Prof. Dr. P. Marti Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri
Transkript
Prof. Dr. P. Marti Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri
İlk yayın: 13 Haziran 2014 www.guven-kutay.ch YAPI STATİĞİ Prof. Dr. P. Marti Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri 44-01-1 Bu dosyayı 44_00_Yapı Statiğine Giriş ve Özet dosyasıyla beraber incelerseniz daha iyi anlarsınız. Çevirenler: M. Güven KUTAY, Muhammet ERDÖL En son durum: 1 Eylül 2014 Bu dosyalarda yalnız ders notlarının tercümesi verilmiştir. Daha geniş ve detaylı bilgi almanız için Prof. Dr. P. Marti nin Statik kitabını öneririm. Almanca-Deutsch İngilizce-English Prof. Dr. P. Marti Peter Marti Baustatik, GrundlagenStabtragwerke-Flächentragwerke Ernst & Sohn, Berlin, 2012 Peter Marti Theory of Structures, Fundamentals, Framed Structures, Plates and Shells Ernst & Sohn, Berlin, 2012 Prof. Dr. sc. Peter Marti 1990 ile 2014 senelerinde Zürich ETH da İnşaat Statiği ve Konstrüksiyonu Profesörü 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch DİKKAT: Bu çalışma iyi niyetle ve bugünün teknik imkanlarına göre yapılmıştır. Bu çalışmadaki bilgilerin yanlış kullanılmasından doğacak her türlü maddi ve manevi zarar için sorumluluk kullanana aittir. Bu çalışmadaki bilgileri kullananlara, kullandıkları yerdeki şartları iyi değerlendirip buradaki verilerin yeterli olup olmadığına karar vermeleri ve gerekirse daha detaylı hesap yapmaları önerilir. Eğer herhangi bir düzeltme, tamamlama veya bir arzunuz olursa, hiç çekinmeden bizimle temasa geçebilirsiniz. Statik dosyalarında kullandığımız terimlerin Almancadan Türkçe karşılığını, ne Türk Dil Kurumunda nede normal veya elektronik sözlüklerde bulamadık. Hedefimiz Türkçe bilen ve temel bilgisi az dahi olan kütleye basit olarak bilgileri aktarmak olduğu için, kendi mantığımıza göre okuyucunun anlayacağı, basit Türkçe terimler kullandık. Ayrıca 44-00 numaralı dosyada Türkçe-Almanca(-İngilizce-Fransızca) sözlük ile Kaynakları verdik. İsteyen oradan kullanılan Türkçe terimleri bulabilir. Bilginiz ola!.. Terimlerin Türkçe karşılığı için büyük yardımı olan sayın Muhammet ERDÖL e kendim ve dosyadan faydalanacakların adına çok teşekkür ederim. Ayrıca 44-20 numaralı dosyada TürkçeAlmanca sözlük ile Kaynakları verdim. İÇİNDEKİLER 0. Genel giriş ................................................................................................................................................................. 3 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 1. Kuvvet, moment ve denge kuralları................................................................................................................. 3 Kesit büyüklükleri ve statik belirlilik .............................................................................................................. 4 Denge denklemiyle genel çözüm..................................................................................................................... 5 Reaksiyon ve Kesit büyüklükleri..................................................................................................................... 6 Statik problemlerinin çözümünde tutulacak yol .............................................................................................. 7 Deformasyonlar......................................................................................................................................................... 9 1.1. Boyuna deformasyon ....................................................................................................................................... 9 1.2. Enine deformasyon (sehim), Galile'nin problemi, ......................................................................................... 14 1.2.1. Kavis ......................................................................................................................................................... 15 1.2.2. Sehimin kavis ile hesaplanması ............................................................................................................... 17 1.2.3. Sehimin pratikte hesaplanması.................................................................................................................. 17 1.2.3.1. Tek kuvvetle zorlanan basit kiriş..................................................................................................... 17 1.1.1.1.1. 1.1.1.1.2. 1.2.3.2. 1.1.1.1.3. 1.1.1.1.4. 1.1.1.1.5. 1.1.1.1.6. Sayısal örnek 1 ............................................................................................................................................18 Sayısal örnek 2 ............................................................................................................................................18 Yayılı yükle zorlanan basit kiriş...................................................................................................... 19 Deney ve sehimle gerilim hesabı.................................................................................................................21 Yayılı yükle zorlanan basit kiriş için örnek .................................................................................................22 Yayılı yükle zorlanan basit kirişin (halatın) maksimum boyu .....................................................................24 Deney kirişi .................................................................................................................................................25 1.2.4. Kavisli çubuk ............................................................................................................................................ 