dayanıklı kontrol
Transkript
dayanıklı kontrol
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya DAYANIKLI KONTROL 261 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Sabit Dereceli Dayanıklı H∞ Kontrolcü Tasarımı Gökhan Akça1 , Akın Delibaşı2 1,2 Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bölümü, Elektrik-Elektronik Fakültesi Yıldız Teknik Üniversitesi, Davutpaşa Kampüsü, Esenler, İstanbul {gokhanakca89@gmail.com1 , adelibas@yildiz.edu.tr2 } Özetçe şekilde aşılmaya çalışılmıştır. Bunlar; iç konveks yaklaşım [5] ve dış konveks yaklaşım [6]. Ancak dış konveks yaklaşım problemin çözümüne ait sadece gereklilik şartını sağlamaktadır, dolayısıyla performansın sağlanması garanti edilemez. İç konveks yaklaşımda ise alt çözüm kümelerinde kalmasına karşın performansın gerçeklenmesi garanti edilebilmektedir. İşte bu gerçeklikten ötürü yapılan çalışmalarda iç konveks yaklaşımların değeri daha çok artmıştır. Düşük dereceli kontrolcü tasarımı için S. Wang ve J. H. Chow 2000 yılındaki çalışmalarında sürekli zamandaki sistemler için kesin pozitif reel fonksiyonlar üzerinde aralarında asal çarpanlarına ayırma metodunu kullanarak bir alt çözüme ulaşmışlardır. Bir başka tasarım yöntemi olan matris rankının sınırlandırılması ile derece indirgeme tekniği, bir aktif süspansiyon sistemi için H∞ kontrolcü geliştirilmesinde kullanılmıştır [8]. Bu yöntemin yanında, kısmen arttırılmış Lagrange metodu ile sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarımının gerçekleştirildiği çalışma [9] verimli sonuçlar ortaya çıkarmıştır. Ancak bu yöntemlerde kullanılan DME’ lerin sağlanması için aranan şart sınırlı reel lemma’ daki gibi Lyapunov matrisi olmuş, direk kontrolcü katsayıları olmamıştır. Kararlılık probleminin DME formülasyonunda direkt kontrol katsayılarının kullanıldığı çalışma durum uzay yaklaşımı yerine çok terimli gösterim yaklaşımının kullanıldığı bir çalışmadır [5]. Bu çalışmada, konveks olmayan bir gövde içerisinde M. Chilali ve P. Gahinet tarafından 1996 yılında yapılan çalışmada gösterilen DME-bölgeleme tekniği kullanılarak bir iç konveks alt gövde oluşturulmuş ve problem bu gövde üzerinde tanımlanmıştır. Problemin oluşturulmasında kesin pozitif reel lemmadan ve quadratik Lyapunov kararlığından daha az tutucu D-kararlılığından [10] faydalanılmıştır. Etkili sonuçlar veren bu yaklaşıma geometrik koşullar eklenerek sistemin H∞ normunun minimizasyonu sağlanmıştır [11]. Sisteme etkiyen belirsizliklerin normunun sınırlı olması fikrine dayalı analiz yapılarak daha önce ortaya çıkan geometrik kısıtlardan kurtulunmuştur [12]. Konveks olmayan yapı içersinde çok terimli zamanlı olmayan algoritmaya dayalı tasarım yöntemi HIFOO (H-Infinity Fixed Order Optimization) sabit dereceli kararlılık ve yerel optimizasyon problemlerini çözmek için geliştirilmiştir. HIFOO, bu problemleri çözmek için HANSO (Hybrid Algorithm for Non-Smooth Optimization) destek paketi temelli optimizasyon tekniklerini kullanır. HIFOO, sistemin yerel optimal H∞ performansını sağlayan düşük dereceli kontrolcü problemlerinde verimli sonuçlar verebilmektedir [13]. Çalışma, belirsizlik içeren doğrusal sistemler için sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarım metodu sunmaktadır. Standart tasarım yöntemlerinde kullanılan yaklaşımlar yerine pozitif çok terimli matrislerin özellikleri temelinde oluşturulan çok terimli yaklaşım metodu kullanılmıştır. Problemin temelinden gelen konveks olmayan yapı, bilinen kesin pozitif reel lemma ile konveks bir şekile indirgenmiştir. Konveks problemin gösterimi ve çözümünde DME (Doğrusal Matris Eşitsizliği) kullanılmıştır. Geliştirilen tasarım metodunun tutuculuğu tamamen seçilen merkezi çok terimliye bağlıdır. Çalışmada önerilen tasarım yöntemi ile belirsizlik içeren temel bir mekanik sistem ve uçak için H∞ normunu minimize eden kontrolcü tasarlanmıştır. 1. Giriş Sistemin H∞ normunu minimize etmek için kullanılan standart tasarım yöntemleri ile elde edilen kontrolcülerin en az sistem derecesine eşit dereceye sahip olmaları gerekmektedir [1]. Bu durum ilk bakışta nispeten küçük dereceli sistemler için bir problem oluşturmasada unutulmamalıdır ki; taleplere göre performans çıkışlarımızı oluşturabilmek için sistem giriş ve çıkışlarına ekleyeceğimiz ağırlaştırılmış fonksiyonlarımız toplam sistem derecesini arttıracaktır. Standart yöntemler ile elde edilebilecek yüksek dereceli kontrolcülerin, başta gömülü sistemler ve uzay endüstrisinde olmak üzere pratik uygulamalarda gerçeklenmesi düşüktür. Bu nedenlerden dolayı sabit veya düşük dereceli kontrolcü tasarımı son zamanlarda kontrol mühendisliğinin en önemli çalışma alanlarından biri haline gelmiş ve bu konu ile ilgili çalışmalarda artış gözlenmiştir. Ancak, sabit dereceli kontrolcü probleminin konveks olmayan bir kümede tanımlı olması ve konveks olmayan kümelerde genel çözüm için hali hazırda çok terimli zamanlı bir çözme algoritmasının bulunmaması, son yıllarda yapılan çalışmalarda farklı çözüm yöntemlerinin kullanılmasına sebep olmuştur. Standart H∞ kontrolcü tasarımında DME formülasyonunun kullanımı [2] ve [3] çalışmalarında problemin konveks durum uzay parametrizasyonuna genişletilmesi ile formüle edilmiştir. Ayrıca sistem performansına ilişkin istenilenlerin gerçeklenmesi için kapalı çevrim kutuplarının bir bölgeye atanması problemi, H∞ tasarımında M. Chilali ve P. Gahinet tarafından 1996 yılında kullanılmıştır. PID benzeri yapısal kontrolcü, çıkış geri besleme ve sabit dereceli kontrolcü problemleri konveks olmayan bir yapıya karşılık gelmektedir. Literatürde bu problemler genellikle iki 262 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya vektörleri oluştrulmuştur. Oluşan kapalı çevrim sistemin D-kararlılığının sağlanması için sistem kutuplarının Endüstriyel denetim sistemleri için kontrolcü tasarımı esnasında çoğu zaman sistem modelinin içerebileceği belirsizlikler göz ardı edilerek tasarım yapılmaktadır. Bu ise sistemin tepkilere cevap verememesine neden olmakta ve üretim kaybına yol açmaktadır. Belirsizlik içeren sistemlerin sabit dereceli kontrolcü tasarımı için daha önce yapılan çalışmalarda kullanılan tasarım yöntemlerinin sayısı çok fazla olmamıştır [5], [12], [14], [15]. Verilen bilgiler ve daha önce konuyla ilgili yapılan çalışmalar çerçevesinde bu bildiride, polytopic belirsizlik içeren sistemler için F. Yang ve diğerlerinin önerdiği yöntem kullanılarak sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarlanacaktır. Tasarım metodunda en önemli nokta konveks olmayan bir küme içerisinde kararlı bir merkezi çok terimli seçerek konveks bir küme yaratmak olacaktır. Bildirinin kalan bölümlerinde ilk olarak tasarım metodunun geliştirilmesi adına belirsizlik içeren sistemler için problem tanımı yapılacak ve daha sonra tasarım metodunda kullanılan matematiksel ifadeler ve notasyon aktarılacaktır. Ardından H∞ kontrolcü tasarımı için oluşturulan metot verilecek ve son olarak ise iki adet belirsizlik içeren sistem ile oluşturulan tasarım metodunun uygunluğu test edilecektir. { [ ]∗ [ 1 d11 D= s∈C : s d∗12 D= [ d11 d∗12 d12 d22 ] [ ]} 1 ≺ 0, s (1) ] d12 , d22 (2) D bölgesi içerisinde olması gerekir. Buradaki D matrisi bir adet pozitif ve bir adet negatif öz değer içeren simetrik bir yapıya sahiptir. Simetrik matris için standart seçimler, sürekli zamandaki sistem için kutuplar sol yarı düzlemde seçilmek istenildiğinde d11 = 0, d12 = 1, d22 = 0 şeklinde ve ayrık zamanda kutupların birim disk içinde olması istenildiğinde ise d11 = -1, d12 = 0, d22 = 1 şeklinde tanımlanmıştır. Simetrik matris elemanlarının farklı sayısal değerleri için kararlılık bölgesi disk, dikey şerit, yatay şerit ve konik gibi farklı şekiller alabilir [10]. Eşitsizlik (1) tek boyutlu bir set olarak aşağıdaki şekilde gösterilebilir. ∂D = {s ∈ C : d11 + d12 s + d∗12 s∗ + d22 ss∗ = 0} 2. Problemin Tanımı (3) Bundan dolayı (1) numaralı eşitsizliğin sağlanması durumunda kutuplar istenilen D-kararlılık bölgesi içerisinde kalacaktır. Sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarım problemlerini çözmek için yapılan bu çalışmada sisteme uygulanan belirsizliklerde dikkate alınacağı için daha önce benzer amaç doğrultusunda geliştirilen çok terimli metot kullanılacaktır [5]. Geliştirilen bu metot belirsizlikler içeren bir sistem için genel bir kontrolcü tasarlayarak kararlılık problemini incelediğinden ötürü bu yöntem H∞ kontrolcü tasarımını gerçekleyecek şekilde geliştirilmeye çalışılacaktır. Bu çalışmada, temel amacımız sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonun sonsuz normunun sınırlandırılması ve minimizasyonu olacaktır. Sabit dereceli kontrolcü tasarımında kullanılmak üzere geliştirilen tasarım metodunun problem tanımında, ele alınan ve belirsizlikler içeren sistemin pay ve payda cinsinden ifadesi aşağıdaki gibidir. b(s, λ) p(s, λ) = a(s, λ) Sistemin pay ve paydasında yer alan s parametresi sistemin sürekli zamanlı olduğunu, λ parametresi ise sistemin belirsizlikler içerdiğini belirtmektedir. Sabit dereceli kontrolcü tasarımı yapılacak sistemin pay, payda ve kontrolcü ile ilişkisi negatif bir geri besleme vasıtasıyla Şekil 1’deki gibi gösterilebilmektedir. ∥G(s, λ)∥∞ ≤ γ k(s) + Burada G(s, λ) fonksiyonu, payı n(s, λ) ve paydası d(s, λ) olmak üzere sabit dereceli kontrolcünün çok terimlilerine (x(s), y(s)) bağlı olan bir fonksiyondur ve sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonunu sembolize eder. p(s, λ) − 3. Matematiksel Ön Bilgi ve Notasyon Şekil 1: Standart Negatif Geri Besleme Yapısı. Tasarım metodunu geliştirmek için c(s) ve d(s) çok terimlileri c(s) = c0 +c1 s+. . .+cm sm ve d(s) = d0 +d1 s+. . .+dm sm olacak şekilde tanımlanmışlardır. Ayrıca c(s) ve d(s) çok terimlilerin bölüm şeklinde gösterildiğinde sonsuzda sıfırlarının olmaması için en büyük dereceli katsayıları olan cm ve dm sıfırdan farklı bir değere eşit olacak şekilde tanımlanmışlardır [12]. Bu çok terimlilerin katsayıları Negatif geri besleme yapısında yer alan sabit dereceli kontrolcü, çok terimliler y(s) ve x(s) cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanabilmektedir. k(s) = y(s) x(s) [ c = c0 Burada x(s) = x0 + x1 s + . . . + xm sm ve y(s) = y0 + y1 s + . . . + ym sm şeklindedir ve ilgili çok terimli katsayılarını göstermek üzere [ x = x0 x1 . . . ] xm , [ y = y0 y1 (4) . . . ] ym , 263 c1 . . . ] cm , [ d = d0 d1 . . . ] dm , şeklinde satır matrisi olarak gösterilebilmektedir. D-karalılık bölgesini temsil eden DME gösterimi üzerinde yapacağımız genişletme çalışmasında kullanmamız gereken projeksiyon ma- Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya trisi (2m) × (m + 1) boyutunda 1 .. . S= 0 1 .. . 0 1 .. . aynı derecede olmaktadır. Yüksek dereceli kontrolcülerin gerçeklenmesi kolay olmadığından dolayı bu çalışmada düşük dereceli kontrolcü elde etmek amacıyla tasarımda çok terimli metot tercih edilmiştir. Çok terimli yaklaşım ile tasarımda dayanıklı kararlılık ve H∞ norm sınırını gösteren eşitsizlik kullanılmaktadır. Belirsizliğe sahip bir çok terimli : 0 .. . 0 , 1 dδ (s) = d(s) + n(s)δ, (5) eşitsizliğini sağlayan çok terimli D-kararlı c(s) ve P = P T olmak üzere m boyutlu bir P matrisi olduğu durumda Dkararlıdır. Burada ⊗ işareti Kronecker Delta işlemini ifade etmek için kullanılmıştır. Sistem belirsizliklerini polytopic olarak ele aldığımızda sisteme ait çok terimli d(s, λ), N adet köşe noktası için di (s) = di0 + di1 s + . . . + dim sm yapısındadır. Burada i = 1, 2, . . . , N olacak şeklinde formüle edilmiştir. Lemma 2: [5] Çok terimli di (s), ancak ve ancak cT di + diT c − S T (D ⊗ P i )S ≽ 0, (8) şeklinde formüle edilebilmektedir. Bu ifadede yer alan n(s) ve d(s) nominal çok terimlilerdir, δ ise genliği γ −1 ’ den küçük bir skalerdir. Denklem (8)’ de yer alan ifade Küçük Kazanç Teoremi (Small Gain Theorem) dikkate alınarak aşağıda verildiği gibi yeniden oluşturulabilir [1, Teorem 9.1]. Belirsizliğe sahip dδ (s) çok terimlisi ile γ arasında n(s) (9) d(s) ≤ γ, ∞ olacak şekilde tanımlanmıştır. Lemma 1: [5] Pozitif reel lemma kullanılarak çok terimli d(s), ancak ve ancak cT d + dT c − S T (D ⊗ P )S ≽ 0, ∥δ∥ < γ −1 , n(s)/d(s) sisteminin sonsuz normu ile gösterilen bir ilişki vardır. Burada n(s) çok terimlisine ait katsayılar satır vektörü n ile gösterilip, Lemma 1’ den aşağıda verilen sonuç çıkarılabilir. Sonuç 1: [12] D-kararlı c(s) merkezi çok terimlisi ve pozitif skaler γ değeri verildiğinde eğer [ T ] c d + dT c − εcT c − S T (D ⊗ P )S nT ≽ 0, (10) n εγ i = 1, 2, . . . , N, (6) eşitsizliğini sağlayabilen P = P T şeklinde pozitif bir matris ve pozitif skaler bir ε bulunabiliyor ise transfer fonksiyonu n(s)/d(s)’ nin D-kararlı olduğu ve sistemin H∞ normunun √ γ değerinin altında olduğu garanti edilir. Tasarım yönteminde belirlenmesi gereken kritik parametre yine merkezi çok terimli olmaktadır. Merkezi çok terimlinin seçiminde izlenebilecek en uygun strateji çok terimlinin köklerinin, açık çevrim transfer fonksiyonuna ait karakteristik çok terimli fonksiyonun köklerine yakın seçilmesidir. Böyle bir seçim durumunda tasarım metodunun başarısı artmakta ve daha verimli sonuçlar elde edilebilmektedir [12]. Sistem belirsizliklerini polytopic olarak ele aldığımızda sisteme ait çok terimliler n(s, λ) ve d(s, λ), N adet köşe noktası için di (s) = di0 +di1 s+. . .+dim sm ve ni (s) = ni0 +ni1 s+. . .+ nim sm yapısındadır. Burada i = 1, 2, . . . , N olacak şekilde formüle edilmiştir. Yeniden tanımlanan çok terimliler ile H∞ norm sınırı n(s, λ) (11) d(s, λ) ≤ γ, ∞ şeklinde oluşturulmuştur. Belirsizlik içeren sistemimize ait köşe noktalarını gösteren kapalı çevrim transfer fonksiyonları eşitsizliğini sağlayan çok terimli D-kararlı c(s) ve P i = P iT olmak üzere m boyutlu bir P i matrisinin olduğu durumda Dkararlıdır. Gözlem 1: Lemma 2’nin gerçeklenmesi, belirsizlik içeren çok terimlinin dayanıklı kararlılığını sağlamak için yeterlidir fakat genel olarak gerekli değildir. Bu lemma genişletildiğinde belirsizlik içeren bütün durumlar için Şekil 1’ deki sistemin kapalı çevrim karakteristik çok terimlisi, d(s, λ) = a(s, λ)x(s) + b(s, λ)y(s) biçimindedir ve sistemi D-kararlı kılacak (x(s), y(s)) çok terimli çiftleri bulunabilir. Lemma 3: [12] Sistem belirsizlikleri polytopic olarak ele alındığında sisteme ait çok terimliler, a(s, λ) ve b(s, λ) için Dkararlı bir merkezi çok terimli c(s) verildiğinde cT di (x, y)+di (x, y)T c−S T (D⊗P i )S ≽ 0, i = 1, 2, . . . , N, (7) eşitsizliğini sağlayabilen x, y ve simetrik olan P i matrisleri var ise, kapalı döngü sistemi dayanıklı D-kararlı kılan kontrolcü çok terimlileri x(s) ve y(s) elde edilebilir. Bu yaklaşım sabit dereceli kontrolcü tasarımı için basit bir yöntem sunar. Tasarımda belirlenmesi gereken kritik parametre merkezi çok terimlidir. Bu seçim konveks çözüm gövdemiz üzerindeki tutuculuğu direk etkilemektedir. Örneğin aynı belirsiz sistem için seçilebilecek iki farklı merkezi çok terimlinin göstermiş olduğu çözüm gövdesi birbirinden farklı olacaktır. Bazı durumlarda bu gövdeler birbirini kapsayabilir. i Gcl (s, x, y) = ni (s, x, y) , di (s, x, y) i = 1, 2, . . . , N , (12) direk kontrolcü katsayıları cinsinden yazılabilir. Lemma 4: [12] Sistem belirsizlikleri polytopic olarak ele alındığında sisteme ait çok terimliler, a(s, λ) ve b(s, λ) için Dkararlı bir merkezi çok terimli c(s) ve pozitif γ verildiğinde [ T i ] c d (x, y) + di (x, y)T c − εi cT c − S T (D ⊗ P i )S ni (x, y)T ≽ 0, ni (x, y) εi γ (13) 4. H∞ Kontrolcü Tasarım Tekniği Literatürde kullanılan standart H∞ kontrolcü tasarımında elde edilen kontrolcünün derecesi en az kontrol edilecek yapı, kontrolcü ve ağırlaştırılmış fonksiyonların oluşturduğu sistem ile 264 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya eşitsizliğini sağlayabilen x, y, simetrik pozitif P i = P iT matrisleri ve pozitif skaler εi değeri var ise sistemi dayanıklı D-kararlı kılıp sonsuz normu için alt-optimal bir sonuç veren kontrolcü çok terimlileri x(s) ve y(s) dir. Sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarımı için geliştirilen çok terimli metot, durum-uzay metodunun aksine PID ve benzeri kontrolcü yapılarında esnek ve en önemlisi direk kontrolcü katsayıları ile işlem yapma kolaylığı sunan elverişli bir yaklaşım sunar. kc yay sabitini ve y ise sistemin çıkışını temsil etmektedir. Bu çalışmada durum-uzay modelinde yer alan parametreler; m1 = 1, m2 = 1 ve 0.5 < kc < 2 olacak şekilde kütle yay sistemi için ikinci dereceden H∞ kontrolcü tasarımı gerçeklenmeye çalışılacaktır. Tasarım, sistem parametreleri arasında yer alan kc ’ nin [0.5, 2] kapalı aralığında değiştiği göz önünde tutularak gerçeklenecektir. Şekil 2’ de yer alan sistemin açık çevrim transfer fonksiyonu kc p(s, kc) = 4 , (14) s + 2s2 kc biçimindedir. Ayrıca nominal sisteme (kc = 1) ait kutuplar 0, 0 ve ±1.4142i noktalarındadır. Kontrolcü tasarımı sırasında problemin gösterildiği konveks olmayan bölge içersinde konveks bir bölge tanımlamak için belirlememiz gereken D-kararlı merkezi çok terimli fonksiyonu, 4. bölümde belirtildiği gibi kutupları mümkün olduğunca açık