2 - Trigonometrik fonksiyonların limitleri.qxp
Transkript
2 - Trigonometrik fonksiyonların limitleri.qxp
Trigonometrik Fonksiyonlarýn Limitleri her üç tarafýn limitini alalým. TRÝGONOMETRÝK FONKSÝYONLARIN LÝMÝTLERÝ lim c os x < lim sin x = 1 dir. lim x x→0 Ýspat x→0 1 C 1 ≤ lim E y x →0 B sin x sin x < lim 1 ⇒ lim = 1 dir. x x x →0 x →0 sin x x = lim =1 x x → 0 sin x 1) lim x D cosx x →0 x A lim 1 x →0 sin px px p = lim = qx q x → 0 sinq x Yukarýdaki þekilde birim çemberde görüldüðü gibi 2 ) lim i) A (ABO) = = ii) A (OA E) = = x→0 1 . OA . BD 2 tan px px p = lim = qx q x → 0 tan qx 3 ) lim sin px tan px p = lim = qx q x → 0 tan qx 4 ) lim sin px tan px p = lim = tan q x x → 0 sin qx q x→0 1 sin x 1.sin x = 2 2 1 . OA . A E 2 x→0 1 tan x .1. tan x = 2 2 iii) AOB daire diliminin alaný Burada üçüncü özellikde 1 ve 2 nin bir sonucudur gerçekten π r 2 . x π .12 . x x A (A OB) = = = 2π 2π 2 sin px sin px x lim = lim x → 0 sin qx x → 0 sin qx x i, ii ve iii deki alanlarý sýralarsak sin x x tan x ≤ ≤ 2 2 2 sin px p x = = sin qx q lim x x→0 lim x →0 sin x c os x sin x c os x sin x ≤ x , x≤ sin x ≤1 x , c os x ≤ ise c os x < tan x x = lim =1 x x → 0 tan x lim x→0 sin x ≤ x ≤ sin x < lim 1 x x →0 Bu özellikten yararlanýlarak aþaðýdaki sonuçlar elde edilir. tanx O x →0 Örnek 1 sin x x * sin x <1 x * 102 lim sin 3x 3 = 2x 2 * lim 5x 5 = sin 3x 3 lim 4x 4 = tan 3x 3 * lim tan 3x 3 = 7x 7 x→0 x→0 x →0 x →0 Trigonometrik Fonksiyonlarýn Limitleri * sin 3x sin 3x x lim = lim x → 0 tan 5x x → 0 tan 5x x = lim x→0 = sin 3x 3 x = = tan 5x 5 lim x x→0 sin 3x 2x + lim tan 5x x → 0 tan 5x 2 3 5 + = =1 5 5 5 lim x→0 Örnek 5 ⎛ sin2 2x ⎞ lim ⎜ ⎟ limiti kaçtýr? x → 0 ⎝ x. tan 3x ⎠ Örnek 2 ⎛ sin2 3x ⎞ lim ⎜ ⎟ limiti kaçtýr? x→0 ⎝ x2 ⎠ Çözüm ⎛ sin2 2x x ⎞ lim ⎜ . ⎟ 2 tan 3x ⎠ x→0 ⎝ x Çözüm 2 ⎛ sin 3x ⎞ ⎛ sin 3x ⎞ = ⎜ lim lim ⎜ ⎟ x ⎠ x ⎟⎠ ⎝ x →0 x→0 ⎝ 2 2 x ⎛ sin 2x ⎞ = lim ⎜ ⎟⎠ . xlim x x→0 ⎝ → 0 tan 3x = 3 2 = 9 bulunur. = 22 . 1 4 tür. = 3 3 Örnek 3 Örnek 6 ⎛ sin 2x ⎞ lim ⎜ ⎟ limiti kaçtýr? x → 0 ⎝ x .c os 3x ⎠ ⎛ 2x + sin 3x ⎞ lim ⎜ ⎟ limiti kaçtýr? x → 0 ⎝ sin 5x − 4x ⎠ Çözüm Çözüm ⎛ sin 2x ⎞ ⎛ sin 2x 1 ⎞ lim ⎜ . = lim ⎜ ⎟ x c os 3x ⎟⎠ x → 0 ⎝ x .c os 3x ⎠ x →0 ⎝ = lim x →0 = 2. Kesirli ifadenin pay ve paydasýný x ’ e bölelim. sin 2x 1 . lim x x → 0 c os 3x 2x sin 3x + x = lim x 