MAKİNALARIN GÜÇ VE HAREKET İLETİM MEKANİZMALARININ LİNEER HAREKET
Transkript
MAKİNALARIN GÜÇ VE HAREKET İLETİM MEKANİZMALARININ LİNEER HAREKET
11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 MAKİNALARIN GÜÇ VE HAREKET İLETİM MEKANİZMALARININ LİNEER HAREKET DENKLEMLERİ İsfendiyar BAKŞİYEV Cumhuriyet Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Müh. Böl., SİVAS baksiyev@cumhuriyet.edu.tr H. Ali ERTAŞ Cumhuriyet Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Müh. Böl., SİVAS ertas@cumhuriyet.edu.tr ÖZET Geleneksel yaklaşıma göre düşük frekanslı ( ƒ d 100 . . . . 200 Hz ) titreşimlerde makinelerin güç ve hareket iletim mekanizmaları çok elemanlı parametreye sahip, yani n serbestlik dereceli lineer sistem gibi göz önüne alınır. Bu şekilde yaklaşım hiçbir olumsuzluk oluşturmaz, aksine daha da mekanik olaylara zarar vermeden hesap modellerinin basitleştirilmesini sağlar ve böylece matematiksel işlemleri oldukça azaltabilir. Hesap modellerinde çok kapsamlı matematiksel işlemlerin olması günümüzde makinelerin güç ve hareket iletim mekanizmalarının dinamiksel karakteristiklerinin gerekli optimizasyon işlemlerinin yerine getirilmesini engellemektedir. Bu nedenle yeni efektif hesap yöntem ve metotları geliştirerek hesap ve işlem hacminin daha da azaltılmasını sağlayabiliriz. Böylece dinamik sistemlerin optimizasyonu için yeni optimizasyon yöntem ve metotlarının kullanımı sağlanabilir. Dinamik sistemlerin hesabında kullanılan matematiksel modeller dinamik sistemlere ait olduğundan , sisteme göre dinamik model olarak isimlendirilmesi daha uygun olur. Bundan sonra matematiksel model yerine dinamiksel model olarak isimlendirilecektir. Dinamiksel modeller veya sistemler; Zincir, Budaklanmış ve Kapalı şekilli olarak üç gruba ayrılır. Dinamik sistemlerin hesabında en çok Zincir ve Budaklanmış dinamiksel modeller kullanılmaktadır. Sunulan çalışmada zincir ve budaklanmış dinamiksel modellerin lineer hareket denklemleri yazılmış ve onların daha basit kullanım şekli olan matris denklemleri verilmiştir. Denklemi kapsayan matrislerin yazılış şekilleri gösterilmiştir. Anahtar Kelimeler : Dinamik Sistem, Titreşim, Budaklanmış, Optimizasyon ABSTRACT In traditional approach power and motion transfer mechanism of machines in low frequency vibration (ƒ d 100 . . . . 200 Hz ) are regarded as having multi-member parameters or as a linear system with n-degree freedom. By this way the approach does not cause negativity but indeed computation models are simplified without harming mechanical events and the mathematical procedure is thus significantly shortened. Extensive mathematical computations associated with calculative models are impeding the performance of necessary optimization procedures of dynamic characteristics of current power and motion transfer mechanism of machines. The huge volume of computation can thus be reduced through new and effective methods and procedures of computation. Therefore optimization of dynamic systems can be carried out by the use of new optimization techniques and methods. As the mathematical models used in the computation of dynamic systems belong to dynamic systems, it would be appropriate to name them as dynamic models. Thus, they will be named as dynamical models rather than mathematical models. Dynamical models or systems are grouped under three headings: chain-shaped, branched or closed-shaped. In the computation of dynamical systems, chain-shaped and branched models are mostly used. In the study linear motion equations of chain-shaped and branched models are given and their simplified version of matrix equations are presented. Also, the manner with which the matrices that comprise of equations is illustrated. Keywords: Dynamic System, Vibration, Branched, Optimization 1. Zincir Denklemleri Şekilli Sistemlerin Hareket Uygulamalı titreşim teorisinde zincir şekilli sistemler, birbiri ile elastik ilişki ile bağlanmış atalet momentlerinin veya kütlelerin toplamına denir. Şekil m1 , m2 m3 , …. mn kütleler zinciri k1 , k2 , k3 , ......, kn olan elastik rijitlikleri 1.1 de yaylarla bağlanmaktadır. Zincir şekilli bu sistem x yatay ekseni boyunca öteleme titreşim hareketi yapabilir. Bakşiyev ve Ertaş Şekil 1.1 Şekil 1.2 Şekil 1.2 de gösterilen iki serbestlik dereceli sistem m1 ve için hareket denklemini yazalım. m1 x1 + ( k1 + k2 )x1 − k2 x2 = 0 m2 x2 − k2 x1 + k2 x2 = 0 (1.6) m2 kütlelerinin denge konumundan uzaklaşmalarını x1 ve x2 ile gösterelim. Bu durumda m1 kütlesine elde edilir. birinci yay tarafından uygulanan kuvvet − k1 x1 Serbestlik derecesi sayısı n olan öteleme, yani düzgün lineer sistem için 1.6 denklemi ; (1.1) m1 x1 + ( k1 + k2 )x1 − k2 x2 = 0 m x − k x + ( k + k )x − k x = 0 2 3 2 3 3 2 2 2 1 m3 x3 − k3 x3 + ( k3 + k4 )x3 − k4 x4 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mi xi − ki xi + ( ki + ki +1 )xi − ki +1 xi +1 = 0 mn xn − kn xn −1 + kn xn = 0 (1.7) ikinci yayın uyguladığı kuvvet ise k2 ( x1 − x2 ) (1.2) şeklinde yazılır. Toplam kuvvet F1 = - k1 x1 + k2 ( x1 − x2 ) (1.3) şeklinde yazılır. m2 kütlesine yalnız ikinci yay tarafından kuvvet elde edilir. Dönme veya burulma hareketi yapan sistemler için (Şekil 1.3) analojik olarak (1.7) denklemi ; uygulanabilir. F2 = k2 ( x1 − x2 ) (1.4) J 1ϕ 1 + ( k 1 + k 2 )ϕ 1 − k 2 ϕ 2 = 0 J ϕ − k ϕ + ( k + k )ϕ − k ϕ = 0 2 2 2 3 2 3 3 2 2 J 3 ϕ 3 − k 3 ϕ 3 + ( k 3 + k 4 )ϕ 3 − k 4 ϕ 4 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J iϕ i − k iϕ i + ( k i + k i + 1 )ϕ i − k i + 1ϕ i + 1 = 0 J n ϕ n − k n ϕ n − 1 + k n ϕ n = 0 ∑ F = ma ’ nın tatbiki ile serbest titreşimlerde m 1 x 1 = F1 m 2 x 2 = F2 ve (1.5) yazılırsa, iki serbestlik dereceli sistem için (Şekil 1.2) hareket denklemi (1.8) şeklinde yazılabilir. Burada m1 , m2 , m3 , . . . . , mn sistem elemanlarının kütleleri; J1 , J2 , J3 , . . . . , Jn sistem elemanlarının atalet momentleri ; k1 ,k2 ,k3 , ...... , kn sistemin rijitlikleri ; x1 , x2 , x3 , . . . . , xn sistemin lineer deplasmanları ; φ1 , φ2 , φ3 , . . . . , φn sistemin dönme açılarıdır. m 1 x1 = − k 1 x1 + k 2 ( x1 − x 2 ) m 2 x 2 = k 2 ( x1 − x 2 ) yazılır. Düzenleme yapılırsa 72 Makinaların Güç Ve Hareket İletim Mekanizmalarının Lineer Hareket Denklemleri Şekil 1. 3 (1.6) ve (1.7) denklemleri daha basit matris şeklinde aşağıdaki gibi yazılabilir. k1+ k2 -k 2 0 K= . . 0 - öteleme hareketinde; M X+ K X= 0 (1.9) . . . . -k3 0 . . . . -k3 k3 + k4 . . . . . . . . 0 0 . . . . . -kn-1 + kn 0 0 0 . . kn (1.13) - dönme hareketinde ; J φ + Kφ = 0 -k2 k2 + k3 veya şematik olarak (1.10) Burada M ve J kütle ve atalet matrisleri, K rijitlik matrisi, X ve vektörleridir. φ öteleme ve burulma yer değişim Zincir şekilli sistemler için (Şekil 1.1 ve 1.3) (1.9) ve (1.10) hareket denklemlerinde M ve J matrisleri köşegen matrislerdir. m1 0 0 M = . . 0 0 . . . 0 m2 0 . . . 0 0 m3 . . . 0 ≡ diag( M n ) . . . . . . 0 0 . . . mn 0 şeklinde gösterilebilir. K matrisinin sıfırdan farklı köşegen elemanları; k1 + k2 , k2 + k3 , . . , kn-1 + kn , kn ve köşegene simetrik olan elemanları; (1.11) − k2 , -k3 , -k4 , . . , -kn J1 0 0 J = . . 0 oluşmuştur. 0 . . . 0 J 2 0 . . . 0 0 J3 . . . 0 ≡ diag( J n ) . . . . . . 0 0 . . . J n 0 X ve φ matrisleri ise sütun (vektör) matrislerdir. x1 x2 x3 (1.12) K köşegen matristir. X= . . . xn −1 xn 73 ve Bakşiyev ve Ertaş ϕ1 ϕ2 ϕ3 φ= ve J φ + Kφ = 0 . şeklinde idi. Ancak budaklanmış sistemlerde K matrisi farklı olarak karmaşık bir blok matris şeklinde kullanılır. Şekil 1.4 e göre K blok matrisi; . . ϕ n −1 ϕn (1.14) Böylece matrisler üzerinde yapılan işlemler sonucu (1.9) ve (1.10) denklemlerinden (1.7) ve (1.8) sistem denklemleri elde edilmiş olur. (1.14) şeklinde yazılır. Hareket denklemlerinin matris şeklinde yazılışı tamamen görseldir ve kullanımı kolaydır. Burada K1 - l x l boyutlu köşegen matrisi, K2 n x n boyutlu köşegen matrisi , K12 ve K21 - l x n ve n x l boyutlu dikdörtgen matrislerdir. 2. BUDAKLANMIŞ ŞEKİLLİ SİSTEMLERİN HAREKET DENKLEMLERİ Aynı zamanda matrislerdir. Makinaların güç ve hareket mekanizmalarının titreşim araştırmalarında budaklanmış şekilli sistemlere, yani budaklanmış dinamik modellerde kullanılmaktadır. (Şekil 1.4) Bu hal için (1.9) ve (1.10) hareket denklemleri K1T = K1 M X+ KX= 0 a-) b-) 74 ; K1 ve K2T = K2 K2 matrisleri simetrik Makinaların Güç Ve Hareket İletim Mekanizmalarının Lineer Hareket Denklemleri c-) Şekil 1.4 a, b, c : Budaklanmış Dinamik Modeller K12 ve K21 matrisleridir ve matrisleri K = K21 T 12 birbirinin K1 matrisi (1.13) denklemindeki gibi köşegen matristir. Ancak burada budaklanmış sistem olduğundan ve budaklanma üçüncü J3 elemanından ayrıldığı için (1.13) denklemindeki matrisin üçüncü sütun ve satırında bulunan köşegenindeki k3 + k4 elemanı yerine budaklanmış elastik sistemin k l+1 elemanı da dahil k3 + k4 + k l+1 elemanı yazılmalıdır, yani böylece; transpoze şeklinde ifade edilir. Şekil 1.4a da budaklanma J3 elemanından ayrıldığı için ve J3 ikinci budağın Jl+1 elemanı ile birleştiğinden K12 matrisinin üçüncü satırındaki eleman –Kl+1 , diğer elemanları ise sıfır olur, yani; 0 0 -kl + 1 0 K12 = . . . 0 0 0 0 0 . . . 0 K1= 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . . . . 0 . . . 0 Analoji olarak K21 matrisi 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 k2 + k3 -k3 0 -k3 . . . . . . . 0 . 0 . 0 kl+ 1+ kl+ 2 -k l+ 2 0 K2 = . . . 0 (1.16) 0 -k2 -k2 . . . 0 . . . 0 -k4 . . . 0 . . . . . -kl-1+ kl . . . kl 0 0 k3 + k4 + kL+ 1 (1.18) şeklinde yazılır. K21 = k1+ k2 -kl + 1 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . . . . 0 . . . 0 0 0 . . 0 . . . kl+ n -kl+ 2 0 0 . . . kl+ 2 + kl+ 3 -kl+ 3 0 . . . -kl+ 3 kl+ 3 + kl+ 4 . . . . -kl+ 4 . . . . . . 0 0 -kl-1+ kl+ 1 (1.19) şeklinde yazılır. Yukarıda yazılan kurallara göre Şekil 1.4 b ve c de verilmiş olan budaklanmış dinamik modeller için de rijitlik matris sistemini yazabiliriz. Şekil 1.4 b sistemi için rijitlik blok matrisi (1.17) yazılabilir. 75 Bakşiyev ve Ertaş K1 K(b)= K21 K31 K12 K13 K2 0 0 K3 Mekanizmalarının Lineer Olmayan Titreşimlerinin Analizi”, Respublika İlmi Teknik Konferansı, 1989 Bakü 4. İ. İ. Bakşiyev, H. S. Samidov, “Budaklanmış Mekaniksel Sistemlerin Titreşimlerinin Araştırılması, AZMİÜ İlmi Konferansı, 1995, Bakü (1.20) 5. F. Ayres , “Diferansiyel ve İntegral Hesap”, Sanem Çözümlü Serisi, 1979 şeklinde yazılabilir. Burada K1 , 1 den L ye kadar olan esas zincir sisteminin rijitlik matrisi ; K2 , (L+1) den (L+n) e kadar olan 2 nolu budak sisteminin rijitlik matrisi ; K3 , (L+n+1) den (L+n+m) e kadar olan 3 nolu budak sisteminin rijitlik matrisidir. K1, K2, K3 matrisleri n x n boyutlu simetrik ve köşegen matrislerdir. K12=K21T ve K13=K31T rijitlik matrisleri 2 ve 3 nolu budaklanmış sistemlerin 1 nolu esas zincir şekilli sistem ile bağlantı kurulmasını sağlayan matrislerdir. 2 ve 3 nolu budaklanmış sistemlerin birbiri ile elastik bağlantısı olmadığı için K(b) blok matrisinde bunları göz önüne alan sıfır blokları yerleştirilmiştir. Şekil 1.4 c de gösterilen budaklanmış sistem içinde aynı şekilde rijitlik blok matrisi; K1 K(c)= K21 0 K12 0 K2 K23 K32 K3 (1.21) şeklinde yazılabilir. Görüldüğü gibi Şekil 1.4’ de gösterilen sistemler birbirileri ile eşdeğer sistemlerdir. Burada sistemlerin blok numaralarını değiştirerek b sisteminin c sistemine (veya tersi) eşdeğer olduğu görülür. Matris dilinde K(b) ve K(c) matrislerinden, K(b) blok matrisinin satır ve sütun elemanlarını uygun şekilde değiştirmekle K(c) blok matrisi elde edilir. KAYNAKLAR: 1. “Teknikte Titreşimler”, 1976- 1980 Moskova Sorgu Kitabı, 6 cilt 2. S. H. Krendol, F.S. Sabirov, “ Matris Yöntem Analizi”, Darbeli Yüklemeler İçin Sorgu Kitabı, 1980 Moskova 3. İ. İ. Bakşiyev, H. S. Samidov, “Takım Tezgahlarının Güç ve Hareket İletim 76 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 DEĞİŞKEN KALINLIKLI ÜZERİ DELİKLİ DÖNEN DİSKLERİN STATİK STABİLİTE ANALİZİ Aysun BALTACI Ege Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Bornova, 35100, İZMİR, baltaci@bornova.ege.edu.tr Mustafa SABUNCU Dokuz Eylül Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Bornova, 35100, İZMİR, mustafasabuncu@deu.edu.tr ÖZET Bu çalışmada, değişken kalınlıklı, üzeri delikli dönen diskin statik stabilite (Kararlılık) analizi yapılmıştır. İncelemede plak kalınlığının h=hi(ri/r)b bağıntısına uygun olarak değiştiği kabul edilmiştir. Yapılan bu çalışma ile disk kalınlığı değişiminin, disk üzerinde radyal ve çevresel yöndeki delik sayısının ve delik çapının, diskin kritik burkulma yükü üzerindeki etkileri incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Sonlu elemanlar, sektör eleman, dönen disk, stabilite, burkulma STATIC STABILITY OF ROTATING DISCS WITH HOLES ABSTRACT In this study, the static stability analysis of rotating discs having variable thicknesses with different circular holes is investigated. The variation of disc thickness is assumed to be represented by function of h=hi(ri/r)b . The effects of hole size and the number of holes along the circumferential and radial directions on the critical buckling loads of rotating discs are investigated. Keywords: Finite element, sector element, rotating disc, stability, buckling 1. GİRİŞ Günümüzde, hafif yapılar, mekanik, uzay mühendisliği gibi bir çok endüstri alanında ağır konstrüksiyonlar yerine büyük ölçüde kullanılmaktadır. Bu nedenle bu tip konstrüksiyonların tasarlanmasında bir yapı elemanı olarak kullanılan disklerin burkulma problemleri ile ilgili çalışmalar pratik önem kazanmıştır. Rao ve Raju [1] izotropik malzeme için sonlu elemanları kullanarak dairesel plakların burkulmasını incelemişlerdir. Mermertaş ve Belek [2] yarıçap doğrultusunda değişken kalınlığa sahip halka plakların çeşitli sınır şartları altında serbest titreşimleri ve statik stabilite analizini incelemişlerdir. Gupta ve Ansari [3] klasik plak teorisine dayanarak, düzlemsel olarak etkiyen hidrostatik kuvvet altındaki lineer kalınlık değişimine sahip ortotropik dairesel plakların titreşimlerini ve burkulmasını incelemişlerdir. Yardımoğlu ve Sabuncu [4] sonlu elemanlar metodu ve dalga yayılım tekniğini kullanarak, periyodik yayılı yüke maruz şaft-disk sistemlerinin statik ve dinamik stabilite analizi üzerinde çalışmışlardır. Çalışmalarında disk boyutlarının, disk hızının ve sınır şartlarının stabilite (Kararlılık) üzerindeki etkilerini incelemişlerdir. Bu çalışmada, kalınlığı yarıçap doğrultusunda h=hi(ri/r)b bağıntısına göre değişen ve üzerinde simetrik deliklere sahip diskin statik stabilite analizi yapılmıştır. Disk üzerindeki deliklerin boyutlarının, yerinin ve sayısının diskin kritik burkulma yüküne etkileri incelenmiştir. Bu amaçla diskin sonlu eleman modeli kurulurken dairesel simetri özelliğinden yararlanarak bir dilimi modellenmiş ve dalga yayılım tekniği kullanılmıştır. 2. SEKTÖR ELEMANIN KATILIK VE STABİLİTE MATRİSLERİNİN OLUŞTURULMASI 2.1. Sektör Eleman Şekil 1. de 8 düğüm noktalı, 24 serbestlik dereceli plak elemanı gösterilmiştir. Plak elemanının her düğüm noktası üç serbestlik derecesine sahiptir. Bunlar plak orta düzlemine dik doğrultudaki w yer değiştirmesi ile r ve θ eksenleri etrafındaki φ ve ϕ dönmeleridir [2]. Baltacı ve Sabuncu η 6 7 5 4 2 8 1 ξ 3 +α -α Şekil 3. Delikli diske etkiyen basınçlar Dış kenardan radyal doğrultuda düzlem içi bir σo gerilmesi etkisindeki diskte meydana gelen düzlem içi gerilmeler yarıçap doğrultusunda Şekil 1. Eşparametrik sektor eleman σ rr = σ o ri2 − 1 ro2 − ri2 r 2 ro2 σ θθ = −σ o ri2 + 1 ro2 − ri2 r 2 ro2 (7) σ rθ = 0 Şekil 2. Delikli Halka Plağın Periyodik Yapısı Şekil 2. de ri diskin iç yarıçapını, ro diskin dış yarıçapını, rd deliğin yarıçapını, ru1 ve ru2 sırasıyla ilk deliğin ve ikinci deliğin disk merkezinden uzaklıklarını göstermektedir. yazılabilir. Bu ifadeler (6) denkleminde yerine yazılıp düzenlenirse şekil değiştirme enerjisi ifadesi Eleman içindeki yer değiştirmeler yaklaşık olarak, 1 T {q} [S ]s {q}s 2 s şeklini alır. [d ] = [N ]{q}s (1) Dönmeden dolayı oluşan gerilmeler: (2) Sabit hızla dönen ve kalınlığı h=t/rb bağıntısına göre değişen diskte radyal ve teğetsel yönde meydana gelen gerilmeler Wang [5] u 8 0 v = ∑ 0 w i =1 N i (ξ , η ) ωi − zN i (ξ , η ) φ ψi 0 i zN i (ξ , η ) (U G ) s = 0 0 0 σ rr = (C1 / t )r n +b −1 + (C 2 / t )r m +b −1 Sektor elemanın potansiyel enerjisi, Us = 1 2 (3) − (3 + υ )ρφ 2 r 2 /[8 − (3 + υ )b] birim şekil değiştirme σ θθ = (C1 / t )r n +b −1 + (C 2 / t )r m + b −1 [ ]T [D][ε ]dv ∫v ε şeklindedir. Burada matrisi ve [ε ] 1 2 [ = 1 2 {q}Ts [K ]s {q}s (5) σ rr , σ rθ ve σ θθ düzlem içi gerilmeleri altında şekil değiştirme enerjisi (U G ) s = ∂d 2 ∫v σ rr 2 ∂r 1 + 2σ rθ ∂d 1 ∂d ∂r r ∂θ 1 + σ θθ r ∂θ ∂d ] 1/ 2 burada m, n = −(b / 2 ) ± (b / 2 )2 + (1 + υb ) ve t=hirib dir. C1 ve C2 sınır şartlarına bağlı sabitlerdir. Genelde iç ve dış yarıçaplarında uygulanan basınç altındaki diskte sınır koşulları (şek. 3) (4) {q}Ts ∫v [B ]T [D ][B ]dv{q}s (9) − (1 + 3υ )ρφ 2 r 2 /[8 − (3 + υ )b] [D] malzeme matrisidir. [ε ] = [B]{q}s Us = (8) σ rr = − Pi σ rr = − Po (r = ri de) (r = ro da) şeklindedir. 2 dv (6) Diskte dönmeden dolayı oluşan ek şekil değiştirme enerjisi (U G ) s = 78 1 2 2 ∂d 2 1 ∂d σ σ + rr dv θθ v r r θ ∂ ∂ ∫ (10) Değişken Kalınlıklı Üzeri Delikli Dönen Disklerin Statik Stabilite Analizi yarıçapına oranı rd/ri=0,8 alınmıştır. Şekil 8 de değiken kalınlığa sahip diskte delik boyutunun ve disk hızının değişimleri(13) incelenmiş ve disk hızının diskin kritik burkulma yükü parametresine etkisi gösterilmiştir. Bu grafikte ri/ro=0,1, çevrede 6 delik ve deliğin disk merkezinden uzaklığı ru1=(ri+ro)/2 olarak alınmıştır. denklemiyle verilir. (10) denklemi düzenlenirse (U a )s = 1 {q}Ts [K a ]s {q}s (11) 2 şeklinde yazılır. Dalga yayılım tekniği kullanılarak tüm disk için [K] ve [S] matrisleri hesaplanabilir. [[K ] − Pkr [S ]]{q} = 0 2.15 2.1 özdeğer problemi çözülerek durağan disk için Pkr kritik burkulma yükleri, Κ [[K + K a ] − Pkr [S ]]{q} = 0 çev. 8 delik 1.9 0.4 Pkr 0.6 0.8 1 1.2 rd/ri Şekil 5. Sabit kalınlıklı diskte delik çapının ve çevredeki delik sayısının diskin kritik burkulma yükü parametresine etkisi 3. SAYISAL SONUÇLAR Yapılan çalışmada diskin kendini tekrar eden 60o ve 45o dilimi kullanılmış, disk kalınlığı b katsayısına bağlı olarak değiştirilmiş ve iç kenarı ankastre, dış kenarı serbest olarak alınmıştır. Şekil 4 de diskin sabit kalınlıkta ve deliksiz olması durumunda elde edilen boyutsuz kritik burkulma yükü değerleri ile Yardımoğlu’nun sonuçları karşılaştırmalı olarak verilmiştir. Disk üzerinde radyal ve çevresel yöndeki delik sayısının ve delik çapının, diskin kritik burkulma yükü üzerindeki etkileri incelenerek grafiklerle gösterilmiştir. Κ çev. 6 delik 2 1.95 özdeğer problemi çözülerek dönen disk için kritik burkulma yükleri elde edilir. 16 14 12 10 8 6 4 2 0 2.05 2.5 çev.6, rad.1 delik 2 çev.6, rad.2 delik Κ 1.5 çev.8, rad.1 delik 1 çev.8, rad.2 delik 0.5 0 0.1 0.2 b ref.10 çalışma 0 Şekil 6. Değiken kalınlıklı diskte radyal yönde ve çevredeki delik sayısının kritik burkulma yükü parametresine etkisi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 ri/ro Şekil 4. Sabit kalınlıklı diskin ri/ro oranına göre kritik burkulma yükü parametresinin ref.10 ile karşılaştırması 2.5 2 Şekil 5 de sabit kalınlıklı diskte farklı delik boyutları için çevredeki delik sayısının diskin kritik burkulma yükü parametresine etkisi gösterilmiştir. Bu grafikte ri/ro=0,1 ve deliğin disk merkezinden uzaklığı ru1=(ri+ro)/2 olarak alınmıştır. Şekil 6 da değiken kalınlığa sahip diskte radyal yöndeki ve çevresel yöndeki delik sayısının diskin kritik burkulma yükü parametresine etkileri gösterilmiştir. Bu grafikte ri/ro=0,1 ve 1. ve 2. deliğin disk merkezinden uzaklıkları ru1=(2ri+ro)/3 ) ve ru1=(ri+2ro)/3 olarak alınmıştır. Şekil 7 de değişken kalınlığa sahip diskte deliğin disk merkezinden uzaklığının diskin kritik burkulma yükü parametresine etkisi gösterilmiştir. Bu şekilde ri/ro=0,1 ve delik yarıçapının diskin iç b=0 1.5 Κ b=0,1 b=0,2 1 0.5 0 0 5 10 ru1/ri Şekil 7. Değiken kalınlıklı diskte deliğin disk merkezinden uzaklığının diskin kritik burkulma yükü parametresine etkisi 79 Baltacı ve Sabuncu 7. Luo, Y. F. and Teng, J. G., “Stability Analysis of Shells of Revalution on Nonlinear Elastic Foundations”, Computers & Structures, 69, 1998, pp. 499-511. 8. Maretic, R., “Vibration and Stability of Rotating Plates with Elastic Edge Supports”, Journal of Sound and Vibration, 210(2), 1998, pp. 291-294. 9. Mote, C. D., “Stability Control Analysis of Rotating Plates by Finite Element: Emphasis on Slot and Holes”, Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, March 1972, pp. 64-70. 2.75 b=0, rd/ri=0,6 2.25 b=0,1 , rd/ri=0,6 b=0,2 , rd/ri=0,6 b=0, rd/ri=0,8 Κ 1.75 b=0,1 , rd/ri=0,8 b=0,2 , rd/ri=0,8 b=0, rd/ri=1 1.25 b=0,1 , rd/ri=1 b=0,2 , rd/ri=1 0.75 0 2000 4000 6000 8000 N (dev/dk) Şekil 8. Değiken kalınlıklı diskte delik çaplarının ve disk hızının diskin kritik burkulma yükü parametresine etkisi 10. Yardımoğlu, B., Effects of Root Flexibility and Centrifugal Force Field on The Stability of Disc Systems, Doktora Tezi, Dokuz Eylül Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 1992. 4. SONUÇ Şekil 4 ve 5 te görüldüğü üzere ri/ro oranı artınca kritik yük artmakta, disk üzerindeki delik çapları arttıkça disk daha esnek hale geldiğinden kritik yük azalmaktadır. Disk üzerindeki deliğin disk merkezinden uzaklığı arttıkça kritik yük artmaktadır (şekil 7), ayrıca diskin radyal ve çevresel yönündeki delik sayıları artınca kritik yük azalmaktadır (şekil 6). Disk hızı kritik yükü arttırmaktadır. 5. KAYNAKLAR 1. Rao, G. V. and Raju K., “A Reinvestigation of Post-buckling Behaviour of Elastic Circular Plates Using a Simple Finite Element Formulation”, Computers and Structures, 17(2), 1983, pp. 233-235. 2. Mermertaş, V. and Belek, H. T., “Stability of variable thick orthotropic annular plates”, International Journal of Mechanical Sciences, 36(8),1994, pp. 737-749. 3. Gupta, U.S. and Ansari, A.H., “Asymmetric Vibrations and Elastic Stability of Polar Orthotropic Circular Plates of Linearly Varying Profile”, J. of Sound and Vibration, Vol. 215(2), 1998, pp. 231-250. 4. Yardimoglu, B. and Sabuncu, M., “Dynamic Stability of Discs with Variable Thicknesses and Restrained Elastically at The Inner Edge”, ASME, 64-8.1,1994. 5. Wang, C. T., Applied Elasticity, McGraw-Hill, 1953 6. Mermertaş, V. ve Belek, H. T., “Değişken Kalınlıklı Halka Plakların Serbest Titreşimleri ve Statik Stabilitesi”, 3. Ulusal Makina Teorisi Sempozyumu, 1988, 50-68. 80 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 EKSANTRİK MİLLERİNİN DİNAMİK KARARLILIĞI Gökhan BULUT İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, 80191 Gümüşsuyu, İSTANBUL bulutgo@itu.edu.tr Özgür TURHAN İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, 80191 Gümüşsuyu, İSTANBUL turhanoz@itu.edu.tr ÖZET Bu çalışmada eksantrik millerinin burulma titreşimlerinin dinamik kararlılığı incelenmektedir. Bu amaçla üzerine bir dizi eksantrik mekanizması bağlı bir mil ele alınmakta, mekanizmalar arasındaki mil kısımları kütlesiz birer burulma yayı olarak modellenmekte ve sistemin dinamik davranışlarının bir Mathieu-Hill denklemleri takımınca yönetildiği gösterilmektedir. İki adet eksantrik mekanizması taşıyan bir mil örneği için bu denklemlerin kararlılığı Genelleştirilmiş Bolotin Yöntemi yardımıyla incelenip uygun bir parametre düzleminde kararlılık kartları verilmektedir. Anahtar Kelimeler: Eksantrik mili, burulma titreşimleri, Mathieu-Hill denklemleri, dinamik kararlılık, genelleştirilmiş Bolotin yöntemi. ABSTRACT Dynamic stability of the torsional vibrations of a camshaft is considered. Shaft portions between the cam mechanisms are modelled as massless torsional springs and the governing equations of motion are derived for a shaft carrying an arbitrary number of cam mechanisms. These equations are shown to consist of a set of Mathieu-Hill equations. Stability analysis is carried out via the generalised Bolotin method for an example shaft carrying two cam mechanisms and the results are presented in the form of stability charts constructed on a suitable parameter plane. Keywords: Camshafts, torsional vibrations, Mathieu-Hill equations, dynamic stability, generalised Bolotin method. 1. GİRİŞ Uygulamalı mekaniğin farklı alanlarında karşılaşılan bir çok sistemin dinamik davranışı, matematiksel model olarak, peryodik katsayılı, lineer, adi diferansiyel denklemlerle (Mathieu-Hill denklemleri) temsil edilir. Bu sistemler parametre tahrikli sistemler adıyla anılırlar. Parametre tahrikli bir sistem, sıradan titreşim sistemlerinde karşılığı bulunmayan bir dizi rezonans koşuluna sahiptir ve bu koşulların belirlenmesi problemi dinamik kararlılık analizi adını alır. Kararlılık analizinin sonuçları, genellikle ve tercihan, seçilmiş iki sistem parametresinin oluşturduğu bir parametre düzleminde kararlı ve kararsız parametre bölgelerinin gösterildiği kararlılık kartları (Strutt diyagramları) şeklinde verilir. Bu kartlardaki kararsız bölgeler sistemin rezonans koşullarına karşılık gelir ve sistemi bu bölgelere isabet eden parametre kombinasyonlarında çalıştırmaktan kaçınmak gerekir. Söz konusu rezonanslar, (harmonik ve harmonik altı) parametrik rezonanslar ve bileşik rezonanslar (kombinasyon rezonansları) şeklinde iki sınıf altında toplanır. Mathieu-Hill denklemlerinin kuramı olan Floquet Kuramı, parametrik rezonans koşullarına ilişkin net sonuçlar vermekle birlikte bileşik rezonans koşulları için bir bilgi içermediği için, kararlılık analizinde bileşik rezonans koşullarının belirlenmesi parametrik rezonans koşullarının belirlenmesine oranla daha zor bir problem oluşturur. Yalnız parametrik rezonans koşullarının belirlendiği bir kararlılık analizi parametrik kararlılık analizi, (parametrik ve bileşik) tüm rezonans koşullarının belirlendiği bir kararlılık analizi ise tam kararlılık analizi diye adlandırılır. Konumun peryodik bir fonksiyonu olarak değişen eylemsizliğe sahip mekanizmalara bağlı millerin, burulma titreşimleri bakımından, parametre tahrikli sistemler oluşturdukları bilinmektedir. Bu konuya ilişkin ilk kapsamlı çalışmayı Zur Capellen [1] yapmıştır. Zur Capellen, giriş ve çıkış milleri burulma esnekliğine sahip bir üç çubuk Bulut ve Turhan mekanizmasını ele almış, mil kısımlarını bir uçlarında eylemsizlik çarkları taşıyan kütlesiz burulma yayları olarak modellemiş, mekanizmanın hareket denklemini lineerleştirmiş ve sistemin parametre tahrikli bir sistem olduğunu göstermiştir. Bu çalışmada sistem için, analog bilgisayar hesabına dayalı bir kararlılık kartı da verilmiştir. Daha sonra Pasricha ve Carnegie [2,3] içten yanmalı motorlarda krank milinin dinamik kararlılığı problemini ele almış, çok silindirli motorlar için lineerleştirilmiş hareket denklemlerini formüle etmiş ve tek silindirli motor özel hali için bir parametrik kararlılık kartı vermiştir. Zadoks ve Midha [4,5] ve Kostyra ve Weyh [6,7] yine içten yanmalı motorlarda krank milinin burulma titreşimlerinin kararlılığı problemini ele almış, birinciler tek silindirli motor, ikinciler ise (6 silindirliye kadar) çok silindirli motor için, kendi geliştirdikleri yöntemlerle tam kararlılık analizi gerçekleştirmişlerdir. Bütün bu çalışmalarda kullanılan matematik modeller esas olarak Zur Capellen'inkiyle aynıdır. 2. HAREKET DENKLEMLERİ Şekil 1-a'daki, üzerinde birbiriyle özdeş n adet eksantrik mekanizması taşıyan eksantrik mili göz önüne alınsın, milin eylemsizliği göz ardı edilsin ve kısımları ki burulma yayı - ci viskoz sönüm elemanı ikilileri ile modellensin. Milin bir ucunda yeterince büyük I0 eylemsizlik momentine sahip bir eylemsizlik çarkı bulunduğu, dolayısıyla bu ucun sabit 0 hızıyla döndüğü varsayılsın. Eksantrik mekanizmalarının (şekil 1-b) e kadar kaçık bağlanmış, I eylemsizlik momentine sahip r yarıçaplı birer dairesel disk ile onlardan hareket alan tablalı birer izleyiciye sahip olduğu, mekanizmaların geri kalan kısımlarının ise izleyici düzeyine indirgenmiş olarak bir meş eşdeğer kütlesi ve bir keş eşdeğer yayı ile temsil edildiği düşünülsün. Bu kabuller altında mekanizmasının I(ϕ i )ϕ i + Bu çalışmada ise, üzerinde bir dizi eksantrik mekanizması bağlı, burulma esnekliğine sahip bir milin (eksantrik mili) dinamik kararlılığı problemi, yine Zur Capellen'inkine benzer bir model yardımıyla ele alınacaktır. Bu modelde, bir ucunda ağır bir eylemsizlik çarkı taşıdığı varsayılacak olan milin kütlesi göz ardı edilerek mil kısımları birer burulma yayı ve viskoz sönüm elemanı ile temsil edilecek, mile bağlı eksantrik mekanizmalarının lineer olmayan hareket denklemleri de nominal bir dönme hareketi civarında lineerleştirilerek hesaba katılacaktır. Kararlılık analizinde, bir parametrik kararlılık analizi yöntemi olan Bolotin Yönteminin [8] bir tam kararlılık analizi yöntemine genelleştirilmesi olan Genelleştirilmiş Bolotin Yöntemi [9] kullanılacak ve üzerinde iki eksantrik mekanizması taşıyan bir mil örneği için kararlılık kartları verilecektir. ilkin i inci 1 dI(ϕi ) 2 ϕ i = Q i (ϕ i ) 2 dϕ i (1) şeklindeki Eksergian Hareket Denklemi [10] yazılmak istensin. Bu amaçla i inci mekanizmanın genelleştirilmiş eylemsizliği ~ I(ϕ i ) = I[1 − α I (ϕ i )] ; I = I+ m eş e 2 2 α= , (2) m eş e 2 2I , ~ I (ϕi ) = cos 2ϕ i şeklinde, i. mekanizmaya etkiyen genelleştirilmiş kuvvet ise (ψi i. diskin yerleştirme ya da faz açısını, s ise keş yayının ön sıkışma miktarını göstermek üzere) x keş meş x keş meş z kn, cn I I0 ki+1, ci+1 y n keş meş I ki, ci Ω0 eksantrik ϕi y I r e i 0 Şekil 1 İncelenen Sistem: (a) Eksantrik Mili, (b) Eksantrik Mekanizması 82 Eksantrik Millerin Dinamik Kararlılığı M i (ϕ i ) = k eş e(s + r ) sin ϕ i + k eş e 2 2 sin 2ϕ i alınarak istenilen sayıda eksantrik taşıyan milin dinamik davranışları incelenebilir. (3) ve 3. KARARLILIK ANALİZİ Ti (ϕi ) = − k i [(ϕi − ψ i ) − (ϕi −1 − ψ i −1 )] Kararlılık analizinde, [9] da verilen Genelleştirilmiş Bolotin Yönteminden yararlanılacaktır. Yöntemi kısaca tanıtmak amacıyla dinamik davranışı, C(t) ve K(t) T peryodlu nxn matrisler olmak üzere − k i +1[(ϕi − ψ i ) − (ϕi +1 − ψ i +1 )] (4) −ci (ϕi − ϕi −1 ) − ci +1 (ϕi − ϕi +1 ) x + C( t )x + K ( t )x = 0 ile Qi(ϕi)= Mi(ϕi)+ Ti(ϕi) (5) ile temsil edilen kanonik olmayan n serbestlik dereceli bir sistem ele alınsın. Burada, peryodu T den 2π’ye dönüştüren τ= t; =2π/T değişken dönüşümü yapılıp (9) yerine şeklinde elde edildikten sonra ϕi θi ψi ϕ0, θ0, : i. diskin dönme açısı, : i. diskin burulma açısı; (θ0=0), : i. disk yerleştirme (faz) açısı; (ψ0=0) ψ0 : Eylemsizlik çarkına ait açılar, 1 C( t )x + 1 K ( t ) x = 0 x+ Ω 2 Ω ϕi = Ω 0 t + ψ i + θi dikkate (6) alınarak (1) C(τ) = K (τ) = ∑ Cpeipτ , (11) m ∑ K peipτ p = −m (12) şeklindeki kompleks Fourier serisi açınımları ve sistemin Floquet Kuramına göre (Dk, nx1’lik bir kompleks Fourier katsayıları vektörü olmak üzere) K. terimde kesilmiş haliyle − θi +1) + ci (θi − θi −1) + ci +1(θi − θi +1) = 0 (7) elde edilir. Lineer olmayan bu denklemin, küçük θi , θi , θi burulma titreşimleri kabulüyle, argümanlarının McLaurin Serisi’ne açılıp yalnız ilk terimler alıkonularak lineerleştirilmesi ve τ=Ω0t (=ϕ0) değişken dönüşümünün devreye sokulmasıyla da i inci eksantrik mekanizmasının lineerleştirilmiş hareket denklemi olarak x(τ) = eρτ K ∑ Dk eikτ k =−K (13) şeklinde olacağı bilinen çözümü yerlerine yazılır ve e nin farklı kuvvetli terimleri birbirinden ayrılırsa bilinmeyen Dk’lar için I(τ + ψ i )Ω 02 θ′i′ + [I ′(τ + ψ i )Ω 0 + c i + c i+1 ]Ω 0 θ′i 1 + [ I ′′(τ + ψ i )Ω 02 − M ′i (τ + ψ i ) + k i + k i +1 ]θ i 2 −c i Ω 0 θ′i−1 − c i+1Ω 0 θ′i+1 − k i θ i−1 − k i+1θ i+1 1 I ′(τ + ψ i )Ω 02 2 , m p = −m denklemine 1 I(Ω 0 t + ψ i + θ i )θ i + I ′(Ω 0 t + ψ i + θ i )(Ω 0 + θ i ) 2 2 − M i (Ω0 t + ψ i + θi ) + k i (θi − θi −1 ) + k i +1 (θi = M i (τ + ψ i ) − (10) yazıldıktan sonra C(τ) ve K(τ)’nun m. harmoniğe kadar içeren tanımları altında yazılan eşitliği de dönülürse (9) Ω 2 (ρ + ik ) 2 D k + m ∑ [Ω(ρ + iq))C p + K p ]D q = 0 p=− m k=-K,...,-2,-1,0,1,2,....K , q=k-p i=1,2,...n (8) (14) lineer cebirsel denklem takımına gelinir. Bu takım Ω≠0 ile hiper-vektör matris formunda yazılarak ifadesine gelinir. Burada üsler τ’ya göre türevleri göstermektedir. [ρ 2 I + ρ[E 0 + 1 / ΩE1 ] + [F0 + 1 / ΩF1 + 1 / Ω 2 F2 ]]D = 0 (15) şekline getirilebilir. Burada Elemanları τ nun 2π peryodik fonksiyonları olduğu için birer Mathieu-Hill denklemi olan bu denklemlerden istenildiği kadarı bağlaşık olarak ele D = {...D T− 2 , D T−1 , D T0 , D1T , D T2 ,...}T , η1=n(2K+1) boyutlu bir sütun matris, I aynı boyutlu birim 83 Bulut ve Turhan matris, Ei, Fi’ler ise nxn boyutlu birer matris olan elemanları k,q E0 k,q F0 = 2ikIδ kq , k,q E1 = −k 2 Iδ kq , F1 k,q olacağının anımsanması yeterlidir [9]. Buna göre, (21) den ρ=0 ın (20) de yerine konulmasıyla harmonik rezonans bölgesi sınırları için = Cp k,q = iqC p , F2 = Kp det [F0 + 1 / ΩF1 + 1 / Ω 2 F2 ] = 0 (16) şeklinde tanımlı 1x 1 boyutlu hiper-matrislerdir. Burada δkq Kronecker deltası, i2=−1, p=k-q, k ve q üst indisleri ise ilgili hiper-matrisin , sırasıyla, hiper-satır ve hiper-sütün indisleridir. (15) denkleminin trivial olmayan çözümlere sahip olabilmesi için, ρ için ikinci dereceden bir matris polinomu olan katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalıdır. ρ’ya göre lineerleştirmeyle bu koşul 0 U0 = - F0 I , - E 0 0 U2 = - F2 0 0 0 U1 = - F1 (22) den ρ=i/2 nin (20) de yerine konulması ile de harmonik altı rezonans bölgesi sınırları için det[[F0 + 1 / 2iE 0 − 1 / 4I] + 1 / Ω[F1 + 1 / 2iE1 ] + 1 / Ω 2 F2 ] = 0 0 , - E1 det[B(U 0 ) + 1 / ΩB(U1 ) + 1 / Ω 2 B(U 2 )] = 0 (17) det[[U 0 + 1 / ΩU1 + 1 / Ω 2 U 2 ] − ρI ] = 0 (18) 1 M + 1 M =0 det M o + Ω 1 2 Ω2 R = U 0 + 1 / ΩU1 + 1 / Ω 2 U 2 (19) det H = 0 ; H = [ R − ρI ] − M −1M o 1 det I (20) şeklinde yazılabilir. Buradaki 2 1x2 1 boyutlu H matrisi problemin Hill matrisi olarak bilinir. rezonans − M o−1M 2 − ΩI = 0 0 bölgesi (22) 1 δ2 M2 , M1 = M1 + 21δ M 2 , M2 = M 2 bileşik rezonans bölgesi sınırlarında ise ; (28) 1 M o = M o + 1δ M1 + =i/2, ile çarpılıp tekil olması halinde ise önce δ ilgili matris polinomunun bir özdeğeri olmamak kaydıyla (27) 1 = 1 +1 Ω Ω δ yazılması ve (28) denkleminde denkleminin (21) parametrik 2 şeklinde lineerleştirilmesi ve bu özdeğer analizi Mo probleminin için çözülmesi yeterlidir. 'ın (20) denklemi, bir eksenine nın yerleştirildiği bir parametre düzleminde kararsız bölgelerin (rezonans bölgeleri) sınırlarının belirlenmesinde kullanılabilir. Bu amaçla, harmonik parametrik rezonans bölgesi sınırlarında =0, (27) şeklinde olan bu denklemlerin Mo 'ın tekil olmaması kaydıyla tanımı ile harmonik altı sınırlarında (26) yazılabilir (Verilmiş bir matrisin karşılıklı toplam matrisinin elde edilişi için Bkz. [9] ya da [11]). (24-26) denklemlerinden rezonans bölgesi sınırlarındaki değerleri hesaplanabilir. Bunun için her üçü de şeklinde, ya da t=0 (25) elde edilir. Bileşik rezonans bölgesi sınırları için ise B(Ui) matrisi Ui nin özdeğerlerinin ikişerli toplamlarını özdeğer kabul eden ve Ui nin kendisi ile karşılıklı (bialternate) toplamı adını alan 2 1(2 1-1) boyutlu bir matris olmak üzere ile s+ (24) s≠t değerleriyle (23) Ω= 84 δΩ δ+ Ω Ω için çözülüp (29) 'nın buradan şeklinde hesaplanması mümkündür. Eksantrik Millerin Dinamik Kararlılığı 4. ÖRNEK PROBLEM Örnek olarak yalnızca 2 eksantrik taşıyan bir mil ele alınsın ve iki eksantrik arasında 180o faz açısı rad olduğu bulunacak şekilde ψ1=0, ψ2=π varsayılsın. Bu değerlerin, Ω= Ω0 k2 / I ζ= , (10) ile (32) denklemlerinin karşılaştırılmasıyla, kararlılık analizi için (16) yerine şimdi c2 2 k 2I , σ= c1 c2 κ= , k2 γ= k2 M M= k2 , (31) 1 1 Q(τ)]θ′ + [R (τ) + S(τ)]θ = 0 Ω Ω2 = ikQ p (37) (38) ~ I ′(τ + π) ~ 1 − α I (τ + π) , şeklinde hesaplanabileceğini belirtelim. Bilindiği gibi -sönümsüz halde- rezonans bölgelerinin ekseninden çıkış noktaları bu değerlere bağlı olarak belirlenebilmekte ve harmonik parametrik rezonans bölgelerinin 0 1+ ρ 1 − α~I (τ) Q(τ) = 2ζ 1 − 1 − α~I (τ + π) k,q Ω1,2 = ω1,2 / k 2 / I = κ / 2 + 1 ∓ ( κ / 2) 2 + κ (32) problemine gelinir. Burada, P, Q, R, S matrisleri, ~I ′(τ) ~ 1 − α I (τ) P(τ) = −α 0 = −k 2 Iδ kq + ikPp + R p , F1 Örnek olarak ele alınan eksantrik mili için kararlılık analizi, bu amaçla özel olarak geliştirilen bir FORTRAN programı yardımıyla gerçekleştirilerek Ω-α parametre düzleminde, diğer sistem parametrelerinin farklı değerlerine karşılık gelen kararlılık kartları elde edilmiştir. Ancak bunları sunmaya geçmeden önce 2 serbestlik dereceli olan örnek sistemin stasyoner haldeki boyutsuz doğal frekanslarının, kolayca tanımlarının (8) denkleminde yerlerine konulması ve (kararlılık analizinde bu yeterli olduğu için) denklemlerin yalnız homojen kısımlarının dikkate alınmasıyla matris formunda θ′′ + [P(τ) + k,q = Qp tanımları geçerli olmak kaydıyla Bölüm 3’te verilen sonuçların aynen geçerli olacağı gösterilebilir [12]. k eş e 2 , k,q E1 F2k,q = S p ; p = k-q k1 k2 boyutsuz parametrelerinin ve β= = 2ikIδ kq + Pp , F0 (30) k eş e(s + r ) k,q E0 1 ~ 1 − α I (τ) 1 ~ 1 − α I (τ + π) (33) = 1,2/k ; k=1,2,....K (39) noktalarından, harmonik altı rezonans bölgelerinin − =2 , =( ~ I ′′(τ + π) ~ 1 − α I (τ + π) , (35) 1 + κ − M ′(τ) ~ 1 − α I (τ) S(τ) = 1 ~ − 1 − α I ( τ + π) 1 ~ 1 − α I (τ) 1 − M ′(τ + π) ~ 1 − α I ( τ + π) (36) ; k=1,2,....K (40) noktalarından, bileşik rezonans bölgelerinin ise (34) ~I ′′(τ) ~ 1 1 − α I (τ) R(τ) = − α 2 0 1,2/(2k-1) 1± 2)/k ;k=1,2,....K (41) noktalarından çıkacağı bilinmektedir. Aşağıda verilecek kararlılık kartlarının bu beklentilere uyduğu görülecektir. 