2011-1ascoz
Transkript
2011-1ascoz
1. Aşağıdakilerden hangisi AB ve CD kenarlarının orta dikmeleri AC köşegeni üstündeki bir noktada kesişen he ABCD dışbükey dörtgeni için doğrudur? A) BA AD BC CD B) BD AC D) AD DC AB BC E) Hiçbiri C) AC BD Çözüm : B C x y GE; AB nın orta dikmesi ise AE EB FE;CD nın orta dikmesi ise DE EC G BDE üçgeninde BE ED BD AC BD F x A E y D 2. x 1 65 A)20 Çözüm: polinomunun kaç katsayısı 65’e bölünmez? B)18 C)16 D)3 65 formundaki katsayılardan n=0, n 5’in ve 13’ün katlarını denediğimizde 50, 60, 65 N=0, 13, 26, 39, 52, 65 için 65’e bölünmez. 16 katsayı bölünmez. E)Hiçbiri 5, 10, 15, 25, 30, 35, 40, 1 n 2 9n 20 n 2 7n 12 eşitsizliğini sağlayan kaç n pozitif tam sayısı vardır? 3. A)1 B)2 C)3 D)4 E)Hiçbiri Çözüm: 1 n 4. n 5 n 4. n 3 1 n 4. n 4 1 n 3 n 5 n 3 n 5 n 3 n 5 2 n 3 n 5 2 n 4 n 3 n 5 2 4 n 4 n 3 n 5 2 n 3 n 5 2 n 3 n 5 2 n 3 n 5 n 3 n 5 Elde edilir ki n 5 için A-G-O eşitsizliği gereği bu ifade doğru olmaz. n 1, 2, 3, 4 için eşitsizlik sağlanır. 4. 1, 2,3,..., 20 13 A) 8 Çözüm: kümesinin 8 elemanlı alt kümelerinden kaçı ardışık sayılar içermez? 13 B) 9 14 C) 8 14 D) 9 20 E) 15 Kümede olan ve olmayan elemanları belirtmek için olanlar yerine 1, olmayanlar yerine 0 yazalım. 8 tane 1 kullanmalıyız. a1 , a 2 , a 3 ,..., a 9 1’lerin arasındaki 0’ların sayısını temsil etsin. a110a 210a 310...1a 9 yazılışında 8 tane 1, 7 tane 0 kullanılmıştır. Bu durumda a1 a 2 a 3 ... a 9 5 9 5 1 13 Denkleminin negatif olmayan tam sayı çözümlerinin sayısı= elde edilir. 9-1 8 90o olmak üzere ABC üçgeninin AB kenarını çap alan çember AC kenarını D noktasında, 5. m ABC 2 2 çembere D de teğet olan doğru da BC yi E noktasında kesiyor. EC 2 ise AC AE nedir? A) 18 B) 16 C) 12 D) 10 E) Hiçbiri Çözüm : A Yandaki şekle göre DE BE x 2 olur. D 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AC CB AB AE EB AB x B x ve eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa 2 AC AE CB EB 16 4 12 E 2 C elde edilir. 6. Kaç p asal sayısı için p 4 86 sayısı da asaldır? A)0 Çözüm : B)1 C)2 D)3 E)4 p 4 86 ifadesini 5 modunda inceleyelim. p≠5 için p 4 86 0 mod 5 olduğundan p 4 86 asal olamaz. p=5 için 625-86=539 asaldır. 7. x1 ve x 2 sayıları x 2 5x 7 0 denkleminin farklı gerçel kökleri ise x13 5x12 4x1 x12 x 2 4x 2 nedir? A) 15 Çözüm : B) 175 25 53 C)-50 x1 x 2 5 ve x1.x 2 7 x13 5x12 x12 x 2 4 x1 x 2 x12 x1 x 2 5 20 20 5 0 D)20 E)Hiçbiri 8. Pozitif tam sayılardan oluşan n elemanlı her kümenin toplamları 6 ile bölünen 6 elemanı bulunabiliyorsa, n en az kaç olabilir? A)13 B)12 C)11 D)10 E)9 Çözüm: Sayılarımızı 6 modunda düşünebiliriz. n=10 için olmadığını gösterelim.0, 0, 0, 0, 0,1, 1, 1, 1, 1 bu kümenin elemanlarının 6’lı toplamları 1 ile 5 arasındadır. n=11 için doğruluğunu ispatlayalım. Lemma:5 elemanlı herhangi bir pozitif tam sayı kümesinin öyle 3 elemanı vardır ki toplamları 3’e bölünür. İspat: 3 modunda 3 farklı eleman olabilir. 