1.derdecen denklemler
Transkript
1.derdecen denklemler
MATEMATİK’ĐM YILLAR 2001 ÖSS-YGS - 2002 1 2003 - 2004 - 2005 2006 ÇÖZÜM: BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER 3a-2+b-3 = 5x – 2x 3x 3a + b − 5 = 3 3 3a + b − 5 x= olur. 3 ÖRNEK( 3) x−3 x+2 − = 2 denkleminin 2 3 çözüm kümesi nedir? ÇÖZÜM: Önce paydalar eşitlenir. MATEMATİK’ĐM a,b∈R ve a≠0 olmak üzere ax+b=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Bu denklemin çözümünden elde edilen x(ler)’e denklemin kök(leri) denir Denklemin çözüm kümesi x tek başına bırakılarak bulunur. temel kural ‘bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa’ şeklindedir.bilinmeyenler demek denklemin bağlı olduğu değişkenin tek başına veya bir çarpanla beraber olduğu terimler demektir. Bilinenler ise bunun dışında kalan tüm terimler demektir. Bazen x’in sorulduğu sorularda farklı değişkenlerde denklemde yer alabilir a,b,c gibi bunlarda bilinen safında kabul edilir. Terimler soldansağa veya sağdansola gönderildiğinde işaretleri değişir. + ise - , - ise + olurlar. Birinci Dereceden Denklemler 2007 2008 2009 2010 1 - ax+b = 0 ax = -b b x = − bulunur. yani çözüm a kümesi ÇK ={−b/a} dır. x −3 x +2 3x − 9 2x + 4 − =2⇒ − =2 2 3 6 6 (3) (2) 3x − 9 − 2x − 4 ⇒ =2 6 ⇒ x − 13 = 12 ⇒ x = 12 + 13 ⇒ x = 25 bulunur. o halde ÇK={25} olur. ÖRNEK( 4) x x+3 −1= + 3 denkleminin 2 4 çözüm kümesi nedir? ÖRNEK( 1) 3x-15 = 2x-4 denklemini sağlayan ÇÖZÜM: x nedir? x x+3 x x +3 −1 = + 3⇒ − = +3 + 1 2 4 2 4 (2) (1) 2x x + 3 ⇒ − =3 4 4 2x − x − 3 ⇒ =3 4 ⇒ x − 3 = 12 ⇒ x = 15 çözüm kümesi ÇK={15} olur. ÇÖZÜM: 3x – 15 = 2x – 4 3x – 2x = - 4 +15 x = +11 bulunur. ÖRNEK( 2) 2x+3a -2 = 5x –b+3 denklemini sağlayan x değeri nedir? . www.globalders.com 1 MATEMATİK’ĐM ÖRNEK( 5) x 2 + 1 1 =4− 2−x x−2 ÖRNEK( 7) Birinci Dereceden Denklemler 3(3a − 2) 2(5a − 3) 1 =1 − 4 5 4 denkleminin çözüm kümesi nedir? ise Ç=? ÇÖZÜM: 1 1 =4− 2−x x−2 1 1 x2 + = 4+ 2−x 2−x 2 x =4 ÇÖZÜM: x2 + x2 = 4 x =2 3(3a − 2) 2(5a − 3) 1 − =1 4 5 4 ( 5) ( 4) 15(3a − 2) 8(5a − 3) 5 − = 20 20 4 (DİKKAT !!!) x = 2 ve x = −2 bulunur. O halde çözüm kümesi ÇK={-2} dir ÖRNEK( 6) 5 MATEMATİK’ĐM Bu tür rasyonel tipli denklemlerde dikkat edilmesi gereken önemli bir husus var. O da bulunan değerlerin paydayı sıfır yapıp yapmadığı. Çünkü paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız yapacağından çözüme dahil edilmezler. Tıpkı bu soruda olduğu gibi. X=2 sorudaki bir paydayı sıfır yaptığından çözüme dahil edilmez yani çözüm sadece x=-2 olur. 45a − 30 − 40a + 24 5 = 20 4 5a − 6 5 = 20 4 3(2 x + 5) 7( x + 8) 4( x − 2) =0 − − 5 10 15 5a-6 = 25 31 5a = 31 ⇒ a = 5 31 O halde çözüm kümesi ÇK={ } olur. 5 ÖRNEK( 8) 5 2 1− x−3 = 4 ise Ç=? ise Ç=? ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: 3(2x + 5) 7(x + 8) 4(x − 2) − − =0 5 10 15 (6) (3) (2) 5 =4 2 1− x−3 5 =4 x −3− 2 x −3 18(2x + 5) 21(x + 8) 8(x − 2) − − =0 30 30 30 5(x − 3) =4 x −5 5x-15 = 4x-20 5x-4x = -20+15 x = -5 bulunur. o halde çözüm kümesi ÇK={-5} tir. 36x + 90 − 21x − 168 − 8x + 16 =0 30 7x -62 = 0 7x = 62 62 x= 7 62 o halde çözüm kümesi ÇK={ } olur. 7 . www.globalders.com 2 MATEMATİK’ĐM BİRİNCİ DERECEYE DENKLEMLER Birinci Dereceden Denklemler DÖNÜŞEBİLEN P(x).Q(x).R(x)=0 ise P8x)=0 veya R(x)=0 dır. ÇÖZÜM: x2−4x+4 = 0 (x-2)(x-2)=0 x -2 x-2=0 x -2 x=2 veya Q(x)=0 (DİKKAT !!) o halde çözüm kümesi ÇK={2} olur. (Burada iki tane (x-2) çarpanı ve bir tane kök olduğuna dikkat edin. Böyle köklere çift kat kök denir.) P(x).Q(x)=P(x) denkleminde P(x)’ler sadeleşir ancak P(x) denklemi bir kenarda sıfıra eşitlenir (P(x)=0) ‘ler sadeleştiğinde sol tarafta sıfır değil 1 kalır. Yani çözüm ÖRNEK( 11) 3x2+5x = 0 ise Ç=? P(x)=0 ve Q(x)=1 şeklindedir. ÇÖZÜM: (DİKKAT !!) 3x2+5x = 0 x(3x+5)=0 x=0 3x+5=0 3x = -5 x=− MATEMATİK’ĐM P(x).Q(x) P(x) = şeklindeki bir denklem R(x) R(x) çözülürken P(x)’ler sadeleştirilir ve sıfıra eşitlenir ancak R(X)’ler sadeleştirilir fakat sıfıra eşitlenmez çünkü paydada yer alıyorlar. Yani denklemin çözümü P(x) .Q(x) P(x) P(x).Q(x) P(x) = ⇒ = R(x) R(x) R(x) R(x) P(x) = 0 , Q(x) = 1 ve R(x) ≠ 0 Eğer R(x)’in kökü diğer denklemlerden de bulunuyorsa bu kök çözüme dahil edilmez 5 3 5 çözüm kümesi ÇK={ − ,0} olur. 3 ÖRNEK( 12) (3x− −4).(2x+1).(7x− −3) = 0 ise Ç=? ÇÖZÜM: (3x−4).(2x+1).(7x−3) = 0 ÇÖZÜM: 3x-4= 0 3x = 4 4 x= 3 x²(x-2) = 0 buradan x² = 0 ve x-2 = 0 bulunur. bu denklemler çözülürse çözüm kümesi ÖRNEK( 9) x3−2x2 =0 ise Ç=? x²= 0 ise x=0 ve x-2= 0 ise x = 2 olur. Yani çözüm kümesi ÇK={0,2} bulunur. 2x+1= 0 2x = -1 1 x=− 2 7x-3 = 0 7x = 3 3 x= 7 1 3 4 ÇK={ − , , } olur. 2 7 3 ÖRNEK( 13) x2−5 = 0 ise Ç=? ÇÖZÜM: ÖRNEK( 10) x2−4x+4 = 0 ise Ç=? x2−5 = 0 x² = 5 x = m 5 O halde ÇK:{-5,+5} olur. . www.globalders.com 3 MATEMATİK’ĐM ÖRNEK( 14) x2+7 = 0 ise Ç=? Birinci Dereceden Denklemler RASYONEL DENKLEMLER ÇÖZÜM: P( x ) = 0 ⇒ P(x) = 0 ve Q(x) ≠ 0 olmalı Q( x ) 2 x +7 = 0 ise x² = -7 çıkar. Bir reel sayının karesi negatif olamayacağından Ç= φ olur. ÖRNEK( 17) ÖRNEK( 15) (2x− −3)2−4 = 0 ise Ç=? 1 2 3 13 + = + x+m x+2 x 6 denkleminin bir kökü x=2 ise m=? ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: (2x−3)2−4 = 0 ise (2x−3)2 = 4 ( 2x − 3) 2 Denklemin bir kökü 2 ise x yerine 2 yazıldığında denklemi sağlamalı. O halde = 4 2x − 3 = 2 2x-3=2 ve 2x-3 = -2 bulunur. buradan 2x-3=2 2x = 2+3 x = 5/2 2x-3 = -2 2x = -2+3 x = ½ ÖRNEK( 16) (3x− −2)2−(4x+3)2 = 0 ise Ç=? ÇÖZÜM: MATEMATİK’ĐM 1 5 o halde ÇK={ , } 2 2 X=2 için Bu soruyu diğerlerinden farklı olarak iki kare farkı ile çözelim(maksat değişiklik olsun ☺ ) 1 2 3 13 + + = x+m x+2 x 6 1 2 3 13 + + = 2+m 2+2 2 6 1 13 3 1 = − − 2+m 6 2 2 (3) (3) 1 13-9-3 = 2+m 6 1 1 = 2+m 6 m+2 = 6 m = 4 bulunur. (3x−2)2−(4x+3)2 = 0 [(3x-2)+(4x+3)]. [(3x-2)-(4x+3)] = 0 (7x+1)(-x-5) =0 7x+1 = 0 7x = -1 x = -1/7 ve 1 1 2x − 1 + = 2 ÖRNEK( 18) x - 2 x − 3 x − 5x + 6 -x-5 = 0 -x = 5 x = -5 ise Ç=? o halde ÇK={− −5,− −1/7} olur. ÇÖZÜM: Önce payda eşitleyelim 1 1 2x − 1 + = 2 x-2 x − 3 x − 5x + 6 (x − 3) (x − 2) x −3+ x − 2 2x − 1 = 2 2 x − 5x + 6 x − 5x + 6 . www.globalders.com 4 MATEMATİK’ĐM paydalar eşit olduğundan payları eşitleyelim Birinci Dereceden Denklemler 2x-5 = 2x-1 2x-2x = 5-1 0 = 4 böyle bir eşitlik olamayacağına göre bu denklemi sağlayan bir x yoktur. Yani çözüm kümesi φ olur. ÖRNEK( 19) ifadesini tanımsız yapan x’lerin toplamı kaçtır? x +1 x + 3 4 = − ise Ç=? x −1 x +1 x +1 ÇÖZÜM: Bir rasyonel ifadeyi tanımsız yapan değerler rasyonel ifadedeki her bir paydayı sıfır yapan değerlerdir. Bu yüzden her bir paydayı ayrı ayrı sıfıra eşitleriz. ÇÖZÜM: 5x − 3 2 3+ x 1− x+4 MATEMATİK’ĐM x +1 x + 3 4 − = x −1 x +1 x +1 x +1 4 x +3 = + x −1 x + 1 x + 1 x +1 x + 7 = x −1 x + 1 (x+1)(x+1) = (x-1)(x+7) x² + x + x + 1 = x² + 7x − x − 7 2x+1 = 6x-7 6x-2x = 1+7 4x = 8 x = 2 olur. O halde ÇK={2} dır. 5x − 3 2 3+ x 1− x+4 ÖRNEK( 21) çerçeveye alınmış her ifade ayrı ayrı sıfıra eşitlenirse; i) x+4 = 0 x = -4 ii) 1 − x x = 0 1= x+4 = x 4 x+4 x+4 =0 bu eşitlik doğru olmadığından bu ifade sıfır olmaz x x + 3 = 5 ise Ç=? ÖRNEK( 20) x 1− x+3 1+ iii) 3 + 2 x 1− x+4 =0 2 = −3 x +4−x x+4 2(x + 4) = −3 4 2x+8 = -12 2x = -12-8 2x =-20 x = -10 şimdi buluna değerleri toplayalım, -4-10 = -14 bulunur. ÇÖZÜM: x + 3+ x x x +3 x +3 = 5 ⇒ =5 x x +3− x 1− x+3 x +3 2x + 3 =5 3 2x+3 = 15 2x = 15-3 2x = 12 x=6 Çözüm kümesi :{6} olur. 1+ . www.globalders.com 5 MATEMATİK’ĐM ÖRNEK( 22) 3x = Birinci Dereceden Denklemler 3x + 2 y = 4 ÖRNEK( 24) çözümü araştırın. 6 x + 4 y = 8 5x + y ise y’nin x 2−y cinsinden değeri nedir? ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: Katsayıları oranlayıp bakalım 3x + 2y = 4 3 2 4 elde edilen tüm ise = = 6x + 4y = 8 6 4 8 1 kesirlerin ’ye eşit olduğu görülür. Bu 2 durumda tüm katsayılar oranı eşit olduğundan sonsuz çözüm vardır. 