dosyayı indir
Transkript
dosyayı indir
Bölüm 5.1 Dik Üçgen ve Trigonometri 5.1.2. Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları Neler Öğreneceğiz? • Dik üçgende bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kontanjant değerlerini Başlarken • Dik üçgende 30°, 45° ve 60° lik açı ölçülerinin trigonometrik oranlarını Günümüzde astronomi, geometri, fizik, optik ve haritacılık gibi alanlarda sıklıkla kullanılan trigonometrinin ortaya çıkışı eski çağlara dayanmaktadır. • Eşkenar üçgenin yükseklik uzunluğu ile kenar uzunluğu arasındaki ilişkiyi Birçok bilim insanı Piri Reis’in Dünya haritasını hazırlarken trigonometriden yararlanmış olabileceğini dile getirmektedir. • Birim çemberi • 0° ile 180° arasındaki açı ölçülerinin trigonometrik değerlerini D Anahtar Terimler •Trigonometri B • Trigonometrik oran •Sinüs •Kosinüs A C •Tanjant E •Kotanjant Yukarıdaki şekilde verilen ABC ve ADE dik üçgenlerinin karşılıklı açıları eş olduğun- • Birim çember D D dan A. A. benzerlik kuralına göre ABC + ADE dir. Bu üçgenler için benzerlik oranı, AB BC DE BC = = şeklinde yazılabilir. Orantının özellikleri kullanılarak oranAD DE AD AB Sembol ve Gösterimler tısı yazılabilir. Bir diğer ifade ile dik üçgenin açıları değiştirilmedikçe ilgili kenarlarının uzunlukları arasındaki oranlar da değişmemektedir. Dik üçgenin kenar uzunlukları arasında yer alan oranlara trigonometrik oranlar adı verilir. Bu bölümde sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant isimleri ile bilinen trigonometrik oranlar incelenecektir. • sin x • cos x • tan x • cot x 872 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları sin B = Kar ı Dik Kenar Uzunlugu b = Hipotenüs Uzunlugu c Bir dik üçgende bir dar açının kosinüs değeri, açıya komşu olan dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. Bu değer, açının köşesinde bulunan noktayı gösteren harfin önüne cos yazılarak gösterilir. cos B = Anahtar Bilgi A üs H B Kom u Dik Kenar Uzunlugu a = Hipotenüs Uzunlugu c n te ipo Karşı dik kenar Bir dik üçgende bir dar açının sinüs değeri, açının karşısında bulunan dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. Bu değer, açının köşesinde bulunan noktayı gösteren harfin önüne sin yazılarak gösterilir. Komşu dik kenar C A c B Bir dik üçgende bir dar açının tanjant değeri, açının karşısında bulunan dik kenar uzunluğunun açıya komşu olan dik kenar uzunluğuna oranıdır. Bu değer, açının köşesinde bulunan noktayı gösteren harfin önüne tan yazılarak gösterilir. tan B = Kar ı Dik Kenar Uzunlugu b = Kom u Dik Kenar Uzunlugu a b a C Bir dik üçgende bir dar açının kotanjant değeri, açıya komşu olan dik kenar uzunluğunun açının karşısında bulunan dik kenar uzunluğuna oranıdır. Bu değer, açının köşesinde bulunan noktayı gösteren harfin önüne cot yazılarak gösterilir. cot B = Matematik Tarihi Matematiğin önemli bir dalı olan trigonometri Yunanca üçgen (trigon) ve ölçüm (metrio) sözcüklerinin birleştirilmesiyle oluşup kökleri eski zamanlarda astronomi ve denizcilik alanında yapılan çalışmalara dayanmaktadır. Trigonometrinin kurucusu olarak M.Ö. 190 yılında İznik’te doğmuş Yunan astronomu Hipparkhos kabul edilir. Kom u Dik Kenar Uzunlugu a = Kar ı Dik Kenar Uzunlugu b 1 Yandaki ABC dik üçgeninde C 4 A |AB| = 5 cm 3 5 |AC| = 4 cm B Topdemir, G. H. (2011). Hipparkhos ve Trigonometrinin doğuşu. Bilim ve Teknik, 528, |BC| = 3 cm olarak veriliyor. Buna göre, A açısının trigonometrik oranlarını bulalım. Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler (s.88-90) 873 Bölüm 5.1 Dik Üçgen ve Trigonometri Bunu biliyor muydunuz Açı ölçülerinin trigonometrik değerleri bilimsel hesap makineleri yardımıyla bulunabilir. Bilimsel hesap makinelerinde bir açı ölçüsünün trigonometrik değerini bulmak için açı ölçüsü derece cinsinden yazılarak istenen trigonometrik oranı gösteren tuşa basılır. sin A = BC Kar ı Dik Kenar Uzunlu u 3 olduğundan sin A = = Hipotenüs Uzunlu u AB 5 cos A = AC 4 Kom u Dik Kenar Uzunlu u olduğundan cos A = = AB 5 Hipotenüs Uzunlu u tan A = BC Kar ı Dik Kenar Uzunlu u 3 = olduğundan tan A = Kom u Dik Kenar Uzunlu u AC 4 cot A = AC 4 Kom u Dik Kenar Uzunlu u = olarak bulunur. olduğundan cot A = BC 3 Kar ı Dik Kenar Uzunlu u 2 Yandaki resimde görülen bisiklet rampası yer ile 12° lik açı yapmaktadır. sin (12) = 0,20791 C 12° A Rampanın C noktası yerden 54 cm yükseklikte olduğuna göre rampanın uzunluğunu bulalım. B Dikkat sin 12° nin yaklaşık değeri hesap makinesi yardımıyla 0,2 olarak bulunur. Bir A açısının trigonometrik a oranı şeklinde verildiğinb de, çizilecek olan dik üçgenin kenarlarından ikisi, k ∈ R+ olmak üzere ak ve bk şeklinde olmalıdır. ABC dik üçgeninde sin A = Buradan 0, 2 . BC 54 olduğundan sin 12° = dir. AC AC 54 olup AC . 270 cm olarak bulunur. AC 3 Ancak trigonometrik oranlar yazıldığında k değerleri sadeleşeceğinden trigonometrik oranların sorulduğu soruların çözümlerinde kenar uzunlukları a ve b olarak alınabilir. 5 Bir ABC dik üçgeninde m ( V olduğuna göre cos A, tan A ve B) = 90° olup sin A = 13 cot A değerlerini bulalım. C 13 A 874 12 5 B A açısının karşı kenar uzunluğu 5 br, hipotenüs uzunluğu 13 br olarak alınabilir. Bu durumda Pisagor Teoremi’nden |AB| = 12 br olur. 12 5 12 , tan A = ve cot A = Böylece cos A = 13 12 5 bulunur. Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları 4 A B α Buna göre tan a ve tan b değerlerini bulalım. β D C A B α G H D F ABE dik üçgeninde tan a = ğinden tan a = E β β Yandaki şekilde verilen ABCD dikdörtgeni 6 birim kareden oluşmaktadır. BE oranıyla bulunabileceAB 1 tür. 3 % % m (HKE) = m (GFE) = b olduğundan tan b değeri GFE K C üçgeninde tan b = EG 2 = = 2 olarak bulunur. GF 1 5 Bunu biliyor muydunuz Yanda verilen BAC dik üçgeninde A |AB| = 3 cm 3 B 2 C α β 2 H % % m (BAC) = m^AHBh = 90° dir. % m (ACB) = a olduğuna göre cos a değerini hesaplayalım. % AHC dik üçgeninde m (HAC) = b olsun. A B Müslüman Türk bilginlerinden biri olan Abul Vefa kendi zamanının büyük bir matematikçisi ve astronomudur. Abul Vefa’nın trigonometri problemlerinin çözümünde kullanılan tabloların hazırlanmasında gösterdiği başarı, trigonometrinin gelişmesinde atılan önemli adımlardan biri olarak gösterilmektedir. Trigonometride bugün kullandığımız sinüs, kosinüs, terimleri ilk defa bu dönemde kullanılmıştır ve Arapça kelimelerdir. |AH| = 2 cm α H 3 Abul Vefa (940-998) α C Üçgenin iç açı ölçüleri toplamından a + b = 90° olur. % ABC dik üçgeninde m (BAC) = 90° olduğundan % m (BAH) = a olmalıdır. Böylece BAH dik üçgeninde cos a = Baki, A. (2008). Kuramdan Uygulamayı Matematik Eğitimi. Harf Yayıncılık. 