1 ve 2 çeşit eleman için en az 3 tane birbirine denk eleman vardır. Bu 3 elmanın toplamı 3’e bölünür. 3 modunda 3 çeşit elman varsa her denklik sınıfından birer tanesinin toplamı 3’e bölünür. n=11 olsun. İçlerinden herhangi bir beşli alalım.3 tanesinin toplamı 3’e bölünür. Bunlar a1 , a 2 , a 3 olsun. Kalan 8 tanesinden 5 tanesini alalım. 3 tanesinin toplamı 3’e bölünür. Bunlar da b1 , b 2 , b3 olsun. Son 5 tanesinin de 3 tanesinin toplamı 3’e bölünür. Bunlarsa c1 , c2 , c3 olsun. a1 a 2 a 3 3k b1 b 2 b3 3m c1 c 2 c3 3n olsun. 3k, 3m, 3n’den en az ikisi çift veya en az ikisi tektir. 2 modunda birbirine denk olan iki tanesinin toplamı hem 2’ye hem 3’e bölünebilir. 9. 90o olan bir ABCD dışbükey dörtgeninde D den geçen ve BC ye paralel olan doğru AB m ADC m DAE , AB 3 ve AC 4 ise AE ? doğrusunu E noktasında kesiyor. m DAC A) 5 6 B) 1 3 C) 1 2 D) 1 E) 3 4 Çözüm : Yandaki şekilde CD BA F olsun. ACF üçgeni ikizkenar üçgendir. C AE x EF 4 x olur. Ayrıca D noktası CF nin orta noktası ve DE BC olduğundan D F 4 E x A bulunur. 3 B FE EB yani 4 x 3 x buradan x 1 2 10. 0 x, y, z 2011 olmak üzere, xy+yz+zx 0 mod 2011 koşullarını sağlayan kaç(x, y, z) tam sayı üçlüsü vardır? A)2010 B)2011 C)2012 ve x+y+z 0 mod 2011 D)4021 E)4023 Çözüm: z x y mod 2011 z’yi yerine koyalım. x 2 xy y 2 0 mod 2011 2 4x 2 4xy y 2 3y 2 mod 2011 2x y 3y 2 mod 2011 olur. Eğer bunu sağlayan (x, y) ikilileri varsa lineer denklemde yerine yazarak z’nin tek değeri bulunabilir. Bu denkliğin sağlanması için -3, 2011 modunda kare kalan olmalıdır. p 1 q 1 . pq 2 2 ( 1) q p 3 2011 1005.1 1 2011 3 ( 1) 2011 1 3 2011; 4 modunda 3’tür. -1;2011 modunda kare kalan olamaz. 1 olur. O zaman 2011 1 3 3 3 3 1 olur. 1 olduğundan -3 2011 modunda kare kalandır. 0 a 1005 için 2011 2011 2011 a 2 3 mod 2011 olsun. 2x y 2 a 2 y 2 mod 2011 2 x y ay mod 2011 veya 2 x y ay mod 2011 1’den 2010’a kadar x’e verdiğimiz her değer için 2 denklikten 2 tane y çözümü buluruz. x 0 için her iki denklikte de y 0 olur. Toplam =2010.2+1=4021 11. x 5 x 4 4x 3 7x 2 7x 2 polinomunun farklı gerçel köklerinin toplamı nedir? A)0 Çözüm: B)1 C)2 D)-2 x 2 x 2 2x 1 x 2 x 1 0 İlki -2, ikincisinin toplamı +2, üçüncüde reel kök yok. -2+2=0 E)7 Bir okuldaki 100 öğrenciden her biri aynı okuldaki istediği 50 öğrenciye mesaj yollamıştır. Karşılıklı 12. olarak mesajlaşmış öğrenci çiftlerinin sayısı en az kaç olabilir? A)100 B)75 C)50 D)25 E)Hiçbiri Çözüm: a i ; i numaralı kişiye mesaj gönderen kişi sayısı olsun. *Bir öğrenci 49 kişiye mesaj göndermemiştir. bi i. kişinin karşılıklı mesajlaştığı kişi sayısı a i 49 bi a1 49 b1 a 2 49 b 2 … a100 49 b100 a i 4900 b i Gönderilen mesaj sayısı=Toplam alınan mesaj sayısı a i 100.50 5000 100 bi karşılıklı mesajlaşan kişi sayısı toplamı 2 kişi içinde sayıldığından, yarısı bu çiftlerin sayısını verecektir. 