çevrim kutuplarına yakın olacak şekilde −0.5, −0.5, −0.5, −0.5 ve −0.5 ± 1.4142i noktalarında seçilerek 5. Uygulamalar Sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarımı için geliştirilen çok terimli metodun uygunluğu, belirsizlik içeren iki adet örnek sistemin MATLAB arayüzünde geliştirilen yazılıma uygulanıp, örnek alınan bu sistemler için uygun olan kontrolcülerin bulunması hedeflenerek sınanacaktır. Kontrolcü tasarımında sistemde var olan belirsizlikler dikkate alınarak işlem yapılacaktır. Örnek alınan sistemler içerisinde ortaya çıkabilecek yarı tanımlı programlama problemleri SeDuMi [17] çözücüsü ve YALMIP [18] arayüzü kullanılarak çözülecektir. c(s) = s6 +3s5 +5.75s4 +6.4999s3 +3.9374s2 +1.1875s+0.1406, belirlenmiştir. Seçilen bu merkezi çok terimli ile γ = 21 ve ε = 0.1 değeri alınıp Lemma 4 kullanıldığında sistemi dayanıklı D√ kararlı kılan ve ayrıca sonsuz normunu γ = 4.58 değerinin altında tutan 2. dereceden 5.1. Kütle Yay Sistemi Bu bölümde, literatürde sıkça rastlanan genel bir problem olan kütle yay sistemine, sistem belirsizlikleri dikkate alınarak geliştirilen tasarım metodu uygulanacak ve arzulanan kontrolcünün bulunması hedeflenecektir. Tipik bir kütle yay sistem yapısı Şekil 2’deki gibi gösterilebilmektedir. Kütle yay sistemi örneği, B. Wie ve D. S. Bernstein tarafından 1992 yılında yapılan ve içeriğinde dayanıklı kontrolcü tasarımı için örnek problemlerin yer aldığı çalışmadan alınarak kullanılmıştır. x1 u m1 k(s) = kontrolcü tasarlanabilir. Bu durumda sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu s6 + 1.57s5 s2 + 1.571s + 1.691 , + 3.69s4 + 3.14s3 + 1.56s2 + 0.31s + 0.016 şeklinde elde edilmektedir. Elde edilen kapalı çevrim transfer fonksiyonunun özdeğerleri −0.0803, −0.2393, −0.2546 ± 1.5829 ve −0.3713 ± 0.4302 noktalarında yer almaktadır. Ayrıca sistem içerisindeki belirsiz parametre olan kc ’ nin değişim aralığında da kontrolcünün, kararsız haldeki bu sistemi kararlı hale getirdiği gözlemlenmiştir. Kütle yay sistemi için elde edilen kontrolcü, sistemin sonsuz normunu kontrol altında tutmak amacıyla tasarlandığından, kontrolcünün bu amaca yönelik olarak ulaştığı başarı seviyesi tam duyarlılık fonksiyonunun frekans cevabı çizdirilerek görülebilir. Frekans cevabı, belirsizlik parametresi olan kc değerinin belirsizlik sınırları içerisinde alabileceği 5 farklı değer ve γ = 17 değeri için Şekil 3’ de yer aldığı gibi çizdirilmiştir. Şekil 3’ de, tasarlanan sabit dereceli H∞ kontrolcünün tam duyarlılık fonksiyonunun sonsuz normunu istenilen sınır olan √ γ değerinin altında tuttuğu görülebilmektedir. Elde edilen kontrolcü ile sistem normunun ulaşabileceği maksimum nokta sınırlandırılmıştır. Sabit dereceli H∞ kontrolcüsü tasarlanan kütle yay sistemi için açık çevrim transfer fonksiyonunun köklerinden çok farklı köklere sahip bir merkezi çok terimli fonksiyonu belirlenerek, bu uygulamada elde edilen γ değerinden daha küçük bir norm sınırı elde edilebilir. Ayrıca benzer şekilde farklı bir merkezi çok terimli fonksiyonu seçilerek bu uygulamada oluşturulan kararlılık bölgesinden daha geniş bir kararlılık bölgesi oluşturulabilir. x2 k −1.826s2 − 0.3051s + 0.016 , s2 + 1.571s + 1.691 m2 Şekil 2: Kütle Yay Sistemi Yapısı. Şekil 2’ de sistem yapısı gösterilen kütle yay düzeneğinin durum-uzay modeli aşağıdaki gibi temsil edilmektedir. 0 x1 0 0 1 0 x˙1 x˙2 0 0 0 1 x2 + 0 u = x˙3 −kc /m1 kc /m1 0 0 x3 1/m1 0 x4 kc /m2 −kc /m2 0 0 x˙4 y = x2 Sistemin durum-uzay modelinde yer alan parametrelerden x1 ve x2 , kütlelerin pozisyonlarını x3 ve x4 ise kütlelerin hızını belirtmek için kullanılmıştır. Bunun yanında u kontrol girişini, 265 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya kontrolcü tasarlanabilir, bu durumda sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu G(s) = −288.9s − 326.5 , s3 + 16s2 + 140.8s + 11.1 şeklinde elde edilmektedir. Elde edilen karakteristik denklemin kutupları −0.0795 ve −7.9602 ± 8.7286i noktalarında yer aldığından dolayı tasarlanan 0. dereceden kontrolcünün sistemi kararsız halden kararlı hale getirdiği söylenebilir. Benzer şekilde 1. dereceden kontrolcü elde etmek amacıyla kullanılacak olan merkezi çok terimli fonksiyonu, kutuplar −1, −5, −9 ve −13 noktalarında olacak şekilde Şekil 3: Tam Duyarlılık Fonksiyonu Frekans Cevabı. c(s) = s4 + 28s3 + 254s2 + 812s + 585, belirlenmiştir. Merkezi çok terimli ile, γ = 2.74 ve ε = 0.1 değeri alınıp Lemma 4 kullanıldığında sistemi dayanıklı Dkararlı kılan ve ayrıca sonsuz normunu 1.66 değerinin altında tutan 1. dereceden 5.2. F4E Uçak Modeli Sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarımı için geliştirilen tasarım metodunun uygunluğunu test etmek amacıyla örnek alınan diğer bir sistem F4E uçak modelidir [5]. F4E uçak modelinde sistemin girişi yerden yükseklik, çıkışı ise eğim oranı olarak belirlenmiştir. Sistem aşağıda farklı irtifa değerleri için verilen 4 temsili uçuş durumu çerçevesinde doğrusallaştırılmıştır. Bu denklemler sırasıyla verilen Mach [0.5, 0.85, 0.9, 1.5] ve yükseklik [5000f t, 5000f t, 35000f t, 35000f t] değerleri kullanılarak oluşturulmuştur. 1 3 2 a (s) = s +15.84s +22s−52.75 k(s) = kontrolcü tasarlanabilir, bu durumda sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu G(s) = b (s) = −185.4s−163.8 1 a2 (s) = s3 +17.12s2 +34.93s−122.5 b2 (s) = −507.8s−789.1 a3 (s) = s3 +15.33s2 +17.51s−14.64 b3 (s) = −158.3s−101.8 a4 (s) = s3 +15.74s2 +43.60s+269.1 b4 (s) = −304.2s−251.4 Tasarım metodunun etkinliğini göstermek amacıyla F4E uçak modeli için 3 farklı dereceden sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarımı gerçekleştirilmeye çalışılacaktır. H∞ kontrolcü tasarımını gerçekleştirmek için gerekli olan nominal transfer fonksiyonu, yani sistemin açık çevrim transfer fonksiyonu p(s, λ) = −0.1039s − 0.3386 , s + 0.4157 s4 −288.9s2 − 446.6s − 135.7 , + 16.42s3 + 66.18s2 + 29.3s + 62.86 şeklinde elde edilmektedir. Elde edilen karakteristik denklemin kutupları −6.1350, −10.0734 ve −0.1037 ± 1.0032i noktalarında yer aldığından dolayı açık çevrim sistemin karakteristik denkleminde yer alan kararsız kutbun tasarlanan 1. derece kontrolcü ile sol yarı-s düzlemine çekildiği ve sistemin kararlı kılındığı söylenebilir. Son olarak 2. dereceden kontrolcü elde etmek amacıyla kullanılacak olan merkezi çok terimli fonksiyonu, kutuplar −2, −3, −4, −5 ve −13 noktalarında olacak şekilde c(s) = s5 + 27s4 + 253s3 + 1077s2 + 2122s + 1560, belirlenmiştir. Merkezi çok terimli ile, γ = 2.86 ve ε = 0.1 değeri alınıp Lemma 4 kullanıldığında sistemi dayanıklı Dkararlı kılan ve ayrıca sonsuz normunu 1.69 değerinin altında tutan 2. dereceden −288.9s − 326.5 , s3 + 16s2 + 29.51s − 114.7 k(s) = şeklindedir. Ayrıca açık çevrim transfer fonksiyonunun kutupları 1.84, −4.769 ve −13.071 noktalarında yer almaktadır. Kontrolcü tasarımı sırasında problemin tanımlandığı konveks olmayan bölge içersinde konveks bir bölge tanımlamak için belirlememiz gereken D-kararlı merkezi çok terimli fonksiyonu, yine mümkün olduğunca açık çevrim kutuplarının yerini çok oynatmadan kutupları -5, -9 ve -13 noktalarında olacak şekilde −0.1123s2 − 0.382s − 0.9271 , s2 + 2.355s + 2.205 kontrolcü tasarlanabilir, bu durumda sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu G(s) = −288.9s3 − 1007s2 − 1406s − 720.1 , s5 + 18.36s4 + 101.9s3 + 137.1s2 + 187.5s + 49.76 şeklinde elde edilmektedir. Elde edilen karakteristik denklemin kutupları −0.3250, −0.4633 ± 1.3203i ve −8.5518 ± 2.2469i noktalarında yer aldığından dolayı sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonunun sonsuz normunun minimizasyonu için tasarlanan 2. dereceden kontrolcünün sistemi kararsız halden kararlı hale getirdiği söylenebilir. Elde edilen 3 farklı kontrolcüye ait seçilen merkezi çok terimli fonksiyonların kökleri, elde edilen kontrolcünün derecesi ve kapalı çevrim transfer fonksiyonunun sonsuz normunun alabileceği maksimum değerin bilgisi c(s) = s3 + 27s2 + 227s + 585, belirlenmiştir. Bu merkezi çok terimli ile, γ = 7 ve ε = 0.1 değeri alınıp Lemma 4 kullanıldığında sistemi dayanıklı Dkararlı kılan ve ayrıca sonsuz normunu 2.6 değerinin altında tutan 0. dereceden k(s) = −0.3853, 266 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya σ(c) −5, −9, −13 −1, −5, −9, −13 −2, −3, −4, −5, −13 Derece 0 1 2 √ γ 2.6 1.66 1.69 trollers”, IEEE Trans. Automatic. Control, vol. 48, no. 7 pp. 1178-1186, 2003. yukarıdaki tabloda verilmiştir. Merkezi çok terimlinin belirlenmesinde farklı bir strateji izlenerek daha düşük sonsuz norm değerleri elde etmek mümkün olabilecektir. Ayrıca kontrolcü derecesinin sistem gereksinimlerine göre en uygun değerde seçilmesine imkan sağlayacak karşılaştırmaların yapılması bu tasarım metodu ile mümkün olacaktır. Tasarlanan 3 farklı kontrolcünün derecesi sistem derecesinden küçük olarak elde edilmiştir. Bu durum kullanılan tasarım metodu ile yüksek dereceli sistemler için düşük dereceli kontrolcüler elde edilebileceğinin bir göstergesidir. 6. Sonuçlar Bu çalışmada, belirsizlik içeren sistemler için sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarımı üzerinde çalışılmıştır. Sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarımı için çok terimli yaklaşım çerçevesinde sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonunun sonsuz normu, Kesin Pozitif Reel Lemma ve dayanıklı Dkararlılık teoremi kullanılarak sınırlandırılmıştır. Belirsizlik içeren iki adet örnek sistem için farklı derecelere sahip kontrolcü tasarımı gerçekleştirilerek, geliştirilen tasarım metodunun uygunluğu gösterilmiştir. Kontrolcü tasarımında kullanılan çok terimli yaklaşım metodunda dikkat edilmesi gereken en önemli noktanın merkezi çok terimli fonksiyonunun seçimi olduğu vurgulanmıştır. Sonuç olarak iki örnek sistem için de tasarlanan kontrolcülerin derecesi, sistemin derecesinden küçük olarak elde edilmiştir. Bu sayede yüksek dereceli herhangi bir sisteme bu çalışmada kullanılan tasarım metodu uygulanarak düşük dereceli bir kontrolcü tasarlanabileceği görülmüş ve bu yolla sistemin gerçek uygulamalardaki kullanılabilirliğinin arttırılabileceği tespit edilmiştir. Önerilen bu yöntem PID benzeri yapısal kontrolcülerin tasarımında da kolaylıkla kullanılabilmekte ve sonuç olarak sabit dereceli Dayanıklı H∞ PID kontrolcüsü gerçeklenebilmektedir. P. Gahinet ve P. Apkarian, “A Linear Matrix Inequality Approach to H∞ Control”, Int. J. Robust and Nonlinear Control, vol. 4, pp. 421-448, 1994. [3] T. Iwasaki ve R. E. Skelton, “All Controllers for the General H∞ Control Problem : LMI Existence Conditions and State Space Formulas”, Automatica, vol. 30, no. 8, pp. 1307-1317, 1994. [4] M. Chilali ve P. Gahinet, “H∞ Design with Pole Placement Constraints : An LMI Approach”, IEEE Trans. Automatic Control, vol. 41, no. 3, pp. 358-367, 1996. [5] D. Henrion, M. Sebek ve V. Kucera, “Positive Polynomials and Robust Stabilization with Fixed-Order Con- [7] S. Wang ve J. H. Chow, ”Low Order Controller Design for SISO Systems Using Coprime Factors and LMIs”, IEEE Trans. Automatic Control, vol. 45, no. 6, pp. 1166-1169, 2000. [8] R. Amirifiar ve N. Sadati, ”Low-Order H∞ Controller Design for an Active Suspension System via LMIs”, IEEE Trans., vol. 53, no. 2, 2006. [9] P. Apkarian, D. Noll ve H. D. Tuan, ”Fixed-Order H∞ Control Design via a Partially Augmented Lagrangian Method”, Int. J. Robust and Nonlinear Control, no. 13, pp. 1137-1148, 2003. [11] D. Henrion, ”LMI Optimization for Fixed-Order H∞ Controller Design”, in Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control, pp. 4646-4651, 2003. [12] F. Yang, M. Gani ve D. Henrion, “Fixed-Order Robust H∞ Controller Design with Regional Pole Assignment”, IEEE Trans. Autom.Control, vol. 52, no. 10,pp. 19591963, 2007. [13] J. V. Burke, D. Henrion, A. S. Lewis ve M. L. Overton, ”HIFOO-A Matlab Package for Fixed-Order Controller Design and H∞ Optimization”, IFAK Sypm. Robust Control Design Toulouse, France, 2006. [14] L. H. Keel ve S. P. Bhattacharyya, ”Robust Stability and Performance with Fixed-Order Controllers”, Automatica, vol. 35, pp. 1717-1724, 1999. [15] H. Khatibi, A. Karimi ve P. Longchamp, ”Fixed-Order Controller Design for Polytopic Systems Using LMIs”, IEEE Trans. Automatic Control, vol. 53, no. 1, 2008. [16] B. Wie ve D. S. Bernstein, “Benchmark Problems for Robust Control Design”, Journal of Guidance Control and Dynamics, vol. 15, no. 5, pp. 1057-1059, 1992. K. Zhou, J. C. Doyle ve K. Glover, Robust and Optimal Control, Upper Saddle River, NJ:Printice-Hall 1996. [2] D. Henrion ve J. B. Lasserre, “Solving Nonconvex Optimization Problems - How GloptiPoly is Applied to Problems in Robust and Nonlinear Control”, IEEE Control Systems Magazine, vol. 24, no. 3, pp. 72-83, 2004. [10] D. Henrion, D. Arzelier ve D. Peaucelle, “Positive Polynomials Matrices and Improved LMI Robustness Conditions”, Automatica, vol. 39, pp. 1479-1485, 2003. 7. Kaynakça [1] [6] [17] J.F. Sturm, ”Using SeDuMi 1.02, a MATLAB Toolbox for Optimization Over Symmetric Cones”, Technical report, Communications Research Laboratory, McMaster University, Hamilton, Canada, 1998. [18] J. Löfberg, “YALMIP : A Toolbox for Modeling and Optimization in Matlab”, Proceedings of the IEEE Symposium on Computer-Aided Control System Design (CACSD), Taipei, Taiwan, September 2004. 267 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Çevrim Şekillendirme Tabanlı Dayanıklı Kontrolün İçten Yanmalı Bir Motora Uygulanması Şinasi Arslan1, Özgür Alpan2 1 Makine Mühendisliği Bölümü Sakarya Üniversitesi, Esentepe-Sakarya sarslan@sakarya.edu.tr 2 Motor, Kontrol ve Transmisyon Sistemleri Yöneticiliği, Tofaş Ar-Ge, Bursa ozgur.alpan@tofas.com.tr pedal basılı değil iken rölânti devrinin oluşturduğu boyuna titreşimlerin sönümlemesi konusunda LS metodu tabanlı H∞ dayanıklı kontrolör kullanarak çalışmalar yapılmıştır [3]. LS metodu tabanlı H∞ dayanıklı kontrolör için ağırlık seçimi konusunda çalışmalar mevcuttur [4]. Elektrik veya hibrit araçlarda yaygın olarak kullanılan servo mekanizmalar üzerine LS metodu tabanlı H∞ dayanıklı kontrolör uygulanan çalışmalar da vardır [5]. Bu çalışmada SISO olarak tanımlanmış içten yanmalı motorun LS metodu tabanlı H∞ dayanıklı kontrolör ile devir kontrolü çalışması verilmiştir. Özetçe Bu çalışmada, hava debisini kontrol eden gaz kelebek plakasının konumu sistem girişi, motor devri ise sistem çıkışı olacak şekilde tanımlanan içten yanmalı bir motor için dayanıklı kontrol ailesinden biri olan çevrim şekillendirme metodu önerilmiştir. Öncelikle içten yanmalı motorun sahip olduğu yapısal olmayan çarpımsal belirsizlik olan tork oluşumu gecikmesi tanımlanmıştır. Ardından performans ölçütleri doğrultusunda hedeflenen uygun çevrim şeklinin seçimi için sistemin açık çevrim frekans cevabı incelenmiştir. Çevrim şekillendirme metodu ile simülasyon ortamında elde edilen H∞ kontrolörün performansı nominal motor modeli ve belirsizlik içeren aynı motor için test edilmiştir. Elde edilen H∞ kontrolör performans sonuçları grafiksel olarak sunulmuştur. 