27 1.2.4.1. Kavisli çubukta değerler.................................................................................................................. 28 1.2.4.2. Dik kuvvet etkisinde üç oynaklı kemer ........................................................................................... 30 2. Sayısal örnekler ....................................................................................................................................................... 31 2.1. 2.2. Denizde petrol platformu ............................................................................................................................... 31 Atom santralı koruyucu gömleği ................................................................................................................... 31 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch Yapı Statiği 0. 3 Genel giriş 0.1. Kuvvet, moment ve denge kuralları Bir kuvvet; etkilediği nokta (A), büyüklüğü (F) ve yönü, etki doğrusu (f) ile tanımlanır. Böylece kuvvet "Vektör" F olarak bilinir. M M=rxF a O F r n A f Şekil 1, Kuvvetin tanımı ve sağ el kuralı Kuvvetin etki doğrusu "f" ve herhangibir nokta "O" belirli bir düzlem oluşturur. Bu düzlemei bir cisim üzerinde düşünürsek etki kuvveti F, "O" noktası etrafında bu cismi "O" noktasında bu düzleme dik olan bir eksen "n" etrafında döndürmeye zorlar. Bu döndürme "F" kuvvetinin büyüklüğü ve "F" kuvvet vektörünün "O" noktasına olan uzaklığı ile orantılıdır. M Fa Bu bağıntı görüldüğü gibi moment vektörü olarakta ifade edilebilir, Şekil 1. Şekil 1, Kuvvetin tanımı ve sağ el kuralı M rF Bu durum "Sağ el kuralı" veya "Sağ cıvata kuralı" olarakta tanımlanır. Buradan bu durumdaki "denge kuralı"nı yazalım. Bir cismin denge halinde olması için, cisme etki gösteren kuvvet ve momentler biribirlerini eşit olarak karşılamalılar, yani toplamları sıfır olmalıdır. Bu tanımlamayı matematiksel ifade edersek; F0 CK ; M rF 0 CK CK Burada CK "Cisim kesiti"ndeki bütün etki eden büyüklükler demektir. Bunu bir cisim veya sistemin bir parçası olarak ayırıp bütün etki kuvvetlerini gösterirsek SCD " Serbest Cisim Diyagramı " nı elde ederiz. Denge şartı genelde altı eşitlik denklemiyle gösterilir. Yalnız kuvvetlerin analiziyle kalmayıp momentlerinde analizini yaparsak altı eşitlik denklemini buluruz., fakat bunlar yeni bir şey getirmez. r F (r r) F r F r F 0 CK 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc CK CK www.guven-kutay.ch CK Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri 4 0.2. Kesit büyüklükleri ve statik belirlilik Cismin kesiti I ve II için (Şekil 2); O I R F 0 x y R -M II Böylece "Düname" oluşur. M z M r x F 0 ; II R F -R M r x F ; II II F O II Düname etki noktası "O" daki reaksiyon etkilerinden oluşur. Şekil 2, Kesit büyüklükleri Kirişteki kesit büyüklükleri: R ( N, Vy , Vz ) , x y Vy My N T M (T , M y , M z ) DIN ve EN standartlarına göre cismi etkileyen büyüklükler. Bkz. Şekil 3. z N N Normal kuvvet Vz Vy, Vz N x-eksenine dik kuvvet Mz T Nm Torsiyon momenti My, Mz Nm Eğilme momenti Şekil 3, Cismi etkileyen büyüklükler Kurulan denge şartları denklemleriyle sistemdeki reaksiyonlar hesaplanabiliniyorsa o sistem "Statik Belirli Sistem" dir. Statik belirli ve belirsiz sistemler için basit örnekler: a) Üç oynaklı kemer. Statik belirli. b) İki oynaklı ve çeki bağlantılı kemer. Statik belirli. c) İki tarafı sabit kemer. Statik belirsiz. Şekil 4, Statik belirli ve belirsiz sistemler Şekil 4, a ve b ile verilmiş olan kemerler "Dıştan Statik Belirli", yani; basit kirişte olduğu gibi reaksiyonlar rahatlıkla hesaplanır. Fakat "İçten Statik Belirsiz" dirler. Reaksiyon büyüklüklerini hesaplamak için denge denlemlerinın yanı sıra, deformasyon bağıntılarıda hesaba katılmalıdır. 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch Yapı Statiği 5 0.3. Denge denklemiyle genel çözüm Denge denlemiyle genel çözüm için denge denlemleri DD yazılır: Q A x 1. DD; Yatay kuvvetlerin toplamı sıfırdır; B z a L-a Fh 0 A h Q cos 0 Q Ah SKD AV 2. DD; Yataklarda momentlerin toplamı sıfırdır; B Q.cos N V Q.sin MA 0 A yatağında M A B L Q sin a 0 M Q.sinaa2/L 3. DD; Dikey kuvvetlerin toplamı sıfırdır; FV 0 Q Ah A AV A V L Q sin (L a ) 0 A B BV Denge denlemlerindan reaksiyonlar bulunur Q Şekil 5, Denge denlemiyle çözüm 1. DD : Fh 0 A h Q cos 2. DD : M A 0 B Q sin a / L 3. DD : FV 0 A V Q sin (1 a / L) Grafik olarak kuvvetler "Kuvvet Poligonu" ilede bulunur. A, B ve Q kuvvetleri kapalı bir üçgen oluşturmalıdır ve kuvvetler bir noktada kesişmelidir. Bkz. Şekil 5. 