0 Hesap sonuçlarını sunmaya geçmeden önce şunu da belirtelim ki yapılan ön incelemelerde, güvenli bir yakınsama için, (11,12) denklemlerindeki Fourier serisi açınımlarında m=8, (13) denklemindeki açınımda ise K=10 alınması gerektiği anlaşıldığından tüm hesaplarda bu değerler benimsenmiştir. − şeklindedir. 85 Bulut ve Turhan α (a) Ω α (b) Ω Şekil 2 Örnek Eksantrik Milinin Kararlılığına α Parametresinin Etkisi (β=0.002, γ=0.001, σ=1, κ=1, ζ=0.0001) denklemindeki seçeneklerden yalnızca artı işaretli hal için bulunan Ω=2,236; 1,118; 0,745; 0,559 noktaları civarından çıkan bileşik rezonans bölgeleri görülmektedir. Buna göre bu sistemde “eksi tipi” bileşik rezonans bulunmadığı anlaşılmaktadır. Şekil 2 ve 3 te, farklı ölçekli ikişer kart halinde, κ=1, σ=1, ζ=0.0001 parametre değerlerine sahip eksantrik mili için Ω-α parametre düzleminde Ω0 Ω= k2 / I şeklinde kararlılık kartları verilmiştir. tanımlı , eksantrik milinin hızını temsil ederken α= Verilen şekillerden Şekil 2a ve b, β=0.002, γ=0.001 parametre değerlerine, Şekil 3a ve b ise β=0.1, γ=0.05 parametre değerlerine karşılık gelmektedir. Her iki şekilde de harmonik parametrik rezonans bölgelerinin baskın olduğu, harmonik altı parametrik ve bileşik rezonans bölgelerinin ise dar bölgeler şeklinde kaldığı görülmektedir. Bu bölgeler, değişken parametre etkisinin daha güçlü olmasına yol açan büyük β, ve γ değerlerine karşılık gelen Şekil 3a ve b de, Şekil 2a ve b dekine göre daha belirgin hale gelmektedir. m eş e 2 2I şeklinde tanımlı α, mekanizmanın genelleştirilmiş eylemsizliğindeki değişken kısmın bir ölçüsüdür. Sistem, (36) da tanımlı S matrisinin incelenmesiyle görülebileceği gibi, değişken eylemsizlik yanında değişken elastikliğe de sahip olduğundan, parametrik tahrikin şiddeti α nın yanısıra elastikteki değişken kısmın ölçüsü olan β ve γ parametrelerine de bağlıdır. Bu nedenle α=0 oluşu parametrik tahrikin yok olduğu anlamına gelmemekte ve bu husus kararlılık kartlarına yansımaktadır. Verilen kartlardaki taralı alanlardan koyu renk çizgilerle çevrelenmiş olanlar harmonik, açık renk çizgilerle çevrelenmiş olanlar harmonik altı, kesikli çizgilerle çevrelenmiş olanlar ise bileşik rezonans bölgelerini göstermektedir. κ=1 alınan bu örnekte boyutsuz doğal frekanslar (38) denklemine olduğuna göre göre Ω1=0.618 ve Ω2=1.618 harmonik rezonans bölgelerinin (39) denklemi uyarınca, Ω=1,618; 0,809; 0,618; 0,539; 0,404; 0,323; 0,309; 0,206; 0,154; 0,123 noktaları, harmonik altı rezonans bölgelerinin ise (40) denklemi uyarınca, Ω=3,236; 1,236; 1,078; 0,647; 0,412; 0,359; 0,247; 0,137 noktaları civarından çıkması beklenmektedir. Şekillere şöyle bir göz atılırsa sonuçların bu beklentilere uyduğu görülür. Bileşik rezonans bölgelerine gelince, şekillerde, (41) Burada ele alınan sınırlı ve soyut örnek, eksantrik millerinin dinamik kararlılığı hakkında ayrıntılı genellemeler çıkartılmasına olanak vermemekle birlikte, değişken eylemsizliğe sahip mekanizmaları döndüren burulma elastikliğine sahip miller hakkındaki diğer çalışmalarca da doğrulanan şu ana hususlar not edilebilir: i) Bu sistemler parametre tahrikli sistemler oluştururlar ve bu yüzden yalnız burulma titreşimlerinin doğal frekanslarına karşılık gelen hızlarda değil, onların 2/k; k=1,2,3, ... katları civarında da rezonans tehlikesiyle karşılaşabilirler, ii) Bu sistemlerde, her pratik sistemde karşılaşılmadığı bilinen bileşik rezonanslar da etkili olmaktadır. (Ele alınan örnekte yalnız artı tipi.) Bu nedenle (41) denkleminde tanımlı hızlar civarı da tehlikeli olabilir. 86 Eksantrik Millerin Dinamik Kararlılığı α (a) Ω α (b) Ω Şekil 3 Örnek Eksantrik Milinin Kararlılığına α Parametresinin Etkisi (β=0.1, γ=0.05, σ=1, κ=1, ζ=0.0001) 5. SONUÇ System: Part I-Equations of Motion and Stability, ASME J. Mech., Trans. and Autom. in Design, 109, 210-215. 5. Zadoks, R.I., Midha A., 1987, Parametric Stability of a Two-Degree-of-Freedom Machine System: Part II-Stability Analysis, ASME J. Mech., Trans. and Autom. in Design, 109, 216223. 6. Weyh, B., Kostyra, H., 1991, Direct Floquet Method for Stability Limits Determination-I: Theory, Mech. Mach. Theory, 26, 123-131. 7. Kostyra, H., Weyh, B., 1991, Direct Floquet Method for Stability Limits Determination-II: Application and Phenomena, Mech. Mach. Theory, 26, 133-144. 8. Bolotin, V.V., 1964, The Dynamic Stability of Elastic Systems, Holden-Day Inc., California. 9. Turhan, Ö., 1998, A Generalized Bolotin’s Method for Stability Limit Determination of Parametrically Excited Systems, Journal of Sound and Vibration, 216, 851-863. 10. Paul, B., 1979, Kinematics and Dynamics of Planar Machinery, Prentice-Hall, New Jersey. 11. Fuller, A. T., 1968, Conditions for a Matrix to Have Only Characteristic Roots with Negative Real Parts, Journal of Mathematical Analysis and Applications 23, 71-98. 12. Bulut, G., Elastik Uzuvlu Makinaların Dinamik Kararlılığı, Y. Lisans Tezi, İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2002. Bu çalışmada eksantrik millerinin burulma titreşimlerinin kararlılık analizi problemi formüle edilmiş ve iki eksantrik mekanizması taşıyan bir örnek milin kararlılık analizi, Genelleştirilmiş Bolotin Yöntemi yardımıyla gerçekleştirilerek sonuçlar kararlılık kartları şeklinde verilmiştir. Eksantrik millerinde, parametrik rezonanslar yanında bileşik rezonansların da söz konusu olacağı görülmüştür. Bu miller günümüzde aşırı rijid tasarlanıp görece düşük hızlarda çalıştırıldığından, kuramsal olarak öngörülen bu rezonans sorunları uygulamada yaşanmamaktadır. Ancak, daha hızlı ve daha hafif makinalar yapma eğiliminin, burada sergilenen türden kararlılık incelemelerini, çok uzak olmayan bir gelecekte tasarım hesaplarının vaz geçilmez bir unsuru haline getireceği öngörülebilir. KAYNAKLAR 1. Zur Cappellen, W.M., 1967, Torsional Vibration in the Shafts of Linkage Mechanisms, ASME J. of Engineering for Industry, 126-136. 2. Pasricha, M. S., Carnegie, W. D., 1976, Effects of Variable Inertia on the Damped Torsional Vibrations of Diesel Engine Systems, Journal of Sound and Vibration 46(3), 339-345. 3. Pasricha, M. S., Carnegie, W. D., 1979, Effects Formulation of the Equations of Dynamic Motion Including the Effects of Variable Inertia on the Torsional Vibrations in Reciprocating Engine, Journal of Sound and Vibration 66(2), 181-186. 4. Zadoks, R.I., Midha A., 1987, Parametric Stability of a Two-Degree-of-Freedom Machine 87 11.ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 DERECESİ İNDİRGENMİŞ MİNİMAL CONTROLLER SYNTHESİS (MCS) KONTROLÜN PLASTİK BÖLGESİNDEKİ KARARLILIĞI Semiha BULUT Cumhuritey Üniversitesi, Makine Mühendisliği Bölümü, 58140, SİVAS sbulut@cumhuriyet.edu.tr ÖZET Bu bildiride derecesi indirgenmiş minimal controller synthesis (ROMCS) kontrol yönteminin karalılığı karşılaştırmalı testler ile analiz edildi. ROMCS ve P+I (Proportional plus Integral) kontrol yöntemlerinin her ikisi de kesit çapı 10 mm olan alüminyum alaşımlı numuneler kullanılarak sisteme dizayn edildi. Testlerde kullanılan diğer üç numunede aynı test koşulları altında test edildi. Böylece, bu test koşullarının doğal sonucu olarak modellenmemiş dinamik değerler ve gürültü sistem dinamiğine dahil oldu. Anahtar Kelimeler: derecesi indirgenmiş minimal controller synthesis (ROMCS) kontrol, yük kontrolü, plastik bölgede karşılaştırmalı kararlılık testleri, modellenmemiş dinamik, modelin derecesini indirgeme THE ROBUSTNESS OF REDUCED ORDER MINIMAL CONTROLLER SYNTHESIS CONTROL IN THE PLASTIC REGION ABSTRACT In this paper, the stability of the reduced order minimal controller synthesis (ROMCS) algorithm is investigated by comparative robustness tests. Both, ROMCS kontrol and proportional plus integral (P+I) controller are implemented in the case of aluminium alloy specimens of 10 mm diameter. Three other different specimens are controlled under the same controller implementations. Hence, the unmodelled dynamics and disturbances are introduced as a natural consequence of these test conditions. Keywords: reduced order minimal controller synthesis (ROMCS) control, materials testing, load control, comparative robustness tests in the plastic region, unmodelled dynamics, model order reduction 1. GİRİŞ Minimal Controller Synthesis) kontrol yönteminin sistemin dinamik değişkenlerindeki büyük değişimler ve modellenmemiş dinamik parametreler karşısındaki kararlılığı karşılaştırmalı testler ile ispat edilecektir. Karşılaştırma için lineer bir kontrol yöntemi olan Proportional plus Integral (P+I) kontrol yöntemi de sisteme dizayn edilecektir. ROMCS kontrol yönteminin ESH malzeme test makinesine dizaynı ve sistem hakkında geniş bilgi [4] de verilmiştir. ESH malzeme test makinesi Bristol Üniversitesi, Makine Mühendisliği Bölümü, Malzeme Laboratuvarında geliştirilmiştir; sistem iki taraflı bir hidrolik itici, bir servo valf, bir hidrolik pompa, bir strain gauge ve test numunesi ile giriş sinyali ve bunun sonucunda elde edilen çıkış sinyalinden oluşmaktadır. Minimal Controller Synthesis (MCS) kontrol yöntemi, Model Reference Adaptive Control (MRAC) yönteminin bir formudur. Bu metod, Stoten ve Benchoubane [1] tarafından geliştirilmiştir. MCS kontrol yöntemi dizayn için sistemin dinamik değerlerine ihtiyaç duymaz. Bu sebeple sisteme uygulanması oldukça kolaydır ve sistemin kararlı bir şekilde çalışmasını sağlayacak kapasitededir. Algoritma pek çok elektro-mekanik sisteme uygulanmış ve başarılı sonuçlar üretmiştir. Bu algoritmanın servo hidrolik malzeme test makinesindeki ilk uygulaması [2] de verilmiştir, [3] de ise algoritma bir elektro hidrolik iticinin pozisyon kontrolünde kullanılmıştır. Matematiksel olarak modellenmemiş kısımlar ve sistemin dinamik değişkenlerindeki büyük değişimler farklı malzeme ve kesit alanındaki Bu bildiride derecesi indirgenmiş MCS kontrol yöntemi veya kısaca ROMCS (Reduced Order 89 Bulut test numuneleri kullanılarak otomatik olarak sistem dinamiği içerisine dahil edilmiştir. Bu bildiriden birbirinden malzeme ve kesit alanı olarak farklı olan dört ayrı test numunesi, akma gerilmelerinin ötesinde plastik bölgede test edilmiştir. Strain Gauge Be Fr m Hem ROMCS kontrol yöntemi hem de P+I kontrol yöntemi sisteme kesit çapı 10 mm olan alüminyum test numuneleri kullanılarak dizayn edilmiştir. Bu sebeple bu set halinde yapılan testlerde kesit çapı φ10 mm olan alüminyum numuneler standart test numunesi olarak kabul edilmiştir. Böylece, sistem standart test numunesi ile işlem yaparken nominal test koşullarında çalıştığı kabul edilmiştir. Elektro-hidrolik servo sistemler malzeme test makinelerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Pek çok malzeme test uygulamasında servo valfe ait dinamik değişkenler matematiksel modele dahil edilmezler. Bunun sebebi bu tür uygulamalarda servo valften geçen akış miktarındaki değişiminin çok küçük olmasıdır [5]. Hidrolik İtici FL Şekil 1: Hidrolik itici ve test numunesinin dinamik analizi Denklem (2), (1) de yerine konulursa PL A p − Be x − k s x = mx (3) elde edilir. Hidrolik iticide sızıntı dolayısıyla oluşan akış, Ql (cm3/s) ve sıkıştırma sonucunda oluşan akış, Qc (cm3/s) aşağıdaki şekilde yazılabilir. Ql = C p PL (4) 2. ESH MAKİNESİNİN DİNAMİK MODELİNİN OLUŞTURULMASI Qc = Vt PL 4N (5) Yukarıdaki denklemlerde Cp, hidrolik itici içindeki toplam akış kayıp katsayısını (cm5/Ns), Vt, hidrolik itici içindeki toplam akışkan hacmini (cm3) ve N, hidrolik yağın bulk modülünü (sıkıştırılamazlık katsayısı) (N/cm2) göstermektedir. Denklem (4) ve (5) den toplam akışkan miktarı (6) Q L = Ql + Qc şeklinde yazılabilir. Hidrolik yağın test numunesi üzerine uyguladığı yük basıncı aşağıdaki formül ile hesaplanabilir. ESH malzeme test makinesi, test numunesi üzerine çekme-basma kuvveti uygulayabilmektedir. Sistem, nominal çalışma şartlarının dışında (sisteme standart test numunesi dışındaki numuneler bağlandığında) çalıştırıldığında modellenmemiş sistem parçaları dolayısıyla oluşan gürültü ve sistemin dinamik değişkenlerinde meydana gelen büyük değişmeler; sistemin çalışmasını olumsuz olarak etkilerler. Yük kontrolü altında sistem aşağıda verilen ikinci dereceden lineer bir denklemle ifade edilebilir. PL = P1 − P2 (7) Burada Pı, P2 sırasıyla hidrolik pistonun birinci ve ikinci odasındaki basınçları ifade etmektedir. Denklem (6) daha sonra aşağıdaki şekilde yazılabilir: FL − Fk − Fr = mx (1) Şekil. 1 de sistem kütle-yay-sönümleyici kombinasyonu ile ifade edilmiştir. Bu şekilde m, pistonun toplam kütlesini ve pistona gelen yükü, ks, test numunesinin yay katsayısını göstermektedir. Piston tarafından yukarı doğru uygulanan yük kuvveti, FL, yay kuvveti, Fk ve sönümleme kuvveti, Fr, aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. Vt PL 4N (8) V Q L = PL C p + t s 4N (9) Q L = PL C p + Yukarıdaki denklemin Laplace transformu alınırsa, FL = PL A p Fk = k s x Fr = Be x ks Fk F Denklem (9) dan iticinin ürettiği yük basıncı, (2) PL = Denklem (2) de, PL, hidrolik iticiden gelen yük basıncını (N/cm2), Ap, test numunesinin kesit alanını (cm2), Be, hidrolik yağın sönümleme katsayısını ve x, hidrolik iticinin yer değiştirme miktarını göstermektedir. şeklinde x= 90 F , ks QL V C p + t s 4N (10) hesaplanabilir. F = Fk = k s x x= F , ks x= F ks ve eşitlikleri Derecesi İndirgenmiş Minimal Controller Synthesis (Mcs) Kontrolün Plastik Bölgesindeki Kararlılığı FL = PL A p kullanılarak, eşitliği tekrar Test numunesi ESH malzeme test makinesinin iki çenesi arasına bağlandı ve daha sonra çekme-basma deneyine tabi tutuldu. aşağıdaki formda yazılabilir: PL A p = F B m +F e +F ks ks (11) R25mm yukarıdaki denklemin Laplace transformu alınırsa, k B k (12) PL A p s = Fs 2 + F e s + F s m m m Denklem (10), (12) de yerine konulursa (k s m )A p C p + (Vt 4 N )s F (13) s= QL s 2 + (Be m )s + (k s m ) Yukarıdaki denklem sistemin transfer fonksiyonunu göstermektedir. Bu matematiksel analizde servo valfin dinamiği ihmal edilmiştir. [ 15mm 22mm φ2535 . mm φ175 . mm φ175 . mm D R25mm R25mm 120mm Şekil 4: Test Numunesi 3. KARARLILIK TESTLERİ Hem P+I hem de ROMCS kontrol yöntemi sisteme alüminyum alaşımlı ve kesit yarıçapı φ10 mm olan test numuneleri kullanılarak dizayn edildi. Bu testlerde birbirinden farklı dört ayrı genliğe sahip referans sinyali kullanılarak bütün test numunelerinin kendi plastik bölgelerinde test edilmeleri sağlandı. 4. KONTROL YÖNTEMLERİNİN SİSTEME DİZAYNI Kontrol yöntemlerinin her ikisi de Winctrl4 kullanılarak sisteme dizayn edildi. Winctrl4 bir kontrol software paketi olup Dye ve Stoten tarafından yazılmış ve geliştirilmiştir [6]. Bu paket programı kullanılarak MCS de dahil olmak üzere pek çok adaptive ve lineer kontrol yöntemi istenen sisteme uygulanabilmektedir. Testlerde, 12 bit lik analog-dijital ve dijitalanalog kontrol kartı takılmış olan bir 486 bilgisayar kullanılmıştır. Bu sebeple bütün test numuneleri referans sinyalinin genliği hariç aynı test koşulları (aynı referans sinyali, aynı referans modeli, aynı kontrol kazanç değerleri) altında test edildi. Bu set halinde yapılan testlerde; alüminyum alaşımlı (gerilme, σ = 150 MPa ve Elastisite Modülü, E=72 GPa) ve EN24 çelik alaşımlı ( σ = 320 MPa, E = 210 GPa ) malzemelerin her ikisinden de kesit çapları D1 =10 mm ve D2 = 7 mm, uzunluğu L=120 mm, ve ölçü uzunluğu (numunenin D1 veya D2 kesitinde olan kısmının uzunluğu) 22 mm olacak şekilde birbirinden malzeme ve kesit alanı olarak farklı dört ayrı test numunesi kullanıldı (Şekil 4). 4.1. ORANSAL ARTI İNTEGRAL (P+I) KONTROL YÖNTEMİ Daha önceden de belirtildiği üzere, hem P+I hem de ROMCS kontrol sisteme 10 mm çapında alüminyum alaşımlı numuneler kullanılarak dizayn edildi. P+I kontrol yöntemi dizayn edilirken sistemin nominal transfer fonksiyonu kullanıldı. Sistemin nominal transfer fonksiyonu sistem analiz testleri sonucunda belirlendi. Bunun için sisteme giriş sinyali olarak genliği ve frekansı zamanla artan sinosoidal sinyal gönderilmiş. Daha sonra sistemin verdiği çıkış sinyali Matlab Sistem Analiz Toolbox da bulunan oe fonksiyonu kullanılarak; ikinci dereceden ortalama transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi hesaplanmıştır: Gerilme σy Gerilme Genişliği ∆σ Toplam Uzama Genişliği 22mm 15mm 22mm φ2535 . mm ] İlk Yükleme R25mm G P (s ) = Uzama (ε ) ∆ε Fig. 3: Plastik Bölgede Tam Geri-Çevirmeli Gerilme-Uzama Eğrisi 91 2900 s + 110 s + 2000 2 (14) Bulut Strain-Gauge Yükseltici Yük Üst Parça Bağlama Servo - Valf Yükseltici u + y Test Numunesi Alt Parça Bağlama Çenesi Hidrolik İtici Şekil 4. ESH malzeme test makinesi P+I kontrol yöntemi sıfır hata ile sistemi kontrol edecek şekilde sisteme dizayn edildi. İkinci dereceden sistemin kökleri s1 = −22.9844 ve s 2 = −87.016 noktalarına yerleştirildi. Buna karşılık sistemin birinci dereceden dominant kökü s = −11 rad/s, olarak belirlendi. Buradan sistemin basamakcevabı, yerleşme zamanı yaklaşık olarak 0.35 sn olarak tayin edildi. P+I kontrol yönteminin dizaynı Şekil 5 te gösterilmektedir. Köklerin yer eğrisi metoduna göre, kl = 2900 kp dir. İdeal bir çıkış sinyali için kontrol sıfır notası aşağıdaki şekilde belirlendi. s=− 150 100 Dominant olmayan kökler İmajiner Eksen 0 ( ) Kontrol sıfır, s=-12 Dominant kök, s=-11 -100 -150 -150 -100 -50 0 50 100 150 Reel Eksen Şekil 5. P+I kontrol yönteminde köklerin yer eğrisi, ki /kp = 12 Böylece uygun integral ve orantı kontrol kp = kazanç değerleri sırasıyla ki = 24 ve 2 olarak saptandı. P+I kontrol yöntemi süreksiz formda aşağıdaki şekilde dizayn edildi: − k p − k i ∆ x e (k − 1) s=-87.016 -50 ki = −12 rad/s kp u (k ) = u (k − 1) + k p x e (k ) s=-22.9844 50 4.2. ROMCS KONTROL YÖNTEMİ (15) Sistem nominal çalışma koşullarında ikinci dereceden, bir lineer transfer fonksiyonu ile ifade edildi. Bu sebeple, normal koşullarda MCS kontrol yönteminin de sisteme ikinci dereceden dizayn edilmesi gerekir. Fakat MCS kontrol, sisteme birinci dereceden derecesi indirgemiş referans modeli kullanılarak sisteme dizayn edildi. Böylelikle hem dizayn işleminin basitleştirilmesi hem de sistemin daha doğru çıkış sinyali üretmesi amaçlanmıştır. x e (k ) = r (k ) − y (k ) (16) yukarıdaki denklemlerde; u(k), sisteme gönderilen kontrol sinyalini, xe(k), referans ve sistemin çıkış sinyali arasındaki hatayı, y(k) ölçülen çıkış sinyalini ve ∆ , veri aralığını göstermektedir. Kabul edilebilir kapalı-çevrim yerleşme zamanı, ts = 0.35 sn olarak saptandı. Buna bağlı olarak uygun veri aralığı, ∆ ≤ 0.35 / 10 = 35 msn olarak hesaplandı. değeri biraz daha Testlerde ise, ∆ düşürülerek, ∆ = 20 msn olarak kullanıldı. İkinci dereceden bir sistem aşağıda verilen durum denklemi ile ifade edilmiş olsun (SISO veya MIMO): x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + d (x ,t ) (17) 92 Derecesi İndirgenmiş Minimal Controller Synthesis (Mcs) Kontrolün Plastik Bölgesindeki Kararlılığı Kontrol sinyali yazılabilir: ise aşağıdaki u (t ) = K (t )x(t ) + K r r (t ) Q>0 (33) Yukarıdaki denklemde Q, tam pozitif simetrik bir matris olup buradaki değeri, Q = [1] dir. MCS adaptive kazanç değerleri; α = 0.01 ve β = 0.001 olarak seçildi. Buna göre birinci dereceden ROMCS referans modeline ait parametreler aşağıdaki şekilde hesaplanmıştır: Am = −4 / t s = −11.4286 , şekilde (18) yukarıdaki denklemde, t K (t ) = ∫ αy e (τ )x T (τ )dτ 0 + βy e (t )x T (t ) Bm = 4 / t s = 11.4286 C e = t s / 8 = 0.0438 . (19) t K r = ∫ αy e (τ )r T (τ )dτ 0 (20) 5. DERECE İNDİRGENMESİ VE MODELLENMEMİŞ DİNAMİK DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ BAĞINTI + βy e (t )r (t ) T ESH malzeme test makinesi φ10 mm çapındaki alüminyum alaşımlı test numuneleri ile çalışırken (nominal çalışma koşulu) ikinci dereceden bir transfer fonksiyonuna sahiptir. Her iki kontrol yöntemi de sisteme nominal çalışma koşullarında dizayn edildi. Bu sebeple sistem nominal çalışma koşullarının dışında (malzeme test makinesi, φ10 mm çapındaki alüminyum alaşımlı test numunelerinin dışındaki diğer üç test numunesi ile çalıştırılması durumunda) çalıştırılırken, modellenmemiş dinamik değişkenler otomatik olarak kontrol sistemine dahil oldu. Bu test numunesinin dinamik değişkenlerinin değişimiyle alakalıdır. Modellenmemiş dinamik değişkenler dolayısıyla büyük miktarda gürültü sistem dinamiğine dahil olmakta ve oluşan gürültü sistemin kontrolünü güçleştirmektedir. Bu şartlar altında sistem kontrol kazanç değerlerinde ve diğer kontrol değişkenlerinde yapılan değişimlere karşı daha hassaslaştırmakta bu ise kararlılığı olumsuz olarak etkilemektedir. Böylece, y e (t ) = C e xe (t ) xe (t ) = x m (t ) − x(t ) x m = Am x m (t ) + Bm r (t ) (21) (22) (23) burada, C e = BcT P BcT = [0, PAm + (24) ,0 1] T AmT P (25) = −Q , Q > 0 (26) Birinci dereceden MCS kontrol denklemleri süreksiz formda aşağıdaki şekilde yazılabilir: u (k ) = K (k )x(k ) + K r (k )r (k ) K (k ) = K (k − 1) + βy e x (k ) (27) T − σy e (k − 1)x T (k − 1) (28) K r (k ) = K r (k − 1) + βy e r T (k ) − σy e (k − 1)r T (k − 1) y e (k ) = C e xe (k ) (29) xe (k ) = xm (k ) − x(k ) (30) burada, σ m = β − α∆ ve ∆ , süreksiz formda Tablo 1 de referans sinyalinin genliği (V), frekansı (Hz) ile gösterilmektedir. Nominal çalışma koşulları dışında, ROMCS kontrol yönteminin plastik bölgedeki performansı P+I kontrol yöntemi ile kararlılık ve efektiflik açısından karşılaştırılarak analiz edilecektir. Bölüm 4.1 ve 4.2 de açıklandığı üzere her iki kontrol yöntemi de sisteme alüminyum alaşımlı φ10 mm çaplı numuneler kullanılarak veri aralığını göstermektedir. Birinci dereceden MCS referans modeli ise; x m (t ) = (− 4 / t s )x(t ) + (4 / t s )r (t ) (31) şeklinde yazılabilir. Burada, x, sisteme ait durum değişkenlerini, ve xm, ise referans modeline ait durum değişkenlerini göstermektedir. Kontrol yöntemi tamamen kararlıdır eğer: C e = BeT P ve dizayn edildi. Bu sebeple φ10 mm çapındaki alüminyum alaşımlı numuneler dışındaki diğer üç numune ile çalışırken sistem, nominal çalışma koşullarının dışında çalışıyormuş farzedildi. (32) denklemi sağlanıyorsa, burada, Be = [1] ve P, Lyapunov denklemini sağlayan pozitif definit matristir. Bütün test numuneleri için referans modeli, kritik sönümlü bir çıkış sinyali verecek şekilde 0.25 Hz frekansında ve basamak formunda PAm + AmT P = −Q 93 Bulut seçildi. Sıfır hatalı bir çıkış sinyali için, yerleşme zamanı, ts = 0.35 sn olarak seçildi. Kontrol kazanç değerleri olarak ROMCS kontrol için α = 0.01 ve β = 0.001 ve P+I kontrol yöntemi için kp = 2 ve ki = 24 kullanıldı. Tablo 1 de gösterildiği üzere yukarıda belirttiğimiz özelliklere sahip kontrol sinyali bütün test numunelerinde hiçbir özelliği değiştirilmeden aynen kullanılmıştır. birbirinden farklı akma gerilmesi ve sertliği bulunmaktadır. Alüminyum alaşımlı ve EN24T çelik alaşımlı numuneler malzeme olarak birbirlerinden oldukça farklı mekanik ve kimyasal özelliklere sahiptirler. Bu iki test numunesine ilave olarak kesit alanı değiştirilmek suretiyle: As = 78.5398 mm2 As = ( φ10 mm çaplı numuneler için) ve 38.4845 mm2 ( φ 7 mm çaplı numuneler için) olacak şekilde iki test numunesi daha imal edilmiştir. Bu set halinde yapılan testlerde bütün numuneler plastik bölgede test edilmiştir. Kullanılan dört farklı test numunesinin Tablo 1: P+I ve ROMCS Kontrol Kazanç Değerleri ve Referans Sinyali Değişkenleri Kontrol Yöntemleri P+I Kontrol EN24T (Steel) with φ10 mm kp = 2, ki = 24, gen = 5.2 V, frk = 0.25 Hz, ts = 0.35 sn, ∆ = 20 msn Derecesi İndirgenmiş α = 0.01 , MCS Kontrol β = 0.001 , gen = 5.2 V, frk = 0.25 Hz, ts = 0.35 sn, ∆ = 20 msn Test Numuneleri EN24T (Steel) Aluminium Alloy with φ 7 mm with φ10 mm kp = 2, ki = 24, kp = 2, ki = 24, gen = 2.4 V, gen = 2.2 V, frk = 0.25 Hz, frk = 0.25 Hz, ts = 0.35 sn, ts = 0.35 sn, ∆ = 20 msn ∆ = 20 msn α = 0.01 , β = 0.001 , gen = 2.4 V, frk = 0.25 Hz, ts = 0.35 sn, ∆ = 20 msn Böylece testlerde dört farkı numune ve bunlara karşılık gelecek dört ayrı genlik (uygulanan yük) kullanılmıştır. Bunlar: 1.2 Volt alüminyum alaşımlı φ 7 mm çaplı numuneler için, 2.2 Volt alüminyum alaşımlı φ10 mm çaplı numuneler için, 2.4 Volt çelik alaşımlı φ 7 mm çaplı numuneler için ve 5.2 Volt çelik alaşımlı φ10 mm çaplı numuneler için. 6.KARŞILAŞTIRMALI TESTLERi VE ANALİZİ α = 0.01 , β = 0.001 , gen = 2.2 V, frk = 0.25 Hz, ts = 0.35 sn, ∆ = 20 msn Aluminium Alloy with φ 7 mm kp = 2, ki = 24, gen = 1.2 V, frk = 0.25 Hz, ts = 0.35 sn, ∆ = 20 msn α = 0.01 , β = 0.001 , gen = 1.2 V, frk = 0.25 Hz, ts = 0.35 sn, ∆ = 20 msn sinyalini sıfır hata ile izlemektedir. Aynı test numunesinin ROMCS kontrol ile verdiği sonuçlar ise Şekil. 10 da gösterilmektedir. Bu şekilde K, ileri besleme ve Kr, geri besleme ROMCS kontrol kazanç değerlerini ifade etmektedir. Şekil 6 ve 10 dan da görüldüğü üzere her iki kontrol yöntemi nominal test koşullarında birbirine benzer sonuçlar üretmiştir. Bu bize P+I kontrol yönteminin iyi dizayn edildiğini, ikinci dereceden bulunan modelin gerçek sistemin iyi bir yaklaşımı olduğunu ve kontrol kazanç değerlerinin doğru bulunduğunu göstermektedir. P+I kontrolün alüminyum alaşımlı φ 7 mm çaplı numuneler, φ10 mm ve φ 7 mm çaplı çelik numuneler için ürettiği sonuçlar sırasıyla Şekil 7, 8 ve 9 da gösterilmektedir. KARARLILIK Plastik bölgede yapılan bu testlerde sistem parametrelerinde büyük değişimler meydana gelmiştir. Bu testlerde her bir numune akma noktasının ötesinde plastik bölgede test edildi. Bu sebeple elastik bölgeye nazaran daha büyük miktarda test numunesine ait modellenmemiş ve dinamik olmayan değişkenler sistem dinamiği içerisine ilave edilmiş oldu. P+I kontrol yönteminin alüminyum alaşımlı φ10 mm çaplı numuneye ait sonuçları Şekil. 6 da gösterilmektedir. Bu şekilde x, sistemin çıkış xm, referans modelini sinyalini ve göstermektedir. Şekilden de görüldüğü üzere çıkış sinyali basamak şeklinde olan referans ROMCS kontrol yönteminin φ10 mm ve φ 7 mm çaplı alüminyum alaşımlı; φ10 mm ve φ 7 mm çaplı çelik alaşımlı numuneler için ürettiği sonuçlar sırasıyla Şekil 10, 11, 12 ve 13 de gösterilmektedir. ROMCS kontrol 94 Derecesi İndirgenmiş Minimal Controller Synthesis (Mcs) Kontrolün Plastik Bölgesindeki Kararlılığı yöntemi P+I kontrol yönteminden daha başarılı sonuçlar üretti. ROMCS kontrol kazanç değerleri oldukça hızlı ve basamak fonksiyonu şeklinde verilen referans fonksiyonun işareti değiştiğinde kontrol kazanç değerleri yeni seviyelerine hemen kararlı bir şekilde yerleşmektedirler. 95 Bulut hata miktarının alüminyum alaşımlılara nazaran daha fazla olduğu görülmektedir. Daha öncede belirtildiği üzere her iki kontrol yöntemi de φ10 mm kesit çapında alüminyum alaşımlı numuneler kullanılarak sisteme dizayn edildi. EN24T çelik alaşımlı malzemesinin hem akma gerilmesi hem de elastisite modülü alüminyum alaşımlı malzemeler nazaran çok daha büyüktür. Bu sebeple çelik alaşımlı numunelerle sitem çalıştırılırken daha fazla modellenmemiş parametreler ve gürültü sistem dinamiğine dahilolmaktadır.Ayrıca çıkış sinyali de referans sinyalini oldukça hızlı ve gürültüsüz olarak izlemektedir. Test sonuçlarından ROMCS kontrolün sistem parametrelerinde meydana gelen değişimlere oldukça rahat ve yumuşak bir şekilde uyum sağladığı görülmektedir. Basamak sinyalinin işaretinin negatif olduğu her noktada sistemin çıkış sinyali ani sıçramalar yapmakta daha sonra sıfır hata ile referans sinyalini takip etmektedir. Basamak sinyali negatif işaretli iken hidrolik itici pistonun başlangıç noktasına doğru geri hareket etmektedir ve numune üzerine uygulanan yük, numuneyi referans sinyalinin ötesine doğru ani olarak sıkıştırır. Test numunesinin bağlı olduğu üst çene sabittir, alt çene ise sabit değildir. Alt çene hidrolik iticiye bağlı olduğundan numune iticiden gelen küçük yer değişimlerine, yüke ve lineer olmayan birtakım etkenlere maruz kalır. Bu ise sistem içerisinde gürültüye sebep olmaktadır. Şekil. 10: Alüminyum alaşımlı, 10 mm çaplı numune için ROMCS sonuçları. 96 Derecesi İndirgenmiş Minimal Controller Synthesis (Mcs) Kontrolün Plastik Bölgesindeki Kararlılığı Şekil 11. Alüminyum alaşımlı, 7 mm çaplı numune, MCS kontrol Şekil 12. Çelik alaşımlı, 10 mm çaplı numune, MCS kontrol 97 Bulut Şekil 13. Çelik alaşımlı, 7 mm çaplı numune, MCS kontrol Şekil 14. Yük kontrolü altında ROMCS kontrolün verdiği ISE hata miktarları. 98 Derecesi İndirgenmiş Minimal Controller Synthesis (Mcs) Kontrolün Plastik Bölgesindeki Kararlılığı Şekil 15. Yük kontrolü altında P+I kontrolün verdiği ISE hata miktarları. Test sonuçlarından her iki kontrol yönteminde de çelik alaşımlı numunelerle yapılan testlerde ki hata miktarının alüminyum alaşımlı numunelerle yapılanlardan daha fazla olduğu görülmektedir. Nominal çalışma koşullarında, yük kontrolünde sistem ikinci dereceden transfer fonksiyonu ile ifade edildi. Fakat MCS kontrol yöntemi sisteme birinci dereceden dizayn edildi. Oysaki normal koşullarda MCS kontrol yönteminin de ikinci dereceden dizayn edilmesi gerekirdi. Böylece MCS sisteme birinci dereceden derecesi indirgenmiş ROMCS formunda dizayn edildi. ROMCS kontrol yöntemi, MCS kontrol yönteminde olduğu gibi dizayn için sistem parametrelerine ihtiyaç duymaz. Bu sebeple, dizaynı oldukça basittir ve başarılı test sonuçları üretmiştir. ROMCS kontrol yönteminde referans modeli sistemden bir derece daha düşük dizayn edilerek sistemin referans modelini yakalaması sağlandı. MCS kontrol yönteminin sistemin derecesinin indirgenmesi durumunda karalılığını koruduğu hatta sistemi daha başarılı ve efektif şekilde kontrol ettiği gözlenmiştir. Bunun sebebi de sistem modelindeki gereğinden fazla olan parametrelerin ihmal edilmesidir. Plastik bölgede ROMCS kontrol, P+I kontrol yönteminden daha başarılı sonuçlar ürettiği Şekil. 13 ve 14 te gösterilen ISE (Integral Square Error) diyagramlarında daha açık olarak görülmektedir. 7. SONUÇLAR Bu bildiride, ROMCS kontrol yönteminin modellenmemiş sistem parçaları dolayısıyla oluşan lineer olmayan etkiler, sistem parametrelerinde meydana gelen büyük değişmeler ve gürültü karşısındaki kararlılığı karşılaştırmalı testler ile analiz edildi. ROMCS kontrol yöntemi sisteme yük kontrolü altında uygulandı. Sistem standart test numunesi dışında diğer üç test numunesi ile çalıştırıldığında modellenmemiş sistem parçaları, parametre değişimi ve gürültü otomatik olarak sistem dinamiğine ilave edilmiş oldu. Bu set halindeki testlerde, standart test numunesi de dahil olmak üzere dört ayrı test numunesi kullanıldı. Her iki kontrol yöntemi de dizayn edilirken servo valfin dinamiği, atalet ve sürtünme kuvvetleri ihmal edildi. Plastik bölgede her iki kontrol yöntemi performans ve efektiflik açısından karşılaştırıldığında ROMCS kontrol yönteminin P+I kontrol yönteminden daha başarılı sonuçlar ürettiği görüldü. Sistem parametrelerinde büyük değişimler meydana geldiğinde P+I kontrol yönteminin bundan oldukça olumsuz olarak etkilendiği; ROMCS kontrol yönteminin is bu koşullarda dahi oldukça başarılı sonuçlar verdiği gözlendi. Bu özellikle Şekil 14 ve 15 de verilen ISE diyagramlarında açıkça görülmektedir. 99 Bulut Field. PhD Thesis, Faculty of Engineering, University of Bristol. Adaptasyon mekanizması sayesinde ROMCS kontrol ileri ve geri besleme kontrol kazanç değerleri sistem parametrelerinde meydana gelen değişimlere, lineer olmayan etkilere ve modellenmemiş sistem parametreleri dolayısıyla oluşan gürültüye kolaylıkla uyum sağlayabilmektedir. P+I kontrol yöntemi kabul edilebilir sonuçlar üretti. Bu kontrol yöntemi sistemi daha iyi kontrol edebilir. Fakat bunun için kp ve ki kontrol kazanç değerlerinin değişen şartlara uygun olarak ayarlanması gerekir. Yeni değerlerin doğru olarak atanması zaman ve çaba gerektirir. Test sonuçlarında, basamak sinyalinin her işaret değiştirmesinde çıkış sinyalinde ani çıkışlar görülmekte daha sonra çıkış sinyali sıfır hata ile referans modelini takip etmektedir. Bu ani çıkışların sebebi servo valften çıkan hidrolik akış ile test numunesi üzerine uygulanan yük arasındaki bağıntının lineer olmamasından kaynaklanmaktadır. Ayrıca servo valfte oluşan sürtünme ve gecikmeler bir takım lineer olmayan etkilere ve gürültüye sebep olmaktadır. Yine test sonuçlarından, ROMCS kontrol yönteminin lineer kontrol yöntemlerinden farklı olarak çalışma koşulları gereği içeriden veya dışından etkilere ve gürültüye maruz kalan veya çalışma koşulları değişen sistemlerin kontrolünde başarılı bir şekilde kullanılabileceği görülmektedir. Ayrıca ROMCS kontrol yöntemi malzemelerin uzama, sıcaklık ve yorulma testlerinde de kullanılabilir. Bu tür testlerin en önemli özelliği test numunesinin dinamik parametrelerindeki ani ve büyük değişimler ve sevo valfin lineer olmayan karakteristik davranışlarıdır ve ROMCS kontrol yönteminin adaptasyon mekanizması sayesinde sistemi kararlı bir şekilde kontrol edeceği düşünülmektedir 8. KAYNAKLAR 1. Stoten, D. P. & Benchoubane, H., Robustness of Minimal Controller Synthessis Algorithm, Int. J. Control, 1990, 51(4), 851-861 2. Stoten, D. P., Implementation of MCS on a Servohydraulic Testing Machine. Proc. Instn Mech. Engrs, Part I, Journal of Systems and Control Engineering, 1992, 206(13), 189-194. 3. Stoten, D. P. and Bulut, S., Application of the MCS Algorithmto the Control of an Electrohydraulic System. In European Robotics and Intelligent Systems Conference (EURISCON’ 94), Malaga, Spain, August 1994, pp. 1861-1871. 4. S. Bulut, 1997 Applications of Reduced Order MCS Control in the Electrohydraulic Servo 100 5. H. E. Merritt, Hydraulic Control Systems, J. Wiley, New York, 1967. 6. M. G. Dye & D. P. Stoten, WinCtrl4 Implementation of Real Time Controllers in Windows 3.1, Department of Mechanical Engineering, University of Bristol, BS8 1TR. 