5x + y 3x = ⇒ 6x − 3xy = 5x + y 2−y ⇒ 6x − 5x = 3xy + y ⇒ y(3x + 1) = x x ⇒ y= olur. 3x + 1 BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a b c = ≠ ⇒ d 1 // d 2 ve çözüm kümesi d e f φ dir 2) a,b,c,d,e,f∈R olmak üzere ax+by+c=0 şeklindeki denklemlere Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler denir. Bu denklem aynı zamanda Analitik Düzlemde bir doğru belirtir MATEMATİK’ĐM d1....ax + by + c = 0 Denklem Sistemi denir d 2 ....dx + ey + f = 0 ÖRNEK( 25) ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNMASI a b c = = ⇒ d1 ≡ d 2 Bu durumda d e f denklemin sonsuz çözümü vardır.(doğrular çakışıktır) 1) 2 x − 4 y + 1 = 0 ⇒Ç=? x − 2y − 3 = 0 ÇÖZÜM: Katsayıları oranlarsak 2x − 4y + 1 = 0 2 −4 1 ≠ sabit terimin ⇒ = x − 2y − 3 = 0 1 −2 −3 katsayıları oranı eit olmadığından çözüm boşkümedir 3) a b ≠ ⇒ d 1 ∩ d 2 = P( x 0 , y 0 ) d e ve Ç = {( x 0 , y 0 )} (Doğrular Kesişir) ÖRNEK( 23) 3x − 2 y = 6 sonsuz çözüm için 4x + my = 8 m=? Bu durumda çözüm bulma yollarına ihtiyaç vardır. ÇÖZÜM: ÇÖZÜM YOLLARI 3x − 2y = 6 3 −2 6 = ise = 4x + my = 8 4 m 8 3 −2 8 = ⇒ 3m = −8 ⇒ m = − olur. 4 m 3 a)Yok Etme Metodu: ÖRNEK( 26) 2 x − 3y = 2 ⇒Ç=? x+y=6 . www.globalders.com 6 MATEMATİK’ĐM ÇÖZÜM: Birinci Dereceden Denklemler 1 1 9 1 1 9 + = ⇒ + = x y 20 x 4 20 1 9 1 ⇒ = − x 20 4 (5) 4 } 1 9−5 ⇒ = x 20 4x = 20 x = 5 2x − 3y = 2 2x − 3y = 2 ise x+y=6 −2 / x + y = 6 2x − 3y = 2 −2x − 2y = −12 -5y = -10 y=2 bu y değerini bir veya ikinci denklemden hangisi kolayınıza gelirse onda yerine yazın. Zaten sonuç ikisinde de aynı çıkmak zorundadır. denklem sistemini sağlayan (x,y) değerleri (5,4) ve çözüm kümesi ÇK={(5,4)} olur. b) Yerine Koyma Metodu: x+y=6 denkleminde y=2 için x+2= 6 x = 4 bu yöntemde; seçilen bir değişken, denklemlerin birinden çekilip diğer denklemde yerine yazılır ve diğer değişken bulunur. daha sonra bu değer herhangi bir denklemde yerine yazılıp diğer değişken bulunur. 2 3 23 + = x y 20 ÖRNEK( 27) ⇒Ç=? 1 1 9 + = x y 20 MATEMATİK’ĐM o halde denklem sistemini sağlayan (x,y) ikilisi (4,2) olur. ÇK={(4,2)} ÇÖZÜM: ÖRNEK( 28) 2x + 4 y = 14 ⇒ Ç =? 2 x = 3y ÇÖZÜM: İkinci denklemde zaten yalnız bulunan 2x’i birinci denklemde yazarsak; 2 3 23 2 3 23 + = + = x y 20 x y 20 ⇒ 1 1 9 1 1 9 + = −2 / + = x y 20 x y 20 2 3 23 + = x y 20 2x = 3y ise 2x+4y = 14 3y+4y = 14 7y = 14 y = 2 bulunur. bu değer ikinci denklemde yerine yazılırsa; 2x = 3y 2x = 3.2=6 x = 3 bulunur. o halde çözüm kümesi ÇK={(3,2)} olur. −2 2 −18 − = x y 20 ÖRNEK( 29) 3 2 23 18 − = − y y 20 20 