Olimpiyat Geometri Soruları

ALI~TIRMALAR
5.
/""---
1.
Bir ABC uggeninde m(ABC) = 100° dir. [AC] uzerin-
uzerinde
cak bigimde
/""---
m(ACE)
= m(BCE)
Bir ABC e§kenar
uggeninin
uzerinde
bulundugu
duzlemde PAB, PAC ve PBC uggenleri ikizkenar ola-
/""---
de m(DBC) = 20° olacak §ekilde D noktasl ile (AB]
/""---
A
olacak §ekilde bir E
kag tane P noktasl vardlr?
/""---
D) 6
noktasl allnlyor. m(CED) nedir?
D) 22,5°
E) 1
(UiMO-1997)
E) 25°
(UiMO-2003)
L>o.
6.
ABC dik uggeninin
AB ve BC dik kenarlan
/""---
D ve
/""---
E noktalan, m(BAE) = 30° ve m(BDC) = 45° olacak
2.
dik
IAC I
= 100 ve D noktasl da [AB] uzerinde olmak
uzere
uggeninde
=
90°,
bigimde allnml§tlr.
CD'nin
/""---
I BD I
A) ~
4
m(B)
I BC I =28,
ABC
2J2.
C) ~
D)
213
5
3
noktasl
ile AB pargasl
A)
E) ~
4
5
13 -1
B
2
D)
ABC bir e§kenar uggen, E ve D siraslyia
1
1
C) 3J2.
1
J2.-1
E)
2(h-1)
(AUMO-2003)
[AB] ve ~
[AC] uzerinde I AE I = I CD I kOfiJulunu saglayan nok- ~
/""___
araslndaki
) 213
c"
3.
, AE ve
uzakhgl bulunuz.
= 21 ise, sin(ACD) kagtlr?
B)
kesi§im
IAE I = 13, I CD I = f2 ise
/""___
E
talar ve m(DBC) = 20° ise, m(AEC) ise, kag dere-
A
~ 7.
Bir ABC uggeninde
Yuksekliklerin
D) 108
A
m(B) - m(C) = 90° dir.
©
kesi§im
noktasl
H olduguna
gore,
Alan(ABC)
.?
Alan(HBC) nedlr.
E) 110
(UiMO-1998)
A)
1
2
B) 3
2
D) ~
2
E) 2
(UiMO-2002)
4.
Bir ikizkenar ABC uggeninde, BC tabanlnln orta nok/""---
taSlni H; [BH] uzerinde allnan bir noktayl da P lie
gosterelim.
P den [BC] ye gizilen dik, AB yi M; AC yi
de N noktaslnda
kesiyor.
ise, a§agldakilerden
I PM I + I PN I
=
21 AH I
8.
~ekilde m(ABC) = 80°,
/""---
m(ACB) = 55° ve
IBCI
= 3'tOr.
hangisi dogrudur?
D, AB nin ve E de AC nin
A)
B)
C)
I BP I = I PH I olmalldlr.
I BP I = 21 PH I olmalldlr.
I PH I = 21 BP I olmalldlr.
D) Boyle bir P noktasl yoktur.
E) Higbiri
orta
noktalan
olmak
B
uzere, MD ..1 AB, MB ..1 BC, NE ..1 AC, NC ..1 BC'dir.
I MB I . I NC I saYlsl
a§agldakilerden
hangisidir?
B) 4,5
D) 4 sin 80° sin 55°
E) 6
(AUMO-2003)
ALI$TIRMALAR
1.
.•..•......
Bir ABC uggeninde m(ABC) = 100 dir. [AC] uzerin.•..•......
de m(DBC) = 200 olacak ~ekilde D noktasl ile (AB]
.•..•......
.•..•......
uzerinde m(ACE) = m(BCE) olacak ~ekilde bir E
.•..•......
noktasl allnlyor. m(CED) nedir?
5.
0
A
Bir ABC e§kenar
uggeninin
uzerinde
bulundugu
duzlemde PAB, PAC ve PBC uggenleri ikizkenar olacak bigimde
kag tane P noktasl vardlr?
D) 6
D) 22,5
E) 1
(UiMO-1997)
0
E) 25
0
(UiMO-2003)
.L>..
6.
ABC dik uggeninin AB ve BC dik kenarlan D ve
.•..•......
.•..•......
E noktalan, m(BAE) = 30 ve m(BDC) = 45 olacak
0
0
2.
ABC
dik
uggeninde
m(B)
=
0
90
CD'nin
I AC I
= 100 ve D noktasl da [AB] uzerinde olmak
.•..•......
uzere I BD I = 21 ise, sin(ACD) kagtlr?
B) 2.J2
A) ~
4
C) ~
5
3
D) 2J3
5
kesi~im noktasl
I CD I =
J3,
bigimde allnml~tlr. IAE I =
I BC 1=28,
,
ile AB pargasl araslndaki
uzakllgl bulunuz.
A)
E) ~
4
J3 -1
B)
C)
1
2J3
2
E)
2(~3-1)
(AUMO-2003)
c"'"
ABC bir e~kenar uggen, E ve D siraslyia
[AB] ve
1
3.)2
1
D) .)2-1
3.
J2 ise , AE ve
E
[AC] uzerinde I AE I = I CD I ko~ulunu saglayan nok- ~
.•..•......
.•..•......
talar ve m(DBC) = 20
0
E
ise, m(AEC) ise, kag dere-
A
~ 7.
Bir ABC uggeninde
A
0
m(B) - m(C) = 90 dir.
©
cedir?
Yuksekliklerin
D) 108
kesi§im
noktasl
H olduguna
gore,
Alan(ABC) nedir?
Alan(HBC)
E) 110
(UiMO-1998)
A)
1
2
D) 3
B) ~
2
2
E) 2
(UiMO-2002)
4.
Bir ikizkenar ABC uggeninde, BC tabanlnm orta noktasml H; [BH] uzerinde alman bir noktayl da Pile
gosterelim.
8.
P den [BC] ye gizilen dik, AB yi M; AC yi
de N noktasmda
kesiyor.
ise, a~agldakilerden
I PM I +
I PN I = 21AH
I
.•..•......
$ekilde m(ABC) = 80
.•..•......
m(ACB) = 55 ve
0
,
0
IBCI = 3'tClr.
hangisi dogrudur?
D, AB nin ve E de AC nin
A)
B)
I BP I
I BP I
= I PH I olmahdlr.
orta
= 21 PH I olmalldlr.
uzere, MD ..1 AB, MB ..1 BC, NE ..1 AC, NC ..1 BC'dir.
C) IPHI = 21BPI olmalldlr.
noktalan
olmak
1MB 1 . I NC 1 saYlsl a§agldakilerden
hangisidir?
B) 4,5
D) Boyle bir P noktasl yoktur.
E) Higbiri
B
D) 4 sin 80 sin 55
0
0
E) 6
(AUMO-2003)
9.
Bir ABC u<;genin [AC] kenan uzerinde altnan H nok-
13. ABC,
(m(B) = 90°) u<;geninde [AC] kenannln orta
taslndan AB ye <;izilen parelel dogru, BC yi 0 nok-
noktasl 0 dir. ABO ve BOC u<;genlerinin <;evrel <;em-
taslnda kesiyor. [BO] uzerinde ahnan bir E noktasl
berlerinin yangaplan siraslyia x, y ve ABC u<;geninin
ile A dan ge<;en dogru, HO yi F de kesiyor.
IABI
=
gore,
=
6, IBCI
=
12, IHOI
10FI
=
kenar uzunluklan
30lduguna
a, b, c ise
x
y
a§agldakilerden
hangisidir?
IED I nedir?
Z
D)
B) ~
2
A)~B)~
b
E) 4
2
C) c
b
a
.Jb
D)
E) ~
a
c
(UMO-1993)
(UiMO-2003)
10. Bir ABC u<;geninde [AB] , [BC] ve [CA] ntn orta noktalan siraslyia
-------
C', A' ve B'; A dan BC ye inilen dik-
m(BCO) = 90°,
menin ayagl H dir. I NC' I = 6 olduguna gore,
I B'H I
IABI = 4 ve
nedir?
D)
ICOI = 213
612
E) 7
ise
IAE
(UMO-2002)
I
a§agldakiler-
den hangisidir?
;:
c'">.
~
-'"
'"E
A) ~
3
.0
11. Bir ABC
u<;geninde
kenarortaylar
Ave
B ko§elerinden
dik olarak kesi§mektedir.
I AC I = 9 olduguna
gore
<;izilen ~
I BC I = 7,
©
IAB I a§agldakilerden
hangisine e§ittir?
15. ABC u<;geninde,
D)
J25
E)
126
(UMO-1993)
m(CDA)
=
=
2ex,m(ACB)
=
D) x2
ABC
=
I AC I,
0
ex, I CD
E
[BC],
I=
x, lOB
I=
2,
ICA I = y ise x ile y arastnda hangi bagtntl vardlr?
A) y2 - 2x
12. §ekilde
I AB I
4
+ y2
B) Y - x
=
4
C) x2
=
2y
+
2
E) y2 - 4x2 = 1
= 4
ikiz-
(UMO-1994)
kenar u<;gen olup,
m(A) = 120° dir.
x, y dogrulan
slyia
slra-
[AB] ve [AC]
16. i<;teget <;emberinin merkezi I, aglrllk merkezi Golan
nin orta dikmeleri,
x n [BC] = {O},
olduguna gore
ABC u<;geninin kenar uzunluklan siraslyia 15, 21 ve
y n [BC]
9 olduguna gore
I GI
I
ka<;tlr?
I DE I kagtlr?
D) 12
E) 8
(UMO-1993)
A) ~
2
C) 3
2
E)
212
3
(UMO-1994)
17. $ekilde
F, [AC]
orta noktasl, 0
E
20. $ekilde
nln
ninin
[BC] /
ABC
kenarlanna
taslndan
n
{E} = [BF]
dik
uggeK nok-
indirilen
dik-
melerin ayaklan 0, E, F dir.
[AD] dlr.
IBCI = a,
lOCI = 4IBDI,
Alan(DCFE)
ICAI = b, IABI = c,
= 42 ise
=
ICDI
Alan(ABE)
=
x, IAEI
y,
ne olur?
I BFI = z ise,
D) 15
E) 12
(UMO-1995)
E) c2
D) b2
(UMO-1996)
21. m(A) < 90° olan bir ABCD paralelkenannln
kenanna
18. $ekildeki ABC u<;:genin-
dogrusunu
/'-..
de, m(ABC) = 45°,
=
IABI
/'-..
m(ACB) = 75° ve
"
kesi§im
A)
glkilan
[BC]
dikmenin
AB
kestigi nokta E olmak uzere,
ICEI
8J5 +
=
2\BCI
C
B
26
D) 2J1O
J:J
noktasl H ise IAH I a§agldakilerden
noktaslndan
2-/2 ise, IACI2
=
+
2
IDEI
kagtlr?
'";,
~
"'"
'"
IBCI = 6 dlr.
Yuksekliklerin
C
B) 4J1O
+
+
16
26
C)
+
E) 2-/2
~
4J5 +
16
36
(UMO-1996)
N
@
hangisidir?
D) 2-/2
E)
16
(UMO-1995)
22. Kenar uzunluklan
I BC I
olan bir ABC uggeninde
=
a, I CA I
+
3m(A)
=
b, IAB I
=
c
m(S) = 180° ve
3a = 2c ise, b nin a cinsinden degeri a§agldakilerden hangisidir?
3a
A)
-
C) a-/2
B) 5a
2
D)
aJ3
4
E) 2aJ3
3
(UMO-199S)
19. $ekilde
geninin
[BE, ABC ug
bir ig aglortayl
23. Yuksekliklerinin
[AD ise bir dl§ aglortaydlr.
DE dogrusu
dogrusunu
F
ABC uggeninde
AB
talanndan
nokta-
kesi§im noktasl H olmak uzere, bir
=
m(S) = m(C)
gegen
gemberin
ex ve A, H, C nok-
merkezi
aglsltlln a cinsinden 61gusu nedir?
slndan kesmektedir.
B) 90°
+ c:!:
2
D) 180° - c:!:
D) 88°
E) 84°
(UMO-1995)
2
0 ise, HOC
/'"--
24. ABC dar a~1I1bir u~gen, 0 ve E siraslyia [AC] ve [AB]
/'"--
/'"--
=
uzerinde m(ADB)
-
=
m(AEC)
layan noktalar; AED u~geninin
28. Bir ABC u~geninde [BD] kenarortay, m(ABD)
90° ko§ulunu sag-
IAB
I=
2 ve IAC I
=
I BC I
6 ise
~evresi 9 ve ~evrel
D) 4)'2
~emberinin yan~api ~ olmak uzere, ABC u~geninin
5
~evresi 15 ise, I BC I a§agldakilerden hangisidir?
B) 24
5
D) 8
I BC I
25. ABC bir u~gen;
E) 48
5
(UMO-1995)
> I BA I ve 0 bu u~genin
/'"--
i~ bolgesinde
= m(DBC)
ko§ulunu
/'"--
= 150°
.
/'"--
m(DAC) = 60° ise, m(BAD)
/'"--
ve
ka~ derecedlr?
D) 75
[BC] nin orta nok-
IABI = IAEI ve IACI = 31ABI
sag-
/'"--
layan bir nokta olmak uzere, m(BDC)
= 90°,
tasl 0, [AC] nin bir noktasl E olmak uzere
-
/'"--
m(ABD)
216
E)
(UMO-2000)
29. ABC bir dik u~gen, m(A)
1
= 90°,
nedir?
ise, m(AED)
ka~
derecedir?
A) 105°
B) 120°
C) 135°
D) 140°
E) 150°
(UMO-2000)
E) 80
(UMO-2000)
26.
I AB I = IAC I = 10 ve
usWnde I BP I = I RC I = 3 ola-
ABC ikizkenar u~geninde
I BC I =
12 dir. [BC]
cak §ekilde P ve R noktalan alinlyor. S ve T slraslyla
AB ve AC nin orta noktalan olmak uzere, PT ye S ve
R den inilen dikme ayaklan,
M ve N ise,
I MN
I
IAB I
A) 9
+
I BD I +
B)
I DC
613
I
= 12 ise,
IACI
D) 6
C) 8
ka~tlr?
A) 9m
26
nedir?
E) 6)2
(UMO-2000)
B)
12-2m
5m+20
C)
13
13
E)
D) 1513
10m
--
13
(UMO-1999)
31. Bir ABC u~geninde
/'"--
27. ABC u~geninde m(BAC)
dir. [AC] usWnde
=
/'"--
10° ve m(ABC)
IAX I = I BC
/'"--
noktasl alinlyor. m(BXC)
I
IAC
=
150°
olacak §ekilde X
.
ka~ derecedlr?
I
IAB
I =
5,
I BC I
=
9
ve
= 8 dir. BAC nln a~lortaYI BA yl X noktaslnda,
CAB nln a~lortaYI BC yi Y noktaslnda
AC dogrulannln
kesiyor. XY ve
kesi§tigi nokta Z olmak uzere,
I AZ I
nedir?
D) 30
E) 35
(UMO-1999)
D) 9
E) 10
(UMO-2002)
~OZOMLER
1.
Soruda
verilenler
A
4. A. I BP I = I PH I igin
§ekil-
deki gibidir.
I PM I = x =>
N
IAH 1 = 2x
/"--.
m(DBC) = 20° =>
/"--.
olurve
buradan
/"--.
m(DBA) = m(ABQ) = 80°
I LM I = I LN I = 2x olaea-
olur. BCD uggeninde
gtndan,
BA
ve CE siraslyia dl§ aglor-
C
tay ve ig aglortay oldugundan
0
A
1PM I
[DE] de dl§ aglortay-
+
I PN I = 21AH I
e§itligini saglamaz.
dlr. Bir uggende bir ig aglortay ile bir dl§ aglortayln
B. IBPI = 21PHI igin,
belirttigi diger agtntn (burada B aglsl) yansl oldugun-
IPMI
/"--.
dan m(CED) = 10° bulunur.
= 2x =>
olur ve buradan
I PM 1 +
IAHI=3x
I LM I
I PN I = 21AH
I LN I
=
I
= x olaeagtndan,
e§itligini saglamaz.
C. IPHI = 21BPI igin, IPMI
= x
=>
IAHI = 3x
olur ve buradan 1LM 1 = I LN I = 2x olaeagtndan,
I PM 1 + I PN 1 = 21AH 1 e§itligini saglamaz.
D. INMI = 4x igin
2.
$ekilde
goruldugu
gibi, ABC
uggeni 7, 24, 25 dik uggeninden
IAB I
1MP 1 = 2x olsun.
1AH 1 = 3x olmahdlr. Bu da, 31 BP I
A
a halde,
IPH I igin
saglanlr.
= 96 em olur.
IBDI = 21 ve IADI = 75 em
0
dir. I CB I = I DB I oldugundan
ICAI
IADI
[DC], ACB aglstnln aglortayldlr
/"--.
B
28
/"--.
ve buradan m(BCD) = m(DCA) ve I DC I = 35 tir.
a
/"--.
/"--.
3
halde, sin(ADC) = sin (BCD) ="5
bulunur.
C
5.
$ekilde
goruldugu
P1
/T'.....
gibi, AC kenartnl ele
~~~~:~~~:~iii
~r
uzatlrsak,
meydana
B
C
gelen BP1C uggeni aranan uggendir. Vine B ko§e-
3.
"""""""
"""""""
EAC,,= DCB
sine ait yuksekligi AB kenan kadar AC yonunde uzatlrsak istenen durum gergekle§ir. Oguneu bir durum
(K. A. K. uggen e§ligi)
/"--.
ise AC kenan uzerine dl§a dogru bir kenan AC olan
m(ECA) = 20° ve
e§kenar uggen gizilirse istenen durum gergekle§ir.
m(A) = 60° oldugundan,
Og kenar ve ko§e oldugunda
9 tane durum gergek-
le§ir birde uggenin iginde aglrllk merkezi bu durumu
saglar boyleee toplam on farkh P noktasl bulunur.
6.
8.