2 bulunur. 3 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 875 Bölüm 5.1 Dik Üçgen ve Trigonometri 6 Yandaki resimde bir deniz fenerine yaklaşan iki yelkenli görülmektedir. Fenerin deniz seviyesinden yüksekliği 25 m olduğuna göre yelkenliler arasındaki uzaklığın yaklaşık değerini hesaplayalım. 25 m 54° 32° x CAD dik üçgenini kullanarak |CD| nu bulalım. A tan (54) 1,37638 tan 54° = 25 m 32° x B 1, 37 . 54° C D AD olacağından tan 54° . 1, 38 alınırsa CD 25 ve CD . 18, 1m bulunur. CD BAD dik üçgenini kullanarak |BD| nu bulalım. AD 25 tan 32° = olacağından tan 32° . 0, 62 alınırsa 0, 62 . ve BD . 40, 3 m BD BD tan (32) 0,62487 bulunur. |BC| = |BD| – |CD| olduğundan BC . 40, 3 - 18, 1 . 22, 2 m bulunur. Bunu biliyor muydunuz 7 A ABC ikizkenar üçgen x |AB| = |AC| % m (BAC) = x % m (ACB) = y y B Fotoğrafta görülen araç (Sekstant), güneşin veya yıldızların ufuk çizgisi ile yaptıkları açıyı ölçmede kullanılmaktadır. Gemilerin denizlerdeki konumlarının bulunmasında, ölçülen bu açıların trigonometrik oranlarından yararlanılır. C A D ABC nin B köşesinden [AC] na dik bir doğru parçası çizelim. x tan x = 4 5 D H y B BH 3 3 = olur. olduğundan AH 4 4 |BH| = 3 br ve |AH| = 4 br olarak alınırsa 3-4-5 üçgeni olacağın3 Barnes A. (2007). Encyclopedia of Trigonometry. Delhi: Global Media. 3 4 olduğuna göre tan y değerini bulalım. tan x = 1 C dan |AB| = 5 br olur. ABC ikizkenar olduğundan |AB| = |AC| = 5 br olup |AH| = 4 br olduğundan |HC| = 1 br olup tan y = 876 BH 3 = = 3 bulunur. HC 1 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları Bazı Açı Ölçülerinin (30° – 45° – 60°) Trigonometrik Oranları 30°, 45° ve 60° lik açı ölçülerinin trigonometrik oranlarını bulabilmek için bazı özel üçgenleri kullanacağız. Bu açı ölçülerinden 45° nin trigonometrik oranlarını ikizkenar dik üçgenden, 30° ve 60° nin trigonometrik oranlarını eşkenar üçgenden yararlanarak hesaplayacağız. 45° – 45° – 90° Dik Üçgeni C 45° 1 Yandaki ikizkenar dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyerek 45° lik açının trigonometrik oranlarını bulalım. Dik kenar uzunlukları 1 birim olan ABC ikizkenar dik üçgenini ele alalım. Bu ikizkenar dik üçgenin hipotenüs uzunluğu Pisagor Teoreminden bulunabilir. ABC dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulanırsa; 45° A 1 B |AC|2 = |AB|2 + |BC|2 ⇒ |AC|2 = 12 + 12 eşitliğinden |AC|2 = 2 ve AC = 2 br bulunur. Buna göre ABC dik üçgeninde; BC 1 2 = = 2 AC 2 AB 1 2 • cos 45° = = = AC 2 2 • sin 45° = • tan 45° = BC 1 = = 1 ve AB 1 • cot 45° = AB 1 = = 1 olarak bulunur. BC 1 8 C Şekilde yerle dik durumlu olan ağacın yerdeki gölgesi 12 m olduğuna göre ağacın boyunu ve |AC| değerini bulalım. 45° A 12 B ABC dik üçgeninde tan A = | BC | W) = 45° ve tan45° = 1 olduğundan dir. m ( A | AB | | BC | | BC | = 1 ise = 1 eşitliğinden |BC| = 12 m bulunur. Benzer şekilde 12 | AB | sin A = | AB | 2 12 2 olduğundan ve sin 45° = = ise | AC | = 12 2 m olarak 2 | AC | | AC | 2 bulunur. Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 877 Bölüm 5.1 Dik Üçgen ve Trigonometri 30° – 60° – 90° Dik Üçgeni Bunu biliyor muydunuz Üç kenarının uzunlukları birbirine eşit olan üçgene eşkenar üçgen denildiğini önceki yıllarda öğrenmiştik. Bu bölümde eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğu ile bir kenarına ait yüksekliğinin uzunluğu arasındaki ilişkiyi ve 30° ile 60° nin trigonometrik oranlarını inceleyeceğiz. Bunun için aşağıdaki adımları takip ediniz. A Resimde görülen Uluslararası Uzay İstasyonu’nda bulunan robotik kol, bağlantı noktalarındaki açıların kontrol edilmesiyle çalışmaktadır. Kolun ucunda bulunan astronotun konumunun belirlenmesi, bu açıların trigonometrik oranlarının kullanımıyla mümkün olmaktadır. Adım 1 60° Kâğıda cetvel ve açıölçer yardımıyla bir kenarının uzunluğu 4 cm olan bir ABC eşkenar üçgeni çiziniz. 4 4 60° 60° 4 B C A Adım 2 60° Barnes A. (2007). Encyclopedia of Trigonometry. Delhi: Global Media. BC kenarının orta noktasını bularak bu noktayı D olarak isimlendiriniz. D noktasını A noktası ile birleştiriniz. 4 4 60° Adım 3 B 60° 2 D 2 C % % Oluşan BDA üçgenindeki BDA ve BAD açılarının ölçülerinin kaç derece olduğunu yazınız. % % m (BDA) = ..... m (BAD) = ..... Adım 4 BDA üçgeninin iç açı ölçülerini göz önünde bulundurduğunuzda bu üçgenin türü hakkında ne söyleyebilirsiniz? BDA üçgeninde |AD| nu hesaplayınız. .................................................................................................................................... Adım 5 .................................................................................................................................... BDA üçgeninin açı ölçüleri ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi açıklayınız? .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... 878 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları Sonuç Dar açılarının ölçüleri 30° ve 60° olan bir dik üçgende; A • 30° lik açının karşısındaki dik kenarın uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir. • 60° lik açının karşısındaki dik kenarın uzunluğu, 30° lik açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun 3 katına eşittir. B 60° 1 30° B 30° x 2x 60° C Dar açılarının ölçüleri 30° ve 60° olan bir dik üçgende kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kullanarak bu açıların trigonometrik oranları bulalım: A 2 x 3 C 3 • sin 30° = AC 1 = AB 2 • cos 30° = • sin 60° = BC 3 = AB 2 BC 3 = AB 2 • cos 60° = AC 1 = AB 2 • tan 30° = AC 1 3 = = BC 3 3 • tan 60° = BC 3 = = 3 AC 1 • cot 30° = BC 3 = = 3 AC 1 • cot 60° = AC 1 3 = = BC 3 3 Anahtar Bilgi Yandaki değerlerden de görülebileceği gibi birbirini 90° ye tamamlayan açılardan (tümler açılar) birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir. C 9 Yerle dik durumlu olan elektrik direği yerden 1,5 m yükseklikten kırılarak yer ile 30° lik açı yapacak şekilde düşmüştür. 1,5 m B A 30° Buna göre direğin kırılmadan önceki boyunu bulalım. % ABC üçgeninde m (ACB) = 60° olacağından ABC üçgeni 30°-60°-90° üçgeni olur. ABC üçgeninde sin 30° = CA 1 1, 5 olup = orantısından |BC| = 3 m bulunur. 2 CB CB Direğin kırılmadan önceki boyu 1,5 + 3 = 4,5 m dir. Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 879 Bölüm 5.1 Dik Üçgen ve Trigonometri 10 Matematik Tarihi El Birunî (973-1052) Yandaki kaydırakta kaydırağın boyu 8 m, kaydırak yer ile 30°, merdiven ise yer ile 45° lik açı yapmaktadır. A % m (ACE) = 90° C E α Buna göre merdivenin boyunu bulalım. 45° 30° B C D B A ° 45 r [AH] ⊥ [BC] çizilirse ABH üçgeni 30°-60°-90° üçgeni; AHC üçgeni 45°-45°-90° olur. A α ABH üçgeninde sin 30° = 45° 30° Aral Gölü’nün güneyinde Gazne’de doğan Müslüman Türk bilgini El Birunî, dünyanın yarıçapını kendine has metoduyla hesaplayarak bugün modern aletlerle ulaşılan sonuca çok yakın bir değer elde etmiştir. Bu yöntemde Birunî, yüksekliğini bildiği bir tepenin zirvesine çıkarak bulunduğu konumdan ufuk çizgisine bakıp şekildeki a açısını ölçmüş ve cos a = H B AH olduğundan AB AH 1 = olur. 2 8 C Buradan |AH| = 4 m bulunur. AHC üçgeninde sin 45° = AH 1 4 = olduğundan olup AC = 4 2 m bulunur. AC AC 2 11 sin 30° + cos 60° + tan 60° · cot 60° işleminin sonucunu bulalım. sin 2 45° + cos 2 30° r r + tepenin yüksekligi oranından dünyanın yarıçapını hesaplamıştır. Baki, A. (2008). Kuramdan Uygulamaya Matematik Eğitimi. Harf Yayıncılık. İşlemde yer alan trigonometrik oranlar yerlerine yazılırsa; sin 30° + cos 60° + tan 60° · cot 60° = sin 2 45° + cos 2 30° 880 1 1 1 + + 3· 2 2 3 d 2 2 2 3 n +d n 2 2 = 2 8 = olarak bulunur. 5 5 4 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları 12 ABC dik üçgeninde G ağırlık merkezi [AB] ⊥ [AC] A 120° % m (AGH) = 120° G 3 C H x B |GH| = 3 cm [GH] ^ [BC] olduğuna göre |BC| = x değerini bulalım. A [AG| doğrusal uzatılıp [BC] nı kestiği nokta N olarak isimlendirilirse [AN] kenarortay olur. 120° G 3 D GHN 30°-60°-90° üçgeni olduğundan 60° C H N x B |GN| = 2|GH| = 2 · 3 = 6 cm elde edilir. G ağırlık merkezi olduğundan |AG| = 2 · |GN| olup |AG| = 12 cm olarak bulunur. |AN| = |AG| + |GN| = 12 + 6 = 18 cm olur. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına eşit olduğundan |BC| = x = 2 · |AN| eşitliğinden x = 2 · 18 = 36 cm olarak elde edilir. 13 Yandaki şekilde A ABC eşkenar üçgen % m (ADC) = x B D 3 · |BD| = |DC| x olduğuna göre tan x değerini bulalım. C |BD| = a ve |DC| = 3a olsun. A ABC üçgeninin BC kenarına ait yüksekliği çizilirse |BH| = |HC| olacağından |HC| = 2a ve |DH| = a olur. B a Eşkenar üçgenin yükseklik uzunluğu kenar uzunluğunun x D a H 3 3 katı olduğundan AH = 4a = 2 3 a elde edilir. 2 2 2a C AHD dik üçgeninde tan x = 2 3a = 2 3 olarak bulunur. a Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 881 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atölye çalışmasında ölçüsü 0° ile 180° arasındaki açıların trigonometrik oranlarını birim çember üzerinde inceleyeceğiz. Araç ve Gereçler: Dinamik geometri yazılımı y 1 Adım 1 Dinamik geometri yazılımı aracılığı ile merkezi orijin yarıçapı 1 birim olan bir çember (birim çember), x = 1 ve y = 1 doğrularını oluşturunuz. Koordinat sisteminin I. bölgesinde ve birim çember üzerinde bir P noktası belirleyiniz. P –1 1 O x –1 y Adım 2 1 P noktası ile çemberin merkezinden geçen d doğrusunu çiziniz. Bu doğrunun x = 1 ve y = 1 doğruları ile kesim noktalarını belirleyerek sırasıyla E ve H olarak isimlendiriniz. d doğrusunun eğim açısını ölçünüz. P –1 d O α E H 1 x –1 Adım 3 P noktasını a değeri 0° ile 180° arasında kalacak şekilde birim çember üzerinde sürükleyiniz. a nın farklı ölçüleri için trigonometrik değerlerini yazılımın hesaplama özelliklerini kullanarak belirleyiniz. Ayrıca P, E, H noktalarının ilgili koordinatlarını yazılım aracılığı ile tespit ediniz ve aşağıdaki tabloya yazınız. a sin a cos a tan a cot a P noktasının ordinatı P noktasının apsisi E noktasının ordinatı H noktasının apsisi Sonuç: Tabloyu inceleyiniz. P, E ve H noktalarının koordinatları ile a açısının trigonometrik değerleri arasında gözlemlediğiniz ilişkileri yazınız. Bu ilişkileri gerekçeleri ile birlikte açıklayınız. ..................................................................................................................................................................................................... 882 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları Birim Çember ve Trigonometrik Değerler Önceki yıllarda dik koordinat sistemini ve koordinat sistemindeki noktaların gösterimlerini öğrenmiştiniz. Bir önceki bölümde ise dar açıların trigonometrik oranlarını bir dik üçgenin kenar uzunluklarından yararlanarak tanımlamıştık. Bu kısımda dar açılar için tanımladığımız trigonometrik oranları dik koordinat sistemi yardımıyla dik ve geniş açılar için de tanımlayacağız. Merkezi orijin ve yarıçapı “1” birim olan çembere birim çember denir. Açıların trigonometrik oranlarını birim çember yardımıyla da bulabiliriz. Dik koordinat düzleminin I. bölgesinde ve birim çember üzerinde bir A(x, y) noktasını ele alalım. y 1 –1 A(x, y) 1 α x O x H 1 y A noktasını orijine birleştiren doğru parçasını çizerek bu doğru parçasının eğim açısını a olarak isimlendirelim. Yandaki şekilde oluşan AOH dik üçgeninde, sin a = y AH OH x = = y ve cos a = = =x OA 1 OA 1 olduğundan A noktasının koordinatları A(cos a, sin a) şeklinde yazılabilir. –1 y 1 –1 α cosα O sinα A x H 1 Başka bir ifadeyle A noktasının apsisi a nın kosinüs değerine, ordinatı a açısının sinüs değerine eşittir. –1 y 1E A –1 O –1 1 α α C y=1 B D H 1 x Birim çemberin olduğu koordinat düzleminde x = 1 ve y = 1 doğrularını çizelim. x=1 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 883 Bölüm 5.1 Dik Üçgen ve Trigonometri BOD dik üçgeninde tana değeri; y 1 Anahtar Bilgi tan a = A B sin tanα –1 O cot α cos α D H 1 x –1 BD BD = = BD olarak bulunur. OD 1 Başka bir ifadeyle a açısının tanjant değeri OA ışınının x = 1 doğrusunu kestiği noktanın ordinat değerine eşittir. AH olarak Diğer taraftan AOH dik üçgeninde; tan a = OH yazılabilir. tan sin a şeklinde Yukarıda |AH| = sin a ve |OH| = cos a olduğu göz önüne alınırsa tan a = cos a ifade edilebilir. Birim çember üzerindeki a açısına karşı gelen P(x, y) noktasının koordinatları sırasıyla kosinüs ve sinüs değerlerini gösterdiğinden x eksenine kosinüs ekseni, y eksenine sinüs ekseni denir. Benzer şekilde x = 1 doğrusu tanjant ekseni, y = 1 doğrusu kotanjant ekseni olarak isimlendirilir. 