Öklid`in Öğelerinin Kitabından Birinci Kitap

Öklid`in Öğelerinin Kitabından Birinci Kitap

Öklid’in Öğelerinin  Kitabından Birinci Kitap
Öğelerin  Kitabından
Birinci Kitap
Öklid’in Yunanca metni ile
Özer Öztürk & David Pierce’in çevirdiği Türkçesi
ve David Pierce’in yazdığı alıştırmalar
Düzeltilmiş . baskı
Eylül 
Matematik Bölümü
Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi
İstanbul
http://mat.msgsu.edu.tr/
Bu çalışma
Creative Commons Attribution-Gayriticari-ShareAlike .
Unported Lisansı ile lisanslı.
Lisansın bir kopyasını görebilmek için,
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
adresini ziyaret edin ya da mektup atın:
Creative Commons,
 Castro Street, Suite ,
Mountain View, California, , USA.
Özer Öztürk & David Pierce
ozer.ozturk@msgsu.edu.tr
$
\
BY:
C
CC
dpierce@msgsu.edu.tr
. Baskının Önsözü
Bu kitapta, Öklid’in Öğeler ’inin birinci kitabının orijinal Yunanca metni
ve paralel Türkçe çeviri birlikte sunulmuştur. Kitabımız, Mimar Sinan
Güzel Sanatlar Üniversitesi’nin Matematik Bölümü’nde bir birinci sınıf
lisans dersi için hazırlanmıştır.
Kitabın birinci baskısı,  Güz döneminde, ve ikinci baskısı, 
Güz döneminde kullanılmış ve fark edilen hatalar düzeltilmiştir.
İlk dersin öğretmenleri, Özer Öztürk ve David Pierce oldu; sonraki
dersin öğretmenleri, Ahmet Bakkaloğlu, Ayhan Günaydın, Özer Öztürk
ve David Pierce oldu; üçüncü dersin öğretmenleri, Feza Arslan, Özgür
Martin, Şafak Özden ve David Pierce oldu.
Kitabın ilk iki baskısında, İngilizce çevirisi de vardı. Üçüncü baskıya
İngilizce çeviriyi almadık.
Bu dördüncü baskıya alıştırmalar ekledik. Bu alıştırmaların daha erken
versiyonunu düzelttiğı için Selma Başıbüyük’e teşekkür ederiz.
Buradaki Yunanca metin, Heiberg’indir []. Kitabının kopyası, internet’te bulunabilir, mesela Wilbour Hall ve European Cultural Heritage
Online (ECHO) sitelerinde. Aslında LTEX elektronik dosyamız için Fitzpatrick’in LTEX kaynağını [] kullanmıştık. Ama Fitzpatrick’in dosyasındaki metni Heiberg’in kitabından nasıl aldığını bilmiyoruz, ve bu metinde
birkaç hatalar fark ettik (sayfa ’e bakınız). Bu hatalar, Project Perseus
sitesinde bulunmamaktadır.
Project Perseus sitesinden çok faydalandık. Güler Çelgin’in [] sözlüğü
de yararlıydı. Kullandığımız Yunanca font, Greek Font Society (Yunan
Font Derneği) tarafından sağlanan “NeoHellenic” fontudur.
 http://www.wilbourhall.org
 http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/home
 http://www.perseus.tufts.edu/

İçindekiler
. Baskının Önsözü

Giriş

Yunan alfabesi

῞Οροι // Hudutlar

Αἰτήματα // Postulatlar

Κοιναὶ ἔννοιαι // Ortak kavramlar

Önermeler
. Önerme .
. Önerme .
. Önerme .
. Önerme .
. Önerme .
. Önerme .
. Önerme .
. Önerme .
. Önerme .
. Önerme
. Önerme
. Önerme
. Önerme
. Önerme
. Önerme
. Önerme
. Önerme
. Önerme
. Önerme

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.





















İçindekiler
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
Önerme
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.





























Fiiller Sözlüğü

Edatlar Sözlüğü

Alıştırmalar

Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Konular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. önermeden sonra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

İçindekiler
. önermeden sonra .
. önermeden sonra .
. önermeden sonra .
. önermeden sonra .
. önermeden sonra .
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
. önermeden sonra
Çarpma . . . . . . .
. Önermeden sonra
Kaynakça
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


























Giriş
Bildiğimiz kadarı ile, aşağı yukarı bir yüzyıl önceye kadar, en azından
Dünyanın Hristiyan ve Müslüman yerlerinde, her matematikci matematiği Öklid’den öğrendi. Bizce matematik öğrencileri, hâlâ Öklid’i okumalılardır. Öğeler eseri, dünyanın ilk matematik dizgesidir.
Her kitap gibi, Öklid’in Öğeler ’i mükkemel olmayabilir. Yapısında hatalar varsa, öğrenci onları düzelterek öğrensin. Bugünkü “analitik” geometri ders kitapları, mantık açısından düzensiz olabilir, ama Öğeler ’in
birinci kitabının yardımıyla düzeltilebilir.
Metnimiz
Öklid’in Öğeler ’inin birinci kitabı, burada iki sütun halinde sunuluyor:
sol sütunda orijinal Yunanca metin, ve sağında bir Türkçe çevirisi yer
alıyor.
Öklid’in Öğeler ’i, her biri önermelere bölünmüş olan  kitaptan oluşur. Bazı kitaplarda tanımlar da vardır. Birinci kitap ayrıca postülatları ve ortak kavramları da içerir. Bu baskıda Yunanca metnin her
önermesinin her cümlesi öyle birimlere bölünmüştür ki
) (hemen hemen) her birim bir satıra sığar,
) her birim cümle içinde bir rol oynar,
) her birimin tam Türkçe çevirisi vardır.
Her birimin çevirisi, orijinalinin yanında yer alır. Bazen ortaya çıkan
Türkçe cümleler, biraz tuhaf gelebilir. Bu durumda, daha akıcı ifadeler
bulmak okuyucuya bırakılmıştır.
Öğeler ’in her önermesinin yanında, çoğu noktanın (ve bazı çizgilerin)
harflerle isimlendirildiği, bir çizgi ve noktalar resmi yer alır. Bu resim
harfli diagramdır. Her önermede diagramı kelimelerin sonuna yerleştiriyoruz. Reviel Netz’e göre orijinal ruloda diagram burada yer alırdı ve
böylece okuyan önermeyi okumak için ruloyu ne kadar açması gerektiğini bilirdi [, p. , n. ]. Bu baskıda bir önerme iki sayfaya sığmazsa,
diagramı tekrarlanır.


Giriş
Öklid’in yazdıkları, çeşitli süzgeçlerden geçerek bize ulaşmıştır. Öğeler ’in M.Ö.  civarında yazılmış olması gerekir. Bizim kullandığımız
’te yayınlanan Heiberg [] versiyonu, . yüzyılda yazılmış ve Vatikan’da bulunmuş bir elyazmasına dayanmaktadır.
Dili ve alfabesi
Öklid’in kullandığı dil, Antik Yunancadır. Bu dil, İngilizce ve Farsça
gibi, Hint-Avrupa dilleri ailesindendir. Türkçe, bu aileden değildir; fakat
bazı yönlerden Türkçe, Yunancaya, İngilizceden daha yakındır. Örneğin
Türkçe ve Yunanca, adlar ve fiiller çeker. İngilizce ve Türkçenin günümüz
bilimsel terminolojisinin kökleri genellikle Yunancadır.
Yunan alfabesinin sayfa ’de verilen  harfini ezberlemenizi tavsiye
ederiz. Bu kitapta her önermenin sadece bir diagramı vardır, ve harfleri
Yunan alfabesinden alınmıştır. Matematikçiler, bu harfleri her zaman kullanırlar.
Öğelerin ve önermelerinin analizi
Öğeler ’in her önermesi bir problem veya bir teorem olarak anlaşılabilir.
M.S.  civarında (yani Öklid’den  yüzyıl sonra) yazan İskenderiyeli
Pappos bu ayrımı aşağıdaki gibi tarif ediyor:
Οἱ τὰ ἐν γεωμετρίᾳ ζητούμενα βουλόμενοι
τεχνικώτερον διακρίνειν,
πρόβλημα μὲν ἀξιοῦσι καλεῖν ἐφ´ οὗ προβάλλεταί τι ποιῆσαι καὶ κατασκευάσαι,
θεώρημα δὲ ἐν ᾧ τινῶν ὑποκειμένων τὸ
ἑπόμενον αὐτοῖς καὶ πάντως ἐπισυμβαῖνον
θεωρεῖται,
τῶν παλαιῶν τῶν μὲν προβλήματα πάντα,
τῶν δὲ θεωρήματα εἶναι φασκόντων.
Geometri araştırmalarında daha usta
bir ayrıştırma yapmak isteyenler,
bir şeyin yapılmasını veya inşa edilmesini öneren bir [önerme]ye problem
demeyi uygun görüyorlar,
ve belirli varsayımların eşitliklerinin ve
zorunlu sonuçlarının incelendiği bir
[önerme]ye, teorem [demeyi uygun
görüyorlar];
ama antiklerin bazıları [önermelerin]
tümünün problem, bazıları da teorem
olduğunu söylemiştir.
yapılan alıntı, onun Toplama eserinin üçüncü kitabının [, s. ] girişinden alınmıştır. Alıntı, [, pp. –] kaynağında da bulunabilir.
 Pappos’tan

Bir problem bir şey yapmayı önerir; bir teorem bir şey inceler. Pappos,
problem ve teorem kelimelerinin etimolojisini anıştırıyor:
πρόβλημα
προβαλλ-
problem
öner-
θεώρημα
θεωρε-
teorem
incele-
Bizim önerme sözcüğümüz, Yunanca’da bulunmamaktadır, ama etimoloji
açısından πρόβλημα adı gibidir. Yunan θεωρε- fiili, anlamı “bak-” olan θεαfiilinden türenmiştir. Bu son fiilden θέατρον “tiyatro” gelmiştir.
İster bir problem, ister bir teorem olsun, bir önermenin metni altı parçaya kadar ayrılıp analiz edilebilir. M.S. beşinci yüzyılda (yani Öklid’den
 yüzyıl sonra) Proklos bu parçaları ve bu analizi anlatmıştır:
πᾶν δὲ πρόβλημα καὶ πᾶν θεώρημα τὸ ἐκ
τελείων τῶν ἑαυτοῦ μερῶν συμπεπληρωμένον βούλεται πάντα ταῦτα ἔχειν ἐν ἑαυτῷ·
[i] πρότασιν, [ii] ἔκθεσιν,
[iii] διορισμόν, [iv] κατασκευήν,
[v] ἀπόδειξιν, [vi] συμπέρασμα.
τούτων δὲ
ἡ μὲν πρότασις λέγει, τίνος δεδομένου τί
τὸ ζητούμενόν ἐστιν.
ἡ γὰρ τελεία πρότασις ἐξ ἀμφοτέρων ἐστίν.
ἡ δ᾿ ἔκθεσις αὐτὸ καθ᾿ αὑτὸ τὸ δοδεμένον
ἀποδιαλαβοῦσα προευτρεπίζει τῇ ζητήσει.
ὁ δὲ διορισμὸς χωρὶς τὸ ζητούμενον, ὅτι
ποτέ ἐστιν, διασαφεῖ.
ἡ δὲ κατασκευὴ τὰ ἐλλείποντα τῷ
δεδομένῳ πρὸς τὴν τοῦ ζητουμένου θήραν
προστίθησιν.
ἡ δὲ ἀπόδειξις ἐπιστημονικῶς ἀπὸ τῶν ὁμολογηθέντων συνάγει τὸ προκείμενον.
τὸ δὲ συμπέρασμα πάλιν ἐπὶ τὴν πρότασιν
 Verilen
Bütün parçalarıyla donatılmış her
problem ve her teorem aşağıdaki tüm
parçaları içermek ister:
() bildirme, () açıklama,
() belirtme, () düzenleme,
() gösterme, ve () bitirme.
Bunlardan da:
. Bildirme, hangi verilenden hangi
[sonucun] arandığını söyler.
Zira tam bir bildirme, bu iki parçanın
ikisini de içerir.
. Açıklama, verileni ayrıca ele alarak
bunu araştırmada kullanmak üzere hazırlar.
. Belirtme, arananın ayrıca ne olduğunu net bir şekilde gösterir.
. Düzenleme, arananı avlamak için
verilendeki eksikleri yerleşmiştir.
. Gösterme, [elimizde] bulunanları
bilimsel olarak kabul edilen [ilkeler]e
göre birleştirir.
. Bitirme, gösterilmiş olanı onayla-
alıntının Yunancası, [, s. ] kaynağından alınmıştır. Bu kitabın İngilizce
[] çevirisi vardır. Verilen alıntının İngilizcesi, [, s. xxiii] bulunmuştur. Proklos
Bizans (şimdi İstanbul) doğumludur, ama aslında Likyalıdır, ve ilk eğitimini Ksantos’ta almıştır. Felsefe öğrenmek için İskenderiye’ye ve sonra da Atina’ya gitmiştir
[, s. xxxix].

Giriş
ἀναστρέφει βεβαιοῦν τὸ δεδειγμένον.
καὶ τὰ μὲν σύμπαντα μέρη τῶν τε προβλημάτων καὶ τῶν θεωρημάτων ἐστὶ τοςαῦτα·
τὰ δὲ ἀναγκαιότατα καὶ ἐν πᾶσιν ὑπάρχοντα πρότασις καὶ ἀπόδειξις καὶ συμπέρασμα.
yarak bildirmeye geri döner.
Bunlar, problemlerin ve teoremlerin
bütün parçalarıdır.
En zorunlu olan ve her [önerme]de bulunan [parçalar], bildirme, gösterme,
ve bitirmedir.
Biz de Proklos’un analizini aşağıdaki anlamıyla kullanacağız:
Bildirme, bir önermenin, harfli diagrama gönderme yapmayan, genel beyanıdır. Bu beyan, bir doğru veya üçgen gibi bir nesne hakkındadır.
Açıklama, bu nesneyi harfler aracılığıyla diagramda işaret eder. Bu nesnenin varlığı üçüncü tekil emir kipinde bir fiil ile oluşturulur. (Bazen
düzenlemeninki gibi açıklamanın ikinci kelimesi γάρ olur.)
Belirtme,
(a) bir problemde, nesne ile ilgili ne yapılacağını söyler ve δεῖ δὴ
kelimeleriyle başlar (burada δεῖ, “gereklidir”, δή ise “o halde”
anlamındadır);
(b) bir teoremde, nesneyle ilgili neyin ispatlanacağını söyler ve “diyorum ki” anlamına gelen λέγω ὅτι kelimeleriyle başlar. Aynı
ifade, bir problemde de belirtmeye ek olarak, göstermenin başında ve düzenlemenin sonunda görülebilir.
Düzenleme varsa, ikinci kelimesi γάρ olur. Bu kelime, onaylayıcı bir zarf
ve sebep belirten bir bağlaçtır. Bunu “zira” olarak çevirdik ve cümlenin birinci kelimesi yaptık.
Gösterme, genellikle ἐπεί (“çünkü, olduğundan”) ilgeciyle başlar.
Bitirme, bildirmeyi tekrarlar ve genellikle ἄρα (“böylece”) ilgecini içerir.
Tekrarlanan bildirmeden sonra bitirme aşağıdaki iki kalıptan biriyle
sonlanır:
(a) ὅπερ ἔδει ποιῆσαι “yapılması gereken tam buydu” (problemlerde; Latincesi quod erat faciendum veya QEF);
(b) ὅπερ ἔδει δεῖξαι “gösterilmesi gereken tam buydu” (teoremlerde;
Latincesi quod erat demonstrandum veya QED).

Önerme
 (εʹ)
 (ιζʹ)
 (ιζʹ)
 (λϚʹ)
 (λζʹ)
 (ληʹ)
Fitzpatrick
sayfa

τρὸς

πάντῇ

πάντῇ
δὶα
δὶα


δὶα
satır
ilk

son
πρὸς
πάντῃ
πάντῃ
διὰ
διὰ
διὰ
Heiberg
sayfa satır












Fitzpatrick’in metnindeki bulduğumuz hatalar (önsöze bakınız)
Yunan alfabesi
büyük
Α
Β
Γ
∆
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω

küçük
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ρ
σ, ς
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
okunuş
a
b
g
d
e (kısa)
z (ds)
ê (uzun e)
th
i
k
l
m
n
ks
o (kısa)
p
r
s
t
y, ü
f
h (kh)
ps
ô (uzun o)
isim
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
iota (yota)
kappa
lambda
mü
nü
ksi
omikron
pi
rho (ro)
sigma
tau
üpsilon
phi
khi
psi
omega
῞Οροι // Hudutlar
Σημεῖόν ἐστιν,
οὗ μέρος οὐθέν.
[] Bir nokta,
hiçbir parçası olmayandır.
Γραμμὴ δὲ
μῆκος ἀπλατές.
[] Ve bir çizgi,
genişliksiz uzunluktur.
Γραμμῆς δὲ
πέρατα σημεῖα.
[] Ve bir çizginin
sınırları, noktadır.
Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν,
ἥτις ἐξ ἴσου
τοῖς ἐφ᾿ ἑαυτῆς σημείοις
κεῖται.
[] Bir doğru çizgi,
eşit olarak
üzerindeki noktalara göre
oturandır.
᾿Επιφάνεια δέ ἐστιν,
ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον
ἔχει.
[] Ve bir yüzey,
sadece uzunluğu ve genişliği
olandır.
᾿Επιφανείας δὲ
πέρατα γραμμαί.
[] Ve bir yüzeyin
sınırları, çizgidir.
᾿Επίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν,
ἥτις ἐξ ἴσου
ταῖς ἐφ᾿ ἑαυτῆς εὐθείαις
κεῖται.
[] Bir düzlem yüzeyi,
eşit olarak
üzerindeki doğrulara göre
oturandır.
Russo’ya [, s. –] göre bu tanım ve buradaki başka tanımlar, Heron’un
Tanımları (Heronis Definitiones) adlı kitabından Öklid’in Öğeler ’ine eklenmiştir.
Heron’un Tanımları’nda Εὐθεῖα μὲν οὖν γραμμή ἐστιν ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐπ᾿ αὐτῆς
σημείοις κεῖται ὀρθὴ οὖσα καὶ οἷον ἐπ᾿ ἄκρον τεταμένη ἐπὶ τὰ πέρατα “Bir doğru
çizgi, eşit olarak üzerindeki noktalara göre düz ve uçlarından en fazla gerilmiş
oturandır” (A straight line is a line that equally with respect to [all] points on itself
lies straight and maximally taught between its extremities) metni bulunmuştur.
 Lucio


῞Οροι // Hudutlar
᾿Επίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν
ἡ ἐν ἐπιπέδῳ
δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων
καὶ μὴ ἐπ᾿ εὐθείας κειμένων
πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν
κλίσις.
[] Ve bir düzlem açısı,
bir düzlemde
iki çizgi birbirine dokununca
ve bir doğru üzerinde oturmayınca
çizgilerin birbirine göre
eğimidir.
῞Οταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν
γραμμαὶ
εὐθεῖαι ὦσιν,
εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία.
[] Ve ne zaman açıyı içeren
çizgiler
doğru olursa
açıya düzkenar denir.
῞Οταν δὲ εὐθεῖα
ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα
τὰς ἐφεξῆς γωνίας
ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ,
ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι,
καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα
κάθετος καλεῖται,
ἐφ᾿ ἣν ἐφέστηκεν.
[] Ve ne zaman bir doğru,
bir doğrunun üzerine dikilmiş,
bitişik açıları
birbirine eşit yaparsa,
eşit açıların her biri, diktir,
ve dikilmiş doğruya
dikey denir
üzerine dikildigi [doğru]ya.
᾿Αμβλεῖα γωνία ἐστὶν
ἡ μείζων ὀρθῆς.
[] Bir geniş açı,
dik [açı]dan büyük olandır.
᾿Οξεῖα δὲ
ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.
[] Ve bir dar açı,
dik [açı]dan küçük olandır.
῞Ορος ἐστίν,
ὅ τινός ἐστι πέρας.
[] Bir hudut,
herhangi bir şeyin sınırı olandır.
Σχῆμά ἐστι
τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων
περιεχόμενον.
[] Bir figür,
bir hudut veya hudutlar tarafından
içerilendir.
 Bu
tanım, . ve . önermelerde alıntılanır.
Geometri kitabına [, ¶, s. ] göre öyle bir açı, oput açıdır.
 Atatürk’ün

πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι
[πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν]
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
[] Bir daire,
düzlemdeki bir figürdür
bir çizgice içerilen
[bu çizgiye çevre denir]
öyle ki [bu çizginin üzerine]
bir noktasından
(figürün içerisinde oturan noktaların)
tüm düşen doğrular,
[çevrenin üzerine]
birbirine eşittir.
Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου
τὸ σημεῖον καλεῖται.
[] Ve dairenin merkezi
denir o noktaya.
∆ιάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν
εὐθεῖά τις
διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη
καὶ περατουμένη
ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη
ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας,
ἥτις καὶ
δίχα τέμνει τὸν κύκλον.
[] Ve bir dairenin bir çapı,
herhangi bir doğrudur
dairenin merkezinden ilerletilmiş
ve sınırlandırılan
her iki tarafta
dairenin çevresi tarafından;
ve [böyle bir doğru,]
daireyi ikiye böler.
῾Ημικύκλιον δέ ἐστι
τὸ περιεχόμενον σχῆμα
ὑπό τε τῆς διαμέτρου
καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ᾿ αὐτῆς
περιφερείας.
κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό,
ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν.
[] Bir yarıdaire,
içerilen figürdür
hem bir çap
hem onun ayırdığı
çevre tarafından.
Ve yarıdairenin merkezi aynıdır
daireninkiyle.
Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι
τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα,
τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν,
τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων,
πολύπλευρα δὲ
τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων
[] Düzkenar figürler,
doğrularca içerilendir:
üçkenar figürler üç,
dörtkenar figürler de dört,
çokkenar figürler de
dörtten daha fazla
Κύκλος ἐστὶ
σχῆμα ἐπίπεδον
ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον
[ἣ καλεῖται περιφέρεια],
πρὸς ἣν
ἀφ᾿ ἑνὸς σημείου
τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων

῞Οροι // Hudutlar
εὐθειῶν περιεχόμενα.
doğruca içerilendir.
Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων
ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι
τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς,
ἰσοσκελὲς δὲ
τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς,
σκαληνὸν δὲ
τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς.
[] Ve üçkenar figürlerden
eşkenar üçgen,
üç eşit kenarı olan;
ikizkenar da,
sadece iki eşit kenarı olan;
çeşitkenar da,
üç eşit olmayan kenarı olandır.
῎Ετι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων
ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν ἐστι
τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν,
ἀμβλυγώνιον δὲ
τὸ ἔχον ἀμβλεῖαν γωνίαν,
ὀξυγώνιον δὲ
τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας.
[] Ve ayrıca, üçkenar figürlerden,
dik [açılı] üçgen,
bir dik açısı olan;
geniş açılı da,
bir geniş açısı olan;
dar açılı da,
üç dar açısı olandır.
Τὼν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων
τετράγωνον μέν ἐστιν,
ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι
καὶ ὀρθογώνιον,
ἑτερόμηκες δέ,
ὃ ὀρθογώνιον μέν,
οὐκ ἰσόπλευρον δέ,
ῥόμβος δέ,
ὃ ἰσόπλευρον μέν,
οὐκ ὀρθογώνιον δέ,
ῥομβοειδὲς δὲ
τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς
τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον,
ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν
οὔτε ὀρθογώνιον·
τὰ δὲ παρὰ ταῦτα
τετράπλευρα
[] Ve dörtkenar figürlerden
kare,
hem eşkenar olan
hem dik;
dikdörtgen de
dik olan
ama eşkenar olmayan;
romb da,
eşkenar olan
ama dik olmayan;
romboid de
hem karşılıklı kenar
hem açıları eşit olan
ama ne eşkenar
ne dik olandır.
Ve bunların dışında kalan
dörtkenarlara

τραπέζια καλείσθω.
trapezion denilsin.
Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι,
αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι
καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον
ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη
ἐπὶ μηδέτερα
συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.
[] Paraleldir doğrular,
aynı düzlemde bulunan
ve sonsuza uzatılınca
her iki tarafta,
hiçbir tarafta
çarpışmayan.
eşkenar dörtgen.
ve romboid terimleri, önermelerde kullanılmaz. Trapezion terimi, . önermede, yamuk için kullanılır.
 Yani
 Romb
Αἰτήματα // Postulatlar
᾿Ηιτήσθω
ἀπὸ παντὸς σημείου
ἐπὶ πᾶν σημεῖον
εὐθεῖαν γραμμὴν
ἀγαγεῖν.
[Postulat olarak] rica edilmiş olsun:
[] herhangi bir noktadan
herhangi bir noktaya
bir doğru çizgi
ilerletmek.
καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν
κατὰ τὸ συνεχὲς
ἐπ᾿ εὐθείας
ἐκβαλεῖν.
[] Ve sınırlanmış bir doğruyu
kesiksiz şekilde
bir doğruda
uzatmak.
καὶ παντὶ κέντρῳ
καὶ διαστήματι
κύκλον
γράφεσθαι.
[] Ve her merkez
ve uzunluğa
bir daire
çizmek.
καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας
ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
[] Ve bütün dik açıların
birbirine eşit olduğu.
καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας
εὐθεῖα ἐμπίπτουσα
τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
γωνίας
δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ,
ἐκβαλλομένας
τὰς δύο εὐθείας
ἐπ᾿ ἄπειρον
συμπίπτειν,
ἐφ᾿ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν
ἐλάσσονες.
[] Ve eğer iki doğrunun üzerine
düşen bir doğru
aynı tarafta oluşturduğu iç
açıları
iki dik açıdan küçük yaparsa,
uzatıldıklarında
bu iki doğrunun
sınırsızca
çarpışacağı,
açıların iki dik açıdan küçük olduğu
tarafta.

Κοιναὶ ἔννοιαι // Ortak kavramlar
Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα
καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
[] Aynı şeye eşitler
birbirine de eşittir.
καὶ ἐὰν ἴσοις
ἴσα προστεθῇ,
τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
[] Ve eğer eşitlere
eşitler eklenirse,
bütünler eşittir.
καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων
ἴσα ἀφαιρεθῇ,
τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
[] Ve eğer eşitlerden
eşitler ayrılırsa,
kalanlar eşittir.
καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ᾿ ἀλλήλα
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
[] Ve birbirine uygulayan şeyler
birbirine eşittir.
καὶ τὸ ὅλον
τοῦ μέρους μεῖζόν [ἐστιν].
[] Ve bütün,
parçadan büyüktür.
 Ortak
kavram adının yerine aksiyom kullanılabilir.
cümle, ., ., ve . önermelerde alıntılanır.
 Veya birbiriyle çakışan.
 Bu

Önermeler
. Önerme
᾿Επὶ τῆς δοθείσης
εὐθείας πεπερασμένης
τρίγωνον ἰσόπλευρον
συστήσασθαι.
Verilmiş
sınırlanmış doğrunun üzerinde
eşkenar üçgen
inşa etmek.
῎Εστω
ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη
ἡ ΑΒ.
Olsun
verilmiş sınırlanmış doğru
ΑΒ.
∆εῖ δὴ
ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας
τρίγωνον ἰσόπλευρον
συστήσασθαι.
O halde gereklidir
ΑΒ doğrusuna
eşkenar üçgen
inşa etmek.
Κέντρῳ μὲν τῷ Α
διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ
κύκλος γεγράφθω
ὁ ΒΓ∆,
καὶ πάλιν
κέντρῳ μὲν τῷ Β
διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ
κύκλος γεγράφθω
ὁ ΑΓΕ,
καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου, καθ᾿ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ κύκλοι,
ἐπί τὰ Α, Β σημεῖα
ἐπεζεύχθωσαν
εὐθεῖαι αἱ ΓΑ, ΓΒ.
Α merkezine,
ΑΒ uzaklığında olan
daire çizilmiş olsun,
ΒΓ∆,
ve yine
Β merkezine,
ΒΑ uzaklığında olan
daire çizilmiş olsun,
ΑΓΕ,
ve dairelerin kesiştiği Γ noktasından

Α, Β noktalarına
birleştirilmiş olsun
ΓΑ, ΓΒ doğruları.