Soruda verilenler §ekildeki gibi olup,
30° -
dik
uggeninin
uggenin
lerinden
1
-2 , lOBI
=
IBEI = ;;
§ekil-
B ve C ko§esiraslyia AC ve
AB kenarlanna
ozelliklerinden,
IAOI
verilenler
90° ve
60° -
ikizkenar
Soruda
de yerlerine yazlllp, ABC
=
inelim.
1
1-
a
Bu
dikmeler
dikmelerin
ayaklan siraslyia H ve H' olsun.
E
,
J3
1--
C
2
Bu benzerliklerden;
I EC I = 1 - .J3
2
bulunur.
DHP ikizkenar dik ugge-
--
~
Q
INCI
2
=~
.J3
~
1+2a
2
.J2
IMBI = 3c .
2.b
l+a
2
~=.J2
ve
~
~
AHP - ABE benzerleginden,
_2_
3
-C
~=.J2
IMBI
~
b
= 2.J3a
ve
.J2 den
INCI = 3b .
c.2
.J2. 3b . .J2 = 4,5bulunur.
ve
IMBI.INCI = 3C .
2.b
2.c
2
a = __ 1_
2.J3 -1
bulunur.
Cevap E
.•
;:
c:>.
~ 9.
.•
"",Q
E
~
@
Soruda
verilenler
§ekildeki
gibi olup [HD] II [AB] ve
I HD I
=
I AB I
gundan
oldu-
I BD I = I DC I dir.
[HO] II [AB]
(AA
= 3
2
~
~
benzerlik
21 DFI = IABI
durumda
~
ABE - FOE
teoremi)
ve
= 6 dlr. Bu
I BE I =
I ED I = x ve
F
2x olur.
G halde, I ED I = 2 dir.
A
A
m(B) - m(C) = 90°
~
m(B) = 900+m(C)
$ekilde
goruldugu
dir.
gibi
[AC] gaph F ve D nokta-
10. A' ve C'
noktalan
ABC
lanndan gegen bir tek gem-
uggeninde
siraslyia
[BC]
ber oldugundan
,..--....
,..--....
m(FAD) = m(FCD) = a olur.
ve [AB] kenarlannm
noktalan oldugunda,
G halde, AHC uggeni ikizkenar uggendir ve
~
IAF I
O~genler
=
I FH I oldugundan,
orta
A(A!.C) - 1 olur.
A(HBC)
A'C' II AC ve
IACI = 2IAC'1
dur.
IB'AI = IB'CI ve
,..--....
m(AHC) = 90° oldugundan
B
A' H
C
1B'H I = 6 bulunur.
.__
61
11. Bir dik Oggende
dik
k6~eye
ait
kenarortay hipote-
nun
yansl
b
b
nOsOn uzunlugu-
2 x=
oldu-
2
sin(90-
2Y=_,_2_
sin a
a)
gundan, yukandaki ~ekilde kenaror-
~ = sin a = tan a = ~ = ~
y
cos a
a
B
a
tay teoreminden,
a2 + b2
c2
2
+-
= 2V~
81+49 = 2(3x)2+_-
130 = 20x2
I AB I =
2
x=n
=?
J26
(2X)2
14. ABC e~kenar Oggeninin yOksekligi
413
2
bulunur.
Cevap E
tOr. m(BCb)
= 90° ve I CO I =
2J3
yani
2J3
oldugundan
...c.. ...c..
lOA] II [BC], AEO - CEB (A. A, Benzerlik teoremi)
12. m(l\) = 120° ve
oldugundan
IABI = IACI,
x ve y orta
Buradan,
dikmeler ise,
I AD I =
/'-..
dir.
1EC 1 = 21AE 1 bulunur.
31AE I = 4 oldugundan
IAE
I
= ~
3
dOr,
/'-..
IAE I ve m(EOA) = m(OEA) = 60° oldugun-
dan, I BO I = I DE 1 =
13.
1AD 1= ~
IBCI
2
I EC 1
=?
24 = 8 bulunur.
3
~oziim 1
Kenar uzunluklan
a, b,
c ve gevrel gemberinin
yangapl
Rolan
Ogge-
nin alanl
A = _a_, _b_. _c
4.R
d'
Ir.
...c.. ...c..
ABO - CBA (A. A. benzerlik teoremi) oldugundan,
I BO I = 1AB I
I BA 1 I CB I
c.
-----
b
16.x
a.
b
16.y
=?
=?
~
y
= _y_
x+ 2
16. Aglortay teoreminden
I BD I = ~
IDCI
7
15
dog-
rusal oldugundan,
[BE
ve [AD siraslyia ig aglor-
3
x=2
=>
9
I BD I = -
yani
=
=> 10x
19. B, C, D noktalan
tay ve dl$ aglortay
CF ig aglortaydlr.
uggeninde
olup yine
2
F noktaslna
gore, Meneleus teoremini sagllyorsa
tay oldugundan
L::..
1=
I AI
IIDI
2 dir. Aglrllk
L::..
AIG ~ ADE (A. A. Benzerlik teoremi)
ig agl ve dl$ agl teoreminden,
x(a+b)
--ICDI = ---
.
=> dl$ aglortay teoremlnden
IDBI
CD 1
I DB I
1
b
.
I
I
BF I
FA I
3
=> IIG 1
= 2 bulunur.
b
oldugundan
17. FBC uggeninde A nokta-
. 1
1
AE I = 1
EC 1
0 halde,
=> x(a+b).
I IG I
3
~ =
bu hipo-
tezimiz dogrudur.
merkezinin
I AG I = 2 ise [IG] II [BC] dir.
IGEI
ozeliginden
ise
ABC
__ a_.
x(a+b)
bx = 1
ax
[CF, ABC uggeninde
ig aglortayl oldu-
A
slna gore Meneleus teoreminden,
I AF I I DC I I BE I
I FC I . I BD 1 . I EF I
=> 21BEI
= IEFI
L::..
=>
A(BCD) = 48
L::..
L::..
A(BED) = 8 ve A(EFC) = 108 olur.
Buradan A(DCFE) = 148 = 42 => 8 = 3 olur.
L::..
L::..
A(ABF) = 158 ve A(ABE) = 38 = 15 bulunur.
/'0-.
0
ve m(DAC) = 75
(30
60
0
0
,
90
0
,
)
uggeninCarnot Teoreminden,
den
I AB I =
2a => IAE
I BE I = a)3
ve
L::..
I=
(a - X)2 + (b - y)2 + (c - z)2 = x2 + y2 + z2
a
a2 - 2ax + b2 - 2by + c2 - 2cz = c
olur.
L::..
AHE ~ BCE (A.A. Ben-
pisagor teoreminden;
zerlik teoremi)
2c2 = 2ax + 2by + 2cz
I AH
6
1
= _a_
aJ3
oldugundan,
=>
I
AH I
=
2)3
bulunur.
a2 + b2 = c2
c2 = ax + by + cz bulunur.
22.
.L>..
$ekilde
gbruldugu
P, ABC iginde bir nokta
gibi [CD] aglortayl igin
olmak
ACB
.L>..
uzere P nokta-
.L>..
-
COB
slndan ABC uggeninin,
Benzerlik
kenarlanna
oldugundan,
dikmelerin
(A. A
teoremi)
ayaklan 0, e ve F ise,
3k =~=>
2k
1 BD
IBDI=
IBDI = ~k
3
I BD I = ~
IDAI
b
.L>..
21. Soruda verilenler dogrultusunda
.L>..
KDC - KAE (A. A.
Benzerlik teoremi)
-------
23. HOC
~k
3
I
=> IADI = ~k
3
=> ~ = ~
5
b
merkez
oldugundan,
olup
bulunur.
b = 5a
4
bulunur.
agl
blgu-
su, HC yaYln1 gbren
-------
merkez
agl,
HAC
aglslnln
blgusunun
2 katlna e:?ittir.
IKCI
2J2
I KC I+2J2 2J2 + J10
24. Bir uggende
=> ~
+MIKCI=
IKCI=_8_=
4M
M
.L>..
~
+8
=> IKDI=
2M
5
olur.
5
yuksek-
likler bir noktada kesi:?irler ve BDEC
geni
dbrt-
kiri:?ler dbrtgeni
.L>..
EKD ve CKA dik uggenlerinde
Pisagor teoreminden,
oldugundan
-------
-------
-------
-------
m(ACB) = m(ADE) ve
2
IACI =(
4~r
2
I DE 1 = (4~r
+(2~
+J2 r
m(ABC) = m(AED).
+( 4~
+2J2 r
(A. A. Benzerlik
teoremi)
olup
benzerlikleri
oran
gevreleri oranlna e:?it olacaglndan,
1
AC
2
1
2
+ I DE 1 = 16+2(
2~
+ 8~J+10
IADI
3
1 AC 1 = 5
ve ADC dik uggeninde
inen, lAD 13k,
lAC
I
= 5k
Pisagor teoremise,
1DC 1 = 4k
..c..
..c..
27. [AC] uzerinde
ADK - CDB (A. A. Benzerlik teoremi) nden
IADI = IBDI
IAKI = (ffap = ~
5
olacak §ekilde bir
18
IAD I . IAK I
ICDI
ICBI
=> ~
=
5
IBCI
4
=>
I BC I = 72
15
D noktasl
= 24
5
/'..
/'..
m(BAC) = m(ABD) = 10° olur.
=
=
Bu durumda
IADI
IDBI
IBCI
olacaglndan
D = X oldugu s6ylenebilir.
25. [BA] nI A yonunde
28. ABC
I BCI = I BFI olacak
§ekilde
u(ffgeni
soruda
F noktaslna
i(ffin
verilenler
FBC
yandaki §ekildeki gi-
u(ffgeninde [BD a(fflor-
bidir. ABD dik u(ffge-
tay oldugundan
ninde Pisagor teore-
kadar uzatallm.
FBC
u(ffgeni ikizkenar
dugundan
01-
[BH] yuk-
"
FADC bir kir-
i§ler dOrtgenidir.
/'..
+
/'..
m(DFA)
60° - x
+
x
=
60° bulunur.
~/
15
...
'$
<II
IBDI =
~
HC II BD dersek
E
I HC I
l
~
.a
=
..........
c
minden,
sekliktir. ikizkenar u(ffgen 6zeliklerinden
m(ADF)
A
~
@
ve
= 215,
Pisagor
.
H
I BH I
=
teoreminden,
2 olup BHC dik u(ffgeninde
I BC
1
=.J4 + 20
= 2.J6
bulunur.
26. Soruda
verilenler
kildeki
gibi
§e-
(ffizilirse,
PRTS paralelkenardlr
ve ABC ikizkenar
dugundan
d6rtgendir
01-
PRTS di~
ve·
m(A)
= 90°
IBDI
=
=
IABI
PTR u(ffgeninde Oklid baglntlslndan,
ITRI2
=
ITM I . ITPI
I MN I = 2113 - 2 . ~
=
=>
16
=>
ITMI
2M
=
IDCI => IADI
=
IAEI
IEFI
= IBDI = IDCI;
= IFCI ..c..
= 2a dersek,
ikizkenar u(ffgen oldugundan
ve I EG I =
=~
n1nln [AC] ve [BD] kenarlarlnln
2M
bulunur.
1
ADC
EDF ni de ikizkenardlr
ITM I .2113
10M
13
ve
..c..
GF 1 = a olur. G ve D noktalarl ABC
orta noktalarl
[GD] II [AB] ve [GD] = a dlr. 0 halde,
ise,
30. Soruda
verilenler
A
§ekildeki gibidir.
[AB] 1.. [BO] ve
[BO] 1..[DC] ,
I BO I
= x
B·
dersek
1
lOCI = a
a:
i<;:in
IABI = x - a olur.
lB
+ A(BDC)
A()\Bb)
+~
= x(x-a)
2
=> x2
.
x
H
C
= 18
2
= 36 ve X = 6 olur. AHC u<;:geni ikizkenar dik
u<;:gen olup
I AC I
31. ABC u<;:geninde,
= 6)2 bulunur.
Z
a<;:lortay teoreminden,
IAXI_8
IXBI-g'
IBYI
IYCI
=~
8
oldugu
a<;:lktlr. Z
noktaslna
gore
B
51
Y
81
----;-
ABC u<;:geninde Meneleus teoremini uyguladlglmlzda, IAZI = x i<;:in
--
x
x+8
8 9
5 8
. - . - = 1 olur ve
C
~oziim
DEFA e§kenar
dort-
gen oldugundan,
~
~
m(EFD) = m(DFA) ve
IEKI = IAKI
dlr.
EFC uggeninde aglortay teoreminden,
$ekildeki
IEKI
IEFI
.
I KC I = I FC I yanl
IAK I
IKCI
=' EF I = m
IFCI
a
a(1+.J2)
dir.
-
ABC ve ADB dik uggnleri
verilmi§tir.
IABI=~
IBCI 2'
IFCI
I EF I -
BCAD dortgeninde,
.J2 -1
IADI=~
4
ve
lOCI
= 13 alduguna
gore
I DB I kagtlr?
=m
Ornek 16
ABCD dortgeninde
ko§egenlerinin
AC ve BD
orta
noktalan
siraslyia Eve F dir. M, E, F ve
N noktalan dogrusal olduguna
..
gore,
IDMI_INBI
I MA I-I CN I
oldugunu
$ekilde goruldugu
gibi [DB Inlna C den inilen dikmenin
A
ayagl K olsun.
gosterelim.
""""""-
""""""-
ADB ~ BKC (AA
IADJ
__
I
IBKI
lOBI
1
_
= -= - oldugundan
ICKI
2
IBKI = ~
2'
(x
[AB n [MN = {K}
uggenlerinde
alsun. K naktasma gore DBA ve CBA
siraslyia Meneleus tearemi uygulanlrsa,
I KB I . I MA I . I OF I = 1 ve
IKAI IMDI IFBI
I KBJ . IAE I . I CN I = 1 alup
IKAI IECI INBI
her iki e§itlik taraf tarafa aranlandlglnda,
IDMI_INBI
I MA I-I CN I bulunur.
+
benzerlik tearemi)
~)2
2
+
IKCI = 21DBI = x olur.
(2X)2 = 169 ve x = ~
2
bulunur.
Ornek 1:9
$ekilde,
EFCD deltoid
I DE I oranl x, y cinsinden nedir?
lEAl
~ozum
EFDC deltoid oldugundan,
~
::c:"D
I = 21AE lise,
/"'0..
/"'0..
m(FDE) = m(FDC) ve
_A_(_A_BC_)_
kagtlr?
A(DEFG)
IDEI = lOCI = x olur.
/"'0..
m(AFD) = a
+ 0 =>
/"'0..
/"'0..
m(FDE) = m(FDC) = a
=x
IDEI
ve
IAEI
~ IDEI =_x_
olur.
+ 0
= v-x
>:
;
~ •• de G ko§esinden
~
~
:,s_n. AED :'" HGD
[CA] na inilen dikmenin
(AKA.
e§lik teoremi)
v-x
IAEI
ayagl H
~
ve CHG ni
I4z"enar dik Oggendir.
2
.!. .!.3C) = 25a
2
~
ve A(DEFG) = 5a2 =>
A(ABC) = ~
A(DEFG)
2
Ornek 20
$ekilde ABCD dl§bOkey
dortgeni iginde,
[AM] .1 [MOl,
[BM] .1 [MC],
IAMI = IMDI,
IBMI = IMCI ve
IAP
I
= I PB I dir.
/"'0..
P, M, 0
noktalan dogrusal olduguna gore m(POC) = a
kag derecedir?
·
1.
ALiSTIRMALAR
$ekildeki ABCD dortgeninde
4.
D
C
/'..
m(A) = 90°,
/'..
m(DAB) = 2m(ABC),
A
olduguna
m(C) = 90°,
AB II DC,
Bir ABCD yamugunda,
A
gore,
IADI = lOCI
IBe I
= 1, IABI = 3
nadir?
A
m(B) = 135°
A) ~
2
D) ~
5
E) ~
5
IABI =1 em,
IBCI
=
J5
(UiMO-2003)
3J2
em olduguna
gore I DB I kag em dir?
A
B
D) 5J2
E)
4J2
(UiMO-1996)
5.
Bir ABCD dikdortgeninin
igin,
2.
ABCD yamugunda
ICDI
==
11,
AB II CD, IAB I
IADI
==
5
=
3, I BC I
=
7,
tir. CD ye paralel bir d
dogrusu, yamugu, gevre uzunluklan e~it iki yamuga
c'"
E
I PB I
ig bolgesinde
bir P noktasl
= 5, I PC I = 10 ve I PO I = 14 ise, I PA I
nedir?
2
D) 14
E) 15
E
~
(UiMO-2002)
@
ayJrlyor, d dogrusunun
,
IAEI
d'?
Ise I ED I ne Ir.
A)
i
[AD] kenannl kestigi nokta E
B) 5
1
4"
0)
E)1
(UiMO-2001)
6.
3. AD nin BC ye paralel oldugu bir ABCD yamugunda
IAD
I=
1 ve
I BC I =
ko~egeni
kesiyor.
IAP I: I PB I = 2:3 ise,
I PQ I kagtlr?
uzerinde
4
C) ~
3
D) ~
2
E) ~
5
(UiMO-2002)
bir
E noktasl;
karesinin
[AB]
[AC]
kenan
I AE
I=
I EF I
=
I FB lise, CEFB dortgeninin alan I
kagtlr?
B)
A) ~
B) ~
1 olan bir ABCD
uzerinde de bir F noktasl alinlyor.
2 dir. Yamugun [BC] tabanlna
paralel olan bir dogru, [AB] kenannl P; [CD] kenann!
ise Q noktasinda
Kenar uzunlugu
D) 1-
J2
2
-If
C)
E)
j2 -
1(4-J2)
8
(UiMO-2002)
1
7.
Bir ABC uggeninde
I AC I
= 2
0
m(A) = 90
IABI
,
ff2
=
10. $ekilde,
ve
olmak uzere, bu uggenin dl§lna dogru
BEDC karesi kuruldugunda,
[AF] n [BC] = {G}
karenin merkezi F,
I BG I
ise,
a noktasl
bu be§genin
merkezi
ve
kagtlr?
