astro de ğr ler nn poz tf kartezyendek toplam yay
Transkript
astro de ğr ler nn poz tf kartezyendek toplam yay
ASTROİD EĞRİLERİNİN POZİTİF KARTEZYENDEKİ TOPLAM YAY UZUNLUĞUNUN HESAPLANMASI NECAT TAŞDELEN necattasdelen@ttmail.com ÖZET Bu çalışmanın örnek hedefi elips çevre uzunluğunun yaklaşık hesaplanmasıdır. Hiçbir cebirsel işlem yoktur, grafik yoldan çözülmüştür. Hesap, gerçek graflarla model grafların çakıştırılması esasına dayanır. Bu bir benzetmedir. Gerçek graflar bilinmektedir [5]. Yalnız elipsin değil, bütün astroidlerin pozitif kartezyendeki toplam yay uzunluğunun hesabı bu yöntemle yapılabilmektedir. Buradaki çalışmamızda; (x/a)^r+(y/b)^r=1 (r=2) elips örneği En büyük hata % denklemi ele alınacak işlenecek, hesaplarda =0.000004753119960… bulunacak Günümüzün dünya rekorunda (hata %=0.00145) olduğu hatırlanarak [1] bu sonuca, çarpıcı bir doğrulukla, nasıl erişildiği görülecek. Hesabın doğrusu entegrallerle bulunabilirken yaklaşım yöntemlerine neden gerek var? (r=2) elips hariç, hiçbir astroidin yay uzunluğunun entegral çözümü yoktur. Yapılmamıştır. Neden yaklaşım? Kepler, Euler, gibi bilge akademisyenler bilginin halk çoğunluğu tarafından benimsenmesi için yaklaşım hesapları da vermek gerektiğini görmüşler. Onlardan sonra gelen matematikçiler de bu geleneği sürdürmüşler. Binlerce yaklaşım formülü üretilmiş. İhtiyaç var ki, üretilmiş. Gerçek değerlere en yakın olan yaklaşım tabii ki en iyisi. Hintli Ramanujan (ölümü1920) bu konuda Üstat. Nereden çıkarıyorsun bu formülleri diye soranlara, “bunlar bana gökten iniyor “deyip etrafını çıldırtırmış. Akademisyenler halkla iç içe olmak durumundadırlar. Halk akademisyenlerin ne dediğini, ne yaptığını anlamalı. İlgisi çekilmeli. İlim o dur. Buradaki hesaplarda entegral kullanılmadı. Herkesin anlayabilmesi için, düz lise matematiği kullanıldı. Araştırmanın tarihçesi 1956 yılından başlar.1959 yılında esas yaklaşım formülü olan (a^s+b^s=L^s) tarafımdan cebirsel yoldan bulunmuş [4] ve İTÜ. arşivlerine kaldırılmıştır [2]. Arşivler kaybedilmiştir. 2000 yılında formülün irtihale uğradığını fark ettim.Roger Maertens, olaylı bir şekilde formülü kendi adına tescil ettirmiştir.İtirazlarım üzerine bana aidiyeti küçümsenerek kabul edildi [3]. Ancak formülü yorumlayan kurumlar 2008 senesine kadar, tam 52 yıldır (!), hiçbir ilerleme kaydedemedikleri için, formülün oluşumundaki aşamaları bilemediklerinden, formüldeki inceliği kavrama imkânları olmadığı için, kendi yorumumu bir toplum şahitliğinde anlatmaya karar verdim. Bu şahitler sizlersiniz.Umarım gene irtihale uğramaz. İrtihal aşırmak, yürütmek, çalmak, demektir. Anahtar sözcükler: şaşırtıcı mantık, yay uzunluğu, doğru yaklaşım Giriş Bu araştırma elips çevre uzunluğunun