proses (süreç) kontrolü - TOK2013
Transkript
proses (süreç) kontrolü - TOK2013
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya PROSES (SÜREÇ) KONTROLÜ 868 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya U-Tüp Buhar Jeneratörü Seviye Kontrolü İçin Gözleyici-Temelli Kontrolör Tasarımı Günyaz Ablay Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Abdullah Gül Üniversitesi, Kayseri gunyaz.ablay@agu.edu.tr avantajı, indirgenmiş-mertebeli sistem modeli ve minimum sayıda parametre kullanılarak ve de buhar jeneratörünün sahip olduğu pratik kısıtlamalar göz önünde bulundurularak, arzulanan kararlılık, sistem yanıtı ve dayanıklılık karakteristiklerini sağlamasıdır. Bu çalışma aşağıdaki gibi planlanmıştır. Buhar jeneratörü ve problem formülasyonu Bölüm 2’de tanımlanmıştır. Bölüm 3 önerilen gözleyici-temelli kontrol yaklaşımını sunmaktadır. Bölüm 4’te nümerik sonuçlar verilmiştir ve Bölüm 5’te bu çalışmadan çıkarılabilecek sonuçlar özetlenmiştir. Özetçe Nükleer güç santrallerindeki buhar jeneratörü seviye kontrol sistemi sıklıkla başlangıç ve düşük güç seviyelerinde yetersiz kalmaktadır. Bu problemin çözümü için, basit, dayanıklı ve gözleyici-temelli bir kontrolör tasarlandı. Önerilen kontrol yöntemi yalnızca indirgenmiş-mertebeli sistem modelinden faydalanmakta ve nükleer reaktörün bütün güç aralığında kararlılık, iyi performans ve dayanıklılığı garanti etmektedir. Önerilen gözleyici-temelli kontrol dizaynının nümerik sonuçları sistemdeki parametre belirsizliklerine rağmen oldukça yüksek seviyeli kontrol performansı elde edilebileceğini gösteriyor. 2. Buhar Jeneratörü ve Problem Formülasyonu U-tüp buhar jeneratörleri, çoğu nükleer elektrik santrallerinin, örneğin basınçlı-su reaktörleri ve ağır-su reaktörleri gibi, temel bir bileşenidir. Nükleer reaktörde üretilen ısı enerjisi buhar jeneratörleri tarafından buhar enerjisine dönüştürülerek buhar türbinleri tahrik edilmekte ve elektrik üretilmektedir. Buhar jeneratörünün su seviyesi, sistemi istenmeyen zararlardan korumak amacıyla belirlenen üst ve alt limitler içerisinde kontrol sistemi tarafından tutulmalıdır. Nükleer reaktörlerin geniş çalışma aralığı, değişken buhar veya güç talebi ve suyun buhar jeneratöründe iki-fazlı olması nedeniyle, su seviyesinin kontrolü oldukça zordur. 1. Giriş Gittikçe artan enerji talebi, büyük çaplı elektrik enerjisi üretiminde nükleer santralleri önemli bir kaynak haline getirmektedir. Zamanla-değişen güç talepleri karşısında, santralin etkin çalışma zamanını, güvenirliğini ve güvenliğini garanti etmek için nükleer santralin en önemli bileşenlerinden biri olan U-tüp buhar jeneratörünün su seviye kontrolünün daha etkin ve dayanıklı kontrol metotlarıyla denetlenmesi gereklidir. Buhar jeneratörü oldukça karmaşık, parametreleri zamanla-değişen ve nonlineer bir sistemdir. Reaktörün geçici olarak kapanmasının nedenlerini araştıran pek çok çalışma, buhar jeneratörü su seviye kontrol sistemindeki yetersizliğin bu durumun en önemli sebebi (% 25 civarında) olduğunu göstermektedir [1]–[3]. Bu nedenle, literatürde buhar jeneratörü için geliştirilmiş pek çok klasik ve modern kontrol metotları görülmektedir. Bu kontrol yaklaşımları çoğunlukla PID kontrolöründen [4]–[9] oluşmakla beraber, adaptif kontrol [3], H∞ kontrol [10], L2 kontrol [11], model tahmin-edici kontrol [12]–[14], lineer kuadratik kontrol [15], bulanık mantık temelli kontrol [16] ve kayan kipli kontrol [17]–[19] metotlarını da içerlemektedir. Literatürdeki bu kontrol tasarımları belli bir seviyede iyi performans sağlamasına rağmen ya lokal çalışma bölgeleri için (özellikle düşük güç çalışma bölgesi) ya da parça-parça lineer bölgeler için kontrolör tasarımı verilmiştir. Fakat kontrol tasarımlarında kullanılan akışkan ölçümleri pratikte sorunludur ve parçaparça lineer bölgeler için tasarlanan kontrolörler uygulama zorluklarından dolayı pek pratik değildir. Bu çalışmanın amacı, tek bir dayanıklı kontrol tasarımıyla buhar jeneratörü su seviyesi denetimini, nükleer reaktörün bütün çalışma aralığında ve yüksek bir kontrol performansla başarmaktır. Tasarlanan gözleyici-temelli kontrolün temel 2.1. Buhar Jeneratörünün Matematiksel Modeli Kontrol sistemi tasarımında ve simülasyonlarda yaygın olarak kullanılan buhar jeneratörü modeli s-bölgesinde aşağıdaki gibi verilebilir [3] Y ( s ) = Y1 ( s ) + Y2 ( s ) + Y3 ( s ) Y1 ( s ) = K1 s Y2 ( s ) = − Y3 ( s ) = (1) (u − q ) K2 1 + τ 2s (2) (u − K 4 q ) (3) K3 s + 2τ 1 s + τ 1 + 4π T 2 −1 −2 2 −2 u (4) burada sistem çıkışı olarak su seviyesi 𝑌 (mm cinsinden) ile, kontrol girişi olarak besleme suyu 𝑢 (kg/s cinsinden), ve buhar akışı 𝑞 (kg/s cinsinden) olarak verilmiştir. Sistem parametreleri 𝜏! (𝑝) , 𝜏! (𝑝) sönüm sabiteleri, 𝑇(𝑝) mekanik salınım periyodu, ve 𝐾! , 𝐾! (𝑝) ve 𝐾! (𝑝) ise genlik 869 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya parametreleridir. Burada 𝑝 (% cinsinden) reaktörün gücünü temsil etmektedir ve bütün sistem parametreleri (𝐾! hariç) gücün birer fonksiyonudur. Deneysel olarak elde edilmiş sistem parametreleri Tablo 1’de verilmiştir [3]. akışı ölçümlerinden faydalanarak su seviyesini kontrol etmektedir. uHP = k ph ( ( y − r ) + Ah (u q−) ) Tablo 1: Buhar jeneratörü parametre değerleri. Güç Deneysel Parametreler Düzeyi K1 K2 K3 K 4 T τ1 τ2 (s) (s) (s) (%p) (mm/kg) (mm-s/kg) (mm/kg) %5 %15 %30 %50 %100 0.058 0.058 0.058 0.058 0.058 9.63 4.46 1.83 1.05 0.47 0.181 0.226 0.310 0.215 0.105 1.60 1.90 2.25 2.80 4.82 119.6 41.9 48.4 60.5 26.3 21.5 17.7 43.4 4.5 14.2 34.8 3.6 11.7 28.6 3.4 Geleneksel kontrol sistemi iyi bir kontrol yaklaşımı olmasına rağmen, başlangıçta ve düşük güçlerde yeteri kadar güvenilir değildir ve sistemi kararsızlaştırabilmektedir [1]–[4]. Bu durum operatörlerin sıklıkla su seviyesini manuel yollarla kontrol etmesine ve düşük performansa neden açmaktadır. q (kg/s) 57.4 180.8 381.8 660.0 1434.7 3. Gözleyici-Temelli Pratik Bir Kontrolör Buhar jeneratörü için Bölüm 2.1’de verilen matematiksel model, mekanik salınım etkisinin ihmal edilmesiyle, durumuzay formunda aşağıdaki model ile tanımlanabilir, Denklem (2) su seviyesinin buhar jeneratöründeki hacimsel dengesinden elde edilmiştir ve sürekli-hal su seviyesini tanımlar. Denklem (3) buhar jeneratöründeki suyun genleşme– büzülme etkisini temsil etmektedir. Bu etki sistem üzerinde negatif termodinamik etkiye sahiptir, yani buhar talebi arttığında iki-fazlı akışkandaki köpüklerin genleşmesi sonucu su seviyesi azalmak yerine artmaktadır ve bunun tersi de doğrudur. Bu durum özellikle düşük güçteki çalışma şartlarında kontrol sisteminin yanılmasına neden olmaktadır. Denklem (4) ise mekanik salınım etkisini modellemektedir. Buhar jeneratörüne gelen besleme suyu, su seviyesinde sönümlü salınımlara neden olmaktadır. Mekanik salınımın genellikle sistem üzerine etkisi küçüktür ve bundan dolayı, kontrol tasarımında ihmal edilebilir [20]. " x = K u − q 1 $ 1 $ 1 K ( p) x2 − 2 u − K 4 ( p)q # x2 = − τ 2 ( p) τ 2 ( p) $ $ y = x1 + x2 % ( Seviye Sensörü Güç Sensörü Reaktör Buhar Jeneratörü Basınç Denetleyici e1 = r − x1 (7) (8) Denklem (8)’de verilen referans takip hatasını sıfıra götürmek ve yüksek kontrol performansı elde etmek amacıyla, bu çalışmada denklem (9)’daki kontrolör önerilmektedir Türbin ( !k e +k e $ *u(x, ξ ) = U max sat # 0 0 1 1 & " U max % * *e1 = r − x1 + ξ ) *e0 = e1 * *ξ = − 1 ξ + 1 u − q + τ τ Yoğuşturucu Besleme Valfleri ( Şekil 1: Buhar jeneratörü su seviyesi kontrol mekanizması. (9) ) burada 𝑘! ve 𝑘! geribeslemeli kontrol kazançlarıdır, 𝑈!"# maksimum kontrol sinyalidir, 𝜉 ileribeslemeli kontrol sinyalidir ve 𝜏 da ileribeslemeli kontrol parametresidir. Buhar akışı ile besleme suyu arasındaki fark kontrol sistemi tarafından dikkate alınarak su seviyesi kontrol performansının artırılması hedeflenmektedir. Denklem (9)’daki sat(∙) fonksiyonu aşağıda tanımlanan doyum (veya saturasyon) fonksiyonudur. Nükleer reaktörün gücü %2’den düşükse, su seviyesi manuel yöntemle kontrol edilmektedir. Nükleer reaktörün gücü %2’den yukarı ise, iki seviyeli otomatik kontrol sistemi devreye girmektedir. Düşük güçlerde (%15’ten aşağı), PI kontrolör (tek-elemanlı kontrol) su seviyesi ölçümünü kullanarak besleme suyu için kontrol sinyali üretmektedir. u = k pl (r − y ) + kil ∫ (r− y )dt ) burada su kütlesinin hacimsel dengesi 𝑥! (mm cinsinden) ile ve suyun genleşme–büzülme etkisi 𝑥! (mm cinsinden) ile gösterilmiştir. Su kütlesinin hacimsel dengesi 𝑥! sistemin sürekli-hal su seviyesini belirlediğinden, bu durum değişkeni kontrol sisteminin tasarlanmasında referans su seviyesi 𝑟’yi takip etme probleminde kullanılabilir, yani Geleneksel kontrol yöntemi PI kontrol sistemlerinden oluşmaktadır [9], [21]–[23] ve Şekil 1’de resimlenmektedir. Su Seviyesi Kontrolörü ) ( 2.2. Geleneksel Su Seviyesi Kontrol Sistemi Akış Sensörleri (6) + kih ∫ ( ( y − r ) + Ah (u q−) ) dt (5) ⎧ 1 ⎪ sat(γ / U max ) = ⎨γ / U max ⎪ −1 ⎩ Yüksek güçlerde (%15 ile %100 arası) ise, PI kontrolör (üçelemanlı kontrol) su seviyesi, buhar akışı ve besleme suyu 870 , γ / U max > 1 , γ / U max ≤ 1 , γ / U max < 1 (10) − Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Denklem (15)’te, eğer gözleyici kazancı 𝛿 yeterince büyük burada 𝛾 𝑒 = 𝑘! 𝑒! + 𝑘! 𝑒! . Denklem (9)’daki maksimum kontrol sinyalinin, 𝑈!"# , yeterince büyük olduğu varsayılırsa, kontrol sinyali 𝑢 = 𝛾 𝑒 ’ye indirger. Böylece, kapalı çevrimli sistem, denklem (7) ve (9) kullanılarak şu şekilde yazılabilir ( ) x = A − BK x ! !) + !! (!!!) , 𝑉(𝑒) ’nin seçilirse, yani 𝛿 > −!!!! + !!!! − !! (!!! !! !! türevi negatif tanımlı olur 𝑉 𝑒 < 0. Bu nedenle nonlineer gözleyicinin kazancı 𝛿 yeterince büyük seçilerek gözleyici hatasının sıfıra gitmesi sağlanır. Buradaki kararlılık analizinde, indirgenmiş-mertebeli model yerine özgün sistem modelinin kullanılması sonucu etkilemeyecektir, çünkü gözleyici kazancının değeri istenildiği kadar büyük seçilebilir. Nonlineer gözleyici (13)’ün tahmin ettiği durum değişkeni 𝑥! online olarak kullanılabilir olduğundan, önerilen kontrolör (9) pratik olarak uygulanabilir. Bu çalışmada önerilen buhar jeneratörü su seviyesi kontrol sistemi Şekil 2’de gösterilmiştir. (11) burada ⎡0 0 ⎡ x1 ⎤ ⎢ x = ⎢ x2 ⎥ , A = ⎢0 − τ1 ⎢ ⎥ ⎢⎣1 0 ⎢⎣ e0 ⎥⎦ 0⎤ ⎡ K1 ⎥ ⎢ K 0⎥ , B = ⎢− τ ⎢⎣ 0 0 ⎥⎦ 2 2 2 ⎤ ⎡ k1 ⎤ ⎥ T ⎢ ⎥ ⎥,K = ⎢ 0 ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ k0 ⎥⎦ Kontroledilebilirlik matrisi (𝐴, 𝐵)’nin kontroledilebilir olduğu açıktır. Yani kontrol kazançları 𝐾 = [𝑘! 0 𝑘! ] uygun ş ekilde tasarlanarak 𝐴 − 𝐵𝐾’nin Hurwitz olması sağlanabilir, ya da kapalı çevrimli sistemin özdeğeleri 𝜉 𝑥!! 1 K1 k1 ± − 2 2 2 2 K1 k1 4 K1 k 0 (12) " x̂ = K u − q + δ sat(e) 1 $ 1 $ ̂ 1 K̂ # x2 = − x̂2 − 2 u − q τˆ2 τˆ2 $ $ ŷ = x̂1 + x̂2 % Buhar Jeneratörü Önerilen gözleyici-temelli kontrolün performansı MATLAB ortamında nümerik sonuçlar elde edilerek değerlendirilmiştir. Kontrol parametreleri 𝑘! = 0.3 , 𝑘! = 0.0034 , 𝜏 = 200 ve 𝛿 = 2 olarak seçilmiştir. Kontrol sisteminin performansı Şekil 3 ve 4’te sunulmuştur. 150 ) (13) Su Seviyesi (mm) 100 / 2 , e = y yˆ − 0 -100 Referans %5 %15 %30 %50 %100 0 200 400 600 800 1000 1200 Zaman (s) 1400 1600 1800 2000 (14) Şekil 3: Buhar jeneratörü su seviyesi kontrol sisteminin referans su seviyesindeki step değişime verdiği yanıt. Şekil 3, kontrol sisteminin step referans sinyaline verdiği yanıtı %5, %15, %30, %50 ve %100 reaktör güç seviyeleri için göstermektedir. Görüldüğü gibi, referans su seviyesi step (adım) değişime sahip olduğunda önerilen kontrol sistemi oldukça yüksek seviyeli bir performans göstermektedir. Özellikle reaktör güç seviyesinin %15’ten daha düşük olduğu V (e) = ee ' K K̂ 1 1 x2 + x̂2 − 2 ( u−K 4 q )+ 2 ( u−q ) −δ ) τ2 τˆ2 τ2 τˆ2 ( 50 -50 olarak seçilirse, denklem (7) ve (13) kullanılarak 𝑉(𝑒)’nin türevi aşağıdaki gibi yazılabilir $ % r Seviye Sensoru 4. Nümerik Sonuçlar Tahmin edilen durum değişkenleri (𝑥! , 𝑥! , 𝑦) ile, gözleyici hatası 𝑒 = 𝑦 − 𝑦 ile, gözleyici kazancı 𝛿 ile tanımlanmıştır. Parametreler 𝐾! ve 𝜏! ise Tablo 1’deki %5 güç düzeyine karşılık gelen ilgili parametrelerin değerleri olarak seçilmiştir. Böyle bir seçimdeki amaç, buhar jeneratörünün sahip olduğu negatif termodinamik etki (yani genleşme–büzülme etkisi) ile başa çıkabilmektir. Nonlineer gözleyicinin asimptotik kararlılığı Lyapunov kararlılık teoremi ile incelenebilir. Aday Lyapunov fonksiyonu ≤ e ⋅& − Akış Sensoru Şekil 2: Buhar jeneratörü su seviyesi kontrol mekanizması. ) ( 2 u Geribeslemeli Kontrol y her zaman negatif reel değerlere sahip olabilir 𝑅𝑒 𝜆! < 0. Pratikte, önerilen kontrolör (9)’un gerçekleştirilebilmesi için durum değişkeni 𝑥! ’in ölçülmesi gerekmektedir, fakat sistem çıkışı bütün durum değişkenlerinin toplamı olduğundan bu mümkün değildir. Bundan dolayı, uygun bir gözleyici tasarlanarak bu durum değişkeni tahmin edilmelidir. Bu çalışmada, ölçülemeyen durum değişkeni 𝑥! ’i tahmin etmek için indirgenmiş-mertebeli sistem dinamikleri (7) kullanılarak aşağıdaki nonlineer gözleyici tasarlanmıştır V ( e) = e 𝑒! Akış Sensoru q u Nonlineer Gözleyici 1 ( -+ + λ1 = −1 / τ 2 λ2,3 = − -+ İleribeslemeli Kontrol (15) 871 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Kaynakça Besleme Suyu (kg/s) Güç Talebi (%) durumlarda genleşme–büzülme etkisi sistem yanıtında daha belirgin olarak görülmektedir. Yüksek güç seviyelerinde ise sistem yanıtı neredeyse tamamen birinci mertebeden bir sistemin yanıtı gibi olmaktadır, yani referansı aşmayan bir yanıt elde edilmektedir. Şekil 4, kontrol sisteminin değişen güç talebi karşısındaki dayanıklılığını ve performansını göstermektedir. Reaktör gücü %5 ile %100 arasında değişirken, görüldüğü gibi besleme suyu (kontrol sinyali) buhar akışını oldukça iyi bir şekilde takip etmekte ve su seviyesi de belirlenen referans sinyalini etkin bir şekilde takip etmektedir. Dolayısıyla, önerilen gözleyici-temelli kontrol sistemi, buhar jeneratörü su seviyesini sistem parametrelerindeki belirsizliklere rağmen arzulanan düzeyde dayanıklı bir şekilde tutmaktadır. 