. Önerme
Ve Α noktası Γ∆Β dairesinin merkezi
olduğundan,
ΑΓ, ΑΒ’ya eşittir.
Yine
Β noktası ΓΑΕ dairesinin merkezi olduğundan,
ΒΓ, ΒΑ’ya eşittir.
Ve ΓΑ’nın ΑΒ’ya eşit olduğu gösterilmişti.
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΓΑ, ΓΒ τῇ ΑΒ ἐστιν Böylece ΓΑ ile ΓΒ’nın her biri ΑΒ’ya
ἴση.
eşittir.
τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα
Ama aynı şeye eşitler
καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα·
birbirine de eşittir.
καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἐστιν ἴση·
Böylece ΓΑ da, ΓΒ’ya eşittir.
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΓΑ, ΑΒ, ΒΓ
Böylece o üç doğru, ΓΑ, ΑΒ, ΒΓ,
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
birbirine eşittir.
καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ
Γ∆Β κύκλου,
ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ·
πάλιν,
ἐπεὶ τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ
ΓΑΕ κύκλου,
ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΑ.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ τῇ ΑΒ ἴση·
Böylece eşkenardır
ΑΒΓ üçgeni.
Ve inşa edilmiştir
verilmiş sınırlanmış ΑΒ doğrusuna;
᾿Ισόπλευρον ἄρα
ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.
καὶ συνέσταται
ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης
τῆς ΑΒ.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
yapılması gereken tam buydu.
Γ
∆
Α
Β
Ε

Önermeler
. Önerme
Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ
τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην
εὐθεῖαν θέσθαι.
Verilmiş noktaya
verilmiş doğruya eşit olan
doğru yerleştirmek.
῎Εστω
τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α,
ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ·
Olsun
verilmiş nokta Α,
verilmiş doğru da ΒΓ.
δεῖ δὴ
πρὸς τῷ Α σημείῳ
τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴσην
εὐθεῖαν θέσθαι.
O halde gereklidir
Α noktasına,
verilmiş ΒΓ doğrusuna eşit olan
bir doğru yerleştirmek.
᾿Επεζεύχθω γὰρ
ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπί τὸ Β σημεῖον
εὐθεῖα ἡ ΑΒ,
καὶ συνεστάτω
ἐπ᾿ αὐτῆς
τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ∆ΑΒ,
καὶ ἐκβεβλήσθωσαν
ἐπ᾿ εὐθείας ταῖς ∆Α, ∆Β
εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ,
καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β
διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ
κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΗΘ,
καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ ∆
καὶ διαστήματι τῷ ∆Η
κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ.
Zira birleştirilmiş olsun
Α noktasından Β noktasına
ΑΒ doğrusu,
ve inşa edilmiş olsun
bu [doğru] üzerine
eşkenar üçgen ∆ΑΒ,
ve uzatılmış olsun
∆Α ile ∆Β doğrularından
ΑΕ ile ΒΖ doğruları,
ve Β merkezine
ΒΓ uzaklığında
ΓΗΘ dairesi çizilmiş olsun,
ve yine ∆ merkezine
ve ∆Η uzaklığında
ΗΚΛ dairesi çizilmiş olsun.
᾿Επεὶ οὖν τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ
τοῦ ΓΗΘ,
ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ.
πάλιν, ἐπεὶ τὸ ∆ σημεῖον κέντρον ἐστὶ
τοῦ ΗΚΛ κύκλου,
ἴση ἐστὶν ἡ ∆Λ τῇ ∆Η,
Dolayısıyla Β noktası ΓΗΘ dairesinin merkezi olduğundan,
ΒΓ, ΒΗ’ya eşittir.
Yine, ∆ noktası ΗΚΛ dairesinin merkezi olduğundan,
∆Λ, ∆Η’ya eşittir,

. Önerme
ve bunlardan ∆Α, ∆Β’ya eşittir.
Böylece ΑΛ kalanı,
ΒΗ kalanına eşittir.
Ve ΒΓ’nın ΒΗ’ya eşit olduğu gösterilmişti.
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΛ, ΒΓ τῇ ΒΗ ἐστιν Böylece ΑΛ ile ΒΓ’nın her biri ΒΗ’ya
ἴση.
eşittir.
τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα
Ama aynı şeye eşitler
καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα·
birbirine de eşittir.
καὶ ἡ ΑΛ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση.
Ve böylece ΑΛ da, ΒΓ’ya eşittir.
ὧν ἡ ∆Α τῇ ∆Β ἴση ἐστίν.
λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΛ
λοιπῇ τῇ ΒΗ ἐστιν ἴση.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ ἴση·
Böylece verilmiş Α noktasına
verilmiş ΒΓ doğrusuna eşit olan
ΑΛ doğrusu oturuyor;
yapılması gereken tam buydu.
Πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ Α
τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴση
εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΛ·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Κ
Θ
Γ
∆
Α
Λ
Ε
Β
Η
Ζ

Önermeler
. Önerme
∆ύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων
ἀπὸ τῆς μείζονος
τῇ ἐλάσσονι ἴσην
εὐθεῖαν ἀφελεῖν.
İki eşit olmayan doğru verilince
daha büyükten
daha küçüğe eşit olan
bir doğru ayırmak.
῎Εστωσαν
αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι
αἱ ΑΒ, Γ,
ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ·
Olsun
verilmiş iki eşit olmayan doğru
ΑΒ ile Γ,
ve daha büyüğü ΑΒ olsun.
δεῖ δὴ
ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ
τῇ ἐλάσσονι τῇ Γ ἴσην
εὐθεῖαν ἀφελεῖν.
O halde gereklidir
daha büyük olan ΑΒ’dan
daha küçük olan Γ’ya eşit olan
bir doğru ayırmak.
Κείσθω
πρὸς τῷ Α σημείῳ
τῇ Γ εὐθείᾳ ἴση ἡ Α∆·
καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Α
διαστήματι δὲ τῷ Α∆
κύκλος γεγράφθω ὁ ∆ΕΖ.
Otursun
Α noktasına
Γ doğrusuna eşit olan Α∆.
Ve Α merkezine
Α∆ uzaklığında olan
∆ΕΖ dairesi çizilmiş olsun.
καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον
κέντρον ἐστὶ τοῦ ∆ΕΖ κύκλου,
ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ Α∆·
ἀλλὰ καὶ ἡ Γ τῇ Α∆ ἐστιν ἴση.
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕ, Γ
τῇ Α∆ ἐστιν ἴση·
ὥστε καὶ ἡ ΑΕ τῇ Γ ἐστιν ἴση.
Ve Α noktası,
∆ΕΖ dairesinin merkezi olduğundan,
ΑΕ, Α∆’ya eşittir.
Ama Γ da, Α∆’ya eşittir.
Böylece ΑΕ ile Γ’nın her biri
Α∆’ya eşittir.
Öyleyse ΑΕ da, Γ’ya eşittir.
∆ύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων
τῶν ΑΒ, Γ
ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ
Böylece iki eşit olmayan ΑΒ ile Γ
doğrusu verilince
daha büyük olan ΑΒ’dan

. Önerme
daha küçük olan Γ’ya eşit olan
ΑΕ ayrılır;
yapılması gereken tam buydu.
τῇ ἐλάσσονι τῇ Γ ἴση
ἀφῄρηται ἡ ΑΕ·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
∆
Γ
Ε
Α
Ζ
Β

Önermeler
. Önerme
Eğer iki üçgende
iki kenar
iki kenara eşit olursa,
her biri birine,
ve açı,
açıya eşit olursa,
[yani,] eşit doğrular tarafından
içerilen,
taban da
tabana eşit olacak,
üçgen de
üçgene eşit olacak,
ve kalan açılar da
kalan açılara eşit olacak,
her biri birine,
[yani,] eşit kenarlar tarafından
raptedilenler .
᾿Εὰν δύο τρίγωνα
τὰς δύο πλευρὰς
[ταῖς] δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ
καὶ τὴν γωνίαν
τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ
τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν
περιεχομένην,
καὶ τὴν βάσιν
τῂ βάσει ἴσην ἕξει,
καὶ τὸ τρίγωνον
τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται,
καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι
ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ,
ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ
ὑποτείνουσιν.
Α
Β
∆
Γ
῎Εστω
δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ∆ΕΖ
τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ
ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς ∆Ε, ∆Ζ
ἴσας ἔχοντα
 Veya
eşit kenarlar tarafından görülenler.
Ε
Ζ
Olsun
iki üçgen ΑΒΓ ile ∆ΕΖ,
iki ΑΒ ile ΑΓ kenarı
iki ∆Ε ile ∆Ζ kenarına
eşit olan

. Önerme
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ
τὴν μὲν ΑΒ τῇ ∆Ε τὴν δὲ ΑΓ τῇ ∆Ζ
καὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Ε∆Ζ ἴσην.
her biri birine,
ΑΒ, ∆Ε’a ve ΑΓ, ∆Ζ’ya,
ve ΒΑΓ [tarafından içerilen] açısı
Ε∆Ζ açısına eşit [olan].
λέγω, ὅτι
καὶ βάσις ἡ ΒΓ
βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν,
καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
τῷ ∆ΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἔσται,
καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι
ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ,
ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ
ὑποτείνουσιν,
ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ∆ΕΖ,
ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ∆ΖΕ.
Diyorum ki,
ΒΓ tabanıda,
ΕΖ tabanına eşittir,
ΑΒΓ üçgeni de
∆ΕΖ üçgenine eşit olacak,
ve kalan açılar da
kalan açılara eşit olacak,
her biri birine,
eşit kenarlar tarafından
raptedilenler:
ΑΒΓ, ∆ΕΖ’ya,
ve ΑΓΒ, ∆ΖΕ’a.
᾿Εφαρμοζομένου γὰρ
τοῦ ΑΒΓ τριγώνου
ἐπὶ τὸ ∆ΕΖ τρίγωνον
καὶ τιθεμένου
τοῦ μὲν Α σημείου
ἐπὶ τὸ ∆ σημεῖον
τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας
ἐπὶ τὴν ∆Ε,
ἐφαρμόσει καὶ
τὸ Β σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε
διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ∆Ε·
ἐφαρμοσάσης δὴ
τῆς ΑΒ ἐπὶ τὴν ∆Ε
ἐφαρμόσει καὶ
ἡ ΑΓ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ∆Ζ
διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν
τῇ ὑπὸ Ε∆Ζ·
ὥστε καὶ τὸ Γ σημεῖον
Zira uygulanınca
ΑΒΓ üçgeni,
∆ΕΖ üçgeninin üstüne,
ve yerleştirilince
Α noktası,
∆ noktasına,
ve ΑΒ doğrusu,
∆Ε’a,
uygulayacak da
Β noktası da Ε’a,
çünkü ΑΒ, ∆Ε’a eşittir.
O halde uygulamış olunca
ΑΒ, ∆Ε’a,
uygulayacak da
ΑΓ doğrusu, ∆Ζ’ya,
çünkü ΒΑΓ açısı, Ε∆Ζ’ya eşittir.
 Veya
İddia ediyorum.
Öyleyse Γ noktası da

Önermeler
ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον ἐφαρμόσει
διὰ τὸ ἴσην πάλιν εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ∆Ζ.
ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Β
ἐπὶ τὸ Ε ἐφηρμόκει·
ὥστε βάσις ἡ ΒΓ
ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει.
εἰ γὰρ
τοῦ μὲν Β ἐπὶ τὸ Ε ἐφαρμόσαντος
τοῦ δὲ Γ ἐπὶ τὸ Ζ
ἡ ΒΓ βάσις
ἐπὶ τὴν ΕΖ οὐκ ἐφαρμόσει,
δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν·
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
ἐφαρμόσει ἄρα ἡ ΒΓ βάσις
ἐπὶ τὴν ΕΖ
καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται·
ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
ἐπὶ ὅλον τὸ ∆ΕΖ τρίγωνον
ἐφαρμόσει
καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται,
καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι
ἐπὶ τὰς λοιπὰς γωνίας
ἐφαρμόσουσι
καὶ ἴσαι αὐταῖς ἔσονται,
ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ∆ΕΖ
ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ∆ΖΕ.
Ζ noktasına uygulayacak,
yine çünkü ΑΓ, ∆Ζ’ya eşittir.
Ama tabii ki Β da,
Ε’a uygulamıştır;
öyleyse ΒΓ tabanı,
ΕΖ tabanına uygulayacak.
Zira eğer,
Β, Ε’a uygulayınca,
ve Γ, Ζ’ya,
ΒΓ tabanı
ΕΖ tabanına uygulamayacaksa,
iki doğru bir alan içerecek,
ki bu imkânsızdır.
Böylece uygulayacak ΒΓ tabanı,
ΕΖ tabanına
ve ona eşit olacak.
Dolayısıyla bütün ΑΒΓ üçgeni de,
bütün ∆ΕΖ üçgenine
uygulayacak,
ve ona eşit olacak,
ve kalan açılar
kalan açılara
uygulayacak,
ve onlara eşit olacak:
ΑΒΓ, ∆ΕΖ’ya
ve ΑΓΒ, ∆ΖΕ’a.
᾿Εὰν ἄρα δύο τρίγωνα
τὰς δύο πλευρὰς
[ταῖς] δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ
καὶ τὴν γωνίαν
τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ
τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν
περιεχομένην,
καὶ τὴν βάσιν
τῂ βάσει ἴσην ἕξει,
καὶ τὸ τρίγωνον
Böylece, eğer iki üçgende
iki kenar
iki kenara eşit olursa
(her biri birine)
ve açı
açıya eşit olursa
[yani,] eşit doğrular tarafından
içerilen,
taban da
tabana eşit olacak,
üçgen de

. Önerme
üçgene eşit olacak,
ve kalan açılar da
kalan açılara eşit olacak,
her biri birine,
[yani] eşit kenarlar tarafından
raptedilenler;
gösterilmesi gereken tam buydu.
τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται,
καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι
ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ,
ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ
ὑποτείνουσιν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Α
Β
∆
Γ
Ε
Ζ

Önermeler
. Önerme
İkizkenar üçgenlerde,
tabandaki açılar
birbirine eşittir, ve,
eşit doğrular uzatıldığında,
tabanın altında kalan açılar
birbirine eşit olacak.
Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων
αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ
προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν
αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι
ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.
Α
Β
Ζ
∆
Γ
Η
Ε
῎Εστω
τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ
ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ πλευρὰν τῇ ΑΓ
πλευρᾷ,
καὶ προσεκβεβλήσθωσαν
ἐπ᾿ εὐθείας ταῖς ΑΒ, ΑΓ
εὐθεῖαι αἱ Β∆, ΓΕ·
Olsun
ikizkenar üçgen ΑΒΓ,
ΑΒ kenarı ΑΓ kenarına eşit olan,
λέγω, ὅτι
ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία
τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἐστίν,
ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒ∆ τῇ ὑπὸ ΒΓΕ.
Diyorum ki
ΑΒΓ açısı,
ΑΓΒ’ya eşittir
ve ΓΒ∆, ΒΓΕ’a eşittir
Εἰλήφθω γὰρ
ἐπὶ τῆς Β∆
τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ,
καὶ ἀφῃρήσθω
ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΕ
Zira alınmış olsun
Β∆ üzerinde
rastgele bir Ζ noktası,
ve ayrılmış olsun
büyük olan ΑΕ’dan
ve uzatılmış olsun
ΑΒ ve ΑΓ doğrularından
Β∆ ve ΓΕ doğruları.

. Önerme
τῇ ἐλάσσονι τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΑΗ,
καὶ ἐπεζεύχθωσαν
αἱ ΖΓ, ΗΒ εὐθεῖαι.
küçük olan ΑΖ’ya eşit olan ΑΗ,
ve birleştirilmiş olsun
ΖΓ ve ΗΒ doğruları.
᾿Επεὶ οὖν ἴση ἐστὶν
ἡ μὲν ΑΖ τῇ ΑΗ
ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΑΓ,
δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΓ
δυσὶ ταῖς ΗΑ, ΑΒ ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι
τὴν ὑπὸ ΖΑΗ·
βάσις ἄρα ἡ ΖΓ βάσει
τῇ ΗΒ ἴση ἐστίν,
καὶ τὸ ΑΖΓ τρίγωνον
τῷ ΑΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται,
καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι
ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ,
ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν,
ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΗ,
ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΓ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ.
καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΖ
ὅλῃ τῇ ΑΗ ἐστιν ἴση,
ὧν ἡ ΑΒ
τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση,
λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ
λοιπῇ τῇ ΓΗ ἐστιν ἴση.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΓ
τῇ ΗΒ ἴση·
δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΓ
δυσὶ ταῖς ΓΗ, ΗΒ ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ
γωνίᾳ τῃ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση,
καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΒΓ·
καὶ τὸ ΒΖΓ ἄρα τρίγωνον
τῷ ΓΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται,
Dolayısıyla eşit olduğundan
ΑΖ, ΑΗ’ya
ve ΑΒ, ΑΓ’ya,
o halde ΖΑ, ΑΓ ikilisi
ΗΑ, ΑΒ ikilisine eşittir,
her biri birine;
ve ortak bir açıyı sınırlandırırlar,
(yani) ΖΑΗ’yı;
böylece ΖΓ tabanı
ΗΒ tabanına eşittir,
ve ΑΖΓ üçgeni
ΑΗΒ üçgenine eşit olacak,
ve kalan açılar
kalan açılara eşit olacak,
her biri birine,
(yani) eşit kenarları raptedenler;
ΑΓΖ, ΑΒΗ’ya,
ve ΑΖΓ, ΑΗΒ’ya.
Ve bütün ΑΖ
bütün ΑΗ’ya eşit olduğundan,
ve bunların [parçalarından] ΑΒ
ΑΓ’ya eşit olduğundan,
böylece ΒΖ kalanı
ΓΗ kalanına eşittir.
Ve gösterilmişti ΖΓ’nın
ΗΒ’ya eşit olduğu.
O halde ΒΖ ve ΖΓ ikilisi
ΓΗ ve ΗΒ ikilisine eşittir,
her biri birine,
ve ΒΖΓ açısı,
ΓΗΒ açısına eşittir,
ve onların ortak tabanı ΒΓ’dır;
Böylece ΒΖΓ üçgeni de
ΓΗΒ üçgenine eşit olacak,

Önermeler
καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι
ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ,
ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
ἴση ἄρα ἐστὶν
ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ
ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ.
ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία
ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΖ γωνίᾳ
ἐδείχθη ἴση,
ὧν ἡ ὑπὸ ΓΒΗ
τῇ ὑπὸ ΒΓΖ ἴση,
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ
λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση·
καί εἰσι πρὸς τῇ βάσει
τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ
τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἴση·
καί εἰσιν ὑπὸ τὴν βάσιν.
ve kalan açılar
kalan açılarına eşit olacak,
her biri birine,
aynı kenarları raptedenler.
Böylece eşittir
ΖΒΓ, ΗΓΒ’ya,
ve ΒΓΖ, ΓΒΗ’ya.
Dolayısıyla bütün ΑΒΗ açısının
bütün ΑΓΖ açısına
eşit olduğu gösterilmiş olduğundan
ve bunların [parçalarından] ΓΒΗ,
ΒΓΖ’ya eşit olduğundan,
böylece kalan ΑΒΓ,
kalan ΑΓΒ’ya eşittir;
ve bunlar tabanındadır
ΑΒΓ üçgeninin.
Ve gösterilmişti ΖΒΓ’nın
ΗΓΒ’ya eşit olduğu;
ve bunlar tabanın altındadır.
Τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν τριγώνων
αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ
προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν
αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι
ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece ikizkenar üçgenlerde,
tabandaki açılar
birbirine eşittir, ve,
eşit doğrular uzatıldığında,
tabanın altında kalan açılar
birbirine eşit olacak;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Α
Β
Ζ
∆
Γ
Η
Ε
. Önerme


Önermeler
. Önerme
᾿Εὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι
ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν,
καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας
ὑποτείνουσαι πλευραὶ
ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.
Eğer bir üçgenin iki açısı
birbirine eşit ise,
eşit açıları
rapteden kenarlar da
birbirine eşit olacaktır.
῎Εστω
τρίγωνον τὸ ΑΒΓ
ἴσην ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν
τῇ ὑπὸ ΑΓΒ γωνίᾳ·
Olsun
üçgen ΑΒΓ,
ΑΒΓ açısı eşit olan
ΑΓΒ açısına.
λέγω, ὅτι
καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ
πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση.
Diyorum ki
ΑΒ kenarı da
ΑΓ kenarına eşittir.
Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ,
ἡ ἑτέρα αὐτῶν μείζων ἐστίν.
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ,
καὶ ἀφῃρήσθω
ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ
τῇ ἐλάττονι τῇ ΑΓ ἴση
ἡ ∆Β,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∆Γ.
Zira eğer ΑΒ, ΑΓ’ya eşit değilse,
biri daha büyüktür.
ΑΒ daha büyük olsun,
ve ayrılmış olsun
daha büyük olan ΑΒ’dan
daha küçük olan ΑΓ’ya eşit olan
∆Β,
ve ∆Γ birleştirilmiş olsun.
᾿Επεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ∆Β τῇ ΑΓ
Dolayısıyla ∆Β, ΑΓ’ya eşit olduğundan,
ve ΒΓ ortak olduğundan,
o halde ∆Β, ΒΓ ikilisi
ΑΓ, ΒΓ ikilisine eşittir
her biri birine,
ve ∆ΒΓ açısı
ΑΓΒ açısına eşittir;
böylece ∆Γ tabanı
ΑΒ tabanına eşittir,
ve ∆ΒΓ üçgeni
κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ,
δύο δὴ αἱ ∆Β, ΒΓ
δύο ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ,
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ∆ΒΓ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση·
βάσις ἄρα ἡ ∆Γ
βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν,
καὶ τὸ ∆ΒΓ τρίγωνον

. Önerme
τῷ ΑΓΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται,
τὸ ἔλασσον τῷ μείζονι·
ὅπερ ἄτοπον·
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν
ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ·
ἴση ἄρα.
ΑΓΒ üçgenine eşit olacak,
daha küçük daha büyüğe;
ki bu saçmadır;
böylece eşit değil değildir
ΑΒ, ΑΓ’ya;
böylece eşittir.
᾿Εὰν ἄρα τριγώνου αἱ δύο γωνίαι
ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν,
καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας
ὑποτείνουσαι πλευραὶ
ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece eğer bir üçgenin iki açısı
birbirine eşit ise,
eşit açıları
rapteden kenarlar da
birbirine eşit olacaklar;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Α
∆
Β
Γ

Önermeler
. Önerme
᾿Επὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας
δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις
ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ
οὐ συσταθήσονται
πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ
ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι
ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις.
Aynı doğru üzerinde,
aynı iki doğruya
eşit olan başka iki doğru,
her biri birine,
inşa edilmeyecek
bir ve başka bir noktaya,
aynı tarafta,
aynı sınırları olan
başlangıçtaki doğrularla.
Εἰ γὰρ δυνατόν,
ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ
δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ταῖς ΑΓ, ΓΒ
ἄλλαι δύο εὐθεῖαι αἱ Α∆, ∆Β ἴσαι
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ
συνεστάτωσαν
πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ
τῷ τε Γ καὶ ∆
ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι,
ὥστε ἴσην εἶναι
τὴν μὲν ΓΑ τῇ ∆Α
τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῇ
τὸ Α,
τὴν δὲ ΓΒ τῇ ∆Β
τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῇ
τὸ Β,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Γ∆.
Zira eğer mümkünse,
aynı ΑΒ doğrusu üzerinde
verilmiş iki ΑΓ, ΓΒ doğrusuna
eşit başka iki Α∆, ∆Β doğrusu
her biri birine
inşa edilmiş olsun
bir ve başka bir noktaya,
hem Γ’ya hem ∆’ya,
aynı tarafta,
aynı sınırları olan,
öyle ki eşit olsun
hem ΓΑ, ∆Α’ya,
kendisiyle aynı sınıra sahip olan,
[yani] Α;
hem de ΓΒ, ∆Β’ya,
kendisiyle aynı sınıra sahip olan,
[yani] Β,
ve Γ∆ birleştirilmiş olsun.
᾿Επεὶ οὖν ἴση ἐστὶν
ἡ ΑΓ τῇ Α∆,
ἴση ἐστὶ
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓ∆ τῇ ὑπὸ Α∆Γ·
Dolayısıyla eşit olduğundan
ΑΓ, Α∆’ya,
eşittir
ΑΓ∆ açısı da, Α∆Γ’ya;
 Heath
[, I.], . önermeyle karşılaştırmamızı önerir.

. Önerme
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
böylece Α∆Γ büyüktür
∆ΓΒ’dan;
böylece Γ∆Β çok daha büyüktür
∆ΓΒ’dan.
Yine ΓΒ, ∆Β’ya eşit olduğundan,
eşittir
Γ∆Β açısı da,
∆ΓΒ açısına.
Ve ondan çok daha büyük olduğu
gösterilmişti;
ki bu imkânsızdır.
Οὐκ ἄρα
ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας
δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις
ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ
συσταθήσονται
πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ
ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι
ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece olmaz:
aynı doğru üzerinde,
iki verilmiş doğruya,
eşit iki başka doğru,
her biri birine,
inşa edilmeyecek
bir ve başka bir noktaya,
aynı tarafta,
aynı sınırları olan
başlangıçtaki doğrularla;
gösterilmesi gereken tam buydu.
μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ Α∆Γ
τῆς ὑπὸ ∆ΓΒ·
πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ Γ∆Β μείζων ἐστί
τῆς ὑπὸ ∆ΓΒ.
πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ∆Β,
ἴση ἐστὶ
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ Γ∆Β
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ∆ΓΒ.
ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ μείζων·
Γ
Α
∆
Β

Önermeler
. Önerme
᾿Εὰν δύο τρίγωνα
τὰς δύο πλευρὰς
[ταῖς] δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ,
ἔχῃ δὲ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην,
καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει
τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν
περιεχομένην.
Eğer iki üçgende
iki kenar
iki kenara eşit ise,
her biri birine,
ve taban tabana eşit ise,
açı da açıya eşit olacak,
eşit doğrularca
içerilen.
Α
∆
Γ
Β
Η
Ζ
Ε
῎Εστω
δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ∆ΕΖ
τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ
ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ∆Ε, ∆Ζ
ἴσας ἔχοντα
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ,
τὴν μὲν ΑΒ τῇ ∆Ε
τὴν δὲ ΑΓ τῇ ∆Ζ·
ἐχέτω δὲ
καὶ βάσιν τὴν ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴσην·
Olsun
iki üçgen ΑΒΓ ve ∆ΕΖ,
iki ΑΒ ile ΑΓ kenarı
iki ∆Ε ile ∆Ζ kenarına
eşit olan
her biri birine,
ΑΒ, ∆Ε’a,
ΑΓ da, ∆Ζ’ya;
olsun
bir de ΒΓ tabanı ΕΖ tabanına eşit.
λέγω, ὅτι
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Ε∆Ζ ἐστιν ἴση.
Diyorum ki
bir de ΒΑΓ açısı da
Ε∆Ζ açısına eşittir.

. Önerme
᾿Εφαρμοζομένου γὰρ
τοῦ ΑΒΓ τριγώνου
ἐπὶ τὸ ∆ΕΖ τρίγωνον
καὶ τιθεμένου
τοῦ μὲν Β σημείου ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον
τῆς δὲ ΒΓ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΕΖ
ἐφαρμόσει καὶ
τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ζ
διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ·
ἐφαρμοσάσης δὴ
τῆς ΒΓ ἐπὶ τὴν ΕΖ
ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ, ΓΑ
ἐπὶ τὰς Ε∆, ∆Ζ.
εἰ γὰρ βάσις μὲν ἡ ΒΓ
ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει,
αἱ δὲ ΒΑ, ΑΓ πλευραὶ
ἐπὶ τὰς Ε∆, ∆Ζ οὐκ ἐφαρμόσουσιν
ἀλλὰ παραλλάξουσιν
ὡς αἱ ΕΗ, ΗΖ,
συσταθήσονται
ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας
δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις
ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ
πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ
ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι.
οὐ συνίστανται δέ·
οὐκ ἄρα
ἐφαρμοζομένης τῆς ΒΓ βάσεως
ἐπὶ τὴν ΕΖ βάσιν
οὐκ ἐφαρμόσουσι
καὶ αἱ ΒΑ, ΑΓ πλευραὶ
ἐπὶ τὰς Ε∆, ∆Ζ.
ἐφαρμόσουσιν ἄρα·
ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ
Zira uygulanınca
ΑΒΓ üçgeni
∆ΕΖ üçgene,
ve yerleştirilince
Β noktası, Ε noktasına,
ve ΒΓ doğrusu, ΕΖ’ya,
uygulayacak da
Γ noktası, Ζ’ya,
çünkü ΒΓ, ΕΖ’ya eşittir.
Uygulayınca, o halde,
ΒΓ, ΕΖ’ya,
bir de ΒΑ ve ΓΑ, uygulayacak
Ε∆ ve ∆Ζ’ya.
Zira eğer ΒΓ tabanı,
ΕΖ tabanına uygularsa,
ve ΒΑ ve ΑΓ kenarları
Ε∆ ve ∆Ζ’ya uygulamazsa,
ama saparsa,
ΕΗ ve ΗΖ olarak,
inşa edilecek
aynı doğru üzerinde,
aynı iki doğruya
eşit olan başka iki doğru,
her biri birine,
bir ve başka bir noktaya
aynı tarafta
aynı sınırları olan.
Ama inşa edilmez;
böylece olmaz:
ΒΓ tabanı uygulayınca
ΕΖ tabanına,
uygulamayacak
ΒΑ ve ΑΓ kenarları da,
Ε∆ ve ∆Ζ’ya.
Böylece uygulayacaklar.
Öyleyse ΒΑΓ açısı da

Önermeler
ἐπὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ Ε∆Ζ
ἐφαρμόσει
καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται.
Ε∆Ζ açısına
uygulayacak
ve ona eşit olacak.
᾿Εὰν ἄρα δύο τρίγωνα
τὰς δύο πλευρὰς
[ταῖς] δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ,
ἔχῃ δὲ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην,
καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει
τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν
περιεχομένην·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Eğer, böylece, iki üçgende
iki kenar
iki kenara eşit ise
her biri birine,
ve taban tabana eşit ise,
açı da açıya eşit olacak,
eşit doğrularca
içerilen;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Α
∆
Γ
Β
Η
Ζ
Ε
. Önerme


Önermeler
. Önerme
Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον
δίχα τεμεῖν.
Verilmiş düzkenar açıyı
ikiye bölmek.
῎Εστω
ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος
ἡ ὑπὸ ΒΑΓ.
Olsun
verilmiş düzkenar açı
ΒΑΓ.
δεῖ δὴ
αὐτὴν δίχα τεμεῖν.
O halde gereklidir
onun ikiye bölünmesi.
Εἰλήφθω
ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ ∆,
καὶ ἀφῃρήσθω
ἀπὸ τῆς ΑΓ
τῇ Α∆ ἴση ἡ ΑΕ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∆Ε,
καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ∆Ε
τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ∆ΕΖ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ·
alınmış olsun
ΑΒ üzerinde rastgele bir ∆ noktası,
ve ayrılmış olsun
ΑΓ doğrusundan
Α∆’ya eşit olan ΑΕ,
ve ∆Ε birleştirilmiş olsun,
ve inşa edilmiş olsun ∆Ε üzerinde
bir ∆ΕΖ eşkenar üçgeni,
ve ΑΖ birleştirilmiş olsun.
λέγω, ὅτι
ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται
ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας.
᾿Επεὶ γὰρ
ἴση ἐστὶν ἡ Α∆ τῇ ΑΕ,
κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ,
δύο δὴ αἱ ∆Α, ΑΖ
δυσὶ ταῖς ΕΑ, ΑΖ ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ.
καὶ βάσις ἡ ∆Ζ
βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν·
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ∆ΑΖ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΖ ἴση ἐστίν.
Diyorum ki
ΒΑΓ açısı ikiye bölünmüş oldu
ΑΖ doğrusu tarafından.
Zira olduğundan
Α∆ ΑΕ’a eşit,
ve ΑΖ ortak,
o halde ∆Α, ΑΖ ikilisi
ΕΑ, ΑΖ ikilisine eşittir
her biri birine,
ve ∆Ζ tabanı
ΕΖ tabanına eşittir;
böylece ∆ΑΖ açısı
ΕΑΖ açısına eşittir.
῾Η ἄρα δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος
Böylece verilmiş düzkenar açı

. Önerme
ἡ ὑπὸ ΒΑΓ
δίχα τέτμηται
ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
ΒΑΓ
ikiye bölünmüş oldu
ΑΖ doğrusunca;
yapılması gereken tam buydu.
Α
Ε
∆
Β
Ζ
Γ

Önermeler
. Önerme
Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην
δίχα τεμεῖν.
Verilmiş sınırlı doğruyu
ikiye bölmek.
῎Εστω
ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη
ἡ ΑΒ·
Olsun
verilmiş sınırlı doğru
ΑΒ.
δεῖ δὴ
τὴν ΑΒ εὐθεῖαν πεπερασμένην
δίχα τεμεῖν.
O halde gereklidir
ΑΒ sınırlı doğrusunu
ikiye bölmek.
Συνεστάτω ἐπ᾿ αὐτῆς
τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ,
καὶ τετμήσθω
ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία δίχα
τῇ Γ∆ εὐθείᾳ·
İnşa edilmiş olsun üzerinde
ΑΒΓ eşkenar üçgeni,
ve bölünmüş olsun
ΑΓΒ açısı ikiye
Γ∆ doğrusunca.
λέγω, ὅτι
ἡ ΑΒ εὐθεῖα δίχα τέτμηται
κατὰ τὸ ∆ σημεῖον.
᾿Επεὶ γὰρ
ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ,
κοινὴ δὲ ἡ Γ∆,
δύο δὴ αἱ ΑΓ, Γ∆
δύο ταῖς ΒΓ, Γ∆ ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓ∆
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓ∆ ἴση ἐστίν·
βάσις ἄρα ἡ Α∆
βάσει τῇ Β∆ ἴση ἐστίν.
Diyorum ki
ΑΒ doğrusu ikiye bölünmüş oldu
∆ noktasında.
Zira olduğundan
ΑΓ ΑΒ kenarına eşit,
ve Γ∆ ortak,
o halde ΑΓ ve Γ∆ ikilisi
ΒΓ, Γ∆ ikilisine eşittir,
her biri birine,
ve ΑΓ∆ açısı
ΒΓ∆ açısına eşittir;
böylece Α∆ tabanı
Β∆ tabanına eşittir.
῾Η ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη
ἡ ΑΒ
δίχα τέτμηται κατὰ τὸ ∆·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Böylece verilmiş sınırlı
ΑΒ,
∆ noktasında ikiye bölünmüş oldu;
yapılması gereken tam buydu.

