sayısının % 40 ıdır. Bu grupta bulunan bayanla- göre, Ali baştan kaçıncı kişidir? rın sayısı 20 den fazla olduğuna göre, erkeklerin A) 28 B ) 30 C ) 32 D ) 33 sayısı en az kaçtır? E) 34 A) 55 4. B) 55 E ) 3b – a cevap veren bir yarışmacı 300 puan kazandığına 3. 2000 – ÖSS B) 54 C) 50 D) 44 E) 33 2000 – ÖSS Uzunlukları aynı olan iki mum aynı anda yanmaya başladığında, biri 2 saatte, diğeri 3 saatte tamamıyla yanarak bitmektedir. Bu iki mum aynı anda yakıldıktan kaç saat sonra, birinin boyu 1 ü olur? diğerinin boyunun 3 1 A) 7 6 B) 7 10 C) 7 8. 2000 – ÖSS Ağırlıkça % 70 i şeker olan un-şeker karışımından x kg, % 45 i şeker olan başka bir un-şeker karışımından ise y kg alınarak % 65 i şeker olan yeni bir karışım elde ediliyor. Buna göre x, y nin 12 D) 7 13 E) 7 kaç katıdır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7 237 Denklem Kurma Problemleri 9. 2000 – ÖSS 13. 2001 – ÖSS 1 i su ile 5 doluyken b gramdır. Bu kabın tamamı su ile do- Bir araç K kentinden M kentine saatte 42 km Bir kabın ağırlığı boşken a gram, hızla gitmiş ve saatte V km hızla dönmüştür. Bu gidiş dönüşte aracın ortalama hızı saatte 48 km luyken ağırlığı kaç gramdır? olduğuna göre, V kaçtır? A) 48 B ) 50 C ) 52 A) 5b – 4a D ) 54 E) 56 B) 5b – a D) 5a + b C) 4a – b E) 4a + 5b 14. 2001 – ÖSS 10. 2001 – ÖSS Bir satıcıdaki kırmızı topların her biri K TL ye, mavi topların her biri M TL ye, siyah topların 60 yolcusu olan bir otobüsten 2 bayan 3 erkek 5 inince bayanların sayısı erkeklerin sayısının 6 sı oluyor. Buna göre, ilk durumda otobüsteki ba- herbiri S TL ye satılmaktadır. 4 kırmızı ve 2 mavi topa ödenen toplam para 5 siyah topa ödenen paraya eşit; 2 siyah ve 2 mavi topa ödenen yan sayısı kaçtır? B ) 25 toplam para 3 kırmızı topa ödenen paraya eşittir. C ) 27 D ) 35 E) 37 Buna göre, 1 kırmızı ve 4 mavi topa ödenen ESEN YAYINLARI A) 22 11. 2001 – ÖSS toplam para kaç siyah topa ödenen paraya eşittir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 Bir benzin tankının içinde bir miktar benzin vardır. Tanka 300 litre benzin ilave edilirse tan5 kın u doluyor. Oysa tanka benzin konmayıp 9 1 tanktan 100 litre benzin boşaltılırsa tankın u 9 dolu olarak kalıyor. Buna göre, tankın tamamı B ) 600 C ) 700 D ) 800 E) 900 365 günlük bir yıldaki Cumartesi ve Pazar günleri sayısının toplamı en çok kaçtır? 238 B ) 103 katıdır. Kızı annenin bugünkü yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 85 olacağına göre, anne- A) 24 B) 30 C) 36 D) 42 E) 48 16. 2001 – ÖSS 12. 2001 – ÖSS A) 102 Bir annenin bugünkü yaşı, kızının yaşının 6 nin bugünkü yaşı kaçtır? kaç litre benzin alır? A) 500 15. 2001 – ÖSS C ) 104 D ) 105 E) 106 Çayın kilogramı a TL dir. Çaya % 20 zam yapıldığında a TL ye kaç kilogram çay alınabilir? A) 4 5 B) 5 6 C) 2a 5 D) 5a 6 E) 6a 7 Denklem Kurma Problemleri 17. 2001 – ÖSS 20. 2001 – ÖSS x > 0 olmak üzere bir malın etiket fiyatı x + dur. İndirimli fiyatı x 10 Sabit hızla giden A ve B hareketlilerinin yol – zaman grafiği aşağıdaki gibidir. 33x olduğuna göre, etiket fi50 Yol (metre) yatı üzerinden yapılan indirim yüzde kaçtır? A) 22 B ) 33 C ) 38 D ) 40 A B 60 E) 44 30 2 3 Zaman (dakika) Bu iki hareketli, çevre uzunluğu 30 metre olan dairesel bir pistte aynı noktadan, aynı anda ve aynı yönde, grafikteki hızlarıyla hareket etseler hareketlerinden kaç dakika sonra ilk kez yan yana gelirler? A) 7 18. 2001 – ÖSS B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 A kg şeker, B kg un ile karıştırılıyor. Bu karışımın A) 100 A+B B) D) A.B A+B 100.A A+B C) E) 100.B A+B A+B 100 ESEN YAYINLARI ağırlıkça yüzde kaçı şekerdir? 21. 2002 – ÖSS A x B C 19. 2001 – ÖSS 130 1 ünde onarım 3 yapılmaktadır. Yolun düzgün kısmında saatte 170 A ve B kentleri arasındaki yolun D 90 y E Şekildeki satır ve sütunların kesişiminde verilen V km hızla giden bir araç, onarım olan kısmında sayılar, bulundukları satır ve sütunun belirttiği iki V km hızla gitmiştir. Bu koşullarda A ile 4 kent arasındaki yolun km cinsinden uzunluğunu B kentleri arasındaki yolun tamamını 12 saatte daki yol 130 km dir. A, B, C, D, E kentleri aynı giden bu araç, onarım yapılan kısmı kaç saatte yol üzerinde ve yazılan sırada olduğuna göre, gitmiştir? x + y kaçtır? saatte A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9 göstermektedir. Örneğin, A ile D kentleri arasın- A) 90 B) 100 C) 120 D) 130 E) 140 239 Denklem Kurma Problemleri 22. 