100 [1] L.S. Tong, Principles of Design Improvement for Light Water Reactors. Springer, 1988. [2] S.K. Menon ve A.G. Parlos, “Gain-scheduled nonlinear control of U-tube steam generator water level,” Nucl. Sci. Eng., vol. 111, pp. 294–308, 1992. [3] M. Irving, C. Miossec ve J. Tassart, “Towards efficient full automatic operation of the PWR steam generator with water level adaptive control,” in Proc. 2nd Int. Conf. Boiler Dynamics and Control in Nuclear Power Stations, Bournemouth, U.K., 1979. [4] J.I. Choi, E. Meyer ve D.D. Lanning, “Automatic controller for SG water level during low power operation,” Nucl. Eng. Des., vol. 117, pp. 263–274, 1989. [5] W. Dong, J.M. Doster ve C.W. Mayo, “Steam generator control in nuclear power plants by water mass inventory,” Nucl. Eng. Des., vol. 238, p. 859, 2008. [6] Z. Futao, D. Wei, X. Yiheng ve H. Zhiren, “Programmable logic controller applied in steam generators water levels,” in IEEE Industry Applications Conference, San Diego, CA, USA, 1996. [7] C. Liu, F. Zhao, P. Hu, S. Hou ve C. Li, “P controller with partial feed forward compensation and decoupling control for the steam generator water level,” Nucl. Eng. Des., vol. 240, no. 1, pp. 181–190, 2010. [8] F. Zhao, J. Ou ve W. Du, “Simulation modeling of nuclear steam generator water level process - a case study,” Isa Trans., vol. 39, pp. 143–151, 2000. [9] M.G. Na, “Auto-tuned PID controller using a model predictive control method for the steam generator water level,” Ieee Trans. Nucl. Sci., vol. 48, no. 5, pp. 1664– 1671, 2001. [10] A.G. Parlos ve O.T. Rais, “Nonlinear control of U-tube steam generators via Hinf control,” Control Eng. Pr., vol. 8, pp. 921–936, 2000. [11] M. Kim, M. Shin ve M. Chung, “A gain-scheduled L2 control to nuclear steam generator water level,” Ann. Nucl. Energy, vol. 26, pp. 905–916, 1999. [12] K. Hu ve J. Yuan, “Multi-model predictive control method for nuclear steam generator water level,” Energy Convers. Manag., vol. 49, pp. 1167–1174, 2008. [13] M.V. Kothare, B. Mettler, M. Morari ve P. Bendotti, “Level control in the steam generator of a nuclear power plant,” Ieee Trans. Control Syst. Technol., vol. 8, no. 1, pp. 55–69, 2000. [14] Y.J. Lee, S.J. Oh, W. Chun ve N.J. Kim, “The model predictive controller for the feedwater and level control of a nuclear steam generator,” Nucl. Eng. Technol., vol. 44, no. 8, pp. 911–918, Dec. 2012. [15] A.M.H. Basher ve J. March-Leuba, “Development of a robust model-based water level controller for U-tube steam generator,” Oak Ridge National Laboratory Report, ORNL/TM-2001/166, 2001. [16] S.R. Munasinghe, M. Kim ve J. Lee, “Adaptive neurofuzzy controller to regulate UTSG water level in nuclear power plants,” Ieee Trans. Nucl. Sci., vol. 52, no. 1, pp. 421–429, 2005. [17] G. Ablay, “Sliding mode approaches for robust control, state estimation, secure communication, and fault diagnosis in nuclear systems,” PhD Dissertation, The Ohio State University, Columbus, OH, 2012. [18] G.R. Ansarifar, H.A. Talebi ve H. Davilu, “Adaptive estimator-based dynamic sliding mode control for the Güç Talebi 50 0 0 50 100 (a) 150 200 250 Zaman (dk) 300 350 400 1500 Buhar akisi Besleme suyu 1000 500 0 0 50 100 (b) 150 200 250 Zaman (dk) 300 350 400 Su Seviyesi (mm) 600 400 200 0 Referans Su seviyesi 0 50 100 (c) 150 200 250 Zaman (dk) 300 350 400 Şekil 4: Buhar jeneratörü su seviyesi kontrol sisteminin değişen güç talepleri karşısında dayanıklılık ve performansının incelenmesi: (a) Güç talebi (%), (b) kontrol sinyali (besleme suyu) (kg/s), buhar akışı (kg/s) ve (c) su seviyesi yanıtı (mm). 4. Sonuçlar Bu çalışmada nonlineer gözleyici-temelli bir pratik kontrol sistemi buhar jeneratörü su seviyesi denetimi için önerilmiştir. Önerilen kontrol stratejisi, nükleer reaktörün bütün güç aralığında (%0 ile %100 aralığı) buhar jeneratörüne tam otomatik kontrol mekanizması sağlayabilmektedir. Elde edilen sonuçlar gösteriyor ki, tasarlanan kontrol metodu sistemdeki parametre belirsizliklerine rağmen oldukça iyi ve dayanıklı kontrol performansı sağlamaktadır. Ayrıca, düşük sayıda kontrol ekipmanı kullanılarak sistemin güvenirliği ve güvenliği artırılmaktadır. Teşekkür Buhar jeneratörü geleneksel kontrol sistemi ve sorunları ile ilgili katkılarından dolayı Ohio State Üniversitesi, Nükleer Mühendisliği Bölümü başkanı Prof. Dr. Tunc Aldemir’e teşekkür etmek istiyorum. 872 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya [19] [20] [21] [22] [23] water level of nuclear steam generators,” Prog. Nucl. Energy, vol. 56, no. 0, pp. 61–70, Apr. 2012. H. Moradi, M. Saffar-Avval ve F. Bakhtiari-Nejad, “Sliding mode control of drum water level in an industrial boiler unit with time varying parameters: A comparison with H∞-robust control approach,” J. Process Control, vol. 22, no. 10, pp. 1844–1855, Dec. 2012. M.G. Na ve H.C. No, “Quantitative evaluation of swelling or shrinking level contributions in steam generators using spectrum analysis,” Ann. Nucl. Energy, vol. 20, no. 10, pp. 659–666, Oct. 1993. T. Aldemir, S. Guarro, J. Kirschenbaum, D. Mandelli, L. A. Mangan, P. Bucci, M. Yau, B. Johnson, C. Elks, E. Ekici, M. P. Strovsky, D. W. Miller, X. Sun, S. A. Arndt, Q. Nguyen ve J. Dion, “A benchmark implementation of two dynamic methodologies for the reliability modeling of digital instrumentation and control systems,” U.S. Nuclear Regulatory Commission, , NUREG/CR-6985, 2009. T.L. Chu, G. Martinez-Guridi, M. Yue, J. Lehner, P. Samanta ve A. Kuritzky, “Traditional probabilistic risk assessment methods for digital systems,” U.S. Nuclear Regulatory Commission, NUREG/CR-6962, 2008. S. Guarro, M. Yau ve M. Motamed, “Development of tools for safety analysis of control software in advanced reactors,” U.S. Nuclear Regulatory Commission, NUREG/CR-6465, 1996. 873 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Görüntü İşleme İle PID Kararlılık Bölgesi Kontrolör Performansı Haritalaması F. Nur Deniz, Cemal Keleş, B. Baykant Alagöz, Nusret Tan 1 Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü İnönü Üniversitesi, Malatya furkan.deniz@inonu.edu.tr (k p ( w), ki ( w)) eğrilerini belli bir frekans aralığı için veren bu Özetçe yöntem, PID tasarımında uygulanmıştır [10]. Bu makalede, PID katsayılarının kontrol performansının, (k p ( w), ki ( w)) eğrileri ile belirlenen kararlılık bölgesi içinde Bu çalışmada, PID kontrolör için kararlılık bölgesi performans haritalaması yapılmıştır. Performans ölçütü olarak birim basamak cevabının ortalama karesel hatası kullanılmıştır. Kapalı çevrim PID kontrol sisteminin performans haritasının çıkarılabilmesi için, (k p , ki ) düzleminde kararlık bölgesi, hesaplanmasına yönelik bir çalışma yapılmıştır. Kararlılık bölgesi, görüntü işleme alanında kullanılan bölge büyütmesi yöntemi ile elde edilmiştir. Bölge büyütmesi ile bölütleme görüntü işlemede yaygın olarak kullanılan bir yöntemdir [11]. Bölütlenen kararlılık bölgesi ile temsil edilen PID tasarımlarının performansı, birim basamak cevaplarının karesel hatası ile ölçütlendirilmiştir. Hesaplanan hata değerleri kullanılarak kararlılık bölgesi içinde performans haritalaması gerçekleştirilmiştir. Makale şu şekilde düzenlenmiştir: 2. Bölümde PID kararlılık bölgesinin elde edilmesi özetlenmiş ve kararlılık bölgesinde performans haritasının çıkarılması için bir yöntem önerilmiştir. 3. Bölümde uygulama örnekleri sunulmuştur. 4. Bölümde ise sonuçlar verilmiştir. görüntü işlemede kullanılan bölge büyümesi yöntemi ile bölütlenmiştir. Kararlılık bölgesini temsil eden bölüt için performans haritası çıkarılmıştır. Kararlı PID katsayılarının elde edilmesi ve birim basamak cevabı performansının haritalanması, optimal ve dayanıklı PID tasarımına önemli katkılar sağlayacaktır. 1. Giriş PID kontrolörler; basit yapıları ve dayanıklı performansları nedeniyle endüstride sıkça kullanılmaktadır [1]. Bu kontrolörlerin üç parametresi vardır. Bunlar oransal kazanç (kp), integral kazanç (ki) ve türev kazanç (kd) parametreleridir. Kontrol edilecek sistem için bu parametrelerin uygun şekilde ayarlanması; PID kontrolörlerin tasarımı için gereklidir. PID kontrolörlerin tasarımı için geliştirilmiş birçok yöntem mevcuttur [2, 3]. Bu yöntemlerin avantajları arasında, (i) sistemlerin PID ile kolayca ve yeterli performans ile kontrol edilebilmeleri, (ii) PID kontrolör kullanımında sadece üç parametrenin bulunması, (iii) PID’nin iyi bilinen bir kontrolör yapısına sahip olması, (iv) tipik sistem transfer fonksiyonları için basit testler sonucunda etkin ve hızlı kontrolör ayarına imkân vermesi sayılabilir [4]. Diğer taraftan bu basitlik ve kullanışlılık özelliklerinin yanında zayıf yanları da vardır. PID kontrolör günümüzde karmaşık yapıda her çeşit sisteme uygulanamamaktadır. PID kontrolör daha çok doğrusal ve basit yapıda tek döngülü sistemlerde kolaylıkla uygulanabilmektedir. Buna karşılık doğrusal olmayan, özellikle ölü zaman gecikmesi sistem zaman gecikmesine göre çok yüksek olan sistemlerde uygulanması zordur [5]. Dolayısıyla, PID kontrolör tasarım alanı halen aktif bir çalışma konusudur [6]. Bu nedenle, PID kontrolörün performansının artırılması ve kararlılık analizlerinin yapılmasına yönelik birçok çalışma yapılmıştır. PID ayar ve uyarlamalı PID tasarımı için önerilen bir çok gerekirci (deterministik), tahmini (stokastik) ve bulgusal (heuristic) optimizasyon yöntemleri, PID kontrol sisteminin kararlılık bölgesinin bilinmesi ile daha da iyileştirilebilecektir. PID kararlılık bölgesinin bulunmasına yönelik çalışmalarda ayrık çok yüzeyli kümeler kullanılarak sabit bir kp değeri için kararlı PID bölgesinin hızlı bir şekilde hesaplanabileceği gösterilmiştir [7]. Ayrıca kararlılık bölgesi sınırlarının hesaplanması için frekansa bağlı bir analiz yöntemi önerilmiştir [8, 9]. Kararlılık bölgesini sınırlayan 2. Yöntem 2.1. PID Kararlılık Bölgesi Analizi PID kontrolörler için kararlılık bölgesinin hesaplanması çalışmalarının başlangıç noktası, Denklem (1)’de verilen ikinci derece sistemin geri besleme kontrol döngüsünün kararlılığını sağlayan PID kontrolörün parametrelerinin belirlenmesidir [10]. Şekil 1’deki kontrol sistem yapısını ele alalım. G(s) ikinci dereceden bir sistem, C(s) ise PID kontrolör olsun. C(s) +- G(s) Şekil 1: Kontrol sistemi. İkinci dereceden bir sistem fonksiyonunu en genel formda Denklem (1) ile ifade edelim. G( s ) = B( s ) b2 s 2 + b1 s + b0 = A( s ) a 2 s 2 + a1 s + a 0 (1) Klasik PID kontrolör yapısını da Denklem (2)’de ifade edelim. C ( s) = k p + 874 ki + kd s s (2) Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Sistemin karakteristik gösterildiği gibi elde edilir. polinomu Denklem ∆(s) = b2kd s4 + (b2k p + b1kd + a2 )s3 2 (3)’de P1 ( w) = − w 2 BT ( − w 2 ) P2 ( w) = BÇ (− w 2 ) P3 ( w) = wBÇ (− w 2 ) (3) + (b2ki + b1k p + b0kd + a1)s + (b1ki + b0k p + a0)s + b0ki = 0 P5 ( w) = w 2 AT (− w 2 ) + w 2 BÇ ( − w 2 )k d Karakteristik polinomda, ci, i=0,1,2,…….,n katsayıları, B(s) ve A(s)’in derecelerine bağımlı olan kp, ki ve kd nin fonksiyonları olacak şekilde Denklem (4)’te yeniden düzenlenmiştir. ∆(s) = cn s n + cn−1s n−1 + ........+ c1s + c0 = 0 P6 ( w) = − wAÇ (− w 2 ) + w 2 BT (− w 2 )k d Elde edilen (k p ( w), ki ( w)) eğrisi (k p , ki ) düzleminde kararlı ve kararsız bölgeleri birbirinden ayırmaktadır. Kararlılık sınır eğrisi ile k i = 0 ve k d = 0 eksenleri önceden (4) belirlenmiş k d değeri için kararlılık bölgesini tanımlar. kd nin Parametre uzayı yaklaşımında kararlı bir polinomun bir kökünün sanal eksen üzerinden geçmesi için üç durum söz konusudur [12, 13]. i) Gerçek kök sınırı: s=0’da bir reel kök sanal eksenden geçer ve Denklem (4)’te c0=0 olur. ii) Sonsuz kök sınırı: s=∞’da bir reel kök sanal eksenden geçer ve Denklem (4)’te cn=0 olur. iii) Kompleks kök sınırı: s=jw de Denklem (4)’ün hem reel hem de sanal kökleri eşzamanlı sıfır olursa Denklem (4) kararsız olur. Kompleks kök sınırını elde etmek için öncelikle, Denklem (1)’de verilen sistemin transfer fonksiyonunda s=jw dönüşümü uygulanır. Elde edilen transfer fonksiyonun pay ve paydası tek ve çift bileşenlerine göre Denklem (5)'te belirtildiği gibi gruplanırsa Denklem (6)’daki sistem elde edilir. Böylece kararlılık bölgesi sınırları, (k p ( w), ki ( w)) eğrileri ile belirlenebilmektedir [8-10]. farklı değerleri için, elde edilen kararlılık bölgeleri, PID kontrolörün AT (− w 2 ) = a1 G( jw ) = AÇ ( − w 2 ) + jwAT ( − w 2 ) P5 ( w )P4 ( w ) + P6 ( w )P2 ( w ) P1 ( w )P4 ( w ) + P2 ( w )P3 ( w ) k i ( w, k d ) = P6 ( w )P1 ( w ) + P5 ( w )P3 ( w ) P1 ( w )P4 ( w ) + P2 ( w )P3 ( w ) için kararlılık a2 doğruları kararlılık b2 bölgesini tanımlar. Şekil 2’de ikinci dereceden sistem için elde edilen kararlılık bölgeleri gösterilmiştir. 6 5 Kararsız Bölge Kararlı Bölge 4 ki (5) 3 G( s ) = 2 − 4 s + 10 4 s + 18 s + 20 2 1 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 kp (6) Şekil 2: kd =0 için kararlılık bölgesi. Daha sonra kapalı döngü sistemin karakteristik polinomunun reel ve sanal kısımları sıfıra eşitlenerek Denklem (7)’de ifade olunan oransal ve integral kazanç bağıntıları elde edilmiştir. k p ( w, k d ) = parametreleri k i = 0 ve k p = − sınır eğrisi ile AÇ (− w 2 ) = a 2 (− w 2 ) + a0 BÇ ( − w 2 ) + jwBT ( − w 2 ) ( k p , ki , k d ) bölgelerini oluşturur. Eğer k d = 0 ise bu durumda kararlılık BT (− w 2 ) = b1 BÇ (− w 2 ) = b2 (− w 2 ) + b0 (8) P4 ( w) = wBT (− w 2 ) 2.2. Kararlılık Çıkarılması Bölgesinde Performans Haritasının Bir önceki bölümde Denklem (7) yardımı ile kararlık bölgesinin sınırları, (k p ( w), ki ( w)) eğrisi ve k p ekseni arasında kalan kapalı bölgeyi elde etmiştik. Bu bölümde, bölge büyümesi yöntemi ile kapalı kararlılık bölgesinin, (k p , ki ) düzleminde bölütlenmesi için önerilen yöntem (7) gösterilecektir. Bu yöntemin temel işlem adımları aşağıda özetlenmiştir: 1- (k p , ki ) düzleminde, k d ’nin bir sabit değeri için Burada Pi (i=1,…,6) ifadeleri Denklem (8) ile ifade olunmuştur [9]. Denklem (7)’nın eşzamanlı çözümü ile elde edilen değerleri içeren (k p , ki ) düzlemi için çizilen bölge, kararlılık (k p ( w), ki ( w)) eğrisi Denklem (7) yardımı ile elde edilir. 2- Bu düzlemde, (k p (0), ki (0)) noktası merkeze gelecek sınırlarını belirler. Denklem (8)’in son iki teriminden de görüldüğü üzere k p ve k i değerleri, önceden belirlenmiş kd şekilde (k p , ki ) düzlemini konumsal olarak örnekleyen değerine göre hesaplanmaktadır. oluşturulur ve bu matrisin elemanlarına başlangıç değeri M 0 = ( k P ( h x i ), k i ( h y j )) = 0 875 karesel ızgara matrisi Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya kararlılık bölgesi için kullanılmıştır. Şekil 4’te gösterilen temsili örnekte, üç adet komşulukta 0 etiketli ve yukarı komşulukta 4 etiketi verilmiştir. Bu durumda merkezdeki 1 etiketi, 0 etiketi olan komşuluklara yayılır. 