optimal kontrol - TOK2013
Transkript
optimal kontrol - TOK2013
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya OPTİMAL KONTROL 763 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Kesir Dereceli PID Kontrolörler İçin Referans Model Tabanlı Optimizasyon Yöntemi A. Ateş(1) B. B. Alagöz (2), B. Şenol(1),C. Yeroğlu(1) (1) (2) Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü İnönü Üniversitesi Malatya Geleneksel PID kontrolör performansını artırmaya dönük bir diğer çalışma alanı ise kesir dereceli PID yapıları için açılmıştır [2-5]. Kesir dereceli PID yapılarında, geleneksel PID katsayıları K p , K i ve Özetçe Kesir Dereceli PID kontroller, geleneksel PID kontrollerine göre üstün kontrol performansı sergileyebilmeleri nedeni ile araştırmacıların ilgilerini çekmeye başlamıştır. Bu çalışmada, kesir dereceli kapalı çevrim PID kontrolör yapısının, bir referans modele göre optimizasyon problemi için çözüm önerisi sunulmuştur. Referans model olarak Bode’nin ideal kontrol döngüsü seçilmiş TRMS’nin ana ve kuyruk rotor birim basamak cevabının, bu referans modelin hedeflenen bir cevabına yakınsaması sağlanmıştır. kesir türev derecesi ( ) ve kesir integral derecesi ( ) parametreleri kontrolör yapısına kazandırılmıştır. Ayarlanabilir beş parametreye sahip olan kesir dereceli PID kontrolörlerin ( PI D ), üç parametreye sahip geleneksel PID kontrolörüne göre daha iyi bir kontrol performansı sergileyebildiği görülmüştür [12, 16]. Bunun başlıca nedeni, PI D kontrol yapılarının, PID’lere göre daha geniş bir yelpazede kontrolör cevabı sunabilmesidir. PI D kontrolör yapılarının pratikte uygulama sahası bulabilmesi için, beş kontrolör parametresinin ( K p , K i , K d , , ) istenen bir kontrol sistemi cevabı için optimize edilmesi etkin bir kontrol sağlayabilir. Bu çalışmada, kontrolör yapısının PI D ( K p , K i , K d , , ) katsayılarının Bodenin ideal kapalı çevrim kontrol döngüsünün cevabına göre optimizasyonu hedeflenmiştir. Kesir dereceli bir sistem olan, Bode’nin ideal kapalı çevrim kontrol döngüsü (BKD), istenen sistem cevabına iki parametre ( , c ) yardımı ile ayarlanabilmektedir [17, 18]. Bu çalışmada, kapalı çevrim PI D kontrolör yapısının kontrol cevabının, teorik referans sistem B-KD’nin kontrol cevabına yakınsaması amaçlanmıştır. Bu işlem, stokastik parametre vektörü optimizasyonu yöntemi ile gerçekleştirilmiştir. Böylece, referans sistemin cevabı ( , c ) parametreleri yardımı ile istenen bir birim basamak cevabına ayarlanarak, PI D kontrolör yapısının, bu cevabı verebilmesi sağlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda, optimizasyon iki aşamalı gerçekleşmektedir: Birinci aşamada, hem referans sistem katsayıları ( , c ) hem de kontrolör yapısı ( K p , K i , K d , , ) katsayıları iki sistemin birim basamak cevaplarının birbirine yakınsaması için, birlikte optimize edilmektedir. İki sistem cevabının eşleşmesi durumu kenetlenme olarak adlandırılmıştır. Kenetlenme gerçekleştikten sonra referans sistemin parametreleri adım adım istenen değerlerine çekilerek, kapalı çevrim PI D kontrolör yapısının bu cevaba K d ‘ye ek olarak, 1. Giriş: Kesir dereceli türev ve integraller yaklaşık 300 yıldır biliniyordu [1]. Fakat son yıllarda, sistem modellemesinde ve mühendislik uygulamalarında tam değer integro-diferansiyel ifadelerin yerine kesir dereceli integro-diferansiyel ifadeler yoğunlukla kullanılmaya başlanmıştır [1]. Yapılan çalışmalar sonucunda kesir dereceli sistemlerin tam sayı dereceli sistemlere göre daha iyi sonuçlar üretebildiği gözlemlenmiştir [2]. Kesir dereceli aritmetikteki sağlanan gelişimle birlikte, kontrol uygulamalarında kesir dereceli sistemler, tam sayı dereceli sistemlerin yerine kullanılmaya başlanmıştır. İlk olarak PID kontrolörün kesir dereceli versiyonu Podlubny tarafında önerilmiştir [2]. Sistemin genel formu aşağıda gösterildiği gibidir: C ( s) K p Ki 1 Kd s s (1) Ayrıca literatürde kesir dereceli kontrol sistemlerine ilişkin birçok çalışma yapılmıştır [3-5]. Geleneksel PID kontrolörler, kolay gerçeklenebilir olması ve iyi çalışılmış bir kontrolör yapısı olmaları gibi avantajları nedeni ile endüstriyel proseslerde, otomasyon sistemlerinde, güç elektroniğinde yaygın olarak kullanılmıştır [6-11]. Günümüzde, gelişen teknoloji daha karmaşık ve ileri kontrol tekniklerinin uygulanmasına imkân sağlar duruma gelmiş, bu nedenle geleneksel PID kontrolör yapısını geliştirmeye dönük çalışmalar son dönemde artmıştır: Yapay sinir ağları PID ile kullanılmıştır [12,13], değişken PID (Variable PID) [14] ve adaptif PID yapıları [15] geliştirilmiştir. 764 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya sürüklenmesi sağlanmıştır. Bu süreç sürüklenme olarak adlandırılmıştır. Sürüklenme sürecinde sadece PI D kontrolör yapısının ( K p , K i , K d , , ) katsayıları optimize edilmektedir. R( s ) 2.2.Stokastik Parametre Vektörü Optimizasyonu: ob B-KD c Maksimum aşım, yükselme süresi, yerleşme süresi gibi birim basamak performans parametreleri, ve c katsayılarının yardımı ile kolaylıkla ayarlanabilmektedir [18]. Stokastik parametre vektörü optimizasyonu, optimize edilecek parametrelerin, artan veya eksilen yönlerde belli bir aralık içinde random değiştirilmesine dayanmaktadır. Bu durum, matematiksel olarak random n n sapma X v ile ifade edilebilir. Burada, e Optimizasyon k p ki k d PI D r u G(s) vn [1, 0] random sayı ve adım uzunluğu katsayısıdır. Parametrenin, artan yönde değiştirilmesi n n durumu ( X v ), ileri yönlü test, azalan yönde n n değiştirilmesi durumu ( X v ), geri yönde test için kullanılmaktadır. Test sonucunda, op Şekil 1. Sistemin genel mimarisi E ( X n X n ) E ( X n ) 0 Şekil 1’de optimizasyon sisteminin genel mimarisi gösterilmiştir. Bu yöntemin en önemli avantajı, iyi bilinen ve kolay yönetilebilir bir referans sistem koşulunu sağlıyorsa, optimizasyona bu parametrenin yeni değeri ile devam edilir. Burada E(.) optimizasyon için hata fonksiyonudur. Hata fonksiyonu olarak, birim basamak cevaplarının L örneklik ortalama karesel hatası kullanılmıştır: modelinin, PI D kontrol sistemine kenetlenerek, kontrol sistemin cevabını hedeflenen bir birim basamak cevabına götürmesidir. Bu, model karmaşıklığı ne olursa olsun, kenetlenme gerçekleştikten sonra, referans sistemin ( , c ) katsayıları yönetilerek, kapalı çevrim PI D kontrol yapısının hedeflenen bir cevabına yakınsaması sağlanabilmektedir. E sistem (5) PI D edilecek kontrol yapısı n X [ K K K ] ve optimize parametrelerini P p D I n edilecek referans sistem parametrelerini X R [ wC ] vektörleri ile gösterelim. Stokastik vektör optimizasyon yöntemi, her iterasyon adımında sadece bir vektör bileşenini ileri ve geri yönde test eder. İleri yönde test koşulları, her iki sistem ayrı ayrı, 2. Metot: 2.1.Bode’nin İdeal Kontrol Döngüsü: n E( X Pn vP ) E( X Pn ) 0 H.W. Bode 1945 yılında, ideal geri beslemeli kontrol sistemi için [17], aşağıdaki kapalı çevrim sistemi önermiştir. n E( X Rn vR ) E( X Rn ) 0 (6) (7) n ile ifade edilir. Bu koşulu sağlayan vP ve n vR sapmaları ile parametre vektörleri güncellenir: (2) n X Pn 1 X Pn vP n X Rn 1 X Rn 1 vR Burada, Bode’nin ideal kontrol sistemin açık çevrim transfer fonksiyonu, Denklem 3 ile ifade edilmiştir. (8) (9) Geri yönde test koşulları, her iki sistem için ayrı ayrı, n E( X Pn vP ) E( X Pn ) 0 (10) L( s ) c , R s 1 L (Obn Opn )2 L n 1 Optimize Gelecek bölümlerde, Bode ideal kontrol döngüsü ve stokastik parametre vektörü optimizasyon yöntemi kısaca incelendikten sonra, TRMS simülasyon modeli üzerinde önerilen optimizasyon yöntemin sonuçları tartışılmıştır. L( s ) 1 T ( s) , 1 2 1 L ( s ) s 1 c (4) (3) n E( X Rn vR ) E( X Rn ) 0 765 (11) Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya ifade edilir. Bu koşulları sağlanırsa, parametre vektörü şöyle güncellenir: n X Pn 1 X Pn vP X n 1 R X n 1 R sağlayabilmektedir. Çünkü optimizasyon sürecinde kontrol edilen sistem ile referans sistemin kenetlenmesi hata uzayında bir minimum noktası oluşturmaktadır. Sürüklenme işlemiyle beraber bu lokal minimum, hedeflenen bir sistem cevabı için kaydırılabilmektedir. (12) n vR (13) Her iki sistemin optimizasyonu ardışık olarak yürütülür. Optimizasyon Süreci PI D kontrol Öncelikle, yapısının bütün parametreleri tek tek ileri ve geri yönde test edilir ve optimizasyon hatasını azaltan yönde denklem (8) ve (12) uyarınca güncellenir. Sonra, referans sistem parametreleri ileri ve geri yönde test edilir ve denklem (9) ve (13) uyarınca güncellenir. Daha sonra tekrar, PI D kontrol yapısına dönülerek aynı işlemler tekrarlanır. Sistemin hatası bir kenetlenme hata eşiği altına indiği zaman ( E EK ) iki sistem “kenetlenme durumuna” ulaşmış olur. Bu durum iki sistemin birim basamak cevaplarının birbirine arzu edildiği oranda yaklaştığını gösterir. Bu durumda, referans sistemin optimizasyonu durdurularak, bu sistemin parametreleri adım adım hedeflenen optimal değerlerine doğru götürülür: X Rn [ n wCn ] [ opt wopt ] (14) Başlangıç PI D Kenetlenme 2 güncellenmiştir. denklemlerde 1 PI D B-KD E EK Optimizasyon E EK Sürüklenme PI D B-KD Şekil 2. Optimizasyon Süreci, kenetlenme ve sürüklenme durumları 3. Simülasyon 3.1. TRMS (Twin Rotor MIMO System)’ nin Matematiksel Modelinin Belirlenmesi TRMS dikey seviye hareketini sağlayan asıl motor ve yatay seviye hareketini sağlayan kuyruk rotorlarından oluşan helikopter deney platformudur. Sistem, Şekil-3 de gösterilmektedir [19]. (16) Bu Optimizasyon Sürükleme Bu çalışmada, kontrol edilen sistem, düşük aşımlı ve hızlı bir birim basamak cevabına sürüklenmesi istendiği n için, maksimum aşımı artıran yönde etki eden adım adım azaltılır iken yükselme süresini azaltan yönde etki n eden wC parametresi adım adım artırılmıştır. Yani sürüklenme sürecinde bu parametreler, n 1 n 1 (15) ile B-KD Optimizasyon Bu süreçte “sürüklenme durumu” gerçekleşir. Bu optimizasyon süreçleri, Şekil 2’de temsili olarak gösterilmektedir. wCn 1 wCn 2 E EK ve sürüklenme adım aralıklarıdır. Bu güncellemeler sürükleme durumunda, PI D kontrol optimizasyonu devam ettirilmektedir. PI D kontrol yapısının, referans sisteme Böylece, kenetli olarak hedeflenen cevaba doğru sürüklenmesi sağlanmaktadır. sürecinde, yapısının Bu yöntemin getirdiği avantaj, iyi bilenen teorik bir referans model yardımı ile karmaşık ve model belirsizliği içerebilen bir sistemin optimizasyonunun yönetilebilmesidir. Diğer bir ifade ile sürüklenme durumunda, optimizasyon sürecinin referans sistemle yönetilebilmesi sağlanmıştır. Bu avantaj kontrol sisteminin iyi cevap üretmeyen bir lokal minimum noktasında takılı kalmasının önüne geçilmesini Şekil 3. TRMS (Twin Rotor MIMO System) TRMS’nin hareketlerini sağlayan motorların matematiksel modelinin belirlenmesi için, TRMS’ye uygulanan giriş voltajı ile dikey ve yatay rotor açıları 766 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya arasındaki ilişkinin belirlenmesi gerekir. Bunun için, sistemin öncelikle ayrık zamanda modeli elde edilmiş, ardında bu model kullanılarak s domenindeki (sürekli zaman) modeli elde edilmiştir. Bu çalışmada sistemin dikey seviye hareketini sağlayan ana rotor ve yatay seviye hareketi sağlayan kuyruk rotorlarının matematiksel modelleri Denklem 17 ve 18’deki gibi elde edilmiş ve çalışmada simülasyonlar bu modeller üzerinden yürütülmüştür [12, 16]. 3.2. G1 ( s) 0.06725s 1.359 s 2 0.7906s 3.666 (17) G2 ( s) 0.01514s 0.3042 s 2 0.2803s 0.619 (18) -3 x 10 (a) 15 1 2 E EK E EK E 10 5 0 50 100 150 200 250 300 350 (b) Optimizasyon Sonuçları ve Tartışma TRMS’nin ana ve kuyruk rotorlarının simülasyon modelleri üstünde yapılan optimizasyon çalışmalarında elde edilen sonuçlar Şekil 4 ve 5’de görülmektedir. Şekil 4(a) ve Şekil 5(a)’da optimizasyon süreci boyunca ortalama hatanın değişimleri verilmiştir. Kenetlenme durumu 1 numaralı bölgede sağlanmıştır. Sürükleme işlemi ise 2 numaralı bölgede yürütülmüştür. Şekil 4(b) ve Şekil 5(b)’de optimizasyon boyunca parametrelerin değişimi gösterilmiştir. Optimizasyon sürecinde K p , K i , ve parametreleri düzeyini korurken, KD n 15 Kp 10 5 KI wC K d parametresinin sürekli düştüğü görülmüştür. Bu durum, maksimum aşımın önemli ölçüde düşürdüğüne işaret eder. Sürüklenme sürecinde, referans sistem (BKD) parametrelerininden, maksimum aşımı artıran parametre olan ’nın düşürüldüğü ve yükselme zamanını artıran parametre olan c ’nin arttığı açıkca görülmektedir. Bu durum sürüklenmenin gerçekleştiğini göstermektedir. Şekil 4(c) ve Şekil 5(c)’de referans sistemin ve kontrol yapısının birim basamak cevapları verilmiştir. Kontrol yapısının da referans sistem birim basamak cevabına yakınsadığı açık bir şekilde görülmektedir. Optimizasyonlar neticesinde ana ve kuyruk rotoru için elde edilen parametreler aşağıda sunulmaktadır. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 n (c) 0.7 B-KD PI D 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Ana rotor için türetilen değerler; K p = 8.897988, K i = 8.083841, K d = 10.595935 0 = 0.827872, = 0.901992 w c = 2.260247, = 0.004054 0 5 10 15 20 25 30 t Şekil 4. Ana rotor için, (a) Ortalama hata fonksiyonun iterasyon adımlarına göre değişimi.(1. Bölge kenetlenme süreci, 2. Bölge sürüklenme 4 süreci, EK 2.10 alınmıştır.) (b) Katsayıların Kuyruk rotoru için türetilen değerler; K p = 9.592281, K i = 7.609993, K d = 13.157695 = 0.881505, = 0.835942 w c = 2.523658, = 0.005826 değişimi, (c) Referans sistem ve yapısının birim basamak cevapları 767 PI D kontrol Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya (a) 4. Sonuçlar ve Tartışma 0.025 1 E EK 0.02 E 2 Bu çalışmada, PI D kapalı çevrim kontrol yapısının birim basamak cevabı, Bode’nin ideal kontrol döngüsü (referans model) ile ayarlanabileceği gösterilmiştir. Stokastik parametre vektörü optimizasyonu ile iki aşamalı optimizasyon yönetimi gerçekleştirilmiştir. Birinci aşamada, iki bağımsız optimizatör, referans model ile PI D kapalı çevrim kontrol yapısının birim basamak cevaplarını benzeştirmiştir. Kenetlenmeden sonra, referans model parametreleri istenilen bir birim basamak cevabını vermek için ayarlanırken, kenetli durumdaki PI D kapalı çevrim kontrol yapısının da bu birim basamak cevaba sürüklenmesi sağlanmıştır. TRMS’nin ana ve kuyruk rotor kontrolü üzerinde, simülasyonu yapılmış ve elde edilen sonuçlar detaylı olarak değerlendirilmiştir. Bu çalışmada kapalı çevrim PI D kontrolör yapısının, bir teorik referans model cevabına göre karakterize edilebileceği görülmüştür. Bunun yanı sıra önerilen yöntem optimizasyonu lokal minimuma takılma sorununa belli ölçülerde çözüm sağlayabilmiştir. E EK 0.015 0.01 0.005 0 0 50 100 n 150 (b) KD 15 Kp 10 KI 5 Teşekkür Bu çalışma İnönü Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi tarafından 2012/199 nolu proje ile desteklenmiştir. wC 0 20 40 60 n 80 100 120 140 5.Kaynakça (c) [1] R. Caponetto, G. Dongola, L. Fortuna, I. Petras, Fractional Order Systems Modeling and Control Applications, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2010. [2] I. Podlubny, Fractional-Order Systems and PID Controllers, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 44, no. 1, pp. 208–214, 1999. [3] C. Yeroglu, N. Tan, Classical controller design techniques for fractional order case, ISA TRANS. V. 50, Issue: 3, pp. 461-472, July, 2011. [4] B. Şenol, C. Yeroglu, N. Tan, Kesir Dereceli Kontrol Sistemlerinin Analizi İçin Kolay Kullanımlı Program, Otomatik Kontrol Ulusal toplantısı, TOK11, İzmir, 2011. [5] B. Şenol Kesir Dereceli Sistemlerin Frekans Cevaplarının Analizi İçin Matlab Ortamında Toolbox (Yüksek Lisans Tezi Danışman; C. Yeroglu) İnönü Üniversitesi F.B.E., 2011. [6] M. Kano, K. Tasaka, M. Ogawa, S. Otakara, A. Takinami, S. Takahashi, and S.Yoshii, Practical Direct PID/I-PD Controller Tuning and Its Application to Chemical Processes, Control Application (CCA), 2010 IEEE International Conference on Control Applications, Yokohama, Japan, September 8-10, 2010, pp. 2426- 2431. 