2002 – ÖSS 26. 2002 – ÖSS Belirli bir yükseklikten bırakılan bir top, yere 62 kalem, 5 lik, 6 lık ve 8 lik gruplara ayrılarak vuruşundan sonra bir önceki düşüş yüksekliğinin 2 u kadar yükselmektedir. Top yere üçüncü 9 paketlenmiştir. Toplam paket sayısı 11 olduğuna göre, içinde 5 kalem olan paket sayısı en çok kaçtır? vuruşundan sonra 8 cm yükseldiğine göre, A) 6 başlangıçta kaç cm den bırakılmıştır? A) 621 B ) 628 C ) 720 D ) 729 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 E) 738 23. 2002 – ÖSS Bir kültürdeki bakteri sayısı her 1 saatlik süre sonunda iki katına çıkmaktadır. Başlangıçta 128 27. 2002 – ÖSS tane bakterinin bulunduğu bu kültürde 12 saatin y (litre) sonunda kaç bakteri olur? B) 219 C ) 218 D ) 215 E) 212 50 45 40 ESEN YAYINLARI A) 220 60 24. 2002 – ÖSS 400 üyeli bir parlamento 3 partiye mensup milletvekillerinden oluşmuştur ve her partinin milletvekili sayısı birbirinden farklıdır. Bu parlamentoda güvenoyu için en az 201 oy gerekmektedir. Güvenoyu için herhangi iki partinin milletvekili sayıları toplamı yeterli olduğuna göre, parlamentodaki en küçük partinin milletvekili sayısı en az K 0 L 1 x (saat) Yukarıdaki grafik sabit hızla hareket eden K ve L araçlarının yolda geçen süreye göre depolarında kalan benzin miktarını göstermektedir. Hareketlerinden kaç saat sonra, bu araçların depolarında kalan benzin miktarı eşit olur? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 kaç olabilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 28. 2002 – ÖSS 25. 2002 – ÖSS a tanesi b TL den satılan kalemlerden c tane Ahmet ile Hasan’ın bugünkü yaşları toplamı satın alınarak d TL ödeniyor. Buna göre, aşağı- 54 tür. Ahmet, Hasan’ın bugünkü yaşındayken dakilerden hangisi her zaman doğrudur? Hasan 18 yaşında olduğuna göre, Ahmet bugün A) ab = cd B ) ac = bd D) a2b = cd2 240 C ) ad = bc E) a2d = bc2 kaç yaşındadır? A) 28 B) 29 C) 30 D) 32 E) 34 Denklem Kurma Problemleri 29. 2002 – ÖSS 32. 2003 – ÖSS a TL ye alınan bir mal alış fiyatı üzerinden % 20 A kârla b TL ye, etiket fiyatı b TL olan bir mal da C B % 20 indirimle c TL ye satılıyor. Buna göre, a, b, c arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisidir? A) c < a < b B) c < b < a D) a = b < c Hızları saatte 80 km ve 120 km olan iki araç A C) a < b < c kentinden B kentine doğru aynı anda hareket ediyor. Hızlı olan araç B ye varıp hiç durmadan E) a = c < b geri dönüyor ve C noktasında diğer araçla karşılaşıyor. Buna göre, A) 1 2 B) 1 3 C) BC AC 2 3 oranı kaçtır? D) 1 4 E) 3 4 Bir sınıftaki erkeklerin sayısının kızların sayısına 3 oranı dir. Erkeklerin % 20 si futbol oynadığına 7 göre, futbol oynamayan erkeklerin sayısı tüm sınıfın % kaçıdır? A) 16 B ) 18 C ) 20 D ) 22 E) 24 ESEN YAYINLARI 30. 2002 – ÖSS 33. 2003 – ÖSS Taşımacılık yapan bir firma 300 milyar TL ödeyerek fiyatları 15 milyar, 25 milyar ve 30 milyar TL olan araçlardan toplam 12 adet satın alıyor. Fiyatı 15 milyar ve 25 milyar TL olan araçlardan eşit sayıda alındığına göre, fiyatı 30 milyar TL olan araçtan kaç tane alınmıştır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 31. 2002 – ÖSS Uzunlukları sırasıyla 1 km ve 900 m olan iki tünelden, birincinin bitiş noktasıyla ikincinin başlangıç noktası arasındaki uzaklık 14 km dir. Uzunluğu 100 m, saatteki hızı 80 km olan bir tren, birinci tünele girdiği andan kaç dakika B ) 15 C ) 16 D ) 18 Oya 12 yaşında, Gül x yaşındadır. Gül 3x + 10 E) 20 yaşına geldiğinde, Oya kaç yaşında olur? A) x + 10 sonra ikinci tünelden tamamen çıkar? A) 12 34. 2003 – ÖSS B) x + 14 D) 2x + 10 C) x + 24 E) 2x + 22 241 Denklem Kurma Problemleri 35. 2003 – ÖSS 39. 