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri 6 0.4. Reaksiyon ve Kesit büyüklükleri Reaksiyon ve Kesit büyüklüklerini incelemek için Şekil 6 ile görülen z-ekseni yönünde tek kuvvet etkisindeki "Klasik kirişi" ele alıp inceleyelim. Şekil 6 ile görüldüğü gibi A yatağı her üç yönde F y A sabit, Hareketsiz yatak, B yatağı ise y ve z yönlerinde sabit x yönünde hareketlidir, Hareketli yatak. A yatağını F kuvvetinin x ve z yönündeki bileşenleri, ama B yatağını yalnız z-yönündeki bileşeni etkiler. x L-a a B L z Şekil 6, Klasik kiriş Kirişteki yatakları dikkate almadan yalnız A ve B yataklarındaki reaksiyonları kirişin nötr ekseni ile çizersek "Serbest Cisim Diyagramı" nı buluruz, kısa tanımı "SCD" . Bkz. Şekil 7. Gayet kolaylıkla görüleceği gibi, F kuvveti kirişe tam dik olduğundan A yatağına x-yönünde kuvvet etkisi olmaz. F A h= 0 B A Şekil 7, Serbest Cisim Diyagramı "SCD" SCD da yalnız A yatağını ele alıp B yatağını yok sayarsak "F" kuvveti kirişi A yatağında y-ekseni etrafında saat dönüşü yönünde döndürmeye zorlar. Döndürme a mesafesi ile orantılıdır, ve bunu A yatağında y-eksenine göre moment olarak (F.a) yazabiliriz. Ama kiriş A yatağı etrafında dönemediğine göre, dengenin sağlanması ve sistemin stabil kalması için B yatağındada saat dönüşüne ters yönde bir moment etkisi olmalıdır. Bkz. Şekil 8. F M A M L-a a B L Şekil 8, A yatağında F momenti M BL Fa Böylece şu denge formülü yazılır; Buradanda B yatağını etkileyen kuvvet bulunur: B B F a L N N m m Fa L F 1 B yatağındaki kuvvet Kirişi etkileyen kuvvet Kuvvetin A yatağına mesafesi Kirişin AB mesafesi Bu düşünceyi aynen B yatağı için yaparsak: Böylece şu denklemi buluruz; F A M B M A L-a a L F 2 A F a N N m A yatağındaki kuvvet Kirişi etkileyen kuvvet Kuvvetin A yatağına mesafesi L m Kirişin AB mesafesi Şekil 9, B yatağındaki F ve A momenti 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc F (L a ) L www.guven-kutay.ch Yapı Statiği 7 Burada sağlamayı yaparsak: a La A B F F L L bulunur. Buda mekaniğin denge denklemlerinden biridir. Aynı yöndeki kuvvetlerin toplamı sıfırdır; Fz 0 denlemini teyid eder. M F.a/L V F.(La)/L M=F.a.(L-a)/L Şekil 10, Dik kuvvet V (Fz) dağılımı Şekil 11, Eğilme momenti M dağılımı A yatığı ile F kuvveti arasında kirişe dik bir kesiti düşünürsek, bu kesit kirişi sol ve sağ parçalar olarak ikiye ayırır. Biz sol taraftaki parçayı ele alıp inceleyelim. Şekil 12 ve 0 x1 x . Kesitin x1 boyunu tam F kuvvetinin olduğu yere çekersek, kirişi etkileyen dik kuvvetin, dik kuvvet "V" ye eşit olur. C V=A d V A T x1 Dik kuvvet "V" ile "A" yatağı kuvveti saat dönüş yönünde moment oluşturur. Bu momenti yatay etkili önceden bilinmeyen "d" mesafeli "T = C" kuvvet çifti karşılar. Burada denge formülünü yazarsak kesitteki momenti buluruz; A x1 T d M Şekil 12, Kesitin sol parçası Şekil 12 ile kesit büyüklükleri dik kuvvet V ve eğilme momenti M de görülmektedir. Yatay çift kuvvetler T=C yerine, genelde bunların oluşturduğu moment M=T.d kullanılır. Bu momentler kirişi eğmeye zorladıklarından "Eğilme momenti" denir. Bu durumun analizini ilerde sayfa 14, paragraf 1.2 ile yapacağız. 0.5. Statik problemlerinin çözümünde tutulacak yol Statik problemlerinin çözümünde tutulacak yolu bir örnekle görelim. Örneğimiz sabit yayılı yükle zorlanan klasik kiriş olsun, Şekil 13, q=sabit. q z B A x L Şekil 13, Sabit yayılı yüklü klasik kiriş Sistemi veya kısmi sistemi etkileyen bilinen veya bilinmiyen bütün kuvvet ve momentler bir krokide gösterilir ve buna " Serbest Cisim Diyagramı " , kısa tanımı "SCD" denir. 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri 8 SCD 1 ; Sistemin SCD si q Ax = 0 A z = q.L/2 Bz = q.L/2 Şekil 14, Sabit yayılı yüklü klasik kirişte SCD 1 SCD 2 ; Kısmi sistemin SCD si q MP Ax P z VP x NP Az x Şekil 15, Sabit yayılı yüklü klasik kirişte SCD 1 SCD 1 e göre yatay etkili kuvvet yoktur. DD Ax 0 1: Fx 0 DD 2: A yatağına göre moment, uç yatak moment sıfır, temel kural. qL L Bz Bz L q L 0 2 2 DD 3: Fz 0 Bz q L A z 0 qL Az 2 SCD 2 ye göre moment denklemi: x DD 1: M P 0 M P qx A z x 0 2 qx MP L x Parabol 2 DD 2: Fz 0 VP q x A z 0 L VP q x 2 Kesit büyüklükleri: Moment: Dik kuvvet dağılımı biliniyorsa dik kuvvetin integrasyonu alınırsa Moment dağılımı bulunur. Moment dağılımı biliniyorsa momentin türevi alınırsa dik kuvvet dağılımı bulunur. Maksimum moment x=L/2: Moment dağılımı q.L2/8 Türevi alınmış q L L M max L 2 2 2 d 2M y dVz q dx dx 2 İntegrasyonu yapılmış Dik kuvvet dağılımı q.L/2 + q.L/2 Normal kuvvet dağılımı Dik kuvvet: L VP q x 2 x=0 veya x=L ise dik kuvvet maksimumdur. qL L Vmax Vmax( x 0) q 0 2 2 qL L Vmax Vmax( x L ) q L 2 2 x=L/2 ise dik kuvvet sıfırdır L L V0 Vmax( x L / 2) q 2 2 Vz Şekil 16, Sabit yayılı yüklü klasik kirişte dağılımlar 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc q L2 M max 8 Normal kuvvet: www.guven-kutay.ch dM y dx N Ax 0 Yapı Statiği 1. 9 Deformasyonlar Klasik kirişteki deformasyonu incelemek istersek, kirişteki gerilim "" (yerel etkilerin alana bölümü) ile bu gerilimden oluşan uzamanın "" (birim boyundaki kiriş parçasının esnemesi, uzama veya kısalması) doğrusal (linear) orantılı olduğu kabul edilirse, yani işlemler "Hook kanunları" dahilindeki sahada oluyorsa (Bkz. Mukavemet değerleri) şu eşitlikler yazılır (Bkz. F 3, F 4 ve F 5). E F 3 veya E / F 4 veya /E F 5 Buradaki orantı faktörü E "Elastiklik modülü" dür. Bu tanımlamaları daha iyi anlamamız için bir örnekle tanımlamaları anlatalım. 1.1. Boyuna deformasyon Problem; 1 numaralı noktada sabit bağlanmış, 2 numaralı noktada Q yükü ile yüklenmiş bir halatı kabul edelim. Halatın kendi öz ağırlığı etkisinda kopmaması ve Q yükünü taşıması için halatın boyu ne kadar olabilir? 