0.7 B-KD 0.6 PI D 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 t Şekil 5. Kuyruk rotor için, (a) Ortalama hata fonksiyonun iterasyon adımlarına göre değişimi.(1. Bölge kenetlenme süreci, 2. Bölge sürüklenme süreci, EK 3.104 alınmıştır.) (b) Katsayıların değişimi, (c) Referans sistem ve basamak cevapları PI D kontrol yapısı birim 768 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya [7] Á. Cuenca, J. Salt, A. Sala and R. Pizá, A DelayDependent Dual-Rate PID Controller Over an Ethernet Network, IEEE Transactions on Industrial Informatics, vol. 7, no. 1, pp. 18-29, February 2011. [8] F. J. V. Parada, J. A. O. Tapia and J. A. Ramirez, Effective Medium Equations for Fractional Fick Slaw in Porous media, Physica A, vol. 373 pp. 339353, 2007. [9] P. Arena, R. Caponetto, L. Fortuna and D. Porto, Nonlinear Non-integer Order Circuits and Systems - An Introduction, World Scientic, Singapore, 2000. [10] M. F. Silva, J. A. T. Machado and A. M. Lopes, Fractional order control of a hexapod robot, Nonlinear Dynamics, vol. 38, pp. 417-433, 2004. [11] B. M. Vinagre, Y. Q. Chenand I. Petras, Two direct Tustin discretization methods for fractional-order diferentiator/integrator, J. Franklin Institute, vol. 340, pp. 349-362, 2003. [12] A. Ates, C. Yeroğlu, M. F. Talu, Gerçek Zamanlı TRMS için Geliştirilen YSA Algoritması, Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK12, Niğde, 2012. [13] M. Ö. Efe PI D Control via Neural Networks, UAV Laboratory of TOBB University of Economics and Technology. [14] W. K. Ho, T. H. Lee, H. P. Han, and Y. Hong, “Self-Tuning IMC-PID Transactions on Control System Technology, vol. 9, no. 3, May 2001. [15] T. K. Liuand J. G. Juang, “A SingleNeuron PID Control for Twin Rotor MIMO System”, IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics Suntec Convention and Exhibition Center, July 2009. [16] A. Ateş, C. Yeroğlu, TRMS İçin Referans Modele Dayalı Optimal Kesir Dereceli PID Tasarımı, Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK12, Niğde, 2012. [17] S. R. Barbosa, J.A.T. Machado and M.F. Isabel, Tuning of PID Controllers Based on Bode’s Ideal Transfer Function Nonlinear Dynamics 38:3005321, 2004. [18] C. Yeroglu, N. Tan, Classical controller design techniques for fractional order case, ISA TRANS. V. 50 Issue: 3, pp. 461-472, JULY 2011 [19] Feedback Instruments Twin Rotor MIMO System Control Experiments 33-949S (For use with MATLAB R2006bversion 7.3, 2006) Control with Interval Gain and Phase Margins Assignment”, IEEE 769 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Gerçek Verili Ani ve Kısa Süreli Bozucu Durumlarında Yolcu Uçağının Yunuslama Açısının Karşılaştırmalı Denetimi Elif Pınar Hacıbeyoğlu1 Ahmet Emin Kuzucuoğlu2 Elbrus Caferov3 1 Fen Edebiyat Fakültesi Bilgisayar Bilimleri Bölümü İstanbul Bilgi Üniversitesi, İstanbul elifpinar@cs.bilgi.edu.tr 2 Teknoloji Fakültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Marmara Üniversitesi, İstanbul kuzucuoglu@marmara.edu.tr 3 Uçak ve Uzay Bilimleri Fakültesi Uçak Mühendisliği Bölümü İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul cafer@itu.edu.tr durum geri besleme kazançları ile kısmi doğrusallaştırma yapılarak Parallel Distributed Compensation (PDC) yapısına uygulanmıştır. 3-DOF doğrusal olmayan uçak modeli tanımlanarak sürüklenme yörünge kontrolü için bu bulanık tabanlı denetleyici tasarlanmış, NASA HL-20 tipi uçaklarda 1000m irtifa, 10o yaklaşma açısı, 120m/sn doğrusal hız, 12.5 o hücum (atak) açısı senaryosunda yapılan benzetimde başarılı sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca sisteme bozucu eklenerek de dayanıklılık tesleri yapılmıştır [2]. Lee ve Juang, 2011 yılında, değişen rüzgar durumlarında Otomatik İniş Sistemi (Automatic Landing System (ALS)) limitlerini geliştirebilmek amacıyla bir çalışma sunmuşlardır. Gerçek çıkış ve istenen çıkış arasındaki hataya göre bellek ağırlıklarını güncelleyen, tip-2 Cereballar Model Articulation Controller (CMAC) tasarımı yapılmıştır. Yapılan benzetimlerde PID denetleyicilerin basit ve verimli sonuçlar ürettiği ancak bu denetleyici ile ilgili bazı çekincelerin olduğu saptanmıştır. PID denetleyici ile rüzgardaki değişim oranı 11ft/sn(3.3m/sn)'ye kadar yükselebilirken, CMAC ile 59ft/sn(18m/sn) değişim oranına kadar başarılı sonuçlar elde edilmiştir [3]. Pilotların tecrübelerinden esinlenerek iniş güvenliğini arttırmak amacıyla, Zhi ve Yong, 2012 yılında, katmanlı hiyerarşik bulanık denetleyici tasarımı (HLC) gerçekleştirmiştir. Hiyerarjik yapıdaki birinci seviye, dalış oranı ve yunuslama açısının denetimi sağlanırken, ikinci seviyede, hibrit bulanık denetleyici ve PI denetleyici ile yunuslama açısı, dalış oranı, dalış oranındaki hata, yunuslama açısındaki sapma ve irtifa denetimini amaçlanmıştır. Benzetimlerde iniş koşullarındaki hatalar, aerodinamik katsayılardaki hatalar, stokastik rüzgar sabiti, hız ölçümündeki hatalar gibi bazı belirsizlikleri de hesaplamalara katılarak, sistem dayanıklılığının ve güvenliğinin artışı sağlanmıştır [4]. Aynı yıl, Roy ve arkadaşları, İnsansız Otonom Helikoperlerin (Unmanned Autonomous Helicopter (UAH)) olumsuz hava (4m/sn ve 6m/sn Özetçe Uçuş sürecini tehlikeye düşürebilecek en büyük dış etkenler, rüzgar hızındaki ve yönündeki ani değişiklik gibi önceden kestirilememiş olanlardır. Özellikle son yaklaşma ve iniş evreleri gibi irtifanın düşük, enerjinin yüksek olduğu durumlarda bu tip etkenler, kontrol edilemeyecek kadar kısa sürede, istenmeyen sonuçlara neden olabilir. Bu çalışmada, benzeri sorunlara çözüm arayışı düşüncesiyle, sürecin küçük bir modeli çıkartılmaya ve gereken denetim yapılmaya çalışılmıştır. İlk aşamada, hareket denklemleri ve Airbus 320 (A320) tipi yolcu uçaklarının fiziksel özelliklerinden faydalanılarak iniş denklemleri elde edilmiş; ikinci adımda, gerçek uçuşlardan toplanan verilerle istenen yunuslama açısı davranışı belirlenmiş ve son olarak İkinci Dereceden Doğrusal Düzenleyici (Linear Quadratic Regulator (LQR)) ve klasik PID tasarımları yapılarak, ani ve kısa süreli bozucu durumunlarında sistem cevapları incelenmiştir. 1. Giriş Wahid ve Rahmat'ın 2010 yılında sundukları çalışmalarında, uçaklardaki yunuslama kontrolünün, zaman cevaplarının, modern ve akıllı denetleyici performansları bakımından kıyaslanması yapılmış, Bulanık Mantık Denetleyici (Fuzzy Logic Controller (FLC)) ve İkinci Dereceden Doğrusal Düzenleyici (Linear Quadratic Regulator (LQR)) kullanılarak yapılan benzetimlerde, yükselme zamanına göre LQR'ın FLC'den 10 kat, oturma zamanına göre 8 daha hızlı olduğu, kalıcı hal hatalarında yine LQR'nin üstünlüğü gözlemlenmiştir. Yalnız FLC sıfır aşımla kararlılığa erişirken LQR %4.35 aşıma ulaşmıştır [1]. Aynı yıl, Farajollah ve Markazi'nin çalışmasında, rüzgarın bozucu olarak eklendiği doğrusal olmayan bir uçuş sistemi için Takagi-Sugeno bulanık modeli kullanılmış, LQR ve 770 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya [ ] lik ani rüzgar) koşullarındaki, uzunlamasına ve yanal konum kararlılıklarını incelemiş, Lyapunov yaklaşımı ile elde edilen sonuçlar, LQR kullanılarak tasarlanmış başka bir denetleyicinin sonuçlarıyla karşılaştırılmış, her iki tasarımda da ani rüzgar durumunda başarılı sonuçlar elde edilmiştir [5]. 2012 yılındaki bir başka çalışmada Boughari ve Botez, teknolojideki gelişmelere karşın gerçek zamanlı uçuş kontrol sistemlerindeki problemler üzerindeki çalışmaların artmasından ve belirsizliklerin varolmasından yola çıkarak, önce doğrusal olmayan Hawker 800 XP modelini elde edip, Küçük Bozuntular Yaklaşımı (Small Perturbation Approach) ile doğrusal modeli oluşturduktan sonra LQR tekniği ile bu araçların arzu edilen dinamik karakteristiğe ulaşmasını sağlamışlardır [6]. ΣM = d H dt I ⃗ =⃗r × ( m V ⃗) H (3) Uçak denge durumundayken taşıma, sürükleme, itki ve yerçekimi kuvvetleri ve momentleri toplamı sıfır olmalıdır. Bu kuvvetlerin toplamı, eksenler boyunca kullanılan birim vektörlerle birlikte, 4 ve 5 nolu eşitliklerde verilmiştir [7], [8]. ω×V T = i ( WQ−VQ ) +j ( UR −WP ) +k ( VP−UQ ) ΣΔF = iΣΔF +jΣΔF +kΣΔF x y z ΣΔF = m ( U̇ +WQ −VR ) x Literatür taraması da göstermiştir ki, uçuş denetimi üzerinde daha çok çalışılması gereken, geniş bir konudur. Farklı denetleyici tasarımları bu sistem üzerine uygulanabilmekte, ancak en uygun sonuçları modern kontrol teknikleri üretmektedir. Bu motivasyonla, çalışmada iniş sürecinin son evrelerinde, yunuslama açısının denetimini sağlayan ve bozuculara karşı istenen sonuçları üreten PID ve LQR denetleyicilerin performansları karşılaştırılmıştır. (4) (5) ΣΔF = m ( V̇ +UR− WP ) y ΣΔF = m ( Ẇ +VP −UQ ) z 2.1. Boylamasına Hareket Denklemleri Dünya eksen takımında X kuzeyi, Y doğuyu ve Z ise aşağıyı gösterecek şekilde kabul edildiğinde, ara eksen takımları ile Dünya eksen takımı aralarındaki geçişler Eşitlik 6'da tanımlanmıştır. 2. Hareket Denklemleri Bu bölümde yolcu uçaklarının kontrol yüzeyleri, uçuş sırasında uçağa etki eden kuvvet ve moment bileşenleri üzerinde kısaca durulmuş ve takip eden bölümlerde kullanılacak hareket denklemleri için zemin hazırlanmıştır. Uçaklar ağırlık merkezi sabit kabul edilerek, birbirlerine dik üç ayrı eksende serbestçe hareket edebilirler. Bu eksenler, istikamet dümeni (rudder) tarafından kontrol edilen, düşey eksen; kanatçık (aileron) veya hava freni (spoiler) ile kontrol edilen, uzunlamasına eksen; irtifa dümeni (elevator) veya hareketli yatay stabilizatör ile kontrol edilen, yanal (enlemesine) eksen [7]. Şekil 1: Yer ve ara eksen takımına göre Euler açıları. m ( U̇ +QW − RV ) = −mg sinθ+ ( −D cos α+Lsin α ) +T cos φT Q̇ I yy −PR ( I zz −I xx )+( P 2 +R 2 ) I xz = M A +M T Matematiksel model çıkartılmasına, uçağın katı bir cisim oluşu, uçağın kütlesinin herhangi bir parçasal dinamik analizine sahip olması, Dünya'nın uzayda sabitliği ve Şekil 1'de gösterildiği gibi uçağın XZ düzleminde simetrik oluşu kabulleriyle başlanır. Uçak hareketleri için sabit eksen dünyanın merkezini orijin kabul eden yer eksenidir. Yer eksen takımı, uçağın kütle merkezine paralel olarak kaydırılıp, sırasıyla Z, Y ve X eksenleri etrafında döndürülülerek Euler açıları bulunur. Uçağa etki eden 4 temel kuvvet vardır; aerodinamik kuvvetler, tepki kuvveti, ağırlık kuvveti ve atalet kuvveti. Bu kuvvetler toplamı Eşitlik 1 ve 2'de tanımlanmıştır [7], [8], [9]. H açısal momentumuna sahip bir yolcu uçağında momentler toplamı ise Eşitlik 3'de gösterilmektedir. ΣF = ΣΔF = [ ] d mV T ) dt ( I [ m ( Ẇ +PV −QU ) = mg cos θcos ϕ+ ( −D sin α− L cos α )−T sin ϕ T (1) ] dV T dm V T+ m dt dt I (6) (2) 771 U Φ P V θ Q W ψ R Ix L Iy : : : : : : : : : : : : X eksenindeki doğrusal hız (ft/sn) X eksenindeki açısal hız değişimi (rad/sn) X eksenindeki açısal hız (rad/sn) Y eksenindeki doğrusal hız (ft/sn) Y eksenindeki açısal hız değişimi (rad/sn) Y eksenindeki açısal hız (rad/sn) Z eksenindeki doğrusal hız (ft/sn) Z eksenindeki açısal hız değişimi (rad/sn) Z eksenindeki açısal hız (rad/sn) X eksenindeki atalet momenti (kg.m) Taşıma (Lift) kuvveti (Nm) (Ixy = 0) Y eksenindeki atalet momenti (kg.m) Iz : Z eksenindeki atalet momenti (kg.m) Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya M : Y eksenindeki moment (Nm) (Iyz = 0) A: Aerodinamik moment T: Tepki (itki) momenti N : Z eksenindeki moment (Nm) (Ixz ≠ 0) α : Hücum açısı (rad) D : Sürüklenme (Drag) kuvveti (Nm) T : Çekiş (Thrust) gücü (Nm) Şekil 2: 1. Uçuşa ait sayısal veriler. Doğrusal olmayan bu denklemler Küçük Bozuntular Yaklaşımı kullanılarak doğrusallaştırılmış ve Laplace dönüşümü uygulanarak Eşitlik 7'de gösterilen sistem karakteristiği elde edilmiştir [8]. (7) Şekil 3: 2. Uçuşa ait sayısal veriler. 4. İkinci Dereceden Doğrusal Düzenleyici Son olarak, kararlılık türevleri eklenerek denklem genişletilmiş ve irtifa dümenindeki değişime bağlı olan, yunuslama açısı θ'yı ifade eder transfer fonksiyonu Eşitlik 8'de verilmiştir [8], [9]. İkinci Dereceden Doğrusal Düzenleyici, Linear Quadratic Regulator (LQR), ẋ = Ax + Bu şeklinde ifade edilen bir sisteme u = Fx formunda, durum geri beslemeli denetimi amacı ile tasarlanır. “F”in değeri geçici durum cevabı ile denetim başarısı arasındaki dengeyi kurmaya dayanır. Optimal Kontrol yaklaşımında bu denge durumu performans indeksi veya maliyet fonsiyonu ile tanımlanır ve bu indeksi en küçükleyecek u = Fx aranır. Eşitlik 9'da performans indeksinin genel hali bulunmaktadır. (8) 3. Gerçek Uçuş Verileri Avrupa ve Amerika'daki tüm havalimanlarına yapılan seferlerin bilgilerini sunan, İstanbul Atatürk Havalimanı Hava Trafiği Takip Sitesi, http://www.iststatus.com/ dan elde edilen gerçek uçuşlara ait sayısal değerlerle, A320 tipi yolcu uçaklarının son yaklaşma ve iniş süreçlerinde takip ettikleri irtifa ve hız bilgileri incelenmiş, böylece benzetimlerde gerçekçiliği sağlamak amaçlanmıştır. Rastgele seçilen 2 örnek uçuşun son 90sn'deki verileri Şekil 2 ve 3'de gösterilmektedir; ∞ [ T ] T J= ∫ x (t ) Qx ( t ) +u ( t ) Ru ( t ) dt (9) 0 Burada, Q, simetrik, yarı kesin pozitif ve R, simetrik, kesin pozitif matrislerdir. Performans indeksi J'yi en küçükleyecek u(t) = Fx(t) nin bulunması için sistem koşullarının ve J'nin durumlarının net ifade edilmesi ayrıca düzenleyicisi tasarlanan sistemin kontrol edilebilir ve gözlemlenebilir olması gereklidir. ẋ = Ax + Bu ve performans indeksi Eşitlik 9'da verildiği gibi olsun. Q = MT M ve R simetrik, kesin pozitif matris ise, optimal kararlılık denetimi; −1 T (10) u ( t ) =−R B Px Uçuş 1: Havalimanı: İstanbul Atatürk Rakım: 37m Rüzgar: 11km/sa, Güney Yaklaşmaya göre rüzgar yönü: Yan rüzgar (Crosswind) Sıcaklık: 13oC Görüş: 10km Ani rüzgar: Yok Uçuş 2: Havalimanı: Londra Heathrow Rakım: 24m Rüzgar: 32km/sa, Doğu Yaklaşmaya göre rüzgar yönü: Karşı rüzgar (Headwind) Sıcaklık: 5oC Görüş: 6km Ani rüzgar: Yok eşitliği ile tanımlanabilir. P, simetrik ve yarı kesin pozitif matrisi Riccati Denklemi, Algebraic Riccati Equation (ARE), çözümü ile bulunabilir. ARE Eşitlik 11'de gösterilmiştir. T PA+A P+Q−PBR −1 BP= 0 (11) ARE çözümünde birden fazla sonuç çıkabilir. Ancak bunlardan sadece bir tanesi yarı kesin pozitifdir [10]. 772 (1) Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya 4.1. LQR Tasarımı Durum geribesleme kontrolü u = Fx ise, tasarım adımları şunlardır; 1. Adım: Q ve R, Q = MT M ve R = RT>0 olacak şekilde seçilir. 2. Adım: ARE çözülür ve F = –R-1 BT P hesaplanır. 3. Adım: ẋ = (A+BF) x'in başlangıç durumu, farklı başlangıç koşulları için modellenir. 4. Adım: Geçici durum cevabı ve/veya genlik koşulları uygun değilse 1. Adım'a dönülerek yeni Q ve/veya R değerleri seçilir. Şekil 4: LQR ile yunuslama açısı cevabı. 5.1. LQR Tasarımında “Q” ve “R”nin Etkileri Kısacası, LQR en uygun kontrol girdisini hesaplamak için performans indeksi ve durum değişkenlerini kullanarak yapılan hesaplamalarla tasarlanır. Hesaplamalar yapılmadan önce sistemin kontrol edilebilir ve gözlemlenebilir olduğundan emin olunmalıdır [10]. Q ve R pozitif, reel ve Hermisyen matrislerdir. R matrisi Q'dan daha büyük seçilirse, sistem küçük bir eforla durum vektörü sıfıra yaklaşır fakat sistemin cevap süresi uzar. Aksi durumda ise, yani R matrisi Q'dan küçük olursa, sistem daha büyük bir efor harcayarak, hızlı bir şekilde cevaba ulaşacaktır. İşte bu iki durum arasında denge LQR tasarımındaki esastır. Öte yandan, R ve Q değerleri büyüdükçe hata azalır ve sistem hızlanır. Bu durumda da, kontrol eforunun çok yüksek bir değere ulaşıp ulaşmadığı denetlenmelidir [10]. Şekil 5'de, yunuslama açısının farklı “R” ve “Q” değerlerinde sistemin verdiği cevaplar gösterilmektedir. 