1 5 = y 20 5y = 20 y = 4 bu değer ikinci denklemde yerine yazılırsa x − ay = a ⇒ Ç = ? (a ≠ 0) x + ay = 3a ÇÖZÜM: Birinci denlemden x çekilirse x-ay = a x = ay+a ve bu değer birinci denklemde yerine yazılırsa . www.globalders.com 7 MATEMATİK’ĐM x+ay = 3a ay+a+ay = 3a 2ay = 2a y=1 şimdi bu değeri birinci denklemde yerine yazalım x-ay = a x-a.1=a x=2a o halde denklemin çözüm kümesi {(2a,1)} olarak bulunur. Birinci Dereceden Denklemler −5y− −5)2 + (3x+10y− −25)2 = 0 ÖRNEK( 31) (2x− ise x+y=? ÇÖZÜM: İki sayının toplamı ne zaman sıfır olur? Bu sorunun cevabını öğrenmeden önce düşünmenizi istiyorum(Tabi bu satırdan önce aşağıya bakmadıysanız) Evet düşündüyseniz düşüncenizi cevapla karşılaştırın bakalım.. İki sayının toplamının sıfır olması için ya mutlak değerce eşit zıt işaretli iki sayı(-5 ve +5 gibi), veya ikisi de sıfır olmalıdır. Soruya bakıldığında üssü çift olan iki ifade olduğunu ve bunların negatif olamayacağı için ikisinin de sıfır olması gerektiği anlaşılır. O halde ; a b 1 − = x y 6 ⇒Ç=? a b − = 0 ÖRNEK( 30) 3x 2 y ÇÖZÜM: Birinci denklemden a ’i x çekip ikinci denklemde yerine yazalım (2x − 5y − 5) 2 + (3x + 10y − 25) 2 = 0 14243 14 4244 3 0 bu değeri a b 11 b b − =0 ⇒ + − =0 3x 2y 3 6 y 2y 1 b b ⇒ + − =0 18 3y 2y 1 b b ⇒ = − 18 2y 3y (3) (2) 1 3b − 2b ⇒ = 18 6y ⇒ 6y = 18b ⇒ y = 3b şimdi bu değeri birinci denklemde yerine yazalım a b 1 a b 1 − = ⇒ − = x y 6 x 3b 6 a 1 1 ⇒ = + x 6 3 (1) (2) a 1+ 2 ⇒ = x 6 ⇒ 3x = 6a ⇒ x = 2a bulunur o halde çözüm kümesi ÇK={(2a,3b)} olur. MATEMATİK’ĐM a b 1 a 1 b − = ⇒ = + şimdi x y 6 x 6 y ikinci denklemde yerine yazalım 2x − 5y − 5=0 ⇒ 3x + 10y − 25=0 0 2 / 2x − 5y=5 + 3x + 10y=25 4x-10y = 10 3x+10y = 25 7x = 35 x=5 şimdi bu değer birinci denklemde yerine yazılırsa 2x-5y = 5 2.5-5y = 5 10-5 = 5y 5y = 5 y=1 bulunur. demek ki x+y = 5+1 = 6 dır. UYARI: A,B∈R olmak üzere; 1) A2+B2 = 0 ise A=0 , B=0 2) A + B = 0 ise A=0 , B=0 3) A + − A ....... ise A=0 4) A +B =0 ise A=0 , B=0 ÖRNEK( 32) x − 3 + 2x − 5 + 3 − x işleminin sonucu nedir? . www.globalders.com 8 MATEMATİK’ĐM ÇÖZÜM: Birinci Dereceden Denklemler ÖRNEK( 35) (3a− −2b+4)x + (2a+3b− −2)y = 0 denklemi x ve y ‘nin tüm değerleri için sağlandığına göre a/b=? A + − A ....... ise A=0 bilgisi vardı Kuralda ÇÖZÜM: 3-x = -(x-3) olduğundan Mademki her x,y için denklem doğru oluyormuş, o zaman bizde işimize gelen değerleri veririz. x − 3 + 2x − 5 + − (x − 3) ⇒ x − 3 = 0 ⇒ x = 3 { 123 0 0 2x − 5 = 2.3 − 5 = 1 Mesela önce x=0 ve y=1 verelim o halde cevap 1 olur. (3a−2b+4).0 + (2a+3b−2).1 = 0 2a+3b-2 = 0 şimdi de y=0 ve