1 Halat kesit alanı sabit kabul edilmektedir. Q kN Taşınan yük 2 A m Halat kesit alanı, sabit kabul edilmektedir f kN/m2 Çekme mukavemeti kN/m2 Çekme gerilimi L m Uzunluk 2 kN/m Özgül ağırlık N kN Normal kuvvet L 2 Q Şekil 17, Asılı halat Çözüm 1, A=sabit; Çekme gerilimlerini daima pozitif "", Bası gerilimlerini daima negatif "" olarak gösteririz. Önce SCD nı çizelim, Şekil 19. Q+.A.L = Q+.A.L A N+dN 1 x L Q =Q/A 2 Q N .A.dx dx N=Q =N/A 2 Şekil 18, Asılı halatta kesit büyüklükleri, A sabit Şekil 19, Asılı halat için SCD, A sabit Şekil 19 ile görülen durumda x yönündeki denge denklemini yazarsak: Fx 0 N dN A dx N 0 dN A dx 0 dN A dx Bu denklemin integralini alırsak: 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc x www.guven-kutay.ch 10 Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri N Ax C Burada x=0 iken N=Q olduğundan C=Q olmalıdır. C nin değerini yerleştirirsek; N Ax Q F 6 Diğer taraftan biliyoruz ki teoretik olarak kopma gerilimi kopma mukavemetine eşit olunca halat kopar. f N/A N/A f N Af F 7 Bu değeri yukarıdaki formüle (F 6) yerleştirir ve x = halatın tam boyunu alırsak, denklemimiz şu şekli alır: AL Q A f Diğer taraftan ilk terim halatın ağırlığıdır "G": AL G G Q Af Q Af G Q G 1 A f Af F 8 denklemi A.f ye bölersek tekrar G yerine .A.f yerleştirirsek Q AL 1 Af A f Q L 1 Af f Af AL F 7 ile Q=0 ise L0 f / Buradanda kopma boyu bulunur. Burada L L : f f / işlemini yaparsak Burada f / L0 yerleitirelim; Q L 1 A f L0 burada F 8 yerleştirilirse Buraya kadar yaptıklarımızı toparlarsak şu eşitlikleri yazabiliriz: Q Q L L 1 1 G Q Af f L0 Q L 1 GQ L0 Şimdide G/Q orantısını hesaplayalım: G G 1 Q A f G A f 1 G 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch F 9 Yapı Statiği 11 G 1 Q A f 1 G Burada A f terimini ele alalım ve G f L0 ; G AL yerleştirelim: A f A L0 G AL A f L0 G L Böylece eşitliğimiz: G 1 Q L0 1 L sağ tarafı L0/L ile bölersek L0 G L Q 1 L0 L F 10 Bulduğumuz bu deierleri diyagramda gösterirsek Şekil 20 ile Şekil 21 elde edilir. Q Q+G Q/G 1 Asimtot 3 2 1 L L0 0 L L0 0 Q L 1 GQ L0 L=0 Q/(G+Q)=1 L=L0 Q/(G+Q)=0 Şekil 20, Q/(G+Q) orantısı Tespitler: L=0 L=L0 G/Q=0 G/Q= Şekil 21, G/Q orantısı Q > 0 ise L değeri L0 değerine yaklaştıkca, G değeri doğru sonsuza doğru büyür. Q > 0 olduğu taktirde, halatın Q = 0 daki kopma boyu L0 a ulaşılamaz. Maliyet fiyatı Q ile (L0L)1 orantılıdır. L / L0 L0 L 1 L / L0 L0 L0 L Kopma mukavemeti f yalnız 1 numaralı bağlantı yerinde kullanılır. 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri 12 Çözüm 2, A optimal seçilmiş Q.eL/L 0 (A+dA).f 1 x L Q 2 Q .A.dx dx =f=Sabit N=A.f x A.f 2 Şekil 22, Kuvvet ve gerilim dağılımı, A optimal Şekil 23, Asılı halat için SCD, A optimal Şekil 23 ile görülen durumda x yönündeki denge denlemini yazarsak: A dA f A dx A f 0 Fx 0 G L0 A dA f A dx 0 dA L0 A dx dA dx A L0 f Bu denklemin integralini alırsak: A C ex / L0 Burada x=0 olduğunda A = Q/f olduğu için F 11 elde edilir. A Q x / L0 e f F 11 Diğer taraftan: L L 0 0 G A dx G L Q x / L0 Q e dx L0 e x / L 0 f f 0 Q Q L0 e L / L 0 L0 f f G Q L0 e L / L 0 1 f f L0 G Q eL / L0 1 Q eL / L0 Q G Q Q eL / L0 GQ eL / L0 Q Q eL / L0 GQ F 12 G eL / L0 1 Q F 13 bulunur. 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch Yapı Statiği 13 Bulduğumuz bu daierleri diyagramda gösterirsek Şekil 24 ile Şekil 25 elde edilir. Asimtot Q/G Q Q+G 3 2 1 A sabit A sabit A optimal 1 A optimal L 0 L L0 Şekil 24, Q/(G+Q) orantısı Tespitler: L0 0 Şekil 25, G/Q orantısı Optimal seçilen kesit alanıyla kopma mukavemeti f her yerde kullanılır. Q > 0 için teorik olarak L değeri L0 değerinden daha büyük olabilir. Konstrüksiyonun maliyeti A sabitten daha ekonomık olur. Çelik halat için küçük bir sayısal örnek verelim. Özgül ağırlığı ; Çe = 78,5 kN/m3 , Kopma mukavemati f = 500 N/mm2 = 500.103 kN/m2 kabul edelim. L0 6369,4m L0 f / 500 103 / 78,5 6369,4 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri 14 1.2. Enine deformasyon (sehim), Galile'nin problemi, Enine deformasyon problemi Galile (Galileo Galilei, 1564-1642, İtalyan) ile başlar. Problem; dik kuvvetin oluşturduğu deformasyonları dikkate almadan, yalnız eğilme momentlerinin oluşturduğu deformasyonları ele alıp, kirişi bütün boyunda "b" genişliğinde, "h" yüksekliğinde (h>b) sabit dikdörtgen kabul edersek, Şekil 26, ile görülen durum ortaya çıkar. Kirişte oluşacak deformasyonların analizini ve hesabını yapabilmek için; gerilim "" (alan birimini etkileyen lokal kuvvetler) ile esneme "" (birim boyunun esnemesi, uzama veya kısalması) arasında Hook kanunu dediğimiz orantıyı kabul etmemiz gereklidir. E E MPa MPa 1 F 14 Kesitteki gerilim Elastiklik modülü, orantı faktörü Esneme o C h/2 d/2 M d x d/2 h h y C h/2 T=C b o b o z Şekil 26, Dikdörtgen kesitte gerilim dağılımı Nötr ekseni kirişin yarı yüksekliğinde olmalıdır. Nötr ekseninin üst tarafı basıya alt tarafıda çekiye zorlanacaktır ve z değeri ile lineer değişicektir. Böylece şu kabul ortaya çıkar; hesaplarda çekme gerilimi pozitif (+), bası gerilimi negatif () kabul edilir. Kesitin herhangi bir yerindeki gerilim: 2z 0 h büyüklüğündedir. Şekil 26, ile görülen T=C kuvvetini hesaplayalım. ABM tabanlı ve b yükseklikli üçgen prizmanın hacmi C kuvveti kadardır. h 1 T C o b 2 2 C o bh 4 Ve kuvvet ağırlık merkezinden zorlayacağına göre: d h 2 2 2 3 buradanda d 2h 3 bulunur. Bu değerleri moment formülünde yerleştirirsek: M C d o bh 2h b h2 o 4 3 6 Yukarıda kesitin geometrik ölçüleri ile hesaplanan faktöre kesitin "Karşıkoyma momenti" denir ve sembolüde "W" harfiyle gösterilir. Galile paydayı "2" kabul etmişti. 