yaklaşık hesaplanmasını hedef almıştır. Sonuçlar şaşırtıcı bir doğruluktadır. Bu yöntem yalnız elipsin değil, pozitif Kartezyendeki tüm astroidlerin yay uzunluğunu da hesaplamaya yarar. (x/a)^r+(y/b)^r=1 astroid denklemini ele alalım (a,b) (r) yarı-eksen uzunluklarını astroidin kuvvetini (1) r=2 r=1 r=2/3 r=9783.01 hali hali hali hali de bir elipsi bir doğru parçasını bildik bir astroidi bir astroidi tanımlar. Astroid (1) in genel adıdır. Hesaplarda kullanacağımız yaklaşım formülü a^s+b^s=L1^s (2) bazı matematik kurumlarının zannettiği gibi Gök’ten inmemiştir [3].Formül bir çalışma ürünü olarak 1956-1959 yıllarında tarafımdan cebirsel yolla bulunmuş [4],tek satır halinde hocam Ord.Prof.R.Weiyrich’e verilmiş ve reddedilmiştir [2].Özetle formülün oluşumu şöyledir: (x/a)^r+(y/b)^r=1 f(a,b)=0 (x/A)^t+(y/B)^t=1 t=t(x) (t=Sabit) olmadıkça (B/A=E) (r*t/(t-r))=s astroid ailesini ele alalım bağlantısı da var ise bu aile için bir zarftan bahsedebiliriz. zarfımızın modeli olsun olsun (5) bir astroid değildir olsun olsun (3) (4) (5) (6) (5) bağlantısı aşağıdaki (8) ifadesi şeklinde ortaya çıkar: N=(1+(dt/dx)*(x/t^2)*(t*ln(x/A)+(y/x)^t*(A/B)^t*t*ln(y/B))) olmak üzere (7) (A^t-x^t*(1-N))^(s/r)*A^t=a^s*N^(s/r)+(b/E)^s (8) Şimdi,pozitif Kartezyende eşit yay uzunluğuna sahip (1) astroid ailesinin zarfını düşünelim. Bu zarfı yaklaşım yöntemiyle bulabiliriz: dL^2=dx^2+dy^2 klasik segman ifadesini ele alalım Yaklaşımlarda (d) (delta) oluyor dL=(1/n)*(a^2+b^2*((n^r-(i+1)^r)^(1/r)-(n^r-i^r)^(1/r))^2)^(1/2) n= i= (9) yazarız (10) Pozitif Kartezyendeki toplam segman sayısıdır ara segman sayısıdır. Neticede (i=n) olur. Toplam yay uzunluğu söz konusu olunca (4) ifadesi simetriktir: - (a ve b) ifade içindeki yerlerini değiştirebilirler. - (b/a) veya (a/b) sabit ise (4;8) ifadesinin katsayıları değişmez. Zarf ile ailenin değme noktalarının geometrik yeri bir doğrudur. (b/a)=TAN olsun. Ve TAN=sabit olsun.O zaman, dt/dx=dt/dTAN*dTAN/dx=0 N=1 A^s=((a*E)^s+b^s)*E^s olur olur (7) olur (8) (A=B) halinde, (A=B=K) ve (K/a=L1) olsun, a^s+b^s=K^s yazılır, yahut 1+TAN^s=L1^s yazılır (11) ifadesinde L1=Pozitif Kartezyendeki toplam yay uzunluğudur (11) Bu denklemde (s) kuvveti çeşitli yorumlara açıktır. Ancak,(6) tarifi (t) yi de ihtiva ettiğinden (s) bir değişkendir. Bu yorum 52 yıldır kimsenin aklına gelmedi.Gelemezdi, çünki Weiyrich Hocama bile açıklama vermedim.Gelmeliydi,ama bana soran bile olmadı. Sadece oğul Weiyrich’in tanışları (senaryo !!) Roger Maertens ve şeriki Ronald Rousseau 2000 senesinde, bir matematik forumunda bu tek satırlık (11) ifadesini “Niye olmasın” rümuzu ile kendi buluşlarıymış gibi ortaya attılar. Hiçbir açıklama getiremediler. Amerikalılar da buna, itirazım