2004 – ÖSS Ali ile Burak, birlikte çalışarak 10 saatte bitirebi- Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısının % 48 i, 2 üne eşittir. Bu 3 sınıfta en az kaç öğrenci vardır? lecekleri bir işi yapmaya başlıyorlar. İkisi birlikte erkek öğrencilerin sayısının 4 saat çalıştıktan sonra Ali işi bırakıyor. Geriye kalan işi Burak 9 saatte bitirdiğine göre, bu işin A) 42 tümünü Ali tek başına kaç saatte bitirebilirdi? A) 30 B ) 26 C ) 25 D ) 24 B) 43 C) 45 D) 48 E) 60 E) 18 40. 2004 – ÖSS 80 koltuklu bir tiyatro salonunun a sayıda koltuğuna oturulduğunda boş kalan koltukların sayısı a + 4 , b sayıda koltuğuna oturulduğunda ise boş 36. 2003 – ÖSS kalan koltukların sayısı a + 14 tür. Buna göre, b 5 2 sine eşittir. Bu mal, % kaç kârla satılmaktadır? Bir malın alış fiyatının 3 katı, satış fiyatının B ) 25 C ) 30 D ) 35 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 E) 40 ESEN YAYINLARI A) 20 kaçtır? 37. 2003 – ÖSS 41. 2004 – ÖSS Bir bakkal kilogramını 600 000 TL den aldığı yaş A torbasındaki topların % 64 ü, B torbasındaki sabunları kurutarak kuru sabunların kilogramını topların da % 36 sı beyazdır. Bu iki torbadaki 1 200 000 TL den satıyor. Bakkal bu satıştan topların tümünün % 48 i beyaz olduğuna göre, % 60 kâr elde ettiğine göre, 1 kilogram yaş A torbasındaki top sayısının, B torbasındaki top sabun kuruyunca kaç gram olmuştur? sayısına oranı kaçtır? 1 A) 2 1 B) 4 3 C) 4 4 D) 5 5 E) 6 A) 800 B) 820 C) 850 D) 880 E) 900 42. 2004 – ÖSS Aralarındaki yol 450 km olan A ve B kentlerinden aynı anda, sabit hızla birbirine doğru hareket 38. 2003 – ÖSS eden iki araç 2,5 saat sonra karşılaşıyor. Bu iki % 30 u su olan a litrelik bir karışıma 20 litre daha araçtan birinin hızı değiştirilmediğine göre, diğe- su ilave ediliyor. Elde edilen yeni karışımın % 50 rinin saatteki hızı kaç km artırılırsa karşılaşma, si su olduğuna göre, a kaçtır? hareketten 2 saat sonra gerçekleşir? A) 20 242 B ) 25 C ) 40 D ) 50 E) 55 A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 Denklem Kurma Problemleri 43. 2004 – ÖSS 47. 2004 – ÖSS Bir fabrika % 72 kapasiteyle ve günde 15 saat Bir alıcı, bir kumaşın satış fiyatından % 10 çalıştırıldığında 10 günde ürettiği miktardaki indirim yapıldığında elindeki parayla indirimsiz ürünü, % 90 kapasiteyle ve günde 12 saat çalış- fiyattan alabileceği kumaştan 20 cm daha fazla tırılırsa kaç günde üretir? kumaş alabiliyor. Bu alıcının elindeki parayla A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 indirimli fiyattan alabileceği kumaş kaç cm dir? E) 10 A) 200 B) 210 C) 220 D) 250 E) 280 44. 2004 – ÖSS 200 metrelik bir koşuda birinci gelen atlet koşuyu 48. 2004 – ÖSS ikinciden 10 metre, üçüncüden de 29 metre Aslı, Hakan ve Tolga’nın bugünkü yaşları top- önde bitirmiştir. Buna göre, ikinci gelen atlet lamı 72 dir. Aslı, Hakan’ın bugünkü yaşına koşuyu üçüncüden kaç metre önde bitirecektir? geldiğinde, Tolga’nın yaşı da Hakan’ın yaşının ( Atletlerin sabit hızla koştukları varsayılacaktır.) A) 19,5 B ) 20 C ) 20,5 D ) 21 iki katı olacaktır. Buna göre, Hakan’ın bugünkü E) 21,5 yaşı kaçtır? 45. 2004 – ÖSS Ahmet ve Barış bir işi birlikte 6 saatte bitiriyor. Barış aynı işi tek başına Ahmet’in tek başına ESEN YAYINLARI A) 12 B) 16 C) 18 D) 24 E) 32 49. 2005 – ÖSS bitirebileceğinden 5 saat erken bitiriyor. Buna 1977 yılında doğan bir matematikçi, yaşını soran göre, Barış bu işi tek başına kaç saatte bitirir? bir arkadaşına, “Bugünkü yaşım doğum yılımın A) 10 B ) 13 C ) 16 D ) 18 E) 20 rakamlarının toplamına eşit.” yanıtını veriyor. Buna göre, bu konuşma hangi yılda yapılmıştır? A) 2000 B) 2001 D) 2003 C) 2002 E) 2004 46. 2004 – ÖSS Bir belediye, abonelerinden kullandıkları ilk 10 m3 suyun her bir m3 ü için sabit bir ücret, 10 m3 ten sonraki her bir m3 ü için ise öncekinden farklı ve yine sabit bir ücret almaktadır. Buna 3 göre, 18 m su kullandığında 28 000 000 TL, 24 m 3 su kullandığında ise 40 000 000 TL 3 50. 2005 – ÖSS Bir araç A kenti ile B kenti arasındaki yolu ortalama v km/saat hızla giderek 16 saatte alıyor. Bu araç aynı yolun yarısını ortalama ödeyen bir abone, yalnızca 1 m su kullandığın- 2v km/saat hızla aldıktan sonra, tüm yolu yine da kaç TL öder? 16 saatte tamamlamak için yolun kalan kısmını A) 800 000 B) 1 000 000 ortalama kaç km/saat hızla gitmelidir? C) 1 200 000 D) 1 300 000 A) E) 1 400 000 v 4 B) 3v 4 C) v 3 D) 2v 3 E) 243 v 2 Denklem Kurma Problemleri 51. 