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch Yapı Statiği 15 b h2 W 6 mm3 mm mm W b h F 15 Dikdörtgen kesitin karşıkoyma momenti b < h Kesitin eni Kesitin yüksekliği Böylece yeni bir orantı bağlantısı bulunur ve çeşitli şekillerde yazılabilir. M o W o M W MPa Nmm mm3 F 16 W M o F 17 o M W F 18 Kesitteki normal gerilim Kesiti etkileyen moment Kesitin karşıkoyma momenti 1.2.1. Kavis Kavisi bulmak için eğilme momentinin zorladığı Şekil 27 ile görülen bir kirişten A-A kesiti ile başlayan çok küçük bir birim boyu kısmını ele alalım. Kabul ettiğimiz boy çok küçük olduğundan eğimin merkezinden bu boyu gören açıda çok küçüktür ve bunu dolarak adlandıralım. o A R h/2 y M x h A M h/2 d A y o.dx o /E d A b 0 L=1 h/2 z h/2 o o o /E x x d dx o.dx Şekil 27, Kavis d açısı çok küçük olduğundan açının tanjant değeri ile radyan değerini eşit kabul edebiliriz ve değerini eğimden oluşan kavis olarak tanımlarız. tan d d rad rad d F 19 Kesiti gören eğimin merkez açısı Kavis Şekil 27 ile görülen kiriş parçasını analiz edersek, şu bağıntıları buluruz: 1 2 o R h F 20 d ' dx F 21 Buradan => o h 2 bulunur. Diğer taraftan F 16 ile moment M o W dir. Burada değerleri yerleştirirsek: 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri 16 M E M h b h2 2 6 b h3 E 12 Yukarıda kesitin geometrik ölçüleri ile hesaplanan faktöre kesitin "Eylemsizlik momenti" veya "Atalet momenti"denir ve sembolüde "I" harfiyle gösterilir. Şekil 27 ile gösterilen R "Kavis radyosu" dur. M EI I mm4 mm mm I b h b h3 12 Dikdörtgen kesitin eylemsizlik momenti b < h Kesitin eni Kesitin yüksekliği Kirişin küçük bir parçasını ele alalım. Burada tan w ' x dw bağıntısı mevcuttur. dx w" ' Buradan: w = Sehim z F 22 w" Bulunur. dw 0 0 / E 0 M / W W 2I/ h dx Şekil 28, Sehim w Buradanda kavis bağıntılarını şu şekilde yazabiliriz, F 23. w" M E I W h o 1/mm Nmm MPa mm4 mm3 mm % M 2M 2 o EI EWh h F 23 Kavis Kesiti etkileyen moment Elastikiyet modülü Dikdörtgen kesitin eylemsizlik momenti b < h Kesitin karşıkoyma momenti Kesitin yüksekliği Parçadaki esneme Sehimi mekaniğin diferansiyel denklemi olarak w sehimi iki defa türevi alınan şu bağıntı ile hesaplanır. w w" M E I EI 1/mm Nmm MPa mm4 Nmm2 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc M EI veya w M 0 EI Sehimin ikinci dereceden türevi Kesiti etkileyen moment Elastikiyet modülü Dikdörtgen kesitin eylemsizlik momenti Eğilme rijitliği www.guven-kutay.ch F 24 Yapı Statiği 17 1.2.2. Sehimin kavis ile hesaplanması z, w ds R d dx 1 w2 w w dx w d tan(d ) 1 ( w w dx ) w Olarak kabul edersek, buradan şu bağıntıyı buluruz. 1 w F 25 R 1 w 2 3 / 2 ds R tan w tan( d ) w w"dx Burada ve x vede +d d dx Şekil 29, Kavisten sehim Burada w'2 dikkate alınmayacak kadar küçük olduğundan paydayı "1" kabul edebiliriz. Böylece kavisin değeri F 26 ile bulunur. w F 26 w" 1/mm 1/mm Kavis Sehimin ikinci dereceden türevi Eğer w" ön işareti pozitif (+) çıkarsa kirişin sehimi yukarıya doğrudur. Şekil 29 ile görülen kiriş sehimi aşağıya doğrudur ve ön işareti negatifdir (-). 1.2.3. Sehimin pratikte hesaplanması 1.2.3.1. Tek kuvvetle zorlanan basit kiriş Daha önce kullandığımız ve bildiğimiz basit kirişi ele alalım ve tam ortasından F kuvveti ile zorlandığını kabul edelim, Şekil 30 için şu bağıntıları yazabiliriz. Mx F L 2 x F x EI 4E I L 2EI 2 x FL 2 x F x Mx Mm L 4 L 2 F x w 2EI F x2 w w dx c0 4EI Kirişin ortasında x=L/2 de tan w 0 olacağından, x=L/2 yerleştirilir ve c0 bulunur. w F A x B C L/2 L/2 z F F/2 F/2 x Mx M Mm= F.L/4 w" wm w' F x2 F L2 w 4 E I 16 E I F x 3 F L2 x w w dx c1 12 E I 16 E I F L2 c0 16 E I w Şekil 30, Basit kirişte sehim B yatağında x = L değerinde sehim sıfır olacağından c1 değeri sıfırdır ve x = L yerleştirirsek, Kirişin maksimum sehim formülünü buluruz. Bu literatürlerde verilen formüldür. w max F L E I N mm MPa mm4 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc F L3 48 E I Kuvvet Kirişin etkilenen boyu Elastikiyet modülü Kesitin eylemsizlik momenti www.guven-kutay.ch F 27 Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri 18 1.1.1.1.1. Sayısal örnek 1 Yataklar arası mesafesi L=1,8 m olan basit kirişin dörtköşe kesit boyutları b=20 mm, h=40 mm dir. Kirişin tam ortasından F=1 kN kuvvetle zorlanmaktadır. Kiriş malzemesi çelik E= 210'000 MPa dır. Kirişteki gerilimi hesaplarsak: M FL b h2 0 ; M ; W W 4 6 0 3 F L 2 b h2 3 103 1800 2 20 402 84,4MPa Kirişin orta noktasındaki sehim: F L3 F L3 103 18003 wm 5,42mm 48 E I 4 E b h 3 4 210000 20 403 Burada teorik olarak bulduğumuz basit kirişteki sehimi sayısal olarak görmek istersek, şu örneği ele almamız gerekir: 1.1.1.1.2. Sayısal örnek 2 Bir deneyde, tahtadan yataklar arası L=1,8 m, kesit genişliği b=325 mm, kesit yğksekliği h= 22 mm ve x=L/2 de F=1 kN kuvvetle zorlanan basit kirişin elastikiyet modülü E= 10 kN/mm2 kabul edilmiştir. Kirişin kenarlarda x=L/2 noktasındaki 0 gerilimini hesaplarsak, 0 FL 3 F L 3 103 1800 17,2 N / mm2 4 W 2 b h 2 2 325 222 Kirişin x=L/2 noktasındaki sehim wm hesaplanırsa, wm F L3 F L3 103 18003 42,1 mm 48 E I 4 E b h 3 4 104 325 223 Kirişin kenarlardaki gerilimi "0 " tahtanın emniyetli mukavemet değerine göre oldukca yüksek ve Gerilim-Uzama orantısının doğrusallığıda yaklaşık olarak oluşmaktadır. Bu durumdan ötürü artan F kuvveti ile dahada kavislenen F-wm-Diyagramı oluşur. Bak Şekil 31. F