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 ROBOT KOL KONTROL DİZAYNI İÇİN DURUM DEĞİŞKENLERİ GERİ BESLEMELİ VE İNTEGRALLİ KONTROLCÜ YAKLAŞIMI Uğur CANER Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Maltepe 06570, ANKARA, Mehmet EROĞLU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Maltepe 06570, ANKARA, meroglu@gazi.edu.tr ÖZET Bu çalışmada, durum değişkenleri geri beslemeli ve integralli kontrolcünün robot manipülatör tasarımı için önemli avantajlara sahip olduğu gösterilmiştir. Tüm sistemin dinamik modeli, doğru akım motorunun dinamiği de dikkate alınarak, üçüncü mertebe diferansiyel denklem olarak elde edilmiştir. Doğrusallaştırma işlemi, manipülatörün nominal yörüngesi etrafındaki küçük sapmaları ifade eden denklemler bulanarak yapılmıştır. Sistemde kontrol dizayn aracı olarak kutup yerleştirme işleminden yararlanılmıştır. Doğrusallaştırma katsayıları manipülatörün yörüngesi boyunca güncellendiği için kutup yerleştirme işlemi dolayısıyla kontrolcü kazançları da güncellenmektedir. Manipülatörün eklemleri arasındaki etkileşim sebebiyle bir eklemin diğerine uyguladığı dönme momenti, her eklem için bozucu giriş olarak işlemden geçirilmiştir. Böylece bağımsız eklem kontrolu uygulanabilmiştir. Sistem performansı, iki serbestlik dereceli manipülatör için simülasyonlar yapılarak gösterilmiştir. Anahtar Kelimeler: Robot simülasyon manipülatör kontrolu, doğrusallaştırma tekniği, bağımsız eklem kontrolu, STATE FEEDBACK PLUS INTEGRAL ERROR CONTROLLER APPROACH FOR ROBOT ARM CONTROL DESIGN ABSTRACT In this study, it was shown that the state feedback plus integral error controller has outstanding advantages for robot manipulator design. Dynamic model of whole system has been obtained as a third order differential equation by taking into consideration of servo motor dynamics. The linearization process was carried out by finding equations that express deviations about nominal trajectory. Control design tool in the system is pole placement technique. Because of that linerazation coefficients has being updated during manipulator trajectory, controller gains was updated for pole placement. The torques which interaction caused between joints were treated as disturbance. By doing that, the independent joint control has become possible. System performance was evaluated by simulations of two degree of freedom robot arm. Keywords: Robot manipulator control, linearization technique, independent joint control, simulation 1. GİRİŞ Robot manipülatör kontrolu üzerine yapılan çalışmaların tümünde, robot kolunun istenilen yörüngeyi mümkün olduğu kadar yakın izlemesi amaçlanır. Arıca, modelleme hatalarına ve dış bozucu girişlere karşı yüksek mukavemet, arzu edilen özelliklerin başında gelir. Bu amaçların, en az maliyetle başarılması yine önemli tasarım şartlarından birisidir. Manipülatör sistemi, çok girişli çok çıkışlı bir sistemdir. Fakat, her eklem pozisyon kontrolu için ayrı giriş sinyallerine ihtiyaç duymaktadır. Çeşitli yöntemlerle elde edilen, manipülatör sisteminin dinamik modeli doğrusal değildir ve eklemlerin birbiri ile etkileşimini ifade eden bağlantılı terimler içerir. Manipülatör dinamik modelinin kontrol stratejilerini belirlemede önemli bir rol oynadığı bilinmektedir[1]. Eklemler birbiri ile atalet, merkezkaç, Coriolis ve yerçekimi yükleri dolayısıyla etkileşim halindedir. Bu sebeplerden dolayı, manipülatör kontrolu, sürekli araştırılmakta olan önemli bir problem olarak kendisini göstermektedir. Birçok klasik robot kontrol çalışmasında, doğru akım motorunun dinamiği kontrol algoritmalarında dikkate alınmaz. Fakat, özellikle yüksek hızlı hareketlerde, motor dinamiğinin sistem performansı üzerinde önemli bir rol oynadığı bilinmektedir[2]. Bu yüzden, motor dinamiği dikkate alınmadan tasarlanan kontrol yaklaşımları, gerçek Caner ve Eroğlu uygulamalarda yetersiz kalabilmektedir. Yapılan başka bir yaygın uygulamada ise motor armatür endüktansı ihmal edilerek, toplam model yine ikinci mertebe olarak elde edilmektedir[3]. Bağımsız eklem kontrolu uygulayabilmek ve dinamik modeli doğrusallaştırmak için yapılan en yaygın uygulama, sistemde geri besleme halkalarıyla doğrusal olmayan terimleri yok etmektir[4]. Başka bir değişle, doğrusal olmayan kontrol uygulanarak, sistem, doğrusal alt sistemlere ayrılır. Bu yöntemin etkili bir şekilde uygulanabilmesi için sistemin dinamik modelinin tam olarak bilinmesi gerekir. Birçok modelleme hatası ve dış bozucu kuvvetler dolayısıyla, sistemin dinamik modeli tam olarak belirlenemez. Dolayısıyla bu yaklaşım bazı durumlarda yetersiz kalabilmektedir. Çok girişli çok çıkışlı sistemlerde, durum değişkenleri geri beslemeli ve integralli kontrolcünün, geleneksel orantılı, integralli, türevli kontrolcüye göre avantajlı olduğunu gösteren bir çalışma daha önce yapılmıştır[5]. Bu çalışmada kontrol edilen süreç, Niederlinski tarafından verilen transfer fonksiyonudur. İdeal durumda, eklemlere ters dinamik vasıtasıyla hesaplanan dönme momentleri uygulanırsa, manipülatör nominal yörüngeyi takip eder. Fakat, birçok bozucu etken dolayısıyla, manipülatör nominal yörüngeden sapmalar gösterir. Bundan dolayı, sapmaların düzeltilmesi için bir kontrolcü dizayn edilerek sisteme yerleştirilmelidir. Bir kaynakta, ters dinamik vasıtasıyla hesaplanan dönme momentlerinin eklemlere uygulanmasına birinci kontrolcü, yörüngeden sapmaları düzeltmek için tasarlanan kontrolcüye ise ikinci kontrolcü denilmektedir[6]. Bu çalışmada, önce manipülatör sisteminin dinamik modeli, Lagrange denklemleri kullanılarak, ikinci mertebe vektörel diferansiyel denklem olarak belirlenmiştir. Bu denklem, manipülatörün nominal yörüngesi etrafındaki küçük sapmaları ifade eden Jacobian matrisleri kullanılarak doğrusallaştırılmıştır. Bu yüzden, yörünge boyunca doğrusallaştırma katsayıları güncellenmektedir. Daha sonra, manipülatör sisteminin doğrusal dinamik modeli, doğru akım motorunun dinamik denklemleriyle birleştirilmek suretiyle tüm sistemin dinamik modeli bulunmuştur. Elde edilen, üçüncü mertebe diferansiyel denklem, manipülatörün izlemesi istenilen nominal yörüngesinden küçük sapmaları için geçerlidir. Bu çalışmada kullanılan kontrol stratejisi iki kısma ayrılabilir. Birinci kısmı, manipülatörün nominal yörüngesini izlemesi için gerekli dönme momentlerini ters dinamik vasıtasıyla hesaplayarak eklemlere uygulamaktır. Birçok bozucu iç ve dış etken dolayısıyla, manipülatör nominal yörüngeden sapmalar gösterir. Yörüngeden bu küçük sapmalar için geçerli olan, sistemin doğrusallaştırılmış dinamik modeli, durum değişkenleri geri beslemeli ve integralli kontrol stratejisiyle sapmaları düzeltmek için düzeltici dönme momentlerini eklemlere uygulamaktadır. Kontrolcünün bu işlevi ise ikinci kısım olarak 102 görülebilir. Sistemde kontrol dizayn aracı olarak kutup yerleştirme işleminden yararlanılmıştır. Manipülatörün izlediği yörünge boyunca, küçük zaman aralıklarında, doğrusallaştırma katsayıları, kontrolcü kazançları ve ters dinamik vasıtasıyla eklemler için hesaplanan dönme momentleri güncellenmektedir. Eklemler arası etkileşim sebebiyle bir eklemin diğerine uyguladığı dönme momenti her eklem için bozucu giriş sinyali olarak işlemden geçirilmiştir. Kullanılan kontrolcü ardışık geri besleme ağı dolayısıyla büyük bozucu kuvvetlere karşı mukavemetlidir. Bu sayede, bağımsız eklem kontrolu uygulanarak yüksek sistem performansı elde edilmiştir. 2. MANİPÜLATÖR DİNAMİĞİ Serbestlik derecesi n olan bir manipülatör sistemi, Lagrange denklemleri yardımıyla ikinci mertebe vektörel diferansiyel denklem olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. T= D(q) q + h(q, q ) q + c(q) (2.1) Burada, nx1 boyutunda olan T matrisi, eklemlere etkiyen genelleştirilmiş dönme momentlerini ifade etmektedir. D matrisi nxn boyutundadır ve atalet kütlelerinin ivmelenmesiyle oluşan etkiyi gösterir. Matris h, nx1 boyutundadır, merkezkaç ve Coriolis etkisini gösterir. Matris c ise nx1 boyutundadır ve yerçekimi dolayısıyla eklemlere etkiyen dönme momentini ifade etmektedir. Genelleştirilmiş koordinat olarak tanımlanan q sembolü nx1 boyutundadır ve eklemlerin açısal yer değiştirmesini temsil etmektedir. Dolayısıyla, q açısal ivmeyi( θ ), q ise açısal hızı( θ ) temsil etmektedir. 3. DİNAMİK MODELİN DOĞRUSALLAŞTIRILMASI Manipülatörün dinamik modeli, birinci mertebe vektörel diferansiyel denklem formunda aşağıdaki gibi yazılabilir. x = f [x(t),u(t)] (3.1) Bu denklemde nx2 boyutunda olan x vektörü, manipülatör sistemi için açısal yer değiştirmeleri ve türevlerini ifade eden durum değişkenleridir. Vektör u ise n boyutundadır ve hareket dolayısıyla eklemlere etkiyen dönme momentlerini ifade etmektedir. Şu anda, motor denklemleri dikkate alınmadan sadece manipülatör sistemi için kontrol girişi, manipülatörün izlemesi istenilen yörünge için eklemlere uygun dönme momentlerinin (u) bulunması olarak görülebilir. Nominal yörünge (xn), nominal dönme momentlerinin (un) eklemlere uygulanmasıyla elde edilir. Bu durum için sistemin dinamik modeli aşağıda yazılmıştır. δx(t) ve δu(t) nominal yörüngeden sapmaları ifade etmektedir. Robot Kol Kontrol Dizaynı İçin Durum Değişkenleri Geri Beslemeli Ve İntegralli Kontrolcü Yaklaşımı x n= f [xn(t),un(t)] (3.2) δx(t) = x(t) – xn(t) (3.3) δ θ 2= a41δθ1 + a42δθ2 + a43δ θ 1 + a44δ θ 2 + b4δT2 (3.15) δu(t) = u(t) – un(t) δx = x – xn (3.16) θ (3.17) (3.4) Sapmaları ifade eden denklemler, sistemin durum değişkenleri denkleminde yerine konulursa ve elde edilen denklemin sağ tarafı, Taylor serisi ile açılırsa küçük sapmalar için manipülatör sisteminin doğrusal dinamik modeli elde edilir. (∂f/∂x) ve (∂f/∂u) Jacobian matrislerini ifade etmektedir. d/dt(xn+δx) = f [xn(t)+ δx(t), un(t)+ δu(t)] δ x =A(xn,un)δx+B(xn,un)δu (3.8) n3 – c = –a31θn1 – a32θn2 – a33 θ a34 θ n3 – n4 b3un1 + a34 θ n4 – θ n1 b3un1 + θ n1 (3.18) f [xn(t)+δx(t),un(t)+δu(t)]=[xn(t),un(t)]+ (3.6) [(∂f/∂x)xn,un]δx +[(∂f/∂u)xn,un]δu +... (3.7) a31θ1 + a32θ2 + a33 θ 1 + a34 θ 2 + b3u1 –a31θn1 – a32θn2 – a33 θ (3.5) δ x = [(∂f/∂x)xn,un]δx +[(∂f/∂u)xn,un]δu 1= θ 1= a31θ1 + a32θ2 + a33 θ 1 + a34 θ 2 + b3u1 + c (3.19) θ 2= a41θ1 + a42θ2 + a43 θ 1 + a44 θ 2 + b4u2 –a41θn1 – a42θn2 – a43 θ n3 – a44 θ d = –a41θn1 – a42θn2 – a43 θ n3 – n4 – a44 θ b4un2 + θ n4 – (3.20) n2 b4un2 + θ n2 (3.21) Örnek teşkil etmesi açısından, iki serbestlik dereceli bir manipülatör için doğrusallaştırılan dinamik model aşağıda gösterilmiştir. Aşağıdaki denklemlerde görünen a ve b katsayıları, Jacobian matrislerinin elementlerini temsil etmektedir. Dolayısıyla bu katsayılar manipülatör sisteminin izlediği yörünge boyunca güncellenmektedir. x1= θ1, x2= θ2, x3= θ 1, x4= θ 2, θ 2= a41θ1 + a42θ2 + a43 θ 1 + a44 θ 2 + b4u2 + d (3.22) 4. DOĞRU AKIM MOTORUNUN MODELLENMESİ Doğru akım motorunun dinamik denklemleri aşağıdaki denklemler ile tanımlanmıştır. T1= u1, T2= u2 La(dia/dt) =-Raia + ea-eb , dθ /dt = ω , eb = Kbω , Tm=Kiia (3.9) (4.1) δ x 1 = δx3 (3.10) δ x 2 = δx4 (3.11) Doğru akım motorunun dinamik denklemleri ve manipülatör sisteminin dinamik modeli birleştirilerek eklemlere etkiyen toplam dönme momentini ifade eden eşitlik aşağıdaki şekilde yazılabilir. (3.12) Tm + TD = J θ + Bt θ + T δ x 3 = a31δx1 + a32δx2 + a33δx3 + a34δx4 + b3δu1 (4.2) Yazılan bu eşitlik, manipülatör sisteminde herhangi bir eklem için toplam dönme momenti dengesini ifade etmektedir. Burada TD ekleme etkiyen bozucu dönme momentini, J motorun polar atalet momentini, Bt(N.m.sn/rad), toplam viskoz sürtünme katsayısını, T ise manipülatörün doğrusallaştırılmış dinamik modeli kullanılarak belirlenen dönme momentidir. θ motorun ve eklemin açısal yer δ x 4 = a41δx1 + a42δx2 + a43δx3 + a44δx4 + b4δu2 (3.13) δ θ 1 = a31δθ1 + a32δθ2 + a33δ θ 1 + a34 δ θ 2 + b3δT1 (3.14) 103 Caner ve Eroğlu değiştirmesini ifade etmektedir. Bu eşitlikte motor ve manipülatör eklemi arasındaki dişli sayısı oranı 1 alınmıştır. Doğrusallaştırılmış denklem (Eş. 3.8) kullanılarak belirlenen ve manipülatörün hareketi dolayısıyla ekleme etkiyen dönme momentini ifade eden T sembolü, doğrusallaştırma katsayılarını, diğer eklemlerin dinamiğini ve ters dinamik vasıtasıyla hesaplanan dönme momentlerini içermektedir. Örneğin iki serbestlik dereceli manipülatörün birinci eklemi için Eş.3.20’de belirlenmiş olan doğrusal dinamik denklem kullanılarak, hareket dolayısıyla bu ekleme etkiyen dönme momenti aşağıdaki şekilde yazılabilir. [ θ 1 – (a31 θ 1 +a32 θ 2 +a33 θ 1 +a34 θ 2+ c)]/b3=u1= T1 (4.3) Bu eşitlikte, c katsayısı iki ekleminde dinamiğini içeren ve ters dinamik vasıtasıyla, birinci ekleme uygulanması gereken dönme momentini ifade etmektedir. Bu işlev, giriş bölümünde ifade edilen kontrolcünün birinci kısmını ifade etmektedir. Manipülatörün yörüngesi boyunca bu dönme momenti ve doğrusallaştırma katsayıları güncellenmektedir. Bu sayede eklemler kısmi olarak birbirinden ayrılmıştır. Fakat yörüngeden sapmaları düzelten kontrol sisteminin ikinci kısmı doğrusal denklem dolayısıyla birbirine bağımlıdır. Bu durum Eş.4.3’de görülmektedir. Tasarlanan kontrol sisteminde bu etkileşim, her eklem için bozucu giriş olarak işlemden geçirilmektedir. Bu sayede bağımsız eklem kontrolu uygulanabilmektedir. Böylece, sistemde her eklemin karakteristik fonksiyonu ayrı ayrı hesaplanarak kutup yerleştirme işlemi yapılmaktadır. Kutuplar s düzleminde negatif gerçek eksen üzerine yerleştirilmekte ve tekrarlı kutup kullanılmaktadır. Her eklem altıncı mertebe karakteristik fonksiyona sahiptir. Dolayısıyla, her ekleminin altı adet tekrar eden kutbu negatif gerçek eksen üzerine yerleştirilmektedir. İki serbestlik dereceli manipülatör için kontrol sisteminin blok diyagramı aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. (bkz. Şekil 1) Kb T D1 θ1i + - K11 1 + + K12 +2 - - s s + - 1 s + - K13 + 1 Las + R a b3 + + s s2 (Jb3 +1)+s(Bt b3-a33)-a31 θ1 1 s ia1 KD13 K13 KD12 Ki ω1 c K D11 a 43 + + a 41 + + + + Kb a34 T D2 θ 2i + - K21 1 + + K22 +2 - - s s KD22 + - 1 s + - K 23 + 1 Las + R a Ki ia2 KD23 K 23 b4 + + d s s2 (Jb4 +1)+s(Bt b4-a44)-a42 1 s a32 θ2 ω2 KD21 Şekil 1. İki serbestlik dereceli manipülatör sisteminin kontrol blok diyagramı 5. SİMÜLASYONLAR programında yazılmıştır. Simülasyonlarda, her iki eklemin altı adet tekrarlı kutbu, negatif gerçek eksen üzerinde –500 noktasına yerleştirilmiştir. Parametre güncelleme sayısı ise yörünge boyunca 100 kere yapılmaktadır. Simülasyonlarda görünen noktalı çizgi, yörünge planında belirlenmiş olan eklem değişkenlerini, düz çizgi ise gerçek eklem değişkenlerini ifade etmektedir. Yörünge planında Tasarlanan kontrol sisteminin performansı, iki serbestlik dereceli manipülatörün yörünge girişlere karşı verdiği cevapların simülasyonları yapılarak değerlendirilmiştir. Manipülatörün izlediği yörünge boyunca doğrusallaştırma katsayılarını ve kontrolcü kazançlarını güncelleyen bir yazılım Matlap 104 Robot Kol Kontrol Dizaynı İçin Durum Değişkenleri Geri Beslemeli Ve İntegralli Kontrolcü Yaklaşımı 40rad/sn2 olarak belirlenmiştir. 1.2 3 1 2.5 0.8 2 Hız (rad/s n) Teta1(rad) manipülatörün birinci ekleminin ulaşması istenilen maksimum ivme 70rad/sn2, ikinci eklem için ise 0.6 0.4 0.2 1 0.5 0 0 -0.2 1.5 0 0.1 0.2 0.3 Zam an(s n) 0.4 -0.5 0.5 a. Konum-zaman cevabı Şekil 2. Birinci eklemin zaman cevabı 0 0.1 0.2 0.3 Zam an(s n) 0.4 0.5 0.4 0.5 b. Hız-zaman cevabı 1 2.5 0.9 2 0.8 Hız (rad/s n) Teta2(rad) 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 1 0.5 0 0.1 0 1.5 0 0.1 0.2 0.3 Zam an(s n) 0.4 -0.5 0.5 a. Konum-zaman cevabı Şekil 3. İkinci eklemin zaman cevabı 0 0.1 0.2 0.3 Zam an(s n) b. Hız-zaman cevabı 6. SONUÇLAR motorlar kullanılarak yüksek dönme momentleri elde edilebilir[7]. Bu çalışmada tasarlanan kontrolcü yapısı, robot manipülatör kontrolu için arzu edilen en önemli tasarım şartlarını yerine getirmektedir. Bunlar aşağıdaki şekilde sıralanabilir 7. SEMBOLLER VE KISALTMALAR Sembol La ia Ra ea eb Kb Ki Tm a. Eklemler arası etkileşim azaltılarak, bağımsız eklem kontrolu uygulanmıştır. b. Modelleme hatalarına ve dış bozucu girişlere karşı yüksek mukavemet sağlanmıştır. c. Yüksek ivmeli ve hızlı hareketlerde bile çok iyi geçici durum ve sürekli durum davranışı elde edilmiştir. d. Kontrolcü durum değişkenleri üzerinde kolaylıkla sınırlama yapmaya imkan vermektedir. Böylece, manipülatörde daha küçük, hafif ve ucuz θ ω 105 Açıklama Armatür endüktansı(Henry) Armatür akımı(amp) Armatür direnci(ohm) Armatür voltajı(V) Geri besleme voltajı(V) Geri besleme voltaj katsayısı(V.sn/rad) Akım-dönme momenti katsayısı(N.m/amp) Motorun ürettiği dönme momenti(N.m) Motor milinin açısal yer değiştirmesi(rad) Motor milinin açısal hızı(rad/sn) Caner ve Eroğlu 8. KAYNAKLAR 1. Eroğlu, M, “Computer Simulation of Robot Dynamics”, Robotica Volume 16, 1998, pp. 615621. 2. Tarn, T.J., Zuofeng L., Bejczy, A,K ve Yun, X., “Nonlinear Robot Arm Control Through Third Motor Model”, IFAC Symp. Robot Control, 1988, pp. 53-58. 3. Somlo, J., Cat, P.T., “Robust Adaptive Control of Robot Manipulators”, IFAC Symp. Robot Control, 1988, pp. 151-156. 4. Chen, Y.H., Pandey, S., “Robust Hybrid Control of Robot Manipulators”, IEEE International Conferance V.1 on Robotic and Automation, 1989, pp. 236-241. 5. Maday, C.J., Feedback Control Systems for Time Response, Instrument Society of America, U.S.A.,1987. 6. Koivo, A.J., Fundamentals For Control of Robotic Manipulators, John Willey and Song Inc., Canada,1989. 7. Caner, U., İki Serbestlik Dereceli Robot Kolunun Dinamik Analiz ve Kontrol Simülasyonu, Y. Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü,2002. 106 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 MODAL TESTTE KARŞILAŞILAN SİSTEMATİK HATALARIN DÜZELTİLMESİ Orhan ÇAKAR İ.T.Ü. Makina Fakültesi, Gümüşsuyu 80191, İSTANBUL cakaro@itu.edu.tr Kenan Yüce ŞANLITÜRK İ.T.Ü. Makina Fakültesi, Gümüşsuyu 80191, İSTANBUL sanliturk@itu.edu.tr ÖZET Günümüzde, yapıların dinamik davranışlarının belirlenmesinde analitik ve sonlu elemanlar gibi sayısal yöntemlerin yanında son derece gelişmiş elektronik cihazlarla birlikte özel yazılımların kullanıldığı modal test tekniği de yaygın ve oldukça etkili bir şekilde kullanılmaktadır. Bu test doğrudan yapı üzerinde gerçekleştirildiği için elde edilen sonuçların diğer yöntemlere göre daha doğru ve güvenilir olması beklenir. Ancak modal test sisteminden kaynaklanan ve sistematik hatalar olarak adlandırılan transdüser kütle yük etkisi, mesnet etkileri ve yapı-sarsıcı etkileşimi gibi bir takım mekanik hatalar mevcuttur. Bu etkiler böyle bir testten elde edilen verilerin kalitesini ve dolayısı ile be verilerle yapılacak analizlerin doğruluğunu olumsuz yönde etkilemektedir. Daha başarılı bir modal analiz ve diğer uygulamalar için istenmeyen bu etkilerin ölçülen veriler üzerinden kaldırılması gerekir. Bu çalışmada, mekanik etkilerden transdüser kütlesi ve askı yayı etkilerini, ölçülmüş frekans tepki fonksiyonları (FTF) üzerinden kaldırılmak için Sherman-Morrison formülüne dayalı olarak geliştirilen yeni bir yöntem sunulmaktadır. Yapılan nümerik ve deneysel simülasyonlar, yöntemin oldukça etkili ve başarılı olduğunu göstermektedir. Anahtar Kelimeler: Modal test, frekans tepki fonksiyonu, sistematik hatalar. CORRECTION OF SYSTEMATIC ERRORS IN MODAL TESTING ABSTRACT As well as analytical and numerical methods such as finite element method, modal testing is used effectively nowadays in order to determine the dynamic behaviour of structures. Because modal testing is performed directly on the structure, it is expected that the results of modal testing are more reliable than those of other methods. However, there are some unavoidable experimental error sources originating from the measurement process and experimental set-up, which can be categorized as systematic errors such as mechanical errors including mass loading effects of transducers, support effects and shaker-structure interaction. These adversely affect the quality of the measured data and the reliability of further analyses. For a successful experimental modal analysis and other applications, it is desirable to eliminate these undesirable and unwanted effects from the measured data. In this study, a new method based on Sherman-Morrison identity is presented to eliminate the mechanical errors, i.e. transducer mass-loading and suspension effects, from measured frequency response functions (FRFs). Numerical and experimental simulations show that the proposed method is very effective. Keywords: Modal testing, frequency response function, systematic errors. 1. GİRİŞ Modal test, bir sistemin bilinen bir kuvvet ile tahrik edilerek cevaplarının ölçülmesi, bunların analiz edilmesi ve sonuçta bir matematiksel modelin kurulmasından oluşmaktadır [1]. Bu test doğrudan yapı üzerinde gerçekleştirildiği için elde edilen sonuçların, sonlu elemanlar gibi diğer yöntemlerle elde edilenlere göre daha doğru ve güvenilir olduğu kabul edilmektedir. Ancak deneysel ölçümlerde her zaman var olan parazitler ile modal test sisteminden kaynaklanan ve sistematik hatalar olarak adlandırılan transdüser kütle yük etkisi, mesnet etkileri ve yapı-sarsıcı etkileşimi gibi bir takım mekanik hatalar, böyle bir testten elde edilen verilerin kalitesini ve dolayısı ile bunlarla yapılacak analizlerin doğruluğunu olumsuz yönde etkilemektedir [2-5]. Yapı üzerine uygulanan kuvveti ve yapının gösterdiği tepkiyi ölçmek üzere yapıya bağlanan transdüserler yapının dinamik özelliklerini değiştirirler ve doğal frekansların gerçek değerlerinden sapmasına neden olurlar [1,6,7]. Özellikle bu transdüserlerin yapı üzerinde farklı noktalara taşınması suretiyle ölçülen FTF ‘lere global eğri uydurma teknikleri uygulandığında FTF ‘ler arasındaki uyuşmazlıklar bazı sorunlara neden olmaktadır. Genellikle modal test uygulamalarında bu etki ihmal edilmektedir. Köprü ve uçaklar gibi Çakar ve Şanlıtürk büyük yapılar incelenirken bu etki ihmal edilebilir, ancak, hafif yapılar incelendiğinde transdüserlerin kütle etkisi önemlidir ve bu etkilerin ölçülen FTF ‘ler üzerinden kaldırılması gerekir. Dohrmann [14], mesnet şartlarının ölçülen modal parametreler üzerindeki etkilerini incelemişlerdir. Çalışmada mesnetin sönümü de dikkate alınmış ve az sönümlü bir sistemde rijit cisim modu en düşük elastik mod frekansının %10 ‘undan büyük olmaması durumunda bile ölçülen sönümlerin gerçek değerinden uzak olduğu görülmüştür. Transdüser yük etkisinin sürüş noktası (driving point) FTF ‘leri üzerinden kaldırılması problemi çok önceden çözülmüştür [5]. Ancak transfer FTF ‘ler üzerinden bu etkilerin kaldırılması o kadar kolay değildir. Bununla ilgili olarak Decker ve Witfeld [8] tarafından FTF ‘leri kullanarak yapısal modifikasyon (SMURF) tekniğine dayalı bir yöntem sunulmuş ve sürüş noktası FTF ‘sinin bilinmesi durumunda transfer FTF üzerindeki transdüser yük etkisinin kaldırılabileceği gösterilmiştir. Silva vd., [9,10], ise yapıları dinamik olarak ayırma/bağlama (coupling/uncoupling) tekniğine dayalı olarak bir yöntem sunmuşlardır. Bu yöntemde, yardımcı bir kütle kullanılmak suretiyle yapılan ilave ölçümlerle, bazı FTF ‘lerin ölçülmeksizin hesabı da mümkün olmaktadır. Transdüser yük etkisinin kaldırılması için diğer bir çalışma da Ashory [11] tarafından yapılmıştır. Ashory ‘nin tekniği ise farklı ağırlıktaki iki transdüser ile ölçümün tekrarlanmasına dayanmaktadır. Transdüser kütlesinin kaldırılması için sunulan bu çalışmalardaki en önemli dezavantaj; verilerdeki parazitlere karşı oldukça duyarlı olmaları ve pratikteki uygulanabilirliklerinin zor olmalarıdır. Diğer taraftan, transdüser kütlesinin doğrusal yöndeki etkisinin yanında açısal yönlerdeki etkilerinin de dikkate alınması gerektiğini McConnel [12] göstermiştir. Ancak yapıya moment uygulamadaki ve açısal cevapların ölçülmesindeki zorluklar bunu güçleştirmektedir. Bu etkinin FTF ‘lerden kaldırılması ile ilgili olarak literatürde Ashory [11] ‘nin bir çalışması vardır. Ashory ‘nin geliştirdiği yöntem yapısal modifikasyon tekniğine dayanmaktadır. Bir noktadan asılan yapıdaki askı yayının etkisini kaldırmak için yapı farklı katılığa sahip üç kordon ile ayrı ayrı asılarak, FTF ölçümü üç defa tekrarlanmaktadır. Bu sayede askı yayının asıldığı noktadaki FTF ‘de ölçülmeden hesaplanabilmekle beraber ölçümün üç defa tekrarlanması yöntemin uygulanabilirliğini zorlaştırmaktadır. Yapının iki ayrı noktadan asılması durumunda ise bu ölçümlerin dokuz defa tekrarlanması gerekmektedir. Bu bakımdan halen pratik bir çözüme ihtiyaç duyulmaktadır. Munsi vd., [15], hafif bir yapının modal analizinde askı yaylarının etkilerini incelemişlerdir. '8' biçimindeki bir yapı üzerinde yapılan incelemede, ince ve hafif bir askı kordonu kullanılması halinde asma konumlarının doğal frekanslar üzerinde önemli bir etki oluşturmadığı, ancak, daha kalın bir kordon kullanıldığında sönüm etkisinden dolayı bazı modların kaybolduğu görülmüştür. FTF ‘ler üzerindeki transdüser kütle etkilerinin kaldırılması amacıyla Cakar ve Şanlıtürk [16], Sherman-Morrison formülüne dayalı olarak geliştirdikleri bir tekniği sunmuşlardır. Gerek nümerik simülasyon ve gerekse deneysel uygulamada yöntem oldukça başarılı sonuçlar vermiştir. Ancak yöntemin bütün FTF matrisini kullanması deneysel uygulamalar açısından bir dezavantaj olarak görülebilir. Çünkü tipik bir modal testte FTF matrisinin bir kolonu veya bir satırı oluşturulmaya çalışılır. Bu çalışmada, bir önceki çalışmadaki bu dezavantaj giderilmeye çalışılmış, Sherman-Morrison formülüne dayalı olarak genel bir modifikasyon formülü geliştirilmiş ve hem transdüser kütle etkisinin hem de mesnet etkilerinin kaldırılması amacıyla kullanılmıştır. Modal testteki sistematik hatalardan biri de incelenen yapının asılmasında kullanılan askı elemanlarının etkileridir. Yapılar, genellikle serbest sınır şartlarını sağlamak üzere hafif elastik kordonlarla asılarak veya uçak gibi büyük yapılarda olduğu gibi hava yastıkları üzerinde veya teker lastiklerinin havaları indirildikten sonra test edilirler. Bu durumda kullanılan bu elastik elemanlar yapının dinamik özelliklerini değiştirerek rijid mod frekansının normal bir mod gibi algılanmasına neden olabilmektedir. Bu rijit mod frekansının, en küçük eğilme frekansının %20 ‘sinden daha büyük olması durumunda diğer modların etkilenmesi de kaçınılmaz olur [7]. Pratikte, yapılar mümkün olduğu kadar titreşim esnasında hareketsiz kalan noktalarına yakın yerlerden asılmaya çalışılırlar. Ancak buna rağmen bu etkiden kaçınmak mümkün olmamaktadır. 2. SİSTEMATİK HATALARIN YAPISAL MODİFİKASYON YÖNTEMİ İLE GİDERİLMESİ Yapısal modifikasyon, bir yapının kütle ve katılık gibi fiziksel parametrelerinde yapılan değişiklikler sonucunda dinamik özelliklerinin nasıl etkilendiğinin belirlenmesidir. Modal testte, yapı üzerine bağlanan transdüserler ve elastik kordonlar da yapıda bir kütle ve katılık modifikasyonu meydana getirirler. Buna göre, yapı üzerinde yapılacak negatif kütle ve yay modifikasyonları ile Sistematik hataların önemli olduğu modal test uygulama alanlarından biri de teorik modellerin deneysel modellere uygun hale getirilmesidir. Böyle bir uygulama için, Lindholm ve West [13], askı elemanlarının katılığının bir çubuğun doğal frekanslarını ve mod biçimlerini nasıl etkilediğini farklı uzunluk ve kalınlıktaki elastik kordonları kullanarak incelemeye çalışmışlardır. Carne ve 108 Modal Testte Karşılaşılan Sistematik Hataların Düzeltilmesi olur. Burada [∆Z]; gerçek FTF ‘lere ulaşılabilir. Bu bölümde, transdüser kütlesi ve askı yayının etkisini kaldırmak amacıyla Sherman-Morrison formülüne dayalı olarak genel bir modifikasyon formülü geliştirilmiştir. [∆Z]= [∆K]ω2[∆M]+iω[∆C]. biçiminde ifade edilen modifikasyon matrisidir. Bu modifikasyon matrisi [ Z]={u}{v}T gibi iki vektörün çarpımı olarak ifade edilir ve empedans ile reseptans arasındaki [Z]-1=[ ] bağıntısı da göz önüne alınırsa, modifiye edilmiş sistemin reseptansı, Sherman-Morrison formülü tarzında aşağıdaki gibi yazılabilir: Sherman-Morrison formülü, mevcut bir matriste yapılan bir değişiklik ile elde edilen yeni matrisin tersini, ilk matrisin tersi ile değişim verilerini kullanarak doğrudan hesaplamaya yarayan bir eşitliktir. Tekil olmayan bir [A] kare matrisinde ={u}{v}T gibi iki vektörün çarpımı şeklinde ifade edilebilen bir değişiklik yapılması sonucu elde edilen (modifiye edilmiş) yeni [A] matrisi, [A] = [A] + {u}{v}T [α* ] = [ Z * ]−1 = [α] − ([ A] −1{u})({v}T [ A] −1 ) (2) 1 + {v}T [ A] −1{u} biçiminde verilen Sherman-Morrison eşitliği ile herhangi bir ters alma işlemine ihtiyaç duyulmaksızın, doğrudan ilk matrisin tersi kullanılarak hesaplanabilir [17]. Bu formül mühendislikte çeşitli amaçlar için kullanılmıştır. (Detaylı bilgi için bakınız; [18, 19]). Yapısal dinamikte, Level, vd., [20], bu formülü modifiye edilmiş bir sistemin reseptanslarını hesaplamak için kullanmışlardır. Şanlıtürk, vd. [21,22], bunu lineer olmayan sistemlere uygulamışlardır. Bu çalışmada ise bu eşitlik FTF ‘ler üzerindeki sistematik hataların kaldırılması için kullanılacaktır. α*ii α*ij α*jj Sym. Cevap i A Kuvvet B sistemindeki [ Z ] = [ K ] − ω [ M ] + iω[C ] 0 T α ( k ) ii 0 α (jik ) α (jjk ) (k ) vk α ki α (kjk ) Sym. 0 α (jjk ) 0 (k ) (k ) α kj α kk u k aktif Sym. (k ) α kk (7) ve buradan herhangi bir FTF için, α*ij = (3) α ij( k ) + uk vk (α (kkk ) α ij( k ) − α ik( k ) α (kjk ) ) 1 + uk vk α (kkk ) (8) genel ifadesi elde edilir. Bu ifade, modifikasyon koordinatı ile ilgili reseptanslara bağlı olarak sadece tek bir reseptans için modifikasyon yapmayı mümkün kılmaktadır. Bu bakımdan (6) ifadesine göre daha kullanışlıdır. Burada [M], [C] ve [K] sırasıyla kütle, sönüm ve katılık matrisleridir; ω doğal frekans ve i = − 1 . Şekil 1 ‘de görüldüğü gibi bir A sistemi kendisine bağlanan başka bir B sistemi ile modifiye edildiğinde yeni sistemin empedansı; [Z*]=[Z]+ [∆Z] (6) α ik( k ) α (jkk ) − α (kkk ) α ik( k ) 0 α (jkk ) 0 α (kkk ) u k T (k ) 0 α ii 1 + 0 α (jik ) v α ( k ) k ki Bir sistemin dinamik katılığı veya empedansı aşağıdaki ifade ile verilmektedir: 2 α*ik α ii( k ) α ij( k ) α (jjk ) α*jk = * α kk Sym. α (k ) α (k ) ij ii α (jjk ) Sym. k j Şekil 1. Bir modifikasyon koordinatlar. ([α]{u})({v}T [α]) . 1 + {v}T [α]{u} Burada [α], incelenen sistemin bütün reseptanslarını içermektedir. Teorik uygulamalarda bu matrisin tümünü oluşturmak mümkün olmakla beraber deneysel açıdan tüm FTF 'leri ölçmek pratik bir yaklaşım değildir. Modal testte genel olarak FTF matrisinin sadece bir kolonu veya bir satırı oluşturulmaktadır. FTF matrisinin bir satırını veya bir sütununu kullanarak yapılacak bir modal analizden sonra tüm FTF ‘leri elde etmek mümkün olmakla birlikte ölçülmüş FTF ‘lerdeki mevcut uyuşmazlıklar böyle bir hesaptan sonra elde edilecek FTF ‘lerin doğruluğuna olan güveni azaltır. Bununla birlikte bu ifade daha yakından incelendiğinde sadece modifikasyondan etkilenen FTF ‘ler için yazılabileceği görülebilir [23]. Şekil 1 ‘de i, j ve k ile gösterilen cevap, tahrik ve modifikasyon koordinatları (aktif koordinatlar) göz önüne alınırsa bunlara bağlı olarak (6) ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir: (1) biçiminde yazılabilir. Eğer [A] matrisinin tersi olan [A]-1 önceden hesaplanmış ise değişiklikten sonra elde edilen yeni matrisin tersi [A*]-1 , [ A*]−1 = [ A] −1 − (5) (4) 109 Çakar ve Şanlıtürk 3. TRANSDÜSER KÜTLE YÜK ETKİSİNİN KALDIRILMASI amaç ilave kütle bağlı iken ölçülen FTF ‘lere 29.4 g ‘lık negatif bir modifikasyon yaparak ilave kütlesiz olarak yapılan ölçümlere ulaşmaktır. Modal testte yapıya bağlanan transdüserlerin yapıda bir kütle modifikasyonu oluşturduğu düşünülebilir. Buna dayanarak ölçülen FTF ‘ler üzerinde negatif bir kütle modifikasyonu yaparak gerçek FTF ‘ler elde edilmesi mümkün gözükmektedir. Bu durumda transdüser kütlesinden (m) oluşan modifikasyon matrisi aşağıdaki gibi yazılabilir: 0 [∆Z ] = u k 0 T İvme ölçer B&K4384 T 0 0 0 2 v k = 1 − ω (-m) . 0 0 0 İlave kütle 29.4 g (9) uk=1ve vk= 2m değerleri ile modal test açısından modifikasyon koordinatının cevap ölçüm koordinatı ile aynı olduğu, yani k=i , göz önüne alınırsa, (8) ‘den transdüser kütle etkisi kaldırılmış FTF aşağıdaki gibi bulunur: α *ij = α ij(i ) 1 + ω 2 mα ii(i ) . Şekil 2. Deney sistemi (U-çerçeve). (10) Buna göre, transdüserin konulduğu noktadaki noktasal FTF (point FRF) ‘in ölçülmesi halinde herhangi bir transfer FTF üzerindeki transdüser kütle etkisi kaldırılabilir. Not olarak belirtmek gerekir ki bu denklemin Decker ve Witfeld [8] tarafından geliştirilene benzemesi şaşırtıcı değildir. Ayrıca yukarıdaki formülasyonda transdüser kütlesinin tek yönde etkidiği farz edilmiştir. Benzer formülasyon çok yönlü ölçümler için de geliştirilebilir. Şekil 3 ve 4 ‘de sırasıyla bir transfer ve bir noktasal FTF için ilave kütleli olarak ölçülen, ilave kütlesiz olarak ölçülen ve sunulan yöntem ile düzeltilmiş FTF ‘lerin karşılaştırmaları kütle tesirinin en fazla olduğu modlar için verilmiştir. Görüldüğü gibi transdüserin kütlesi doğal frekansların gerçek değerinden daha küçük ölçülmesine neden olmaktadır. Geliştirilen yöntem ile bu ilave kütlenin etkisi kaldırıldıktan sonra elde edilen doğal frekanslar gerçek değerleri ile tam olarak uyuşmasa da oldukça yaklaşmaktadır. Zaten böyle bir simülasyonda tam bir uyum beklememek gerekir. Çünkü, bu uygulamada transdüserin sadece bir yöndeki etkisi göz önüne alınmıştır. Oysa, gerçekte, transdüserin kütlesi yanında kütlesel atalet momentinin de etkisi vardır ve altı yönde de etkimektedir. Geliştirilen yöntem, tüm yönlerdeki etkilerin kaldırılmasına uygun olmakla beraber, özellikle yapıya pratik olarak moment uygulanmasının zor olması ve açısal yönlerdeki cevapların ölçülmesindeki zorluklar bu etkilerin tamamının kaldırılmasını zorlaştırmaktadır. Diğer taraftan, tekrarlanan ölçümlerde darbe çekici ile her defasında kuvvetin aynı noktaya aynı doğrultuda uygulanamaması da sonucu etkilemektedir. Deneysel Uygulama Transdüser kütle etkisini doğrudan deneysel olarak ölçülen FTF ‘ler üzerinde göstermek ve bu etkiyi geliştirilen yöntem ile kaldırmak amacıyla Şekil 2 ‘de görülen 480 g ağırlığında bir U-çerçeve üzerinde FTF ölçümleri yapılmıştır. Ölçümde B&K4384 tipi ivme ölçer kullanıldı ve kütle etkisini daha da belirginleştirmek için mıknatıslı tabla ile yapıya tutturuldu. Bu şekilde yapılan ölçümlerden elde edilen FTF ‘ler ‘gerçek’ olarak nitelendirildi. Yapıya bağlanan ivme ölçerin etkisini görmek amacıyla, ivme ölçer ile mıknatıslı tablanın toplam kütlesine eşdeğer 29.4 g ‘lık ilave bir kütle transdüserin bağlandığı noktaya tutturuldu ve ölçümler tekrarlandı. Bu ölçümlerden elde edilen FTF ‘ler ise ‘ölçülen’ olarak nitelendirildi. Bu uygulamadaki 110 Modal Testte Karşılaşılan Sistematik Hataların Düzeltilmesi Şekil 3. ‘Ölçülen’, düzeltilmiş ve ‘gerçek’ transfer FTF ‘lerin karşılaştırılması. Şekil 4. ‘Ölçülen’, düzeltilmiş ve ‘gerçek’ noktasal FTF ‘lerin karşılaştırılması. 4. ASKI YAYI ETKİSİNİN KALDIRILMASI Deney esnasında yapının asılmasında kullanılan elastik elemanların katılık etkisi, ölçülen FTF üzerinde bir ucu sabit negatif bir katılık modifikasyonu yapılarak kaldırılabilir. Bu durumda askı elemanının yay sabitinden (k) oluşan modifikasyon matrisi aşağıdaki gibi yazılabilir: 0 [∆Z ] = u k 0 T T 0 0 0 v k = 1 − k . 0 0 0 (11) Burada, uk=1ve vk=k ‘dır ve bunlar (8) ‘de kullanılarak, askı yay etkisi kaldırılmış FTF aşağıdaki gibi bulunabilir: Çakar ve Şanlıtürk α *ij = α ij( k ) − k (α (kkk ) α ij( k ) − α ik( k ) α (kjk ) ) 1 − kα (kkk ) . alındığında sistemdeki k3, askı yayını temsil etmektedir. Dolayısı ile hesaplanan bu FTF 'ler burada ‘ölçülen’ olarak nitelendirilmiştir. İkinci bir grup FTF ‘de k3 yayı yok iken yani sistem serbest sınır koşullarında iken hesaplanmıştır ki bunlar ulaşılmak istenen gerçek FTF ‘leri temsil etmektedir. Bu uygulamada ölçülen FTF ‘ler üzerinde k3 kadarlık bir modifikasyon yapılarak elde edilen FTF ‘lerin gerçek FTF ‘lerle olan uyumluluğu incelenecektir ve bu uyum yöntemin geçerliliğini gösterecektir. (12) Bu denkleme göre herhangi bir FTF üzerinden askı yayının etkisini kaldırmak için askı yayının bağlandığı koordinatta yani modifikayon ) koordinatındaki noktasal FTF ( α (k kk ) ile cevap- modifikasyon ve tahrik-modifikasyon koordinatları arasındaki transfer FTF ‘ler ( α ik(k ) ve α (kjk) ) ‘in de ölçülmesi gerekir. Bu uygulamada deneysel ölçümlere uygunluğu bakımından reseptans yerine ivme tipindeki FTF ‘ler kullanılacaktır. Reseptans ile ivme tipindeki FTF arsında A=-ω2α bağıntısı olduğu hatırlanarak, Burada (12) denklemi elde edilirken incelenen sistemin sadece bir noktadan elastik olarak mesnetlendiği düşünülmektedir. Oysa deneysel uygulamalarda genellikle yapı iki veya daha fazla noktadan asılabilir. Bu durumda kullanılan mesnet sayısı kadar arka arkaya modifikasyon yaparak gerçek FTF ‘ler elde edilebilir. ( 3) ‘ölçülen’ ivme tipindeki transfer FTF A12 üzerindeki k3 askı yayının etkisini kaldırmak için (12) denkleminden, i=1, j=2 ve k=3 yazarak, 4.1 Nümerik simülasyon x1 ( 3) * = A12 − A12 x2 k1 m m c1 ( 3) ω 2 + k 3 A33 ( 3) ve noktasal FTF ‘lerden A11 için de x3 k2 (3) ( 3) k 3 A13 A32 k3 ( 3) * = A11 − A11 m ( 3) 2 ) k 3 ( A13 ( 3) ω 2 + k 3 A33 ifadesi yazılabilir. Bu iki FTF için 'ölçülen', düzeltilen ve gerçek FTF ‘ler şekil 6 ve 7 ‘de karşılaştırılmıştır. Bu şekillerde görüldüğü gibi k3 yayının kullanılması serbest durumdaki doğal frekansların bir miktar ötelenmesine ve sıfır olan rijid cisim frekansının da normal bir doğal frekansmış gibi gözükmesine neden olmaktadır. Modifikasyon yapıldıktan sonra elde edilen FTF ‘lerin serbest sınır şartı durumundaki gerçek FTF ‘lerle tamamen uyuştuğu her iki şekilde de açıkça görülmektedir. c2 Şekil 5. Bir yayla mesnetli üç serbestlik dereceli mekanik bir sistem. Örnek olarak şekil 5 ‘de verilen üç serbestlik dereceli mekanik bir sistem göz önüne alınarak FTF ‘leri hesaplanmıştır. Deneysel ölçümler göz önüne Şekil 6. "Ölçülen", düzeltilen ve gerçek FTF A11. 112 Modal Testte Karşılaşılan Sistematik Hataların Düzeltilmesi Şekil 7. "Ölçülen", düzeltilen ve gerçek FTF A12. önüne alınmakla beraber sistemin iki veya daha fazla yerden asılması durumunda arka arkaya yapılacak modifikasyonlarla tüm askı elemanlarının etkilerini kaldırmak mümkündür. Bundan sonraki çalışmalarda, yöntemin birden fazla elastik kordon kullanılması durumu ve özellikle gerçek deneysel verilerdeki performansı incelenecektir. 