üzerine, Gök’ten indi dediler.1959 senesinde Weiyrich Hocama, kaba bir yaklaşım için, a^s+b^s=L^s ve (a=b=R) halinde R^s+R^s=(R*L1)^s ve birim (L1=Pi/2) bilindiği için s=ln(2)/ln(L1)=1.5349853566138… değerini verdim ve ret edildim [3]. Oysa (6) ifadesi (s)’in değişken olduğunu gösteriyor. Formül iyi yorumlanmadı. Doğru yorum için (L1) değerini (n) adet segmanla hesaplamak gerekir. En azından (5 000 000 000) adet segmanla (L1) ve (s) hassas olarak bulunur. Grafiği çıkarılır. Hiçbir entegral hesabı yoktur. Bu mantık (0<r<sonsuz) aralığı için geçerlidir. Burada yaklaşım hesabı yapıyoruz. Erişilebilecek gerçekleri arıyoruz. Mutlak Doğruyu aramıyoruz. Mutlak Doğruyu entegraller verir. O da yalnız elips için yapılmıştır. 1959 senesinde elips için verdiğim (s=ln(2)/ln(Pi/2)= 1.5349853566138….) değeri ile hesaplanan uzunluklar, gerçek uzunlukları tutmuyordu.Yaklaşıyordu.Graf(I) bu ilk yaklaşımın (dL1=L1Tahmin-L1Gerçek) değerlerini,Graf(II) hata % sini gösteriyor En büyük (dL1) En büyük hata % =0.034155353209052 ile =0.003605936813090 ile TAN=b/a=25.45169958 noktasında TAN=b/a=5.006784983 noktasında GRAF(I) 1<TAN<sonsuz 0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 -0.005 1 (dL1)0 82 163 244 325 406 487 568 649 730 811 892 973 GRAF (II) 1<TAN<sonsuz 0.0040 (hata %)0 0.0035 0.0030 0.0025 0.0020 0.0015 0.0010 0.0005 0.0000 -0.0005 1 82 163 244 325 406 487 568 649 730 811 892 973 Graf (III) (r=2) elips için (sGerçek) eğrisini gösteriyor.Bu graf bilinir [5] Graflar basit makro yazılımları ile elde ediliyor [5]. İlgilenenlere gönderilecek. GRAF (III) 1<TAN<sonsuz 1.750 sGerçek değişmez 1.700 1.650 1.600 1.550 1.500 1.450 1.400 1 81 161 241 321 401 481 561 641 721 801 881 961 Bu graf, bir polinoma oturmuş astroide benziyor. Dolayısıyla, bu graf için astroidal yapıda bir matematik modeli yazıyoruz. Yazdığımız modelle gerçek grafı çakıştırmayı düşünüyorum Modelimizin klasik denklemi ve içindeki parametrelerin değerleri şöyle: sMod= d1+b1*(1-((x-c1)/a1)^p)^(1/p)+(F+m1*x) Parametrelerin değerleri çakışma grafiğinden görerek beğeniliyor. Herhangi bir hesabı yok.Bir Otomat yapılıyor. Otomattaki değerler değiştirilerek, en iyi çakışma aranıyor. Beğeniliyor. parametreler a1 (sm-sM)=b1 c1 d1 p sM=F m1 sm OTOMAT 1 değerler 1000 -0.193966223722475 0 0.000000000000000 2.980000000000000 1.728894759383850 0.000000000000000 1.534928535661380 Graf (IV) ,görsel olarak seçilen ve beğenilen bu parametrelerle oluşan model grafın gerçek grafla çakışmasını gösteriyor.