B) 2J3 - 1
J3
D) 4 -
+
C) 2
E) 5 -
duz-
gun be§gen,
IPAI
A) 6 - 2J3
ABCDE
J3
=
1
3 B
lOBI
IAEI dir.
212
Buna gore OPO agisl
(UMO-1999)
kag derecedir?
D) 50
E) 60
(UMO-1993)
8.
Bir ABCD karesinin [AB] ken an ustunde bir K nOk-
11.
tasl, [BC] ken an ustunde de bir L noktasl allnlyor.
I KB I
IAK I = 3,
= 2 ve
K nin DL dogrusuna
uza-
khgl 3 ise, I BL I : I LC I nedir?
.J3
B)
A) ~
2
8
E)
D) 3
8
C) ~
7
h
2
"
'"
I
~
""
'"E
'"
$ekilde ABCD
(AB II CD) bir yamuk,
ko§egenle-
rinin kesi§tigi nok-
.D
ta E dir.
N
@
L:>o.
L:>o.
Alan(ABCD) - Alan(DEC) = 5 olduguna gore,
D) 6
E) 4
(UMO-1993)
D
= 480,
/'0.
m(D) = 138
A
0
IABI
=
E
B
,
=
21DCI
olduguna
C
/1 \
bir yamuk
m(B)
F
gore,
4a, IAEI
=
IEBI,
IDFI
I EF I a§agldakilerden
=
IFCI
12. Bir dik uggenin dik kenarlan x ve y birim uzunluktadlr. Bu dik uggenin hipotenusu
bir kare giziliyor.
hangisine
Uggenin
uzerine dl§a dogru
dik ko§esi
ile karenin
merkezi arasmdaki uzaklik nedir?
e§ittir?
B) 3a
2
C)
2a
3
a
2
D) -
E)
a
(UMO-1993)
A) x+y
2
B) x+y
h
C) ~x
+Y
2
D)
JXY
2
E)
!:'L
h
(UMO-1995)
17. En az bir kenanntn uzunlugu 1 alup, tUm ko§eger-
13. Bir ABCD karesinin [AD ve [CD] kenarlan uzerinde
/'-..
lerinin uzunluklan tam sayliar alan bir dl§bukey <;ak-
siraslyia K ve L naktalan m(DAL) == 30° ve
genin en <;ak ka<; kenan alabilir?
/'-..
[CK] n [AL] == {P}
D) 10
almak uzere m(APB) ka<; dere-
E) Hi<;bir
(UMO-2001.
cedir?
14. Kenar uzunlugu 4 alan bir ABCD karesinde E, [AB]
kenanntn arta naktasldlr.
almak uzere,
I EM I
+
M naktasl
[AC] uzerinde
I MB I taplamlnm
tam saYI
yapan ka<; farkli M naktasl vardlr?
D) 3
E) 2
18. $ekilde
(UMO-1998)
IAD
I
== 2 .
I DC I ;
[Be]..l [DC],
;;:
c">.
~
...
"E
.0
~
A
A
15. ABCDE dl§bukey be§geninde m(B)
m(C) == 120°, IABI == 2, IBCI == ICDI ==
I ED I == 1 alduguna gore,
A) 3)3
232
B) 2)3
16. Kenar uzunlugu
IAE I
C) ~
b ve
D)
a alan duzgun
c
ise,
13
.
a<;ISlntn 61<;usu ka<; dere-
cedir?
ve
13 -
1
E)
dl§bukey
13
dakuz-
uzunluklan
a§agldakilerden
hangisi
/'-..
19. Bir ABCD e§kenar dortgeninde
dagrudur?
A) b ==
gore m(ADB)
U
nedir?
genin en klsa ve en uzun ko§egenlerinin
siraslyia
/'-..
alduguna
@
== m(D) == 900,
2 _
a+ c
C) b ---
2
E)
c2
==
a2 +
a2 +c2
2
b2
(UMO-2001)
'7
m(ABC)
== 40°,
[BC] nin arta naktasl Eve A dan DE ye inilen dikme/'-..
nin ayagl F ise, m(DFC)
A) 100°
B) 110°
nedir?
C) 115°
D) 120°
E) 135°
(UMO-2002)
tOzOMLER
:AB] ve [DC]
kenar-
3.
D
annl siraslyia B ve C
}bnunde
C
$ekilde PO II BC ve
I AP I
uzatallm.
""""""
7
jGgen
oldugu
.C
·········... 3./2
gorul-
I
D ko§esinden AB ye Gizilen
DE paraleli
iGin
= 7 olduguna
A18
4·~~····
..
.................................. /..::.
6
E
I FO I = ~ = ~
I EC I 5 1
""""""
gore ADB dik uGge-
I PO I =
BEe
I BE I
PBEF paralel kenar ve
"'1ektedir. I BE I = 6 ve
AD
: I PB I = 2 : 3
IFOI_ 2
I EC I -"5 olur.
=>
DAE nin ikizkenar dik
D
=
I EC I
= 1 olur.
=> x = ~ ve
5
1+ ~ = ~
bulunur.
ninde Pisagor teoremini uygulayarak,
P:~
AB II DC ve
IADI = IDCI
A
oldugundan;
/'-.
/'-.
3
/'-.
m(DAC) = m(DCA) = m(CAB) dir.
[EF]
II
~
=>
[DC]
=>
1
1 -
x
5-x
1
.
1
dlr.
I = x dersek,
= 1BF I=>·
1BF I =
m(CAB) = m(ABC) olur.
/'-.
3
BF
I BC
I _
~
...-.......
=>
o halde, DAC ~ DAB (AA Benzerlik teoremi)
~ = 1 => IBC 1 = x = 13 bulunur.
[AB] II [EF] II [DC]
AE
1 AD
~
m(DAB) = 2m(ABC)
[AB] II [EF] II [DC] olur.
1
B
IAE
~
5
7
jFCj=7-
7x
35-7x
5=-5-
yevre(AEFB)
=> x+3+
7x
ve
5
bulunur.
= yevre(EDCF)
7x=5_x+11+35-7x
5
5
dir.
Bu e§itlikten 12x + 15 = 80 + 35 - 12x ve
24x = 100
100
=> x = ~
ve
I AE I _ x _ 100 _
1ED 1- 5 - x - 20 -
I ED I = 20
24 olup,
A
ABCD dikdbrtgeninde,
I
5 bulunur.
PAI2+
I
PDI2=
52 + 142 = 102 +
1
PB 12+
I PAI2
I
PC 12 oldugundan,
dir. 0 halde,
I PAl
= 11 olur.
~
/'...
6.
8.
s(BAC) = 45° ve
ise
I AK I - I KT I
(1 + J2) = 1 elde edilir.
1
X=--=--
J2-1
J2+1
A(CEFB)
~) ....
~~:~a~:~~~~::~""~
,\\',':,'."'::
dik
u<;gendir.
IAEI = IEFI = x
~
OAK ~ DHK
(A. K. A. e§lik teoremi)
IAE I = I EF I oldugundan,
AEF u<;geni ikizkenar
$ekilde
-7
olup
A
3
K
2
I BT I = 3x - 2 ise I HT I = 5x - 5 tir ve
olur.
1
= ~- (~(J2 _1)2)= )2 -1
3x+3
--=
5x-5
bulunur.
5
3
17
=> x= -
8
dir.
17
I BL I . I BT I = 3x - 2 = 3.
-8 - 2
I LCI . I DC I
5
IBLI =~
ILCI
8
I KE I = 2a ve
I KF I = a ise
5
=>
oldugundan
K, F, E dogrusaldlr.
I KE I = I ~B I = 2a,
10. ABCDE
be§geninin
A
diger kenarlan uzerin$ekilde
ABFC dortgeni
bir kiri§ler dortgendir.
dik u<;genindeki kenar uzunluklan
ABC
m(B) = 30° ve
A
m(C) = 60° oldugunu verir. BEDC karesinde
CE
ko§egen ozeliklerinden
DB ve
ICF I = 2J2 = I BF I
de Pile
aynl ozeligi
ta§lyan P1, P2, P3 noktalan
allnlp
rildiginde
~
~
birle§ti-
B
meydana
~
~
(BFC ikizkenar dik uggen)
gelen
ACB u<;geninde [AF a<;lortay olup A<;lortay bag In"
P1DP2, P2CP3, P3BQ
tlslndan,
u<;genleri e§ u<;genler olup,
I GC I _
IABI-
1
J3
=>
a + aJ3
= 4
=> a
=
2J3 -
2
~
QAP,
PEP1,
IQPI = I PP11= IP1P21 = I P2P31= I P3QI dirve klsaca
QPP 1P2P3 be§geni duzgun be§gen olur. 0 bu duz/'...
gun be§genin merkezi oldugundan
m(QPO)=54°
dir.
A
.!..an(BEC) = Alan(AED)
B
= y olsun. Alan(AEB)
ise
•• ~ 5 olur. Yamugun alan ozeliklerinden,
E noktaslnln
/- = x(x + 5) ... ve 2x + 2y + 5 = 25
min(IEMI
=.
dersek 2£
x + Y = 10
5x
10
goruldugu
ve y=6
bulunur.
gibi
-<arenin kenarlan uzerinde
u~gene e§ u~gen-
15. Soruda
x
ier ~izerek, a§agldaki §ekli
elde edelim.
buyuk
Elde edilen
karenin
bir kena-
x
y
olur. Yani karenin merkezi
ile ba§langl~taki
dik u~genin
c;:izilmi§ karenin
merkezlerinin
merkezden
olan uzakllk,
buyuk
;:
§ekildeki
i":
>.
ABCE
~
r1nln uzunlugu x + y birim
nedenle,
::;x ::;4 + 2£
karenin
~
.c
E
"
N
x
©
y
hipotenusu
uzerinde
verilenler
gibi olup,
dikdort-
geninde
IBCI = IAEI =
13
B
bulunur.
c;:akl§tlgl a~lktlr. Bu
uc;:genin dik ko§esine
ko§egeninin
kadar
yansma
e§ittir. Ko§egenin uzunlugu Pisagor teoreminden,
olduguna gore, istenen uzaklik = x~y
olur.
16. $ekilde
e§kenar
13, [AC] veya [PL] uzerinde
Pile
60°··· .••
bu noktanln
IBTI = IBFI = c
.
.••....
..••.
".'.
".
c;:akl§tlglnJ goruruz.
....
Yani
/'--.
IAPI = lAB I =
1
u~genler
IAGI = ITAI = b ve
'
aradlglmlzda
TAG ve TBF
oluyor.
ATB e§kenar uc;:gen olacak §ekilde bir T noktasl
olur. IEMI
+ IMBI
= x
bu e§itsizligi saglayan tam
Cevap C
=> x=4
2
lerilen
= 2£
2
3x
H-y=x+-=1O
12. $ekilde
+ IMBI)
F dersek
saYI degerleri 5, 6, 7 ve 8 yani 4 tane nokta vardlr.
3x
y=-
=>
,'-X=-
.
(y + x)(y - x) = 5x dir.
[AL] na gore simetrigine
BPI = I BC 1 olup m(APB) = 60° dir.
< 1 ve
IAOI - IBol
IAOI ve IBOI
E
.•........•
Z oldugun-
dan IAOI = IBOI dir.
Aynl §ekilde
IAE
I
if>'
I EBI
=
olup E ile 0 noktalannln
ga-
$ekilde goruldugu
kl§lk olduklan §ekilde gorul-
o ko§esinden
mektedir. Bu §artl saglayan en gok kenarlJ gokgen
dortgendir.
Kenar uzunlugu 1 ve
18 olan
dersek,
bir dikdort-
= x
::::;>
IAD I = 2x ve
[AB] na inilen dikmenin
ayagJna H
I OH I = x olur. Bu durumda
-------
=
m(ABO)
gen bu ozeligi saglamaktadlr.
I DC I
gibi
-------
=
m(OBC)
41°
ve
-------
m(AOB)
=
109°
bulunur.
=
lOCI
m(OBc)
x
::::;>
=
IAOI
=
2x olur. lOBI
=
y ve
a olsun. Bu durumda,
-------
m(ABO) = 82° - a olur.
OCB uggeninde sinus teoremini uygularsak,
_x_
sin a
= _y_
::::;>
sin 90
~
= sin x
ABCO e§kenar
olur.
gundan,
y
::::;>
2x
= _y_
sin(82 - a)
sin 30
x _ sin(82 - a)
2. ~
::::;>
y-
2
olur.
I FBI
y
sin x
=
sin(82 - a)
::::;>
a
=
41 ve
=
=
=
{T}
IBE I = I EC I oldu-
IABI =
igin IBT I
90° ve IABI
2a olur. Buradan
=
2a
IBT I
IBTI
IBFI
=
IBCI
bulunur.
-------
m(BFT)
-------
~ =
[AB n [DE
olur. m(AFT)
DBA uggeninde sinus teoremini uygularsak,
dortgeninde
=
algin
-------
-------
m(FBC)
m(BFC) = m(BCF) = 70°
-------
=
+
40 - 2a ve
a olur.
-------
Buradan m(EFC) = 70° ve m(OFC) = 110
°
bulunur.
Cevap B
ALI$TIRMALAR
1. $ekilde ABCD
4.
A
0
$ekilde
ABCD
karesi
0
i<;inde,
dl~bOkey
dbrtgeninde
/'-..
[AB n [DC = {E}
m(AEB) = 110° ve
ve
[BC n [AD = {F}
olmak Ozere
E
F
ve
p
/'-..
m(AED) = a ve
/'-..
m(BFA) = ~
olduguna gore,
saglayan
bir E noktasl
~artlannl
K
s
R
IAE I = x, diger kenan
IECI =y
~
ve IACI =2
olan O<;gen <;iziliyor.
/'-..
Buna gore m(EAC) = a
ka<; derecedir?
M
L
E
Tekrar, bir kenan
66
IDAI = d dir.
12
allnlyor.
IABI = a, IBCI = b,
ICDI = c
I EB I =
I RS I kagtlr?
ILMI
;:
c:'">.
j?
"".c
'"E
~
@
2.
5. Yandaki ~ekilde
ABCD
ABCD karesinde
0
b
E
paralelkenar-
E
Ian ile [AB] ve [AD]
a+b+c=2
......
kenarlan Ozerine slra-
a
olduguna gore
.....
slyia dl~a dogru ABF
/'-..
m(FBE) = a kag derecedir?
ve ADE e~kenar
.....//
0<;-
.
genleri gizilmi~tir. FCE
A
O<;geninin e~kenar bir
O<;gen oldugunu
3.
gosteriniz.
$ekilde ABCD dikdortgen
2 . IAD I =
I DC I
= 2 ve
/'-..
m(DAE)
gore
=
15° olduguna
I EC I kagtlr?
6.
Bir
ABCD
/'-..
paralelkenannln
i<;
bolgesinde
/'-..
m(APB) = 70° ve m(CPD) = 110° olacak ~ekilde
/'-..
bir P noktasl allnlyor. m(PBC) = 40° olduguna gore,
/'-..
m(PDC) ka<;tlr?
F
Bir ABC uggeninde,
gesinden
bir dogru
inilen dikmenin
uggenin C ko~esinden,
giziliyor.
1 O.
A dan
ayagl 0 ve B den inilen dikmenin
ayagl P olsun. M noktasl
I PB I
Bu dogruya,
...•..........
ig bol-
DI~bukey bir ABCD dbrtgeninde
...•..........
=
olduguna
gore CBD aglslnln olgusu kag derecedir?
50°,
m(BAC)
=
...•..........
m(BCD)
2 . m(BCA)
=
40'
[AB] n1n orta noktasl ve
< IAR [ olduguna gore
I MP I nedir?
[MOl
11. Konveks bir ABCD dortgeninin
lannln orta dikmeleri
bir P noktaslnda;
8.
m(BAD) = 110'
...•..........
Bir ABC
uggeninde
••••••.•.•....
AD kenarortayl
BAC aglslnl
••••••.•.•....
meleri de vine dortgenin
taslnda kesi~iyor.
~
D yonunde E noktaslna kadar, m(EBA) = 90° olacak
ig bolgesindeki
.........-....
..............•
m(APD)
ig bolgesindeki
[AB] ve [CD] kenarlannln orta dik-
.:<
2 . m(BAD) = m(DAC) olacak ~ekilde aylnyor. [AD, ~
...•..........
bu dortgenin
c'">.
~
[AD] ve [BC] kenar-
=
m(BPC)
ise m(AOB)
bir 0 nok.
=
m(COD)
oldu-
@
gunu gosteriniz.
~ekilde uzatillyor. Buna gore
I AE [ nedir?
IACI
...•..........
12. ABCD
...•..........
9.
Bir paralelkenann
her kenan uzerine, dl~a dogru bir
kare giziliyor. Bu karelerin merkezlerinin
ko~eleri oldugunu
gosteriniz.
bir karenin
m(CAD)
...•..........
dl~bukey
=
dortgeninde
...•..........
30°, m(DBA)
=
m(CAB)
= 40°,
...•..........
75° ve m(DBC)
=
25° dir.
m(BDC) yi bulunuz.
(UMO-1995 Taklm Segme Smavl)
~6Z0MLER
I
1. $ekilde,
B
4.
kb§esinden
karenin dl§ bblgesinde
paralelkenar
olacak §ekilde ta§lnlr-
olur.
IBCI = IDQI =
b ve
EE'B ikizkenar dik Q~-
CD I = 1 BQ I = c dir.
A, Q noktalan
edilir ve
2.
D
nan Qzerine E kb§esi
[BC] na paraleller ~izilirse,
bir
$ekilde gbrQldQgQ gibi
CEB Q~geni [AB] ke-
[ED] na ve D kb§esinden
BCDQ
D
1
birle§tirildiginde
aranan durum
elde
geni
elde
IEE'I
=
edilir
ve
2
RS I = 1 bulunur.
ILMI
BCE Q~genini CB kenan AB Qzerinde ve C
kb§esi karenin dl§ bbl-
<::
..!!!
gesinde olacak §ekilde
~
ta§lrsak,
~ 5.
s::
>.
FeE Lic;geninin
E
1
FE'
= 2 -
I
a-
'"
c
b =
N
olur.
..c..
e§kenar
oldugunu
@
gbstermek
i~in
oldugunu
gbster-
....