2. Sistem Modeli 2.1. Sistem Tanımlama Birçok mühendislik problemlerin çözümü için sistem modeline ihtiyaç duyulmaktadır. Sistem modeli fiziksel sistemin davranışını karakterize eden matematiksel işaretlerin bütünü olarak tanımlanabilir. Sistem ise çeşitli girişler karşısında çeşitli çıkışlar üreten nesne olarak tanımlanır [6]. Mühendislik problemleri ile ilgili sistem bir süreç, mekanizma, makine veya bu çalışmada bahsedildiği üzere içten yanmalı motor olabilir. Bir sistem ile ilgili kontrol problemi söz konusu olduğunda, sistem için transfer fonksiyonları kullanılır. Motor, çalışma yapısı ve dinamik karakteristiği özelliği ile doğrusal olmayan bir yapıya sahiptir. Dinamik sistemler üzerine enerji verildiğinde bu enerjiyi muhafaza edip daha sonra açığa çıkan sistemlerdir. Doğrusal olmayan sistem ise kısaca girişi ile çıkışı arasında doğrudan doğruya oransal bir ilişki bulunmayan sistemlerdir. Motor, üzerinde bulunan algılayıcı ve eyleyicilerin ölçüm ve cevap belirsizlikleri, kuru ve dinamik sürtünmeler, IPS gibi çeşitli gecikmeler gibi belirsizliğin ve doğrusal olmayan alt sistemlerin fazlaca yer aldığı bir ana sistemdir. Sistem tanılama kısaca bilinen giriş-çıkış verileri kullanılarak sonraki herhangi bir giriş sinyali için çıkış sinyalini tanımlayan sistem modelinin oluşturulması şeklinde tanımlanır. Doğrusal olmayan sistemlerin model kestirimi konusunda bilinen ve uygulanan bir metot olan Hammerstein-Wiener doğrusal olmayan sistem tanılama tekniğidir [7,8]. Bu model Şekil 1’de gösterildiği gibi doğrusal sistem, doğrusal olmayan giriş ve çıkış fonksiyonları tarafından 1.Giriş İçten yanmalı motorlar alanındaki araştırmalar giderek artmaktadır. Motorların geliştirilmesi ile ilgili çalışmaların yasal zorunluluklara uyum, emisyon, sürülebilirlik ve performans gibi konularda yoğunlaştığı görülmektedir. Konvansiyonel dört zamanlı içten yanmalı motorların çalışma prensipleri ve mekaniği ile ilgili çalışmalar büyük oranda tamamlanmıştır. İçten yanmalı motorlarda doğrusal olmayan dinamik yapı, fazla sayıdaki algılayıcı ve eyleyici belirsizlikleri, sistemin nominal parametreleri üzerindeki belirsizlikler düşünüldüğünde dayanıklı kontrol tasarımın kaçınılmaz olduğu görülmektedir [1]. Yakıt tüketimi ve performans arasındaki dengenin en uygun şekilde kurulması, tanımlı tüm çalışma aralıklarında sürücünün isteklerine hızlı bir şekilde tepki vermesi, yasal zorunlulukları karşılayacak emisyon ve duman salınımlarının kontrol altında tutulması ve sürüş esnasında boyuna titreşimlerin olabildiğinde az olması temel içten yanmalı motor kontrol problemleri arasında yer almaktadır [2]. Bu problemlerin birçoğunda motor devrinin hassas bir şekilde dayanıklı kontrolü gerekmektedir. Tek giriş, tek çıkışlı sistem (SISO) ve çok giriş, çok çıkışlı sistem (MIMO) olmak üzere içten yanmalı motorun dayanıklı devir kontrolü ile ilgili çalışmalar yapılmıştır. Sayısal geri besleme teorisini (QFT) kullanılarak rölânti devri kontrolü ile ilgili çalışmalarda çevrim şekillendirme (LS) metodu uygulanmıştır [1]. Vitesin takılı olduğu konumda, herhangi bir 268 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Tablo 1. Seçilen sisten tanılama parametreleri. çevrelenerek, toplam sistemin doğrusal olmayan modeli elde edilebilir [9]. u(t) Doğusal Olmayan Giriş: f w(t) Doğusal Blok: B/F Doğusal Olmayan Çıkış: h x(t) Açıklaması Değeri nk Transport gecikmesi 1 Parametre y(t) nb B derecesi (sıfırlar) 2 Şekil 1. Hammerstein-Wiener modeli. nf F derecesi (kutuplar) 3 Şekil 1’de verilen tümleşik sistem, eğer sadece sistem girişinde doğrusal olmayan ifade var ise Hammerstein, benzer şekilde sadece sistem çıkışında doğrusal olmayan ifade var ise Wiener model olarak adlandırılmaktadır. Her ikisinin birlikte bulunması durumunda ise sistem Hammerstein-Wiener olarak adlandılır. Motor sistemi için giriş sinyali olarak algılayıcıların dinamik modelleri ve doğrusal olmayan gecikmeler, çıkışında ise çeşitli sürtünmeler ve eyleyicilerin doğrusal olmayan yapıları nedeniyle Hammerstein-Wiener metodu tercih edilmiştir. Şekil 1’de verilen model için eyleyici tarafındaki Hammerstein doğrusal olmayan blok için u(t) giriş ve w(t) çıkış sinyalleri arasında (1) w(t) f (u(t)) T Örnekleme zamanı 0.119 2.2. Sistem Modeli Kestirimi Sistem tanılama tekniğiyle uygulanan sözde rasgele ikili dizi sinyali (PRBS) girdisi ile elde edilen çıkış değişkeni değerleri kullanılarak sistem modeli Hammerstein- Wiener modeli ile elde edilmiştir [6,8]. Örnekleme zamanı T0.119 s olarak belirlenmiş ve veri toplama işlemi için gerçel eş zamanda Fiat-Tofaş 1.4lt 16V Euro5 95hP doğal hava emişli motor test sistemi kullanılmıştır. Sisteme gaz pedalı sinyali PRBS girdisi olarak uygulanmış, kelebek plakasının açısına göre motor devrindeki değişim diğer parametreler sabit tutularak kayıt edilmiştir. Uygulanan PRBS sinyali Şekil 2’de verilmiştir. statik doğrusal olmayan bir ilişki ile ifade edilir. Aynı zamanda algılayıcı tarafındaki Wiener doğrusal olmayan blok için x(t) giriş ve y(t) çıkış sinyalleri arasında (2) y(t) h(x(t)) Gaz Pedalı Konumu (%) 100 statik doğrusal olmayan bir ilişki ile ifade edilir. İki doğrusal olmayan blok arasındaki doğrusal bloğun w(t) giriş kelebek açısı ve x(t) çıkış motor devri arasında kestirilen doğrusal model x(t) (3) B(q 1 ) b 0 b1q 1 b 2 q 2 ... b nb q nb 1 2 F(q ) 1 f1q f 2 q ... f nf q 40 20 100 200 300 400 Veri Adeti 500 600 700 800 Şekil 2. PRBS sinyali. nf Veri toplama işlemi motorun rejimde olduğu bölgede gerçekleştirilerek, avans gibi diğer önemli parametreler sabit kabul edilmiştir. Veri toplama işlemi sonrasında hava debisinin kontrol edilmesini sağlayan kelebek plakasının açı değişimine karşılık motor devrinin değişimine ait faz diyagramı Şekil 3’de verilmiştir. -1 ile ifade edilir. Burada, (q ) zaman gecikme operatörü ile 1 60 0 0 B(q 1 ) w(t nk) F(q 1 ) 1 80 1 tanımlanan B(q ) ve F(q ) kestirilecek skalar polinomları, “nk” transport gecikmesini, “nb” ve “nf” ise polinom derecelerini gösterir. (q-1) zaman operatörü örnekleme aralığı 1 ile ilişkili olup, “T” örnekleme zamanı için u(t)q u(t T) olarak yazılabilir. Hammerstein-Wiener modeline göre doğrusal olmayan giriş fonksiyonu, sigmoid network, wavelet network, saturasyon, ölü bölge, parça-parça doğrusal fonksiyon veya tekdereceli polinom olarak tanımlanabilir. Bu çalışmada doğrusal olmayan giriş modeli için wavelet network kullanılmıştır. Sistem tanılama ile ilgili verilen denklemlerde seçilen parametreler Tablo 1’de verilmiştir. Kelebek Plakası Açısı (derece) 70 60 50 40 30 20 10 0 0 1000 2000 3000 4000 Motor Devri (rpm) 5000 Şekil 3. Kelebek açısı ve motor devri faz gösterimi. 269 6000 7000 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Tanılama işlemi sonucu elde edilen sistem ile gerçek sistem verisinin karşılaştırılması Şekil 4’de verilmiştir. son kontrolör bulunur [10,11]. Kontrolörün blok diyagramı Şekil 6’te gösterilmiştir. 7000 Ks Motor Devri (rpm) 6000 5000 K 4000 W1 G W2 3000 2000 Şekil 6. Son kontrolör gösterimi. 1000 0 40 45 50 55 60 65 70 Zaman (s) 75 80 85 90 Çevrim şekillendirme metodunun kısaca amacı arzu edilen Gd çevrim şekline sahip ve sistemi kararlı hale sokan H∞ en uygun K kontrolörü bulmaktır. Hesaplama sonrasında elde edilen γ değeri bir hassasiyet göstergesi olup, arzu edilen çevrim şeklinin Gd’ye ne kadar yaklaşıldığını gösterir. γ = 1 ise sistem tam olarak arzu edilen şekle sokulmuştur. Kontrol tasarımında arzu edilen çevrim transfer fonksiyonu Gd’nin tasarımı önemlidir. Dayanıklı kontrol ancak iyi kazanç ve faz payları ile mümkün olmaktadır. gm kazanç payı çevrimin kararlığını kaybedene dek sağladığı kazanç miktarıdır. Yüksek kazanç payı sistem modellemedeki kazanç hatalarının kararsızlık oluşturmasına engel olur. ϕm faz payı ise çevrim kararlığını kaybettiği faz sınırı olarak tanımlanabilir. Genel olarak dayanıklı kontrol tasarımında 30° ve 60° sistem cevabı üzerinde salınım olmaması tercih edilir. Düşük frekanslı bozucu sinyallerin etkisinin bertaraf edilmesi ve iyi referans takibi için çevrim genliğinin düşük frekanslarda yüksek olması istenir. gc kazanç geçiş frekansı çevrimin 0 dB’i kestiği frekans olup bu değerin de olabildiğince yüksek olması dayanıklılık açısından önemlidir. Bozucu sinyallerin etkisini azaltmak için çevrimin ilk kısmının eğimi olabildiğince dik olmalıdır [12]. gc kazanç geçiş frekansı performans ile dayanıklılık arasındaki geçiş bölgesi olarak bilinir ve Gd’nin seçiminde önemli bir parametredir. Tasarım ölçütlerinin frekans diyagramı üzerinde şematik gösterimi Şekil 7’de verilmiştir. Şekil 4. Tanılanan sistem ile gerçek sistemin hızı. Tanımlanan sistemin %81.29 doğrulukla gerçek sisteme yaklaştığı görülmüştür. Kontrol tasarımı yapabilmek için tanılanan sisteme ait transfer fonksiyonu Po (s) 281.1s 608.6 s 2 3.773s 2.912 (4) deneysel olarak kestirilmiştir. 3. Kontrol Tasarımı Çevrim şekillendirme metodu tabanlı H∞ dayanıklı kontrolör tasarımında öncelikle nominal sistemin tekil değerleri hedef çevrim tekil değerlerine göre W1 ve W2 ön ve arka ağırlık filtreleri ile şekillendirilir. Buna göre arzu edilen çevrim şekli ile nominal sistem arasında G d W2 GW1 ilişkisi yazılabilir [10]. Şekil 5’te çevrim şekillendirme blok diyagramı görülmektedir. Gd W1 G W2 log|L(j)| Ks Bozucu sinyal dayanıklılık Şekil 5. Çevrim şekillendirme blok gösterimi. gc Normalleştirilmiş sol çarpanlara ayırma metodu (LCF) ile Ölçüm gürültüsü 1 hedef çevrim G d M N şeklinde çarpanlarına ayrılabilir [11]. M ve N matrislerinin hesaplanmasından sonra sistemi dayanıklı bir şekilde kararlı hale sokan H∞ kontrolörü K s 1 1 I (I G d K s ) M Şekil 7. Çevrim transfer tonksiyonu tasarım ölçütleri. Sistem üzerinde ölçüm gürültüsü söz konusu ise, gc kazanç geçiş frekansının hemen sonrasındaki genliklerin düşük olması istenir. Kabaca çevrim şekillendirme yöntemi, performans için seçilen yüksek kazanç ile dayanıklılık için seçilen düşük kazanç bölgesinin en uygun şekilde belirlenmesi işlemidir. Bu kontrol probleminde nominal ve belirsizliklerin dahil edildiği tüm alt sistemlerin tekil değer gösterimi Şekil 8’de verilmiştir. (5) ile hesaplanır [10,11]. Denklem 4’ten elde edilen Ks daha önce elde edilen W1 ve W2 ön ve arka şekillendirme filtreleri kullanılarak K W2 K s W1 log log|L(j (6) 270 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya 60 Po 40 P Gd 20 Genlik (dB) 3 K(s) 2 145.8s 5.976e5s 2.253e6s1.739e6 4 3 (7) 2 s 8214s 1.688e7s 3.667e7s3.65e5 olarak elde edilmiştir. Bu LS metodu tabanlı H∞ dayanıklı kontrolör ile belirsizlikten kaynaklanan olası tüm alt sistemlerin kapalı çevrim adım cevabı Şekil 10’da verilmiştir. 0 -20 -40 -60 -4 10 1 -2 0 10 2 10 10 10 4 Genlik Frekans (rad/s) Şekil 8. Sistemin tekil değerleri. 0.5 Bu kontrol problemi için seçilen Gd çevrim transfer fonksiyonu 0 10 Gd s 0.01 (7) 0 1 1.5 2 2.5 Zaman (seconds) deneyerek seçilmiştir. Şekil 6’da görüleceği üzere belirsizlik (15-40) dB genlik ile 50 rad/s frekans dolaylarında yoğunlaşmaktadır. Sonraki bölümde belirsizlik içeren sistem ve tüm alt sistemlerini kararlı hale sokan kontrolör ile ilgili benzetim sonuçları verilmiştir. Şekil 10. Olası sistemlerin kapalı çevrim adım cevabı. Kapalı çevrim cevabında görüleceği üzere hesaplanan kontrol nominal sistemin tüm alt sistemlerini kararlı hale sokmaktadır. Kontrolörün nominal sistemin ve tüm belirsizliklerin dahil edildiği alt sistemleri için bozucu sinyal karşısındaki performansı Şekil 11’de verilmiştir. Nominal ve dayanıklılık ölçütlerinde sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonuna ait S hassasiyet fonksiyonu kullanılmıştır. 4. Simülasyon Çalışmaları Açık çevrim nominal sistemin ve belirsizlik içeren tüm alt sistemlerin adım fonksiyon cevabı Şekil 9’da gösterilmiştir. Buna göre nominal ve belirsizlik içeren tüm alt sistemlerin kararlı olduğu görülmektedir. 10 0 250 -10 150 P Genlik (dB) 200 Genlik 0.5 o P 100 -20 S S o -30 -40 -50 50 -60 -4 10 0 -2 10 0 10 2 10 4 10 Frekans (rad/s) -50 0 2 4 6 8 10 Zaman (seconds) Şekil 11. Bozucu sinyale karşı frekans cevabı. Şekil 9. Sistem açık çevrim cevabı. Şekil 11’e göre tasarlanan kontrolör, nominal sisteme ve olası tüm alt sistemlere etkiyecek düşük frekanslı bozucu girişleri dayanıklı bir şekilde reddetmektedir. Benzer şekilde sisteme bozucu sinyal etkimesi durumunda olası tüm alt sistemlerin zaman alanında cevabı Şekil 12’de gösterilmiştir. MATLAB® “loopsyn” alt programı yardımıyla sistemi arzu edilen çevrim transfer fonksiyonuna yaklaştırarak kararlı hale sokan kontrolör hesaplanmıştır. Hesaplamalar sonrasında ulaşılan γ = 1,4162 olup hedef çevrim transfer fonksiyonuna olan yaklaşma hatası kabul edilebilir 3.0223 dB değerinde bulunmuştur. Hesaplanan kontrolör 271 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya 6. Kaynaklar P Po 1 1. Genlik 0.5 2. 0 -0.5 0 3. 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Zaman (seconds) 4. Şekil 12. Bozucu sinyale karşı zaman performansı. Grafik incelendiğinde nominal ve tüm alt sistemlerine etkiyecek adım şeklindeki bozucu giriş sinyalinin etkisi maksimum 1s içerisinde sıfırlanmaktadır. Şekil 13’de elde edilen kontrolcünün nominal sistem üzerindeki performansı verilmiştir. Buna göre 0.6 s oturma zamanı ile sistem referansı yakalanarak sıfır hata ile takip edilmektedir. 5. 6. 7. 2500 nominal sistem cevabı Motor Devri (rpm) 2000 8. 1500 referans giriş sinyali 1000 9. 500 0 0 10. 10 20 30 40 50 60 Zaman (seconds) Şekil 13. Nominal sistem referans takibi. 11. 5. Sonuçlar 12. LS metodu tabanlı H∞ dayanıklı kontrolörün yapısal olmayan belirsizliklerden oluşan içten yanmalı motor gibi dinamik sistemlerde başarıyla uygulanabileceği görülmüştür. Gerçekleştirilen dayanıklılık analizleri sonrasında elde edilen kontrolörün, sistemin olası tüm yapılarına etki edecek düşük frekanslı bozucu sinyalleri maksimum 1 s içerisinde sıfırlamaktadır. Nominal sistemin zaman alanında referans takibi incelendiğinde maksimum oturma zamanının 0.6 s olduğu görülmektedir. Bu değer motor gibi yüksek ataletli sistem için ideal ve kabul edilebilir seviyededir. Sonuçta H∞ tabanlı çevrim şekillendirme yöntemi ile elde edilen kontrolcünün gerçek zamanlı motor kontrol problemlerinde uygulanabileceği görülmüştür. Bu metodun bir dezavantajı olarak yüksek mertebeli kontrolör elde edilmiştir. Hankel vb. yöntemler ile mertebe indirgeme çalışması yapılabilir. 272 Gharip, R., M., and Moavenian, M., “A New Generalized Controller for Engine in Idle Speed Condition”, Journal of Basic and Applied Scientific Research, 2(7)6596-6604, 2012. Arslan, Ş., ve Alpan, Ö., “Gaz Kelebek Plakasının Gözlemcili Durum Geri Beslemeli Konum Kontrolü”, Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK-2012, s. 330333, Niğde, 11-13 Ekim 2012. Sun, X., Scotson, D.,P., and Balfour, G., “A Further Application of Loop Shaping H-infinity Control to Diesel Engine Control – Driven-Idle Speed Control” SAE Technical Paper Series, 2002-01-0197. Lanzon, A., “Simultaneous Synthesis of Weights and Controllers in H-inf Loop-Shaping”, Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control Orlando, Florida USA, Aralık 2011. Ban, N., Ogawa, H., Ono, M., and Ishida, Y., “A Servo Control System Using the Loop Shaping Design Procedure”,World Academy of Science, Engineering and Technology 36 2009. Ljung, L., “System Identification Theory for User”, Prentice Hall , 1999. Toğun, N., Bayseç G., ve Kara, T., “Benzinli bir Motor Torkunun Doğrusal Olmayan Modellenmesi ve Tanımlanması”, 15. Ulusal Makina Teorisi Sempozyumu, Niğde, 16-18 Haziran 2011. Toğun, N., Bayseç G., and Kara T., “Nonlinear Modeling and Identification of a Spark Ignition Engine Torque”, Mechanical Systems and Signal Processing, 26,s.294–304, 2012. Crama, P., and Schoukens, J.,“Hammerstein-Wiener System Estimator Initialization”, Automatica, Volume 40, Issue 9, pp. 1543-1550, 2004. Le, V. X., and Safonov, M. G.,“Rational Matrix GCD’s and the Design of Squaring-Down Compensators-A State-Space Theory”, IEEE Transactions On Automatic Control, Vol. 37, No. 3, Mart 1992. Glover, K., and Mcfarlane, D., “Robust Stabilization of Normalized Coprime Factor Plant Descriptions with Hinf Bounded Uncertainty”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 34, No. 8, Ağustos 1989. Astrom, K., J., and Murray R., M.,”Feedback Systems”, ISBN-10: 0691135762, 2008. Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Yapısal Belirsizlik İçeren Tepe Vinç Modelinin Dayanıklı Kontrolü Şinasi Arslan1, Seda Uygurlu1 1 Makine Mühendisliği Bölümü Sakarya Üniversitesi, Esentepe-Sakarya sarslan@sakarya.edu.tr çalışmasını olumsuz yönde etkileyen iç ve dış bozucuların varlığı yanında dinamik model belirsizlikleri düşünüldüğünde, bu yöntemlerin sistemde kararlılığı ve performansı sağlayamadığı görülmüştür. Özellikle sisteme etki eden sürtünme ve doğrusal olmayan dinamikler dikkate alındığında bu etkiyi ortadan kaldırmak için gözlemcili kontrol yöntemleri kullanılmıştır [4]. Bu yöntemlerde sisteme etki eden doğrusal olmayan dinamikler sisteme etki eden bozucu sinyal gibi değerlendirilmiş, tasarlanan gözlemci ve doğrusal kuadratik (LQ) kontrol yöntemi ile sistem bu etkilere karşı dayanıklı kılmaya çalışılmıştır. Bu çalışmalarda, bozucuların sisteme etkisi azaltılabilse bile sistemde yüksek frekanslı harmoniklerin oluşmasına sebep olduğu görülmüştür. Özetçe Tepe vinci, endüstriyel alanlarda, ağır nesnelerin taşınmasında sıklıkla kullanılan araçlardan biridir. Taşımalar esnasında taşıyıcı halatın istenmeyen salınımları hem cismin kontrolsüz bir şekilde hareketine hem de etrafındaki diğer cisimlere ve canlılara tehlike oluşturur. Bu çalışmada, istenmeyen salınımları en aza indirgeyen pozisyon kontrolörü tasarımı amaçlanmıştır. Tepe vinci yapısı bir araba sarkaç modeli olarak ele alınmıştır. Sistemin kontrolünde öncelikle nominal model için H∞ tabanlı dayanıklı kontrol önerilmiştir. Bu model parametre belirsizlikleri ile genişletilerek sisteme etki eden dış kaynaklı ve model kaynaklı bozuculara cevap verebilen µsentez tabanlı dayanıklı kontrolör ile performans iyileştirilmeye çalışılmıştır. Tasarlanan kontrolörlerin etkinliği simülasyon ortamında test edilerek sonuçlar irdelenmiştir. Bu konudayapılan son çalışmalar; H tabanlı dayanıklı kontrolör (RC), parametre değişimlerine ve ihmal edilen doğrusal olmayan dinamiklerden kaynaklanan model belirsizliklerine dayanıklı, çevreden gelen bozucu etkilere karşı duyarsız yapacak kontrol yöntemi üzerinde yoğunlaşmıştır [8]. RC metotların kullanıldığı çalışmalarda dayaklılık analizi ve µsentez tabanlı kontrol metoduna gerekli önem verilmemiştir. Bu çalışmada, tek bir doğrultuda hareket eden yük arabası ve buna bağlı, ucunda yükün olduğu taşıyıcı halat ile modellenen doğrusal olmayan üç serbestlik dereceli tepe vinci modeli ele alınmıştır. Burada yük arabasının pozisyonu, salınım açısı ve taşıyıcı halatın uzunluğu ölçülebilen sistem çıkış sinyalleri ve arabaya uygulanan kuvvet ile halatı hareket ettiren kuvvet kontrol sinyalleri olarak alınmıştır. Doğrusal olmayan model çalışma noktasında