50≤ Karşılıklı mesajlaşan çiftler NOT:Herkesin 50 mesaj atıp kendisine göndermeyen 49 kişiye mesaj gönderdiği durum için çift sayısı 50’ye eşittir. 13. Dar açılı ABC üçgeninin A,B,C köşelerine ait yüksekliklerin ayakları sırasıyla D,E,F dir. DF 3 , FE 4 , DE 5 ise DE ye teğet olan C merkezli çemberin yarıçapı nedir? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 Çözüm : A DH,EH,FH doğruları ABC üçgeninin açı ortaylarıdır. Ayrıca A,B,C noktaları da DEF üçgeninde dış açı ortayların kesim noktalarıdır. C F merkezli DE ye teğet olan çember de bu kenara ait dış teğet çemberidir. 3 B E 4 H 5 D 3.4 6 2 Alan DEF = u a ra 6 5 ra ra Alan DEF = ra 6 C 20112011 2011 2011 14. 2011 A)5 sayısının 19 ile bölümünden kalan nedir? B)4 C)3 20112011 2011 18 Çözüm: 2011 1 mod19 2011 2011 φ 18 6 20116 1 mod18 2011 2011 2011 2011 20112011 2011 2011 2011 1 mod 2 ve 2011 2011 2011 D)2 ? mod18 ? mod 6 2011 1 mod 3 2011 2011 1 mod 6 20111 mod18 13 mod18 mod19 3 11. 3 mod19 5 mod19 13 201113 mod19 3 4 3 . 3 mod19 5 . 3 mod19 3 E)1 15. Aşağıdaki(a, b) ikililerinin hangisi için x+2y<a ve xy>b eşitsizliklerini sağlayan hiçbir (x, y) pozitif gerçel sayı ikilisi yoktur? 15 4 A) , 7 7 18 1 B) , 11 3 5 1 C) , 7 6 6 1 D) , 7 11 E)Hiçbiri Çözüm: 2 2xy x 2y a , xy b 8xy a 2 8b 8xy a 2 8b a 2 olmalıdır.A,B,C ve D şıklarında bu şart sağlanmaktadır. 16. Ağırlıkları herhangi pozitif tam sayı olan 2011 taş, biri diğerinin 2 katı ağırlıkta 2 taş içermeyen n bölgeye ayrılabiliyorsa n en az kaç olabilir? A)102 Çözüm: B)51 C)12 D)11 E)Hiçbiri Ağırlıkları küçükten büyüğe dizelim. a1 , a 2 , a 3 ,,, a 2011 Ağırlıkları aynı olan taşları aynı bölgeye koyabiliriz. b1 b2 b3 ... b k k tane farklı ağırlıktaki taş grupları olsun. Bir taşın 2 katı ağırlığındaki taş o taştan büyüktür. Önce en küçükten başlayarak taşları öbeklere koymaya başlayalım. Aynı ağırlıktaki taşlar aynı öbekte olacağından ve sırası gelen taşın yarısı ağırlığındaki taş sadece 1 öbekte bulunabileceğinden; 2 öbek olduğunda her taş için bu 2 öbekten birine koyabiliriz. 17. ABC eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir D noktası için AD 2 , BD 3 ve CD 5 ise m ADB nedir? A) 120o B) 105o C) 100o D) 95o E) 90o Çözüm : ABD ACD' A 2 üçgeni eşkenar üçgen olur. DD' 2 CDD’ üçgeninde kosinüs D' 60 teoremi yazarsak: x 2 2 5 2 9 2. 2.3.cos x cos x 3 D 3 B olacak şekilde yandaki çizimi yapalım. ADD’ x 45o 5 60o 45o 105o m ADB C 1 2 18. Kaç pozitif tam sayı n n 2 1 n 2 3 n 2 5 ifadesini n nin tüm pozitif tam sayı değerleri için böler? A)16 Çözüm: B)12 C)8 D)4 P(n)= n n 2 1 n 2 3 n 2 5 = n 1 n n 1 n 2 3 n 2 5 n=2 için P(2)=2.3.9.7 n=3 için P(3)=3.8.9.14 (P(3),P(2))=2.9.7 olur. 2 n( n 1) 2 P ( n ) 3 n( n 1)( n 1) 9 P( n) 3 ( n 2 3)(n 2 5) 7 n( n 2 1)(n 2 3)( n 2 5) 7 P (n ) 2.32.7 P (n ) (1 1)(2 1)(1 1) 12 E)Hiçbiri 19. Aşağıdaki eşitsizliklerin hangisinin xy düzleminde tanımladığı bölge ile kesişimi tam olarak iki noktadan oluşan bir doğru bulunur? A) x 2 y 2 1 B) x y x y 1 3 3 C) x y 1 1 D) x y 1 Çözüm : A) D) B) E) C) 1 E) x 2 y 2 1 20. 