2005 – ÖSS 54. 2005 – ÖSS Üretim miktarının, işçi sayısı ve günlük çalışma Aşağıdaki daire grafiğinde, A , B , C ve D olmak süresiyle doğru orantılı olduğu bir fabrikada gün- üzere dört fakültesi bulunan bir üniversitedeki lük çalışma süresi % 20 azaltılıyor. Bu fabrikada öğretim elemanlarının fakültelere dağılımı gös- aynı üretim miktarının elde edilebilmesi için işçi terilmiştir. sayısı % kaç artırılmalıdır? A ) 20 B ) 22,5 C ) 25 B D ) 27,5 E) 40 A 45° C D B fakültesindeki öğretim elamanı sayısı A dakinden 90, C fakültesindeki de B dekinden 45 fazladır. D fakültesindeki öğretim elemanı sayısıysa A dakinin iki katıdır. Buna göre, A fakültesindeki öğretim elamanı sayısı kaçtır? 52. 2005 – ÖSS Canan, önce günde 10 sayfa okuyarak bir 2 kitabın ini, sonra da günde 12 sayfa okuyarak 5 kalan kısmını bitiriyor. Canan kitabın tamamını 36 günde okuduğuna göre, kitap kaç sayfadır? A ) 360 B ) 400 C ) 420 D ) 435 E) 450 ESEN YAYINLARI A) 55 B) 60 C) 65 D) 70 E) 75 55. 2005 – ÖSS Kahve fiyatının çay fiyatından % 50 daha fazla olduğu bir pastanedeki iki masada sadece çay ve kahve içilmiştir. Bu masalardan birincisinde x tane çay, y tane kahve; ikincisinde ise y tane çay, x tane kahve içilmiştir. İkinci masa birinci x masadan % 25 fazla ödeme yaptığına göre, y oranı kaçtır? A) 7 2 B) 5 2 C) 3 2 D) 2 E) 3 53. 2005 – ÖSS Bir tüccarın, aldığı iki maldan A ya ödediği para B ye ödediği paranın yarısı kadardır. Bu tüccar A malını % 10 zararla, B malını % 50 kârla satıyor. Tüccarın bu satıştan elde ettiği kâr % kaçtır? A ) 15 B ) 25 C ) 30 D ) 45 E) 55 56. 2006 – ÖSS Aynı evde oturan bir grup arkadaş ev kirasını eşit olarak paylaşıyor. Eve yeni bir arkadaş gelince kira için kişi başına düşen para % 20 azaldığına göre, yeni arkadaşın gelmesiyle evde oturan kişi sayısı kaç olmuştur? A) 3 244 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9 Denklem Kurma Problemleri 57. 2006 – ÖSS 61. 2007 – ÖSS 2 ü aynı sayının 5 Hangi sayının 3 eksiğinin 3 eksiğine eşittir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 Dört kardeş 114 TL yi paylaşıyor. Bu paylaşmada birinci kardeş ikinciden 1 TL, ikinci üçüncüden 2 TL, üçüncü döndürcüden 3 TL fazla alıyor. E) 12 Buna göre, en fazla para alan kaç TL almıştır? A) 27 58. 2006 – ÖSS C) 29 D) 31 E) 38 62. 2007 – ÖSS 2 ü ile 3 gömlek ve 2 kravat, 3 kalan parasıyla da 1 gömlek ve 3 kravat alabili- Bir müşteri aldığı tişört için kasiyere bir miktar Ahmet parasının para vermiştir. Kasiyer, tişört fiyatındaki TL ve Kr bölümlerini karıştırmış ( örneğin tişört yor. Buna göre, bir gömleğin fiyatı bir kravatın 16,05 TL ise kasiyer, fiyatı 5,16 TL olarak fiyatının kaç katıdır? A) 2 B) 28 B) 3 görmüş) ve müşteriye 4,80 TL yerine yanlışlıkla C) 4 D) 5 19,65 TL para üstü vermiştir. Tişörtün ger- E) 6 çek fiyatıyla kasiyerin gördüğü fiyatın toplamı 55,55 TL olduğuna göre, müşteri kasiyere kaç TL vermiştir? 59. 2006 – ÖSS A) 60 B) 55 C) 50 D) 45 E) 40 60 km hızla gidip, hiç mola vermeden saatte ortalama 80 km hızla dönerek yolculuğu 7 saatte tamamlıyor. Bu iki kent arasındaki uzaklık kaç km dir? A ) 240 B ) 280 C ) 300 D ) 320 E) 360 ESEN YAYINLARI Bir araç, iki kent arasındaki yolu saatte ortalama 63. 2007 – ÖSS Bir tüccar, tanesi 45 TL den belirli sayıda gömlek satın alıyor. Kendisine verilen faturada, ödenen miktarın ilk ve son rakamları silik çıktığı için bu tutarın yalnızca •92• biçiminde dört basamaklı bir sayı olduğu okunabiliyor. Tüccarın tek sayıda gömlek aldığı bilindiğine göre, silik çıkan iki 60. 2006 – ÖSS rakamın toplamı kaçtır? Bir mağazada pantolon p, kazak k, tişört t TL den satılmaktadır. Aşağıdaki tablodan Defne, A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 Engin ve Mutlu’nun bu mağazadan aldıkları pantolon, kazak, tişört sayıları gösterilmiştir. Ald›¤› Giysi Say›s› Pantolon Kazak Tiflört Defne 2 1 1 Engin 1 1 2 Mutlu 1 2 1 Aldıkları giyisiler için en az parayı Engin, en çok parayı Mutlu ödediğine göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) p < t < k B) k < t < p D) t < p < k 64. 