dosyayı indir
Transkript
dosyayı indir
Ünite 2 ÜSTLÜ İFADELER Bölüm 2.3. Üstlü İfade ve Denklemler Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? • Üstlü ifadelerde çarpma, bölme ve kuvvet almayı • Üstlü ifadeler içeren denklemlerin çözümünü • Özel bir üstlü ifade türü olarak köklü ifadeleri • Üstlü ifadelerin bazı uygulamalarını Neden Öğreneceğiz? Dünyanın güneşe olan uzaklığı, yıldızlar ve gezegenlerin birbirlerine olan uzaklıkları, Samanyolu galaksisindeki yıldız sayısı, bir hidrojen atomunun yarıçapı, pH değeri ve sesin şiddetini belirleyen desibel değerleri gibi çok büyük veya çok küçük sayıları ifade etmek ve bunlar üzerinde işlemler yapmak için üstlü ifadeleri kullanırız. Bazen üstlü ifade içeren denklemlerle karşılaşırız. Örneğin, zamana bağlı olarak bir bakteri popülasyonunun günde iki katına çıktığını keşfeden bir bilim adamı için kaç saat sonra 256 milyon olduğunu bulmak üstlü ifade içeren bir denklemi çözmeyi gerektirir. Bu durumlarda sayıların üstlü biçimde gösterimi ve bu gösterimlerin kullanılması işlemlerde kolaylık sağlamaktadır. n x Bölüm 2.3. Üstlü İfade ve Denklemler HAZIR MIYIZ? 1. Aşağıdaki ifadeleri üstlü ifade şeklinde yazınız. 5. x = 4 için aşağıdaki cebirsel ifadelerin değerini bulunuz. a. 5 · 5 · 5 · 5 a.2x2 b. 3 · 3 · 7 · 7 · 7 · 7 b.(2x)2 c. a·a·a·a·a·a c.4–1 x ç. (2a) · (2a) · (2a) · (2a) · (2a) ç.(4x)–1 2. Aşağıdaki sayıları asal çarpanlarına ayırarak üstlü ifadelerin çarpımı olarak yazınız. a. 36 = 4 · 9 = 22 · 32 b.80 c. 98 ç. 128 d. 490 3. Bir soyağacında siz şimdiki zamanı temsil ediyorsunuz. Bir nesil önce anne ve babanız olmak üzere iki ebeveyniniz bulunuyor. 2 nesil önce anne ve babanızın da ikişer ebeveyni yani büyük anne ve büyük babalarınız bulunuyor. Bu şekilde 5 nesil önceki atalarınızın sayısını en kısa şekilde nasıl ifade edersiniz? a. 16 b. 0, 09 c. – 121 16 81 ç. 7. 3 5 , 4 3 , 5 2 , 49 sayılarının hesap makinesi kullanmadan küçükten büyüğe nasıl sıralanacağını açıklayınız. 8. Aşağıdaki köklü ifadeleri sadeleştiriniz. a. 50 = 25 · 2 = 5 2 b. 32 c. 0, 75 ç. 6, 4 4. Aşağıda verilen sayıları 10'un farklı kuvvetlerini kullanarak yazınız. d. 4 · 10 –3 a. 234 = 23, 4 x 101 = 2, 34 x 102 9. Aşağıda verilen sayılardan hangileri 12 ile çarpıldığında bir tam sayı elde edilir? = . . . . . . . . . . . . x103 = . . . . . . . . . . . . x104 b. 3,674 = . . . . . . . . . . . . x10-1 =. . . . . . . . . . . . x10-2 =. . . . . . . . . . . . x10-3 256 6. Aşağıda verilen köklü ifadeleri kök dışına çıkarınız. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler a.2 b. 2 c. 3 ç. 6 d. 12 Üstlü İfade ve Denklemler 2.3.1 Üstlü İfade ve Denklemler Neler Öğreneceğiz? • Bir gerçek sayının tam sayı kuvvetini Başlarken • Alfa Erboğa (Alpha Centauri) Güneş'e en yakın yıldız sistemidir. Bu yıldız sisteminin Dünya'ya olan uzaklığı yaklaşık 4,3 ışık yılı olarak belirlenmiştir. Işık yılı, ışığın boşlukta bir yılda aldığı mesafeyi veren bir ölçüm birimi olup, ışık hızı ise yaklaşık olarak saniyede 300.000 km’dir. Buna göre, Dünya ile Alfa Erboğa yıldız sistemi arasındaki uzaklık kaç km’dir? • Üstlü ifadelerin özelliklerini • Üstlü ifadelerle işlemleri • Üstlü ifade içeren denklemlerin çözümü ve çeşitli gösterimlerle yorumlanmasını Sembol ve Gösterimler • Bir biyolog, laboratuvar ortamında bakterilerin çoğalmasını incelemektedir. Biyolog, ilk ölçümde bakteri populasyonunu 72 olarak bulmuş ve bu populasyonun her bir saatte 2 katına çıktığını tespit etmiştir. Buna göre, biyolog bakteri populasyonunun kaç saat sonra 150.000’e ulaşacağını nasıl tespit edebilir? •xn • A · 10n Bu tür durumların incelenmesinde üstlü ifadeler içeren denklemlerden faydalanılır. Bu bölümde üstlü ifadeler ve özellikleri incelenerek üstlü ifade içeren denklemlerin çözümleri yapılacaktır. Öncelikle üstü ifadelerin özelliklerini inceleyelim. Anahtar Terimler • Üstlü ifade •Taban Bir Gerçek Sayının Tam Sayı Kuvvetleri •Üst Aynı gerçek sayının birden çok çarpımını kolay bir şekilde göstermek için üstlü ifadeler kullanılır. Örneğin 5 · 5 · 5 = 53 ve 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 şeklinde yazılır. Burada 2 taban, 5 ise üst (kuvvet) olarak adlandırılır. 5 Taban Matematik Tarihi Üst René Descartes 2 Bir gerçek sayının pozitif tam sayı üstü o sayının kendisi ile kaç defa çarpıldığını gösterir. 1 8 · 8 · 8 · 8 · 8 ve 2 2 2 2 · · · gerçek sayılarını üstlü ifade şeklinde yazalım. 3 3 3 3 5 8·8·8·8·8 =8 5 tane 1596-1650 Rene Descartes yaptığı birçok çalışmanın yanında üstlü sayı gösterimini (an) ilk kullanan kişi olarak da bilinir. 2 4 2 2 2 2 =c m · · · 3 3 3 3 3 4 tane Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 257 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler x bir gerçek sayı ve n ∈ Z+ için xn ifadesine üstlü ifade denir. Burada x sayısına taban, n sayısına da üst veya kuvvet denir. xn ifadesi "x in n. kuvveti" diye okunur. x · x · x · … · x = xn 144444 424444443 n tane 2 2 1 –4, – ve – negatif sayılarının bazı çift ve tek kuvvetlerini hesaplayalım ve sonuçla3 2 rın işaretlerini inceleyelim. a.(–4)2 = (–4) · (–4) = 16 2 4 2 2 2 2 16 b. c - m = c - m · c - m · c - m · c - m = 3 3 3 3 3 81 6 1 1 1 1 1 1 1 1 c. c - m = c - m · c - m · c - m · c - m · c - m · c - m = 2 2 2 2 2 2 2 64 ç.(–4)3 = (–4) · (–4) · (–4) = – 64 2 3 2 2 2 8 d. c - m = c - m · c - m · c - m = 3 3 3 3 27 e. c- 1 5 1 1 1 1 1 1 m = c- m · c- m · c- m · c- m · c- m = 2 2 2 2 2 2 32 Bu örnekteki sonuçların işaretleri incelendiğinde, negatif bir gerçek sayının çift sayı kuvvetlerinin sonucunun pozitif işaretli, tek sayı kuvvetlerinin sonucunun negatif işaretli olduğu görülür. 3 –24, –34 , (–2)4, (–3)4 ifadelerinin sonuçlarını bulup işaretlerini inceleyelim. Üstlü ifade Sonuç 4 –2 –(2 · 2 · 2 · 2) = – 16 –34 –(3 · 3 · 3 · 3) = – 81 (–2)4 (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16 (–3)4 (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = 81 Elde edilen sonuçlara göre –24 ile –34 ün sonuçları negatif iken (–2)4 ile (–3)4 ün sonuçları pozitiftir. 258 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Üstlü İfade ve Denklemler Üstlü İfadelerde Çarpma İşlemi Dikkat 25 · 23 = (2 · 2 · 2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) olarak yazılabilir. Çarpmanın birleşme özelliği kullanılarak bu ifade düzenlenirse 25 · 23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 28 elde edilir. Aşağıdaki benzer örnekleri inceleyelim. 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 5 a. c m · c m = · · · · · = c m 4 4 4 444443 1444 4 2444 43 4 1444434tan 2 e 2 tan e 144444444 2 44444444 3 5 tan e n bir çift doğal sayı ve x ∈ R –{0} olmak üzere, –xn ≠ (–x)n olur. Yandaki örnekte –34 ve (–3)4 üstlü ifadelerinin aynı olmadığına dikkat ediniz. b. (–a) 3 · (–a) = (–a) (–a) (–a) (–a) = (–a) 4 = a 4 144444 2444443 19 tan e 3 tan e 14444444 424444444 43 4 tan e c.3x2 · 4x4 = (3 · x · x) · (4 · x · x · x · x) = 3 · 4 · x · x · x · x · x · x = 12x 6 1444444 4244444443 6 tane ç.x4 · x5 çarpımını aşağıda şema üzerinde de gösterelim. = x·x·x·x x·x·x·x·x x4 · x5 4 tane 5 tane 9 tane = x9 x4+5 Tabanları aynı olan üstlü ifadelerin çarpımı pozitif tam sayılar için aşağıdaki gibi gösterilebilir. Tabanları aynı iki üstlü ifade çarpıldığında üstler toplanır. x ∈ R – {0} ve m, n ∈ Z+ olmak üzere, x m · x n = x · x · x ·…· x . x · x · x ·… · x = x · x · x ·…· x = x m + n 144444 424444443 144444 424444443 144444 424444443 m tan e n tan e m + n tan e xm · xn = xm + n dir. Bu ispat pozitif üstler için yapıldığı halde, xm · xn = xm + n eşitliği üstün negatif olduğu durumlar için de geçerlidir. 4 312 · 32 işleminin sonucu kaçtır? 312 · 32 = 312+2 = 314 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 259 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler 5 Dikkat Aşağıdaki ifadelerin 12x9 a eşit olup olmadığını belirleyelim. Kuvvetin parantezin içerisinde olması ile parantezin dışında olması sonucu değiştirebilir. Örneğin, x ≠ 0, x ≠ 1 ve x ≠ –1 için, a. (4x6) · (3x3) (2x)2 = 2x · 2x = 4x2 a.(4x6) · (3x3) = 4 · 3 · x6 ·x3 (2x2) = (2 · x · x) = 2x2 = 12 · x6 + 3 (2x)2 ≠ (2x2) = 12 · x9 b. (12x3) · x6 b.(12x3) · x6 = 12 · x3 · x6 = 12 · x3 + 6 = 12x9 6 Bölüm girişinde sunulan bilgiye göre Alfa Erboğa yıldız sisteminin dünyaya olan uzaklığı 4,3 ışık yılıdır. Üstlü sayılarla ilgili yukarıdaki bilgileri kullanarak Alfa Erboğa (Centauri) yıldız sistemi ile dünya arasındaki uzaklığı hesaplayalım. Anahtar Bilgi Bilimsel Gösterim: Sıfırdan farklı bir sayının 1 ≤ | A | < 10 ve n ∈ Z olmak üzere A · 10n şeklinde yazılmasına bilimsel gösterim denir. Önce bir ışık yılının kaç kilometre uzunluğa karşılık geldiğini hesaplayalım. Işık hızı yaklaşık olarak 300.000 = 3 · 105 km/sn dir. Örnek, Bir yıl = 365 · 24 · 60 · 60 = 31536 · 103 sn dir. 0,0002 = 2 · 10–4 ve 1 ışık yılı = Işık hızı x 1 yıl (saniye cinsinden) 3 500 000 = 3, 5 · 106 Bunu biliyor muydunuz 1 ışık yılı, ışığın boşlukta bir yılda aldığı mesafeyi ifade etmek için kullanılan bir uzaklık birimidir. = (3 · 105) · (31536 · 103) = 3 · 31536 · 105 · 103 = 94608 · 105+3 = 94608 · 108 = 9,46 · 1012 1 ışık yılı yaklaşık olarak 9,46 · 1012 km'dir. Alfa Erboğa yıldız sisteminin dünyaya olan uzaklığı 4,3 ışık yılı oluğuna göre, bu uzaklık bilimsel gösterimle ifade edilirse; Anahtar Bilgi (4, 3) · (9, 46) · 1012 = (40,678) · 1012 ≅ sembolünün anlamı "yaklaşık olarak eşit" tir. 260 ≅ 4, 06 x 1013 km olur. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Üstlü İfade ve Denklemler 7 Yetişkin bir insanın normal olarak bir nefes alışverişinde ortalama 500 ml havayı kullandığı ve dakikada ortalama 12 nefes aldığı bilinmektedir. Buna göre yetişkin bir insanın normal şartlarda 2 · 104 saatte kullandığı hava miktarının ml cinsinden ne kadar olduğunu bulalım. Bir yetişkin insanın dakikada kullandığı hava miktarı 12 · (5 · 102) = 60 · 102 = 6 · 103 ml dir. Bu sayı 60 ile çarpılırsa bir saatteki kullanılan hava miktarı bulunur. 