1E A –1 O 1 α α B D H 1 C y = 1 doğrusu x eksenine paralel olduğu için % % m (BOD) = m (ECO) dir. x –1 a açısının kotanjant değeri OEC dik üçgeninden; Anahtar Bilgi 1E cot α y cot a = A 1 –1 C –1 A(x, y) y 1 x x H O 1 –1 –1 α H 1 x Başka bir ifadeyle a açısının kotanjant değeri OA ışınının y = 1 doğrusunu kestiği noktanın apsis değerine eşittir. Diğer taraftan AOH dik üçgeninde; cot a = Birim çember üzerinde verilen bir A(x,y) noktasının koordinatları için AOH dik üçgeninde Pisagor Teoremi yazılırsa, x2 + y2 = 1 eşitliği her zaman geçerlidir. CE CE = = CE olarak bulunur. OE 1 OH olarak yazılabilir. AH cos a şeklinde ifade |OH| = cos a ve |AH| = sin a olduğu göz önüne alınırsa cot a = sin a edilebilir. 884 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları 14 1 2 2 n Şekildeki OA ışını birim çemberi A d , 3 3 noktasında kesmektedir. % m (AOB) = a açı ölçüsünün trigonometrik oranlarını bulalım. y 1 –1 A α O 1 2 2 , 3 3 1 B x –1 A noktası birim çember üzerinde olduğundan A noktasının apsisi cos a, ordinat değeri 1 sin a 2 2 sin a olur. Bu durumda cos a = dir. tan a = olduğundan ve sin a = cos a 3 3 1 2 2 1 2 cos a 3 3 = = tan a = ise cot a = olarak bulunur. = 2 2 ve cot a = 4 sin a 1 2 2 2 2 3 3 Geniş Açıların Trigonometrik Değerleri Şu ana kadar dar açıların trigonometrik oranlarını birim çember ile ilişkilendirerek inceledik. Bu inceleme sonucunda elde etmiş olduğumuz ilişkiler dik ve geniş açıların trigonometrik oranlarını hesaplamada da geçerlidir. y 1 A(x, y) y –1 x O α B 1 x A noktası koordinat düzleminde II. bölgede ve birim çember üzerinde bir nokta olsun. % m (AOB) = a geniş açı ölçüsü olup, bu açının kosinüs ve sinüs değerleri sırasıyla noktanın apsis ve ordinatı olacağından cos a = x ve sin a = y dir. II. bölgede olan bir noktanın apsisi negatif, ordinatı pozitif olduğundan cos a değeri negatif, sin a değeri pozitiftir. –1 y Dar açılar için yaptığımız tanjant ve kotanjant tanımlarından a geniş açı ölçüsünün tanjant değeri, OA ışınının uzantısının x = 1 doğrusunu kestiği E noktasının ordinat değerine ve kotanjant değeri, OA ışınının y = 1 doğrusunu kestiği D noktasının apsis değerine eşit olur. IV. bölgede olan E noktasının ordinatı ve II. bölgede olan D noktasının apsisi negatif olduğundan tan a ve cot a değerleri negatiftir. –1 D C1 A y y=1 Anahtar Bilgi B 1 O –1 x a geniş açı ise sin a pozitif, cos a, tan a ve cot a değerleri negatiftir. E x=1 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 885 Bölüm 5.1 Dik Üçgen ve Trigonometri 15 3 1 Şekildeki OA ışını birim çemberi A d , n 2 2 noktasında kesmektedir. y 1 α –1 B 1 O x % m (AOB) = a açı ölçüsünün trigonometrik oranlarını bulalım. –1 A noktasının apsis değeri cos a ya, ordinat değeri sin a ya eşit olduğundan cos a = - 3 1 ve sin a = olur. 2 2 sin a tan a = olduğundan tan a = cos a cot a = - Anahtar Bilgi Ölçüleri birbirini 180° ye tamamlayan açıların (bütünler açılar)sinüs değerleri birbirine eşittir. 1 2 - 3 2 =- cos a 1 3 ve cot a = =ise sin a 3 3 3 2 = - 3 olarak bulunur. 1 2 y 1 B A 180 – α α α –1 1 H’ O H A’ a dar açı ölçüsü olmak üzere, II. bölgedeki geniş açıları 180° – a şeklinde ifade edebiliriz. D D Yandaki şekilde AOH ile A'OH y eksenine göre simetriktir. Dolayısıyla A ve A’ noktalarının ordinatları birbirine eşittir. Örneğin sin 70° = sin 110° dir. Bu açı ölçülerinin kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri ise ters işaretli olup mutlak değerce birbirine eşittir. x –1 Bu durumda a ile 180° – a açı ölçülerinin sinüs değerleri aynı olur. sin a = sin(180° – a) D D Ayrıca AOH ile A'OH' y eksenine göre simetrik olduğundan |OH| = |OH’| dür. Bu durumda H noktası x ekseninin pozitif kısmında ve H’ noktası x ekseninin negatif kısmında olduğu için a ile 180° – a açı ölçülerinin kosinüs değerleri zıt işaretli olur. Başka bir ifadeyle; cos(180° – a) = – cos a dır. Örneğin tan 130° = – tan 50° dır. Trigonometrik oranlardan tanjant ve kotanjantı, sinüs ve kosinüs oranları yardımıyla tanımlamıştık. Bu durumda a dar açı ölçüsü için 180° – a geniş açı ölçüsünün tanjant ve kotanjant değerleri; 886 tan (180° - a) = sin (180° - a) sin a = = - tan a cos (180° - a) - cos a cot (180° - a) = - cos a cos (180° - a) = = - cot a şeklinde olur. sin (180° - a) sin a Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları 16 150° lik açının trigonometrik değerlerini bulalım. sin 150° = sin (180° - 30°) = sin 30° = 1 2 cos 150° = cos (180° - 30°) = - cos 30° = - 3 2 tan 150° = tan (180° - 30°) = - tan 30° = - 3 3 cot 150° = cot (180° - 30°) = - cot 30° = - 3 olarak bulunur. 17 % Yandaki ABC dik üçgeninde m (BAC) = 90° A 3 |AB| = 3 cm 2 |AC| = 2 cm α B C D % olduğuna göre m (ACD) = a açı ölçüsünün trigonometrik oranlarını bulalım. ABC üçgeninde Pisagor Teoreminden A 3 |BC|2 = |AB|2 + |AC|2 dir. 2 B Verilen uzunluklar eşitlikte yerine yazılırsa, α β C D |BC|2 = 32 + 22 ve ise |BC| = 13 cm bulunur. % ABC üçgeninde m (ACB) = b olsun. ABC dik üçgen olduğundan b dar açı ölçüsü olup bu açının trigonometrik değerleri; sin b = 3 , cos b = 13 2 3 2 , tan b = ve cot b = tür. 2 3 13 Öte yandan a + b den a = 180° – b olduğu için, sin α = sin β = 3 2 3 , cos α = - cos β = , tan α = - tan β = - ve 2 13 13 cot α = - cot β = - 2 olarak bulunur. 3 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 887 Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme 3. 0° < x < 90° < y < 180° olduğuna göre aşağıdakilerden hangisinin veya hangilerinin sonucu sıfıra eşit olabilir? 1. Aşağıda verilen ifadelerin yanına doğru olanlar için “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız. I. sin x + cos y a. (. . . . . ) Bir dar açının tanjant değeri bu açının tümleyeninin kotanjant değerine eşittir. II. tan x + sin y III. cot x – cos x b. (. . . . . ) Bir dar açının tanjantı daima basit kesirdir. c. IV. cot y – tan y (. . . . . ) Bir dar açının sinüsü daima basit kesirdir. 2. Aşağıdaki şekillerde verilen dik üçgenlerin diğer kenarlarının uzunluklarını “a” cinsinden bulunuz. A a. D b. a a B c. .......... K 60° C E a. (. . . . . ) sin 150° = sin 30° b. (. . . . . ) sin 120° = – sin 60° 60° 30° 4. Aşağıda verilen ifadelerin yanına doğru olanlar için “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız. 30° .......... c. (. . . . . ) tan 120° = tan 60° ç. (. . . . . ) cos 135° = cos 45° F T ç. 30 45° ° a a .......... 5. Aşağıdaki tabloyu doldurunuz. 30° 45° 60° L .......... M S R 45° sin cos tan cot 888 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 60° 90° 120° 135° 150° Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları KENDİMİZİ SINAYALIM Alıştırmalar 1. A 4. 