2007 – ÖSS Sabit bir hızla yürüyen İrem, evden okula gi1 derken yolun ünü yürüdüğünde matematik 3 defterini yanına almadığını fark ediyor. İrem yoluna devam ederse dersin başlamasından 4 dakika önce, eve dönerek defterini alıp tekrar yola çıkarsa dersin başlamasından 4 dakika sonra okula varacağına göre, ev ile okul arasını kaç dakikada almaktadır? (Dönüşlerdeki zaman C) k < p < t E) t < k < p kayıpları önemsenmeyecektir.) A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 E) 16 245 Denklem Kurma Problemleri 65. 2007 – ÖSS 68. 2008 – ÖSS Bir aracın duruş mesafesi, frene basıldığı an- Bir poliklinikte bir doktora 50 hasta, bir hemşi- daki hızının karesiyle doğru orantılıdır. Bu araç reye de 25 hasta düşmektedir. Bu poliklinikteki saatte 60 km hızla giderken duruş mesafesi doktor, hemşire ve hasta sayılarının toplamı 318 20 m olduğuna göre, saatte 90 km hızla gider- olduğuna göre, doktor sayısı kaçtır? ken duruş mesafesi kaç m dir? A) 2 A) 30 B ) 45 C ) 50 D ) 60 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 E) 72 69. 2008 – ÖSS Bilge, otobüse binerek okuluna gitmek istiyor. 66. 2007 – ÖSS Bilge’nin 1. durağa olan uzaklığının, 2. durağa 2 tür. olan uzaklığına oranı 3 Badem, çekirdek, fıstık ve leblebi karıştırılarak bir kuruyemiş paketi hazırlanmıştır. Aşağıdaki tabloda bu paketteki çekirdek, fıstık ve leblebinin ağırlıklarıyla çekirdeğin ağırlıkça yüzde oranı verilmiştir. V=30km/h A¤›rl›¤› (g) 40 500 F›st›k 300 Leblebi 250 Bu paketteki bademin ağırlıkça yüzde oranı kaçtır? B ) 15 C ) 16 D ) 18 E) 24 bir yazar 1 hangisine doğru yürürse yürüsün, saatteki hızı 30 km olan otobüsle aynı anda o durakta bulunduğuna göre, Bilge’nin yürüme hızı saatte kaç km dir? (Bilge 2. durağa doğru yürüdüğünde, otobüsün 1. durakta durmadığı varsayılacaktır.) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 1 defter ve 1 kalemin fiyatı 5 TL, 3 defter ve 2 2 kalemin fiyatı 14 TL olduğuna göre, bir defterin kasa çekmecesinin 1 ve 2 numaralı gözlerindeki 8 TL 15 TL paraların tutarı birbirine eşittir; 3 ve 4 numaralı gözlerindeki 2. durak 70. 2008 – ÖSS 67. 2007 – ÖSS yüzlü ESEN YAYINLARI Çekirdek Dört Bilge Otobüsün geldiğini gören Bilge, duraklardan Badem A) 12 1. durak Yüzde oran› (%) paraların fiyatı kaç TL dir? A) 2 3 5 TL 4 B) 2,5 C) 3 D) 3,5 E) 4 ? TL tutarı da birbirine eşittir. Bu çekmecenin 1 ve 3 numaralı gözlerinin her birine a TL, 2 ve 4 numaralı gözlerinin her birine de b TL tutarında para konulunca şekilde 71. 2008 – ÖSS Bir satıcı bir malı % 15 zararla 4250 TL ye belirtilen tutarlar elde ediliyor. Buna göre, 4 satmıştır. Satıcı, aynı malı 6250 TL ye satsaydı numaralı gözde son durumda kaç TL vardır? % kaç kâr elde ederdi? A) 7 A) 15 246 B ) 10 C ) 12 D ) 13 E) 14 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35 Denklem Kurma Problemleri 72. 2008 – ÖSS 75. 2009 – ÖSS 1 Üç kamyondan birincisinin yükünün ü ikinci 4 kamyona aktarılıyor. İkinci kamyonun bu yükü 1 ü de üçüncü kamaldıktan sonraki yükünün 3 yona aktarılıyor. Son durumda, kamyonların 20 A C) 3 D) 4 C |BC| = 25 km lama 60 km hızla giderek a dakikada C kentine varıyor. Bu araç, B kentine kadar saatte ortalama 40 km hızla gitseydi yine toplam a dakikada üçüncü kamyondaki yük kaç tondur? B) 2 B A kentinden hareket eden bir araç, saatte orta- üçünde de 6 ton yük olduğuna göre, başlangıçta A) 1 |AB| = 20 km 25 C kentine varmak için B ile C arasındaki yolu E) 5 saatte ortalama kaç km hızla gitmeliydi? A) 75 B) 80 C) 90 D) 100 E) 105 73. 2008 – ÖSS Bir yarısı ince diğer yarısı kalın olan 20 metre ESEN YAYINLARI uzunluğundaki bir ip her iki ucundan aynı anda yakılıyor. Ateşin ilerleme hızı ipin ince tarafında saniyede 2 metre, kalın tarafında ise 1 metre olduğuna göre, ipin tamamının yanması kaç saniye sürer? A) 8 B) 7 C) 19 3 D) 17 2 E) 76. 2009 – ÖSS Bir çobanın koyunları ya iki ya da üç kuzu doğurmuştur. İki kuzulu doğumlarda kuzuların % 75 i, üç kuzulu doğumlardaysa kuzuların % 50 si yaşamıştır. Bu çobanın doğum yapan 28 koyunu olduğuna göre, toplam kaç kuzusu yaşamıştır? A) 35 B) 36 C) 39 D) 42 E) 45 15 2 74. 