Haberleşme - Erol seke - Eskişehir Osmangazi Üniversitesi
Transkript
Haberleşme - Erol seke - Eskişehir Osmangazi Üniversitesi
1 Haberleşme Başlangıç Seviyesi Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Erol Seke 2 İçindekiler 1 Giriş ........................................................................................................................................ 5 2 Frekans ve Tayf ................................................................................................................... 13 2.1. Fourier Serileri............................................................................................................... 16 2.2. Fourier Dönüşümü ......................................................................................................... 20 2.2.1. Elektromanyetik Tayf ............................................................................................. 28 2.2.2. Soru - Cevap ........................................................................................................... 33 2.3. Kesikli Fourier Dönüşümü ............................................................................................ 34 2.3.1. Soru-Cevap ............................................................................................................. 39 2.3.2. Çözümlü Problemler ............................................................................................... 40 3 Örnekleme ve Nicemleme ................................................................................................... 45 3.1. Sayısal Yukarı/Aşağı Kaydırma .................................................................................... 49 3.2. Nicemleme ..................................................................................................................... 53 3.2.1. Soru-Cevap ............................................................................................................. 58 3.2.2. Çözümlü Problemler ............................................................................................... 59 4 Gürültü ve Olasılık .............................................................................................................. 62 4.1. Olasılık Dağılımı ........................................................................................................... 63 4.1.1. Periyodik İşaretlerden Alınan Örneklerin Dağılımı................................................ 66 4.1.2. İşaretlerin Benzerliği .............................................................................................. 70 4.2. Gürültülü İşaret .............................................................................................................. 73 4.2.1. Kanal Kapasitesi ..................................................................................................... 75 4.2.2. Çözümlü Problemler ............................................................................................... 79 5 Analog İletişim ..................................................................................................................... 82 5.1. Genlik Modülasyonu ..................................................................................................... 83 5.2. Açı Modülasyonu .......................................................................................................... 91 5.2.1. Soru-Cevap ............................................................................................................. 97 5.3. Analog Televizyon ........................................................................................................ 98 5.3.1. Renkli Görüntü ..................................................................................................... 105 5.3.2. Görüntüleme Teknolojileri ................................................................................... 108 5.3.3. Çözümlü Problemler ............................................................................................. 112 6 Sayısal İletişim ................................................................................................................... 114 6.1. Gürültünün Etkisi ........................................................................................................ 120 6.2. Sembol Dedektörü ....................................................................................................... 127 3 6.3. Eşzamanlama ............................................................................................................... 134 6.4. Sembollerarası Etkileşim ............................................................................................. 136 6.5. Genlik Anahtarlaması .................................................................................................. 143 6.6. Faz Anahtarlaması ....................................................................................................... 145 6.6.1. Çözümlü Problemler ............................................................................................. 151 7 Kanal Kodlama .................................................................................................................. 153 7.2. Hata Bulma .................................................................................................................. 154 7.2.1. Basit Parite............................................................................................................ 156 7.2.2. Boylamasına Parite kontrolü ................................................................................ 156 7.2.3. Toplama Sağlaması............................................................................................... 157 7.2.4. Döngüsel Tekrarlılık Kontrolü ............................................................................. 157 7.3. Hata Geribildirimi........................................................................................................ 157 7.4. Hata Düzeltici Blok Kodlar ......................................................................................... 160 7.4.1. Hamming Kodları ................................................................................................. 164 7.4.2. Döngüsel Kodlar ................................................................................................... 166 7.5. Evrişim Kodları ........................................................................................................... 171 7.5.1. Viterbi Algoritması ............................................................................................... 174 8 Kaynak Kodlama ............................................................................................................... 182 8.1. Veri Sıkıştırma............................................................................................................. 188 8.1.1. Shannon-Fano Kodlama ....................................................................................... 190 8.1.2. Huffman Kodlama ................................................................................................ 191 4 Önsöz Bu kitapçık, haberleşme teorisi ve sistemlerine ilk defa muhatap olacak elektrik (ve elektronik) mühendisliği öğrencileri için, sadece esası anlamaya yetecek gerektiği kadar detay ve örnek verilerek yazılmıştır. Öğrencilerin "devre analizi" ve "sistemler ve sinyaller" gibi derslerden bir altyapısının olması şarttır. Genel olarak, bölümlerin yerleşim sırasıyla okunması beklenir, ancak şart değildir. Örneğin Fourier, frekans, tayf gibi kavramları bilen öğrencilerin doğrudan sonraki konulara geçmesinde bir sakınca yoktur, gerektiğinde bu konulara geri dönüp bilgi tazeleme yapabilir. Kitapçık bir tercüme değildir. Haberleşme ile ilgili kimileri oldukça değerli kaynak kitapları temel alınarak da hazırlanmamıştır. Yıllar boyunca uygulama ve araştırmalardan biriken alyapı, tecrübe, bilgi, adını ne koyarsanız, anlaşılırlık ön planda tutulmaya çalışılarak yazıya dökülmüş halidir. Sayılamayacak kadar çok eksiği vardır. Zaten eksiksiz bir döküman çıkarılmaya çalışılmamıştır. Gerçi, iletişim çağının derinlerine girilmiş bu yıllarda, eksiksiz bir kaynak hazırlamaya çalışmak nafiledir. Mümkün olsaydı dahi, çok ciltli ansiklopedilere sığmazdı. Yine de başlangıç olabilecek bir kitapçık çıktığını umuyorum. Kitapçıktaki şekiller de alıntı değildir. Diyagramlar en basit yardımcı yazılımlar ile çizilmiş, grafikler çok bilinen yazılımlarla üretilmiş, birkaç fotoğraf hariç çoğunluğu tarafımdan bizzat çekilmiştir. Kaliteden çok anlaşılırlığa hizmet etmesi önemsenmiştir. Benzeri şekilde çözümlü problemler ve alıştırma soruları da tarafımdan hazırlanmış, çoğunluğu önceki yılların sınav sorularıdır. Yıllar içinde haberleşme eğitiminin karşılaştığı en önemli sorunun, öğrencilerin konuyu sevmekte zorlanması olduğunu hissettim. Haliyle sevilmeyen konu yeterli ilgiyi görmüyor. Öğrenciler, çok güzel kaynak kitaplar önerilmesine rağmen okumuyor, kendi başlarına araştırma yapmıyorlar. Konuyu sevdirecek iki öğe belirledim. Bunlar, başarıyla gerçekleştirilebilecek anlaşılır deneysel çalışmalar ve anlatılan konularla paralel ilerleyen kolay okunur, basit ve anlaşılır anlatımı olan kaynak kitaplardır. Bu kitapçıkta, bazı konuları hedeflediğim ölçüde basite indirgeyemiş olsam da "mümkün olduğunca" yaklaşımını kullandım. Okuyanlara faydalı olmasını diliyorum. Erol Seke 5 1 Giriş Türk Dil Kurumu (TDK) sözlüklerinde "haberleşme" teriminin karşılıkları içinde bu kitapçığın konularıyla ilgili görünen tanımlar aşağıda toplanmıştır; Bir yerden, bir kişiden, bir makineden bir başkasına, herhangi bir ortamdan yararlanarak bilgi gönderme. Telefon, telgraf, radyo gibi aygıtlarla yapılan bildirişim; bu yollardan yararlanarak yürütülen bilgi alışverişi. Kişiler veya kişiler ile teknik cihazlar arasındaki bilgi ve haber aktarımı. Tabi ki bazen birbiriyle eşanlamlı olarak kullanıldığından bilgi ve veri olgularının da bu kitapçıkta kullanılış tanımlarının yapılması gerekir. Kitapçığımız elektronik haberleşme ile ilgili olduğuna göre tanımlarımızı buna göre yapalım; Bilgi = asıl iletilmek istenen, Veri = bilgiyi içinde barındıran. Bilgi Üreteci eri v işaret Haberleşme Kanalı Bilgi Kullanıcısı Şekil 1.1 Haberleşme kavramı. Veri hangi formda olursa olsun nihayetinde bir elektriksel büyüklüğe (voltaj) çevirildiğini, bu elektriksel büyüklüğün olduğu gibi iletildiği sistemlere analog haberleşme sistemi diyeceğiz. Burada bahsi geçen elektriksel büyüklüğün, bazı sınırlar dahilinde de olsa, sonsuz farklı değer alabileceğini de varsaymış oluyoruz. Eğer bu büyüklük sonlu sayıda değer alıyorsa (veya öyle olduğu varsayılıyorsa), yada sonlu sayıda değer ile temsil edilecek şekilde bir işleme tabi tutuluyor ve iletim sonlu sayıda değer yada onları temsil eden dalgaşekilleri ile yapılıyor ise bu sisteme sayısal haberleşme sistemi diyoruz. Tabi ki analog büyüklükleri analog-sayısal dönüştürücülerle sayısala dönüştürüp sayısal iletişim kurmak sayısal haberleşme sisteminin özel bir durumudur. Sistemimizi Şekil 1.2'deki mikrofon örneğiyle biraz daha detaylandıralım. Konuşmacının ürettiği ses dalgaları mikrofon tarafından elektrik işaretine çevrilir ve bir kablo ile kuvvetlendiriciye iletilir. Mikrofonun ürettiği elektrik işareti bir hoparlörü çalıştıracak kadar enerjiye sahip olmadığından kuvvetlendirilerek hoparlöre verilir ve hoparlörde yeniden ses dalgasına dönüştürülür. Mikrofondan çıkan işaretin voltajı anlık olarak sonsuz sayıda farklı değer alabilir. Aynı şekilde hoparlöre verilen işaret de sonsuz farklı değer alabilir. Aradaki kablo+kuvvetlendirici de mikrofondan çıkan işareti olduğu haliyle taşır ve kuvvetlendirir. Yani bu sistem bir analog haberleşme sistemidir. Tabi ki mikrofon (konuşmacı) ve hoparlör (dinleyiciler) arasındaki mesafe arttıkça kablonun sınırlı özelliklerinden dolayı gürültünün etkisi de artmaya başlar ve ilave çözümler üretmek gerekir. Örneğin mikrofondan çıkan işaret öncelikle kuvvetlendirilip (preamplifier) kabloya verilebilir. Yada kablo kullanılamayacak mesafeler ve/veya hareketli konuşmacı/dinleyici durumlarında kablosuz iletim tercih edilebilir. Bu durumda mikrofondan alınan elektriksel işaretleri temsil eden radyo dalgaları üretilecek 6 ve antenler ile havaya (yada boşluğa) yayılacak, alıcı kısımda ise bu radyo dalgalarının taşıdığı işaretler tekrar elektriksel işarete çevirilecek ve hoparlöre verilecektir. Ancak, taşınan işaretler yine sonsuz farklı değer alabileceğinden, sistem yine analog haberleşme sistemidir. merhaba haberleşme kanalı ses dalgaları ses dalgaları Kuvvetlendirici hoparlör merhaba mikrofon Şekil 1.2 Basit analog haberleşme sistemi örneği. İkinci örneğimizdeki sistem uzaktaki bir su deposunun doluluk durumunu bulunduğumuz yerden kontrol etme amaçlı olup Şekil 1.3 sistemimizi temsil etmektedir. Su deposundaki şamandralara bağlı anahtarlar suyun ilgili seviyede olup olmadığına göre açık yada kapalıdır. İki adet şamandra+anahtar olduğuna göre 4 ayrı durum olasılığı görünmesine rağmen normal çalışan bir düzenekte 3 durum görülür; boş, orta, dolu. Dördüncü durum ise yukarıda suyun olup aşağıda olmadığını gösteren durumdur ve anahtar yada şamandralarda bir hata olduğunu göstermek üzere kullanılabilir. Burada haberleşmeyi ilgilendiren konu, anahtarların kaç volt ile beslendiği olmayıp, 4 ayrı durumun T göndericisi tarafından nasıl kodlanıp hangi temsil sistemi ile kanala verildiğidir. Yani önceki örnekteki analog ses sistemindeki gibi sonsuz farklı değer sözkonusu olmayıp sadece 4 durum ile ilgilenilmektedir. Bu da sistemi bir sayısal haberleşme sistemi yapmaktadır. Ancak kodlama, kablodaki voltaj değerleri, kabloya verilebilecek işaretlerin frekansı, hangi zaman aralıklarıyla bu değerlerin kontrol edileceği gibi sonsuz sayıda parametre seti mümkündür ve hangi setin kullanıldığı R alıcısı tarafından bilinmelidir. giriş şamandra+anahtar haberleşme kanalı ç ıkış dolu orta boş hata T R Şekil 1.3 Su deposu örneği sayısal haberleşme sistemini temsil etmektedir. Yukarıdaki örneklerde haberleşme kanalını bir çizgi ile geçiştirdik ve çıkışındaki işaretin girişteki ile aynı olduğunu varsaydık. Şimdi de gerçekte çoğu zaman karşılaşılan durumu modelleyen Şekil 1.4'ü ele alalım. Burada s(t ) , h( , t ) , N (t ) ve r (t ) sırasıyla vericiden gönderilen işareti, zamanla değişebilen kanal/medya karakteristiğini, kanalda eklenen gürültüyü ve alıcı girişinde görülen işareti temsil etmektedir. Bu durumda, alıcı tarafında görülen işaret 7 r (t ) s(t ) h( ; t ) N (t ) h( ; t )s(t )d N (t ) olacaktır. haberleşme kanalı Alıcı Verici s(t) h(, t) r(t) N(t) Şekil 1.4 Daha gerçekçi haberleşme kanal modeli. Gerçekte gürültü karakteristiği de zamanla değişebilir. Ancak biz modelimizi daha da basitleştirecek varsayımlarda bulunalım ve kanal karakteristiğinin de zamanla değişmediğini (timeinvariant) ve doğrusal olduğunu (linear) varsayalım. Daha da ileri giderek kanal karakteristiğinin sadece bir zayıflatmadan ibaret olduğunu kabul edelim. Sonuçta, en basit haliyle r (t ) s(t ) N (t ) ve ilgilendiğimiz frekans bandlarında kanalın zayıflatmasının da ihmal edildiği ( 1 ) r (t ) s(t ) N (t ) elde edilir. Yani alıcının gördüğü işaret gönderilen işaretin gürültü işareti ile toplamıdır ve alıcı bu gürültülü işaret üzerinden kararlarını verecektir. Bu durumu hem bir analog hem de bir sayısal işaret ile örneklendirelim. Analog işaret örneği olarak basit bir periyodik işaret (sinüzoidal) gönderiliyor olsun. Sayısal işaret olarak da bir anahtarın açık yada kapalı olmasını temsil eden -1 V ve +1 V voltaj seviyeleri gönderiliyor olsun. Karşılaştırma amaçlı olarak da anahtarın sinüzoidal işaretin periyodu ile aynı sürelerde açılıp kapandığını varsayalım. Bu durumda alıcı girişinde görülebilecek dalgaformlarından birkaç tanesi Şekil 1.5'te örnek olarak verilmiştir. Solda sinüzoidal sağda sayısal (+1,-1) işaretlerin gürültüsüz ve 2 farklı seviyede gürültülü halleri bulunmaktadır. Kolayca yorumlanabileceği üzere gürültü seviyesi arttıkça alıcı girişindeki işaretin özelliklerinin alıcı tarafından belirlenmesi zorlaşacaktır (sinüzoidal işaretin genliği, frekansı ve fazı, sayısal işaretin anlık pozitif yada negatif olduğu). Şekil 1.5'te verilen örneklerdeki işaretlerin neredeyse hiçbir bilgi taşımadığı, zaten bu periyodik işaretlerin (özellikleri belirliyse) alıcı tarafında üretilebileceği, bunları vericiden göndermenin anlamsızlığını bir kenarda tutarsak, hatırda tutulması gereken şey, gürültüsüz bir haberleşme kanalının olmadığı, gürültü arttıkça da gönderilen verinin (dolayısıyla bilginin) alıcı tarafından belirlenmesinin zorlaştığıdır. Gerçek şudur ki, eğer gürültü diye birşey olmasaydı elektronik haberleşme içerikli bir ders de olmazdı. Haberleşme ve altbaşlıları ile ilgili bunca kitap, yayın, araştırma, ders, yöntem vb. çalışmaların asıl hedefi kanalın kötü özelliklerinin (örneğin gürültü) haberleşmeye olan kötü etkilerini en aza indirmek ve/veya bunun yollarını öğrenmektir. Çünkü gönderdiğimiz herşeyin hiç bozulmadan istenilen yere aynen ve anında taşındığı bir kanal varolsaydı ölçüsüz bir şekilde her veriyi gönderebilirdik ve bunun bize herhangi bir maliyeti olmazdı. 8 Şekil 1.5 Gürültüsüz ve değişik seviyelerde gürültülü analog ve sayısal işaret örneği. Durum böyle iken, haberleşme sistemleri için bir amaç cümlesi yazalım; "Haberleşme sistemlerinin amacı bilgiyi üretildiği noktadan kullanılacağı noktalara en yüksek doğrulukta, en ekonomik, en sağlıklı ve en uygun hızda iletmektir. " İlk iki "en ..." kendinden açıklamalı olduğundan son ikisini açıklayalım. "En sağlıklı" dan kastımız canlılara, çevreye ve diğer sistemlere en az zarar verecek şekilde olmasıdır. "En uygun hız" ile de bilgi kullanıcısının bu bilgiye tam ihtiyacı olduğu an kastedilmektedir, ne erken, ne de geç. Kolayca hissedileceği gibi, bu dört "en ..." birbirleriyle çelişebilmektedir. Örneğin, en yüksek doğruluk için çoğunlukla daha pahalı elektronik kullanmak gereklidir. Yada, canlılara en az zarar veren durum hiç haberleşmenin yapılmadığı durum olabilir. Görüldüğü gibi bu "en ..." ler arasında bir denge kurmak gereklidir. Haberleşme sistemi tasarımı da ihtiyaçları ve yasakları gözeten en iyi dengeyi kurma işlemidir. Sayısal elektronik maliyetlerinin düşmesiyle beraber, günümüz sistem tasarımları sayısal haberleşmeye giderek daha fazla ağırlık vermekte, yeni yöntemler geliştirilmektedir. Bunun bir sebebi de sayısal haberleşmenin veriyi işlemede ve korumada sağladığı avantajlardır. Bunu oldukça kolay anlaşılır bir örnekle açıklayalım. Şekil 1.5'teki analog ve sayısal işaretlerin Şekil 1.6'da gösterilen ve 1 adet tekrarlayıcı (repeater) içeren kanaldan gönderildiğini varsayalım. Tekrarlayıcılar, uzak mesafelere iletilen işaretlerin aşırı zayıflamadan ve gürültü etkileri artmadan ara istasyonlarda kuvvetlendirilmesi amacıyla kullanılır. Bu aynı zamanda, göndericinin çok güçlü olma gerekliliğini azaltır. Bazı durumlarda ise işaret zaten tek hamlede alıcıya gönderilemez; örneğin dünyanın yuvarlaklığından dolayı uzak istasyonun göndericiden çıkan radyo dalgalarını görmemesi durumunda tekrarlayıcı şarttır. 9 haberleşme kanalı Alıcı Verici tekrarlayıcı s(t) r(t) N2(t) N1(t) Şekil 1.6 Tekrarlayıcı içeren bir haberleşme kanalı. Kanal bir analog kanal ise, tekrarlayıcı sadece bir kuvvetlendiricidir. İşaretin kuvvetlendirilmesinin sadece daha sonra eklenecek gürültüye (N2) karşı bir faydası vardır. Daha önceden işarete eklenen gürültünün (N1) temizlenmesi için bir yol yoktur, tamamen silinemez. Analog süzgeçler, gürültü miktarını azaltmak için, işaretin (bilginin) taşınmadığı frekans bileşenlerini atabilir, ancak atılan kısım gürültünün sadece bir kısmıdır. Gürültü artık işaretin bir parçası olduğundan işaretin kuvvetlendirilmesi, üzerindeki gürültünün de kuvvetlendirilmesi demektir. Kanal bir sayısal kanal ise, veri sonlu sayıda değer yada dalgaşekli ile taşınmaktadır. Şekil 1.5'teki örnekte işaretin pozitif yada negatif olması verinin ne olduğunu belirlemek için yeterlidir. Tekrarlayıcı, işaretten verinin belirlenebilme özelliği kaybolmadan aynı veriyi gayet temiz bir şekilde kanalın ikinci yarısına gönderir. Şekil 1.7'de vericiden gönderilen gürültüsüz ve bozulmamış işaret kanalın transfer fonksiyonu ile bozulmakta ve gürültü eklenmektedir. Tekrarlayıcı, bozulmuş ve gürültülü işaretin içindeki verileri (bitleri) henüz yeterince bozulmamış iken belirler ve çıkışında tekrar eder. Bu işlem sırasında bit süresince yada daha uzun süre hesaplama yapılabileceğinden çıkıştaki işaret biraz gecikmelidir, ancak sanki vericiden yeni çıkmış gibi temizdir. Böylelikle, arada birçok tekrarlayıcı olsa dahi, veriler alıcıya oldukça sağlam bir şekilde ulaştırılabilir. Bu basit örnek, sayısal haberleşme sistemlerinin tercih edilme sebeplerinden sadece birisidir. orijinal gürültülü Verici s(t) tekrarlayıcı h(t) bozulmuş Alıcı r(t) h(t) N2(t) N1(t) tazelenmiş (biraz gecikmeli) Şekil 1.7 Tekrarlayıcının sayısal işareti tazelemesi. Sayısal iletişimin diğer üstünlüklerininden bazılarını anlayabilmek için Şekil 1.8'e göz atalım. Burada genel bir sayısal iletişim sisteminin olası bileşenleri basitçe kutucuklar halinde verilmiştir. 10 veri format (ADC) kaynak kodla. şifre. kanal kodla. çerçeve oluştur. temelbant modül. RF modül. Tayf yayma çoklu erişim kanal veri format (DAC) kaynak dekod. şifre çözme kanal dekod. çerçeve açma temelbant demod. RF demod Tayf topla. çoklu erişim Şekil 1.8 Genel sayısal iletişim sistemi bileşenleri. Şekil 1.8'deki sistem, analog işaretin analog-sayısal ve sayısal-analog çeviriciler kullanılarak sayısal kanal üzerinden iletilmesi ile aslında sadece RF modülatör/demodülatörden oluşturulabilecek bir analog iletişim sisteminin eşdeğeriymiş gibi duruyor. Özellikle, Şekil 1.1'deki mikrofon kablosu örneğindeki gibi bir sistemde Şekil 1.8'deki gibi birçok bloğun var olabileceğini düşünmek anlamsız ve şaşırtıcı gelebilir. Gerçekten de diğer blokların analog iletişim sisteminde ya yeri yoktur, ya maliyetinden dolayı ihtiyaç olmadığına karar verilmiştir yada içerilmesi oldukça zordur. Ancak, bazı sistemlerde kullanılmıyor olsa da, bu blokların herbirinin oldukça önemli görevleri vardır ve işlevleri analog sistemler tarafından karşılanamazlar. Örneğin kanal kodlayıcı/çözücü blokları kanal gürültüsü dolayısıyla bozulan işaretten sembolleri geri elde ederken oluşan hataların giderilebilmesini sağlarlar. Tabi ki bunun bir işlem/donanım maliyeti vardır. Ama analog kanallarla bu işlevi yerine getirmek mümkün değildir. Bir diğer örnek ise veri sıkıştırma sağlayan kaynak kodlayıcı/çözücü bloklarıdır. Bu işlevi de analog sistemlerle gerçeklemek mümkün değildir. O zaman, "analog iletişim sistemi ne zaman kullanılır?" sorusunu sorabiliriz. Elbette ki maliyet en büyük etkendir ve sayısal devrelerin maliyetleri çok düşmüştür. Öyle ki, analog geliştiriciler elektronik sanayiinde en yüksek ücretleri almaktadırlar. Buna iki dünya arasında köprü olan analog-sayısal ve sayısal-analog çeviriciler üzerinde çalışanlar da dahildir. Ancak aşağıdaki örnekleri de gözardı etmeyelim; 1. Gönderilecek veri analog formdaysa, alıcı bu işareti analog şekilde kullanacaksa ve mesafeler işaret karakteristiğine göre kısa ise analog veri kanalı kullanılır. Örnek; elektronik müzik enstrumanlarında üretilen (elektrik-gitar gibi) işaretler analog olup birkaç on metre uzaklıktaki bir kuvvetlendiriciden hemen sonra hoparlöre verilecek ise. 2. Analog formda olan ses verisi iki mobil cihaz arasında iletilecek ise, Şekil 1.8'deki blokların getireceği yararlar düşünülerek genellikle sayısal iletişim tercih edilir. Ancak uzaktan kumanda bir oyuncak için bu yararların bir etkisi olmayabilir. 3. Göndericide veri sayısal formda ise ve alıcı da bunu sayısal olarak kullanacak ise, sayısal iletişim kaçınılmazdır. Örnek; bilgisayar ile yazıcı arasındaki iletişim. Göz önünde bulunması ve unutulmaması gereken bir başka konu da, ister sayısal ister analog iletişim olsun, iletişim ortamına verilen işaret bir analog dalgaformudur. Şekil 1.8'deki blokların işlevlerini kısaca belirtelim. Bu blokların birçoğunu bu kitapçıkta inceleyeceğiz; 11 Formatlama : Analog işaretin sayısala çevrilmesi yada zaten sayısal olarak izlenebilecek olguların bilinen bir sayısal formata çevrilmesi işlevini yerine getirir. Örnekleme ve nicemleme işlemleri de bu bloğa dahildir. Alıcı tarafında bu işlemin tersi gerçekleştirilerek analog işaret geri elde edilir. Bu konulara Örnekleme bölümünde değineceğiz. Kaynak Kodlama (Source Coding) : Bilgiyi daha az veri ile temsil etme işlemi yada veri sıkıştırmadır. Böylelikle, örneğin aynı bilgi daha az sembol ile taşınır ve çoğunlukla kanal gereksinimlerinden tasarruf sağlar. Sıkıştırılan verinin alıcı tarafında tekrar anlamlandırılması yani geri çatılması gerekmektedir. Bu konuya Kaynak Kodlama bölümünde kısaca değineceğiz. Şifreleme (Encription) : Bilginin istenmeyen kişilerin eline geçtiğinde kullanılabilmesini engellemek içindir. Bu konu bilgisayar bilimleri kapsamında olduğundan burada değinmeyeceğiz. Kanal Kodlama (Channel Coding) : Kanala verilen elektriksel işaretlerin kanalın kötü etkileriyle bozulması sonucu alıcı tarafında hatalı olarak elde edilebilir. Kanal kodlama teknikleri ile bozulmuş veri bazı sınırlar dahilinde düzeltilebilir. Konu sayısal haberleşme sistemlerinin temel konularından birisi olup Kanal Kodlama bölümünde anahatlarıyla inceleyeceğiz. Çerçeve Oluşturma (Frame Construction) : Veriyi temsil eden sembollerin bloklar halinde iletilmesi bazı kolaylıklar sağlamaktadır. Çerçevelerin oluşturulması ise çoğunlukla standardları izleyerek gerçekleştirilir. Bu çerçeveler 8-bitlik bloklar olabildiği gibi ethernet ağı uygulamasındaki gibi onbinlerce bitten oluşabilir. Çerçeve oluşturmanın bir diğer amacı asıl veri ve yardımcı veri akışı dengesini sağlamaktır. Serpiştirme (interleaving) gibi bazı işlevlerde Kanal Kodlama ile beraber düşünülmektedir. Kanal Kodlama bölümünde kısaca değineceğiz. Tabanbant Modülasyon (Baseband Modulation) : Sayısal sembollerin elektrik işaretlerine çevrilmesi işlemidir. Çoğunlukla herbir sembole yada sembol grubuna bir dalgaformu atanmakta, bu dalgaformları sadece bir sabit değer olabilmektedir. Bu konuyu Sayısal Modülasyon bölümünde inceleyeceğiz. RF Modülasyon (RF Modulation yada Passband modulation) : Tabanbant işaretini frekans bandı paylaşımı amacıyla yüksek frekanslara çıkarma işlemidir. Analog yada sayısal, kablosuz haberleşmede zorunlu olan kısım burasıdır. Bazı durumlarda tabanbant modülasyon ile birleştirilebilir. Bu konuyu kendine ayrılmış bir bölümde incelemek yerine AM-FM, Analog-TV ve Sayısal Modülasyon bölümlerinde yeri geldikçe inceleyeceğiz. Tayf Yayma (Spread Spectrum) : RF işaretimizin frekans bandında yeterli görünen bant genişliğinden çok daha geniş banda yayma işlemidir. Çoğunlukla aynı frekans bandının birçok alıcıverici tarafından ortak (veya eşzamanlı) olarak kullanılabilmesini sağlamak ve bunun için bir anlaşma yapılması gerekliliğini ortadan kaldırmak amacıyla, bazı durumlarda haberleşme güvenliğini, bazen de zaman hassasiyetini sağlamak için kullanılır. Konuyu Tayf Yayma bölümünde inceleyeceğiz. En son blok olan Çoklu Erişim de bu konu içinde incelenebilir. İletişim sisteminin kanala bakan yüzleri, yani iletici ve alıcı elektronik ve antenler ve elektromanyetik yayılım konularının ise kendilerine özel dersleri vardır. Burada o konulara girmeyeceğiz, ancak kısaca değineceğimiz yerler olacaktır. Bu kitapçığı okurken öğrencinin temel bilgilere dayanan bir altyapıya ihtiyacı olduğu açıktır. Bazen genel bazen de basit örneklerle aşağıya sıraladığımız gereksinimleri özenle inceleyelim; 12 1- Zamanın fonksiyonu olan bir elektriksel işareti anlaşılır ve yorumlanabilir şekilde çizebilmeli, yorumlayabilmelidir. 2- Frekans ve tayf kavramlarını genel kültür seviyesinin çok üzerinde kavramış olmalıdır. 3- Günlük hayattan örnekler verildiğinde, yukarıdaki iki maddenin gereğini hakkıyla yerine getirebiliyor olmalıdır. Örneğin, mikrofonun, çeşitleri, karakteristikleri ve çalışma prensiplerini tam olarak bilmese de, işlevini bilmelidir. 4- Flip-Flop yada kaydedici (register) gibi birimlerin bahsi geçtiğinde yeni bir dünyaya gelmiş gibi olmamalı, Sayısal Devreler derslerinde gördüklerini kolayca hatırlayabilmeli, örneğin z 1 'i rahatça kullanabilmeli, yorumlayabilmelidir. 5- Eğitimli bir şekilde blok diyagram çizebilmeli, çizilmiş blok diyagramları eğitimli bir şekilde yorumlayabilmelidir. Basit matematiksel ifadeler ile onları temsil eden blok diyagramları arasındaki ilişkiyi görebilmelidir. 6- Her eğitimli kişi gibi, soru sorma, cevabını arama işlevlerinin kendi temel özellikleri olduğunu benimsemelidir. Bu maddeler okunurken hissedilen herbir eksiğin tamamlanması için fazladan zamana gereksinim duyulacağı kolayca tahmin edilebilir. 13 2 Frekans ve Tayf Düzenli olarak tekrar eden olayların sıklığını belirtmek için kullanılan periyod kelimesi yerine birim zamanda gerçekleşen tekrar etme sayısı da kullanılır ve buna frekans denir. Aynı şekilde periyodik elektrik işaretleri için de tekrar aralıklarına periyod bunun tersine de frekans denir. Birimleri de sırasıyla sn ve Hertz'dir. En çok bilinen periyodik işaret olan sinüs işareti doğada da sık görülmekte, elektrik-elektronikte de çok karşılaşılmakta, hatta diğer periyodik işaretler de sinüzoidal işaretler cinsinden ifade edilmektedir. O nedenle öncelikle sinüsoidal işareti tanımlamakta fayda vardır. Şekil 1'deki saat yönünün tersine dönen disk üzerinde bir nokta resmedilmiştir. Noktadan merkeze çizilen doğrunun yatayla yaptığı açı (t ) ve noktanın yatay eksenden uzaklığı y (t ) olsun. (t ) - y(t ) grafiği yanda verilmiştir. y(t ) , oluşan diküçgende (t ) 'nin karşısındaki kenar olduğundan grafiğe sinüs grafiği denir. y (t ) (t ) y (t ) (t ) Şekil 2.1 Döner disk ile sinüzoidalin ilişkisi. Eğer disk c rad/sn sabit hızı ile dönüyorsa grafiği t - y (t ) cinsinden çizebiliriz. 1,5 y (t ) 1 0,5 0 t -0,5 -1 -1,5 Şekil 2.2 Sabit hızla dönen diskteki noktanın anlık yüksekliğini veren grafik. Sinüzoidalin frekansı diskin dönme hızına (devir/saniye) eşittir. Birimi devir/sn olup, 1970'lerden beridir elektromanyetizma çalışmalarından ötürü Heinrich Rudolf Hertz isimli 14 biliminsanının anısına Hertz birimi kullanılmaktadır. Bu dalgaşekline sinüzoidal yada kısaca sin denmektedir. Disk üzerindeki noktanın dikey eksenden uzaklığına x(t ) dersek, x(t ) 'nin grafiği de Şekil 3'teki gibi olur ve kosinüs olarak anılır. 1,5 x(t ) 1 0,5 0 t -0,5 -1 -1,5 Şekil 2.3 Kosinüs fonksiyonu sinus fonksiyonunun 90 derece önceye ötelenmiş halidir. Sinüs ve kosinüs grafikleri birbirlerinin 90 derece ( / 2 radyan) kaydırılmış halleridir. Eğer döner diskin devir hızı 1 devir/sn ise bu fonksiyonlara sin(t ) ve cos(t ) isimleri verilir. Döner diskin yarı hızda döndüğü durumda oluşan grafik Şekil 4'te verilmiştir ve sin(0.5t ) ile ifade edilir. 1,5 sin(0.5t ) 1 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 Şekil 2.4 Döner diskin yarı hızda döndüğü durumda oluşan sinüzoidal. Tüm bu işaretlere topluca sinüzoidler denir. Bunları birbirinden ayıran özellikler ise; frekans (diskin dönüş hızı), genlik (noktanın disk merkezinden uzaklığı), faz açısı (başlangıçta noktanın yatayla yaptığı açı). Yani genel olarak bir sinüzoidali x(t ) A0 sin(2f 0t 0 ) (2.1) şeklinde ifade edebiliriz. Burada 2 terimi sin(.) içindeki terimlerin radyan cinsinden ifade edilmesi geleneğindendir. İndisler ise aslında genlik, frekans ve faz açısının zamanla değişebileceğini (zamanın bir fonksiyonu olduğunu), buradaki örnekte ise birer sabit olarak alındığını göstermek içindir. Birçok sinüzoidi birbiriyle karşılaştırmak için R 3 te (genlik, frekans ve faz) noktalar halinde gösterebiliriz. Ancak R 2 de gösterimler daha kolay ve anlaşılır olduğundan genlik, frekans yada faz bilgilerinden birisini yok yada sabit varsayıp diğer ikisi ile gösterimleri yapabiliriz. Örneğin, faz bilgisini görmezden gelerek frekans-genlik düzleminde sinüsleri noktalar halinde gösterelim. Şekil 2.5 üç adet sinüzoid göstermekte. Genlik bilgisinin daima pozitif olduğunu, negatif genlikler için sadece 15 sinüzoidin 180 derece ileri fazda olduğunu varsayalım. Faz bilgisini de ihmal ettiğimize göre tüm noktalar üst yarıdüzlemde olacaktır. Şekilden anlaşılacağı üzere, f1 ve f 2 frekanslarında genlikleri farklı iki adet sinüzoidal vardır ve f1 frekansındaki sinüzoidalin genliği daha yüksektir. Sıfır frekansında da bir işaret vardır ancak bu dönmeyen bir diskte bulunan bir noktaya aittir. genlik x1 x2 x0 frekans f1 f2 Şekil 2.5 Üç adet sinüzoidalin frekans-genlik düzleminde gösterilişi. Şekil 2.5'teki üç sinüzoidal elektriksel işaret olsalardı toplamları muhtemelen y(t ) 0.3 sin(2f1t 1 ) 0.6 sin(2f 2t 2 ) yada faz açıları ihmal edilmiş haliyle y(t ) 0.3 sin(2f1t ) 0.6 sin(2f 2t ) şeklinde olurdu. Tabi ki ikinci durumda faz açıları belli olmadığı ve frekanslar belirtilmediği için y (t ) tam olarak çizilemez. Örnek olarak f1 0.5 ve f 2 1 alalım ve ilk işaretin kosinüs ikincinin sinüs olduğunu varsayalım. Bu durumda, toplam işaretimiz y(t ) 0.3 cos(t ) 0.6 sin(2t ) (2.2) şeklinde olur. Periyodik işaretlerin toplamı kuralını hatırlayalım; Periyod farkları sıfıra yakın olmayan sonlu sayıda periyodik işaretin toplamı yine periyodiktir. y (t ) 'nin bir periyodunu çizdiğimizde Şekil 2.6'daki grafiği elde ederiz. Tabi ki y (t ) eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar bu şekilde tekrar etmektedir. y (t ) t Şekil 2.6 Üç işaretin toplamından oluşan periyodik işaret. 16 Eğer y (t ) elektriksel bir işaret ise 0.3 sabit sayısına DC (direct current) bileşen ismi verilir. Toplamdan oluşan periyodik işaretin frekansına da temel frekans (fundamental frequency) denir. Örneğimizde 3 adet sinüsoidal işareti (birinin frekansı sıfır olmasına rağmen) toplayıp yeni bir periyodik işaret elde ettik. Şimdi tersinden bir soru soralım; acaba periyodik bir işaret verilse kendisini oluşturan sinüsoidal bileşenleri bulabilirmiyiz? 2.1. Fourier Serileri Bu sorunun cevabını yüzyıllar önce Jean Baptiste Joseph Fourier vermiştir. Fourier'e göre herhangi bir entegre edilebilir periyodik işaret sonsuz sayıda sinüsoidalin toplamından oluşturulabilir. İşaretin periyodu T ve temel frekansı f o 1 olmak üzere T n 0 n 1 y (t ) bn cos(not ) cn sin(not ) , n 0,1,... (2.3) şeklinde yazılabilir. Burada o 2f o temel açısal frekans olarak isimlendirilir (fiziksel olarak dönen diskin üzerindeki bir noktanın birim zamanda katettiği radyan cinsinden açı). Tam katları olan no ve nf o ise harmonikler olarak anılırlar. Bu sonsuz serilere Fourier Serisi ismi verilmiştir. Buna göre, y (t ) periyodik işareti sonsuz sayıda sinüs ve kosinüs işaretinin bn ve cn ağırlıklarıyla toplamıdır. Peki, verilen bir y (t ) için bn ve cn katsayılarını nasıl buluruz? Bu sorunun cevabı "herhangi bir y (t ) içinde herhangi bir x(t ) işaretinden ne kadar var?" sorusuyla aynıdır ve bu işaretlerin birbirine ne kadar benzediğine dair bir ölçüdür. Yani cevap içsel çarpım . y (t ), x(t ) y (t ) x(t )dt . (2.4) dır. İntegralin sınırları hangi aralıkta benzerliğe baktığımızla ilgili olup, bizim işaretlerimiz de periyodik olduğundan bir periyod boyunca integral alırız. Bu durumda y (t ),cos(n0t ) T /2 y (t ),sin(n0t ) T /2 T / 2 ve T / 2 y(t ) cos(n0t )dt (2.5) y(t )sin(n0t )dt (2.6) olur. 2 / T 'ler ölçekleme katsayıları olmak üzere (toplam enerjinin aynı kalması için) bn 2 T /2 y (t ) cos(n0t )dt ve T T / 2 (2.7) 2 T /2 y (t )sin(n0t )dt T T / 2 (2.8) cn ile sonsuz toplamdaki ağırlıklar bulunur. b0 'ın ölçekleme katsayısı 1 / T olup 17 b0 1 T /2 y (t )dt T T / 2 (2.9) ile hesaplanır. b0 'ın ortalama değer olduğuna dikkat ediniz (DC bileşen). Klasik bir örnek ile pekiştirelim. y (t ) Şekil 2.7'de verilen periyodu T olan kare dalga olsun. b0 T T 1 dt (1)dt 0 olarak hesaplanır. Aslında bunu hesaplamaya gerek yoktu, T 0 T /2 çünkü ortalama değerin 0 olduğu şekilden görülebiliyor. y(t) 1 t -1 T Şekil 2.7 Periyodu T olan kare dalga. bn T 2 T /2 2 sin(n0t )T0 / 2 sin(n0t )TT / 2 0 cos(n0t )dt T / 2 cos(n0t )dt Tn0 T 1 sin(n2t / T T0 / 2 sin(n2t / T TT / 2 1 sin(n ) sin(0) sin(2n ) sin(n ) n n bn 0 !! Gerçekte bn 'leri de hesaplamaya gerek yoktu. Çünkü bn 'ler bir çift fonksiyon (dikey eksene göre simetrik) olan kosinüslerlerle benzerliği belirten katsayılardır. Fonksiyonumuz y (t ) ise bir tek fonksiyondur (orijine göre simetrik), içinde hiçbir çift fonksiyon olamayacağı açıktır. Tabi ki fonksiyonlar tek yada çift olmayabilirler, buradaki özel durumdur, ancak hatırımızda tutabileceğimiz bir kolaylıktır. Bu durumda cn 'ler sıfır çıkamaz. Zaten cn 'ler tek fonksiyon olan sinüslere benzerliğin ölçüsü olduğuna göre, fonksiyonumuz da tek olduğuna göre bunlardan en az birinin sıfırdan farklı olması gerekir. (katsayılardan sadece birinin sıfırdan farklı olduğu durumu tahmin ediniz) cn T /2 2 0 1 cos(2nt / T )0T / 2 cos(2nt / T )T0 / 2 T / 2 sin(n0t )dt 0 sin(n0t )dt n T cn 1 1 cos(n ) cos(n ) 1 2 1 cos(n ) n n 18 0 , n is even 2 n cn 1 (1) 4 , n is odd n n cn katsayılarını (3)'te yerine koyduğumuzda kare dalganın sinüsler cinsinden ifadesini buluruz. 0 y(t ) bn cos(n0t ) cn sin(n0t ) n 0 n1 4 sin(n0t ) n1, 3,... n cn katsayılarının büyüklükleri Şekil 2.8'de verilmiş olup sinüs frekansı yükseldikçe genliklerinin hızla küçüldüğü görülmekte. Şekil 2.8 Kare dalgayı oluşturan sinüsoidallerin genlikleri. Peki, frekansı arttıkça genlikleri azalan sonsuz adet sinüs toplamı yerine, genlikleri en büyük olandan başlayıp sınırlı sayıda sinüsü toplarsak ne olur? Şekil 2.9'da n=1, 3, 5 ve 7 için toplama giren ve n büyüdükçe genliği azalan sinüs dalgaları görülmekte. Ayrıca n=1 ve 3 için üretilen sinüslerin toplamı ve n=1, 3, 5 ve 7 için üretilen sinüslerin toplamı görülüyor. Henüz 4 adet sinüs toplanmasına rağmen toplamın kare dalgaya yaklaştığı belirgin. Tabi ki tam kare dalga olması için sonsuz tane sinüsün toplamı gerekli. Euler denkliği e jn0t cos(n0t ) j sin(n0t ) yada cos(n0t ) e jn0t e jn0t e jn0t e jn0t , sin(n0t ) 2 j2 çifti kullanılarak (3) karmaşık sayılar cinsinden yazılabilir, daha basit görünür. Böylelikle (2.3) y (t ) ae n şeklini alır. bn ve cn katsayıları da n jn0t (2.10) 19 an 1 T /2 y (t )e jn0t dt T / 2 T (2.11) şeklinde tek karmaşık katsayıya dönüşür. Fourier serilerinin her iki formülasyonu birbirine eşdeğerdir. Şekil 2.9 n=1, 3, 5 ve 7 için sinüsler ve ilk 2 ve ilk 4 sinüsün toplamı. Fourier serileri yardımıyla periyodik işaretleri sinüs ve kosinüs fonksiyonları cinsinden yazabildik. Periyodik fonksiyon kısıtı oldukça sınırlayıcıdır, çünkü gerçekte periyodik bir işaret göremeyiz. Fourier tanımına uyması için fonksiyonun , aralığında tam periyodik olması gereklidir. Peki y (t ) fonksiyonu periyodik değil ise ne yapabiliriz? 20 2.2. Fourier Dönüşümü Periyodu sonsuza götürmek ( T ) temel frekansı sıfıra getirir ( 0 2 T 0 ). Bu da Şekil 2.8'deki katsayı grafiğinin sadece temel frekansın tam katlarında değil tüm frekanslarda bileşen olmasını sağlar, yani kesikli değil sürekli bir bileşen grafiğimiz olur. Bu durumda (2.11)'deki katsayı bulma formülümüz de Y ( ) y(t )e jt dt (2.12) şeklini alır. (2.12)'ye Fourier Dönüşümü adı verilir. Herhangi bir y (t ) işaretini (bazı kısıtlar dahilinde) sinüsoidler cinsinden yazabilmemizi sağlar. Benzeri şekilde (10) denklemi de y(t ) 1 2 Y ( )e jt d (2.13) haline gelir ve Ters Fourier Dönüşümü ismini alır. Yani y (t ) 'yi oluşturan sinüsoidlerin katsayılarını bulma işlemi Fourier Dönüşümü, bu katsayıları yerine yazıp y (t ) 'yi oluşturma işlemine de Ters Fourier Dönüşümü ismi verilir. Fourier Dönüşümlerinin işaret analizinde faydalı birçok özelliği dolayısıyla birçok bilim dalında (haberleşme dahil) oldukça geniş kullanımı vardır. Dönüşüm ve ters dönüşümü belirtmek için X ( ) F x(t ) ve x(t ) F 1 X () notasyonları kullanılır. Ayrıca x(t ) X ( ) 'de dönüşüm çiftini gösterir. X ( ) genel olarak karmaşık fonksiyon olup herbir nokta a() jb() gibi gerçek ve sanal kısımdan oluşur. Büyüklüğü a 2 b2 faz açısı da atan(b / a) 'dır. Gerçek kısmını ReX ( ) , sanal kısmını ImX ( ), büyüklüğünü X ( ) ve açısını X ( ) ile göstereceğiz. Haberleşme sistemlerinde sıkça bahsi geçen birkaç basit işaretin Fourier dönüşümünü hesaplayalım ve daha sonra daha karmaşık işaretlerin dönüşümünü ve ters dönüşümünü bulmakta kullanılabilecek bazı özelliklerine değinelim. Basit görünen ama haberleşme sistemlerinde sık geçen bir fonksiyonun Fourier Dönüşümünü bulalım. Şekil 2.10'da gösterilen fonksiyonumuzun ismi Gate (kapı) işaretidir. Kapı işareti 1 , t 1 2 , T 0 , t T2 t T2 t T2 şeklinde tanımlanır. Fourier dönüşümü ise X ( ) F (t / T ) (t / T )e jt T /2 dt e jt dt T / 2 1 jT / 2 sin(T / 2) t T (e e jT / 2 ) T dir. Yani T sinc j T / 2 T 2 21 Şekil 2.10 Kapı işareti ve Fourier dönüşümü. Tablo 1. Bazı Fourier Dönüşüm özellikleri Doğrusallık Eğer x(t ) c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ise X () c1 X 1 () c1 X 1 () 'dir. Zamanda kayma F x(t t0 ) e jt F x(t ) 0 F x(at ) Ölçekleme 1 X a a Konvolüsyon Modülasyon Otokorelasyon x(t ) y(t ) x( ) y (t )d olmak üzere F x(t ) y(t ) F x(t ) F y(t ) X ( f ) Y ( f ) F x(t ) cos(ct ) 12 X ( c ) 12 X ( c ) Rx ( ) x(t ) x (t )dt F Rx ( ) X ( ) 2 x(t ) X ( ) ise X (t ) x() Dualite/ikilik Rayleigh enerji denkliği x(t ) 2 dt X( f ) 2 df Eğer x(t ) gerçek ve x(t ) X ( ) ise Simetri ImX () ImX () ve ReX () ReX () Ayrıca, eğer x(t ) gerçek ve çift fonksiyon ise X ( ) gerçek ve çifttir ve eğer x(t ) gerçek ve tek fonksiyon ise X ( ) sanal ve tek fonksiyondur. Kapı işaretini oluşturan sinüsoidal işaretlerin sonsuz sayıda olduğunu ve frekanslarının sonsuza kadar uzandığını görmekteyiz. Şans eseri Fourier dönüşümü sonrasında elde edilen sinüsoidallerin fazları ya sıfır yada (negatif) olduğundan faz bilgisini de çizmek zorunda kalmadık. 22 Dönüşümün sadece genliğinin gösterildiği grafiklere genlik tayfı (magnitude spectrum) yada kısaca tayf denir. Kapı işaretinin tayfı Şekil 2.11'de verilmiştir. Tayf şekillerinde bazen fonksiyon ile frekans ekseni arası dolu olarak gösterilir (sağdaki şekil). Ayrıca eksen ölçeklerinde de bazen logaritmik, dB, dBW birimleri kullanılabilir. Şekil 2.11 Kapı işaretinin frekans tayfı. Fourier dönüşümü özelliklerinden (Tablo 1) faydalanarak üçgen darbenin (Şekil 2.12) dönüşümünü bulalım. Üçgen darbenin aslında 2 adet kapı işaretinin konvolüsyonu ile oluşturulabilmesi ve Tablo 1'deki konvolüsyon özelliğinden faydalanarak Fourier dönüşümünü bulabiliriz. (t ) (t ) (t ) ( )(t )d F (t ) F (t ) (t ) F (t ) F (t ). Yani kapı fonksiyonunun dönüşümündeki herbir noktanın karesini aldığımızda sonucu buluruz (Şekil 2.13). Λ(t) t Şekil 2.12 Üçgen darbe işareti. (.)2 Şekil 2.13 Kapı fonksiyonunun frekans tayfı ve onun karesi olan üçgen darbenin tayfı. Üçgen darbe örneğinde eksenler üzerindeki sayısal bilgilerin yazılması okuyucuya bırakılmıştır. Kapı işaretinin süresi olan T büyüdükçe Fourier dönüşümündeki sıfır geçişlerinin birbirine yaklaşacağını ve fonksiyonun sivrileceğini Şekil 2.14'de görebiliriz. 23 Şekil 2.14 Kapı işaretinin esnetilerek birim darbe fonksiyonunun elde edilmesi (eksenlerde değerler okuyucuya bırakılmıştır). Şekil 2.14 aynı zamanda 1 2 ( ) dönüşüm çiftini de göstermiş oluyor. İkilik kuralına göre frekans tayfı kapı fonksiyonu olan bir işaretin de sinc fonksiyonu olacağını söyleyebiliriz. Tabi ki aynı şekilde frekans tayfı tüm frekanslarda sabit olan bir işaret de birim darbe işareti olacaktır ( (t ) 1 ). Enerji tayfı (energy spectral density) ise genlik tayfının karesidir. Yani kapı işaretinin enerji tayfı ile üçgen darbe işaretinin genlik tayfı şekil olarak aynıdır (birimler farklı). Sınırlı zamanda gerçekleşen işaretlerin toplam enerjisi bulunabilir ve bunun için Tablo 1'deki Rayleigh integrali kullanılabilir. Ex x(t ) dt 2 2 X ( f ) df (2.14) Kapı işaretinin tayf integrali ile toplam enerji hesaplamasının zor olduğunu görüyoruz (sinc) fonksiyonu. Gerçekte sinc fonksiyonları integrali analitik olarak bulunamayan fonksiyonlar grubundadır. Halbuki kapı işaretinin (ve karesinin) zaman alanındaki integrali oldukça kolaydır; E (t ) dt 2 T /2 1 2 df T T / 2 Tam tersine, zaman alanındaki işaretimiz sinc fonksiyonu (mümkün müdür?) olsaydı toplam enerjiyi frekans alanındaki integral ile hesaplayabilirdik. Bir işaretin enerjisi, 1 Ohm'luk dirence bağlandığında (Şekil 2.15) dirençte harcanan enerji olarak tanımlanır ve (2.14)'teki enerji integrali ile hesaplanır. 24 Şekil 2.15 Kaynak enerjisi modeli. Enerji integrali sonsuz çıkabilir. Bu durumda birim zamanda harcanan enerji T / 2 Px lim T1 T 2 x(t ) dt (2.15) T / 2 hesaplanır ve güç (power) adıyla anılır. Periyodik işaretler için ise bir periyottaki enerji bulunur. Px T1 T0 2 x(t ) dt (2.16) İntegral bir yoğunluğun (density) toplamı olduğuna göre, integral işareti içindeki fonksiyonun da bir yoğunluğa karşı gelmesi gerekiyor. Aynı durum işaretler için de geçerlidir. Periyodik işaretler için (2.16)'da verilen toplam güç aslında 1 T x(t ) 2 güç yoğunluğunun (power spectral density) toplamıdır. Periyodik olmayan işaretler için ise Gx ( f ) lim T1 X T ( f ) 2 T (2.17) limiti kullanılır. İşaretler de verdiği enerjiye göre sınıflandırılabilir. Eğer (2.14) ile hesaplanan enerji sonsuz değil ise işarete enerji işareti denir. Aksi halde (2.15) ile güç hesaplanır ve güç sinyali adı verilir. Varsayımsal olarak da olsa güç de sonsuz çıkabilir (örneğin tan(t ) işareti). Periyodik işaretler doğal olarak güç işaretleridir ve sonsuz enerji taşırlar. Örnek olarak Şekil 2.16'daki testere dişi işaretinin enerjisini/gücünü bulalım. Şekil 2.16 Testere dişi işareti. x(t ) 2 dt olduğundan enerji işareti değildir, güç hesaplayalım. 