5. Yunuslama Açısı Denetimi için LQR Tasarımı Yukarıda belirtildiği gibi, LQR tasarımına geçmeden önce, sistemin kontrol edilebilir ve gözlemlenebilir olup olmadığının testleri yapılmıştır. [A,B,C,D] = tf2ss(num,denum) Kont_M = ctrb(A,B); Kont_Rank = rank(Kont_M) Gozlem_M = obsv(A,C); Gozlem_Rank = rank(Gozlem_M) Yunuslama açısı için istenen değer sabit 0.3 rad (17o) olsun: p = 100; Q = p*C'*C; R = 1; [K] = lqr (A, B, Q, R) Nbar = rscale (A, B, C, D, K) sys_cl = ss (A–B*K, B*Nbar, C, D); step(0.3*sys_cl) [ −1.1528 A= 1 0 0 C = [0 −1. 4188 0 1 0 −1.0941 −0 .0460 0 0 1 Şekil 5a: Farklı R değerleri ile yunuslama açısı cevabı. −0.0324 0 0 0 −0. 7241 −0 .0373 ] ] [] 1 B= 0 0 0 D=0 Şekil 5b: Farklı Q değerleri ile yunuslama açısı cevabı. eig(A) = –5694 ± 1.0272i ve –0.0070 ± 0.1530i Yapılan MATLAB çalışmasına ait bazı çıktılar şöyledir; Hesaplama sonucunda geribesleme kazanç katsayı matrisi K ve düzenleme değeri Nbar değerleri; p1 = 10 Q1 = 0 0 0 0 0 11.9710 7.9226 0.4086 0 7.9226 5.2433 0.2704 0 0.4086 0.2704 0.0139 R1 = 1 K1 = 1.8594 3.8722 2.3272 0.0901 Nbar1 = 3.2789 K = [4.0024 12.6234 7.3499 0.3425] Nbar = 10.0375 Elde edilen bu değerler sonucunda yunuslama açıındaki değişim Şekil 4'de gösterilmiştir. Şekilden de anlaşılacağı gibi, kabul edilebilir bir aşımla (~%3) ve 3sn'nin altında bir zamanda arzu edilen yunuslama açısına erişmek mümkün kılınmıştır. ########## p2 = 10 Q2 = 0 0 0 0 0 11.9710 7.9226 0.4086 0 7.9226 5.2433 0.2704 0 0.4086 0.2704 0.0139 773 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya R2 = 10 K2 = 0.6756 1.0071 0.7239 0.0171 Nbar2 = 1.3233 Şekil 8'de görüldüğü gibi, gerek LQR gerekse PID sıfır hata ile, 90sn içinde yunuslama açısı arzu edilen değere ulaşmıştır. LQR ile aşım yokken, PID denetleyici ile %1 aşım ve oturma zamanında, LQR'a göre %10 gecikme görülmüştür. Bu sonuçların elde edilmesin için kullanılan katsayı değerleri şunlardır; ########## p3 = 10 Q3 = 0 0 0 0 0 11.9710 7.9226 0.4086 0 7.9226 5.2433 0.2704 0 0.4086 0.2704 0.0139 PID denetleyici için: KP = – 3, KI = – 0.6, KD = – 1.5 R3 = 100 K3 = 0.1854 0.2309 0.2152 0.0021 Nbar3 = 0.9225 LQR denetleyici için; Nbar = – 100, K = [14.238 117.7869 72.8674 3.7026] Q= 1.0e+003 * 0 0 0 0 0 1.1971 0.7923 0.0409 0 0.7923 0.5243 0.0270 0 0.0409 0.0270 0.0014 R = 0.1 5.2. Bozucu Etki ile Benzetim Sonuçları LQR ile yapılan kontrol ve benzetimlerin sonraki adımında, inişi riske sokabilecek etkileri yansıtabilmek amacıyla, bozucular sürece dahil edilmiştir. Bu bozucular, sisteme 3 farklı zaman dilimlerinde uygulanmıştır. Şekil 6'da bu bozucu sinyaller görülmektedir. Şekil 6: Bozucu girişler. Şekil 8: LQR ve PID ile sistem cevabı. Şekil 5'de gösterildiği gibi, herhangi bir bozucu etki olmaksızın hücum açısı yaklaşık 30sn de arzu edilen çıkışa, sıfır hata ile ulaşmaktadır (R = 1 durumu için). Bu süreyi inişin son 90sn'lik bölümüne yaymakta mümkündür. Şekil 7'de, ilgili katsayılar kullanılarak tasarlanan MATLAB diagramı yer almaktadır. İniş anının farklı 3 evresinde, kısa zaman aralıklarında ve geçici olarak uygulanan bozuculara karşın sistemin verdiği cevaplar Şekil 9'da sunulmuştur. Şekil 9a: Bozucu etkilerle PID cevapları. Şekil 7: MATLAB Simulink şeması. Şekil 9b: Bozucu etkilerle LQR cevapları. 774 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya özellikle önem verilmiş, benzetimler bu gerçek veriler doğrultusunda yapılmıştır. PID ve LQR ile yapılan benzetimlerde, sıfır hata, makul aşım ve doğru oturma zamanı gibi olumlu sonuçlar gözlendikten sonra bu düzenleyicilerin bozucu olma durumunda nasıl davranacağı 3 farklı senaryoda test edilmiş, testlerde de başarılı sonuçlar alınmıştır. Üzerinde durulan 90sn ise, inmekte olan bir yolcu uçağının yaklaşık 1300ft'den iniş anına kadar geçen süredir. 6. Benzetim Sonuçlarının Değerlendirilmesi Benzetimler göstermiştir ki, hem PID denetleyici hem de LQR denetleyici yunuslama açısının denetimi için uygun sonuçlar üretmektedir. Sistemin hızı ve aşımı, LQR'ın yapısal özelliklerinden dolayı daha kolay ayarlanabilmektedir. Gelecek Hedefleri Bu çalışmada elde edilmiş sonuçların iyileştirilmesi, farklı uçak tiplerinde ve farklı senaryolarda da güvenli inişi sağlamak amacıyla araştırmalarımızın ilerletilmesi hedeflenmektedir. İniş sürecinin farklı evrelerinde uygulanan bozucular, sistemde geçici hatalara yol açsa da, bozucu etkinin sonlanmasını takip eden 5 – 7sn süre zarfında sistem arzu edilen cevaba, yine sıfır hata ile, erişmektedir. Ancak, aynı genlikte bozucular uygulanmış olsa da cevaplardaki salınımlarda farklılıklar gözlemlenmiştir. İrtifa azaldıkça, artan sapma miktarları bu çalışmada gözlenen en ilgi çeken sonuçtur. Bunun nedeni uçağın, iniş sırasında, göreceli olarak daha düşük irtifada kritik kararlılığa yaklaşmasıdır. Uçak havada kalabilmesi için gereken en az hızda olmalı iken yaklaşık 10sn sonra uçağın yere iniş anında (touchdown) fazla enerjili olmamalıdır. Bu denge durumunun sağlanması için LQR uygun bir yöntem olarak görülmüştür. Çünkü LQR tasarımın doğası, kontrol eforu ve arzu edilen değeri yakalama arasındaki dengenin kurulmasıdır. Yukarıda gözlenen sonuçlar LQR'ın yüksek eforda gösterdiği davranıştır. Bu da, R değerinin çok küçük seçilmesi ile sağlanmıştır. Kaynakça [1] Wahid N., Rahmat M. F.: “Pitch Control System Using LQR and Fuzzy Logic Controller”, IEEE Symposium on Industrial Elecronics and Applicationa (ISIEA 2010), ISBN: 978 – 1 – 4244 – 7647 – 3, 2010 [2] Farajollah M., Markazi A. H. D.: “PDC Controller Design For Aircraft Glide-Slope Trajectory Tracking”, IEEE Explore, ISBN: 978 – 1 – 4244 – 6349 – 7, 2010 [3] Lee C. L., Juang J. G.: “Aircraft Landing Control in Wind Shear Condition”, Proceedings of the 2011 International Conference on Machine Learning and Cybernetics, IEEE Explore, ISBN: 978 – 1 – 4577 – 0308 – 9, 2011 [4] Zhi L., Yong W..: “Intelligent Landing of Unmanned Aerial Vehicle Using Hierarchical Fuzzy Control”, IEEE Explore, ISBN: 978 – 1 – 4477 – 0557 – 1, 2012 [5] Roy T. K., Pota H. R., Garratt M., Teimoon H.: “Robust Control for Longitudinal and Lateral Dynamics of Small Scale Helicopter”, Proceedings of the 31st Chinese Control Conference, Sayfa: 2607 – 2612, 2012 [6] Boughari Y., Botez R. M.: “Optimal Flight Control on the Hawker 800 XP Business Aircraft”, IEEE Explore, ISBN: 978 – 1 – 4673 – 2421 – 2, 2012 [7] Schmidt L.V.: “Introduction to Aircraft Flight Dynamics”, American Institute of Aeronautics and Astronautics, Education Series, 1998 [8] Yechout T.R., Morris S.L., Bossert D.E., Hallgren W.F.: “Introduction tı Aircraft Flight Mechanics,Performance, Static Stability, Dynamic Stability, and Classical Feedback Control”, AIAA Education Series, 2003 [9] Hacıbeyoğlu E.P., Kuzucuoğlu A.E., Caferov E.: “Bulanık Mantıklı ve PID-Denetleyicilerinin Yolcu Uçağı Modelleri Üzerinde Karşılaştırmalı Simülasyonu”, TOK 2012 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı Bildiriler Kitabı, Cilt 2, ISBN: 978 – 605 – 86655 – 0 – 7, 2012 [10] Anderson B. D. O., Moore J. B.: “Optimal Control – Linear Quadratic Methods”,Prentice Hall, ISBN: 0 – 13 – 638651 – 2, 1989 Yapılan benzetimlerde sisteme etki eden bozucular, referans girişle karşılaştırıldığında yaklaşık +%50'lik bir fark yaratmaktadır. Bu söz konusu sistem için küçümsenmeyecek bir değerdir. Mevcut yolcu uçaklarında, yer seviyesiyle 2500ft irtifa arasındaki rüzgar hareketlerini takip eden ve iniş prosedürlerindeki sınırların üzerinde, ki bu değerler en çok karşı rüzgarda 30knot (~15m/sn), yan rüzgarda 20 – 25knot (~10 – 13m/sn), kuyruk rüzgarında 10 – 15knot(~5 – 7m/sn)'tır, bir ölçüm algıladığında pilota bunun sinyalini veren “wind shear alert” sistemi mevcuttur. Pilot bu uyarıyı aldığı zaman, uçağı eğer bağlanmışsa ALS'den çıkartıp, inişi pas geçmek zorundadır. Bu çalışmada amaçlanan, inişin gerçekleştiği durumlarda oluşabilecek anlık bozucularda, yakın inişlerde oluşabilecek hava basıncı değişimi, rüzgar hızı ve yönündeki ani değişim gibi, sistemin karalılığının sağlanmasıdır. 7. Sonuçlar Bu çalışmada, yolcu uçaklarının iniş anında olası, ani rüzgar değişimi olarak ifade edilebilecek, bozucuların sistem cevabını nasıl etkilediği incelenmiş ve güvenli inişi gerçekleştirebilmek için uygun yunuslama açısının elde edilebilmesini sağlayan 2 yöntem, PID ve LQR denetleyici tasarımı, yapılmıştır. Bu amaç doğrultusunda, önce uçuş kinematiği ve hareket denklemleri üzerinde durulmuş, A320 tipi yolcu uçaklarının fiziksel özelliklerinden ve iniş prosedürlerinden yararlanılarak kesin bir transfer fonksiyonu elde edilmiştir. Çalışma sürecinde yapılan araştırmalarda, gerçek uçuş verilerine 775 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya YARI-OPTİMAL KAYMA KİPLİ KONUM KONTROLLÜ SERVO SİSTEMDE ERİŞİM KURALI PARAMETRELERİNİN ETKİLERİ Mehmet İlyas BAYINDIR1, Mehmet ÖZDEMİR2, Z. Hakan AKPOLAT3 1 Teknik Bilimler MYO, Elektronik ve Otomasyon Bölümü, Fırat Üniversitesi, Elazığ mbayindir@firat.edu.tr Mühendislik Fakültesi, Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü, Fırat Üniversitesi, Elazığ 2 mozdemir@firat.edu.tr Teknoloji Fakültesi, Mekatronik Mühendisliği Bölümü, Fırat Üniversitesi, Elazığ 3 hakpolat@firat.edu.tr etkileşimler sonucunda örneğin yük momenti gibi bozucular meydana çıkabilmektedir. Model belirsizlikleri ve bozucuların, kontrol sistemlerine kötü etkileri vardır. Dayanıklı kontrol yaklaşımının özünde, sistemde karşılaşılabilecek belirsizlikler, tanımlanmış bir aralıkta kalması şartıyla, performansını koruyan bir kontrol sisteminin kurulması vardır. Kontrolör, nominal parametreleri içeren sabit bir yapıya sahiptir. Kayma kipli kontrol sistemlerinin tasarım prosedürü; anahtarlama yüzeyinin seçimini, süreksiz anahtarlama fonksiyonu ve buna bağlı anahtarlama mantığının belirlenmesini kapsar. Anahtarlama yüzeyleri, genellikle sabit olup durum uzayında tanımlanır. Birden fazla anahtarlama yüzeyi varsa, kayma yüzeyini bunların kesişimi oluşturur. Amaç ise, sistemin durum yörüngesinin herhangi bir başlangıç şartından kayma yüzeyine sürülmesidir. Kayma kipi başladıktan sonra, sadece kayma yüzeyinde kalmak üzere kontrol işareti üretilir [4]. Kayma kipinde çalışan bir sistemin mertebesi düşürülür ve dinamik davranışı düşük mertebeli bir “eşdeğer sistem” ortaya çıkarılır. Kayma kipli kontrol tasarımı klasik olarak Lyapunov kararlılık kriterine dayalı olarak yapılır. Bu kriter esas alınarak geliştirilen bir yöntem olan erişim kuralı yaklaşımı son yıllarda tercih edilir hale gelmiştir [5]. Çünkü bu yaklaşım ile kayma kipli kontrolün kararlılığı sağlanırken hem erişme hem de kayma kiplerinin dinamiğinin iki ayrı parametre ile yönetilmesi sağlanmaktadır. Sayısal işlemciler ve güç elektroniği devrelerindeki ilerlemeler, vektör kontrol ve doğrudan moment kontrol uygulamalarını kolaylaştırmıştır. Endüstrideki en yaygın motor çeşiti olan asenkron motorlarda bu yöntemler ile sağlanan moment kontrolü üzerine yüksek performanslı sürücülerin kurulması yaygınlaşmıştır [6]. Vektör kontrollü bir asenkron motor sisteminin pratik büyüklükleri göz önüne alınarak hem dayanıklı hem de yüksek performanslı bir konum kontrol yönteminin tasarımını ve dayanıklılığını incelemek için bu çalışma yapılmıştır. İdeal minimum-zaman kontrol yöntemiyle aşmasız ve en hızlı cevap elde edilen konum kontrolü yapılır [7,8]. Ancak uygulanması, tam doğru bir model, doğru paramtreler ve herhangi bozucu ve gürültü olmaması şartıyla başarılabilir. Yaklaşık minimum-zaman servomekanizma (Proximate timeoptimal Servomechanism, PTOS) yöntemi ideal bang-bang kontrole dayalı geliştirilmiş ve hard disk sürücülerinde (HDD) başarıyla uygulanmıştır [9-11]. Kayma kipli yaklaşık Özetçe Elektriksel sürücü sistemler için atalet ve sürtünme katsayılarının değişimine ve harici bozuculara karşı dayanıklı ve yüksek performanslı bir konum kontrolü sistemi incelenmektedir. Vektör kontrollü asenkron motorun moment komutu, konum kontrolörünün çıkışı olarak belirlenmektedir. Çok güçlü bir dayanıklı kontrol yöntemi olan kayma kipli kontrol yöntemiyle tasarlanan kontrolör için zamanla değişken yarı-optimal kayma yüzeyi seçilmiştir. Kontrol algoritması, daha yeni ve ilgi gören bir yöntem olan erişim kuralına dayalı tasarlanmıştır. Matematiksel olarak dayanıklılığı garanti edilebilen bu yöntemin uygulandığı konum kontrol sisteminde, dayanıklılık ve performans üzerine erişim kuralının etkileri incelenmiştir. Sistem modelindeki atalet ve sürütünme katsayılarının nominal değerden farklı olduğu parametre belirsizlik durumları ve yük momenti olan bozucunun varlığı göz önüne alınmıştır. Farklı konum referansları için dayanıklılık ve performans üzerine erişim kuralının iki parametresinin etkileri incelenmiştir. 1. Giriş Elektrikli sürücülerin kullanıldığı endüstriyel sistemlerde ya doğrudan motor milinin yada bir yükün sabit veya hareketli bir referans açısı kadar döndürülmesini sağlayan konum kontrol sistemlerine sık sık ihtiyaç duyulur. Ancak bu sistemlerin birçoğunda belirsizlikler ve harici bozucular gibi performansı kötüleştiren etkenler kaçınılmazdır [1]. Bu durumda parametre değişimlerine, modellenmemiş dinamiklere ve harici bozucu girişlere karşı istenen kontrol performansını muhafaza eden veya kabul edilebilir sınırlar içinde tutan “dayanıklı kontrol sistemleri” çok uygun bir çözüm olmaktadır. Klasik doğrusal kontrolörler genellikle parametre değişimlerine, modellenmemiş dinamiklere ve bozucu girişlere karşı tatmin edici sonuçlar vermezler. Bu nedenle dayanıklı kontrol yöntemlerine başvurulur. Kayma kipli kontrol (KKK) yöntemi basitliği ve etkinliği ile dikkat çeken bir dayanıklı kontrol yöntemidir. KKK, uygulandığı sistemlere teorik olarak değişmezlik özelliği kazandırdığından, çok tercih edilir [2-3]. Konum kontrol sistemlerinde belirsizliklere sıkça rastlanmaktadır. Örnek olarak farklı cisimleri tutan bir robot kolunun toplam atalet değeri belirsizlik gösterir. Sürtünmenin doğrusal kabul edilmesi ise içerdiği ihmal ile bir modellenmemiş belirsizlik oluşturur. Ayrıca pratikte çevre ile 776 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya x1(t ) θ x2 (t ) x1(t ) minimum-zaman servomekanizma (sliding mode proximate time-optimal servomechanism, SMPTOS) yöntemi diğer bir yaklaşım olup kayma kipli ve optimal kontrol yöntemlerinin birleşimidir. SMPTOS yöntemi de HDD sistemlerinde küçük parametre değişimleri için başarıyla uygulanmıştır [11-13]. Bu çalışmada, genel amaçlı bir konum kontrolü, yüksek performansı optimal kontrolden alınarak, dayanıklılığı KKK yönteminden alınarak oluşturulan yarı-optimal kayma kipli kontrol (YOKK) yöntemi sunulmaktadır. Öz itibariyle optimal kontrol yörüngeleri kayma kipli kontrolün kayma yüzeyi olarak uyarlanmaktadır. Parametre değişimi ve konum referans aralıklarının genişliğinin pratik değerlere uygun olduğu bir sistem tasarlanmaktadır[14-15]. Bir servo-sistemde, kontrol işareti olan moment pratik nedenle sınırlı iken performansın korunması ve belirsizliklere dayanıklılığın sürdürülebilmesinin kayma yüzeyine bağımlı olduğu ispatlanmıştır. Kayma yüzeyinin parametre belirsizlik aralığını dikkate alıp konum referans değerine bağlı olarak optimize edilmesi gerektiği gösterilmiştir [16]. Minimumzaman konum kontrolü probleminin çözümü olan bang-bang kontrolün faz düzlemindeki