. Önerme
Γ
Α
∆
Β

Önermeler
. Önerme
Τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ
ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου
πρὸς ὀρθὰς γωνίας
εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
Verilmiş bir doğruya
üzerinde verilmiş bir noktadan
dik açılarda
bir doğru ilerletmek.
῎Εστω
ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ
τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπ᾿ αὐτῆς τὸ Γ·
Olsun
verilmiş doğru ΑΒ,
ve üzerinde verilmiş nokta Γ.
δεῖ δὴ
ἀπὸ τοῦ Γ σημείου
τῇ ΑΒ εὐθείᾳ
πρὸς ὀρθὰς γωνίας
εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
O halde gereklidir
Γ noktasından
ΑΒ doğrusuna
dik açılarda
bir doğru ilerletmek.
Εἰλήφθω
ἐπὶ τῆς ΑΓ
τυχὸν σημεῖον τὸ ∆,
καὶ κείσθω
τῇ Γ∆ ἴση ἡ ΓΕ,
καὶ συνεστάτω
ἐπὶ τῆς ∆Ε
τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ Ζ∆Ε,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ·
alınmış olsun
ΑΓ’da
rastgele bir ∆ noktası
ve otursun
Γ∆’ya eşit olan ΓΕ,
ve inşa edilmiş olsun
∆Ε üzerinde
Ζ∆Ε eşkenar üçgeni,
ve ΖΓ birleştirilmiş olsun.
λέγω, ὅτι
τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ
ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου
τοῦ Γ
πρὸς ὀρθὰς γωνίας
εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΓ.
᾿Επεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ∆Γ τῇ ΓΕ,
κοινὴ δὲ ἡ ΓΖ,
δύο δὴ αἱ ∆Γ, ΓΖ
δυσὶ ταῖς ΕΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσὶν
Diyorum ki
verilmiş ΑΒ doğrusuna
üzerindeki Γ noktasından
dik açılarda
bir ΖΓ doğrusu ilerletilmiş oldu.
Zira ∆Γ, ΓΕ’a eşit olduğundan,
ve ΓΖ ortak olduğundan,
o halde ∆Γ ve ΓΖ ikilisi,
ΕΓ ve ΓΖ ikilisine eşittir,

. Önerme
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
καὶ βάσις ἡ ∆Ζ
βάσει τῇ ΖΕ ἴση ἐστίν·
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ∆ΓΖ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ ἴση ἐστίν·
καί εἰσιν ἐφεξῆς.
ὅταν δὲ εὐθεῖα
ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα
τὰς ἐφεξῆς γωνίας
ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ,
ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν·
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν
ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ∆ΓΖ, ΖΓΕ.
her biri birine;
ve ∆Ζ tabanı
ΖΕ tabanına eşittir;
böylece ∆ΓΖ açısı
ΕΓΖ açısına eşittir;
ve bitişiktir.
Ne zaman bir doğru,
bir doğru üzerine dikilmiş,
bitişik açıları
birbirine eşit yaparsa,
eçit açıların her biri, diktir.
Böylece diktir
∆ΓΖ, ΖΓΕ açılarının her biri.
Τῇ ἄρα δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ
ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου
τοῦ Γ
πρὸς ὀρθὰς γωνίας
εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΓΖ·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Böylece, verilmiş ΑΒ doğrusuna,
üzerinde verilmiş Γ noktasında,
dik açılarda,
bir ΓΖ doğrusu ilerletilmiş oldu;
yapılması gereken tam buydu.
Ζ
Α
∆
Γ
Ε
Β

Önermeler
. Önerme
᾿Επὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον
ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου,
ὃ μή ἐστιν ἐπ᾿ αὐτῆς,
κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
Verilmiş sınırlanmamış doğruya,
verilmiş bir noktadan,
üzerinde olmayan,
dikey doğru bir çizgi ilerletmek.
῎Εστω
ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄπειρος
ἡ ΑΒ
τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον,
ὃ μή ἐστιν ἐπ᾿ αὐτῆς,
τὸ Γ·
Olsun
verilmiş sınırlanmamış doğru
ΑΒ,
ve verilmiş nokta,
üzerinde olmayan,
Γ.
δεῖ δὴ
ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν
ΑΒ
ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ,
ὃ μή ἐστιν ἐπ᾿ αὐτῆς,
κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
O halde gereklidir
verilmiş sınırlanmamış ΑΒ doğrusuna
verilmiş Γ noktasından,
üzerinde olmayan,
dikey doğru bir çizgi ilerletmek.
Εἰλήφθω γὰρ
ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τῆς ΑΒ εὐθείας
τυχὸν σημεῖον τὸ ∆,
καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ
διαστήματι δὲ τῷ Γ∆
κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΖΗ,
καὶ τετμήσθω ἡ ΕΗ εὐθεῖα δίχα κατὰ
τὸ Θ,
καὶ ἐπεζεύχθωσαν
αἱ ΓΗ, ΓΘ, ΓΕ εὐθεῖαι·
Zira almış olsun
ΑΒ doğrusunun diğer tarafında
rastgele bir ∆ noktası,
ve Γ merkezinde,
Γ∆ uzaklığında,
bir ΕΖΗ dairesi çizilmiş olsun,
ve ΕΗ doğrusu Θ noktasında ikiye
bölünmüş olsun,
ve birleştirilmiş olsun
ΓΗ, ΓΘ, ve ΓΕ doğruları.
λέγω, ὅτι
ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν
ΑΒ
ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ,
ὃ μή ἐστιν ἐπ᾿ αὐτῆς,
Diyorum ki
verilmiş sınırlanmamış ΑΒ doğrusuna,
verilmiş Γ noktasından,
üzerinde olmayan,

. Önerme
κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ.
᾿Επεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΘΕ,
κοινὴ δὲ ἡ ΘΓ,
δύο δὴ αἱ ΗΘ, ΘΓ
δύο ταῖς ΕΘ, ΘΓ ἴσαι εἱσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
καὶ βάσις ἡ ΓΗ
βάσει τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση·
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΘΗ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΘΓ ἐστιν ἴση.
καί εἰσιν ἐφεξῆς.
ὅταν δὲ εὐθεῖα
ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα
τὰς ἐφεξῆς γωνίας
ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ,
ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν,
καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα
κάθετος καλεῖται
ἐφ᾿ ἣν ἐφέστηκεν.
dikey ΓΘ ilerletilmiş oldu
Zira ΗΘ, ΘΕ’a eşit olduğundan,
ve ΘΓ ortak olduğundan,
o halde ΗΘ ve ΘΓ ikilisi,
ΕΘ ve ΘΓ ikilisine eşittir,
her biri birine;
ve ΓΗ tabanı
ΓΕ tabanına eşittir;
böylece ΓΘΗ açısı
ΕΘΓ açısına eşittir.
Ve bitişiktir.
Ne zaman bir doğru,
bir doğru üzerinde dikildiğinde,
bitişik açıları
birbirine eşit yaparsa,
eşit açıların her biri diktir,
ve dikilmiş doğruya
dikey denir
üzerine dikildiği [doğru]ya.
᾿Επὶ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν ἄπειρον
τὴν ΑΒ
ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ,
ὃ μή ἐστιν ἐπ᾿ αὐτῆς,
κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Böylece, verilmiş sınırlanmamış ΑΒ
doğruya,
verilmiş Γ noktasından,
üzerinde olmayan,
dikey ΓΘ, ilerletilmiş oldu;
yapılması gereken tam buydu.
Ζ
Γ
Α
Η
Θ
Ε
∆
Β

Önermeler
. Önerme
᾿Εὰν εὐθεῖα
ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα
γωνίας ποιῇ,
ἤτοι δύο ὀρθὰς
ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας
ποιήσει.
Eğer bir doğru,
bir doğrunun üzerine dikilmiş,
açılar yaparsa,
ya iki dik
ya da iki dik açıya eşit
[onları] yapacak.
Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ
ἐπ᾿ εὐθεῖαν τὴν Γ∆ σταθεῖσα
γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒ∆·
Zira bir ΑΒ doğrusu,
Γ∆ doğrusunun üzerine dikilmiş,
ΓΒΑ ve ΑΒ∆ açılarını oluştursun.
λὲγω, ὅτι
αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒ∆ γωνίαι
ἤτοι δύο ὀρθαί εἰσιν
ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι.
Diyorum ki
ΓΒΑ ve ΑΒ∆ açıları
ya iki dik açıdır
ya da iki dik açıya eşittir.
Εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ΓΒΑ τῇ ὑπὸ ΑΒ∆,
δύο ὀρθαί εἰσιν.
Dolayısıyla eğer eşitse
ΓΒΑ, ΑΒ∆’ya,
iki dik açıdır.
εἰ δὲ οὔ,
ἤχθω
ἀπὸ τοῦ Β σημείου
τῇ Γ∆ [εὐθείᾳ]
πρὸς ὀρθὰς
ἡ ΒΕ·
Eğer değilse,
ilerletilmiş olsun,
Β noktasından,
Γ∆ doğrusuna,
dik [açı]larda,
ΒΕ.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒ∆
δύο ὀρθαί εἰσιν·
καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΕ
δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ
ἴση ἐστίν,
κοινὴ
προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΕΒ∆·
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒ∆
Böylece ΓΒΕ ve ΕΒ∆,
iki diktir;
ve ΓΒΕ,
ΓΒΑ ve ΑΒΕ ikilisine
eşit olduğundan,
ortak olarak
ΕΒ∆, eklensin.
Böylece ΓΒΕ ve ΕΒ∆,

. Önerme
τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ, ΕΒ∆
ἴσαι εἰσίν.
πάλιν,
ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ∆ΒΑ
δυσὶ ταῖς ὑπὸ ∆ΒΕ, ΕΒΑ
ἴση ἐστίν,
κοινὴ
προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ·
αἱ ἄρα ὑπὸ ∆ΒΑ, ΑΒΓ
τρισὶ ταῖς ὑπὸ ∆ΒΕ, ΕΒΑ, ΑΒΓ
ἴσαι εἰσίν.
ἐδείχθησαν δὲ καὶ
αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒ∆
τρισὶ ταῖς αὐταῖς ἴσαι·
τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα
καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα·
καὶ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒ∆ ἄρα
ταῖς ὑπὸ ∆ΒΑ, ΑΒΓ ἴσαι εἰσίν·
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒ∆
δύο ὀρθαί εἰσιν·
καὶ αἱ ὑπὸ ∆ΒΑ, ΑΒΓ ἄρα
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
ΓΒΑ, ΑΒΕ ve ΕΒ∆ üçlüsüne
eşittir.
Yine
∆ΒΑ,
∆ΒΕ ve ΕΒΑ ikilisine
eşit olduğundan,
ortak olarak
ΑΒΓ, eklensin;
böylece ∆ΒΑ ve ΑΒΓ,
∆ΒΕ, ΕΒΑ ve ΑΒΓ üçlüsüne
eşittir.
Ve ayrıca gösterilmişti
ΓΒΕ ve ΕΒ∆’nın
aynı üçlüye eşitliği.
Ve aynı şeye eşitler
birbirine de eşittir;
ve, böylece, ΓΒΕ ve ΕΒ∆,
∆ΒΑ ve ΑΒΓ’ya eşittir;
ama ΓΒΕ ve ΕΒ∆,
iki diktir;
ve böylece ∆ΒΑ ve ΑΒΓ
iki dik açıya eşittir.
᾿Εὰν ἄρα εὐθεῖα
ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα
γωνίας ποιῇ,
ἤτοι δύο ὀρθὰς
ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας
ποιήσει·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Eğer, böylece, bir doğru,
bir doğrunun üzerine dikilmiş,
açılar yaparsa,
ya iki dik
ya da iki dik açıya eşit
[onları] yapacak;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Ε
Α
∆
Β
Γ

Önermeler
. Önerme
᾿Εὰν πρός τινι εὐθείᾳ
καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ
δύο εὐθεῖαι
μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι
τὰς ἐφεξῆς γωνίας
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας
ποιῶσιν,
ἐπ᾿ εὐθείας
ἔσονται ἀλλήλαις
αἱ εὐθεῖαι.
Eğer bir doğruya,
ve aynı noktasında,
iki doğru,
aynı tarafında uzanmayan,
bitişik açıları
iki dik açıya eşit
yaparsa,
bir doğruda
birbiriyle olacak
doğrular.
Πρὸς γάρ τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΒ
καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β
δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, Β∆
μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι
τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒ∆
δύο ὀρθαῖς ἴσας
ποιείτωσαν·
Zira bir ΑΒ doğrusuna,
ve Β noktasında,
iki ΒΓ ve Β∆ doğruları,
aynı tarafında uzanmayan,
bitişik ΑΒΓ ve ΑΒ∆ açıları
iki dik açıya eşit
yapsın.
λέγω, ὅτι
ἐπ᾿ εὐθείας ἐστὶ
τῇ ΓΒ ἡ Β∆.
Diyorum ki
bir doğrudadır
ΓΒ ile Β∆.
Εἰ γὰρ μή ἐστι
τῇ ΒΓ ἐπ᾿ εὐθείας
ἡ Β∆,
ἔστω
τῇ ΓΒ ἐπ᾿ εὐθείας
ἡ ΒΕ.
Zira eğer değilse
ΒΓ ile bir doğruda
Β∆,
olsun
ΒΓ ile bir doğruda
ΒΕ.
᾿Επεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΒ
ἐπ᾿ εὐθεῖαν τὴν ΓΒΕ ἐφέστηκεν,
Dolayısıyla ΑΒ doğrusu
ΓΒΕ doğrusunun üzerine konulduğundan,
böylece ΑΒΓ ve ΑΒΕ açıları
iki dik açıya eşittir.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΕ γωνίαι
δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·

. Önerme
εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒ∆
δύο ὀρθαῖς ἴσαι·
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ
ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒ∆ ἴσαι εἰσίν.
κοινὴ
ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΓΒΑ·
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ
λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΒ∆ ἐστιν ἴση,
ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι·
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
οὐκ ἄρα
ἐπ᾿ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΓΒ.
ὁμοίως δὴ δείξομεν,
ὅτι
οὐδὲ ἄλλη τις πλὴν τῆς Β∆·
ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν
ἡ ΓΒ τῇ Β∆.
ΑΒΓ ve ΑΒ∆ da
iki dik açıya eşittir.
Böylece ΓΒΑ ve ΑΒΕ,
ΓΒΑ ve ΑΒ∆’ya eşittir.
Ortak olarak
ΓΒΑ çıkartılmiş olsun.
Böylece ΑΒΕ kalanı
ΑΒ∆ kalanına eşittir,
küçük olan büyüğe;
ki bu imkânsızdır.
Böylece değildir
bir doğruda ΒΕ, ΓΒ ile.
Benzer şekilde o halde göstereceğiz
ki
hiçbiri [öyle değildir], Β∆ dışında.
Böylece bir doğrudadır
ΓΒ, Β∆ ile.
᾿Εὰν ἄρα πρός τινι εὐθείᾳ
καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ
δύο εὐθεῖαι
μὴ ἐπὶ αὐτὰ μέρη κείμεναι
τὰς ἐφεξῆς γωνίας
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας
ποιῶσιν,
ἐπ᾿ εὐθείας
ἔσονται ἀλλήλαις
αἱ εὐθεῖαι·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Eğer, böylece, bir doğruya,
ve aynı noktasında,
iki doğru,
aynı tarafında uzanmayan,
bitişik açıları
iki dik açıya eşit
yaparsa,
bir doğruda
birbiriyle olacak
doğrular;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Ε
Α
Γ
Β
∆

Önermeler
. Önerme
᾿Εὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας,
τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας
ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν.
Eğer iki doğru birbirini keserse,
ters açıları
birbirine eşit yapar.
∆ύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ∆
τεμνέτωσαν ἀλλήλας
κατὰ τὸ Ε σημεῖον·
Zira ΑΒ ve Γ∆ doğruları
birbirini kessin
Ε noktasında.
λέγω, ὅτι
ἴση ἐστὶν
ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΓ γωνία τῇ ὑπὸ ∆ΕΒ,
ἡ δὲ ὑπὸ ΓΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΕ∆.
Diyorum ki
eşittir
ΑΕΓ, ∆ΕΒ’ya,
ve ΓΕΒ, ΑΕ∆’ya.
᾿Επεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΕ
ἐπ᾿ εὐθεῖαν τὴν Γ∆
ἐφέστηκε
γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕ∆,
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕ∆ γωνίαι
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
πάλιν,
ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ∆Ε
ἐπ᾿ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ
ἐφέστηκε
γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΑΕ∆, ∆ΕΒ,
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΕ∆, ∆ΕΒ γωνίαι
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
ἐδείχθησαν δὲ καὶ
αἱ ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕ∆
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι·
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕ∆
ταῖς ὑπὸ ΑΕ∆, ∆ΕΒ ἴσαι εἰσίν.
κοινὴ
ἀφῃρήσθω
Zira ΑΕ doğrusu
Γ∆ doğrusuna
dikilmiş olduğundan,
ΓΕΑ ve ΑΕ∆ açılarını yapan,
böylece ΓΕΑ ve ΑΕ∆ açıları
iki dik açıya eşittir.
Yine,
∆Ε doğrusu
ΑΒ doğrusuna
dikilmiş olduğundan,
ΑΕ∆ ve ∆ΕΒ açılarını yapan,
böylece ΑΕ∆ ve ∆ΕΒ açıları
iki dik açıya eşittir.
Ve gösterilmişti
ΓΕΑ ve ΑΕ∆ açılarının
iki dik açıya eşitliği,
böylece ΓΕΑ ve ΑΕ∆,
ΑΕ∆ ve ∆ΕΒ’ya eşittir.
Ortak olarak
çıkartılmış olsun
 Yunancada
baştaki açılar.

. Önerme
ἡ ὑπὸ ΑΕ∆·
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΕΑ
λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΕ∆ ἴση ἐστίν·
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται,
ὅτι
καὶ αἱ ὑπὸ ΓΕΒ, ∆ΕΑ ἴσαι εἰσίν.
ΑΕ∆;
böylece ΓΕΑ kalanı,
ΒΕ∆ kalanına eşittir;
benzer şekilde o halde gösterilecek
ki
ΓΕΒ açısı da ∆ΕΑ açısına eşittir.
᾿Εὰν ἄρα
δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας,
τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας
ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Eğer, böylece,
iki doğru birbirini keserse,
ters açıları
birbirine eşit yapar;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Α
∆
Γ
Ε
Β

Önermeler
. Önerme
Παντὸς τριγώνου
μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης
ἡ ἐκτὸς γωνία
ἑκατέρας
τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν
μείζων ἐστίν.
Herhangi bir üçgenin
kenarlarının biri uzatılınca,
dış açı,
her birinden
(iç ve karşıt açıların)
büyüktür.
῎Εστω
τρίγωνον τὸ ΑΒΓ,
καὶ προσεκβεβλήσθω
αὐτοῦ μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ ∆·
Olsun
üçgen ΑΒΓ,
ve uzatılmış olsun
onun ΒΓ kenarı, ∆ noktasına.
λὲγω, ὅτι
ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓ∆
μείζων ἐστὶν
ἑκατέρας
τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον
τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΒΑΓ γωνιῶν.
Diyorum ki
ΑΓ∆ dış açısı
büyüktür
her birinden
iç ve karşıt
ΓΒΑ ve ΒΑΓ açılarının.
Τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε,
ΑΓ kenarı, E noktasından ikiye bölünmüş olsun,
ve, ΒΕ birleştirilince,
bir doğruda, Ζ noktasına, uzatılmış
olsun
ve ΒΕ doğrusuna eşit olan otursun
ΕΖ,
ve birleştirilmiş olsun ΖΓ,
ve ΑΓ doğrusu, Η noktasına ilerletilmiş olsun.
καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΕ
ἐκβεβλήσθω ἐπ᾿ εὐθείας ἐπὶ τὸ Ζ,
καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση
ἡ ΕΖ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ,
καὶ διήχθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Η.
᾿Επεὶ οὖν ἴση ἐστὶν
ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ,
ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΕΖ,
δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ
δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν
Dolayısıyla eşit olduğundan
ΑΕ, ΕΓ doğrusuna,
ve ΒΕ, ΕΖ doğrusuna,
o halde ΑΕ ve ΕΒ ikilisi,
ΓΕ ve ΕΖ ikilisine eşittir,

. Önerme
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΓ ἴση ἐστίν·
κατὰ κορυφὴν γάρ·
βάσις ἄρα ἡ ΑΒ
βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν,
καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον
τῷ ΖΕΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον,
καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι
ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ,
ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
ἴση ἄρα ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ.
μείζων δέ ἐστιν
ἡ ὑπὸ ΕΓ∆ τῆς ὑπὸ ΕΓΖ·
μείζων ἄρα
ἡ ὑπὸ ΑΓ∆ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ.
῾Ομοίως δὴ
τῆς ΒΓ τετμημένης δίχα
δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ,
τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΑΓ∆,
μείζων καὶ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ.
her biri birine;
ve ΑΕΒ açısı,
ΖΕΓ açısına eşittir,
zira ters;
böylece ΑΒ tabanı
ΖΓ tabanına eşittir,
ve ΑΒΕ üçgeni
ΖΕΓ üçgenine eşittir,
ve kalan açılar
kalan açılarına eşittir,
her biri birine,
(yani) eşit kenarları raptedenler.
Böylece eşittir
ΒΑΕ, ΕΓΖ’ya.
Ama büyüktür
ΕΓ∆, ΕΓΖ açısından;
böylece büyüktür
ΑΓ∆, ΒΑΕ açısından.
Benzer şekilde o halde
ikiye bölünmüş olduğundan ΒΓ,
gösterilecek ki ΒΓΗ,
ΑΓ∆ açısına eşit olan,
büyüktür ΑΒΓ açısından da.
Παντὸς ἄρα τριγώνου
μιᾶς τῶν πλευρῶν
προσεκβληθείσης
ἡ ἐκτὸς γωνία
εκατέρας
τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν
μείζων ἐστίν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece, herhangi bir üçgenin,
kenarlarından biri
uzatıldığında,
dış açı
her bir
iç ve karşıt açıdan
büyüktür;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Α
Ζ
Ε
Β
Γ
∆
Η

Önermeler
. Önerme
Παντὸς τριγώνου αἱ δύο γωνίαι
δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι
πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
Herhangi bir üçgenin iki açısı
küçüktür iki dik açıdan,
nasıl alınırsa alınsın.
῎Εστω
τρίγωνον τὸ ΑΒΓ·
Olsun
üçgen ΑΒΓ.
᾿λέγω, ὅτι
τοῦ ΑΒΓ τριγώνου
αἱ δύο γωνίαι
δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσι
πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
Diyorum ki
ΑΒΓ üçgeninin
iki açısı
küçüktür iki dik açıdan,
nasıl alınırsa alınsın.
᾿Εκβεβλήσθω γὰρ
ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ ∆.
Zira uzatılmış olsun
ΒΓ, ∆’ya.
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ
ἐκτός ἐστι γωνία
ἡ ὑπὸ ΑΓ∆,
μείζων ἐστὶ
τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον
τῆς ὑπὸ ΑΒΓ.
κοινὴ
προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ·
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓ∆, ΑΓΒ
τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ μείζονές εἰσιν.
ἀλλ᾿ αἱ ὑπὸ ΑΓ∆, ΑΓΒ
δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ
δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
ὁμοίως δὴ δείξομεν,
ὅτι
καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ
δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι
καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ.
Ve ΑΒΓ üçgeninin
dış açısı olduğundan
ΑΓ∆
büyüktür
iç ve karşıt
ΑΒΓ açısından.
Ortak olarak
ΑΓΒ, eklensin;
böylece ΑΓ∆ ve ΑΓΒ,
ΑΒΓ ve ΒΓΑ’dan büyüktür.
Ama ΑΓ∆ ve ΑΓΒ,
iki dik açıya eşittir;
böylece ΑΒΓ ve ΒΓΑ,
iki dik açıdan küçüktür.
Benzer şekilde o halde göstereceğiz
ki
ΒΑΓ ve ΑΓΒ de
iki dik açıdan küçüktür,
ve sonra ΓΑΒ ve ΑΒΓ [öyledir].

. Önerme
Böylece herhangi bir üçgenin
iki açısı
iki dik açıdan küçüktür,
nasıl alınırsa alınsın;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Παντὸς ἄρα τριγώνου
αἱ δύο γωνίαι
δύο ὀρθῶν ἐλάσςονές εἰσι
πάντῃ μεταλαμβανόμεναι·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Α
Β
Γ
∆

Önermeler
. Önerme
Παντὸς τριγώνου
ἡ μείζων πλευρὰ
τὴν μείζονα γωνίαν
ὑποτείνει.
Herhangi bir üçgende
daha büyük bir kenar,
daha büyük bir açıyı
rapteder.
῎Εστω γὰρ
τρίγωνον τὸ ΑΒΓ
μείζονα ἔχον
τὴν ΑΓ πλευρὰν
τῆς ΑΒ·
Zira olsun
üçgen ΑΒΓ,
daha büyük olan
ΑΓ kenarı
ΑΒ’dan.
λέγω, ὅτι
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ
μείζων ἐστὶ
τῆς ὑπὸ ΒΓΑ·
Diyorum ki
ΑΒΓ açısı da
daha büyüktür
ΒΓΑ açısından.
᾿Επεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ,
κείσθω
τῇ ΑΒ ἴση ἡ Α∆,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Β∆.
Zira ΑΓ, ΑΒ kenarından daha büyük
olduğundan,
otursun
ΑΒ’ya eşit olan Α∆,
ve birleştirilmiş olsun Β∆.
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΒΓ∆
ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ Α∆Β,
μείζων ἐστὶ
τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον
τῆς ὑπὸ ∆ΓΒ·
ἴση δὲ ἡ ὑπὸ Α∆Β τῇ ὑπὸ ΑΒ∆,
ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ
τῇ Α∆ ἐστιν ἴση·
μείζων ἄρα
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒ∆ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ·
πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστὶ
τῆς ὑπὸ ΑΓΒ.
ΒΓ∆ üçgeninin
dış açı olduğundan Α∆Β açısı da,
büyüktür
iç ve karşıt
∆ΓΒ açısından;
ve Α∆Β, ΑΒ∆’ya eşittir,
ΑΒ kenarı da,
Α∆’ya eşit olduğundan;
böylece büyüktür
ΑΒ∆ da, ΑΓΒ’dan;
böylece ΑΒΓ, ΑΓΒ açısından çok
daha büyüktür.

