PDF ( 1 ) - İstatistikçiler Dergisi
Transkript
PDF ( 1 ) - İstatistikçiler Dergisi
www.istatistikciler.org statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-44 statistikçiler Dergisi Türkiye demir ve çelik sektöründe bir irketin yang n risklerinin aktüeryal modeli Özlem Ceren Gültekin Cenap Erdemir skenderun Demir ve Çelik Fabrikalar A. . 31319skenderun, Antakya, Türkiye cergultekin@gmail.com HacettepeÜniversitesi Aktüerya Bilimleri Bölümü 06800 Beytepe, Ankara, Türkiye cenap@hacettepe.edu.tr Özet Bu çal mada demir ve çelik sektöründe faaliyet gösteren bir irkette gerçekle mi olan yang n hasarlar n n s kl ! ve hasar büyüklükleri incelenmi , kollektif risk modeli varsay m alt nda toplam hasar da! l m n n momentleri elde edilmi tir. %irketin 2004-2009 y llar aras ndaki yang n hasar s kl ! n n Poisson, hasar büyüklü!ünün ise lognormal da! l ma, toplam hasarlar n ise bile ik Poisson da! l m na sahip oldu!u görülmü tür. Mevcut da! l m kullan larak toplam hasarlar n gelecek dönemleri için öngörüleri ve poliçenin prim tahminleri elde edilmi tir. Anahtar sözcükler : Toplam hasar da! l m ; Demir ve çelik sektörü; Kollektif risk modeli; Yang n sigortas . Abstract An actuarial model of fire risks for a corporation in Turkish iron and steel sector In this study, under the collective risk model assumption, moments of the distribution of aggregate claims are obtained by analysing the numbers and sizes of the fire insurance claims data supplied from a corporation of iron and steel industry in Turkey. The claim numbers and claim sizes shows Poisson and lognormal distributions respectivly for the years of beetween 2004-2009, so aggregate claims shows a compound Poisson distribution for this period. Finally, using the current distribution, the predictions of aggregate claims and the premiums of the policies are computed for a future period. Keywords: Total loss distributions; Iron and steel sector; Collective risk model; Fire insurance. 1. Giri Bir maddenin üzerinde dahilen veya haricen herhangi bir sebep ve ekilde meydana gelecek dumanl , ate li ve alevli yanma olay na yang n riski denilmektedir. Yang n veya yang n dolay s yla çe itli ekilde ziyana u!rayan malzeme üzerinde, yang n bast rmak için sarf edilen gayretler s ras nda o maddenin civar ndaki mallarda meydana gelecek yanma, k r lma, dökülme ve bozulmalar ile emsali yang nl , yang ns z hasarlar, yang n riski kapsam içindedir. Yang n önleme ve koruman n genel yöntemleri varsa da her riskin özelli!i ayr ca önem ta r. Binalar n yap tarzlar öncelikli olarak incelemeye tutularak ara t rmalar yap lmaktad r. Yap kullanma ekline ba!l olarak, yap n n mimari tasar m , yap malzeme ve elemanlar n n seçimi, pasif yang n güvenli!i önlemlerinin esas n olu turur [6]. Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-6 38 Bireyler ve toplumlar için de!er ta yan herhangi bir mal, gerçekle mesi yasal bir hakk n ihlaline yol açabilecek veya hukuki bir sorumluluk do!urabilecek herhangi bir olay, sigortan n konusunu olu turabilir. Bir yang n sigortas n n konusu, ev ya da fabrika olabilir [7]. Demir ve çelik sektöründe fabrikalar için düzenlenen yang n sigortas özel veya ticari amaçla kullan lan her türden bina ve bina kapsam , kendili!inden meydana gelen yang n, y ld r m, infilak ile bunlardan kaynaklanan buhar, hararet, duman gibi tehlikelerin neden oldu!u fiziki hasarlara kar teminat alt na alan sigortad r. Ayr ca, meydana gelmi olan yang n söndürmek, dolay s yla muhtemel hasar azaltmak amac yla, su veya ba ka bir kimyevi madde ile yap lan müdahalelerin sonucunda ortaya ç kan fiziki hasarlar da, bu sigortan n kapsam na dahildir. Yang n sigorta riskinin olu mas nda alevin varl ! zorunlu ise de zarar n muhakkak alev sonucu olu mas art de!ildir. Alevden olu an yang n n meydana getirdi!i yüksek s ve duman ve olay n çevresindeki e yaya verdi!i hasarlar yang n sigorta teminat içindedir. TTK’ n n 1304/1 ve 1305/1inci maddeleri hükmü bu amaçla konulmu tur [8]. Bu çal mada demir-çelik sektöründe kullan labilen risk modelleri, hasar s kl k oran ve büyüklükleri incelenmi ve kollektif risk modeliyle toplam hasar da! l m bulunmu tur. 2. Kolektif risk modeli {X n , n = 1,2,...} risk büyüklüklerini gösteren ard k birbirinden ba! ms z ve ayn da! l ma sahip pozitif rasgele de!i kenleri, N risklerin sabit bir dönem içerindeki say s n gösteren, hasar büyüklü!ünden ba! ms z, pozitif kesikli rastlant de!i keni olmak üzere, risklerin toplam n gösteren kolektif risk modeli S = X 1 + X 2 + ... + X N (1) ile ifade edilir. Bu ba!lamda N, portföyden gelen hasar say s n (hasar s kl ! n ) {X n , n = 1,2,...} birbirini izleyen bireysel hasar miktarlar n (hasar büyüklüklerini), S ise toplam hasar gösteren rastlant de!i kenleridir. S rastlant de!i keni bile ik da! l ma sahiptir. P(x) ba! ms z ve ayn da! l ml pk = E [X k ]. X n ’lerin olas l k da! l m n belirtsin. X rastlant de!i keni ise, Toplam hasar da! l m n n beklenen de!eri ve varyans , E [S ] = E [E [S N ]] = E [ p1 N ] = p1 E [N ] (2) Var ( S ) = E [Var (S N )] + Var (E [S N ]) = E [ NVar ( X ) ] + Var ( p N ) = E [ N ]Var ( X ) + p12Var ( N ) (3) olarak elde edilir. Bu sonuçla, toplam hasar n beklenen de!erinin, hasar say lar n n beklene de!eri beklenen hasar büyüklü!ünün çap m ndan olu tu!u söylenebilmektedir. Toplam hasar n varyans bile enden olu maktad r. Birinci bile ende hasar büyüklüklerinin varyans beklenen hasar say s ikincisi bile ende ise hasar say lar n n varyans hasar büyüklü!ünün ikinci momenti a! rl kland r lmaktad r [1]. ile iki ile ile Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-6 39 N ‘nin da! l m için ilk seçenek Poisson da! l m d r. Poisson da! l m için E[N ] = Var(N ) = d r. N toplam hasar say s olmak üzere toplam hasar miktar S 'nin da! l m Hasar say s "bile ik Poisson da! l m ” olarak adland r l r. Beklenen de!eri ve varyans E ( S ) = p1 (4) Var ( S ) = p 2 (5) biçiminde elde edilir. Toplam hasar say s n n varyans n n, beklenen de!erden büyük oldu!u durumlarda Poisson da! l m yerine negatif binom da! l m n n kullan lmas daha uygundur. N için negatif