doğrusallaştırılmıştır. Sistemde parametre değişimleri ile yapısal belirsizlik içeren sistem modeli oluşturulmuştur. Sistemin performans gereksinimleri uygun ağırlık fonksiyonlarıyla gösterilmiş ve sistemin genişletilmiş modeli 1. Giriş Elle kumanda edilen tepe vinci yatay doğrultudaki ivmelenme, sistemin kontrolünü ve güvenliğini olumsuz yönde etkileyen salınımlara yol açar. Bu durum, yükün istenilen pozisyona en kısa zamanda en az salınımla taşınması için sistemin hassas ve dayanıklı kontrolünü gerekli kılmıştır. Kontrol etkinliğini artırmak için sistemin gerçek dinamik davranışını yansıtan farklı matematiksel modeller önerilmiştir. Birçok uygulamada, yük arabasının tek doğrultuda hareket ettiği, taşıma halatının ise sağlam kabul edildiği sistem modelinin, gerçek sistemin dinamik davranışına oldukça yakın sonuçlar verdiği görülmüştür [1]. Bunun dışında, bazı çalışmalarda, taşıyıcı halattaki esnemeler göz önünde bulundurulmuş ve oturma zamanının oldukça büyük olduğu gözlenmiştir [2]. Sistemin kontrolüne yönelik birçok çalışmada en uygununu bulma kontrol yöntemleri, tepe vincinin doğrusal modeline uygulanmıştır [3]. Bu uygulamalarda, kullanılan doğrusal modelin, sistemin gerçek dinamik davranışını yansıtmakta yetersiz kaldığı görülmüştür. Sisteme etki eden rüzgar, darbe, sürtünme gibi dış etkenlerin doğrusal olmayan etkilerinin doğrusallaştırılması sistemin performansını olumsuz yönde etkilemiş ve kontrol etkinliğini azaltmıştır. Bunun üzerine, tepe vincinin kontrolünde, doğrusal olmayan model ve buna uygun kontrol yöntemlerine başvurulmuştur [4,5]. Bu yöntemlerin geleneksel PID kontrol ve kutup yerleştirme yöntemlerine göre daha başarılı olduğu ileri sürülmüştür. Tepe vincinin minimum salınımlı pozisyon kontrolü araştırmacıların uzun zamandır ilgisini çekmektedir. Bu kontrol probleminin çözümü için kayan kipli kontrol [6], bulanık mantık kontrol [3], uyarlamalı kontrol [7] gibi birçok kontrol yöntemlerine başvurulmuştur. Fiziksel sistem modelinin kesin olarak bilindiği kabulüyle başvurulan bu yöntemler oldukça etkili yöntemlerdir. Buna karşın sistemin kesin bir modelini oluşturmak mümkün değildir. Kontrol edilemeyen ve sistemin oluşturulmuştur. Nominal sistemin kontrolü, H tabanlı RC olarak çözülmüş, tasarlanan bu kontrolörün belirsizliklerle sistemin kararlılığını ve performansını karşılayıp karşılayamadığı μ-analizi ile test edilmiştir. Belirsizlik içeren sistem modeli kullanılarak, dayanıklı kararlılık ve performansı D-K tekrarlama metodu ile yapılan μsentez tabanlı kontrol metodu ile garanti altına alınmıştır. Sonuçlar Matlab simülasyon ortamında elde edilmiş ve değerlendirilmiştir. 2. Fiziksel Sistemin Tanımı Yatay doğrultuda hareket eden bir yük arabası ve ucunda yük asılı bir taşıyıcı halattan oluşan tepe vinç modeli Şekil 1’de gösterilmiştir. 273 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Ft y ile ifade edilir. Sistemin x, θ ve L konumları için doğrusal olmayan dinamik denklemleri M x(t) Fh x t x L ∀ θ(t) 1 M 1 t d L L sin ]; [Ft Fh sin xd ML t d L L sin ]cos [gM sin [Ft Fh sin xd 2ML ] m Şekil 1. Tepe vinç modeli. L 1 Mm d m (3) ; [ Ft m sin (msin 2 M)(Fh d L L) Oluşturulan Ft(t) tahrik kuvveti arabanın x(t) yatay sürtünme kuvvetine karşı ileri-geri hareket doğrultuda d t x(t) etmesini sağlar. Taşınacak yük sağlam olarak kabul edilen bir halatla dθ sürtünme katsayılı bir döner mafsalla arabaya sürtünme kuvvetine karşı Fh(t) halat bağlanmış hareketi d L L(t) tahrik kuvveti ile sağlanıp θ(t) salınım açısıyla yatay bir düzlemde hareket ettiği kabul edilmiştir. Modelle ilgili paremetreler Tablo 1’de verilmiştir. elde edilir. Sistemin modeli oluşturulurken arabayı hareket ettiren motor ve dişli kutusu yerine direkt olarak Ft(t) tahrik kuvveti kullanılmıştır. Taşıyıcı halatın kütlesi ve esnekliği ise göz ardı edilmiştir. Tablo 1. Modelde kullanılan parametreler. Sistem kontrol amacına uygun olarak belli çalışma noktaları etrafında doğrusal davranır. Burada küçük konum değişimleri Parametre M m L L0 dt dθ dL g Açıklaması Arabanın kütlesi Yükün kütlesi Halat boyu Halat ilk boyu Araba yolundaki sürtünme katsayısı Halat makarasının dönme eksenindeki sürtünme katsayısı Halat ile makara arasındaki sürtünme katsayısı Yerçekimi ivmesi t sin Mm(L 2 g cos )] mxd 3.2. Doğrusal Model Nominal değeri 1.0 [kg] 3 [kg] 1.0 [m] , L L o L, L L x x, sin , cos 1, xy 0 x y 0 kullanılarak Denklem 3’den 5.125[kg/s] 1 t] [Ft mg xd M d d 1 [gM F F xd ) t ] L( t h ML o m m F d L L h L m m x 0.0033[kg/s] 40[kg/s] 9.81 [m/s2] Sistem üç serbestlik derecesine sahip olup hareketi Ft(t) arabanın tahrik kuvveti ve Fh(t) halat tahrik kuvveti kontrol girişi olarak uygulanan kuvvetlerle sağlanır. Sistemin hareket denklemleri Lagrange denklemi C L( (1) x L x Lsin y L L o L CxL L konum belirsizliği ikinci bir bozucu giriş etkisi olarak düşünebilinir. Denklem 5, 6 ve 7’den sitemin durum uzay x Ax B Bu u y C y x D y D yu u , , L, L] x [x, x, T y [x L , ,L]T 1/2Mx 1/2m(x L L 2 x L sin 2 x L cos ) mgL cos 2 2 R 1 2d t x 1/2d t 1 2d L L 2 T (7) y L Lcos Lagrange denkleminde kullanılan Langrage ve Rayleigh fonksiyonu, genelleştirilmiş kuvvetler ve koordinatlar 2 (6) x L x L o L 3.1. Doğrusal Olmayan Model 2 d ); m dinamik belirsizlik bozucu giriş etkisi olarak düşünebilinir. Aynı şekilde yük konumunun doğrusallaştırılmasından oluşan kullanılarak elde edilir. Burada, Γ toplam kinetik enerji ile toplam potansiyel enerji farkı olan Lagrange fonksiyonu, qi genelleştirilmiş koordinatı, R Rayleigh fonksiyonunu ve Qi genelleştirilmiş dış kuvvetleri göstermektedir. Önce doğrusal olmayan hareket denklemleri elde edilir. Sonra bunlar doğrusallaştırılarak kontrolör tasarımında kullanılır. 2 (5) sistemin doğrusal modeli elde edilir. Burada doğrusallaşma işleminde oluşan 3. Sistemin Dinamik Modeli d R ( ) Qi dt q i q i q i (4) 2 2 u [Ft ,Fh ]T (2) [C xL ,C ]T T Q i Ft , Fh , q i x, , L 274 (8) Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya N iç bağlantılı nominal sistemdeki ağırlık filtreler Şekil 3’de gösterilmiştir. ile ifade edilir. Burada, x R 6 x1 , y R 3x1 , R 2x1 , u R 2x1 vektörler olup diğer parametreler 0 0 0 A 0 0 0 1 0 dt M d t mg 0 0 dt MLo 0 0 0 0 1 0 M g (1 dtm L Lo d ) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 M 0 0 1 B u 1 ;C y 0 0 ML 0 0 0 1 0 m D [D y D yu ]; o 0 M M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; B 0 0 1 0 0 d L m 0 0 0 1 Lo 0 0 C xL Wcx C Wcθ ; - x + Lo 0 0 0 1 0 1 0 0 0 ; D 0 0 0 1 0 0 0 Wpx θ L - Ft eL WpL ∑ + WFt WFh Fh enx (9) ∑ ∑ + + ∑ enL ∑ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 epft epfh Wnx + nθ + - epL nx + - enθ epx Wpθ epθ Gnom Wnθ ∑ + nL WnL n x n n L + + 0 ex ∑ rx rL Şekil 3. Nominal model açık çevrim iç bağlantı yapısı. WW giriş ve Wz çıkış filtreleri WW Wcx , Wc , Wn , Wnx , WnL 4. Dayanıklı Kontrol Wcx 0.0001; Wc 0.0001; Wn Sistemde parametre değişimleri, ihmal edilen ve modellenemeyen dinamikler ve çevresel faktörler belirsiz etkiye yol açarlar. RC yöntemi ile bu belirsiz etkilere rağmen sistemin kararlılığının sağlanması ve sistem performansının iyileştirilmesi hedeflenir. Bu hedefler doğrultusunda ilk adım ağırlık fonksiyonlarının seçimini yapmaktır [9]. 8.104 s 0.2 ; s 40 Wnx 0.01; WnL 0.01; (12) Wz Wpx , Wp , WpL , WFt , WFh ; 1 10 0.1 ; Wp ; WpL s 103 s 10 s 104 5.103 s 0.1 105 s 2.106 WFt 0.08 ; WFh 0.1 8 5.10 s 1 s 2.107 Wpx 4.1. Ağırlık Filtreleri Sistemde tüm performans gereksinimlerinin aynı anda karşılanması mümkün olmadığından bu hedefler arasındaki geçiş uygun ağırlık filtrelerinin seçimiyle mümkündür. Sistemin hedeflenen performansına ulaşması için olarak seçilmiş ve frekans cevapları Şekil 4’de gösterilmiştir. W 60 W Wu R (10) 1 (s) (Wp1 ) 1 ( R ) (Wu ) (11) Bu çalışmada sisteme etki eden w rx bozucu giriş sinyalleri ve W W şartlarının sağlanmasıyla mümkündür. dış W 20 1 Genlik (dB) WpS 40 rL C xL C n x n n L 0 p pL Ft Fh n -20 T -40 T -60 z e px e p e pL e pft e pfh W px -80 T performans çıktıları ve y n e nx e n e nL geri besleme ölçüm sinyallerinin belirlenmesi ile elde edilen H∞ kontrolörün tasarımı için Şekil 2’de gösterilen genişletilmiş kontrol yapısı kullanılmıştır. Bu yapıda giriş ve çıkışı şekillendirmekte kullanılan ağırlık filtrelerin bant genişlikleri ve kazançları kapalı çevrim frekans cevapları üzerinden denemeler yapılarak seçilmiştir. w z N u -100 10-4 10-2 10 0 102 104 Frekans (rad/s) Şekil 4. Sistemin ağılık filtrelerinin frekans cevapları. 4.2. H∞Tabanlı Nominal Kontrolör Seçilen ağırlık fonksiyonları ile performans hedefleri belirtilen sistemin kontrolü H en uygun kontrol problemi olarak ele ’den z’ye kapalı çevrim transfer fonksiyonu LFT alınır. w doğrusal kesirli dönüşüm yn K∞ Tzw F (N, K ) Şekil 2. H∞ control yapısı. 275 (13) Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya 1 Tzw N11 N12K (I N 22K ) N21 (14) Sistemin ∆ yapısal belirsizlik bloku elde edilir. H∞ kontrol problemi (20) diag( m I3 , L , dx , d , dL ) min Tzw min max (Fl (N, K )) ile Fu (G vinc , ) LFT’li belirsizlik içeren modeli Şekil 5’de gösterilmiştir. (15) ile ifade edilir. Sistemin kararlılığını sağlayan kontrolör γ üst limitini tekrarlama ile en aza indirgeyerek sistemi performans hedeflerine ulaştırır. Bu çalışmada H∞ kontrol problemi çözümünde Riccati eşitliği kullanılmıştır [14]. ∆ y u u Tekrarlama sonucunda tasarlanan on ikinci dereceden K Gvinç yn kontrolörü ile F (N, K ) kapalı çevrimli sistemin H∞ normu 0.7160 olarak bulunmuştur. Şekil 5. Yapısal belirsizlik içeren sistem bloğu. 4.3. H∞ Kontrolörün Dayanıklılık Analizi Şekil 5’de gösterilen belirsizlik içeren sistemin genişletilmiş modeli ile Şekil 6’da verilen RC genel yapısı oluşturulur. Dayanıklılık analizinin başlangıç noktası, P belirsizlik içeren iç bağlantılı modelini oluşturmak için belirsizlik içeren modelin oluşturulması gerekir. Bu çalışmada, m yükün kütlesi ve L halatın boyunda %20, dt, dθ dL sürtünme katsayılarında %15 değişimin sistemde belirsizliğe yol açtığı kabul edilerek parametrelerin LFT doğrusal kesirli dönüşüm ile belirsizlik içeren sistem modeli oluşturulur. Sistem modelinde, m, l , dx , d ve dL nominal parametre w 1 m , l , dx , d , dL 1 parametre belirsizlikleri Oluşturulan RC genel yapısının dayanıklılık analizinde ∆ belirsizlik bloğu RS analizi için kullanılırken, RP analizinde dış kaynaklı giriş sinyallerinden z performans çıktılarına ∆F w sanal belirsizlik bloğun dahil edilmesiyle oluşan ile d L d L (1p dL dL ) parametre değişimleri elde edilir. 1 /m ve 1 /L parametresinin karşılığı Fu (M mi , m ) Fu (M Li , L ) 1 1 m pm m m (1 p m m ) 1 ; 1 L 1 L pl L p {diag( m I 3 , L , dx , d , dL , F ) m, L ,dx ,d, dLR, FC performans belirsizlik bloğu kullanılır. M (16) L (1 p L L ) 1 1 m 1 m p 1 L ; MLi L p L 1 L , Fu (M d , d ) Fu (M m , m ) L L LFT’leri ve 0 p dx 0 M dL p dL bulunur. Sistemin dx dx ; M d 0 p d dL 0 ; Mm dL p 1 m F ( P, K ) transfer y∆ u Fu (M dx , dx ) , M dx , M d , M dL , M m M w matrisleri M dx (21) } ∆p (17) bulunur. d x , d , d L ve m değişen parametrelerin Fu (M d , d ) 75 fonksiyonu w dış kaynaklı bozucu sinyallerden z performans çıkış sinyalleri arasında olup performans belirsizlik bloğu ile Şekil 7’de gösterilen dayanıklılık analizi genel blok diyagramı oluşturulur. ile ifade edilir. LFT’deki M mi ve M li matrisi pm M mi pm yn K∞ Şekil 6. Dayanıklı kontrol genel yapısı. m m(1p m m ) , LL(1p L L ) , d x d x (1p dx dx ) d d (1p d d ) ,ve m z P u değerleri, pm , pl , pdx , pd , pdL parametrelerdeki bağıl sapmalar ve y∆ ∆ u∆ z Şekil 7. Dayanıklılık analizi genel yapısı. d d Sistemin yapısal belirsizliklere dayanıklılığı, µ-Analizi ile değerlendirilir. µ yapısal tekil değer (18) m m (M) 1 min{( ) ,det( M ) 0 } (22) T u u m1 u m 2 u m3 u L u dx u d u dL belirsizlik ile tanımlanır. (M) değerine max(QM) (M) inf (DMD1) T girişi ve y ym1 y m 2 ym 3 yL ydx y d y dL belirsizlik çıkışlarının dahil edilmesiyle yapısal belirsizlik içeren sistemin Gvinc genişletilmiş durum uzayı modeli QQ x Ax Bu u B Bu u y C y x D yu u D y D yu u DD alt ve üst sınırı ile yaklaşılır ve doğrusal matris eşitsizliği (LMI) kullanılarak sistemin D en uygun ölçeklendirme matrisleri ile belirlenir. Dayanıklı kararlılık üst sınır değeri max (M ) 0.6385 ve dayanıklı performans üst sınır değeri (19) 11 max (M) 1.3645 bulunur. y n C yn x D ynu u D yn D ynu u p performansın elde edilir. p sağlandığı bulunur. 276 Buna göre kararlılığın 0.7329 1.5602 ve belirsizlik üst sınır değerlerinde Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Tasarlanan K∞ nominal kontrolör ve Kmu3 µ-sentez tabanlı kontrolörlerinin sistemin yük konumu, halatın salınım açısı ve halat boyunun değişimi gerçek zaman cevapları Şekil 8-10’da verilmiştir. H kontrol yöntemi nominal sistem için uygulanmış. Bu tasarlanan kontrolörün parametre değişimlerine karşı RP sağlamadığı görülmüştür. Bunun için dayanıklı performans analizinde kullanılan yapısal tekil değer üst sınırını indirgeyen μ-sentez tabanlı dayanıklı kontrolör tasarımına ihtiyaç duyulmuştur. 2 xL H nominal x -sentezi L 1.55 1.5 62 62.5 1 Konum (m) 4.4. μ-Sentezi μ-sentez tabanlı dayanıklı kontrol tasarımında,µ analizi sisteme D-K tekrarlama metodu ile birlikte kullanılarak sistemin RS’i ve RP’i sağlayan Kmu kontrolörü 0.5 0 -0.5 M F (P, K mu ) -1 ˆ F MD ˆ 1 min D r (23) K mu -1.5 0 20 40 60 80 100 120 Zaman (s) ˆ F MD ˆ 1 ) min max(D r K mu Şekil 8. Yükün konum cevabı. ile bulunur. Tekrarlamaya D̂ 0 I12 ve D̂ r 0 I14 başlangıç sol ve sağ üst sınır ölçeklendirme matrisi ile başlanır ve RP üst sınırının üçüncü tekrarlamadan sonra daha fazla indirgenemediği görülmüş, tekrarlama bu aşamada bitirilmiştir. µ-sentezine dayalı RC tasarımı için yapılan D-K tekrarlamalarının özeti Tablo 2’de verilmiştir. 0.8 H nominal 0.6 Salınım açısı (rad) Tablo 2. D-K tekrarlama özeti. Tekrarlama sayısı: i Kontrolör derecesi 1 2 3 12 46 82 0 34 70 mui 3.435 1.423 0.931 max (M i ) 3.239 1.422 0.929 K mu 3 kontrolörü -sentezi 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 Toplam D derecesi -0.8 -1 0 20 40 60 80 100 120 Zaman (s) Şekil 9. Taşıyıcı halatın salınım açısı cevabı. 1.2 dayanıklı kırkıncı kararlılık dereceden analizi üst 1 sınırı max (M11 ) 0.205 , 0.8 performans analizi üst sınır max (M) 0.9185 bulunması ile birinci p eşitsizliği tekrarlama p bitirilmiştir. Buna göre kararlılığın 1.0887 belirsizlik üst sınır dayanıklı L H nominal ile 4.878 ve Taşıyıcı halat boyu (m) Tasarlanan performansın değerlerinde sağlandığı bulunur. L -sentezi 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 5. Simülasyon Çalışmaları -0.6 0 H∞ tabanlı nominal K∞ nominal kontrolör ve µ-sentez tabanlı Kmu4 dayanıklı kontrolörlerin RS ve RP analizleri sonucunda sistemin dayanıklılığının sağlandığı belirsizlik üst sınır değerleri Tablo 3 ’de verilmiştir. Kontrolör Dayanıklılık üst sınırı RS RP max (M11 ) max p (M) 1.3645 1.5602 0.7329 Kmu4 kontrolör 0.205 0.9185 4.8780 1.0887 80 100 120 sınırlandırılmış belirsizlik bloğu ile kapalı çevrimli sistemin en kötü performansı W(M, , ) 0.6385 60 Zaman (s) Tasarlanan K∞ ve Kmu4 kontrolörleri ile oluşturulan kapalı çevrimli sistemlerde, belirsizliklerin artışı karşında sistem performansındaki değişim, performans düşüş eğrisi ile normla değerlendirilir. 0 olmak üzere Belirsizlik üst sınırı RS RP p K∞ kontrolör 40 Şekil 10. Taşıyıcı halatın boy değişim cevabı. Tablo 3.Dayanıklılık analizi sonuçları. Analiz sonuçları 20 max max ( ) Fu (M, ) (24) ile ifade edilir. Şekil 11’de performans düşüş eğrisi gösterilmiştir. 277 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya 2 Performans düşüş eğrisi ile artan belirsizliklere karşı H∞ nominal kontrolörün dayanıklı performansı sağlamada başarısız olduğu sonucuna varılmıştır. Her iki kontrolör için performansın sağlandığı belirsizlik üst sınır değerleri en kötü performans sınır değerleri olarak değerlendirildiğinde, bu noktalarda H∞ nominal kontrolör ile taşıyıcı halatın salınım açısında aşımın yükseldiği ve dalgalanmaların arttığı gözlenmiştir. Belirsizliklere karşı sistemde dayanıklılığı sağlamada başarılı olmasına rağmen yüksek dereceden tasarlanan µ-sentez tabanlı dayanıklı kontrolörün, sistemde artan hesaplama yükü getirmesi, kontrolör derece düşürme yöntemlerine ihtiyacı doğurmuştur. H nominal 1.8 -sentezi 1.6 1.4 W(M, , ) wc, =0.732 1.2 1 wc, =1.088 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 || , || Şekil 11. Performans düşüş eğrisi. 7. Kaynaklar En kötü durumda kontrolörlerin yük konumu ve halat salınım 1. Trabia, M. B., Renno, J. M., and Moustafa, K. A. F., “Generalized Design of an Anti-swing Fuzzy Logic Controller for an Overhead Crane with Hoist”, Journal of Vibration and Control, Vol. 14, pp. 319-346, 2008. 2. Alli, H., and Singh, T., “Passive Control of Overhead Cranes”, Proceeding of the 1998 IEEE International Conference on Control Applications, pp. 1046-1050, Trieste, Italy, 1-4 September 1998. 3. Mahfouf, M., Kee, C. H., Abbod, M. F., and Linkens, D. A., “Logic-based Anti-Sway Control Design for Overhead Cranes”, Neural Computing and Applications, Vol. 9, pp. 38-43, 2000. 