4.2 Sonuçlar ve Genel Değerlendirme Modal testte, transdüserlerin kütlesi ve askı yayları ölçülen FTF ‘lerin doğruluğunu etkileyen önemli sistematik hatalardandır. Bu çalışmada, bu etkilerin ölçülmüş FTF ‘ler üzerinden kaldırılması amaçlanmıştır. Bu amaçla matris teorisinden bilinen Sherman-Morrison formülüne dayalı olarak genel bir modifikasyon denklemi geliştirilmiş ve bu denklem transdüser kütlesinin ve askı yayının etkisinin kaldırılmasında kullanılmıştır. 5. KAYNAKLAR 1. 2. Transdüser kütlesini kaldırmak amacıyla yapılan deneysel simülasyon da yöntemin başarılı olduğu görülmekle beraber transdüserin diğer yönlerdeki etkilerinin de dikkate alınmasının düzeltme başarısını artıracağı anlaşılmaktadır. Diğer taraftan burada darbe çekici kullanılarak yapılan testler göz önüne alınmıştır. Bu tip bir ölçümde ivme ölçer hep aynı noktada kalırken çekiç diğer noktalara taşınmaktadır. Bu bakımdan transdüser etkisini kaldırmak için ihtiyaç duyulan noktasal FTF rahatlıkla ölçülebilmektedir. Ancak sarsıcı kullanılarak yapılan bir testte ivme ölçer yapı üzerinde gezdirildiğinden her defasında ihtiyaç duyulan noktasal FTF ‘yi ölçmek için sarsıcıyı transdüserin bulunduğu noktaya taşımak gerekir ki bu pratik değildir. Bu bakımdan yöntemin sarsıcı testlerinde de pratik olarak uygulanmasını sağlamak için geliştirilmesi gerekir. 3. 4. 5. 6. İncelenen yapıda serbest sınır şartlarını sağlamak için kullanılan elastik elemanın etkisini kaldırmak amacıyla yöntem üç serbestlik dereceli mekanik bir sistem üzerinde nümerik simülasyon yapılarak denenmiş ve oldukça başarılı sonuçlar elde edilmiştir. Burada tek bir yay modifikasyonu göz 7. 8. 113 Ewins, D.J., Modal Testing: Theory, Practice and Applications. Second Ed., Research Studies Press, 2000. Marudachalam K., and Wicks, A.L., “An Attempt to Quantify The Errors in The Experimental Modal Analysis”. Proceedings of the 9th International Modal Analysis Conference, 1991, 1522-1527. Wicks, A.L., “The Quality of Modal Parameters from Measured Data”. Proceedings of the 9th International Modal Analysis Conference, 1991, 1623-1625. Jung, H. and Ewins, D.J., “On the Use of Simulated ‘Experimental’ Data for Evaluation of Modal Analysis Methods”. Proceedings of the 10th International Modal Analysis Conference, 1992, 421-429. Mitchell, L.D., “Modal Test Methods-Quality, Quantity and Unobtainable”, Sound and Vibration, November 1994, 10-16,. Dossing, Ole, “Prediction of Transducer MassLoading Effects and Identification of Dynamic Mass”, Proceedings of the 9th International Modal Analysis Conference, 1991, 306-312. McConnell, K.G., Vibration Testing, Theory and Practice, John Willey & Sons, Inc, 1995. Decker, J., and Witfeld, H., “Correction of Transducer-Loading effects in Experimental Çakar ve Şanlıtürk 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. Modal Analysis”. Proceedings of the13th International Modal Analysis Conference, 1995, 1604-1608. Silva, J.M.M., Maia, N.M.M., and Ribeiro, A.M.R., “Some Application of Coupling/Uncoupling Techniques In Structural Dynamics-Part 1: Solving the Mass Cancellation Problem”. Proceedings of the15th International Modal Analysis Conference, 1997, 1431-1439. Silva, J.M.M., Maia, N.M.M., and Ribeiro, A.M.R., “Cancellation of Mass-Loading Effects of Transducers and Evaluation of Unmeasured Frequency Response Functions”. Journal of Sound and Vibration, 2000, 236(5), 761-779. Ashory, M.R., “Correction of Mass Loading Effects of Transducers and Suspension Effects in Modal Testing”. Proceedings of the13th International Modal Analysis Conference, 1998, 815-823. McConnell, K.G., and Cappa, P., “Transducer Inertia and Stinger Stiffness Effects on FRF Measurements”. Mechanical Systems and Signal Processing, 2000, 14(4), 625-636. Lindholm, B.E. and West, R.L., “Determination of Suspension Effects by Direct Experiments and Comparisons to an Analytical Model”, Proceedings of the 12th International Modal Analysis Conference, 1994, 262-268. Carne, G.T. and Dohrmann, C.R. “Support Conditions, Their Effect on Measured Modal Parameters”, Proceedings of the 16th International Modal Analysis Conference, 1998, 477-483. Munsi, A.S.M.Y., Waddel, A.J. and Walker, C.A., “Modal Analysis of A Lightweight Structure-Investigation of The Effects of The Supports on The Structural Dynamics”, Mechanical Systems And Signal Processing, 2002, 16(2-3), 273-284. Cakar, O., and Sanliturk, K.Y., “Elimination of Noise and Transducer Effects From Measured Response Data”, Proceedings of ESDA2002: 6th Biennial Conference on Engineering Systems Design and Analysis, Istanbul, Turkey, 2002, APM055 on CD. Sherman, J., and Morrison, W.J., “Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to a Change in one Element of a Given Matrix”, Annals of Mathematical Statistics, 1950, 21(1), 124-127. Hager, W.W., “Updating The Inverse of A Matrix”, SIAM Review, 1989, 31(2) , 221-239. Akgün, M.A., Garcelon, J.H. and Haftka, R.T. “Fast Exact Linear and Non-Linear Structural Reanalysis and the Sherman-MorrisonWoodbury Formulas”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2001, 50, 1587-1606. Level, P., Moraux, D., and et. al., “On A Direct Inversion of The Impedance Matrix in Response Reanalysis”, Communications in Numerical Methods in Engineering, 1996, 12, 151-159.. 21. Sanliturk, K.Y., Ewins, D.J., Elliot, R., and Green, S.J., “Friction Damper Optimization: Simulation of Rainbow Tests”, ASME Journal of the Engineering for Gas Turbines and Power, 2001, 123(4), 930-939. 22. Sanliturk, K.Y., Ewins, D.J., and Stanbridge, A.B., “Underplatform Dampers for Turbine Blades: Theoretical Modeling, Analysis and Comparison with Experimental Data”, ASME Journal of the Engineering for Gas Turbines and Power, 2001, 123(4), 919-929. 23. Sanlitürk, K.Y., “An Efficient Method For Linear and Nonlinear Structural Modifications”, Proceedings of ESDA2002:6th Biennial Conference on Engineering Systems Design and Analysis, 2002, Istanbul, Turkey, APM028. 114 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 GEREĞİNDEN ÇOK SERBESTLİK DERECELİ ROBOT KOLLARININ YÖRÜNGE PLANLAMASI İÇİN GELİŞTİRİLMİŞ BİR YAZILIM Erdinç Şahin ÇONKUR Pamukkale Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü, Çamlık 20017, DENİZLİ, sconkur@pamukkale.edu.tr ÖZET Gereğinden çok serbestlik dereceli robot kolları (redundant manipulators) değişkenlerine sonsuz sayıda çözüm üretebilen robot kolları olarak tanımlanır. Bu tip robot kollarının kinematik kontrolü için gerekli hareket planlama algoritmaları yoğun bir araştırma konusudur. Amaç robotun bir hedef noktaya ulaşması olarak verildiğinde, uzuvlar için uygun yörüngeleri hesaplamak yörünge planlaması (path planning) olarak isimlendirilir. Bu bildiride, potansiyel alan metodunu kullanarak yörünge planlaması yapan C++’da Windows ortamı için geliştirilmiş bir yazılım tanıtılacaktır. Bu yazılımın en önemli özellikleri, engellerin ve robotların ekrana çizilmesi, potansiyel alanın iki ve üç boyutlu görüntülerinin elde edilmesi ve robotların hedefe varmasının gözlemlenmesidir. Anahtar Kelimeler: Gereğinden çok serbestlik dereceli robot kolları, yörünge planlaması, potansiyel alan metodu A PIECE OF SOFTWARE DEVELOPED FOR PATH PLANNING OF REDUNDANT ROBOTS ABSTRACT Redundant manipulators are defined as having an infinite number of solutions to their joint variables. Motion planning algorithms for the kinematic control of this kind of robotic arms are the subject of extensive research. When the task is given as a point that the robot is to reach, computing a feasible joint path sequence is called path planning. In this presentation, a piece of software developed in C++ for Windows platforms is introduced, which performs the path planning of redundant robots using the potential field method. The most important features of the software are to draw obstacles and robots on the screen, to obtain two and three dimensional images of the potential field and to observe robots reaching the goal. Keywords: Redundant robots, path planning, potential field method 1. GİRİŞ Standart sanayi robotlarının en fazla sahip olabileceği serbestlik derecesi altıdır. Sınırlı sayıdaki serbestlik derecesinin sebep olduğu çok sayıda problem vardır. Bunlardan biri, robotun çalışma alanının bir kısmının tekillikler yüzünden kullanılamamasıdır. Bir diğeri ise ters kinematiği için sınırlı sayıda çözüm olmasından dolayı, robotun her zaman çalışma alanında engellerden kaçınacak şekilde kendini ayarlayamamasıdır. Gereğinden çok serbestlik dereceli robot kolları ise engellerden kaçınacak tarzda kollarını istediği gibi ayarlayabilir. Böylece her türlü karışık ortama uyum sağlayabilmesi ve girilmesi zor bölgelere rahatlıkla girmesi mümkündür [1]. Gereğinden çok serbestlik dereceli robot kolları için gerekli kinematik hareket planlama algoritmaları iki ana bölümde incelenir. Robot işlem elemanın uç noktasının hareket edeceği yörünge çalışma alanında verilmişse, buna uyan eklem değişkenlerinin hesabına gereğinden çok eklemli çözümleme (redundancy resolution) denir. Amaç bir hedef noktaya ulaşmak olarak verildiğinde, uzuvlar için uygun yörüngeleri hesaplamak yörünge planlaması (path planning) olarak isimlendirilir [2]. Potansiyel alan metodu yörünge planlaması için kullanılan önemli metotlardan biridir [3]. Bu metottaki temel prensip çalışma alanının suni potansiyel kuvvetler etkisinde olduğunun düşünülmesidir. Bu alandaki engeller itme etkisi verirken, hedef noktası çekme etkisi oluşturur. Çalışma alanında herhangi bir engelden dolayı oluşan herhangi bir noktadaki kuvvet, bu iki etkinin toplamı olarak bulunur. Daha sonra bu kuvvet robot kontrolü için kullanılır. Buradaki en önemli problem potansiyel alan metodunun yerel minimumlara sahip olmasıdır. Yani robot hedefe varmadan, hedefe varmış gibi bu yerel minimumlardan birinde takılıp kalır. Bu soruna bulunan çözümlerden biri, belki de en etkilisi, yerel minimumu olmayan potansiyel alanlar oluşturmaktır [4]. Çonkur Bu bildiride, yörünge planlaması için C++’da Windows ortamı için geliştirilmiş bir yazılım tanıtılacaktır. Yazılımda, yörünge planlaması metodu olarak potansiyel alan metodu kullanılmıştır. Kullanımı çok kolay olan bu yazılımda, engeller ve robotlar ekrana çizilir ve robotun hedefe varması gözlemlenir. Ayrıca potansiyel alanın iki ve üç boyutlu görüntüleri bir fare tıklamasıyla elde edilebilir. Yazılım, http://sconkur.pamukkale.edu.tr adresinden indirilerek kullanılabilir. uzuvları hedefe ulaşmadan yerleşik hale gelirse, bu, robot boyunun hedefe ulaşamayacak kadar kısa olduğu anlamına gelir. Potansiyel Alan Kontrol 1 Uzu 2 2. TEORİ Dirichlet sınır şartları artında Laplace denklemiyle tanımlanan bir skaler potansiyel alan aşağıdaki denklemle verilir [5]. ∇ 2Φ = 0 A Şekil 1. Robotun bir uzvu üzerindeki kontrol noktası Bir nokta robot için herhangi bir alan çizgisi, herhangi bir noktadan engellere çarpmadan hedef noktasına varmayı garantiler. Rijit uzuvlardan oluşan seri robot kolları için ise bu garanti yoktur. Özellikle keskin manevra gerektiren hallerde robot uzuvları engellerle çarpışabilir. Bu çarpışmanın engellenmesi önemli bir araştırma konusudur. (1) Bu denklem kapalı ve sürekli bir Ω bölgesinde geçerlidir. Ω bölgesinin sınırları olan δΩ, engellerin tamamından ve hedef noktasından oluşur. Çalışma alanı üzerine iki boyutta eşit olarak dağıtılmış kapalı ve birleşik bir ızgara yerleştirilir. (1) denklemi bu ızgarada aşağıdaki kısmi diferansiyel denklem ile temsil edilebilir. Φ (i, j ) = 1 4 ( Φ ( i +1, j ) + Φ ( i −1, j ) + Φ ( i , j + 1 ) + Φ ( i , j −1 ) ) 3. YÖRÜNGE PLANLAMA YAZILIMI Önceden de bahsedildiği gibi bu yazılımın amacı gereğinden çok serbestlik dereceli robot kollarını yörünge planlamasını Windows ortamında yapmaktır. Çok az bir tecrübe ile kullanılabilen bu yazılım ile, engeller ve robot ekrana kolaylıkla çizilebilir ve hemen çalıştırılabilir. (2) Burada i, ızgarada x doğrultusundaki, j, ızgarada y doğrultusundaki pozisyonu göstermektedir. Programda bulunan bütün komutlar menülere yerleştirilmiştir. Bu menülerin tanıtımı bir sonraki bölümde yapılacaktır. Hedef noktasına bilgisayarın alabileceği en küçük değer, engel sınırlarına da sıfır değeri verilerek tekrarlı işlemle ızgara üzerindeki her noktanın değeri hesaplanır. Böylece alan içinde bütün ızgara noktalarındaki alan değerleri elde edilir. Izgara noktaları arasında kalan herhangi bir noktadaki alan değeri lineer interpolasyon ile bulunur. Oluşturulan potansiyel alan kullanılarak robotun hareket planlaması aşağıdaki gibi yapılır. 4. MENÜLERİN TANITIMI Bu menülerden File ve Edit menüleri Save ve Print gibi standart komutları içerir. Robot ve engeller daha sonraki kullanımlar için kaydedilebilir, çalışma alanının yazıcıdan çıktısı alınabilir. Settings menüsünde Şekil 2’de görüldüğü gibi çalışma düzeni, robot, hedef ve alan ile ilgili ayarlar yer alır. İstenildiğinde bu ayarlar değiştirilerek farklı çalışma şartları oluşturmak mümkündür. Robot uzuvları üzerinde kontrol noktaları tespit edilir. Bir uzuvdaki kontrol noktalarının iki tarafındaki alan değerlerinin farkı, o uzvun hangi yönde döneceğini belirler [4]. Örneğin Şekil 1’de bir robot kolunun üzerinde tek bir kontrol noktası olan ilk uzvu görülmektedir. Bu kontrol noktasının iki tarafındaki 1 ve 2 nolu noktalardaki alan değerlerinin farkının negatif olduğunu kabul edelim. Bu durumda bu uzuv A noktası etrafında saat yönünde dönecektir. Robot, bu fark işaret değiştirinceye kadar, sabit bir açı değeriyle hareket ettirilir. İşaret değiştirmek demek o uzvun yerleştiği, yani engeller arasında hedefe yöneldiği anlamına gelir. Daha sonra bir sonraki uzuv yukarıdaki gibi hareket ettirilir. Tabii, bir sonraki uzuv her hareket ettiğinde, ilk uzuv da hareket edeceğinden onu tekrar yerleşik hale getirmek gerekir. Bu şekilde bütün uzuvlar her bir hareket sonrasında kontrol edilir. Hedefe varıldığında robot durur. Robotun bütün Şekil 2. Settings Menüsü 116 Gereğinden Çok Serbestlik Dereceli Robot Kollarının Yörünge Planlaması İçin Geliştirilmiş Bir Yazılım Draw menüsünde, kullanıcı tarafından ekrana çizilebilen geometrik şekil seçenekleri vardır (Şekil 3). Basit geometrik şekillerle ifade edilebilen engeller, bu menüde yer alan Line, Rect, Round Rectangle ve Ellipse komutlarıyla çizilir. Daha karışık sınırları olan engeller için ise Polygon seçeneği kullanılabilir. Bu menünün en alt sırasında, robotu ekranda çizmeye yarayan Arm Robot komutu vardır. Şekil 4. Simulate Menüsü View menüsünde bulunan en önemli komutlar, ekrandaki alanın büyük veya küçük olarak görüntülenmesini sağlayan Shrink View komutu ve ızgara çizgilerinin çizilip çizememesini belirleyen Grid Lines komutudur (Şekil 5). Şekil 3. Draw Menüsü Şekillerde gösterilmeyen Object menüsünde iki komut vardır. Bu komutlarla, engellerin sınır çizgi ve dolgu renkleri ayrı ayrı belirlenebilir. Ekrana engeller ve robot çizildikten sonra sıra robotun çalıştırılması ile ilgili komutları içeren Simulate menüsüne gelir (Şekil 4). Önce Find Obstacles ile ekrana çizilen geometrik şekiller alan hesaplanmasında kullanılmak üzere engel haline çevrilir. Iterate komutu ile potansiyel alan hesaplanır. Draw field ile potansiyel alan ekrana çizilir. Eğer alan hızlı fakat daha az hassas olarak çizilmek istenirse Draw Fast kullanılır. Plot 3D komutuyla potansiyel alanın üç boyutlu görüntüsü elde edilir. Field Ready komutu yukarıda bahsedilen Find Obstacles ve Iterate komutlarını arka arkaya çalıştırmaya yarar. Şekil 5. View Menüsü Menülerde çok kullanılan komutlar Şekil 6’de görülen araç çubuklarına yerleştirilmiştir. Herhangi bir ikonun üzerine fareyle gelindiğinde, ikonun çalıştıracağı komutun menülerde olan ismi ortaya çıkar. Böylece hangi ikonun ne işe yaradığı kolayca anlaşılır. Start komutu robotun hareketini başlatır. Bu komutta, art arda olan işlemler bir zamanlayıcı kullanılarak yapılır. Zamanlayıcının değeri 1 ms gibi çok küçük bir değere ayarlansa bile robot hareketi çok yavaş kalmaktadır. Bunun bir sebebi bilgisayarın bu kadar kısa bir zaman aralığını sağlayacak donanıma sahip olmamasıdır. Bu problem, hareketle ilgili işlemler için zamanlayıcı yerine bir for döngüsü kullanarak çözülebilir. Start Fast komutu işte bu işi yapar, yani daha hızlı robot hareketleri üretir. Draw Araç Çubuğu Simulate Araç Çubuğu Restart komutu, robotun ilk durumuna getirilmesini sağlayarak, hedefe ulaşma işleminin tekrar tekrar yapılabilmesine olanak verir. Son olarak, Path komutu ise kollu robotun temelinden hedef noktasına mobil robotlar için yol bulmak ve bu yolu ekrana çizmek için kullanılır. Settings Araç Çubuğu Şekil 6. Araç Çubukları 117 Çonkur Şekil 7b, robotlar Start Fast komutuyla harekete başladıktan bir süre sonraki bir anda çalışma alanını, Şekil 7c ise çalışma alanındaki son durumu göstermektedir. Şekillerden de görüldüğü gibi, sol taraftaki iki robot engellere hedefe ulaşmıştır. Sağ üst köşedeki robot ise en uzun halini aldığı halde boyu yetmediği için hedefe varamamıştır. 5. ÖRNEK Şekil 7a’da görülen çalışma alanı içine Draw araç çubuğunu kullanarak değişik geometrik şekillere sahip engeller çizilmiştir. Çalışma alanının değişik yerlerinde görülen üç adet robot Arm Robot komutu kullanılarak çizilmiştir. Sol alt köşedeki küçük daire ise hedef noktasını göstermektedir. Şekil 7a. Çalışma alanı, hedef, engeller ve robotlar Şekil 7b. Robotlar hareket ettikten sonraki bir an 118 Gereğinden Çok Serbestlik Dereceli Robot Kollarının Yörünge Planlaması İçin Geliştirilmiş Bir Yazılım Şekil 7c. Robotlar son konumları Draw field komutunu kullanarak, bu örnek için oluşturulan potansiyel alanın hedef etrafındaki kısmını çizmek mümkündür (Şekil 8). Bu şekilde, belli aralıklardaki potansiyel alan değerleri, belli renklerle gösterilir. Potansiyel alanı gösteren eğriler, haritalarda yükseklikleri gösteren eş- yükselti eğrilerine benzer. Bir farkla ki, burada hedef noktası en düşük değere sahiptir. Hedef noktasının etrafındaki ilk halka bir üst değer grubunu, sonraki halka bu halkadan sonraki bir üst değer grubunu gösterir. Bu şekilde birkaç kademe gidilir. Şekil 8. Hedef etrafında oluşturulan potansiyel alan potansiyel alan değerleri kullanarak o şekilde oluşturulmaktadır ki, hedef dışındaki herhangi bir noktadan örneğin bir futbol topu serbest bırakılsa, bu top yuvarlanarak daima hedef noktasının içine düşer. Fakat Şekil 8’deki iki boyutlu görüntüyü zihinde canlandırmaya gerek yoktur. Çünkü, Şekil 9’da görülen Plot 3D komutu ile, aynı alanın üç boyutlu görüntüsü elde edilebilir. Bu görüntü, 119 Çonkur Şekil 9. Potansiyel alanın 3 boyutlu görüntüsü Robot harekete başlamadan hemen önce, iterasyon için harcanan zaman, çalışma alanının hemen sağındaki boş bölgede gösterilir. Buradaki örnekte iterasyon zamanı 1 s’den az olduğu için 00 sec ile gösterilmiştir (Şekil 10). 7. KAYNAKLAR 1. Zghal, H., Dubey R. V. ve Euler J. A., “Collision avoidance of a multiple degree of redundancy manipulators operating through a window”, Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, Sayı:114, 1992, pp. 717-721. Bilgi ekranında ayrıca robotların hedefe ulaşıp ulaşmadığı ve ulaşanların ne kadar zaman harcadığı Şekil 10’da görüldüğü gibi iterasyon zamanının hemen altında sırayla raporlanır. 2. Seereera, S. ve Wen J. T., “A global approach to path planning for redundant manipulators”, IEEE Transactions on Robotics and Automation, Cilt: 11, Sayı: 1, 1995, pp. 152159. 3. Khatib, O., “Real-time obstacle avoidance for manipulators and mobile robots”. The International Journal of Robotics Research, Cilt: 5, Sayı: 1, 1986, pp. 90-98. 4. Graham A. ve Buckingham R., “Real time collision avoidance of manipulators with multiple redundancy”, Mechatronics, Cilt: 3, Sayı: 1, 1993, pp. 89-106. Şekil 10. İterasyon ve robotların durumlarıyla ilgili bilgi ekranı 5. Connolly C. I., Grupen R. A., “The applications of harmonic functions to robotics”, Journal of Robotic Systems, Cilt: 10, Sayı: 7, 1993, pp. 931-946. 6. SONUÇ Bu bildiride, potansiyel alan metodu kullanarak gereğinden çok serbestlik dereceli robot kolları için yörünge planlaması yapan C++’da Windows ortamı için geliştirilmiş bir yazılım tanıtılmıştır. Verilen örnekte de görüldüğü gibi, kullanımı oldukça kolay olan bu yazılım ile çok kısa bir zaman içinde istenilen bir yörünge planlaması senaryosu uygulamaya konulabilir. Engelleri ve robotları ekrana çizmek ve robotları çalıştırmak birkaç fare hareketiyle yapılabilmekte, potansiyel alanın iki ve üç boyutlu görüntüleri gibi bir çok ek bilgi de yine kolaylıkla elde edilebilmektedir. 120 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 EKSENEL TİTREŞİM YAPAN ELASTİK ÇUBUKLARDA SÖNÜMLEME ORANININ ANALİTİK VE YAKLAŞIK METODLARLA BELİRLENMESİ Uğur DALLI ASELSAN A.Ş., MGEO Grubu, 06511 Akyurt, Ankara udalli@mgeo.aselsan.com.tr Şefaatdin YÜKSEL Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, 06570 Maltepe, ANKARA, syuksel@gazi.edu.tr ÖZET Bu çalışmada, eksenel titreşim yapan iki ayrı elastik çubuk sistemi için sönüm oranının elde edilmesinde kullanılmak üzere analitik ve yaklaşık çözüm yöntemleri sunulmuştur. Bunlardan birincisi, bir ucu ankastre diğer ucuna yay ve sönümleyici bağlı bir çubuktur. İkincisi, her iki ucu ankastre ve ortada herhangi iki noktada sönümleyici bağlı çubuktur. Her iki sistem sürekli sistemler olarak modellenmiştir. Ele alınan analitik ve yaklaşık çözüm yöntemleri, boyutsuz sönüm katsayısının sönüm oranına etkisi incelenerek karşılaştırılmıştır. Anahtar Kelimeler: Eksenel titreşim, sönüm oranı ANALYTICAL AND APPROXIMATE METHODS FOR DETERMINATION OF DAMPING RATIO IN LONGITUDINALLY VIBRATING ELASTIC RODS ABSTRACT In this study, analytical and approximate solution methods are proposed to determine the damping ratio for two different longitudinal vibrating elastic rods. One of them is fixed at one end and connected to the ground with a spring and a damper at the other end. The second elastic rod is fixed at both ends and damped viscously in-span with two dampers. Both systems are modeled as continuous systems. The proposed analytical and approximate solution methods are compared to each other based on the effect of damping coefficient on damping ratio. Keywords: Longitudinal vibration, damping ratio 1. GİRİŞ Literatürde, köprü, viyadük, vb. eksenel titreşim yapan yapılarda tabii frekans ve sönüm oranı gibi karakteristik değerlerin belirlenmesine yönelik çok çeşitli çalışmalar mevcuttur. Bu tip yapılarda, uygun sönüm oranı elde etmek amacıyla dışarıdan uygulanacak olan sönümleyicilerin özelliklerinin belirlenmesi, büyük önem arz etmektedir. Zarek ve Gibbs [1], farklı sınır şartları olan elastik çubukta kompleks özdeğerleri ve mod şekilleri analitik olarak hesaplamıştır. Oliveto [2], benzer bir problemi çözmek için bir sayısal yöntem sunmuştur. Bu çalışmalarda uygun sönümleyici değerinin seçilmesi ile optimum çözüme gidilebileceği belirtilmiştir. Yang ve Wu [3], farklı sınır şartlarına sahip elastik çubuklarda sönüm oranının ve tabii frekansların hesaplanması için analitik ve sayısal çözüm yöntemleri sunmuşlardır. Bir ucu ankastre diğer ucunda kütle, yay ve sönümleyici bulunan çubuk problemini örnek olarak ele almışlar ve sayısal sonuçlar vermişlerdir. Eksenel titreşim yapan elastik çubuklar üzerine yapılan çalışmalar, kablolar üzerinde yapılan çalışmalara benzerlik göstermektedir. Köprü ve benzeri yapılarda kullanılan kablolar için sistem parametrelerini belirlemek amacıyla benzer çalışmalar yapılmıştır. Kovacs [4] viskoz sönümleyicilerle bağlı kablolarda sönüm oranı hesaplanmasında kullanabilecek bir interpolasyon yöntemi sunmuştur. Pacheco [5] modal sönüm oranı, mode numarası, sönümleyicinin yeri ve kablo parametrelerini birlikte değerlendiren ve sayısal analiz yöntemiyle elde edilen eğriler sunmuştur. Singh [6], ekesenel tireşim yapan bir ucu sabit diğer ucunda sönümleyici bulunan bir çubuk için özdeğerlerin hesaplanmasında kullanılabilecek analitik bir çözüm önermiştir. Hull [7], aynı problemde dışarıdan etkiyen bir eksenel kuvvetin etkisini de dikkate alarak yeni bir analitik çözüm sunmuştur. Hızal ve Gürgöze [8], ortasından bir yerde bir dış sönümleyici takılı, bir ucu sabit ve diğer ucu serbest bir elastik çubukta özdeğerlerin bulunması için sistemi sürekli ve ayrık olarak iki farklı şekilde ele almışlar ve her iki yaklaşımla elde Dallı ve Yüksel edilen sonuçları karşılaştırmışlardır. Yüksel ve Gürgöze [9], eksenel titreşim yapan, her iki ucu sabit ve belirli bir orta noktasından dış sönümleyici bağlanmış çubuğu sürekli sistem olarak ele alarak karakteristik değerleri incelemişlerdir. Kompleks özfrekansların ve sönüm oranının hesaplanmasında kullanılmak üzere basitleştirilmiş bir formül elde etmek için asimptotik çözüm geliştirmişlerdir. Diğer bir çalışmada Yüksel ve Dallı [10], iki değişik noktasına dış sönümleyici bağlı her iki ucu sabit eksenel titreşim yapan bir çubuğu sürekli bir sistem olarak ele alıp, optimum sönümleyici değeri ve monte yerleri ile diğer çubuk parametrelerinin belirlenmesi amacıyla analitik yöntem kullanarak çeşitli eğriler elde etmişlerdir. Sönümleyicilerin “yerel” ve “yerel olmayan” iki farklı şekilde, eksenel titreşim yapan çubuğa bağlanması sonucu oluşan sistemin tabii frekansları ve sönüm oranları, analitik olarak elde edilmiş ve alternatif olabilecek dış sönümleyici monte yerleri karşılaştırılmıştır. uzunluğun kütlesini, elastisite sabitini ve kesit alanını göstermektedir. Sistemin hareket denklemine ait sınır şartları ise aşağıdaki gibidir: u(0, t ) = 0 EAu ′( L, t ) + ku ( L, t ) + du( L, t ) = 0 Analitik Yöntem Eksenel yer değiştirme u(x, t)’nin aşağıdaki formda konum ve zaman olarak ayrılabilir olduğu kabul edilebilir: u( x, t ) = U ( x )e λt d 2U ( x ) − β 2U ( x ) = 0 dx 2 β =λ ∂t 2 (6) U ( x ) = C1e βx + C2 e − βx (7) Şimdi; (2) ve (3) ile verilen sınır şartları ve bu denklem ile verilen çözüm birlikte ele alındığında bilinmeyen C1 ve C2 integral sabitleri için iki bilinmeyenli iki denklem elde edilir. Bu denklemler bir matris denklemi olarak yazılarak katsayıların determinantı sıfıra eşitlendiğinde, aşağıdaki karakteristik denklem elde edilir: Bir ucu ankastre diğer ucuna yay ve sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan elastik çubuk modeli Şekil 1’de gösterilmiştir. Bu sistem için hareket denklemi aşağıdaki kısmi diferansiyel denklem ile ifade edilir: ∂x 2 m EA şeklinde tanımlanmıştır. Bu diferansiyel denklemin genel çözümü şu şekildedir: 2.1. Bir ucu ankastre diğer ucunda yay ve sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan elastik çubuk ∂ 2 u ( x, t ) (5) Bu ifadede, Eksenel titreşim yapan iki değişik sistem modeli ele alınmıştır. İlk olarak, bir ucu ankastre diğer ucunda yay ve sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan elastik çubuk ele alınmıştır. İkinci olarak ise her iki ucu ankastre ve herhangi iki orta noktasında dış sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan elastik çubuk incelenmiştir. =m (4) Burada U(x) ve λ sırasıyla bilinmeyen genlik fonksiyonunu ve karakteristik özdeğeri ifade etmektedir. Bu kullanılarak, özdeğer problemi aşağıdaki gibi elde edilir: 2. MATEMATİK MODEL VE TEORİ ∂ 2 u ( x, t ) (3) Yukarıdaki eşitliklerdeki üst ayırma çizgisi ve noktalar sırasıyla x konum koordinatına ve t zamana göre kısmi türevleri ifade etmektedir. Burada d, sönüm katsayısını göstermektedir. Bu çalışmada, bir ucu ankastre diğer ucuna yay ve sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan bir elastik çubuk ile her iki ucu ankastre ve herhangi iki orta noktasında dış sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan diğer bir elastik çubuk ele alınmıştır. Ele alınan her iki sistem için sönüm oranının elde edilmesinde kullanılmak üzere analitik ve yaklaşık çözüm yöntemleri sunulmuştur. Her iki sistem sürekli sistemler olarak ele alınmış ve sönüm oranının, sönüm katsayısına göre değişimi incelenerek sunulan analitik ve yaklaşık çözüm yöntemleri karşılaştırılmıştır. EA (2) ( ) β coshβ + K + β D sinhβ = 0 (8) Bu denklemde yer alan β , K ve D ifadeleri kolaylık sağlamak amacıyla aşağıdaki gibi tanımlanmıştır: (1) β = βL , K = Burada; u(x, t), m, E ve A sırasıyla herhangi bir x noktasındaki eksenel yer değiştirmeyi, birim kL dλ , D= = EA EAβ d EAm (9) Burada yer alan D değeri, boyutsuz sönüm katsayısı olarak değerlendirilebilir. 122 Eksenel Titreşim Yapan Elastik Çubuklarda Sönümleme Oranının Analitik Ve Yaklaşık Metodlarla Belirlenmesi Şekil 1. Bir ucu ankastre diğer ucuna yay ve sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan elastik çubuk modeli. Sistemin kompleks özfrekanslarını elde etmek için, kompleks özfrekans ele alınabilir: β = x + iy (11) ve (12) nolu denklemlerin sayısal yöntemle çözülmesi sonucu elde edilen x ve y değerleri bu ifadede kullanılarak sistemin sönüm oranı hesaplanabilir. β aşağıdaki formda (10) Yaklaşık Yöntem Burada x ve y sırasıyla kompleks sayının gerçek ve sanal kısımlarını ifade etmektedir. Sönümleyici bağlanmış sistemlerde sönümleyici kuvvet, analitik çözüm metodundaki yaklaşımdan farklı olarak, sistemin sınır şartları içerisinde gösterilmeyip, sönümleyicinin etkisi bağlandığı noktada bir dış kuvvet olarak ele alınabilir. Denklem (8) ile verilen karakteristik denklemde β ifadesi yerine konulup, denklemdeki gerçek ve sanal kısımlar ayrı ayrı gruplanarak sıfıra eşitlendiğinde, x ve y bilinmeyenleri cinsinden aşağıda verilen denklem çifti elde edilir: [xcoshx + (K + Dx )sinhx]cosy − (sinhx + Dcoshx ) ysiny = 0 (11) [xsinhx + (K + Dx )coshx ]siny + (coshx + Dsinhx ) ycosy = 0 (12) İncelenmekte olan çubuk titerişim probleminde, bir uç ankastre ve diğer uçta sadece yay olduğu kabul edilirse, (2) no’lu eşitlikte verilen sınır şartı aynı kalmakta, ancak (3) no’lu eşitlikte verilen sınır şartı şu şekilde olmaktadır: EAu ′( L, t ) + ku( L, t ) = 0 Sayısal çözüm yöntemleri kullanılarak bu denklem çifti birlikte çözülüp kompleks özfrekans edilir. Eksenel yer değiştirme u(x, t)’nin aşağıdaki formda β ’nin gerçek ve sanal değerleri elde u( x, t ) = U ( x ) F (t ) Titreşim yapan herhangi bir sistemin kompleks özfrekansı λ çok yaygın olarak kullanılım şekli ile gerçek ve sanal kısımlardan oluşan aşağıdaki formda ifade edilir [11]: λ = −ζω n ± i 1 − ζ 2 ω n d 2U ( x ) (13) Burada; i = − 1 , ωn sönümsüz tabii frekansı ve ζ , aşağıda verilen denklemle hesaplanan sönüm 2 Re( λ ) + Im(λ ) 2 = x x2 + y2 + mω 2 U ( x) = 0 EA (17) şeklinde elde edilir. Burada ω sistemin doğal frekansını ifade etmektedir. Bu denklemin çözümü oranını ifade eder. Re( λ ) (16) konum ve zaman olarak ayrılabilir olduğu kabul edilerek (1) ile verilen hareket denkleminden özdeğer problemi dx 2 ζ = (15) U ( x ) = c1sinβ t + c2 cosβ t (14) 123 (18) Dallı ve Yüksel her iki tarafının 0-L aralığında integrali alınırsa, aşağıdaki ifade elde edilir: Bu ifadedeki c1 ve c2 integral sabitleridir. Bu çözüm kabulü ile β =ω m EA (19) L 2 2 ∫ − c1 EAβ n F (t ) sin 2 β n xdx − 0 kısaltması ve (15)’de verilen sınır şartları dikkate alınarak aşağıdaki karakteristik denklem elde edilir: L ∫ dc1 2 F (t ) sin 2 β n xδ ( x − L)dx = (25) 0 L β tan β = − K ∫ mc1 2 F (t ) sin 2 β n xdx (20) 0 Bu denklemdeki integral ifadeleri elde edilip gerekli düzenlemeler yapıldıktan sonra aşağıdaki ifade elde edilir: Bu denklemin çözümü ile β özfrekans değerleri elde edilir. Buradan hareketle, sistemin özfonksiyonları her bir mod için aşağıda verildiği gibi bulunur: U n ( x ) = c1sinβ n x , n = 1, 2, ....∞ F (t ) + EAβ n 2 F (t ) = 0 m (21) İncelenmekte olan çubuk titreşim probleminde genel çözüm ifadesinin elde edilmesinin ardından, çubuğa bağlı olan sönümleyicinin etkisi, sönümleyicinin bağlandığı noktada bir dış kuvvet f(x,t) olarak ele alınabilir. Bu durumda (1) no’lu eşitlikte verilen sistemin hareket denklemi aşağıdaki gibi olacaktır: EA ∂ 2 u ( x, t ) ∂ 2 u ( x, t ) + f ( x , t ) = m ∂x 2 ∂t 2 ∂u( x, t ) δ ( x − L) ∂t (26) Şimdi, tek serbestlik dereceli sönümlü bir sistemin genel hareket denkleminin x (t ) + 2ζ nω n x (t ) + ω n 2 x (t ) = 0 (27) şeklinde olduğu dikkate alınırsa, (26)’da elde edilen ifade ile aynı forma sahip olduğu görülür. Bu durumda sürekli sistem olarak modellenen çubuğun hareket denkleminin ikinci dereceden ayrık bir sitemin hareket denklemine benzer olduğu yaklaşımı yapılarak, bu iki denklemin birbirine eşit olduğu kabul edilirse, sistemin tabii frekansları ve sönümleyici oranları için aşağıdaki ifadeler elde edilir: (22) Bu denklemdeki dış kuvvet f(x,t) ifadesi aşağıda verilmiştir: f ( x, t ) = −d 2dβ n (1 − cos 2 β n L) F (t ) + m ( 2 β n L − sin 2 β n L) (23) Bu denklemdeki δ ( x − L) , birim impulse fonksiyonu ifadesidir. ωn = βn (16)’da verilen çözüm kabulü, (22)’de verilen hareket denkleminde yerine konulursa ζn = EAF (t )U ( x ) − dδ ( x − L)U ( x ) F (t ) = mU ( x ) F (t ) (24) m EA sin 2 β n L mEA ( 2 β n L − sin 2 β n L) 2d (28) (29) Burada, (20) no’lu denklemin çözümü ile elde edilen β özfrekans değerleri kullanılarak, sistemin sönümleme oranı hesaplanabilir. ifadesi elde edilir. Burada; U(x) yerine (21) ile verilen özfonksiyon ifadesi yazılıp, denklemin her iki tarafı U(x) ile çarpıldıktan sonra eşitliğin 124 Eksenel Titreşim Yapan Elastik Çubuklarda Sönümleme Oranının Analitik Ve Yaklaşık Metodlarla Belirlenmesi ankastre ve herhangi iki orta noktasından sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan elastik çubuk modeli ele alınmıştır. Analitik ve Yaklaşık Çözüm Yöntemlerinin Sayısal Örnekle Karşılaştırılması Şekil 1’de ele alınan sistem için her iki çözüm yöntemi ile elde edilen sönüm oranlarının karşılaştırılabilmesi amacıyla seçilen sayısal değerler denklemlerdeki yerine konularak sönüm oranları hesaplanmıştır: Çubuk malzemesi; yoğunluğu ρ=2860 kg/m3 ve elastisite sabiti E=7x1010 N/m2 olan alüminyum olarak seçilmiştir. Çubuk boyu ve kesit alanı sırasıyla L=1 m ve A=3.14x10-4 m2 olarak alınmıştır. Sistemdeki sönüm katsayısı d=100 Ns/m ve yay katsayısı k= 10000 N/m olarak seçilmiştir. Bu sistem için aynı yaklaşımla ele alınan analitik ve yaklaşık yöntemler uygulanacak, fakat denklemler daha kısa olarak belirleyici şekilde sunulacaktır. Analitik Yöntem Ele alınan sistemde, sönümleyicilerin montaj noktaları ile ayrılan üç ayrı bölgesinin eksenel elastik yerdeğiştirmeleri; sol, orta ve sağ kısımlar için sırasıyla u1(x, t), u2(x, t) ve u3(x, t) olarak gösterilmiştir. (1)’de verilen hareket denkleminin burada da geçerli olması nedeniyle (7)’de verilen çözüme benzer olarak ele alınan üç ayrı kısım için çözüm kabülleri Ele alınan analitik ve yaklaşık her iki yöntem kullanılarak, diğer tüm sistem parametreleri sabit tutulup boyutsuz sönüm katsayısı D ile sönüm oranının değişimi ilk dört mod için hesaplanmıştır. Şekil 2’de analitik yöntem ile bulunmuş değerler bir eğri şeklinde gösterilmiştir. Görüldüğü gibi, bir optimum sönüm oranı bulunmaktadır. Diğer taraftan yaklaşık yöntem kullanılarak elde edilen (29) numaralı ifade bir doğru denklemidir ve bir optimum çözüm vermemektedir. Analitik ve yaklaşık çözümlerle elde edilen sonuçlar, sönüm oranı küçük olan az sönümlü sistemler (0 < ζ <0.05) için yaklaşık aynı değerleri vermektedir. Bu sonuç, küçük sönüm oranı ihtiva eden sistemler için yaklaşık çözüm yöntemi ile elde edilen çözümün doğru olduğunu ve rahatlıkla kulanılabileceğini ortaya koymaktadır. U1 ( x ) = C1e βx + C 2 e − βx U 2 ( x ) = C3e βx + C4 e U 3 ( x ) = C5 e (30) − βx βx + C6 e (31) − βx (32) şeklinde alınabilir. Sınır ve ara şartları ise u1 (0, t ) = 0 u3 ( L, t ) = 0 u1 ( a, t ) = u2 ( a , t ) u2 (b, t ) = u3 (b, t ) d u1′ ( a, t ) − u2′ ( a, t ) + ( )u1 ( a, t ) = 0 EA d u2′ (b, t ) − u3′ (b, t ) + ( )u3 (b, t ) = 0 EA (33) şeklinde yazılır. Şimdi, C1~C6 integral sabitlerinin bulunması için verilen sınır şartları ile çözüm kabulleri birlikte ele alınırsa, elde edilecek olan altı bilinmeyenli altı denklem setinin determinantının sıfıra eşitlenmesiyle, aşağıdaki karakteristik denklem elde edilir. sinhβ + sinh(1 − 2b ) β − sinh(1 − 2a ) β − Şekil 2. İlk dört mod için sönüm oranının boyutsuz sönüm katsayısına göre değişimi: Analitik çözüm yöntemi. [ ] 1 4coshβ − 2cosh(1 − 2a ) β − 2cosh(1 − 2b ) β + D 1 sinh(1 + 2a − 2b ) β + 2 sinhβ = 0 D (34) 2.2 Her iki ucu ankastre ve herhangi iki orta noktasına sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan elastik çubuk Tireşim yapan sistemlerde sönüm oranı hesaplanmasında kullanılan analitik ve yaklaşık çözüm yöntemlerini daha iyi karşılaştırmak ve her iki yöntemin değişik bir uygulamasını anlatmak için Şekil 3’de gösterilen her iki ucu Bu karakteristik denklemde β ifadesi bir kompleks sayı olarak ele alınıp yerine konulursa, denklemdeki gerçek ve sanal kısımlar ayrı ayrı gruplanarak sıfıra 125 Dallı ve Yüksel eşitlendiğinde, x ve y bilinmeyenleri cinsinden verilen bir karmaşık denklem çifti elde edilir. Bu iki denklem sayıssal yöntemlerle çözüldüğünde özfrekanslar bulunmuş olur. titreşim problemine dönüşür. İki ucu ankastre çubuğun özfonksiyonları ve özfrekansları aşağıdaki şekilde bilinmektedir [11]: Yaklaşık Yöntem U n ( x ) = c1 sinβ n x , n = 1, 2, ....