4 etiketli üst komşuluğa yayılım yapılamaz. olarak sıfır değeri atanır. (Burada hx ve h y düzlemsel örnekleme aralığıdır.) 3- Bu ızgara matrisi üzerinde, (k p ( w), ki ( w)) eğrisine en yakın örnekleme noktalarına ‘4’ etiketi atanır. ‘4’ etiketi, bölgeleri ayıran sınırların kodu olarak kullanılmıştır. M 0 (i, j ) = {4, | K P (h x i ) − k p ( w) |< ε ∧ (9) | K I (h y j ) − k i ( w)) |< ε ; ε < h x / 2 ∧ ε < h y / 2} (i-1,j) 4 ki = 0 doğrusuna ‘4’ etiket ataması yapılarak, kararlılık 4- bölgesi M 0 ızgarası içinde kapalı bir eğri ile belirlenmiştir. (i,j-1) M 0 (i, j ) = {4, ( K P (h x i ) − 0) < ε ; ε < h x / 2} (10) 0 5- Bu bölütleme, M 0 içinde üç bölüt oluşturur. Her bir bölüt içinde bir tohum noktası seçilerek, bu tohum noktasından bölge büyütmesi yolu ile üç bölgenin etiketlenmesi tamamlanır. Her bir elemanı 1, 2 ve 3 ile etiketlenmiş üç bölgeli M matrisi elde edilir. 3 ile etiketlenmiş bölge kararlılık bölgesini verir. 6- Bu bölgenin temsil ettiği k p , k d ve ki değerleri için ∑ e (t ) Yöntemin en önemli yapısal yetersizliği şu noktada görülmüştür. Üç adımda (k p ( w), ki ( w)) kararlılık eğrisine göre M 0 ızgara matrisinde 4 etiketi yapılırken, ayrık ızgara yapısı nedeni ile eğriye en yakın ızgara noktaları 4 ile etiketlenmektedir. Burada kuantalama hatası sisteme girmektedir. Bu hata iki noktada yöntemin başarısını olumsuz etkilemiştir: 1. (k p ( w), ki ( w)) kararlılık eğrisinin doğruluğu kuantalama (11) n =1 hatalarına bağımlı kalmaktadır. 2. Bazı durumlarda kuantalama hatası nedeni ile ızgara üstünde (k p ( w), ki ( w)) kararlılık eğrisi etiketlemesinde kırık yapılarak, E (k p , k i ) performans haritası tamamlanır. M0 1 3 0 Şekil 4: Bölge büyütme gerçekleşen düşey ve yatay komşuluklar. 7- Adım 6 da önerilen işlem, 3 ile etiketli bütün noktalara karşılık gelen kararlılık noktası ( k p , ki ) noktaları için i 1 0 m 2 (i,j+1) (i+1,j) kapalı çevrim PID kontrol sisteminin birim basamak cevapları Matlab’da elde edilir ve ortalama karesel hata hesaplanır ve hata değeri ( k p , ki ) noktası için performans haritasına yazılır. 1 E (k p , k i ) = m (i,j) eğri noktaları oluşabilmekte, bu noktalar bölge büyümesi bölütlemesini başarısızlığa uğratabilmektedir. Başarısız bölütme durumunu gösterir bir örnek uygulama bölümde incelenmiştir. 2 3. Uygulama Örnekleri Bu bölümde, önerilen yöntem ile kararlılık bölgesinin, performans haritasını elde edebilmek için birinci dereceden zaman gecikmeli bir sistemin transfer fonksiyonu üzerinde farklı iki uygulama yapılmıştır. j Şekil 3: M 0 ızgara matrisi ve 1, 2 ve 3 etiketli bölütler. 3 ile etiketli bölüt kararlılık bölgesidir. Örnek 1: Birinci dereceden zaman gecikmeli bir sistemin transfer fonksiyonu Adım 5’de kullanılan bölge büyütme işlemi, dikey ve yatay komşuluklar olmak üzere Şekil 3’de görülen 4 komşuluk üzerinde yürütülmüştür. Bir (i, j ) noktasının düşey veya yatay komşu noktaları sıfır etiketli ise bu komşuluklar M (i, j ) etiketi ile etiketlenmiştir. Bu işlem iteratif olarak sürdürülerek M 0 matrisindeki bütün sıfır değerlerinin 1, 2 ve 3 etiketlenmesi ile bölge büyütme ile bölütleme tamamlanır. 4 etiketi bölge sınırları için rezerve edilmiştir. 3 etiketli bölge G( s ) = 1 −s e s+1 (12) şeklinde olsun. Öncelikle, sistemde bulunan zaman gecikmesi için yaklaşık eşdeğerin bulunmasında birinci dereceden Pade yaklaşımı kullanılmıştır. Buna göre, gecikme terimi için, 876 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya − e −θs ≈ θ 2 θ 2 Denklem (11)’da verilen ortalama karesel hata hesaplanması ile Şekil 7’de görülen logaritmik ölçeklenmiş performans haritası elde edilmiştir. Burada karalılık bölgesinin sağ yanına ait bölgenin temsil ettiği PID kontrollerinin karesel hata performansının düşük olduğu açıkça görülebilmektedir. s+1 (13) s +1 yaklaşık ifadesi kullanılırsa ve ölü zaman gecikmesi 1 s alınılırsa (θ=1), sistemin transfer fonksiyonu için Denklem (14) elde edilir. −s + 2 (14) s 2 + 3s + 2 -4 25 -2 20 0 15 kp G (s) ≅ 30 Önerilen yöntem ile Denklem (14) ile ifade olunan sistemin PID kontrol performans haritasını Matlab’da elde etmek için Örnek 1’de frekans ( w ) örneklemesi, 28.4x10-4 den 28.4x10-3 e kadar 28.4x10-4 örnekleme adımı ile gerçekleştirilmiştir (w=örnekleme aralığı*i ve i=1:1000 ). Bu frekans bölgesinde, kd=0 için elde edilen (k p , ki ) düzlemi 10 2 5 4 üzerinde kararlılık bölgesi incelemesi yapılmıştır. Elde edilen kararlılık bölgesi Şekil 5’te gösterildiği gibi ( k p ( w), ki ( w)) -4 -2 0 ki 2 4 Şekil 7: Örnek 1 için kararlılık bölgesi performans haritası. eğrisi altında kalan alanla sınırlıdır. Bu performans haritasını kullanarak seçtiğimiz farklı kp ve ki değerleri için sistemin birim basamak cevapları elde edilmiştir. Görüldüğü üzere performans haritasındaki koyu mavi renkle elde edilen bölgelerde karesel hata oldukça düşüktür ve bu bölgelerden seçilen herhangi bir kp ve ki değeri için elde edilen sistem cevabı Şekil 8’de gösterilmiştir. Benzer şekilde performans haritasında koyu kırmızı bölgelere doğru gidildikçe karasel hata yükselmektedir. Bu bölgelerden seçilen herhangi bir kp ve ki değeri için elde edilen sistem cevabı Şekil 9’da gösterilmiştir. 3 2 Ki ki 1 0 1.5 -1 -2 -1 0 1 2 3 4 1 kp y(t) Şekil 5: Örnek 1 için kararlılık bölgesi (kd=0). Kararlılık bölgesi elde edildikten sonra görüntü bölütleme yöntemi kullanılarak kararlılık bölgesi ve dışında kalan alanlar etiketlenerek Şekil 6’da görülen bölütler elde edilmiştir. 0.5 0 -0.5 4 0 10 20 30 t 40 50 60 Şekil 8: kp= 0.3874, ki= 0.6095. -4 3 2.5 -2 kp 2 2 0 2 1 4 0 y(t) 1.5 1 0.5 -4 -2 0 ki 2 4 0 Şekil 6: Örnek 1 için kararlılık bölgesi bölütlemesi. -0.5 ‘3’ etiketli (Turuncu) kapalı kararlılık bölgesi için, sisteminin birim basamak cevapları Matlab’da elde edildikten sonra 0 100 200 t 300 Şekil 9: kp= 2.2019, ki= 1.4159. 877 400 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Örnek 2: Aynı sistem aynı frekans bölgesinde, daha düşük hx ve h y düzlemsel örnekleme adımı ile bölütlensin. Kaynakça Sistemin kararlılık bölgesi değişmediği halde, kırık eğri noktaları nedeni ile bölge büyütme bölütlemesinin başarısız olduğu görülmüştür. Çünkü eğri örneklerinin ve ızgaraya noktalarına kaydırılmasında (k p ( w), ki ( w)) kararlılık eğrisi [1] C. Knospe, “PID Control”, IEEE Control System Magazine, Cilt: 26, s:30-31, 2006. [2] K. J. Åström, T. Hägglund, PID Controllers: Theory, Design and Tuning, Instrument Society of America, USA, 1995. [3] A. O‘Dwyer, Handbook of PI and PID Controller Tuning Rules, Imperial College Press, London, UK, 2003. [4] A.F. Boz, Y. Sarı, “İki Sıfırlı Standart Formlar ve Optimal PID-PD Denetleyici Tasarımı”, 5. Uluslararası İleri Teknolojiler Sempozyumu (IATS’09), Karabük, Türkiye, 2009. [5] İ. Yüksel, Otomatik Kontrol Sistem Dinamiği ve Denetim Sistemleri, Nobel, 5. baskı, Ankara, 2006. [6] F. Yıkan, “Dayanıklı PID Kontrolör Tasarım Metotlarının Araştırılması ve Geliştirilmesi”, Yüksek Lisans Tezi, İnönü Üniversitesi, Malatya, 2005. [7] M.T. Söylemez, N. Munro, H. Baki, “Fast calculation of stabilizing PID controllers”, Automatica, Vol. 39, No. 1, 2003, pp. 121-126. [8] N. Tan, I. Kaya, “Computation of stabilizing PI controllers for interval systems”, Proc. of the 11th Mediterranean Conference on Control and Automation, Rhodes, Greece, 2003. [9] N. Tan, I. Kaya, C. Yeroglu, D.P. Atherton, “Computation of stabilizing PI and PID controllers using the stability boundary locus”, Energy Conversion and Management, Cilt: 47, No. 18-19, s:3045-3058, 2006. [10] R. Matusu, “Computation of Stability Regions for PID Controllers”, Proc. of Recent Researches in Communications, Automation, Signal Processing, Nanotechnology, Astronomy and Nuclear Physics, s:210213, 2011. [11] F.N. Deniz, B.B. Alagoz, M.E. Tagluk, “An alternative approach for medical image segmentation”, IEEE 18th Signal Processing and Communications Applications Conference (SIU), s:886–889, 2010. [12] J. Ackermann, D. Kaesbauer, “Design of robust PID controllers,” Proc. of European Control Conference, s:522–527, 2001. [13] Nusret Tan, “Computation of Stabilizing PI-PD Controllers”, International Journal of Control, Automation and Systems, Cilt: 7, No: 2, s:175-184, 2009. üzerinde kırık eğri noktaları oluşmuştur ve ‘2’ etiketli bölge büyüme buradan ‘3’ etiketli bölgeye sızmıştır. Sonuçta, Şekil 10’da gösterildiği gibi kararlılık bölgesi ‘3’ ile değil ‘2’ ile etiketlenmiştir. 4 -4 3 kp -2 0 2 2 1 4 -4 -2 0 2 4 0 ki Şekil 10: Örnek 2 için kararlılık bölgesi bölütlemesi. Doğru etiketlenme ile sonuçlanmayan bölütlerden ötürü Şekil 11’de görüldüğü üzere ortalama karesel hata hesaplanamamıştır. 24 -4 23.5 kp -2 0 23 2 22.5 4 -4 -2 0 2 4 ki Şekil 11: Örnek 2 için kararlılık bölgesi performans haritası. 4. Sonuçlar Bu çalışmada, kararlılık bölgesi performans haritasının görüntü işleme teknikleri yardımı ile elde edilmesi gösterilmiştir. Bu yöntem ile sadece kararlık bölgesi içinde tanımlı PID kontrol yapıları için birim basamak cevabı karesel hata hesaplamasına dayalı performans haritası elde edilebilmiş ve kararsız PID yapıları için performans simülasyonları yapılmadığı için işlem maliyetinde kazanç sağlanmıştır. Kararlılık bölgesi performans haritaları, optimal PID tasarımı için önemli bir adım teşkil etmektedir. 878 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Genetik Algoritma ile Eşzamanlı Kaskad Denetleyici Tasarımı İbrahim Kaya1, Mustafa Nalbantoğlu2 1 Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Dicle Üniversitesi, Diyarbakır ikaya@dicle.edu.tr 2 Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Dicle Üniversitesi, Diyarbakır nalbant@dicle.edu.tr Özetçe Kaskad kontrol yapısındaki denetleyicilerin ayar parametreleri genellikle içten dışa doğru bir prosedür izlenerek bulunur. Yani, önce iç döngü denetleyicinin parametreleri belirlenir, bulunan parametreler iç döngüde yerine konduktan sonra dış döngüdeki denetleyicinin parametreleri elde edilir. Bu prosedür, literatürde genellikle takip edilen yöntemdir [2] ve [3]. Yazarların bilgileri dahilinde, sadece Tan v.d. [4] Kaskad kontrol yapısındaki iki denetleyicinin ayar parametrelerini eş zamanlı hesaplayan bir yöntem sunmuşlardır. Dolayısıyla, bu çalışmada da, Kaskad kontrol yapısındaki iki denetleyicinin ayar parametrelerini tek bir aşamada belirlemeye yönelik bir yaklaşım sunulmuştur. İç ve dış döngü ayar parametreleri maksimum aşım ve minimum oturma zamanı kullanılarak elde edilmiştir. İstenilen yüzde aşım ve oturma zamanının elde edilip edilmediğinin belirlenmesinde Genetik Algoritma (GA) kullanılmıştır [5]. Kapalı çevrim cevabında, yüzde aşması daha az ve oturma zamanı daha kısa olan Kontrol parametreleri araştırılmıştır. Dolayısıyla, bu bildiride, Kaskad denetleyicinin ayar parametreleri, yüzde aşması ve oturma zamanı minimum yapacak şekilde GA ile belirlenmiştir. Makalenin devamı şu şekilde düzenlenmiştir: İkinci bölümde Kaskad denetleyici içeren kontrol yapısı kısaca tanıtılmış ve Kaskad yapısının niçin daha iyi kapalı çevrim cevabı ortaya koyduğu basitçe verilmiştir. Üçüncü bölümde Kaskad denetleyicinin ayar parametrelerinin bulunmasında kullanılan GA kısaca tanıtılmıştır. Bu bölümde ayrıca GA ile Kaskad denetleyicinin ayar parametrelerinin nasıl elde edildiği anlatılmıştır. Benzetim sonuçları dördünce bölümde, sonuçlar ise beşinci bölümde yer almaktadır. Standart geri beslemeli kontrol sistemleri, güçlü bozucular karşısında iyi performans verememektedirler. Kaskad kontrol, özellikle öngörülmeyen bozucuların varlığında, bir kontrol sisteminin performansını arttırmak için klasik tek geri-beslemeli kontrol sistemlerinin bir alternatifidir. Klasik sistemler bozucular karşısında iyi cevap veremeyebilirler. Bu durumlarda kaskad sistemlerin çok daha iyi sonuçlar verdiği literatürdeki yayınlarda gösterilmiştir. Ancak, bu çalışmalarda, genellikle, iç döngüden dış döngüye doğru iki aşamalı bir tasarım prosedürü izlenmektedir. Bu çalışmada, kaskad kontrol yapısında yer alan iç ve dış döngü denetleyicilerin ayar parametrelerinin eşzamanlı elde edilmesi verilmiştir. Denetleyicilerin ayar parametreleri genetik algoritma yöntemi kullanılarak bulunmuştur. 1.Giriş Kaskad kontrol yapısı endüstriyel uygulamalarda sıkça kullanılmaktadır. Bunun nedenleri olarak: 1) Birincil değişkenin daha iyi kontrol edilebilir olması ve bozuculardan daha az etkilenmesi 2) Kaskad sistemin bozuklukları daha hızlı bir şekilde yok etmesi ve sistemin dinamik performansını arttırması 3) Sistemin doğal frekansını arttırması 4) Zaman gecikmesinden kaynaklanan etkileri azaltması, sayılabilir. Kaskad kontrol bundan yıllar önce Franks ve Worley tarafından önerilmiştir [1]. Klasik geri-beslemeli kontrol yapısında, kontrol edilen değişken referans değerden sapmadıkça, bozucu girişler için kontrol hareketi gerçekleştirilmez. Eğer, sistemde ikincil bir ölçüm noktası mevcut ise (Şekil. 