4. Uchiyana, N., “Robust Control for Overhead Cranes by Partial State Feedback”, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part I: Journal of Systems and Control Engineering, pp. 575-580, 2009. 5. Fang, Y., Dixon, W. E., Dawson, D. M., and Zergeroglu, E., “Nonlinear Coupling Control Laws for an Underactuated Overhead Crane System”, IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, Vol. 8, No. 3, pp. 418-423, 2003. 6. Kuo-Kai Shyu, Cheng-Lung Jen, and Li-Jen Shang, “Design of Sliding-Mode Controller for Anti-Swing Control of Overhead Cranes”, IEEE Industrial Electronics, IECON pp. 412-417, 2006. 7. Jung, H. Y., and Kuang, S. Y., “Adaptive Coupling Control for Overhead Crane Systems”, Industrial Electronic Society, IECON 2005, 31 st Annual Conference of IEEE, pp. 1858-1863, 2005. 8. Cho, H.C., Lee, J. W., and Lee, Y. J., and Lee, K. S., “Lyapunov Theory Based Robust Control of Complicated Nonlinear Mechanical Systems with Uncertainty”, Journal of Mechanical Science and Technology, Vol. 22, pp. 2142-2150, 2008. 9. Zhou, K., Doyle, J. C., Glover, K., “Robust and Optimal Control”, New Jersey, Prentice Hall, 1996. açısı zaman cevapları Şekil 12 ve 13’de verilmiştir. 2 wc x H nominal wc x -sentezi 1.5 1 Konum (m) 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 20 40 60 80 100 120 Zaman (s) Şekil 12. En kötü durumda yükün konum cevabı. 0.8 wc H nominal 0.6 wc -sentezi 0.4 Salınım açısı (rad) 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 0 20 40 60 80 100 120 Zaman (s) Şekil 13. En kötü durumda taşıyıcı halatın salınım açısı cevabı. 6. Sonuçlar Bu çalışmada, bir tepe vinci için H∞ nominal ve µ-sentez tabanlı dayanıklı kontrolörler tasarlandı. Nominal sistemin zaman cevapları incelendiğinde her iki kontrolörün yük konumları için birbirine yakın cevaplar verdiği, halatın boyundaki değişim söz konu olduğunda H∞ nominal kontrolörün cevap verme süresinin az olması sebebiyle daha iyi performans verdiği görülmüştür. Buna karşın halatın salınım açısı cevabı değerlendirildiğinde aşımın µ-sentez tabanlı dayanıklı kontrolöründe küçük olduğu gözlenmiştir. 278 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Bir Aktif Süspansiyon Sistemin µ-Sentez Tabanlı Dayanıklı Kontrolü Şinasi Arslan1, Seda Uygurlu 1 1 Makine Mühendisliği Bölümü Sakarya Üniversitesi, Esentepe-Sakarya sarslan@sakarya.edu.tr zaman dayanıklılığı koruyamadığı ve tasarımcıyı yanılttığı görülmüştür. Bu durum araştırmacıların dikkatini, μ-sentezine (D-K tekrarlaması) dayalı kontrolör tasarımına çekmiştir [6]. Bu çalışmada, bir çeyrek taşıtın aktif süspansiyon modelinde seyir konforu performansının artırılması, taşıtın gövdesinin dikey ötelemesinin kontrolü ile ivmesinin en aza baskılanması için H∞ tabanlı kontrolör tasarlandı. Bu kontrolörün yapısal belirsizlik içeren sistemin dayanıklı karalılığını (RS) ve dayanıklı performansını (RP) sağlayıp sağlamadığı μ-dayanıklılık analizi ile değerlendirilmiş ve sistemin kontrolünün RS ve RP’larını garanti altına almak için μ-sentezi metodu kullanılmıştır. Sonuçlar Matlab simülasyon ortamında elde edilerek değerlendirilmiştir. Özetçe Bu çalışmada, bir çeyrek taşıt aktif süspansiyon sisteminin performansını iyileştirmek için µ-sentez metodu tabanlı bir dayanıklı kontrolör önerilmiştir. Önce sistemin nominal modeli için H∞ tabanlı dayanıklı kontrolör tasarlanmış, ardından, µsentez metodu ile sistemdeki parametre değişimlerine karşı sistemin duyarlılığını ve performansını iyileştirecek bir kontrolör tasarlandı. Kontrolörlerin etkinliği, tümsekli yol üzerinde nominal model ile yapılan simülasyon çalışmalarında gözlenerek değerlendirildi. 1. Giriş 2. Fiziksel Sistemin Tanımı Taşıtlar aksları, dönen mafsallı tekerlekleri ve süspansiyon sistemleri ile birlikte pürüzlü yollardan ve dışarıdan etkiyen kuvvetlerle kütle yay ve sönüm elemanlarıyla oluşan bir titreşim sistemi gibi davranış gösterirler. Taşıt süspansiyon sistemlerin temel fonksiyonları, yol pürüzlülüğünden kaynaklanan titreşimlerin taşıt gövdesine etkisini azaltmaktır. Şekil 1’de gösterilen süspansiyon sistemini oluşturan iki serbestlik dereceli çeyrek taşıt modelinde, taşıt kütlesi m1 yaylanmalı kütle, aks ve tekerlek kütlesi m2 yaylanmasız kütle ile gösterilir. Lastiğin seyir boyunca yol ile temasının kesilmediği kabul edilmiş k2 katsayılı yay ve b2 katsayılı sönüm elemanı olarak, sistemdeki süspansiyon ise k2 katsayılı yay ve b1 katsayılı sönüm elemanı ile modellenmiştir. Taşıt titreşimleri seyir konforu, yol tutuş ve süspansiyon sapma aralığı olmak üzere üç önemli performans kıstasıyla değerlendirilir. Seyir konforu taşıt gövdesinin dikey ötelenmesi ve ivmelenmesi ile ilgiliyken, süspansiyon bağıl sapması ve aracın yol tutuşu ise kullanılan sönüm elemanı ve tekerlek basıncıyla sınırlıdır. Süspansiyon sisteminin beklenen performans gereksinimlerinin hepsini aynı anda sağlaması mümkün değildir [2]. Bununla beraber yolcu sayısına ve bagaj yüküne göre değişen taşıt kütlesi, sisteme etkisi doğrusal olmayan ama pratikte doğrusallaştırılmış sönüm elemanı ve zamanla değişen yay katsayısı gibi parametrelerin değişimleri, sistemin performans düşüklüğüne hatta kararsızlığına dahi yol açabilir. Bu nedenle, kontrol sistemi parametre değişimlerine ve dış bozuculara karşı sistemin performansının ve kararlılığının iyileştirilmesi için kullanılır. Araştırmalarda belirtilen yukarıdaki gereksinimleri karşılamak için kontrol probleminin çözümünde tam durum geri beslemeli doğrusal kuadratik yöntemler kullanılmıştır. Tam durum bilgisi gerektiren bu yöntemlerde bazı durum değişkenlerinin ölçümü mümkün olmadığından bunların tahmini için gözlemcilerle yapılan kontrol yöntemlerine başvurulmuştur [3]. Bu çalışmalar, sistem performansını iyileştirmede başarılı olsalar da sistemdeki belirsizliklere karşı düşük kararlılık payına sahip olup sınırlı limitlerde kararlılık ve performans sağlamışlardır. Belirsizliklerin parametre değişimlerinden kaynaklandığı düşünüldüğünde, H∞ tabanlı dayanıklı kontrolör (RC) yapısal belirsizlik içeren sistemde μ-dayanıklılık analizi ile test edilmiştir [4,5]. Bu yönteminin yapısal belirsizliklerle her sensör x1 m1 u k1 kontrolör b1 sensör x2 m2 k2 b2 d Şekil 1. Çeyrek taşıt modeli. Sistemdeki m1 kütlesinin x1 dikey ötelemesini, m2 kütlesinin x2 dikey ötelemesini ve d yol yüzeyindeki değişimleri gösterir. u kontrol kuvveti, m1 ve m2 kütlelerinin 279 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya arasına yerleştirilmiş kontrolör eyleyicisi tarafından sisteme etki eder. Modelle ilgili paremetreler Tablo 1’de verilmiştir. tutuş ve seyir konfor performansının aynı anda iyileştirilmesi mümkün olmadığından beklentilere göre değişen performans gereksinimlerinden verilen ödün, sistemde ağırlık fonksiyonları ile gösterilir. Bu çalışmada, H∞ kontrolörün tasarımı için Şekil 2’de gösterilen genelleştirilmiş kontrol yapısı kullanılmıştır. Bu yapıda giriş ve çıkışı şekillendirmekte kullanılan ağırlık filtrelerinin bant genişlikleri ve kazançları, sistemin performans hedefleri göz önünde bulundurularak, kapalı çevrim frekans cevapları üzerinden denemeler yapılarak seçilmiştir. Tablo 1. Modelde kullanılan parametreler. Nominal değeri Parametre Açıklama m1 yaylanan kütle Değişim aralığı 250[kg] yaylanmasız 50[kg] kütle süspansiyon 1[kNs/m] sönüm katsayısı tekerlek sönüm 0.015[Ns/m] katsayısı süspansiyon yay 16[kN/m] katsayısı tekerlek yay 190[kN/m] katsayısı m2 b1 b2 k1 k2 ±%20 0 ±%20 w z N 0 u ±%20 y K∞ ±%2 Şekil 2. H∞ kontrol yapısı. 3. Sistemin Dinamik Modeli Sisteme etki eden d bozucu girişin etkisinin azaltılması, araç gövdesinin x1 dikey yer değiştirme ve x1 dikey yöndeki ivmelenmeye tanımlı duyarlılık fonksiyonlarının minimize edilmesiyle mümkündür. ISO-2631-2:1997 (E) standartlarına göre insan vücudunun, taşıt gövdesindeki dikey ivmelenmeye karşı en çok duyarlı olduğu frekans (4-8) Hz aralığıdır. Bu frekans aralığında ivme duyarlılık fonksiyonunun kazancının azaltılması ile seyir konforu arttırılacaktır. Tasarımı yapılacak olan kontrolörden, x1 dikey yönündeki ivmelenme için kullanılan W1 ağırlık fonksiyonu ile belirtilen performans hedefini sağlaması beklenir. Süspansiyon sisteminin kontrolünde, başka bir beklenti de yolun bozucu etkisine karşılık aracın yol tutuş performansının iyileştirilmesidir. Bu, tekerlek basıncının artırılmasını ve süspansiyon sapma aralığının en uygun durumda olmasını gerektirir. Bunun için kontrolörden (x1-x2) süspansiyon sapma aralığı ile (x2-d) aks ve yol arasındaki sapma için kullanılan W2 ve W3 ağırlık fonksiyonları olarak belirtilen performans hedeflerini sağlaması beklenir. Kontrolör eyleminin etkinliği, eyleyicilerin doygunluğa ulaşmadığı çalışma limitlerinin belirlenmesiyle artırılır. Bu kontrol probleminde, W4 kontrol ağırlık fonksiyonu ile gösterilir. Sisteme etki eden d yol bozucu girişin maksimum 7 cm yüksekliğinde olduğu kabul edilmiş, d bozucu sinyalinin sisteme etkisi Wd giriş sinyali ile gösterilmiştir. y ölçüm sinyalindeki n gürültüden kaynaklanan ölçme hataları Wn ağırlık fonksiyonlarıyla gösterilir. N iç bağlantılı nominal sistemdeki ağırlık filtreleri Şekil 3’de gösterilmiştir. Sistemin dinamik denklemleri Newton’un ikinci yasası kullanılarak m 2 x 2 b1 (x 1x 2 ) b 2 x 2 k 1 (x 1 x 2 ) k 2 (x 2 d) u m1 x1 b1 (x 1 x 2 ) k 1 (x 1 x 2 ) u (1) elde edilir. Nominal sistemin durum uzay modeli x x A Bu Bd u (2) y C y D yu D y d d ile ifade edilir. Burada, x R 4 x1 durum uzay vektörü, y R1x1 süspansiyon sapma aralığı u R kontrol kuvveti, d R bozucu sinyal girişi ve diğer parametreler x x 1 , x1 , x 2 , x 2 ; y x1 x 2 T A 0 k /m 1 0 k /m 1 2 1 1 0 b /m 1 k1/m 1 0 b /m 1 0 1 0 ( k1 2 k 2 )/m 1 (b b ) /m b /m 1 1 1 1 2 2 (3) T Bu 0, 1 m1 , 0, 1 m 2 T Bd 0, 0, 0, k 2 m 2 C y 1, 0, 1, 0 ; D yu 0 ; D yd 0 ile ifade edilir. 4. Dayanıklı Kontrol Çeyrek taşıt süspansiyon sisteminin geri beslemeli kontrolünde, ihmal edilen ve modellenemeyen dinamikler, parametre değişimleri ve çevresel dış bozucular, sistem modelinde belirsizliklere neden olur. RC yöntemleri ile bu belirsiz etkilere rağmen sistemin kararlılığının sürdürülmesi ve performansının iyileştirilmesi hedeflenir. Bu hedeflerin ışığında ilk adım ağırlık fonksiyonlarının seçimini yapmaktır [7]. d x1 Wd x1 x 2 Gnom x2 d y u 4.1. Ağırlık Filtreleri epx1 W2 epx1x2 W3 e px 2d W4 epu + yn Araç seyir halindeyken yol bozukluğundan kaynaklanan araç gövdesinin dikey yer değiştirmesi ve dikey ivmelenmesinin kontrolü, seyir konforunu artırıcı yönde etki eder. Aracın yol W1 ∑ + W5 Şekil 3. Nominal model açık çevrim iç bağlantı yapısı. 280 n Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya (4) oluşturulması gerekir. Bu çalışmada, m1 yaylanmalı kütlede %20, k1 süspansiyon yay kat sayısında %20, b1 sönüm katsayısında %20, k2 tekerlek yay kat sayısında %2 değişimin sistemde belirsizliğe yol açtığı kabul edilerek parametrelerdeki değişim LFT doğrusal kesirli dönüşüm kullanılarak belirsizlik içeren sistem modeli Şekil 5’de gösterilmiştir. Sistem modelinde, m , k , k , ve b nominal parametre (5) değerleri, WW giriş ve Wz çıkış filtreleri WW Wd ,Wn Wd 0.07; Wn 0.01; Wz W1 , W2 , W3 , W4 2 W1 (s 16s 3152) / (50s 2 9682s 600); 1 W2 (s 40) / (s 0.05); 2 1 bağıl sapmalar ve W3 (s 19s 3403) / (0.98s 17s 107); 1 m1 , k1 , k 2 , b1 1 parametre belirsizlikleri olmak üzere W4 (s 0.1) 75(s 500); m1m1 (1p m1 m1) , k 1k 1 (1p k 1 k1) , k 2 k 2 (1p k 2 k 2 ) 2 2 W1 W2 20 W3 0 W4 1 / m1 parametresinin karşılığı Fu (M m1i , m1 ) 60 40 ve parametre değişimleri ile ifade edilir. b1 b1 (1p b1 b1) olarak seçilmiş ve frekans cevapları Şekil 4’de gösterilmiştir. Genlik (dB) 1 p m 1 , p k1 , p k 2 , p b1 parametrelerdeki 1 m1 -20 1 p m1 m1 m1 (9) m1 (1 p m1m1 ) 1 ile ifade edilir. LFT’deki M m1i matrisi -40 p m1 M m1i p m1 -60 -80 1 m1 1 m1 (10) -100 -120 -3 10 10 -2 10 -1 0 10 10 1 10 2 10 3 bulunur. k1 , k 2 , b1 4 10 değişen parametrelerin Fu (M k1 , k1 ) , Frekans (rad/s) Fu (M k 2 , k 2 ) , F (M b1 , b1 ) u LFT’leri ve M k1 , M k 2 , M b1 matrisleri Şekil 4. Sistemin ağılık filtrelerinin frekans cevapları. M k1 4.2. H∞ Tabanlı Nominal Kontrolör 0 p k1 0 p b1 ;M k k1 Seçilen ağırlık fonksiyonları ile performans hedefleri belirtilen sistemin kontrolü H alt en uygun kontrol problemi olarak ele M b1 1 Tzw N11 N12 K (I N 22 K ) N21 k2 k2 k2 (11) b1 T T y y m1 y k1 y k 2 y b1 belirsizlik çıkışlarının dahil edilmesiyle yapısal belirsizlik içeren sistemin Gsus genişletilmiş durum uzayı modeli (6) x Ax Bu u Bd d Bu u (7) y C y x D yu u D yd d D yu u elde edilir. Buradaki parametreler (8) 0 p m1 Bu 0 0 ile ifade edilir. Sistemin kararlılığını sağlayan kontrolör γ üst limitini en aza indirgeyerek sistemi performans hedeflerine ulaştırır. Burada γ üst limitinin en uygun değeri seçilen üst ve alt limitler arasında tekrarlama yapılarak bulunur. H∞ kontrol problemi çözümünde Riccati eşitliği veya LMI doğrusal matris eşitsizliği kullanılır [14]. 0 0 0 p k1 m1 0 p b1 m1 0 0 0 p k1 m 2 pk2 m2 p b1 m2 (13) T Tekrarlama sonucunda tasarlanan onuncu dereceden K C y 1, 0, 1, 0 kontrolörü ile F (N, K ) kapalı çevrimli sistemin H∞ normu (12) y C y x D yu u D yd d D yu u elde edilir. H∞ kontrol problemi min Tzw min max (Fl (N, K )) 0 p bulunur. Sistemin u u m1 u k1 u k 2 u b1 belirsizlik girişi ve dış kaynaklı giriş sinyalleri, z performans probleminde w çıktıları, u kontrol sinyali, y ölçüm sinyali ve N iç bağlantılı ’den z’ye kapalı çevrim nominal sistem olarak adlandırılır. w transfer fonksiyonu LFT doğrusal kesirli dönüşüm Tzw F (N, K ) 1 b1 alınır. Şekil 2’de genel blok diyagramı gösterilen H kontrol k2 k1 m1 k 1 C y 0 0 0.4740 olarak bulunmuştur. 4.3. H∞ Kontrolörün Dayanıklılık Analizi Dayanıklılık analizinin başlangıç noktası, P belirsizlik içeren iç bağlantılı modelini oluşturmak için belirsizlik içeren modelin 281 b 1 m1 k 1 m1 0 k1 0 k 2 b1 0 b1 m1 0 b1 0 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya p m1 p k1 m1 0 0 D y u 0 0 0 0 D y d 0, 0, k 2 , 0 D y u 1 m 24 p {diag( m1, k1, k 2 , b1, F ) m 1, k 1, k 2, b 1R, FC } , 0, 0, 0 dış kaynaklı bozucu sinyallerden z performans fonksiyonu w çıkış sinyalleri arasında olup performans belirsizlik bloğu ile Şekil 8’de gösterilen dayanıklılık analizi genel blok diyagramı oluşturulur. T ; C y 1, 0, 1, 0 T D yu 0, 0, 0, 0 ; D yd 0 ;D yu 0 ∆p y∆ u ile ifade edilir. δm1 um1 + u ym1 Mm1i ∑ - - x 1/s 1 y yb1 δb1 x y ub1 M transfer fonksiyonu ile belirsizlik bloğu arasındaki 1 δk1 Fu (M, )M 22 M 21 (1 M 11 ) M 12 - uk1 yk1 ∑ - uk2 d yk2 (M 11 ) + ∑ Mk2 ile - + + b2 1/m2 ∑ x 1/s 2 y 1/s 2 y (M) ile ifade edilir. (14) 1 (17) min{ ( p ) det( M p) 0 } (M) p değerine max(QM) p (M) inf (DMD 1 ) D D Q Q alt ve üst sınırı ile yaklaşılır. Dayanıklı kararlılık üst sınır değeri max (M11 ) 0.6635 ve dayanıklı performans üst sınır değeri max p (M) 1.1668 bulunur. ∆ y Buna Gsus p x1 x 2 u Şekil 6’da gösterilen belirsizlik içeren sistemin genişletilmiş modeli ile Şekil 7’de verilen RC genel yapısı oluşturulur. y∆ ∆ göre 0.8570 kararlılığın belirsizlik üst sınır 1.5072 ve performansın değerlerinde sağlandığı bulunur. H kontrol yöntemi nominal sistem için uygulanmış; bununla beraber ağırlık filtrelerinin kullanılması, sistemde kısmen belirsizlikler dahil edilmiş gibi düşünülebilir. Bu tasarlanan kontrolörün parametre değişimlerine karşı RS ve RP sağlamadığı görülmüştür. Bunun üstesinden gelebilmek için dayanıklı performans analizinde kullanılan yapısal tekil değer üst sınırı sisteme sentez edilerek sistemin dayanıklı performansı garantilenir. Şekil 6. Yapısal belirsizlik içeren sistem bloğu. u alt ve üst sınırı ile yaklaşılır. Sistemin RP’ın sağlandığı üst sınır, µ yapısal tekil değeri ile Fu (Gsus , ) LFT’li belirsizlik içeren modeli Şekil 6’da gösterilmiştir. w değerine D D QQ x2 (16) (M 11 ) max(QM11 ) (M11 ) inf (DM11D ) x Sistemin ∆ yapısal belirsizlik bloku diag( m1 , k1 , k2 , b1 ) u∆ edilir. 1 p d 1 min{ ( ) det( M 11 ) 0 } ifade Şekil 5. LFT’li belirsizlik içeren sistem blok diyagramı. u LFT bağlantısında M 22 nominal sistemin kararlı olması durumunda; kararsızlık (1 M 11 ) teriminden kaynaklanmaktadır. Belirsizlik içeren sistemin RS’ın sağlandığı üst sınır, µ yapısal tekil değeri + Mk1 δk2 z Şekil 8. Dayanıklılık analizi genel yapısı. + ∑ Mb1 M w x1 1/s 1 (15) performans belirsizlik bloğu kullanılır. M F (P, K ) transfer (13) T T 1 dış kaynaklı giriş sinyallerinden z performans çıktılarına ∆F w sanal belirsizlik bloğun dahil edilmesiyle oluşan 0 p b1 m1 0 0 0 0 0 0 z P 4.4. μ-Sentezi y K∞ µ dayanıklı performans analizi ve H∞ dayalı kontrol yönteminin birleşiminden oluşan µ- sentezi D̂ 0 I 8 ve D̂ r 0 I 6 başlangıç Şekil 7. Dayanıklı kontrol genel yapısı. sol ve sağ üst sınır ölçeklendirme matrisi ile başlatılarak H kontrol problemi Oluşturulan RC genel yapısının dayanıklılık analizinde ∆ belirsizlik bloğu RS analizi için kullanılırken, RP analizinde 282 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya (x -x ) salınım cevabı ˆ FM D ˆ 1 min D 0 1 r0 1 20 ˆ FM D ˆ ) min max (D 0 1 r0 1 0 (18) K mu1 2 pasif H nominal K mu1 -sentezi -20 Genlik (dB) M1 F (P, K mu1 ) ile 13804.72 üst limit değeri ve K mu1 ilk kontrolörü bulunur. Doğrusal matris eşitsizliği (LMI) kullanılarak sistemin D mu 1 -40 -60 -80 1 ve en uygun ölçeklendirme matrisleri ile D r1 -100 1 (M1 ) (D 1M1D r 1 ) p -120 -2 10 sistemin dayanıklı performans analizi üst sınır eşitsizliği (M1 ) 13013.09 bulunması ile birinci tekrarlama -1 10 10 0 1 10 10 2 10 3 Frekans (rad/s) p Şekil 10. Sistemin salınım frekans cevabı. bitirilmiştir. Aynı şekilde beşinci tekrarlama ile kırkıncı dereceden K mu 5 kontrolörü bulunmuştur. Tekrarlamaya devam 1.0593 belirsizlik üst sınır değerlerinde -sentezi 20 performansın pasif H nominal 40 görülmüş, tekrarlama bu aşamada bitirilmiştir. Buna göre kararlılığın 1.9834 ve p x1 ivme cevabı 60 üst sınırının indirgenemediği p (M 5 ) Genlik (dB) edilmesi halinde sağlandığı bulunur. 