60 · 6 · 103 = 360 · 103 = 36 · 104 ml Elde edilen sonuç 2 · 104 ile çarpılırsa istenilen cevaba ulaşılır. Dolayısıyla, (36 · 104) · (2 · 104) = 36 · 2 ·104 · 104 = 72 · 108 ml Bir Gerçek Sayının Negatif Kuvvetleri Sıfırdan farklı bir gerçek sayının –1. kuvveti, o sayının çarpmaya göre tersi olur. 1 1 1 Yani 4· = · 4 = 1 olduğu için 4'ün –1. kuvveti 4 –1 = tür. Yine aynı şekilde, 4 4 4 1 –1 1 5 c m = = = 5 olur. 5 1 1 5 Bu durumda, bir gerçek sayının negatif tam sayı kuvvetleri, tabanının çarpma işlemine göre tersi alındıktan sonra pozitif kuvvetinin alınması (tekrarlı çarpma işleminin yapıl1 3 ması) olarak yorumlanabilr. Örneğin 5–3 üstlü ifadesi, 5–3 = (5–1)3 = c m şeklinde dü5 1 3 1 1 1 1 zenlenebilir. Ve sonuç olarak c m = · · = elde edilir. 5 5 5 5 125 Aşağıdaki örnekleri inceleyelim. a. Anahtar Bilgi 2 –1 3 1 3 c m =c m = 3 2 2 –1 2 a ≠ 0 ve b ≠ 0 olmak üzere, 1 a−1 = — a 1 −n a = —n a 1 1 5 b. c m = cc m m = c m = 5 2 5 5 1 –2 c. 1 a k = ca k m = c m a b –4 a b –1 4 b a 4 a -n b n =c m b a a k Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 261 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler 8 1 –4 3 –3 3 –2, c m , c – m ve 6 –3 ifadelerinin üstlerini pozitif olarak yazıp sonuçları bulalım. 2 2 a. 1 2 1 1 1 3 –2 = c m = · = 3 3 3 9 1 –4 2 4 b. c m = c m = 2 4 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 2 1 c. c– 3 –3 2 3 2 2 2 8 m = c– m = c– m . c– m . c– m = 2 3 3 3 3 27 ç. 6 –3 = 1 1 = 3 216 6 9 1 –4 5 3 · c m işleminin sonucunu bulalım. 5 Çarpım durumunda olan bu iki farklı üstlü ifadenin tabanları aynı olmadığı için çarpma işlemi ile ilgili kural doğrudan uygulanamaz. Fakat negatif kuvvet özelliğinden yararla1 –4 5 4 narak c m ifadesinin yerine c m = 5 4 yazılabilir. Bu durumda, 5 1 1 –4 53 · c m = 53 · 54 5 = 53+4 = 57 Üstlü İfadelerde Bölme İşlemi Tabanları aynı iki üstlü ifade çarpılırken üstlerinin toplandığını biliyoruz. Tabanları aynı 39 olan iki üstlü ifadenin bölme işlemini iki farklı şekilde yapabiliriz. Bu yöntemleri 5 3 bölme işlemi üzerinde gösterelim. 262 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Üstlü İfade ve Denklemler 1. Yöntem: Pay ve paydadaki üstlü sayılar açık şekilde yazılırsa; 3·3·3·3·3·3·3·3·3 3·3·3·3·3 ifadesi elde edilir. Bu ifade sadeleştirildiğinde; Y 3 ·Y 3 ·Y 3 ·Y 3 ·Y 3·3·3· 3·3 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 9–5 = 3 4 Y 3 ·Y 3 ·Y 3 ·Y 3 ·Y 3 sonucu elde edilir. 2. Yöntem: 39 39 1 üstlü ifadesi 5 = 3 9 · 5 şeklinde yazılıp negatif üst özelliği 5 3 3 3 kullanılarak39 · 3–5 şeklinde yazılabilir. Buradan; 39 · 3–5 = 39+(–5) = 34 elde edilir. 39 bölme işlemini bir şema üzerinde gösterelim. 35 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 ·3· 3 = 3· 3· 3· 3 3·3·3·3·3 3 9 3 5 =3 3 9 3 5 =3 4 9–5 Tabanları aynı olan iki üstlü ifadenin bölümünde, paydaki ifadenin üstünden paydadaki ifadenin üstü çıkarılır ve çıkan değer ortak tabana üst olarak yazılır. Bu durum aşağıdaki gibi gösterilir. x ∈ R − {0} ve m, n ∈ Z+ olmak üzere m tan e 64444444 744444448 xm x · x · x · x ..... · x = = x · x · x ..... · x = x m–n x · x · x ..... · x 144444 2444443 xn m – n tan e 144444 2444443 n tan e xm = x m · x –n = x m–n xn Yukarıdaki ispat üstlerin pozitif tam sayı olduğu durumlar için yapıldığı halde x m x n =x m–n eşitliği üstlerin negatif olduğu durumlar için de geçerlidir. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 263 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler 10 a ≠ 0 olmak üzere, 15a 4 bölme işlemini yapalım. 3a 6 5 5·3·a·a·a·a 15 · a 4 = = a2 3·a·a·a·a·a·a 3 · a6 = 5a–2 15a 4 3a 6 15 a 4 · = 5 · a 4–6 3 a6 11 3 10 bölme işlemini yapalım. 3 –8 3 10 = 3 10– (–8) = 3 18 3 –8 Tabanları aynı olduğu için üstlerinin farkı alınır. 12 x ≠ 0 için, ^ 3x 2 h^ 5x 3 h ^ 3x 2h^ 5x 3h –2x 4 264 –2x 4 = ifadesini sadeleştirelim. 3 · 5 · x2 · x3 3 · 5 x5 = · –2 x 4 –2x 4 3 · 5 5–4 = ·x –2 15 1 =x 2 15 =x 2 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Üstlü İfade ve Denklemler 13 Nüfus yoğunluğu kilometrekare başına düşen insan sayısıdır. İstanbul’un yüzölçümü 5313 km2, nüfusu ise 13.850.000 olduğuna göre, İstanbul’un nüfus yoğunluğunu bulalım. İstanbul'un nüfusu: 13.850.000 = 1,385 · 107 dir. İstanbul'un yüzölçümü: 5313 = 5,313 · 103 dür. Nüfus yoğunluğu, nüfusun yüzölçüme bölünmesiyle bulunur. Nüfus yoğunluğu = 1, 385 · 10 7 1, 385 = · 10 7–3 5, 313 5, 313 · 10 3 Bunu biliyor muydunuz b 0,26 · 104 b 2600 kişi/km2 bulunur. Hertz, saniye başına düşen devir sayısını ifade eden ölçü birimidir. Bir bilgisayarın RAM ve İşlemci gibi parçalarının hızları genellikle MHz ve GHz le ifade edilir. Örneğin 1 MHz, (1, 4, 8, 16, 32 ya da 64 bit olabilir) bir verinin saniyede bir milyon defa işlenmesi anlamına gelir. İşte bu iki bileşen (bit sayısı ve işlem hızı) bir işlemcinin hızını belirler. 1970’li yıllarda yapılan bilgisayarların işlemci hızları genellikle 1 MHz civarındaydı (Atari, Commodore vs). Bugün ise bu hızın 6 GHz lere kadar ulaştığını görüyoruz. Dolayısıyla, İstanbul'da 1 km2 ye yaklaşık olarak 2600 insan düşmektedir. 14 Bir firmanın muhasebe hesaplarını tutmakta kullandığı bilgisayarın işlemci hızı 1,6 MHz dir. Bilgisayarın artık değiştirilme zamanı geldiğini düşünen yetkililer işlemci hızı 3,2 GHz olan yeni bir bilgisayar almışlardır. Yeni alınan bilgisayarın hızı önceki bilgisayarın hızının kaç katıdır? Yeni bilgisayarın işlemci hızı: 3,2 GHz = 3,2 · 109 Hz Eski bilgisayarın işlemci hızı: 1,6 MHz = 1,6 · 106 Hz Yeni bilgisayarın işlemci hızını eski bilgisayarın işlemci hızına bölelim. 3, 2 · 10 9 Hz = 2 · 10 3 = 2000 1, 6 · 10 6 Hz Dolayısıyla, yeni bilgisayarın işlemcisi hızı diğerinin 2000 katıdır. Üstleri Aynı Olan İki İfadenin Çarpımı ve Bölümü Şimdi aynı kuvvete sahip üstlü ifadelerin çarpımını inceleyelim. 34 · 54 değerini bulmaya çalıştığımızı düşünelim. Öncelikle açık halde yazalım. 34 · 54 = 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 5 Bu ifade çarpma işleminin değişme özelliği kullanılarak ikişerli gruplandırıldığında, (3 · 5) (3 · 5) (3 · 5) (3 · 5) = (3 · 5)4 = 154 Adı Sembol 100 Hertz Hz 103 Kilohertz kHz 106 Megahertz MHz 109 Gigahertz GHz Terahertz THz 12 10 elde edilir. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Kat 265 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler 15 Bunu biliyor muydunuz 100 Aşağıdaki üstlü ifade çarpımlarını tek bir üstlü ifade olarak yazalım. = Googol 10 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 x 4 b. c m · c m x y a. (–3) 3 · (4) 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a. (–3)3 · (4)3 = (–3) · (–3) · (–3) · 4 · 4 · 4 = (–3 · 4 ) · (–3 · –4) · (–3 · 4) = (–3 · 4) · (–3 · 4) (–3 · 4) = (–3 · 4)3 = (–12)3 Googol terimi, 10100 anlamına gelir. Bir googol, 1’in yanına 100 tane sıfırın gelmesiyle oluşur. Bir rakamının ardından gelen 1 googol sıfır ile yazılan sayıya ise googolplex adı verilir. b. Bu sayı, 10googol = 10^10 h ile ifade edilir ve evrende yaklaşık sayıda olan elektronların sayısından fazladır. 100 2 4 x 4 2 2 2 2 x x x x c m ·c m = · · · · · · · x x x x y y y y x y 2 x 2 x 2 x 2 x = d · n·d · n·d · n·d · n x y x y x y x y 14444444444444444 244444444444444443 4 tane 4 2 x 2 4 =e · o = d n y x y Web arama motoru Google ismini buradan almıştır. Google firmasının müdürü ve ortaklarından olan Sergey Brin, bir matematikçidir ve Google ismini bu arama motorunun çok geniş olduğunu tanımlamak için seçmiştir. Üstleri aynı olan iki ifade çarpıldığında, tabanları çarpılır ve her iki ifadenin üstü çarpımın ortak üstü olarak yazılır. Bu durum pozitif tam sayı kuvvetleri için aşağıdaki gibi gösterilir. x, y ∈ R ve m, n ∈ Z+ olmak üzere, x m · y m = x · x · x ·… · x · y · y · y · f · y = (x · y) · f · (x · y) = (x · y) m 144444 424444443 144444 424444443 14444444 244444443 m tane m tane m tane xm · ym = (x · y)m dir. Yukarıdaki ispat üstlerin pozitif tam sayı olduğu durumlar için yapıldığı halde xm · ym = (x · y)m eşitliği üstlerin negatif olduğu durumlar için de geçerlidir. 16 a – k · (2b) 3 işleminin sonucunu bulalım. a b 3 a – k (2b) 3 = a – a b 266 3 3 a a ·2b k = c – · 2 b m = (–2a) 3 b b Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Üstlü İfade ve Denklemler 17 Aşağıdaki ifadelerde soru işareti yerine gelecek sayıları bulalım. a.37 = 35 · 3? b.37 = 36 · 3? c.37 = 37 · 3? a.37 = 35+2 = 35 · 32 b.37 = 36+1 = 36 · 31 c.37 = 37+0 = 37 · 30 18 56 · 27 çarpımının sonucunu üstlü bir ifade ile gösterelim. Tabanları farklı iki üstlü ifadeyi çarpabilmek için sayıların üstleri küçük olan üste eşitlenerek çarpma işlemi yapılır. 27 ve 56 sayılarından üstü küçük olan 56 dır. Dolayısıyla 27 sayısının üstü de 6 olarak yazılırsa çarpma işlemi yapılabilir. 56 · 27 = 56 · 26+1 = 56 26 · 21 = (5 · 2)6 · 2 = 2 · 106 19 34 + 34 + 34 işleminin sonucunu bulalım. 35 Öncelikle pay kısmında bulunan 34 + 34 + 34 üstlü ifadelerinin toplamını bulalım. 34 + 34 + 34 = 3 · 34 144444 2444443 3 tane = 31 · 34 = 31+4 = 35 Tekrarlı toplama işlemi çarpma işlemi ile ifade edilebilir. 3 = 31 olarak yazılır. Tabanları aynı olan üstlü ifadelerin üstleri toplanır. 34 + 34 + 34 = 35 olduğundan soruda pay kısmına 35 yazılarak işlem yapılırsa 34 + 34 + 34 35 = 35 35 = 35–5 = 30 = 1 elde edilir. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 267 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler Üstlü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılabilmesi için üstleri ve tabanları aynı olan terimler elde edilir. Üstleri ve tabanları aynı olan terimler ortak paranteze alınarak katsayılar toplanır veya çıkarılır. Dikkat 3n + 3n + 3n + 3n = 4 · 3n n ≠ 1 için, x ∈ R ve n ∈ Z olmak üzere, 3n +3n + 3n + 3n ≠ 34n axn + bxn – cxn = (a + b – c) xn dir. 3n + 3n + 3n + 3n ≠ (4 · 3)n Anahtar Bilgi 20 Sıfırdan farklı bir gerçek sayının sıfırıncı kuvveti 1 dir. 75 + 76 + 77 ifadesini sadeleştirelim. 78 + 77 + 76 n x = x n–n = x 0 xn xn xn = =1 xn xn n ≠ 0 olmak üzere, 0n = 0 olur. 75 + 76 + 77 78 + 77 + 76 Sayıların üstleri en küçük üstlü sayının üstüne eşit olacak şe- = 75 + 75 + 1 + 75 + 2 76 + 2 + 76 + 1 + 76 Pay kısmındaki sayılar 75, payda kısmındakiler ise 76 bir çar- = 7 5 · 1+ 7 5 · 7 1 + 7 5 · 7 2 an + m = an · am özelliğini kullanarak sayılar düzenleyelim. 