1), iç döngüde kullanılacak ikincil bir denetleyici (Gc2) ile, sistemin kapalı çevrim cevabı bozucu sinyaller için iyileştirilebilir. D2 D1 + + + y y1 2 + r Gp1 Gc2 Gp2 Gc1 _ __ 2. Kaskad Kontrol Kaskad kontrol yapısının sıklıkla kullanıldığı alanlardan biri de sıcaklık denetimidir. Şekil.2’de verilen sıcaklık denetiminde, sıcak yağdaki sıcaklık değişiminde geleneksel geri-beslemeli kontrol yapısı hemen bir kontrol işlemi gerçekleştirir. Ancak, gaz akışındaki bir değişimden kaynaklanan bir bozucu girişte, geleneksel geri-beslemeli kontrol yapısı bu değişim sıcaklık ölçüm elemanına Şekil.1: Kaskad kontrol blok diyagramı 879 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya çiftleşerek yeni bir nesil meydana getirir böylece doğal üreme gerçekleşir. Bu süreçte bireylerin genleri, başka bireyin genleri ile birleşip yeni genleri oluştururlar. Genetik algoritmalar, hayatın bu iki olgusunu birleştirerek optimal noktayı arama yöntemidir. GA, karmaşık ve çok boyutlu arama uzayında daha iyinin hayatta kalması ilkesine dayanan bir arama yöntemidir ve arama uzayının bir çok noktasında aynı anda optimal çözümü arar [7], [8]. Bir GA, bizim kendi DNA(deoxyribonucleic acid) yapımızdaki genetik kodlara benzeyen, birçok genden oluşturulan kodlanmış kromozoma (birey) dayandırılır. GA’lar, karakter veya sayı dizileri ile temsil edilen bireylere ait bir nesil gerektirir [5]. Genetik algoritmaların temel özellikleri, aşağıdaki gibi sıralanabilir: GA parametrelerin kendilerini değil parametrelerin kodlanmış karşılıklarını kullanır. GA arama işlemini tek bir nokta ile değil noktalar topluluğu ile yürütür. GA, türev ve daha farklı bilgileri değil sadece çıkış ilşe ilişkilendirilen bir uygunluk fonksiyonunu kullanır. Çok fazla sayıda değişkenle en iyiyi arama işlemi yapabilir. Paralel hesaplamalara uygundur. GA deterministik kurallı değil, olasılık kurallıdır. Ancak Genetik algoritmalar geniş arama algoritmalarının aksine, en iyiyi seçmek için tüm farklı durumları üretmez. Bundan dolayı, mükemmel çözüme ulaşamayabilir. Fakat zaman kısıtlamalarını hesaba katan en yakın çözümlerden biridir. GA’nın kullanım alanlarından bazıları: Atölye Çizelgeleme, Yapay Sinir Ağları, Tasarım, Görüntü Kontrolü, Elektronik Devre Tasarımı, Optimizasyon, Uzman Sistemler, Paketleme Problemleri, Makine ve Robot Öğrenmesi, Ekonomik Model Çıkarma v.b sayılabilir [8], [9]. ulaşıncaya kadar bir işlem yapmaz. Bu ise oldukça önemli bir gecikmeye neden olur. Oysa Kaskad kontrol yapısında, Şekil.3’te görüleceği gibi, gaz akışındaki bir değişiklik ikincil bir ölçüm elemanı ile hemen tespit edilir ve yine ikincil bir denetleyici ile bu bozucu etki yok edilir. TC Sıkışmış gaz TT Sıcak yağ Soğuk yağ Gaz Fırın Şekil.2: Geleneksel geri-beslemeli sıcaklık denetimi TC Sıkışmış gaz FC TT FT Sıcak yağ Soğuk yağ Fırın Gaz Şekil.3: Kaskad kontrol sıcaklık denetimi Kaskad kontrol yapısı, geleneksel tek girişli tek çıkışlı bir sistem ile karşılaştırıldığında aşağıdaki avantajlara sahiptir [6]: 1) İç döngüde yer alan ikincil denetleyici, iç döngüde meydana gelen bir bozucunun etkisini, kontrol edilen değişken bundan etkilenmeden yok edebilir. 2) İç döngüdeki süreç transfer fonksiyonunda oluşabilecek parametre değişimleri, iç döngüdeki ikincil denetleyici ile düzeltilebilir. 3) İkincil döngüdeki süreç transfer fonksiyonundaki herhangi bir faz gecikmesi, ikincil döngü ile azaltılabilir. Bu da sistemin cevap hızını artırabilir. Dolayısıyla, ikincil bir ölçüm ölçüm noktası mevcut ise, Kaskad kontrol faydalı olabilir. Ancak, Kaskad kontrolün faydalı olabilmesi için, bozucuların daha çok iç döngüde meydana gelmesi ve iç döngünün dış döngüden daha hızlı cevap veriyor olması gerektiği unutulmamalıdır. Sınırlar Uygunluk fonk. Parametrelerin Tanımlanması İlk Nesli Oluştur Uygunluk Testi Yeni Nesil Oluşumu Mutasyon Çaprazlama Yakınsama Testi Doğal Seçim DUR Şekil 4: Temel genetik algoritma döngüsü 3. Genetik Algoritma Bir GA’nın temel akış diyagramı şekil 4’de verilmiştir. Öncelikle arama uzayının sınırları, bireylerin çözüm için uygunluk seviyesinin belirleneceği uygunluk fonksiyonu ve optimize edilecek parametreler tanımlanır. Ardından, ilk nesil rastgele olarak üretilir. Nesildeki her birey için uygunluk testi sonrasında, programın yakınsama testine Genetik algoritmalar (GA), gerçek yaşamdaki doğal seçim ve doğal üreme kurallarına dayanır. Doğanın zorlu koşullarına uyum sağlayabilen türün yaşamlarını sürdürmesi ve uyum sağlayamamış olan türlerin ise elenmesi bir doğal seçimdir [7]. Seçilen bu türün bireyleri 880 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya göre yeni nesil işlemine veya programın sonlandırılmasına geçilmektedir. Yeni nesil oluşturulması için farklı uygulamalarda farklı operatörler kullanılmakla birlikte genel olarak 3 standart operatör kullanılır. Bunlar: - Doğal Seçim (Natural Selection) - Çaprazlama (Crossover) - Mutasyon (Mutation) olarak ifade edilebilir [5]. Nesli oluşturan her bireyin problemin çözümündeki seviyesi bir uygunluk fonksiyonu ile belirlenmektedir. Uygunluk fonksiyonu yüksek değere sahip olan bireylere, nüfustaki diğer bireylere göre bir sonraki nesile geçiş ve çaprazlanma şansları yüksek tutulur. Yapılan çalışmada kullanılan uygunluk fonksiyonu çıkış sinyalinin maksimum aşım MA ve oturma zamanı ST değeri ile aşağıdaki gibi ilişkilendirilmiştir. f 1 1 .TS .MA Tablo.1: Örnek 1 için parametre arama uzayı Parametre Minimum 0.1 0.3 0.1 0.01 1 1 Kc Ti Td Tn Kc Ti Dış Döngü İç Döngü Maksimum 3 10 3 3 15 15 Tablo.2: Örnek 1 için denetleyici ayar parametreleri Dış döngü İç Döngü IAE Kc Ti Td Tn Kc Ti Önerilen Metot 1.1330 2.405 0.5669 10 1.9144 0.9936 2.8363 Song 0.6592 1.8643 2.2841 1.4392 0.6030 0.4378 3.8553 Tan 0.3900 1.4400 - - 0.5300 0.17 4.6460 Şekil 5’te tasarlanan Kaskad kontrol yapılarının birim basamak giriş cevapları ile genliği -1 olan ve sisteme t=25 s’de giren basamak şeklindeki bozucuya karşı verdikleri cevapları verilmiştir. Bütün tasarım metotları için elde edilen cevaplarda yaklaşık olarak aynı aşma miktarları elde edilmesine rağmen önerilen metot daha hızlı bir şekilde kalıcı durum değerine oturmaktadır. Ayrıca, önerilen tasarım metodu az da olsa daha iyi bir şekilde bozucu sinyalleri yok etmektedir. (1) Denklemde f uygunluk fonksiyonu olarak tanımlanmıştır. Yapılan çalışmada, iç ve dış döngü denetleyicilerine ait ayar parametrelerinin optimizasyonu için çözüm uzayı benzetim çalışmaları bölümünde her bir örnek için tablo halinde verilmiştir. Kullanılan algoritmada tek noktalı çaprazlama oranı (crossover rate) 0,9 olarak, mutasyon oranı (mutation rate) 0,09 olarak ve nüfus büyüklüğü (population size) 40 olarak seçilmiştir. 1.4 1.2 1 4. Benzetim Çalışmaları Çıkış 0.8 Örnek 1: Bu örnekte, daha önce Song v.d. [10] tarafından çalışılan, dış ve iç döngü süreç transfer fonksiyonları aşağıda verilen kaskad bir sistemin denetimi verilmiştir. 0.6 0.4 e s e0.1s G p1 ( s) G ( s ) , p2 ( s 1)2 (0.1s 1) 0.2 0 0 10 20 30 40 Önerilen Song Tan 50 zaman (s) Şekil 5: Birim basamak giriş cevapları ve bozucu sinyal cevapları Önerilen metot ile tasarım hem Song v.d. [10] hem de Tan v.d. [4] tarafından yapılan tasarım metotları ile karşılaştırılmıştır. Song v.d. [10], iç döngüde PI dış döngüde ise PID denetleyici kullanmıştır. Tan v.d. [4] ise hem iç hem de dış döngülerde PI denetleyici kullanmıştır. Önerilen tasarım metodunda ise iç döngüde PI, dış döngüde PID olacak şekilde tasarım yapılmıştır. Ayrıca, Song v.d. [10]’de olduğu gibi dış döngüdeki PID denetleyicide türev teriminde filtre kullanılmıştır. Tablo.1’de önerilen metotta kullanılan parametreler için çözüm uzayı aralıkları verilmiştir. Tabloda yer alan Tn türev teriminde yer alan filtre zaman sabitidir. Hem önerilen metot, hem de Song v.d. [10] ve Tan v.d. [4] tarafından önerilen metotlar için denetleyici ayar parametreleri Tablo.2’de özetlenmiştir. Tabloda, karşılaştırma için kullanılan kontrol sistemlerinin hem referans hem de bozucu giriş için elde edilen IAE değerleri de verilmiştir. Görüleceği gibi önerilen tasarım metodu ile elde edilen IAE düşük çıkmaktadır. Bu ise elde edilecek kapalı çevrim cevaplarında önerilen metot ile daha iyi sonuçlar elde edileceğini ifade etmektedir. Örnek 2: Bu örnekte, yine Song v.d. [10] tarafından çalışılan, dış ve iç döngü süreç transfer fonksiyonları aşağıda verilen kaskad bir sistemin denetimi verilmiştir. G p1 ( s ) 0.19 e 20 s (1 50s ) , G p 2 ( s ) 0.57 e 8 s (1 20s ) Bu örnek için kullanılan çözüm uzayı parametre aralıkları Tablo.3’de verilmiştir. Kullanılan bu çözüm uzayı ile elde edilen denetleyici ayar parametreleri ise Tablo.4’de özetlenmiştir. Yine tabloda verilen IAE değerlerine göre önerilen metodun daha iyi kapalı çevrim cevabı vermesi beklenir. 881 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya [2] I. Kaya, “Improving performance using cascade control and Smith predictor,” ISA Transactions, Cilt: 40, s: 223-234, 2001. [3] I. Kaya, N. Tan ve D.P. Atherton, “Improved Cascade Control Structure for Enhanced Performance,” J. Process Control, Cilt: 17, s: 3-16, 2007. [4] K.K. Tan, T.H. Lee ve R. Ferdous, “Simultaneous online automatic tuning of cascade control for open loop stable processes,” ISA Transactions, Cilt: 39, s:233242, 2000. [5] D.E. Goldenberg, Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning, Addison-Wesley Longman, 1989. [6] Shinskey F.G. Process Control Systems, McGraw Hill, 1967. [7] J.H. Holland, Adaptation in Natural and Artificial System Ann Arbor, The Universty of Michigan, USA, 1975. [8] C.L. Karr, ve M. Freeman, Industrial Applications of Genetic Algorithms, CRC Pres, New York, 1999 [9] J.T. Alander, “An indexed bibliography of genetic algoritms in control”, Report Series No. 94-1CONTROL, ftp.uwasa.fi directory cs/report94-1 file gaCONTROLbib.pdf, 2008. [10] S. Song, W. Cai, Y.G. Wang, “Auto-tuning of cascade control systems,” ISA Transactions, Cilt: 42, s: 63-72, 2003. Tablo.3: Örnek 2 için parametre arama uzayı Parametre Minimum -7 -100 -10 0.1 0.01 0.05 Kc Ti Td Tn Kc Ti Dış Döngü İç Döngü Maksimum 7 100 10 1 60 10 Tablo.4: Örnek 1 için denetleyici ayar parametreleri Dış döngü İç Döngü IAE Kc Ti Önerilen Metot -7 65.7895 Song -4.9225 44.5475 Td Tn Kc Ti 10 1 3.1191 29.3255 52.2807 10.3850 6.4596 2.895 19.6939 65.3998 Şekil 6’dan görüleceği gibi bu örnekte önerilen tasarım metodu ile çok daha iyi bir birim basamak cevabı elde edilmektedir. Ancak, önerilen tasarım metodu ile Song. v.d. [10] tarafından önerilen tasarım metodunun bozucu sinyal cevapları hemen hemen aynı olmaktadır. 1.4 1.2 1 Çıkış 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 100 200 300 400 500 Zaman (s) 600 Önerilen Song 700 800 Şekil 6: Birim basamak giriş cevapları ve bozucu sinyal cevapları 5. Sonuç Kaskad kontrol sistemlerinin denetiminde genellikle iç döngüden dış döngüye doğru iki adımlı tasarım yaklaşımları kullanılır. Bu çalışmada bu dezavantajı yok etmek için genetik algoritma kullanılarak kaskad denetleyicide yer alan iç ve dış döngü denetleyicilerinin eş zamanlı tasarımı verilmiştir. Sunulan benzetim çalışmaları ile önerilen tasarım metodunun iyi kapalı çevrim cevapları verdiği gösterilmiştir. 6. Kaynakça [1] R.G. Franks ve C.W. Worley, “Quantitive Analysis of Cascade Control,” Ind. Eng. Chem., Cilt: 48, Sayı: 6, s: 1074-1079, 1956. 1956,48(6),1074-1079 882 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Düz Dişli Çarkların Yüzey Hatası Teşhisinde Titreşim ile Yağ Sıcaklığı İlişkisinin İstatistiksel Proses Kontrolü Sinan Maraş1, Hakan Arslan2 1 Makine Mühendisliği Bölümü Bayburt Üniversitesi, Dede Korkut Yerleşkesi smaras@bayburt.edu.tr 2 Makine Mühendisliği Bölümü Kırıkkale Üniversitesi, Merkez Yerleşkesi arslan@kku.edu.tr olumsuzlukları önleme amacıyla kullanılmaktadır. Bu tekniklerden dişli hasar tespitinde, titreşim analizi, yağ analizi, sıcaklık analizi, akıntı ve sızıntı kontrolü, basınç kontrolü, akustik emisyon ve gürültü analizi yöntemleri kullanılmaktadır. Bu yöntemlerden titreşim analizi, makinelerin içyapısında oluşan olayları en iyi gösteren parametrelerden biri olduğu için günümüzde yaygın olarak kullanılmaktadır. Dişlilerde hata teşhisi, titreşim ölçümü ve analizi ile gerçekleştirilmektedir. Titreşim analizi sonucu elde edilen veriler sinyal işleme, yapay zeka, istatistiksel analiz yöntemleriyle işlenerek dişlilerde hata tespiti yapılmaktadır. Sinyal işleme yönteminde, sağlam durumdaki dişlilerden alınan titreşim verileri genlik-zaman grafiklerinde kaydedilerek referans ölçümler elde edilmektedir. Dişlilerin çalışması sonucu zaman içerisinde hata frekanslarının genlik-zaman grafiklerinde oluşması ve sağlam durumda alınan referans titreşim değerleriyle karşılaştırılarak dişli hata tespiti yapılmaktadır. Yapay zeka yönteminde, sağlam durumdaki bir dişlinin normal şartlarda gösterebileceği çalışma koşullarını, titreşim verilerini bilgisayar ortamına aktarmak için grafik kullanıcı ara yüzlü bir yazılım kullanılmaktadır. Bu çalışma koşulları yazılıma eklenerek titreşim verilerindeki değişimin takip edilmesi ile herhangi bir arıza oluştuğu zaman yazılım hata vererek kullanıcı uyarmakta ve ne tür bir arıza olduğu hakkında nedenleriyle beraber bilgi verilmektedir. İstatistiksel analiz yönteminde ilk çalışma şartlarında, sağlam dişlilerden alınan titreşim verilerinin ortalama ve standart sapma değerleri kullanılarak alt ve üst kontrol limitleri belirlenmektedir. Süreç içerisinde dişlilerden alınan titreşim verileriyle beraber çeşitli parametreler, oluşturulan kalite kontrol grafiklerinde analiz edilerek, verilerin bu sınırların dışında çıkması veya belirli bir eğilim izlemesi sonucu dişlide hata tespiti yapılabilmekte ve parametrelerin buna etkisi incelenebilmektedir. Özetçe Dişli çarklar endüstrinin her alanında, değişik ortam ve koşullarda güç ve hareket iletimi için kullanılan makine elemanlarıdır. Önemli makine elemanlarından olan dişlilerin zorlayıcı şartlarda çalışması sonucu kusurlar meydana gelmektedir ve ileride daha büyük hasarların meydana gelmemesi için bu hasarların tespit edilmesi ve gerekli tedbirlerin alınması gerekmektedir. Titreşim, makinelerin içyapısında oluşan olaylar hakkında bilgi veren en iyi parametrelerden biridir. Bu yüzden dişlilerde hata teşhisi genellikle titreşim ölçümü ve analizi ile gerçekleştirilmektedir. Titreşim analizi sonucu elde edilen veriler sinyal işleme, yapay zeka, istatistiksel analiz yöntemleriyle işlenerek dişlilerde hata tespiti yapılabilmektedir. Bu çalışmada amaç, düz dişli çarklarda yüzey hatası tespitinde titreşim verileri ile yağ sıcaklığının etkisinin istatistiksel proses kontrol metodunda analiz edilerek, bu yöntemin hata tespitinde kullanılabilirliğini ortaya koymaktır. Bu yöntemde sağlam dişlilerden, ilk çalışma şartlarından alınan titreşim verilerinin ortalama ve standart sapma değerleri kullanılarak alt ve üst kontrol sınırları belirlenmektedir. Süreç içerisinde çalışma sıcaklığının artmasıyla beraber dişlilerden alınan titreşim verileriyle oluşturulan kalite kontrol grafiklerinde verilerin bu sınırların dışında çıkması veya belirli bir eğilim izlemesi sonucu düz dişlide hata tespiti yapılabilmektedir. 