∞ (35) nπ βn = L Sönüm kuvvetleri dikkate alınarak çubuğun hareket denklemi ise Ele alınan sistemin yaklaşık yöntemle çözümü için sönümleyicilerin etkisi, bağlandıkları noktalarda dış kuvvetler olarak ele alınacaktır. Bu durumda incelenmekte olan titreşim problemi, iki ucu ankastre bir çubuğun eksenel Şekil 3. İki ucu ankastre ve herhangi iki noktasına sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan elastik çubuk modeli EA ∂ 2 u( x, t ) ∂ 2 u( x, t ) + f ( a , t ) + f (b, t ) = m 2 ∂x ∂t 2 (36) Analitik ve Yaklaşık Çözüm Yöntemlerinin Sayısal Örnekle Karşılaştırılması Şekil 3’de gösterilen sistem için, analitik ve yaklaşık çözüm yöntemleri kullanılarak, ilk bölümde verilen sistem parametreleri ile aynı değerler seçilip boyutsuz sönüm katsayısı ile sönüm oranının değişimi ilk dört mod için hesaplanmıştır. Ele alınan bu sistemde sönümleyici yerleri çubuk uçlarına göre simetrik olacak şekilde a = 0.05 ve b = 0.95 olarak seçilmiştir. Analitik yöntem kullanılarak ilk dört mod için elde edilen sonuçlar Şekil 4’de grafik halinde sunulmuştur. Görüldüğü gibi bir optimum çözüm mevcuttur. Diğer yandan, yaklaşık çözümü ifade eden (39) numaralı ifade bir doğru denklemidir ve bir optimum çözüm sunmamaktadır. Öncekine benzer şekilde, küçük sönüm oranları için her iki yöntem de yaklaşık aynı sönüm oranlarını vermektedir. Burada, dış kuvvet f(a,t) ve f(b,t) ifadeleri aşağıda şekilde verilmiştir: f ( a, t ) = −d ∂u( x, t ) δ ( x − a) ∂t (37) f (b, t ) = −d ∂u( x, t ) δ ( x − b) ∂t (38) Şimdi, önceki sistem için yapılan çalışmalar benzer şekilde tekrar edilirek elde edilen ifade (27)’de verilen sönümlü sistem hareket denklemi ile karşılaştırıldığında, her mod için tabii frekanslar ve sönüm oranları m EA ωn = βn ζn = d nπ mEA ( sin 2 nπa nπb + sin 2 ); L L n=1, 2, ..., ∞ (39) şeklinde elde edilir. 126 Eksenel Titreşim Yapan Elastik Çubuklarda Sönümleme Oranının Analitik Ve Yaklaşık Metodlarla Belirlenmesi 3. Yang, B. and Wu, X., “Transient response of one dimensional distributed systems: A closed form eigenfunction expansion realization”, Journal of Sound and Vibration, 208(5), 1997, pp.763-776. 4. Kovacs, I., “Zur Frage der Seilschwigungen und der Seildampfung”, Die Bautechnik, 59(10), 1982, pp.325-332. 5. Pacheco, B.N., Fujıno, Y. and Sulekh, A., “Estimation curve for modal damping in stay cables with viscous damper”, Journal of Structural Engineering, 119(6), 1993, pp.1961-1979. 6. Singh, R., Lyons, W.M. and Prater, G., “Complex eigensolution for longitudinally vibrating bars with a viscously damped boundary”, Journal of Sound and Vibration, 133, 1989, pp.364-367. 7. Hull, A.J., “A closed form solution of a longitudinal bar with a viscous boundary condition”, Journal of Sound and Vibration, 169(1), 1994, pp.19-28. 8. Hızal, N.A. and Gürgöze, M., “Lumped parameter representation of a longitudinally vibrating elastic rod viscously damped inspan”, Journal of Sound and Vibration, 216(2), 1998, pp.328-336. 9. Yüksel, Ş. and Gürgöze, M., “Continuous And Discrete Models For Longitudinally Vibrating Elastic Rods Viscously Damped In-Span”, Journal of Sound and Vibration, 2257(5), 2002, pp.996-1006. 10. Yüksel, Ş. and Dallı, U., “Longitudinally Vibrating Elastic Rods with Locally and Non-locally Reacting Viscous Dampers”, Engineering Structures, To be Published. 11. Inman, D.J., Engineering Vibration, New Jersey, Prentice Hall, Second Edition, 2001. Şekil 2. İlk dört mod için sönüm oranının boyutsuz sönüm katsayısına göre değişimi: Analitik çözüm yöntemi. 3. SONUÇ Bu çalışmada, dışarıdan sönümlü ve eksenel titreşim yapan iki değişik çubuk sistemi ele alınmıştır. Birinci çubuk sistemi, bir ucu ankastre diğer ucuna yay ve sönümleyici bağlı sistemdir. İkincisi ise iki ucu ankastre ve herhangi iki orta noktasına dış sönümleyici bağlı bir sistemdir. Ele alınan iki örnek sistemde, sönüm katsayısı ve diğer sistem parametrelerine bağlı olarak sönüm oranının nasıl değiştiğini göstermek için nalitik ve yaklaşık yöntemler önerilmiştir. Her iki sisteme, her iki yöntem de uygulanmış ve değişik denklemler elde edilmiştir. Yöntemlerin verdiği sonuçları karşılaştırmak için bir de sayısal örnek ele alınmıştır. Elde edilen sonuçlar, analitik yöntemin daha karmaşık olduğu ve çözümün zor elde edildiğini göstermiştir. Yaklaşık yöntem ise daha basit olup çözüme daha kolay ulaşılmaktadır. Diğer taraftan, analitik çözüm bir optimum sönüm oranı sunarken, yaklaşık çözüm ile böyle bir sonuca varmak mümkün olmamaktadır. Uygulamaya yönelik bir sonuç olarak: Küçük sönüm oranına sahip sistemler için her iki yöntem yaklaşık aynı değerleri verdiğinden, yaklaşık yöntemin rahatlıkla tercih edilebileceği söylenebilir. 4. Kaynaklar 1. 2. Zarek, J.H. and Gibbs, B.M., “The derivation of eigenvalues and mode shapes for the bending motion of a damped beam with general end conditions”, Journal of Sound and Vibration, 78:, 1981, pp.185196. Oliveto, G., Santini, A. and Tripodi, E., “Complex modal analysis of a flexural vibrating beam with viscous end conditions”, Journal of Sound and Vibration, 200(3), 1997, pp.327-345. 127 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 SCARA TİPİ ROBOTUN PROGRAMLANABİLİR MANTIK DENETLEYİCİSİYLE (PLC) KISMİ HAREKET DENETİMİ M.Taylan DAŞ Gaziantep Üniversitesi,Mühendislik Fakültesi,Makine Mühendisliği Bölümü,27310,Gaziantep tdas@gantep.edu.tr L.Canan DÜLGER Gaziantep Üniversitesi,Mühendislik Fakültesi,Makine Mühendisliği Bölümü,27310,Gaziantep dulger@gantep.edu.tr ÖZET Bu çalışmanın amacı SCARA, dört serbestlik dereceli Serpent 1 tipi robotun programlanabilir mantık denetleyicisiyle (PLC) kısmi hareket denetimini sağlamaktır. Çalışmada Siemens S7-200 serisi PLC ve Serpent 1 robot kullanılmıştır. Mevcut sistem doğru akım servo motorları ve pnömatik sürücülerle hareket etmektedir. Öncelikle robotun orijinal konumlandırması çözümlenmiştir. Örnek olarak ise montaj hattında olduğu düşünülen üç farklı boyut ve ağırlıktaki parçaların bir noktadan hedef olarak belirlenen başka bir noktaya taşınarak hareket denetiminin sağlanması üzerinde çalışılmış ve robotun pnömatik tutucu kısmının denetimi PLC ile yapılmıştır. Anahtar Sözcükler: PLC, SCARA Robot PARTIAL MOTION CONTROL OF A SCARA ROBOT WITH PROGRAMMABLE LOGIC CONTROLLER (PLC) ABSTRACT The Purpose of this study is to achieve the motion control of a SCARA robot having four degree’s of freedom Serpent 1 robot with a PLC based control system. Siemens S7-200 series PLC and Serpent 1 robot are used for this study. Serpent 1 robot system has been studied mathematically. Initially, Serpent 1 control system is activated. Partial adaptation of the PLC to the robot system is then performed. Two axes positioning and orientation of the objects are achieved. Three different sized objects are picked from one point and placed to the target and robot’s gripper is controlled by PLC. Keywords: PLC, SCARA Robot 1.GİRİŞ SCARA tipi robotlar insan kolunu model alan özellikle kesme, yükleme, montaj ve üretim hatları gibi sürekliliği gerektiren ortamlarda kullanılan küçük endüstriyel robotlardır. Tasarımları Japonya çıkışlı olup, ana amaç montaj hatlarında gereken alıp-yerleştirme (pick and place), kaynak, boya gibi işleri yapmasıdır. SCARA sözcüğü dilimize ‘Seçici serbest Esnemeli Robot Kolu’ (Selectively Compliant Articulated Robot Arm) olarak çevrilmektedir. SCARA robot yatay düzlemde hareket eder, düşey düzlemde katıdır, esnemez. Bu özelliği robotu montaj hatlarında kullanılmak üzere özgünleştirir. [1-3] SCARA robotlar ve Programlanabilir mantık denetleyicilerinin (PLC) robotik alanda ve ölçüm sistemleri üzerinde kullanıldığı farklı içerikte çalışmalar gözlenmiştir. Ertürk [4] Yüksek Lisans çalışmasında SCARA tipi robot kolunun hareketlerinin bilgisayar destekli programlarla denetimini sağlamıştır. Bhatia ve ark. [5] SCARA robotun tasarımında uzman sistem yaklaşımını uygulamışlardır. Ge ve ark. [6] bir SCARA robot için piezoelektrik eyleyici ve duyucularla çalışan dinamik modelleme ve denetleyici tasarımı yapmışlardır. Omedei ve ark.[7] endüstriyel robotların tanılanmasını içeren farklı algoritmalar üzerinde çalışıp, SCARA IBM 7535 robotta denemiştir. Er ve ark.[8] Seiko D-Tran 3000 serisi SCARA robot üzerinde Hibrid Uyarlanabilir Bulanık Denetleyici (HAFC) nin tasarımı, geliştirilmesi ve uygulamasını yapmışlardır. Figliolini ve Ceccarelli [9] elektro-pnömatik yürüyen bir robotun pnömatik sürücülerinde ve elektronik denetiminde PLC kullanmış, prototip üzerinde deneysel çalışmalar yapılmıştır. Raviva [10] ise akustik ölçümlerde kullanılmak üzere mekatronik içerikte PLC ile denetlenebilen bir ölçüm sistemi tasarlamış, ve otomatik çamaşır makinasının akustik analizinde uygulamıştır. Sunulan çalışmada ise SCARA tipi Serpent 1 robotu ile Siemens S7-200 PLC kullanılmıştır.Robotun programlanmasın-da Daş ve Dülger elemanlarla yaygın olarak kullanılmakta olan PLC ise çalışmada robotun iki eksende konumlandırılması tamamlandıktan sonra parçaların alınıp taşınmasında, pnömatik sürücülerle birlikte uygulanmıştır. üzerinde çalışılan Walli (Workcell Amalgamated Logical Linguistic Instructions) dili Cybernetics Applications Ltd. tarafından geliştirilmiş olup, basit ama düşük düzeyde bir programlama dilidir. Günümüzde endüstriyel sistemlerin kumanda devrelerinde; kontaktör, zaman rölesi ve sayıcı gibi Şeki1 1. SCARA robot anatomisi sağlanmaktadır. Serpent 1 robotun firma tarafından belirtilen özellikleri Tablo 1’de verilmektedir. Robotun çalışma alanı ise Şekil 2.(a) da ve 3 farklı boyut ve ağırlıktaki parçaların oryantasyonu ise Şekil2.(b) de gösterilmiştir 2. SERPENT 1 ROBOT Robotun anatomisi Şekil 1’de gösterilmiş-tir. Burada XY düzleminde θ1 ve θ2 omuz ve dirsek açılarını, üçüncü açısal konum olan θ3 ise bilek hareketini tanımlar. Pnömatik sistemle düşey hareket Tablo 1. Serpent 1’in Özellikleri Ana kol uzunluğu (r1) İkinci kol uzunluğu (r2) Omuz ekseni (θ1) Dirsek ekseni (θ2) Bilek hareketi (θ3) Yukarı-aşağı hareket (Z ekseni) En fazla uç hızı En fazla taşıma kapasitesi . 250 mm 150 mm 200° 250° 450° 75 mm 550 mm/s 2.0 kg 130 Scara Tipi Robotun Programlanabilir Mantık Denetleyicisiyle (Plc) Kısmi Hareket Denetimi 3. DENEY DÜZENEĞİ Çalışmada kullanılan Serpent 1 tipi robotun fotoğrafı Şekil 3’te görülmektedir. Şekil 3. Deney Düzeneği tanımlanan B noktasının kordinatları aşağıdaki biçimde yazılabilmektedir. Robotun pnömatik olarak çalışan tutucularının denetlenmesinde Siemens S7-200 serisi PLC kullanılmıştır. Pnömatik sisteme programdan bağımsız olarak kendi içerisinde otomasyon sağlanmıştır. Montaj hattını örneklemek amacıyla üç farklı boyut ve ağırlıktaki parçaların hedef olarak tanımlanan konumlardan istenilen bir konuma götürülmesi sağlanmıştır. Her iki eksen için gereken konumlandırma dc servo motorlarla sağlanmıştır. Bilek konumlandırılması yapılmadan da parça istenilen konuma götürülebilmektedir. x B = r1 cosθ 1 + r2 cos(θ 1 + θ 2 ) y B = r1 sin θ 1 + r2 sin(θ 1 + θ 2 ) (1) (2) Uç noktanın mafsal açıları ise ters çözümden bulunabilir. Omuz ve dirsek açıları aşağıda verilmektedir. ( x B2 + y B2 ) − (r12 + r22 ) cosθ 2 = 2r1 r2 3.1. Serpent 1 Konfigürasyonu (3) Şekil 4’te kartezyen koordinat sisteminde kullanılan konfigürasyon gösterilmiştir. Bu koordinatlar ters dönüşüm kullanılarak mafsal koordinatlarının belirlenmesinde esas alınmıştır. Şekil 4’te uç olarak tan θ 1 = 131 − (r2 sin θ 2 ) x B + (r1 + r2 cosθ 2 ) y B (r2 sin θ 2 ) y B + (r1 + r2 cosθ 2 ) x B (4) Daş ve Dülger m 2, j2 θ2 m 1 ,j 1 θ1 Şekil 4. Serpent 1 Konfigürasyonu Programlanabilen mantık denetleyicisi (PLC) bir sayısal işlemci ve bellek, giriş ve çıkış birimi, programlayıcı birimi, ve besleme güç kaynağından oluşmaktadır. PLC’ ler için genelde üç programlama biçimi; komut kullanılması (statement list), merdiven diyagramı gösterimi (ladder programming) ve diğer programlama olarak sınıflandırılmaktadır. İşlem akış şeması Şekil 5’ de gösterilmiştir. Tarama süresi olarak bilinen bu işlem PLC’ lerde 1 ms ile 200 ms arasında değişebilmekte ve yazılan programın büyüklüğü ile ilgili olmaktadır. Gereken kinematik analiz yukarıdaki eşitliklerin türevlerinin alınması ile istenilen hız ve ivme bilgilerine dönüşebilmektedir. Sistemin matematik modeli üzerinde çalışırken bulunan noktalar kullanılmaktadır. 4. PROGRAMLANABİLİR DENETLEYİCİLER (PLC) MANTIK Programlanabilir mantık denetleyiciler (PLC) farklı endüstriyel uygulamalarda; CNC tezgahları, taşıma bantları (konveyörler) ve tekstil makinelerinde bulunan elektriksel ve pnömatik mantık devrelerin birlikte kullanımını sağlayan elemanlardır. PLC’ ler temel giriş-çıkış olanaklarının yanı sıra zamanlayıcıları, sayıcıları ile günümüz otomatik denetim uygulamalarında sanayide önemli bir yer tutmaktadır. Günümüzde PLC kullanımları temel ve ileri seviye olarak iki türlü gerçekleşmektedir. PLC ilk olarak çeşitli sayıcı ve zamanlayıcı gibi benzer rölelerin işlevlerini kolaylaştırmak için üretilmesine rağmen günümüzde aritmetik ve özel matematik işlemlerinin yapılması ve PID gibi denetim tekniklerinin endüstriyel sistemlere uygulanmasında kullanımı ile otomasyonda önemli bir yere sahiptir. [11,12]. 4.1. PLC Uygulama Örnekleri Burada öncelikle günlük basit uygulamalar; pnömatik bir sistem ve motor kumanda elemanı olarak PLC anlatılmıştır. PLC’lerde giriş-çıkış davranışı açısından zamanlayıcılar gecikmeli kapatan (on-delay), geçikmeli açan (off-delay) ve kenar tetiklemeli türlerdir. En yaygın kullanımda ise geçikmeli kapatan zamanlayıcılar görülmektedir. PLC Giriş Mantık Çıkış Cıkış ; Valf, motor, vb. Giriş ; Anahtar, vb. Şekil 5.PLC’ nin İşlem Akış Şeması 132 Scara Tipi Robotun Programlanabilir Mantık Denetleyicisiyle (Plc) Kısmi Hareket Denetimi A silindiri de ilk hali olan A(-) konumuna dönmektedir. Bu işlem istenilen sayıda tekrarlanarak devrenin sürekliliği sağlanabilir. Sistemde ki giriş-çıkış elemanlarının sayısı arttırıla-rak otomasyon sistemi genişletilebilmektedir. Sistemde valflerin bağlantısı için kontaktör, ilk hareketi başlatmak için elektrik anahtarı, gecikmeli kapatan zamanlayıcılar ve sayıcılar kullanılmıştır. Pnömatik bir uygulama sistem elemanları ile birlikte Şekil 6 da gösterilmiştir. Sistemde iki adet çift taraflı silindir ile birlikte 5 yollu 2 konumlu yön denetim valfleri kullanılmıştır. A silindirinde valf tamamen solenoid denetimlidir, ancak B silindirine ait olan yön denetim valfinin geri dönüşü yay ile sağlanmaktadır. Sistemin denetimi PLC ile yapılmıştır. Örnek olarak hazırlanan programda, A(+) açıldıktan belirtilen süre sonunda B(+) konumuna geçmekte, yine istenen süre içerisinde B(+) kapanarak silindir B(-) olmakta ve aynı anda B B+ A+ A A- P C B+ A+ PL Şekil 6. Pnömatik Uygulama hattında olduğu düşünülen üç farklı parça için robotun çalışma alanında yapılan programla birlikte tekrarlanacaktır. Motor kumanda devreleri de PLC kumanda devrelerine dönüşebilmektedir. Bir dc motora farklı yönlerde yol verme uygulaması da yapılmıştır. Uygulama Şekil 7’de şematik olarak gösterilmiştir. Kontaktörlerin kullanılması ile motor her iki yönde çalıştırabilmektedir. Ayrıca bir X-Y koordinat düzeninde birbiriyle içice çalışan ve adım motorlarla sürülen bir lineer hareket sisteminin konum denetimi yapılmaya çalışılmaktadır. Kullanılan Serpent 1 robot ta bulunan pnömatik sistemin orijinal çalışma sistemi ise tutucu kısmı “açık” veya “kapalı”, dikey eksendeki silindir ise “aşağı” veya “yukarı” komutları ile çalışmaktadır. PLC ile yapılan çalışmada, tutucu açık ve yukarı da ise silindir aşağı inecek tutucuyu kapatacak, yeniden yukarı çıkacak, bu işlemden sonra parça yeni konumuna gelecek, silindir aşağı inerek tutucuyu açacak yeniden yukarıya çıkacaktır. Pistonların enerjileri ve çalışma süreleri ayarlanabilmektedir. Bu işlem yukarıda verilen pnömatik uygulamaya çok benzerdir. Taşıma dc motor PLC 133 PC Daş ve Dülger Şekil 7. DC motora yol verme 4.2 PLC’nin SCARA Robota uygulanması Tablo 2’de boyutları verilen parçalardan büyük olanı örnek olarak seçildiğinde Walli programında PLC’den bağımsız olarak seçilen parçanın taşınması 3 saniye sürmektedir. Eğer 1 defa hareketin yapılması isteniyorsa tek döngü yeterli olmaktadır. parça konuma getirildiğinde Tablo 3’de verilen PLC programı ile selenoidler çalıştırılmış, ve parçanın yerleştirilmesi sağlanmıştır. Büyük parçanın konumlaması sırasında aşağıda verilen açı değerleri ölçülmüştür. Robotun konumlanması θ1 ve θ2 olarak sağlanınca, düşey hareketin denetimi için sistemde PLC devreye girmiştir. Pnömatik Denetim ünitesinde parçayı yerleştirirken ‘Aşağı’ ve ‘Yukarı’, parçayı bırakırken veya alırken ‘Aç’ ve ‘Kapa’ komutları PLC S7-200 ile yapılmış ve parçalar istenilen konuma alınıp taşınmış ve yerleştirilmiştir. Burada farklı parçaların taşınması için kartezyen koordinatlarda verilen değerlerin açısal karşılığı ters kinematik ile hesaplanmış ve robot kolları için gereken veri sağlanmıştır. Şekil 8’de PLC ile kısmen denetlenebilen SCARA robotun denetim elemanları gösterilmiştir. Serpent 1 robotu Walli 2.5 programı ile programlanmış, robot bilgisayar klavyesi aracılığıyla istenilen başlangıç konumuna getirilmiş, bu konumlar daha sonra kullanılmak üzere kaydedilmiştir[13]. Böylece robot istenilen konumları hafızadan tekrarlayabilmekte ve veri dosyası oluşturabilmektedir. Bu dosya istenildiğinde adım adım, istenildiğinde ise sonsuz bir döngü içerisinde çalıştırılabilir. Ayrıca yörünge takibinde üç aşamalı (yavaş, orta, hızlı) hız tanımlanabilmekte- dir. Gönderilen konumlar ve geri besleme sonucu oluşan veriler bilgisayar ekranından izlenebilmektedir. Yatay düzlemde taşıyabileceği iş parçasına göre omuz ve dirsek açıları ayarlanmıştır. Parçanın alınması; (Başlangıç) θ1=13.28° ve θ2=77.47° Parçanın yerleştirilmesi; (Bitiş) θ1=141.47° ve θ2=185.99° Robotun omuz, dirsek ve bilek hareketleri servo motorlarla gerçekleştirilmektedir. Hareketlerin açısal geri beslemeleri servo motorlara doğrudan bağlı potansiyometre-lerle (Şekil 8) sağlanmıştır. Motorlardan omuz ve dirsek hareketleri dişlilerle, bilek hareketi ise paralel kayışlarla aktarılmıştır. Ölçülen açısal konum noktaları incelendiğinde omuz ve dirsek açıları olarak tanımlanan θ1 ve θ2’nin 2. dereceden bir polinom karakteriyle çok iyi uyum gösterdiği gözlenmiştir. 134 Scara Tipi Robotun Programlanabilir Mantık Denetleyicisiyle (Plc) Kısmi Hareket Denetimi Motorlar θ3 Pozisyon Geri bes. Pot. B θ2 θ1 Pozisyon Geri bes Pot. C Çıkış θ3 Servo Sürücü 3 Çıkış θ1 Çıkış θ2 Servo Sürücü 2 Servo Sürücü 1 Pozisyon Geri bes Pot. A C A B PLC Ara Bağlantı Kartı Selenoid Sürücü PC Güç Kaynağı Şekil 8. SCARA Robotun Denetim Yapısı Tablo 2. Oryantasyonu yapılan parçaların boyutları Boyut(mm) Ağırlık (gr) Renk Küçük φ20 x 30 100 Kırmızı Orta φ38 x 40 380 Mavi Büyük φ58 x 50 820 Kahverengi 5. SONUÇLAR Serpent 1 robotun düşey hareketini ve tutucu kısmını içeren pnömatik kısım PLC ile denetlenebilmiştir. Böylece yukarıda belirtilen farklı parçaların sırasıyla yerlerinden alıp oryantasyonun sağlanması ve yerleştirilmesi aşama aşama yapılmış ve döngü ile süreklilik sağlanmıştır. Çalışmanın amacı mikroişlemci tabanlı denetim elemanı olan PLC’lerin robotik sisteme ve sürücü sistemlerin denetimine yönelik kullanılmasıdır. Serpent 1 tipi SCARA robotun hareket denetimi kısmi olarak PLC’ye uyarlanmıştır. Çalışmanın kısmi olarak yapılmasının en büyük nedeni ise robotun sürücüleri olan dc motorların kapalı devre bir paket programla denetlenebilmesidir. Burada ancak omuz ve dirsek hareketleri ile istenilen oryantasyon servo motorlarla sağlanmış, sonra Daha ileriki çalışmalarda robotun denetim sisteminin tamamen hazır program devre dışı bırakılıp, açısal konumlamanın da PLC ile yapılması düşünülmektedir. 135 Daş ve Dülger Tablo 3. Tutucu kısmın hareket algoritması ve PLC programı 1 Yukarı on Aşağı off Kapalı off NETWORK 1 LDN I0.0 JMP 0 2 3 4 5 off on off off on off on off on on on on NETWORK 7 LD T37 AN T34 O T36 NETWORK 2 //Pneumatic ON I0.0 = Q0.2 // //NETWORK COMMENTS NETWORK 8 // LD Q0.2 LD I0.0 O T34 AN Q0.1 AN T36 O T34 TON T34, +Pv = Q0.0 6 7 off on off on off off NETWORK 9 LD T34 AN T36 = Q0.3 NETWORK 3 LD Q0.0 O T33 AN T35 TON T33, Pv NETWORK 10 LD Q0.3 TON T35, +Pv NETWORK 4 LD T33 = Q0.1 NETWORK 11 LD T35 TON T36, +Pv NETWORK 5 LD Q0.1 TON T37, Pv NETWORK 12 MEND NETWORK 6 LBL 0 [7]. Omodei A, Legnani G., Adamini R., ‘Three Methodologies for the Calibration of Industrial Manipulators: Experimental Results on a SCARA Robot’ Journal of Robotic Systems, 17(6),p. 291307, 2000. [8] Er M.J., Lim M.T., Lim H.S., ‘Real time hybrid adaptive fuzzy control of a SCARA robot’ Microprocessors and Microsystems, 25, p. 369-378, 2001. [9] Figliolini G., Ceccarelli M., ’Walking programming for an electropneumatic biped robot’, Mechatronics 9 (1999), pp. 941-964. [10] Ravina E., ‘A Pneumotronic equipment for acoustic measurements’, Mechatronics 11 (2001), pp. 183-197. [11] Kurtulan Salman, ‘PLC ile Endüstriyel Otomasyon’,Birsen Yayınevi, 2001. [12] Frank D. Petrozella, ‘Industrial Electronics’, McGraw Hill-1996. [13] WALLI-Serpent Manual, 1993. 6. KAYNAKÇA [1]. Dorf R.C.,’Concise International Encyclopedia of Robotics-Applications and Automation’, John Wiley and sons Inc.,1990. [2]. Shimon Y. Nof, ‘Handbook of Industrial Robotics’, John Wiley and Sons, 1985. [3]. Rivin I. Eugene, ‘Mechanical Design of Robots’, Mc-Graw Hill, McGraw-Hill, 1988. [4]. Ertürk Mustafa, ‘SCARA tipi robot kolunun hareketlerinin bilgisayar destekli programlarla kontrolü’, Y.Lisans Tezi-Çukurova Üniversitesi, 1997. [5]. Bhatia P., Thiunarayanan J., Dave N., ‘An expert system-based design of SCARA robot’, Expert Systems with Applications, 15, pp.99-109, 1998. [6]. Ge S.S., Lee T.H., Gong J.Q., ‘A robust distributed controller of a single-link SCARA/Cartezian smart materials robot’,Mechatronics, 9, p.65-93, 1999. 136 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 VİSKOELASTİK BAĞLANTILI ANKASTRE ÇUBUĞUN MODAL ÖZELLİKLERİ Aydın DEMİR İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Taksim 80191, İSTANBUL, demiraydi@itu.edu.tr Vahit MERMERTAŞ İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Taksim 80191, İSTANBUL, mermertas@itu.edu.tr ÖZET Bu çalışmada, bağlantı noktası rijitlik ve sönümünün ankastre çubuğun modal özelliklerine etkisi incelenmiştir. Yapılarda yüzey sönümü olarak viskoelastik malzemeler kullanımı, titreşim ve ses yalıtımları için etkili bir uygulama olmakla beraber her zaman ve her koşulda uygulama imkanı olmayabilir. Bu durumda, bağlantılarda viskoelastik malzemeler kullanılması tercih edilen yöntemlerdendir. Bağlantı sönümü, rotor yataklarında, tesisatlarda boru bağlantılarında pasif titreşim kontrolu olarak uygulanmaktadır. Viskoelastik bağlantı doğrusal ve dönme yönünde kompleks rijitliğe sahip yay elemanları kullanılarak modellenmiştir. Esnek ve sönümlü bağlantının etkisi için ele alınan problem basit çubuk teorisi çerçevesinde incelenmiş, Bernoulli-Euler çubuğuna ait diferansiyel denklem ve sınır şartlarından hareket edilmiştir. Çubuğun modal parametreleri karakteristik denklemin iteratif çözümüyle elde edilmiştir. Sayısal sonuçlar, doğal frekans ve modal sönüm oranları olarak viskoelastik bağlantının doğrusal ve dönme yönündeki özellikleri değiştirilerek verilmiştir. Anahtar Kelimeler: Modal özellikler, sönümlü bağlantı , kompleks yay MODAL PROPERTIES OF CANTILEVER BEAM WITH VISCOELASTIC BOUNDARY SUPPORTS ABSTRACT In this presentation, the effects of damped compliant boundary conditions on modal parameters of cantilever beams are investigated. Surface damping treatments with viscoelastic materials have been successfully used to reduce vibration and noise structures. Although such surface damping treatments are effective in general, it is not always possible or desirable to implement them. In such cases the damping treatments at the boundary supports can be an alternative solutions. Support damping have been used in the design of systems such as beams, shafts, piping for passive vibration control. The viscoelastic support regions are described in terms of equivalent complex stiffness coefficient. The dynamic behaviour of the cantilever beam is studied using the simple beam theory, the differential equations of Bernoulli-Euler beam vibration theory and boundary conditions. The governing equations are solved numerically to obtained modal parameters of cantilever beam. Numerical results are represented in natural frequencies and modal loss factors, based on which a procedure of selecting the support parameters. Keywords: Modal properties, resilient root, support damping, complex stiffness 1. GİRİŞ Viskoelastik malzemeler yapılardaki titreşim ve sesin azaltılmasında konusunda uzun süreden beri başarıyla kullanılmaktadırlar. Viskoelastik elamanların çubuk ve plak tipi yapılarda titreşim ve ses sönümleyici elemanlar olarak yüzeye uygulanan veya belirlenen noktalarda esas yapıya bağlantı elemanı olarak kullanılan uygulamaları mevcuttur. Rotorlarda sabit yatak bağlantılarına uygulama örnekleri vardır. Wineman ve Min [1] çubuklarda viskoelastik mafsal bağlantısının formülasyonu yapmışlardır. Sun [2] viskoelastik zemin üzerindeki çubuklarda hareketli yüklerin etkisini Green fonksiyonlarını kullanarak analiz etmiştir. Fan, Lee, Kang ve Kım [3] viskoelastik olarak yataklanmış Bernoulli-Euler çubuğunun zorlanmış titreşimlerini incelemişlerdir. Abbas [4] Timoshenko çubuğunda doğrusal ve Demir ve Mermertaş dönme esnekliklerinin doğal frekanslar üzerindeki etkisini sonlu elemanlar yöntemiyle incelemiştir. EI ∂2w(x, t) ∂x2 = 0, ∂3w(x, t) ∂x3 =0 Denklemin çözümü olan w(x,t), konum ve zamanın fonksiyonu olarak birbirinden ayrı olarak yazılabilir. w (x , t ) = W (x ) e j ω t (4) Bu denklemde ω, titreşim hareketinin frekansı, W(x) ise titreşim şeklini verir. (4) çözümünün (1) denkleminde yerine konmasıyla, β frekans parametresi cinsinden W(x) = A sin βx + B cosβx + C sinhβx + D coshβx (5) 2. DİFERANSİYEL DENKLEM VE SINIR ŞARTLARI İLE ÇÖZÜMÜ elde edilir. Frekans parametresi β ise, Şekil 1'de gösterilen Bernoulli-Euler çubuğunun eğilme titreşimlerinin kısmi türevli diferansiyel denklemi + ρA ∂w ( x, t ) ∂ 3 w ( x, t ) , EI = −K*K w ( x, t ) ∂x ∂x 3 x=L, Doğrusal ve dönme yönlerinde rijitliğe ve sönüm etkisine sahip viskoelastik eleman üzerinden sabit noktaya bağlanan ve diğer ucu serbest olan çubuk için bağlantının özellikleri değiştirilerek elde edilen sayısal çözümlerle doğal frekans ve modal sönüm oranları bulunmuş ve etkileri tartışılmıştır. ∂ 4 w (x , t ) ∂x 2 = K*B (3) Bapat [5] farklı noktalarda doğrusal, dönme yayları ve kütle eklenmiş olan Bernoulli-çubuğunun doğal frekanslarını transfer matris yöntemiyle elde etmiştir. Goel [6] elastik bağlantılı çubukların dinamik analizi için Laplace yöntemini kullanmıştır. Macbain ve Genin [7] sönüm bağlantılı çubuğun enerji kaybını sonlu farklar metoduyla incelemiştir. Kang ve Kim [8] uçlarından viskoelastik bağlantılı çubuk ve dairesel plağın doğal frekans ve modal sönüm oranlarını incelemişlerdir. ρ A ω2 (6) EI şeklinde tanımlanmıştır. (4) denkleminin, (3) sınır şartları ile birlikte değerlendirilmesi sonucunda aşağıdaki matris eşitliği elde edilir. β4 = ∂ 2 w (x , t ) =0 (1) ∂ x4 ∂ t2 şeklindedir. Bu denklemde, E çubuk malzemesinin elastisite modülünü, I çubuğun kesit atalet momentini göstermektedir. w(x,t) çubuk ekseni üzerindeki x noktasının t anında bu eksene dik olan yer değişimini gösterir. A kesit alanı, ρ ise malzeme yoğunludur. EI ∂ 2 w ( x, t ) [∆(β)]{A B C D}T = {0} (7) K*B βE I − β E I A 0 K*B 3 * 3 β EI KK K*K B 0 −β EI = − sinβL − cosβL sinhβL coshβL C 0 − cosβL sinβL coshβL sinhβL D 0 L w(x,t) K K ve K B yay katsayılarının boyutsuz değerleri K K ve K B aşağıdaki şekilde tanımlanabilir. x KK = Şekil 1. Ankastre çubuk ve esnek-sönümlü bağlantı K L K K L3 , KB = B EI EI (8) Çubuğun doğal frekanslarını elde etmek için Çubuğun esnek ve sönümlü bağlantısı j=√-1 sanal, KK, KB, ηK ve ηB gerçel sayılar olmak üzere aşağıda verilen kompleks doğrusal ve burulma yaylarını kullanarak tanımlanır. Det[∆(β)] = 0 (9) karakteristik denklemi iteratif olarak çözülür. Bu denklemin çözümü ile bulunan doğal frekansların her biri K *K = K K (1 + j η K ) , K *B = K B (1 + j η B ) (2) Şekil 1'de gösterilen çubuk için L çubuk boyu olmak üzere, sınır şartları aşağıda verilmiştir. ω = ω r (1 + j η r ) x=0, 138 (10) Viskoelastik Bağlantılı Ankastre Çubuğun Modal Özellikleri formunda kompleks sayılardır. Bulunan kompleks doğal frekans ile sönümlü sistemin doğal frekansı ωr ve modal sönüm oranı ηr belirlenir. çubuk, bir ucundan basit mesnetli diğer ucu serbest sınır şartlarındaki çubuğun dinamik davranışlarını göstermektedir. Tablo 1, 3, 5 K B ve K K ’nın artan değerlerinin her üç moddaki doğal frekans değerlerinde yükselmeye neden olduğunu göstermektedir. K B ve K K değerlerinin her ikisinin de yüksek olduğu durumlarda ankastre-serbest çubuğun doğal frekansları olan ω1=157.995 rad/s, ω2=990.139 rad/s ve ω3=2772.42 rad/s değerlerine ulaşılmaktadır. Bu durumda modal sönüm oranı da gittikçe azalarak 0 değerine yaklaşmaktadır. 3. SAYISAL UYGULAMALAR Elde edilen sayısal sonuçlarda çubuk uzunluğu 1 m, çubuk kesiti 0.02m x 0.03m, malzeme yoğunluğu ρ=7800 kg/m3 ve elastisite modülü E=2.1 1011 N/m2 olarak alınmıştır. Viskoelastik bağlantı elemanlarında malzeme sönüm oranları ηK=ηB=0.02 olarak seçilmiş ve iteratif olarak bulunan doğal frekans ve modal sönüm oranları Mathematica (4.0) dilinde yazılan program çalıştırılarak elde edilmiştir. Tablo 2, 4 ve 6 incelendiğinde, boyutsuz K B ve K K değerlerinin değişiminin modal sönüm oranı üzerindeki etkisinin farklı modlarda farklı şekillerde olduğu görülmektedir. Tablo 2’de 1. mod için K B ve K K ’nin artan değerleri için modal sönüm oranları azalmaktadır. Tablo 4 ve 6’da ise çubuğun 2. ve 3. modları için, K B ’nin değerine Tablo 1, 3 ve 5 incelendiğinde, boyutsuz K K ve K B parametrelerinin 0 değerinde elde edilen doğal frekanslar, serbest-serbest sınır şartlarındaki çubuğun doğal frekans değerlerini vermekte ve sınır şartları nedeniyle sisteme dahil olan sönüm, etkisiz kalarak modal sönüm oranı da 0 olmaktadır. bağlı olarak modal sönüm oranı K K ’nın belirli bir değerine kadar artış göstermekte ve daha sonra da azalmaktadır. Tablo 1 incelendiğinde, K K =0 iken K B ’nin artan değerlerinde 1. titreşim biçimi, rijit cisim modu olmakta ve bu moda karşılık gelen doğal frekans 0 değerini almaktadır. Aynı tabloda, K B =0 iken Tablo 1-6 incelendiğinde, K B ve K K ’nın 104 ve 1020 değerleri arasında elde edilen doğal frekans ve modal sönüm oranlarının çok az değiştiği görülmektedir. K K ’nın artan değerlerinde doğal frekansın yine 0 olduğu görülmektedir. K K 'nın büyük değerleri için Tablo 1. Birinci doğal frekanslar (ω1) KK 0 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 1020 KB 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10-3 0 1.2622 2.2106 2.4336 2.4583 2.4608 2.4610 2.4611 2.4611 2.4611 10-2 0 1.4034 3.9905 6.9849 7.6879 7.7656 7.7735 7.7743 7.7743 7.7743 10-1 0 1.4193 4.4371 12.5926 21.9095 24.0644 24.3018 24.3258 24.3282 24.3284 100 0 1.4208 4.4871 14.0000 39.0019 64.2455 69.3708 69.9214 69.9768 69.9830 101 0 1.4210 4.4921 14.1575 43.2875 102.1720 129.5700 132.9840 133.3300 133.3680 102 0 1.4210 4.4926 14.1734 43.7701 110.6970 149.2970 154.3550 154.8680 154.9250 103 0 1.4210 4.4927 14.1750 43.8189 111.6620 157.0850 157.0850 157.6210 157.6800 104 0 1.4210 4.4927 14.1752 43.8238 111.7590 157.3660 157.3660 157.9040 157.9640 1020 0 1.4210 4.4927 14.1752 43.8244 111.7700 157.3970 157.3970 157.9350 157.9950 Tablo 2. Birinci mod modal sönüm oranları(η1) KK 0 0 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 1020 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 KB -3 10 0 0.0099985 0.0099972 0.0099967 0.0099967 0.0099966 0.0099966 0.0099966 0.0099966 0.0099966 -2 10 0 0.0099985 0.0099943 0.0099808 0.0099761 0.0099755 0.0099755 0.0099755 0.0099755 0.0099755 -1 10 0 0.0099985 0.0099940 0.0099525 0.0098197 0.0097742 0.0097690 0.0097684 0.0097684 0.0097683 0 10 0 0.0099985 0.0099940 0.0099491 0.0095396 0.0084276 0.0081126 0.0080780 0.0080745 0.0080741 101 0 0.0099985 0.0099940 0.0099489 0.0094986 0.0062710 0.0033265 0.0029358 0.0028965 0.0028921 139 102 0 0.0099985 0.0099940 0.0099489 0.0094958 0.0057406 0.0011054 0.0004568 0.0003925 0.0003853 103 0 0.0099985 0.0099940 0.0099489 0.0094955 0.0056813 0.0001153 0.0001153 0.0000474 0.0000398 104 0 0.0099985 0.0099940 0.0099489 0.0094955 0.0056753 0.0000798 0.0000798 0.0000116 0.0000040 1020 0 0.0099985 0.0099940 0.0099489 0.0094955 0.0056746 0.0000759 0.0000759 0.0000076 0 Demir ve Mermertaş Tablo 3. İkinci doğal frekanslar (ω2) KK 0 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 1020 KB 0 0 2.842 8.987 28.408 89.448 270.793 681.510 681.510 691.701 692.830 -3 10 4.922 5.541 10.005 28.726 89.543 270.808 584.399 681.549 691.743 692.873 -2 10 15.538 15.733 17.497 31.597 90.393 270.940 584.515 681.897 692.121 693.255 -1 10 48.3369 48.3983 48.9522 54.5224 98.680 272.223 585.646 685.333 695.856 697.023 0 10 132.774 132.794 132.968 134.718 152.368 282.004 594.963 715.417 728.733 730.213 101 224.457 224.465 224.536 225.250 232.497 305.263 624.703 839.198 866.724 869.787 102 248.228 248.234 248.290 248.844 254.474 313.920 640.236 927.906 967.201 971.518 103 251.024 251.030 251.084 251.621 257.078 315.018 642.461 942.433 983.659 988.172 104 251.309 251.315 251.368 251.904 257.344 315.131 642.693 943.978 985.408 989.941 1020 251.341 251.347 251.400 251.935 257.373 315.144 642.719 944.150 985.603 990.139 Tablo 4. İkinci mod modal sönüm oranları (η2) KB KK 0 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 1020 0 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 1020 0 0.0099989 0.0099980 0.0099895 0.0099034 0.0090205 0.0003328 0.0003328 0.0000327 0 0.0099953 0.0099957 0.0099961 0.0099881 0.0099021 0.0090196 0.0033482 0.0003340 0.0000339 0.0000012 0.0099619 0.0099624 0.0099657 0.0099707 0.0098896 0.0090110 0.0033574 0.0003450 0.0000449 0.0000122 0.0096401 0.0096405 0.0096441 0.0096773 0.0097729 0.0089252 0.0034463 0.0004516 0.0001514 0.0001187 0.0072559 0.0072563 0.0072602 0.0072989 0.0076465 0.0081328 0.0041291 0.0012414 0.0009333 0.0008997 0.0020359 0.0020364 0.0020406 0.0020828 0.0025046 0.0054424 0.0057414 0.0022366 0.0017223 0.0016663 0.0002463 0.0002468 0.0002510 0.0002936 0.0007217 0.0042229 0.0062646 0.0012729 0.0004472 0.0003605 0.0000251 0.0000256 0.0000299 0.0000724 0.0005009 0.0040616 0.0063230 0.0010136 0.0001312 0.0000396 0.0000025 0.0000030 0.0000072 0.0000498 0.0004783 0.0040450 0.0063289 0.0009846 0.0000962 0.0000040 0 0.0000005 0.0000047 0.0000473 0.0004757 0.0040431 0.0063295 0.0009813 0.0000922 0 Tablo 5. Üçüncü doğal frekanslar (ω3) KB KK 0 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 1020 0 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 1020 1005.36 1005.37 1005.40 1005.76 1009.40 1047.07 1423.73 2125.39 2233.93 2245.21 1005.45 1005.45 1005.49 1005.85 1009.48 1047.15 1423.75 2125.42 2233.97 2245.26 1006.23 1006.23 1006.27 1006.63 1010.26 1047.87 1423.94 2125.65 2234.36 2245.66 1013.84 1013.85 1013.88 1014.24 1017.82 1054.95 1425.78 2127.94 2238.21 2249.68 1075.73 1075.74 1075.77 1076.09 1079.30 1112.24 1441.11 2148.90 2273.93 2287.05 1259.59 1259.60 1259.62 1259.81 1261.79 1281.90 1492.56 2256.74 2471.79 2494.79 1345.26 1345.26 1345.28 1345.42 1346.86 1361.41 1520.94 2365.27 2688.61 2721.78 1356.89 1356.89 1356.90 1357.04 1358.40 1372.25 1525.08 2386.57 2732.09 2766.93 1358.09 1358.09 1358.11 1358.24 1359.60 1373.37 1525.52 2388.91 2736.85 2771.86 1358.22 1358.23 1358.24 1358.37 1359.73 1373.50 1525.57 2389.17 2737.39 2772.42 Tablo 6. Üçüncü mod modal sönüm oranları (η3) KB KK 0 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 1020 0 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 1020 0 0.0000001 0.0000008 0.0000080 0.0000803 0.0008224 0.0049073 0.0011803 0.0001019 0 0.0000017 0.0000018 0.0000025 0.0000097 0.0000819 0.0008237 0.0049070 0.0011807 0.0001023 0.0000004 0.0000171 0.0000172 0.0000179 0.0000251 0.0000971 0.0008357 0.0049039 0.0011843 0.0001059 0.0000040 0.0001635 0.0001636 0.0001643 0.0001712 0.0002404 0.0009493 0.0048737 0.0012197 0.0001414 0.0000394 0.0010582 0.0010583 0.0010588 0.0010637 0.0011135 0.0016166 0.0045955 0.0015271 0.0004425 0.0003395 0.0011439 0.0011439 0.0011441 0.0011463 0.0011684 0.0013927 0.0033467 0.0026594 0.0012269 0.0010818 0.0001861 0.0001861 0.0001863 0.0001883 0.0002083 0.0004120 0.0024703 0.0030908 0.0005822 0.0003395 0.0000196 0.0000197 0.0000199 0.0000218 0.0000418 0.0002453 0.0023324 0.0030998 0.0002995 0.0000393 0.0000020 0.0000020 0.0000022 0.0000042 0.0000242 0.0002277 0.0023178 0.0030994 0.0002659 0.0000040 0 0.0000001 0.0000002 0.0000022 0.0000222 0.0002257 0.0023162 0.0030993 0.0002621 0 140 Viskoelastik Bağlantılı Ankastre Çubuğun Modal Özellikleri 4. SONUÇ Esnek bağlantılı ankastre-serbest çubuk için bağlantı noktası rijitlik ve sönümünün çubuğun doğal frekans ve modal sönüm oranları üzerindeki etkisi incelenmiştir. Bernoulli-Euler çubuğuna ait diferansiyel denklem, bağlantı noktasındaki kompleks yay özelliklerini göz önüne alarak yazılan sınır şartları altında çözülmüştür. Sayısal sonuçlar, karakteristik denklemin iteratif çözümüyle elde edilmiştir. Bağlantı noktasının doğrusal ve dönme rijitliklerinin sıfır değerlerinde ilk modun rijit cisim modu olduğu görülmüştür. Rijitliklerin yüksek değerlerinde ise tam ankastre-serbest çubuğun dinamik özellikleri elde edilmektedir. Bağlantı sönümünün, modlara göre farklı şekillerde etkili olduğu görülmüştür. Sayısal sonuçlardan, istenen doğal frekans ve sönüm oranına sahip olan çubuğun bağlantı noktası rijitlik ve sönümünü değiştirerek elde edilebileceği görülmektedir. 