10 C Yandaki ABC dik üçgeninde [AH] ⊥ [BC] dir. 10 [AB] ⊥ [CB] 2 |BC| = 2 br |AC| = 10 br olduğuna göre A ve C açılarının trigonometrik oranlarını bulunuz. cos C = . . . . . tan A = . . . . . cot C = . . . . . k y 60° B sin A = . . . . . Yandaki ABC üçgeninde A B x 5. 60° z H Verilenlere göre x, y, z ve k değerlerini bulunuz. C Yanda verilen ABC eşkenar üçgeninde AH = 2 3 cm ve A x [AH] ⊥ [BC] k 2 3 3 A) = 90° ve sin C = oldu2. Bir ABC üçgeninde m (W 5 ğuna göre aşağıdaki boşlukları doldurunuz. a. b. cos C = . . . . . B H y z C olduğuna göre x, y, z, k uzunluklarını bulunuz. tan C = . . . . . 6. Aşağıdaki şekillerde verilenlere göre x değerlerini bulunuz. 3. A E α β 1 2 θ 1 B 1 C D Yanda şekilde verilen açı ve uzunluk ölçülerine göre; I.sin b II.cot q a. A 45° 30° B 3 3 K D b. °45° x 30 x C E 8 6 L F III.tan a değerlerini bulunuz. Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 889 Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları KENDİMİZİ SINAYALIM Uygulama ve Problem Çözme 4. A 1. Aşağıda birim karelerle oluşturulmuş yapılar verilmiştir. 3 α [BA] ⊥ [CA] E Her bir şeklin altında verilen trigonometrik oranları bulunuz. [DE] ⊥ [AC] dir. 3 B a. Yandaki şekilde D b. 10 C Verilenlere göre cota değerini bulunuz. α α tan a = ....... sin a = . . . . . . . 5. Yandaki ABC dik üçgeninde A 2. 5 [AB] ⊥ [BC] dir. 3 α B β Sekiz özdeş kareden oluşturulmuş yandaki şekilde sin β · tan α işleminin sonucu neye eşittir? cos θ 3. A α E 3 5 C Verilenlere göre tana değerini bulunuz. θ α 6. B D C D Yandaki şekilde B, C, D noktaları doğrusal olduğuna göre cot a değeri kaçtır? A 6 B α 8 C D Yukarıda verilen şekilde [AB] ⊥ [BC] % m (DBC) = a , |AB| = 6 cm , |BC| = 8 cm ve |AC| = |CD| olduğuna göre tan a değerini bulunuz. 890 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları KENDİMİZİ SINAYALIM 7. Yandaki şekilde A 10. [AB] ⊥ [AC] 6 α B 2 E D |BC| = 4 br 12 |AD| = 12 br % D m^ADCh = a % Yukarıda verilen şekilde m (ADC) < 90° olduğuna göre cos a değeri kaçtır? |BE| = 2 br [AD] kenarortay % m (ADB) = a ise sin a değeri kaçtır? 11. α x 45° 30° [AB] ⊥ [AE] A ABC üçgeninde verilenlere göre |AC| = x değeri kaç br dir? A 10 2 8. |AB| = 10 br C A |AE| = 6 br C 4 10 [AE] ⊥ [BC] [AB] ⊥ [BC] % % m^BACh = m^CADh B C B [AC] ⊥ [BE] β B α E D C [AB] ⊥ [BC] % m^BCAh = a % m^BEAh = b dır. 12. Aşağıda verilen şekillerde x değerleri kaç br dir? a. 2 Yukarıdaki şekilde cot a = olduğuna göre tan b 3 değeri kaçtır? b. A 15 30° D x B 13. 9. A 30° |DC| = 8 br 4 B C |DE| = 4 br C E C Yandaki DCB dik üçgeninde D 8 T 12 ° 45° B % m (EDB) = 30° A S 45° x 2 2 E 2 C Yanda verilen şekilde ABC eşkenar üçgen ve BDC ikizkenar üçgen dir. AB = 4 3 br ise A ile D noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz. D ise |DB| kaç birimdir? Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 891 Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları KENDİMİZİ SINAYALIM 17. 14. 8 2m 45° 45° 2m 30° h 60° v 8m Yukarıdaki resimde bir kamyonun kasasına rampa yardımıyla yük çıkaran bir işçi görülmektedir. Yukarıdaki resimde verilen kenar uzunlukları ve açı ölçülerine göre evin yerden yüksekliği bulunuz. 15. Rampanın uzunluğu 2 m ve zemin ile yaptığı açı 30° olduğuna göre şekilde verilen h ve v uzunlukları neye eşittir? Ali 18. Ayşe 1 32° 30° 2 1 ve 2 nolu hava koridorlarında seyir halindeki uçakların rotaları birbirine paraleldir. Hava koridorlarının arasındaki dikey uzaklık 600m olduğuna göre iki uçağın arasındaki mesafeyi hesaplayınız. (sin 32° . 0, 53) Yukarıdaki resimde görünen tahterevallinin uzunluğu 4 m olduğuna göre Ali’nin yerden yüksekliğini hesaplayınız. 16. 19. C 20 m x α 11,1 m A 20 m boyundaki direğin gölgesinin boyu 11,1 m olduğuna göre a açısının ölçüsünün yaklaşık değeri kaç derecedir? (Hesap makinesi veya trigonometrik tablo kullanılabilir.) 892 40° B Resimde görülen nehrin genişliğini ölçmek isteyen bir kişi nehrin karşısındaki ağacın tam hizasından 32 m ok yönünde ilerliyor ve B noktasına geliyor. Elindeki açıölçeriyle % m (ABC) = 40° olduğunu görüyor. Bu kişi nehrin genişliğini kaç m olarak hesaplamıştır? Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları KENDİMİZİ SINAYALIM 20. 22. A y D B 1 4 D 8+8 3 C ° 20 40° O |AC| = 4 cm 150° y=1 A E –1 Yandaki şekilde 45° 8 2 x 1 B –1 CD = 8 + 8 3 cm BD = 8 2 cm % m (ACD) = 150° % m (BCD) = 45° olduğuna göre A ile B noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz. C 23. Şekildeki birim çembere göre A, B, C, D ve E noktalarının koordinatlarını bulunuz. 12 m 33 ° 18 m 8m 21. Şekilde verilen uzunluk ve açı ölçülerine göre deniz üzerinde bulunan yelkenlinin kıyıya olan mesafesinin yaklaşık değerini hesaplayınız. (Hesap makinesi veya trigonometrik tablo kullanılabilir.) A 24. B 30° 60° C D C noktasında bulunan işçi eli hizasında bulunan yükü makara yardımıyla yukarı kaldıracaktır. % m (ACD) = 60° ve |CD| = 8 m olduğuna göre; a. |AD| = ? % b. İşçi ipi tutarak ok yönünde yürüyüp m^ABDh = 30° olduğunda durursa yük ilk konumundan kaç m yükselir? 54 m B 60° 1 A B 2 C 60° 3 D 4 Yukarıdaki gibi A noktasından kıyıyla 60° lik açıyla yüzmeye başlayan bir yüzücü her 5 kulaç attığında rotasını şekildeki gibi değiştiriyor. Buna göre kaçıncı kulaçta B noktasının hizasına gelmiş olur? (1 kulaç = 180 cm) Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 893 Bölüm 5.1 Dik Üçgen ve Trigonometri 5.1.3. Kosinüs Teoremi Neler Öğreneceğiz? • Bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsü verildiğinde üçüncü kenarın uzunluğunu bulmayı Başlarken Mars yüzeyi üzerindeki kraterlerin genişliği hesaplanırken kosinüs teoreminden yararlanılır. Bu yöntemde, robotlar kraterin içine girmeden, kraterin genişliğini görecek noktaları belirleyerek bu noktaların referans noktasına uzaklıklarını bulup, referans açısını kullanarak kraterin genişliğini hesaplarlar. • Bir üçgenin üç kenar uzunluğu verildiğinde açılarının ölçülerini bulmayı Daha önceki kısımlarda bir üçgenin bir açı ölçüsünün 90° olması durumunda kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi Pisagor teoremi yardımıyla ifade etmiştik. Anahtar Terimler • Kosinüs Teoremi ns era Ref A b c C Bununla birlikte üçgen eşitsizliği ve Pisagor teoreminde, açının ölçüsünün 90° den büyük ya da küçük olması durumunda üçgenin kenar B uzunluklarının sağlaması gereken eşitsizlikleri öğrenmiştik. Bu eşitsizlikler aşağıda gösterilmiştir. a a2=b2+c2 A A c b α>900 c C a B sı açı B α<900 b a C a2 < b2 + c2 a2 > b2 + c2 Bu bölümde iki kenarının uzunlukları ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsünün bilinmesi durumunda, bir üçgenin üçüncü kenar uzunluğunun nasıl hesaplanacağını öğreneceğiz. Aşağıdaki teorem, üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsü ile üçüncü kenarının uzunluğu arasında nasıl bir ilişki olduğunu ifade etmektedir. Bu teorem kosinüs teoremi olarak ifade edilir. 