Doktora Yeterlilik 2005-2006 Güz Matematik Soruları
Transkript
Doktora Yeterlilik 2005-2006 Güz Matematik Soruları
İTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Disiplinlerarası Uçak ve Uzay Mühendisliği Programı 2005-2006 Güz Dönemi Doktora Yeterlik Matematik Sınavı 23 Kasım 2005 Soru 1 y ′ + 2 y = sin t denkleminin genel çözümünü bulunuz. Soru 2 | z |= 1 C: kompleks düzlemde birim çember olmak üzere e −1 / z ∫C z dz integralinin değerini hesaplayınız. Soru 3 − ∞ < x < ∞ , c( x,0) = x başlangıç değer problemini çözünüz. ct + cc x = 0 , Soru 4 x 2 y ′′ − x y ′ + 4 y = Cos (log x) + x Sin (log x) diferansiyel denklemini çözünüz. Soru 5 Green teoremi kapalı bir bölge ve onu çevreleyen eğriler için ∂Q y ∂P ∫∫ ∂x − ∂y dxdy = ∫ ( Pdx + Qdy) ise s ∫ {( x c 2 2 c2 + y )dx + ( x + 2 y )dy} ifadesi için Green 2 c c3 teoremini yandaki bölge üzerinde gerçekleyiniz y=0, 0≤x≤2 x2 + y2 = 4, 0≤x≤2 x = 0, 0 ≤ y≤ 2 x 0 2 Soru 6 Aşağıda verilen iki durum için A matrisinin öz değerlerini ve öz vektörlerini bulunuz: a) 1 0 0 A = 0 0 − 2 0 1 3 c1 b) 0 0 A= 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 Soru 7 Aşağıda matris formunda verilen Ax = B şeklindeki lineer cebirsel denklemlerde, 3 − 2 1 A = − 1 2 1 , 3 2 5 x x = y , z − 2 B = 2 2 a) x için bir çözümün olup olmadığını belirleyiniz, varsa bir çözüm bulunuz. b) Ax = λx probleminde gerçek öz değerleri belirleyiniz. Soru 8 f ( x ) = ( x1 + 3 x 2 + x 3 ) 2 + 4 ( x1 − x 2 ) 2 fonksiyonun x = (-1,-1,-1) noktasında değişiminin bir yönü d = (1,3,1) olarak verilmiş olsun. a) Optimum adım büyüklüğünü belirlemek için kullanılabilecek olan çizgi arama fonksiyonu f(α) ‘yı çıkarınız. (b) Verilen yönde f ( x ) ‘i minimum edecek olan adım büyüklüğü α ‘yı hesaplayınız.