76 · 72 + 76 · 71 · 76 · 1 = 7 5 ^1 + 7 1 + 7 2h 7 6 (7 2 + 7 1 + 1) = 75 76 00 belirsizdir. = 7 –1 = 268 kilde yazalım. pan olacak şekilde düzenleyelim. Pay 75 ortak parantezine, payda ise 76 ortak parantezine alarak sadeleştirelim. Üstlü sayılarda bölme işlemi yapalım. 1 7 7 nin çarpmaya göre tersini yazalım. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Üstlü İfade ve Denklemler 21 2, 3 · 109 + 4 · 107 işlemini yapalım. 2, 3 · 109 + 4 · 107 ifadesinde toplama işleminin yapılabilmesi için önce tabanları aynı olan üstlü ifadelerin üstlerinin eşitlenmesi gerekir. 2,3 · 109 + 4 · 107 = 2,3 · 102 · 107 + 4 · 107 = 230 · 107 + 4 · 107 = (230 + 4) · 107 = 234 · 107 Üstleri eşit iki üstlü ifadenin çarpımı tek bir üstlü ifade şeklinde yazılabilmektedir. Benzer durum üstleri eşit iki üstlü ifadenin bölümünde de geçerli midir? Bu durumu bir örnekle inceleyelim. 22 25 işleminin sonucunu bulalım. 35 Öncelikle pay ve paydayı ayrı ayrı yazalım. 2·2·2·2·2 3·3·3·3·3 Bu ifadede 2 ve 3'lerin sayısı aynı olduğu için rasyonel ifadelerin çarpımından da fayda2 2 2 2 2 2 5 lanılarak · · · · = c m olarak yazılabilir. Bu durumun pozitif tam sayı üstleri 3 3 3 3 3 3 için genel hali aşağıda gösterilmiştir. Üstleri aynı iki üstlü ifadenin bölme işleminde tabanlar bölüm olarak alınıp üst olarak ortak üst yazılır. x, y ∈ R, y ≠ 0 ve m ∈ Z+ olmak üzere, m tan e 644444 474444448 xm x · x · x · ..... · x x x x x x m = = c m · c m · c m · ..... · c m = c m olduğundan m y · y · y · ..... · y y y y y y y 144444m4tan 244444 43 1444444444444 24444444444443 e m tan e xm x m = c m şeklinde yazılır. m y y Yukarıdaki ispat üstlerin pozitif tam sayı olduğu durumlar için yapıldığı halde xm x m = c m eşitliği üstlerin negatif olduğu durumlar için de geçerlidir. m y y Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 269 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler 23 69 –8 7 ve 7 ifadelerini düzenleyelim. 9 3 2 Her iki ifade de üstler aynıdır. Dolayısıyla birinci üstlü ifade İkincisi ise 8 7 –8 7 = - c m = –4 7 olarak yazılır. 7 2 2 69 6 9 = c m = 2 9, 9 3 3 Üstlü Bir İfadenin Kuvveti 24 (23)4 üstlü ifadesinin değerini bulalım. (23)4 ifadesi üstlü sayı tanımından 4 tane 23 ün çarpımına eşittir. Buna göre, ^ 2 3 h4 = 2 3 · 2 3 · 2 3 · 2 3 1444444 24444443 4 tane = 23 + 3 + 3 + 3 = 2 33 +· 44 12 = 2 12 olarak yazılabilir. Bu parantezin içerisindeki üst ile dışındaki üstün çarpımıdır. Aşağıdaki benzer örnekleri inceleyelim. a. cc –2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2+2+2 2 2·3 2 6 m m = c– m · c– m · c– m = c– m = c– m = c– m 3 3 3 3 3 3 3 x –3 2 x –3 x –3 x (–3) + (–3) x (–3) · 2 x –6 2 6 b. x ≠ 0 için, ca k m = a k · a k = a k =a k =a k =c m 2 2 4244444 2 43 2 2 2 x 144444 2 tane 270 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Üstlü İfade ve Denklemler Bir üstlü ifadenin kuvveti alındığında üstler çarpılır. x ∈ R − {0} ve m, n ∈ Z+ olmak üzere, n tan e ^ x mhn = x m · x m · x m ·…· x m = x m + m + m + … + m = x m·n 64444444444744444444448 144444444n4tan 244444444 43 e (xm)n = xm · n şeklinde yazılır. Yukarıdaki ispat, üstlerin pozitif tam sayı olduğu durumlar için verilmiş olmasına rağmen, (xm)n = xm · n eşitliği üstlerin negatif tam sayı olduğu durumlar için de geçerlidir. 25 276 üstlü ifadesini 3'ün kuvveti olarak yazalım. 276 = (33)6 = 33 · 6 = 318 26 (75 · 72)–2 işleminin sonucunu bulalım. (75 · 72)–2 = (75+2)–2 =77 · (–2) = 7–14 = Dikkat 1 7 14 a ≠ 0, b ≠ 0 ve m, n, k ∈ Z olmak üzere (an · bn)k = an · k · bm · k dır. 27 (a2 · b–3)4 ifadesini düzenleyelim. = a2 · a2 · a2 · a2 · b– 3 · b– 3 · b– 3 · b– 3 24444444443 1444444 24444443 14444444444tane 4 tane 2+2+2+2 Anahtar Bilgi (a 2 · b – 3) 4 = (a 2) 4 · (b –3) 4 (a 2 · b – 3) 4 = (a 2 · b – 3) · (a 2 · b – 3) · (a 2 · b – 3) · (a 2 · b – 3) 144444444444444444444tane 244444444444444444443 = a 2 · 4 · b –3 · 4 a, sıfırdan farklı bir rakam olmak üzere; a · 10k sayısı k + 1 basamaklıdır. = a 8 · b –12 veya –3–3–3–3 ·b =a = a 2 · 4 · b –3 · 4 = a 8 · b –12 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 271 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler 28 A = 7 · 83 · 512 ifadesinin kaç basamaklı olduğunu üstlü ifadelerin özelliklerini kullanarak bulalım. A = 7 · 83 · 512 sayısını düzenleyerek a · 10k şekline dönüştürelim. Böylece A sayının sonundaki sıfır sayısı bulunabilir. A = 7 · 83 · 512 = 7 · (23)3 · 512 =7 · 29 · 59 · 53 = 7 · 53 · ( 2 · 5)9 = 7 · 53 · 109 = 875 · 109 elde edilir. Bu, 875 sayısının sağında 9 tane sıfır olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, A = 7· 83 · 512 ifadesi 12 basamaklıdır. 272 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atölye çalışmasında, bakteri popülasyonu ile ilgili bölüm girişinde verilen durum, üstlü denklem ile modellenerek ifade edilecektir. Giriş bölümünde biyoloğun bakteri popülasyonunu ilk ölçümde 72 olarak belirlediğini biliyoruz. Bu atölye çalışmasında başlangıçtan itibaren bakteri popülasyonunun zamana bağlı nasıl değiştiği ve kaç saat sonra 72'ye ulaştığı incelenecektir. Adım 4 Ölçülen bakteri sayısının en az 20.000 olması için kaç saat geçmelidir? 2. Bölüm Adım 1 1. Bölüm Adım 1 Bakteri popülasyonunun her bir saatte 2 katına çıktığı bilindiğine göre her bir saat sonunda ölçülen bakteri sayısını bularak aşağıdaki tablonun 2. sütununu ilk 10 saat için doldurunuz. Geçen Süre (saat) Bakteri Popülasyonu 0 1 Bakteri Popülasyonunun Bir Önceki Saatteki Bakteri Popülasyonuna Oranı 1 2 3 h İlk ölçülen bakteri popülasyonunun 72 olduğunu ve bakterilerin her bir saatte yine 2 katına çıktığını kabul edelim. Bu bilgilere göre yukarıdaki tablonun bir benzerini doldurunuz. Adım 2 2. saat sonundaki bakteri popülasyonunu başlangıçtaki (0. saatteki) bakteri popülasyonunu kullanarak nasıl bulursunuz? Bu hesaplamayı yaparken 1. adımda bulduğunuz oranı nasıl kullandınız? Adım 3 3. saat sonundaki bakteri popülasyonunu başlangıçtaki bakteri popülasyonunu kullanarak nasıl bulursunuz? Bakteri popülasyonunu bulmak için kullandığınız ifadeyi üstlü ifade kullanarak yazınız. Adım 2 Her bir saat sonunda ölçülen bakteri popülasyonunun bir önceki saatteki bakteri popülasyonuna oranını bularak yukarıdaki tablonun 3. sütununu doldurunuz. Bu oranların ne ifade ettiğini açıklayınız. Adım 3 Toplam bakteri sayısının zamana (t) bağlı olarak değişimini gösteren denklemi yazınız. Adım 4 6. saat sonundaki bakteri popülasyonunu üstlü ifade kullanarak yazınız ve sonucu hesaplayınız. Adım 5 Hesap makinesi yardımıyla bakteri popülasyonunun kaç saat sonra 150.000 i geçeceğini bulunuz. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 273 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler Üstlü Denklemler Bir bakteri popülasyonunun hesaplandığı atölye çalışmasında geçen durum veya bu duruma benzer belli bir oranda artan veya azalan durumlar üstlü denklemler ile gösterilebilir. Örneğin, atölye çalışmasında sorulan bakteri popülasyonu aşağıdaki denklem ile modellenebilir. Başlangıç değeri Geçen süre (s) y = 72 · (2)t Sabit çarpan (artış çarpanı) Değişkenin üst olarak yer aldığı bu tür denklemlere üstlü denklemler denir ve genel olarak y = a · bx şeklinde gösterilir. 29 Bir yapay göletteki haftalık balık sayısı, t hafta sayısını göstermek üzere y = 5 · 3t ile modelleniyor. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayalım. • a. Gölette başlangıçta kaç balık vardır? • b. Modeldeki 3 sayısı neyi göstermektedir? • c. 2. ve 3. haftanın sonunda göletteki balık sayısı ne olur? • ç. Göletteki balık sayısı kaç hafta sonra 1215 olur? • a. y = 5 · 3t ifadesinde 5 sayısının başlangıç değerini gösterdiğini atölye çalışmasında öğrendik. Dolayısıyla gölette başlangıçta 5 balık vardır. Aşağıdaki tabloda birkaç hafta için göletteki balık sayısını bulalım. Başlangıç durumunun 0 ile gösterildiğine dikkat ediniz. 274 • Hafta (t) • Balık Sayısı (5 · 3t) • 0 • 5 · 30 = 5 · 1 = 5 • 1 • 5 · 31 = 15 • 2 • 5 · 32 = 45 • 3 • 5 · 33 = 135 • 4 • 5 · 34 = 405 • 5 • 5 · 35 = 1215 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Üstlü İfade ve Denklemler b. Modeldeki 3 sayısı göletteki balık sayısının artış çarpanını göstermektedir. Yani, balıklar her hafta 3 katına çıkmaktadır. c. Tabloya göre, 2. haftanın sonunda göletteki balık sayısı 5 · 32 = 45 olur iken 3. haftasının sonunda göletteki balık sayısı 5 · 33 = 135 olur. ç. Göletteki balık sayısının 1215 olması için kaç haftanın geçeceği 5 · 3t = 1215 denklemi çözülerek bulunur. 5 · 3 t = 1215 5 · 3t 1215 = 5 5 3 t = 243 3t = 35 Eşitliğin her iki tarafını 5'e bölelim. 243 = 81 · 3 = 27 · 3 · 3 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 3t = 35 & t = 5 Bir üstlü denklemde eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar eşit ise üstler de eşittir. a ∈ R – {–1, 0, 1} ve m, n ∈ Z – {0} olmak üzere, am = an ise m = n dir. 30 İnceleyelim 3x – 2 = 81 denklemini çözelim ve çözümü grafik üzerinde yorumlayalım. 1m = 1n ise m ve n için ne söyleyebilirsiniz? (–1)m = (–1)n ise m ve n için ne söyleyebilirsiniz? 3x – 2 = 81 3x – 2 = 34 Tabanları eşitlemek için 81 sayısı 3'ün kuvveti olarak yazılır. 3x – 2 = 34 Eşitliğin her iki tarafında tabanlar eşit olduğundan üstler eşit olur. x–2=4 ⇒ x=6 Eşitliğin her iki tarafındaki ifade ayrı ayrı denklem olarak yazılırsa; y = 3x – 2 ve y = 81 şeklinde iki denklem elde edilir. Bu denklemlerin grafikleri bir grafik çizim yazılımı veya grafik hesap makinesi kullanarak çizildiğinde aşağıdaki grafik elde edilir. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 275 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler y y = 3x–2 100 Dikkat (6, 81) x – eksenine paralel olarak çizilen herhangi doğru y = 3x–2 denkleminin grafiğini keseceği için 3x–2 = a denkleminde a değerleri sadece 3'ün kuvvetleri olan sayılar olmak zorunda değildir. Herhangi bir pozitif gerçek sayı değeri için bir tane çözüm olacağına dikkat ediniz. y = 81 80 60 40 20 2 4 6 8 10 12 x İki denklemin grafiklerinin kesişim noktası olan x = 6 değeri 3x – 2 = 81 eşitsizliğinin çözümüdür. 