100 öğrencinin girdiği bir sınavda 5 soru sorulmuş ve her soruyu tam olarak 50 öğrenci çözmüştür. Çözdüğü soru sayısı 2’yi aşmayan öğrencilerin sayısı en az kaç olabilir? A)21 Çözüm: B)18 C)17 D)16 E)Hiçbiri Toplam çözülen soru sayısı=250 2’den fazla çözenlerin sayısı k olsun. 100-k 2’yi aşmayan sayıda soru çözenlerdir. 2’den fazla soru çözenler en az 3 soru çözmüştür. 3k≤250 k≤250\3 50\3≤ 100-k 17≤ 2’yi aşmayan sayıda soru çözenler NOT: 83.3+1=250 83 kişinin 3’er, 1 kişinin 1 soru, 16 kişinin 0 soru çözdüğü duruma örnektir. 21. 11o ve Bir ABCD eşkenar dörtgeninin iç bölgesinde yer alan bir E noktası AE EB , m EAB 71o koşullarını sağlıyorsa m DCE kaçtır? m EBC A) 72o B) 71o C) 70o D) 69o E) 68o Çözüm : D ABE üçgenine eş olacak şekilde BCE’ üçgenini çizelim. Yandaki gibi C açılar yerleştirilince BEE’ üçgeni eşkenar üçgen olur. 11 142o m CEE' m ECE' 19o m CE'E E' A 11 11 60 60 11 30o ve m DCB 98o olduğundan m DCE 68o olur. m ECB 60 E B 22. f(0)=0, f(1)=1 ve her n≥1 için, f(3n-1)=f(n)-1, f(3n)=f(n), f(3n+1)=f(n)+1 ise, f(2011) nedir? A) 7 B) 5 C) 3 Çözüm: f(2011)=f(670)+1 f(670)=f(223)+1 f(223)=f(74)+1 f(74)=f(25)-1 f(25)=f(8)+1 f(8)=f(3)-1 f(3)=f(1) ise f(2011)=3 tür. D) 1 E) 0 23. xy düzlemindeki tam sayı koordinatlı noktalardan koordinatları çarpımı 6 ile bölünenler kırmızıya, bölünmeyenler ise beyaza boyanıyor. Kenarları koordinat eksenlerine paralel çok büyük bir karenin içinde kalan tam sayı koordinatlı noktalardan beyaz olanların sayısının kırmıza olanların sayısına oranı aşağıdakilerden hangisine en yakındır? A) 7 5 B) 3 2 C) 2 D) 4 3 E) 5 4 Çözüm: Koordinat düzleminde 1. bölgede k kenarlı bir karenin tam sayı koordinatlı noktalarını inceleyelim. Bu çok büyük karenin içindeki tabanı 6 br. lik bir parçaya baktığımızda; x=6a+1 için k/6 x=6a+2 için k/3 x=6a+3 için k/2 x=6a+4 için k/3 x=6a+5 için k/6 x=6a+6 için k tane nokta şartı sağlar ve kırmızıdır. Bu şekilde seçtiğimiz 6k noktanın 5k/2 tanesi şartı sağlar. 7k/2 tanesi sağlamaz. Noktaları 6’lı, 6’lı gruplandırdığımızda oranları değişmez. 7k B 7 2 5k K 5 2 24. r1 , r2 ,..., rn renklerinde sırasıyla, a1 , a 2 ,..., a n topun bulunduğu bir torbadan , her seferinde çekilen top torbaya geri konmak koşuluyla, birer birer rasgele n top çekildiğinde bu toplardan en az ikisinin aynı renkte olma olasılığını p a1 , a 2 ,..., a n ile gösterirsek aşağıdakilerden hangisi en küçüktür? A) p(2, 2, 2, 1) Çözüm: B) p(1, 1, 1, 1) C) p(2, 2, 3) D) p(2, 2, 1) Hepsinin farklı renkte olma olasılığı en büyük olan şıkkı arayalım. p 2, 2, 2,1 4! p 1,1,1,1 4! p 2, 2,3 3! p 2, 2,1 3! p 1,1,1 3! 