. Önerme
Böylece, herhangi bir üçgende
daha büyük bir kenar,
daha büyük bir açıyı
rapteder;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Παντὸς ἄρα τριγώνου
ἡ μείζων πλευρὰ
τὴν μείζονα γωνίαν
ὑποτείνει·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Α
∆
Β
Γ

Önermeler
. Önerme
Παντὸς τριγώνου
ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν
ἡ μείζων πλευρὰ
ὑποτείνει.
Herhangi bir üçgende,
daha büyük bir açı,
daha büyük bir kenar tarafından
raptedilir.
῎Εστω γὰρ
τρίγωνον τὸ ΑΒΓ
μείζονα ἔχον
τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν
τῆς ὑπὸ ΒΓΑ·
Zira olsun
bir ΑΒΓ üçgeni,
daha büyük olan
ΑΒΓ açısı
ΒΓΑ açısından.
λέγω, ὅτι
καὶ πλευρὰ ἡ ΑΓ
πλευρᾶς τῆς ΑΒ
μείζων ἐστίν.
Diyorum ki
ΑΓ kenarı da
ΑΒ kenarından
daha büyüktür.
Εἰ γὰρ μή,
ἤτοι ἴση ἐστὶν
ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ
ἢ ἐλάσσων·
ἴση μὲν οὖν οὐκ ἔστιν
ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ·
ἴση γὰρ ἂν ἦν
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ
τῇ ὑπὸ ΑΓΒ·
οὐκ ἔστι δέ·
οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν
ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ.
οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν
ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ·
ἐλάσσων γὰρ ἂν ἦν καὶ
γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ
τῆς ὑπὸ ΑΓΒ·
οὐκ ἔστι δέ·
οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν
Zira değil ise,
ya eşittir
ΑΓ, ΑΒ’ya
ya da daha küçüktür.
Ama dolayısıyla eşit değildir
ΑΓ, ΑΒ’ya;
zira eğer eşit olsaydı,
ΑΒΓ açısı da,
ΑΓΒ’ya [eşit olurdu];
ama değildir;
böylece eşit değildir
ΑΓ, ΑΒ’ya.
Tabii ki küçük değildir
ΑΓ, ΑΒ’dan;
zira eğer küçük olsaydı,
ΑΒΓ açısı da
ΑΓΒ’dan [küçük olurdu];
ama değildir;
böylece küçük değildir

. Önerme
ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ.
ἐδείχθη δέ, ὅτι
οὐδὲ ἴση ἐστίν.
μείζων ἄρα ἐστὶν
ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ.
ΑΓ, ΑΒ’dan.
Ve gösterilmişti ki
eşit değildir.
Böylece daha büyüktür
ΑΓ, ΑΒ’dan.
Παντὸς ἄρα τριγώνου
ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν
ἡ μείζων πλευρὰ
ὑποτείνει·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece, herhangi bir üçgende,
daha büyük bir açı,
daha büyük bir kenar tarafından
raptedilir;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Α
Β
Γ

Önermeler
. Önerme
Παντὸς τριγώνου
αἱ δύο πλευραὶ
τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι
πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
Herhangi bir üçgenin
iki kenarı
kalandan daha büyüktür,
nasıl alınırsa alınsın.
῎Εστω γὰρ
τρίγωνον τὸ ΑΒΓ·
Zira olsun
üçgen ΑΒΓ.
λέγω, ὅτι
τοῦ ΑΒΓ τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ
τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι
πάντῃ μεταλαμβανόμεναι,
αἱ μὲν ΒΑ, ΑΓ τῆς ΒΓ,
αἱ δὲ ΑΒ, ΒΓ τῆς ΑΓ,
αἱ δὲ ΒΓ, ΓΑ τῆς ΑΒ.
Diyorum ki
ΑΒΓ üçgeninin iki kenarı
kalandan daha büyüktür,
nasıl alınırsa alınsın,
ΒΑ ve ΑΓ, ΒΓ’dan,
ve ΑΒ ve ΒΓ, ΑΓ’dan,
ve ΒΓ ve ΓΑ, ΑΒ’dan.
∆ιήχθω γὰρ
ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ ∆ σημεῖον,
καὶ κείσθω τῇ ΓΑ ἴση ἡ Α∆,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∆Γ.
Zira ilerletilmiş olsun
ΒΑ, ∆ noktasına,
ve Α∆, ΓΑ’ya eşit otursun,
ve ∆Γ birleştirilmiş olsun.
᾿Επεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ∆Α τῇ ΑΓ,
Dolayısıyla ∆Α, ΑΓ’ya eşit olduğundan,
Α∆Γ de eşittir
ΑΓ∆’y.
Böylece ΒΓ∆, büyüktür
Α∆Γ’dan.
∆ΓΒ üçgeninde,
ΒΓ∆ açısı daha büyük olduğundan
Β∆Γ’dan,
ve daha büyük açı,
daha büyük kenarca
raptedildiğindan,
böylece ∆Β, ΒΓ’dan büyüktür.
Ve ∆Α, ΑΓ’ya eşittir;
ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ Α∆Γ
τῇ ὑπὸ ΑΓ∆·
μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓ∆
τῆς ὑπὸ Α∆Γ·
καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ∆ΓΒ
μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΓ∆ γωνίαν
τῆς ὑπὸ Β∆Γ,
ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν
ἡ μείζων πλευρὰ
ὑποτείνει,
ἡ ∆Β ἄρα τῆς ΒΓ ἐστι μείζων.
ἴση δὲ ἡ ∆Α τῇ ΑΓ·

. Önerme
μείζονες ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΓ
τῆς ΒΓ·
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι
καὶ αἱ μὲν ΑΒ, ΒΓ τῆς ΓΑ
μείζονές εἰσιν,
αἱ δὲ ΒΓ, ΓΑ τῆς ΑΒ.
böylece ΒΑ ve ΑΓ büyüktür
ΒΓ’dan;
benzer şekilde göstereceğiz ki
ΑΒ ve ΒΓ, ΓΑ’dan
büyüktür,
ve ΒΓ ve ΓΑ, ΑΒ’dan.
Παντὸς ἄρα τριγώνου
αἱ δύο πλευραὶ
τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι
πάντῃ μεταλαμβανόμεναι·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece, herhangi bir üçgenin
iki kenarı
kalandan daha büyüktür,
nasıl alınırsa alınsın;
gösterilmesi gereken tam buydu.
∆
Α
Β
Γ

Önermeler
. Önerme
Eğer bir üçgende,
kenarlarından birinin üzerinde,
sınırlardan,
iki doğru
içeride inşa edilirse,
inşa edilmiş doğrular,
üçgenin kalan
iki kenarından
daha küçük olacak,
ama daha büyük bir açıyı içerecek.
᾿Εὰν τριγώνου
ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν
ἀπὸ τῶν περάτων
δύο εὐθεῖαι
ἐντὸς συσταθῶσιν,
αἱ συσταθεῖσαι
τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου
δύο πλευρῶν
ἐλάττονες μὲν ἔσονται,
μείζονα δὲ γωνίαν περιέξουσιν.
Α
Ε
∆
Β
Γ
Τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ
ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς ΒΓ
ἀπὸ τῶν περάτων τῶν Β, Γ
δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συνεστάτωσαν αἱ
Β∆, ∆Γ·
Zira ΑΒΓ üçgeninin,
ΒΓ kenarının üzerinde
Β ve Γ sınırlarından,
içeride iki Β∆ ve ∆Γ doğruları inşa
edilmiş olsun.
λέγω, ὅτι
αἱ Β∆, ∆Γ
τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου
δύο πλευρῶν τῶν ΒΑ, ΑΓ
ἐλάσσονες μέν εἰσιν,
μείζονα δὲ γωνίαν περιέχουσι
τὴν ὑπὸ Β∆Γ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.
Diyorum ki
Β∆ ve ∆Γ
üçgenin kalan iki
ΒΑ ve ΑΓ kenarından,
daha küçüktür,
ama daha büyük açıyı içerir:
Β∆Γ, ΒΑΓ’dan [daha büyüktür].

. Önerme
∆ιήχθω γὰρ ἡ Β∆
επὶ τὸ Ε.
Zira Β∆, ilerletilmiş olsun
Ε’a doğru.
καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου
αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς
μείζονές εἰσιν,
τοῦ ΑΒΕ ἄρα τριγώνου
αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΑΒ, ΑΕ
τῆς ΒΕ μείζονές εἰσιν·
κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΓ·
αἱ ἄρα ΒΑ, ΑΓ
τῶν ΒΕ, ΕΓ μείζονές εἰσιν.
πάλιν, ἐπεὶ τοῦ ΓΕ∆ τριγώνου
αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΓΕ, Ε∆
τῆς Γ∆ μείζονές εἰσιν,
κοινὴ προσκείσθω ἡ ∆Β·
αἱ ΓΕ, ΕΒ ἄρα
τῶν Γ∆, ∆Β μείζονές εἰσιν.
ἀλλὰ τῶν ΒΕ, ΕΓ
μείζονες ἐδείχθησαν
αἱ ΒΑ, ΑΓ·
πολλῷ ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΓ τῶν Β∆, ∆Γ
μείζονές εἰσιν.
Ve herhangi bir üçgenin
iki kenarı, kalandan
büyük olduğundan,
ΑΒΕ üçgeninin,
iki ΑΒ ve ΑΕ kenarları,
ΒΕ kenarından büyüktür;
ortak olarak ΕΓ eklensin;
böylece ΒΑ ve ΑΓ,
ΒΕ ve ΕΓ’dan büyüktür.
Yine, ΓΕ∆ üçgeninin,
iki ΓΕ ve Ε∆ kenarları,
Γ∆’dan büyük olduğundan,
ortak olarak ∆Β eklenmiş olsun;
böylece ΓΕ ve ΕΒ,
Γ∆ ve ∆Β’dan büyüktür.
Ama ΒΕ ve ΕΓ’dan
daha büyük gösterilmişti
ΒΑ ve ΑΓ;
böylece ΒΑ ve ΑΓ, Β∆ ve ∆Γ’dan çok
daha büyüktür.
Πάλιν,
ἐπεὶ παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία
τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον
μείζων ἐστίν,
τοῦ Γ∆Ε ἄρα τριγώνου
ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ Β∆Γ
μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΕ∆.
διὰ ταὐτὰ τοίνυν
καὶ τοῦ ΑΒΕ τριγώνου
ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΓΕΒ
μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.
ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΓΕΒ
μείζων ἐδείχθη
ἡ ὑπὸ Β∆Γ·
Yine,
herhangi bir üçgenin dış açısı
iç ve karşıt açısından
daha büyüktür,
böylece, Γ∆Ε üçgeninin
dış açısı Β∆Γ
ΓΕ∆’dan büyüktür.
Aynı sebeple elbette,
ΑΒΕ üçgeninin
ΓΕΒ dış açısı da
ΒΑΓ’dan büyüktür.
Ama ΓΕΒ’dan,
daha büyük gösterilmişti
Β∆Γ;

Önermeler
πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ Β∆Γ μείζων ἐστὶ
τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.
böylece Β∆Γ, ΒΑΓ’dan çok daha büyüktür.
᾿Εὰν ἄρα τριγώνου
ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν
ἀπὸ τῶν περάτων
δύο εὐθεῖαι
ἐντὸς συσταθῶσιν,
αἱ συσταθεῖσαι
τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου
δύο πλευρῶν
ἐλάττονες μέν εἰσιν,
μείζονα δὲ γωνίαν περιέχουσιν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Eğer, böylece, bir üçgenin,
kenarlarından birinin
sınırlarından,
iki doğru
içeride inşa edilirse,
inşa edilen doğrular,
üçgenin kalan
iki kenarından
daha küçüktür,
ama daha büyük bir açıyı içerir;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Α
Ε
∆
Β
Γ
. Önerme


Önermeler
. Önerme
᾿Εκ τριῶν εὐθειῶν,
αἵ εἰσιν ἴσαι
τρισὶ ταῖς δοθείσαις [εὐθείαις],
τρίγωνον συστήσασθαι·
δεῖ δὲ18
τὰς δύο τῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι
πάντῃ μεταλαμβανομένας
[διὰ τὸ καὶ παντὸς τριγώνου
τὰς δύο πλευρὰς
τῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι
πάντῃ μεταλαμβανομένας].
Üç doğrudan,
eşit olan
verilmiş üç doğruya,
bir üçgen inşa etmek;
ama gereklidir
ikisinin, kalandan büyük olması,
nasıl alınırsa alınsın,
çünkü herhangi bir üçgenin,
iki kenarı
kalandan büyüktür,
nasıl alınırsa alınsın.
῎Εστωσαν
αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ,
ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς
μείζονες ἔστωσαν
πάντῃ μεταλαμβανόμεναι,
αἱ μὲν Α, Β τῆς Γ,
αἱ δὲ Α, Γ τῆς Β,
καὶ ἔτι αἱ Β, Γ τῆς Α·
Olsun
üç verilmiş doğru Α, Β, ve Γ,
ve ikisi, kalandan
büyük olsun,
nasıl alınırsa alınsın:
Α ile Β, Γ’dan,
Α ile Γ, Β’dan,
ve Β ile Γ, Α’dan.
δεῖ δὴ
ἐκ τῶν ἴσων ταῖς Α, Β, Γ
τρίγωνον συστήσασθαι.
O halde gereklidir
Α, Β ve Γ’ya eşit olanlardan
bir üçgen inşa etmek.
᾿Εκκείσθω
τις εὐθεῖα ἡ ∆Ε
πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ ∆
ἄπειρος δὲ κατὰ τὸ Ε,
καὶ κείσθω
τῇ μὲν Α ἴση ἡ ∆Ζ,
τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΖΗ,
Oturtulsun
bir ∆Ε doğrusu,
∆’da sınırlanmış,
ama Ε’da sınırlanmamış,
ve otursun
Α’ya eşit ∆Ζ,
Β’ya eşit ΖΗ,
 Heiberg’e
göre [], Proklus’un [] ve Eutokios’un açıklamarının metinlerinde δέ
yazılır; ama Öklid’in metinlerinde δή yazılır.

. Önerme
τῇ δὲ Γ ἴση ἡ ΗΘ·
καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ζ,
διαστήματι δὲ τῷ Ζ∆
κύκλος γεγράφθω ὁ ∆ΚΛ·
πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Η,
διαστήματι δὲ τῷ ΗΘ
κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛΘ,
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΖ, ΚΗ·
ve Γ’ya eşit ΗΘ;
ve Ζ merkezine
Ζ∆ uzaklığında
bir ∆ΚΛ dairesi çizilmiş olsun;
yine, Η merkezine,
ΗΘ uzaklığında,
ΚΛΘ dairesi çizilmiş olsun,
ve ΚΖ ile ΚΗ birleştirilmiş olsun.
λέγω, ὅτι
ἐκ τριῶν εὐθειῶν
τῶν ἴσων ταῖς Α, Β, Γ
τρίγωνον συνέσταται τὸ ΚΖΗ.
Diyorum ki
üç doğrudan
Α, Β ve Γ’ya eşit olan
ΚΖΗ üçgeni inşa edilmiştir.
᾿Επεὶ γὰρ τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ
τοῦ ∆ΚΛ κύκλου,
ἴση ἐστὶν ἡ Ζ∆ τῇ ΖΚ·
ἀλλὰ ἡ Ζ∆ τῇ Α ἐστιν ἴση.
καὶ ἡ ΚΖ ἄρα τῇ Α ἐστιν ἴση.
πάλιν, ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ
τοῦ ΛΚΘ κύκλου,
ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ·
ἀλλὰ ἡ ΗΘ τῇ Γ ἐστιν ἴση·
καὶ ἡ ΚΗ ἄρα τῇ Γ ἐστιν ἴση.
ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΖΗ τῇ Β ἴση·
αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι
αἱ ΚΖ, ΖΗ, ΗΚ
τρισὶ ταῖς Α, Β, Γ ἴσαι εἰσίν.
Zira, Ζ noktası, ∆ΚΛ dairesinin merkezi olduğundan,
Ζ∆, ΖΚ’ya eşittir;
ama Ζ∆, Α’ya eşittir.
Ve ΚΖ böylece Α’ya eşittir.
Yine, Η noktası, ΛΚΘ dairesinin
merkezi olduğundan,
ΗΘ, ΗΚ doğrusuna eşittir;
ama ΗΘ, Γ’ya eşittir;
ve ΚΗ böylece Γ’ya eşittir.
ve ΖΗ, Β doğrusuna eşittir;
böylece üç doğru,
ΚΖ, ΖΗ ve ΗΚ,
Α, Β ve Γ üçlüsüne eşittir.
᾿Εκ τριῶν ἄρα εὐθειῶν
τῶν ΚΖ, ΖΗ, ΗΚ,
αἵ εἰσιν ἴσαι
τρισὶ ταῖς δοθείσαις εὐθείαις
ταῖς Α, Β, Γ,
τρίγωνον συνέσταται τὸ ΚΖΗ·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Böylece, üç doğrudan,
ΚΖ, ΖΗ ve ΗΚ’dan,
eşit olan
verilmiş üç doğruya
Α, Β ve Γ’ya,
bir ΚΖΗ üçgeni inşa edilmiştir;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Κ
∆
Ζ
Θ
Η
Λ
Α
Ε Β
Γ

Önermeler
. Önerme
Πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ
καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ
τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ ἴσην
γωνίαν εὐθύγραμμον συστήσασθαι.
Verilmiş bir doğruda,
ve üzerinde verilmiş noktada,
verilmiş düzkenar açıya eşit olan,
bir düzkenar açı inşa etmek.
῎Εστω
ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ,
τὸ δὲ πρὸς αὐτῇ σημεῖον τὸ Α,
ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος
ἡ ὑπὸ ∆ΓΕ·
Olsun
verilmiş doğru ΑΒ,
ve üzerindeki nokta Α,
ve verilmiş düzkenar açı
∆ΓΕ.
δεῖ δὴ
πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ
καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α
τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ ὑπὸ
∆ΓΕ ἴσην
γωνίαν εὐθύγραμμον
συστήσασθαι.
O halde gereklidir,
verilmiş ΑΒ doğrusunda,
ve üzerindeki Α noktasında,
verilmiş düzkenar ∆ΓΕ açısına eşit
olan
bir düzkenar açı
inşa etmek.
Εἰλήφθω
ἐφ᾿ ἑκατέρας τῶν Γ∆, ΓΕ
τυχόντα σημεῖα τὰ ∆, Ε,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∆Ε·
καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν,
αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς Γ∆, ∆Ε, ΓΕ,
τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΑΖΗ,
ὥστε ἴσην εἶναι
τὴν μὲν Γ∆ τῇ ΑΖ,
τὴν δὲ ΓΕ τῇ ΑΗ,
καὶ ἔτι τὴν ∆Ε τῇ ΖΗ.
alınmış olsun
Γ∆ ve ΓΕ’un her birinden
rastgele ∆ ve Ε noktaları,
ve ∆Ε birleştirilmiş olsun,
ve üç doğrudan
üç Γ∆, ∆Ε ve ΓΕ’a eşit olan,
ΑΖΗ üçgeni inşa edilmiş olsun
öyle ki eşit olsun
Γ∆, ΑΖ’ya,
ΓΕ, ΑΗ’ya,
ve ayrıca ∆Ε, ΖΗ’ya.
᾿Επεὶ οὖν δύο αἱ ∆Γ, ΓΕ
δύο ταῖς ΖΑ, ΑΗ ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ,
καὶ βάσις ἡ ∆Ε
Dolayısıyla ∆Γ ve ΓΕ ikilisi,
ΖΑ ve ΑΗ ikilisine eşit olduğundan,
her biri birine,
ve ∆Ε tabanı,

. Önerme
βάσει τῇ ΖΗ ἴση,
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ∆ΓΕ γωνίᾳ
τῇ ὑπὸ ΖΑΗ ἐστιν ἴση.
ΖΗ tabanına eşit olduğundan,
böylece ∆ΓΕ açısı
ΖΑΗ’ya eşittir.
Πρὸς ἄρα τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ
καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α
τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ ὑπὸ
∆ΓΕ ἴση
γωνία εὐθύγραμμος συνέσταται ἡ ὑπὸ
ΖΑΗ·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Böylece, verilmiş ΑΒ doğrusunda,
ve üzerindeki Α noktasında,
verilmiş düzkenar ∆ΓΕ açısına eşit
olan
ΖΑΗ düzkenar açısı inşa edilmiştir;
yapılması gereken tam buydu.
Ζ
∆
Γ
Α
Η
Β
Ε

Önermeler
. Önerme
Eğer iki üçgende
iki kenar
iki kenara eşitse,
her biri birine,
ama açı
açıdan büyükse,
[yani] eşit kenarlarca
rapteden,
taban da
tabandan büyük olacak.
᾿Εὰν δύο τρίγωνα
τὰς δύο πλευρὰς
[ταῖς] δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ,
τὴν δὲ γωνίαν
τῆς γωνίας μείζονα ἔχῃ
τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν
περιεχομένην,
καὶ τὴν βάσιν
τῆς βάσεως μείζονα ἕξει.
Α
∆
Β
Γ
Ε
Η
Ζ
῎Εστω
δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ∆ΕΖ
τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ
ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ∆Ε, ∆Ζ
ἴσας ἔχοντα
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ,
τὴν μὲν ΑΒ τῇ ∆Ε
τὴν δὲ ΑΓ τῇ ∆Ζ,
ἡ δὲ πρὸς τῷ Α γωνία
τῆς πρὸς τῷ ∆ γωνίας μείζων ἔστω·
Olsun
iki üçgen ΑΒΓ ve ∆ΕΖ,
iki ΑΒ ve ΑΓ kenarı,
iki ∆Ε ve ∆Ζ kenarına
eşit olan,
her biri birine,
ΑΒ, ∆Ε’a,
ve ΑΓ, ∆Ζ’ya,
ve Α’daki açı,
∆’daki açısından büyük olsun.
λέγω, ὅτι
καὶ βάσις ἡ ΒΓ
βάσεως τῆς ΕΖ μείζων ἐστίν.
Diyorum ki
ΒΓ tabanı da
ΕΖ tabanından büyüktür.
. Önerme

᾿Επεὶ γὰρ μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία
τῆς ὑπὸ Ε∆Ζ γωνίας,
συνεστάτω
πρὸς τῇ ∆Ε εὐθείᾳ
καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ ∆
τῇ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ Ε∆Η,
καὶ κείσθω
ὁποτέρᾳ τῶν ΑΓ, ∆Ζ ἴση ἡ ∆Η,
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ, ΖΗ.
Zira ΒΑΓ açısı, büyük olduğundan
Ε∆Ζ açısından,
inşa edilmiş olsun
∆Ε doğrusunda,
ve üzerindeki ∆ noktasında,
ΒΑΓ açısına eşit olan Ε∆Η,
ve oturmuş olsun
ΑΓ veya ∆Ζ’ya eşit olan ∆Η,
ve ΕΗ ve ΖΗ birleştirilmiş olsun.
᾿Επεὶ οὖν ἴση ἐστὶν
ἡ μὲν ΑΒ τῇ ∆Ε,
ἡ δὲ ΑΓ τῇ ∆Η,
δύο δὴ αἱ ΒΑ, ΑΓ
δυσὶ ταῖς Ε∆, ∆Η ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Ε∆Η ἴση·
βάσις ἄρα ἡ ΒΓ
βάσει τῇ ΕΗ ἐστιν ἴση.
πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ∆Ζ τῇ ∆Η,
ἴση ἐστὶ καὶ
ἡ ὑπὸ ∆ΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ∆ΖΗ·
μείζων ἄρα
ἡ ὑπὸ ∆ΖΗ τῆς ὑπὸ ΕΗΖ·
πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ΕΖΗ τῆς ὑπὸ ΕΗΖ.
καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΕΖΗ
μείζονα ἔχον
τὴν ὑπὸ ΕΖΗ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΕΗΖ,
ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν
ἡ μείζων πλευρὰ
ὑποτείνει,
μείζων ἄρα καὶ
πλευρὰ ἡ ΕΗ τῆς ΕΖ.
ἴση δὲ ἡ ΕΗ τῇ ΒΓ·
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΕΖ.
Dolayısıyla eşit olduğundan
ΑΒ, ∆Ε’a,
ve ΑΓ, ∆Η’ya,
o halde ΒΑ ve ΑΓ ikilisi,
Ε∆ ve ∆Η iklisine eşittir,
her biri birine;
ve ΒΑΓ açısı
Ε∆Η açısına eşittir;
böylece ΒΓ tabanı
ΕΗ tabanına eşittir.
Yine, ∆Ζ, ∆Η’ya eşit olduğundan,
bir de eşittir
∆ΗΖ açısı, ∆ΖΗ’ya;
böylece büyüktür
∆ΖΗ, ΕΗΖ’dan;
böylece çok daha büyüktür
ΕΖΗ, ΕΗΖ açısından.
Ve ΕΖΗ üçgende,
büyük olduğundan
ΕΖΗ açısı ΕΗΖ’dan,
ve daha büyük açı,
daha büyük açı tarafından
raptedildiğinden,
böylece büyüktür
ΕΗ kenarı da ΕΖ’dan.
Ve ΕΗ, ΒΓ’ya eşittir;
böylece ΒΓ da, ΕΖ’dan büyüktür.

Önermeler
Eğer, böylece, iki üçgende
iki kenar
iki kenara eşitse
her biri birine,
ama açı
açıdan büyükse,
[yani] eşit kenarlarca
rapteden,
taban da
tabandan büyük olacak;
gösterilmesi gereken tam buydu.
᾿Εὰν ἄρα δύο τρίγωνα
τὰς δύο πλευρὰς
δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ,
τὴν δὲ γωνίαν
τῆς γωνίας μείζονα ἔχῃ
τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν
περιεχομένην,
καὶ τὴν βάσιν
τῆς βάσεως μείζονα ἕξει·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
∆
Α
Β
Γ
Ε
Η
Ζ
. Önerme


Önermeler
. Önerme
᾿Εὰν δύο τρίγωνα
τὰς δύο πλευρὰς
δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ,
τὴν δὲ βάσιν
τῆς βάσεως μείζονα ἔχῃ,
καὶ τὴν γωνίαν
τῆς γωνίας μείζονα ἕξει
τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν
περιεχομένην.
Eğer iki üçgende
iki kenar
iki kenara eşitse
her biri birine,
ama taban
tabandan büyükse,
açı da
açıdan büyük olacak
[yani] eşit doğrularca
rapteden.
῎Εστω
δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ∆ΕΖ
τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ
ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ∆Ε, ∆Ζ
ἴσας ἔχοντα
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ,
τὴν μὲν ΑΒ τῇ ∆Ε,
τὴν δὲ ΑΓ τῇ ∆Ζ·
βάσις δὲ ἡ ΒΓ
βάσεως τῆς ΕΖ μείζων ἔστω·
Olsun
iki üçgen ΑΒΓ ve ∆ΕΖ,
iki ΑΒ ve ΑΓ kenarı,
iki ∆Ε ve ∆Ζ kenarına
eşit olan,
her biri birine,
ΑΒ, ∆Ε’a
ve ΑΓ, ∆Ζ’ya;
ve ΒΓ tabanı
ΕΖ tabanından büyük olsun.
λέγω, ὅτι
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ
γωνίας τῆς ὑπὸ Ε∆Ζ μείζων ἐστίν.
Diyorum ki
ΒΑΓ açısı da
Ε∆Ζ açısından büyüktür.
Εἰ γὰρ μή,
ἤτοι ἴση ἐστὶν αὐτῇ ἢ ἐλάσσων·
ἴση μὲν οὖν οὐκ ἔστιν
ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ Ε∆Ζ·
ἴση γὰρ ἂν ἦν
καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ·
οὐκ ἔστι δέ.
οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶ
γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ Ε∆Ζ·
Zira eğer değilse,
ya ona eşittir, ya da ondan küçük;
ama dolayısıyla eşit değildir
ΒΑΓ, Ε∆Ζ’ya;
zira eğer eşit ise
ΒΓ tabanı da, ΕΖ tabanına [eşittir];
ama değil.
Böylece eşit değildir
ΒΑΓ açısı, Ε∆Ζ’ya;

. Önerme
οὐκ ἔστι δέ·
οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ Ε∆Ζ.
ἐδείχθη δέ, ὅτι
οὐδὲ ἴση·
μείζων ἄρα ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ Ε∆Ζ.
tabii ki küçük değildir
ΒΑΓ, Ε∆Ζ’dan;
zira eğer küçük ise,
ΒΓ tabanı da, ΕΖ tabanından [küçüktür];
ama değil;
böylece küçük değildir
ΒΑΓ, Ε∆Ζ’dan.
Ama gösterilmişti ki
eşit değildir;
böylece büyüktür
ΒΑΓ, Ε∆Ζ’dan.
᾿Εὰν ἄρα δύο τρίγωνα
τὰς δύο πλευρὰς
δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ
ἑκατέραν ἑκάτερᾳ,
τὴν δὲ βασίν
τῆς βάσεως μείζονα ἔχῃ,
καὶ τὴν γωνίαν
τῆς γωνίας μείζονα ἕξει
τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν
περιεχομένην·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Eğer, böylece, iki üçgende
iki kenar
iki kenara eşitse
her biri birine,
ama taban
tabandan büyükse,
açı da
açıdan büyük olacak
[yani] eşit doğrularca
rapteden;
gösterilmesi gereken tam buydu.
οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ Ε∆Ζ·
ἐλάσσων γὰρ ἂν ἦν
καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ·
Α
Β
∆
Γ
Ε
Ζ

Önermeler
. Önerme
Eğer iki üçgenin
iki açısı,
iki açısına eşitse,
her biri birine,
ve bir kenar,
bir kenara eşitse,
ya eşit açıların arasında olan
ya da karşılayan
eşit açılardan birini,
kalan kenarları da
kalan kenarlarına eşit olacak,
kalan açıları da
kalan açılarına.
᾿Εὰν δύο τρίγωνα
τὰς δύο γωνίας
δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ
καὶ μίαν πλευρὰν
μιᾷ πλευρᾷ ἴσην
ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις
ἢ τὴν ὑποτείνουσαν
ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν,
καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς
ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει
καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν
τῇ λοιπῇ γωνίᾳ.
Α
∆
Η
Β
Θ
Γ
῎Εστω
δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ∆ΕΖ
τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ
δυσὶ ταῖς ὑπὸ ∆ΕΖ, ΕΖ∆
ἴσας ἔχοντα
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ,
τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ∆ΕΖ,
τὴν δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΕΖ∆·
ἐχέτω δὲ
καὶ μίαν πλευρὰν
μιᾷ πλευρᾷ ἴσην,
πρότερον τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις
Ε
Ζ
Olsun
iki üçgen ΑΒΓ ve ∆ΕΖ,
iki ΑΒΓ ve ΒΓΑ açıları
iki ∆ΕΖ ve ΕΖ∆’ya
eşit olan,
her biri birine,
ΑΒΓ, ∆ΕΖ’ya
ve ΒΓΑ, ΕΖ∆’ya;
ayrıca olsun
bir kenarı da
bir kenarına eşit,
önce, esit açıların arasında olan,

. Önerme
τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ·
ΒΓ, ΕΖ’ya.
λέγω, ὅτι
καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς
ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ,
τὴν μὲν ΑΒ τῇ ∆Ε
τὴν δὲ ΑΓ τῇ ∆Ζ,
καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν
τῇ λοιπῇ γωνίᾳ,
τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ Ε∆Ζ.
Diyorum ki
kalan kenarlar da
kalan kenarlara eşit olacaklar,
her biri birine,
ΑΒ, ∆Ε’a
ve ΑΓ, ∆Ζ’ya,
ve kalan açı
kalan açıya,
ΒΑΓ, Ε∆Ζ’ya.
Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν
ἡ ΑΒ τῇ ∆Ε,
μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ,
καὶ κείσθω
τῇ ∆Ε ἴση ἡ ΒΗ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ.
Zira eğer eşit değilse,
ΑΒ, ∆Ε kenarına,
biri daha büyüktür.
ΑΒ daha büyük olsun,
ve oturmuş olsun
∆Ε’a eşit olan ΒΗ,
ve ΗΓ birleştirilmiş olsun.
᾿Επεὶ οὖν ἴση ἐστὶν
ἡ μὲν ΒΗ τῇ ∆Ε,
ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ,
δύο δὴ αἱ ΒΗ, ΒΓ
δυσὶ ταῖς ∆Ε, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΒΓ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ∆ΕΖ ἴση ἐστίν·
βάσις ἄρα ἡ ΗΓ
βάσει τῇ ∆Ζ ἴση ἐστίν,
καὶ τὸ ΗΒΓ τρίγωνον
τῷ ∆ΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν,
καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι
ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται,
ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΓΒ γωνία
τῇ ὑπὸ ∆ΖΕ.
ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ∆ΖΕ
Dolayısıyla eşit olduğundan
ΒΗ, ∆Ε’a
ve ΒΓ, ΕΖ’ya,
o halde ΒΗ ve ΒΓ ikilisi
∆Ε ve ΕΖ ikilisine eşittir,
her biri birine,
ve ΗΒΓ açısı
∆ΕΖ açısına eşittir;
böylece ΗΓ tabanı
∆Ζ tabanına eşittir,
ve ΗΒΓ üçgeni
∆ΕΖ üçgenine eşittir,
ve kalan açılar
kalan açılara eşit olacaklar
eşit kenarlar raptettiği.
Böylece ΒΓΗ açısı eşittir
∆ΖΕ’a.
Ama ∆ΖΕ,