Çeki L E 48.E.I L2 L + Bası wm Şekil 31, Tahtadan basit kiriş diyagramları Yüklemelere göre ölçülen değerler tablosu Kütle [kg] F [N] wm [mm] 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc Açıklamalar www.guven-kutay.ch Yapı Statiği 19 1.2.3.2. Yayılı yükle zorlanan basit kiriş Kirişlerde tek veya nokta etkili yüklerin yanında yayılı yüklerde olur. Tek kuvvetlerin dışında etki gösteren yayılı yükleri düşünürsek Şekil 32 ile görülen durum ortaya çıkar. q [kN/m] x Q [kN] z q.dx V M M+dM V+dV dx Şekil 32, Basit kirişte yayılı yük Kirişin dx boyunda küçük bir parçasını ele alıp inceleyelim. Burada kesitte oluşan dengeye göre: Dik kuvvet Moment V q dx M V dx FV 0 V dV q dx dV 0 M 0 M dM V dx dM 0 dV q dx dM V dx d 2M M" q q dx 2 M"=q diferensiyel denklemi yukarıda gördüğümüz w"= diferensiyel denklemine benzer. Burada eşdeğer çözümü düşünürsek sehimide zorlanmaya göre hesaplamak mümkündür (Mohr analojisi). Bağıntılarını kurabiliriz. Buradanda; F Moment dağılımı F.L 4 F/2 F/2 q* F.L 4.E.I Zorlanma L/2 + V*= w ' Dik kuvvet V *= V (q* ) = w ' M*= w Eğilme momenti M *= M (q* ) = w wm Şekil 33, Basit kirişte yayılı yük 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc M E.I F.L2 16.E.I L/2 + q* = www.guven-kutay.ch Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri 20 Moment alanını yayılı yük olarak kabul edip kiriş ortasındaki momenti Mm değerini hesaplarsak: Mm F L F L 2 2 4E I Diğer taraftan kiriş ortasındaki kavis: wm w' A=F/2 L/3 L/6 L/2 Şekil 34, Moment alanını yayılı yük Mm FL EI 4E I Momentin tam alanı, toplam yayılı yük, Şekil 33: L FL L F 2 4EI 2 F F L2 8 E I Simetriden ötürü A ve B yataklarında yatak kuvvetleri bir birine eşittir A=B=F/2. Şekil 33 ile: M B 0 L M B F A L 0 2 FV 0 w' A 1 F L2 1 A F 2 8E I 2 F L2 A 2E I F L2 w' 16 E I Kiriş ortasındaki moment sehimdir. Şekil 34 ile: wm A L L L L 3 L L w 'L F L2 L w ' w ' w ' w ' w ' 2 6 2 6 6 6 3 16 E I 3 wm F L3 48 E I Bu formül yukarıda bulduğumuz F 27 değerinin aynısıdır. Böylece buraya kadar yaptığımız analiz ve incelemelerin doğru olduğu görülür. İlerde anlatılanları daha iyi ve çabuk anlamak için Şekil 33 ve Şekil 34 ile verilen sembolleri tanımlayalım. F kuvvet, Kirişi zorlayan yayılı yükün kuvveti. q* zorlanma, F kuvvetinin oluşturduğu moment alanının tersi zorlayan yayılı yük olarak kabul edilir: V* dik kuvvet, zorlanmanın oluşturduğu dik kuvvetler olarak kabul edilir: V* V(q*) w ' M* eğilme momenti, zorlanmanın oluşturduğu momentin değeri, sehimin değeri olarak kabul edilir. Mohr analojisi: M* M (q*) w w' alan kuvveti, zorlanmanın sol yarı alanı kuvvet değeri, kiriş ortası sehim wm yi oluşturan kuvvet olarak kabul edilir: M*m kiriş ortası eğilme momenti, zorlanmanın oluşturduğu kiriş ortası momentin değeri kiriş ortası sehim wm olarak kabul edilir Mm w m V* L F L2 L 3 16 E I 3 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc q* w" w ' V wm www.guven-kutay.ch M EI F L2 16 E I F L3 48 E I Yapı Statiği 21 1.1.1.1.3. Deney ve sehimle gerilim hesabı Buradaki deneyi derste yaptık. Değerler ölçülen değerler olup manuple edilmemiştir. Sizde kendiniz deney yapıp teori ile deneyin aynı olduğunu görebilirsiniz. Malzeme: S 235 F b A x h B Varyant I : F= 60 N ; b = 60 mm ; h = 6 mm Varyant II : F= 60 N; b = 60 mm ; h = 3 mm 1 2 z L/2 L/2 İndekslerin tanımı: w12 1. indeks 1 kuvvetin etkilediği yer, F 2. indeks 2 sehimin yeri. Ölçüler: w 11 Var I Var II w11 .......... 1,39 ........ 11,2 F bu iki değer w12 .......... 0,96 ........ 7,7 aynı olmalı w21 .......... ................ 7,6 w 12 w22 .......... ................ 6,3 F Kaba karşılaştırma: F L3 F L3 48 E I 4 E b h 3 Burada yalnız kesitin yüksekliği hI = 6 mm, hII=3 mm “ olarak değişmektedir ve oran 2 dir. Buradan 23 = 8 olur ve 1,39x8 1,4x8 = 11,2 yapar. Buda pratikte ölçülen değerlerin teorik değerlere eşit olduğunu gösterir. w 21 w F w 22 Şekil 35, Deney ve sehimle gerilim hesabı Gerilim kontrolünü yapacak olursak: M/W Karşı koyma momenti: Gerilim: [MPa] elastik deformasyon akma sınırı 200 F L F L 60 800 12'000 Nmm 2 2 4 4 b h 2 60 32 W 90 mm3 6 6 M Moment: plastik deformasyon 235 133 100 pl [%o] Burada S235 çeliği için akma gerilimi Re = 235 MPa olduğundan, sistem elastik esneklik kısmında kalır. plastik esneklik 133 235 Şekil 36, S235 Diyagramı 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc M 12'000 400 133 MPa W 90 3 www.guven-kutay.ch Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri 22 1.1.1.1.4. Yayılı yükle zorlanan basit kiriş için örnek Burada qV = sabit kabul edilmiştir. h qv.dh dh ds cos cos d v ds = . d dv qz q v dh cos q v cos 2 ds qz q v dh sin q v sin cos ds x z dh Şekil 37, Kavis radyusu (s) nin diferensiyel denklemini ele alalım: d dq qz z q x ds ds d cos 2 2 cos sin d sin cos d d 3 tan d ln 3 ln(cos ) k ===> Demekki: (cos ) 2 sabit 0 (cos )3 Diğer taraftan; cos dh dh 2 dv 2 1 dv 1 dh 2 dv 2 0 1 dh ===> 3/ 2 Diğer taraftan bildiğimiz gibi; dv 2 2 dh 1 2 3/ 2 dv 1 dh F 28 Yukarıda F 28 ile verilenlere göre; dv 2 dh 2 1 sabit 0 olduğu görülür. Buda v(h) fonksiyonunun ikinci dereceden parabolüdür. h2 v c1 h c2 2 0 F 29 Eğer parabolün dönüm noktasını koordinat sisteminin çıkış noktasını kabul edersek: h v v 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc h2 2 0 www.guven-kutay.ch Yapı Statiği H. dv dh q v dh q v .dh h 23 dv2 dh 2 dh H H H 2 (dvdh + dvdh . dh) H. 2 Buradan v dh h2 c1 h c2 2 0 Bu daha önce bulduğumuz F bildiğimiz gibi: Şekil 38, 0 29 dür ve H qv Bu sonuç = 0 noktasında = -N/qz bulunabilir. Şöyleki: N = -H ve qz = qv olduğu için. v f H q v L2 8f v qv h2 4 f h2 2H L2 h H v L/2 Şekil 39, 4 f h2 qv H L2 O.K. Pratikte konstrüksiyon DÇ nin devamlı zorlamada mümkün olduğu kadar çok yakın olması için yapılır. Zorlamanın değişken olması halinde bazen az, bazen çok dik kuvvet ve eğilme momenti zorlamaları görülecektir. Bu tür zorlamaları karşılayabilmek için "Sistemi rijitleyecek" önlemler alınmalıdır. 