I. Tip Has Olmayan Integraller
Transkript
I. Tip Has Olmayan Integraller
ANALİZ II I. Tip Has Olmayan İntegraller Mahmut KOÇAK I. Tip Has Ol . . . Not: Not: Örnek Örnek c 2008 mkocak@ogu.edu.tr Hazırlama Tarihi: Nisan 10, 2008 Osmangazi Üniversitesi Sunum Tarihi: 21 Nisan 2008 2/9 I. Tip Has Olmayan İntegraller (i). a ∈ olmak üzere f : [a , ∞) → fonksiyonu x ≥ a özelliğindeki her t ∈ için [a , t ] aralığı üzerinde integrallenebilir olsun. t f (x ) d x lim t →∞ (1) a limiti var ve sonlu ise bu limit değerine f fonksiyonunun [a , ∞) aralığındaki has olmayan integrali denir ve ∞ Örnek Örnek f (x ) d x a şeklinde gösterilir. Buna göre ∞ t f (x ) d x = lim f (x ) d x t →∞ a dır. a I. Tip Has Ol . . . Not: Not: I. Tip Has Olmayan İntegraller (1) limiti var ve sonlu ise 3/9 ∞ f (x ) dx integraline yakınsak, (1) limiti yok veya sonlu değilse a ∞ f (x ) dx integraline ıraksak denir. a (ii). a ∈ olmak üzere f : (−∞, a ] → fonksiyonu t ≤ a özelliğindeki her t ∈ için [t , a ] aralığı üzerinde integrallenebilir olsun. a f (x ) dx lim t →−∞ (2) t limiti var ve sonlu ise bu limit değerine f fonksiyonunun (−∞, a ] aralığındaki has olmayan integrali denir ve a f (x ) dx Örnek Örnek −∞ şeklinde gösterilir. Buna göre a a f (x ) dx = lim f (x ) dx t →−∞ −∞ dır. (2) limiti var ve sonlu ise a −∞ I. Tip Has Ol . . . Not: Not: t f (x ) dx integraline yakınsak, (2) limiti yok veya sonlu değilse a −∞ f (x ) dx integraline ıraksak denir. 4/9 Not: (i). ∞ t f (x ) d x = lim f (x ) dx integrali f fonksiyonunun grafiği, x = a doğrusu ve x -ekseni arasında kalan bölgenin alanı olur. a t →∞ a (ii). f fonksiyonunun grafiği, x = a doğrusu ve x -ekseni arasında kalan bölgenin x -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan C cisminin hacmi ∞ V (C ) = π t 2 f (x ) dx = π lim t →∞ a 2 f (x ) dx a olur. (iii). f fonksiyonunun grafiği, x = a doğrusu ve x -ekseni arasında kalan bölgenin y -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan C cisminin hacmi ∞ ∞ V (C ) = 2π x f (x ) dx = 2π lim x f (x ) dx t →∞ a olur. a I. Tip Has Ol . . . Not: Not: Örnek Örnek Not: 5/9 Not: a a f (x ) dx = lim f (x ) dx integrali f fonksiyonunun grafiği, x = a doğrusu ve x -ekseni arasında kalan bölgenin alanı olur. (i). −∞ t →−∞ t (ii). f fonksiyonunun grafiği, x = a doğrusu ve x -ekseni arasında kalan bölgenin x -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan C cisminin hacmi a V (C ) = π a 2 f (x ) d x = π lim t →−∞ −∞ 2 f (x ) dx t olur. (iii). f fonksiyonunun grafiği, x = a doğrusu ve x -ekseni arasında kalan bölgenin y -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan C cisminin hacmi a V (C ) = 2π −∞ olur. a x f (x ) dx = 2π lim x f (x ) dx t →−∞ t I. Tip Has Ol . . . Not: Not: Örnek Örnek 6/9 Örnek ∞ dx integralini p nin durumlarına göre inceleyelim. xp 1 2 p = 1 ise y t 4 3 dx = xp 1 t t 1 d x = ln x = ln t − ln 1 = ln t x 1 1 olur. Bu durumda 2 t lim p =1 1 t →∞ 1 1 2 3 4 5 6 x ∞ olup 1 dx = lim x p t →∞ t dx = lim ln t = ∞ t →∞ x 1 dx integrali ıraksaktır. x I. Tip Has Ol . . . Not: Not: Örnek Örnek Örnek 7/9 2 p < 1 olsun. Bu durumda y t 4 3 dx x 1−p t 1 1−p = = − 1 t xp 1−p 1 1−p 1 olur. 1 − p > 0 olduğu hesaba katılırsa 2 p= 1 t 1 2 lim t →∞ dx 1 1−p = − 1 =∞ lim t xp 1 − p t →∞ 1 1 2 3 4 5 6 x ∞ olur. Bu durumda 1 dx integrali p < 1 için ıraksaktır. xp I. Tip Has Ol . . . Not: Not: Örnek Örnek Örnek 8/9 2 p > 1 olsun. Bu durumda y t 4 3 dx x 1−p t 1 1−p = = − 1 t xp 1−p 1 1−p 1 olur. 1 − p < 0 olduğu hesaba katılırsa 2 p= 1 t 3 2 lim t →∞ dx 1 1 1−p = − 1 = lim t xp 1 − p t →∞ 1−p 1 1 2 3 4 5 6 x ∞ olur. Bu durumda 1 dx integrali p > 1 için yakınsaktır. xp I. Tip Has Ol . . . Not: Not: Örnek Örnek Örnek 9/9 Örnek ∞ y x cos x d x integralleri hesaplayalım. 0 4 2 Tanım gereğince 3 ∞ 2 x cos x d x = lim 1 2 3 x cos x d x t →∞ 3 p= 2 1 t 0 4 5 6 x 0 Burada u = x , d v = cosx d x denilirse d u = d x , v = sinx olur. Bu durumda dır. t kısmi integrasyon metodu gereğince lim x cos x d x = t →∞ ⎛ t ⎜ lim ⎜ x sin x − ⎝ t →∞ t ⎞ 0 ⎟ sin x d x ⎟ ⎠ = lim (t sin t + cos t − 1) t →∞ 0 0 olur. Burada en son ifadenin limiti yoktur. Yani verilen integral ıraksaktır. I. Tip Has Ol . . . Not: Not: Örnek Örnek