Önermeler
ΒΓΑ’ya eşit kabul edilir,
böylece ΒΓΗ de
ΒΓΑ açısına eşittir,
daha küçük olan daha büyük olana,
ki bu imkânsızdır.
Böylece eşit değil değildir,
ΑΒ, ∆Ε kenarına.
Böylece eşittir.
Ve durum şöyledir;
ΒΓ, ΕΖ kenarına eşittir;
o halde ΑΒ ve ΒΓ ikilisi
∆Ε ve ΕΖ ikilisine eşittir,
her biri birine;
ΑΒΓ açısı da
∆ΕΖ açısına eşittir;
böylece ΑΓ tabanı
∆Ζ tabanına eşittir,
ve kalan ΒΑΓ açısı
kalan Ε∆Ζ açısına
eşittir.
τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ὑπόκειται ἴση·
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ ἄρα
τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἴση ἐστίν,
ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι·
ὅπερ ἀδύνατον.
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν
ἡ ΑΒ τῇ ∆Ε.
ἴση ἄρα.
ἔστι δὲ καὶ
ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ ἴση·
δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ
δυσὶ ταῖς ∆Ε, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ∆ΕΖ ἐστιν ἴση·
βάσις ἄρα ἡ ΑΓ
βάσει τῇ ∆Ζ ἴση ἐστίν,
καὶ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ
τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Ε∆Ζ
ἴση ἐστίν.
Α
∆
Η
Β
Θ
Γ
ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν
αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ ὑποτείνουσαι ἴσαι,
ὡς ἡ ΑΒ τῇ ∆Ε·
λέγω πάλιν, ὅτι
καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραὶ
ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσαι ἔσονται,
ἡ μὲν ΑΓ τῇ ∆Ζ,
Ε
Ζ
Ama o halde yine olsun
eşit açıları rapteden kenarlar eşit,
ΑΒ, ∆Ε kenarına gibi;
Yine diyorum ki
kalan kenarlar da
kalan kenarlara eşit olacaklar,
ΑΓ, ∆Ζ kenarına

. Önerme
ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ
καὶ ἔτι ἡ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ
τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Ε∆Ζ
ἴση ἐστίν.
ve ΒΓ, ΕΖ kenarına
ve kalan ΒΑΓ açısı da
kalan Ε∆Ζ açısına
eşittir.
Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν
ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ,
μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
ἔστω μείζων, εἰ δυνατόν, ἡ ΒΓ,
καὶ κείσθω
τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΒΘ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ.
καὶ ἐπὲι ἴση ἐστὶν
ἡ μὲν ΒΘ τῇ ΕΖ
ἡ δὲ ΑΒ τῇ ∆Ε,
δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΘ
δυσὶ ταῖς ∆Ε, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκαρέρᾳ·
καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν·
βάσις ἄρα ἡ ΑΘ
βάσει τῇ ∆Ζ ἴση ἐστίν,
καὶ τὸ ΑΒΘ τρίγωνον
τῷ ∆ΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν,
καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι
ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται,
ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσας πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
ἴση ἄρα ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ΒΘΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖ∆.
ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΖ∆
τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἐστιν ἴση·
τριγώνου δὴ τοῦ ΑΘΓ
ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ ἴση ἐστὶ
τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΒΓΑ·
ὅπερ ἀδύνατον.
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν
ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ·
ἴση ἄρα.
ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ∆Ε ἴση.
Zira eğer eşit değil ise,
ΒΓ, ΕΖ kenarına,
biri daha büyüktür.
Mümkünse, ΒΓ daha büyük olsun,
ve oturmuş olsun
ΕΖ’ya eşit olan ΒΘ,
ve ΑΘ birleştirilmiş olsun.
Ayrıca eşit olduğundan
ΒΘ, ΕΖ kenarına,
ve ΑΒ, ∆Ε kenarına,
o halde ΑΒ ve ΒΘ ikilisi,
∆Ε ve ΕΖ ikilisine eşittir,
her biri birine;
ve eşit açıları içerirler,
böylece ΑΘ tabanı
∆Ζ tabanına eşittir,
ve ΑΒΘ üçgeni
∆ΕΖ üçgenine eşittir,
ve kalan açılar
kalan açılara eşit olacak,
eşit kenarların raptettiği.
Böylece eşittir
ΒΘΑ açısı, ΕΖ∆ açısına.
Ama ΕΖ∆,
ΒΓΑ açısına eşittir;
o halde ΑΘΓ üçgeninin
ΒΘΑ dış açısı eşittir
iç ve karşıt ΒΓΑ açısına;
ki bu imkânsızdır.
Böylece eşit değil değildir
ΒΓ, ΕΖ’ya;
böylece eşittir.
Ve tekrar ΑΒ, ∆Ε kenarına eşittir.

Önermeler
δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ
δύο ταῖς ∆Ε, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσι·
βάσις ἄρα ἡ ΑΓ
βάσει τῇ ∆Ζ ἴση ἐστίν,
καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
τῷ ∆ΕΖ τριγώνῳ ἴσον
καὶ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ
τῇ λοιπῂ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Ε∆Ζ ἴση.
O halde ΑΒ ve ΒΓ ikilisi
∆Ε ve ΕΖ ikilisine eşittir,
her biri birine;
ve eşit açılar içerirler;
böylece ΑΓ tabanı
∆Ζ tabanına eşittir,
ve ΑΒΓ üçgeni
∆ΕΖ üçgenine eşittir,
ve kalan ΒΑΓ açısı
kalan Ε∆Ζ açısına eşittir.
᾿Εὰν ἄρα δύο τρίγωνα
τὰς δύο γωνίας
δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ
καὶ μίαν πλευρὰν
μιᾷ πλευρᾷ ἴσην
ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις,
ἢ τὴν ὑποτείνουσαν
ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν,
καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς
ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει
καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν
τῇ λοιπῇ γωνίᾳ·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Eğer, böylece, iki üçgenin
iki açısı
iki açısına eşitse,
her biri birine,
ve bir kenar
bir kenara eşitse,
ya eşit açıların arasında olan
ya da rapteden
eşit açıların birini;
kalan kenarları da
kalan kenarlarına eşit olacak,
kalan açıları da
kalan açılarına;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Α
∆
Η
Β
Θ
Γ
Ε
Ζ
. Önerme


Önermeler
. Önerme
᾿Εὰν εἰς δύο εὐθείας
εὐθεῖα ἐμπίπτουσα
τὰς ἐναλλὰξ γωνίας
ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ,
παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις
αἱ εὐθεῖαι.
Eğer iki doğrunun üzerine
düşen bir doğru,
ters açıları
birbirine eşit yaparsa,
birbirine paralel olacak
doğrular.
Εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, Γ∆ εὐθεῖα
ἐμπίπτουσα ἡ ΕΖ
τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΕΖ, ΕΖ∆
ἴσας ἀλλήλαις ποιείτω·
Zira iki ΑΒ ve Γ∆ doğrularının üzerine düşen ΕΖ,
ters ΑΕΖ ve ΕΖ∆ açılarını
birbirine eşit yapsın.
λέγω, ὅτι
παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ Γ∆.
Diyorum ki
ΑΒ, Γ∆’ya paraleldir.
Εἰ γὰρ μή,
ἐκβαλλόμεναι
αἱ ΑΒ, Γ∆ συμπεσοῦνται
ἤτοι ἐπὶ τὰ Β, ∆ μέρη
ἢ ἐπὶ τὰ Α, Γ.
ἐκβεβλήσθωσαν
καὶ συμπιπτέτωσαν
ἐπὶ τὰ Β, ∆ μέρη κατὰ τὸ Η.
τριγώνου δὴ τοῦ ΗΕΖ
ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΖ ἴση ἐστὶ
τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΖΗ·
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
οὐκ ἄρα
αἱ ΑΒ, ∆Γ ἐκβαλλόμεναι
συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ Β, ∆ μέρη.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται,
ὅτι
οὐδὲ ἐπὶ τὰ Α, Γ·
αἱ δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη
συμπίπτουσαι
Zira eğer değilse,
uzatılan,
ΑΒ ve Γ∆ çarpışacak,
ya Β ve ∆ kenarında,
ya da Α ve Γ kenarında.
Uzatılmış olsun,
ve çarpışşın
Β ve ∆ tarafında, Η’da.
ΗΕΖ üçgeninin
ΑΕΖ dış açısı, eşittir
iç ve karşıt ΕΖΗ’ya;
ki bu imkânsızdır.
Böylece şöyle değildir:
ΑΒ ve Γ∆, uzatılmış,
Β ve ∆ tarafında çarpışacak.
Benzer şekilde o halde gösterilecek
ki
Α ve Γ tarafında da değil.
Hiçbir tarafta
çarpışanlar,

. Önerme
παράλληλοί εἰσιν·
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ Γ∆.
paraleldir;
böylece ΑΒ, Γ∆’ya paraleldir.
᾿Εὰν ἄρα εἰς δύο εὐθείας
εὐθεῖα ἐμπίπτουσα
τὰς ἐναλλὰξ γωνίας
ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ,
παράλληλοι ἔσονται
αἱ εὐθεῖαι·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Eğer, böylece, iki doğru üzerine
düşen bir doğru
ters açıları
birbirine eşit yaparsa
birbirine paralel olacak
doğrular;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Ε
Α
Β
Η
Γ
Ζ
∆

Önermeler
. Önerme
᾿Εὰν εἰς δύο εὐθείας
εὐθεῖα ἐμπίπτουσα
τὴν ἐκτὸς γωνίαν
τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον
καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
ἴσην ποιῇ
ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας,
παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις
αἱ εὐθεῖαι.
Eğer iki doğru üzerine
düşen bir doğru,
dış açıyı,
iç ve karşıt
ve aynı tarafta [kalan] açıya
eşit yaparsa,
veya iç ve aynı tarafta [kalanları]
iki dik açıya eşit,
birbirine paralel olacak
doğrular.
Εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, Γ∆
εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΕΖ
τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ
τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνίᾳ τῇ ὑπὸ
ΗΘ∆
ἴσην ποιείτω
ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘ∆
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας·
Zira ΑΒ ve Γ∆ doğruları üzerine
düşen ΕΖ doğrusu,
ΕΗΒ dış açısını
iç ve karşıt ΗΘ∆ açısına
λέγω, ὅτι
παράλληλός ἐστιν
ἡ ΑΒ τῇ Γ∆.
Diyorum ki
paraleldir
ΑΒ, Γ∆’ya.
᾿Επεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΗΘ∆,
ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ
τῇ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστιν ἴση,
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ ἄρα
τῇ ὑπὸ ΗΘ∆ ἐστιν ἴση·
καί εἰσιν ἐναλλάξ·
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ Γ∆.
Zira eşit olduğundan
ΕΗΒ, ΗΘ∆’ya,
ama ΕΗΒ,
ΑΗΘ’ya eşit olduğundan,
böylece ΑΗΘ da
ΗΘ∆’ya eşittir;
ve onlar terstir;
böylece ΑΒ, Γ∆’ya paraleldir.
Πάλιν, ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘ∆
Yine ΒΗΘ ve ΗΘ∆,
eşit yapsın,
veya iç ve aynı tarafta [kalan]
ΒΗΘ ve ΗΘ∆ açıları
iki dik açıya eşit.

. Önerme
δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν,
εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι,
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ
ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘ∆ ἴσαι εἰσίν·
κοινὴ
ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ·
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΘ
λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΘ∆ ἐστιν ἴση·
καί εἰσιν ἐναλλάξ·
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ Γ∆.
iki dik açıya eşittir,
ve ΑΗΘ ve ΒΗΘ de,
iki dik açıya eşittir,
böylece ΑΗΘ ve ΒΗΘ,
ΒΗΘ ve ΗΘ∆’ya eşittir;
ve ortak olarak
ΒΗΘ, ayırılmış olsun;
böylece ΑΗΘ kalanı
ΗΘ∆ kalanına eşittir;
ve bunlar terstir;
böylece ΑΒ, Γ∆’ya paraleldir.
᾿Εὰν ἄρα εἰς δύο εὐθείας
εὐθεῖα ἐμπίπτουσα
τὴν ἐκτὸς γωνίαν
τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον
καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
ἴσην ποιῇ
ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας,
παράλληλοι ἔσονται
αἱ εὐθεῖαι·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Eğer böylece iki doğru üzerine
düşen bir doğru,
dış açıyı,
iç ve karşıt
ve aynı tarafta kalan açıya
eşit yaparsa,
veya iç ve aynı tarafta kalanları,
iki dik açıya eşit,
birbirine paralel olacak
doğrular;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Ε
Α
Γ
Η
Β
Θ
∆
Ζ

Önermeler
. Önerme
῾Η εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα
ἐμπίπτουσα
τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας
ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ
καὶ τὴν ἐκτὸς
τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην
καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.
Paralel doğrular üzerine düşen bir
doğru
hem ters açıları
birbirine eşit yapar,
hem dış [açı]yı
iç ve karşıt [açı]ya eşit,
hem iç ve aynı taraftaki [açıları]
iki dik açıya eşit.
Εἰς γὰρ παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ,
Γ∆
εὐθεῖα ἐμπιπτέτω ἡ ΕΖ·
Zira paralel ΑΒ ve Γ∆ doğruları üzerine
ΕΖ doğrusu düşsün.
λέγω, ὅτι τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ
ΑΗΘ, ΗΘ∆ ἴσας ποιεῖ
καὶ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ
τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον
τῇ ὑπὸ ΗΘ∆ ἴσην
καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘ∆
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.
Diyorum ki ters ΑΗΘ ve ΗΘ∆ açıları
eşit yapar,
ve ΕΗΒ dış açısını
iç ve karşıt
ΗΘ∆’ya eşit,
ve iç ve aynı taraftaki
ΒΗΘ ile ΗΘ∆ açılarını
iki dik açıya eşit.
Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν
ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘ∆,
μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΗΘ·
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ·
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ
τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘ∆ μείζονές εἰσιν.
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
[καὶ] αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘ∆
δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
αἱ δὲ ἀπ᾿ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν
ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον
Zira eğer eşit değilse
ΑΗΘ, ΗΘ∆ açısına,
biri büyüktür.
ΑΗΘ daha büyük olsun;
ortak olarak ΒΗΘ eklenmiş olsun;
böylece ΑΗΘ ve ΒΗΘ,
ΒΗΘ ve ΗΘ∆’dan büyüktür.
Ama ΑΗΘ ve ΒΗΘ
iki dik açıya eşittir.
Böylece ΒΗΘ ve ΗΘ∆ [da]
iki dik açıdan küçüktür.
Ve iki dik açıdan küçük [açılar]dan
sonsuza uzatılan [doğrular],

. Önerme
συμπίπτουσιν·
αἱ ἄρα ΑΒ, Γ∆
ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον
συμπεσοῦνται·
οὐ συμπίπτουσι δὲ
διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς
ὑποκεῖσθαι·
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν
ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘ∆·
ἴση ἄρα.
ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ
τῇ ὑπὸ ΕΗΒ ἐστιν ἴση·
καὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ ἄρα
τῇ ὑπὸ ΗΘ∆ ἐστιν ἴση·
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ·
αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ
ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘ∆ ἴσαι εἰσίν.
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ
δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘ∆ ἄρα
δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
çarpışır.
Böylece ΑΒ ve Γ∆,
uzatılınca sonsuza,
çarpışır.
Ama çarpışmaz,
çünkü paralel
kabul edilir.
Böylece eşit değil değildir
ΑΗΘ, ΗΘ∆’ya.
Böylece eşittir.
Ama ΑΗΘ,
ΕΗΒ açısına eşittir;
böylece ΕΗΒ da
ΗΘ∆ açısına eşittir;
ortak olarak ΒΗΘ eklenmiş olsun;
böylece ΕΗΒ ve ΒΗΘ,
ΒΗΘ ve ΗΘ∆’ya eşittir.
Ama ΕΗΒ ve ΒΗΘ
iki dik açıya eşittir.
Böylece ΒΗΘ ve ΗΘ∆ da
iki dik açıya eşittir.
῾Η ἄρα εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας
εὐθεῖα ἐμπίπτουσα
τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας
ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ
καὶ τὴν ἐκτὸς
τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην
καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece paralel doğrular üzerine
düşen bir doğru
hem ters açıları
birbirine eşit yapar,
hem dış [açı]yı
iç ve karşıt [açı]ya eşit,
hem iç ve aynı taraftaki [açıları]
iki dik açıya eşit;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Ε
Α
Γ
Η
Β
Θ
∆
Ζ

Önermeler
. Önerme
Αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι
καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι.
Aynı doğruya paraleller,
birbirine de paraleldir.
῎Εστω
ἑκατέρα τῶν ΑΒ, Γ∆
τῇ ΕΖ παράλληλος·
Olsun
ΑΒ ve Γ∆’nın her biri,
ΕΖ’ya paralel.
λέγω, ὅτι
καὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ∆ ἐστι παράλληλος.
Diyorum ki
ΑΒ da Γ∆’ya paraleldir.
᾿Εμπιπτέτω γὰρ
εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΗΚ.
Zira düşsün
üzerlerine ΗΚ.
καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς
ΑΒ, ΕΖ
εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ,
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ.
πάλιν, ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας
τὰς ΕΖ, Γ∆
εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ,
ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΘΖ τῇ ὑπὸ ΗΚ∆.
ἐδείχθη δὲ καὶ
ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ ἴση.
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρα
τῇ ὑπὸ ΗΚ∆ ἐστιν ἴση·
καί εἰσιν ἐναλλάξ.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ Γ∆.
Ve paralel ΑΒ ve ΕΖ doğrularının
üzerine
ΗΚ doğrusu düşmüş olduğundan,
böylece ΑΗΚ, ΗΘΖ’ya eşittir.
Yine, paralel ΕΖ ve Γ∆ doğrularının
üzerine
ΗΚ doğrusu düşmüş olduğundan,
ΗΘΖ, ΗΚ∆ açısına eşittir.
Ve gösterilmişti
ΑΗΚ, ΗΘΖ’ya eşit.
Ve böylece ΑΗΚ,
ΗΚ∆’ya eşittir;
ve bunlar terstir.
Böylece ΑΒ, Γ∆’ya paraleldir.
[Αἱ ἄρα τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι
καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι·]
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece aynı doğruya paraleller
birbirine de paraleldir;
gösterilmesi gereken tam buydu.

. Önerme
Η
Α
Θ
Ε
Γ
Κ
Β
Ζ
∆

Önermeler
. Önerme
∆ιὰ τοῦ δοθέντος σημείου
τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ παράλληλον
εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
Verilmiş bir noktadan
verilmiş bir doğruya paralel
bir doğru çizgi ilerlemek.
῎Εστω
τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α,
ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ·
Olsun
verilmiş nokta Α,
ve verilmiş doğru ΒΓ.
δεῖ δὴ
διὰ τοῦ Α σημείου
τῇ ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλον
εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
O halde gereklidir
Α noktasından
ΒΓ doğrusuna paralel
bir doğru çizgi ilerlemek.
Εἰλήφθω
ἐπὶ τῆς ΒΓ
τυχὸν σημεῖον τὸ ∆,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Α∆·
καὶ συνεστάτω
πρὸς τῇ ∆Α εὐθείᾳ
καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α
τῇ ὑπὸ Α∆Γ γωνίᾳ ἴση
ἡ ὑπὸ ∆ΑΕ·
καὶ ἐκβεβλήσθω
ἐπ᾿ εὐθείας τῇ ΕΑ
εὐθεῖα ἡ ΑΖ.
alınmış olsun
ΒΓ üzerinde
rastgele bir ∆ noktası,
ve Α∆ birleştirilmiş olsun,
ve inşa edilmiş olsun,
∆Α doğrusunda,
ve onun Α noktasında,
Α∆Γ açısına eşit,
∆ΑΕ;
ve uzatılmış olsun,
ΕΑ ile aynı doğruda,
ΑΖ doğrusu.
καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΓ, ΕΖ
εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ Α∆
τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΑ∆, Α∆Γ
ἴσας ἀλλήλαις πεποίηκεν,
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΑΖ τῇ ΒΓ.
Ve ΒΓ ve ΕΖ doğruları üzerine
düşen Α∆ doğrusu,
ters ΕΑ∆ ve Α∆Γ açılarını
birbirine eşit yaptığından,
böylece ΕΑΖ, ΒΓ’ya paraleldir.
∆ιὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ Α
τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ παράλληλος
εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΑΖ·
Böylece, verilmiş Α noktasından,
verilmiş ΒΓ doğrusuna paralel,
doğru ΕΑΖ çizgisi, ilerletilmiş oldu;

. Önerme
yapılması gereken tam buydu.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Α
Ε
Β
∆
Ζ
Γ

Önermeler
. Önerme
Παντὸς τριγώνου
μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης
ἡ ἐκτὸς γωνία
δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον
ἴση ἐστίν,
καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Herhangi bir üçgenin
kenarlarından biri uzatılınca,
dış açı
iki karşıt iç açıya
eşittir,
ve üçgenin üç iç açısı
iki dik açıya eşittir.
῎Εστω
τρίγωνον τὸ ΑΒΓ,
καὶ προσεκβεβλήσθω
αὐτοῦ μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ ∆·
Olsun
üçgen ΑΒΓ,
ve uzatılmış olsun
onun ΒΓ kenarı, ∆ noktasına.
λέγω, ὅτι
ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓ∆ ἴση ἐστὶ
δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον
ταῖς ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ,
καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι
αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Diyorum ki
ΑΓ∆ dış açısı eşittir
iki iç ve karşıt
ΓΑΒ ve ΑΒΓ açılarına,
ve üçgenin üç iç açısı
῎Ηχθω γὰρ
διὰ τοῦ Γ σημείου
τῇ ΑΒ εὐθείᾳ παράλληλος
ἡ ΓΕ.
Zira ilerletilmiş olsun
Γ noktasından
ΑΒ doğrusuna paralel
ΓΕ.
καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν
ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ,
καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν
ἡ ΑΓ,
αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΕ
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν
Ve paralel olduğundan
ΑΒ, ΓΕ’a,
ve bunların üzerine düştüğünden
ΑΓ,
ters ΒΑΓ ve ΑΓΕ açıları
birbirine eşittir.
Yine, paralel olduğundan
—ΑΒΓ, ΒΓΑ, ve ΓΑΒ—,
iki dik açıya eşittir.

. Önerme
ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ,
καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν
εὐθεῖα ἡ Β∆,
ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΓ∆ ἴση ἐστὶ
τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΒΓ.
ἐδείχθη δὲ καὶ
ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση·
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓ∆ γωνία
ἴση ἐστὶ
δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον
ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ.
ΑΒ, ΓΕ doğrusuna,
ve bunların üzerine düştüğünden
Β∆ doğrusu,
ΕΓ∆ dış açısı eşittir
iç ve karşıt ΑΒΓ açısına.
Ve gösterilmişti
ΑΓΕ da, ΒΑΓ açısına eşit.
Böylece bütün ΑΓ∆ açısı
eşittir
iki iç ve karşıt
ΒΑΓ ve ΑΒΓ açılarına.
Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ·
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓ∆, ΑΓΒ
τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ
ἴσαι εἰσίν.
ἀλλ᾿ αἱ ὑπὸ ΑΓ∆, ΑΓΒ
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΑ, ΓΑΒ ἄρα
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Ortak olarak ΑΓΒ eklensin;
böylece ΑΓ∆ ve ΑΓΒ açıları
ΑΒΓ, ΒΓΑ ve ΓΑΒ üçlüsüne
eşittir.
Ama ΑΓ∆ ve ΑΓΒ,
iki dik açıya eşittir;
böylece ΑΓΒ, ΓΒΑ ve ΓΑΒ da
iki dik açıya eşittir.
Παντὸς ἄρα τριγώνου
μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης
ἡ ἐκτὸς γωνία
δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον
ἴση ἐστίν,
καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece, herhangi bir üçgenin
kenarlarından biri uzatılınca,
dış açı
iki karşıt iç açıya
eşittir,
ve üçgenin üç iç açısı
iki dik açıya eşittir;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Α
Β
Ε
Γ
∆

Önermeler
. Önerme
Αἱ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους
ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι
εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ
ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.
Eşit paralelleri
aynı tarafta birleştiren
doğruların kendileri de
hem eşit hem paraleldirler.
῎Εστωσαν
ἴσαι τε καὶ παράλληλοι
αἱ ΑΒ, Γ∆,
καὶ ἐπιζευγνύτωσαν αὐτὰς
ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, Β∆·
Olsun
eşit paraleller
ΑΒ ve Γ∆,
ve bunları birleştirsin
aynı tarafta
ΑΓ ve Β∆ doğruları.
λέγω, ὅτι
καὶ αἱ ΑΓ, Β∆
ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.
Diyorum ki
ΑΓ ve Β∆ da
eşit ve paraleldir.
᾿Επεζεύχθω ἡ ΒΓ.
καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν
ἡ ΑΒ τῇ Γ∆,
καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν
ἡ ΒΓ,
αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓ∆
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ Γ∆
κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ,
δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ
δύο ταῖς ΒΓ, Γ∆ ἴσαι εἰσίν·
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓ∆ ἴση·
βάσις ἄρα ἡ ΑΓ
βάσει τῇ Β∆ ἐστιν ἴση,
καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
τῷ ΒΓ∆ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν,
καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι
ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται
ΒΓ birleştirilmiş olsun.
Ve paralel olduğundan
ΑΒ, Γ∆’ya,
ve bunların üzerine düştüğünden
ΒΓ,
ters ΑΒΓ ve ΒΓ∆ açıları
birbirine eşittir.
Ve ΑΒ, Γ∆’ya eşit olduğundan,
ve ΒΓ ortak [olduğundan],
ΑΒ ve ΒΓ ikilisi
ΒΓ ve Γ∆ ikilisine eşittir;
ΑΒΓ açısı da
ΒΓ∆ açısına eşittir;
böylece ΑΓ tabanı
Β∆ tabanına eşittir,
ve ΑΒΓ üçgeni
ΒΓ∆ üçgenine eşittir,
ve kalan açılar
kalan açılara eşit olacak,

. Önerme
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ,
ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
ἴση ἄρα
ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒ∆.
καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΓ, Β∆
εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΒΓ
τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις
πεποίηκεν,
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ Β∆.
ἐδείχθη δὲ αὐτῇ καὶ ἴση.
her biri birine,
eşit kenarların raptettiği;
böylece eşittir
ΑΓΒ açısı, ΓΒ∆’ya.
Ve iki ΑΓ ve Β∆ doğrularının üzerine
düşen ΒΓ doğrusu,
ters açıları birbirine eşit
yaptığından,
böylece ΑΓ, Β∆’ya paraleldir.
Ve ona eşit olduğu da gösterilmişti.
Αἱ ἄρα τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους
ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι
εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ
ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece eşit paralelleri
aynı tarafta birleştiren
doğruların kendileri de
hem eşit hem paraleldirler;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Β
∆
Α
Γ

Önermeler
. Önerme
Τῶν παραλληλογράμμων χωρίων
αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν,
καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει.
Paralelkenar alanların
hem karşıt kenarları hem de açıları,
birbirine eşittir,
ve köşegen onları ikiye böler.
Β
Α
Γ
∆
῎Εστω
παραλληλόγραμμον χωρίον τὸ ΑΓ∆Β,
διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΒΓ·
Olsun
paralelkenar alan ΑΓ∆Β;
ve onun köşegeni, ΒΓ.
λέγω, ὅτι
τοῦ ΑΓ∆Β παραλληλογράμμου
αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν,
καὶ ἡ ΒΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει.
Diyorum ki
ΑΓ∆Β paralelkenarının
karşıt kenarları ve açıları
birbirine eşittir,
ve ΒΓ köşegeni onu ikiye böler.
᾿Επεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν
ἡ ΑΒ τῇ Γ∆,
καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΒΓ,
Zira paralel olduğundan
ΑΒ, Γ∆’ya,
ve bunların üzerine düşmüş olduğundan ΒΓ,
ters ΑΒΓ ve ΒΓ∆ açıları
birbirine eşittir.
Yine, paralel olduğundan
ΑΓ, Β∆’ya,
ve bunların üzerine düşmüş olduğundan ΒΓ,
ters ΑΓΒ ve ΓΒ∆ açıları
αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓ∆
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
πάλιν ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν
ἡ ΑΓ τῇ Β∆,
καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ,
αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒ∆

. Önerme
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
δύο δὴ τρίγωνά ἐστι
τὰ ΑΒΓ, ΒΓ∆
τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ
δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΒΓ∆, ΓΒ∆
ἴσας ἔχοντα
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ
καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην
τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις
κοινὴν αὐτῶν τὴν ΒΓ·
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς
ταῖς λοιπαῖς ἴσας ἕξει
ἑκατέραν ἑκατέρᾳ
καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν
τῇ λοιπῇ γωνίᾳ·
ἴση ἄρα
ἡ μὲν ΑΒ πλευρὰ τῇ Γ∆,
ἡ δὲ ΑΓ τῇ Β∆,
καὶ ἔτι ἴση ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ Γ∆Β.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν
ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓ∆,
ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒ∆ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ,
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒ∆
ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓ∆ ἐστιν ἴση.
ἐδείχθη δὲ καὶ
ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ Γ∆Β ἴση.
birbirine eşittir.
O halde iki üçgendir
ΑΒΓ ve ΒΓ∆,
iki ΑΒΓ ve ΒΓΑ açıları
iki ΒΓ∆ ve ΓΒ∆ açılarına
eşit olan,
her biri birine,
ve bir kenarı, bir kenarına eşit olan,
eşit açıların yanında olan,
onların ortak ΒΓ;
böylece kalan kenarları da
kalan kenarlarına eşit olacaklar,
her biri birine,
ve kalan açı
kalan açıya;
böylece eşittir
ΑΒ kenarı Γ∆’ya,
ve ΑΓ, Β∆’ya,
ve eşittir
ΒΑΓ açısı, Γ∆Β’ya.
Ve eşit olduğundan
ΑΒΓ açısı, ΒΓ∆’ya,
ve ΓΒ∆, ΑΓΒ açısına,
böylece bütün ΑΒ∆,
bütün ΑΓ∆’ya eşittir.
Ve gösterilmişti
ΒΑΓ da, Γ∆Β’ya eşit.
Τῶν ἄρα παραλληλογράμμων χωρίων
αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
Böylece, paralelkenar alanların
hem karşıt kenarları hem de açıları,
birbirine eşittir.
Λέγω δή, ὅτι
καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει.
O halde diyorum ki
köşegen de onları ikiye böler.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ Γ∆,
κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ,
δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ
Zira ΑΒ, Γ∆’ya eşit olduğundan,
ve ΒΓ ortak olduğundan,
o halde ΑΒ ve ΒΓ ikilisi

Önermeler
δυσὶ ταῖς Γ∆, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓ∆ ἴση.
καὶ βάσις ἄρα ἡ ΑΓ
τῇ ∆Β ἴση.
καὶ τὸ ΑΒΓ [ἄρα] τρίγωνον
τῷ ΒΓ∆ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
Γ∆ ve ΒΓ ikilisine eşittir,
her biri birine;
ve ΑΒΓ açısı,
ΒΓ∆ açısına eşittir.
Böylece ΑΓ tabanı da,
∆Β’ya eşittir.
Böylece ΑΒΓ üçgeni de
ΒΓ∆ üçgenine eşittir.
῾Η ἄρα ΒΓ διάμετρος δίχα τέμνει
τὸ ΑΒΓ∆ παραλληλόγραμμον·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece ΒΓ köşegeni ikiye böler
ΑΒΓ∆ paralelkenarını;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Β
Α
Γ
∆
. Önerme


Önermeler
. Önerme
Τὰ παραλληλόγραμμα
τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
Paralelkenarlar
aynı tabanda olan
ve aynı paralellerde,
birbirine eşittir.
῎Εστω
παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓ∆, ΕΒΓΖ
ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΒΓ
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς
ΑΖ, ΒΓ·
Olsun
paralelkenarlar ΑΒΓ∆ ve ΕΒΓ∆,
aynı ΓΒ tabanında,
ve aynı ΑΖ ve ΒΓ paralellerinde.
λέγω, ὅτι
ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ∆
τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ.
Diyorum ki
ΑΒΓ∆ eşittir
ΕΒΓΖ paralelkenarına.
᾿Επεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι
τὸ ΑΒΓ∆,
ἴση ἐστὶν ἡ Α∆ τῇ ΒΓ.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ
καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση·
ὥστε καὶ ἡ Α∆ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση·
καὶ κοινὴ ἡ ∆Ε·
ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ
ὅλῃ τῇ ∆Ζ ἐστιν ἴση.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ∆Γ ἴση·
δύο δὴ αἱ ΕΑ, ΑΒ
δύο ταῖς Ζ∆, ∆Γ ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ Ζ∆Γ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΒ ἐστιν ἴση
ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός·
βάσις ἄρα ἡ ΕΒ
βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν,
καὶ τὸ ΕΑΒ τρίγωνον
τῷ ∆ΖΓ τριγώνῳ ἴσον ἔσται·
Zira paralelkenar olduğundan
ΑΒΓ∆,
Α∆, ΒΓ’ya eşittir.
Aynı sebeple o halde
ΕΖ da, ΒΓ’ya eşittir;
öyleyse Α∆ da ΕΖ’ya eşittir;
ve ∆Ε ortaktır;
böylece bütün ΑΕ,
bütün ∆Ζ’ya eşittir.
ΑΒ da ∆Γ’ya eşittir.
O halde ΕΑ ve ΑΒ ikilisi
Ζ∆ ve ∆Γ ikilisine eşittir
her biri birine;
ve Ζ∆Γ açısı da
ΕΑΒ açısına eşittir,
dış açı, iç açıya;
böylece ΕΒ tabanı
ΖΓ tabanına eşittir,
ve ΕΑΒ üçgeni
∆ΖΓ üçgenine eşit olacak;

. Önerme
κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ∆ΗΕ·
λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΗ∆ τραπέζιον
λοιπῷ τῷ ΕΗΓΖ τραπεζίῳ ἐστὶν ἴσον·
κοινὸν προσκείσθω
τὸ ΗΒΓ τρίγωνον·
ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓ∆ παραλληλόγραμμον
ὅλῳ τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ ἴσον
ἐστίν.
ortak ∆ΗΕ ayrılmış olsun;
böylece kalan ΑΒΗ∆ yamuğu
kalan ΕΗΓΖ yamuğuna eşittir;
ortak olarak eklenmiş olsun
ΗΒΓ üçgeni;
böylece bütün ΑΒΓ∆ paralelkenarı,
Τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα
τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece paralelkenarlar;
aynı tabanda olan
ve aynı paralellerde olanlar,
birbirine eşittir;
gösterilmesi gereken tam buydu.
bütün ΕΒΓΖ paralelkenarına eşittir.
∆
Α
Ε
Η
Β
 Yani
trapezion.
Γ
Ζ

Önermeler
. Önerme
Τὰ παραλληλόγραμμα
τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
Paralelkenarlar
eşit tabanlarda olan
ve aynı paralellerde,
birbirine eşittir.
῎Εστω
παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓ∆, ΕΖΗΘ
ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα τῶν ΒΓ, ΖΗ
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς
ΑΘ, ΒΗ·
Olsun
paralelkenarlar ΑΒΓ∆ ve ΕΖΗΘ
eşit ΒΓ ve ΖΗ tabanlarında,
ve aynı ΑΘ ve ΒΗ paralellerinde.
λέγω, ὅτι
ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ∆ παραλληλόγραμμον
τῷ ΕΖΗΘ.
Diyorum ki
ΑΒΓ∆ paralelkenarı eşittir
ΕΖΗΘ’ya.
᾿Επεζεύχθωσαν γὰρ
αἱ ΒΕ, ΓΘ.
Zira birleştirilmiş olsun
ΒΕ ile ΓΘ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΗ,
ἀλλὰ ἡ ΖΗ τῇ ΕΘ ἐστιν ἴση,
καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΕΘ ἐστιν ἴση.
εἰσὶ δὲ καὶ παράλληλοι.
καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΕΒ, ΘΓ·
αἱ δὲ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους
ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι
ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι
[καὶ αἱ ΕΒ, ΘΓ ἄρα
ἴσαι τέ εἰσι καὶ παράλληλοι].
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ
ΕΒΓΘ.
καί ἐστιν ἴσον τῷ ΑΒΓ∆·
βάσιν τε γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν ἔχει τὴν
ΒΓ,
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστὶν
αὐτῷ ταῖς ΒΓ, ΑΘ.
Ve eşit olduğundan ΒΓ ile ΖΗ,
ama ΖΗ, ΕΘ’ya eşit olduğundan,
böylece ΒΓ da, ΕΘ’ya eşittir.
Ve paraleldirler de.
Ve ΕΒ ve ΘΓ onları birleştirir.
Ve hem eşit hem paraleller
aynı tarafta birleştirenler
hem eşit hem paraleldir.
[Ve böylece ΕΒ ve ΘΓ,
hem eşit hem paraleldir.]
Böylece ΕΒΓΘ bir paralelkenardır.
Ve eşittir ΑΒΓ∆’ya.
Zira onunla aynı ΒΓ tabanı vardır,
ve onunla aynı ΒΓ ve ΑΘ paralellerindedir.

. Önerme
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ
καὶ τὸ ΕΖΗΘ
τῷ αὐτῷ τῷ ΕΒΓΘ ἐστιν ἴσον·
ὥστε καὶ τὸ ΑΒΓ∆ παραλληλόγραμμον
τῷ ΕΖΗΘ ἐστιν ἴσον.
Aynı sebeple o halde,
ΕΖΗΘ da,
aynı ΕΒΓΘ’ya eşittir;
öyleyse ΑΒΓ∆ paralelkenarı da,
ΕΖΗΘ’ya eşittir.
Τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα
τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece paralelkenarlar
eşit tabanlarda olan
ve aynı paralellerde,
birbirine eşittir;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Α
Β
∆
Γ
Ε
Θ
Ζ
Η

Önermeler
. Önerme
Τὰ τρίγωνα
τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
Üçgenler
aynı tabanda olan
ve aynı paralellerde,
birbirine eşittir.
῎Εστω
τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ∆ΒΓ
ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΒΓ
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις
ταῖς Α∆, ΒΓ·
Olsun
üçgenler ΑΒΓ ve ∆ΒΓ,
aynı ΒΓ tabanında
ve aynı paralellerinde
[yani] Α∆ ve ΒΓ.
λέγω, ὅτι
ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
τῷ ∆ΒΓ τριγώνῳ.
Diyorum ki
ΑΒΓ üçgeni, eşittir
∆ΒΓ üçgenine.
᾿Εκβεβλήσθω
ἡ Α∆ ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη
ἐπὶ τὰ Ε, Ζ,
καὶ διὰ μὲν τοῦ Β
τῇ ΓΑ παράλληλος
ἤχθω ἡ ΒΕ,
διὰ δὲ τοῦ Γ
τῇ Β∆ παράλληλος
ἤχθω ἡ ΓΖ.
Uzatılmış olsun
Α∆ doğrusu, her iki kenarda,
Ε ve Ζ noktalarına,
ve Β’dan,
ΓΑ’ya paralel
ΒΕ ilerletilmiş olsun,
ve Γ’dan
Β∆’ya paralel
ΓΖ ilerletilmiş olsun.
παραλληλόγραμμον ἄρα
ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΕΒΓΑ, ∆ΒΓΖ·
καί εἰσιν ἴσα·
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς
ΒΓ
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς
ΒΓ, ΕΖ·
καί ἐστι τοῦ μὲν ΕΒΓΑ παραλληλογράμμου ἥμισυ
Böylece paralelkenardır
birer ΕΒΓΑ ile ∆ΒΓΖ;
ve [bunlar] eşittir;
zira hem aynı ΒΓ tabanında
hem aynı ΒΓ ve ΕΖ paralellerinde;
ve ΕΒΓΑ paralelkenarının yarısı,

. Önerme
τὸ ΑΒΓ τρίγωνον·
ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει·
τοῦ δὲ ∆ΒΓΖ παραλληλογράμμου
ἥμισυ τὸ ∆ΒΓ τρίγωνον·
ἡ γὰρ ∆Γ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει.
[τὰ δὲ τῶν ἴσων ἡμίση
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν].
ἴσον ἄρα ἐστὶ
τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ∆ΒΓ τριγώνῳ.
ΑΒΓ üçgenidir,
zira ΑΒ köşegeni onu ikiye böler;
ve ∆ΒΓΖ paralelkenarının
yarısı, ∆ΒΓ üçgenidir,
zira ∆Γ köşegeni onu ikiye böler.
[Ve eşitlerin yarıları
birbirine eşittir.]
Böylece eşittir
ΑΒΓ üçgeni ∆ΒΓ üçgenine.
Τὰ ἄρα τρίγωνα
τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece üçgenler
aynı tabanda olan
ve aynı paralellerde,
birbirine eşittir;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Α
Ε
Β
∆
Ζ
Γ

Önermeler
. Önerme
Τὰ τρίγωνα
τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
Üçgenler
eşit tabanlarda olan
ve aynı paralelerde,
birbirine eşittir.
῎Εστω
τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ∆ΕΖ
ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΒΓ, ΕΖ
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς
ΒΖ, Α∆·
Olsun
üçgenler ΑΒΓ ve ∆ΕΖ
eşit ΒΓ ve ΕΖ tabanlarında
ve aynı ΒΖ ve Α∆ paralellerinde.
λέγω, ὅτι
ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
τῷ ∆ΕΖ τριγώνῳ.
Diyorum ki
ΑΒΓ üçgeni, eşittir
∆ΕΖ üçgenine.
᾿Εκβεβλήσθω γὰρ ἡ Α∆
ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Η, Θ,
καὶ διὰ μὲν τοῦ Β
τῇ ΓΑ παράλληλος
ἤχθω ἡ ΒΗ,
διὰ δὲ τοῦ Ζ
τῇ ∆Ε παράλληλος
ἤχθω ἡ ΖΘ.
Zira Α∆ uzatılmış olsun
her iki tarafta Η ve Θ’ya,
ve Β’dan,
ΓΑ’ya paralel,
ΒΗ ilerletilmiş olsun,
ve Ζ’dan,
∆Ε’a paralel,
ΖΘ ilerletilmiş olsun.
παραλληλόγραμμον ἄρα
ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΗΒΓΑ, ∆ΕΖΘ·
καὶ ἴσον τὸ ΗΒΓΑ τῷ ∆ΕΖΘ·
ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΓ,
ΕΖ
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς
ΒΖ, ΗΘ·
καί ἐστι τοῦ μὲν ΗΒΓΑ παραλληλογράμμου ἥμισυ
Böylece paralelkenardır
birer ΗΒΓΑ ile ∆ΕΖΘ;
ve ΗΒΓΑ, ∆ΕΖΘ’ya eşittir;
zira hem eşit ΒΓ ve ΕΖ tabanlarında,
hem aynı ΒΖ ve ΗΘ paralellerinde;
ve ΗΒΓΑ paralelkenarının yarısı,

. Önerme
ΑΒΓ üçgenidir.
Zira ΑΒ köşegeni onu ikiye böler;
ve ∆ΕΖΘ paralelkenarının yarısı,
τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.
ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει·
τοῦ δὲ ∆ΕΖΘ παραλληλογράμμου ἥμισυ
τὸ ΖΕ∆ τρίγωνον·
ἡ γὰρ ∆Ζ δίαμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει
[τὰ δὲ τῶν ἴσων ἡμίση
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν].
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
τῷ ∆ΕΖ τριγώνῳ.
ΖΕ∆ üçgenidir;
zira ∆Ζ köşegeni onu ikiye böler.
[Ve eşitlerin yarıları,
birbirine eşittir.]
Böylece ΑΒΓ üçgeni eşittir
∆ΕΖ üçgenine.
Τὰ ἄρα τρίγωνα
τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece üçgenler
eşit tabanlarda olan
ve aynı paralelerde,
birbirine eşittir;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Α ∆
Η
Β
Γ
Θ
Ε
Ζ

Önermeler
. Önerme
Τὰ ἴσα τρίγωνα
τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα
καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
Eşit üçgenler
aynı tabanda olan
ve aynı tarafında,
aynı paralellerdedir de.
῎Εστω
ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ∆ΒΓ
ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ
αὐτὰ μέρη τῆς ΒΓ·
Olsun
eşit üçgenleri ΑΒΓ ve ∆ΒΓ
aynı ΒΓ tabanında ve aynı tarafında
olan.
[λέγω, ὅτι
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.]
[Diyorum ki
aynı paralellerdedirler de.
᾿Επεζεύχθω [γὰρ] ἡ Α∆·
[Zira] Α∆ birleştirilmiş olsun.
λέγω, ὅτι
παράλληλός ἐστιν ἡ Α∆ τῇ ΒΓ.
Diyorum ki
paraleldir Α∆, ΒΓ tabanına.
Εἰ γὰρ μή,
ἤχθω
διὰ τοῦ Α σημείου
τῇ ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλος
ἡ ΑΕ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ.
ἴσον ἄρα ἐστὶ
τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ·
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν
αὐτῷ τῆς ΒΓ
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις.
ἀλλὰ τὸ ΑΒΓ τῷ ∆ΒΓ ἐστιν ἴσον·
καὶ τὸ ∆ΒΓ ἄρα τῷ ΕΒΓ ἴσον ἐστὶ
τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσονι·
Zira eğer değil ise,
ilerletilmiş olsun
Α noktasından
ΒΓ doğrusuna paralel
ΑΕ,
ve ΕΓ birleştirilmiş olsun.
Eşittir böylece
ΑΒΓ üçgeni,
ΕΒΓ üçgenine;
zira hem onunla aynı ΒΓ tabanında,
 Heath’in
notuna [, I.] bakınız.
hem aynı paralellerdedir.
Ama ΑΒΓ, ∆ΒΓ’ya eşittir.
Ve böylece ∆ΒΓ, ΕΒΓ’ya eşittir,
büyük küçüğe;

. Önerme
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
οὐκ ἄρα παράλληλός ἐστιν
ἡ ΑΕ τῇ ΒΓ.
ὁμοίως δὴ δείξομεν,
ὅτι
οὐδ᾿ ἄλλη τις πλὴν τῆς Α∆·
ἡ Α∆ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστι παράλληλος.
ki bu imkânsızdır.
Böylece paralel değildir
ΑΕ, ΒΓ’ya.
Benzer şekilde o halde göstereceğiz
ki
Α∆ dışındakiler de [paralel] değildir;
böylece Α∆, ΒΓ’ya paraleldir.
Τὰ ἄρα ἴσα τρίγωνα
τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα
καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece eşit üçgenler
aynı tabanda olan
ve onun aynı tarafında,
aynı paralellerdedirler de;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Α
∆
Ε
Β
Γ

Önermeler
. Önerme
(Bu önerme, Öklid’in orijinal metne bir ilâvedir. Heath’in [, I.]
notuna bakınız.)
Τὰ ἴσα τρίγωνα
τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα
καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
Eşit üçgenler,
eşit tabanlarda
ve aynı tarafta olan,
aynı paralelerdedirler de.
῎Εστω
ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, Γ∆Ε
ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΒΓ, ΓΕ
καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.
Olsun
eşit üçgenler ΑΒΓ ve Γ∆Ε,
eşit ΒΓ ve ΓΕ tabanlarında,
ve aynı tarafta olan.
λέγω, ὅτι
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
Diyorum ki
aynı paralellerdedirler de.
᾿Επεζεύχθω γὰρ ἡ Α∆·
Zira Α∆ birleştirilmiş olsun.
λέγω, ὅτι
παράλληλός ἐστιν ἡ Α∆ τῇ ΒΕ.
Diyorum ki
paraleldir Α∆, ΒΕ doğrusuna.
Εἰ γὰρ μή,
ἤχθω
διὰ τοῦ Α
τῇ ΒΕ παράλληλος
ἡ ΑΖ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ.
ἴσον ἄρα ἐστὶ
τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
τῷ ΖΓΕ τριγώνῳ·
ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΓ,
ΓΕ
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς
ΒΕ, ΑΖ.
ἀλλὰ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
ἴσον ἐστὶ τῷ ∆ΓΕ [τρίγωνῳ]·
Zira eğer değil ise,
ilerletilmiş olsun
Α noktasından,
ΒΕ’a paralel,
ΑΖ,
ve ΖΕ birleştirilmiş olsun.
Böylece eşittir
ΑΒΓ üçgeni
ΖΓΕ üçgenine;
zira hem eşit ΒΓ ve ΓΕ tabanlarında,
hem aynı ΒΕ ve ΑΖ paralellerindedir.
Ama ΑΒΓ üçgeni,
∆ΓΕ üçgenine eşittir;

. Önerme
καὶ τὸ ∆ΓΕ ἄρα [τρίγωνον]
ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΓΕ τριγώνῳ
τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσονι·
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
οὐκ ἄρα παράλληλος
ἡ ΑΖ τῇ ΒΕ.
ὁμοίως δὴ δείξομεν,
ὅτι
οὐδ᾿ ἄλλη τις πλὴν τῆς Α∆·
ἡ Α∆ ἄρα τῇ ΒΕ ἐστι παράλληλος.
ve böylece ∆ΓΕ üçgenini
ΖΓΕ üçgenine eşittir,
büyük küçüğe;
ki bu imkânsızdır.
Böylece paralel değildir
ΑΖ, ΒΕ’a.
Benzer şekilde o halde göstereceğiz
ki
Α∆ dışındakiler de [paralel] değildir;
böylece Α∆, ΒΕ’a paraleldir.
Τὰ ἄρα ἴσα τρίγωνα
τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα
καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece eşit üçgenler
eşit tabanlarda olan
ve aynı tarafta,
aynı paralelerdedir de;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Α
∆
Ζ
Β
Γ
Ε

Önermeler
. Önerme
᾿Εὰν παραλληλόγραμμον
τριγώνῳ
βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ,
διπλάσιόν ἐστί
τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου.
Eğer bir paralelkenar
bir üçgenle
hem aynı tabana sahipse,
hem aynı paralelerdeyse,
iki katıdır
paralelkenar, üçgenin.
Παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΑΒΓ∆
τριγώνῳ τῷ ΕΒΓ
βάσιν τε ἐχέτω τὴν αὐτὴν τὴν ΒΓ
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἔστω
ταῖς ΒΓ, ΑΕ·
Zira ΑΒΓ∆ paralelkenarı,
ΕΒΓ üçgeniyle
hem aynı ΒΓ tabanına sahip olsun,
hem aynı ΒΓ ve ΑΕ paralellerinde olsun.
λέγω, ὅτι
διπλάσιόν ἐστι
τὸ ΑΒΓ∆ παραλληλόγραμμον
τοῦ ΒΕΓ τριγώνου.
Diyorum ki
iki katıdır
ΑΒΓ∆ paralelkenarı,
ΒΕΓ üçgeninin.
᾿Επεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΓ.
Zira ΑΓ birleştirilmiş olsun.
ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
τῷ ᾿ΕΒΓ τριγώνῳ·
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν
αὐτῷ τῆς ΒΓ
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς
ΒΓ, ΑΕ.
ἀλλὰ τὸ ᾿ΑΒΓ∆ παραλληλόγραμμον
διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου·
ἡ γὰρ ᾿ΑΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει·
ὥστε τὸ ΑΒΓ∆ παραλληλόγραμμον
καὶ τοῦ ΕΒΓ τριγώνου ἐστὶ διπλάσιον.
Eşittir ΑΒΓ üçgeni
ΕΒΓ üçgenine;
zira onunla hem aynı ΒΓ tabanına
sahiptir,
hem aynı ΒΓ ve ΑΕ paralelerindedir.
Ama ΑΒΓ∆ paralelkenarı,
ΑΒΓ üçgeninin iki katıdır;
zira ΑΓ köşegeni onu ikiye böler;
öyleyse ΑΒΓ∆ paralelkenarı,
ΕΒΓ üçgeninin de iki katıdır.
᾿Εὰν ἄρα παραλληλόγραμμον
τριγώνῳ
βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν
Böylece, eğer bir paralelkenar
bir üçgenle
hem aynı tabana sahipse,

. Önerme
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ,
διπλάσιόν ἐστί
τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
hem aynı paralelerdeyse,
iki katıdır
paralelkenar, üçgenin;
gösterilmesi gereken tam buydu.
∆
Α
Β
Ε
Γ

Önermeler
. Önerme
Τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον
παραλληλόγραμμον συστήσασθαι
ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
Verilmiş bir üçgene eşit
bir paralelkenarı inşa etmek
verilmiş bir düzkenar açıda.
῎Εστω
τὸ μὲν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ,
ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ∆·
Olsun
verilmiş üçgen ΑΒΓ,
ve verilmiş düzkenar açı ∆.
δεῖ δὴ
τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον
παραλληλόγραμμον συστήσασθαι
ἐν τῇ ∆ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
O halde gereklidir
ΑΒΓ üçgenine eşit
bir paralelkenar inşa etmek
∆ düzkenar açısında.
Τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ,
καὶ συνεστάτω
πρὸς τῇ ΕΓ εὐθείᾳ
καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ε
τῇ ∆ γωνίᾳ ἴση
ἡ ὑπὸ ΓΕΖ,
καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΕΓ παράλληλος
ἤχθω ἡ ΑΗ,
διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΕΖ παράλληλος
ἤχθω ἡ ΓΗ·
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ
ΖΕΓΗ.
ΒΓ, Ε’da ikiye bölmüş olsun,
ve ΑΕ birleştirilmiş olsun,
ve inşa edilmiş olsun
ΕΓ doğrusunda,
ve üzerindeki Ε noktasında,
∆ açısına eşit,
ΓΕΖ,
ayrıca, Α’dan, ΕΓ’ya paralel,
ΑΗ ilerletilmiş olsun,
ve Γ’dan, ΕΖ’ya paralel,
ΓΗ ilerletilmiş olsun;
böylece ΖΕΓΗ bir paralelkenardır.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν
ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ,
ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον
τῷ ΑΕΓ τριγώνῳ·
ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΕ,
ΕΓ
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς
ΒΓ, ΑΗ·
Ve eşit olduğundan
ΒΕ, ΕΓ’ya,
ΑΒΕ üçgeni de eşittir
ΑΕΓ üçgenine;
zira hem eşit ΒΕ ve ΕΓ tabanlarında,
hem aynı ΒΓ ve ΑΗ paralelerindedir;

. Önerme
iki katıdır böylece
ΑΒΓ üçgeni, ΑΕΓ üçgeninin,
ayrıca ΖΕΓΗ paralelkenarı
διπλάσιον ἄρα ἐστὶ
τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου.
ἔστι δὲ καὶ τὸ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμμον
διπλάσιον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου·
βάσιν τε γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν ἔχει
ΑΕΓ üçgeninin iki katıdır;
zira hem onunla aynı tabana sahiptir
hem onunla aynı paralellerdedir;
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς ἐστιν αὐτῷ παραλλήλοις·
ἴσον ἄρα ἐστὶ
τὸ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμμον
τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ.
καὶ ἔχει τὴν ὑπὸ ΓΕΖ γωνίαν
ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ ∆.
böylece eşittir
ΖΕΓΗ paralelkenarı
ΑΒΓ üçgenine.
Ve onun ΓΕΖ açısı
verilmiş ∆’ya eşittir.
Böylece, verilmiş ΑΒΓ üçgenine
eşit
bir ΖΕΓΗ paralelkenar inşa edilmişti
ΓΕΖ aşısında,
∆ aşısına eşit olan;
yapılması gereken tam buydu.
Τῷ ἄρα δοθέντι τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ
ἴσον
παραλληλόγραμμον συνέσταται τὸ
ΖΕΓΗ
ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΕΖ,
ἥτις ἐστὶν ἴση τῇ ∆·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Ζ
Α
Η
∆
Β
Ε
Γ

Önermeler
. Önerme
Παντὸς παραλληλογράμμου
τῶν περὶ τὴν διάμετρον
παραλληλογράμμων
τὰ παραπληρώματα
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
Herhangi bir paralelkenarın
köşegeni etrafındaki
paralelkenarların
tümleyenleri,
birbirine eşittir.
῎Εστω
παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓ∆,
διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ,
περὶ δὲ τὴν ΑΓ
παραλληλόγραμμα μὲν ἔστω
τὰ ΕΘ, ΖΗ,
τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα
τὰ ΒΚ, Κ∆·
Olsun
paralelkenar ΑΒΓ∆,
ve onun köşegeni ΑΓ,
ve ΑΓ etrafında
paralelkenarlar,
ΕΘ ve ΖΗ olsun,
ve sözde tümleyenleri,
ΒΚ ile Κ∆.
λέγω, ὅτι
ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΚ παραπλήρωμα
τῷ Κ∆ παραπληρώματι.
Diyorum ki
ΒΚ tümleyeni eşittir
Κ∆ tümleyenine.
᾿Επεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι
τὸ ΑΒΓ∆,
διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ,
ἴσον ἐστὶ
τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓ∆ τριγώνῳ.
πάλιν, ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι
τὸ ΕΘ,
διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐστιν ἡ ΑΚ,
ἴσον ἐστὶ
τὸ ΑΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ
τὸ ΚΖΓ τρίγωνον τῷ ΚΗΓ ἐστιν ἴσον.
ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΑΕΚ τρίγωνον
Zira bir paralelkenar olduğundan
ΑΒΓ∆,
ve ΑΓ, onun köşegeni [olduğundan],
eşittir
ΑΒΓ üçgeni, ΑΓ∆ üçgenine.
Yine, bir paralelkenar olduğundan
ΕΘ,
ve ΑΚ, onun köşegeni [olduğundan],
eşittir
ΑΕΚ üçgeni, ΑΘΚ üçgenine.
O halde aynı sebeple
ΚΖΓ üçgeni de, ΚΗΓ’ya eşittir.
Dolayısıyla ΑΕΚ üçgeni,
 Yunancada
ΕΘ paralelkenarı, τὸ ΕΘ παραλλελόγραμμον veya kısaca τὸ ΕΘ iken, ΕΘ
çizgisi, ἡ ΕΘ γραμμή veya ἡ ΕΘ olur. Fark, harfi tarifle gösterilir.