optimal yörüngesinin kayma yüzeyi olarak atanmasına dayalı RQTOS yöntemiyle, konum referansına bağımlı olarak zamanla değişen ve parametre belirsizlik sınırını da hesaba katan yarı-optimal kayma yüzeyi aracılığı ile başarılı sonuçlar elde edilmiştir [15]. Böylece minimum aşma, cevap süresi ve sürekli durum hatası özellikleri ile sonuçlanan yeni bir dayanıklı konum kontrolü oluşturulmuştur. Bu yöntem, performans ve dayanıklılık arasında bir optimizasyonu, kayma yüzeyi üzerinden geliştirmiştir. Ancak kayma kipli kontrolör tasarımının dayandırıldığı erişim kuralı yaklaşımının parametrelerinin etkilerinin ne olabileceği araştırılmamıştır. sırasıyla θ, ω motor milinin açısal konumunu ve hızını gösterir. Sistemin kontrol işareti (u) olarak elektromekanik moment alınacaktır. Böylece servomotor sisteminin dinamik denklemi, Jx1 Bx1 u TL (4) olur. Durum denklemleri de aşağıdaki gibi elde edilir: x1 x2 (5) B 1 x1 x2 x2 (u TL ) J J Durum uzayı modelinin matris gösterimi için, 0 1 0 x B , B 1 X 1 , A 0 J J x2 (6) matrisleri tanımlanarak aşağıdaki denklem elde edilir. AX B(u T ) (7) X L şeklinde sistemin durum değişkenleri olarak tanımlanır. Konum kontrolü için durum değişkenlerinin başlangıç şartları ve istenen son değerleri, x1 (0) 0 x1 (T ) ref (8) , x ( 0 ) 0 2 x2 (T ) 0 olarak tanımlanır. Böylece vektör kontrollü motor sisteminin durum denklemi aşağıdaki şekilde elde edilir: x1 (t ) 0 1 x1 (t ) 0 (9) kT u (t ) TL x2 (t ) 0 a x2 (t ) J Denklem (11) de a=B/J kısaltması kullanılmıştır. Kontrol büyüklüğü u(t)=isq moment akımıdır. TL, yük momenti yani harici bozucu etkiyi temsil eder. Bu çalışmanın 2.kısmında servo-motorun modeli, 3.kısmında kontrolör tasarımı, 4.kısmında yarı-optimal kayma yüzeyi tasarımı, 5.kısmında erişim kuralının dayanıklılık ve performans üzerindeki etkilerini gösteren benzetim sonuçları ve irdelenmesi sunulmaktadır. + Bu çalışmada, vektör kontrollü asenkron motorun moment kontrolü ideal olarak ele alınmıştır. Bu kabul, içteki moment kontrol çevrimi dıştaki konum kontrol çevrimine göre çok daha hızlı çalıştığı için yapılabilir. Konum kontrolörünün örnekleme periyodu, moment kontrolörününkine göre çok daha büyük seçilmesi bunu sağlanmaktadır [16]. Benzetimde moment kontrol çevriminin cevap gecikmesi yani elektriksel dinamikleri ihmal edilmiştir. Kontrol girişi motor momenti olup atalet ve sürtünme katsayılarından oluşan mekanik bir servo-sistem modeli kurulmuştur. Asenkron motorun vektör kontrolünde moment, aşağıdaki gibi akımların fonksiyonu olarak ifade edilebilir [6]. - Kayma Kipli Konum Kontrolörü isq kT Te + 1 Js+B x2 1 x1 S Şekil 1. Tasarlanan konum kontrollü servo-sistemin basitleştirilmiş blok diyagramı 3. Kayma Kipli Konum Kontrolörünün Erişim Kuralına Dayalı Tasarımı Konum kontrolü için referans matrisi, ref ref1= ref R 1 , ref2 olarak tanımlandıktan sonra, kayma anahtarlama fonksiyonu L2m 3 P 3 P (1) kT isd isd isq kT isq 2 2 Lr 2 2 Lr Servo sistemin hareketini yöneten diferansiyel denklemi aşağıdaki gibidir [1]. J B Te TL (2) Burada J sistemin toplam atalet katsayısını, B sürtünme katsayısını, Te, TL sırasıyla üretilen moment ile yük momentini göstermektedir. Durum değişkenleri olarak Te TL - ref 2. Servomotor Sisteminin Durum Uzayı Modeli L2m (3) (10) kipli kontrolün CT 1 (11) s CT R X , olarak seçilir. Konum kontrolünde hız referansı ref2=0 alınmaktadır. Buradaki parametresi ikinci mertebeden sistem için seçilen anahtarlama yüzeyinin eğimi olup sistemin kayma 777 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya kipindeki davranışını, dolayısıyla sistemin performansını belirleyen birincil bir tasarım kriteridir. Kayma kipinin karakterinin tasarlandığı gibi oluşup sistemin davranışına hakim olabilmesi için anahtarlama fonksiyonu kararlı şekilde azalmalı ve hızla sıfır değerine ulaşmalıdır. İdeal olarak anahtarlama fonksiyonu sıfıra düştüğünde sistemin yörüngesi kayma yüzeyine oturmuş ve böylece sistem dayanıklılığın sağlandığı kayma kipine girmiştir denilir. Erişim kuralına göre anahtarlama fonksiyonunun uyması istenilen dinamik genellikle aşağıdaki gibi seçilir: (12) s q s sgn(s) Burada q parametresi erişim kipinin, ε ise kayma kipinin dinamiğini yönetmek üzere tanımlanan ikincil tasarım kriterleridir. Bu kuralı sağlayan kontrol işaretine ulaşmak için (12) denkleminin açık ifadesi (5) ve (11) denklemleri kullanılarak yazılmalıdır: k B (13) s q s sgn(s) x2 T u J J Erişim kuralının gerektirdiği dinamik davranışın erişme ve kayma kiplerinde gerçekleşmesini sağlayacak uk ifadesi yukarıdaki eşitliği sağlayan değerlerden oluşacaktır. 1 Bn J n x2 q J n s J n sgn(s) s (14) kT (14) denklemindeki (Jn,Bn) parametre değerleri nominal değerler olarak sabit kalacaktır. Yapılan incelemelerde parametre belirsizliklerine örnek oluşturmak için iki farklı durum seçilmiştir. Bu durumlar; I ve II durumları diye tanımlanarak parametre değişim değerleri Tablo 3’de gösterilmiştir. Pratiğe uygun şekilde, parametre değişiminin alt sınırı olarak inf(J)=0.8Jn, üst sınırı olarak sup(J)=5Jn seçilmiştir. I. durum ölçme hatası olarak, II. durum ise motor miline mekanik bağlantılar eklenmesi sonucunda görülebilecek makul belirsizlik durumlarıdır. (Şekil 2) [15,19]. Sürtünme katsayısı ihmal edilen servosisteme ait minimum-zaman kontrolün faz düzlemindeki yörüngesi Sopt ( X )) sgn( ref x1 ) 2 umax ref x1 x2 sup( j ) (15) denklemiyle ifade edilir. Düşük hızlarda çalışılan sistemlerde sürtünme kolaylıkla ihmal edilebilir [8,11]. İdeal minimumzaman kontrol tam doğru model, doğru paramtreler ve herhangi bozucu ve gürültü olmaması şartıyla başarılabilir. Yinede çok iyi bir referans yörünge olabilir [19]. Anlık konum bilgisinden Sopt(X)=0 yörüngesinde karşılık gelen x2opt hız değeri bulunur, eğimi ise (16) denklemiyle hesaplanır. x2opt (16) ref x1 140 HIZ (x2,rad/s) 120 100 80 60 40 20 0 14 16 18 20 22 24 26 KONUM (x1,rad) 28 30 32 Şekil 2. Optimal yörüngenin referansa vardıkça artan eğimi Sürtünmesiz servo-sistem için maksimum ivmelenme, %50 oranında referans konuma ulaşılıncaya kadar sürer, ardından maksimum frenleme aşamasına geçilir. Sürtünme hesaba katılıyorsa, katsayı ne kadar büyükse bu oran da o kadar artar [13]. RQTOS yönteminde buna benzer (β) denilen bir orana erişiline kadar () yeterince yüksek seçilir maksimum ivmelenme sürdürülür. Bundan sonra kayma yüzeyi olarak, parametre belirsizlik üst sınırına ait optimal yörüngenin eğimi takip edilir. Böylece yarı-optimal dayanıklı konum kontrolü sağlanır. Ayrıca, pratik olarak optimal yörüngenin takip edilebilmesi için sistemin örnekleme frekansının çok yüksek olması gerekir. Bu yüzden yarı-optimal yörüngenin başarıyla izlenebilmesi için bir ingirgeme katsayısı () uygulanır. () değeri RQTOS yönteminde, konum referansına ve belirsizlik üst sınırına bağlı bir amprik fonskiyon olarak tanımlanmıştır. =0.12+0.76*tanh(θref/(sup(J))) sup(J)=sup(J)/Jn (17) İndirgeme katsayısı () iki yerde kullanılır. Birincisi maksimum ivmelenme oranı (β), ikincisi denklem (16) ile bulunan eğim () ile çarpılır [15]. 4. Yüksek performanslı ve dayanıklı konum kontrolü için yarı-optimal kayma yüzeyi tasarımı Yüksek performanslı kontrol istendiği zaman, tasarımda birinci önemli karar kayma yüzeyinin eğiminin belirlenmesidir [16]. Kayma yüzeylerinin tasarlanması için literatürde farklı yöntemler geliştirilmiştir. Bunlardan en yaygın olarak bilinen başlıca iki yöntem vardır. İlk yöntem, kökdeğeri atamasıdır. Bu yöntemin esası, kayma kipi süresindeki kök yapısının anahtarlama yüzeyi üzerinden atanmasıdır. Diğer önemli bir yöntem ise performans endeksi minimizasyonudur. Bu yöntemde anahtarlama yüzeyi, sistemin performansına ilişkin bir amaç fonksiyonu minimize edilecek şekilde optimize edilir [17]. Kayma yüzeyinin eğimi () ne kadar yüksek olursa yükselme zamanı o kadar kısalır. Konum referansı ve belirsizlik arttıkça () azaltılmalı ki istenmeyen salınımlar oluşmasın. Ancak sürekli durumda, () değeri düşük olduğu zaman bozuculara karşı dayanıklılık zayıflayacaktır. Bunun çözümü her konum referansı için zamanla değişen, referansa yaklaştıkça yükselen bir kayma yüzeyini fonksiyon olarak atamaktır [16,18]. Bu gereklilikler minimum-zaman (bang-bang) konum kontrol yönteminde teorik olarak mevcuttur [7,8]. Bang-bang kontrol profili maksimum ivmelenme ve maksimum frenleme diye iki ayrı kip demektir. Her konum referansınının kendine has optimal yörüngesi olup anlık çalışma noktasındaki eğimi hesaplanarak kayma yüzeyinin () değeri olarak atanabilir 5. Benzetim Sonuçları Tasarlanan kontrol sisteminin Matlab Simulink şeması Şekil.3’de gösterilmektedir. Benzetimde örnekleme peryodu 2ms. alınmıştır. Pratik olarak yaklaşık 200 µs sürebilen moment kontrol çevriminin yaklaşık 10 katı büyük örnekleme ile çalışılmıştır. Davranış üzerinde oldukça etkili olan bu seçim, vektör kontrol çevriminin dinamiğini ihmal edebilmeyi garanti altına alınmakatadır [15]. Kullanılan motor parametreleri Tablo 1’de, model belirsizlik durumları ise Tablo 2’de sunulmaktadır. 778 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Durum I hız(rad/s) konum(rad.) Sistemin genel davranışının tüm değişkenler üzerinden izlenmesi amacıyla, Durum I, II belrisizlikleri ve nominal parametre şartlarında, q=25, ε=25 sistemin birim basamak cevabı, sürekli durumda bozucu etkisini de kapsayarak Şekil 4’te sunulmaktadır. q=25, ε=25 alınmıştır. Bu grafikte faz düzlemi eğrisinde yeşil çizgiyle minimum-zaman yörüngesi çizdirilmiştir. Nominal 6 4 2 0 0 60 40 20 0 x2 Durum II 6 4 2 0 0.5 0 1 0.5 1.5 1 1.5 6 4 2 0 0 60 40 20 0 0 0.5 0.5 1 1.5 1 1.5 60 40 20 0 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 Zaman(s) 1.5 TL iq(A.) To Workspace In1 In2 1 1 s x1 j.s+b SERVOSYSTEM Integrator To Workspace1 kt Out1 moment sabiti RLC u t Clock To Workspace2 2 0 -2 0 X2(rad/s) Konum Ref 2 0 -2 0.5 1 Zaman(s) 1.5 50 0 To Workspace3 2 0 -2 0 0.5 1 Zaman(s) 1.5 50 0 5 0 50 0 X1(rad.) 5 0 0 5 X1(rad.) X1(rad.) Şekil 4. ref=360, iki belirsizlik ve nominal parametre şartları için benzetim sonuçlarından konum, hız, moment akımı değişimleri ve faz düzlemi eğrileri (t=1sn’de TL=1Nm yük) Kontrolörün erişim kuralı parametrelerine bağlı olarak iki ayrı belirsizlik durumları, düşük ve yüksek konum referansları için performans incelemesi yapılmaktadır. Şekil 5’te Durum I belirsizliği altında ref=45 ve ref=180 değerlerinde ε=25 iken üç ayrı q değerleri için konum ve faz düzlemi çizdirilmiştir. lamda0 Constant2 1 Switch f(u) In1 .12+.76*tanh(ref/jh) lamda1 Gain1 Switch1 lamda Tablo 2. İncelemelerdeki parametre belirsizliği durumları Durum adı J(atalet) B(sürtünme) To Workspace4 jn*eps Product2 Sign s Gain2 jn*q 1 Saturation Gain Out1 I.durum -0.2·Jn -0.2·Bn II.durum 5·Jn 5·Bn 2 Durum I, Ref=45drc In2 Durum I, Ref=180drc Product 0.8 konum(rad.) jn Product1 Constant1 bn Constant Şekil 3. Tasarlanan kontrol sisteminin ve kontrolör içyapısının Simulink benzetim modelleri 2 215 mH Rs 2.8 Ls 15.1 mH Rr 2.2 Lr 15.1 mH 2 0 0.5 1 0 0 0.5 1 50 20 X2(rad/s) Lm 1 0.2 0 4 q=25 q=50 q=125 0.4 Tablo 1. Benzetimlerde kullanılan motora ait bilgiler P 3 HP Vn 380V Kutup sayısı 3 0.6 40 15 30 10 20 10 Jn 0.0055kg-m isd(Alan akımı) 2A. 5 Bn 0.0011kgm2/s isq,max(max.mom. akımı) 2A. 0 0 0.2 0.4 X1(rad.) 0.6 0 0 1 2 3 X1(rad.) Şekil 5. Durum I belirsizliği, ref=45 ve ref=180 için üç ayrı q değerlerine göre konum ve faz düzlemi değişimleri (ε=25) 779 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Durum II, Ref=45drc konum(rad.) 2 q=25 q=50 q=125 0.4 1 0.2 0 0 0.5 1 10 0 0 0.5 10 5 0 0.2 0.4 0.6 X1(rad.) 0.8 0 0 0.5 1 1 2 X1(rad.) 0.5 1 15 10 4 0 3 0 6 5 2 0 0 20 8 15 eps=25 eps=100 eps=250 1 10 4 0 2 0.4 0 1 6 2 3 0.6 0.2 20 8 Durum II, Ref=180drc 0.8 3 0.6 X2(rad/s) konum(rad.) 0.8 X2(rad/s) Durum II, Ref=45drc Durum II, Ref=180drc 0 0.2 0.4 0.6 X1(rad.) 0.8 0 0 1 2 X1(rad.) 3 Şekil 6.Durum II belirsizliği, ref=45 ve ref=180 için üç ayrı q değerlerine göre konum ve faz düzlemi değişimleri(ε=25) Şekil 8. Durum I belirsizliği, ref=45 ve ref=180 için üç ayrı ε değerlerine göre konum ve faz düzlemi değişimleri (q=25) Şekil 6’da ise sadece Durum II belirsizliği şartları için önceki grafiğin tarzı tekrar izlenerek sonuçlar çizdirilmiştir. q değerinin düşük olması, hem erişim kipini yavaşlatmakta hem de sürekli durumda bozucuya karşı dayanıklılığı kötü etkilemektedir. Ayrıca Şeki 6’da belirsizlik büyük olduğunda istenmeyen aşmalar doğurmuştur. Şekil 7-8, tıpkı Şekil 5-6’daki q yerine üç ayrı ε değerleri için q=25 iken konum ve faz düzlemi değişimlerini göstermektedir. Bu grafiklerde, ε yüksek olsa da erişim kipine faydalı olamadığı, ancak fazla yüksek olmasının hızda çatırtı oluşturduğu görülmüştür. 6. Sonuç Bir servomotor sisteminde erişim kurallı kayma kipli dayanıklı ve yüksek performanslı bir konum kontrol yönteminin tasarımı ve erişim kuralı parametrelerinin performans ve dayanıklılık üzerine etkleri incelenmiştir. Tasarlanan kontrolörde erişim kuralı yaklaşımı sayesinde, erişim ve kayma kiplerinin dinamiğinin belirlenebildiği gösterilmiştir. Anahtarlama fonksiyonunun kararlı şekilde azalmasını sağlayan erişim kuralının (q,) parametrelerinin uygun seçilmesinin önemi irdelenmiştir. Yarı-optimal dayanıklı kontrol stratejisi gereğince, birincil görev olarak kayma yüzeyi tasarlandıktan sonra erişim kuralının da sistem cevabına iki ayrı parametre ile etkileri olduğu gösterilmiştir. q değerinin hem erişim kipini hızlandırmak hem de sürekli durumda bozucuya karşı dayanıklılığı sürdürebilmek için yeterince yüksek tutulmasının önemi gösterilmiştir. ε değerinin erişim kipi üzerinde etkili olmadığı yeterince yüksek olmasının performansı koruduğu gösterilmiştir. Diğer taraftan fazla yüksek ε değerinin hız üzerinde bıraktığı salınımlar bu tür elektromekanik sistemlere zararlı olan çatırtı problemini doğurmuştur. Her iki parametre düşükken belirsizlik yüksek ise istenmeyen aşma problemi de açıkça ortaya çıkmıştır. Sunulan kontrolör tasarımında, erişim kuralı paramtrelerinin dayanıklılık ve performans açısından erişim ve kayma kipleri üzerinde önemli etkileri oldukları gösterilmiştir. Durum I, Ref=45drc Durum I, Ref=180drc konum(rad.) 0.8 3 0.6 2 eps=25 eps=100 eps=250 0.4 1 0.2 0 0 0.5 1 0 0 0.5 1 50 X2(rad/s) 20 40 15 30 10 20 5 10 0 0 0.2 0.4 X1(rad.) 0.6 0 Kaynakça 0 1 2 3 1. W. Leonhard, Control of Electrical Drives, SpringerVerlag, 2001. 2. V.I. Utkin, J. Guldner, J. Shi, Sliding Mode Control in Electromechanical Systems, Taylor&Francis, 1999. 3. S.K. Spurgeon, C. Edwards, Sliding Mode Control Theory and Applications, Taylor&Francis, 1998. 4. J.Y. Hung, W.B. Gao, J.C. Hung, “Variable structure control: A survey”, IEEE Trans Ind Electronics 40(1), p.2-22, 1993. X1(rad.) Şekil 7. Durum I belirsizliği, ref=45 ve ref=180 için üç ayrı ε değerlerine göre konum ve faz düzlemi değişimleri (q=25) 780 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya 5. Gao, W.B., and Hung, J.C., 1993, Variable structure control of nonlinear systems : A new approach, IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 40, no. 1, 45-55. 6. D.W. Novotny, T.A. Lipo, Vector Control and Dynamics of AC Drives, Oxford Un. Press Inc, New York, 1996. 7. A. P. Sage, C.C. White, Optimum Systems Control, Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice Hall Inc., 1977. 8. A.E. Bryson, Y.C. Ho, Applied optimal control (Revised Printing). Taylor& Francis, 1975. 9. M.L. Workman, R.L. Kosut, G.F. Franklin, “Adaptive proximate time optimal servomechanisms: Continuoustime case,” Proceedings of the 1987 American Controls Conference. AACC IEEE 589–94, 1987. 