25 Px T0 1 T T A2 A2 x(t ) dt 2 t 2 dt 3 T 3T 0 2 T 1 T 0 A2 . 3 Periyottan bağımsız olduğunu görüyoruz. Doğrusu periyodik işaretlerin gücü frekansından bağımsızdır. Fourier dönüşümünü gördükten sonra aklımıza gelen soru "ne işe yarıyor?"dur. Öncelikle Fourier dönüşümünün ne ifade ettiğini tekrar hatırlayalım. Dönüşümde elde ettiğimiz karmaşık değerli fonksiyonun herbir frekans noktası zaman (zaman ile sınırlı değil) alanındaki fonksiyonu oluşturan sonsuz adet sinüsoidalden o frekansta olanın genliğini ve faz açısını vermektedir. Bu durumda, birim darbe tepkisi verilen bir doğrusal sistemin herhangi bir işarete vereceği tepki hesaplanabilir. Çünkü birim darbe işaretinin Fourier dönüşümü sabit sayı olup her frekansta aynı genlikte bir sinüsoidal demektir. Her frekanstaki sinüsoidale tepkisi bilinen bir sistemin tabi ki herhangi bir sinüsoidale olan tepkisi ve birçok sinüsoidalden oluşan bir işarete tepkisi de rahatlıkla bulunabilir. O zaman, Devre Analizi ve/veya Sistemler ve İşaretler derslerinde gördüğümüz doğrusal sistemleri biraz hatırlayalım. Şekil 2.17'de kutu şeklinde verilen sistemin birim darbe tepkisi h(t ) , girişindeki işaret ise x (t ) olsun. Bu durumda, sistem çıkışındaki y (t ) işareti, konvolüsyon ile bulunabileceği gibi sistemin doğusallığını kullanarak Fourier dönüşümü ile de bulunabilir. y(t ) x( )h(t )d h(t) x (t ) y(t ) x(t ) h(t ) X( f ) Gx ( f ) Y ( f ) X ( f )H ( f ) H( f ) H( f ) 2 Gy ( f ) Gx ( f ) H ( f ) 2 Şekil 2.17 Doğrusal sistemde girdi-tepki ilişkileri. x(t ) birçok frekanstaki (sonsuz olabilir) sinüsoidal işaretin toplamı olduğuna göre ve herbir frekans bileşenine karşı sistemin tepkisi h(t ) 'nin Fourier dönüşümü olan H ( f ) çarpanlarıyla belirlendiğine göre, bu tepkilerin toplamı da çıkış işaretinin Fourier dönüşümünü, yani Y ( f ) 'yi, dolayısıyla y (t ) 'yi verir. Bir örnek yapalım. Güç yoğunluğu tayfı G ( f ) N 0 / 2 olan bir gürültü işareti Şekil 2.18'de verilen direnç-kapasitör devresine uygulanıyor. Süzgeç çıkışındaki gürültü güç tayfını ve toplam gürültü gücünü bulalım. Gy ( f ) G ( f ) H ( f ) olduğuna göre öncelikle süzgecin transfer fonksiyonunu bulalım. 2 Devre bir gerilim bölücü olduğuna göre H ( f ) 1 ZC ve Z C den j 2 fC R ZC 26 H( f ) 1 bulunur. 1 j 2 fRC Şekil 2.18 RC alçak geçiren süzgeci. Büyüklüğü H ( f ) 1 1 (2 fRC )2 Çıkıştaki gürültü güç tayfı da GY ( f ) ve faz açısı H ( f ) tan(2 fRC ) olarak bulunur. N0 / 2 hesaplanır. Toplam gürültü gücü ise 1 (2 fRC )2 N df P GY ( f )df 0 , ve u 2 fRC değişken seçimi ile du 2 RCdf ve 2 1 (2 fRC )2 N0 du N0 N du atan(2 RCf ) 0 bulunur. kullanarak P df 2 4 RC 1 u 4 RC 4 RC 2 RC Görüldüğü gibi basit bir RC süzgeci ile toplam gürültü gücünü sonsuzdan sonlu bir değere indirdik. Tabi ki asıl işaretimiz de bu işlemden etkilenecektir. Gerçek sistemleri tasarlarken, ilgilendiğimiz işaretin frekans tayfında kapladığı yer (birazdan göreceğimiz bant kavramı) dışında kalan işaretlerden kurtulmamız yada en az etkilenmemiz için süzgeç tasarımı önemlidir. Ancak bu kitapçığın konusu değildir. İşaretimizin frekans tayfında kapladığı yer nedir? Örneğin, Şekil 2.14'teki frekans tayflarının aynı frekansları aynı şekilde kaplamadığını görüyoruz, ama bunu nasıl ifade ederiz? Bunun için band genişliği adında bir kavram geliştirilmiştir. Bu da işaretin tayfının en yüksek frekansı ile en düşük frekansı arasında kalan frekans bölgesi demek gibidir. Ancak, Şekil 2.14'teki işaretlerimiz ( , ) frekans aralığını işgal ediyor gibi. Fourier dönüşüm özelliklerinden şöyle bir çıkarsama da yapabiliriz; sonlu zamanda gerçekleşen işaretler frekans tayfında sonsuz yer kaplarlar, yada sonlu bir frekans bandı kapsamasını istediğimiz işaretler zamanda 'dan 'a uzanmak zorundadır. Yani, sınırlı bir frekans bandını kapsayan işaretler gerçekçi değildir. Bu durumda, gerçek işaretler için uygun bir band genişliği tanımı yapılmalıdır. Yarım güç bandgenişliği (half power bandwidth) çok kullanılan tanımlardan biridir. Frekans tayfında en yüksek gücün etrafında bunun yarısına indiği en uzak iki adet frekans bulunur ve bu iki frekansın arası band genişliğini belirler. Şekil 2.19 bunun iki örneğini vermektedir. Yarım güç, desibel (dB) ölçeklemesinde yaklaşık -3 dB'ye karşılık gelmektedir (10 log10 (0.5) 3 ). 27 Şekil 2.19 Yarım güç bant genişliği örnekleri. Gürültü eşitlemeli bant genişliği (noise equivalent bandwidth) ise yüksek frekans süzgeçleri üreten üreticilerin kullandığı bir ölçüm olup, aynı miktarda gürültü geçiren ideal süzgecin bant , | f | 2 1 genişliği demektir. Örneğin | H ( f ) | 3 | f | , 2 | f | 3 parçalı doğrusal tanımlanmış alçak 0 , | f | 3 geçiren süzgeci ele alalım ve gürültü eşitlemeli bant genişliğini bulalım. Şekil 2.20a bu süzgecin frekans tepkisini grafik olarak göstermektedir. |H(f)| |Hi(f)| 1 1 f -2 -3 2 f -Bneq 3 Bneq Şekil 2.20 a) Parçalı tanımlanmış süzgeç örneği. b) İdeal süzgeç Birim gürültü güç yoğunluğuna ( Si ( f ) 1 ) karşı süzgecin çıkış gürültü gücü 2 0 0 3 Po So ( f )df 2 So ( f )df 2 H ( f ) df 2 H ( f ) df 2 3 0 2 2 1 1 0 0 2 df 2 2 f df 4 2 f 2df 4 23 f 3 2 2 2 4 23 14 / 3 olarak hesaplanır. Aynı giriş işareti ile Şekil 2.20b'de verilen ideal süzgecin çıkış gücü ise Pneq 2 Si ( f ) | H i ( f ) |2 df 2 0 Bneq 0 df 2 Bneq olur. Bu iki gücü eşitlersek 2 Bneq 14 / 3 ve Bneq 7 / 3 bulunur. Benzeri şekilde Şekil 2.18'de verilen RC alçak geçiren süzgecin gürültü eşitlemeli bantgenişliğini bulalım. Devrenin çıkış gürültü gücünü P N0 olarak bulmuştuk. İdeal süzgecin çıkış gücü ise 4 RC 28 Bneq 0 0 Pneq 2 Si ( f ) | H i ( f ) |2 df 2 N 0 Bneq N0 df N 0 Bneq bulunur. Buradan da, güçleri eşitleyerek, 2 N0 1 ve Bneq elde edilir. 4 RC 4 RC Diğer band genişliği tanım ve kullanımları bu kitapçıkta geçmediği için okuyucuya bırakılmıştır. 2.2.1. Elektromanyetik Tayf Şimdi de, kitapçıkta ana konumuz haberleşme olduğuna göre, haberleşme işaretlerinin taşınacağı iletişim kanalları ve elektromanyetik tayf içindeki yerlerine basitçe değinelim. Şekil 2.21 bildiğimiz elektromanyetik tayfın kullandığımız geniş bir kısmını basitçe özetlemektedir. Şeklin sağ tarafında frekanslar logaritmik artan şekilde, sağ tarafında da ilgili frekanstaki elektromanyetik dalgaların dalga-boyları listelenmiştir. En solda, ayrıca, ilgili frekansın içinde bulunduğu bandın hangi isimle anıldığı (popüler isimler) listelenmiştir. Ortada bazı teknolojik isimlerle belirtilen bandlar ve kullanım alanları bulunmaktadır. Elbette ki elektromanyetik tayf çok daha detaylı bir şekilde kullanımlara bölünmüştür, ancak buradaki detay dahi çok şey anlatmaktadır. Elektromanyetik tayfın 1 pHz'den yukarısı, yani NUV (near ultra violet), EUV (extra ultraviolet), X ışınları, alfa-gama ışınları ve kozmik dalgalar haberleşme sistemlerinde kullanılmamaktadır. Zaten bu dalgalar canlılar için oldukça zararlıdır. Çoğunlukla radyasyon diye bahsedilen şey aslında bunlardır. Tayfın en düşük frekans kısmında bulunan ELF (extra low freq.) ve biraz yukarısı denizaltı haberleşmesinde kullanılan sonar (ses) dalgalarıdır. Tabi ki bu frekanslar elektrik dalgası olarak kablolara verilse haberleşme yapılabilir ancak en basit kablo dahi (örneğin bükülü kablo: twisted pair) çok daha yüksek hızlarda iletişim sağlayacak bandgenişliğine sahip olduğundan kabloda sadece ELF kullanılmaz, ama işaretimiz o frekansları kapsayabilir. Yetişkin insan kulağının 10-15 kHz'ye kadar sesleri duyabildiği bilinmektedir. Bu durumda Giriş bölümünde verdiğimiz sesli iletişim örneği VLF'ye kadar olan bandı kapsamaktadır. Basit bükülü kablonun 20-30 MHz'ye kadar frekansları taşıyabildiği gösterilse de aslında sınır kablonun boyuyla ters orantılıdır. Yani bükülü kablo 100 MHz'yi taşımaz diyemeyiz, kablo kısaldıkça daha az hasarla taşımaya başlar. Yine de, 100 MHz'lik işaret 1 km'lik bükülü kabloda oldukça yüksek hasara uğrar, kullanışlı olmaz diyebiliriz. Benzeri şekilde koaksiyel kablo da 1 GHz'ye kadar kullanılır şeklinde gösterilmiş olsa da doğrusu böyle keskin sınırlar yoktur. Şekilde gösterilen sınırlar kabiliyeti değil daha çok kullanım frekanslarını belirtmektedir. İletişim hatları ayrı bir dersin konusu olabilir, bu kitapçıkta kapsanmamaktadır. 29 Şekil 2.21 Elektromanyetik tayf özeti. Genlik modülasyonu (AM : amplitude modulation) yayını yapan radyolar için ayrılan frekans bandı 1-100 MHz arasında biryerlerde gösterilmiştir. Bu, AM tekniğinin diğer bandlarda çalışmadığı manasına gelmesin. Buradaki sınırlar da uluslararası anlaşmalarla belirlenmiş yasal bandlardır. Benzeri şekilde halka açık FM (frequency modulation) radyo ve TV (television) yayınları da tayfta gösterilen yerlerden yapılabilir. Söz konusu işlem radyo dalgalarını havaya yaymak olunca, frekans bandı oldukça kısıtlı bir kaynaktır. Her ülkede izinler devlet tarafından kontrol edilir ve dağıtılır, çoğu ülkede ücretlidir. Kablo yada kontrol altındaki bir medya içinden (örneğin dalgagüdücü) iletişim yapılacaksa iletişimi yapanlar ve ilgili devlet kurumları sadece dışarıya yayılımın kontrolü sorumluluğuna sahiptir. Örneğin evinizin bir odasından diğer bir odasına kablo çekip istediğiniz frekans bandını haberleşme amaçlı kullanabilirsiniz, ancak dışarıya elektromanyetik yayılım belli değerlerin altında olmalıdır. Aynı işi komşunuzla yada diğer sokaktaki akrabanızla yapamazsınız, çünkü pekçok ülkede haberleşme altyapısı yetki ve sorumluluğu kamu yada özel kurumlara verilmiş/satılmıştır. Uzaktan kumanda cihazlar, oyuncaklar vb için ayrılmış bandlardan sadece sınırlı güçte (sınırlı mesafe demektir) yayın yapabilirsiniz. MIR ve FIR (infrared/kızılötesi bandları) iletişimde henüz çok az kullanılmaktadır. Çünkü bu dalgalar maddeler tarafından soğurularak ısıya dönüştürülür. NIR (near infrared) ise uzaktan kumanda cihazları gibi basit haberleşmede ve fiber optik kablolarda kullanılmaktadır. Performans açısından diğer iletişim bandları fiber optik kablonun bandıyla karşılaştırılamaz. Şekilde frekanslar logaritmik ölçekle verildiğinden, belirgin olmamakla beraber biraz hesapla, fiberin band genişliğinin (yaklaşık 900 THz) onun altında kalan tüm haberleşme tayfından (100 THz diyelim) kak kat büyük olduğunu görebiliriz. O nedenle diğer kablolu ve kablosuz iletişimin iletişim hızı (bit/s) bakımından fiber ile yarışmasının imkanı yoktur. Fiberi tek sınırlayan şey uç noktalarıdır. Nihayetinde, gönderici tarafında elektrik işaretinin ışığa, alıcı tarafında da ışık işaretinin elektrik işaretine dönüştürülmesi gerekmekte, 30 bu dönüştürücülerin (transducer) teknolojisi sınırlayıcı olmaktadır. Çünkü halihazırda bilgisayarlar ve diğer sayısal cihazlar elektrik işaretleriyle çalışmaktadır. Tabi ki birkaç on yıl sonra durum değişebilir. Konusu açılmışken fiber, bakır kablo ve kablosuz iletişim antenlerine bir göz atalım, biraz tanıyalım. Şekil 21'de fiber kablonun kabaca yapısı ve çalışması anlatılmaktadır. Fiber aslında saç kılı kadar ince (<50 µm) olabilen bir camdır. Normal camdan farklı kılan özelliği ise saflığı, homojenliği ve düzgünlüğüdür. Bir ucundan giren ışık fazla bir kayba uğramadan diğer ucundan çıkar. Core (çekirdek) adı verilen asıl camın üzerine kaplanmış cekirdekten farklı bir kırılma indisine sahip bir başka cam ile beraber çalışır. Farklı kırılma indisleri şekilde gösterildiği gibi tam ışık yansımasına sebep olur ve ışık dışarıya kaçamaz. Yine de dışarıdan ışık girememesi için ve mekanik koruma amacıyla, onun üzerine de ışık geçirmez bir kaplama daha yapılır. Bunların çoklu demetleri aralarına ve üzerine mekanik dayanıklılık için ayrıca gerekli kaplamalar, örneğin çelik kılıf, yapılır. LED farklı uzunlukta yol kat eden dalgalar core/kıl Şekil 2.22 Çok-modlu (multimode) fiber kablonun çalışması. Işık kaynağından ayrılan ve yönleri tam aynı olmayan ışık hüzmeleri kablo boyunca farklı sayıda yansımalara uğrar ve sonucunda farklı zamanlarda karşı uca erişirler. Sonsuz sayıda ışık hüzmesi (herbirine mod denir) farklı zamanlarda alıcıdaki dönüştürücüye ulaştığı ve onların toplamı görüldüğünden Şekil 2.22'de gösterilen fiberde yayılma (dispersion) denilen olay oluşur ve Şekil 10'daki gibi düzgün bir darbe diğer uçta yayılmış/bozulmuş bir darbe olarak görülür. Bu da birim zamanda gönderilebilecek darbe sayısını sınırlar (not: yine de bahsedilen hızlar bakır kablodan kat kat yüksektir). Fiber çekirdeğini oldukça ince (<10 µm) yaparak yayılım azaltılabilir. Şekil 2.23'de tek-mod (single mode) fiber kablonun çalışması gösterilmiştir. Böylelikle hem yansıma sayısı hem de farklı sayıda yansıma sayısı çok daha az olduğundan tek-mod fiber kablolarda veri daha yüksek hızlarla ve daha uzak mesafelere (>100 kilometre) taşınabilir. Şekil 2.23 Tek-mod (single mode) fiber kablonun çalışması. 31 Tek-mod fiber kablodan uygun şekilde faydalanabilmek için ışık kaynağı da laser ile değiştirilir. Laser tek doğrultuda, tek dalgaboyunda ve tek fazda ışık hüzmesi olduğundan yansıma kayıpları çok daha az olur. Fiber modern çağın neredeyse alternatifsiz iletişim ortamıdır, ucuzladıkça daha da yaygınlaşmaktadır. Şu andaki maliyet kaynağı ise uç noktaları, yüksek teknoloji ve eğitimli işgücü gerektirmesidir. Ancak heryere kablo çekilemez. Özellikle mobil cihazlar ve mobil araçlardaki (taşıt araçları, gemi, uçak, uydu vb) haberleşme cihazlarının kablosuz haberleşmeden başka alternafi yoktur. Şekil 2.24'te kablolu ve kablosuz iletişimin arasında bir yerde kalan dalgagüdücü (waveguide) örneği verilmiştir. Dalgagüdücü iyi iletken metal bir boru olup bir ucundan gönderilen elektromanyetik dalganın diğer ucundan alınması şeklinde çalışır. Tabi ki dalgagüdücünün ölçüleri, içeride rezonansı sağlanan modlar ve çalışma frekansları arasında sıkı ilişkiler vardır ve bu konular genelde mikrodalga/elektromanyetik derslerinde işlenirler. Şekil 2.24 Dalgagüdücü (waveguide). Şekil 2.25'de gösterilen eşeksenli (coaxial) kablo belki de yüksek frekanslarda en çok kullanılan kablodur. Empedansı ve çalışma bandlarına göre oldukça fazla çeşitlilik gösterirler. Kesinlikle bir telin etrafına sarılmış plastik ve onun da etrafına sarılmış metal tel örgü diye düşünmemek gerekir. İletkenlerin kalitesi, dielektrik malzemenin yapısı ve esnekliği performansı oldukça fazla etkiler. Şekil 2.25 Eşeksenli (coaxial) kablo. Şekil 2.26'te gösterilen ethernet kablosu bir bükülü kablo örneğidir. Bükülü kabloların binlerce türü olduğundan hepsi için geçerli olduğu söylenebilecek pek birşey yoktur. Şekilde gösterilen örnek 4 çift bükülü kablo içermekte olup dış koruması plastiktir ve dışarıdan gelen etkilere açıktır. Temel olarak dış elektromanyetik dalgaların ve endüksiyon yoluyla alınacak gürültünün etkisini azaltmak 32 için birbirleri üzerine bükülen yalıtımlı iletkenlerden oluşur. Çoğunlukla diferansiyel modda, yani gidiş-dönüş çiftleri şeklinde, işaret iletilir. Şekil 2.26 Bükülü kablo (twisted pair). Kablosuz haberleşme ise elektromanyetik dalganın antenler yoluyla havaya/ortama yayılması ile gerçeklenir. Antenler de kullanıldıkları uygulamaya göre oldukça fazla çeşitlilik gösterirler. Burada birkaç türün örneğini verelim ve asıl bilgilenmenin Antenler ve Yayılım derslerinden edinilebileceğini söyleyelim. Şekil 2.27 Dipol ve Yagi anten örnekleri. Dipol anten iletken bir çubuk olup boyu çalışma frekansı/dalgaboyu ile belirlenir. Ekseni yönünde yayın yapmaz. Eğer belli bir yöne yayın yapılmak isteniyorsa arkasına yansıtıcı yerleştirilir (Şekil 2.27, ortadaki anten). Bir çeşit dipol olan Yagi anten ise çoğunlukla alıcı antendir (sağdaki) ve belli dalgaboyları için önüne ve ardına reflektör çubuklar yerleştirilmiştir. Böylelikle o yöndeki yayınlar daha güçlü alınır. Şekil 2.28 Çanak anten ve radom korumalı çanak anten. 33 Şekil 2.28'te ise 2 çanak anten örneği verilmiştir. Aslında çanak kısmı sadece yansıtıcı olup çukur ayna gibi karşıdan gelen dalgaları bir odak noktasına toplamak içindir. Odak noktasında ise asıl anten ve onun önkuvvetlendiricisi küçük bir koruma kutusu içinde yeralmaktadır. Antene yakın bir önkuvvetlendirici (preamplifier) ve frekans indirici (downconverter) olmasının sebebi, işareti kabloya yönlendirmeden önce kuvvetlendirip kablodaki gürültüden daha az etkilenmesini sağlamaktır. Bu kutuya LNB (Low Noise Block downconverter) denir. Enerji, bu elektronik devreye çoğunlukla işareti alıcıya göndermekte kullanılan kablodan gelir (dolayısıyla alıcıdan). Çanak antenler yöne en duyarlı antenlerdendir, bu sayede hem enerji tasarrufu sağlamış ve gereksiz elektromanyetik yayılım yapmamış hem de istenmeyen dinleyici ve yayıncılardan bir miktar korunmuş olurlar. Radom ise bu anteni hava şartlarından korumak için uygun bir dielektirik küremsi hacim içine alınmış halidir. Anten deyince, genel olarak, elektromanyetik yayılım yapması için şekillendirilmiş iletkenler aklımıza gelmektedir, ve bu tanım yanlış değildir. Ancak, bu yayılımın en verimli şekilde olması çoğu zaman birinci öncelik değildir. Örneğin Şekil 2.29'te verilen bıçak (blade, fin) anten uçak üzerinde kullanılmak için tasarlanmış olup jet hızlarında hava akımlarına dayanıklıdır. Şekil 2.29 Bıçak (blade) anten. Mobil telefonlarımızın içlerinde de en az 1 anten mevcuttur. Benzeri şekilde birinci öncelik boyuttur. Bazı durumlarda yayılım veriminin düşük olması bile tercih edilebilir. Örneğin modern telefonlarda bulunan NFC (near field communication) antenleri ile zaten kısa süreli ve kısa mesafe haberleşme hedeflenmiştir. Verimlilik ikinci plandadır. Antenler ve iletişim kabloları konusunun ne kadar geniş ve üzerinde onyıllarca çalışılabilecek bir zenginlikte olduğunu görüyoruz. Haberleşme dersimizde alıcı ve verici arasında "kanal" kelimesi ile özetlediğimiz yapıda bunlardan herhangi biri yada burada değinilmeyen bir iletim yöntemi olabilir. 2.2.2. Soru - Cevap S : Fourier dönüşümü ne işe yarar? C: Bir fonksiyonu sinüsoidaller cinsinden tanımlayabilmemize olanak sağlar. S: Sinüsoidallerin özelliği nedir ki? Niçin sinüsoidal? C: Doğada ve elektriksel işaretlerde en çok karşılaştığımız fonksiyonlardan birisidir. Yüzyıllardır üzerinde çalışıldığı için de bilgi birikimi en geniş fonksiyonlardır. Başka fonksiyonlar kullanan ve sinüsoidalleri kullanan başka dönüşümler de vardır ve bazıları oldukça yaygındır (Hadamard, Kosinüs, dalgacık). Genel olarak dönüşümler, işarette doğrudan göremediğimiz bazı özelliklerin görülebilmesini kolaylaştırır. 34 S: Hep analitik fonksiyonu verilen işaretlerde Fourier dönüşümü yaptık. Gerçek işaretler üzerinde nasıl uygulayacağız? C: Uygulayamayacağız. Çünkü integraller ( , ) aralığında. Ancak bunun kısıtlı zaman aralığında yaklaşığını hesaplayabiliriz. Uygulamada, kısıtlı zaman aralıklarında işaretten düzenli aralıklarla alınmış örnekleri kullanan Kesikli Fourier Dönüşümü yaygındır. Fourier dönüşümü gibi fonksiyondan fonksiyona olmayıp bir sayı setinden diğer bir sayı setine dönüşüm olduğundan aynısı olmadığı anlaşılmaktadır ancak büyük benzerlikler göstermektedirler. Hatta işaret işleme üzerine çalışan kişiler Fourier dediklerinde Kesikli Fourier'i kastetmektedirler. 2.3. Kesikli Fourier Dönüşümü Uyarı : Kesikli zaman konusunda bilginize güvenmiyorsanız bu bölümden önce örnekleme konusunu okuyunuz. Gerçek işaretler üzerinde, Fourier dönüşümünü uygulayamadığımızdan, sınırlı zaman aralığında alınan örnekler üzerinde çalışan ve sürekli karşılığı ile büyük benzerlikler gösteren Kesikli Fourier Dönüşümü (DFT: Discrete FT) kullanılır. Kesikli Fourier Dönüşümü ve ters dönüşümü N 1 X [k ] x[n]e j 2 kn / N (2.18) n 0 x[n] N 1 1 N X [k ]e j 2 kn / N (2.19) k 0 denklemleri ile tanımlanır. Burada x[n ] , x (t ) sürekli işaretten düzenli aralıklarla alınan örnekler dizisini, X [k ] ise frekans alanındaki karmaşık sayılar dizisini göstermekte olup her iki dizi de N örnekten oluşmaktadır. Denklemler (2.18) ve (2.19)'in Fourier dönüşümünü tanımlayan (2.12) ve (2.13) denklemlerine benzerliğine dikkat ediniz. (Not: Her iki denklem setinde bulunan e j ... terimine dönüşümün çekirdeği adı verilir. Doğrusal dönüşümlerde dönüşüm çekirdeği f (u, v ) şeklinde olup ortak özellikleri f (u, v ) fonksiyonlarının birbirlerine birim-dik (orthonormal) olmasıdır.) Kesikli Fourier Dönüşümünün özellikleri Tablo-1'de verilen sürekli dönüşüm özelliklerine oldukça benzer. Örneğin doğrusallık; Eğer x[n] c1 x1[n] c2 x2 [n] ise X [k ] c1 X 1[k ] c2 X 2 [k ] 'dir. N 1 Bir diğer örnek konvolüsyondur; x [m]x [((n m 1 1 2 m )) N ] X 1[k ] X 2 [k ] . Yani iki örnek dizisinin dairesel konvolüsyonu (circular convolution) Kesikli Fourier Dönüşümlerinin çarpımına eşittir. Dairesel konvolüsyon dizisinin her örneğinin hesabı iki dizinin örneklerini iki dairenin üzerine eşit aralıklarla yerleştirdiğimizde karşı gelen örneklerin çarpımlarını toplamı ve bir dairenin herbir konvolüsyon örneği için dairelerden birinin bir örneklik döndürülmesi ile yapılır. Bu da bize bir varsayımı ima eder; Her ne kadar sınırlı sayıda örnek varsa da, diziler sonsuz defa kendini tekrar eder. 35 Fourier Dönüşümü ile Kesikli Fourier arasındaki en belirgin fark budur. Yani işaretlerin periyodik olduğu varsayılır. Bu varsayımı anlamak için burada anlatmayıp atladığımız Kesikli-Zaman Fourier Dönüşümüne de (DTFT : Discrete-Time FT) biraz değinelim. DTFT sürekli (zaman) işaretin örneklerini kullanarak işaretin sürekli (frekans) Fourier dönüşümünün frekans alanında periyodik tekrarlarının toplamını veren bir dönüşümdür. DFT ise frekans alanındaki bu sürekli periyodik fonksiyonun periyodu boyunca örneklerini verir ve frekans ekseni boyunca tekrar ettiğini varsayar. Zaman alanındaki sürekli fonksiyonun FT'u sınırlı bir band içinde kalmadığı durumlarda DFT ile elde edilen kesikli tayfın en azından yüksek frekansları temsil eden bileşenlerinde örtüşme olacağı açıktır. Şekil 26'da bahsedilen dönüşümlerin ilişkisi gösterilmektedir. Bahsedilen tüm dönüşümler tersinir ve doğrusal olmasına rağmen DFT'nin kullanılışına dikkat etmek gerekmektedir. Çünkü uygulamada diğerlerinin kullanımı yok denecek kadar azdır. Şekil 2.30'da gösterildiği üzere N-örnek ile hesaplanan DFT katsayıları kullanılarak IDFT ile aynı N-örnek geri elde edilebilir. Ancak bu N-örnekten asıl zaman serisini (sonsuz örnek) yeniden oluşturmak imkansızdır. Ayrıca, işaretin frekans bandı gerçekten sınırlı değilse, N-nokta DFT tayfı asıl işaretin tayfını tam olarak temsil edemez. Gerçek hayatta frekans bandı tam sınırlı bir işaret yoktur. O nedenle örtüşme olur ve özellikle yüksek frekans bileşenleri hatalı olarak elde edilirler. FT IFT DTFT IDTFT imkansız N-örnek D FT N-nokta DFT I DFT Şekil 2.30 Sürekli, kesikli-zaman ve kesikli Fourier dönüşümü ilişkisi. DTFT'ndan DFT'na geçişte akılda tutulması gereken bir başka şey ise tayfsal sızıntıdır (spectral leakage). Bunu şöyle açıklayabiliriz; Farzedelim ki DFT katsayılarında k'ıncı örnek 100 Hz, k+1'inci örnek ise 104 Hz'yi temsil ediyor olsun. Peki DTFT sürekli bir fonksiyon olduğuna göre 102 Hz'deki enerji kaçıncı DFT katsayısıyla temsil ediliyor? Cevap, aradaki enerjinin her iki komşuya yakınlıklarına göre dağılmasıdır. Yani DFT'ndaki bileşenler arasındaki enerji komşu bileşenlere dağılmıştır ve buna tayfsal sızıntı denir. Sızıntıyı birazdan göreceğimiz örneklerle daha açıklığa kavuşturacağız. DFT'ndaki problemlere değindiğimize göre, nasıl oluyor da bu kadar yaygın bir kullanım görüyor sorusunu soralım. Cevaplardan basit olanı, DFT'nun sayısal devreler/işlemciler ile gerçeklendiği ve sürekli ..FT'ların gerçeklenme ihtimalinin sıfıra yakın olduğudur. Ayrıca, DFT'nun 36 simetri özellikleri kullanılarak hızlı hesaplama yöntemleri geliştirilmiştir (Hızlı Fourier DönüşümüFast Fourier Transform : FFT) ve değindiğimiz örtüşme ve sızıntı problemlerini azaltıcı yöntemler de bulunmaktadır. (Not : FFT yeni bir dönüşüm değildir, sadece DFT'nun hızlı hesaplanmasıdır.) Şekil 2.31'daki rampa fonksiyonu örneklerini ele alalım. Setimiz 16 örnekten oluşmakta ve yukarıda bahsettiğimize göre Kesikli Fourier Dönüşümü tarafından sonsuza kadar tekrar eden testere dişi fonksiyonu örnekleri olarak görülmektedir. Ts=T/16 n T Şekil 2.31 Rampa fonksiyonundan alınan 16 örnek. Örnekleme işleminden sonra sadece örnek değerlerinden oluşan diziden tekrar asıl rampa fonksiyonunu elde etmek için örnekleme sıklığı bilgisinin ( Ts ) saklanması gerekir. Denklemler (2.18) ve (2.19)'dan görüldüğü gibi DFT'unda zaman bilgisi içerilmemektedir. Tabi ki dönüşüm sonrasında elde edilen karmaşık sayı dizisinde de bu bilgi (zaman ve frekans) yoktur, temsil edilen sinüsoidlerin göreceli frekansları, fazları ve genlikleri vardır (herbir bileşen içinde komşu aralıklardaki enerji de sızıntı şeklinde bulunmaktadır). Şekil 2.32'de örnek bir kesikli tayf (kesikli Fourier dönüşümü sonuç dizisinin büyüklükleri) gösterilmektedir (16 örnekle üretilmiş). gerçek işaretler için simetri k 0 Hz 1/T Hz 1/2Ts Hz 1/T Hz f Şekil 2.32 Örnek bir kesikli Fourier tayfı ve açıklaması. Şekil 2.32'deki 0 frekansının yanındaki ilk bileşen temel frekanstır (fundamental frequency). Bunu Fourier Serilerinde görmüştük. Onun hemen yanındaki (k=2) bileşen ise ikinci harmoniktir. 1 ve 2 nolu bileşenler sırasıyla 1/T Hz ve 2/T Hz frekanslı sinüsoidleri temsil eder. Ancak, işarette 1.5/T Hz frekanslı bir bileşen yok mudur? Elbette ki olabilir ve onun enerjisi yakın bileşenlere sızıntı olarak dağılmıştır. Burada -6-7 nolu bileşenlerden örnek vermememizin sebebi yüksek frekans bileşenlerinin örtüşmenin daha fazla etkilenmesi ve sızıntıya ilave olarak örtüşme de içermesidir. (Not: testere dişi 37 fonksiyonunun örtüşme içermeden örneklenmesi (Nyquist kriteri ile) mümkün değildir, çünkü tayfı sonsuza kadar uzanmaktadır.) Gerçek sayılardan oluşan giriş dizisi için 0 frekansı dışındaki çıkış değerleri orta noktaya göre simetriktir. O nedenle genlik tayflarında sadece orta noktaya kadar olan değerler gösterilir. Orta nokta ise Örnekleme konusunda anlatılan Nyquist frekansına karşı gelmektedir. Yani, dizi örnekleme ile üretildiyse, orta noktanın değerine çoğu zaman güvenilemez. Analitik fonksiyonların Fourier Dönüşümü konusu işlenirken gösterilen frekans tayfına benzetmek için Şekil 2.32'de bir örneği verilen dizilerin orta noktasının sağında kalan değerlerinin sıfır frekansının solunda gösterilmesi gerekir (Şekil 2.33). Şekil 2.33 Örnek kesikli tayfın simetrik gösterimi. Şekil 2.34'da ise 2 adet sinüs işaretinin DFT tayfları gösterilmektedir. Aralarında çok az bir frekans farkı olan bu işaretler 1080 örnek ile örneklendiğinde ilk işaret tam 48 periyod ikincisi ise yaklaşık 49.1 periyod kapsanmakta. Şekil 2.34 Frekansları yaklaşık iki sinüsoidalin büyütülmüş DFT tayfı (1080 nokta). Şekil 2.34'de görüldüğü üzere örnekleme süresi içine işaret peryodunun tam katları girmez ise sızıntı olmakta, bu durum tayfa giderek azalan yan bileşenler (sinc şeklinde) olarak yansımaktadır. Gerçek uygulamalarda işaretin periyodunu zaten bilmediğimiz yada işaret zaten periyodik olmayacağı için sızıntıdan kaçınmak mümkün değildir. Pratikte bu etkiyi azaltmak için örnek dizisinin uç noktalarında işaret bastırma yapan bir işlemden (pencereleme) geçirilir, yada ardışıl yapılan N-örnek DFT'lerin (örneğin 20 kez) ortalaması alınır. Şekil 2.35 sıkça kullanılan Hanning pencereleme işleminden geçmiş dizinin DFT tayfını göstermektedir. Konumuz dahilinde olmadığı için detaylandırmayacağız. 38 Şekil 2.35 Hanning penceresinden geçirilmiş dizinin DFT tayfı. Verilen örnekleri bir yazılım ile deneyip tayfları çizdirdiyseniz birkaç noktayı farketmiş olmalısınız. Bunlar, sürekli tayfa yakın bir kesikli tayf elde etmek için çok sayıda ve Nyquist kısıtından çok daha sıkça örneklemenin yapılması gerektiği, düşük sayıda örnek ile elde edilen DFT katsayılarından işaret karakteristiği ile ilgili pek bir yorum çıkamayacağı, pencereleme ve ortalama alma işlemlerinin çoğu uygulamada gerekli olduğu, sadece büyüklük (magnitude) verisinden asıl diziye geri dönülemeyip faz bilgisinin de gerekli olduğu gibi yorumlardır. Fourier Dönüşümleri ve kullanım alanları ile ilgili birikimin çok az bir kısmı bile buraya sığmayacak kadar geniştir. O nedenle son bir örnek ile konumuzu noktalayalım. Şekil 2.10'da ve ilgili örnekte birim kapı işaretinin Fourier dönüşümünün sinc fonksiyonu olduğunu görmüştük. Birim kapı işaretinin sayısal haberleşmedeki önemi sayısal verilerin 1'ler ve 0'lar ile ifade edilmesi ve herbir bitin tayfa yaptığı katkının bir sinc olmasından kaynaklanmaktadır. Yani rastgele 1'ler ve 0'lardan oluşan bir veri akışının tayfını görmek istersek herbir bitin tayfa katkısını uygun faz kaymasıyla toplayabiliriz. Peki Şekil 2.10'da verilen bir kapı işaretinin tayfını örneklerinden nasıl hesaplayabilir ve çizebiliriz? Örneğin ...0000010000... gibi sonsuz adet sıfırın ortasında bir adet 1 olan veri/işaretin tayfı nasıl hesaplanır-çizilir? (not: bit süreleri sonlu bir uzunlukta). Öncelikle işareti 0-1'lerden oluşan veri olarak değil 1'de kalma süresi belli olan bir elektriksel işaret olarak düşünmemiz gerekir. Yani ...0000010000... dizisinin DFT'nu hesaplayarak bir tayf elde edemeyiz. Bu veri haberleşme kanalında süresi olan bir elektriksel darbe olarak görülecektir. Bu darbe işaretini DFT ile analiz edebilmek için yeterince sıklıkla örneklememiz gerekmektedir. Örneğin bit başına 10 örnek alındığında/üretildiğinde elde edilen 100-nokta ve 1000-nokta DFT tayfları Şekil 2.36'de gösterilmiştir (ardışıl 10 örnek 1, diğerleri 0). Şekil 2.36'i dikkatli bir şekilde incelersek şunu görmemiz gerekir; Bileşenlerin genlikleri sıfır frekansından uzaklaştıkça beklenilenden daha az düşüyor! Yani bu tam bir sinc değil. Bunun sebebi ise örtüşmenin oldukça fazla olmasıdır. Örneğin 900 ile 1000 arasındaki bileşenlerin enerjilerinin yarıya yakın kısmı örtüşmeden kaynaklanmaktadır. 1000 ile 1100 arasındaki, aslında olması gereken ama gösterilemeyen, bileşenler katlanarak (ayna görüntüsü gibi) 900 ile 100 arasındaki bileşenlerin üzerine toplanmaktadır. 39 Şekil 2.36 10 örneklik kapı darbesinin 100 ve 1000-nokta DFT tayfı. Tayf analizörleri (specktrum analyzer) ölçülen analog işaretin tayfını gerçeğe yakın bulmak için işareti önce bir örtüşme engelleyici süzgeçten (anti-aliasing filter) geçirir, böylelikle örnekleme frekansının yarısından daha yüksek frekanslı bileşenler bastırılır. Sızıntıyı en aza indirmek için, alınan örnekler bir pencereleme fonksiyonundan geçirilir. Buna rağmen, DFT'u alınan ardışıl örnek setleri oldukça değişken olabileceğinden, belirli sayıda DFT verisinin ortalaması alınarak kullanıcıya gösterilirler. 2.3.1. Soru-Cevap S : Hangi oranla örneklemeliyiz ki DFT sonrasında frekans tayfını gerçeğe en yakın görelim? C: Donanımın izin verdiği en yüksek hızla. S : Kaç örneklik DFT uygulamalıyız ki sonrasında frekans çözünürlüğü en iyi olsun? C: Donanımın izin verdiği en fazla örnek. S : Madem DFT katsayıları simetrik neden sadece tek tarafını almıyoruz? C: DFT'de simetri için şartlar Tablo-1'de verilmiştir. Bu şartlar sağlanıyorsa katsayıların yarısı diğer yarısından hesaplanabilir. Gerçek (karmaşık sayı olmayan) işaretler için simetriden faydalanmak daha kolaydır. Ancak yine de DFT sonucunun karmaşık sayılardan oluştuğunu ve yukarıdaki örneklerde sadece büyüklükleri çizdiğimizi, ters dönüşüm için faz bilgisine de ihtiyacımız olduğunu unutmayalım. S : FFT (Fast Fourier Transform) nedir? C: DFT'nin bazı simetri özellikleri kullanılarak daha az işlemle (daha hızlı) hesaplanması yöntemi/yöntemleridir. Matematiği/formülü ve sonuçları DFT ile aynıdır. Bazı yazılım paketlerindeki fft(.) fonksiyonları eğer paket verilen sayıda örneği FFT ile hesaplayamıyorsa DFT denklemleriyle (17, 18) hesaplarlar, yada diziye 0 ekleyerek (zero-padding) FFT yöntemleriyle hesaplarlar. Bu nedenle, örneğin 1024-nokta fft ile 1025-nokta fft arasında hesaplama süresinde hissedilebilir farklar oluşabilmektedir. 40 2.3.2. Çözümlü Problemler 1. Aşağıda tayfı verilen işaretin gücünü bulunuz. Çözüm dönüşümler Fourier sin( c t ) j ( ( c ) ( c )) tablosundan özelliğini hatırlayalım. Verilen j ( c ) j ( c ) tayfının, yani Fourier dönüşümünüm, zaman işareti 1 P Tc 1 sin( c t ) 'dir. Bu bir periyodik işaret olduğuna göre periyod boyunca alınan enerji integrali Tc x(t ) 1 Böylece P Tc 2 dt ile gücü bulabiliriz. Burada Tc Tc 2 2 c 'dir. T 1 c 2 1 0 sin( c t ) dt = 2Tc 0 sin (ct )dt = 2 2 buluruz. 1 Şimdi de siz aynı işaretin gücünü Frekans alanında hesaplayınız. f 1 0 , 2. vi (t ) 4e u(t ) işareti H ( f ) 1 , 1 f 2 şeklinde verilen ideal bant geçiren 0 , f 2 3t süzgece uygulanıyor. Süzgeç çıkışına bağlanan 1 Ohm'luk dirençte harcanan toplam enerjiyi hesaplayınız. vi (t ) 4e3t u(t ) vi (t ) BPF vo (t ) Çözüm Süzgecin girişindeki işaretin Fourier dönüşümü 41 Vi ( ) F vi (t ) 4e 3t e jt dt integrali ile bulunur Vi ( ) ve 0 Vi ( f ) 4 3 j veya 4 olarak hesaplanır. Çıkıştaki enerji ise 3 j 2f 2 2 4 E V0 ( f ) df Vi ( f ) H ( f ) df 2 df şeklinde yazılır. İntegralin önündeki 2 3 j 2 f 1 2 2 çarpanı tayfın negatif ve pozitif kısımlarının simetrik oluşundandır. 2 16 32 df 2 2 2 4 1 9 4 f E 2 16 E 3 E 1 2f tan 3 2 f 1 2 df (3 2 ) 2 2 16 1 4 1 2 tan ( ) tan ( ) 3 3 1 3 16 (1.3365 1.1253) 0.358 [Joules] 3 3. Bir dikdörtgen darbe treni ve onun frekans tayfı, genlikler dikkate alınmamak üzere, aşağıda verildiği gibidir. İşaretin periyodu nedir? y (t ) t |Y ( f ) | f -1 -0.5 0.5 -1 1.5 2 2.5 Çözüm Frekans tayfında temel frekans (fundamental frequency) olarak 0.5 Hz görülmekte. f o 1 / T 'yi kullanarak T = 1/0.5 = 2 sn bulunur. 4. Gerçek bir işaretin tayfı şekilde verildiği gibidir. İşaretin ortalama değeri (time-average) nedir? | V () | 2 0.5 Çözüm 2 42 Ortalama değer DC yada sıfır frekansındaki değerdir. İşaretin tayfında 0 frekansındaki değer 0 olarak görülmektedir. O halde ortalama değer 0'dır. 5. Aşağıda verilen LTI (linear-time-invariant) sistemin girişinde N 0 / 2 [Watts/Hz] değerinde düz tayf yoğunluğuna sahip gürültü işareti vardır. Çıkıştaki gürültü gücünü bulunuz Çözüm Önce Vo R Vi R jL S o ( ) S i ( ) H ( ) 1 L 1 j R H ( ) ile transfer fonksiyonunu (birim-darbe tepkisi) bulalım. ve ardından Po 2 S ()d o (psd'nin tanımı) ile de çıkış gücünü bulabiliriz. Yani, Po Si ( ) H ( ) d 2 N0 d 2 1 L / R 2 2 2 N R N R L Po 0 tan 1 0 [Watts]. 4L 4L R 6. Aşağıdaki RC alçak geçiren süzgeci veriliyor. Direnç değeri 1000 ohm'dur. Girişteki N0 1012 W / Hz değerindeki AWGN gürültüsüne karşılık çıkışta toplam gürültü 2 gücünün en fazla 0.5 103 W olabilmesi için kapasitörün minimum değeri ne olmalıdır? Sn ( f ) Çözüm Süzgecin transfer fonksiyonu H ( j ) 1 1 , ve H ( ) olarak bulunur. 1 jRC 1 2 R 2C 2 43 S o ( ) S i ( ) H ( ) Ardından 2 Si () Si ( f ) / 2 ile güç hesaplayacağız. olduğundan Si () N 0 / 4 [W/rd/s]. Po So ( )d Po Si ( ) | H ( ) |2 d N0 d 4 1 2 R 2C 2 N0 1 4 1 R C 2 2 2 d u R C ile Po N0 du . iken u olduğundan 4 RC 1 u 2 sınırlarda değişken değiştirmeye gerek yok. N0 N0 N tan 1 (u) ( ) 0 elde edilir. Bunun 0.5 103 W olabilmesi için 0 2 RC 2 RC 2 4 RC değerleri yerlerine koyduğumuzda 0.5 109 0.5 1012 103 / C , ve buradan da Po C 1 107 100 nF bulunur. Tabi ki C arttıkça empedans (devre analizi derslerinden zC 1 jC olduğunu hatırlayınız), dolayısıyla çıkış genliği, ve dolayısıyla çıkış gücü düşer. Yani çıkış gücü ile C ters ilişkilidir. Bu bir sınav sorusu idi. Sınavdan sonra bazı öğrenciler hesaplarında değil f kullandıklarında farklı sonuç elde ettiklerini söylemişlerdir. 2f olduğuna göre bu söylemi kontrol edelim. 2 Çıkışta f cinsinden tayfsal yoğunluk eşitliğimiz S o ( f ) S i ( f ) H ( f ) Benzeri şekilde süzgecimizin transfer fonksiyon karesi H ( f ) 2 P0 N0 2 H ( f ) olur. 2 1 olarak yazılır. 1 4 f 2 R 2 C 2 2 N0 df , u 2 fRC ve du 2 RC df ile 2 2 2 2 2 1 4 f R C S ( f )df o P0 N0 df elde edilir. f iken u olduğundan sınırlarda değişken değiştirmeye 4 RC 1 u 2 gerek yok. Bu integral ve çarpanı kullandığımızdaki ile aynı olduğuna göre işlemlere devam etmeden sonuçların aynı olacağını söyleyebiliriz. İşlemlerde yada f kullanmak 2 f yada f / 2 dönüşümü yaptığımız sürece aynı sonucu verecektir. Belki burada açıklanması gereken, sabitlerin nasıl dönüştüğüdür. Örneğin, en başta S () S ( f ) / 2 yazdık ve açıklamadık. Bunu S ( f ) c için açıklayalım. Aşağıdaki şekilde sol tarafta sabit c [W/Hz] güç tayf yoğunluğu gösterilmiştir. Yani ( f 0 , f 0 1) aralığındaki güç diktörtgen taralı alandır ve c 'ye eşittir. Sol şekildeki 'ya göre çizilmiş tayf yoğunluğunda, 0 2 f 0 olmak üzere, (0 , 0 2 ) aralığında aynı gücün olması için diktörtgenin aynı alana sahip olması gerekir, yani o da c 'dir. Dikdörtgen 2 kadar 44 genişlediğine göre yüksekliğinin b c / 2 olması gerekir ki güç, yani alan, yine c olsun. Bu durumda S () S ( f ) / 2 'dir. S ( ) S( f ) c b c c f 0 f0 1 f0 0 2 7. Bir işaret güç tayfı yoğunluğu cos( f ) , f G( f ) 4 şeklinde veriliyor. İşaretin gücü nedir? , elsewhere 0 Çözüm PT G( f )df /4 cos( f )df /4 /4 sin( f ) / 4 2 . 8. Bir işaret tayf yoğunluğu Düz tayfa sahip bir tabanbant işaret 11 kHz'lik bir taşıyıcıyı modüle ediyor ve aşağıdaki tayf elde ediliyor. Üretilen x(t ) işaretinin gücünü bulunuz. |X(f)| 2 f 10 12 Çözüm Sx X ( f ) 2 ve Px S x ( f )df olduğunu biliyoruz. Burada verilen tayfın sadece pozitif kısım olduğunu ve negatif kısmının unutulmaması gerektiğini hatırlayalım. Bunu uyguladığımızda 12 0 10 Px S x ( f )df 2 S x ( f )df 2 22 df 16 bulunur. 45 3 Örnekleme ve Nicemleme Elimizde sürekli bir işaret yada onun grafiği olduğunu, bu işareti telefonla arkadaşımıza tarif edip onun da aynı işareti üretmesini/çizmesini sağlamak istediğimizi varsayalım. Örneğin böyle bir işaret Şekil 1'deki gibi olsun. İşareti arkadaşımıza nasıl tarif ederdik? Şekil 3.1 Uzak noktada tarif ile üretilmesini istediğimiz işaret örneği. Bir yaklaşım grafiğin minimum ve maksimum noktalarını arkadaşımıza söylemek ve bunların aralarını uygun bir şekilde birleştirmesini istemek olabilir (Şekil 3.2). Bu durumda telefonla bildirilecek değerler ( y1 , t1 ) , ( y2 , t2 ) , ( y3 , t3 ) ... şeklinde olacaktır. Şekil 3.2 Grafiğimizin telefonla bildirilecek minimum ve maksimum noktaları. Arkadaşımızın bu noktaların nasıl birleştireceği konusunda Şekil 3.3'te gösterilen birkaç fikri olabilir. Doğrusal aradeğerlemenin gerçek işaretten ne kadar uzak bir sonuç üretebileceğini görebiliriz. Yüksek dereceli aradeğerlemeler de gerçeğine çok benzemediği durumlarda bile önemli bir hesap 46 yükü gerektirmektedir. Ayrıca optimum noktaları arkadaşınıza söylemeden önce kendinizin de bir şekilde hesaplamanız/bulmanız gerekmektedir. Eğer grafiğimiz sınırlı büyüklükte olsaydı belki buna katlanabilirdik, ama sürekli değişen bir elektrik işareti olunca işler biraz daha zorlaşır. Şekil 3.3 Minimum/maksimum noktaları birleştirme örnekleri. a) Doğrusal aradeğerleme b) Yüksek dereceli polinom ile aradeğerleme. Bir diğer yaklaşım da düzenli aralıklarla grafiğin değerini bildirmek ve arkadaşımıza bunların aralarını uygun şekilde doldurmasını istemek olabilir. Daha çok örnek noktası belirlenmesi karşılığında yatay eksen (zaman) değerlerini iletmeyeceğimizden ve fonksiyon değerinde yapılan bir hata diğer ölçümleri etkilemeyeceğinden bu yaklaşım daha mantıklı olabilir. Şekil 3.4 Düzenli aralıklarla yapılan ölçümlerin iletilmesi yaklaşımı üzerine iki örnek. Şekil 3.4 bu yaklaşımla ilgili 2 örnek göstermekte ve bir soru doğurmaktadır; Ölçüm noktalarımız ne kadar aralıklı olabilir? Aralık ne kadar büyük ise bilgiyi o kadar az veri ile ileteceğiz demektir. Ne kadar yakınlarsa da sanki grafik arkadaşımız tarafından daha doğru çizilebilecek gibi hissediyoruz. Hatta yeterince sık ölçüm yapılırsa doğrusal aradeğerleme bile oldukça doğru sonuç verecek gibi. Düzenli ölçümlerimizin ne kadar aralıkta olması gerektiğine Nyquist bir cevap vermiş; "Bandgenişliği f m olan bir işaret 2 f m 'den daha yüksek bir örnekleme hızı ile düzenli örneklenirse, işaret yeniden tam olarak üretilebilir. Eğer örnekleme aralıkları 1 yada daha büyük ise işaret tam 2 fm 47 temsil edilemez ve yeniden tam olarak oluşturulamaz" demiş. Yani örnekleme aralığı Ts 1 2 fm olmak zorunda. Yeniden oluşturma formülü olarak da x (t ) n x(nT )sinc(2 f s n m (t nTs )) (3.1) veriliyor. Denklem (3.1)'in anlamı şudur; Herbir örnek noktasına bir sinc fonksiyonu oturtalım, sinc'in büyüklüğü örnek değeri kadar olsun, sıfır geçişleri de diğer örnek noktalarından geçsin. Bunların hepsini topladığımızda x (t ) elde edilir. Ancak, sinc fonksiyonu sonsuza kadar uzanmaktadır, yani sonsuz sayıda örneğimiz varsa sonsuz toplam yapmak gerekir. Bu durum Şekil 3.5'te özetleniyor. Şekil 3.5 Düzenli örneklerden yeniden oluşturmanın sinc fonksiyonu ile yapılışı. Örneğin, şekilde gösterilen bir xi noktasında fonksiyonun değerini bulmak için o noktadaki tüm sinc'leri toplamak gerekli. Uygulamanın ihtiyacına göre yaklaşık bir değer yeterli ise komşulukta bulunan sınırlı sayıda sinc toplanabilir (bir hata karşılığında). Sinc fonksiyonuna aradeğerleme çekirdeği (kernel) denir. Çok daha basit iki aradeğerleme çekirdeği örneği Şekil 3.6'da verilmiştir. s0() y0 (t ) 1 x ( n) t 0.5 n 0.5 s1() y1 (t ) 1 -1 t 1 Şekil 3.6 Kesikli örneklerden aradeğerleme yapan 0'ıncı (hold) ve 1'inci (doğrusal) derece aradeğerleyiciler ve çıktıları. 48 Uygulamada, x(n) örnek treninden yada y? (t ) aradeğerlemelerinden y (t ) sürekli fonksiyonunu üretmek için sinc işlevini yaklaşık olarak yerine getiren bir alçak geçiren süzgecin kullanılması oldukça yaygındır. Maalesef burada verdiğimiz örnekler, anlaşılma kolaylığı açısından, tabanband (baseband) işaretler üzerine idi. Yani işaretimizin en düşük frekansı sıfır civarında idi ve en yüksek frekansı da f m bandgenişliğine eşit idi. Tayf ve frekans anlayışımız biraz daha ilerleyince frekans kaydırma, yukarıkaydırma (upconversion) ve aşağıkaydırma (downconversion) konularında benzeri örnekleri yeniden ele alacağız. Şimdi örneklenmiş işaretin frekans tayfına bakalım. Düzenli aralıklarla örnekleme yaptığımızda işaretimizi bir birim darbe treni ile çarpıyormuş gibi düşünebiliriz (Şekil 3.7). x(t ) xs ( n ) t n birim darbe treni Şekil 3.7 Birim darbe treni ile örnekleme modeli. Zaman alanındaki çarpma işleminin frekans alanındaki karşılığı, Fourier dönüşümünün ikilik ve konvolüsyon kurallarına göre, konvolüsyondur; n k n k xs (n) x(t ) (t nT ) X ( f ) ( f k / T ) X s ( f ) (3.2) Örnek bir tabanband işaret ve birim darbe treninin tayfları Şekil 3.8'de gösterilmiştir. Olası konvolüsyon sonuçları da aynı şekilde belirtilmiştir. Birim darbe treninin Fourier dönüşümü frekans alanında pozisyonları kf s olan darbe trenidir. Bir fonksiyonun birim darbe fonksiyonu ile konvolüsyonu işaretin birim darbe fonksiyonunun pozisyonuna kaydırılması sonucunu üretir. Fourier dönüşümü doğrusal olduğundan birim darbe treni ile konvolüsyon da, doğal olarak, herbir darbenin olduğu pozisyonda fonksiyonun bir kopyasının üretilmesi demektir. Bu kopyalar birbiriyle çakışabilir. Çakışmaması için f s 2 f m şartının sağlanması gerekir. Örnekleme frekansı denmektedir. f s 'in 2 f m 'e eşit olduğu noktaya Nyquist frekansı f s 2 f m durumunda ise bu kopyalar birbiriyle örtüşür (aliasing) ve toplamda birbirlerini bozarlar. Bu durumda tabanband işareti bir alçak geçiren süzgeç yardımıyla geri elde edilmeye çalışılırsa bu işaretin örtüşen frekanslara karşı gelen bileşenleri, yani toplam işaret, bozulmuş olacaktır. Şekil 3.9 örneklenmiş işaretten (Şekil 3.7, sağdaki işaret) yeniden sürekli işareti üretebilmek için gerekli olan ideal ve ideal olmayan süzgeçlerin çıktılarını olası göstermekte. 49 fs 2 fm X( f ) f f fm convolution fm f s 2 fm f fs 2 fm S( f ) fs fs f f Şekil 3.8 Bir tabanband işaret ve birim darbe treni frekans tayflarının konvolüsyonu ve olası üç durum. x ( n) Xs( f ) f H(f) 1 H(f) f f fm f X( f ) süzme f fm X( f ) f f ideal olmayan süzgeç çıkışı süzme ideal süzgeç çıkışı Şekil 3.9 İdeal ve ideal olmayan yeniden oluşturma süzgeçlerinin çıkışları. Şekil 3.9'daki ideal olmayan süzgeç çıkışı yüksek frekanstaki kopyadan da bazı bileşenleri içermekte. Bu bozulma örneklenmiş işaretin frekans alanındaki kopyalarının arasını daha da açmakla giderilebilir. Bunun için de daha yüksek frekansta örnekleme yapılması gerekir. Gerçek uygulamalarda çoğu zaman Nyquist frekansından çok daha yüksek bir örnekleme frekansı kullanılır. Buna da aşırı örnekleme (oversampling) denir. Aşırı örnekleme daha yüksek frekansların kullanılmasını gerektirse de çok daha basit ve ucuz süzgeçlerin kullanılabilmesine olanak sağlar. 