..c..
BEF ~ BFE' (K.K.K. e§lik teoremi) oldugundan,
/'-..
/'-..
m(FBE) = m(FBE')
2a
= 90° den
a
olur. Bu durumda,
x
+y
= a ve
................. ,•..,
= 45° bulunur.
/'-..
/'-..
m(EDC) = m(CBF)
D
2
C
o
/1\2l
ABCD dikdbrtgeninin
D kb§esinden
a~1 yapan bir dogru
[BA ile F noktaslnda
DFE ni ikizkenar Q~gen olup
[FE]
II
[DC]
,.
meliyiz.
oldugundan
I
1
..c..
olur.
..c..
halde, DEC ~ BCF (KAK.
buradan
1 EC I
=
I CF I
/'-..
e§lik aksiyomu)
bulunur.
/'-..
0
m(ADC) = a ise m(EDC) = 300
-
a dlr.
[DA] ile 60° lik
kesi§sin.
FE I = 2 dir.
EC 1 = 2 bulunur.
..c..
Sonu~ olarak,
..c..
..c..
AEF ~ DEC ~ BFC oldugundan,
FCE Q~geni e§kenar Q~gendir.
ve
8.
[AE] , E y6nOnde
noktaslna
P
kadar
IADI = IDPI olacak
~ekilde
IBDI
allnlrsa,
= IDCI
oldu-
gundan ABPC para-
B
........
..' c
lelkenar olur.
/
,
------
+
m(DPC)
.............
------
m(APB) = 180° oldugu g6rOIOr. Bu du-
rumda, DPC O<;geni P k6~esi dl~a gelecek ~ekilde
AB Ozerine ta~lndlglnda
bir kiri~ler d6rtgeni
elde
edilir.
[PC]
II
I PC I
[P'B] ve
bir paralelkenardlr.
...............
=
I P'BI
oldugundan,
m(PDC)
=
m(BAP')
------
=
IBPI
o halde
•..........•...
=
m(P'PB)
=
m(PBC)
=
p
m(BKP) = 2a. olur. Buradan,
PP'BC
PAP'B kiri~ler d6rtgeninden
...........•...
IAK I = I KE I olacak
~ekilde [AE] Ozerinde K noktasl allnlrsa,
IEKI
=
=
IAKI
IACI
elde edilir.
IAEI = 2.
IACI
,
40°
olur.
...........•
............•
.......... ~ .
............/ ·K
[BP] ..1 [AQ] ve [AQ] ..1 [CQ]
[PB]
II
.
oldugundan
T, K, L ve S noktalan siraslyia AKLB, BMNC, CPQD
[AQ] dOr.
ve ADGH karelerinin merkezleri olsun.
I PBI < IAQ I
oldugu
soruda veriliyor.
[BP] nI P
y6nOnde IAQI = IBDI olacak ~ekilde uzatallm. Bu
durumda, AQBD bir paralelkenardlr.
M noktasl [AB] nln orta noktasl oldugundan
noktalan dogrusal ve
I MPI = 1
IMQI
~
-----m(DPQ)
D, M, Q
= 90° oldugundan
olur.
Bir soru I PBI < 1 AQ I ~artl olmadan da genel durum
i<;inde aynldlr.
ISAI
=
IBKI,
oldugundan
TBK
Buradan
1
1
TK
=' TAS
= ITS
AYni ~ekilde I KL I =
e~kenar
=..co...ITBI
ITAI
..co...
d6rtgendir.
1
1
------ =
ve m(KAH)
(KAK
------
m(ABC)
e~lek aksiyomu)
olur.
LS I dir. Bu durumda TKLS bir
<:;:OnkOAKLB
ile CPQD
ve
BMNC ile ADGH kareleri e~tir.
~
TBK
~
=' TAS
~
ve LCK
~
=' LOS
oldugundan
TKLS e~ke-
nar d6rtgenin a<;llan dik olacaglndan TKLS bir karedir.
Merakltsrna Geometri
1001
Aynl §ekilde
IAC I
locI
ve IAol
~
OOB ~ COA (KKK.
./'--
e§lik teoremi)
./'--
dan ABC uggeninin
olur .
./'--
Bu da, m(AOB) = m(COO)
./'--
+
dir. Bu e§likten
./'--
dolayl m(OOB) = m(COA)
./'--
dir.
= I DB I oldugundan,
~
ABC uggeninde m(BAC)
= lOBI
demektir .
m(ACB) = 60° oldugun-
[BC] kenan uzerine dl§a dogru
BPC e§kenar uggenini kurallm .
./'--
[AC] uzerinde m(CPE) = 20°
olacak §ekilde bir E
./'--
noktasl alahm. Vine [CD] uzerinde
olacak §ekilde bir
olur. Buradan
0
m(BOC)
noktasl alallm.
I BC I = I BO
BPEO nun bir paralelkenar
gorulur. ABEQ kiri§ler d6rtgenidir.
= 50°
-
;:
I 'i'"
oldugu
a halde,
~
E'"
~
""
@
./'--
ABCD konveks d6rtgeninde
orta dikmeleri oldugundan
I PC I
[MP] ve [PN] kenarlann
lOP I =
./'--
=
PB I olur. m(APD)
I AP I ve
./'--
m(ABC)
=
100° ve m(CAB)
=
40° oldugundan
./'--
IABI
=
IBCI
dir. [AD] uzerinde m(ABP)
=
40° ola-
./'--
=
m(CPB)
=
2a ve
cak §ekilde bir P noktasl alahm.
./'--
Bu durumda BPC uggeni e§kenar uggen CPO ugge-
m(OPC) = ~ dersek
~
~
APC ~ OPB (KAK. e§lik aksiyomu)
IACI = lOBI
olur.
oldugundan
ni I PC I =
I PO I ikizkenar
m(BDC) = 30° bulunur.
olup,
ALI$TIRMALAR
4.
Sir kenar uzunlugu a olan bir ABCD karesinin, Ave B
E
[AB] ~apll 0 merkezli bir ~emberin lOB] yan~aplnln
Ko§eleri merkez alinarak, a yan~apli iki tane ~eyrek
orta noktasli C, C noktaslndan
gember
m(BCD) = 45° ve bu ~emberin alanl 8n ise,
~iziliyor.
Bu ~eyrek
~emberlere
ve [AB]
a§agldakilerden
kenanna teget olan ~emberin [AB] kenanna degdigi
nokta G, ~eyrek ~emberlere degdigi noktalar
[se, I EF I a§agldakilerden
A) 3a
5
B) 3a
4
ge~en bir kiri§ [DE],
-------
hangisidir?
E ve F
D)
217
hangisine e§ittir?
-J3a
E)
2
2
J30
E)
(UiMO-1998)
.J2a
D)
C)~
I DE I
2
(UiMO-1997)
2.
[AB] ~apli 0
merkezli
bir yanm
~emberin
lOB]
fti
c:
5.
se~ildiginde,
I DC I
=
I DB I = 20 ko§ullan saglanlyorsa,
C) 327
5
I CB I
=
I AB I
26 ve ~
~izilen tegete paralel; IATI = 5 ve
= 6 dlr. <:;emberin yan~api nedir?
E
IAB I nedir?
D) 66
[AB] kiri§i, ~ember uzerinde bulunan
bir T noktaslnda
yan~api uzerinde bir D noktasl, BA yaYI uzerinde bir ~
C noktasl
Bir ~emberin
~
@
B) 25
8
C)
Z
D) 4
2
E) 338
E) ~
2
(UiMO-2003)
5
(UiMO-1998)
3.
[AB] ~apli ~emberin [DC] kiri§i, [AB] yi P noktaslnda
-------
=
kesiyor. m(BPD)
60°, I CP I
=
a, I PD I
=
b oldugu-
na gore, ~emberin yan~api nedir?
6.
Bir ABC u~geninde
~a2
+b
-2-
A) Ja2 +b2 -ab
B)
C) Ja2 +b2 +ab
D) a + b 2
+ b2
-.Jab
7, IBCI
=
8, IAC\
=
6
lanndan ge~en ~emberin AC yi kestigi noktalar A ve
E olmak uzere,
Ja
=
ve [BC] kenannln orta noktasl D; A, B ve D nokta2
E)
IABI
I AE I
nedir?
v'ab
A) ~
3
C)~
2
D) 2
E) 3
(UMO-2003)
~
Bir ABC uggeninin kenarlanna diger kb§esi uggenin dl§
~
bblgesinde
~
~
olacak §ekilde, ACO, ABR, BCP e§kenar ug-
genleri yerle§tiriliyor. M, N ve T bu uggenlerin ag!rllk mer-
~
kezleri ise, MNT uggeninin bir e§kenar uggen oldugunu
ispatlaylnlz.
A
A
A
m(p)+m(O)+m(R)
= 1800
oldugu
bnceki
igin
problemden)
~
(bir
~
ve BCP e§kenar
lerinin
gevrel
~
ABR,
ACO
uggen'"
i::
>.
gemberleri
~
'"'"
bir noktada kesi§irler.
.Q
E
AYni zamanda M, N ve T e§kenar uggenlerin gevrel gemberlerinin
merkezleridir.
(Merkezleri
birle§tiren
dogru
pargalan ortak kiri§e diktir.) Bu durumda,
..----...
~
~
m(BOA) = m(AOC) = m(COB) = 120
0
m(N) = m(M) = m(r)
uggendir.
= 60
0
ise,
ise NMT uggeni e§kenar
~
@
7.
C1 ve C2 ~emberleri bir T noktaslnda
dl§tan tegettir.
T den ge~en bir dogru; C1 ~emberini
berini de B noktaslnda
A, C2 ~em-
kesiyor. C1 gemberine
teget olan dogru, C2 yi 0 ve E noktalannda
DE [AE], ITAI
=
a, ITBI
=
a da
kesiyor.
b oldugunagore
IBEI
nedir?
9.
$ekildeki
gember
ABCD karesinin
ke-
narlanna
tegettir.
Cember
Qzerinde
allnan
bir
P nok-
taslnln [AB] ve [AD]
kenarlanna
uzaklik-
Ian siraslyia 2 em
1 em olduguna
E) vl(a+b)b
(UMO-2003)
ve
go-
re, gemberin yan~aplnln
alabileeegi
degerler top/a-
mi kag em dir?
D) 4
E) 3
(OSS-2003)
8.
Bir gemberin
[AC]
[BD]
birbirine
kiri§leri
ve
dik; IABI
=
olduguna
gore, gembe-
a, /CD/
=
b
rin gapl nedir?
$ekilde
A noktaslnan
dogrusuna
A) vla2 +b2 +ab
C)
B)
Jab
vla2
+b2 -ab
D) ~a2 +b2
E) a
+
b -
Jab
ge~en
olanln yan~api
2
d
4 tOr. ABC Q~geninin gevrel ~em-
berinin yan~api a§agldakilerden
A) 5
iki gemberden
B de teget olanln yangapl 9, C de teget
hangisine e§ittir?
D)
J6
E)
.ff3
(UMO-1996)
tOm
14. [AB] c;:apllyanm c;:emberin AB yaYlnin orta noktasl C,
kenarlan bir c;:embere tegettir. [AD] nin bu c;:embere
BC yaYI uzerinde, B ve C den farkli bir nokta P, CP
11. AB II CD olan ikizkenar bir ABCD yamugunun
degme noktasl N; NC ve NB dogrulannln
ile AB dogrusunun
c;:emberi N
ve AB dogrusuna
dl§lnda kestigi noktalar siraslyia K ve Lise
I BN I + I CN I
IBLI
kesi§im noktasl Q; Q dan gec;:en
dik olan dogru ile AP nin kesi§im
noktasl 0 olmak uzere, IAB I
nedir?
IQPI . IQCI
ICKI
D) 9
=6
ve
I DQ I =
10 ise
nedir?
E) 10
D) 140
(UMO-2001)
E) 144
(AOMO-2000)
15. Yandaki §ekilde i§aret12. Yanc;:api r olan c;:ember, yanc;:apl Rolan
noktaslnda
lenmi§ noktalann en az
c;:embere A
d6rdunden
ic;:tentegettir. DI§taki c;:emberin herhangi
bir B noktaslndan igindeki gembere gizilen degme t:
~
noktasl C ve 21 BC I = I BA I ise ~ nedir?
~
R
3
4
A) 4
B) 5
"'"
.c
D)
C) 5
8
gec;:en kac;:
c;:ember vardlr?
7
10
E) 11
20
'"E
~
@
E) En az 4
(AOMO-2000)
(AOMO-2000)
16. $ekilde,
a
merkezli
c;:emberin 0 nokta-
13. Bir ABC uc;:geninin [AB] kenannln orta noktasl 0 ile;
0, B ve C noktalanndan
gec;:en c;:emberin [AC] kenan
ile (ikinci defa) kesi§im noktasl
uzere IAC I
IEB
=
~
31AE I ve m(EBC)
E ile g6sterilmek
=
90° ise,
sindaki
tegeti
ile,
[BC] kiri§inin uzantlslnln kesi§im nok-
A
tasl A dlr.
2
1
I BC 12 a§agldakilerden
IADI = IBCI = a ve
hangisidir?
IABI = b ise, (2b
+
a)2 nin
a cinsinden degeri nedir?
A)
?3
5
B) 3
3
C) 5
D) ~
7
E) 2
(AOMO-2000)
D) 9a2
E) 3a2
(AOMO-2000)
17. $ekilde,
ve
l;apl
l;ember
0
merkezi
[AB]
20. $ekilde
olan
uzerinde
l;emberin,
C
olup,
merkezli
[BC] kiri§inin
arta naktasl
ve 0 noktalan i§aretlenmi§
0
0 ve bir
naktasl A dlr.
/'-..
AD ve
=
m(DOA)
OC nin kesi§im nok-
90° ve
m (BAC) = 40° ise
tasl E ve AD ile BC
nin kesi§im noktasl F dir.
/'-..
/'-..
/'-..
D) 25
m(EAB) = 19°, m(FEO) = 91° ise, m(BFD) kal; dere-
E) 20
(AUMO-2000)
cedir?
D) 63
E) 65
(AUMO-2000)
21. $ekilde,
[AB]
l;emberin
bir
l;apli
l;aplnl
l;emberin
kesen bir kiri§i [CD], A
[BD] ve [CA] kiri§lerinin
ve B den [CD] kiri§ine
18. $ekilde
E,
kesi§im
noktals
indirilen
alup,
A
dikmelerin
I BAI = IADI dir.
ayaklan siraslyia E ve F
IAEI = 3 ve
dir. IAEI = 16,
=
I BF I
IECI = 9 .ise
14 ve IAB
I = 34
ise,
hangisidir?
IAD I kal;tlr?
D) 3J3
A) 4(2J2 + 1)
E) 3J2
D) 2(3
(AUMO-2000)
B) 3(4J2 - 1)
+ J2)
E)
C) 4ft
4(3J2 -
2)
(AUMO-2000)
19. [AB] ve [BC] Ian r yanl;apll l;emberin kiri§leridir. X ve
Y noktalan slraslYla [AB] ve [BC] kiri§lerinin gordugu
kUl;uk yaylar uzerinde birer noktadlr.
,----."
+ J3)
D) 3(3
ve
B) 9
+ J3)
duzgun
altlgeni
il; bblgesinde
veriliyor.
allnan
ABCD
dort-
bir K noktasl
il;in
/'-..
IABI = 3ve
IBCI oldu-
+ J3
/'-..
m(KAB) = m(KCD)
C) 9
E) Hil;biri
m(KAD) = 18° .
/'-..
guna gore ABC ul;geninin l;evresi nedir?
A) 3(1
ABCDEF
geninin
,----."
m(BYC) = 3. m(AXB)
22.
+ 2J3
/'-..
ise m(KBA) kal; derecedir?
D) 96
E) 72
(AUMO-2000)
23. $ekilde,
0
z yan~apll
~ember
dogrusuna
ve 0 mer-
I AC I
= X,
[AH1], [BH2] yukseklikleri
kesi~iyor. H1, H, H2 noktalanndan ge~en
~emberin H1 deki tegeti [AB] yi de 0 de kesiyor.
A
0
C
B
I CB I = y ise X, y, Z araslnda
IACI
=
gore,
I OH11 ka~tlr?
17,
ICH11
=
15,
IH1BI
A) 2x2 = xy
+ y2
B) zx
+
4
olduguna
D) zx
+ xy =
$ekilde, BO ve CE dogrulan,
~emberin tegetleri, C
E
zy
0 merkezli [AB] ~apli
AS ve
IAO
I
I BC I
=
dir.
'";,
"
OI~bukey (konveks) ABCO dortgeninde
IOAI
=
I AC I
ka~tlr?
IABI
5'!
IAB I = 2 olduguna gore, EOF u~geninin alan! a~a- ~
D
=
2 m(A)
C)
E
hangisidir?
=
3.J2
2
~
108°, m(C)
D)
=
1+J3
126° ise
E)
2
315
4
(UMO-1994)
@
D) 6
E) 3
(UMO-1994)
zy = xy
27.
gldakilerden
=
D) 3J2
hangi baglntl vardlr?
C) 2z2 = x2
H nok-
taslnda
AB
kezli [AB] ~apli ~embere
tegettir.
26. ABC u~geninde
merkezli,
E) 3-13
(AUMO-1993)
//,0
:/ R
::'
28. $ekilde
$ekildeki
0 ve 0' merkezli birbirine teget ~ember-
noktasl
~evrel
m(A) = 58° ve 0
ABC
u~geninin
~emberinin
mer-
lerin yan~aplan SlraSI ile R ve r dir. Ortak teget uzunlugu
I AB I
= 2-13
toplaml 10n ise R
ve
+
B) ~
2
dairesel bolgelerin
olanlan
kezidir.
r ka~tlr?
D) 2
+
16
E) 4
(UMO-1994)
D) 28°
E) 25°
(UMO-1995)
29.
I BC I
$ekilde
IACI
32.
=2,
I AO I =
lOB
I = I BC I
olacak
bil;imde slra ile 0, B, C noktalan alinarak 0 merkez-
= 1 ve
Ii,
/'-.
m(ACo) = 90° dir.
kenannl
l;apll
l;ember
ve
l;ember
uzerinde
m(BAo) = 78° ko§ulunu saglayan 0 noktaslndan
l;embere bir teget l;iziliyor. C noktaslndan
kestigi
noktaslndan
[AB]
/'-.