2 2 2 1 192 7 7 7 7 2401 1 1 1 1 24 4 4 4 4 256 2 2 3 72 7 7 7 343 2 2 1 24 5 5 5 125 111 6 3 3 3 27 E) p(1, 1, 1) 25. ABCDE düzgün dışbükey beşgeninin alanının kenarları AC,CE,EB,BD,DA doğruları üstünde yer alan düzgün dışbükey beşgenin alanına oranı nedir? A) 41 6 35 5 2 B) C) 4 5 D) 73 5 2 E) Hiçbiri Çözüm : KLMNP beşgeninin kenar uzunluğuna 1 br diyerek başlayalım. A Açılar yerleştirilirse AEP üçgeni ve EPK üçgeni benzer olur. 36 x+1 E 36 36 L K x x x x 1 x2 x 1 x2 x 1 0 x 1 x B 72 1 72 x1,2 1 1 2 4.1. 1 2 1 5 ve x uzunluk olduğundan 2 M P x N 1 5 3 5 AE Beşgenlerin alanları oranı benzerlik 2 2 oranının karesi olduğundan: D C 2 3 5 14 6 5 7 3 5 4 2 2 26. 0 a 22008 ve 0 b 8 tam sayıları 7 a 22008 b 1 mod 22011 denkliğini sağlıyorsa, b nedir? A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) Hiçbiri Çözüm: 7 a 22008 b 1 mod 22011 7a 2 2008 b 1 mod 22011 0 7a 22011 0 2 2008 b 1 22011 7a 22008 b 1 22008 b 1 mod 7 2b 1 mod 7 b 3 mod 7 0 b 8 b 3 27. a n n 1 gerçel sayı dizisi a1 1, a 3 4 ve n 2 için a n 1 a n 1 2.a n 1 koşulunu sağlıyorsa, A) 22010 B)2021056 C)1010528 D)3016 Çözüm: b n a n 1 a n olsun. b n b n 1 1 olur. a 2 2 olmak üzere b1 a 2 a1 1 b 2 b1 1 b3 b1 2 ... b n b1 n 1 n a n a n 1 n 1 a a n 2 n 1 n 2 ... a 2 a1 1 Eşitliklerinin taraf tarafa toplanmasıyla a n a1 n n 1 n n 1 1 a 2011 1 1005.2011 2021056 2 2 E)2011 a 2011 nedir? 28. 1, 2,...,4022 sayıları 2x2011 bir satranç tahtasının birim karelerine, iki sayı aynı birim karede olmamak ve ardışık olan sayılar ortak bir kenarı olan birim karelerde yer almak koşuluyla kaç farklı biçimde yerleştirilebilir? A)161168444 Çözüm: B)12168440 C)10088242 D)8084224 E)Hiçbiri Her sayı bir karıncanın dikdörtgen üzerinde yapacağı hamleleri göstersin. Karınca kenarları ortak olan kareler arasında bir kareye bir kere basmak koşuluyla yürüsün. Karıncanın nx2’lik tahtanın bir köşesinden başlayarak o tahtayı dolaşma şekillerinin sayısına a n diyelim. Sol üst köşeden başlayıp sağa doğru hareket ederse 2 hamle yapabilir. Yana hamle yaparsa sonuna gelmeden diğer satıra geçerse böldüğü dikdörtgenin bir tarafını dolaşamaz. Sağa doğru gidip alta geçerse ikiye ayrılan yolun bir tarafını gidemez. Sonuna gelince diğer satıra geçip o yolu bitirmek zorundadır. (1 farklı şekilde). Diğer satıra ilk hamlede geçerse bu sefer n 1 x2 ’lik bir dikdörtgeni dolanmış olur ( an 1 farklı şekilde). a2 2 an n 2x2011’lik tahtada i. sütundan giriş yapsın.Yukarı çıkmaz. Herhangi bir yanı seçip o tarafı bitirip kalan dikdörtgeni bitirmelidir. 2011 2011 T 2. ai 1 a2011i 2. 