894 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Kosinüs Teoremi Teorem Kosinüs Teoremi Bir ABC üçgeninin iç açı ölçüleri α , β , θ ve bu açıların karşısındaki kenarlar sırasıyla a, b, c olsun. Bu takdirde üçgenin kenar uzunlukları ve açı ölçüleri arasında aşağıdaki eşitlikler vardır. A α c b θ β a B C c2 = a2 + b2 – 2ab cos θ a2 = c2 + b2 – 2cb cos α b2 = c2 + a2 – 2ca cos β İspat D Verilenler: ABC İstenen: b2 = c2 + a2 – 2ac cos β ABC üçgeninin A köşesinden [BC] na dik olacak şekilde [AD] nı çizelim. |AD| = m ve |BD| = n olsun. ADC ve ADB dik üçgenlerinde sırasıyla Pisagor teoremi yazılırsa; A b c m b2 = (a – n)2 + m2 ve c2 = m2 + n2 β B n D a–n C İlk eşitlikteki tam kare ifadenin açılımı yapılırsa, b 2 = a 2 - 2an + n 2 + m 2 144424443 elde edilir. b 2 = a 2 - 2an + c 2 n olduğundan n = c cos β dır. c Yukarıdaki eşitlikte n yerine c cos β yazılırsa; ADB üçgeninde cos β = b 2 = a 2 + c 2 - 2an & b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β elde edilir. Bu teorem bir üçgende iki kenarın uzunlukları ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsünün bilinmesi durumunda üçgenin üçüncü kenar uzunluğunun nasıl hesaplanabileceğini ifade etmektedir. Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 895 Bölüm 5.1 Dik Üçgen ve Trigonometri 1 Bunu biliyor muydunuz Yanda verilen ABC üçgeninde % AB = 10 cm, AC = 8 cm ve m _ BAC i = 60 0 olduğuna göre BC nu hesaplayalım. A 0 0 1 a 1 180 0 olmak üzere, a değeri 10 600 8 büyüdükçe bu B açı ölçüsünün kosinüs değeri küçülür. C ABC üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa; BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB AC cos 60 0 olup verilen ölçüler yerlerine yazılırsa 1 BC 2 = 10 2 + 8 2 - 2 $ 10 $ 8 $ & BC 2 = 164 - 80 & BC 2 = 84 & BC = 2 21 cm 2 olarak bulunur. 2 12 km B 65° C 15 km olarak belirlenmiştir. Buna göre kraterin genişliği olan A ve B noktaları arasındaki mesafeyi bulalım. A cos (65) 0,42262 12 km B 65° C 15 km A Yandaki şekilde Mars yüzeyindeki bir robotun bir kraterin genişliğini ölçtüğü durum verilmiştir. Robotun yaptığı ölçümler sonucunda % BC = 12 km, AC = 15 km ve m _ BCA i = 65° A ve B noktalarını birleştirerek ABC üçgenini & oluşturalım. ABC ’nde kosinüs teoreminden AB 2 = BC 2 + AC 2 - 2 BC AC cos 65 0 olur. Hesap makinesi yardımıyla cos 65° değeri yaklaşık olarak 0,42 olarak bulunur. Bu değerler yerine yazılırsa AB 2 . 12 2 + 15 2 - 2 $ 12 $ 15 $ 0, 42 buradan AB 2 . 369 - 151, 2 & AB 2 . 217, 8 olup, AB . 217, 8 = 14, 76 km olarak bulunur. 896 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Kosinüs Teoremi 3 A 50 m C α 70 m 30 m Dikkat Yandaki şekilde aralarındaki uzaklık 50 m, B noktasındaki limana uzaklıkları 30 ve 70 m olan iki kayığın durumu verilmiştir. A % Verilenlere göre m _ BAC i = a değerini bulalım. B B C D ABC üçgeninde kosinüs teoremine göre 70 2 = 50 2 + 30 2 - 2 $ 30 $ 50 $ cos x dir. Bura1 dan 4900 = 2500 + 900 – 3000 cos x olup 1500 = –3000 cos x ve buradan cos x = 2 olarak bulunur. cos x değeri negatif olduğundan ölçüsü x olan açı geniş açı olup x = 120° olarak bulunur. E m ^V E h 2 m_V B i ise DF 2 AC dir. 4 4 AB = 4 cm BC = 6 cm AE = 2 cm EC = 3 cm DA = 4 cm x A 4 B E 2 Bir üçgenin iki kenarının uzunluğu sabit kalmak şartıyla bu iki kenarın oluşturduğu açının ölçüsü büyüdükçe açının karşısında bulunan uzunluk artar. Yandaki şekilde B, A ve D noktaları doğrusal, D 3 6 C F ise DE = x değerini bulalım. Anahtar Bilgi ABC üçgeninde kosinüs teoreminden, D 4 x A b a 2 E 4 B 3 6 A 6 2 = 4 2 + 5 2 - 2 $ 4 $ 5 $ cos a olup C 36 = 16 + 25 – 40 cos a 1 eşitliğinden cos a = bulunur. 8 % % m _ BAC i + m _ CAD i = a + b = 180 0 olduğundan α B C Bütünler açıların ölçülerinin kosinüs değerleri mutlak değerce eşit olup ters işaretlidir. cos b = - cos a 'dır. AED üçgeninde kosinüs teoremi yazı1 lırsa x 2 = 4 2 + 2 2 - 2 $ 2 $ 4 $ cos b eşitliğinden x 2 = 16 + 4 - 16 $ c - m ve buradan 8 x = 22 cm olarak bulunur. Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler θ D cos a = –cos θ 897 Bölüm 5.1 Dik Üçgen ve Trigonometri 5 Dikkat Şekilde resimdeki gibi 25 metrelik bir iple uçurtma uçuran bir çocuğun uçurtması rüzgârın etkisiyle doğrusal bir yol izleyerek A’ dan B’ ye uçarken maka% radan 15 metre ip açılmıştır. m _ ACB i = 48 0 olduğu- B a geniş açı ölçüsü ise cos a negatiftir. A na göre uçurtmanın aldığı yol olan AB = x uzunluğunu bulalım. 48° C cos (48) 0,66913 Uçurtma A konumundan B konumuna gittiğinde makaradan 15 m ip açıldığına göre BC = 25 + 15 = 40 m ‘dir. Uçurtmanın aldığı yolu bulmak için ABC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanırsa, AB 2 . 25 2 + 40 2 - 2 $ 25 $ 40 $ 0, 67 & AB 2 . 2225 - 1340 = 885 eşitliğinden uçurtmanın aldığı yol AB . 29, 74m olarak bulunur. 6 ABC üçgeninde A x 4 α B 6 C AB = 4 cm BC = 6 cm ve % m _ ABC i 2 60 0 olduğuna göre AC = x uzunluğunun alabileceği tamsayı değerlerini bulalım. Üçgen eşitsizliğine göre ABC üçgeninde AC = x uzunluğunun alabileceği değerler, 6 - 4 1 x 1 6 + 4 & 2 1 x 1 10 şeklindedir. 898 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Kosinüs Teoremi % Diğer taraftan m _ ABC i = a 2 60 0 olduğundan Kosinüs Teoremine göre, x 2 2 4 2 + 6 2 - 2 $ 4 $ 6 $ cos 60 0 olmalıdır. Son eşitsizlikte cos 60 0 değeri yerine yazılırsa; 1 x 2 2 16 + 36 - 2 $ 4 $ 6 $ den x 2 28 olmalıdır. Bu durumda AC = x uzunluğunun 2 alabileceği tamsayı değerleri 28 1 x 1 10 aralığındaki 6, 7, 8 ve 9 olur. Bunu biliyor muydunuz 7 K 3 2 4 1 A noktasından harekete geçen 4 bisikletliden 1 ve 3 nolu bisikletliler aynı doğrultuda 2 ve 4 nolu bisikletliler aynı doğrultuda ilerlemektedir. Belirli bir süre sonra bisikletlilerden 1 nolu 8 km, 2 nolu 6 km, 3 nolu 4 km, 4 nolu 8 km yol aldığında 3 ve 4 nolu bisikletliler arasındaki uzaklık 6 km olduğuna göre 1 ve 2 nolu bisikletliler arasındaki mesafe kaç km olur? D B G Doğrultu ile yön birbirinden farklı kavramlardır. Bir doğrultu boyunca iki farklı yön vardır. Örneğin kuzey – güney doğrultusunda kuzey yönünde. 