3.1. Sayısal Yukarı/Aşağı Kaydırma Şekil 3.9'daki X s ( f ) frekans tayfına tekrar bakalım. Burada X s ( f ) 'i süzgeçten geçirerek sıfır frekansının etrafındaki kopya olan X ( f ) 'i, dolayısıyla x (t ) 'yi yeniden oluşturmaya çalıştık. Eğer daha yüksek frekanslardaki kopyaları elde etseydik bu işlemin adına yukarıkaydırma (upconversion) diyecektik. Benzer şekilde, X ( f ) tabanband işareti olmayıp kapladığı frekans bandı 50 yüksek frekanslarda olsaydı ve biz sıfır frekansı etrafındaki kopyayı elde etmeye çalışsaydık bu işleme de aşağıkaydırma (downconversion) diyecektik. Tabi ki X ( f ) 'in bandı yüksek frekanslarda olup farklı bir yüksek frekanstaki kopyayı elde etmek isteyebiliriz. Buna da frekans kaydırma (freq. conv.) denir. Frekans kaydırma işlemleri burada bahsedildiği gibi örnekleme ve sayısal işlemlerle yapılacak ise kopyaların örtüşmemesi için hesaplamaların oldukça dikkatli yapılması gerekir. Frekans kaydırma analog devrelerle de yapılabilir, ki o konuya modülasyon kısmında gireceğiz. Sayısalda yapılan kaydırma işlemlerini diğerinden ayırmak için çoğu zaman önüne "sayısal" kelimesi eklenir; Sayısal aşağı kaydırma (digital downconversion, sampling frequency translation) gibi. Bunu bir örnekle gösterelim. Şekil 3.10 B bantgenişlikli bir tabanbant işaretin tayfını, f s 2 B olmak üzere f s frekanslı örnekleme treninin tayfını ve son şekil ise örneklenmiş işaretin tayfını göstermektedir. f s 2 B olduğu için, doğal olarak, örtüşme yoktur. Örneklenmiş işaretin tayfı örnekleme işaret frekansının tam katlarında görülen tabanbant işaret tayfının kopyalarından oluşmaktadır. Bu kopyalardan sadece 0 frekansı etrafındakini geçiren bir süzgeç ile tabanbant işaret örneklenmiş işaretten yeniden oluşturulabilir. | X( f )| f B B | S( f ) | f fs 0 kf s fs | SX ( f ) | f fs 0 kf s fs Şekil 3.10 a) Örneklenecek tabanbant işaretinin tayfı Örneklenmiş işaretin tayfı. b) Örnekleme darbe treninin tayfı c) Şimdi de X ( f ) işaretinin 0 frekansında değil de f s frekansı merkezli bir bantgeçiren işaret olduğunu varsayalım. Bu durum Şekil 3.11a'da gösterilmiştir. Örnekleme frekansı f s önceki örnekle aynı olsun (Şekil 3.11b). Örneklenmiş işaretin tayfı da Şekil 3.11c'de gösterilmiştir. f s frekansındaki darbeden dolayı gelen kopyalar 0 ve 2 f s frekansında görülür. 2 kopya olmasının sebebi X ( f ) işaretinin pozitif ve negatif frekanslardaki kopyalarıdır. Benzeri şekilde tüm kf s frekanslarındaki darbelerin ürettiği kopyalar (k 1) f s ve (k 1) f s frekanslarında görülür. f s ve f s 'deki darbelerden gelen kopya tayflar birbirinin aynı olduğundan hiçbir bozulma olmadan toplanıp 0 frekansı etrafında görülür. Benzeri şekilde tüm kf s frekanslarındaki kopyalar komşu darbelerin ürettiği kopyaların toplamıdır ve tabanbanttaki tayfın aynısıdırlar. Böylelikle f s merkezli 2B bantgenişlikli bir işaretin 0 frekansındaki kopyası, f s 2 B şartıyla, sadece o kopyayı geçiren bir alçak geçiren süzgeç ile tabanbant işaretini elde etmekte kullanılabilir. 51 | X( f )| f fs B fs fs fs B | S( f ) | f fs 0 fs kf s 2 fs | SX ( f ) | f fs 0 fs Şekil 3.11 a) Örneklenecek bantgeçiren işaretinin tayfı Örneklenmiş işaretin tayfı. kf s 2 fs b) Örnekleme darbe treninin tayfı c) Aynı durum kf s merkezli bir bantgeçiren işaret için de geçerlidir. Buradaki varsayımımız f s frekansındaki işaretin aslının pozitif ve negatif kısımlarıyla tam bir tabanbant işareti olmasıdır. Peki f s ne kadar düşük olabilir ki iki kısımlı tabanbant kopyası hiç bozulmamış (örtüşmemiş) olsun? Gerekli şart daha önce gördüğümüz f s 2 B 'den başkası değildir. Kritik değer f s 2 B olması durumudur ve bu durumdaki örneklenmiş işaret tayfı Şekil 3.12'te gösterilmiştir. Özet olarak, tabanbantta iken bantgenişliği B olup kf s frekansına çıkarılmış (belki de modülasyon ile) herhangi bir işaret, f s 2 B şartı ile, f s ile örneklenip tabanbanttaki kopyası süzülerek geri elde edilebilir. Bu, herhangi f c merkezli 2B genişlikli bantın f s 2 B olan herhangi f s frekanslıyla örneklenebilmesi değildir. f c kf s olması gerekir. Aksi halde 0 frekansı etrafındaki bileşenler gerçek tabanbant işareti olmaz. | SX ( f ) | asıl işaret f fs 0 B fs 2 fs kf s Şekil 3.12 f s 2 B örnekleme frekansıyla örneklenmiş kf s merkezli işaretin tayfı. Örneğin, 10 kHz bantgenişlikli bir işaret 100 MHz'lik bir taşıyıcı ile çarpılıp 100 MHz'ye çıkarılmış olsun. Bu işaretin 200+ MHz'de örneklenmesine gerek yoktur, 20 kHz ile örneklenebilir. 100 MHz 20 kHz'nin 5000 katı olduğundan, ±5000'inci örnek darbesinden (frekans alanında) dolayı üretilen kopyalar 0 ve 200 MHz frekansı etrafında olurlar. 10 kHz bantgenişlikli ideal bir süzgeç ile tabanbant işareti alınıp gerisi atılabilir. Tabi ki ideal süzgeç pratikte gerçeklenemeyeceği için B olarak yaklaşık %20 arttırılmış bir sayı kullanılması yaygındır. Verdiğimiz örnekte asıl işaretin bantgenişliği 10 kHz değil de, mesela 8 kHz olması, ancak 10 kHz varsayılması ve ona göre işlemler yapılması gayet mantıklıdır. 52 Yüksek frekanstaki işaretimizin sadece tek yan bant olması, yani tabanbant tayfının sadece pozitif yada negatif kısmının olması durumunu Şekil 3.13 gösteriyor. | X ( f ) | Şekil 3.13a'da üst yan banttır. Şekil 3.13c'de görüldüğü gibi tabanbant tayfı üretiliyor. f c kf s taşıyıcı frekanslı üst yan bant işaretleri için de aynı durum geçerlidir. | X( f )| f fs | S( f ) | fs fs B f fs 0 fs 2 fs kf s | SX ( f ) | f fs 0 fs 2 fs kf s Şekil 3.13 a) f c f s taşıyıcı frekanslı üst yan bant işaretinin tayfı b) Örnekleme darbe treninin tayfı c) Örneklenmiş işaretin tayfı. | X ( f ) | üst yan bant ise ama alt yan bant gibi örneklenirse Şekil 3.14'te gösterildiği gibi doğru tabanbant tayfı oluşmaz. Buna tayfsal tersinme denir. İşaret alt yan bant iken üst yan bantmış gibi örneklenirse de benzer problem oluşur. | X( f )| f fs B fs fs | S( f ) | f fs 0 fs 2 fs kf s | SX ( f ) | f fs 0 fs 2 fs kf s Şekil 3.14 a) f c f s B taşıyıcı frekanslı üst yan bant işaretinin tayfı b) Örnekleme darbe treninin tayfı c) Örneklenmiş işaretin tayfı. 53 3.2. Nicemleme Şimdi Şekil 3.4 ile anlatılan, düzenli ölçümlerin telefonla arkadaşımıza bildirme ve onun işareti yeniden oluşturmasını sağlama işlemine geri dönelim. Şekil 3.15'da yeniden oluşturmanın hatasız yapılabilmesi için ölçüm noktalarındaki değerlerin sonsuz sayıda basamak ile bildirilmesi gerektiği vurgulanıyor. 1.44350621647878… 1.47513864153543… -0.409004416240274… -1.0658039448491… Şekil 3.15 Ölçüm noktalarındaki değerler sonsuz hassasiyette. Ölçüm değerlerinin {1.44350621647878…, 1.47513864153543…, -0.409004416240274…, …} şeklinde sonsuz sayıda basamakla bildirilmesinin (hatta ölçülmesinin) imkansız olduğu açıktır. Tek bir ölçümüm bile bildirilmesi işaretin kendisinin gönderilmesinden (aralıklı örnekler yerine) çok daha pahalıya çıkacağı ortadadır. Sürekli değerler yerine düzenli aralıklarla yapılan ölçümleri bildirdiğimiz gibi, basamak sayısında da bir sınırlamaya gitmemiz şarttır. Örneğin {1.44, 1.48, -0.41, …} gibi. Tabi ki bu, değerlerde bilerek/razı olarak yaptığımız bir kısaltmadır ve yapılan hata geri kurtarılamaz. Bu kısaltmaya nicemleme (quantization) denir. Milimetrik cetvelle milimetreden daha hassas ölçümler yapamamak gibi birşeydir. Şekil 3.16 (-2.0,+2.0) sürekli aralığının 8 eşit altaralığa bölünmesi ve örneklemenin bu nicemlemeye göre yapılmasını göstermektedir. Buna göre, örneğin işaretimizin ölçüm anındaki değeri (1.5, 2.0) alt aralığında ise bu değeri 7 ile gösteriyoruz. Diğer örnek değerlerinin herbiri de 0 ile 7 arasındaki 8 adet tamsayıdan birisi ile gösteririz. Bu sayıların herbirinin hangi değer aralığına karşı geldiğini bilen alıcı (arkadaşımız) işareti bazı örnekleme hataları ile beraber yeniden oluşturabilir. 54 2.0 1.75 7 1.25 6 0.75 5 0.25 4 -0.25 3 -0.75 2 -1.25 1 -1.75 0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 Şekil 3.16 (-2,2) aralığının 0.5 aralıklarla nicemlenmesi ve işaretin buna göre örneklenmesi. n Şekil 3.17 Nicemleme gürültüsü. Tabi ki hata değeri karşı tarafa bildirilmediğinden nicemleme hatası kalıcıdır, giderilemez. Örneğimizdeki hatalar (0.25, 0.25) aralığında eşit olasılıklı (uniform) dağılmıştır, yani gerçek değer aralıktaki sonsuz değerden herhangi birisi olabilir. Örneğimizdeki hatalar Şekil 3.17'de gösterilmiş olup, değerler rastgele olduğundan nicemleme hatasına nicemleme gürültüsü (quantization noise) adı verilir. Örnekleme ve nicemleme işlemi analog işaretleri sayısal örneklere çevirmek ve çoğunlukla işaret üzerinde yapılması istenen işlemlerin (süzme, tanıma, modülasyon, kodlama, ...) sayısal devrelerle gerçeklemek üzere analog-sayısal çeviriciler (analog-digital converter : ADC) tarafından gerçekleştirilir. Daha kapsamlı entegre devrelerin parçası da olabilen ADC'ler çoğunlukla sadece bu iş için üretilen entegre devrelerdir. Sayısal devre deyince aklımıza işaret değerlerinin ikili sayı sistemi ile ifade edildiği mantık devreleri aklımıza gelir. İkili sayı sisteminde bulunan 0 ve 1 rakamları sayısal elektronik devrelerde iki farklı voltaj ile temsil edilirler (0-5V, 0-3.3V, -15-+15 vb). Tabi ki sayılar, ondalık sistemde olduğu gibi, bitlerin (bit=binary digit) yanyana konmasıyla oluşturulur. Doğal olarak, Şekil 3.16'deki bölüt (alt-aralık) sayısı arttıkça onları temsil etmek için gereken bit sayısı da artacaktır. Örneğimizde 8 adet bölüt olduğuna göre sayılarımız 3 bitlik olacaktır ( 23 8 ). Böyle bir ADC kavramsal olarak Şekil 3.18'te verilmiştir. 55 Vin R/ 2 Vref karşılaştırıcılar + R + R + R + R + R + R + R + R/ 2 kodlayıcı devre b2 b1 b0 Gnd Şekil 3.18 8 bitlik analog-sayısal çevirici. Şekil 3.18'te verilen paralel ADC'nin çıkışında her an girişteki voltajın hangi aralıkta olduğunu belirten ikili sayıyı görmemiz gerekir, en azından teorik olarak. Örnekleme anlarındaki çıkış değerini diğer sayısal devrelere aktarmamız gerekir. Tabi ki elektronik devrelerin bir hız sınırı vardır, ve giriş işareti ADC'nin ele alabileceğinden daha hızlı değişiyorsa çeşitli problemler (ve çözümler) oluşur. Bu kitapçıkta, istediğimiz anda çıkış değerinin geçerli/doğru olduğunu varsayacağız. Sayısaldan tekrar analoga çevirmek için ise sayısal-analog çeviriciler (digital-analog converter : DAC) kullanılır. Şekil 3.19 dört bitlik basit bir DAC örneği veriyor. Burada yüksek kazançlı bir kuvvetlendirici toplayıcı olarak kullanılmakta. Çalışma prensibini Elektronik derslerinde görmüş olmanız gerekiyor. Şekil 3.19 Dört bit girişli (16 seviye çıkışlı) basit DAC. ADC ve DAC entegre devreleri eşit aralıklarla yerleştirilmiş voltaj seviyelerine ve düzgün giriş-çıkış fonksiyonuna sahiptir (Şekil 3.20). Ayrıca ikili arayüzleri N b bir tamsayı olmak üzere N b 56 bitlik girişi vardır ve 2 Nb voltaj seviyesini düz ikili (straight binary) kodlar yada analoga çevirir. Bu voltaj seviyelerinin hangi aralıkta olacağı çoğunlukla belli sınırlar dahilinde başka kontrol girişleri ile seçilir. Bout ... Vin ... Şekil 3.20 Standard bir ADC giriş voltajı – çıkış değeri grafiği. Bazı uygulamalarda ise düzgün yerleştirilmiş giriş-çıkış basamakları tercih edilmeyebilir. Örneğin insan sesi iletişimi uygulamalarında ses işareti daha çok 0 V yakınlarında olduğundan 0 V etrafında daha sık yerleştirilmiş voltaj seviyeleri istenebilir. Şekil 3.21 konuşma işareti genliğinin olasılık yoğunluk fonksiyonunu göstermektedir. Genlik normalize edilmiş olup 0 ile 1 arasında değişmektedir ve işaretin herhangi bir anda 0'a yakın bölgelerde bulunma olasılığının ne kadar yüksek olduğu grafikte belirgindir. Şekil 3.21 Konuşma işareti olasılık yoğunluk fonksiyonu [1]. Öyleyse ses işaretinin olasılık yoğunluk fonsiyonuna göre doğrusal olmayan (non-uniform) bir ADC giriş-çıkış dönüşüm grafiği elde etmek yüksek genliklerde hatayı arttırsa da toplam/ortalama hatayı düşürür. Böyle bir örnek Şekil 3.22'de verilmiştir. 57 Bout ... Vin ... Şekil 3.22 Doğrusal olmayan ADC çevirim grafiği. Ancak, her farklı çevirim grafiği ihtiyacına göre ADC/DAC üretmek oldukça problemlidir. O nedenle, örneğin telefon sistemlerinde, sorunun ADC/DAC ile çözülmesi yerine ADC'den önce ve DAC'den sonra eklenen doğrusal olmayan (non-linear) kazanç devreleriyle çözülmesi yoluna gidilmiştir. Bu yaklaşım Şekil 3.23'te gösterilmiştir. Bout x(t ) ... x (t ) Vin ... sıkıştırma Düzenli aralıklarla örnekleme kanal genişletm e Şekil 3.23 Sıkıştırma-Genişletme yöntemiyle (compression-expansion) doğrusal olmayan ADC dönüşümü. Telefon şirketlerinin kullanımı amacıyla eniyileştirilmiş sıkıştırma-genişletme eğrileri standartlaştırılmıştır (Şekil 3.24). 58 Kuzey Amerikada kullanılan sıkıştırma eğrileri (μ-Law) y ymax ln(1 (| x | / xmax )) sgn( x ) ln(1 ) Avrupada kullanılan sıkıştırma eğrileri (μ-Law) A(| x | / xmax ) |x| 1 ymax sgn( x ) , 0 1 ln A xmax A y ymax 1 ln( A(| x | / xmax )) sgn( x ) , 1 | x | 1 1 ln A A xmax Şekil 3.24 Bazı standartlaştırılmış sıkıştırma-genişletme eğrileri. 3.2.1. Soru-Cevap S : Örnekleme ve dolayısıyla sayısala dönüştürmenin amacı nedir? C : İşaret işlemenin ve iletişimin sayısal devrelerle yapılabilmesi için (varsa) analog işaretlerin sayısala dönüştürülmesi gerekir. Sayısal devreler oldukça yetenekli ve değiştirilebilirdir (örneğin bilgisayarlar). Sayısala dönüştürülmüş işareti/veriyi koruyucu pekçok yöntem geliştirilmiştir. Bu yöntemleri analog devrelerle uygulamak neredeyse imkansızdır. S : Her zaman gerekli midir? C : Kullanılmak/taşınmak istenen veriler birçok durumda analog formdadır (ses, görüntü, ısı). Tabi ki bunları sayısal devrelerle işlemek için sayısal devreler gereklidir. Ancak bazı durumlarda veriler zaten sayısaldır (klavyeden girdiğiniz harfler). İşlemek için ADC gerekmez ama iletmek için çoğu zaman bir noktada DAC, alıcı tarafında da ADC gerekli olur. Burada ADC ve DAC sadece tek eşik değerinden oluşan 2 konumlu birer devre olabilir. Aslında "sayısal" kelimesinden kastımız sayısal mantık devrelerinde kullandığımız 1 ve 0 sembolleridir, "analog" ise elektriksel işaretlerdir. S : ADC'lerin bir maksimum çevirme hızı var. Daha yüksek frekanslarda işaretler için ne yapılabilir? C : Yüksek hızlarda çevirim için ADC'leri paralel (faz-farklı) şekilde kullanmak oldukça yaygındır. Örneğin maksimum çevrim hızı 1 GHz olan 2 adet ADC 1'er örnek atlamalı şekilde çalıştırılıp toplamda 2 GHz'lik bir çevirme hızı (teorik olarak) elde edilebilir. S : Sample & Hold diye birşey var, nedir? 59 C : Sample bu bölümde gördüğümüz örneklemedir. Hold yada tutma ise işaretin değerinin ölçülmesi (sayısala çevrilmesi) tam olarak bitinceye kadar girişteki işaretin değişmemesini sağlamak için eklenmesi gereken bir devredir. Çoğunlukla bir kapasitörün işaret ile çok hızlı doldurulup hemen ardından girişle bağlantısının kesilmesi şeklinde modellenir. Yeniden dolduruluncaya kadar ölçüm tamamlanır. 3.2.2. Çözümlü Problemler 1. Bir tabanbant işaretin tayfı aşağıda verilmiştir. İşaret örneklendikten sonra en yüksek 2 kHz'lik banttaki bileşenlerin örtüşme dolayısıyla bozulduğu farkedilmiştir. Bu örtüşmeye sebep olan örnekleme frekansı nedir? Çözüm İşaretin en yüksek frekansı 7 kHz olduğundan en düşük örnekleme frekansının 14 kHz'den yüksek olması gerektiği söylenebilir. 14 kHz kullanılsaydı aşağıdaki şekilde (üstteki) gösterildiği gibi örneklenmiş işaretin Fourier dönüşümündeki görüntüler çakışmaz, örtüşme olmazdı. 2 kHz'lik kısım şekildeki (alttaki) gibi örtüştüğüe göre örnekleme frekansının 2 kHz daha yüksek olması gerekirdi. Yani şu anda örnekleme frekansı 12 kHz'dir. 2. Karakteristik olarak tüm işareti temsil ettiği söylenen bir kısmı şekilde verilmiştir. En yüksek nicemleme hatası ±0.5 Volt olacak şekilde en yüksek nicemleme aralığı ne olmalıdır? x(t) f 60 Çözüm Örneklemenin sonsuz küçük genişlikteki dirac-delta darbeleriyle yapıldığı varsayılırsa, nicemleme hatası işaretin şekline değil nicemleme aralıklarına bağlıdır. En yüksek ±0.5 Volt hata için aralıkların en genişi 1 Volt olmalıdır. 3. Şekilde gösterildiği gibi tayfı 10-11 MHz bantında olan işareti örneklerinden tekrar oluşturabilmek için olası en düşük örnekleme frekansı nedir? Çözüm Örtüşme olmaması için, Nyquist kriterine göre en düşük örnekleme frekansı işaretin bantgenişliğinin 2 katından yüksek olması gereklidir. Yani, W işaretin bantgenişliği olmak üzere, f s 2W olmalıdır. W =1 MHz olmak üzere, f s 2W örnekleme frekansı kullanıldığında aşağıdaki şekilde gösterilen örneklenmiş işaret bantgenişliği elde edilir. Şekilde görüldüğü gibi bileşenler örtüşmemektedir. Tayfın negatif kısmı da pozitif kısmına simetriktir. Tabi ki asıl işareti geri elde edebilmek için asıl işaretin en düşük (yada en yüksek) frekansı bilgisinin de bilinmesi gerekir. Ancak, çoğu zaman işaret zaten tabanbant işaretinin yüksek frekanslara çıkarılmış hali olduğundan buna ihtiyaç olmayacaktır. Bu şekilde yüksek frekanslardaki bir dar bandı tabanbanta indiren örneklemeye sayısal aşağı kaydırma (digital downconversion) dendiğinden bahsetmiştik. Burada dikkat edilmesi gereken bir konu vardır; Bantgeçiren (yüksek frekanslardaki dar bant) işaret tabanbant işaretinin pozitif kısmı mı, negatif kısmı mı yoksa tümü müdür? Hangisi olduğu bilinerek aşağı kaydırma/örnekleme yapılmalıdır. Aksi halde aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi yanlış bir tabanbant işareti elde edilebilir. Bu hataya tayfsal tersinme (spectral inversion) denir. Yüksek frekanslar düşük, düşükler yüksek frekans olmuştur, ki gerçek işaretle arasında büyük fark vardır. 61 Referanslar [1] [2] D. L. Richards, “Statistical properties of speech signals,” Proc. Inst. Elect. Eng., vol. 111, no. 5, pp. 941– 949, 1964. 62 4 Gürültü ve Olasılık Giriş bölümünde haberleşme dersleri ve araştırmalarının temel sebebinin gürültü olduğunu söylemiştik. Gürültü, genel olarak, istenen/tanımlılar dışında olan işaretler şeklinde tanımlanabilir. Bunlar rastgele voltaj değişimleri olabileceği gibi aslında rastgele olmayan ancak yine de geleceğini öngöremediğimiz işaretler olabilir. Örneğin kalabalık bir ortamda konuşurken diğer insanların sesleri gürültü olarak algılanır. Ancak, bu kitapçık içinde gürültüyü, değeri rastgele değişen, gelecekteki (örneğin 1 ms sonra) değeri kestirilemeyen (yada kestirim aralığı geniş olan) işaretler olarak tanımlayacağız. Ayrıca asıl işaretimizi toplamsal şekilde etkilediğini varsayacağız. Yani s(t ) gürültüsüz asıl işaretimiz, (t ) ise gürültü işareti olmak üzere, gürültülü işaretimiz r ( t ) s ( t ) (t ) (4.1) olacaktır. Gürültünün kaynakları oldukça geniştir; güneş patlamaları, kozmik ışınım, atmosfer olayları, çevremizde açılıp kapanan anahtarlar, yandan geçen kablo, komşunun kablosuz aygıtları, elektronik aletlerin yaydığı elektromanyetik dalgalar, kullandığımız elektronik cihazlarda ısı ile artan rastgele değişimler (termal/ısıl gürültü) vb. Bu olaylar tarafından, kendi başına anlamlı, belki de nedensel ve/veya tahmin edilebilir şekilde üretilip sistemimize eklenen elektriksel salınımlar, toplamda rastgele işaretler olarak karşımıza çıkar. Genel olarak, iletilmek istenen asıl işarete istemsiz eklenen işaretler, rastgele olmasa da, gürültü olarak adlandırılırlar. Gürültüyle ilgili tanımları daha iyi anlayabilmemiz için öncelikle olasılığın basit temellerine değineceğiz. Örneğin hilesiz bir madeni para yazı-tura atmakta kullanılsın ve 100 deneme yapılsın. Para gerçekten hilesiz ise, bu denemeler sonucunda beklentimiz 50 adet yazı ve 50 adet tura gelmesidir. Tabi ki beklentimiz karşılanmayabilir ve sonuçlar eşit olmak yerine eşite yakın dağılabilir. Ancak burada 50 sayısı yazının ve turanın olasılıklarını temsil ederler. Teknik olmayan işlemlerde olasılığı 100 üzerinden söylesek de, matematikte olasılığı neredeyse her zaman normalize edilmiş şekilde, yani 1.0'lık bütünün parçası olarak ifade ederiz. Yani yazı ve turanın olasılığı eşit şekilde 0.5'tir. Tabi ki parçaların toplamı 1.0 eder. Benzeri bir örnek de hilesiz zar atma olayıdır. Zarın tüm yüzlerinin gelme olasılığı 1/6'dır. Yada 5 ve 5'ten büyük gelme olasılığı 1/3'tür. Her iki örnekte de toplam olasılık 1.0'dir. Zar yüzlerindeki sayılar ile olasılıklarını ifade eden bir grafik çizilmek istenirse Şekil 4.1 elde edilir. Şekil 4.1'deki grafiğe olasılık kütle fonksiyonu (pmf: probability mass function) ismi verilir. Bu örnekte olduğu gibi yatay eksen tam sayılar olmayabilir, olasılıklar eşit olmayabilir, negatif yatay eksen değerleri olabilir. Ancak olasılıklar her zaman pozitif ve toplamları 1.0'dır. Burada 2 tanım daha yapalım; 63 f(x) 1/6 x 1 2 3 4 5 6 Şekil 4.1 Zar olasılıklarını gösteren grafik. Rastgele değişken (random variable) : ölçümü yapılan olay yada değer (örneğin gelen zarın üzerindeki sayı). Çoğunlukla büyük harfle gösteriyoruz, örneğin X . Bunun alabileceği herhangi bir değeri de küçük harfle gösteriyoruz, örneğin x . x 'in aldığı özel değerleri de genellikle indisli şekilde gösteriyoruz, örneğin xi . Özel değerler bir sayı (örneğin 5) yada onu ifade eden bir harf (örneğin a) da olabiliyor. Ortalama değer (average value) : Sınırlı sayıda alınan örnekten hesaplanan ortalama xavg 1 K xi K i1 (4.2) Burada K alınan örnek sayısıdır (örneğin 10 kere yazı-tura atma ve sonuçları yazma). Beklenen değer (expected value, mean) : Tüm dağılım üzerinden, sonsuz sayıda deneme yapıldığında bulunacak olan ortalama değer, xi değerinin gelme olasılığı p( xi ) olmak üzere, E ( X ) xi p( xi ) (4.3) i olur. Örneğin, zar atma olayında beklenen değer E( X ) 11/ 6 2 1/ 6 3 1/ 6 4 1/ 6 5 1/ 6 6 1/ 6 3.5 olarak bulunur. Zarı 10 kez attığımızı ve 5, 4, 6, 2, 4, 3, 3, 4, 2 ve 5 okuduğumuzu düşünelim. Bunların ortalaması ise 3.8 bulunur. Ne kadar çok zar atılırsa ortalama değerin beklenen değere o kadar yaklaşacağı açıktır. 4.1. Olasılık Dağılımı Ölçülen büyüklüğün alabileceği değer sayısı zar örneğinde olduğu gibi sınırlı sayıda olmayabilir. Örneğin yoldan geçen insanların ağırlığı, geçen araçların aralarındaki süre, uzağa atılan taşların katettiği mesafe gibi çıktılar ile ilgili grafikler çiziyor olalım. Bu durumda bu rastgele olay ile üretilen değerler (yatay eksendeki değerler) sadece belirli değerleri değil bir aralık içindeki her değeri alabilir. Ancak bunların olasılıkları aynı değildir. Bu durumda çıktıların belirli değerler arasında olma olasılıklarını da gözeten sürekli bir grafik çiziyor olacaktık. Böyle bir grafik Şekil 4.2'deki gibi olsun. Burada x ölçülen değer, yani rastgele değişken, f ( x) ise Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (pdf: Probability Density Function) adını alır. Tüm eğrinin altında kalan alan 1.0'dır. x rastgele değişkeninin ( x1 , x2 ) arasında olma olasılığı şekildeki taralı alandır. 64 Şekil 4.2 Olasılık yoğunluk fonksiyonu. Bunları denklemlerle ifade edersek, f ( x)dx 1.0 (4.4) x2 P( x1 x x2 ) f ( x)dx (4.5) x1 Tabi ki kesikli rastgele değişkenler için (4.3)'de verdiğimiz beklenen değer sürekli rastgele değişkenler için integral formunu alır, E( X ) xf ( x)dx . (4.6) Beklenen değer, matematikte gördüğümüz ağırlık merkezine benzer. Şekil 4.3a'daki olasılık yoğunluk fonksiyonunu ele alalım. Rastgele değişken 1 ile 5 arasında değerler alabilmektedir, ancak 5'e yaklaştıkça olasılığı artmaktadır. c Şekil 4.3 a) Örnek olasılık yoğunluk fonksiyonu. b) (1,2) ve (4,5) aralıklarında bulunma olasılığı. Üçgenin tepe noktasındaki değere c diyelim. Eğrinin (doğrunun) altındaki alan 1.0 olacağına göre, c'yi (5 1)c 2 'ten c 12 buluruz. Doğrunun denklemi ise f ( x) 18 x 18 ,(1 x 5) bulunur. Bu durumda beklenen değer 5 5 E ( X ) xf ( x)dx 18 ( x 2 x)dx 18 13 x 3 12 x 2 1 1 5 1 3.67 bulunur. Beklediğimiz gibi, E ( X ) pdf'in yüksek olduğu yere yakın çıktı. Peki rastgele değişkenin (1,2) ve (4,5) aralıklarında olma olasılıkları nedir? Bunlar da Şekil 4.3b'deki taralı alanlardır; 2 5 P(1 x 2) 18 ( x 1)dx 161 ve P(4 x 5) 18 ( x 1)dx 167 . Görüldüğü gibi 1 4 aynı integralin sadece sınır değerlerini değiştirdik. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun ( , x) 65 aralığındaki integraline birikimli dağılım fonksiyonu (cdf: cumulative distribution function) denir ve çoğunlukla F ( x ) şeklinde büyük harfle gösterilir; F ( x) x f (u)du . (4.7) Tabi ki bu tanım ile P( x1 x x2 ) F ( x2 ) F ( x1 ) 'dir. En çok karşılaşılan iki olasılık yoğunluk fonksiyonu düzgün (uniform) dağılımlı ve Gaussian dağılımlı fonksiyonlardır. Düzgün dağılım adından anlaşılacağı gibi olasılık yoğunluğunun rastgele değişkenin değerine göre değişmediği dağılımdır ve bir örneği Şekil 4.4a'da gösterilmektedir. Gaussian dağılım ise (çan eğrisi, normal dağılım) doğada en çok karşılaşılan dağılımlardan birisidir (Şekil 4.4b). Şekil 4.4 a) Düzgün (uniform) dağılım ve b) Gaussian dağılım örnekleri. Normal (Gaussian) dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle verilmektedir; f ( x) 1 2 ( x m )2 e 2 2 (4.8) m : beklenen değer (mean), : standart sapma Beklenen değeri yukarıda görmüştük. Standart sapma ise olasılık yoğunluk fonksiyonunun ne kadar derli toplu ( küçük) yada yayılmış ( büyük) olduğunu gösteren bir ölçüdür. İlgili dağılımı gösteren bir rastgele değişkenden alınan örneklerin beklenen değere uzaklıklarının kareleri ortalamasının kareköküdür. Denklem ile E (( x m)2 ) (4.9) şeklinde yazılabilir. Elimizde dağılım fonksiyonu değil de sınırlı sayıda örnek varsa adı örnek setinin standart sapması olarak söylenir. Örneğin N=10 elemanlı setimiz xi {4, 2,6, 5, 1,10, 2, 4,3,6} olsun. Set ortalaması ms 3.1 bulunur. Setin standart sapması ise s N 1 N (m i 1 s xi )2 ile hesaplanır. Standart sapma ile elektrikte çoğunlukla sinüsoidal işaretler için kullandığımız rms (rootmean-square) değeri arasında sıkı bir ilişki vardır. rms değer; Vrms E ( x 2 ) (4.10) 66 şeklinde tanımlanır. Yani ortalama değeri çıkararak kareler ortalamasının karekökü hesaplanırsa standart sapma, çıkarmadan aynı işlem yapılırsa rms değer bulunur. Tabi ki ortalama değer sıfır ise bu ikisi birbirine eşittir. Şekil 4.5 Gaussian dağılıma sahip bir rastgele değişkenden alınmış 2000 adet örneği ve örneklerden hesaplanmış 100 bölütlü histogramı göstermektedir. Histogram, en büyük ve en küçük sayı arasını 100 eşit alt aralığa bölüp her bir aralığa düşen örnek sayısını çubuk grafik halinde vermektedir. x x n f(x) Şekil 4.5 Normal dağılımla üretilmiş rastgele veriler (2000 örnek) ve histogramı. Histogramın, Şekil 4.4b'de verilen normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonuna benzediğini görebiliriz. Peki, histogram ile olasılık yoğunluk fonksiyonunun farkı nedir? İsimlerinden anlaşılacağı üzere histogram, olmuş olaylar/eldeki verilerin grafiğidir, pdf ise olması beklenen (olası) dağılımdır. Ne kadar çok örnek alınırsa histogram pdf'e o kadar benzer. Aynı histogram/pdf'i veren sayısız fonksiyon olabilir. Örneğin Şekil 4.6'daki periyodik işaretten sıkça alınan örnekler de normal dağılıma büyük benzerlik sergilerler. x(t) p (t) t Şekil 4.6 Yaklaşık Gaussian dağılım gösteren periyodik işaret. Benzeri şekilde, testere dişi yada üçgen dalga işaretleri de Şekil 4.4a'daki düzgün dağılım özelliklerini gösterirler. Yani olasılık dağılım fonksiyonu bir işaretin gürültü olup olmadığını söylemez. pdf'leri benzeyen bu işaretlerin benzemeyen tarafları ise otokorelasyonları yani alınan bir örneğin işaretin geri kalanından alınan başka bir örnek ile olası ilişkisidir/benzerliğidir. 4.1.1. Periyodik İşaretlerden Alınan Örneklerin Dağılımı İşaretin kendisi rastgele olmadığı halde (örneğin periyodik bir işaret) herhangi bir anda bu işaretten alınan örnek değerine rastgele değişken gözüyle bakabiliriz. Örneğin sinüsoidal bir işaretin fazıyla ilgili bilgimiz yok iken herhangi bir anda örnek alalım ve bu değere X diyelim. Acaba X 'in 67 olasılık dağılımı nasıldır? Ortalama değeri ve standart sapması nedir? Tam olarak bildiğimiz bir x(t ) periyodik işaretinin istatistiksel özelliklerini nasıl hesaplarız? Bu soruları birkaç örnekle cevaplayalım. Örneğin x(t ) Şekil 4.7'de gösterildiği gibi bir testere dişi işaret olsun. x(t ) 'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu da f X ( x ) olsun. x (t ) A t T Şekil 4.7 Periyodik testere dişi işaret. f X ( x ) 'in (0, A) aralığı dışında sıfır olacağını görüyoruz. Herhangi bir işlem yapmadan f X ( x ) 'in şekil olarak Şekil 4.8'deki gibi olduğunu varsayalım. Şekilde gösterilen L alanı, f X ( x ) yüksekliği ve dx genişliğine sahip bir dikdörtgen ile yaklaşık olarak ifade edilebilir. Eğer dx sonsuz küçük ise o zaman L alanı, yani x 'in bu aralık içinde olma olasılığı, f X ( x )dx 'tir. f X ( x ) 0 ve altındaki tüm alanın 1 olduğunu biliyoruz. f X ( x) L x a a dx 0 A Şekil 4.8 Testere dişi işaretinin varsayılan olasılık yoğunluk fonksiyonu. Şimdi de, Şekil 4.9'da gösterildiği gibi dx 'in testere dişi işaret üzerinde karşı geldiği varsayılan yerini ve o aralığa karşı gelen dt zaman aralığını ele alalım. x (t ) A dx t dt T Şekil 4.9 Periyodik testere dişi işaret. 68 Bir periyod içinde, işaretin dx aralığında olma olasılığı t 'nin dt aralığında olma olasılığı ile aynıdır ve bu olasılık dt / T 'dir. Bu olasılığı Şekil 4.8'dekine eşitlersek f X ( x)dx dt / T elde edilir. Buradan da f X ( x) 1 dt dx 1 yada f X ( x ) T dx dt T (4.11) yazılabilir. dx / dt x türevi olduğuna göre f X ( x ) buradan çekilerek bulunmuş olur. Eğimlerin işareti alanı değiştirmeyeceğinden ve f X ( x ) pozitif tanımlı olması gerektiğinden mutlak değer işareti içine aldık. Bu bağıntıyı tüm periyodik işaretler için kullanabiliriz. dx / dt yada dt / dx 'ten hangisini kullanacağımıza hangisinin kolayca hesaplanabileceğine göre karar veririz. Ancak bir periyod içinde 1'e 1 fonksiyon olmayan işaretler için dikkatli olmak ve 1'e 1 parçalara ayırmak, daha sonra da bu parçalar için hesaplanan dağılımları birleştirmek gerekir. Öncelikle testere dişi örneğimizi bitirelim ve daha sonra 1'e 1 olmayan bir örnek yapalım. Testere dişi örneğimizde dx / dt x A / T olduğuna göre f X ( x ) f X ( x) A 1 ve buradan da T T 1 yazılır. Tabi ki 0 x A aralığımız dışında f X ( x ) 0 olduğunu unutmayalım. Şekil A 4.10 bu olasılık yoğunluk fonksiyonunu gösteriyor. Periyodik işaretlerin tüm periyodları aynı olacağından, rastgele bir anda alınan örneği rastgele değişken kabul ettiğimizde olasılık yoğunluk fonksiyonu değişmez. Burada gizlice bir varsayım yaptık; örnekleme anları düzgün dağılımlı rastgele bir değişkendir. Aksi halde, örneğin hep periyodun ikinci yarısına gelecek örnekler alacak olursak, tabi ki dağılım bu olmazdı, ancak yine hesaplanabilirdi. f X ( x) 1 A x 0 A Şekil 4.10 Testere dişi işaretinin hesaplanan olasılık yoğunluk fonksiyonu. Bağıntı (4.11)'i kullanarak ürettiğimiz olasılık yoğunluk fonksiyonunun altında kalan alanın 1 olduğunu kontrol edip gerekli düzeltmeleri (örneğin ölçekleme) yapmamız gerekir. Ayrıca bulunan fonksiyonun işaretin periyod (frekans) ve fazından bağımsız olması gerekiyor. Aksi halde bir yanlışlık yapmışız demektir. Bu özelliği başlangıçta bildiğimize göre, işaretleri çizerken ve hesap yaparken de dilediğimiz faz ve frekansta olduğunu kabul edebiliriz. Şimdi de bir sinüsoidal işaretin olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplayalım. Bir periyod içinde 1'e 1 olmayan sinüsoidal için parçalı bir yaklaşım uygulayacağız. Şekil 4.11 bunun için ilk parçayı kalın çizgiyle gösteriyor. İşaretimizin periyodunun sadece T / 2 olduğunu varsayalım. Daha sonra ikinci kısmıyla birleştirirken herhangi bir anda alınacak örneğin her iki kısımda olma olasılıklarının eşit olduğunu düşünerek birleştirebiliriz. Doğrusu periyodun geri kalan kısmında işaret 69 simetrik olduğundan dolayı yoğunluk fonksiyonu aynı çıkacaktır. Yani kalın çizgiyle gösterilen kısım için hesaplayacağımız f X ( x ) , tüm periyod için bulacağımız f X ( x ) ile aynı olacaktır. Bu durumda periyodu ister T / 2 isterse T alalım, bu terim işlemler sırasında kaybolacak, sonuç değişmeyecektir. x (t ) 1 t T /2 T 1 Şekil 4.11 Periyodik sinüsoidal işaret. İstatistikleri sadece yarım periyot ile hesaplayabiliriz. f X ( x) tekrar dx 1 'i kullanalım, yani kalın çizgi ile gösterilen kısım ( x cos( t / T ) ) periyodik olarak dt T x etsin. olduğundan t T T sin( t / T ) olduğundan f X ( x) arccos( x ) 'dir ve yerine yazılırsa sadeleştirildiğinde f X ( x ) 1 sin( t / T ) f X ( x) olur. x cos( t / T ) 1 T sin( arccos( x) / T ) ve 1 bulunur. İşlem tamam, ancak payda farklı bir şekilde sin(arccos( x )) yazılabilir. Kosinüsü x olan açının sinüsü hesaplanıyor. sin 2 ( x) cos2 ( x) 1 'i kullandığımızda f X ( x) 1 1 x2 Aynı t T f X ( x) işlemi 1 1 x yazabileceğimizi görürüz. 2 T 1 x 2 1 dt 'i T dx kullanarak yapalım. t T bulunur ve yerine yazıldığında yine f X ( x ) arccos( x ) 1 1 x2 olduğundan bulunur. Şekil 4.12 bu dağılımı göstermektedir. Dağılımı yarım periyod için hesapladık. Ancak diğer periyod tamamen hesapladığımız kısımla simetrik olduğundan dolayı tüm periyod için aynı sonuç elde edilir. 70 f X ( x) x 1 0 1 Şekil 4.12 Sinusoidal işaretin hesaplanan olasılık yoğunluk fonksiyonu. Beklenen değer E ( X ) 'in 0 olduğu şekilden görülüyor. Zaten beklenen değer ortalama değere eşit olduğu için ve sinüsoidal işaretin ortalama değeri, yani DC bileşeni, 0 olduğu için bunu bekliyorduk. Peki standard sapması ve varyansı nedir? Sürekli dağılımlar için Var( X ) X2 ( x m)2 f X ( x )dx (4.12) varyans tanımını kullanarak bulabiliriz. Burada m E ( X ) 0 ve 1 x 1 olduğundan 1 x2 1 1 x2 X2 dx 1 2 arcsin( x ) 21 x 1 x 2 1 1 1 2 arcsin( x ) 21 x 1 x 2 1 1 1 bulunur. 2 Vp 1 1 olduğuna göre X 'tir. Sinüsoidalin genliği 1 değil de V p ise X Vrms olur 2 2 2 Vp ki, elektrik bilgimizi de tazelemiş olduk. Ancak elektrikte bildiğimiz rms değerini Vrms ile 2 X2 hesapladığımız ilişkinin sadece 0 ortalamalı sinüsoidaller için geçerli olduğunu unutmayalım. Yada, AC voltmetre ile rms voltajını ölçtüğümüz işaretin tepeden-tepeye değerini Vpp 2 2Vrms ile hesaplıyorsak bu hesabın sadece sinüsoidaller için geçerli olduğunu bilelim. 4.1.2. İşaretlerin Benzerliği İki işaretin benzerliği konusuna Frekans bölümünde, Fourier dönüşümü konusuna girdiğimizde görmüştük. Orada, benzerliği içsel çarpım (inner product) ile ölçtüğümüzü söyleyip y (t ), x(t ) y (t ) x(t )dt (4.13) formülünü vermiştik. Eğer x(t ) ve y (t ) 'nin ölçüm zamanları farklı, yani bir işaret diğerine göre zamanda kadar kaymış ise, (4.13)'un sonucu 'ın bir fonksiyonu olur Rxy ( ) y (t ) x(t )dt ve ismi de çapraz korelasyon (cross-correlation) olur. Yani değiştikçe benzerlik değişir. (4.14) 71 Şimdi Şekil 4.5'te örnekleri verilen işaretin sürekli halini Şekil 4.13'de inceleyelim. x(t ) işaretinin zamanı kadar gecikmeli bir noktadan da ölçüm yapıldığını ve y (t ) 'nin elde edildiğini varsayalım. Elbette ki bu iki işaretin ( x ve y ) olasılık dağılımları ve yeterince çok örnek alınırsa histogramları aynı (Gaussian) olacaktır. x(t) t τ y(t) Şekil 4.13 Bir işaretten aralarında zaman farkı olan iki ölçüm alınması. Bu durumda ( x(t ) ve y (t ) aynı ise) benzerlik fonksiyonunun adı otokorelasyon (autocorrelation) olur ve Rxx ( ) x(t ) x(t )dt (4.15) şeklinde ifade edilir. (burada yada yazılmasının farkı yoktur, Rxx ( ) simetriktir.) x(t ) 'nin rastgele değerler alan bir işaret olduğunu söylemiştik. Yani, eğer çok küçük bir değer değilse x(t ) ve x(t ) arasında hiçbir ilişki/benzerlik yoktur ve Rxx ( ) her için sıfır yada sıfıra çok yakın bir değer alır. Sadece 0 için oldukça büyük (sonsuz) bir değer alır, çünkü Şekil 4.13'daki rastgele işaret için Rxy (0) x(t ) x(t )dt . Rxx ( ) Şekil 4.14 Şekil 4.13'deki rastgele işaretin otokorelasyonu. Bir işaretin kendisine benzerliği/benzemezliği düşüncesi ne kadar ters gelse de aslında kastedilen, zamanda kaymış sürümleriyle benzerliğidir. Tabi ki işaret periyodik ise Rxx ( ) de periyodikdir. Örneğin sinüs işareti kendisinin periyot kadar kaymış haliyle aynıdır, yani korelasyon oldukça yüksektir. Ancak yarım periyod kaymış hali için Rxx (T / 2) negatif büyük değer alır. Genel olarak herhangi bir işaret için Rxx (0) büyük bir değerdir, büyüdükçe azalma eğilimi gösterir. 72 Şekil 4.5 ve Şekil 4.6'daki işaretlerin olasılık yoğunluk fonksiyonları oldukça benzese de otokorelasyon fonksiyonları oldukça farklıdır. Çünkü Şekil 4.6'daki işaret gürültü değildir. Şekil 4.5'teki rastgele işaretin her noktası için bir bilinmezlik (tahmin edilemezlik) vardır. Ancak Şekil 4.6'daki işaretin her noktası tahmin edilebilir. Rastgele İşlem (Random Process) Şekil 4.6'daki işaretin her noktasının bir rastgele işaret olduğunu varsayarsak işaretin aslında rastgele işaretler topluluğu olduğunu söyleyebiliriz (RP: random process, rastgele işlem). Bu kitapçıkta, rastgele işlem ve rastgele değişkenlerin kitap tanımlarından özet vermekle yetineceğiz. Rastgele değişken rastgele işlem sonucu üretilen değerdir (sayısal olmayabilir). Örneğin bir elektriksel işaret rastgele işlemdir, ondan alınan ölçümlerin değerleri ise rastgele değişken. Gürültünün Güç Tayfı Yoğunluğu Frekans (ve Fourier) konusunu işlerken (t ) 1 dönüşüm çiftine değinmiştik. Yani birim darbe fonksiyonunun frekans tayfı tüm frekanslarda eşit güç olacak şekilde düzdür. Işık frekanslarıyla yapılan bir benzetmeden (beyaz ışığın tüm renkleri/dalgaboylarını içermesi) yola çıkarak bu tayfa beyaz tayf (white spectrum) deniyor (not: gerçekte beyaz ışıktaki tüm dalgaboyları aynı güçte değildir, ancak bu benzetim amacına ulaştığı için bu durumu ihmal edeceğiz). Frekans konusunda verilen Tablo 1'deki Fourier dönüşümünün otokorelasyon özelliğini hatırlayalım, Rx ( ) x(t ) x (t )dt F Rx ( ) X () 2 . (4.16) Buradan, Şekil 4.13'deki gürültü işaretinin güç yoğunluğu tayfının da X ( ) c olabileceği 2 yorumunu çıkarsayabiliriz. Frekans tayfı düz olan gürültüye beyaz gürültü (white noise) ismi verilmektedir. Gürültü işaretinin frekans tayfı da gürültü karakteristiği göstermektedir. Ancak, olasılık yoğunluk fonksiyonları ( f X ( x) ) benzeyen işaretlerin frekans tayflarının benzemek zorunda olmadığını daha önce ima etmiştik (Şekil 4.5 ve Şekil 4.6). O halde gürültü işaretini korelasyon kavramıyla tanımlamakta fayda vardır; otokorelasyon fonksiyonu 0 haricinde çok düşük değerler alan işaretler gürültü işaretleridir. Otokorelasyonun çok düşük olması şu demektir; Şekil 4.13'deki gibi gürültü işaretinden alınan iki örneğin değerleri arasında hiçbir ilişki yoktur, bir sonraki örneğin değeri tahmin edilemez. Ancak gürültü işaretinin frekans tayfı düz (white) olmak zorunda değildir. pdf'i de her türlü şekilde olabilir. Gerçek hayatta bazı gürültülere diğerlerinden daha sık karşılaşılabilir. Gürültü (4.1)'deki gibi işarete toplamsal olarak etki ediyorsa, olasılık yoğunluk fonksiyonu Gaussian ise ve tayfı beyaz ise, bu gürültüye toplamsal-beyaz-Gaussian-gürültü (AWGN: additive white Gaussian noise) ismi verilir. Sıkça ele alınan bir gürültü şeklidir. Eğer gürültü tayfı düz değilse bilinen bazı tanımlara giren bir gürültü şekli olabilir. Örneğin pembe gürültü (pink-noise) frekans arttıkça logaritmik ölçekteki tayfı doğrusal olarak azalan gürültü çeşididir. Bu konuda daha fazla detaya girmeyeceğiz. 73 Frekans ve Tayf bölümünde tayfı beyaz olan bir gürültünün alçak geçiren basit bir süzgeç çıkışındaki gücünü hesaplamıştık. Şimdi de girişinde rastgele bir işaret (gürültü) olan Y cX d ( c ve d gerçek sabitler) sisteminin çıkışındaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile ilgili bir örnek yapalım. X cX+d Y Şekil 4.15 Girişinde rastgele işaret olan doğrusal sistem. Y cX d sistemindeki c kazancı (kuvvetlendirme-amplification) d ise DC ötelemeyi (DC-shift) temsil etmekte. Bir an için d 0 kabul edelim. Girişteki işaretimiz (a, b) aralığında ise çıkıştaki işaret (ac, cb) aralığında olur. Aralıktaki diğer değerler de c ile çarpılır. Yani olasılık yoğunluk fonksiyonu çıkışta genişler yada daralır ama şekli değişmez. Şimdi de bir an için c 1 alalım, yani kazanç olmasın ama DC d kadar ötelensin. Aralıktaki tüm değerler d ile ötelenir (toplanır). Bu işlemlerin düzgün dağılımlı bir rastgele değişken ve pozitif c ve d için bir örneği Şekil 4.16'da verilmiştir. Y cX d Şekil 4.16 Doğrusal fonksiyondan geçirilen rastgele değişken olasılık yoğunluğu. Bu işlem diğer olasılık yoğunluk fonksiyonları için de geçerlidir. Örneğin Gaussian dağılımlı bir rastgele değişken K kazancından geçirilirse standard sapma K kadar büyür. Ayrıca, olasılık yoğunluk fonksiyonu Gaussian olan bir rastgele işaret doğrusal sistemden/süzgeçten (LTI: Linear Time Invariant) geçirildiğinde çıkış işaretinin dağılımının da yine Gaussian olduğu gösterilmiştir. 4.2. Gürültülü İşaret Gürültünün veri işaretine çoğunlukla Bölüm 1’de anlatıldığı gibi r (t ) s(t ) N (t ) (4.17) şeklinde toplamsal olarak eklendiği varsayılır. Çünkü diğer durumlarda sistemlerin doğrusallığından faydalanarak işlem/analiz yapmak oldukça zorlaşır. Bu durumda, bir doğrusal sistemin girişinde (4.17) gibi bir gürültülü işaret varsa, işaretin her bileşenine sistemin ayrı ayrı tepkilerinin toplamı çıkışta görülür. Şekil 4.17 doğrusallığı açıklamaktadır. 74 r(t)=s(t)+N(t) h(t) s(t) h(t) y(t) y(t) h(t) N(t) Şekil 4.17 Doğrusal sistemlerde girdi çıktı ilişkisi. Gürültü işaretinin veri işareti üzerine toplanmasıyla oluşan bir işaret örneği Şekil 4.18’de gösterilmiştir N N(t) t pdf(N) A s(t) t -A r(t) A t -A pdf(r) r -A 0 A Şekil 4.18 İki değerli işaretin gürültü ile toplanması ve olasılık yoğunlukları. Veri işaretinin olasılık dağılım fonksiyonunun da sıfır ortalamaya sahip Gaussian yada benzeri olduğu durumu ele alalım (örneğin analog ses işareti). Bu durumda iki işaretin toplamının olasılık 75 dağılım fonksiyonu da sıfır ortalamalı Gaussian yada benzeri olur ve Şekil 4.18’de olduğu gibi iki tepe noktalı değil tek tepe noktalı bir dağılım elde ederdik. Şekil 4.19 böyle bir analog işaret ve Gaussian dağılımlı bir gürültü işaretinden alınan örneklerle üretilen histogramları göstermektedir. Şekilde aynı zamanda iki işaretin toplamından elde edilen işaretin örneklerinin histogramı verilmiştir. İşaretlerin genlikleri yaklaşık aynı ve ortalama değerleri sıfırdır. Toplam işaretin histogramının Gaussian karakteristiği gösterdiğine dikkat ediniz. Şekil 4.18 ve Şekil 4.19 verilen örnekler sayısal ve analog işaretlere Gaussian gürültü eklendiğinde elde edilen işaretler için karakteristik örneklerdir. Sayısal iletişim sistemlerinde gürültünün etkisi, alıcıda karar verirken yapılan hata oranıyla ölçülür. Analog sistemlerde ise karar verme süreci yoktur. Ancak gürültü gücü ile işaret gücünün oranı yada gönderilen (dolayısıyla alınması gereken) işaret ile alınan işaret arasındaki farktan üretilen bir hata ölçüsü kullanılabilir. s N r Şekil 4.19 Bir analog işaret örnek setinin ve Gaussian gürültünün histogramları. Toplam işaret de Gaussian dağılım karakteristiği gösteriyor. 4.2.1. Kanal Kapasitesi Hem analog hem de sayısal sistemler için işaret kalitesinin ölçümü için kullanılagelen bir yöntem, işaret gücünün gürültü gücüne oranıdır (SNR : signal to noise ratio). SNR Psignal / Pnoise (4.18) 76 SNR çoğu zaman dB (decibell) cinsinden ifade edilir. SNRdB 10log10 ( Psignal ) 10log10 ( Pnoise ) 10log10 ( Psignal / Pnoise ) (4.19) Eğer veri işaretinin ve gürültünün varyansları (yada standart sapmaları) biliniyorsa, varyans ortalama güce eşit olduğu için 2 2 SNRdB 10log10 ( signal / noise ) (4.20) yazılabilir. İşaretin gücü 1 ohm'luk direnç üzerinde birim zamanda harcanmasına sebep olduğu enerji olduğu için, gürültü ve veri işaretlerinin genlikleri de SNR hesabında kullanılabilir. SNRdB 20log10 ( Asignal / Anoise ) (4.21) Eğer elde gürültülü ve gürültüsüz işaretten örnek seti varsa ortalama kare hata hesaplanabilir. MSE 1 N (s r ) i 2 i (4.22) i Ortalama kare hatadan da tepe SNR (PSNR : peak SNR) hesaplanır. PSNR 20log10 ( Am / MSE ) (4.23) Burada Am , örneklenmiş işaretin en büyük olası değeridir. Örneğin, eğer işaret 8-bit ile örneklendiyse (bkz Bölüm 3) Am =255'tir. PSNR genel olarak aynı işaretler uygulanmış sistemlerin başarım karşılaştırmasında kullanılır. Bir başka önemli kalite ölçütü ise, sayısal iletişim sistemlerinde kullanılan, bit başına enerjinin Hz başına gürültü gücüne oranı Eb / N 0 'dır. Normalize edilmiş değerlerin oranı olduğu için, örneğin bantgenişliği tanımlarındaki farklılıklardan (bkz Bölüm 2) gelen soruları ortadan kaldırır. O nedenle, sayısal iletişim sistemlerinin karşılaştırılmasında çok kullanılır. Eb bilgi biti değil kanal veri biti başına düşen enerjidir. Eğer iletişimde birden çok kanal bitini taşıyan semboller kullanılıyorsa, bit başına düşen enerji hesaplanmalıdır. Gerçi ikisi arasında, E s sembol başına enerji ve M kullanılan sembol sayısı olmak üzere, Es Eb log2 M gibi bir ilişki vardır, ancak, bazı sistemlerde semboller eşit sayılarda bit taşımayabilirler. O nedenle bu bağıntıyı sisteme göre değerlendirmek gerekir. Burada bahsedilen kalite ölçütleri, aynı cinsten büyüklüklerin oranı oldukları için, birimsizdirler. dB birim değildir. İletişimde gürültü ve SNR konularından bahsederken Shannon'un gürültülü kanal kodlama teoreminden (Claude E. Shannon, 1948) bahsetmemek olmaz. Bu konuya daha sonra gireceğimizden, burada kısaca sonuçlarına değinelim. Bir iletişim kanalında ihtiyaçları ve birbirleriyle dengesini gözeteceğimiz 4 adet ölçülebilir büyüklük vardır. Bunlar; 1. Gürültü 2. Bantgenişliği 3. İletişim güvenilirliği (daha az hata ile iletişim) 77 4. İletişim hızı İstenilen bir iletişim güvenilirliği için, erişilebilecek iletişim hızı gürültü tarafından sınırlanır. Basit bir örnek verelim; Gürültülü bir ortamda karşılıklı konuşurken, daha yüksek sesle ve daha yavaş konuşma ihtiyacı hissederiz. Ayrıca sık sık tekrar etme zsorunluluğu da ortaya çıkar ki bu da iletişimin yavaşlaması demektir. Halbuki çok sessiz bir ortamda iken, çok daha düşük enerjiyle (fısıltıyla) ve tekrar etmeden aynı iletişimi kurabiliriz. Her iki durumda da, anlaşılırlığı arttırmak ve tekrar ihtiyacını azaltmak için konuşmamızı istediğimiz kadar yavaşlatabiliriz. Bu örneği elektronik iletişim sistemlerine uyarlayalım; Verilen bir iletişim güvenilirliği için ulaşabileceğimiz en yüksek iletişim hızına kanal kapasitesi (channel capacity) denir. Burada ilginç bir saptama yapalım. Hiç gürültü, yankı vb olmayan bir ortamda konuşunca iletişimin hızını sınırlayan şey sadece fiziksel olarak hızlı konuşma ve hızlı anlama kabiliyetimizdir. Elektronik ortamda da, eğer gürültü sıfır ise (varsayım), iletişim hızını sınırlayacak birşey yoktur. Yani istediğimiz iletişim hızına ulaşabiliriz, sadece o iletişim hızında çalışan cihazları tasarlamakla yükümlü oluruz. Hiç hata da oluşmaz. Kanal kapasitesi, yukarıda maddeler halinde saydığımız ölçülebilir büyüklükler cinsinden şöyle tanımlanır; P C W log 1 . N 0W (4.24) Burada W bantgenişliği, P işaret gücü, N 0 ise daha önce değindiğimiz Hertz başına gürültü gücüdür. P / N 0W teriminin SNR olduğuna dikkat ediniz. Eğer logaritma 2 tabanına göre hesaplanırsa, C 'nin birimi [bits/s] olur. 2 farklı bantgenişliği için, Kanal kapasitesi – SNR grafiği Şekil 4.20'te verilmiştir. Eksenlerde özellikle değer belirtilmesine gerek yoktur. Kanal kapasitesinin SNR'a göre logaritmik, bantgenişliğine göre ise misli olarak artıyor gibi görünmektedir. Ancak unutulmaması gereken şey ise SNR teriminin içinde de, burada dikkate alınmayan, bantgenişliğinin olduğudur. C W=20 W=10 SNR Şekil 4.20 Kanal kapasitesinin SNR'a göre grafiği. 