[AC] l;apli l;emberin
[AB]
Bir [AX 1§lnI uzerinde
E
indirilen dikmenin
l;embere
bu
bu tegete
ayagl E ise EBC al;lsl kal; dere-
cedir?
l;izilen teget BC yi 0 de
B
D) 140
/'-.
kestigine gore, tan(EoC)
a§agldakilerden
hangisine
E) 138
(UMO-1996;
e§ittir?
1
D) ~
C) 2
E) 2
3
(UMO-1995)
30.
I AB I
IAC I
= 12
olmak
uzere,
[AB] l;apli l;emberin
33. Kenar uzunluklan
= 8 ko§ulunu saglayan [AC] kiri§i l;iziliyor. Bu
C noktaslndan gel;en tegetine, B nok- ~",
indirilen dikmenin
ayagl 0 ise, BoC ~
l;emberin
taslndan
ul;geninin alanl a§agldakilerden
hangisine e§ittir?
iki§er birbirlerine
~
ve C merkezli
~
IAEI
@
A)
80J5
B)
48J5
9
C)
60-13
5
7
D)
56-13
E) 75../2
5
I AB I =
olan ABC ul;geninin
5,
I BC I =
I=
7
dl§tan teget Ul; l;ember l;iziliyor. B
l;emberlerin
degme
noktasl
E ise
=?
o)J6
A) 2J6
4
4 ve I AC
ko§eleri merkez alinarak, iki§e'
(UMO-1996)
E) 2·.5
(UMO-1997
31. $ekildeki ABCo
yamugunda
A
m(C)
=
A
m(o)
=
90° dir.
0, A, B noktalanndan
l;en ve yanl;apl
l;emberin
[DC]
o dl§lnda
ge-
5 olan
34.
kenannl
kestigi
IAC I
= 4.J3 olan bir ABC ul;geninde
[CA] n1n kenarlannln
ikinci
F dir. 0, E ve B noktalanndan
nokta E olmak uzere, m(AB) = m(BE) ve
ul;genin
I CE I
kal;tlr?
=
3J2
ise,
I AD I
kal;tlr?
D) 7J2
E)
6J2
(UMO-1996)
aglrllk
[AB], [BC] ve
orta noktalan siraslyia 0, E ve
merkezinden
gel;en l;ember
de gel;iyorsa,
D) 4.J3
bL
I BF
E) 3,3
(UMO-1997
35.
Bir ~embere,
dl::?lndaki bir A noktaslndan
38. 0
~izilen
merkezli R yan~apll bir ~emberin
lOA) ve [OB)
tegetlerin degme noktalan B ve C dir. [AB) ve [BC)
yan~aplan Ozerinde siraslyia L ve M noktalan alinl-
nin orta noktalan siraslyia 0 ve E, CD dogrusunun
yor. AB yaylnln orta noktasl
K olmak Ozere, KLM
/'-.
O~geni e::?kenar O~gen ve
~emberi kestigi nokta F olmak Ozere, m(BAC) = 36°
/'-.
ise, m(EFC) ka~ derecedir?
2
(2J3 - 3)R
Alan(KLM) =
D) 72
8
E) 60
(UMO-1997)
36.
[A B) ~apll bir ~emberin [AC) ve [BD) kiri::?lerinin kesim noktasl P olmak Ozere I AP I
ve IABI = 513 ise
A)
3012
= 212,
IPBI . IBDI
B) 2513
C) 36
I PC I
39. Ko::?egenlerinin kesi::?im noktasl E ile gosterilmek
= 312
Ozere, bir ABCD kiri::?lerdortgeninde
/'-.
nedir?
D) 55
m(BCD)
E) 48
(UMO-1997)
=
150°, IBEI
=
~
$
hangisidir?
"'"
~
'"E
'"
A) z-y
B)
J3
N
@
Bir ABCD dl::?bOkey
yve
=
IACI
z
degeri a::?agldakilerden
z-2x
3
C) z+x
J3
2z-3x
E)
2
z-2x
D)
2
37.
=
x, IEDI
ise, y nin x ve z cinsinden
<:
m(B) = m(D),
B
dortgeninde
IADI = 2
/'-.
/'-.
m(ABD) = ni(ACD)
40.
Birbirini dl::?tanteget olan [AB) ve [BC) gapli iki ~emberin merkezleri, siraslyia 0 ve E ile; A noktaslndan
E merkezli ~embere ve C noktaslndan
E ve F noktalan slraA
~embere
slyia ABD ve ACD
O~genlerinin ig teget ~emberlerinin
Ozere I EF I =
A)
J3
2
12
ise,
C)
merkezleri olmak
)5
2
D)
(AC dogrusuna
gore aYni tarafta kalacak
::?ekilde) ~izilen tegetlerin
kesi::?im noktasl F ile gos-
terilmek Ozere, I DB I
I BC I ka~tlr?
3-J2
E)
215
2
(UMO-1997)
0 merkezli
= I BE I = 12
ise, AFC O~ge-
ninin alanl a::?agldakilerden hangisidir?
A)
7J3
2
B)
9-J2
2
C)
412
D) 213
E)
212
41. Bir ABC Oggeninde A aglslnln ig aglortayl ile [BC] nln
~
44. ABC Oggeninde m(A)
kesi§im noktasl 0; [CB 1§lnI Ozerinde
[AB]
I DE I
IABI2 = IAKI . IALI
+
= I DB I
I BE I ozeliginde
E noktalanndan
gegen
ikinci
kez kestigi
IBEI
=
I BFI
nedir?
A)
IACI
=
nokta
7,
IADI
bir nokta E; A, 0,
gemberin
= 2ft
=
80° ve IABI
[AB
OstOnde
=
IACI dir.
L noktalan.
ve I BLI = I BCI olacak §ekil-
de allnlyor. m(KCB) kag derecedir?
Ozere,
=
ve IABI
K ve
/'-..
AS dogrusunu
F ile gosterilmek
OstOnde
D) 35
5 ise,
E) 40
(UMO-1999)
715
5
45.
42. [BC] gapll bir gemberin bu gaplna dik olan bir kiri§i
[AD], AC ve CD yaylannln orta noktalan slraslyla E ;:
ve F,AD n BE = {G},
m(AC) = a
AF n BC = {H}
olmak Ozere,
ise, BHG aglslnln a cinsinden
a§agldakilerden
I'"
olgOsu ~
'"
.c
g
hangisidir?
I AC I
=
s-/2;
[AC] nln orta noktasl B; [AB] nl kiri§
kabul eden bir gemberin AB yaYlnln orta noktasl E:
N
C noktaslndan
bu gembere
gizilen tegetin degme
noktasl da, (0 ileE, AB dogrusunun
ters taraflannda
olmak Ozere) 0 dir. [DE] n [AB] = {F}
ise,
I CF
kagtlr?
@
A) 900-~
B) 600-~
2
D) 15°+~
C) a-30°
A) 5-/2
B) 4-/2
C)8
E) 4,3
0)6
3
E)
(UMO-1999;
1S00-2a
3
2
(UMO-2000)
46. Birbirine dl§tan teget k1 ve k2 gemberlerinin ortak dl§
43. ABCD bir dl§bOkey dortgen, m(C)
CD dogrusuna
talanndan
m(O)
=
90°,
C noktaslnda teget olan ve A, B nok-
gegen gember ile [AD] nln kesi§im nok-
tasl E olmak Ozere,
ICEI
=
I BC I
= 20 ve
IAD I
= 16 ise,
teget dogrulanndan
degdigi
biri d olsun. d nin k1 gemberine
nokta A, k1 gemberinin
[AB], B noktaslndan
k2 gemberine
degme noktasl C ile gosterilmek
k2 gemberinin gapl 7 ise,
nedir?
D) 7-/2
E) 10
(UMO-2000)
A dan gegen gap
I BC I
gizilen tegetir
Ozere, I AB I = S ve
nedir?
D) 8
E) 5,3
(UMO-2000
/'-.
47. Bir ABCD dl§bukey kiri§ler dortgeninde
/'-.
m(ACB)=
51. $ekilde, XOY sabit bir
/'-.
goo, m(ABD) = 45°, IABI = 26 ve
a<;:l,10AI = 1 ve
IABI
I BC I = 10 ise, DAC u<;:geninin alanl nedir?
= 2 dir. C nok-
tasl, [OY I§lnl uzerinde
hareket eden bir nokta
o
-----
olmak uzere, ACB en buyuk iken 10C I ka<;:t1r?
D)
B) ~
2
../2
E) 1
(AUMO-1999)
48. 01 ve 02 merkezli birbirine dl§tan teget ve iki <;:emberin ortak dl§ teget dogrulanndan
siraslyia B ve C noktalannda
biri <;:emberlere
degiyor. C;:emberlerin
ortak noktasl A olmak uzere BA dogrusu 02 merkezli <;:emberi A ve 0 noktalannda
kesiyor. I BA I = 5
52.
ve IADI = 4 ise ICDI nedir?
D)
15
2
/'-.
$ekildeki ABCD dortgeninde,
49. P noktaslnJn, yan<;:apl 15 olan bir <;:emberin merkezinden uzakhgl g ise, bu <;:emberin P den ge<;:en ve
-----
/'-.
m(ABD) = 45°,
/'-.
m(DBC) = 15°, m(ADB) = m(BDC) = 30° oldugu/'-.
na gore, m(CAD)
ka<;:derecedir?
uzunlugu tam saYI olan ka<;:kiri§i vardlr?
50. Yan<;:api2 birim olan bir <;:ember, bir karenin kom§u
53. Bir ABCD e§kenar dortgeninin
[AD] kenan uzerinde
iki kenanna
i<;:ten teget olup,
karenin
sadece
bir
bir E noktasl i§aretleniyor. AB ve CE dogrulan F de;
ko§esinden
ge<;:mektedir. Buna gore
karenin
bir
BE ve OF dogrulan
/'-.
G de kesi§iyor. m(DAB) = 60°
/'-.
kenar uzuniugu ka<;:birimdir?
A)
2 + ../2
B) 3
C)
2../2
ise, m(DGB)
D)
15
E) 4 -
../2
(AUMO-2002)
nedir?
D) 65°
E) 75°
(UMO-2002)
~6iOMLER
1.
$ekilde
E
3.
geyrek gember-
t;emberin
lere teget gizilen gem be-
[CD]
rin merkezi [EB] ve [AF]
dikmesi
nm kesi§im
durumda;
noktasldlr.
gegen dogruya
gore siI OH
metrik oldugundan
lOG I = r
I GB
inilen
OH
kiri§i ortalar. Bu
b-a
2
1= b-a)3
olur.
2
""""- - BGO
""""[GO] 1..[EF ve EKO
dir.
Buradan,
kiri§ine
IPHI=
$ekil AB ye dik ve G den
merkezi 0 dan
a
I="2
ve I EB I
=> lOB I
=
(30 - 60 - 90 uggeninin ozeliklerinden).
OHC dik uggeninde
a;
IOCI2 = (a+b)2
= a - r olur.
Pisagor teoreminden,
+(b-a
2
)3)2
bulunur.
2
""""OGB dik uggeninde
(a - r)2 = r2
+
=> r
(%)2
= 3 a ve EKO - BGO
8
4.
3a
8
I EFI =
3
"5 . a
gapll
gemberin
alan 8n ise, yangapl
_IEKI
sa--a8
[AB]
2J2 ve
r=
"2
=
lOCI
bulunur.
ICBI
= J2 dir.
$ekilde goruldugu
gibi 0
dan [ED] kiri§ine indirilen
dikme kiri§i ortalar. Bu dikmenin ayaglna H diyelim.
OHC
2.
$ekilde
gibi,
uggeni
ikizkenar
dik
uggen
IOH
I
= 1 ve OHD dik uggeninden
I HD
I
= I EH I =
Ii
ve I DE I =
2fl
goruldugu
""""DCB
i ikizkenar
uggendir.
5.
""""DHC dik uggeninden,
I CH I
= 24 bulunur. t;emberde
dik oldugundan,
tlslndan
I AH I
24.24=x.10
gapl goren gevre agl
ACB dik uggeninde
= x dersek
288
=> x=S
ve
Oklid bagm-
Tegete, T noktaslndan
len dik
[AB] nI ortalar ve
gemberin
merkezi TQ uze-
rinde
olur.
t;emberde
P
noktasma
gore
allndlgmda,
lOP I = x igin,
9
I AS I = 2~8+ 10 = 3;8 bulunur.
gizi-
=
4(4 - 2x)
=> 9
=
16 - 8x
x = Z ve yangap r = 25 bulunur.
8
8
oldugundar
bulunur.
~
~
m(APB) + m(CQD) = 180 oldugundan
0
Soruda verilenler :?ekilde goruldugu
gibidir.
nin C ko:?esi A <;;ember uzerinde olacak §ekilde B
I EC I = x olmak uzere E noktaslnlri <;;embere gore
noktaslna
kuvveti alindlglnda,
Pisagor teoreminden,
16
Buradan
3
4 . 8 = x . 6 olur.
ve IAEI=
[AC] kiri:?i-
ta:?lnabilir. Bu durumda
[AD] <;;ap olup
IADI = ~a2 +b2
bulunur.
2
3
~
alinan bir P noktaslnln
[AB]
uzakllgl
nanna
ke-
uzakliglnln
katl ise P
I PLI
kenanna
[AD]
~
E
iki
G
EGF dir.
= 1 ve
I PH I = 2 i<;;ingerekIi duzenlemeler
A
H
yaplldlglnda,
Pisagor teoreminden,
a2 + (2 - a)2 = (a+2)2
=> a2 + 4 - 4a + a2 = a2+4a+4
C1
ve
berler
C2 <;emberleri benzer oldugundan
benzerdir
ve
benzerlikleri
manl
(turn <;;em-
ve a2 - 8a = 0 => a = 0 veya a = 8 bulunur.
yan<;;aplan
a = 0 demek
degerler toplaml
dir.
----------m(FTA) = m(BTE) ve
IAT I I FT I
-= -ITBI
ITEI
ozeliklerinden,
TBE
10. ABC Ll<;;geninin gevrel <;;emberinin yangapl R, BC
..Q".
-
EBA
dlr
buradan,
_b_ =@S=>IBEI=
I BE I a+b
6 dlr.
oldugundan
..Q".
~emberde
I PH I = 2
demektir. 0 halde <;;emberin yar,,;;aplnln alabilecegi
oranlna e:?itlir.)
IATI = IFTI =~
ITSI
ITEI
b
P = E ve a = 8 demek
~b(a + b)
bulunur.
ve
dogrusuna
siraslyia B ve C noktalannda
noktaslndan
ge<;;en gemberlerin
i<;;in R2 = r1
.
bulunur.
r2 oldugundan,
teget ve A
yan<;;aplan r 1 ve r2
R2 = 9 . 4 ve R = 6
12. OCB dik uggeninde
Kare bir ikizkenar yamuk-
(2R - r)2 = r2
tur
4R2 - 4Rr
ve
yukarlda
verilen
+
+
R2
r2 = r2
+
R2
A
§artlarl
saglar.
uggeninde
OCN dik
J5
I NC I =
=>
a
3
R
4
bulunur.
ve C noktaslnm gembere
gore kuwetinden
1
Js.
CK I =
I CN
x
1
olup BN ile CN simetrik oldugundan
+ I BN 1=
a.J5
a
x
+ a.J5
= 10
13. Qizimi kabaca gizip tek-
bulunur.
a
A
rar, once gemberi gizerek
J5 J5
gosterirsek, yandaki gibi;
....--....
m(EBC) = 90 ise gem0
berin
Soruda verilenler §ekil-
B
gembere
nin
IAEI
lEal
noktaslnln
gore
lOCI
kuwe-
c
tinden
1 BL 1 .
[EG]
orta noktasldlr.
deki gibi gosterildikten
soma
merkezi
I BN I = a2 ve A noktaslnm
kuwetinden
1
gembere
gore
AK I . 1 AN I = c2 bulunur.
2
I BN 1_
oran oldugundan
~
ahrsak,
~
I AD I =
x = 2
I DB I ve A nm gembere gore kU\'.3:-
©
tay olup, kenarortay teoreminden
1
=
16 ; ABa
E
ni ahrsak IAD
<1l
N
1
=> 7-IBLI
IBLI . IBNI = a
= x
~
c:;;,
I
BE 12 = 6 olup
uggeni igin [BE] kene.-:r
IBE 12
3
--2
= IBCI
5
bulunur.
IBNI_IBNf
=> IBLI-~
2
IAKI . IANI = c
1
IANI_
=> 7-IAKI
=> IAN 1= IAN 12 elde edilir.
c2
IAKI
AON ve BCN uggenlerinde
I
AN 12 = 5c2
+
Kosinus teoreminden,
4c2 cas a
I BN 12 = 5a2 - 4a2 cas a
2
IANI = 5 x 4 cas a ve
--
c2
2
IBNI
--
a2
[AP] 1.. [PB]
= 5-4cos
a
ve
[DO] 1.. [AO]
oldugundan
dortgeni bir kiri§ler dortgenidir.
•...•........••
•............••
•...•........••
•..............
m(CPA) = m(OPO) = m(CBA) = m(OBO)
2
IAN 12+ I BN 1
c2
a2
= 10 ve IAN I + I BN 1 = 10 buiunur.
IAKI
IBLI
B:::):
=
a. = .:.:
18.
15. Kar§llikli agliann toplaml
180°
dortgen
olan
kiri§ler
mlASI
bir
=>
IABj = IADI
= mlAD\
dort/'--
genidir. Bu dortgenler
/'--
m(ACD) = m(ADB)
ve
I AC I = I AD I
I AD I I AE \
x
GDEF, HBCM, HMFG,
AHDG, yani en az 4
tane.
=> 12
=> x
x
3
= 6 = IADI
olur.
,--...
,--...
19. m(BYC) = 3 . m(AXB)
oldugundan
BYC
yayl
uzerinde,
,--...