5. KAYNAKLAR 1. A. Wineman and J.H. Min, ''Viscoelastic hinge formation in beams'', Acta Mechanica, 140, 2000, pp. 183-205. 2. Lu Sun, ''A closed-form solution of beam on viscoelastic subgrade subjected to moving loads'', Computers and Structures, 80, 2002, pp. 1-8. 3. Z.J. Fan, J.H. Lee, K.H. Kang and K.J. Kim, ''The forced vibration of a beam with viscoelastic boundary supports'', Journal of Sound and Vibration, 210(5), 1998, pp. 673-682. 4. B.A. Abbas, ''Vibration of Timeshenko beam with elastically restrained ends'', Journal of Sound and Vibration, 97, 1984, pp. 541-548. 5. C.N. Bapat and C. Bapat, ''Natural frequencies of a beam with non-classical boundary conditions and concentrated masses'', Journal of Sound and Vibration, 112, 1987, pp. 177-182. 6. R.P. Goel, ''Free vibrations of a beam-mass system with elastically restrained ends'', Journal of Sound and Vibration, 47, 1976, pp. 9-14. 7. J.C. Macbain and J. Genin, ''Energy dissipation of a vibrating Timoshenko beam considering support and material damping'', International Journal of Mechanical Science, 17, 1975, pp. 255-265. 8. K.H. Kang and K.J. Kım, ''Modal properties of beams and plates on resilient supports with rotational and translational complex stiffness'', Journal of Sound and Vibration, 190(2), 1996, pp. 207-220. 141 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 ÇATLAKLI DİKDÖRTGEN PLAKLARDA DOĞAL FREKANSLAR Aydın DEMİR İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Taksim 80191, İSTANBUL, demiraydi@itu.edu.tr Vahit MERMERTAŞ İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Taksim 80191, İSTANBUL, mermertas@itu.edu.tr ÖZET Bu çalışmada, çatlaklı dikdörtgen plakların doğal frekans değişimleri sonlu elemanlar yöntemiyle incelenmiştir. Çatlağın plak yüzeyindeki konumu, kenarlarından birine paralel olarak seçilmiştir. Kırılma mekaniği esaslarından faydalanılarak modellenen çatlağın açık ve ilerlemeyen yapıda olduğu kabul edilerek 4 düğüm noktalı ve 12 serbestlik dereceli izotropik malzeme özelliği gösteren plak eleman kullanılmıştır. Geliştirilen elemanla bulunan sonuçlar, literatürdeki teorik ve deneysel sonuçlarla karşılaştırılarak uyumlu sonuçlar elde edildiği görülmüş, çatlağın plak üzerindeki konumu ve boyu değiştirilerek, plağın doğal frekansları üzerindeki etkisi, değişik sınır şartlarında incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Çatlaklı dikdörtgen plaklar, doğal frekanslar. NATURAL FREQUENCIES OF CRACKED RECTANGULAR PLATES ABSTRACT In this study, the natural frequencies of cracked rectangular plates are investigated by using finite element method. The position of the crack in the plate surface was selected as parallel to one edge. The crack occurring in the plate is non-propagating and open. It was modelled by an additional flexibility matrix, the terms of which were calculated using fracture mechanics. The rectangular isoparametric plate element of four nodes and three degrees of freedom at the node is considered to investigate the problem. The obtained model is verified by several numerical tests. The obtained results with improved element are compared with existing results of theoretical and experimental data presented in the literature. The results are very close to each other. The effects on changes in natural frequencies of the plate were examined for the different boundary conditions by changing the length and location of the crack on the plate. Keywords: Cracked rectangular plates, natural frequencies. 1. GİRİŞ Makinaların çeşitli yapı elemanlarında meydana gelen çatlaklar, bulundukları bölgede rijitlik değişimlerine neden oldukları için bu elemanların statik ve dinamik karakteristiklerini (statik yer değiştirme, doğal frekanslar, zorlanmış titreşim genlikleri, stabilite bölgeleri vs.) değiştirirler. Bu nedenle, çatlaklı yapılar çeşitli açılardan inceleme konusu olmuşlardır. Dimarogonas, çatlaklı yapıların titreşimlerine ait çalışmaları geniş bir alanda sınıflandırmıştır [1]. Wauer ise, çatlak içeren rotorlar ile ilgili çalışmaları sunmuştur [2]. Sonlu elemanlar metodu ile plak ve kabukların titreşimlerine yönelik ilk incelemeler, Lim tarafından verilmiştir [3]. Dimarogonas, hasarlı yapı elemanlarının titreşim analizleri için modelleme konusunda çalışma yapmışlardır [4]. Stahl ve Keer, Green fonksiyonu yaklaşımını kullanarak çatlaklı dikdörtgen plakların titreşim ve stabilitesini ilk inceleyenlerden birisidir [5]. Leissa, yalnızca dikdörtgen plakların serbest titreşimlerini çeşitli sınır şartları için incelemiştir [6]. Krawczuk, çatlaklı dikdörtgen plakların titreşimlerini, kırılma mekaniği prensiplerini de kullanarak sonlu elemanlar metodu ile incelemiştir [7-8]. Qian ve diğer araştırmacılar, sonlu elemanlar metodu ile çatlaklı dikdörtgen plakların titreşimlerini inceleyerek, teorik ve deneysel sonuçları sunmuşlardır [9]. Solecki, bir kenarına paralel çatlak içeren basit mesnetlenmiş plağın eğilme titreşimlerini incelemiştir [10]. Lee, çatlaklı halka plakların esas frekanslarını çalışmıştır [11]. Liew ve diğer araştırmacılar, titreşime maruz çatlaklı plakların analizleri için bir çözüm metodu sunmuşlardır [12]. Cornwell, Doebling ve Farrar, titreşim analiziyle çatlaklı yapılarda hasar tespitine yönelik uygulamalar yapmışlardır [13]. Khadem and Rezaee, çatlaklı dikdörtgen plakların çatlak derinliği Demir ve Mermertaş ve pozisyonu için bir analitik yaklaşım önermişler[14]; Lee ve Lim ise kayma deformasyonu ve dönme eylemsizliği etkilerini de hesaba katarak titreşim analizi yapmışlardır [15]. N i (ξ, η) = 1 (1 + ξ i ξ)(1 + η i η) 4 ifadesiyle belirlidir [16]. Bu çalışmada, çatlaklı dikdörtgen plakların doğal frekans değişimleri, sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak incelenmiştir. Açık ve ilerlemeyen yapıda olduğu kabul edilen çatlak, kırılma mekaniği prensipleriyle modellenmiştir. 4 düğüm noktalı ve her düğüm noktasında 3 serbestlik derecesi olan ve izotropik malzeme özelliği gösteren plak elemanı kullanılmıştır. Çatlağın plak üzerindeki konumu ve boyu değiştirilerek, plağın doğal frekansları üzerindeki etkisi, değişik sınır şartlarında incelenmiştir. Plak elemanın potansiyel enerjisi, 2. DİKDÖRTGEN PLAK ELEMAN VE SONLU ELEMANLAR METODU olmak üzere, U= [ε]T = [ε x ζ 1 2ac a ] (5) 0 0 (6) 0 (1 − υ)π2 24 0 Şekil 1-2’de gösterildiği gibi çatlak, plak elemanın tam orta noktasına yerleştirilmiştir. Plak elemanda sabit kayma gerilmeleri ve lineer değişimli normal gerilme alanı olduğu kabul edilmiştir. 12 serbestlik dereceli eleman için düğüm noktalarındaki kuvvetler denge denklemleri nedeniyle birbirinden bağımsız olarak dokuz adet kuvvet cinsinden ifade edilebilirler [17]. η 3 z h w b η= - γ yz 3. ÇATLAĞIN MODELLENMESİ 4 ξ= -1 γ xz şeklinde ifade edilebilir. şekil η= +1 γ xy Plak elemanın kinetik enerjisi ise ρ plak malzemesi yoğunluğu olmak üzere, 1 (7) T = ∫ ρ(u 2 + v 2 + w 2 )dv 2v (2) Ni(ξ,η) εy şeklindedir. a ξ 2 b y= η (1) 2 h z= ζ 2 bağıntıları vardır. Elemanın yer değiştirme alanı, matris formunda yazılırsa, x= Burada, (4) υ 0 0 1 1 0 0 1− υ 0 2 [D] = E 2 (1 − υ)π2 1 − υ simetrik 24 Kullanılan elemanda x, y, z kartezyen koordinatları ile ξ, η ve ζ boyutsuz eğrisel koordinatlar arasında, şeklinde ifade edilir. fonksiyonları olup, 1 T ∫ [ε] [D][ε]dv 2v şeklindedir. Burada, ε birim şekil değiştirme matrisi ile D malzeme matrisi, Şekil 1’de 4 düğüm noktalı, 12 serbestlik dereceli çatlaklı plak eleman gösterilmiştir. Plak elemanı her düğüm noktası için üç serbestliğe sahiptir. Bunlar plak orta düzlemine dik doğrultudaki w yer değiştirmesi ile, bu doğrultuya dik iki eksen etrafındaki θx ve θy dönmeleridir. zN i (ξ, η) 0 u 0 wi v = 4 0 − zN i (ξ, η) θ yi 0 i∑ =1 w N i (ξ, η) θ xi 0 0 (3) ξ ξ= +1 2 Şekil 1. Çatlaklı dikdörtgen plak elemanı. 144 v y θy u θx x Çatlaklı Dikdörtgen Plaklarda Doğal Frekanslar Bu dönüşüm matris formunda 2 0 b 1 1 0 0 2 0 −b − 1 1 0 TT = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 a 0 0 −1 −1 2 0 − a 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 K II = − 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 a 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 a 0 1 0 0 0 0 2 0 b −1 −1 0 0 2 0 − b 1 −1 0 0 − 0 0 1 − 1 0 0 1 0 0 − 1 0 0 1 0 0 ac 1 a +y c ∫ τ xy (0, y)( a − y )dy (14) πa c − a c c şeklinde tanımlanmıştır [19]. Şekil 2’den görüldüğü gibi ac çatlak yarı boyu; σx(0,y) ve τxy(0,y) ise çatlak yüzeyine etkiyen normal ve kayma gerilmeleridir. y (8) σx 2ac τxy b x a Şekil 2. Çatlaklı plak elemanda gerilme durumu. şeklindedir. Bu durumda çatlaksız plak için esneklik matrisi [Co], çatlaksız plağın katılık matrisi [k]'dan faydalanılarak [C ] = [T] T o [C ] o 4b a 0 −υ −υ 12 − 2b = Eh 3 a 0 −υ υ 0 4b 3a υ 4a b υ 0 4a 3b 0 −υ υ 2b 3a 4b a −υ υ 0 −υ − 2a b υ 0 0 0 0 2a 3b 0 [k ]−1 [T] (9) simetrik 4b 3a −υ υ 4a b −υ υ 0 0 0 0 Çatlak yüzeyine etkiyen normal ve kayma gerilme değerleri bağımsız düğüm kuvvetlerinin bir fonksiyonu olarak 4a 3b 0 2(1 + υ)ab y y ((0.5 + 3 ) F3 + (0.5 − 3 ) F7 ) (15) b b bh 12 z τ xy = 3 F9 (16) h şeklinde tanımlıdır [17]. (15-16) nolu denklemler (13-14) nolu denklemlerde yazılırsa, σ x (0, y ) = (10) şeklinde elde edilir [17]. Burada a, b sonlu elemanın kenar uzunlukları, h plak kalınlığı, E ve ν elastisite modülü ile Poisson oranını göstermektedir. 3 24 z 1 3a c ( + ) F3 ) πa c f c ( g ) 3 2 2 b bh 24 z 1 3a c = 3 ( − ) F7 ) πa c f c ( g ) bh 2 2b K I3 = (17a) K I7 (17b) 12 z F9 πa c f c ( g ) (17c) bh 3 ifadeleri elde edilir. Burada fc(g), boyutsuz düzeltme fonksiyonu olup K II 9 = − Çatlağın bölgesel olarak meydana getirdiği esneklik, ∂U 1 c1ij = ∂Fi ∂Fj 24 f c ( g ) = 1 + 0 .018 g + 0 .1825 g 2 + 2 .024 g 3 − 2 .431 g 4 (i = j = 1,9) (18) (11) şeklindedir. (17a-17c) denklemlerinde ihmal edilen kayma deformasyonları için grafiklerden seçilen Φj katsayıları kullanılarak düzeltilmiş gerilme yoğunluk fonksiyonları KjiR değerleri aşağıdaki şekilde elde edilir [19]. 1 matris elemanlarından meydana gelen [C ] matrisi kullanılarak formüle edilir [7,8]. Fi, Fj elemana etkiyen kuvvetler, U1 ise elemanın yer değiştirme enerjisidir. Düzlem gerilmeler için, U1 ifadesi, 9 9 1 (∑ K Ii 2 + ∑ K IIi 2 )dA (12) ∫ E A i =1 i =1 şeklindedir [18]. Burada A, çatlak alanı; Kji ‘ler (j=I,II , i=1,9), j çatlak zorlama şekilleri indisi ve i kuvvet indisi olmak üzere gerilme yoğunluk faktörleridir. Bunlar, ac + y 1 ac KI = ∫ σ x (0, y)( a − y )dy (13) πa c −a c c K jiR = Φ j K ji U1 = j = I, II; i = 3,7,9 (19) (17-19) nolu bağıntılar (11-12) nolu denklemlerde yerlerine konulursa, 145 Demir ve Mermertaş 0 0 0 0 π 6 1 0 C = Eh 3 0 0 0 0 0 0 c 33 0 0 0 0 0 0 0 c 73 0 0 0 verilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Sonuçların uyumlu olduğu görülmektedir. (20) 0 simetrik 0 0 0 0 0 0 0 0 c 77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c 99 0 Tablo 1. Çatlaklı ankastre-serbest kare plakta (CFFF) doğal frekans değişim oranları. 2ac / b Mod Ref. [9] teorik 0.141 1.mo 0.9891 0.9931 6 d 0.141 2.mo 0.9985 0.9989 6 d 0.141 3.mo 0.9826 0.9837 6 d matrisi elde edilir. Burada, gk = 2ac /b olmak üzere, gk c 33 = 4Φ 1 2 ∫ g (0.5 + 0.75g ) 2 f c 2 (g )dg ∆ωij Ref. [7] (21a) −g k Ref. [9] deneyse l 0.9917 Bu çalışm a 0.9844 0.9981 0.9953 0.9807 0.9802 gk c 73 = 2Φ 1 2 ∫ g (0.5 + 0.75g )(0.5 − 0.75g )f c 2 (g )dg (21b) Burada, ∆ωij doğal frekans değişim oranı, i ve j yatay ve dikey doğrultulardaki yarı dalga sayısını göstermek üzere, çatlaklı plağın doğal frekansının çatlaksız plağın doğal frekansına oranı olarak −g k gk c 77 = 4Φ1 2 ∫ g (0.5 − 0.75g ) 2 f c 2 (g )dg (21c) −g k 2 c99 = b Φ 2 2 gk 2 ∫ gf c (g)dg ∆ωij = (21d) −g k şeklindedir [7]. matrisi −1 Tablo 2. Basit mesnetlenmiş (SSSS) çatlaklı kare plakta doğal frekans değişim oranları. (22) formunda elde edilir. Çatlak, sadece katılık matrisinde değişikliğe neden olmaktadır, kütle matrisi ise değişmeden aynen kalır [7,8]. 2ac / Mod b Çatlaklı plağın ωij doğal frekansları, [M] ve [K] plak katılık ve kütle matrisleri olmak üzere aşağıda verilen özdeğer problemi çözümünden elde edilir. [K ] − ωij2 [M] = 0 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 (23) D, plağın eğilme rijitliği ve i, j yatay ve dikey eksen boyunca mod şekillerindeki yarı dalgaların sayısı olmak üzere boyutsuz frekans parametresi λij aşağıda verilmiştir. D= Eh 3 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 (24) 12(1 − υ 2 ) λ ij = ωij a 2 ρh D (26) ωij şeklinde tanmlanmıştır. Çatlaklı durumda eleman katılık [k ] = [T]T ([C o ]+ [C1 ]) [T] ωijc (25) 4. SAYISAL UYGULAMALAR Sayısal hesaplamalar için plak elastisite modülü E=2.04. 1011 N/m2 , yoğunluğu ρ=7860 kg/m3 , Poisson oranı ν=0.3 olarak seçilmiştir. Kullanılan plak a x b x h = 0.1m x 0.1m x 0.001m boyutlarında olup 5x5=25 adet elemana bölünmüştür. 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 Tablo 1’de bir kenarı ankastre diğer kenarları serbest (CFFF) sınır şartlarındaki dikdörtgen plak için aynı çatlak boyunda elde edilen doğal frekans değişim oranları ilk üç mod için 7 ve 9 nolu kaynaklarda 146 ∆ωij Ref. [5] 1.mo 1.0000 d 0.9970 0.9940 0.9860 0.9780 0.9660 0.9540 2.mo 1.0000 d 0.9999 0.9996 0.9980 0.9964 0.9894 0.9824 3.mo 1.0000 d 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9992 0.9988 Ref. [7] Ref. [10] 1.0000 1.0000 Bu çalışm a 1.0000 0.9971 0.9942 0.9874 0.9806 0.9682 0.9548 1.0000 0.9970 0.9940 0.9855 0.9775 0.9650 0.9530 1.0000 0.9968 0.9931 0.9856 0.9773 0.9674 0.9523 1.0000 1.0000 1.0000 0.9980 0.9970 0.9890 0.9830 1.0000 0.9999 0.9998 0.9982 0.9966 0.9895 0.9824 - 0.9998 0.9997 0.9972 0.9943 0.9837 0.9794 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9994 0.9990 - 1.0000 1.0000 0.9972 0.9968 0.9951 0.9937 Çatlaklı Dikdörtgen Plaklarda Doğal Frekanslar kenarların orta noktalarına yakın bölgelerde en fazla değiştiği görülmektedir. Tablo 2’de dört kenarı basit mesnetli (SSSS) plak için farklı çatlak boylarında doğal frekans değişimleri ilk üç mod için 5,7 ve 10 nolu kaynaklarda verilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Tablodan her modda çatlak boyunun artması ile doğal frekans değişiminin de arttığı görülmektedir. Tablo 4. İki tarafı ankastre diğer iki kenarı serbest (CFCF) kare plakta çatlak konumuna göre 1. doğal frekans değişimleri. x y 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 İki tarafı ankastre, diğer iki kenarı ise serbest (CFCF) sınır şartlarındaki plak eleman Şekil 3’te gösterilmiştir. Tablo 3-6’daki hesaplamalarda kullanılan plak 1m x 1m x 0.1m boyutlarındadır. Plak 5x5=25 adet sonlu elemana bölünmüş olup çatlak göz önüne alınan sonlu elemanın tam ortasında bulunmaktadır. 0.1 0.8323 0.8480 0.8787 0.8480 0.8323 0.3 0.8386 0.8665 0.9043 0.8665 0.8336 0.5 0.8079 0.8106 0.8008 0.8106 0.8079 0.7 0.8386 0.8665 0.9043 0.8665 0.8386 0.9 0.8323 0.8480 0.8787 0.8480 0.8223 F C 2ac 0.1 1m Tablo 5. İki tarafı ankastre diğer iki kenarı serbest (CFCF) kare plakta çatlak konumuna göre 2. doğal frekans değişimleri. C 1m x y 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 F Şekil 3. İki kenarı ankastre diğer iki kenarı serbest (CFCF) kare plak. x y 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 Tablo 3. Farklı sınır şartlarındaki kare plakta doğal frekans değişim oranları Mod 1.mod 2.mod 3.mod ∆ωij SSSS 0.9856 0.9972 0.9972 CFCF 0.9843 0.9951 0.9849 0.3 0.9179 0.9245 0.8573 0.9245 0.9179 0.5 0.8286 0.8330 0.9119 0.8330 0.8286 0.7 0.9179 0.9245 0.8573 0.9245 0.9179 0.9 0.8852 0.8471 0.8127 0.8471 0.8852 Tablo 6. İki tarafı ankastre diğer iki kenarı serbest (CFCF) kare plakta çatlak konumuna göre 3. doğal frekans değişimleri. Tablo 3 doğal frekanslardaki değişimi, plağın orta noktasında bulunan ve aynı çatlak boyuna sahip plak için farklı sınır şartlarında göstermektedir. Bu tablodan doğal frekansların (SSSS) sınır şartında en az, (CFCF) sınır şartında biraz daha fazla, (CFFF) sınır şartında ise en fazla olarak değiştiği görülmektedir. 2ac / b 0.15 0.15 0.15 0.1 0.8852 0.8471 0.8127 0.8471 0.8852 0.1 0.8314 0.8147 0.8192 0.8147 0.8314 0.3 0.9494 0.9351 0.8254 0.9351 0.9494 0.5 0.9737 0.9902 0.8053 0.9902 0.9737 0.7 0.9494 0.9351 0.8254 0.9351 0.9494 0.9 0.8314 0.8147 0.8192 0.8147 0.8314 5. SEMBOLLER VE KISALTMALAR CFFF 0.9831 0.9947 0.9785 Sembol Açıklama k Çatlaklı plak elemanın rijitlik matrisi m Çatlaklı plak elemanın kütle matrisi F3, F7, F9 Bağımsız düğüm kuvvetleri Tablo 4-6 iki tarafı ankastre diğer iki kenarı ise serbest (CFCF) sınır şartlarındaki plak için çatlak konumunun 1. 2. ve 3. doğal frekanslarına etkisini göstermektedir. Çatlak boyu Şekil 3’te görüldüğü gibi plağın ankastre kenarlarına paralel olacak şekilde seçilmiştir. Tablolardan, çatlak konumunun doğal frekans değişimine etkisinin her modda farklı olduğu görülmektedir. Frekans değişimi, plağın orta noktasından geçen yatay ve dikey doğrulara göre simetrik olmaktadır. Tablo 4 ve 6 ‘da 1. ve 3. doğal frekans değişiminin plağın orta noktasında en fazla olduğu; Tablo 5’te ise 2. doğal frekansın ankastre Kısaltma SSSS CFFF CFCF Açıklama Her tarafı basit mesnetlenmiş plak Bir kenarı ankastre,diğerleri serbest plak İki kenarı ankastre, diğerleri serbest plak 6. SONUÇLAR Bu çalışmada, çatlaklı dikdörtgen plakların doğal frekans değişimleri sonlu elemanlar yöntemiyle incelenmiş ve sonuçlar, literatürdeki teorik ve deneysel sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Çatlağın plak 147 Demir ve Mermertaş üzerindeki konumu ve boyu değiştirilerek, plağın doğal frekansları üzerindeki etkisi, değişik sınır şartlarında incelenmiştir. Çatlaklı plakların her sınır şartı için doğal frekanslarının azaldığı görülmüştür. Aynı konum ve boydaki çatlağın farklı sınır şartlarındaki azaltıcı etkisi de farklı olmaktadır. Çatlak konumunun doğal frekans üzerindeki etkisinin de modlara göre farklılık gösterdiği gözlenmiştir. 14. 15. 7. KAYNAKLAR 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Dimarogonas A.D., “Vibration of Cracked Structures: A State of the Art Review”, Engineering Fracture Mechanics, 55, 5, 1996, pp. 831-857. Wauer, J., “On the Dynamics of Cracked Rotors: A Literature Survey”, Applied Mechanics Reviews, 43, 1, 1990, pp. 13-17. Lim, G.H.,”Vibration of plates and shells using finite elements (1996-1997)”, Finite Elements in Analysis and Design, 31, 1999, pp. 223-230. Dimarogonas A.D., “Modeling Damaged Structural Members for Vibration Analysis”, Journal of Sound and Vibration, 112, 1987, pp. 541-543. Stahl, B. and Keer, L.M., “Vibration and Stability of Cracked Rectangular Plates”, International Journal of Solids and Structures, 8, 1, 1972, pp. 69-91. Leissa, A.W, “Free Vibration of Rectangular Plates”, Journal of Sound and Vibration, 31, 3, 1973, pp. 257-293. Krawczuk, M., “Natural Vibrations of Rectangular Plates with a Through Crack”, Archieve of Applied Mechanics, 63, 1993, pp. 491-504. Krawczuk, M., Zak, A. and Ostachowicz, “Finite Element Model of Plate with ElastoPlastic Through Crack”, Computers and Structures, 79, 2001, pp. 519-532. Qian, G.L., Gu, S.N. and Jiang J.S., “A Finite Element Model of Cracked Plates and Applications to Vibration Problems”, Computers and Structures, 39, 5, 1991, pp. 483-487. Solecki, R., “Bending Vibration of a Simply Supported Rectangular Plate With a Crack Parallel to One Edge ”, Engineering Fracture Mechanics, 18, 6, 1983, pp. 1111-1118. Lee, .P., “Fundamental Frequencies of Annular Plates With Internal cracks”, Computers and Structures, 43, 1992, pp. 1085-1089. Liew, K.M., Hung, K.C. and Lim, M.K., “A Solution Method for Analysis of Cracked Plates Under Vibration”, Engineering Fracture Mechanics, 48, 3, 1994, pp. 393-404. Cornwell, P., Doebling, S.W. and Farrar, C.R., “Application of the Strain Energy Damage Detection Method to Plate Like Structures”, 16. 17. 18. 19. 148 Journal of Sound and Vibration, 1999, 224(2), pp. 359-374 Khadem, S.E. and Rezaee, M., “An Analytical Approach for Obtaining the Location and Depth of an All-Over Part-Through Crack on Externally in-Plane Loaded Rectangular Plate Using Vibration Analysis”, Journal of Sound and Vibration, 230, 2, 2000, pp. 291-308. Lee, H.P. and Lim, S.P., “Vibration of Cracked Rectangular Plates Including Transverse Shear Deformation and Rotary Inertia”, Computers and Structures, 49, 4, 1993, pp. 715-718. Petyt, M., Introduction to finite element vibration analysis, Cambridge University Press, United Kingdom, 1990. Przemieniecki, J.S., Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw-Hill Company, New York, 1968. Paipetis, A.S. and Dimarogonas A.D., Analytical Methods In Rotor Dynamics, Applied Science Publishers LTD., England, 1983. Sih, G.C., Handbook of Stress Intensity Factors, Bethlehem, P.A. Lehigh University, 1973. 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 BİR UÇAK KANADININ YAPISAL MODELİNİN GELİŞTİRİLMESİ Özlem ERDENER TAI TUSAŞ Havacılık ve Uzay Sanayi AŞ, Tasarım ve Geliştirme Müdürlüğü, Akıncı 06936, ANKARA, oerdener@tai.com.tr Yavuz YAMAN Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Havacılık ve Uzay Mühendisliği Bölümü, ANKARA, yyaman@metu.edu.tr ÖZET Bu çalışmada, bir uçak kanadının statik ve dinamik özellikleri incelenmiştir. Kanadın geometrik modelinin ve sonlu elemanlar modelinin oluşturulmasında ve analiz sonuçlarının incelenmesinde MSC/PATRAN® v9.0 programı kullanılmış, analizler ise MSC/NASTRAN® v70.5 programıyla gerçekleştirilmiştir. Çalışmada öncelikle kanadın ana parçaları olan kanat kutusu, hücum kenar kanatçığı, iç kanatçık ve firar kenar kanatçığı belirlenmiş, ardından parça detayları olan uçak kaplaması, kirişler ve sinirler modellenmiştir. Daha sonra bu geometrik model uygun boyutta ve yapıda bir ağ ile taranmış ve kanadın sonlu elemanlar modeli yaratılmıştır. Sonlu elemanlar modeli oluşturulurken ana ve detay parçaların ortak düğüm noktalarına sahip olabilmesi için ağ oluşturma işlemi çeşitli yöntemlerle kontol altına alınmıştır. Öncelikle kirişler ve sinirler üzerinde ağ yapısı oluşturulmuş, kaplama daha sonra taranmıştır. Oluşturulan model üzerinde statik ve dinamik analizler yapılmıştır. Üzerine harici bir dikey yük uygulandığında herhangi bir dönme olmaksızın sadece dikey yerdeğiştirme olarak tanımlanan kanadın elastik çizgisi, etkin dikey ve dönme direngenlikleri kanadın incelenen statik özellikleridir. Dinamik analizlerde kanadın doğal frekansları ve bu frekanslara karşılık gelen titreşim biçimleri belirlenmiştir. Olası dahili yakıt ve harici yüklerin kanadın dinamik davranışları üzerindeki etkileri de incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Uçak kanadı, sonlu elemanlar modeli, elastik çizgi, doğal frekans, titreşim biçimi DEVELOPMENT OF STRUCTURAL MODEL OF AN AIRCRAFT WING ABSTRACT In this study, the static and the dynamic characteristics of an aircraft wing are investigated. MSC/PATRAN®v9.0 finite element package program is used in construction of the geometric model, the finite element model of the aircraft wing and post processing the analysis results whereas the analysis are run by using MSC/NASTRAN®v70.5. In this study first, the main parts namely the wingbox, leading edge flap, flaperon and trailing edge are located, then the detail parts such as the skins, spars and ribs are geometrically modelled. Afterwards the finite element model of the aircraft wing is created by meshing the geometric model by using appropriate element type with appropriate element length. During the construction of the finite element model of the structure, the coincidence of the nodes on different components are guaranteed by using various techniques. First, the spars and the ribs are meshed, which is followed by the construction of the finite element model of the skins. Static and dynamic analyses are conducted on the finite element model. The elastic line, effective transverse stiffness and effective rotational stiffness of the wing are the static characteristics of the wing which are examined. The natural frequencies and the corresponding mode shapes of the wing are the dynamic characteristics that are investigated. The effects of probable internal fuel and the external stores on the dynamic characteristics are also investigated. Keywords: Aircraft wing, finite element model, elastic line, natural frequency, mode shape 1. GİRİŞ Bu çalışmada, bir uçak kanadının statik ve dinamik özellikleri incelenmiştir. Kanadın geometrik modelinin ve sonlu elemanlar modelinin oluşturulmasında ve analiz sonuçlarının incelenmesinde MSC/PATRAN® v9.0 programı kullanılmış, analizler ise MSC/NASTRAN® v70.5 programıyla gerçekleştirilmiştir. Erdener ve Yaman Bu çalışmada incelenen uçak kanadı; kanat kutusu, hücum kenar kanatçığı, iç kanatçık ve firar kenar kanatçığı olmak üzere dört ana parçadan oluşmaktadır.[1] Bu ana parçalar Şekil 1’de verilmiştir. Kanat kutusu Z ekseni ile tanımlanmıştır. Şekil 2’de bu kordinat sistemi verilmiştir. Hücum kenar kanatçığı Şekil 2. Kordinat sistemi Kanadı oluşturan ana parçalar yapısal olarak kirişler, sinirler ve uçak kaplamasından oluşmaktadır. Hücum kenar kanatçığı, iç kanatçık ve firar kenar kanatçığında bu yapılar dışında alt ve üst kaplama arasında balpeteği ara malzeme bulunmaktadır. Kanat kutusu üzerinde, kirişler hücum kenarından, firar kenarına doğru numaralarla, sinirler ise simetri çizgisi üzerinde, merkezden milimetre cinsinde uzaklıklar ile adlandırılmaktadır. Ana parçaların iç yapısı Şekil 3’te verilmiştir. İç kanatçık Firar kenar kanatçığı Şekil 1. Kanadın ana parçaları Tüm çalışma boyunca kullanılan ana kordinat sistemi, kiriş boyunca artan ve simetri çizgisi (SÇ) ile kesişen X ekseni, sinir boyunca firar kenarından hücum kenarına doğru artan ve gövde istasyonlarıyla (Gİ) keşisen Y ekseni ve su çizgisiyle (Su Ç) kesişen Kiriş 1 Sinir, SÇ 1803.4 Kiriş 2 Kiriş 3 Kiriş 4 Kiriş 5 Kiriş 6 Kiriş 7 Kiriş 8 Ön Kiriş Üst Kaplama Sinir, SÇ 4572 Kiriş 9 Kök Siniri Kanat Kutusu Sinir Balpeteği Ara Malzeme Kiriş Sinir, SÇ 3048 Hücum Kenar Kanatçığı Üst Kaplama Alt Kaplama Üst Kaplama Balpeteği Ara Malzeme Firar Kenar Kanatçığı Kiriş Kiriş Balpeteği Ara Malzeme Alt Kaplama Sinirler Güçlendiriciler İç Kanatçık Alt Kaplama Şekil 3. Kanat ana parçalarının iç yapısal detayları edilmiştir. Hücum kenar kanatçığı, iç kanatçık ve firar kenar kanatçığında kullanılan aluminyum balpeteği ara malzemelerin modellenmesinde ortotropik malzeme özellikleri kullanılmıştır. Bu sayede balpeteği yapının z-yönündeki eksenel yüklere karşı daha mukavim yapısı modele yansıtılmıştır. 2. GEOMETRİK MODELLEME Kanadın geometrik modelinin oluşturulmasına kanat kökü ve kanat ucundaki kanat profillerinin modellenmesiyle başlanmıştır. Bu profiller modellendikten sonra kanadın alt ve üst yüzeyleri oluşturulmuştur. 2.1. Malzeme Özelliklerinin Atanması 2.2. Fiziksel Özelliklerinin Atanması Kanat yapısında metalik malzemelerin yanısıra, kompozit malzemeler de kullanılmıştır. Metalik malzeme olarak aluminyum alaşımları tercih Sonlu elemanlar analizi için tüm parçaların yoğunluk, flanş alanı, panel ve kaplama kalınlığı gibi fiziksel özelliklerinin atanması gereklidir. Bu 150 Bir Uçak Kanadının Yapısal Modelinin Geliştirilmesi birebir modelenmiştir. Kanat kutusu kiriş ve sinirlerinin geometrik modeli Şekil 5’te verilmiştir. fiziksel özellikler sonlu eleman modeline atanabileceği gibi geometrik modelde de tanımlanabilir. Ayrıca fiziksel özelliklerin geometrik modelde tanımlanması, sonlu eleman modelinde değişiklik yapılması durumunda fiziksel özelliklerin tekrar atanmasını gerektirmediğinden daha avantajlı olmaktadır.[2] Bu çalışmada fiziksel özellikler kanat kutusu kaplaması ve hücum kenar kanatçığı-kanat kutusu ve iç kanatçık-kanat kutusu bağlantı elemanları haricinde geometrik modele atanmıştır. Geometrik model oluşturulurken, fiziksel özelliklerin değişimi de göz önünde bulundurulmuştur. Kanat kutusunun alt ve üst kaplamaların geometrik modelinin oluşturulmasında, alt ve üst kaplamaya iz düşümü alınmış kiriş ve sinirlerin flanşlarını oluşturan eğriler kullanılmıştır. Alt ve üst kaplama tek parça olmasına karşın kiriş ve sinirlerde olduğu gibi kaplamalar da ana parçalara bölünmüştür. Kiriş ve sinirlerin modellenmesinde çubuk ve kabuk elemanları kullanılmıştır. Alt ve üst kaplamalarda kabuk, balpeteği ara malzemelerde ise katı elemanlar kullanılmıştır. Dahili yakıt ve harici yüklerin modellenmesinde noktasal elemanlar kullanılmıştır.[3] Şekil 5. Kanat kutusu kiriş ve sinirlerinin geometrik modeli Kanat kutusunun modellenmesinin ardından hücum kenar kanatçığı, iç kanatçık ve firar kenar kanatçığın modellenmesine başlanmıştır. Kiriş ve sinirlerin flanş ve panelleri kanat kutusuna benzer şekilde modellenmiştir. Hücum kenar kanatçığı, iç kanatçık ve firar kenar kanatçığında bulunan balpeteği ara malzemeyi modellemek için, kiriş ve sinir flanşlarını kullanarak katı modeller oluşturulmuştur. Bu katı modellerin üst ve alt yüzeyleri de hücum kenar kanatçığı, iç kanatçık ve firar kenar kanatçığının alt ve üst kaplamalarını oluşturmuştur. 2.3. Geometrik Modelleme Geometrik modelin oluşturulmasına öncelikle kanat kutusu ile başlanmıştır. Kanat kutusunu sırasıyla hücum kenar kanatçığı, iç kanatçık ve firar kenar kanatçığı takip etmiştir. İlk olarak kiriş ve sinirlerin pozisyonları su çizgisi sıfırda Şekil 4’de görüldüğü gibi modellenmiş ve oluşturulan alt ve üst kanat kaplaması üzerine Z yönünde iz düşürerek eğimli kiriş ve sinir flanşları elde edilmiştir. Kiriş ve sinirler her ne kadar tek parçadan oluşsalar da, daha sonra oluşturulacak sonlu eleman modelinin daha kontrollü olması ve fiziksel değişimlerin modele yansıtılabilmesi açısından keşisim noktalarından ana parçalara bölünmüştür. Z yönünde İzdüşüm Vektörü Hücum kenar kanatçığı kanat kutusuna beş bağlantı noktasından, firar kenar kanatçığı ise üç bağlantı noktasından bağlanmaktadır. Bağlantı elemanları sonlu elemanlar modelinin düğüm noktaları kullanılarak yaratıldığı için bağlantı elemanlarının geometrik modeli sonlu elemanlar modelinin yaratılmasından sonra oluşturulmuştur. Kiriş ve sinirlerde olduğu gibi flanşların modellenmesinde eğriler, panellerin modellenmesinde ise yüzeyler kullanılmıştır. Şekil 6’da tüm verilmektedir. Su Ç 0’da kiriş ve sinirlerin yerleşimi kanadın geometrik Şekil 4. Kiriş ve sinirlerin modellenmesi Kiriş ve sinirlerin panelleri iz düşüm yöntemiyle yaratılan alt ve üst flanşlar kullanılarak modellenmiştir. Fiziksel özelliklerin geometrik modele atanacağını göz önüne alarak, ana parçalar fiziksel özelliklerin değişimine göre daha da küçük parçalara ayrılmıştır.[1] Genelde kanat kutusunun kiriş ve sinir panellerinde kablolama, yakıt akışı, havalandırma boruların geçişi gibi nedenlerle çeşitli ebatlarda kesitler bulunmaktadır. Bu kesitlerde geometrik modelde Şekil 6. Kanat geometrik modeli 151 modeli Erdener ve Yaman 3. SONLU ELEMANLAR MODELLEMESİ Kanat kutusunun sonlu eleman modelinin oluşturulmasına, alt ve üst kaplamaların uygun ağ yapısıyla taranmasıyla devam edilmiştir. Kaplamalarda ağ yapısının sıklığı genel olarak kiriş ve sinirlerin flanşlarının ağ yapısı tarafından belirlenmiştir. Bu sayede alt ve üst kaplamalarla kiriş ve sinirlerin ortak düğüm noktalarına sahip olması garanti edilmiştir. Kanat genel olarak kirişler, sinirler, kaplamalar ve balpeteği ara malzemelerden oluşmaktadır. Kiriş ve sinirlerin flanşlarının modellenmesinde 1Boyutlu (1-B) elemanlar, kaplama ve panellerin modellenmesinde 2Boyutlu (2-B) elemanlar, balpeteği ara malzemelerin modellenmesinde ise 3Boyutlu (3-B) elemanlar ve dahili yakıt ve harici yüklerin modellenmesinde ise 0Boyutlu (0-B) elemanlar kullanılmıştır. 1-B elemanlar için BAR2 elemanları kullanılmıştır. 2-B elemanlarda genelde QUAD4 elemanları ile modellenmiş, gereken yerlerde TRIA3 elemanlarından da yararlanılmıştır. 3-B elemanlar olarak HEXA8 ve HEXA6 elemanları kullanılmıştır. [4,5] 2-B yüzeyler üzerinde, geometri elverdiği ölçüde eşit aralıklı ağ yapısı tercih edilmiştir. Ancak kesitlerin olduğu kompleks geometrilerde eşit aralıklı ağ yapısı kullanılamadığı için bu yüzeyler düzensiz ağ yapısı ile taranmıştır. 3-B katılarda ise eşit aralıklı ağ yapısı kullanılmıştır. Bu çalışmada elemanların global kenar uzunluğu 50 mm olarak belirlenmiştir. Genel yaklaşımdan farklı olarak alt ve üst kaplamaların fiziksel özellikleri geometrik modele değil de sonlu elemanlar modeline atanmıştır. Bunun için su çizgisi 0’da fiziksel özelliklerin değişim planı çizilmiş ve özellikler sonlu elemanlar modeline atanmıştır. Kanat kutusu sonlu elemanlar modeli 1287 1-B eleman ve 6636 2-B eleman olmak üzere toplam 7923 eleman ve 6233 düğüm noktasından oluşmaktadır. 3.2. Hücum Kenar Kanatçığı, İç Kanatçık ve Firar Kenar Kanatçığı Kanatçıkların sonlu eleman modeli kiriş ve sinirlerin flanşlarının uygun ağ yapısı ile taranmasıyla başlamıştır. Bunu kiriş ve sinirlerin panellerinin sonlu eleman modelinin oluşturulması takip etmiştir. Ardından balpeteği ara malzemeler, 3-B elemanlar ile kiriş ve sinirlerin ağ yapısı göz önüne alınarak taranmış ve ortak düğüm noktaları teke indirilmiştir. Üst ve alt kaplamaların sonlu eleman modelinin oluşturulmasında da balpeteği ara malzemelerin ağ yapısı kullanılmıştır. Bu sayede tüm parçaların ortak düğüm noktalarına sahip olması garanti altına alınmıştır. 3.1. Kanat Kutusu Sonlu eleman modeli yaratılırken, farklı ana ve detay parçaların birbirlerine bağlandıkları bölgelerde ortak düğüm noktalarına sahip olmaları büyük önem taşımaktadır. Geometrik model, bu kriteri de göz önüne alarak yaratılmıştır. Sonlu eleman modelini oluştururken izlenen sıralama da ortak düğüm noktalarını kontrol altına alacak şekilde organize edilmiştir. Kanat kutusunun sonlu eleman modelinin oluşturulmasına öncelikle kiriş ve sinirlerin flanşlarının taranmasıyla başlanmıştır. Ardından kiriş ve sinirlerin panelleri üzerindeki ağ yapısı yaratılmış ve flanşlarla ortak düğüm noktalarının kullanılması sağlanmıştır. Hücum kenar kanatçığı–kanat kutusu ve iç kanatçık– kanat kutusu bağlantıları da kiriş ve sinirler gibi önce flanşların ve ardından panellerin sonlu eleman modelinin oluşturulmasıyla modellenmiştir. Bağlantı elemanlarının fiziksel özellikleri sonlu eleman modeline atanmıştır. Kanat kutusunun kiriş ve sinirlerinin sonlu elemanlar modeli Şekil 7’de de görüldüğü gibi, 1287 1-B eleman, 2097 2-B eleman ve 3104 düğüm noktasından oluşmaktadır. 