78 Kanal kapasitesini bantgenişliğine göre çizmek istersek, (4.24)'i P / N 0 terimini sabit tutarak ele alır ve Şekil 4.21'i elde ederiz. Grafikte, SNR'ın arttıkça kanal kapasitesinin artması gayet anlaşılır birşeydir, ki bunu Şekil 4.20'te gördük. Asıl dikkat edilmesi gereken şey, bantgenişliğinin arttıkça kapasitenin limitsiz olarak artmadığı, asimtotik olarak bir değere yaklaştığıdır. Bu değer lim C 1.44 W P 'dir (alıştırma olarak bunu üretiniz). Yani gürültü azalmadığı yada N0 işaret gücü artmadığı sürece, kullanılabilir bantgenişliğini istediğiniz kadar arttırın, kapasite bir sınıra dayanacaktır. Birkaç tanım daha yapıp bir kullanışlı grafik daha çizelim. R sembol (bit) iletim oranı olmak üzere, Eb P / R ve r R / W olsun. Birincisini bit başına düşen enerji olarak biliyoruz. İkincisi ise tayfsal bit oranı (spectral bit rate) olarak adlandırılır. (4.24)'i (ödev) E r log 1 r b N0 (4.25) şeklinde yazalım. İletim bit oranı kanal kapasitesinden küçük olmak zorunda olduğundan ( R C ) eşitlik değil eşitsizlik denklemi elde ediliyor. Yani iletim bit oranının Eb / N 0 'a (tayfsal SNR) göre güvenli iletimin sağlanabileceği en yüksek değerini buluyoruz. C SNR=20 SNR=10 W Şekil 4.21 Kanal kapasitesinin bantgenişliğine göre grafiği. 79 r eğrinin altında kayıpsız iletişim sağlanabilir Eb / N 0 asimtot : iletişimin sağlanacağı en düşük SNR 1.592dB 0.693 ln 2 Şekil 4.22 tayfsal bit oranının SNRdB'a göre grafiği. 4.2.2. Çözümlü Problemler 1. İkili bir kanalda iletişim ±A değerleriyle sağlanıyor. Kanal 0 ortalama değerli ve standart sapması 1 olan AWGN etkisi altında. Alıcı tarafında sembol süresi ortasından bir örnek alınıp karar veriliyor. Sembol belirleme hatasının 0.0001'den daha küçük olabilmesi için A değeri ne olmalıdır? Çözüm Kanalın çıkışındaki işaret, gönderilen ±A ikili işaret ve gürültünün toplamıdır. Gönderilen işaretin iki durumu için alıcı ucundaki olasılık yoğunluk fonksiyonları beraberce aşağıdaki şekildeki gibidir. Resimdeki taralı alan ise A gönderildiğinde –A olduğuna karar verme olasılığı, yani hata olasılığıdır ve –A gönderildiğinde A kararı olasılığa eşittir. Yani pe P( A | A) P( A | A) . Taralı alan ise I 0 1 2 e ( vi m )2 2 2 dvi olup m A ve 1 'dir (verilmiş). Bu integral t vi A dönüşümüyle 80 I A 1 2 e 2 t 2 dt haline getirilir. Simetriden dolayı I A 1 2 e 2 t 2 dt yazılabilir. Bu son integralin değeri 0.0001 olarak verilmiş. Gaussian fonksiyonu tablolarından A'nın değeri yaklaşık olarak 3.7 bulunur. Daha detaylı inceleme için Bölüm 6.1'i okuyunuz. 2. Kazancı 10 olan bir RF önkuvvetlendiricinin girişinde (t ) rastgele işareti vardır. (t ) , standard sapması 0.01, ortalama değeri ise 0 olan Gaussian dağılımlı bir gürültüdür. Önkuvvetlendiricinin girişinde önseviyelendirme (bias) amaçlı olarak işarete +0.2 V eklenmektedir. Çıkıştaki gürültünün olasılık dağılım fonksiyonunu bulunuz. Çözüm Önkuvvetlendiricinin doğrusal çalışma bölgesinde olduğunu varsayalım. Bu durumda çıkıştaki gürültü de Gaussian olacaktır. Gaussian fonksiyonun ortalama değerini ve standard sapmasını bulmalıyız. Girişteki +0.2 V'luk giriş DC seviyesi çıkışta 0.2x10=2 V olarak görülecektir. Yani, m 2 . Fonksiyonun standard sapması da kazanç kadar büyüyecektir. Yani 0.01 10 =0.1 olur. Gaussian olasılık dağılım fonksiyonumuz da 10 2 2 e 50( x 2) şeklinde yazılır. 3. Periyodu T olan bir periyodik işaret aşğıdaki şekilde verilmiştir. Bu işaretten rastgele alınan örnekler X rastgele işlemi olsun. X 'in beklenen değeri nedir? x (t ) t Çözüm Beklenen değerin zaman ortalaması olduğundan yola çıkarak değerinin 2'den biraz büyük olacağını şekilden hemen söyleyebiliriz. Tabi ki gerçek değerini işaretin 2 değerinin (3 ve 1) ağırlıklı ortalamasını hesaplayarak buluruz. E ( X ) (2 3 1 1) / T (2 3 1 1) / 3 7 / 3 2.33 Beklenen değerin tanımı olan E ( X ) xf ( x )dx integrali de bir ağırlıklı ortalamadır ve aynı sonucu verir. 4. Rastgele ve eşit olasılıkla +1 ve -1 değerleri alan bir ikili işaret aşağıda dağılımı verilen bir gürültü ile toplanıyor. Sonuç işaretin olasılık yoğunluk fonksiyonu nasıl bir şekle sahiptir? fη η -1.1 1.1 81 Birbirleriyle ilişkisiz olan gürültü ve ikili işaretlerin toplamının pdf'i pdf'lerinin ağırlıklı toplamıdır. Ağırlıklar, yani +1 ve -1 değerlerinin olasılıklar eşit oldüğü söylendiğine göre her iki durumda oluşan pdf'lerin ortalamasını alıp altta kalan alanın 1 olmasına dikkat edeceğiz. Her ikisinin aynı grafik üzerinde gösterildiği şekil aşağıdadır. Ağırlıkları eşit olduğuna göre grafik olarak toplayıp pdf'in anaşeklini belirleyebilir, sonra da kritik değerleri bulabiliriz. fη-2.1 fη+ 1 -1 -0.1 0.1 1 η+, η2.1 Pdf'ler simetrik olduğundan, aşağıdaki gibi bir grafiğin çıkacağı açıktır. fη+s 1/2.2 η+s -2.1 -1 -0.1 0.1 1 2.1 Sonuç pdf her noktada iki pdf'in ortalaması olacaktır. Buradan da grafiğin sağ ve sol kısımlarının altında kalan alanların 0.5, en dıştaki üçgen kısımların alanlarının da 0.25 olacağını söyleyebiliriz. Grafiğin fη+s eksenini kestiği nokta ise 0.0413 olur. 82 5 Analog İletişim Analog haberleşme deyince aklımıza kablolu yada kablosuz ses işareti iletişimi aklımıza geliyor. Radyo dalgaları ile iletişim (1895 - G. Marconi) ve radyo dalgaları ile ses iletişimi (1906 – L. DeForest) bulunması ile, her ne kadar yüzyılı aşkın bir süredir kullanılmasına rağmen, radyo ile analog ses işareti iletişimi sayısal iletişimin oldukça ilerlemesi dolayısıyla neredeyse kaybolma noktasındadır. O nedenle bu bölümde detaylara girmeden başlıca kablosuz analog iletişim yöntemlerinden kısaca bahsedeceğiz. Ses işareti bir tabanbant (baseband) işarettir ve insan sesi bandgenişliğinin yaklaşık 4-5 kHz, insan tarafından duyulabilir seslerin ise yaklaşık 20 Hz - 20 kHz aralığında olduğu kabul edilir (200 kHz frekanslı sesleri duyabilen hayvanlar vardır). Elbette ki kısa mesafelerde bu düşük frekanslı sesleri kablo ile iletmek mümkündür, ancak kablosuz iletişimin zorunlu olduğu durumlar oldukça fazladır; uzak mesafe, kablo yerleştirmenin zorluğu, hareketli iletişim noktaları (gemi, uçak, uydu, mobil cihaz) vb. Bu bölümde kablosuz ses iletişiminin en temel örneklerinden olan Genlik, Frekans ve Faz Modülasyonlarından bahsedeceğiz. Kablosuz iletişimin en önemli bileşeni sınırlı bir kaynak olan frekans bandının paylaşımıdır. Hava yada genel olarak iletim ortamı, kablonun tersine, kimseye ait değildir. Kablosuz iletişim yapılabilecek elektromanyetik tayf genel olarak ulusal-uluslararası anlaşmalar ve kanunlara tabidir. Yani canı isteyen kişi/kuruluş istediği frekanstan radyo yayını yapamaz. Yayın yapabileceği bandlar ve yerleşimlerde de güç/mesafe sınırlaması uygulanır. Böylelikle, elektromanyetik tayf aynı anda birçok iletici tarafından kullanılabilmektedir. Şekil 5.1 bu durumu göstermektedir. |X(f)| Şekil 5.1 Kullanılabilir tayf birçok iletici tarafından frekans paylaşımı yöntemiyle kullanılabilmektedir. Bu ancak bir merkezi yönetim ile sağlanabilir. Bu durumda radyo haberleşmesindeki en temel ihtiyaçlardan birisi, ses/veri işaretini taşımak için işaretin bileşenlerini izin verilen (haberleşme yapılacak) frekans bandına yükseltmek olmaktadır. tabanbant işaretin tayfı |X(f)| |Y(f)| yüksek frekansa çıkarılmış işaretin tayfı Şekil 5.2 Tabanbant işaretin yüksek frekansa (fc) çıkarılması modülasyon ile gerçekleştirilir. 83 Tabanbant işaretinin tayfı, modülasyon yöntemleri ile taşıyıcı frekansı (fc) ve etrafına yükseltilir. Taşıyıcı işaretin kendisi bir bilgi içermez, sadece asıl bilginin yüksek frekanslara çıkarılıp taşınmasını sağlar. Taşıyıcı deyince her zaman yüksek frekanslı bir sinüsoidal aklımıza gelir. Bu işaret y(t ) A cos(2ft ) (5.1) şeklinde olsun. Bu sinusoidali her noktada tanımlayan 3 nicelik (Frekans bölümünü hatırlayınız) A genliği, f frekansı ve fazıdır. Bilgiyi taşımak için bunlardan birisi yada birkaçı veri işareti ile kontrol edilir. Modülasyon, genel anlamda, bir fiziksel büyüklüğü başka bir fiziksel büyüklük ile kontrol etmek demektir. Konu elektronik ve haberleşme olunca bu fiziksel büyüklükler voltaj olmaktadır. Eğer (5.1)’deki işaretin sabit A genliği yerine x (t ) veri işareti kullanılırsa ve y(t ) x(t ) cos(2ft ) (5.2) işareti elde edilirse yapılan işlemin adı Genlik Modülasyonu (AM-Amplitude Modulation) olur. Benzeri şekilde x (t ) işareti f frekansını kontrol ederse Frekans Modülasyonu (FM-Frequency Modulation), fazını değiştirmekte kullanılırsa Faz Modülasyonu (PM-Phase Modulation) elde edilir. Ayrıca, taşınmak istenen veri ses gibi sürekli bir fonksiyon değil de sadece sonlu sayıda değer alan bir büyüklük ise ve sonlu sayıda şekil alan dalgaşekilleri ile taşınıyorsa, bu modülasyon tiplerin isimleri Genlik Anahtarlama (ASK-amplitude shift keying), Frekans Anahtarlama (FSK-frequency shift keying) ve Faz Anahtarlama (PSK-phase shift keying) olmaktadır (bu kitapçık içindeki kısaltmalarda, çok tanınır olduklarından, İngilizce kısaltmaları kullanacağız) . SK, yani anahtarlama (shift-keying) yöntemlerine Sayısal Haberleşme bölümünde gireceğiz. Bir not düşelim; yüksek frekanslı işaret elde etmemizi sağlayan modülasyon tiplerine band-geçiren modulasyon (passband modulation) yada kısaca modülasyon deniyor. Modülasyon sonucunda yine tabanbant işaret elde ediliyorsa tabanbant modülasyon (baseband modulation) ismini alıyor. İkincisi bazen dalgaşekillendirme (waveshaping) yada dalgaseçimi (mapping) olarak anılıyor. 5.1. Genlik Modülasyonu Fourier Dönüşümünün modülasyon özelliğini hatırlayalım; F x(t ) cos(ct ) 12 X ( c ) 12 X ( c ) Şekil 5.3 x(t ) , cos(c t ) ve x(t ) cos(c t ) örnek işaretlerinin zaman kesitlerini göstermektedir. Bu işaretlerin frekans tayfları da sağ tarafta gösterilmektedir. Görüldüğü gibi bu çarpım sonunda x(t ) işaretinin frekans tayfının 2 kopyası c merkezli olarak elde edilmektedir. Yani tabanbant işaretimizin tayfı c frekansına taşınmıştır. Böylelikle, bu yüksek frekanslı işaret, ve dolayısıyla taşıdığı tabanbant işaret, diğer radyo yayınlarıyla karışmadan kendine ayrılan frekans bandından antenler vasıtasıyla yayınlanabilir. Şekil 5.3’deki zaman grafiğinde x(t ) cos(c t ) işareti yanında aynı zamanda x(t ) ve x(t ) işaretleri kesikli çizgi ile gösterilmiştir. Buna zarf (envelope) ismi verilir ve şekilde gösterildiği gibi taşıyıcı işaretin genliğini anlık olarak belirler. O yüzden bu modülasyon türüne Genlik Modülasyonu denir. AM alıcılarının amacı bu zarfı ( x(t ) ’yi) x(t ) cos(c t ) ’ten geri elde etmektir. x(t ) ’nin geri 84 elde edilmesi F x(t ) ’nin (şekildeki sağ üstteki tayf) F x(t ) cos(c t ) ’den (şekilde sağ alttaki tayf) elde edilmesiyle eşdeğerdir. Yani daha önce c frekansına çıkarılan tayfımız, tekrar 0 frekansına indirilecektir. F x(t ) x(t ) t cos(c t ) F cos(c t ) t c c x(t ) cos(ct ) F x(t ) cos(ct ) faz atlamaları t alt-yan-bant üst-yan-bant Şekil 5.3 AM örneği. Solda; x(t ) , cos(c t ) ve x(t ) cos(c t ) işaretleri. Sağda bunların tayfları. FT’nun modülasyon özelliği ile ilgili bir örnek yapalım. Varsayalım ki tabanbant işaretimiz x(t ) sin(mt ) gibi sadece bir sinüsoidalden oluşsun (tone signal ). Burada c m olduğunu varsayabiliriz, ancak bu varsayımımızın FT’nin modülasyon özelliğini etkilemediğini de aklımızda tutalım. X () F sin(mt ) j ( ( m ) ( m )) dönüşümünü Y ( ) F x(t ) cos(ct ) Y ( ) 1 1 X ( c ) X ( c ) içinde yerine yazarsak 2 2 j j j j ( c m ) ( c m ) ( c m ) ( c m ) 2 2 2 2 elde ederiz. Burada 1. ve 4. terimler toplamının ve 2. ve 3. terimler toplamının ayrı ayrı ters j ( (c m )) ( (c m )) 1 sin((c m )t ) ve 2 2 j ( (c m )) ( (c m )) 1 sin((c m )t ) olduğunu görürüz. Yani II III 2 2 dönüşümlerinin I IV 85 1 1 y(t ) sin((c m )t ) sin((c m )t ) olur. Sonucu oluşturan sinüsoidallerin ilkinin frekansı 2 2 taşıyıcı frekansından yüksek diğerininki ise düşüktür. Bunlara sırasıyla üst-yan-bant (USB: upperside-band) ve alt-yan-bant (LSB: lower-side-band) bileşenleri denir. Şekil 5.4’te modülasyon sonucu oluşan işaretin tayfı gösterilmiştir. X ( ) m m Y ( ) c m c m c m c m Şekil 5.4 c frekansındaki taşıyıcının m frekansındaki sinüsoidal ile modüle edilmesi. Şimdi de (2)'deki modülasyon yöntemi ile elde edilen m(t ) işaretini taşıyıcı ile aynı frekans ve fazda bir sinüsoidal ile ( c(t ) ) Şekil 5'teki gibi yeniden çarpalım. Yani c(t ) Ac cos(ct ) ve c(t ) Ac cos(ct ) olsun. Şekil 5.5 AM işaretinin taşıyıcı ile tekrar çarpılması (tekrar modülasyon). Bu durumda y(t ) x(t ) Ac Ac cos2 (ct ) elde edilir. cos2 ( x) (1 cos(2 x)) / 2 1 Ac Ac x(t ) x(t ) cos(2ct ) yazılabilir. Baştaki sabit 2 çarpanları görmezden gelirsek, işaretimiz orijinal tabanbant işareti ve taşıyıcısı 2c frekansında olan trigonometrik eşitliği kullanılarak y (t ) bir AM işaretinin toplamından oluşmaktadır. Bu işaretin tayfı Şekil 5.6'da gösterilmiştir. Y ( ) 2c m 2c 2c m m m 2c m 2c Şekil 5.6 Tabanbant işaretin iki kez taşıyıcı ile çarpılması ile elde edilen işaretin tayfı. 2c m 86 Şekil 5.6'da tayfı verilen işaretten orijinal tabanbant işareti elde etmek için bir alçak geçiren süzgeç (LPF: low pass filter) kullanılabilir. Şekil 5.7 böyle bir alçak geçiren süzgecin olması gereken karakteristiğini belirtiyor. Y () , H () alçak geçiren süzgecin attığı kısımlar 2c m 2c 2c m m m 2c m 2c 2c m Şekil 5.7 Alçak geçiren bir süzgeç ile tabanbant işaretinin elde edilmesi. Alçak geçiren süzgecin kesim frekansı m 'den büyük, 2c m 'den küçük olmalıdır. Çoğu zaman c m olacağından bu süzgeci tasarlamak basit bir problem gibi görünmektedir. Ancak, alıcı tarafında kanalda eklenen gürültünün büyük bölümünü ve olası diğer işaretleri atmak için mümkün olduğunca dar geçirme bantlı bir süzgeç kullanmak mantıklıdır. Buradaki asıl problem tüm alıcı-verici prensip şemasının verildiği Şekil 5.8'de görülmektedir. Vericideki işleme modülasyon demiştik, alıcıdaki işlemin adı da demodülasyon olur. Şekil 5.8 AM verici ve eşzamanlı (synchronous) taşıyıcı çarpımı yöntemini kullanan alıcı prensip şeması. Alıcı devresinin çalışması için gerekli olan ve verici ile aynı frekans ve fazda olan taşıyıcı işareti vericiden kablo ile göndermek istemeyeceğimize göre, bu taşıyıcı işaret alıcıda üretilmek zorundadır. Tabi ki buradaki büyük problem bu işareti vericidekiyle aynı frekans ve fazda tutabilmektir. Kağıt üzerinde ne kadar kolay görünse de pratikte oldukça zordur ve karmaşık eşzamanlama (synchronization) devreleri olmadan neredeyse imkansızdır. Şimdi küçük bir değişiklik yapalım ve (2)'deki tabanbant işaretine mc gibi bir sabit (DC voltaj) ekleyerek modülasyonda kullanalım ve y(t ) ( x(t ) mc )cos(ct ) işaretini elde edelim. mc 'yi öyle bir değer seçelim ki x(t ) mc hiçbir zaman negatif olmasın (Şekil 5.9, ilk resim). Çarpım sonucunda elde edilen AM işaretinin adı geleneksel AM’dir (conventional AM) ve Şekil 5.3'tekinden önemli farkı öncekinde oluşan radyanlık faz atlamalarının yeni işarette olmamasıdır. Tabi ki bu durumda mesaj işaretininkine ilave olarak bir DC değerin enerjisi de karşı tarafa aktarılıyor (havaya yayınlanıyor). Ses işaretinin tayfına benzemesi için Şekil 5.3'te boş bıraktığımız 0 frekansı (Şekil 5.3'te sağ üstteki grafik) artık boş değil. Aynı nedenle, yine Şekil 5.3'teki AM işaretinin tayfında 87 bulunmayan taşıyıcı frekans bileşeni yeni tayfta var. Böylece, alıcı devresinde taşıyıcı işareti üretmek yerine, vericiden gönderilen taşıyıcı bileşen keskin bir süzgeç ile ayrıştırılıp yukarıda bahsettiğimiz eşzamanlı demodülasyon işlemi gerçekleştirilebilir. Bu işlemin prensip şeması Şekil 5.10'da verilmektedir. x(t ) mc ( x(t ) mc )cos(ct ) t t cos(ct ) t Şekil 5.9 DC eklenmiş mesaj işareti ile üretilen AM işareti. Y ( ) c m c m c m c m c H ( ) keskin bant geçiren süzgeç (notch-filter) S C ( ) c c Şekil 5.10 Keskin süzgeç ile taşıyıcının ayrıştırılıp eşzamanlı demodülasyonda kullanılması prensibi. Geleneksel AM (DC eklenmiş olan) çok daha kolay gerçekleştirilebilecek bir demodülasyon yöntemine izin vermektedir. Yarım dalga doğrultucu ile gerçekleştirilen bu demodülasyon yönteminin prensibi Şekil 5.11’de gösterilmiştir. Yöntemin düzgün çalışması için taşıyıcı işaretin frekansının tabanbant işaretin bant genişliğinden çok daha yüksek olması gerektiği açıktır. Taşıyıcı işaret radyo frekanslarında (RF) tabanbant işaret ise genellikle ses işareti olduğundan bu konuda bir problem 88 yoktur. Tabi ki mesaj işaretine eklenen DC voltaj demodülasyonda kolaylıklar sağlamasının yanında havaya yayılan fazladan enerjidir, çünkü mesajla ilgili hiçbir bilgi taşımamaktadır. yarım dalga doğrultucu DC engelleme kapasitörü Şekil 5.11 Geleneksel AM işaretinden yarım dalga doğrultucu ile mesaj işaretinin elde edilmesi. Enerji ve bilgi demişken AM tayfını biraz daha inceleyelim. Şekil 5.12’de geleneksel AM tayfı tek taraflı olarak gösterilmiş, bileşenleri işaretlenmiş ve taşıyıcı miktarına göre 3 durum gösterilmiştir. En soldaki taşıyıcı eklenmemiş haline çift-yan-bant-taşıyıcısı-bastırılmış AM (DSB-SC: double-side band suppressed carrier) ismi verilir. Ortadakinde bir miktar taşıyıcı olduğundan Şekil 5.10’da verilen keskin süzgeç yöntemiyle demodülasyon uygulanabilir. En sağdakinde ise mc min( x(t ) olacak şekilde DC, dolayısıyla taşıyıcı eklenmiş olduğundan geleneksel AM’dir ve Şekil 5.11’deki doğrultucu yöntemiyle demodülasyon yapılabilir. Y ( ) taşıyıcı alt-yan-bant c m üst-yan-bant c c m mc min{ x(t )} Şekil 5.12 AM işaretinin taşıyıcı eklenmemiş, az eklenmiş ve yeterince eklenmiş durumları. mc min( x(t ) özel durumunda en az taşıyıcı ile geleneksel AM yapılmış olur. Bu da en az fazladan enerji demektir. Toplam enerjinin 1/3’ü taşıyıcıya, 2/3’ü ise yan-bantlara eşit olarak (gerçek işaretler için tayf simetriktir) dağılmaktadır. Gerçekte bilginin yan-bantlarda olduğunu söylemiştik. 89 Bunlar ise aynı bilgiyi taşımaktadırlar. Yani aslında sadece bir yan-bant istenilen tüm bilgiyi taşımaktadır, diğer yan-bant ve taşıyıcı bileşen vericide fazladan enerji yayılımına sebep olmaktadır. Acaba sadece tek bir yan-bant yayını yapılabilir mi? Bunun için yan-bantlardan birisinin kaldırılması gerekmektedir (Şekil 5.13). LSB c m c USB c c m Şekil 5.13 LSB (alt-yan-bant) ve USB (üst-yan-bant) AM tayfları. Sadece tek yan-bant elde etmek için işaret keskin bir süzgeçten geçirilebilir (zor/pahalı yöntem). Bir başka yöntem ise Hilbert dönüşümünü kullanır. Hilbert dönüşümünü konumuz için özetlersek, tüm bileşenlerin genliğini değiştirmeden fazını / 2 kaydırdığını söyleyebiliriz. Kolay anlaşılır örnek olması sebebiyle Şekil 5.4’ü yeniden ele alalım. Burada tabanbant işaretimiz sadece x(t ) A cos(mt ) şeklinde bir sinüsoidal idi. Bunun fazının / 2 kaydırılmış hali xˆ (t ) A sin(mt ) olur. Benzeri şekilde taşıyıcımız c(t ) cos(c t ) ise, fazı kaydırılmış hali cˆ(t ) sin(c t ) ’dir. USB işareti yUSB (t ) A cos(mt ) cos(c t ) Asin(mt ) sin(c t ) A cos((c m )t ) (5.3) işlemi kullanılarak elde edilir ve tayfı Şekil 5.14’te verilmiştir. Benzeri şekilde alt-yan-bant AM işareti ise y LSB (t ) A cos(mt ) cos(c t ) Asin(mt ) sin(c t ) A cos((c m )t ) (5.4) şeklinde hesaplanır. YUSB ( ) c m c m YLSB ( ) c m c m Şekil 5.14 Sinüsoidal mesaj işareti ile üretilen USB ve LSB AM işaretlerinin tayfları. Genel olarak, USB ve LSB AM işaretleri 90 yUSB (t ) Ax (t ) cos(c t ) Axˆ (t ) sin(c t ) y LSB (t ) Ax (t ) cos(c t ) Axˆ (t ) sin(c t ) (5.5) işlemleriyle elde edilirler. Burada x̂ x ’in Hilbert dönüşümünü yada tüm bileşenlerinin / 2 kaydırılmışını temsil eder. Tabi ki gerçek uygulamalarda tüm bileşenleri / 2 kaydırıp genliklerini sabit tutan bir süzgeç yok. Ancak sınırlı frekans bandına sahip x ’ler için bunu yaklaşık olarak gerçekleştirmek mümkün ve kolaydır. Bu durumda USB ve LSB AM işaretlerini üretmek için prensip blok şeması Şekil 5.15’teki gibidir. x(t ) cos(c t ) x(t ) cos(ct ) sin(c t ) xˆ (t ) xˆ (t ) sin(c t ) Şekil 5.15 SSB-AM üretimi prensip şeması. Sondaki toplama + ise LSB – ise USB elde edilmekte. Bu noktada biraz radyo yayınları tarihine değinelim. 20inci yüzyılın başlarında radyo lambasının, dolayısıyla işaret kuvvetlendirmeyi mümkün kılan elektroniğin, bulunmasıyla radyo yayıncılığı ve halka/herkese yayın yapan (haber, müzik vb) radyo istasyonlarının kurulmasının ilk aşamasında bir karar verilmek durumunda kalındı. Ya SSB-AM ve DSB-SC-AM gibi enerji tasarrufu sağlayan yöntemler tercih edilecekti, yada geleneksel AM kullanılıp alıcıların yarım dalga doğrultucu gibi basit demodülatörlerle çalışması sağlanacaktı. O tarihlerde radyo lambaları oldukça pahalı ve onlarla tasarlanan elektronik devreler oldukça büyük oluyordu. Sonuçta evlere girmesi gereken radyo alıcısı yeterince ucuz olmasaydı radyo yaygınlaşamazdı. O nedenle geleneksel AM tercih edildi ve elektroniğin büyük gelişimine rağmen 100 yıla yakın kullanıldı. Şimdilerde ise AM radyo yayınları neredeyse ortadan kalkmış durumdadır. Yerini daha yüksek işaret kalitesi sunduğu iddia edilen FM almıştır. Babaannelerimizden kalan eski lambalı radyoların (Şekil 5.16) çoğunda FM alıcısı olmadığı için hatıra süs eşyası olarak kullanılmaktadır. Radyo olarak kullanılabilseydi bile bu durum uzun sürmezdi çünkü radyo lambalarının ömrü 2000-4000 çalışma saati arasındadır. Yarı-iletkenlerin normal çalışma şartlarında teorik olarak sonsuz olan ömürleri ile karşılaştırılamaz. Şekil 5.16 Tipik bir modern lambalı radyo. (Foto değiştir) 91 5.2. Açı Modülasyonu AM radyo yayınlarının başlamasından yaklaşık 10+ yıl sonra, 1933 yılında, E. Armstrong Frekans Modülasyonu prensibine göre çalışan radyoların AM'e göre daha az frekans bandı işgal edeceği iddiasıyla yayıncı firmalara gitti. Ancak yayıncı kuruluşlar değişimi o an kabul etmedikleri gibi, sonraki yıllarda patent hakkına hürmet göstermeden FM yayınlarına başladılar. Armstrong yasal yollarla da birşey elde edemedi ve bugün yaygın şekilde kullanılan FM'in mucidi fakir olarak öldü. Gerçekte, ilerleyen satırlarda göreceğimiz gibi, Armstrong'un daha az frekans bandı iddiası yanlıştı. Ancak, FM'in daha üstün bir özelliği vardı; gürültüye karşı daha dayanıklı olduğundan daha kaliteli ses/müzik iletimi yapılabiliyor. Yine de birkaç 10 yıl sonra FM'in de AM gibi kaybolacağını, yerini tamamen sayısal iletişime bırakacağını şimdiden öngörebiliriz. (1)'deki y(t ) A cos(2ft ) işaretin frekansının x (t ) tabanbant mesaj işareti ile kontrol edilmesi durumunda FM, fazının kontrol edilmesiyle de PM elde edileceğini söylemiştik. Aslında faz ve frekans birbirinden bağımsız olarak düşünülemez. Çünkü faz, aynı frekanslı bir başka işaret referans alınarak söylenebilir. Örneğin osilaskopta gördüğünüz bir sinüsoidal işaretin fazı hakkında birşey söyleyemeyiz, ayrıca bir de referans sinüsoidal verilmesi gereklidir. Frekans ve faz modülasyonuna beraberce açı modülasyonu (angle modulation) denir. O nedenle, ikisini beraber inceleyelim. (t ) (t )t p(t ) olmak üzere açısı kontrol edilen sinüsoidali y(t ) A cos( (t )) şeklinde d ( t ) yazalım. Bu durumda anlık frekans i (t ) olur. İşaretimiz de, c merkez frekans ve (t ) dt d (t ) merkez etrafındaki salınımlar yani i (t ) c olmak üzere, y(t ) A cos(ct (t )) olur. dt (t ) , k p faz saptırma sabiti olarak anılmak üzere, mesaj işareti x(t ) ile (t ) k p x(t ) şeklinde kontrol edilebilir. Benzeri şekilde, anlık frekans sapmaları da bir sabit ile mesaj işaretine bağlanabilir; i (t ) c k x(t ) d (t ) . Bu bağıntıları göz önüne aldığımızda, FM ve PM’in ilişkisini dt k x(t ) p (t ) k t x( )d , , d k p dt x(t ) d (t ) ve dt k x(t ) FM PM , PM (5.6) , FM denklemlerinden görürüz. Yani FM ve PM modülatörleri birbirlerine Şekil 5.17’deki gibi çevrilebilirler. 92 Şekil 5.17 FM ve PM arasındaki yakın ilişki. Gerçekte bir işareti osilaskopta incelediğimizde bunun mesaj işareti mi, onun türevi mi yoksa onun integrali mi olduğunu anlamamıza imkan yoktur. Hepsi osilaskopta benzer karakteristiğe sahip işaretler olarak görünürler. Bu durumda FM ve PM sonucunda üretilmiş işaretlere bakarak da hangisinin hangisi olduğunu kolaylıkla anlayamayız. Şekil 5.18’de bir sinüsoidal mesaj işaretinin FM ve PM dalgaşekilleri gösterilmektedir. Mesaj işareti de aynı grafikler üzerinde gösterilmemiş olsaydı benzerlikten dolayı birbirlerinden ayıramazdık. PM FM Şekil 5.18 Sinüsoidal mesaj işareti (kesikli çizgi) ile üretilen FM ve PM işaretleri. Mesaj t işaretimiz FM (t ) k x( )d k A m x(t ) A cos(mt ) ise, PM (t ) k p x(t ) k p A cos(mt ) ve sin(mt ) elde edilir. Bu durumda PM ve FM işaretleri sırasıyla y(t ) Ac cos(c t k p A cos(mt )) ve y (t ) Ac cos(c t k A m sin(m t )) bulunur (Şekil 5.18). Şekil 5.18’deki işaretler, kolayca incelenebilmesi için, abartılıdır. Çünkü gerçek FM ve PM’de frekans sapmaları oldukça düşüktür. Örneğin 88-18 MHz FM bandında yapılan ticari yayınlarda istasyon başına ayrılan band genişliği 200 kHz’dir. (not: “frekans sapması”ndan kasıt merkez frekansının kayması değil modülasyon dolayısıyla kullanılan bantgenişliğidir.) Konu bantgenişliğinden açılmışken, FM-PM işaretinin teorik bantgenişliğinin sonsuz olduğunu hatırlatalım. Teoride, FM-PM ile oluşan bantgenişliğini ve tayf karakteristiğini hesaplamak için Bessel fonksiyonları kullanılmaktadır. Ancak burada, konunun anlaşılmasına pek bir katkı sağlamadığı için Bessel fonksiyonlarına girmeyeceğiz. Frekans tayfında FM-PM enerjisinin %98’ini 93 kapsayan yaklaşık bantgenişliği (effective bandwidth) ifadesini Bc 2( 1) f m şeklinde vererek geçiştireceğiz. Burada ve f m sırasıyla modülasyon indeksi ve mesaj işaretinin bantgenişliğidir. Örneğin, mesaj işaretimiz x(t ) a cos(2f mt ) gibi bir sinüsoidal ise, bantgenişliği 2(k p a 1) f m Bc 2( 1) f m kf a 1) f m 2( fm , PM (5.7) , FM olur. Burada mesaj işareti frekansının ve/veya genliğinin artmasının bantgenişliğini arttırdığını, artmanın ise PM’de oransal, FM’de toplamsal olduğunu görebiliriz. FM ve PM işaretlerini daha kolay anlayabilmek için Şekil 5.19’u inceleyelim. Burada mesaj işaretimiz daha öncekindeki gibi sürekli bir işaret değil sadece 2 değer alan ikili işarettir (binary). Bu durumda modülasyon teknikleri FM ve PM değil, FSK (Frequency Shift Keying) ve PSK (Phase Shift Keying) isimlerini almaktadırlar. FM - FSK PM - PSK Şekil 5.19 İkili işaret ile üretilen FM ve PM işaretleri (FSK ve PSK). FSK işaretinde periyodu farklı iki sinüsoidal arasında keskin bir geçiş olduğuna, PSK işaretinde de aynı periyoda (frekansa) sahip iki farklı fazdaki işaretler arasında keskin bir geçiş olduğuna (faz atlaması) dikkat ediniz. PSK sayısal haberleşmede en çok kullanılan yöntemlerden birisi olduğundan sonraki bölümlerde daha da detaylandıracağız. AM işaretinin çarpma ve toplamalarla üretildiğini görmüştük. Peki, PM ve FM işaretlerini nasıl üretebiliriz? Örnek olarak x (t ) mesaj işaretinin taşıyıcının fazını çok az değiştirdiği PM’i (narrowband PM) ele alalım. Bunun için Şekil 5.20’de verilen fazör diyagramını kullanalım. 94 sin genlik değişimi toplam işaret faz değişimi cos Şekil 5.20 Genlik değişiminin fazör toplamında faz değişimine yolaçması. Şekil 5.20’de PM işaretimiz kosinüs ve sinüs işaretlerinin (aralarında faz farkı / 2 olan) toplamından oluşmakta, sinüs işaretinin genliğinin genlik modülasyonu ile (çarpım) değişimi sonucu toplam işaretin fazı değişmektedir. Tabi ki toplam işaretin genliği de bir miktar değişmektedir ancak sinüs ve kosinüs işaretlerinin genlikleri ayarlanarak bu değişim kabul edilebilir seviyelere indirilebilir. Fazor toplamı y PM (t ) cos(c t ) x(t ) sin(c t ) işlemini, bu da Şekil 5.21’deki blok şemayı işaret etmektedir. Şekil 5.20’de aynı zamanda FM işaretinin PM’den Şekil 5.17’de gösterilen yöntemle elde edilişini göstermektedir. cos(c t ) işareti sin(c t ) işaretinden elde edilmektedir. Gerçekte hangisinin hangisinden üretildiğinin pek önemi yoktur, sadece toplama giren aynı frekanslı işaretler arasında / 2 faz farkı olması yeterlidir. Şekil 5.21 PM ve FM işaretlerinin (dar-bantlı) genlik modülasyonu kullanılarak üretilmesi. FM işaretinin demodülasyonu, yani alıcıda x(t ) işaretinin geri elde edilmesi işlemi de frekans değişimini genlik değişimine dönüştüren bir devre ile yapılabilir. Bunun için, Şekil 5.22’de gösterildiği gibi, keskin bir süzgecin frekans tepkisinin yükselen kenarından faydalanılabilir. 95 genlik değişimi frekans değişimi Şekil 5.22 Frekans değişiminden genlik değişimi elde edilmesinde süzgeç kullanımı. Yani FM işareti önce AM işaretine dönüştürülüyor, daha sonra da AM işareti demodülasyonu gerçekleştiriliyor (Şekil 5.23). Tabi tasarımın çalışması için geçici zaman (transient) tepkelerinin ihmal edilebilir olması gerekli, yani f c f m . FM FM-AM çevirici mesaj işareti AM demodülatör AM Şekil 5.23 FM işaretinin demodülasyonu. FM konusunda iken 2 ses kanallı (stereo) FM’in standartlara uygun nasıl yapıldığına göz atalım. Tabi ki her zamanki gibi geriye dönük uyumluluk söz konusu, yani tek kanallı alıcılar stereoFM yayınlarını da alabilecek, stereo-FM alıcıları tek kanallı yayınları da alabilecek. Bunun için geliştirilen çözüm Şekil 5.24’te gösterilmektedir. yeni (stereo) tabanbantı DSB-SC-AM |Y| f (kHz) 15 19 23 tek kanal tabanbantı M=L+R 38 53 S=L-R 38 kHz taşıyıcı ile eşzamanlı pilot işareti Şekil 5.24 Stereo-FM için tabanbant yapılandırması. Stereo vericilerde gönderilmek istenen 2 ses işareti L ve R kanallarındadır ve herbirinin bantgenişliği 15 kHz varsayılır (sınırlandırılır). Bu işaretlerden M L R ve S L R işlemleri ile iki işaret üretilir. S işareti 38 kHz’lik bir taşıyıcı ile çarpılarak 38 kHz’ye çıkarılır (DSB-SC-AM). 96 M ve S kanalları arasında kalan boşluğa 19 kHz’lik bir pilot (sinüsoidal) yerleştirilir. Pilot işareti 38 kHz’lik S kanal taşıyıcısıyla eşzamanlıdır ve alıcıda S kanalınının eşzamanlı demodülasyonu için kullanılacaktır (Şekil 5.10). Yeni tabanbant işaretimiz artık 53 kHz bantgenişliğine sahiptir. Bu tabanbant işareti FM ile yüksek frekanslara çıkarılır ve yayınlanır (Şekil 5.25). 38 kHz (DSB-SC-AM taşıyıcısı) 19 kHz pilot () 2 L S FM modulator stereo FM bantgenişliği=53 kHz R M Şekil 5.25 Stereo FM’in üretimi. Alıcıda FM işareti demodüle edilip 53 kHz genişlikteki tabanbant işareti elde edilir. M kanalı süzgeç ile ayrıldıktan sonra S kanalı (DSB-SC-AM) eşzamanlı demodülasyon ile tabanbanta indirilir. Daha sonra L (M S ) / 2 ve R (M S ) / 2 ile sol ve sağ ses kanalları ayrıştırılır. Mono (tek kanallı) alıcılar işaretin sadece M kanalından haberdar oldukları için iki ses kanalının toplamını algılarlar. Stereo alıcılar ise mono yayınlarda S ve pilot işaretini görmeyeceklerinden sağ ve sol ses kanallarına M ’yi verirler. Böylece uyumluluk sağlanmış olur. Ticari bir radyo alıcısının blok şeması Şekil 5.26’da verilmiştir. Alıcıdaki yerel osilatörün frekansını ayarlamakta kullanılan düzenek aynı zamanda seçili radyo bandını süzmekle görevli RF süzgecinin de merkez frekansını seçer. Bu iki frekans aynı olup ardından gelen karıştırıcı (mixer) ve süzgeç ile tabanbant işareti elde edilebileceği gibi, aralarında sabit bir fark olup alıcının geri kalan RF katlarının bu sabit frekansa göre tasarlanabilmesi çoğu zaman tercih edilen bir yaklaşımdır. Bu fark frekansı AM istasyonları için 455 kHz, FM istasyonları için ise 10.7 MHz’dir. Şekil 5.26'da karıştırıcı çıkışındaki IF işareti (intermediate frequency) IF kuvvetlendirici ve süzgeçlerden geçer. Karıştırıcı çıkışındaki taşıyıcı frekansı daima 455 kHz yada 10.7 MHz olduğundan IF katları bu sabit frekanslar için daha ucuza ve hassas yapılabilirler. Demodülatör katı AM zarf seçicidir (Şekil 5.11) ancak alıcı band seçimi FM ise IF ve demodülatör arasına FM-AM çevirici (Şekil 5.22) girer. Elde edilen ses işareti ses kuvvetlendirici ve ton ayarlarının bulunduğu ses (Audio) katında kuvvetlendirilip hoparlöre verilir. Demodülatör çıkışındaki işarete göre IF katında ayarlar yapan AGC (automatic gain control) katı ise alıcılarda en önemli devrelerden birisidir. Çünkü işaret gücü yayımcı istasyondan uzaklığa göre çok değişmektedir. Eğer hareketli bir alıcımız (örneğin araç radyosu) sözkonusuysa, istasyondan uzaklaştıkça sesin zayıflamasını yada çok yaklaştıkça doyuma (saturation, aşırı işaret gücünden düzgün çalışamaz hale gelmesi) ulaşmasını istemeyiz. AGC katı, demodülatör çıkışındaki işaretin gücünü ölçerek geri besleme ile IF katı kazancını ayarlar. Böylelikle uzaklık ile ses kalitesi düşse de (gürültünün artması) ses şiddetinde değişme olmaz. 97 RF süzgeç RF kuvvetlendirici istasyon seçimi karıştırıcı ses ayarı Şekil 5.26 Genel bir analog radyo alıcısı blok şeması. Günümüzde çoğu analog radyo alıcısı sayısal devrelerle gerçeklenebilmektedir. Yani Şekil 5.26'da verilen blokların RF giriş ve Audio çıkış haricindeki katmanlar sayısal devrelerden oluşabilmektedir. Sayısal alıcı devrelerin en büyük avantajı zamanla karakteristiğinin değişmemesi ayarlarının bozulmamasıdır. Askeri ve havacılık/uzay gibi maliyetin büyük etken olmadığı alanlarda ise sayısal devrelerin diğer avantajları da belirginleşir; devreler değişmeden çalışma şeklinin değiştirilebilmesi, sayısal işaretlere analog devrelerle yapılamayacak işlemlerin uygulanabilmesi (veri sıkıştırma, yankı giderme vb). Bu noktada analog radyo konumuzu tamamlıyoruz. İleriki bölümlerde sayısal iletişim yöntem ve uygulamalarına değineceğiz, ancak bu bölümde değinilen temellerin iyi anlaşılması sayısal iletişim bölümlerindeki konuların kavranmasında büyük yarar sağlayacaktır. 5.2.1. Soru-Cevap S : 88-108 MHz bandında (VHF) hep FM radyoları var. Burada AM radyo yayını yapamazmıyız? C : AM/FM modülasyonu her frekansta yapılabilir. 88-108 MHz'deki kısıt o bandın uluslararası anlaşmalarla ticari FM yayınlarına ayrılmış olmasıdır. Ancak oldukça kısa mesafeli (1-2 m, düşük güçlü) olmak kaydıyla ilgili bantda kendi yayınınızı yapmanızın sakıncası yoktur, sadece yakındaki kendi alıcılarınızı etkilersiniz. Esasen bunun bir faydası da yoktur, çünkü zaten genel kullanıma açık düşük güçte yayın yapılabilecek çeşitli frekanslarda bantlar vardır. S : Eskiden radyo/TV tamircileri vardı, şimdilerde arızalı cihazları atıyoruz. Ziyan olmuyor mu? C : Evet ziyan oluyor. Ayrıca çevresel kirliliğe de sebep oluyor. Ancak elektroniğin gelişmesi nedeniyle alıcılar tümleşik devreler ile üretiliyor. Tamir etmek ise genelde tümleşik devrenin/devrelerin değişmesi, dolayısıyla alıcının önemli bir kısmının değişmesi anlamına gelmekte. Hızla gelişen teknolojiye ayak uydurabilen tamirci eğitmek de önemli bir maliyet. Tamirin maliyeti 98 yenisini almaya yaklaşıyor. Eğer cihaz çok pahalı değilse yenilemek, eskisini de hatıra (!) olarak saklamak isteyebilirsiniz. S : Elektronik geliştiğine göre artık SSB modülasyonu daha kolay gerçeklenebileceğinden enerji tasarrufu gereken yerlerde daha yaygın kullanılabilir. Ama neden ortada yok? C : Elektronik geliştikçe sayısal devreler ve sayısal haberleşme de gelişti. Artık SSB ile sağlanacak enerji tasarrufundan daha fazlası sağlanabilmekte. Örneğin askeri telsizlerde gönderilecek mesaj sesli yerine metin olarak gönderilebiliyor. Yada analog olarak 1 sn süren işaret sayısala çevrilip bundan çok daha kısa sürede (örneğin 0.0001 sn) gönderilebiliyor, bu da oldukça büyük tasarruf sağlıyor. Gerçi gönderilecek veri her zaman olanakları zorlayacak şekilde artmıştır. Yani şimdi daha çok gönderilecek veri var, ses verisi bunların yanında ihmal edilecek kadar küçük yer kaplıyor. Ayrıca, ileride göreceğimiz teorilere göre, bantgenişliği arttıkça kalite/kapasite artıyor. O yüzden, çok sıkıntı olmadıkça, SSB'nin tek başına kullanımı ihtimali düşük. S : AM ve FM'in beraber kullanıldığı bir iletişim/modülasyon sistemi varmı? C : AM ve FM olmasa da onların sayısal karşılıkları olan ASK ve FSK (ve hatta PSK)'nın beraberce kullanıldığı yer çok. Örneğin çoğumuzun kullandığı WiFi bunların üçünü de kapsamaktadır. Sayısal iletişim bölümlerinde değineceğiz. S : Giderek daha yüksek frekans bantlarının kullanılmaya başlandığını görüyoruz. Neden? C : Çünkü daha çok veri iletebilmek için daha geniş bantlara ihtiyaç var, onlar da yüksek frekanslarda var. Yüksek frekanslara ulaşabilmek, o frekanslarda çalışan devreler üretmek eskiden oldukça maliyetli idi. Bu frekanslar eskiden maliyet sıkıntısı olmayan uygulamalarda (askeri vb) kullanılıyordu. Ancak, hem ihtiyaçtan hem de bu frekanslara uygun elektroniğin gelişiminden dolayı yüksek frekanslarda (GHz'ler) bazı bantlar (örneğin hücresel ağlar, mobil iletişim) ticari iletişime açılmaya başlandı. Yine uluslararası anlaşmalar ve ileriye dönük planlar sözkonusu. 5.3. Analog Televizyon Uzak mesafelerden görüntü iletimi her zaman ilgi çekmiş, üzerinde çalışılmıştır. Fikirler olsa da elektrik işaretleri üzerinde başarılı çalışmalar ancak elektroniğin, gerçek manada işaret kuvvetlendirmenin, yani radyo lambalarının bulunuşu ile yapılabilmiştir. Elektronikte en önemli devrim radyo lambalarının bulunuşu (1906, Lee De Forest), ikincisi ise transistörün bulunuşudur (1947, W. Brattain, J. Bardeen, W. Shockley). İşaret kuvvetlendirme olmadan, sayısal devrelerin tasarımı ancak elektromekanik anahtarlar (röleler) ile yapılabilmekte idi. Bunlar da tahmin edileceği üzere, hayal kurmayı bile zayıflatacak kadar yavaş, gürültülü, yer kaplayan ve kısa ömürlü idiler. Plazma elektroniğinden (radyo lambaları) katı hal elektroniğine (yarıiletkenler) geçiş süresince, yani sayısal devreler ve sayısal kavramı henüz emekleme aşamasında iken, ses ve görüntüyü iletmek için birçok tasarım yapıldı, bazıları geliştirildi ve standartlaştırıldı. Tabi bu aşamada var olan elektronik radyo lambaları üzerine dayanıyordu. O zamanlar geliştirilen yöntem ve standartlar geriye dönük uyum gözetildiğinden dolayı transistörün ve hatta entegre devrelerin gelişmesinden sonra da 99 günümüze kadar korundu. O nedenle, analog TV yapısını ve işaretlerini incelerken aklımıza gelebilecek "neden böyle?" gibi soruların çoğunun yanıtı o yıllardaki teknolojik seviyedir. Analog televizyonda ses ve görüntü birbirinden göreceli olarak bağımsız şekilde iki ayrı kanaldan iletilir. Şimdilik, ses iletiminin FM ile yapıldığını belirtip görüntü kısmına odaklanalım. Şekil 5.27 görüntü iletiminin prensibini anlatmak üzere iletilecek görüntüyü oluşturan sahne, görüntünün bir mercek sistemi aracılığıyla üzerine düşürüldüğü ışığa duyarlı bir yüzey, yüzeyi tarayarak her noktasındaki parlaklığı elektrik işaretine çeviren bir sistem ve bu sistemle eşzamanlı çalışarak ilgili herbir noktada ışık üretip görüntünün oluşmasını sağlayan ekran bileşenlerini içermektedir. Yıllar önceki tasarımda, hem görüntü algılayıcı (verici) hem de görüntü üreteci (alıcı) teknolojisi katot tüplerine (radyo lambaları) dayanmaktaydı ve standartlar o teknolojiye göre belirlenmişti. soldan sağa ve yukarıdan aşağı eşzamanlı tarama iletim kanalı sahne optik sistem ışığa duyarlı yüzey ışık üretebilen yüzey Şekil 5.27 Görüntü iletiminin prensibi. Şekil 5.27'deki ışığa duyarlı yüzey ve ilgili elektronik ile yapılmak istenen, bu yüzeye düşen görüntüyü satır satır ve nokta nokta tarayıp parlaklık bilgisini kanala iletmektir. Tüm görüntü taranıp gönderildikten sonra aynı işlem saniyede en az 30 kez tekrar edilmekte, insan gözü bu hızı farkedemediği ve beyin satır aralarını uygun şekilde doldurduğu için istenilen hareketli görüntü etkisi sağlanmaktadır. Tabi ki tarama hızı, satır sayısı ve her satırdaki nokta sayısı arttıkça görüntü kalitesinin artacağı bellidir. Standard analog görüntü sistemlerinde satır sayısı 400-600 arasındadır (ülkeler ve standardlara göre değişmekte). Buradaki çizimlerde 5-6 satır ile basitleştirme yapılmıştır. Ayrıca, analog görüntü sistemlerinde her satırdaki nokta sayısından bahsedilmez, çünkü satırlar noktalardan oluşmaz, süreklidir. Yine de, sistemin bantgenişliğine bağlı olarak oluşan görüntü kalitesi birbirinden gözle ayrıştırılabilen nokta sayısı ile ifade edilebilir. Şekil 5.27'deki ışığa duyarlı yüzeydeki taramanın 3 ve 4'üncü satırların parlaklıklarını yatay eksene göre gösteren grafikler ve bu satırlar taranırken üretilip kanala gönderilen işaret Şekil 5.28'de gösterilmiştir. 100 Parlaklık 3. satır Parlaklık 4. satır x x s (t ) Width Width t tH Şekil 5.28 Parlaklık ve görüntü işareti arasındaki ilişki. Şekilden anlaşılacağı üzere satırı temsil eden elektriksel işaret ile satırdaki yatay koordinata göre parlaklık fonksiyonu doğru orantılıdır. Siyah bölgeler 0'yakın, parlak noktalar ise yüksek voltaj değerleriyle temsil edilirler. Ancak satır işaretleri arasına negatif yönde darbeler yerleştirilir. Bunlar, alıcıya satır sonuna gelindiğini ve bir sonraki satır için başa dönülmesi gerektiğini bildirirler. O yüzden isimleri satır eşzamanlama işaretleridir. Tüm satırlar taranıp gönderildiğinde tekrar ilk satırdan başlanması için ayrıca bir darbe serisi üretilip gönderilir. Bunlara da sayfa eşzamanlama işaretleri denir. Bu eşzamanlama işaretlerine yatay ve dikey eşzamanlama darbeleri de denir. Görüntüleme cihazları konusuna geldiğimizde bu darbelerin şekli daha da açıklığa kavuşacaktır. Hem görüntü parlaklık değerlerini hem de eşzamanlama darbelerini taşıdığı için bu işarete kompozit yada bileşik video işareti denir. Burada görüntü algılayıcılar üzerine bir parantez açıp özet verelim. Yıllar önce, görüntü algılayıcıları, yani kameraların görüntüyü elektriksel işarete çeviren kısmı, bahsedilen tarama işlemini analog/sürekli yöntemle yapıyordu. Daha sonra yerlerini, piksel diyebileceğimiz kesikli algılayıcılar alsa da çalışma temelleri yine radyo lambaları gibi hareketli plazma prensibine dayanıyordu. 1975'te geliştirilip 1980'lerden itibaren oldukça yavaşça bunların yerini alan günümüzün yarıiletken görüntü algılayıcıları doğuştan piksel tabanlı olmasına rağmen kullanıldıkları kameralar yine eski standartta işaret üretmek zorundaydılar (uyumluluk için). Şekil 5.29 ve Şekil 5.30 ışığa duyarlı yarıiletken hücre dizileri ile analog ve sayısal görüntü işareti üretimini anlatmaktadır. Kare şeklindeki yarıiletken hücrelerin üzerine ışık düştüğünde fotonların enerjisi ile orantılı sayıda elektron serbest kalır ve hücrelerde görüntüyü temsil eden elektrik yükü birikir. Pozlama bittiğinde (yeterince yük toplandığında) bu yükler elektrik alanları ile hücreden hücreye aktarma yöntemiyle Yük-Voltaj çeviricisine yönlendirilir. Bu işlem sırasında ya ışık girişi engellenir yada yükler aynı büyüklükte ve paralel bir başka hücre alanına aktarılır. Yükler elektrik alanı ile hücreden hücreye aktarıldığı için bu gibi algılayıcılara Yük Aktarımlı Cihaz (CCD : Charge Coupled Device) denir. Voltaja çevrilen işarete eşzamanlama darbeleri eklendiğinde Şekil 5.28'deki gibi bir kompozit video işareti oluşur. Eğer görüntü sayısal olarak ileticek yada saklanacaksa bir analog-sayısal çevirici kullanılır. Buradan da anlaşılıyor ki sayısal kamera deyince aslında içinde ADC barındıran kamera anlaşılmalıdır, aksi halde algılayıcıların ürettiği görüntü işareti analog değerlerdir (voltaj). 101 algılayıcı hücreler dizisi 48 aşağıya öteleme sahne optik sistem 8 9 3 2 1 8 3 2 1 Q t sağa öteleme 1 48 9 Şekil 5.29 CCD algılayıcı hücreleri ile görüntü işaretinin üretimi. Q t Q/V A/D eşzamanlama darbeleri ekle Format Sayısal görüntü Analog görüntü işareti Şekil 5.30 CCD hücrelerden alınan yük dizisinden analog ve sayısal görüntü işareti elde edilmesi. CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor) görüntü algılayıcıları da benzer prensiple çalışır, ancak CMOS'ta her hücrenin yakınında bir devre, yükü voltaja çevirir ve ADC devrelerine aktarır. Tabi ki yakındaki bu devreler ve iletim yolları silikon yüzeyinde yer kapladığından hücre başına daha az ışık düşer. Bu nedenle görüntü kalitesi olarak CCD daha üstündür, ancak bu avantaj giderek azalmaktadır. CCD'lerde yük aktarımı zaman gerektirdiğinden hızlı sistemlerde CMOS tercih edilmektedir. Profesyonel fotoğraf makinelerinde ise (video dışında) CCD tercih edilmeye devam etmektedir. İlk tasarımı daha iyi anlamak için radyo lambaları yapısına ve çalışma şekline göz atalım. Şekil 5.31 bir radyo lambası resmi ve basitçe bileşenlerini göstermektedir. Bir flamanla ısıtılan katod iletkeni lamba içindeki boşluğa elektron yaymaya başlar. Zıt yüklü oldukları için normalde anota doğru gitmesi gereken elektronlar aradaki aynı yüke sahip (eksi) ızgara (grid) tarafından bir miktar engellenir. Izgaranın potansiyeli değiştikçe içinden geçen elektronların sayısı da değişir. Yani Izgaraya verilen işaret ile anot-katot arasındaki elektron akışı, yani akım, kontrol edilmektedir. Uygun çalışma voltajları seviyelerine getirilen radyo lambası, ızgaradaki çok küçük değişimler ile anot-katod arasında büyük akımları kontrol edebilmekte, böylelikle işaret kuvvetlendirmesi yapmaktadır. 