0 -20 -40 -60 -80 5. Simülasyon Çalışmaları -100 -2 10 H∞ tabanlı nominal ve µ-sentezi tabanlı dayanıklı kontrolörlerin RS ve RP analizleri sonucunda sistemin dayanıklılığının sağlandığı m1, k1, k2 ve b1 sınır değerleri Matlab simülasyon ortamında bulunarak Tablo 2 ’de verilmiştir. -1 0 10 10 1 2 10 Frekans (rad/s) 3 10 4 10 10 Şekil 11. Sistemin ivme frekans cevabı. Kontrolörlerin zaman tanım alanındaki aktif süspansiyon için gövdenin dikey salınımı Şekil 12’de, süspansiyon bağıl salınımı Şekil 13’de, gösterilmiştir. Tablo 2. H∞ nominal kontrolörün dayanıklılık sınırları. 0.12 Parametre değişim sınırları Parametre RS RP H∞-nominal µ-sentez H∞-nominal µ-sentez 250±75.4 b1 1000±301.4 k1 16000±4822 16000±6347 16000±2742 16000±3390 k2 190000±5719 190000±7537 190000±3256 190000±4026 250±99.2 250±42.8 250±52.9 1000±396.7 1000±171.4 1000±211.9 x1 (m) 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 Sistemin (1-1.5) saniye aralığında d=7 cm yüksekliğindeki tümsekten gelen bozucu sinyaline karşı kontrolörlerin frekans cevapları Şekil 9,10 ve 11’de gösterilmiştir. 0 -sentezi 0.08 m1 -0.04 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zaman (s) (x2-d) aks sapması 20 pasif H nominal 0.1 Şekil 12. Kontrolörlerin dikey salınım cevabı. pasif H nominal 0.04 pasif H nominal -sentezi -20 0.03 0.02 (x -x ) (m) -60 0.01 2 Genlik (dB) -sentezi -40 1 -80 -100 -120 -140 -2 10 0 -0.01 -0.02 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 0 Frekans (rad/s) Şekil 9. Sistemin aks sapması frekans cevabı. 1 2 3 4 5 6 Zaman (s) Şekil 13. Kontrolörlerin bağıl salınım cevabı. 283 7 8 9 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Gövdenin ivmesinin pasif süspansiyona göre bastırıldığı Şekil 14’de verilmiştir. Sistemin titreşimlerinin sönümü ve gövde ivmesinin azaltılması için kontrolörler tarafından sağlanan kuvvet Şekil 15’de gösterilmiştir. 3 pasif H nominal 2 -sentezi 1 2 x1 ivme (m/s ) kararlılığının ve dayanıklı performans sınırlarının büyük olduğu bulunmuştur. Parametre değişimlerine göre süspansiyon dikey bağıl hareketini bastıran µ-sentez tabanlı kontrolör; taşıt gövdesinin ivmelemesini azaltmış ve yerçekimi ivmesinin altında tutmuştur. Aynı zamanda taşıt gövdesinin titreşimini kısa zamanda sönümleyerek yolcu konforunu sağlayabileceği saptanmıştır. Her iki kontrolörün frekans cevaplarından taşıt gövdesinin salınımı (3-10) Hz frekans aralığında (1-10) dB azalttığı gözlenmiştir. Elde edilen simülasyon sonuçları kontrolörlerin aktif taşıt süspansiyon sisteminde konforlu bir seyir sağlaması için gerçek zaman uygulamasında başarılı olabileceğini göstermiştir. 0 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 5 6 Zaman (s) 7 8 9 7. Kaynaklar 10 1. Kanbolat, A., Okuyama, Y., Takemari, F., Laszlo, G., Horvat, S., and Bokor, J., “H∞ Vibration Control of Active Suspension for Automotive Application”, SICE '95. Proceedings of the 34th SICE Annual Conference, pp. 1341-1346, 1995. 2. Alyaqout, S. F., Papalambros, D. Y., and Ulsoy, A. G., “Combined Design and Robust Control of a Vehicle Passive/Active”, International Journal of Vehicle Design, Vol. 59, No. 4, pp. 315-330, 2012. 3. Yu, F., and Crolla, D. A., “State Observer Design for a Adaptive Vehicle Suspension”, Vehicle System Dynamics, Vol. 30, pp. 457-471, 1998. 4. Tan Tien Nguyen, T. T., Nguyen, V. G., and Kim, S. B., “Control of Active Suspension System by Using H∞ Theory”, Transaction on Control, Automation, and Systems Engineering Vol.2, No.1, pp. 1-6, 2000. 5. Packard, A., and Doyle, J., “The Complex Structured Singular Value”, Automatica, pp.1-70, 1993. 6. Gaspar, P., Szaszi, I.,and Bokor, J.,” Design of Robust Controllers for Active Vehicle Suspensions”, 2002 IFAC 15th Triennial World Congress, Barcelona, Spain, 2002. 7. Zhou, K., Doyle, J. C., Glover, K., “Robust and Optimal Control”, New Jersey, Prentice Hall, 1996. Şekil 14. Gövde ivme cevabı. 400 H nominal u kontrol kuvveti (N) 300 -sentezi 200 100 0 -100 -200 -300 -400 0 1 2 3 4 5 6 Zaman (s) 7 8 9 10 Şekil 15. Kontrolörlerin tarafından uygulanan kuvvet. µ-sentezine dayalı RC tasarımı için tekrarlamalarının özeti Tablo 4’de verilmiştir. yapılan D-K Tablo 4. D-K tekrarlama özeti. 1 Tekrarlama sayısı i 2 3 4 5 10 10 20 28 40 0 0 10 18 30 mui 13804.72 214.852 13.041 1.828 0.957 max (M i ) 13013.09 33.517 6.227 1.103 0.961 Açıklama Kontrolör derecesi Toplam D derecesi 6. Sonuçlar Bu çalışmada, bir çeyrek taşıt modeli için parametrik belirsizlikli aktif süspansiyon sistemine H∞ nominal ve µsentezine dayalı dayanıklı kontrolörler tasarlandı. Simülasyon ortamında, yoldan gelen bir bozucu sinyale karşı µ-sentez tabanlı RC’nin kararlılığı ve performansının H∞ nominal kontrolöre göre daha üstün olduğu, dış bozucuların etkisine karşı sistemin performansını iyileştirdiği, dayanıklı 284 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Fırçasız Doğru Akım Motoru için Doğrusal Olmayan Dayanıklı Kontrolcü Tasarımı Türker Türker1 , Yavuz Eren1 , Özgür Aktekin1 , Haluk Görgün1 1 Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi, Davutpaşa {turker, yeren, oaktekin, gorgun}@yildiz.edu.tr Özetçe ve gecikmeler vb. sebeplerle tork ve akım değelerinde dalgalanmalar meydana gelmektedir. Literatürde, bu tür problemlerin çözümüne yönelik kontrolcü tasarımı konusunda bir çok öneride bulunulmuştur [6, 7, 8, 9]. Bu çalışmada, doğrusal olmayan yapıya sahip fırçasız doğru akım motorunun hız kontrolü için doğrusal olmayan yapıda yüksek kazanç öngörülü dayanıklı oransal-integral denetleyici tasarımı gerçekleştirilmiştir. Lyapunov kararlılık teorisi temelli analiz ile, parametre değişimlerindeki hata dinamiklerinin sıfıra yakınsadığı ve elde edilen denetleyicinin sistem kararlılığını garanti ettiği görülmüştür. Tasarlanan kontrolcü yapısını test etmek üzere benzetim çalışmaları gerçekleştirilmiş ve sunulmuştur. Ayrıca, SMSM için de bu tür problemlerin çözümüne yönelik çalışmalar yapılmaktadır. SMSM için vuruntu momenti (cogging torque) pozisyona bağlı olmayıp peryodik karakterli bir bozucu etkidir ve bu etkinin giderilmesi için yinelemeli yapıda adaptif öğrenme algoritması önerilmiştir [10]. Mıknatıs yerleşimleri de stator demir kayıplarını ve ters-EMK şeklini doğrudan etkilemektedir. Bu durum, SMSM ile çekiş gücü sağlanan araç uygulamalarında enerji optimizasyonu çok önemli olduğundan dikkate alınmalıdır. Laskaris ve Kladas senkron motor performansı için optimal mıknatıs yerleşimi ile bozucu etkilerin indirgenmesi üzerine çalışma yapmışlardır [11]. Bunun yanında, Kshirsagar sinüs biçiminde olmayan tersEMK’ya sahip FDAM için motor performansına etki eden sinüs biçimli, karesel ve sinüs biçimli olmayan harmonik bileşenleri göz önüne alınmıştır. Vektör kontrolü temelli yaklaşımla bu bozucu etkilerin ortadan kaldırılması önerilmiştir [12]. 1. Giriş Fırçasız sabit mıknatıslı motorlar, besleme akımları ve elde edilen ters-elektromotor (EMK) işaretinin sinüs biçimli veya ikizkenar-yamuk (trapezoidal) olmasına göre iki gruba ayrılmaktadır. Ters-EMK işareti sinusoidal olması durumunda sabit mıknatıslı senkron motor (SMSM), ikizkenar-yamuk olması durumunda ise fırçasız doğru akım motoru (FDAM) olarak adlandırılmaktadırlar [1]. Sabit mıknatıslı FDAM endüstriyel ve evsel uygulamalarda, benzer amaçla kullanılan diğer motor sınıflarına göre yüksek verim, bakım sıklığının azlığı, uzun ömürlü olmaları, çalışma sırasındaki gürültülerinin az olması ve de elektromanyetik girişim seviyelerinin daha düşük olması sebebiyle tercih edilmektedirler[2],[3]. İdeal durumda SMSM sinüs biçiminde ters-EMK’ya sahipken, FDAM ikizkenar yamuk (trapezoidal) benzeri tersEMK’ya sahiptir. Ters-EMK sinyallerinin ideal şekilde olması verimli çalışma koşulları için çok önemlidir. Örneğin, FDAM tork değeri akışındaki dalgalanmaları azaltmak için, trapezoidal ters-EMK şeklinin tepe genişliği mümkün olduğunda geniş olması ve stator akımını ideal dikdörtgen şeklinde verilmesi gerekmektedir [4]. Bu şekilde tasarlanan makinelerde tork üzerinde dalgalanmalar önemli ölçüde azalttığından motor sürücü devrelerindeki karmaşıklık azalmaktadır. Fakat uygulamada akı akışının sürekli hale getirilmesi ve sözü edilen ters EMK şekillerinin elde edilmesi mümkün olmamaktadır. Bu durum, tasarımda oluk ve manyetik malzeme yerleşimindeki mekanik sınırlamalar ve de motor sargılarının endüktif yapısı gereği sürüş devresinin gerekli akım şeklini tam anlamıyla sağlamasının mümkün olmaması nedeniyle meydana gelmektedir [5]. Ayrıca işletme sırasında meydana gelen histerezis kayıpları, komütasyon akımları üzerindeki gürültü FDAM hem yapısal hem de parametrelerinin çalışma koşullarına bağlı olarak değişimi göz önüne alındığında yüksek oranda doğrusal olmayan davranış göstermektedir. Bunun yanında bozucu etkiler, gürültü ve doyum gibi etkiler de göz önüne alındığında sistem davranışının kontrol altında tutulması kolay olmamaktadır [2]. Bu sebeple, dayanıklı denetleyici tasarımı ile konum, hız ve tork kontrolü için istenilen performans elde edilebilmektedir. Bu bağlamda, literatürde, FDAM’nin doğrusal olmayan yapısını kontrol altında tutacak denetleyici yaklaşımları geliştirilmiştir. Örneğin, Xiu ve arkadaşları, geleneksel (oransal-integral)PI denetleyici yerine yüksek performans hız kontrolü için bulanık mantık temelli adaptif yapıda yapay sinir ağları denetleyicisini önermiştir [13]. Hemati ve arkadaşları FDAM robotik uygulamaları için relüktans ve manyetik doyum etkilerini modelleyip kontrolünü gerçekleştirmiştir [14]. Baik ve arkadaşları sabit mıknatıslı senkron motorlar için Lyapunov kararlılık teorisi temelinde yavaş değişen parametreler için model referans adaptif kontrolcü tasarlamıştır [15]. Kang ve Sul ideal olmayan ters-EMK’nın var olduğu durumda, FDAM’de meydana gelen istenmeyen moment titreşimlerini bastırmak için doğrudan moment kontrolü kavramı kapsamında denetleyici tasarımı öne sürmüşlerdir [16]. Le-huy ve arkadaşları fırçasız doğru 285 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya akım motorunun düşük hızlardaki tork dalgalanmasının en aza indirilmesi problemine çözüm önerisi sunmuşlardır [17]. Literatür incelendiğinde, geri besleme temelli doğrusal olmayan yapıya sahip dayanıklı denetleyici ile FDAM dayanıklı hız denetleyici tasarımının önemli bir katkı olacağı görülmektedir. Geri besleme temelli denetleyici sentezinin sağladığı avantajlar gereği, doğrusal olmayan davranış gösteren FDAM hız kontrolünün göreceli olarak parametre değişimlerine daha duyarsız davranması öngörülmüştür. Dolayısıyla, bu çalışmada, Kuvulmaz ve Zergeroğlu tarafından belirsizlik içeren doğrusal olmayan sistemler için öne sürülen doğrusal olmayan oransal-integral (N-PI) denetleyici yaklaşımı göz önüne alınmıştır [18]. Tasarlanan denetleyici, ileri besleme terimindeki yüksek kazanç şartı ile, direnç ve endüktans gibi motor parametrelerindeki değişimlere karşı duyarlı olup olası belirsizliklerde faz akımlarında ve rotor hızında oluşan hataları yok etmektedir. Lyapunov kararlılık teorisi ile parametre değişimlerine ait hataların sıfıra yakınsadığı ve dayanıklı denetleyicinin parametre belirsizliklerine karşı direnç gösterip sistem kararlılığını garanti ettiği gösterilmiştir. Bu bildiri şu şekilde düzenlenmiştir: İkinci bölümde FDAM modeli ele alınmıştır. Üçüncü bölümde, FDAM için dayanıklı hız denetletici tasarımı ve kararlılık analizi sunulmuştur. Dördüncü bölümde benzetim çalışmaları gerçekleştirilmiştir. Son bölümde ise bildiri ile ilgili elde edilen sonuçlar ve gelecek çalışmalar ele alınmıştır. 1 T 0.6 Ters EMK deðiþimi 0.4 0 −0.2 −0.6 −0.8 −1 0 1 2 3 θe (rad) 4 5 6 Şekil 1: Ters EMK değişimleri. belirsizliği de hesaba katılmıştır. İkizkenar yamuk biçiminde değişen ters EMK ET ∈ ℜ3 ile gösterilirse, bu çalışma için kabul edilen modeldeki ters EMK (E) ve ET ’nin, motorun A fazı için elektriksel açıya göre değişimleri Şekil 1 ile verilmiştir. Çalışmanın bundan sonraki kısmında ∆E , E − ET olarak tanımlanmakta, ve E’nin bilinmediği varsayılmaktadır. 3. Kontrolcü Tasarımı ve Kararlılık Analizi Bu çalışmada benzetimi oluşturulan motor hız kontrolü sürücü sisteminin blok diyagramı Şekil 2 ile verilmektedir. Bu blok diyagramda verilen kontrolcülerin tasarımı ve kararlılık analizleri alt bölümlerde sunulmaktadır. Sürücü yapısı, hız ve akım döngüleri olmak üzere iki ana döngüden oluşmaktadır. Hız döngüsünde, girilen hız referansına göre bir hız hatası oluşturulmuştur. Eşitlik (3) ile verilmiş olan motor hız dinamik denkleminde, motor momenti sisteme sanal bir giriş gibi varsayılmış, ve motor hız hatasını sıfırlayacak biçimde tasarlanmıştır. Akım döngüsünde ise bu sanal giriş referans giriş gibi kabul edilmiş, ve gerekli matematiksel işlemler sonucunda her bir motor fazı için akım referansları üretilmiştir. Faz akımlarının, oluşturulan bu referans işaretleri takip edebilmesini sağlamak üzere, akım döngüsü için de bir dayanıklı kontrolcü tasarlanmıştır. Fırçasız doğru akım motorunun dinamik denklemleri i. Endüktans ve direnç değerlerinin her sargı için eşit olması, ii. Rotor relüktansının açıya bağlı değişmiyor olması, iii. Motor fazlarının simetrik yapıda olması, iv. Sargı akımları toplamının sıfır olması ön kabulleri altında aşağıdaki gibi verilebilir [19] dI = (Vs − RI − E) dt dθr = ωr dt dωr J = T − Tl − bωr dt P T = kt F T (θr )I. 2 0.2 −0.4 2. Fırçasız Doğru Akım Motoru Modeli Lm E E 0.8 (1) (2) 3.1. Akım Döngüsü için Dayanıklı Kontrolcü Tasarımı (3) Kontrolcü tasarımını gerçekleştirmek üzere, hata dinamiği e ∈ ℜ3 şu şekilde tanımlanmaktadır. (4) e = Id − I Burada, lm sargı öz endüktansı ile karşıt endüktans farkı olup, Lm = diag(lm , lm , lm ); r sargı direnci olmak üzere R = diag(r, r, r) biçiminde tanımlanmaktadır. Ayrıca, I ∈ ℜ3 sargı akımlarını, Vs ∈ ℜ3 sargılara uygulanan gerilimleri, θr ve ωr sırası ile rotor açısal konumunu ve hızını, J rotor ataletini, T ve Tl motor ve yük momentlerini, b viskoz sürtünme sabitini, P kutup sayısını, kt moment sabitini, F ∈ ℜ3 ise fazlara göre ters EMK değişimini içeren sütun vektörü göstermektedir. E ∈ ℜ3 ise sargıların ters EMK bileşenlerini içermektedir. FDAM için genel kabul, ters EMK’in elektriksel açı değerine ve motor hızına bağlı olarak ikizkenar yamuk biçiminde değiştiğidir. Bu kabul, diğer kabuller ile birlikte modelin belirsizliğini arttırmaktadır. Bu çalışmada, diğer motor parametrelerindeki belirsizlikler ile birlikte, ters EMK (5) 3 Burada, Id ∈ ℜ referans akım sinyali olarak tanımlanmakta ve Id ’nin türevinin sınırlı olduğu kabul edilmektedir. I ise sargı akımlarını göstermektedir. Bununla beraber hata fonksiyonunun integrali aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır Z t s= e(τ )dτ . (6) 0 (5) ifadesi Lm ile çarpıldıktan sonra türevi alınıp, (1) denklemi ile birleştirilip düzenlenirse aşağıdaki denkleme ulaşılmaktadır Lm ė = Lm I˙d + RI + E − Vs . (7) Burada, R > 0, L > 0, I˙d ,E sınırlı ancak belirsizlik içeren parametrelerdir. Bu sebeple her bir parametre sırasıyla nominal 286 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Şekil 2: Tasarlanan kontrolcü için blok diyagram. ve belirsizlik içeren kısımları (∆) ile R = RT + ∆R, Lm = LT + ∆Lm , E = ET + ∆E şeklinde tanımlanmıştır. Bu belirsizlikleri içeren ve (5) ile tanımlanan hata değerimizin sıfıra yakınsamasını sağlayacak kontrolcü tasarımı için yardımcı sinyal olan N , N = ∆Lm I˙d + ∆RI + ∆E biçiminde belirlenip, bu durumda fonksiyonunun türevi tekrar yazılırsa aday Lyapunov V̇ = −eT Kr e + eT (Ñ − Kn ρ(e)||e||). (15) Ñ ifadesinin üst sınırı yerine yazılıp, gerekli düzenlemeler yapıldığında (8) V̇ 6 −||Kr ||||e||2 + ||e||(ρ(e)||e|| − Kn ρ(e)||e||) (16) biçiminde tanımlanmaktadır. Ayrıca, (5) ile tanımladığımız hata ve bu hatanın türevinin sıfıra yakınsaması durumunda Nd , N şeklinde tanımlanmaktadır. (7) denklemine Nd ifadesi ekleyip çıkartılır ve Ñ = N − Nd tanımlaması yapılırsa. elde edilir. Bu durumda, Kn > 1 olarak seçilip, Kr ’nin en küçük özdeğeri göz önüne alınıp, (16) ifadesinin son hali aşağıdaki gibi elde edilir Lm ė = LT I˙d + RT I + ET − Vs + Nd + Ñ V̇ 6 −λmin (Kr )||e||. (9) elde edilebilir. Burada Ñ için, hata değeri e’nin değerine bağlı pozitif tanımlı bir fonksiyon ve hatanın iki normuyla, Ñ ≤ ρ(e)||e|| biçiminde sınırlandırılabildiği kabulu yapılmaktadır. Bu noktada amacımız, yukarıda belirtilen parametre belirsizlikleri ile başa çıkacak kontrolcü tasarımı için gerekli giriş sinyali Vs ile hatanın sıfıra yakınsadığını göstermektir. Bu amaç doğrultusunda aday Lyapunov fonksiyonu aşağıdaki gibi önerilmektedir V = 1 T 1 e Lm e + sT KI s + Z. 2 2 (17) (10) ve (17) ile verilen Lyapunov fonksiyonu ve türevi ifadeleri incelendiğinde, V > 0 ve V̇ 6 0 olduğu görülmektedir ki bu sonuç V ’nin artmayan bir fonksiyon olmasını ve V ∈ L∞ ifadesini doğrulamaktadır. Bu sebeple, öncelikle belirtmek gerekir ki, Lyapunov fonksiyonunun bileşenleri ve dolayısı ile kontrol sinyalleri de sınırlı fonksiyonlardır. Bununla beraber, (5) ifadesinin, Id sinyalinin türevinin sınırlı olması varsayımı altında, türevi alındığında ė ∈ L∞ sonucu görülmektedir. Ayrıca, (17) ifadesinin her iki tarafı integre edildiğinde, e ∈ L2 sonucu da elde edilebilir. Bu sonuçlar ile birlikte Barbalat ön kuramına göre [20] limt→∞ e(t) = 0 sonucu çıkarılabilir. (10) Burada, KI = KIT > 0 ∈ ℜ3×3 , β = β T > 0 ∈ ℜ3×3 , ζ > 0 bir sabit olmak üzere Z, Z t Z=ζ− eT (τ )(Nd (τ ) − β tanh(e(τ )))dτ (11) 3.2. Hız Döngüsü için Dayanıklı Kontrolcü Tasarımı Hız döngüsü için tasarlanan kontrolcü yapısı ile akım döngüsü için tasarlanan kontrolcü yapısı ve her iki kontrolcü için yapılan kararlılık analizleri birbiri ile hemen hemen aynıdır. Hız döngüsü için tasarlanan kontrolcüde, viskoz sürtünme sabiti ve yük momentinin tam olarak bilinmediği varsayılmış, ve kontrolcü içerisinde bu değişkenlerin tahmini değerleri kullanılmıştır. Dayanıklı kontrolcü yapısının Bölüm 3.1 ile verildiği gibi gerçekleştirilmesi sonucunda, uygun kontrolcü katsayıarının seçilmesi ile birlikte, sistemdeki belirsizliklere karşı hız hatasının sıfıra yakınsadığı söylenebilir. 