,-..
m(AXB) = m(BD)
= m(DE) = m(EC)
olacak
A noktaslnln gembere gore kuwetinden;
§ekilde
noktalannl alabiliriz.
/'--
/'--
a2 = b(a + b)
m(DBC)
2
(2b+ a)2 = 4b2 + 4ab+ a
I BD I
2
= 4[b(a + b)]+ a
~
D ve E
a2
.
m(ECB)
=
ve
= I CE I oldugundan
CEDB ikizkenar yamuk/'--
tur. Ikizkenar yamugun ozeliklerinden
m(DBC) = 60°
bulunur. a halde [BC] nin gordugu yay 180° dir ve
BC gaptlr. BAC (30° - 60° - 90°) dik uggeninden
IAC I = 3../3 bulunur.
<:;(ABC) = 3(3 + ../3) tUr.
20. [aD] -l [BC] ve
[aD] n <:;(0, r) = {K}
18K1
=
IKC\
ve
/'-0
m(KCA) = 90
m(KC) = 40°,
0
m(CA) = 50
(:emberler ------------------------------------
;
ise
21.
~oziim Z
~ekilde goruldugu
II
[BB']
[AE']
23. 10C I = x+ Y - Y
2
gibi
AB'BE'
1001=
IB'FI
x+y_z
2
bir dikdortgendir.
o
C
~
[DC] ~ [OC]
= IAEI = 16ve
S
~-y
2
10012 = IOCI2 + IOCI2
IBFI = IEE'I = 14,
100 I =
(X;
y) - z
IAOI = 17
°
dan
[BB']
u(fgeninden
ye bir paralel
(fizersek
lAB' 1 = 16 ve 1FD 1 = 1CE I = a
noktasmln (fembere gore kuwetini
(x+y
8, 15, 17
F
bir bilinmeyenli
_y)2+Z2
2
(x+ Y)2 -(x+ y)z+ Z2= (x + Y)2_ (x+ y) .Y+ y2+ z 2
allrsak,
2
a( 16 + a) = 16 . 14 => a2 + 16a - 16 . 14 = 0
2. dereceden
_Z)2=(X+Y
2
2
denklem (fozumunden
Ll = 16 . 16 + 56 . 16 => Ll = 72 . 16
a = -16+ ~
= -16+24'V'2
2. 1
= 12-)2-8
2
= 4(3-)2 - 2) olur.
~oziim Z
10C 1 = 17 ve
;:
~
~"
1OH 1 = 1 oldugundan
I FC 1 = 12J2 +8 ve F noktaslna gore kuwet
'"
alm- ~
~'"
dlglnda
16 . 14 = (12J2 + 8) . I FD 1 => 1FO 1 = 4(3J2 - 2)
olur.
/'...
m(KAC) = 12 dir ve
Merkezle tegeti teget noktaslnda
buradan ACK u(fgeni
tegete diktir. Yani [AB] ~ [BO] ve [OE] ~ [BC],
birle§tiren
do~-_
/'...
i(fin CKL dl§ a(fl olup
1OE
/'...
m(CKL) = 60°
= lOB 1 = 1BC
I
/'...
oldugundan,
m(ECO) = 3:
(COE) = 60° ise, EFD u(fgeni e§kenardlr.
1BC 1 = I BA 1 ve
/'...
I
0
Ii C, K ve A noktalanndan
BEC 30° - 60° - 90° uggeninden
~
/'...
2m(CKA) + m(CBA) = 360
oldugundan
B merkez-
1DB I = 413 oldugundan,
1BF I = 213 ve
1OF 1 = 213 olur.
ge(fen bir (fember (fizilir.
Alan(OEF) =
(2)3fJ3
4
= 3)3
bulunur.
a~i1an aynl yayl
gorduklerinden
(R
+
r)2 = (R - r)2
::(R2
+
(R
R
+
+
r2) = 10rc
+
12
::::>
r)2 - 2R . r = R2
J16
r =
R
::::>
+
R. r = 3
::::>
r2 = 10
R2
+
+
r2 = 10
r = 4 bulunur.
/""--
/""--
m(ECD) = m(DEC) ve
[EG] 1. [AB]
oldugundan,
/""--
26. m(HCH1) = a diyelim.
A
IEDI = IDCI = IBDI ve
/""--
IACI = 17,
ICH11 = 15
::::>
/""--
m(ABC) = m(BED) = a
::::>
m(EDC) = 2a. dlr.
IAH11 = 8,
'";.
i::
ABH1 dik LI<~geninden
4J5
IAB I =
(j~gende
noktada
denir;
elde edilir.
yukseklikler
kesi§irler
buradan
bir
::::>
[AB]
ye
dik
merkezi
olacaglndan
@
30. [AB] yi goren actl 90°
alacaglndan
(Aynl yaYI goren teget - kiri§ a~1 ile ~evre a~lnln
ya yakln oldugu go-
/""--
u~geni i~in kenarortaydlr
I DH1 1= I AB I = 2../5
::::>
[H1DJ, BH1A
C nin A
rulur. Yani
dik
ICBI > IACI dir.
ve
~ekilde goruldugu
bulunur.
2
gibi
/""--
benzerlik teoremi) olup
IADI = IABI = 2 ve
+
2m(C) = 360°
oldugundan
B, C,
A merkezli
/""--
m(CAB)
m(DCB)
~...............
ve m(ACB) = m(CDB) = 90°
27. ~ekilde goruldugu gibi
m(A:)
3
ge~en bir
tek ctember ctizilebilir ve
)2' _
4../5 -
~
CAB - DCB (A. A.
2
t
)2' _
4../5 -ICD
3
~
::::>
buradan
::::>
ICDI=
I
8../5
3
::::>
D noktalanndan
(ko§elerinden)
4
= - olur.
1-! 3
4
m(BAH1) = a dlr.
m(DH1H) = a
1
~
diklik
/""--
e§liginden)
tan 2a = --
N
ve bu noktaya
CH,
2tan a
t an 2 a=--1-tan2a
~
x
.a
'"
2
yf5
1
DB
I
IDBI=
::::>
20
3
A(B[)C) = 80../5
9
31.
m(D) = 90° => [AE]
gap olup
m(AB) = m(BE)
oldugundan,
/"-..
/"-..
m(BAE) = m(AEB) = 45°
IBEI = 512 dir.
ve
A
m(C) = 90° ve
/"-..
/"-..
/"-..
m(BDC) = 45° (BAE ile BDC aYni yaYI g6ren gevre
2x - 3 = 5 ise x = 4 :: or
Stweart Baglntlslndan
agllar) => I BC I = 412 ve I DE I = 12 ve ADE dik
Bu durumda,
I BE I = 1 ve
I EC I = 3 bulunur.
Oggeninde Pisagor teoreminden,
100 = 2 + IADI2
I
=> IADI = 712 bulunur.
AE12 = 25. 3 + 49 .1 1. 4
4
75+49-16
4
=> 1 AE 1=2.)7 bulunur.
34. Bir Oggende aglrllk merkezinin 6zeliklerinden
c
Soruda verilenler dogrultusunda
...............
=
m(BAD)
.......-......
m(BDE)
=
§ekil gizildiginde,
78° (AYni yaYI g6ren teget kiri§
agl ile gevre aglnln e§itligi) ve [00]
[DB]
m(C) = 24, [00]
olup
yamuktur.
..1 [ED, [AD] ..1
II [EG] ise ODEC bir
lOB I = I BC I oldugundan,
B den [EC]
'"
I DE I = 2)3 olur.
""
[BF]
N
dersek ve K noktaslnln
<:>.
~
~'"
n
[DE] = {K}
@
gembere g6re kuwetinden
3x . x = 3 => x = 1 olup,
ye gizilen paralel [DE] yi K da kessin. [BK] ..1 [ED] ve
10K I
= I KE I
oldugundan,
I DB I
=
I BE I oldugu
g6rOIOr;
ise [DE] II [AG] olup
§ekil
Ozerinde
yazlldlglnda
C;emberin
tanlmlndan
A merkezli
gemberin
d6rtgeni
agllar
DBEF
kiri§ler
d6rt-
genidir. C;Onki;
/"-..
/"-..
yangapl
x ise, x = 4 .
m(DFB) = m(DEB),
IACI2 >
52
42
m(FBE) = m(EDF)
=>
+
/"-..
/"-..
m(B) > 90° ve
/"-..
§ekilde g6rOIdOgO gibi
m(BFE) = 36° olup
J24
m(EFC) = 72° dir.
IAHI =
ve
IAEI = ,)24+4=2.)7
/"-..
I BF I = 6x = 6 bulur_r
/'-.
/'-..
/'-.
0
m(D) = m(C) = 90
0
m(BDC) = 60
dir.
=
I LD I
gor teoreminden,
""""'- - ALD
""""'- (A. A. benzerlik teoremi)
BLC
A
BC 12 = 75 - 50
I
I BC I
=:;>
PBC
~ = 13y
2
= 5 bulunur.
dik
2y ise,
=:;>
1
1
LC
=
ABC u<1geninde, Pisa-
BC
I
=
1
J3y
x
=
1
CD
I
=
y
J3 olur.
2y
u<1geninde
Pisagor teoreminden,
I PB 12 =
+
25
18 =:;>
I PB I = J43
olur.
P noktaslnln <1embere gore kuwetinden,
J43
IDPI .
= 12 =:;> IDPI = ~
,,43
55
,,43
I BD 1 = r;;;:; olup, buradan
1
PB I
.
I BD 1 =
~ . ~ = 55
.J43 .J43
olur .
38. Yandaki
§ekilde
""""'dugu gibi, OLK
=
gorul""""'OMK
(A. K. A. e§lik teoremi)
I LKI
= a dersek,
2
A(KLM) = a 13
4
_ (213 _3)R2
8
bu e§itlikten, R =
a(J3 +
A<110rtay uzerindeki
noktadan,
1) elde edilir.
bir
kollara
e§it
uzunlukta dogru par<1a1an
EADF kiri§ler dortgenidir. Buradan
""""'""""'EKF - AKD (A. A.
benzerlik teoremi)
KF I = .J2 = _1
IKAI
2
J2
1
<1izildiginde olu§an
gen deltoid
dOrt-
veya ABCE
kiri§ler dortgenidir.
dir.
ITKI
= ~13ve
lOTI
2
IKFI
_
-
/'-..
sin(KDF)
a
I KD
I
tan a
0
sin 135
0
/'-..
=:;>
m(KDF) = 30° elde edilir.
= ~(,J3+ 2)
olur.
2
= 1LT I = _1_
lOTI
sin 135
aJ2 - sin(KDF)
A
13+2
= 2 - ,J3 = tan
15°
39. ABCD kiri§ler dortgeninde
m(B)
=
m(D)
=
90
0
oldugundan,
A
ABC uggeninde
<;;:emberde agl ozeliklerini kullanarak DOB uggeninin
e§kenar uggen oldugunu
IACI = 21DBI
goruyoruz.
. z
yanl - = x
2
+y
y =--
aglort.:o
I DC I = -7 d'Ir.
teoremln. d en, -IBDI
5
IAC I = z ise,
buradan
[AD] aglortay oldugundan,
z-2x
Yani, IBDI = 5x
=>
DCI = 7x dir.
2
olur. B noktaslnln gembere gore kuweti allndlgc:,:o
IFBI =yigin,
=>
5.y=7.5x
y=
715
bul;..-_-
5
"'"
t:
;;,
~
'"
'"
E
.0
.,
N
@
42. Soruda
gore
verilenlere
sorulan
agisl §ekilde
BHG
gorul-
dugu gibidir.
B
[BC] ...L[AD] ve [BC]
gap olduguna gore,
I DB I = I BE 1 oldugundan
gemberler e§tir. DolaYIIAHI = IHDI
slyia AFC uggeni ikizkenardlr.
ve
(I AF I = I FC I) Ayrlca [BF] ...L[AC] olur.
'"
m(AC)
AKE dik uggeninde Pisagor teoreminden,
'" = 2m(EC)
'"
=2m(AF)
IAKI2 = (312)2 - (12)2 = 16 ve IAKI = 4 bulunur.
'"
'"
=2m(CF)=2m(FD)=a
tan
A=
=
D
'"
m(DC)
8
IKEI = _x_
IAKI
IABI
=>
-/2 = _x_
4
2-/2
IAHI = IHDI => [DH
gemberi E de keser.
......-..-..
......-..-..
m(DAF) = m(EBC)
=>
Alan(AFC) = 1.
4J2
= ~ (e§it yaylarl goren gevre agllar
4
2
= 2-/2
olur.
..•••••...•....
..........••...
........-......
m(EBC) = m(DAF) ve m(BGH) = m(AGE) oic_;.J'"IE
gore,
I AH 1 ...LI BE I olur.
/'-..
/'-..
ex
(Qemberde aC;llar) m(FAE) = m(EHG) = 4
/'-..
/'-..
ex
m(GAH) = m(AHG) =
4
/'-..
oldu-
ex
ve m(HGM) ="2
ve
ICOl2 =
4J2. 8J2,
nar oldugundan
ICF
ICOI = 8 olup
1
CFD ikizke-
= 8 bulunur.
43. [BC] ..1 [CD] ve c;ember C de CD dogrusuna tegetse, [BC] c;emberin c;apldlr.
8
[AD] II [BC] ise,
m(AB) = m(EC) ve
IABI = IECI
~
~
ABK ~ CEO (K. A. K. e§lik aksiyomu)
ve
I BK I = I ED I = 4 olur.
~
~
I EC 1=
_4_
EBC - OCE (A. A. e§lik teoremi) oldugundan,
;:
c:'">.
~
""
.c
'"
E
'"
N
20
~
IECI =
4..]5
olur.
@
46.
IEC I
$ekilde goruldugu
IACI2
=
IAKI
. IALI
gibi H001 dik uc;geninde
Pisagor teoreminden,
I 01H
1
=
dir ve [AC] c;embere C
(!·~i- (~)2
2
2
de tegetlir.
BCO, dik uc;geninde Pisagor teoreminden,
Bu durumda,
IBCI = x2 = 101B12-
olur.
49
ve
4
-
101BI2 = IHBI2 + 101HI2 dir.
Bu durumda,
IBCI2 + IC0112
= IHBI2 + 101HI2
oldugundan,
2
49
225
x +-=---+4
4
1
81
4
4
~
x=8
bulunur.
P noktasmdan
,/'-..
m(ACD) = 45° dir.
§in uzunlugu
IABI = 26 ve
gegen en klsa kiri24 ve en uzun kiri§
26 oldugundan
24 s x
+ Y
144
2
72
2
36
2
18
2
9
3
3
3
s 30
\BCI = 10 olup
olup 12,12 ve 6,24 tek oldugun-
[AB] gap oldugundan
dan 7 x 2 - 2 = 12 bulunur.
1
~
BCA
dik
uggeninde
IAC I
Pisagor teoreminden
A(ADC) = ~ . 24 . 7 -J2.
= 24 tUr.
.J2 = 84
2
bulunur.
2
Sorunun
90zumu
§ekil-
deki gibidir.
$ekilde goruldugu
gundan
gibi
1
BK I =
I
KC 1 = 1 AK
I
oldu-
[CA] 1.. [BD] ve
,/'-..
=
m(KAC)
,/'-..
a ~
m(BDC)
=
a olup [DC] 1.. [BC] ve
BCD u9geninde Oklid bagmtlsmdan
=
ICDI2
4. (4
Bir noktantn
+
5) ~
gembere
ICD\
=
6
bulunur.
C noktasl Ave B den gegen tOY ye teget olan gem-
gore kuwetinden
berin degme
x . y = 24 . 6 = 144
olur. C noktasl teget dl§mda C' gibi bir nokta oldL.-
~ 24
gunda ~
.
32
~
5. 3 = 15
I
OC
12
bulunur.
=
<
noktasl
oldugundan
ACB en buyuk
a oldugu a9lktlr. Bu durumda,
lOA
1 .
lOB I
=
1 . 3
~
laC
1
=
'o':
FAD u~geninde B noktasma gore Menelaus teoremil"\ct~l"\,
a2
a
a+b
I FG I
'IGOI'
...--....
m(OBP) = 15° olacak §ekilde [BP] yi ~izelim.
a+b
~
a+b
= 1
b) _ ab+b2
IFGI _ (a+b)(a.
:::) I GO I -
[BO], ve KBC a~lIannln a~lortaYI oldugundan,
KBOC bir deltoiddir. Buna gore,
a3
-
-a-2-
IFGI = k(ab + b2) ve IGOI = k. a2
[BO] -l [CP] olur. Oolaylslyla, HBC u~geninde,
...--....
:::) IFG I +
...--....
I GO I
=
I FD I
m(BCH) = 180° - (15°+90°) ve m(BCH) = 75° olur.
ABO u~geninde, m(A)=180° - (45°+30°)=105°
A.
:::) k(a2+ab+b2)=~a2+ab+b2
dir.
m(A) + m(BCP) = 105° + 75° = 180° oldugundan,
ABCP dbrtgeni
bir kiri§ler dbrtgenidir.
k=
Oolaylslyla
CAD ile CBP a~llan aynl yayl gorduklerinden,
~...............
ol~u-
1
~a2+ab+b2
IFGI.IFOI=
;::
leri e§ittir. Buradan, m(CAO) = m(CBP) = 30° olur. ~
>.
~
"'"
""'"E
53. E
E
olup
...--....
C
[AD] oldugun-
dan E
noktasl A
noktasl
uzerinde
:::) I FG I . IFO I
ve IFG I =
b(a+b)
~a2+ab+b2
2
ab + b
~a2+ab+b2
dir.
. ~a2+ab+b2
= b(a + b) oldugundan OGAB dort-
...--....
geni ~emberseldir. 0 halde, m(OGB) = 60° olur.
~
@
ahndlgmda, BE ve
OF dogrulanda
G
de kesi§ecektir. 0
halde,
...--....
m(OGB) = 60° dir.