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri 24 1.1.1.1.5. Yayılı yükle zorlanan basit kirişin (halatın) maksimum boyu Problem: Sabit yayılı yük "q" ve öz ağırlığı "g" ile zorlanan basit kirişin (halatın) boyu L ise, fonksiyonunu yaptığı sınır boyu "L0" nekadar dır? q L/4 SCD: q+g B A x g z Bh Q H L h Bv L/2 B x z h h 1 2 L/2 Bh Bv L/2 h x L/2 Şekil 40, Yayılı yük ve öz ağırlıklı basit kiriş Sehim paraboldür. DD 1; M B 0 4 x2 z h 1 2 L Q q g L / 2 M B H h Q L / 4 H h q g L / 2 L / 4 0 q g L2 H 8h Kirişin veya halatın kopmaması için yatay kuvvet H A.f olmalıdır. DD 2; FV 0 BV Q 0 ɱ BV Q DD 3; Fh 0 H Bh 0 ɱ Bh H 2 x BV ɱ L Bh q g L L 8 h tan x Bh q g L 1 2h 2 L/2 8 h x 2h h www.guven-kutay.ch 2 q g L2 B L x V 2 Bh 2 2 q g L2 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc BV L 8 Yapı Statiği 25 1.1.1.1.6. Deney kirişi Yukarıda sayfa 21, paragraf 1.1.1.1.3 ile verilen Deney ve sehimle gerilim hesabı nı ele alalım: F = 60 N L F M A 0 F BL 0 x 2 F/2 F F/2 B 30 N B L/2 L/2 2 z Fz 0 FBA 0 F/2 F A 30 N A FB F/2 2 M Mm w"= A Kiriş ortasındaki moment: L M m 12'000 Nmm M m A 30 400 2 Kiriş ortasındaki kavis: M 12'000 w" EI 205'000 135 w" 433,6 mrad/m B F Kavisten; w' w' w' w ' m L 1 433,6 0,4 0,5 2 2 m w ' 86,7 mrad L/3 L/2 Sehim; wm wm w' w' F L3 60 8003 48 E I 48 205'000 135 w m 23,12 mm wm L/3 L/2 wm w 'L 86,7 800 3 103 3 Şekil 41, Yayılı yükte deney sehimi 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch w m 23,12 mm Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri 26 Sehim hesabını daha başka metotlada yapabiliriz. DD 1: Fz 0 q.dx q dx dV 0 V DD 2: M M+dM dV Şekil 42, Yayılı yükte deney sehimi dx 2 V dx V dV dx M dM 0 2 2 dx dM V dx dV 0 2 değeri çok küçüktür sıfır kabul edilir. dV dx dM V dx q q dx dV 0 Böylece: M O 0 M V+dV dx V q dx V dV 0 dM V dx 0 q V' V M' V' M ' ' Buradanda. q M' ' w" Mohr analojisi bulunur q M' ' 0 veya F 30 M 0 EI w" M EI F 31 Diferansiyel eşitlik q M ' ' ile w" eşitliği analogtur. Sehim de eğilme momenti gibi zorlanmalarla hesaplanabilinir. M/EI Mohr analojisi. Eğilme momentinin yayılı yük q ile hesaplamasına benzer, kavisten M/(EI) sehim w hesaplanır. Buna Mohr analojisi, Mohr benzerliği denilir. F o tan E o h/2 x h/2 2 o Eh h/2 o E o E o M W H= 3 mm Şekil 43, Yayılı yükte deney sehimi Deneydeki Varyant II ye göre: W=b.h2/6=90 mm3 I=bh3/12=135 mm4 E=205'000 N/mm2 Mm = 12'000 Nmm A = 30 N o M 12'000 W 90 o 133,3MPa 2 o 2 133,3 E h 305'000 3 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc = 433,6 mrad/m www.guven-kutay.ch Yapı Statiği 27 1.2.4. Kavisli çubuk Sabit yayılı yük etkisinde bir kavisli çubuk düşünelim, Şekil 44. h qv ds v N z ds MV x qx ds = . d N+d N qz d M+dM V+dV Şekil 44, Kavisli çubuk Kavisli çubuğun analizini yapmak için küçük bir parçasının kesitini Şekil 45 ile gösterildiği şekilde alalım. Her nekadar analizde küçük parça eğik dirkdörtgen olarak görülüyorsada kesit v-eksenine paralel olarak düşünülür (Bkz. Şekil 45). Şekil 44 ile gösterilen kavisli çubukta detaya göre denge denklemlerini yazarsak: 1. DD Fx 0 dN V d q x ds 0 F 32 2. DD Fz 0 dV N d q z ds 0 F 33 3. DD My 0 dM V ds 0 h F 34 x-eksenine dik kesit v x z kabul edilen v-eksenine paralel kesit Gösterilen kesit d Şekil 45, Kavisli çubukta kesit Yukarıdaki F 32, F 33 ve F 34 formüllerinden şu bağıntılar bulunur; dN V d q x ds 0 / ds dN V d q x ds 0 ds ds ds d 1 burada ds R d d olduğundan ds F 32 ile 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch dN V qx 0 ds F 35 Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri 28 dV N d q z ds 0 dV N d q z ds 0 ds ds ds F 33 ile dM V ds 0 dM V ds 0 ds ds F 34 ile / ds dV N qz 0 ds F 36 / ds dM V 0 ds F 37 Burada herhangibir qx, qz zorlamaları verildiğinde çubuğun geometrik ölçüleri kolaylıkla bulunur. Buradaki yegane şart; Çubuğu yalnız normal kuvvet zorlayacak, dik kuvvet ve/veya eğilme momenti zorlaması olmayacak. Burada V=M=0 eşit kabul edersek, şu diferensiyel denklemler bulunur. dN qx 0 ds N qz 0 Formül F 35 ile Formül F 36 ile Ve buradanda; d dq qz z q x ds ds F 38 bulunur. Bu kavis radyusu (s) nin diferensiyel denklemidir. Kazan formülü bu duruma verilecek en güzel örnektir: Basınçlı kazanlarda qx = 0, qz = sabit vede = r = sabit kabul edilir; N q z r sabit F 39 bulunur. Buda "Kazan formülü" dür. 1.2.4.1. Kavisli çubukta değerler Buradaki yayılı dik kuvveti (qV) sabit kabul edelim. h qv.dh qv v ds dh d ds = . d dv z L/2 dh L/2 L Şekil 46, Kavisli çubukta değerler Çıkış değerler, F 36 ds d ; dh ds cos ; dV dV N qz 0 N=0 qz ds ds q dh cos q v ds cos cos qz v ds ds 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch dh cos d dV q v dh cos q z q v cos 2 x Yapı Statiği F 35 29 dN dN V qx 0 V=0 qx ds ds q dh sin q v ds cos sin qx v ds ds dN q v dh sin q x q v sin cos Kavis