4x x → 0 sin 5x − x x 1 1 = 2. = 2 c os 0 1 sin 3x x = lim x → 0 sin 5x −4 x 2+ Örnek 4 ⎛ 2x + sin 3x ⎞ lim ⎜ limiti kaçtýr? ⎝ tan 5x ⎟⎠ lim 2 + lim x→0 = x→0 lim Çözüm x→0 ⎛ 2x sin 3x ⎞ lim ⎜ + ⎝ tan 5x tan 5x ⎟⎠ = x→0 103 x →0 sin 3x x sin 5x − lim 4 x x →0 2+3 5 = = 5 5−4 1 Trigonometrik Fonksiyonlarýn Limitleri Örnek 7 3⎞ ⎛ lim ⎜ x.sin ⎟ = lim x⎠ x →∞ x→∞ ⎝ ⎛ ⎞ 3 xn lim ⎜ ⎟ limiti kaçtýr? n n x → 0 ⎝ x + sin x ⎠ Çözüm = lim t→0 Verilen kesirli ifadenin pay ve paydasýný x n ye bölelim. 3. lim x→0 xn xn + xn 3 = ⎛ sin x ⎞ 1 + ⎜ lim ⎝ x → 0 x ⎟⎠ n = 3 1 + 1n x→0 sinn x Çözüm xn = sin3 t =3 t lim ( 3x .c ot an 5x ) limiti kaçtýr? 3 1+ 1 x 1 x Örnek 10 xn xn = lim sinn x x → 0 sin3 lim ( 3x.c ot an 5x) = 0. ∞ 3 2 x→0 = lim 3x. x→0 = lim x→0 1 tan 5x 3x 3 = tan 5x 5 Örnek 8 Örnek 11 ⎡ sin(x − 2) ⎤ lim ⎢ ⎥ limiti kaçtýr? x → 2 ⎣ x2 − 4 ⎦ 3x + 6 limiti kaçtýr? sin( 5x + 10 ) lim x → −2 Çözüm ⎛ sin(x − 2) 1 ⎞ lim ⎜ . ⎟ ⎝ x−2 x + 2⎠ Çözüm x→2 3 (5x + 10) 3x + 6 = lim 5 lim x → − 2 sin(5x + 10) x → −2 sin(5x + 10) sin(x − 2) 1 = lim . lim x−2 x →2 x →2 x + 2 = lim h→ 0 = 1. sin h 1 . h 2+2 1 1 = 4 4 ( x − 2 = h de rse k x → 2 iç in h → 0 olur ) = 3 5x + 10 lim 5 x → − 2 sin(5x + 10) = 3 3 .1= bulunur. 5 5 Örnek 12 lim x →m Örnek 9 3⎞ ⎛ lim ⎜ x.sin ⎟ limiti kaçtýr? ⎝ x⎠ sin x − sin m limiti kaçtýr? x −m Çözüm x→∞ Burada trigonometrik fonksiyonlarda dönüþüm formülünü uygulayalým. Çözüm x → ∞ iç in sin p − sin q = 2.sin 1 → 0 olduðundan x 104 p−q p+q .c os 2 2 Trigonometrik Fonksiyonlarýn Limitleri ⇒ sin(−1) = −sin1 dir. Buna göre; sin x − sin m lim = lim x −m x →m x →m ⎛ x −m⎞ ⎛ x +m⎞ 2 sin ⎜ ⎟ .cos ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ x −m x → 1 −1 iken − 1 < sin(x − 1) < 0 oldu ðundan cesin(x − 1)fh = − 1 dir. Buna göre, ⎛ x −m⎞ 2.sin ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ . lim cos ⎛ x + m ⎞ = lim ⎜ ⎟ x →m ⎛ x − m ⎞ x →m ⎝ 2 ⎠ 2. ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ sin cex − 1fh sin( − 1) = c f −1 x →1 − e sin(x − 1)h lim = ⎛ x −m⎞ sin ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ . lim cos ⎛ x + m ⎞ = lim ⎜ 2 ⎟ x −m x →m x →m ⎝ ⎠ 2 Örnek 15 = 1. cosm = cosm bulunur. lim Örnek 13 x →y sin 3 x − 2 lim x → 2+ 3 limiti kaçtýr? Çözüm sin(x − 2) lim Çözüm sin 3 x − 2 3 x → 2+ = lim x → 2+ = lim x → 2+ x→2 + sin(x − 2) → lim ( sin x − siny) ( sin x + siny) 3 = lim 3 . x −2 sin 3 x − 2 3 2 sin x →y sin 3 x − 2 3 0 0 3 x −2 3 . lim 3 x → 2+ x −2 x −2 sin(x − 2) = 1.2. x − 2 → 0 olup sin t . t 3 lim t →0 sin(x − 2) x −y x +y x +y x −y .c os . 