10. M.L. Workman, R.L. Kosut, G.F. Franklin, “Adaptive proximate timeoptimal servomechanisms: Discrete-time case,” Proceedings of the 26th IEEE Conference on Decision and Control IEEE 1548–53, 1987. 11. G. Guo, Y. Wang, R. Zhou, J. Zhou, “Improved proximate time optimal sliding mode control of hard disk drives,” IEE Proc.-Control Theory Appl 148(6): 516-22, 2001. 12. G.F. Franklin, J.D. Powell, M.L. Workman, Digital Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley, 1990. 13. H. Alli, M.İ. Bayındır, “Time-energy optimal control of vector controlled induction motor”, COMPEL: The Intern. Jour. for Computation and Math. in Electrical and Electronic Eng., Vol. 21 No. 2, pp. 235-251, 2002. 14. M.İ. Bayındır, H. Can, Z.H. Akpolat, M. Özdemir, E. Akın, “High performance sliding mode position control with proximate-optimal sliding surfaces,” Int. Aegean Conf. on Electr. Mach & Pow. Electr. (ACEMP2004) Istanbul-TURKEY 521-6, 2004. 15. M.İ. Bayındır, H. Can, Z.H. Akpolat, M. Özdemir and E. Akın, Robust quasi-time-optimal discrete-time sliding mode control of a servomechanism, Electric Power Components and Systems, 35 (8): 885-905, 2007. 16. M.İ. Bayındır, H. Can, Z.H. Akpolat, M. Ozdemir, E.Akın, “Application of reaching law approach to the position control of a vector controlled induction motor drive,” Electrical Engineering 87: 207–15, 2005. 17. V.I. Utkin, K.K.D. Young, “Methods for constructing discontinuity planes in multidimensional variable structure systems,” Automation and Remote Contr 39(10):1466-70, 1979. 18. J.J.E. Slotine, W. Li, Applied Nonlinear Control. PrenticeHall, New Jersey, 1991. 19. G. X. Guo, D. Q. Zhang,, “Discrete-time sliding mode proximate time optimal seek control of hard disk drives,” IEE Proc.-Control Theory Appl., Vol 147, No. 4, p.440446, 2000. 781 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Birinci Dereceden Gecikmeli Proses Modelleri için, Oransal-Integral Kontrol Edicinin Optimum Kontrol Parametrelerinin Yeni Korelasyonlarla Belirlenmesi Gamze İş1,2, Erdoğan Alper3, Ali Elkamel4, C.R. Madhuranthakam4 1,2 Kimya Mühendisliği Bölümü Hacettepe Üniversitesi, Ankara gamzeis@hacettepe.edu.tr 3 Kimya Mühendisliği Bölümü Hacettepe Üniversitesi, Ankara ealper@hacettepe.edu.tr 4 Department of Chemical Engineering University of Waterloo, Waterloo, Ontario, Canada Oransal-integral kontrol ediciler, kimyasal süreç endüstrisinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu makale, birinci dereceden gecikmeli sistemlerin geri beslemeli kontrolünde kullanılan oransal-integral kontrol edicinin optimum kontrol parametrelerinin belirlenmesini sağlayan yeni korelasyonları içermektedir. Bu korelasyonlar; farklı minimum performans kriterleri ayrı ayrı amaçlanarak, servo kontrol ve regülatif kontrol için ayrı ayrı elde edilmiş ve sunulmuştur. Sonuç olarak; proses kontrol parametrelerini, proses parametrelerinin fonksiyonu olarak belirten korelasyonlar elde edilmiş ve literatürdeki diğer tuning yöntemleri ile karşılaştırılmıştır. beslemeli kontrol ile yeterli bir şekilde kontrol edilebildiği dikkate değer bir gerçek olduğundan[5]; Madhuranthakam ve ark.nın ileri sürdüğü prosedür izlenerek, oransal-integral kontrol edici için, hatanın mutlak değerinin integrali (IAE), zaman ağırlıklı hatanın mutlak değerinin integrali (ITAE), hatanın karesinin integrali (ISE) ve zaman ağırlıklı hatanın karesinin integrali (ITSE) ile belirtilen farklı minimum performans kriterleri amaçlanarak her biri için ayrı ayrı servo ve regülatif kontrol tuning korelasyonları oluşturulmuştur. Bir çok kimyasal prosesin dinamik davranışı ise birinci dereceden gecikmeli proses sistemi (FOPTD) olarak (yada yaklaşık olarak) tanımlanabilir. Bu nedenle korelasyonlar bu proses modeli için oluşturulmuştur. 1. Giriş 2. Tuning Korelasyonları Tuning; istenen kapalı döngü cevabını elde edebilmek için, geri beslemeli kontrol edici parametrelerinin ayarlanması olarak ifade edilir. Tuning parametrelerinin değerleri, istenen kapalı döngü cevabına ve kontrol döngüsündeki diğer elemanların, özellikle prosesin, dinamik karakterine bağlıdır [1]. Bu nedenle belirlenen bir sistem için, en uygun kontrol parametrelerinin seçilmesini amaçlayan bir çok çalışma yapılmış, literatürde bir çok tuning prosedürü ve formülü geliştirilmiş ve ileri sürülmüştür. Bunlardan en çok bilineni ise Ziegler-Nichols yöntemidir[2]. Bir diğer çalışma ise Zhuang ve Atherton tarafından yapılmış ve hatanın karesinin integrali (ISE) dahil bir çok minimum performans kriterlerini amaçlayan tuning formüllerini ileri sürmüşlerdir[3]. Madhuranthakam ve ark.[4], birinci dereceden gecikmeli proses modeli (FOPTD), ikinci dereceden gecikmeli proses modeli (SOPTD) ve ‘lead’li ikinci dereceden gecikmeli proses modeli (SOPTDLD) için proses kontrol parametrelerini, proses parametrelerine bağlayan tuning korelasyonlarını içeren yeni bir oransal-integral-türevsel (PID) kontrol edici tuning yöntemi ileri sürmüşlerdir[4]. Çalışmalarında, hatanın mutlak değerinin integrali (IAE) minimizasyonunu amaçlanmış; servo ve regülatif kontrol tuning korelasyonları ayrı ayrı elde edilmiştir. Kimya endüstrisindeki birçok sürecin kontrolü oransal-integral geri Önerilen metotta, Şekil 1’de gösterilen geri beslemeli kontrol sistemi blok diyagramı kullanılmıştır. Bu diyagramda; GP(s) proses transfer fonksiyonunu, GC(s) kontrol edicinin transfer fonksiyonunu, d(s) bozucu giriş değişkeninindeki sapmayı, u(s) kontrol edicinin çıkışını, r(s) set noktasının yatışkın durumdan sapmasını ve y(s) ise kontrol edilen değişkenin yatışkın durumdan sapmasını göstermektedir. Hata ise e(s) ile gösterilmektedir ve (1) denklemi ile gösterildiği gibi hesaplanmaktadır. Bu diyagramda, servo kontrol için, r(s) değişkenine birim basamak etkisi uygulanırken, d(s) değeri sıfır olarak ayarlanmış; regülatif konrol için ise, d(s) değişkenine birim basamak etkisi uygulanırken, r(s) değeri sıfır olarak ayarlanmıştır. Özetçe (1) İdeal oransal-integral kontrol edicinin transfer fonksiyonu ise (2) denklemi ile gösterilmiştir. (2) KC oransal kazanç, τI ise integral sabitini göstermektedir. 782 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya belirlenen birinci dereceden gecikmeli proses parametreleri, uygun ölçeklerle çarpılarak/bölünerek boyutsuzlaştırılırlar. Boyutsuzlaştırılan kontrol edici parametrelerinin, boyutsuzlaştırılan proses parametrelerine karşı grafikleri çizilir. Regresyon tekniği ile bu grafiklerden, basit ve doğru korelasyonlar elde edilir. Sonuç olarak, birinci dereceden gecikmeli proses modeli için, her bir minimizasyon ölçütüne göre, (9) ve (10) denklemlerinde gösterildiği gibi oransal – integral kontrol edici parametrelerini proses parametrelerine bağlayan servo ve regülator tuning korelasyonları elde edilmiştir. Şekil 1: Geri Beslemeli Kontrol Sistemi Blok Diyagramı Bu blok diyagramda sensör ve final kontrol elemanları ayrı olarak gösterilmemiş, proses transfer fonksiyonu bloğunun bu elemanları da içerdiği kabul edilmiştir. Bu proses transfer fonksiyonu, GP(s) ise birinci dereceden gecikmeli proses modeli (FOPTD) ile tanımlanmış ve (3) denklemi ile ifade edilmiştir. (9) (10) (3) Elde edilen korelasyon grafikleri Şekil 2’de gösterilmiştir. Elde edilen ve ileri sürülen tuning korelasyonları ise Tablo 1’de verilmiştir. KP proses kazancını, τ1 proses zaman sabitini, θ ise ölü zamanı göstermektedir. Ayrıca, kullanılan minimizasyon ölçütleri; IAE, ITAE, ISE ve ITSE ifadeleri sırasıyla (4), (5), (6) ve (7) denklemlerinde ifade edilmiştir. 3. FOPTD Durum Çalışmaları (5) Bu bölümde farklı minimizasyon ölçütlerine göre elde edilen korelasyonların performansı, çok iyi bilinen diğer tuning yöntemleri; Ziegler – Nichols kapalı çevrim ve Cohen-Coon tuning [6] yöntemlerinin performansları ile karşılaştırılmıştır. Bu amaçla, 3 farklı örnek proses belirlenmiş ve bu proseslerin transfer fonksiyonları sırasıyla (11), (12) ve (13) denklemleri ile gösterilmiştir. (6) (11) (4) (7) (12) Çalışma sırasında sırasıyla şu basamaklar izlenmiştir: Birinci dereceden gecikmeli (FOPTD) proses modeli incelendiği için, bu proses tipinde; τ1, proses zaman sabiti ile θ, ölü zaman değerleri, 1 ile 50 arasında değişen proses modelleri kümesi oluşturulmuştur. Belirlenen proses modellerindeki, proses zaman sabitlerinin, ölü zaman değerlerine oranı aralığı (8) denklemi ile gösterilmiştir. (13) Bu örnek proseslere, sırasıyla Ziegler-Nichols kapalı çevrim yönteminden, Cohen-Coon yönteminden ve ileri sürülen korelasyonlardan elde edilen oransal-integral kontrol edici parametrelerinin kullanıldığı geri beslemeli kontrol sistemi simulink programı ile uygulanmış ve simulasyon sonuçları Şekil 3’de ve elde edilen cevaptaki en büyük aşım (Os), yükselme zamanı (Tr), yerleşme zamanı (Ts) ve performans kriterleri değerleri (IAE, ITAE, ISE ve ITSE) Tablo 2’de verilmiştir. Şekil 3 ve Tablo 2 incelendiğinde, ileri sürülen korelasyonların, klasik tuning yöntemleri olarak bilinen bu iki yöntemden pek çok bakımdan, çok daha iyi sonuç verdiği görülmüştür. Şekil 3a, 3b ve 3c grafikleri; sırasıyla GP1, GP2, ve GP3 prosesleri için, set noktası değişimine verilen kapalı döngü cevaplarıdır. Bu grafiklere karşılık gelen, performans değerleri ise Tablo 2’de mevcuttur. Her üç durum çalışmasında da; ileri sürülen korelasyonların cevabı, Ziegler-Nichols ve CohenCoon yöntemlerinden daha kısa yerleşme zamanı (Ts), daha küçük en büyük aşım değeri (Os) ve daha küçük performans kriterleri değerlerine (IAE, ITAE, ISE ve ITSE değerleri) sahiptir. Özellikle, Ziegler-Nichols yönteminin, ölü zaman/proses zaman sabiti oranı (θ/τ1) arttıkça, ileri sürülen (8) Belirlenen her proses modeli için Ziegler-Nichols kapalı çevrim tuning yöntemi uygulanmış ve bu yönteme göre elde edilen optimum oransal-integral kontrol edici parametreleri (KC oransal kazanç ve τI integral sabiti) Matlab programında yürütülen optimizasyon programında başlangıç değerleri olarak kullanılmıştır. Matlab ve Simulink programının eş zamanlı çalıştırılması ile gerçekleştirilen optimizasyon işlemi ile sırasıyla birinci basamakta belirlenen her proses modeli için her bir minimizasyon ölçütünün (IAE, ITAE, ISE ve ITSE) değerlerinin minimum olduğu oransal-integral kontrol edici parametreleri elde edilir. Her bir minimizasyon ölçütü için; elde edilen optimum oransal-integral kontrol edici parametreleri ve ilk basamakta 783 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya KcKp 8,0 KcKp y = 0,4591x-1,126 R² = 0,9747 7,0 6,0 12,0 10,0 y = 0,4755x-1,269 R² = 0,9837 8,0 y = 0,4834x-1,21 R² = 0,9678 0,417x-1,174 y= R² = 0,946 5,0 4,0 IAE- SERVO 6,0 ITAE-SERVO 4,0 IAE-LOAD 3,0 ITAE-LOAD 2,0 2,0 1,0 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 θ/(θ+τ1) 0,8 0,0 1,0 0,0 0,2 0,4 θ/(θ+τ1) 0,6 0,8 1,0 (e) (a) KcKp 9,0 KcKp 14,0 y = 0,478x-1,183 R² = 0,9982 8,0 12,0 7,0 y = 0,4342x-1,177 R² = 0,9938 6,0 y = 0,5387x-1,315 R² = 0,9905 10,0 8,0 5,0 4,0 3,0 ISE-SERVO 6,0 ITSE-SERVO 4,0 y = 0,5036x-1,288 R² = 0,9902 ISE-LOAD 2,0 1,0 2,0 0,0 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 θ/(θ+τ1) 0,8 1,0 ITSE-LOAD 0,0 0,2 0,4 θ/(θ+τ1) 0,6 0,8 1,0 (f) (b) τi/θ τi/θ 4,0 12,0 y = 0,8197x-1,068 R² = 0,9609 10,0 y = 3,5423x2 - 6,7028x + 4,1042 R² = 0,9517 3,5 3,0 y = 0,7372x-1,1 R² = 0,9307 8,0 y = 2,1202x2 - 5,0508x + 3,666 R² = 0,9243 2,5 2,0 6,0 4,0 IAE-SERVO 2,0 ITAE-SERVO 1,5 IAE-LOAD 1,0 ITAE-LOAD 0,5 0,0 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 θ/(θ+τ1) 0,8 0,0 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 θ/(θ+τ1) (g) (c) τi/θ τi/τ1 20,0 y= R² = 0,9949 18,0 16,0 14,0 3,5 3,0 y = 0,6721x-1,253 R² = 0,9856 12,0 y = 3,0447x2 + 1,5048x + 0,3332 R² = 0,977 4,0 0,7326x-1,331 y = 1,8377x2 + 2,1668x + 0,1714 R² = 0,9729 2,5 10,0 2,0 8,0 6,0 1,5 ISE-SERVO 4,0 ISE-LOAD 1,0 ITSE-LOAD ITSE-SERVO 2,0 0,5 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 θ/(θ+τ1) 0,0 0,2 0,4 θ/(θ+τ1) 0,6 0,8 1,0 (h) (d) Şekil 2: İleri sürülen korelasyonların elde edildiği, boyutsuz kontrol parametrelerinin boyutsuz proses parametrelerine karşı grafikleri: (a,b, c ve d) servo kontrol, (e,f, g ve h) regülatif kontrol korelasyonlarını göstermektedir. 784 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Tablo 1: İleri Sürülen Oransal-İntegral (PI) Tuning Korelasyonları Tuning Parametresi Servo Kontrol IAE Minimizasyonu Korelasyonu Regülatif Kontrol KC τI ITAE Minimizasyonu Korelasyonu KC τI ISE Minimizasyonu Korelasyonu KC τI ITSE Minimizasyonu Korelasyonu KC τI 4. Sağlamlık Çalışmaları korelasyonlardan ve Cohen-Coon yönteminden çok daha kötü cevap verdiği görülebilir. Ziegler-Nichols yöntemi, ikinci durum çalışmasında (θ/τ1 oranı 1 iken); yükselme zamanı değerinde, istenen set noktası değeri üzerine çıkamamış ve set noktası değerinin altında osilasyon yaparak, istenen set değerine çok geç ulaşmıştır. Aynı durum, üçüncü durum çalışmasında (θ/τ1 oranı 2 iken); çok daha net olarak görülebilmektedir. Hatta, bu durumda yerleşme zamanına kadar istenen set noktasına hiç ulaşılamamıştır. Dolayısıyla; yükselme zamanı, yerleşme zamanına eşit olmuştur. Durum çalışmalarındaki yükselme zamanları kıyaslandığında ise; ilk iki durum çalışmasında, Cohen-Coon yönteminin nispeten ileri sürülen korelasyonlardan daha kısa yükselme zamanına sahip olduğu ancak, θ/τ1 oranının 2 olduğu üçüncü durum çalışmasında ise ileri sürülen korelasyonların daha küçük yükselme zamanına sahip olduğu görülmektedir. Şekil 3d, 3e ve 3f grafikleri; sırasıyla GP1, GP2, ve GP3 prosesleri için, bozucu etki değerindeki birim değişime verilen kapalı döngü cevaplarıdır. Bu grafiklere karşılık gelen, performans değerleri ise Tablo 2’de mevcuttur. Her üç durum çalışmasında da; ileri sürülen korelasyonların cevabından elde edilen performans kriterleri değerlerinin (IAE, ITAE, ISE ve ITSE), diğer yöntemlerden elde edilen değerlere göre daha düşük olduğu Tablo 2’den görülebilmektedir. (Sadece üçüncü durum çalışmasında Cohen-Coon yönteminden elde edilen ITAE değeri ileri sürülen korelasyonlardan daha düşük olarak elde edilmiştir.) Ayrıca, θ/τ1 oranının nispeten yüksek olduğu ikinci ve üçüncü proses tipinde, servo kontrol kısmında olduğu gibi, yine Ziegler-Nichols yönteminin, set noktasına ulaşmadan osilasyon yaparak, çok geç set değerine ulaştığı görülmektedir. Bir kontrol sisteminin sağlamlığının (robustness) değerlendirilmesi genel olarak; o sistemdeki proses parametrelerini rastgele değiştirirken, proses kontrol parametrelerini sabit tutarak gerçekleştirilir. Bu çalışma; (proses modellerinde kesinlik olmadığı yada hata olduğu durumlar) proses parametrelerinde değişiklik olduğunda, öne sürülen kontrol parametrelerinin performansının nasıl değiştiğini test etmek amacıyla yapılır. Öne sürülen korelasyonların proses modeli parametreleri belirsizliği karşısında sağlamlığını test etmek için, denklem (14) ile belirtilen proses modelinin parametreleri, % 20 oranında değiştirilirken, proses kontrol parametreleri aynı bırakılmış ve bu durumda sistemdeki performans değişimi incelenmiştir[7]. Proses modelinin parametreleri, % 20 oranında değiştirilirek elde edilen proses modeli denklem (15) ile gösterilmiştir. (14) (15) Kullanılan proses kontrol parametreleri Tablo 3’de, elde edilen performans değerleri ise Tablo 4’de gösterilmiştir. Sağlamlık açısından, Ziegler-Nichols ve Cohen-Coon yöntemleri ile karşılaştırabilmek amacıyla, simülasyon grafikleri Şekil 4’de verilmiştir. Şekil 4a, GP4 proses modelinin, ileri sürülen IAE minimizasyonu korelasyonu, Ziegler-Nichols yöntemi ve Cohen-Coon yönteminden elde edilen tuning parametrelerinin kullanıldığı set noktasında birim değişim için kapalı döngü cevabını göstermektedir. 