102 Şekil 5.31 Radyo lambası yapısı. Elektronların yada iyonların boşlukta yada özel gazlar içinde serbest kaldığı duruma plazma denmekte olup plazma teknolojisiyle çalışan birçok cihaz tasarlanmıştır. Televizyon tüpü de (CRT : cathode ray tube) radyo lambası prensibiyle çalışmaktadır. Mikrodalga ve radar işaretleri üreten magnetron ve klistron, aydınlatmada kullanılan floresan lambalar, x-ışını üreteçleri ve plazma ekranlar da bunların arasında sayılabilir. Konumuzla ilgili olduğu için burada televizyon tüplerine değinelim. Şekil 5.32 Televizyon tüpü bileşenleri. Radyo lambalarında olduğu gibi, flamanın ısıttığı katoddan ayrılan elektronlar ızgaranın (parlaklık kontrolü) kontrolünde yüksek voltajlı anota doğru ilerler. Fosfor kaplı anot yüzeyine çarpan elektronlar orada noktasal olarak görünür bir ışığın üretilmesine sebep olur. Tüp camdan yapılmış olduğu için bu ışıma dışarıdan parlak bir nokta halinde görünür. Elektron demeti normalde tam karşıya çarpacakken saptırma bobinleri ile üretilen manyetik alan dolayısıyla ekranın istenilen noktasına çarptırılabilirler. Bu bobinlere verilen akım testere dişine benzer. Böylelikle elektron ışınımı ekranı boydan boya tarar. Şekil 5.32'de gösterilen bobinlerden şekil yüzeyine dik olarak yerleştirilmiş 2 adet daha vardır (gösterilmiyor). Böylece ekran sağdan sola ve yukarıdan aşağıya elektron demetiyle taranır. Ancak noktanın parlaklığı ızgara ile kontrol edildiğinden, tarama istenilen noktaya geldiğinde o nokta istenilen parlaklığa getirilebilir. Fosfor tabakası, kendine çarpan elektron demeti kesildiğinde de bir müddet ışımaya devam ederler. Saptırma bobin akımları ve ızgara voltajının eşzamanlı kontrolü 103 ile ekranda istenilen görüntü oluşturulabilir. Tabi ki ızgaraya verilen voltaj Şekil 5.28'deki satır işaretleri, bobinlerin akımı ise yine Şekil 5.28'deki eşzamanlama işaretleriyle eşzamanlı bir üçgen dalga olunca görüntü algılayıcının yüzeyindeki görüntü ekranda da oluşur. Burada tek paragrafta oldukça kısa olarak özetlediğimiz çalışma şekli hem görüntü algılayıcı hemde televizyon tübünde bulunan saptırma bobinleri dolayısıyla bazı önemli kısıtlamalar içermektedir. Bobinlerdeki akım aniden değiştirilemez. Bu da saptırma bobinlerinde üçgen dalga yerine üçgene yakın ama daha yumuşak geçişli bir işaretin kullanılmasını gerektirir. O nedenle elektron demeti en sona geldiğinde tekrar baştan başlaması için yeterli sürenin geçmesi gerekir. Bu geçiş anında da ekranda bir çizgi belirmemesi için (geri dönüş yolu) elektron akımının kesilmesi gereklidir. İşte bu yüzden Şekil 5.28'deki eşzamanlama işaretleri iki aşamalıdır. Önce negatife düşerek elektron yayılımının kesilmesi sağlanır, daha sonra daha da negatif bir voltaj ile geri dönüşün başlaması için eşzamanlama darbesiyle alıcıya "yeniden başla" işareti verilir. CRT'nin çalışma şekli bobinler yerine saptırma levhaları ile daha kolay anlaşılabilir. Şekil 5.33, CRT ekranın saptırma levhaları modeli ile önden görünüşü ve levhalara uygulanan asimetrik üçgen dalgalarla göstermektedir. Testere dişi dalga kullanılamamasının sebebini yukarıda anlatmıştık. Dalga şekilleri üzerinde Türkiye'de kullanılan TV sistemi olan PAL (phase alternating line) standardında belirtilen zamanlar da gösterilmiştir. Ayrıca ekranda oluşan satırlar tek ve çift numaralı alanlar olarak ayrılmaktadır. v(t ) işaretinin ardışıl periyodlarında çok küçük bir DC voltaj farkıyla, dönüşümlü olarak tek ve çift numaralı satırlar taranır. Buna geçişmeli (interlaced) tarama denir. Böylece daha düşük bir ekran tazeleme frekansıyla 2 kat daha fazla satır taranmakta, bu ise insan gözü tarafından farkedilmemektedir. tek satırlar çift satırlar v(t ) + t v(t ) - 20 ms 1.6 ms - h(t ) h(t ) + 11.8 -12.3 µs t 64 µs Şekil 5.33 Saptırma levhaları modeli ve levhalara uygulanan saptırma işaretleri. 104 Siyah-beyaz televizyon sistemi görüntünün sadece parlaklık bilgisini taşır. Renkli sistemde ise renk bilgisini de taşımak ve gösterebilmek gereklidir. Ayrıca, uzun yıllar siyah-beyaz TV sistemlerinin hakim olduğu dünyada TV alıcıları en ücra evlere girdiğinden, renkli sisteme geçişte, insanlara alıcıların artık bir işe yaramadığın söylemek te mümkün değildir. O nedenle, bu geçişte, herhangi bir TV alıcısının (renkli yada siyah-beyaz) hem renkli hem siyah-beyaz görüntü işaretini kullanabilmesi sağlanmalıydı. Uyumluluk gözetilerek yama şeklinde bir tasarım yapıldı. Şekil 5.34'te verilen TV işareti tayfında renk bileşeni olarak 4.43 MHz'de gösterilen bileşen siyah-beyaz sistemde yoktur, renkli yayınlarla beraber eklenmiştir. Böylelikle, bu eklentinin orada olduğunu farkedip işleyebilecek kadar gelişmiş (renkli) alıcılar yayınların renk bilgisinden faydalanır, işaret yok ise siyah beyaz gösterebilir. Siyah-beyaz alıcıların ise zaten o işaretten haberi yoktur. Renkli yayınlarda o bileşenler görüntünün yüksek frekanslı kısımlarında (detaylar) bir miktar bozulmaya neden olsa da görüntüyü siyah-beyaz olarak gösterirler. Böylece ileriye-geriye dönük uyumluluk sağlanmış olur. |HTV(f)| görüntü (parlaklık) görüntü (renk) ses f (MHz) 0 -1.25 4.43 5.5 6 Şekil 5.34 TV işaretinin tayf bileşenleri. Aynı uyumluluk TV yayınının ses bileşeni için de geçerlidir (bkz Stereo FM). Şekil 5.34'te gösterilen sembolik tayf TV yayınının 0 frekansında olduğu varsayılarak çizilmiştir. Tabi ki şekildeki frekansların asıl çalışma frekansına göre değiştirilmesi gerekir. Ticari karasal TV yayınları için ayrılan frekanslar VHF ve UHF bantlarındadır. Örneğin UHF 500 MHz'de yayın yapılıyorsa, Şekil 5.34'teki tüm frekanslara 500 eklenmelidir. Bu durumda, TV işareti göndericisinin blok diyagramı Şekil 5.35'taki gibi çizilebilir. kamera RGB eşzamanlama YUV UV ses R VSB-AM (X MHz) Y burst QAM (X+4.43 MHz) Karıştırıcı (VHF/UHF) TV stereo FM (X+6 MHz) ses L Şekil 5.35 TV gönderici blok diyagramı. TV işaretinin görüntü (parlaklık) kısmı AM'dir. Ancak Şekil 5.34'teki çizimdeki taşıyıcı, daha önce gördüğümüz AM türlerinden farklı olarak, parlaklık tayfının tam ortasında yer almıyor. Buna Artık Yan Bant (VSB : Vestigial Side Band) AM denmektedir. AM'de iki yan bantın aynı bilgiyi 105 taşıdığını öğrenmiştik. Yani sadece tek yan bant, bilgiyi taşımak için yeterli (Şekilde üst yan bant). Ancak AM işaretinin sadece üst yan bantını ayırmak için oldukça keskin süzgeçler gerektiğini de biliyoruz. Bu nedenle, çok keskin olmayan bir süzgeç kullanılması durumunda alt yan banttan da bileşenler kalacaktır. Bu işlem Şekil 5.36’te resmediliyor. Keskin olmayan bir bant geçiren süzgeç VSB-AM AM alt yan bant üst yan bant Şekil 5.36 AM işaretinden VSB-AM işaretinin bant geçiren süzgeç ile elde edilmesi. 5.3.1. Renkli Görüntü Renklerin 3 ana rengin farklı oranlarda karışımından elde edilebileceğini lise bilgilerimizden hatırlıyoruz. Bu üç ana renk ise yüzeylerin ışığı yansıtarak (çıkarma) yada geçirerek/üreterek (toplama) çalıştığına göre belirlenir. Örneğin, boyaları karıştırarak ara renkleri üretmek çıkarmalı yaklaşımdır. TV ekranları ışığı kendisi ürettiği için toplamalı yaklaşımdaki ana renkler kullanılır. Toplamalı ve çıkarmalı yaklaşımlar ile 4 ara rengin üretimi Şekil 5.37'da gösterilmektedir. Toplamalı yaklaşımdaki Kırmızı-Mavi-Yeşil (RGB : Red-Green-Blue) anarenklerini ele alalım. Şekilde sadece 3 ararenk ve beyaz gösterilmesine rağmen anarenklerin farklı oranlarda karışımından istenilen rengin üretilebileceği açıktır. Sonuç renk, karışımdaki miktarlar arttıkça beyaza, azaldıkça da siyaha yaklaşacaktır. Örneğin hiç ışık üretilmez ise siyah, tüm renkler en parlak haliyle üretilirse de elde edilen renk karışımı beyazı temsil eder. Yani siyah beyaz TV tübündeki beyaz fosfor yerini bu üç ana rengi üreten üç ayrı fosfora bırakır. Bu fosforların nasıl ayrı ayrı kullanılabildiğini daha sonraya bırakalım. Şekil 5.37'den aklımızda kalması gereken şey, siyah-beyaz ekrandaki parlaklığı belirten tek işaret yerine artık 2 ayrı işaretin kullanılması gerektiğidir. Peki, istenilen rengin 3 ana rengin çeşitli oranlarıyla karıştırılarak elde edildiğini söylememize rağmen neden 3 değil de 2 işaretin yeterli olduğunu söyledik? Şekil 5.37'nın aslında bir düzlem üzerinde olduğunu ve herhangi bir noktasını (rengi) belirtmek için 2 koordinatın yeterli olduğunu hatırlayalım. Eğer TV standartları günümüz teknolojisiyle tasarlanıyor olsaydı ve geriye dönük uyumluluk gerekli olmasaydı, TV sistemi 2 işaret/koordinat kullanırdı. Geçerli olan renkli analog TV standardında, R, G ve B sırasıyla kırmızı, yeşil ve mavinin katkıları olmak üzere, Y 0.3R 0.59G 0.11B U 0.49( B Y ) (5.8) V 0.88( R Y ) dönüşümüyle elde edilen 3 değer kullanılır. Yani 2 değil 3 işaret kullanılmakta. (soru: hem eskiye uyumlu hem de 2 işaret kullanan renkli tasarım yapılabilir miydi?). Bunlardan Y (lüminans : 106 luminance) üç rengin ağırlıklı ortalaması olup parlaklığı temsil eder. U ve V değerlerine krominans (chrominance) denir (aynısı olmasa da bu değerler bazen Cb ve Cr ile anılırlar). Tabi ki YUV'den RGB'ye R Y 1.14V G Y 0.4U 0.58V (5.9) B Y 2.03U dönüşümüyle de RGB değerleri geri elde edilebilir. Şekil 5.37 Toplamalı ve çıkarmalı renk diskleri. Renkli televizyon sisteminde Y bileşeni siyah-beyaz TV'deki parlaklık olarak VSB-AM ile gönderilir. Diğer iki bileşen, U ve V için Dördün Genlik Modülasyonu (QAM : quadrature amplitude modulation) yöntemiyle Şekil 5.34'te gösterilen 4.43 MHz'den gönderilir. QAM, (5.1) ile verilen genel taşıyıcı işaretinin genlik ve fazının aynı anda kontrol edilmesi demektir. İki büyüklük taşınacağından bu modülasyon şekli uygun görülmüştür. Alıcı cihazın (renkli TV alıcısı) öncelikle 4.43 MHz'de renk bileşenleri olup olmadığını belirleyip, varsa lüminans değerini (-1.25, 4.0) MHz aralığındaki, yoksa (-1.25, 5.5) aralığındaki VSBAM bileşenlerinden elde etmesi gerekir. Eğer renk bileşenleri yoksa, alıcının siyah-beyaz alıcı gibi çalışması gerektiğini biliyoruz. Ama varsa, 4.43 MHz'deki bileşenlerden U ve V değerlerini bulması gerekir. Peki renk bileşenin varlığı nereden belli olur ve U ve V değerleri nasıl bulunur? Şekil 5.38 renkli görüntü için siyah-beyaz görüntü işaretinin eşzamanlama darbesi civarında yapılan eklentiyi ve QAM renk bilgisinin parlaklık işareti üzerine toplanmasını gösteriyor. Alıcıdaki 4.43 MHz'lik bir osilatör yatay eşzamanlama darbesinden hemen sonra gelen 4.43 MHz'lik sinüsoidal ile eşzamanlanır. Bu 9 periyotluk işarete renk darbesi (color burst) adı verilir. Satır resim işaretinin ortalama değeri lüminans değerini, üzerine eklenmiş olan 4.43 MHz'lik sinüsoidalin referans osilatöre göre fazı ve genliği de U ve V değerlerini verir. Renk darbesi her satırda gönderildiği için, alıcıdaki referans osilatörü 4.43 MHz merkezli bir keskin bantgeçiren süzgeç yardımıyla eşzamanlanır. Görüldüğü gibi renk bilgisinin iletimi kanal gürültüsünden ve çoğunlukla da çoklu yol dediğimiz anlık gecikmelerden oldukça kolay etkilenebilecek bir şekildedir. Özellikle Şekil 5.39'de gösterildiği gibi yüksek binalardan yansıyıp farklı yollardan alıcıya ulaşan işaretler toplandığı için işaretin fazı, dolayısıyla da renk bilgisi kolayca etkilenir. Bu etkiyi azaltmak için Türkiye dahil birçok ülkede 107 kullanımda olan PAL (phase alternating line) sistemi geliştirilmiştir. Beklenti, renk işaretinin her satırda 180 faz değiştirdiği bu sistemde yansımaların etkisinin azalmasıdır. tüm satırlar aynı ise ekranda görülecek renk çubukları beyaz QAM renk işaretinde faz ve genlik iki ayrı bilgi taşıyor. Kesikli çizgi ortalama değer, yani lüminans satır eşzamanlama darbesi ön karartma 4.43 MHz pilot işareti (9 periyod) siyah Şekil 5.38 İki adet yatay eşzamanlama darbesi ve arasında bir satırlık bilgiyi içeren renkli kompozit görüntü işareti. yansıma doğrudan alınan işaret verici TV alıcısı Şekil 5.39 Çok-yollu alış (multipath reception) örneği. Çeşitli teknolojilere sahip renkli katod-ışını-tüplerinin bir tanesinin çalışma prensibini açıklamak için gerekli şekil de Şekil 5.40'da gösterilmiştir. Burada R, G ve B olarak isimlendirebileceğimiz 3 tane elektron tabancası (ısıtıcı flaman, katot ve ilgili ızgara) vardır. Herbirinden yayılan elektron miktarı ilgili rengin katkısını belirler ve ilgili ızgara ile kontrol edilir. Siyah-beyaz CRT'nin aksine ekran beyaz fosforla değil Şekil 5.40'da gösterildiği yerleşimle 3 ayrı renkte fosfor benekleriyle kaplanmıştır. Bu benekler oldukça küçük ve birbirine yakındır, böylelikle 108 uygun bir uzaklıktan bakılınca üç rengin karışımı görünür. Fosfor tabakasının hemen arkasında yer alan açıklık ızgarası (aperture grid/grill) ekrandaki RGB forsfor üçüzleri kadar deliğe sahiptir. Bu ızgara imalat sırasında öyle yerleştirilir ki, R tabancasından çıkan elektron ışını sadece kırmızı fosfor üzerine düşebilir. Diğer tabanca ve fosfor çiftleri için de bu durum geçerlidir. Yani tabancaların, ızgaranın ve fosfor beneklerinin yerleşimi birbiriyle sıkı bir şekilde bağlantılıdır. Şekil 5.40'deki fosfor yerleşimine üçgen (delta) yerleşim denir ve elektron tabancaları da üçgen şekilde (karşıdan bakınca) yerleştirilir. Detaylarına girmeden farklı yerleşim teknolojilerinin de varlığını (farklı fosforlar da) söyleyelim. 3 ayrı elektron tabancasının ızgara kontrolleri renkli fosforlar R G B açıklık ızgarası fosfor yerleşimi (önden görünüm) Şekil 5.40 Renkli CRT'nin prensibi. 5.3.2. Görüntüleme Teknolojileri Neredeyse kaybolmak üzere olan CRT prensiplerine niçin değindik? Çünkü analog TV standardları bu teknolojiler üzerine kuruldu. İleriye-geriye dönük uyumluluk sebebiyle işaret standardları korundu. Modern görüntü algılayıcıları (kameralar) ve modern gösterim cihazları (ekranlar) çok daha yeni standardlara sahip (hatta standard dışı) işaret ve yöntemlerle çalışabilmesinin yanında eski işaret ve yöntemleri de barındırmaktadır. Birazdan kısaca değineceğimiz plazma ekran ve sıvı kristal göstericilerin, teknolojideki belirgin ilerlemeye rağmen, hala CRT'lerle yarışamayacağı alanlar vardır. Sıvı kristal yapısı 1888 gibi oldukça erken bir tarihte bulunmuş olmasına ve üzerinde birçok çalışma ve buluş yapılmasına rağmen 1970'lerde ekran teknolojisinde kullanılmaya başlayınca kadar geniş bir uygulama alanı bulamamıştır. Bir bakıma, bilimsel araştırma-geliştirmenin er geç önemli sonuçlar vereceğinin bir göstergesidir. Başlangıçta saat, hesap makinası gibi küçük ölçekte kullanılan sıvı kristal ekranların (LCD : liquid crystal display), günümüzde neredeyse ekran ihtiyacı olan tüm uygulamalarda yer bulabilmesi ise LCD üzerine yapılan yatırımın bir sonucudur. Şekil 5.41, LCD ekranların çalışma temellerini anlamaya yardımcı olacaktır. Sıvı kristalleri uzun çubuklar halinde dizilmiş moleküller olarak düşünebiliriz. Çubukların özelliği ise elektrik alanına tepki vermesi, yönlerini elektrik alanına göre değiştirmeleridir. Şekil 5.41'te görüldüğü gibi, ışık geçiren iki elektrot arasına sıkıştırılmış sıvı kristaller elektrik alanı yokluğunda dağınık vaziyette 109 duruyorken, elektrik alanı altında alan boyunca uzanırlar. Dağınık durumdayken, bir taraftan verilen ışığın önemli bir miktarı diğer tarafa ulaşamamaktadır. Elektrik alanı boyunca paralel uzanan çubuklar ise ışığın büyük kısmının geçmesine izin verirler. Yani elektrik alanı kullanılarak ışık geçişi kontrol edilebilmektedir. Bu yöntem son zamanlarda pencere camlarında da kullanılarak ışık kontrolü yapılmaktadır. Elektrotlar cam yüzeylerine belirli şablonlar halinde yerleştirilince ise şablonun şeklinin görüntüleneceği açıktır. Hesap makinalarının göstergelerinde rakam ve diğer yardımcı karakterlerin şablonları kullanılmaktadır. ışık kaynağı sıvı kristal ışık + - ışık geçirgen elektrotlar Şekil 5.41 Sıvı kristal görüntüleyicilerin çalışması. Şablon olarak çok küçük noktalar kullanıldığında ise ürettikleri elektrik alanlarının kontrolü ile oldukça kaliteli görüntüler elde edilebilir.Işık kaynağı olarak beyaz ışık kullanıldığında da, bu noktaların (piksel) önlerine konulan aynı boyuttaki renkli ışık süzgeçleri yardımıyla renkli görüntüler elde edilmektedir. Günümüz üretim teknolojileri ile, çok yakından dahi ayırdedilemeyecek küçüklükte noktalar ile çok yüksek çözünürlüklü görüntü sağlayabilecek ekranlar üretilebilmektedir. Ancak LCD görüntüleyicilerin zayıf yanları da vardır. Kendileri ışık üretmezler, dış kaynağa ihtiyaç duyarlar. Kaynak olarak arka aydınlatma kullanıldığında ekranın tüm bölgelerinin aynı miktarda aydınlatılabilmesi için özel ışık yayıcı tabakalar kullanılır. Çoğu hesap makinesi gibi küçük cihazlarda ise çevresel ışıktan faydalanılır. Işık LCD'nin ön kısmından girer, arka elektrottan yansır. Tabi ki bu cihazlar karanlıkta görüntü veremezler. LCD'lerin çok daha önemli ve çözülmesi için uzun yıllar araştırma yapılmış bir diğer problemi ise kristallerin mekanik hareket yapmasının gerekliliği ve bu hareketin bazı uygulamalarda yavaş kalmasıdır. Örneğin 1990'lı ve 2000'li yılların başlarında LCD'den hareketli bir film izlediğinizde, özellikle tam karşıdan izlemiyorsanız, ekranın bazı bölgelerinin kararmış hatta alakasız bir grilikte olduğunu farkederdiniz. Bunun sebebi, henüz kristaller uygun açıya gelmeden görüntünün, yani elektrik alanının, değişmesidir. Soğuk ortamlarda LCD'nin tepki süresi (response time) çok daha belirgindir. LCD sıvısı soğukta önemli oranda yavaşlar. Teknolojisindeki bunca gelişmeye rağmen, dış ortamlarda olması gereken elektronik cihazların, mesela otomatik banka makinelerinin (ATM : automated teller machine) ekranlarının hala CRT ile gerçeklenmesi bu yüzdendir. CRT soğuktan hiç etkilenmez. LCD'ler için bir başka problem ise ışığın ne tamamen kesilmesinin ne de tamamen geçirilmesinin mümkün olmamasıdır. Yani karanlık bir odada izlerken en siyah yerlerin aslında yeterince siyah olmadığını görürsünüz. Beyaz yerler için problem yok gibi görünse de, buraların daha 110 parlak olması için arka aydınlatmanın gücü arttırıldığında, siyah bölgeler bundan kötü yönde etkilenirler. Özetle, kontrast (beyaz/siyah oranı) kötüdür. Şekil 5.42'ta ise 1980'li yıllarda yaygınlaşıp 2000'li yıllarda ortadan kaybolan bir diğer görüntüleme teknolojisi olan plazma ekranın çalışma prensibini göstermektedir. Plazma ekranlar, LCD gibi, bir tanesi ışık geçiren iki elektrot arasına sıkıştırılmış, içleri soygaz dolu, fosfor kaplı binlerce küçük hücreden oluşmaktadır. Elektrotlara verilen voltaj ile oluşan elektrik alanı dolayısıyla üretilen plazma, yani iyonlar, morötesi ışınım yayarlar. Morötesi ışınım hücre çeperlerine kaplanmış renkli fosfor (florasan) tabakasına çarptıklarında ise renkli ışık üretilir. Bu görülebilir ışık, geçirgen ön panelden görülür. Bu yapı CRT'ye benzemektedir ve LCD'ye göre üstünlükleri vardır. Örneğin kendi ışığını kendisi ürettiğinden dış kaynağa gerek yoktur. Ayrıca mekanik bir hareket olmadığından tepki süresi gibi bir sıkıntısı da yoktur. Ancak yapı biraz kalındır ve dolayısıyla LCD'ye göre ağırdırlar. Peki LCD'ye göre üstünlükleri olmasına rağmen piyasadan neden kalkmışlardır? elektrotlar cam plazma (iyon bulutu) cam elektrotlar fosfor (florasan madde) Şekil 5.42 Plazma ekran yapısı. Bu sorunun cevabı "pazarlama" olarak verilebilir. Büyük miktarlarda ekran üreten birkaç firma vardır. Plazma ekran üreten firmalar, LCD'ler ortaya çıktığında, plazmanın bütün üstünlüklerine rağmen, plazma yönünde yeterince reklam yapmamış, LCD'nin piyasayı doyuma ulaştırmasına sebep olmuştur. Ayrıca LCD'nin tek avantajı olan hafifliği, üreticilerin faydasına olduğundan (nakliye), bu üstün teknolojinin kaybolmasına ve üretimlerinin durmasına göz yumulmuştur. Bugün bile, ancak en kaliteli LCD ve LED ekranlar plazmanın görüntü kalitesine (parlaklık, kontrast, izlenebilme açısı, görüntü oluşturma hızı) yaklaşmaktadır. Peki günümüzde sıkça duyduğumuz LED-TV yada LED ekran nedir? Gerçekten tamamen LED (light emitting diode : ışık yayan diod) ile gerçekleştirilen görüntüleyiciler var olsa da (örneğin OLED : organic LED) LED ekranların çoğunluğu aslında LCD olup normalde florasan lamba olan arka aydınlatmasının LED ile sağlanmış halidir. Bunun bazı avantajları vardır. Örneğin görüntünün karanlık olan bölgelerindeki aydınlatmayı kısarak yada kapatarak siyahların daha siyah olması sağlanmaktadır. Çok büyük olmayan ekranlarda, aydınlatma özel ışık dağıtıcılar kullanılarak kenarlardan yapılıp ekranın çok daha ince olması sağlanabilmektedir. Ekran konumuzu 3-boyutlu görüntüleme teknolojlerinden birkaç önemli/yaygın örnek vererek noktalayalım. Şekil 5.43 çok bilinen 3D görüntüleme tekniklerininden dört tanesini göstermektedir. 3D görüntüleme sağ ve sol göze iki ayrı görüntünün verilmesi esasına dayanmaktadır. Derinlik duygusu insan beyni tarafından oluşturulur. İki göze iki ayrı görüntü vermek için görüntüleri doğrudan göze yakın yerde (gözlükte) oluşturan LCD ekranlı gözlükleri (VR gözlük : virtual reality gözlük) 111 saymazsak, tekniklerden ilki, "Anaglyphic" yöntem, görüntüde derinlik hissi verecek kenarların sağ ve sol göze iki ayrı rengi baskın olacak şekilde gösterilmesidir. Bu renkler çoğunlukla mavi ve kırmızıdır. İzleyiciler, bir camı mavi diğeri kırmızı ışığı baskın olarak geçiren bir gözlük kullanır. Bu gözlüğün çerçevesi kağıttan, camları da jelatinden yapıldığından oldukça ucuzdur ve gözlüğün bedava dağıtılması gerektiği yerlerde (sinema salonlarında) çok kullanılmıştır. İkinci yöntem ise birinciye göre oldukça pahalıdır. Ekran sağ ve sol göze gidecek görüntüleri birbirine dik iki polarizasyonda, aynı anda gösterir. İzleyicilerin gözlükleri de bu dik polarize ışıkları geçirecek polarize camlardan yapılmıştır. Tam faydalanmak için görüntüyle gözlük polarizasyonlarının aynı yönde olması gerekir. Örneğin yatarak izlenirse hatalı derinlik yada zayıf ışık ile sonuçlanır. Bu yöntem de sinema salonlarında kullanılır, ancak gözlükler izleyiciye ücret/depozito karşılığı verilir. Ekranlar ise patentli olduğundan pahalıdır ve büyük ölçülerde üretilmezler. Eşzamanlı 3D gösterim yöntemi ise sağ ve sol göze gösterilecek olan görüntülerin ardışıl olarak hızla gösterilmesi ve aynı anda izleyici gözlüğünün diğer camının karartılması prensibiyle çalışır. Yani sağ görüntü gösterilirken sol gözlük karartılır, sol görüntü sırasında ise sağ gözlük karartılır. Karartma işlemi LCD camlar kullanılarak gerçeklenir. Şekilde eşzamanlılığı göstermek için kablo kullanılmış gibi görünse de normalde bağlantı kablosuz olarak sağlanır. Bu nedenle gözlüklerde pil vardır ve ilgili elektronikle beraber, önceki iki yönteme göre, biraz ağır olabilir. 3D ev televizyonları çoğunlukla bu yöntemle çalışır. Televizyon satın alındığında 4-6 gözlük hediye verilir. Daha sonra alınacak ilave gözlükler ise biraz pahalıdır. Bu, aynı zamanda 7 kişiyle 3D film izlenememesi anlamına gelmektedir. Paralaks ızgara (autostereoscopic parallax barrier) son zamanlarda üzerinde en çok araştırma yapılan ve gözlüksüz 3D izlemeye olanak veren bir tekniktir. İki görüntü ekranda aynı anda ve birbirine geçmiş olarak verilir. Ekranın önündeki bir ızgara, uygun yerde oturan izleyicinin sağ gözünün sağ görüntüyü, sol gözünün de sol görüntüyü görmesini, diğerini görmemesini sağlar. Buradaki anahtar sözcük "uygun yer"dir. Uygun yerde oturmayan yada yatan izleyici ya 3D'yi yanlış algılar yada 3D görmez. Son zamanlarda yapılan çalışmalar ile bu uygun yerlerin (hot-spot) sayısı 7'ye kadar çıkarılmıştır. Yani 7 kişi uygun yerlere oturarak gözlüksüz 3D izleyebilmektedir. Bunlardan başka da 3D görüntüleme yöntemleri de vardır. Örneğin holografik yöntemler hem gözlüksüz hemde izleme yerinden bağımsız olarak 3D izlemeye olanak verebilmektedir. Ancak bu yöntemler kişisel kullanım için oldukça pahalıdır. Görüntüleri kaydetme yöntemleri de oldukça pahalıdır ve çok fazla saklama alanı gerektirirler. 3D görüntüler 2D görüntülerden sahte olarak oluşturulabilse de gerçekte stereo+ görüntü algılayıcı gerektirirler. Yani 2 yada daha fazla kamera, kaydedici ve iletişim kanalı gereklidir. Görüntüleme sistemlerinin haberleşme ile ilgisi olmadığı ve burada gereksiz yer işgal ettiği düşünülebilir. Ancak haberleşmenin çok büyük bir yüzdesinin eğlence amaçlı görüntü iletiminden oluştuğunu hatırlamalıyız. Ayrıca çoğu elektronik mühendisliği bölümünde görüntüleme teknolojilerinin anlatıldığı bir ders bulunmamaktadır. O nedenle, özet olarak da olsa, haberleşme derslerinde bu konuda bilgi verilmesinde büyük yarar olduğu düşüncesindeyim. 112 Anaglyphic Polarize Paralaks ızgara Eşzamanlı Şekil 5.43 Üç boyutlu görüntüleme teknikleri. 5.3.3. Çözümlü Problemler 1. Aşağıda tayfı verilen bir x(t ) tabanbant işareti yine aşağıda verildiği şekilde frekansları aynı faz farkı / 2 olan iki taşıyıcıyla çarpılıyor. c 3 ise z (t ) çıktısının tayfını çiziniz. Çözüm trigonometrik bağıntısını kullanarak sin(a)cos(b) 2sin(a b) cos(a b) z(t ) x(t )cos(3 t )sin(3 t ) 2 x(t )sin(6 t ) olduğunu görebiliriz. Bu ise taşıyıcı frekansı c 6 yada f c 3 olan DSB-SC AM işaretidir. 113 114 6 Sayısal İletişim Sayısal iletişim deyince iletilecek verinin sınırlı sayıda farklı değer almasını anlıyoruz. Bu veri analog işaretlerin sayısala çevrilmesi ile (ADC yardımıyla) elde edilmiş yada zaten sayısal şekilde (örneğin bilgisayar sabit diskindeki veriler) olabilir. Burada sayısal devre tasarımlarını gördüğümüz derslerin (örneğin Digital Systems) konularına derinlemesine girmeyeceğiz. Sayısal mantık devrelerini tanıdığımızı varsayıp bunların iletişimde kullanımına değineceğiz. Sayısal devreleri bilmek, verilerin bu devrelerde nasıl saklandığını ve devreden devreye nasıl aktarıldığını, saat işaretinin (clock signal) nasıl kullanıldığını da bilmek demektir. Eğer bu konulara yabancı iseniz, öncelikle onları tanımanız ve öğrenmeniz tavsiye edilir. Veriler sayısal devrelerde nasıl saklanırsa saklansın başka bir sisteme aktarılırken çok büyük bir ihtimalle seri veriler haline getirilirler (serialization). Seri hale getirilmiş verinin bir sayısal saklama elemanından diğerine aktarıldığı Şekil 6.1'i inceleyelim. Bu saklama elemanları genellikle kaydedici (register) yada iki durumlu kaydedici (flip-flop) olarak isimlendirilirler. Burada FF olarak kısaltacağız. Bir FF'ten diğerine veri aktarma işlemi saat işaretiyle eşzamanlıdır (synchronous), yani Şekil 6.1'de sağda gösterildiği gibi, saat işaretinin her tıklamasında (yükselen kenarında) veri bir FF'ten diğerine aktarılmaktadır. Bir başka deyişle, veri aktarım işleminin saat işaretine ihtiyacı vardır. iletim kanalı Din Dout Dout Din Dout2 clk clk bits 0 1 2 3 … Şekil 6.1 Tek devre içindeki en basit sayısal iletişim. Şekil 6.1'de örneği gösterilen ve 2 değer alabilen verilerin (örneğimizde 0 ve 1) farklı birer voltaj değeriyle temsil edilmesi ve iletilmesi, Darbe Genlik Modülasyonunun (PAM: Pulse Amplitude Modulation) en basit şeklidir. Çoğunlukla, iletilmek istenen M farklı sembol yine M farklı dalgaformu yada sabit voltaj değeri ile temsil edilir. Bu örneği biraz genelleyelim; Dn , herbiri A {a0 , a1 ,..., aM 1} sembol setinin bir elemanı olan ve iletilmek istenen veriyi temsil eden dizi olsun. Sembol setindeki her sembole karşı 1 adet dalgaşekli (fonksiyon) içeren dalgaşekli setimiz de S {s0 (t ), s1 (t ),..., sM 1 (t )} olsun. Yani A ve S , elemanları birebir karşı gelen (1-to-1 correspondence), sıralı yada değil, paralel iki settir; A S . si 'ler herbiri diğerlerinden farklı sabit değerler olabilir. Bu durumda, Dn {d0 , d1,...} veri akışının herbir elemanına karşıgelen dalgaformu dizisi şeklinde yazılırsa, gönderilecek elektriksel işaret SD {s0i (t ), s1i (t ), , sni (t ) }, i 1,..., M 1 115 x(t ) sni (t nTs ) . (6.1) n olur. Burada Ts , herbir sembol için kullanılan gönderme zamanı (symbol duration) olup, genellikle tüm semboller için aynıdır. Ayrıca sni (t nTs ) fonksiyonları zamanda örtüşebilir. Alıcı devreleri bu M farklı dalgaformunu tanıyıp gönderilmek istenen sembolleri belirleyebilecek şekilde tasarlanır. Şekil 6.1'deki örnekte sembollerimiz ikili sistemdeki 0 ve 1 değerleridir. M =2'dir ve 2 dalgaformu si (t ) (u(t ) u(t Ts ))ci şeklinde tanımlanmış olup ci 'ler iki farklı voltaj değeridir. Bu değerler 0 ve 5 V olabilir (Şekil 6.2). s0 (t ) s1 (t ) c1 c1 t c0 t c0 Ts Ts Şekil 6.2 M 2 , {a0 , a1} sembolleri için kullanılan {c0 , c1} değerli darbeler. Şekil 6.3'de 4 farklı sembol kullanan bir örnek verilmiştir. Burada {a0 , a1 , a2 , a3} sembol seti için ci {3, 1,1,3} voltaj seviyeleri seti kullanılmış ve örnek bir sembol dizisi için iletim kanalına verilen işaret gösterilmiştir. Herbir sembol için kanalda ayrılan süre, Ts , ne kadar küçük ise birim zamanda (saniye) o kadar çok veri iletilir. Birim zamanda iletilen sembol sayısına sembol-oranı (symbol-rate) denir. Sayısal sistemlerde veriler bit denilen üniteler ile saklandığından ve iletim sistemlerini karşılaştırmak için ortak bir ölçü birimi gerektiğinden, sembol-oranı çoğunlukla bitoranına (bit-rate) çevrilerek söylenir. Dout " a3a2a1a2a0a3a1a1 " 3 1 -1 t Tb -3 Şekil 6.3 M 4 , {a0 , a1 , a2 , a3} durumunda örnek " a3a2a1a2a0a3a1a1 " verisinin {3, 1,1,3} değerli derbelerden oluşturulan PAM ile iletilmesi. 116 Tabi ki Şekil 6.3'te örneği verilen çok seviyeli PAM işareti sadece flip-flop gibi mantık devreleri kullanılarak üretilemez. Mantık devreleri arasında iletişimin 2 seviyeli olması tasarım kolaylığı sağlayacaktır. Şekil 6.1'deki iletim kanalı mesafesini göreceli olarak biraz arttıran Şekil 6.4'deki basit koaksiyel (coaxial : eşeksenli) kablolu tasarıma göz atalım. Burada seri haldeki veri, gönderici tarafındaki hat sürücüleri (line-buffers) üzerinden iletim kablolarına aktarılıyor. Sembollerin kablo üzerinde hangi voltaj seviyeleri yada dalgaformları ile temsil edileceği ve herbir sembolün (bitin) kablo üzerinde hangi süreyle duracağı (saat frekansı) bir tasarım problemidir. Kolaylık olması açısından, makul değerler ve makul süreler seçildiğini varsayalım. Alıcı tarafındaki sürücü devreler kablodaki voltajları alıcı devrelerinin kabul edeceği seviyelere getirir. Alınan sembol değerleri, paralelinde alınan saat işaretinin tıklamasıyla sayısal devrenin ilk saklayıcı FF ünitesine alınır ve buradan sonrası sayısal devrelerin işidir. iletim kanalı gönderici alıcı çıkış sürücü devreleri (output-buffers) giriş sürücü devreleri Şekil 6.4 Basit eşeksenli kablolu iletişim kanalı. Bu basit tasarımda bile olan ve olası birçok dezavantajı ve problemi görebiliriz. Örneğin saat işareti için veri kablosunun yanında ikinci bir kablo gereklidir. İki kablo kullanılmasının olası etkisini gösteren Şekil 6.5’ü ele alalım. Varsayalım ki saat frekansı 1GHz ve kablo uzunlukları arasında 10 cm’lik bir fark olsun. Elektromanyetik dalganın bakır kablo üzerinde ilerleme hızı 2 108 m/s’dir (boşluktaki 3 108 m/s’den yavaş). Bu durumda, uzun kablodaki işaret yaklaşık 0.5 picosecond geç varır. Bu da yaklaşık olarak bir saat işareti periyodunun yarısı demektir. Yani, Şekil 6.5’te gösterildiği üzere saat işaretinin yükselmesi ve düşmesi gereken zaman noktaları yer değiştirmiş olur. Kontrollü yerlerde ve hassas ölçüm yapılarak yerleştirilen kabloların aynı uzunlukta olması sağlanabilir. Ancak mesafeler biraz artınca kablo uzunluklarının yeterince hassas ölçülüp yerleştirilmeyeceği açıktır. 10 cm veri gereken clk alınan clk Şekil 6.5 İki kablolu kanalda işaretlerden birisinin gecikmesi problemi. 117 Yukarıda izah edilmeye çalışıldığı üzere, veri ve saat işaretlerinin ayrı ayrı kablolardan iletilmesi doğru bir yaklaşım değildir. Bu yöntem ancak yanyana veya oldukça yakın cihazlar arasında yada aynı cihazın içindeki iki nokta arasındaki iletişimde (bkz : Serial Peripheral Interface) düzgün olarak çalıştırılabilir. Bir tümleşik devre içinde bir noktadan diğerine veri taşınırken bile bu duruma dikkat etmek gerekir, aksi halde yeterli performans alınamaması söz konusudur. Bu problemin çözümü, sadece verinin iletilmesi ve saat işaretinin alıcıda yeniden üretilmesidir. Zaten kablosuz iletişim kullanıyor olsaydık, saat işaretini ayrıca iletmiyor olacaktık. Tabi ki bu saat işaretinin alınan veri ile eşzamanlı olabilmesi için veri hattını devamlı izleyip saat işaretini en uygun frekans ve faza getiren yardımcı bir devreye ihtiyaç vardır (Şekil 6.6). eşzamanlayıcı eşzamanlayıcı veri ile eşzamanlı üretilen saat işareti Şekil 6.6 Saat işaretinin alıcıda üretilmesi. Eşzamanlama için çoğunlukla Faz Kilitlemeli Döngüler (PLL: Phase Locked Loop) kullanılır. Bu devrelere ayrıca bir bölüm ayırmayacağız, ancak sembol algılayıcıları (symbol detectors) incelerken tekrar değineceğiz. Eşzamanlama için ayrıca bir iletim kanalı (kablo yada pilot frekans) kullanılıyor ise iletişimin adı senkron (syncronous : eşzamanlama işaretli) iletişim, aksi halde asenkron (asyncronous) olur. İlk örneğimizi eşeksenli kablolar kullandığımızı varsayarak verdik, çünkü bu kabloların bantgenişliği daha sıradan kablolara göre (örnek: bükülü kablo) daha iyidir. Eşeksenli kablo, Giriş bölümünde değinildiği üzere, işareti taşıyan bir iletken üzerine kaplanmış bir dielektrik ve onun da üzerine hasır şeklinde döşenmiş bir başka iletkendir. En dışta da mekanik koruyucu kılıf vardır. Dış iletkenin hasır şeklinde üretilmesinin nedeni esnekliği sağlamaktır. Bu kısım dışarıdan gelen elektromanyetik dalgaların iç iletkene ulaşmasını engeller, bir çeşit gürültüden koruyucudur. Ancak bu korumanın etkili olabilmesi için dış iletkenin topraklanması, yani üzerine dışarıdan endüklenen işaretin toprağa akıtılması gereklidir. Bu durumun işaret açısından elektriksel eşdeğeri olarak Şekil 6.7’teki bağlantı düşünülürse, ki tam doğru değildir, olası sakıncaları ilgili şekli inceleyerek özetleyelim. 118 alıcı gönderici Itoprak eşzaman. topraklar arasındaki potansiyel fark Şekil 6.7 Cihazların toprak seviyeleri arasındaki farktan dolayı oluşan Itoprak akımı. İşaretlerin anlık değerleri toprak seviyesine göre ölçülmekte ve toprak seviyesinin her yerde 0V olduğu kabul edilmektedir. Ancak gerçek hayatta durum böyle değildir. Cihazların toprağa kaçak akımları aynı değildir, topraklama hatlarında düşen gerilim sebebi ile cihaz toprakları arasında fark oluşmaktadır. Hatta, cihazlar farklı binalardaysalar, binaların toprak seviyeleri arasında büyük farklar oluşabilmektedir. İşin daha da kötüsü bu fark zamanla değişmekte ve Şekil 6.8’da anlatılan durum oluşmaktadır. alıcının L-H için kullandığı eşik sabit gönderici toprak seviyesi alıcı toprak seviyesi bu değiştiğinde bu da değişiyor Şekil 6.8 Toprak seviyelerinin değişmesi eşik seviyesinin de değişmesi demektir. Alıcı sürücü devreleri girişteki 0 ve 1 sembollerini temsil eden değerleri birbirinden ayırmak için bir eşik değeri kullanır; eşiğin üzerindeyse 1, altındaysa 0 gibi. Ayrıca basit tasarımlarda oldukça keskin olarak inip çıktığı düşünülen işaret değerlerinin gerçekte frekans bandı kısıtlamalarına maruz kaldığını ve ideal durumdan uzaklaştığını, çoğunlukla da keskin değil de yavaşça inip çıktığını biliyoruz. Şekil 6.8’de tipik bir darbe geçişi gösterilmiştir. Gönderici ve alıcı cihazların toprak seviyeleri değiştikçe eşik değeri de göreceli olarak inip çıkmakta, dolayısı ile sanki işaret gecikmiş yada erken gelmiş gibi, alıcının sürücü devreleri de işaret değerini zamanından önce yada sonra belirlemekte. Yani işaretin zamanda ileri-geri kayması sözkonusu. Bunun teknik adı jitter’dir (kararsızlık, titreme) ve toprak seviyesi değişkenliği jitter'in sebeplerinden sadece birisidir. Tabi ki jitter’in istenmeyen bir etki olduğu açıktır. Bu durum eşeksenli kablo kullanılıp her iki ucu topraklandığında da ortaya çıkar. Jitter, kablosuz iletişimde de önemli problemlerden birisidir ve çoklu yansımalar (multipath) ile belirginleşir. Kablolu tasarımımıza geri dönelim ve toprak seviyesi farkından oluşan hatayı engellemek için alıcıdaki ölçmede toprak seviyesini kullanmayalım. Yani, yine 2 kablo (2 telli tek kablo) çekeceğiz ve alıcıda bu kablolar arasındaki potansiyel farkı ölçülecek (Şekil 6.9). Bu şekildeki işaret gönderme yöntemine diferansiyel işaretleme (differential-signaling) ismi verilir. 119 gönderici alıcı eşzm. ortak-mod akımı Şekil 6.9 Diferansiyel işaretleme ve ortak-mod akımı. Diferansiyel işaretleme yönteminde de toprak seviyeleri farkı giderilmediği için Şekil 6.9’de gösterildiği gibi yine bir toprak akımı (buna cmc: common-mode current ismi veriliyor) oluşur. Ancak bu akım cihazlara zarar verecek kadar yüksek değilse, her iki kablodan aktığı ve alıcıda uçlar arasında potansiyel farkı oluşturmadığı için ölçme hatasına yolaçmaz. Eğer cmc’nin yine de problem çıkaracağı düşünülüyor ise kanal üzerinde bu akımı engelleyici kapasitörler yada transformatörler kullanılabilir (Şekil 6.10). alıcı alıcı eşzm. eşzm. Şekil 6.10 cmc akımını engelleyici kapasitör ve transformatör içeren tasarımlar. Şekil 6.10’deki diferansiyel işaret kullanma ve ölçüm tasarımlarıyla cmc’nin en azından DC bileşeni engellenmektedir. Ancak bu tasarımlar ile problem başka bir yöne kaymaktadır. Gönderilen işaret içinde uzun 0 veya 1 sembol dizisi varsa, kapasitör ve transformatör bu diziyi hakkıyla ölçme devresine iletemeyecektir. Şekil 6.11 kapasitörlü tasarımda oluşacak bu problemi özetlemektedir. Uzun süren 0 veya 1 dizileri kapasitörün dolmasına (transformatörde manyetik akımın sabitlenmesine), dolayısıyla ölçülecek değerin zamanla düşmesine sebep olur. Bu durumlarda, ölçülen işaret üzerinde eşzamanlama devresinin çalışmasına yetecek bir değişim olmadığından eşzamanlama kaybedilir ve saat işareti frekansı/fazı olması gereken aralığın dışına çıkar. alınan işaret t ölçülen işaret t Şekil 6.11 Kapasitörlü alıcı tasarımında alınan ve ölçülen işaretler. Böyle bir tasarımda, problem 0 ve 1 sembollerini temsil edecek olan elektrik işaretlerini, daha doğrusu dalgaformlarını ve temsil şeklini, belirlemeye dönüşür. 120 Bütün bunların yanında kanal (kablolu yada kablosuz) karakteristiğinin kötü etkilerini henüz ele almadık. Çoğu kablolu kanal, kablonun transfer fonksiyonun bantgenişliğinin sınırlı olmasından, çoğu kablosuz kanal ise, bunun yanında, dış etmenlerden (gürültü) oldukça fazla etkilenir. Kanal bantgenişliğinin etkisini Şekil 6.12 ile açıklayalım. y(t) x(t) h(t) t t (µs) 10 µs Şekil 6.12 Bantsınırlı kablonun dikdörtgen darbeye etkisi. Dikdörtgen kapı fonksiyonun tayfının sonsuz frekanslara kadar uzandığını Frekans bölümünde görmüştük. Bantsınırlı kablo bu bileşenlerin hepsini geçirmez, yüksek frekanslı bileşenler önemli ölçüde kaybolur. Şekil 6.12'da y (t ) çıkış işareti grafiğinde aynı zamanda kablo girişindeki kapı fonksiyonu da gösterilmiştir. İşaretin nasıl bozulduğuna dikkat ediniz. Kablonun bantgenişliği ne kadar küçük (taşınacak işarete göre) olursa bu bozulma o ölçüde fazla olur. Alıcı için tek problem normalde dikdörtgen darbe olan işaretin bozulması değildir. Dikkat edilirse girişteki bir darbenin çıkışta süregelen etkileri uzun süre devam etmektedir. İşaret kuyruğundaki bu süreklilik, kendisinden sonra gelen darbelerin değerlerini de etkileyecektir. Yani komşuluktaki semboller birbirlerini etkilerler. Buna ISI (intersymbol interference : sembollerarası etkileşim) denmektedir. İletişim sistemi tasarımı aşamalarından birisi, sembolleri temsil edecek dalgaformlarını ISI'yı en az yapacak şekilde belirlemek ve sayısal devrelerdeki dikdörtgen darbeleri, dalgaşekillendirme yöntemleriyle, belirlenen dalgaformlarına sokmaktır. Kanalın sınırlı bantgenişliği, kanalın eklediği gürültü ile beraber, bu kanaldan en fazla yararlanmanın (bit-rate) sınırını belirler, ki bunu kanal kapasitesi konusunu işlerken göreceğiz. 