(b1 ve F) (5 000 000 000) segmanlık hesaptan geliyor. Biz yalnız (p=2.98) kuvvetini seçip beğendik. Beğenmek kişiseldir. GRAF (IV) 1<TAN<sonsuz 1.750 sGerçek değişmez sMod; (p=2.98) ile 1.700 1.650 1.600 1.550 1.500 1.450 1.400 1 81 161 241 321 401 481 561 641 721 801 881 961 (x) (TAN=b/a) nın açısal absisini ifade eder. Öyle ki: (TAN=1 iken x=0) ve (TAN=sonsuz iken x=1) dir. Pratikte (TAN=b/a=sonsuz) iken (x=1000) diyoruz. Bu maksatla (90o-45o) açı sahasını lineer (1000) [d alfa] ya bölüyoruz. (alfa açısı=Radyan alfa*180/Pi) ve (x=(alfa-45o)/(45o/1000)) yazılır. Birim L1 hesabında, (a=1; b=TAN) ve (1<TAN<sonsuz) olduğu da bilinir. Graf (IV) (p=2.98) ile iyi bir çakışma olduğunu gösteriyor ancak hata % sini de bilmeliyiz. Hata % si=((L1 Tahmin-L1Gerçek)/L1Tahmin) olarak tarif edilir Graf(V) bu birinci hesap aşamasındaki hata eğrisini gösteriyor. Max.hata %=0.000529950426610 Geçerli dünya rekorunda hata %=0.00145 dir [1].Bu sonuç herhalde daha iyi. Konu ile ilgilenen matematik dünyası 49 yıldır bu sonucu göremedi. Görmezlikten geldi.Çünkü son 6 senedir devamlı ikaz ettim.Bunun ötesi de var.Burada Şahit olacaksınız. GRAF (V) 1<TAN<sonsuz 0.0006 0.0005 (hata %)1aşama 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0.0000 -0.0001 1 83 165 247 329 411 493 575 657 739 821 903 985 -0.0002 (p) nin bir başka değeri için, başka bir hata grafı elde ederiz. Dilediğimiz aralıkta hata % sini azaltır, yahut hata % sini artı-eksi eşit yayabiliriz. Beğenimize kalmıştır. Graf (VI) fiziki olarak mühim olan (dL1=L1Tahmin-L1Gerçek) eğrisini gösteriyor. Max.(dL1)aşama1=0.001353949406581 GRAF (VI) 1<TAN<sonsuz 0.002000 0.001500 (dL1)1aşama 0.001000 0.000500 0.000000 -0.000500 1 86 171 256 341 426 511 596 681 766 851 936 -0.001000 -0.001500 -0.002000 -0.002500 Herhangi bir TAN değerinde, mesela (Max.hata %) si noktasında, (dL1 ve hata %si) biliniyorsa, ki varsa grafikten okuruz, (L1Gerçek ve L1Tahmin) hesaplanabilir. Max.(hata %)aşama1 O noktada (dL1)aşama1 =0.000529950426610 =0.001294322464019 (max.dL1 değil) L1Tahmin=(dL1/hata %) L1Gerçek=(L1Tah-dL1) =2.44234630076549 =2.4410519783147 (p) ye göre değişir. (p) ye göre değişmez. İsterdik ki her noktada ((dL1)aşama1=0) olsun. Hedefimizdir. (III den VI ya) graflara baktığımızda, her noktada, (dL1=0) olması için (p) nin değişken olması gerektiğini görürüz. (p) için ((dL1)aşama1=0) yazarız. Bu düşünceden (pGerçek) i gösteren graf (VII) yi elde ederiz. GRAF (VII) 1<TAN<sonsuz 3.50 pGerçek 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00 1 79 157 235 313 391 469 547 625 703 781 859 937 Bu graf, bir polinoma oturmuş astroide benziyor. Dolayısıyla, bu graf için astroidal yapıda bir matematik modeli yazıyoruz. Yazdığımız modelle gerçek grafı çakıştırmayı düşünüyoruz. Modelimizin klasik denklemi ve içindeki parametrelerin değerleri şöyle: pMod= d2+b2*(1-((x-c2)/a2)^q)^(1/q)+(G+m2*x) sMod= d1+b1*(1-((x-c1)/a1)^pMod)^(1/pMod)+(F+m1*x) parametreler