3.3. Dahili Modellenmesi Yakıt ve Harici Yüklerin Dahili yakıt ve harici yükler ilgili pozisyonlarda 0-B elemanlarla toplanmış kütle olarak modellenmiştir. Kanat, Şekil 8’de gösterildiği üzere üç bölmeden oluşmuştur. Bu üç bölmede de dahili yakıt bulunduğu varsayılmıştır. Her bölmede taşınan dahili yakıtın ağırlığı komşu iki sinir üzerinde yaratılan toplanmış kütlelerle modellenmiştir. Şekil 7. Kanat kutusu kiriş ve sinirlerinin sonlu eleman modeli 152 Bir Uçak Kanadının Yapısal Modelinin Geliştirilmesi 3.5. Kanat Sonlu Eleman Modeli Kanat sonlu eleman modeli 40 0-B eleman, 1746 1B eleman, 10528 2-B eleman ve 2592 3-B eleman olmak üzere toplam 14906 elemandan ve 10890 düğüm noktasından oluşmuştur.[1] Şekil 11’de tüm kanadın sonlu eleman modeli verilmektedir. Bölme 1 Bölme 2 Bölme 3 Şekil 8. Kanat kutusunda taşınan dahili yakıt Kanatta harici yükler sinirlerin üzerine asılmaktadır. SÇ 1803.4 siniri üzerinde harici yakıt tankı ve paylonu, SÇ 3048 siniri üzerinde harici yük 1 ve paylonu, kanat ucu sinirinde ise harici yük 2 taşındığı düşünülmüştür. Şekil 11. Tüm kanadın sonlu eleman modeli Harici yükler ilgili pozisyonlarda bağlantı boyutuna göre iki ya da üç toplanmış kütle şeklinde modellenmişlerdir. 4. KANADIN STATİK ANALİZLERİ Kanadın incelenen statik özellikleri; kanadın elastik çizgisi, etkin dikey ve dönme direngenlikleridir. Şekil 9’da dahili yakıt ve harici yüklerin kanat üzerindeki modellemesi gösterilmektedir. 4.1. Kanadın Elastik Çizgisi Dahili Yakıt Üzerine harici bir dikey yük uygulandığında herhangi bir dönme olmaksızın sadece dikey yerdeğiştirme çizgisi olarak tanımlanan kanadın elastik çizgisi, sinir boyunca kayma merkezlerinin belirlenmesiyle bulunmuştur. Elastik çizginin belirlenmesi için kanat dokuz bölmeye ayrılmış ve her bölmede kiriş boyunca kayma merkezleri hesaplanmıştır. Toplanmış Kütle Harici Yakıt Tankı Bağlantısı Şekil 9. Dahili yakıt ve harici yüklerin sonlu eleman modeli Her bölmedeki kayma merkezlerinin belirlenmesi için, bölme içindeki kayma akışları hesaplanmıştır. Daha sonra Y yönündeki kayma merkezleri birleştirilerek kanadın elastik çizgisi bulunmuştur. 3.4. Sınır Koşulları Kanat-gövde bağlantısı için en uygun sınır koşulu sabit mesnet sınır koşuludur. Kanadın gövdeye bağlandığı, sekiz üstte sekiz altta toplam on altı noktada, tüm yerdeğiştirme ve x ekseni etrafında dönme serbestlikleri sıfırlanarak bu sınır koşulu Şekil 10’daki gibi tanımlanmıştır. Şekil 12’de kanadın dokuz bölmedeki kayma merkezlerinin yerleri ve bu kayma mezkezleri birleştirilerek elde edilen elastik çizgisi verilmektedir. Kayma merkezleri Elastik çizgi y=0.5162 x+8140.2 Şekil 10. Sınır koşulu Şekil 12. Kanadın elastik çizgisi 153 Erdener ve Yaman 4.2. Kanadın Etkin Dikey Direngenliği 5. KANADIN DİNAMİK ANALİZLERİ Kanadın etkin direngenliği elastik çizgi üzerine Şekil 13‘te gösterilen şekilde dağılmış bir dikey yük ile yüklendiğinde ortaya çıkan dikey yerdeğiştirmeden hesaplanmıştır. Dinamik analizlerde kanadın doğal frekansları ve bu frekanslara karşılık gelen titreşim biçimleri belirlenmiştir. Olası dahili yakıt ve harici yüklerin kanadın dinamik davranışları üzerindeki etkileri de incelenmiştir. Dinamik analizlerde NASTRAN/ Lanczos metodu kullanılmıştır. 5.1. Kanadın Dinamik Analizleri Kanadın ilk dört global doğal frekansı ve bu frekanslara karşılık gelen titreşim biçimleri incelenmiştir. Kanadın ilk dört global doğal frekansının benzer uçak kanatlarının doğal frekanslarına oranı Tablo 2’de, bunlara karşılık gelen titreşim biçimleri ise Şekil 15- Şekil 18’de kadar verilmiştir. Şekil 13. Kanadın etkin dikey direngenliği Tablo 2 Kanadın doğal frekanslarının benzer uçak kanatlarının doğal frekanslarına oranı 4.3. Kanadın Etkin Dönme Direngenliği Doğal Kanat, Şekil 14’teki gibi kanat ucundan bir kuvvet çiftiyle yüklendiğinde ortaya çıkan dönmeden kanadın etkin dönme direngenliği hesaplanmıştır. Frekanslardaki Değişim Titreşim Biçimleri [Hz] +4.5% +4.4% -11.0% +3.4% Şekil 14. Kanadın etkin dönme direngenliği Kanadın etkin dikey ve dönme direngenlikleri Tablo 1’de verilmiştir. Tablo 1. Kanadın etkin direngenlikleri Z yönündeki etkin dikey direngenliği [mN/mm2] 71.01 x 104 X-ekseni etrafındaki etkin dönme direngenliği 24.4 x 1010 [mNmm/rad] 154 Y-ekseni etrafında birinci eğilme Y-ekseni etrafında ikinci eğilme Burulma Z-ekseni etrafında birinci eğilme Bir Uçak Kanadının Yapısal Modelinin Geliştirilmesi Şekil 15. Kanadın birinci titreşim biçimi Şekil 16. Kanadın ikinci titreşim biçimi 155 Erdener ve Yaman Şekil 17. Kanadın üçüncü titreşim biçimi Şekil 18. Kanadın dördüncü titreşim biçimi Dahili yakıtın kanadın dinamik özelliklerine etkileri, her üç konfigürasyon için ilk dört global doğal frekansının boş kanadın doğal frekanslarına oranı şeklinde Tablo 3’de verilmiştir. [1] 5.2. Dahili Yakıtın Etkileri Kanadın dahili yakıt taşıdığı durumlar göz önüne alındığında, yukarıda bahsi geçen boş kanat haricinde üç konfigürasyon daha incelenmiştir. Bunlar: • • • Yakıt dolu (Bölme 1, 2 ve 3 dolu) Bölmeler 1 ve 2 yakıt dolu Bölme 1 yakıt dolu 156 Bir Uçak Kanadının Yapısal Modelinin Geliştirilmesi Tablo 3. Dahili yakıtın, yakıtsız kanadın doğal frekanslarına oranla etkisi Konfigürasyon Bölme 1,2 ve 3 yakıt dolu Bölme 1 ve 2 yakıt dolu Bölme 1 yakıt dolu Birinci doğal İkinci doğal frekans frekans Üçüncü doğal frekans Dördüncü doğal frekans -40.9% -43.9% -19% -35.6% -9% -16.8% -10.4% -12.3% -0.2% -1.9% -1% -0.7% 5.3. Dahili Yakıt ve Harici Yüklerin Etkileri Kanadın dinamik analizleri, kanadın uçuş boyunca karşılaşacağı tüm yük durumları için incelenmiştir. İncelenen yük durumları; tüm kanadın yakıt ile dolu olduğu, yakıt tankı ve harici yükün ilgili sinirlerde taşındığı kalkış durumundan, kanattaki tüm yakıtın boşaldığı ve harici yüklerin atıldığı duruma kadar Tablo 4’te detaylarıyla verilmiştir.[1] Tablo 4. Farklı yük durumlarında kanat konfigürasyonları Konfigürasyon No 1 2 3 4 5 6 Tanım Tüm kanat yakıt ile dolu, sinirler üzerinde paylonu ile kanada asılan dolu harici yakıt tankı ve harici yük taşınmakta Harici yakıt tankındaki yakıt kullanılmış. Tüm kanat yakıt ile dolu, sinirler üzerinde paylonu ile kanada asılan boş harici yakıt tankı ve harici yük taşınmakta Paylonla kanada bağlanan harici yük fırlatılmış, paylonu sinire bağlı durumda. Tüm kanat yakıt ile dolu, sinirler üzerinde paylonu ile kanada asılan boş harici yakıt tankı ve harici yük paylonu taşınmakta Kanat kutusu bölme 3’teki yakıt kullanılmış. Bölme 1 ve 2 yakıt ile dolu, sinirler üzerinde paylonu ile kanada asılan boş harici yakıt tankı ve harici yük paylonu taşınmakta Kanat kutusu bölme 2’deki yakıt kullanılmış. Bölme 1 yakıt ile dolu, sinirler üzerinde paylonu ile kanada asılan boş harici yakıt tankı ve harici yük paylonu taşınmakta Kanat kutusu bölme 1’deki yakıt kullanılmış. Sinirler üzerinde paylonu ile kanada asılan boş harici yakıt tankı ve harici yük paylonu taşınmakta Tablo 5’de Bu koşullar için doğal frekanslardaki değişim boş kanadın doğal frekanslarına oran olarak verilmiştir. Birinci konfigürasyonun doğal frekanslarına karşılık gelen titreşim biçimleri Şekiller 19-22 de verilmiştir. Tablo 5. Dahili yakıt ve harici yüklerin, yakıtsız kanadın doğal frekanslarına oranları Konfigürasyon No 1 2 3 4 5 6 Birinci Doğal Frekans -66.5% -66.4% -44.2% -21.7% -15.8% -15.7% İkinci Doğal Frekans -74% -73.9% -52.8% -29.5% -25.4% -25% 157 Üçüncü Doğal Frekans -63.4% -59.8% -32.9% -23.1% -16.4% -15.3% Dördüncü Doğal Frekans -66.3% -65.6% -42% -27.6% -20.7% -20% Erdener ve Yaman Şekil 19. Birinci konfigürasyon için kanadın birinci titreşim biçimi Şekil 20. Birinci konfigürasyon için kanadın ikinci titreşim biçimi 158 Bir Uçak Kanadının Yapısal Modelinin Geliştirilmesi Şekil 21. Birinci konfigürasyon için kanadın üçüncü titreşim biçimi Şekil 22. Birinci konfigürasyon için kanadın dördüncü titreşim biçimi 159 Erdener ve Yaman 6. SONUÇ Bu çalışmada, bir uçak kanadının yapısal özellikleri MSC/PATRAN® ve MSC/NASTRAN® programları kullanılarak incelenmiştir. Kanadın geometrik modelinin yaratılmasının ardından sonlu eleman modeli de MSC/PATRAN® ortamında oluşturulmuştur. Kanadın statik ve dinamik özellikleri MSC/NASTRAN® ortamında yürütülen analizlerle belirlenmişlerdir. Kanadın elastik çizgisi, etkin dikey ve dönme direngenlikleri incelenen statik özellikleridir. Dinamik analizlerde de kanadın ilk dört global doğal frekansı ve bu frekanslara karşılık gelen titreşim biçimleri farklı yakıt ve harici yük konfigürasyonları için incelenmiştir. Boş kanadın doğal frekansları benzer uçak kanatlarının doğal frekanslarıyla yakın değerlerde çıkmıştır. Kanada eklenen dahili yakıt ve harici yüklerin doğal frekansları beklendiği şekilde azalttığı görülmüştür. Yakıt tamamen doluyken ve tüm harici yükler mevcutken kanadın birinci ve dördüncü doğal freakansının %66 oranında düştüğü, diğer doğal frekansların da aynı miktarda azalma gösterdiği gözlemlenmiştir. 7. KAYNAKLAR 1. 2. 3. 4. 5. Erdener, Ö., Bir Uçak Kanadının Yapısal Modelinin Geliştirilmesi, Y. Lisans Tezi, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2003. Msc. Patran Version 9 MSC. Nastran Preference Guide Structural Analysis, Volume 1 MSC Software Corp. © 1999 Computer Based Modeling for Design and Analysis with MSC/PATRAN, Release 6.0, The MSC Institute of Technology, 1996 User’s Guide, Getting Started with MSC/NASTRAN®, 1st Edition, The MacNealSchwendler Corporation©, 1993 MSC Nastran Reference Manual Version 68 The MacNeal-Schwindler Corporation 160 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 DIŞ SÖNÜM ETKİSİNDEKİ KADEMELİ ÇUBUKLARIN BOYUNA TİTREŞİMLERİNİN İNCELENMESİ Haluk Erol İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, 80191, Gümüşsuyu, İstanbul. erolha@itu.edu.tr Metin Gürgöze İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, 80191, Gümüşsuyu, İstanbul. gurgozem@itu.edu.tr ÖZET Çok sayıda değişken kesite sahip, dış sönüme maruz ve kendisine eksenel yönde impulsif kuvvetlerin etkidiği çubuk sistemlerine, mühendislik uygulamalarında sıkça rastlanmaktadır. Uygulamalara bir örnek olarak derin kuyu sondaj matkapları gösterilebilir. Bu çalışmada, her bir kesitte farklı dış sönüme maruz, değişken kesit ve fiziksel özelliklere sahip, ucunda kütle bulunan elastik çubukların boyuna serbest titreşimleri, iki ayrı yöntem kullanılarak incelenmiştir. Bu çalışmada, çubuğun özdeğer ve özfonksiyonlarının elde edilmesinde değişkenlerin ayrıklaştırılması yöntemi uyarlanmıştır. Yöntem, üç kademeli bir örnek sisteme uygulanmış ve sonuçlar, sistemin transfer matrisi yöntemi ile incelenmesinden elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Önerilen yöntemin çok iyi sonuçlar verdiği görülmüştür. Anahtar Kelimeler: Çubukların boyuna titreşimleri, Viskoz dış sönüm ON THE VIBRATIONS OF MULTI-STEP RODS SUBJECTED TO EXTERNAL VISCOUS DAMPING ABSTRACT This study is concerned with the establishment of two methods for computing the eigencharacteristics of a continuous rod, carrying a tip mass, consisting of several parts having different physical parameters and subjected to external viscous damping. Probable applications of these rod systems include rods composed of several different cross sections with different damping subject to impulsive axial forces in civil engineering applications. Such systems can also be encountered in oil well drilling practices. The first method uses separation of variables approach at the beginning and differ, actually, in the solution of the corresponding ordinary differential equation. A second method is given for the determination of the eigencharacteristics, which also lie on the separation of the variables approach. The second method is referred to as the transfer matrix method in the literature. Excellent agreement of the numerical results for three sample systems obtained via the two methods justifies the reliability of the formulae established. Keywords: Axial vibrations of bars, External viscous damping çerçevesinde incelenmiştir. Adı geçen çalışmayı temel kabul ederek, Gürgöze ve Erol [2], homojen olmayan dış sönümün etkisi altında fiziksel ve sönüm özellikleri her kademede farklı iki kesitli çubukların boyuna titreşimlerini incelemişlerdir. Sürekli ve basamak şeklinde değişen kesitlere sahip çubukların boyuna titreşimleri Li [3,4] tarafından da etraflıca incelenmiştir. Li, bu çalışmalarında muhtelif sınır şartlarının çubukların boyuna titreşimlerine olan etkilerini değerlendirmiş, ancak sönümün etkilerini göz önüne almamıştır. Diğer bir çalışmada ise, Li, Li ve Liu [5], yaylarla birbirine bağlı elastik çubukların boyuna titreşimlerini, sönüm özelliklerini gözönüne almadan incelemişlerdir. 1. GİRİŞ Çok sayıda değişken kesite sahip, dış sönüme maruz ve kendisine eksenel yönde impulsif kuvvetlerin etkidiği çubuk sistemlerine, mühendislik uygulamalarında sıkça rastlanmaktadır. Uygulamalara bir örnek olarak derin kuyu sondaj matkapları gösterilebilir. Homojen olmayan dış sönümün, değişken kesitli çubukların eğilme titreşimleri üzerindeki etkileri konusunda Friswell ve Lees [1] çalışmalar yapmışlardır. Söz konusu çalışmalarında, değişken kesitlere sahip çubukların eğilme titreşimlerine ait özdeğer ve özfonksiyonları, homojen olmayan ve her kesitte farklı dış sönümün etkisi altında, Euler-Bernoulli basit çubuk teorisi 161 Erol ve Gürgöze L L1 L2 Li 2 i Ln w1(x,t 1 n M 0 m1, E1A1, c1 1 mi, EiAi, ci x Şekil 1. Değişken kesitli ve ucunda kütle bulunan elastik çubuk. (i = 1, …, n) Bu çalışmada, her bir kademede farklı dış sönüme maruz, değişken kesit ve fiziksel özelliklere sahip, ucunda kütle bulunan elastik çubukların boyuna serbest titreşimleri incelenmiştir. Bu amaçla, çubuğun özdeğer ve özfonksiyonlarının elde edilmesinde değişkenlerin ayrıklaştırılması yöntemi uyarlanmıştır. Yöntem, üç kademeli bir örnek sisteme uygulanmış ve sonuçlar, sistemin transfer matrisi yöntemi ile incelenmesinden elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Önerilen yöntemin çok iyi sonuçlar verdiği görülmüştür. (1) olarak yazılabilir. Burada, ki = EiAi ve x çubuk üzerindeki eksenel konumu göstermektedir. Noktalar zamana göre türevleri ve üsler x koordinatına göre kısmi türevleri ifade etmektedir. İlgili sınır şartları, z1 (0, t) = 0 , z i-1 (L i , t) = z i (L i , t) , k i-1 z ′i-1 (L i , t) = k i z ′i (L i , t) , 2. TEORİK ESASLAR (i = 2, …, n) k n z ′n (L, t) + M z n (L, t) = 0 , Çalışmada göz önüne alınan n adet değişken kesite ve fiziksel özelliklere sahip, her kademede farklı dış sönüme maruz, ucunda M kütlesi bulunan, boyuna titreşimler yapan elastik çubuk Şekil 1’de gösterildiği gibidir. Çubuğun i’nci parçasının boyu Li, eksenel rijitliği EiAi, viskoz sönüm katsayısı ci ve birim uzunluğunun kütlesi mi olarak tanımlanmaktadır. Bu parametrelerin, ait oldukları kademe içinde sabit oldukları kabul edilmektedir. (2) burada i -1 Li = ∑ L j , j=1 n L = ∑Lj , (3) j=1 olarak tanımlanmıştır. Kompleks yer değiştirme fonksiyonunu, değişkenin ayrıklaştırılması amacıyla, z i (x, t) = Z i (x) D i (t) , Sistemde viskoz dış sönümün bulunması nedeniyle boyuna titreşimlerinin incelenmesinde kompleks değişkenlerin kullanılması uygundur. Çubuğun her bir kesitindeki eksenel yer değiştirmeleri, kompleks zi(x,t) , (i = 1, …, n) fonksiyonu ile gösterilsin. Bu fonksiyonun reel kısmı olarak tanımlanan wi(x,t), (i = 1, …, n) ise fiziksel olarak çubuğun boyuna yer değiştirmelerini verecektir. Bu çalışmada çubuğun boyuna titreşimlerinin incelenmesi nedeniyle, sadece yer değiştirme fonksiyonunun reel kısmı ile ilgilenilecektir. n adet değişken kesite ve fiziksel özelliklere sahip, ucunda M kütlesi bulunan ve her bir kademede farklı dış sönümün etkisi altında boyuna titreşimler yapan elastik çubuğa ait hareket denklemleri (i = 1, …, n) (4) olarak kabul edelim. Bu ifadede yer alan her iki Zi(x) ve Di(t) fonksiyonları, genel olarak, kompleks fonksiyonlardır. (4) denklemi (1) denkleminde yerine konulursa, c D i (t) + i D i (t) mi k i Z′i′(x) = := κ i m i Z i (x) D i (t) (5) elde edilir. Burada, κi hesaplanacak kompleks sabitlerdir. Bu ifadelerde noktalar zamana göre türevleri ve üsler x koordinatına göre türevleri ifade etmektedir. (2) ifadelerinde ikinci ve üçüncü geçiş şartlarının sağlanabilmesi, ancak ilgili kompleks zaman fonksiyonlarının eşit olması ile mümkündür. Diğer bir söyleyişle, Di(t) = D(t), (i = 1, …, n) k i z ′i′(x, t) - m i z i (x, t) - c i z i (x, t) = 0 , 162 Dış Sönüm Etkisindeki Değişken Kesitli Çubukların Boyuna Titreşimlerinin İncelenmesi olmalıdır. Böylece, (5) ifadeleri yeniden düzenlenerek, sadece Zi(x) kompleks değişkenine bağlı diferansiyel denklemler elde edilebilir: Z′i′(x) − mi κ i Z i (x) = 0 , ki (14) ifadesi sistemin karakteristik denklemidir. Bu ifadede limit halde uçtaki kütle M yerine sonsuz konularak, iki ucundan ankastre çubuğun boyuna titreşimlerine ait karakteristik denklem elde edilir. Bu karakteristik denklem kaynak [2]’de n = 2 için elde edilmiştir. (14) ifadesinde uçtaki kütle M yerine sıfır konularak ise, bir ucu ankastre diğer ucu serbest çubuğun boyuna titreşimlerine ait karakteristik denklem elde edilir. (i = 1, …, n). (6) Kompleks zaman fonksiyonunun ifadesi, D(t) = e λt (7) (8) ve (9) denklemlerinde verilen ifadeler birlikte kullanılarak νi, (i = 1, …, n) değerleri, λ özdeğerlerinin fonksiyonu olarak aşağıdaki gibi yazılabilir, olarak kabul edilebilir. Burada, λ, genel olarak kompleks olduğu kabul edilen, özdeğerdir. D(t) için yapılan bu çözüm kabulü (5) denkleminde yerine konularak, c κi = i λ + λ2 , mi (i = 1, …, n), ν i (λ) = ± (8) m ν = i κi , ki kısaltması yapılarak düzenlenirse, (5) Z′i′(x) − ν i2 Z i (x) = 0 , ci 2 ( ) λ + λ , mi (i = 1, …, n). elde edilir. Burada 2 i mi ki (i = 1, …, n) denklemi Böylece, çubuğun boyuna titreşimlerine ait (14) karakteristik denklemi, (9) det A(ν1 ( λ ), ..., ν n ( λ )) = det A( λ ) = 0 yeniden (16) olur. Bu ifadeden, genellikle kompleks sayı olan, λ değerleri elde edilebilir. Bu aşamadan sonra, (15) denklemi kullanılarak νi‘ler hesaplanabilir. Bu durumda, bulunan bu değerler (13) denklemindeki A katsayılar matrisinde yerlerine konularak, (i = 1, …, n), (10) bulunur. (10) ifadesinde yer alan diferansiyel denklemlerin genel çözümleri aşağıdaki gibi yazılabilir: bilinmeyen A i , B i (i = 1, …, n) katsayıları bulunabilir. Buradan da (11) eşitliğinde tanımlanan Zi(x), (i = 1, …, n) ifadelerine ulaşılabilir. Z i (x) = A i e ν i x + B i e − ν i x , (i = 1, …, n). (11) Burada, A i ve B i , sınır şartlarından belirlenecek kompleks katsayılardır. (2) denklemlerinde ifade edilen sınır ve geçiş şartları (7) denklemi kullanılarak, Zi(x) kompleks fonksiyonu cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir: Nihayetinde, (11) denklemleri göz bulundurularak (4) ifadelerine gidilir. λ = λ re + jλ im , (i = 2, …, n) B i = B i re + jB i im , (j = −1 ) (17) çubuğun ayrı ayrı her bir kesitinin boyuna yer değiştirmeleri, wi(x,t) , (i = 1, …, n) aşağıdaki gibi ifade edilir, (12) (11) eşitlikleri (12) denklemlerinde yerine konularak 2n bilinmeyenli 2n homojen denklemli bir takım w i (x, t) = Re[z i (x, t)] = e λ re t Si (x)cosλ im t - e λ re t Q i (x)sinλ im t . elde edilir. Burada, bilinmeyenler: A i , B i , (i = 1,…, n) dir. Diğer sayfadaki (13) matris denkleminde yer alan 2nx2n boyutlu katsayılar matrisini A ile gösterelim. Söz konusu matris denkleminin sıfırdan farklı çözümlerinin olabilmesi için A matrisinin determinantı sıfır olmalıdır: det A(ν1 , ..., ν n ) = 0 . ν i = ν i re + jν i im , A i = A i re + jA i im , Z i-1 (L i ) = Z i (L i ) , k n Z′n (L) + Mλ 2 Z n (L) = 0 . önünde İlgili değişkenleri, reel ve imajiner kısımlarına ayırarak: Z1 (0) = 0 , k i-1 Z′i-1 (L i ) = k i Z′i (L i ) , (15) (18) Burada, (14) 163 Erol ve Gürgöze 1 1 0 0 0 0 ... 0 0 A1 e ν1 L 2 e - ν1 L 2 - eν 2 L2 - e- ν 2 L 2 0 0 ... 0 0 B1 k1ν1e ν1 L 2 - k1ν1e- ν1 L 2 - k 2 ν 2e ν 2 L 2 k 2 ν 2e- ν 2 L 2 0 0 ... 0 0 A2 0 0 eν 2 L3 e- ν 2 L 3 - eν3 L3 - e- ν 3 L 3 ... 0 0 B2 0 0 k 2 ν 2e ν 2 L 3 - k 2 ν 2e- ν 2 L 3 - k 3 ν 3e ν 3 L 3 k 3 ν 3e - ν 3 L 3 ... 0 0 A3 0 0 0 0 eν3 L4 e- ν 3 L 4 ... 0 0 B3 0 0 0 0 k 3 ν 3e ν 3 L 4 - k 3 ν 3e-ν 3 L 4 ... 0 0 A4 : : : : : : : : : : 0 0 0 0 0 0 ... - k n -1ν n -1e ν n-1 L n-1 k n -1ν n -1e-ν n-1 L n-1 An 0 0 0 0 0 0 ... (k n ν n + Mλ 2 )e ν n L - (k n ν n - Mλ 2 )e- ν n L Bn =0 (13) 164 Dış Sönüm Etkisindeki Değişken Kesitli Çubukların Boyuna Titreşimlerinin İncelenmesi Si (x) = e ν i re x +e Q i (x) = e (A cosν x - A sinν x ) (B cosν x + B sinν x ) , (A sinν x + A cosν x ) (B cosν x − B sinν x ), -ν i re x ν i re x +e -ν i re x i re i re i re iim i im i im iim iim iim şeklinde yazılabilir. Burada, iim i im i im i re S i,1 (x) = e ν i x , i im i im iim Çubuğun sağ ucundaki Zi,1 (eksenel yerdeğiştirme) ve Ni,1(eksenel kuvvet) parametreleri ile çubuğun sol ucundaki Zi,0 ve Ni,0 parametreleri arasındaki ilişki matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir. dir. Çubuğun her bir kademesinin boyuna yer değiştirme ifadeleri yeniden düzenlenerek, Z i,1 Z i,0 N = Ti N , i,1 i,0 (20) yazılabilir. Bu ifadede, (24) bu ifadede, C i (x) = S i2 (x) + Q i2 (x) , Q (x) tan ε i (x) = - i , Si (x) (23) olarak tanımlanmıştır. Kaynak [3]’de sunulan sonuçları, bu çalışmada tanımlanan sisteme uyarlayarak, çubuğun i’nci kademesinin sol ucunu x = 0 (Şekil 1’de 0 indisi ile gösterilen nokta) olarak ve sağ ucunu x = 1 (Şekil 1’de 1 indisi ile gösterilen nokta) kabul edelim. (19) w i (x, t) = e λ re t C i (x)cos(λ im t - ε i (x)) S i,2 (x) = e -ν i x Si,2 (L i ) Si,1 (L i ) Ti = k i S′i,1 (L i ) k i S′i,2 (L i ) (i = 1, …, n), (21) göstermektedir. wi(x,t), (i = 1, …, n)’ler viskoz sönümlü çubuğun, bir λ özdeğeri için yapacağı boyuna titreşimlerin uzunluğu boyunca yer değiştirmelerinin dağılımını vermektedir. Sisteme etkiyen sönümün etkisiyle oluşan, x koordinatına bağlı faz açısı nedeniyle, yazarlar “mod” veya “özfonksiyon” terimlerini mümkün olduğunca az kullanmaya özen göstermişlerdir. Bu ve benzeri terimleri kullanmak gerektiğinde ise tırnak işaretleri içinde yazılmıştır. Zi(x)’lerin mutlak değerini gösteren Ci(x) ifadeleri, çubuğun i’nci kademedeki titreşimlerin genliklerinin dağılımını göstermektedir. . Si,2 (0) Si,1 (0) k S′ (0) k S′ (0) i i,2 i i,1 (i = 1, …, n), −1 (25) olur. Burada, üsler x koordinatına göre türevleri göstermektedir. Ti matrisi, çubuğun i’nci kademesinin sol (0) ucundaki parametreleri sağ (1) ucundaki parametrelere dönüştürdüğü için, transfer matrisi olarak tanımlanır. Kolayca gösterilebilir ki, değişken kesitli çubuğun ilk kesitinin sol (0) ucundaki parametreleri çubuğun ucunda kütle taşıyan son kesitinin sağ (1) ucuna transfer eden transfer matrisinin ifadesi aşağıdaki gibidir: Yukarıda açıklanan yöntem kullanılarak, boyuna titreşimler yapan n farklı kademeye sahip elastik çubukların λ özdeğerleri, 2nx2n boyutundaki bir kompleks determinantın köklerinin bulunmasıyla hesaplanabilir. Gelinen bu noktanın devamında karakteristik denklemin, özellikle büyük n değerleri için sayısal uygulamalarda kolaylık sağlayacak, alternatif ifadesi verilecektir. Alternatif ifade esas olarak başlangıçta, yine değişkenlerin ayrıklaştırılması yöntemine dayanan, transfer matrisi yöntemidir. Bu yöntemi, Li ve çalışma arkadaşları, bir dizi değişken kesitli çubukların boyuna titreşimleri ve çubuk sistemleri üzerinde yaptıkları çalışmada başarıyla uygulamışlardır [3,4,5]. T T = TM .Tn . ... T1 = 11 T21 T12 , (26) T22 burada, 0 1 TM = 2 , λ M 1 (27) olup böylece, uçta bulunan kütle de göz önüne alınmaktadır. Şekil 1’de gösterilen değişken kesitli ve ucunda kütle bulunan elastik çubuk sisteminde sınır şartları, sol uçta eksenel yer değiştirme, sağ uçta ise eksenel kuvvetin sıfır olmasını gerektirmektedir. Buradan karakteristik denklem aşağıda verildiği gibi elde edilmektedir: Burada çubuğun farklı kesitlerinin alanlarının ait oldukları kademe içinde sabit oldukları ve çubuğa dışardan her bir kademe için farklı, fakat sabit viskoz sönümün etkidiği kabul edilmektedir. (11) denklemlerinden çubuğun i’nci kademesi boyunca boyuna yer değiştirmelerin dağılımı, T22 (ν1 ( λ ), ..., ν n ( λ )) = T22 ( λ ) = 0 . Z i (x) = A i S i,1 (x) + B i S i,2 (x) , (22) (28) Çubuğun ucunda kütle bulunmaması halinde, TM matrisi 2x2’lik birim matris olmaktadır. Bu 165 Erol ve Gürgöze durumda, çubuğun tamamına ait T transfer matrisi, n tane kademeye ait Ti transfer matrislerinin çarpımından ibaret olacaktır: T = Tn . ... T1 . çubuğun, her bir kademe boyunca, bu frekanslara karşı gelen mutlak genliklerinin dağılımı Abs(Zi(x)) gösterilmiştir. (29) Tablo 2. Birinci uygulama için “en küçük” özdeğerler. (28) eşitliği ile verilen karakteristic denklemde T22, (29) ifadesinde verilen T matrisinin (2,2) elemanını göstermektedir. Limit halde uçtaki M kütlesi yerine sonsuz konması hali, diğer bir deyişle, iki ucundan ankastre çubuk için sınır şartları değişken kesitli elastik çubuğun her iki ucunda da eksenel yer değiştirmelerinin sıfır olmasını gerektirmektedir. Bu durumda karakteristik denklem, T12 ( λ ) = 0 , I. durum (30) olacaktır. 3. SAYISAL UYGULAMALAR Kesit 2 Kesit 3 1 2 2 mi [kg/m] 20 10 10 ci [kg/ms] 0 0 1000 EiIi [Nm2] 200 100 50 -0.00300 -0.00300 -0.15164 -0.15164 -2.92814 -2.92814 -0.73194 ± 6.02561i -0.73194 ± 6.02561i -1.78680 ± 16.57028i -1.78680 ± 16.57028i -3.79527 ± 34.38621i -3.79527 ± 34.38621i Tablo 2’de II. durum için değişken kesitli çubuk sisteminin “ilk” altı özdeğeri verilmiştir. Tablo’da özdeğerler, benzer şekilde, aşırı sönümlü ve zayıf sönümlü “mod” lar olarak düzenlenmiştir. Tablonun her iki kolonunda yer alan sayısal değerler tamamen aynıdır. Tablo 1. Çubuğun Fiziksel Özellikleri. Kesit 1 (28) denkleminden Şekil 3’de ise, Şekil 2’de olduğu gibi, I. durumda, ilk üç zayıf sönümlü özdeğer için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimi üst kısımda çizilmiştir. Alt kısmında ise kademeli çubuğun, kesitler boyunca, bu frekanslara karşı gelen mutlak genliklerinin dağılımı Abs(Zi(x)) gösterilmiştir. Bu bölümde, önceki bölümde elde edilen sonuçların örnek bir sistem üzerindeki sayısal uygulaması yapılacaktır. Uygulama olarak, 3 farklı kademeden oluşan ve fiziksel özellikleri Tablo 1’de verilen bir çubuk alınacaktır. Li [m] (16) denkleminden Tablo 3. İkinci uygulama için “en küçük” özdeğerler. Bu uygulamada üç farklı durum değerlendirilebilir: İlk durum, çubuğun ucunda kütle bulunmamasıdır. Diğer bir deyişle, M = 0 (I. durum). İkinci durum, çubuğun ucunda kütle bulunması, yani M ≠ 0 (II. durum) halidir. Üçüncü ve son durum, çubuğun ucundaki kütlenin, limit halde sonsuza gitmesi, diğer bir ifadeyle üç farklı kademeden oluşan çubuğun sınır şartlarının sabit-sabit olmasıdır (III. durum). II. durum için uçtaki kütle M = 50 kg olarak seçilmiştir. II. durum (16) denkleminden (28) denkleminden -0.00300 -0.00300 -0.15346 -0.15346 -14.81754 -14.81754 -0.70181 ± 6.03149i -0.70181 ± 6.03149i -1.81269 ± 16.58422i -1.81269 ± 16.58422i -3.76469 ± 34.35086i -3.76469 ± 34.35086i I. durum için kademeli çubuk sisteminin “ilk” altı özdeğeri Tablo 2’de verilmiştir. Tablo’da özdeğerler, aşırı sönümlü ve zayıf sönümlü “mod” lar olarak düzenlenmiştir. Tablonun ilk kolonunda, (16) denkleminden karakteristik denklemin köklerinin bulunması yöntemi kullanılarak hesaplanan sayısal değerler gösterilmiştir. İkinci kolonunda ise, transfer matrisi yöntemiyle elde edilen (28) denkleminden bulunan sayısal değerler verilmiştir. Tablonun her iki kolonunda yer alan sayısal değerler tamamen aynıdır. Bu düzenlemeler, Tablo 3 ve Tablo 4 için de geçerlidir. Şekil 4 ve Şekil 5 II. durumla ilgili sonuçları, Şekil 2 ve Şekil 3’dekine benzer olarak, yansıtmaktadır. Şekil 4 ve Şekil 5’in üst kısımları, II. durumda, ayrı ayrı ilk üç aşırı sönümlü ve zayıf sönümlü özdeğer için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimini göstermektedir. Alt kısımlarında ise, kademeli çubuğun, her bir kademe boyunca, bu frekanslara karşı gelen mutlak genliklerinin dağılımı Abs(Zi(x)) yansıtılmaktadır. Şekil 2’nin üst kısmında, I. durumda, ilk üç aşırı sönümlü özdeğer için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimi çizilmiştir. Alt kısmında ise kademeli Son olarak, Tablo 4’de III. durum için kademeli çubuk sisteminin “ilk” altı özdeğeri verilmiştir. Tablo’da özdeğerler, benzer şekilde, aşırı sönümlü 166 Dış Sönüm Etkisindeki Değişken Kesitli Çubukların Boyuna Titreşimlerinin İncelenmesi 4. SONUÇLAR ve zayıf sönümlü “mod” lar olarak düzenlenmiştir. Tablonun her iki kolonunda yer alan sayısal değerler tamamen aynıdır. Şekil 6 ve Şekil 7 III. durumla ilgili sonuçları, Şekil 2 ve Şekil 3’dekine benzer olarak, yansıtmaktadır. Şekil 6 ve Şekil 7’nin üst kısımları, III. durumda, ayrı ayrı ilk üç aşırı sönümlü ve zayıf sönümlü özdeğer için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimini göstermektedir. Alt kısımlarında ise kademeli çubuğun, her bir kademe boyunca, bu frekanslara karşı gelen mutlak genliklerinin dağılımı Abs(Zi(x)) yansıtılmaktadır. Bu çalışmada, her bir kademede farklı dış sönüme maruz, değişken kesit ve fiziksel özelliklere sahip, ucunda kütle bulunan elastik çubukların boyuna serbest titreşimleri, iki yöntemle incelenmiştir. Bu amaçla, çubuğun özdeğer ve özfonksiyonlarının elde edilmesinde değişkenlerin ayrıklaştırılması yöntemi uyarlanmıştır. Yöntem, üç kademeli bir örnek sisteme uygulanmış ve sonuçlar, sistemin transfer matrisi yöntemi ile incelenmesinden elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Önerilen yöntemin çok iyi sonuçlar verdiği görülmüştür. Tablo 4. Üçüncü uygulama için “en küçük” özdeğerler. 5. KAYNAKLAR III. durum (16) denkleminden (30) denkleminden -0.16489 -0.16489 -2.91342 -2.91342 -36.00952 -36.00952 -0.73285 ± 6.02476i -0.73285 ± 6.02476i -1.78696 ± 16.57041i -1.78696 ± 16.57041i -3.79523 ± 34.38624i -3.79523 ± 34.38624i [1] M.I. FRISWELL and A.W. LEES 2001 Journal of Sound and Vibration 242, 355-361. The modes of non-homogeneous damped beams. [2] M. GÜRGÖZE and H. EROL 2003 Journal of Sound and Vibration 260, 357-367. On the “modes” of non-homogeneously damped rods consisting of two parts. [3] Q.S. LI 2000 Transactions of the ASME Journal of Vibration and Acoustics 122, 183-187. Exact solutions for longitudinal vibration of multi-step bars with varying cross-section. [4] Q.S. LI 2000 Journal of Sound and Vibration 234, 1-19. Exact solutions for free longitudinal vibrations of non-uniform rods. [5] Q.S. LI, G.Q. LI and D.K. LIU 2000 International Journal of Mechanical Sciences 42, 1135-1152. Exact solutions for longitudinal vibration of rods coupled by translational springs. Tablo 2 ve Tablo 3’de verilen aşırı sönümlü özdeğerler karşılaştırıldığında, çubuğun ucuna kütle eklenmesinin, mutlak olarak özdeğerleri büyüttüğü ve bunun sonucu olarakta sönümün etkisini arttığı gözlenmektedir. Tablo 3’de sıralanan aşırı sönümlü özdeğerler Tablo 4’dekilerle karşılaştırıldığında, mutlak değer olarak daha büyüktürler. Diğer bir söyleyişle, sabit-sabit çubuğun bu özdeğerlere karşı gelen titreşim biçimleri, ucunda kütle bulunan çubuğa göre daha hızlı sönümlenmektedir. Benzer şekilde, Tablo 2 ve Tablo 3’de verilen zayıf sönümlü özdeğerler karşılaştırıldığında, çubuğun boyuna titreşimlerine ait (kompleks) doğal frekansları, beklentilerimize uygun olarak, ucuna kütle eklenmesiyle düşmektedir. Tablo 3’de sıralanan zayıf sönümlü özdeğerler Tablo 4’dekilerle karşılaştırıldığında, sabit-sabit çubuğun boyuna titreşimlerine ait (kompleks) doğal frekansları, ucunda kütle bulunan çubuğa göre daha katı olması nedeniyle daha büyüktür. Düğüm noktalarının sayıları, her üç aşırı sönümlü “mod” karşılaştırıldığında, aynıdır. Şekil 2, Şekil 4 ve Şekil 6’nın alt kısmından görülebileceği gibi, ikinci “mod” 1 düğüm noktasına, üçüncü “mod” ise 2 düğüm noktasına sahiptir. Bu durumun aksine, her üç zayıf sönümlü “mod” için, Şekil 3, Şekil 5 ve Şekil 7’nin alt kısmından görülebileceği gibi, düğüm noktası yoktur. Elde edilen sonuçlar uyarınca, göz önüne alınan kademeli çubuğun boyuna yer değiştirmeleri, zayıf sönümlü “en küçük” “mod”larda ve çubuğun sönümsüz ilk iki kesitinde büyük değerler almaktadır. Hatırlamak gerekirse, çubuğun bu ilk iki kesitinde sönüm bulunmamakta, üçüncü kesitine ise sönüm tesir etmektedir. 167 Erol ve Gürgöze 0 1 wi(x,t) -0.5 0.5 1 0.8 -1 0.6 0 0.4 1 2 0 -0.5 0.8 0.6 0 x 4 0.4 1 2 0.2 3 Abs @ZHxLD t 1 1 4 Abs @ZHxLD 0.8 -1 0.6 0 2 Abs @ZHxLD 50 1 1 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 2 3 λ = -0.00300 4 5 x 1 2 3 λ = -0.15164 4 0.2 3 1 1 0.4 1 0.2 3 50 1 0 5 x 4 1 2 50 3 λ = -2.92814 4 5 x Şekil 2. Çubuğun, I. durumda, “ilk” üç aşırı sönümlü özdeğeri için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimi ve kesitler boyunca bu frekanslara karşı gelen Abs(Zi(x)) mutlak genliklerinin dağılımı. 168 Dış Sönüm Etkisindeki Değişken Kesitli Çubukların Boyuna Titreşimlerinin İncelenmesi 1 1 1 wi(x,t) 0.5 0.8 0 0.6 0 0.4 1 2 t 1 0 0.8 -1 0.6 0 0.4 1 2 0.2 3 4 Abs @ZHxLD 1 0 0.8 -1 0 0.6 2 Abs @ZHxLD 4 Abs @ZHxLD 50 1 1 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 2 3 4 λ = -0.73194 ± 6.02561i 5 x 1 2 3 0.2 3 1 1 0.4 1 0.2 3 50 x 1 4 λ = -1.78680 ± 16.57028i 5 x 4 1 2 50 3 4 λ = -3.79527 ± 34.38621i 5 x Şekil 3. Çubuğun, I. durumda, “ilk” üç zayıf sönümlü özdeğeri için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimi ve kesitler boyunca bu frekanslara karşı gelen Abs(Zi(x)) mutlak genliklerinin dağılımı. 169 Erol ve Gürgöze 0 1 wi(x,t) -0.5 0.5 1 0.8 -1 0.6 0 0.4 1 2 0 -0.5 0.8 0.6 0 4 2 4 Abs @ZHxLD 1 0.5 0 -0.5 1 0.8 0.6 0 2 0.8 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 λ = -0.00300 4 5 x 50 1 0.8 3 4 Abs @ZHxLD 50 1 2 0.2 3 1 1 0.4 1 0.2 3 50 x 0.4 1 0.2 3 Abs @ZHxLD t 1 0.8 1 2 3 λ = -0.15346 4 5 x 1 2 3 λ = -14.81754 4 5 x Şekil 4. Çubuğun, II. durumda, “ilk” üç aşırı sönümlü özdeğeri için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimi ve kesitler boyunca bu frekanslara karşı gelen Abs(Zi(x)) mutlak genliklerinin dağılımı. 170 Dış Sönüm Etkisindeki Değişken Kesitli Çubukların Boyuna Titreşimlerinin İncelenmesi 1 1 wi(x,t)0.5 0.8 0 0.6 0 0.4 1 2 1 0.8 0.6 0 0.4 1 2 0.2 3 4 Abs @ZHxLD t 1 0.5 0 -0.5 4 Abs @ZHxLD 1 1 0 0.8 -1 0.6 0 2 Abs @ZHxLD 50 1 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 2 3 4 λ = -0.70181 ± 6.03149i 5 x 1 2 3 4 λ = -1.81269 ± 16.58422i 0.2 3 1 1 0.4 1 0.2 3 50 x 1 5 x 4 1 2 50 3 4 λ = -3.76469 ± 34.35086i 5 x Şekil 5. Çubuğun, II. durumda, “ilk” üç zayıf sönümlü özdeğeri için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimi ve kesitler boyunca bu frekanslara karşı gelen Abs(Zi(x)) mutlak genliklerinin dağılımı. 171 Erol ve Gürgöze 0 1 1 1 -0.5 wi(x,t) 0.8 -1 0.6 0 0.4 1 2 1 -1 0.8 0.6 0 4 2 0 1 -1 0.8 0.6 0 Abs @ZHxLD 4 2 Abs @ZHxLD 50 1 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 2 3 λ = -0.16489 4 5 x 0.2 3 1 1 0.4 1 0.2 3 50 x 0.4 1 0.2 3 Abs @ZHxLD t 0 4 50 1 1 2 3 λ = -2.91342 4 5 x 1 2 3 λ = -36.00952 4 5 x Şekil 6. Çubuğun, III. durumda, “ilk” üç aşırı sönümlü özdeğeri için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimi ve kesitler boyunca bu frekanslara karşı gelen Abs(Zi(x)) mutlak genliklerinin dağılımı. 172 Dış Sönüm Etkisindeki Değişken Kesitli Çubukların Boyuna Titreşimlerinin İncelenmesi wi(x,t) 1 1 1 0.5 0.8 0 0.6 0 0.4 1 2 t 1 0 0.8 -1 0.6 0 0.4 1 2 0.2 3 4 Abs @ZHxLD 1 0 0.8 -1 0.6 0 2 Abs @ZHxLD 4 Abs @ZHxLD 50 1 1 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 2 3 4 λ = -0.73285 ± 6.02476i 5 x 1 2 3 0.2 3 1 1 0.4 1 0.2 3 50 x 1 4 λ = -1.78696 ± 16.57041i 5 x 4 1 2 50 3 4 λ = -3.79523 ± 34.38624i 5 x Şekil 7. Çubuğun, III. durumda, “ilk” üç zayıf sönümlü özdeğeri için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimi ve kesitler boyunca bu frekanslara karşı gelen Abs(Zi(x)) mutlak genliklerinin dağılımı. 