6.1. Gürültünün Etkisi Şimdi iki sembollü PAM kanalımızın, eklenen gürültü dışında bir bozucu etkiye sahip olmadığını, yani bandgenişliğinin sonsuz ve zayıflatmasının her frekansta 0 olduğunu varsayalım. Bu durumda, gönderilen dikdörtgen darbeler yine dikdörtgen darbe olarak, ancak eklenen gürültü dolayısıyla bir miktar bozulmuş şekilde alıcıda görülecektir; y (t ) x (t ) ( t ) . (6.2) (t ) ’nin Gürültü bölümünde öğrendiğimiz AWGN (additive white Gaussian noise) olduğunu varsayalım. x(t ) ise c0 =-A ve c1 =A voltaj değerleriyle 0 ve 1 sembollerini temsil eden dikdörtgen darbeler dizisi olsun. Yani Şekil 6.13'de örneği verilen bir işaret olsun. Alıcının görevi, gelen bu 121 işaretin her sembolünü sembol periyodu ( Ts ) boyunca izleyerek bulmak ve sonuçta 0 veya 1 olduğuna karar vermektir. Verilen örnekte kararı vermek oldukça kolay görülebilir. İşaret her sembol için sembol süresinin neredeyse tamamında, kısa süreli istisnalar dışında, pozitif yada negatif değer taşımaktadır. Sembol süresi içinde alınacak tek ölçüm dahi sembolün gerçek değeri hakkında fikir vermektedir. Ancak gürültü enerjisi arttığında problemlerin başlayacağı, hatalı ölçümlerin artacağı öngörülebilir. Tek örnekle karar vermek yerine tüm sembol periyoduna bakmak, gürültü karakteristiğini ve sembollerin gönderilme olasılıklarını da dikkate almak gerekir. x(t) A t -A Şekil 6.13 Gürültü eklenmiş ikili veri akışı işareti (gürültüsüz işaret de aynı grafikte). Eğer 0 ve 1 sembollerinin gönderilme ihtimalleri aynı ise ( p0 p1 0.5 ), x(t ) 'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu Şekil 6.14'teki gibi iki Gaussian yoğunluk fonksiyonunun ortalamasıdır. Gönderilen voltaj değerinin c0 =A V olması durumlarındaki olasılık yoğunluk fonksiyonları da aynı grafik üzerinde gösterilmiştir. Her üç eğrinin altında kalan alanlar 1'e eşittir. pdf(x) x -A 0 A Şekil 6.14 İşaretin A, -A ve eşit olasılıkla her ikisini de içeren x(t ) olduğu durumlarda m =0 Gaussian gürültüye maruz kalmasıyla alıcı girişindeki olasılık yoğunluk fonksiyonları. Varsayalım ki, alıcıda her bit periyodunda bir örnek alınıp gönderilen bitin 0 yada 1 olduğuna, alınan örneğin belirlenen bir eşik değerinden yüksek yada düşük olmasıyla karar veriliyor. Yani örnek değeri eşikten yüksek ise A, düşük ise –A ile temsil edilen 1 ve 0 değerleri üretiliyor. Alınan örnek, gürültüden dolayı eşik değerinin yanlış tarafında ise bir hata yapılmış oluyor. P( A | A) , yani A gönderildiğinde yanlışlıkla –A gönderilmiş olduğuna karar verilme olasılığı ise Şekil 6.15'teki pdf 122 grafiğinde taralı alandır (Gürültü bölümünde öğrendiğimiz gibi). Benzeri şekilde P( A | A) hatalı karar olasılığını gösteren grafik de çizilebilir. Ancak verdiğimiz örnekteki özel durumu göstermek için her iki pdf'i de (A ve –A gönderilmesiyle oluşan) aynı grafikte gösteren Şekil 6.16'e bakalım. Burada hem sembol olasılıkları eşit, hem de iki durumdaki gürültü dağılımı simetrik olduğundan en uygun eşik değerinin 0 V olduğunu görebiliriz. Yani, alınan örnek negatif ise –A, pozitif ise A gönderildiğine karar verilmekte. pdf(x|A) P(-A|A) x eşik A Şekil 6.15 A gönderildiğinde hatalı karar üretme olasılığı (taralı alan). pdf(x|-A) pdf(x|A) P(-A|A) -A P(A|-A) eşik=0 x A Şekil 6.16 A ve –A gönderildiğinde hatalı karar üretme olasılıklarını belirleyen taralı alanlar aynı grafikte gösterilmiştir. Eğer, örneğimizdeki gibi, gürültü olasılık yoğunluğu simetrik ise bu kanala ikili simetrik kanal (BSC: binary symmetric channel) ismi verilir. BSC Şekil 6.17'daki bağıntı grafiği ile gösterilebilir. İkili simetrik kanalda, eğer sembollerin gönderilme olasılıkları da eşit ise, hata olasılığı pe P( A | A) P( A | A) P(1| 0) P(0 |1) şeklinde ifade edilebilir. Ancak hata, sembol olasılıkları eşit değilse, toplam olasılık teoremi (total probability theorem) olarak bilinen M 1 pe p(ai ) pe (ai ) i 0 (6.3) 123 eşitliğiyle bulunabilir. Burada p(ai ) , M adet olası sembolden i'incisinin gönderilme olasılığını, sembolü gönderildiğindeki hata olasılığını göstermektedir. Eşitlik (6.3)'yi pe (ai ) ise ai örneğimizdeki BSC'ye uygular ve toplamı açarsak pe P(1) P(0 |1) P(0) P(1| 0) elde ederiz. Sembol olasılıkları eşit, yani P(1) P(0) 0.5 ise, pe 0.5( P(0 |1) P(1| 0)) ve kanal simetrik olup hata olasılıkları da eşit ise pe P(0 |1) P(1| 0) elde ederiz. Tabi hata olasılıklarının eşit olması için pdf'in simetrik ve eşik değerinin de iki voltaj değerinin tam ortasında olması gerekir. P(0 | 0) Ps (0) Pr (0) P(0 |1) P(1| 0) Ps (1) Pr (1) P(1|1) Şekil 6.17 BSC'nin bağıntı grafiği. Burada bir örnek yapalım; -1 ve +1V kanal değerlerini kullanan ikili kanalda sembol olasılıkları 0.7 ve 0.3'tür. İşaret N (m, ) N (0,1) AWGN etkisi altındadır. Eşik değeri 0V ve her sembol periyodunda 1 örnek alınıp karar verildiği durumda hata olasılığı nedir? pdf(x|1) P(-1|1) x 0 +1 Şekil 6.18 +1’e kaydırılmış N (m, ) N (0,1) pdf’i. Şekil 6.18’e göre, +1 değeri gönderildiğinde, alıcı tarafında hata yapılma olasılığı 0 P(1 | 1) 2 N (m, )dx 0 1 2 e ( xm A) 2 / 2 2 0 dx 1 2 e ( x1) / 2 dx ’tir. Bildiğimiz gibi bu 2 integralin analitik sonucu (türevi e x olan fonksiyon) yoktur. O nedenle nümerik integrasyon ile elde edilmiş tablolardan yada yaklaşık sonuç veren fonksiyonlardan faydalanacağız. Tablolar çoğunlukla 2 N (m, ) N (0,1) için verilmektedir. O nedenle hesaplanacak integrali Q( x ) formuna getirmeliyiz. Benzeri şekilde erf ( x ) 2 x 0 e t dt 2 1 2 x e t dt 2 integralinin yaklaşık sonucunu 124 bulabileceğimiz ve değerini, yani 1 e x ’in -x ten +x’e kadar olan alanı veren fonksiyonlardan 2 birisini kullanabiliriz. Bunlardan birisi erf ( x) 1 1/(1 c1 x c2 x 2 c3 x 3 c4 x 4 )4 (6.4) dir. Burada c1 0.278393 , c2 0.230389 , c3 0.000972 ve c4 0.078108 olup en büyük hata 0.0005 ’tir. Q( x ) ile erf (x) arasındaki ilişki erf ( x ) 1 2Q( 2 x ) (6.5) Q ( x ) 12 (1 erf ( x / 2)) şeklinde verilebilir. İster tablo kullanalım ister erf (x) 'i yaklaşık hesaplayan fonksiyonları kullanalım, hesaplanacak integral ilgili forma sokulmalıdır. Örneğimiz için (6.4) yaklaşımını kullanalım. İntegralimizi erf (x) ’in tanımındaki forma 1 sokmamız gerekli. Öncelikle y x 1 ile ortalama değeri 0’a kaydıralım ve I 1/ 2 edelim. Sonra da y 2t ve dy 2dt ile I 1 2 2 1 2 e y / 2 dy elde 2 e t dt yazalım. erf (x) fonksiyonu 2 ( x, x) aralığındaki alanı verdiğinden, bizim ise (,1 / 2 ) aralığındaki alana ihtiyacımız olduğundan Şekil 6.19’de açıklandığı gibi I 12 (1 erf (1/ 2)) yazabiliriz. (Tüm alan, yani erf () 1 ’dir) 2 1/ 2 0 I e t dt 2 I x 1/ 2 1/ 2 Şekil 6.19 erf (x) ’in verdiği alan ve bulmak istediğimiz alan. I (1 0.6824) / 2 0.1588 bulunur. Gürültü yoğunluk fonksiyonu simetrik ve eşik değeri tam ortada olduğundan P(0 |1) P(1| 0) 0.1588 ’dir. Toplam hata ise eşitlik (6.3)’den pe P(1) P(0 |1) P(0) P(1| 0) 0.7 0.1588 0.3 0.1588 0.1588 bulunur. Yani, gürültü pdf'i simetrik ve eşik değeri 0 olduğundan, sembol olasıkları sonucu değiştirmiyor. Tek sembol için bulduğumuz hata toplam hataya eşit. Bu örnekteki gibi, sanki sembol olasılıkları eşitmiş gibi, eşik 125 değerinin sembol değerlerinin tam ortasında olduğu karar verme sürecine ML (maximum likelihood) karar süreci denir. Bu eşik değerlerine de ML karar eşiği (ML decision threshold) denir. Peki, sembol olasılıklarının eşit olmadığı durumda, eşik değerini değiştirerek toplam hatayı azaltabilirmiyiz? Bu soruya şu örneği verelim; Hileli olduğu ve %90 tura geldiği bilinen bir para ile yazı-tura atılmadan önce bu durumu bilen birisinden ne geleceğini tahmin etmesi istendiğinde %90 olasılıkla tura diyecektir. Yada 100 kişilik bir topluluğa sorulduğunda 90 kişi tura geleceğini söyleyecektir. Yani, gerçekleşme olasılığı yüksek olan tercihe doğru bir tercih kayması oluşur. Benzeri şekilde, 0.9 olasılıkla –A V gönderilen (diğeri +A V) bir kanalda okunan değer 0 V yakınlarındaysa – A olduğuna karar vermek oldukça doğaldır. Bu durumda, elbette ki sembol olasılıkları önceden biliniyor ise, eşik değerini daha az olasılıklı sembolün voltaj değerine doğru kaydırmak toplam hata miktarını azaltacaktır. Elbette ki eşitlik (6.3)'yi en az yapacak değer eşik değerimiz olmalıdır. Eğer 2 sembol kullanılıyorsa toplam hata pe p(0) p(1| 0) p(1) p(0 |1) 'dir. Yani, eniyilenmesi gereken ifade Vt arg min p(0) Vt 1 Vt 2 e ( x Vt ) 2 / 2 2 dx p(1) Vt 1 2 e ( x Vt ) 2 / 2 2 dx (6.6) olmaktadır. Eşik değerinin bu minimizasyona göre belirlendiği karar verme sürecine MAP (maximum a posteriori), bu eşik değerine de MAP eşiği denir. İkili haberleşme sistemlerinde sembollerin eşit olasılıklı olduğu (yada öyle kabul edildiği) durumlar çok daha fazladır ve dolayısıyla ML oldukça yaygındır. O nedenle MAP konusuna daha detaylı girmeyeceğiz. Yukarıdaki örneklerde sembol kararını ve hata hesaplarını bit periyodu içinde tek örnek aldığımızı varsayarak yaptık. Şimdi de her sembol için N örnek aldığımız ve bunların ortalamasına göre karar verdiğimiz durumu ele alalım. x(t ) A (t ) işaretindeki (t ) beklenen değeri 0 ve varyansı 2 olan bir gürültü olsun. Şekil 6.20'da gösterildiği gibi T bit periyodu boyunca N örnek alalım ve x[n] A [n] yazalım. [n ] bileşeni ilişkisiz (uncorrelated, otokorelasyonu sıfır), yani örnekleri arasında hiçbir ilişki olmayan rastgele işarettir. x(t), x[n] t, n 0 1 2 N-1 T Şekil 6.20 Bit periyodu süresince alınan N örnek. Örneklerin ortalama değeri x yeni bir rastgele değişken olur. N 1 1 N N 1 x[n] ( n 0 İlişkisiz 1 N n 0 rastgele N 1 A [n]) A N1 [n] A n 0 işaretler için geçerli olan varyans 126 N 1 Var(aX ) a 2Var( X ) istatistik bağıntısını N1 [n ] bileşeni için kullanalım ve 'ın n 0 N 1 varyansını 1 N 'ın varyansından hesaplayalım. Yani Var( ) Var( N1 [n]) NVar( N1 [n]) yazıp Var( ) 1 N işaretin n 0 1 N2 Var( ) bağıntısı ile Var( ) Var( ) elde edelim. Ortalama ile üretilen 1 N varyansının tek örneğin varyansından defa 1 N küçük olduğunu görebiliriz. Var( X c) Var( X ) bağıntısını da hatırlayalım. Buna göre, x ve varyansı daha küçük x işaretlerinin pdf'leri (örnek) c A için Şekil 6.21'de gösterilmiştir. Şekil 6.21'den görüldüğü gibi bit periyodunda birçok örnek alıp ortalamasını hesaplamak ve sembol kararını ortalamaya göre üretmek hata olasılığını önemli oranda azaltıyor. Yukarıda çözdüğümüz -1 ve +1 sembol voltajlı ve N (m, ) N (0,1) gürültülü örneğimizde periyot içinde 1 örnek almıştık ve pe 0.1588 bulmuştuk. Sadece 2 örnek ortalamasıyla karar verdiğimizde standard sapma 2 1/ 2 (önceki 1 idi) ve olasılık yoğunluğumuz pdf ( x |1) e ( x 1) olur. 2 1 pdf ( x ) pdf(x) tek örnekle pe x x 0 çoklu örnekle pe A Şekil 6.21 Gaussian gürültülü işaretin tek örneğinin ve çoklu örnek ortalamasının pdf'leri. 0 Bu durumda hata olasılığı pe 1 e ( x 1)2 1 dx 1 2 2 x2 e dx 1 2 2 e x dx bulunur. 2 1 Buradan da pe (1 erf (1)) ile hata olasılığını yaklaşık olarak pe 0.0786 buluruz. Hata 1 2 olasılığımız tek örnektekinin yaklaşık yarısıdır. Tabi ki periyodtaki örnek sayımızı arttırırsak hata daha çok düşer. 2 Varyansı 2 olan gürültü kaynağının çoklu örnek ortalaması ile varyansının 2 1 N 2 olduğu durumu inceleyelim ve verilen bir Vt eşiğinden büyük olma olasılığını (hatalı karar olasılığı) 127 bulalım. pe 1 2 2 e x 2 / 2 22 dx Vt e x N / 2 dx 'dir. Burada t 2 2 dx / N 2 x / ve dt N 2 Vt / )) olduğundan, N 2 Vt dönüşümü ile pe N 2 1 2 N V 2 t 2 e t dt elde edilir. Integral kısmı (1 erf ( 2 / pe 12 (1 erf ( N 2 Vt / )) (6.7) yazabiliriz. Son eşitlik genel olarak hata olasılığını örnek sayısı, işaret enerjisi (voltajı) ve gürültü enerjisine (varyans) bağlayan ilişkidir (Şekil 6.22). pe N 1 N 10 N 2 Vt / Şekil 6.22 İşaret kalitesi ve hata olasılığını N=1, 2, 10 için ilişkilendiren grafik. Şekil 6.22'de örnek işaret kalitesi Vt / 0.70 'te çizilen dikey çizgi ile periyot başına 1, 2 ve 10 örnek alındığında hata olasılığının nasıl değiştiği açıkça görülmektedir. Yani, bit periyodu başına mümkün olduğunca çok örnek alınmalıdır. Tabi ki sonsuz sayıda örneğin yani sürekli işaretin ortalama değerini Tb x T1b x(t )dt (6.8) 0 denklemi vermektedir. 6.2. Sembol Dedektörü Yukarıdaki örneklerde sembol dalgaformunun dikdörtgen kapı işareti formunda olduğunu kabul ettik ve çokça alınan örneklerin ortalamasının daha iyi performans gösterdiğini gördük. Eğer sembollerimizi temsil eden (t ) dalgaformları, kapı işareti gibi bit periyodu boyunca sabit olmayan bir işaret ise, doğal olarak, alınan işaretin beklenen işarete ne kadar benzediğine bakarız. Bu benzerliği 128 de içsel çarpım (inner product) ile ölçeriz (içsel çarpımın kullanım örneklerini Frekans ve Gürültü bölümlerinde görmüştük). Yani, Tb x(t ), (t ) x(t ) (t )dt (6.9) 0 Buradaki içsel çarpım Rx ( ) korelasyon fonksiyonunun 0 'daki değeridir. Dikkat edilirse, ortalama değer (t ) A durumuna eşdeğerdir. Ortalama değer ile çalışan iki seçenekli karar vericiler için önemli olan ortalamanın işaretidir, ve bu toplam için de geçerlidir. Yani, karar vermek için T1b çarpanı gerekmez. ML eşik değeri, alınan işaretin (hesaplanan değerin) hangi sembolü temsil eden voltaj değerine daha yakın olacağını belirleyen bir sınırdır. Tüm değerleri 1 Tb ile çarpmak sonucu değiştirmez. Korelasyon yada içsel çarpımı veren (6.9)'i kullanan bir ikili antipodal sembol dedektörü (alıcısı) Şekil 6.23'deki model ile gerçeklenebilir. (t ) işareti girişteki sembol dalgaformlarla eşzamanlı olması gereken, dedektörde üretilen ve her yeni sembol başlangıcında tekrar eden periyodik bir işarettir. İntegratör bu çarpımdan oluşan işareti Tb boyunca integre eder ve süre sonunda oluşan değeri karar vericiye gönderir. nTb (n=0,1,...) anlarında anahtarın kapanması bu ölçmeyi/örneklemeyi temsil eder. ML karar verici ise bu ölçme ile elde edilen değerin işaretine göre çıkışa 0 yada 1 sayısal değeri verir. korelatör x (t ) integratör (t ) karar verici bitler nTb dedektör Şekil 6.23 Korelatör kullanan bir ikili sembol dedektörü. Şekil 6.23'deki dedektör, sadece ikili antipodal (zıt işaretli iki dalgaşekli) ve ML kriteri ile çalıştığından olası en basit dedektördür. x(t ) işareti bir ADC ile sayısala çevrilip xn kesikli zaman işareti üretilirse tüm bu işlemler sayısal devreler ve/veya programlama ile gerçeklenebilir. Bu durumda yerel işaret n olur, integratör ise Şekil 6.24’te sayısal blok şeması gösterilen basit bir akümülatör ile gerçeklenebilir. Akümülatör bir toplayıcı ve ve bir kaydedici sayısal devre elemanı ile kolaylıkla gerçeklenir. Tabi ki sayısal sistem blok şemalarında bahsedilmeyen işaretlerin bit sayısı ve saat işareti gibi ayrıntılar da bu devre şemasında gösterilebilir. nTb ile belirtilen zamanlarda ölçme yapıldıktan hemen sonra akümülatörün sıfırlanması gerekir ki yeni gelecek sembol için korelasyon integrali sıfırdan başlasın. Bu işlemin daha pratiği zaman kısıtlı integralin zamanda kaydırılmış halinin, yani 129 R( ) Tb x(t ) (t )dt (6.10) üretilmesi ve yine nTb anlarında ölçüm yapılmasıdır. Örneğin n 0 için, yani ilk sembol sonunda, ölçülecek değer R(0) Tb x(t ) (t )dt olur. Bu da çarpıcı çıkışındaki işaretin sadece son Tb 0 süresi içindeki değerlerinin akümülatörde toplanmasıyla eşdeğerdir. akümülatör un vn z 1 toplayıcı un N-bit kaydedici reg. N-bit vn clk akümülatör Şekil 6.24 Sayısal akümülatör blok şeması ve sayısal devre karşılığı. Şekil 6.23'deki korelatörün x(t ) girişinin ikili antipodal kapı darbeleri olduğu durumda (t ) işareti de kapı fonksiyonudur, ancak ardarda üretilen kapı fonksiyonlarının toplamı aslında bir sabit değer (+A) olacağından, çarpıcıya ihtiyaç yoktur. Bu durumda, (6.10)'da verilen korelatör çıkış işareti (gürültü yok iken) Şekil 6.27'te gösterilmiştir. Şekil 6.26 ise gürültülü bir giriş işaretinde korelatör çıkışının hala çok kaliteli olduğunu, tek örnek yerine integral sonuca bakmanın faydasını göstermektedir. x (t ) 1 0 1 1 0 1 t R( ) 2Tb Tb 5Tb 3Tb 4Tb 6Tb Şekil 6.25 İdeal giriş işaretine karşılık Tb pencereli korelatörün çıkışı. Son Tb süresinde integrali alma işlemi (pencereleme) ise Şekil 6.27’daki sayısal devre ile kolayca gerçekleştirilir. Toplamaya giren herhangi bir değer Tb süresi sonunda çıkarılacağı için akümülatörde fazladan birikme olmaz ve sadece son Tb içindeki (pencere içinde kalan) değerlerin toplamı hesaplanmış olur. 130 x (t ) t R( ) Tb 2Tb 3Tb 4Tb Şekil 6.26 Gürültülü giriş işaretine karşılık Tb pencereli korelatörün çıkışı. z Tb un vn z 1 Şekil 6.27 Son Tb penceresi içinde toplamayı gerçekleştiren akümülatör. Antipodal işaret(ler) durumunda, akümülatör çıkışında her nTb anında ölçülen değer karar verici tarafından tekrar semboller haline getirilir. İkili durumda bu oldukça basittir. Eşik değerinden büyükse birinci sembol, küçükse ikinci sembol olduğuna karar verilir. Eğer M=4 ise, ML kuralına göre bu değerler Şekil 6.28’deki gibi değer eksenine eşuzaklıklarla yerleştirilmek durumundadır. Eşik değerleri ister ML ister MAP ile belirlenmiş olsun, karar vericinin görevi ölçülen değerin hangi aralığa düştüğünü bulup ilgili sembolü çıkışa vermektir. c0 c1 c2 c3 v(nTb ) eşik değerleri Şekil 6.28 Antipodal dalgaformları için ML eşik değerleri (M=4). Eğer sembolleri temsil eden ve gönderilen işaretler antipodal değil ise yani i (t ) (i=0,1,2...) gibi sıradan dalgaformları ise, alınacak herbir olası dalgaformu için bir korelatör gerekli olabilir. Yani, genel bir korelatör-dedektör Şekil 6.29’deki gibidir. Tabi ki dalgaformlarının sürelerinin aynı ve Tb 131 olduğu varsayılmıştır. Burada herbir korelatör son Tb süresince gönderilen dalgaformunun alıcıda üretilen i (t ) formuna ne kadar benzediğini temsil eden bir sayı üretir ve karar vericiye gönderir. Karar verici ise bu sayılardan hangisi büyük ise o korelatörün kullandığı dalgaformunun ve dolayısıyla ilgili sembolün gönderildiğine karar verir ve çıkışa o sembolü koyar. Sembollerden bazıları kendi aralarında antipodal ise bu çiftler için korelatörler birleştirilebilir ve sayıları azaltılabilir. Bu durumda karar verici negatif büyük değerleri de kontrol eder. x (t ) nTb 0 (t ) karar verici semboller nTb 1 (t ) nTb M 1 (t ) Şekil 6.29 M dalgaformunu birbirinden ayıran genel korelatör-dedektör. Eşitlik (6.10)’daki korelasyon işlemine bakalım. İki işaretin çarpımının integrali işlemini konvolüsyon konularında da (işaret işleme, signals &systems, devre analizi vb derslerinde) görmüştük. Konvolüsyon y (t ) x( )h(t )d y ( ) yada x(t )h( t )dt şeklinde tanımlanmıştı. Bunun korelasyon işleminden farkı konvolüsyonda işaretlerden birisinin dikey eksene göre simetriğinin alınarak çarpma ve intergasyonun yapılmasıdır. Yani işareti zamanda tersten üretiyoruz, orijinalinde ilk üretilen değer son üretilen değer oluyor. Konvolüsyonu doğrusal devrelerin çıkışındaki işareti bulmak için kullanıyor idik. Yani, h(t ) doğrusal devrenin birim darbe tepkisi ve x(t ) bu devrenin girişindeki işaret olmak üzere y (t ) x (t ) h (t ) x( )h(t )d (6.11) ile çıkıştaki işaretini buluyoruz. Tabi ki x(t ) ve h(t ) sınırlı zamanda sıfırdan farklı bir değer alan işaretler ise, örneğin (0, Tb ) aralığı dışında sıfır olan kapı fonksiyonu gibi, integral sınırları da uygun şekilde değiştirilebilir. 132 Şimdi öyle bir süzgeç düşünelim ki, (0, Tb ) aralığında sınırlı, aralık dışında sıfır olan (t ) dalgaformu için tasarlanmış olsun ve bu dalgaformu girişe geldiğinde süzgeç çıkışı maksimum değer alsın. Bu özel süzgecin adı uyumlu-süzgeç (matched-filter) olsun. Uyumlu süzgecin birim darbe tepkisi h(t ) ( (t c)) 'dir. c , süzgeci gerçeklenebilir (causal) yapmak için h(t ) 'yi zamanda kaydıran bir sabittir. c 'nin üç durumu için üç ayrı h(t ) örneği Şekil 6.30'da verilmiştir. h(t ) h(t ) h(t ) t t c Tb c Tb t Tb c Tb Tb Şekil 6.30 Uyumlu süzgeç h(t ) 'nin üç durumu. Şekil 6.30'daki süzgeçlerin hepsi uyumludur. Ancak c Tb seçilirse, süzgeç henüz işaret gelmeden tepki vermeye başlayan bir devre olur ki bu gerçeklenemez. c Tb durumundaki tüm süzgeçler gerçeklenebilir ancak gereksiz bir gecikmeye sebep olurlar, yani girdi işareti (birim darbe) verildikten bir müddet sonra tepki vermeye başlarlar. Ama c Tb alındığında h(t ) (Tb t ) süzgeci hem gerçeklenebilir hemde gereksiz tepki gecikmesi oluşturmaz. Bu şekildeki örnek süzgeç ve (t ) işaretine tepkisi Şekil 6.31'da verilmiştir. (t ) h(t ) t t Tb Tb y (t ) (t ) h(t ) t Tb 2Tb Şekil 6.31 (t ) 'ye uyumlu süzgecin (t ) girdisine tepkisi. h(t ) (Tb t ) olacak şekilde (8)'deki konvolüsyon integralini tekrar yazalım. y(t ) x(t ) h(t ) x(t ) (Tb t ) y (t ) x( )h(t )d x( ) (t T b (6.12) )d (6.13) x(t ) ve (t ) , dolayısıyla x( ) ve ( ) 0 Tb dışında sıfır olduğundan integralin sınırlarının 1 0 ve 2 2Tb olacağını söyleyebiliriz. t Tb anındaki değeri ise bulunur. Ancak 133 x( ) ve ( ) Tb için zaten sıfır olduğundan sadece 0 Tb için değerlerinin önemi olur ve Tb y (t ) x( ) ( )d yazabiliriz. Bu da (6.10)'da verilen korelasyon integrali ile aynıdır. Yani 0 uyumlu süzgeç ile gerçeklenecek bir dedektör korelatör ile gerçeklenen dedektör ile eşdeğerdir. Buna göre Şekil 6.32'de verilen dedektör ile Şekil 6.29'deki dedektörler eşdeğerdir. x (t ) 0 (t ) nTb 1 (t ) karar verici semboller nTb M 1 (t ) nTb Şekil 6.32 Uyumlu süzgeç kullanan sembol dedektörü. Kullanılacağı sisteme göre korelatör veya uyumlu süzgeç dedektörleri diğerine göre avantajlı olabilir. Bu dedektörler performans olarak eşdeğer olduğuna göre, olası avantajlar performanstan değil kullanılacak devre elemanları sayısından kaynaklanmaktadır. Örneğin, bir ikili akış (binary stream) içinde özel diziler aranıyor ve o diziler alındığında tepki verilmesi isteniyor ise tasarlanacak süzgeç büyük ihtimalle çarpıcı içermeyip basit mantık kapı devrelerinden oluşacağından uyumlu süzgeç yaklaşımı daha ekonomik olur. Ancak x[n ] , sürekli bir işaretten alınan örneklerden oluşan bir kesikli sayı dizisiyse, beklenen semboller için süzgeç tasarımı ekonomik olmaz, korelatör yaklaşımı tercih edilebilir. Ancak unutulmamalıdır ki, korelatör tasarımı basit olmasına rağmen, beklenen dalgaformlarının eşzamanlı olarak alıcıda üretilmesini gerektirdiğinden maliyet hesabında işaret üreteçlerinin de gözönünde bulundurulması gerekir. Her iki durumda da ölçümlerin doğru zamanda yapılabilmesi için bir eşzamanlayıcı gereklidir. Korelatör kullanan bir alıcının eşzamanlanmış durumunda ölçüm/karar anları ( nTb ) i (t ) dalgaformlarının periyod sonundadır. Yani i (t ) 'leri üreten devre(ler) aynı zamanda ölçüm/karar zamanlarını da belirler. i (t ) işaretlerini üreten devre, bu işaret periyodik olarak tekrar ettiğinden osilatör olarak anılır. Bu osilatörün tekrar etme frekansı, alınan x(t ) işaretindeki dalgaformlarına eşzamanlanması gerektiğinden, anlık olarak değiştirilebilir olmalıdır. Yani frekansı/fazı bir şekilde eşzamanlamayı ölçen bir başka devre tarafından kontrol edilmelidir. Bu osilatörlere VCO (voltage controlled oscillator) yada sistemin sayısal devrelerle gerçeklenmesi durumunda NCO (numericaly controlled oscillator) denir. Özet olarak, eşzamanlamanın durumu devamlı olarak ölçülür ve frekans düzeltmesi için VCO/NCO'ya bir kontrol işareti gönderilir. 134 6.3. Eşzamanlama Bu bölümde şu ana kadar gördüğümüz kısım tabanbant modülasyonu yani sembollerin elektriksel işaretlerle temsil işlemidir, yani her iletişim sisteminde mevcuttur. Şekil 6.33'de genel bir sayısal iletişim sisteminin blok şeması olup sistem bu bloklarla sınırlı değildir. Ayrıca, kullanılacağı yere göre, tabanbant modülasyon/demodülasyon dışında, sistemde tüm bloklar da olmayabilir. Şekil 6.33'de eşzamanlamaya ihtiyaç duyulan kısımlar işaretlenmiştir. Tüm bloklar bir şekilde, benzer yada farklı, eşzamanlama kullanmaktadır. Şekil 6.34 eşzamanlamanın 3 ana yaklaşımını göstermektedir. kanal kodlayıcı v[k ] kod eşzm. v [k ] kanal dekod. çerçeve oluşturma çerçeve eşzm. temelbant modülasyon taşıyıcı eşzm. sembol eşzm. çerçeve açma RF modülasyon temelbant demod. Tayf yayma erişim eşzm. PN-kod eşzm. RF demod çoklu erişim Tayf topla. kanal çoklu erişim Şekil 6.33 Eşzamanlamaya ihtiyaç duyulan verici/alıcı katmanları. dedektör x (t ) karar çözümlenmiş işaret karar çözümlenmiş işaret eşzamanlama x (t ) dedektör eşzamanlama x (t ) karar dedektör çözümlenmiş işaret eşzamanlama Şekil 6.34 a) Açık döngü (open loop) b) Kapalı döngü (closed loop) c) Karar yönlendirmeli (decision directed) eşzamanlama yaklaşımları. Şekil 6.34'teki yaklaşımlar Şekil 6.33'de eşzamanlama gerektiren tüm alıcı katmanlarında uygulanabilir. Çalışmaları özetle şöyledir; 135 Açık döngü (open loop) eşzamanlama : x(t ) işareti içinde bulunan yada özellikle eklenmiş olan frekans bileşenleri süzülerek ayrıştırılır ve bu bileşenler ile gönderilen dalgaformlarının fazları arasındaki ilişkiden eşzamanlama işareti üretilir. Kapalı döngü (closed loop) eşzamanlama : Demodülasyon sırasında üretilen bazı işaretler (örneğin integratörlerin çıkışları) bazı aritmetik işlemler ile eşzamanlama işaretinin frekansı/fazı kontrol edilir. Karar yönlendirmeli (decision directed) eşzamanlama : Çözümlenmiş işaretlerin doğruluğu ve/veya aralarındaki ilişki ile eşzamanlama işaret üreteci kontrol edilir. Çoğunlukla, gönderilen işaretlerin içine bu işleme yardımcı olacak işaretler/semboller yerleştirilmesi sözkonusudur. Eşzamanlama üzerine bütün bir kitap yazılabilir. O nedenle, burada sadece yeri geldiğinde ilgili örneği vermekle yetineceğiz. Basit ve anlaşılır bir kapalı döngü yöntemini uygulayan Şekil 6.35’e bakalım. x(t ) ikili PAM işareti, çıkış ise ikili sembollerdir (0 ve 1). Bu durumda (t ) çarpıcı gerekmez, korelasyon sadece bir integrasyondan ibarettir. İntegratör çıkışı 2 yada daha fazla zamanda örneklenir ve örnek değerlerine göre Tb ’nin büyüyüp küçüleceğine karar verilir. Şekil 6.35’te aralarında 2 süre olan iki örnek ile çalışan bir sistem verilmiştir. x (t ) karar verici bitler nTb nTb mantık zamanlayıcı osilatör nTb Şekil 6.35 Erken-Geç anahtarlama (early-late gating) ile eşzamanlama. Şekil 6.36’te bu erken-geç anahtarlamanın prensibi anlatılıyor. İntegratör sonucunu erken almak yerel osilatörün önde, geç almak ise geride olduğu durumları test ediyor. nTb ve nTb anlarında alınan örnekler sırasıyla I g ve I e olsun. Gürültüsüz durumda olası integratör çıkış işaretleri Şekil 6.37'da gösterilmiş ve örnek ölçüm anları işaretlenmiştir. | I g || I e | ise örnekler işaretin yükselen tarafında, yani yerel işaret öndedir (erken). | I g || I e | ise yerel işaret gecikmiş demektir. 136 şu anki sembol önceki sembol erken ölçüm integrali I e sonraki sembol t geç Ig ölçüm integrali Şekil 6.36 Erken-geç anahtarlama eşzamanlamasının prensibi. geç erken Ie eşzamanlı eşzamanlı Ig eşzamanlı belirsiz Şekil 6.37 İntegratör çıkışının erken, geç ve uygun zamanlarda örneklenmesi. Yani d | I e | | I g | hata işareti yerel işaretin frekansını/fazını düzeltmekte kullanılabilir. d 'nin negatif olması yerel osilatör frekansını düşürmek (geciktirmek), pozitif olması ise yükseltmek (öne almak) gerektiğine işarettir. Ancak d ’nin büyüklüğü düzeltmenin ne kadar olması gerektiğini söylemez, o nedenle yerel işaretin frekansı/fazı yavaşça uygun değere getirilir. Bunu sağlamak için d işareti bir alçak geçiren süzgeçten geçirilir ve gürültü dolayısıyla ani değişimlerin önüne geçilir. Tabi ki beklentimiz yerel osilatörün frekansının başlangıçta sembol frekansına oldukça yakın olmasıdır. Diğer kapalı döngü eşzamanlama sistemleri de benzeri şekilde hesaplanan bir hata işaretinin yerel osilatör frekansını/fazını düzeltmesi yöntemiyle çalışırlar. 6.4. Sembollerarası Etkileşim İkili PAM işaretlerinin haberleşmede kullanılan en basit işaretler olduğunu söylemiştik. Ancak, Frekans bölümünde dikdörtgen darbelerin bantgenişliğinin sonsuz olduğuna da değinmiştik. Yani bu işaretler, eğer tamamen kendilerine ayrılan bir kanalda kullanılmıyorsa, frekans bandı paylaşımına pek izin vermezler. Ayrıca, bu dikdörtgen darbelerin sınırlı bantgenişliğine sahip kanallardan geçirilmesi durumunda semboller arası etkileşim oluşturduğundan (ISI, Şekil 6.12) sembol iletim oranını (bit-rate) kötü etkilediğinden bahsetmiştik. Bunlardan dolayı dikdörtgen darbe yerine bantgenişliği sınırlı dalgaformlarının kullanılması oldukça yaygındır. Nasıl bir dalgaformu (yada süzgeç) kullanalım ki hem bandgenişliğini sınırlasın hem de alıcıdaki örnekleme anlarında ölçülen değerler komşu sembollerin değerlerinden etkilenmesin? Sorunun cevabı için Fourier Dönüşümünün ikilik (dualite) özelliğine bakalım. Şekil 6.38’de iki işaret için Fourier çiftleri verilmiştir. Zaman alanındaki dikdörtgen darbenin Fourier dönüşümü sinc fonksiyonudur. İkilik kuralına göre, frekans alanındaki dikdörtgen darbenin ters Fourier 137 dönüşümü de sinc fonksiyonudur. Yani bantgenişliği sınırlı bir işaret istiyor isek zaman alanında sembolleri temsil etmek üzere dikdörtgen değil sinc fonksiyonu kullanmamız gerekir. x(t ) Re X ( f ) F f t T2 T1 T 2 x(t ) 1 T Re X ( f ) F t 1 2B f 1 2B B B Şekil 6.38 Fourier dönüşümünde ikilik özelliğini gösteren iki özel örnek. Ancak sinc fonksiyonunun zaman alanında üretilmesi imkansızdır, çünkü (, ) aralığında tanımlıdır. Sınırlı zaman aralığındaki değerleri kullanmak için kırpılırsa önemli oranda hata yapılmış olur. O nedenle frekans karakteristiğinden biraz ödün vererek daha gerçeklenebilir bir işaret oluşturulması gerekmektedir. Biraz daha geniş bant kapsayan yumuşak geçişli böyle bir tayf Şekil 6.39’de verilmiştir. Bu tayf bir kosinüs fonksiyonunun 1 periyodluk kısmına DC eklenerek frekans eksenine oturtulmuş halidir. O nedenle ismi raised-cosine fonksiyonudur ve genellikle T T T X ( f ) 2 1 cos( ( f 12T )) 0 f 12T , , 1 2T , f 12T (6.14) f 12T şeklinde 3 parçalı olarak tanımlanır. 1 durumunda minimum değerleri frekans eksenine gelecek şekilde DC eklenmiş bir periyotluk kosinüs fonksiyonudur (Şekil 6.39). X( f ) T ideal tayf raised-cosine tayf f T1 2T1 1 2T 1 T Şekil 6.39 1 için raised-cosine fonksiyonu tam periyod bir kosinüstür. 138 ’nın üç farklı değeri için tayflar Şekil 6.40’da verilmiştir. X( f ) T 0 0.25 0.5 1 f 1 T 2T1 1 2T 1 T Şekil 6.40 1 , 0.5 , 0.25 için raised-cosine tayfları. Bu tayfları sağlayan zaman alanındaki işaretler de benzeri şekilde parçalı tanımlanıyor (Şekil 6.41). cos( T t ) t , t 2T sinc( T ) x(t ) 1 ( 2Tt ) 2 sinc( 1 ) , t 2T 4 2 (6.15) Raised-cosine tepkilerinin özelliği sadece etkin frekans bantını sınırlaması değil, aynı zamanda örnekleme anında örnek değerini tam olarak vermesi, bu nedenle en düşük ISI özelliğini sağlamasıdır. Yani, gürültünün sıfır olduğunu varsayarsak, tam eşzamanlamayı sağlamış bir alıcıda karar anlarında ölçülecek değer sadece ilgili sembol değeridir, önceki ve sonraki sembollerin etkisi yoktur. Bu durumu Şekil 6.42 açıklamaktadır. Şekil 6.42’de “10111001” ikili akışındaki herbir bite raised-cosine süzgecinin tepkisi ve toplam tepki gösterilmiştir (1:+A, 0:-A). Görüldüğü üzere dalgaformu değerlerinin örnekleneceği anlarda diğer dalgaformlarının değerleri sıfırdır ve sadece ilgili sembolün değeri okunabilmektedir. Raised-cosine süzgeç tepkisi doğal olarak sonsuza uzanmaktadır. Ancak birkaç periyod sonra oldukça küçüldüğünden (sinc’ten çok daha hızlı küçülmekte) sınırlı darbe tepkisi (FIR: finite impulse response) süzgeçlerle oldukça yaklaşık olarak gerçeklenebilmektedir. x(t ) t T T 139 Şekil 6.41 1 , 0.5 , 0.25 için raised-cosine tepkileri. t 1 2 3 4 5 6 7 8 Şekil 6.42 1 süzgecinin “10111001” akışına tepkisi. Herbir sembol için tepkiler de gösterilmiştir. Vericiden gönderilen dalgaformları bu şekilde olunca, alıcıda uyumlu süzgeç kullanılması durumunda toplam tepkinin Şekil 6.42’deki gibi olması için pratikte genellikle root-raised cosine dalgaformları kullanılır. Yani, gönderilen dalgaformlarının ve alıcıdaki uyumlu süzgecin tayfları X ( f ) şeklinde, süzgeç çıktısındaki tayf ise X ( f ) şeklinde olmaktadır. Bazı kaynaklar bunun işlem yükünü verici ve alıcıya bölüştürmek olarak açıklasa da bir dayanağı yoktur. Gerçekte bu, hem kanal tepkisini de hesaba katabilmek hemde, alıcıda zaten bir uyumlu süzgeç yada korelatör olacağından, karar örneklerini raised-cosine tepkisi (Şekil 6.42) üzerinden alabilmek içindir. Bundan sonra raised-cosine ile, eğer ayrım gerekmiyorsa, hem root-raised-cosine hem raised-cosine terimlerini kastediyor olacağız. Raised-cosine dalgaşekilleri sadece M 2 için değil, M ’nin diğer değerleri için de kullanılmaktadır. Bu noktaya kadar, değindiğimiz konularda kullanılan dalgaformlarının bantgenişliğinden de hep bahsettik, işaretlerimizin frekans bandında az yer kaplamasının gerektiği hissini uyandırdık. Ancak, iletişim ortamı tamamen iletişimde bulunan uçlara aitse, örneğin verici ve alıcı arasında bir kablo varsa ve bu kablo başka bir veri iletişim sistemiyle paylaşılmıyorsa, bunun ne önemi var? Örneğin, aynı binada bulunan iki bilgisayar arasında kablolu iletişim yapıyorsak, kablonun izin verdiği tüm frekans bandı bu iletişimde kullanılabilir. Elbette ki aynı kablo üzerinden frekans bandı paylaşımı yapan iletişim sistemleri vardır, örneğin kablo-TV. Ama frekans bandı paylaşımına ihtiyaç duyulmayan sistemlerde bant sınırlaması yapılmasının gerekmediği açıktır. Bu tür sistemlere tabanbant iletişim sistemleri denmektedir. Band sınırlaması yapan raised-cosine süzgeç (yada raisedcosine dalgaformları) aslında daha çok band paylaşımlı sistemlerde ihtiyaç duyulan şeylerdir. Şimdi tabanbant işaretlerini yüksek frekanslara çıkararak iletişim yapan ve band sınırlaması gerektiren yöntemlere göz atalım. İşaretin merkez frekansını, dolayısıyla frekans bandını, değiştirmenin en yaygın yöntemi Fourier Dönüşümünün modülasyon özelliğini kullanmaktır. x(t ) , frekans tayfı X ( ) olan tabanbant işaretimiz ve c merkez frekansımızı taşımak istediğimiz yüksek frekans olmak üzere 140 F x(t ) cos(ct ) 12 X ( c ) 12 X ( c ) dir. Yani tabanbant işaretimizi c frekanslı taşıyıcı ile çarpmak yeterlidir. Yukarıda bahsedilen M-ary iletişim işaretlerini, dalgaformları ne olursa olsun, cos(c t ) taşıyıcısıyla çarpmak onların merkez frekansını c frekansına çıkaracaktır. AM-FM konusunda da gördüğümüz üzere, c merkezli işareti tekrar cos(c t ) ile çarpıp tabanbant dışında kalan bileşenleri atan bir alçak geçiren süzgeçten geçirip tekrar tabanbant işaretini elde ederiz. A 1 olan ikili antipodal işaretin bu işlemlerden geçirilişini Şekil 6.43 özetlemektedir. X ( ) x (t ) t a) c(t ) C ( ) t b) c x(t )c(t ) c X ( f ) C () t c) c c x(t )c(t )c(t ) t d) 2c H ( ) h(t ) e) kırpılmış sinc t xˆ(t ) x(t )c(t )c(t ) h(t ) f) 2c t Xˆ ( ) Şekil 6.43 Binary PAM işaretinin c ’ye çıkarılması ve tekrar tabanbanta indirilmesi. Bu tasarımda çözülmesi gereken birkaç önemli problem var; 1. İkili PAM işaretinin bantgenişliği sonsuzdur. Yüksek frekanslara çıkardığımızda da bantgenişliği sonsuz olacağından frekans paylaşımlı bir ortamda diğer işaretlerle karışması kaçınılmazdır. O halde ideal ikili işaretten (dikdörtgen darbe) vazgeçip merkez frekanstan uzaklaştıkça gücü daha hızlı düşen, böylelikle belli frekanstan sonrası ihmal edilebilecek bir işarete razı olmalıyız. Yada karıştırmanın daha az olacağı genişlikte bir bandı bu işarete tahsis etmeliyiz. 2. Alıcıda taşıyıcı işaret aynen üretilmelidir ki alınan işareti tekrar taşıyıcı ile çarptığımızda Şekil 6.43d işaretini elde edebilelim. Pratik olarak iki bağımsız osilatörün aynı frekans ve faza getirilmesi ve orada tutulması mümkün değildir. Elektronikte bir kararlılık sınırı vardır ve kısa bir zaman sonra bu osilatörler ilk ayarlandıkları frekanstan saparlar. O nedenle, alıcı osilatörü gelen işaret ile kendini ayarlamalı, sapmaları telafi etmelidir. Yani çözüm yine eşzamanlamadır. 141 3. Şekil 6.43e frekans tayfında gösterilen karakteristikte bir süzgeç tasarlamak (geçirme bandında sabit, dışında sıfır) oldukça zor bazen imkansızdır. Bu nedenle biraz bozulmuş bir sonuç işaretine razı olacağız. Bu da dolaylı olarak veri iletim hızına/oranına etki edecektir. 4. Tüm bu işlemleri sayısal olarak tasarlamamız durumunda, sayısal sistemlerin getirdiği faydaların yanında bazı zorunluluklar/sınırlamalar da getirdiğinin farkında olacağız. Örneğin, verici ve alıcının kanal arayüzlerinde analog-sayısal ve sayısal-analog çeviriciler gerektiğinden bu ceviricilerin sınırlamalarına/maliyetlerine uymak durumundayız. 5. Şekil 6.43’deki frekans tayflarından anlaşılacağı üzere, işaretimizin tayfının merkez frekansına yaklaştıkça iletilen güç artmakta, uzaklaştıkça azalmaktadır. Yani, aslında ayrılan bant tam verimlilikte kullanılmamaktadır. Tabanbant işaretimizin tayfındaki enerji/güç dağılımını ayrılan bant içinde dengeli dağıtan sembol sayısı (M) ve dalgaformları kullanarak verimliliği arttırmayı düşünmeliyiz. Şekil 6.43'de verilen ve ikili PAM işaretinin doğrudan taşıyıcı ile çarpılması olan yaklaşım haberleşmede çok kullanılan bir yöntemdir ve ismi ikili faz kayma anahtarlamasıdır (BPSK: binary phase shift keying). Şekil 6.43c işaretine dikkat edilirse sinüsoidalin periyodları hiç değişmemektedir ancak ikili işaret ile birlikte işareti değişmektedir. BPSK kullanan bir iletişim sistemi Şekil 6.44'te verilmiştir. kanal x (t ) cos(ct ) verici alçak geçiren süzgeç karar verici semboller nTb cos(ct ) faz dedektörü kontrollü osilatör döngü süzgeci nTb PLL nTb mantık ELG zamanlayıcı osilatör Şekil 6.44 Taşıyıcı eşzamanlaması için PLL, sembol eşzamanlama için erken-geç-anahtarlama kullanan bir BPSK alıcısı. Şekil 6.44'teki alıcının çalışması şu şekildedir; Alınan c merkez frekanslı BPSK işareti önce tabanbanta indirilmelidir. Bunun için yerel osilatörün ürettiği c frekanslı sinüsoidal ile çarpılıp Şekil 6.44'teki gibi bir alçak geçiren süzgeç ile tabanbant işareti elde edilecektir. Ancak alıcıdaki osilatörün frekansı/fazının BPSK taşıyıcısınınki ile aynı olması gerekmektedir. Bu eşzamanlamayı sağlamak için PLL (phase-locked-loop : faz kilitlemeli döngü) kullanılmaktadır. Faz kilitlemesinin esası, girdi işareti ile yerel işaretin arasındaki faz farkının ölçülmesi ve fark varsa yerel osilatörün hassas adımlarla ayarlanmasıdır. Gürültü dolayısıyla oluşan anlık faz farkından gelen hatayı azaltmak ve osilatörü uygun hızda istenilen frekansa getirmek için bir alçak geçiren süzgeç kullanılır, ki bu süzgecin adı döngü süzgecidir (loop-filter). Böylelikle yerel osilatör BPSK taşıyıcısını her zaman takip eder, alınan işaretin taşıyıcısıyla eşzamanlı bir sinüsoidalle çarpılmasını sağlar. Alınan işaretin merkez frekansında anlık değişimler kalıcı olursa, PLL bunu kabul edilebilir bir gecikmeyle telafi eder. Çarpım sonucu 142 elde edilen işaret (Şekil 6.43d) uygun bir alçak geçiren süzgeçten geçirilerek (bir çeşit kayan ortalama) tabanbant işaret elde edilir. Ancak, tabanbant işaretinden temsil edilen semboleri üretmek için doğru zamanda ölçüm yapılması gerekmektedir. Bunun için de erken-geç-anahtarlama (Şekil 6.35) yada benzeri bir eşzamanlama yönteminin kullanılması gerekir. Elbette ki yine tek bir örneğe bağlı kalmamak için periyod boyunca ortalamanın alınması işlemi integral bloğu ile gösterilmiştir. Şekil 6.44'teki sistemde Şekil 6.33'de gösterilen gerekli eşzamanlamalardan ikisi gerçeklenmiştir; Taşıyıcı eşzamanlama (PLL ile) ve sembol eşzamanlama (erken-geç anahtarlama). PLL kendi içinde bir kapalı döngü olsa da asıl işaret akışından ayrı olarak gerçeklendiği için Şekil 6.34'teki açık-döngü eşzamanlama sınıfı içinde değerlendirilebilir. Diğer taraftan, erken-geç anahtarlama ise kapalı-döngü bir eşzamanlamadır. Şekil 6.45, iyi bilinen bir başka kapalı döngü eşzamanlama yöntemi olan Costas-döngüsünü göstermektedir. Costas-döngüsü 2 adet demodülatör sonuçlarını kullanarak yerel taşıyıcı osilatör frekansını ayarlamayı amaçlar. Bu demodülatörler, aralarında 2 faz farkı olan iki sinüsoidal kullanır. alçak geçiren süzgeç x (t ) BPS K temelbant işaret cos(ct ) kontrollü osilatör döngü süzgeci sin(ct ) alçak geçiren süzgeç Şekil 6.45 Costas-döngüsü ile taşıyıcı eşzamanlaması ve tabanbant işaretini elde etme. Costas-döngüsünün çalışmasını denklemlere fazla girmeden şöyle anlatabiliriz; Taşıyıcı ile eşzamanlama sağlamayı amaçlayan döngüde, tam eşzamanlama durumunda üstteki tabanbant işaretinin genliği en yüksek, alttakinin ise sıfırdır. Çarpımları sonucu elde edilen sıfır, kontrollü osilatörün frekansını/fazını değiştirmemesi gerektiğini belirtir. Eğer kontrollü osilatörün fazı geri yada ileri ise çarpım sonucu pozitif yada negatif olur, büyüklüğü de faz farkıyla orantılıdır. Bu da osilatörün frekansını/fazını arttırır yada azaltır. Döngü süzgeci de daha önce bahsi geçtiği gibi anlık değişimlerin etkisinin azaltılmasını sağlar. Elbette ki bu süzgeçlerin en iyi davrandığı tasarımlar hedeflenir ki bu da çalışılan frekanslardaki kanal davranışıyla (jitter, doppler, multipath vb) belirlenebilir. Şimdilik bu konulara girmeyeceğiz. Ancak BPSK işaretinin frekansı/fazı çok değişmiyor ise basit bir alçak geçiren süzgeç döngü süzgeci olarak başarıyla kullanılabilir. Frekans bandı kullanım verimliliğini arttırmak yada bant genişliğini azaltmak için, mesaj işareti taşıyıcı ile çarpılmadan önce bir alçak geçiren süzgeçten (örneğin raise-cosine) geçirilebilir. Yani örneği Şekil 6.42'de verilen tabanbant işaret elde edilir. Bu durumda taşıyıcı ile çarpım sonucu elde edilen yüksek frekanslı (YF) işarette Şekil 6.43c'deki gibi faz atlamaları değil fazlar arasında yumuşak bir geçiş olur. Tabi ki YF işaretin bantgenişliği tabanbant işaret gibi olacağından bant sınırlaması sağlanmış olur. Tabanbant işaretinin bantgenişliğini belirlediği çoğu YF haberleşmesinde bu yöntem kullanılır. Ancak tabi ki raised-cosine süzgecinin yaklaşığı (tepkisi sınırlı zamanda) kullanılabileceğinden bant karakteristiğinin de yaklaşığı elde edilir (Şekil 6.46). 143 X ( ) c c Şekil 6.46 İdeal olmayan bir YF raised-cosine bant tayfı. 6.5. Genlik Anahtarlaması Şekil 6.3'de örneği verilen PAM (darbe genlik Modülasyonu) bir tabanbant iletişim yöntemidir. Tabi ki, b pozitif bir tam sayı olmak üzere M 2b adet sembol kullanılacaksa (M-ary) M farklı voltaj seviyesi gerekir. İkili sayı sistemindeki semboller olan 0 ve 1'in yanyana getirilmesiyle daha geniş alfabeler oluşturulur. Yeni alfabelerdeki sembollere genişletme (extension) ismi verilir. Örneğin {00, 01, 01, 11} alfabesindeki semboller ikili sistemin ikinci genişletmeleridir (second extension). Yeni alfabelerdeki sembol sayısı M 2b 'yi sağlamayabilir yada sembol eşit uzunlukta olmayabilir. Ancak olasılıkları ve taşıdıkları bilgileri yaklaşık eşit olan 2'li sembollerin birleşiminden oluşturulacakları için bu durum hem bilgiyi temsilde verimli olmaz hem de olası tüm sembolleri alfabede yer alamadıları için iletilemezler. Yine de, bilginin eşit olasıklı olmadığı durumlar için temsili daha verimli hale getirmek amacıyla bu gibi alfabeler oluşturulabilir. Bu işlemleri Veri Sıkıştırma bölümünde göreceğiz. M-ary alfabedeki sembolleri temsil edecek dalgaformlarının çoğunlukla sabit voltaj seviyeleri olduğunu yada bunlardan oluşturulan kanal işaretinin (Şekil 6.3'deki gibi) raised-cosine türü bir süzgeçten geçirilmiş halleri olduğundan bahsetmiştik. Bu tabanbant işaretini yüksek frekanslara çıkarmak için bir taşıyıcı işaretle çarpılacağına da birçok yerde değindik. PAM işaretinin taşıyıcıyla çarpılarak yüksek frekansa çıkarılmış haline ASK (amplitude shift keying : genlik anahtarlaması) denir. Denklem (6.1) ile üretilen x(t ) PAM işareti, c frekansındaki taşıyıcı ile y(t ) x(t )cos(ct ) (6.16) şeklinde çarpılıp ASK işareti elde edilir. Şekil 6.3'de verilen PAM işaretinin taşıyıcı ile çarpılmış halini, yani ASK işaretinin bir örneğini Şekil 6.47'da görüyoruz. 144 (c3 ) 3 y ASK (t ) (c2 ) 1 t (c1 ) -1 (c0 ) -3 Şekil 6.47 ASK işareti örneği. Şekil 6.47'daki ASK örneğinin alıcı tarafında demodülasyonu için AM'deki doğrultucu ve alçak geçiren süzgeçten oluşan dedektörü kullanamayız. Çünkü genlikleri aynı olup sadece işaretin farklı olduğu dalgaformları var. Böyle bir işaretin demodülasyonu için eşzamanlı dedektör kullanılabilir. PAM işaretindeki dalgaformu değerlerinin hepsi geleneksel AM'deki gibi pozitif yapılırsa, örneğin ci ={1,2,3,4} olursa, ASK işaretinden basit bir dedektörle tabanbant PAM işareti elde edilebilir (Şekil 6.48). (c3 ) (c2 ) (c1 ) (c0 ) 4 y ASK (t ) 3 2 1 t Şekil 6.48 si (t ) 0 PAM değerleri ile üretilmiş ASK işareti örneği. ASK (ve PAM) üretilmesi kolaydır, dedektörleri de basit tasarımlardır. Ancak, verilen örneklerdeki haliyle geniş banta ihtiyaç duyar ve gürültüden kolay etkilenir. Kablosuz iletişim için tercih edilmez. Fiber optik iletişim için ise gayet uygundur. Fiber geniş bantlıdır ve dış gürültüye karşı korumalıdır. Ayrıca taşıyıcının diğer büyüklüklerini (faz ve frekans) ışık frekanslarında kontrol etmek kolay değildir, o teknoloji yeni yeni gelişmektedir. Genliğini kontrol etmek ise ışık kaynağını açıp kapatmak gibidir, o nedenle kolaydır. 145 6.6. Faz Anahtarlaması Taşıyıcıyı modüle eden x (t ) PAM işareti, yine sembol dalgaformlarının x(t ) sni (t nTs ) toplamından oluşuyor, ancak taşıyıcının sadece fazını değiştirmek için n y(t ) cos(ct x(t )) (6.17) şeklinde kullanılıyorsa, bu modülasyon türüne PSK (phase shift keying : faz kaydırma anahtarlaması) ismi verilir. (not: taşıyıcı olarak sin, cos yada başka bir fazda sinüsoidal yazılması yada çizilmesinin önemi yoktur, önemli olan faz farklarıdır. Faz açısı referans alınan aynı frekanslı bir başka sinüsoidale göre verilir. Gerçekte farklı bir sinüsoidal yok ise işaretlerden birisi referans alınır.) M=2, c0 0 ve c1 / 2 durumu için (ikili veri) bir PSK işareti örneği Şekil 6.49'de verilmektedir. İkili dizi "101101"dir ve sinüsoidal taşıyıcıdaki faz açısı atlamaları görülebilmektedir. Alıcının görevi bu faz geçişlerini yada referans taşıyıcıya göre faz açısını bulmak ve hangi ikili sembolün gönderilmiş olduğuna karar vermektir. Her sembolde taşıyıcı periyodu değişmeyip sadece fazı değiştiğinden sembolleri temsil eden işaretleri faz düzleminde gösterebiliriz. yBPSK (t ) ( b) 1 t (a ) -1 Şekil 6.49 İkili faz kaydırma anahtarlaması (BPSK). Faz değerleri 0 ve / 2 . PSK'nın c0 0 ve c1 / 2 durumunu, c0 0 'ı referans alarak faz düzleminde Şekil 6.50'daki gibi gösterebiliriz. Enerji derslerinden hatırladığımız fazör diyagramlarından farklı olarak haberleşmedeki faz düzleminin eksenlerine I ve Q bileşenleri yönleri denir (in phase ve quadrature phase). Şekil 6.50'daki I-Q düzleminde referans olarak c0 0 alındığı için c1 'in faz açısı bu fazörden / 2 ileridedir. Dalgaformları, genlikleri 1 olan sinüsoidallerdir. Fazörlerin arasındaki uzaklık d 12 12 2 'dir. Bu mesafe, alıcıların s0 ve s1 dalgaformlarını birbirinden ayırmak için kullanılacağından dolayı mümkün olduğunca büyük olması istenir. Şekil 6.51a'da işaretleri belirlemek için kullanılan ML eşiği / 4 açıyla çizilmiş durumda. 146 Q s1 1 s0 I 1 Şekil 6.50 PSK 0 ve / 2 dalgaformlarının faz düzleminde gösterimi. Verilen genlikler için, aynı genlikli sinüsoidal dalgaformlarıyla daha büyük d elde edilebilir mi? Böylelikle verilen işaret/gürültü enerji oranı (SNR) için daha az hata ile iletim gerçeklenebilir. Şekil 6.51b'de aralarında faz açısıyla yerleştirilmiş iki dalgaformu gösterilmiş. Bu yerleşimle d 2 elde edilir. Yani biri diğerinin tam zıt işaretlisi dalgaformlarını kullanmak daha yüksek bir performans sağlıyor. Bu şekildeki dalgaformlarına antipodal dendiğini daha önce söylemiştik. Şekil 6.52, aralarında faz farkı bulunan iki sinüsoidal (birisi diğerinin negatifi) ile üretilmiş kanal işareti örneğini gösteriyor. faz atlamaları şekilden görülebiliyor. Tüm sayısal haberleşme yöntemlerinde sembolleri temsil eden dalgaformları arasındaki mesafenin mümkün olduğunca büyük olması istenirken, enerjilerinin de (sıfır noktasından uzaklıklarının) olabildiğince küçük olması hedeflenir. Bir başka deyişle, belirlenen dalgaformu enerjileri için olası en büyük uzaklıklar kullanılmaya çalışılır. Q Q s1 d 1 1 s0 1 I 0 d s1 1 s0 I 1 Şekil 6.51 I-Q diyagramında iki dalgaformunun yerleşimleri a) 0 ve / 2 b) 0 ve . I-Q diyagramında dalgaformlarını temsil eden noktaların yerleşimlerine kümeleşme (constellation) denir. I-Q diyagramlarında dalgaformlarını gösteren noktaların yanına ikili sistemde hangi sembolleri temsil ettiklerini yazmak gelenekleşmiştir. Bunu Şekil 6.51b'de de görüyoruz. M'nin 4, 8 ve 16 değerleri için kümeleşmenin nasıl yapıldığına bakalım. I-Q düzleminde mümkün olduğunca antipodal yerleşimler mantıklı görünüyor. Örneğin M=4 için 4 adet dalgaformu cos, -cos, sin ve –sin işaretlerinden oluşabilir. Buna QPSK (Quadrature PSK : dördün PSK) deniyor. Böyle bir yerleşim Şekil 6.53'da görülüyor. Dört sinüsoidal işaret aralarında / 2 faz açısı olacak 147 şekilde üretilecek. Bunlardan bir tanesi referans alınıp +I eksenine yerleştirilip diğerleri sırasıyla / 2 , ve 3 / 4 açılarına yerleştirilir. Şekil 6.53'deki yerleşim farklıymış gibi görünse de aslında tüm işaretlerin referans işarete göre aynı pozisyonda (açıda) olduğu görülmekte. Yani sadece tüm çizim biraz döndürülmüş. Alıcı tarafında bunu ayırdetmek mümkün değildir, çünkü başka bir referans işareti yoktur. yBPSK (t ) ( b) 1 t (a ) -1 Şekil 6.52 İkili faz kaydırma anahtarlaması (BPSK). Faz değerleri 0 ve . Q 01 Q s1 s1 01 s2 s0 00 I s0 I 00 11 s2 10 s3 11 10 s3 Şekil 6.53 QPSK kümeleşmesi örnekleri. a) referans I üzerinde b) dönmüş kümeleşme QPSK'da antipodal yerleşimin verilen bir enerjide noktaları en uygun uzaklıklara koymasının yanında bir başka avantajı da 2 adet BPSK işaretinin toplamıyla elde edilebilmesidir. Bunun için Şekil 6.54'e bakalım. QPSK'da her faz değişiminde 2 bit iletildiğini görüyoruz. İlk bitin 0 yada 1 olmasıyla s0 yada s2 üretiliyor. Benzeri şekilde ikinci bitin 0 yada 1 olmasıyla s1 yada s3 üretiliyor. Bunların her ikisi de BPSK'dır. Bu iki BPSK işaretinin toplamı da QPSK'dır. Toplam I-Q diyagramı / 2 dönmüş görünüyor ama önemli olan aralarındaki ilişkidir. Başlangıçta dönmüş diyagramlarla başlasaydık sonuçta Şekil 6.53'teki gibi bir yerleşim elde ederdik. Bu işlemlerden sonra iletilecek sembolün ilk bitinden I-biti ikincisinden de Q-biti olarak bahsetmekte bir sakınca yoktur. Şekil 6.54 ise genel olarak M-PSK işaretlerinin üretilmesinin blok diyagramını göstermektedir. 