radyusu (s) nin diferensiyel denklemini ele alalım: d dq qz z q x ds ds d cos 2 2 cos sin d sin cos d d 3 tan d ln 3 ln(cos ) k ===> (cos )3 sabit Demekki: Diğer taraftan; cos dh dh 2 dv 2 0 (cos )3 1 dv 1 dh 2 ===> dv 2 0 1 dh Diğer taraftan bildiğimiz gibi; dv 2 dh 2 1 2 3/ 2 dv 1 dh F 40 Yukarıda F 40 ile verilenlere göre; dv 2 dh 2 1 sabit 0 olduğu görülür. Buda v(h) fonksiyonunun ikinci dereceden parabolüdür. v h2 c1 h c2 2 0 F 41 Eğer parabolün dönüm noktasını koordinat sisteminin çıkış noktasını kabul edersek: h v Şekil 47, Parabolün dönüm noktası 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc v h2 2 0 www.guven-kutay.ch 3/ 2 Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri 30 H. dv dh q v dh q v .dh h dh H Buradan v 2 (dvdh + dvdh . dh) H. dh 2 h2 c1 h c2 2 0 Bu daha önce bulduğumuz dür ve bildiğimiz H gibi: 0 qv H H dv2 2 dh Şekil 48, Kavisli çubukta sektör Bu sonuç = 0 noktasında = N/qz bulunabilir. Şöyleki: N = H ve qz = qv olduğu için. qv v f H q v L2 8f v qv h2 4 f h2 2H L2 h H v H L/2 4 f h2 Şekil 49, Kavisli çubukta yük L2 O.K. Sayısal uygulama örneği; q v L2 1 2002 ==> H = 125 MN 8f 8 40 Pratikte konstrüksiyon DÇ nin devamlı zorlamada mümkün olduğu kadar çok yakın olması için yapılır. Zorlamanın değişken olması halinde bazen az, bazen çok dik kuvvet ve eğilme momenti zorlamaları görülecektir. Bu tür zorlamaları karşılayabilmek için "Sistemi rijitleyecek" önlemler alınmalıdır. 1.2.4.2. Dik kuvvet etkisinde üç oynaklı kemer Burada Şekil 50 ile görülen üç oynaklı kemerde A ve B yataklarındaki Av ve Bv F G kuvvetleri, basit kiriş hesabı gibi yapılarak H A ve B reaksiyon kuvvetlerinden bulunur. f B v B H Kuvvetler üçgeninin bağlantı hattından B A "Kämpfer oynağı" ile A ve B yatakları Av A arasındaki "Kemer çekmesi" H bulunur. A M Av Kemerdeki eğilme momenti M, basit H F kirişte olduğu gibi momentlerin süper Bv pozisyonu ile (M0) ve –H. momentide F B kemer çekmesiyle bulunur. L=200 m ; f = 40 m ; qv = 1 MN/m Av M 0G Bv M0 ; H M M 0 H () Orta oynak yatak G de moment sıfır olduğu için "M=0" H Şekil 50, Üç oynaklı kemer M0G f Burada kirişin kemer şeklinde olması momentlerin basit kiriş momentleriyle karşılaştırılmalarında kemer momentlerinin çok daha küçük olduğu görülür. 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch Yapı Statiği 2. 31 Sayısal örnekler 2.1. Denizde petrol platformu Petrol arama platformunun 150 m derinlikteki silindir şeklindeki dip tanklarında (Şekil 51); h p Suyun özgül ağırlığı 1030 kg/m3 Yer çekimi ivmesi g = 9,81 ms-2 Hesabın yaıldığı derinlik h = 150 m pmax .g.h = 1,516 N/mm2 (MN/m2) t pmax= .g.h qmax .g.h.r = 18,2 MN/m q p Silindirin cidar kalınlığı 0,8 m kabul edilirse, ortalama bası gerilimi 22,7 MPa bulunur. r max d q max / t q Şekil 51, Petrol arama platformu dip tankları d 18,2 / 0,8 22,7 MN/m 2 (N/mm2 , MPa) 2.2. Atom santralı koruyucu gömleği Silindir şeklinde atom santralı koruyucu gömleğinin iç basıncı pmax = 0,5 N/mm2 olarak kabul edilmiştir (Şekil 52). Silindirin yarı çapı Küre başlık Takke r = 20 m Silindirin çevresinde şu çekme kuvvetleri oluşur: qmax = r . pmax = 20 . 0,5 = 10 NN/m Silindir Bu kuvvetler ön gerilimli beton konstrüksiyon tarafından karşılanır. q max Çekmeye zorlanan germe parçaları betona öyle büyük baskı yaparlarki, betonda çekme gerilimi oluşamaz ve çekme geriliminin doğuracağı çatlak larda. p max r r Ön gerilim oluşturacak konstrüksiyon kabaca Şekil 53 ve Şekil 54 ile gösterilmiştir. q max Şekil 52, Atom santralı koruyucu gömleği Germe istasyonu Germe kuşağı Şekil 53, Ön gerilim konstrüksiyonu, prensip 44_01_1_Reaksiyonlar+Kesit-Büyüklükleri.doc Germe Bağlantısı Silindirin cidarı Şekil 54, Ön gerilim konstrüksiyonu, kaba detay www.guven-kutay.ch 32 Reaksiyonlar ve Kesit büyüklükleri Konu İndeksi A I Atalet momenti .......................................................... 16 İçten Statik Belirsiz...................................................... 4 C K Cisim kesiti .................................................................. 3 Karşıkoyma momenti................................................. 15 Kavis .......................................................................... 15 Kavis radyosu ............................................................ 16 Kazan formülü ........................................................... 28 D Denge kuralı ................................................................ 3 Dıştan Statik Belirli ..................................................... 4 Düname........................................................................ 4 E Eğilme momenti .......................................................... 7 Elastiklik modülü......................................................... 9 Eylemsizlik momenti ................................................. 16 H S Sağ cıvata kuralı........................................................... 3 Sağ el kuralı ................................................................. 3 Serbest Cisim Diyagramı ............................................. 3 Statik Belirli Sistem ..................................................... 4 V Vektör .......................................................................... 3 Hook kanunları ............................................................ 9 44_01_1_reaksiyonlar+kesit-büyüklükleri.doc www.guven-kutay.ch