173 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 ÇOK SERBESTLİK DERECELİ ROBOTLAR İÇİN GRAFİK YÖNTEMLE TERS KİNEMATİK ANALİZ H.Ali ERTAŞ Cumhuriyet Üniversitesi Makine Mühendisliği Böl. -SİVAS ertas@cumhuriyet.edu.tr Mehmet ÖZKAN TCDD. 4. Bölge Müdürlüğü-SİVAS mehmet_ozkan58@hotmail.com ÖZET Ters robot kinematiğinin çözümü için geliştirilmiş bulunan genel analitik metodun, aşırı derecedeki matematiksel karmaşıklığı ve çözüm esnasında çok fazla dikkat gerektirmesi, ters kinematiğin daha basit metotlar kullanmak suretiyle çözülmesinin araştırılmasına yol açmıştır. Bu bakımdan ters kinematik çözüm için, Hunt[1] tarafından önerilen ve Ridley[2] tarafından geliştirilmek suretiyle uygulanarak kullanılan grafiksel çözüm yaklaşımı kullanılarak, öngörülen bir uç tutucu oryantasyonu ve pozisyonuna karşılık gelecek robot kol konfigürasyonları elde edilebilmektedir. Bu bildiride, grafik metot kullanılarak bir ters kinematik çözümleme gösterilmiştir. Anahtar Kelimeler: Robot , kinematik analiz, , ters kinematik, grafik metot. ABSTRACT It has been lead to researching by using more simple methods of the inverse robot kinematics, general analytical method which has developed for the inverse kinematics because of the kinematics has got an extremely mathematical confusion and has been involved more attention during the solution. Therefore, for the solution of the inverse kinematics an approach of graphical solution suggested by Hunt and Ridley and this way it is being obtained a robot link configurations with an end-effector orientation and position by developing and practicing. In this paper it has been presented, for an inverse kinematics solution by using the graphical method with an example. Keywords: Robot, kinematic analysis, , inverse kinematic, graphical method. vasıtasıyla iki komşu koordinat sistemini birbirine bağlayan transformasyon matrisleri sırasıyla kullanılarak uç tutucunun temel koordinat sistemindeki pozisyon ve oryantasyonuna karşılık gelen eklem parametreleri elde edilebilmektedir [4]. Burada, Stanford-JPL endüstriyel manipülatör için, fazla ayrıntıya girilmeden ama önemli hususlara değinilerek analitik çözüm sunulacak ve bir problem çözümü de verilecektir. 1. GİRİŞ Bir robot kolun uç tutucusuna belirli bir işi yaptırmak amacıyla gerekli robot kol konfigürasyonunu belirleme işi ters kinematiğinin temel problemidir. Ters kinematik çözümleme Denavit ve Hartenberg [3] tarafından geliştirilen analitik çözüm metodunun aşırı derecede karışık olması bir dezavantaj olarak karşımıza çıkmaktadır. Buna karşılık ters kinematik çözümleme basit grafik yaklaşımlarla da çözülebilmekte dir. 2.1. D-H Koordinat Takımları ve D-H Yapısal Parametrelerinin Elde Edilmesi Bu makalede amaç, Stanford-JPL manipülatör için D-H analitik çözüm metodu ile bir örnek çözüm sunarak burada elde edilen sonuçları, basit geometrik yöntemler kullanılarak elde edilen çözümler ile karşılaştırarak bir sonuç elde etmektir. Denavit ve Hartenberg, kinematik analiz için geliştirdikleri metotta, uzaysal bir bağlantıda iki komşu kinematik çifti ele almışlar ve bu çiftlerin hareket eksenleri boyunca z eksenini yerleştirmek üzere ve uzuvların birindeki x ekseni uzuvlar arasındaki normal boyunca olacak şekilde ( y ekseni de sağ-el kuralına göre elde edilmek üzere ) eklem noktasında bir koordinat takımı tanımlamışlardı. Buna göre elde edilen koordinat takımlarına sahip kinematik çiftler art arda eklenebilmektedirler. Bu yöntem, direkt olarak, 2. ANALİTİK ÇÖZÜM Ters kinematik çözüm için kullanılan en genel ve en popüler analitik metot olan, Denavit-Hartenberg metodunda, seri bağlı bir manipülatörün eklem noktalarında tanımlanan lokal koordinat takımlarında bulunan yapısal parametreler 175 Ertaş ve Özkan dönel, silindirik, prizmatik ve helisel eklemli kinematik çiftlere uygulanabilmektedir [1]. Yöntemin temelini oluşturan ve zahmetli bir uğraş gerektiren bu tanımlama pek çok kaynakta belirtilmiştir [3, 4]. Biz burada fazla ayrıntıya girmeden Stanford-JPL endüstriyel manipülatör için lokal koordinat takımlarını Şekil.2’de gösterdik. Rijit bir uzvun D-H gösterimi her bir uzuvla birleştirilmiş dört adet geometrik parametreye bağlıdır. Bu dört parametre herhangi bir dönel veya prizmatik eklemi tam olarak tanımlamaktadır. koordinat takımının birbirilerine göre olan bağıl pozisyonları, şu parametrelerle karakterize edilebilir: Uzuvlar arasındaki a i uzunluğu; α i açısı; d i θi mesafesi ve açısı. i uzvunun bu parametreleri Şekil.2’de gösterilmiştir. Sözü geçen bu parametreler, verilen manipülatörün “yapısal kinematik parametreleri” olarak isimlendirilirler. Yine bu yapısal parametreler de Stanford-JPL manipülatör için tablo 1 de verilmiştir. Aşağıdaki şekilde uzuv i ve uzuv i + 1 şeklinde sıralanmış ve birleştirilmiş olan iki adet komşu Şekil.1 Stanford-JPL Manipülatör Tablo.1 Stanford-JPL Manipülatör İçin Yapısal Kinematik Parametreler Eklem Değişkeni Uzuv i di ai αi 1 d1 d2 d3 0 -900 0 90 0 0 00 2 3 d3 0 4 0 0 -90 5 0 0 900 6 d6 0 00 176 θ1 θ2 θ4 θ5 θ6 Çok Serbestlik Dereceli Robotlar İçin Grafik Yöntemle Ters Kinematik Analiz Şekil.2 Stanford-JPL Manipülatör İçin D-H Parametreleri 2.2. Lokal Koordinat Takımları Arasındaki Transformasyon Matrislerinin Elde Edilmesi i Burada Ai −1 transformasyon matrisi , i ’inci uzva ait yapısal parametreler cinsinden elde edilebilir [4]. pi vektörü, i ’inci koordinat takımında (i = 1, … , n) biliniyorsa, bu vektör (i − 1) ’inci koordinat takımında p i −1 şeklinde aşağıdaki gibi Her bir uzuv için D-H koordinat takımları oluşturulduktan sonra, i ’inci koordinat takımı ile (i − 1) ’inci koordinat takımı arasındaki ilişkiyi gösteren transformasyon matrisi aşağıdaki gibi kolaylıkla türetilebilir. elde edilebilir; pi −1 = Aii−1 pi (1) Aii−1 = Transl (0,0, d i ) Rot ( z i ,θ i ) Rot ( xi , α i )Transl (ai ,0,0) Aii−1 cosθ i sin θ i = 0 0 − cos α i sin θ i cos α i cosθ i sin α i 0 sin α i sin θ i − sin α i cosθ i cos α i 0 Bu operasyonlarla amaç, (i − 1) ’inci koordinat takımının ekseni ile buna karşılık gelen i ’inci koordinat takımının eksenini hizalamaktır. Elde edilen transformasyon matrisleri aşağıda verilmiştir. (2) ai cosθ i ai sin θ i di 1 (3) i T0i = A01 A12 … Aii−1 = ∏ Ajj−1 j −1 x yi zi pi = i 0 0 0 1 (i = 1, … , n) (4) [xi yi z i ]: i ’inci uzuv üzerinde kurulan i ’inci 2.3. Temel Transformasyon Matrisinin Elde Edilmesi ve Verilen Probleme Uygun Çözümün Bulunması i ’inci koordinat takımının temel koordinat takımına i i göre olan konumunu gösteren T0 matrisi, Ai −1 koordinat takımının yer koordinatlarına göre (3 x 3) boyutundaki oryantasyon matrisi. matrislerinin zincirleme çarpımıdır: 177 Ertaş ve Özkan [ pi ] : pozisyon vektörlerinin bileşenleri şeklinde ifade edilebilir: Temel koordinat takımının orijininden i ’inci koordinat takımının orijinine yönelmiş olan (3 x 1) boyutundaki konum vektörü. n x0 n 6 T0 = y0 n z0 0 Stanford-JPL endüstriyel manipülatör için elde edilen D-H çözüm metoduna dayalı matris çarpımları EK’de verilmiştir. İleri kinematik denklemleri böylece, bir manipülatör için tesis edilmiştir. Bu denklemler, manipülatörün eklem değişkenlerinin değerleri bilindiğinde, temel kartezyen koordinat sisteminde manipülatör üzerindeki bir noktanın pozisyonunu hesap etmek için kullanılabilirler. o x0 o y0 o z0 0 n s a T06 = 0 0 0 a x0 a y0 a z0 0 p x0 p y0 p z0 1 (5) p0 1 T06 = A01 A12 A23 A34 A45 A56 Uç-tutucu için kartezyen bir koordinat takımının tanımlanmasında özel notasyonlar kullanmak üzere ortak bir yöntem bulunmaktadır. Böyle bir koordinat sistemi, koordinat takımının orijini olarak vazife gören tutucunun merkezinden çıkan n, o ve a birim vektörlerinden ibarettir. (6) O halde, (5) ve (6) denklemlerindeki değerler eşitlenerek n, o, a ve p 0 vektörlerinin bileşenleri, eklem pozisyonları ve yapısal parametreler cinsinden yazılabilir. Bunlar Tablo.3’de verilmiştir. 6 Aşağıda olduğu gibi , T0 matrisi, oryantasyon ve Tablo.2: Stanford-JPL Manipülatör İçin D-H Koordinat Takımına Göre Elde Edilen Transformasyon Matrisleri cosθ 1 sin θ 1 1 A0 = 0 0 0 − sin θ 1 0 cosθ 1 −1 0 0 0 0 0 d1 1 cosθ 4 sin θ 4 4 A3 = 0 0 0 − sin θ 4 0 cosθ 4 −1 0 0 0 cosθ 2 sin θ 2 2 A1 = 0 0 0 sin θ 2 0 − cosθ 2 1 0 0 0 0 0 d2 1 cosθ 5 sin θ 5 5 A4 = 0 0 0 sin θ 5 0 − cosθ 5 1 0 0 0 cosθ 6 sin θ 6 6 A5 = 0 0 − sin θ 6 cosθ 6 0 0 1 0 3 A2 = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 d3 0 1 178 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 d6 0 1 Çok Serbestlik Dereceli Robotlar İçin Grafik Yöntemle Ters Kinematik Analiz Tablo.3: Stanford-JPL Manipülatör İçin Eklem Değişkenlerine Bağlı Olarak Uç-Tutucunun Temel Koordinatlardaki Pozisyon ve Yönlenmesine Ait Denklemler p x0 = c1 [c 2 c 4 s5 d 6 + s 2 (d 3 + c5 d 6 )] − s1 (s 4 s5 d 6 + d 2 ) p y0 = s1 [c 2 c 4 s5 d 6 + s 2 (d 3 + c5 d 6 )] + c1 (s 4 s5 d 6 + d 2 ) p z0 = − s 2 c 4 s5 d 6 + c 2 (d 3 + c5 d 6 ) + d1 n x0 = c1 [c 2 (c 4 c5 c6 − s 4 s 6 ) − s 2 s5 c6 ] − s1 (s 4 c5 c6 + c 4 s 6 ) n y0 = s1 [c 2 (c 4 c5 c6 − s 4 s 6 ) − s 2 s5 c6 ] + c1 (s 4 c5 c6 + c 4 s 6 ) n z0 = − s 2 (c 4 c5 c6 − s 4 s 6 ) − c 2 s5 c6 o x0 = c1 [− c 2 (c 4 c5 s 6 + s 4 c6 ) + s 2 s5 s 6 ] − s1 (− s 4 c5 s 6 + c 4 c6 ) o y0 = s1 [− c 2 (c 4 c5 s 6 + s 4 c6 ) + s 2 s5 s 6 ] + c1 (− s 4 c5 s 6 + c 4 c6 ) o z0 = s 2 (c 4 c5 s 6 + s 4 c6 ) + c 2 s5 s 6 a x0 = c1 (c 2 c 4 s5 + s 2 c5 ) − s1 s 4 s5 a y0 = s1 (c 2 c 4 s5 + s 2 c5 ) + c1 s 4 s5 a z0 = − s 2 c 4 s 5 + c 2 c 5 Stanford-JPL manipülatörü için verilen fiziksel boyutlar da d 1 = 412.5 mm , d 2 = 153.67 mm , 2.4 Örnek Problem Stanford-JPL manipülatörü için aşağıda verilen oryantasyon vektörleri ve pozisyon vektörüne uygun eklem değişken değerleri bulunacaktır. d 6 = 262.9 mm , şeklindedir [4]. p x0 = 212.8183 mm T06 = A01 A12 A23 A34 A45 A56 p y0 = 411.9901 mm n s a T06 = 0 0 0 p z0 = 423.2512 mm n x0 = −0.7614 p0 1 (7) şeklinde verilen eşitliğin sağ tarafında verilen değerler problemde verildiğine göre, eşitliğin sol tarafındaki matris çarpımlarının uygun şekilde eşitliğin diğer tarafına geçirilmesiyle tüm eklem değişkenleri bulunabilir. n y0 = 0.6475 n z0 = 0.0311 o x0 = 0.0907 o y0 = 0.0589 ( ) A12 A23 A34 A45 A56 = A01 o z0 = 0.9941 a x0 = 0.6419 −1 n s a 0 0 0 p0 (8) 1 Bu şekilde eşitliğin sağ tarafında elde edilen matris çarpımı, eşitliğin solunda bulunan ve Ek-A’da verilen matris çarpımıyla karşılaştırıldığında bu (4x4) matrislerin karşılıklı (3,3) ve (3,4) elemanları eşitlenerek θ 1 açısı aşağıdaki şekilde bulunur. a y0 = 0.7598 a z0 = −0.1036 r= (a x0 d 6 − p x0 ) + (a 2 y0 d 6 − p y0 ) 2 a y0 d 6 − p y0 d2 −1 − tan ± r 2 − d22 a x0 d 6 − p x0 θ1 = tan −1 179 (9) + kπ (10) Ertaş ve Özkan Diğer eklem değişkenleri için de benzer şekilde çözümler bulunabilir ve aşağıdaki gibi tüm eklem değişkenleri bulunur. ( ) ( ) p y0 − a y0 d 6 s1 + p x0 − a x0 d 6 c1 + kπ p z0 − d1 − d 6 a z0 θ 2 = tan −1 [( ) ] ) ( ( (11) ) d 3 = p y0 − a y0 d 6 s1 + p x0 − a x0 d 6 c1 s 2 + p z0 − d1 − d 6 a z0 c 2 + kπ c 2 a x0 c1 + a y0 s1 − a z0 s 2 θ 4 = tan −1 ( − a x0 s1 + a y0 c1 ) ( ( ) (13) ) ( ) ) c 4 c 2 a x0 c1 + a y0 s1 − a z0 s 2 + s 4 − a x0 s1 + a y0 c1 + kπ s 2 a x0 c1 + a y0 s1 + a z0 c 2 θ 5 = tan −1 ( ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ) ) − s 4 c 2 n x0 c1 + n y0 s1 − n z0 s 2 + c 4 − n x0 s1 + n y0 c1 + kπ − s 4 c 2 o x0 c1 + o y0 s1 − o z0 s 2 + c 4 − o x0 s1 + o y0 c1 θ 6 = tan −1 (12) (14) (15) Problemde verilen değerlere göre elde edilen eklem değişkenleri aşağıda verilmiştir. Tablo.4: Stanford-JPL Manipülatör İçin Metodu İle Bulunan Eklem Değişkenleri θ1 θ2 d3 θ4 θ5 33 76 157 mm 41 26 0 0 0 0 D-H θ6 520 3. GRAFİK YÖNTEM Bir robot kolun uç tutucusuna belirli bir işi yaptırmak amacıyla gerekli robot kol konfigürasyonunu belirleme işi ters kinematiğinin temel problemidir. Bunu {n, s, a, pG} → {θ i } [ Şekil.3: Altı Eklemli Seri Bir Robotun Sekiz Adet Kol Konfigürasyonu ] şeklinde sembolize edebiliriz ki burada n, s ve a notasyonları uç tutucunun oryantas-yonunu, Ters kinematik çözüm için kullanılan en genel ve en popüler analitik metot olan Denavit-Hartenberg metodunda, seri bağlı bir manipülatörün eklem noktalarında tanımlanan lokal koordinat takımlarındaki yapısal parametreler vasıtasıyla iki komşu koordinat sistemini birbirine bağlayan transformasyon matrisleri sırasıyla kullanılarak uç tutucunun temel koordinat sistemindeki pozisyon ve oryantasyonuna karşılık gelen eklem açıları elde edilebilmektedir [4]. Bu genel metodun, belirtilen her bir aşamasında ortaya çıkan çeşitli komplikasyonlar ve transformasyon matrisinin elde edilmesi sırasındaki aşırı dikkat gerekliliği, bu metodun uygu1anmasını zorlaştırmaktadır. Sonuç olarak, kolayca görüntülene-bilecek olan çözümler, karışık matematik formüllerle dolmuştur [2]. pG değeri uç tutucunun temel koordinatlardaki yerini ve θ i de uygun robot kol konfigürasyonunu belirleyen eklem açılarını göstermektedir. İleri kinematikte θ i ’lere karşılık gelen {n, s, a, pG} değeri bir tek olmasına karşılık ters kinematikte ise, robot kolun uygulanabilir geometrik limitleri ve serbestlik dereceleri içinde, elde edilebilecek (en çok) sekiz adet kol konfigürasyonu bulunmaktadır. Bu sekiz adet konfigürasyon Şekil.1de gösterilmiştir [5]. 180 Çok Serbestlik Dereceli Robotlar İçin Grafik Yöntemle Ters Kinematik Analiz â yönündeki ∆ farklarıdır, yani uç tutucunun Bu bakımdan ters kinematik çözüm için, Hunt [1] tarafından önerilen ve Ridley [2] tarafından geliştirilmek suretiyle uygulanarak kullanılan grafiksel çözüm yaklaşımı kullanılarak, StanfordJPL endüstriyel manipülatör için, önceki bölümde verilen problem için ters kinematik çözüm prosedürü hazırlan-mıştır. geometrik değerleridir. 2) son uzvunun nˆ , oˆ ve doğrultman kosinüsleridir. Robot kolun son uzvunun pozisyonu da yine O0 ( x0 , y 0 , z 0 ) koordinat takımına göre 4) xT x G yT = y G − (∆a ⋅ aˆ + ∆o ⋅ oˆ + ∆n ⋅ nˆ ) (16) z z T G Şematik planda, komşu uzuvlar arasındaki eklem yerlerindeki dönme eksenleri ($ ) ile gösterilmekte ve eklemin pozitif dönme yönüne göre pozitif eksen tarafı büyük konik oklarla gösterilmiştir. Ayrıca küçük değerlerdeki pozitif dönme açıları da şematik planda gösterilmiştir. (18) 1 Şekil 4.’de, örneğin; x1 ekseni, 1 nolu eklemin dönme yapmadan önceki x eksenini belirtmekte; x1 ekseni ise, 1 nolu eklemin dönme yaptıktan sonra oluşan x eksenini belirtmektedir. Bu basit prosedür tüm eklemler için belirtilmiştir. Ancak, dikkat edilecek olursa, örneğin; $ 2 dönme ekseni boyunca uzanan ekseni, Denavit-Hartenberg metodundaki gibi, O2 z 2 şeklinde yeniden isimlendirmek ve yine robotun son uzvunun oryantasyonu da; oy oz (19) bunun için de O1 x1 ekseni etrafında 900’lik ikinci bir (sûni) eksen dönmesine zorlama işlemi yani her bir aktüatör ekseni boyunca bir z -ekseni yerleştirme işlemi terk edilmiştir [1]. Yöntemin de en can alıcı ve ilgi çekici özelliği burada ortaya çıkmaktadır. [3]’de izah edilen yöntemde, transformasyon matrisini elde edebilmek için gerekli olan yapısal parametrelerin elde edilmesi amacıyla eklem noktalarına yerleştirilen lokal koordinat takımlarının elde edilmesi ve bu lokal koordinat takımlarına göre de yapısal parametrelerin belirlenmesi işlemlerinin, kimi zaman aşrı derecede komplike olduğu düşünülecek olursa, bu şematik gösterimin ne kadar kolay olduğu daha iyi ortaya çıkmaktadır. Belirtmek gerekir ki, Şekil.4’de lokal koordinat takımları elbette sağ-el kuralına uymaktadır. l 0.6419 0.0907 − 0.7614 1 m = 0.7598 0.0589 0.6475 .0 n − 0.1036 0.9941 0.0311 0 (20) l 0.6419 m = 0.7598 n − 0.1036 (21) şeklinde O0 ( x0 , y0 , z0 ) koordinat takımında belirtilebilir. Burada; {∆a, ∆o, ∆n} = {62.9, 0, 0} mm değerleri, G noktasının T’ye göre, nˆ , oˆ ve 1) {∆a, ∆o, ∆n} ve {lG , mG , nG } değerleri Şekil.4’de gösterilen şematik planın çizimi dikkatlice incelendiğinde gerçekten de çok basit bir prosedür ile (veya belli bir prosedür dahi izlemeden) gerçekleştirildiği görülecektir. (17) n x lG n y .mG n z nG koordinatlarındaki 3.3 Şematik Planın Hazırlanması xT 212.8183 0.6419 0.0907 − 0.7614 yT = 411.5901 − 62.9 ⋅ 0.7298 + 0. 0.0589 + 0 ⋅ 0.6475 z 423.2512 − 0.1036 0.9941 0.0311 T ox robotun özel tutucular için verilmiş özel değerlerdir. belirlenecektir: l a x m = a y n a z â değerleri, {l , m, n} değerleri ise, (2) nolu 3) denklemden de anlaşılacağı üzere, robotun son uzvunun, temel koordinatlardaki doğrultman kosinüsleridir. 3.2 Robot Kolun Son Uzvunun Konumunun Elde Edilmesi xT 172.4428 yT = 363.7987 mm. z 429.7676 T {l , m, n} = {1, 0, 0} 181 Ertaş ve Özkan Şekil.4: Stanford-JPL Manipülatörün Şematik Planı 3.4 Grafik Çözümün (Çizimin) Elde Edilmesi 4) Belirtilen bu hususlar doğrultusunda Stanford-JPL robot kolu için öngörülen grafik çözüm aşağıda adım adım anlatılmıştır: yarıçaplı daire çizilerek ve OW ’den bu daireye her Üstten görünümde O0 merkezli ve d 2 iki teğet de çizilerek muhtemel iki adet O2 noktası tespit edilir ve OW ’den O2 ’ye ve O2 ’den de O0 ’a x0 ve y0 eksenleri üstten görünüşte çizilir. 2) xT , yT koordinatları vasıtasıyla, üstten görünüşte T noktası işaretlenir. 3) T noktasından − {L, M } = −k {l , m} yönünde mesafeleri ölçülerek OW (O5 ) bilek 1) doğrular çizilmek suretiyle üstten görünümde iki adet robot konfigürasyonu elde edilir. 5) Yan görünümde O0 ’dan z0 yönünde “ d1 ” kadar mesafe işaretlenerek yan görünümde çakışık olan O1 ve O2 noktaları bulunur. merkezi üstten görünümde bulunur. 182 Çok Serbestlik Dereceli Robotlar İçin Grafik Yöntemle Ters Kinematik Analiz 6) matrisinin oluşturulmasında kullanıcıya pek çok zorluk çıkarmaktadır. Buna karşılık grafik metotta, birkaç basit analitik hesaplamanın ardından grafik çizimler yardımıyla ters kinematiğin çözümü daha kolay elde edilebilmektedir. Yapmış olduğumuz çalışmada analitik ve grafik metotlarla elde edilen sonuçlar birbirinin aynısı çıkmıştır. Üstten görünümdeki T ve OW noktaları z 0 eksenine dik olacak şekilde yan görünüme indirilir. 7) zT mesafesi yan görünümde belirlenir ve T noktasından inilen dik ile birleştirilerek T noktası bulunur. T ’den − N = − k ⋅ {n} yönünde Grafik çözüm, öngörülen “düz doğru trigonometrisi”ni sağlayan her robot konfigürasyonunda uygulanabilir. Burada Ridley [2] tarafından yapılan çalışmadan farklı olarak prizmatik ekleme sahip bir konfigürasyon çalışılmıştır. doğru çizilerek, bu doğru OW ’den indirilen doğru ile çakıştırılmak suretiyle yan görünümde OW noktası bulunur. OW ve 8) O2 noktası yan görünümde Robot kolun yaptığı hareketin takip edilebilmesi bakımından grafik metot, analitik metoda göre görsel olarak da bir avantaj sunmaktadır. Bu, bize simülasyon kolaylığı sağlamaktadır. Kullanıcılar için, analitik metoda alternatif bir çözüm metodu sunulmuştur. birleştirilerek yan görünümde konfigürasyon belirlenir. 9) Bilek konisini çizmek için; yandan görünümde, 4 nolu eklemin dönme ekseni uzatılır ve OW merkezli ve “k” yarıçaplı bir daire parçası çizilir. Yan görünümde T noktasından, 4 nolu 10) eklemin dönme eksenine dik inilerek, bu dikin daire parçasını kestiği iki nokta ile OW noktası Ayrıca, grafik metot için ilk bakışta bir dezavantaj olarak ortaya çıkan hassasiyet problemi bir bilgisayar çizim programı vasıtasıyla bertaraf edilmiştir. İleriki çalışmalarda, grafik metot için, bir bilgisayar programı vasıtasıyla, verilen oryantasyon ve pozisyona göre robot kol konfigürasyonunun elde edilmesi için bir program da yazılabilir. birleştirilerek iki adet “k” doğru parçası (yarıçap) elde edilir. 4 nolu dönme ekseninin uzantısı ile bu yarıçaplar arasındaki açı θ 5 açısını verir. Çözümün tamamlanması için gerekli olan, 10. maddede elde edilen daireyi kesen 11) noktadan OW O2 doğrusunun uzantısına paralel olacak şekilde bir çizgi çizilir. Bu doğrunun, OW O2 doğrusunun uzantısına dik olan doğruyu [1] K.H.HUNT, “Particular or The General? (Some Examples from Robot Kinematics)”, Mechanism and Machine Theory, Vol. 21, No. 6, 1986, pp. 481487. nokta arasındaki mesafe kadar yarıçapı olan bir ikinci daire çizilir. T noktasından OW O2 doğrusunun uzantısına paralel olacak şekilde bir çizgi çizilir ve bu doğrunun ikinci çizilen daireyi kestiği nokta işaretlenir. Bu nokta ile merkez birleştirilir. Daire ekseni ile bu (yeni) doğru arasındaki açı θ 4 açısını verir. [2] P.R. RIDLEY, “Robot Kinematics-I. Graphical Solution of The Inverse Equations of Closure”, Mechanism and Machine Theory, Vol. 29, No. 7, 1994, pp. 1043-1052. [3] J.DENAVIT, R.S. HARTENBERG, “A Kinematic Notation for Lower-Pair Mechanisms Based on Matrices”, Journal of Applied Mechanics, Vol. 22, 1955, pp. 215-221. Tablo.5: Stanford-JPL Manipülatör İçin Grafik Metot İle Bulunan Eklem Değişkenleri 330 θ2 760 d3 157 mm θ4 410 uç– 5. KAYNAKLAR kestiği nokta ve bu dikin OW O2 doğrusunu kestiği θ1 θ6 tutucu açısının çözümü, kullanıcının inisiyatifine bırakılmak kaydıyla basit analitik yöntemlerle elde edilebilir. [4] A.J.KOIVO, “Fundamentals for Control of Robotic Manipulators”, John Wiley & Sons Inc., 1989. θ5 260 [5] S.ZEGHLOUL, B. BLANCHARD, M. AYRAULT, “SMAR: A Robot Modelling and Simulation System”, Robotica, Vol. 15, 1997, pp. 63-73. 4. SONUÇ Ters kinematik işlemlerinde çözüm için sunulan analitik metot; robot eklemlerinin her birine yerleştirilen, lokal koordinat takımlarının tanımlanmasında, bu lokal koordinat takımlarına bağlı olarak yapısal parametreleri belirlemesine ve hareketin tanımlanması için transformasyon [6] R.P.PAUL, “Robot Manipulators: Mathematics, Programming and Control”, MIT Press, 1981. 183 Ertaş ve Özkan Şekil.5: Stanford-JPL Endüstriyel Manipülatör İçin Grafik Çözüm 184 Çok Serbestlik Dereceli Robotlar İçin Grafik Yöntemle Ters Kinematik Analiz EK A45 A56 = {{c5 c6,-(c5 s6),s5,d6s5},{c6s5,-(s5s6),-c5,(c5d6)},{s6,c6,0,0},{0,0,0,1}} ( ) A34 A45 A56 = {{c4c5c6- s4s6, - (c6s4)- c4c5s6, c4s5, c4d6s5}, {c5c6s4 + c4s6, c4c6 - c5s4s6,s4s5, 6s4s5}, {(c6s5), s5s6, c5, c5d6}, {0,0,0,1}} A23 (A34 A45 A56 ) = {{c4c5c6 - s4s6, - (c6s4) - c4c5s6, c4s5, c4d6s5}, {c5c6s4 + c4s6, c4c6 - c5s4s6, s4s5, d6s4s5}, {-(c6s5), s5s6, c5, d3 + c5d6}, {0,0,0,1}} ( ) A12 A23 A34 A45 A56 = {{-(c6s2s5) + c2(c4c5c6 - s4s6), s2s5s6 + c2(-(c6s4) - c4c5s6), c5s2 + c2c4s5, (d3 + c5d6)s2 + c2c4d6s5}, {c2c6s5 + s2(c4c5c6 - s4s6), -(c2s5s6) + s2((c6s4) - c4c5s6), -(c2c5) + c4s2s5, - (c2(d3 + c5d6)) + c4d6s2s5}, {c5c6s4 + c4s6, c4c6 - c5s4s6, s4s5, d2 + d6s4s5}, {0, 0, 0, 1}} ( ) T = A01 A12 A23 A34 A45 A56 = {{-(s1(c5c6s4 + c4s6)) + c1(-(c6s2s5) + c2(c4c5c6 - s4s6)), -(s1(c4c6 - c5s4 s6)) + c1(s2s5s6 + c2(-(c6s4) - c4c5s6)), -(s1s4s5) + c1(c5s2 + c2c4s5), c1((d3 + c5d6)s2 + c2c4d6s5) - s1 (d2 + d6s4s5)}, {c1(c5c6s4 + c4s6) + s1(-(c6s2s5) + c2(c4c5c6 - s4s6)), c1(c4c6 - c5s4s6) + s1(s2s5s6 + c2(-(c6s4) - c4c5s6)), c1s4s5 + s1(c5s2 + c2c4s5), s1((d3 + c5d6)s2 + c2c4d6s5) + c1(d2 + d6s4s5)}, {-(c2c6s5) - s2(c4c5c6 - s4s6), c2s5s6 - s2(-(c6s4) - c4c5s6), c2c5 - c4s2s5, d1 + c2(d3 + c5d6) c4d6s2 s5}, {0,0,0,1}} NOT: si = sin θ i ; ci = cos θ i (i = 1,…,6) 185 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 YAPISAL SİSTEMLERİN TİTREŞİMLERİNİN BULANIK MANTIKLI KONTROLÜ Rahmi GÜÇLÜ Yıldız Teknik Üniversitesi, Makine Mühendisliği Bölümü, Beşiktaş, İstanbul guclu@yildiz.edu.tr ÖZET Bu çalışmada, çok serbestlik dereceli bir yapının depreme karşı aktif sismik izolasyonunu gerçekleştirmek amacı ile bulanık mantığa dayalı bir kontrolcü tasarlanmıştır. Simülasyonu gerçekleştirilen sistem, dört serbestlik derecesine sahiptir. Deprem etkisini temsilen yapının temeline bozucu bir giriş uygulanmıştır. Bu çalışmada, doğrusal bir motor aktif izolatör olarak kullanılmaktadır. Çalışmanın sonunda, katların yerdeğişimleri, kontrol voltajının zaman cevabı ile kontrolcüsüz ve bulanık mantık kontrolcülü yapının frekans cevapları elde edilmiş ve sonuçlar irdelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Bulanık mantıklı kontrol, yapısal sistem, titreşim. ABSTRACT In this study, a fuzzy logic based controller (FLC) is designed for an active seismic isolation device considering a multi degrees of freedom structure against earthquake. The simulated system has four degrees of freedom. The disturbance input representing the effect of an earthquake is applied to base of the structure. In this study a linear motor is used as the active isolator. At the end of the study the time history of the storey displacements, control voltage and frequency response of the both uncontrolled and fuzzy logic controlled structures are presented and results are discussed. Keywords: Fuzzy logic control, structural system, vibration. Control dergisinde [6] yayınlandığında, 1965 deki teknik topluluğa ilk sunulan çalışma olmasından dolayı olağanüstü bir ilgi gördü. Bu tarihten sonra, bu konu birçok bağımsız araştırmanın odağı haline geldi. Bulanık mantığa gösterilen ilgi, bulanık mantık kullanılan mevcut popüler tüketim ürünlerinin sayısını arttırdı [7]. Rao, taşıt titreşimlerinin aktif kontrolünde bulanık mantıklı kontrölcü kullanmıştır [8]. Bu çalışmada, 4 serbestlik dereceli bir yapıda, temsili deprem girişine karşı aktif sismik izolasyonu sağlamak için bulanık mantıklı kontrolcü kullanılmıştır. Yapısal sistemin kontrolcülü ve kontrolcüsüz durumlar için zaman ve frekans cevapları elde edilmiştir. 1. GİRİŞ Yapısal titreşimlerin kontrolü, oldukça hızlı bir gelişme göstermiştir. Elastik yatak kullanılarak titreşim izolasyonunu gerçekleştirmek, pasif titreşim kontrol metodlarının en yaygın olanlarındandır. Kauçuk yaprak ve çelik plakalar içeren elastik yatak, temeline deprem girişi etki eden yapısal sistemlerde oldukça etkilidir [1]. Ayrıca, literatürde yarı aktif titreşim metodları da mevcuttur. Yoshida ve Fujio titreşim kontrolünde, viskoz sönüm katsayısı değiştirilen yarı aktif bir kontrol metodunu temele uygulamıştır [2]. Son yıllarda, deprem kaynaklı titreşimleri izole etmek için kullanılan aktif ikaz edicilerle ilgili yapılmış çalışmalar vardır. Fukushima ve diğerleri, yüksek binalarda rüzgar ve depremden kaynaklanan titreşimleri azaltmayı amaçlayan aktif-pasif kompozit ayarlı kütle sönümleyiciler geliştirdiler [3]. Binalarda, belirsizlikler ve sabit olmayan sistem parametreleri mevcut olduğundan, yapıların aktif kontrolü için robust kontrol metodları önerilmektedir [4]. Gerçek binalar non-lineer karaktere sahip olduğundan, kayan kipli kontrol sistemiyle etkili sonuçlar elde edilmektedir [5]. 2. YAPISAL SİSTEMİN DİNAMİK MODELİ Yapısal sistemin tüm hareketi yatay doğrultuda incelenmiştir. Depremin yıkıcı etkileri ve rüzgar rahatsızlıkları, yatay titreşimlerin bir sonucu olarak ortaya çıktığından, serbestlik derecesi sadece bu yönde göz önüne alınmıştır (Şekil 1). Herbir katın kütlesi sırasıyla m0, m1, m2 ve m3 olup x0, x1, x2 ve x3 de ilgili katların yatay yerdeğişimleridir. Katlara ait tüm yay ve sönüm elemanları, yatay yönde hareket etmektedir. Sistem parametreleri, Ek’te verilmiştir. Bulanık mantık, Dr. Lotfi Zadeh tarafından “Bulanık Set” seminer çalışması olarak, Information and 187 Güçlü kullanılır. Bir bulanık mantıklı kontrolcü başlıca aşağıdaki bileşenlere sahiptir. (i) Ölçülen değişkenleri uygun sözcük değişkenlerine dönüştürmek ve grafiklendirmek için bir bulanıklaştırma ara yüzü (fuzzyfier). (ii) Bilgi tabanı ile uyumlu bir kontrol kural tabanı dili. (iii) Ölçülen değişkenlere dayanarak bulanık mantıklı kontrol işlemini sonuçlandıracak bir karar verici mantık. (iv) Kontrol edilmekte olan sisteme girilmesi için bulanık olmayan kontrol girişlerini vermek üzere sonuçlandırılmış, sözcüklere bağlı kontrol işlemini dönüştürmek ve grafiklendirmek için bir bulanıklaştırmadan ayırma ara yüzü (defuzzyfier). Bulanıklaştırıcı, sözcüklere bağlı değişken kümesini (bulanık kümeler) ve bunların üyelik fonksiyonlarını kullanarak herbir giriş değişkeni değerini ilgili bulanık değişkenlere çevirir. Örneğin, Şekil 2.a’da, bulanık kümeler negatif büyük, negatif küçük, sıfır, pozitif küçük, pozitif büyük ( nb, ns, zo, ps, pb) olarak yi uzayında tanımlanmışlardır. İlgili üyelik fonksiyonları vasıtası ile kendi sözcük uzayında yi’nin herhangi bir değeri, aynı zamanda değişik üyelik dereceleri ile farklı bulanık kümelere ait olur. En çok kullanılan üyelik fonksiyonları üçgen, çan ve trapez biçimleridir. yi’nin 0.5 değeri, 0.6 üyelik değeri ile hem ps ve 0.17 üyelik değeri ile hem de zo’a ait iken, nb, ns ve pb’ye ait üyelik değerleri 0 dır. Bulanık karar verme sistemi, bulanık giriş değişkenlerini bulanık çıkış değişkenleri kümelerine dönüştürür. Şu şekilde bulanık mantık kuralları kümesini içerir: EĞER {Kural Dayanağı}, O HALDE {Kural Sonucu}. {Kural Dayanağı} sonuçları 0 ve 1 arasında değişen gerçek sayılardan oluşan bulanık mantık operasyonları kümesidir. Bulanık mantığın temel işlemleri, bulanık kesişim (VE), bulanık bileşim (VEYA) ve bulanık olumsuzlamadır (DEĞİL). Bunların işlemcileri bulanık kümelerdir. VE (VEYA) işleminin sonucu iki bulanık küme işlemcisinin üyelik fonksiyonlarının minimumudur (maksimumudur); DEĞİL işleminin sonucu, kendi bulanık küme işleminin üyelik fonksiyonunun tamamlayıcısıdır. {Kural Sonucu} her bir çıkış değişkeni için bir sözel değer sağlar, gerçek değeri {Kural Dayanağı}’nın 0 ve 1 arasındaki sayısal değeridir. Bulanık kümeler ve ilgili üyelik fonksiyonları her bir çıkış için tanımlanmalıdır. Şekil 2.b’deki örnekte, k. kural dayanağının sonucu 0.4 varsayılırsa sonuç, çıkış u’nun sözcük uzayında gösterilen şeklidir. Bulanıklaştırmadan ayırıcı, bulanık sonuçlandırma sisteminin sonuçlarının tekil sayısal çıkış değişkenlerine çevirisinden sorumludur. Bulanıklaştırmadan ayırma işlemini gerçekleştirmek için çeşitli metotlar kullanılmaktadır. Bazıları: Şekil 1. Yapısal sistemin fiziksel modeli Sistemin hareket denklemi aşağıdadır: [M]x + [C]x + [K ]x = Fd + Fu (1) Burada, x = [ x0 x1 x2 x3 ] , Fd = [ -Fd 0 0 0 ]T ve Fu = [ -Fu Fu 0 0 ]T dir. Fu , doğrusal motor tarafından üretilen kontrol kuvvet vektörü, Fd ise yapısal sisteme uygulanan bozucu kuvvet vektörüdür. [M] , [C] ve [K] sırasıyla kütle, sönüm ve katılık matrisleri olup, Ek’te sunulmuştur. Doğrusal motorun denklemi, T R i + K e (x 1 − x 0 ) = u (2) u ve i , sırasıyla bobin sargısının kontrol voltajı ve akımıdır. R ve Ke , bobin sargısının direnç değeri ve etki eden voltaj sabitidir. Bobin sargı akımı ile kontrol kuvveti arasında aşağıdaki ilişki vardır: Fu = Kf i (3) Kf , bobin sargısının itme sabitidir. Bobin sargısının indüktans akımı ihmal edilmiştir. Denklem (1) ile (3) birleştirilerek, durum uzayı formunda denklemleri yeniden düzenlemek de mümkündür. . x = f (x) + [B] * Fu + [ W] * Fd x =[x0 x1 x2 .... T x7 ] (4) olup x 4 = x 0 , x 5 = x1 , x 6 = x 2 , x 7 = x 3 dir. Burada, f(x) birinci derece diferansiyel denklemlerden oluşan vektör fonksiyonları, [B] kontrol kuvveti matrisi ve [W] bozucu kuvvet matrisidir. f(x), [B] ve [W], Ek’te verilmiştir. 3. BULANIK MANTIKLI KONTROLCÜ Burada, bulanık mantığa dayalı kontrol sisteminin amacı, binaların deprem kaynaklı titreşimlerini azaltmaktır. Bulanık mantıklı kontrolcüde, Küçük, Orta, Büyük vs. gibi dil değişkenleri, 0 ve 1 arasında değişen üyelik değerleri ile temel bilgiyi sunmakta i) Bulanık çıkış bölgesinin alan merkezini tek bir çıkış değeri olarak veren bir bulanık ara yüz sistemi olan Mamdani metodu (Şekil 2.c). 188 Yapisal sistemlerin titreşimlerinin Bulanik mantikli kontrolü Yapısal sistemin kontrolünde, bulanık mantıklı kontrol sisteminin yapısı, katların hareketindeki hatayı (x1r -x1) ve onun türevini (x1r - x 1r ) kullanır. İki giriş değişkeni (x1r, x 1r ) ve çıkış değeri olan kontrol kuvveti (u), Şekil 3 de gösterilmektedir. Giriş değişkenleri olarak, katların yerdeğiştirme hareketi ve hızındaki hatayı anlamayla ilgili geliştirilen temel kurallar, Tablo 1 de verilmiştir. Burada; p, n, z, b, m, s sırasıyla Pozitif, Negatif, Sıfır, Büyük, Orta ve Küçük’ü temsil etmektedir. Üçgen üyelik fonksiyonları tercih edilmiş, deneme ve yanılma yaklaşımı ile iyi bir kontrolcü performansı elde edilmesi amaçlanmıştır. Yapısal sistemin simülasyonu, temsili deprem girişi olarak zemine uygulanan Fd=10000 N luk bozucu bir kuvvet için gerçekleştirilmiştir. Şekil 4.a ve 4.b, birinci ve üçüncü katın kontrolcülü ve kontrolcüsüz zaman cevaplarını göstermektedir. Yapının yatay yerdeğişimleri gözönüne alındığında, kontrolcülü yerdeğişimlerinde önemli bir gelişme olduğu gözlenmektedir. ii) Bulanık çıkış bölgesinin ağırlıklı ortalamasını tek bir çıkış değeri olarak veren TVFI [9]. Şekil 2. Temel bulanık mantık işlemi 4. SİMULASYON Şekil 3. Bulanık mantık kontrolcülü yapının kapalı çevrim modeli Tablo 1. Bulanık Mantıklı Kontrolcünün Kural Tabanı Hatanın hızı Vn Xnb Xns Hata Xz Xps Xpb Vz Unm Uns Uz Ups Unb Unm Uns Uz 189 Vp Uns Uz Ups Upm Güçlü B irin c i k a t 0 .2 0 .2 K o n t ro llü 0 Üçüncü kat 0 .4 K o n t ro llü 0 -0 . 2 -0 . 2 -0 . 4 x (m ) K o n t ro ls ü z K o n t ro ls ü z -0 . 6 3 -0 . 6 1 x (m ) -0 . 4 -0 . 8 -0 . 8 -1 -1 -1 . 2 -1 . 2 -1 . 4 -1 . 4 0 10 a) 20 t (s ) 30 -1 . 6 40 0 10 b) 20 t (s ) 30 40 Şekil 4. Birinci ve üçüncü katların kontrollü ve kontrolsüz zaman cevapları Şekil 5. Kontrol voltajı Yapısal sistem, 4 serbestlik dereceli olduğundan yapının doğal frekansları; 2.5, 7 ve 12.5 Hz civarında çakışık iki değerden oluşmaktadır. Şekil 6 -4 0 ve 7, kontrolcülü ve kontrolcüsüz durumlar için sırasıyla ilk ve en üst katın yerdeğişim ve ivmelerinin frekans cevaplarını göstermektedir. 40 K o n t ro ls ü z K o n t ro llü K o n t ro ls ü z K o n t ro llü 20 -6 0 0 [dB ] -2 0 1 1 a /F d -1 0 0 x /F d [dB ] -8 0 -4 0 -1 2 0 -6 0 -1 4 0 -1 6 0 0 10 a) -8 0 1 10 fre k a n s (H z ) 10 2 -1 0 0 0 10 1 10 fre k a n s (H z ) b) 10 2 Şekil 6. Birinci katın kontrollü ve kontrolsüz frekans cevapları 190 Yapisal sistemlerin titreşimlerinin Bulanik mantikli kontrolü -40 40 K ontrols üz K ontrollü K ontrols üz K ontrollü 20 -60 0 [dB ] -20 3 3 a /F d -100 x /F d [dB ] -80 -40 -120 -60 -140 -160 0 10 a) -80 1 10 frek ans (Hz ) 10 -100 0 10 2 b) 1 10 frek ans (Hz ) 10 2 Şekil 7. Üçüncü katın kontrollü ve kontrolsüz frekans cevapları International Conference on Motion and Vibration Control, MOVIC’96, Chiba, Japan, September 1-6, 1996, 1-6. [4] Nishimura, H., Ohkubo, Y. and Nonami, K., “Active Isolation Control for Multi-Degree-ofFreedom Structural System”, Third International Conference on Motion and Vibration Control, MOVIC’96, Chiba, Japan, September 1-6, 1996, 8287. [5] Yagiz, N., “Sliding Mode Control of a MultiDegree-of-Freedom Structural System With Active Tuned Mass Damper”, Tr. Journal of Engineering and Environmental Sciences, 25 (2), 2001, 651-657. [6] Zadeh, L., “Fuzzy Sets”, Information and Control , 8 (3), 1965, 338-353. [7] Ross, T.J., Fuzzy Logic for Engineering Applications , McGraw-Hill Inc., New York, 1995. [8] Rao, M.V.C. and Prahlad, V., “A Tunable Fuzzy Logic Controller for Vehicle-Active Suspension Systems”, Fuzzy Sets and Systems, 85 (1), 1997, 1121. [9] De Falco, D., Della Valle, S. and Riviezzo, E., “Motorcycle Traction Control System based on the Fuzzy Adjustment of Target Slip”, 2nd International Conference on Control and Diagnostics in Automotive Applications, CD AUTO98, Genoa, Italy, October 29-30, 1998, 145-154. Frekans cevaplarından da görüldüğü üzere tüm rezonans değerlerinde, bulanık mantık kontrolcülü sistemde oldukça düşük genlikli eğriler elde edilerek, başarılı bir kontrol işlemi gerçekleştirilmiştir. 5. SONUÇ Dört serbestlik derecesine sahip yapısal sistemin tüm hareketi yatay doğrultuda incelenmiştir. Bulanık mantığa dayalı kontrolcü kullanılarak, binaların deprem kaynaklı titreşimlerini azaltmak amaçlanmıştır. Yapı, kontrol cihazı olarak kullanılan doğrusal motor dinamiği dahil edilerek modellenmiştir. Daha sonra, katların yerdeğişimleri, kontrol voltajının zaman cevabı ile kontrolcüsüz ve bulanık mantık kontrolcülü yapının frekans cevapları elde edilerek karşılaştırılmıştır. Temsili depremin rahatsız ediciliğine karşı bulanık mantığa dayalı kontrolcünün tasarlanması, sismik izolasyon performansını oldukça iyileştirmiştir. Yerdeğişimi ve ivme cevaplarındaki gelişmeler de, aktif kontrollü yapıların depreme karşı uygun çözüm olduğunu göstermektedir. 6. KAYNAKLAR [1] Kelly, J.M., Earthquake Resistant Design With Rubber, Springer-Verlag, London, 1996. [2] Yoshida, K. and Fujio, T., “Semi-Active Base Isolation for a Building Structure”, Proceedings of the 1999 ASME Design Engineering Technical Conferences, MOVIC’99 CD Proceeding, Las Vegas, Nevada, September 12-15, 1999, 1-6. [3] Fukushima, I., Kobori, T., Sakamoto, M., Koshika, N., Nishimura, I. and Sasaki, K., “Vibration Control of a Tall Building Using ActivePassive Composite Tuned Mass Damper”, Third 191 Güçlü EK Kütle matrisi, [M ] = m 0 0 0 0 0 0 m1 0 0 m2 0 0 0 m3 0 0 Katılık matrisi, k 0 + k 1 [K ] = − 0k 1 0 − k1 0 k1 + k 2 − k2 - k2 k2 + k3 0 − k3 − k3 k3 0 0 Sönüm matrisi, c 0 + c 1 [C] = − 0c1 0 − c1 0 c1 + c 2 − c2 - c2 c2 + c3 0 − c3 − c3 c3 0 0 4 Serbestlik dereceli yapısal sistemin parametreleri, 5 kg co mo m1 1.7 kg c1= c2= c3 m2 1.5 kg R m3 2.3 kg Kf ko 16000 N/m Ke k1= k2= k3 2600 N/m 100 0.08 1.5 2 2 N.s/m N.s/m Ω N/A Volt Kontrol kuvveti ve bozucu kuvvet matrisleri, 0 0 0 0 [B ] = − 1 mo 1 m1 0 0 , 0 0 0 0 [W ] = − 1 mo 0 0 0 Durum denklemleri, f 1 (x) = x 4 , f 2 (x) = x 5 , f 3 (x) = x 6 , f 4 (x) = x 7 f 5 (x) = 1/m 0 [ − (c 0 + c1 ) x 4 + c1 x 5 − (k 0 + k 1 ) x 0 + k 1 x 1 ] f 6 (x) = 1/m1 [ − (c1 + c 2 ) x 5 + c1 x 4 + c 2 x 6 − (k 1 + k 2 ) x 1 + k 1 x 0 + k 2 x 2 ] f 7 (x) = 1/m 2 [ − (c 2 + c 3 ) x 6 + c 2 x 5 + c 3 x 7 − (k 2 + k 3 ) x 2 + k 2 x 1 + k 3 x 3 ] f 8 (x) = 1/m 3 [ − c 3 x 7 + c 3 x 6 − k 3 x 3 + k 3 x 2 ] 192