1. Giriş Dişli çarklar endüstrinin her alanında, hemen hemen her makinede, miller arasında mekanik güç ve hareket iletimini gerçekleştirmek amacıyla kullanılmaktadır. Dişlilerde çalışma sonucu, çeşitli etkenler neticesinde aşınma, yorulma, kırılma şeklinde hasarlar oluşmaktadır. Bu hasarlar sonucu makinelerde istenmeyen, ani durmalar söz konusu olmaktadır. İlerleyen aşamada bu hasarlar daha büyük arızalara neden olmaktadır. Sonuç olarak zaman, maliyet, ürün kalitesi, süreç güvenirliği açısından olumsuzluklara sebebiyet vermektedir. Böyle bir durumda, dişli çarklardaki hasarların erken teşhisi büyük bir önem arz etmektedir[1]. 1.1. Literatür Özetleri Dişli hata tespitinde titreşim verilerinin istatistiksel analiz yöntemlerinde kullanılması ile ilgili çalışmalardan bazılarını özetlemek gerekirse: Makine durum izleme teknikleri olarak çeşitli parametreler, hasarları tespit etmede ve böylelikle 883 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Andrade vd., Kolmogorov-Simirnov testi ile yük altındaki düz dişlilerin normal, hatalı, aşınmış, çatlak ilerlemesi gibi durumlarını tespit etmişlerdir[2]. Baydar vd., çok değişkenli istatistiksel yöntemlerden Temel Bileşenler Analizini kullanarak helisel dişlilerdeki diş kusurlarının tespitini gerçekleştirmişlerdir[3]. Birgören ve Koçer, istatistiksel proses kontrol çizelgelerinde hata teşhisinde geleneksel tek değişkenli kontrol çizelgeleri, yapay sinir ağı uygulamaları ve çok değişkenli kontrol çizelgelerinin kullanılabilirliğini ortaya koymuşlardır[4]. Zhan ve Mechefske, dişli kutusundaki dişli arızalarının tespiti için değişen yük koşulları altında zamanla değişen özbağlanımlı modeli kurmuş ve dişli durumunun bir ölçüsü olarak K-S goodness-of-fit test istatistiğini uygulamışlardır [5]. Zhan vd., sağlam bir dişlinin hata tespiti için değişik yük koşullarında çalıştırılması sonucu Kolmogorov-Smirnov testi ile istatistiksel olarak analizini gerçekleştirmişlerdir [6]. Wang vd., faz ve genlik modülasyonu, beta basıklık ve dalga dönüşümü tekniklerinin hassasiyet ve güvenilirliklerini incelemişlerdir. Bunun için deneylerinde sağlam, aşınmış, çatlak ve kırık dişlileri kullanmışlardır [7]. Djeddou and Zegadi, geliştirdikleri iki istatistiksel metodun, küçük adımlı dişli çiftlerin güvenilirlik ve yaşam süresi tahmininde önemli bir uyum gösterdiğini tespit etmişlerdir [8]. Raad vd., istatistik değerleri bazı genel değişkenler açısından periyodik olarak değişen titreşim sinyallerinin sınıflandırılması için periyodikliğin yeni ve basit göstergeleri üzerinde çalışmışlardır. Dişli hata teşhisi için bu göstergelerin nasıl kullanılacağını yaptıkları uygulamalarla göstermişlerdir [9]. Yimin vd., dişli durum izlenmesinde, değişik yük koşullarında elde edilen titreşim verilerine Kolmogorov-Smirnov testini uygulamışlardır [10]. sinyallerinin ultrasonik cihazlarla tespit edilerek akıntı ve sızıntıların kontrolü mümkün olmaktadır. 2.4. Basınç Kontrolü Makinelerin çeşitli kısımlarına manometre vb. türde analog ya da dijital okuyucular yerleştirilerek yağ, hava, soğutma suyu gibi akışkanların basınç ölçümleri ile makinelerde hata tespiti yapılabilmektedir[11]. 2.5. Gürültü Kontrolü Makine ve elemanlarında titreşim sebebiyle oluşan gürültü sinyallerinin frekansları ölçülerek ve normal çalışma şartlarındaki referans değerleriyle karşılaştırılarak makinelerde oluşan hasar türlerini belirleyebilmek mümkündür. 2.6. Titreşim Kontrolü Titreşim, makinelerin içyapısında oluşan olayları en iyi yansıtan parametrelerden biri olduğu için günümüzde kestirimci bakım, titreşim ölçümü ve analizi ile gerçekleştirilmektedir [12]. Bu yöntemde ilk olarak yatak v.b. makine elemanları üzerine ivme ölçerler yerleştirilmektedir. Sistemin ilk çalışma koşullarındaki referans ölçümler veri toplama cihazları ile alınmakta ve dijital analog çevirici ile bilgisayara kaydedilmektedir. Çalışma esnasında oluşan titreşim verileri periyodik veya sürekli olarak ölçülmektedir ve bilgisayar programlarında dalgaform (genlik-zaman) ve spektrum (genlik-frekans) grafikleri ile takip edilmektedir. Makine elemanlarında arıza meydana gelmeye başladığı zaman, artan titreşim genlikleri ile referans ölçümler karşılaştırılmaktadır. Titreşim verileri kabul edilebilir sınırlar içerisinde olup olmadığı ve arıza frekansları seviyesine gelip gelmediği analiz edilerek makinelerde oluşan hasarların tehlikeli bir hal almadan önce belirlenmesi mümkün olmaktadır. Dişli çarklarda frekans analizinde, hasar türlerine (aşınma, dengesizlik, gevşeklik, kırılma v.b.) özgün belirgin titreşimler oluşmaktadır. Bu nedenle dişlilerde titreşim analizi ile DKF, DKF ’nin yan bantları ve yan bantların aralıkları, referans hata frekansları ile yorumlanarak hangi dişlide, ne tür bir arıza oluştuğu tespit edilebilmektedir. 2. Makine Performanslarının İzlenmesi ve Hata Teşhis Yöntemleri Makinelerin çalışma şartlarının ve oluşabilecek hasarların tespitinde çeşitli parametrelerden faydalanılmaktadır. Bu parametreler; 1. Sıcaklık, 2. Yağ Analizi, 3. Akıntı ve Sızıntılar, 4. Basınç, 5. Gürültü, 6. Titreşim olup, bunların analiz edilmesi ile makine performansı ve durumu hakkında değerlendirme yapılabilmektedir [11]. 3. Sürtünme, Viskozite ve Yağlar Dişli çarklarda birbirine temas eden yüzeyler arasında harekete karşı gösterilen dirence sürtünme denilmektedir. Çalışma esnasında temas yüzeylerine etki eden büyük basınçlar neticesinde yüzeyden malzeme ayrılarak kopar ve bir yüzeyden diğerine malzeme transferi meydana gelerek yüzeylerde hasar meydana gelir. Viskozite ise akışkanın akmaya karşı gösterdiği dirençtir ve akışkanların önemli bir özelliğini temsil etmektedir. Hareket halindeki sıvı tabakanın sonraki tabakaya hareketi iletmesi şeklinde tanımlanmaktadır. Viskozite ile sıcaklık arasındaki ilişki çok önemlidir ve sıcaklık değişimlerinden mümkün olduğunca az etkilenmesi istenilmektedir. Dişli çarklarda çalışma esnasında kullanılan yağların başlıca amacı, temas yüzeylerinde yağ filmi oluşturarak sürtünmeleri azaltarak aşınmayı önlemek ve çalışma esnasında oluşan ısıyı çevreye ileterek ısı miktarını azaltmak ve böylece soğutucu işlevini yerine getirmektir. [13]. 2.1. Sıcaklık Kontrolü Makine üzerinde önceden tespit edilen önemli noktalarda örneğin yataklar üzerinde yağ sıcaklığı ya da soğutma suyu sıcaklıklarından alınan ölçümlerin, başlangıçta normal çalışma koşullarında yapılan ölçümlerden alınan referans sinyallerinin karşılaştırılmasına dayanmaktadır. 2.2. Yağ Analizi Makinelerde oluşan hasarlar yağ ve filtre kontrolü ile tespit edilebilmektedir. Metalden koparak yağın içerisine dökülen parçacıkların miktarı, tane büyüklüğünün analizi, yağın renginin koyuluğu, köpüklenmesi, su karışık olması makinelerin çalışma şartları hakkında bilgi vermektedir. 2.3. Akıntı ve Sızıntıların Kontrolü Makinelerde sızıntı sebebiyle oluşan basınç düşmelerinin neden olduğu yüksek frekanslı ses 884 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya 3. İstatistiksel olarak bir sürecin kontrol edilip edilemeyeceğinin belirlenmesi, 4. İstatistiksel Proses Kontrol İstatistiksel proses kontrol, bir ürünün üretim sürecinde (proses) istenilen kalite şartlarında üretimi sağlamak, süreç içerisinde ürünlerde meydana gelebilecek hataları tespit etmek ve süreci iyileştirmek amacıyla kullanılan istatistiksel yöntemleri içermektedir. İstatistiksel proses kontrol yönteminde ürünlerin çap, boy, ağırlık, açı, titreşim genliği gibi kalite göstergesi olan parametreler İPK grafiklerinde analiz edilerek sürecin izlenilmektedir. 4. Kararlı yapıda olmayan bir süreci belirlemek ve süreçte olumsuz bir değişiklik olduğunda, gerekli önlemleri alarak erken uyarı sağlamak amacıyla kullanılır. İstatistiksel proses kontrol grafiği genel olarak, prosesin ortalama değerini gösteren bir merkezi çizgi ile beraber proseste ölçülen verilerin alt ve üst limitini gösteren çizgi hatlarından oluşur. Merkez çizgisi ölçülen karakteristiğin ortalama olarak hedef değerini, limitlerle sınırlanmış alan ise müsaade edilebilir kontrollü bölgeyi göstermektedir. Süreç devam ettikçe elde edilen değerler çizelgeye işlenmektedir. Kontrol çizelgelerinin kullanım amaçları şunlardır; 1. Bir üretim sürecinin hangi sınırlar içerisinde kontrol edilebilirliğinin (yeterliliğinin) tespit edilmesi, 2. Süreç içerisindeki farklılığının gözlemlenmesi, Şekil 1: Örnek Süreç Kontrol Grafiği [14] mümkünse süreç durdurularak hataya yol açan nedenler araştırılır, hata kaynağı saptanır ve gerekli önlemler alınır[15]. Bu şekilde süreç, istatistiksel ve görsel bir şekilde sunulmuş olmaktadır. Bu işlemle beraber proses sürecinde operatörün denetimi kolaylaşmakta ve aynı zamanda çizelgelerin analizi ile sürekli bir iyileştirme imkanı sağlanmaktadır. Süreç içerisinde ürünlerden alınan ölçüm değerleri veya bu değerlerden hesaplanan istatistiksel sonuçlar çizelgelerde kullanılmaktadır. Bu değerler, kontrol bölgesi olarak ifade edilen bir alan içerisindeyse süreç kontrol altındadır. Ölçüm değerleri kontrol bölgesi dışında ise bu durum bir kontrol-dışı uyarı sinyali olarak algılanır ve proseste hataya neden olan bir özel durumun (hata kaynağının) var olduğu kabul edilir. Bu durumda, Şekil 2: İPK Uygulamasında Kullanılan Klasik Kontrol Sistemi [16] Sürecin Kontrol Altında Olduğu Durumlar; 1. 2. 3. Limit değerler dışında noktanın olmaması, Noktaların çoğunun proses merkez çizgisi etrafında bulunması, 4. 885 Proses ortalama çizgisinin altında ve üstünde eşit sayıda noktanın bulunması, Noktalar rasgele olarak sıralanmış ve şüpheli bir davranış gözükmüyor ise süreç kontrol altında demektir. Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Sürecin Kontrol Dışına Çıktığı Durumlar; 1. 2. 3. 4. 5. kontrol grafikleri tercih edilir. X -S kontrol grafikleri; çok sayıda örnek hacmi içeren süreçlerde süreç değişkenliğini daha verimli ve etkili bir şekilde göstermektedir. Grafikte S değeri her bir grubun standart sapmasını gösterirken merkezi çizgi değeri S ise her grubun standart sapmalarının ortalamasını belirtmektedir. Üst ve alt kontrol sınır değerleri; ÜKS= Bir veya daha fazla noktanın kontrol sınırları dışına çıkması, Peş peşe gelen 7 noktanın hepsinin merkez çizginin altında ya da üstünde bulunması, Peş peşe gelen 7 noktanın artan veya azalan bir şekilde trend göstermesi, 3σ çizgisi etrafındaki her 3 noktadan 2 sinin 2σ çizgisinin dışına çıkması, Noktaların periyodik olarak bir eğilim içersinde bulunması. X + A3 S ve AKS= X - A3 S ifadeleri ile bulunmaktadır. 4.2. Ölçülemeyen Veriler için Kontrol Grafikleri Örneklerin kırık, çatlak, bozuk, lekeli, kusurlu v.s. gibi duyu organlarımız aracılığıyla değerlendirilebilen, değişimleri sayısal olarak ölçüm aletleriyle ölçülemeyen özelliklerin üretim süreci bu tür kontrol grafikleri izlenebilmektedir. Bu grafikler örnekteki kusurlu oranını baz alan p ve örnekteki kusur sayısını baz alan c kontrol grafikleridir. 4.1. Ölçülebilir Veriler için Kontrol Grafikleri Çap, boy, ağırlık, sertlik, açı, uzunluk, hacim, titreşim genliği gibi alet ve cihaz yardımıyla ölçülebilen ve rakamsal olarak gösterilebilen özelliklerdir. Bu tip parametreler için süreç ortalamasındaki değişimleri ölçen X , değişkenlikteki farklılıkları ölçen R ve süreç standart sapmasını ölçen S grafikleri kullanılmaktadır. 5. Titreşim ve Yağ Sıcaklığı Parametrelerinin İPK Analizi ile Düz Dişlilerde Hata Tespiti 4.1.1. X ve R Grafikleri Örnekleme hacminin çok fazla olmadığı (n ≤ 10) süreçlerde, ortalama ile birlikte değişkenlik farkı grafikleri kullanılır. Bu uygulama ile hem ortalama hem de değişkenlik açısından sürecin kontrol altında olup olmadığı gözlemlenebilmektedir. X grafiği süreçteki her bir grubun ortalama değerleri Düz dişlilerdeki çalışma esnasında yağ sıcaklığının artması sonucu meydana gelen hataların oluşturduğu titreşim değişkenlikleri istatistiksel proses kontrol grafiklerinde analiz edilerek farklı tipteki dişli kusurları tespit edilebilmektedir. Bu yöntemde, dişli test düzenekleri vasıtasıyla elde edilen titreşim genlikleri istatistiksel proses kontrol grafiklerinden süreç ortalamasındaki farklılıkları ölçen , değişkenlikteki farklılıkları ölçen R ve süreç standart sapmasını ölçen S grafiklerinde işaretlenmektedir. Alt ve üst kontrol limitleri, sağlam dişlinin ilk çalışma şartlarında yani yağ sıcaklığının etkisinin sürece etki etmediği durumda elde edilen titreşim verilerinin ortalama ve standart sapma değerleri kullanılarak belirlenmektedir. Titreşimlerdeki bu değişimler, MINITAB programı ile belirlenen örnekleme hacmine göre ve S grafiklerinde analiz edilmektedir. Deney verilerinin süreç içerisinde rasgele davranış gösterip göstermediği, kontrol sınırları arasında olup olmadıkları kontrol edilmektedir. Dişliler, uygulanan burulma momentiyle hataya zorlamalı bir şekilde çalıştırılmaları ve kullanılan yağın sıcaklığındaki artış sonucu sürtünmeye karşı direnç ve soğutma görevlerini yerine getirememesi sebebiyle süreç içerisinde aşınmaya maruz kalmakta ve neticesinde titreşim genliklerinde artış görülmektedir. Kontrol grafiklerinde süreç analiz edilerek bu durum tespit edilmekte ve böylelikle sağlam dişlinin ne zaman aşındığının veya ileri safhalarda kırılma gibi daha büyük hasarların teşhisi gerçek zamanlı deneysel çalışma ile grafiksel olarak gösterilebilmektedir. kullanılarak oluşturulmaktadır. X ifadesi ise merkez çizgiyi tanımlamaktadır ve grup ortalamalarının ortalaması şeklinde bulunmaktadır. R grafiği ise her bir gruptaki ölçümlerden, en büyük ve en küçük değerler arasındaki fark bulunarak oluşturulmaktadır. R ifadesi ise merkez çizgiyi ifade etmektedir ve R değerlerinin ortalaması ile bulunmaktadır. X ve R kontrol çizelgelerinde alt kontrol limiti ve üst kontrol limiti bulunurken örnekleme hacmine göre kontrol grafiklerini düzenlemede kullanılan katsayılar standart tablosundan seçilerek belirlenmektedir. X grafiğinde bu değerler ÜKS= X + A 2 R ve AKS= X - A 2 R şeklinde bulunmaktadır. R grafiğinde ise ÜKS= D4 R ve AKS= D3 R şeklinde hesaplanmaktadır. 