projenin adı napoleon teoreminin dikdörtgene uygulanması projeyi
Transkript
projenin adı napoleon teoreminin dikdörtgene uygulanması projeyi
PROJENİN ADI NAPOLEON TEOREMİNİN DİKDÖRTGENE UYGULANMASI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR ECEM OBUROĞLU, PELİN ÖZKAN OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR LİSESİ Ataköy 9.-10. Kısım,34156 Bakırköy-İstanbul DANIŞMAN ÖĞRETMEN SEÇİL SEVİNÇ PROJENİN ADI: NAPOLEON TEOREMİNİN DİKDÖRTGENE UYGULANMASI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR: ECEM OBUROĞLU, PELİN ÖZKAN PROJE DALI: MATEMATİK PROJE ÖĞRETMENİ: SEÇİL SEVİNÇ PROJE AMACI: Üçgenlerde ispatlanan Napoleon Teoremini kullanarak bu özelliğin dikdörtgende uygulanabilirliğinin araştırılması. GİRİŞ: Üçgenlerde sağlanan Napoleon Teoreminin ispatı verilir. NAPOLEON TEOREMİ Herhangi bir üçgenin üç kenarının üzerine ister içine,isterse dışına doğru eşkenar üçgenler çizildiğinde,bu üçgenlerin ağırlık merkezleri birleştirilirse yine bir eşkenar üçgen oluşur. İspat: ABC üçgeninin üç kenarının üzerine üçgenin içine/dışına doğru şekildeki gibi BAC,CBA ve ACB eşkenar üçgenleri yerleştirilirse ve bu üçgenlerin ağırlık merkezleri sırasıyla D,E ve F ise DEF üçgeni de eşkenardır. ABC üçgeninde =a, =b, =c , =n , =m ve =x ve ABC üçgeninin alanı olsun. AF ve AE içinde bulundukları üçgenlerin içaçıortay doğruları olduklarından m( = dir.Bundan dolayı m( ) = A + dır.FAE üçgeninde kosinüs teoreminden, = + – 2.m.n. cos(A+ ) (1) bulunur. m ve n uzunlukları,içinde bulundukları eşkenar üçgenlerin yüksekliklerinin 2/3’ü olduğundan m= ve n= tür. Bu değerler (1) eşitliğinde yerine yazılırsa; = + ) ‘den .cos(A+ 3 = + -2.b.c. cos(A+ ) (2) elde edilir. cos(A+ ) = cosA.cos - sinA.sin değeri (2) de yerine yazılırsa; 3 = + -2.b.c. den 3 ABC üçgeninde kosinüs teoremini uygularsak; den -bccosA = ABC üçgeninin alan formülünü uygularsak; = dan bcsinA=2 bulunur. = + -b.c.cosA+ bulunur. b.c.sinA (3) olur. Bu değerler (3)’te yerine yazılıp formül düzenlenirse bulunur.Bu eşitlik a,b,c değerlerine göre simetrik olduğundan dolayı aynı işlemleri [FD] ve [ED] kenarları için yaparsak aynı sonuç elde edilir.Demek ki dir ve DEF üçgeni eşkenardır. YÖNTEM : Bu proje boyunca doğrudan ispat uygulanmıştır. ABCD dörtgeninde olsun. ABCD dörtgeninin kenarlarının =a, üzerine üçgenin dışına doğru DCE,DAL,ABF ve BKC eşkenar üçgenleri yerleştirilir ve bu üçgenlerin ağırlık merkezleri ve m( , , ve dörtgeni eşkenar dörtgendir. ise içinde bulundukları üçgenlerin içaçıortay doğruları olduklarından = dir. Bundan dolayı m( )= dir. üçgeninde kosinüs teoreminden, (4) uzunluğu DAL eşkenar üçgenin ve bulunur. uzunluğu DEC eşkenar üçgenin yüksekliğinin 2/3’ü olduğundan; = . = ve . = = tür. Bu değerleri (4) eşitliğinde yerine yazarsak; bulunur. , üçgenleri ve yaptığımızda = = üçgenine eş olduğundan aynı işlemleri = buluruz. üçgeninin iç açılarının toplamını yazarsak ; m( )+ m( )+ (5) eşitliğinde m( üçgenleri m( = ‘dan m( )+ m( )= )= -x olur. , ) = x dersek m( üçgenine eş olduğundan ) = m( )=m( m( ) = m( olduğundan dörtgenin açılarının toplamından m( dörtgeninin m = )= köşesinin açı ölçüsü dir. m( =m( köşesinin açı ölçüsü +2x dir. dir.m( )= +2x dir. =m( ve )=m( )= - x ve ) = m( )= x ) = x dir. üçgeninin iç açılarının toplamından m A dir. (5) = dir. m( köşesinin açı ölçüsü dir. m( üçgeninin iç açılarının toplamından -x olduğundan dörtgenin üçgeninin iç açılarının toplamından m -x olduğundan üçgeninin iç )= x olduğundan =m( - 2x dir.D )= - 2x dir. C dörtgeninin = köşesinin açı ölçüsü SONUÇ: dörtgeninde ; = m( )=m( m( )=m( = )= )= = - 2x +2x olduğundan tüm kenar uzunlukları birbirine eşit ,karşılıklı açılar eşit ve birbirine bakan açılar toplamı olduğundan dörtgeni eşkenar dörtgendir. YÖNTEM : ABCD dörtgeninde olsun. ABCD dörtgeninin kenarlarının =a, üzerine üçgenin içine doğru DCE,DAL,ABF ve BKC eşkenar üçgenleri yerleştirilir ve bu üçgenlerin ağırlık merkezleri , , ve üçgeni dik üçgen olduğundan = , dörtgeni eşkenar dörtgendir. ise = , = + = , ‘dir. (6) = dir. noktası DAL üçgeninin ağırlık merkezi olduğundan dolayı . = = bulunur. = ‘den - = - bulunur. noktası FAB üçgeninin ağırlık merkezi olduğundan dolayı . = = = , yüksekliğin 2/3 ü kadardır. bulunur. Bu değerleri (6) denkleminde yerine koyarsak; ‘den +( üçgenleri , bulunur. üçgeni ile eş üçgenler olduğundan bulunur.Yine bu üçgenlerin eşliğinden dolayı ölçüleri eşittir, yüksekliğin 1/3’ü kadardır. ve dörtgeninin ve köşelerinin açı köşelerinin açı ölçüleri eşittir. SONUÇ: Kenarlarının eşit olması,karşılıklı açıların eşit olması, karşı durumlu açıların toplamının olması dörtgeninin eşkenar dörtgen olduğunu gösterir. Geliştirme: Üçgenler üzerinde sağlanan Napoleon Teoreminin dikdörtgen üzerine uyguladığımızda eşkenar dörtgen oluştuğunu gösterdik.Projenin geliştirilmesinde, düzgün olan diğer çokgenlerde uygulanabilirliği araştırılabilir. Kaynaklar: 1) Mustafa Yağcı , 2004 Yaz Matematik Dünyası Dergisi , Geometri Köşesi, syf 74-75-76-77-78 2) John E. Wetzel,1992,Converses of Napoleon’s Theorem.Amer. Math.Monhtly 89,pp.339-351 3) H. Martini , 1996 , On the Theorem of Napoleon and related topics, Math, Semester Ber, 43 , pp.47-64 4) MEB Komisyon,2012, 10.Sınıf Matematik Kitabı, Sayfa 138-195 5) MEB Komisyon,2012, 10.Sınıf Geometri Kitabı,Sayfa 113-153,195-197, 224-227.