31 272x – 2 = 243x denklemini çözelim. 272x – 2 = 243x Eşitliğin her iki tarafındaki üstlü ifadelerin tabanları eşitlenir. (33)2x – 2 = (35)x 27 = 33 ve 243 = 35 olduğunu biliyoruz. 33 · (2x – 2) = 35x 36x – 6 = 35x (am)n = am · n özelliği kullanılır. Eşitliğin her iki tarafında tabanlar eşit olduğundan üstler eşit olur. 6x – 6 = 5x x=6 276 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Üstlü İfade ve Denklemler 32 5x + 5x + 5x + 5x = 500 olduğuna göre, x değerini bulalım. 5 x + 5 x + 5 x + 5 x = 500 144444444 2444444443 4 tan e 4 · 5 x = 500 4 · 5 x 500 = 4 4 5 x = 125 5x = 53 x=3 33 Betül Hanım bu ay 1000 TL olan kredi kartı borcunu ödeyememiştir. Banka, kredi kartı borçlarının hiç ödenmemesi durumunda aylık %8 gecikme faizi uygulamaktadır. Bu kart ile başka alışveriş yapmayan Betül Hanım 3 ay boyunca bu borcunu ödeyemediğine göre, 3. ayın sonunda Betül Hanım'ın toplam borcunun kaç TL olduğunu bulalım. Ayrıca herhangi bir aydaki toplam borcu gösteren denklemi yazalım. Başlangıç borcu: 1000 TL Borcun aylık artma oranı (faiz) : %8 = 8 = 0, 08 100 Süre : 3 ay Adım adım çözüm Üstlü İfade Yeni Borç (y) Başlangıç borcu 1000 TL 1. ay sonunda 1000 + 1000 · 0,08 = 1000 · (1 + 0,08) 1000 · (1 + 0,08)1 1080 TL 2. ay sonunda 1000 · (1 + 0,08) · (1 + 0,08) 1000 · (1 + 0,08)2 1166,40 TL 1000 · (1 + 0,08) · (1 + 0,08) · (1 + 0,08) 1000 · (1 + 0,08)3 1259,712 TL 3. ay sonunda 1000 TL Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 277 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler Bu şekilde devam edilirse herhangi bir ay sonundaki borç 1000 · (1 + 0,08)t ifadesi ile gösterilir. Atölye çalışmasında olduğu gibi sabit yüzde ile büyüme içeren bu gibi durumlar üstlü denklemler ile ifade edilir. Bu sorudaki duruma benzer durumlar aşağıdaki denklem ile modellenir. Anahtar Bilgi Sabit yüzde ile azalma durumlarının modellenmesinde Başlangıç değeri y = A · (1 – r)n denklemi kullanılır. Geçen süre y = A · (1 + r)t Sabit çarpan (artış çarpanı) Artış oranı 34 Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) verilerine göre Türkiye Cumhuriyeti’nin nüfusu 2012 yılı sonu itibariyle yaklaşık 75 milyon olarak belirlenmiştir. Türkiye’nin nüfusu yıllık yaklaşık olarak %2 oranında artış gösterdiğine göre, 10 yıl sonraki nüfus yaklaşık olarak kaç milyon olacaktır? Nüfusun başlangıç değeri: A = 75.000.000 = 7, 5 · 107 Yıllık artış yüzdesi: r = 0,02 Süre: t = 10 Dolayısıyla, yukarıdaki model kullanılarak 10. yılın sonundaki nüfus, y = (7, 5 · 107) · (1 + 0,02)10 üstlü denklemi ile ifade edilebilir. Bu ifadenin yaklaşık değeri ise hesap makinesi yardımıyla 91.500.000 olarak bulunur. 35 x2 = 16 ve y3 = 27 denklemlerini sağlayan x ve y gerçek sayı değerlerini bulalım. x2 = 16 ise x2 = 42 veya x2 = (–4)2 olur. Buradan x = 4 veya x = –4 elde edilir. O halde çözüm kümesi ÇK = {–4, 4} olur. y3 = 27 = 33 olduğundan y = 3 olur. ÇK = {3} olur. 278 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Üstlü İfade ve Denklemler Genel olarak a, b ∈ R –{–1, 0, 1} ve n ∈ Z – {0} olmak üzere, an = bn n çift ise a = b veya a = –b n tek ise a=b 36 (x – 1)3 = 27 denkleminin gerçek sayılar kümesindeki çözümünü bulalım. (x – 1)3 = 27 27 sayısını üstlü sayı olarak ifade edelim. (x – 1)3 = 33 Eşitliğin iki tarafındaki üstler tek sayı ve birbirine eşit olduğundan tabanlar eşit olur. x–1=3 x = 4 Çözüm kümesi {4} olur. 37 a 6 y + 1 k = 64 denkleminin gerçek sayılar kümesinde çözümünü bulalım. 2 a 6 y 64 sayısını 2'nin kuvveti olarak yazalım. + 1 k = 64 2 6 y a + 1 k = 2 6 ise 2 durum vardır. 2 1. Durum y +1 = 2 2 y =1 2 y=2 2. Durum y + 1 = –2 2 y = –3 2 y = –6 Eşitliğin her iki tarafındaki üstler birbirini eşit ve çift sayı olduğundan tabanlar ya birbirine eşit ya da birbirinin zıt işaretlisidir. Çözüm kümesi {–6, 2} olur. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 279 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler 38 Anahtar Bilgi (6x – 4)24 = (3x + 5)24 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamını bulalım. n ∈ Z olmak üzere, (−1)2n = 1 (6x – 4) 24 = (3x + 5) 24 (−1)2n + 1 = −1 6x – 4 = 3x + 5 6x – 3x = 5 + 4 3x = 9 x=3 ve Eşitliğin iki tarafındaki üstler birbirine eşit ve çift sayı olduğundan tabanlar ya birbirine eşit ya da birbirinin zıt işaretlisidir. 6x –4 = – (3x + 5) 6x – 4 = – 3x – 5 6x + 3x = – 5 + 4 x değerlerinin toplamı 9x = –1 –1 + 27 26 1 1 olur. – +3 = = x=– 9 9 9 9 39 (2x – 9)8x – 16 = 1 denklemini sağlayan x değerlerini bulalım. Anahtar Bilgi an = 1 ise i. a = 1 veya (ax + b)cx + d = 1 şeklindeki denklemlerin çözümü üç farklı durumda incelenir. ii. a = –1 ve n bir çift sayı 1. Durum: Tabanın 1 olması iii. a ≠ 0 ve n = 0 dır. 2x – 9 = 1 2x = 1 + 9 2x = 10 ⇒ x = 5 2. Durum: Tabanın –1 ve üstün çift olması Taban Üst (x = 4 için 8x – 16 ifadesi bir çift sayı mı?) 2x – 9 = –1 2x = 8 x=4 8x – 16 8 · 4 – 16 = 16 x yerine 4 yazılır. Sonuç çift sayıdır. 16 çift olduğundan x = 4 çözüm olarak kabul edilir. 3. Durum: Üstün sıfır olması ve tabanın sıfırdan farklı bir gerçek sayı olması Üst Taban (x = 2 için 2x – 9 ifadesi sıfırdan farklı mı değil mi?) 8x – 16 = 0 x=2 2x – 9 2 · 2 – 9 = −5 x yerine 2 yazılır. Sonuç 0'dan farklıdır. 2 sayısı tabanı sıfır yapmadığı için x = 2 çözüm olarak kabul edilir. Sonuç olarak (2x – 9)8x –16 = 1 denklemini sağlayan x değerleri {2, 4, 5} olur. 280 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Üstlü İfade ve Denklemler 40 3x = p ve 2x = r olduğuna göre, üstlü ifadelerin özelliklerini kullanarak 72x ifadesini p ve r cinsinden yazalım. 72x ifadesini 3x ve 2x ifadelerini kullanarak yeniden düzenleyelim. Önce 72'yi içerisinde 2 ve 3 bulunan çarpanlarına ayıralım. 72x = (23 · 32)x 72 yerine 23 · 32 yazılır. (72 = 8 · 9 = 23 · 32) = (23)x · (32)x (a · b)n = an · bn özelliğini kullanalım. = (2x)3 · (3x)2 (an)m = an · m = (am)n özelliğini kullanalım. = r3 · p2 2x yerine r ve 3x yerine p yazılır. Sonuç olarak 72x = r3 · p2 bulunur. 41 8 y = 9 ve 3 x = 32 ise x · y nin değerini bulalım. Mevcut bilgilerle x ve y değerlerinin ayrı ayrı bulunması mümkün değildir. Üstlü ifadelerde x ile y değişkenlerini çarpım halinde yazabilmek için y içeren üstlü ifadenin x. kuvvetini almak gerekir. 8y nin x. kuvveti alınırsa (8y)x = 8x · y elde edilir. 8y = 9 (8y)x = 9x 8xy = 9x (3x)2 = 322 9x = 322 8x · y yi elde etmek için 8y nin x. kuvvetini alalım. 9x elde etmek için 3x in 2. kuvveti alınır. (3x)2 = (32)x = 9x dir. 9x = 8xy ve 9x = 322 olduğundan 8xy = 322 dir. Dolayısıyla, 8xy = 322 ⇒ (23)xy = (25)2 ⇒ 23xy = 210 ⇒ 3xy = 10 10 ⇒ xy = 3 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 281 Üstlü İfade ve Denklemler KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme 1. Aşağıdaki ifadelerde doğru olanların başına (D), yanlış olanların başına (Y) yazınız. a. (…..) Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. b. (…..) Negatif sayıların tüm kuvvetleri negatiftir. c. (…..) Üstlü sayılarda çarpma işlemi yapabilmek için tabanların kesinlikle aynı olması gerekir. 7. Üstlü sayıların özelliklerini kullanarak aşağıdaki boşlukları doldurunuz ve yaptığınız işlemleri açıklayınız. (5a2)3 = 5a2· . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . ç. (…..) Sıfırdan farklı bütün sayıların sıfırıncı kuvveti 1 dir. d. (…..) 108 sayısı sekiz basamaklı bir sayıdır. e. (…..) (0,003)–2 · (-2) < 0 f. (…..) (-34 ) = 81 8. Aşağıda Levent ve Serhat’ın üstlü ifadeler ile ilgili yaptığı işlemler verilmiştir. Bu işlemlerdeki hataları bulunuz ve düzeltiniz. Levent’in Çözümü 2. a5 · a3 ile (a5)3 ifadeleri birbirine eşit midir? Açıklayınız. 3. 24 · 33 = 2 · a3 ise a nın değerini bulunuz. 4. 45 · 35 çarpımını kuvveti 1'den farklı bir tam sayı olan bir üstlü ifade şeklinde yazabilir misiniz? 5. Emir 25 in 2 · 5 e eşit olduğunu söylüyor. Emir’e 25 i nasıl yorumlaması gerektiğini yazarak açıklayınız ve iki ifadenin aynı sonucu vermeyeceğini gösteriniz. Serhat’ın Çözümü 26 · 23 = 26 · 3 = 2 18 26 + 23 = 26 + 3 = 29 9. Aşağıdaki ifadeleri üstleri pozitif olacak şekilde düzenleyiniz. a. 1 1 b. –3 –1 4 x c. 1 4x –2 y –3 ç. 3 –4 x 16 10. Aşağıdaki ifadelerde her zaman doğru olanların başına (D), yanlış olanların başına (Y) yazınız. a.(. . . . . . . ) 2 · a5 + a5 = (2 + 1)a5 6. Eymen 2–5 in –25 e eşit olduğunu söylüyor. Eymen’e 2–5 i nasıl yorumlaması gerektiğini yazarak b. (. . . . . . . ) 4x + 4x + 4x + 4x = 4x+1 c.(. . . . . . . ) 2x + 2x + 2x + 2x = 164x açıklayınız ve iki ifadenin aynı sonucu vermeyece- ç.(. . . . . . . ) 3x + 3x + 3x = 33x ğini gösteriniz. d.(. . . . . . . ) x3 + x7 = x10 e.(. . . . . . . ) 2x3 + x = 3x4 282 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Üstlü İfade ve Denklemler KENDİMİZİ SINAYALIM 11. 5x + 5x + 5x + 5x = 500 denklemi ile modellenebilecek bir problem yazınız. 12. y = 650 (1 + 0,04)t üstlü ifadesi ile modellenebilecek bir problem yazınız. 13. (3 – x)x + 1 = 1 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz. 3. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a. (53)2 c. (–34)5 ç. (x5)7 d. (24 · 33)2 15. 27x = 8 ve 128y = 81 olduğuna göre, x · y değerini bulunuz. 16. 3x = 12 olduğuna göre, x gerçek sayısının hangi tam sayılar arasında bulunduğunu belirleyiniz. 1. Aşağıda verilen üstlü ifadelerin değerlerini bulunuz. a. c. 3 4 1 3 c m b. c m 2 5 (–3)–4 ç. (–3)–4 d. –34 f. (–1)2013 e. (–5)–2 g. (–3)0 2. Aşağıda verilen üstlü ifadelerin eşitlerini bulunuz. 7· 53 b. a. 5 c. x–4 · x5 · x2 d. (2x5) · (3x4) f.34 · 34 · 34 · 34 · 34 · 34 x4 · x4 ç. (–2)5 · (–2)4 35 39 c. ^ a 5h4 d. ^ 2a 3 h4 · a 5 f. b. x5 x4 –3 3x 2 ç. d n ^ a 2h5 4 –1 2 4a · a –6 ^ 4x 2 y –1 h3 · y 4 1 –4 e. 2 3 · c m 2 5. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a. Alıştırmalar e. (3 · a2 · b3)2 4. Aşağıdaki ifadeleri düzenleyerek en sade şekilde yazınız. a. 14. 3x = 6 olduğuna göre, 9x + 3x + 1 ifadesinin değeri kaçtır? b. (–25)4 1 5 c – m ·3 5 2 b. 57 · 27 c. ^ 5 4 h3 25 6. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bilimsel gösterimle ifade ediniz. a. 4 · 8 · 10 12 4, 8 · 10 12 b. 6 2 · 10 2 · 10 6 c. (2 · 10–6)2 · (2500000) 7. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a. b. e. 5x7 · 3x2 c. 33 – (–2)4 + (–1)5 (–1) 2012 + (–7) 0 – (–1) 2013 1 –1 c m 2 (6–1 + 30)–2 · 147 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 283 Üstlü İfade ve Denklemler KENDİMİZİ SINAYALIM 8. 44 + 44 + 44 + 44 ifadesinin eşitini bulunuz. 45 9. 3 45 – 3 44 ifadesinin eşitini bulunuz. 3 43 + 3 42 10. 2 10 – 2 12 ifadesinin eşitini bulunuz. 2 11 + 2 9 11. 3213 · 12522 · 1025 sayısı kaç basamaklıdır? 12. Aşağıdaki denklemleri sağlayan x gerçek sayılarını bulunuz. a. (3x + 4)2013 = 132013 13. 0,27x – 3 = 1 olduğuna göre, (x – 3)0,27 değeri kaçtır? a 14. a = 2 (4 ) ve b = (24)3 olduğuna göre, oranı b kaçtır? 3 Uygulama ve Problem Çözme 1. Tozakarı (mayt) olarak bilinen canlılar siyah bir zemin üzerinde bir mercek yardımıyla görülebilir. Tipik bir ev tozakarının boyu yaklaşık olarak 420 mikrometredir (µm). 1000 µm =1 mm olduğuna göre bir toz akarının boyu mm cinsinden kaç olur? 2. Limon suyu, domates suyunun 102 katı daha asitlidir. Domates suyu da, yumurtanın akından 103 kat daha asitlidir. O halde; limon suyu, yumurta akından kaç kat daha fazla asitlidir? b. (3x – 4)2013 = (2x + 1)2013 c. 5x = 125 ç. 2 · 3x = 54 d. 3x–5 = 81 e. 2x + 2x + 2x + 2x = 128 f. 5x + 5x + 5x + 5x + 5x 625 = x x x 81 3 +3 +3 g. 3218 + 3218 + 3218 + 3218 = 8x ğ. (x – 1)3 = 27 h. 93x · 27x – 1 = 812x – 1 · 32 – 3x ı. 3x – 4 = 32x – 12 i. 8x + 4 = 32x – 10 284 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 3. Türkiye’nin yüzölçümü yaklaşık 78,4 · 104 kilometrekare, nüfusu ise 75 · 106 dır. Rusya’nın yüzölçümü ise yaklaşık 17,1 · 107 kilometrekare olup, nüfusu 14,1 · 107 dir. Buna göre, Türkiye’nin ve Rusya’nın nüfus yoğunluklarını (birim km2 de bulunan insan sayısı) üstlü ifadelerin özelliklerini kullanarak hesaplayınız ve karşılaştırınız. 4. Zeynep’in ailesinin son 4 yıldır Türk Kızılay’ına yap5 t tığı yıllık nakit bağış miktarı, 160 · c m ifadesi ile 4 yaklaşık olarak hesaplanabilmektedir. Buna göre, t yılı göstermek üzere aşağıdaki tabloyu doldurunuz. t (Yıl) Bağış Miktarı (TL) 1 2 3 4 Üstlü İfade ve Denklemler KENDİMİZİ SINAYALIM 5. Ahmet Bey 2000 TL maaş almaktadır ve maaşı yıllık %10 oranında artmaktadır. Buna göre Ahmet Bey kaç yıl sonra 2800 TL den fazla maaş almaya başlar? (Hesap makinesi kullanılabilir.) 8. Yeni aldığınız dizüstü bilgisayarın pilinin kullanım süresine bağlı olarak ömrü (saat cinsinden) y = 6 · (1 – 0, 05)t üstlü ifadesi ile modellenmektedir. Burada t pilin kaç ay kullanıldığını göstermektir. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız. a. Bu modele göre zaman geçtikçe pilin ömrü artmakta mıdır, azalmakta mıdır? 6. Meryem Hanım 100.000 TL ye Ankara’dan bir daire almıştır. Emlak uzmanı evin bulunduğu bölgede dairelerin yıllık %10 değer kazandığını ifade ettiğine göre, Meryem Hanım’ın dairesinin 5 yıl sonra ulaşacağı değeri üstlü bir denklem ile ifade ediniz ve hesap makinesi yardımıyla bu değeri bulunuz. (Hesap makinesi kullanılabilir.) b. Pil ömrünün artış veya azalış oranı nedir? c. Bilgisayar ilk alındığında pilin ömrü kaç saatti? ç. 10 ay sonra pilin ömrü ne olur? 9. Manisa ilinin 2000 yılından bu yıla kadarki yıllık nüfusu P = 260 000 · (1+0, 012)t denklemi ile modellenmektedir. (Hesap makinesi kullanılabilir.) a. 7. Onur 5000 TL ye 5 yaşında bir motosiklet almıştır. Bu motosikletlerin yılda %5 değer kaybettiği bilinmektedir. Buna göre, a. Motosikletin ilk satış fiyatı yaklaşık kaç TL dir? (Hesap makinesi kullanılabilir.) b. Onur’un motosikletinin değeri 2 yıl önce ne idi? Üstlü denklemi yazarak sonucu bulunuz. Denklemdeki her bir sayının ve değişkenin gerçek hayatta ne anlama geldiğini açıklayınız. b. Bu şehirdeki nüfusun yıllara göre artıp azalma durumu ile ilgili ne söyleyebilirsiniz? c. Bu şehirde 2002 yılındaki nüfusun kaç olduğunu bulunuz. ç. t değerinin hangi aralığı, bu yıla kadarki bilgileri verir. d. Denklemi kullanarak bu yıldaki nüfusun kaç olduğunu bulunuz. 10. Bir önceki soruda elde ettiğiniz denklem sonraki yıllarda Manisa ilinin nüfusunun tahmininde kullanılacağını kabul edersek, 2023 yılında nüfusun kaç olacağını bir elektronik tablolama programı veya hesap makinesi yardımıyla bulunuz. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 285 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler Neler Öğreneceğiz? 2.3.2. Köklü İfadeler • Köklü ifadeler Başlarken • Köklü ifadelerin üstlü ifade şeklinde gösterimi Bölüm girişinde incelenen bakteri popülasyonu sorusunda başlangıçta 72 olan bakteri popülasyonunun bir ve iki saat sonundaki ulaşacağı miktar 72 · (2)1 ve 72 · (2)2 ile gösterilmişti. Peki, bakteri popülasyonunun yarım saat veya 1,5 saat sonra ulaşacağı miktarlar nasıl ifade edilir? Bu durum- • Köklü ifadelere ait özellikler Anahtar Terimler •Karekök 1 3 • Küp kök larda bakteri popülasyonu sırasıyla 72 · (2) ve • n. Dereceden kök 72 · (2) 2 ile ifade edilir. Burada 3 •Derece nel sayı kuvvetler ile karşılaşmaktayız. 1 Pozitif bir gerçek sayının . kuvveti özel olarak 2 karekök terimi ile adlandırılır ve sembolü ile • Rasyonel üst Sembol ve Gösterimler 1 2 gösterilir. Buna göre, 72 · (2) ifadesi 72 · 2 • • n • x 1 1 5 4 3 2 6 1 17 7 8 16 9 15 10 11 14 12 13 şeklinde yazılabilir. Burada 2 sayısı, 2 nin xm karekökü, ya da karekök 2 olarak okunur. m n Köklü ifadeler, özellikle geometride birçok durumun incelenip anlaşılmasında kullanılır. Örneğin, gerçek sayılar bölümünde öğrendiğimiz gibi bir kenarı 1 br olan karenin köşegeni 2 br şeklinde gösterilmekteydi. Benzer şekilde, alanı 2 br2 olan bir karenin bir kenarı da 2 br ile gösterilir. Bunu biliyor muydunuz Fransız fizikçi Nicolas Chuquet, 1475 yılında, yazdığı cebir kitabında rasyonel üst kullanmıştır. Kitapta R26 ile 1 1 3 ve gibi rasyo2 2 Bu bölümde köklü ifadeler, üstlü ifadeler ile ilişkilendirilerek incelenecek ve köklü ifade içeren denklemlerin çözümleri yapılacaktır. Öncelikle farklı derecelerden kökleri inceleyelim. 1 6 2 , R315 ile de 15 3 ifade edilmiştir. Kök işareti ilk defa 1 1525 yılında Christoff Rudolff’un kitabında gösterilmiş ve “coss” diye adlandırılmıştır. a. b. c. ç. d. e. f. g. Daha sonraları bu işaret değiştirilerek günümüzde kullanılan karekök ve küpkök halini almıştır. 286 Karesi 36 olan gerçek sayılar nelerdir? Karesi –36 olan gerçek sayılar nelerdir? Üçüncü kuvveti 125 olan gerçek sayılar nelerdir? Üçüncü kuvveti –125 olan gerçek sayılar nelerdir? Dördüncü kuvveti 16 olan gerçek sayılar nelerdir? Dördüncü kuvveti –16 olan gerçek sayılar nelerdir? Beşinci kuvveti 32 olan gerçek sayılar nelerdir? Beşinci kuvveti –32 olan gerçek sayılar nelerdir? Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Köklü İfadeler Dikkat a. İstenen sayı x ile gösterilecek olursa x2 = 36 denklemi çözülerek bu soru cevaplanabilir. x2 = 36 x2 = 62 x2 = (–6)2 x=6 x = –6 sembolü bir sayının pozitif karekökünü ifade etmek için kullanılır. Bu nedenle, a ∈ R için a ≥ 0 dır. Yandaki örnekte 36 sayısının karekökleri 6 ve –6 sayıları olmasına rağmen, 36 = 6 dır. Buna göre, x2 = 36 denklemini sağlayan x = 6 ve x = –6 sayılarına 36 nın karekökleri denir. Köklerden pozitif olanına pozitif karekök denir ve 36 = 6 ile gösterilir. 36 nın negatif karekökü ise – 36 = –6 ile gösterilir. b. Karesi –36 olan bir gerçek sayı bulmak için x2 = –36 denkleminin çözümünü inceleyelim. Bir gerçek sayının çift kuvveti her zaman pozitif olduğundan karesi –36 olan bir gerçek sayı bulunamaz. Bu nedenle bu denklemin bir gerçek sayı kökü yoktur. Diğer bir ifadeyle –36 g R . c. Anahtar Bilgi 2. dereceden kök için kullanılan “karekök” isimlendirmesi gibi, 3. dereceden kök için de “küpkök” isimlendirmesi kullanılır. Diğer kök dereceleri için benzer bir özel isimlendirme kullanılmaz. Üçüncü kuvveti 125 olan gerçek sayıları bulmak için x3 = 125 denklemini çözelim. x3 = 125 x3 = 53 x=5 Üçüncü dereceden kuvveti 125 olan bir gerçek sayı vardır ve 5 e eşittir. 5 sayısına 125 in küpkökü denir ve 3 125 = 5 ile gösterilir. Burada (–5)3 ≠ 125 olduğuna dikkat ediniz. ç. Yukarıdaki çözüme benzer olarak x3 = –125 denklemini çözelim. x3 = –125 x3 = (–5)3 x = –5 Üçüncü dereceden kuvveti –125 olan gerçek sayı –5 dir. Dolayısıyla, –125 in 3. dereceden kökü –5 dir ve 3 –125 = –5 şeklinde yazılır. d.x4 = 16 denklemini çözelim. x4 = 16 x4 = 24 x4 = (–2)4 x=2 x = –2 16 nın biri pozitif diğeri negatif olmak üzere 4. dereceden iki gerçek sayı kökü vardır ve bunlar 4 16 = 2 ve – 4 16 = –2 ile gösterilir. Burada, x4 = 16 denkleminin iki kökü ol- masına rağmen 4 16 = 2 dir. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 287 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler e. b seçeneğindeki gibi bir gerçek sayının çift kuvveti her zaman pozitif olduğundan x4 = –16 eşitliğini sağlayan bir gerçek sayı bulunamaz. Dolayısıyla, 4 –16 g R. f.x5 = 32 x5 = 25 x=2 Beşinci dereceden kuvveti 32 olan bir gerçek sayı vardır ve 2 dir. Dolayısıyla 32 nin 5. dereceden kökü 2 dir ve 5 32 = 2 şeklinde yazılır. g.x5 = –32 x5 = (–2)5 x = –2 Beşinci dereceden kuvveti –32 olan gerçek sayı –2 dir. Dolayısıyla –32 nin 5. dereceden kökü –2 dir ve 5 –32 = –2 şeklinde yazılır. Yukarıdaki örneklerin çözümlerini özetleyelim ve bazı sonuçlar çıkaralım. Denklem Sözel İfade x = 36 = 6 ve x = – 36 = –6 Karesi 36 olan sayılar 6 ve –6 dır. x2 = –36 x = –36 g R –36 nın gerçek sayı olan karekökü yoktur. x3 = 125 x = 3 125 = 5 125 in küpkökü 5 tir. x3 = –125 x = 3 –125 = –5 –125 in 3. dereceden kökü –5 tir. x4 = 16 x = 4 16 = 2 ve x = – 4 16 = –2 4. kuvveti 16 olan sayılar 2 ve –2 dir. x4 = –16 x = 4 –16 g R –16 nın 4. dereceden gerçek sayı kökü yoktur. x5 = 32 x = 5 32 = 2 32 nin 5. dereceden kökü 2 dir. x5 = –32 x = 5 –32 = –2 –32 nin 5. dereceden kökü –2 dir. x2 288 Çözüm = 36 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Köklü İfade 36 = 6 – 3 3 125 = 5 –125 = –5 4 16 = 2 – 5 5 32 = 2 –32 = –2 Köklü İfadeler Genel olarak, n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere, herhangi bir a gerçek sayısı için xn = a denklemini sağlayan x gerçek sayılarına a sayısının n. dereceden gerçek sayı kökleri denir. Yukarıdaki örnekler incelendiğinde a’nın n. dereceden kökleri için, yani xn = a denklemi için şu sonuçlara varılır: 1. Durum (a > 0): Kökün derecesi a. n bir çift sayı ise; a’nın zıt işaretli iki gerçek sayı kökü vardır. Köklerden pozitif olana a nın pozitif kökü denir ve n a ile gösterilir, negatif olana ise a nın negatif kökü denir – n a ile gösterilir. Bununla birlikte n in çift oluğu durumda n sembolü bu köklerden sadece pozitif olanı belirtir. Dolayısıyla, n a ≥ 0 dir. b. n bir tek sayı ise; a’nın sadece bir gerçek sayı kökü vardır ve n a ile gösterilir. n a ile gösterilir. Kök sembolü n a 2. Durum (a < 0 ): a. n bir çift sayı ise; a nın gerçek sayı kökü yoktur. b. n bir tek sayı ise; a nın sadece bir gerçek sayı kökü vardır ve 3. Durum (a = 0 ): n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere n 0 = 0 olur. Anahtar Bilgi Örnek 1 de görüldüğü gibi n çift olduğunda ifadelerin iki kökü olabilmektedir. Bu köklerden pozitif olanı kök olarak belirleyebilmek için mutlak değer kullanılır. Buna göre, n ∈ Z ve n ≥ 2 için xn = a denkleminde a = 0 için denklemin kökü 0 dır. 0 = 3 0 = ... = n 0 = 0 n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere a ∈ R için, n an = ) a, n tek ise dir. | a |, n çift ise 2 7 2 + (–6) 2 – (–8) 2 ifadesinin eşitini bulalım. 7 2 + (–6) 2 – (–8) 2 = | 7 | + | –6 | – | –8 | 9 > > |7 | | –6 | | –8 | =7+6 –8 = 5 elde edilir. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 289 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler 3 Aşağıdaki köklü ifadelerin eşitlerini bulalım. a. 4 (–2) 4 b. 3 –27 c. a < 0 için 6 a6 ç. a < 0 için 5 (–a) 5 (a – 3) 2 d. a < 3 için a. 4 (–2) 4 = | –2 | = 2 b. 3 –27 = 3 (–3) 3 = –3 c. a < 0 için 6 a 6 = | a | = –a ç. a < 0 için 5 (–a) 5 = –a d. a < 3 için (a – 3) 2 = | a – 3 | = – (a – 3) = 3 – a 4 x < 0 < y olmak üzere; x 2 + x 2 – 2xy + y 2 + 3 y 3 ifadesinin sonucunu bulalım. x < 0 < y olmak üzere, soruda verilenleri tek tek ele alalım. Anahtar Bilgi x < 0 için, |x| = –x olduğundan Aşağıdaki özdeşlikleri hatırlayalım. x 2 –2xy + y 2 = (x – y) 2 = | x – y | dır. x < y olduğundan x – y < 0 dır. Dolayısıyla |x – y| = –(x – y) = –x + y olur. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + x 2 = | x | = –x olur. b2 3 y 3 = y dir. Buna göre, x 2 + x 2 – 2xy + y 2 + 3 y 3 = –x + (–x + y) + y = 2y – 2x olur. 290 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Köklü İfadeler Köklü İfade İle Üstlü İfade Gösterimleri Arasındaki İlişki 5 9 sayısının hangi kuvvetinin 3’e eşit olduğunu bulalım. Dikkat a Bu sorunun cevabı 9x = 3 denklemi çözülerek bulunur. 9x = 3 ⇒ (32)x = 31 ⇒ 32x = 31 ⇒ 2x = 1 1 ⇒ x = olur. 2 1 9 2 = 3 olarak yazılabilir. 9 = 3 olduğunu biliyoruz. Bu iki eşitlik birleştirilerek, 1 2 9 =3= 9 1 92 = 9 şeklinde yazılır. 6 125 sayısının hangi kuvvetinin 5’e eşit olduğunu bulalım. Yukarıdaki soruda olduğu gibi 125x = 5 denklemini çözelim. x _ 125 = 5 bbb b 3 x 1b b (5 ) = 5 bb b 1 3x 1 b 5 = 5 `b & 125 3 = 5 bb 3x = 1 bb bb bb 1 x= bb 3 a 3 125 = 5 olduğunu biliyoruz. Buna göre 1 125 3 = 5 = 3 125 1 125 3 = 3 125 olur. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 291 k 1 2 32 1 =32 ·2 =3 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler 1 a pozitif bir gerçek sayı olmak üzere a 2 = a dır. n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere 1 n. dereceden köklü ifadeler genel olarak a n = n a şeklinde gösterilir. 7 1 1 1 9 2 c m , 16 4 , a 5 ifadelerini köklü ifade olarak yazalım ve en sade şekilde gösterelim. 4 1 9 2 c m = 4 9 3 = 4 2 1 16 4 = 4 16 = 4 4 2 =2 1 a5 = 5 a 8 Anahtar Bilgi m n (ab)c = ab . c = (ac)b 4 25 =2 2 Dikkat 33 =3 Köklü ifadede kökün derecesi üstlü ifade gösteriminde üstün paydasına karşılık gelmektedir. n a m 4 2 a şeklindeki üstlü ifadeler köklü ifade olarak nasıl yazılır? Bu durumu 2 5 ve 3 3 örnekleri ile inceleyelim. b, c ∈ Q için 4$ 1 5 2$ 1 3 5 = (2 ) 5 = ` 2 j 4 1 4 3 = (3 ) 3 = ` 3 j 2 1 2 şeklinde yazılabilir. Burada sayının üstünün paydasının kökün derecesi olarak yazıldığına dikkat ediniz. Bu durum genel olarak aşağıdaki şekilde gösterilir. a ! R + , m, n ! Z ve n ≥ 2 için m =a n m an = 292 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler n am Köklü İfadeler Köklü İfadelerin Özellikleri Köklü ifadelerde çarpma işlemini, üstlü ifadelerdeki an · bn = (a · b)n özelliğini kullanarak inceleyelim. 9 3 · 5 ve 3 2 · 3 3 çarpımlarını bulalım. 1 1 1 3 · 5 = 3 2 · 5 2 = (3 · 5) 2 = 3 · 5 = 15 1 1 1 2 · 3 3 = 2 3 · 3 3 = (2 · 3) 3 = 3 2 · 3 = 3 6 olur. 3 Bu durum genel olarak; + + a, b ! R , n ! Z ve n ≥ 2 için, n a. n 1 n 1 n 1 n b = a · b = (a · b) = n a · b şeklinde ifade edilir. Bu sonucun doğruluğu aşağıdaki gibi açıklanabilir. Buna göre; dereceleri aynı olan iki köklü ifadenin çarpımı, kökün derecesi değiştirilmeden köklerin içindeki ifadeler aynı kök içinde çarpılarak bulunur. a, b ∈ R+, n ∈ Z+ ve n ≥ 2 için, n a · n b = n a · b dir. 10 a. b. c. 3 5 10 · 5 , 2·3 4 x 2 · 5 (–x) 3 çarpımlarını bulalım. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 293 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler a. 10 . 5 = 10 $ 5 = 50 b. 3 2 $ 3 4 = 3 2 $ 4 = 3 8 = 3 23 = 2 c. 5 x 2 · 5 (–x) 3 = 5 x 2 · (–x) 3 = 5 - x 2 · x 3 = 5 (–x) 5 = –x Köklü ifadelerde bölme işlemini, üstlü ifadelerdeki celeyelim. an a n = a k özelliğini kullanarak inn b b 11 14 ve 7 3 3 2 bölme işlemlerini yapalım. 3 1 2 1 14 14 14 2 ve 1 = c m = 7 7 72 1 3 3 14 = 2 ve 7 1 2 23 2 3 3 2 = 1 =c m = olur. 3 3 3 3 3 Bu durum genel olarak; a, b ! R, n ! Z + ve n ≥ 2 için, 1 n n a = b an 1 bn 1 a a şeklinde ifade edilir. = a kn = n b b Buna göre; dereceleri aynı olan iki köklü ifadenin bölümü, kökün derecesi değiştirilmeden köklerin içindeki ifadelerin aynı kök içinde bölünmesiyle bulunur. a, b ! R + , n ! Z + ve n ≥ 2 için, n n 294 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler a n a = b b Köklü İfadeler 12 3 90 3 · 3 işleminin sonucunu bulalım. 10 3 Verilen köklü ifadelerin dereceleri eşit olduğundan ifadeler aynı kök içine yazılarak işlemler yapılır. Buna göre; 3 90 3 90 · 3=3 · 3 = 3 9 · 3 = 3 27 = 3 3 3 = 3 sonucu elde edilir. 10 10 3 13 4 5 4 5 2·4 8 işleminin sonucunu bulalım. 27 · 5 9 2·4 8 = 27 · 5 9 4 5 2·8 = 27 · 9 4 5 16 = 243 4 5 24 2 = 3 35 14 3 5 2 ifadesini tek bir sayının karekökü olarak ifade edelim. 5 2 = 5 2 = a 5 2 k = ^ 5 h şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde aynı ifade 3 1 3 52 =5 3· ·3 1 2 1 3 3 3 3 3 = ^5 h 2 = 5 olarak da yazılabilir. O halde ^ 5 h = 5 3 olur. 1 Aynı özellik daha önce öğrendiğimiz köklü ifadelerin çarpımı ile ilgili özellik kullanılarak da aşağıdaki şekilde gösterilebilir. ^ 5 h = 5 $ 5 $ 5 = 5 $ 5 $ 5 = 5 3 dir. 3 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 295 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler a ! R + olmak üzere bu durum genel olarak, ^ ah = n ^ a h = `a 2 j = a 2 n 1 n a · a · a · ... · a = a n 1 44n2 44 3 tane a · a · a · ... · a = 1 4444n2 4444 3 tane veya 1 n = ^a h2 = 1 $n n a şeklinde gösterilir. O halde, ^ ah = n a n dir. 15 Aşağıdaki köklü ifadeleri düzenleyelim. a. ^5 2 h 3 b. ^9 5 h 4 ^n a h m c. Kareköklü ifadeler için verilen ^ a h = a n özelliğinin farklı dereceden köklü ifadeler için de geçerli olup olmadığını aşağıdaki örnekler ile inceleyelim. n a. ^5 2 h = 5 2 · 5 2 · 5 2 = 5 2 · 2 · 2 = 3 5 2 3 b. ^9 5 h = 9 5 · 9 5 · 9 5 · 9 5 = 9 5 · 5 · 5 · 5 = 4 c. 9 5 4 ^ n a h = n a · n a · n a · ... · n a = n a · a · a · ... ·a = n a m m m tane m tane Örneklerde görüldüğü gibi ^ a h = a n eşitliği farklı dereceden köklü ifadeler için de n geçerlidir. Buna göre, a ∈ R+; m, n ∈ Z ve n ≥ 2 için, ^ n a h = n a m dir. m Aynı dereceden iki köklü ifadenin nasıl çarpılıp bölünebildiğini biliyoruz. Dereceleri farklı iki köklü ifade nasıl çarpılabilir veya bölünebilir? Bu durumu aşağıdaki örnekte inceleyelim. 296 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Köklü İfadeler 16 2 · 3 5 çarpımının nasıl yapılabileceğini gösterelim. 2 ile 3 5 sayılarının çarpılabilmesi için köklü ifadelerin dereceleri olan 2 ve 3 ü eşit- lemek gerekir. Bunun için sayılar aşağıdaki gibi üstlü şekilde yazılır ve üstlerin paydaları (köklerin dereceleri) genişletilerek eşitlenir. 1 1 2 =22 3 5 =53 1·3 Köklü ifadeleri üstlü ifade şeklinde yazalım. 1·2 = 2 2·3 = 5 3·2 3 Üstlü ifadelerin üstlerinin paydalarını eşitleyelim. 2 =26 =56 = 6 23 = 6 52 Üstlü ifadeleri köklü ifade olarak yazalım. Böylece, 2 ve 3 5 ifadelerinde köklerin dereceleri eşitlenmiş olur. Dolayısıyla 2 · 3 5 = 6 23 · 6 52 = 6 23 · 52 = 6 200 olur. Bir köklü ifadenin derecesi ve kökün içindeki ifadenin üstü aynı pozitif tamsayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde köklü ifadenin sonucu değişmez. Bu durum aşağıdaki gibi ifade edilir. a ∈ R+, m ∈ Z; n, k ∈ Z+ ve n ≥ 2 için n m a = n·k a m·k ve n m x = n k m x k dir. 17 3 2 · 7 4 çarpımını bulalım. 3 ve 7 olan köklerin derecelerini 21 de eşitleyip köklü ifadeleri çarpalım. 3 2 · 7 4 = 3 · 7 2 7 · 7 · 3 (2 2) 3 = 21 2 7 · 21 2 6 = 21 2 7 · 2 6 = 21 2 13 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 297 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler 18 Köklü ifadelerin özelliklerini kullanarak aşağıdaki ifadeleri en sade şekilde yazalım. 32 b. c. 3 54 ç. 5 96 d. 5 a 6 · b 13 · c 15 a. 48 50 48 = 16 · 3 = 4 2 · 3 = 4 2 · 3 = 4 3 a. 32 = 50 b. c. 3 54 = 3 27 · 2 = 3 3 3 · 2 = 3 3 3 · 3 2 = 3 3 2 ç. 5 96 = 5 32 · 3 = 5 2 5 · 3 = 5 2 5 · 5 3 = 2 5 3 d. 5 a 6 · b 13 · c 15 = 5 a 5 · a · (b 2) 5 · b 3 · (c 3) 5 = a · b 2 · c 3 · 5 a · b 3 n Kök dışındaki bir ifade kök içerisine alınırken ifadenin üstü kökün derecesi ile çarpılır. n n n 1 n 1 1 a · b = (a · b) n = (a ) n · b n = a n· 1 n 1 · b n = a · n b yazılabilir. Buna göre, + + n. dereceden köklü ifadeler için a, b ∈ R , n ∈ Z ve n ≥ 2 olmak üzere a, b ∈ R+ , n ∈ Z+ ve n ≥ 2 için b= de belirtilir. 