4.1.2. X ve S Grafikleri X ve S kontrol grafikleri de X ve R kontrol grafikleri gibi alt grup ortalamalarıyla beraber ve alt grup standart sapmalarını gösteren iki grafikten oluşmaktadır. Orta büyüklükte örnek hacmine (n>10) sahip süreçlerde veya örnek hacminin örnekten örneğe farklılık gösterdiği durumlarda X ve R kontrol grafikleri yerine X ve S 886 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya X Bar - S Grafiği Ö r nekleme O r talaması U C L=0,0644 0,050 0,025 _ _ X=0,0036 0,000 -0,025 -0,050 LC L=-0,0571 1 Dakika Standar t Sapma 0,500 U C L=0,4955 0,475 _ S =0,4525 0,450 0,425 LC L=0,4096 0,400 1 Dakika Şekil 3: Sağlam dişli X - S Grafiği Şekil 3’ de bir dakikalık çalışma sonucunda, sağlam durumdaki bir düz dişliden elde edilen titreşim verilerinin kullanılması ile çizilen X-bar ve S grafiği görülmektedir. İlk çalışma şartlarında, yağ sıcaklığının sisteme henüz etki etmediği durumdaki referans genlikleri yani kontrol limitleri böylelikle belirlenmektedir. Bu grafik sonucunda ortalama değer 0,0036 ve standart sapma değeri 0,4525 olarak bulunmuştur. Örnekleme ortalaması ve standart sapma grafiklerinin alt ve üst kontrol limitleri de bu grafikten belirlenmektedir. Ö r nekleme O r tlaması X Bar - S Grafiği 0,10 U B=0,0644 0,05 _ _ X=0,0036 0,00 -0,05 LB=-0,0571 -0,10 1 11 21 31 41 51 Sıcaklık Standar t Sapma 0,8 61 71 1 0,6 81 1 1 1 1 1 1 1 91 1 1 1 1 0,4 0,2 1 0,0 1 U B=0,4955 _ S =0,4514 LB=0,4096 1 1 1 11 1 1 11 11 11 1 1 1 111 11 11 11 1 11 1 11 11 1 11 11 11 1 1 11 11 1 1 1 11 21 31 41 51 Sıcaklık 61 71 81 91 Şekil 4: X - S Grafiği Şekil 4’ de ilk çalışma şartlarında, sağlam durumdaki dişliden elde edilen ortalama, standart sapma ve kontrol limitleri kullanılarak çalışma sonucu yağ sıcaklığı ile dişli titreşim verilerinin değişimini gösteren X-bar ve S grafiği görülmektedir. Örnekleme hacmi, her bir sıcaklık değerinde 500 veri alınarak oluşturulmuştur. Örnekleme ortalaması ve standart sapma grafiklerine Çalışma sonucu yağ sıcaklığının artması ile beraber kullanılan yağ soğutma ve yağ filminin zayıflaması neticesinde de sürtünmeyi önleme görevlerini yerine getirememektedir. Sıcaklık arttıkça yağ vizkozitesi düşmekte ve yağın basınç altındaki dayanımı azalmaktadır. Böylelikle yüzeyler arasındaki yağ filmi yırtılarak, dişli yüzeylerinde malzeme kaybı olmakta ve aşınma hasarı meydana gelmektedir. beraber bakıldığında yağ sıcaklığının 50 o C’ ye ulaşıncaya kadar dişli frekans verilerinin merkez çizgi etrafında dağıldığını ve ortalamadan sapma gibi süreç içerisinde anormal bir davranış görülmemektedir. 887 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya statistics”, Mechanical Systems and Signal Processing, 15 (2), pp. 303-321, 2001. Grafiklerde bu durum kendisini 51 o C sıcaklık değerinden itibaren titreşim genliklerinin örnekleme ortalaması değerlerinde artış ve alt kontrol ve üst kontrol sınırlarının ihlali ile beraber noktaların istikrarlı bir şekilde artış ve azalış göstererek bir trend izlemesi şeklinde göstermektedir. Standart sapma grafiğinde ise bu durum, ani bir artış ve anormal davranış olarak rasgele bir eğilim içerisinde olmadığı şeklinde kendisini göstermektedir. X-bar grafiğinde 51, 58, 60, 64, 73, 90 ve 95 o C [4] Birgören, B. ve Koçer B., “İstatistiksel proses kontrol çizelgelerinde hata teşhisine yönelik yaklaşımlar”, G. Ü. Fen Bilimleri Dergisi, 17 (4), pp. 59-69, 2004. [5] Zhan, Y. M., Mechefske, C.K., “Load-independent condition assessment of gears using Kolmogorov-Smirnov goodness-of-fit test and autoregressıve modeling”, Word Congress on Engineering Asset Management, Australia, 11-14 July 2006. sıcaklıklarında verilerin kontrol limitlerinin dışına çıkması ve özelliklede 95 o C’ den itibaren kontrol limitlerinden sapma miktarında artış olduğu görülmektedir. Bu durumda proseste bir hata oluştuğu anlaşılmaktadır. Hata tespiti için istatistiksel proses kontrol grafikleriyle beraber dişlilerin durumlarının gözlemlenmesi gerekmektedir. Grafiklerden süreç içerisinde sağlam durumdaki dişlide çalışma sonucu yağ sıcaklığının artması ile yüzeylerde malzeme kayıplarının oluşması ve böylelikle en temel hasar olan aşınmanın gerçekleşmeye başladığı anlaşılmaktadır. İlerleyen çalışmalarda yağ sıcaklığının artması ile beraber, dişli yüzeylerindeki bu aşınmalar ilerleyerek maksimum çekme gerilmelerini meydana getirecektir. Bu gerilmeler malzemenin mukavemet sınırlarına ulaşmasına ve böylelikle yorulma çatlaklarının oluşmasına neden olacaktır. Çalışma ile beraber bu çatlaklar dişin çark gövdesinden ayrılmasına kadar ilerleyecektir. Bu durum istatistiksel proses kontrol grafiklerinde, yağ sıcaklığının artması ile beraber titreşim verilerinin de giderek artması sonucu kontrol sınırlarının ihlalinin sürekli bir hale gelmesi ve rasgele olmayan bir sürecin gözlemlenmesi şeklinde kendini gösterecektir. [6] Zhan, Y., Makis, V., Jardine, A. K .S., “Adaptive state detection of gearbox under varying load conditions based on parametric modelling”, Mechanical Systems and Signal Processing, 20 (1), pp. 188-221, 2006. [7] Wang, W. Q., Ismail, F., Golnaraghi, M. F., “Assessment of gear damage monitoring techniques using vibrations measurements”, Mechanical Systems and Signal Processing, 15 (5), pp. 905-922, 2001. [8] Djeddou, F., Zegadi, R., “Practical statistical methods for predicting life reliability of fine pitch gear pairs”, Journal of Engineering and Applied Sciences, 2 (3), pp. 494-500, 2007. [9] Raad, A., Antoni, J., Sidahmed, M., “Indicators of cyclostationarity: Theory and application to gear fault monitoring”, Mechanical Systems and Signal Processing, 22 (3), pp. 74–587, 2008. 6. Sonuçlar [10] Yimin, S., Mechefske, C. K., “Gearbox vibration monitoring using extended kalman filters and hypothesis tests”, Journal of Sound and Vibration, Vol: 325, pp. 629– 648, 2009. Bu çalışmada, düz dişlilerde çalışma esnasında kaydedilen titreşim verileriyle, yağ sıcaklığının ilişkisi istatistiksel proses kontrol metotu ile analiz edilerek düz dişlilerde görülen en temel hasarlardan olan aşınma hatasının tespit edilebilirliği ortaya konulmuştur. Sağlam durumdaki bir dişlide yağ sıcaklığının sisteme olan etkisi sonucu oluşabilecek hasarların ne zaman meydana geldiği istatistiksel proses kontrol metodu ile grafiksel olarak gösterilebilmektedir. Böylelikle arızanın başlangıç aşamasında tespit edilmesi ile gerçek zamanlı çalışan bir erken uyarı sistemi gerçekleştirilebilir. Yağın fonksiyonunu ne zaman yerine getiremeyeceği ve dolayısıyla arızanın ne zaman sistemi işlemez hale getireceğinin belirlenmesi ve bu zaman dilimi içerisinde tedbirlerin alınarak, arızanın en az maddi ve zaman kaybıyla aşılması, ekonomik bir katkı sağlayacaktır. [11] Sipahi, C. V., Dişli çark hata ve hasarlarının titreşim analizi ile belirlenmesi, Yüksek Lisans Tezi, İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 1995. [12] Orhan, S., Rulmanlarla yataklanmış dinamik sistemlerin titreşim analizi ile kestirimci bakımı, Doktora Tezi, Kırıkkale Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2002. [13] İşel, B., Dişliler için yüzey yorulması test cihazı geliştirilmesi ve yağ sıcaklığının etkisinin incelenmesi, Yüksek Lisans Tezi, Afyonkarahisar Kocatepe Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2007. 7. Kaynakça [14] Örümlü, M., Üretim sürecinde istatistiksel proses kontrol ve işletme uygulamaları, Yüksek Lisans Tezi, Celal Bayar Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2006. [1] Maraş, S., Duman, Ö., Arslan, H., Yüzükırmızı, M., “Dişlilerden elde edilen titreşim sinyallerinde istatistiksel proses kontrol uygulaması” 32. Yöneylem Araştırması ve Endüstri Mühendisliği Kongresi, İstanbul, 20-22 Haziran 2012. [15] Birgören, B., ve Koçer, B., “İstatistiksel proses kontrol çizelgelerinde hata teşhisine yönelik yaklaşımlar”, G. Ü. Fen Bilimleri Dergisi, 17 (4), pp. 59-69, 2004. [2] Andrade, F. A., Esat, L. L., Badi, M. M., “Gear condition monitoring by a new application of the Kolmogorov-Smirnov test”, Journal of Mechanical Engineering Science, Vol:215, pp. 653-661, 2001. [16] Çolak, T., İstatistiksel süreç kontrolü ve uygulamalar, Yüksek Lisans Tezi, Çukurova Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2007. [3] Baydar, N., Chen, Q., Ball, A., Kruger, U. “Detection of incipient tooth defect in helical gears using multivariate 888 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Smith Öngörücüsü Yapıları İçin Kararlılık Bölgesi Analizi F. Nur Deniz1, Nusret Tan1, Serdar E. Hamamcı1, İbrahim Kaya2 1 Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü İnönü Üniversitesi, Malatya 2 Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Dicle Üniversitesi, Diyarbakır furkan.deniz@inonu.edu.tr Kararlılık bölgesi, PI için (kp, ki) düzleminde kararlı olacağı bütün parametre değerleri ile, PID için ise (kp, ki) ve (kp, kd) düzlemlerinde kararlı olacağı bütün parametre değerleri ile tanımlanır [12, 13]. Zaman gecikmeli sistemlerde kullanılan Pade yaklaşımından ötürü oluşan hatalar, kararlılık bölgesi hesaplarında zaman gecikmesi parametresi doğrudan hesaba katıldığından dolayı ortadan kalkmıştır. Kararlılık bölgesi ile PI ya da PID’nin kararlı olacağı bütün parametre değerleri elde edilir. Kararlılık bölgesi kullanılarak bir kontrolörün en iyi performans sağlayan parametre değerleri ve dayanıklı çalışma aralığı hesaplanabilir. Bu çalışmada mükemmel olmayan model hesaba katılarak Smith öngörücüsü yapısının transfer fonksiyonu yeniden hesaplanmıştır. Elde edilen transfer fonksiyonundan yola çıkarak sistemin karakteristik denklemi elde edilmiş ve mükemmel olan ya da olmayan bütün modeller için kullanılabilecek genelleştirilmiş bir kararlılık bölgesi analizi yapılmıştır. Özetçe Bu çalışmada, Smith öngörücüsü yapılarında kontrol edilen sistemin farklı modellleri için kararlılık bölgesi analizleri yapılmıştır. Smith öngörücüsünde sırasıyla mükemmel model ve mükemmel olmayan model (FOPDT (First Order Plus Dead Time) model ve SOPDT (Second Order Plus Dead Time) model) yapıları kullanılmış, her bir model için sistemin karakteristik denklemi elde edilerek kararlılık bölgeleri incelenmiştir. Yüksek dereceli, büyük zaman gecikmeli bir örnek üzerinde uygulamalar yapılmıştır. Bu çalışmanın yapılmasındaki amaç kararlılık bölgelerinin analizinden yola çıkarak daha iyi bir model tahmininin (mükemmel modele yakın) yapılabilmesi için matematiksel derivasyonlar geliştirmektir. 1. Giriş PI, PID kontrolörler günümüz endüstrisinde hala yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Endüstride bu kadar çok tercih edilmesinin sebebi dayanıklı performansı ve kullanım kolaylığı avantajlarından kaynaklanmaktadır [1, 2]. Fakat zaman gecikmesinin büyük olduğu durumlarda klasik yöntemler ile tasarlanan PI, PID kontrolörler yetersiz kalmaktadır [1, 3]. Örnekleme zamanı hataları, kullanılan elemanların birbirinden ayrı olması ve iletişimin geç olması gibi nedenlerden endüstride kullanılan hemen hemen bütün sistemlerde zaman gecikmesi görülmektedir [4]. Uzun zaman gecikmesinin olduğu durumlarda faz gecikmesinin de artması, kapalı çevrim sistemi kararsızlığa götürmektedir [5]. Bu durumda kontrolör tasarımı için başka yöntemler kullanmak gerekmektedir. Zaman gecikmesinin uzun olduğu bir kontrol sisteminin kararlı olabilmesi için kontrolörün türev kısmı dışında başka bir öngörü parametresi daha olması gerekmektedir [6]. Smith öngörücüsü uzun zaman gecikmesinin olduğu sistemlerde kararlı bir yapının elde edilebilmesi için kullanılan etkili bir ölü zaman kompanzatörüdür [7]. Smith öngörücüsünde kullanılan kontrolör, kontrol edilen sistemin modelinin parametrelerine bağımlı olacak şekilde PI ya da PID olarak tanımlanır. Smith öngörücüsünün performansı, Şekil 1’de görüldüğü üzere kontrol edilen sistemin modeline bağlıdır. Tahmin edilen model ne kadar gerçek sisteme benzerse Smith öngörücüsünün performansı o ölçüde artar [8]. Model parametrelerinin tahmininde çeşitli yöntemler mevcuttur [5, 9-11]. 2. Smith Öngörücüsü Yapısı Şekil 1’de Smith öngörücüsü yapısı gösterilmiştir. +_ +_ Gc(s) G(s) e-Ls Gm(s) ) e-Lms +_ Şekil 1: Smith Öngörücüsü Kontrol Şeması. Şekil 1’deki sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu Denklem (1)’de verilmiştir. T ( s) 889 G( s)Gc ( s)e Ls 1 (G( s)e Ls Gm ( s)e Ls Gm ( s))Gc ( s) (1) Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Smith öngörücüsü yapısında G(s) = Gm(s) (mükemmel model) olursa sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu Denklem (2)’ de gösterildiği gibi elde edilmiştir. G( s) Tm K m Lm ve Ti Tm C ( s) k p Denklem (7)’de denklemi verilmiştir. G( jw) 2’deki sistemin karakteristik (7) N e ( w 2 ) jwNo ( w 2 ) De ( w 2 ) jwDo ( w 2 ) (8) Karakteristik denklem yeniden yazılırsa Denklem (9) elde edilir. ( jw) [(ki N e k p w 2 N o ) cos(w ) w(ki N o k p N e ) sin(w ) w 2 Do ] j[ w(ki N o k p N e ) cos(w ) (ki N e (9) w 2 k p N o ) sin(w ) wDe ] T1m T2m K m Lm Denklem (9)’da reel ve sanal kısımlar ayrı ayrı sıfıra eşitlenip çözüm yapılırsa Denklem (10)’da verilen kp ve Denklem (11)’de verilen ki değerleri hesaplanmış olur. (4) T1mT2m T1m T2m Sistemin kapalı çevrim cevabının daha hızlı olabilmesi için Kp hesaplanırken 0.2< α<1 olacak şekilde bir 1/α sabiti ile çarpılır [5]. X( w)U( w)- Y( w)R( w) Q( w)U( w)- R( w)S( w) (10) ki ( w)= Y( w)Q( w)- X( w)S( w) Q( w)U( w)- R( w)S( w) (11) Q( w) wN e sin(w ) w 2 N o cos(w ) Şekil 2’de gösterilen bir kontrol sistem yapısını ele alalım. C(s) k p ( w)= Denklem (10) ve (11)’deki Q(w), R(w), X(w), S(w), U(w) ve Y(w) değerleri Denklem (12)’de verilmiştir. 3. Kararlı PI Kontrolörün Hesaplanması +- Şekil (6) Denklem (5)’te s=jw dönüşümü yapılıp, transfer fonksiyonun pay ve paydası tek ve çift bileşenlerine ayrılırsa Denklem (8) elde edilir. (3) Ti T1m T2m Td ki k p s ki s s (s) sD(s) (k p s k i ) N (s)e Ts Sistemin modeli SOPDT olarak varsayılıp, gerekli hesaplamaların yapılması neticesinde elde edilen değerler Smith öngörücüsünde kullanılan kontrolörün PID olduğunu gösterir. PID’nin parametreleri Denklem (4)’te verilmiştir. ISE kriterlerine göre gerekli hesaplamalar yapılırsa filtrenin zaman sabiti, Lm zaman gecikmesine eşit olacaktır [5]. Kp (5) C(s), Denklem (6)’daki gibi klasik bir PI kontrolör olsun. G ( s)Gm ( s)e Lm s (2) T ( s) c 1 Gc ( s)Gm ( s) Smith öngörücüsü yapısı internal model kontrol yapısı olarak da tasarlanabildiği için internal model kontrol yapısının özellikleri Smith öngörücüsü yapısı için de geçerlidir [14]. Smith öngörücüsü yapısı internal model kontrol yapısı şeklinde yeniden tasarlanır. Modelin transfer fonksiyonu (zaman gecikmesi parametrelerinden ve sağ yarı düzlemdeki sıfırlardan geriye kalan kısmı) kazancı bir olan alçak geçiren bir filtre ile çarpılır. Elde edilen model mükemmel model varsayılarak sistemin transfer fonksiyonunda yerine yazılırsa sistemin transfer fonksiyonunun sadece alçak geçiren filtre parametrelerine bağlı olduğu görülür [3,5]. Sistemin modeli FOPDT olarak varsayılıp gereken hesaplamalar yapılırsa Smith öngörücünde kullanılan kontrolörün, PI kontrolör olduğu ve parametrelerinin Denklem (3)’deki gibi olduğu görülür. Kp N ( s) Ts e D( s ) R( w) N e cos(w ) wN o sin(w ) X ( w) w 2 Do G(s) (12) S ( w) wN e cos(w ) w 2 N o sin(w ) U ( w) wN o cos(w ) N e sin(w ) Y ( w) wDe Şekil 2: Kararlılık Bölgesi Analizi için Kontrol Şeması. Denklem (11) ve Denklem (12) çözümlendikten sonra (k p , ki ) düzleminde (k p (w), ki (w)) eğrisi ile çizilen bölge, Buna göre G(s), Denklem (5)’te gösterildiği üzere zaman gecikmeli bir sistem olsun. kararlılık bölgesini belirler [12,13]. 