a2 b2 c2 d2 q G m2 OTOMAT 2 değerler 500 0.3475 500 0.000 4 1.95 0.000935 Graf (VIII) ,görsel olarak seçilen ve beğenilen bu parametrelerle oluşan model grafın gerçek grafla çakışmasını gösteriyor. Başka beğenilerle başka bir çakışma görüntüsü oluşurdu. İyi parametre seçmek, bir an önce (dL1=0) hedefine varmamızı sağlayacaktır. GRAF (VIII) 1<TAN<sonsuz 3.50 3.00 2.50 pGerçek pMod 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00 1 79 157 235 313 391 469 547 625 703 781 859 937 (a=1; b=TAN) bilinince,(alfa açısı) ve (x) absisi bilinir. Hesaplanır. Bunların değerleri (pMod) u verir.(pMod) ile (sMod) hesaplanır.(sMod) ile de (L1Tahmin) bulunur. L1Tahmin=(1+TAN^sMod)^(1/sMod) Bu ikinci aşamaya ait (hata %)2 si ve (dL1)2 eğrileri graf (IX ve X) da gösterilmiştir. Max.(hata %)2aşama Max.hata noktasında (dL1)2 Max.(dL1)2aşama Max.(dL1)2 noktasında (hata %)2 =0.000019980316582 =0.000592851604697 =0.001153601015915 =0.000007247479687 1<TAN<sonsuz aralığı 1<TAN<sonsuz aralığı GRAF (IX) 1<TAN<sonsuz 0.00003 (hata%)aşama2 0.00002 0.00002 0.00001 0.00001 0.00000 -0.00001 -0.00001 1 84 167 250 333 416 499 582 665 748 831 914 997 GRAF (X) 1<TAN<sonsuz 0.0015 0.0010 (dL1)2aşama 0.0005 0.0000 -0.0005 1 82 163 244 325 406 487 568 649 730 811 892 973 -0.0010 -0.0015 -0.0020 -0.0025 Graf (XI) birinci aşama (hata %)1 ile sonraki aşama (hata %)2 karşılaştırmasını gösteriyor. 2.nci aşamada güzel bir hata grafiğine eriştiğimizi söyleyebiliriz. Parametrelerimizi iyi seçmişiz. Daha iyisi de bulunabilir Bu hassasiyette bir yaklaşım pratikte yeterlidir Ancak Daha hassas yaklaşımlar yapmak da elimizdedir. GRAF (XI) 1<TAN<sonsuz 0.00060 (hata%)2aşama (hata %)1aşama 0.00050 0.00040 0.00030 0.00020 0.00010 0.00000 -0.00010 1 83 165 247 329 411 493 575 657 739 821 903 985 -0.00020 Bu maksatla (pMod) un (a2,b2,c2,d2,q,G.m2) parametrelerinin değişken olması gerekir. En azından (b2,G,m2) parametrelerinden bir tanesi değişken olmalıdır. Başlarken (b2) parametresini seçiyorum.Başkasını da seçebilirdim (b2) için (dL1)2=0 olsun diyorum.(b2Gerçek) grafını buluyorum. Modelini yazıyorum. Gene parametrelerimi beğenip seçiyorum. b2Mod= d3+b3*(1-((x-c3)/a3)^r)^(1/r)+(H+m3*x^v3+n3*x^w3)) pMod= d2+b2Mod*(1-((x-c2)/a2)^q)^(1/q)+(G+m2*x) sMod= d1+b1*(1-((x-c1)/a1)^pMod)^(1/pMod)+(F+m1*x) OTOMAT 3 değerler parametreler a3 b3 c3 d3 r H m3 v3 n3 w3 500 0.330000 500 0 5 0.650000 0.000038 1 0 1 Graf (XII) (b2Gerçek) ile (b2Mod) çakışmasını gösteriyor. Grafiğin sonlarında çakışmanın bozulduğu görülüyor. Modelimizi ve parametrelerimizi daha iyi seçebilseydik, bu bozulma olmazdı. GRAF (XII) 1<TAN<sonsuz 0.7 0.6 b2Gerçek b2Mod 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 78 155 232 309 386 463 540 617 694 771 848 925 Graf (XIII ve XIV) bu üçüncü aşamadaki (hata %)3 ve (dL1)3 eğrilerini gösteriyor. Max.