$imdi sorunun genel ~ozumunu yapallm;
o
~
a
C
ABO e§kenar u~geninin ~evrel ~emberini ~izip, 0 ve
A?:J
B noktalannda ~embere ~izilen tegetlerin kesi§tikleri
noktaya C dersek, ABCO e§kenar dortgenini
elde
ederiz. Soruda verildigi gibi AB ile CE dogrulan F de
kesi§sin. [FO] nln ~emberi kestigi nokta G olsun. G,
~
E, B noktalannln dogrusalhglnl gosterdigimizde soru-
FAE - FBC (A.A. benzerlik teoremi)
nun ~ozumu tamamdlr.
:::)
_b_ = lEAl
a+b
a
IEOI=a-
~=
a+b
:::)
lEAl = ~
olur.
a+b
. 2
b
2
a +ab-a
= _a_
a+b
a+b
...--....
~
Bu soru i~in m(OGB) = 60° §artlnl saglayan G noktasmln geometrik yeri, AD ku~uk yaYldlr yorumu da
yapllabilir.
ALI$TIRMALAR
1. ABC bir uc;;gen, S(8)
C noktaslndan
dogrulannm
I AE I =
= 90°, A aC;;lslnmiC;;aC;;lortayma
5.
indirilen dikmenin ayagl D, AD ile BC
I ED I =
12 ve
Bir ABCD dortgeninde
s(C) = 60° ve
kesim noktasl E olmak uzere,
a~agldakilerden
M
dogrusuna
4 ise, AEC uc;;geninin alanl
I AB I
S(8)
I BC I
=
indirilen dikmenin
ise, ABCD dortgeninin
hangisidir?
= s(O) = 90°
ayagl H ve 'BH! = -
alanl nedir?
B) ~
D) 24
D) 2
2
16J2
E)
•~
dir. B noktasmdan:'::'
E -
(UiMO-19~-
(UiMO-1998)
2.
ABC dik uc;;geninde [AB] hipotenusunun
orta nok-
5
tasl D, c;;evrel c;;ember yanc;;apl - ve ,BC'
2
dug una gore,
merkezi
ACD
= 3
6.
01-
uc;;geninin c;;evrel c;;emberinin
ABCD bir dikdortgen,
[CD] nm orta noktasl E, [E.!.
nm orta noktasl F, I AB
I
8' Ise,
BF'
I! FA
,
ile BCD uc;;geninin iC;;teget c;;emberlerinin
J29
D)
C) ~
2
2
E) 2-,::
C) ~
merkezleri araslndaki uzakllk nedir?
A)
a:.,
= 4 ve bu dikdortgenin
d' ?
ne Ir.
2
5J34
E)
-
2J2 :.
12
(UMO-2003)
";;.
~
'"'"
.0
E
~
@
7.
c;;iminde bir kaglt, bir ko~egeninden
0 duro ADO uc;;geninin
c;;evrel c;;emberin merkezi
Kenar uzunluklan a ve b (a > b) olan dikdortgebukulerek·,,=
katlanlyor ve tek kat kalan klslmlar kesilerek
c;;evrel c;;emberi, [AC] yi A ve E noktalannda
I AE I
I DE I
= 7,
kesiyor,
:'-
k::<~
tekrar aC;;llIyor.Ortaya C;;lkan~eklin alam a§agldao( -:-
-------
= 8 ve m(AOD) = 45° olduguna
den hangisidir?
gore ABC uc;;geninin alanl nedir?
A) 56.)3
B)
56J2
C)
50J2
C)
D) 84
E) Hic;;biri
L
E) .E-.(a2+ b2)
2a
(UiMO-2X/J
(UMO-2003)
4.
Bir ABCD karesinin
olsun, [BC]
~ekilde
[DC] kenannm orta noktasl K
kenan uzerinde
bir L noktasl
dogrusuna
indirilen
a'--:: :.:
allnlyor.
dikmenin
I BC I =3/
BL I olacak
K noktaslndan
ayagl
H ise,
AL
I,~~ II
8.
Bir ABCD paralelkenannln
alam 20 olup, [BC] ke-.:-
nnm orta noktasl P dir. PA dogrusu,
nedir?
[BD] ko~e2-:n-
ni R noktasmda kesiyorsa, Alan (PRDC) kac;;tlr?
A)
.J2
2
B)
.j3
2
C)
3
J10
D)
2
J10
E)
1
J6
(UiMO-1997)
A) 25
3
D) 12
E 2:
-
9.
o merkezli
duzgun
ABCDEF
beri uzerinde bulanan, tabam ise bu e;emberin bir
e;apl olan yamugun
orta noktalan
K, L, M, N, P, R
IAB I
13. Bir e§kenar ue;genin kenarlan, ko§eleri, e;evrel e;em-
B
ke-
altlgeninin
narlanmn
K
A
c
F
dir.
ue; kenanna paraleldir. Ue;genin
alanlnm yamugun alanma oranl nedir?
B) 4 -
= 12 em olduguna
../3
C)
../3 + 1
2
gore, §ekildeki taranml§
E
D
N
3
E) Hie;biri
bolgelerin alan Ian toplaml kae; em2 dir?
(UiMO-1999)
D) 48
E) 36
(UiMO-1996)
10. Yane;api 5 birim olan bir e;ember, yane;apl 9 birim
olan ba§ka bir e;embere A noktaslnda
Buyuk e;ember uzerinde,
I AB I
ie;ten tegettir.
= 12 birim olaeak
§ekilde see;ilen bir B noktasmdan
kue;uk e;embere
14. $ekildeki
e;izilen teget pare;aslnln uzunlugu nedir?
kue;uk
berin yane;apl
E) 7 ;;:
'";;,
t:
~
'"
'"E
'"
.0
11. Bir ABCD karesinin ie; bolgesinde AEB, BFC,
CGD
ve DHA ue;genleri, birer e§kenar ue;gen olaeak bi-
I AB I
e;imde E; F, G, H noktalan ahnlyor.
EFGH dortgeninin
alam
kae; em2
N
@
e;emberin
J16
buyuk
yane;api
da
dur Kue;uk e;ember,
buyuk e;emberin merkezinden
gee;iyorsa, tarah
bolgenin alanl nedir?
= 8 em ise
A)
olur?
15,
e;em-
215
B) 5n -
2
J10
C) 5J2
D) 5rc - 10
E) 5
(AUMO-2003)
A) 128 -
64J3
D) 20 -
J2
E) Hie;biri
(UiMO-1996)
12. iki farkh noktada kesi§en C1 ve C2 e;emberlerine Slraslyla, A ve B noktalannda teget olan t1 dogrusu ile,
e;emberlere vine aym slra ile C ve 0 noktalannda teget
olan t2 dogrusu, P noktasmda kesi§iyor. BC dOgTUSU
C1 ve C2 e;emberlerini ikinei kez siraslyia E ve F noktalannda kesiyor.
I BE I
I BP I > I AP I =
= 4 ise, Alan(BPC)/Alan(APC)
B) ~
2
C)
2../3
3
18,
I EF I =
1 ve
nedir?
D) ~
15. Yane;aplan 4 ve 8 olan, birbirlerine A noktaslnda dl§tan teget iki e;ember verilsin. Buyuk e;ember uzerinde ahnml§ bir B noktasmdan,
noktasmda
E)
J2
(UiMO-2001)
ise,
I BC I
kue;uk e;embere bir C
teget olan dogru e;izilmi§tir.
nedir?
IAB I
=
J2
19. Bir ABCD dikdortgeninde
16. A§agldaki §ekilde ABCD konveks
dortgeninde
[CD]
kenarlannm
e§it
pan;:aya
[AB]
ve
-
noktasl ve BC kenan uzerinde t:: - :.
.""""-
her biri 5
bolunmu§
AB ke-::.-
.""""-
PBO
ve
ve OCD
u<;:genlerinin
a:::.-::.-
bi<;:imde ahnml§tlr.
ortaya <;:Ikanku<;:ukdortgenler
numaralandlnlml§tlr,
Buna gore
1 numarall dortgenin
alanl
12
I
d"
ve 5 numara I ortgenln.
A)
I AP I
oranl nedir?
IPBI
-J5 +1
B) 3
1
2
5
-J5 + 2
C)
L
L-
4
alam 46 birim ise, 4 numarall dortgenin alanl a§agl5
dakilerden
hangisidir?
D) 7,2
E) 7,7
.""""-
= 30 duro B den ge<;:en .=!.C-
Alan(ABC)
(AUMO-2001 )
olan dogru,
[AC] yi E noktasmda kes'.,'7
IAE I : I EC I = 3 : 2 ise,
ABCD
yEC
.J~
nedir?
17. ABCD karesinin AB kenan uzerinde E noktasl ve AD
-2
>-
~
'"
"E
.c
<;:imde allnml§tlr. [EF] ile [AC] nln kesi§tigi nokta G
1
1
olmak uzere I AG I = 1 ise, -+ -.toplaml
IAEI
IAFI
A) 1+
12
2
B)
J2 +
1 C)
2
2
D)
(J2 +
2)sin 75° E)
..
J2
(AUMO-2001)
~ 21.
./"-..
Bir XOY a<;:lsmln [OX kena-
@
n uzerinde
§ekilde A, B, C noktalan;
[OY kenan uzerinde de
1001
= IDEI
= IEFI
ola-
cak §ekilde 0, E, F noktalan allmy:ise, a§agldakilerden
hangisi dogn .•:_-
./"-..
.""""-
A) Her XOY a<;:lsli<;:in, Alan(AEC) > .l.,.
./"-..
18. ABC u<;:geninin AC kenan uzerinde bir M noktasl ve
.""""-
B) Her XOY a<;:lsli<;:in, Alan(AEC:
./"-..
BC kenan uzerinde bir N noktasl allnml§tlr. [AN] ve
.""""-
C) Her XOY a<;:lsli<;:in, Alan(AEC:
[BM] dogru par<;:alanmn kesi§im noktasl 0 olsun.
.""""-
B) 40
21
C) 20
11
.""""-
Alan(AEC) > Alan(DBF)
D) 3
E) 60
31
(AUMO-2002)
E) Hi<;:biri
= .l.,.'
< .l.,.
25. [AB] ve [DC] kenarlan paralel olan ABCD yamugu-
22. $ekilde ABCD ve
APQR
nun ko§egenlerinin
dikdortgenleri-
nin alanlan sirasl ile a
I BD
R
I
uzunluklan
lAC I
= 5 tir. [AB] ve [DC] kenarlannln
=
3,
orta noktalan
araslndaki uzaklik 2 ise, bu yamugun alanl ka~tlr?
ve b dir. Af,iagldakilerden hangisi dogrudur?
E) ~
B) ~
2
2
A) a < b
B) 4a = 3b
(UMO-1996)
C) a = b
E) a > b
D) 3a = 2b
(UMO-1994)
/'-..
m(AED) = 90
0
23.
ABCD dl§bukey (konveks) dortgeninde
IAB
I
[BD] nin orta noktasl F
= 12,
/'-..
IBCI
=
4, ICDI
olduguna
=
3, IDAI
=
gore, bu dortgenin
=
13 ve m(BCD)
0
90
§
c:
alanl a§agldakilerden
hangisidir?
D) 48
ve
E) 84
dir.
lEAl
= a,
:;,
IEFI = b,
.0
I EDI = c ise,
~
"'"
'"E
~
©
(UMO-1994)
24. Bir XOY a~ISlnln OX kenan uzerinde
100 I
= 5 olacak
lOA
I
= 3,
bi<?imde allnan Ave 0 noktalan,
OY kenan uzerinde de I OC I = 4 ve lOB I > 4 olacak bi~imde alinan C ve B noktalan i~in
[AB]
II
[DC] = {E}
ve IAEI . lOBI
3.
= 31EBI
ise
lOB I ka~tlr?
A) 60
7
27. Bir ABCD paralelkenanntn
2.
I AE I =
I AF I =
ntyor. [EF]
B) 55
6
C) 19
4
D) 8
E) 6
(UMO-1996)
A)7
I EB
I
[AB] kenan uzerinde
ve [AD] kenan uzerinde
I FD I olacak bi~imde E ve F noktalan allII
[AC] = {K}
B)6
ise
C)5
IAC I
IAKI
nedir?
0)4
E)3
(UMO-1996)
28.
[AC] ve [BD] kb§egenlerinin
M ve N (M
* N) olan
31. Bir
orta noktalan, siraslyia
bir ABCD dbrtgeninde
ABCD
I AE I
MN dog-
=
karesinin
I ED I
[AD]
kenan
uze~ -:>:
olacak §ekilde bir E noktasl ile
:c<=.
kenan uzerinde bir F noktasl allnlyor.
rusu [AD] kenannl P, [BC] kenanm da Q noktaslnda
kesiyor. Alan(MAP) = x ve
Alan(PDCM)
A)
= y ise
x+2y
B)
2y
D)
...a..
I QB I
, IQCI
A(BFP) = Sa cm2 olduguna
nedir?
nnln uzunlugunu
V-x
C)
2x
V-x
l<'?- 2:-
a cinsinden bulunuz.
2x+y
Y
E)
x
gbre karenin bir
y-2x
2x
(UMO-1997)
32.
$ekilde ABCD bir
dikdbrtgendir.
IECI
= 4,
IDEI = ICBI - 1 olduguna gore, ABCD dikdortgeninin alanl nedir?
ltl
c:;,
29.
Bir ABC uc;geninde
I AB I =
14,
I BC I =
~
'"'"
12,
.0
I AC I = 10 ve 0, [AC] ustOnde bir nokta olmak uzere, I AD I = 4 tOr. E, [BC] ustOnde bir nokta ve
...a..
...a..
...a..
Alan(ABC)
= 2 Alan(CDE)
ise, Alan(ABE)
D) 4J2
E
~ 33. Bir ABC uc;geninin [AB] kenannln orta noktasl P den
@
[BC] ye c;izilen paralel dogru
kesiyor. [BC] kenan uzerinde I BR I = 21RC I olan bir
nedir?
E)
[AC] kenanm Q da
R noktasl allmyor. PQ ve AR dogrulannln
4J5
kesi§tigi
nokta S olsun. AQS uc;geninin alan! 1 ise PSRB
(UMO-1999)
yamugunun
alan! kac;tlr?
D) S
E) E
(AOMO-1998.'
34.
Yuksekligi
3 olan ABC e§kenar uc;geninin [BC] ke-
nanna orta noktaslnda teget olan ve diger kenarlar
30.
Kb§eleri bir c;ember uzerinde bulunan dl§bukey
sekizgenin
dbrt kenannln
kenanmn uzunlugu da
6J2
uzunlugu
bir
2, diger dbrt
ise, bu sekizgenin alanl
c;emberi uc;genin dl§lnda kestigi noktalar 0 ve E 01mak
uzere,
Alan(ABC)
nin Alan(ADE)
ye oran
kac;tlr?
kac;tlr?
A)120
da kesen 2 yarc;apll c;ember C;iziliyor. AB ve AC nir
B)24+68J2
C)88J2
0)124
E)72/3
(UMO-1999)
A) 2(S
+ /3)
D) 2(3
B)7J2
+ J5)
E)
C)S,3
2(/3 + J5)
35.
Tabanl ABC e§kenar uggeni ve tepe noktasl Tolan
bir duzgun
piramidin
38.
ABC dik uggeninde, C noktaslndan
hipotenuse
(ya-
ni [AB] kenanna) indirilen dikmenin
hipotenusle
ke-
si§im noktasl H olmak uzere, IAH I
=
[AB], [BC], [CT], [TA] aynt-
lannln orta noktalan siraslyia P, Q, R, S ile gosterilmek uzere, bu piramidin
birimdir.
cisim yuksekligi
2fi5
ve
IAB I = 6 ise, Alan(PQRS) kagtlr?
A) 4fi5
B) 8)2
C) 8,,13
[CH] yuksekligini
gap olarak kabul eden
gembere A ve B noktalanndan
D)
6J5
5 ve I BH I = 7
gizilen ([AB] den fark-
iI) tegetlerin gembere degme noktalan slraslyla F, K
E) 9)2
ve bu tegetlerin kesi§im noktasl G olsun. Bu durumda I FG I uzunlugu a§agldakilerden
hangisidir?
D)4
E) 4,,13
(AUMO-2001)
36.
ABCD
paralelkena-
nnda,
21FEI
=
IECI =
IFCI
=
6
3J5
ICBI = 5 ve
....•......
....•......
m(FCE) = m(ECB)
olduguna gore A(ABCD)
'"
c>.
;!.
kagtlr?
""
E'" 39.
~
Bir ABC uggeninde
I BC I = 7 ve
IAB
I
= 9 duro
@
37.
C;:evrel
gemberinin
merkezi
0, [BC] nln
orta noktasl Dolan
[AH
(I
[BC]
olmak uzere,
ise,
laD
I
=
40.
{E}
Dar aglll bir ABC uggeninin
gapl, merkezinin
laD I
IAC
nedir?
I=
2,
gevrel gemberinin
AB ye olan uzakilglnln
I BC I =
yan-
iki katldlr.
3 ise C den gegen yUkseklik ne
olur?
A) ~
4
D)
2J6
E) ~
2
(AUMO-1999)
A)
ff4
B) ~
7
J21
C) ~
7
J21
D) ~
2
J21
E) ~
3
Ji4
~6Z0MlER
.L:>.
.L:>.
1. ADC - CDE
~
3.
A
--16 = --IDC
IDCI
I
M
ABC uggeninde
orta
olur ve
D
0 da
nokta,
4
buradan
I DC I
=
8 elde
gemberinin
edilir.
mer-
kezi ise OD dog-
A(AEC)
=
= 48
8.12
2
rusu [AB] nin orta
bulunur.
dikmesidir.
0 hal-
de, ADO uggeninin
c
2.
gevrel gemberi igin
[AO] gaptlr ve bundan
rOE] -l [AC]
oldugundan
Bu durumda
[DE]
...---......---...
m(AOD)
.L:>.
'";;.
"~
dolayl
A(ABC)
=
m(AEO)
1
=-
2
II
ve
kiri§ler d6rtgenino::
...---...
=
45° den m(BCA)
=
14 . 16 . sin 45°
oiL."
[AC] r-
OE dogrusuda
[BC]
=
rOE] -l [AC]
45° dir.
J2
7 . 16 . -
2
=
-
56.2
"'.0"
ACD uggeninin
merkezi 0 olup,
gevrel gemberinin
'"E
~'"
yangapl R = IOD I dir.