2010 2.2010.2011 8084220 4 8084224 i 1 i 1 29. ABC üçgeninin B ve C köşelerinden geçen bir çember AB kenarını D, AC kenarını da E noktasında kesiyor. ACD üçgeninin çevrel çemberi BE doğrusunu BE dışındaki F noktasında kesiyor. AD 4 ve BD 8 ise , AF nedir? A) B) 2 6 3 C) 4 6 D) 6 E) Hiçbiri Çözüm : DBCE ve DCFA kirişler dörtgenlerinde A F 4 D olur. E AF 12 AF 4 3 olur. 4 AF 8 C B m DEB m CED m AFD olduğu için BFA ve FDA üçgenleri benzer 30. m’nin hangi değeri için, 3 x 2 10 xy 8 y 2 m19 eşitliğini sağlayan hiçbir (x, y) tam sayı ikilisi yoktur? A)7 Çözüm: B)6 C)5 D)4 (3 x 2 y )( x 4 y ) m19 m=4 icin (3x+2y)(x-4y)=238 3 x 2 y 2a x 4 y 238 a 14 y 2 a 3.238 a (mod 7) 7 modunda 2k nın kalanlarını inceleyelim. 2 0 1(mod 7) 21 2(mod 7) 2 2 4(mod 7) 23 1(mod 7) m=4 için çözüm yoktur. E)3 31. i 2 j 2 k 2 2011 koşulunu sağlayan i, j, k tam sayıları için i+j+k ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir? A)71 Çözüm: B)73 i j k 2 C)74 D)76 i 2 j 2 k 2 .3 6033 ise i j k 77 i=29, j=27, k=21 için i²+j²+k²=2011 eder. E)77 32. Başlangıçta bir öbekte n taş bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yapıyorlar ve her hamlede sırası gelen oyuncu istediği bir i 0 sayısı için, öbekteki taşlardan 2i tanesini alıyor. Son taşı alan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyun n=1000, 2000, 2011, 3000, 4000 değerlerinin her biri için birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını oyunu başlayan oyuncu kazanmayı garantileyebilir? A)4 B)3 C)2 D)1 E)Hiçbiri Çözüm: Altı çizili olanlar 1. oyuncunun, olmayanlar 2. oyuncunun kazandığı durumlar olsun. n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 olduğu görülür. Teorem: Oyunu n 3’e bölünüyorsa 2. oyuncu, bölünmüyorsa 1. oyuncu kazanır. Güçlü tümevarımla ispatlamaya çalışalım. İspat: n’e kadar tüm 3’ün katları 2. oyuncu 3’e bölünmeyenleri 1.oyuncu kazansın. n=3k+1 için 1. oyuncu 1 taş alır. n=3k+2 için 1. oyuncu 2 taş alsın. 2. oyuncu n=3k oyununun 1. oyuncusu olur. 3k<n olduğu için n=3k oyununu o oyunun birinci oyuncusu kaybeder. Yani n=3k+1 veya n=3k+2 oyununun 2. oyuncusu kaybeder. n=3m için 1. oyuncu n’den daha küçük bir sayıda taş bırakacaktır. Eğer 3’ün katı sayıda taş bırakamazsa oyunu kaybeder. 3m 2i 3s olması gerekir. 3 m s 2i 3 2i olmalıdır. Çelişki. Demek ki 3’ün katı olursa 2. oyuncu kazanır. 33. Bir birim küreye içten ve köşeleri bu küre üzerinde yer alan düzgün dörtyüzlünün bir yüzüne de dıştan teğet olan bir kürenin hacmi en çok ne olabilir? yarıçapı sorulmak istenmiş A) 1 3 B) 1 4 C) 1 1 1 2 3 D) 1 2 2 1 2 3 E) Hiçbiri Çözüm : M merkezli küre aranan küre olsun. H noktası bu kürenin dörtyüzlünün D bir yüzüne değme noktası ise O, büyük kürenin merkezi olmak üzere OH BCD olduğunda M merkezli kürenin yarı çapı en büyük olur. Bu durumda da A,O,H,M noktaları doğrusal olur. O noktasını A,B,C ve D noktalarıyla birleştirelim. M V O,BCD O H A C 1 Alan BCD . OH 3 V A,BCD V O,BCD V O, ACD V O,ABC V O, ABD 1 V A,BCD 