(hata %)3 O noktada (dL1)3 =0.000015169457087 =0.000604327055093 Max.(dL1)3 O noktada (hata %)3 =0.00101293826650 =0.000006054146193 GRAF (XIII) 1<TAN<sonsuz 0.00002 0.00002 (hata %)3aşama 0.00001 0.00001 0.00000 -0.00001 1 84 167 250 333 416 499 582 665 748 831 914 997 -0.00001 -0.00002 GRAF (XIV) 1<TAN<sonsuz 0.001500 0.001000 (dL1)3aşama 0.000500 0.000000 -0.000500 1 85 169 253 337 421 505 589 673 757 841 925 -0.001000 -0.001500 -0.002000 -0.002500 Graf (XV), önceki aşama (hata %)2 ile son aşama (hata %)3 karşılaştırmasını, gösteriyor. (3aşama) grafiğinin (2aşama) grafiğinden daha iyi olduğu söylenemez. Başlarda ve sonlarda durum iyi,ortalarda fena Max.( hata %)3 O noktada (dL1)3 =0.000015169457087 =0.000604327055093 oldu. (b2) için uygun parametreler seçemediğimizi anlıyoruz. Uygun parametreler vardır. Fakat konumuz sadece uygun parametre aramak değildir. Konumuz bu hesaplamadaki yöntemi, mantığı tanıtmaktır. Her ne kadar gayretimiz en az hatalı bir sonuca ulaşmak ise de, daha iyisini ararken daha fenasına yönlenmek de mümkündür.En az hatanın erişildiği noktada durmalıyız. GRAF (XV) 1<TAN<sonsuz (hata %)aşama3 (hata%)aşama2 0.00003 0.00002 0.00001 0.00000 -0.00001 1 83 165 247 329 411 493 575 657 739 821 903 985 -0.00002 Seçip beğendiğimiz parametreler kişisel tercihlerdir. Şimdi, acaba daha hassas bir yaklaşım bulabilir miyiz diye, (m2,G) parametrelerini de değişken alıp onların gerçek graflarını bulacağız, model graflarını yazacağız, çakışmaların hassasiyetini göreceğiz. Bu maksatla: (m2) için (dL1)3 =0 yazılıp (m2Gerçek) bulunur. (G) için (dL1)4 =0 yazılıp (GGerçek) bulunur. (Hata %) sini azaltma gayreti, hatayı arttırıyorsa işlem durdurulur. Uygun parametreleri bulamıyorsak,işlem durdurulur. Graf(XVI, XVII, XVIII, XIX) (m2Gerçek)aşama4 eğrilerini gösteriyor. Denklemlerimiz,parametrelerimiz şöyle: m2Mod= d4+b4*(1-((x-c4)/a4)^t)^(1/t)+(J+m4*x^v4+n4*x^w4) pMod= d2+b2Mod*(1-((x-c2)/a2)^q)^(1/q)+(G+m2Mod*x) sMod= d1+b1*(1-((x-c1)/a1)^pMod)^(1/pMod)+(F+m1*x) parametreler a4 b4 c4 d4 t J m4(+) v4 n4(-) w4 OTOMAT 4 değerler 500 0.0009381 500 0 10 0.000001 0.0000000700 1 -0.000000065 1 GRAF (XVI) 1<TAN<sonsuz 0.0012 0.001 0.0008 m2Gerçek m2Mod 0.0006 0.0004 0.0002 0 1 82 163 244 325 406 487 568 649 730 811 892 973 GRAF (XVII) 1<TAN<sonsuz 0.00001 hata %)aşama4 0.000005 0 1 86 171 256 341 426 511 596 681 766 851 936 -0.000005 -0.00001 -0.000015 GRAF (XVIII) 1<TAN<sonsuz 0.001 0.0005 0 -0.0005 1 -0.001 -0.0015 -0.002 -0.0025 83 165 247 329 411 493 575 657 739 821 903 985 (dL1)aşama4 GRAF (XIX) 1<TAN<sonsuz 0.000025 0.00002 0.000015 