890 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya 4. Smith Öngörücüsü için Kararlılık Bölgesi Hesabı U( w)= wDme N o cos( Lw)+ wDmo N e cos( Lw) - wDe N mo cos( Lm w) - wDo N me cos( Lm w) - Dme N e sin( Lw)+ w 2 Dmo N o sin( Lw) Denklem (1)’de verilen Smith öngörücüsü yapısının mükemmel model olmayan transfer fonksiyonu ile Denklem (6)’da verilen klasik PI kontrolör yapısı ele alındığında Şekil 1’deki kontrol şemasının karakteristik denklemi Denklem (13)’deki gibi elde edilmiştir. + De N me sin( Lm w) - w Do N mo sin( Lm w) + wDe N mo + wDo N me Y(w)= -wDe Dme + w3 Do Dmo ( s) sD( s) Dm ( s) ( Dm ( s) N ( s)e Ls D( s) N m ( s )e Lms kullanılan bütün modeller için (14) (s) sD(s) N (s)(k p s ki ) Denklem (14) reel ve sanal kısımlarına ayrılıp sıfıra eşitlendiği takdirde kp(w) ve ki(w) değerleri Denklem (10) ve Denklem (11)’de elde edildiği gibi olacaktır. Buradaki Q(w), R(w), X(w), S(w), U(w) ve Y(w) değerleri de aşağıdaki denklemlerde elde edilmiştir. 2 ( jw) [(ki N e k p w 2 N o ) w 2 Do ] j[ w(ki N o k p N e ) wDe ] Q( w)= -w Dme N o cos( Lw)- w Dmo N e cos( Lw) + w 2 De N mo cos( Lm w) + w 2 Do N me cos( Lm w) + wDme N e sin( Lw)- w Dmo N o sin( Lw) (15) - wDe N me sin( Lm w) + w Do N mo sin( Lm w) - w 2 De N mo - w 2 Do N me Q( w) w 2 N o R ( w) N e R( w)= Dme N e cos( Lw)- w 2 Dmo N o cos( Lw) X ( w) w 2 Do - De N me cos( Lm w) + w 2 Do N mo cos( Lm w) S ( w) wN e (16) Y ( w) wDe + De N me - w 2 Do N mo Denklem (23)’teki değerler Denklem (10) ve Denklem (11)’de yerine yazılacak olursa mükemmel modelin uygulandığı Smith öngörücüsü yapısının kararlılık bölgesi bulunmuş olur. (17) S( w)= wDme N e cos( Lw)- w 3 Dmo N o cos( Lw) 5. Uygulama - wDe N me cos( Lm w) + w 3 Do N mo cos( Lm w) + w 2 Dme N o sin( Lw)+ w 2 Dmo N e sin( Lw) (23) U ( w) wN o - wDe N mo sin( Lm w) - wDo N me sin( Lm w) X(w)= w2 De Dmo + w2 Do Dme (22) Denklem (22)’de de reel ve sanal kısımlar sıfıra eşitlenirse kp(w) ve ki(w) değerleri Denklem (10) ve Denklem (11)’deki gibi olacaktır. Buradaki Q(w), R(w), X(w), S(w), U(w) ve Y(w) değerleri de Denklem (23)’te gösterildiği gibi elde edilmiştir. 3 + wDme N o sin( Lw)+ wDmo N e sin( Lw) (21) Burada görüldüğü üzere karakteristik denklem zaman gecikmesinden bağımsızdır. Denklem (21)’de s=jw dönüşümü yapılırsa Denklem (22)’deki karakteristik denklem elde edilir. 2 3 (k p (w), ki (w)) eğrisi ile belirlenen kararlılık bölgeleri bulunmuş olur. Denklem (1)’de verilen Smith öngörücüsü yapısında mükemmel model yani G(s)e Ls Gm (s)e Lms olduğu takdirde Denklem (2)’deki transfer fonksiyonu elde edilir. Bu durumda Smith öngörücüsü yapısının karakteristik denklemi Denklem (21)’deki gibi olacaktır. Denklem (13)’de s=jw dönüşümü yapılırsa Denklem (14)’te verilen karakteristik denklem elde edilmiş olur. ( De jwD o )(N me jwN mo )(cos(Lm w) j sin( Lm w) ( De jwD o )(N me jwN mo ))(k p jw ki ) (20) Bulunan bu değerler Denklem (10) ve Denklem (11)’de yerine yazılırsa (k p , ki ) düzleminde Smith öngörücüsünde (13) D( s) N m ( s))(k p s ki ) ( jw) jw( De jwD o )(Dme jwD mo ) ((Dme jwDmo )(Ne jwN o )(cos(Lw ) j sin( Lw )) (19) 2 Bu bölümde [5]’te örnek olarak verilen yüksek mertebeli bir sistem üzerinde uygulamalar yapılmıştır. Verilen yüksek mertebeli sistemin kararlılık bölgesi analizleri [15, 16]’daki önerilen metot ile elde edilen FOPDT ve SOPDT modelleri kullanılarak yapılmıştır. Yüksek mertebeli sistemin transfer fonksiyonu Denklem (24)’te verilmiştir. (18) - w 2 De N mo sin( Lm w) - w 2 Do N me sin( Lm w) + wDe N me - w 3 Do N mo 891 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya G(s) = e -20s (3s 1)(2s 1)(s 1)(0.5s 1) (24) Smith öngörücüsü yapısındaki model, SOPDT model olduğu takdirde Gm(s), Denklem (26)’daki gibidir. 1. Smith öngörücüsü yapısındaki modelin mükemmel model olduğunu kabul edelim. Yani Gm(s)=G(s) olsun. Denklem (2)’deki transfer fonksiyonundan görüldüğü üzere sistemin karakteristik denklemi zaman gecikmesinden bağımsızdır. Denklem (12)’deki işlemler yapılıp Denklem (10) ve (11)’de yerine konulursa bu durumda kararlılık bölgesi Şekil 3’teki gibi olur. G m (s) e -21.01s (26) (2.77s 1)2 14 zaman gecikmeli pade yaklaşımı 12 1.2 10 1 ki 8 0.8 6 0.6 ki 4 0.4 2 0.2 0 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 kp 0 -0.2 -1 0 1 2 3 kp 4 5 6 Şekil 5: Gm(s)=SOPDT Model Durumunda Kararlılık Bölgesi. 7 Smith öngörücüsü yapısında SOPDT model söz konusu olduğunda elde edilen kararlılık bölgesi Şekil 5’te verilmiştir. Bu örnekte zaman gecikmesi yerine 1. dereceden Pade yaklaşımı kullanılarak da sistem kararlılık bölgesi analizi yapılmış ve zaman gecikmeli sistem ile elde edilen sonuçlar ile kıyaslanmıştır. Şekil 4’te ve Şekil 5’te görüldüğü üzere, Pade yaklaşımından kaynaklanan hatalar, zaman gecikmesini doğrudan hesaba katarak yapılan analizlerde ortadan kalkmıştır. Farklı kp, ki değerleri için sistemin birim basamak cevapları neticesinde Şekil 4’te ve Şekil 5’te Pade yaklaşımı ile elde edilen eğrinin sağ tarafı kararlı bölge, sol tarafı ise kararsız bölge olduğu tespit edilmiştir. Elde edilen spiralimsi yapının ise sağ tarafında kalan bölge kararlı, sol tarafında kalan bölge ve spiralimsi yapının içinin kararsız bölge olduğu tespit edilmiştir. Şekil 6’da ise bütün modeller için kararlılık bölgeleri elde edilmiştir. Görüldüğü üzere SOPDT model, FOPDT modele göre kararlılık bölgesini kısmen daraltarak mükemmel modele biraz daha yaklaşmıştır. Her iki modelin kararlılık bölgesinin, mükemmel modelin kullanıldığı sistemdeki kararlılık bölgesine yaklaşması durumunda sistem daha kararlı ve dayanıklı olacaktır. Smith öngörücüsünde sistem ile model eşit olmadığı zaman karakteristik denklemde farklı zaman gecikmeleri içeren terimler karşımıza çıkmaktadır. Bu tür sistemlerin karakteristik analizleri ile ilgili çalışmalar mevcut olmakla birlikte [17] bu konuda daha fazla çalışmaya ihtiyaç vardır. Şekil 7’de ise aynı kp, ki değerlerinde her bir model için birim basamak cevapları verilmiştir. Şekil 3: Gm(s)=G(s) Durumunda Kararlılık Bölgesi. 2. Mükemmel olmayan modellerde Denklem(1)’deki transfer fonksiyonunda görüldüğü üzere sistemde farklı iki zaman gecikmesi söz konusudur. Bu durumda Denklem (15), (16), (17), (18), (19) ve (20)’deki işlemler yapılıp Denklem (10) ve Denklem (11)’de yerine konulursa kararlılık bölgeleri elde edilir. Smith öngörücüsü yapısındaki modelin FOPDT model olduğunu kabul edelim. Bu durum için Gm(s), Denklem (25)’te verilmiştir. G m (s) e -23.28s (3.67s 1) (25) Smith öngörücüsü yapısında FOPDT model söz konusu olduğunda elde edilen kararlılık bölgesi Şekil 4’te verilmiştir. 3 zaman gecikmeli pade yaklaşımı 2.5 ki 2 1.5 1 0.5 0 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 kp 0 0.5 1 1.5 Şekil 4: Gm(s)=FOPDT Model Durumunda Kararlılık Bölgesi. 892 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya 8 7 6 [5] Ibrahim Kaya, “IMC bades automatic tuning method for PID controllers in Smith predictor configuration”, Computers & Chemical Engineering, Volume 28, Issue 3, 15 March 2004, Pages 281–290. [6] Palm W. J., Control Systems Engineering, John Willey&Sons,1986. [7] Siva R. Veermachaneni,Jon Watkins,Tooran Emami “Robust Stabilization Of Time Delay Systems Using PID Controller With A Smith Predictor”, 2013 IEEE Multiconference on Systems and Control Hyderabad, India August 28-30, 2013. [8] Weidong Zhang, Xiaomi Xu, “Analytical design and analysis of mismatched Smith predictor”, ISA Transactions, Volume 40, Issue 2, April 2001, Pages 133– 138. [9] Benouarets, M., & Atherton, D. P., “Autotuning design methods fora Smith predictor control scheme”, In UKACC International Conferenceon Control’94 (pp. 795–800), 1994. [10] Hang, C. C., Wang, Q. G., & Cao, L. S., “Self-tuning Smithpredictors for processes with long dead time” , International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 9, 255–270 ,1995. [11] Palmor, Z. J., & Blan, M., An auto-tuner for Smith dead time compensator. International Journal of Control, 60(1), 117–135, 1994. [12] Tan, N, “Computation of Stabilizing PI and PID controllers for processes with time delay”, ISA Transactions, Vol.44,No.2,pp, 2009. [13] Nusret Tan, “Computation of stabilizing PI-PD controllers”, International Journal of Control, Automation and Systems Volume 7, Issue 2 , pp 175-184, 2005. [14] N. Abe, K. Yamanaka, “Smith Predictor Control and Internal Model Control –A Tutorial”, SICE Annual Conference in Fukui, Japan, August 4-6, 2003. [15] Kaya, I., & Atherton, D. P., “A new PI-PD Smith predictor for control of processes with long dead time”, In Proceedings of the 14th IFAC World Congress IFAC’99 (pp. 283–288), 1999. [16] Kaya, I., & Atherton, D. P., “Parameter estimation from relay autotuning with asymmetric limit cycle data”, Journal of Process Control,11(4), 429–439, 2001. [17] Serdar E. Hamamcı, “PI and PId stabilization of neutral and retarded systems with time delay”,Turkish Journal of Electrical Engineering&Computer Sciences, TUBİTAK Volume 20, pp 1189-1205, 2012. 5 ki 4 3 PLANT FOPDT SOPDT 2 1 0 -1 -4 -2 0 2 kp 4 6 8 Şekil 6: Bütün Modeller İçin Kararlılık Bölgeleri 1.4 FOPDT SOPDT PLANT 1.2 1 (y(t) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 50 100 150 200 t 250 300 350 400 Şekil 7: Bütün modellerde, kp=0.4, ki=0.1 için birim basamak cevabı.(Sisteme 150.sn’de step gürültü verilmiştir.) 6. Sonuçlar Bu çalışmada, uzun zaman gecikmesinin olduğu durumlarda kullanılan Smith öngörücüsü yapılarında kontrol edilen sistemin hem mükemmel modeli için hem de FOPDT ve SOPDT modelleri için kararlılık bölgesi analizleri yapılmıştır. Görüldüğü üzere mükemmel model ve FOPDT, SOPDT model yapılarında elde edilen kararlılık bölgeleri arasında oldukça farklılıklar vardır. İlerleyen çalışmalarda bu modellerin kararlılık bölgeleri mükemmel modelin kararlılık bölgesine yaklaştırılabilirse o bölgede elde edilecek modelin kullanılmasıyla daha kararlı ve dayanıklı bir kontrolör tasarlanması mümkün olacaktır. Kaynakça [1] Astrom, K. J. and Hagglund, T., “The future of PID control”. Control Eng. Pract. 9, 1163-1175 ,2001. [2] Astrom, K. J. and Hagglund, T., PID Controllers:Theory, Design, and Tuning, Instrument Society of America, Research Triangle Park, NC, 1995. [3] Ibrahim Kaya, “Autotuning of a new PI-PD Smith predictor based on time domain specifications”, ISA Transactions, Volume 42, Issue 4, October 2003, Pages 559–575. [4] D’Azzo J. J., Houps C. H., Linear Control System Analysis and Design, McGraw-Hill Book Company, 1981. 893 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya İntegratör ve Ölü Zaman Etkili Sistemler İçin Bir Seri Ardışıl Kontrol Yapısı Osman Çakıroğlu1, Müjde Güzelkaya2, İbrahim Eksin3 Kontrol Mühendisliği Bölümü Elektrik-Elektronik Fakültesi İstanbul Teknik Üniversitesi, 34469, Maslak, İstanbul 1 2 3 osman22cakiroglu@hotmail.com, guzelkaya@itu.edu.tr, eksin@itu.edu.tr Özetçe Bu çalışmada integratör etkili ve ölü zaman içeren süreçlerin seri ardışıl kontrol yapısı içinde daha etkin bir biçimde ve daha az sayıda parametreye bağlı olarak kontrol edilmesini sağlayacak yeni bir yöntem sunulmaktadır. İç çevrimde birinci mertebeden ölü zamanlı sistem olduğu varsayılmakta; dış çevrimde ise önce tek integratör ve ölü zaman etkili sistem ele alınmakta, daha sonra ise çift integratör ve ölü zaman etkili sisteme yer verilmektedir. İç ve dış çevrimde ölü zaman etkili sistemlerin bulunduğu varsayıldığından her bir çevrim için farklı klasik Smith öngörücüleri kullanılmıştır. Ayrıca her çevrimiçi sistem için kendi dinamikleri üzerinden farklı kontrolörler tasarlanmıştır. Önerilen yöntemin etkinliği benzetim çalışmaları ile karşılaştırmalı olarak sunulmuştur. yer alan ölü zamansız model üzerinden tasarlanacaktır. Bu kontrolör tasarlanırken çift integratör içeren model iki parçaya ayrılıp, bu parçalara ayrı ayrı çevrimlerde kontrolörler tasarlanacaktır. Bildirinin bir sonraki bölümünde ölü zamanlı sistemlerin kontrolünde yaygın olarak kullanılan Smith öngörücüsünün çalışma prensibine değinilmiştir. Üçüncü bölümde önerilen kontrol yapısı, kontrolörlerin tasarımı ve kullanılan parametrelerin seçimi içerilirken, dördüncü bölümde benzetim çalışmalarına yer verilmiştir. Beşinci bölümde ise elde edilen sonuçlar tartışılacak ve önerilen yöntemin başarımı değerlendirilecektir. 1. Giriş 2. Seri Ardışıl Kontrol Yapısı Seri ardışıl kontrol yapısı çok çevrim içeren ve kimya endüstrisinde sıklıkla kullanılan bir kontrol stratejisidir. Bu yapı, büyük değerli bozucular ve yük değişimi nedeniyle kontrolü zor olan durumlarda ve kontrol kalitesinin yüksek olması istendiğinde kullanılmaktadır[1]. Literatürde farklı süreçler üzerine tasarlanmış çeşitli ardışıl kontrol uygulamaları bulunmaktadır [2,3,4,5]. İntegral etkili sistemler üzerine yapılan çalışmalarda modifiye edilmiş Smith öngörücüsüne dayalı ardışıl kontrol yapılarına rastlanmaktadır [1,6,7]. Ancak bu yapıların çok fazla parametreye ve işlem yüküne dayandığı görülmektedir. Bu çalışmada integratör etkili ve ölü zaman içeren süreçlerin ardışıl kontrol yapısı içinde daha etkin bir biçimde ve daha az sayıda parametreye bağlı olarak kontrol edilmesini sağlayacak yeni bir yöntem sunulmaktadır. Önerilen yöntemde, iç çevrimde birinci mertebeden ölü zamanlı sistem olduğu varsayılmakta; dış çevrimde ise önce tek integratör ve ölü zaman etkili sistem ele alınmakta, daha sonra ise çift integratör ve ölü zaman etkili sisteme yer verilmektedir. İç ve dış çevrimde ölü zaman etkili sistemlerin bulunduğu varsayıldığından her bir çevrim için farklı klasik Smith öngörücüleri kullanılmıştır. Ayrıca her çevrimiçi sistem için kendi dinamikleri üzerinden farklı kontrolörler tasarlanmıştır. İç çevrimin tasarlanmasında bu çevrimdeki sistemin ölü zaman içermeyen modelinden yararlanılmış, dış çevrim tasarımında ise ölü zamana sahip iç çevrim transfer fonksiyonu, ölü zaman içermeyen birinci mertebeden bir transfer fonksiyonu ile temsil edilmiştir. Dış çevrimde çift integratör ve ölü zaman etkili sistemin bulunması durumunda, kontrolör Smith öngörücüsü üzerinde Seri ardışıl kontrol yapısında iç çevrim ve dış çevrim olarak adlandırılan iki çevrim bulunur. İç çevrimin çıkışı doğrudan dış çevrimde bulunan sisteme etkir. Ardışıl kontrol yapılarında iç çevrimin, gelen bozucuları dış çevrime daha az etkimesi açısından, dış çevrime göre daha hızlı cevap verecek şekilde tasarlanması gerekmektedir. Bu şeklin dışındaki tasarlamalar da kontrol kalitesi bozulur hatta kararsızlık durumuna gelinebilir. Şekil1:Seri ardışıl kontrol yapısı 3.