2 3 6 x 4 θ 8 Bu eşitlikten θ 6 8 Bisikletlilerin son durumu yandaki şekilde görüldüğü gibidir. Ters açıların ölçüleri eşit olduğundan % % m _ BAC i = m _ DAE i = i olsun Anahtar Bilgi ABC ve DAE üçgenlerinde cos θ değeri yazılırsa, 82 + 42 - 62 62 + 82 - x2 cos i = = dir. 2$8$4 2$6$8 A 64 + 16 - 36 36 + 64 - x 2 = olup 2$8$4 2$6$8 B a C ABC üçgeninde kosinüs teoremi, b2 + c2 - a2 cos A = 2bc biçiminde de kullanılabilir. 44 100 - x 2 = & 66 = 100 - x 2 & x 2 = 34 ve 4 6 x = 34 . 5, 83 km olarak bulunur. Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler b c 899 Bölüm 5.1 Dik Üçgen ve Trigonometri 8 Bunu biliyor muydunuz Kıyıdaki A noktasına uzaklıkları sırasıyla 50 m, 80 m ve 30 m olan B, C, D kayıklarının birbirine göre konumları şekilde görülmektedir. C z y Buna göre kayıklar arasındaki uzaklıkları bulalım. B x θ D 60° 60° A Belirli bir noktadan aralarında belirli bir açı olacak şekilde ilerleyen iki hareketlinin aldıkları yollar biliniyorsa bu iki hareketli arasındaki uzaklık kosinüs teoremi ile bulunabilir. ABC üçgeninde kosinüs teoreminden x 2 = 50 2 + 80 2 - 2 $ 50 $ 80 $ cos 60 0 = 2500 + 6400 - 4000 = 4900 ise x = 70 m dir. C x y B z 60° 60° ADC üçgeninde kosinüs teoreminden D A y 2 = 30 2 + 80 2 - 2 $ 30 $ 80 $ cos 60 0 = 900 + 6400 - 2400 = 4900 ise y = 70 m dir. BAD üçgeninde kosinüs teoreminden z 2 = 50 2 + 30 2 - 2 $ 50 $ 30 $ cos 120° = 2500 + 900 + 1500 = 4900 ise z = 70 m dir. 900 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Kosinüs Teoremi KENDİMİZİ SINAYALIM Alıştırmalar 3. 1. Aşağıdaki üçgenlerde verilenlere göre x değerlerini bulunuz. a. b. A 3 4 1200 B x C 4 B 600 5 x 3 D E ABC üçgeninde m_V B i 2 60 0 olduğuna göre x’in alabileceği en küçük tamsayı değerini bulunuz. A C 8 x F Uygulama ve Problem Çözme 1. Aşağıda şekillerde verilenlere göre x değerlerini bulunuz. a. E 2 A b. x D B 6 c. 4 C B x 3 3 E x 5 B 2 6 C C ABC üçgeninde m _ V B i 1 120 0 olduğuna göre x’in alabileceği tamsayı değerleri kaç tanedir? A x B 2 A A 2 D 3 4 4. 3 5 C 2 3 D 4 E 5. A 2. Kenar uzunlukları arasında v2 a 2 = b 2 + c 2 - bc d 2 = e 2 + f 2 - 2 ef x 2 = y 2 + z 2 + 3 yz B bağıntıları olan ABC, DEF, XYZ üçgenlerinde m_W A i , m_W D i ve m _ W X i kaç derecedir? v1 C % m _ ABC i = 120 0 , V1 = 30 km / s , V2 = 50 km /s B noktasından aynı anda şekildeki gibi belirtilen hızlarla hareket eden araçların arasındaki mesafe 2 saat sonra kaç km olur? Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 901 Kosinüs Teoremi KENDİMİZİ SINAYALIM 6. 8. A B C C A Irmak B Şekilde üçgen şeklindeki çocuk parkının ırmak kenarı korkuluklarla kapatılacaktır. % AB = 8 m , AC = 10 m ve m _ BAC i = 155 0 x Şekildeki üstten görünümü verilen geminin genişliği sabit ve x metre olan kanaldan geçtiği bilinmektedir. x’in en küçük tamsayı değerini bulunuz. % AB = BC = 10m , m _ ABC i = 45° ^ cos 45° . 0, 7h olduğuna göre yapılacak korkuluğun uzunluğunu hesaplayınız. ^ cos 25° . 0, 9h 9. 7. D 80 m E 50 m F 80 m B 3 km 135° 902 A B C 60° 30 m 2 km C 60° 50 m 30 A m 120° Yukarıdaki resimde görülen dağın A ve B noktalarını doğrusal olarak bağlayacak biçimde bir tünel yapılırsa yoldan geçecek araçlar için yol yaklaşık olarak ne kadar kısalır? ^ cos 45 0 , 0, 7h Şekildeki A, B, C kayıkları kıyıdan şekildeki rotaları izleyip sırasıyla D, E, F noktalarına geliyor. D, E, F noktalarının harekete ilk başladıkları noktaya uzaklıkları x, y ve z olduğuna göre x, y ve z, değerlerini sıralayınız. Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Kosinüs Teoremi KENDİMİZİ SINAYALIM 10. Yandaki resimde bir römorkör tarafından çekilen bir yük gemisi görülmektedir. C 12. A x 5 B 20 m B 6 C 90 0 1 m _ V B i 1 120 0 olduğuna göre x in alabileceği değerler hangi aralıktadır? 20 m A Gemiyi çeken her bir halatın uzunluğu 20 m ve ha% latların oluşturduğu açının ölçüsü m _ BAC i = 20 0 olduğuna göre geminin genişliğini bulunuz. ^ cos 20° . 0, 94h 11. A 20 m D 40 m . ad il C h Sa 60 m E 20 m Uzun Sokak B 80 m C Yukarıdaki krokiye göre Sahil Caddesi’nin uzunluğu kaç metredir? Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 903 Bölüm 5.1 Dik Üçgen ve Trigonometri BÖLÜM ÖZETİ Dik Üçgen A Bir dik üçgende, hipotenüsün uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamına eşittir. A b c a B c Kenar uzunlukları a, b, c birim olan bir üçgenin kenar uzunlukları arasında a2 + b2 = c2 şeklinde bir C i = 90 0 dir. ilişki varsa m _ W b 900 B a D C b2 = a2 + c2 C A B C Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısı kadardır. AD = BD = DC Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları A A h c p B H k B sin B = h2 = p . k cos B = A B b h p H k oranları; C Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğunun karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunluklarının çarpımına eşittir. c b ABC bir dik üçgen olmak üzeA ile V re W B nın trigonometrik tan B = C cot B = a a C Karşı Dik Kenar Uzunluğu Hipotenüs Uzunluğu Komşu Dik Kenar Uzunluğu Hipotenüs Uzunluğu = = b c a c = cos A = sin A b Karşı Dik Kenar Uzunluğu = = cot A Komşu Dik Kenar Uzunluğu a Komşu Dik Kenar Uzunluğu Karşı Dik Kenar Uzunluğu = a b = tan A Bir dik üçgende, bir dik kenarın uzunluğunun karesi, hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalardan kendi tarafında olanın uzunluğu ile hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir. b2 = k . a c2 = p . a 904 Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Dik Üçgen ve Trigonometri 45° lik açı ölçüsünün trigonometrik oranları sin 45° = 2 2 tan 45° = 1 cos 45° = 2 2 cot 45° = 1 α açı ölçüsünün tanjant değeri, OA ışınının x = 1 doğrusunu kestiği noktanın ordinatına eşittir. α açı ölçüsünün kotanjant değeri, OA ışınının y = 1 doğrusunu kestiği noktanın apsisine eşittir. α dar veya geniş bir açı ölçüsü olmak üzere, 30° ve 60° lik açı ölçülerinin trigonometrik oranları sin 30° = 1 2 cos 30° = tan a = 3 2 tan 30° = 3 3 cot 30° = 3 sin 60° = 3 2 cos 60° = sin a cos a cot a = Kosinüs Teoremi A 1 2 c 3 cot 60° = 3 tan 60° = 3 B b a C Bir üçgenin kenar uzunlukları ve açı ölçüleri arasında aşağıdaki eşitlikler vardır. Birim Çember a2 = b2 + c2 – 2bc cos A 1 b2 = a2 + c2 – 2ac cos B O c2 = a2 + b2 – 2ab cos C A y −1 cos a dır. sin a α x 1 −1 Merkezi orijin ve yarıçap uzunluğu 1 birim olan çembere birim çember denir. α açı ölçüsünün kosinüs değeri, A noktasının apsisine eşittir. α açı ölçüsünün sinüs değeri, A noktasının ordinatına eşittir. Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 905 Bölüm 5. 1. Dik Üçgen ve Trigonometri BÖLÜM DEĞERLENDİRME 1. Yandaki şekilde A 5. AB = 3 2 cm 3 2 6 4 BD = 2 cm |AD| = 4 cm B x 2 D C |AC| = 6 cm 4m olduğuna göre DC = x kaçtır? 