785 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya (a) τ1=5, θ=1 (d) τ1=5, θ=1 (b) τ1=5, θ=5 (e) τ1=5, θ=5 (c) τ1=5, θ=10 (f) τ1=5,θ=10 Şekil 3: Korelasyonların diğer tuning yöntemleri ile karşılaştırıldığı durum çalışmaları grafikleri* Tablo 2: Durum çalışmalarında kullanılan tuning parametreleri ve elde edilen performans değerleri* Servo Kontrol Proses Metod Kc τi Tr Z-N 3.86 3.08 C-C 4.58 2.35 Regülatif Kontrol ITAE ISE ITSE Kc τi IAE ITAE ISE ITSE 2.71 6.24 1.72 2.10 3.86 3.08 0.802 3.09 0.136 0.419 3.97 15.48 2.30 4.68 4.58 2.35 0.790 3.69 0.110 0.340 Ts Os IAE 2.20 7.25 1.44 2.00 12.25 1.74 PMIAE 3.45 5.56 2.50 4.55 1.17 2.15 - - - 4.62 3.09 0.712 - - - PMITAE 3.42 5.29 2.50 4.65 1.18 - 3.44 - - 4.23 2.88 - 2.70 - - GP1(s) PMISE 3.98 7.95 2.3 7.15 1.20 - - 1.50 - 5.68 3.34 - - 0.099 - PMITSE 3.58 6.34 2.50 7.05 1.16 - - - 1.24 5.06 2.92 - - - 0.310 Z-N 1.03 12.91 11.90 46.45 - 12.56 192.5 7.45 38.62 1.03 12.91 12.55 317.3 4.43 68.96 C-C 0.983 5.69 10.10 40.15 1.38 12.18 136 7.69 40.0 0.983 5.690 8.309 142.4 3.52 44.49 PMIAE 1.00 8.59 10.9 29.6 1.14 9.91 - - - 1.15 8.191 7.70 - - - PMITAE 0.94 7.90 11.20 29.85 1.13 - 74.29 - - 1.12 8.35 - 125.4 - - PMISE 1.09 9.22 10.30 28.95 1.174 - - 7.02 - 1.34 9.23 - - 3.20 - GP2(s) GP3(s) * PMITSE 0.98 8.01 10.80 29.65 1.155 - - - 28.08 1.23 8.57 - - - 40.72 Z-N 0.691 22.88 116.8 116.8 - 31.79 1103 16.61 244.7 0.691 22.88 31.27 1502.1 13.40 422.3 PMIAE: IAE minimizasyonu için ileri sürülen korelasyonlar yöntemi PMITAE: ITAE minimizasyonu için ileri sürülen korelasyonlar yöntemi PMISE: ISE minimizasyonu için ileri sürülen korelasyonlar yöntemi PMITSE: ITSE minimizasyonu için ileri sürülen korelasyonlar yöntemi Z-N: Ziegler-Nichols tuning yöntemi C-C: Cohen-Coon tuning yöntemi 786 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya C-C 0.533 7.35 21.10 55.15 1.20 19.12 269.4 13.97 108.54 0.533 7.342 17.15 461.8 10.12 224.1 PMIAE 0.72 12.64 20.10 51.45 1.09 18.74 - - - 0.795 12.11 17.07 - - - PMITAE 0.67 11.52 20.70 52.05 1.07 - 263.8 - - 0.79 12.41 - 513.0 - - PMISE 0.77 12.57 19.20 50.55 1.15 - - 13.31 - 0.92 13.45 - - 9.17 - PMITSE 0.70 11.17 19.90 51.55 1.13 - - - 100.5 0.85 12.16 - - - 207.2 (a) (b) Şekil 4: Sağlamlık Çalışmaları Grafikleri* Tablo 3: Sağlamlık Çalışmalarında Kullanılan Tuning Parametreleri* Metot PMIAE PMITAE PMISE PMITSE ZN CC KC 0.26 0.24 0.28 0.26 0.281 0.2867 τI 2.18 2.02 2.48 2.12 2.742 1.4328 Tablo 4: Sağlamlık Çalışmalarında Elde Edilen Performans Değerleri* Proses Önerilen metot Ziegler - Nichols Cohen-Coon IAE ITAE ISE ITSE IAE ITAE ISE ITSE IAE ITAE ISE ITSE GP4(s) 2.05 3.03 1.44 1.14 2.19 4.86 1.44 1.21 2.85 7.85 1.70 2.16 GP5(s) 4.77 18.8 2.67 6.45 5.39 38.7 2.53 7.99 8.20 89.7 3.68 22.4 Şekil 4b ise, GP5 proses modelinin, yine aynı tuning parametrelerinin kullanıldığı set noktasında birim değişim için kapalı döngü cevabını göstermektedir. Bu durumda oluşan, performans değişimine bakıldığında Ziegler-Nichols ve ileri sürülen korelasyonlarda yaklaşık olarak aynı derecede değişim olduğu görülmüştür (Tablo 4). Ancak, Cohen- Coon yönteminde ise proses parametrelerinin değişmesi ile sistem kararlı olmayan cevap vermiştir. Kaynakça [1] C. A. Smith, Principles and Practice of Automatic Control, 2 ed.: John Wiley & Sons, Inc., 1997. [2] J. Ziegler and N. Nichols, "Optimum settings for automatic controllers," trans. ASME, vol. 64, 1942. [3] M. Zhuang and D. P. Atherton, "Automatic Tuning of Optimum Pid Controllers," Iee Proceedings-D Control Theory and Applications, vol. 140, pp. 216-224, May 1993. [4] C. R. Madhuranthakam, A. Elkamel, and H. Budman, "Optimal tuning of PID controllers for FOPTD, SOPTD and SOPTD with lead processes," Chemical Engineering and Processing, vol. 47, pp. 251-264, Feb 2008. [5] M. W. Foley, N. R. Ramharack, and B. R. Copeland, "Comparison of PI controller tuning methods," Industrial & engineering chemistry research, vol. 44, pp. 6741-6750, 2005. [6] G. Cohen and G. Coon, "Theoretical consideration of retarded control," Trans. Asme, vol. 75, pp. 827-834, 1953. [7] S. Tavakoli and M. Tavakoli, "Optimal tuning of PID controllers for first order plus time delay models using dimensional analysis," in Control and Automation, 2003. ICCA'03. Proceedings. 4th International Conference on, 2003, pp. 942-946. 4. Sonuçlar Bu makalede; proses kontrol parametrelerini, proses parametrelerine bağlayan tuning korelasyonlarını içeren yeni oransal-integral kontrol edici tuning korelasyonları ileri sürülmüştür. Elde edilen korelasyonların performansı, belirlenen üç örnek durum çalışmasında incelenmiş ve diğer tuning yöntemlerinin performansları ile karşılaştırılmıştır. İleri sürülen yöntemin, özellikle yerleşme zamanı (Tr), en büyük aşım değeri (Os) ve minimizasyonu istenen performans kriteri (IAE, ITAE, ISE veya ITSE) bakımından bu yöntemlerden daha iyi sonuç verdiği görülmüş, özellikle ölü zaman/proses zaman sabitinin nispeten yüksek olduğu durumlarda bu yöntemlere göre çok daha iyi performans gösterdiği görülmüştür. Ayrıca, ileri sürülen yöntemin sağlamlılık çalışmaları gerçekleştirilmiş ve tüm proses parametrelerinde % 20 değişim olması durumunda gerçekleşen performans değişimi incelenmiştir. 787 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Doğrusal Olmayan Sistemlerin Optimal Denetimi için Yakınsama Yaklaşımı ve Uygulaması Nurdan Bilgin1, Metin U. Salamcı2 1 Gazi Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü Otomatik Kontrol Laboratuvarı, Maltepe/Ankara nurdanb@gazi.edu.tr 2 Gazi Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü, Maltepe/Ankara msalamci@gazi.edu.tr Doğrusal olmayan sistemler için durum geri besleme denetimci tasarımı da önemli yer tutmaktadır. Bu alandaki yaklaşımlardan biri, Durum Değişkenine Bağlı Riccati Denklemi çözümleri kullanılarak bir nevi durum değişkenine bağlı geri besleme kazanç katsayıları kullanmayı öneren SDRE (State Dependent Riccati Equation) yöntemidir. Yöntem, doğrusal olmayan sistemlerin denetim tasarımında özellikle benzetimlerde oldukça tatminkar sonuçlar verirken, sadece lokal kararlılığın ispatlanmış olması nedeniyle uygulama alanında aynı ölçüde çalışma sonuçları yayınlanmamıştır [6]. Özetçe Bu çalışmada, doğrusal olmayan sistemlerin denetimi için ardışık Doğrusal Zamanla Değişen (DZD) sistemlerin yakınsama algoritması ele alınarak denetici girişi –yakınsama modelindeki durum değişkenleri cinsinden- yeniden düzenlenmektedir. Önce ardışık doğrusal zamanla değişen yakınsamanın, doğrusal olmayan sistem için var olan optimal denetimi belirlemede kullanılabileceği gösterilmekte, daha sonra ardışık doğrusal zamanla değişen sistem için optimal denetim algoritması kullanılarak bu denetimin doğrusal olmayan sisteme uygulanabilmesi sağlanmaktadır. Yöntemin geçerliliği, rijit bir uydu modelinin konumunun optimum denetimi amacıyla benzetimlerle gösterilmektedir. Doğrusal olmayan sistemlerin durum geri besleme denetimci tasarımı için diğer bir yaklaşım ise, doğrusal olmayan sistemlerin, yine ardışık Doğrusal Zamanla Değişen (DZD) sistemler olarak ele alınması yaklaşımıdır. Bu yaklaşım ile ilgili teorik sonuçlar daha önceki çalışmalarda verilmiştir [1, 2, 7-8]. Özetle; önce doğrusal olmayan sistem, durum değişkenine bağlı katsayılar matrisleri oluşturularak durum değişkenleri ve denetim giriş vektörleri cinsinden doğrusal hale getirilmektedir. Daha sonra, ardışık olarak durum değişkenine bağlı katsayılar matrisi (durum değişkenlerine bağlı olarak) değerlendirilmek suretiyle doğrusal zamanla değişen sistemler elde edilmektedir. Böylelikle denetim algoritmasının ardışık DZD sistemler için tasarlanması mümkün olabilmektedir. Diğer bir ifade ile, ardışık DZD sistemler için durum geri besleme veya optimum denetim tasarımı gibi farklı denetim tasarımları yapılabilmektedir. 1. Giriş Doğrusal olmayan dinamik sistemlerin denetimi, matematik, fizik ve mühendislik alanlarında, çoğunlukla gerçek sistemlerin doğrusal olmamaları nedeniyle, önemli bir araştırma alanını oluşturmaktadır. Uygulama kolaylığı nedeniyle, bazı kabullerle sistemleri belirli çalışma aralıkları içerisinde doğrusallaştırarak (veya doğrusal kabul ederek) denetim algoritmaları tasarlamak yaygın ve geçerli bir yöntem olarak kabul görmüştür. Ancak günümüz teknolojisinde, özellikle robotik, havacılık ve savunma sanayi gibi yüksek doğruluk gerektiren alanlarda dinamik sistemleri doğrusallaştırma yaklaşımı yeterli olmamaktadır. Bu durum araştırmacıları doğrusal olmayan sistemler için geçerli olacak yeni yöntemler geliştirmeye yönlendirmiştir. Bu yöntemlerden birisi, doğrusal olmayan sistemlerin ardışık doğrusal zamanla değişen sistemler dizisi olarak ele alınmasına dayanmaktadır [1-3]. Doğrusal olmayan sistem, ardışık doğrusal zamanla değişen sistemler dizisi olarak ele alındığında, doğrusal sistemler için geliştirilmiş birçok denetim algoritması doğrusal olmayan sistemler için de kullanılabilir olmaktadır. Böylelikle yöntemin çok değişik alanlarda uygulanabilmesi sağlanmaktadır. Örneğin, doğrusal olmayan sistemlerin ardışık doğrusal zamanla değişen sistemler olarak ele alınması ile kayan kipli denetim tasarımı ve doğrusal olmayan sistemin denetiminin gerçekleştirilmesine yönelik farklı çalışmalar litaratürde yerini almıştır [4-5]. Bu çalışmada, ardışık DZD yaklaşımının optimum denetim tasarımı ile ilgili uygulamaları ele alınmaktadır. Daha önce yapılan çalışmalarda, ardışık DZD sistemi için tasarlanan optimum denetimin DZD sisteme uygulanması sonucunda elde edilen zaman cevabının doğrusal olmayan sistemin zaman cevabına yakınsadığı ispat edilmiştir [7-10]. Ancak, ardışık DZD sistemi için tasarlanan optimum denetimin doğrusal olmayan sistemin optimum denetimi olduğu kanıtlanmamıştır. Bu çalışmada, doğrusal olmayan sistem için tasarlanmış optimum denetimin ardışık DZD sistemleri yardımıyla elde edilebileceği gösterilmiş, daha sonra doğrusal olmayan sistemler ardışık DZD ile modellenerek optimum denetim tasarlanmıştır. Önerilen algoritma, optimum denetimin 788 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya [ ] aralığında , ise { [ ] ( )} ( ) denilebilmektedir. Böylelikle, doğrusal olmayan sistem, ardışık DZD sistemleri ile modellenebilmekte ve doğrusal olmayan sistemin analizi veya doğrusal olmayan sistem için denetim algoritması tasarımı ardışık DZD sistemleri vasıtasıyla yapılabilmektedir [1-5, 7-10]. Bu çalışmada, doğrusal olmayan sistem için optimum denetimci tasarımı için ardışık DZD modelleri kullanılmaktadır. belirlenmesi için daha önce önerilmiş başka bir yakınsama algoritmasının [11] sonuçlarının bulunmasında kullanılmıştır. İlgili makalede seçilen örnek, kolaylık sağlaması açısından bu çalışmada da kullanılarak, her iki yöntemin karşılaştırılabilmesi sağlanmıştır. Bu çalışmada daha önce yapılan çalışmalardan farklı olarak hem sistem denklemlerinde hem de optimum denetimin belirlenmesinde yakınsama yaklaşımı kullanılmıştır. Önerilen yöntem, doğrusal olmayan sistem için optimal bir denetim varsa bu denetimin ardışık DZD algoritması ile bulunmasını garanti etmektedir. Bu amaçla çalışma, bölüm 3’de özet olarak verilen Taylor serileri temelinde, doğrusal olmayan sistemler için yaklaşık optimum denetim öneren yaklaşım [11] ile karşılaştırılarak, bu çalışmaya konu olan yöntemin uygulama kolaylığı açısından avantajları sergilenmektedir. 3. Taylor Seri Açılımı Temelli Yöntem Doğrusal olmayan sistemlerin optimum denetiminin belirlenmesi için farklı yöntemler önerilmektedir. Bu bölümde Chen ve arkadaşları tarafından [11]’de önerilen yöntem, bu çalışmada verilen yöntemin karşılaştırılması için, ele alınmıştır. [11]’de doğrusal olmayan sistemin optimum denetim problemi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır. Çalışmanın 2. bölümünde ardışık DZD yakınsama yöntemi, 3. bölümünde ise doğrusal olmayan sistemlerin optimum denetiminin belirlenmesi amacıyla [11]’de tanımlanan yöntem aktarılmaktadır. 4. bölümde ise optimum denetim için geliştirilen yöntemin temel teorisi aktarılmaktadır. Ardından bölüm 5’de önerilen yöntem bir rigit uydu modeline uygulanmakta ve elde edilen benzetim sonuçları sunulmaktadır. Sonuçlar ise 6. bölümde tartışılmaktadır. (T1) ( ) ̇( ) (K1) ( ) Taylor serisi açılımıyla denge (veya çalışma noktası) etrafında doğrusal olmayan sistemlerin doğrusallaştırılması, sistem davranışının çalışılmasında ve uygun denetçi tasarımında oldukça yaygın olarak kullanılmaktadır. Ancak bu yöntem denge noktalarının yakın komşuluklarında etkilidir ve doğrusal olmayan sistemin tüm çalışma koşulları için geçerliliğini genellikle koruyamaz. Bu bölümde, doğrusal olmayan sistemlerin bir grubu için doğrusal olmayan sistemin, ardışık doğrusal zamanla değişen sistemler olarak ele alınması olarak ifade edilebilen yakınsama tekniği (sayfa sınırlaması nedeniyle ispatı verilmeksizin) anlatılmaktadır (İspat için bknz. [1-3]). Aşağıdaki gibi doğrusal olmayan sistem düşünülürse, ( ) ( ) (K2) ̇[ ]( ̇ [ ]( ) [ ]( ) ( ( [ [ ]( ]( [ ]( ) )) )) [ [ ]( ]( ) ) [ [ ]( ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Burada ( ) ∑ ( ) ∑ ve ( ) kuvvet ( ) ’in kuvvet ( ) (K4) kabulüyle, optimum geribesleme denetim girişi aşağıdaki gibi tanımlanabilir, ( ) ( ) ( ) ( ) Burada (T1)’de verilen ( ), Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) eşitliğini sağlayan fonksiyonun değeridir. (İspat için Bkz. [11]) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( )) ( )] () () ( ) ( ) ( ) ( ) analitik sonsuza dek türevlenebilir fonksiyonlardır. (K5) serisi ( ) ) ( ) (K4) (T1) ile verilen tanım optimal denetim olarak kabul edilir. ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) (K3) ( ) serisini temsil etmekte ve ( ) Durum değişkenlerine bağlı katsayı matrisi ( )’in Lipschitz koşulunu sağladığı varsayılarak, (1)’de verilen doğrusal olmayan sistemin, takibeden doğrusal zamanla değişen sistemler olarak ifade edilmesi mümkündür. ̇ [ ]( ) ( ( )) ( ( )) ( ) Burada ( ) minimize edilecek karesel bir maliyet fonksiyonu ( ) [ ve ( ) ) dir. Aynı çalışmada optimum denetimin belirlenmesi için aşağıdaki kabuller yapılmaktadır. 