MB5002 NÜMER K ANAL Z QUIZ I
Transkript
MB5002 NÜMER K ANAL Z QUIZ I
MB5002 NÜMERK ANALZ QUIZ I - SORU VE CEVAPLARI 1. tan x − 2x + 1 = 0 bölme algoritmas ile denkleminin 10−6 [1, 2] aral§nda bir kökü oldu§unu gösteriniz. Bu kök de§erine ikiye hassaslkla bir yakla³m yaplmak istenirse algoritmann en az kaç admn gerçeklemek gerekir tespit ediniz. Cevap. f (x) = tan x − 2x + 1 olsun. f (x) fonksiyonu f (1) = tan 1 − 2 + 1 = 0.55741 > 0 sa§land§ndan Ara De§er Teoremi'ne göre imdi n ve f (x) [1, 2] aral§nda süreklidir. Ayrca f (2) = tan 2 − 4 + 1 = −0.51850 × 10 < 0 fonksiyonunun verilen aralkta en az bir kökü vardr. iterasyon saysn göstermek üzere |pn − p| ≤ 2−n (b − a) = 2−n ≤ 10−6 n saysn tespit edelim. Buna göre 10 tabannda gerekli logaritma i³lem−n log 2 < −6 log 10 yani e³itsizli§ini gerçekleyecek olan leri yaplrsa n> elde edilir. Buradan 2. n ≥ 20 g(x) = (3x + 19)1/3 6 = 19.932 log 2 bulunur. fonksiyonunun [0, ∞) aral§nda tek türlü belirli bir sabit noktas oldu§unu gös- teriniz. Cevap. g 0 (x) Her = (3x+19)−2/3 oldu§undan sürekli g(x) fonksiyonunun [0, ∞) aral§nda türevi mevcuttur. x ∈ [0, ∞) için g 0 (x) de§eri pozitif oldu§undan g(x) verilen aralkta monoton artandr. Dolaysyla maksimum de§erini aral§n sa§ uç noktasnda minimum de§erini aral§n sol uç noktasnda alr. g(∞) = ∞ oldu§undan her ve g(0) = 191/3 = 0.26684 × 10 x ∈ [0, ∞) için g(x) ∈ [0, ∞) elde edilir. Dolaysyla Sabit Nokta Teoremi'ne göre verilen aralkta fonksiyonun en az bir tane sabit noktas vardr (varlk ispat). imdi bu sabit noktann tektürlü belirli oldu§unu göstermek için foksiyonun türevini k gibi birden 0 g (x) = h(x) = (3x + 19) fonksiyonunun türevi h (x) = −2(3x + 19) her x ∈ [0, ∞) negatif oldu§undan h(x) fonksiyonu verilen aralkta monoton azalandr. Dolaysyla maksimum ve minimum de§erlerini [0, ∞) aral§nn uç noktalarnda alr. Buna göre |g 0 (0)| = 19−2/3 = 0.14044 > |g 0 (∞)| = 0 küçük bir say ile snrlamaya çal³alm: 0 −2/3 −5/3 oldu§undan türev fonksiyonunun mutlak de§erinin x = 0'da maksimumu vardr ve |g 0 (x)| = (3x + 19)−2/3 ≤ max (3x + 19)−2/3 = 19−2/3 = 0.14044 = k < 1 0≤x<∞ e³itsizli§i de gerçeklendi§inden 3. sin n12 Cevap. ∞ n=1 [0, ∞) aral§nda yer alan sabit nokta tek türlü belirlidir (teklik ispat). dizisinin yaknsama hzn hesaplaynz. limn→∞ sin n12 = 0 oldu§u yaknsama hz tanmnda kullanlrsa sin 1 − 0 = sin 1 ≤ 1 n2 n2 n2 elde edilir. Buna göre 1 sin 2 = 0 + O n yazlr. Yani 4. sin n12 dizisi sfra 1 n2 1 n2 'nin sfra yaknsama hznda yaknsar. f (x) = (x − 1) ln x fonksiyonunun x0 = 1 civarnda üçüncü Taylor polinomunu f (0.5) de§erine bir yakla³mda bulununuz ve yakla³mda olu³an polinom yardm ile hesaplaynz. Bu hata için bir üst snr belirleyiniz. Cevap. f ∈ C ∞ (R) oldu§undan Taylor Teoremi her n ≥ 0 için uygulanabilir. Gerekli türevler ve x0 = 1 noktasnda ald§ de§erler a³a§daki ³ekilde hesaplanr: f (1) = (1 − 1) ln 1 = 0, 1 f 0 (x) = ln x + 1 − , f 0 (1) = 0, x 1 2 f 000 (x) = − 2 − 3 , f 000 (1) = −3, x x Buna göre istenen üçüncü Taylor polinomu hata 1 1 + 2 , f 00 (1) = 2, x x 2 6 f (iv) (x) = 3 + 4 . x x terimi ile beraber ξ(x) says x0 = 1 f 00 (x) = ile x arasnda olmak üzere f (x) = P3 (x) + R3 (x) f 000 (1) f (iv) (ξ(x)) f 00 (1) (x − 1)2 + (x − 1)3 + (x − 1)4 4! 2! 3! 3 4 (x − 1) 2 6 (x − 1) = (x − 1)2 − + + 2 ξ(x)3 ξ(x)4 24 (x − 1) ln x = f (1) + f 0 (1)(x − 1) + ³eklinde bulunur. f (0.5) de§erine bir yakla³m, yukardaki Taylor polinomunda f (0.5) ≈ P3 (0.5) = (0.5 − 1)2 − x = 0.5 yazlmas sureti ile (0.5 − 1)3 = 0.3125 2 olarak elde edilir. imdi bu yakla³mda olu³an hata için bir snr belirleyelim. x0 = 1 ξ(0.5) says x = 0.5 ile arasnda olmak üzere 2 6 (0.5 − 1)4 |f (0.5) − P3 (0.5)| = |R3 (0.5)| = + ξ(0.5)3 ξ(0.5)4 24 yazlabilir. imdi h(x) = fonksiyonunun [0.5, 1] 2 6 + x3 x4 aral§ndaki maksimum de§erini bulmak için h0 (x) = − 6x + 24 x5 türev fonksiyonun göz önüne alalm. Fonksiyonun türevini sfr yapan yer almad§ndan ve her x ∈ [0.5, 1] için 0 h (x) < 0 x = −4 de§eri [0.5, 1] aral§nda oldu§undan fonksiyon verilen aralkta monoton azalandr. Dolaysyla maksimum ve minimum de§erlerini snrlarda alr. 2 6 + = 112 > |h(1)| = 8 3 0.5 0.54 oldu§undan mutlak de§eri ile verilen ifade maksimum de§erini x = 0.5 noktasnda alr. Buna (0.5 − 1)4 (0.5 − 1)4 2 6 = |R3 (0.5)| ≤ max + · 112 = 0.29167 0.5≤ξ≤1 24 ξ(0.5)3 ξ(0.5)4 24 |h(0.5)| = elde edilir. göre