2008 – ÖSS 77. 2009 – ÖSS Mehmet’in elinde yeterli sayıda 1 TL, 10 TL ve Bir pantolonu 50 TL, bir gömleği ise 30 TL ye 100 TL lik banknotlar vardır. Mehmet 299 TL satan bir mağaza her bir pantolon ya da gömlek tutarındaki bir ödemeyi, bu banknotlardan her alana bir adet mendil hediye etmektedir. Buna birini en az bir kez kullanmak şartıyla kaç farklı göre, toplam 310 TL lik pantolon ve gömlek alan biçimde yapabilir? bir müşteri en fazla kaç hediye mendil alabilir? A) 28 B ) 29 C ) 30 D ) 42 E) 43 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 247 Denklem Kurma Problemleri 78. 2009 – ÖSS 81. 2010 – YGS Alan(m2) Bir otomobil lastiği satıcısı, lastiklerde % 25 Boya(kg) mevsim sonu indirimi uyguladığında bir günde 80 satılan lastik sayısının % 40 arttığını görüyor. 48 Buna göre, satıcının kasasına bir günde giren 18 saat 3 para yüzde kaç artmıştır? 3 I. grafik saat A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 II. grafik Yukarıdaki doğrusal grafiklerden birincisi zamana bağlı olarak bir boya ustasının boyadığı duvar alanını, ikincisi ise yine zamana bağlı olarak ustanın boya kutusunda kalan boya miktarını göstermektedir. Bu boya ustası, 48 kg boyanın tümüyle kaç m2 lik duvar boyayabilir? A) 94 B ) 106 C ) 108 D ) 114 82. 2010 – YGS E) 128 Bir çiftçi 5, 9, 12, 15, 23 ve 45 litrelik altı bidonun beş tanesini ayçiçeği yağı ve zeytinyağı ile doldurmuştur. Bidonlara koyduğu ayçiçeği yağı miktarı zeytinyağı miktarının 4 katıdır. Buna 79. 2009 – ÖSS k ≥ 4 olmak üzere, x TL para, k kişi yerine k – 3 kişiye eşit olarak dağıtılırsa her kişiye kaç TL fazla para düşer? A) x k (k + 3) B) 2k k (k + 3) C) x k (k – 3) D) 2x k (k – 3) E) 3x k (k – 3) ESEN YAYINLARI göre, boş kalan bidon kaç litreliktir? A) 5 B) 9 C) 12 D) 15 E) 23 83. 2010 – YGS Bir güreş müsabakasına katılan dört sporcunun ağırlıkları bir hafta aralıkla ölçülmüştür. Sporcuların ikinci ölçümdeki ağırlıklarının birinci ölçüme göre değişimi aşağıdaki grafikte verilmiştir. De¤iflim (kg) 2,5 1 Sporcu 80. 2010 – YGS Bir manav, limonları, her birinde 12 limon bulu- – 3,5 –4 nan filelerle almış ve üçer üçer satmıştır. Manav bir file limonu 5 TL ye almış ve 3 adet limonu Sporcuların ağırlıklarının ortalaması ilk ölçümde 2 TL ye satmıştır. Bu manav 4 file limonun 56 kilogram olduğuna göre, ikinci ölçümde kaç satışından kaç TL kâr elde etmiştir? kilogramdır? A) 6 248 B) 8 C) 9 D ) 10 E) 12 A) 53 B) 54 C) 55 D) 57 E) 58 Denklem Kurma Problemleri 84. 2010 – YGS 87. 2011 – YGS Bir mağaza sahibi, tüm ürünlerde etiket fiyatı Bir işi 5 kadın işçi 20 günde, 5 erkek işçi ise 30 üzerinden % 20 indirim yapıyor. Aynı üründen günde bitiriyor. Buna göre, 2 kadın ve 2 erkek 5 in üzerinde alınan her adet için ayrıca indirimli işçi aynı işi birlikte kaç günde bitirir? fiyat üzerinden % 25 lik bir indirim daha yapıyor. A) 50 B ) 30 C ) 45 D ) 40 E ) 20 ( İkinci indirimi ilk 5 ürüne uygulamıyor. ) Bu mağazadan etiket fiyatı 15 TL olan bir üründen 8 adet alan bir müşteri kaç TL öder? A) 81 B ) 83 C ) 84 D ) 85 E) 87 88. 2011 – YGS İsmail, kumbarasına 1. gün 5 Kr, 10 Kr, 25 Kr, 85. 2010 – YGS 50 Kr ve 1 TL madenî paralarının her birinden Tecrübeli bir aşçı bir pastanın kıvamında olabil- bir adet, 2. gün her birinden iki adet ve benzer mesi için un ve şekerin aşağıdaki doğrusal gra- biçimde devam ederek n. gün her birinden n fikte verilen miktarlarda kullanılması gerektiğini adet atmıştır. İsmail kumbarasında 104,5 TL belirtmiştir. biriktirdiğine göre, n kaçtır? Un (kg) A) 10 10 6 4 1 2 3 fieker (kg) 4 Buna göre, un ve şekerin toplam miktarının 23 kilogram olduğu kıvamlı bir pastada kaç B) 8 D ) 13 E) 14 89. 2011 – YGS Bir fabrikada üretilen iş makinelerinin sayısı gün kilogram şeker vardır? A) 7 C ) 12 ESEN YAYINLARI 8 B ) 11 C) 9 D ) 10 E) 11 sonunda kayıt altına alınıyor. Tutulan kayıtlar o günle birlikte o günden önce üretilmiş olan iş makinelerinin toplam sayısıdır. Beş iş gününde tutulan kayıtlar aşağıda verilmiştir. 86. 