2. Yakınsama Yöntemi: Doğrusal Olmayan Sistemin, Doğrusal Zamanla Değişen Sistemler Olarak Ele alınması ̇ ∫ [ ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bu dizinin çözümü, { [ ] ( )} ,doğrusal olmayan sistemin çözümüne yakınsar, başka bir ifade ile t belirli bir zaman 789 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya (K1)-(K5)’de verilen kabüller temelinde, ( ) ( )( ) ( ) () () () () ( ) fonksiyonları orijin etrafında kuvvet (Taylor) serileriyle açılabilir, yani; ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ( ) ( ) ∑ yerine, sistemin her bir yakınsama için, herbir adımda bir önceki yakınsamanın aynı adımında üretilen durum değişkenlerini ve sistem matrislerini kullanarak çözdüğü Diferansiyel Riccati Denkleminin sonucunu kullanması yolu gözetilmiştir. Diferansiyel Riccati denklemi, son değeri sıfır olarak verilerek geri integrasyon yöntemiyle çözülmüştür. Özetle, doğrusal zamanla değişen sistem için optimal geri besleme kazanç katsayı matrisinin bulunması, yukarıda bahsedilen yaklaşımla ( ) ( ) ( ) ̇ [ ]( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) [ ]( ( ) [] ( ) ( ) Burada ( ) ( ) i. dereceden uygun olan skaler veya matris polinomları temsil etmektedir. Aşağıda bu çalışmanın konusu yöntem anlatılmakta, ardından [11]’de verilen örnek her iki yöntemle tekrar çözülerek karşılaştırılmaktadır. ( ) ( ) [] ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ̃( ) ( ̃( ) [ ]( [ ]( ) ) ) ( ( ̃( ) ]( ) ̃( ̃( ̇ [ ]( ) [ [ ]( ]( )) )) [ [ ]( ]( ) [ ) [ ]( ) ]( ) ̇ [ ] ̇ ) ( ) ( ) [ ]( )} [ ]( [] )) ( ) ( ) [ ]( )) [] () [ ] [ ] Minimize edilecek karesel maliyet fonksiyonundaki ağırlık ( ) [ [ ] ve başlangıç koşulları ] Bölüm 3’de verilen yöntemle bulunan optimum denetim girişi fonksiyonunun beşinci dereceden yaklaşık değeri aşağıdaki gibi bulunmuştur [11]. Bölüm 2’deki yaklaşımla, bu dizinin çözümü de, { [ ] ( )} ,doğrusal olmayan sistemin çözümüne yakınsar, aynı şekilde t belirli bir zaman aralığında [ ] , ise { ( ( ) matrisleri, ̇[ )) Aşağıdaki örnekte, bölüm 3 verilen optimum denetim belirleme yöntemi sonucunda elde edilen denetim girişi, ardışık DZD yardımıyla elde edilmektedir. Böylelikle, doğrusal olmayan sistemler için varsa optimum denetimin ardışık DZD ile belirlenebileceği gösterilmektedir. Örnek [11]’den alınmıştır. Sürekli karıştırılan tank reaktörün sistem denklemleri, ̃ ( ) matrisinin Lipschitz koşulunu sağladığı kabul edilmektedir. Uygun kazanç katsayısı bulunabildiğinde, (10)’da verilen doğrusal olmayan sistemin, ardışık doğrusal zamanla değişen sistemler olarak ifade edilmesi mümkündür. ̇ [ ]( ) ]( şeklinde bulunur. ( ) ( ) )) [] )) ( ) ̇ formuna dönüşür. Kapalı çevrim sistem matrisi, ̃ ( ) ( ) ( ) ( ) şeklinde tanımlanırsa, sistem aşağıdaki gibi yazılabilir; ̇ ]( ]( [ elde edilir. Burada yakınsama sayısını ifade etmektedir. Elde edilen kazanç katsayısının, sistemin çözümünde yerine konulmasıyla kapalı çevrim sistem denklemi ( ) ( ) var Doğrusal olmayan sistem için optimal bir olduğu kabul edilirse, optimum geri besleme kazanç katsayı matrisi ardışık DZD ile tanımlanabilir, yani [ ] ( ) ( ) ( ) ( [ ] ( )) şeklinde yazılabilir [12]. Böylece (8)’de yerine konularak, denklemin yeni şekli ̇ [ [ ( ) ( şeklinde ifade edilebilen (İspat için bknz. [7, 8]), simetrik, yarı-pozitif tanımlı denkleminin çözümü ile Bu çalışmada aşağıdaki gibi tanımlanabilen doğrusal olmayan sistemler ele alınmaktadır. Sistem, durum değişkenlerine bağlı katsayılar matrisleri kullanılarak standart doğrusal sistem formuna benzetilmektedir. ( ) ( ) ( ( 4. Yakınsama Yönteminin Optimal Denetim için Genişletilmesi ̇ [] ) ( ) ( ) denilebilmektedir. Uygun kazanç katsayısının bulunması problemine geri dönülürse, başka yöntemlerle kazanç katsayısı oluşturmak 790 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Belirlenen denetim girişi, bir kez de ardışık DZD yaklaşımı ile hesaplanmaktadır. Verilen örneğin, bölüm 3 ve bölüm 4’de anlatılan yöntemlerle çözümünün benzetim sonuçları aşağıdaki gibidir. İkinci Durum Değişkenleri x2 karşılaştırılması 3 x2 Önerilen Yöntem x2 Yue Chen ve ark. 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 50 100 150 200 250 300 Zaman, sn Şekil 2: İkinci durum değişkenleri karşılaştırılması Şek. 3’te iki yöntemin kullandığı denetim girişleri-zaman değişimi karşılaştırılmaktadır. Şekil 1: Birinci durum değişkenleri Kontrol Girişleri Karşılaştırılması karşılaştırılması 0.2 Şek. 1-3’te bölüm 3 ve 4’de anlatılan iki yöntemin çözümlerinin karşılaştırılması verilmektedir. Şek.1’de birinci durum değişkenlerinin karşılaştırması vardır, birbirine çok yakın olduğu için (Şek.1’de görüleceği gibi) her iki yöntemin çözümü çakışık görünmektedir. Farkı gösterebilmek açısından, Şek.1’nin 16 ve 18. saniyeler arasındaki davranışı büyütülerek, grafiğe eklenmiştir. Buradaki amaç, yöntemlerin birbirine benzer fakat aynı olmayan davranışının ortaya konulmasıdır. 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 Şek.2’de ve Şek. 3’te de benzer davranış görülmektedir. Aynı sonuca ulaşıldığı halde bölüm 3’de anlatılan yöntemin işlem yoğunluğu, yöntemin ikiden fazla durum değişkeni olan sistemlerde kullanabilirliğini kısıtlamaktadır. Taylor serisi açılımının birden çok değişkenli sistemler için Eş. 14 ile ifade edildiği düşünüldüğünde, bu yöntemin kullanımının çok değişkenli sistemler için zorlaştığı, hatta neredeyse imkansız hale geldiği söylenebilir. ( ∑ ) ( -0.4 -0.5 0 ( 50 100 150 200 250 300 Zaman, sn Şekil 3: Denetim girişleri karşılaştırılması 5. Rijit Uydu Matematik Modeli ve Benzetim Sonuçları ∑ ∑ ) u Önerilen Yöntem u Yue Chen ve ark. ) ( )( )( ) Bölüm 4’de anlatılan yöntemin ise değişken sayısına bağlı bir kısıtı yoktur. Bu çalışmada önerilen yöntemin uygulama kolaylığı, beşinci bölümde altı durum değişkenli rijit uydu modelinin optimal denetiminin belirlenmesi ve benzetimleri ile sunulmaktadır. Yukarıda teorik arka planı sunulan yöntem, doğrusal olmayan hareket denklemlerine sahip bir uydu modeline uygulanarak geçerliliği sınanmaktadır. Uydu modeli [13] nolu kaynaktan alınmış olup, hareket denklemleri aşağıdaki gibi verilmektedir. ̇ ̇ ( ̇ 791 ) Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Konum Açılarında Yakınsaklığın Gösterimi ] ] [ [ [ ] 20 Yunuslama[Pitch] Açısı (deg.) ̇ [ ̇ ] ̇ ) sırasıyla yalpa, yunuslama ve sapma açıları, Burada: ( ( ) ise uydunun açısal hız bileşenleridir. uydunun, simetrik pozitif tanımlı atalet momenti matrisidir. Kullanılan kaynakta belirtilmediği için bu çalışmada atalet moment matrisi aşağıdaki gibi alınmıştır. [ ] 15 10 5 0 -5 0 Burada, ( ) gaz jet motoru tarafından sağlanan torkları temsil etmektedir. Bölüm 4’de verilen kontrol algoritması ile, doğrusal olmayan dinamik uydu modelinin kontrolünün benzetim sonuçları aşağıda verilmektedir. Her yakınsamanın ilk değeri 1. Yakınsama. 3. Yakınsama. 5. Yakınsama. Doğrusallaştırılmış 50 100 Zaman (sn.) 150 200 Şekil 5: Yunuslama açısı için yakınsaklığın gösterimi. Konum Açılarında Yakınsaklığın Gösterimi 5 ] alınmıştır. 0 Sapma[Yaw] Açısı(deg.) [ ve [ [ ] -5 -10 -15 1. Yakınsama. 3. Yakınsama. 5. Yakınsama. Doğrusallaştırılmış -20 -25 ] tamamen keyfi olarak seçilmiştir. -30 0 Grafiklerde, doğrusallaştırılmış sistemin cevabı ve yakınsamaların sabit bir çözüm kümesine yakınsadığının görülmesi açısından 1, 3 ve 5. yakınsamaların grafikleri verilmiştir. 50 100 Zaman (sn.) 150 200 Şekil 6: Sapma açısı için yakınsaklığın gösterimi. Açısal Hızların Yakınsaklığının Gösterimi 0.4 Yalpa[Roll] Açısı Değişimi(deg/s) Şek. 4’de uydunun yalpa açısının zamana bağlı değişimi görülmektedir. Şek. 5’te ise uydunun yunuslama açısının zamana bağlı değişimi görülmektedir. Sapma açısının zamana bağlı değişimi ise Şek.6’da verilmektedir. Konum Açılarında Yakınsaklığın Gösterimi 30 1. Yakınsama. 3. Yakınsama. 5. Yakınsama. Doğrusallaştırılmış Yalpa[Roll] Açısı(deg.) 25 20 15 0.2 0 -0.2 -0.6 -0.8 -1 0 10 1. Yakınsama. 3. Yakınsama. 5. Yakınsama. Doğrusallaştırılmış -0.4 50 100 Zaman (sn.) 150 200 5 Şekil 7: Yalpa açısının değişimi için yakınsaklığın gösterimi. 0 Şekil 7-9 sırasıyla yalpa, yunuslama ve sapma yönlerindeki açısal hız değişimlerini göstermektedir. -5 0 50 100 Zaman (sn.) 150 200 Şekil 4: Yalpa açısı için yakınsaklığın gösterimi. 792 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Yunuslama[Pitch] Açısı Değişimi (deg/s) Açısal Hızların Yakınsaklığının Gösterimi 6. Sonuçlar 0.2 Doğrusal olmayan sistemlerin, ardışık doğrusal zamanla değişen sistemler dizisi olarak ele alınabileceği dikkate alınarak, önce doğrusal olmayan sistemler için var olan optimum denetimin ardışık DZD yaklaşımı ile bulunabileceği gösterilmiştir. Daha sonra, doğrusal olmayan sistem için optimum denetim tasarlamak yerine ardışık DZD için optimum denetim tasarlayıp bunun doğrusal olmayan sisteme uygulanabileceği gösterilmiştir. Yöntem bir rijit uydu modelinin denetimine uygulanmıştır. 0 -0.2 1. Yakınsama. 3. Yakınsama. 5. Yakınsama. Doğrusallaştırılmış -0.4 -0.6 0 50 100 Zaman (sn.) 150 Kaynakça [1] Salamcı, M. U., “Two new switching surface design techniques for nonlinear systems with their applications to missile control” Doktora Tezi, ODTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 1999. [2] Bilgin, N., “Esnek sistemlerin kayan kipli denetimi ve bir uydu modeline uygulanması” Yüksek Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 2007. [3] Tomás-Rodríguez, M., Banks S. P., “Linear, Timevarying Approximations to Nonlinear Dynamical Systems with Applications in Control and Optimization”, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2010. [4] Bilgin, N., Salamcı M.U., “Esnek kanada sahip bir uydu modeli için kayan kipli denetci tasarımı”, 13. UMTS, 309-316, 2007. [5] Salamcı, M. U., and Banks, S.P., “Optimal Sliding Surface Design for a Class of Nonlinear Systems”, 4th International Conference on Optimization: Techniques and Applications, 2:743-750, Perth, Australia, (1998). [6] Çimen, T., “Survey of State-Dependent Riccati Equation in Nonlinear Optimal Feedback Control Synthesis”, Journal Of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 35, No. 4, s.1025-1048, 2012. [7] Banks, S.P., Dinesh, K., “Approximate Optimal Control and Stability of Nonlinear Finite and InfiniteDimensional Systems.”, Ann. Op. Res. 98, 19–44 (2000). [8] Çimen, T., Banks, S.P., “Global optimal feedback control for general nonlinear systems with nonquadratic performance criteria”, Systems & Control Letters, 53:5,327–346, 2004. [9] Bilgin, N., Salamcı, M. U., “Bir Uydu Modelinin Kayan Kipli Denetçi ile Konum ve Titreşim Kontrolü için iki Farklı Denetim Yöntemi”, TOK 2011 İzmir. [10] Bilgin, N., Salamcı, M. U., “Rijit bir uydu için durum geri besleme denetim algoritması tasarımı”, UMTS 2013, Erzurum. [11] Chen Y., Edgar T., Manousiouthakis V., “On infinitetime nonlinear quadratic optimal control, Systems & Control Letters 51 259 – 268, 2004. [12] E.W. Kamen, P. P. Khargonekar, A. Tannenbaum, “Control of Slowly-Varying Linear Systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, 34(12):1283-1285 (1989). [13] Marino, R., Tomei P., "Nonlinear Control Design" Prentice Hall, 1995. 200 Şekil 8: Yunuslama açısının değ. için yakınsaklığın gösterimi. Açısal Hızların Yakınsaklığının Gösterimi Sapma[Yaw] Açısı Değişimi (deg/s) 1.2 1. Yakınsama. 3. Yakınsama. 5. Yakınsama. Doğrusallaştırılmış 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 50 100 Zaman (sn.) 150 200 Şekil 9: Sapma açısının değişimi için yakınsaklığın gösterimi. Aşağıda verilen son grafik Şek. 10, 5. Yakınsamada kullanılan denetim girişlerini göstermektedir. Son Yakınsama Kontrol Girişleri(Newton) U1 2 0 U2 -2 0 1 100 150 200 50 100 150 200 50 100 Time sec 150 200 0 -1 0 1 U3 50 0 -1 0 Şekil 10: Son yakınsamanın denetim kuvvetlerinin gösterimi. 793 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Doğrusal Olmayan Sistemlerin Optimal Kayma Yüzeyi Kullanılarak Denetimi İçin Yeni Bir Denetleyici Tasarımı Fatma Irmak1, Metin U. Salamcı2, Engin Hasan Çopur3 1 Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu Teknoloji ve Yenilik Destek Programları Başkanlığı, Ankara fatma.irmak@tubitak.gov.tr 2 Makina Mühendisliği Bölümü Gazi Üniversitesi, Ankara msalamci@gazi.edu.tr 3 Electronics and Electrical Engineering University of Southampton, Southampton, U.K. ehc1g12@soton.ac.uk olmayan kayma yüzeyi” gibi farklı kayma yüzeyleri barındıran Özetçe KKD tasarım yöntemleri önerilmiştir [1, 2, 3, 4, 6, 7, 8]. Bu yöntemlerden birisi de, “Durum Bağımlı Riccati Denklemi Bu çalışmada, doğrusal olmayan sistemler için, eğimi belirli (SDRE-State Dependent Riccati Equation)” yöntemidir. bir maliyet fonksiyonuna göre optimal olarak belirlenen Burada, doğrusal olmayan sistem, duruma bağlı katsayılar zamanla değişen doğrusal kayma yüzeyi kullanılarak yeni bir matrisleri yardımıyla doğrusal yapıya benzer bir biçimde ifade Kayan Kipli Denetim (KKD) yöntemi önerilmiştir. Yöntem, edilmekte ve böylelikle doğrusal zamanla değişmeyen doğrusal olmayan sistemin durum değişkenlerine bağlı sistemler için uygulanan denetim tasarım yöntemlerinin katsayılar matrisi kullanılarak tanımlanmasına ve daha sonra doğrusal olmayan sistem için de uygulanabilmesi duruma bağlı katsayılar matrislerinin seçilen her bir zaman sağlanmaktadır [9, 10, 11]. SDRE yöntemi benzetimlerde aralığında değerlendirilerek doğrusal zamanla değişmeyen oldukça tatminkar sonuçlar vermekle birlikte, özellikle sistemler elde edilmesine dayanmaktadır. Belirli bir çalışma optimum denetim algoritmalarının her bir zaman aralığında koşulu dikkate alınarak her bir zaman aralığında elde edilen yeniden çözülmesi zorunluluğu nedeniyle, işlem süresi doğrusal sistemler için optimum kayma yüzeyi eğimleri uzamaktadır. Bu dezavantaj yüzünden, SDRE tabanlı denetim belirlenmekte ve bu eğimler doğrusal olmayan sistemin KKD algoritmalarının gerçek zamanlı (pratik) uygulamaları sınırlı tasarımı için kullanılmaktadır. Çalışmada, kayma yüzeyi kalmaktadır. eğimlerinin belirlenmesi amacıyla Durum Bağımlı Riccati Denklemi (State Dependent Riccati Equation-SDRE) Bu çalışmada, SDRE yöntemi kullanılarak doğrusal olmayan yönteminden yararlanılmaktadır. Önerilen yöntem ile önceden sistemler için belirli bir maliyet fonksiyonunu minimum kayma yüzey eğimleri belirlendiğinden KKD hesaplanması kılacak optimum kayma yüzeyi tasarlanmakta ve yöntemin için gerekli olan işlem süresi kısalmakta ve gerçek zamanlı uygulanması sonucunda elde edilen zamanla değişen optimum uygulama mümkün olabilmektedir. Geliştirilen metot, bir ters kayma yüzeyi eğimleri kaydedilmektedir. Belirli bir çalışma sarkaç modeline uygulanmış ve benzetim sonuçları elde koşul aralığı dikkate alınarak belirlenen optimum kayma edilmiştir. yüzeyi değerleri genelleştirilerek, daha sonra (çalışma koşulu kapsamında kalan) diğer çalışma koşulları için de 1. Giriş kullanılmaktadır. Böylelikle doğrusal olmayan sistemin Doğrusal sistemler için Kayan Kipli Denetim (KKD) tasarımı; denetimi için optimum kayma yüzey değerleri önceden kayma yüzeyi ve denetçi tasarımı olmak üzere iki adımda belirlenmiş ve daha sonra yapılacak matematiksel işlemler gerçekleştirilir. Farklı tasarım yöntemleri olmakla birlikte [1, azaltılarak sistemin zaman cevabının daha hızlı elde edilmesi 2, 3], kayma yüzeyinin ve denetçinin tasarlanabilmesi için sağlanmıştır. sistemin “Düzenli Biçim” (Regular Form) denilen yeni bir koordinat düzleminde tanımlanması en yaygın kullanılan Çalışmanın 2. bölümünde doğrusal olmayan sistemler için tasarım yöntemidir [4, 5]. Yeni koordinat düzleminde doğrusal zamanla değişen yüzey kullanılarak KKD tasarımı, 3. sistem, denetim girişi teriminin olduğu ve olmadığı iki alt bölümünde Durum Bağımlı Riccati Denklemi (SDRE-State sisteme ayrılır. Kayma yüzeyi, denetim teriminin olmadığı alt Dependent Riccati Equation) tabanlı denetim tekniği sistemi kararlı kılacak şekilde tasarlanır. Yüzey eğimlerinin kullanarak kayma yüzeyi tasarımı yöntemi ele alınmıştır. 4. belirlenmesinde, kutup yerleştirme yöntemi kullanılabileceği bölümde ise bir ters sarkaç mekanizmasına zamanla değişen gibi optimum denetim yöntemi de kullanılabilir. Denetçi ise doğrusal yüzey kullanılarak KKD yöntemi uygulandığında sistemi kayma yüzeyine yönlendirecek ve daha sonra bu yüzey elde edilen benzetim sonuçları, belirli bir başlangıç koşulunda üzerinde tutacak şekilde tasarlanır [4, 5]. zamanla değişen kayma yüzeyi eğimleri kullanılarak elde edilen benzetim sonuçları ile beraber sunulmuştur. 