24 22 4 = = 2 5 5 5 Örnekler incelendiğinde a, b ∈ R+ ve m, n ∈ Z+ için Dikkat a· n 24 = 52 16 = 25 n n a · b şeklin- + a n · b = a · n b olur. Bu durum, kareköklü ifadeler için özel olarak a, b ∈ R olmak üzere a 2 · b = a b şeklinde belirtilir. 19 Aşağıdaki ifadelerde n ve m kaçtır? a. 2 · 4 2 = 4 2 n a. b. a 2 · 5 a = 5 a m 2 · 4 2 = 4 2 4 · 2 = 4 2 5 olduğundan n yerine 5 gelmelidir. b. a 2 · 5 a = 5 a 2 · 5 · a = 5 a 10 · a = 5 a 11 olduğundan m yerine 11 gelmelidir. 298 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Köklü İfadeler 20 a = 5 3 , b = 2 20 , c = 7 18 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım. 3 a = 5 2 · 3 = 75 b = 2 2 · 20 = 80 c= 49 · 18 = 98 9 Köklerin dereceleri eşit olduğundan kök içindeki sayı büyüdükçe köklü ifadenin değeri de artar. Buna göre, 75 < 80 < 98 olduğundan a < b < c dir. 21 2 , 3 3 , 4 5 köklü sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım. 2·6 3· 4 4·3 _ 2 1· 6 = 12 2 6 = 12 64 bb 3 1· 4 = 12 3 4 = 12 81 ` 12 125 > 12 81 > 12 64 b 5 1· 3 = 12 5 3 = 12 125 a O halde bu sayılar 4 5 > 3 3 > 2 şeklinde sıralanmalıdır. 22 3 4 3 4 3 3 2 ve 2= a5 = 3 a 5 ifadelerini sadeleştirerek tek kök içinde ifade edelim. 1 3 · 2 = a 2 4 k = 2 4 3 = 2 12 = 12 2 1 4 1 5 5 1 1 1 5 a 3 = (a 3 ) 2 = a 6 = 6 1 a5 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 299 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler İç içe kökler sadeleştirilirken en içteki kökten başlanarak köklü ifadeler üstlü ifade şeklinde yazılır. n m a= n 1 am 1 n = `a m j = a m · n = m · n a 1 1 Sonuç olarak a, b ∈ R+, m, n ∈ Z+ , m ≥ 2 ve n ≥ 2 olmak üzere, n m a = m · n a dir. 23 Aşağıda verilen köklü ifadeleri tek kök içinde yazalım. a. 3 2· 5 2 b. 3 7 3 1 2·25 c. 5 6 a. b. 7 3 5 = 3 · 7 5 = 21 5 c. 6 5 32 = 6 · 5 32 = 30 32 ç. 3 8 4 2· 2= 1 32 ç. 3 8 4 8 3 · 2 5 = `2 5 j = 2 5 3 = 2 5 = 2 = 5 4 3 5 6 5 6 1 2 8 = 3 · 8 · 4 8 = 96 8 = 32 2 Köklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma Üstlü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılırken tabanları ve üstleri aynı olan üstlü ifadelerin katsayılarının toplandığını biliyoruz. Benzer şekilde köklü ifadeler toplanırken veya çıkarılırken kök dereceleri eşit ve kök içleri aynı olan ifadelerin katsayıları toplanır. 24 Dikkat Üstlü ifadelerde toplama 3 5 + 4 5 işlemini yaparak köklü ifadelerde toplama işlemini inceleyelim. ve çıkarma yapılabilme şartı üstlü ifadelerin tabanlarının ve üstlerinin aynı olması idi. Köklü ifadelerin içleri aynı ve dereceleri eşit olduğu için köklerin önündeki sayılar toplanarak sonuç bulunur. x · an + y · an = (x + y) · an x · an – y · an = (x – y) · an 3 5 + 4 5 = (3 + 4) 5 = 7 5 300 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Köklü İfadeler a ∈ R+ ve x, y ∈ R olmak üzere, x a + y a = (x + y ) a x a – y a = (x – y) a 25 Dikkat 72 + 8 işlemini sonucunu bulalım. b ≠ 0 için a + b ≠ a+b 72 + 8 = 36 · 2 + a – b ≠ a–b 4·2 =6 2 +2 2 Köklerinin içi aynı olacak şekilde düzenleyelim. = (6 + 2) 2 = 8 2 Köklü ifadelerin önündeki sayıları toplayalım. Örneğin, 9 + 16 ≠ 9 + 16 14444244443 144424443 3+4 = 7 5 25 – 16 ≠ 25–16 1444442444443 144424443 5– 4 = 1 26 3 75 – 6 12 işlemini sonucunu bulalım. 3 75 – 6 12 = 3 25 · 3 – 6 4 · 3 =3·5 3 – 6·2 3 = 15 3 – 12 3 = 3 3 sonucu elde edilir. 27 24 – 72 + 54 + 8 işlemini sonucunu bulalım. 22 · 6 – 62 · 2 + 32 · 6 + 22 · 2 = 2 6 – 6 2 + 3 6 + 2 2 = 2 6 +3 6 –6 2 +2 2 = 5 6 –4 2 sonucu elde edilir. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 301 3 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler Kareköklü ifadelere benzer olarak, a ∈ R+, x, y ∈ R, n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere, n. dereceden köklü ifadeler için x n a + y n a – z n a = (x + y – z) · n a dır. 28 4 4 80 + 4 80 + 4 405 = 4 2 4 · 5 + 4 3 4 · 5 405 toplamını bulalım. 4 5 +34 5 =2 = (2 + 3) · 4 5 = 5 4 5 olur. 29 3 54 + 3 16 – 3 250 işleminin sonucunu bulalım. 3 54 + 3 16 – 3 250 = 3 3 3 · 2 + 3 2 3 · 2 – 3 5 3 · 2 = 3 3 2 + 2 3 2 – 5 3 2 = 0 bulunur. 30 3 · 3 x 3 · y + 2 · 3 y 4 – x· 3 27 · y işleminin sonucunu bulalım. 3 · 3 x 3 · y + 2 · 3 y 4 – x· 3 27 · y = 3x · 3 y + 2 · 3 y 3 · y – x · 3 3 3 · y 302 = 3x · 3 y + 2y · 3 y – 3x · 3 y = 2y · 3 y bulunur. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Köklü İfadeler Kareköklü Bir İfadenin Paydasını Rasyonel Sayı Olarak Yazma 31 Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapalım. 5 · 2 a. 5 2 5 · 2 a. 5 = 2 b. ^ 5 – 2 h^ 5 + 2 h 5 5 · = 2 2 c. ^3 2 – 5h^3 2 + 5h Dikkat 25 5 = 4 2 a· a=a b. ^ 5 – 2 h^ 5 + 2 h = ^ 5 h – ^ 2 h = 5 – 2 = 3 2 c. 2 ^ 3 2 – 5h^ 3 2 + 5h = ^ 3 2 h – (5) 2 = 9 · 2 – 25 = –7 2 Anahtar Bilgi Görüldüğü gibi bir köklü ifade uygun bir köklü ifadeyle çarpıldığında bir rasyonel sayı elde edilmektedir. Çarpımı rasyonel sayı olan iki köklü ifadeye birbirinin eşleniği denir. İki kare farkı: (a + b) (a – b) = a2 – b2 Yukarıdaki örnekte 5 in eşleniği kendisi, 5 – 2 in eşleniği 5 + 2 ve 3 2 – 5 in eşleniği ise 3 2 + 5 tir. Bir köklü ifadenin paydasını rasyonel sayı yapmak için köklü ifade paydanın eşleniği ile genişletilir. Anahtar Bilgi a – b ile a+ b ifadelerine birbirinin eşleniğidir. İki kare far- 32 kı özdeşliği kullanılarak ^ a – b h·^ a + b h = a – b 5 ifadesini paydası rasyonel olacak şekilde yeniden düzenleyelim. 3 olduğu bulunur. 3 ifadesinin kendisi ile çarpımının 3 · 3 = 3 2 = 3 bir rasyonel sayı olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla yonel yapılır. 5 · 3 5 ifadesi 3 3 ile genişletilerek ifadenin paydası ras- 3 5 3 = 3 3 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 303 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler 33 8 ifadesini paydası rasyonel olacak şekilde yeniden düzenleyelim. 7– 3 Paydada bulunan 7 – 3 sayısının eşleniği olan 7 + 3 ile kesri genişletelim. Bu durumda, 8^ 7 + 3 h 8^ 7 + 3 h 7+ 3 = = = 2 ^ 7 + 3 h elde edilir. 2 2 7–3 7+ 3 ^ 7 h –^ 3 h 8 · 7– 3 34 3 – 3 2 işleminin sonucunu bulalım. 5– 3 İfadeler eşlenikleri ile genişletilirse 3 – 3 ^ 3h 2 3 3 2^ 5 + 3 h – = 5–3 3 5– 3 ^ 5 + 3h = 3 – ^5 + 3 h = 3– 5– 3=– 5 elde edilir. 35 3 5 ifadesini paydası rasyonel olacak şekilde yazalım. 2 Paydadaki 3 304 3 2 sayısını rasyonel hale getirmek için kesri 5· 3 4 53 4 53 4 olur. = 3 = 3 2 2· 4 8 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 3 2 2 = 3 4 ile genişletelim. Köklü İfadeler Köklü İfade İçeren Denklemler Bir basit sarkacın tam bir salınımı için geçen süreye sarkacın periyodu denir ve , t = 2r denklemi ile modellenir. Bu g denklemde g yerçekimi sabitini göstermekte ve g ≅ 9, 8 m/sn2 dir. , ise sarkacın metre cinsinden uzunluğunu göstermektedir. Buna göre, periyodu 1 sn olan bir basit sarkaç yapmak istenirse sarkacın boyu kaç metre olur? Yukarıdaki denklemde verilenler yerine yazıldığında 1 = 2r · , 9, 8 denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü sarkacın uzunluğunu verecektir. Bu örnekte de görüldüğü gibi bilinmeyenin kök içinde olduğu denklemlere köklü denklemler denir. Köklü denklemlerin nasıl çözüldüğünü aşağıdaki örneklerle inceleyelim. 36 x + 3 = 8 olduğuna göre, x kaçtır? x +3 = 8 x = 8–3 Sağlama Yapma 25 + 3 = 8 ^ x h = 52 5+3=8 x = 25 8=8 2 Çözümün doğru olup olmadığını başlangıçtaki denklemde x yerine 25 yazarak kontrol edelim. Dikkat Eşitlik sağlandığından x = 25'tir. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Köklü ifade içeren denklemlerin çözümünden elde edilen sonucun başlangıçtaki denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir. 305 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler 37 x + 11 = 8 denkleminin gerçek sayılarda çözüm kümesini bulalım. x + 11 = 8 Sağlama Yapma x = 8 – 11 9 + 11 = 8 x = –3 3 + 11 = 8 ^ x h = (–3) 2 2 14 ≠ 8 Çözümün doğru olup olmadığını başlangıçtaki denklemde x yerine 9 yazarak kontrol edildiğinde eşitliğin sağlanmadığı görülmektedir. Dolayısıyla denklemin çözüm kümesi boş kümedir. x=9 x > 0 olduğundan dolayı denklemin çözümünde x = –3 bulunduğunda denklemin bir çözümünün olmadığı hemen görülebilir. 38 2x – 1 = 3 olduğuna göre, x in değerini bulalım. 2x – 1 = 3 eşitliğinin sol tarafındaki ifadeyi kök dışına çıkarmak için her iki tarafın karesi alınır. ^ 2x – 1 h = 3 2 2 2x – 1 = 9 2x = 10 x=5 Sağlama Yapma 2 · 5 –1 = 3 10 – 1 = 3 9=3 3=3 306 Çözümün doğru olup olmadığını başlangıçtaki denklemde x yerine 5 yazarak kontrol edelim. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Eşitlik sağlandığından x = 5 tir. Köklü İfadeler 39 Konunun başlangıcında verilen basit sarkaç sorusuna dönelim. Periyodun 1 sn olduğu durumda sarkacın uzunluğunu veren denklem, 1 = 2r · , olarak yazılmıştı. Bu 9, 8 denkleme göre sarkacın uzunluğunun yaklaşık kaç cm olacağını bulalım. , 9, 8 1 = 2r · 1 = 2r c , 9, 8 , 2 n 9, 8 1 2 m =d 2r , 1 = 2 9 ,8 4r ,= 9, 8 4r 2 bulunur. Hesap makinesi yardımıyla , yaklaşık olarak 0,248 m = 24, 8 cm bulunur. 40 x 2 – 3 = x – 3 denkleminin çözüm kümesini bulalım. _ x 2 – 3 i = (x – 3) 2 2 x2 – 3 = x2 – 6x + 9 x2 – 3 = x2 – 6x + 9 6x = 12 x=2 Sağlama Yapma 2 2 – 3 = 2–3 1 ≠ –1 x = 2 değeri denklemi sağlamadığı için denklemin çözüm kümesi boş kümedir. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 307 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler 41 2 x + 2 = 4 3 denkleminin çözümünü inceleyelim. 2x + 2 = 43 & 2 & x+2 2 = 26 x+2 =6 2 & x = 10 bulunur. 42 4 x + 3 = ^3 8 h denkleminin çözümünü inceleyelim. 4 x + 3 = ^3 8 h &4 2x–1 2x–1 x+3 2 =8 x+3 ) 2 2x–1 3 = 23( 2x–1 ) 3 & 22( & 2 x + 3 = 2 2x–1 & x + 3 = 2x–1 &x=4 bulunur. 43 6 3 6 3 x 36 = 9 denkleminin çözümünü inceleyelim. 2 1 1 2 6 x 36 x = 9 & da k 3 n = 3 36 2 2 1 1 x & a k 18 = 3 18 2 x & =3&x=6 2 bulunur. 308 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Köklü İfadeler KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme Alıştırmalar 1. Aşağıdaki ifadelerde her zaman doğru olanların başına (D), yanlış olanların başına (Y) yazınız. a. (. . . . )x ≠ 0, x + x = 2x b. (. . . . ) (–6) 2 = 6 c.(. . . . ) ç. 125 gerçek sayısı rasyoneldir. 