0 şeklinde tanımlanmıştır. Z ile verilen ifadenin pozitif tanımlı olmasının ispatı ve β sabit matrisinin alacağı değer [18]’de verilmiştir. Kararlılık analizini sürdürmek üzere aday Lyapunov fonksiyonunun türevi alındığında V̇ = eT (Lm ė + KI s + β tanh(e)) (12) T ˙ = e (LT Id + RT I + ET + Ñ − Vs + KI s + β tanh(e)) (13) 4. Benzetim Sonuçları elde edilir. Dayanıklı kontrolcü tasarımı amacıyla Vs kontrol girişi, Kr = KrT > 0 ∈ ℜ3×3 ve Kn > 0 ∈ ℜ olmak üzere, Tasarlanan kontrolcü yapısını test etmek üzere benzetim çalışmaları gerçekleştirilmiştir. Benzetim çalışmalarında kullanılan FDAM’nun parametreleri Tablo 1 ile verilmiştir. Kontrol sinyallerinin içeriğinde bulunan Vs = LT I˙d +RT I+ET +KI s+β tanh(e)+Kr e+Kn ρ(e)||e|| (14) 287 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Birim Ω H kgm2 N m/A Nms/rad A Değer 3 0.18 1.43 × 10−3 1.024 × 10−4 0.01547 0.001 5.6 100 90 80 70 60 50 r Sembol P r lm J kt b In ω (rad/s) Açıklama Kutup Sayısı Sargı direnci Endüktans Atalet Moment sabiti Sürtünme katsayısı Nominal sargı akımı 40 Tablo 1: Motor parametreleri 30 20 Kr KI β ρ Kn Akım döngüsü diag(0.1, 0.1, 0.1) diag(4000, 4000, 4000) diag(30, 30, 30) 0.2 1 Hız döngüsü 0.5 0.01 0.002 0.001 1 10 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 t (s) 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Şekil 3: Rotor hızı değişimi. Tablo 2: Kontrolcü kazançları 40 ve motor parametrelerinin tahmini değerlerini gösteren RT = r diag(1.1, 0.9, 1.1), LT = lm diag(0.9, 0.9, 1.1), b = 0 ve yük momenti TLT = 0.15N m olarak belirlenmiştir. Motor modelinde ise yük momenti ( 0.1N m , t < 0.5s, TL = (18) 0.05N m , t > 0.5s. V*Sa (V) 20 0 −20 −40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 t (s) 0.6 0.7 0.8 0.9 1 40 V*Sb (V) 20 0 −20 −40 40 olarak uygulanmıştır. Akım ve hız döngüleri için ayarlanan kontrol kazançları Tablo 2’de verilmiş olup, hız referansı ωr∗ = 100rad/s olarak seçilmiştir. Başlangıçta, rotor açısı ve açısal hızı ile birlkte faz akımları değerleri sıfır olarak atanmıştır. Benzetim çalışması sonuçlarına göre, rotor hızı değişimi şekil 3’te verilmiştir. Görüldüğü üzere rotor hızı oldukça hızlı bir biçimde ve neredeyse üst aşım yapmaksızın referans değerine yakınsamaktadır. Şekil 4 ise motor fazları için referans gerilim değerlerini sunmaktadır. Benzetim çalışmalarında bu referans gerilimler motor fazlarına uygulanmadan önce normalize edilerek darbe genişlik modulasyonundan geçirilmiş ve bunun sonrasında motor fazlarına uygulanmışlardır. Motor faz akımlarının zamana göre değişimleri ise Şekil 5’te verilmiştir. Şekil 5 incelendiğinde, faz akımlarının, referans değerlerini takip ettikleri görülmektedir. V*Sc (V) 20 0 −20 −40 Şekil 4: a,b,c fazları için referans gerilim işaretleri. i*a − ia (A) 5 0 −5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 t (s) 0.6 0.7 0.8 0.9 1 5 i*b − ib (A) 5. Sonuçlar 0 −5 Bu çalışmada FDAM’nun rotor hız değişiminin kontrolü gerçekleştirilmiştir. Doğrusal olmayan yapısı gereği FDAM parametreleri nominal değerlerinden sapma gösterebilmektedir. Bu sebeple dayanıklı denetleyici tasarımı gerçekleştirilmiştir. FDAM için akım ve hız çevrimi olmak üzere iki adımda dayanıklı denetleyici tasarımı tamamlanmıştır. Tasarlanan denetleyiciler için kararlılık analizleri gerçekleştirilip, denetleyici tasarımı için tanımlanan hata değerlerinin teorik anlamda sıfıra yakınsadığı gösterilmiştir. Tasarlanan denetleyici yardımıyla istenilen rotor hızı referans değerine, hızlı ve neredeyse üst aşımsız eriştiği benzetim sonuçları i*c − ic (A) 5 0 −5 Şekil 5: a,b,c fazları için referans (mavi, kesikli çizgi) ve gerçek (yeşil, düz çizgi) akım değişimleri. 288 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Proceedings of the Control and Decision Conference, 2008. ile gösterilmiştir. Bunun yanında FDAM’na uygulanan faz akımlarının referans değerlerine yakınsadığı da benzetim sonuçları ile sunulmuştur. Gelecekte, FDAM için tasarlanan denetleyicinin deneysel olarak gerçeklemesi yapılıp, farklı yöntemler ile tasarlanan denetleyicilere göre etkinliği test edilecektir. Bunun yanında FDAM için gözleyici temelli denetleyici tasarımı üzerine araştırma yapılıp daha az algılayıcı kullanımı ile FDAM kontrolünün gerçeklenmesine çalışılacaktır. [11] K. I. Laskaris and A. G. Kladas, “Permanentmagnet shape optimization effects on synchronous motor performance,” IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 58, no. 9, pp. 3776–3783, 2011. [12] P. Kshirsagar and R. Krishman, “Efficiency improvement evaluation of non-sinusoidal back-emf pmsm machines using field oriented current harmonic injection strategy,” in Energy Conversion Congress and Exposition (ECCE), 2010. 6. Teşekkür Bu çalışma, 2012-04-04-KAP01 numaralı proje kapsamında Yıldız Teknik Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordinatörlüğü tarafından desteklenmektedir. [13] J. Xiu, S. Wang, and Y. Xiu, “Fuzzy adaptive single neuron nn control of brushless dc motor,” Neural Computing and Applications, vol. 22, no. 3-4, pp. 607– 613, 2013. 7. Kaynakça [14] M. Hemati, J. S. Leu, and C. Ming, “Robust nonlinear control of brushless dc motors for direct-drive robotic applications,” IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 37, no. 6, pp. 460–468, 1990. [1] P. P. Acarnley, D. E. Chang, and J. F. Watson, “Review of position-sensorless operation of brushless permanentmagnet machines,” IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 53, no. 2, pp. 352–362, 2006. [15] I. C. Baik, K. H. Kim, and M. J. Youn, “Robust nonlinear speed control of pm synchronous motor using adaptive and sliding mode control techniques,” Electric Power Applications,, vol. 45, no. 4, pp. 1350–2352, 1998. [2] J. Shao, D. Nolan, and T. Hopkins, “A novel direct back emf detection for sensorless brushless dc (bldc) motor drives,” in Proceedings of the Applied Power Electronics Conference and Exposition(APEC), 2002. [16] S. J. Kang and S. K. Sul, “Direct torque control of brushless dc motor with nonideal trapezoidal back emf,” IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 10, no. 6, pp. 796–802, 1995. [3] A. Deenadayalan, “Modified sliding mode observer for position and speed estimations in brushless dc motor,” in Proceedings of the India Conference (INDICON), 2011. [17] L. H. Hoang, P. Robert, and F. Rene, “Minimization of torque ripple in brushless dc motor drives,” Electric Power Applications,, vol. 45, no. 4, pp. 1350–2352, 1998. [4] T. M. Jahns and W. L. Soong, “Pulsating torque minimization techniques for permanent magnet ac motor drives-a review,” IEEE Industrial Electronics Society, vol. 43, no. 2, pp. 321–330, 1996. [18] J. Kuvulmaz and E. Zergeroglu, “A new high-gain continuous controller scheme for a class of uncertain nonlinear systems,” in Proceedings of the 46th Conference on Decision and Control, 2007. [5] D. C. Hanselman, “Minimum torque ripple, maximum efficiency excitation of brushless permanent magnet motors,” IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 41, no. 3, pp. 292–300, 2002. [19] R. Krishnan, Permanent Magnet Synchronous and Brushless DC Motor Drives, CRC Press Taylor & Francis Group, 2010. [6] J. Song and I. Choy, “Commutation torque ripple reduction in brushless dc motor drives using a single dc current sensor,” IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 19, no. 2, pp. 312–319, 2004. [20] H. Khalil, Nonlinear Systems, NJ:Prentice-Hall, 2002. [7] Y. Liu, Z. Q. Zhu, and D. Howe, “Direct torque control of brushless dc drives with reduced torque ripple,” IEEE Transactions on Industry Applications, vol. 41, no. 2, pp. 599–608, 2005. [8] H. Lu, L. Zhang, and W. Qu, “A new torque control method for torque ripple minimization of bldc motors with un-ideal back emf,” IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 23, no. 2, pp. 950–958, 2008. [9] J. Fang, H.Li, and B. Han, “Torque ripple reduction in bldc torque motor with nonideal back emf,” IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 27, no. 11, pp. 4630–4637, 2012. [10] Y. Luo, Y. Q. Chen, and Y. Pi, “Authentic simulation studies of periodic adaptive learning compensation of cogging effect in pmsm position servo system,” in 289 Upper Saddle River, Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Doyumlu Eyleyiciye Sahip Durum Geri-Beslemeli H∞ Kontrolör İle Otonom Bir Helikopterin Askıda Kalma Kontrolü Olcay Karadeniz1, Hakan Yazıcı2, İ. Beklan Küçükdemiral3 1 Makine Mühendisliği Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi, Beşiktaş karadeniz.olcay26@gmail.com 2 Makine Mühendisliği Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi, Beşiktaş hyazici@yildiz.edu.tr 3 Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi, Esenler beklan@yildiz.edu.tr Çalışmada, H∞ kontrolörünün, LGQ kontrolöre göre daha yüksek performansa sahip olduğu gözlemlenmiştir [4]. Castillo vd., yaptıkları çalışmada helikopterin yumuşak uçuşlardaki koşullarını göz önüne almışlardır. PID/PD ve Bulanık Mantık kontrol tekniklerini kullanarak yapılan karşılaştırmada her iki kontrolörün de başarılı sonuçlar verdiğini göstermişlerdir. Küçük ölçekli helikopterler için, önerilen her iki kontrolöründe uygulanabilir olduğunu ortaya koymuşlardır [5]. Huang vd., model tabanlı bir helikopterin dikey iniş-kalkış koşullarını inceleyerek yeni bir PD tabanlı CMEC (CEREBELLER MODEL ARTICULATION CONTROLLER) kontrolör tasarlamışlardır [6]. Jensen ve Nielsen, H∞ ve μ kontrolör ile otonom bir helikopterin kapalı-çevrim kararlılığını incelemişlerdir [7]. Hald vd., eyleyici doyumlu LQR (Linear Quadratic Regulator) kontrol tekniği ile bozucu etkiler altında otonom bir helikopterin askıda kalma halini farklı senaryolar için incelemişlerdir [8]. Bu çalışmanın amacı, otonom bir helikopterin bozucu etkiler altında, askıda kalma halini koruması için yeni bir kontrolör tasarımı gerçekleştirmektir. Tasarımın en önemli aracı dışbükey en iyileştirme temelindeki DME’dir. Doyumlu eyleyici yapısı DME kısıtları şeklinde bilinen durum geri-beslemeli H∞ kontrolörün sentez denklemlerine eklenmiştir. Otonom helikopterin maruz kalabileceği farklı kötü durum senaryoları için benzetim çalışmaları yapılmış ve kontrolörün performansı ve kapalı-çevrim kararlılığı değerlendirilmiştir. Özetçe Bu çalışmada, tek rotorlu bir helikopterin askıda kalma halini koruması için doyumlu eyleyiciye sahip durum geri-beslemeli H kontrolör tasarımı gerçekleştirilmiştir. Önerilen kontrolörün tasarımında, dışbükey en iyileştirme temelindeki Doğrusal Matris Eşitsizlikleri (DME) yaklaşımından yararlanılmıştır. Doyumlu eyleyici yapısı, denetim işareti üzerinden geliştirilen DME şeklindeki kısıtlar ile kontrolör mimarisine eklenmiştir. Çalışmada incelenen tek rotorlu helikopterin matematik modellemesi yapılarak hareket denklemleri durum-uzay formunda ifade edilmiştir. Yapılan benzetim çalışmaları ile modellenen helikopterin kontrollü cevapları zaman tanım alanında gösterilmiştir. Benzetim çalışması sonuçları, literatürdeki çalışmalarda elde edilen sonuçlarla karşılaştırılarak, geliştirilen doyumlu eyleyiciye sahip durum geri-beslemeli H kontrolörün performans bakımından üstünlüğü ortaya konulmuştur. Anahtar kelimeler: Doğrusal matris eşitsizlikleri, H kontrol, helikopterin askıda kalma problemi, eyleyici doyumu. 1. Giriş Son yıllarda otonom insansız hava araçları, askeri ve sivil alanda artan bir popülerliğe sahiptir [1]. Askeri alanda son derece stratejik önemi alan otonom araçların, havacılık endüstrisinde büyüyen bir payı vardır. Bu endüstride döner kanatlı platformlar (helikopterler), sabit kanatlı platformlara göre daha az bir paya sahip olmasına rağmen, daha fazla ilgiyi üzerine çekmektedir. Bu çerçevede, yapısal olarak basit ancak kontrol edilebilirlik açısından oldukça zor olan otonom helikopterlerin kontrolü, farklı kontrol teknikleri uygulanmak suretiyle bir çok akademik çalışmada ele alınmıştır [2]. Literatürde mevcut bulunan çalışmaların çoğunda helikopter sisteminin askıda kalma hali üzerine incelemeler yapılmıştır [3]. Morris ve Bendotti yaptıkları deneysel çalışmada, otonom bir helikopterin kontrolü için, H∞ ve (Linear Quadratic Gaussian) LQG kontrolör tasarımı gerçekleştirmişlerdir. 2. Helikopter Dinamiği ve Modellenmesi Helikopterler, çok girişli çok çıkışlı, açık-çevrimi kararsız, doğrusal olmayan dinamikler içeren ve zamanla değişen bir yapıya sahiptirler. Bu sebeple, sistemin davranışını en ince ayrıntısına kadar tanımlayan bir model elde etmek oldukça zordur [9]. Helikopterlerin modellenmesinde temel olarak iki metod üzerinde durulmuştur. İlk model mekanik ve aerodinamik yasalar kullanılarak gerçekleştirilen modellemedir. İkinci model ise deneysel olarak helikopter üzerinden veri toplamak suretiyle yapılan sistem tanılama (system identification) metodudur [10]. 290 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya sapma hareketinin (yaw) oluşmasında rol oynar. Anti-tork pedalları ile gerçekleştirilir [11]. Bu çalışmada, governorun sabit olduğu kabul edilerek kontrol giriş vektörü aşağıdaki gibi seçilmiştir. 2.1 Helikopter Dinamik Modeli Bu çalışmada ele alınan 6 serbestlik dereceli helikopterin fiziksel gösterimi Şekil 1’ de verilmiştir. Tablo 1’ de ise helikopterin hareket sistemine ait tanımlamalar yapılmıştır. Modellemeye temel alınan helikopter Yamaha R-50 helikopteri olup, [8] numaralı referanstan alınmıştır. Helikopterin doğrusal olmayan modeli ise Şekil 2’ de gösterildiği gibi 3 temel bloktan oluşur. u(t ) ulat (t ) ulong (t ) ucol (t ) u ped (t ) fz m v.r w.q u fy V v v.r w. p m w fz v.q v. p m Tablo 1: Helikopter modeli hareket sistemi Doğrusal hız Açısal hız Doğrusal yer değiştirme Açısal yer değiştirme Y-Yönü v q y θ Z-Yönü w r z ψ (2) Euler Açıları: p sin( ).tan( ).q cos( ).tan( ).r cos( ).q - sin( ).r sin( ) cos( ) .q cos( ) sin( ) (3) Açısal İvmeler: ( I I ).q.r L yy zz I xx p ( I I ). p.r M q xx zz I yy r ( I xx I yy ). p.q N I zz Şekil 2: Üç bloklu sistemin dinamik model yapısı Kuvvet ve tork denklemleri ana rotorun ürettiği itki (TMR) ve kuyruk rotorunun ürettiği itki (TTR) ile hesaplanır. Rijit gövde denklemleri helikoptere etkiyen kuvvet (F) ve torklar (τ) yardımıyla konum (P), doğrusal hız (V), açısal konum (Θ) ve açısal hızlar (ω) olarak hesaplanır. Çırpma açılarının (β1s, β1c) denklemleri ise Şekil 3’te gösterilen model yardımıyla çıkartılır. (4) Atalet Matrisi: I xx I 0 0 0 I yy 0 0 0 I zz (5) 2.3.2 Kuvvet ve Tork denklemleri: FMR : Ana rotor itki kuvveti FTR : Kuyruk rotor itki kuvveti Fg : Yerçekiminden kaynaklanan kuvvet Şekil 3: Çırpma açılarının model üzerindeki yeri 2.2 (1) 2.3 Helikopter Doğrusal Olmayan Denklemleri Helikopterin doğrusal olmayan 6 serbestlik dereceli modelinin denklemleri aşağıda verilmiştir. 