148 İlk bit için I-Q Q + 0 s0 İkinci bit için I-Q Toplam I-Q = Q Q 00 s1 0 s1 s2 I I 10 s2 1 1 s2 s3 s3 s1 s0 01 I s0 s3 11 Şekil 6.54 QPSK işaretinin iki adet BPSK işaretinden elde edilişi. cos(ct ) Im I-Q ikili akış 10,11,00,10… modülatör M-PSK Qm sin(ct ) Şekil 6.55 M-PSK işaretlerinin I ve Q vektörlerinden elde edilişi. I-Q modülatör bloğu girişteki b adet ardışıl bit değerinden ( M 2b ) Im ve Qm çarpanlarını üreten bir tablodan ibarettir. QPSK için 2 örnek tablo Tablo 2'de verilmiştir. Tablo 2. QPSK için örnek Re ve Im çarpanları giriş Im Qm giriş Im 00 1 0 00 1 01 -1 0 01 -1 10 0 1 10 -1 11 0 -1 11 1 Qm 1 1 -1 -1 Şekil 6.55 ve Tablo 2'de verilerden anlaşıldığı üzere girişteki ikili veri çiftlerine göre çarpanlar belirlenip y(t ) I m cos(ct ) Qm sin(ct ) (6.18) ağırlıklı toplamıyla da BPSK yada QPSK işareti elde ediliyor. Tabi ki cos(ct ) ve sin(ct ) işaretlerinin fazları değil ikisi arasındaki faz farkı önemlidir. ise sadece I-Q diyagramında bir dönmeye karşılıktır ve alıcı açısından zaten bilinmesi gerekmez. 149 Aynı yöntem, b gönderilecek sembollerin (ikili genişletmelerin) bit sayısı olmak üzere M 2 sembolü olan tüm PSK işaretlerini üretmekte kullanılabilir. Şekil 6.56 8-PSK ve 16-PSK olarak anılan M=8 ve M=16 PSK örnek kümeleşmelerini ve ML eşiklerini göstermektedir. b 8-PSK 16-PSK Q Q 011 010 001 000 110 100 I I 111 101 Şekil 6.56 8-PSK ve 16-PSK kümeleşmeleri. PSK kümeleşmelerinde semboller çoğunlukla Gray-Code denilen ve komşu semboller arasında 1 bit fark olmasını sağlayan bir şekilde yerleştirilirler. Böylelikle hata yapılırsa 1 bitlik hata yapılması sağlanır. Kümeleşmelerde sembollerin gösterilen çember üzerinde olmaları işaretlerin aynı genliğe sahip olduklarını göstermektedir. Tabi ki M arttıkça, genlik arttırılmaz ise semboller birbirine yaklaşmakta ve alıcıda karar hata olasılığı artmaktadır. Halbuki çemberin iç kısmında sembol yoktur ve bundan faydalanılamamaktadır. O nedenle M-PSK yöntemlerinde M=16'dan daha çok sayıda sembol kullanılmamaktadır. I-Q düzleminde farklı genlik ve fazlarda yerleştirilebilir ve Şekil 6.55'teki I-Q modülatör tablo yöntemi bu yaklaşım için de kullanılabilir. Farklı genlik ve fazlardaki sembollerle oluşturulan bu şekildeki yerleşimlere QAM (quadrature amplitude modulation : dördün genlik modülasyonu) ismi verilir. Şekil 6.57 bir 16-QAM kümeleşme örneğini göstermektedir. Q 0010 0011 0000 0001 I r Şekil 6.57 16-QAM kümeleşmesi. 150 Şekil 6.57'deki 16-QAM örneğinde r genliği ve açısına sahip r cos(ct ) sinüsoidalini I m cos(ct ) Qm sin(ct ) toplamıyla oluşturmak için gerekli olan I m ve Qm çarpanları I-Q modülatörü tablosuna yerleştirilir. Burada r I m2 Qm2 (6.19) tan 1 (Qm / I m ) dir. Diğer tüm dalgaformları için de aynı yöntemle tablo doldurulur. Günümüzün yaygın sayısal iletişim şekli olan QAM, sayısal televizyon, ADSL (asymetric digital subscriber line : asimetrik sayısal abone hattı), kablosuz ağ, enerji hattı üzerinden sayısal haberleşme gibi çok çeşitli uygulamalarda geniş yer bulur. Standartlarda M ihtiyaç duyulan iletişim oranı ve ortam gürültüsüne belirlenmiş olup 32768-QAM, yani I-Q diyagramında 32768 adet noktanın olabildiği ADSL gibi, sembol başına 15 bit gibi yüksek sayılara ulaşabilmektedir. Hatırda tutulması gereken bir başka nokta da M adet faz-genlik noktasının sadece tek bir frekansta oluşturulduğu, ilgili iletişime ayrılan bantgenişliğinin alt-bantlara bölünüp çok sayıda merkez frekansın herbirinde MQAM iletişim yapıldığıdır. Bu yönteme DMT (discrete multitone) denir. Örneğin ADSL hatlarında (bükülü telefon kablosu) kullanılabilir bantgenişliği olarak kabul edilen 1100 kHz, 256 alt-banta bölünür (Şekil 6.58) 0 5 6 7 8 253 254 255 ses 0 f (kHz) 5 25 30 35 1100 Şekil 6.58 DMT frekans alt-bantları örneği. Alt-bantlardan 0-5kHz arası normal analog telefon ses iletişimine ayrılır. 5-255 numaralı altbantlar sayısal iletişimde kullanılır. 2-4 numaralı alt-bantlar ise sayısal ile analog iletişim arasında karışmayı engellemek üzere kullanılmaz. 5-x numaralı sayısal iletişim alt-bantları kullanıcıdan servis sağlayıcıya (upstream) diğerleri de (x+1 - 255) servis sağlayıcıdan kullanıcıya (downstream) ayrılır. Kullanıcıların servis sağlayıcıya gönderdiği veri aldığı veriden çok daha azdır. Örneğin çoğu kullanıcı bir dosyayı (internet sayfası) indirmek için sunucuya dosyanın büyüklüğüne kıyasla çok küçük bir istek paketi gönderir. O nedenle alt-bantların önemli oranı servis sağlayıcıdan kullanıcıya giden iletişim için ayrılır. ADSL'in asimetrik ön eki buradan gelmektedir. Tabi ki bu sadece bir örnektir, altbantların simetrik olarak paylaşıldığı, ses işaretine bant ayrılmadığı, iletişim bantgenişliğinin çok daha yüksek kabul edildiği sistemler de vardır. ADSL benzeri sistemlerin başarısı, uçtaki iletişim cihazlarının (modemler) hat kalitesini devamlı olarak ölçmesi ve çok hata üreten kanalları devreden çıkarmasıdır. Böylelikle kullanıcı yavaşlamayı hisseder ama iletişim kesilmez. Komşu alt-bantlardaki taşıyıcıların sembol periyodu boyunca birbirine dik olan sinusoidallerden seçilmesiyle OFDM (orthogonal frequency division multiplexing : dik frekans bölütleme çoğullaması) elde edilir. Böylelikle komşu bantların birbiriyle etkileşimi en aza indirilir. 151 6.6.1. Çözümlü Problemler 1. İkili PAM iletişim sistemi aşağıda olasılık yoğunluk fonksiyonu verilen toplamsal gürültünün etkisi altındadır. İletişimde 0 ve 1 sembollerini temsil etmek üzere +0.9 ve -0.9 V değerleri kullanılmaktadır. 0 sembolünün (+0.9V) gönderilme olasılığı 0.6'dır. Alıcıda dedektör sembol peryodu ortasından 1 örnek almakta ve ML eşik değerine (0 V) gönderilen sembolün 0 yada 1 olduğuna karar vermektedir. Sembol karar hata olasılığı nedir? fη η -1 1 Çözüm Gönderilen işaret +0.9 V olduğunda alıcı girişindeki pdf aşağıdaki gibi olacaktır. fr I1 r 0.9 -0.1 I1 0 0.1 1.9 I1 fr' r' 0.1 10 2 f r ( r )dr şeklinde gösterilen alan +0.9 gönderildiğinde yapılacak hata olasılığıdır. Daha kolay hesaplanabilmesi için şekil 0.1 sağa kaydırılarak sağdaki durum elde edilir. Üçgenin tepe noktası, toplam alan 1 olması için 1'dir. Integral f r ( r ) r için hesaplanarak yada üçgenlerin benzerliğinden I1 0.005 bulunur. pdf simetrik olduğundan ve ML eşik kullanıldığından Pe ( x 0.9) Pe ( x 0.9) olduğu söylenebilir. Yani +0.9 ve -0.9 durumlarında hata olasılıkları aynıdır.Toplam hata ise sembollerin gönderilme olasılıkları kullanılarak ağırlıklı ortalama ile pe P( x 0.9) Pe ( x 0.9) P( x 0.9) Pe ( x 0.9) 0.4 0.005 0.6 0.005 . pe 0.005 şeklinde bulunur. Yani, pdf simetrik olup ML karar süreci uygulandığında sembol olasılıklarının etkisi yoktur. 2. İkili PAM iletişim sistemi aşağıda olasılık yoğunluk fonksiyonu verilen toplamsal gürültünün etkisi altındadır. İletişimde 0 ve 1 sembollerini temsil etmek üzere +0.9 ve -0.9 V değerleri kullanılmaktadır. 0 sembolünün (+0.9V) gönderilme olasılığı 0.6'dır. Alıcıda dedektör sembol peryodu ortasından 1 örnek almakta ve ML eşik değerine (0 V) gönderilen sembolün 0 yada 1 olduğuna karar vermektedir. Sembol karar hata olasılığı nedir? 2/2.1 -1 Çözüm fη η 1.1 152 Gürültü olasılık yoğunluk fonksiyonu dışında önceki soru ile aynı olduğunu görüyoruz. Gönderilen voltaj değerlerinin 0.9 ve -0.9 durumlarında alıcının gördüğü işaretin olasılık yoğunluk fonksiyonları aşağıdaki şekillerde gösterilmiştir. fr+ I1 fr2/2.1 -0.1 0.9 2/2.1 r -1.9 -0.9 2 I2 r 0.2 Burada I1 ve I2 sırasıyla +0.9 ve -0.9 gönderilmesiyle yapılacak hata olasılıklarını göstermektedir. Bu alanları gösteren integraller sırası ile 0 I1 P e ( x 0.9) 0.1 I 2 P e ( x 0.9) 0.2 0 f r ( r )dr 0.1 f r ( r )dr 0.2 0 0 2 2.1 rdr 2 2.11.1 1 2 0.1 0.01 r 0.00476 ve 2.1 0 2.1 rdr 1 2 0.2 r 0.0173 bulunurlar. 2.31 0 Bu durumda, toplam hata da, hataların ağırlıklı toplamı ile pe 0.6 0.00476 0.4 0.0173 0.00978 şeklinde bulunur. Görüldüğü gibi, yoğunluk fonksiyonu genişleyince (varyans artınca, gürültü gücü artınca) hata olasılığı da artıyor, ki bu beklenen birşeydir. 153 7 Kanal Kodlama Bir arkadaşınızla kalabalık ve gürültülü bir yerde karşılaştığınızı varsayalım. Beraberce daha sakin bir ortama geçmek dışında, karşılıklı iletişim için birkaç seçenek vardır; Daha yüksek sesle konuşmak, cümleyi anlamadığınızda bunu belirtip tekrar edilmesini sağlamak, veya daha kolay anlaşılır şekilde yavaş ama içinde bol tekrar barındıran cümleler kurmak. Tabi ki bu üç önlemi beraber alabilirsiniz. Bunların hepsi ortamdaki gürültünün iletişimi kötü yönde etkilemesine karşı alınan önlemlerdir. Elektronik haberleşmede de benzeri önlemler alınır ve bu önlemlere toplu halde kanal kodlama denir. Daha yüksek sesle konuşmak elektriksel işaretlerde daha yüksek güç/enerji kullanmak anlamına gelir. Anlaşılmayan cümlelerin tekrar edilmesini istemek/sağlamak ise iki yönlü iletişimde alıcının, içinde hata gördüğü işaretler için tekrar isteğini göndericiye bir işaret dizisi ile bildirmeye karşı gelir. Tek yönlü iletişim sistemlerinde ise bu imkan yoktur. O nedenle veri göndericiler, gönderdikleri işaretler içinde gerektiği kadar tekrarlılık barındırır ve alıcının olası hataları bu tekrarlar sayesinde düzeltmesini beklerler. Yüksek güçle iletişim yapmak herhangi bir zahmet gerektirmediği ve sebebi oldukça anlaşılır olduğu için bu bölümde diğer iki seçeneği, yani tekrar isteği gönderme yöntemini ve düzeltme sağlayıcı işaret hazırlama yöntemlerini inceleyeceğiz. Bu işlemler Şekil 1.8'deki kanal kodlama bloğunda gerçekleştirilir. Gerçek hayatta karşılaşılan veriler içinde çoğu zaman oldukça fazla tekrarlılık (redundancy) vardır. Ancak bu tekrarlılık, alıcı tarafı için hataları bulma ve düzeltme işlemleri için uygun değil yada çok zahmetlidir. O nedenle bu gereksiz/kullanışsız tekrarlılık gönderici tarafında mümkün olduğunca azaltılır. Böylelikle gönderilecek daha az veri olur, aynı zamanda, kanal kodlama için veride yer açılmış olur. Tekrarlılık azaltma işlemini kaynak kodlama (veri sıkıştırma) bölümünde inceleyeceğiz. İletişimde oluşan hatalar ile ilgili yapılabilecek işlemler şunlardır; 1. Hata Bulma a. Basit Parite Kontrolü b. Boylamasına Tekrarlılık Kontrolü c. Polinom Kontrolü i. Toplama Sağlaması ii. Döngüsel Tekrarlılık Kontrolü 2. Hata Düzeltme a. Hata Geri Bildirimi (tekrar etme isteği) i. Dur ve Bekle Bildirimi ii. Sürekli Bildirim b. İleri Hata Düzeltme (FEC : Forward Error Correction) i. Blok kodlama ii. Evrişim kodlama Bu işlemlerin bazılarında iki yönlü iletişim gereklidir. İletişim kanalı tek yönlü ise simpleks (simplex), aynı anda olmamak üzere çift yönlü ise yarı dubleks (half duplex) ve aynı anda iki yönlü iletişim sağlanıyor ise tam dubleks (full duplex) tanımlamalarını alırlar. Bu iletişim türleri Şekil 7.1'de gösterilmiştir. Yarı dubleks iletişimde kanal her iki yönde de iletişim sağlar, ancak bir uç veri 154 gönderirken diğer uç alma modundadır, her iki uç aynı anda gönderim yapamaz. Tam dubleks kanal ve uç cihazlarında ise aynı anda hem gönderme hem alma yapılabilir. Tam dublekse örnek olarak gönderme ve alma için iki ayrı kablonun kullanıldığı iletişim sistemlerini gösterebiliriz. Eski tür sesli telsiz iletişimi de yarım dubleks iletişimden sayılabilir; bir kişi konuşurken diğeri dinlemededir. simpleks Alıcı Gönderici dubleks Alıcı Gönderici Alıcı Gönderici tam dubleks Gönderici Alıcı Gönderici Alıcı Şekil 7.1 İletişim kanalı modları. Hata geri bildirimi yapılan sistemlerde dubleks (yarım yada tam) modlu iletişim kanalları gereklidir. Örneğin bükülü kablolu bilgisayar ağları her iki yönde aynı anda iletişim yapabilmesine rağmen protokol gereği hata geri bildirimi yapılır. Tabi ki hata geri bildirimi için önce hatanın yada hata olup olmadığının alıcı tarafından belirlenmesi gereklidir. 7.2. Hata Bulma Eğer gönderici tarafından veri içine hata bulmaya yardımcı olacak ilave veri eklenmediyse, yada veri içinde bir tekrarlılık (redundancy) yoksa, asıl verinin hatalı olup olmadığını belirlemek imkansızdır. O nedenle, gönderilen veriye, olması gereken değeri alıcı tarafından bulunup gerçekte alınan ile karşılaştırılabilecek ilave veri eklenir. Eklenecek veri, genel olarak alıcı tarafından da bilinen/uygulanan bir matematiksel ifade ile üretilir. Uygun bir matematikle eklenen veri miktarı hatanın yerini söyleyebilecek kadar uzun ise hata düzeltme uygulanabilir. Aksi halde, alıcı sadece hata olduğunu belirler ve hatanın nerede olduğunu bilemediğinden verinin ilgili kısmının tekrar gönderilmesi için göndericiye bu durumu bildiren bir mesaj gönderilir. Tabi ki bunun için dubleks bir kanal gereklidir. Bu da yoksa, alıcı kendi olanakları ile uyguladığı düzeltici işlemler (veri içindeki tekrarlılık kullanılarak) ile doğru veriyi tahmin (estimate) etmeye çalışır, ki bu işlemler çoğunlukla donanım ile gerçekleştirilemeyecek karmaşıklık içerdiğinden yüksek seviyedeki yazılımlar devreye girer. Veriye tekrarlılık eklenmesi iki şekilde yapılmaktadır ve iki isimle anılırlar; Blok kodlama ve Evrişim kodlama. Veri sembolleri bloklar halinde ayrılıp her bloğun sonuna veri bloğundan hesaplanan ve hata bulmaya yardımcı olan semboller eklenirse eklenen bu sembollere parite sembolleri ismi verilmektedir. Şekil 7.2'deki örnekte, K adet veri sembolü gönderildikten sonra bu 155 sembollerden hesaplanan P adet parite sembolü eklenmiştir. Toplam sembol sayısı N olur. Parite sembolleri çoğunlukla veri bloğu sonuna eklenir, bu sayede alıcının da aynı hesapları yapmasına zaman tanınır. P/K oranı düzeltilebilecek hata sayısı ile ilgili bir fikir vermektedir. Yani, doğal olarak, düzeltilebilecek hata sayısında bir sınır vardır. Eğer veri bloğu büyük ise, hata düzeltmeye yetecek kadar parite sembolü eklemek yerine, hata olduğunu bulmaya yetecek kadar sembol eklenir ve alıcı hata olduğunu saptadığında göndericiye tekrar isteği iletir. Tabi ki bu yaklaşım sadece az hatanın olduğu dubleks kanallarda kullanışlıdır. Aksi halde tekrar gönderme işlemleri iletişim kanalını fazlasıyla meşgul eder. P-1 2 1 0 K-1 parite sembolleri 3 2 1 0 gönder veri sembolleri Şekil 7.2 Veriye parite eklenmesi. Basit bir örnek yapalım. Sembollerimiz bitler, blok büyüklüğümüz de 2 bit olsun. Bu bitlere x1 ve x0 diyelim. Bu şekildeki her 2 bitlik x1 x0 bloğu sonuna ilave olarak p x1 x0 ile hesaplanan 1 parite biti ekleyip blok boyunu 3 yapalım. Buradaki işareti modulo-toplam'ı (elde'lerin bir üst basamağa taşınmadığı toplam) ifade eder, yani iki adet 1 bitlik sayının toplamı yine 1 bittir. Alıcının görebileceği farklı blok sayısı 23 olup bu bloklar şunlardır; 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Tabi ki parite biti diğer 2 bitten hesaplandığı için aralarında p x1 x0 ilişkisi beklenir ve bu hesabı sağlamayan bloklarda en az bir hata olduğuna karar verilir. Bunlar 001, 010, 100 ve 111'dir. Yani alıcı bu blokları gördüğünde hata olduğuna karar verir. 000, 011, 101 ve 110 bloklarında ise çift sayıda hata oluşmuş ise, yanlış bir kararla alınan bloğun hatasız olduğu kabul edilebiir; 000 gönderildiği durumda 101 alınması gibi. Yine de kanalın blok başına en fazla 1 bit hata yapılacak kadar gürültüsüz/kaliteli olduğu kabul edilen durumlarda tüm hatalar farkedilir, ancak düzeltilemez. Blok başına olası hata sayısının daha düşük olduğu durumlarda, elbette ki blok boyu büyütülebilir. Örneğin, 1 biti parite olmak üzere 8 bitlik bloklarla iletişim bilgisayar ve çevre birimleri arasında oldukça yaygın idi. Çünkü taşınan veri çoğunlukla 7 bitlik ASCII karakterleri idi. Ayrıca çevre birimleri bilgisayara oldukça yakın olduğundan kanal gürültüsü ve gerek duyulan iletişim oranları (bit/s) düşük idi. Geçmiş zamanda konuşmamızın sebebi, artık çok daha yüksek veri iletim oranlarına ihtiyaç duyulması, gürültünün yüksek hızlarda etkisinin belirginleşmesi dolayısıyla iletişimde giderek daha verimli/ileri yöntemlerin standardlaştırılmasıdır. Düzeltilebilecek sembol sayısının bloklara eklenmesi (uygun matematikle) gereken parite sembol sayısı ile sınırlı olduğunu söylemiştik. Örneğin her blokta en fazla 1 sembol hata olabileceği kabul edilirse, olası hatalı sembolün düzeltilebilmesi için 2P N 1 (7.1) 156 koşulunun sağlanması gereklidir. Burada P parite sembol sayısı, N ise toplam sembol sayısıdır. P'nin bundan daha küçük değerleri hata düzeltmeyi sağlamaz ancak hata olup olmadığının belirlenmesinde kullanılabilir. 7.2.1. Basit Parite En çok kullanılan basit 1 bitlik parite üretimini ve sağlamasını örnekleyerek anlatalım. Bu örnekte veri blokları 7 adet veri biti ve 1 adet parite bitinden oluşur. Paritenin çift yada tek olması gibi iki standard kullanım gelişmiştir. Bunlar sırasıyla pcift x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 x0 ve ptek pcift 'tir. Örnek olarak 0101100 veri bloğunu (veri kelimesi) ele alalım. Çift parite eklendiğinde 01011001 kanal bloğu (kod kelimesi) elde edilir. Buna karşın tek parite kullanıldığında 01011000 kod kelimesi oluşur. Tabi ki alıcının hangi parite standardının kullanıldığını bilmesi gerekir. Çift parite kullanıldığını ve alıcının aldığı kod kelimesinin, en sağ biti parite olmak üzere, 01011101 olduğunu varsayalım. 7 veri bitinden hesaplanan parite 0 fakat alınan parite bitinin 1 olduğu görüldüğünde bir hata olduğu sonucu üretilir. Buna karşı 2 bitte hata olsaydı ve örneğin 01010101 alınsaydı hiçbir hata olmadığına karar verilecekti. Benzeri durum tek parite kullanıldığında da oluşur. Yani, sadece 1 parite biti kullanıldığında çift sayıda bitte oluşan hatalar saptanamaz. Zaten basit barite yöntemi oldukça kısa mesafeli ve dolayısıyla düşük gürültülü kanallarda kullanılır. Hata olduğu görüldüğünde göndericiden son kod kelimesini tekrar etmesi istenir. 7.2.2. Boylamasına Parite kontrolü Her veri kelimesinde bir parite biti taşıyan çok sayıda kelimenin birleştirilmesi ile veri cümlesi çerçevesi oluşturulur. Bu çerçevedeki tüm kelimeler gönderildikten sonra tüm bit pozisyonları için de boylamasına bir parite biti hesaplanır ve sonuçta bir parite kelimesi oluşturulup gönderilir. Böylece alıcının iki yönlü bir kontrol yapması sağlanır. Örnek olarak, gönderilecek çerçevenin P-A-R-I-T-Y harflerinin ASCII karşılıkları olan 7 bitlik kelimelerden oluştuğunu varsayalım. Bu durumda her kelimenin parite biti ve her bit pozisyonunda boylamasına hesaplanan parite bitleri Şekil 7.3'te gösterildiği gibi olacaktır. P 1 0 1 0 0 0 0 0 her A 1 0 0 0 0 0 1 0 kelimenin R 1 0 1 0 0 1 0 1 parite I 1 0 0 1 0 0 1 1 biti T 1 0 1 0 1 0 0 1 Y 1 0 1 1 0 0 1 0 LRC 0 0 0 0 1 1 1 1 boylamasına parite bitleri Şekil 7.3 Boylamasına parite kontrolü (LRC : longitudinal redundancy check). 157 Boylamasına parite kontrolü yapılsa dahi bir dikdörtgen köşelerinde oluşacak 4 hata olması durumunda hata olduğu anlaşılamaz, çünkü tüm parite bitleri sağlanır. Ancak hataların bulunma olasılığı artar. 7.2.3. Toplama Sağlaması Toplama sağlaması (checksum) uzun veri çerçevelerindeki tüm kelimelerin aritmetik olarak toplanıp sonucun düşük değerli n kelimesinin ( W kelime uzunluğu olmak üzere, nW bit) iletilmesiyle gerçekleştirilir. Alıcı tarafında da aynı toplam yapılır ve sağlama kelimeleriyle karşılaştırılır, hata varsa sonuç büyük ihtimalle sağlanamaz. Örneğin çerçevemiz 16'lık sayı sisteminde yazılmış 8 bitlik {12, 40, 05, 80, FB, 12, 00, 26, B4, BB, 09, B4, 12, 28, 74, 11} kelimelerinden oluşsun. Tüm kelimelerin toplamı 12+40+05+80+FB+12+00+26+B4+BB+09+B4+12+28+74+11= 4F5'tir. Çerçeve sonunda 04-5F kelimeleri, sadece 5F yada 04-5F'in tüm bitlerinin tersi (one's complement) gönderilir. Eğer bitlerin tersi gönderildiyse alıcı sağlama kelimelerini de toplar ve sonucun sıfır çıkmasını bekler. Aynı sonucu üretecek çok sayıda bit dizilimi olabileceği açıktır. Bu nedenle çok güvenilir olmamasına rağmen hız ve kolaylık gerektiren yerlerde kullanılabilir. Toplama sağlaması yöntemi uygulamada çok çeşitli şekillerde yer bulmuştur. Konu daha çok bilgisayar bilimlerini ilgilendirdiği için burada detaylarına girmeyeceğiz. 7.2.4. Döngüsel Tekrarlılık Kontrolü Pozisyon Duyarlı Toplama da denilen döngüsel tekrarlılık kontrolü (CRC : cyclic redundancy check) çerçeveyi uzun bir ikili polinom P olarak ele alır. Gönderici bu polinomu sabit bir G polinomuna böler ve bölünemeyen kısmını (kalan) çerçevenin ardından gönderir. Alıcı tarafında da aynı bölme gerçekleştirilir ve bölmenin kalanının aynı olması beklenir. Kelimelerin ve bitlerin pozisyonları bölme sonucunu ve kalanı etkilediğinden toplama sağlamasından çok daha etkili bir hata bulma kabiliyetine sahiptir. Ancak, bu etkililiğin oluşması için G polinomunun özenle belirlenmiş polinomlardan olması gereklidir. Örneğin G x32 x 26 x 23 x 22 x16 x12 x11 x10 x8 x 7 x5 x 4 x 2 x 1 polinomu bilgisayar ağlarında (ethernet) kullanılan bir CRC polinomudur. 16'lık sayı sisteminde 04C11DB7 şeklinde 32 bitle ifade edilir. Benzeri şekilde G x5 x 2 1 polinomu da USB haberleşmesinde kullanılan CRC polinomudur. 8 bitlik bir CRC olası hataların 0.99969'unun belirlenmesini sağlar. Tabi ki veri bloğunun büyüklüğüne göre yine oldukça çok sayıda hata dizilimi farkedilmeden geçebilir. Polinomlarların kullanımını hata düzeltme kodları konusunda inceleyeceğiz. 7.3. Hata Geribildirimi İçinde hata olduğu saptanan veri blokları için alıcı göndericiye bir yeniden gönderim isteği iletir. Bu isteklere Otomatik Tekrar İsteği (ARQ: Automatic Repeat reQuest) denir. İki yönlü iletişim gerektiren ARQ işlemi için 3 yaklaşım vardır. Şekil 7.4'teki el sıkışma (handshaking) protokolüne benzeyen Dur-Bekle-ARQ (stop-and-wait-ARQ) yaklaşımı açıklanmaktadır. Gönderici her veri bloğu gönderiminden sonra alıcıdan paketin doğru alındığı (ACK) yada alınmadığına (NACK) dair bir cevap bekler. Cevap NACK ise yada önceden belirlenen bir süre (timeout) sonunda herhangi bir cevap 158 gelmemişse gönderici son veri bloğunu tekrar gönderir. Tabi ki bekleme süreleri boşa geçen zamandır. O nedenle bu basit yaklaşım iletişim hızının önemli olmadığı yada alıcının gönderilen veriyi zaten daha yavaş işlediği/kullandığı uygulamalarda yer bulur. Örneğin bilgisayar ile yazıcı arasındaki iletişimin bu şekilde olmasında bir sakınca yoktur. Alıcı Gönderici Paket A paket tamam ACK Paket B bekle paket hatalı NACK tekrar gönder Paket B ACK bekle Paket C ACK t t Şekil 7.4 Dur-Bekle hata geri bildirim yaklaşımı. Bu gibi sistemlerde bir zamanlama kontrolü de vardır. Gönderici alıcıdan uzun süre cevap alamadığında yada devamlı olarak NACK aldığında iletim ortamında problem olduğuna karar verip bir hata işareti üretir. Bu yaklaşımda paketlerin numaralı olmasına gerek yoktur. Hata olasılığının daha az olduğu sistemlerde beklemede geçen süreyi değerlendirmek için farklı bir yaklaşım kullanılabilir. Gönderici, paketleri numaralandırıp (paketin içine gömülü bir sayı) ardışıl paketler arasında ACK beklemeksizin sırasıyla gönderir. Gönderdiği ve henüz ACK almadığı paketlerin numaralarını da hafızada tutar. Gönderici, ACK almadığı en küçük paket numarası ile göndermek üzere olduğu paketin numarası arasındaki fark önceden belirlenen bir sayıyı aşarsa ACK almadığı paketten itibaren tüm paketleri yeniden ve aynı numaralarla gönderir. Önceden belirlenen bu fark sayısına pencere, bu yönteme de kayan pencere ARQ (sliding window ARQ) denir. Yöntemin zaman diyagramı Şekil 7.5'te gösterilmiştir. Kayan pencere yaklaşımı 2 şekilde gerçekleştirilebilir; 1. Alıcının sağlam aldığı paketler için numaralı ACK geribildirimi yapması ve hatalı paketler için birşey yapmaması. 2. Alıcının hatalı aldığı paketler için numaralı NACK göndermesi ve hatasız paketler için birşey göndermemesi. 3. Alıcının tüm paketler için numaralı ACK veya NACK geribildirim yapması. Göndericinin NACK beklediği seçeneklerde, NACK numarasından itibaren paketleri yeniden gönderebilir. Bilgisayar ağları gibi paketlerin farklı yollardan ve farklı zamanlarda yerine ulaşabildiği uygulamalarda 1'inci seçenek daha uygun görünüyor. Internette paketlerin hatalı ulaşmasından çok hiç 159 ulaşmaması olasılığı daha yüksektir. Alıcı aldığı paketlerin numaralarını hafızasında tutup eksik kalan numaralardan sonra gelen belirli sayıda paket aldıysa almadığı paket için NACK gönderebilir. Tabi ki bunun için alıcının da bir kayan pencere protokolü çalıştırması gerekir. Her üç durum için de sağlam iletilmediğine karar verilen paketten itibaren tüm paketler yeniden gönderilir. Gönderici Alıcı 1 2 3 4 pencere genişlik=5 ack 1 5 ack 2 6 ack 3 7 8 ack 5 4 ack 6 5 ack 7 6 ack 8 7 ack 4 8 ack 5 9 birşey gönderilmiyor yada nack 4 gönderiliyor t t Şekil 7.5 Kayan Pencere hata geri bildirim yaklaşımı. Internet gibi uç noktalarının çoğunlunun akıllı cihazlar/bilgisayarların olduğu bir ortamda sağlam paketlerin tekrar edilmesi verimli bir yaklaşım değildir. O nedenle, sadece sağlam iletilemeyen yada durumu bilinmeyen paketlerin tekrar edilmesi çok daha akılcıdır. Bu durumda Kayan Pencereli Seçimli Tekrar (Selective Repeat) yaklaşımı kullanılır. Bu yaklaşım hem gönderici hem alıcı tarafından kullanılabilir. Gönderici, ACK cevabı almadığı paketin üzerinden pencere genişliği kadar paket/süre geçtiğinde paketi tekrar eder, ACK aldığı bir paket için gelen NACK geribildirimlerini dikkate almaz. Alıcı, hiç almadığı yada hatalı paketin üzerinden pencere genişliği kadar paket/süre geçtiğinde NACK gönderir. ACK ve NACK geribildirimleri de iletimde kaybolabileceği için tüm paketler alıcı tarafından hatasız şekilde alınıncaya ve tüm paketler için göndericiye ACK ulaşıncaya kadar bu protokol uygulanır. 160 Alıcı Gönderici 1 2 3 4 Paket 4 üzerinden 4 paket geçti. 4 tekrar edilir. ack 1 5 ack 2 6 kayıp 7 ack 5 8 ack 3 4 ack 6 9 ack 7 ack 810 11 ack 4 12 ack 913 t t Şekil 7.6 Kayan Pencereli Seçimli Tekrar otomatik hata geri bildirim yaklaşımında gerçekte tüm paketler için hata geri bildirimine gerek yoktur, ya hatalı yada hatasız alınan paket numaraları geribildirilebilir. 7.4. Hata Düzeltici Blok Kodlar Gönderilecek veri eşit uzunlukta (çoğunlukla) kelimeler halinde düzenlenip bir tablodan her kelimeye karşılık bir kelime seçilerek gönderiliyor ve alıcı tarafında da bu işlemin tersi gerçekleştirilip asıl kelimeler, dolayısıyla asıl veri, geri elde ediliyorsa bu kodlamaya blok kodlama ismi verilir. Bu durum Şekil 7.7'te gösterilmektedir. Kodlamadan önceki kelime uzunluğu k ve kodlamadan sonraki kelime uzunluğu n olmak üzere bu kodlara ( n, k ) kodu denir. Burada, iki önemli sayıdan da bahsedelim. Kod oranı, R k n (7.2) kodlanmış sembol sayısının kodlanmamış sembol sayısına oranı olup R>1'dir. Tekrarlılık, tekrarlılık k n n (7.3) ise bilgi biti başına eklenen fazladan bit sayısı olup kodlama sonucunda kanal gürültüsüne karşı sağlanan dayanıklılığın bir ölçüsüdür. Kod oranı ve tekrarlılık kanal gürültüsüne karşı iyi olsa da 161 kanalın verimli kullanımı açısından kötü sayılabilir. Hata düzeltmenin sağlanabilmesi yada en azından hata olduğunun saptanabilmesi için veriye tekrarlılık eklenmesi gerektiğinden, zorunlu/doğal olarak n k 'dır. Yine hata düzeltme sağlanabilmesi için, gönderilen kelimeler arası farklılığın kelime başına düzeltilmesi istenen sembol sayısıyla ilişkili şartları sağlaması gerekir. bilgi sembolleri k x n tablo seriden paralele k->n ...0101101... sembol oranı r ...0101101... sembol oranı r paralelden seriye kanal sembolleri paralelden seriye dönüşüm k n sembol paralel sembol paralel n->k dönüşüm seriden paralele gönder sembol oranı rn/k al sembol oranı rn/k n x k tablo Şekil 7.7 Blok kodlama. Semboller arası farklılığın çok değişik ölçütleri vardır. Ancak burada, daha kolay anlaşılması için sembollerimizin bitler, kelimelerimizin de bitlerin yanyana getirilmesiyle oluşturulmuş genişletmeler (extension) olduğunu varsayalım. Bu durumda açık ara en çok kullanılan farklılık ölçütü Hamming uzaklığıdır. ci ve c j kelimeleri arasındaki Hamming uzaklığı, b bit numarası olmak üzere d (ci , c j ) count{ci [b] c j [b], b 0, , n 1} (7.4) şeklinde tanımlanabilir. Yani, ikili kelimeler arasında farklı olan karşılıklı bitlerin sayısıdır. Örneğin, 1010011 ve 0111011 kelimeleri arasındaki Hamming uzaklığı, x aynı olmayan bitleri temsil etmek üzere xx1x011'in içindeki x sayısı olup 3'tür. Alıcıdaki dedektörler konusunda (bölüm 6.2), kanal dalgaformları arasındaki uzaklığın gürültüye karşı nasıl etkili olduğundan, uzaklık arttıkça (Şekil 6.28) hata olasılığının azaldığından bahsetmiştik. Benzeri ilişki kelimeler için de geçerlidir. Yani kullanılan kelimeler arasındaki uzaklık arttıkça kelimeleri birbirine karıştırma olasılığı da azalır. O nedenle, kanal kodlamanın esası kod kelimeleri arasındaki uzaklığı arttırmaktır. Kanaldan en yüksek verimlilikle (denklem 4.24) faydalanabilmek için seçilecek dalgaformları arasındaki uzaklığı arttırmak kelimeler arasındaki uzaklığı arttırmakla eşdeğerdir. Kodlamanın ve seçici dalgaformlarının net etkisi işaret gücünü kullanılabilir kanal bantgenişliğinin heryerine gürültüden toplamda en az etkilenecek şekilde dağıtmak olarak özetlenebilir. Çünkü kapasiteyi etkileyen iki parametre, bantgenişliği ve işaret gücüdür (SNR). Kapasiteyi aşmak mümkün değildir, ancak olası alt-bantların herbirindeki gürültü gücüne göre davranıp kapasite kullanımını en-büyüklemek mümkündür. 162 Hata olduğunu saptama ve/veya düzeltmede faydalı olabilecek tekrarlılık için oldukça basit bir örnek yapalım. İkili kelimelerimiz 1 bit olsun; 0 ve 1. Aralarındaki Hamming uzaklığı 1 olup tekrarlılık yoktur ve alıcıda hatalar ne saptanabilir ne de düzeltilebilir. 1 bitlik tekrarlılık ekleyelim, örneğin 00 ve 11 kelimelerini 0 ve 1'i temsil etmek için kullanalım. Bu durumda, alıcı 00 veya 11 aldığında doğru aldığına, 10 veya 01 aldığında ise hata olduğuna karar verecektir. Tekrarlılık için 2 bit eklediğimizi ve 000 ve 111 kelimelerinin 0 ve 1'i temsil ettiğini düşünelim, ki bu bir (3,1) blok koddur. Tabi ki alıcının gördüğü olası diğer 3 bitlik durumlar, yani 001, 010, 011, 100, 101 ve 110 kelimelerinde hata olduğu sonucu çıkar. En fazla 1 bitlik hata yapıldığı varsayılırsa 001, 010 ve 100 durumlarında doğru kelimenin 0, 110, 101 ve 011 durumlarında ise 1 olduğuna karar verilir. Görüldüğü gibi 1 bitlik hatalar düzeltilmiş olur. Ancak iletim bit oranının 3 kat artması gerekmektedir. Bu işlemler haberleşme sistemine ayrılan bantgenişliği ve işaret gücü sınırları içinde gerçekleşiyorsa başarılı bir hata düzeltme uygulaması yapılmış demektir. Bir (n, k ) blok kodunda xi bilgi kelimesi ci kod kelimesi ile temsil ediliyorken xi x j bilgi kelimesi de ci c j kod kelimesi ile temsil ediliyor ise bu kod doğrusal blok kod olarak tanımlanır. xi ci ise xi x j ci c j (7.5) xi , x j ve xi x j olası 2 k bilgi kelimelerinden olduğundan ci c j de olası 2 k kod kelimelerinden birisidir. Yani kod kelimelerinin modular toplamı yine bir kod kelimesidir. Örneğin kodumuz {00, 01, 10, 11} 'dan {00000, 10100, 01111, 11011} 'a çeviren C kodu olsun. Bu kod doğrusaldır çünkü (7.5) şartını sağlamaktadır. Ancak aynı kod kelimelerinden oluşmasına rağmen {00000, 01111, 10100, 11011} kodu doğrusallık şartını sağlamamaktadır. Kod sınıflandırmalarında kullanılmak üzere bazı tanımlar yapmaya ihtiyacımız var. Hamming ağırlığı w(ci ) , ci 'nin 0 olmayan bit sayısıdır. Verilen bir C kodu için en küçük Hamming ağırlığı ise kod içinde tümüyle 0 olan kelimeden başka en az Hamming ağırlığına sahip olan kod kelimesinin ağırlığıdır wmin min{w(ci )} . (7.6) ci 0 Benzeri şekilde en küçük Hamming uzaklığı da d min min{d (ci , c j )} (7.7) ci ,c j i j şeklinde tanımlanır. Tabi ki doğal olarak, verilen bir C doğrusal kod için d min wmin 'dir. Kelimeleri e1 100...0 , e2 010...0 , ... ek 000...1 gibi sadece tek biti 1 diğer bitleri 0 olan bilgi kelimelerden oluşan bir dizisi olsun. Setteki herbir kelimeye karşı gelen ve n bitlik kod kelimelerinden oluşan dizi de g1 , g 2 , ... g k olsun. Bu durumda, eğer bir C doğrusal kod ise, doğrusallığı kullanarak x n n i 1 i 1 xiei ve c xigi yazabiliriz. Yani herhangi bir bilgi kelimesi için 163 üretilecek kod kelimesi, g i kod kelimelerinin doğrusal toplamı olacaktır. Matris işlemi şeklinde yazılırsa g1 g11 g def g G 2 21 g k gk 1 g12 g 22 gk 2 g1n g2n g kn (7.8) olmak üzere c xG (7.9) elde edilir. Doğrusal kodu tanımlayan G 'ye üretici matrisi (generator matrix) denir ve rankı k 'dır. Örneğini yaptığımız C {00000, 10100, 01111, 11011} kodu için 10 ve 01 bilgi kelimelerine sırasıyla karşı gelen 10100 ve 01111 kod kelimelerini alarak 10100 G 01111 (7.10) üretici matrisini oluşturabiliriz. Herhangi bir x bilgi kelimesi için kod kelimesi oluşturmak için G 10100 yeterlidir. Örneğin x =11 için c 1 1 = 10100 01111 =11011 bulunur. 01111 Eğer G matrisinin ilk k k 'lık ve son k (n k ) 'lık bölümleri g1 1 0 g 0 1 G 2 g k 0 0 0 g1,n k 1 g1,n k 2 0 g 2,n k 1 g 2,n k 2 1 g k ,n k 1 g k ,n k 2 g1n g2n I | P k k k ( n k ) gkn (7.11) şeklinde sırasıyla birim matris ve sıfır olmayan bir matris şeklinde ise bu koda sistematik kod ismi verilir. Bu durumda, verilen bir bilgi kelimesi için üretilecek kod kelimesinin ilk k biti, 1 i k xi , k ci p ji x j , k 1 i n j 1 (7.12) denkleminde gösterildiği üzere, bilgi kelimesi bitlerinden oluşmaktadır. G matrisinin sağdaki k (n k ) 'lık kısmına ise parite matrisi, bunlara karşıgelen kod kelimesi bitlerine de parite bitleri ismi verilir. Sistematik yaklaşım, kanal kodlaması yapacak devre yada yazılımların daha basit (daha az kaynak kullanan) olmasını sağlar. 164 7.4.1. Hamming Kodları Doğrusal blok kodların en çok bilineni ve en kolay anlaşılanı olan Hamming kodlarının yine en popüler üretici matrisi 1 0 G I | P 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 (7.13) şeklinde verilmektedir. Tek bit hata düzeltme kabiliyeti olan bu (7, 4) sistematik kodun, x1 x2 x3 x4 bilgi kelimesi olmak üzere, 7 bitlik kod kelimesi c1c2c3c4c5c6c7 c1 x1 c2 x2 c3 x3 c4 x4 (7.14) c5 x1 x2 x4 c6 x1 x3 x4 c7 x2 x3 x4 ile hesaplanır. Parite bitlerinin hesabında dikkat edilmesi gereken şey, her bilgi bitinin en az 2 parite bitini etkilemesidir. Yani 1 bitlik bir hata olduğunda bunun kontrol ve düzeltmesinde kullanılabilecek 2 bit vardır. 7 bit ile üretilebilecek 27 =128 olası kod kelimesinden 2 4 =16 tanesi kullanılmaktadır. Kullanılan kod kelimeleri arasında en küçük Hamming uzaklığı 3 olmaktadır. Şekil 7.8'te iki komşu kod kelimesi, aralarında kullanılmayan iki kelime ile gösterilmektedir. kullanılmayan kelimeler xi xu 1 xj xv 1 1 Hamming uzaklığı=3 Şekil 7.8 Aralarında 3 Hamming uzaklığı (3 bit farklı) bulunan 2 kod kelimesi. x i kelimesi gönderildiğinde, alıcı tarafında 1 bitlik hata ile x u alınırsa doğru kelimenin x i olduğu görülür. Benzeri şekilde x v kelimesi alındığında da gönderilen doğru kelimenin x j olduğuna karar verilir. Yani 7 bitlik blok içinde 1 bitlik hatalar düzeltilmiş olur. Denklem (7.14) ile kodun tüm 16 kelimesi üretilebilir; 165 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 Şekil 7.9 (7,4) Hamming kodunun tüm kod kelimeleri. (7,4) Hamming kodunun tüm kod kelimeleri incelendiğinde en küçük Hamming uzaklığının da, belirtildiği gibi, 3 olduğu görülebilir. Bunu en küçük Hamming ağırlığından, yani içinde en az sayıda 1 olan kod kelimesindeki 1'lerin sayısından da görebiliriz. Bu durumda alıcı, aldığı 7 bitlik koda en yakın kelimeyi tablodan bulup bunun ilk 4 bitini hatası düzeltilmiş bilgi kelimesi olarak değerlendirir. Örneğin, alıcının 0110101 aldığını varsayalım. Tabloda buna en yakın kelime 0100101'dir. Yani doğru bilgi kelimesi 0100'dır. Gerçekte alıcıda görülen r1r2 r3r4 r5r6r7 kelimesinin 16 elemanlı bir tablodan en yakın olanını bulmak için bir arama yapmaya gerek yoktur. Aşağıda belirtilen yolla hata düzeltmesi gerçeklenebilir. Modulo aritmetikte 0 0 1 1 0 olduğundan ci ci 0 yazabiliriz. Bu gerçek, (7.14) denklemlerine, alınan r1r2 r3r4 r5r6r7 kelimesi için uygulanırsa 0 r1 r2 r4 r5 0 r1 r3 r4 r6 (7.15) 0 r2 r3 r4 r7 elde edilir. Eğer r1r2 r3r4 r5r6r7 içinde en fazla 1 bit hata olduğu varsayılırsa s1 r1 r2 r4 r5 s2 r1 r3 r4 r6 (7.16) s3 r2 r3 r4 r7 ile hesaplanan s1s2 s3 sendrom vektörü incelenerek hangi bitin hatalı olduğu bulunup düzeltilebilir. Tabi ki s1s2 s3 =000 ise hata yoktur ve r1r2 r3r4 doğrudan hatasız bilgi kelimesi olarak değerlendirilir. Sendrom vektörünün diğer değerleri ise olası hataları temsil etmek üzere herbir bit pozisyonuna 1 verilerek (diğer bitler 0) bulunur. Yada, sendrom denklemleri incelenerek, herhangi bir bitin 1 diğerlerin 0 olması durumunda s1s2 s3 sendrom vektörünün ne olacağı bulunabilir. Örneğin 1000000 kod vektörü, r1 ilk 2 sendrom denkleminde yer aldığı için 110 sendrom vektörünü üretir. Diğer bitler için aynı işlem tekrarlandığında r2 , r3 ve r4 hataları için sırasıyla 101, 011 ve 111 sendrom vektörleri 166 bulunur. r5 , r6 ve r7 hataları için ise 100, 010 ve 001 bulunacaktır, ancak, zaten bu noktadan sonra parite bitlerine ihtiyaç olmayacağı ve onlardaki hataları düzeltmeye gerek olmadığı için bu vektör değerleri dikkate alınmayabilir. Eğer 2 bitte birden hata varsa, (7,4) kodlar hem bu hataları düzeltmek için yetersizdir hem de düzeltmeye çalışmak daha büyük hatalara sebep olabilir. Bu durumu bir örnek ile açıklayalım. Varsayalım ki hem r1 hem r2 hatalı olsun. Sendrom vektörü 011 olarak hesaplanacak ve r3 'ün hatalı olduğu sonucu üretilecektir. r3 değiştirildiğinde ise toplamda 3 bit hata üretilmiş olur. O nedenle (7,4) kodlar hata olasılığının düşük olduğu, kelime başına sadece 1 bitlik hata olabileceği sistemlerde kullanılırlar. Daha düşük hata olasılığı olan sistemlerde kodlama verimliliğini arttırmak için daha uzun kod kelimeleri kullanılabilir. (n, k ) doğrusal kodun tek bitlik hata düzeltme kabiliyeti olması için sendrom bit sayısının (dolayısıyla parite bit sayısı) hatasızlık durumuyla beraber tüm bit hatalarını ayrı ayrı gösterebilir olması gereklidir. Yani 2nk n 1 olmalıdır. Eşitlik durumunu sağlayan diğer Hamming kodları (15,11), (31,26), (63,57) ... şeklinde bulunabilir. Örnek olarak (63,57) kodu 57 bitlik bilgi kelimesine karşılık 6 parite biti kullanmakta ve düşük bir tekrarlılıkla tek bitlik hataları düzeltmektedir. Ancak hata üretebilecek bir sistemde 63 bit başına tek hatayı garanti etmek oldukça zordur. Haberleşme de değil de çok düşük hata beklenen hafıza/kayıt sistemlerinde kullanılabilir. Benzeri yaklaşımla 2 bitlik hata düzeltme için gerekli parite biti oranını bulmaya heveslenebiliriz. n bitlik bir kod kelimesinde 2 bitlik hata seçenekleri 1-2, 1-3, ..., 1- n , 2-3, 2-4, 2- n , n 2 ... n 1 - n olmak üzere n! n(n 1) tanedir. Örneğin 8 bitlik bir kod kelimesi için 28 2(n 2)! 2 adet ikili ve 8 adet tek bit hata olasılığı vardır. Bu 36 farklı hata durumunu gösterebilmek için kodun 6 bitini parite bitlerine ayırmamız gerekir ki hiç kullanışlı olmadığı görülüyor. Daha uzun kod kelimelerinde ise verimlilik artar. Örneğin 32 bit için olası tek ve çift hata sayısı 496'dır. Bu ise 9 bitle gösterilebilir. Kalan 32-9=23 bit bilgi kelimesine ayrılır. Yani kodun yaklaşık 3'te birini pariteye ayırdığımızda 32 bitlik kelimeler içinde 1 ve 2 bitlik hatalar düzeltilebilir. Tabi ki burada da tek bit hata düzeltmede karşılaştığımız soru yine gündeme gelir; Uzun kod kelimelerinde en fazla 2 hata olacağını garanti edebilirmiyiz? 7.4.2. Döngüsel Kodlar Doğrusal blok kodlardan olan döngüsel kodların ayırıcı özelliği her kod kelimesinin sağa yada sola döndürülmüş halinin de bir kod kelimesi olmasıdır. Örneğin kod C 000,110,101,011 olsun. Kod kelimelerini sağa veya sola Cr 000,011,110,101 ve Cl 000,101,011,110 şeklinde döndürdüğümüzde C içindeki kod kelimelerini elde ederiz. Döngüsel kodların c c1c2 cn1cn kod kelimeleri n c( p) ci p n i c1 p n 1 c2 p n 2 cn 1 p cn i 1 (7.17) 167 şeklinde (n 1) 'inci dereceden bir polinom olarak düşünülür. c kod kelimesinin döndürülmüş hali c(1) (c2 , c3 , , cn , c1 ) ise c(1) ( p) c2 p n1 c3 p n2 cn1 p 2 cn p c1 polinomudur. Buradaki matematik işlemler yine modulo aritmetiğine göre yapılır. Yani 0+0 1+0 0x0 1x1 = = = = 1+1 = 0-0 = 1-1 = 0 0+1 = 0-1 = 1-0 = 1 0x1 = 1x0 = 0 1 dir. Bu polinomların bir özelliği pi c( p) /( p n 1) bölmesinin kalanının c( i ) ( p ) olmasıdır. Bunu i=1 için bir örnekle görelim; pc( p) p(c1 p n1 c2 p n2 cn1 p cn ) pc( p) c1 p n c2 p n1 cn1 p 2 cn p polinomunu p n 1 'e bölelim. c1 p n c2 p n 1 cn 1 p 2 cn p c1 p n c1 pn 1 c1 c2 p n 1 c3 p n 2 cn p c1 c (1) ( p ) p i c( p ) c ( i ) ( p ) Benzeri şekilde, genel olarak n ci 'dir. Eşitliği p n 1 ile genişletirsek n p 1 p 1 c(i ) ( p) pi c( p) ci ( p n 1) elde edilir ve i n için c( n ) ( p) pnc( p) cn ( p n 1) c( p) yazılmasıyla bir kod kelimesi n defa döndürülürse yine kendisinin elde edildiği görülür. Bir (n, k ) döngüsel kodunda tüm kod kelimesi polinomları üretici polinomunun katlarıdır (döndürülmüş halleri). Üretici polinomu ise p n 1 polinomunu tam olarak bölen bir g ( p) pnk g2 p nk 1 g3 p nk 2 gnk p 1 polinomudur. x ( x1, x2 , , xk 1, xk ) bilgi kelimesi X ( p) x1 p k 1 x2 p k 2 xk 1 p 1 polinomu ile temsil edilirse kod kelimesi polinomları c( p) X ( p) g ( p) ile üretilir. Örneğin, x (1010) ve g (1101) olsun. Bu durumda c( p) ( p3 p)( p3 p2 1) p6 p5 p3 p4 p3 p c( p ) p 6 p 5 p 4 p bulunur. Yani c (1110010) . n =7 ve k =4 olduğuna göre bu bir (7,4) koddur. Ayrıca x , c 'nin içinde görülmediğinden bunun bir sistematik kod olmadığını anlıyoruz. Bir örnek daha yapalım ve bir (7,4) döngüsel kod üretici matrisi üretelim. 7-4=3 olduğuna göre 3'üncü derece bir polinoma ihtiyacımız var ve bu polinom p 7 1 polinomunu tam olarak bölmelidir. Çarpanlarına ayırırsak p7 1 ( p 1)( p3 p 2 1)( p3 p 1) elde edilir ve içlerinden 3'üncü derece bir polinom seçebiliriz. Üretici polinomu olarak g ( p) p3 p 2 1 seçtiğimizi 168 varsayalım. Bu durumda x1 x2 x3 x4 bilgi kelimesini temsil eden X ( p) x1 p3 x2 p 2 x3 p x4 polinomu üretici polinomu ile c( p) ( x1 p3 x2 p 2 x3 p x4 )( p3 p 2 1) şeklinde çarpıldığında kod polinomu elde edilir; c( p) x1 p6 ( x1 x2 ) p5 ( x2 x3 ) p 4 ( x1 x3 x4 ) p3 ( x2 x4 ) p 2 x3 x4 . Kod polinomu x1 ( x1 x2 )( x2 x3 )( x1 x3 x4 )( x2 x4 ) x3 x4 kod kelimesini temsil etmektedir. Buradan da, 1000, 0100, 0010 ve 0001 bilgi kelimelerini girdi olarak kullanarak 1 0 G I | P 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 (7.18) üretici matrisi yazılabilir. İstenirse 0000'dan 1111'e kadar tüm kod kelimeleri (16 adet) bu matris ile çarpılarak karşıgelen kod kelimeleri bulunabilir. Yada herhangi bir kod kelimesini temsil eden polinom üretici polinom ile çarpılarak ilgili kod polinomu, dolayısıyla kod kelimesi bulunabilir. Örneğin, bilgi kelimemiz 1101 olsun. Bu kelimeyi temsil eden polinom p3 p 2 1 'dir. Üretici polinom g ( p) p3 p 2 1 ile çarpıldığında c( p) p6 p 4 1 kod polinomu, yani 1010001 kod kelimesi elde edilir. Aynı bilgi kelimesini 1 0 c xG 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1010001 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 (7.19) şeklinde bilgi vektörünü üretici matris ile çarparak da elde edebiliriz. Dikkat edilirse (7.18) ile verilen üretici matris sistematik değildir. Ayrıca dikkat edilmesi gereken bir diğer nokta, tüm satırların üretici polinomun temsil ettiği kod kelimesinin kaymış halleri olduğudur. Bu durum döngüsel kodlar için geçerli bir özelliktir. Yani üretici polinomu verilen bir döngüsel kodun üretici matrisini doğrudan yazabiliriz. Örneğin g ( p) p3 p 1 polinomunu ele alalım. Üretici matrisinin ilk satırını 1011000 olarak yazabiliriz. Diğer satırlar da sırasıyla 0101100, 0010110 ve 0001011 şeklinde yazılır. Sonuç olarak, üretici matrisi 1 0 G I | P 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 şeklinde bulunur. Bu matris de sistematik değildir. (7.20) 169 Üretici matrisler üzerinde satır-sütun işlemleri yapılarak sistematik matris üretilebilir. Denklem (7.18) ile verilen üretici matrisini sistematik hale getirelim. İkinci satırı birinci satır üzerine, ardından 3. satırı 1 ve 2. satırlar üzerine ekleyelim. Son olarak, 4. satır 2 ve 3. satırlar üzerine eklendiğinde matrisin sol 4x4'lük kısmı birim matris olur, sağ kısmı ise parite matrisidir; 1 0 G 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 Bu noktada soru, satır-sütun işlemleriyle üretilen sistematik kodun döngüsel olup olmadığıdır. Döngüsel bir sistematik kodda, p n k X ( p ) g ( p) bölümünden kalan ( p) olmak üzere c( p) p nk X ( p) ( p) 'dir. g ( p) p3 p 2 1 polinomu ile verilen kod için sistematik döngüsel matrisini bulalım. Bunun için x1 x2 x3 x4 bilgi kelimesini temsil eden X ( p) x1 p3 x2 p 2 x3 p x4 polinomunu p74 / g ( p) ile çarpımından kalanı bulmalıyız. Bölme yapıldığında x1 p 6 x2 p5 x3 p 4 x4 p 3 ( p) x1 p 3 ( x1 x2 ) p 2 ( x1 x2 x3 ) p ( x2 x3 x4 ) 3 3 2 p p 1 p p2 1 ve ( p) ( x1 x3 x4 ) p 2 ( x1 x2 x3 ) p ( x2 x3 x4 ) polinomu bulunur. Genel kod kelimesi c( p) x1 p6 x2 p5 x3 p 4 x4 p3 ( x1 x3 x4 ) p 2 ( x1 x2 x3 ) p ( x2 x3 x4 ) ve buradan da üretici matris 1 0 G 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 (7.21) olarak bulunur. Görüldüğü gibi, satır-sütun işlemleriyle elde edilen sistematik matris ile aynı matrisi elde ettik. Tüm kod kelimeleri üretildiğinde, herbirinin koddaki bir diğer kelimenin kaydırılmış hali olduğunu görebiliriz (Şekil 7.10). Döngüsel kodların sendrom polinomu ise alınan vektörü temsil eden polinomun s( p) Rem r( p) g ( p) şeklinde üretici polinoma bölünmesinden kalandır. g ( p) p3 p 2 1 polinomu için s( p) ( x1 x3 x4 x5 ) p 2 ( x1 x2 x3 x6 ) p ( x2 x3 x4 x7 ) bulunur. Bilgi bitlerinde oluşacak hatalar için sendrom vektörleri yine ilgili bitin 1 diğerlerinin 0 olduğu durumları test ederek bulunabilir. Yani, 1'in hatalı biti temsil ettiği 1000, 0100, 0010 ve 0001 bilgi bitleri için sendrom vektörleri (parite bitlerini 0 alarak) 110, 011, 111 ve 101 olur. Bu vektörlerle karşılaşıldığında ilgili 170 bitin hatalı olduğuna karar verilip düzeltilir. Hatasızlık durumu ve parite bitlerinde oluşan tek bitlik hatalar için ise 000, 100, 010 ve 001 vektörleri elde edilir, ki bu durumlar alıcıda gözardı edilebilirler. 