144 (. . . . ) 125 = 5 d. (. . . . ) 3 2 gerçek sayısı rasyoneldir. 1 sayısının paydasını rasyonel yapmak için 5 1. Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a. 16 + (–7) 2 b. 169 – (–12) 2 + (–11) 2 c. 5 10 – 10 ç. 3 5 +4 5 –6 5 –2 5 d. 3 40 + 3 135 – 3 5 27 200 · 63 14 e. sayı 5 ile genişletilmelidir. e. (. . . . ) 5 – 2 sayısının eşleniği 2 – 5 dir. f. (. . . . )4 5 + 7 ifadesi daha da sadeleştirilerek tek kök içinde yazılabilir. 2. Aşağıdaki köklü ifadeleri en sade biçimde yazınız. a. ç. 3 108 b. 40 d. 3 a 6 · b 11 · c 15 128 c. 6 4 81 2. “x2 = 16 ise x kaçtır?” sorusunun çözümü ile “ 16 nın eşiti nedir?” sorusunun çözümü arasında ne fark vardır? Açıklayınız. 3. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. 3. Aşağıda Levent ve Serhat’ın köklü ifadeler ile ilgili yaptığı işlemler verilmiştir. Bu işlemlerdeki hataları bulunuz ve düzeltiniz. a. 5 12 + 3 75 – 4 108 b. 5 3 · 4 27 c. 4 a 6 · 3 (–a) 3 Levent’in Çözümü Serhat’ın Çözümü 5 + 11 = 16 2 5 + 7 5 = (2 + 7) 10 =4 = 9 10 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 309 Köklü İfadeler KENDİMİZİ SINAYALIM 4. Aşağıda verilen eşitliklerde noktalı yerlere gelecek sayıları bulunuz. a. 6 b. 5 8 = 3 5 ... 75 = …· 3 = …· 3 c. 3 54 = 3 3 … ç. a3 · 4 a = 4 a… d. ab 2 5 ab 3 = 5 a … b … 5. x = 3 , y = 3 5 , z = 6 26 olduğuna göre, x, y, z 10. Aşağıdaki denklemlerin gerçek sayılar kümesinde çözüm kümelerini bulunuz. a. x –18 = 0 b. 5x – 11 + 2 = 5 c. 5x – 1 + 2 = 5 ç. 2 x –1 = 3 5 11. 4 x–1 c m = 1 olduğuna göre, x kaçtır? 9 12. 8 x + 3 = ^3 32 h sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 6. 5 36 3 3 = bulunuz. x 5 9 4 9 olduğuna göre, x değerini 7. Aşağıdaki ifadelerin paydalarını rasyonel hale getiriniz. 3 a. 5 b. 4 7 6+ 3 ç. 9 3 –1 8. 1 + 2+ 3 1 + 4+ 5 1 işleminin 6+ 7 sonucunu bulunuz. 9. x < 0 < y olmak üzere, bulunuz. 310 x 2 + 6 y 6 ifadesinin eşitini Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler olduğuna göre, x kaçtır? Uygulama ve Problem Çözme 1. Alanı 1024 m2 olan kare şeklinde bir aynanın boyutları nedir? 2. Bir nesnenin belli bir yükseklikten düşme süresi 2 s ile modelleniyor. Burada t zamanı ve s de 5 objenin atıldığı yüksekliği göstermektedir. Buna göre, 80 metre yükseklikten atılan bir nesnenin yere düşme süresi nedir? t= 6 27 c. 2x–1 3. Bir şehrin meydanına büyük bir sarkaçlı saat yapılmak istenmektedir. Bu sarkacın periyodu , ile modellendiğine göre aşağıdaki T = 2r g soruları cevaplayınız. (, : Sarkacın metre cinsinden uzunluğu, g = 9,8 m/sn2) a. Sarkacın periyodunun 2 sn olması için yaklaşık kaç metre uzunluğunda bir sarkaç yapılmalıdır? b. Sarkacın periyodunun 4 sn olması için yaklaşık kaç metre uzunluğunda bir sarkaç yapılmalıdır? c. 9,8 metrelik bir sarkacın periyodu ne olur? Üstlü İfade ve Denklemler BÖLÜM ÖZETİ Üstlü Sayılar Aynı gerçek sayının birden çok çarpımını kolay bir şekilde göstermek için üstlü sayılar kullanılır. Örneğin 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 şeklinde yazılır. 5 Üst 2 Taban x bir gerçek sayı ve n ve Z+ için xn ifadesine üstlü ifade denir. Burada x sayısına taban, n sayısına da üst veya kuvvet denir. xn ifadesi "x in n. kuvveti" şeklinde okunur. x · x · x· ... · x = x n 1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 n tan e Negatif bir gerçek sayının çift sayı kuvvetlerinin sonucu pozitif işaretli, tek sayı kuvvetlerinin sonucu negatif işaretlidir. Tabanları aynı iki üstlü ifade çarpıldığında üstler toplanır. xm · xn = xm + n, 35 · 34 = 39 Üstleri aynı olan iki üstlü ifadenin bölümünde, paydaki ifadenin üstünden paydadaki ifadenin üstü çıkarılır ve çıkan değer ortak tabana üst olarak yazılır. x ∈ R – {0} ve m, n ∈ Z olmak üzere xm 58 = x m – n, 2 = 5 6 xn 5 Üstleri aynı olan iki ifade çarpıldığında, tabanları çarpılır ve her iki ifadenin üstü çarpımının ortak üstü olarak yazılır. x ∈ R – {0} ve m, n ∈ Z olmak üzere , xm · ym = (x · y)m , 25 · 35 = (2 · 3)5 = 65 Üstlü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılabilmesi için üstleri ve tabanları aynı olan terimler elde edilir. Üstleri ve tabanları aynı olan terimlerin ortak parantezine alınarak katsayılar toplanır veya çıkarılır. a · xn + b · xn – c · xn = (a + b – c) · xn Üstleri aynı iki üstlü ifadenin bölme işleminde tabanlar bölüm olarak alınıp üst olarak ortak üst yazılır. m 3 m 3 x, y ∈ R y ≠ {0} ve m, n ∈ Z olmak üzere , x m = a x k , 6 3 = ` 6 j = 2 3 = 8 y 3 3 y Bir üstlü ifadenin kuvveti alındığında üstler çarpılır. x ∈ R – {0} ve m, n ∈ Z olmak üzere , (xm)n = xm · n , (73)4 = 712 a sıfırdan farklı bir rakam olmak üzere; a · 10k sayısı k + 1 basamaklıdır . Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 311 Bölüm 2.3 Üstlü İfade ve Denklemler • Değişkenin üst olarak yer aldığı bu tür denklemlere üstlü denklemler denir ve genel olarak y = a · bx şeklinde gösterilir. • Bir üstlü denklemde eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar eşit ise üstler de eşittir. x ∈ R – {–1, 0, 1} ve m, n ∈ Z olmak üzere, xm = xn ⇒ m = n • a, b ∈ R ve n ∈ Z olmak üzere, xn = yn & ) x = y, n tek ise x = y veya x = – y, n çift ise • n ∈ Z ve olmak üzere (–1)2n = 1, (–1)2n + 1 = – 1 Köklü İfadeler • a ∈ R+ ve olmak üzere, x2 = a denklemini sağlayan x değerlerine a sayısının karekökleri denir. Bu köklerden pozitif olanına, a sayısının pozitif karekökü denir ve a ile gösterilir. – a gösterimi ise a sayısının negatif karekökü için kullanılır. • n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere, herhangi bir a gerçek sayısı için xn = a denklemini sağlayan x gerçek sayılarına a sayısının n. dereceden gerçek sayı kökleri denir ve x = n a olarak yazılır. • n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere, n ∈ R için n 1 • a pozitif bir gerçek sayı olmak üzere a 2 = 1 genel olarak a n = n • a ∈ R+ için ^ a h = n an = ) a, n tek ise dir. | a |, n çift ise a dir. n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere n. dereceden köklü ifadeler için a şeklinde gösterilir. an • a, b ∈ R+ ve n ∈ Z+ için • a, b ∈ R+ ve n ∈ Z+ için n a ·n b = n a = a n n • a ∈ R+ ve m, n ∈ Z+ için ^ m a h = n • a ∈ R+ ve m, n, k ∈ Z+ için n am = n a·b a b m an n ·k a m ·k ve n a m = n k m ak • a, b ∈ R+ için a 2 · b = a b • a ∈ R+ ve m, n, ∈ Z+ ve m, n ≥ 2 olmak üzere, • a, b ∈ R+ ve m, n ∈ Z+ için m n 1 a = a m·n = n m·n a n ·b = a n b a • a ∈ R+ x, y ∈ R ve n ∈ Z+ olmak üzere, x · n a + y · n a = ^x + yh n a • a, b ∈ R+ için ^ a + b h^ a – b h = a – b 312 Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler Bölüm 2. 3. Üstlü İfade ve Denklemler BÖLÜM DEĞERLENDİRME 1. a = 2 ve b = 3 için, a–b + b–a işleminin sonucunu bulunuz. 2b + a 12. 92a – b = 27a + 2b olduğuna göre, 5b – a işleminin sonucunu bulunuz. 1 2. –2 – 4 :` – 1 j D işlemini sonucunu bulunuz. 16 13. 22x + 2 – 22x + 1 – 22x – 2 = 28 olduğuna göre, x değerini bulunuz. 3. 8–12 sayısının yarısı kaçtır? 4. 25 25 + 25 25 + 25 25 ifadesinin 50 + 50 50 + 50 50 + 50 50 + 50 50 50 değerini bulunuz. 5. x = 330, y = 245, z = 1015 sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız. 6. 5(a7)5 – 4(a5)7 – a34 işleminin sonucunu bulunuz. 3)2 (a–4)–3 7. (–a · bulunuz. 8. x · (–a)–6 · (–a2)–3 işleminin sonucunu x 30 –15 ifadesinin en sade halini bulunuz. 12 x –6 x 9. 3x = 18, 2y = 21, 5z = 10 olarak veriliyor, x, y ve z değerlerinin ayrı ayrı hangi ardışık iki tamsayı arasında bulunduğunu belirleyiniz ve bundan yararlanarak bu sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 10. x0,6 = 64 olduğuna göre, x0,3 değeri kaçtır? x 11. 10 = 35 olduğuna göre 2x + 2 · 5x – 1 ifadesi kaçtır? 14. İnsan vücudunda normal olarak saniyede 2 · 106 alyuvar üretilir. Kanımızın bir litresinde ise yaklaşık olarak 4,8 · 1012 alyuvar vardır. Buna göre, yarım litre kan veren birinin kaybettiği alyuvarlar normal şartlar altında yaklaşık kaç günde tekrar üretilir? 15. Aşağıdaki denklemleri çözünüz. a. (2 · 10–7) · x = 1, 6 · 1010 x = 2 · 10 –6 b. 3 · 10 5 16. (x – 3)2x – 5 = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 17. 4x + 2 – 3 · 4x = 52 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 18. Bilim adamları, yaptıkları ölçümler sonrasında bir çilek tarlasında bulunan zararlı bir böcek türünün t hafta sonraki yaklaşık popülasyonunu A = 1000 · 2t bağıntısı ile temsil edildiği sonucuna ulaşmışlardır. Ölçüme başlanan hafta t = 0 kabul edilmiştir. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplandırınız. a. Bu böcek türünün başlangıçtaki popülasyonu nedir? b. Bu bağıntıya göre başlangıçtan 4 hafta önceki böcek popülasyonu yaklaşık olarak kaçtır? c. Ölçümden 3 hafta sonraki popülasyon ne kadardır? Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 313 Bölüm 2. 3. Üstlü İfade ve Denklemler BÖLÜM DEĞERLENDİRME 19. 72 · 511 · 27 sayısı kaç basamaklıdır? 25. a = 3 , b = 3 7 , c = 6 35 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 20. Aşağıda verilen işlemlerin en sade halini bulunuz. 11 + 36 a. 1– b. 2– 3 – 2+ 3 c. ç. 3 25 + 4 2+ 14 25 2+ 3 2– 3 14 + 1 + 3 27 x 2 + 6x + 9 < 4 eşitsizliğinin; 27. 3 3 3 d. d 3 2 + 1 nd 3 4 –1 nd 3 4 + 1 n 1 26. a2 x – 5 = 25x + a denkleminin gerçek sayılar kümesinde çözüm kümesi R olduğuna göre, a kaçtır? 1 1 a. Tam sayılar kümesinde çözüm kümesini bulunuz. b. Rasyonel sayılar kümesinde çözüm kümesini bulunuz. 21. Aşağıdaki denklemlerin gerçek sayılar kümesinde çözüm kümelerini bulunuz. c. Gerçek sayılar kümesinde çözüm kümesini bulunuz. 28. 5 5 ≤ x < 2 eşitsizliğinin tam sayılar kümesindeki çözüm kümesini yazınız. a. (2x – 1)1998 = (1 – 2x)1998 b. (5x – 1)1999 = (x + 1)1999 c. (x – 3)892 = (2x – 5)892 2x – 6 + 3x – 4 ifadesi bir gerçek sayı belirt2x – 1 + 6 – 2x tiğine göre, A nın değerini bulunuz. 22. A = 23. 24. 314 x – 4 + –2x + 12 = A ifadesi bir gerçek sayı belirttiğine göre x in alacağı tam sayı değerlerin toplamını bulunuz. 3 256 = bulunuz. 4 16 x olduğuna göre, x değerini Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler 29. 6 7 –2 ·3 bulunuz. 30. x 2 – 4x + 4 – 3 = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 7 –2 7 – 2 işleminin sonucunu