x=1 verelim ÖRNEK( 33) x + y − 5 + x − y + 7 = 0 ise x kaçtır? (3a−2b+4).1 + (2a+3b−2).0 = 0 3a-2b+4 = 0 ÇÖZÜM: bu aşamadan sonra iki yolla çözüme gidebiliriz. Birincisi ortak çözüm yapıp a ve b yi bularak istenen orana ulaşmak, ikincisi de mademki a/b oranı isteniyor o zaman sabit terim istenmiyor demektir. Bizde sabit terimleri yok edip istenen orana ulaşırız. Biz ikinci yolu izleyeceğiz. Kuralımız A +B =0 ise A=0 , B=0 diyor. O halde x + y−5 + x − y+7 = 0 1 424 3 1 424 3 0 elde 0 edilen denklemleri alt alta 2/2a + 3b = 2 2a + 3b − 2 = 0 ⇒ + 3a − 2b = -4 3a − 2b + 4 = 0 4a + 6b = 4 + 3a – 2b = -4 7a + 4b = 0 7a = -4b a 4 = − olur. b 7 görüldüğü gibi bu yöntem birinciye göre daha pratik yazıp toplayalım x+y-5= 0 + x-y+7 = 0 2x +2 = 0 2x = -2 x = -1 olur. ÖRNEK( 34) a − 5 + b + 2 = 0 ise a.b nedir? ÇÖZÜM: ÇOK BİLİNMEYENLİ SİSTEMLERİ A + B = 0 ise A=0 , B=0 diyor. Kuralımız 1) Bilinmeyen sayısı üç, denklem sayısı bir ise Ç.K sonsuz elemanlıdır. a{ − 5 + b{ +2 =0 0 DENKLEM 0 a-5 = 0 a = 5 ve b+2 = 0 b = -2 3x-4y+z = 0 ise Ç.K:{(1,1,0),(2,1,−2),(....} sonuç a.b = 5.(-2) = -10 bulunur. 2) Bilinmeyen sayısı üç, denklem sayısı iki ise Ç.K sonsuz elemanlıdır. . www.globalders.com 9 MATEMATİK’ĐM a + b − c =1 alt alta toplarsak 3a-b=4 2a − 2b + c = 3 bulunur. burada tek denklem iki bilinmeyen elde edildiğinden çözüm kümesi sonsuz elemanlı olur. o halde Ç.K:{(1,−1),(2,2),....} Birinci Dereceden Denklemler 2 x − y + z = 4 ÖRNEK( 37) x + y + z = 4 ⇒ ( x, y, z) = ? 3x + y + z = 9 ÇÖZÜM: Soruda x,y,z ayrı ayrı istendiği için denklemleri ikişer ayırıp bir bilinmeyen yok edeceğiz. Daha sonra oluşan denklemlerden diğer bilinmeyenler bulunacak 3) Bilinmeyen sayısı, denklem sayısına eşit ise çözüm; tek elemanlı, boş küme veya sonsuz elemanlı olabilir. 2x − y + z = 4 2x − y + z = 4 + x+y+z = 4 + 3x + y + z = 9 3x + 2z = 8 5x + 2z = 13 ÖRNEK( 36) 2 4 1 4 − + = x y z 3 1 3 2 xyz − + − = 9 ⇒ =? x y z xy + xz + yz 6 4 4 7 + + = − x y z 3 − Bu tür sorular özel çözüm gerektiren sorular yani bazen altalta toplama bazen çıkarma ile istenen hedefe değişkenleri tek tek bulmadan gidilir. Her üç denklemi alt alta toplarsak MATEMATİK’ĐM ÇÖZÜM: 5x + 2z = 13 -/3x + 2z = 8 2x = 5 x = 5/2 bu değeri 5x + 2z = 13 denkleminde yazalım 2 4 1 4 − + = x y z 3 1 3 2 3 3 3 − + − = 9⇒ + + = 8 x y z x y z 6 4 4 7 + + =− x y z 3 3 3 3 ⇒ + + =8 x y z (yz) (xz) (xy) − 5 + 2z = 13 2 25 2z=132 1 2z = 2 1 z= 4 şimdi x ve z ‘yi 1. denklemde yazalım, 5. 2. 5 1 −y+ = 4 4 2 1 y = 5−4+ 4 5 y= 4 5 5 1 istenen sıralı üçlü ( x, y, z ) = , , şeklindedir. 