Önerilen Seri Ardışıl Kontrol Yapısı Bu bölümde integratör etkili ve ölü zaman içeren süreçlerin ardışıl kontrol yapısı yeni bir yöntem önerilecektir. İç çevrimde birinci mertebeden ölü zamanlı bir sistem ve dış çevrimde ise birinci veya ikinci mertebeden integratör etkili sistemlere yer verilmiştir. Her bir çevrim için farklı klasik 894 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Smith öngörücüleri kullanılacak ve tüm model üzerinde t e k bir kontrolör tasarımı yerine her sistem için kendi dinamikleri üzerinden farklı kontrolörler tasarlanacaktır. K1m T1m s 1 Gm11 ( s ) (3.3) Bu sistemin ölü zaman içermeyen modeli olan (3.3) ifadesinden yararlanılarak bu sistem için kutup-sıfır götürme yöntemi ile 3.1 Klasik Smith Öngörücüsü Şekil2'de Smith öngörücüsü bulunan bir kontrol sistemi görülmektedir. Bu yapı, sistemin zaman gecikmeli yanıtını öngörebilmekte ve zaman gecikmesini kompanze edebilmektedir. Smith öngörücüsü, temel olarak, kontrolöre sürecin dinamik yanıtı ile öngörücülü yanıtının toplamını gönderir. Bu sayede zaman gecikmesinden kaynaklanan gecikmeyi gidererek kontrol kalitesini artırmayı hedefler. Smith Öngörücüsü yapısı gerçek süreçle modelin özdeş olması prensibine dayanır. Model belli bir hata içerdiği takdirde kontrol kalitesinin düşeceği açıktır. Gerçek sürecin kazancı genellikle lineer olmayan bir özellik göstereceğinden kontrol edilecek sürecin kazancı zaman içinde modelin aksine değişiklik gösterir [8]. C1 ( s) K c1 T1m s 1 s (3.4) yapısında bir kontrolör tasarlanabilir. Tasarlanan bu kontrolör ile birlikte iç çevrimin kapalı çevrim transfer fonksiyonu C1 ( s)Gm11 ( s) 1 C1 ( s)Gm11 ( s ) Tic1 ( s) (3.5) olarak bulunur. (3.5) ifadesi (3.4) ve (3.3) ifadeleri yardımıyla yeniden düzenlenirse (3.6) 1 1 s K c1 K1m Tic1 ( s ) 1 ifadesine ulaşılır. Bu transfer fonksiyonunun sistemin içerdiği ölü zaman ile birlikte ifade edilmesi sonucu 1 e 1 1s Tiç1 ( s ) Şekil2:Klasik Smith öngörücüsü 3.2 Seri Ardışıl Yapının İç Çevrim Kontrolü L1 m s yapısında olması gerekmektedir. parametre olmak üzere (3.7) 1 zaman sabiti, 1 L 1 (3.8) 1 1 şeklinde ifade edilirse kontrolör kazancı 1 K c1 1 olarak hesaplanır. (3.7) ifadesi ile belirlenen iç çevrim transfer fonksiyonunun içerdiği ölü zamanın tasarımın ileri aşamalarında zorluk yaratmaması amacıyla (3.7) ifadesi ölü zaman içermeyen birinci mertebeden bir transfer fonksiyonu ile temsil edilecektir. Bu amaçla Şekil3: Önerilen iç çevrim kontrol yapısı İç çevrimde yer alan sistem transfer fonksiyonu denklem (3.1) , karşı düşen model yapıları (3.2) ve (3.3) denklemleri ile verilen sistemdir. K1 (3.1) Gp1 ( s ) e L1s T1s 1 Gm1 ( s ) K1m e T1m s 1 L1 m s (3.9) L1m K1m 11 1 L 2 1 L1 ( 1 2 ) (3.10) olmak üzere Ta iç ( s) 1 s 1 11 transfer fonksiyonu kullanılacaktır. Burada (3.2) ayarlanabilir tasarım parametreleridir. 895 (3.11) 1 ve 2 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya elde edilir. İkinci mertebeden bir sisteme ilişkin genel transfer fonksiyonu 3.3 Seri Ardışıl Yapının Dış Çevrim Kontrolü Tgenel ( s) 3.3.1 Tek İntegratör ve Ölü Zaman Etkili Sistem Ref +_ Tiç(s) C2(s) Gp2(s) ++ Gm2(s) _+ y (3.18) olarak ifade edilebileceğinden (3.17) ve (3.18) denklemlerinin eşitlenmesi sonucu T 2 (3.19) 11 ve C2(s) kontrolörü olarak ++ Gm21(s) 1 2 Ts 1 T 2s2 Kc 2 Şekil4: İç çevrim hesaplandıktan sonra önerilen yapı 1 2 4 (3.20) 11 K 2 m bulunur. Uygun kontrolör ile iç çevrim transfer fonksiyonunun belirlenmesinden sonra elde edilen ardışıl kontrol yapısı Şekil4 de görülmektedir. Dış sistemde yer alan tek integratör içeren ölü zamanlı sisteme ilişkin transfer fonksiyonu 3.3.2 Çift İntegratör ve Ölü Zaman Etkili Sistem d3 K2 e s Gp2 ( s ) Ref (3.12) L2 s +_ +_ C3(s) Tiç(s) C2(s) şeklindedir. Bu transfer fonksiyonuna ilişkin modeller Gm2 ( s) K2m e s Gm21 ( s ) K2m s Gp2(s) ++ Gm2(s) _+ y (3.13) L2 m s Gm21(s) Gm22(s) ++ (3.14) Şekil5:çift integratörlü sistem için önerilen yapı Şekil5’de dış çevrimde çift integratöre sahip bir sisteme yönelik önerilen ardışıl kontrol yapısını bulunmaktadır. Bu durumda kontrolör Smith öngörücüsü üzerinde yer alan ölü zamansız model üzerinden tasarlanacaktır. Bu kontrolör tasarlanırken çift integratör içeren model iki parçaya ayrılıp, bu parçalara ayrı ayrı çevrimlerde kontrolörler tasarlanacaktır. Çift integratörlü sistem, olarak ifade edilir. C2(s) kontrolörünün (3.15) ile verilen C2 ( s ) (3.15) Kc2 P tipi bir kontrolör yapısında şeçilmesi sonucu referans giriş ve sistem çıkışı arasındaki Tdış(s) transfer fonksiyonu ikinci mertebeden bir transfer fonksiyonu olarak elde edilir. (3.15) kontrolörünün tasarımı amacıyla Tiç(s) transfer fonksiyonu yerine ölü zaman içermeyen (3.14) transfer fonksiyonu kullanılacaktır. Bu durumda Tdış(s) transfer fonksiyonu Tdış1 ( s ) C2 ( s )Ta 1 iç ( s )Gm21 ( s ) C2 ( s )Ta iç ( s ) Gp2 ( s ) 11 s2 (3.21) K2m e s2 Gm2 ( s ) K2m s2 L2 m s (3.22) ve Gm21( s ) 1 s Kc 2 K2m Gm2 ( s ) (3.16) (3.23) olarak kabul edilecektir. Model üzerinden ayrılan ilk integratörün kontrolü için tıpkı iç çevrimde önerildiği gibi bir oransal kontrolör önerilebilir. Aynı işlemler uygulanarak (3.20) denklemindeki ifade benzer olarak (3.17) 1 Kc 2 K2m L2 s şeklinde ifade edilirken ilişkin modeller ifadesinden hesaplanır. (3.10) ve (3.14) ifadelerinin (3.15) de yerine konulması ile Tdış1 ( s ) K2 e s2 1 Kc2 896 1 4 (3.24) 2 11 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya tasarlanmıştır. Bu nedenle birinci mertebeden bir transfer fonksiyonu ile temsil edilebilir. olarak hesaplanır. Bu hesaplamanın ardından en son çevrimin kontrolörünün tasarlanmasına geçilirken hesaplamalarda kolaylık sağlaması açısından ara çevrimde hesaplanan ikinci mertebeden transfer fonksiyonu birinci mertebeden bir transfer fonksiyonu olan Tara ( s ) 3 1 Ts 1 Bu temsili sistemin (3.30) denklemindeki gibi bir yerleşme zamanına sahip olabilmesi için zaman sabiti En dıştaki çevrime ilişkin transfer fonksiyonunun iki adet kutup içermesi amacıyla Kc3 4 8 1 K2m olarak alınabilir. Kararlılık açsından λ2 parametresinin, iç çevrimin ölü zaman sabiti L1’den büyük olması gerekmektedir. Bu nedenle 1 ve (3.26) 2 parametrelerinin seçimine aşağıdaki denklemlerdeki gibi bir kısıt getirilmiştir. Aşımsız bir sistem yanıtı için (3.32) ifadesinden (3.27) 3 (3.32) T 2 şeklinde bir P kontrolör tasarlanması yeterli olacaktır. Yapılan hesaplamalar iç çevrimde yapılan hesaplamalar ile benzer şekildedir. Bu durumda kontrolör kazancı Kc3 (3.31) (3.25) ifadesi ile temsil edilecektir. C3 ( s ) 1 1 2s Tdış1 ( s) 2 2 2 11 L1 ( 1 2 (3.33) ) elde edilir. (3.33) ifadesi yeniden düzenlendiğinde olarak bulunur. 3.4 Parametrelerin etkisi ve seçimleri 2 3.4.1 parametresinin seçimi Bu parametre iç çevrimdeki kontrolör kazancına doğrudan etkimektedir. Bu sebeple sistemin hızını ve bozucu bastırma performansını ayarlar. Bu parametre değerinin düşük seçilmesi sistem referans izleme başarımını yükseltirken, yüksek seçilmesi başarımı düşürür. Ancak izleme başarımının arttırılması, sistem parametre değişikliklerine karşı dayanıklılığın azalması sonucunu yaratır. eşitsizliğine 1 ulaşılır. belirlenmiş bir 3.4.2 parametresinin seçimi Bu parametre sistemin kararlılığı üzerinde oldukça etkilidir. parametresinin değerine göre seçilmelidir. İkinci mertebeden sistemin aşım yapmaması için >1 olarak seçilmelidir. .Bu durumda yerleşme zamanı ts ( 1 2 ) (3.34) 1 (3.34) bağıntısı değeri için uygun 2 ışığında önceden değeri matematiksel olarak hesaplanır. Bu hesaplama yapılırken dikkat edilmesi gereken kural (3.34) bağıntısındaki eşitsizliğin sol tarafı 1’e yaklaştıkça sistemin salınımının artacak ve dayanıklılığının düşecek olmasıdır. 3.4.3 4.5 2 2 L1 3 parametresinin seçimi parametresinin kararlılıktan çok salınımlar üzerinde etkisi vardır. Düşük seçilmesi durumunda sistemin aşımı olacaktır, yüksek seçilmesi durumunda ise aşımsız bir cevap elde edilecektir. 4. Benzetim Çalışmaları Bu bölümde önerilen yöntemin etkinliğini göstermek amacıyla Matlab/Simulink ortamında yapılan benzetim çalışmlarına yer veilmiştir. (3.28) n İfadesinden hesaplanır. (3.18) denkleminden n 1 T 4.1 Tek İntegratör ve Ölü Zaman Etkili Sistem Bu örnekte verilen ardışıl kontrol sistemi [1] nolu referansta verilen sistem parametreleri ile oluşturulmuştur. Önerilen yöntem için 1 0.1 ve 2 0.6 parametreleri seçilmiştir. (3.29) Bu parametrelerin seçilmesiyle olarak bulunur ve yerleşme zamanı da ts 4.5 T (3.30) s 1 C1 ( s) 2.5 C2 ( s ) 0.1786 (4.1) s ve halini alır. Tdış1(s) ikinci mertebeden bir transfer fonksiyonu olmasına rağmen sönüm oranı 1 den büyük olacak şekilde 897 (4.2) Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya kullanılmamıştır. Benzetim çalışması önce ideal durumda daha sonra dış sistem parametrelerinin +%35 değişmesi durumunda yapılmıştır. olarak bulunmaktadır. Bu benzetim çalışmasında sisteme 20., 50. Ve 80. saniyelerde -0.1 genlikli bozucular etkimiştir. Önerilen yöntem, modifiye edilmiş Smith öngörücüsü kullanılmış olan [1] no’lu referansta kullanılan yöntem ve tüm sistem modeli üzerinden uygulanan klasik Smith öngörücülü kontrol yapısı ile karşılaştırılmıştır. Daha sonra dış çevrim sistem parametrelerinde +%20 değişimi yapılmış ve kontrol yapılarının parametre değişimlerine karşı dayanıklılığı irdelenmiştir.. Şekil8: Kontrol yapılarının basamak giriş ive bozucu işaretlerine yanıtları Şekil6: Kontrol yapılarının basamak giriş ive bozucu işaretlerine yanıtları Şekil9: Parametrelerin +%35 değişmesi durumunda kontrol yapılarının basamak giriş ive bozucu işaretlerine yanıtları Önerilen yöntem hem geçici hal yanıtı hem de bozucu hal başarımları açısından daha üstündür. Ayrıca parametre değişimlerine karşı daha dayanıklı bir yapıya sahiptir. Şekil7: Parametrelerin %20 değişmesi durumunda kontrol yapılarının basamak giriş ive bozucu işaretlerine yanıtları Şekil6’te görüldüğü gibi önerilen yöntem karşılaştırılan diğer yöntemlere göre daha yavaş referans takibi yapmasına karşın çok daha etkili bir bozucu bastırma etkisine sahiptir. 5. Sonuç Bu bildiride integratör etkili ve ölü zaman içeren süreçlerin seri ardışıl kontrol yapısı için etkili bir yöntem sunulmaktadır. Önerilen yöntem literatürde aynı türdeki sistemler için önerilmiş olan seri ardışıl kontrol yapılarına göre çok daha az sayıda tasarım parametresine gerek duymaktadır. Yöntemde tek integratör ve ölü zaman etkili sistem için sadece iki parametre belirlenmektedir. Oysa karşılaştırma yapılan referans [1] deki yapıda aynı sistemler için 10 civarında parametrenin seçilmesi gerekmektedir. Çift integratör ve ölü zaman etkili sistem için ise önerilen yöntem sadece üç parametreye gereksinim duyarken referans [1] deki yapıda 15 civarında parametrenin seçilmektedir. Ayrıca referans takibinde [1] deki yapıya çok yakın yanıtlar elde edilmekle birlikte parametre değişimlerine karşı çok daha dayanıklı olduğu gözlenmektedir. Karşılaştırma yapılan diğer yapı olan tüm sistem modeli üzerinden uygulanan klasik Smith öngörücülü yapı ise referans takibinde çok hızlı olmasına rağmen parametre değişimlerine aşırı duyarlılık göstermekte ve hatta kararsızlığa giden sonuçlar verebilmektedir. Önerilen yöntemimn bozucu bastırma özelliğinin karşılaştırıldığı diğer yöntemlere kıyasla çok daha başarılı olduğu gözlenmektedir. 4.2 Çift İntegratör ve Ölü Zaman Etkili Sistem Bu bölümdeki benzetimler gene [1] nolu referansta bulunan sistem parametreleri kullanılarak yapılmıştır. Benzetim çalışmasında sisteme 25. ve 50. saniyelerde -0.05 genlikli bozucular etkimiştir. Önerilen parametreler 1 1 , 2 0 ve 3 1.25 olarak seçilmiş ve kontrolörler s 1 s (4.3) C1 ( s ) 3.33 C2 ( s ) 0.8333 (4.4) C3 ( s ) 0.333 (4.5) olarak hesaplanmıştır. Bu benzetim örneğinde karşılaştırma sadece referans [1] de verilen yöntem ve önerilen yöntem arasında yapılmıştır. Klasik Smith öngörücüsü ile tasarlanan kontrolörün kontrol işaretinin aşırı yüksek olması sebebiyle bu karşılaştırma da 898 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Kaynakça [1] Padhan D.G., Majhi S.2012. Enhanced Cascade Control for a Class of Integrating Processes with Time Delay, Indian Institute of Technology Guwahati, India [2] Huang HP, Chien IL, Lee YC. Simple method for tuning cascade control systems. Chemical Engineering Communications 1998;165:89–121. [3] Lee Y, Oh S, Park S. Enhanced control with a general cascade control structure. Industrial and Engineering Chemistry Research 2002;41:2679–88. [4] Tan KK, Lee TH, Ferdous R. Simultaneous online automatic tuning of cascade control for open loop stable processes. ISA Transactions 2000;39:233–42. [5] Lee YH, Park SW, Lee MY. PID controller tuning to obtain desired closed loop responses for cascade control systems. Industrial and Engineering Chemistry Research 1998;37(5):1859–65. [6] Uma S,Chidambaram M,Rao AS,Yoo CK.Enhanced control of integrating cascade processes with time delays using modified smith predictor.Chemical Engineering Science 2010;65:1065–75. [7] Kaya I,Atherton DP.Use of Smith predictor in the outer loop for cascaded control of unstable and integrating processes.Industrial and Engineering Chemistry Research 2008;47:1981–7. [8] Sun Y.S., Xu C., and Yu H. 2010. Research of Adjusted Smith Predictor Based on Immune Feedback, Shangai University of Electric Power, China,1072 899