4.V O,BCD 4. Alan BCD . OH 3 B V A,BCD 1 Alan BCD . AH 3 1 ve 2 nolu eşitliklerden AH 4 OH ve AO 1 OH 1 3 1 2 3 1 ve HM 1 3 ………..1 ………..2 34. n pozitif bir tam sayı olmak üzere, 2n sayısının on tabanına göre yazılımında sağdan en çok kaç basamakta aynı rakam yer alabilir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Hiçbiri Çözüm: 2n 10k .a b.111...1 olsun. k tane 1 b 9 çünkü: b=0 olursa 2n , 5 ile bölünür. Çelişki. b rakam olduğu için en fazla 23 ile tam bölünebilir. b=8 olsun. n 3 k 3 k 2n 10k .a 8.111...1 2 2 .5 .a 111...1 olur.Bu eşitliğin sağlanabilmesi için k tane k tane 2k 3.5k .a 111...1 ifadesinin çift olması gerekir. k=3 olur. k tane 2n 103.a 888 olur. 2n 888 mod1000 2n3 111 mod125 Elde edilir ki n 39 için bu denklik sağlanır. 239 549755813888 35. Aşağıdaki fonksiyonlar arasında pozitif gerçel sayılar kümesinde aldığı en büyük değer en küçük olan hangisidir? A) x2 1 x12 B) x3 1 x11 Çözüm: Paydalara C) x4 1 x10 D) x5 1 x9 E) 1 1 uygulanırsa G.O. A.O. 6 5 x2 x2 x2 5 5 12 1 1 1 1 1 12 1 x 6 1 x 6 x2 6 5 5 5 5 5 5 11 8 3 x3 x3 8 .3 11 11 11 11 x x x 1 1 1 1 x 11 ... 3 3 3 8 8 8 5 2 3 x4 x4 2 .3 10 10 10 x x 1 1 1 1 x 5 2 2 3 3 3 9 5 4 x5 x5 5 .4 en küçük 9 9 9 9 x x x 1 1 1 1 1 x 9 ... 5 5 5 4 4 4 4 8 6 2 x6 x6 6 .2 8 8 8 8 x x x 1 1 1 x 8 ... 6 6 6 2 2 x6 1 x8 36. Boyları birbirinden farklı 14 öğrenci başlangıçta nasıl sıralanmış olurlarsa olsunlar, her adımda yan yana duran iki öğrencinin yerini değiştirerek en az kaç adımda öğrencileri boy sırasına sokmak mümkün olur? A) 42 B) 43 C) 45 D) 52 E) Hiçbiri Çözüm: X- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Y- 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 2 3 1 Boy sırası 2 şekilde olabilir.Elemanlarımızın bulundukları yerler x sıralamasına göre a1 , a2 ,..., a14 olsun. Her elemanın kendi yerine geçebilmesi için yapması gereken hamle sayısı (yol farklı) x’e göre dizileceklerse i ai , y’e göre dizileceklerse 14 i ai Toplam yol farkı x’e göre Tx , y’ye göre Ty olsun. Tx 1 a1 2 a2 ... 14 a14 Ty 14 a1 13 a2 ... 1 a14 Her iki durumda da iki kişinin yerini 1 sıra değiştireceğimizden yol farkı her hamlede 2 olur. i. Tx ve Ty ikisi de çifttir. İspat: Mutlak değerler açılınca x x mod 2 olduğundan bütün terimlerin işareti artıymış gibi düşünebiliriz. Tx Ty 2 1 2 ... 14 a1 a2 ... a14 0 mod 2 ii. Tx Ty 182 İspat: i ai 15 i ai 13 (farklı şekillerde yapılabilir.) i ai 15 i olsun. (i ve 15-i simetrik olduğundan i 15 i kabul edebiliriz.) i ai 15 i ai 15 2i 13 ai i 15 i olsun. i ai 15 i ai 15 2i 13 i 15 i ai ise i ai 15 i ai 2ai 15 13, ai 14 Tx Ty 1 a1 14 a1 2 a2 13 a2 ... 14 a14 1 a14 13.14 182 Tx ve Ty çift olduklarından en az biri 90 dan küçük veya eşittir. Tx 90 Tx 45 hamlede herkes boy sırasına geçebilir. 2 ÇÖZÜMLER İZMİR FEN LİSESİ MATEMATİK OLİMPİYAT TAKIMINA AİTTİR.