. Önerme
τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον,
τὸ δὲ ΚΖΓ τῷ ΚΗΓ,
τὸ ΑΕΚ τρίγωνον μετὰ τοῦ ΚΗΓ
ἴσον ἐστὶ
τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ μετὰ τοῦ ΚΖΓ·
ἔστι δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
ὅλῳ τῷ Α∆Γ ἴσον·
λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΚ παραπλήρωμα
λοιπῷ τῷ Κ∆ παραπληρώματί
ἐστιν ἴσον.
ΑΘΚ üçgenine eşit olduğundan,
ve ΚΖΓ, ΚΗΓ’ya,
ΑΕΚ üçgeni, ΚΗΓ ile,
eşittir
ΑΘΚ üçgenine, ΚΖΓ ile;
ve bütün ΑΒΓ üçgeni,
bütün Α∆Γ’ya eşittir;
böylece kalan ΒΚ tümleyeni,
kalan Κ∆ tümleyenine
eşittir.
Παντὸς ἄρα παραλληλογράμμου χωρίου
τῶν περὶ τὴν διάμετρον
παραλληλογράμμων
τὰ παραπληρώματα
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Böylece, herhangi bir paralelkenar
alanın
köşegeni etrafındaki
paralelkenarların
tümleyenleri,
birbirine eşittir;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Θ
Α
Κ
Ε
Β
∆
Η
Z
Γ

Önermeler
. Önerme
Verilmiş bir doğru boyunca
verilmiş bir üçgene eşit,
bir paralelkenar uygulamak
verilmiş bir düz kenar açıda.
Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν
τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον
παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν
ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
Ε
Ζ
Γ
Κ
∆
Η
Θ
Β
Α
Μ
Λ
῎Εστω
ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ,
τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ Γ,
ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος
ἡ ∆·
Olsun
verilmiş doğru ΑΒ,
ve verilmiş üçgen Γ,
ve verilmiş düzkenar açı
∆.
δεῖ δὴ
παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ
τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον
παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν
ἐν ἴσῃ τῇ ∆ γωνίᾳ.
O halde gereklidir
verilmiş ΑΒ doğrusu boyunca
verilmiş Γ üçgenine eşit
bir paralelkenar
verilmiş ∆ açısında uygulamak.
Συνεστάτω
τῷ Γ τριγώνῳ ἴσον
παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕΖΗ
ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΗ,
ἥ ἐστιν ἴση τῇ ∆·
καὶ κείσθω
ὥστε ἐπ᾿ εὐθείας εἶναι τὴν ΒΕ τῇ ΑΒ,
καὶ διήχθω ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ Θ,
καὶ διὰ τοῦ Α
İnşa edilmiş olsun
Γ üçgenine eşit olan
ΒΕΖΗ paralelkenarı,
ΕΒΗ açısında,
∆’ya eşit olan;
ve oturtulmuş olsun
öyle ki ΒΕ, ΑΒ ile bir doğruda olsun,
ve ΖΗ, Θ’a ilerletilmiş olsun
ve Α’dan,
. Önerme

ὁποτέρᾳ τῶν ΒΗ, ΕΖ παράλληλος
ἤχθω ἡ ΑΘ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ.
ΒΗ ve ΕΖ’dan birine paralel olan,
ΑΘ ilerletilmiş olsun,
ve ΘΒ birleştirilmiş olsun.
καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΘ, ΕΖ
εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΖ,
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΘΖ, ΘΖΕ γωνίαι
δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΘΗ, ΗΖΕ
δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν·
αἱ δὲ ἀπὸ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν
εἰς ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι
συμπίπτουσιν·
αἱ ΘΒ, ΖΕ ἄρα ἐκβαλλόμεναι
συμπεσοῦνται.
Ve ΑΘ ile ΕΖ paralellerinin üzerine
ΘΖ doğrusu düştüğünden,
ΑΘΖ ve ΘΖΕ açıları
iki dik açıya eşittir.
Böylece ΒΘΗ ve ΗΖΕ
iki dik açıdan küçüktür.
Ve iki dik açıdan küçük olan,
sonsuza uzatılan,
çarpışır.
Böylece uzatılan ΘΒ ve ΖΕ,
çarpışır.
ἐκβεβλήσθωσαν
καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ,
καὶ διὰ τοῦ Κ σημείου
ὁποτέρᾳ τῶν ΕΑ, ΖΘ παράλληλος
ἤχθω ἡ ΚΛ,
καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΘΑ, ΗΒ
ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖα.
Uzatılmış olsun
ve Κ noktasında çarpışmış olsun,
ve Κ noktasından,
ΕΑ veya ΖΘ doğrusuna paralel olan,
ΚΛ ilerletilmiş olsun,
ve ΘΑ ve ΗΒ uzatılmış olsun
Λ ve Μ’ye.
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ
ΘΛΚΖ,
διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΚ,
περὶ δὲ τὴν ΘΚ
παραλληλόγραμμα μὲν τὰ ΑΗ, ΜΕ,
τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα
τὰ ΛΒ, ΒΖ·
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΒ τῷ ΒΖ.
ἀλλὰ τὸ ΒΖ τῷ Γ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον·
καὶ τὸ ΛΒ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ΗΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΜ,
ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ ∆ ἐστιν ἴση,
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ ἄρα τῇ ∆ γωνίᾳ
Böylece ΘΛΚΖ bir paralelkenardır,
ve ΘΚ onun köşegenidir,
ve ΘΚ etrafındadır
ΑΗ ve ΜΕ paralelkenarları,
ve bunların sözde tümleyenleri,
ΛΒ ile ΒΖ’dır;
Böylece ΛΒ, ΒΖ’ya eşittir.
Ama ΒΖ, Γ üçgenine eşittir.
Böylece ΛΒ da Γ’ya eşittir.
Ve eşit olduğundan
ΗΒΕ açısı, ΑΒΜ’ye,
ama ΗΒΕ, ∆’ya eşit olduğundan,
böylece ΑΒΜ de ∆ açısına

Önermeler
ἐστὶν ἴση.
eşittir.
Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν
ΑΒ
τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον
παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ
ΛΒ
ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΜ,
ἥ ἐστιν ἴση τῇ ∆·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Böylece, verilmiş ΑΒ doğrusu boyunca,
verilmiş bir Γ üçgenine eşit olan,
ΛΒ paralelkenarı uygulanmış oldu,
ΑΒΜ açısında,
∆’ya eşit olan;
yapılması gereken tam buydu.
Ε
Ζ
Γ
Κ
∆
Η
Θ
Β
Α
Μ
Λ
. Önerme


Önermeler
. Önerme
Verilmiş bir düzkenar [figüre] eşit
bir paralelkenar inşa etmek,
verilmiş düzkenar açıda.
Τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον
παραλληλόγραμμον συστήσασθαι
ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
∆
Α
Η
Ζ
Λ
Γ
Ε
Β
Κ
Θ
Μ
῎Εστω
τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΑΒΓ∆,
ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Ε·
Olsun
verilmiş düzkenar [figür] ΑΒΓ∆,
ve verilmiş düzkenar açı Ε.
δεῖ δὴ
τῷ ΑΒΓ∆ εὐθυγράμμῳ ἴσον
παραλληλόγραμμον συστήσασθαι
ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ τῇ Ε.
O halde gereklidir
ΑΒΓ∆ düzkenarına eşit
bir paralelkenar inşa etmek,
verilmiş Ε açısında.
᾿Επεζεύχθω ἡ ∆Β,
καὶ συνεστάτω
τῷ ΑΒ∆ τριγώνῳ ἴσον
παραλληλόγραμμον τὸ ΖΘ
ἐν τῇ ὑπὸ ΘΚΖ γωνίᾳ,
ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ε·
καὶ παραβεβλήσθω
παρὰ τὴν ΗΘ εὐθεῖαν
τῷ ∆ΒΓ τριγώνῳ ἴσον
παραλληλόγραμμον τὸ ΗΜ
ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ,
ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ε.
∆Β birleştirilmiş olsun,
ve inşa edilmiş olsun,
ΑΒ∆ üçgenine eşit,
bir ΖΘ paralelkenarı,
ΘΚΖ açısında,
Ε’a eşit olan;
ve uygulanmış olsun
ΗΘ doğrusu boyunca,
∆ΒΓ üçgenine eşit,
bir ΗΜ paralelkenarı,
ΗΘΜ açısında,
Ε’a eşit olan.
. Önerme
καὶ ἐπεὶ ἡ Ε γωνία
ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΖ, ΗΘΜ
ἐστιν ἴση,
καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΖ ἄρα
τῇ ὑπὸ ΗΘΜ ἐστιν ἴση.
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΚΘΗ·
αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ
ταῖς ὑπὸ ΚΘΗ, ΗΘΜ ἴσαι εἰσίν.
ἀλλ᾿ αἱ ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
καὶ αἱ ὑπὸ ΚΘΗ, ΗΘΜ ἄρα
δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
πρὸς δή τινι εὐθεῖᾳ τῇ ΗΘ
καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Θ
δύο εὐθεῖαι αἱ ΚΘ, ΘΜ
μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι
τὰς ἐφεξῆς γωνίας
δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν·
ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΜ·
καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΚΜ, ΖΗ
εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΗ,
αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΖ
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΘΗΛ·
αἱ ἄρα ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΛ
ταῖς ὑπὸ ΘΗΖ, ΘΗΛ ἴσαι εἰσιν.
ἀλλ᾿ αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΛ
δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
καὶ αἱ ὑπὸ ΘΗΖ, ΘΗΛ ἄρα
δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΛ.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΚ τῇ ΘΗ
ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν,
ἀλλὰ καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΜΛ,
καὶ ἡ ΚΖ ἄρα τῇ ΜΛ
ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν·
καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ
ΚΜ, ΖΛ·

Ve Ε açısı
ΘΚΖ ve ΗΘΜ’nün her birine
eşit olduğundan,
böylece ΘΚΖ da,
ΗΘΜ’ye eşittir.
Ortak olarak ΚΘΗ eklenmiş olsun;
böylece ΖΚΘ ve ΚΘΗ,
ΚΘΗ ve ΗΘΜ’ye eşittir.
Ama ΖΚΘ ve ΚΘΗ
iki dik açıya eşittir;
böylece ΚΘΗ ve ΗΘΜ de,
iki dik açıya eşittir.
O halde bir ΗΘ doğrusuna,
ve aynı Θ noktasında,
iki ΚΘ ve ΘΜ doğruları,
aynı tarafta oturmayan,
bitişik açıları
iki dik açıya eşit yapar.
Böylece ΚΘ, ΘΜ ile bir doğrudadır;
ve ΚΜ ve ΖΗ paralelleri üzerine
ΘΗ doğrusu düştüğünden,
ters ΜΘΗ ve ΘΗΖ açıları
birbirine eşittir.
Ortak olarak ΘΗΛ eklenmiş olsun;
böylece ΜΘΗ ve ΘΗΛ,
ΘΗΖ ve ΘΗΛ’ya eşittir.
Ama ΜΘΗ ve ΘΗΛ
iki dik açıya eşittir;
böylece ΘΗΖ ve ΘΗΛ da
iki dik açıya eşittir;
böylece ΖΗ, ΗΛ ile bir doğrudadır.
Ve ΖΚ, ΘΗ’ya
hem eşit hem paralel olduğundan,
ama ΘΗ da, ΜΛ’ya,
böylece ΚΖ da ΜΛ’ya
hem eşit hem paraleldir;
ve ΚΜ ile ΖΛ doğruları, onları birleştirir;

Önermeler
καὶ αἱ ΚΜ, ΖΛ ἄρα
ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν·
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ
ΚΖΛΜ.
καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ
τὸ μὲν ΑΒ∆ τρίγωνον
τῷ ΖΘ παραλληλογράμμῳ,
τὸ δὲ ∆ΒΓ τῷ ΗΜ,
ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓ∆ εὐθύγραμμον
τὸ
böylece ΚΜ ve ΖΛ da
hem eşit hem paraleldirler;
böylece ΚΖΛΜ bir paralelkenardır.
ὅλῳ τῷ ΚΖΛΜ παραλληλογράμμῳ
ἐστὶν ἴσον.
Ve eşit olduğundan
ΑΒ∆ üçgeni
ΖΘ paralelkenarına,
ve ∆ΒΓ, ΗΜ’ye,
böylece, bütün ΑΒΓ∆ düzkenar [figürü],
bütün ΚΖΛΜ paralelkenarına
eşittir.
Τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ
ΑΒΓ∆ ἴσον
παραλληλόγραμμον συνέσταται τὸ
ΚΖΛΜ
ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΚΜ,
ἥ ἐστιν ἴση τῇ δοθείσῃ τῇ Ε·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Böylece, verilmiş düzkenar ΑΒΓ∆ figürüne eşit,
bir ΚΖΛΜ paralelkenarı inşa edilmiş
oldu,
ΖΚΜ açısında,
eşit olan verilmiş Ε açısına;
yapılması gereken tam buydu.
∆
Α
Η
Ζ
Λ
Γ
Ε
Β
Κ
Θ
Μ
. Önerme


Önermeler
. Önerme
᾿Απὸ τῆς δοθείσης εὐθείας
τετράγωνον ἀναγράψαι.
Verilmiş bir doğruda
bir kare çizmak.
῎Εστω
ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ·
Olsun
verilmiş doğru ΑΒ.
δεῖ δὴ
ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας
τετράγωνον ἀναγράψαι.
O halde gereklidir
ΑΒ doğrusunda
bir kare çizmek.
῎Ηχθω
τῇ ΑΒ εὐθείᾳ
ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ σημείου τοῦ Α
πρὸς ὀρθὰς
ἡ ΑΓ,
καὶ κείσθω
τῇ ΑΒ ἴση
ἡ Α∆·
καὶ διὰ μὲν τοῦ ∆ σημείου
τῇ ΑΒ παράλληλος
ἤχθω ἡ ∆Ε,
διὰ δὲ τοῦ Β σημείου
τῇ Α∆ παράλληλος
ἤχθω ἡ ΒΕ.
İlerletilmiş olsun
ΑΒ doğrusunda,
onundaki Α noktasında,
dik açıda,
ΑΓ,
ve oturmuş olsun,
ΑΒ’ya eşit,
Α∆;
ve ∆ noktasından,
ΑΒ’ya paralel,
∆Ε ilerletilmiş olsun;
ve Β noktasından,
Α∆’ya paralel,
ΒΕ ilerletilmiş olsun.
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ
Α∆ΕΒ·
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ∆Ε,
ἡ δὲ Α∆ τῇ ΒΕ.
ἀλλὰ ἡ ΑΒ τῇ Α∆ ἐστιν ἴση·
αἱ τέσσαρες ἄρα
αἱ ΒΑ, Α∆, ∆Ε, ΕΒ
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
ἰσόπλευρον ἄρα
ἐστὶ τὸ Α∆ΕΒ παραλληλόγραμμον.
Böylece Α∆ΕΒ bir paralelkenardır;
böylece ΑΒ, ∆Ε’a eşittir,
ve Α∆, ΒΕ’a.
Ama ΑΒ, Α∆’ya eşittir.
Böylece dört
ΒΑ, Α∆, ∆Ε, ve ΕΒ,
birbirine eşittir;
böylece eşkenardır
Α∆ΕΒ paralelkenarı.

. Önerme
λέγω δή, ὅτι
καὶ ὀρθογώνιον.
O halde diyorum ki
dik açılıdır da.
ἐπεὶ γὰρ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΒ, ∆Ε
εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ Α∆,
αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΑ∆, Α∆Ε γωνίαι
δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑ∆·
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ Α∆Ε.
τῶν δὲ παραλληλογράμμων χωρίων
αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα
τῶν ἀπεναντίον τῶν ὑπὸ ΑΒΕ, ΒΕ∆
γωνιῶν·
ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ Α∆ΕΒ.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον.
Zira ΑΒ ve ∆Ε paralellerinin üzerine
Α∆ doğrusu düştüğünden,
böylece ΒΑ∆ ve Α∆Ε,
iki dik açıya eşittir.
Ve ΒΑ∆ diktir;
böylece Α∆Ε de diktir.
Ve paralelkenar alanların
hem karşıt kenar hem açıları
birbirine eşittir.
Böylece diktir her biri
karşıt ΑΒΕ ve ΒΕ∆ açılarından;
Τετράγωνον ἄρα ἐστίν·
καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας
ἀναγεγραμμένον·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Böylece bir karedir;
ve o ΑΒ doğrusu üzerine
çizilmiştir;
yapılması gereken tam buydu.
böylece Α∆ΕΒ dik açılıdır.
Ve gösterilmişti ki eşkenardır da.
Γ
∆
Ε
Α
Β

Önermeler
. Önerme
Dik açılı üçgenlerde,
dik açıyı
rapteden
kenarın üzerindeki kare
eşittir
dik açıyı
içeren
kenarların üzerindeki karelere.
᾿Εν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις
τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης
πλευρᾶς τετράγωνον
ἴσον ἐστὶ
τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν
περιεχουσῶν
πλευρῶν τετραγώνοις.
Θ
Η
Κ
Α
Ζ
Γ
Β
∆
Λ
Ε
῎Εστω
τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ
ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν·
Olsun
dik açılı üçgen ΑΒΓ,
dik açısı ΒΑΓ olan.
λέγω, ὅτι
τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον
ἴσον ἐστὶ
τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
Diyorum ki
ΓΒ üzerindeki kare
eşittir
ΒΑ ve ΑΓ üzerlerindeki karelere.
᾿Αναγεγράφθω γὰρ
ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ
Zira çizilmiş olsun
ΒΓ üzerinde

. Önerme
τετράγωνον τὸ Β∆ΕΓ,
ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ
τὰ ΗΒ, ΘΓ,
καὶ διὰ τοῦ Α
ὁποτέρᾳ τῶν Β∆, ΓΕ παράλληλος
ἤχθω ἡ ΑΛ·22
καὶ ἐπεζεύχθωσαν
αἱ Α∆, ΖΓ.
Β∆ΕΓ karesi,
ve ΒΑ ile ΑΓ üzerlerinde,
ΗΒ ve ΘΓ,
ve Α noktasından,
Β∆ ve ΓΕ’a paralel olan,
ΑΛ ilerletilmiş olsun;
ve birleştirilmiş olsun
Α∆ ve ΖΓ.
καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν
ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν,
πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ
καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α
δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ
μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι
τὰς ἐφεξῆς γωνίας
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν·
ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ
καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾿ εὐθείας.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ∆ΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ·
ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα·
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ·
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ∆ΒΑ
ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν
ἡ μὲν ∆Β τῇ ΒΓ,
ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ,
δύο δὴ αἱ ∆Β, ΒΑ
δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ∆ΒΑ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση·
βάσις ἄρα ἡ Α∆
βάσει τῇ ΖΓ [ἐστιν] ἴση,
Ve dik olduğundan
ΒΑΓ ve ΒΑΗ açılarının her biri,
bir ΒΑ doğrusunda,
ve üzerindeki Α noktasında,
ΑΓ ve ΑΗ doğruları,
aynı tarafta oturmayan,
bitişik açılar
iki dik açıya eşit yapar;
böylece ΓΑ, ΑΗ ile bir doğrudadır.
O halde aynı sebeple
ΒΑ da ΑΘ ile bir doğrudadır.
Ve eşit olduğundan
∆ΒΓ açısı, ΖΒΑ’ya,
zira her ikiside diktir;
ortak olarak ΑΒΓ eklenmiş olsun;
böylece bütün ∆ΒΑ,
bütün ΖΒΓ’ya eşittir.
Ve eşit olduğundan
∆Β, ΒΓ’ya,
ve ΖΒ, ΒΑ’ya,
o halde ∆Β ve ΒΑ ikilisi
ΖΒ ve ΒΓ ikilisine eşittir,
her biri birine;
ve ∆ΒΑ açısı
ΖΒΓ açısına eşittir;
böylece ΑΛ tabanı
ΖΓ tabanına eşittir,
 Heiberg’in
metninde [, p. ] Λ harfinin yerine ∆ harfi konulmuştur.

Önermeler
καὶ τὸ ΑΒ∆ τρίγωνον
τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον·
καί [ἐστι] τοῦ μὲν ΑΒ∆ τριγώνου
διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον·
βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν
Β∆
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις
ταῖς Β∆, ΑΛ·
τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου
διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον·
βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι
τὴν ΖΒ
καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις
ταῖς ΖΒ, ΗΓ.
[τὰ δὲ τῶν ἴσων
διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·]
ἴσον ἄρα ἐστὶ
καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον
τῷ ΗΒ τετραγώνῳ.
ὁμοίως δὴ
ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ
δειχθήσεται
καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον
ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ·
ὅλον ἄρα τὸ Β∆ΕΓ τετράγωνον
δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις
ἴσον ἐστίν.
καί ἐστι τὸ μὲν Β∆ΕΓ τετράγωνον
ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν,
τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον
ἴσον ἐστὶ
τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις.
ve ΑΒ∆ üçgeni
ΖΒΓ üçgenine eşittir;
ve ΑΒ∆ üçgeninin
ΒΛ paralelkenarının iki katıdır;
zira hem aynı ΒΛ tabanına sahiptir,
᾿Εν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις
τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
Böylece dik açılı üçgenlerde,
dik açı
hem aynı Β∆ ve ΑΛ parallerindedir;
ve ΖΒΓ üçgeninin
ΗΒ karesinin iki katıdır;
zira yine hem aynı ΖΒ tabanına sahiptir
hem aynı ΖΒ ve ΗΓ parallerindedir.
[Ve eşitlerin
iki katları birbirine eşittir.]
Böylece eşittir
ΒΛ paralelkenarı da
ΗΒ karesine.
O halde benzer şekilde,
ΑΕ ve ΒΚ birleştirilince,
gösterilecek ki
ΓΛ paralelkenarı da
ΘΓ karesine eşittir.
Böylece bütün ∆ΒΕΓ
iki ΗΒ ve ΘΓ karelerine
eşittir.
Ve Β∆ΕΓ karesi,
ΒΓ üzerine çizilmiştir,
ve ΗΒ ve ΘΓ, ΒΑ ve ΑΓ üzerine.
Böylece ΒΓ kenarındaki kare
eşittir
ΒΑ ve ΑΓ kenarlarındaki karelere.

. Önerme
rasteden
kenar üzerindeki kare
eşittir
dik açıyı
içeren
kenarların üzerindekilere;
gösterilmesi gereken tam buydu.
ὑποτεινούσης
πλευρᾶς τετράγωνον
ἴσον ἐστὶ
τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν [γωνίαν]
περιεχουσῶν
πλευρῶν τετραγώνοις·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Θ
Η
Κ
Α
Ζ
Γ
Β
∆
Λ
Ε

Önermeler
. Önerme
᾿Εὰν τριγώνου
τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον
ἴσον ᾖ
τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου
δύο πλευρῶν τετραγώνοις,
ἡ περιεχομένη γωνία
ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου
δύο πλευρῶν
ὀρθή ἐστιν.
Eğer bir üçgenin
bir kenarının üzerindeki kare
eşitse
üçgenin kalan
iki kenarındaki karelere,
içerilen açı
üçgenin kalan
iki kenarı tarafından,
diktir.
Τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ
τὸ ἀπὸ μιᾶς τῆς ΒΓ πλευρᾶς
τετράγωνον ἴσον ἔστω
τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν
τετραγώνοις·
Zira ΑΒΓ üçgeninin
ΒΓ kenarındaki
karesi eşit olsun
ΒΑ ve ΑΓ kenarlarındaki
karelere.
λέγω, ὅτι
ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία.
Diyorum ki
ΒΑΓ açısı diktir.
῎Ηχθω γὰρ
ἀπὸ τοῦ Α σημείου
τῇ ΑΓ εὐθείᾳ
πρὸς ὀρθὰς ἡ Α∆
καὶ κείσθω
τῇ ΒΑ ἴση ἡ Α∆,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∆Γ.
Zira ilerletilmiş olsun
Α noktasından
ΑΓ doğrusuna
dik açılarda Α∆,
ve oturmuş olsun
ΒΑ’ya eşit Α∆,
ve ∆Γ birleştirilmiş olsun.
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ∆Α τῇ ΑΒ,
ἴσον ἐστὶ
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∆Α τετράγωνον
τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.
κοινὸν προσκείσθω
τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον·
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ∆Α, ΑΓ
τετράγωνα ἴσα ἐστὶ
∆Α, ΑΒ’ya eşit olduğundan,
eşittir
∆Α üzerindeki kare de
ΑΒ üzerindeki kareye.
Eklenmiş olsun ortak
ΑΓ üzerindeki kare;
böylece ∆Α ve ΑΓ üzerlerindeki
kareler eşittir

. Önerme
τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ∆Α, ΑΓ
ἴσον ἐστὶ
τὸ ἀπὸ τῆς ∆Γ·
ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ∆ΑΓ γωνία·
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ
ἴσον ἐστὶ
τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ·
ὑπόκειται γάρ·
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ∆Γ τετράγωνον
ἴσον ἐστὶ
τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ·
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ∆Γ
τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση·
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ∆Α τῇ ΑΒ,
κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ,
δύο δὴ αἱ ∆Α, ΑΓ
δύο ταῖς ΒΑ, ΑΓ ἴσαι εἰσίν·
καὶ βάσις ἡ ∆Γ
βάσει τῇ ΒΓ ἴση·
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ∆ΑΓ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ [ἐστιν] ἴση.
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ∆ΑΓ·
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ.
ΒΑ ve ΑΓ üzerlerindeki karelere.
Ama ∆Α ve ΑΓ üzerlerindekilere
eşittir
∆Γ üzerindekine;
zira ∆ΑΓ açısı diktir;
ve ΒΑ ile ΑΓ üzerlerindekilere de
eşittir
ΒΓ üzerindeki;
zira kabul edilir;
böylece ∆Γ üzerindeki kare
eşittir
ΒΓ üzerindeki kareye;
öyleyse ∆Γ kenarı da
ΒΓ kenarına eşittir;
ve ∆Α, ΑΒ’ya eşit olduğundan,
ve ΑΓ ortak [olduğundan],
∆Α ve ΑΓ ikilisi
ΒΑ ve ΑΓ ikilisine eşittir;
ve ∆Α tabanı
ΒΓ tabanına eşittir;
böylece ∆ΑΓ açısı
ΒΑΓ açısına eşittir.
Ve ∆ΑΓ diktir;
böylece diktir ΒΑΓ.
᾿Εὰν ἀρὰ τριγώνου
τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον
ἴσον ᾖ
τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου
δύο πλευρῶν τετραγώνοις,
ἡ περιεχομένη γωνία
ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου
δύο πλευρῶν
ὀρθή ἐστιν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Eğer böylece bir üçgende
bir kenarın üzerindeki kare
eşitse
üçgenin kalan
iki kenarlarındaki karelere,
içerilen açı
üçgenin kalan
iki kenarları tarafından,
diktir;
gösterilmesi gereken tam buydu.
Γ
∆
Α
Β
Fiiller Sözlüğü
ἄγω ilerle=
διάγω ilerlet=
ἁιρέω ἀφαιρέω ayır=
ἀιτέω rica et=
ἀλλάττω
παραλλάττω sap=
ἅπτω med. dokun=
ἁρμόζω
ἐφαρμόζω uygula=
βάλλω
ἐκβάλλω uzat=
παραβάλλω uygula=
προσεκβάλλω uzat=
γράφω çiz=
ἀναγράφω çiz=
ἔχω -i ol=
περιέχω içer=
ζεύγνυμι birleştir=
ἵστημι dik=
δι-ίστημι (διάστημα uzunluk)
ἐφίστημι -in üzerine dik=
συνίστημι inşa et=


καλέω med. -e den=
κεῖμαι otur=
ἐκκεῖμαι oturtul=
προσκεῖμαι eklen=
ὑποκεῖμαι kabul edil=
λαμβάνω al=
ἀπολαμβάνω ayır=
λέγω (λεγόμενος sözde)
περαίνω sınırla=
περατόω sınırlandır=
πίπτω
ἐμπίπτω üzerine düş=
προσπίπτω (acc. ile) üzerine düş=
συμπίπτω çarpış=
ποιέω yap=
τείνω
ὑποτείνω raptet=
τέμνω kes=
δίχα τέμνω ikiye böl=
τίθημι yerleştir=
Edatlar Sözlüğü
ἀλλά ama
ἄρα böylece
διά çünkü
διὰ ταὐτά, διὰ τὰ αὐτά aynı sebeple
γάρ zira
[genitivus absolutus] -ince
δή o halde
ἐπεί -diğinden
καί de, ve
μέν. . . δέ —
μήν tabii ki
οὖν dolayısıyla
πάλιν yine
τε. . . καί hem. . . hem
τοίνυν elbette
ὥστε öyleyse, öyle ki

Alıştırmalar
Giriş
Bu alıştırmalar, sadece Öklid’in Öğeler ’inin birinci kitabını kullanarak
çözülebilir. Ayrıca, eğer bir alıştırma “N. önermeden sonra” adlı bölümdeyse, sadece Öklid’in ilk N önermesini kullanarak çözünmelidir. Fakat
Alıştırma M için, daha önce gelen alıştırmalar kullanılabilir.
Konular
Her alıştırma aşağıdaki en az bir satırda bulunur.
• Üçgen inşası: , ,  .
• Uygulama yöntemini kullanmadan KKK Teoremini kanıtlamak: ,
, ,  .
• Steiner–Lehmus Teoremi: ,  .
• Pisagor Teoremini genelleştirmek: ,  .
• Tümleyen Paralelkenar Teoreminin tersinin direkt kanıtı: , ,
, , ,  .
• Üç doğrunun bir noktada kesişmesi:
– Üçgenin kenarlarının orta dikmeleri:  .
– Üçgenin açıortayları: ,  .
– Üçgenin yükseklikleri: ,  .
– Üçgenin kenarortayları: , , , ,  .
– Pisagor Teoreminin figüründe: , , , ,  .
• Çarpma: , , , ,  .