binom da! l m seçildi!inde, toplam hasar miktar n n da! l m "bile ik negatif binom da! l m " olarak adland r l r. Da! l m n birinci beklenen de!eri ve varyans a a! daki gibidir: E [S ] = Var ( S ) = rq p1 p (6) rq rq 2 2 p2 + 2 p1 p p (7) Uygulamada S 'nin da! l m n n, konvülasyon yöntemiyle say sal olarak hesaplanmas na çal l r ya da S 'nin da! l m do!rudan bile ik poisson veya bile ik negatif binom da! l m al narak S 'nin farkl de!erleri için olas l k de!erleri konvülasyon yard m yla bulunabilir [1][2][4][5]. 3. Uygulama Yang n sigortas yapt ran Hskenderun Demir ve Çelik Anonim %irketinden (HSDEMHR) al nan 2004-2009 y llar aras ndaki yang n verilerine göre hasar s kl klar ve büyüklüklerinin da! l m incelenmi ve kollektif risk modeli kullan larak toplam hasar da! l m n n beklenen de!er ve varyans bulunmu tur. Hasar tarihleri ve ilgili tarihlerdeki hasar büyüklükleri ABD Dolar cinsinden Çizelge 1’de belirtilmektedir. 2004-2009 y llar aras nda hasar s kl klar ve büyüklüklerine ait veriler incelendi!inde 2009 y l na ait hasar s kl ! n n di!er y llara göre daha fazla oldu!u görülmü tür. Kolektif risk modeli varsay m na göre sabit bir dönem içerisinde ortaya ç kan hasarlar ayn da! l ma sahiptir ve hasar say lar her dönem ayn kabul edilmektedir. Bu varsay m n geçerli olup olmad ! n test etmek amac yla sabit dönemler bir y l yerine iki y l olarak kabul edilmi ve böylece üç dönem olu turulmu tur. Hasar s kl lar n n da sabit dönemlerde ayn da! l ma uydu!u varsay lmaktad r. Bu varsay m n test edilemesi için de, dönemlerdeki veri say s n art rmak ve her dönemde de hasar s kl klar n n ayn da! l ma sahip oldu!unu göstermek Çizelge 1. Hasar büyüklükleri: ABD Dolar (ay/y l). 14.880 (02/04) 2.330 (08/04) 5.400 (07/05) 478.146 (02/06) 46200 (04/06) 10.057 (04/07) 24.500 (10/07) 72.979 (12/08) 2.650 (03/09) 4.715 (07/09) 13.095 (09/09) 12.690 (02/04) 9.820 (11/04) 8.850 (10/05) 5.560 (02/06) 33 (07/06) 45.010 (05/07) 505.877 (03/08) 5.186 (01/09) 4.289 (04/09) 300 (07/09) 3.295 (09/09) 14.069 (04/04) 8.528 (02/05) 9.385 (11/05) 11.047 (14/06) 10.793 (07/06) 4.560 (07/07) 14.665 (06/08) 120.919 (02/09) 4.358 (05/09) 15.871 (07/09) 1.925 (09/09) 13.900 (06/04) 6.950 (04/05) 3.513 (11/05) 12.733 (03/06) 3.498 (10/06) 12.342 (08/07) 88.451 (08/08) 192 (02/09) 5.920 (06/09) 15.912 (08/09) 2.898 (10/09) 1.790 (07/04) 7.650 (06/05) 7.530 (12/05) 497 (03/06) 268.261 (10/06) 967 (08/07) 81.895 (11/08) 4.500 (03/09) 800 (06/09) 34.825 (08/09) 2.295 (10/09) Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-6 40 Çizelge 2. Dönemlere göre üç ayl k yang n hasar s kl klar . 