2010 – YGS Sat›fl fiyat› (TL) c Pazartesi ve öncesi : 20 Salı ve öncesi : x b Çarşamba ve öncesi : 90 a Perşembe ve öncesi : 140 Cuma ve öncesi 5 20 50 : y Cuma ve öncesinde üretilen iş makinelerinin sa- Birim yısı, salı ve öncesinde üretilenlerin dört katıdır. Bir malın miktarlara bağlı olarak değişen birim Ayrıca cuma günü üretilenlerin sayısı, salı günü satış fiyatı yukarıdaki doğrusal grafikte gösteril- üretilenlerin iki katıdır. Buna göre, çarşamba miştir. c – a = 24 olduğuna göre, c – b kaçtır? günü üretilen iş makinelerinin sayısı kaçtır? A) 6 A) 60 B) 8 C ) 12 D ) 14 E) 16 B ) 40 C ) 30 D ) 45 E ) 55 249 Denklem Kurma Problemleri 90. 2011 – YGS 93. 2011 – YGS Aşağıdaki doğrusal grafiklerden birincisinde Bir yatırımcı, hesabındaki z TL nin bir kısmıyla altın, kalan kısmıyla da döviz alıyor. Yatırımcı bir kabuklu fındıktan elde edilen iç fındık miktarı, süre sonra altınlarını % 20 kâr elde ederek x TL ikincisinde ise iç fındıktan elde edilen fındık yağı ye, dövizlerini % 20 zarar ederek y TL ye satıyor. miktarı gösterilmiştir. iç f›nd›k (kg) Buna göre, x , y ve z arasındaki bağıntı aşağıda- f›nd›k ya¤› (litre) kilerden hangisidir? A) 3z = 6 x + 4y B) 5z = 4x + 6y C) 4z = 9 x + 12y D) 6z = 5x + 8y 4 3 kabuklu f›nd›k (kg) 5 E) 12z = 10 x + 15y 6 iç f›nd›k (kg) Buna göre, 5 kg kabuklu fındıktan kaç litre fındık yağı elde edilir? A) 2,5 B) 3 C) 2 D) 1,5 E) 1 94. 2011 – YGS 91. 2011 – YGS Bir depoda bulunan portakal ve mandalinaların miktarı toplam 50 tondur. Portakalların % 7 si, seçiminde adayların aldıkları oy sayıları olan A, mandalinaların ise % 8 i çürümüştür. Çürüyen B, C, D, E arasında A = B = 2C = 3D = 6E eşitliği vardır. Seçim sonucu dairesel grafikte gösterildiğinde ESEN YAYINLARI Beş öğrencinin aday olduğu sınıf başkanlığı portakal ve mandalina miktarı toplam 3,8 tondur. Buna göre, depoda kaç ton sağlam portakal vardır? A) 17,5 B) 17,6 C) 18 D) 17 E) 18,6 C tane oy alan adaya ait daire diliminin merkez açısı kaç derece olur? A) 180 B ) 60 C ) 45 D ) 90 E) 120 95. 2011 – YGS 2 ü kadın 3 oluyor. Eğer otobüsten 4 erkek inseydi yolcuların Bir otobüse 3 kadın binerse yolcuların 1 ü erkek olacaktı. Buna göre, otobüsteki yolcu 4 sayısı kaçtır? 92. 2011 – YGS A) 32 B ) 24 C ) 21 D ) 28 E ) 30 Alanı 12 metre kare olan bir duvar, kısa kenarı 10 cm, uzun kenarı 20 cm olan dikdörtgen biçimindeki fayanslarla kaplanmak isteniyor. 96. 2011 – YGS Bu işi yapacak usta, fayansların kısa kenar Bir ildeki anaokullarının tüm okullar içindeki payı uzunluğunu yanlış anlıyor ve kaplama işi için 2000 yılında % 10, 2010 yılında ise % 15 tir. Bu kullanması gerekenden 100 adet az fayans ilde 2000-2010 yılları arasında açılan 50 okulun kullanarak duvarı kaplıyor. Buna göre, ustanın 20 si anaokuludur. Buna göre, bu ilde 2000 kullandığı fayansların kısa kenarı kaç cm dir? yılında kaç anaokulu vardır? A) 12 A) 30 250 B) 14 C ) 15 D ) 16 E ) 18 B ) 40 C ) 20 D ) 25 E ) 35 Denklem Kurma Problemleri 97. 2012 – YGS 100. 2012 – YGS Bir çay fabrikası, kilogramı 12 TL olan 15 ton A Aysel Hanım, pazartesi günü 45 gram, salı günü türü çay ile kilogramı 9 TL olan 20 ton B türü ça- 30 gram altın bozdurmuştur. Eğer pazartesi gü- yı karıştırmış ve elde ettiği harman çayın kilog- nü 30 gram, salı günü 45 gram altın bozdursaydı ramını 11 TL ye satmıştır. Buna göre, harman ilk duruma göre eline 60 TL az geçecekti. Buna çayın satışından elde edilen gelir, çayların ayrı göre altının salı günkü gram fiyatı pazartesi gün- ayrı satılmasıyla elde edilecek gelirden kaç TL küne göre kaç TL düşmüştür? fazladır? A) 4 A ) 24 000 B ) 25 000 D) 30 000 B) 5 C) 6 D) 9 E ) 15 C ) 28 000 E ) 36 000 98. 2012 – YGS caktır. Bu kalemlerden 6 tane fazla veya 7 tane eksik olsaydı kalemler hiç artmayacak biçimde eşit olarak paylaştırılabilecekti. Buna göre, 112 den fazla olduğu bilinen bu kalemlerin sayısı en az kaç olabilir? A ) 115 B ) 124 C ) 126 D ) 130 E) 137 ESEN YAYINLARI Bir miktar kalem, bir grup öğrenciye paylaştırıla- 101. 2012 – YGS Bir otomotiv fabrikasında üretilen araç çeşitleri aşağıdaki şemada gösterilmiştir. Araç (120) Binek 99. 