0.00001 0.000005 0 -0.000005 1 -0.00001 -0.000015 -0.00002 hata %)aşama4 (hata %)aşama3 (hata%)aşama2 74 147 220 293 366 439 512 585 658 731 804 877 950 Graf (XIX) dan (hata %) sinin daha iyiye gitmediği görülüyor. Graf(XX, XXI, XXII, XXIII) (GGerçek)aşama5 eğrilerini gösteriyor. Denklemler ve parametreler şöyle: GMod= d5+b5*(1-((x-c5)/a5)^u)^(1/u)+(K+m5*x^v5+n5*x^w5) pMod= d2+b2Mod*(1-((x-c2)/a2)^q)^(1/q)+(GMod+m2Mod*x) sMod= d1+b1*(1-((x-c1)/a1)^pMod)^(1/pMod)+(F+m1*x) OTOMAT 5 değerler parametreler a5 500 b5 0.098750000 c5 500 d5 0 u 10 K 1.851440000000000 m5 0.000000010000000 v5 1.2 n5 0 w5 1 GRAF (XX) 1<TAN<sonsuz 2 1.95 Ggerçek GMod 1.9 1.85 1.8 1.75 1 79 157 235 313 391 469 547 625 703 781 859 937 GRAF (XXI) 1<TAN<sonsuz 0.000006 (hata %)aşama5 0.000004 0.000002 0.000000 -0.000002 1 70 139 208 277 346 415 484 553 622 691 760 829 898 967 -0.000004 -0.000006 GRAF (XXII) 1<TAN<sonsuz 0.0010 0.0005 0.0000 -0.0005 1 -0.0010 -0.0015 -0.0020 -0.0025 (dL1)aşama5 82 163 244 325 406 487 568 649 730 811 892 973 GRAF(XXIII) 1<TAN<sonsuz (hata %)aşama5 (hata%)aşama4 (hata %)aşama3 (hata%)aşama2 0.000025 0.000020 0.000015 0.000010 0.000005 0.000000 -0.000005 1 85 169 253 337 421 505 589 673 757 841 925 -0.000010 -0.000015 -0.000020 Graf (XXIII) (hata %)5aşama’ nın uygun olduğunu gösteriyor.Üstelik uygunsuz çakışmalardan, parametrelerden bu eğriye eriştik. Uygun parametrelerle daha da hassas neticelere erişilebileceği tahmin edilebilir.Varılan durumda (hata %)aşama5 =0.000004753119960 oldu. Bu iyi bir sonuçtur. Graf(XXIV) (dL1aşama1; dL1aşama5) karşılaştırmasını gösteriyor Bu anlamda, (dL1)aşama2 den itibaren hassas neticeler alındığı görülüyor (dL1)aşama 5 en hassas neticeyi veriyor. GRAF (XXIV) 1<TAN<sonsuz 0.002 0.0015 0.001 0.0005 0 -0.0005 1 -0.001 -0.0015 -0.002 -0.0025 83 165 247 329 411 493 575 657 739 821 903 985 öceki (dL1)aşama1 (dL1)aşama2 (dL1)5aşama Bir hesap örneği (a=15.516948840908 ve b=8.738) olan bir elipsin çevre uzunluğunu hesaplamak istiyoruz (a;b) yer değiştirebilir. Bu değişim çevre uzunluğunu etkilemez (b=15.516948840908 ve a=8.738) yazalım.(b>a) sahasında çalışıyoruz (b/a=TAN=1.775800966) olur. Bu TAN için (L1Tahmin) hesaplayacağız. Hesaplarda 5 aşama yaptık. Her aşamanın (L1Tahmin) değeri farklı çıkacaktır. (L1Gerçek) değişmez. Burada, örnek olarak, 5’inci aşama işlenecek. (radyan.alfa=ATAN (alfa açısı=ATAN*180/Pi (x=(alfa açısı-45)/0.045) =1.05793132609935) =60.6150000001709 o) =347.000000003798) değerleri bilinir. (x) (b2Mod, m2Mod, GMod) denklemlerinde kullanılarak b2Mod m2Mod GMod =0.333363262814073 =0.000940834324750 =1.75270124988600 bulunur. Makro bulur [4] Bu değerler (pMod) denkleminde kullanılarak pModG =2.411800901234670 bulunur. Makro bulur [4] Bu değer de (sMod) denkleminde kullanılarak sModG=1.541339998722620 bulunur. Makro bulur [4] sModG ile de (L1Tahmin)aşama5=(1+TAN^sModG)^(1/sModG)=2.221968067865350 bulunur. 