1. Dönem Ocak-%ubat-Mart-2004 Nisan-May s-Haziran-2004 Temmuz-A!ustos-Eylül-2004 Ekim -Kas m-Aral k-2004 Ocak-%ubat-Mart-2005 Nisan-May s-Haziran-2005 Temmuz-A!ustos-Eylül-2005 Ekim -Kas m- Aral k-2005 Yang n s kl ) 2 2 2 1 1 2 1 4 2. Dönem Ocak-%ubat-Mart-2006 Nisan-May s-Haziran-2006 Temmuz-A!ustos-Eylül-2006 Ekim -Kas m-Aral k-2006 Ocak-%ubat-Mart-2007 Nisan-May s-Haziran-2007 Temmuz-A!ustos-Eylül-2007 Ekim -Kas m- Aral k-2007 3. Dönem Ocak-%ubat-Mart-2008 Nisan-May s-Haziran-2008 Temmuz-A!ustos-Eylül-2008 Ekim -Kas m-Aral k-2008 Ocak-%ubat-Mart-2009 Nisan-May s-Haziran-2009 Temmuz-A!ustos-Eylül-2009 Ekim -Kas m- Aral k-2009 Yang n s kl ) 2 2 2 2 0 2 2 1 Yang n s kl ) 1 1 1 2 5 4 8 2 için iki y ll k sabit dönemler daha uygun bir çözümleme yöntemi olarak kabul edilmi tir. Bu sebeple hasar s kl klar ve büyüklükleri iki y ll k dönemlerde gerçekle en üçer ayl k yang n hasar olu ma s kl ! na göre incelenmi tir (Çizelge 2). Çizelge 3’ten görülece!i gibi, hasar s kl ! da! l mlar n n Poisson da! l m na uygunluk gösterip göstermedi!i Kolmogorov Smirnov testiyle s nanm ve = 0,05 hata düzeyinde “da! l m n Poisson da! l m na uyum gösterdi!i” hipotezi reddedilememi tir. Hasar s kl ! n n üç dönem için de Poisson da! l m na uydu!u, birinci ve ikinci dönem ortalamalar n n benzer olmas na kar l k üçüncü dönemin ortalamas n n di!er iki dönemdeki seviyenin önemli derecede üstünde gerçekle ti!i gözlenmektedir. Bunun sebebinin, bu dönemdeki hasar bildirimlerinin fazlal ! ndan kaynakland ! söylenebilir. Her üç dönemdeki da! l m ayn kalmas na ra!men son dönemin parametresi farkl l k göstermektedir. %irketteki ayn anlay ve politikan n devam edece!i varsay m ile gelecek dönemlerde de, hasar s kl klar n n üçüncü dönemle ayn parametre de!erine sahip Poisson da! l m gösterece!ini kabul etmek çok hata ta yan bir varsay m olmayacakt r. Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-6 41 Çizelge 3. Dönemlere göre hasar s kl klar n n Poisson da! l m na uyum testi Birinci dönem Poisson parametresi Ortalama= En uç farkl l klar 1,8750 Mutlak ,165 Pozitif ,165 Negatif -,153 Kolmogorov-Smirnov Z testi ,465 Hki yanl s nama testi ,982 kinci dönem Poisson parametresi Ortalama= En uç farkl l klar 1,6250 Mutlak ,267 Pozitif ,223 Negatif -,267 Kolmogorov-Smirnov Z Testi ,755 Hki Yanl S nama Testi ,619 Üçüncü dönem Poisson parametresi Ortalama= En uç farkl l klar 3,0000 Mutlak ,202 Pozitif ,202 Negatif -,113 Kolmogorov-Smirnov Z testi ,571 Hki yanl s nama testi ,900 Verilere ait risk modelini olu turmadan önce her üç dönem için ayr ayr hasar s kl ! ve büyüklüklerinin da! l mlar n bulmak için SPSS ve Easyfit paket programlar ndan yararlan lm t r[9]. Hasar büyüklü!ü da! l m n n belirtilen sürekli da! l mlara uygunluk gösterip göstermedi!i = 0,05 yan lma düzeyinde incelenmi tir (Çizelge 4). Hasar büyüklü!ünün ise üç dönemin herbirinde ters Gaussian, Weibull ve lognormal da! l mlar na uydu!u görülmü tür. Hasar büyüklü!ünün da! l m için bu da! l mlardan hepsinin kullan labile!i sonucu ç kmaktad r. Bu da! l mlardan birisi seçilerek analize devam edilebilir. Bu uygulamada lognormal da! l m seçilmi ve kollektif risk modeliyle toplam hasar da! l m n n beklenen de!er ve varyans n n bulunmas nda kullan lm t r. Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-6 42 Çizelge 4. Dönemlere göre hasar büyüklükleri için incelenen da! l mlar. Da) l mlar p de)eri = 0,05 için karar Birinci dönem Burr 0,00976 Red Üstel 0,12452 Kabul Gamma 0,87427 Kabul Weibull 0,59151 Kabul Pareto 0,03469 Red Ters Gaussian 0,77935 Kabul Lognormal 0.48697 Kabul kinci dönem Burr 0,84302 Kabul Üstel 0,00043 Red Gamma 0,20435 Kabul Weibull 0,72622 Kabul Pareto 0,0148 Red Ters Gaussian 0,12709 Kabul Lognormal 0.81532 Kabul Üçüncü dönem Burr 0,82850 Kabul Üstel 0,00054 Red Gamma 0,00263 Red Weibull 0,52374 Kabul Pareto 0,00616 Red Ters Gaussian 0,12709 Kabul Lognormal 0.64211 Kabul Birinci dönem hasar büyüklü!ü, s ras yla µ = 8,8896 ve = 0,62082 ile, ikinci dönem hasar büyüklü!ü µ = 9,1008 ve = 2,2401 parametreleri ile üçüncü dönem hasar büyüklü!ü ise µ = 8,9739 ve = 1,8554 parametreleri ile lognormal da! l ma sahiptir. Bu parametreler da! l m n beklenen de!er ve varyans n n bulunmas nda a a! daki e itlikler kullan larak bulunmu tur. E[X ] = e µ+ 22 Var ( X ) = (e 2 1)e 2 µ + 2 Bu e itliklere göre hasar büyüklü!ünün dönemlerdeki ortalama ve varyanslar Çizelge 5’ de verilmi tir. Çizelge 5. Dönemlere göre hasar büyüklü!ünün ortalama ve varyans . Hasar büyüklü)ü Ortalama(USD) Varyans(USD) 1. Dönem 8.798,25 36.400.017,72 2. Dönem 110.174,86 1.822.183.451.274,15 3. Dönem 44.141,25 58.970.981.177,01 Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-6 43 Kolektif risk modeli alt nda toplam hasar da! l m n n ortalama ve varyans n n bulunmas için, s kl k da! l m n n Poisson göstermesi durumunda elde edilen (3) ve (4) nolu e itlikler uygulanm ve sonuçlar Çizelge 6 ’da verilmi tir. Çizelge 6. Toplam hasar da! l m n n ortalama ve varyans . Üç dönem için toplam hasar da) l m n n beklenen de)er ve varyans 1. Dönem 2. Dönem 3. Dönem E[S] 16.496,728 179.034,144 132.424,356 V[S] 213.392.453,82 2,98077E+12 1,82758E+11 Sigortalanan taraf olarak ödenecek iki y ll k primi bulmak için; son iki y ll k dönemin toplam hasar n n beklenen de!eri ve varyans esas al narak, mümkün yükleme faktörleri, = 0,10; 0, 20;...; 0, 90; 1, 00 olmak üzere, P = (1 + ) E ( S ) P = E ( S ) + Var ( S ) 1 / 2 e itliklerinden beklenen de!er ve standart sapma prim hesaplama prensiplerine göre mümkün olabilecek üç ayl k prim miktarlar Çizelge 7‘de verilmi tir. Buna göre sigortalanan firma, bu hesap sonuçlar n ve yang n sigortalar n n özelliklerini de göz önüne alarak, sigortac firma ile sözle me tart malar n yürütmesi en ak lc yöntem olacakt r. Bu sonuçlara göre sigortac ya ödenecek üç ayl k sigorta primi 559.926 dolar geçmemelidir. Yang n sigortalar için farkl prim hesaplama prensiplerini esas al nmas halinde hesaplanacak primler toplam hasar da! l m na ba!l olaca! ndan sigortalanan firma bu primleri de kendi aç s ndan hesaplayacak ve sigortac ya kar ak lc pazarl k tar malar n en iyi biçimde yürütebilecektir. Çizelge 7. Üç ayl k prim miktarlar (USD) Yükleme faktörü Beklenen de)er prensibi Standart sapma prensibi 0.1 145.666,00 175.174,00 0.2 158.909,00 217.924,00 0.3 172.151,00 260.675,00 0.4 185.394,00 303.425,00 0.5 198.636,00 346.175,00 0.6 211.878,00 388.925,00 0.7 225.121,00 431.675,00 0.8 238.363,00 474.426,00 0.9 251.606,00 517.176,00 1.0 264.848,00 559.926,00 Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-6 44 6. Sonuç ve öneriler Bu çal mada demir-çelik sektöründeki sigortalanabilen riskler içinde önemli bir k sm olu turan ve meydana gelmesi halinde büyük zaralara sebep olan yang n sigortas teminatlar ve kapsam , risk modelleri, hasar s kl k oran ve büyüklükleri incelenmi ve kollektif risk modeliyle toplam hasar da! l m bulunmu tur. Demir ve çelik sektöründe faaliyet gösteren bir irketten al nan alt y ll k veriler ile yap lan uygulama sonucunda, verilerin iki y ll k dönemlerde üç ayl k hasar s kl ! ve hasar büyüklükleri olarak incelenerek, 2004-2009 y llar aras nda yang n hasar s kl ! n n Poisson, hasar büyüklü!ünün ise lognormal da! l ma uygun oldu!u görülmü ve toplam hasar s kl ! ve büyüklü!ünün beklenen de!eri ve varyans bulunmu tur. Varyans de!erlerine bak ld ! nda çok yüksek oldu!u, bunun da her bir dönem içinde gerçekle en yang n hasarlar n n çok farkl de!erler ta mas ndan ve lognormal da! l m n üstel bir da! l m olmas nda kaynakland ! söylenebilir. Alt y ll k verilerde elde edilen sonuçlara göre iki y ll k hasar s kl ! da! l m n n Poisson, hasar büyüklü!ünün da! l m n n lognormal ç kt ! gözönüne al narak 2010 ve daha sonraki y llar için olmas beklenen hasar s kl ! ve hasar büyüklü!ünün benzer da! l m özelli!i gösterece!i dü ünülmektedir. Hki y ll k de!erler dikkate al narak yang n hasar büyüklüklerine göre prim hesaplanm , bu sayede irketin geçmi dönemlerde ödemi oldu!u sigorta primleriyle farklar n tespit edilebilmesi ve önümüzdeki y llar için ödenecek sigorta primlerini yakla k olarak tahmin edebilmesi sa!lanm t r. Bu çal man n sonuçlar na dayanarak yap labilecek bir öneri de udur: Büyük sigorta primleri ödeyen firmalar n kendi risk modellerini kurmalar ve prim hesaplar n kendilerinin yapmalar gerekmektedir. Aksi durumda firmalar n gereksiz fazla prim ödemeleri ile kar kar ya kalma riskleri her zaman mevcuttur. Bunun yan nda yang n sigortalar için özel prim prensiplerinin geli tirilmesi konusunda çal malar yap lmas önerilebilir [3]. Kaynaklar [1] N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, C. J. Nesbitt, (1997), Actuarial Mathematics, Society of Actuaries, Schaumburg, IL,753p. [2] C. D. Daykin, T. Pentikainen, and M. Pesonen, (1994), Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman & Hall, London, 55, 58, 79-80, 100-103. [3] Ö. C. Gültekin, (2010), Demir ve Çelik Sektöründe Aktüeryal Riskler, Hacettepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, Ankara. [4] R. Kaas, M. J. Goovaerts, J. Dhaene, M. Denuit, (2001), Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer Academic Publishers, Boston, 309p. [5] S. A. Klugman, H. Panjer, and G. E. Willmot, (1998), Loss Models, John Wiley and Sons, New York, 295-297. [6] H. Kubilay, (1999), Uygulamal Özel Sigorta Hukuku, Bar Yay nlar , Hzmir. [7] C. Nomer, H. Yunak, (2000), Sigortan n Genel Prensipleri, Ceyma Matbaac l k, Hstanbul. [8] I. Ula , (2002), Uygulamal Sigorta Hukuku, Ankara. [9] EasyFit-Distribution Fitting Software, www.mathwave.com.