2. A D Şekildeki verilen ABC üçgeninde 6m |AB| = 8 cm Yukarıdaki şekilde 5 katlı bir binanın son katında çıkan yangını söndürmeye çalışan bir itfaiye eri görülmektedir. Katlar arası 4 m ve verilen uzunluk ölçülerine göre itfaiye aracının merdiveninin uzunluğunu bulunuz. |DC| = 4 cm B x C 15 m [AC] ⊥ [BC] [BD] ⊥ [DC] dir. BD = AC olduğuna göre BC = x kaçtır? 6. 3. Yandaki şekilde ABC bir üçgen, A 13 15 x H x 3 N B |AB| = 13 cm C D [AB] ⊥ [AD], [AN] ⊥ [BC], [BH] ⊥ [HC] ve |BH| = 3 cm |AC| = 15 cm B D C 14 Yandaki şekilde BAD dik üçgen [AC] kenarortay A |BC| = 14 cm olduğuna göre AB = x kaçtır? [AD] ⊥ [BC] olduğuna göre AD = x kaçtır? 7. 4. Yandaki şekilde ABC dik üçgen, A E F |DF| = |FC| α B D |BD| = |DC| C |AE| = |ED| ABC dik üçgen A 1 E [AB] ⊥ [BC] x |AE| = 1 cm 11 y B 18 % % m _ EDF i = 40° olduğuna göre m^ABCh = a kaç derecedir? 906 |AD| = |DC| D |EB| = 11 cm F 2 C |BF| = 18 cm |FC| = 2 cm olduğuna göre Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler ED x = oranı kaçtır? DF y Bölüm 5. 1. Dik Üçgen ve Trigonometri BÖLÜM DEĞERLENDİRME 8. 11. A A x B x α β 100 m B 4 y 50 m C z D 40 m 40 m 40 m Şekilde A tepesindeki kuş önce B, sonra C ve sonra da D noktasına doğrusal şekilde süzülüyor. Bu sırada aldığı yollar sırasıyla x, y, z metre olduğuna göre x, y, z değerlerini büyükten küçüğe doğru sıralayınız. E D 30 m C ABCD dikdörtgen |BC| = 4 br tan b = 3 1 , cot a = ise |AB| = x kaçtır? 4 2 12. A ABC dik üçgeninde [AB] ^ [BD] 3 Sina = 5 |BC| = |CD| β 9. A D α C B D ise tan b = ? E B C 13. ABC eşkenar üçgen A ABCD dikdörtgeni sekiz birim kareye bölünmüştür. [DE] ⊥[AC] olduğuna göre |DE| = x kaç br dir? 3 $ AD = DC D ise tan α = ? α B 10. 6,4 m dest ek 1,7 m Yanda resmi görülen evin çatısının saçak kısmına destek olan tahtanın uzunluğunu bulunuz. C 14. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? a. sin 20° > sin 11° b. cos 15° > cos 20° c. tan 40° > sin 40° ç. sin 66° > cos 66° d. sin 22° > cos 22° Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 907 Bölüm 5. 1. Dik Üçgen ve Trigonometri BÖLÜM DEĞERLENDİRME 18. 0° < x < y < 90° iken aşağıdakilerden hangileri 15. daima doğrudur? 18 m 22° x a. sin x < sin y b. cos x < cos y 18 m yüksekliğindeki kulenin tepe noktasından pistteki bir uçak şekildeki gibi göründüğüne göre, uçağın kuleye uzaklığının yaklaşık değerini hesaplayınız. c. tan x < tan y ç. cot x < tan y d. sin x < cos y tan 22° ≈ 0,4 C 16. 10 D 600 Yandaki verilen uzunluklara ve açı ölçülerine göre 19. [DE] ' [FH] ' [AB] B 5 2 6 3 F 450 8 4 [DE] ⊥ [CB] E C x 6 H Yandaki şekilde % % m _ BAC i = m _ CDF i A 8 |AB| = 4 cm |BD| = 6 cm |AC| = |DC| = 8 cm D F 300 olduğuna göre |BC| = x kaç cm’ dir? AB x |AB| = x uzunluğunu bulunuz. 20. 17. Yukarıdaki şekilde G noktası ABC üçgeninin A 1500 G B D C x y [BA] ⊥ [AC] 908 BD x = oranı neye eşittir? DC y D C 120° 40 m ağırlık merkezi [GD] ⊥ [BC] olduğuna göre 40 m A 120° B 40 m A noktasından yola çıkan kayık şekildeki rotayı izleyerek yoluna devam ediyor. D ye geldiğinde kayık A noktasından kaç metre uzaklaşmıştır? Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Ünite 5 DİK ÜÇGEN VE TRİGONOMETRİ, ÜÇGENİN ALANI VE VEKTÖRLER Bölüm 5.2. Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? • Üçgenin alanını veren bağıntıları • Üçgenin alanıyla ilgili uygulamaları • Sinüs Teoremini Neden Öğreneceğiz? Alan hesaplamaları birçok farklı durumda karşımıza çıkmaktadır. Örneğin inşaat ustaları bir banyoda kaç tane fayans kullanılacağını; boyacılar ev boyarken kaç litre boya gideceğini ya da döşemeciler koltuk vb. kaplarken ne kadar kumaş kullanılacağını alan hesabı yaparak belirlemektedirler. Üçgenin Alanı Bölüm 5.2. Üçgenin Alanı HAZIR MIYIZ? 1. Aşağıdaki ifadelerin önlerindeki boşluğa doğru olanlar için “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız. a.(. . . . ) Üçgenin alanı, bir kenarının uzunluğu ile bu kenara ait yükseklik uzunluğunun çarpımına eşittir. b.(. . . . ) Dik üçgenin alanı, dik kenar uzunlukları çarpımının yarısına eşittir. c.(. . . . ) Üçgenlerin yükseklikleri daima üçgenin iç bölgesinde kesişir. ç.(. . . . ) Üçgenin bir kenarına ait kenarortay üçgenin o kenarını iki eş parçaya ayırır. d.(. . . . ) Üçgenin ağırlık merkezi kenarortayları 2 : 1 oranında böler. e.(. . . . ) Üçgenin iç açıortayları kestikleri kenarları daima iki eş parçaya ayırır. f.(. . . . ) İkizkenar üçgende eş kenarlara çizilen yüksekliklerin uzunlukları eşittir. g.(. . . . ) Eşkenar üçgende tüm yüksekliklerin uzunlukları eşittir. 2. Aşağıda verilen üçgenlerin alanlarını hesaplayınız. a. b. F A 3 br 4 br B K C D 5 br 10 br E 3. Aşağıda verilen trigonometrik ifadelerin değerlerini bulunuz. a. sin 30° = ? b. sin 45° = ? c. sin 60° = ? d. sin 120° = ? e. sin 135° = ? f. sin 150° = ? ç. sin 90° = ? 4. Aşağıdaki üçgenlerde bilinmeyen kenar uzunluklarını bulunuz. a. b. A D 2 br 3 br F x x 4 br B 3 br C E 5. Aşağıda verilen ifadeleri a b şekline getiriniz. a. 910 48 = ? b. 12 + 3 3 = ? Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler c. 2 5 - 4 20 + 3 45 = ? MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atölye çalışmasında, bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsü verildiğinde üçgenin alanının nasıl bulunabileceğini inceleyeceğiz. Araç ve Gereçler: Dinamik geometri yazılımı A Adım 1 Dinamik geometri yazılımı kullanarak bir ABC üçgeni ve ABC üçgeninin BC kenarına ait yüksekliğini çiziniz. Bu yüksekliği [AH] olarak gösteriniz. B H C A Adım 2 Yazılımın ilgili ölçüm araçlarını kullanarak aşağıda verilenleri hesaplayınız. |AB| = ..... |BC| = ..... |AH| = ..... sin B = ..... B Adım 3 H C Yazılımın hesap yapma özelliği yardımıyla bir önceki adımda bulduğunuz değerleri kullanarak aşağıdaki ifadelerin sonuçlarını bulunuz. Bulduğunuz sonuçları aşağıya not ediniz. D A (ABC) = 1 · AH · BC = ..... 2 1 · AB · BC · sin B = ..... 2 Adım 4 Bulduğunuz her iki sonuç arasındaki ilişkiyi açıklayınız. ABC üçgeninin farklı kenar uzunlukları ve açı ölçüleri için yukarıda bulduğunuz sonuçları inceleyiniz. Sonuç Yaptığınız işlemler sonunda bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsünün sinüs değeri ile üçgenin alanı arasında belirlemiş olduğunuz ilişkiyi aşağıya yazınız. ..................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................... Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler 911