2012 – YGS Bir markette sabunlar üçerli ve ikişerli paketler Dizel (15) Ticari Benzinli Elektrikli (12) Dizel Benzinli halinde satılmaktadır. Üçlü paket içindeki sabun- Bu fabrikada bir günde toplam 120 adet araç ların birim fiyatı, ikili paket içindeki sabunların bi- üretilmektedir. Binek araçların 15 adedi dizel rim fiyatından % 10 ucuzdur. Bu marketteki üçlü ve 12 adedi elektriklidir. Bu fabrikada bir günde paketin satış fiyatı, ikili paketin satış fiyatından üretilen toplam dizel araç sayısı, toplam benzinli 3,5 TL fazla olduğuna göre, ikili paketin satış fi- araç sayısının 2 katı olduğuna göre, kaç adet ti- yatı kaç TL dir? cari dizel araç üretilmektedir? A) 7 B) 8 C ) 10 D ) 12 E) 14 A) 50 B) 52 C) 55 D) 57 E) 60 251 Denklem Kurma Problemleri 102. 2012 – YGS 104. 2013 – YGS Bir mandırada bulunan 130 litre süt, peynir Ahmet’in maaşına Deniz’in maaşının yarısı yapmak için kullanıldığında kalan süt ve üretilen kadar zam yapılırsa ikisinin maaşları toplamı, peynir miktarları arasındaki doğrusal bağıntının Ahmet’in başlangıçtaki maaşının 2 katı oluyor. grafiği aşağıdaki gibi olmaktadır. Ahmet’in maaşı A TL, Deniz’in maaşı D TL olduğuna göre, A ile D arasındaki ilişki nedir? Kalan süt (litre) A) 5A = 8D 130 B) 5A = 6D D) 3A = 4D C) 4A = 5D E) 2A = 3D 25 Üretilen peynir (kg) 15 Buna göre, bu mandırada 10 kg peynir üretildi105. 2013 – YGS ğinde kalan süt miktarı kaç litredir? A ) 50 B ) 60 C ) 65 D ) 75 Bir şirketin 2009, 2010 ve 2011 yıllarında elde E) 80 ettiği kârların ortalaması 4 milyon TL dir. Bu şirket 2012 yılında 2011 yılına göre % 25 daha fazla kâr elde etmiş ve bu dört yılda elde edilen 103. 2012 – YGS 10 adet kutu, iki yarım çember ve iki paralel doğru parçasından oluşan ve ok yönünde hareket ESEN YAYINLARI kârların ortalaması 4,5 milyon TL olmuştur. Buna göre, şirket 2011 yılında kaç milyon TL kâr elde etmiştir? A) 4,8 B) 5 C) 5,2 D) 5,4 E) 5,6 eden bir palet üzerine şekildeki gibi eşit aralıklarla konulmuştur. K J H G F 106. 2013 – YGS Bir laboratuvarda erkek ve dişi kobay fareler A B C D E Buna göre, A ve E noktalarındaki kutular ilk kez dikey olarak aynı hizaya geldiklerinde K nokta- üzerinde yapılan bir ilaç deneyi ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir. • sındaki kutu nerede olur? A ) A ile B noktaları arasında B ) B noktasında Erkek farelere her 12 saatte, dişi farelere ise her 8 saatte bir 1 adet tablet ilaç verilmiştir. • Erkek farelere 0,5 gramlık, dişi farelere ise 1 gramlık tabletler verilmiştir. • C ) B ile C noktaları arasında Bu farelere bir günde toplam 85 gram ilaç, 95 tablet hâlinde verilmiştir. D ) C noktasında Buna göre, deneyde toplam kaç fare kullanılmış- E ) C ile D noktaları arasında tır? A) 20 252 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 Denklem Kurma Problemleri 109. 2013 – YGS 107. 2013 – YGS Aşağıda bir ikizkenar dik üçgenden ve bu üçgenin hipotenüsünü çap kabul eden yarım çemberden oluşan bir koşu parkı gösterilmiştir. Bu parkta üç koşu yolu bulunmaktadır. Başlangıç noktasından aynı anda koşmaya başlayan Ayça A, Barış B, Cem ise C yolunu kullanarak bitiş noktasına varıyor. Bir sınıftaki öğrencilere kırtasiye malzemesi dağıtılmak isteniyor. Bu sınıftaki 36 öğrencinin her birine birer adet kurşun kalem, kalemtıraş ve silgi düşecek kadar malzeme sınıfa getiriliyor. Ancak, dağıtım günü öğrencilerin bir kısmı sınıfta olmadığından sınıfta bulunan her bir öğrenciye 3 kurşun kalem, 2 kalemtıraş ve 1 silgi veriliyor. Bafllang›ç Dağıtım sonunda bu malzemelerden toplam 42 C adet arttığına göre, artan kalemtıraş sayısı kaçtır? B A A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 Bitifl Ayça, Barış ve Cem’in saatteki hızları sırasıyla 4 km, 2 km ve 3 km olduğuna göre, bitiş noktasına varış sırası aşağıdakilerden hangisidir? 1. ––––– A) Ayça 108. 2013 – YGS 1 ayda 36 gün 1 yılda 10 ay bulunmaktadır. Bu uygarlıkta, gün - ay - yıl sırasında verilen ESEN YAYINLARI Eski bir uygarlığa ait takvimde, 2. ––––– Barış 3. ––––– Cem B) Ayça Cem Barış C) Barış Cem Ayça D) Barış Ayça Cem E) Cem Ayça Barış AB-CD-ABCD biçimindeki tarihlere “simetrik gün” ismi veriliyor. Bu takvime göre, 20-08-2008 tarihinden en az kaç gün sonra yine bir simetrik gün olur? A) 360 B) 396 C) 480 D) 720 E) 756 253