2 500 000 000 adet eliptik entegral terimlerinin toplamından (L1Doğru =2.222894795365080 )bilinmektedir. Aslında entegral hesabı yapmayız. Ancak elips için bu değerler hazır olarak vardır. Başka hiçbir (r) için böyle entegral serisi yoktur. Yapılmasına ihtiyaç duyulmamıştır.Elips özeldir. Örnek hesabımızda: L1Doğru L1Tahmin (dL1)aşama5 (hata %)aşama5 =2.222894795365080 =2.221968067865350 =-0.000926727499726 =-0.000417075075528 dır. olmuştur. Sonuç Bu bir yaklaşımdır. Grafikler hangi aşamada daha hassas sonuç alınacağını göstermektedir. 5nci aşama genelde uygun.Daha hassasları da olacaktır. Parametre seçimine bağlıdır. Parametreler uygun seçilemezse hesaplarda iyileşme değil,kötüleşme olur. Bütün bu hesaplar basit makro programları ile yapılır [5]. İlgilenenlere gönderilir. Dikkat edilirse, eksantriklik kavramını kullanmadık. TAN esaslı hesap yaptık. TAN kavramı (0<r<sonsuz) için geçerlidir. Eksantriklik yalnız elipse mahsustur. Her bir elips için 2 500 000 000 adet entegral terimini hesaplamak,toplamak zorluğu da yok. (b2Mod,m2Mod,GMod,pMod,sMod) gibi 5 değer hesaplanıyor, istenen (r) için (L1) bulunuyor.İstenirse hesaplar (b2Mod) aşamasında durdurulur.Yahut (b2Mod,m2Mod) aşamasında durdurulur.İstenen hassasiyete göre işlemler kısa kesilebilir. Graf (XXV) (GMod) da ufak bir değişiklik yaparak alınan sonuçları gösteriyor. Burada Üstat Ramanujan’ın tahminleri ile benim tahminlerim karşılaştırılmıştır. Grafikte (1<TAN<10) aralığı, Ramanujan’ın TAN>10 için aşırı sapmalarını görmemek için seçilmiştir.TAN<3.25 için Ramanujan hala Üstatdır GRAF (XXV) 1<TAN<10 0.00005 0.00000 -0.00005 -0.00010 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 Nec-L1DOĞRU Ram-L1DOĞRU -0.00015 Bu projeye 6 yıldır gösterdiği ilgi dolayısıyla Hocam Sayın Paul Bourke/Avustralya’ya teşekkür ediyorum.Çok ciddi çalıştı.Web sitesini ziyaret etmenizi dilerim. http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/ellipsecirc Notlar:[1] Internet/ Google tıkla/ necat tasdelen yaz/bakınız: Elipse Perimeter Approximation.www.ebyte.it [2] Ord.Prof.R.Weiyrich’in ret yazısı.İTÜ arşivlerinde yok olmuştur. Yaş imzalısı bendedir. [3] Internet/Google tıkla/necat tasdelen yaz/bakınız:Circumference,Perimeter of an Elipse.Numericana-Ynot [4] a^s+b^s=L^s formülünün oluşumu. İlgilenenlere gönderilir [5] 12 e-mail, tablolar ve makrolar, tüm hesaplar. İngilizce.Toplam (2 MB) Hesap kolonları ilgilenen alıcı tarafından doldurulacak ve aktive edilecek. Aslı 75 MB. Necat Taşdelen necattasdelen@ttmail.com