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 Şekil 7.10 p3 p 2 1 polinomu ile üretilmiş sistematik döngüsel kod kelimeleri. Alıcı tarafında, giriş bitleri r1r2 r3r4 r5r6 r7 vektörü şeklinde paralel hale getirilmiş işaret içindeki tek bit hatalar sayısal kombinatoryal devrelerle düzeltilebilir. Bunun için öncelikle sendrom bitleri hesaplanır, ardından sendrom vektörünün 4 durumu için ilgili bitlerin tersi alınır. Yani s1 r1 r3 r4 r5 , s2 r1 r2 r3 r6 ve s3 r2 r3 r4 r7 kombinatoryel devreleri çıkışları x1 r1 s1 s2 s3 , x2 r2 s1 s2 s3 , x3 r3 s1 s2 s3 ve x4 r4 s1 s2 s3 kombinatoryel devrelerine verilerek hatası düzeltilmiş bilgi vektörü elde edilir. Buradaki ve işaretleri sırasıyla XOR ve AND mantık işlemleridir. Şekil 7.11 bu mantık işlemlerden oluşan kombinatoryal devreyi göstermektedir. Her ne kadar devre denklemlerden daha karmaşık görünse de, işlem HDL dillerinde çok daha kolay gerçekleştirilebilmektedir. Gönderici tarafında parite bitlerinin üretimi ise çok daha basit devrelerle gerçekleştirilebilir. r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r1 r3 r4 r5 s1 r1 s1 s2 s3 r1 r2 r3 r6 r2 r3 r4 r7 s2 s3 r2 s1 s2 s3 r3 s1 s2 s3 r4 s1 s2 s3 x1 x2 x3 x4 171 Şekil 7.11 (7,4) kod için kombinatoryal hata düzeltme blok devresi. 7.5. Evrişim Kodları Blok kodlarda, Şekil 7.12 ve ilgili paragraflarda ima edildiği üzere doğrudan kombinatoryal mantık devreleriyle gerçekleştirilebilir, dolayısıyla hafıza gerekmemektedir. Evrişim (convolutional) kodlarının blok kodlardan en önemli farkı veri blokları değil doğrudan veri akışı üzerinde çalışması, bu nedenle önceki değerleri saklamak için hafıza kullanmasıdır. Blok kodlardaki gibi parite biti kavramı yoktur, tekrarlılık doğrudan akış üzerine eklenir. Geri besleme içermeyen genel bir evrişim kodlayıcı blok şeması Şekil 7.12'de verilmiştir. hafıza ikili akış girişi 1 0 1 … 0 1 1 0 0 1 evrişim(ler) ikili akış çıkışı 0 1 … 1 0 evrişim sonucu hafızası Şekil 7.12 Evrişim kodlama genel blok şeması. Bu yöntemde ikili akış ri bit oranıyla ötelemeli kaydediciye girer. Çıkış işe ro bit oranıyla sağlanır. Burada giriş verisinin geçici olarak saklandığı ötelemeli kaydedici boyu N , evrişim sonucunun tüm bitleri çıkışa verilinceye kadar saklandığı çıkış ötelemeli kaydedicisi ise K olsun. Giriş kaydedicisine öncekiler ötelenerek alınan herbir bit için hesaplanan çıkış biti sayısı K olmaktadır. Bu kodlayıcıya 1'e K evrişim kodlayıcısı ismi verilir ve oran 1/ K şeklinde gösterilir. Evrişim kodlamaya böyle bir isim verilmesinin nedeni gerçekten evrişim yapılmasıdır. Kesikli zamanda, xn ve hn evriştirilecek diziler olmak üzere, evrişim yn hx k k n k (7.22) şeklinde bir sonsuz toplam ile tanımlanır. Burada evriştirilecek dizilerden birisi sonlu ise, örneğin hn sadece (0,K) aralığında sıfır olmayan bir değer alıyorsa (FIR: finite impulse response), evrişim 172 K 1 yn hk xn k (7.23) k 0 olarak kısaltılabilir, çünkü toplamın geri kalan terimleri sıfırdır. İşaret işleme derslerinden hatırlayacağınız gibi evrişim, doğrusal bir sistemin çıkışındaki işareti hesaplamak için kullanılır. Burada xn ve hn , sırasıyla giriş işareti ve sistemin birim darbeye tepkisidir. Ancak burada xn girdi işareti ve hn sistem tepkisi ikili sayılardan oluştuğu ve toplama/çarpma işlemleri de modulo aritmetiğiyle yapıldığından çıkış işareti de ikili akıştır. Çıkış işaretine tekrarlılık eklenebilmesi için birden fazla evrişim kullanılır ve girişteki 1 bit için çıkışta K bit üretilir. Yani, blok kodlarda olduğu gibi evrişim kodlarında da eklenen tekrarlılık, işaretin artan bantgenişliği ile sağlanır. Ek olarak, blok kodlarında 1 bitteki bilgi ilgili blok içine yayılırken, evrişim kodlarında sözkonusu bitin etrafındaki bitlere yayılır. Bu da daha etkili bir "olası hatayı zamana yayma" gerçekleştirir. K =3 ve k 0,...K 1 olmak üzere, h0 {h00 , h01 , h02 } ve h1 {h10 , h11 , h12 } birim darbe tepkilerine sahip iki süzgeci ele alalım. Süzgeçler K =3 adet ardışıl girdi biti üzerinde çalışacaklarından, bu bitleri bir sonraki hesap için saklamak üzere 3 adet hafıza (flip-flop) birimine ihtiyaç vardır. Çıktılar, sırasıyla K 1 y0 n h0 k xn k h00 xn h01 xn1 h02 xn2 ve k 0 K 1 y1n h1k xn k h10 xn h11 xn1 h12 xn2 k 0 olacaktır. Şekil 7.13'te gösterildiği gibi, y0n ve y1n bitleri, sırasıyla çıkışa verilip kodlama tamamlanacaktır. Tabi ki, xn akışının bit oranı ri ise yn akışının bit oranı ro 2ri olacaktır. O h0 nedenle 'den oluşan bu koda ½ oranlı evrişim kodu ismi verilir. h1 h00 xn h01 xn1 h02 xn2 xn xn ri F0 xn 1 F1 y1n xn 2 ro 2ri yn F2 h00 xn h01 xn1 h02 xn2 y2n nTb / 2 Şekil 7.13 ½ oranlı evrişim kodlayıcı devre. Bilgiyi çevre bitlere yaymak için herhangi bir h0 , h1 süzgeç seti kullanılamaz. Örneğin h 1 0 0 H 0 seti girişteki bitleri aynen çıkışa vereceğinden kullanılamaz. H kodunun h1 1 0 0 173 herbir satırına kod vektörü denir. Kullanılabilecek kodların belirlenmesine daha sonra değineceğiz. Şimdilik örnek 1 1 1 H 1 0 1 olarak kodunu inceleyelim. y0n xn xn1 xn2 ve y2n xn xn2 olur. Kodlayıcı devre de Şekil 7.14'te verildiği gibidir. y1n xn xn xn 1 F0 ri xn 2 F1 ro 2ri yn F2 y2n nTb / 2 Şekil 7.14 h0 {1,1,1} , h1 {1,0,1} evrişim kodlayıcı devre. Devrenin, başlangıçta kaydediciler 000 durumunda iken 11010 girişi ile üreteceği kodlanmış dizi, her bite karşılık 2 bit olmak üzere, 1101010010'dir. Ancak kaydedicilerde bulunup henüz tam olarak çıkışa verilmemiş veri için girişe ilave olarak 00 bitlerinin de verilmesi gerekir. Yani tüm kodlanmış çıkış 11010100101100 olur. Bu durum ek bir yük/tekrarlılık getirmiş gibi görünse de, normalde giriş verisi çok uzun süreli bir akış olacağından önemsizdir ve, N işlenen bit sayısı olmak üzere, Lim( N çıkış ) 2 N giriş olur. Girişteki 1 bitteki bilgi çıkışta 3 giriş bitine karşıgelen 6 bite yayılır. n Şekil 7.14'ü incelediğimizde F0 kaydedicisinin sadece xn girdisini bit süresi boyunca tutma amaçlı olduğunu, aslında devreden çıkarılabileceğini görürüz. Bu durumda devre, F0 çıkışının control girdisi olarak, F1 ve F2'nin ise şimdiki durumu tutmak için kullanıldığı bir durum makinasıdır (statemachine). Bir geri besleme olmadığından, durumları sadece F1 ve F2'nin içeriği, geçişleri de F0'ın içeriği belirler. Bu devre, tek girişli ve 22=4 durumlu bir durum makinasıdır. Durum geçişleri Şekil 7.15'te gösterilmiştir. şimdiki durum 00 çıkışlar 00 sonraki durum 00 11 01 10 00 11 01 01 10 10 F0'ın içeriği 0 ise geçiş 1 ise geçiş 01 11 10 11 Şekil 7.15 h0 {1,1,1} , h1 {1,0,1} evrişim kodlayıcının durum geçiş grafiği. 174 Durum geçiş grafiği kısaca şöyle bir örnekle açıklanabilir; F1F2'nin içeriği 10 (şimdiki durum), F0 içeriği ise 0 ise 10 çıkışıyla 01 (sonraki durum) durumuna geçilir. F0 içeriği 1 ise 01 çıkışıyla 11 durumuna geçilir. Buradaki çıkış değerleri (F0,F1,F2) ve (F0,F2) içerikleri ile hesaplanır. Durum geçiş grafiği ardışıl şekilde tekrar edildiğinde herhangi bir giriş ikili akışı ile çıkış akışının ne olması gerektiği izlenebilir. Şekil 7.15'te gösterilen durum geçiş grafiğinin ardışıl 7 kez tekrarı Şekil 7.16'da gösterilmiştir. Tekrarlı durum geçiş grafiklerine kafes diyagramı (trellis) ismi verilmektedir. Diyagramda, başlangıçta 00 durumda iken girişe gelen 1101000 dizisi ile geçilecek durumlar ve izlenecek yol aynı şekilde kalın çizgilerle gösterilmiştir. Bu geçişler ile oluşacak çıkış ikilileri de ilgili geçiş yanına en soldan kopyalanarak yazılmıştır. Yani çıkış dizisi 11010100101100 ve son durum ise 00 olacaktır. giriş 00 1 1 0 1 0 0 0 00 00 11 11 11 01 … 00 00 10 10 10 01 01 11 01 … 01 10 Şekil 7.16 Durum geçiş grafiklerinden oluşturulmuş kafes (trellis) diyagramı. 7.5.1. Viterbi Algoritması Elimizde 11010100101100 dizisi varsa, başlangıç durumunu 00 kabul ederek, asıl dizi olan 1101000'i yine aynı kafes diyagramını kullanarak bulabiliriz. Alıcı tarafında yapılan budur. Peki bunun hataları düzeltmekte ne faydası olacaktır? Göndericinin bu evrişim kodlayıcı ile 1101000 dizisini kodlayarak 11010100101100 gönderdiğini, alıcının ise kanal gürültüsü sebebiyle 11000100101100 aldığını, yani bir hatalı kanal biti (yarım bilgi biti) oluştuğunu varsayalım. Şekil 7.17 14 kanal biti alındığında alıcı tarafında oluşacak kafesi ve tüm geçiş olasılıklarını göstermekte. Geçişler üzerindeki sayılar ise alınan bit çifti ile göndericideki ilgili geçişte üretilecek olan bit çifti arasındaki Hamming uzaklıklarıdır. Örneğin geçiş ile üretilecek olan bit çifti 01 ve fakat alınan bit çifti 00 olsun. Bu durumda Hamming uzaklığı 1'dir ve ilgili geçişin yakınına yazılmıştır. Yani Şekil 7.17 tüm olası geçişleri ve o geçişler ile oluşacak Hamming uzaklıklarını göstermektedir. Her durumdan ayrılan 2 adet yol olduğuna göre olası başlangıç noktasından ileriye doğru gidildikçe bir ikili ağaç (binary-tree) oluştuğunu görebiliriz. Şekil 7.17'de en sağdaki durumlardan birine gelindiğinde geçilen 7 durum dolayısıyla 27 farklı yol izlenmiş olabileceği açıktır. Kanalda hiç hata olmamış ise, yollardan sadece bir tanesinin 0 toplam Hamming uzaklığına sahip olacaktır. Herhangi bir tek bitlik hata durumunda ise yolların hiçbiri 0 toplam uzaklığa sahip olmaz. Alıcının yapması gereken, tüm bu olası yollar ile oluşacak Hamming uzaklıklarını toplayarak en düşük Hamming uzaklığını sağlayan yolu seçmek ve yolun gösterdiği bitleri çıkışa vermektir. Ancak olasılık sayısı, geçilen her durumda 2 katına çıktığından bir süre sonra bu olasılıklar ve toplam hatalar basit 175 algoritmaların ele alamayacağı kadar çoğalabilir. Gerçekte tüm olası yolları ve hataları hafızada tutmanın anlamı yoktur. Çünkü, herhangi bir anda, olası 4 durum ve o durumlara erişen 8 yol vardır. Eğer bir önceki durumda en düşük uzaklıklar hafızada tutuldu ise, yeni durumdaki uzaklıklar da en düşük olacaktır. O nedenle Viterbi algoritması olarak isimlendirilen ve hataların yeterince seyrek ve yerel olduğunu varsayan bir yöntem kullanılmaktadır. Zaten hatalar yeterince seyrek değilse düzeltilme olanağı da olmadığından algoritmanın karmaşıklığı ve derinliğinin bir faydası olmaz. Viterbi algoritması Saklı Markov Modeli (Hidden Markov Model) denilen stokastik yaklaşımın bir çözüm yöntemidir. alınan 11 00 2 00 11 0 11 01 00 2 0 00 01 1 00 10 1 01 01 1 1 2 0 2 0 2 2 2 0 0 2 0 1 1 00 11 1 1 2 0 1 1 1 10 0 1 1 10 11 10 1 0 0 1 1 2 1 2 1 2 1 1 0 1 1 1 Şekil 7.17 Alıcıda oluşan kafes. Yollar üzerine Hamming uzaklıkları yazılmış. Kalın çizgilerle gösterilen yol en düşük toplam Hamming uzaklığını veren yoldur. Şekil 7.17 incelendiğinde neden olası tüm yolların hafızada tutulmasına gerek olmadığı anlaşılır. Herhangi bir anda olası durumlar ve olası geliş yolları 3 basamak öncesindeki aynı noktadan ayrılmış olabilir. Yani bir basamaktaki en düşük 4 uzaklık, içlerinde doğru seçenekle beraber, hafızada tutulduğunda doğru seçeneğin bir sonraki basamağa aktarılacağı açıktır. Böylelikle, karar verilinceye kadar, doğru seçenek her zaman seçeneklerin içinde olacaktır. Ancak, hatayı takip eden 3 basamak içinde bir hata daha olursa, hatanın şekline bağlı olarak, doğru seçenek (yol) hiçbir zaman bulunamayabilir. Viterbi algoritmasının çalışmasını anlamak için gönderilen kanal biti çiftlerini kafes oluşturarak işleyelim. Şekil 7.18a ilk 4 bit (2 çift) alındığında alıcıda oluşan kafesi, üzerinde Hamming uzaklıklarıyla göstermektedir. Alıcı tarafı da 00 durumundan başlayacağından, ilk çift için sadece 2 yol, ikinci çift için 4 yol gösterilmiş, diğerleri sadelik amacıyla silinmiştir. Hamming uzaklıkları yol üzerine işaretlenmiştir. En sağda durumların yanında gösterilen, virgülle ayrılmış (4,?) gibi sayılar da olası yollardan geçişlerde oluşan uzaklıklar toplamıdır. Her duruma 2 yol ile gelinebilir ve durumdan 2 yol ile ayrılınabilir. Kolaylık sağlaması için, soldaki sayı üstteki yoldan gelişteki, sağdaki ise alttaki yoldan gelişteki hatalar toplamını göstersin. '?' işareti henüz ilgili yoldan gelme olasılığının olmadığını göstermektedir. İlk iki çift alındığında oluşan uzaklıklar toplamları 01 ve 11 durumlarına gelen yolların daha yüksek olasılıkları olduğunu göstermektedir. Ancak, alıcı burada hemen karar vermez. 176 alınan 11 00 0 00 2 00 00 11 11 0 01 2 2,? 11 11 2 2 0 3,2 10 10 4 4,? 01 01 0 1 01 11 6,1 00 1 3,2 1 1 1 ?,1 01 10 1 1 00 1,? a) b) 1 10 2 4,3 Şekil 7.18 a) ilk 4 bit alındığında ve b) 5 ve 6. bit alındığında oluşan kafes ve uzaklıklar. Şekil 7.18b, üçüncü çift olan 01 alındığında kafesin devamında oluşan durumları ve uzaklıkları göstermektedir. En sağdaki uzaklık toplamları, ilgili yolların üzerindeki uzaklıklar ve önceki durum yanına işaretlenmiş olan uzaklığın toplamıdır. Örneğin 00 durumu yanına yazılmış olan (3,2)'deki 3, üstten gelen yol uzaklığı olan 1 ile önceki durumda belirlenen 2'nin toplamıdır. Benzeri şekilde, (3,2)'deki 2 ise alttaki yol uzaklığı olan 1 ile önceki uzaklık 1'in toplamıdır. Şimdi her duruma geliş için 2 olasılık olduğuna göre, her durum için, uzaklık çiftlerinin küçük olanını seçip diğer seçenekten (büyük olan sayı) geriye doğru olan yolları sileceğiz. Şekil 7.19 bu düzeltmeyi yapılmış olarak göstermektedir. alınan 11 00 01 -,2 00 11 0 11 01 10 00 1 1 1 -,1 -,2 10 1 01 11 01 0 10 2 -,3 Şekil 7.19 5 ve 6. bit alınıp uzak yolların silinmesiyle oluşan kafes, uzaklıklar. Geriye doğru düzeltme yapıldıktan sonra kalan olası yollara "hayatta kalanlar" (survivors) denir. Hayatta kalan yollar içinde, varsa, durum geçişi için tek seçenek olan yollar ise ortak dal (common stem) olarak isimlendirilir. Şekil 7.19'da 00'dan 10'a geçişi gösteren kalın çizilmiş yol ortak daldır ve kesiksiz çizgi ile gösterildiğinden gönderilen/alınan bilgi bitinin 1 olduğuna karar verilir. Örneğimizde ilk bilgi bitinin çözümlenmesi alınan 6 kanal bitinden sonra yapılabildi. Bu gecikme daha da uzun olabilir. Teoride, kanal bitlerinin birbiriyle ilişkisine bağlı olarak, gecikmenin bir sınırı yoktur. Hatta hata hiçbir zaman belirlenemeyebilir de. Ancak genel olarak, bu algoritmayı uygulayan alıcılarda kafes derinliği olarak kodlayıcının hafıza büyüklüğü olan K 'nın 5 katı kullanılır. Çok düşük 177 ihtimal olmasına rağmen, pratikte kararsızlık bu derinliğe ulaşır ise en düşük uzaklık değerine sahip yola ait dal seçilir. Her zaman en düşük uzaklık değerlerinin olduğu yollar seçildiği ve diğerleri atıldığı için bu algoritmaya kesin-kararlı (hard-decision) Viterbi algoritması denir. Kafes oluşumuna devam edelim ve kanalda oluşan hatanın düzeltilişini görelim. Şekil 7.20 7 ve 8. bitler alındıktan sonra yapılan uzaklık hesaplarını ve Şekil 7.21 de hayatta kalanlar seçildikten sonra kafesin durumunu göstermektedir. Görüldüğü gibi en kısa yol doğru bitleri göstermesine rağmen henüz ikinci ortak dal (ikinci bilgi biti) kararı verilmemiş, sonraki basamaklara bırakılmıştır. alınan 11 00 00 01 2 00 11 0 11 01 10 00 1 11 11 1 1 11 1 1 4,1 01 01 1 1 01 0 3,4 00 10 2 10 2 2,3 2 0 1 10 01 2 0 00 3 10 1 3,4 Şekil 7.20 İlk 8 bit alındığında yapılan uzaklık hesapları. alınan 11 00 00 01 0 00 00 11 0 11 01 10 00 1 1 1 00 10 10 01 1 01 11 0 1 1 2 3 1 01 0 3 Şekil 7.21 İlk 8 bit alındıktan sonra uzaklık hesapları sonucu hayatta kalan yollar. Şekil 7.22 ve Şekil 7.23 ilk 10 kanal biti alındığında yapılan işlemleri göstermektedir. Burada 11 durumuna gelen yollara ait uzaklıkların aynı olması durumu sözkonusudur. Kesin-kararlı Viterbi algoritmasında seçeneklerden herhangi birisi seçilir, diğeri silinir ve devam edilir. Örneğimizde alttaki yolun silinmesine karar verilmiş, Şekil 7.23'te bu durum gösterilmiştir. Uygulamada, eşitlik durumunda hangi yolun seçileceğine karar veren bir yöntem uygulanabilir ama bunun bir dayanağı yoktur. Genel olarak, eşitlik durumu ya zaten seçilme ihtimali düşük olan yüksek uzaklık değerlerine sahip yollarda yada zaten çözümlenemeyecek olan çoklu hata durumlarında ortaya çıkmaktadır. 178 alınan 11 00 00 01 10 0 00 11 0 11 01 00 1 10 2 11 11 1 1 1 1,5 0 2 3,4 00 10 1 1 1 01 01 2 01 0 11 3,4 1 1 3 0 10 01 1 1 00 3 10 0 3,3 Şekil 7.22 İlk 10 bit alındığında yapılan uzaklık hesapları. alınan 11 00 00 01 10 0 00 00 1 11 11 0 11 01 1 1 00 1 10 1 00 3,- 1,- 0 10 10 01 1 01 0 2 3,- 01 0 11 3,3 Şekil 7.23 İlk 10 bit alındıktan sonra, uzaklık hesapları sonucu hayatta kalan olasılıklar. alınan 11 00 01 00 10 0 00 00 11 0 11 01 10 1 1 1 00 11 3 01 01 0 2 3 3 5,1 4,4 1 1 3,3 01 01 1 01 0 2 00 0 2 00 10 10 1 0 11 11 1 0 10 11 1 11 1 00 1 10 4,4 Şekil 7.24 İlk 12 bit alındıktan sonra, uzaklık hesapları sonucu hayatta kalan olasılıklar. Şekil 7.24 ve Şekil 7.25 11 ve 12. kanal bitleri alındıktan sonra yapılan işlemleri göstermektedir. Burada da 01, 10 ve 11 durumlarına gelen yolların uzaklıklarında bir eşitlik durumu 179 sözkonusudur. Herhangi bir dayanağı olmadan üç yol seçilmiş ve diğer yollar silindikten sonraki kafes yapısı Şekil 7.25'te gösterilmiştir. alınan 11 00 00 01 10 0 00 00 11 5,1 0 1 11 11 01 10 11 1 00 1 0 00 10 10 10 01 1 01 11 0 2 0 2 4,4 1 3,3 01 0 10 11 4,4 1 Şekil 7.25 İlk 12 bit alındıktan sonra, uzaklık hesapları sonucu hayatta kalan olasılıklar. 13 ve 14. kanal bitleri alındıktan sonraki işlemler Şekil 7.26 ve Şekil 7.27'de gösterilmiştir. Yine uzun yollar silindikten sonra küçük uzaklıklara sahip yolların önemli bir kısmının ortak yoldan geçtiği görülmektedir. alınan 11 00 00 01 10 0 00 00 11 0 1 1 11 11 01 10 11 1 00 1 0 10 10 01 1 01 0 2 00 10 0 2 1 01 0 11 00 11 10 1 2 11 11 2 4 0 00 10 1 3 1 01 01 1 4 0 11 2 1,6 4,5 3,4 4,6 Şekil 7.26 İlk 14 bit alındıktan sonra yapılan işlemler. Şekil 7.27'de en düşük uzaklık değerlerine sahip 4 olası yolun ortak kısımları kalın çizgilerle gösterilmiştir. Bu çizgilerin temsil ettiği bilgi bitleri, daha önce çıkışa verilen 1 bitiyle beraber 11010'dır. Yani önceki 5 basamakta herhangi bir bilgi biti üretilememiş olmasına rağmen son basamakta 4 bit birden çıkışa verilmiştir. Bu arada, hatalı alınan kanal bitinin temsil ettiği bilgi biti de doğru olarak çözümlenmiştir. Viterbi algoritması hangi bitlerin hatalı olduğunu bulmaya çalışmaz, beklenen ve alınan bitler arasındaki uzaklıklar toplamlarını, durum sayısı M olmak üzere, en olası M yol için tutarak bunların ortak kısımlarını çıkışa verir. Bir yada birden çok bit çıkışa verildiğinde kafesin ilgili kısımları unutulabilir. Böylelikle gerekli hafıza miktarı kontrol altında tutulur. Benzeri şekilde yol uzunlukları da en düşük değere göre yeniden ayarlanır. Bu durumda, Şekil 7.27'deki son durum ile çıkışa verilen bitlerden sonra yeniden ayarlanan kafes yapısı Şekil 7.28'te gösterildiği gibi olur. 180 alınan 11 00 00 01 10 00 11 00 11 2 11 0 11 01 00 0 00 10 10 0 2 0 1 01 0 1,- 4,10 1 1 01 3,- 01 0 4,- 11 Şekil 7.27 İlk 14 bit alındıktan sonra yüksek uzaklıklara sahip yolların silinmesiyle hayatta kalan olasılıklar. 00 2 01 10 11 0 2 0 0 3 1 1 2 3 Şekil 7.28 Karar verilen bitler çıkışa verildikten sonra kısaltılmış kafes. Hata düzeltici blok kanal kodlarının hata düzeltme kabiliyetinin kod kelimeleri arasındaki uzaklık (free distance: serbest uzaklık) ile arttığını belirtmiştik. Evrişim kodları ise bloklar değil ikili akış üzerinde çalıştığından hata düzeltme kabiliyetleri hakkında doğrudan birşey söylemek zordur. Evrişim kodlarında (ve beraberinde Viterbi algoritmasında) serbest uzaklık, aynı durumdan ayrılıp en az basamakta tekrar birleşen yollar ile üretilen çıkışların toplamlarının farklarıdır (yada farkların toplamı). Bu, en kolay şekilde, Şekil 7.29'da gösterildiği gibi, 00 durumundan ayrılıp tekrar 00 durumuna dönmek için izlenen en kısa yol ile anlaşılabilir. Burada girdi bilgi akışının ...000... olduğu ve karşılığında ...000000... üretilmesi gerektiği varsayılıyor. Ancak bir şekilde en üstteki yoldan ayrılınır ise tekrar aynı yola dönmek için 11, 10 ve 11 çıkışları veren durumlardan geçilmesi gereklidir. Bu çıkışların 00'dan Hamming uzaklıkları 2, 1 ve 2 olup toplamları 5'tir. Yani bu kodun serbest uzaklığı 5'tir. Benzeri şekilde, 4. basamaktaki 10 durumundan ayrılan yolar 7. basamağın 00 durumunda birleşiyor ve çıkışlarının toplam Hamming uzaklıkları 5 oluyor. Blok kodlar konusunda 1 1 1 gördüğümüz (7,4) kod örneklerinin serbest uzaklığının 3 olduğu düşünülürse H evrişim 1 0 1 kodunun daha yüksek bir başarım göstereceği rahatlıkla söylenebilir. Ancak, Viterbi algoritmasının karmaşıklığı düşünüldüğünde bu performans karşılıksız gelmiyor. (7,4) blok kodlaması ve alıcıda tersinin oldukça basit kombinatoryel devrelerle yapılabildiğini göstermiştik. Burada ise hem evrişim 181 kodlamanın hem de Viterbi algoritmasının hafızaya ve karmaşık hesaplamalara ihtiyaç duyduğunu görüyoruz. ayrılık durumu 00 00 11 11 birleşme durumu 00 00 00 00 11 11 11 … 11 01 00 10 10 10 10 01 01 11 10 01 … 01 2 3 4 5 6 7 8 Şekil 7.29 Serbest uzaklık kafes üzerinde gösteriliyor. Herhangi bir evrişim süzgeç vektör setinin kullanılamayacağını, kullanılsa da aynı başarımı sağlamayacağını söylemiştik. Araştırmalar ile oldukça uzun vektörlere kadar kullanılabilecek kodlardan yüksek başarımlı olanlar belirlenmiştir. Bunlardan kısa olanlar Şekil 7.30'da verilmiştir. 6 7 8 d= 5 111 1111 10111 101111 r=1/2 101 1011 11001 110101 d= 8 111 r=1/3 111 101 10 12 1111 1011 1101 11111 11011 10101 13 101111 110101 111001 10 1001111 1101101 15 1001111 1010111 1101101 10 10011111 11100101 16 11101111 10011011 10101001 Şekil 7.30 En iyi 1/2 ve 1/3 kısa evrişim kodları ve d serbest uzaklıkları. 12 110101111 100011101 182 8 Kaynak Kodlama Kanal kodlamada, kanal üzerinde hasar gören verinin alıcı tarafında düzeltilebilmesi yada en azından belirlenebilmesi için veriye nasıl kontrollü bir şekilde tekrarlılık ekleneceğini gördük. Gerçekte, çoğu veri içinde zaten bol miktarda tekrarlılık vardır. Ancak, bu doğal tekrarlılığın hata düzeltmeye katkısı olmadığı gibi, iletilmesi gereken verinin artmasına sebep olmaktadır. O nedenle veri, kanal kodlama işlemi uygulanmadan önce gereksiz tekrarlardan temizlenebilir. Buna kaynak kodlama yada veri sıkıştırma denir. Tekrarlılığı önce çıkarıp sonra tekrarlılık eklemek biraz mantıksız gelebilir. O nedenle, her zaman şunu hatırlamakta fayda vardır; Kaynak kodlama işe yaramaz tekrarlılığı azaltır, kanal kodlama ise hata düzeltmeye yarayacak tekrarlılığı ekler. Peki "işe yaramaz tekrarlılık" nedir? Örneğin "Ali gel, Ali gel buraya" emir cümlesinde "Ali gel" kısmı 2 kez geçmektedir. Net istek ise Ali'nin buraya gelmesidir. Aynı istek "Ali gel buraya" cümlesi ile hiçbir anlam değişikliği olmadan, hatta aynı harflerle, iletilebilir. Bu kolayca görülebilen tekrarlılığın yanında, aynı bilgiyi daha da az veri ile belirtme imkanı var mıdır? Yani, veri içinde çok daha gizli tekrarlılık var mıdır? Burada veri ile bilgi arasında önemli bir fark olduğunu ima ediyoruz aslında. Şu cümleyi irdeleyelim; "Yarın güneş doğacak". Acaba bu cümle içinde ne kadar bilgi vardır? Biraz düşününce, gerçekte bu verinin, şiirsellik dışında, hiçbir değerinin olmadığı farkederiz. Çünkü bu veri iletilse de iletilmese de yarın güneşin doğacağını herkes biliyor. Güneş doğmazsa var olan çok az bilginin de bir anlamı kalmazdı zaten. Yani, malum olan bilgiyi veri haline getirip iletmek pek verimli bir yaklaşım değildir. Şimdi de şu cümleye bakalım; "Yarın borsa %50 düşecek". Eğer borsa sık sık bu tür hareketler yapmıyorsa bu bilgi oldukça önemlidir (haber doğruysa tabi). Bu iki örnek cümleden şunu anlıyoruz; Eğer iletilen veri ile temsil edilen olayın olasılığı yüksek ise bilgi değeri düşüktür, yada tersten söylenirse, olasılık düşük ise bilgi değeri yüksektir. Siyah bir yazı tahtasında beyaz bir noktanın tarifi için o nokta dışındaki tüm noktaların koordinatlarını tek tek belirtmek yerine sadece o noktanın koordinatını söylemek daha anlamlıdır. Siyah referans yada varsayılandır. Peki, beyaz yazı tahtası üzerindeki siyah bir nokta için? Bu durumda referansımızı değiştirmemiz gerekecektir. En az veri ile en çok bilgi taşımak için referansımızın ne olduğu, yada iletilen veriden ne anlaşılacağı önemlidir. Olayların olasılığı ve bilgi değeri arasındaki ilişkiyi, yani düşük olasılık eşittir yüksek bilgi ve yüksek olasılık eşittir düşük bilgi ilişkisini, grafik halinde gösterirsek Şekil 8.1'i elde ederiz. Bir E olayın olasılığı ve ürettiği/taşıdığı bilgi arasındaki ilişki 1 I ( E ) log log( P( E )) . P( E ) (8.1) şeklinde verilir. Burada P( E ) olayın olasılığı ve I ( E ) ise olayın ürettiği öz bilgidir (self information). Öz bilginin birimi logaritma işleminin tabanına göre söylenir. Örneğin, log 2 () ise sonuç bit cinsindendir. Grafikten ve denklem (8.1)'ten anlaşılacağı üzere bir olay kesinse (olasılığı 1) ürettiği bilgi 0'dır. 183 I(E) P(E) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Şekil 8.1 Olasılık ve bilgi değeri arasındaki ilişki. Örnek olarak yazı-tura atma olayını ele alalım. Olasılıklar 0.5 olduğundan 1 kullanıldığında I ( yazı) I (tura ) log log(0.5) 0.3 bulunur. Yada, log2 () 0.5 I ( yazı) I (tura) log2 (0.5) 1 bit bulunur. Bir yazı-tura deneyinden sonra üretilecek olasılık ağırlıklı ortalama bilgi ise I ort P( yazı) I ( yazı) P(tura) I (tura) 0.5 1 0.5 1 1 bulunur. Konumuz haberleşme olduğundan ve elektronikçiler [bit]'ten anladığından bundan sonra, aksi belirtilmediği sürece, bilgiyi hep bit cinsinden ifade edeceğiz. Görüldüğü gibi eşit olasılıklı yazı-tura deneyinin sonucunu 1 bit ile ifade edebiliriz, ki bu gayet anlaşılır bir sonuçtur. Yazı'yı 0 ile Tura'yı ise 1 ile temsil edebiliriz, yada tersi. Buradan bir başka çıkarım daha yapabiliriz; Bir olayın öz bilgisi, sadece olasılıklara bağlıdır, temsil eden sembollerden bağımsızdır. Bilgi üretme mekanizmasını Şekil 8.2'teki gibi bir bilgi kaynağı ve ürettiği semboller şeklinde düşünelim. Bu sembollerin ne olduğunun üretilen bilgi miktarına katkısı yoktur, ancak sembollerin olasılıklarının katkısı vardır. Bilgi Kaynağı Semboller Şekil 8.2 Bilgi kaynağı semboller üretir. Bilgi kaynağının A {a1, a2 , , aN } sembollerini z { p(a1 ), p(a2 ), , p(aN )} olasılıklarıyla N ürettiğini varsayalım. Tabi ki p(a ) 1 'dir. i 1 i A 'ya kaynak alfabesi denir. Semboller ve 184 olasılıklarının ( A, z ) birlikteliği bu kaynağı tam olarak tanımlar. Eğer kaynaktan K sembol üretildiyse, herbir ai sembolü Kp(ai ) kez üretilmiş demektir. O halde, ai sembolü ile üretilen bilgi Kp(ai )log2 ( p(ai )) olur. Üretilen K sembol için toplam bilgiyi de Kp(a1 ) log 2 ( p(a1 )) Kp(a2 ) log 2 ( p(a2 )) N N i i Kp(a N ) log 2 ( p(a N )) Kp(ai ) log 2 ( p(ai )) K p(ai ) log 2 ( p(ai )) şeklinde yazabiliriz. Ortalama bilgi (sembol başına düşen) ise bunun sembol sayısına bölünmesiyle bulunur. N H ( z ) p(ai ) log 2 ( p(ai )) . (8.2) i H ( z ) 'ye entropi (karmaşıklık, belirsizlik) ismi verilir. Entropi ne kadar küçük ise semboller o kadar tahmin edilebilir, yada entropy ne kadar büyük ise olasılıklar birbirine o kadar yakındır ve dolayısıyla tahmin edilemez. Kaynaktan çıkan sembollerin tahmin edilebilir olması, yada H ( z ) 'nin küçük olması, üretilen sembol dizisi içinde ne kadar tekrarlılık olduğunun bir ölçüsüdür. Benzeri şekilde, H ( z ) 'nin büyük olması az tekrarlılık, yani sembol başına daha çok bilgi demektir. H ( z ) 'nin en büyük değeri tüm olasılıkların p(ai ) p(a j ) ( i, j 1,2, N ) oluşur. birbirine eşit olduğu durumda, yani Eğer bir kaynak çıkışında tekrarlılık varsa, bu tekrarlılık azaltıldığında bilgi daha az veri ile temsil edilebilir. Tekrarlılığı azaltma işlemine veri sıkıştırma denir. Bu da demektir ki, eğer tekrarlılık yok ise, yani H ( z ) olası en büyük değerinde ise, veri sıkıştırılamaz. Ancak, temsil sistemi yani sembollerin ne olduğu değiştirilerek daha verimli bir temsil sağlanabilir. Bunu anlamak için zar atma örneğini ele alalım. Tüm sembol olasılıkları eşittir, yani z {1/ 6,1/ 6, ,1/ 6} . Buradan zar atma 6 1 1 deneyinin entropisi H ( z ) log 2 ( ) 2.58 bit/sembol bulunur. Tabi ki zar sembollerini 6 i 1 6 (1'den 6'ya kadar tam sayılar) eşit uzunlukta ikili sembol dizileriyle temsil edecek olursak her sembol 3 bitle temsil edilebilir. Bu durumda farklı bir temsil sistemi işe yarayabilir. Sembol olasılıklarının entropiyı ve dolayısıyla sıkıştırılabilme kabiliyetini nasıl etkilediğini ikili bir kaynak örneğiyle inceleyelim. Alfabe A {a1, a2 } {0,1} ve olasılıkları z { p0 , p1} olsun. Entropy H ( z ) 2 p log i 2 pi p0 log2 p0 p1 log2 p1 şeklinde bulunur. Olasılık toplamları 1 1 olduğundan ( p0 p1 1 ) p0 1 p1 p diyelim ve entropiyi H ( z ) p log2 p (1 p)log2 (1 p) (8.3) şeklinde yazalım. Denklem (8.3) ikili entropi fonksiyonu (binary entropy function) ismini alır. Bu fonksiyonu çizersek Şekil 8.3'ü elde ederiz. Görüldüğü gibi entropinin en yüksek değeri olan 1, sembol olasılıklarının eşit yani 0.5 olduğu durumda oluşuyor. 185 H(z) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 p 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Şekil 8.3 İkili entropi fonksiyonu. İkili bir kaynakta olasılıklar z {0.8,0.2} olsun. Entropi H ( z ) 0.8log2 0.8 0.2log2 0.2 0.7219 bit bulunur. Normalde ikili sistem sembolleri olarak kullandığımız 0 ve 1 değerleri ise 1 bit ile temsil edilmektedir. Yani kaynak çıkışı düz ikili kod ise sembol başına 1 bit üretmektedir. Biraz fikir çalışması ile, sembollerin kodlarının öz bilgilerine eşit yada belki biraz büyük olması gerektiği, bu şekilde verimli bir kodlama sağlanacağını öngörebiliriz. Peki nasıl sembol başına 0.7219 bit kullanacağız ve veri sıkıştırma sağlayacağız? Bu kazanım küçük gibi görünebilir ama teoride 1GB yerine yaklaşık 722MB veri saklama/iletme imkanımız var. Burada, çözümü söylemese de, Shannon'un gürültüsüz kodlama teoremi devreye giriyor. Teorem, konumuzla ilgili olarak şöyle özetlenebilir; Entropisi H ( z ) olan ve istatistiksel olarak bağımsız semboller üreten bir kaynağın üretim/iletim oranı (bit-rate) R H ( z ) olan bir R oranında kayıpsız olarak kodlanabilir. R H ( z ) ise, kayıp (temsil edilememe) kaçınılmazdır. İkili kaynak alfabesi sembollerinin n tanesinin yanyana getirilmesi ile S {s1 , s2 , , sN n } şeklinde yeni bir alfabe oluşturalım. S 'nin herbir elemanı sik A sembollerinden oluşsun. Örneğin n =3 ise, bu alfabe 000, 001, 010, ... ,111 sembollerinden oluşur. Bunlara blok semboller yana ikili sembollerin n 'inci genişletmesi denir. S 'nin sembol olasılıkları ikili sembol olasılıklarının çarpımıdır. P( sm ) P(ai ) P(a j ) P(ak ) , ( i, j, k 1,2,3) (8.4) Yada, n daha genel olarak n P( sm ) ak , ( k 1,2) . i 1 Blok sembollerin olasılık setini u { p( s1 ), p( s2 ), Denklem (8.5) blok kaynağın entropisi , p( sN n )} şeklinde tanımlayalım. (8.5) 186 Nn H (u) P( sm ) log 2 ( P( sm )) (8.6) n n H (u) ak log 2 ( ak ) , ( k 1,2) m 1 i 1 i 1 (8.7) m 1 içine yazılırsa Nn elde edilir ve log 2 () de logaritmaların toplamı şeklinde açılıp düzenlenirse H (u) nH ( z ) (8.8) sonucu bulunur. S 'nin herbir sembolünün öz bilgisi I ( sm ) log2 ( sm ) . Yine biraz fikir çalışması ile, her sembolün öz bilgisi yada belki biraz daha yüksek bir kod genişliği ile kodlanması gerektiği sonucuna ulaşırız. Yani, L( sm ) sm sembolünün kod uzunluğu olmak üzere, I ( sm ) L( sm ) I ( sm ) 1 (8.9) olması gerekmektedir. Daha büyük kod uzunlukları gereksiz tekrardır. Örneğin ikili sembolleri 0 ve 1 sembolleri yerine 01011 ve 11001 gibi uzun kodlarla temsil etmek gibidir. Daha kısa kodlar kullandığımızda da Shannon'un teoremine göre kayıplar olur. Örneğin zar üzerindeki sembollerin herbirini 2'şer bitle temsil etmeye çalışmak gibi. Tabi ki ikili sembolleri kullanarak genişletmeler ürettiğimiz için L( sm ) sadece pozitif tam sayılardan olabilir. Bu durumda sm sembolünü öz bilgisine eşit yada daha büyük en küçük tam sayıdaki genişletmeler ile temsil edebiliriz. Her sembol aynı şekilde kodlandığında entropiye en yakın R 'yi elde ederiz. Peki bu durumda R ne olacaktır? Denklem (8.9)'u P( sm ) ile çarpıp tüm set için Nn P( s m 1 m şeklinde toplarsak ve Lavg Nn Nn m 1 m 1 ) I ( sm ) P( sm ) L( sm ) P( sm ) I ( sm ) 1 (8.10) Nn P( s m 1 m ) L( sm ) olduğuna dikkat edersek H (u) Lort H (u) 1 (8.11) olduğu görülür. Buraya H (u) nH ( z ) ilişkisini eklediğimizde nH ( z ) Lort nH ( z ) 1 ve ardından H ( z) Lort 1 H ( z) n n elde ederiz. Sandviç teoremini kullanarak lim( n (8.12) Lort ) H ( z ) olduğunu görebiliriz. Yani, Shannon'un n teoreminin ima ettiği şekilde, istediğimiz uzunlukta kodlar (genişletmeler) kullanarak entropiye 187 istediğimiz kadar yaklaşabiliriz. İdeal duruma ne kadar yakın olduğumuzu da n H (u ) H ( z) Lavg Lavg ile hesaplayabiliriz. Sadece genişletmeler ile verimliliği arttıramayacağımızı iki örnekle görelim. İkili kaynağımızda A {0,1} için olasılıklar z {0.7,0.3} olsun. Entropi ve verimliliği sırasıyla 2 n 1 H ( z ) 0.8813 0.8813 buluruz. Lavg 1 H ( z ) zi log 2 zi 0.8813 bit/sembol ve i 1 Şimdi de ikinci genişletmeler ile S {00,01,10,11} için olasılıkları, entropiyi ve verimliliği hesaplayalım. u { p0 p0 , p0 p1, p1 p0 , p1 p1} {0.49,0.21,0.21,0.09} 4 ve H (u) ui log 2 ui 1.76 i 1 bit/sembol bulunur. Bunu H (u) nH ( z ) 'den de bulabilirdik; H (u) 2 0.8813 1.7626 . Verimlilik ise, H (u) 1.7626 0.8813 bulunur. Yani hiçbirşey değişmedi. Çünkü, Shannon'un Lavg 2 teoremi sonucunda bulduğumuz (8.9)'u kullanmadık, yine düz ikili kodlama yaptık. Şimdi de C {1,10,110,111} kodlarını S {00,01,10,11} sembolleri yerine kullanalım. Kod uzunlukları farklı olduğu için Lavg Nn P(c m 1 m ) L(cm ) ile ortalama kod uzunluğunu bulalım. Lavg 0.49 1 0.21 2 0.21 3 0.09 3 1.81 bit/sembol. Bu olasılıklarla entropiyi daha önce hesapladığımızdan doğrudan H (u) 1.7626 yazabiliriz. Önceki kodda sabit olarak 2 bitlik uzunluk kullanmıştık, burada ise değişken uzunluklu kodların ortalama uzunluğu 1.81 olduğuna göre verimliliğin daha yüksek olduğunu hemen söyleyebiliriz; 2 0.8813 0.9738 . 1.81 Bu örneklerle, değişken uzunluklu kodlar sayesinde ortalama kod uzunluğunun entropiye yaklaştığını, yani kodlama verimliliğinin arttığını ve veri sıkıştırmanın gerçekleştiğini gördük. Peki, verimliliği daha da yükseltebilecek kodlar var mıdır? Bu kodları nereden uydurduk? Bu kodlar seri halde bir iletişim hattına verildiğinde alıcı nereden bilecek aldığı kodun uzunluğunu, ki sembolün bittiğine karar versin? Bu sorulara cevap vermeye çalışalım. Kodlama işlemi Şekil 8.4 ile özetleniyor. Sembol sayısını arttırmak için n ile genişletme yaptık. Burada entropi n kat arttığı halde, sabit uzunluklu kod kullandığımız için verimlilik değişmedi, dolayısıyla herhangi bir veri sıkıştırma olmadı. Ancak ardından, değişken uzunluklu kod kullanarak, Shannon'un teoreminin öngördüğü şekilde, sembol sayısının ve uzunluklarının artmasıyla kodlama verimini arttırabildik. Şekil 8.5, karşılaştırma amacıyla değişik kodlama örnekleri veriyor. Değişken uzunluklu kodların işe yaradığını öğrendik ama henüz kod tasarlamayı öğrenmedik. 188 İkili Bilgi Kaynağı İkili semboller n'inci genişletme (A,z) (S,u) Değişken uzunluklu kodlama (C,u) kodlanmış akış Şekil 8.4 Değişken uzunluklu kodlanmış verinin üretimi. Sembol Kod-1 s1 s2 s3 s4 s5 Kod-2 Kod-3 Kod-4 Kod-5 Kod-6 000 0 1 1 0 00 001 1 01 10 01 01 010 10 001 100 011 10 011 11 0001 1000 0111 110 100 100 00001 10000 01111 111 … Şekil 8.5 Sabit ve değişken uzunluklu kod örnekleri. Şekil 8.5'te verilen kod örneklerinin verimlilikleri hakkında birşey söylemek için sembol olasılıklarının da bilinmesi gereklidir. Ancak bu haliyle de bazı yorumlar yapılabilir. Örneğin sabit uzunluklu Kod-1'de 3 bit ile 8 sembol temsil edilebileceği halde 5 sembol var. Yani aslında verimli olmadığını hissedebiliyoruz. Kod-2 ise değişken uzunluklu. Ancak, bu kodların seri halde iletildiğini düşünürsek alıcının sembol başlangıç ve bitişlerine karar veremeyeceğini görüyoruz. Örneğin alıcı 11 aldığında bunun s4 'mü yoksa s2 s2 'mi olduğuna karar veremez. Kod-3 ise sembol sonlarında 1 içerdiği için sembollerin bitişi alıcı tarafından belirlenebilir. Bu kodlara ayrıştırılabilir (uniquely decodable) kodlar denir. Biraz inceleme ile Kod-4 ve Kod-5'in de bu özelliğe sahip olduğunu görüyoruz. Kolayca görülmese de, Kod-6 da bu özelliğe sahip. Bu özelliğin varlığı değişken uzunluklu kodlarda oldukça önemlidir. Aksi halde sembol sonlarını (yada başlangıcını) belirtmek için ilave bitlere ihtiyaç duyulurdu. Kod-1, Kod-3 ve Kod-6 ayrıca anında ayrıştırılabilir (instantaneous, instantaneously decodable) kodlardır. Yani son bit alındığında sembol belirlenir. Ancak Kod-4 ve Kod-5 için bir sonraki sembolü belirten ilk bitin alınması gerekir. 8.1. Veri Sıkıştırma Değişken uzunluklu kodlar kullanarak ve olasılığı yüksek olan sembollere kısa, olasılığı düşük olan sembollere uzun kelimeler atayarak bilgiyi toplamda daha kısa mesajlar ile iletebileceğimizi hissediyoruz. Tabi ki bu yöntem veri sıkıştırma (data compression) amacıyla kullanılabilir. Veri sıkıştırma (bilgiyi daha az veride toplama) yöntemleri kayıplı (lossy) ve kayıpsız (lossless) olarak iki ana grupta toplanır. Alaşılacağı üzere, sıkıştırılıp daha sonra geri açılan son bite kadar veri aslının aynısı ise kayıpsız olarak nitelendirilir. Bazı verilerin kayba tahammülü yoktur. Örneğin bir bilgisayar programı dosyasının sağlıklı çalışabilmesi için her bitinin korunması gerekir. Ancak her veri için aynı yaklaşım sergilenmeyebilir. Örneğin bir resim dosyasında renkleri belirten birkaç bitin değişmesi görsel açıdan bir rahatsızlık uyandırmayabilir. Hatta veri sıkıştırmaya faydası oluyorsa bu gibi 189 değişikliklerin oldukça fazla olmasına izin verilebilir. Bu tür veri sıkıştırma tekniklerine kayıplı teknikler denir. Burada her iki gruptan örnekler verip temel yaklaşımları anlamaya çalışacağız. Tabi ki algoritma ve standartlar, kayıplı ve kayıpsız sıkıştırma yöntemlerini beraberce kullanılabilir/içerebilir. Kayıpsız veri sıkıştırma yöntemleri sıkıştırılacak veri içindeki sembollerin olasılıklarını kullanırlar ve olasılığı yüksek olan sembolleri kısa kelimeler ile kodlayarak toplam veriyi kısaltırlar. Bu yöntemler de önceden sözlük (dictionary) hazırlayanlar ve hazırlamayanlar olarak ikiye ayrılırlar. Sözlük, sembol olasılıklarını göz önüne alarak hazırlanmış sembol-kod çiftlerinden oluşmuş bir tablodur. Şekil 8.6 önceden sözlük hazırlanan yöntemlerin genel çalışma şeklini özetlemektedir. İstatistik hesaplama (olasılıklar) ikili veri n'inci çevrimdışı Sözlük Hazırlama Sözlük genişletme Kodlama sözlükler aynı ikili veri sıkıştırılmış veri Sözlük Kod çözme Şekil 8.6 Çevrimdışı olarak önceden sözlük hazırlayan yöntemlerin veri sıkıştırmada kullanılışı. Önceden sözlük hazırlanması gereken yöntemlerde, sembol olasılıklarını bilinmiyorsa, bulmak için tüm veri taranarak hesaplanır. Daha sonra, olasılıkları yüksek sembollere kısa, düşük olasılıklı sembollere gerektiği kadar uzun kelimeleri atayan bir tablo hazırlanır, ki buna sözlük denir. Bu işlem 1 kere yada veri istatistikleri değiştikçe yapılır. O nedenle çevrimdışı olarak gerçekleştirildiği belirtilmiştir. Kodlama, yani sıkıştırma işlemi ise her sembol için tablodan (look-up table) karşıgelen kelimenin bulunup çıkışa verilmesi ile gerçeklenir. Sıkıştırılmış veri ile beraber sözlüğün de saklanması gereklidir. Çünkü aynı sözlük sıkıştırılmamış veriyi geri elde etmek için gereklidir. Bu gereklilik, veri sıkıştırma algoritmalarını karşılaştırırken gözönüne alınmalıdır. 1 MB'lik bir veriyi 1 bite sıkıştırıp yanında 1 MB'lik bir tablo tutmak istemeyiz . Şekil 8.5 ve ilgili paragraflarda anlatıldığı üzere, kodlama sadece tablodan bulma demektir. Yani çok düşük işlem karmaşıklıkları ile gerçeklenebilir. Kod çözme işlemi de aynı şekildedir. Bunu bir örnekle gösterelim. Genişletilmiş kaynak sembolleri s {s1, s2 , s3 , s4 } c {0,10,110,111} kelimeleri ile temsil ediliyor olsun. Yani sözlüğümüz ( si , ci ) çiftlerinden oluşuyor. Sıkıştırılacak dizi ise s1s2 s1s4 s3s1s2 s1s1s2 s3 olsun. Herbir sembol yerine, tabloda karşılığı olan ci 'leri koyduğumuzda kodlamam tamamlanmış olur; 01001111100100010110. Her kelimeden sonra bir işaret koymaya gerek yoktur, çünkü kod anında ayrıştırılabilir kelimelereden oluşmaktadır. Sıkıştırılmış veri 20 bitten oluşmaktadır. Eğer her sembol 2 bit ile temsil edilseydi toplam 22 bit olacaktı. "Ama 1 bit ile temsil 190 edilen s1 çok kullanılmış, o yüzden kısalmış" şeklinde bir argüman geçersizdir. Çünkü hangi sembol olasılığı yüksek ise ona en kısa kelime atanıyor zaten. Kod çözme tarafında ise aynı tablo kullanılıp ilk bitten itibaren henüz çözümlenmemiş kısım tablo içinde aranır. Bulunduğu anda ilgili sembol çıkışa verilir. Örneğin, ilk bit olan 0 tabloda vardır ve s1 'e karşı gelmektedir. s1 çıkışa verilip sonraki bitlere bakılır. İkinci bit ise 1'dir ve tabloda sadece 1'den oluşan bir kelime yoktur, sonraki bit beklenir. Sonraki bit 0 olduğundan tabloda 10 sıfır aranır ve karşılığı olan s2 çözümlenmiş olur. Bu şekilde tüm veri çözülünceye kadar devam edilir. 8.1.1. Shannon-Fano Kodlama Bunun en basit örneği Shannon-Fano kodlamadır. Şekil 8.7a'daki semboller ve olasılıklarını ele alalım. Bu yöntemde semboller olasılık sırasıyla dizilir ve her iki kısımdaki toplam olasılık eşit (yada en yakın) olacak şekilde iki gruba ayrılır. Örneğimizde bu toplam olasılıklar 0.49 ve 0.51 olmaktadır. Bu iki grubu birbirinden ayırmak için 1 bite ihtiyaç vardır. Üstteki gruba 0, alttakine 1 bit değeri atanmıştır. Tersi de olabilir. Şimdi kod çözücü (alıcı tarafında) 0'ı gördüğünde üstteki gruptan olduğunu çözer. Bu örneğimizde üstteki grupta 1 adet sembol var, ancak olmayabilirdi. Örneğin alttaki grupta 3 sembol vardır ve kod çözücünün ilk gördüğü bit 1 olursa olası sembolleri belirlemek için daha fazla bite ihtiyaç olduğu açıktır. İkiye bölme işlemine her iki grup için devam edelim. Üstteki grup ikiye bölünemez, zaten 1 sembol var. Alttaki grup ise 0.21 ve 0.30 toplam olasılığa sahip 2 gruba bölünür. Yine üstteki gruba 0 değerini, alttakine de 1 değerini ekleyelim. Bu şekilde, tüm gruplarda tek sembol kalıncaya kadar bölerek ve bit değeri atayarak kodlamayı tamamlayalım. Şekil 8.7b'de bu işlem tamamlanmış ve kod kelimeleri belirlenmiş olarak görülmektedir. Kelimelerin anında ayrıştırılabilir olduğuna da dikkati çekmek gerekir. Hiçbir kelime bir diğer kelimenin başlangıcında yer almaz. Böylelikle, kelimenin son biti alındığında bir belirsizlik oluşmaz. Sembol Kod-1 s1 s2 s3 s4 P(si) İlk bit 2. bit 3. bit Kelime 00 0.49 0 01 0.21 1 0 10 0.21 1 1 0 110 11 0.09 1 1 1 111 0 10 Şekil 8.7 Shannon-Fano kodlama örneği. Bu işlemlerle olasılığı yüksek olan sembollere kısa kelimeler atanmış olur. Kod-1 sütununda belirtilen sabit uzunluklu kelimelerin uzunluğu 2'dir. Shannon-Fano yöntemiyle belirlenen kelimelerin uzunlukları ise 1, 2 ve 3 olmak üzere değişkendir. Acaba ortalama kelime uzunluğunda bir kısalma sağlanabildi mi? 4 Lz .avg P( si ) L( si ) 0.49 1 0.21 2 0.21 3 0.09 3 1.81 bit/sembol i 1 ile gördüğümüz gibi uzunluğu 2 olan sabit koda göre bir avantaj sağlandı. Peki çok daha iyi bir başarım elde edilebilir miydi? Bu sorunun cevabını H ( z ) 1.7626 olan entropi veriyor. Evet, 0.0474 191 bit/sembol daha iyi olabilirdi. Ancak Shannon-Fano ile, yada en azından bu sayıdaki sembol ile, bu yapılamıyor. Kaynak alfabesinin ikinci genişletmesini ürettiğimizde elde edilen 16 sembolün olasılıkları u={0.2401, 0.1029, 0.1029, 0.1029, 0.1029, 0.0441, 0.0441, 0.0441, 0.0441, 0.0441, 0.0441, 0.0189, 0.0189, 0.0189, 0.0189, 0.0081} olarak elde edilir. Bu olasılıklara Shannon-Fano yöntemi uygulandığında ise değişken kelime uzunlukları l={2, 3, 4, 4, 3, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6} şeklinde bulunur. Buradan da ortalama kelime uzunluğu Lu.avg 16 P(u )l =3.5948 i 1 i i bit/sembol hesaplanır. Sabit genişlikli kelimeler ile 4 bit ile temsil edilecek olan semboller 3.5948 bit ile temsil ediliyor. Kodlama verimliliği H (u) 2 H ( z ) =3.5252 u Lz .avg 1 H ( z) u Lu.avg n H ( z) 3.5948 1.7626 3.1681 2 ve entropi bit/sembol bulunur. Genişletilmemiş kodun kodlama verimi olan 1.81 1.7626 3.1903 ile karşılaştırdığımızda genişletilmiş alfabe üzerinde 1 kodlama yapmanın daha iyi sonuç verdiğini görebiliriz. Dikkat edilirse bu örnekte verilen olasılıkların aslında {0.7, 0.3} dağılıma sahip ikili alfabenin ikinci genişletmesi olduğu görülür. Yani, ilk durumda ikili sembol başına 1 bit, ikinci genişletmede 1.81/2=0.905 bit, 4'üncü genişletmede (son örnek) 3.5948/4=0.8987 bit kod oranları elde edildi. Shannon'un teoremine uygun olarak, genişletme arttırıldıkça ilk alfabenin entropisi olan 0.8813'e giderek yaklaşılacağı öngörülebilir. Shannon-Fano yöntemi daha karmaşık algoritmaları ele alamayacak basit sistemlerde tercih edilebilir. Ancak günümüzdeki sayısal sistemler çok daha karmaşık (hesap yükü fazla) algoritmaları dahi rahatlıkla yerine getirebileceğinden, seçim çoğunlukla basitlik kriteri ile değil kodlama verimi ile yapılmaktadır. Örneğin, Huffman kodlama biraz daha işlem yükü gerektiren ancak en yüksek kodlama verimi ile bilinen, anında ayrıştırılabilir kelimeler üreten kayıpsız (lossless) bir yöntemdir. Gerçekte sembol-kod çiftlerini üretme, yani sözlük hazırlama işlemi farklıdır. İstatistik hesaplama, kodlama ve kod çözme işlemleri aynıdır. 8.1.2. Huffman Kodlama Sözlük hazırlama işlemi, sembol sayısı çok fazla ise, fazla . Başlangıçta Shannon-Fano ve Huffman yöntemindeki gibi Sembol-kod tablosu hazırlamayan Aritmetik Kodlama (arithmetic coding) yöntemi ise önceki yöntemlerde karşılaşılan uzun tablolarda işlem zorluğu problemini aşar. (devam edecek)