2 4 4 2x − y + z = 4 ⇒ 3(yz + xz + xy) =8 xyz xyz 3 ⇒ = bulunur. yz + xz + xy 8 ⇒ . www.globalders.com 10 MATEMATİK’ĐM Birinci Dereceden Denklemler m+n = 5 2 ÖRNEK( 39) p + m = 8 ⇒ m + n + p = ? p+n = 2 3 ÖZEL DENKLEMLER Bazı denklem sistemlerinde özel şartlar istenir. 3a − 2c = 6 i) 2a + b − c = ? ÖRNEK( 38) 2b − a = 3 ⇒ ii) a + b + c = ? c − b = 4 ÇÖZÜM: m+n = 5 ⇒ m + n = 10 m + n = 10 2 p + m = 8 ⇒ p + m = 8 ise p + m = 8 p+n + p+n =6 = 2 ⇒ p+n =6 3 2(m+n+p) = 24 m+n+p = 12 dir. ÇÖZÜM: Bu soruda istenenleri bulmak için denklemleri uygun katsayılarla çarpacağız 3a − 2c = 6 3a − 2c = 6 2b − a = 3 ise 2b − a = 3 c−b = 4 + c−b = 4 2a + b – c =13 bulunur. b) bu şık için uygun katsayılar bulmalıyız. MATEMATİK’ĐM a) her üç denklem alt alta toplanırsa istenen bulunur. 3a − 2c = 6 3a − 2c = 6 2b − a = 3 ise 2 / 2b − a = 3 c − b = 4 + 3/ c−b = 4 3a − 2c = 6 4b − 2a = 6 + 3c − 3b = 12 x x + 2y − =1 4 ÖRNEK( 40) 3 ⇒ Ç.K = ? 5x + y − 3x + = −1 2 ÇÖZÜM: Önce denklemleri tek satır haline getirelim x x + 2y − =1 3 4 (4) (3) 4x − 3x − 6y =1 12 x − 6y =1 12 −6x + 5x + y = −1 2 −x + y = −1 2 x-6y = 12 -x+y = -2 − 3x + 5x + y = −1 2 a + b + c = 24 bulunur. (bu tip sorularda ilkin istenenin alt alta toplama veya çıkarmayla bulunup bulunmayacağına bakılır. Eğer bulunmuyorsa denklemler için uygun katsayılar aranır. Bu da zor ise o zaman bir önceki soruda gösterilen teknikle değişkenler tek tek bulunur ve istenen denklemde yerine yazılır. Biliyorum bu son anlattığım zor ama soruyu boş bırakmaktansa hele de vakit varsa neden uygulanmasın..) x-6y = 12 -x+y = -2 -5y = 10 y = -2 birinci denklemde yerine yazalım x-6.(-2) = 12 x+12 = 12 x=0 O halde ÇK={(0,-2)} olur. x-6y = 12 . www.globalders.com 11 MATEMATİK’ĐM Birinci Dereceden Denklemler 1 x = 3x − 1 ⇒ ÇK = ? ÖRNEK( 41) 1 2 1+ x x− ÇÖZÜM: x2 −1 1 x− x = 3x − 1 ⇒ x = 3x − 1 x +1 1 2 2 1+ x x (x −1)( x +1 ) ⇒ x = −1 ancak x=-1 değeri sorudaki paydalardan bir 1 tanesi olan 1 + ‘i sıfır yaptığından çözüme x dahil edilemez. O halde çözüm kümesi φ (boş küme) dir. NOT: Dikkat ettiyseniz güzel güzel soruyu çözüp -1 bulduk. Burada işte soruyu çözmek kadar matematik kaidelerini ve püf noktalarını dikkate almak ta çok önemli. Eğer dikkatsiz ve umarsız iseniz ve de şıklarda -1 varsa yandınız!! Onun için bu tür kesirli sorularda çözümden sonra mutlaka bulduğunuz değeri kontrol ediniz. MATEMATİK’ĐM } x2 −1 3x − 1 ⇒ = 2 x +1 ⇒ 2x − 2 = 3x − 1 ⇒ −2 + 1 = 3x − 2x YAZAN İBRAHİM HALİL BABAOĞLU Matematik Öğretmeni www.globalders.com e-mail: ibrahimhalilbaba@mynet.com . www.globalders.com 12