5. bölümde Doğrusal olmayan sistemler için “doğrusal kayma yüzeyi”, ise sonuç verilmiştir. “zamanla değişen doğrusal kayma yüzeyi” ve “doğrusal 794 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya 2. Doğrusal Olmayan Sistemler İçin Kayan Kipli Denetim Tasarımı ̃( ) Doğrusal olmayan sistemlerin kayan kipli denetimi için farklı yöntemler önerilmiş ve benzetim sonuçları yayınlanmıştır [16]. Önerilen yöntemler içerisinde yaygın olarak kullanılanlardan birisi de, doğrusal olmayan sistemler için kayma yüzeyi tasarımını, doğrusal zamanla değişmeyen sistemler için kayma yüzeyi tasarım yöntemine dayandırmaktır. Böylelikle, doğrusal zamanla değişmeyen sistemler için tasarlanan “doğrusal” veya “optimum” kayma yüzeyleri, doğrusal olmayan sistemler için de uyarlanabilmektedir. Burada doğrusal olmayan sistem, doğrusal zamanla değişmeyen sistemler halinde anlık olarak modellenerek, her an değişen kayma yüzeyi tasarımı elde edilebilmektedir [5-8]. ( ) ( ) ( ) (1) ] ( ) ̃ ( ) ̃ ( ) ̇ ̃ ( ) ̃ ( ) 5(a) ( ) 5(b) ) ( ) (6) ( ) için ̇ ( ) ( ) için ̇ ( ) (7) Eşdeğer denetim terimi, sistemi kayma yüzeyine yönlendirecek şekilde, kayma yüzeyi denkleminin (Denklem (6)) türevi alınarak aşağıdaki gibi bulunur. ̇( ̃ ) ̃ ̇ ̇ ̇ (̃ ̃ )+ ̇ =0 (8) Denklem düzenlenirse, (2) [( ̃ ̇ ̃ ) (̃ ̃ ) ] (9) Sistemi kayma yüzeyi üzerinde tutacak doğrusal olmayan denetim terimi ise [ ] ( ) (10) Toplam denetim girişi u ise, (11) bulunur. (3) ̃( ) [ Sistemi kayma yüzeyi üzerine yönlendirecek ve bu yüzey üzerinde tutacak denetim girişi aşağıdaki şartları sağlayacak şekilde tasarlanır. 3. SDRE Denetim Tekniği ile Optimal Kayma Yüzeyi Tasarımı Koordinat dönüşümü ile sistem aşağıdaki gibi ifade edilebilir. ̃( ) ̃ ( ) ], ̃ ( ) Sistem kayma yüzeyi boyunca kararlı davranacak şekilde, zamanla değişen kayma yüzeyi eğimleri seçilebilir. Kayma ) yüzeyi üzerinde ( ( ) olduğundan, kayma yüzeyi eğimleri bir geri besleme kazanç matrisi olarak değerlendirilir. C(t) kayma yüzeyi eğimleri geri besleme denetim girişi olarak düşünülerek alt sistemini (Denklem 5(a)) kararlı kılacak şekilde seçilir [7]. Denklem (1) ile ifade edilen sistem için kayma yüzeyi tasarımı için aşağıdaki gibi durum değişkenlerine bağlı ve her bir durum değişkeni vektörü için tekil olmayan bir koordinat dönüşüm matrisi tanımlanabilir. ̇ ( ) ( ) ̇ ( Denklem (1) ve (2) ile ifade edilen sistemlerin zamanla küçük değişimler gösterdiği varsayılmıştır. Böylelikle standart kararlılık ve geri besleme denetim tasarım yöntemlerindeki sonuçlar kullanılabilir [12], [13]. ( ) ̃ ( ) ̃ ( ) Burada , , , şeklinde tanımlıdır. Kayma yüzeyi, yapılan koordinat dönüşümü sonucunda aşağıdaki gibi ifade edilir. Denklem (1) ile ifade edilen sistem, seçilen her bir zaman aralığında o andaki durum değişkenleri ile değerlendirilerek zamanla değişmeyen sistem dizileri elde edilir. Elde edilen zamanla değişmeyen sistemlerin kararlığı sağlandığında, denklem (1) ile ifade edilen doğrusal olmayan sistemin kararlılığı da belirli bir bölge için sağlanmış olacaktır. Yöntemin lokal kararlılık sonuçları [10] ve [14]’de verilmektedir. Her bir zaman aralığında durum değişkenlerine bağlı katsayı matrislerinin değerlendirilmesi ile değişen sistem, zamanla değişen doğrusal sistem olarak da değerlendirilebilir. Bu durumda, t bir sonsuz boyutlu zamanla değişen parametre vektörü olmak üzere sistem aşağıdaki biçimde ifade edilirse, ( ) [ şeklinde uygun matris boyutları ile ifade edilebilir. Böylece sistem aşağıdaki gibi iki alt sisteme ayrılır. Burada , , ( ) , ( ) şeklinde tanımlıdır ve { ( ) ( )} matris çiftinin tüm durum değişkenleri için anlık denetlenebilir olduğu kabul edilmektedir. Doğrusal olmayan bir sistemin Denklem (1) ile verilen bir biçime nasıl dönüştürülebileceği ve buradaki durum değişkenlerine bağlı katsayılar matrisleri olan ( ) ve ( ) matrislerinin birden fazla farklı biçimde nasıl tanımlanacağı ile ilgili ayrıntılar [9]’da bulunabilir. ̇ ( ) ̃( ) Bu çalışmada aşağıdaki gibi ifade edilebilen bir grup doğrusal olmayan sistem ele alınmıştır. ̇ ( ) ( ) (4) SDRE denetim yöntemi, denklem (1) ile ifade edilebilen doğrusal olmayan dinamik sistemler için, doğrusal zamanla Burada, 795 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya değişmeyen sistemlerde kullanılan denetim teknikleri esas alınarak önerilen bir yöntemdir. Denklem (1)’de verilen doğrusal olmayan sistemin optimal denetimi, aşağıda verilen karesel maliyet fonksiyonunu minimum yapacak şekilde tasarlanabilir. ( ) ∫ ( ) ) 4. Ters Sarkaç Mekanizması Uygulama için seçilen ters sarkaç modeli Şekil 1’de görülmektedir. Ters sarkaç modeli ve model parametreleri Kaynak [15]’den alınmıştır. (12) Burada Q(x) ve R(x) durum bağımlı ve pozitif tanımlı ağırlık matrisleridir. Denetim terimi ise, ( ) ( ) ( ) (13) olarak verilmektedir. Görüldüğü üzere denetim, durum bağımlı en iyi kazanç katsayısı ( ) ( ) ( ) ( ) terimini içeren bir geri besleme denetim girişidir. Burada P(x) matrisi ise aşağıdaki Durum Bağımlı Riccati Denklemi (SDRE) çözümünden elde edilmektedir. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Şekil 1: Ters Sarkaç Mekanizması Sistem parametreler aşağıda verilmiştir. M=3 kg platformun kütlesi m=0,5 kg sarkacın kütlesi l=0,5 m sarkacın boyu b=2 kg/s sürtünme katsayısı ) Böylelikle denetim uygulanmış sistemin dinamiği ̇ ( ( ) ( ) ( )) ( ) Sistemin hareket denklemleri Denklem(1) ile tarif edilebilir. Buradaki durum değişkenlerine bağlı katsayılar matrisleri aşağıda verilmektedir. (15) şeklinde ifade edilebilir. ( ) Kayma yüzeyi eğimleri, SDRE denetim tekniği kullanılarak belirlenebilir. Burada bir nevi optimum kayma yüzeyi eğimleri elde edilebilmektedir. Bunun için, Denklem (5a) ile verilen denetim girişinin bulunmadığı alt sistemi kararlı kılacak bir kayma yüzeyi eğimi belirlenmektedir. Bu amaçla, ( ) ( ) şeklinde doğrusal olarak seçilen ̃ ( ) ̃ ( ) kayma yüzeyi eğimi, C(t); ̇ alt sistemi için bir nevi geri besleme denetim girişi kazanç katsayı matrisi olarak düşünülebilir. Böylece SDRE kontrol tekniği kullanılarak kayma yüzeyi eğimleri hesaplanır ve kayma yüzeyi belirlenir. Yöntem ile ilgili daha fazla ayrıntı [8]-[11]’de bulunabilir. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ( ) [ ) ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) , ( ) ) ) ] Denklem (1) ile verilen doğrusal olmayan sistem denklemi her bir zaman aralığında dondurulur ve bu noktalardaki durum değişkenleri yerlerine yazılırsa, ardışık, zamanla değişmeyen doğrusal sistemler elde edilir. Bir t=ts an için bulunan zamanla değişmeyen doğrusal sistem, uygun koordinat dönüşümü uygulanarak aşağıdaki biçime getirilebilir [16]. SDRE tabanlı algoritma kullanılarak kayma yüzeyi eğim matrisi, denklem (14) ile verilen Riccati denklemi çözülerek, optimum olarak belirlenebilir. Ancak her bir durum değişkeni vektörü için Riccati denkleminin çözümünün elde edilmesi gerekliliği, işlem süresini uzatmakta ve yöntemin pratikte uygulanmasını güçleştirmektedir. Bu çalışmada, doğrusal olmayan sistemin önceden belirlenen bir çalışma aralığı için optimum kayma yüzeyi SDRE tekniği ile belirlenmiş ve daha sonraki uygulamalarda kullanılmak üzere kaydedilmiştir. Diğer bir ifade ile doğrusal olmayan sistemin kayan kipli denetimi için gerekli olan doğrusal olmayan (veya durum değişkenlerine bağlı optimum) kayma yüzeyi belirlenmiştir. Doğrusal olmayan sistem, daha sonra bu optimum kayma yüzeyine yönlendirilmiş ve sistem yörüngelerinin yüzey üzerinde kalması sağlanmıştır. Böylelikle optimum kayma yüzeyinin her seferinde yeniden hesaplanması gereği ortadan kaldırılmış ve işlem süresi belirgin bir şekilde azaltılmıştır. Bu şekilde, yöntemin pratik uygulaması için gerekli düzenleme yapılabilmiştir. Bölüm 4’de, yöntemin bir örneğe uygulanması ve işlem süreleri verilmektedir. ̇ ] [ [ ] (16) Kayma yüzeyi denklemi ise aşağıdaki gibi ifade edilir. (17) Sistem aşağıdaki gibi iki alt sisteme bölünebilir. ̇ ̇ [ 796 ][ ] [ ] (18) (19) Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya belirtilmiştir. Şekil 2, 3 ve 4’de [ ] başlangıç koşulu için denetlenmiş sisteme ait benzetim sonuçları verilmektedir. Benzetim sonuçları ancak, 629,34 saniyede elde edilebilmiştir. Şekil 4’de ise θ=75° derecede hesaplanan kayma yüzeyi eğimleri verilmiştir. Hesaplanan bu kayma yüzeyi eğimleri ters sarkaç mekanizmasında KKD hesaplanmasında kullanılarak sistemin denetimi sağlanmıştır. Kayma yüzeyi eğimlerini hesaplamak için sistemin denetim terimi içermeyen alt sistemi denklem kullanılır. ̅ ] ̅ [ [ ] olmak üzere, Her bir zaman aralığı için aşağıda verilen Ricatti denklemi çözülürse, ̅ ( ) ( ) ( ) ( ) ̅( ) ( ) ̅( ) ( )̅ ( ) ( ) (20) Optimum kayma yüzeyi eğimleri, ( ) ( ) ( ) [ ] (21) Şeklinde bulunur. Bu çalışmada Q ve R ağırlık matrisleri gelişi güzel belirlenmiş ve belirlenen bir sistem cevabı hedeflenmemiştir. Bu matrisler, [ ( ) ] ve R=[0,07] Şekil 3: θ=75° için kontrol girişi olarak seçilmiştir. Denetim terimi içeren alt sistemdeki denetim girişi (u), Bölüm 2’de anlatılan metot kullanılarak belirlenir. 5. Benzetim Sonuçları Ters sarkaç mekanizmasına, optimum kayma yüzeyleri kullanılarak KKD yöntemi uygulanmış ve k=3, t=0,01 seçilerek dört başlangıç koşulu için benzetim sonuçları elde edilmiştir. Şekil 4: θ=75° için kayma yüzeyi eğimleri Şekil-2: θ=75° için sistem cevabı Ters sarkaç mekanizmasında [ ] çalışma koşulu olarak belirlenmiştir. Bu çalışma koşulunda elde edilen optimum kayma yüzeyi eğimleri, ters sarkaç mekanizmasında KKD hesaplanmasında kullanılarak sistemin denetimi sağlanmıştır. Ayrıca tasarım parametreleri aynı tutularak, her bir çalışma koşulu için optimum kayma yüzeyi eğimleri belirlenmiş ve KKD hesaplanarak doğrusal olmayan sistem denetlenmiştir. Her iki durumda elde edilen benzetim sonuçları bir arada sunulmuş ve gerekli olan işlem süreleri de Şekil 5: θ=60° için sistem cevabı (kesikli çizgi=KKD belirlenmesinde 75° ‘de elde edilen kayma yüzeyi eğimleri kullanıldığında elde edilen cevaplar) 797 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya Şekil 5 ve 6’da [ ] başlangıç koşulu için denetlenmiş sisteme ait benzetim sonuçları verilmektedir. Ters sarkaç modeline optimum kayma yüzeyi eğimleri belirlenerek KKD uygulandığında sistem cevabı 624,45 saniyede elde edilirken, KKD belirlenmesinde θ=75° derecede elde edilen kayma yüzeyi eğimleri kullanıldığında ise sistem cevabı 19,43 saniyede elde edilmiştir. Şekil 8: θ=45° için kontrol girişi (kesikli çizgi=KKD belirlenmesinde 75° ‘de elde edilen kayma yüzeyi eğimleri kullanıldığında elde edilen cevaplar) Şekil 9 ve 10’da [ ] başlangıç koşulu için denetlenmiş sisteme ait benzetim sonuçları verilmektedir. Ters sarkaç modeline optimum kayma yüzeyi eğimleri belirlenerek KKD uygulandığında sistem cevabı 619,51 saniyede elde edilirken, KKD belirlenmesinde θ=75° derecede elde edilen kayma yüzeyi eğimleri kullanıldığında ise sistem cevabı 17,64 saniyede elde edilmiştir. Şekil 6: θ=60° için kontrol girişi (kesikli çizgi=75° ‘de hesaplanan kayma yüzeyi eğimleri kullanıldığında elde edilen cevaplar) Şekil 7 ve 8’de [ ] başlangıç koşulu için denetlenmiş sisteme ait benzetim sonuçları verilmektedir. Ters sarkaç modeline optimum kayma yüzeyi eğimleri belirlenerek KKD uygulandığında sistem cevabı 619,89 saniyede elde edilirken, KKD belirlenmesinde θ=75° derecede elde edilen kayma yüzeyi eğimleri kullanıldığında ise sistem cevabı 18,01 saniyede elde edilmiştir. Şekil 9: θ=20° için sistem cevabı (kesikli çizgi=KKD belirlenmesinde 75° ‘de elde edilen kayma yüzeyi eğimleri kullanıldığında elde edilen cevaplar) Şekil 7: θ=45° için sistem cevabı (kesikli çizgi=KKD belirlenmesinde 75° ‘de elde edilen kayma yüzeyi eğimleri kullanıldığında elde edilen cevaplar) 798 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya [3] [4] [5] [6] Şekil 10:θ=20° için kontrol girişi (kesikli çizgi=KKD belirlenmesinde 75° ‘de elde edilen kayma yüzeyi eğimleri kullanıldığında elde edilen cevaplar) [7] Tablo-1’de optimum kayma yüzeyi eğimleri belirlenerek KKD uygulandığında elde edilen benzetim süreleri ile KKD hesaplanmasında θ=75° derecede belirlenen kayma yüzeyi eğimleri kullanıldığında elde edilen benzetim süreleri karşılaştırmalı olarak verilmiştir. Tablo-1-Benzetim Süreleri 75° ‘de kaydedilen Başlangıç kayma yüzeyi eğimleri koşulu kullanıldığında elde edilen benzetim süresi (sn) [ ] 17,64 [ ] 18,01 [ ] 19,43 [8] Kayma yüzeyi eğimleri belirlenerek elde edilen benzetim süresi (sn) 619,51 619,89 624,45 [9] [10] [11] 6. Sonuç [12] Bu çalışmada, doğrusal olmayan sistemlerin denetimi için belirli bir çalışma aralığında belirlenen optimum kayma yüzeyleri kullanılarak KKD yöntemi önerilmiş ve yöntem doğrusal olmayan hareket denklemlerine sahip bir evrik sarkaç modeline uygulanarak benzetim sonuçları elde edilmiştir. Tasarım parametreleri aynı tutularak, her bir çalışma koşulu için optimum kayma yüzeyi eğimleri belirlenmiş ve belirlenen kayma yüzeyi eğimleri kullanılarak KKD elde edilmiş ve aynı sarkaç modeline uygulanarak benzetim sonuçları elde edilmiştir. Ayrıca sonuçları elde etmek için gerekli olan işlem süresi karşılaştırılmıştır. Elde edilen benzetim sonuçları ve sonuçları elde etme için gerekli olan işlem süresi önerilen yöntemin başarısını göstermektedir. [13] [14] [15] [16] 7. Kaynakça [1] M. U. Salamcı, “Two new switching surface design techniques for nonlinear systems with their applications to missile control”, Doktora Tezi, ODTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, s:86-114, 1999. [2] M.U. Salamcı ve S.P. Banks, “Optimal Sliding Surface Design for a Class of Nonlinear Systems”, 4th International Conference on Optimization: Techniques 799 and Applications, Perth, Austuralia, Cilt:2, s:743-750, 1998. M.Tomas-Rodriguez, S.P. Banks ve M.U. Salamci “Sliding Mode Control for Nonlinear Systems: An Iterative Approach”, Proc. 45th IEEE Conference on Decision and Control, San Diego, Kaliforniya-ABD, 2006. V. I. Utkin, “Variable Structure Systems with Sliding Modes”, IEEE Transactions on Automatic Control, Cilt: AC-22, No. 2, s: 212-222, 1977. B. Gökbilen, ve M.U. Salamcı, “Zamanla Değişen Doğrusal Yüzeyler Tasarlayarak Doğrusal Olmayan Sistemlerin Kayan Kipli Kontrolü”, TOK 2006-Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, Ankara-Türkiye, 2006. M.U. Salamcı, ve G.S. Tombul, “Sliding Mode Design with Time Varying Sliding Surfaces for a Class of Nonlinear Sytems”, CCA’06, IEEE, International Conference on Control Applications, Münih-Almanya, 2006. G.S.Tombul, M.U.Salamcı, ve C. Doğan, “Nonlineer Sistemler için Değişken Yüzey Kullanılarak Kayan Kipli Denetim Tasarımı”, TOK’05 Otomatik Kontrol Toplantısı, İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul, s:8387, 2005. M.U. Salamcı ve B. Gökbilen, “SDRE Missile Autopilot Design using Sliding Mode Control with Moving Sliding Surfaces”, Proceedings of The IFAC Symposium on Automatic Control in Aerospace, Toulouse-Fransa, 2007. T. Çimen, “State-Dependent Riccati Equation (SDRE) Control: A Survey”, Proceedings of the 17th IFAC World Congress, Seul, Kore, s:3761-3775, 2008. C.P. Mracek ve J.R. Cloutier, “Control Designs for the Nonlinear Benchmark Problem via the State Dependent Riccati Equation Method”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, Cilt: 8,s:401-433, 1998. E.B. Erdem ve A.G. Alleyne, “Design of a Class of Nonlinear Controllers via the State Dependent Riccati Equations”, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Cilt: 12, s:2986-2991, 2004. C.A.Desoer, “Slowly Varying System”, IEEE Transactions Automatic Control, Cilt: 14, No: 6, s:780781, 1969. E.W. Kamen, P.P. Khargonekar, A. Tannenbaum, “Control of Slowly Varying Systems”, IEEE Trans. Automatic Control, Cilt: 34, No: 12, s:1283-1285, 1989. H.H. Rosenbrock, “The Stability of Linear Timedependent Control Sytems”, J.Electronics and Control, Cilt: 15 s:73-80, 1963. R.N.Gasimov,A. Karamanoğlu, Yazıcı, “A nonlinear Programming Approach for the Sliding Mode Control Design”, Applied Mathematical Modelling, Cilt: 29, s: 1135-1148, 2004.] Katsuhiko Ogata “Modern Control Engineering”, 2001.