2.3.1 Rijit gövde denklemleri: Doğrusal İvmeler: Şekil 1: Altı serbestlik dereceli helikopter hareketi X-Yönü u p x φ T b fx F b f y b FMR b FTR b Fg b fz TMR. sin( 1c ) 0 sin( ).m.g (6) TMR. sin( 1s ) TTR sin( ).cos( ).m. g TMR .cos( 1s ).cos( 1c ) 0 cos( ).cos( ).m. g Helikopter Eyleyicileri b Hareketleri gerçekleştirebilmek için cyclic kolu, collective kolu, antitork pedalı ve governoru (düzenleyici) kullanmaktadır. Cyclic kolu helikopteri yanlamasına ve x-eksenin etrafında dönme hareketini (roll) sağlar ve (u_lat) kontrol girişi ile belirlenir. Uzunlamasına ve y-ekseni etrafında yunuslama hareketini (pitch) ise (u_long) kontrol girişi tespit eder, bu hareket de cyclic kolu ile sağlanır. Ana rotor pallerinin tamamımın aynı açıyla eğilmesini sağlayan eyleyici ise (u_col) girişi ile belirlenir. Dikey yöndeki hareket icra edilir. Dümen kontrol girişi (u_ped) helikopteri z-ekseni etrafında döndürerek TMR. sin( 1c ) sin( ).m.g TMR. sin( 1s ) TTR sin( ).cos( ).m.g TMR. cos( 1s ).cos( 1c ) TTR cos( ).cos( ).m. g 291 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya TMR : Ana rotorun ürettiği tork TTR : Kuyruk rotor torku TD : Ana rotordaki sürtünmeden kaynaklanan karşıt tork bL b b M b MR b TR b D bN b LMR b LTR b LD b M MR b M TR b M D b N MR b NTR b N D Tüm sonuçlar ele alındığında durum-uzay sunum modeli için bu denklemlerin lineerleştirilmesi gerekmektedir. Kullanılan metodlar Tablo 2’ de verilmiştir [8]. Tablo 2: Doğrusallaştırma yöntemleri (7) Denklem Operasyon Noktası u(t ), v(t ), w(t ) 0 Linearizasyon Metodu Taylor yöntemi p(t ), v(t ), w(t ) 0 Taylor yöntemi (t ), (t ), (t ) 1s (t ), 1c (t ) 0 Taylor yöntemi 0 Block box yöntemi QMR (t ) c Nümerik analiz TMR (t ) c Nümerik analiz Doğrusallaştırma işlemleri sonucunda tüm denklemler şu hali almıştır: (12) u ped (t ).lt (t ).m.g.lt m.lt (13) g.(lt lm ). 1s (t ) lt 10101.9 ucol (t ) m p(t ) (520.4.ht . 1s (t ) ym..m.g .lt ht . 1s (t ).m.g w(t ) b L b LMR b LTR b LD, MR b b M b M MR b M TR b M D, MR b N b N MR b NTR b N D, MR (14) (15) 1s (t ).hm .m.g .lt 520.4. 1s (t ).hm .lt 6.5313.ht ht . u ped (t ).lt (10190. ym .lt 115.147.ht ). u ped (t )). f y , MR .hm f z ,TR . ym f y ,TR .h t QMR .sin( 1c ) b f x .hm b f z .lm QMR .sin( 1s ) b b b f z . ym f y , MR .lm f y ,TR .l t QMR .cos( 1c ).cos( 1s ) b 6.5313. 1c (t ). 1 I xx .lt 1 I xx (16) 1 q(t ) .(520.4. 1c (t ).hm m.g.lm 520.4.lm 1c (t ).hm .m.g I yy (8) 2.3.3 Pal Açıları Çırpma Denklemleri: Şekil 3’ te gösterilen ana rotorun itki yönünün belirlenebilmesi için çıkartılan çırpma açılarının denklemleri aşağıda mevcuttur. 1c (t ) Ana rotor sürüklemesi: QMR (t ) 0.0113.TMR 6.5313 v(t ) Şekil 4 dikkate alınarak kombine edilen tork denklemleri ise aşağıda verilmiştir. b (11) İvmeler ve Euler açıları: u(t ) g.( 1c (t ) (t )) Şekil 4: Helikopter ağırlık merkezleri b Ana rotor itkisi: TMR (t ) 10190. ucol m.g 10190.lm . ucol (t ) 6.5313. 1s (t )) 3.06.107.(3.26.106.BMR 2 816.97. b v 2 (t ).BMR 3275.88. b u (t ).vi ) 2 7 b 2 3.06.10 .(2456.91. u (t ).BMR 1637.94. AMR . b v(t ). b u (t ) 1.13.105. p(t )) 2 3.06.107.(4.67.105 q(t 1.95.105 ucol (t ). b u (t )) 2 (9) 3.06.107.(1.94.105. .ucol (t ). b v(t ) 3.26.106. 2 AMR ) 2 7 b b 3.06.10 .(1637.94.BMR . u (t ). v(t ).vi 4.67.105. . p(t ) 3275.88.vi ) 2 3.06.107.(2456.91. AMR . b v 2 (t ) 818.97. b u 2 (t ). AMR 1.12.105. .q(t )) 2 (10) 1s (t ) 292 r (t ) (17) lt . u ped (t ) (10190. ym . u ped (t ) ym .m.g 520.4. ym ). 1c (t ) I zz 10190.lm . ucol (t ) 6.5313. 1s (t )) (t ) p(t ) (18) (19) (t ) q(t ) (t ) r (t ) (21) 1s (t ) 1c (t ) (20) 1 . ASP (t ) (22) .BSP (t ) (23) 1s 1 1c Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Doğrusallaştırma işlemleri sonucunda 11 durumlu vektör sunumu (24) numaralı vektörde verilmiştir. x(t ) u(t ) v(t ) w(t ) p(t ) q(t ) r (t ) (t ) (t ) (t ) 1s (t ) 1c (t ) d V ( x) z1T z1 2 wT w 0 dt T Eşitsizlik (29)’un (28) ile birleştirilmesiyle ve D11 0 kabulüyle; (24) Çalışmada bozucu etkiler ihmal edilmemiştir. Bozucu etkiler rüzgar, sensör, iç momentler gibi etkilerdir. Bozucu etkiler arasında en etkili olan giriş, iç momentlerden kaynaklanan etkilerdir. Bu etkiler arasında kuyruk rotorunun y-ekseni yönünde oluşturduğu ivme seçilerek sisteme ilave edilmiştir [8]. Bu ivme ağırlık merkezine göre bir moment oluşturur ve (25) numaralı denklemde sabit bir etki olarak sunulmuştur. K dist 6.5313 6.5313 0.1226 m.lt 44.3840.1.2 (29) ( A B2 K ) x B1w T Px xT P ( A B2 K ) x B1w (C1 D12 K )T xT (C1 D12 K ) x 2 wT w 0 (30) eşitsizliği elde edilir. Burada, (30) ’un düzenlenmesiyle x ( A B2 K )T P P( A B2 K ) (C1 D12 K )T (C1 D12 K ) PB1 x 0 w B1T P 2 I w (31) T (25) matris eşitsizliği elde edilir. Schur tümleyen [12] ile (31) eşitsizliği, Doğrusal hale getirilen denklemler durum-uzay formuna uygun bir hale gelmiştir. Sistemin durum-uzay formu (26) numaralı gösterimdeki gibidir. (26) x(t ) Ax(t ) B1w(t ) B2u(t ) ( A B2 K )T P P( A B2 K ) (C1 D12 K )T (C1 D12 K ) PB 1 2 B1T P 0 (32) Burada, A ve B2 sistem matrisleri olup, B1 bozucu etki girişinin matrisidir [8]. Matrislerin açık formu Ekler kısmında verilmiştir. şeklinde ifade edilebilir. (32)’nin P 1 ile sağdan ve soldan çarpılmasıyla; 3. Doğrusal Matris Eşitsizliği Tabanlı Doyumlu Eyleyiciye Sahip Durum Geri- Beslemeli H∞ Kontrolör Tasarımı P 1 (C1 D12 K )T (C1 D12 K ) P 1 B 1 2 B1T 0 P 1 ( A B2 K )T ( A B2 K ) P 1 eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin düzenlenmesiyle, Bu bölümde, DME yaklaşımıyla doyumlu eyleyiciye sahip durum geri-beslemeli H kontrolör tasarımı gerçekleştirilmiştir. Doğrusal zamanla değişmeyen bir sistem; x Ax B1w B2u P1 ( A B2 K )T ( A B2 K )P 1 P 1 (C1 D12 K )T (C1 D12 K )P 1 B1 0 B1T 2 I (34) (27) z1 C1 x D11w D12u 1/ 2 0 0 ile sağdan matris eşitsizliği elde edilir. (34)’ün 1/ 2 0 ve soldan çarpılmasıyla ve X P1 değişken dönüşümü ile, şeklinde ifade edilebilir. Burada, x n durum vektörünü, z p kontrol çıkış vektörlerini, w mw bozucu giriş vektörünü, denetim giriş vektörünü u mu göstermektedir. A , B1 , B2 , C1 , D11 ve D12 matrisleri ise X ( A B2 K )T ( A B2 K ) X B1 1 T X (C1 D12 K ) (C1 D12 K ) X 0 (35) T B I 1 sistemin bilinen uygun boyutlu durum-uzay matrisleridir. Denetim girişinin u Kx, (K mun ) gibi durumların doğrusal bir fonksiyonu olduğu kabulünden yola çıkarak, kapalı çevrim sistemi, x ( A B2 K ) x B1w DME yazılabilir. Buradan, yine Schur tümleyeni kullanılarak (28) ’de tanımlanan kapalı çevrim sistemin H performans kısıtları X 0 ve Z : KX değişken dönüşümü ile aşağıdaki DME şeklinde yazılabilir. XAT AX B2 Z Z T Z 2T B1 XC1T Z T D12T B1T I 0 0 C1 X D12 Z 0 I (28) z1 (C1 D12 K ) x D11w şeklinde elde edilir. Burada, K durum geri-beslemeli kontrolör kazancını göstermektedir. (36) Bilindiği gibi, doyumlu eyleyiciler, DME kısıtları şeklinde doğrudan denetim sinyali üzerinden matematiksel olarak elde edilebilir [13]. Uygulanabilir bir kısıt içeren denetim sinyali verilen umax sınırı ile u 2 umax olarak ifade edilebilir. Daha H performans problemi, kapalı-çevrim (28) sistemini kararlı kılacak ve sistemin girişlerinden çıkışlarına olan transfer fonksiyonları matrisinin sonsuz normunu Tz w , gibi 1 (33) bulunabilecek en küçük skaler pozitif reel bir değerden küçük kılacak bir kontrolör bulmaktır. Bilindiği gibi, H normu ile DME arasındaki bağlantı sınırlı gerçek yardımcı teoremi kullanılarak yapılır. V ( x) xT Px , P PT 0 şartıyla karesel Lyapunov fonksiyonudur. 0 olmak üzere sistemin performans ve kararlılık kısıtları için tanımlanan aşağıdaki (29) eşitsizliği, tüm x ve w ’lar için negatif tanımlı olmalıdır. sonra, Euclid normu 2 u 2 umax uT u umax uT u umax , şeklinde tanımlanır. u Kx ve Z : KX olduğundan, x T X 1Z T ZX 1 x 1 2 umax (37) eşitsizliği elde edilebilir. Eğer P x | xT Px 1 şeklinde bir elipsoid tanımlanırsa, (37) eşitsizliği 293 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya x açıları ise 0.79 rad olarak verilmiştir. Çalışmada geliştirilen kontrolörün zaman alanındaki cevapları Şekil 5’ de gösterilmiştir. (38) X 1Z T ZX 1 2 umax olarak yazılabilir. Sınırlandırılmış kontrol kuvvetini elde etmek için, P X -1 4.2 Senaryo 2: Koşulları en ağır olan senaryo bu senaryodur. Doğrusal hızları ve Euler açıları verilen helikopterin başlangıç şartları [8]; u=14 m/s, v=8 m/s, w=60 m/s, φ, θ, ψ açıları ise 1.57 rad olarak verilmiştir. Tasarlanan kontrolörün zaman alanındaki cevapları Şekil 6’ da verilmiştir. X 1Z T ZX 1 2 umax tanımlamasına ihtiyaç vardır ve buradan, 3 u 0.8 v 0.6 k k k 2.5 (39) k k w k 0.4 2 0.2 eşitsizliği elde edilir. Congruence dönüşümü ile (39) eşitsizliği önünden ve arkasından X ile çarpılırsa, Açı (rad) X 1Z T ZX 1 2 umax Hız (m/s) X 1 1.5 1 0 -0.2 -0.4 0.5 -0.6 0 -0.8 T -0.5 Z Z X 2 umax 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0 0.5 1 1.5 2 Zaman (s) 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Zaman (s) 0.1 u-lat 0.15 ifadesi elde edilir ve bu da Schur tümleyen ile kontrol kuvvetini sınırlayan aşağıdaki matris eşitsizliği ifadesinin yazılmasını sağlar. 0.08 0.06 u-col 0.1 Kuyruk Rotor İtkisi (N) ZT 0 2 umax I u-ped u-long Girdi (rad) 0.05 0 -0.05 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.1 (40) -0.06 -0.08 -0.15 0 0.005 0.01 -0.1 0.015 0 0.005 0.01 Zaman (s) Şekil 5: Senaryo 1’in kontrollü sonuçları Bu eşitsizliğin çok amaçlı denetim problemine dahil edilmesiyle, fiziksel sistemin doyumlu eyleyiciye sahip olması sağlanır. (28) Kapalı çevrim sisteminin w ’den z ’ye en küçük H normunu bulmak için simetrik pozitif tanımlı X ve uygun boyutlu Z matrisi varsa pozitif skaler için, 2.5 60 u k 50 2 v k 1.5 wk 40 k k k 1 30 Hız (m/s) min 0.015 Zaman (s) 0.5 20 Açı (rad) X Z -1 2 10 0 -0.5 0 (41) -1 -10 koşullar : (10),(14) -1.5 -20 -2 -30 doğrusal en iyileştirme problemi çözülebilir. Eğer yukarıdaki en iyileştirme probleminin çözümü varsa, verilen kapalı-çevrim sistem için doyumlu eyleyiciye sahip durum geri-beslemeli H kontrolör kazancı K=ZX-1 şeklinde elde edilir. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 -2.5 2 0 1 2 3 Zaman (s) 4 5 6 Zaman (s) 0.2 u-lat 0.15 0.15 u-long 0.1 Kuyruk Rotor İtkisi (N) Girdi (rad) 4. Benzetim Çalışmaları 0 -0.05 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.1 Yapılan benzetim çalışmasında, tasarımı gerçekleştirilen kontrolörün sisteme etki eden bozucuları bastırması ve giriş doyumu sınırları içerisinde çalışması beklenmektedir. Kontrolör tasarımında da tüm durumlar geri-beslenmiştir. Kontrolör tasarımı Matlab paket programı altında YALMIP arayüzü üzerinde kodlanarak LMILab çözücüsü ile gerçekleştirilmiştir [14]. Eyleyici doyumu limiti olarak algoritmanın sağladığı en düşük genlik kısıtı olan 6500 KN seçilmiştir. Doyumlu eyleyiciye sahip bir sistemde, bozucuların durum geri-beslemeli kontrol mantığı ile bastırılmasına yönelik olarak en iyi kontrolör kazancına, (41)'de verilen en-iyileştirme probleminin çözümünden ulaşılabilir. Bu en-iyileştirme probleminin çözümünden sistemin kararlılık şartlarındaki en düşük bozucu bastırma seviyesi , 0.329704 olarak bulunmuştur. En iyi u-ped u-col 0.1 0.05 -0.15 -0.15 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 Zaman (s) 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 -0.2 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 Zaman (s) Şekil 6: Senaryo 2’nin kontrollü sonuçları Şekil 5 ve Şekil 6’ dan gözlemlendiği gibi en zor şartlarda bile kontrolörün devreye girmesiyle helikopter başlangıç şartlarından askıda kalma durumuna gelmektedir. Çalışmada incelenen otonom helikopterin açık-çevrim kökleri sırasıyla, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -12.9, -12.9 şeklindedir. Buradan, sistemin kontrolsüz durumda kararsız olduğu görülmektedir. Sisteme önerilen kontrolörün uygulanmasıyla, sistemin kapalı-çevrim köklerinin sırasıyla, -1945.2 +1686.8i, -1945.2 -1686.8i, -1612.2, -1621.7 +0.7i, -1621.7 -0.7i,-251.2, -125, -3 +2.2i, -3 -2.2i, -3.2, -1.3 olduğu hesaplanmıştır. Tüm köklerin sol yarı s-düzleminde olması geliştirilen kontrolörün sistemin kapalı-çevrim kararlılığını garanti altına aldığını göstermektedir. kontrolör kazancı “K” hesaplanıp, ekler kısmında verilmiştir. Bu bölümde, otonom bir helikopterin askıda kalma kontrolü, en kötü iki farklı senaryo için yapılan benzetim çalışmalarıyla gösterilmiştir. 4.1 Senaryo 1: Doğrusal hızları ve Euler açıları verilen helikopterin başlangıç şartları [8]; u, v, w hızları 3 m/s, φ, θ, ψ 294 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Referans alınan [8] kaynağında LQR tekniği ile geliştirilen kontrolörün zaman alanındaki cevapları ile bu çalışmada geliştirilen doyumlu eyleyiciye sahip durum geri-beslemeli H kontrolörün zaman cevapları Tablo 3’ de karşılaştırmalı olarak verilmiştir. Tablo 3’ ten görüldüğü gibi, çalışmada geliştirilen kontrolör, referans alınan [8] kaynağında tasarlanan kontrolöre göre daha iyi sonuçlar vermektedir. [6] [7] Tablo 3: Askıda kalma durumuna geliş zamanları (s:saniye) Senaryo Durum Referans [8] Önerilen (LQR) Kontrolör ( H) u 16 s 1.6 s v 10 s 1.5 s w 7s 0.02 s 1 φ 10 s 1.2 s θ 15 s 2.1 s ψ 14 s 4s u 16 s 1.2 s v 9s 1.4 s w 2s 0.04 s 2 φ 14 s 1.8 s θ 18 s 5.5 s ψ 10 s 4s [8] [9] [10] [11] [12] 5. Sonuçlar Bu çalışmada, otonom bir helikopterin bozucu etkiler altında, askıda kalma halini koruması için doyumlu eyleyiciye sahip durum geri-beslemeli H kontrolör tasarımı gerçekleştirilmiştir. Tasarımın en önemli aracı dışbükey en iyileştirme temelindeki DME’dir. Otonom helikopterin maruz kalabileceği en kötü durum senaryoları için benzetim çalışmaları yapılmış ve tasarlanan kontrolörün bozucu bastırma performansının yüksek olduğu ve kapalı-çevrim sistemin kararlılığını garanti altına aldığı gözlemlenmiştir. Önerilen kontrolörün diğer önemli avantajı ise ayar parametresi içermemesi ve istenilen eyleyici doyumu limitinde yüksek kontrol performansı göstermesidir. Gelecekteki çalışmalarda, geliştirilen kontolöre, parametre belirsizliği problemi normu sınırlı parametre belirsizliği yapısında eklenerek, yeni bir dayanıklı kontrolör sentez denklemleri elde edilebilir. [13] [14] Design for Non-Aggressive Flights”, Department of CSE and EE, University of South Florida. Y.J. Huang, T.C. Kuo, B.W. Hong, B.C. Wu, “Robust Cerebellar Model Articulation Controller Design for Flight Control Systems”, World Academy of Science, Engineering and Technology, 2011. R. Jansen, A.K.N. Nielsen, “Robust Control of an Autonomous Helicopter”, Department of CE, Aalborg University,Yüksek Lisans Tezi, Danimarka, 2005. U.B. Hald, M.V. Hesselbaek, J.T. Holmgaard, C.S. Jensen, S.L. Jacoksen, M. Siegumfeldt, “Autonomous Helicopter, Modelling and Control” Departmen of CE, Aalborg University, Danimarka, 2005. D.H. Shim, “Hierarchical Flight Control Systems Synthesis for Rotorcraft-Based Unmanned Aerial Vehicles” University of California Berkeley, Doktora Tezi, 2000. B. Mettler, “Identification Modeling and Characteristics of Miniature Rotorcraft” Springer, 2003. S. Franko, “LQR-Based Trajectory Control of Full Envelope, Autonomous Helicopter” World Congress on Engineering, Londra, İngiltere, 2009. S. Boyd, L.E. Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan, “Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory” Society for Industrial and Applied Mathemetics, Philadelphia, 1994. T. Hu, Z. Lin, “Control Systems with Actuator Saturation, Analysis and Design” Boston, MA: Birkhkauser, 2001. J. Löfberg, "Yalmip: A Toolbox for Modeling and Optimization in MATLAB", Proceedings of the CACSD Conferance, Taipei, Taiwan, 2004. Ek Sistemin Durum-Uzay Matrisleri: 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 Kaynakça [1] İ. Can, A. Arısoy, H. Temeltaş, “Dikey İniş Kalkış Yapabilen Dört Rotorlu Hava Aracının(Quadrotor) Uçuş Kontrolü”, Havacılık ve Uzay Teknolojileri Dergisi, Cilt 4, Sayı 3, 2010. [2] K.A. Danapalasingan, “Robust Stabilization and Disturbance Rejection for Autonomus Helicopter” ,Aalborg Universitiy, Doktora Tezi, 2010. [3] S. Franko, İ. M. Koç, C. Özsoy, “İnsansız Helikopter için Model Öngörülü Kontrolcü Tasarımı” Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, Gebze, Kocaeli, Türkiye, 2010. [4] J.C. Morris, P. Bendotti, “Robust Hover Control for a Model Helicopter” Proc. of the 36th Conference on Decision and Control, San Diego, California, U.S.A., s:943-948, 1997 [5] C. Castillo, W. Alvis, M. Castillo-Efen, K. Valavanis, W. Moreno, “Small Scale Helicopter Analysis and Controller 0 0 0 0 0 0 9.81 0 0 0 0 0 0 9.81 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9.81 0 0 0 1 0 0 0 0 4.453 0 0 1.427 83.54 0 0 0 0 B B 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0.078 0 0 1 0 0.078 0 9.81 0 260.7 0 0 0 2.162 0.02253 0 229.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2753 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 En İyi Kontrolör Kazancı K: K 10 12 88753073.230 -323638251577.188 3047500143.655 7681119830.838 663286014.738 517361287.322 5815321002.346 -54759254.955 -138642746.763 -341479319.615 -8.249 41519.705 1086757.514 -761.183 -64.298 3443251.839 -12511180894.626 117369184.805 317649450.266 26011359.291 -26789642319.837 -996518109569.275 829004182.219 -20134449841.843 -635452134.829 6609801.845 481373704 17905382635.786 -2287856191.698 361017730.773 6619986.430 -266336866.099 2562.561 96321.308 -81.628 1913.082 102.841 -0.647 -1952168497.117 -38677266202.932 31730237.911 -1928432438.871 -3566913.328 64234.583 295