Alıştırmalar
• Mohr–Mascheroni Teoremi: cetvel kullanmadan
– çemberin ve doğrunun kesişim noktalarını bulmak: , , ,
 ;
– doğruyu ikiye bölmek: , ,  ;
– iki doğrunun kesişim noktasını bulmak: , , , , , ,
, , ,  .
• Çeşitli: , , , , , , , .
. önermeden sonra
Bu bölümün alıştırmaları, Öklid’in . önermesi gibi, hiç önerme kullanmadan çözülecektir. Alıştırma  ve Alıştırma , Proklos’un Öklid’in Öğeler’inin Birinci Kitabı Hakkında Bir Yorum adlı kitabında bulunur [,
–].
Alıştırma . Verilmiş sınırlanmış doğruda, kenarları birbirine eşit olan
ama tabana eşit olmayan bir üçgen inşa edin.
Alıştırma . Verilmiş sınırlanmış doğruda, kenarlarının sadece biri tabana eşit olan bir üçgen inşa edin.
Alıştırma . Verilmiş sınırlanmış doğruda çeşitkenar bir üçgen inşa edin.
. önermeden sonra
Proklos’a göre
• Miletli Tales, ikizkenar bir üçgenin tabanındaki açıların birbirine
eşit olduğunu keşfetti;
• İskenderiyeli Pappos, bu teorem için Öklid’in ispatından kısa bir
ispatı verdi [, –].
Sonraki alıştırmada Pappos’un ispatı bulunur.
Alıştırma . Sadece Öklid’in . önermesini kullanarak ikizkenar bir üçgenın tabanındaki açıların birbirine eşit olduğunu ispatlayın.
Alıştırma . Bir dörtgende iki bitişik kenar birbirine eşittir ve iki kalan bitişik kenar da birbirine eşittir. Eşit olmayan kenarlar tarafından
yapılmış açıların eşit olduğunu ispatlayın.
. önermeden sonra

A
C
B
D
Şekil : Alıştırma 
. önermeden sonra
Öklid’in . önermesinin iki parçası vardır:
. Bir üçgen ikizkenar ise tabanındaki açılar birbirine eşittir.
. Bir üçgen ikizkenar ise tabanının altındaki açılar birbirine eşittir.
. önerme, birinci parçanın karşıt tersidir. Aşağıdaki . alıştırma, ikinci
parçanın karşıt tersidir.
Alıştırma . Üç açısı birbirine eşit olan bir üçgenin eşkenar olacağını
ispatlayın.
Alıştırma . Eğer bir üçgenin tabanının altındaki dış açılar birbirine
eşitse, üçgen ikizkenardır.
. önermeden sonra
Alıştırma . Yedinci önermesinde, Öklid sadece bir durumun olanaksızlığını ispatlar. Öteki durumların olanaksızlığını ispatlayın.
E
C
C
D
C
F
D
D
A
B
A
B
Şekil : Alıştırma 
A
B

Alıştırmalar
. önermeden sonra
Öklid’in ilk iki postulatına göre, cetvel kullanarak,
) verilmiş iki noktayı bir doğru ile birleştirebiliriz, ve
) verilmiş bir doğruyu uzatabiliriz.
Üçüncü postulatına göre, pergel kullanarak,
) merkezi verilen bir nokta olan ve verilmiş bir noktadan geçen bir
çember çizebiliriz.
Bir nokta,
• ya iki çemberin,
• ya iki doğrunun,
• ya da bir çember ve bir doğrunun
kesişim noktası olarak verilebilir. Mohr–Mascheroni Teoremine göre,
cetvel ve pergel ile bulabildiğimiz her nokta, sadece pergel ile bulunabilir []. Bu teoremi bir alıştırmalar dizisiyle kanıtlayacağız. (Sayfa ’e
bakın.) Bu dizi sonraki alıştırma ile başlar.
Öklid’in . önermesinde inşa edilen eşkenar üçgenin köşeleri, sadece
pergel ile bulunur. Öklid’in . önermesinde, eşkenar bir üçgen inşa edilir,
fakat cetvel ile kenarları uzatılır.
Alıştırma . Cetvel kullanmadan Öklid’in . önermesini çözün: Üç nokta verilirse, birinci ve ikincinin arasındaki uzaklık kadar üçüncü noktadan
uzak olan bir nokta bulun. O zaman bir çember merkeziyle verilirse, merkezi herhangi bir nokta olan ve yarıçapı verilen çemberin yarıçapına eşit
olan bir çember çizilebilir.
. önermeden sonra
Öklid, . önermesi gibi, . önermesini de uygulama yöntemi ile kanıtlar. Alıştırma ’te uygulamayı kullanmadan bu önermeyi kanıtlayacağız.
Bunun için uygulamayı kullanmadan bazı diğer önermeleri kanıtlamalıyız.
Alıştırma . Öklid’in . önermesini kullanmadan . önermesini kanıtlayın, yani verilmiş bir açıyı ikiye bölün.
. önermeden sonra

. önermeden sonra
Alıştırma . Öklid’in . önermesini çözmek için, iki daire gerekir, dolayısıyla . önermeyi çözmek için, üç daire gerekir. Öyleyse Öklid’in yöntemiyle . önerme beş daire kullanır. İki daire kullanarak, verilmiş sınırlı
bir doğruyu ikiye bölün. Ayrıca Öklid’in . önermesini kullanmayın. Sonuç olarak Öklid’in . önermesi de . önermeye dayanmaz.
Alıştırma . Herhangi bir ikizkenar üçgende tabana inen kenarortay
diktir.
A
B
D
C
Şekil : Alıştırma 
. önermeden sonra
Alıştırma . Öklid’in . önermesini kullanmadan . önermeyi kanıtlayın.
. önermeden sonra
., . ve . alıştırmaya göre, Öklid’in ., ., . ve . önermeleri
. önermeye dayanmaz.
Alıştırma . Uygulama yöntemini kullanmadan Öklid’in . önermesini
ispatlayın. Yani ABG ve DEZ üçgenlerinde
AB = DE,
BG = EZ,
AG = DZ
eşitliklerini varsayarak ABG ve DEZ açılarının eşit olduğunu gösterin.
Bu iki açı dik ise gösterilecek bir şey yoktur. O zaman ABG açısı dik

Alıştırmalar
olmasın. A noktasından BG tabanına AH dikmesi indirilsin. Buradan
devam edin.
A
B
D
H G
E
Z
Şekil : Alıştırma 
Alıştırma . Her üçgenin kenarlarının orta dikmeleri bir noktada kesiştiğini gösterin. Aslında bir ABC üçgeninde DE doğrusu, AB kenarına
A
D
B
E
G
F
C
Şekil : Alıştırma 
dik olsun ve bu kenarı ikiye bölsün. Benzer şekilde F E doğrusu, AC kenarına dik olsun ve bu kenarı ikiye bölsün. EG doğrusu, BC kenarıni
ikiye bölerse, bu kenara dik olduğunu gösterin.
. önermeden sonra
Alıştırma . Üç noktanın her biri iki noktadan aynı uzaklıktaysa, ilk
üç nokta bir doğrudadır.
. önermeden sonra
Alıştırma . Verilen AB doğrusunun bir C noktasından CD ve CE
doğruları ayrı tarafa çizilsin. Öklid’in . önermesine göre, eğer bu iki
. önermeden sonra

D
A
B
C
E
Şekil : Alıştırma 
doğru, bir doğru üzerindeyse, o zaman AB doğrusuyla oluşturdukları
ACD ve BCE ters açıları birbirine eşittir. Bu önermenin tersini gösterin.
E
C
A
B
D
Şekil : Alıştırma 
. önermeden sonra
Alıştırma . Bir kenarı uzatmadan Öklid’in . önermesini ispatlayın.
(Proklos bunu bir köşeden karşı kenara bir doğru çizerek ispatladı.)
A
B D
C
Şekil : Alıştırma 

Alıştırmalar
Alıştırma . İki üçgende, tabandaki bir açı tabandaki bir açıya eşitse,
açıyı gören kenar açıyı gören kenara eşitse, ve kalan kenar kalan kenara
eşitse, ya tabanlar birbirine eşittir, ya da tabanlardaki kalan açıların biri
geniş, biri dardır.
A
B
G
D
C
E
F
Şekil : Alıştırma 
. önermeden sonra
Alıştırma . Bir doğruya dışındaki bir noktadan indirilen dikme, o
noktayı doğru üzerindeki noktalara birleştiren diğer doğrulardan küçüktür.
C
A
B
Şekil : Alıştırma 
Alıştırma . Merkezi A olan bir çember ve B ile C noktaları verilmiş
olsun. Noktaları birleştiren BC doğrusu çemberin A merkezinden geçmesin ama çemberi kessin. Hiç doğru çizmeden BC doğrusunun çemberi
kestiği noktalarını bulun.
. önermeden sonra
Sonraki alıştırmanın tersi Alıştırma  olacak.
. önermeden sonra

A
b
B
C
b
b
Şekil : Alıştırma 
Alıştırma . İkizkenar üçgende tabandaki açıları ikiye bölenlerin (yani
açıortayların) birbirine eşit olduğunu gösterin.
A
E
D
B
C
Şekil : Alıştırma 
Alıştırma . Bir üçgenin açıortaylarının bir noktada kesiştiğini gösterin. Aslında ABC üçgeninde BD ile CD, tabandaki açıları ikiye böler.
A
B
D
C
Şekil : Alıştırma 
AD doğrusunun da BAC açısını ikiye böldüğünü gösterin.
Sonraki alıştırma Öğeler ’in üçüncü kitabının . önermesidir.

Alıştırmalar
Alıştırma . Dairede bir çap verilen bir kirişi ikiye böler ancak ve
ancak bu kirişe diktir.
G
E
A
Z
B
D
Şekil : Alıştırma 
. önermeden sonra
Alıştırma . Bir dörtgenin karşıt kenarları birbirine eşit ise, o zaman
karşıt köşelerı birleştiren doğrular dörtgeni böler, ve bu dörtgen bir paralelkenardır.
. önermeden sonra
Sonraki alıştırma Alıştırma ’nin tersidir, ve ona Steiner–Lehmus Teoremi denir [, s.  & ].
Alıştırma . Tabanındaki açıları ikiye bölenlerin eşit olduğu üçgenin
ikizkenar olduğunu gösterin. Aslında karşıt tersini gösterin. ABC üçgeninde
) AB > AC olsun;
) BD ile CE, tabandaki açıları ikiye böler;
) F CE açısı, ABD açısına eşittir;
) AB kenarının BG parçası, CF doğrusuna eşittir;
) BGH açısı, BF C açısına eşittir.
BD açıortayının EC açıortayından büyük olduğunu gösterin.
. önermeden sonra

A
F
G
E
D
H
B
C
Şekil : Alıştırma 
. önermeden sonra
Alıştırma . Bir üçgenin köşelerinden karşıt kenarlara indirilen dikmelerin bir noktada kesiştiğini gösterin. Aslında ABC üçgeninde CD
A
L
D
B
F
G
K
E
C
H
Şekil : Alıştırma 
doğrusu, AB kenarına diktir, ve BE doğrusu, AC kenarına diktir. Bu
CD ile BE doğruları, F noktasında kesişirler. AG doğrusu, F noktasından geçsin. AG doğrusunun BC tabanına dik olduğunu gösterin. İpucu:
HKL üçgeninin kenarları, ABC üçgeninin kenarlarına paralel olsun.

Alıştırmalar
. önermeden sonra
Alıştırma . Cetvel kullanmadan, A ve B noktaları verilmiş ise, öyle
bir E noktasını bulun ki A, B, ve E noktaları bir doğruda olsun ve
AB = BE olsun. Aşağıdaki yöntem kullanılabilir:
D
A
b
b
B
E
C
Şekil : Alıştırma 
. Merkezi A olan ve B noktasından geçen çember ve merkezi B olan
ve A noktasından geçen çember, C ve D noktalarında kesişsin.
. Merkezi C olan ve D noktasından geçen çember, merkezi B olan
çemberi E noktasında kessin.
O zaman E noktasının istediğimiz nokta olduğunu gösterin.
. önermeden sonra
Alıştırma . Bir dikdörtgenin köşegenlerinin birbirine eşit olduğunu
gösterin.
D
C
A
B
Şekil : Alıştırma 
. önermeden sonra

D
C
E
A
B
Şekil : Alıştırma 
Alıştırma . Bir paralelkenarın köşegenlerinin birbirini ikiye böldüğünü gösterin.
Alıştırma . ABCD ve EF GH paralelkenar olsun, ve AB = EF ,
∠ABC = ∠EF G olsun. O zaman paralelkenarlar birbirine eşittir ancak
D
A
C
B
H
E
G
F
Şekil : Alıştırma 
ve ancak BC = F G.
Sonraki alıştırmanın şekli Öklid’in . önermesinden alınmıştır. Aslında
Alıştırma ’un kanıtın parçasıdır.
Alıştırma . ABC üçgeninde A noktasındaki açı diktir ve AD doğrusu
BC tabanına diktir. BF ile CG dörtgenleri karedirler. AE doğrusu AE
dörtgeninin köşegenidir. AD ile AE doğrularının bir doğruda olduğunu
gösterin.
Orantı kuramımız yoktur. Öklid Öğeler ’in beşinci ve altıncı kitaplarında bir orantı kuramını geliştirir. Altıncı kitabın . önermesine göre,
bir doğru bir üçgenin tabanına paraleldir ancak ve ancak doğru üçgenin
kenarını orantılı keser. Hâlâ bu teoremi kullanmadan sonraki alıştırmayı
çözebiliriz.

Alıştırmalar
E
G
F
A
B
C
D
Şekil : Alıştırma 
Alıştırma . ABC üçgeninin AB kenarının orta noktası D olsun, ve
AC kenarında bir E noktası seçilmiş olsun. Eğer DE, BC tabanına paralel ise, E noktasının AC kenarını ikiye böldüğünü gösterin.
A
D
B
E
C
Şekil : Alıştırma  ve 
Alıştırma . Alıştırma ’ün tersini gösterin.
Alıştırma . Bir ABC üçgeninde AB = AC olsun, ve BC kenarı, AB
tabanının yarısı olsun. CD doğrusu, AB tabanını D noktasında kessin, ve
CB ve CD doğrularının birbirine eşit olması varsayılsın. BD doğrusunun
BC doğrusunun yarısı olduğunu gösterin.
Alıştırma . Cetvel kullanmadan bir AB doğrusunun orta noktasını
bulun:
. Merkezi A olan ve B noktasından geçen çember ve merkezi B olan
ve A noktasından geçen çember, C ve D noktalarında kesişsin.
. önermeden sonra

C
B
D
A
Şekil : Alıştırma 
F
D
H
A
b
B
E
C
G
Şekil : Alıştırma 
. Merkezi C olan ve D noktasından geçen çember, merkezi B olan
çemberi E noktasında kessin.
. Merkezi E olan ve A noktasından geçen çember, merkezi A olan
çemberi F ve G noktalarında kessin.
. Merkezleri F ve G olan ve A noktasından geçen çemberler, H noktasında da kesişsin.
H noktasının AB doğrusunun üzerinde ve bu doğrunun orta noktası olduğunu gösterin.

Alıştırmalar
. önermeden sonra
Sonraki alıştırma, Pisagor Teoreminin (yani Öklid’in . önermesinin)
Pappos’un kanıtladığı genelleştirmesidir [, s. –].
Alıştırma . ABC, herhangi bir üçgen olsun, ve AD ile AF , ABC üçgeninin kenarlarında rastgele seçilmiş iki paralelkenar olsun. Gerekirse, bu
paralelkenarların DE ile F G kenarları uzatılsın, ve H noktasında kesişsinler. KLM N paralelkenarında, KL tabanı, ABC üçgeninin BC tabanına
E
N
H
G
M
D
K
L
A
B
F
C
Şekil : Alıştırma 
eşit olsun, ve KN kenarı, AH doğrusuna eşit olsun. Ayrıca N KL açısı,
ABC ile DHA açılarının toplamına eşit olsun. AD ile AF paralelkenarlarının toplamının KLM N paralelkenarına eşit olduğunu gösterin. İpucu:
Eğer KLM N paralelkenarının KL tabanı ABC üçgeninin BC tabanına
uygulanırsa, N ve M köşeleri DE ve F G doğrularına düşecekler.
. önermeden sonra
Alıştırma . İki paralelkenar, aynı paralellerde olsun. Öklid’in . önermesine göre, paralelkenarların tabanları birbirine eşitse, paralelkenarlar
da birbirine eşittir. Tersini gösterin.
. önermeden sonra
Alıştırma . İki üçgen, aynı paralellerde olsun. Öklid’in . önermesine
göre, üģenlerin tabanları birbirine eşitse, üçgenler de birbirine eşittir.
Tersini gösterin.
. önermeden sonra

D
A
CH
B
G
E
F
Şekil : Alıştırma 
C
A
F
B
D
E
Şekil : Alıştırma 
Alıştırma . Bir ABC üçgeninde, AD ve BE kenarortayları F noktasında kesişsin. O zaman AF = 2F D.
A
E
F
B
D
C
Şekil : Alıştırma 
Alıştırma . Bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini gösterin.
. önermeden sonra
Alıştırma ’da, Pisagor Teoreminin Öklid’in verdiği kanıtındaki üç doğrunun bir noktada kesiştiğini göstereceğiz. İskenderiyeli Heron, Alıştırma

Alıştırmalar
’in sonucuyla, bu teoremi kanıtlar. Alıştırma ’in sonucunu Alıştırma
’ün sonucuyla kanıtlar, ve Alıştırma ’ün sonucunu sonraki alıştırmanın sonucuyla kanıtlar [, vol. I, pp. –].
Alıştırma . DE doğrusu, ABC üçgeninin BC tabanına paraleldir.
AF doğrusu, tabanı ikiye böler. AF doğrusunun, DE doğrusunu da ikiye
böldüğünü gösterin.
A
D
B
E
F
C
Şekil : Alıştırma 
Yukarıda dediğimiz gibi Heron önceki alıştırmayla sonraki alıştırmayı
çözer.
Alıştırma . Şekil ’da DE doğrusu, BC doğrusuna paraleldir, ve
BD, CE, ve F G doğruları, birbiriyle A noktasında kesişirler. F G doğ-
B
F
E
A
C
G
D
Şekil : Alıştırma 
rusu, BC doğrusunu ikiye böler. F G doğrusunun DE doğrusunu da ikiye
böldüğünü gösterin.
. önermeden sonra

. önermeden sonra
Alıştırma . ABCD bir paralelkenardır, ve EF ile GH doğruları paralelkenarın kenarlarına paraleldir. Öklid’in . önermesine göre, eğer AK
F
D
G
A
C
K
H
B
E
Şekil : Alıştırma 
ile KC doğruları bir doğrudaysa, o zaman DK ile KB paralelkenarları
birbirine eşittir. Bu önermenin tersini gösterin. Olmayana ergi yöntemini
kullanabilirsiniz.
Yukarıda dediğimiz gibi Heron Alıştırma  ile sonraki alıştırmayı çözer.
Alıştırma . Olmayana ergi yöntemini kullanmadan Alıştırma ’ü
çözün: İpucu: F G, GE, EH, HF , ve AKL, doğrular olsun. O zaman
D
F
C
L
G
A
K
E
H
B
Şekil : Alıştırma 
) AL, GE doğrusunu ikiye böler;
) EF G ile EHG üçgenleri, birbirine eşittir;
) AL, F H doğrusunu ikiye böler;

Alıştırmalar
) F LK ile CLH açıları, birbirine eşittir.
Alıştırma . Şekil ’te
G
D
N
C
α
K
F
M
β
Q
δ
A
E
L
H
γ
ε
P
B
Şekil : Alıştırma 
)
)
)
)
ABCD bir dikdörtgen;
AE = AF ;
EG k AD ve F H k AB;
KL doğrusu, AB doğrusuna paralel ve EG doğrusunu M noktasında keser;
) AM doğrusu uzatılır ve DC doğrusunu N noktasında keser;
) N P doğrusu, DA doğrusuna paralel ve F H doğrusunu Q noktasında keser;
) AQ ve QL doğruları çizilir.
AQ ve QL bir doğru olması için ABCD dikdörtgeninin kare olmasının
gerekli ve yeterli olduğunu gösterin.
Alıştırma . Şekil ’te
) ABCD bir dikdörtgendir;
) AC köşegeni çizilir;
) EF doğrusu AB tabanına paraleldir ve AC köşegenini G noktasında
keser;
) HGK doğrudur ve AD kenarına paraleldir;
) LM doğrusu AB tabanına paraleldir ve AC köşegenini N noktasında keser;
) P N Q doğrudur, AD kenarına paraleldir, ve EF doğrusunu R noktasında keser;
. önermeden sonra
Q
D
α
E
L
A

K
C
β
G
R
γ
S
N
P
δ
η
H
ε U
θ
T
ζ
κ
F
M
B
Şekil : Alıştırma 
) AR doğrusu uzatılır ve DC kenarını S noktasında keser;
) ST doğrusu AD kenarına paraleldir ve LM doğrusunu U noktasında keser;
) AU ve U F doğruları çizilir.
AU ve U F doğrularının bir doğruda olduğunu gösterin.
Yukarıda dediğimiz gibi Heron Alıştırma  ile sonraki alıştırmayı çözer.
Alıştırma . EF GH paralelkenarında BK ile LC doğruları, kenarlara
paraleldirler, ve A noktasında kesişir. EL paralelkenarının CH köşegeni
çizilmiştir. GA doğrusu çizilmiş ve CH doğrusundaki M noktasına uzatılmıştır. M B ile M F doğruları çizilmiştir. Bu M B ile M F doğrularının
bir doğruda olduğunu gösterin.
Önceki alıştırma ve Alıştırma  ile Heron sonraki alıştırmayı çözer.
Alıştırma . Öklid’in . önermesinin şeklinde AL, BK, ve GZ doğrularının bir noktada kesiştiğini gösterin. Burada AL doğrusu, BG doğrusuna diktir.

Alıştırmalar
G
K
A
L
F
G
K N
F
C
L
A
C
P
M
H
B
E
H
M
B
E
Şekil : Alıştırma 
Çarpma (analitik geometriye geçiş)
Çağdaş dilde, sınırlanmış doğruların eşitliği, bir denklik bağıntısıdır,
çünkü eşitlik () yansımalı, () simetrik, ve () geçişlidir, yani bütün
A, B, ve C doğruları için
) A = A,
) A = B ise B = A,
) A = B ve B = C ise A = C.
Bir doğrunun eşitlik sınıfı, bu doğruya eşit olan tüm doğruların sınıfıdır. Yani bir A doğrusunun eşitlik sınıfı,
{X : X = A}
sınıfıdır. Bu sınıfı
|A|
ifadesiyle gösterelim. Eğer A ve B doğruları birbirine eşit ise, o zaman |A|
ve |B| sınıfları birbiriyle aynıdır, çünkü aynı doğrular içerirler. O halde
|A| = |B|
ifadesinin yazarız, ama burada “=” işareti sadece eşitlik işareti değil, aynılık işaretidir!
 Bir
eşitlik sınıfı bir denklik sınıfıdır, çünkü eşitlik bir denklik bağıntısıdır.
Çarpma

J
H
A
K
Z
B
G
D
E
L
Şekil : Alıştırma 
Bir doğrunun eşitlik sınıfına, doğrunun uzunluğu densin. Bu şekilde,
bir uzunluk bir sayı değildir. Ama sayıların özelliklerinin uzunlukların
özellikleri olduğunu göstereceğiz.
İki uzunluğun toplamı vardır. Nitekim A ve B doğrular ise, Şekil
’deki gibi Öklid’in . önermesini kullanarak bir CD doğrusunda
A
B
b
b
b
C
E
F
D
Şekil : Doğruların toplaması
CE = A,
EF = B
eşitliklerini sağlayan E ve F noktalarını bulabiliriz. O zaman
A + B = CF.
Bu durumda, . ortak kavramın sayesinde
{X : A + B = X} = |CF |.

Alıştırmalar
Bu sınıf, A ve B doğrularının uzunluklarının toplamıdır. Bu toplam için
|A| + |B|
ifadesini yazalım. Tekrar . ortak kavramın sayesinde
|B| + |A| = |A| + |B|,
yani toplama değişmelidir. Ayrıca
|A| + (|B| + |C|) = (|A| + |B|) + |C|,
yani toplama birleşmelidir.
Şimdi iki uzunluğun çarpımını tanımlamak istiyoruz. Sadece doğrunun
değil, her figürün eşitlik sınıfı vardır. Bir figürün eşitlik sınıfı alanıdır.
Öklid’in . önermesine göre, her düzkenarlı figürün alanı bir dikdörtgenin alanıdır. Eğer ABCD bir dikdörtgense, o zaman
AB × BC = ABCD
ifadesini yazabiliriz. Ayrıca AB = E ve BC = F ise
E × F = ABCD
yazılabilir. Bu durumda, Alıştırma ’in sayesinde
{X : E × F = X} = |ABCD|.
O zaman
|ABCD| = |E| × |F |
yazılabilir. O halde
|F | × |E| = |E| × |F |.
Ama şimdilik (|E| × |F |) × |G| ifadesinin anlamı yoktur! Bir cismin eşitlik
sınıfı olabilir. Cisimler Öğeler ’in onbirinci kitabında tanımlanır.
Öklid’in . önermesinin kanıtını kullanarak her ABCD dikdörtgeni ve
L doğrusu için
|L| × |M | = |ABCD|
eşitliğini sağlayan bir M doğrusunu bulabiliriz. Aslında Şekil ’de
) AE = L olsun,
Çarpma

E
D
A
K
G
H
F
D
C
E
B
A
C
F
G
K
B
H
Şekil : Doğruların çarpması
) EF k AB olsun,
) AF köşegeni ve DC kenarı G noktasında kesişir,
) G noktasından geçen ve AD kenarına paralel olan HK doğrusu
çizilsin.
O zaman . önermeye göre
|L| × |AH| = |ABCD| = |AD| × |AB|.
Bu durumda L bir birim olarak seçilsin. O zaman
|AD| · |AB| = |AH|
yazılabilir, yani |AD| ve |AB| uzunluklarının çarpımı |AH| olarak tanımlanabilir.
Uzunluklar için küçük Latin harfler kullanılabilir. Birim uzunluğu için
1
kullanılabilir. O zaman çarpımlar Şekil ’daki gibidir. Bu tanıma göre,
1
a
a
1
0
a·b
b
0
b
a·b
Şekil : Doğruların çarpması
e, f , g, ve h Şekil ’taki gibi uzunluklar ise, o zaman Alıştırma ’ya

Alıştırmalar
g
f
e
e
0
h
g
Şekil : Çarpmanın değişme özelliği
dayanarak
g · e = f · h = e · g.
Öyleyse çarpmanın değişme özelliği vardır.
Alıştırma . . alıştırmayı kullanarak çarpmanın birleşmeli olduğunu
gösterin. Şekil ’deki gibi uzunluklar kullanılabilir.
a
1
b
0
bc
c a(bc)
ac
Şekil : Alıştırma 
Şimdi Öğeler ’in ikinci kitabının ., . ve . önermeleri
a(b + c) = ab + ac,
şeklinde anlatılabilir.
(a + b)(a − b) + b2 = a2

. Önermeden sonra
. Önermeden sonra
Sonraki alıştırma Öğeler ’in üçüncü kitabının . önermesi gibidir.
Alıştırma . Bir dairenin AB ve CD kirişleri E noktada kesişirse
AE × EB = CE × ED
eşitliğini kanıtlayın. Sonuç olarak a, b, ve c uzunlukları verilirse, cetvel
kullanmadan
ab = cx
denklemini sağlayan bir x uzunluğunu bulun. E kesişim noktası dairenin
dışında olabilir. AB kirişinin çap olduğu durumdan genel durum çıkar.
B
B
F
F
C
A
E
G
A
D
E
C
G
D
Şekil : Alıştırma 
Alıştırma . İki çemberin aynı A merkezi olsun. Küçük çemberin BC
kirişi, büyük çemberdeki D noktasına uzatılsın, ve aynı şekilde EF , G
noktasına uzatılsın.
|BD| · |CD| = |EG| · |F G|
eşitliğini gösterin.
Alıştırma . Merkezi ile bir çember ve başka nokta verilirse, cetvel kullanmadan, noktaları birleştiren doğrunun çemberi kestiği noktaları bulun.
Aşağıdaki yöntem kullanılabilir.
. Çemberin merkezi A ve öteki nokta B olsun.
. B noktasından geçen çemberin bir kirişi CD olsun.
[Alış. ]
. Merkezi E olan, ilk çemberden büyük olan, ve C ve D noktalarından
geçen bir çember çizilsin.
[Alış. ]

Alıştırmalar
B
C
D
E
A
b
F
G
Şekil : Alıştırma 
M
b
A
b
B
b
D
C
E
b
K
b
G
b
F
H
b
L
Şekil : Alıştırma 
. İkinci çemberin ilk çemberin çapına eşit olan bir kirişinin F ve G
uç noktaları bulunsun.
[Alış. ]
. Bu F G kirişi, merkezi E olan ve B noktasından geçen çemberi H
noktasında kessin.
[Alış. ]
. F G kirişinin orta noktası K olsun.
[Alış. ]
. Merkezi K olan ve F noktasından geçen çember çizilsin.
. Merkezi H olan ve yarıçapı BD doğrusuna eşit olan çember, merkezi
K olan çemberi L noktasında kessin.
[Alış. ]
. Merkezi D olan ve yarıçapı GL doğrusuna eşit olan çember, ilk
çemberi M noktasında kessin.
[Alış. ]

. Önermeden sonra
Şimdi M , A, ve B noktalarının bir doğruda olduğunu gösterin.
Alıştırma . Bir doğruda olmayan A, B, ve C noktaları verilirse, cetvel
kullanmadan, AB doğrusuna C noktasından düştürülen dikeyin ayağını
bulun.
C
b
A
b
b
B
Şekil : Alıştırma 
Alıştırma . Bir doğruda olmayan A, B, C, ve D noktaları verilirse,
b
A
b
D
b
B
b
C
Şekil : Alıştırma 
cetvel kullanmadan AB ve CD doğrularının kesişim noktasını bulun.
Kaynakça
[] Mustafa Kemal Atatürk. Geometri. Türk Dil Kurumu, Ankara,
. . baskı; . baskı .
[] Güler Çelgin. Eski Yunanca–Türkçe Sözlük. Kabalcı, İstanbul, .
[] H. S. M. Coxeter. Introduction to Geometry. John Wiley & Sons,
New York, second edition, . First edition, .
[] Euclid. Euclidis Elementa, volume I of Euclidis Opera Omnia. Teubner, . Edidit et Latine interpretatvs est I. L. Heiberg.
[] Euclid. The thirteen books of Euclid’s Elements translated from the
text of Heiberg. Vol. I: Introduction and Books I, II. Vol. II: Books
III–IX. Vol. III: Books X–XIII and Appendix. Dover Publications
Inc., New York, . Translated with introduction and commentary
by Thomas L. Heath, nd ed.
[] Euclid. Euclid’s Elements. Green Lion Press, Santa Fe, NM, .
All thirteen books complete in one volume. The Thomas L. Heath
translation, edited by Dana Densmore.
[] Euclid. Euclid’s Elements of Geometry. Published by the editor, revised and corrected edition, . Edited, and provided
with a modern English translation, by Richard Fitzpatrick, http:
//farside.ph.utexas.edu/euclid.html.
[] Norbert Hungerbühler. A short elementary proof of the MohrMascheroni theorem. Amer. Math. Monthly, ():–, .
[] Reviel Netz. The shaping of deduction in Greek mathematics, volume  of Ideas in Context. Cambridge University Press, Cambridge, . A study in cognitive history.
[] Pappus. Pappus Alexandrini Collectionis Quae Supersunt, volume I.
Weidmann, Berlin, . E libris manu scriptis edidit, Latina interpretatione et commentariis instruxit Fridericus Hultsch.

Kaynakça

[] Proclus. Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum
commentarii. Bibliotheca scriptorum Graecorum et Romanorum Teubneriana. In aedibus B. G. Teubneri, . Ex recognitione Godofredi Friedlein.
[] Proclus. A commentary on the first book of Euclid’s Elements. Princeton Paperbacks. Princeton University Press, Princeton, NJ, .
Translated from the Greek and with an introduction and notes by
Glenn R. Morrow, reprint of the  edition, with a foreword by
Ian Mueller.
[] Lucio Russo. The forgotten revolution. Springer-Verlag, Berlin, .
How science was born in  BC and why it had to be reborn,
translated from the  Italian original by Silvio Levy.
[] Ivor Thomas, editor. Selections illustrating the history of Greek mathematics. Vol. II. From Aristarchus to Pappus, volume  of Loeb
Classical Library. Harvard University Press, Cambridge, Mass, .
With an English translation by the editor.