2 sin .c os 2 2 2 2 (x − y) (x + y) ⎛ x −y ⎞ x +y 2.sin ⎜ ⎟ 2.sin 2 ⎠ ⎝ 2 .c os x + y .c os x − y . = lim x −y x +y 2 2 x →y 2. 2 sin(x − 2) x − 2 = t de rse k t→0 sin2 x − sin 2 y limiti kaçtýr? x 2 − y2 x →y lim − sin1 = sin1 bulunur. −1 = sin t t = 1. 1 = 1 bulunur. Örnek 14 sin cex − 1fh limiti kaçtýr? c f x → 1 − esin(x − 1) h lim Çözüm x → 1 − iken ce x − 1fh → − 1 105 siny . c osy . c os 0 2y 2 siny . c osy sin 2y dir. = 2y 2y ALIÞTIRMALAR 3 1. lim π x→ 3 Trigonometrik Fonksiyonlarýn Limitleri 1 + 2 c os x limiti kaçtýr? sin x 6. 4 Cevap: 2. lim x→0 ⎛ c os 3x ⎞ limiti kaçtýr? lim ⎜ π ⎝ sin 2x ⎟⎠ x→ 4 3 3 Cevap: − 1 + sin x limiti kaçtýr? c os x 7. ⎛ sin x ⎞ lim ⎜ ⎟ limiti kaçtýr? ⎜ x ⎟ − x →0 ⎝ ⎠ Cevap: –1 Cevap: 1 3. 2⎞ ⎛ lim ⎜1 + c os ⎟ limiti kaçtýr? ⎝ x⎠ 8. x→∞ ⎛ sin 5x ⎞ limiti kaçtýr? lim ⎜ ⎟ x → 0 ⎝ sin 2x ⎠ 5 Cevap: 2 Cevap: 2 4. ⎛ x − sin x ⎞ limiti kaçtýr? lim ⎜ ⎝ c os x ⎟⎠ 9. ⎛ sin 2x ⎞ limiti kaçtýr? lim ⎜ 2 ⎝ 2x + x ⎟⎠ x→0 x→0 Cevap: 2 Cevap: 0 5. 2 2 ⎛ ⎞ limiti kaçtýr? x lim ⎜ ⎟⎠ tan 5x ⎝ 10. x→0 Cevap: 1 5 ⎛ x − sin 3x ⎞ limiti kaçtýr? lim ⎜ ⎟⎠ ⎝ x x→0 Cevap: –2 106 Trigonometrik Fonksiyonlarýn Limitleri ALIÞTIRMALAR 3 11. ⎛ tan 3x ⎞ lim ⎜ ⎟ ⎝ x .c os x ⎠ 16. limiti kaçtýr? x →0 ⎛ x + sin x ⎞ limiti kaçtýr? lim ⎜ ⎝ x + c os x ⎟⎠ x→∞ Cevap: 3 12. Cevap: 1 17. ⎛ 3 tan x − x ⎞ limiti kaçtýr? lim ⎜ sin x ⎟⎠ x→0 ⎝ ⎛ 1 − c os 2x ⎞ limiti kaçtýr? lim ⎜ ⎟ x → π ⎝ 1 + c os x ⎠ Cevap: 4 Cevap: 2 13. 18. ⎛ x.sin 3x ⎞ lim ⎜ ⎟ limiti kaçtýr? x → 0 ⎝ tan2 x ⎠ ⎛ 1 − sin x ⎞ limiti kaçtýr? lim ⎜ π ⎝ c os x ⎟⎠ x→ 2 Cevap: 0 Cevap: 3 14. 19. ⎛ sec x ⎞ limiti kaçtýr? lim ⎜ π ⎝ tan x ⎟⎠ x→ ⎛ 5x + tan 3x ⎞ limiti kaçtýr? lim ⎜ ⎝ x + sin x ⎟⎠ x→0 2 Cevap: 4 Cevap:1 15. 20. ⎛ 1 − c os 2x ⎞ limiti kaçtýr? lim ⎜ ⎟⎠ x→0 ⎝ x2 lim x→5 sin(x − 5) limiti kaçtýr? x 2 − 25 Cevap: Cevap: 2 107 1 10
Benzer belgeler
türev uygulama 8 (L`hopital)
i l k ö n c e h e r ik i t a r af ı n l o g a r i t m a s ı ( l n ) a l ı n ı r v e if a d e 0 / 0 v e ya ∞ ∞ b e l i r s i zl i ğ i d u r u m u n a g e t i r i l i r. l n y l i m i t i
Detaylı