ICD I = I DA I oldugundan
...---...
[OD]; [AC] nm orta dik-
...---...
mesi ve m(CDO) = m(ODA)
o
halde
I DI I ve
[DN] -l [DO]
I DO I
4
.L:>.
! DN I =
olur.
uzunluklan bulunursa
gor teoreminden
A(ABC)
I IO I da
Pisa....
bulunur.
3
.L:>..L:>.
= -' - =
6 ve A(BDC)
2
2 ve 3
dlr.
=
A(DAC)
=
4r ~
=~
r
ig teget gemberinin yangapl ve r = IIt'.!
1
dir.)
~
~
+
A(ALK) = A(ABCD) - [A(ADK)
A(DAC) = ICDI . IDAI . IACI
4R
~
3
=
IIO 12 =
5 5
-. -.4
2
2
4R
ve R =
(~~i+ (15)2 =
12
12
1
IHKI
25
-
dir.
12
5134
12
HK
bulunur.
1
.
f10x = 36x2
.!f6. x =
-
15x2
(9x2
~
+
ILKI-
I
~
A(KLC)
6x2
+
6x2)
IHKI
=
1~
I LK I = 5x (KCL dik uggeninden)
1HK 1_
'2LXx
.......
.•.....
(r: BDC uggeninin
.
'//\H':\'\'
3 tUr.
6x
=
/\
15 _ 3
~
- ~ bulunur.
-v10.5
,,10
,,10
+
~
A(ABL)]
ve
L:>..
= A(ABCD) - 2A(ECB)
H
L:>..
0"
L:>..
ABH ~ BCE (AKA.
A
e9-
/11'"
lik teoremi) dir ve
D
( a2b - b3
2a
= a.b -
buradan,
b
2
2 a .(a
BDEH kenar
1 birim
b.x
2
= a.b - 2.
j
'\
b2) bulunur.
+
uzunlugu
olan
Cevap E
bir kare
oldugundan
C
Cevap E
L:>..
L:>..
8.
6.
ABDC dikdortgeninde,
E
2
C
IABI = 4 ve
$ekilde, RPB ~ RAD ve
c
k = ~ oldugundan,
x
A(RPB) =
S
=>
A(ABCD) = 8
I DR I = 2
=>
A(RAB) = 2s ve A(DRP) = 2s ve
IRBI
1 DE I = I EC I = 2 oldugundan ADE uggeni ikizke- ~
A(DCP) = 3s olur. Buradan;
c:;;,
nar dik u<;;gendir. F noktaslndan
dikmenin
ayaglna
u<;;geninden
I FB I
J10
=
Buradan
[AB] kenanna inilen
H dersek,
I FH I
AHF
ikizkenar
1 ve FHB dik
~
12s = 20 => A(PRDC) = 5.
'"
dik 11
Sorunun
olur.
IBF I
I FA I =
J10 rr;.
.f2 =" 5
bulunur
<;;izi-
geometrik
$ekilde
nar
e91ik
lOR
b
= IECI = x olur ve
=
I RK I
dugundan
= 6,J3 01-
ROK u<;;geni,
6,J3 bir
END
0
e9 u<;;genler olup tepe a<;;i1an120 dir.
= x2 + b2 =>
uzunluklan
FRO
e9kenar u<;;gendir. RAK ve FEN u<;;genleri ikizkenar
gar teoreminden
kenar
I
kenar uzunlugu
DAE dik u<;;geninde Pisa-
kat kalan klslmlar
u<;;gen olup
(30, 60, 90) u<;;geninden
teoremi) oldugundan
(a - x)2
goruldugu
gibi ROK u<;;geni ikizke-
A
L:>..
DAE ~ BCE (AKA
IAEI
bulunur.
u<;;geninde ~'"
mi yandaki gibidir.
L:>..
20
25
12
=3
E
9.
7.
B
A
A(RAD) = 4s olur.
X
kesilip
=a
2
- ~
2a
2
bulunur ve tek
kaglt tekrar
Buna gore,
_"",-
a<;;lldlglnda
I DE I ve I EB I olan bir paralelke-
nar elde edilir. Meydana gelen geklin (paralel kena-
Tarail a!anlar toplaml = 2A(RAK)
= 2
=
l
. 2'
66 . 1200 (6J2,)2.J2,
.. sln
+
4
18,J3 + 27,J3
=
45,J3 bulunur.
+
L:>..
A(ROK)
jBAI2
10. Cemberlerin
I
benzerliginden,
IACj =.':1=~
JABI r2 9
oldugunu
BA
12
= 4(5
+
IFCj) ve
2
=
I
DC 1
=
1FC I (I
FC I
+
5) olup bu iki
e§itligin c;;ozOmOnden I FC I =4 ve
I AB I = 6
bL - - -,'
soyleyeve A(BPC) =.± bulunur.
A(APC)
3
lAB I = 12 ise,
20
IACj =
3 ve
-16
3
.. ..k c;;emb ere
bulunur. B no ktaSlnln k uc;;u
gore kuvvetinden;
12 => IBTI = 8 bulunur.
I BTI2 = ~.
3
13. $ekilde
gorOldOgO
yamugun
mn
11.
Soruyu
zihnimizde
zenledigimizde
merkezli
§erli kesi§im
noktalan
bir
karenin
ko§eleridir.
Oc;;gen oldugun-
I ER I =
4J3
Yamugun
Oc;;
alan-
e§ittir.
R2.J3
Alam=-4-·3
AEB
ve
I GT 1 dir.
Oc;;genin
iki-
e§kenar
dan I ET j =
Rolan
lannln toplamlna
A,B,C,D
c;;emberlerin
alam bir kenan-
uzunlugu
e§kenar
dO-
gibi
E§kenar Oc;;geninalam = R~
.R .3 tOr.
A
1
oldugundan
8J3 -
Alan(EFGH)
= 128 -
EG I
x dersek,
x = 8 e§itliginden x =
64J3
EFGH kare
8J3 -
Uc;;genin Alan I = 1 olur.
Yamugun Alam
8 ve
bulunur.
12. Soruyu geometrik
olarak
yandaki
ifade
edersek
§ekilde
14. A010
go-
leri ikizkenar
rOldOgO gibi olur. Her
olduklanndan,
iki c;;embere de dl§tan
teget dogrulann
teget noktalar araslndaki
nnln uzunlugu birbirine e§ittir, yani
parc;;ala-
Oggen-
dik Oc;;gen
A,
°
1,
B
noktalan dogrusal olur.
I BA I = I DC I dir.
1 BA I = I DC I => B noktaslnln C1 merkezli c;;ember
ile C noktaslnln C2 merkezli c;;embere gore kuvvetleri
e§it olacaglndan,
ve B010
tarall alan = -5n 2
[10n)
-4
5 = 5 br 2 bulunur.
Cevac E
01 ve 02 merkezli ~emberler benzer olup benzerlikleri oran!
.!i = 2
k=
8
15
---38
dir.
5+38
r2
:::::?8 = 40
21
IAB I = 2
olacagmdan IAD I = J2 buluIADI
2
nur. B noktasmm 02 merkezli ~embere gore kuweti
Buradan
12. (12 + J2)
IBC\2 =
= 3 :::::?IBCI =
2
16. $ekli
13
bulunur.
olur.
[AD] II [BC] durumu-
na getirirsek, durum degi§-
;::';;,"
j?
"'"
'"
~ 19.
.0
8+a=
1:
I:::::? 8a = 34
5
46
5
8+9a=-
@
17
20
a= -
bulunur.
4 nolu dortgenin alan!
12
17
24+ 51
= 8 + a + 6a = - + 6 . - = -= 75
5
20
10
'
olur.
8 = (a + b)x = b . Y = (x + y) . a ise,
(a + b)x = (x + y) . a
L::>..
L::>..
17. A(FAE) = A(FAG) + A(GAF)
J2 +y.1. 2J2
x.y=x.1·
2
J2
x. y = 2(x+y)
2
:::::?-=-+-
J2
1
x
a
0
Y
b
... (1)
(a + bx = by e§itliginden,
F
x
b
ax + bx = by :::::?- = -Y a+b
... (2)
(1) ve (2) nolu e§itliklerden,
1
bulunur.
y
1
1
c
-+ -= .,;2
IAFI IAEI
Alanlar
x
ax + bx = ax + ay:::::? - = -
L::>..
bulunur.
_a = __b
b
a+b
:::::?a2 + ab - b2 = 0 dan
~= .J5-1
b
.
2
.
215
"""""-
"""""-
20. ABE - CEK (A. A. Benzerlik teoremi)
24. COD u<1geninde, D noktasl-
olup
na gore meneleus
teoremini
uygularsak,
"""""-
=> A(AEB) = 18,
"""""-
A(BEC) = 12,
"""""-
A(KEC) = 8 dir. ADKB paralelkenar
"""""-
I BE 1_
2
4
=>
IBEI
lEAl
"5 . I CB I . I EA I - 1
_5~.I_CB_I ... (1)
8
olup,
"""""-
=> IAEI.IOBI
A(ADK) = A(AKB) = 30 duro A(ABCD) = 80 dir.
=3.IEBlve
(1) ve (2) nin e$itliginden,
21. $ekilde
5. I CB I = lOB
8
goruldugu
lOB
gibi ACFD bir yamuktur.
IEBI=IOBI
IAEI
3
Yamukta
alan
I
... (2
.
I
3
=> I CB I = x - 4
= x
5. (x-4)
=> 15x-60
=~
= 8x => x = 60
olue
837
ozeliginden
"""""-
"""""-
A(AEC) = A(DBF)
_ A(ACFD)
2
~;. 25.
;!.
22. Soruyu ABCD ve APQR dikdortgenleri
dive duzel-
tirsek APD u<1geninin alanl, hem ABCD
APQR
dikdortgeninin
Dolaylslyla
alanlnln
yanslna
hem de
"'"
~
'"
E
~
@
e$ittir.
a = b dir.
$ekilde, F, G, E ve D noktalan siraslyia bulunduk!e.kenarlann
orta noktalan allndlglnda
FGED parals.
kenardlr.
I ED I =
I AC I = ~
2
2
(2)2 + (~)2 = (~)2
2
2
ve FED u<1geninde,
=> m(FED) = 90° olur ve
Pisagor teoreminden,
A(ABCD) = 2 A(GEDF) = 6 bulunur.
I BD!
= 5
ABD
u<1geninin
uzuniuklan
bu!unur ve
5,
kenar
12,
13
oidugundan
"""""Dortgenin alam A(ABCD) = A(BCD)
+
"""""A(ABD)
= 36
.'
..........
:.::(....
..........
/'--
/'--
,
EAFD kiri§ler dortgeni olup (DEA)+m(DFA)
I AD I
= 180°)
MN AB yi K da kessin. ABC uc;:geninde K noktaslna
= ~ a2 + C2 (AED dik uc;:geninde Pisagor teo-
gore Meneleus teoreminden,
I QB I . I MC I . I KA I = 1
I QC I I MA I I KB I
reminden)
DFA ikizkenar dik uc;:gen oldugundan,
dir.
.L>..
..
ADB uc;:geninde yine K noktaslna
I DF I = ~ a
+c
dir ve EAFD kiri§ler dortgeninde
.J2
teoreminden
~
~ a.J2c
(~a2+c2).b=
(KQ dogrusu ic;:in)
I QB I . I MC I . I KA I = 1
I QC I I MA I I KB I
Pytolomi teoreminden,
.(a+c)
=>a+c=bJ2
dir,
I QB I = I PD I
IQCI IPAI
Bu iki e§itlik taraf tarafa c;:arpllirsa
olur.
2
2
A(A13D) = a + c
2
=>
de edilir. PMD uc;:genini alan! x + y _ x = y - x
(a + cf - 2ac
2
2
= (b.J2)2 - 2ac = b2 _ ac
;::"'"
>.
bulunur.
y-x
o
~
2
Cevap E
I QB I =
halde,
2-
IQCI
-'"
~
E
x
~
@
29.
u = 14+10+12
=
18
2
A(ABC) = .)18.4.8.6
.L>..
.L>..
[EF n [CD = {R} olsun. RFD - EFA (A. A. Benzerlik
teoremi) ve
I AE I 1
-= -IRDI 2
=
24..J6
olur.
A(ABE) =
24..J6
=
.L>...L>..
olur. AKE - CRE (A. A. Ben-
zerlik teoremi)
6
=>
I AE I = ~
IRDI 2
. =>
IACI
iAKI
=7
gore Meneleus
4..J6
= Y- x
2
bulunur.
2
el-
dir.
30.
8ekizgenin
tOm
ko§eleri bir gember Lizerinde 01duguna
ve
6J6
gore
2
uzunluk-
Ianni ardl§lk slralamallylz.
4a
+
ABCD dikdortgeninin
4~ = 360°
paralel [AB In! P noktaslnda
-=> a + ~ = 90° dir.
A(AOB) + A(BaC)
C ko§esinden
IECI
= ~+
2
o halde,
;/"'~~\h
4 ve m(ACP)
= 124
bulunur.
;: 33.
;>ekilde gorLildLigLi gi-
~>-
bi Liggende tarah alan-
~
'"
lardan,
~
A(P8RB) = 4 bulunur.
oX
.£J
@
L:>.
31. A(ABP) = 8 olsun.
A(ABE) = A(ABCD)
ve
4
34.
A(ABF) = A(ABCD)
;>ekilde
gorLildLigLi
gibi ADE Liggenide e§-
2
kenardlr.
oldugundan,
4(a + 8) = 2. (8a+8)
IOAI = 1
dir.
-=> IHAI
Bu e§itlikten,
2a + 28 = 5a + 8
=~.J3
halde A(ABCD) = 16a ve
olup
2
I AD I = ~4 _ ~
=
4
3a = 8 tir.
o
I AB I
=
90° olur.
A(ABCD) = 6 . 9 = 54 tOr.
\
:
toplam alan = 4.31
=
(x + 1)2 = 4(x + 4) -=> x = 5 bulunur.
4 tane AOCB dortgeni
oldugundan
IBPI
kessin. Bu durumda.
ACP Liggeninde Oklid bagmtlsmdan,
= 31
4J2 . 6J2
2
=
/'-.
[EB] na gizilen
=
4Ja
bulunur.
2
I AD I = J15 _ .J3
2
J15
2
36. FEC u<;geninde
1AB 12.)3
A(ABC) _
A(ADE)
4
(3J5)2 = 62
_(I AB 1J2
I AD I
1AD f.)3
+
32
old.ugundan
4
/'-.
m(CFE) = 90° dir.
=l
4.)3
ff5 -.)3
J2 =6+2,/5
[FE
[CB = {P}
II
ve Eden
[CP] na
inilen
E\....
\ ....
dikmenin
5\
ayagl H olsun. Bu
p'.,
durumda
IEHI
=
3 ve
=
IHBI
1 olur.
FCP u<;geninde a<;lortay teoreminden
I EP I = 5 ve
I HP I = 4 bulunur. CEP dik u<;geninde [FB] kenar-""""
ortay oldugundan
35.
-""""
2 . A(CFB)
$ekil duzgun piramit oldugundan
IPRI = 10SI
-""""
A(CFB) = A(BFP)
= A(ABCD)
ise
dir.
A(ABCD)
=
24
olur.
tir.
Aynca PORS bir paralelk.enar olup,
([PS] II [OR] ve
[BT] II [OR] ise
[PS] II [OR])
PORS bir dikdbrtgendir.
37.
Piramidin yuksekliginin
1
TH I
= 2m,
=
den IATI
1
HC I
IBTI
=
ayaglna H dersek,
=
olup, THC dik u<;genin-
2'1"3
ICTI
= 612
bulunur.
ABC
u<;geninin
<;evrel <;emberinin
merkezi
aile
ko§esini
tiren
B
birle§-
dogru
<;em-
beri F de kessin.
BF <;ap oldugundan, [BC] l- [FC]
olur. Yuksekliklerin
kesi§im noktasl H oldugundan,
[AE] l- [BC] ve [BF] l- [AC] ~ AHCF dortgeni
bir
paralelkenardlr.
1
PO
1
=
I
AC
2
I OR I = I TB
2
Alan(PORS)
Alanlar
I
1
IOD
=3
= 3J2
I
= x
I FC 1 =
liginden
2x
yamuk oldugundan,
dir ve
= 3 . 312 = 912
ise, BCF ve BDO u<;genlerinin benzerve
1
AH 1 =
olur. AODH bir
bu yamugun alam,
x. x + 2x = 9 ~ x = 16
bulunur.
2x
bulunur.
2
219
38. Soruda verilen durum §ekildeki
gibidir.
uggeninde
ACB
Oklid
dik
bag In-
tlslndan gemberin yangapl
,J35
r = --
bulunur.
2
A(GAB) = u . r = ~u . (u - a)(u - b)(u - c)
l~
olup
$ekilde goruldugu
.(12+X)r=(12+X).X.7.5
IATI = ITBI,
gibi lOA I = 21OT I ve
lOT] 1.. [AB] oldugundan
/'-.
/'-.
m(AOB) = 120° ve m(ACB) = 60° olup,
(12 + x)2 = 48x + 4x2
~
144 + 24x + x2 = 48x + 4x2
(30° - 60° - 90°) uggeninin ozeliklerinden
~
3x2 + 24x - 144 = 0
IABI =
~
x2 + 8x - 48 = 0 ~
2
"
Cevap D
""
;
'".c
"E
"
N
@
39. ~oziim 1
Uggende aglortay teoremi
na n1n uzunluk
for-
mulunden
49k2 = 63 - 63k2
~
k = ~
4
bulunur.
3
k
="4
B
ise
IBCI = 7 ve
lAB
1=
9,
IACI = 12 dir.
A(ABC) = .)14 . 5 . 7 . 2 = 14
-J5
bulunur.
~oziim 2
""""- ~ ANB
""""ABC
dir.
~ = 16k
9k
9
~
ve
A(ABC) = )3.3 = he' 17
x = 4 v x = ~ 12 den
/\
ve
J7
k2 = ~
ve k = ~
16
4
gozum yukandaki gibidir.
olup
2
~
3 ~21 bulu-_'
he=-\ILI
7